Wikiversity dewikiversity https://de.wikiversity.org/wiki/Hauptseite MediaWiki 1.47.0-wmf.23 first-letter Medium Spezial Diskussion Benutzer Benutzer Diskussion Wikiversity Wikiversity Diskussion Datei Datei Diskussion MediaWiki MediaWiki Diskussion Vorlage Vorlage Diskussion Hilfe Hilfe Diskussion Kategorie Kategorie Diskussion Kurs Kurs Diskussion Projekt Projekt Diskussion TimedText TimedText talk Modul Modul Diskussion Veranstaltung Veranstaltung Diskussion 0 84160 1115597 1114544 2026-10-08T12:02:20Z ~2026-47548-34 41860 /* Relativtopologie auf reellen Intervallen */ 1115597 wikitext text/x-wiki == Audiokommentierte Folien - Wiki2Reveal == Diese Wikiversityseite ist als [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Normen%2C+Metriken%2C+Topologie&author=Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz] für [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] mit Audiokommentaren erstellt worden. Diese Präsentation wird in den Kursen: * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionalanalysis]] verwendet (siehe [[Wiki2Reveal]]). Ferner gibt es ein [[/Quiz zur Topologie/|Quiz zu dieser Lernressource]]. [[Datei:Audio0 intro normen metrik topologie.ogg|mini|Intro]] == Topologischer Raum == Ein '''Topologischer Raum''' ist der grundlegende Gegenstand der Teildisziplin [https://de.wikipedia.org/wiki/Topologie_(Mathematik) Topologie] der [https://de.wikipedia.org/wiki/Mathematik Mathematik]. Durch die Einführung einer topologischen Struktur auf einer Menge lassen sich * intuitive Lagebeziehungen wie „Nähe“ und * „[[Kurs:Funktionalanalysis/Konvergenz|Konvergenz gegen]]“ aus den reellen Zahlen <math>{\mathbb R}</math> bzw. aus dem <math>{\mathbb R}^{n}</math> auf viele und sehr allgemeine Strukturen übertragen (wie z.B. die Topologie von Funktionenräumen). [[Datei:Audio1 topologie abstraktion.ogg|mini|Topologie allgemein]] <span id="Topologie"></span> <span id="Topologischer Raum"></span> == Definition - Topologie == Eine ''Topologie'' ist ein [[w:de:Mengensystem|Mengensystem]] <math>\cal T</math> bestehend aus Teilmengen (''[https://de.wikipedia.org/wiki/offene_Menge offene Mengen]'' genannt) einer Grundmenge <math>X</math>, für die die folgenden definierenden Eigenschaften erfüllt sind * (T1) <math>\emptyset, X \in \cal T</math> * (T2) <math>U \cap V \in \cal T</math> für alle <math>U,V \in \cal T</math>. * (T3) Für eine beliebige Indexmenge <math>I</math> und <math>U_i \in \cal T</math> für alle <math>i \in I</math> gilt: <math>\bigcup_{i \in I} U_i \in \cal T</math>. Eine Menge <math>X</math> zusammen mit einer Topologie <math>\cal T</math> auf <math>X</math> heißt ''[https://de.wikipedia.org/wiki/Topologischer_Raum topologischer Raum]'' <math>(X,\cal T)</math>. [[Datei:Audio2 def topologie.ogg|mini|Definition Topologie]] <span id="abgeschlossen"></span> === Bemerkung - abgeschlossene Mengen === Mit der Definition aller offenen Mengen in <math>X</math> durch die Topologie <math>\mathcal{T}</math> sind auch alle abgeschlossenen Mengen als Komplement einer offenen Menge <math>U \in \mathcal{T}</math> definiert. :<math> A\subseteq X \mbox{ abgeschlossen } :\Longleftrightarrow \exists_{U \in \mathcal{T}} : \, A = X\setminus U = U^c</math> == Definition - offener Kern einer Menge == Sei in <math>M \subseteq X</math> in dem topologischen Raum <math>(X,\cal T)</math>, dann ist der offene Kern <math>\stackrel{\circ}{M}</math> als die ''"größte"'' in <math>M</math> enthaltene offene Menge definiert: :<math>\stackrel{\circ}{M} := \bigcup_{U\in \mathcal{T}, U\subseteq M} U </math> === Bemerkung - offener Kern === Da in der Defintion <math>\stackrel{\circ}{M} </math> als Vereinigung von offenen Mengen <math>U \in \mathcal{T}</math> dargestellt ist, ist <math>\stackrel{\circ}{M} \in \mathcal{T}</math> offen nach Eigenschaft (T3). == Definition - Abschluss einer Menge == Sei in <math>M \subseteq X</math> in dem topologischen Raum <math>(X,\cal T)</math>, dann ist der Abschluss <math>\overline{M}</math> als die ''"kleinste"'' abgeschlossene Menge definiert, die <math>M</math> enthält: :<math>\overline{M} := \bigcap_{U\in \mathcal{T}, U^c\supseteq M} U^c </math> === Bemerkung - Abschluss einer Menge === Da in der Defintion <math>\overline{M}</math> als Schnitt von abgeschlossenen Mengen <math>U^c </math> mit <math>U\in \mathcal{T}</math> dargestellt ist, ist <math>\overline{M}</math> als Komplement einer beliebigen Vereinigung von offenen Mengen abgeschlossen: :<math>\overline{M} := \bigcap_{U\in \mathcal{T}, U^c\supseteq M} U^c = \bigg( \underbrace{\bigcup_{U\in \mathcal{T}, U^c\supseteq M} U }_{\in \mathcal{T}} \bigg)^c </math> == Definition - Rand einer Menge == Sei <math>M \subseteq X</math> eine Menge in dem topologischen Raum <math>(X,\cal T)</math>, dann der Rand einer Menge aus dem Abschluss der Menge <math>M</math> ohne den offenen Kern <math>\stackrel{\circ}{M}</math> von <math>M</math>. Der Rand wird daher wie folgt definiert: :<math>\partial{M} := \overline{M} \setminus \stackrel{\circ}{M} </math>. === Bemerkung === Die Mengen <math>X,\emptyset</math> sind per Definition offen und wechselseitig bilden die beiden Mengen jeweils die Komplemente zu einander. Damit sind diese beiden Mengen zugleich offen und abgeschlossen. Daher haben die beiden Mengen keine Randpunkte. === Bemerkung - von offenen Mengen zu Umgebungen === Sobald ein Mengensystem <math>\mathcal{T}</math> offenen Menge auf einem Grundraum <math>X</math> definiert ist, erhält man auch einen Umgebungsbegriff von Punkten aus <math>x\in X</math>. Siehe dazu auch * [[Kurs:Funktionalanalysis/Umgebung|Definition - Umgebung]], * [[Kurs:Funktionalanalysis/Umgebung#Definition - Umgebungsbasis|Definition - Umgebungsbasis]] und * [[Kurs:Funktionalanalysis/Umgebung#Definition - Basis der Topologie|Definition - Basis der Topologie]]. <span id="Relativtopologie"></span> == Relativtopologie == Ein Relativtopologie bezeichnet eine induzierte Topologie von einem Grundraum <math>X</math> auf eine Teilmenge <math>Y\subset X </math>. Wenn man z.B. die Stetigkeit von [[Weg (Mathematik)|Wegen]] <math>\gamma : [a,b] \to X</math> in einen topologischen Raum <math>\left(X,\mathcal{T}\right)</math> betrachten möchte, benötigt man die Topologie auf <math>[a,b]\in \mathbb{R}</math>, wobei die euklische Topologie auf <math>\mathbb{R}</math> die Topologie auf <math>[a,b]</math> definiert. === Definition - Relativtopologie === Es sei <math>X</math> die Grundmenge eines [[Topologischer Raum|topologischen Raums]] <math>\left(X,\mathcal{T}\right)</math> und <math>Y\subseteq X</math> eine Teilmenge. Dann ist die ''Teilraumtopologie'' auf <math>Y</math> die Topologie :<math>{\mathcal{T}}_Y = \{U\cap Y\mid U\in \mathcal{T}\}.</math> === Bemerkung - Relativtopologie === Die offenen Teilmengen von <math>Y</math> sind also genau die [[w:de:Schnittmenge|Schnitte]] der offenen Teilmengen <math>U</math> von <math>X</math> mit <math>Y</math>. === Relativtopologie auf reellen Intervallen === Sei <math>[a,b]\in \mathbb{R}</math> ein reelles Intervall mit <math> a < b</math>. Die [[Relativtopologie]] der euklische Topologie <math>\mathcal{T}_{\mathbb{R}}</math> auf <math>\mathbb{R}</math> auf das Intervall <math>[a,b]</math> ist dann wie folgt definiert: :<math>{\mathcal{T}}_{[a,b]} = \{U\cap [a,b] \mid U\in \mathcal{T}_{\mathbb{R}}\}</math> Damit ist z.B. das halboffene Intervall <math>[a,b-\varepsilon ) \in {\mathcal{T}}_{[a,b]} </math> offen in <math>[a,b]</math> für alle <math>\varepsilon > 0</math>, denn <math>U_\varepsilon := (a-\varepsilon,b-\varepsilon)</math> ist ein offenes Intervall in <math>\mathbb{R}</math> und es gilt <math>[a,b-\varepsilon ) = U_\varepsilon \cap [a,b]</math>. == Konvergenz in topologischen Räumen == In der Analysis ist die Konvergenz von Folgen eine zentrale Definition, um darauf aufbauende Begriffe wie Stetigkeit, Differenz und Integrale zu definieren. Folgen <math> (a_n)_{n\in \mathbb{N}} </math> mit <math>\mathbb{N}</math> als Indexmenge sind in allgemeinen topologischen Räumen ungeeignet Konvergenz zu definieren, da die Indexmenge <math>\mathbb{N}</math> bzgl. der Umgebungsbasis nicht mächtig genug ist. Dies ist nur dann möglich, wenn der topologische Raum eine abzählbare Umgebungsbasis besitzt. Daher geht man entweder zu [[Netze (Mathematik)|Netzen]] oder [[w:de:Filter (Mathematik)#Mengenfilter|Filtern]] über === Beispiel: Topologie auf Texten === In der Regel geht man davon aus, dass Topologien auf mathematischen Räumen definiert werden (z.B. Zahlenräume, Funktionenräume, (topologische) Gruppen, Vektorräume, ...). Die Allgemeinheit der Definition macht es aber auch möglich, eine [[Topologie auf Texten]] zu definieren. Dieses Beispiel wurde ergänzt, weil rein anschaulich z.B. Texte in der deutschen Sprache * eine ähnliche Aussage haben können und * unterschiedliche Wörter verwenden. Diese Ähnlichkeit der Semantik oder auch Syntax wird als Übung in "[[Topologie auf Texten]]" näher untersucht. [[Datei:Audio3 topologie texte.ogg|mini]] === Ähnlichkeit von Wörter durch Metrik beschreiben=== Stellen Sie von gesprochenen Wörtern die Buchstabenanzahl und die Menge der vorkommenden Buchstaben als Tabelle dar. Wie kann man aus der tabellarische Aufstellung einen Abstand von Wörtern ableiten. machen Sie dazu einen Vorschlag. Welche Eigenschaften hat die von Ihnen vorgeschlagene Abstandsfunktion. Ist es eine Metrik auf dem Raum der Wörter? === Aufgabe - Abstand zwischen Wörtern === * Betrachten Sie die Wörter "Eimer", "Eimr", "Eimerr". Wie können Sie die Unterschiede der Wörter durch eine Metrik ausdrücken * Phonetische Ähnlichkeit Wörter "Aihmähr" und "Eimer" haben eine phonetische Ähnlichkeit, aber von der Sequenz von Buchstaben unterscheiden sich die Schreibweisen stark. Wie können Sie Ähnlichkeit von gesprochen Wörtern ([[w:en:Voice Recognition|Spracherkennung]]) durch eine phonetische Schreibweise notieren und in dieser Notation der Phoneme eine Ähnlichkeit der Wörter ebenfalls ausdrücken. === Klassifikation topologischer Räume === [[Datei:Beziehungen zwischen mathematischen Räumen.svg|250px|Hierarchie Topologischer Räume]] [[Datei:Audio4 hierarchie.ogg|mini|Hierarchie Topologischer Räume]] == Bedeutung: Notation Topologie == * (T1) <math>\emptyset, X \in \mathcal{T}</math> [https://de.wikipedia.org/wiki/leere_Menge leere Menge] und die [https://de.wikipedia.org/wiki/Grundmenge Grundmenge] <math>X</math> sind offene Mengen * (T2) <math>U \cap V \in \mathcal{T}</math> für alle <math>U,V \in \mathcal{T}</math>: Der [https://de.wikipedia.org/wiki/Schnittmenge Durchschnitt] endlich vieler offener Mengen ist eine offene Menge. * (T3) Die [https://de.wikipedia.org/wiki/Vereinigungsmenge Vereinigung] beliebig vieler offener Mengen ist wieder eine offene Menge. [[Datei:Audio5 notation tr.ogg|mini]] == Semantik: Metrik == Eine Metrik <math>d</math> ordnet mit <math>d(x,y)</math> zwei Elementen <math>x,y \in X</math> aus einem Grundraum <math>X</math> den Abstand <math>d(x,y)</math> zwischen <math>x</math> und <math>y</math> zu. [[Datei:Audio6 metrik abstand.ogg|mini]] == Definition: Metrik == Sei <math>X\not= \emptyset</math> eine beliebige Menge. Eine [[w:de:Funktion_(Mathematik)|Abbildung]] <math>d\colon X\times X\to \mathbb{R}</math> heißt Metrik auf <math>X</math>, wenn für beliebige Elemente <math>x</math>, <math>y</math> und <math>z</math> von <math>X</math> die folgenden Eigenschaften erfüllt sind: * (M1) Trennung: <math>d\left(x,y\right) = 0 \Leftrightarrow x = y</math>, * (M2) Symmetrie: <math>d\left(x,y\right) = d(y,x)</math>, * (M3) [[w:de:Dreiecksungleichung|Dreiecksungleichung]]: <math>d\left(x,y\right) \leq d(x,z) + d(z,y)</math>. [[Datei:Audio7 def abstand.ogg|mini]] == Definition: Metrischer Raum == Sei <math>d\colon X\times X\to \mathbb{R}</math> auf <math>X\not= \emptyset</math> eine Metrik, dann nennt bezeichnet mit <math>(X,d)</math> eine metrischen Raum. === Aufgabe === Zeigen Sie, dass jeder metrische Raum ein [[Hausdorff-Raum]] ist. === Veranschaulichung: Metrik Dreiecksungleichung === [[File:Metrik_triangle_inequality.svg|300px|Nach der Dreiecksungleichung ist der Abstand zwischen zwei Punkten X,Y höchstens so groß wie Summe der Abstände von X zu Z und von Z zu Y, also einem Umweg über den Punkt Z]] [[Datei:Audio8 metrik dreiecksungleichung.ogg|mini]] === Nicht-Negativität === Aus den drei Eigenschaften der Metrik folgt die Nicht-Negativität, d.h. für alle <math>x,y \in X</math> gilt. <math>d(x,y)\geq0</math>. Die Nicht-Negativität folgt aus den anderen Eigenschaften mit: :<math>0 = \frac{1}{2} d(x, x) \leq \frac{1}{2}(d(x, y) + d(y, x)) = </math> <math>= \frac{1}{2}(d(x, y) + d(x, y)) = d(x, y).</math> [[Datei:Audio9 nicht negativitaet.ogg|mini]] === Definition - Halbmetrik === Sei <math>X</math> eine beliebige Menge. Eine Abbildung <math>d\colon X\times X \to \R</math> heißt ''Pseudometrik'', ''Halbmetrik'' oder ''Spanne'', wenn für beliebige Elemente <math>x</math>, <math>y</math> und <math>z</math> von <math>X</math> die folgenden Bedingungen erfüllt sind: * (HM1) <math>d(x,x)=0</math>, * (HM2) <math>d(x,y)=d(y,x)</math> (Symmetrie) und * (HM3) <math>d(x,y)\leq d(x,z)+ d(z,y)</math> ([[w:de:Dreiecksungleichung|Dreiecksungleichung]]). == Offene Mengen in metrischen Räumen == * In einem metrische Raum <math>(X,d)</math> definiert man eine Menge <math>U \subset X</math> als offen (d.h. <math>U \in \mathcal{T}_d</math>), wenn es zu jedem <math>u\in U</math> ein <math>\epsilon >0</math> gibt, dass die <math>\epsilon</math>-Kugel <math>B_\epsilon^d(u):=\{\ x \in X | \ d(x,u)< \epsilon \}</math> ganz in <math>U</math> liegt (d.h. <math>B_\epsilon^d(u) \subset U </math>) * Zeigen Sie, dass mit diesem definierten <math>\mathcal{T}_d</math> das Paar <math>(X,\mathcal{T}_d)</math> ein topologischer Raum ist (d.h. (T1), (T2), (T3) erfüllt). [[Datei:Audio10 metrik topologischer raum.ogg|mini]] == Norm auf Vektorräumen == Eine Norm ist eine [https://de.wikipedia.org/wiki/Funktion_(Mathematik) Abbildung] <math>\|\cdot\|</math> von einem [https://de.wikipedia.org/wiki/Vektorraum Vektorraum] <math>V</math> über dem [https://de.wikipedia.org/wiki/Körper_(Algebra) Körper] <math>\mathbb K</math> der [https://de.wikipedia.org/wiki/Reelle_Zahl reellen] oder der [https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe_Zahl komplexen Zahlen] in die Menge der nichtnegativen [https://de.wikipedia.org/wiki/Reelle_Zahl reellen Zahlen] <math>{\mathbb R}_0^{+}</math>. Dabei ordnet die Norm jedem Vektor <math>x \in V</math> seine Länge <math>\| x \|</math> zu. == Definition: Norm == Sei <math>V</math> ein <math>\mathbb{K}</math>-Vektorraum und <math>\|\cdot\|\colon V\to{\mathbb R}_0^{+}, \; x \mapsto \| x \|,</math> eine Abbildung Erfüllt <math>\|\cdot\|</math> die folgenden Eigenschaften N1,N2, N3, so heißt <math>\|\cdot\|</math> Norm auf <math>V</math>. * (N1) [https://de.wikipedia.org/wiki/Definitheit Definitheit]: <math>\|x\| = 0 \;\Rightarrow\; x = \mathbb{0}_V</math> für alle <math>x \in V</math>, * (N2) [https://de.wikipedia.org/wiki/Homogene_Funktion absolute Homogenität]: <math>\|\lambda\cdot x\| = |\lambda|\cdot\|x\|</math> für alle <math>x\in V</math> und <math>\lambda\in \mathbb K</math> * (N3) [https://de.wikipedia.org/wiki/Dreiecksungleichung Dreiecksungleichung]: <math>\|x + y\| \leq \|x\| + \|y\|</math> für alle <math>x, y\in V</math>. [[Datei:Audio11 def norm.ogg|mini]] == Definition Halbnorm == Gelten für ein Funktional nur die Bedingungen (N2) und (N3) dann nennt man dieses Funktional Halbnorm. == Bemerkung: N1 == Das Eigenschaft (N1) ist eigentlich eine Äquivalenz und es gilt in jedem normierten Raum (<math>\mathbf{0}_V \in V</math> ist der Nullvektor in <math>V</math> und <math>0 \in \mathbb{K}</math> ist die Null im Körper <math>\mathbb{K}</math>, wenn <math>V</math> ein <math>\mathbb{K}</math>-Vektorraum ist). * (N1)' [https://de.wikipedia.org/wiki/Definitheit Definitheit]: <math>\|x\| = 0 \;\Leftrightarrow\; x = \mathbf{0}_V</math> für alle <math>x \in V</math>, * Da man für Definitionen ein Minimalitätsprinzip für die definierenden Eigenschaft verwendet, würde man keine stärkere Formulierung (N1)' in der Definition für (N1) verwenden, da die Äquivalenz aus den definierenden Eigenschaften der Norm den Eigenschaften des Vektorraumes bereits für jeden normierten Raum folgen. :<math>x\equiv \mathbf{0}_V \Rightarrow \|x\| = \|0\cdot \mathbf{0}_V\| = |0| \cdot \|\mathbf{0}_V\| = 0 </math> == Normierter Raum / Metrischer Raum == Ein normierter Raum <math>(V,\|\cdot\| )</math> ist zugleich auch ein metrischer Raum. * Ein Norm <math>\|\cdot\| </math> ordnet einem Vektor <math>v\in V </math> seine Vektorlänge <math>\|v\| </math> zu. * Mit der Norm <math>\|\cdot\| </math> kann man über <math>d(x,y):=\| x-y \| </math> eine Metrik definieren, die den Abstand zwischen <math>x</math> und <math>y</math> angibt. [[Datei:Audio12 norm metrik zusammenhang.ogg|mini]] === Aufgabe: Metrik aus gegebener Norm generieren === Sei <math>(V,\|\cdot\| )</math> ein normierter Raum mit der Norm <math>\|\cdot\| : V \to \mathbb{R}_o^+</math>. Zeigen Sie, dass die definierte Abbildung <math>d:V\times V \rightarrow \mathbb{R}</math> mit <math>d(x,y):=\| x-y \| </math> die Eigenschaften einer Metrik erfüllt. == Notation: Norm == * In der Eigenschaft (N2) <math> \| \lambda \cdot x \| = | \lambda | \cdot \|x\| </math> bezeichnet <math>| \cdot |</math> den [https://de.wikipedia.org/wiki/Betragsfunktion Betrag] des [https://de.wikipedia.org/wiki/Skalar Skalars]. '''"<math>\cdot</math>"'''-Zeichen: Äußere Verknüpfung im Vektorraum bzw. Multiplikation <math>(\mathbb{R},\cdot)</math>. * <math>\|x\|</math> gibt die Länge des Vektors <math>x\in V</math> an. * In (N3) <math>\|x + y\| \leq \|x\| + \|y\|</math> für alle <math>x, y\in V</math>. '''"<math>+</math>"'''-Zeichen bezeichnet zwei unterschiedliche Verknüpfungen (d.h. Addition in <math>(V,+)</math> bzw. <math>(\mathbb{R},+)</math> [[Datei:Audio13 notatin norm.ogg|mini]] == Veranschaulichung: Norm Dreiecksungleichung == [[File:Vector-triangle-inequality.svg|300px|Nach der Dreiecksungleichung ist die Länge der Summe zweier Vektoren höchstens so groß wie die Summe der Längen der einzelnen Vektoren]] [[Datei:Audio14 norm dreiecksungleichung.ogg|mini]] == Def: Konvergenz im normierten Raum == Sei <math>(V,\|\cdot\|)</math> ein normierter Raum und <math>(v_n)_{n\in\mathbb{N}} \in V^{\mathbb{N}}</math> eine Folge in <math>V</math> und <math>v_o \in V</math>: :<math> \lim_{n \to \infty}^{\|\cdot\|} v_n = v_o \ :\Longleftrightarrow \ \forall_{\epsilon > 0} \exists_{n_\epsilon \in \mathbb{N}} \forall_{n \geq n_\epsilon} \ : \ \|v_n - v_o\| < \epsilon </math> [[Datei:Audio15 def konvergenz norm.ogg|mini|audio15_def_konvergenz_norm.ogg]] == Def: Konvergenz im metrischen Raum == Sei <math>(X,d)</math> ein metrischer Raum und <math>(x_n)_{n\in\mathbb{N}} \in X^{\mathbb{N}}</math> eine Folge in <math>X</math> und <math>x_o \in X</math>: :<math> \lim_{n \to \infty}^d x_n = x_o \ :\Longleftrightarrow \ \forall_{\epsilon > 0} \exists_{n_\epsilon \in \mathbb{N}} \forall_{n \geq n_\epsilon} \ : \ d(x_n,x_o) < \epsilon </math> [[Datei:Audio16 def konvergenz metrik.ogg|mini]] == Def: Cauchy-Folgen in metrischen Räumen == Sei <math>(X,d)</math> ein metrischer Raum und <math>(x_n)_{n\in\mathbb{N}} \in X^{\mathbb{N}}</math> eine Folge in <math>X</math>. <math>(x_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> heißt Cauchy-Folge in <math>X^{\mathbb{N}}</math>: :<math> \ \forall_{\epsilon > 0} \exists_{n_\epsilon \in \mathbb{N}} \forall_{m,n \geq n_\epsilon} \ : \ d(x_n,x_m) < \epsilon </math> == Äquivalenz: Normen == Seien zwei Normen <math>\|\cdot\|_1 </math> und <math>\|\cdot\|_2</math> auf dem <math>\mathbb K</math>-Vektorraum <math>V</math> gegeben. Die beiden Normen sind äquivalent, wenn gilt: :<math>\exists_{C_1,C_2 >0} \forall_{x \in V} \ : \ C_1 \|x\|_1 \leq \|x\|_2 \leq C_2 \|x\|_1</math> Zeigen Sie, dass eine Folge genau dann in <math>\|\cdot\|_1 </math> konvergiert, wenn es auch bzgl. <math>\|\cdot\|_2</math> konvergiert. [[Datei:Audio17 aequivalenz normen.ogg|mini|audio17_aequivalenz_normen.ogg]] == Äquivalenz von topologieerzeugende Funktionalen == Die Äquivalenz von Normen ist ein Spezialfall von topologieerzeugende Funktionalen, sogenannten [[Äquivalenz von Gaugefunktionalsystemen]]. == Betrag in komplexen Zahlen == Sei <math>z=z_1 + i\cdot z_2\in \mathbb{C}</math> eine komplexe Zahl mit <math>z_1, z_2\in \mathbb{R}</math>. Zeigen Sie, dass <math>|z|:=\sqrt{z\cdot \overline{z}} </math> eine Norm auf dem <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraum <math>\mathbb{C}</math> ist! [[Datei:Audio18 norm komplexe zahlen.ogg|mini|audio18_norm_komplexe_zahlen.ogg]] == Historische Anmerkung: Norm == Diese axiomatische Definition der Norm wurde von [https://de.wikipedia.org/wiki/Stefan_Banach Stefan Banach] 1922 in seiner Dissertation aufgestellt. Das heute übliche Normsymbol wurde erstmals von [https://de.wikipedia.org/wiki/Erhard_Schmidt Erhard Schmidt] 1908 als Abstand <math>\|x-y\|</math> zwischen Vektoren <math>x</math> und <math>y</math> verwendet. [[Datei:Audio19 norm historische anmerkung.ogg|mini]] == Aufgaben == In den folgenden Aufgaben geht es darum, definierende Eigenschaften einer Norm, einer Metrik oder allgemein eines topologischen Raumes nachzuweisen. === Aufgabe: Metrische Räume === Zeigen Sie, dass die folgende Abbildung <math>d</math> auf <math>V:=\mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> mit <math>a,b\in \mathbb{R}</math> als Menge der stetigen Abbildungen von dem Intervall <math>[a,b]</math> nach <math>\mathbb{R}</math> eine Metrik ist. :<math> d: V \times V \to \mathbb{R}</math> mit <math>(f,g) \mapsto d(f,g):= \int_a^b |f(x) - g(x)| \, dx \ .</math> Weisen Sie also die 3 Eigenschaften einer Metrik <math>d</math> nach. Berechnen Sie dann den Abstand zwischen den beiden Funktionen <math>f(x):=x^2</math> und <math>g(x):=x^3-2x+2</math> mit <math>a=-1</math> und mit <math>b=3</math>! === Optionale Aufgabe: Normierte Räume === Zeigen Sie, dass der metrische Raum <math>(V,\|\cdot \|):= (\mathcal{C}([a,b],\mathbb{R}),\|\cdot \|)</math> mit :<math>\|f\|:= \int_a^b |f(x)| \, dx \ </math> nicht vollständig ist. Betrachten Sie dazu z.B. stetige Funktionen, die stückweise aus linearen und konstanten Funktionen definiert sind. ==== Funktionenfolge definieren ==== Sei <math>[a,b]:=[-2,+2]</math> und definieren Sie eine Funktionenfolge <math> \left(f_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}</math> mit expliziten Funktionen <math>f_n: [a,b] \to \mathbb{R}</math> mit Funktionsterm. * <math>f_n(x) = 0</math> für alle <math>x\notin \textstyle \left[-\frac{1}{n},+\frac{1}{n}\right]</math> für alle <math>n \in\mathbb{N}</math>. * <math>f_n(x) = 0</math> für alle <math>n \in\mathbb{N}</math>. * der Graph von <math>f_n</math> interpoliert die Punkte <math>\textstyle \left(-\frac{1}{n}, 0 \right)</math> <math>\left( 0 ,1 \right)</math> bzw. <math>\left( 0 ,1 \right)</math> und <math>\textstyle \left(\frac{1}{n}, 0 \right)</math>. Zeigen Sie, dass <math> \left(f_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}</math> eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] in dem oben definierte Funktionenraum <math>(\mathcal{C}([a,b],\mathbb{R}),\|\cdot \|)</math> ist und die Folge keinen Grenzwert in <math>\mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> besitzt. === Aufgabe: Topologische Räume === Betrachten Sie als Grundmenge des toplogischen Raumes das Intervall <math>X:=[0,3]</math> und die Mengen <math>\mathfrak{E}_k</math>, die die Topologie <math>\mathcal{T}_k</math> enthalten soll. Erweitern Sie die Erzeugermenge minimal <math>\mathfrak{E}_k</math> mit weiteren Menge, damit<math>\mathcal{T}_k</math> mit <math>\mathfrak{E}_k\subseteq \mathcal{T}_k</math> zu einem topologischen Raum wird. * <math>\mathfrak{E}_1:= \left\{ (0,1),(1,2),(2,3) \right\}</math> besteht aus 3 offenen Intervallen * <math>\mathfrak{E}_2:= \left\{ (0,2),(1,3) \right\}</math> besteht aus 2 offenen Intervallen * <math>\mathfrak{E}_2:= [0,3] </math>, wobei der Erzeuger der Topologie alle Einpunktmengen aus <math>X=[0,3]</math> enthalten soll. == Quiz == * [[/Quiz zur Topologie/]] == Siehe auch == * [[Topologie auf Texten]] * [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Gaugefunktionale|Gaugefunktionale in topologischen Vektorräumen]] * [[Äquivalenz von Gaugefunktionalsystemen]] * [[Netze (Mathematik)]] * [[Hausdorff-Raum]] * [[Grenzen des Folgenbegriffs]] * [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Korrespondenz-Lemma_für_p-Halbnormen|Korrespondenz-Lemma für p-Halbnormen]] * [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra|Polynomalgebren]] * [[Kurs:Räumliche Modellbildung|Epidemiologische Distanzen]] * [[Norm (Mathematik)]] * [[Normenäquivalenzsatz]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologische Algebra|Topologische Algebra]] * [[COVID-19/Mathematische Modellbildung]] - für epidemiologische Distanzen im Unterschied zu euklidischen Distanzen in einem Vektorraum. * [[Umgebung (Mathematik)]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] * [[Konvexkombination]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folgen]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] == Seiteninformation == Diese Lernresource wurde als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Normen,%20Metriken,%20Topologie&author=Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' erstellt. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Normen,%20Metriken,%20Topologie&author=Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[[Kurs:Funktionalanalysis]]''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Normen,%20Metriken,%20Topologie https://de.wikiversity.org/wiki/Normen,%20Metriken,%20Topologie] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Normen,%20Metriken,%20Topologie Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Normen,%20Metriken,%20Topologie * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Normen,%20Metriken,%20Topologie&author=Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] === Nächste Inhalte === * Inhalte der Seite basieren auf: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Topologie_(Mathematik) https://de.wikipedia.org/wiki/Topologie_(Mathematik)] ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Metrischer_Raum https://de.wikipedia.org/wiki/Metrischer_Raum] ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Normierter_Raum https://de.wikipedia.org/wiki/Normierter_Raum] * Diese Seite ist ein [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] Dokumententyp * Quelle: Wikiversity DE https://de.wikiversity.org/wiki/Normen,_Metriken,_Topologie * siehe [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] zur Funktionsweise von [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal]. * Nächste Inhalte des Kurses sind [[Netze (Mathematik)|Netze]] [[Category:Wiki2Reveal]] [[Category:Wiki2Reveal/Audio]] [[Category:Norm (Mathematik)]] [[Kategorie:Topologischer Raum]] <noinclude>[[en:Norms, metrics, topology]]</noinclude> dkzoqdcndc37nupzpmxez3rq0dv4faq 106 99562 1115618 1114057 2026-10-09T10:50:55Z ~2026-47548-34 41860 /* Aufgabe */ 1115618 wikitext text/x-wiki Das komplexe Kurvenintegral ist die Funktionentheoretische Verallgemeinerung des Integrals aus der reellen Analysis. Als Integrationsgebiet tritt eine [[Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare Kurve|rektifizierbare]] [[Kurs:Funktionentheorie/Kurve|Kurve]] an die Stelle des Intervalls. Integriert wird über komplexwertige anstelle reellwertiger Funktionen. ==Definition - Integrierbarkeit== Sei <math>\gamma\colon[a,b] \to \mathbb C</math> eine [[Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare Kurve|rektifizierbare Kurve]], <math>f \colon \mathrm{Spur}(\gamma) \to \mathbb C</math> eine Abbildung. <math>f</math> heißt über <math>\gamma</math> ''integrierbar'', wenn es eine Zahl <math>I \in \mathbb C</math> gibt, so dass zu jedem <math>\epsilon> 0</math> ein <math>\delta > 0</math> existiert, so dass für jede Zerlegung <math>a =t_0 < \ldots < t_n = b</math> des Intervalls <math>[a,b]</math> mit <math>t_i - t_{i-1} < \delta</math> für alle <math>1 \le i \le n</math> <center><math> \left| I - \sum_{i=1}^n f(\gamma(t_i)) \cdot \big(\gamma(t_i) - \gamma(t_{i-1})\big) \right| < \epsilon </math></center> gilt. Die Zahl <math>I</math> heißt ''Integral'' von <math>f</math> über <math>\gamma</math> und wird mit <math>\int_\gamma f(z) \, dz := I</math> bezeichnet. === Bemerkung - Integrierbarkeit === * <math>f(\gamma(t_i)) \cdot \big(\gamma(t_i) - \gamma(t_{i-1})\big) </math> entspricht in der reellen Analysis dem orientierten Flächeninhalt von Rechtecken, die beim Riemannintegral das Integral approximieren. * <math> \sum_{i=1}^n f(\gamma(t_i)) \cdot \big(\gamma(t_i) - \gamma(t_{i-1})\big) </math> berechnet in den komplexen Zahlen die Riemannsumme aller Einzelterme eine Zerlegung des Intervalls <math>[a,b]</math> mit <math> a= t_0 < \ldots < t_n = b </math> * <math> \left| I - \sum_{i=1}^n f(\gamma(t_i)) \cdot \big(\gamma(t_i) - \gamma(t_{i-1})\big) \right| < \epsilon </math> bedeutet, dass man das Integral <math>I</math> beliebig genau mit den Riemannsummen approximieren kann. ===Integration über Ketten=== Ist <math>\Gamma = \sum_{i=1}^n n_i\cdot \gamma_i</math> eine [[Kurs:Funktionentheorie/Kette|Kette]] in <math>\mathbb C</math>, so heißt eine Funktion <math>f\colon \mathrm{Spur}(\Gamma) \to \mathbb C</math> über <math>\Gamma</math> integrierbar, wenn sie über jedes <math>\gamma_i</math> integrierbar ist und wir setzen <center><math> \int_\Gamma f(z)\, dz := \sum_{i=1}^n n_i \cdot \int_{\gamma_i} f(z)\, dz </math></center> ===Zusammenhang zur rellen Integration=== Ist <math>\gamma</math> sogar stückweise differenzierbar, so kann das Kurvenintegral mithilfe des Mittelwertsatzes auf eine Integral über den Parameterbereich zurückgeführt werden, wir haben in diesem Fall <center><math> \int_\gamma f(z)\, dz = \int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t)\, dt </math></center> wobei eine komplexwertige Funktion über ein reelles Interval integriert wird, in dem Real- und Imaginärteil getrennt voneinander berechnet werden. ==Beispiel 1 == Wir betrachten die Kurve <math>\gamma\colon [0,1]\to \mathbb C</math>, <math>\gamma(t) := \exp(2\pi i t)</math>, und die Funktion <math>f(z) = \frac 1z</math>. Da die Kurve differenzierbar ist, erhalten wir :<math display="inline"> \begin{array}{rl} \displaystyle\int_\gamma f(z)\,dz &= \displaystyle\int_\gamma \frac 1z \,dz\\ &= \displaystyle \int_0^1 \frac 1{\exp(2\pi i t)}\cdot 2\pi i \cdot \exp(2\pi i t)\, dt\\ &= \displaystyle\int_0^1 2\pi i \, dt\\ &= 2\pi i \end{array}</math> ==Beispiel 2 == Wir modifizieren unser erstes Beispiel etwas und betrachten die Kurve <math>\gamma\colon [0,1]\to \mathbb C</math>, <math>\gamma(t) := \exp(2\pi i t)</math>, und die Funktion <math>f(z) = z^n</math> für <math>n\ne -1</math>. Da die Kurve differenzierbar ist, erhalten wir :<math display="inline"> \begin{array}{rl} \displaystyle\int_\gamma f(z)\,dz &= \displaystyle\int_\gamma z^n \,dz\\ &= \displaystyle \int_0^1 \exp(2\pi i t)^n\cdot 2\pi i \cdot \exp(2\pi i t)\, dt\\ &= \displaystyle\int_0^1 2\pi i \exp(2\pi i (n+1)t)\, dt\\ &= \displaystyle\frac 1{n+1}\exp(2\pi i(n+1) t)\bigg|_0^1\\ &= 0 \end{array}</math> === Darstellung des Integrals === Beide Beispiele zusammen ergeben also <center><math>\int_\gamma z^n \, dz = 2\pi i \cdot \delta_{n,-1} </math></center> Dabei gilt: :<math display="block"> \begin{array}{rrcl} \delta_{n,-1}: & \mathbb{N} & \rightarrow & \{0 ,1 \} \\ & n & \mapsto & \delta_{n,-1}(n) = \begin{cases} 1 & , & n = -1\\ 0 & , & n \not = -1 \\ \end{cases} \end{array} </math> Diese Tatsache spielt eine wichtige Rolle bei der Definition des [[Residuum|Residuums]] und dem Beweis zum [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz]]. == Aufgabe == Erzeugen Sie einen Weg <math>\gamma: [0,1] \to \mathbb{C} </math> als [[Konvexkombination]] zweiter Ordnung zwischen den Punkt <math>v=2+3i</math> und <math>w=5-i</math>. Der Hilfspunkt ist <math> s = 6i </math>. * Geben Sie den Weg <math>\gamma(t)=....</math> und berechnen Sie <math>\gamma{\,}'(t)= ....</math>. * Berechnen Sie das Wegintegral <math> \int_\gamma f(z)\,dz</math> mit <math>f(z)=z^3 </math>. ==Eigenschaften== ===Unabhängigkeit von der Parametrisierung=== Es sei <math>\gamma\colon [a,b]\to \mathbb C</math> ein stückweiser <math>C^1</math>-Weg, <math>\phi \colon [\alpha,\beta]\to [a,b] </math> ein orientierungserhaltender <math>C^1</math>-[[w:de:Diffeomorphismus|Diffeomorphismus]]. Dann ist <math>\gamma \circ \phi \colon [\alpha, \beta] \to \mathbb C</math> ein stückweiser <math>C^1</math>-Weg und es gilt <center><math> \int_\gamma f(z) \, dz = \int_{\gamma \circ \phi} f(z) \, dz </math></center> d. h. der Wert des Integrals ist von der konkret gewählten Parametrisierung des Weges unabhängig. ====Beweis==== Es ist <center><math> \begin{array}{rl} \displaystyle\int_{\gamma \circ \phi} f(z) \, dz &= \displaystyle\int_\alpha^\beta f(\gamma(\phi(s)))(\gamma \circ \phi)'(s)\, ds\\ &= \displaystyle\int_\alpha^\beta f(\gamma(\phi(s)))\gamma'(\phi(s)) \phi'(s)\, ds\\ &= \displaystyle\int_{\phi(\alpha)}^{\phi(\beta)} f(\gamma(t))\gamma'(t)\, dt \quad{\rm Substitution}\ t = \phi(s)\\ &= \displaystyle\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t)\,dt\\ &= \int_\gamma f(z)\, dz \end{array} </math></center> ===Linearität=== Da das Integral über in <math>f</math> lineare Summen definiert ist, ist es selbst linear im Integranden, d. h. es gilt <center><math>\int_\gamma (\alpha f + \beta g)(z) \, dz = \alpha \int_\gamma f(z) \, dz + \beta \int_\gamma g(z)\, dz </math></center> für [[Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare Kurve|rektifizierbares]] <math>\gamma</math>, <math>\alpha, \beta \in \mathbb C</math> und integrierbare <math>f,g \colon \mathrm{spur}(\gamma) \to \mathbb C</math>. ===Orientierungsumkehrung=== Es sei <math>\gamma \colon [a,b]\to \mathbb C</math> ein rektifizierbarer Weg, der ''umgekehrt durchlaufene Weg'' <math>\gamma^- \colon [a,b]\to \mathbb C</math> sei definiert durch <math>\gamma^-(s) = \gamma(a+b-s)</math>. Dann ist für integrierbare <math>f\colon \mathrm{spur}(\gamma)\to \mathbb C</math> <center><math> \int_{\gamma^-} f(z) \, dz = - \int_\gamma f(z) \, dz </math></center> ====Beweis==== Es ist <center><math> \begin{array}{rl} \displaystyle\int_{\gamma^-} f(z) \, dz &= \displaystyle\int_a^b f(\gamma^-(s))(\gamma^-)'(s)\, ds\\ &= \displaystyle\int_a^b f(\gamma(a+b-s))\gamma'(a+b-s)(-1) \, ds\\ &= \displaystyle\int_{b}^{a} f(\gamma(t))\gamma'(t)\, dt \quad{\rm Substitution}\ t = a+b-s\\ &= -\displaystyle\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t)\,dt\\ &= -\displaystyle\int_\gamma f(z)\, dz \end{array} </math></center> ==Approximation durch Streckenzüge== Die hier vorgestellte Version des Integrationsweges wirkt sehr allgemein, allerdings sind die meisten in der Praxis auftretenden Integrationswege stückweise stetig differenzierbar. Da sich mit stückweise stetig differenzierbaren Wegen einfacher arbeiten lässt, wollen wir im folgenden noch zeigen, wie sich ein beliebiger Integrationsweg für stetige Integranden durch [[w:de:Polygonzug (Mathematik)|Polygonzüge]] approximieren lässt. Dies kann man benutzen, um Aussagen über allgemeine rektifizierbare Wege auf Streckenzüge zurückzuführen. ===Approximationssatz für Wegintegral durch Polygonzüge=== Es sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> ein Gebiet, <math>\gamma \colon[a,b]\to \mathbb C</math> ein rektifizierbarer Weg, <math>f \colon G \to \mathbb C</math> stetig und <math>\epsilon > 0</math>. Dann gibt es einen Streckenzug <math>\hat\gamma \colon[a,b]\to \mathbb C</math> mit <math>\gamma(a) = \hat\gamma(a)</math>, <math>\gamma(b) = \hat\gamma(b)</math> und <math>\left|\int_{\hat\gamma} f(z)\, dz -\int_\gamma f(z)\, dz\right| < \epsilon</math>. ===Beweis=== Sei zunächst <math>G = B_R(z_0)</math> eine Kreisscheibe wählen <math>R</math> groß genug, damit die Spur von <math>\gamma</math> enthalten. Da <math>\mathrm{Spur}(\gamma)</math> kompakt ist, gibt es ein <math>r > 0</math> mit <math>\mathrm{spur}(\gamma) \subseteq \bar B_r(z_0) \subseteq G</math>. Auf <math>\bar B_r(z_0)</math> ist <math>f</math> gleichmäßig stetig, also können wir ein <math>\delta> 0</math> wählen, so dass <math>|f(z) - f(w)| < \epsilon</math> für <math>z,w \in B_r(z_0)</math> mit <math>|z-w|< \delta</math> gilt. ==== Unterteilung - Definitionsbereich des Weges ==== Wähle nun nach Definition des Integrals eine Unterteilung <math>a = t_0 < \ldots < t_n = b</math> von <math>[a,b]</math>, so dass <math>|\gamma(s) - \gamma(t)| < \delta</math> für <math>s,t \in [t_{i-1}, t_i]</math> und <center><math> \left| \int_\gamma f(z)\, dz - \sum_{i=1}^n f\big(\gamma(t_i)\big)\big(\gamma(t_i) - \gamma(t_{i-1})\big)\right| < \epsilon </math></center> gilt. ==== Definition des Streckenzuges ==== Definere <math>\hat\gamma</math> durch <center><math> \hat\gamma(t) := \frac 1{t_i -t_{i-1}} \big(\gamma(t_{i-1})(t_i - t) + \gamma(t_i)(t-t_{i-1})\big), \qquad t \in [t_{i-1}, t_i] </math></center> Also ist <math>\hat\gamma</math> der Streckenzug, der die Punkte <math>\gamma(t_i)</math> durch Strecken verbindet. Insbesondere verläuft <math>\hat\gamma</math> in <math>B_r(z_0)</math>. Nach Konstruktion ist weiterhin <math>|\hat\gamma(t) - \gamma(t_i)| < \delta</math> für <math>t \in [t_{i-1}, t_i]</math>. ==== Abschätzung der Integraldifferenz ==== Es folgt <center><math> \begin{array}{rl} \displaystyle \left|\int_\gamma f(z)\, dz - \int_{\hat\gamma} f(z)\, dz\right| &= \displaystyle \left|\int_\gamma f(z)\, dz - \int_a^b f(\hat\gamma(t))\hat\gamma'(t)\, dt\right|\\ &\le \displaystyle \epsilon + \left|\sum_{i=1}^n f\big(\gamma(t_i)\big)\big(\gamma(t_i) - \gamma(t_{i-1})\big)- \sum_{i=1}^n \frac{\gamma(t_i)-\gamma(t_{i-1})}{t_i - t_{i-1}} \int_{t_{i-1}}^{t_i} f(\hat\gamma(t))\, dt\right|\\ &\le \displaystyle\epsilon + \sum_{i=1}^n |\gamma(t_i) - \gamma(t_{i-1})| \frac 1{t_{i} - t_{i-1}} \int_{t_{i-1}}^{t_i} |f(\hat\gamma(t)) - f(\gamma(t_i))|\\ &\le \displaystyle \epsilon + \sum_{i=1}^n |\gamma(t_i) - \gamma(t_{i-1})| \frac 1{t_{i} - t_{i-1}} \int_{t_{i-1}}^{t_i} \epsilon\\ &= \epsilon + \epsilon L(\gamma) \end{array} </math></center> Damit folgt die Behauptung. Ist <math>G</math> keine Kreisscheibe, überdecken wir - wegen der Kompaktheit von <math>\mathrm{spur}(\gamma)</math> ist das möglich - <math>\mathrm{spur}(\gamma)</math> mit endlich vielen Kreisscheiben, die in <math>G</math> liegen, und wenden auf jeden Teilweg die obige Konstruktion an. Damit folgt die Behauptung auch im allgemeinen Fall. == Siehe auch == * [[w:de:Polygonzug (Mathematik)|Polygonzug]] * [[Konvexkombination]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis/Curve Integral]]</noinclude> bz4jg4m7zv7ycubbsklszssuwg654r2 1115619 1115618 2026-10-09T10:51:27Z ~2026-47548-34 41860 /* Aufgabe */ 1115619 wikitext text/x-wiki Das komplexe Kurvenintegral ist die Funktionentheoretische Verallgemeinerung des Integrals aus der reellen Analysis. Als Integrationsgebiet tritt eine [[Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare Kurve|rektifizierbare]] [[Kurs:Funktionentheorie/Kurve|Kurve]] an die Stelle des Intervalls. Integriert wird über komplexwertige anstelle reellwertiger Funktionen. ==Definition - Integrierbarkeit== Sei <math>\gamma\colon[a,b] \to \mathbb C</math> eine [[Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare Kurve|rektifizierbare Kurve]], <math>f \colon \mathrm{Spur}(\gamma) \to \mathbb C</math> eine Abbildung. <math>f</math> heißt über <math>\gamma</math> ''integrierbar'', wenn es eine Zahl <math>I \in \mathbb C</math> gibt, so dass zu jedem <math>\epsilon> 0</math> ein <math>\delta > 0</math> existiert, so dass für jede Zerlegung <math>a =t_0 < \ldots < t_n = b</math> des Intervalls <math>[a,b]</math> mit <math>t_i - t_{i-1} < \delta</math> für alle <math>1 \le i \le n</math> <center><math> \left| I - \sum_{i=1}^n f(\gamma(t_i)) \cdot \big(\gamma(t_i) - \gamma(t_{i-1})\big) \right| < \epsilon </math></center> gilt. Die Zahl <math>I</math> heißt ''Integral'' von <math>f</math> über <math>\gamma</math> und wird mit <math>\int_\gamma f(z) \, dz := I</math> bezeichnet. === Bemerkung - Integrierbarkeit === * <math>f(\gamma(t_i)) \cdot \big(\gamma(t_i) - \gamma(t_{i-1})\big) </math> entspricht in der reellen Analysis dem orientierten Flächeninhalt von Rechtecken, die beim Riemannintegral das Integral approximieren. * <math> \sum_{i=1}^n f(\gamma(t_i)) \cdot \big(\gamma(t_i) - \gamma(t_{i-1})\big) </math> berechnet in den komplexen Zahlen die Riemannsumme aller Einzelterme eine Zerlegung des Intervalls <math>[a,b]</math> mit <math> a= t_0 < \ldots < t_n = b </math> * <math> \left| I - \sum_{i=1}^n f(\gamma(t_i)) \cdot \big(\gamma(t_i) - \gamma(t_{i-1})\big) \right| < \epsilon </math> bedeutet, dass man das Integral <math>I</math> beliebig genau mit den Riemannsummen approximieren kann. ===Integration über Ketten=== Ist <math>\Gamma = \sum_{i=1}^n n_i\cdot \gamma_i</math> eine [[Kurs:Funktionentheorie/Kette|Kette]] in <math>\mathbb C</math>, so heißt eine Funktion <math>f\colon \mathrm{Spur}(\Gamma) \to \mathbb C</math> über <math>\Gamma</math> integrierbar, wenn sie über jedes <math>\gamma_i</math> integrierbar ist und wir setzen <center><math> \int_\Gamma f(z)\, dz := \sum_{i=1}^n n_i \cdot \int_{\gamma_i} f(z)\, dz </math></center> ===Zusammenhang zur rellen Integration=== Ist <math>\gamma</math> sogar stückweise differenzierbar, so kann das Kurvenintegral mithilfe des Mittelwertsatzes auf eine Integral über den Parameterbereich zurückgeführt werden, wir haben in diesem Fall <center><math> \int_\gamma f(z)\, dz = \int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t)\, dt </math></center> wobei eine komplexwertige Funktion über ein reelles Interval integriert wird, in dem Real- und Imaginärteil getrennt voneinander berechnet werden. ==Beispiel 1 == Wir betrachten die Kurve <math>\gamma\colon [0,1]\to \mathbb C</math>, <math>\gamma(t) := \exp(2\pi i t)</math>, und die Funktion <math>f(z) = \frac 1z</math>. Da die Kurve differenzierbar ist, erhalten wir :<math display="inline"> \begin{array}{rl} \displaystyle\int_\gamma f(z)\,dz &= \displaystyle\int_\gamma \frac 1z \,dz\\ &= \displaystyle \int_0^1 \frac 1{\exp(2\pi i t)}\cdot 2\pi i \cdot \exp(2\pi i t)\, dt\\ &= \displaystyle\int_0^1 2\pi i \, dt\\ &= 2\pi i \end{array}</math> ==Beispiel 2 == Wir modifizieren unser erstes Beispiel etwas und betrachten die Kurve <math>\gamma\colon [0,1]\to \mathbb C</math>, <math>\gamma(t) := \exp(2\pi i t)</math>, und die Funktion <math>f(z) = z^n</math> für <math>n\ne -1</math>. Da die Kurve differenzierbar ist, erhalten wir :<math display="inline"> \begin{array}{rl} \displaystyle\int_\gamma f(z)\,dz &= \displaystyle\int_\gamma z^n \,dz\\ &= \displaystyle \int_0^1 \exp(2\pi i t)^n\cdot 2\pi i \cdot \exp(2\pi i t)\, dt\\ &= \displaystyle\int_0^1 2\pi i \exp(2\pi i (n+1)t)\, dt\\ &= \displaystyle\frac 1{n+1}\exp(2\pi i(n+1) t)\bigg|_0^1\\ &= 0 \end{array}</math> === Darstellung des Integrals === Beide Beispiele zusammen ergeben also <center><math>\int_\gamma z^n \, dz = 2\pi i \cdot \delta_{n,-1} </math></center> Dabei gilt: :<math display="block"> \begin{array}{rrcl} \delta_{n,-1}: & \mathbb{N} & \rightarrow & \{0 ,1 \} \\ & n & \mapsto & \delta_{n,-1}(n) = \begin{cases} 1 & , & n = -1\\ 0 & , & n \not = -1 \\ \end{cases} \end{array} </math> Diese Tatsache spielt eine wichtige Rolle bei der Definition des [[Residuum|Residuums]] und dem Beweis zum [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz]]. == Aufgabe == Erzeugen Sie einen Weg <math>\gamma: [0,1] \to \mathbb{C} </math> als [[Konvexkombination]] zweiter Ordnung zwischen den Punkten <math>v=2+3i</math> und <math>w=5-i</math>. Der Hilfspunkt ist <math> s = 6i </math>. * Geben Sie den Weg <math>\gamma(t)=....</math> und berechnen Sie <math>\gamma{\,}'(t)= ....</math>. * Berechnen Sie das Wegintegral <math> \int_\gamma f(z)\,dz</math> mit <math>f(z)=z^3 </math>. ==Eigenschaften== ===Unabhängigkeit von der Parametrisierung=== Es sei <math>\gamma\colon [a,b]\to \mathbb C</math> ein stückweiser <math>C^1</math>-Weg, <math>\phi \colon [\alpha,\beta]\to [a,b] </math> ein orientierungserhaltender <math>C^1</math>-[[w:de:Diffeomorphismus|Diffeomorphismus]]. Dann ist <math>\gamma \circ \phi \colon [\alpha, \beta] \to \mathbb C</math> ein stückweiser <math>C^1</math>-Weg und es gilt <center><math> \int_\gamma f(z) \, dz = \int_{\gamma \circ \phi} f(z) \, dz </math></center> d. h. der Wert des Integrals ist von der konkret gewählten Parametrisierung des Weges unabhängig. ====Beweis==== Es ist <center><math> \begin{array}{rl} \displaystyle\int_{\gamma \circ \phi} f(z) \, dz &= \displaystyle\int_\alpha^\beta f(\gamma(\phi(s)))(\gamma \circ \phi)'(s)\, ds\\ &= \displaystyle\int_\alpha^\beta f(\gamma(\phi(s)))\gamma'(\phi(s)) \phi'(s)\, ds\\ &= \displaystyle\int_{\phi(\alpha)}^{\phi(\beta)} f(\gamma(t))\gamma'(t)\, dt \quad{\rm Substitution}\ t = \phi(s)\\ &= \displaystyle\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t)\,dt\\ &= \int_\gamma f(z)\, dz \end{array} </math></center> ===Linearität=== Da das Integral über in <math>f</math> lineare Summen definiert ist, ist es selbst linear im Integranden, d. h. es gilt <center><math>\int_\gamma (\alpha f + \beta g)(z) \, dz = \alpha \int_\gamma f(z) \, dz + \beta \int_\gamma g(z)\, dz </math></center> für [[Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare Kurve|rektifizierbares]] <math>\gamma</math>, <math>\alpha, \beta \in \mathbb C</math> und integrierbare <math>f,g \colon \mathrm{spur}(\gamma) \to \mathbb C</math>. ===Orientierungsumkehrung=== Es sei <math>\gamma \colon [a,b]\to \mathbb C</math> ein rektifizierbarer Weg, der ''umgekehrt durchlaufene Weg'' <math>\gamma^- \colon [a,b]\to \mathbb C</math> sei definiert durch <math>\gamma^-(s) = \gamma(a+b-s)</math>. Dann ist für integrierbare <math>f\colon \mathrm{spur}(\gamma)\to \mathbb C</math> <center><math> \int_{\gamma^-} f(z) \, dz = - \int_\gamma f(z) \, dz </math></center> ====Beweis==== Es ist <center><math> \begin{array}{rl} \displaystyle\int_{\gamma^-} f(z) \, dz &= \displaystyle\int_a^b f(\gamma^-(s))(\gamma^-)'(s)\, ds\\ &= \displaystyle\int_a^b f(\gamma(a+b-s))\gamma'(a+b-s)(-1) \, ds\\ &= \displaystyle\int_{b}^{a} f(\gamma(t))\gamma'(t)\, dt \quad{\rm Substitution}\ t = a+b-s\\ &= -\displaystyle\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t)\,dt\\ &= -\displaystyle\int_\gamma f(z)\, dz \end{array} </math></center> ==Approximation durch Streckenzüge== Die hier vorgestellte Version des Integrationsweges wirkt sehr allgemein, allerdings sind die meisten in der Praxis auftretenden Integrationswege stückweise stetig differenzierbar. Da sich mit stückweise stetig differenzierbaren Wegen einfacher arbeiten lässt, wollen wir im folgenden noch zeigen, wie sich ein beliebiger Integrationsweg für stetige Integranden durch [[w:de:Polygonzug (Mathematik)|Polygonzüge]] approximieren lässt. Dies kann man benutzen, um Aussagen über allgemeine rektifizierbare Wege auf Streckenzüge zurückzuführen. ===Approximationssatz für Wegintegral durch Polygonzüge=== Es sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> ein Gebiet, <math>\gamma \colon[a,b]\to \mathbb C</math> ein rektifizierbarer Weg, <math>f \colon G \to \mathbb C</math> stetig und <math>\epsilon > 0</math>. Dann gibt es einen Streckenzug <math>\hat\gamma \colon[a,b]\to \mathbb C</math> mit <math>\gamma(a) = \hat\gamma(a)</math>, <math>\gamma(b) = \hat\gamma(b)</math> und <math>\left|\int_{\hat\gamma} f(z)\, dz -\int_\gamma f(z)\, dz\right| < \epsilon</math>. ===Beweis=== Sei zunächst <math>G = B_R(z_0)</math> eine Kreisscheibe wählen <math>R</math> groß genug, damit die Spur von <math>\gamma</math> enthalten. Da <math>\mathrm{Spur}(\gamma)</math> kompakt ist, gibt es ein <math>r > 0</math> mit <math>\mathrm{spur}(\gamma) \subseteq \bar B_r(z_0) \subseteq G</math>. Auf <math>\bar B_r(z_0)</math> ist <math>f</math> gleichmäßig stetig, also können wir ein <math>\delta> 0</math> wählen, so dass <math>|f(z) - f(w)| < \epsilon</math> für <math>z,w \in B_r(z_0)</math> mit <math>|z-w|< \delta</math> gilt. ==== Unterteilung - Definitionsbereich des Weges ==== Wähle nun nach Definition des Integrals eine Unterteilung <math>a = t_0 < \ldots < t_n = b</math> von <math>[a,b]</math>, so dass <math>|\gamma(s) - \gamma(t)| < \delta</math> für <math>s,t \in [t_{i-1}, t_i]</math> und <center><math> \left| \int_\gamma f(z)\, dz - \sum_{i=1}^n f\big(\gamma(t_i)\big)\big(\gamma(t_i) - \gamma(t_{i-1})\big)\right| < \epsilon </math></center> gilt. ==== Definition des Streckenzuges ==== Definere <math>\hat\gamma</math> durch <center><math> \hat\gamma(t) := \frac 1{t_i -t_{i-1}} \big(\gamma(t_{i-1})(t_i - t) + \gamma(t_i)(t-t_{i-1})\big), \qquad t \in [t_{i-1}, t_i] </math></center> Also ist <math>\hat\gamma</math> der Streckenzug, der die Punkte <math>\gamma(t_i)</math> durch Strecken verbindet. Insbesondere verläuft <math>\hat\gamma</math> in <math>B_r(z_0)</math>. Nach Konstruktion ist weiterhin <math>|\hat\gamma(t) - \gamma(t_i)| < \delta</math> für <math>t \in [t_{i-1}, t_i]</math>. ==== Abschätzung der Integraldifferenz ==== Es folgt <center><math> \begin{array}{rl} \displaystyle \left|\int_\gamma f(z)\, dz - \int_{\hat\gamma} f(z)\, dz\right| &= \displaystyle \left|\int_\gamma f(z)\, dz - \int_a^b f(\hat\gamma(t))\hat\gamma'(t)\, dt\right|\\ &\le \displaystyle \epsilon + \left|\sum_{i=1}^n f\big(\gamma(t_i)\big)\big(\gamma(t_i) - \gamma(t_{i-1})\big)- \sum_{i=1}^n \frac{\gamma(t_i)-\gamma(t_{i-1})}{t_i - t_{i-1}} \int_{t_{i-1}}^{t_i} f(\hat\gamma(t))\, dt\right|\\ &\le \displaystyle\epsilon + \sum_{i=1}^n |\gamma(t_i) - \gamma(t_{i-1})| \frac 1{t_{i} - t_{i-1}} \int_{t_{i-1}}^{t_i} |f(\hat\gamma(t)) - f(\gamma(t_i))|\\ &\le \displaystyle \epsilon + \sum_{i=1}^n |\gamma(t_i) - \gamma(t_{i-1})| \frac 1{t_{i} - t_{i-1}} \int_{t_{i-1}}^{t_i} \epsilon\\ &= \epsilon + \epsilon L(\gamma) \end{array} </math></center> Damit folgt die Behauptung. Ist <math>G</math> keine Kreisscheibe, überdecken wir - wegen der Kompaktheit von <math>\mathrm{spur}(\gamma)</math> ist das möglich - <math>\mathrm{spur}(\gamma)</math> mit endlich vielen Kreisscheiben, die in <math>G</math> liegen, und wenden auf jeden Teilweg die obige Konstruktion an. Damit folgt die Behauptung auch im allgemeinen Fall. == Siehe auch == * [[w:de:Polygonzug (Mathematik)|Polygonzug]] * [[Konvexkombination]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis/Curve Integral]]</noinclude> nh553o9h9myx09etz7q3c8df2yvb0gh 106 102075 1115615 1114042 2026-10-09T10:06:24Z ~2026-47548-34 41860 /* Aufgabe zum Graph */ 1115615 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In der [[w:de:Differentialrechnung|Differentialrechnung]] ist eine '''partielle Ableitung''' die Ableitung einer [[w:de:Funktion (Mathematik)|Funktion]] mit mehreren Argumenten <math>(x_1,\ldots , x_n)</math> nach ''einem'' dieser Argumente <math>x_i</math> (in Richtung dieser Koordinatenachse). Die Werte der übrigen Argumente werden also konstant gehalten. === Graph eine Funktion mit 2 Argumenten === [[Datei:Sin x plus cos y plot.gif|250px|center|Geogebra-Funktionsplot als GIF-Animation]] Plot der Funktion <math>f(x_1,x_2):=cos(x_1)+sin(x_2)</math> === Aufgabe zum Graph === Ordnen Sie den 3 Achsen mit den farbigen Markierung rot, grün und blau die Argumente bzw. den Funktionswert zu: * 1. Argument <math>x_1 \in \mathbb{R}</math> * 2. Argument <math>x_2 \in \mathbb{R}</math> * Funktionswert <math>f(x_1,x_2) \in \mathbb{R}</math> * Berechnen Sie die partiellen Ableitung an der Stelle <math>(2,-1) \in \mathbb{R}^2</math> für die Funktion <math>f(x_1,x_2):=\cos(x_1)+\sin(x_2)</math> === Bezug zur Differenzierbarkeit mit einer Veränderlichen === Man betrachtet ein Punkt <math>(2,-1) \in \mathbb{R}^2</math> im Definitionsbereich. Bei einer partiellen Ableitung nach <math>x_1</math> betrachtet man eine Schnitt des Graph mit einer Ebene, die parallel zur <math>x_1z</math>-Ebene liegt und durch den Punkt <math>(2,-1)</math> läuft. Die Schnittmenge des Graphen mit der Ebene erzeugt eine 2D-Graphen in der Ebene, den man wie in eindimensionale Analysis als Steigung der Tangente im Graph interpretieren kann. === Tangentensteigung mit einer Veränderlichen === Die folgenden Abbildung zeigt als Steigung einer Tangente im Graph als Animation. [[w:de:Funktionsgraph|Graph]] einer Funktion (blau) besitzt an einer Stelle eine [[w:de:Tangente|Tangente]] an den Graph (rot). Die [[w:de:Steigung|Steigung]] der Tangente ist die Ableitung der Funktion an dem markierten Punkt - [https://www.geogebra.org/m/a4h74hub Interaktive Version]. [[Datei:Tangent dynamic.gif|250px|center|Animierte Tangentesteigung entlang des Graphen]] == Definition == Die folgende Ableitungsdefinition in der reellen Analysis mit einem Definitionsbereich als Teilmenge <math>U\subseteq \mathbb{R}</math> des eindimensionalen <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraum <math>\mathbb{R}</math> :<math> f'(x_o) = \frac{\partial f}{\partial x}(x_o) := \lim_{h\to 0} \frac{f(x_o+h) - f(x_o)}{h} = \lim_{x\to x_o} \frac{f(x) - f(x_o)}{x-x_o} </math> wird nun auf partielle Ableitungen für Funktionen mit einem Definitionsbereich als Teilmenge vom <math>\R^n</math> erweitert. === 1. Ordnung === Sei <math>U</math> eine [[w:de:Offene Menge|offene Teilmenge]] des [[w:de:Euklidischer Raum|euklidischen Raums]] <math>\R^n</math>, und <math>f\colon U\rightarrow \R</math> eine Funktion. Sei weiterhin ein Element <math>a=(a_1, \dotsc, a_n)</math> in <math>U</math> gegeben. Falls für die natürliche Zahl <math>i</math> mit <math>1 \leq i \leq n</math> der Grenzwert :<math> \frac{\partial f}{\partial x_i}(a) := \lim_{h\to 0} \frac{f(a_1,\dotsc,a_i+h,\dotsc,a_n) - f(a_1,\dotsc,a_i,\dotsc,a_n)}{h} </math> existiert, dann nennt man ihn die partielle Ableitung von <math>f</math> nach der <math>i</math>-ten Variablen <math>x_i</math> im Punkt <math>a</math>. Die Funktion <math>f</math> heißt dann im Punkt <math>a</math> partiell differenzierbar. === Sprechweise / Schreibweise=== Das Symbol <math>\partial</math> wird als <math>d</math> oder zur Unterscheidung auch ''del'' ausgesprochen. : <math>\tfrac{\partial f}{\partial x_i}(a)</math> <math> \qquad</math> ''"d" "f" nach "d" <math>x_i</math> an der Stelle "a" Die Schreibweise <math>\tfrac{\partial f}{\partial x_i}</math> wurde durch Verwendung von [[w:de:Carl Gustav Jacob Jacobi|C. G. J. Jacobi]] bekannt.