Wikiversity dewikiversity https://de.wikiversity.org/wiki/Hauptseite MediaWiki 1.47.0-wmf.23 first-letter Medium Spezial Diskussion Benutzer Benutzer Diskussion Wikiversity Wikiversity Diskussion Datei Datei Diskussion MediaWiki MediaWiki Diskussion Vorlage Vorlage Diskussion Hilfe Hilfe Diskussion Kategorie Kategorie Diskussion Kurs Kurs Diskussion Projekt Projekt Diskussion TimedText TimedText talk Modul Modul Diskussion Veranstaltung Veranstaltung Diskussion 0 12847 1115676 804080 2026-10-10T08:43:04Z Bocardodarapti 2041 1115676 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{math|term= x|SZ=}} und {{math|term= y|SZ=}} ungerade. Zeige, dass {{mathl|term= x^2+y ^2|SZ=}} keine Quadratzahl ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der pythagoreischen Tripel |Kategorie2=Theorie der natürlichen Quadratzahlen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bhy28xejl66q862ndcpxvalepivy12g 0 18057 1115704 1034941 2026-10-10T11:21:51Z Bocardodarapti 2041 1115704 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K}} ein {{ Definitionslink |Körper| |Kontext=| |SZ= }} und sei {{ mathbed|term= F_j \in K[X_1 {{kommadots|}} X_n] ||bedterm1= j \in J ||bedterm2= |SZ=, }} eine Familie von {{ Definitionslink |Polynomen| |Kontext=n| |SZ= }} in {{math|term= n }} Variablen. Dann nennt man {{ Math/display|term= {{Mengebed| P \in {{op:Affiner Raum| n | K}} | F_j(P) {{=}} 0 \text { für alle } j \in J }} }} das durch die Familie definierte {{Definitionswort|Nullstellengebilde}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder {{Definitionswort|Nullstellenmenge}} | |ISZ=|ESZ=. }} Es wird mit {{mathl|term= V {{makl| F_j, j \in J |}} }} bezeichnet. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der affinen Varietäten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Nullstellengebilde |Definitionswort2=Nullstellenmenge |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mfh4yljehtw1wji21gfjbsezd39s8br 0 18058 1115705 1112248 2026-10-10T11:22:24Z Bocardodarapti 2041 1115705 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es sei {{math|term= K}} ein {{ Definitionslink |Körper| |SZ= }} und sei {{ mathbed|term= F_j \in K[X_1 {{kommadots|}} X_n] ||bedterm1= j \in J ||bedterm2= |SZ=, }} eine Familie von Polynomen in {{math|term= n }} Variablen. Es sei {{math|term= {{ideala}} |SZ=}} das von den {{math|term= F_j }} {{ Definitionslink |erzeugte Ideal| |SZ= }} in {{mathl|term= K[X_1 {{kommadots|}} X_n] |SZ=.}} |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung= Dann ist {{ Relationskette/display | V {{makl| F_j, j \in J |}} || V( {{ideala|}} ) || || || |SZ=. }} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der affinen Varietäten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tdvjf4dpqqa1shxxc8slw99eglxzq5g 0 18076 1115706 1090875 2026-10-10T11:27:13Z Bocardodarapti 2041 1115706 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette |T | \subseteq| {{op:Affiner Raum| n | K}} || || || |SZ= }} eine Teilmenge. Dann nennt man {{ Math/display|term= {{Mengebed| F \in K[X_1 {{kommadots|}} X_n] | F(P) {{=|}} 0 \text { für alle } P \in T}} }} das {{Definitionswort|Verschwindungsideal}} zu {{math|term= T |SZ=.}} Es wird mit {{mathl|term= {{Op:Verschwindungsideal| T }} |SZ=}}bezeichnet. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der algebraischen Teilmengen und der Verschwindungsideale |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Verschwindungsideal |Definitionswort2= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} oyw5g96whlvj6c32e28psedvoqycjwb 1115707 1115706 2026-10-10T11:27:29Z Bocardodarapti 2041 1115707 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette |T | \subseteq| {{op:Affiner Raum| n | K}} || || || |SZ= }} eine Teilmenge. 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In jedem angeordneten Körper {{math|term= K |SZ=}} gibt es eine {{math|term= 5 |SZ=,}} ob es aber ein solches {{math|term= x |SZ=}} gibt ist eine nichttriviale zusätzliche Eigenschaft von {{math|term= K |SZ=.}} Wenn es in {{math|term= K |SZ=}} eine solches {{math|term= x |SZ=}} gibt, so hat auch {{math|term= -x|SZ=}} diese Eigenschaft. Mehr als zwei Lösungen kann es aber nicht geben, siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Angeordneter Körper/Quadratwurzel/Maximal zwei/Aufgabe |Nr= |SZ=, }} sodass wir nur nach der positiven Lösung suchen müssen. Obwohl es innerhalb der rationalen Zahlen keine Lösung für die Gleichung {{mathl|term= x^2=5 |SZ=}} gibt, so gibt es doch beliebig gute Approximationen innerhalb der rationalen Zahlen dafür. Beliebig gut heißt dabei, dass der Fehler {{ Zusatz/Klammer |text=oder die Abweichung| |SZ= }} unterhalb jede positive Schranke gedrückt werden kann. Das klassische Verfahren, um eine Quadratwurzeln beliebig anzunähern, ist das {{Stichwort|Heron-Verfahren|SZ=,}} das man auch {{Stichwort|babylonisches Wurzelziehen|SZ=}} nennt. Dies ist ein {{Stichwort|iteratives Verfahren|SZ=,}} d.h. die nächste Approximation wird aus den vorausgehenden Approximationen berechnet. Beginnen wir mit {{mathl|term= a=x_0=2 |SZ=}} als erster Näherung. Wegen {{ Relationskette/display | x_0^2 || 2^2 || 4 | < | 5 || |SZ= }} ist {{math|term= x_0 |SZ=}} zu klein, d.h. es ist {{mathl|term= x_0 <x|SZ=,}} wobei diese Ungleichung {{ Zusatz/Klammer |text=zunächst| |SZ= }} nur Sinn ergibt, wenn {{math|term= x |SZ=}} in {{math|term= K |SZ=}} existiert. Aus {{mathl|term= a^2<5 |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=mit {{math|term= a |SZ=}} positiv| |SZ= }} folgt zunächst {{mathl|term= 5/a^2 >1 |SZ=}} und daraus {{mathl|term= (5/a)^2 >5 |SZ=,}} d.h. {{mathl|term= 5/a >\sqrt{5} |SZ=.}} Man hat also die Abschätzungen {{ Math/display|term= a < \sqrt{5} < 5/a |SZ=, }} wobei rechts eine rationale Zahl steht, wenn links eine rationale Zahl steht. Eine solche Abschätzung vermittelt offenbar eine quantitative Vorstellung darüber, wo {{math|term= \sqrt{5} |SZ=}} liegt, und zwar unabhängig davon, ob {{math|term= \sqrt{5} |SZ=}} zu {{math|term= K |SZ=}} gehört oder nicht, solange nur {{math|term= a |SZ=}} dazu gehört. Die Differenz {{mathl|term= 5/a -a|SZ=}} ist ein Maß für die Güte der Approximation. Beim Startwert {{math|term= 2 |SZ=}} ergibt sich, dass die Quadratwurzel von {{math|term= 5 |SZ=}} zwischen {{ mathkor|term1= 2 |und|term2= 5/2 |SZ= }} liegt. Man nimmt das {{ Definitionslink |arithmetische Mittel| |Kontext=| |SZ= }} der beiden Intervallgrenzen, also {{ Relationskette/display | x_1 ||\frac{2+ \frac{5}{2} }{2} ||\frac{9}{4} |SZ=. }} Wegen {{ Relationskette | {{makl| \frac{9}{4} |}}^2 ||\frac{81}{16} | > | 5 |SZ= }} ist dieser Wert zu groß und daher liegt {{math|term= \sqrt{5} |SZ=}} im Intervall {{mathl|term= [5\cdot\frac{4}{9} , \frac{9}{4}] |SZ=.}} Von diesen Intervallgrenzen nimmt man erneut das arithmetische Mittel und setzt {{ Relationskette/display | x_2 ||\frac{ 5 \cdot \frac{4}{9} + \frac{9}{4} }{2} ||\frac{161}{72} |SZ= }} als nächste Approximation. So fortfahrend erhält man eine immer besser werdende Approximation von {{math|term= \sqrt{5} |SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Folgen in angeordneten Körpern |Kategorie2=TTheorie der Quadratwurzeln in Körpern |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} g1mu7de42iuz7xupc3x3l5mz62494bo 1115659 1115658 2026-10-10T08:30:53Z Bocardodarapti 2041 1115659 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir wollen die Quadratwurzel einer natürlichen Zahl {{Anführung|berechnen|SZ=,}} sagen wir von {{math|term= 5 |SZ=.}} Eine solche Zahl {{math|term= x |SZ=}} mit der Eigenschaft {{mathl|term= x^2=5 |SZ=}} gibt es nicht innerhalb der rationalen Zahlen, wie aus der eindeutigen Primfaktorzerlegung folgt. 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|Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Quadratreste |Kategorie2=Theorie der natürlichen Quadratzahlen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6hug7drkbbmmtq0u29qjgqhwjms7dzi 0 84879 1115678 847488 2026-10-10T08:44:00Z Bocardodarapti 2041 1115678 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Erstelle{{n Sie}} eine Liste der {{ Definitionslink |Quadratzahlen| |Kontext=| |SZ= }} bis {{math|term= 400 |SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der natürlichen Quadratzahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 60dq4w5nd5q837lem9116yegve44tk9 14 84880 1115663 477649 2026-10-10T08:35:21Z Bocardodarapti 2041 Bocardodarapti verschob die Seite [[Kategorie:Theorie der Quadratzahlen/Definitionen]] nach [[Kategorie:Theorie der natürlichen Quadratzahlen/Definitionen]], ohne dabei eine Weiterleitung anzulegen 477649 wikitext text/x-wiki {{ Definitions-Kategorie unter |Theorie der Quadratzahlen| ||}} 4varr26paka3bmkf40ap4n249p4xh3h 1115664 1115663 2026-10-10T08:35:34Z Bocardodarapti 2041 1115664 wikitext text/x-wiki {{Definitions-Kategorie unter}} ls4sw8lzp64qkyjccp3etf8xupqojj9 0 85239 1115680 785781 2026-10-10T08:44:57Z Bocardodarapti 2041 1115680 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass eine Quadratzahl {{mathl|term= \neq 0|SZ=}} stets eine ungerade Anzahl an Teilern besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Teileranzahl |Kategorie2=Theorie der natürlichen Quadratzahlen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hobf53tewod1d7ty619cs1pg1ftq9c9 0 85260 1115674 1098716 2026-10-10T08:42:12Z Bocardodarapti 2041 1115674 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette |n | \geq | 1 || || || |SZ= }} eine natürliche Zahl mit der Eigenschaft, dass die Anzahl ihrer Teiler ungerade ist. Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= n|SZ=}} eine Quadratzahl ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Teileranzahl |Kategorie2=Theorie der natürlichen Quadratzahlen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} sp2gtsi2a3glh084uxauyyc4fb3v1gy 14 85261 1115687 479326 2026-10-10T08:48:07Z Bocardodarapti 2041 1115687 wikitext text/x-wiki {{Lösungs-Kategorie unter}} 5q1vyq1m9unmx4esndm9tvnwdz5b46a 0 85262 1115701 1095244 2026-10-10T10:07:46Z Bocardodarapti 2041 1115701 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Primfaktorzerlegung {{ Relationskette/display | n || p_1^{s_1} p_2^{s_2} \cdots p_k^{s_k} || || || |SZ= }} mit verschiedenen Primzahlen {{math|term= p_j |SZ=.}} Die Teiler von {{math|term= n |SZ=}} sind alle Zahlen mit der Primfaktorzerlegung {{ Math/display|term= p_1^{i_1} p_2^{i_2} \cdots p_k^{i_k} |SZ= }} mit {{ Relationskette | 0 | \leq | i_j | \leq | s_j || || |SZ= }} für alle {{math|term= j |SZ=.}} Somit gibt es {{ Math/display|term= {{makl| s_1+1 |}} {{makl| s_2+1 |}} \cdots {{makl| s_k+1 |}} |SZ= }} Teiler von {{math|term= n |SZ=.}} Wenn diese Zahl ungerade ist, so muss jeder Faktor davon ungerade sein und das bedeutet, dass jedes {{math|term= s_j |SZ=}} gerade ist. Man kann also jeweils {{ Relationskette | s_j || 2r_j || || || |SZ= }} schreiben. Somit ist {{ Relationskette/display | n || p_1^{s_1} p_2^{s_2} \cdots p_k^{s_k} || p_1^{2 r_1} p_2^{2 r_2} \cdots p_k^{2 r_k} || {{makl| p_1^{r_1} p_2^{r_2} \cdots p_k^{r_k} |}}^2 || |SZ= }} und {{math|term= n |SZ=}} ist eine Quadratzahl. |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Aufgabe= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1po6tdm59w195rvynv2y3xgjhgy6o2m 0 90470 1115702 1084725 2026-10-10T10:09:04Z Bocardodarapti 2041 1115702 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Aus den Zahlen {{mathl|term= \{1 {{kommadots|}} n \} |SZ=}} wird zufällig eine Zahl ausgewählt. {{ Aufzählung3 |Erstelle{{n Sie}} in Abhängigkeit von {{math|term= n|SZ=}} eine Formel für die Wahrscheinlichkeit, dass die gewählte Zahl eine Quadratzahl ist. |Ist die Folge der Wahrscheinlichkeiten monoton? |Konvergiert diese Wahrscheinlichkeit, wenn {{math|term= n|SZ=}} gegen unendlich geht? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Laplace-Räume |Kategorie2=Theorie der natürlichen Quadratzahlen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |p1=1 |p2=3 |p3=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hdo7oswgzve2njtfd048yetxl5bxlpg 0 90767 1115683 849053 2026-10-10T08:46:22Z Bocardodarapti 2041 1115683 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es werden unabhängig voneinander zwei Zahlen {{mathl|term= x,y |SZ=}} aus {{mathl|term= \{1,2 {{kommadots|}} 10\} |SZ=}} gezogen {{ Zusatz/Klammer |text=mit Zurücklegen| |ISZ=|ESZ=. }} Bestimme{{n Sie}} die Wahrscheinlichkeit, dass {{mathl|term= xy |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Quadratzahl| |Kontext=| |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Produkte von endlichen Wahrscheinlichkeitsräumen |Kategorie2=Theorie der natürlichen Quadratzahlen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6xoe1r5uqzm19wxvko9goyjbrrgpr7h 0 101552 1115689 787446 2026-10-10T08:51:25Z Bocardodarapti 2041 1115689 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Welche der folgenden Aussagen sind wissenschaftliche Fakten? Zu welcher Wissenschaft gehören sie? Worauf beruht ihre Gültigkeit bzw. Nichtgültigkeit? Seit wann weiß man, dass sie wahr sind? {{ Aufzählung11 |Rauchen ist gesundheitsschädlich. |Soziale Medien schaden der psychischen Gesundheit. |Die Dinosaurier sind vor ca. 65 Millionen Jahren ausgestorben. |Die Dinosaurier sind gar nicht ausgestorben. |So etwas wie Dinosaurier hat es nie gegeben. |Die Evangelien wurden nicht von Augenzeugen geschrieben. |Die {{math|term= abc|SZ=-}}Vermutung ist inzwischen ein Satz. |Die {{math|term= abc|SZ=-}}Vermutung ist immer noch eine Vermutung. |Die Relativitätstheorie ist bestätigt. |Es ist nicht möglich, Gold aus anderen Stoffen herzustellen. |Die Welt wird bald untergehen. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Prinzipien der Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9uh0aee4v7stlj0sukdhga7df5ga94s 0 102404 1115682 847489 2026-10-10T08:46:02Z Bocardodarapti 2041 1115682 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Erstelle{{n Sie}} eine Liste der {{ Definitionslink |Quadratzahlen| |Kontext=| |SZ= }} bis {{math|term= 900 |SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der natürlichen Quadratzahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nj6srvpnggjhxxw5r70hbpe3bdgxcsm 106 119495 1115709 1115013 2026-10-10T11:47:13Z ~2026-53307-89 41916 /* Zusammenhange Version 1 - Version 2 */ 1115709 wikitext text/x-wiki == Einführung== '''Kette''' und '''Zyklus''' sind mathematische Objekte, die in der [[w:de:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] betrachtet werden, aber auch als Spezialfälle in der [[w:de:Algebraische Topologie|algebraischen Topologie]] auftreten. Die Kette ist eine Verallgemeinerung einer [[w:de:Weg (Mathematik)|Kurve]] und der Zyklus ist eine Verallgemeinerung einer geschlossenen Kurve. Sie werden in Funktionentheorie vor allem im Bereich der Integration verwendet. == Definitionen == Bei den folgenden Definition werden mehrere stetig differenzierbare Wege zu einer Kette zusammengefasst. Wenn diese analog zu einem geschlossenen Weg aus mehreren geschlossenen Wegen zu einem [[Zyklus]] zusammengesetzt werden können. === Definition - Kette === Unter einer Kette auf einer Menge <math>G \subset \mathbb{C}</math> versteht man eine endliche ganzzahlige Linearkombination von Wegen <math>\gamma_1,\ldots \gamma_k</math> :<math>\Gamma := \sum_{i=1}^k n_i\gamma_i \quad n_i \in \mathbb{Z}</math> mit <math></math>. <math>\gamma_1,\ldots \gamma_k</math> sind allgemein stetige [[w:de:Kurve (Mathematik)|Kurven]] in <math>G</math> === Integration über eine Kette === Sei <math>f:G \to \mathbb{C}</math> integrabel und <math>\Gamma</math> eine Kette von stückweise stetig differenzierbaren Wegen (Integrationswegen) <math>\gamma_1,\ldots \gamma_k</math> in <math>G \subset \mathbb{C}</math>, dann ist das Integral über die Kette <math>\Gamma</math> durch :<math>\int_\Gamma f(z) \, dz := \sum_{i = 1}^k n_i \int_{\gamma_i} f(z) \, dz</math> definiert. <span id="Zyklus"></span> === Definition - Zyklus === '''Version 1:''' Ein Zyklus ist eine Kette <math>\Gamma := \sum_{i=1}^k n_i\gamma_i</math>, bei der jeder Punkt <math>a\in\mathbb{C}</math> unter Berücksichtigung der Vielfachheit <math>n_i</math> genauso oft als Anfangs- wie als Endpunkt der Kurven <math>\gamma_i</math> auftritt. '''Version 2:''' Ein Zyklus ist eine Kette <math>\Gamma := \sum_{i=1}^k n_i\gamma_i</math> von geschlossenen Wegen <math>\gamma_1,\ldots \gamma_k</math>. ===Zusammenhänge Version 1 - Version 2 === Version 2 ist für die Funktionentheorie eine wesentliche Eigenschaft. Mit den Eigenschaften von Version 1 lässt sich jeder Zyklus <math>\Gamma := \sum_{i=1}^k n_i\cdot \gamma_i</math> in eine Kette <math>\hat{\Gamma} := \sum_{i=1}^m \hat{n}_i \hat{\gamma}_i</math> aus geschlossenen Wegen <math>\hat{\gamma}_1,\ldots \hat{\gamma}_m</math> unwandeln. Besteht der Zyklus <math>\Gamma</math> in Version 1 aus stückweise stetig differenzierbaren Wegen <math>\gamma_1,\ldots \gamma_k</math>, so sind auch die geschlossenen Wege <math>\hat{\gamma}_1,\ldots \hat{\gamma}_m</math> stückweise stetig differenzierbar und es gilt für alle holomorphen Funktionen <math>f:G \to \mathbb{C}</math> :<math>\int_\Gamma f(z) \, dz = \int_{\hat{\Gamma}} f(z) \, dz </math> === Spur eines Weges === Die '''Spur''' ist eines Weges <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{G}</math> ist definiert als :<math>\operatorname{Spur}(\gamma) := \operatorname{Bild}(\gamma) := \{ \gamma(t) \,| \, t \in [a,b] \}</math> === Spur eines Zyklus/Kette === Die Spur eine Kette <math>\Gamma</math> ist die Vereinigung der [[w:de:Bild (Mathematik)|Bilder]] der einzelnen Kurven, d.h. :<math>\operatorname{Spur}(\Gamma) :=\bigcup_{i=1}^N\operatorname{Bild}(\gamma_i)</math>. Ist <math>\operatorname{Spur}(\Gamma) \subset \mathbb{C}</math> eine Teilmenge von <math>G\subset \mathbb{C}</math>, dann heißt <math>\Gamma</math> ein Zyklus '''in''' <math>G</math> genau dann, wenn die Spur <math>\operatorname{Spur}\,\Gamma \subseteq G</math> in <math>G</math> liegt. === Umlaufzahl === Die '''[[w:de:Umlaufzahl (Mathematik)|Umlaufzahl]]''' wird analog zu der einer geschlossenen Kurve definiert, nur unter Verwendung des oben definierten Integrals, d.&nbsp;h. für <math>z \not\in \operatorname{Spur}\,\Gamma</math> schreibt man :<math>n(\Gamma , z) :=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\int_\Gamma\frac{\mathrm{d}\zeta}{\zeta-z}\in\mathbb{Z}</math>. === Innere umrundete Punkte eines Zyklus === Das '''Innere''' (Interior) eines Zyklus sind genau diejenigen Punkte, für die die Windungszahl nicht verschwindet: :<math>\operatorname{Int}(\Gamma):=\{z\in\mathbb{C}\setminus\operatorname{Spur}\,\Gamma : n(\Gamma , z) \neq 0\}</math> === Äußere Punkte eines Zyklus === Analog dazu ist das '''Äußere''' (Exterior) genau die Menge der Punkte, für die die Windungszahl verschwindet: :<math>\operatorname{Ext}(\Gamma):=\{z\in\mathbb{C}\setminus\operatorname{Spur}\,\Gamma : n(\Gamma , z) =0\}</math> ===Nullhomologer Zyklus === Ein Zyklus heißt '''null[[homolog]]''' für eine Menge <math>G\subseteq\mathbb{C}</math> genau dann, wenn das Innere <math>\operatorname{Int}\,\Gamma</math> vollständig in <math>G</math> liegt. Dies ist genau dann der Fall, wenn die Umlaufzahl für alle Punkte aus <math>\mathbb{C} \setminus G</math> verschwindet. === Homologe Zyklen === Zwei Zyklen <math>\Gamma_1</math>, <math>\Gamma_2</math> heißen '''homolog''' in <math>G\subseteq\mathbb{C}</math> genau dann, wenn ihre formale Differenz <math>\Gamma_1-\Gamma_2</math> nullhomolog in <math>G</math> ist. == Integralsätze == Die Ketten und Zyklen sind in der Funktionentheorie deshalb wichtig, weil man wie schon angesprochen mit ihnen das Kurvenintegral verallgemeinern kann. Insbesondere kann das Integral über einen Zyklus als Verallgemeinerung des geschlossenen Kurvenintegrals verstanden werden. Der [[w:de:Cauchyscher Integralsatz|Cauchysche Integralsatz]], die [[w:de:Cauchysche Integralformel|Cauchysche Integralformel]] und der [[w:de:Residuensatz|Residuensatz]] können für Zyklen bewiesen werden. == Bezug zur Homologietheorie == Um anzudeuten, dass Kette und Zyklus Spezialfälle aus der [[w:de:Homologietheorie|Homologietheorie]] der algebraischen Topologie sind, spricht man auch von der 1-Kette und dem 1-Zyklus<ref>[[w:de:Otto Forster|Otto Forster]]: ''Riemannsche Flächen'', Springer 1977, englisch ''Lectures on Riemann surfaces'', Graduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, 1991, ISBN 3-540-90617-7, Kapitel 20</ref>. In der algebraischen Topologie selbst hat sich anstatt des Begriffs 1-Zyklus der Begriff 1-Zykel beziehungsweise p-Zykel durchgesetzt.<ref>{{Literatur| Autor=Wolfgang Lück| Titel=Algebraische Topologie : Homologie und Mannigfaltigkeiten| Verlag=Vieweg| Jahr=2005}}</ref> Außerdem ist zu beachten, dass der Plural von der Zyklus ''die Zyklen'', der Plural von der Zykel jedoch ''die Zykel'' heißt. === Einordnung in die Homologietheorie === Bei den Begriffen der Kette und des Zyklus handelt es sich um Spezialfälle von [[w:de:Mathematisches Objekt|Objekten]] der [[w:de:Topologie (Mathematik)|Topologie]]. In der [[w:de:Algebraische Topologie|algebraischen Topologie]] betrachtet man [[w:de:Kettenkomplex|Komplexe von p-Ketten]] und bildet daraus [[w:de:Homologiegruppe|Homologiegruppe]]n. Diese Gruppen sind [[w:de:Invariante (Mathematik)|Invarianten]] in der Topologie. Eine sehr wichtige [[w:de:Homologietheorie|Homologietheorie]] ist die der [[w:de:Singuläre Homologie|singulären Homologiegruppen]]. === 1-Kette des singulären Komplexes === Eine Kette, wie sie hier definiert wurde, ist eine 1-Kette des [[w:de:Singulärer Komplex|singulären Komplexes]], der ein bestimmter Kettenkomplex ist. Der im Abschnitt zum Zyklus definierte Operator <math>\partial \colon C_1(X) \to \operatorname{Div}(X)</math> ist der erste [[w:de:Randoperator|Randoperator]] des singulären Komplexes und die Gruppe der Divisoren ist daher identisch mit der Gruppe der 0-Ketten. Die Gruppe der Zyklen definiert als der Kern des Randoperators <math>\partial</math> ist ein 1-[[w:de:Kettenkomplex|Zykel]] im Sinn des singulären Komplexes. === Algebraischen Topologie === Neben dem Kern des Randoperators betrachte man in der algebraischen Topologie auch das Bild dieses Operators und konstruiert aus diesen beiden Mengen eine entsprechende Homologiegruppe. Im Fall des singulären Komplexes erhält man die [[w:de:singuläre Homologie|singuläre Homologie]]. In diesem Kontext haben auch die zuvor definierten Begriffe homologe Kette und nullhomologe Kette eine abstraktere Bedeutung. == Siehe auch == * [[Globaler Cauchy-Integralsatz]] * [[w:de:Satz von Stokes|Satz von Stokes]] * [[w:de:Glatte Funktion|glatte Funktion]] * [[Integralkorrespondenzsatz]] == Quellen == * {{Literatur | Autor=Wolfgang Fischer, Ingo Lieb | Titel=Funktionentheorie | Auflage=8. | Verlag=Vieweg | Ort=Braunschweig | Jahr=2003 | ISBN=3-528-77247-6 }} * [[w:de:Otto Forster|Otto Forster]]: ''Riemannsche Flächen'', Springer 1977, englisch ''Lectures on Riemann surfaces'', Graduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, 1991, ISBN 3-540-90617-7, Kapitel 20 == Einzelnachweise == <references /> [[Kategorie:Funktionentheorie]] == Seiteninformation == Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Zyklus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. === Wiki2Reveal === <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen https://de.wikiversity.org/wiki/Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Zyklus Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Zyklus%20(Funktionentheorie) Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Zyklus%20(Funktionentheorie) Zyklus (Funktionentheorie)] https://de.wikipedia.org/wiki/Zyklus%20(Funktionentheorie) * Datum: 23.4.2020 - [https://de.wikipedia.org/w/index.php?action=history&title=Zyklus%20(Funktionentheorie) Versionsgeschichte Wikipedia] * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity?lang=de&domain=wikipedia&title=Zyklus%20(Funktionentheorie) Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity <noinclude>[[en:Complex Analysis/cycle]]</noinclude> gl0cts4dbe5t7z76ax2i0ep2lj19pje 0 134163 1115660 1034975 2026-10-10T08:34:22Z Bocardodarapti 2041 1115660 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Finde{{n Sie}} drei Quadratzahlen {{ Relationskette/display | u^2 | < | v^2 | < | w^2 || || |SZ= }} derart, dass der Abstand von {{math|term= u^2|SZ=}} zu {{math|term= v^2 |SZ=}} gleich dem Abstand von {{math|term= v^2 |SZ=}} zu {{math|term= w^2 |SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der natürlichen Quadratzahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} b213p52amc8o9xrqfe9hz2mgcjv94r7 0 151436 1115677 1096851 2026-10-10T08:43:31Z Bocardodarapti 2041 1115677 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten das kleine Einmaleins als eine Tabelle, in der alle Produkte {{mathl|term= i \cdot j |SZ=}} mit {{ Relationskette | 1 | \leq | i,j | \leq | 9 || || |SZ= }} stehen. {{ Aufzählung3 |Ist das Produkt über alle Einträge in der Hauptdiagonale {{ Zusatz/Klammer |text=von links oben nach rechts unten| |ISZ=|ESZ= }} eine Quadratzahl? |Ist das Produkt über alle Einträge in der Hauptdiagonale eine Kubikzahl? |Ist das Produkt über alle Einträge in der Nebendiagonale {{ Zusatz/Klammer |text=von links unten nach rechts oben| |ISZ=|ESZ= }} eine Quadratzahl? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der p-Exponenten (Z) |Kategorie2=Theorie der natürlichen Quadratzahlen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |p1=1 |p2=1 |p3=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} g5ma2sr9el9ob3l3nef9x1p94z60285 0 162422 1115685 1035518 2026-10-10T08:46:58Z Bocardodarapti 2041 1115685 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Finde{{n Sie}} neben {{ Relationskette/display | 1 || 1^2 | < | 25 || 5^2 | < | 49 || 7^2 |SZ= }} weitere teilerfremde Quadratzahlen {{ Relationskette/display | a^2 | < | b^2 | < | c^2 | < | 1000 || |SZ= }} mit {{ Relationskette/display | c^2-b^2 || b^2-a^2 || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der natürlichen Quadratzahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} knjhthtankgwafv08vq0z5z2bj4gt29 106 164665 1115640 1115105 2026-10-09T18:45:14Z Bert Niehaus 20843 /* Vertiefende Lerneinheiten */ 1115640 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird der Zusammenhang zwischen der Funktion <math> \exp(z) </math> und <math> \frac{1}{z} </math> sowie die Definition eines Zweiges des Logarithmus und die Notwendigkeit der Einschränkung der Definitions- und Wertebereiche der Exponentialfunktion betrachtet, um eine bijektive Abbildung der Exponentialfunktion zu erhalten. :<math> \exp(z) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{n!