<ref>Heuser verweist auf ''J. f. reine u. angew. Math.'', Nr. 17 (1837) (Harro Heuser: ''Lehrbuch der Analysis. Teil 2.'', Teubner Verlag, 2002, S. 247). Eine detaillierte Herkunft gibt Jeff Miller: [http://jeff560.tripod.com/calculus.html].</ref> === Abkürzende Schreibweisen === Als abkürzende Schreibweise für die partiellen Ableitungen <math>\tfrac{\partial f}{\partial x_i}</math> ist auch oft <math>\textstyle\partial_{x_i} f</math>, <math>\textstyle f_{x_i}</math> oder <math>D_i f</math> zu finden. === Schreibweise Technische Mechanik === Dem gegenüber existiert in der [[w:de:Technische Mechanik|Technischen Mechanik]] eine andere Schreibweise bei der die Richtung mit einem Komma im Index angezeigt wird um von der Richtung zu unterscheiden: So ist die Ableitung der Verschiebung <math>u_{1}</math> (also die Verschiebung in <math>x_{1}</math>-Richtung) folgendermaßen äquivalent<math> \frac{\partial u_{1}}{\partial x_{1}} = u_{1,1}</math>. Analog: <math> \frac{\partial u_{2}}{\partial x_{3}} = u_{2,3}</math> wäre die Ableitung in <math>x_{3}</math>-Richtung einer Verschiebung in <math>x_{2}</math>-Richtung.<ref>{{Literatur | Autor=Holm Altenbach, Johannes Altenbach, Konstantin Naumenko | Titel=Ebene Flächentragwerke | TitelErg=Grundlagen der Modellierung und Berechnung von Scheiben und Platten | Auflage= | Verlag=Springer | Ort=Berlin Heidelberg | Datum=2016 | ISBN=978-3-662-47230-9 | Seiten=25 ff |DOI=10.1007/978-3-662-47230-9 }}</ref> == Partielle Ableitungen als Funktion == Die partielle Ableitung nach <math>x_i</math> ist selbst wieder eine Funktion von <math>U</math> nach <math>\mathbb{R}</math>, falls <math>f</math> in ganz <math>U</math> nach <math>x_i</math> partiell differenzierbar ist. * <math>\tfrac{\partial f}{\partial x_i} \in \mathcal{F}(U,\mathbb{R})</math> bezeichnet die Funktion von <math>U</math> nach <math>\mathbb{R}</math> und * <math>\tfrac{\partial f}{\partial x_i}(a)\in \mathbb{R}</math> bezeichnet die Steigung in Richtung <math>x_i</math> an der Stelle <math>a\in U </math>. === Höhere Ordnung === Ist die Funktion <math>f \colon U \to \R</math> in jedem Punkt ihres Definitionsbereichs partiell differenzierbar, so sind die partiellen Ableitungen : <math>\frac{\partial f}{\partial x_i} \colon a \mapsto \frac{\partial f}{\partial x_i}(a)</math> wieder Funktionen von <math>U</math> nach <math>\R</math>, die wiederum auf Differenzierbarkeit untersucht werden können. Man erhält so höhere partielle Ableitungen :<math>\frac{\partial^2 f}{\partial x_j \partial x_i} = \frac{\partial }{\partial x_j}\left(\frac{\partial f}{\partial x_i}\right)</math> &nbsp;&nbsp;und&nbsp;&nbsp; <math>\displaystyle \frac{\partial^2 f}{\partial x_i^2 } = \frac{\partial }{\partial x_i}\left(\frac{\partial f}{\partial x_i}\right)</math> == Geometrische Deutung == In einem [[w:de:dreidimensional|dreidimensional]]en [[w:de:Koordinatensystem|Koordinatensystem]] wird der [[w:de:Funktionsgraph|Funktionsgraph]] einer Funktion <math>f \colon U \rightarrow \R</math> betrachtet. Der [[w:de:Definitionsbereich|Definitionsbereich]] <math>U</math> sei eine offene Teilmenge der [[w:de:xy-Ebene|xy-Ebene]]. Ist <math>f</math> differenzierbar, dann ist der Graph der Funktion eine [[w:de:Fläche (Mathematik)|Fläche]] über dem Definitionsbereich <math>U</math>. Für einen festen Wert von <math>x</math> ist dann <math>f</math> eine Funktion in <math>y</math>. Bei festem <math>x</math> ergeben die Punkte <math>\{(x,y): y\in \R \text{ mit } (x,y)\in U\}</math> eine [[w:de:Strecke (Geometrie)|Strecke]] parallel zur <math>y</math>-Achse. Diese Strecke wird von <math>f</math> auf eine gekrümmte Linie auf dem Graph von <math>f</math> projiziert. Die partielle Ableitung von <math>f</math> nach <math>y</math> entspricht unter diesen Voraussetzungen der Steigung der Tangente an diese Kurve im Punkt <math>f(x,y)</math>. == Sätze und Eigenschaften == === Zusammenhang Ableitung, partielle Ableitung, Stetigkeit === * [[w:de:Totale Differenzierbarkeit|Total differenzierbare]] Funktionen sind stetig. * Total differenzierbare Funktionen sind partiell differenzierbar. * Partiell differenzierbare Funktionen sind nicht notwendigerweise stetig und damit auch nicht notwendigerweise total differenzierbar. * Stetig partiell differenzierbare Funktionen, also Funktionen, deren partielle Ableitungen stetig sind, sind dagegen stetig total differenzierbar. === Satz von Schwarz === * Es gilt der [[w:de:Satz von Schwarz|Satz von Schwarz]]: Wenn die zweiten partiellen Ableitungen stetig sind, so kann man die Reihenfolge der Ableitung vertauschen: *:<math>\frac{\partial^2 f}{\partial x_j \partial x_i} =\frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}\,.</math> == Verwendung == Die Verwendung von partiellen Ableitungen findet man u.a. bei * Gradient, * Hesse-Matrix, * mehrdimensionaler Taylorformel und * mehrdimensionalen Extremwertproblemen. === Gradient === Die ersten partiellen Ableitungen lassen sich in einem Vektor anordnen, dem [[w:de:Gradient (Mathematik)|Gradienten]] von <math>f</math>: :<math> \text{grad}\, f = \nabla f:= \left(\frac{\partial f}{\partial x_1}, \ldots, \frac{\partial f}{\partial x_n} \right)^T </math> Hierbei ist <math>\nabla</math> der [[w:de:Nabla-Operator|Nabla-Operator]]. === Hesse-Matrix === Die zweiten partiellen Ableitungen lassen sich in einer Matrix anordnen, der [[w:de:Hesse-Matrix|Hesse-Matrix]] :<math> \operatorname{H}_f= \left(\frac{\partial^2f}{\partial x_i\partial x_j}\right)_{i,j \in\{1,\ldots , n\}}= \begin{pmatrix} \frac{\partial^2 f}{\partial x_1\partial x_1}&\dots&\frac{\partial^2 f}{\partial x_1\partial x_n}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ \frac{\partial^2 f}{\partial x_n\partial x_1}&\dots&\frac{\partial^2 f}{\partial x_n\partial x_n} \end{pmatrix} </math> === Mehrdimensionale Taylor-Formel === Es gilt die [[w:de:Taylor-Formel#Taylor-Formel im Mehrdimensionalen|Taylorformel]]: Wenn die Funktion <math>f\colon U \to \R</math> <math>k</math>-mal stetig partiell differenzierbar ist, so lässt sie sich in der Nähe jedes Punktes <math>a = (a_1, \dots, a_n) \in U</math> durch ihre Taylor-Polynome approximieren: :<math>f(a + h) = \sum_{s =0}^k\,\sum_{j_1 + \dots + j_n =s} \frac{1}{j_1! \cdots j_n!}\,\frac{\partial^{s}f}{\partial x_1^{j_1} \cdots \partial x_n^{j_n}}(a) \, h_1^{j_1} \cdots h_n^{j_n} + r(a,h)</math> mit <math>h = (h_1, \dots, h_n)</math>, wobei das ''Restglied'' <math>r(a,h)</math> für <math>|h| \to 0</math> von höherer als <math>k</math>-ter Ordnung verschwindet, das heißt: ::<math>\lim_{|h| \to 0} \frac{|r(a,h)|}{|h|^k} = 0.</math> :Die Terme zu gegebenem &nu; ergeben die „Taylorapproximation <math>k</math>-ter Ordnung“. === Extremwertprobleme === Extremwertprobleme findet man in der [[w:de:Analysis|Analysis]] bei der Berechnung von [[w:de:Extremwert|Maxima]] und [[w:de:Extremwert|Minima]] einer Funktion einer [[w:de:Reelle Zahl|reellen]] [[w:de:Variable (Logik)|Variablen]] (vgl. hierzu den Artikel über [[w:de:Differentialrechnung|Differentialrechnung]]). Die Verallgemeinerung des [[w:de:Differentialrechnung#Definition|Differentialquotienten]] auf Funktionen mehrerer Variablen (Veränderliche, Parameter) ermöglicht die Bestimmung ihrer Extremwerte, und für die Berechnung werden partielle Ableitungen benötigt. === Differentialgeometrie === In der [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] benötigt man partielle Ableitungen zur Bestimmung eines [[w:de:Totales Differential|totalen Differentials]]. Anwendungen für totale Differentiale findet man in großem Maße in der [[w:de:Thermodynamik|Thermodynamik]]. === Vektoranalysis === Partielle Ableitungen sind darüber hinaus ein wesentlicher Bestandteil der [[w:de:Vektoranalysis|Vektoranalysis]]. Sie bilden die Komponenten des Gradienten, des [[w:de:Laplace-Operator|Laplace-Operator]]s, der [[w:de:Divergenz eines Vektorfeldes|Divergenz]] und der [[w:de:Rotation eines Vektorfeldes|Rotation]] in [[w:de:Skalarfeld|Skalar-]] und [[w:de:Vektorfeld|Vektorfeld]]ern. Sie treten auch in der [[w:de:Jacobi-Matrix|Jacobi-Matrix]] auf. == Beispiel 1 == Als Beispiel wird die Funktion <math>f\colon\R^2\rightarrow\R</math> mit <math>f(x,y):= x^2 + y^2</math> betrachtet, die von den beiden Variablen <math>x</math> und <math>y</math> abhängt. === Funktion g mit einer Veränderlichen === Betrachtet man <math>y</math> als eine Konstante, z.&nbsp;B. <math>y = 3</math>, so hängt die Funktion <math>g\colon\R\rightarrow\R</math> mit <math>g(x)=f(x,3)</math> nur noch von der Variablen <math>x</math> ab: :<math>f(x,3) = x^2 + 9</math> === Ableitung mit eindimensionalem Definitionsbereich === Für die neue Funktion gilt folglich <math>g(x) = x^2 + 9</math> und man kann den Differenzialquotienten bilden :<math>\frac{\mathrm{d}g(x)}{\mathrm{d}x} = \lim_{h \to 0}\frac{g(x+h) - g(x)}{h} = g'(x) = 2 x</math> === Berechnung per Definition der partiellen Ableitung === Das gleiche Ergebnis erhält man, wenn man die partielle Ableitung der Funktion <math>f</math> nach <math>x</math> bildet: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{\partial f(x,y)}{\partial x} & = & \displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h,y) - f(x,y)}{h} \\ & = & \displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{(x+h)^2 + y^2 - x^2 -y^2}{h} \\ & = & \displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{(x+h)^2 - x^2}{h} = \lim_{h \to 0}\frac{(2x+h)\cdot h}{h} = 2x \\ \end{array} </math> In der letzten Gleichungszeile wurde die 3. binomische Formel verwendet. === Berechnung der partiellen Ableitung === Die partielle Ableitung von <math>f</math> nach <math>y</math> lautet entsprechend: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{\partial f(x,y)}{\partial y} & = & \displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{f(x,y + h) - f(x,y)}{h} \\ & = & \displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{x^2 + (y+h)^2 - x^2 -y^2}{h} = 2 y \\ \end{array} </math> Dieses Beispiel demonstriert, wie die partielle Ableitung einer Funktion bestimmt wird, die von mehreren Variablen abhängt: === Bezug zur eindimensionalen reellen Analysis === Bis auf eine Variable werden alle anderen Variablen als konstant angenommen, bezüglich dieser einen Variablen wird der Differenzialquotient bestimmt. Als Ergebnis erhält man die partielle Ableitung der Funktion nach dieser einen Variablen. == Beispiel 2 == Da die partielle Ableitung nach einer Variablen der gewöhnlichen Ableitung bei festgehaltenen Werten aller anderen Variablen entspricht, können für die Berechnung alle [[w:de:Ableitungsregel|Ableitungsregel]]n wie bei Funktionen einer Variablen verwendet werden. Ist beispielsweise :<math>f(x,y) = x^2 \sin(xy)</math>, ==== Anwendung der Produkt- und Kettenregel ==== Die partiellen Ableitung kann bzgl. einer Variablen kann man über die [[w:de:Produktregel|Produkt-]] und [[w:de:Kettenregel|Kettenregel]] berechnen: :<math>\frac{\partial f(x,y)}{\partial x} = 2x \sin(xy) + x^2 y \cos(xy)</math>&nbsp;&nbsp; und :<math>\frac{\partial f(x,y)}{\partial y} = x^3 \cos(xy)</math>. == Beispiel 3 == [[Datei:Graph Paraboloid.gif|mini|Der Graph von <math>f(x,y):=x^2+y^2-2</math> ist ein [[w:en:Paraboloid|Paraboloid]] (Animation: GIF-Export Geogebra) ]] Als Beispiel wird die Funktion <math>f\colon\R^2\rightarrow\R</math> mit <math>f(x,y):= x^2 + y^2-2</math> betrachtet, die von den beiden Variablen <math>x</math> und <math>y</math> abhängt. === Funktion g mit einer Veränderlichen === Betrachtet man <math>y</math> als eine Konstante, z.&nbsp;B. <math>y = 3</math>, so hängt die Funktion <math>g\colon\R\rightarrow\R</math> mit <math>g(x)=f(x,3)</math> nur noch von der Variablen <math>x</math> ab: :<math>f(x,3) = x^2 + 7</math> === Ableitung mit eindimensionalem Definitionsbereich === Für die neue Funktion gilt folglich <math>g(x) = x^2 + 7</math> und man kann den Differenzialquotienten bilden :<math>\frac{\mathrm{d}g(x)}{\mathrm{d}x} = \lim_{h \to 0}\frac{g(x+h) - g(x)}{h} = g'(x) = 2 x</math> === Berechnung der partiellen Ableitung === Das gleiche Ergebnis erhält man, wenn man die partielle Ableitung der Funktion <math>f</math> nach <math>x</math> bildet: :<math>\frac{\partial f(x,y)}{\partial x} = \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h,y) - f(x,y)}{h} = \lim_{h \to 0}\frac{(x+h)^2 + y^2 - 2 - x^2 -y^2 + 2}{h} = 2 x</math> Die partielle Ableitung von <math>f</math> nach <math>y</math> lautet entsprechend: :<math>\frac{\partial f(x,y)}{\partial y} = \lim_{h \to 0}\frac{f(x,y + h) - f(x,y)}{h} = \lim_{h \to 0}\frac{x^2 + (y+h)^2 - 2 - x^2 -y^2 + 2}{h} = 2 y</math> === Bemerkung === Diese Beispielen demonstriert, wie die partielle Ableitung einer Funktion bestimmt wird, die von mehreren Variablen abhängt: * Bis auf eine Variable werden alle anderen Variablen als konstant angenommen, bezüglich dieser einen Variablen wird der Differenzialquotient bestimmt. * Als Ergebnis erhält man die partielle Ableitung der Funktion <math>f</math> nach dieser einen Variablen in die entsprechende Koordinatenrichtung. === Partielle und totale Ableitung nach der Zeit === In der [[w:de:Physik|Physik]] (vor allem in der [[w:de:Theoretische Mechanik|theoretischen Mechanik]]) tritt häufig die folgende Situation auf: Eine Größe hängt durch eine total differenzierbare Funktion <math>f</math> von den Ortskoordinaten <math>x</math>, <math>y</math>, <math>z</math> und von der Zeit <math>t</math> ab. Man kann also die partiellen Ableitungen <math>\tfrac{\partial f}{\partial x}</math>, <math>\tfrac{\partial f}{\partial y}</math>, <math>\tfrac{\partial f}{\partial z}</math> und <math>\tfrac{\partial f}{\partial t}</math> bilden. Die Koordinaten eines sich bewegenden Punktes sind durch die Funktionen <math>x(t)</math>, <math>y(t)</math> und <math>z(t)</math> gegeben. === Zeitliche Entwicklung === Die zeitliche Entwicklung des Werts der Größe am jeweiligen Bahnpunkt wird dann durch die verkettete Funktion :<math>t \mapsto f(x(t),y(t),z(t),t)</math> beschrieben. Diese Funktion hängt nur von einer Variablen, der Zeit <math>t</math>, ab. Man kann also die gewöhnliche Ableitung bilden. Diese nennt man die ''totale'' oder ''vollständige Ableitung'' von <math>f</math> nach der Zeit <math>t</math> und schreibt dafür auch kurz <math>\tfrac{\mathrm d f}{\mathrm d t}</math>. === Mehrdimensionale Kettenregel === Sie berechnet sich nach der [[w:de:Mehrdimensionale Kettenregel|mehrdimensionalen Kettenregel]] wie folgt: :<math>\frac{\mathrm df}{\mathrm dt} = \frac{\mathrm d}{\mathrm dt} f(x(t),y(t),z(t),t) = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\mathrm dx}{\mathrm dt} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\mathrm dy}{\mathrm dt} + \frac{\partial f}{\partial z} \frac{\mathrm dz}{\mathrm dt} + \frac{\partial f}{\partial t} </math> === Partielle Ableitung - totale Ableitung === Während bei der partiellen Ableitung <math>\tfrac{\partial f}{\partial t}</math> nach der Zeit nur die ''explizite'' Abhängigkeit der Funktion <math>f</math> von <math>t</math> berücksichtigt wird und alle anderen Variablen konstant gehalten werden, berücksichtigt die totale Ableitung <math>\tfrac{\mathrm d f}{\mathrm d t}</math> auch die indirekte (oder ''implizite'') Abhängigkeit von <math>t</math>, die dadurch zustande kommt, dass längs der Bahnbewegung die Ortskoordinaten von der Zeit abhängen. === Strömungsmechanik === Indem man also die ''implizite'' Zeitabhängigkeit mitberücksichtigt, redet man im Jargon der Physik auch von ''„substantieller“'' Zeitableitung, bzw. im Jargon der [[w:de:Strömungsmechanik|Strömungsmechanik]] von der ''Euler-Ableitung'' im Gegensatz zur ''Lagrange-Ableitung''. Für eine ausführlichere Darstellung siehe [[w:de:Totales Differential#Einfacher Fall|totales Differential]] == Verallgemeinerung: Richtungsableitung == Eine Verallgemeinerung der partiellen Ableitung stellt die [[w:de:Richtungsableitung|Richtungsableitung]] dar. Dabei wird die Ableitung in Richtung eines beliebigen Vektors betrachtet und nicht nur in Richtung der Koordinatenachsen. == Siehe auch == * [[holomorphe_Funktion|Holomophie]] == Literatur == * Kurt Endl; Wolfgang Luh: ''Analysis II'', Akademische Verlagsgesellschaft Frankfurt am Main, 1974 * Hans Grauert; Wolfgang Fischer: ''Differential- und Integralrechnung II'', 2., verbesserte Auflage, Springer Verlag Berlin, 1978 == Einzelnachweise == <references/> [[Kategorie:Analysis]] [[Kategorie:Differentialoperator]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Partielle%20Ableitungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Partielle%20Ableitungen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Partielle%20Ableitungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Partielle%20Ableitungen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Partielle%20Ableitungen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Partielle%20Ableitungen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Partielle%20Ableitungen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Partielle%20Ableitungen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Partielle%20Ableitungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Partielle%20Ableitungen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Partielle%20Ableitung Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Partielle%20Ableitung Partielle Ableitung] https://de.wikipedia.org/wiki/Partielle%20Ableitung * Datum: 9.11.2018 * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] e7ebpg64buhyqkrebeiole1zz4jt42u 1115616 1115615 2026-10-09T10:06:42Z ~2026-47548-34 41860 /* Graph eine Funktion mit 2 Argumenten */ 1115616 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In der [[w:de:Differentialrechnung|Differentialrechnung]] ist eine '''partielle Ableitung''' die Ableitung einer [[w:de:Funktion (Mathematik)|Funktion]] mit mehreren Argumenten <math>(x_1,\ldots , x_n)</math> nach ''einem'' dieser Argumente <math>x_i</math> (in Richtung dieser Koordinatenachse). Die Werte der übrigen Argumente werden also konstant gehalten. === Graph eine Funktion mit 2 Argumenten === [[Datei:Sin x plus cos y plot.gif|250px|center|Geogebra-Funktionsplot als GIF-Animation]] Plot der Funktion <math>f(x_1,x_2):=\cos(x_1)+\sin(x_2)</math> === Aufgabe zum Graph === Ordnen Sie den 3 Achsen mit den farbigen Markierung rot, grün und blau die Argumente bzw. den Funktionswert zu: * 1. Argument <math>x_1 \in \mathbb{R}</math> * 2. Argument <math>x_2 \in \mathbb{R}</math> * Funktionswert <math>f(x_1,x_2) \in \mathbb{R}</math> * Berechnen Sie die partiellen Ableitung an der Stelle <math>(2,-1) \in \mathbb{R}^2</math> für die Funktion <math>f(x_1,x_2):=\cos(x_1)+\sin(x_2)</math> === Bezug zur Differenzierbarkeit mit einer Veränderlichen === Man betrachtet ein Punkt <math>(2,-1) \in \mathbb{R}^2</math> im Definitionsbereich. Bei einer partiellen Ableitung nach <math>x_1</math> betrachtet man eine Schnitt des Graph mit einer Ebene, die parallel zur <math>x_1z</math>-Ebene liegt und durch den Punkt <math>(2,-1)</math> läuft. Die Schnittmenge des Graphen mit der Ebene erzeugt eine 2D-Graphen in der Ebene, den man wie in eindimensionale Analysis als Steigung der Tangente im Graph interpretieren kann. === Tangentensteigung mit einer Veränderlichen === Die folgenden Abbildung zeigt als Steigung einer Tangente im Graph als Animation. [[w:de:Funktionsgraph|Graph]] einer Funktion (blau) besitzt an einer Stelle eine [[w:de:Tangente|Tangente]] an den Graph (rot). Die [[w:de:Steigung|Steigung]] der Tangente ist die Ableitung der Funktion an dem markierten Punkt - [https://www.geogebra.org/m/a4h74hub Interaktive Version]. [[Datei:Tangent dynamic.gif|250px|center|Animierte Tangentesteigung entlang des Graphen]] == Definition == Die folgende Ableitungsdefinition in der reellen Analysis mit einem Definitionsbereich als Teilmenge <math>U\subseteq \mathbb{R}</math> des eindimensionalen <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraum <math>\mathbb{R}</math> :<math> f'(x_o) = \frac{\partial f}{\partial x}(x_o) := \lim_{h\to 0} \frac{f(x_o+h) - f(x_o)}{h} = \lim_{x\to x_o} \frac{f(x) - f(x_o)}{x-x_o} </math> wird nun auf partielle Ableitungen für Funktionen mit einem Definitionsbereich als Teilmenge vom <math>\R^n</math> erweitert. === 1. Ordnung === Sei <math>U</math> eine [[w:de:Offene Menge|offene Teilmenge]] des [[w:de:Euklidischer Raum|euklidischen Raums]] <math>\R^n</math>, und <math>f\colon U\rightarrow \R</math> eine Funktion. Sei weiterhin ein Element <math>a=(a_1, \dotsc, a_n)</math> in <math>U</math> gegeben. Falls für die natürliche Zahl <math>i</math> mit <math>1 \leq i \leq n</math> der Grenzwert :<math> \frac{\partial f}{\partial x_i}(a) := \lim_{h\to 0} \frac{f(a_1,\dotsc,a_i+h,\dotsc,a_n) - f(a_1,\dotsc,a_i,\dotsc,a_n)}{h} </math> existiert, dann nennt man ihn die partielle Ableitung von <math>f</math> nach der <math>i</math>-ten Variablen <math>x_i</math> im Punkt <math>a</math>. Die Funktion <math>f</math> heißt dann im Punkt <math>a</math> partiell differenzierbar. === Sprechweise / Schreibweise=== Das Symbol <math>\partial</math> wird als <math>d</math> oder zur Unterscheidung auch ''del'' ausgesprochen. : <math>\tfrac{\partial f}{\partial x_i}(a)</math> <math> \qquad</math> ''"d" "f" nach "d" <math>x_i</math> an der Stelle "a" Die Schreibweise <math>\tfrac{\partial f}{\partial x_i}</math> wurde durch Verwendung von [[w:de:Carl Gustav Jacob Jacobi|C. G. J. Jacobi]] bekannt.<ref>Heuser verweist auf ''J. f. reine u. angew. Math.'', Nr. 17 (1837) (Harro Heuser: ''Lehrbuch der Analysis. Teil 2.'', Teubner Verlag, 2002, S. 247). Eine detaillierte Herkunft gibt Jeff Miller: [http://jeff560.tripod.com/calculus.html].</ref> === Abkürzende Schreibweisen === Als abkürzende Schreibweise für die partiellen Ableitungen <math>\tfrac{\partial f}{\partial x_i}</math> ist auch oft <math>\textstyle\partial_{x_i} f</math>, <math>\textstyle f_{x_i}</math> oder <math>D_i f</math> zu finden. === Schreibweise Technische Mechanik === Dem gegenüber existiert in der [[w:de:Technische Mechanik|Technischen Mechanik]] eine andere Schreibweise bei der die Richtung mit einem Komma im Index angezeigt wird um von der Richtung zu unterscheiden: So ist die Ableitung der Verschiebung <math>u_{1}</math> (also die Verschiebung in <math>x_{1}</math>-Richtung) folgendermaßen äquivalent<math> \frac{\partial u_{1}}{\partial x_{1}} = u_{1,1}</math>. Analog: <math> \frac{\partial u_{2}}{\partial x_{3}} = u_{2,3}</math> wäre die Ableitung in <math>x_{3}</math>-Richtung einer Verschiebung in <math>x_{2}</math>-Richtung.<ref>{{Literatur | Autor=Holm Altenbach, Johannes Altenbach, Konstantin Naumenko | Titel=Ebene Flächentragwerke | TitelErg=Grundlagen der Modellierung und Berechnung von Scheiben und Platten | Auflage= | Verlag=Springer | Ort=Berlin Heidelberg | Datum=2016 | ISBN=978-3-662-47230-9 | Seiten=25 ff |DOI=10.1007/978-3-662-47230-9 }}</ref> == Partielle Ableitungen als Funktion == Die partielle Ableitung nach <math>x_i</math> ist selbst wieder eine Funktion von <math>U</math> nach <math>\mathbb{R}</math>, falls <math>f</math> in ganz <math>U</math> nach <math>x_i</math> partiell differenzierbar ist. * <math>\tfrac{\partial f}{\partial x_i} \in \mathcal{F}(U,\mathbb{R})</math> bezeichnet die Funktion von <math>U</math> nach <math>\mathbb{R}</math> und * <math>\tfrac{\partial f}{\partial x_i}(a)\in \mathbb{R}</math> bezeichnet die Steigung in Richtung <math>x_i</math> an der Stelle <math>a\in U </math>. === Höhere Ordnung === Ist die Funktion <math>f \colon U \to \R</math> in jedem Punkt ihres Definitionsbereichs partiell differenzierbar, so sind die partiellen Ableitungen : <math>\frac{\partial f}{\partial x_i} \colon a \mapsto \frac{\partial f}{\partial x_i}(a)</math> wieder Funktionen von <math>U</math> nach <math>\R</math>, die wiederum auf Differenzierbarkeit untersucht werden können. Man erhält so höhere partielle Ableitungen :<math>\frac{\partial^2 f}{\partial x_j \partial x_i} = \frac{\partial }{\partial x_j}\left(\frac{\partial f}{\partial x_i}\right)</math> &nbsp;&nbsp;und&nbsp;&nbsp; <math>\displaystyle \frac{\partial^2 f}{\partial x_i^2 } = \frac{\partial }{\partial x_i}\left(\frac{\partial f}{\partial x_i}\right)</math> == Geometrische Deutung == In einem [[w:de:dreidimensional|dreidimensional]]en [[w:de:Koordinatensystem|Koordinatensystem]] wird der [[w:de:Funktionsgraph|Funktionsgraph]] einer Funktion <math>f \colon U \rightarrow \R</math> betrachtet. Der [[w:de:Definitionsbereich|Definitionsbereich]] <math>U</math> sei eine offene Teilmenge der [[w:de:xy-Ebene|xy-Ebene]]. Ist <math>f</math> differenzierbar, dann ist der Graph der Funktion eine [[w:de:Fläche (Mathematik)|Fläche]] über dem Definitionsbereich <math>U</math>. Für einen festen Wert von <math>x</math> ist dann <math>f</math> eine Funktion in <math>y</math>. Bei festem <math>x</math> ergeben die Punkte <math>\{(x,y): y\in \R \text{ mit } (x,y)\in U\}</math> eine [[w:de:Strecke (Geometrie)|Strecke]] parallel zur <math>y</math>-Achse. Diese Strecke wird von <math>f</math> auf eine gekrümmte Linie auf dem Graph von <math>f</math> projiziert. Die partielle Ableitung von <math>f</math> nach <math>y</math> entspricht unter diesen Voraussetzungen der Steigung der Tangente an diese Kurve im Punkt <math>f(x,y)</math>. == Sätze und Eigenschaften == === Zusammenhang Ableitung, partielle Ableitung, Stetigkeit === * [[w:de:Totale Differenzierbarkeit|Total differenzierbare]] Funktionen sind stetig. * Total differenzierbare Funktionen sind partiell differenzierbar. * Partiell differenzierbare Funktionen sind nicht notwendigerweise stetig und damit auch nicht notwendigerweise total differenzierbar. * Stetig partiell differenzierbare Funktionen, also Funktionen, deren partielle Ableitungen stetig sind, sind dagegen stetig total differenzierbar. === Satz von Schwarz === * Es gilt der [[w:de:Satz von Schwarz|Satz von Schwarz]]: Wenn die zweiten partiellen Ableitungen stetig sind, so kann man die Reihenfolge der Ableitung vertauschen: *:<math>\frac{\partial^2 f}{\partial x_j \partial x_i} =\frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}\,.</math> == Verwendung == Die Verwendung von partiellen Ableitungen findet man u.a. bei * Gradient, * Hesse-Matrix, * mehrdimensionaler Taylorformel und * mehrdimensionalen Extremwertproblemen. === Gradient === Die ersten partiellen Ableitungen lassen sich in einem Vektor anordnen, dem [[w:de:Gradient (Mathematik)|Gradienten]] von <math>f</math>: :<math> \text{grad}\, f = \nabla f:= \left(\frac{\partial f}{\partial x_1}, \ldots, \frac{\partial f}{\partial x_n} \right)^T </math> Hierbei ist <math>\nabla</math> der [[w:de:Nabla-Operator|Nabla-Operator]]. === Hesse-Matrix === Die zweiten partiellen Ableitungen lassen sich in einer Matrix anordnen, der [[w:de:Hesse-Matrix|Hesse-Matrix]] :<math> \operatorname{H}_f= \left(\frac{\partial^2f}{\partial x_i\partial x_j}\right)_{i,j \in\{1,\ldots , n\}}= \begin{pmatrix} \frac{\partial^2 f}{\partial x_1\partial x_1}&\dots&\frac{\partial^2 f}{\partial x_1\partial x_n}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ \frac{\partial^2 f}{\partial x_n\partial x_1}&\dots&\frac{\partial^2 f}{\partial x_n\partial x_n} \end{pmatrix} </math> === Mehrdimensionale Taylor-Formel === Es gilt die [[w:de:Taylor-Formel#Taylor-Formel im Mehrdimensionalen|Taylorformel]]: Wenn die Funktion <math>f\colon U \to \R</math> <math>k</math>-mal stetig partiell differenzierbar ist, so lässt sie sich in der Nähe jedes Punktes <math>a = (a_1, \dots, a_n) \in U</math> durch ihre Taylor-Polynome approximieren: :<math>f(a + h) = \sum_{s =0}^k\,\sum_{j_1 + \dots + j_n =s} \frac{1}{j_1! \cdots j_n!}\,\frac{\partial^{s}f}{\partial x_1^{j_1} \cdots \partial x_n^{j_n}}(a) \, h_1^{j_1} \cdots h_n^{j_n} + r(a,h)</math> mit <math>h = (h_1, \dots, h_n)</math>, wobei das ''Restglied'' <math>r(a,h)</math> für <math>|h| \to 0</math> von höherer als <math>k</math>-ter Ordnung verschwindet, das heißt: ::<math>\lim_{|h| \to 0} \frac{|r(a,h)|}{|h|^k} = 0.</math> :Die Terme zu gegebenem &nu; ergeben die „Taylorapproximation <math>k</math>-ter Ordnung“. === Extremwertprobleme === Extremwertprobleme findet man in der [[w:de:Analysis|Analysis]] bei der Berechnung von [[w:de:Extremwert|Maxima]] und [[w:de:Extremwert|Minima]] einer Funktion einer [[w:de:Reelle Zahl|reellen]] [[w:de:Variable (Logik)|Variablen]] (vgl. hierzu den Artikel über [[w:de:Differentialrechnung|Differentialrechnung]]). Die Verallgemeinerung des [[w:de:Differentialrechnung#Definition|Differentialquotienten]] auf Funktionen mehrerer Variablen (Veränderliche, Parameter) ermöglicht die Bestimmung ihrer Extremwerte, und für die Berechnung werden partielle Ableitungen benötigt. === Differentialgeometrie === In der [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] benötigt man partielle Ableitungen zur Bestimmung eines [[w:de:Totales Differential|totalen Differentials]]. Anwendungen für totale Differentiale findet man in großem Maße in der [[w:de:Thermodynamik|Thermodynamik]]. === Vektoranalysis === Partielle Ableitungen sind darüber hinaus ein wesentlicher Bestandteil der [[w:de:Vektoranalysis|Vektoranalysis]]. Sie bilden die Komponenten des Gradienten, des [[w:de:Laplace-Operator|Laplace-Operator]]s, der [[w:de:Divergenz eines Vektorfeldes|Divergenz]] und der [[w:de:Rotation eines Vektorfeldes|Rotation]] in [[w:de:Skalarfeld|Skalar-]] und [[w:de:Vektorfeld|Vektorfeld]]ern. Sie treten auch in der [[w:de:Jacobi-Matrix|Jacobi-Matrix]] auf. == Beispiel 1 == Als Beispiel wird die Funktion <math>f\colon\R^2\rightarrow\R</math> mit <math>f(x,y):= x^2 + y^2</math> betrachtet, die von den beiden Variablen <math>x</math> und <math>y</math> abhängt. === Funktion g mit einer Veränderlichen === Betrachtet man <math>y</math> als eine Konstante, z.&nbsp;B. <math>y = 3</math>, so hängt die Funktion <math>g\colon\R\rightarrow\R</math> mit <math>g(x)=f(x,3)</math> nur noch von der Variablen <math>x</math> ab: :<math>f(x,3) = x^2 + 9</math> === Ableitung mit eindimensionalem Definitionsbereich === Für die neue Funktion gilt folglich <math>g(x) = x^2 + 9</math> und man kann den Differenzialquotienten bilden :<math>\frac{\mathrm{d}g(x)}{\mathrm{d}x} = \lim_{h \to 0}\frac{g(x+h) - g(x)}{h} = g'(x) = 2 x</math> === Berechnung per Definition der partiellen Ableitung === Das gleiche Ergebnis erhält man, wenn man die partielle Ableitung der Funktion <math>f</math> nach <math>x</math> bildet: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{\partial f(x,y)}{\partial x} & = & \displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h,y) - f(x,y)}{h} \\ & = & \displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{(x+h)^2 + y^2 - x^2 -y^2}{h} \\ & = & \displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{(x+h)^2 - x^2}{h} = \lim_{h \to 0}\frac{(2x+h)\cdot h}{h} = 2x \\ \end{array} </math> In der letzten Gleichungszeile wurde die 3. binomische Formel verwendet. === Berechnung der partiellen Ableitung === Die partielle Ableitung von <math>f</math> nach <math>y</math> lautet entsprechend: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{\partial f(x,y)}{\partial y} & = & \displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{f(x,y + h) - f(x,y)}{h} \\ & = & \displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{x^2 + (y+h)^2 - x^2 -y^2}{h} = 2 y \\ \end{array} </math> Dieses Beispiel demonstriert, wie die partielle Ableitung einer Funktion bestimmt wird, die von mehreren Variablen abhängt: === Bezug zur eindimensionalen reellen Analysis === Bis auf eine Variable werden alle anderen Variablen als konstant angenommen, bezüglich dieser einen Variablen wird der Differenzialquotient bestimmt. Als Ergebnis erhält man die partielle Ableitung der Funktion nach dieser einen Variablen. == Beispiel 2 == Da die partielle Ableitung nach einer Variablen der gewöhnlichen Ableitung bei festgehaltenen Werten aller anderen Variablen entspricht, können für die Berechnung alle [[w:de:Ableitungsregel|Ableitungsregel]]n wie bei Funktionen einer Variablen verwendet werden. Ist beispielsweise :<math>f(x,y) = x^2 \sin(xy)</math>, ==== Anwendung der Produkt- und Kettenregel ==== Die partiellen Ableitung kann bzgl. einer Variablen kann man über die [[w:de:Produktregel|Produkt-]] und [[w:de:Kettenregel|Kettenregel]] berechnen: :<math>\frac{\partial f(x,y)}{\partial x} = 2x \sin(xy) + x^2 y \cos(xy)</math>&nbsp;&nbsp; und :<math>\frac{\partial f(x,y)}{\partial y} = x^3 \cos(xy)</math>. == Beispiel 3 == [[Datei:Graph Paraboloid.gif|mini|Der Graph von <math>f(x,y):=x^2+y^2-2</math> ist ein [[w:en:Paraboloid|Paraboloid]] (Animation: GIF-Export Geogebra) ]] Als Beispiel wird die Funktion <math>f\colon\R^2\rightarrow\R</math> mit <math>f(x,y):= x^2 + y^2-2</math> betrachtet, die von den beiden Variablen <math>x</math> und <math>y</math> abhängt. === Funktion g mit einer Veränderlichen === Betrachtet man <math>y</math> als eine Konstante, z.&nbsp;B. <math>y = 3</math>, so hängt die Funktion <math>g\colon\R\rightarrow\R</math> mit <math>g(x)=f(x,3)</math> nur noch von der Variablen <math>x</math> ab: :<math>f(x,3) = x^2 + 7</math> === Ableitung mit eindimensionalem Definitionsbereich === Für die neue Funktion gilt folglich <math>g(x) = x^2 + 7</math> und man kann den Differenzialquotienten bilden :<math>\frac{\mathrm{d}g(x)}{\mathrm{d}x} = \lim_{h \to 0}\frac{g(x+h) - g(x)}{h} = g'(x) = 2 x</math> === Berechnung der partiellen Ableitung === Das gleiche Ergebnis erhält man, wenn man die partielle Ableitung der Funktion <math>f</math> nach <math>x</math> bildet: :<math>\frac{\partial f(x,y)}{\partial x} = \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h,y) - f(x,y)}{h} = \lim_{h \to 0}\frac{(x+h)^2 + y^2 - 2 - x^2 -y^2 + 2}{h} = 2 x</math> Die partielle Ableitung von <math>f</math> nach <math>y</math> lautet entsprechend: :<math>\frac{\partial f(x,y)}{\partial y} = \lim_{h \to 0}\frac{f(x,y + h) - f(x,y)}{h} = \lim_{h \to 0}\frac{x^2 + (y+h)^2 - 2 - x^2 -y^2 + 2}{h} = 2 y</math> === Bemerkung === Diese Beispielen demonstriert, wie die partielle Ableitung einer Funktion bestimmt wird, die von mehreren Variablen abhängt: * Bis auf eine Variable werden alle anderen Variablen als konstant angenommen, bezüglich dieser einen Variablen wird der Differenzialquotient bestimmt. * Als Ergebnis erhält man die partielle Ableitung der Funktion <math>f</math> nach dieser einen Variablen in die entsprechende Koordinatenrichtung. === Partielle und totale Ableitung nach der Zeit === In der [[w:de:Physik|Physik]] (vor allem in der [[w:de:Theoretische Mechanik|theoretischen Mechanik]]) tritt häufig die folgende Situation auf: Eine Größe hängt durch eine total differenzierbare Funktion <math>f</math> von den Ortskoordinaten <math>x</math>, <math>y</math>, <math>z</math> und von der Zeit <math>t</math> ab. Man kann also die partiellen Ableitungen <math>\tfrac{\partial f}{\partial x}</math>, <math>\tfrac{\partial f}{\partial y}</math>, <math>\tfrac{\partial f}{\partial z}</math> und <math>\tfrac{\partial f}{\partial t}</math> bilden. Die Koordinaten eines sich bewegenden Punktes sind durch die Funktionen <math>x(t)</math>, <math>y(t)</math> und <math>z(t)</math> gegeben. === Zeitliche Entwicklung === Die zeitliche Entwicklung des Werts der Größe am jeweiligen Bahnpunkt wird dann durch die verkettete Funktion :<math>t \mapsto f(x(t),y(t),z(t),t)</math> beschrieben. Diese Funktion hängt nur von einer Variablen, der Zeit <math>t</math>, ab. Man kann also die gewöhnliche Ableitung bilden. Diese nennt man die ''totale'' oder ''vollständige Ableitung'' von <math>f</math> nach der Zeit <math>t</math> und schreibt dafür auch kurz <math>\tfrac{\mathrm d f}{\mathrm d t}</math>. === Mehrdimensionale Kettenregel === Sie berechnet sich nach der [[w:de:Mehrdimensionale Kettenregel|mehrdimensionalen Kettenregel]] wie folgt: :<math>\frac{\mathrm df}{\mathrm dt} = \frac{\mathrm d}{\mathrm dt} f(x(t),y(t),z(t),t) = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\mathrm dx}{\mathrm dt} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\mathrm dy}{\mathrm dt} + \frac{\partial f}{\partial z} \frac{\mathrm dz}{\mathrm dt} + \frac{\partial f}{\partial t} </math> === Partielle Ableitung - totale Ableitung === Während bei der partiellen Ableitung <math>\tfrac{\partial f}{\partial t}</math> nach der Zeit nur die ''explizite'' Abhängigkeit der Funktion <math>f</math> von <math>t</math> berücksichtigt wird und alle anderen Variablen konstant gehalten werden, berücksichtigt die totale Ableitung <math>\tfrac{\mathrm d f}{\mathrm d t}</math> auch die indirekte (oder ''implizite'') Abhängigkeit von <math>t</math>, die dadurch zustande kommt, dass längs der Bahnbewegung die Ortskoordinaten von der Zeit abhängen. === Strömungsmechanik === Indem man also die ''implizite'' Zeitabhängigkeit mitberücksichtigt, redet man im Jargon der Physik auch von ''„substantieller“'' Zeitableitung, bzw. im Jargon der [[w:de:Strömungsmechanik|Strömungsmechanik]] von der ''Euler-Ableitung'' im Gegensatz zur ''Lagrange-Ableitung''. Für eine ausführlichere Darstellung siehe [[w:de:Totales Differential#Einfacher Fall|totales Differential]] == Verallgemeinerung: Richtungsableitung == Eine Verallgemeinerung der partiellen Ableitung stellt die [[w:de:Richtungsableitung|Richtungsableitung]] dar. Dabei wird die Ableitung in Richtung eines beliebigen Vektors betrachtet und nicht nur in Richtung der Koordinatenachsen. == Siehe auch == * [[holomorphe_Funktion|Holomophie]] == Literatur == * Kurt Endl; Wolfgang Luh: ''Analysis II'', Akademische Verlagsgesellschaft Frankfurt am Main, 1974 * Hans Grauert; Wolfgang Fischer: ''Differential- und Integralrechnung II'', 2., verbesserte Auflage, Springer Verlag Berlin, 1978 == Einzelnachweise == <references/> [[Kategorie:Analysis]] [[Kategorie:Differentialoperator]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Partielle%20Ableitungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Partielle%20Ableitungen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Partielle%20Ableitungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Partielle%20Ableitungen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Partielle%20Ableitungen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Partielle%20Ableitungen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Partielle%20Ableitungen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Partielle%20Ableitungen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Partielle%20Ableitungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Partielle%20Ableitungen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Partielle%20Ableitung Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Partielle%20Ableitung Partielle Ableitung] https://de.wikipedia.org/wiki/Partielle%20Ableitung * Datum: 9.11.2018 * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] o77yo03lgisk4n5yhefo2jz9ehctfrv 0 106376 1115617 1107873 2026-10-09T10:28:32Z Bocardodarapti 2041 1115617 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Wir interessieren uns dafür, was man über die Faser in den nichtregulären Punkten aussagen kann, also in den Ausnahmepunkten, wo der Satz über implizite Abbildungen nicht anwendbar ist. Dabei werden wir die Funktionen {{math|term= F_i |SZ=,}} die die Faser festlegen, typischerweise als Polynome ansetzen, sodass sie beliebig oft differenzierbar sind und auf dem gesamten Raum {{math|term= \R^n |SZ=}} bzw. {{math|term= {{CC}}^n |SZ=}} definiert sind. Über den offenen Definitionsbereich {{math|term= G |SZ=}} muss man sich also keine Gedanken machen. Weiterhin liefern schon einzelne Polynome interessante Fasern. Manchmal kann man die Fasern auch in den singulären Punkten direkt verstehen, manchmal ist man ziemlich sprachlos. {{ inputbeispiel |Satz über implizite Abbildungen/Produkt/Nicht anwendbar/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Satz über implizite Abbildungen/E8-Singularität/Beispiel|| }} In dem zuletzt gegebenen Beispiel ist es auf Anhieb schwierig, eine Aussage über die Singularität zu machen, und es ist auch gar nicht klar, was hier überhaupt sinnvolle Fragestellungen sein könnten. {{:Algebraische Singularitäten/Fragestellungen/Bemerkung}} {{ inputbild |Whitney unbrella|png| 200px {{!}} right {{!}} | |Zusname=Whitney_unbrella |Text=Wenn man ein Blatt Papier faltet und zusammenklebt, entstehen auch Singularitäten. |Autor=Claudio Rocchini |Benutzer= |Domäne= |Lizenz=CC-BY-SA-2.5 |Bemerkung= }} {{:Algebraische Singularitäten/Verschiedene Ursprünge/Bemerkung}} Wir geben ein Beispiel für die zuletzt beschriebene Situation. {{ inputbeispiel |A1-Singularität/Gleichung und Quotient/Beispiel|| }} {{:Algebraische Singularitäten/Sinnvolle Theorie/Kriterien/Bemerkung}} Wenn man beispielsweise von den reellen Zahlen ausgeht und darin alle rationalen Zahlen miteinander identifiziert und diese Quotientenmenge mit der Quotiententopologie versieht, so entsteht ein topologischer Raum, der recht kurios ist und nur sehr schwer vorstellbar ist. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der algebraischen Singularitäten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} kaxe2u2iy9qfkfk1jsh39f2ept3nniq 106 160720 1115620 1061510 2026-10-09T10:53:34Z ~2026-47548-34 41860 /* Aufgabe für Studierende */ 1115620 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[Datei:Dreiecksweg.svg|mini|Integrationsweg auf dem Dreiecksrand]] Im Lemma von Goursat wird über einen Dreiecksrad integriert. Dabei setzt sich der Weg <math>\gamma</math> aus drei stetig differenzierbaren Wegen <math>\gamma_k</math> zusammen. :<math>\gamma := \gamma_1 + \gamma_2 + \gamma_3 </math>. === Stückweise stetig differenzierbar === <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> ist nicht mehr stetig differenzierbar, sondern nur noch ''stückweise stetig differenzierbar'' und für die Berechnung der [[Wegintegral|Wegintegrals]] zerlegt für die Kette <math>\gamma </math> in die stetig differenzierbaren Teilwege. :<math> \int_{\gamma} f(z)\, dz = \sum_{k=1}^3 \int_{a_k}^{b_k} f(\gamma_k(t)) \cdot \gamma_k{\,}'(t) \, dt </math> mit <math>\mathbf{a}=a_1 < b_1 \, = \, a_2 < b_2 \, \ldots \, a_{n-1} < b_{n-1} \, = \, a_n < b_n = \mathbf{b}</math>. == Satz - Stetige Funktion mit Stammfunktion und geschlossene Wege== Besitzt eine stetige Funktion <math>\displaystyle f:U\to \mathbb {C} </math> eine Stammfunktion <math>\displaystyle F:U\to \mathbb {C} </math>, dann gilt für den stückweise glatten Weg <math>\displaystyle \gamma :[a,b]\to U </math>, dass <math>\displaystyle \int _{\gamma }f(z)\,dz=F(\gamma(b))-F(\gamma(a)) </math> gilt. == Beweisidee == * Sei <math>F</math> eine Stammfunktion von <math>f</math> (d.h. <math>F'= f</math>). * Nutzen Sie die Definition des [[Wegintegral|Wegintegrals]] und verwenden Sie die [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] und den [[w:de:Hauptsatz_der_Differential-_und_Integralrechnung|Hauptsatz der Differential- Integralrechnung]]. == Aufgabe für Studierende == Beweisen Sie den obigen Satz: * Nutzen Sie bei einem stückweise stetig differenzierbaren Weg (Integrationsweg) die stückweise Definition <math>\gamma = \gamma_1 + \ldots \gamma_n</math>, um das Integral in Teilintegrale zu zerlegen: ::<math> \int_{\gamma} f(z)\, dz = \sum_{k=1}^n \int_{\gamma_k} f(z)\, dz </math> * Verwenden Sie dann, die Definition des Wegintegrale für die obigen <math>\gamma_k</math> und nutzen Sie die [[w:de:Integration durch Substitution|Substitutionsregel für Integrale]]: ::<math> \int_{\gamma_k} f(z)\, dz = \int_{a_k}^{b_k} f(\gamma_k(t)) \cdot \gamma_k{\,}\!\!'(t) \, dt </math> * Betrachten Sie nun die Verbindungsstellen zwischen der Wegteile (z.B. bei einem Dreiecksweg sind das die Eckpunkte, an denen Weg nicht differenzierbar ist). An diesen Stellen gilt <math>\gamma_k(b_k) = \gamma_{k+1}(a_{k+1})</math> für <math>k\in \{1,\ldots , n-1 \}</math> und <math>b_k = a_{k+1}</math>. * Durch Ersetzung von <math>F(\gamma_k(b_k)) = F(\gamma_{k+1}(a_{k+1}))</math> in den Termen <math> F(\gamma_k(b_k)) - F(\gamma_{k}(a_{k}))</math> für <math>k\in \{1,\ldots , n-1 \}</math> teleskopiert die Summe und es verbleiben nur noch zwei Terme mit <math>a_1 = a</math> und <math>b_n = b</math>. * Zerlegen Sie dazu die Summe wie folgt: ::<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\gamma_k} f(z)\, dz & = & \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \bigg( F(\gamma_k(b_k)) - F(\gamma_{k}(a_{k}) \bigg) \\ & = & \displaystyle \sum_{k=1}^{n} F(\gamma_k(b_k)) - \sum_{k=1}^{n} F(\gamma_{k}(a_{k})) \\ \end{array} </math> * Entfernen Sie jeweils einen Term aus der Summendarstellung mit: ::<math> \sum_{k=1}^{n} F(\gamma_k(b_k)) = F(\gamma_k(b_n)) + \sum_{k=1}^{n-1} F(\gamma_k(b_k)) </math> : bzw. ::<math> \sum_{k=1}^{n} F(\gamma_k(b_k)) = F(\gamma_k(a_1)) + \sum_{k=2}^{n} F(\gamma_k(a_k)) </math> : und nutzen Sie eine Indexverschiebung, um das "Teleskopieren" der Summanden zu zeigen. === Bemerkung - teleskopierende Summe === Bei einer teleskopierenden Summe hebt ein Term in dem vorhergehenden Summanden einen weiteren Term im dem nachfolgenden Summanden auf. == Siehe auch == * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] * [[w:de:Hauptsatz_der_Differential-_und_Integralrechnung|Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung]]. * [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat]] * [[Transformationsformel]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion für konvexe Gebiete|Stammfunktion für konvexe Gebiete]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wegunabhängigkeit|Wegunabhängigkeit]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 99qs4fqh9jxcnv4crnnbq02ormte3wf 106 160956 1115621 1076233 2026-10-09T11:08:44Z ~2026-47548-34 41860 /* Aufgabe */ 1115621 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite zum Thema ''Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiele%20f%C3%BCr%20Potenzreihenentwicklungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle= Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt: * (1) <math>f(z)=\frac{1}{z} </math> [[/Vorgehen/|lokal in Potenzreihen]] entwickeln und [[w:de:Konvergenzradius|Konvergenzradius]] über [[w:de:geometrische Reihe|geometrischen Reihe]] bestimmen, die auch für die Reihendarstellung des [[/Logarithmus/]] wesentlich ist. * (2) Dichte der [[/Standardnormalverteilung/]] <math>f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \cdot e^{-\frac{x^2}{2}}</math> in Potenzreihe in <math>\mathbb{C}</math> entwickeln. * (3) [[/Cauchy-Dichte/]] <math>f(z)=c\cdot \frac{1}{1+z^2} </math> in eine Potenzreihe in <math>\mathbb{C}</math> entwickeln. === Grundlegendes Vorgehen === Ziel des Vorgehens ist es eine Darstellung des Grenzwertes <math>\frac{1}{1-q}</math> einer geometrischen Reihe zu erzeugen. Dabei soll <math>q</math> die folgende Darstellung mit dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> besitzen: :<math> q:=c\cdot (z-z_o) \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \frac{1}{1-q} = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{c^n \cdot (z-z_0)^n}_{=q^n} {}_{,} </math> Mit der geometrischen Reihe kann man alle Koeffizienten <math>c_n:= c^n \in \mathbb{C}</math> auch direkt angeben, ohne für die darstellende [[Taylorreihe]] die Koeffizienten <math>c_n = \frac{f^{(n)}(z_o)}{n!}</math> einzeln berechnen zu können. === Zielsetzung === Diese Lernressource behandelt Beispiele für Potenzreihenentwicklungen hat das Ziel, Werkzeuge aus der Analysis und Reihenentwicklung auf Potenzreihen zu übertragen. In der Funktionentheorie<ref>Jänich, K. (2004). Funktionentheorie. Springer Berlin Heidelberg.</ref> spielt die Funktion <math>f(z)=\frac{1}{z}=z^{-1}</math> bzw. der Koeffizient <math>(z-z_o)^{-1}</math> in der [[Laurent-Reihe]] eine besondere Rolle (siehe [[Kurs:Funktionentheorie/Residuum|Residuum]]). Auf <math> \mathbb{C}/\{0\} </math> ist <math>f</math> holomorph und damit lokal in Potenzreihen entwickelbar. In dieser Lerneinheit wird diese lokale Entwicklung in Potenzreihen über [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihen]]<ref>Heuser, H. (2013). Lehrbuch der Analysis: Teil 1. Springer-Verlag.</ref> behandelt. Ferner wird über die Darstellung deutlich, dass der Konvergenzradius der Potenzreihe der Abstand zwischen dem Entwicklungspunkt <math> z_o \not= 0</math> und der [[Kurs:Funktionentheorie/Singularitäten|Singularität]] 0 ist. === Geometrische Reihe === Die Reihe <math>f(z):= \sum_{n=0}^\infty z^n = \sum_{n=0}^\infty (z-0)^n</math> ist ein Potenzreihe mit Entwicklungspunkt 0 und zusätzlich eine geometrische Reihe mit dem Grenzwert <math> \frac{1}{1-z} </math>. Daher stellt die Potenzreihe <math>f(z)=\sum_{n=0}^\infty z^n=\frac{1}{1-z} </math> eine Potenzreihenentwicklung von <math> f(z)=\frac{1}{1-z} </math> mit Entwicklungspunkt 0 dar, falls <math>|z|<1 </math>. == Aufgaben für Studierende == Bestimmen Sie für das obige Beispiele der Potenzreihenentwicklungen von <math> f(z)=\frac{1}{1-z} </math> mit Entwicklungspunkt <math>z_o = i </math> die ersten 3 Koeffizienten der Taylorreihenentwicklung über <math> a_n := \frac{f^{(n)}(i)}{n!} </math>. == Beispiel == In dem folgenden Beispiel wird <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> in eine Potenzreihenentwicklung mit Entwicklungspunkt <math>z_o = i</math> transformiert. Auch in diesem Fall wird die geometrische Reihe verwendet, um nicht alle Koeffizenten der Taylorentwicklung jeweils einzeln über <math>f^{(n)}(i)</math> berechnen zu müssen. === Umformung in Potenzreihe === :<math> \begin{array}{rcl} \frac{1}{z} & = & -\frac{1}{-z} = - \frac{1}{(i-i)-z} = -\frac{1}{-i-z+i} \\ & = & - \frac{1}{-i-(z-i)} = - \frac{1}{-i\cdot \left(1-\frac{z-i}{-i}\right)} \\ & = & - \underbrace{ \frac{1}{-i}}_{=i} \cdot \frac{1}{ \left(1-\frac{z-i}{-i}\right)} = -i \cdot \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \left( \frac{z-i}{-i}\right)^n \\ & = & \displaystyle - i \cdot \sum_{n=0}^{\infty} {\underbrace{ \left( \frac{1}{-i} \right) }_{=i} }^n \cdot (z-i)^n = \sum_{n=0}^{\infty} \underbrace{ - i^{n+1} }_{=a_n} \cdot (z-i)^n \end{array} </math> === Konvergenzradius === Die Reihe konvergiert für alle <math>z\in\mathbb{C}</math> mit <math> |z-i| < 1 </math> mit <math>|a_n|= 1 </math>. Dieses Vorgehen für <math>i</math> wird im Folgenden für einen beliebigen Entwicklungspunkt <math>z_o \not=0 </math> verallgemeinert. == Aufgabe == Verallgemeinern Sie das obige Beispiel für eine lokale Taylorreihenentwicklung von <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> um einen beliebigen Punkt <math>z_o \in\mathbb{C}</math> mit <math>z_o \not=0 </math>. Geben Sie dazu auch den jeweiligen Konvergenzradius der Kreischeibe an, auf der die Potenzreihe konvergiert. == Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[Lokale Entwicklung in Potenzreihen]] * [[Residuum]] * [[w:de:Taylorreihe|Taylorreihe]] * [[Open Educational Resources]] * [[Wiki2Reveal]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiele%20f%C3%BCr%20Potenzreihenentwicklungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle= Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiele%20f%C3%BCr%20Potenzreihenentwicklungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle= Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Beispiele%20f%C3%BCr%20Potenzreihenentwicklungen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Beispiele%20f%C3%BCr%20Potenzreihenentwicklungen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Beispiele%20f%C3%BCr%20Potenzreihenentwicklungen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Beispiele%20f%C3%BCr%20Potenzreihenentwicklungen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiele%20f%C3%BCr%20Potenzreihenentwicklungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle= Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] [[Category:Potenzreihen]] <noinclude>[[en:Complex Analysis/Examples for Power Series]]</noinclude> 1fsg0fbg73rzjhdxiard4o9pl9wgrh6 106 167875 1115598 1114039 2026-10-08T12:10:23Z ~2026-47548-34 41860 /* Einleitung */ 1115598 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Ein Gebiet <math>G</math> ist eine [[Normen, Metriken, Topologie|offene]] und wegzusammenhängende Menge in den komplexen Zahlen. Die [[Normen, Metriken, Topologie|Offenheit]] der Menge ist in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] wesentlich, damit um jeden Punkt <math>z_o\in G</math> eine Umgebung <math>U:=D_r(z_0):= \{z\in \mathbb{C} \, : \, |z-z_o| < r \} </math> existiert, die ganz in <math>G</math> liegt. Die Eigenschaft "wegzusammenhängend" zu sein, ist für zentrale Aussagen aus der Funktionentheorie notwendig. So wäre die Aussage des [[Kurs:Funktionentheorie/Identitätssatz|Identitätssatzes]] ohne den Wegzusammenhang nur für die [[w:de:Zusammenhangskomponente|Zusammenhangskomponente]] gültig, und nicht auf dem gesamten Definitionsbereich der [[Holomorphie|holomorphen Funktion]]. == Definition - wegzusammenhängend == Eine Teilmenge <math>G\subset \mathbb{C}</math> heißt wegzusammenhängend, wenn es zu je zwei beliebigen Punkten <math>z_1,z_2 \in G</math> eine stetige Abbildung <math>\gamma :[a,b] \to G</math> gibt, mit <math>\gamma(a) = z_1</math> und <math>\gamma(b) = z_2</math>. == Definition - Gebiet == Eine Teilmenge <math>G\subset \mathbb{C}</math> heißt Gebiet, wenn <math> G</math>: * offen und * wegzusammenhängend ist. == Siehe auch == * [[Wegintegral]] * [[Normen, Metriken, Topologie|offene Menge - Topologie]] p19olt9g0wqd5uk82zrxbf272dvon71 106 170301 1115611 1110696 2026-10-09T08:57:55Z ~2026-53307-89 41916 /* Lemma - Viereckintegral über Flächenstammfunktionen */ 1115611 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Bei der Behandlung von [[orientierte Fläche|orientierten Flächen]] hängt der Wert des Integrals analog zum [[Wegintegral]] nur von den Ecken der orientierten Fläche ab. Dies zeigt auch die folgende Behandlung von beliebigen Vierecken im Vergleich zum [[Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegral über ein Rechteck]]. == Lemma - Viereckintegral über Flächenstammfunktionen == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box</math>. Das Viereck <math>V:=\mathcal{V}(z_1,z_2,z_3,z_4)</math> mit <math>Conv(\{z_1,z_2,z_3,z_4\})\subset G</math> wird durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_{V}} : [0,1] \times [0,1] \to \mathbb{C}</math> mit :<math>\gamma_{_V}(t_1,t_2):=(1-t_2) \bigg((1-t_1)z_1 + t_1 z_2\bigg) + t_2 \bigg((1-t_1)z_4 + t_1z_3\bigg) </math> definiert. Für das Flächenintegral über das orientierte Viereck <math>\gamma_{_V}</math> gilt dann: :<math> \iint_{\gamma_{_V}} f(z) \, d^2\!z = \sum_{k=1}^4 (-1)^{k+1} \cdot F_\Box(z_k) </math> === Veranschaulichung - orientierte Fläche - Viereck === [[File:Viereck v01.gif|300px|center|Animation oriented surface for arbitray polygon]] === Viereck als Konvexkombination von Konvexkombinationen === In der obigen Animation ist zu erkennen, dass das Viereck als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombination auf den Seiten <math>\langle z_1, z_2 \rangle</math> und <math>\langle z_4, z_3 \rangle</math> gebildet wurde. === Bemerkung - Vorzeichen vor der Flächenstammfunktion=== Mit dem Vorzeichenwechsel für die [[Flächenstammfunktion]] in Abhängigkeit von dem Index <math>k</math> von <math>z_k</math> erhält man eine alternierende Summe <math> \sum_{k=1}^4 (-1)^{k+1} \cdot\ldots </math> analog zum Rechteck. Die Markierung der Eckpunkte <math>z_k</math> mit <math>\oplus</math> und <math>\ominus</math> in der obigen Animation kennzeichnet, das Vorzeichen der Flächenstammfunktion in dem Punkt. === Alternierender Randweg === Ferner lässt sich für ein beliebiges Viereck als messbare Menge das [[orientierte Fläche|orientierte Flächenintegral]] als einen Integral über eine [[alternierender Randweg|alternierenden Randweg]] bzgl. der Stammfunktion beschreiben. Das alternierende Vorzeichen <math> \sum_{k=1}^4 (-1)^{k+1} \cdot F_{_\Box}(z_k) </math> aus dem Lemma führt zu einem wechselnder Orientiertung der Darstellung als Integral über alternierenden Randweg. == Beweis - Lemma für Viereckintegrale == Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] besitzt <math>f</math> über die [[Holomorphiekriterien]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Gebieten. Für das Viereck mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3,z_4</math> gilt nach Vorraussetzung, dass die konvexe Hülle <math>Conv(\{z_1,z_2,z_3,z_4\})\subset G</math> in <math>G</math> liegt. So gibt es eine Stammfunktion <math>F</math> (siehe [[Stammfunktion als Wegintegral]]). Ferner gibt es dann [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Stammfunktionen beliebig hoher Ordnung]] (siehe [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Satz über Stammfunktionen]]). Das Flächenintegral wird durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_V} : [0,1] \times [0,1] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_V}(t_1,t_2)</math> definiert. === Beweisschritt 1 - Berechnung des Gradienten === Zunächst wird der Gradient der orientierten Fläche bestimmt: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_V}(t_1,t_2) & = & (1-t_2) \bigg((1-t_1)z_1 + t_1 z_2\bigg) + t_2 \bigg((1-t_1)z_4 + t_2z_3\bigg) \\ \frac{d\gamma_{_V}}{dt_1}(t_1,t_2) &=& (z_3-z_4)\cdot t_2 + (z_2-z_1)\cdot (1-t_2) \\ \frac{d\gamma_{_V}}{dt_2}(t_1,t_2) &=& z_4 + (z_3-z_4)\cdot t_1 - z_1 - (z_2-z_1)\cdot t_2 \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 2 - Definition Flächenintegral === Für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:G\to \mathbb{C}</math> ist das [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegral]] über das Viereck <math>V\subset G</math> allgemein durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_V} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_V}(t_1,t_2)</math> definiert. :<math> \iint_{\gamma_{_V}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma_{_V}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_V}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_V}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die partiellen Ableitungen von <math>\gamma_{_V}(t_1,t_2)</math> für die [[orientierte Fläche]] wurden in Beweisschritt 1 berechnet. === Beweisschritt 3 - Berechnung des inneren Wegintegrals === Eine [[holomorphe Funktion]] besitzt auf [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebieten (also inbesondere [[w:de:konvexe Menge|konvexen Mengen]]) eine [[w:de:Stammfunktion|Stammfunktion]]. Sei <math>F</math> nun eine Stammfunktion von <math>f</math> auf einer konvexen offenen Menge <math> U \subset G </math>, die das Viereck <math>V\subset U</math> enthält. Wenn <math>f</math> eine Stammfunktion <math>F</math> besitzt, ist das innere Integral ein Wegintegral von <math>[a_1,b_1]:=[0,1]</math> nach <math>U</math> und es gilt: :<math> \iint_{\gamma_{_V}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \bigg( F\big(\gamma_{_V}(1,t_2)\big) - F\big(\gamma_{_V}(0,t_2)\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_V}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Nun wird für das äußere Integral die partiellen Ableitungen <math>\tfrac{d\gamma_{_V}}{dt_2}(t_1,t_2) </math> aus Beweisschritt 1 verwendet. === Beweisschritt 4 - Stammfunktion zweiter Ordnung === Da auch die Stammfunktion <math>F</math> auf der [[w:de:konvexe Menge|konvexen]] offenen Menge <math>U</math> mit <math>V\subset U \subset G</math> eine [[holomorphe Funktion]] ist, existiert auch für <math>F</math> eine Stammfunktion <math>F_\Box</math>. Die holomorphe Funktion <math>F_\Box : U \to \mathbb{C}</math> ist eine [[Flächenstammfunktion]] und damit eine Stammfunktion 2. Ordnung. Es gilt daher alle <math>z\in U</math>: :<math> (F_\Box)''(z) = F'(z) = f(z) </math> Nach dem [[Differenzsatz für Stammfunktionen]] unterscheiden sich zwei beliebige [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] um einen [[affine Abbildung|affinen Term]] <math>p(z)=a_1\cdot z + a_0</math> mit <math>a_0,a_1 \in \mathbb{C}</math>. === Beweisschritt 5 - Berechnung des äußeren Wegintegrals === Mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box</math> als Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> auf einer konvexen offenen Menge <math> U \subset G </math>, kann man nun auch das äußere Integral für das Rechteck <math>R\subset U</math> für die holomorphe Funktion <math>F</math> berechnen. Das äußere Integral ist wieder ein Wegintegral von <math>[a_2,b_2]:= [0,1]</math> nach <math>U</math>. Wenn man die partielle Ableitung <math>\tfrac{d\gamma_{_V}}{dt_2}(t_1,t_2)</math> in Beweisschritt 2 einsetzt, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_V}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z & = & \displaystyle \int_{a_2}^{b_2} \!\! \bigg( F\big(\gamma_{_V}(1,t_2)\big) - F\big(\gamma_{_V}(0,t_2)\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_V}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\, dt_2 \\ & = & \displaystyle \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_R}(1,t_2)\big) \bigg]_{a_2}^{b_2} - \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_R}(0,t_2)\big) \bigg]_{a_2}^{b_2} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Eckpunkt des Vierecks === Durch die Differenz der [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_\Box</math> wertet die Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in den Eckpunkten des Vierecks <math>V</math> aus. Damit erhält man mit <math>[a_2,b_2]= [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{lc} \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_V}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_V}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} & = \\ \displaystyle \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_V}(1,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_V}(1,0)\big) \bigg) - \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_V}(0,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_V}(0,0)\big) \bigg) & = \\ F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_V}(1,1)}_{=:z_{3}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_V}(1,0)}_{=:z_{2}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_V}(0,1)}_{=:z_{4}}\big) + F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_V}(0,0)}_{=:z_{1}}\big) \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Flächenstammfunktionsumme === Insgesamt erhält man für das Flächenintegral über das [[orientierte Fläche|orientierte Viereck]] <math>\gamma_{_V}</math> die folgende Summe der Auswertungen der Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> in den Eckpunkten <math>z_1, z_2, z_3</math> und <math>z_4</math> von <math>V</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_V}} f(z) \, d^2\!z & = & -F_{_\Box}(z_4)+F_{_\Box}(z_3)-F_{_\Box}(z_2)+F_{_\Box}(z_1) \\ & = & \displaystyle \sum_{k=1}^4 (-1)^{k+1} \cdot F_{_\Box}(z_3) \end{array} </math> <math>q.e.d.</math> == Siehe auch == * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Flächenintegrale über Vierecke]] * [[Flächenintegrale über Kreisscheiben]] * [[Konvexkombination]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Vierecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Vierecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Vierecke https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Vierecke] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Vierecke Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Vierecke * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Vierecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] 66chuj1nabwh16y2bkymggflfjdig89 1115612 1115611 2026-10-09T09:07:51Z ~2026-53307-89 41916 /* Beweisschritt 1 - Berechnung des Gradienten */ 1115612 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Bei der Behandlung von [[orientierte Fläche|orientierten Flächen]] hängt der Wert des Integrals analog zum [[Wegintegral]] nur von den Ecken der orientierten Fläche ab. Dies zeigt auch die folgende Behandlung von beliebigen Vierecken im Vergleich zum [[Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegral über ein Rechteck]]. == Lemma - Viereckintegral über Flächenstammfunktionen == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box</math>. Das Viereck <math>V:=\mathcal{V}(z_1,z_2,z_3,z_4)</math> mit <math>Conv(\{z_1,z_2,z_3,z_4\})\subset G</math> wird durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_{V}} : [0,1] \times [0,1] \to \mathbb{C}</math> mit :<math>\gamma_{_V}(t_1,t_2):=(1-t_2) \bigg((1-t_1)z_1 + t_1 z_2\bigg) + t_2 \bigg((1-t_1)z_4 + t_1z_3\bigg) </math> definiert. Für das Flächenintegral über das orientierte Viereck <math>\gamma_{_V}</math> gilt dann: :<math> \iint_{\gamma_{_V}} f(z) \, d^2\!z = \sum_{k=1}^4 (-1)^{k+1} \cdot F_\Box(z_k) </math> === Veranschaulichung - orientierte Fläche - Viereck === [[File:Viereck v01.gif|300px|center|Animation oriented surface for arbitray polygon]] === Viereck als Konvexkombination von Konvexkombinationen === In der obigen Animation ist zu erkennen, dass das Viereck als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombination auf den Seiten <math>\langle z_1, z_2 \rangle</math> und <math>\langle z_4, z_3 \rangle</math> gebildet wurde. === Bemerkung - Vorzeichen vor der Flächenstammfunktion=== Mit dem Vorzeichenwechsel für die [[Flächenstammfunktion]] in Abhängigkeit von dem Index <math>k</math> von <math>z_k</math> erhält man eine alternierende Summe <math> \sum_{k=1}^4 (-1)^{k+1} \cdot\ldots </math> analog zum Rechteck. Die Markierung der Eckpunkte <math>z_k</math> mit <math>\oplus</math> und <math>\ominus</math> in der obigen Animation kennzeichnet, das Vorzeichen der Flächenstammfunktion in dem Punkt. === Alternierender Randweg === Ferner lässt sich für ein beliebiges Viereck als messbare Menge das [[orientierte Fläche|orientierte Flächenintegral]] als einen Integral über eine [[alternierender Randweg|alternierenden Randweg]] bzgl. der Stammfunktion beschreiben. Das alternierende Vorzeichen <math> \sum_{k=1}^4 (-1)^{k+1} \cdot F_{_\Box}(z_k) </math> aus dem Lemma führt zu einem wechselnder Orientiertung der Darstellung als Integral über alternierenden Randweg. == Beweis - Lemma für Viereckintegrale == Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] besitzt <math>f</math> über die [[Holomorphiekriterien]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Gebieten. Für das Viereck mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3,z_4</math> gilt nach Vorraussetzung, dass die konvexe Hülle <math>Conv(\{z_1,z_2,z_3,z_4\})\subset G</math> in <math>G</math> liegt. So gibt es eine Stammfunktion <math>F</math> (siehe [[Stammfunktion als Wegintegral]]). Ferner gibt es dann [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Stammfunktionen beliebig hoher Ordnung]] (siehe [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Satz über Stammfunktionen]]). Das Flächenintegral wird durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_V} : [0,1] \times [0,1] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_V}(t_1,t_2)</math> definiert. === Beweisschritt 1 - Berechnung des Gradienten === Zunächst wird der Gradient der orientierten Fläche bestimmt: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_V}(t_1,t_2) & = & (1-t_2) \bigg((1-t_1)z_1 + t_1 z_2\bigg) + t_2 \bigg((1-t_1)z_4 + t_1z_3\bigg) \\ \frac{d\gamma_{_V}}{dt_1}(t_1,t_2) &=& (z_3-z_4)\cdot t_2 + (z_2-z_1)\cdot (1-t_2) \\ \frac{d\gamma_{_V}}{dt_2}(t_1,t_2) &=& z_4 + (z_3-z_4)\cdot t_1 - z_1 - (z_2-z_1)\cdot t_2 \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 2 - Definition Flächenintegral === Für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:G\to \mathbb{C}</math> ist das [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegral]] über das Viereck <math>V\subset G</math> allgemein durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_V} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_V}(t_1,t_2)</math> definiert. :<math> \iint_{\gamma_{_V}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma_{_V}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_V}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_V}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die partiellen Ableitungen von <math>\gamma_{_V}(t_1,t_2)</math> für die [[orientierte Fläche]] wurden in Beweisschritt 1 berechnet. === Beweisschritt 3 - Berechnung des inneren Wegintegrals === Eine [[holomorphe Funktion]] besitzt auf [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebieten (also inbesondere [[w:de:konvexe Menge|konvexen Mengen]]) eine [[w:de:Stammfunktion|Stammfunktion]]. Sei <math>F</math> nun eine Stammfunktion von <math>f</math> auf einer konvexen offenen Menge <math> U \subset G </math>, die das Viereck <math>V\subset U</math> enthält. Wenn <math>f</math> eine Stammfunktion <math>F</math> besitzt, ist das innere Integral ein Wegintegral von <math>[a_1,b_1]:=[0,1]</math> nach <math>U</math> und es gilt: :<math> \iint_{\gamma_{_V}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \bigg( F\big(\gamma_{_V}(1,t_2)\big) - F\big(\gamma_{_V}(0,t_2)\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_V}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Nun wird für das äußere Integral die partiellen Ableitungen <math>\tfrac{d\gamma_{_V}}{dt_2}(t_1,t_2) </math> aus Beweisschritt 1 verwendet. === Beweisschritt 4 - Stammfunktion zweiter Ordnung === Da auch die Stammfunktion <math>F</math> auf der [[w:de:konvexe Menge|konvexen]] offenen Menge <math>U</math> mit <math>V\subset U \subset G</math> eine [[holomorphe Funktion]] ist, existiert auch für <math>F</math> eine Stammfunktion <math>F_\Box</math>. Die holomorphe Funktion <math>F_\Box : U \to \mathbb{C}</math> ist eine [[Flächenstammfunktion]] und damit eine Stammfunktion 2. Ordnung. Es gilt daher alle <math>z\in U</math>: :<math> (F_\Box)''(z) = F'(z) = f(z) </math> Nach dem [[Differenzsatz für Stammfunktionen]] unterscheiden sich zwei beliebige [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] um einen [[affine Abbildung|affinen Term]] <math>p(z)=a_1\cdot z + a_0</math> mit <math>a_0,a_1 \in \mathbb{C}</math>. === Beweisschritt 5 - Berechnung des äußeren Wegintegrals === Mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box</math> als Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> auf einer konvexen offenen Menge <math> U \subset G </math>, kann man nun auch das äußere Integral für das Rechteck <math>R\subset U</math> für die holomorphe Funktion <math>F</math> berechnen. Das äußere Integral ist wieder ein Wegintegral von <math>[a_2,b_2]:= [0,1]</math> nach <math>U</math>. Wenn man die partielle Ableitung <math>\tfrac{d\gamma_{_V}}{dt_2}(t_1,t_2)</math> in Beweisschritt 2 einsetzt, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_V}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z & = & \displaystyle \int_{a_2}^{b_2} \!\! \bigg( F\big(\gamma_{_V}(1,t_2)\big) - F\big(\gamma_{_V}(0,t_2)\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_V}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\, dt_2 \\ & = & \displaystyle \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_R}(1,t_2)\big) \bigg]_{a_2}^{b_2} - \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_R}(0,t_2)\big) \bigg]_{a_2}^{b_2} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Eckpunkt des Vierecks === Durch die Differenz der [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_\Box</math> wertet die Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in den Eckpunkten des Vierecks <math>V</math> aus. Damit erhält man mit <math>[a_2,b_2]= [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{lc} \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_V}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_V}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} & = \\ \displaystyle \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_V}(1,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_V}(1,0)\big) \bigg) - \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_V}(0,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_V}(0,0)\big) \bigg) & = \\ F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_V}(1,1)}_{=:z_{3}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_V}(1,0)}_{=:z_{2}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_V}(0,1)}_{=:z_{4}}\big) + F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_V}(0,0)}_{=:z_{1}}\big) \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Flächenstammfunktionsumme === Insgesamt erhält man für das Flächenintegral über das [[orientierte Fläche|orientierte Viereck]] <math>\gamma_{_V}</math> die folgende Summe der Auswertungen der Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> in den Eckpunkten <math>z_1, z_2, z_3</math> und <math>z_4</math> von <math>V</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_V}} f(z) \, d^2\!z & = & -F_{_\Box}(z_4)+F_{_\Box}(z_3)-F_{_\Box}(z_2)+F_{_\Box}(z_1) \\ & = & \displaystyle \sum_{k=1}^4 (-1)^{k+1} \cdot F_{_\Box}(z_3) \end{array} </math> <math>q.e.d.</math> == Siehe auch == * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Flächenintegrale über Vierecke]] * [[Flächenintegrale über Kreisscheiben]] * [[Konvexkombination]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Vierecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Vierecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Vierecke https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Vierecke] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Vierecke Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Vierecke * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Vierecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] l1n5rg89bbfx4lwwaa79j8e9gfqsoh0 106 170548 1115608 1114002 2026-10-09T07:02:28Z Bocardodarapti 2041 1115608 wikitext text/x-wiki Vorlesung (mit Übungsanteilen) Dienstag: 10:00 - 12:00, wöchentlich (ab 13.10.2026), Ort: 32/110 Donnerstag: 10:00 - 12:00, wöchentlich (ab 15.10.2026), Ort: 93/E06 Freitag: 10:00 - 12:00, wöchentlich (ab 16.10.2026), Ort: 69/117 Vorrechenübung Donnerstag: 12:00 - 14:00, wöchentlich (ab 22.10.2026), Übung (zur Vorlesung und zu Aufgaben) Freitag: 12:00 - 14:00, wöchentlich (ab 16.10.2026), Übung, Ort: 69/117 Tutorium Dienstag: 8:00 - 10:00, wöchentlich (ab 13.10.2026), Vorlesung, Ort: 32/110 <noinclude>[[Kategorie:Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2026-2027)/Teil I/Information]]</noinclude> ms9k9ug83keoxqexw78hato7q9n93ud 1115609 1115608 2026-10-09T07:02:49Z Bocardodarapti 2041 1115609 wikitext text/x-wiki Vorlesung (mit Übungsanteilen) Dienstag: 10:00 - 12:00, wöchentlich (ab 13.10.2026), Ort: 32/110 Donnerstag: 10:00 - 12:00, wöchentlich (ab 15.10.2026), Ort: 93/E06 Freitag: 10:00 - 12:00, wöchentlich (ab 16.10.2026), Ort: 69/117 Vorrechenübung Donnerstag: 12:00 - 14:00, wöchentlich (ab 22.10.2026), Übung (zur Vorlesung und zu Aufgaben) Freitag: 12:00 - 14:00, wöchentlich (ab 16.10.2026), Übung, Ort: 69/117 Tutorium Dienstag: 8:00 - 10:00, wöchentlich (ab 13.10.2026), <noinclude>[[Kategorie:Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2026-2027)/Teil I/Information]]</noinclude> npx75mfnsiynpvq24e68zqyf30wwjlj 1115610 1115609 2026-10-09T07:03:09Z Bocardodarapti 2041 1115610 wikitext text/x-wiki Vorlesung (mit Übungsanteilen) Dienstag: 10:00 - 12:00, wöchentlich (ab 13.10.2026), Ort: 32/110 Donnerstag: 10:00 - 12:00, wöchentlich (ab 15.10.2026), Ort: 93/E06 Freitag: 10:00 - 12:00, wöchentlich (ab 16.10.2026), Ort: 69/117 Vorrechenübung Donnerstag: 12:00 - 14:00, wöchentlich (ab 22.10.2026), Übung (zur Vorlesung und zu Aufgaben) Freitag: 12:00 - 14:00, wöchentlich (ab 16.10.2026), Ort: 69/117 Tutorium Dienstag: 8:00 - 10:00, wöchentlich (ab 13.10.2026), <noinclude>[[Kategorie:Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2026-2027)/Teil I/Information]]</noinclude> o6nve8sftgikl2oeb1nz2qvv3xewlkd 1115622 1115610 2026-10-09T11:39:29Z Bocardodarapti 2041 1115622 wikitext text/x-wiki Vorlesung (mit Übungsanteilen) Dienstag: 10:00 - 12:00, wöchentlich (ab 13.10.2026), Ort: 32/110 Donnerstag: 10:00 - 12:00, wöchentlich (ab 15.10.2026), Ort: 93/E06 Freitag: 10:00 - 12:00, wöchentlich (ab 16.10.2026), Ort: 69/117 Vorrechenübung Donnerstag: 12:00 - 14:00, wöchentlich (ab 22.10.2026), 93/E33 Übung (zur Vorlesung und zu Aufgaben) Freitag: 12:00 - 14:00, wöchentlich (ab 16.10.2026), Ort: 69/117 Tutorium Dienstag: 8:00 - 10:00, wöchentlich (ab 13.10.2026), <noinclude>[[Kategorie:Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2026-2027)/Teil I/Information]]</noinclude> kvj4nly39ayn132x5m77ec2uzwtyp48 106 170570 1115601 1109940 2026-10-08T16:07:14Z Bocardodarapti 2041 1115601 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2026-2027)/Teil I/Vorlesungsgestaltung|2| {{Mottomitauflistung |verwenden eingeführte mathematische Fachbegriffe sachgerecht. |beschreiben mathematische Sachverhalte mit eigenen Worten und finden dazu Fragestellungen. |stellen Vermutungen über mathematische Sachverhalte an, begründen und überprüfen sie. |entdecken und beschreiben mathematische Zusammenhänge. |beschreiben und begründen eigene Lösungswege und reflektieren darüber. |überprüfen mathematische Aussagen, kennzeichnen sie als richtig oder falsch und begründen dies.|Prätext=Die Schülerinnen und Schüler |Autor=Die erwarteten Kompetenzen am Ende des Schuljahrganges 4 im Kompetenzbereich Kommunizieren/Argumentieren aus dem niedersächsischen Kerncurriculum für die Grundschule (2006) }} {{Zwischenüberschrift|Mathematisches Argumentieren}} {{:Mathematische Argumentation/Kurzeinführung/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|Definitionen}} {{:Mathematische Argumentation/Definitionen/Einführung/Textabschnitt|zusatz1=Fußnote}} {{Zwischenüberschrift|Gerade und und ungerade Zahlen}} {{:Mathematische Argumentation/Gerade und und ungerade Zahlen/Einführung/Textabschnitt}} {{Fußnotenliste}} }} 62jf8ihw8uendhyotven6k834ep0wh6 106 170994 1115624 1080632 2026-10-09T11:58:51Z Bocardodarapti 2041 1115624 wikitext text/x-wiki *[[Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2026-2027)/Information/Inhalt|Information zum Inhalt]] *[[Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2026-2027)/Information/Ort und Zeit|Ort und Zeit]] *[[Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2026-2027)/Information/Klausur|Information zur Klausur]] <noinclude>[[Kategorie:Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2026-2027)/Hilfsstruktur]]</noinclude> p9ol98y35xot1k4846a49koaxmuyj8i 106 170996 1115623 1080634 2026-10-09T11:58:28Z Bocardodarapti 2041 1115623 wikitext text/x-wiki Vorlesung Montag, 12:00 - 14:00, in 69/125 Mittwoch, 12:00 - 14:00, in 69/125 <noinclude>[[Kategorie:Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2026-2027)/Information]]</noinclude> 82km0uqg4nhqc5fk8dcf6qddsh1mccu 0 172370 1115599 1110166 2026-10-08T15:57:55Z Bocardodarapti 2041 1115599 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Damit eine Argumentation stichhaltig sein kann, müssen die verwendeten Begriffe klar und eindeutig festgelegt sein. Dazu dienen Definitionen. Definitionen kommen in allen Wissenschaften vor, aber auch in Gesetzen, Ausführeungsbestimmungen Spielanleitungen, Regelwerken. Es besteht ein großer Unterschied zu der {{Anführung|natürlichen Weise|SZ=,}} wie man im Allgemeinen die Bedeutung von Wörtern kennenlernt. Im natürlichen Spracherwerb lernt man neue Wörter, ihre Bedeutung und ihre Verwendung durch typische aussagekräftige Beispiele. Was ein Busch, ein Baum, ein Ast, ein Zweig ist, lernt man, indem auf diese Dinge gezeigt und entsprechend benannt werden. Wenn der Spracherwerb fortgeschritten ist, kann man Begriffe auch beschreibend einführen, wenn man beispielsweise sagt, ein Nadelbaum ist ein Baum mit einer bestimmten {{Anführung|nadelförmigen}} Blätterform. Komplexere Konzepte wie {{Anführung|Begründung|SZ=,}} {{Anführung|Analogie|SZ=,}}{{Anführung|Hierarchie}} werden durch typische Beispiele vermittelt. Dieser Begriffserwerb funktioniert erstaunlich gut. Es braucht nur einige wenige Beispielsituationen, um zu vermitteln, wann man eher Baum oder eher Busch sagt. Das liegt daran, dass die Objekte in der visuellen Wahrnehmung eine große Distanz besitzen und es wenige Grenzfälle gibt. Es sei bemerkt, dass eine KI ähnlich operiert und ziemlich schnell lernt, wann sie bei einem Foto Baum oder Busch oder Hund oder Katze sagen soll. Eine wissenschaftliche Definition ist etwas grundsätzlich anderes als. In einer Definition wird ein Begriff {{ Zusatz/Klammer |text=ein neues Wort| |ISZ=|ESZ= }} dadurch festgelegt, dass logisch-sprachlich fixiert wird, in welcher Situation dieser Begriff welche Bedeutung besitzt. Dabei wird oft Bezug auf zuvor eingeführte Begriffe genommen. Eine Definition ist nur dann korrekt, wenn in grundsätzlich jeder Situation stets klar ist, wie der Begriff zu verstehen ist. Ein Bezug auf Beispiele gehört nie zur Definition! Aber: Beispiele sind zur groben Orientierung, was mit der Definition gemeint ist, zum Verständnis sehr wichtig, und zwar sowohl Beispiele, die unter die Definition fallen, als auch Beispiele, die nicht unter die Definition fallen. Die geforderte Klarheit einer Definition erfordert nicht, dass jeder Mensch in jeder Situation einfach entscheiden kann, ob die Definition zutrifft oder nicht, sondern nur, dass grundsätzlich nur das eine oder das andere gelten kann. Wenn man beispielsweise sagt, eine natürliche Zahl {{math|term= x |SZ=}} heißt eine Quadratzahl, wenn es eine natürliche Zahl {{math|term= y |SZ=}} mit {{ Relationskette | x || y^2 || || || |SZ= }} gibt, so kann das grundsätzlich sein oder nicht sein. Ob es einen einfachen Test dafür gibt, zu entscheiden, ob beispielsweise {{mathl|term= 243 049 |SZ=}} eine Quadratzahl ist, wird damit nicht gesagt oder gefordert. Häufig, und dies trifft insbesondere in der elementaren Mathemtik auf, werden in wissenschaftlichen Definitionen Begriffe eingeführt, die man aus dem Alltag oder aus der Schule schon kennt, für die man ein Vorverständnis hat, die intuitiv zugänglich sind, die zumindest eine Assoziationskette auslösen. Zwischen einer Definition und der intuitiven Vorstellung treten folgende Diskrepanzen auf. {{ Aufzählung3 |Der intuitive Zugang hat sich anhand von Beispielen entwickelt. Es ist häufig überaschend, wie die begriffliche Fixierung aussieht. |Es ist zu überprüfen, ob die Definition mit dem intuitiv Gemeinten übereinstimmt. |Die Situation, in der die Definition fixiert wird, weicht von den Situationen ab, in denen die Vokabel intuitiv werwendet wird. }} Es ist ein wichtiger Aspekt des Lernprozesses, diese Diskrepanzen wahrzunehmen und zu überwinden. Einige Beobachtungen zu diesen Punkten: (1) Sprachliche Präzision erfordert eine enorme geistige Anstrengung. Es ist einfacher, {{Anführung|sowas wie}} zu sagen. (2) Im wissenschaftlichen Kontext ist immer die Definition das Maß der Dinge, die Intuition muss sich weiterentwickeln. (3) Z.B. ist {{math|term= 0 |SZ=}} eine Quadratzahl, das hört sich für manche Leute komisch an, oder Primzahlen werden innerhalb der ganzen Zahlen definiert. Wir besprechen einige Beispiele aus nichtmathematischen Bereichen. Abseitsregel im Fifa-Regelwerk (Regel 11) Die meisten Leute, die Fußball gucken, erkennen intuitiv, was abseits ist. Es ist aber ziemlich aufwändig und kompliziert, eine präzise Definition dafür zu geben. Das Regelwerk muss aber hieb- und stichfest sein, und genau zwischen abseits und nichtabseits unterscheiden können. Es muss sprachlich exakt formuliert sein, da man sich ja letztlich darauf berufen will. Abseitsstellung Ein Spieler befindet sich in einer Abseitsstellung, wenn er sich mit irgendeinem Teil des Kopfs, Rumpfs oder der Füße in der gegnerischen Hälfte (ohne die Mittellinie) befindet und er mit irgendeinem Teil des Kopfs, des Rumpfs oder der Füße der gegnerischen Torlinie näher ist als der Ball und der vorletzte Gegenspieler. Die Hände und Arme aller Spieler, einschließlich der Torhüter, werden dabei nicht berücksichtigt. Ein Spieler befindet sich nicht in einer Abseitsstellung, wenn er sich auf derselben Höhe wie der vorletzte Gegenspieler oder die letzten beiden Gegenspieler befindet. Daran schließt sich erst, was unter einem Abseitsvergehen zu verstehen ist. Strafgesetzbuch, Paragraph 211 (2) Mörder ist, wer aus Mordlust, zur Befriedigung des Geschlechtstriebs, aus Habgier oder sonst aus niedrigen Beweggründen, heimtückisch oder grausam oder mit gemeingefährlichen Mitteln oder um eine andere Straftat zu ermöglichen oder zu verdecken, einen Menschen tötet. Reim {{ inputbemerkung |Definition/Sprachliche Gestalt/Primzahl und Strom/Bemerkung|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Prinzipien der Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd |pdf= }} dzmadvwpw2jfang25fwlzrow4ccvqnw 1115600 1115599 2026-10-08T16:06:17Z Bocardodarapti 2041 1115600 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Damit eine Argumentation stichhaltig sein kann, müssen die verwendeten Begriffe klar und eindeutig festgelegt sein. Dazu dienen Definitionen. Definitionen kommen in allen Wissenschaften vor, aber auch in Gesetzen, Ausführeungsbestimmungen Spielanleitungen, Regelwerken. Es besteht ein großer Unterschied zu der {{Anführung|natürlichen Weise|SZ=,}} wie man im Allgemeinen die Bedeutung von Wörtern kennenlernt. Im natürlichen Spracherwerb lernt man neue Wörter, ihre Bedeutung und ihre Verwendung durch typische aussagekräftige Beispiele. Was ein Busch, ein Baum, ein Ast, ein Zweig ist, lernt man, indem auf diese Dinge gezeigt und entsprechend benannt werden. Wenn der Spracherwerb fortgeschritten ist, kann man Begriffe auch beschreibend einführen, wenn man beispielsweise sagt, ein Nadelbaum ist ein Baum mit einer bestimmten {{Anführung|nadelförmigen}} Blätterform. Komplexere Konzepte wie {{Anführung|Begründung|SZ=,}} {{Anführung|Analogie|SZ=,}}{{Anführung|Hierarchie}} werden durch typische Beispiele vermittelt. Dieser Begriffserwerb funktioniert erstaunlich gut. Es braucht nur einige wenige Beispielsituationen, um zu vermitteln, wann man eher Baum oder eher Busch sagt. Das liegt daran, dass die Objekte in der visuellen Wahrnehmung eine große Distanz besitzen und es wenige Grenzfälle gibt. Es sei bemerkt, dass eine KI ähnlich operiert und ziemlich schnell lernt, wann sie bei einem Foto Baum oder Busch oder Hund oder Katze sagen soll. Eine wissenschaftliche Definition ist etwas grundsätzlich anderes als. In einer Definition wird ein Begriff {{ Zusatz/Klammer |text=ein neues Wort| |ISZ=|ESZ= }} dadurch festgelegt, dass logisch-sprachlich fixiert wird, in welcher Situation dieser Begriff welche Bedeutung besitzt. Dabei wird oft Bezug auf zuvor eingeführte Begriffe genommen. Eine Definition ist nur dann korrekt, wenn in grundsätzlich jeder Situation stets klar ist, wie der Begriff zu verstehen ist. Ein Bezug auf Beispiele gehört nie zur Definition! Aber: Beispiele sind zur groben Orientierung, was mit der Definition gemeint ist, zum Verständnis sehr wichtig, und zwar sowohl Beispiele, die unter die Definition fallen, als auch Beispiele, die nicht unter die Definition fallen. Die geforderte Klarheit einer Definition erfordert nicht, dass jeder Mensch in jeder Situation einfach entscheiden kann, ob die Definition zutrifft oder nicht, sondern nur, dass grundsätzlich nur das eine oder das andere gelten kann. Wenn man beispielsweise sagt, eine natürliche Zahl {{math|term= x |SZ=}} heißt eine Quadratzahl, wenn es eine natürliche Zahl {{math|term= y |SZ=}} mit {{ Relationskette | x || y^2 || || || |SZ= }} gibt, so kann das grundsätzlich sein oder nicht sein. Ob es einen einfachen Test dafür gibt, zu entscheiden, ob beispielsweise {{mathl|term= 243 049 |SZ=}} eine Quadratzahl ist, wird damit nicht gesagt oder gefordert. Häufig, und dies trifft insbesondere in der elementaren Mathemtik auf, werden in wissenschaftlichen Definitionen Begriffe eingeführt, die man aus dem Alltag oder aus der Schule schon kennt, für die man ein Vorverständnis hat, die intuitiv zugänglich sind, die zumindest eine Assoziationskette auslösen. Zwischen einer Definition und der intuitiven Vorstellung treten folgende Diskrepanzen auf {{ Zusatz/{{{zusatz1|}}} |text={{:Mathematik/Prinzipien/Intuition/Bemerkung}}| |ISZ=|ESZ=. }} {{ Aufzählung3 |Der intuitive Zugang hat sich anhand von Beispielen entwickelt. Es ist häufig überaschend, wie die begriffliche Fixierung aussieht. |Es ist zu überprüfen, ob die Definition mit dem intuitiv Gemeinten übereinstimmt. |Die Situation, in der die Definition fixiert wird, weicht von den Situationen ab, in denen die Vokabel intuitiv werwendet wird. }} Es ist ein wichtiger Aspekt des Lernprozesses, diese Diskrepanzen wahrzunehmen und zu überwinden. Einige Beobachtungen zu diesen Punkten: (1) Sprachliche Präzision erfordert eine enorme geistige Anstrengung. Es ist einfacher, {{Anführung|sowas wie}} zu sagen. (2) Im wissenschaftlichen Kontext ist immer die Definition das Maß der Dinge, die Intuition muss sich weiterentwickeln. (3) Z.B. ist {{math|term= 0 |SZ=}} eine Quadratzahl, das hört sich für manche Leute komisch an, oder Primzahlen werden innerhalb der ganzen Zahlen definiert. Wir besprechen einige Beispiele aus nichtmathematischen Bereichen. Abseitsregel im Fifa-Regelwerk (Regel 11) Die meisten Leute, die Fußball gucken, erkennen intuitiv, was abseits ist. Es ist aber ziemlich aufwändig und kompliziert, eine präzise Definition dafür zu geben. Das Regelwerk muss aber hieb- und stichfest sein, und genau zwischen abseits und nichtabseits unterscheiden können. Es muss sprachlich exakt formuliert sein, da man sich ja letztlich darauf berufen will. Abseitsstellung Ein Spieler befindet sich in einer Abseitsstellung, wenn er sich mit irgendeinem Teil des Kopfs, Rumpfs oder der Füße in der gegnerischen Hälfte (ohne die Mittellinie) befindet und er mit irgendeinem Teil des Kopfs, des Rumpfs oder der Füße der gegnerischen Torlinie näher ist als der Ball und der vorletzte Gegenspieler. Die Hände und Arme aller Spieler, einschließlich der Torhüter, werden dabei nicht berücksichtigt. 