} </math> === Vertiefende Lerneinheiten === * [[/Zweige/]] * [[/Argumentfunktion/|Argumentfunktion und Polarkoordinatendarstellung]] * [[/generalisiert/|generalisierter Logarithmus]] auf beliebigen [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] [[Gebiet (Mathematik)|Gebieten]], * [[/logmod/|logmod-Funktion]] und Periodizität der Exponentionalfunktion * [[/rlog/|rlog-Funktion]], beschreibt wie oft kann man einen Logarithmus als Verkettung "rekursiv" anwenden kann. * [[/rekursiver Logarithmus/]] als Mehrfachverkettung des Logarithmus mit sich selbst. * [[/Eulersche Nullstellen/]] * [[/einfach zusammenhängende LOG-Gebiete/]] === Zusammenhang zwischen Exponentialfunktion und Logarithmus === Die Exponentialfunktion <math> \exp(z) </math> ist eine ganze Funktion, dessen Definitionsbereich <math>\mathbb{D} \subset \mathbb{C}</math> und Wertebereich <math>\mathbb{D} \subset \mathbb{C}</math> einschränken muss, um eine bijektive Abbildung und <math> \exp : \mathbb{D} \to \mathbb{W}</math> zu erhalten, für die man eine Umkehrfunktion definieren kann. === Situation in der reellen Zahlen - Umkehrfunktion von exp(z) === <math> \exp : \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> ist injektiv aber nicht surjektiv. Durch die Einschränkung des Wertebereiches von <math>\mathbb{R}</math> auf <math>\mathbb{R}^{+}</math> ist die Funktion <math> \exp : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^{+}</math> bijektiv und man kann nach einer Umkehrfunktion (den [[w:de:natürlicher Logarithmus|natürliche Logarithmus]]) suchen. Diese Konzept der Suche nach potentiellen Umgekehrfunktionen kann in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] nicht eindeutig beantwortet werden. In den komplexen Zahlen gibt unabhängig von der Wahl der Konstanten einer Stammfunktion von <math>\tfrac{1}{z}</math> unterschiedliche Möglichkeiten Logarithmen zu definieren. == Aufgaben == * '''(A1)''' [[Logarithmus#A1|Injektivität und Surjektivität]] * '''(A2)''' [[Logarithmus#A2|Stammfunktion als Wegintegrale]] <span id="aufgabe1"></span> === Aufgabe 1 - Umkehrbarkeit der komplexen Exponentialfunktion === Erläutern Sie, warum <math> \exp : \mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> weder injektiv noch surjektiv ist. Schränken Sie den Definitionsbereich und Wertebereich der komplexen Exponentialfunktion so ein, dass <math> \exp : \mathbb{D} \to \mathbb{W}</math> bijektiv ist und eine [[w:de:Umkehrfunktion|Umkehrfunktion]] besitzt! <span id="aufgabe2"></span> === Aufgabe 2 - Stammfunktion von 1/x in den reellen Zahlen === In den reellen Zahlen der Logarithmus z.B. auf den positiven reellen Zahlen die Stammfunktion von <math>\frac{1}{x} </math>. Welche Beziehung besteht zwischen eine Zweig des Logarithmus und einem Wegintegral über die Funktion <math>\frac{1}{x} </math>. === Eigenschaften 1/z im Komplexen === Die holomorphe Funktion <math> f(z)=\frac{1}{z} </math> ist eine rationale Funktion, die auf <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> definiert ist. Sie besitzt aber auf <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> keine Stammfunktion, denn sonst würde das Integral über den Kreis um 0 nicht den Wert <math>2\pi i</math> sondern 0 liefern. <math> f(z)=\frac{1}{z} </math> hat eine Polstelle bei <math> z = 0 </math>. === Einschränkung des Definitions- / Wertebereiches === * '''([[w:de:Injektivität|injektiv]])''' Um eine injektive Abbildung für Definition des Logarithmus zu erhalten, muss man den ''Definitionsbereich'' einschränken, damit die Element aus dem Definitionsbereich entfernt, die auf die gleichen Bildpunkt abgebildet werden. * '''([[w:de:Surjektivität|surjektiv]])''' Um eine surjektive Abbildung für Definition des Logarithmus zu erhalten, muss man den ''Wertebereich'' einschränken und "nicht getroffene" Elemente aus dem Wertebereich zu entfernen == Zweig des Logarithmus == Ein Zweig des Logarithmus ist eine Funktion <math> \log(z) </math>, die auf einer Teilmenge <math> D </math> von <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> definiert ist und die Eigenschaft hat, dass <math> \exp(\log(z)) = z </math> für alle <math> z \in D </math>. Eine übliche Wahl für <math> D </math> ist die Menge <math> \mathbb{C} \setminus (-\infty, 0] </math>, die die negative reelle Achse ausschließt. In diesem Fall kann der Hauptzweig des Logarithmus definiert werden als: :<math> \log(z) = \ln|z| + i \arg(z) </math> wobei <math> \arg(z) </math> der Winkel von <math> z </math> in der komplexen Ebene ist und <math> -\pi < \arg(z) \leq \pi </math>. === Aufgabe - Integraldarstellung des Logarithmus === Sei <math>z_o \in \mathbb{C} \setminus \{0\}</math> beliebig gewählt und :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_z : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_z(t) = (1-t)\cdot z_0 + t\cdot z \end{array} </math> * Skizzieren Sie die Menge <math>\mathbb{C}_{z_0} := \mathbb{C} \setminus \{ -\lambda \cdot z_0 \, :\, \lambda \in \mathbb{R}_0^+ \} </math> * Ist die folgende Funktion <math>F: \mathbb{C}_{z_0} \to \mathbb{C} </math> eine wohldefinierte Funktion und ein Zweig des Logarithmus? ::<math> F(z) := \int_{\gamma_z} \frac{1}{\xi} \, d\xi = \int_{0}^1 \frac{1}{\gamma_z(t)} \cdot \gamma{\,}_z'(t) dt </math> === Notwendigkeit der Einschränkung der Definitions- und Wertebereiche der Exponentialfunktion === Um eine bijektive Abbildung zu erhalten, müssen wir sowohl den Definitionsbereich als auch den Wertebereich der Exponentialfunktion einschränken. Die Exponentialfunktion <math> \exp(z) </math> ist periodisch mit der Periode <math> 2\pi i </math>, das heißt, <math> \exp(z + 2\pi i k) = \exp(z) </math> für alle <math> k \in \mathbb{Z} </math>. ==== Surjektivität und Injektivität ==== Die Periodizität führt dazu, dass die Exponentialfunktion nicht injektiv auf der gesamten komplexen Ebene ist. Die Exponentialfunktion ist auch nicht surjektiv, da mit <math>z=x+i\cdot y \in \mathbb{C}</math> gilt: :<math> e^z = e^{x+iy} = \underbrace{e^x}_{\not=0} \cdot \underbrace{e^{iy}}_{\not=0} \not= 0 </math> ==== Eulersche Formel ==== Mit der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] kann die Exponentialfunktion mit <math>z=x+i\cdot y \in \mathbb{C}</math> wie folgt zerlegen: :<math> e^z = e^{x+iy} = \underbrace{e^x}_{\not=0} \cdot e^{iy} = e^x\cdot (\cos(y) + i \cdot \sin(y) ) </math> ==== Bijektive Abbildung ==== Um eine bijektive Abbildung zu erhalten, können wir den Definitionsbereich der Exponentialfunktion auf ein horizontales Streifenmuster einschränken, zum Beispiel: :<math> \mathbb{D} := \mathbb{R} + i\cdot (-\pi,+\pi) := \{ z \in \mathbb{C} \mid -\pi < \operatorname{Im}(z) \leq \pi \} \subset \mathbb{C} </math> In diesem Fall ist die Exponentialfunktion <math>\exp : \mathbb{D} \to \mathbb{C}\setminus \{0\} </math> den "Streifen" <math> \mathbb{D} </math> der Höhe <math>2\pi i</math> bijektiv auf auf den Wertebereich <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> ab. === Zusammenfassung === * Die Exponentialfunktion <math> \exp(z) </math> ist nicht injektiv und nicht surjektiv (wegen <math> \exp(z) \not= 0)</math> auf der gesamten komplexen Ebene. * Um eine bijektive [[holomorphe Funktion]] zu erhalten, muss man den Definitionsbereich <math>\mathbb{D}</math> und den Wertebereich <math>\mathbb{W}</math> der Logarithmusfunktion <math>\log_G : \mathbb{D} \to \mathbb{W} </math> so einschränken, dass eine bijektive Abbildung. * für die offene Menge <math>\mathbb{D}</math> muss im Allgemeinen nur [[einfach zusammenhängend]] mit <math>0\notin \mathbb{D}</math> sein (siehe auch [[/generalisiert/|generalisierte Logarithmen]]). * Ein Zweig des Logarithmus kann definiert werden, indem der Definitionsbereich des Logarithmus eingeschränkt wird, zum Beispiel auf <math> \mathbb{C} \setminus (-\infty, 0] </math>. <span id="komplex"></span> == Definition des komplexen Logarithmus == Analog zur reellen Definition heißt jede komplexe Zahl <math>w</math> ein ''natürlicher Logarithmus'' von <math>z</math>, wenn <math>w</math> die folgende Gleichung bzgl. einem gegebenen <math>z</math> erfüllt: : <math>\mathrm{e}^w = z</math> === Existenz === Für jedes <math>z \in \mathbb{C} \setminus \{0\}</math> existiert ein solches <math>w</math>. Man stellt dazu das Element <math>z</math> in Polarkoordinaten mit <math>t\in [0,2\pi) </math> wie folgt dar: :<math> z= |z|\cdot e^{it} </math> Dann ist <math>w:=\underbrace{\ln(|z|)}_{\in \mathbb{R}} + i\cdot \underbrace{t}_{\in \mathbb{R}}</math> ein Logarithmus in <math>\mathbb{C}</math>, da mit [[w:de:Potenzgesetze|Potenzgesetzen]] folgende Gleichung gilt: :<math> e^w = e^{\ln(|z|) + i\cdot t} = e^{\ln(|z|)} \cdot e^{i\cdot t} = |z|\cdot e^{it} = z </math> === Eindeutigkeit === Im Unterschied zum reellen Logarithmus ist der komplexe Logarithmus wegen : <math>\mathrm{e}^{2k\pi \mathrm{i}} = 1, \quad k \in \mathbb{Z}</math>, nicht eindeutig bestimmt ist. Hat man also einen Logarithmus <math>w</math> von <math>z</math> gefunden, so ist damit auch : <math>w' =\,\! w + 2k\pi \mathrm{i}</math> mit jeder ganzen Zahl <math>k</math> ein Logarithmus von <math>z</math>, denn es gilt : <math>\mathrm{e}^{w'} = \mathrm{e}^{w + 2k\pi \mathrm{i}} = \mathrm{e}^w \cdot \mathrm{e}^{2k\pi \mathrm{i}} = \mathrm{e}^w \cdot 1 = \mathrm{e}^w = z</math>. === Komplexer Logarithmus als Abbildung === Für die Definition einer Abbildung muss man einen eindeutigen Funktionswerte <math>\ln(z):=w</math> definieren. Um Eindeutigkeit zu erreichen, wählt man aus den möglichen Werten für <math>w</math> solche Werte aus, die in einem geeigneten Streifen der komplexen Zahlenebene liegen. Man kann z.&nbsp;B. den Streifen : <math>\left\{w \in \mathbb{C}: -\pi < \operatorname{Im}\,w \leq \pi \right\}</math> verwenden. Ein Wert <math>w</math> aus diesem Streifen heißt ''Hauptwert'' (engl. ''principal value'') des Logarithmus, und man schreibt <math>w = \ln(z)</math>. === Zweige des Logarithmus === Stellt man <math>z = |z| \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i} \arg(z)}</math> in [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|Polarform]] dar, so erhält man eine einfache Darstellung des ''k-ten Zweiges'' der Logarithmusfunktion: : <math>w = \ln |z| + \mathrm{i}\left(\arg(z) + 2k\pi\right), \quad k\in\mathbb{Z}</math> mit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] <math>\arg</math>. Im Summanden <math>\ln |z|</math> wird der bereits oben definierte reelle Logarithmus <math>\ln</math> verwendet. Für <math>k = 0</math> erhält man den ''Hauptzweig'' des komplexen Logarithmus zurück: : <math>\ln z = \ln|z| + \mathrm{i}\arg(z)</math>. === Stetigkeit von Zweigen des Logarithmus === <math>\ln: \mathbb{C}\setminus\{0\} \to \mathbb{C}</math> ist nicht stetig in den Punkten <math>\mathcal{N} := \{z \in \mathbb{C} \, \colon \, (z=x+i\cdot 0) \wedge (0 < x\in \mathbb{R}) \}</math>. Entfernt man jedoch die negative reelle Achse <math>\mathcal{N}</math>, so ist <math>\ln</math> auf dem Gebiet : <math>\mathbb{C}\setminus\{x \in \mathbb{R}: x\leq 0\}</math> stetig und sogar [[w:de:Holomorphe Funktion|holomorph]]. === Algebraisch vollständige Logarithmus === Für den [[Polynomialer Nullstellensatz|polynomialen Nullstellensatz]] === Vergleich - Rechenregeln reeller/komplexer Logarithmus === Für den Hauptzweig des komplexen Logarithmus <math>\ln</math> gelten nicht alle der weiter oben angeführten [[w:de:Logarithmus#Logarithmengesetze|Rechenregeln für die reelle Logarithmusfunktion]]. Sie gelten nur <math>\text{mod } 2\pi \mathrm{i}</math>. ==== Mehrdeutigkeit und Periodizität 1 ==== Diese Mehrdeutigkeit ist eine direkte Folge aus der Periodizität seiner Umkehrfunktion, der komplexen Exponentialfunktion. Es gilt: : <math>\ln(x) + \ln(y) = \ln(x \cdot y)+ 2\pi n \, \,\, n\in \mathbb{Z} </math> ==== Mehrdeutigkeit und Periodizität 2 ==== Der Vergleich von <math>\ln(x) + \ln(y)</math> und <math>\ln(x \cdot y)</math> zeigt: : <math> \begin{array}{rcl} \ln(\underbrace{-1+\mathrm{i}}_{=x}) + \ln(\underbrace{-1+\mathrm{i}}_{=y}) & = & \bigl(\ln\sqrt2+\frac{3\pi}4\mathrm{i}\bigr) + \bigl(\ln\sqrt2+\frac{3\pi}4\mathrm{i}\bigr) \\ & = & \ln2+\frac{3\pi}2\mathrm{i} \end{array} </math> und :<math> \ln\bigl(\underbrace{(-1+\mathrm{i}}_{=x})\cdot (\underbrace{-1+\mathrm{i}}_{=y})\bigr) = \ln(-2\mathrm{i})=\ln2-\frac\pi2\mathrm{i}</math> ==== Mehrdeutigkeit und Periodizität 3 ==== Dies liefert ein Beispiel, dass <math>\ln x + \ln y = \ln(x \cdot y)</math> nicht für beliebige <math>x,y\in \mathbb{C}</math> gilt. Der rechte und linke Term unterscheiden sich, um Vielfache von <math>2\pi</math>, d.h. : <math>\ln x + \ln y = \ln(x \cdot y) + 2\pi n</math> ==== Mehrdeutigkeit und Periodizität 4 ==== Auch die Gleichung : <math>y \cdot \ln (x) = \ln\left({x^y}\right)</math> ist nicht immer erfüllt, wie das Gegenbeispiel : <math>2\pi \mathrm{i} \ln (\mathrm{e}) = 2\pi \mathrm{i} \; \neq \; 0 = \ln 1 = \ln(\mathrm{e}^{2\pi \mathrm{i}})</math> beweist. === Graphen === <gallery widths="180" heights="120" perrow="3" caption="Grafische Darstellung des komplexen Logarithmus"> Ln abs.png|Betrag von <math>\ln z</math> Ln re.png|Realteil von <math>\ln z</math> Ln im.png|Imaginärteil von <math>\ln z</math> </gallery> ==== Hauptzweig ==== Mit dem oben definierten Hauptzweig des komplexen Logarithmus kann man den Logarithmus für negative reellen Zahlen erklären: : <math>\ln(-x) = \ln\left\vert-x\right\vert+ \mathrm{i}\arg(-x) = \ln x + \mathrm{i}\pi, \quad x\in\mathbb{R}^+\ .</math> Das setzt voraus, dass die [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] <math>\arg</math> negativen reellen Zahlen den Wert <math>\pi</math> zuweist. ==== Bemerkung - Argumentfunktion ==== Diese Betrachtungen zeigen, dass die Mehrdeutigkeit des komplexen Logarithmus letztlich auf die Mehrdeutigkeit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] zurückzuführen ist. == Entwicklung in Potenzreihen == Jede auf einem Gebiet <math>G</math> [[holomorphe Funktion]] lässt sich lokal in eine Potenzreihe entwickelt. Durch den Zusammenhang von <math>\frac{1}{z}</math> und dem Logarithmus erhält man auch eine Potenzreihendarstellung für beliebige [[w:de:Potenzreihe|Entwicklungspunkte]] <math>z_o=|z_o|\cdot e^{it} \not=0</math> über die [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] mit <math>q=\frac{z-z_o}{-z_o}</math> und <math>|z-z_0| < |z_0|</math>: :<math>f(z)= \frac{1}{z} = \frac{1}{z_o} \cdot \frac{1}{ 1- \underbrace{\frac{z-z_o}{-z_o} }_{=q} } = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1}} }_{=a_n} \cdot (z-z_o)^n </math> === Stammfunktion - Konstante der Taylorreihe === Für den Zweig des Logarithmus erhält man daher folgende Potenzreihendarstellung auf <math>\overline{D_r(z_0)}</math> mit <math>r< |z_0|</math> und <math>c= \ln(|z_o|) + i\cdot t</math> mit <math>t\in \mathbb{R}</math>: :<math>F(z)= c + \sum_{n=0}^\infty \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1} \cdot (n+1)} \cdot (z-z_o)^{n+1} </math> Der zugehörige Zweig von <math>F</math> ist insgesamt auf dem Gebiet <math>G:= \C \setminus \{ z\in \C \, : \, z=\lambda \cdot z_0 \mbox{ mit } 0 \geq \lambda \in \R \}</math> definiert. === Bemerkung - Eindeutigkeitlemma für Logarithmuszweige === Das [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] zeigt, dass mit der Wahl eines [[einfach zusammenhängend]]en <math>G</math> mit <math>0\notin G</math> und der Festlegung des Imaginärteiles des Logarithmuszweige für ein <math>z_0\in G</math> der gesamte Zwei des Logarithmus eindeutig definiert ist. Ferner wird zwischen dem (reellen) Hauptzweig und dem imaginären Hauptzweig des Logarithmus unterschieden, wobei einmal der negative reelle Achse entfernt wurde und für imaginären Hauptzweig des Logarithmus negative reelle Achse in <math>G</math> fehlt. == Siehe auch == * [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * [[/generalisiert/|generalisierte Logarithmen]] * [[Logarithmus]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Lokale_Entwicklung_in_Potenzreihen|Lokale Entwicklung in Potenzreihen]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus Logarithmus] https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus * Datum: 31.7.2025 * [https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis/Logarithm]]</noinclude> [[Kategorie:Funktionentheorie]] qaktvj24iyb7dm0ay5lk6if4ko0tba6 1115641 1115640 2026-10-09T18:47:38Z Bert Niehaus 20843 /* Zweig des Logarithmus */ 1115641 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird der Zusammenhang zwischen der Funktion <math> \exp(z) </math> und <math> \frac{1}{z} </math> sowie die Definition eines Zweiges des Logarithmus und die Notwendigkeit der Einschränkung der Definitions- und Wertebereiche der Exponentialfunktion betrachtet, um eine bijektive Abbildung der Exponentialfunktion zu erhalten. :<math> \exp(z) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{n!} </math> === Vertiefende Lerneinheiten === * [[/Zweige/]] * [[/Argumentfunktion/|Argumentfunktion und Polarkoordinatendarstellung]] * [[/generalisiert/|generalisierter Logarithmus]] auf beliebigen [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] [[Gebiet (Mathematik)|Gebieten]], * [[/logmod/|logmod-Funktion]] und Periodizität der Exponentionalfunktion * [[/rlog/|rlog-Funktion]], beschreibt wie oft kann man einen Logarithmus als Verkettung "rekursiv" anwenden kann. * [[/rekursiver Logarithmus/]] als Mehrfachverkettung des Logarithmus mit sich selbst. * [[/Eulersche Nullstellen/]] * [[/einfach zusammenhängende LOG-Gebiete/]] === Zusammenhang zwischen Exponentialfunktion und Logarithmus === Die Exponentialfunktion <math> \exp(z) </math> ist eine ganze Funktion, dessen Definitionsbereich <math>\mathbb{D} \subset \mathbb{C}</math> und Wertebereich <math>\mathbb{D} \subset \mathbb{C}</math> einschränken muss, um eine bijektive Abbildung und <math> \exp : \mathbb{D} \to \mathbb{W}</math> zu erhalten, für die man eine Umkehrfunktion definieren kann. === Situation in der reellen Zahlen - Umkehrfunktion von exp(z) === <math> \exp : \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> ist injektiv aber nicht surjektiv. Durch die Einschränkung des Wertebereiches von <math>\mathbb{R}</math> auf <math>\mathbb{R}^{+}</math> ist die Funktion <math> \exp : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^{+}</math> bijektiv und man kann nach einer Umkehrfunktion (den [[w:de:natürlicher Logarithmus|natürliche Logarithmus]]) suchen. Diese Konzept der Suche nach potentiellen Umgekehrfunktionen kann in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] nicht eindeutig beantwortet werden. In den komplexen Zahlen gibt unabhängig von der Wahl der Konstanten einer Stammfunktion von <math>\tfrac{1}{z}</math> unterschiedliche Möglichkeiten Logarithmen zu definieren. == Aufgaben == * '''(A1)''' [[Logarithmus#A1|Injektivität und Surjektivität]] * '''(A2)''' [[Logarithmus#A2|Stammfunktion als Wegintegrale]] <span id="aufgabe1"></span> === Aufgabe 1 - Umkehrbarkeit der komplexen Exponentialfunktion === Erläutern Sie, warum <math> \exp : \mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> weder injektiv noch surjektiv ist. Schränken Sie den Definitionsbereich und Wertebereich der komplexen Exponentialfunktion so ein, dass <math> \exp : \mathbb{D} \to \mathbb{W}</math> bijektiv ist und eine [[w:de:Umkehrfunktion|Umkehrfunktion]] besitzt! <span id="aufgabe2"></span> === Aufgabe 2 - Stammfunktion von 1/x in den reellen Zahlen === In den reellen Zahlen der Logarithmus z.B. auf den positiven reellen Zahlen die Stammfunktion von <math>\frac{1}{x} </math>. Welche Beziehung besteht zwischen eine Zweig des Logarithmus und einem Wegintegral über die Funktion <math>\frac{1}{x} </math>. === Eigenschaften 1/z im Komplexen === Die holomorphe Funktion <math> f(z)=\frac{1}{z} </math> ist eine rationale Funktion, die auf <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> definiert ist. Sie besitzt aber auf <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> keine Stammfunktion, denn sonst würde das Integral über den Kreis um 0 nicht den Wert <math>2\pi i</math> sondern 0 liefern. <math> f(z)=\frac{1}{z} </math> hat eine Polstelle bei <math> z = 0 </math>. === Einschränkung des Definitions- / Wertebereiches === * '''([[w:de:Injektivität|injektiv]])''' Um eine injektive Abbildung für Definition des Logarithmus zu erhalten, muss man den ''Definitionsbereich'' einschränken, damit die Element aus dem Definitionsbereich entfernt, die auf die gleichen Bildpunkt abgebildet werden. * '''([[w:de:Surjektivität|surjektiv]])''' Um eine surjektive Abbildung für Definition des Logarithmus zu erhalten, muss man den ''Wertebereich'' einschränken und "nicht getroffene" Elemente aus dem Wertebereich zu entfernen == Definition des komplexen Logarithmus == Analog zur reellen Definition heißt jede komplexe Zahl <math>w</math> ein ''natürlicher Logarithmus'' von <math>z</math>, wenn <math>w</math> die folgende Gleichung bzgl. einem gegebenen <math>z</math> erfüllt: : <math>\mathrm{e}^w = z</math> === Existenz === Für jedes <math>z \in \mathbb{C} \setminus \{0\}</math> existiert ein solches <math>w</math>. Man stellt dazu das Element <math>z</math> in Polarkoordinaten mit <math>t\in [0,2\pi) </math> wie folgt dar: :<math> z= |z|\cdot e^{it} </math> Dann ist <math>w:=\underbrace{\ln(|z|)}_{\in \mathbb{R}} + i\cdot \underbrace{t}_{\in \mathbb{R}}</math> ein Logarithmus in <math>\mathbb{C}</math>, da mit [[w:de:Potenzgesetze|Potenzgesetzen]] folgende Gleichung gilt: :<math> e^w = e^{\ln(|z|) + i\cdot t} = e^{\ln(|z|)} \cdot e^{i\cdot t} = |z|\cdot e^{it} = z </math> === Eindeutigkeit === Im Unterschied zum reellen Logarithmus ist der komplexe Logarithmus wegen : <math>\mathrm{e}^{2k\pi \mathrm{i}} = 1, \quad k \in \mathbb{Z}</math>, nicht eindeutig bestimmt ist. Hat man also einen Logarithmus <math>w</math> von <math>z</math> gefunden, so ist damit auch : <math>w' =\,\! w + 2k\pi \mathrm{i}</math> mit jeder ganzen Zahl <math>k</math> ein Logarithmus von <math>z</math>, denn es gilt : <math>\mathrm{e}^{w'} = \mathrm{e}^{w + 2k\pi \mathrm{i}} = \mathrm{e}^w \cdot \mathrm{e}^{2k\pi \mathrm{i}} = \mathrm{e}^w \cdot 1 = \mathrm{e}^w = z</math>. === Komplexer Logarithmus als Abbildung === Für die Definition einer Abbildung muss man einen eindeutigen Funktionswerte <math>\ln(z):=w</math> definieren. Um Eindeutigkeit zu erreichen, wählt man aus den möglichen Werten für <math>w</math> solche Werte aus, die in einem geeigneten Streifen der komplexen Zahlenebene liegen. Man kann z.&nbsp;B. den Streifen : <math>\left\{w \in \mathbb{C}: -\pi < \operatorname{Im}\,w \leq \pi \right\}</math> verwenden. Ein Wert <math>w</math> aus diesem Streifen heißt ''Hauptwert'' (engl. ''principal value'') des Logarithmus, und man schreibt <math>w = \ln(z)</math>. === Zweige des Logarithmus === Stellt man <math>z = |z| \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i} \arg(z)}</math> in [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|Polarform]] dar, so erhält man eine einfache Darstellung des ''k-ten Zweiges'' der Logarithmusfunktion: : <math>w = \ln |z| + \mathrm{i}\left(\arg(z) + 2k\pi\right), \quad k\in\mathbb{Z}</math> mit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] <math>\arg</math>. Im Summanden <math>\ln |z|</math> wird der bereits oben definierte reelle Logarithmus <math>\ln</math> verwendet. Für <math>k = 0</math> erhält man den ''Hauptzweig'' des komplexen Logarithmus zurück: : <math>\ln z = \ln|z| + \mathrm{i}\arg(z)</math>. === Stetigkeit von Zweigen des Logarithmus === <math>\ln: \mathbb{C}\setminus\{0\} \to \mathbb{C}</math> ist nicht stetig in den Punkten <math>\mathcal{N} := \{z \in \mathbb{C} \, \colon \, (z=x+i\cdot 0) \wedge (0 < x\in \mathbb{R}) \}</math>. Entfernt man jedoch die negative reelle Achse <math>\mathcal{N}</math>, so ist <math>\ln</math> auf dem Gebiet : <math>\mathbb{C}\setminus\{x \in \mathbb{R}: x\leq 0\}</math> stetig und sogar [[w:de:Holomorphe Funktion|holomorph]]. === Algebraisch vollständige Logarithmus === Für den [[Polynomialer Nullstellensatz|polynomialen Nullstellensatz]] === Vergleich - Rechenregeln reeller/komplexer Logarithmus === Für den Hauptzweig des komplexen Logarithmus <math>\ln</math> gelten nicht alle der weiter oben angeführten [[w:de:Logarithmus#Logarithmengesetze|Rechenregeln für die reelle Logarithmusfunktion]]. Sie gelten nur <math>\text{mod } 2\pi \mathrm{i}</math>. ==== Mehrdeutigkeit und Periodizität 1 ==== Diese Mehrdeutigkeit ist eine direkte Folge aus der Periodizität seiner Umkehrfunktion, der komplexen Exponentialfunktion. Es gilt: : <math>\ln(x) + \ln(y) = \ln(x \cdot y)+ 2\pi n \, \,\, n\in \mathbb{Z} </math> ==== Mehrdeutigkeit und Periodizität 2 ==== Der Vergleich von <math>\ln(x) + \ln(y)</math> und <math>\ln(x \cdot y)</math> zeigt: : <math> \begin{array}{rcl} \ln(\underbrace{-1+\mathrm{i}}_{=x}) + \ln(\underbrace{-1+\mathrm{i}}_{=y}) & = & \bigl(\ln\sqrt2+\frac{3\pi}4\mathrm{i}\bigr) + \bigl(\ln\sqrt2+\frac{3\pi}4\mathrm{i}\bigr) \\ & = & \ln2+\frac{3\pi}2\mathrm{i} \end{array} </math> und :<math> \ln\bigl(\underbrace{(-1+\mathrm{i}}_{=x})\cdot (\underbrace{-1+\mathrm{i}}_{=y})\bigr) = \ln(-2\mathrm{i})=\ln2-\frac\pi2\mathrm{i}</math> ==== Mehrdeutigkeit und Periodizität 3 ==== Dies liefert ein Beispiel, dass <math>\ln x + \ln y = \ln(x \cdot y)</math> nicht für beliebige <math>x,y\in \mathbb{C}</math> gilt. Der rechte und linke Term unterscheiden sich, um Vielfache von <math>2\pi</math>, d.h. : <math>\ln x + \ln y = \ln(x \cdot y) + 2\pi n</math> ==== Mehrdeutigkeit und Periodizität 4 ==== Auch die Gleichung : <math>y \cdot \ln (x) = \ln\left({x^y}\right)</math> ist nicht immer erfüllt, wie das Gegenbeispiel : <math>2\pi \mathrm{i} \ln (\mathrm{e}) = 2\pi \mathrm{i} \; \neq \; 0 = \ln 1 = \ln(\mathrm{e}^{2\pi \mathrm{i}})</math> beweist. === Graphen === <gallery widths="180" heights="120" perrow="3" caption="Grafische Darstellung des komplexen Logarithmus"> Ln abs.png|Betrag von <math>\ln z</math> Ln re.png|Realteil von <math>\ln z</math> Ln im.png|Imaginärteil von <math>\ln z</math> </gallery> ==== Hauptzweig ==== Mit dem oben definierten Hauptzweig des komplexen Logarithmus kann man den Logarithmus für negative reellen Zahlen erklären: : <math>\ln(-x) = \ln\left\vert-x\right\vert+ \mathrm{i}\arg(-x) = \ln x + \mathrm{i}\pi, \quad x\in\mathbb{R}^+\ .