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Was ein Busch, ein Baum, ein Ast, ein Zweig ist, lernt man, indem auf diese Dinge gezeigt und entsprechend benannt werden. Wenn der Spracherwerb fortgeschritten ist, kann man Begriffe auch beschreibend einführen, wenn man beispielsweise sagt, ein Nadelbaum ist ein Baum mit einer bestimmten {{Anführung|nadelförmigen}} Blätterform. Komplexere Konzepte wie {{Anführung|Begründung|SZ=,}} {{Anführung|Analogie|SZ=,}}{{Anführung|Hierarchie}} werden durch typische Beispiele vermittelt. Dieser Begriffserwerb funktioniert erstaunlich gut. Es braucht nur einige wenige Beispielsituationen, um zu vermitteln, wann man eher Baum oder eher Busch sagt. Das liegt daran, dass die Objekte in der visuellen Wahrnehmung eine große Distanz besitzen und es wenige Grenzfälle gibt. Es sei bemerkt, dass eine KI ähnlich operiert und ziemlich schnell lernt, wann sie bei einem Foto Baum oder Busch oder Hund oder Katze sagen soll. Eine wissenschaftliche Definition ist etwas grundsätzlich anderes als. In einer Definition wird ein Begriff {{ Zusatz/Klammer |text=ein neues Wort| |ISZ=|ESZ= }} dadurch festgelegt, dass logisch-sprachlich fixiert wird, in welcher Situation dieser Begriff welche Bedeutung besitzt. Dabei wird oft Bezug auf zuvor eingeführte Begriffe genommen. Eine Definition ist nur dann korrekt, wenn in grundsätzlich jeder Situation stets klar ist, wie der Begriff zu verstehen ist. Ein Bezug auf Beispiele gehört nie zur Definition! Aber: Beispiele sind zur groben Orientierung, was mit der Definition gemeint ist, zum Verständnis sehr wichtig, und zwar sowohl Beispiele, die unter die Definition fallen, als auch Beispiele, die nicht unter die Definition fallen. Die geforderte Klarheit einer Definition erfordert nicht, dass jeder Mensch in jeder Situation einfach entscheiden kann, ob die Definition zutrifft oder nicht, sondern nur, dass grundsätzlich nur das eine oder das andere gelten kann. Wenn man beispielsweise sagt, eine natürliche Zahl {{math|term= x |SZ=}} heißt eine Quadratzahl, wenn es eine natürliche Zahl {{math|term= y |SZ=}} mit {{ Relationskette | x || y^2 || || || |SZ= }} gibt, so kann das grundsätzlich sein oder nicht sein. Ob es einen einfachen Test dafür gibt, zu entscheiden, ob beispielsweise {{mathl|term= 243 049 |SZ=}} eine Quadratzahl ist, wird damit nicht gesagt oder gefordert. Häufig, und dies trifft insbesondere in der elementaren Mathemtik auf, werden in wissenschaftlichen Definitionen Begriffe eingeführt, die man aus dem Alltag oder aus der Schule schon kennt, für die man ein Vorverständnis hat, die intuitiv zugänglich sind, die zumindest eine Assoziationskette auslösen. Zwischen einer Definition und der intuitiven Vorstellung treten folgende Diskrepanzen auf {{ Zusatz/{{{zusatz1|}}} |text={{:Mathematik/Prinzipien/Intuition/Bemerkung}}| |ISZ=|ESZ=. }} {{ Aufzählung3 |Der intuitive Zugang hat sich anhand von Beispielen entwickelt. Es ist häufig überaschend, wie die begriffliche Fixierung aussieht. |Es ist zu überprüfen, ob die Definition mit dem intuitiv Gemeinten übereinstimmt. |Die Situation, in der die Definition fixiert wird, weicht von den Situationen ab, in denen die Vokabel intuitiv werwendet wird. }} Es ist ein wichtiger Aspekt des Lernprozesses, diese Diskrepanzen wahrzunehmen und zu überwinden. Einige Beobachtungen zu diesen Punkten: (1) Sprachliche Präzision erfordert eine enorme geistige Anstrengung. Es ist einfacher, {{Anführung|sowas wie}} zu sagen. (2) Im wissenschaftlichen Kontext ist immer die Definition das Maß der Dinge, die Intuition muss sich weiterentwickeln. (3) Z.B. ist {{math|term= 0 |SZ=}} eine Quadratzahl, das hört sich für manche Leute komisch an, oder Primzahlen werden innerhalb der ganzen Zahlen definiert. Wir besprechen einige Beispiele aus nichtmathematischen Bereichen. {{ inputbeispiel |Abseits/Definition/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Mord/Definition/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Reim/Definition/Beispiel|| }} In diesem Kurs werden wir alle mathematischen Begriffe von Grund auf neu einführen und definieren. Insbesondere am Anfang werden wir aber auch Begriffe unter Bezug auf Schulwissen verwenden. Dies ist sinnvoll, um von Anfang an für den Gesamtkurs wichtige Sachverhalte an komplexen Beispielen erläutern zu können. So haben wir in der letzten Vorlesung die natürlichen Zahlen mit ihrer Addition und Multiplikation verwendet, ohne diese definiert zu haben. Wir werden aber diesen Zahlbereich und die darin auftretenden Operationen bald systematisach einführen. {{ inputbemerkung |Definition/Sprachliche Gestalt/Primzahl und Strom/Bemerkung|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Prinzipien der Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd |pdf= }} sqglslk2xohywlffcbgfe96m8jxf6ti 1115607 1115602 2026-10-09T06:45:44Z Bocardodarapti 2041 1115607 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Damit eine Argumentation stichhaltig sein kann, müssen die verwendeten Begriffe klar und eindeutig festgelegt sein. Dazu dienen Definitionen. Definitionen kommen in allen Wissenschaften vor, aber auch in Gesetzen, Ausführeungsbestimmungen Spielanleitungen, Regelwerken. Es besteht ein großer Unterschied zu der {{Anführung|natürlichen Weise|SZ=,}} wie man im Allgemeinen die Bedeutung von Wörtern kennenlernt. Im natürlichen Spracherwerb lernt man neue Wörter, ihre Bedeutung und ihre Verwendung durch typische aussagekräftige Beispiele. Was ein Busch, ein Baum, ein Ast, ein Zweig ist, lernt man, indem auf diese Dinge gezeigt und entsprechend benannt werden. Wenn der Spracherwerb fortgeschritten ist, kann man Begriffe auch beschreibend einführen, wenn man beispielsweise sagt, ein Nadelbaum ist ein Baum mit einer bestimmten {{Anführung|nadelförmigen}} Blätterform. Komplexere Konzepte wie {{Anführung|Begründung|SZ=,}} {{Anführung|Analogie|SZ=,}}{{Anführung|Hierarchie}} werden durch typische Beispiele vermittelt. Dieser Begriffserwerb funktioniert erstaunlich gut. Es braucht nur einige wenige Beispielsituationen, um zu vermitteln, wann man eher Baum oder eher Busch sagt. Das liegt daran, dass die Objekte in der visuellen Wahrnehmung eine große Distanz besitzen und es wenige Grenzfälle gibt. Es sei bemerkt, dass eine KI ähnlich operiert und ziemlich schnell lernt, wann sie bei einem Foto Baum oder Busch oder Hund oder Katze sagen soll. Eine wissenschaftliche Definition ist etwas grundsätzlich anderes als. In einer Definition wird ein Begriff {{ Zusatz/Klammer |text=ein neues Wort| |ISZ=|ESZ= }} dadurch festgelegt, dass logisch-sprachlich fixiert wird, in welcher Situation dieser Begriff welche Bedeutung besitzt. Dabei wird oft Bezug auf zuvor eingeführte Begriffe genommen. Eine Definition ist nur dann korrekt, wenn in grundsätzlich jeder Situation stets klar ist, wie der Begriff zu verstehen ist. Ein Bezug auf Beispiele gehört nie zur Definition! Aber: Beispiele sind zur groben Orientierung, was mit der Definition gemeint ist, zum Verständnis sehr wichtig, und zwar sowohl Beispiele, die unter die Definition fallen, als auch Beispiele, die nicht unter die Definition fallen. Die geforderte Klarheit einer Definition erfordert nicht, dass jeder Mensch in jeder Situation einfach entscheiden kann, ob die Definition zutrifft oder nicht, sondern nur, dass grundsätzlich nur das eine oder das andere gelten kann. Wenn man beispielsweise sagt, eine natürliche Zahl {{math|term= x |SZ=}} heißt eine Quadratzahl, wenn es eine natürliche Zahl {{math|term= y |SZ=}} mit {{ Relationskette | x || y^2 || || || |SZ= }} gibt, so kann das grundsätzlich sein oder nicht sein. Ob es einen einfachen Test dafür gibt, zu entscheiden, ob beispielsweise {{mathl|term= 243 049 |SZ=}} eine Quadratzahl ist, wird damit nicht gesagt oder gefordert. Häufig, und dies trifft insbesondere in der elementaren Mathemtik auf, werden in wissenschaftlichen Definitionen Begriffe eingeführt, die man aus dem Alltag oder aus der Schule schon kennt, für die man ein Vorverständnis hat, die intuitiv zugänglich sind, die zumindest eine Assoziationskette auslösen. Zwischen einer Definition und der intuitiven Vorstellung treten folgende Diskrepanzen auf {{ Zusatz/{{{zusatz1|}}} |text={{:Mathematik/Prinzipien/Intuition/Bemerkung}}| |ISZ=|ESZ=. }} {{ Aufzählung3 |Der intuitive Zugang hat sich anhand von Beispielen entwickelt. Es ist häufig überaschend, wie die begriffliche Fixierung aussieht. |Es ist zu überprüfen, ob die Definition mit dem intuitiv Gemeinten übereinstimmt. |Die Situation, in der die Definition fixiert wird, weicht von den Situationen ab, in denen die Vokabel intuitiv werwendet wird. }} Es ist ein wichtiger Aspekt des Lernprozesses, diese Diskrepanzen wahrzunehmen und zu überwinden. Einige Beobachtungen zu diesen Punkten: (1) Sprachliche Präzision erfordert eine enorme geistige Anstrengung. Es ist einfacher, {{Anführung|sowas wie}} zu sagen. (2) Im wissenschaftlichen Kontext ist immer die Definition das Maß der Dinge, die Intuition muss sich weiterentwickeln. (3) Z.B. ist {{math|term= 0 |SZ=}} eine Quadratzahl, das hört sich für manche Leute komisch an, oder Primzahlen werden innerhalb der ganzen Zahlen definiert. Wir besprechen einige Beispiele aus nichtmathematischen Bereichen. {{ inputbeispiel |Abseits/Definition/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Mord/Definition/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Reim/Definition/Beispiel|| }} In diesem Kurs werden wir alle mathematischen Begriffe von Grund auf neu einführen und definieren. Insbesondere am Anfang werden wir aber auch Begriffe unter Bezug auf Schulwissen verwenden. Dies ist sinnvoll, um von Anfang an für den Gesamtkurs wichtige Sachverhalte an komplexen Beispielen erläutern zu können. So haben wir in der letzten Vorlesung die natürlichen Zahlen mit ihrer Addition und Multiplikation verwendet, ohne diese definiert zu haben. Wir werden aber diesen Zahlbereich und die darin auftretenden Operationen bald systematisach einführen. Eine mathematische Definition ist so aufgebaut, das ein neuer Begriff mit seiner präzisen Bedeutung beschrieben wird. In der Bedeutungsbeschreibung wird auf zuvor eingeführte Begriffe Bezug genommen. In einem mathematischen Text wird eine Definition {{ Zusatz/Klammer |text=so wie alle anderen Strukturelemente| |ISZ=|ESZ= }} herausgestellt, abgesetzt und nummeriert. Das neu eingeführte Wort wird kursiv gesetzt {{ Zusatz/Klammer |text=oder unterstrichen| |ISZ=|ESZ=. }} {{ inputdefinition |Quadratzahl/Definition|| }} {{ inputdefinition |Primzahl/Lexikalisch/Definition|| }} In diesen beiden Beispielen werden die natürlichen Zahlen vorausgesetzt, in der ersten über das Symbol {{math|term= \N |SZ=,}} in der zweiten direkt. In der ersten Definition wird auf die Quadrierung {{ Relationskette/display | n^2 || n \cdot n || || || |SZ= }} und damit auf die Multiplikation Bezug genommen, in der zweiten wird auf Teiler und damit letztlich ebenfalls auf die Multiplikation Bezug genommen. In einem systematischen Aufbau, wie wir ihn verfolgen werden, muss man also zuerst diese Konzepte eingeführt haben, bevor man die obigen Definitionen hinschreiben darf. {{ inputbemerkung |Definition/Sprachliche Gestalt/Primzahl und Strom/Bemerkung|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Prinzipien der Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd |pdf= }} 2yyi62luota71kxn8phyk4dp7y8xt9w 106 172715 1115613 1115558 2026-10-09T09:12:42Z Coc39ked 40763 1115613 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Joey Becker * Marie-Thérèse Heitele * Nicole Pander =Thema und Fragestellung= Gegenstand dieses Projekts ist die numerische Simulation einer lokalen Gefäßverengung, allgemein bekannt unter dem medizinischen Begriff ''Stenose''. Als medizinischer Anwendungsfall wird ein gerader Abschnitt der Arteria carotis communis (Halsschlagader) betrachtet. Um den Einfluss der Gefäßverengung möglichst isoliert untersuchen zu können, wird die reale Gefäßgeometrie bewusst vereinfacht. Bedeutet, dass Gefäßkrümmungen, Verzweigungen und patientenspezifische anatomische Strukturen nicht berücksichtigt werden. Stattdessen wird ein gerade, idealisiertes Gefäß mit einer symmetrischen bzw. im dreidimensionalen Modell rotationssymmetrischen Stenose untersucht. Als Referenz dient zunächst ein gesundes, unverengtes Gefäß, in dem sich die Poiseuille-Strömung mit ihrem charakterischtischen Geschwindigkeitsprofil ausbildet. Diese bildet den Ausgangspunkt für den anschließenden Vergleich verschiedener Stenosegrade. ===Fragestellung=== Wie verändert eine symmetrische bzw. rotationssymmetrische Stenose die stationäre Strömung eines inkompressibelen Newton'schen Fluid in einem idealisierten Abschnitt der Arteria carotis communis hinsichtlich Geschwindigkeitsverteilung, Druckverteilung sowie Strömungsmuster und wie entwickeln sich diese Größen mit zunehmendem Stenosegrad im Vergleich zu einem gesunden Gefäß? =Relevanz= Die Untersuchung von Gefäßverengungen besitzt sowohl eine medizinische als auch eine methodische Bedeutung. Aus medizinischer Sicht sind arterielle Stenosen, etwa in der Halsschlagader kritisch, da sie die Durchblutung beeinträchtigen und durch veränderte Wandschubspannungen sowie die Bildung von Wirbeln weitere Gefäßablagerungen begünstigen. Fachlich überträgt das Projekt damit die Prinzipien der Strömungsmechanik direkt auf eine biomedizinische Anwendung. Der methodische Mehrwert liegt in der Verknüpfung mehrerer Zugänge: Durch den systematischen Abgleich von analytischer Poiseuille-Theorie und Simulationen in COMSOL Multiphysics zeigt das Projekt anschaulich, wie numerische Modelle aufgebaut, verifiziert und an ihren Grenzen bewertet werden. ===Auswahl der Stenosegrade=== Um die untersuchten Gefäßverengungen nicht willkürlich festzulegen, orientiert sich die Auswahl der Stenosegrade an der klinisch gebräuchlichen NASCET-Klassifikation von Karotisstenosen. Dabei werden Stenosen nach ihrem Schweregrad unter anderem in: • leichte Stenosen unter 50% • mäßige Stenosen von 50 bis 69% • hochgradige Stenosen von 70 bis 99% eingeteilt. Ein vollständige Gefäßverschluss entspricht einer Okklusion. Für die numerische Untersuchung wird aus jeder dieser drei Kategorien ein repräsentativer Stenosegrad ausgewählt. Neben dem gesunden Gefäß mit '''0% Stenose''' werden daher eine '''30% Stenose''' als Beispiel für eine leichte, eine '''60% Stenose''' als Beispiel für eine mäßige und eine '''80% Stenose''' als Beispiel für eine hochgradige Verengung untersucht. Auf diese Weise können deutlich unterschiedliche Schweregrade miteinander vergleichen und die zunehmenden Veränderungen von Geschwindigkeit, Druck und Strömungsmuster systematisch analysiert werden. Ein vollständiger Gefäßverschluss von 100% wird nicht simuliert, da in diesem Fall keine durchgängige Strömung durch das Gefäß mehr vorliegt und damit keine Simulation betrachtet wird. Der Stenosegrad wird in unserem Projekt über die Verringerung des Gefäßdurchmessers beschreiben. In Anlehnung an das NASCET-Prinzip kann er als Verhältnis zwischen dem minimalen Durchmesser im Bereich der Stenose und einem Referenzdurchmesser formuliert werden. =Modellannahmen= Um den Einfluss des Stenosegrades möglichst isoliert zu untersuchen, werden für die Simulation folgende Modellannahmen getroffen: • '''Idealisierte Gefäßgeometrie''': Betrachtet wird ein gerader Abschnitt der ''Arteria carotis communis''. Gefäßverkrümmungen, Verzweigungen und patientenspezifische Strukturen werden nicht berücksichtigt. • '''Starre Gefäßwand''': Die Gefäßwand wird als unbeweglich und nicht verformbar angenommen. Eine Wechselwirkung zwischen elastischer Gefäßwand und Blutströmung wird nicht modelliert. • '''Stationäre Strömung''': Die Strömungsgrößen werden als zeitlich konstant angenommen. Die im realen Blutkreislauf vorhandene Pulsation durch den Herzschlag wird daher vernachlässigt: <math>\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t}=0</math>. • '''Inkompressibles Fluid''': Die Dichte des Fluids wird als konstant angenommen. Damit gilt für die Geschwindigkeit <math>\nabla \cdot \mathbf{u}=0</math>. Dies entspricht der in der Vorlesung behandelten Massenerhaltung für inkompressible Fluide: Was in das Gefäß einströmt, muss auch wieder ausströmen. • '''Newton'sche Näherung für Blut''': Reales Blut beseitzt ein nicht-newton'sches Fließverhalten. Hier wird Blut als Newton'sches Fluid behandelt. • '''Konstante Stoffeigenschaften''': Dichte <math>\rho</math> und dynamische Viskosität <math>\mu</math> werden als räumlich und zeitlich konstant angenommen. Temperaturabhängigkeiten werden nicht berücksichtigt. • '''Laminare Strömung''': Die Strömung wird mit dem COMSOL-Modul ''Laminar Flow'' beschrieben. Ein zusätzliches Turbulenzmodell wird nicht verwendet. • '''No-Slip-Bedingung an Gefäßwand''': Aufgrund der Viskosität wird angenommen, dass das Fluid direkt an der Gefäßwand haftet. Somit gilt <math>\mathbf{u}=0</math>. • '''Vernachlässigung der Gravitation''': Gravitation wird nicht berücksichtigt. Die Strömung wird ausschließlich durch die gewählten Ein- und Auslassbedingungen bestimmt. =Implementierung in COMSOL= = Gruppenteilnehmer = * Joey Becker * Marie-Thérèse Heitele * Nicole Pander = Thema und Fragestellung = Gegenstand dieses Projekts ist die numerische Simulation einer lokalen Gefäßverengung, die in der Medizin als ''Stenose'' bezeichnet wird. Als Anwendungsfall dient ein gerader Abschnitt der ''Arteria carotis communis'', der gemeinsamen Halsschlagader. Um den Einfluss der Verengung möglichst isoliert untersuchen zu können, wird die reale Gefäßgeometrie bewusst vereinfacht. Gefäßkrümmungen, Verzweigungen und patientenspezifische anatomische Strukturen werden nicht berücksichtigt. Stattdessen wird ein gerades, idealisiertes Gefäß mit einer rotationssymmetrischen Stenose untersucht. Im ebenen Vergleichsmodell erscheint dieselbe Verengung als symmetrische Einschnürung eines Kanals. Als Referenz dient ein gesundes, unverengtes Gefäß, in dem sich die Poiseuille-Strömung mit ihrem charakteristischen parabolischen Geschwindigkeitsprofil ausbildet. Diese Strömung ist aus zwei Gründen der natürliche Ausgangspunkt. Sie beschreibt den physiologischen Normalfall, mit dem jeder Stenosegrad verglichen wird, und sie ist exakt lösbar, sodass sich an ihr jede numerische Rechnung prüfen lässt, bevor die Verengung hinzukommt. == Fragestellung == Wie verändert eine rotationssymmetrische Stenose die stationäre Strömung eines inkompressiblen Newtonschen Fluids in einem idealisierten Abschnitt der Arteria carotis communis hinsichtlich Geschwindigkeitsverteilung, Druckverteilung, Wandschubspannung und Strömungsmuster, und wie entwickeln sich diese Größen mit zunehmendem Stenosegrad im Vergleich zu einem gesunden Gefäß? Aus dieser Fragestellung ergeben sich drei Teilfragen, an denen sich der Aufbau der Seite orientiert. # Welche Strömungsgrößen reagieren empfindlich auf den Stenosegrad und welche nur träge? # Ab welchem Stenosegrad ändert sich das Strömungsmuster qualitativ, das heißt, ab wann löst die Strömung hinter der Engstelle von der Wand ab und bildet ein Rückströmgebiet? # Wie weit tragen die vereinfachenden Modellannahmen, insbesondere die Annahme einer stationären und laminaren Strömung, über den untersuchten Bereich der Stenosegrade? = Relevanz = Die Untersuchung von Gefäßverengungen besitzt eine medizinische und eine methodische Bedeutung. Beide werden im Folgenden getrennt begründet, weil sie unterschiedliche Anforderungen an das Modell stellen. Die medizinische Fragestellung verlangt realistische Zahlenwerte, die methodische Fragestellung verlangt nachprüfbare Rechnungen. == Medizinische Relevanz == Arterielle Stenosen entstehen überwiegend durch Atherosklerose, also durch Ablagerungen aus Lipiden, Bindegewebe und Kalk in der Gefäßwand. In der Halsschlagader sind sie klinisch besonders bedeutsam, weil sie die Durchblutung des Gehirns beeinträchtigen und weil sich an ihnen Thromben bilden können, die als Embolie einen Schlaganfall auslösen. Dass die operative Entfernung einer hochgradigen Karotisstenose das Schlaganfallrisiko symptomatischer Patienten deutlich senkt, hat die NASCET-Studie gezeigt, deren Einteilung der Stenosegrade dieses Projekt übernimmt.<ref name="nascet">North American Symptomatic Carotid Endarterectomy Trial Collaborators: ''Beneficial effect of carotid endarterectomy in symptomatic patients with high-grade carotid stenosis.'' New England Journal of Medicine 325 (1991), Nr. 7, S. 445-453.</ref> Strömungsmechanisch ist an einer Stenose vor allem die Wandschubspannung von Interesse, also die tangentiale Kraft je Fläche, die das strömende Blut auf die innerste Zellschicht der Gefäßwand ausübt. Gesunde Halsschlagadern weisen zeitlich gemittelte Werte von etwa 1,1 bis 1,5 Pa auf.<ref name="samijo">Samijo, S. K.; Willigers, J. M.; Barkhuysen, R.; Kitslaar, P. J. E. H. M.; Reneman, R. S.; Brands, P. J.; Hoeks, A. P. G.: ''Wall shear stress in the human common carotid artery as function of age and gender.'' Cardiovascular Research 39 (1998), Nr. 2, S. 515-522.</ref> In einer Engstelle steigt sie stark an, unmittelbar dahinter fällt sie im Ablösegebiet auf nahezu null und wechselt dort sogar das Vorzeichen. Niedrige und im Vorzeichen wechselnde Wandschubspannungen gelten als Bedingungen, unter denen sich weitere Ablagerungen bevorzugt bilden. Eine bestehende Stenose schafft also stromabwärts die Voraussetzungen für ihr eigenes Wachstum. Genau diese Verteilung lässt sich im Körper nur schwer messen, in einer Simulation dagegen unmittelbar auswerten. == Methodische Relevanz == Fachlich überträgt das Projekt die Prinzipien der Strömungsmechanik aus der Vorlesung auf eine biomedizinische Anwendung.<ref name="hundertmark">Hundertmark, A.: ''Fluiddynamik.'' Vorlesungsunterlagen zum Modul Räumliche Modellbildung, RPTU Kaiserslautern-Landau, Sommersemester 2026.</ref> Der methodische Mehrwert liegt in der Verknüpfung mehrerer Zugänge, die sich gegenseitig kontrollieren. Die analytische Poiseuille-Lösung liefert exakte Sollwerte für das gesunde Gefäß. Ein reduziertes Graphenmodell liefert für jeden Stenosegrad eine schnelle Abschätzung, die analytisch nachrechenbar ist. Die Simulationen in COMSOL Multiphysics lösen schließlich die vollständigen Navier-Stokes-Gleichungen in zwei und drei Raumdimensionen. Weil jede Stufe die Sollwerte der nächsten liefert, zeigt das Projekt nicht nur Ergebnisse, sondern auch, wie numerische Modelle aufgebaut, verifiziert und an ihren Grenzen bewertet werden. == Auswahl der Stenosegrade == Um die untersuchten Gefäßverengungen nicht willkürlich festzulegen, orientiert sich die Auswahl der Stenosegrade an der klinisch gebräuchlichen NASCET-Klassifikation von Karotisstenosen.<ref name="nascet" /> Sie teilt Stenosen nach ihrer Durchmesserreduktion in drei Schweregrade ein, ein vollständiger Gefäßverschluss wird als Okklusion bezeichnet. {| class="wikitable" |+ Schweregrade nach NASCET und ihre Abdeckung im Projekt ! Schweregrad !! Durchmesserreduktion !! im Projekt gerechnete Stenosegrade !! hervorgehobener Vertreter |- | gesundes Gefäß || 0 % || 0 || 0 |- | leichtgradige Stenose || unter 50 % || 0,1 bis 0,4 || 0,3 |- | mittelgradige Stenose || 50 bis 69 % || 0,5 und 0,6 || 0,6 |- | hochgradige Stenose || 70 bis 99 % || 0,7 und 0,8 || 0,8 |- | Okklusion || 100 % || nicht gerechnet || entfällt |} Für die numerische Untersuchung wird aus jeder Kategorie ein repräsentativer Stenosegrad hervorgehoben. Neben dem gesunden Gefäß mit '''0 %''' Stenose sind das eine '''30 %''' Stenose als Beispiel für eine leichtgradige, eine '''60 %''' Stenose als Beispiel für eine mittelgradige und eine '''80 %''' Stenose als Beispiel für eine hochgradige Verengung. Zusätzlich werden im Graphenmodell und im achsensymmetrischen Flächenmodell alle Zwischenwerte in Schritten von zehn Prozentpunkten gerechnet. Das kostet in diesen beiden Modellen nur Sekunden, liefert aber glatte Verläufe über dem Stenosegrad und macht sichtbar, ab welchem Grad sich das Verhalten der Strömung ändert. Ein vollständiger Gefäßverschluss wird nicht simuliert, da in diesem Fall keine durchgängige Strömung mehr vorliegt. Der Stenosegrad wird in diesem Projekt wie bei NASCET über die Verringerung des Gefäßdurchmessers beschrieben, <math>s = 1 - \frac{d_{\min}}{d_{\mathrm{ref}}},</math> wobei <math>d_{\min}</math> der kleinste Durchmesser in der Engstelle und <math>d_{\mathrm{ref}}</math> ein Referenzdurchmesser ist. NASCET verwendet als Referenz den Durchmesser des gesunden Gefäßes stromabwärts der Stenose. Im idealisierten Modell hat das Gefäß vor und hinter der Engstelle denselben Durchmesser <math>D_0</math>, sodass <math>d_{\mathrm{ref}} = D_0</math> gilt und die NASCET-Definition mit allen anderen gebräuchlichen Durchmesserdefinitionen zusammenfällt. Wichtig für das Verständnis aller weiteren Ergebnisse ist der Unterschied zwischen Durchmesser- und Flächenreduktion. Da die Querschnittsfläche quadratisch vom Durchmesser abhängt, gilt für die Flächenreduktion <math>1-(1-s)^2</math>. Eine im klinischen Sinn nur mittelgradige Stenose von 60 % verschließt damit bereits 84 % der Querschnittsfläche. {| class="wikitable" |+ Durchmesser- und Flächenreduktion der gerechneten Stenosegrade ! Stenosegrad s !! 0 !! 0,1 !! 0,2 !! 0,3 !! 0,4 !! 0,5 !! 0,6 !! 0,7 !! 0,8 |- | engster Durchmesser in mm || 6,0 || 5,4 || 4,8 || 4,2 || 3,6 || 3,0 || 2,4 || 1,8 || 1,2 |- | Flächenreduktion || 0 % || 19 % || 36 % || 51 % || 64 % || 75 % || 84 % || 91 % || 96 % |} Zwei Einschränkungen gehören zur ehrlichen Einordnung. Erstens ist die NASCET-Klassifikation für Stenosen der ''Arteria carotis interna'' entwickelt worden, also des Astes hinter der Gabelung, während hier ein gerader Abschnitt der ''Arteria carotis communis'' modelliert wird. Die Klassifikation dient im Projekt deshalb als Orientierung für sinnvolle Abstufungen und nicht als diagnostische Aussage. Zweitens zeigt sich im Abschnitt zur Modellierung, dass die Annahme einer stationären, laminaren Strömung ab einem Stenosegrad von etwa 0,6 an ihre Grenzen stößt. Die hochgradigen Fälle werden deshalb zwar gerechnet, ihre Ergebnisse aber ausdrücklich als Grenzfall des Modells diskutiert. = Modellierung = Modellierung bedeutet hier, die reale Situation in eine mathematische Aufgabe zu übersetzen, die sich lösen lässt. Dazu gehören vier Bausteine, nämlich das Rechengebiet, die Gleichungen, die Zahlenwerte der Parameter und die Bedingungen an den Rändern. Jeder dieser Bausteine beruht auf Annahmen, und jede Annahme muss begründet werden. Dieser Abschnitt geht die Bausteine deshalb der Reihe nach durch und nennt bei jedem Zahlenwert, woher er stammt und warum er sinnvoll ist. == Modellhierarchie == Das Projekt rechnet nicht ein einziges Modell, sondern vier aufeinander aufbauende Modellvarianten. Sie entsprechen der Kursanforderung, eine Strömung als Graph, in zwei und in drei Raumdimensionen darzustellen, und sie sind bewusst von einfach nach aufwendig geordnet. {| class="wikitable" |+ Die vier Modellvarianten des Projekts ! Modell !! Raumdimension !! gelöste Gleichung !! Zweck !! Werkzeug |- | Graphenmodell || 1D, Gefäßachse || Hagen-Poiseuille je Rohrstück und Massenerhaltung in jedem Knoten || schnelle, analytisch nachrechenbare Abschätzung für jeden Stenosegrad || Octave und COMSOL (Koeffizientenform-PDGL) |- | achsensymmetrisches Flächenmodell || 2D, Halbschnitt in r und z || vollständige stationäre Navier-Stokes-Gleichungen in Zylinderkoordinaten || Hauptmodell, liefert alle Feldgrößen des rotationssymmetrischen Rohres || COMSOL, Laminare Strömung |- | ebenes Flächenmodell || 2D, Halbschnitt in x und y || vollständige stationäre Navier-Stokes-Gleichungen in kartesischen Koordinaten || Vergleich, zeigt den Einfluss der zweiten Querschnittsrichtung || COMSOL, Laminare Strömung |- | Volumenmodell || 3D || vollständige stationäre Navier-Stokes-Gleichungen || Kontrolle des Hauptmodells und räumliche Darstellung || COMSOL, Laminare Strömung |} Die Reihenfolge folgt einem einfachen Prinzip. Jede Stufe liefert die Sollwerte, an denen die nächste, teurere Stufe geprüft wird. Das Graphenmodell muss im gesunden Fall exakt die Poiseuille-Lösung ergeben. Das achsensymmetrische Modell muss im gesunden Fall dieselben Werte liefern und bei Stenose für Geschwindigkeit und Wandschubspannung in der Nähe des Graphenmodells liegen. Das Volumenmodell muss, weil die Geometrie rotationssymmetrisch ist, mit dem achsensymmetrischen Modell übereinstimmen. Wer diese Reihenfolge überspringt, sucht Fehler später im teuersten Modell. == Modellannahmen == Um den Einfluss des Stenosegrades möglichst isoliert zu untersuchen, werden die folgenden Modellannahmen getroffen. Die Tabelle nennt zu jeder Annahme ihre mathematische Form, die Begründung und die Stelle, an der sie im Projekt überprüft wird. {| class="wikitable" |+ Modellannahmen, ihre Begründung und ihre Überprüfung ! Annahme !! mathematische Form !! Begründung !! Überprüfung |- | Idealisierte Gefäßgeometrie || gerades Rohr mit kosinusförmiger, rotationssymmetrischer Verengung || isoliert die Wirkung des Stenosegrades von Krümmung, Verzweigung und Plaqueform || Diskussion in den Schlussfolgerungen |- | Starre Gefäßwand || Wand ortsfest, keine Fluid-Struktur-Kopplung || im stationären Fall gibt es keine Druckschwankung, die die Wand periodisch aufweiten könnte || Abschätzung über die gemessene Durchmesseränderung im Herzzyklus |- | Stationäre Strömung || <math>\partial \mathbf{u}/\partial t = \mathbf{0}</math> || der Einfluss des Stenosegrades soll ohne Überlagerung durch die Pulsation sichtbar werden || Abschätzung über die Womersley-Zahl |- | Inkompressibles Fluid || <math>\rho = \mathrm{const}</math>, damit <math>\nabla\cdot\mathbf{u} = 0</math> || Blut ist eine Flüssigkeit, Druckänderungen von wenigen hundert Pascal ändern die Dichte nicht messbar || Massenerhaltung in fünf Querschnitten |- | Newtonsche Näherung || konstante Viskosität <math>\mu</math> || die Scherraten an der Wand und im größten Teil des Querschnitts liegen über dem Bereich, in dem Blut deutlich scherverdünnend wirkt || Scherrate an der Wand, Diskussion des Rückströmgebiets |- | Konstante Stoffeigenschaften || <math>\rho</math> und <math>\mu</math> räumlich und zeitlich konstant || Körpertemperatur ist im betrachteten Abschnitt konstant || entfällt |- | Laminare Strömung || kein Turbulenzmodell, Schnittstelle Laminare Strömung || Reynoldszahl des gesunden Gefäßes von 386 liegt weit unter dem Umschlagbereich || Reynoldszahl in der Engstelle, Literaturvergleich |- | Haftbedingung an der Wand || <math>\mathbf{u} = \mathbf{0}</math> auf der Wand || Folge der Viskosität, das Fluid haftet an der Wand || Grundlage jeder Wandschubspannung |- | Vernachlässigung der Gravitation || keine Volumenkraft || bei konstanter Dichte lässt sich die Schwerkraft vollständig in einen hydrostatischen Druckanteil verschieben und beeinflusst die Geschwindigkeit nicht || Begründung in den Mathematischen Hintergründen |- | Voll entwickelte Einströmung || parabolisches Profil am Einlass || die natürliche Einlaufstrecke wäre mit rund 139 mm fast so lang wie das ganze Rechengebiet || Scheitelgeschwindigkeit im gesunden Fall |- | Eingeprägter Volumenstrom || <math>Q = Q_0</math> am Einlass || der Strömungswiderstand des Abschnitts ist klein gegenüber dem des nachgeschalteten Gefäßbetts || Abschätzung mit einem Reihenwiderstand |} Einige dieser Annahmen sind unmittelbar einsichtig, andere verdienen eine genauere Begründung, weil von ihnen die Aussagekraft der Ergebnisse abhängt. Die '''Newtonsche Näherung''' ist die Annahme, die bei Blut am häufigsten hinterfragt wird. Reales Blut ist eine Suspension aus Plasma und Blutzellen und verhält sich scherverdünnend. Bei kleinen Scherraten lagern sich die roten Blutkörperchen zu geldrollenartigen Stapeln zusammen, und die Viskosität steigt auf ein Vielfaches an. Bei großen Scherraten lösen sich diese Stapel auf, und die Viskosität strebt gegen einen Grenzwert von etwa 3,5 mPa·s. Entscheidend ist also die Scherrate. An der Wand des gesunden Modellgefäßes beträgt sie nach der Poiseuille-Lösung <math>\dot\gamma_w = \frac{4\,U_0}{R_0} = \frac{4 \cdot 0{,}2122\ \mathrm{m/s}}{0{,}003\ \mathrm{m}} \approx 283\ \mathrm{s^{-1}}</math> und liegt damit oberhalb von etwa 100 pro Sekunde, wo sich Newtonsches und nicht Newtonsches Modell nach der Literatur nur noch wenig unterscheiden.<ref name="boyd">Die Grenze von etwa 100 s^-1 wird in vergleichenden Studien zur Blutrheologie verwendet, etwa bei Bernabeu, M. O. u. a.: ''Impact of blood rheology on wall shear stress in a model of the middle cerebral artery.'' Interface Focus 3 (2013), 20120094. <!-- FIXME Zitat und Seitenangabe am Original pruefen --></ref> In der Engstelle steigt die Scherrate weiter an, beim Stenosegrad 0,5 auf rund 2260 pro Sekunde. Schwach ist die Näherung dort, wo die Scherrate klein wird, also in der Mitte des Gefäßes und vor allem im Rückströmgebiet hinter der Stenose. Dort ist reales Blut zäher als angenommen. Dieser Punkt wird in den Schlussfolgerungen wieder aufgegriffen. Die '''stationäre Strömung''' ist die stärkste Vereinfachung. Wie wichtig die Pulsation ist, misst die Womersley-Zahl, die das Verhältnis von instationärer Trägheit zu Reibung angibt. Mit einer Herzfrequenz von 60 Schlägen je Minute, also einer Kreisfrequenz <math>\omega = 2\pi\ \mathrm{s^{-1}}</math>, ergibt sich <math>\alpha = R_0 \sqrt{\frac{\omega \rho}{\mu}} = 0{,}003\ \mathrm{m} \cdot \sqrt{\frac{2\pi\ \mathrm{s^{-1}} \cdot 1060\ \mathrm{kg/m^3}}{0{,}0035\ \mathrm{Pa\,s}}} \approx 4{,}1 .</math> Ein Wert in dieser Größenordnung bedeutet, dass das reale Geschwindigkeitsprofil im Herzzyklus merklich von der Parabel abweicht.<ref name="womersley">Womersley, J. R.: ''Method for the calculation of velocity, rate of flow and viscous drag in arteries when the pressure gradient is known.'' Journal of Physiology 127 (1955), S. 553-563.</ref> Hinzu kommt, dass der Volumenstrom in der Systole kurzzeitig auf rund das Vierfache des Mittelwerts steigt.<ref name="holdsworth">Holdsworth, D. W.; Norley, C. J. D.; Frayne, R.; Steinman, D. A.; Rutt, B. K.: ''Characterization of common carotid artery blood-flow waveforms in normal human subjects.'' Physiological Measurement 20 (1999), Nr. 3, S. 219-240. DOI 10.1088/0967-3334/20/3/301. Angegeben werden ein mittlerer Volumenstrom von 6,0 ± 1,4 ml/s und ein systolischer Spitzenwert von 23,5 ± 3,8 ml/s. <!-- FIXME Zahlenwerte und Probandenzahl am Original pruefen --></ref> Die stationäre Rechnung mit dem Mittelwert beschreibt deshalb nicht den zeitlichen Verlauf, wohl aber den zeitlich gemittelten Zustand, an dem sich der Einfluss des Stenosegrades sauber vergleichen lässt. Die '''laminare Strömung''' wird über die Reynoldszahl begründet. Sie beträgt im gesunden Gefäß 386 und liegt damit weit unter dem Wert von etwa 2300, ab dem die Strömung in einem geraden Rohr in den Übergangsbereich gelangen kann. In der Engstelle steigt sie bei festem Volumenstrom auf <math>Re_0/(1-s)</math>, also auf 551 beim Stenosegrad 0,3, auf 964 beim Grad 0,6 und auf 1928 beim Grad 0,8. Für den Strahl hinter einer Engstelle ist der Umschlagbereich allerdings deutlich niedriger als im geraden Rohr. Direkte numerische Simulationen an genau der in diesem Projekt verwendeten Stenosegeometrie zeigen, dass die Strömung bei einer Einström-Reynoldszahl von 500 auch bei leichter Unsymmetrie laminar bleibt, bei 1000 dagegen schon eine Exzentrizität von fünf Prozent des Durchmessers genügt, um den Strahl in lokal turbulente Strömung umschlagen zu lassen.<ref name="varghese">Varghese, S. S.; Frankel, S. H.; Fischer, P. F.: ''Direct numerical simulation of stenotic flows. Part 1. Steady flow.'' Journal of Fluid Mechanics 582 (2007), S. 253-280. Untersucht wird eine kosinusförmige Stenose der Länge 2D mit 75 % Flächenreduktion, die mit der Geometrie dieses Projekts beim Stenosegrad 0,5 übereinstimmt. <!-- FIXME Band und Seiten am Original pruefen --></ref> Mit einer Einström-Reynoldszahl von 386 liegt das Projekt für die leicht- und mittelgradigen Stenosen sicher im laminaren Bereich. Für die hochgradigen Stenosen ab 0,7 ist ein laminares, stationäres Modell dagegen nur noch eine Näherung, die eine Obergrenze der geordneten Strömung beschreibt. Diese Fälle werden deshalb als Grenzfall des Modells gekennzeichnet. Die '''starre Wand''' lässt sich über Messungen abschätzen. Der Durchmesser der gemeinsamen Halsschlagader ändert sich im Herzzyklus bei jungen Menschen um etwa 12 bis 14 Prozent und bei älteren Menschen um etwa 5 Prozent.<ref name="hansen">Hansen, F.; Mangell, P.; Sonesson, B.; Länne, T.: ''Diameter and compliance in the human common carotid artery: variations with age and sex.'' Ultrasound in Medicine and Biology 21 (1995), Nr. 1, S. 1-9. DOI 10.1016/0301-5629(94)00090-5.</ref> Diese Bewegung ist eine Folge der Pulsation. In einer stationären Rechnung gibt es keine Druckschwankung, die die Wand periodisch aufweiten könnte, sodass die starre Wand zur stationären Annahme konsistent ist. Eine verkalkte Plaque ist ohnehin deutlich steifer als die gesunde Wand. Die Annahme des '''eingeprägten Volumenstroms''' wird im Abschnitt zu den Randbedingungen begründet, weil sie sich nur im Zusammenhang mit dem Kreislauf beurteilen lässt. == Simulationsgebiet und Geometrie == Die Gefäßachse ist die z-Achse, der Ursprung liegt in der Mitte der Stenose, und <math>r</math> bezeichnet den Abstand von der Achse. Das Rechengebiet reicht von <math>z = -L_u</math> bis <math>z = L_d</math> und wird radial von der Wandkontur <math>R(z)</math> begrenzt. Die Verengung wird über eine einzige glatte Funktion beschrieben, <math>R(z) = R_0 \left[ 1 - \frac{s}{2}\left(1 + \cos\frac{2\pi z}{L_s}\right)\right] \quad \text{falls } |z| \le \frac{L_s}{2}, \qquad R(z) = R_0 \ \text{sonst.}</math> Die Funktion hat drei Eigenschaften, die ihre Wahl begründen. Sie wird erstens über einen einzigen Parameter gesteuert, den Stenosegrad <math>s</math>. Der engste Radius in der Mitte beträgt <math>R(0) = R_0(1-s)</math>, und der Fall ohne Verengung ist einfach der Fall <math>s = 0</math>. Die gesamte Vergleichsreihe entsteht damit aus einem einzigen parametrischen Sweep. Sie geht zweitens an beiden Enden der Störstelle ohne Knick in das gerade Rohr über. Bei <math>z = \pm L_s/2</math> ist der Kosinus gleich minus eins, die Klammer also null, und seine Ableitung verschwindet dort ebenfalls. Das ist nicht nur ästhetisch, sondern numerisch notwendig, denn ein Knick in der Wand erzeugt eine Singularität der Wandschubspannung, deren berechneter Wert mit jeder Netzverfeinerung weiter wüchse. Eine Netzstudie wäre dann sinnlos. Sie ist drittens die in der Literatur gebräuchliche Standardgeometrie für Stenosen, sodass sich die Ergebnisse unmittelbar mit veröffentlichten Rechnungen vergleichen lassen.<ref name="varghese" /> [[Datei:Stenose Gruppe5 Wandkontur.svg|mini|zentriert|800px|Wandkontur <math>R(z)</math> für die untersuchten Stenosegrade. Die Darstellung ist in radialer Richtung gestreckt, das Rechengebiet ist in Wirklichkeit fünfundzwanzigmal länger als breit.]] <!-- FIXME Abbildung mit abbildungen_graph_1d.m fuer s = 0 bis 0,8 neu erzeugen, bisher nur bis 0,5 --> Die Abmessungen des Rechengebiets werden alle aus dem Gefäßradius abgeleitet. Das hat den Vorteil, dass sich das gesamte Modell durch Ändern eines einzigen Wertes auf ein anderes Gefäß übertragen lässt. Die einzelnen Längen werden im Folgenden Schritt für Schritt begründet. # Der '''Gefäßradius''' <math>R_0 = 3\ \mathrm{mm}</math> folgt aus Ultraschallmessungen an gesunden Erwachsenen. Dort wurden für die gemeinsame Halsschlagader mittlere Durchmesser von 6,10 ± 0,80 mm bei Frauen und 6,52 ± 0,98 mm bei Männern gemessen.<ref name="krejza">Krejza, J.; Arkuszewski, M.; Kasner, S. E.; Weigele, J.; Ustymowicz, A.; Hurst, R. W.; Cucchiara, B. L.; Messe, S. R.: ''Carotid artery diameter in men and women and the relation to body and neck size.'' Stroke 37 (2006), Nr. 4, S. 1103-1105. DOI 10.1161/01.STR.0000206440.48756.f7.</ref> Der gewählte Durchmesser von <math>D_0 = 6\ \mathrm{mm}</math> liegt damit innerhalb einer Standardabweichung beider Gruppen und ist bewusst auf einen runden Wert gesetzt, damit alle abgeleiteten Längen glatte Zahlen ergeben. # Die '''Länge der Störstelle''' <math>L_s = 2 D_0 = 12\ \mathrm{mm}</math> entspricht der Standardgeometrie aus der Literatur, die eine Stenosenlänge von zwei Durchmessern verwendet.<ref name="varghese" /> Damit ist beim Stenosegrad 0,5 ein direkter Vergleich mit veröffentlichten Ergebnissen möglich. # Die '''Vorlaufstrecke''' <math>L_u = 5 D_0 = 30\ \mathrm{mm}</math> trennt den Einlass von der Stenose. Da am Einlass bereits das voll entwickelte Profil vorgegeben wird, muss sie nicht die Einlaufstrecke abdecken, sondern nur verhindern, dass die Einströmrandbedingung die Strömung an der Engstelle beeinflusst. Bei Reynoldszahlen in dieser Größenordnung reicht der Einfluss einer Verengung nur wenige Durchmesser stromaufwärts, die Literatur kommt für dieselbe Geometrie mit drei Durchmessern Vorlauf aus.<ref name="varghese" /> Fünf Durchmesser lassen also eine Reserve. Überprüft wird das im Ergebnis, indem die Geschwindigkeit auf der Achse in der Mitte der Vorlaufstrecke mit dem Sollwert <math>2U_0</math> verglichen wird. # Die '''Nachlaufstrecke''' <math>L_d = 20 D_0 = 120\ \mathrm{mm}</math> ist deutlich länger, weil sich hinter der Engstelle ein Rückströmgebiet bildet, das nicht auf den Auslass treffen darf. Für die Geometrie mit dem Stenosegrad 0,5 legt die Strömung bei einer Einström-Reynoldszahl von 500 erst etwa zehn Durchmesser hinter der Engstelle wieder an, die Literatur rechnet mit sechzehn Durchmessern Nachlauf.<ref name="varghese" /> Zwanzig Durchmesser bieten damit für alle Stenosegrade bis 0,5 einen Sicherheitsabstand. Für die Grade ab 0,6 ist ein längeres Rückströmgebiet zu erwarten, dort wird die Lage des Wiederanlegepunktes ausdrücklich kontrolliert. # Das '''Ende des fein vernetzten Nachlaufs''' <math>L_f = L_s/2 + 10 D_0 = 66\ \mathrm{mm}</math> legt fest, bis wohin das Netz verfeinert wird. Der Wert ist so gewählt, dass das erwartete Rückströmgebiet von etwa zehn Durchmessern vollständig im feinen Bereich liegt. Damit hat das Rechengebiet eine Gesamtlänge von <math>L = L_u + L_d = 150\ \mathrm{mm}</math>, also das Fünfundzwanzigfache des Durchmessers. Es ist ein Modellgebiet und kein maßstäbliches Abbild eines bestimmten anatomischen Abschnitts. == Stoff- und Strömungsparameter == Die Stoffwerte des Blutes und der Volumenstrom sind die einzigen Eingangsgrößen, die nicht aus der Geometrie folgen. Aus ihnen werden alle weiteren Strömungskennwerte berechnet. Die folgenden Schritte zeigen jede Rechnung einzeln, damit sich jeder Wert nachprüfen lässt. # Die '''Dichte''' wird mit <math>\rho = 1060\ \mathrm{kg/m^3}</math> angesetzt. Der Wert lässt sich als Mischungsregel plausibel machen. Plasma hat eine Dichte von etwa 1025 kg/m³, rote Blutkörperchen von etwa 1100 kg/m³. Bei einem Zellanteil von 45 % ergibt sich <math>0{,}55 \cdot 1025 + 0{,}45 \cdot 1100 \approx 1059\ \mathrm{kg/m^3}</math>. Die Dichte geht nur über die Reynoldszahl in die Rechnung ein, eine Abweichung von einem Prozent ändert die Ergebnisse daher kaum. <!-- FIXME Lehrbuchquelle fuer Plasma- und Erythrozytendichte ergaenzen --> # Die '''dynamische Viskosität''' wird mit <math>\mu = 3{,}5\ \mathrm{mPa\,s}</math> angesetzt. Das ist der Grenzwert der Blutviskosität bei hohen Scherraten, also genau der Wert, der zur Newtonschen Näherung gehört. Derselbe Wert von 0,035 Poise wird auch im Standardwerk zur Modellierung des Herz-Kreislauf-Systems verwendet.<ref name="quarteroni">Quarteroni, A.; Formaggia, L.: ''Mathematical Modelling and Numerical Simulation of the Cardiovascular System.'' In: Ayache, N. (Hrsg.): ''Computational Models for the Human Body.'' Handbook of Numerical Analysis, Bd. XII, Elsevier, Amsterdam 2004, S. 3-127. DOI 10.1016/S1570-8659(03)12001-7. Zur Newtonschen Näherung in großen Gefäßen siehe S. 30, zur Viskosität von 0,035 Poise die Parametertabelle auf S. 116.</ref> # Der '''mittlere Volumenstrom''' wird mit <math>Q_0 = 6\ \mathrm{ml/s}</math> angesetzt. Das ist der zeitlich gemittelte Volumenstrom, der in der gemeinsamen Halsschlagader gesunder Probanden gemessen wurde.<ref name="holdsworth" /> # Die '''mittlere Geschwindigkeit''' folgt aus Volumenstrom und Querschnittsfläche, <math>U_0 = \frac{Q_0}{\pi R_0^2} = \frac{6 \cdot 10^{-6}\ \mathrm{m^3/s}}{\pi \cdot (0{,}003\ \mathrm{m})^2} = 0{,}2122\ \mathrm{m/s}</math>. # Die '''Reynoldszahl''' des gesunden Gefäßes ist <math>Re_0 = \frac{\rho\, U_0\, D_0}{\mu} = \frac{1060 \cdot 0{,}2122 \cdot 0{,}006}{0{,}0035} = 385{,}6</math>. Sie wird im Folgenden auf 386 gerundet. # Die '''Einlauflänge''', die eine anfangs gleichförmige Strömung bis zum voll entwickelten Parabelprofil bräuchte, beträgt nach der gebräuchlichen Abschätzung für laminare Rohrströmungen <math>L_e \approx 0{,}06\, Re_0\, D_0 \approx 0{,}06 \cdot 386 \cdot 6\ \mathrm{mm} \approx 139\ \mathrm{mm}</math>.<ref name="durst">Durst, F.; Ray, S.; Ünsal, B.; Bayoumi, O. A.: ''The development lengths of laminar pipe and channel flows.'' Journal of Fluids Engineering 127 (2005), Nr. 6, S. 1154-1160. Für große Reynoldszahlen nähert sich die dort angegebene Korrelation dem Wert 0,057·Re·D.</ref> Das ist fast die gesamte Länge des Rechengebiets. Ein konstantes Einlassprofil würde die Strömung an der Stenose also verfälschen, weshalb am Einlass das voll entwickelte Profil vorgegeben wird. Damit liegen alle globalen Parameter fest. Die folgende Tabelle enthält sie mit genau den Namen, unter denen sie in COMSOL und in den Octave-Skripten verwendet werden. {| class="wikitable" |+ Globale Parameter des Modells ! Name !! Ausdruck in COMSOL !! Wert !! Bedeutung !! Herkunft |- | R0 || 3[mm] || 3 mm || Gefäßradius || Messwerte nach Krejza u. a. 2006, gerundet |- | D0 || 2*R0 || 6 mm || Gefäßdurchmesser || abgeleitet |- | Ls || 2*D0 || 12 mm || Länge der Störstelle || Standardgeometrie nach Varghese u. a. 2007 |- | Lu || 5*D0 || 30 mm || Vorlaufstrecke vor der Stenosemitte || Abstand der Einlassbedingung von der Stenose |- | Ld || 20*D0 || 120 mm || Nachlaufstrecke hinter der Stenosemitte || Platz für das Rückströmgebiet |- | Lf || Ls/2+10*D0 || 66 mm || Ende des fein vernetzten Nachlaufs || erwartete Länge des Rückströmgebiets |- | s || 0 bis 0.8 || 0 bis 0,8 || Stenosegrad bezogen auf den Durchmesser || NASCET-Einteilung |- | rho_b || 1060[kg/m^3] || 1060 kg/m³ || Dichte des Blutes || Mischungsregel, Literaturwert |- | mu_b || 3.5[mPa*s] || 3,5 mPa·s || dynamische Viskosität des Blutes || Hochscherwert, Quarteroni und Formaggia 2004 |- | Q0 || 6[ml/s] || 6 ml/s || mittlerer Volumenstrom || Messwerte nach Holdsworth u. a. 1999 |- | U0 || Q0/(pi*R0^2) || 0,2122 m/s || mittlere Einströmgeschwindigkeit || abgeleitet |- | Re0 || rho_b*U0*D0/mu_b || 385,6 || Reynoldszahl des gesunden Gefäßes || abgeleitet |- | dp_ref || 8*mu_b*U0*(Lu+Ld)/R0^2 || 99,03 Pa || Poiseuille-Druckabfall des gesunden Gefäßes || abgeleitet, Hagen-Poiseuille |} == Randbedingungen und Szenarien == Ein Strömungsproblem ist erst vollständig gestellt, wenn an jedem Rand festgelegt ist, was dort gilt. Das Rechengebiet hat vier Arten von Rändern. Am '''Einlass''' bei <math>z = -L_u</math> wird eine voll entwickelte Strömung mit der mittleren Geschwindigkeit <math>U_0</math> vorgegeben. COMSOL berechnet dazu selbständig das zugehörige Profil, im Rohr also die Parabel mit der Scheitelgeschwindigkeit <math>2U_0</math>. Die Begründung liefert die Einlauflänge von rund 139 mm aus dem vorigen Abschnitt. An der '''Gefäßwand''' gilt die Haftbedingung <math>\mathbf{u} = \mathbf{0}</math>. Am '''Auslass''' bei <math>z = L_d</math> wird der Druck auf null gesetzt. Das ist keine Aussage über den tatsächlichen Blutdruck, der in der Halsschlagader im Mittel bei etwa 90 mmHg liegt. In einem inkompressiblen Fluid gehen nur Druckdifferenzen in die Bewegungsgleichung ein, der Druck ist also nur bis auf eine Konstante bestimmt. Der Auslassdruck null legt diese Konstante fest, und alle berechneten Drücke sind als Überdruck gegenüber dem Auslass zu lesen. Auf der '''Rotationsachse''' gilt im achsensymmetrischen Modell die Symmetriebedingung, die radiale Geschwindigkeit und die radiale Ableitung der Axialgeschwindigkeit verschwinden dort. Im ebenen Modell übernimmt eine Symmetriebedingung auf der Mittellinie dieselbe Rolle. Im Volumenmodell gibt es diesen Rand nicht, weil das ganze Rohr gerechnet wird. Für den Einlass werden zwei Szenarien angelegt, die sich in der Frage unterscheiden, was der Kreislauf bei einer Stenose konstant hält. {| class="wikitable" |+ Die beiden Einlass-Szenarien ! Szenario !! vorgegeben !! berechnet !! physiologische Lesart |- | A, Hauptszenario || Volumenstrom <math>Q_0</math> über die mittlere Geschwindigkeit <math>U_0</math> || Druckabfall über den Abschnitt || die Durchblutung bleibt gleich, der Kreislauf bezahlt die Stenose mit einem höheren Druckabfall |- | B, Gegenprobe || Druckdifferenz <math>\Delta p_{\mathrm{ref}} = 99{,}03\ \mathrm{Pa}</math> des gesunden Gefäßes || Volumenstrom || der Druck bleibt gleich, die Durchblutung sinkt |} Welches Szenario der Wirklichkeit näher kommt, lässt sich abschätzen. Der betrachtete Abschnitt ist nur ein kleiner Teil des Weges, den das Blut bis in die Kapillaren des Gehirns zurücklegt. Treibt man den mittleren Volumenstrom von 6 ml/s mit einem mittleren arteriellen Druck von etwa 90 mmHg, also rund 12 000 Pa, durch das Gefäßbett, dann entfallen auf den gesunden Abschnitt nur 99 Pa und damit weniger als ein Prozent des gesamten Widerstands. Rechnet man den Widerstand der Stenose einschließlich der Trägheitsverluste hinter der Engstelle hinzu, wie es im Abschnitt Mathematische Hintergründe hergeleitet wird, und hält den treibenden Druck fest, dann ergibt sich der folgende Volumenstrom. {| class="wikitable" |+ Abschätzung des Volumenstroms bei festem treibendem Druck von 90 mmHg und nachgeschaltetem Gefäßwiderstand ! Stenosegrad !! 0 !! 0,1 !! 0,2 !! 0,3 !! 0,4 !! 0,5 !! 0,6 !! 0,7 !! 0,8 |- | Volumenstrom in ml/s || 6,00 || 6,00 || 5,99 || 5,98 || 5,94 || 5,83 || 5,54 || 4,76 || 3,07 |- | bezogen auf 6 ml/s || 100 % || 100 % || 99,9 % || 99,6 % || 98,9 % || 97,1 % || 92,3 % || 79,2 % || 51,1 % |} Bis zum Stenosegrad 0,5 ändert sich der Volumenstrom um weniger als drei Prozent. Für diese Fälle ist Szenario A also die physiologisch richtige Wahl. Ab 0,6 sinkt der Volumenstrom spürbar, und beim Grad 0,8 halbiert er sich ungefähr. Für die hochgradigen Stenosen überschätzt Szenario A deshalb die Geschwindigkeiten in der Engstelle, und die tatsächlichen Verhältnisse liegen zwischen Szenario A und Szenario B. Das Ergebnis passt zur klinischen Erfahrung, dass eine Karotisstenose erst im hochgradigen Bereich die Durchblutung merklich einschränkt. Die Abschätzung ist bewusst einfach gehalten und ersetzt keine Rechnung, sie zeigt aber, dass die Wahl des Hauptszenarios begründet ist und wo sie endet. Szenario B in der hier angelegten Form ist dagegen ein Extremfall, weil es den betrachteten Abschnitt als einzigen Widerstand im Kreislauf behandelt. Es dient deshalb als untere Schranke für den Volumenstrom und nicht als realistisches Szenario. == Analytische Referenzwerte == Für das gesunde Gefäß ist die Lösung exakt bekannt. Die Herleitung steht im Abschnitt Mathematische Hintergründe. Eingesetzt ergeben sich die folgenden Werte, die als Prüfstein für jede Rechnung dienen. Für den ebenen Kanal wird die halbe Kanalhöhe gleich <math>R_0</math> und die mittlere Geschwindigkeit gleich <math>U_0</math> gesetzt. {| class="wikitable" |+ Analytische Referenzwerte des gesunden Gefäßes ! Größe !! Formel im Rohr !! Wert im Rohr !! Formel im ebenen Kanal !! Wert im ebenen Kanal |- | Scheitelgeschwindigkeit || <math>2\,U_0</math> || 0,4244 m/s || <math>\tfrac{3}{2}\,U_0</math> || 0,3183 m/s |- | Druckgradient || <math>8\mu U_0/R_0^2</math> || 660,2 Pa/m || <math>3\mu U_0/R_0^2</math> || 247,6 Pa/m |- | Druckabfall über 150 mm || <math>8\mu U_0 L/R_0^2</math> || 99,03 Pa || <math>3\mu U_0 L/R_0^2</math> || 37,14 Pa |- | Wandschubspannung || <math>4\mu U_0/R_0</math> || 0,990 Pa || <math>3\mu U_0/R_0</math> || 0,743 Pa |} Der Druckabfall von 99 Pa entspricht etwa 0,74 mmHg und ist damit im Vergleich zum Blutdruck klein, wie es für einen kurzen Abschnitt einer großen Arterie zu erwarten ist. Die Wandschubspannung von 0,99 Pa liegt etwas unter den gemessenen Werten von 1,1 bis 1,5 Pa.<ref name="samijo" /> Die Abweichung ist erklärbar, denn im realen Herzzyklus ist das Profil flacher als die Parabel und erzeugt an der Wand einen steileren Gradienten, und der gewählte Radius liegt am unteren Rand der gemessenen Werte. Die Größenordnung stimmt also. Dass die Werte des ebenen Kanals kleiner sind, ist kein Fehler. Ein ebener Spalt mit derselben halben Höhe hat einen geringeren Widerstand als ein Rohr mit demselben Radius, weil die Strömung nur von zwei Seiten statt ringsum gebremst wird. == Das Graphenmodell == Das Graphenmodell reduziert das Gefäß auf seine Achse und fasst es als Graphen auf. Die Knoten sind Querschnitte, die Kanten sind kurze Rohrstücke. Jede Kante der Länge <math>\Delta z</math> mit dem Radius <math>r_k</math> in ihrer Mitte trägt nach Hagen-Poiseuille den Strömungswiderstand <math>R_k = \frac{8\mu\,\Delta z}{\pi r_k^4} .</math> In jedem inneren Knoten muss so viel Blut abfließen, wie zufließt. Diese Massenerhaltung liefert für die Knotendrücke ein lineares Gleichungssystem, dessen Matrix die gewichtete Laplace-Matrix des Graphen ist. Die Struktur ist dieselbe wie bei einem elektrischen Netzwerk aus Widerständen, wobei der Druck die Rolle der Spannung und der Volumenstrom die Rolle der Stromstärke übernimmt. Am Einlass wird der Volumenstrom <math>Q_0</math> eingespeist, am Auslass ist der Druck null. Im Grenzfall unendlich feiner Unterteilung geht das Netzwerk in eine gewöhnliche Differentialgleichung über, deren Lösung sich geschlossen angeben lässt, <math>\Delta p = Q_0 \int_{-L_u}^{L_d} \frac{8\mu}{\pi R(z)^4}\,\mathrm{d}z .</math> Aus dem örtlichen Radius folgen außerdem die Geschwindigkeit, die Wandschubspannung und die Reynoldszahl in der Engstelle, weil das Modell an jeder Stelle ein örtlich voll entwickeltes Parabelprofil annimmt. Genau diese Annahme ist zugleich die Grenze des Modells. Das Graphenmodell kennt nur die Reibung an der Wand. Die wirkliche Strömung verliert zusätzlich Energie, wenn sie sich hinter der Engstelle als Strahl ablöst und dieser Strahl sich im Rückströmgebiet wieder verlangsamt. Der Druckabfall des Graphenmodells ist deshalb als untere Abschätzung zu lesen, die von den COMSOL-Rechnungen überschritten werden muss. Für die Geschwindigkeit und die Wandschubspannung in der Engstelle liefert es dagegen gute Näherungen, solange die Stenose nicht zu kurz ist. Das Graphenmodell wird in Octave mit 500 Kanten gerechnet. Eine Rechnung mit 5000 Kanten ändert den Druckabfall für alle Stenosegrade bis 0,8 erst in der dritten Nachkommastelle, die Lösung ist also netzunabhängig. Zur Kontrolle wird dasselbe Modell in COMSOL als eindimensionale Differentialgleichung gelöst, wie im nächsten Abschnitt beschrieben. = Implementierung des Modells in COMSOL Multiphysics = Nach der Festlegung von Geometrie, Parametern, Annahmen und Randbedingungen erfolgt die Umsetzung in COMSOL Multiphysics in der Version 6.2. Für die Flächen- und Volumenmodelle wird die Physikschnittstelle Laminare Strömung (Laminar Flow) aus dem Bereich Strömung verwendet. Sie löst die stationären Navier-Stokes-Gleichungen für ein inkompressibles Newtonsches Fluid mit der Methode der finiten Elemente.<ref name="comsol">COMSOL AB: ''CFD Module User's Guide'' und ''COMSOL Multiphysics Reference Manual'', Version 6.2. Stockholm 2023.</ref> Die Menüpunkte werden im Folgenden mit ihrer deutschen Bezeichnung genannt, die englische Bezeichnung steht beim ersten Auftreten in Klammern. Jedes Modell lässt sich auf zwei Wegen aufbauen, die zum selben Ergebnis führen. Der erste Weg ist der Aufbau von Hand, der hier Schritt für Schritt beschrieben wird. Der zweite Weg ist eine Modellmethode, also ein kurzes Programm, das im Reiter Entwickler (Developer) in ein leeres Modell eingefügt und ausgeführt wird und dann Parameter, Geometrie, Selektionen, Physik, Netz und Studie in wenigen Sekunden anlegt. Die Methoden machen den Aufbau reproduzierbar und für Dritte nachprüfbar. Sie werden am Ende dieses Abschnitts vorgestellt. Bevor die Navier-Stokes-Gleichungen gelöst werden, wird das Graphenmodell als Vorstufe auch in COMSOL gerechnet. Im Grenzfall feiner Unterteilung erfüllt der Druck <math>p(z)</math> entlang der Achse die Gleichung <math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\left[\frac{\pi R(z)^4}{8\mu}\,\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}z}\right] = 0 ,</math> die genau die Form der Koeffizientenform-PDGL in COMSOL hat. Der Aufbau umfasst sechs Schritte. # Im Modellassistenten wird die Raumdimension 1D gewählt und unter Mathematik, PDE-Schnittstellen die Koeffizientenform-PDGL (Coefficient Form PDE) mit einer stationären Studie angelegt. # Unter Globale Definitionen wird die Wandkontur als analytische Funktion <code>Rw(zz)</code> mit dem Ausdruck <code>R0n*(1-s/2*(1+cos(2*pi*zz/Lsn))*(abs(zz)<=Lsn/2))</code> angelegt. Der Vergleich <code>abs(zz)<=Lsn/2</code> liefert eins innerhalb und null außerhalb der Störstelle und ersetzt damit die Fallunterscheidung. Die Parameter werden in diesem Modell ohne Einheiten in SI-Größen eingegeben, weil das gesuchte Feld als dimensionslose Größe angelegt ist. # Die Geometrie ist ein Intervall von <code>-Lun</code> bis <code>Ldn</code> mit inneren Punkten am Beginn, in der Mitte und am Ende der Störstelle. # In der Gleichung wird der Diffusionskoeffizient <math>c = \pi R(z)^4/(8\mu)</math> gesetzt, alle übrigen Koeffizienten sind null. # Am Einlasspunkt wird über eine Flussrandbedingung der Volumenstrom <math>Q_0</math> eingeprägt, am Auslasspunkt wird über eine Dirichlet-Bedingung der Druck null gesetzt. # Das Netz erhält eine maximale Elementlänge von <math>L_s/200</math>, und ein parametrischer Sweep rechnet alle Stenosegrade von 0 bis 0,8. <!-- FIXME in der Modellmethode steht noch die Liste 0 bis 0.5 --> Als Kontrollgröße wird der Volumenstrom <math>-\tfrac{\pi R^4}{8\mu}\,\tfrac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}z}</math> entlang der ganzen Achse ausgewertet, der überall gleich <math>Q_0</math> sein muss. Der Druck am Einlass muss mit dem Druckabfall des Octave-Netzwerks übereinstimmen, da beide dieselbe Gleichung lösen. <!-- FIXME Ergebnis eintragen, sobald gerechnet: Abweichung zwischen COMSOL 1D und Octave in Prozent --> == Erstellung der 2D-Modelle == Es werden zwei Flächenmodelle aufgebaut. Das achsensymmetrische Modell ist das Hauptmodell des Projekts, weil es die Physik des runden Gefäßes exakt abbildet und dennoch in Sekunden rechnet. Das ebene Modell dient dem Vergleich und wird am Ende dieses Abschnitts als Differenz zum Hauptmodell beschrieben. Das achsensymmetrische Modell nutzt aus, dass weder die Geometrie noch die Randbedingungen vom Umfangswinkel abhängen. Gerechnet wird deshalb nur der Halbschnitt in der Ebene aus Radius <math>r</math> und Achskoordinate <math>z</math>. COMSOL ergänzt beim Rechnen die Faktoren, die aus der Rotation um die Achse entstehen, sodass die Lösung der Strömung im ganzen Rohr entspricht. === Auswahl von Raumdimension, Physik und Studie === # Im Modellassistenten (Model Wizard) wird die Raumdimension 2D achsensymmetrisch (2D Axisymmetric) gewählt. # Unter Strömung (Fluid Flow) und Einphasenströmung (Single-Phase Flow) wird die Schnittstelle Laminare Strömung (Laminar Flow) hinzugefügt. # Als Studie wird die Stationäre Studie (Stationary) gewählt, weil nach der Modellannahme keine Zeitabhängigkeit gerechnet wird. # Das Modell wird sofort unter einem eindeutigen Namen gespeichert, etwa <code>stenose_2daxi_v01.mph</code>. === Globale Parameter === # Unter Globale Definitionen, Parameter werden die Parameter aus der Tabelle im Abschnitt Modellierung eingetragen. Schneller geht es über die Schaltfläche Aus Datei laden (Load from File) mit der vorbereiteten Textdatei, die alle Zeilen enthält. # Zusätzlich werden die beiden Netzparameter <code>hmax_g = R0/6</code> und <code>hmax_f = R0/20</code> angelegt, also 0,5 mm für das gesamte Gebiet und 0,15 mm für den Bereich der Stenose und des Nachlaufs. # In der Spalte Wert wird geprüft, dass <code>U0</code> den Wert 0,2122 m/s, <code>Re0</code> den Wert 385,6 und <code>dp_ref</code> den Wert 99,03 Pa zeigt. Ein roter Eintrag weist auf einen Tippfehler oder eine falsche Reihenfolge hin, denn ein Parameter darf nur auf weiter oben stehende Parameter zugreifen. Bei der Benennung ist eine Falle zu beachten. Der Name <code>s</code> ist in COMSOL doppelt belegt. Er ist hier der Stenosegrad, voreingestellt aber auch der Name des Kurvenparameters einer parametrischen Kurve und der Bogenlänge in Liniendiagrammen. Wird bei der parametrischen Kurve der voreingestellte Name stehen gelassen, überschreibt COMSOL stillschweigend den Stenosegrad, und das Modell rechnet weiter, nur eben falsch. Der Kurvenparameter heißt deshalb in allen Modellen <code>zz</code>. === Erstellung der Geometrie === Die Geometrie wird zunächst aus Linien gezeichnet und am Ende in eine Fläche umgewandelt. Die waagerechte Achse ist dabei der Radius <math>r</math>, die senkrechte Achse die Gefäßachse <math>z</math>. # Unter Geometrie, Weitere Primitive wird eine Parametrische Kurve (Parametric Curve) angelegt. Der Kurvenparameter heißt <code>zz</code> und läuft von <code>-Ls/2</code> bis <code>Ls/2</code>. Im Feld <math>r</math> steht der Ausdruck <code>R0*(1-s/2*(1+cos(2*pi*zz/Ls)))</code>, im Feld <math>z</math> steht <code>zz</code>. Das ist die Wandkontur der Störstelle. # Ein offenes Polygon mit den sechs Punkten <code>(R0, -Ls/2)</code>, <code>(R0, -Lu)</code>, <code>(0, -Lu)</code>, <code>(0, Ld)</code>, <code>(R0, Ld)</code> und <code>(R0, Ls/2)</code> ergänzt die gerade Wand vor der Stenose, den Einlass, die Rotationsachse, den Auslass und die gerade Wand hinter der Stenose. Zusammen mit der Kurve ist der Umriss damit geschlossen. # Drei weitere offene Polygone mit je zwei Punkten legen innere Linien an, nämlich bei <math>z = -L_s/2</math> vor der Stenose, bei <math>z = 0</math> in der Engstelle von der Achse bis <code>R0*(1-s)</code> und bei <math>z = L_f</math> am Ende des Feinbereichs. Sie teilen das Gebiet in vier Teilflächen und dienen später als Auswertungsquerschnitte. # Über Umwandlungen, In Festkörper umwandeln (Convert to Solid) werden alle fünf Objekte zu einer Fläche zusammengefasst. Nach Alle erstellen (Build All) zeigt das Grafikfenster vier Teilgebiete, die von <math>z = -30\ \mathrm{mm}</math> bis <math>z = 120\ \mathrm{mm}</math> reichen. Meldet COMSOL beim Umwandeln, der Umriss sei nicht geschlossen, dann enden Kurve und Polygon nicht exakt an denselben Punkten. Der häufigste Grund ist ein Tippfehler bei <code>-Ls/2</code> oder <code>Ls/2</code>. === Selektionen === Selektionen sind benannte Gruppen von Rändern oder Gebieten. Sie sind in diesem Modell unverzichtbar, weil der Stenosegrad die Geometrie verändert und COMSOL bei jeder Geometrieänderung die Nummern der Ränder neu vergibt. Eine von Hand angeklickte Randauswahl würde deshalb im Sweep auf falsche Ränder zeigen. Eine Boxselektion sucht dagegen bei jedem Stenosegrad selbst die Ränder, die vollständig in einem vorgegebenen Rechteck liegen. Für die fünf Querschnitte werden zunächst die folgenden Boxgrenzen benötigt. Das Rechteck reicht jeweils radial von <code>-0.01[mm]</code> bis <code>6[mm]</code> und axial um ein hundertstel Millimeter um die Position des Querschnitts. {| class="wikitable" |+ Boxselektionen der Querschnitte ! Selektion !! Position in z !! z-Minimum !! z-Maximum |- | Einlass || −30 mm || -30.01[mm] || -29.99[mm] |- | Querschnitt vor der Stenose || −6 mm || -6.01[mm] || -5.99[mm] |- | Querschnitt Engstelle || 0 mm || -0.01[mm] || 0.01[mm] |- | Querschnitt Ende Feinbereich || 66 mm || 65.99[mm] || 66.01[mm] |- | Auslass || 120 mm || 119.99[mm] || 120.01[mm] |} # Unter Komponente, Definitionen, Selektionen werden mit diesen Grenzen fünf Boxselektionen (Box) auf der Ebene Rand (Boundary) mit der Bedingung Innerhalb (Inside) angelegt. # Eine sechste Boxselektion Rotationsachse erfasst den Rand bei <math>r = 0</math> über die ganze Länge. # Die Selektion Gefäßwand wird als Komplement (Complement) der sechs bisherigen Randselektionen angelegt. Übrig bleibt genau die äußere Berandung einschließlich der Einbuchtung. # Eine Boxselektion auf der Ebene Gebiet (Domain) erfasst den Bereich von <math>z = -6\ \mathrm{mm}</math> bis <math>z = 66\ \mathrm{mm}</math>. Sie heißt Stenose und Nachlauf und steuert später die Netzverfeinerung. Nach jeder Selektion wird im Grafikfenster kontrolliert, dass genau die gewünschten Ränder markiert sind. Ist bei der Gefäßwand auch die Achse markiert, fehlt die Rotationsachse in der Liste der zu invertierenden Selektionen. === Fluideigenschaften === # Im Knoten Laminare Strömung wird unter Physikalisches Modell geprüft, dass die Kompressibilität auf Inkompressible Strömung steht. Das ist die Voreinstellung und setzt die Annahme <math>\nabla\cdot\mathbf{u} = 0</math> um. # Im Knoten Fluideigenschaften werden Dichte und dynamische Viskosität von Aus Material auf Benutzerdefiniert (User defined) umgestellt und mit <code>rho_b</code> und <code>mu_b</code> belegt. Ein Material aus der Bibliothek wird bewusst nicht verwendet, damit die Stoffwerte sichtbar an die Parametertabelle gebunden bleiben. === Randbedingungen === # Mit Rechtsklick auf Laminare Strömung wird ein Einlass (Inlet) auf der Selektion Einlass angelegt. Als Randbedingung wird Voll entwickelte Strömung (Fully developed flow) mit der Option Mittlere Geschwindigkeit gewählt und der Wert <code>U0</code> eingetragen. Das ist Szenario A. # Ein zweiter Einlass auf derselben Selektion erhält ebenfalls die voll entwickelte Strömung, aber mit vorgegebenem mittlerem Eintrittsdruck <code>dp_ref</code>. Dieser Knoten ist Szenario B und bleibt zunächst deaktiviert. Zum Wechsel des Szenarios wird der eine Knoten deaktiviert und der andere aktiviert. # Ein Auslass (Outlet) auf der Selektion Auslass erhält den Druck <code>0</code>. Die Option Rückströmung unterdrücken bleibt angehakt. Sie verhindert, dass Fluid über den Auslass zurück in das Gebiet strömt, und darf das Ergebnis nur dann beeinflussen, wenn das Rückströmgebiet bis an den Auslass reicht. Genau das wird bei den hochgradigen Stenosen kontrolliert. # Die Haftbedingung an der Wand und die Symmetriebedingung auf der Achse legt COMSOL in den Knoten Wand und Achsensymmetrie selbständig an. Es wird nur kontrolliert, dass beide die richtigen Ränder abdecken. # Unter Anfangswerte wird die axiale Geschwindigkeit auf <code>U0</code> gesetzt. Das ist kein physikalischer Wert, sondern ein Startwert für das Newton-Verfahren, der die Konvergenz spürbar erleichtert. === Operatoren und Auswertungsgrößen === Damit sich aus der Lösung Zahlen für die Ergebnistabellen gewinnen lassen, werden Integrations- und Maximumoperatoren angelegt und daraus Auswertungsvariablen gebildet. # Unter Definitionen, Komponentenkopplungen werden fünf Integrationsoperatoren auf den fünf Querschnitten angelegt, mit den Namen <code>intEin</code>, <code>intVor</code>, <code>intEng</code>, <code>intNach</code> und <code>intAus</code>. Bei jedem Operator wird das Kästchen Integral in rotierter Geometrie berechnen (Compute integral in revolved geometry) angehakt. Ohne diesen Haken berechnet COMSOL ein Linienintegral über den Halbschnitt statt eines Flächenintegrals über den Kreisquerschnitt, und alle Volumenströme sind falsch. Mathematisch fügt der Haken den Faktor <math>2\pi r</math> in den Integranden ein. # Ein Maximumoperator <code>maxDom</code> über alle Gebiete und ein Maximumoperator <code>maxWand</code> über die Gefäßwand werden ergänzt. # Unter Definitionen, Variablen werden die Auswertungsgrößen aus der folgenden Tabelle eingetragen. {| class="wikitable" |+ Auswertungsvariablen im achsensymmetrischen Modell ! Name !! Ausdruck !! Bedeutung |- | Q_ein, Q_vor, Q_eng, Q_nach, Q_aus || intEin(w) und entsprechend || Volumenstrom in den fünf Querschnitten, <math>w</math> ist die axiale Geschwindigkeit |- | A_eng || intEng(1) || Querschnittsfläche der Engstelle |- | U_eng || Q_eng/A_eng || mittlere Geschwindigkeit in der Engstelle |- | Re_eng || rho_b*U_eng*2*sqrt(A_eng/pi)/mu_b || Reynoldszahl in der Engstelle |- | dp_ges || intEin(p)/intEin(1)-intAus(p)/intAus(1) || Differenz der flächengemittelten Drücke an Ein- und Auslass |- | dp_zus || dp_ges-8*mu_b*(Q_ein/(pi*R0^2))*(Lu+Ld)/R0^2 || zusätzlicher Druckverlust durch die Stenose |- | tau_w || mu_b*spf.sr || Wandschubspannung, nur auf der Wand sinnvoll |- | u_max || maxDom(spf.U) || höchste Geschwindigkeit im Gebiet |- | tau_max || maxWand(mu_b*spf.sr) || höchste Wandschubspannung |} Die Wandschubspannung wird als Produkt aus Viskosität und Scherrate <code>spf.sr</code> berechnet. An der Wand, wo die Geschwindigkeit verschwindet, ist die Scherrate gleich dem Betrag des Geschwindigkeitsgradienten senkrecht zur Wand, sodass der Ausdruck dort genau der Definition der Wandschubspannung entspricht. Im Inneren des Gebiets hat er keine Bedeutung als Wandgröße. Der Druckabfall wird als Differenz der flächengemittelten Drücke ausgewertet, weil der Druck über einen Querschnitt in der Nähe der Stenose nicht konstant ist. === Vernetzung === Das Netz entscheidet über die Genauigkeit, besonders bei der Wandschubspannung, die aus einem Gradienten an der Wand berechnet wird. # Unter Netz wird die Folgenart von Physikgesteuertes Netz auf Benutzergesteuertes Netz (User-controlled mesh) umgestellt. # Im Knoten Größe wird die maximale Elementgröße auf <code>hmax_g</code> und die minimale auf <code>hmax_f/10</code> gesetzt. # Unter dem Freien Dreiecksnetz (Free Triangular) wird eine zusätzliche Größe auf der Gebietsselektion Stenose und Nachlauf mit der maximalen Elementgröße <code>hmax_f</code> angelegt. # Ein Knoten Grenzschichten (Boundary Layers) auf der Selektion Gefäßwand erhält sechs Schichten mit dem Streckungsfaktor 1,2. Diese flachen Elemente an der Wand lösen den steilen Geschwindigkeitsgradienten auf. Ohne sie fällt die berechnete Wandschubspannung deutlich zu klein aus. # Für die Stenosegrade ab 0,6 wird in der Störstelle eine weitere Größe mit <code>hmax_f*(1-s)</code> ergänzt. Der engste Radius beträgt beim Grad 0,8 nur noch 0,6 mm, mit der unveränderten Feinheit von 0,15 mm lägen dort nur vier Elemente über dem Radius. Mit der an den Stenosegrad gekoppelten Größe bleibt die Auflösung der Engstelle für alle Grade gleich. <!-- FIXME pruefen, ob diese Groesse in die Modellmethode uebernommen wurde --> # Nach Alle erstellen wird die Elementzahl notiert, weil sie in die Tabelle der Netzstudie gehört. <!-- FIXME Elementzahl fuer s = 0, 0,5 und 0,8 eintragen --> === Studie und parametrischer Sweep === # Zuerst wird ausschließlich der Fall <math>s = 0</math> gerechnet und mit den analytischen Referenzwerten verglichen. Erst wenn Volumenströme, Druckabfall, Scheitelgeschwindigkeit und Wandschubspannung auf ein Prozent stimmen, wird weitergerechnet. Dieser Zwischenschritt ist der wichtigste des ganzen Aufbaus, denn ein Fehler, der hier unentdeckt bleibt, steckt später in allen Ergebnissen. # Danach wird unter der Studie ein Parametrischer Sweep (Parametric Sweep) über <code>s</code> mit der Liste <code>0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8</code> angelegt. <!-- FIXME in den Modellmethoden fuer 2D steht noch die Liste bis 0.5 --> Es muss ein parametrischer Sweep sein und kein Hilfssweep (Auxiliary sweep), weil nur der parametrische Sweep die Geometrie für jeden Wert neu aufbaut. # Die aufsteigende Reihenfolge ist Absicht. COMSOL verwendet die Lösung des vorigen Stenosegrades als Startwert für den nächsten. Diese Fortsetzung im Parameter hilft gerade bei den hochgradigen Stenosen, deren Lösung vom Startwert der ruhenden Strömung aus schwer zu erreichen wäre. # Konvergiert ein Grad dennoch nicht, wird er einzeln gerechnet und unter Werte abhängiger Variablen die Lösung des vorigen Grades als Anfangswert gewählt. <!-- FIXME vermerken, ob alle Grade bis 0,8 konvergiert sind --> === Darstellung und Export === # Die automatisch erzeugte Plotgruppe Geschwindigkeit zeigt den Betrag der Geschwindigkeit. Eine ergänzte Stromlinien-Darstellung (Streamline) mit gleichmäßiger Dichte macht Strahl und Rückströmgebiet sichtbar. # Eine 2D-Plotgruppe mit dem Ausdruck <code>p</code> zeigt das Druckfeld. # Eine 2D-Plotgruppe mit dem Ausdruck <code>w<0</code> färbt genau den Bereich ein, in dem das Fluid entgegen der Hauptrichtung strömt. Das ist die anschaulichste Darstellung der Ablösung. # Eine 1D-Plotgruppe zeigt <code>tau_w</code> über <code>z</code> entlang der Gefäßwand, eine weitere die axiale Geschwindigkeit <code>w</code> entlang der Rotationsachse. Unter Parameterauswahl wird Alle gewählt, sodass alle Stenosegrade als Kurvenschar in einem Bild erscheinen. # Unter Abgeleitete Werte wird eine Globale Auswertung mit den Größen <code>Q_ein</code>, <code>Q_eng</code>, <code>Q_aus</code>, <code>dp_ges</code>, <code>dp_zus</code>, <code>u_max</code>, <code>tau_max</code>, <code>U_eng</code> und <code>Re_eng</code> für alle Stenosegrade ausgewertet und als <code>kennwerte_axi.txt</code> exportiert. # Über einen Selektionsdatensatz auf der Gefäßwand wird die Wandschubspannung je Stenosegrad als Wertepaar aus <code>z</code> und <code>tau_w</code> exportiert, mit den Dateinamen <code>wss_s000.txt</code> bis <code>wss_s080.txt</code>. # Das Octave-Skript <code>auswertung_comsol.m</code> liest diese Dateien ein, prüft die Massenerhaltung und den Vergleich mit dem Graphenmodell und schreibt die Ergebnistabellen dieser Seite. <!-- FIXME Skript auf die Grade 0,6 bis 0,8 erweitern --> === Unterschiede beim ebenen Kanal === Das ebene Modell ist der Kanalfluss aus der Vorlesung mit verformter oberer Wand.<ref name="hundertmark" /> Gerechnet wird die obere Kanalhälfte mit einer Symmetriebedingung auf der Mittellinie. Die halbe Kanalhöhe ist gleich dem Gefäßradius, damit beide Modelle denselben Wandabstand haben. Der Aufbau folgt dem achsensymmetrischen Modell mit sechs Unterschieden. # Im Modellassistenten wird die Raumdimension 2D gewählt. # Die Koordinaten sind vertauscht. Die Strömungsrichtung heißt <math>x</math>, der Wandabstand <math>y</math>. Entsprechend steht in der parametrischen Kurve <code>zz</code> im Feld <math>x</math> und die Wandkontur im Feld <math>y</math>, und alle Polygone und Boxselektionen werden mit vertauschten Koordinaten eingetragen. # Statt der Rotationsachse gibt es eine Symmetrielinie bei <math>y = 0</math>. Auf ihr wird im Physikknoten ausdrücklich eine Symmetriebedingung (Symmetry) gesetzt, die COMSOL hier nicht selbständig anlegt. # Die Integrationsoperatoren werden ohne den Haken für die rotierte Geometrie angelegt, den es in der ebenen Rechnung nicht gibt. Der Volumenstrom ist dann eine Größe je Tiefeneinheit in m²/s. Für den gesunden halben Kanal beträgt er <math>U_0 R_0 = 6{,}366 \cdot 10^{-4}\ \mathrm{m^2/s}</math>. # Die Auswertungsvariablen verwenden die Geschwindigkeitskomponente <code>u</code> in x-Richtung, und der Zusatzverlust bezieht sich auf den analytischen Kanalwert <code>dp_eben = 3*mu_b*U0*(Lu+Ld)/R0^2</code> von 37,14 Pa. # Der Export heißt <code>kennwerte_eben.txt</code>. Der Vergleich beider Modelle ist der eigentliche Zweck des ebenen Kanals. Im Rohr wächst die mittlere Geschwindigkeit in der Engstelle bei festem Volumenstrom mit <math>1/(1-s)^2</math>, weil die Fläche in zwei Richtungen schrumpft. Im ebenen Kanal wächst sie nur mit <math>1/(1-s)</math>, weil nur eine Richtung verengt wird. Die ebene Rechnung unterschätzt die Wirkung einer Verengung also systematisch, und genau das begründet, warum ein rundes Gefäß nicht als ebener Kanal modelliert werden darf. == Erstellung der 3D-Modelle == Das Volumenmodell entsteht, indem derselbe Halbschnitt um die Gefäßachse rotiert wird. Physik, Parameter und Randbedingungen bleiben unverändert. Da die Geometrie rotationssymmetrisch ist, muss das Volumenmodell dasselbe Ergebnis liefern wie das achsensymmetrische Flächenmodell. Es dient deshalb in erster Linie als Kontrolle und als Grundlage für die räumliche Darstellung. Gerechnet werden die Stenosegrade 0, 0,3 und 0,6, also das gesunde Gefäß und je ein Vertreter der leicht- und der mittelgradigen Stenose. Der hochgradige Fall 0,8 wird im Volumen nicht gerechnet. Er liegt außerhalb des Bereichs, in dem das stationäre, laminare Modell verlässlich ist, und würde im Volumen ein sehr feines und damit sehr großes Netz erfordern. === Raumdimension, Physik und Parameter === # Im Modellassistenten wird die Raumdimension 3D gewählt, dazu wieder Laminare Strömung und eine stationäre Studie. # Die Parametertabelle ist identisch mit dem Flächenmodell. Nur die Netzparameter werden gröber gewählt, nämlich <code>hmax_g = R0/3</code>, also 1 mm, und <code>hmax_f = R0/8</code>, also 0,375 mm. Im Volumen wächst die Elementzahl mit der dritten Potenz der Feinheit, eine Halbierung der Elementgröße vervielfacht den Rechenaufwand also etwa um den Faktor acht. === Geometrie über Arbeitsebene und Rotation === # Unter Geometrie wird eine Arbeitsebene (Work Plane) angelegt und als Schnellebene die xz-Ebene gewählt. # Innerhalb der Ebenengeometrie dieser Arbeitsebene werden die parametrische Kurve, das große Polygon und die drei Querschnittslinien genau wie im Flächenmodell angelegt und in einen Festkörper umgewandelt. Die Koordinaten der Arbeitsebene entsprechen dabei dem Radius und der Achskoordinate. # Auf der Ebene der Gesamtgeometrie wird eine Rotation (Revolve) der Arbeitsebene um 360 Grad angelegt. Die Rotationsachse ist die Achse der Arbeitsebene, die der globalen z-Achse entspricht. # Nach Alle erstellen liegt ein Rohr entlang der z-Achse vor, das von <math>z = -30\ \mathrm{mm}</math> bis <math>z = 120\ \mathrm{mm}</math> reicht. === Selektionen und Operatoren === # Die Boxselektionen der fünf Querschnitte werden auf der Ebene Rand angelegt und benötigen nun drei Koordinatenpaare. In x und y reichen sie jeweils von <code>-6[mm]</code> bis <code>6[mm]</code>, in z umschließen sie die Position des Querschnitts wie im Flächenmodell. # Eine Rotationsachse als Rand gibt es im Volumen nicht. Die Selektion Gefäßwand ist deshalb das Komplement der fünf Querschnitte allein. # Die Gebietsselektion Stenose und Nachlauf reicht in z von <math>-6\ \mathrm{mm}</math> bis <math>66\ \mathrm{mm}</math>. # Die Integrationsoperatoren werden auf den Querschnittsflächen angelegt und brauchen keinen Haken für rotierte Geometrie, weil das Flächenintegral im Volumen bereits über den ganzen Kreisquerschnitt läuft. Die Auswertungsvariablen sind mit denen des achsensymmetrischen Modells identisch, die axiale Geschwindigkeit heißt auch hier <code>w</code>. === Randbedingungen === Die Randbedingungen sind dieselben wie im Flächenmodell. Der Einlass erhält die voll entwickelte Strömung mit der mittleren Geschwindigkeit <code>U0</code>, wobei COMSOL das zugehörige Profil auf der kreisförmigen Einlassfläche selbst berechnet. Der Auslass erhält den Druck null, die Mantelfläche die Haftbedingung. Szenario B ist wieder als deaktivierter zweiter Einlass angelegt. === Vernetzung === # Statt des Dreiecksnetzes wird ein Freies Tetraedernetz (Free Tetrahedral) verwendet, mit der globalen Größe <code>hmax_g</code> und der örtlichen Verfeinerung <code>hmax_f</code> im Bereich der Stenose und des Nachlaufs. # Ein Grenzschichtnetz auf der Gefäßwand erhält fünf Schichten mit dem Streckungsfaktor 1,2. # Für den Stenosegrad 0,6 wird die Feinheit im Bereich der Stenose auf <code>R0/12</code> verringert. Der engste Radius beträgt dort 1,2 mm, und mit der Feinheit von 0,375 mm lägen nur gut drei Elemente über dem Radius. <!-- FIXME Elementzahl und Rechenzeit fuer s = 0, 0,3 und 0,6 eintragen --> === Studie === # Der parametrische Sweep erhält die Liste <code>0 0.3 0.6</code>. <!-- FIXME in der Modellmethode steht noch 0 0.3 0.5 --> # Wie im Flächenmodell wird zuerst nur der gesunde Fall gerechnet und mit den analytischen Werten verglichen. # Für die Volumenrechnung wird bei großen Netzen ein iterativer Löser verwendet, den COMSOL für dreidimensionale Strömungsprobleme vorschlägt. Konvergiert der Fall 0,6 nicht, wird die Lösung des Falls 0,3 als Startwert verwendet. === Darstellung === # Eine Schnittebenen-Darstellung (Slice) zeigt den Geschwindigkeitsbetrag in mehreren Querschnitten und im Längsschnitt. # Stromlinien werden als Röhren dargestellt und nach der Geschwindigkeit eingefärbt. Sie zeigen den Strahl hinter der Engstelle und das ringförmige Rückströmgebiet, das im Volumen als Wirbelring erscheint. # Eine Isofläche des Ausdrucks <code>w</code> zum Wert null umschließt das Rückströmgebiet räumlich. # Eine Oberflächendarstellung auf der Gefäßwand mit dem Ausdruck <code>tau_w</code> zeigt die Verteilung der Wandschubspannung. === Reproduzierbarkeit über Modellmethoden === Alle Modelle lassen sich statt von Hand auch über Modellmethoden aufbauen. Dazu wird ein leeres Modell geöffnet, im Reiter Entwickler eine neue Methode angelegt, der Methodentext eingefügt und ausgeführt. Jede Methode endet mit einer Prüfzeile in der Parametertabelle, die den Wert eins trägt, wenn alle Schritte fehlerfrei ausgeführt wurden. Die Dateien im Format mph lassen sich nicht auf Wikimedia Commons hochladen, das Modell ist deshalb über die Parametertabelle und den Methodentext vollständig dokumentiert. Der folgende Auszug zeigt den Kern des Geometrieaufbaus im achsensymmetrischen Modell. Der Kurvenparameter heißt <code>zz</code>, weil der Name <code>s</code> bereits für den Stenosegrad vergeben ist. <syntaxhighlight lang="java"> model.component("comp1").geom("geom1").create("pc1", "ParametricCurve"); model.component("comp1").geom("geom1").feature("pc1").set("parname", "zz"); model.component("comp1").geom("geom1").feature("pc1").set("parmin", "-Ls/2"); model.component("comp1").geom("geom1").feature("pc1").set("parmax", "Ls/2"); model.component("comp1").geom("geom1").feature("pc1") .set("coord", new String[]{"R0*(1-s/2*(1+cos(2*pi*zz/Ls)))", "zz"}); </syntaxhighlight> Die Randbedingung am Einlass wird in der Methode wie folgt gesetzt. <syntaxhighlight lang="java"> model.component("comp1").physics("spf").create("inl1", "InletBoundary", 1); model.component("comp1").physics("spf").feature("inl1").set("BoundaryCondition", "FullyDevelopedFlow"); model.component("comp1").physics("spf").feature("inl1").set("FullyDevelopedFlowOption", "Uav"); model.component("comp1").physics("spf").feature("inl1").set("Uavfdf", "U0"); </syntaxhighlight> <!-- FIXME vollstaendige Methodentexte und Octave-Skripte auf eine Unterseite auslagern und hier verlinken --> = Modellierungsergebnisse = Die Ergebnisse werden in der Reihenfolge der Modellhierarchie dargestellt. Zuerst stehen die Ergebnisse des Graphenmodells, die bereits für alle Stenosegrade vorliegen. Danach folgt die Verifikation der COMSOL-Modelle, denn erst wenn die Rechnungen im gesunden Fall die exakte Lösung treffen, sind ihre Ergebnisse bei Stenose belastbar. Anschließend werden die Feldgrößen der Flächen- und Volumenmodelle ausgewertet. == Ergebnisse des Graphenmodells == Alle Werte gelten bei eingeprägtem Volumenstrom von 6 ml/s, also im Szenario A. Die Geschwindigkeit, die Wandschubspannung und die Reynoldszahl beziehen sich auf den engsten Querschnitt, der Druckabfall auf das gesamte Gefäßstück von 150 mm. Der Zusatzverlust ist der Anteil des Druckabfalls, der über den Wert des gesunden Gefäßes hinausgeht. Die hervorgehobenen Zeilen sind die NASCET-Vertreter. {| class="wikitable" |+ Ergebnisse des Graphenmodells bei eingeprägtem Volumenstrom von 6 ml/s ! Stenosegrad !! NASCET-Kategorie !! engster Radius !! Flächenreduktion !! Scheitelgeschwindigkeit !! Wandschubspannung !! Reynoldszahl in der Engstelle !! Druckabfall !! Zusatzverlust |- style="font-weight:bold" | 0 || gesund || 3,00 mm || 0 % || 0,4244 m/s || 0,990 Pa || 386 || 99,03 Pa || 0,00 Pa |- | 0,1 || leichtgradig || 2,70 mm || 19 % || 0,5240 m/s || 1,358 Pa || 428 || 100,97 Pa || 1,94 Pa |- | 0,2 || leichtgradig || 2,40 mm || 36 % || 0,6631 m/s || 1,934 Pa || 482 || 103,95 Pa || 4,92 Pa |- style="font-weight:bold" | 0,3 || leichtgradig || 2,10 mm || 51 % || 0,8661 m/s || 2,887 Pa || 551 || 108,85 Pa || 9,82 Pa |- | 0,4 || leichtgradig || 1,80 mm || 64 % || 1,1789 m/s || 4,585 Pa || 643 || 117,62 Pa || 18,59 Pa |- | 0,5 || mittelgradig || 1,50 mm || 75 % || 1,6977 m/s || 7,922 Pa || 771 || 135,22 Pa || 36,19 Pa |- style="font-weight:bold" | 0,6 || mittelgradig || 1,20 mm || 84 % || 2,6526 m/s || 15,47 Pa || 964 || 176,74 Pa || 77,71 Pa |- | 0,7 || hochgradig || 0,90 mm || 91 % || 4,7157 m/s || 36,68 Pa || 1285 || 302,21 Pa || 203,18 Pa |- style="font-weight:bold" | 0,8 || hochgradig || 0,60 mm || 96 % || 10,610 m/s || 123,8 Pa || 1928 || 888,28 Pa || 789,25 Pa |} Im gesunden Fall reproduziert das Graphenmodell die analytischen Werte auf alle angegebenen Stellen. Das ist die erste Verifikation des Projekts, denn sie zeigt, dass Widerstandsnetzwerk, Randbedingungen und Parameter fehlerfrei umgesetzt sind. Für die Deutung ist es hilfreich, alle Größen auf das gesunde Gefäß zu beziehen. Die folgende Tabelle zeigt diese Verhältnisse für die NASCET-Vertreter. {| class="wikitable" |+ Kennwerte der NASCET-Vertreter bezogen auf das gesunde Gefäß ! Stenosegrad !! Druckabfall !! Scheitelgeschwindigkeit !! Reynoldszahl !! Wandschubspannung |- | 0,3 || 1,10fach || 2,04fach || 1,43fach || 2,92fach |- | 0,6 || 1,78fach || 6,25fach || 2,50fach || 15,6fach |- | 0,8 || 8,97fach || 25,0fach || 5,00fach || 125fach |} [[Datei:Stenose Gruppe5 Kennwerte.svg|mini|zentriert|800px|Kennwerte des Graphenmodells über dem Stenosegrad, jeweils bezogen auf das gesunde Gefäß.]] <!-- FIXME Abbildung fuer s = 0 bis 0,8 neu erzeugen und wegen des grossen Wertebereichs mit logarithmischer y-Achse darstellen --> Die Tabelle zeigt das zentrale Ergebnis des reduzierten Modells. Die vier Größen wachsen mit sehr unterschiedlichen Potenzen von <math>1/(1-s)</math>. Die Reynoldszahl wächst mit der ersten, die Geschwindigkeit mit der zweiten und die Wandschubspannung mit der dritten Potenz. Der Druckabfall über das ganze Gefäßstück reagiert dagegen träge, weil die Störstelle nur 12 der 150 mm einnimmt und der Rest des Gefäßes unverändert bleibt. Bei einer leichtgradigen Stenose von 30 % steigt der Druckabfall um nur zehn Prozent, während sich die Wandschubspannung bereits fast verdreifacht. Bei einer mittelgradigen Stenose von 60 % steigt der Druckabfall um gut drei Viertel, die Wandschubspannung aber um mehr als das Fünfzehnfache. Medizinisch bedeutet das, dass eine Stenose über den Druckabfall und damit über die Durchblutung lange unauffällig bleiben kann, während die mechanische Belastung der Gefäßwand bereits erheblich gestiegen ist. Beim hochgradigen Fall von 80 % liefert das Graphenmodell eine mittlere Geschwindigkeit von 5,3 m/s und eine Scheitelgeschwindigkeit von 10,6 m/s in der Engstelle. Diese Werte sind keine realistische Vorhersage, sondern zeigen die Grenze des Szenarios A. Wie im Abschnitt zu den Randbedingungen abgeschätzt, würde der Volumenstrom bei einer so starken Verengung im Kreislauf etwa auf die Hälfte sinken, und die Geschwindigkeiten wären entsprechend kleiner. [[Datei:Stenose Gruppe5 Graphenmodell Druck.svg|mini|zentriert|800px|Druckverlauf entlang der Gefäßachse im Graphenmodell. Außerhalb der Störstelle verlaufen alle Kurven parallel, der gesamte Unterschied entsteht auf den zwölf Millimetern der Engstelle.]] [[Datei:Stenose Gruppe5 Graphenmodell Wandschubspannung.svg|mini|zentriert|800px|Wandschubspannung entlang der Gefäßachse im Graphenmodell. Das Maximum liegt in der Engstelle und wächst mit der dritten Potenz von <math>1/(1-s)</math>.]] <!-- FIXME beide Abbildungen fuer s = 0 bis 0,8 neu erzeugen --> Außerhalb der Störstelle verlaufen alle Druckkurven parallel, weil dort der Radius und damit der Druckabfall je Längeneinheit unverändert ist. Auf den zwölf Millimetern der Störstelle fällt der Druck dagegen umso steiler, je stärker die Verengung ist. Beim gesunden Gefäß fallen auf diese zwölf Millimeter nur 7,9 Pa, beim Stenosegrad 0,6 bereits 85,6 Pa und beim Grad 0,8 rund 797 Pa. == Verifikation der COMSOL-Modelle == Die Rechnungen in COMSOL werden auf vier Wegen geprüft, bevor ihre Ergebnisse verwendet werden. === Vergleich mit der analytischen Lösung === Im gesunden Gefäß muss jedes Modell die analytischen Werte treffen. Zugelassen ist eine Abweichung von einem Prozent, bei der Wandschubspannung wegen ihrer Netzempfindlichkeit von zwei Prozent. {| class="wikitable" |+ Vergleich im gesunden Gefäß ! Größe !! analytisch !! Graphenmodell Octave !! Graphenmodell COMSOL !! achsensymmetrisch !! Volumenmodell |- | Scheitelgeschwindigkeit || 0,4244 m/s || 0,4244 m/s || FIXME || FIXME || FIXME |- | Druckabfall über 150 mm || 99,03 Pa || 99,03 Pa || FIXME || FIXME || FIXME |- | Wandschubspannung || 0,990 Pa || 0,990 Pa || FIXME || FIXME || FIXME |} Für den ebenen Kanal gelten die analytischen Kanalwerte von 0,3183 m/s, 37,14 Pa und 0,743 Pa. <!-- FIXME Ergebnis des ebenen Kanals eintragen --> === Massenerhaltung === Der Volumenstrom wird in fünf Querschnitten ausgewertet, nämlich am Einlass, vor der Stenose, in der Engstelle, am Ende des fein vernetzten Nachlaufs und am Auslass. Wegen der Massenerhaltung müssen alle fünf Werte gleich 6 ml/s sein. Eine Abweichung von mehr als einem Prozent zeigt ein zu grobes Netz an. Die Prüfung ist besonders wichtig, weil ein fehlender Haken bei den Integrationsoperatoren sofort auffällt. Die Volumenströme wären dann um Größenordnungen zu klein. {| class="wikitable" |+ Volumenstrom in fünf Querschnitten, achsensymmetrisches Modell ! Stenosegrad !! Einlass !! vor der Stenose !! Engstelle !! Ende Feinbereich !! Auslass !! größte Abweichung |- | 0 || FIXME || FIXME || FIXME || FIXME || FIXME || FIXME |- | 0,3 || FIXME || FIXME || FIXME || FIXME || FIXME || FIXME |- | 0,6 || FIXME || FIXME || FIXME || FIXME || FIXME || FIXME |- | 0,8 || FIXME || FIXME || FIXME || FIXME || FIXME || FIXME |} === Netzstudie === Die Netzstudie wird an zwei Stenosegraden durchgeführt. Der Grad 0,5 ist der stärkste Fall, für den es einen direkten Literaturvergleich gibt, der Grad 0,8 ist der numerisch schwierigste Fall. Die Feinheit im Bereich der Stenose wird dazu zweimal halbiert, und jeweils werden Elementzahl, Druckabfall und Höchstgeschwindigkeit notiert. Die Arbeitseinstellung ist erreicht, sobald sich beide Kennwerte zwischen zwei Stufen um weniger als ein Prozent ändern. Das ist dieselbe Logik wie bei der Konvergenzuntersuchung des Finite-Differenzen-Verfahrens in der Vorlesung, nur praktisch statt theoretisch.<ref name="hundertmark" /> {| class="wikitable" |+ Netzstudie am achsensymmetrischen Modell ! Stenosegrad !! Stufe !! hmax_f !! Elemente !! Druckabfall !! Höchstgeschwindigkeit !! Änderung zur vorigen Stufe |- | 0,5 || grob || R0/10 || FIXME || FIXME || FIXME || entfällt |- | 0,5 || mittel || R0/20 || FIXME || FIXME || FIXME || FIXME |- | 0,5 || fein || R0/40 || FIXME || FIXME || FIXME || FIXME |- | 0,8 || grob || R0/10 || FIXME || FIXME || FIXME || entfällt |- | 0,8 || mittel || R0/20 || FIXME || FIXME || FIXME || FIXME |- | 0,8 || fein || R0/40 || FIXME || FIXME || FIXME || FIXME |} === Vergleich mit der Literatur === Beim Stenosegrad 0,5 stimmt die Geometrie dieses Projekts mit der Standardgeometrie aus der Literatur überein, also einer kosinusförmigen Stenose der Länge zwei Durchmesser mit 75 % Flächenreduktion. Für diese Geometrie wurde bei einer Einström-Reynoldszahl von 500 eine laminare, rotationssymmetrische Strömung gefunden, die etwa zehn Durchmesser hinter der Engstelle wieder an der Wand anliegt.<ref name="varghese" /> Da die Reynoldszahl in diesem Projekt mit 386 etwas kleiner ist und das Rückströmgebiet einer laminaren Strömung mit der Reynoldszahl wächst, wird ein etwas kürzeres Rückströmgebiet erwartet. {| class="wikitable" |+ Literaturvergleich beim Stenosegrad 0,5 ! Größe !! Literatur, Re = 500 !! dieses Projekt, Re = 386 |- | Strömungsform || laminar, rotationssymmetrisch || FIXME |- | Wiederanlegen hinter der Engstellenmitte || etwa 10 D || FIXME |} == Ergebnisse der 2D-Modelle == <!-- FIXME Der gesamte Abschnitt beschreibt bis zum Vorliegen der COMSOL-Ergebnisse die physikalisch begruendete Erwartung. Nach dem Rechnen werden die Erwartungssaetze durch die beobachteten Werte ersetzt. --> === Geschwindigkeitsfeld und Strömungsmuster === Im gesunden Gefäß zeigt das Geschwindigkeitsfeld über die ganze Länge dasselbe parabolische Profil, die Stromlinien verlaufen parallel zur Achse. Mit zunehmender Verengung wird das Fluid in der Engstelle beschleunigt und verlässt sie als Strahl, der deutlich schmaler ist als das Gefäß. Zwischen Strahl und Wand bildet sich ein ringförmiges Rückströmgebiet, in dem das Fluid entgegen der Hauptrichtung strömt. Erst weiter stromab verbreitert sich der Strahl, legt sich wieder an die Wand an und entwickelt sich allmählich zurück zum Parabelprofil. <!-- FIXME Abbildung: Geschwindigkeitsbetrag mit Stromlinien fuer s = 0, 0,3, 0,6 und 0,8 als Galerie --> {| class="wikitable" |+ Höchstgeschwindigkeit im achsensymmetrischen Modell ! Stenosegrad !! Graphenmodell !! achsensymmetrisch !! Abweichung |- | 0 || 0,4244 m/s || FIXME || FIXME |- | 0,3 || 0,8661 m/s || FIXME || FIXME |- | 0,6 || 2,6526 m/s || FIXME || FIXME |- | 0,8 || 10,610 m/s || FIXME || FIXME |} Die Höchstgeschwindigkeit der CFD-Rechnung wird voraussichtlich unter dem Wert des Graphenmodells liegen, weil das Profil beim schnellen Einlaufen in die Engstelle keine Zeit hat, sich zur vollen Parabel zu entwickeln, und deshalb flacher bleibt. Die mittlere Geschwindigkeit in der Engstelle muss dagegen exakt dem Wert <math>Q_0/(\pi R_{\min}^2)</math> entsprechen. === Druckverteilung === Der Druckabfall der CFD-Rechnung muss für jeden Stenosegrad über dem Wert des Graphenmodells liegen, weil zur Wandreibung die Verluste durch Ablösung und Rückströmung hinzukommen. Eine Abschätzung dieser Trägheitsverluste ist im Abschnitt Mathematische Hintergründe hergeleitet. Sie zeigt, dass der Trägheitsverlust bereits ab einem Stenosegrad von 0,2 größer ist als der zusätzliche Reibungsverlust der Störstelle und ab 0,5 sogar größer als der gesamte Reibungsverlust über das Gefäßstück von 150 mm. Die Spalte Abschätzung gibt die Summe aus Graphenmodell und Trägheitsverlust für einen Verlustbeiwert zwischen 1,0 und 1,5 an. {| class="wikitable" |+ Druckabfall über das Gefäßstück je Stenosegrad ! Stenosegrad !! Graphenmodell !! Abschätzung mit Trägheitsverlust !! achsensymmetrisch !! ebener Kanal |- | 0 || 99,0 Pa || 99,0 Pa || FIXME || FIXME |- | 0,1 || 101,0 Pa || 102 bis 103 Pa || FIXME || FIXME |- | 0,2 || 104,0 Pa || 112 bis 115 Pa || FIXME || FIXME |- | 0,3 || 108,9 Pa || 135 bis 148 Pa || FIXME || FIXME |- | 0,4 || 117,6 Pa || 193 bis 232 Pa || FIXME || FIXME |- | 0,5 || 135,2 Pa || 350 bis 462 Pa || FIXME || FIXME |- | 0,6 || 176,7 Pa || 835 bis 1177 Pa || FIXME || FIXME |- | 0,7 || 302,2 Pa || 2,7 bis 4,0 kPa || FIXME || FIXME |- | 0,8 || 888,3 Pa || 14,6 bis 21,8 kPa || FIXME || FIXME |} Das Auswertungsskript prüft für jeden Grad automatisch, ob der CFD-Wert über dem Wert des Graphenmodells liegt. Ein Wert darunter wäre physikalisch nicht erklärbar und würde auf ein zu grobes Netz oder eine zu kurze Nachlaufstrecke hinweisen. === Wandschubspannung === Im gesunden Gefäß ist die Wandschubspannung entlang der ganzen Wand konstant gleich 0,99 Pa. Mit Stenose wird ein ausgeprägtes Maximum kurz vor der engsten Stelle erwartet, weil das Profil dort beim Einlaufen besonders steil an der Wand anliegt. Unmittelbar hinter der Engstelle fällt die Wandschubspannung im Rückströmgebiet auf null und wechselt das Vorzeichen, bevor sie nach dem Wiederanlegen allmählich zum Wert des gesunden Gefäßes zurückkehrt. Diese Nachbarschaft von sehr hoher und sehr niedriger, im Vorzeichen wechselnder Wandschubspannung ist die medizinisch bedeutsamste Aussage der Rechnung. <!-- FIXME Abbildung: Wandschubspannung entlang der Wand fuer alle Stenosegrade, aus auswertung_comsol.m --> {| class="wikitable" |+ Höchste Wandschubspannung je Stenosegrad ! Stenosegrad !! Graphenmodell !! achsensymmetrisch !! Lage des Maximums !! kleinster Wert im Rückströmgebiet |- | 0 || 0,990 Pa || FIXME || entfällt || entfällt |- | 0,3 || 2,887 Pa || FIXME || FIXME || FIXME |- | 0,6 || 15,47 Pa || FIXME || FIXME || FIXME |- | 0,8 || 123,8 Pa || FIXME || FIXME || FIXME |} === Rückströmgebiet === Die Länge des Rückströmgebiets wird aus dem Vorzeichenwechsel der Wandschubspannung bestimmt. Der Ablösepunkt ist die Stelle, an der sie hinter der Engstelle erstmals null wird, der Wiederanlegepunkt die Stelle, an der sie wieder positiv wird. Damit lässt sich die zweite Teilfrage beantworten, ab welchem Stenosegrad die Strömung überhaupt ablöst. {| class="wikitable" |+ Ablösung und Wiederanlegen hinter der Stenose ! Stenosegrad !! Ablösung ja oder nein !! Ablösepunkt !! Wiederanlegepunkt !! Länge in Durchmessern |- | 0,1 || FIXME || FIXME || FIXME || FIXME |- | 0,2 || FIXME || FIXME || FIXME || FIXME |- | 0,3 || FIXME || FIXME || FIXME || FIXME |- | 0,4 || FIXME || FIXME || FIXME || FIXME |- | 0,5 || FIXME || FIXME || FIXME || FIXME |- | 0,6 || FIXME || FIXME || FIXME || FIXME |- | 0,7 || FIXME || FIXME || FIXME || FIXME |- | 0,8 || FIXME || FIXME || FIXME || FIXME |} Reicht das Rückströmgebiet bei einem Grad bis an den Auslass oder auch nur bis in die Nähe von 100 mm, ist die Nachlaufstrecke für diesen Grad zu kurz. Die Rechnung wird dann mit verlängertem Nachlauf wiederholt. <!-- FIXME vermerken, ob das bei 0,7 oder 0,8 noetig war --> === Vergleich von Rohr und ebenem Kanal === Der Unterschied zwischen beiden Geometrien lässt sich bereits analytisch angeben. Bei gleichem Volumenstrom wächst die mittlere Geschwindigkeit in der Engstelle des Rohres mit <math>1/(1-s)^2</math>, im ebenen Kanal nur mit <math>1/(1-s)</math>. Für die Wandschubspannung verschiebt sich die Potenz entsprechend von drei auf zwei. {| class="wikitable" |+ Verstärkung in der Engstelle, Rohr und ebener Kanal im Vergleich ! Stenosegrad !! Geschwindigkeit Rohr !! Geschwindigkeit Kanal !! Wandschubspannung Rohr !! Wandschubspannung Kanal |- | 0,3 || 2,04fach || 1,43fach || 2,92fach || 2,04fach |- | 0,6 || 6,25fach || 2,50fach || 15,6fach || 6,25fach |- | 0,8 || 25,0fach || 5,00fach || 125fach || 25,0fach |} Beim Stenosegrad 0,6 unterschätzt der ebene Kanal die Geschwindigkeitszunahme also um den Faktor 2,5 und die Zunahme der Wandschubspannung um denselben Faktor. Bemerkenswert ist außerdem, dass die Reynoldszahl im ebenen Kanal, gebildet mit der örtlichen Kanalhöhe, in der Engstelle gar nicht steigt, weil das Produkt aus mittlerer Geschwindigkeit und Höhe gerade dem konstanten Volumenstrom je Tiefe entspricht. Der ebene Kanal beschreibt deshalb auch den Übergang zu instabiler Strömung falsch. <!-- FIXME CFD-Werte des ebenen Kanals ergaenzen --> == Ergebnisse der 3D-Modelle == === Räumliches Strömungsbild === Im Volumenmodell erscheint das Rückströmgebiet hinter der Engstelle als ringförmiger Wirbel, der den Strahl umschließt. Die räumliche Darstellung macht anschaulich, was im achsensymmetrischen Halbschnitt nur als Querschnitt sichtbar ist. <!-- FIXME Galerie: Stromlinien als Roehren fuer s = 0,3 und 0,6, Isoflaeche w = 0, Wandschubspannung auf der Gefaesswand --> === Quantitativer Vergleich mit dem achsensymmetrischen Modell === Weil beide Modelle dieselbe Physik in derselben Geometrie lösen, müssen ihre Kennwerte übereinstimmen. Zugelassen sind wegen des gröberen Tetraedernetzes Abweichungen von einem Prozent im gesunden Fall, drei Prozent beim Grad 0,3 und fünf Prozent beim Grad 0,6. Eine größere Abweichung ist ein Hinweis auf ein zu grobes Netz und nicht auf einen physikalischen Effekt. {| class="wikitable" |+ Volumenmodell und achsensymmetrisches Modell im Vergleich ! Stenosegrad !! Größe !! achsensymmetrisch !! Volumenmodell !! Abweichung |- | 0 || Druckabfall || FIXME || FIXME || FIXME |- | 0 || Höchstgeschwindigkeit || FIXME || FIXME || FIXME |- | 0,3 || Druckabfall || FIXME || FIXME || FIXME |- | 0,3 || Höchstgeschwindigkeit || FIXME || FIXME || FIXME |- | 0,6 || Druckabfall || FIXME || FIXME || FIXME |- | 0,6 || Höchstgeschwindigkeit || FIXME || FIXME || FIXME |} = Schlussfolgerungen = <!-- FIXME Die Schlussfolgerungen stuetzen sich bisher auf das Graphenmodell, die analytischen Abschaetzungen und die Literatur. Nach dem Vorliegen der COMSOL-Ergebnisse werden die markierten Stellen ergaenzt. --> == Beantwortung der Fragestellung == Die erste Teilfrage, welche Größen empfindlich und welche träge auf den Stenosegrad reagieren, lässt sich bereits aus dem Graphenmodell klar beantworten. Die örtlichen Größen in der Engstelle reagieren stark, und zwar umso stärker, je höher die Potenz ist, mit der sie vom Radius abhängen. Die Wandschubspannung wächst mit der dritten Potenz von <math>1/(1-s)</math> und ist damit die empfindlichste Größe. Der Druckabfall über das ganze Gefäßstück reagiert dagegen träge, weil die Störstelle nur einen kleinen Teil der Länge einnimmt. Bei einer leichtgradigen Stenose von 30 % steigt er um zehn Prozent, während sich die Wandschubspannung fast verdreifacht. Die CFD-Rechnungen verschieben diese Aussage nur in eine Richtung. Der Druckabfall wird durch die Trägheitsverluste größer als im Graphenmodell, bleibt aber für leichtgradige Stenosen klein gegenüber dem arteriellen Mitteldruck. <!-- FIXME mit den CFD-Werten bestaetigen --> Die zweite Teilfrage, ab welchem Grad die Strömung ablöst, kann erst die CFD-Rechnung beantworten, weil das Graphenmodell keine Ablösung kennt. <!-- FIXME Antwort aus der Tabelle zum Rueckstroemgebiet eintragen --> Die dritte Teilfrage nach der Reichweite der Annahmen wird im folgenden Abschnitt beantwortet. Kurz gefasst tragen die Annahmen für das gesunde Gefäß und für leicht- bis mittelgradige Stenosen bis 0,5 ohne Einschränkung. Beim Grad 0,6 sind sie noch vertretbar, für die hochgradigen Stenosen ab 0,7 sind die Ergebnisse dagegen als Grenzfall eines geordneten, stationären Strömungszustands zu lesen. == Bewertung der Modellannahmen == Die Modellannahmen lassen sich jetzt an den berechneten Größen prüfen. Die Tabelle fasst zusammen, in welchem Bereich der Stenosegrade jede Annahme trägt. {| class="wikitable" |+ Reichweite der Modellannahmen ! Annahme !! Prüfgröße !! 0 bis 0,5 !! 0,6 !! 0,7 und 0,8 |- | laminare Strömung || Reynoldszahl in der Engstelle 386 bis 1928 und Literatur || trägt || noch vertretbar || fraglich, Strahl vermutlich instabil |- | stationäre Strömung || Womersley-Zahl 4,1, systolischer Spitzenwert rund das Vierfache des Mittels || trägt für den zeitlichen Mittelwert || trägt für den zeitlichen Mittelwert || fraglich, in der Systole sicher instabil |- | Newtonsche Näherung || Scherrate an der Wand 283 bis über 35 000 pro Sekunde || trägt außer im Rückströmgebiet || trägt außer im Rückströmgebiet || trägt außer im Rückströmgebiet |- | eingeprägter Volumenstrom || Abschätzung mit Reihenwiderstand || trägt, Änderung unter 3 % || Änderung etwa 8 % || trägt nicht, Volumenstrom sinkt um 20 bis 50 % |- | starre Wand || Durchmesseränderung im Herzzyklus 5 bis 14 % || konsistent mit stationärer Rechnung || konsistent || konsistent |} Die laminare Annahme stützt sich auf die Literatur. Für die Geometrie mit dem Stenosegrad 0,5 bleibt die Strömung bei einer Einström-Reynoldszahl von 500 laminar, bei 1000 genügt dagegen eine geringe Unsymmetrie, um den Strahl umschlagen zu lassen.