</math> Das setzt voraus, dass die [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] <math>\arg</math> negativen reellen Zahlen den Wert <math>\pi</math> zuweist. ==== Bemerkung - Argumentfunktion ==== Diese Betrachtungen zeigen, dass die Mehrdeutigkeit des komplexen Logarithmus letztlich auf die Mehrdeutigkeit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] zurückzuführen ist. == Entwicklung in Potenzreihen == Jede auf einem Gebiet <math>G</math> [[holomorphe Funktion]] lässt sich lokal in eine Potenzreihe entwickelt. Durch den Zusammenhang von <math>\frac{1}{z}</math> und dem Logarithmus erhält man auch eine Potenzreihendarstellung für beliebige [[w:de:Potenzreihe|Entwicklungspunkte]] <math>z_o=|z_o|\cdot e^{it} \not=0</math> über die [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] mit <math>q=\frac{z-z_o}{-z_o}</math> und <math>|z-z_0| < |z_0|</math>: :<math>f(z)= \frac{1}{z} = \frac{1}{z_o} \cdot \frac{1}{ 1- \underbrace{\frac{z-z_o}{-z_o} }_{=q} } = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1}} }_{=a_n} \cdot (z-z_o)^n </math> === Stammfunktion - Konstante der Taylorreihe === Für den Zweig des Logarithmus erhält man daher folgende Potenzreihendarstellung auf <math>\overline{D_r(z_0)}</math> mit <math>r< |z_0|</math> und <math>c= \ln(|z_o|) + i\cdot t</math> mit <math>t\in \mathbb{R}</math>: :<math>F(z)= c + \sum_{n=0}^\infty \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1} \cdot (n+1)} \cdot (z-z_o)^{n+1} </math> Der zugehörige Zweig von <math>F</math> ist insgesamt auf dem Gebiet <math>G:= \C \setminus \{ z\in \C \, : \, z=\lambda \cdot z_0 \mbox{ mit } 0 \geq \lambda \in \R \}</math> definiert. === Bemerkung - Eindeutigkeitlemma für Logarithmuszweige === Das [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] zeigt, dass mit der Wahl eines [[einfach zusammenhängend]]en <math>G</math> mit <math>0\notin G</math> und der Festlegung des Imaginärteiles des Logarithmuszweige für ein <math>z_0\in G</math> der gesamte Zwei des Logarithmus eindeutig definiert ist. Ferner wird zwischen dem (reellen) Hauptzweig und dem imaginären Hauptzweig des Logarithmus unterschieden, wobei einmal der negative reelle Achse entfernt wurde und für imaginären Hauptzweig des Logarithmus negative reelle Achse in <math>G</math> fehlt. == Siehe auch == * [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * [[/generalisiert/|generalisierte Logarithmen]] * [[Logarithmus]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Lokale_Entwicklung_in_Potenzreihen|Lokale Entwicklung in Potenzreihen]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus Logarithmus] https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus * Datum: 31.7.2025 * [https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis/Logarithm]]</noinclude> [[Kategorie:Funktionentheorie]] mk0gv3zqyd2o0tb7gspi5bghrjgd7zs 1115642 1115641 2026-10-09T18:49:18Z Bert Niehaus 20843 1115642 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird der Zusammenhang zwischen der Funktion <math> \exp(z) </math> und <math> \frac{1}{z} </math> sowie die Definition eines Zweiges des Logarithmus und die Notwendigkeit der Einschränkung der Definitions- und Wertebereiche der Exponentialfunktion betrachtet, um eine bijektive Abbildung der Exponentialfunktion zu erhalten. :<math> \exp(z) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{n!} </math> === Vertiefende Lerneinheiten === * [[/Zweige/]] * [[/Argumentfunktion/|Argumentfunktion und Polarkoordinatendarstellung]] * [[/generalisiert/|generalisierter Logarithmus]] auf beliebigen [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] [[Gebiet (Mathematik)|Gebieten]], * [[/logmod/|logmod-Funktion]] und Periodizität der Exponentionalfunktion * [[/rlog/|rlog-Funktion]], beschreibt wie oft kann man einen Logarithmus als Verkettung "rekursiv" anwenden kann. * [[/rekursiver Logarithmus/]] als Mehrfachverkettung des Logarithmus mit sich selbst. * [[/Eulersche Nullstellen/]] * [[/einfach zusammenhängende LOG-Gebiete/]] === Zusammenhang zwischen Exponentialfunktion und Logarithmus === Die Exponentialfunktion <math> \exp(z) </math> ist eine ganze Funktion, dessen Definitionsbereich <math>\mathbb{D} \subset \mathbb{C}</math> und Wertebereich <math>\mathbb{D} \subset \mathbb{C}</math> einschränken muss, um eine bijektive Abbildung und <math> \exp : \mathbb{D} \to \mathbb{W}</math> zu erhalten, für die man eine Umkehrfunktion definieren kann. === Situation in der reellen Zahlen - Umkehrfunktion von exp(z) === <math> \exp : \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> ist injektiv aber nicht surjektiv. Durch die Einschränkung des Wertebereiches von <math>\mathbb{R}</math> auf <math>\mathbb{R}^{+}</math> ist die Funktion <math> \exp : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^{+}</math> bijektiv und man kann nach einer Umkehrfunktion (den [[w:de:natürlicher Logarithmus|natürliche Logarithmus]]) suchen. Diese Konzept der Suche nach potentiellen Umgekehrfunktionen kann in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] nicht eindeutig beantwortet werden. In den komplexen Zahlen gibt unabhängig von der Wahl der Konstanten einer Stammfunktion von <math>\tfrac{1}{z}</math> unterschiedliche Möglichkeiten Logarithmen zu definieren. == Aufgaben == * '''(A1)''' [[Logarithmus#A1|Injektivität und Surjektivität]] * '''(A2)''' [[Logarithmus#A2|Stammfunktion als Wegintegrale]] <span id="aufgabe1"></span> === Aufgabe 1 - Umkehrbarkeit der komplexen Exponentialfunktion === Erläutern Sie, warum <math> \exp : \mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> weder injektiv noch surjektiv ist. Schränken Sie den Definitionsbereich und Wertebereich der komplexen Exponentialfunktion so ein, dass <math> \exp : \mathbb{D} \to \mathbb{W}</math> bijektiv ist und eine [[w:de:Umkehrfunktion|Umkehrfunktion]] besitzt! <span id="aufgabe2"></span> === Aufgabe 2 - Stammfunktion von 1/x in den reellen Zahlen === In den reellen Zahlen der Logarithmus z.B. auf den positiven reellen Zahlen die Stammfunktion von <math>\frac{1}{x} </math>. Welche Beziehung besteht zwischen eine Zweig des Logarithmus und einem Wegintegral über die Funktion <math>\frac{1}{x} </math>. === Eigenschaften 1/z im Komplexen === Die holomorphe Funktion <math> f(z)=\frac{1}{z} </math> ist eine rationale Funktion, die auf <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> definiert ist. Sie besitzt aber auf <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> keine Stammfunktion, denn sonst würde das Integral über den Kreis um 0 nicht den Wert <math>2\pi i</math> sondern 0 liefern. <math> f(z)=\frac{1}{z} </math> hat eine Polstelle bei <math> z = 0 </math>. === Einschränkung des Definitions- / Wertebereiches === * '''([[w:de:Injektivität|injektiv]])''' Um eine injektive Abbildung für Definition des Logarithmus zu erhalten, muss man den ''Definitionsbereich'' einschränken, damit die Element aus dem Definitionsbereich entfernt, die auf die gleichen Bildpunkt abgebildet werden. * '''([[w:de:Surjektivität|surjektiv]])''' Um eine surjektive Abbildung für Definition des Logarithmus zu erhalten, muss man den ''Wertebereich'' einschränken und "nicht getroffene" Elemente aus dem Wertebereich zu entfernen <span id="komplex"></span> == Definition des komplexen Logarithmus == Analog zur reellen Definition heißt jede komplexe Zahl <math>w</math> ein ''natürlicher Logarithmus'' von <math>z</math>, wenn <math>w</math> die folgende Gleichung bzgl. einem gegebenen <math>z</math> erfüllt: : <math>\mathrm{e}^w = z</math> === Existenz === Für jedes <math>z \in \mathbb{C} \setminus \{0\}</math> existiert ein solches <math>w</math>. Man stellt dazu das Element <math>z</math> in Polarkoordinaten mit <math>t\in [0,2\pi) </math> wie folgt dar: :<math> z= |z|\cdot e^{it} </math> Dann ist <math>w:=\underbrace{\ln(|z|)}_{\in \mathbb{R}} + i\cdot \underbrace{t}_{\in \mathbb{R}}</math> ein Logarithmus in <math>\mathbb{C}</math>, da mit [[w:de:Potenzgesetze|Potenzgesetzen]] folgende Gleichung gilt: :<math> e^w = e^{\ln(|z|) + i\cdot t} = e^{\ln(|z|)} \cdot e^{i\cdot t} = |z|\cdot e^{it} = z </math> === Eindeutigkeit === Im Unterschied zum reellen Logarithmus ist der komplexe Logarithmus wegen : <math>\mathrm{e}^{2k\pi \mathrm{i}} = 1, \quad k \in \mathbb{Z}</math>, nicht eindeutig bestimmt ist. Hat man also einen Logarithmus <math>w</math> von <math>z</math> gefunden, so ist damit auch : <math>w' =\,\! w + 2k\pi \mathrm{i}</math> mit jeder ganzen Zahl <math>k</math> ein Logarithmus von <math>z</math>, denn es gilt : <math>\mathrm{e}^{w'} = \mathrm{e}^{w + 2k\pi \mathrm{i}} = \mathrm{e}^w \cdot \mathrm{e}^{2k\pi \mathrm{i}} = \mathrm{e}^w \cdot 1 = \mathrm{e}^w = z</math>. === Komplexer Logarithmus als Abbildung === Für die Definition einer Abbildung muss man einen eindeutigen Funktionswerte <math>\ln(z):=w</math> definieren. Um Eindeutigkeit zu erreichen, wählt man aus den möglichen Werten für <math>w</math> solche Werte aus, die in einem geeigneten Streifen der komplexen Zahlenebene liegen. Man kann z.&nbsp;B. den Streifen : <math>\left\{w \in \mathbb{C}: -\pi < \operatorname{Im}\,w \leq \pi \right\}</math> verwenden. Ein Wert <math>w</math> aus diesem Streifen heißt ''Hauptwert'' (engl. ''principal value'') des Logarithmus, und man schreibt <math>w = \ln(z)</math>. === Zweige des Logarithmus === Stellt man <math>z = |z| \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i} \arg(z)}</math> in [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|Polarform]] dar, so erhält man eine einfache Darstellung des ''k-ten Zweiges'' der Logarithmusfunktion: : <math>w = \ln |z| + \mathrm{i}\left(\arg(z) + 2k\pi\right), \quad k\in\mathbb{Z}</math> mit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] <math>\arg</math>. Im Summanden <math>\ln |z|</math> wird der bereits oben definierte reelle Logarithmus <math>\ln</math> verwendet. Für <math>k = 0</math> erhält man den ''Hauptzweig'' des komplexen Logarithmus zurück: : <math>\ln z = \ln|z| + \mathrm{i}\arg(z)</math>. === Stetigkeit von Zweigen des Logarithmus === <math>\ln: \mathbb{C}\setminus\{0\} \to \mathbb{C}</math> ist nicht stetig in den Punkten <math>\mathcal{N} := \{z \in \mathbb{C} \, \colon \, (z=x+i\cdot 0) \wedge (0 < x\in \mathbb{R}) \}</math>. Entfernt man jedoch die negative reelle Achse <math>\mathcal{N}</math>, so ist <math>\ln</math> auf dem Gebiet : <math>\mathbb{C}\setminus\{x \in \mathbb{R}: x\leq 0\}</math> stetig und sogar [[w:de:Holomorphe Funktion|holomorph]]. === Algebraisch vollständige Logarithmus === Für den [[Polynomialer Nullstellensatz|polynomialen Nullstellensatz]] === Vergleich - Rechenregeln reeller/komplexer Logarithmus === Für den Hauptzweig des komplexen Logarithmus <math>\ln</math> gelten nicht alle der weiter oben angeführten [[w:de:Logarithmus#Logarithmengesetze|Rechenregeln für die reelle Logarithmusfunktion]]. Sie gelten nur <math>\text{mod } 2\pi \mathrm{i}</math>. ==== Mehrdeutigkeit und Periodizität 1 ==== Diese Mehrdeutigkeit ist eine direkte Folge aus der Periodizität seiner Umkehrfunktion, der komplexen Exponentialfunktion. Es gilt: : <math>\ln(x) + \ln(y) = \ln(x \cdot y)+ 2\pi n \, \,\, n\in \mathbb{Z} </math> ==== Mehrdeutigkeit und Periodizität 2 ==== Der Vergleich von <math>\ln(x) + \ln(y)</math> und <math>\ln(x \cdot y)</math> zeigt: : <math> \begin{array}{rcl} \ln(\underbrace{-1+\mathrm{i}}_{=x}) + \ln(\underbrace{-1+\mathrm{i}}_{=y}) & = & \bigl(\ln\sqrt2+\frac{3\pi}4\mathrm{i}\bigr) + \bigl(\ln\sqrt2+\frac{3\pi}4\mathrm{i}\bigr) \\ & = & \ln2+\frac{3\pi}2\mathrm{i} \end{array} </math> und :<math> \ln\bigl(\underbrace{(-1+\mathrm{i}}_{=x})\cdot (\underbrace{-1+\mathrm{i}}_{=y})\bigr) = \ln(-2\mathrm{i})=\ln2-\frac\pi2\mathrm{i}</math> ==== Mehrdeutigkeit und Periodizität 3 ==== Dies liefert ein Beispiel, dass <math>\ln x + \ln y = \ln(x \cdot y)</math> nicht für beliebige <math>x,y\in \mathbb{C}</math> gilt. Der rechte und linke Term unterscheiden sich, um Vielfache von <math>2\pi</math>, d.h. : <math>\ln x + \ln y = \ln(x \cdot y) + 2\pi n</math> ==== Mehrdeutigkeit und Periodizität 4 ==== Auch die Gleichung : <math>y \cdot \ln (x) = \ln\left({x^y}\right)</math> ist nicht immer erfüllt, wie das Gegenbeispiel : <math>2\pi \mathrm{i} \ln (\mathrm{e}) = 2\pi \mathrm{i} \; \neq \; 0 = \ln 1 = \ln(\mathrm{e}^{2\pi \mathrm{i}})</math> beweist. === Graphen === <gallery widths="180" heights="120" perrow="3" caption="Grafische Darstellung des komplexen Logarithmus"> Ln abs.png|Betrag von <math>\ln z</math> Ln re.png|Realteil von <math>\ln z</math> Ln im.png|Imaginärteil von <math>\ln z</math> </gallery> ==== Hauptzweig ==== Mit dem oben definierten Hauptzweig des komplexen Logarithmus kann man den Logarithmus für negative reellen Zahlen erklären: : <math>\ln(-x) = \ln\left\vert-x\right\vert+ \mathrm{i}\arg(-x) = \ln x + \mathrm{i}\pi, \quad x\in\mathbb{R}^+\ .</math> Das setzt voraus, dass die [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] <math>\arg</math> negativen reellen Zahlen den Wert <math>\pi</math> zuweist. ==== Bemerkung - Argumentfunktion ==== Diese Betrachtungen zeigen, dass die Mehrdeutigkeit des komplexen Logarithmus letztlich auf die Mehrdeutigkeit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] zurückzuführen ist. == Entwicklung in Potenzreihen == Jede auf einem Gebiet <math>G</math> [[holomorphe Funktion]] lässt sich lokal in eine Potenzreihe entwickelt. Durch den Zusammenhang von <math>\frac{1}{z}</math> und dem Logarithmus erhält man auch eine Potenzreihendarstellung für beliebige [[w:de:Potenzreihe|Entwicklungspunkte]] <math>z_o=|z_o|\cdot e^{it} \not=0</math> über die [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] mit <math>q=\frac{z-z_o}{-z_o}</math> und <math>|z-z_0| < |z_0|</math>: :<math>f(z)= \frac{1}{z} = \frac{1}{z_o} \cdot \frac{1}{ 1- \underbrace{\frac{z-z_o}{-z_o} }_{=q} } = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1}} }_{=a_n} \cdot (z-z_o)^n </math> === Stammfunktion - Konstante der Taylorreihe === Für den Zweig des Logarithmus erhält man daher folgende Potenzreihendarstellung auf <math>\overline{D_r(z_0)}</math> mit <math>r< |z_0|</math> und <math>c= \ln(|z_o|) + i\cdot t</math> mit <math>t\in \mathbb{R}</math>: :<math>F(z)= c + \sum_{n=0}^\infty \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1} \cdot (n+1)} \cdot (z-z_o)^{n+1} </math> Der zugehörige Zweig von <math>F</math> ist insgesamt auf dem Gebiet <math>G:= \C \setminus \{ z\in \C \, : \, z=\lambda \cdot z_0 \mbox{ mit } 0 \geq \lambda \in \R \}</math> definiert. === Bemerkung - Eindeutigkeitlemma für Logarithmuszweige === Das [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] zeigt, dass mit der Wahl eines [[einfach zusammenhängend]]en <math>G</math> mit <math>0\notin G</math> und der Festlegung des Imaginärteiles des Logarithmuszweige für ein <math>z_0\in G</math> der gesamte Zwei des Logarithmus eindeutig definiert ist. Ferner wird zwischen dem (reellen) Hauptzweig und dem imaginären Hauptzweig des Logarithmus unterschieden, wobei einmal der negative reelle Achse entfernt wurde und für imaginären Hauptzweig des Logarithmus negative reelle Achse in <math>G</math> fehlt. == Siehe auch == * [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * [[/generalisiert/|generalisierte Logarithmen]] * [[Logarithmus]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Lokale_Entwicklung_in_Potenzreihen|Lokale Entwicklung in Potenzreihen]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus Logarithmus] https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus * Datum: 31.7.2025 * [https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis/Logarithm]]</noinclude> [[Kategorie:Funktionentheorie]] 77it8eawulu1cwcggorem5ern3lysmo 1115643 1115642 2026-10-09T18:49:35Z Bert Niehaus 20843 /* Vertiefende Lerneinheiten */ 1115643 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird der Zusammenhang zwischen der Funktion <math> \exp(z) </math> und <math> \frac{1}{z} </math> sowie die Definition eines Zweiges des Logarithmus und die Notwendigkeit der Einschränkung der Definitions- und Wertebereiche der Exponentialfunktion betrachtet, um eine bijektive Abbildung der Exponentialfunktion zu erhalten. :<math> \exp(z) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{n!} </math> === Vertiefende Lerneinheiten === * [[/Zweige/|Zweige des Logarithmus]] * [[/Argumentfunktion/|Argumentfunktion und Polarkoordinatendarstellung]] * [[/generalisiert/|generalisierter Logarithmus]] auf beliebigen [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] [[Gebiet (Mathematik)|Gebieten]], * [[/logmod/|logmod-Funktion]] und Periodizität der Exponentionalfunktion * [[/rlog/|rlog-Funktion]], beschreibt wie oft kann man einen Logarithmus als Verkettung "rekursiv" anwenden kann. * [[/rekursiver Logarithmus/]] als Mehrfachverkettung des Logarithmus mit sich selbst. * [[/Eulersche Nullstellen/]] * [[/einfach zusammenhängende LOG-Gebiete/]] === Zusammenhang zwischen Exponentialfunktion und Logarithmus === Die Exponentialfunktion <math> \exp(z) </math> ist eine ganze Funktion, dessen Definitionsbereich <math>\mathbb{D} \subset \mathbb{C}</math> und Wertebereich <math>\mathbb{D} \subset \mathbb{C}</math> einschränken muss, um eine bijektive Abbildung und <math> \exp : \mathbb{D} \to \mathbb{W}</math> zu erhalten, für die man eine Umkehrfunktion definieren kann. === Situation in der reellen Zahlen - Umkehrfunktion von exp(z) === <math> \exp : \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> ist injektiv aber nicht surjektiv. Durch die Einschränkung des Wertebereiches von <math>\mathbb{R}</math> auf <math>\mathbb{R}^{+}</math> ist die Funktion <math> \exp : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^{+}</math> bijektiv und man kann nach einer Umkehrfunktion (den [[w:de:natürlicher Logarithmus|natürliche Logarithmus]]) suchen. Diese Konzept der Suche nach potentiellen Umgekehrfunktionen kann in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] nicht eindeutig beantwortet werden. In den komplexen Zahlen gibt unabhängig von der Wahl der Konstanten einer Stammfunktion von <math>\tfrac{1}{z}</math> unterschiedliche Möglichkeiten Logarithmen zu definieren. == Aufgaben == * '''(A1)''' [[Logarithmus#A1|Injektivität und Surjektivität]] * '''(A2)''' [[Logarithmus#A2|Stammfunktion als Wegintegrale]] <span id="aufgabe1"></span> === Aufgabe 1 - Umkehrbarkeit der komplexen Exponentialfunktion === Erläutern Sie, warum <math> \exp : \mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> weder injektiv noch surjektiv ist. Schränken Sie den Definitionsbereich und Wertebereich der komplexen Exponentialfunktion so ein, dass <math> \exp : \mathbb{D} \to \mathbb{W}</math> bijektiv ist und eine [[w:de:Umkehrfunktion|Umkehrfunktion]] besitzt! <span id="aufgabe2"></span> === Aufgabe 2 - Stammfunktion von 1/x in den reellen Zahlen === In den reellen Zahlen der Logarithmus z.B. auf den positiven reellen Zahlen die Stammfunktion von <math>\frac{1}{x} </math>. Welche Beziehung besteht zwischen eine Zweig des Logarithmus und einem Wegintegral über die Funktion <math>\frac{1}{x} </math>. === Eigenschaften 1/z im Komplexen === Die holomorphe Funktion <math> f(z)=\frac{1}{z} </math> ist eine rationale Funktion, die auf <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> definiert ist. Sie besitzt aber auf <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> keine Stammfunktion, denn sonst würde das Integral über den Kreis um 0 nicht den Wert <math>2\pi i</math> sondern 0 liefern. <math> f(z)=\frac{1}{z} </math> hat eine Polstelle bei <math> z = 0 </math>. === Einschränkung des Definitions- / Wertebereiches === * '''([[w:de:Injektivität|injektiv]])''' Um eine injektive Abbildung für Definition des Logarithmus zu erhalten, muss man den ''Definitionsbereich'' einschränken, damit die Element aus dem Definitionsbereich entfernt, die auf die gleichen Bildpunkt abgebildet werden. * '''([[w:de:Surjektivität|surjektiv]])''' Um eine surjektive Abbildung für Definition des Logarithmus zu erhalten, muss man den ''Wertebereich'' einschränken und "nicht getroffene" Elemente aus dem Wertebereich zu entfernen <span id="komplex"></span> == Definition des komplexen Logarithmus == Analog zur reellen Definition heißt jede komplexe Zahl <math>w</math> ein ''natürlicher Logarithmus'' von <math>z</math>, wenn <math>w</math> die folgende Gleichung bzgl. einem gegebenen <math>z</math> erfüllt: : <math>\mathrm{e}^w = z</math> === Existenz === Für jedes <math>z \in \mathbb{C} \setminus \{0\}</math> existiert ein solches <math>w</math>. Man stellt dazu das Element <math>z</math> in Polarkoordinaten mit <math>t\in [0,2\pi) </math> wie folgt dar: :<math> z= |z|\cdot e^{it} </math> Dann ist <math>w:=\underbrace{\ln(|z|)}_{\in \mathbb{R}} + i\cdot \underbrace{t}_{\in \mathbb{R}}</math> ein Logarithmus in <math>\mathbb{C}</math>, da mit [[w:de:Potenzgesetze|Potenzgesetzen]] folgende Gleichung gilt: :<math> e^w = e^{\ln(|z|) + i\cdot t} = e^{\ln(|z|)} \cdot e^{i\cdot t} = |z|\cdot e^{it} = z </math> === Eindeutigkeit === Im Unterschied zum reellen Logarithmus ist der komplexe Logarithmus wegen : <math>\mathrm{e}^{2k\pi \mathrm{i}} = 1, \quad k \in \mathbb{Z}</math>, nicht eindeutig bestimmt ist. Hat man also einen Logarithmus <math>w</math> von <math>z</math> gefunden, so ist damit auch : <math>w' =\,\! w + 2k\pi \mathrm{i}</math> mit jeder ganzen Zahl <math>k</math> ein Logarithmus von <math>z</math>, denn es gilt : <math>\mathrm{e}^{w'} = \mathrm{e}^{w + 2k\pi \mathrm{i}} = \mathrm{e}^w \cdot \mathrm{e}^{2k\pi \mathrm{i}} = \mathrm{e}^w \cdot 1 = \mathrm{e}^w = z</math>. === Komplexer Logarithmus als Abbildung === Für die Definition einer Abbildung muss man einen eindeutigen Funktionswerte <math>\ln(z):=w</math> definieren. Um Eindeutigkeit zu erreichen, wählt man aus den möglichen Werten für <math>w</math> solche Werte aus, die in einem geeigneten Streifen der komplexen Zahlenebene liegen. Man kann z.&nbsp;B. den Streifen : <math>\left\{w \in \mathbb{C}: -\pi < \operatorname{Im}\,w \leq \pi \right\}</math> verwenden. Ein Wert <math>w</math> aus diesem Streifen heißt ''Hauptwert'' (engl. ''principal value'') des Logarithmus, und man schreibt <math>w = \ln(z)</math>. === Zweige des Logarithmus === Stellt man <math>z = |z| \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i} \arg(z)}</math> in [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|Polarform]] dar, so erhält man eine einfache Darstellung des ''k-ten Zweiges'' der Logarithmusfunktion: : <math>w = \ln |z| + \mathrm{i}\left(\arg(z) + 2k\pi\right), \quad k\in\mathbb{Z}</math> mit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] <math>\arg</math>. Im Summanden <math>\ln |z|</math> wird der bereits oben definierte reelle Logarithmus <math>\ln</math> verwendet. Für <math>k = 0</math> erhält man den ''Hauptzweig'' des komplexen Logarithmus zurück: : <math>\ln z = \ln|z| + \mathrm{i}\arg(z)</math>. === Stetigkeit von Zweigen des Logarithmus === <math>\ln: \mathbb{C}\setminus\{0\} \to \mathbb{C}</math> ist nicht stetig in den Punkten <math>\mathcal{N} := \{z \in \mathbb{C} \, \colon \, (z=x+i\cdot 0) \wedge (0 < x\in \mathbb{R}) \}</math>. Entfernt man jedoch die negative reelle Achse <math>\mathcal{N}</math>, so ist <math>\ln</math> auf dem Gebiet : <math>\mathbb{C}\setminus\{x \in \mathbb{R}: x\leq 0\}</math> stetig und sogar [[w:de:Holomorphe Funktion|holomorph]]. === Algebraisch vollständige Logarithmus === Für den [[Polynomialer Nullstellensatz|polynomialen Nullstellensatz]] === Vergleich - Rechenregeln reeller/komplexer Logarithmus === Für den Hauptzweig des komplexen Logarithmus <math>\ln</math> gelten nicht alle der weiter oben angeführten [[w:de:Logarithmus#Logarithmengesetze|Rechenregeln für die reelle Logarithmusfunktion]]. Sie gelten nur <math>\text{mod } 2\pi \mathrm{i}</math>. ==== Mehrdeutigkeit und Periodizität 1 ==== Diese Mehrdeutigkeit ist eine direkte Folge aus der Periodizität seiner Umkehrfunktion, der komplexen Exponentialfunktion. Es gilt: : <math>\ln(x) + \ln(y) = \ln(x \cdot y)+ 2\pi n \, \,\, n\in \mathbb{Z} </math> ==== Mehrdeutigkeit und Periodizität 2 ==== Der Vergleich von <math>\ln(x) + \ln(y)</math> und <math>\ln(x \cdot y)</math> zeigt: : <math> \begin{array}{rcl} \ln(\underbrace{-1+\mathrm{i}}_{=x}) + \ln(\underbrace{-1+\mathrm{i}}_{=y}) & = & \bigl(\ln\sqrt2+\frac{3\pi}4\mathrm{i}\bigr) + \bigl(\ln\sqrt2+\frac{3\pi}4\mathrm{i}\bigr) \\ & = & \ln2+\frac{3\pi}2\mathrm{i} \end{array} </math> und :<math> \ln\bigl(\underbrace{(-1+\mathrm{i}}_{=x})\cdot (\underbrace{-1+\mathrm{i}}_{=y})\bigr) = \ln(-2\mathrm{i})=\ln2-\frac\pi2\mathrm{i}</math> ==== Mehrdeutigkeit und Periodizität 3 ==== Dies liefert ein Beispiel, dass <math>\ln x + \ln y = \ln(x \cdot y)</math> nicht für beliebige <math>x,y\in \mathbb{C}</math> gilt. Der rechte und linke Term unterscheiden sich, um Vielfache von <math>2\pi</math>, d.h. : <math>\ln x + \ln y = \ln(x \cdot y) + 2\pi n</math> ==== Mehrdeutigkeit und Periodizität 4 ==== Auch die Gleichung : <math>y \cdot \ln (x) = \ln\left({x^y}\right)</math> ist nicht immer erfüllt, wie das Gegenbeispiel : <math>2\pi \mathrm{i} \ln (\mathrm{e}) = 2\pi \mathrm{i} \; \neq \; 0 = \ln 1 = \ln(\mathrm{e}^{2\pi \mathrm{i}})</math> beweist. === Graphen === <gallery widths="180" heights="120" perrow="3" caption="Grafische Darstellung des komplexen Logarithmus"> Ln abs.png|Betrag von <math>\ln z</math> Ln re.png|Realteil von <math>\ln z</math> Ln im.png|Imaginärteil von <math>\ln z</math> </gallery> ==== Hauptzweig ==== Mit dem oben definierten Hauptzweig des komplexen Logarithmus kann man den Logarithmus für negative reellen Zahlen erklären: : <math>\ln(-x) = \ln\left\vert-x\right\vert+ \mathrm{i}\arg(-x) = \ln x + \mathrm{i}\pi, \quad x\in\mathbb{R}^+\ .