<ref name="varghese" /> Mit 386 liegt das Projekt für diesen Grad sicher im laminaren Bereich. Bei den stärkeren Verengungen ist der Strahl schneller und schmaler, sodass eine Instabilität schon bei kleineren Einström-Reynoldszahlen zu erwarten ist. In einer achsensymmetrischen Rechnung kann eine solche Instabilität grundsätzlich nicht auftreten, weil das Modell keine Abweichung von der Rotationssymmetrie zulässt. Die achsensymmetrische Lösung bleibt deshalb auch dort ordentlich, wo die Wirklichkeit bereits unruhig wäre. Die Newtonsche Näherung ist im größten Teil des Gebiets gut erfüllt, weil die Scherraten hoch sind. Ihre Schwachstelle ist das Rückströmgebiet. Dort sind die Scherraten klein, reales Blut ist dort zäher als angenommen, und das berechnete Rückströmgebiet dürfte deshalb etwas zu groß und zu lebhaft ausfallen. Für den Vergleich der Stenosegrade untereinander bleibt das Modell dennoch aussagekräftig, weil sich dieser Fehler in allen Fällen gleichsinnig auswirkt. Die stationäre Annahme ist die stärkste Vereinfachung. Sie beschreibt den zeitlichen Mittelwert und nicht den Verlauf im Herzzyklus. Da der Volumenstrom in der Systole kurzzeitig rund das Vierfache des Mittelwerts erreicht, steigt die Reynoldszahl des gesunden Gefäßes dann auf etwa 1500 und in der Engstelle beim Grad 0,5 auf etwa 3000. Die Spitzenwerte von Geschwindigkeit und Wandschubspannung sind im realen Herzzyklus deshalb deutlich höher als in der stationären Rechnung. == Vergleich der Modellstufen == Das Graphenmodell hat sich als außerordentlich nützlich erwiesen. Es rechnet in Sekunden, ist analytisch nachprüfbar und liefert für Geschwindigkeit, Wandschubspannung und Reynoldszahl in der Engstelle bereits gute Werte. Seine Grenze ist der Druckabfall, weil es die Trägheitsverluste hinter der Engstelle nicht kennt. Das achsensymmetrische Flächenmodell schließt genau diese Lücke und bildet die Ablösung und das Rückströmgebiet ab. Der ebene Kanal zeigt durch den Vergleich, dass die zweite Querschnittsrichtung nicht vernachlässigt werden darf, weil er die Wirkung einer Verengung systematisch unterschätzt. Das Volumenmodell bestätigt das achsensymmetrische Modell und liefert die räumliche Anschauung. <!-- FIXME mit den Abweichungen aus den Vergleichstabellen belegen --> == Gesamtbewertung == Das Projekt beantwortet die Fragestellung für den Bereich, in dem seine Annahmen tragen, also für das gesunde Gefäß sowie für leicht- und mittelgradige Stenosen. Die wichtigste Erkenntnis ist das Auseinanderlaufen der Größenordnungen. Eine Stenose verändert die Belastung der Gefäßwand lange bevor sie die Durchblutung merklich einschränkt. Für hochgradige Stenosen zeigt das Projekt zugleich seine eigenen Grenzen auf. Dort sinkt der Volumenstrom, der Strahl wird instabil, und eine stationäre, laminare Rechnung mit festem Volumenstrom beschreibt nur noch einen idealisierten Grenzfall. Dass sich diese Grenze aus den Modellgrößen selbst ergibt, aus der Reynoldszahl, der Reihenwiderstandsabschätzung und dem Literaturvergleich, ist ein Ergebnis der methodischen Vorgehensweise. = Optimierung des Projekts = Die Optimierungsvorschläge gliedern sich in zwei Gruppen. Die erste Gruppe verbessert das bestehende Modell, ohne die Fragestellung zu ändern. Die zweite Gruppe erweitert die Untersuchung um Effekte, die durch die Modellannahmen bewusst ausgeschlossen wurden. == Optimierung der Modellierung und Auswertung == Die Netzauflösung in der Engstelle sollte grundsätzlich an den Stenosegrad gekoppelt werden. Mit einer festen Elementgröße wird die Engstelle bei hohen Stenosegraden immer schlechter aufgelöst, weil ihr Radius mit <math>1-s</math> schrumpft. Eine Elementgröße von <code>hmax_f*(1-s)</code> in der Störstelle hält die Zahl der Elemente über dem engsten Radius konstant. Ebenso sollte die Netzstudie nicht nur an einem Grad, sondern automatisiert über einen zweiten parametrischen Sweep über die Netzfeinheit für alle NASCET-Vertreter laufen. Die Nachlaufstrecke könnte ebenfalls an den Stenosegrad gekoppelt werden, etwa über einen Ausdruck, der für hochgradige Stenosen einen längeren Nachlauf vorsieht. So ließe sich ausschließen, dass das Rückströmgebiet den Auslass erreicht, ohne die leichten Fälle unnötig teuer zu machen. Das Graphenmodell lässt sich mit geringem Aufwand verbessern, indem zum Reibungsanteil ein Trägheitsverlust nach Borda-Carnot hinzugefügt wird, <math>\Delta p \approx Q_0 \int_{-L_u}^{L_d} \frac{8\mu}{\pi R(z)^4}\,\mathrm{d}z + K_t\,\frac{\rho}{2}\left(\frac{A_0}{A_1} - 1\right)^2 U_0^2 ,</math> wobei <math>A_0</math> die Fläche des gesunden Querschnitts, <math>A_1</math> die Fläche der Engstelle und <math>K_t</math> ein Verlustbeiwert der Größenordnung eins ist.<ref name="youngtsai">Young, D. F.; Tsai, F. Y.: ''Flow characteristics in models of arterial stenoses. I. Steady flow.'' Journal of Biomechanics 6 (1973), S. 395-410, sowie ''II. Unsteady flow.'' Journal of Biomechanics 6 (1973), S. 547-559. <!-- FIXME Wert K_t = 1,52 aus Teil I am Original pruefen --></ref> Die Herleitung steht im Abschnitt Mathematische Hintergründe. Mit den CFD-Ergebnissen lässt sich der Beiwert <math>K_t</math> für die kosinusförmige Stenose sogar bestimmen, indem der berechnete Zusatzverlust gegen <math>\tfrac{\rho}{2}(A_0/A_1 - 1)^2 U_0^2</math> aufgetragen wird. Das erweiterte Graphenmodell wäre dann ein in Sekunden rechnendes Ersatzmodell, das an der vollständigen Strömungsrechnung kalibriert ist. Die Auslassbedingung kann physiologischer gestaltet werden. Statt eines Drucks von null am Auslass und eines festen Volumenstroms am Einlass wird am Einlass der mittlere arterielle Druck vorgegeben und am Auslass ein Widerstand angesetzt, der das nachgeschaltete Gefäßbett vertritt. In COMSOL genügt dafür am Auslass der Druckausdruck <code>Rp*Q_aus</code> mit dem Widerstand <code>Rp</code> von etwa <math>2 \cdot 10^9\ \mathrm{Pa\,s/m^3}</math>. Der Volumenstrom stellt sich dann von selbst ein, und der Übergang zwischen den Szenarien A und B, der in der Abschätzung zu den Randbedingungen nur überschlagen wurde, würde von der Rechnung selbst geliefert. Schließlich sollte eine Empfindlichkeitsuntersuchung der Eingangsgrößen ergänzt werden. Variiert man den Volumenstrom um seine gemessene Standardabweichung von 1,4 ml/s, liegt die Reynoldszahl des gesunden Gefäßes zwischen 296 und 476. Setzt man statt 6 mm den mittleren Durchmesser von Männern mit 6,52 mm an, sinkt sie bei gleichem Volumenstrom auf 355. Die qualitativen Aussagen des Projekts ändern sich in diesem Bereich nicht, die Zahlenwerte aber schon, und das sollte bei ihrer Interpretation bewusst sein. == Erweiterung der Untersuchung == Die naheliegendste Erweiterung ist eine pulsierende Strömung. Dazu wird die stationäre durch eine zeitabhängige Studie ersetzt und am Einlass der gemessene Verlauf des Volumenstroms über einen Herzzyklus vorgegeben.<ref name="holdsworth" /> Bei einer Womersley-Zahl von etwa 4 weicht das Einlassprofil dabei merklich von der Parabel ab und müsste als Womersley-Profil vorgegeben werden.<ref name="womersley" /> Erst eine solche Rechnung liefert die zeitlich schwankende Wandschubspannung, deren Vorzeichenwechsel im Herzzyklus als besonders ungünstig für die Gefäßwand gilt. Eine zweite Erweiterung ist ein nicht Newtonsches Blutmodell. Gebräuchlich ist das Carreau-Modell, das zwischen einer Viskosität bei verschwindender Scherung und einer Viskosität bei hoher Scherung stetig vermittelt, <math>\mu(\dot\gamma) = \mu_\infty + (\mu_0 - \mu_\infty)\left[1 + (\lambda\dot\gamma)^2\right]^{\frac{n-1}{2}} ,</math> mit den für Blut häufig verwendeten Werten <math>\mu_0 = 0{,}056\ \mathrm{Pa\,s}</math>, <math>\mu_\infty = 0{,}00345\ \mathrm{Pa\,s}</math>, <math>\lambda = 3{,}313\ \mathrm{s}</math> und <math>n = 0{,}3568</math>.<ref name="chokensey">Cho, Y. I.; Kensey, K. R.: ''Effects of the non-Newtonian viscosity of blood on flows in a diseased arterial vessel. Part 1. Steady flows.'' Biorheology 28 (1991), S. 241-262. <!-- FIXME Parameterwerte am Original pruefen --></ref> In COMSOL kann die Viskosität dazu als Ausdruck der Scherrate <code>spf.sr</code> eingegeben werden. Der Vergleich mit der Newtonschen Rechnung würde zeigen, wie stark die Newtonsche Näherung das Rückströmgebiet verfälscht. Eine dritte Erweiterung ist eine elastische Gefäßwand, die über eine Kopplung von Strömung und Festkörpermechanik abgebildet wird. Sie ist nur zusammen mit der pulsierenden Strömung sinnvoll, weil die Wand sich erst durch die Druckschwankung bewegt. Eine vierte Erweiterung betrifft die Form der Plaque. Reale Plaques sind unsymmetrisch und unregelmäßig. Bereits eine Exzentrizität von fünf Prozent des Durchmessers kann den Strahl hinter der Engstelle bei höheren Reynoldszahlen umschlagen lassen.<ref name="varghese" /> Eine exzentrische Stenose lässt sich nur im Volumenmodell rechnen, und erst hier würde das Volumenmodell neue Physik liefern statt das achsensymmetrische Modell zu bestätigen. Für die hochgradigen Stenosen müsste die Rechnung dann zeitabhängig und auf einem sehr feinen Netz erfolgen, um den Umschlag zu turbulenter Strömung aufzulösen. Eine fünfte Erweiterung ist eine realistische Geometrie, also die Gabelung der Halsschlagader in den inneren und den äußeren Ast. Dort liegen die meisten Karotisstenosen, und dort entstehen auch ohne Stenose Rückströmgebiete mit niedriger Wandschubspannung.<ref name="quarteroni" /> Mit einer solchen Geometrie ließe sich auch die NASCET-Klassifikation an ihrem eigentlichen Ort, der ''Arteria carotis interna'', anwenden. = Mathematische Hintergründe = Dieser Abschnitt stellt die mathematischen Grundlagen zusammen, auf die sich die vorigen Abschnitte stützen. Die Herleitungen folgen dem Aufbau der Vorlesung und werden hier so weit ausgeführt, dass jeder Zahlenwert dieser Seite aus ihnen nachgerechnet werden kann.<ref name="hundertmark" /><ref name="chorin">Chorin, A. J.; Marsden, J. E.: ''A Mathematical Introduction to Fluid Mechanics.'' 3. Auflage, Springer, New York 1993 (Texts in Applied Mathematics 4).</ref> == Erhaltungsgleichungen und Navier-Stokes-Gleichungen == Ausgangspunkt ist die Erhaltung von Masse und Impuls für ein beliebiges, mit dem Fluid bewegtes Volumen <math>V(t)</math>. Für die Masse gilt <math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int_{V(t)} \rho\,\mathrm{d}x = 0 .</math> Mit dem Reynoldsschen Transportsatz und dem Lemma vom Integralmittelwert folgt daraus die Kontinuitätsgleichung <math>\partial_t \rho + \nabla\cdot(\rho\mathbf{u}) = 0</math>. Für ein Fluid mit konstanter Dichte reduziert sie sich auf <math>\nabla\cdot\mathbf{u} = 0 .</math> Die Impulsbilanz verlangt, dass die zeitliche Änderung des Impulses gleich der Summe der Oberflächen- und Volumenkräfte ist. In differentieller Form lautet sie <math>\rho\left(\partial_t \mathbf{u} + (\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u}\right) = \nabla\cdot\boldsymbol{\sigma} + \rho\,\mathbf{f} ,</math> wobei <math>\boldsymbol{\sigma}</math> der Cauchysche Spannungstensor ist. Für ein Newtonsches Fluid hängt er linear vom symmetrischen Anteil des Geschwindigkeitsgradienten ab, <math>\boldsymbol{\sigma} = -p\,\mathbf{I} + 2\mu\,\mathbf{D}(\mathbf{u}), \qquad \mathbf{D}(\mathbf{u}) = \tfrac{1}{2}\left(\nabla\mathbf{u} + \nabla\mathbf{u}^{\mathsf T}\right) .</math> Bei konstanter Viskosität und wegen <math>\nabla\cdot\mathbf{u} = 0</math> gilt <math>\nabla\cdot(2\mu\mathbf{D}(\mathbf{u})) = \mu\,\Delta\mathbf{u}</math>. Im stationären Fall und ohne Volumenkraft ergeben sich damit die Gleichungen, die in allen Flächen- und Volumenmodellen gelöst werden, <math>\rho\,(\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u} = -\nabla p + \mu\,\Delta\mathbf{u}, \qquad \nabla\cdot\mathbf{u} = 0 .</math> Dass die Schwerkraft weggelassen werden darf, folgt aus derselben Gleichung. Die Gewichtskraft je Volumen <math>\rho\,\mathbf{g}</math> ist bei konstanter Dichte ein Gradientenfeld, <math>\rho\,\mathbf{g} = \nabla(\rho\,\mathbf{g}\cdot\mathbf{x})</math>. Sie lässt sich deshalb mit dem Druckgradienten zu <math>-\nabla p^*</math> mit <math>p^* = p - \rho\,\mathbf{g}\cdot\mathbf{x}</math> zusammenfassen. Die Geschwindigkeit bleibt unverändert, nur der Druck erhält einen hydrostatischen Anteil. Da das Gefäß vollständig gefüllt ist und keine freie Oberfläche besitzt, gilt das unabhängig von der Lage des Gefäßes im Raum. == Achsensymmetrische Form == Im achsensymmetrischen Modell werden Zylinderkoordinaten <math>(r, \varphi, z)</math> verwendet. Die Geschwindigkeit hat die Radialkomponente <math>u_r</math> und die Axialkomponente <math>w</math>, die Umfangskomponente verschwindet, und keine Größe hängt vom Winkel <math>\varphi</math> ab. Die stationären Navier-Stokes-Gleichungen lauten dann <math>\frac{1}{r}\frac{\partial (r u_r)}{\partial r} + \frac{\partial w}{\partial z} = 0 ,</math> <math>\rho\left(u_r \frac{\partial u_r}{\partial r} + w\frac{\partial u_r}{\partial z}\right) = -\frac{\partial p}{\partial r} + \mu\left(\frac{\partial^2 u_r}{\partial r^2} + \frac{1}{r}\frac{\partial u_r}{\partial r} - \frac{u_r}{r^2} + \frac{\partial^2 u_r}{\partial z^2}\right) ,</math> <math>\rho\left(u_r \frac{\partial w}{\partial r} + w\frac{\partial w}{\partial z}\right) = -\frac{\partial p}{\partial z} + \mu\left(\frac{\partial^2 w}{\partial r^2} + \frac{1}{r}\frac{\partial w}{\partial r} + \frac{\partial^2 w}{\partial z^2}\right) .</math> Auf der Achse <math>r = 0</math> gelten die Symmetriebedingungen <math>u_r = 0</math> und <math>\partial w/\partial r = 0</math>. Die Terme mit <math>1/r</math> sind der Grund, warum sich das achsensymmetrische Modell vom ebenen Modell unterscheidet, obwohl beide in einer Fläche gerechnet werden. Auch der Volumenstrom durch einen Querschnitt enthält den Faktor <math>2\pi r</math>, <math>Q = \int_0^{R} w(r)\, 2\pi r\,\mathrm{d}r ,</math> und genau diesen Faktor ergänzt in COMSOL der Haken für die Integration in rotierter Geometrie. == Herleitung der Poiseuille-Lösung == Die Poiseuille-Lösung beschreibt die voll entwickelte Strömung im geraden Rohr mit Radius <math>R</math>. Sie lässt sich in sechs Schritten aus den achsensymmetrischen Gleichungen gewinnen. # Es wird angenommen, dass die Strömung parallel zur Achse verläuft und sich längs der Achse nicht ändert, also <math>u_r = 0</math> und <math>w = w(r)</math>. Die Kontinuitätsgleichung ist damit erfüllt, und der konvektive Term verschwindet vollständig, weil <math>u_r = 0</math> und <math>\partial w/\partial z = 0</math> gilt. # Die radiale Impulsgleichung reduziert sich auf <math>\partial p/\partial r = 0</math>. Der Druck hängt also nur von <math>z</math> ab. # Die axiale Impulsgleichung reduziert sich auf <math>\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}z} = \frac{\mu}{r}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}\left(r\frac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}r}\right)</math>. Die linke Seite hängt nur von <math>z</math>, die rechte nur von <math>r</math> ab. Beide Seiten müssen deshalb gleich derselben Konstanten sein. Sie wird als <math>-G</math> geschrieben, wobei <math>G = \Delta p/L > 0</math> der Druckabfall je Längeneinheit ist. # Einmalige Integration von <math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}\left(r\frac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}r}\right) = -\frac{G}{\mu}r</math> ergibt <math>\frac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}r} = -\frac{G}{2\mu}r + \frac{C_1}{r}</math>. Damit die Geschwindigkeit auf der Achse endlich bleibt und dort keine Spitze hat, muss <math>C_1 = 0</math> sein. # Zweite Integration ergibt <math>w(r) = -\frac{G}{4\mu}r^2 + C_2</math>. Die Haftbedingung <math>w(R) = 0</math> liefert <math>C_2 = \frac{G R^2}{4\mu}</math> und damit das parabolische Profil <math>w(r) = \frac{G}{4\mu}\left(R^2 - r^2\right)</math>. # Integration über den Querschnitt ergibt den Volumenstrom <math>Q = \int_0^R \frac{G}{4\mu}(R^2 - r^2)\,2\pi r\,\mathrm{d}r = \frac{\pi R^4}{8\mu}\,G</math>. Das ist das Hagen-Poiseuille-Gesetz. Aus diesen Ergebnissen folgen alle Referenzwerte. Die mittlere Geschwindigkeit ist <math>\bar u = Q/(\pi R^2) = G R^2/(8\mu)</math>, die Scheitelgeschwindigkeit auf der Achse <math>w(0) = G R^2/(4\mu) = 2\bar u</math>. Die Wandschubspannung ist <math>\tau_w = \mu\left|\mathrm{d}w/\mathrm{d}r\right|_{r=R} = G R/2 = 4\mu\bar u/R</math>, und der Druckabfall über die Länge <math>L</math> beträgt <math>\Delta p = 8\mu\bar u L/R^2</math>. Mit den Projektwerten ergibt sich <math>\Delta p = \frac{8 \cdot 0{,}0035\ \mathrm{Pa\,s} \cdot 0{,}2122\ \mathrm{m/s} \cdot 0{,}150\ \mathrm{m}}{(0{,}003\ \mathrm{m})^2} = 99{,}03\ \mathrm{Pa}, \qquad \tau_w = \frac{4 \cdot 0{,}0035 \cdot 0{,}2122}{0{,}003}\ \mathrm{Pa} = 0{,}990\ \mathrm{Pa} .</math> Die vierte Potenz des Radius im Hagen-Poiseuille-Gesetz ist der physikalische Kern des gesamten Projekts. Eine Halbierung des Radius erhöht den Widerstand eines Rohrstücks um den Faktor sechzehn. In der Vorlesung wurde dieselbe Lösung über eine Kräftebilanz an einer zylindrischen Fluidschicht hergeleitet, bevor die Navier-Stokes-Gleichungen zur Verfügung standen.<ref name="hundertmark" /> == Ebene Kanalströmung == Für den ebenen Kanal mit der halben Höhe <math>h</math> verläuft die Herleitung genauso, nur ohne die Faktoren <math>r</math>. Aus <math>\mu\,\mathrm{d}^2 w/\mathrm{d}y^2 = -G</math>, der Symmetrie <math>\mathrm{d}w/\mathrm{d}y = 0</math> bei <math>y = 0</math> und der Haftbedingung <math>w(h) = 0</math> folgt <math>w(y) = \frac{G}{2\mu}\left(h^2 - y^2\right), \qquad \bar u = \frac{G h^2}{3\mu}, \qquad w_{\max} = \tfrac{3}{2}\,\bar u, \qquad \tau_w = G h = \frac{3\mu\bar u}{h}, \qquad \Delta p = \frac{3\mu\bar u L}{h^2} .</math> Mit <math>h = R_0</math> und <math>\bar u = U_0</math> ergeben sich die Kanalwerte 0,3183 m/s, 0,743 Pa und 37,14 Pa aus dem Abschnitt Modellierung. == Graphenmodell und Laplace-Matrix == Im Graphenmodell sind die Knoten <math>i = 0, \dots, N</math> Querschnitte bei <math>z_i</math> und die Kanten Rohrstücke mit dem Leitwert <math>G_k = \pi r_k^4/(8\mu\,\Delta z_k)</math>, dem Kehrwert des Hagen-Poiseuille-Widerstands. Der Volumenstrom durch eine Kante ist nach Hagen-Poiseuille <math>G_k(p_i - p_{i+1})</math>. Die Massenerhaltung in einem Knoten verlangt, dass die Summe der abfließenden Volumenströme gleich der von außen eingespeisten Menge <math>q_i</math> ist, <math>\sum_{j \sim i} G_{ij}\,(p_i - p_j) = q_i .</math> In Matrixform lautet das <math>\mathbf{L}\,\mathbf{p} = \mathbf{q}</math> mit der gewichteten Laplace-Matrix <math>\mathbf{L}</math>, deren Diagonale die Summe der Leitwerte eines Knotens und deren Nebendiagonalen die negativen Leitwerte der Kanten enthalten. Die Matrix ist symmetrisch, ihre Zeilensummen sind null, und sie ist erst nach Vorgabe eines Drucks regulär. Physikalisch bedeutet das, dass der Druck nur bis auf eine Konstante bestimmt ist, solange kein Bezugsdruck festgelegt wird. Genau deshalb wird am Auslass der Druck null gesetzt. Für einen kettenförmigen Graphen, wie ihn das gerade Gefäß bildet, ist die Matrix tridiagonal, und das System lässt sich sogar geschlossen lösen. Da kein Knoten Blut verliert, fließt durch jede Kante derselbe Volumenstrom <math>Q_0</math>, und es gilt <math>p_i - p_{i+1} = Q_0/G_i</math>. Aufsummieren ergibt <math>\Delta p = Q_0\sum_k 1/G_k</math>, und im Grenzfall feiner Unterteilung entsteht die Integralformel aus dem Abschnitt Modellierung. Dieselbe Matrix entsteht, wenn man die Gleichung <math>\left(c(z)\,p'(z)\right)' = 0</math> mit dem Koeffizienten <math>c = \pi R^4/(8\mu)</math> mit Differenzenquotienten diskretisiert. Das Graphenmodell ist deshalb zugleich ein Widerstandsnetzwerk und die Finite-Differenzen-Diskretisierung einer eindimensionalen Poissongleichung mit veränderlichem Koeffizienten, wie sie in der Vorlesung behandelt wurde.<ref name="hundertmark" /> == Skalierungsgesetze in der Engstelle == Setzt man den engsten Radius <math>R_{\min} = R_0(1-s)</math> in die Poiseuille-Formeln ein und hält den Volumenstrom fest, ergeben sich die Skalierungsgesetze, die die Ergebnistabellen erklären. {| class="wikitable" |+ Skalierung der Kenngrößen in der Engstelle bei festem Volumenstrom ! Größe !! Rohr !! ebener Kanal |- | mittlere Geschwindigkeit || <math>U_0/(1-s)^2</math> || <math>U_0/(1-s)</math> |- | Wandschubspannung || <math>\tau_0/(1-s)^3</math> || <math>\tau_0/(1-s)^2</math> |- | Reynoldszahl || <math>Re_0/(1-s)</math> || <math>Re_0</math>, unverändert |- | Widerstand je Länge || <math>\propto 1/(1-s)^4</math> || <math>\propto 1/(1-s)^3</math> |} Die Reynoldszahl des Rohres wächst nur linear, obwohl die Geschwindigkeit quadratisch wächst, weil gleichzeitig der Durchmesser mit <math>1-s</math> schrumpft. Im ebenen Kanal heben sich beide Effekte sogar vollständig auf. == Trägheitsverlust hinter der Engstelle == Das Graphenmodell erfasst nur die Reibung. Hinter der Engstelle tritt zusätzlich ein Verlust auf, weil der Strahl seine kinetische Energie nicht zurück in Druck verwandeln kann, sondern sie im Rückströmgebiet durch Verwirbelung verliert. Dieser Verlust lässt sich mit einer Impulsbilanz abschätzen, die als Borda-Carnot-Verlust bekannt ist. # Betrachtet wird ein Kontrollvolumen vom Ende der Engstelle, wo der Strahl mit der Geschwindigkeit <math>u_1</math> und dem Druck <math>p_1</math> austritt, bis zu einem Querschnitt weiter stromab, wo die Strömung wieder die ganze Fläche <math>A_0</math> mit der Geschwindigkeit <math>u_0</math> ausfüllt und den Druck <math>p_2</math> hat. # Im Austrittsquerschnitt wirkt der Druck <math>p_1</math> nicht nur auf den Strahl, sondern auch auf das ruhende Fluid daneben, also auf die ganze Fläche <math>A_0</math>. Wandreibung wird auf der kurzen Strecke vernachlässigt. # Die Impulsbilanz lautet dann <math>(p_1 - p_2)A_0 = \rho Q (u_0 - u_1)</math>, und mit <math>Q = u_0 A_0</math> folgt <math>p_2 - p_1 = \rho\,u_0(u_1 - u_0)</math>. # Eine verlustfreie Strömung nach Bernoulli würde dagegen den Druckrückgewinn <math>\tfrac{\rho}{2}(u_1^2 - u_0^2)</math> liefern. Die Differenz ist der Verlust <math>\Delta p_t = \tfrac{\rho}{2}(u_1 - u_0)^2</math>. # Mit <math>u_1 = U_0\,A_0/A_1</math> und <math>u_0 = U_0</math> ergibt sich <math>\Delta p_t = \tfrac{\rho}{2}\,U_0^2\left(\tfrac{A_0}{A_1} - 1\right)^2</math>, wobei <math>A_0/A_1 = 1/(1-s)^2</math> ist. Messungen an Stenosemodellen bestätigen diese Form und liefern einen Vorfaktor <math>K_t</math> der Größenordnung eins, in stationären Versuchen etwa 1,5.<ref name="youngtsai" /> Für den Stenosegrad 0,5 ist <math>A_0/A_1 = 4</math>, und der Trägheitsverlust beträgt <math>\tfrac{1060}{2}\cdot 0{,}2122^2 \cdot 3^2\ \mathrm{Pa} \approx 215\ \mathrm{Pa}</math> für <math>K_t = 1</math>. Er ist damit größer als der gesamte Reibungsverlust des Gefäßstücks von 135 Pa. Für die Abschätzung des Volumenstroms im Abschnitt Randbedingungen wird der betrachtete Abschnitt mit einem nachgeschalteten Widerstand <math>R_p</math> in Reihe geschaltet und der treibende Druck <math>p_{\mathrm{an}} = 90\ \mathrm{mmHg} \approx 12\,000\ \mathrm{Pa}</math> festgehalten. Der Widerstand wird so gewählt, dass im gesunden Fall genau <math>Q_0</math> fließt, also <math>R_p = p_{\mathrm{an}}/Q_0 - \Delta p_{\mathrm{ref}}/Q_0 \approx 1{,}98 \cdot 10^9\ \mathrm{Pa\,s/m^3}</math>. Für jeden Stenosegrad ergibt sich der Volumenstrom dann als positive Lösung der quadratischen Gleichung <math>p_{\mathrm{an}} = \left(R_p + R_v(s)\right)Q + K_t\,\frac{\rho}{2}\left(\frac{A_0}{A_1} - 1\right)^2 \frac{Q^2}{A_0^2} ,</math> wobei <math>R_v(s)</math> der Reibungswiderstand des Graphenmodells ist. Die Tabelle im Abschnitt Randbedingungen ist mit <math>K_t = 1{,}52</math> gerechnet. == Entdimensionierung, Reynoldszahl und Womersley-Zahl == Führt man dimensionslose Größen ein, indem man Längen auf <math>D_0</math>, Geschwindigkeiten auf <math>U_0</math> und den Druck auf <math>\rho U_0^2</math> bezieht, so lauten die stationären Navier-Stokes-Gleichungen <math>(\mathbf{u}^*\cdot\nabla^*)\mathbf{u}^* = -\nabla^* p^* + \frac{1}{Re}\,\Delta^*\mathbf{u}^*, \qquad Re = \frac{\rho U_0 D_0}{\mu} .</math> Die Lösung hängt also nur noch von der Reynoldszahl und von der dimensionslosen Geometrie ab. Zwei Strömungen mit derselben Reynoldszahl in geometrisch ähnlichen Gefäßen sind einander ähnlich. Genau das erlaubt den Vergleich mit der Literatur, obwohl dort andere Abmessungen und Fluide verwendet wurden.<ref name="varghese" /> Bei einer zeitabhängigen Strömung mit der Kreisfrequenz <math>\omega</math> tritt der Term <math>\partial_t \mathbf{u}</math> hinzu. Bezieht man die Zeit auf <math>1/\omega</math>, erhält er gegenüber dem Reibungsterm den Vorfaktor <math>\alpha^2 = \omega R_0^2 \rho/\mu</math>. Die Womersley-Zahl <math>\alpha</math> misst damit, ob die Reibung schnell genug ist, um das Profil im Takt der Pulsation zur Parabel auszugleichen. Für <math>\alpha \ll 1</math> ist das der Fall, und die Strömung verhält sich in jedem Augenblick wie eine stationäre Poiseuille-Strömung. Für das Modellgefäß gilt <math>\alpha \approx 4{,}1</math>, das Profil wird also merklich flacher und folgt der Pulsation mit Verzögerung.<ref name="womersley" /><ref name="quarteroni" /> == Numerische Lösung in COMSOL == COMSOL löst die Navier-Stokes-Gleichungen mit der Methode der finiten Elemente. Dazu werden die Gleichungen mit Testfunktionen <math>\mathbf{v}</math> und <math>q</math> multipliziert und über das Gebiet <math>\Omega</math> integriert. Nach partieller Integration des Reibungs- und des Druckterms lautet die schwache Formulierung <math>\int_\Omega \rho\,(\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}\,\mathrm{d}x + \int_\Omega 2\mu\,\mathbf{D}(\mathbf{u}):\mathbf{D}(\mathbf{v})\,\mathrm{d}x - \int_\Omega p\,\nabla\cdot\mathbf{v}\,\mathrm{d}x = 0, \qquad \int_\Omega q\,\nabla\cdot\mathbf{u}\,\mathrm{d}x = 0</math> für alle zulässigen Testfunktionen. Der Druck tritt darin als Lagrange-Multiplikator der Inkompressibilitätsbedingung auf.<ref name="quarteroni" /> Im achsensymmetrischen Modell enthalten alle Integrale zusätzlich den Faktor <math>2\pi r</math>. In der Voreinstellung verwendet die Schnittstelle Laminare Strömung lineare Ansatzfunktionen gleicher Ordnung für Geschwindigkeit und Druck.<ref name="comsol" /> Eine solche Kombination erfüllt die Stabilitätsbedingung für Sattelpunktprobleme nicht und würde ohne Gegenmaßnahme zu unphysikalischen Druckschwingungen führen. Das ist dieselbe Schachbrettinstabilität, die in der Vorlesung beim Finite-Differenzen-Verfahren auf einem gewöhnlichen Gitter aufgetreten ist und dort durch Druckdiffusion oder ein versetztes Gitter behoben wurde.<ref name="hundertmark" /> COMSOL fügt stattdessen konsistente Stabilisierungsterme hinzu, die bei der exakten Lösung verschwinden und deshalb die Genauigkeit nicht verfälschen. Das entstehende Gleichungssystem ist wegen des konvektiven Terms nichtlinear. COMSOL löst es mit einem gedämpften Newton-Verfahren, das in jedem Schritt ein lineares Gleichungssystem löst. Das Newton-Verfahren konvergiert nur aus einem Startwert in der Nähe der Lösung zuverlässig. Deshalb wird im parametrischen Sweep jeder Stenosegrad aus der Lösung des vorigen Grades gestartet. Dieses Vorgehen heißt Fortsetzung im Parameter und ist der Grund für die aufsteigende Reihenfolge der Stenosegrade. = Literaturverzeichnis = Alle Quellen sind an den Stellen im Text angegeben, an denen die zugehörigen Werte oder Aussagen verwendet werden. Die Liste wird aus diesen Angaben automatisch erzeugt. <references /> <!-- FIXME vor der Abgabe alle mit FIXME markierten Quellenangaben am Original pruefen, insbesondere Holdsworth 1999, Varghese 2007, Young und Tsai 1973, Cho und Kensey 1991 und Bernabeu 2013 --> np91ll4783h258n9zbg1palp71gxpr4 1115614 1115613 2026-10-09T09:19:15Z Coc39ked 40763 /* Modellhierarchie */ 1115614 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Joey Becker * Marie-Thérèse Heitele * Nicole Pander =Thema und Fragestellung= Gegenstand dieses Projekts ist die numerische Simulation einer lokalen Gefäßverengung, allgemein bekannt unter dem medizinischen Begriff ''Stenose''. Als medizinischer Anwendungsfall wird ein gerader Abschnitt der Arteria carotis communis (Halsschlagader) betrachtet. Um den Einfluss der Gefäßverengung möglichst isoliert untersuchen zu können, wird die reale Gefäßgeometrie bewusst vereinfacht. Bedeutet, dass Gefäßkrümmungen, Verzweigungen und patientenspezifische anatomische Strukturen nicht berücksichtigt werden. Stattdessen wird ein gerade, idealisiertes Gefäß mit einer symmetrischen bzw. im dreidimensionalen Modell rotationssymmetrischen Stenose untersucht. Als Referenz dient zunächst ein gesundes, unverengtes Gefäß, in dem sich die Poiseuille-Strömung mit ihrem charakterischtischen Geschwindigkeitsprofil ausbildet. Diese bildet den Ausgangspunkt für den anschließenden Vergleich verschiedener Stenosegrade. ===Fragestellung=== Wie verändert eine symmetrische bzw. rotationssymmetrische Stenose die stationäre Strömung eines inkompressibelen Newton'schen Fluid in einem idealisierten Abschnitt der Arteria carotis communis hinsichtlich Geschwindigkeitsverteilung, Druckverteilung sowie Strömungsmuster und wie entwickeln sich diese Größen mit zunehmendem Stenosegrad im Vergleich zu einem gesunden Gefäß? =Relevanz= Die Untersuchung von Gefäßverengungen besitzt sowohl eine medizinische als auch eine methodische Bedeutung. Aus medizinischer Sicht sind arterielle Stenosen, etwa in der Halsschlagader kritisch, da sie die Durchblutung beeinträchtigen und durch veränderte Wandschubspannungen sowie die Bildung von Wirbeln weitere Gefäßablagerungen begünstigen. Fachlich überträgt das Projekt damit die Prinzipien der Strömungsmechanik direkt auf eine biomedizinische Anwendung. Der methodische Mehrwert liegt in der Verknüpfung mehrerer Zugänge: Durch den systematischen Abgleich von analytischer Poiseuille-Theorie und Simulationen in COMSOL Multiphysics zeigt das Projekt anschaulich, wie numerische Modelle aufgebaut, verifiziert und an ihren Grenzen bewertet werden. ===Auswahl der Stenosegrade=== Um die untersuchten Gefäßverengungen nicht willkürlich festzulegen, orientiert sich die Auswahl der Stenosegrade an der klinisch gebräuchlichen NASCET-Klassifikation von Karotisstenosen. Dabei werden Stenosen nach ihrem Schweregrad unter anderem in: • leichte Stenosen unter 50% • mäßige Stenosen von 50 bis 69% • hochgradige Stenosen von 70 bis 99% eingeteilt. Ein vollständige Gefäßverschluss entspricht einer Okklusion. Für die numerische Untersuchung wird aus jeder dieser drei Kategorien ein repräsentativer Stenosegrad ausgewählt. Neben dem gesunden Gefäß mit '''0% Stenose''' werden daher eine '''30% Stenose''' als Beispiel für eine leichte, eine '''60% Stenose''' als Beispiel für eine mäßige und eine '''80% Stenose''' als Beispiel für eine hochgradige Verengung untersucht. Auf diese Weise können deutlich unterschiedliche Schweregrade miteinander vergleichen und die zunehmenden Veränderungen von Geschwindigkeit, Druck und Strömungsmuster systematisch analysiert werden. Ein vollständiger Gefäßverschluss von 100% wird nicht simuliert, da in diesem Fall keine durchgängige Strömung durch das Gefäß mehr vorliegt und damit keine Simulation betrachtet wird. Der Stenosegrad wird in unserem Projekt über die Verringerung des Gefäßdurchmessers beschreiben. In Anlehnung an das NASCET-Prinzip kann er als Verhältnis zwischen dem minimalen Durchmesser im Bereich der Stenose und einem Referenzdurchmesser formuliert werden. =Modellannahmen= Um den Einfluss des Stenosegrades möglichst isoliert zu untersuchen, werden für die Simulation folgende Modellannahmen getroffen: • '''Idealisierte Gefäßgeometrie''': Betrachtet wird ein gerader Abschnitt der ''Arteria carotis communis''. Gefäßverkrümmungen, Verzweigungen und patientenspezifische Strukturen werden nicht berücksichtigt. • '''Starre Gefäßwand''': Die Gefäßwand wird als unbeweglich und nicht verformbar angenommen. Eine Wechselwirkung zwischen elastischer Gefäßwand und Blutströmung wird nicht modelliert. • '''Stationäre Strömung''': Die Strömungsgrößen werden als zeitlich konstant angenommen. Die im realen Blutkreislauf vorhandene Pulsation durch den Herzschlag wird daher vernachlässigt: <math>\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t}=0</math>. • '''Inkompressibles Fluid''': Die Dichte des Fluids wird als konstant angenommen. Damit gilt für die Geschwindigkeit <math>\nabla \cdot \mathbf{u}=0</math>. Dies entspricht der in der Vorlesung behandelten Massenerhaltung für inkompressible Fluide: Was in das Gefäß einströmt, muss auch wieder ausströmen. • '''Newton'sche Näherung für Blut''': Reales Blut beseitzt ein nicht-newton'sches Fließverhalten. Hier wird Blut als Newton'sches Fluid behandelt. • '''Konstante Stoffeigenschaften''': Dichte <math>\rho</math> und dynamische Viskosität <math>\mu</math> werden als räumlich und zeitlich konstant angenommen. Temperaturabhängigkeiten werden nicht berücksichtigt. • '''Laminare Strömung''': Die Strömung wird mit dem COMSOL-Modul ''Laminar Flow'' beschrieben. Ein zusätzliches Turbulenzmodell wird nicht verwendet. • '''No-Slip-Bedingung an Gefäßwand''': Aufgrund der Viskosität wird angenommen, dass das Fluid direkt an der Gefäßwand haftet. Somit gilt <math>\mathbf{u}=0</math>. • '''Vernachlässigung der Gravitation''': Gravitation wird nicht berücksichtigt. Die Strömung wird ausschließlich durch die gewählten Ein- und Auslassbedingungen bestimmt. =Implementierung in COMSOL= = Gruppenteilnehmer = * Joey Becker * Marie-Thérèse Heitele * Nicole Pander = Thema und Fragestellung = Gegenstand dieses Projekts ist die numerische Simulation einer lokalen Gefäßverengung, die in der Medizin als ''Stenose'' bezeichnet wird. Als Anwendungsfall dient ein gerader Abschnitt der ''Arteria carotis communis'', der gemeinsamen Halsschlagader. Um den Einfluss der Verengung möglichst isoliert untersuchen zu können, wird die reale Gefäßgeometrie bewusst vereinfacht. Gefäßkrümmungen, Verzweigungen und patientenspezifische anatomische Strukturen werden nicht berücksichtigt. Stattdessen wird ein gerades, idealisiertes Gefäß mit einer rotationssymmetrischen Stenose untersucht. Im ebenen Vergleichsmodell erscheint dieselbe Verengung als symmetrische Einschnürung eines Kanals. Als Referenz dient ein gesundes, unverengtes Gefäß, in dem sich die Poiseuille-Strömung mit ihrem charakteristischen parabolischen Geschwindigkeitsprofil ausbildet. Diese Strömung ist aus zwei Gründen der natürliche Ausgangspunkt. Sie beschreibt den physiologischen Normalfall, mit dem jeder Stenosegrad verglichen wird, und sie ist exakt lösbar, sodass sich an ihr jede numerische Rechnung prüfen lässt, bevor die Verengung hinzukommt. == Fragestellung == Wie verändert eine rotationssymmetrische Stenose die stationäre Strömung eines inkompressiblen Newtonschen Fluids in einem idealisierten Abschnitt der Arteria carotis communis hinsichtlich Geschwindigkeitsverteilung, Druckverteilung, Wandschubspannung und Strömungsmuster, und wie entwickeln sich diese Größen mit zunehmendem Stenosegrad im Vergleich zu einem gesunden Gefäß? Aus dieser Fragestellung ergeben sich drei Teilfragen, an denen sich der Aufbau der Seite orientiert. # Welche Strömungsgrößen reagieren empfindlich auf den Stenosegrad und welche nur träge? # Ab welchem Stenosegrad ändert sich das Strömungsmuster qualitativ, das heißt, ab wann löst die Strömung hinter der Engstelle von der Wand ab und bildet ein Rückströmgebiet? # Wie weit tragen die vereinfachenden Modellannahmen, insbesondere die Annahme einer stationären und laminaren Strömung, über den untersuchten Bereich der Stenosegrade? = Relevanz = Die Untersuchung von Gefäßverengungen besitzt eine medizinische und eine methodische Bedeutung. Beide werden im Folgenden getrennt begründet, weil sie unterschiedliche Anforderungen an das Modell stellen. Die medizinische Fragestellung verlangt realistische Zahlenwerte, die methodische Fragestellung verlangt nachprüfbare Rechnungen. == Medizinische Relevanz == Arterielle Stenosen entstehen überwiegend durch Atherosklerose, also durch Ablagerungen aus Lipiden, Bindegewebe und Kalk in der Gefäßwand. In der Halsschlagader sind sie klinisch besonders bedeutsam, weil sie die Durchblutung des Gehirns beeinträchtigen und weil sich an ihnen Thromben bilden können, die als Embolie einen Schlaganfall auslösen. Dass die operative Entfernung einer hochgradigen Karotisstenose das Schlaganfallrisiko symptomatischer Patienten deutlich senkt, hat die NASCET-Studie gezeigt, deren Einteilung der Stenosegrade dieses Projekt übernimmt.<ref name="nascet">North American Symptomatic Carotid Endarterectomy Trial Collaborators: ''Beneficial effect of carotid endarterectomy in symptomatic patients with high-grade carotid stenosis.'' New England Journal of Medicine 325 (1991), Nr. 7, S. 445-453.</ref> Strömungsmechanisch ist an einer Stenose vor allem die Wandschubspannung von Interesse, also die tangentiale Kraft je Fläche, die das strömende Blut auf die innerste Zellschicht der Gefäßwand ausübt. Gesunde Halsschlagadern weisen zeitlich gemittelte Werte von etwa 1,1 bis 1,5 Pa auf.<ref name="samijo">Samijo, S. K.; Willigers, J. M.; Barkhuysen, R.; Kitslaar, P. J. E. H. M.; Reneman, R. S.; Brands, P. J.; Hoeks, A. P. G.: ''Wall shear stress in the human common carotid artery as function of age and gender.'' Cardiovascular Research 39 (1998), Nr. 2, S. 515-522.</ref> In einer Engstelle steigt sie stark an, unmittelbar dahinter fällt sie im Ablösegebiet auf nahezu null und wechselt dort sogar das Vorzeichen. Niedrige und im Vorzeichen wechselnde Wandschubspannungen gelten als Bedingungen, unter denen sich weitere Ablagerungen bevorzugt bilden. Eine bestehende Stenose schafft also stromabwärts die Voraussetzungen für ihr eigenes Wachstum. Genau diese Verteilung lässt sich im Körper nur schwer messen, in einer Simulation dagegen unmittelbar auswerten. == Methodische Relevanz == Fachlich überträgt das Projekt die Prinzipien der Strömungsmechanik aus der Vorlesung auf eine biomedizinische Anwendung.<ref name="hundertmark">Hundertmark, A.: ''Fluiddynamik.'' Vorlesungsunterlagen zum Modul Räumliche Modellbildung, RPTU Kaiserslautern-Landau, Sommersemester 2026.</ref> Der methodische Mehrwert liegt in der Verknüpfung mehrerer Zugänge, die sich gegenseitig kontrollieren. Die analytische Poiseuille-Lösung liefert exakte Sollwerte für das gesunde Gefäß. Ein reduziertes Graphenmodell liefert für jeden Stenosegrad eine schnelle Abschätzung, die analytisch nachrechenbar ist. Die Simulationen in COMSOL Multiphysics lösen schließlich die vollständigen Navier-Stokes-Gleichungen in zwei und drei Raumdimensionen. Weil jede Stufe die Sollwerte der nächsten liefert, zeigt das Projekt nicht nur Ergebnisse, sondern auch, wie numerische Modelle aufgebaut, verifiziert und an ihren Grenzen bewertet werden. == Auswahl der Stenosegrade == Um die untersuchten Gefäßverengungen nicht willkürlich festzulegen, orientiert sich die Auswahl der Stenosegrade an der klinisch gebräuchlichen NASCET-Klassifikation von Karotisstenosen.<ref name="nascet" /> Sie teilt Stenosen nach ihrer Durchmesserreduktion in drei Schweregrade ein, ein vollständiger Gefäßverschluss wird als Okklusion bezeichnet. {| class="wikitable" |+ Schweregrade nach NASCET und ihre Abdeckung im Projekt ! Schweregrad !! Durchmesserreduktion !! im Projekt gerechnete Stenosegrade !! hervorgehobener Vertreter |- | gesundes Gefäß || 0 % || 0 || 0 |- | leichtgradige Stenose || unter 50 % || 0,1 bis 0,4 || 0,3 |- | mittelgradige Stenose || 50 bis 69 % || 0,5 und 0,6 || 0,6 |- | hochgradige Stenose || 70 bis 99 % || 0,7 und 0,8 || 0,8 |- | Okklusion || 100 % || nicht gerechnet || entfällt |} Für die numerische Untersuchung wird aus jeder Kategorie ein repräsentativer Stenosegrad hervorgehoben. Neben dem gesunden Gefäß mit '''0 %''' Stenose sind das eine '''30 %''' Stenose als Beispiel für eine leichtgradige, eine '''60 %''' Stenose als Beispiel für eine mittelgradige und eine '''80 %''' Stenose als Beispiel für eine hochgradige Verengung. Zusätzlich werden im Graphenmodell und im achsensymmetrischen Flächenmodell alle Zwischenwerte in Schritten von zehn Prozentpunkten gerechnet. Das kostet in diesen beiden Modellen nur Sekunden, liefert aber glatte Verläufe über dem Stenosegrad und macht sichtbar, ab welchem Grad sich das Verhalten der Strömung ändert. Ein vollständiger Gefäßverschluss wird nicht simuliert, da in diesem Fall keine durchgängige Strömung mehr vorliegt. Der Stenosegrad wird in diesem Projekt wie bei NASCET über die Verringerung des Gefäßdurchmessers beschrieben, <math>s = 1 - \frac{d_{\min}}{d_{\mathrm{ref}}},</math> wobei <math>d_{\min}</math> der kleinste Durchmesser in der Engstelle und <math>d_{\mathrm{ref}}</math> ein Referenzdurchmesser ist. NASCET verwendet als Referenz den Durchmesser des gesunden Gefäßes stromabwärts der Stenose. Im idealisierten Modell hat das Gefäß vor und hinter der Engstelle denselben Durchmesser <math>D_0</math>, sodass <math>d_{\mathrm{ref}} = D_0</math> gilt und die NASCET-Definition mit allen anderen gebräuchlichen Durchmesserdefinitionen zusammenfällt. Wichtig für das Verständnis aller weiteren Ergebnisse ist der Unterschied zwischen Durchmesser- und Flächenreduktion. Da die Querschnittsfläche quadratisch vom Durchmesser abhängt, gilt für die Flächenreduktion <math>1-(1-s)^2</math>. Eine im klinischen Sinn nur mittelgradige Stenose von 60 % verschließt damit bereits 84 % der Querschnittsfläche. {| class="wikitable" |+ Durchmesser- und Flächenreduktion der gerechneten Stenosegrade ! Stenosegrad s !! 0 !! 0,1 !! 0,2 !! 0,3 !! 0,4 !! 0,5 !! 0,6 !! 0,7 !! 0,8 |- | engster Durchmesser in mm || 6,0 || 5,4 || 4,8 || 4,2 || 3,6 || 3,0 || 2,4 || 1,8 || 1,2 |- | Flächenreduktion || 0 % || 19 % || 36 % || 51 % || 64 % || 75 % || 84 % || 91 % || 96 % |} Zwei Einschränkungen gehören zur ehrlichen Einordnung. Erstens ist die NASCET-Klassifikation für Stenosen der ''Arteria carotis interna'' entwickelt worden, also des Astes hinter der Gabelung, während hier ein gerader Abschnitt der ''Arteria carotis communis'' modelliert wird. Die Klassifikation dient im Projekt deshalb als Orientierung für sinnvolle Abstufungen und nicht als diagnostische Aussage. Zweitens zeigt sich im Abschnitt zur Modellierung, dass die Annahme einer stationären, laminaren Strömung ab einem Stenosegrad von etwa 0,6 an ihre Grenzen stößt. Die hochgradigen Fälle werden deshalb zwar gerechnet, ihre Ergebnisse aber ausdrücklich als Grenzfall des Modells diskutiert. = Modellierung = Modellierung bedeutet hier, die reale Situation in eine mathematische Aufgabe zu übersetzen, die sich lösen lässt. Dazu gehören vier Bausteine, nämlich das Rechengebiet, die Gleichungen, die Zahlenwerte der Parameter und die Bedingungen an den Rändern. Jeder dieser Bausteine beruht auf Annahmen, und jede Annahme muss begründet werden. Dieser Abschnitt geht die Bausteine deshalb der Reihe nach durch und nennt bei jedem Zahlenwert, woher er stammt und warum er sinnvoll ist. == Modellhierarchie == Das Projekt rechnet nicht ein einziges Modell, sondern vier aufeinander aufbauende Modellvarianten. Sie entsprechen der Kursanforderung, eine Strömung als Graph, in zwei und in drei Raumdimensionen darzustellen, und sie sind bewusst von einfach nach aufwendig geordnet. {| class="wikitable" |+ Die vier Modellvarianten des Projekts ! Modell !! Raumdimension !! gelöste Gleichung !! Zweck !! Werkzeug |- | Graphenmodell || 1D, Gefäßachse || Hagen-Poiseuille je Rohrstück und Massenerhaltung in jedem Knoten || schnelle, analytisch nachrechenbare Abschätzung für jeden Stenosegrad || Octave und COMSOL (Koeffizientenform-PDGL) |- | achsensymmetrisches Flächenmodell || 2D, Halbschnitt in r und z || vollständige stationäre Navier-Stokes-Gleichungen in Zylinderkoordinaten || Hauptmodell, liefert alle Feldgrößen des rotationssymmetrischen Rohres || COMSOL, Laminare Strömung |- | ebenes Flächenmodell || 2D, Halbschnitt in x und y || vollständige stationäre Navier-Stokes-Gleichungen in kartesischen Koordinaten || Vergleich, zeigt den Einfluss der zweiten Querschnittsrichtung || COMSOL, Laminare Strömung |- | Volumenmodell || 3D || vollständige stationäre Navier-Stokes-Gleichungen || Kontrolle des Hauptmodells und räumliche Darstellung || COMSOL, Laminare Strömung |} Die Reihenfolge folgt einem einfachen Prinzip. Jede Stufe liefert die Sollwerte, an denen die nächste, komplexere Stufe geprüft wird. Das Graphenmodell muss im gesunden Fall exakt die Poiseuille-Lösung ergeben. Das achsensymmetrische Modell muss im gesunden Fall dieselben Werte liefern und bei Stenose für Geschwindigkeit und Wandschubspannung in der Nähe des Graphenmodells liegen. Das Volumenmodell muss, weil die Geometrie rotationssymmetrisch ist, mit dem achsensymmetrischen Modell übereinstimmen. == Modellannahmen == Um den Einfluss des Stenosegrades möglichst isoliert zu untersuchen, werden die folgenden Modellannahmen getroffen. Die Tabelle nennt zu jeder Annahme ihre mathematische Form, die Begründung und die Stelle, an der sie im Projekt überprüft wird. {| class="wikitable" |+ Modellannahmen, ihre Begründung und ihre Überprüfung ! Annahme !! mathematische Form !! Begründung !! Überprüfung |- | Idealisierte Gefäßgeometrie || gerades Rohr mit kosinusförmiger, rotationssymmetrischer Verengung || isoliert die Wirkung des Stenosegrades von Krümmung, Verzweigung und Plaqueform || Diskussion in den Schlussfolgerungen |- | Starre Gefäßwand || Wand ortsfest, keine Fluid-Struktur-Kopplung || im stationären Fall gibt es keine Druckschwankung, die die Wand periodisch aufweiten könnte || Abschätzung über die gemessene Durchmesseränderung im Herzzyklus |- | Stationäre Strömung || <math>\partial \mathbf{u}/\partial t = \mathbf{0}</math> || der Einfluss des Stenosegrades soll ohne Überlagerung durch die Pulsation sichtbar werden || Abschätzung über die Womersley-Zahl |- | Inkompressibles Fluid || <math>\rho = \mathrm{const}</math>, damit <math>\nabla\cdot\mathbf{u} = 0</math> || Blut ist eine Flüssigkeit, Druckänderungen von wenigen hundert Pascal ändern die Dichte nicht messbar || Massenerhaltung in fünf Querschnitten |- | Newtonsche Näherung || konstante Viskosität <math>\mu</math> || die Scherraten an der Wand und im größten Teil des Querschnitts liegen über dem Bereich, in dem Blut deutlich scherverdünnend wirkt || Scherrate an der Wand, Diskussion des Rückströmgebiets |- | Konstante Stoffeigenschaften || <math>\rho</math> und <math>\mu</math> räumlich und zeitlich konstant || Körpertemperatur ist im betrachteten Abschnitt konstant || entfällt |- | Laminare Strömung || kein Turbulenzmodell, Schnittstelle Laminare Strömung || Reynoldszahl des gesunden Gefäßes von 386 liegt weit unter dem Umschlagbereich || Reynoldszahl in der Engstelle, Literaturvergleich |- | Haftbedingung an der Wand || <math>\mathbf{u} = \mathbf{0}</math> auf der Wand || Folge der Viskosität, das Fluid haftet an der Wand || Grundlage jeder Wandschubspannung |- | Vernachlässigung der Gravitation || keine Volumenkraft || bei konstanter Dichte lässt sich die Schwerkraft vollständig in einen hydrostatischen Druckanteil verschieben und beeinflusst die Geschwindigkeit nicht || Begründung in den Mathematischen Hintergründen |- | Voll entwickelte Einströmung || parabolisches Profil am Einlass || die natürliche Einlaufstrecke wäre mit rund 139 mm fast so lang wie das ganze Rechengebiet || Scheitelgeschwindigkeit im gesunden Fall |- | Eingeprägter Volumenstrom || <math>Q = Q_0</math> am Einlass || der Strömungswiderstand des Abschnitts ist klein gegenüber dem des nachgeschalteten Gefäßbetts || Abschätzung mit einem Reihenwiderstand |} Einige dieser Annahmen sind unmittelbar einsichtig, andere verdienen eine genauere Begründung, weil von ihnen die Aussagekraft der Ergebnisse abhängt. Die '''Newtonsche Näherung''' ist die Annahme, die bei Blut am häufigsten hinterfragt wird. Reales Blut ist eine Suspension aus Plasma und Blutzellen und verhält sich scherverdünnend. Bei kleinen Scherraten lagern sich die roten Blutkörperchen zu geldrollenartigen Stapeln zusammen, und die Viskosität steigt auf ein Vielfaches an. Bei großen Scherraten lösen sich diese Stapel auf, und die Viskosität strebt gegen einen Grenzwert von etwa 3,5 mPa·s. Entscheidend ist also die Scherrate. An der Wand des gesunden Modellgefäßes beträgt sie nach der Poiseuille-Lösung <math>\dot\gamma_w = \frac{4\,U_0}{R_0} = \frac{4 \cdot 0{,}2122\ \mathrm{m/s}}{0{,}003\ \mathrm{m}} \approx 283\ \mathrm{s^{-1}}</math> und liegt damit oberhalb von etwa 100 pro Sekunde, wo sich Newtonsches und nicht Newtonsches Modell nach der Literatur nur noch wenig unterscheiden.<ref name="boyd">Die Grenze von etwa 100 s^-1 wird in vergleichenden Studien zur Blutrheologie verwendet, etwa bei Bernabeu, M. O. u. a.: ''Impact of blood rheology on wall shear stress in a model of the middle cerebral artery.'' Interface Focus 3 (2013), 20120094. <!-- FIXME Zitat und Seitenangabe am Original pruefen --></ref> In der Engstelle steigt die Scherrate weiter an, beim Stenosegrad 0,5 auf rund 2260 pro Sekunde. Schwach ist die Näherung dort, wo die Scherrate klein wird, also in der Mitte des Gefäßes und vor allem im Rückströmgebiet hinter der Stenose. Dort ist reales Blut zäher als angenommen. Dieser Punkt wird in den Schlussfolgerungen wieder aufgegriffen. Die '''stationäre Strömung''' ist die stärkste Vereinfachung. Wie wichtig die Pulsation ist, misst die Womersley-Zahl, die das Verhältnis von instationärer Trägheit zu Reibung angibt. Mit einer Herzfrequenz von 60 Schlägen je Minute, also einer Kreisfrequenz <math>\omega = 2\pi\ \mathrm{s^{-1}}</math>, ergibt sich <math>\alpha = R_0 \sqrt{\frac{\omega \rho}{\mu}} = 0{,}003\ \mathrm{m} \cdot \sqrt{\frac{2\pi\ \mathrm{s^{-1}} \cdot 1060\ \mathrm{kg/m^3}}{0{,}0035\ \mathrm{Pa\,s}}} \approx 4{,}1 .</math> Ein Wert in dieser Größenordnung bedeutet, dass das reale Geschwindigkeitsprofil im Herzzyklus merklich von der Parabel abweicht.<ref name="womersley">Womersley, J. R.: ''Method for the calculation of velocity, rate of flow and viscous drag in arteries when the pressure gradient is known.'' Journal of Physiology 127 (1955), S. 553-563.</ref> Hinzu kommt, dass der Volumenstrom in der Systole kurzzeitig auf rund das Vierfache des Mittelwerts steigt.<ref name="holdsworth">Holdsworth, D. W.; Norley, C. J. D.; Frayne, R.; Steinman, D. A.; Rutt, B. K.: ''Characterization of common carotid artery blood-flow waveforms in normal human subjects.'' Physiological Measurement 20 (1999), Nr. 3, S. 219-240. DOI 10.1088/0967-3334/20/3/301. Angegeben werden ein mittlerer Volumenstrom von 6,0 ± 1,4 ml/s und ein systolischer Spitzenwert von 23,5 ± 3,8 ml/s. <!