</math> Das setzt voraus, dass die [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] <math>\arg</math> negativen reellen Zahlen den Wert <math>\pi</math> zuweist. ==== Bemerkung - Argumentfunktion ==== Diese Betrachtungen zeigen, dass die Mehrdeutigkeit des komplexen Logarithmus letztlich auf die Mehrdeutigkeit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] zurückzuführen ist. == Entwicklung in Potenzreihen == Jede auf einem Gebiet <math>G</math> [[holomorphe Funktion]] lässt sich lokal in eine Potenzreihe entwickelt. Durch den Zusammenhang von <math>\frac{1}{z}</math> und dem Logarithmus erhält man auch eine Potenzreihendarstellung für beliebige [[w:de:Potenzreihe|Entwicklungspunkte]] <math>z_o=|z_o|\cdot e^{it} \not=0</math> über die [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] mit <math>q=\frac{z-z_o}{-z_o}</math> und <math>|z-z_0| < |z_0|</math>: :<math>f(z)= \frac{1}{z} = \frac{1}{z_o} \cdot \frac{1}{ 1- \underbrace{\frac{z-z_o}{-z_o} }_{=q} } = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1}} }_{=a_n} \cdot (z-z_o)^n </math> === Stammfunktion - Konstante der Taylorreihe === Für den Zweig des Logarithmus erhält man daher folgende Potenzreihendarstellung auf <math>\overline{D_r(z_0)}</math> mit <math>r< |z_0|</math> und <math>c= \ln(|z_o|) + i\cdot t</math> mit <math>t\in \mathbb{R}</math>: :<math>F(z)= c + \sum_{n=0}^\infty \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1} \cdot (n+1)} \cdot (z-z_o)^{n+1} </math> Der zugehörige Zweig von <math>F</math> ist insgesamt auf dem Gebiet <math>G:= \C \setminus \{ z\in \C \, : \, z=\lambda \cdot z_0 \mbox{ mit } 0 \geq \lambda \in \R \}</math> definiert. === Bemerkung - Eindeutigkeitlemma für Logarithmuszweige === Das [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] zeigt, dass mit der Wahl eines [[einfach zusammenhängend]]en <math>G</math> mit <math>0\notin G</math> und der Festlegung des Imaginärteiles des Logarithmuszweige für ein <math>z_0\in G</math> der gesamte Zwei des Logarithmus eindeutig definiert ist. Ferner wird zwischen dem (reellen) Hauptzweig und dem imaginären Hauptzweig des Logarithmus unterschieden, wobei einmal der negative reelle Achse entfernt wurde und für imaginären Hauptzweig des Logarithmus negative reelle Achse in <math>G</math> fehlt. == Siehe auch == * [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * [[/generalisiert/|generalisierte Logarithmen]] * [[Logarithmus]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Lokale_Entwicklung_in_Potenzreihen|Lokale Entwicklung in Potenzreihen]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus Logarithmus] https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus * Datum: 31.7.2025 * [https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis/Logarithm]]</noinclude> [[Kategorie:Funktionentheorie]] o8d2jw8v2m0kzz25b21r5h7itejl7ll 106 170549 1115626 1080165 2026-10-09T14:20:49Z Bocardodarapti 2041 1115626 wikitext text/x-wiki {{Zwischenüberschrift|Liebe Freunde der Mathematik}} Herzlich willkommen zur Vorlesung {{Anführung|Grundkurs Mathematik I}} im Wintersemester 2026/2027. Dieses Blatt enthält die wesentlichen Informationen zu Ablauf, Aufgaben, Übungsbetrieb und Klausur der Veranstaltung. Fragen Sie bitte nach, wenn etwas unklar ist. {{Zwischenüberschrift|Allgemeines}} Die Veranstaltung {{Anführung|Grundkurs Mathematik I und II}} ist eine Pflichtveranstaltung im BEU-Mathematikstudium, die Sie erfolgreich abschließen müssen. Die Mathematik an einer Universität unterscheidet sich in mancherlei Hinsicht von der Schulmathematik; insbesondere erfordert die erfolgreiche Durchdringung des Stoffes nicht nur mathematische Begabung, sondern auch Ausdauer, Organisationsgeschick, Motivation, Fleiß und Frustrationstoleranz, und das von Anfang an. Der Besuch der Veranstaltungen ist formal gesehen frei und unterliegt keiner Kontrolle. Allerdings muss man auch deutlich sagen, dass der konsequente Besuch der Veranstaltung mit Nachdruck empfohlen wird. Die Veranstaltung sollte man als Ganzes betrachten mit allem, was dazu gehört: Vorlesung, Vor- und Nachbereitung der Vorlesung, Übungen und Tutorien mit aktiver Mitarbeit, intensive Bearbeitung der Aufgaben in Einzel- und Gruppenarbeit (Lektüre, Ideensammlung, Diskussion, Ansätze, Versuche, Optimierung, Reinschrift, Abgabe, Lektüre der Korrekturen, Fehlereinsicht), Studieren des Skripts, Netzseite, Literatur, Testklausuren, intensive Stoffwiederholung in der vorlesungsfreien Zeit, Klausur, mündliche Prüfung. Die Einzelteile ergeben für sich genommen wenig Sinn und nur durch eine intensive Beschäftigung mit dem Gesamtangebot kann das Verständnis der Inhalte gelingen, das Voraussetzung für den Studienerfolg ist. {{Zwischenüberschrift|Vorlesung}} In der Vorlesung wird der neue Stoff vorgestellt. Wir haben drei Vorlesungstermine angesetzt, sodass wir genügend Platz und Zeit für aktive Mitarbeit haben. Dies werde ich auch einfordern. Mathematik ist ein sehr systematisch aufgebautes Fach, bei dem man sehr schnell {{Anführung|draußen}} sein kann. Umso wichtiger ist es, dass Sie die Vorlesungen regelmäßig nachbereiten. Es gibt ein Skript, das den Inhalt der Vorlesung abdeckt (alle Materialien sind unter [[Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2026-2027)/Teil I]] erhältlich und stehen unter der CC-by-sa-4.0-Lizenz). Dies ermöglicht Ihnen auch, sich die kommenden Vorlesungen schon im Voraus anzusehen, was dringend empfohlen wird. Der Gebrauch von Mobiltelefonen ist während der Vorlesung und bei allen angeschlossenen Veranstaltungen verboten. {{Zwischenüberschrift|Arbeitsblätter}} Zu jeder Vorlesung gibt es ein Arbeitsblatt. Es besteht jeweils aus mehreren Übungen bzw. Aufgaben, die das Verständnis des Vorlesungsinhaltes vertiefen sollen. Es unterteilt sich in {{Anführung|Übungsaufgaben}} (die tendenziell einfacher sind) und {{Anführung|Aufgaben zum Abgeben|SZ=.}} Ich empfehle, den Stoff der Vorlesung anhand der Arbeitsblätter sofort und kontinuierlich nachzuarbeiten. Die Blätter sind verhältnismäßig umfangreich; der Umfang orientiert sich daran, in welchem Maße Sie sich (im Laufe des Kurses einschließlich der Vorbereitungszeit für die Klausur und die mündliche Prüfung) mit dem Stoff auseinandersetzen müssen, um ein sehr gutes Verständnis zu erzielen. Es wird nicht erwartet, dass Sie die Blätter vollständig in der Ausgabewoche bearbeiten. Bei der Gestaltung der Arbeitsblätter versuche ich grundsätzlich, ein umfangreiches Arbeitsangebot zur Verfügung zu stellen, das unterschiedliche Schwierigkeitsgrade abdeckt. Sie sollten sich dabei auf das für Sie Anspruchsvolle konzentrieren. Dass durch die Übungsaufgaben auch teilweise die Teilnahmeberechtigung an der Klausur erworben wird {{ Zusatz/Klammer |text=siehe unten| |ISZ=|ESZ=, }} ist wichtig, aber ein Nebenaspekt. {{Zwischenüberschrift|Übungen und Tutorien}} Die Übungen werden von Doktoranden eigenverantwortlich betreut. Es gibt zwei Arten von Übungen. Die Freitagsübung bildet die Brücke zwischen den Vorlesungen und den Aufgaben. Sie können Fragen zu den Vorlesungen der Woche stellen, es werden Übungsaufgaben besprochen, Präsenzaufgaben bearbeitet, Tipps zu den abzugebenden Aufgaben gegeben. In den Tutorien, die von studentischen Tutoren betreut werden, die auch Ihre Aufgaben korrigieren, werden Sie beim Lösen der abzugebenden Aufgaben unterstützt. Der Besuch der Tutorien ist nur dann sinnvoll, wenn Sie schon mitten im Bearbeiten sind, aber hier und da eine Rückmeldung, eine Bestätigung, einen Tipp brauchen könnten. Die Tutorien laufen ohne Programm im offenen Betrieb ab, typischerweise in Gruppenarbeit. In der Vorrechenübung am Donnerstag werden die korrigierte Aufgaben zurückgegeben und typische Fehler besprochen. Zu einer Auswahl der Aufgaben stellen Sie Ihre Lösungen vor {{ Zusatz/Klammer |text=siehe unten| |ISZ=|ESZ=. }} In allen Teilen ist die aktive Mitarbeit der Studierenden wichtig und wird erwartet. Ein Besuch einer Übungsgruppe ohne adäquate Vorbereitung ist wenig sinnvoll. {{Zwischenüberschrift|Abgabegruppen}} Die Aufgaben werden in festen Abgabegruppen bearbeitet. Die Abgabegruppen bestehen jeweils aus vier Personen. Bei der Zusammensetzung der Abgabegruppen empfiehlt es sich, ein ähnliches Niveau und kompatibles Engagement anzustreben, aber Sympathie, passende Zeiten spielen auch eine Rolle. Klären Sie miteinander, wie Sie in der Gruppe vorgehen wollen. Diese Abgabegruppen werden auf StudIP gebildet, indem sich die vier Leute unter einem Gruppenkürzel (z.B. X) eintragen. Dazu geht man auf die Veranstaltung in StudIP, dann TeilnehmerInnen, dann Funktionen/Gruppen. Auf dem abzugebenden Übungsblatt wird nur dieses Kürzel draufgeschrieben, nicht die einzelnen Namen. Ein Wechsel der Abgabegruppe ist nur in Rücksprache mit dem Dozenten möglich, und wenn in der aufnehmenden Gruppe ein Platz frei geworden ist. Melden Sie sich bitte ab, wenn Sie eine Gruppe verlassen möchten. Die pro Woche abzugebenden Übungen sollten getackert sein und auf dem Deckblatt, das gestellt wird, die folgenden Informationen enthalten: Abgabegruppe: X In einer Tabelle sollen die Aufgaben, die nicht bearbeitet wurden, durchgestrichen werden. Dann folgen die Lösungen zu den Aufgaben. Die Aufgaben sind handschriftlich abzugeben. Bitte keine Kopien oder doppelten Lösungen einreichen. Der gemeinsame Abgabetermin für die beiden Arbeitsblätter einer Vorlesungswoche ist der nächste Freitag um 10:00 im Eingangsbereich des Gebäudes 69. Sie werfen die arbeitsgruppenweise erstellten Lösungen (gebündelt mit Deckblatt) in eines der für die Vorlesung bereitgestellten Fächer. {{Zwischenüberschrift|Korrekturen}} Die Tutoren korrigieren die Aufgaben, und Sie erhalten die korrigierten Aufgaben in der Vorrechenübung der nächst folgenden Woche zurück. Wenn Sie eine Korrektur überhaupt nicht nachvollziehen können, wenden Sie sich bitte an den Korrekteur (=Tutor). Bei den Korrekturen sind einige Besonderheiten zu beachten. Pro Woche können maximal 15 Punkte gut geschrieben werden {{ Zusatz/Klammer |text={{anführung|Deckelregel}}| |ESZ=. }} Bei jeder (Teil-)Aufgabe gilt die {{Anführung|Sockelregel|SZ=,}} die besagt, dass eine Aufgabe {{ Zusatz/Klammer |text=bzw. ein Aufgabenteil| |ISZ=|ESZ= }} nur dann in die Wertung eingeht, wenn sie zumindest zur Hälfte richtig bearbeitet ist. Es muss also ein {{Anführung|substantieller Beitrag|}} zur Lösung der Aufgabe erkennbar sein. Damit soll verhindert werden, dass in der Hoffnung auf Punkte rudimentäre Beiträge abgegeben werden. Diese Sockelregel gilt auch in der Klausur. Für Rechenfehler{{Zusatz/Fußnote|text={{:Rechenfehler/Bemerkung|opt=Text}} }} wird grundsätzlich ein Punkt abgezogen. Es werden keine Musterlösungen ausgeteilt. Für einzelne Übungsaufgaben (zumeist frühere Klausuraufgaben), die mit einem Stern gekennzeichnet sind, gibt es Lösungen im Netz. Grundsätzlich ist zu beachten, dass es zu einer Aufgabe viele Lösungsmöglichkeiten gibt. {{Zwischenüberschrift|Testklausur}} Es werden drei Testklausuren unter den Rahmenbedingungen einer echten Klausur geschrieben (6. November 2026, 11. Dezember und 29. Januar 2027, jeweils in der Freitagsvorlesung um 10:00). Die dabei erreichten Punktezahlen gehen fünffach in die Gesamtpunktzahl ein. {{Zwischenüberschrift|Klausurberechtigung}} Die Klausurberechtigung erhalten Sie aus einer Mischung von wöchentlichen Abgaben zu Übungsaufgaben und Testklausuren (Gruß an die KI) a) In den drei Testklausuren müssen Sie zusammen {{math|term= 16 |SZ=}} Punkte erhalten (das bedeutet, eine Klausur zu bestehen, oder zwei Klausuren zur Hälfte bestehen oder drei Klausuren je zu einem Drittel zu bestehen). Wenn Sie 16 Punkte erreicht haben, müssen Sie nicht zu den folgenden Klausuren kommen (dürfen aber). b) Sie müssen insgesamt, durch Übungen und Testklausuren, {{math|term= 200 |SZ=}} Punkte erreichen. Dabei gehen die in den Testklausuren erzielten Punkte mit dem Faktor {{math|term= 5 |SZ=}} ein {{ Zusatz/Klammer |text=wegen Teil a) haben Sie also durch die Testklausuren schon mal {{mathl|term= 80 |SZ=}} Punkte| |ISZ=|ESZ=. }} Also beispielsweise: Erste Testklausur {{math|term= 16 |SZ=}} Punkte und in {{math|term= 12 |SZ=}} Wochen je {{math|term= 10 |SZ=}} Punkte durch die Abgaben ergibt {{mathl|term= 5 \cdot 16 + 12 \cdot 10 =200 |SZ=.}} Oder: Erste Testklausur {{math|term= 40 |SZ=}} Punkte {{ Zusatz/Klammer |text=der Maximalwert ist {{math|term= 64 |SZ=}} Punkte, ab {{math|term= 32 |SZ=}} gibt es eine {{math|term= 1 |SZ=}} | |ISZ=|ESZ=, }} keine Übungsabgabe, das reicht. Zum erfolgreichen Absolvierung des Abgabeteils gehört auch das Vorrechnen in der Vorrechenübung. Jede Abgabegruppe muss im Semester zwei Lösungen vorstellen. Wenn Sie in einem früheren Semester den Übungsbetrieb zu dieser Veranstaltung besucht und dadurch die Klausurberechtigung erworben haben, so wird diese Berechtigung akzeptiert. {{Zwischenüberschrift|Klausur}} Achtung: Zu den Klausuren {{ Zusatz/Klammer |text=nicht zu den Testklausuren| |ISZ=|ESZ= }} müssen Sie sich drei Wochen im Voraus bei Hsinone anmelden. Hsinone ist das Prüfungsanmelde- und Verbuchungssystem der Universität Osnabrück. Eine nachträgliche Anmeldung ist nicht möglich (die Anmeldung ist gegenstandslos, wenn Sie die Berechtigung nicht erwerben). (Hsinone ist Hsinone und hat nichts mit dem Dozenten zu tun. Bei Problemen wenden Sie sich an das Prüfungsamt.) {{Zwischenüberschrift|Mündliche Prüfung}} Bei der mündlichen Modulabschlussprüfung zum Grundkurs Mathematik müssen Sie beweisen, dass Sie den Stoff weitgehend verstanden haben und wiedergeben können. Die Prüfung dauert eine halbe Stunde, Prüfer ist der Dozent, sie findet in 69/232 statt, es gibt einen Beisitzer für das Protokoll. Die Prüfung läuft so ab, dass Sie die gestellten Fragen mündlich (und mitschreibend) beantworten. Sie haben die Möglichkeit, die Prüfung mit einem freien mündlichen Kurzreferat {{ Zusatz/Klammer |text=also ohne Dokumente| |ISZ=|ESZ= }} über ein Thema {{ Zusatz/Klammer |text=ca. 5 Minuten| |ISZ=|ESZ= }} zu eröffnen, das für die Vorlesung durchgehend wichtig ist. Bei abseitigeren Themen lieber vorher nachfragen. Anmeldung: Es gibt zwei Schritte: 1) Sie müssen sich bei Opium für die Prüfung anmelden, und zwar im Zeitraum Ende der Vorlesungszeit des Semesters plus/minus 1 Woche (also irgendwann im Juli 2027 für den regulären Termin). Dies machen Sie unabhängig davon, ob Sie die Zulassung schon haben (und auch gar nicht haben können)! Eine nachträgliche Anmeldung ist nicht möglich. 2) Wenn Sie dann die Zulassung haben, machen Sie mit dem Dozenten (in der Sprechstunde oder per e-mail{{ Zusatz/Fußnote |text=Verwenden Sie für die uniinterne Kommunikation ausschließlich Ihre Uni-Adresse| |ISZ=!|ESZ= }}) einen Prüfungstermin aus. Zum Ablauf der mündlichen Prüfung wird es eine Infoveranstaltung geben, wo Sie dann auch gleich einen Termin machen können. Die Prüfung kann maximal zweimal wiederholt werden. Die Anmeldung zur nächsten Runde ist im Februar 2024. Bei bestandener Prüfung können Sie einmalig eine Verbesserungsprüfung in der nächsten Prüfungsrunde ablegen. {{Fußnotenliste}} <noinclude>[[Kategorie:Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2026-2027)/Teil I/Information]]</noinclude> ps82tq86y4bphseo0c1jj5j8xf3x4fi 1115627 1115626 2026-10-09T14:26:09Z Bocardodarapti 2041 1115627 wikitext text/x-wiki {{Zwischenüberschrift|Liebe Freunde der Mathematik}} Herzlich willkommen zur Vorlesung {{Anführung|Grundkurs Mathematik I}} im Wintersemester 2026/2027. Dieses Blatt enthält die wesentlichen Informationen zu Ablauf, Aufgaben, Übungsbetrieb und Klausur der Veranstaltung. Fragen Sie bitte nach, wenn etwas unklar ist. {{Zwischenüberschrift|Allgemeines}} Die Veranstaltung {{Anführung|Grundkurs Mathematik I und II}} ist eine Pflichtveranstaltung im BEU-Mathematikstudium, die Sie erfolgreich abschließen müssen. Die Mathematik an einer Universität unterscheidet sich in mancherlei Hinsicht von der Schulmathematik; insbesondere erfordert die erfolgreiche Durchdringung des Stoffes nicht nur mathematische Begabung, sondern auch Ausdauer, Organisationsgeschick, Motivation, Fleiß und Frustrationstoleranz, und das von Anfang an. Der Besuch der Veranstaltungen ist formal gesehen frei und unterliegt keiner Kontrolle. Allerdings muss man auch deutlich sagen, dass der konsequente Besuch der Veranstaltung mit Nachdruck empfohlen wird. Die Veranstaltung sollte man als Ganzes betrachten mit allem, was dazu gehört: Vorlesung, Vor- und Nachbereitung der Vorlesung, Übungen und Tutorien mit aktiver Mitarbeit, intensive Bearbeitung der Aufgaben in Einzel- und Gruppenarbeit (Lektüre, Ideensammlung, Diskussion, Ansätze, Versuche, Optimierung, Reinschrift, Abgabe, Lektüre der Korrekturen, Fehlereinsicht), Studieren des Skripts, Netzseite, Literatur, Testklausuren, intensive Stoffwiederholung in der vorlesungsfreien Zeit, Klausur, mündliche Prüfung. Die Einzelteile ergeben für sich genommen wenig Sinn und nur durch eine intensive Beschäftigung mit dem Gesamtangebot kann das Verständnis der Inhalte gelingen, das Voraussetzung für den Studienerfolg ist. {{Zwischenüberschrift|Vorlesung}} In der Vorlesung wird der neue Stoff vorgestellt. Wir haben drei Vorlesungstermine angesetzt, sodass wir genügend Platz und Zeit für aktive Mitarbeit haben. Dies werde ich auch einfordern. Mathematik ist ein sehr systematisch aufgebautes Fach, bei dem man sehr schnell {{Anführung|draußen}} sein kann. Umso wichtiger ist es, dass Sie die Vorlesungen regelmäßig nachbereiten. Es gibt ein Skript, das den Inhalt der Vorlesung abdeckt (alle Materialien sind unter [[Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2026-2027)/Teil I]] erhältlich und stehen unter der CC-by-sa-4.0-Lizenz). Dies ermöglicht Ihnen auch, sich die kommenden Vorlesungen schon im Voraus anzusehen, was dringend empfohlen wird. Der Gebrauch von Mobiltelefonen ist während der Vorlesung und bei allen angeschlossenen Veranstaltungen verboten. {{Zwischenüberschrift|Arbeitsblätter}} Zu jeder Vorlesung gibt es ein Arbeitsblatt. Es besteht jeweils aus mehreren Übungen bzw. Aufgaben, die das Verständnis des Vorlesungsinhaltes vertiefen sollen. Es unterteilt sich in {{Anführung|Übungsaufgaben}} (die tendenziell einfacher sind) und {{Anführung|Aufgaben zum Abgeben|SZ=.}} Ich empfehle, den Stoff der Vorlesung anhand der Arbeitsblätter sofort und kontinuierlich nachzuarbeiten. Die Blätter sind verhältnismäßig umfangreich; der Umfang orientiert sich daran, in welchem Maße Sie sich (im Laufe des Kurses einschließlich der Vorbereitungszeit für die Klausur und die mündliche Prüfung) mit dem Stoff auseinandersetzen müssen, um ein sehr gutes Verständnis zu erzielen. Es wird nicht erwartet, dass Sie die Blätter vollständig in der Ausgabewoche bearbeiten. Bei der Gestaltung der Arbeitsblätter versuche ich grundsätzlich, ein umfangreiches Arbeitsangebot zur Verfügung zu stellen, das unterschiedliche Schwierigkeitsgrade abdeckt. Sie sollten sich dabei auf das für Sie Anspruchsvolle konzentrieren. Dass durch die Übungsaufgaben auch teilweise die Teilnahmeberechtigung an der Klausur erworben wird {{ Zusatz/Klammer |text=siehe unten| |ISZ=|ESZ=, }} ist wichtig, aber ein Nebenaspekt. {{Zwischenüberschrift|Übungen und Tutorien}} Die Übungen werden von Doktoranden eigenverantwortlich betreut. Es gibt zwei Arten von Übungen. Die Freitagsübung bildet die Brücke zwischen den Vorlesungen und den Aufgaben der Woche. Sie können Fragen zu den Vorlesungen der Woche stellen, es werden Übungsaufgaben besprochen, Präsenzaufgaben bearbeitet, Tipps zu den abzugebenden Aufgaben gegeben. Im Tutorium (Dienstag), die von studentischen Tutoren betreut werden, die auch Ihre Aufgaben korrigieren, werden Sie beim Lösen der abzugebenden Aufgaben der Vorwoche unterstützt. Der Besuch der Tutorien ist nur dann sinnvoll, wenn Sie schon mitten im Bearbeiten sind, aber hier und da eine Rückmeldung, eine Bestätigung, einen Tipp brauchen könnten. Die Tutorien laufen ohne Programm im offenen Betrieb ab, typischerweise in Gruppenarbeit. In der Vorrechenübung am Donnerstag werden die korrigierten Aufgaben zurückgegeben und typische Fehler besprochen. Zu einer Auswahl der Aufgaben stellen Sie Ihre Lösungen vor {{ Zusatz/Klammer |text=siehe unten| |ISZ=|ESZ=. }} In allen Teilen ist die aktive Mitarbeit der Studierenden wichtig und wird erwartet. Ein Besuch einer Übungsgruppe ohne adäquate Vorbereitung ist wenig sinnvoll. {{Zwischenüberschrift|Abgabegruppen}} Die Aufgaben werden in festen Abgabegruppen bearbeitet. Die Abgabegruppen bestehen jeweils aus vier Personen. Bei der Zusammensetzung der Abgabegruppen empfiehlt es sich, ein ähnliches Niveau und kompatibles Engagement anzustreben, aber Sympathie, passende Zeiten spielen auch eine Rolle. Klären Sie miteinander, wie Sie in der Gruppe vorgehen wollen. Diese Abgabegruppen werden auf StudIP gebildet, indem sich die vier Leute unter einem Gruppenkürzel (z.B. X) eintragen. Dazu geht man auf die Veranstaltung in StudIP, dann TeilnehmerInnen, dann Funktionen/Gruppen. Auf dem abzugebenden Übungsblatt wird nur dieses Kürzel draufgeschrieben, nicht die einzelnen Namen. Ein Wechsel der Abgabegruppe ist nur in Rücksprache mit dem Dozenten möglich, und wenn in der aufnehmenden Gruppe ein Platz frei geworden ist. Melden Sie sich bitte ab, wenn Sie eine Gruppe verlassen möchten. Die pro Woche abzugebenden Übungen sollen getackert sein und auf dem Deckblatt, das gestellt wird, die folgenden Informationen enthalten: Abgabegruppe: X In einer Tabelle sollen die Aufgaben, die nicht bearbeitet wurden, durchgestrichen werden. Dann folgen die Lösungen zu den Aufgaben. Die Aufgaben sind handschriftlich abzugeben. Bitte keine Kopien oder doppelten Lösungen einreichen. Der gemeinsame Abgabetermin für die beiden Arbeitsblätter einer Vorlesungswoche ist der nächste Freitag um 10:00 im Eingangsbereich des Gebäudes 69. Sie werfen die arbeitsgruppenweise erstellten Lösungen (gebündelt mit Deckblatt) in eines der für die Vorlesung bereitgestellten Fächer. {{Zwischenüberschrift|Korrekturen}} Die Tutoren korrigieren die Aufgaben, und Sie erhalten die korrigierten Aufgaben in der Vorrechenübung der nächst folgenden Woche zurück. Wenn Sie eine Korrektur überhaupt nicht nachvollziehen können, wenden Sie sich bitte an den Korrekteur (=Tutor). Bei den Korrekturen sind einige Besonderheiten zu beachten. Pro Woche können maximal 15 Punkte gut geschrieben werden {{ Zusatz/Klammer |text={{anführung|Deckelregel}}| |ESZ=. }} Bei jeder (Teil-)Aufgabe gilt die {{Anführung|Sockelregel|SZ=,}} die besagt, dass eine Aufgabe {{ Zusatz/Klammer |text=bzw. ein Aufgabenteil| |ISZ=|ESZ= }} nur dann in die Wertung eingeht, wenn sie zumindest zur Hälfte richtig bearbeitet ist. Es muss also ein {{Anführung|substantieller Beitrag|}} zur Lösung der Aufgabe erkennbar sein. Damit soll verhindert werden, dass in der Hoffnung auf Punkte rudimentäre Beiträge abgegeben werden. Diese Sockelregel gilt auch in der Klausur. Für Rechenfehler{{Zusatz/Fußnote|text={{:Rechenfehler/Bemerkung|opt=Text}} }} wird grundsätzlich ein Punkt abgezogen. Es werden keine Musterlösungen ausgeteilt. Für einzelne Übungsaufgaben (zumeist frühere Klausuraufgaben), die mit einem Stern gekennzeichnet sind, gibt es Lösungen im Netz. Grundsätzlich ist zu beachten, dass es zu einer Aufgabe viele Lösungsmöglichkeiten gibt. {{Zwischenüberschrift|Testklausur}} Es werden drei Testklausuren unter den Rahmenbedingungen einer echten Klausur geschrieben (6. November 2026, 11. Dezember und 29. Januar 2027, jeweils in der Freitagsvorlesung um 10:00). Die dabei erreichten Punktezahlen gehen fünffach in die Gesamtpunktzahl ein. {{Zwischenüberschrift|Klausurberechtigung}} Die Klausurberechtigung erhalten Sie aus einer Mischung von den wöchentlichen Abgaben zu den Übungsaufgaben und Testklausuren (Gruß an die KI) a) In den drei Testklausuren müssen Sie zusammen {{math|term= 16 |SZ=}} Punkte erhalten (das bedeutet, eine Klausur zu bestehen, oder zwei Klausuren zur Hälfte bestehen oder drei Klausuren je zu einem Drittel zu bestehen). Wenn Sie 16 Punkte erreicht haben, müssen Sie nicht zu den folgenden Klausuren kommen (dürfen aber). b) Sie müssen insgesamt, durch Übungen und Testklausuren, {{math|term= 200 |SZ=}} Punkte erreichen. Dabei gehen die in den Testklausuren erzielten Punkte mit dem Faktor {{math|term= 5 |SZ=}} ein {{ Zusatz/Klammer |text=wegen Teil a) haben Sie also durch die Testklausuren schon mal {{mathl|term= 80 |SZ=}} Punkte| |ISZ=|ESZ=. }} Also beispielsweise: Erste Testklausur {{math|term= 16 |SZ=}} Punkte und in {{math|term= 12 |SZ=}} Wochen je {{math|term= 10 |SZ=}} Punkte durch die Abgaben ergibt {{mathl|term= 5 \cdot 16 + 12 \cdot 10 =200 |SZ=.}} Oder: Erste Testklausur {{math|term= 40 |SZ=}} Punkte {{ Zusatz/Klammer |text=der Maximalwert ist {{math|term= 64 |SZ=}} Punkte, ab {{math|term= 32 |SZ=}} gibt es eine {{math|term= 1 |SZ=}} | |ISZ=|ESZ=, }} keine Übungsabgabe, das reicht. Zum erfolgreichen Absolvierung des Abgabeteils gehört auch das Vorrechnen in der Vorrechenübung. Jede Abgabegruppe muss im Semester zwei Lösungen vorstellen. Wenn Sie in einem früheren Semester den Übungsbetrieb zu dieser Veranstaltung besucht und dadurch die Klausurberechtigung erworben haben, so wird diese Berechtigung akzeptiert. {{Zwischenüberschrift|Klausur}} Achtung: Zu den Klausuren {{ Zusatz/Klammer |text=nicht zu den Testklausuren| |ISZ=|ESZ= }} müssen Sie sich drei Wochen im Voraus bei Hsinone anmelden. Hsinone ist das Prüfungsanmelde- und Verbuchungssystem der Universität Osnabrück. Eine nachträgliche Anmeldung ist nicht möglich (die Anmeldung ist gegenstandslos, wenn Sie die Berechtigung nicht erwerben). (Hsinone ist Hsinone und hat nichts mit dem Dozenten zu tun. Bei Problemen wenden Sie sich an das Prüfungsamt.) {{Zwischenüberschrift|Mündliche Prüfung}} Bei der mündlichen Modulabschlussprüfung zum Grundkurs Mathematik müssen Sie beweisen, dass Sie den Stoff weitgehend verstanden haben und wiedergeben können. Die Prüfung dauert eine halbe Stunde, Prüfer ist der Dozent, sie findet in 69/232 statt, es gibt einen Beisitzer für das Protokoll. Die Prüfung läuft so ab, dass Sie die gestellten Fragen mündlich (und mitschreibend) beantworten. Sie haben die Möglichkeit, die Prüfung mit einem freien mündlichen Kurzreferat {{ Zusatz/Klammer |text=also ohne Dokumente| |ISZ=|ESZ= }} über ein Thema {{ Zusatz/Klammer |text=ca. 5 Minuten| |ISZ=|ESZ= }} zu eröffnen, das für die Vorlesung durchgehend wichtig ist. Bei abseitigeren Themen lieber vorher nachfragen. Anmeldung: Es gibt zwei Schritte: 1) Sie müssen sich bei Opium für die Prüfung anmelden, und zwar im Zeitraum Ende der Vorlesungszeit des Semesters plus/minus 1 Woche (also irgendwann im Juli 2027 für den regulären Termin). Dies machen Sie unabhängig davon, ob Sie die Zulassung schon haben (und auch gar nicht haben können)! Eine nachträgliche Anmeldung ist nicht möglich. 