-- FIXME Zahlenwerte und Probandenzahl am Original pruefen --></ref> Die stationäre Rechnung mit dem Mittelwert beschreibt deshalb nicht den zeitlichen Verlauf, wohl aber den zeitlich gemittelten Zustand, an dem sich der Einfluss des Stenosegrades sauber vergleichen lässt. Die '''laminare Strömung''' wird über die Reynoldszahl begründet. Sie beträgt im gesunden Gefäß 386 und liegt damit weit unter dem Wert von etwa 2300, ab dem die Strömung in einem geraden Rohr in den Übergangsbereich gelangen kann. In der Engstelle steigt sie bei festem Volumenstrom auf <math>Re_0/(1-s)</math>, also auf 551 beim Stenosegrad 0,3, auf 964 beim Grad 0,6 und auf 1928 beim Grad 0,8. Für den Strahl hinter einer Engstelle ist der Umschlagbereich allerdings deutlich niedriger als im geraden Rohr. Direkte numerische Simulationen an genau der in diesem Projekt verwendeten Stenosegeometrie zeigen, dass die Strömung bei einer Einström-Reynoldszahl von 500 auch bei leichter Unsymmetrie laminar bleibt, bei 1000 dagegen schon eine Exzentrizität von fünf Prozent des Durchmessers genügt, um den Strahl in lokal turbulente Strömung umschlagen zu lassen.<ref name="varghese">Varghese, S. S.; Frankel, S. H.; Fischer, P. F.: ''Direct numerical simulation of stenotic flows. Part 1. Steady flow.'' Journal of Fluid Mechanics 582 (2007), S. 253-280. Untersucht wird eine kosinusförmige Stenose der Länge 2D mit 75 % Flächenreduktion, die mit der Geometrie dieses Projekts beim Stenosegrad 0,5 übereinstimmt. <!-- FIXME Band und Seiten am Original pruefen --></ref> Mit einer Einström-Reynoldszahl von 386 liegt das Projekt für die leicht- und mittelgradigen Stenosen sicher im laminaren Bereich. Für die hochgradigen Stenosen ab 0,7 ist ein laminares, stationäres Modell dagegen nur noch eine Näherung, die eine Obergrenze der geordneten Strömung beschreibt. Diese Fälle werden deshalb als Grenzfall des Modells gekennzeichnet. Die '''starre Wand''' lässt sich über Messungen abschätzen. Der Durchmesser der gemeinsamen Halsschlagader ändert sich im Herzzyklus bei jungen Menschen um etwa 12 bis 14 Prozent und bei älteren Menschen um etwa 5 Prozent.<ref name="hansen">Hansen, F.; Mangell, P.; Sonesson, B.; Länne, T.: ''Diameter and compliance in the human common carotid artery: variations with age and sex.'' Ultrasound in Medicine and Biology 21 (1995), Nr. 1, S. 1-9. DOI 10.1016/0301-5629(94)00090-5.</ref> Diese Bewegung ist eine Folge der Pulsation. In einer stationären Rechnung gibt es keine Druckschwankung, die die Wand periodisch aufweiten könnte, sodass die starre Wand zur stationären Annahme konsistent ist. Eine verkalkte Plaque ist ohnehin deutlich steifer als die gesunde Wand. Die Annahme des '''eingeprägten Volumenstroms''' wird im Abschnitt zu den Randbedingungen begründet, weil sie sich nur im Zusammenhang mit dem Kreislauf beurteilen lässt. == Simulationsgebiet und Geometrie == Die Gefäßachse ist die z-Achse, der Ursprung liegt in der Mitte der Stenose, und <math>r</math> bezeichnet den Abstand von der Achse. Das Rechengebiet reicht von <math>z = -L_u</math> bis <math>z = L_d</math> und wird radial von der Wandkontur <math>R(z)</math> begrenzt. Die Verengung wird über eine einzige glatte Funktion beschrieben, <math>R(z) = R_0 \left[ 1 - \frac{s}{2}\left(1 + \cos\frac{2\pi z}{L_s}\right)\right] \quad \text{falls } |z| \le \frac{L_s}{2}, \qquad R(z) = R_0 \ \text{sonst.}</math> Die Funktion hat drei Eigenschaften, die ihre Wahl begründen. Sie wird erstens über einen einzigen Parameter gesteuert, den Stenosegrad <math>s</math>. Der engste Radius in der Mitte beträgt <math>R(0) = R_0(1-s)</math>, und der Fall ohne Verengung ist einfach der Fall <math>s = 0</math>. Die gesamte Vergleichsreihe entsteht damit aus einem einzigen parametrischen Sweep. Sie geht zweitens an beiden Enden der Störstelle ohne Knick in das gerade Rohr über. Bei <math>z = \pm L_s/2</math> ist der Kosinus gleich minus eins, die Klammer also null, und seine Ableitung verschwindet dort ebenfalls. Das ist nicht nur ästhetisch, sondern numerisch notwendig, denn ein Knick in der Wand erzeugt eine Singularität der Wandschubspannung, deren berechneter Wert mit jeder Netzverfeinerung weiter wüchse. Eine Netzstudie wäre dann sinnlos. Sie ist drittens die in der Literatur gebräuchliche Standardgeometrie für Stenosen, sodass sich die Ergebnisse unmittelbar mit veröffentlichten Rechnungen vergleichen lassen.<ref name="varghese" /> [[Datei:Stenose Gruppe5 Wandkontur.svg|mini|zentriert|800px|Wandkontur <math>R(z)</math> für die untersuchten Stenosegrade. Die Darstellung ist in radialer Richtung gestreckt, das Rechengebiet ist in Wirklichkeit fünfundzwanzigmal länger als breit.]] <!-- FIXME Abbildung mit abbildungen_graph_1d.m fuer s = 0 bis 0,8 neu erzeugen, bisher nur bis 0,5 --> Die Abmessungen des Rechengebiets werden alle aus dem Gefäßradius abgeleitet. Das hat den Vorteil, dass sich das gesamte Modell durch Ändern eines einzigen Wertes auf ein anderes Gefäß übertragen lässt. Die einzelnen Längen werden im Folgenden Schritt für Schritt begründet. # Der '''Gefäßradius''' <math>R_0 = 3\ \mathrm{mm}</math> folgt aus Ultraschallmessungen an gesunden Erwachsenen. Dort wurden für die gemeinsame Halsschlagader mittlere Durchmesser von 6,10 ± 0,80 mm bei Frauen und 6,52 ± 0,98 mm bei Männern gemessen.<ref name="krejza">Krejza, J.; Arkuszewski, M.; Kasner, S. E.; Weigele, J.; Ustymowicz, A.; Hurst, R. W.; Cucchiara, B. L.; Messe, S. R.: ''Carotid artery diameter in men and women and the relation to body and neck size.'' Stroke 37 (2006), Nr. 4, S. 1103-1105. DOI 10.1161/01.STR.0000206440.48756.f7.</ref> Der gewählte Durchmesser von <math>D_0 = 6\ \mathrm{mm}</math> liegt damit innerhalb einer Standardabweichung beider Gruppen und ist bewusst auf einen runden Wert gesetzt, damit alle abgeleiteten Längen glatte Zahlen ergeben. # Die '''Länge der Störstelle''' <math>L_s = 2 D_0 = 12\ \mathrm{mm}</math> entspricht der Standardgeometrie aus der Literatur, die eine Stenosenlänge von zwei Durchmessern verwendet.<ref name="varghese" /> Damit ist beim Stenosegrad 0,5 ein direkter Vergleich mit veröffentlichten Ergebnissen möglich. # Die '''Vorlaufstrecke''' <math>L_u = 5 D_0 = 30\ \mathrm{mm}</math> trennt den Einlass von der Stenose. Da am Einlass bereits das voll entwickelte Profil vorgegeben wird, muss sie nicht die Einlaufstrecke abdecken, sondern nur verhindern, dass die Einströmrandbedingung die Strömung an der Engstelle beeinflusst. Bei Reynoldszahlen in dieser Größenordnung reicht der Einfluss einer Verengung nur wenige Durchmesser stromaufwärts, die Literatur kommt für dieselbe Geometrie mit drei Durchmessern Vorlauf aus.<ref name="varghese" /> Fünf Durchmesser lassen also eine Reserve. Überprüft wird das im Ergebnis, indem die Geschwindigkeit auf der Achse in der Mitte der Vorlaufstrecke mit dem Sollwert <math>2U_0</math> verglichen wird. # Die '''Nachlaufstrecke''' <math>L_d = 20 D_0 = 120\ \mathrm{mm}</math> ist deutlich länger, weil sich hinter der Engstelle ein Rückströmgebiet bildet, das nicht auf den Auslass treffen darf. Für die Geometrie mit dem Stenosegrad 0,5 legt die Strömung bei einer Einström-Reynoldszahl von 500 erst etwa zehn Durchmesser hinter der Engstelle wieder an, die Literatur rechnet mit sechzehn Durchmessern Nachlauf.<ref name="varghese" /> Zwanzig Durchmesser bieten damit für alle Stenosegrade bis 0,5 einen Sicherheitsabstand. Für die Grade ab 0,6 ist ein längeres Rückströmgebiet zu erwarten, dort wird die Lage des Wiederanlegepunktes ausdrücklich kontrolliert. # Das '''Ende des fein vernetzten Nachlaufs''' <math>L_f = L_s/2 + 10 D_0 = 66\ \mathrm{mm}</math> legt fest, bis wohin das Netz verfeinert wird. Der Wert ist so gewählt, dass das erwartete Rückströmgebiet von etwa zehn Durchmessern vollständig im feinen Bereich liegt. Damit hat das Rechengebiet eine Gesamtlänge von <math>L = L_u + L_d = 150\ \mathrm{mm}</math>, also das Fünfundzwanzigfache des Durchmessers. Es ist ein Modellgebiet und kein maßstäbliches Abbild eines bestimmten anatomischen Abschnitts. == Stoff- und Strömungsparameter == Die Stoffwerte des Blutes und der Volumenstrom sind die einzigen Eingangsgrößen, die nicht aus der Geometrie folgen. Aus ihnen werden alle weiteren Strömungskennwerte berechnet. Die folgenden Schritte zeigen jede Rechnung einzeln, damit sich jeder Wert nachprüfen lässt. # Die '''Dichte''' wird mit <math>\rho = 1060\ \mathrm{kg/m^3}</math> angesetzt. Der Wert lässt sich als Mischungsregel plausibel machen. Plasma hat eine Dichte von etwa 1025 kg/m³, rote Blutkörperchen von etwa 1100 kg/m³. Bei einem Zellanteil von 45 % ergibt sich <math>0{,}55 \cdot 1025 + 0{,}45 \cdot 1100 \approx 1059\ \mathrm{kg/m^3}</math>. Die Dichte geht nur über die Reynoldszahl in die Rechnung ein, eine Abweichung von einem Prozent ändert die Ergebnisse daher kaum. <!-- FIXME Lehrbuchquelle fuer Plasma- und Erythrozytendichte ergaenzen --> # Die '''dynamische Viskosität''' wird mit <math>\mu = 3{,}5\ \mathrm{mPa\,s}</math> angesetzt. Das ist der Grenzwert der Blutviskosität bei hohen Scherraten, also genau der Wert, der zur Newtonschen Näherung gehört. Derselbe Wert von 0,035 Poise wird auch im Standardwerk zur Modellierung des Herz-Kreislauf-Systems verwendet.<ref name="quarteroni">Quarteroni, A.; Formaggia, L.: ''Mathematical Modelling and Numerical Simulation of the Cardiovascular System.'' In: Ayache, N. (Hrsg.): ''Computational Models for the Human Body.'' Handbook of Numerical Analysis, Bd. XII, Elsevier, Amsterdam 2004, S. 3-127. DOI 10.1016/S1570-8659(03)12001-7. Zur Newtonschen Näherung in großen Gefäßen siehe S. 30, zur Viskosität von 0,035 Poise die Parametertabelle auf S. 116.</ref> # Der '''mittlere Volumenstrom''' wird mit <math>Q_0 = 6\ \mathrm{ml/s}</math> angesetzt. Das ist der zeitlich gemittelte Volumenstrom, der in der gemeinsamen Halsschlagader gesunder Probanden gemessen wurde.<ref name="holdsworth" /> # Die '''mittlere Geschwindigkeit''' folgt aus Volumenstrom und Querschnittsfläche, <math>U_0 = \frac{Q_0}{\pi R_0^2} = \frac{6 \cdot 10^{-6}\ \mathrm{m^3/s}}{\pi \cdot (0{,}003\ \mathrm{m})^2} = 0{,}2122\ \mathrm{m/s}</math>. # Die '''Reynoldszahl''' des gesunden Gefäßes ist <math>Re_0 = \frac{\rho\, U_0\, D_0}{\mu} = \frac{1060 \cdot 0{,}2122 \cdot 0{,}006}{0{,}0035} = 385{,}6</math>. Sie wird im Folgenden auf 386 gerundet. # Die '''Einlauflänge''', die eine anfangs gleichförmige Strömung bis zum voll entwickelten Parabelprofil bräuchte, beträgt nach der gebräuchlichen Abschätzung für laminare Rohrströmungen <math>L_e \approx 0{,}06\, Re_0\, D_0 \approx 0{,}06 \cdot 386 \cdot 6\ \mathrm{mm} \approx 139\ \mathrm{mm}</math>.<ref name="durst">Durst, F.; Ray, S.; Ünsal, B.; Bayoumi, O. A.: ''The development lengths of laminar pipe and channel flows.'' Journal of Fluids Engineering 127 (2005), Nr. 6, S. 1154-1160. Für große Reynoldszahlen nähert sich die dort angegebene Korrelation dem Wert 0,057·Re·D.</ref> Das ist fast die gesamte Länge des Rechengebiets. Ein konstantes Einlassprofil würde die Strömung an der Stenose also verfälschen, weshalb am Einlass das voll entwickelte Profil vorgegeben wird. Damit liegen alle globalen Parameter fest. Die folgende Tabelle enthält sie mit genau den Namen, unter denen sie in COMSOL und in den Octave-Skripten verwendet werden. {| class="wikitable" |+ Globale Parameter des Modells ! Name !! Ausdruck in COMSOL !! Wert !! Bedeutung !! Herkunft |- | R0 || 3[mm] || 3 mm || Gefäßradius || Messwerte nach Krejza u. a. 2006, gerundet |- | D0 || 2*R0 || 6 mm || Gefäßdurchmesser || abgeleitet |- | Ls || 2*D0 || 12 mm || Länge der Störstelle || Standardgeometrie nach Varghese u. a. 2007 |- | Lu || 5*D0 || 30 mm || Vorlaufstrecke vor der Stenosemitte || Abstand der Einlassbedingung von der Stenose |- | Ld || 20*D0 || 120 mm || Nachlaufstrecke hinter der Stenosemitte || Platz für das Rückströmgebiet |- | Lf || Ls/2+10*D0 || 66 mm || Ende des fein vernetzten Nachlaufs || erwartete Länge des Rückströmgebiets |- | s || 0 bis 0.8 || 0 bis 0,8 || Stenosegrad bezogen auf den Durchmesser || NASCET-Einteilung |- | rho_b || 1060[kg/m^3] || 1060 kg/m³ || Dichte des Blutes || Mischungsregel, Literaturwert |- | mu_b || 3.5[mPa*s] || 3,5 mPa·s || dynamische Viskosität des Blutes || Hochscherwert, Quarteroni und Formaggia 2004 |- | Q0 || 6[ml/s] || 6 ml/s || mittlerer Volumenstrom || Messwerte nach Holdsworth u. a. 1999 |- | U0 || Q0/(pi*R0^2) || 0,2122 m/s || mittlere Einströmgeschwindigkeit || abgeleitet |- | Re0 || rho_b*U0*D0/mu_b || 385,6 || Reynoldszahl des gesunden Gefäßes || abgeleitet |- | dp_ref || 8*mu_b*U0*(Lu+Ld)/R0^2 || 99,03 Pa || Poiseuille-Druckabfall des gesunden Gefäßes || abgeleitet, Hagen-Poiseuille |} == Randbedingungen und Szenarien == Ein Strömungsproblem ist erst vollständig gestellt, wenn an jedem Rand festgelegt ist, was dort gilt. Das Rechengebiet hat vier Arten von Rändern. Am '''Einlass''' bei <math>z = -L_u</math> wird eine voll entwickelte Strömung mit der mittleren Geschwindigkeit <math>U_0</math> vorgegeben. COMSOL berechnet dazu selbständig das zugehörige Profil, im Rohr also die Parabel mit der Scheitelgeschwindigkeit <math>2U_0</math>. Die Begründung liefert die Einlauflänge von rund 139 mm aus dem vorigen Abschnitt. An der '''Gefäßwand''' gilt die Haftbedingung <math>\mathbf{u} = \mathbf{0}</math>. Am '''Auslass''' bei <math>z = L_d</math> wird der Druck auf null gesetzt. Das ist keine Aussage über den tatsächlichen Blutdruck, der in der Halsschlagader im Mittel bei etwa 90 mmHg liegt. In einem inkompressiblen Fluid gehen nur Druckdifferenzen in die Bewegungsgleichung ein, der Druck ist also nur bis auf eine Konstante bestimmt. Der Auslassdruck null legt diese Konstante fest, und alle berechneten Drücke sind als Überdruck gegenüber dem Auslass zu lesen. Auf der '''Rotationsachse''' gilt im achsensymmetrischen Modell die Symmetriebedingung, die radiale Geschwindigkeit und die radiale Ableitung der Axialgeschwindigkeit verschwinden dort. Im ebenen Modell übernimmt eine Symmetriebedingung auf der Mittellinie dieselbe Rolle. Im Volumenmodell gibt es diesen Rand nicht, weil das ganze Rohr gerechnet wird. Für den Einlass werden zwei Szenarien angelegt, die sich in der Frage unterscheiden, was der Kreislauf bei einer Stenose konstant hält. {| class="wikitable" |+ Die beiden Einlass-Szenarien ! Szenario !! vorgegeben !! berechnet !! physiologische Lesart |- | A, Hauptszenario || Volumenstrom <math>Q_0</math> über die mittlere Geschwindigkeit <math>U_0</math> || Druckabfall über den Abschnitt || die Durchblutung bleibt gleich, der Kreislauf bezahlt die Stenose mit einem höheren Druckabfall |- | B, Gegenprobe || Druckdifferenz <math>\Delta p_{\mathrm{ref}} = 99{,}03\ \mathrm{Pa}</math> des gesunden Gefäßes || Volumenstrom || der Druck bleibt gleich, die Durchblutung sinkt |} Welches Szenario der Wirklichkeit näher kommt, lässt sich abschätzen. Der betrachtete Abschnitt ist nur ein kleiner Teil des Weges, den das Blut bis in die Kapillaren des Gehirns zurücklegt. Treibt man den mittleren Volumenstrom von 6 ml/s mit einem mittleren arteriellen Druck von etwa 90 mmHg, also rund 12 000 Pa, durch das Gefäßbett, dann entfallen auf den gesunden Abschnitt nur 99 Pa und damit weniger als ein Prozent des gesamten Widerstands. Rechnet man den Widerstand der Stenose einschließlich der Trägheitsverluste hinter der Engstelle hinzu, wie es im Abschnitt Mathematische Hintergründe hergeleitet wird, und hält den treibenden Druck fest, dann ergibt sich der folgende Volumenstrom. {| class="wikitable" |+ Abschätzung des Volumenstroms bei festem treibendem Druck von 90 mmHg und nachgeschaltetem Gefäßwiderstand ! Stenosegrad !! 0 !! 0,1 !! 0,2 !! 0,3 !! 0,4 !! 0,5 !! 0,6 !! 0,7 !! 0,8 |- | Volumenstrom in ml/s || 6,00 || 6,00 || 5,99 || 5,98 || 5,94 || 5,83 || 5,54 || 4,76 || 3,07 |- | bezogen auf 6 ml/s || 100 % || 100 % || 99,9 % || 99,6 % || 98,9 % || 97,1 % || 92,3 % || 79,2 % || 51,1 % |} Bis zum Stenosegrad 0,5 ändert sich der Volumenstrom um weniger als drei Prozent. Für diese Fälle ist Szenario A also die physiologisch richtige Wahl. Ab 0,6 sinkt der Volumenstrom spürbar, und beim Grad 0,8 halbiert er sich ungefähr. Für die hochgradigen Stenosen überschätzt Szenario A deshalb die Geschwindigkeiten in der Engstelle, und die tatsächlichen Verhältnisse liegen zwischen Szenario A und Szenario B. Das Ergebnis passt zur klinischen Erfahrung, dass eine Karotisstenose erst im hochgradigen Bereich die Durchblutung merklich einschränkt. Die Abschätzung ist bewusst einfach gehalten und ersetzt keine Rechnung, sie zeigt aber, dass die Wahl des Hauptszenarios begründet ist und wo sie endet. Szenario B in der hier angelegten Form ist dagegen ein Extremfall, weil es den betrachteten Abschnitt als einzigen Widerstand im Kreislauf behandelt. Es dient deshalb als untere Schranke für den Volumenstrom und nicht als realistisches Szenario. == Analytische Referenzwerte == Für das gesunde Gefäß ist die Lösung exakt bekannt. Die Herleitung steht im Abschnitt Mathematische Hintergründe. Eingesetzt ergeben sich die folgenden Werte, die als Prüfstein für jede Rechnung dienen. Für den ebenen Kanal wird die halbe Kanalhöhe gleich <math>R_0</math> und die mittlere Geschwindigkeit gleich <math>U_0</math> gesetzt. {| class="wikitable" |+ Analytische Referenzwerte des gesunden Gefäßes ! Größe !! Formel im Rohr !! Wert im Rohr !! Formel im ebenen Kanal !! Wert im ebenen Kanal |- | Scheitelgeschwindigkeit || <math>2\,U_0</math> || 0,4244 m/s || <math>\tfrac{3}{2}\,U_0</math> || 0,3183 m/s |- | Druckgradient || <math>8\mu U_0/R_0^2</math> || 660,2 Pa/m || <math>3\mu U_0/R_0^2</math> || 247,6 Pa/m |- | Druckabfall über 150 mm || <math>8\mu U_0 L/R_0^2</math> || 99,03 Pa || <math>3\mu U_0 L/R_0^2</math> || 37,14 Pa |- | Wandschubspannung || <math>4\mu U_0/R_0</math> || 0,990 Pa || <math>3\mu U_0/R_0</math> || 0,743 Pa |} Der Druckabfall von 99 Pa entspricht etwa 0,74 mmHg und ist damit im Vergleich zum Blutdruck klein, wie es für einen kurzen Abschnitt einer großen Arterie zu erwarten ist. Die Wandschubspannung von 0,99 Pa liegt etwas unter den gemessenen Werten von 1,1 bis 1,5 Pa.<ref name="samijo" /> Die Abweichung ist erklärbar, denn im realen Herzzyklus ist das Profil flacher als die Parabel und erzeugt an der Wand einen steileren Gradienten, und der gewählte Radius liegt am unteren Rand der gemessenen Werte. Die Größenordnung stimmt also. Dass die Werte des ebenen Kanals kleiner sind, ist kein Fehler. Ein ebener Spalt mit derselben halben Höhe hat einen geringeren Widerstand als ein Rohr mit demselben Radius, weil die Strömung nur von zwei Seiten statt ringsum gebremst wird. == Das Graphenmodell == Das Graphenmodell reduziert das Gefäß auf seine Achse und fasst es als Graphen auf. Die Knoten sind Querschnitte, die Kanten sind kurze Rohrstücke. Jede Kante der Länge <math>\Delta z</math> mit dem Radius <math>r_k</math> in ihrer Mitte trägt nach Hagen-Poiseuille den Strömungswiderstand <math>R_k = \frac{8\mu\,\Delta z}{\pi r_k^4} .</math> In jedem inneren Knoten muss so viel Blut abfließen, wie zufließt. Diese Massenerhaltung liefert für die Knotendrücke ein lineares Gleichungssystem, dessen Matrix die gewichtete Laplace-Matrix des Graphen ist. Die Struktur ist dieselbe wie bei einem elektrischen Netzwerk aus Widerständen, wobei der Druck die Rolle der Spannung und der Volumenstrom die Rolle der Stromstärke übernimmt. Am Einlass wird der Volumenstrom <math>Q_0</math> eingespeist, am Auslass ist der Druck null. Im Grenzfall unendlich feiner Unterteilung geht das Netzwerk in eine gewöhnliche Differentialgleichung über, deren Lösung sich geschlossen angeben lässt, <math>\Delta p = Q_0 \int_{-L_u}^{L_d} \frac{8\mu}{\pi R(z)^4}\,\mathrm{d}z .</math> Aus dem örtlichen Radius folgen außerdem die Geschwindigkeit, die Wandschubspannung und die Reynoldszahl in der Engstelle, weil das Modell an jeder Stelle ein örtlich voll entwickeltes Parabelprofil annimmt. Genau diese Annahme ist zugleich die Grenze des Modells. Das Graphenmodell kennt nur die Reibung an der Wand. Die wirkliche Strömung verliert zusätzlich Energie, wenn sie sich hinter der Engstelle als Strahl ablöst und dieser Strahl sich im Rückströmgebiet wieder verlangsamt. Der Druckabfall des Graphenmodells ist deshalb als untere Abschätzung zu lesen, die von den COMSOL-Rechnungen überschritten werden muss. Für die Geschwindigkeit und die Wandschubspannung in der Engstelle liefert es dagegen gute Näherungen, solange die Stenose nicht zu kurz ist. Das Graphenmodell wird in Octave mit 500 Kanten gerechnet. Eine Rechnung mit 5000 Kanten ändert den Druckabfall für alle Stenosegrade bis 0,8 erst in der dritten Nachkommastelle, die Lösung ist also netzunabhängig. Zur Kontrolle wird dasselbe Modell in COMSOL als eindimensionale Differentialgleichung gelöst, wie im nächsten Abschnitt beschrieben. = Implementierung des Modells in COMSOL Multiphysics = Nach der Festlegung von Geometrie, Parametern, Annahmen und Randbedingungen erfolgt die Umsetzung in COMSOL Multiphysics in der Version 6.2. Für die Flächen- und Volumenmodelle wird die Physikschnittstelle Laminare Strömung (Laminar Flow) aus dem Bereich Strömung verwendet. Sie löst die stationären Navier-Stokes-Gleichungen für ein inkompressibles Newtonsches Fluid mit der Methode der finiten Elemente.<ref name="comsol">COMSOL AB: ''CFD Module User's Guide'' und ''COMSOL Multiphysics Reference Manual'', Version 6.2. Stockholm 2023.</ref> Die Menüpunkte werden im Folgenden mit ihrer deutschen Bezeichnung genannt, die englische Bezeichnung steht beim ersten Auftreten in Klammern. Jedes Modell lässt sich auf zwei Wegen aufbauen, die zum selben Ergebnis führen. Der erste Weg ist der Aufbau von Hand, der hier Schritt für Schritt beschrieben wird. Der zweite Weg ist eine Modellmethode, also ein kurzes Programm, das im Reiter Entwickler (Developer) in ein leeres Modell eingefügt und ausgeführt wird und dann Parameter, Geometrie, Selektionen, Physik, Netz und Studie in wenigen Sekunden anlegt. Die Methoden machen den Aufbau reproduzierbar und für Dritte nachprüfbar. Sie werden am Ende dieses Abschnitts vorgestellt. Bevor die Navier-Stokes-Gleichungen gelöst werden, wird das Graphenmodell als Vorstufe auch in COMSOL gerechnet. Im Grenzfall feiner Unterteilung erfüllt der Druck <math>p(z)</math> entlang der Achse die Gleichung <math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\left[\frac{\pi R(z)^4}{8\mu}\,\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}z}\right] = 0 ,</math> die genau die Form der Koeffizientenform-PDGL in COMSOL hat. Der Aufbau umfasst sechs Schritte. # Im Modellassistenten wird die Raumdimension 1D gewählt und unter Mathematik, PDE-Schnittstellen die Koeffizientenform-PDGL (Coefficient Form PDE) mit einer stationären Studie angelegt. # Unter Globale Definitionen wird die Wandkontur als analytische Funktion <code>Rw(zz)</code> mit dem Ausdruck <code>R0n*(1-s/2*(1+cos(2*pi*zz/Lsn))*(abs(zz)<=Lsn/2))</code> angelegt. Der Vergleich <code>abs(zz)<=Lsn/2</code> liefert eins innerhalb und null außerhalb der Störstelle und ersetzt damit die Fallunterscheidung. Die Parameter werden in diesem Modell ohne Einheiten in SI-Größen eingegeben, weil das gesuchte Feld als dimensionslose Größe angelegt ist. # Die Geometrie ist ein Intervall von <code>-Lun</code> bis <code>Ldn</code> mit inneren Punkten am Beginn, in der Mitte und am Ende der Störstelle. # In der Gleichung wird der Diffusionskoeffizient <math>c = \pi R(z)^4/(8\mu)</math> gesetzt, alle übrigen Koeffizienten sind null. # Am Einlasspunkt wird über eine Flussrandbedingung der Volumenstrom <math>Q_0</math> eingeprägt, am Auslasspunkt wird über eine Dirichlet-Bedingung der Druck null gesetzt. # Das Netz erhält eine maximale Elementlänge von <math>L_s/200</math>, und ein parametrischer Sweep rechnet alle Stenosegrade von 0 bis 0,8. <!-- FIXME in der Modellmethode steht noch die Liste 0 bis 0.5 --> Als Kontrollgröße wird der Volumenstrom <math>-\tfrac{\pi R^4}{8\mu}\,\tfrac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}z}</math> entlang der ganzen Achse ausgewertet, der überall gleich <math>Q_0</math> sein muss. Der Druck am Einlass muss mit dem Druckabfall des Octave-Netzwerks übereinstimmen, da beide dieselbe Gleichung lösen. <!-- FIXME Ergebnis eintragen, sobald gerechnet: Abweichung zwischen COMSOL 1D und Octave in Prozent --> == Erstellung der 2D-Modelle == Es werden zwei Flächenmodelle aufgebaut. Das achsensymmetrische Modell ist das Hauptmodell des Projekts, weil es die Physik des runden Gefäßes exakt abbildet und dennoch in Sekunden rechnet. Das ebene Modell dient dem Vergleich und wird am Ende dieses Abschnitts als Differenz zum Hauptmodell beschrieben. Das achsensymmetrische Modell nutzt aus, dass weder die Geometrie noch die Randbedingungen vom Umfangswinkel abhängen. Gerechnet wird deshalb nur der Halbschnitt in der Ebene aus Radius <math>r</math> und Achskoordinate <math>z</math>. COMSOL ergänzt beim Rechnen die Faktoren, die aus der Rotation um die Achse entstehen, sodass die Lösung der Strömung im ganzen Rohr entspricht. === Auswahl von Raumdimension, Physik und Studie === # Im Modellassistenten (Model Wizard) wird die Raumdimension 2D achsensymmetrisch (2D Axisymmetric) gewählt. # Unter Strömung (Fluid Flow) und Einphasenströmung (Single-Phase Flow) wird die Schnittstelle Laminare Strömung (Laminar Flow) hinzugefügt. # Als Studie wird die Stationäre Studie (Stationary) gewählt, weil nach der Modellannahme keine Zeitabhängigkeit gerechnet wird. # Das Modell wird sofort unter einem eindeutigen Namen gespeichert, etwa <code>stenose_2daxi_v01.mph</code>. === Globale Parameter === # Unter Globale Definitionen, Parameter werden die Parameter aus der Tabelle im Abschnitt Modellierung eingetragen. Schneller geht es über die Schaltfläche Aus Datei laden (Load from File) mit der vorbereiteten Textdatei, die alle Zeilen enthält. # Zusätzlich werden die beiden Netzparameter <code>hmax_g = R0/6</code> und <code>hmax_f = R0/20</code> angelegt, also 0,5 mm für das gesamte Gebiet und 0,15 mm für den Bereich der Stenose und des Nachlaufs. # In der Spalte Wert wird geprüft, dass <code>U0</code> den Wert 0,2122 m/s, <code>Re0</code> den Wert 385,6 und <code>dp_ref</code> den Wert 99,03 Pa zeigt. Ein roter Eintrag weist auf einen Tippfehler oder eine falsche Reihenfolge hin, denn ein Parameter darf nur auf weiter oben stehende Parameter zugreifen. Bei der Benennung ist eine Falle zu beachten. Der Name <code>s</code> ist in COMSOL doppelt belegt. Er ist hier der Stenosegrad, voreingestellt aber auch der Name des Kurvenparameters einer parametrischen Kurve und der Bogenlänge in Liniendiagrammen. Wird bei der parametrischen Kurve der voreingestellte Name stehen gelassen, überschreibt COMSOL stillschweigend den Stenosegrad, und das Modell rechnet weiter, nur eben falsch. Der Kurvenparameter heißt deshalb in allen Modellen <code>zz</code>. === Erstellung der Geometrie === Die Geometrie wird zunächst aus Linien gezeichnet und am Ende in eine Fläche umgewandelt. Die waagerechte Achse ist dabei der Radius <math>r</math>, die senkrechte Achse die Gefäßachse <math>z</math>. # Unter Geometrie, Weitere Primitive wird eine Parametrische Kurve (Parametric Curve) angelegt. Der Kurvenparameter heißt <code>zz</code> und läuft von <code>-Ls/2</code> bis <code>Ls/2</code>. Im Feld <math>r</math> steht der Ausdruck <code>R0*(1-s/2*(1+cos(2*pi*zz/Ls)))</code>, im Feld <math>z</math> steht <code>zz</code>. Das ist die Wandkontur der Störstelle. # Ein offenes Polygon mit den sechs Punkten <code>(R0, -Ls/2)</code>, <code>(R0, -Lu)</code>, <code>(0, -Lu)</code>, <code>(0, Ld)</code>, <code>(R0, Ld)</code> und <code>(R0, Ls/2)</code> ergänzt die gerade Wand vor der Stenose, den Einlass, die Rotationsachse, den Auslass und die gerade Wand hinter der Stenose. Zusammen mit der Kurve ist der Umriss damit geschlossen. # Drei weitere offene Polygone mit je zwei Punkten legen innere Linien an, nämlich bei <math>z = -L_s/2</math> vor der Stenose, bei <math>z = 0</math> in der Engstelle von der Achse bis <code>R0*(1-s)</code> und bei <math>z = L_f</math> am Ende des Feinbereichs. Sie teilen das Gebiet in vier Teilflächen und dienen später als Auswertungsquerschnitte. # Über Umwandlungen, In Festkörper umwandeln (Convert to Solid) werden alle fünf Objekte zu einer Fläche zusammengefasst. Nach Alle erstellen (Build All) zeigt das Grafikfenster vier Teilgebiete, die von <math>z = -30\ \mathrm{mm}</math> bis <math>z = 120\ \mathrm{mm}</math> reichen. Meldet COMSOL beim Umwandeln, der Umriss sei nicht geschlossen, dann enden Kurve und Polygon nicht exakt an denselben Punkten. Der häufigste Grund ist ein Tippfehler bei <code>-Ls/2</code> oder <code>Ls/2</code>. === Selektionen === Selektionen sind benannte Gruppen von Rändern oder Gebieten. Sie sind in diesem Modell unverzichtbar, weil der Stenosegrad die Geometrie verändert und COMSOL bei jeder Geometrieänderung die Nummern der Ränder neu vergibt. Eine von Hand angeklickte Randauswahl würde deshalb im Sweep auf falsche Ränder zeigen. Eine Boxselektion sucht dagegen bei jedem Stenosegrad selbst die Ränder, die vollständig in einem vorgegebenen Rechteck liegen. Für die fünf Querschnitte werden zunächst die folgenden Boxgrenzen benötigt. Das Rechteck reicht jeweils radial von <code>-0.01[mm]</code> bis <code>6[mm]</code> und axial um ein hundertstel Millimeter um die Position des Querschnitts. {| class="wikitable" |+ Boxselektionen der Querschnitte ! Selektion !! Position in z !! z-Minimum !! z-Maximum |- | Einlass || −30 mm || -30.01[mm] || -29.99[mm] |- | Querschnitt vor der Stenose || −6 mm || -6.01[mm] || -5.99[mm] |- | Querschnitt Engstelle || 0 mm || -0.01[mm] || 0.01[mm] |- | Querschnitt Ende Feinbereich || 66 mm || 65.99[mm] || 66.01[mm] |- | Auslass || 120 mm || 119.99[mm] || 120.01[mm] |} # Unter Komponente, Definitionen, Selektionen werden mit diesen Grenzen fünf Boxselektionen (Box) auf der Ebene Rand (Boundary) mit der Bedingung Innerhalb (Inside) angelegt. # Eine sechste Boxselektion Rotationsachse erfasst den Rand bei <math>r = 0</math> über die ganze Länge. # Die Selektion Gefäßwand wird als Komplement (Complement) der sechs bisherigen Randselektionen angelegt. Übrig bleibt genau die äußere Berandung einschließlich der Einbuchtung. # Eine Boxselektion auf der Ebene Gebiet (Domain) erfasst den Bereich von <math>z = -6\ \mathrm{mm}</math> bis <math>z = 66\ \mathrm{mm}</math>. Sie heißt Stenose und Nachlauf und steuert später die Netzverfeinerung. Nach jeder Selektion wird im Grafikfenster kontrolliert, dass genau die gewünschten Ränder markiert sind. Ist bei der Gefäßwand auch die Achse markiert, fehlt die Rotationsachse in der Liste der zu invertierenden Selektionen. === Fluideigenschaften === # Im Knoten Laminare Strömung wird unter Physikalisches Modell geprüft, dass die Kompressibilität auf Inkompressible Strömung steht. Das ist die Voreinstellung und setzt die Annahme <math>\nabla\cdot\mathbf{u} = 0</math> um. # Im Knoten Fluideigenschaften werden Dichte und dynamische Viskosität von Aus Material auf Benutzerdefiniert (User defined) umgestellt und mit <code>rho_b</code> und <code>mu_b</code> belegt. Ein Material aus der Bibliothek wird bewusst nicht verwendet, damit die Stoffwerte sichtbar an die Parametertabelle gebunden bleiben. === Randbedingungen === # Mit Rechtsklick auf Laminare Strömung wird ein Einlass (Inlet) auf der Selektion Einlass angelegt. Als Randbedingung wird Voll entwickelte Strömung (Fully developed flow) mit der Option Mittlere Geschwindigkeit gewählt und der Wert <code>U0</code> eingetragen. Das ist Szenario A. # Ein zweiter Einlass auf derselben Selektion erhält ebenfalls die voll entwickelte Strömung, aber mit vorgegebenem mittlerem Eintrittsdruck <code>dp_ref</code>. Dieser Knoten ist Szenario B und bleibt zunächst deaktiviert. Zum Wechsel des Szenarios wird der eine Knoten deaktiviert und der andere aktiviert. # Ein Auslass (Outlet) auf der Selektion Auslass erhält den Druck <code>0</code>. Die Option Rückströmung unterdrücken bleibt angehakt. Sie verhindert, dass Fluid über den Auslass zurück in das Gebiet strömt, und darf das Ergebnis nur dann beeinflussen, wenn das Rückströmgebiet bis an den Auslass reicht. Genau das wird bei den hochgradigen Stenosen kontrolliert. # Die Haftbedingung an der Wand und die Symmetriebedingung auf der Achse legt COMSOL in den Knoten Wand und Achsensymmetrie selbständig an. Es wird nur kontrolliert, dass beide die richtigen Ränder abdecken. # Unter Anfangswerte wird die axiale Geschwindigkeit auf <code>U0</code> gesetzt. Das ist kein physikalischer Wert, sondern ein Startwert für das Newton-Verfahren, der die Konvergenz spürbar erleichtert. === Operatoren und Auswertungsgrößen === Damit sich aus der Lösung Zahlen für die Ergebnistabellen gewinnen lassen, werden Integrations- und Maximumoperatoren angelegt und daraus Auswertungsvariablen gebildet. # Unter Definitionen, Komponentenkopplungen werden fünf Integrationsoperatoren auf den fünf Querschnitten angelegt, mit den Namen <code>intEin</code>, <code>intVor</code>, <code>intEng</code>, <code>intNach</code> und <code>intAus</code>. Bei jedem Operator wird das Kästchen Integral in rotierter Geometrie berechnen (Compute integral in revolved geometry) angehakt. Ohne diesen Haken berechnet COMSOL ein Linienintegral über den Halbschnitt statt eines Flächenintegrals über den Kreisquerschnitt, und alle Volumenströme sind falsch. Mathematisch fügt der Haken den Faktor <math>2\pi r</math> in den Integranden ein. # Ein Maximumoperator <code>maxDom</code> über alle Gebiete und ein Maximumoperator <code>maxWand</code> über die Gefäßwand werden ergänzt. # Unter Definitionen, Variablen werden die Auswertungsgrößen aus der folgenden Tabelle eingetragen. {| class="wikitable" |+ Auswertungsvariablen im achsensymmetrischen Modell ! Name !! Ausdruck !! Bedeutung |- | Q_ein, Q_vor, Q_eng, Q_nach, Q_aus || intEin(w) und entsprechend || Volumenstrom in den fünf Querschnitten, <math>w</math> ist die axiale Geschwindigkeit |- | A_eng || intEng(1) || Querschnittsfläche der Engstelle |- | U_eng || Q_eng/A_eng || mittlere Geschwindigkeit in der Engstelle |- | Re_eng || rho_b*U_eng*2*sqrt(A_eng/pi)/mu_b || Reynoldszahl in der Engstelle |- | dp_ges || intEin(p)/intEin(1)-intAus(p)/intAus(1) || Differenz der flächengemittelten Drücke an Ein- und Auslass |- | dp_zus || dp_ges-8*mu_b*(Q_ein/(pi*R0^2))*(Lu+Ld)/R0^2 || zusätzlicher Druckverlust durch die Stenose |- | tau_w || mu_b*spf.sr || Wandschubspannung, nur auf der Wand sinnvoll |- | u_max || maxDom(spf.U) || höchste Geschwindigkeit im Gebiet |- | tau_max || maxWand(mu_b*spf.sr) || höchste Wandschubspannung |} Die Wandschubspannung wird als Produkt aus Viskosität und Scherrate <code>spf.sr</code> berechnet. An der Wand, wo die Geschwindigkeit verschwindet, ist die Scherrate gleich dem Betrag des Geschwindigkeitsgradienten senkrecht zur Wand, sodass der Ausdruck dort genau der Definition der Wandschubspannung entspricht. Im Inneren des Gebiets hat er keine Bedeutung als Wandgröße. Der Druckabfall wird als Differenz der flächengemittelten Drücke ausgewertet, weil der Druck über einen Querschnitt in der Nähe der Stenose nicht konstant ist. === Vernetzung === Das Netz entscheidet über die Genauigkeit, besonders bei der Wandschubspannung, die aus einem Gradienten an der Wand berechnet wird. # Unter Netz wird die Folgenart von Physikgesteuertes Netz auf Benutzergesteuertes Netz (User-controlled mesh) umgestellt. # Im Knoten Größe wird die maximale Elementgröße auf <code>hmax_g</code> und die minimale auf <code>hmax_f/10</code> gesetzt. # Unter dem Freien Dreiecksnetz (Free Triangular) wird eine zusätzliche Größe auf der Gebietsselektion Stenose und Nachlauf mit der maximalen Elementgröße <code>hmax_f</code> angelegt. # Ein Knoten Grenzschichten (Boundary Layers) auf der Selektion Gefäßwand erhält sechs Schichten mit dem Streckungsfaktor 1,2. Diese flachen Elemente an der Wand lösen den steilen Geschwindigkeitsgradienten auf. Ohne sie fällt die berechnete Wandschubspannung deutlich zu klein aus. # Für die Stenosegrade ab 0,6 wird in der Störstelle eine weitere Größe mit <code>hmax_f*(1-s)</code> ergänzt. Der engste Radius beträgt beim Grad 0,8 nur noch 0,6 mm, mit der unveränderten Feinheit von 0,15 mm lägen dort nur vier Elemente über dem Radius. Mit der an den Stenosegrad gekoppelten Größe bleibt die Auflösung der Engstelle für alle Grade gleich. <!-- FIXME pruefen, ob diese Groesse in die Modellmethode uebernommen wurde --> # Nach Alle erstellen wird die Elementzahl notiert, weil sie in die Tabelle der Netzstudie gehört. <!-- FIXME Elementzahl fuer s = 0, 0,5 und 0,8 eintragen --> === Studie und parametrischer Sweep === # Zuerst wird ausschließlich der Fall <math>s = 0</math> gerechnet und mit den analytischen Referenzwerten verglichen. Erst wenn Volumenströme, Druckabfall, Scheitelgeschwindigkeit und Wandschubspannung auf ein Prozent stimmen, wird weitergerechnet. Dieser Zwischenschritt ist der wichtigste des ganzen Aufbaus, denn ein Fehler, der hier unentdeckt bleibt, steckt später in allen Ergebnissen. # Danach wird unter der Studie ein Parametrischer Sweep (Parametric Sweep) über <code>s</code> mit der Liste <code>0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8</code> angelegt. <!-- FIXME in den Modellmethoden fuer 2D steht noch die Liste bis 0.5 --> Es muss ein parametrischer Sweep sein und kein Hilfssweep (Auxiliary sweep), weil nur der parametrische Sweep die Geometrie für jeden Wert neu aufbaut. # Die aufsteigende Reihenfolge ist Absicht. COMSOL verwendet die Lösung des vorigen Stenosegrades als Startwert für den nächsten. Diese Fortsetzung im Parameter hilft gerade bei den hochgradigen Stenosen, deren Lösung vom Startwert der ruhenden Strömung aus schwer zu erreichen wäre. # Konvergiert ein Grad dennoch nicht, wird er einzeln gerechnet und unter Werte abhängiger Variablen die Lösung des vorigen Grades als Anfangswert gewählt. <!-- FIXME vermerken, ob alle Grade bis 0,8 konvergiert sind --> === Darstellung und Export === # Die automatisch erzeugte Plotgruppe Geschwindigkeit zeigt den Betrag der Geschwindigkeit. Eine ergänzte Stromlinien-Darstellung (Streamline) mit gleichmäßiger Dichte macht Strahl und Rückströmgebiet sichtbar. # Eine 2D-Plotgruppe mit dem Ausdruck <code>p</code> zeigt das Druckfeld. # Eine 2D-Plotgruppe mit dem Ausdruck <code>w<0</code> färbt genau den Bereich ein, in dem das Fluid entgegen der Hauptrichtung strömt. Das ist die anschaulichste Darstellung der Ablösung. # Eine 1D-Plotgruppe zeigt <code>tau_w</code> über <code>z</code> entlang der Gefäßwand, eine weitere die axiale Geschwindigkeit <code>w</code> entlang der Rotationsachse. Unter Parameterauswahl wird Alle gewählt, sodass alle Stenosegrade als Kurvenschar in einem Bild erscheinen. # Unter Abgeleitete Werte wird eine Globale Auswertung mit den Größen <code>Q_ein</code>, <code>Q_eng</code>, <code>Q_aus</code>, <code>dp_ges</code>, <code>dp_zus</code>, <code>u_max</code>, <code>tau_max</code>, <code>U_eng</code> und <code>Re_eng</code> für alle Stenosegrade ausgewertet und als <code>kennwerte_axi.txt</code> exportiert. # Über einen Selektionsdatensatz auf der Gefäßwand wird die Wandschubspannung je Stenosegrad als Wertepaar aus <code>z</code> und <code>tau_w</code> exportiert, mit den Dateinamen <code>wss_s000.txt</code> bis <code>wss_s080.txt</code>. # Das Octave-Skript <code>auswertung_comsol.m</code> liest diese Dateien ein, prüft die Massenerhaltung und den Vergleich mit dem Graphenmodell und schreibt die Ergebnistabellen dieser Seite. <!-- FIXME Skript auf die Grade 0,6 bis 0,8 erweitern --> === Unterschiede beim ebenen Kanal === Das ebene Modell ist der Kanalfluss aus der Vorlesung mit verformter oberer Wand.<ref name="hundertmark" /> Gerechnet wird die obere Kanalhälfte mit einer Symmetriebedingung auf der Mittellinie. Die halbe Kanalhöhe ist gleich dem Gefäßradius, damit beide Modelle denselben Wandabstand haben. Der Aufbau folgt dem achsensymmetrischen Modell mit sechs Unterschieden. # Im Modellassistenten wird die Raumdimension 2D gewählt. # Die Koordinaten sind vertauscht. Die Strömungsrichtung heißt <math>x</math>, der Wandabstand <math>y</math>. Entsprechend steht in der parametrischen Kurve <code>zz</code> im Feld <math>x</math> und die Wandkontur im Feld <math>y</math>, und alle Polygone und Boxselektionen werden mit vertauschten Koordinaten eingetragen. # Statt der Rotationsachse gibt es eine Symmetrielinie bei <math>y = 0</math>. Auf ihr wird im Physikknoten ausdrücklich eine Symmetriebedingung (Symmetry) gesetzt, die COMSOL hier nicht selbständig anlegt. # Die Integrationsoperatoren werden ohne den Haken für die rotierte Geometrie angelegt, den es in der ebenen Rechnung nicht gibt. Der Volumenstrom ist dann eine Größe je Tiefeneinheit in m²/s. Für den gesunden halben Kanal beträgt er <math>U_0 R_0 = 6{,}366 \cdot 10^{-4}\ \mathrm{m^2/s}</math>. # Die Auswertungsvariablen verwenden die Geschwindigkeitskomponente <code>u</code> in x-Richtung, und der Zusatzverlust bezieht sich auf den analytischen Kanalwert <code>dp_eben = 3*mu_b*U0*(Lu+Ld)/R0^2</code> von 37,14 Pa. # Der Export heißt <code>kennwerte_eben.txt</code>. Der Vergleich beider Modelle ist der eigentliche Zweck des ebenen Kanals. Im Rohr wächst die mittlere Geschwindigkeit in der Engstelle bei festem Volumenstrom mit <math>1/(1-s)^2</math>, weil die Fläche in zwei Richtungen schrumpft. Im ebenen Kanal wächst sie nur mit <math>1/(1-s)</math>, weil nur eine Richtung verengt wird. Die ebene Rechnung unterschätzt die Wirkung einer Verengung also systematisch, und genau das begründet, warum ein rundes Gefäß nicht als ebener Kanal modelliert werden darf. == Erstellung der 3D-Modelle == Das Volumenmodell entsteht, indem derselbe Halbschnitt um die Gefäßachse rotiert wird. Physik, Parameter und Randbedingungen bleiben unverändert. Da die Geometrie rotationssymmetrisch ist, muss das Volumenmodell dasselbe Ergebnis liefern wie das achsensymmetrische Flächenmodell. Es dient deshalb in erster Linie als Kontrolle und als Grundlage für die räumliche Darstellung. Gerechnet werden die Stenosegrade 0, 0,3 und 0,6, also das gesunde Gefäß und je ein Vertreter der leicht- und der mittelgradigen Stenose. Der hochgradige Fall 0,8 wird im Volumen nicht gerechnet. Er liegt außerhalb des Bereichs, in dem das stationäre, laminare Modell verlässlich ist, und würde im Volumen ein sehr feines und damit sehr großes Netz erfordern. === Raumdimension, Physik und Parameter === # Im Modellassistenten wird die Raumdimension 3D gewählt, dazu wieder Laminare Strömung und eine stationäre Studie. # Die Parametertabelle ist identisch mit dem Flächenmodell. Nur die Netzparameter werden gröber gewählt, nämlich <code>hmax_g = R0/3</code>, also 1 mm, und <code>hmax_f = R0/8</code>, also 0,375 mm. Im Volumen wächst die Elementzahl mit der dritten Potenz der Feinheit, eine Halbierung der Elementgröße vervielfacht den Rechenaufwand also etwa um den Faktor acht. === Geometrie über Arbeitsebene und Rotation === # Unter Geometrie wird eine Arbeitsebene (Work Plane) angelegt und als Schnellebene die xz-Ebene gewählt. # Innerhalb der Ebenengeometrie dieser Arbeitsebene werden die parametrische Kurve, das große Polygon und die drei Querschnittslinien genau wie im Flächenmodell angelegt und in einen Festkörper umgewandelt. Die Koordinaten der Arbeitsebene entsprechen dabei dem Radius und der Achskoordinate. # Auf der Ebene der Gesamtgeometrie wird eine Rotation (Revolve) der Arbeitsebene um 360 Grad angelegt. Die Rotationsachse ist die Achse der Arbeitsebene, die der globalen z-Achse entspricht. # Nach Alle erstellen liegt ein Rohr entlang der z-Achse vor, das von <math>z = -30\ \mathrm{mm}</math> bis <math>z = 120\ \mathrm{mm}</math> reicht. === Selektionen und Operatoren === # Die Boxselektionen der fünf Querschnitte werden auf der Ebene Rand angelegt und benötigen nun drei Koordinatenpaare. In x und y reichen sie jeweils von <code>-6[mm]</code> bis <code>6[mm]</code>, in z umschließen sie die Position des Querschnitts wie im Flächenmodell. # Eine Rotationsachse als Rand gibt es im Volumen nicht. Die Selektion Gefäßwand ist deshalb das Komplement der fünf Querschnitte allein. # Die Gebietsselektion Stenose und Nachlauf reicht in z von <math>-6\ \mathrm{mm}</math> bis <math>66\ \mathrm{mm}</math>. # Die Integrationsoperatoren werden auf den Querschnittsflächen angelegt und brauchen keinen Haken für rotierte Geometrie, weil das Flächenintegral im Volumen bereits über den ganzen Kreisquerschnitt läuft. Die Auswertungsvariablen sind mit denen des achsensymmetrischen Modells identisch, die axiale Geschwindigkeit heißt auch hier <code>w</code>. === Randbedingungen === Die Randbedingungen sind dieselben wie im Flächenmodell. Der Einlass erhält die voll entwickelte Strömung mit der mittleren Geschwindigkeit <code>U0</code>, wobei COMSOL das zugehörige Profil auf der kreisförmigen Einlassfläche selbst berechnet. Der Auslass erhält den Druck null, die Mantelfläche die Haftbedingung. Szenario B ist wieder als deaktivierter zweiter Einlass angelegt. === Vernetzung === # Statt des Dreiecksnetzes wird ein Freies Tetraedernetz (Free Tetrahedral) verwendet, mit der globalen Größe <code>hmax_g</code> und der örtlichen Verfeinerung <code>hmax_f</code> im Bereich der Stenose und des Nachlaufs. # Ein Grenzschichtnetz auf der Gefäßwand erhält fünf Schichten mit dem Streckungsfaktor 1,2. # Für den Stenosegrad 0,6 wird die Feinheit im Bereich der Stenose auf <code>R0/12</code> verringert. Der engste Radius beträgt dort 1,2 mm, und mit der Feinheit von 0,375 mm lägen nur gut drei Elemente über dem Radius. <!-- FIXME Elementzahl und Rechenzeit fuer s = 0, 0,3 und 0,6 eintragen --> === Studie === # Der parametrische Sweep erhält die Liste <code>0 0.3 0.6</code>. <!-- FIXME in der Modellmethode steht noch 0 0.3 0.5 --> # Wie im Flächenmodell wird zuerst nur der gesunde Fall gerechnet und mit den analytischen Werten verglichen. # Für die Volumenrechnung wird bei großen Netzen ein iterativer Löser verwendet, den COMSOL für dreidimensionale Strömungsprobleme vorschlägt. Konvergiert der Fall 0,6 nicht, wird die Lösung des Falls 0,3 als Startwert verwendet. === Darstellung === # Eine Schnittebenen-Darstellung (Slice) zeigt den Geschwindigkeitsbetrag in mehreren Querschnitten und im Längsschnitt. # Stromlinien werden als Röhren dargestellt und nach der Geschwindigkeit eingefärbt. Sie zeigen den Strahl hinter der Engstelle und das ringförmige Rückströmgebiet, das im Volumen als Wirbelring erscheint. # Eine Isofläche des Ausdrucks <code>w</code> zum Wert null umschließt das Rückströmgebiet räumlich. # Eine Oberflächendarstellung auf der Gefäßwand mit dem Ausdruck <code>tau_w</code> zeigt die Verteilung der Wandschubspannung. === Reproduzierbarkeit über Modellmethoden === Alle Modelle lassen sich statt von Hand auch über Modellmethoden aufbauen. Dazu wird ein leeres Modell geöffnet, im Reiter Entwickler eine neue Methode angelegt, der Methodentext eingefügt und ausgeführt. Jede Methode endet mit einer Prüfzeile in der Parametertabelle, die den Wert eins trägt, wenn alle Schritte fehlerfrei ausgeführt wurden. Die Dateien im Format mph lassen sich nicht auf Wikimedia Commons hochladen, das Modell ist deshalb über die Parametertabelle und den Methodentext vollständig dokumentiert. Der folgende Auszug zeigt den Kern des Geometrieaufbaus im achsensymmetrischen Modell. Der Kurvenparameter heißt <code>zz</code>, weil der Name <code>s</code> bereits für den Stenosegrad vergeben ist. <syntaxhighlight lang="java"> model.component("comp1").geom("geom1").create("pc1", "ParametricCurve"); model.component("comp1").geom("geom1").feature("pc1").set("parname", "zz"); model.component("comp1").geom("geom1").feature("pc1").set("parmin", "-Ls/2"); model.component("comp1").geom("geom1").feature("pc1").set("parmax", "Ls/2"); model.component("comp1").geom("geom1").feature("pc1") .set("coord", new String[]{"R0*(1-s/2*(1+cos(2*pi*zz/Ls)))", "zz"}); </syntaxhighlight> Die Randbedingung am Einlass wird in der Methode wie folgt gesetzt. <syntaxhighlight lang="java"> model.component("comp1").physics("spf").create("inl1", "InletBoundary", 1); model.component("comp1").physics("spf").feature("inl1").set("BoundaryCondition", "FullyDevelopedFlow"); model.component("comp1").physics("spf").feature("inl1").set("FullyDevelopedFlowOption", "Uav"); model.component("comp1").physics("spf").feature("inl1").set("Uavfdf", "U0"); </syntaxhighlight> <!