2) Wenn Sie dann die Zulassung haben, machen Sie mit dem Dozenten (in der Sprechstunde oder per e-mail{{ Zusatz/Fußnote |text=Verwenden Sie für die uniinterne Kommunikation ausschließlich Ihre Uni-Adresse| |ISZ=!|ESZ= }}) einen Prüfungstermin aus. Zum Ablauf der mündlichen Prüfung wird es eine Infoveranstaltung geben, wo Sie dann auch gleich einen Termin machen können. Die Prüfung kann maximal zweimal wiederholt werden. Die Anmeldung zur nächsten Runde ist im Februar 2024. Bei bestandener Prüfung können Sie einmalig eine Verbesserungsprüfung in der nächsten Prüfungsrunde ablegen. {{Fußnotenliste}} <noinclude>[[Kategorie:Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2026-2027)/Teil I/Information]]</noinclude> l3zrw7hbv7mc4w4piin4fcbqkajo0es 106 170550 1115625 1080166 2026-10-09T13:44:32Z Bocardodarapti 2041 1115625 wikitext text/x-wiki Testklausuren 6. November 2026 11. Dezember 2026 29. Januar 2027 jeweils Freitag um 10:0 im dritten Vorlesungstermin. <noinclude>[[Kategorie:Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2026-2027)/Teil I/Information]]</noinclude> ntqi2ft4gr3dwt88oz0xsdys0zfmrpv 106 170599 1115656 1110029 2026-10-10T08:23:52Z Bocardodarapti 2041 1115656 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2026-2027)/Teil I/Arbeitsblattgestaltung|1| {{Zwischenüberschrift|Die Pausenaufgabe}} {{ inputaufgabe |Natürliche Zahlen/Produkt/Quadrieren/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|Übungsaufgaben}} {{ inputaufgabe |Binomische Formeln/1001/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Binomische Formeln/Terme/Ausrechnen/1/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Binomische Formel/Rechtecksvisualisierung/Problematik/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Binomische Formeln/Polynome und Terme/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Z(a-b)(b-a)/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Distributivgesetz/Anschauung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Binomische Formel/Erste und dritte/Zusammenhang/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Natürliche Zahlen/Dreiersumme/Zweite Potenz/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Natürliche Zahlen/Zweiersumme/Dritte Potenz/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Natürliche Zahlen/a-b mal a^2+ab+b^2/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Binomische Formeln/Terme/Ausrechnen/2/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Polynomiale Identität/2/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{:Algorithmischer Link/Anweisung/Kurs/Bemerkung|zusatz1=Fußnote}} {{ inputaufgabe |Externer Algorithmus/Termumformer/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Binomische Formel/Z nach Q/Rechengesetze/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Zweite Binomische Formel/Z nach Q/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Die Addition und die Multiplikation von {{math|term=2 \times 2|SZ=-}}Matrizen kennen Sie aus der Schule. {{ inputaufgabe |Matrizen/Erste binomische Formel/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Verknüpfungen/Reihenfolge/Lernen und lehren/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Binomische Formel/Zahlenbeispiel/2/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|Aufgaben zum Abgeben}} {{ inputaufgabe |Bhaskara/Wurzelgleichheit/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Dritte Binomische Formel/Z nach Q/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Natürliche Zahlen/Produkt/Quadrieren/2/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{Fußnotenliste}} }} 5kybc1c4uxu859d4ti6js35yvrneur6 1115700 1115656 2026-10-10T09:48:52Z Bocardodarapti 2041 1115700 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2026-2027)/Teil I/Arbeitsblattgestaltung|1| {{Zwischenüberschrift|Die Pausenaufgabe}} {{ inputaufgabe |Natürliche Zahlen/Produkt/Quadrieren/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|Übungsaufgaben}} {{ inputaufgabe |Binomische Formeln/1001/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Binomische 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5vx0ds8z81ljv28ox3x6h80ofrz4v7x 106 170600 1115657 1108562 2026-10-10T08:24:35Z Bocardodarapti 2041 1115657 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2026-2027)/Teil I/Arbeitsblattgestaltung|2| {{Zwischenüberschrift|Die Pausenaufgabe}} {{Zwischenüberschrift|Übungsaufgaben}} {{ inputaufgabe |Aufeinanderfolgende Quadratzahlen/Differenz/Argument/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Durch 0 teilen/Schule/Argument/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Null/Division/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputbild |GabiHochster2|png|200px {{!}} right {{!}} |Text=Gabi Hochster |Autor= |Benutzer=Bocardodarapti |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 4.0 |Bemerkung= }} {{ inputaufgabe |Durch 0 teilen/Schule/Gabi Hochster/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |N^2-N/Parität/Fallunterscheidung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Wissenschaft/Fakten/?/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Wissenschaft/Standpunkte/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} 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Situation des Satzes über implizite Abbildungen, die geometrischen Objekte und die Funktionen darauf fest, mit denen wir uns hauptsächlich in dieser Vorlesung beschäftigen wollen. {{:Polynome/Nullstellengebilde/Textabschnitt|}} {{Zwischenüberschrift|Der Hilbertsche Nullstellensatz}} {{:Hilbertscher Nullstellensatz/Singularitätentheorie/Zusammenfassung/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|Der affine Koordinatenring}} Wie in der ersten Vorlesung erwähnt, gehört zu einem geometrischen Objekt {{math|term= X |SZ=}} eine adäquate Klasse von darauf definierten Funktionen mit Werten in einem geeigneten Körper. Da man Funktionen von einer Menge in einen Körper unmittelbar addieren und multiplizieren kann, bilden solche Funktionenmengen einen {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativen Ring| |Kontext=| |SZ=. }} In der algebraischen Geometrie und insbesondere in der Theorie der Schemata ist die Beziehung zwischen geometrischen Objekten und kommutativen Ringen besonders eng. Andere typische Beispiele für solche {{Stichwort|beringten Räume|msw=Beringter Raum|SZ=}} sind. {{ Aufzählung4 |Topologische Räume und {{math|term= \R |SZ=-}}wertige {{ Definitionslink |Prämath= |stetige Funktionen| |Kontext=top| |SZ=. }} |Reelle Mannigfaltigkeiten und {{ Definitionslink |Prämath= |stetig differenzierbare| |Kontext=Funktion, Mannigfaltigkeit|msw=| |SZ= }} {{math|term= \R |SZ=-}}wertige Funktionen. |Reell-analytische Mannigfaltigkeiten und reell-analytische Funktionen. |Komplexe Mannigfaltigkeiten und holomorphe Funktionen. }} {{:Affin-algebraische Menge/Affiner Koordinatenring/Einführung/Textabschnitt}} }} nudjeh2ok3o394pq4hcum6itha6uk3x 0 172370 1115630 1115607 2026-10-09T15:43:56Z Bocardodarapti 2041 1115630 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Damit eine Argumentation stichhaltig sein kann, müssen die verwendeten Begriffe klar und eindeutig festgelegt sein. Dazu dienen Definitionen. Definitionen kommen in allen Wissenschaften vor, aber auch in Gesetzen, Ausführeungsbestimmungen Spielanleitungen, Regelwerken. Es besteht ein großer Unterschied zu der {{Anführung|natürlichen Weise|SZ=,}} wie man im Allgemeinen die Bedeutung von Wörtern kennenlernt. Im natürlichen Spracherwerb lernt man neue Wörter, ihre Bedeutung und ihre Verwendung durch typische aussagekräftige Beispiele. Was ein Busch, ein Baum, ein Ast, ein Zweig ist, lernt man, indem auf diese Dinge gezeigt und entsprechend benannt werden. Wenn der Spracherwerb fortgeschritten ist, kann man Begriffe auch beschreibend einführen, wenn man beispielsweise sagt, ein Nadelbaum ist ein Baum mit einer bestimmten {{Anführung|nadelförmigen}} Blätterform. Komplexere Konzepte wie {{Anführung|Begründung|SZ=,}} {{Anführung|Analogie|SZ=,}}{{Anführung|Hierarchie}} werden durch typische Beispiele vermittelt. Dieser Begriffserwerb funktioniert erstaunlich gut. Es braucht nur einige wenige Beispielsituationen, um zu vermitteln, wann man eher Baum oder eher Busch sagt. Das liegt daran, dass die Objekte in der visuellen Wahrnehmung eine große Distanz besitzen und es wenige Grenzfälle gibt. Es sei bemerkt, dass eine KI ähnlich operiert und ziemlich schnell lernt, wann sie bei einem Foto Baum oder Busch oder Hund oder Katze sagen soll. Eine wissenschaftliche Definition ist etwas grundsätzlich anderes als. In einer Definition wird ein Begriff {{ Zusatz/Klammer |text=ein neues Wort| |ISZ=|ESZ= }} dadurch festgelegt, dass logisch-sprachlich fixiert wird, in welcher Situation dieser Begriff welche Bedeutung besitzt. Dabei wird oft Bezug auf zuvor eingeführte Begriffe genommen. Eine Definition ist nur dann korrekt, wenn in grundsätzlich jeder Situation stets klar ist, wie der Begriff zu verstehen ist. Ein Bezug auf Beispiele gehört nie zur Definition! Aber: Beispiele sind zur groben Orientierung, was mit der Definition gemeint ist, zum Verständnis sehr wichtig, und zwar sowohl Beispiele, die unter die Definition fallen, als auch Beispiele, die nicht unter die Definition fallen. Die geforderte Klarheit einer Definition erfordert nicht, dass jeder Mensch in jeder Situation einfach entscheiden kann, ob die Definition zutrifft oder nicht, sondern nur, dass grundsätzlich nur das eine oder das andere gelten kann. Wenn man beispielsweise sagt, eine natürliche Zahl {{math|term= x |SZ=}} heißt eine Quadratzahl, wenn es eine natürliche Zahl {{math|term= y |SZ=}} mit {{ Relationskette | x || y^2 || || || |SZ= }} gibt, so kann das grundsätzlich sein oder nicht sein. Ob es einen einfachen Test dafür gibt, zu entscheiden, ob beispielsweise {{mathl|term= 243 049 |SZ=}} eine Quadratzahl ist, wird damit nicht gesagt oder gefordert. Häufig, und dies trifft insbesondere in der elementaren Mathemtik auf, werden in wissenschaftlichen Definitionen Begriffe eingeführt, die man aus dem Alltag oder aus der Schule schon kennt, für die man ein Vorverständnis hat, die intuitiv zugänglich sind, die zumindest eine Assoziationskette auslösen. Zwischen einer Definition und der intuitiven Vorstellung treten folgende Diskrepanzen auf {{ Zusatz/{{{zusatz1|}}} |text={{:Mathematik/Prinzipien/Intuition/Bemerkung}}| |ISZ=|ESZ=. }} {{ Aufzählung3 |Der intuitive Zugang hat sich anhand von Beispielen entwickelt. Es ist häufig überaschend, wie die begriffliche Fixierung aussieht. |Es ist zu überprüfen, ob die Definition mit dem intuitiv Gemeinten übereinstimmt. |Die Situation, in der die Definition fixiert wird, weicht von den Situationen ab, in denen die Vokabel intuitiv werwendet wird. }} Es ist ein wichtiger Aspekt des Lernprozesses, diese Diskrepanzen wahrzunehmen und zu überwinden. Einige Beobachtungen zu diesen Punkten: (1) Sprachliche Präzision erfordert eine enorme geistige Anstrengung. Es ist einfacher, {{Anführung|sowas wie}} zu sagen. (2) Im wissenschaftlichen Kontext ist immer die Definition das Maß der Dinge, die Intuition muss sich weiterentwickeln. (3) Z.B. ist {{math|term= 0 |SZ=}} eine Quadratzahl, das hört sich für manche Leute komisch an, oder Primzahlen werden innerhalb der ganzen Zahlen definiert. Wir besprechen einige Beispiele aus nichtmathematischen Bereichen. {{ inputbeispiel |Abseits/Definition/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Mord/Definition/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Reim/Definition/Beispiel|| }} In diesem Kurs werden wir alle mathematischen Begriffe von Grund auf neu einführen und definieren. Insbesondere am Anfang werden wir aber auch Begriffe unter Bezug auf Schulwissen verwenden. Dies ist sinnvoll, um von Anfang an für den Gesamtkurs wichtige Sachverhalte an komplexen Beispielen erläutern zu können. So haben wir in der letzten Vorlesung die natürlichen Zahlen mit ihrer Addition und Multiplikation verwendet, ohne diese definiert zu haben. Wir werden aber diesen Zahlbereich und die darin auftretenden Operationen bald systematisach einführen. Eine mathematische Definition ist so aufgebaut, das ein neuer Begriff mit seiner präzisen Bedeutung beschrieben wird. In der Bedeutungsbeschreibung wird auf zuvor eingeführte Begriffe Bezug genommen. In einem mathematischen Text wird eine Definition {{ Zusatz/Klammer |text=so wie alle anderen Strukturelemente| |ISZ=|ESZ= }} herausgestellt, abgesetzt und nummeriert. Das neu eingeführte Wort wird kursiv gesetzt {{ Zusatz/Klammer |text=oder unterstrichen| |ISZ=|ESZ=. }} {{ inputdefinition |Quadratzahl/Definition|| }} {{ inputdefinition |Primzahl/Lexikalisch/Definition|| }} In diesen beiden Beispielen werden die natürlichen Zahlen vorausgesetzt, in der ersten über das Symbol {{math|term= \N |SZ=,}} in der zweiten direkt. In der ersten Definition wird auf die Quadrierung {{ Relationskette/display | n^2 || n \cdot n || || || |SZ= }} und damit auf die Multiplikation Bezug genommen, in der zweiten wird auf Teiler und damit letztlich ebenfalls auf die Multiplikation Bezug genommen. In einem systematischen Aufbau, wie wir ihn verfolgen werden, muss man also zuerst diese Konzepte eingeführt haben, bevor man die obigen Definitionen hinschreiben darf. Beide Definitionen legen eindeutig fest, ob eine natürliche Zahl eine Quadratzahl bzw. eine Primzahl ist. Eine fixierte natürliche Zahl {{math|term= y |SZ=}} besitzt entweder die Form {{ Relationskette | y || n^2 || || || |SZ= }} mit einer natürlichen Zahl {{math|term= n |SZ=,}} oder aber nicht. Dies ist letztlich eine Existenzaussage: Gibt es ein {{math|term= n |SZ=}} mit der Eigenschaft {{ Relationskette | y || n^2 || || || |SZ= }} oder nicht. Die Definition macht keine Aussage, wie man das {{Anführung|geschickt}} entscheiden kann, oder ob man die Menge aller Quadratzahlen einfach aufzählen kann. Bei der Definition der Primzahl wird Bezug auf die Zahl {{math|term= 2 |SZ=}} genommen, indem gefordert wird, dass genau zwei Teiler vorliegen. Hier muss man also wissen, dass man mit natürlichen Zahlen Anzahlen zählen kann. Da eine Zahl {{math|term= x |SZ=}} die {{math|term= 1 |SZ=}} und sich selbst als Teiler besitzt, bedeutet die Definition, dass {{math|term= x |SZ=}} von {{math|term= 1 |SZ=}} verschieden ist {{ Zusatz/Klammer |text=da die {{math|term= 1 |SZ=}} ja nur einen Teiler hat| |ISZ=|ESZ= }} und dass gleichzeitig {{math|term= x |SZ=}} nur die beiden trivialen tgeiler hat, nämlich {{math|term= 1 |SZ=}} und {{math|term= x |SZ=.}} Häufig wird eine Primzahl auch so definiert. Grundsätzlich kann man ein Konzept auf mehrere äquivalente Arten definieren. Man muss sich aber in einem mathematischen Kontext entscheiden, was man als eine Definition ansieht und was dann eine äquivalente Charakterisierung ist. Im gegebenen Beispiel gibt es fast keinen Unterschied zwischen der hingeschriebenen Definition und der anschließend erwähnten alternativen Definitionsmöglichkeit. Eine Definition gilt für den gesamten folgenden Kontext: Immer, wenn irgendwann im Anschluss das Wort Quadratzahl vorkommt, ist die Bedeutung immer durch diese eine Definition festgelegt. Wenn man also eine Aussage über Quadratzahlen beweisen will, wie etwa, dass das Produkt von Quadratzahlen wieder eine Quadratzahl ist, so muss man sowohl in der Voraussetzung als auch in der Folgerung die Definition von Quadratzahl verwenden. {{ inputbemerkung |Definition/Sprachliche Gestalt/Primzahl und Strom/Bemerkung|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Prinzipien der Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd |pdf= }} a0qb7gi5m40t1fsbpybacwkvb7spvj5 1115632 1115630 2026-10-09T15:51:30Z Bocardodarapti 2041 1115632 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Damit eine Argumentation stichhaltig sein kann, müssen die verwendeten Begriffe klar und eindeutig festgelegt sein. Dazu dienen Definitionen. Definitionen kommen in allen Wissenschaften vor, aber auch in Gesetzen, Ausführungsbestimmungen Spielanleitungen, Regelwerken. 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Aber: Beispiele sind zur groben Orientierung, was mit der Definition gemeint ist, zum Verständnis sehr wichtig, und zwar sowohl Beispiele, die unter die Definition fallen, als auch Beispiele, die nicht unter die Definition fallen. Die geforderte Klarheit einer Definition erfordert nicht, dass jeder Mensch in jeder Situation einfach entscheiden kann, ob die Definition zutrifft oder nicht, sondern nur, dass grundsätzlich nur das eine oder das andere gelten kann. Wenn man beispielsweise sagt, eine natürliche Zahl {{math|term= x |SZ=}} heißt eine Quadratzahl, wenn es eine natürliche Zahl {{math|term= y |SZ=}} mit {{ Relationskette | x || y^2 || || || |SZ= }} gibt, so kann das grundsätzlich sein oder nicht sein. Ob es einen einfachen Test dafür gibt, zu entscheiden, ob beispielsweise {{mathl|term= 243 049 |SZ=}} eine Quadratzahl ist, wird damit nicht gesagt oder gefordert. 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Einige Beobachtungen zu diesen Punkten: (1) Sprachliche Präzision erfordert eine enorme geistige Anstrengung. Es ist einfacher, {{Anführung|sowas wie}} zu sagen. (2) Im wissenschaftlichen Kontext ist immer die Definition das Maß der Dinge, die Intuition muss sich weiterentwickeln. (3) Z.B. ist {{math|term= 0 |SZ=}} eine Quadratzahl, das hört sich für manche Leute komisch an, oder Primzahlen werden innerhalb der ganzen Zahlen definiert. Wir besprechen einige Beispiele aus nichtmathematischen Bereichen. {{ inputbeispiel |Abseits/Definition/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Mord/Definition/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Reim/Definition/Beispiel|| }} In diesem Kurs werden wir alle mathematischen Begriffe von Grund auf neu einführen und definieren. Insbesondere am Anfang werden wir aber auch Begriffe unter Bezug auf Schulwissen verwenden. Dies ist sinnvoll, um von Anfang an für den Gesamtkurs wichtige Sachverhalte an komplexen Beispielen erläutern zu können. 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Die Eigenschaft, genau zwei Teiler zu haben, könnte man jeweils durch die Eigenschaft, größergleich {{math|term= 2 |SZ=}} zu sein und nur die {{math|term= 1 |SZ=}} und sich selbst als Teiler zu haben, ersetzen. {{:Primzahl/Lexikalisch/Definition}} {{:Primzahl/Phänomenal/Definition}} {{:Primzahl/Wenn/Definition}} Analog sind die folgenden Definitionen gebildet. Ein {{Betonung|Strom}} ist ein Fluss, der (direkt) zum Meer fließt. Ein Fluss, der (direkt) zum Meer fließt, heißt {{Betonung|Strom|SZ=.}} Ein Fluss heißt {{Betonung|Strom|SZ=,}} wenn er (direkt) zum Meer fließt. Auch auf englisch sind die gleichen Konstruktionen möglich: A {{Betonung|prime number}} is a natural number that has exactly two natural divisors. A natural number that has exactly two natural divisors is called a {{Betonung|prime number|SZ=.}} A natural number is called a {{Betonung|prime number}} if it has exactly two natural divisors. Der logische Gehalt ist eine Entsprechung. Primzahl = natürliche Zahl mit der {{ Zusatz/Klammer |text=zusätzlichen| |ISZ=|ESZ= }} Eigenschaft, genau zwei Teiler zu haben. Diese Gleichung tritt bei der ersten und der zweiten Formulierung deutlich hervor als bei der dritten. Einerseits hat man den neuen Begriff {{ Zusatz/Klammer |text=Primzahl| |ISZ=|ESZ=, }} der eingeführt wird, und andererseits einen bekannten allgemeineren Begriff {{ Zusatz/Klammer |text=natürliche Zahl| |ISZ=|ESZ=, }} für den man in der bisher etablierten Sprache eine Eigenschaft formulieren {{ Zusatz/Klammer |text=es gibt genau zwei Teiler| |ISZ=|ESZ= }} kann, derart, dass diese Eigenschaft eine Teilmenge herausfiltert. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Prinzipien der Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} 39yiej5bm6bvbfed35nxs942rntpxp3 1115633 1115631 2026-10-09T15:59:25Z Bocardodarapti 2041 1115633 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Es gibt sprachlich mehrere Möglichkeiten, eine Definition zu formulieren, die logisch gleichwertig sind. Als mathematisches Beispiel betrachten wir die folgenden drei Möglichkeiten, eine Primzahl zu definieren. Es geht hier allein um den sprachlichen Aufbau. Die Eigenschaft, genau zwei Teiler zu haben, könnte man jeweils durch die Eigenschaft, größergleich {{math|term= 2 |SZ=}} zu sein und nur die {{math|term= 1 |SZ=}} und sich selbst als Teiler zu haben, ersetzen. {{:Primzahl/Lexikalisch/Definition}} {{:Primzahl/Phänomenal/Definition}} {{:Primzahl/Wenn/Definition}} Analog sind die folgenden Definitionen gebildet. Ein {{Betonung|Strom}} ist ein Fluss, der (direkt) zum Meer fließt. Ein Fluss, der (direkt) zum Meer fließt, heißt {{Betonung|Strom|SZ=.}} Ein Fluss heißt {{Betonung|Strom|SZ=,}} wenn er (direkt) zum Meer fließt. Auch auf englisch sind die gleichen Konstruktionen möglich: A {{Betonung|prime number}} is a natural number that has exactly two natural divisors. A natural number that has exactly two natural divisors is called a {{Betonung|prime number|SZ=.}} A natural number is called a {{Betonung|prime number}} if it has exactly two natural divisors. Der logische Gehalt ist eine Entsprechung. Primzahl = natürliche Zahl mit der {{ Zusatz/Klammer |text=zusätzlichen| |ISZ=|ESZ= }} Eigenschaft, genau zwei Teiler zu haben. Diese Gleichung tritt bei der ersten und der zweiten Formulierung deutlicher hervor als bei der dritten. Einerseits hat man den neuen Begriff {{ Zusatz/Klammer |text=Primzahl| |ISZ=|ESZ=, }} der eingeführt wird, und andererseits einen bekannten allgemeineren Begriff {{ Zusatz/Klammer |text=natürliche Zahl| |ISZ=|ESZ=, }} für den man in der bisher etablierten Sprache eine Eigenschaft formulieren {{ Zusatz/Klammer |text=es gibt genau zwei Teiler| |ISZ=|ESZ= }} kann, derart, dass diese Eigenschaft eine Teilmenge herausfiltert. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Prinzipien der Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} 46khgvkvrybkips549m7tzxu9d6ws3c 106 172700 1115634 1114887 2026-10-09T18:13:49Z Bert Niehaus 20843 /* Einleitung */ 1115634 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Für die Definition eines rekursiven Logarithmus auf <math>\mathbb{C}\setminus \{0\}</math> benötigt man die <math>logmod</math>-Funktion. Ähnlich wie bei der Periodizität Addition <math>+1</math> in Restklasse modulo <math>m</math> hat die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] über die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] die Periodizität <math>2\pi i</math>. == Definition - logmod-Funktion == Sei eine komplexe Zahl <math>z=z_1+iz_2\in \mathbb{C}</math> beliebig gewählt. Dann definiert man: :<math> \mathrm{logmod}_{2\pi i}(z)=k\in\mathbb{Z} \mbox{ mit } z_2 - k\cdot 2\pi i \in [0,2\pi i ) </math> === Erläuterung - logmod === Die <math>logmod</math>-Funktion gibt die Vielfachheit <math>k</math> von <math>2\pi i</math>, die man von dem Imaginärteil <math>z_2=\mathfrak{Im}(z)\in \mathbb{R}</math> von <math>z</math> abziehen muss, damit der Imaginärteil von <math>z-k\cdot 2\pi i</math> in dem halboffenen Intervall <math>[0,2\pi i ) </math> liegt. === Beispiele === * für reelle Zahlen <math>z\in\mathbb{R}</math> gilt <math>\mathrm{logmod}_{2\pi i}(z) = 0</math>. * für <math>z_1\in\mathbb{R}</math> und <math>z_2\in [0,2\pi)</math> gilt ebenfalls <math>\mathrm{logmod}_{2\pi i}(z) = 0</math>, z.B. <math>7+2i\in \mathbb{R}\times [0,2\pi)\cdot i</math> daher gilt <math>\mathrm{logmod}_{2\pi i}(7+2i) = 0</math>. * für <math>7+7i\in \mathbb{R}\times [0,2\pi)\cdot i</math> gilt <math>\mathrm{logmod}_{2\pi i}(7+7i) = 1</math> und <math>\mathrm{logmod}_{2\pi i}(7-21i) = -3</math>. 