-- FIXME vollstaendige Methodentexte und Octave-Skripte auf eine Unterseite auslagern und hier verlinken --> = Modellierungsergebnisse = Die Ergebnisse werden in der Reihenfolge der Modellhierarchie dargestellt. Zuerst stehen die Ergebnisse des Graphenmodells, die bereits für alle Stenosegrade vorliegen. Danach folgt die Verifikation der COMSOL-Modelle, denn erst wenn die Rechnungen im gesunden Fall die exakte Lösung treffen, sind ihre Ergebnisse bei Stenose belastbar. Anschließend werden die Feldgrößen der Flächen- und Volumenmodelle ausgewertet. == Ergebnisse des Graphenmodells == Alle Werte gelten bei eingeprägtem Volumenstrom von 6 ml/s, also im Szenario A. Die Geschwindigkeit, die Wandschubspannung und die Reynoldszahl beziehen sich auf den engsten Querschnitt, der Druckabfall auf das gesamte Gefäßstück von 150 mm. Der Zusatzverlust ist der Anteil des Druckabfalls, der über den Wert des gesunden Gefäßes hinausgeht. Die hervorgehobenen Zeilen sind die NASCET-Vertreter. {| class="wikitable" |+ Ergebnisse des Graphenmodells bei eingeprägtem Volumenstrom von 6 ml/s ! Stenosegrad !! NASCET-Kategorie !! engster Radius !! Flächenreduktion !! Scheitelgeschwindigkeit !! Wandschubspannung !! Reynoldszahl in der Engstelle !! Druckabfall !! Zusatzverlust |- style="font-weight:bold" | 0 || gesund || 3,00 mm || 0 % || 0,4244 m/s || 0,990 Pa || 386 || 99,03 Pa || 0,00 Pa |- | 0,1 || leichtgradig || 2,70 mm || 19 % || 0,5240 m/s || 1,358 Pa || 428 || 100,97 Pa || 1,94 Pa |- | 0,2 || leichtgradig || 2,40 mm || 36 % || 0,6631 m/s || 1,934 Pa || 482 || 103,95 Pa || 4,92 Pa |- style="font-weight:bold" | 0,3 || leichtgradig || 2,10 mm || 51 % || 0,8661 m/s || 2,887 Pa || 551 || 108,85 Pa || 9,82 Pa |- | 0,4 || leichtgradig || 1,80 mm || 64 % || 1,1789 m/s || 4,585 Pa || 643 || 117,62 Pa || 18,59 Pa |- | 0,5 || mittelgradig || 1,50 mm || 75 % || 1,6977 m/s || 7,922 Pa || 771 || 135,22 Pa || 36,19 Pa |- style="font-weight:bold" | 0,6 || mittelgradig || 1,20 mm || 84 % || 2,6526 m/s || 15,47 Pa || 964 || 176,74 Pa || 77,71 Pa |- | 0,7 || hochgradig || 0,90 mm || 91 % || 4,7157 m/s || 36,68 Pa || 1285 || 302,21 Pa || 203,18 Pa |- style="font-weight:bold" | 0,8 || hochgradig || 0,60 mm || 96 % || 10,610 m/s || 123,8 Pa || 1928 || 888,28 Pa || 789,25 Pa |} Im gesunden Fall reproduziert das Graphenmodell die analytischen Werte auf alle angegebenen Stellen. Das ist die erste Verifikation des Projekts, denn sie zeigt, dass Widerstandsnetzwerk, Randbedingungen und Parameter fehlerfrei umgesetzt sind. Für die Deutung ist es hilfreich, alle Größen auf das gesunde Gefäß zu beziehen. Die folgende Tabelle zeigt diese Verhältnisse für die NASCET-Vertreter. {| class="wikitable" |+ Kennwerte der NASCET-Vertreter bezogen auf das gesunde Gefäß ! Stenosegrad !! Druckabfall !! Scheitelgeschwindigkeit !! Reynoldszahl !! Wandschubspannung |- | 0,3 || 1,10fach || 2,04fach || 1,43fach || 2,92fach |- | 0,6 || 1,78fach || 6,25fach || 2,50fach || 15,6fach |- | 0,8 || 8,97fach || 25,0fach || 5,00fach || 125fach |} [[Datei:Stenose Gruppe5 Kennwerte.svg|mini|zentriert|800px|Kennwerte des Graphenmodells über dem Stenosegrad, jeweils bezogen auf das gesunde Gefäß.]] <!-- FIXME Abbildung fuer s = 0 bis 0,8 neu erzeugen und wegen des grossen Wertebereichs mit logarithmischer y-Achse darstellen --> Die Tabelle zeigt das zentrale Ergebnis des reduzierten Modells. Die vier Größen wachsen mit sehr unterschiedlichen Potenzen von <math>1/(1-s)</math>. Die Reynoldszahl wächst mit der ersten, die Geschwindigkeit mit der zweiten und die Wandschubspannung mit der dritten Potenz. Der Druckabfall über das ganze Gefäßstück reagiert dagegen träge, weil die Störstelle nur 12 der 150 mm einnimmt und der Rest des Gefäßes unverändert bleibt. Bei einer leichtgradigen Stenose von 30 % steigt der Druckabfall um nur zehn Prozent, während sich die Wandschubspannung bereits fast verdreifacht. Bei einer mittelgradigen Stenose von 60 % steigt der Druckabfall um gut drei Viertel, die Wandschubspannung aber um mehr als das Fünfzehnfache. Medizinisch bedeutet das, dass eine Stenose über den Druckabfall und damit über die Durchblutung lange unauffällig bleiben kann, während die mechanische Belastung der Gefäßwand bereits erheblich gestiegen ist. Beim hochgradigen Fall von 80 % liefert das Graphenmodell eine mittlere Geschwindigkeit von 5,3 m/s und eine Scheitelgeschwindigkeit von 10,6 m/s in der Engstelle. Diese Werte sind keine realistische Vorhersage, sondern zeigen die Grenze des Szenarios A. Wie im Abschnitt zu den Randbedingungen abgeschätzt, würde der Volumenstrom bei einer so starken Verengung im Kreislauf etwa auf die Hälfte sinken, und die Geschwindigkeiten wären entsprechend kleiner. [[Datei:Stenose Gruppe5 Graphenmodell Druck.svg|mini|zentriert|800px|Druckverlauf entlang der Gefäßachse im Graphenmodell. Außerhalb der Störstelle verlaufen alle Kurven parallel, der gesamte Unterschied entsteht auf den zwölf Millimetern der Engstelle.]] [[Datei:Stenose Gruppe5 Graphenmodell Wandschubspannung.svg|mini|zentriert|800px|Wandschubspannung entlang der Gefäßachse im Graphenmodell. Das Maximum liegt in der Engstelle und wächst mit der dritten Potenz von <math>1/(1-s)</math>.]] <!-- FIXME beide Abbildungen fuer s = 0 bis 0,8 neu erzeugen --> Außerhalb der Störstelle verlaufen alle Druckkurven parallel, weil dort der Radius und damit der Druckabfall je Längeneinheit unverändert ist. Auf den zwölf Millimetern der Störstelle fällt der Druck dagegen umso steiler, je stärker die Verengung ist. Beim gesunden Gefäß fallen auf diese zwölf Millimeter nur 7,9 Pa, beim Stenosegrad 0,6 bereits 85,6 Pa und beim Grad 0,8 rund 797 Pa. == Verifikation der COMSOL-Modelle == Die Rechnungen in COMSOL werden auf vier Wegen geprüft, bevor ihre Ergebnisse verwendet werden. === Vergleich mit der analytischen Lösung === Im gesunden Gefäß muss jedes Modell die analytischen Werte treffen. Zugelassen ist eine Abweichung von einem Prozent, bei der Wandschubspannung wegen ihrer Netzempfindlichkeit von zwei Prozent. {| class="wikitable" |+ Vergleich im gesunden Gefäß ! Größe !! analytisch !! Graphenmodell Octave !! Graphenmodell COMSOL !! achsensymmetrisch !! Volumenmodell |- | Scheitelgeschwindigkeit || 0,4244 m/s || 0,4244 m/s || FIXME || FIXME || FIXME |- | Druckabfall über 150 mm || 99,03 Pa || 99,03 Pa || FIXME || FIXME || FIXME |- | Wandschubspannung || 0,990 Pa || 0,990 Pa || FIXME || FIXME || FIXME |} Für den ebenen Kanal gelten die analytischen Kanalwerte von 0,3183 m/s, 37,14 Pa und 0,743 Pa. <!-- FIXME Ergebnis des ebenen Kanals eintragen --> === Massenerhaltung === Der Volumenstrom wird in fünf Querschnitten ausgewertet, nämlich am Einlass, vor der Stenose, in der Engstelle, am Ende des fein vernetzten Nachlaufs und am Auslass. Wegen der Massenerhaltung müssen alle fünf Werte gleich 6 ml/s sein. Eine Abweichung von mehr als einem Prozent zeigt ein zu grobes Netz an. Die Prüfung ist besonders wichtig, weil ein fehlender Haken bei den Integrationsoperatoren sofort auffällt. Die Volumenströme wären dann um Größenordnungen zu klein. {| class="wikitable" |+ Volumenstrom in fünf Querschnitten, achsensymmetrisches Modell ! Stenosegrad !! Einlass !! vor der Stenose !! Engstelle !! Ende Feinbereich !! Auslass !! größte Abweichung |- | 0 || FIXME || FIXME || FIXME || FIXME || FIXME || FIXME |- | 0,3 || FIXME || FIXME || FIXME || FIXME || FIXME || FIXME |- | 0,6 || FIXME || FIXME || FIXME || FIXME || FIXME || FIXME |- | 0,8 || FIXME || FIXME || FIXME || FIXME || FIXME || FIXME |} === Netzstudie === Die Netzstudie wird an zwei Stenosegraden durchgeführt. Der Grad 0,5 ist der stärkste Fall, für den es einen direkten Literaturvergleich gibt, der Grad 0,8 ist der numerisch schwierigste Fall. Die Feinheit im Bereich der Stenose wird dazu zweimal halbiert, und jeweils werden Elementzahl, Druckabfall und Höchstgeschwindigkeit notiert. Die Arbeitseinstellung ist erreicht, sobald sich beide Kennwerte zwischen zwei Stufen um weniger als ein Prozent ändern. Das ist dieselbe Logik wie bei der Konvergenzuntersuchung des Finite-Differenzen-Verfahrens in der Vorlesung, nur praktisch statt theoretisch.<ref name="hundertmark" /> {| class="wikitable" |+ Netzstudie am achsensymmetrischen Modell ! Stenosegrad !! Stufe !! hmax_f !! Elemente !! Druckabfall !! Höchstgeschwindigkeit !! Änderung zur vorigen Stufe |- | 0,5 || grob || R0/10 || FIXME || FIXME || FIXME || entfällt |- | 0,5 || mittel || R0/20 || FIXME || FIXME || FIXME || FIXME |- | 0,5 || fein || R0/40 || FIXME || FIXME || FIXME || FIXME |- | 0,8 || grob || R0/10 || FIXME || FIXME || FIXME || entfällt |- | 0,8 || mittel || R0/20 || FIXME || FIXME || FIXME || FIXME |- | 0,8 || fein || R0/40 || FIXME || FIXME || FIXME || FIXME |} === Vergleich mit der Literatur === Beim Stenosegrad 0,5 stimmt die Geometrie dieses Projekts mit der Standardgeometrie aus der Literatur überein, also einer kosinusförmigen Stenose der Länge zwei Durchmesser mit 75 % Flächenreduktion. Für diese Geometrie wurde bei einer Einström-Reynoldszahl von 500 eine laminare, rotationssymmetrische Strömung gefunden, die etwa zehn Durchmesser hinter der Engstelle wieder an der Wand anliegt.<ref name="varghese" /> Da die Reynoldszahl in diesem Projekt mit 386 etwas kleiner ist und das Rückströmgebiet einer laminaren Strömung mit der Reynoldszahl wächst, wird ein etwas kürzeres Rückströmgebiet erwartet. {| class="wikitable" |+ Literaturvergleich beim Stenosegrad 0,5 ! Größe !! Literatur, Re = 500 !! dieses Projekt, Re = 386 |- | Strömungsform || laminar, rotationssymmetrisch || FIXME |- | Wiederanlegen hinter der Engstellenmitte || etwa 10 D || FIXME |} == Ergebnisse der 2D-Modelle == <!-- FIXME Der gesamte Abschnitt beschreibt bis zum Vorliegen der COMSOL-Ergebnisse die physikalisch begruendete Erwartung. Nach dem Rechnen werden die Erwartungssaetze durch die beobachteten Werte ersetzt. --> === Geschwindigkeitsfeld und Strömungsmuster === Im gesunden Gefäß zeigt das Geschwindigkeitsfeld über die ganze Länge dasselbe parabolische Profil, die Stromlinien verlaufen parallel zur Achse. Mit zunehmender Verengung wird das Fluid in der Engstelle beschleunigt und verlässt sie als Strahl, der deutlich schmaler ist als das Gefäß. Zwischen Strahl und Wand bildet sich ein ringförmiges Rückströmgebiet, in dem das Fluid entgegen der Hauptrichtung strömt. Erst weiter stromab verbreitert sich der Strahl, legt sich wieder an die Wand an und entwickelt sich allmählich zurück zum Parabelprofil. <!-- FIXME Abbildung: Geschwindigkeitsbetrag mit Stromlinien fuer s = 0, 0,3, 0,6 und 0,8 als Galerie --> {| class="wikitable" |+ Höchstgeschwindigkeit im achsensymmetrischen Modell ! Stenosegrad !! Graphenmodell !! achsensymmetrisch !! Abweichung |- | 0 || 0,4244 m/s || FIXME || FIXME |- | 0,3 || 0,8661 m/s || FIXME || FIXME |- | 0,6 || 2,6526 m/s || FIXME || FIXME |- | 0,8 || 10,610 m/s || FIXME || FIXME |} Die Höchstgeschwindigkeit der CFD-Rechnung wird voraussichtlich unter dem Wert des Graphenmodells liegen, weil das Profil beim schnellen Einlaufen in die Engstelle keine Zeit hat, sich zur vollen Parabel zu entwickeln, und deshalb flacher bleibt. Die mittlere Geschwindigkeit in der Engstelle muss dagegen exakt dem Wert <math>Q_0/(\pi R_{\min}^2)</math> entsprechen. === Druckverteilung === Der Druckabfall der CFD-Rechnung muss für jeden Stenosegrad über dem Wert des Graphenmodells liegen, weil zur Wandreibung die Verluste durch Ablösung und Rückströmung hinzukommen. Eine Abschätzung dieser Trägheitsverluste ist im Abschnitt Mathematische Hintergründe hergeleitet. Sie zeigt, dass der Trägheitsverlust bereits ab einem Stenosegrad von 0,2 größer ist als der zusätzliche Reibungsverlust der Störstelle und ab 0,5 sogar größer als der gesamte Reibungsverlust über das Gefäßstück von 150 mm. Die Spalte Abschätzung gibt die Summe aus Graphenmodell und Trägheitsverlust für einen Verlustbeiwert zwischen 1,0 und 1,5 an. {| class="wikitable" |+ Druckabfall über das Gefäßstück je Stenosegrad ! Stenosegrad !! Graphenmodell !! Abschätzung mit Trägheitsverlust !! achsensymmetrisch !! ebener Kanal |- | 0 || 99,0 Pa || 99,0 Pa || FIXME || FIXME |- | 0,1 || 101,0 Pa || 102 bis 103 Pa || FIXME || FIXME |- | 0,2 || 104,0 Pa || 112 bis 115 Pa || FIXME || FIXME |- | 0,3 || 108,9 Pa || 135 bis 148 Pa || FIXME || FIXME |- | 0,4 || 117,6 Pa || 193 bis 232 Pa || FIXME || FIXME |- | 0,5 || 135,2 Pa || 350 bis 462 Pa || FIXME || FIXME |- | 0,6 || 176,7 Pa || 835 bis 1177 Pa || FIXME || FIXME |- | 0,7 || 302,2 Pa || 2,7 bis 4,0 kPa || FIXME || FIXME |- | 0,8 || 888,3 Pa || 14,6 bis 21,8 kPa || FIXME || FIXME |} Das Auswertungsskript prüft für jeden Grad automatisch, ob der CFD-Wert über dem Wert des Graphenmodells liegt. Ein Wert darunter wäre physikalisch nicht erklärbar und würde auf ein zu grobes Netz oder eine zu kurze Nachlaufstrecke hinweisen. === Wandschubspannung === Im gesunden Gefäß ist die Wandschubspannung entlang der ganzen Wand konstant gleich 0,99 Pa. Mit Stenose wird ein ausgeprägtes Maximum kurz vor der engsten Stelle erwartet, weil das Profil dort beim Einlaufen besonders steil an der Wand anliegt. Unmittelbar hinter der Engstelle fällt die Wandschubspannung im Rückströmgebiet auf null und wechselt das Vorzeichen, bevor sie nach dem Wiederanlegen allmählich zum Wert des gesunden Gefäßes zurückkehrt. Diese Nachbarschaft von sehr hoher und sehr niedriger, im Vorzeichen wechselnder Wandschubspannung ist die medizinisch bedeutsamste Aussage der Rechnung. <!-- FIXME Abbildung: Wandschubspannung entlang der Wand fuer alle Stenosegrade, aus auswertung_comsol.m --> {| class="wikitable" |+ Höchste Wandschubspannung je Stenosegrad ! Stenosegrad !! Graphenmodell !! achsensymmetrisch !! Lage des Maximums !! kleinster Wert im Rückströmgebiet |- | 0 || 0,990 Pa || FIXME || entfällt || entfällt |- | 0,3 || 2,887 Pa || FIXME || FIXME || FIXME |- | 0,6 || 15,47 Pa || FIXME || FIXME || FIXME |- | 0,8 || 123,8 Pa || FIXME || FIXME || FIXME |} === Rückströmgebiet === Die Länge des Rückströmgebiets wird aus dem Vorzeichenwechsel der Wandschubspannung bestimmt. Der Ablösepunkt ist die Stelle, an der sie hinter der Engstelle erstmals null wird, der Wiederanlegepunkt die Stelle, an der sie wieder positiv wird. Damit lässt sich die zweite Teilfrage beantworten, ab welchem Stenosegrad die Strömung überhaupt ablöst. {| class="wikitable" |+ Ablösung und Wiederanlegen hinter der Stenose ! Stenosegrad !! Ablösung ja oder nein !! Ablösepunkt !! Wiederanlegepunkt !! Länge in Durchmessern |- | 0,1 || FIXME || FIXME || FIXME || FIXME |- | 0,2 || FIXME || FIXME || FIXME || FIXME |- | 0,3 || FIXME || FIXME || FIXME || FIXME |- | 0,4 || FIXME || FIXME || FIXME || FIXME |- | 0,5 || FIXME || FIXME || FIXME || FIXME |- | 0,6 || FIXME || FIXME || FIXME || FIXME |- | 0,7 || FIXME || FIXME || FIXME || FIXME |- | 0,8 || FIXME || FIXME || FIXME || FIXME |} Reicht das Rückströmgebiet bei einem Grad bis an den Auslass oder auch nur bis in die Nähe von 100 mm, ist die Nachlaufstrecke für diesen Grad zu kurz. Die Rechnung wird dann mit verlängertem Nachlauf wiederholt. <!-- FIXME vermerken, ob das bei 0,7 oder 0,8 noetig war --> === Vergleich von Rohr und ebenem Kanal === Der Unterschied zwischen beiden Geometrien lässt sich bereits analytisch angeben. Bei gleichem Volumenstrom wächst die mittlere Geschwindigkeit in der Engstelle des Rohres mit <math>1/(1-s)^2</math>, im ebenen Kanal nur mit <math>1/(1-s)</math>. Für die Wandschubspannung verschiebt sich die Potenz entsprechend von drei auf zwei. {| class="wikitable" |+ Verstärkung in der Engstelle, Rohr und ebener Kanal im Vergleich ! Stenosegrad !! Geschwindigkeit Rohr !! Geschwindigkeit Kanal !! Wandschubspannung Rohr !! Wandschubspannung Kanal |- | 0,3 || 2,04fach || 1,43fach || 2,92fach || 2,04fach |- | 0,6 || 6,25fach || 2,50fach || 15,6fach || 6,25fach |- | 0,8 || 25,0fach || 5,00fach || 125fach || 25,0fach |} Beim Stenosegrad 0,6 unterschätzt der ebene Kanal die Geschwindigkeitszunahme also um den Faktor 2,5 und die Zunahme der Wandschubspannung um denselben Faktor. Bemerkenswert ist außerdem, dass die Reynoldszahl im ebenen Kanal, gebildet mit der örtlichen Kanalhöhe, in der Engstelle gar nicht steigt, weil das Produkt aus mittlerer Geschwindigkeit und Höhe gerade dem konstanten Volumenstrom je Tiefe entspricht. Der ebene Kanal beschreibt deshalb auch den Übergang zu instabiler Strömung falsch. <!-- FIXME CFD-Werte des ebenen Kanals ergaenzen --> == Ergebnisse der 3D-Modelle == === Räumliches Strömungsbild === Im Volumenmodell erscheint das Rückströmgebiet hinter der Engstelle als ringförmiger Wirbel, der den Strahl umschließt. Die räumliche Darstellung macht anschaulich, was im achsensymmetrischen Halbschnitt nur als Querschnitt sichtbar ist. <!-- FIXME Galerie: Stromlinien als Roehren fuer s = 0,3 und 0,6, Isoflaeche w = 0, Wandschubspannung auf der Gefaesswand --> === Quantitativer Vergleich mit dem achsensymmetrischen Modell === Weil beide Modelle dieselbe Physik in derselben Geometrie lösen, müssen ihre Kennwerte übereinstimmen. Zugelassen sind wegen des gröberen Tetraedernetzes Abweichungen von einem Prozent im gesunden Fall, drei Prozent beim Grad 0,3 und fünf Prozent beim Grad 0,6. Eine größere Abweichung ist ein Hinweis auf ein zu grobes Netz und nicht auf einen physikalischen Effekt. {| class="wikitable" |+ Volumenmodell und achsensymmetrisches Modell im Vergleich ! Stenosegrad !! Größe !! achsensymmetrisch !! Volumenmodell !! Abweichung |- | 0 || Druckabfall || FIXME || FIXME || FIXME |- | 0 || Höchstgeschwindigkeit || FIXME || FIXME || FIXME |- | 0,3 || Druckabfall || FIXME || FIXME || FIXME |- | 0,3 || Höchstgeschwindigkeit || FIXME || FIXME || FIXME |- | 0,6 || Druckabfall || FIXME || FIXME || FIXME |- | 0,6 || Höchstgeschwindigkeit || FIXME || FIXME || FIXME |} = Schlussfolgerungen = <!-- FIXME Die Schlussfolgerungen stuetzen sich bisher auf das Graphenmodell, die analytischen Abschaetzungen und die Literatur. Nach dem Vorliegen der COMSOL-Ergebnisse werden die markierten Stellen ergaenzt. --> == Beantwortung der Fragestellung == Die erste Teilfrage, welche Größen empfindlich und welche träge auf den Stenosegrad reagieren, lässt sich bereits aus dem Graphenmodell klar beantworten. Die örtlichen Größen in der Engstelle reagieren stark, und zwar umso stärker, je höher die Potenz ist, mit der sie vom Radius abhängen. Die Wandschubspannung wächst mit der dritten Potenz von <math>1/(1-s)</math> und ist damit die empfindlichste Größe. Der Druckabfall über das ganze Gefäßstück reagiert dagegen träge, weil die Störstelle nur einen kleinen Teil der Länge einnimmt. Bei einer leichtgradigen Stenose von 30 % steigt er um zehn Prozent, während sich die Wandschubspannung fast verdreifacht. Die CFD-Rechnungen verschieben diese Aussage nur in eine Richtung. Der Druckabfall wird durch die Trägheitsverluste größer als im Graphenmodell, bleibt aber für leichtgradige Stenosen klein gegenüber dem arteriellen Mitteldruck. <!-- FIXME mit den CFD-Werten bestaetigen --> Die zweite Teilfrage, ab welchem Grad die Strömung ablöst, kann erst die CFD-Rechnung beantworten, weil das Graphenmodell keine Ablösung kennt. <!-- FIXME Antwort aus der Tabelle zum Rueckstroemgebiet eintragen --> Die dritte Teilfrage nach der Reichweite der Annahmen wird im folgenden Abschnitt beantwortet. Kurz gefasst tragen die Annahmen für das gesunde Gefäß und für leicht- bis mittelgradige Stenosen bis 0,5 ohne Einschränkung. Beim Grad 0,6 sind sie noch vertretbar, für die hochgradigen Stenosen ab 0,7 sind die Ergebnisse dagegen als Grenzfall eines geordneten, stationären Strömungszustands zu lesen. == Bewertung der Modellannahmen == Die Modellannahmen lassen sich jetzt an den berechneten Größen prüfen. Die Tabelle fasst zusammen, in welchem Bereich der Stenosegrade jede Annahme trägt. {| class="wikitable" |+ Reichweite der Modellannahmen ! Annahme !! Prüfgröße !! 0 bis 0,5 !! 0,6 !! 0,7 und 0,8 |- | laminare Strömung || Reynoldszahl in der Engstelle 386 bis 1928 und Literatur || trägt || noch vertretbar || fraglich, Strahl vermutlich instabil |- | stationäre Strömung || Womersley-Zahl 4,1, systolischer Spitzenwert rund das Vierfache des Mittels || trägt für den zeitlichen Mittelwert || trägt für den zeitlichen Mittelwert || fraglich, in der Systole sicher instabil |- | Newtonsche Näherung || Scherrate an der Wand 283 bis über 35 000 pro Sekunde || trägt außer im Rückströmgebiet || trägt außer im Rückströmgebiet || trägt außer im Rückströmgebiet |- | eingeprägter Volumenstrom || Abschätzung mit Reihenwiderstand || trägt, Änderung unter 3 % || Änderung etwa 8 % || trägt nicht, Volumenstrom sinkt um 20 bis 50 % |- | starre Wand || Durchmesseränderung im Herzzyklus 5 bis 14 % || konsistent mit stationärer Rechnung || konsistent || konsistent |} Die laminare Annahme stützt sich auf die Literatur. Für die Geometrie mit dem Stenosegrad 0,5 bleibt die Strömung bei einer Einström-Reynoldszahl von 500 laminar, bei 1000 genügt dagegen eine geringe Unsymmetrie, um den Strahl umschlagen zu lassen.<ref name="varghese" /> Mit 386 liegt das Projekt für diesen Grad sicher im laminaren Bereich. Bei den stärkeren Verengungen ist der Strahl schneller und schmaler, sodass eine Instabilität schon bei kleineren Einström-Reynoldszahlen zu erwarten ist. In einer achsensymmetrischen Rechnung kann eine solche Instabilität grundsätzlich nicht auftreten, weil das Modell keine Abweichung von der Rotationssymmetrie zulässt. Die achsensymmetrische Lösung bleibt deshalb auch dort ordentlich, wo die Wirklichkeit bereits unruhig wäre. Die Newtonsche Näherung ist im größten Teil des Gebiets gut erfüllt, weil die Scherraten hoch sind. Ihre Schwachstelle ist das Rückströmgebiet. Dort sind die Scherraten klein, reales Blut ist dort zäher als angenommen, und das berechnete Rückströmgebiet dürfte deshalb etwas zu groß und zu lebhaft ausfallen. Für den Vergleich der Stenosegrade untereinander bleibt das Modell dennoch aussagekräftig, weil sich dieser Fehler in allen Fällen gleichsinnig auswirkt. Die stationäre Annahme ist die stärkste Vereinfachung. Sie beschreibt den zeitlichen Mittelwert und nicht den Verlauf im Herzzyklus. Da der Volumenstrom in der Systole kurzzeitig rund das Vierfache des Mittelwerts erreicht, steigt die Reynoldszahl des gesunden Gefäßes dann auf etwa 1500 und in der Engstelle beim Grad 0,5 auf etwa 3000. Die Spitzenwerte von Geschwindigkeit und Wandschubspannung sind im realen Herzzyklus deshalb deutlich höher als in der stationären Rechnung. == Vergleich der Modellstufen == Das Graphenmodell hat sich als außerordentlich nützlich erwiesen. Es rechnet in Sekunden, ist analytisch nachprüfbar und liefert für Geschwindigkeit, Wandschubspannung und Reynoldszahl in der Engstelle bereits gute Werte. Seine Grenze ist der Druckabfall, weil es die Trägheitsverluste hinter der Engstelle nicht kennt. Das achsensymmetrische Flächenmodell schließt genau diese Lücke und bildet die Ablösung und das Rückströmgebiet ab. Der ebene Kanal zeigt durch den Vergleich, dass die zweite Querschnittsrichtung nicht vernachlässigt werden darf, weil er die Wirkung einer Verengung systematisch unterschätzt. Das Volumenmodell bestätigt das achsensymmetrische Modell und liefert die räumliche Anschauung. <!-- FIXME mit den Abweichungen aus den Vergleichstabellen belegen --> == Gesamtbewertung == Das Projekt beantwortet die Fragestellung für den Bereich, in dem seine Annahmen tragen, also für das gesunde Gefäß sowie für leicht- und mittelgradige Stenosen. Die wichtigste Erkenntnis ist das Auseinanderlaufen der Größenordnungen. Eine Stenose verändert die Belastung der Gefäßwand lange bevor sie die Durchblutung merklich einschränkt. Für hochgradige Stenosen zeigt das Projekt zugleich seine eigenen Grenzen auf. Dort sinkt der Volumenstrom, der Strahl wird instabil, und eine stationäre, laminare Rechnung mit festem Volumenstrom beschreibt nur noch einen idealisierten Grenzfall. Dass sich diese Grenze aus den Modellgrößen selbst ergibt, aus der Reynoldszahl, der Reihenwiderstandsabschätzung und dem Literaturvergleich, ist ein Ergebnis der methodischen Vorgehensweise. = Optimierung des Projekts = Die Optimierungsvorschläge gliedern sich in zwei Gruppen. Die erste Gruppe verbessert das bestehende Modell, ohne die Fragestellung zu ändern. Die zweite Gruppe erweitert die Untersuchung um Effekte, die durch die Modellannahmen bewusst ausgeschlossen wurden. == Optimierung der Modellierung und Auswertung == Die Netzauflösung in der Engstelle sollte grundsätzlich an den Stenosegrad gekoppelt werden. Mit einer festen Elementgröße wird die Engstelle bei hohen Stenosegraden immer schlechter aufgelöst, weil ihr Radius mit <math>1-s</math> schrumpft. Eine Elementgröße von <code>hmax_f*(1-s)</code> in der Störstelle hält die Zahl der Elemente über dem engsten Radius konstant. Ebenso sollte die Netzstudie nicht nur an einem Grad, sondern automatisiert über einen zweiten parametrischen Sweep über die Netzfeinheit für alle NASCET-Vertreter laufen. Die Nachlaufstrecke könnte ebenfalls an den Stenosegrad gekoppelt werden, etwa über einen Ausdruck, der für hochgradige Stenosen einen längeren Nachlauf vorsieht. So ließe sich ausschließen, dass das Rückströmgebiet den Auslass erreicht, ohne die leichten Fälle unnötig teuer zu machen. Das Graphenmodell lässt sich mit geringem Aufwand verbessern, indem zum Reibungsanteil ein Trägheitsverlust nach Borda-Carnot hinzugefügt wird, <math>\Delta p \approx Q_0 \int_{-L_u}^{L_d} \frac{8\mu}{\pi R(z)^4}\,\mathrm{d}z + K_t\,\frac{\rho}{2}\left(\frac{A_0}{A_1} - 1\right)^2 U_0^2 ,</math> wobei <math>A_0</math> die Fläche des gesunden Querschnitts, <math>A_1</math> die Fläche der Engstelle und <math>K_t</math> ein Verlustbeiwert der Größenordnung eins ist.<ref name="youngtsai">Young, D. F.; Tsai, F. Y.: ''Flow characteristics in models of arterial stenoses. I. Steady flow.'' Journal of Biomechanics 6 (1973), S. 395-410, sowie ''II. Unsteady flow.'' Journal of Biomechanics 6 (1973), S. 547-559. <!-- FIXME Wert K_t = 1,52 aus Teil I am Original pruefen --></ref> Die Herleitung steht im Abschnitt Mathematische Hintergründe. Mit den CFD-Ergebnissen lässt sich der Beiwert <math>K_t</math> für die kosinusförmige Stenose sogar bestimmen, indem der berechnete Zusatzverlust gegen <math>\tfrac{\rho}{2}(A_0/A_1 - 1)^2 U_0^2</math> aufgetragen wird. Das erweiterte Graphenmodell wäre dann ein in Sekunden rechnendes Ersatzmodell, das an der vollständigen Strömungsrechnung kalibriert ist. Die Auslassbedingung kann physiologischer gestaltet werden. Statt eines Drucks von null am Auslass und eines festen Volumenstroms am Einlass wird am Einlass der mittlere arterielle Druck vorgegeben und am Auslass ein Widerstand angesetzt, der das nachgeschaltete Gefäßbett vertritt. In COMSOL genügt dafür am Auslass der Druckausdruck <code>Rp*Q_aus</code> mit dem Widerstand <code>Rp</code> von etwa <math>2 \cdot 10^9\ \mathrm{Pa\,s/m^3}</math>. Der Volumenstrom stellt sich dann von selbst ein, und der Übergang zwischen den Szenarien A und B, der in der Abschätzung zu den Randbedingungen nur überschlagen wurde, würde von der Rechnung selbst geliefert. Schließlich sollte eine Empfindlichkeitsuntersuchung der Eingangsgrößen ergänzt werden. Variiert man den Volumenstrom um seine gemessene Standardabweichung von 1,4 ml/s, liegt die Reynoldszahl des gesunden Gefäßes zwischen 296 und 476. Setzt man statt 6 mm den mittleren Durchmesser von Männern mit 6,52 mm an, sinkt sie bei gleichem Volumenstrom auf 355. Die qualitativen Aussagen des Projekts ändern sich in diesem Bereich nicht, die Zahlenwerte aber schon, und das sollte bei ihrer Interpretation bewusst sein. == Erweiterung der Untersuchung == Die naheliegendste Erweiterung ist eine pulsierende Strömung. Dazu wird die stationäre durch eine zeitabhängige Studie ersetzt und am Einlass der gemessene Verlauf des Volumenstroms über einen Herzzyklus vorgegeben.<ref name="holdsworth" /> Bei einer Womersley-Zahl von etwa 4 weicht das Einlassprofil dabei merklich von der Parabel ab und müsste als Womersley-Profil vorgegeben werden.<ref name="womersley" /> Erst eine solche Rechnung liefert die zeitlich schwankende Wandschubspannung, deren Vorzeichenwechsel im Herzzyklus als besonders ungünstig für die Gefäßwand gilt. Eine zweite Erweiterung ist ein nicht Newtonsches Blutmodell. Gebräuchlich ist das Carreau-Modell, das zwischen einer Viskosität bei verschwindender Scherung und einer Viskosität bei hoher Scherung stetig vermittelt, <math>\mu(\dot\gamma) = \mu_\infty + (\mu_0 - \mu_\infty)\left[1 + (\lambda\dot\gamma)^2\right]^{\frac{n-1}{2}} ,</math> mit den für Blut häufig verwendeten Werten <math>\mu_0 = 0{,}056\ \mathrm{Pa\,s}</math>, <math>\mu_\infty = 0{,}00345\ \mathrm{Pa\,s}</math>, <math>\lambda = 3{,}313\ \mathrm{s}</math> und <math>n = 0{,}3568</math>.<ref name="chokensey">Cho, Y. I.; Kensey, K. R.: ''Effects of the non-Newtonian viscosity of blood on flows in a diseased arterial vessel. Part 1. Steady flows.'' Biorheology 28 (1991), S. 241-262. <!-- FIXME Parameterwerte am Original pruefen --></ref> In COMSOL kann die Viskosität dazu als Ausdruck der Scherrate <code>spf.sr</code> eingegeben werden. Der Vergleich mit der Newtonschen Rechnung würde zeigen, wie stark die Newtonsche Näherung das Rückströmgebiet verfälscht. Eine dritte Erweiterung ist eine elastische Gefäßwand, die über eine Kopplung von Strömung und Festkörpermechanik abgebildet wird. Sie ist nur zusammen mit der pulsierenden Strömung sinnvoll, weil die Wand sich erst durch die Druckschwankung bewegt. Eine vierte Erweiterung betrifft die Form der Plaque. Reale Plaques sind unsymmetrisch und unregelmäßig. Bereits eine Exzentrizität von fünf Prozent des Durchmessers kann den Strahl hinter der Engstelle bei höheren Reynoldszahlen umschlagen lassen.<ref name="varghese" /> Eine exzentrische Stenose lässt sich nur im Volumenmodell rechnen, und erst hier würde das Volumenmodell neue Physik liefern statt das achsensymmetrische Modell zu bestätigen. Für die hochgradigen Stenosen müsste die Rechnung dann zeitabhängig und auf einem sehr feinen Netz erfolgen, um den Umschlag zu turbulenter Strömung aufzulösen. Eine fünfte Erweiterung ist eine realistische Geometrie, also die Gabelung der Halsschlagader in den inneren und den äußeren Ast. Dort liegen die meisten Karotisstenosen, und dort entstehen auch ohne Stenose Rückströmgebiete mit niedriger Wandschubspannung.<ref name="quarteroni" /> Mit einer solchen Geometrie ließe sich auch die NASCET-Klassifikation an ihrem eigentlichen Ort, der ''Arteria carotis interna'', anwenden. = Mathematische Hintergründe = Dieser Abschnitt stellt die mathematischen Grundlagen zusammen, auf die sich die vorigen Abschnitte stützen. Die Herleitungen folgen dem Aufbau der Vorlesung und werden hier so weit ausgeführt, dass jeder Zahlenwert dieser Seite aus ihnen nachgerechnet werden kann.<ref name="hundertmark" /><ref name="chorin">Chorin, A. J.; Marsden, J. E.: ''A Mathematical Introduction to Fluid Mechanics.'' 3. Auflage, Springer, New York 1993 (Texts in Applied Mathematics 4).</ref> == Erhaltungsgleichungen und Navier-Stokes-Gleichungen == Ausgangspunkt ist die Erhaltung von Masse und Impuls für ein beliebiges, mit dem Fluid bewegtes Volumen <math>V(t)</math>. Für die Masse gilt <math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int_{V(t)} \rho\,\mathrm{d}x = 0 .</math> Mit dem Reynoldsschen Transportsatz und dem Lemma vom Integralmittelwert folgt daraus die Kontinuitätsgleichung <math>\partial_t \rho + \nabla\cdot(\rho\mathbf{u}) = 0</math>. Für ein Fluid mit konstanter Dichte reduziert sie sich auf <math>\nabla\cdot\mathbf{u} = 0 .</math> Die Impulsbilanz verlangt, dass die zeitliche Änderung des Impulses gleich der Summe der Oberflächen- und Volumenkräfte ist. In differentieller Form lautet sie <math>\rho\left(\partial_t \mathbf{u} + (\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u}\right) = \nabla\cdot\boldsymbol{\sigma} + \rho\,\mathbf{f} ,</math> wobei <math>\boldsymbol{\sigma}</math> der Cauchysche Spannungstensor ist. Für ein Newtonsches Fluid hängt er linear vom symmetrischen Anteil des Geschwindigkeitsgradienten ab, <math>\boldsymbol{\sigma} = -p\,\mathbf{I} + 2\mu\,\mathbf{D}(\mathbf{u}), \qquad \mathbf{D}(\mathbf{u}) = \tfrac{1}{2}\left(\nabla\mathbf{u} + \nabla\mathbf{u}^{\mathsf T}\right) .</math> Bei konstanter Viskosität und wegen <math>\nabla\cdot\mathbf{u} = 0</math> gilt <math>\nabla\cdot(2\mu\mathbf{D}(\mathbf{u})) = \mu\,\Delta\mathbf{u}</math>. Im stationären Fall und ohne Volumenkraft ergeben sich damit die Gleichungen, die in allen Flächen- und Volumenmodellen gelöst werden, <math>\rho\,(\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u} = -\nabla p + \mu\,\Delta\mathbf{u}, \qquad \nabla\cdot\mathbf{u} = 0 .</math> Dass die Schwerkraft weggelassen werden darf, folgt aus derselben Gleichung. Die Gewichtskraft je Volumen <math>\rho\,\mathbf{g}</math> ist bei konstanter Dichte ein Gradientenfeld, <math>\rho\,\mathbf{g} = \nabla(\rho\,\mathbf{g}\cdot\mathbf{x})</math>. Sie lässt sich deshalb mit dem Druckgradienten zu <math>-\nabla p^*</math> mit <math>p^* = p - \rho\,\mathbf{g}\cdot\mathbf{x}</math> zusammenfassen. Die Geschwindigkeit bleibt unverändert, nur der Druck erhält einen hydrostatischen Anteil. Da das Gefäß vollständig gefüllt ist und keine freie Oberfläche besitzt, gilt das unabhängig von der Lage des Gefäßes im Raum. == Achsensymmetrische Form == Im achsensymmetrischen Modell werden Zylinderkoordinaten <math>(r, \varphi, z)</math> verwendet. Die Geschwindigkeit hat die Radialkomponente <math>u_r</math> und die Axialkomponente <math>w</math>, die Umfangskomponente verschwindet, und keine Größe hängt vom Winkel <math>\varphi</math> ab. Die stationären Navier-Stokes-Gleichungen lauten dann <math>\frac{1}{r}\frac{\partial (r u_r)}{\partial r} + \frac{\partial w}{\partial z} = 0 ,</math> <math>\rho\left(u_r \frac{\partial u_r}{\partial r} + w\frac{\partial u_r}{\partial z}\right) = -\frac{\partial p}{\partial r} + \mu\left(\frac{\partial^2 u_r}{\partial r^2} + \frac{1}{r}\frac{\partial u_r}{\partial r} - \frac{u_r}{r^2} + \frac{\partial^2 u_r}{\partial z^2}\right) ,</math> <math>\rho\left(u_r \frac{\partial w}{\partial r} + w\frac{\partial w}{\partial z}\right) = -\frac{\partial p}{\partial z} + \mu\left(\frac{\partial^2 w}{\partial r^2} + \frac{1}{r}\frac{\partial w}{\partial r} + \frac{\partial^2 w}{\partial z^2}\right) .</math> Auf der Achse <math>r = 0</math> gelten die Symmetriebedingungen <math>u_r = 0</math> und <math>\partial w/\partial r = 0</math>. Die Terme mit <math>1/r</math> sind der Grund, warum sich das achsensymmetrische Modell vom ebenen Modell unterscheidet, obwohl beide in einer Fläche gerechnet werden. Auch der Volumenstrom durch einen Querschnitt enthält den Faktor <math>2\pi r</math>, <math>Q = \int_0^{R} w(r)\, 2\pi r\,\mathrm{d}r ,</math> und genau diesen Faktor ergänzt in COMSOL der Haken für die Integration in rotierter Geometrie. == Herleitung der Poiseuille-Lösung == Die Poiseuille-Lösung beschreibt die voll entwickelte Strömung im geraden Rohr mit Radius <math>R</math>. Sie lässt sich in sechs Schritten aus den achsensymmetrischen Gleichungen gewinnen. # Es wird angenommen, dass die Strömung parallel zur Achse verläuft und sich längs der Achse nicht ändert, also <math>u_r = 0</math> und <math>w = w(r)</math>. Die Kontinuitätsgleichung ist damit erfüllt, und der konvektive Term verschwindet vollständig, weil <math>u_r = 0</math> und <math>\partial w/\partial z = 0</math> gilt. # Die radiale Impulsgleichung reduziert sich auf <math>\partial p/\partial r = 0</math>. Der Druck hängt also nur von <math>z</math> ab. # Die axiale Impulsgleichung reduziert sich auf <math>\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}z} = \frac{\mu}{r}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}\left(r\frac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}r}\right)</math>. Die linke Seite hängt nur von <math>z</math>, die rechte nur von <math>r</math> ab. Beide Seiten müssen deshalb gleich derselben Konstanten sein. Sie wird als <math>-G</math> geschrieben, wobei <math>G = \Delta p/L > 0</math> der Druckabfall je Längeneinheit ist. # Einmalige Integration von <math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}\left(r\frac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}r}\right) = -\frac{G}{\mu}r</math> ergibt <math>\frac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}r} = -\frac{G}{2\mu}r + \frac{C_1}{r}</math>. Damit die Geschwindigkeit auf der Achse endlich bleibt und dort keine Spitze hat, muss <math>C_1 = 0</math> sein. # Zweite Integration ergibt <math>w(r) = -\frac{G}{4\mu}r^2 + C_2</math>. Die Haftbedingung <math>w(R) = 0</math> liefert <math>C_2 = \frac{G R^2}{4\mu}</math> und damit das parabolische Profil <math>w(r) = \frac{G}{4\mu}\left(R^2 - r^2\right)</math>. # Integration über den Querschnitt ergibt den Volumenstrom <math>Q = \int_0^R \frac{G}{4\mu}(R^2 - r^2)\,2\pi r\,\mathrm{d}r = \frac{\pi R^4}{8\mu}\,G</math>. Das ist das Hagen-Poiseuille-Gesetz. Aus diesen Ergebnissen folgen alle Referenzwerte. Die mittlere Geschwindigkeit ist <math>\bar u = Q/(\pi R^2) = G R^2/(8\mu)</math>, die Scheitelgeschwindigkeit auf der Achse <math>w(0) = G R^2/(4\mu) = 2\bar u</math>. Die Wandschubspannung ist <math>\tau_w = \mu\left|\mathrm{d}w/\mathrm{d}r\right|_{r=R} = G R/2 = 4\mu\bar u/R</math>, und der Druckabfall über die Länge <math>L</math> beträgt <math>\Delta p = 8\mu\bar u L/R^2</math>. Mit den Projektwerten ergibt sich <math>\Delta p = \frac{8 \cdot 0{,}0035\ \mathrm{Pa\,s} \cdot 0{,}2122\ \mathrm{m/s} \cdot 0{,}150\ \mathrm{m}}{(0{,}003\ \mathrm{m})^2} = 99{,}03\ \mathrm{Pa}, \qquad \tau_w = \frac{4 \cdot 0{,}0035 \cdot 0{,}2122}{0{,}003}\ \mathrm{Pa} = 0{,}990\ \mathrm{Pa} .</math> Die vierte Potenz des Radius im Hagen-Poiseuille-Gesetz ist der physikalische Kern des gesamten Projekts. Eine Halbierung des Radius erhöht den Widerstand eines Rohrstücks um den Faktor sechzehn. In der Vorlesung wurde dieselbe Lösung über eine Kräftebilanz an einer zylindrischen Fluidschicht hergeleitet, bevor die Navier-Stokes-Gleichungen zur Verfügung standen.<ref name="hundertmark" /> == Ebene Kanalströmung == Für den ebenen Kanal mit der halben Höhe <math>h</math> verläuft die Herleitung genauso, nur ohne die Faktoren <math>r</math>. Aus <math>\mu\,\mathrm{d}^2 w/\mathrm{d}y^2 = -G</math>, der Symmetrie <math>\mathrm{d}w/\mathrm{d}y = 0</math> bei <math>y = 0</math> und der Haftbedingung <math>w(h) = 0</math> folgt <math>w(y) = \frac{G}{2\mu}\left(h^2 - y^2\right), \qquad \bar u = \frac{G h^2}{3\mu}, \qquad w_{\max} = \tfrac{3}{2}\,\bar u, \qquad \tau_w = G h = \frac{3\mu\bar u}{h}, \qquad \Delta p = \frac{3\mu\bar u L}{h^2} .</math> Mit <math>h = R_0</math> und <math>\bar u = U_0</math> ergeben sich die Kanalwerte 0,3183 m/s, 0,743 Pa und 37,14 Pa aus dem Abschnitt Modellierung. == Graphenmodell und Laplace-Matrix == Im Graphenmodell sind die Knoten <math>i = 0, \dots, N</math> Querschnitte bei <math>z_i</math> und die Kanten Rohrstücke mit dem Leitwert <math>G_k = \pi r_k^4/(8\mu\,\Delta z_k)</math>, dem Kehrwert des Hagen-Poiseuille-Widerstands. Der Volumenstrom durch eine Kante ist nach Hagen-Poiseuille <math>G_k(p_i - p_{i+1})</math>. Die Massenerhaltung in einem Knoten verlangt, dass die Summe der abfließenden Volumenströme gleich der von außen eingespeisten Menge <math>q_i</math> ist, <math>\sum_{j \sim i} G_{ij}\,(p_i - p_j) = q_i .</math> In Matrixform lautet das <math>\mathbf{L}\,\mathbf{p} = \mathbf{q}</math> mit der gewichteten Laplace-Matrix <math>\mathbf{L}</math>, deren Diagonale die Summe der Leitwerte eines Knotens und deren Nebendiagonalen die negativen Leitwerte der Kanten enthalten. Die Matrix ist symmetrisch, ihre Zeilensummen sind null, und sie ist erst nach Vorgabe eines Drucks regulär. Physikalisch bedeutet das, dass der Druck nur bis auf eine Konstante bestimmt ist, solange kein Bezugsdruck festgelegt wird. Genau deshalb wird am Auslass der Druck null gesetzt. Für einen kettenförmigen Graphen, wie ihn das gerade Gefäß bildet, ist die Matrix tridiagonal, und das System lässt sich sogar geschlossen lösen. Da kein Knoten Blut verliert, fließt durch jede Kante derselbe Volumenstrom <math>Q_0</math>, und es gilt <math>p_i - p_{i+1} = Q_0/G_i</math>. Aufsummieren ergibt <math>\Delta p = Q_0\sum_k 1/G_k</math>, und im Grenzfall feiner Unterteilung entsteht die Integralformel aus dem Abschnitt Modellierung. Dieselbe Matrix entsteht, wenn man die Gleichung <math>\left(c(z)\,p'(z)\right)' = 0</math> mit dem Koeffizienten <math>c = \pi R^4/(8\mu)</math> mit Differenzenquotienten diskretisiert. Das Graphenmodell ist deshalb zugleich ein Widerstandsnetzwerk und die Finite-Differenzen-Diskretisierung einer eindimensionalen Poissongleichung mit veränderlichem Koeffizienten, wie sie in der Vorlesung behandelt wurde.<ref name="hundertmark" /> == Skalierungsgesetze in der Engstelle == Setzt man den engsten Radius <math>R_{\min} = R_0(1-s)</math> in die Poiseuille-Formeln ein und hält den Volumenstrom fest, ergeben sich die Skalierungsgesetze, die die Ergebnistabellen erklären. {| class="wikitable" |+ Skalierung der Kenngrößen in der Engstelle bei festem Volumenstrom ! Größe !! Rohr !! ebener Kanal |- | mittlere Geschwindigkeit || <math>U_0/(1-s)^2</math> || <math>U_0/(1-s)</math> |- | Wandschubspannung || <math>\tau_0/(1-s)^3</math> || <math>\tau_0/(1-s)^2</math> |- | Reynoldszahl || <math>Re_0/(1-s)</math> || <math>Re_0</math>, unverändert |- | Widerstand je Länge || <math>\propto 1/(1-s)^4</math> || <math>\propto 1/(1-s)^3</math> |} Die Reynoldszahl des Rohres wächst nur linear, obwohl die Geschwindigkeit quadratisch wächst, weil gleichzeitig der Durchmesser mit <math>1-s</math> schrumpft. Im ebenen Kanal heben sich beide Effekte sogar vollständig auf. == Trägheitsverlust hinter der Engstelle == Das Graphenmodell erfasst nur die Reibung. Hinter der Engstelle tritt zusätzlich ein Verlust auf, weil der Strahl seine kinetische Energie nicht zurück in Druck verwandeln kann, sondern sie im Rückströmgebiet durch Verwirbelung verliert. Dieser Verlust lässt sich mit einer Impulsbilanz abschätzen, die als Borda-Carnot-Verlust bekannt ist. # Betrachtet wird ein Kontrollvolumen vom Ende der Engstelle, wo der Strahl mit der Geschwindigkeit <math>u_1</math> und dem Druck <math>p_1</math> austritt, bis zu einem Querschnitt weiter stromab, wo die Strömung wieder die ganze Fläche <math>A_0</math> mit der Geschwindigkeit <math>u_0</math> ausfüllt und den Druck <math>p_2</math> hat. # Im Austrittsquerschnitt wirkt der Druck <math>p_1</math> nicht nur auf den Strahl, sondern auch auf das ruhende Fluid daneben, also auf die ganze Fläche <math>A_0</math>. Wandreibung wird auf der kurzen Strecke vernachlässigt. # Die Impulsbilanz lautet dann <math>(p_1 - p_2)A_0 = \rho Q (u_0 - u_1)</math>, und mit <math>Q = u_0 A_0</math> folgt <math>p_2 - p_1 = \rho\,u_0(u_1 - u_0)</math>. # Eine verlustfreie Strömung nach Bernoulli würde dagegen den Druckrückgewinn <math>\tfrac{\rho}{2}(u_1^2 - u_0^2)</math> liefern. Die Differenz ist der Verlust <math>\Delta p_t = \tfrac{\rho}{2}(u_1 - u_0)^2</math>. # Mit <math>u_1 = U_0\,A_0/A_1</math> und <math>u_0 = U_0</math> ergibt sich <math>\Delta p_t = \tfrac{\rho}{2}\,U_0^2\left(\tfrac{A_0}{A_1} - 1\right)^2</math>, wobei <math>A_0/A_1 = 1/(1-s)^2</math> ist. Messungen an Stenosemodellen bestätigen diese Form und liefern einen Vorfaktor <math>K_t</math> der Größenordnung eins, in stationären Versuchen etwa 1,5.<ref name="youngtsai" /> Für den Stenosegrad 0,5 ist <math>A_0/A_1 = 4</math>, und der Trägheitsverlust beträgt <math>\tfrac{1060}{2}\cdot 0{,}2122^2 \cdot 3^2\ \mathrm{Pa} \approx 215\ \mathrm{Pa}</math> für <math>K_t = 1</math>. Er ist damit größer als der gesamte Reibungsverlust des Gefäßstücks von 135 Pa. Für die Abschätzung des Volumenstroms im Abschnitt Randbedingungen wird der betrachtete Abschnitt mit einem nachgeschalteten Widerstand <math>R_p</math> in Reihe geschaltet und der treibende Druck <math>p_{\mathrm{an}} = 90\ \mathrm{mmHg} \approx 12\,000\ \mathrm{Pa}</math> festgehalten. Der Widerstand wird so gewählt, dass im gesunden Fall genau <math>Q_0</math> fließt, also <math>R_p = p_{\mathrm{an}}/Q_0 - \Delta p_{\mathrm{ref}}/Q_0 \approx 1{,}98 \cdot 10^9\ \mathrm{Pa\,s/m^3}</math>. Für jeden Stenosegrad ergibt sich der Volumenstrom dann als positive Lösung der quadratischen Gleichung <math>p_{\mathrm{an}} = \left(R_p + R_v(s)\right)Q + K_t\,\frac{\rho}{2}\left(\frac{A_0}{A_1} - 1\right)^2 \frac{Q^2}{A_0^2} ,</math> wobei <math>R_v(s)</math> der Reibungswiderstand des Graphenmodells ist. Die Tabelle im Abschnitt Randbedingungen ist mit <math>K_t = 1{,}52</math> gerechnet. == Entdimensionierung, Reynoldszahl und Womersley-Zahl == Führt man dimensionslose Größen ein, indem man Längen auf <math>D_0</math>, Geschwindigkeiten auf <math>U_0</math> und den Druck auf <math>\rho U_0^2</math> bezieht, so lauten die stationären Navier-Stokes-Gleichungen <math>(\mathbf{u}^*\cdot\nabla^*)\mathbf{u}^* = -\nabla^* p^* + \frac{1}{Re}\,\Delta^*\mathbf{u}^*, \qquad Re = \frac{\rho U_0 D_0}{\mu} .</math> Die Lösung hängt also nur noch von der Reynoldszahl und von der dimensionslosen Geometrie ab. Zwei Strömungen mit derselben Reynoldszahl in geometrisch ähnlichen Gefäßen sind einander ähnlich. Genau das erlaubt den Vergleich mit der Literatur, obwohl dort andere Abmessungen und Fluide verwendet wurden.<ref name="varghese" /> Bei einer zeitabhängigen Strömung mit der Kreisfrequenz <math>\omega</math> tritt der Term <math>\partial_t \mathbf{u}</math> hinzu. Bezieht man die Zeit auf <math>1/\omega</math>, erhält er gegenüber dem Reibungsterm den Vorfaktor <math>\alpha^2 = \omega R_0^2 \rho/\mu</math>. Die Womersley-Zahl <math>\alpha</math> misst damit, ob die Reibung schnell genug ist, um das Profil im Takt der Pulsation zur Parabel auszugleichen. Für <math>\alpha \ll 1</math> ist das der Fall, und die Strömung verhält sich in jedem Augenblick wie eine stationäre Poiseuille-Strömung. Für das Modellgefäß gilt <math>\alpha \approx 4{,}1</math>, das Profil wird also merklich flacher und folgt der Pulsation mit Verzögerung.<ref name="womersley" /><ref name="quarteroni" /> == Numerische Lösung in COMSOL == COMSOL löst die Navier-Stokes-Gleichungen mit der Methode der finiten Elemente. Dazu werden die Gleichungen mit Testfunktionen <math>\mathbf{v}</math> und <math>q</math> multipliziert und über das Gebiet <math>\Omega</math> integriert. Nach partieller Integration des Reibungs- und des Druckterms lautet die schwache Formulierung <math>\int_\Omega \rho\,(\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}\,\mathrm{d}x + \int_\Omega 2\mu\,\mathbf{D}(\mathbf{u}):\mathbf{D}(\mathbf{v})\,\mathrm{d}x - \int_\Omega p\,\nabla\cdot\mathbf{v}\,\mathrm{d}x = 0, \qquad \int_\Omega q\,\nabla\cdot\mathbf{u}\,\mathrm{d}x = 0</math> für alle zulässigen Testfunktionen. Der Druck tritt darin als Lagrange-Multiplikator der Inkompressibilitätsbedingung auf.<ref name="quarteroni" /> Im achsensymmetrischen Modell enthalten alle Integrale zusätzlich den Faktor <math>2\pi r</math>. In der Voreinstellung verwendet die Schnittstelle Laminare Strömung lineare Ansatzfunktionen gleicher Ordnung für Geschwindigkeit und Druck.<ref name="comsol" /> Eine solche Kombination erfüllt die Stabilitätsbedingung für Sattelpunktprobleme nicht und würde ohne Gegenmaßnahme zu unphysikalischen Druckschwingungen führen. Das ist dieselbe Schachbrettinstabilität, die in der Vorlesung beim Finite-Differenzen-Verfahren auf einem gewöhnlichen Gitter aufgetreten ist und dort durch Druckdiffusion oder ein versetztes Gitter behoben wurde.<ref name="hundertmark" /> COMSOL fügt stattdessen konsistente Stabilisierungsterme hinzu, die bei der exakten Lösung verschwinden und deshalb die Genauigkeit nicht verfälschen. Das entstehende Gleichungssystem ist wegen des konvektiven Terms nichtlinear. COMSOL löst es mit einem gedämpften Newton-Verfahren, das in jedem Schritt ein lineares Gleichungssystem löst. Das Newton-Verfahren konvergiert nur aus einem Startwert in der Nähe der Lösung zuverlässig. Deshalb wird im parametrischen Sweep jeder Stenosegrad aus der Lösung des vorigen Grades gestartet. Dieses Vorgehen heißt Fortsetzung im Parameter und ist der Grund für die aufsteigende Reihenfolge der Stenosegrade. = Literaturverzeichnis = Alle Quellen sind an den Stellen im Text angegeben, an denen die zugehörigen Werte oder Aussagen verwendet werden. Die Liste wird aus diesen Angaben automatisch erzeugt. <references /> <!-- FIXME vor der Abgabe alle mit FIXME markierten Quellenangaben am Original pruefen, insbesondere Holdsworth 1999, Varghese 2007, Young und Tsai 1973, Cho und Kensey 1991 und Bernabeu 2013 --> s94tllvun5qxwsw9h2lr7suqwnxdxc3 0 172944 1115603 2026-10-09T06:26:04Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1115603 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Abseitsregel im Fifa-Regelwerk (Regel 11) Die meisten Leute, die Fußball gucken, erkennen intuitiv, was abseits ist. Es ist aber ziemlich aufwändig und kompliziert, eine präzise Definition dafür zu geben. Das Regelwerk muss aber hieb- und stichfest sein, und genau zwischen abseits und nichtabseits unterscheiden können. Es muss sprachlich exakt formuliert sein, da man sich ja letztlich darauf berufen will. Abseitsstellung Ein Spieler befindet sich in einer Abseitsstellung, wenn er sich mit irgendeinem Teil des Kopfs, Rumpfs oder der Füße in der gegnerischen Hälfte (ohne die Mittellinie) befindet und er mit irgendeinem Teil des Kopfs, des Rumpfs oder der Füße der gegnerischen Torlinie näher ist als der Ball und der vorletzte Gegenspieler. Die Hände und Arme aller Spieler, einschließlich der Torhüter, werden dabei nicht berücksichtigt. Ein Spieler befindet sich nicht in einer Abseitsstellung, wenn er sich auf derselben Höhe wie der vorletzte Gegenspieler oder die letzten beiden Gegenspieler befindet. Daran schließt sich erst an, was unter einem Abseitsvergehen zu verstehen ist. |Textart=Beispiel |Kategorie=Prinzipien der Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} bgljmjmbl8f076ea22mtkatafcll0ve 14 172945 1115604 2026-10-09T06:26:20Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1115604 wikitext text/x-wiki {{Beispiel-Kategorie unter}} 0a9odcwfk06m5yt8zebpp3mlusjo7tn 0 172946 1115605 2026-10-09T06:26:59Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1115605 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Strafgesetzbuch, Paragraph 211 (2) Mörder ist, wer aus Mordlust, zur Befriedigung des Geschlechtstriebs, aus Habgier oder sonst aus niedrigen Beweggründen, heimtückisch oder grausam oder mit gemeingefährlichen Mitteln oder um eine andere Straftat zu ermöglichen oder zu verdecken, einen Menschen tötet. |Textart=Beispiel |Kategorie=Prinzipien der Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} 2xgcfo84sq4atp9vk86c0m2qcs0cyf7 0 172947 1115606 2026-10-09T06:27:36Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1115606 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Reim Jeder Mensch weiß was ein Reim ist und kann ihn erkennen. Was ist aber eine genaue Definition? |Textart=Beispiel |Kategorie=Prinzipien der Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} 9u094q1jmnve4zj2ycftxf0f0m6cggp