0rbxdgbk86ktp19t8b3o44yo8idktyg 1115635 1115634 2026-10-09T18:21:42Z Bert Niehaus 20843 /* Definition - logmod-Funktion */ 1115635 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Für die Definition eines rekursiven Logarithmus auf <math>\mathbb{C}\setminus \{0\}</math> benötigt man die <math>logmod</math>-Funktion. Ähnlich wie bei der Periodizität Addition <math>+1</math> in Restklasse modulo <math>m</math> hat die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] über die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] die Periodizität <math>2\pi i</math>. zu== Definition - logmod-Funktion == Sei eine komplexe Zahl <math>z=z_1+iz_2\in \mathbb{C}</math> beliebig gewählt. Dann definiert man: :<math> \mathrm{logmod}_{2\pi i}(z)=k\in\mathbb{Z} \mbox{ mit } z_2 - k\cdot 2\pi i \in [0,2\pi i ) </math> === Erläuterung - logmod === Die <math>logmod</math>-Funktion gibt die Vielfachheit <math>k</math> von <math>2\pi i</math>, die man von dem Imaginärteil <math>z_2=\mathfrak{Im}(z)\in \mathbb{R}</math> von <math>z</math> abziehen muss, damit der Imaginärteil von <math>z-k\cdot 2\pi i</math> in dem halboffenen Intervall <math>[0,2\pi i ) </math> liegt. === Beispiele === * für reelle Zahlen <math>z\in\mathbb{R}</math> gilt <math>\mathrm{logmod}_{2\pi i}(z) = 0</math>. * für <math>z_1\in\mathbb{R}</math> und <math>z_2\in [0,2\pi)</math> gilt ebenfalls <math>\mathrm{logmod}_{2\pi i}(z) = 0</math>, z.B. <math>7+2i\in \mathbb{R}\times [0,2\pi)\cdot i</math> daher gilt <math>\mathrm{logmod}_{2\pi i}(7+2i) = 0</math>. * für <math>7+7i\in \mathbb{R}\times [0,2\pi)\cdot i</math> gilt <math>\mathrm{logmod}_{2\pi i}(7+7i) = 1</math> und <math>\mathrm{logmod}_{2\pi i}(7-21i) = -3</math>. === Bezug zur Restklassen und modulo-Rechnung === Wenn <math>14</math> liegt in der Restklasse <math>[2]_5</math> modulo <math>5</math> mit: :<math> [2]_5 := \{z\in \mathbb{Z} \, : \, \exist_{k\in \mathbb{Z}}\ 5\cdot k + 2 = z\} </math> Wenn man die Restklasse <math>r\in\{0,1,2,3,4\}</math> einer beliebigen ganzen Zahl <math>z\in \mathbb{Z}</math> modulo 5 sucht, bestimmen man die Vielfachheit <math>k\in\mathbb{Z}</math>, sodass <math>z-k\cdot \in \{0,1,2,3,4\}</math> in der Repräsentantenmenge der Restklasse liegt. kkm8wakris5pybfkv6kwuesrck3njtt 1115636 1115635 2026-10-09T18:24:00Z Bert Niehaus 20843 /* Einleitung */ 1115636 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Für die Definition eines rekursiven Logarithmus auf <math>\mathbb{C}\setminus \{0\}</math> benötigt man die <math>logmod</math>-Funktion. Ähnlich wie bei der Periodizität Addition <math>+1</math> in Restklasse modulo <math>m</math> hat die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] über die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] die Periodizität <math>2\pi i</math>. == Definition - logmod-Funktion == Sei eine komplexe Zahl <math>z=z_1+iz_2\in \mathbb{C}</math> beliebig gewählt. Dann definiert man: :<math> \mathrm{logmod}_{2\pi i}(z)=k\in\mathbb{Z} \mbox{ mit } z_2 - k\cdot 2\pi i \in [0,2\pi i ) </math> === Erläuterung - logmod === Die <math>logmod</math>-Funktion gibt die Vielfachheit <math>k</math> von <math>2\pi i</math>, die man von dem Imaginärteil <math>z_2=\mathfrak{Im}(z)\in \mathbb{R}</math> von <math>z</math> abziehen muss, damit der Imaginärteil von <math>z-k\cdot 2\pi i</math> in dem halboffenen Intervall <math>[0,2\pi i ) </math> liegt. === Beispiele === * für reelle Zahlen <math>z\in\mathbb{R}</math> gilt <math>\mathrm{logmod}_{2\pi i}(z) = 0</math>. * für <math>z_1\in\mathbb{R}</math> und <math>z_2\in [0,2\pi)</math> gilt ebenfalls <math>\mathrm{logmod}_{2\pi i}(z) = 0</math>, z.B. <math>7+2i\in \mathbb{R}\times [0,2\pi)\cdot i</math> daher gilt <math>\mathrm{logmod}_{2\pi i}(7+2i) = 0</math>. * für <math>7+7i\in \mathbb{R}\times [0,2\pi)\cdot i</math> gilt <math>\mathrm{logmod}_{2\pi i}(7+7i) = 1</math> und <math>\mathrm{logmod}_{2\pi i}(7-21i) = -3</math>. === Bezug zur Restklassen und modulo-Rechnung === Wenn <math>14</math> liegt in der Restklasse <math>[2]_5</math> modulo <math>5</math> mit: :<math> [2]_5 := \{z\in \mathbb{Z} \, : \, \exist_{k\in \mathbb{Z}}\ 5\cdot k + 2 = z\} </math> Wenn man die Restklasse <math>r\in\{0,1,2,3,4\}</math> einer beliebigen ganzen Zahl <math>z\in \mathbb{Z}</math> modulo 5 sucht, bestimmen man die Vielfachheit <math>k\in\mathbb{Z}</math>, sodass <math>z-k\cdot \in \{0,1,2,3,4\}</math> in der Repräsentantenmenge der Restklasse liegt. h8cfl3mp100ga89ustuwp18aamnbwdz 1115637 1115636 2026-10-09T18:38:28Z Bert Niehaus 20843 /* Bezug zur Restklassen und modulo-Rechnung */ 1115637 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Für die Definition eines rekursiven Logarithmus auf <math>\mathbb{C}\setminus \{0\}</math> benötigt man die <math>logmod</math>-Funktion. Ähnlich wie bei der Periodizität Addition <math>+1</math> in Restklasse modulo <math>m</math> hat die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] über die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] die Periodizität <math>2\pi i</math>. == Definition - logmod-Funktion == Sei eine komplexe Zahl <math>z=z_1+iz_2\in \mathbb{C}</math> beliebig gewählt. Dann definiert man: :<math> \mathrm{logmod}_{2\pi i}(z)=k\in\mathbb{Z} \mbox{ mit } z_2 - k\cdot 2\pi i \in [0,2\pi i ) </math> === Erläuterung - logmod === Die <math>logmod</math>-Funktion gibt die Vielfachheit <math>k</math> von <math>2\pi i</math>, die man von dem Imaginärteil <math>z_2=\mathfrak{Im}(z)\in \mathbb{R}</math> von <math>z</math> abziehen muss, damit der Imaginärteil von <math>z-k\cdot 2\pi i</math> in dem halboffenen Intervall <math>[0,2\pi i ) </math> liegt. === Beispiele === * für reelle Zahlen <math>z\in\mathbb{R}</math> gilt <math>\mathrm{logmod}_{2\pi i}(z) = 0</math>. * für <math>z_1\in\mathbb{R}</math> und <math>z_2\in [0,2\pi)</math> gilt ebenfalls <math>\mathrm{logmod}_{2\pi i}(z) = 0</math>, z.B. <math>7+2i\in \mathbb{R}\times [0,2\pi)\cdot i</math> daher gilt <math>\mathrm{logmod}_{2\pi i}(7+2i) = 0</math>. * für <math>7+7i\in \mathbb{R}\times [0,2\pi)\cdot i</math> gilt <math>\mathrm{logmod}_{2\pi i}(7+7i) = 1</math> und <math>\mathrm{logmod}_{2\pi i}(7-21i) = -3</math>. === Bezug zur Restklassen und modulo-Rechnung === Wenn <math>14</math> liegt in der Restklasse <math>[2]_5</math> modulo <math>5</math> mit: :<math> [2]_5 := \{z\in \mathbb{Z} \, : \, \exist_{k\in \mathbb{Z}}\ 5\cdot k + 2 = z\} </math> Wenn man die Restklasse <math>r\in\{0,1,2,3,4\}</math> einer beliebigen ganzen Zahl <math>z\in \mathbb{Z}</math> modulo 5 sucht, bestimmen man die Vielfachheit <math>k\in\mathbb{Z}</math>, sodass <math>z-k\cdot \in \{0,1,2,3,4\}</math> in der Repräsentantenmenge der Restklasse liegt. == Bezug zur Exponentialfunktion == Die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] besitzt eine Periodizität von <math>2\pi i</math> (siehe [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]]). Wenn man den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige|negativen Hauptzweig]] algebraisch auf <math>\mathbb{D}_1</math> vervollständigt, kann man <math>\mathbb{C}\setminus \{0\}</math> bijektiv mit der Exponentialfunktion auf <math>\mathbb{D}_1</math> abbilden. Dabei definiert man: :<math>\mathbb{D}_1 := \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi i) = \{z_1+i\cdot z_2 \in \mathbb{C} \, :\, z_2\in [0,2\pi i)\,\, \}</math> und definert den zugehörigen Logarithmus wie folgt: :<math> \begin{array}{rrcl} \ln_1 : & \mathbb{C}\setminus \{0\} & \rightarrow & \mathbb{D}_1 \\ & z & \mapsto & \ln_1(z) = w= w_1+w_2 \in \mathbb{D}_1 \mbox{ mit } e^w = z \end{array} </math> 1frxy43e94wk96yod7gg235r4vvr92p 1115638 1115637 2026-10-09T18:38:53Z Bert Niehaus 20843 /* Bezug zur Exponentialfunktion */ 1115638 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Für die Definition eines rekursiven Logarithmus auf <math>\mathbb{C}\setminus \{0\}</math> benötigt man die <math>logmod</math>-Funktion. Ähnlich wie bei der Periodizität Addition <math>+1</math> in Restklasse modulo <math>m</math> hat die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] über die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] die Periodizität <math>2\pi i</math>. == Definition - logmod-Funktion == Sei eine komplexe Zahl <math>z=z_1+iz_2\in \mathbb{C}</math> beliebig gewählt. Dann definiert man: :<math> \mathrm{logmod}_{2\pi i}(z)=k\in\mathbb{Z} \mbox{ mit } z_2 - k\cdot 2\pi i \in [0,2\pi i ) </math> === Erläuterung - logmod === Die <math>logmod</math>-Funktion gibt die Vielfachheit <math>k</math> von <math>2\pi i</math>, die man von dem Imaginärteil <math>z_2=\mathfrak{Im}(z)\in \mathbb{R}</math> von <math>z</math> abziehen muss, damit der Imaginärteil von <math>z-k\cdot 2\pi i</math> in dem halboffenen Intervall <math>[0,2\pi i ) </math> liegt. === Beispiele === * für reelle Zahlen <math>z\in\mathbb{R}</math> gilt <math>\mathrm{logmod}_{2\pi i}(z) = 0</math>. * für <math>z_1\in\mathbb{R}</math> und <math>z_2\in [0,2\pi)</math> gilt ebenfalls <math>\mathrm{logmod}_{2\pi i}(z) = 0</math>, z.B. <math>7+2i\in \mathbb{R}\times [0,2\pi)\cdot i</math> daher gilt <math>\mathrm{logmod}_{2\pi i}(7+2i) = 0</math>. * für <math>7+7i\in \mathbb{R}\times [0,2\pi)\cdot i</math> gilt <math>\mathrm{logmod}_{2\pi i}(7+7i) = 1</math> und <math>\mathrm{logmod}_{2\pi i}(7-21i) = -3</math>. === Bezug zur Restklassen und modulo-Rechnung === Wenn <math>14</math> liegt in der Restklasse <math>[2]_5</math> modulo <math>5</math> mit: :<math> [2]_5 := \{z\in \mathbb{Z} \, : \, \exist_{k\in \mathbb{Z}}\ 5\cdot k + 2 = z\} </math> Wenn man die Restklasse <math>r\in\{0,1,2,3,4\}</math> einer beliebigen ganzen Zahl <math>z\in \mathbb{Z}</math> modulo 5 sucht, bestimmen man die Vielfachheit <math>k\in\mathbb{Z}</math>, sodass <math>z-k\cdot \in \{0,1,2,3,4\}</math> in der Repräsentantenmenge der Restklasse liegt. == Bezug zur Exponentialfunktion == Die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] besitzt eine Periodizität von <math>2\pi i</math> (siehe [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]]). Wenn man den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige|negativen Hauptzweig]] algebraisch auf <math>\mathbb{D}_1</math> vervollständigt, kann man <math>\mathbb{C}\setminus \{0\}</math> bijektiv mit der Exponentialfunktion auf <math>\mathbb{D}_1</math> abbilden. Dabei definiert man: :<math>\mathbb{D}_1 := \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi i) = \{z_1+i\cdot z_2 \in \mathbb{C} \, :\, z_2\in [0,2\pi i)\,\, \}</math> und definert den zugehörigen Logarithmus wie folgt: :<math> \begin{array}{rrcl} \ln_1 : & \mathbb{C}\setminus \{0\} & \rightarrow & \mathbb{D}_1 \\ & z & \mapsto & \ln_1(z) = w \in \mathbb{D}_1 \mbox{ mit } e^w = z \end{array} </math> k12wgotyhldya5cdcynn6hx1krbkeva 1115639 1115638 2026-10-09T18:44:34Z Bert Niehaus 20843 /* Bezug zur Exponentialfunktion */ 1115639 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Für die Definition eines rekursiven Logarithmus auf <math>\mathbb{C}\setminus \{0\}</math> benötigt man die <math>logmod</math>-Funktion. Ähnlich wie bei der Periodizität Addition <math>+1</math> in Restklasse modulo <math>m</math> hat die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] über die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] die Periodizität <math>2\pi i</math>. == Definition - logmod-Funktion == Sei eine komplexe Zahl <math>z=z_1+iz_2\in \mathbb{C}</math> beliebig gewählt. Dann definiert man: :<math> \mathrm{logmod}_{2\pi i}(z)=k\in\mathbb{Z} \mbox{ mit } z_2 - k\cdot 2\pi i \in [0,2\pi i ) </math> === Erläuterung - logmod === Die <math>logmod</math>-Funktion gibt die Vielfachheit <math>k</math> von <math>2\pi i</math>, die man von dem Imaginärteil <math>z_2=\mathfrak{Im}(z)\in \mathbb{R}</math> von <math>z</math> abziehen muss, damit der Imaginärteil von <math>z-k\cdot 2\pi i</math> in dem halboffenen Intervall <math>[0,2\pi i ) </math> liegt. === Beispiele === * für reelle Zahlen <math>z\in\mathbb{R}</math> gilt <math>\mathrm{logmod}_{2\pi i}(z) = 0</math>. * für <math>z_1\in\mathbb{R}</math> und <math>z_2\in [0,2\pi)</math> gilt ebenfalls <math>\mathrm{logmod}_{2\pi i}(z) = 0</math>, z.B. <math>7+2i\in \mathbb{R}\times [0,2\pi)\cdot i</math> daher gilt <math>\mathrm{logmod}_{2\pi i}(7+2i) = 0</math>. * für <math>7+7i\in \mathbb{R}\times [0,2\pi)\cdot i</math> gilt <math>\mathrm{logmod}_{2\pi i}(7+7i) = 1</math> und <math>\mathrm{logmod}_{2\pi i}(7-21i) = -3</math>. === Bezug zur Restklassen und modulo-Rechnung === Wenn <math>14</math> liegt in der Restklasse <math>[2]_5</math> modulo <math>5</math> mit: :<math> [2]_5 := \{z\in \mathbb{Z} \, : \, \exist_{k\in \mathbb{Z}}\ 5\cdot k + 2 = z\} </math> Wenn man die Restklasse <math>r\in\{0,1,2,3,4\}</math> einer beliebigen ganzen Zahl <math>z\in \mathbb{Z}</math> modulo 5 sucht, bestimmen man die Vielfachheit <math>k\in\mathbb{Z}</math>, sodass <math>z-k\cdot \in \{0,1,2,3,4\}</math> in der Repräsentantenmenge der Restklasse liegt. == Bezug zur Exponentialfunktion == Die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] besitzt eine Periodizität von <math>2\pi i</math> (siehe [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]]). Wenn man den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige|negativen Hauptzweig]] algebraisch auf <math>\mathbb{D}_1</math> vervollständigt, kann man <math>\mathbb{C}\setminus \{0\}</math> bijektiv mit der Exponentialfunktion auf <math>\mathbb{D}_1</math> abbilden. Dabei definiert man: :<math>\mathbb{D}_1 := \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi i) = \{z_1+i\cdot z_2 \in \mathbb{C} \, :\, z_2\in [0,2\pi i)\,\, \}</math> und definert den zugehörigen Logarithmus wie folgt: :<math> \begin{array}{rrcl} \ln_1 : & \mathbb{C}\setminus \{0\} & \rightarrow & \mathbb{D}_1 \\ & z & \mapsto & \ln_1(z) = w \in \mathbb{D}_1 \mbox{ mit } e^w = z \end{array} </math> === Bemerkung - Stetigkeit und Differenzierbarkeit === Der algebraisch vervollständigte Logarithmus ist für alle Zahlen <math>z\in \mathbb{R}\setminus \{0\} \subset \mathbb{C} </math> nicht stetig und damit auch nicht komplex differenzierbar. Den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] als [[holomorphe Funktion]] erhält als eine holomorphe Funktion als Stammfunktion <math>f(z)=\tfrac{1}{z}</math> nur dann, wenn der Definitionbereich [[einfach zusammenhängend]] ist. c4io0mfyneqf8cdggayc92ffo3ifskx 106 172715 1115628 1115614 2026-10-09T15:14:18Z Coc39ked 40763 1115628 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Joey Becker * Marie-Thérèse Heitele * Nicole Pander =Thema und Fragestellung= Gegenstand dieses Projekts ist die numerische Simulation einer lokalen Gefäßverengung, allgemein bekannt unter dem medizinischen Begriff ''Stenose''. Als medizinischer Anwendungsfall wird ein gerader Abschnitt der Arteria carotis communis (Halsschlagader) betrachtet. Um den Einfluss der Gefäßverengung möglichst isoliert untersuchen zu können, wird die reale Gefäßgeometrie bewusst vereinfacht. Bedeutet, dass Gefäßkrümmungen, Verzweigungen und patientenspezifische anatomische Strukturen nicht berücksichtigt werden. Stattdessen wird ein gerade, idealisiertes Gefäß mit einer symmetrischen bzw. im dreidimensionalen Modell rotationssymmetrischen Stenose untersucht. Als Referenz dient zunächst ein gesundes, unverengtes Gefäß, in dem sich die Poiseuille-Strömung mit ihrem charakterischtischen Geschwindigkeitsprofil ausbildet. Diese bildet den Ausgangspunkt für den anschließenden Vergleich verschiedener Stenosegrade. ===Fragestellung=== Wie verändert eine symmetrische bzw. rotationssymmetrische Stenose die stationäre Strömung eines inkompressibelen Newton'schen Fluid in einem idealisierten Abschnitt der Arteria carotis communis hinsichtlich Geschwindigkeitsverteilung, Druckverteilung sowie Strömungsmuster und wie entwickeln sich diese Größen mit zunehmendem Stenosegrad im Vergleich zu einem gesunden Gefäß? =Relevanz= Die Untersuchung von Gefäßverengungen besitzt sowohl eine medizinische als auch eine methodische Bedeutung. Aus medizinischer Sicht sind arterielle Stenosen, etwa in der Halsschlagader kritisch, da sie die Durchblutung beeinträchtigen und durch veränderte Wandschubspannungen sowie die Bildung von Wirbeln weitere Gefäßablagerungen begünstigen. Fachlich überträgt das Projekt damit die Prinzipien der Strömungsmechanik direkt auf eine biomedizinische Anwendung. Der methodische Mehrwert liegt in der Verknüpfung mehrerer Zugänge: Durch den systematischen Abgleich von analytischer Poiseuille-Theorie und Simulationen in COMSOL Multiphysics zeigt das Projekt anschaulich, wie numerische Modelle aufgebaut, verifiziert und an ihren Grenzen bewertet werden. ===Auswahl der Stenosegrade=== Um die untersuchten Gefäßverengungen nicht willkürlich festzulegen, orientiert sich die Auswahl der Stenosegrade an der klinisch gebräuchlichen NASCET-Klassifikation von Karotisstenosen. Dabei werden Stenosen nach ihrem Schweregrad unter anderem in: • leichte Stenosen unter 50% • mäßige Stenosen von 50 bis 69% • hochgradige Stenosen von 70 bis 99% eingeteilt. Ein vollständige Gefäßverschluss entspricht einer Okklusion. Für die numerische Untersuchung wird aus jeder dieser drei Kategorien ein repräsentativer Stenosegrad ausgewählt. Neben dem gesunden Gefäß mit '''0% Stenose''' werden daher eine '''30% Stenose''' als Beispiel für eine leichte, eine '''60% Stenose''' als Beispiel für eine mäßige und eine '''80% Stenose''' als Beispiel für eine hochgradige Verengung untersucht. Auf diese Weise können deutlich unterschiedliche Schweregrade miteinander vergleichen und die zunehmenden Veränderungen von Geschwindigkeit, Druck und Strömungsmuster systematisch analysiert werden. Ein vollständiger Gefäßverschluss von 100% wird nicht simuliert, da in diesem Fall keine durchgängige Strömung durch das Gefäß mehr vorliegt und damit keine Simulation betrachtet wird. Der Stenosegrad wird in unserem Projekt über die Verringerung des Gefäßdurchmessers beschreiben. In Anlehnung an das NASCET-Prinzip kann er als Verhältnis zwischen dem minimalen Durchmesser im Bereich der Stenose und einem Referenzdurchmesser formuliert werden. =Modellannahmen= Um den Einfluss des Stenosegrades möglichst isoliert zu untersuchen, werden für die Simulation folgende Modellannahmen getroffen: • '''Idealisierte Gefäßgeometrie''': Betrachtet wird ein gerader Abschnitt der ''Arteria carotis communis''. Gefäßverkrümmungen, Verzweigungen und patientenspezifische Strukturen werden nicht berücksichtigt. • '''Starre Gefäßwand''': Die Gefäßwand wird als unbeweglich und nicht verformbar angenommen. Eine Wechselwirkung zwischen elastischer Gefäßwand und Blutströmung wird nicht modelliert. • '''Stationäre Strömung''': Die Strömungsgrößen werden als zeitlich konstant angenommen. Die im realen Blutkreislauf vorhandene Pulsation durch den Herzschlag wird daher vernachlässigt: <math>\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t}=0</math>. • '''Inkompressibles Fluid''': Die Dichte des Fluids wird als konstant angenommen. Damit gilt für die Geschwindigkeit <math>\nabla \cdot \mathbf{u}=0</math>. Dies entspricht der in der Vorlesung behandelten Massenerhaltung für inkompressible Fluide: Was in das Gefäß einströmt, muss auch wieder ausströmen. • '''Newton'sche Näherung für Blut''': Reales Blut beseitzt ein nicht-newton'sches Fließverhalten. Hier wird Blut als Newton'sches Fluid behandelt. • '''Konstante Stoffeigenschaften''': Dichte <math>\rho</math> und dynamische Viskosität <math>\mu</math> werden als räumlich und zeitlich konstant angenommen. Temperaturabhängigkeiten werden nicht berücksichtigt. • '''Laminare Strömung''': Die Strömung wird mit dem COMSOL-Modul ''Laminar Flow'' beschrieben. Ein zusätzliches Turbulenzmodell wird nicht verwendet. • '''No-Slip-Bedingung an Gefäßwand''': Aufgrund der Viskosität wird angenommen, dass das Fluid direkt an der Gefäßwand haftet. Somit gilt <math>\mathbf{u}=0</math>. • '''Vernachlässigung der Gravitation''': Gravitation wird nicht berücksichtigt. Die Strömung wird ausschließlich durch die gewählten Ein- und Auslassbedingungen bestimmt. =Implementierung in COMSOL= = Gruppenteilnehmer = * Joey Becker * Marie-Thérèse Heitele * Nicole Pander = Thema und Fragestellung = Gegenstand dieses Projekts ist die numerische Simulation einer lokalen Gefäßverengung, die in der Medizin als ''Stenose'' bezeichnet wird. Als Anwendungsfall dient ein gerader Abschnitt der ''Arteria carotis communis'', der gemeinsamen Halsschlagader. Um den Einfluss der Verengung möglichst isoliert untersuchen zu können, wird die reale Gefäßgeometrie bewusst vereinfacht. Gefäßkrümmungen, Verzweigungen und patientenspezifische anatomische Strukturen werden nicht berücksichtigt. Stattdessen wird ein gerades, idealisiertes Gefäß mit einer rotationssymmetrischen Stenose untersucht. Im ebenen Vergleichsmodell erscheint dieselbe Verengung als symmetrische Einschnürung eines Kanals. Als Referenz dient ein gesundes, unverengtes Gefäß, in dem sich die Poiseuille-Strömung mit ihrem charakteristischen parabolischen Geschwindigkeitsprofil ausbildet. Diese Strömung ist aus zwei Gründen der natürliche Ausgangspunkt. Sie beschreibt den physiologischen Normalfall, mit dem jeder Stenosegrad verglichen wird, und sie ist exakt lösbar, sodass sich an ihr jede numerische Rechnung prüfen lässt, bevor die Verengung hinzukommt. == Fragestellung == Wie verändert eine rotationssymmetrische Stenose die stationäre Strömung eines inkompressiblen Newtonschen Fluids in einem idealisierten Abschnitt der Arteria carotis communis hinsichtlich Geschwindigkeitsverteilung, Druckverteilung, Wandschubspannung und Strömungsmuster, und wie entwickeln sich diese Größen mit zunehmendem Stenosegrad im Vergleich zu einem gesunden Gefäß? Aus dieser Fragestellung ergeben sich drei Teilfragen, an denen sich der Aufbau der Seite orientiert. # Welche Strömungsgrößen reagieren empfindlich auf den Stenosegrad und welche nur träge? # Ab welchem Stenosegrad ändert sich das Strömungsmuster qualitativ, das heißt, ab wann löst die Strömung hinter der Engstelle von der Wand ab und bildet ein Rückströmgebiet? # Wie weit tragen die vereinfachenden Modellannahmen, insbesondere die Annahme einer stationären und laminaren Strömung, über den untersuchten Bereich der Stenosegrade? = Relevanz = Die Untersuchung von Gefäßverengungen besitzt eine medizinische und eine methodische Bedeutung. Beide werden im Folgenden getrennt begründet, weil sie unterschiedliche Anforderungen an das Modell stellen. Die medizinische Fragestellung verlangt realistische Zahlenwerte, die methodische Fragestellung verlangt nachprüfbare Rechnungen. == Medizinische Relevanz == Arterielle Stenosen entstehen überwiegend durch Atherosklerose, also durch Ablagerungen aus Lipiden, Bindegewebe und Kalk in der Gefäßwand. In der Halsschlagader sind sie klinisch besonders bedeutsam, weil sie die Durchblutung des Gehirns beeinträchtigen und weil sich an ihnen Thromben bilden können, die als Embolie einen Schlaganfall auslösen. Dass die operative Entfernung einer hochgradigen Karotisstenose das Schlaganfallrisiko symptomatischer Patienten deutlich senkt, hat die NASCET-Studie gezeigt, deren Einteilung der Stenosegrade dieses Projekt übernimmt.<ref name="nascet">North American Symptomatic Carotid Endarterectomy Trial Collaborators: ''Beneficial effect of carotid endarterectomy in symptomatic patients with high-grade carotid stenosis.'' New England Journal of Medicine 325 (1991), Nr. 7, S. 445-453.</ref> Strömungsmechanisch ist an einer Stenose vor allem die Wandschubspannung von Interesse, also die tangentiale Kraft je Fläche, die das strömende Blut auf die innerste Zellschicht der Gefäßwand ausübt. Gesunde Halsschlagadern weisen zeitlich gemittelte Werte von etwa 1,1 bis 1,5 Pa auf.<ref name="samijo">Samijo, S. K.; Willigers, J. M.; Barkhuysen, R.; Kitslaar, P. J. E. H. M.; Reneman, R. S.; Brands, P. J.; Hoeks, A. P. G.: ''Wall shear stress in the human common carotid artery as function of age and gender.'' Cardiovascular Research 39 (1998), Nr. 2, S. 515-522.</ref> In einer Engstelle steigt sie stark an, unmittelbar dahinter fällt sie im Ablösegebiet auf nahezu null und wechselt dort sogar das Vorzeichen. Niedrige und im Vorzeichen wechselnde Wandschubspannungen gelten als Bedingungen, unter denen sich weitere Ablagerungen bevorzugt bilden. Eine bestehende Stenose schafft also stromabwärts die Voraussetzungen für ihr eigenes Wachstum. Genau diese Verteilung lässt sich im Körper nur schwer messen, in einer Simulation dagegen unmittelbar auswerten. == Methodische Relevanz == Fachlich überträgt das Projekt die Prinzipien der Strömungsmechanik aus der Vorlesung auf eine biomedizinische Anwendung.<ref name="hundertmark">Hundertmark, A.: ''Fluiddynamik.'' Vorlesungsunterlagen zum Modul Räumliche Modellbildung, RPTU Kaiserslautern-Landau, Sommersemester 2026.</ref> Der methodische Mehrwert liegt in der Verknüpfung mehrerer Zugänge, die sich gegenseitig kontrollieren. Die analytische Poiseuille-Lösung liefert exakte Sollwerte für das gesunde Gefäß. Ein reduziertes Graphenmodell liefert für jeden Stenosegrad eine schnelle Abschätzung, die analytisch nachrechenbar ist. Die Simulationen in COMSOL Multiphysics lösen schließlich die vollständigen Navier-Stokes-Gleichungen in zwei und drei Raumdimensionen. Weil jede Stufe die Sollwerte der nächsten liefert, zeigt das Projekt nicht nur Ergebnisse, sondern auch, wie numerische Modelle aufgebaut, verifiziert und an ihren Grenzen bewertet werden. == Auswahl der Stenosegrade == Um die untersuchten Gefäßverengungen nicht willkürlich festzulegen, orientiert sich die Auswahl der Stenosegrade an der klinisch gebräuchlichen NASCET-Klassifikation von Karotisstenosen.<ref name="nascet" /> Sie teilt Stenosen nach ihrer Durchmesserreduktion in drei Schweregrade ein, ein vollständiger Gefäßverschluss wird als Okklusion bezeichnet. {| class="wikitable" |+ Schweregrade nach NASCET und ihre Abdeckung im Projekt ! Schweregrad !! Durchmesserreduktion !! im Projekt gerechnete Stenosegrade !! hervorgehobener Vertreter |- | gesundes Gefäß || 0 % || 0 || 0 |- | leichtgradige Stenose || unter 50 % || 0,1 bis 0,4 || 0,3 |- | mittelgradige Stenose || 50 bis 69 % || 0,5 und 0,6 || 0,6 |- | hochgradige Stenose || 70 bis 99 % || 0,7 und 0,8 || 0,8 |- | Okklusion || 100 % || nicht gerechnet || entfällt |} Für die numerische Untersuchung wird aus jeder Kategorie ein repräsentativer Stenosegrad hervorgehoben. Neben dem gesunden Gefäß mit '''0 %''' Stenose sind das eine '''30 %''' Stenose als Beispiel für eine leichtgradige, eine '''60 %''' Stenose als Beispiel für eine mittelgradige und eine '''80 %''' Stenose als Beispiel für eine hochgradige Verengung. Zusätzlich werden im Graphenmodell und im achsensymmetrischen Flächenmodell alle Zwischenwerte in Schritten von zehn Prozentpunkten gerechnet. Das kostet in diesen beiden Modellen nur Sekunden, liefert aber glatte Verläufe über dem Stenosegrad und macht sichtbar, ab welchem Grad sich das Verhalten der Strömung ändert. Ein vollständiger Gefäßverschluss wird nicht simuliert, da in diesem Fall keine durchgängige Strömung mehr vorliegt. Der Stenosegrad wird in diesem Projekt wie bei NASCET über die Verringerung des Gefäßdurchmessers beschrieben, <math>s = 1 - \frac{d_{\min}}{d_{\mathrm{ref}}},</math> wobei <math>d_{\min}</math> der kleinste Durchmesser in der Engstelle und <math>d_{\mathrm{ref}}</math> ein Referenzdurchmesser ist. NASCET verwendet als Referenz den Durchmesser des gesunden Gefäßes stromabwärts der Stenose. Im idealisierten Modell hat das Gefäß vor und hinter der Engstelle denselben Durchmesser <math>D_0</math>, sodass <math>d_{\mathrm{ref}} = D_0</math> gilt und die NASCET-Definition mit allen anderen gebräuchlichen Durchmesserdefinitionen zusammenfällt. Wichtig für das Verständnis aller weiteren Ergebnisse ist der Unterschied zwischen Durchmesser- und Flächenreduktion. Da die Querschnittsfläche quadratisch vom Durchmesser abhängt, gilt für die Flächenreduktion <math>1-(1-s)^2</math>. Eine im klinischen Sinn nur mittelgradige Stenose von 60 % verschließt damit bereits 84 % der Querschnittsfläche. {| class="wikitable" |+ Durchmesser- und Flächenreduktion der gerechneten Stenosegrade ! Stenosegrad s !! 0 !! 0,1 !! 0,2 !! 0,3 !! 0,4 !! 0,5 !! 0,6 !! 0,7 !! 0,8 |- | engster Durchmesser in mm || 6,0 || 5,4 || 4,8 || 4,2 || 3,6 || 3,0 || 2,4 || 1,8 || 1,2 |- | Flächenreduktion || 0 % || 19 % || 36 % || 51 % || 64 % || 75 % || 84 % || 91 % || 96 % |} Zwei Einschränkungen gehören zur ehrlichen Einordnung. Erstens ist die NASCET-Klassifikation für Stenosen der ''Arteria carotis interna'' entwickelt worden, also des Astes hinter der Gabelung, während hier ein gerader Abschnitt der ''Arteria carotis communis'' modelliert wird. Die Klassifikation dient im Projekt deshalb als Orientierung für sinnvolle Abstufungen und nicht als diagnostische Aussage. Zweitens zeigt sich im Abschnitt zur Modellierung, dass die Annahme einer stationären, laminaren Strömung ab einem Stenosegrad von etwa 0,6 an ihre Grenzen stößt. Die hochgradigen Fälle werden deshalb zwar gerechnet, ihre Ergebnisse aber ausdrücklich als Grenzfall des Modells diskutiert. = Modellierung = Modellierung bedeutet hier, die reale Situation in eine mathematische Aufgabe zu übersetzen, die sich lösen lässt. Dazu gehören vier Bausteine, nämlich das Rechengebiet, die Gleichungen, die Zahlenwerte der Parameter und die Bedingungen an den Rändern. Jeder dieser Bausteine beruht auf Annahmen, und jede Annahme muss begründet werden. Dieser Abschnitt geht die Bausteine deshalb der Reihe nach durch und nennt bei jedem Zahlenwert, woher er stammt und warum er sinnvoll ist. == Modellhierarchie == Das Projekt rechnet nicht ein einziges Modell, sondern vier aufeinander aufbauende Modellvarianten. Sie entsprechen der Kursanforderung, eine Strömung als Graph, in zwei und in drei Raumdimensionen darzustellen, und sie sind bewusst von einfach nach aufwendig geordnet. {| class="wikitable" |+ Die vier Modellvarianten des Projekts ! Modell !! Raumdimension !! gelöste Gleichung !! Zweck !! Werkzeug |- | Graphenmodell || 1D, Gefäßachse || Hagen-Poiseuille je Rohrstück und Massenerhaltung in jedem Knoten || schnelle, analytisch nachrechenbare Abschätzung für jeden Stenosegrad || Octave und COMSOL (Koeffizientenform-PDGL) |- | achsensymmetrisches Flächenmodell || 2D, Halbschnitt in r und z || vollständige stationäre Navier-Stokes-Gleichungen in Zylinderkoordinaten || Hauptmodell, liefert alle Feldgrößen des rotationssymmetrischen Rohres || COMSOL, Laminare Strömung |- | ebenes Flächenmodell || 2D, Halbschnitt in x und y || vollständige stationäre Navier-Stokes-Gleichungen in kartesischen Koordinaten || Vergleich, zeigt den Einfluss der zweiten Querschnittsrichtung || COMSOL, Laminare Strömung |- | Volumenmodell || 3D || vollständige stationäre Navier-Stokes-Gleichungen || Kontrolle des Hauptmodells und räumliche Darstellung || COMSOL, Laminare Strömung |} Die Reihenfolge folgt einem einfachen Prinzip. Jede Stufe liefert die Sollwerte, an denen die nächste, komplexere Stufe geprüft wird. Das Graphenmodell muss im gesunden Fall exakt die Poiseuille-Lösung ergeben. Das achsensymmetrische Modell muss im gesunden Fall dieselben Werte liefern und bei Stenose für Geschwindigkeit und Wandschubspannung in der Nähe des Graphenmodells liegen. Das Volumenmodell muss, weil die Geometrie rotationssymmetrisch ist, mit dem achsensymmetrischen Modell übereinstimmen. == Modellannahmen == Um den Einfluss des Stenosegrades möglichst isoliert zu untersuchen, werden die folgenden Modellannahmen getroffen. Die Tabelle nennt zu jeder Annahme ihre mathematische Form, die Begründung und die Stelle, an der sie im Projekt überprüft wird. {| class="wikitable" |+ Modellannahmen, ihre Begründung und ihre Überprüfung ! Annahme !! mathematische Form !! Begründung !! Überprüfung |- | Idealisierte Gefäßgeometrie || gerades Rohr mit kosinusförmiger, rotationssymmetrischer Verengung || isoliert die Wirkung des Stenosegrades von Krümmung, Verzweigung und Plaqueform || Diskussion in den Schlussfolgerungen |- | Starre Gefäßwand || Wand ortsfest, keine Fluid-Struktur-Kopplung || im stationären Fall gibt es keine Druckschwankung, die die Wand periodisch aufweiten könnte || Abschätzung über die gemessene Durchmesseränderung im Herzzyklus |- | Stationäre Strömung || <math>\partial \mathbf{u}/\partial t = \mathbf{0}</math> || der Einfluss des Stenosegrades soll ohne Überlagerung durch die Pulsation sichtbar werden || Abschätzung über die Womersley-Zahl |- | Inkompressibles Fluid || <math>\rho = \mathrm{const}</math>, damit <math>\nabla\cdot\mathbf{u} = 0</math> || Blut ist eine Flüssigkeit, Druckänderungen von wenigen hundert Pascal ändern die Dichte nicht messbar || Massenerhaltung in fünf Querschnitten |- | Newtonsche Näherung || konstante Viskosität <math>\mu</math> || die Scherraten an der Wand und im größten Teil des Querschnitts liegen über dem Bereich, in dem Blut deutlich scherverdünnend wirkt || Scherrate an der Wand, Diskussion des Rückströmgebiets |- | Konstante Stoffeigenschaften || <math>\rho</math> und <math>\mu</math> räumlich und zeitlich konstant || Körpertemperatur ist im betrachteten Abschnitt konstant || entfällt |- | Laminare Strömung || kein Turbulenzmodell, Schnittstelle Laminare Strömung || Reynoldszahl des gesunden Gefäßes von 386 liegt weit unter dem Umschlagbereich || Reynoldszahl in der Engstelle, Literaturvergleich |- | Haftbedingung an der Wand || <math>\mathbf{u} = \mathbf{0}</math> auf der Wand || Folge der Viskosität, das Fluid haftet an der Wand || Grundlage jeder Wandschubspannung |- | Vernachlässigung der Gravitation || keine Volumenkraft || bei konstanter Dichte lässt sich die Schwerkraft vollständig in einen hydrostatischen Druckanteil verschieben und beeinflusst die Geschwindigkeit nicht || Begründung in den Mathematischen Hintergründen |- | Voll entwickelte Einströmung || parabolisches Profil am Einlass || die natürliche Einlaufstrecke wäre mit rund 139 mm fast so lang wie das ganze Rechengebiet || Scheitelgeschwindigkeit im gesunden Fall |- | Eingeprägter Volumenstrom || <math>Q = Q_0</math> am Einlass || der Strömungswiderstand des Abschnitts ist klein gegenüber dem des nachgeschalteten Gefäßbetts || Abschätzung mit einem Reihenwiderstand |} Einige dieser Annahmen sind unmittelbar einsichtig, andere verdienen eine genauere Begründung, weil von ihnen die Aussagekraft der Ergebnisse abhängt. Die '''Newtonsche Näherung''' ist die Annahme, die bei Blut am häufigsten hinterfragt wird. Reales Blut ist eine Suspension aus Plasma und Blutzellen und verhält sich scherverdünnend. Bei kleinen Scherraten lagern sich die roten Blutkörperchen zu geldrollenartigen Stapeln zusammen, und die Viskosität steigt auf ein Vielfaches an. Bei großen Scherraten lösen sich diese Stapel auf, und die Viskosität strebt gegen einen Grenzwert von etwa 3,5 mPa·s. Entscheidend ist also die Scherrate. An der Wand des gesunden Modellgefäßes beträgt sie nach der Poiseuille-Lösung <math>\dot\gamma_w = \frac{4\,U_0}{R_0} = \frac{4 \cdot 0{,}2122\ \mathrm{m/s}}{0{,}003\ \mathrm{m}} \approx 283\ \mathrm{s^{-1}}</math> und liegt damit oberhalb von etwa 100 pro Sekunde, wo sich Newtonsches und nicht Newtonsches Modell nach der Literatur nur noch wenig unterscheiden.<ref name="boyd">Die Grenze von etwa 100 s^-1 wird in vergleichenden Studien zur Blutrheologie verwendet, etwa bei Bernabeu, M. O. u. a.: ''Impact of blood rheology on wall shear stress in a model of the middle cerebral artery.'' Interface Focus 3 (2013), 20120094. <!-- FIXME Zitat und Seitenangabe am Original pruefen --></ref> In der Engstelle steigt die Scherrate weiter an, beim Stenosegrad 0,5 auf rund 2260 pro Sekunde. Schwach ist die Näherung dort, wo die Scherrate klein wird, also in der Mitte des Gefäßes und vor allem im Rückströmgebiet hinter der Stenose. Dort ist reales Blut zäher als angenommen. Dieser Punkt wird in den Schlussfolgerungen wieder aufgegriffen. Die '''stationäre Strömung''' ist die stärkste Vereinfachung. Wie wichtig die Pulsation ist, misst die Womersley-Zahl, die das Verhältnis von instationärer Trägheit zu Reibung angibt. Mit einer Herzfrequenz von 60 Schlägen je Minute, also einer Kreisfrequenz <math>\omega = 2\pi\ \mathrm{s^{-1}}</math>, ergibt sich <math>\alpha = R_0 \sqrt{\frac{\omega \rho}{\mu}} = 0{,}003\ \mathrm{m} \cdot \sqrt{\frac{2\pi\ \mathrm{s^{-1}} \cdot 1060\ \mathrm{kg/m^3}}{0{,}0035\ \mathrm{Pa\,s}}} \approx 4{,}1 .</math> Ein Wert in dieser Größenordnung bedeutet, dass das reale Geschwindigkeitsprofil im Herzzyklus merklich von der Parabel abweicht.<ref name="womersley">Womersley, J. R.: ''Method for the calculation of velocity, rate of flow and viscous drag in arteries when the pressure gradient is known.'' Journal of Physiology 127 (1955), S. 553-563.</ref> Hinzu kommt, dass der Volumenstrom in der Systole kurzzeitig auf rund das Vierfache des Mittelwerts steigt.<ref name="holdsworth">Holdsworth, D. W.; Norley, C. J. D.; Frayne, R.; Steinman, D. A.; Rutt, B. K.: ''Characterization of common carotid artery blood-flow waveforms in normal human subjects.'' Physiological Measurement 20 (1999), Nr. 3, S. 219-240. DOI 10.1088/0967-3334/20/3/301. Angegeben werden ein mittlerer Volumenstrom von 6,0 ± 1,4 ml/s und ein systolischer Spitzenwert von 23,5 ± 3,8 ml/s. <!-- FIXME Zahlenwerte und Probandenzahl am Original pruefen --></ref> Die stationäre Rechnung mit dem Mittelwert beschreibt deshalb nicht den zeitlichen Verlauf, wohl aber den zeitlich gemittelten Zustand, an dem sich der Einfluss des Stenosegrades sauber vergleichen lässt. Die '''laminare Strömung''' wird über die Reynoldszahl begründet. Sie beträgt im gesunden Gefäß 386 und liegt damit weit unter dem Wert von etwa 2300, ab dem die Strömung in einem geraden Rohr in den Übergangsbereich gelangen kann. In der Engstelle steigt sie bei festem Volumenstrom auf <math>Re_0/(1-s)</math>, also auf 551 beim Stenosegrad 0,3, auf 964 beim Grad 0,6 und auf 1928 beim Grad 0,8. Für den Strahl hinter einer Engstelle ist der Umschlagbereich allerdings deutlich niedriger als im geraden Rohr. Direkte numerische Simulationen an genau der in diesem Projekt verwendeten Stenosegeometrie zeigen, dass die Strömung bei einer Einström-Reynoldszahl von 500 auch bei leichter Unsymmetrie laminar bleibt, bei 1000 dagegen schon eine Exzentrizität von fünf Prozent des Durchmessers genügt, um den Strahl in lokal turbulente Strömung umschlagen zu lassen.<ref name="varghese">Varghese, S. S.; Frankel, S. H.; Fischer, P. F.: ''Direct numerical simulation of stenotic flows. Part 1. Steady flow.'' Journal of Fluid Mechanics 582 (2007), S. 253-280. Untersucht wird eine kosinusförmige Stenose der Länge 2D mit 75 % Flächenreduktion, die mit der Geometrie dieses Projekts beim Stenosegrad 0,5 übereinstimmt. <!-- FIXME Band und Seiten am Original pruefen --></ref> Mit einer Einström-Reynoldszahl von 386 liegt das Projekt für die leicht- und mittelgradigen Stenosen sicher im laminaren Bereich. Für die hochgradigen Stenosen ab 0,7 ist ein laminares, stationäres Modell dagegen nur noch eine Näherung, die eine Obergrenze der geordneten Strömung beschreibt. Diese Fälle werden deshalb als Grenzfall des Modells gekennzeichnet. Die '''starre Wand''' lässt sich über Messungen abschätzen. Der Durchmesser der gemeinsamen Halsschlagader ändert sich im Herzzyklus bei jungen Menschen um etwa 12 bis 14 Prozent und bei älteren Menschen um etwa 5 Prozent.<ref name="hansen">Hansen, F.; Mangell, P.; Sonesson, B.; Länne, T.: ''Diameter and compliance in the human common carotid artery: variations with age and sex.'' Ultrasound in Medicine and Biology 21 (1995), Nr. 1, S. 1-9. DOI 10.1016/0301-5629(94)00090-5.</ref> Diese Bewegung ist eine Folge der Pulsation. In einer stationären Rechnung gibt es keine Druckschwankung, die die Wand periodisch aufweiten könnte, sodass die starre Wand zur stationären Annahme konsistent ist. Eine verkalkte Plaque ist ohnehin deutlich steifer als die gesunde Wand. Die Annahme des '''eingeprägten Volumenstroms''' wird im Abschnitt zu den Randbedingungen begründet, weil sie sich nur im Zusammenhang mit dem Kreislauf beurteilen lässt. == Simulationsgebiet und Geometrie == Die Gefäßachse ist die z-Achse, der Ursprung liegt in der Mitte der Stenose, und <math>r</math> bezeichnet den Abstand von der Achse. Das Rechengebiet reicht von <math>z = -L_u</math> bis <math>z = L_d</math> und wird radial von der Wandkontur <math>R(z)</math> begrenzt. Die Verengung wird über eine einzige glatte Funktion beschrieben, <math>R(z) = R_0 \left[ 1 - \frac{s}{2}\left(1 + \cos\frac{2\pi z}{L_s}\right)\right] \quad \text{falls } |z| \le \frac{L_s}{2}, \qquad R(z) = R_0 \ \text{sonst.}</math> Die Funktion hat drei Eigenschaften, die ihre Wahl begründen. Sie wird erstens über einen einzigen Parameter gesteuert, den Stenosegrad <math>s</math>. Der engste Radius in der Mitte beträgt <math>R(0) = R_0(1-s)</math>, und der Fall ohne Verengung ist einfach der Fall <math>s = 0</math>. Die gesamte Vergleichsreihe entsteht damit aus einem einzigen parametrischen Sweep. Sie geht zweitens an beiden Enden der Störstelle ohne Knick in das gerade Rohr über. Bei <math>z = \pm L_s/2</math> ist der Kosinus gleich minus eins, die Klammer also null, und seine Ableitung verschwindet dort ebenfalls. Das ist nicht nur ästhetisch, sondern numerisch notwendig, denn ein Knick in der Wand erzeugt eine Singularität der Wandschubspannung, deren berechneter Wert mit jeder Netzverfeinerung weiter wüchse. Eine Netzstudie wäre dann sinnlos. Sie ist drittens die in der Literatur gebräuchliche Standardgeometrie für Stenosen, sodass sich die Ergebnisse unmittelbar mit veröffentlichten Rechnungen vergleichen lassen.<ref name="varghese" /> [[Datei:Stenose Gruppe5 Wandkontur.svg|mini|zentriert|800px|Wandkontur <math>R(z)</math> für die untersuchten Stenosegrade. Die Darstellung ist in radialer Richtung gestreckt, das Rechengebiet ist in Wirklichkeit fünfundzwanzigmal länger als breit.]] <!-- FIXME Abbildung mit abbildungen_graph_1d.m fuer s = 0 bis 0,8 neu erzeugen, bisher nur bis 0,5 --> Die Abmessungen des Rechengebiets werden alle aus dem Gefäßradius abgeleitet. Das hat den Vorteil, dass sich das gesamte Modell durch Ändern eines einzigen Wertes auf ein anderes Gefäß übertragen lässt. Die einzelnen Längen werden im Folgenden Schritt für Schritt begründet. # Der '''Gefäßradius''' <math>R_0 = 3\ \mathrm{mm}</math> folgt aus Ultraschallmessungen an gesunden Erwachsenen. Dort wurden für die gemeinsame Halsschlagader mittlere Durchmesser von 6,10 ± 0,80 mm bei Frauen und 6,52 ± 0,98 mm bei Männern gemessen.<ref name="krejza">Krejza, J.; Arkuszewski, M.; Kasner, S. E.; Weigele, J.; Ustymowicz, A.; Hurst, R. W.; Cucchiara, B. L.; Messe, S. R.: ''Carotid artery diameter in men and women and the relation to body and neck size.'' Stroke 37 (2006), Nr. 4, S. 1103-1105. DOI 10.1161/01.STR.0000206440.48756.f7.</ref> Der gewählte Durchmesser von <math>D_0 = 6\ \mathrm{mm}</math> liegt damit innerhalb einer Standardabweichung beider Gruppen und ist bewusst auf einen runden Wert gesetzt, damit alle abgeleiteten Längen glatte Zahlen ergeben. # Die '''Länge der Störstelle''' <math>L_s = 2 D_0 = 12\ \mathrm{mm}</math> entspricht der Standardgeometrie aus der Literatur, die eine Stenosenlänge von zwei Durchmessern verwendet.<ref name="varghese" /> Damit ist beim Stenosegrad 0,5 ein direkter Vergleich mit veröffentlichten Ergebnissen möglich. # Die '''Vorlaufstrecke''' <math>L_u = 5 D_0 = 30\ \mathrm{mm}</math> trennt den Einlass von der Stenose. Da am Einlass bereits das voll entwickelte Profil vorgegeben wird, muss sie nicht die Einlaufstrecke abdecken, sondern nur verhindern, dass die Einströmrandbedingung die Strömung an der Engstelle beeinflusst. Bei Reynoldszahlen in dieser Größenordnung reicht der Einfluss einer Verengung nur wenige Durchmesser stromaufwärts, die Literatur kommt für dieselbe Geometrie mit drei Durchmessern Vorlauf aus.<ref name="varghese" /> Fünf Durchmesser lassen also eine Reserve. Überprüft wird das im Ergebnis, indem die Geschwindigkeit auf der Achse in der Mitte der Vorlaufstrecke mit dem Sollwert <math>2U_0</math> verglichen wird. # Die '''Nachlaufstrecke''' <math>L_d = 20 D_0 = 120\ \mathrm{mm}</math> ist deutlich länger, weil sich hinter der Engstelle ein Rückströmgebiet bildet, das nicht auf den Auslass treffen darf. Für die Geometrie mit dem Stenosegrad 0,5 legt die Strömung bei einer Einström-Reynoldszahl von 500 erst etwa zehn Durchmesser hinter der Engstelle wieder an, die Literatur rechnet mit sechzehn Durchmessern Nachlauf.<ref name="varghese" /> Zwanzig Durchmesser bieten damit für alle Stenosegrade bis 0,5 einen Sicherheitsabstand. Für die Grade ab 0,6 ist ein längeres Rückströmgebiet zu erwarten, dort wird die Lage des Wiederanlegepunktes ausdrücklich kontrolliert. # Das '''Ende des fein vernetzten Nachlaufs''' <math>L_f = L_s/2 + 10 D_0 = 66\ \mathrm{mm}</math> legt fest, bis wohin das Netz verfeinert wird. Der Wert ist so gewählt, dass das erwartete Rückströmgebiet von etwa zehn Durchmessern vollständig im feinen Bereich liegt. Damit hat das Rechengebiet eine Gesamtlänge von <math>L = L_u + L_d = 150\ \mathrm{mm}</math>, also das Fünfundzwanzigfache des Durchmessers. Es ist ein Modellgebiet und kein maßstäbliches Abbild eines bestimmten anatomischen Abschnitts. == Stoff- und Strömungsparameter == Die Stoffwerte des Blutes und der Volumenstrom sind die einzigen Eingangsgrößen, die nicht aus der Geometrie folgen. Aus ihnen werden alle weiteren Strömungskennwerte berechnet. Die folgenden Schritte zeigen jede Rechnung einzeln, damit sich jeder Wert nachprüfen lässt. # Die '''Dichte''' wird mit <math>\rho = 1060\ \mathrm{kg/m^3}</math> angesetzt. Der Wert lässt sich als Mischungsregel plausibel machen. Plasma hat eine Dichte von etwa 1025 kg/m³, rote Blutkörperchen von etwa 1100 kg/m³. Bei einem Zellanteil von 45 % ergibt sich <math>0{,}55 \cdot 1025 + 0{,}45 \cdot 1100 \approx 1059\ \mathrm{kg/m^3}</math>. Die Dichte geht nur über die Reynoldszahl in die Rechnung ein, eine Abweichung von einem Prozent ändert die Ergebnisse daher kaum. <!-- FIXME Lehrbuchquelle fuer Plasma- und Erythrozytendichte ergaenzen --> # Die '''dynamische Viskosität''' wird mit <math>\mu = 3{,}5\ \mathrm{mPa\,s}</math> angesetzt. Das ist der Grenzwert der Blutviskosität bei hohen Scherraten, also genau der Wert, der zur Newtonschen Näherung gehört. Derselbe Wert von 0,035 Poise wird auch im Standardwerk zur Modellierung des Herz-Kreislauf-Systems verwendet.<ref name="quarteroni">Quarteroni, A.; Formaggia, L.: ''Mathematical Modelling and Numerical Simulation of the Cardiovascular System.'' In: Ayache, N. (Hrsg.): ''Computational Models for the Human Body.'' Handbook of Numerical Analysis, Bd. XII, Elsevier, Amsterdam 2004, S. 3-127. DOI 10.1016/S1570-8659(03)12001-7. Zur Newtonschen Näherung in großen Gefäßen siehe S. 30, zur Viskosität von 0,035 Poise die Parametertabelle auf S. 116.</ref> # Der '''mittlere Volumenstrom''' wird mit <math>Q_0 = 6\ \mathrm{ml/s}</math> angesetzt. Das ist der zeitlich gemittelte Volumenstrom, der in der gemeinsamen Halsschlagader gesunder Probanden gemessen wurde.<ref name="holdsworth" /> # Die '''mittlere Geschwindigkeit''' folgt aus Volumenstrom und Querschnittsfläche, <math>U_0 = \frac{Q_0}{\pi R_0^2} = \frac{6 \cdot 10^{-6}\ \mathrm{m^3/s}}{\pi \cdot (0{,}003\ \mathrm{m})^2} = 0{,}2122\ \mathrm{m/s}</math>. # Die '''Reynoldszahl''' des gesunden Gefäßes ist <math>Re_0 = \frac{\rho\, U_0\, D_0}{\mu} = \frac{1060 \cdot 0{,}2122 \cdot 0{,}006}{0{,}0035} = 385{,}6</math>. Sie wird im Folgenden auf 386 gerundet. # Die '''Einlauflänge''', die eine anfangs gleichförmige Strömung bis zum voll entwickelten Parabelprofil bräuchte, beträgt nach der gebräuchlichen Abschätzung für laminare Rohrströmungen <math>L_e \approx 0{,}06\, Re_0\, D_0 \approx 0{,}06 \cdot 386 \cdot 6\ \mathrm{mm} \approx 139\ \mathrm{mm}</math>.<ref name="durst">Durst, F.; Ray, S.; Ünsal, B.; Bayoumi, O. A.: ''The development lengths of laminar pipe and channel flows.'' Journal of Fluids Engineering 127 (2005), Nr. 6, S. 1154-1160. Für große Reynoldszahlen nähert sich die dort angegebene Korrelation dem Wert 0,057·Re·D.</ref> Das ist fast die gesamte Länge des Rechengebiets. Ein konstantes Einlassprofil würde die Strömung an der Stenose also verfälschen, weshalb am Einlass das voll entwickelte Profil vorgegeben wird. Damit liegen alle globalen Parameter fest. Die folgende Tabelle enthält sie mit genau den Namen, unter denen sie in COMSOL und in den Octave-Skripten verwendet werden. {| class="wikitable" |+ Globale Parameter des Modells ! Name !! Ausdruck in COMSOL !! Wert !! Bedeutung !! Herkunft |- | R0 || 3[mm] || 3 mm || Gefäßradius || Messwerte nach Krejza u. a. 2006, gerundet |- | D0 || 2*R0 || 6 mm || Gefäßdurchmesser || abgeleitet |- | Ls || 2*D0 || 12 mm || Länge der Störstelle || Standardgeometrie nach Varghese u. a. 2007 |- | Lu || 5*D0 || 30 mm || Vorlaufstrecke vor der Stenosemitte || Abstand der Einlassbedingung von der Stenose |- | Ld || 20*D0 || 120 mm || Nachlaufstrecke hinter der Stenosemitte || Platz für das Rückströmgebiet |- | Lf || Ls/2+10*D0 || 66 mm || Ende des fein vernetzten Nachlaufs || erwartete Länge des Rückströmgebiets |- | s || 0 bis 0.8 || 0 bis 0,8 || Stenosegrad bezogen auf den Durchmesser || NASCET-Einteilung |- | rho_b || 1060[kg/m^3] || 1060 kg/m³ || Dichte des Blutes || Mischungsregel, Literaturwert |- | mu_b || 3.5[mPa*s] || 3,5 mPa·s || dynamische Viskosität des Blutes || Hochscherwert, Quarteroni und Formaggia 2004 |- | Q0 || 6[ml/s] || 6 ml/s || mittlerer Volumenstrom || Messwerte nach Holdsworth u. a. 1999 |- | U0 || Q0/(pi*R0^2) || 0,2122 m/s || mittlere Einströmgeschwindigkeit || abgeleitet |- | Re0 || rho_b*U0*D0/mu_b || 385,6 || Reynoldszahl des gesunden Gefäßes || abgeleitet |- | dp_ref || 8*mu_b*U0*(Lu+Ld)/R0^2 || 99,03 Pa || Poiseuille-Druckabfall des gesunden Gefäßes || abgeleitet, Hagen-Poiseuille |} == Randbedingungen und Szenarien == Ein Strömungsproblem ist erst vollständig gestellt, wenn an jedem Rand festgelegt ist, was dort gilt. Das Rechengebiet hat vier Arten von Rändern. Am '''Einlass''' bei <math>z = -L_u</math> wird eine voll entwickelte Strömung mit der mittleren Geschwindigkeit <math>U_0</math> vorgegeben. COMSOL berechnet dazu selbständig das zugehörige Profil, im Rohr also die Parabel mit der Scheitelgeschwindigkeit <math>2U_0</math>. Die Begründung liefert die Einlauflänge von rund 139 mm aus dem vorigen Abschnitt. An der '''Gefäßwand''' gilt die Haftbedingung <math>\mathbf{u} = \mathbf{0}</math>. Am '''Auslass''' bei <math>z = L_d</math> wird der Druck auf null gesetzt. Das ist keine Aussage über den tatsächlichen Blutdruck, der in der Halsschlagader im Mittel bei etwa 90 mmHg liegt. In einem inkompressiblen Fluid gehen nur Druckdifferenzen in die Bewegungsgleichung ein, der Druck ist also nur bis auf eine Konstante bestimmt. Der Auslassdruck null legt diese Konstante fest, und alle berechneten Drücke sind als Überdruck gegenüber dem Auslass zu lesen. Auf der '''Rotationsachse''' gilt im achsensymmetrischen Modell die Symmetriebedingung, die radiale Geschwindigkeit und die radiale Ableitung der Axialgeschwindigkeit verschwinden dort. Im ebenen Modell übernimmt eine Symmetriebedingung auf der Mittellinie dieselbe Rolle. Im Volumenmodell gibt es diesen Rand nicht, weil das ganze Rohr gerechnet wird. Für den Einlass werden zwei Szenarien angelegt, die sich in der Frage unterscheiden, was der Kreislauf bei einer Stenose konstant hält. {| class="wikitable" |+ Die beiden Einlass-Szenarien ! Szenario !! vorgegeben !! berechnet !! physiologische Lesart |- | A, Hauptszenario || Volumenstrom <math>Q_0</math> über die mittlere Geschwindigkeit <math>U_0</math> || Druckabfall über den Abschnitt || die Durchblutung bleibt gleich, der Kreislauf bezahlt die Stenose mit einem höheren Druckabfall |- | B, Gegenprobe || Druckdifferenz <math>\Delta p_{\mathrm{ref}} = 99{,}03\ \mathrm{Pa}</math> des gesunden Gefäßes || Volumenstrom || der Druck bleibt gleich, die Durchblutung sinkt |} Welches Szenario der Wirklichkeit näher kommt, lässt sich abschätzen. Der betrachtete Abschnitt ist nur ein kleiner Teil des Weges, den das Blut bis in die Kapillaren des Gehirns zurücklegt. Treibt man den mittleren Volumenstrom von 6 ml/s mit einem mittleren arteriellen Druck von etwa 90 mmHg, also rund 12 000 Pa, durch das Gefäßbett, dann entfallen auf den gesunden Abschnitt nur 99 Pa und damit weniger als ein Prozent des gesamten Widerstands. Rechnet man den Widerstand der Stenose einschließlich der Trägheitsverluste hinter der Engstelle hinzu, wie es im Abschnitt Mathematische Hintergründe hergeleitet wird, und hält den treibenden Druck fest, dann ergibt sich der folgende Volumenstrom. {| class="wikitable" |+ Abschätzung des Volumenstroms bei festem treibendem Druck von 90 mmHg und nachgeschaltetem Gefäßwiderstand ! Stenosegrad !! 0 !! 0,1 !! 0,2 !! 0,3 !! 0,4 !! 0,5 !! 0,6 !! 0,7 !! 0,8 |- | Volumenstrom in ml/s || 6,00 || 6,00 || 5,99 || 5,98 || 5,94 || 5,83 || 5,54 || 4,76 || 3,07 |- | bezogen auf 6 ml/s || 100 % || 100 % || 99,9 % || 99,6 % || 98,9 % || 97,1 % || 92,3 % || 79,2 % || 51,1 % |} Bis zum Stenosegrad 0,5 ändert sich der Volumenstrom um weniger als drei Prozent. Für diese Fälle ist Szenario A also die physiologisch richtige Wahl. Ab 0,6 sinkt der Volumenstrom spürbar, und beim Grad 0,8 halbiert er sich ungefähr. Für die hochgradigen Stenosen überschätzt Szenario A deshalb die Geschwindigkeiten in der Engstelle, und die tatsächlichen Verhältnisse liegen zwischen Szenario A und Szenario B. Das Ergebnis passt zur klinischen Erfahrung, dass eine Karotisstenose erst im hochgradigen Bereich die Durchblutung merklich einschränkt. Die Abschätzung ist bewusst einfach gehalten und ersetzt keine Rechnung, sie zeigt aber, dass die Wahl des Hauptszenarios begründet ist und wo sie endet. Szenario B in der hier angelegten Form ist dagegen ein Extremfall, weil es den betrachteten Abschnitt als einzigen Widerstand im Kreislauf behandelt. Es dient deshalb als untere Schranke für den Volumenstrom und nicht als realistisches Szenario. == Analytische Referenzwerte == Für das gesunde Gefäß ist die Lösung exakt bekannt. Die Herleitung steht im Abschnitt Mathematische Hintergründe. Eingesetzt ergeben sich die folgenden Werte, die als Prüfstein für jede Rechnung dienen. Für den ebenen Kanal wird die halbe Kanalhöhe gleich <math>R_0</math> und die mittlere Geschwindigkeit gleich <math>U_0</math> gesetzt. {| class="wikitable" |+ Analytische Referenzwerte des gesunden Gefäßes ! Größe !! Formel im Rohr !! Wert im Rohr !! Formel im ebenen Kanal !! Wert im ebenen Kanal |- | Scheitelgeschwindigkeit || <math>2\,U_0</math> || 0,4244 m/s || <math>\tfrac{3}{2}\,U_0</math> || 0,3183 m/s |- | Druckgradient || <math>8\mu U_0/R_0^2</math> || 660,2 Pa/m || <math>3\mu U_0/R_0^2</math> || 247,6 Pa/m |- | Druckabfall über 150 mm || <math>8\mu U_0 L/R_0^2</math> || 99,03 Pa || <math>3\mu U_0 L/R_0^2</math> || 37,14 Pa |- | Wandschubspannung || <math>4\mu U_0/R_0</math> || 0,990 Pa || <math>3\mu U_0/R_0</math> || 0,743 Pa |} Der Druckabfall von 99 Pa entspricht etwa 0,74 mmHg und ist damit im Vergleich zum Blutdruck klein, wie es für einen kurzen Abschnitt einer großen Arterie zu erwarten ist. Die Wandschubspannung von 0,99 Pa liegt etwas unter den gemessenen Werten von 1,1 bis 1,5 Pa.<ref name="samijo" /> Die Abweichung ist erklärbar, denn im realen Herzzyklus ist das Profil flacher als die Parabel und erzeugt an der Wand einen steileren Gradienten, und der gewählte Radius liegt am unteren Rand der gemessenen Werte. Die Größenordnung stimmt also. Dass die Werte des ebenen Kanals kleiner sind, ist kein Fehler. Ein ebener Spalt mit derselben halben Höhe hat einen geringeren Widerstand als ein Rohr mit demselben Radius, weil die Strömung nur von zwei Seiten statt ringsum gebremst wird. == Das Graphenmodell == Das Graphenmodell reduziert das Gefäß auf seine Achse und fasst es als Graphen auf. Die Knoten sind Querschnitte, die Kanten sind kurze Rohrstücke. Jede Kante der Länge <math>\Delta z</math> mit dem Radius <math>r_k</math> in ihrer Mitte trägt nach Hagen-Poiseuille den Strömungswiderstand <math>R_k = \frac{8\mu\,\Delta z}{\pi r_k^4} .</math> In jedem inneren Knoten muss so viel Blut abfließen, wie zufließt. Diese Massenerhaltung liefert für die Knotendrücke ein lineares Gleichungssystem, dessen Matrix die gewichtete Laplace-Matrix des Graphen ist. Die Struktur ist dieselbe wie bei einem elektrischen Netzwerk aus Widerständen, wobei der Druck die Rolle der Spannung und der Volumenstrom die Rolle der Stromstärke übernimmt. Am Einlass wird der Volumenstrom <math>Q_0</math> eingespeist, am Auslass ist der Druck null. Im Grenzfall unendlich feiner Unterteilung geht das Netzwerk in eine gewöhnliche Differentialgleichung über, deren Lösung sich geschlossen angeben lässt, <math>\Delta p = Q_0 \int_{-L_u}^{L_d} \frac{8\mu}{\pi R(z)^4}\,\mathrm{d}z .</math> Aus dem örtlichen Radius folgen außerdem die Geschwindigkeit, die Wandschubspannung und die Reynoldszahl in der Engstelle, weil das Modell an jeder Stelle ein örtlich voll entwickeltes Parabelprofil annimmt. Genau diese Annahme ist zugleich die Grenze des Modells. Das Graphenmodell kennt nur die Reibung an der Wand. Die wirkliche Strömung verliert zusätzlich Energie, wenn sie sich hinter der Engstelle als Strahl ablöst und dieser Strahl sich im Rückströmgebiet wieder verlangsamt. Der Druckabfall des Graphenmodells ist deshalb als untere Abschätzung zu lesen, die von den COMSOL-Rechnungen überschritten werden muss. Für die Geschwindigkeit und die Wandschubspannung in der Engstelle liefert es dagegen gute Näherungen, solange die Stenose nicht zu kurz ist. Das Graphenmodell wird in Octave mit 500 Kanten gerechnet. Eine Rechnung mit 5000 Kanten ändert den Druckabfall für alle Stenosegrade bis 0,8 erst in der dritten Nachkommastelle, die Lösung ist also netzunabhängig. Zur Kontrolle wird dasselbe Modell in COMSOL als eindimensionale Differentialgleichung gelöst, wie im nächsten Abschnitt beschrieben. = Implementierung des Modells in COMSOL Multiphysics = Nach der Festlegung von Geometrie, Parametern, Annahmen und Randbedingungen erfolgt die Umsetzung in COMSOL Multiphysics in der Version 6.2. Für die Flächen- und Volumenmodelle wird die Physikschnittstelle Laminare Strömung (Laminar Flow) aus dem Bereich Strömung verwendet. Sie löst die stationären Navier-Stokes-Gleichungen für ein inkompressibles Newtonsches Fluid mit der Methode der finiten Elemente.<ref name="comsol">COMSOL AB: ''CFD Module User's Guide'' und ''COMSOL Multiphysics Reference Manual'', Version 6.2. Stockholm 2023.</ref> Die Menüpunkte werden im Folgenden mit ihrer deutschen Bezeichnung genannt, die englische Bezeichnung steht beim ersten Auftreten in Klammern. Jedes Modell lässt sich auf zwei Wegen aufbauen, die zum selben Ergebnis führen. Der erste Weg ist der Aufbau von Hand, der hier Schritt für Schritt beschrieben wird. Der zweite Weg ist eine Modellmethode, also ein kurzes Programm, das im Reiter Entwickler (Developer) in ein leeres Modell eingefügt und ausgeführt wird und dann Parameter, Geometrie, Selektionen, Physik, Netz und Studie in wenigen Sekunden anlegt. Die Methoden machen den Aufbau reproduzierbar und für Dritte nachprüfbar. Sie werden am Ende dieses Abschnitts vorgestellt. Bevor die Navier-Stokes-Gleichungen gelöst werden, wird das Graphenmodell als Vorstufe auch in COMSOL gerechnet. Im Grenzfall feiner Unterteilung erfüllt der Druck <math>p(z)</math> entlang der Achse die Gleichung <math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\left[\frac{\pi R(z)^4}{8\mu}\,\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}z}\right] = 0 ,</math> die genau die Form der Koeffizientenform-PDGL in COMSOL hat. Der Aufbau umfasst sechs Schritte. # Im Modellassistenten wird die Raumdimension 1D gewählt und unter Mathematik, PDE-Schnittstellen die Koeffizientenform-PDGL (Coefficient Form PDE) mit einer stationären Studie angelegt. # Unter Globale Definitionen wird die Wandkontur als analytische Funktion <code>Rw(zz)</code> mit dem Ausdruck <code>R0n*(1-s/2*(1+cos(2*pi*zz/Lsn))*(abs(zz)<=Lsn/2))</code> angelegt. Der Vergleich <code>abs(zz)<=Lsn/2</code> liefert eins innerhalb und null außerhalb der Störstelle und ersetzt damit die Fallunterscheidung. Die Parameter werden in diesem Modell ohne Einheiten in SI-Größen eingegeben, weil das gesuchte Feld als dimensionslose Größe angelegt ist. # Die Geometrie ist ein Intervall von <code>-Lun</code> bis <code>Ldn</code> mit inneren Punkten am Beginn, in der Mitte und am Ende der Störstelle. # In der Gleichung wird der Diffusionskoeffizient <math>c = \pi R(z)^4/(8\mu)</math> gesetzt, alle übrigen Koeffizienten sind null. # Am Einlasspunkt wird über eine Flussrandbedingung der Volumenstrom <math>Q_0</math> eingeprägt, am Auslasspunkt wird über eine Dirichlet-Bedingung der Druck null gesetzt. # Das Netz erhält eine maximale Elementlänge von <math>L_s/200</math>, und ein parametrischer Sweep rechnet alle Stenosegrade von 0 bis 0,8. <!-- FIXME in der Modellmethode steht noch die Liste 0 bis 0.5 --> Als Kontrollgröße wird der Volumenstrom <math>-\tfrac{\pi R^4}{8\mu}\,\tfrac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}z}</math> entlang der ganzen Achse ausgewertet, der überall gleich <math>Q_0</math> sein muss. Der Druck am Einlass muss mit dem Druckabfall des Octave-Netzwerks übereinstimmen, da beide dieselbe Gleichung lösen. <!-- FIXME Ergebnis eintragen, sobald gerechnet: Abweichung zwischen COMSOL 1D und Octave in Prozent --> == Erstellung der 2D-Modelle == Es werden zwei Flächenmodelle aufgebaut. Das achsensymmetrische Modell ist das Hauptmodell des Projekts, weil es die Physik des runden Gefäßes exakt abbildet und dennoch in Sekunden rechnet. Das ebene Modell dient dem Vergleich und wird am Ende dieses Abschnitts als Differenz zum Hauptmodell beschrieben. Das achsensymmetrische Modell nutzt aus, dass weder die Geometrie noch die Randbedingungen vom Umfangswinkel abhängen. Gerechnet wird deshalb nur der Halbschnitt in der Ebene aus Radius <math>r</math> und Achskoordinate <math>z</math>. COMSOL ergänzt beim Rechnen die Faktoren, die aus der Rotation um die Achse entstehen, sodass die Lösung der Strömung im ganzen Rohr entspricht. === Auswahl von Raumdimension, Physik und Studie === # Im Modellassistenten (Model Wizard) wird die Raumdimension 2D achsensymmetrisch (2D Axisymmetric) gewählt. # Unter Strömung (Fluid Flow) und Einphasenströmung (Single-Phase Flow) wird die Schnittstelle Laminare Strömung (Laminar Flow) hinzugefügt. # Als Studie wird die Stationäre Studie (Stationary) gewählt, weil nach der Modellannahme keine Zeitabhängigkeit gerechnet wird. # Das Modell wird sofort unter einem eindeutigen Namen gespeichert, etwa <code>stenose_2daxi_v01.mph</code>. === Globale Parameter === # Unter Globale Definitionen, Parameter werden die Parameter aus der Tabelle im Abschnitt Modellierung eingetragen. Schneller geht es über die Schaltfläche Aus Datei laden (Load from File) mit der vorbereiteten Textdatei, die alle Zeilen enthält. # Zusätzlich werden die beiden Netzparameter <code>hmax_g = R0/6</code> und <code>hmax_f = R0/20</code> angelegt, also 0,5 mm für das gesamte Gebiet und 0,15 mm für den Bereich der Stenose und des Nachlaufs. # In der Spalte Wert wird geprüft, dass <code>U0</code> den Wert 0,2122 m/s, <code>Re0</code> den Wert 385,6 und <code>dp_ref</code> den Wert 99,03 Pa zeigt. Ein roter Eintrag weist auf einen Tippfehler oder eine falsche Reihenfolge hin, denn ein Parameter darf nur auf weiter oben stehende Parameter zugreifen. Bei der Benennung ist eine Falle zu beachten. Der Name <code>s</code> ist in COMSOL doppelt belegt. Er ist hier der Stenosegrad, voreingestellt aber auch der Name des Kurvenparameters einer parametrischen Kurve und der Bogenlänge in Liniendiagrammen. Wird bei der parametrischen Kurve der voreingestellte Name stehen gelassen, überschreibt COMSOL stillschweigend den Stenosegrad, und das Modell rechnet weiter, nur eben falsch. Der Kurvenparameter heißt deshalb in allen Modellen <code>zz</code>. === Erstellung der Geometrie === Die Geometrie wird zunächst aus Linien gezeichnet und am Ende in eine Fläche umgewandelt. Die waagerechte Achse ist dabei der Radius <math>r</math>, die senkrechte Achse die Gefäßachse <math>z</math>. # Unter Geometrie, Weitere Primitive wird eine Parametrische Kurve (Parametric Curve) angelegt. Der Kurvenparameter heißt <code>zz</code> und läuft von <code>-Ls/2</code> bis <code>Ls/2</code>. Im Feld <math>r</math> steht der Ausdruck <code>R0*(1-s/2*(1+cos(2*pi*zz/Ls)))</code>, im Feld <math>z</math> steht <code>zz</code>. Das ist die Wandkontur der Störstelle. # Ein offenes Polygon mit den sechs Punkten <code>(R0, -Ls/2)</code>, <code>(R0, -Lu)</code>, <code>(0, -Lu)</code>, <code>(0, Ld)</code>, <code>(R0, Ld)</code> und <code>(R0, Ls/2)</code> ergänzt die gerade Wand vor der Stenose, den Einlass, die Rotationsachse, den Auslass und die gerade Wand hinter der Stenose. Zusammen mit der Kurve ist der Umriss damit geschlossen. # Drei weitere offene Polygone mit je zwei Punkten legen innere Linien an, nämlich bei <math>z = -L_s/2</math> vor der Stenose, bei <math>z = 0</math> in der Engstelle von der Achse bis <code>R0*(1-s)</code> und bei <math>z = L_f</math> am Ende des Feinbereichs. Sie teilen das Gebiet in vier Teilflächen und dienen später als Auswertungsquerschnitte. # Über Umwandlungen, In Festkörper umwandeln (Convert to Solid) werden alle fünf Objekte zu einer Fläche zusammengefasst. Nach Alle erstellen (Build All) zeigt das Grafikfenster vier Teilgebiete, die von <math>z = -30\ \mathrm{mm}</math> bis <math>z = 120\ \mathrm{mm}</math> reichen. Meldet COMSOL beim Umwandeln, der Umriss sei nicht geschlossen, dann enden Kurve und Polygon nicht exakt an denselben Punkten. Der häufigste Grund ist ein Tippfehler bei <code>-Ls/2</code> oder <code>Ls/2</code>. === Selektionen === Selektionen sind benannte Gruppen von Rändern oder Gebieten. Sie sind in diesem Modell unverzichtbar, weil der Stenosegrad die Geometrie verändert und COMSOL bei jeder Geometrieänderung die Nummern der Ränder neu vergibt. Eine von Hand angeklickte Randauswahl würde deshalb im Sweep auf falsche Ränder zeigen. Eine Boxselektion sucht dagegen bei jedem Stenosegrad selbst die Ränder, die vollständig in einem vorgegebenen Rechteck liegen. Für die fünf Querschnitte werden zunächst die folgenden Boxgrenzen benötigt. Das Rechteck reicht jeweils radial von <code>-0.01[mm]</code> bis <code>6[mm]</code> und axial um ein hundertstel Millimeter um die Position des Querschnitts. {| class="wikitable" |+ Boxselektionen der Querschnitte ! Selektion !! Position in z !! z-Minimum !! z-Maximum |- | Einlass || −30 mm || -30.01[mm] || -29.99[mm] |- | Querschnitt vor der Stenose || −6 mm || -6.01[mm] || -5.99[mm] |- | Querschnitt Engstelle || 0 mm || -0.01[mm] || 0.01[mm] |- | Querschnitt Ende Feinbereich || 66 mm || 65.99[mm] || 66.01[mm] |- | Auslass || 120 mm || 119.99[mm] || 120.01[mm] |} # Unter Komponente, Definitionen, Selektionen werden mit diesen Grenzen fünf Boxselektionen (Box) auf der Ebene Rand (Boundary) mit der Bedingung Innerhalb (Inside) angelegt. # Eine sechste Boxselektion Rotationsachse erfasst den Rand bei <math>r = 0</math> über die ganze Länge. # Die Selektion Gefäßwand wird als Komplement (Complement) der sechs bisherigen Randselektionen angelegt. Übrig bleibt genau die äußere Berandung einschließlich der Einbuchtung. # Eine Boxselektion auf der Ebene Gebiet (Domain) erfasst den Bereich von <math>z = -6\ \mathrm{mm}</math> bis <math>z = 66\ \mathrm{mm}</math>. Sie heißt Stenose und Nachlauf und steuert später die Netzverfeinerung. Nach jeder Selektion wird im Grafikfenster kontrolliert, dass genau die gewünschten Ränder markiert sind. Ist bei der Gefäßwand auch die Achse markiert, fehlt die Rotationsachse in der Liste der zu invertierenden Selektionen. === Fluideigenschaften === # Im Knoten Laminare Strömung wird unter Physikalisches Modell geprüft, dass die Kompressibilität auf Inkompressible Strömung steht. Das ist die Voreinstellung und setzt die Annahme <math>\nabla\cdot\mathbf{u} = 0</math> um. # Im Knoten Fluideigenschaften werden Dichte und dynamische Viskosität von Aus Material auf Benutzerdefiniert (User defined) umgestellt und mit <code>rho_b</code> und <code>mu_b</code> belegt. Ein Material aus der Bibliothek wird bewusst nicht verwendet, damit die Stoffwerte sichtbar an die Parametertabelle gebunden bleiben. === Randbedingungen === # Mit Rechtsklick auf Laminare Strömung wird ein Einlass (Inlet) auf der Selektion Einlass angelegt. Als Randbedingung wird Voll entwickelte Strömung (Fully developed flow) mit der Option Mittlere Geschwindigkeit gewählt und der Wert <code>U0</code> eingetragen. Das ist Szenario A. # Ein zweiter Einlass auf derselben Selektion erhält ebenfalls die voll entwickelte Strömung, aber mit vorgegebenem mittlerem Eintrittsdruck <code>dp_ref</code>. Dieser Knoten ist Szenario B und bleibt zunächst deaktiviert. Zum Wechsel des Szenarios wird der eine Knoten deaktiviert und der andere aktiviert. # Ein Auslass (Outlet) auf der Selektion Auslass erhält den Druck <code>0</code>. Die Option Rückströmung unterdrücken bleibt angehakt. Sie verhindert, dass Fluid über den Auslass zurück in das Gebiet strömt, und darf das Ergebnis nur dann beeinflussen, wenn das Rückströmgebiet bis an den Auslass reicht. Genau das wird bei den hochgradigen Stenosen kontrolliert. # Die Haftbedingung an der Wand und die Symmetriebedingung auf der Achse legt COMSOL in den Knoten Wand und Achsensymmetrie selbständig an. Es wird nur kontrolliert, dass beide die richtigen Ränder abdecken. # Unter Anfangswerte wird die axiale Geschwindigkeit auf <code>U0</code> gesetzt. Das ist kein physikalischer Wert, sondern ein Startwert für das Newton-Verfahren, der die Konvergenz spürbar erleichtert. === Operatoren und Auswertungsgrößen === Damit sich aus der Lösung Zahlen für die Ergebnistabellen gewinnen lassen, werden Integrations- und Maximumoperatoren angelegt und daraus Auswertungsvariablen gebildet. # Unter Definitionen, Komponentenkopplungen werden fünf Integrationsoperatoren auf den fünf Querschnitten angelegt, mit den Namen <code>intEin</code>, <code>intVor</code>, <code>intEng</code>, <code>intNach</code> und <code>intAus</code>. Bei jedem Operator wird das Kästchen Integral in rotierter Geometrie berechnen (Compute integral in revolved geometry) angehakt. Ohne diesen Haken berechnet COMSOL ein Linienintegral über den Halbschnitt statt eines Flächenintegrals über den Kreisquerschnitt, und alle Volumenströme sind falsch. Mathematisch fügt der Haken den Faktor <math>2\pi r</math> in den Integranden ein. # Ein Maximumoperator <code>maxDom</code> über alle Gebiete und ein Maximumoperator <code>maxWand</code> über die Gefäßwand werden ergänzt. # Unter Definitionen, Variablen werden die Auswertungsgrößen aus der folgenden Tabelle eingetragen. {| class="wikitable" |+ Auswertungsvariablen im achsensymmetrischen Modell ! Name !! Ausdruck !! Bedeutung |- | Q_ein, Q_vor, Q_eng, Q_nach, Q_aus || intEin(w) und entsprechend || Volumenstrom in den fünf Querschnitten, <math>w</math> ist die axiale Geschwindigkeit |- | A_eng || intEng(1) || Querschnittsfläche der Engstelle |- | U_eng || Q_eng/A_eng || mittlere Geschwindigkeit in der Engstelle |- | Re_eng || rho_b*U_eng*2*sqrt(A_eng/pi)/mu_b || Reynoldszahl in der Engstelle |- | dp_ges || intEin(p)/intEin(1)-intAus(p)/intAus(1) || Differenz der flächengemittelten Drücke an Ein- und Auslass |- | dp_zus || dp_ges-8*mu_b*(Q_ein/(pi*R0^2))*(Lu+Ld)/R0^2 || zusätzlicher Druckverlust durch die Stenose |- | tau_w || mu_b*spf.sr || Wandschubspannung, nur auf der Wand sinnvoll |- | u_max || maxDom(spf.U) || höchste Geschwindigkeit im Gebiet |- | tau_max || maxWand(mu_b*spf.sr) || höchste Wandschubspannung |} Die Wandschubspannung wird als Produkt aus Viskosität und Scherrate <code>spf.sr</code> berechnet. An der Wand, wo die Geschwindigkeit verschwindet, ist die Scherrate gleich dem Betrag des Geschwindigkeitsgradienten senkrecht zur Wand, sodass der Ausdruck dort genau der Definition der Wandschubspannung entspricht. Im Inneren des Gebiets hat er keine Bedeutung als Wandgröße. Der Druckabfall wird als Differenz der flächengemittelten Drücke ausgewertet, weil der Druck über einen Querschnitt in der Nähe der Stenose nicht konstant ist. === Vernetzung === Das Netz entscheidet über die Genauigkeit, besonders bei der Wandschubspannung, die aus einem Gradienten an der Wand berechnet wird. # Unter Netz wird die Folgenart von Physikgesteuertes Netz auf Benutzergesteuertes Netz (User-controlled mesh) umgestellt. # Im Knoten Größe wird die maximale Elementgröße auf <code>hmax_g</code> und die minimale auf <code>hmax_f/10</code> gesetzt. # Unter dem Freien Dreiecksnetz (Free Triangular) wird eine zusätzliche Größe auf der Gebietsselektion Stenose und Nachlauf mit der maximalen Elementgröße <code>hmax_f</code> angelegt. # Ein Knoten Grenzschichten (Boundary Layers) auf der Selektion Gefäßwand erhält sechs Schichten mit dem Streckungsfaktor 1,2. Diese flachen Elemente an der Wand lösen den steilen Geschwindigkeitsgradienten auf. Ohne sie fällt die berechnete Wandschubspannung deutlich zu klein aus. # Für die Stenosegrade ab 0,6 wird in der Störstelle eine weitere Größe mit <code>hmax_f*(1-s)</code> ergänzt. Der engste Radius beträgt beim Grad 0,8 nur noch 0,6 mm, mit der unveränderten Feinheit von 0,15 mm lägen dort nur vier Elemente über dem Radius. Mit der an den Stenosegrad gekoppelten Größe bleibt die Auflösung der Engstelle für alle Grade gleich. <!-- FIXME pruefen, ob diese Groesse in die Modellmethode uebernommen wurde --> # Nach Alle erstellen wird die Elementzahl notiert, weil sie in die Tabelle der Netzstudie gehört. <!-- FIXME Elementzahl fuer s = 0, 0,5 und 0,8 eintragen --> === Studie und parametrischer Sweep === # Zuerst wird ausschließlich der Fall <math>s = 0</math> gerechnet und mit den analytischen Referenzwerten verglichen. Erst wenn Volumenströme, Druckabfall, Scheitelgeschwindigkeit und Wandschubspannung auf ein Prozent stimmen, wird weitergerechnet. Dieser Zwischenschritt ist der wichtigste des ganzen Aufbaus, denn ein Fehler, der hier unentdeckt bleibt, steckt später in allen Ergebnissen. # Danach wird unter der Studie ein Parametrischer Sweep (Parametric Sweep) über <code>s</code> mit der Liste <code>0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8</code> angelegt. <!-- FIXME in den Modellmethoden fuer 2D steht noch die Liste bis 0.5 --> Es muss ein parametrischer Sweep sein und kein Hilfssweep (Auxiliary sweep), weil nur der parametrische Sweep die Geometrie für jeden Wert neu aufbaut. # Die aufsteigende Reihenfolge ist Absicht. COMSOL verwendet die Lösung des vorigen Stenosegrades als Startwert für den nächsten. Diese Fortsetzung im Parameter hilft gerade bei den hochgradigen Stenosen, deren Lösung vom Startwert der ruhenden Strömung aus schwer zu erreichen wäre. # Konvergiert ein Grad dennoch nicht, wird er einzeln gerechnet und unter Werte abhängiger Variablen die Lösung des vorigen Grades als Anfangswert gewählt. <!-- FIXME vermerken, ob alle Grade bis 0,8 konvergiert sind --> === Darstellung und Export === # Die automatisch erzeugte Plotgruppe Geschwindigkeit zeigt den Betrag der Geschwindigkeit. Eine ergänzte Stromlinien-Darstellung (Streamline) mit gleichmäßiger Dichte macht Strahl und Rückströmgebiet sichtbar. # Eine 2D-Plotgruppe mit dem Ausdruck <code>p</code> zeigt das Druckfeld. # Eine 2D-Plotgruppe mit dem Ausdruck <code>w<0</code> färbt genau den Bereich ein, in dem das Fluid entgegen der Hauptrichtung strömt. Das ist die anschaulichste Darstellung der Ablösung. # Eine 1D-Plotgruppe zeigt <code>tau_w</code> über <code>z</code> entlang der Gefäßwand, eine weitere die axiale Geschwindigkeit <code>w</code> entlang der Rotationsachse. Unter Parameterauswahl wird Alle gewählt, sodass alle Stenosegrade als Kurvenschar in einem Bild erscheinen. # Unter Abgeleitete Werte wird eine Globale Auswertung mit den Größen <code>Q_ein</code>, <code>Q_eng</code>, <code>Q_aus</code>, <code>dp_ges</code>, <code>dp_zus</code>, <code>u_max</code>, <code>tau_max</code>, <code>U_eng</code> und <code>Re_eng</code> für alle Stenosegrade ausgewertet und als <code>kennwerte_axi.txt</code> exportiert. # Über einen Selektionsdatensatz auf der Gefäßwand wird die Wandschubspannung je Stenosegrad als Wertepaar aus <code>z</code> und <code>tau_w</code> exportiert, mit den Dateinamen <code>wss_s000.txt</code> bis <code>wss_s080.txt</code>. # Das Octave-Skript <code>auswertung_comsol.m</code> liest diese Dateien ein, prüft die Massenerhaltung und den Vergleich mit dem Graphenmodell und schreibt die Ergebnistabellen dieser Seite. <!-- FIXME Skript auf die Grade 0,6 bis 0,8 erweitern --> === Unterschiede beim ebenen Kanal === Das ebene Modell ist der Kanalfluss aus der Vorlesung mit verformter oberer Wand.<ref name="hundertmark" /> Gerechnet wird die obere Kanalhälfte mit einer Symmetriebedingung auf der Mittellinie. Die halbe Kanalhöhe ist gleich dem Gefäßradius, damit beide Modelle denselben Wandabstand haben. Der Aufbau folgt dem achsensymmetrischen Modell mit sechs Unterschieden. # Im Modellassistenten wird die Raumdimension 2D gewählt. # Die Koordinaten sind vertauscht. Die Strömungsrichtung heißt <math>x</math>, der Wandabstand <math>y</math>. Entsprechend steht in der parametrischen Kurve <code>zz</code> im Feld <math>x</math> und die Wandkontur im Feld <math>y</math>, und alle Polygone und Boxselektionen werden mit vertauschten Koordinaten eingetragen. # Statt der Rotationsachse gibt es eine Symmetrielinie bei <math>y = 0</math>. Auf ihr wird im Physikknoten ausdrücklich eine Symmetriebedingung (Symmetry) gesetzt, die COMSOL hier nicht selbständig anlegt. # Die Integrationsoperatoren werden ohne den Haken für die rotierte Geometrie angelegt, den es in der ebenen Rechnung nicht gibt. Der Volumenstrom ist dann eine Größe je Tiefeneinheit in m²/s. Für den gesunden halben Kanal beträgt er <math>U_0 R_0 = 6{,}366 \cdot 10^{-4}\ \mathrm{m^2/s}</math>. # Die Auswertungsvariablen verwenden die Geschwindigkeitskomponente <code>u</code> in x-Richtung, und der Zusatzverlust bezieht sich auf den analytischen Kanalwert <code>dp_eben = 3*mu_b*U0*(Lu+Ld)/R0^2</code> von 37,14 Pa. # Der Export heißt <code>kennwerte_eben.txt</code>. Der Vergleich beider Modelle ist der eigentliche Zweck des ebenen Kanals. Im Rohr wächst die mittlere Geschwindigkeit in der Engstelle bei festem Volumenstrom mit <math>1/(1-s)^2</math>, weil die Fläche in zwei Richtungen schrumpft. Im ebenen Kanal wächst sie nur mit <math>1/(1-s)</math>, weil nur eine Richtung verengt wird. Die ebene Rechnung unterschätzt die Wirkung einer Verengung also systematisch, und genau das begründet, warum ein rundes Gefäß nicht als ebener Kanal modelliert werden darf. == Erstellung der 3D-Modelle == Das Volumenmodell entsteht, indem derselbe Halbschnitt um die Gefäßachse rotiert wird. Physik, Parameter und Randbedingungen bleiben unverändert. Da die Geometrie rotationssymmetrisch ist, muss das Volumenmodell dasselbe Ergebnis liefern wie das achsensymmetrische Flächenmodell. Es dient deshalb in erster Linie als Kontrolle und als Grundlage für die räumliche Darstellung. Gerechnet werden die Stenosegrade 0, 0,3 und 0,6, also das gesunde Gefäß und je ein Vertreter der leicht- und der mittelgradigen Stenose. Der hochgradige Fall 0,8 wird im Volumen nicht gerechnet. Er liegt außerhalb des Bereichs, in dem das stationäre, laminare Modell verlässlich ist, und würde im Volumen ein sehr feines und damit sehr großes Netz erfordern. === Raumdimension, Physik und Parameter === # Im Modellassistenten wird die Raumdimension 3D gewählt, dazu wieder Laminare Strömung und eine stationäre Studie. # Die Parametertabelle ist identisch mit dem Flächenmodell. Nur die Netzparameter werden gröber gewählt, nämlich <code>hmax_g = R0/3</code>, also 1 mm, und <code>hmax_f = R0/8</code>, also 0,375 mm. Im Volumen wächst die Elementzahl mit der dritten Potenz der Feinheit, eine Halbierung der Elementgröße vervielfacht den Rechenaufwand also etwa um den Faktor acht. === Geometrie über Arbeitsebene und Rotation === # Unter Geometrie wird eine Arbeitsebene (Work Plane) angelegt und als Schnellebene die xz-Ebene gewählt. # Innerhalb der Ebenengeometrie dieser Arbeitsebene werden die parametrische Kurve, das große Polygon und die drei Querschnittslinien genau wie im Flächenmodell angelegt und in einen Festkörper umgewandelt. Die Koordinaten der Arbeitsebene entsprechen dabei dem Radius und der Achskoordinate. # Auf der Ebene der Gesamtgeometrie wird eine Rotation (Revolve) der Arbeitsebene um 360 Grad angelegt. Die Rotationsachse ist die Achse der Arbeitsebene, die der globalen z-Achse entspricht. # Nach Alle erstellen liegt ein Rohr entlang der z-Achse vor, das von <math>z = -30\ \mathrm{mm}</math> bis <math>z = 120\ \mathrm{mm}</math> reicht. === Selektionen und Operatoren === # Die Boxselektionen der fünf Querschnitte werden auf der Ebene Rand angelegt und benötigen nun drei Koordinatenpaare. In x und y reichen sie jeweils von <code>-6[mm]</code> bis <code>6[mm]</code>, in z umschließen sie die Position des Querschnitts wie im Flächenmodell. # Eine Rotationsachse als Rand gibt es im Volumen nicht. Die Selektion Gefäßwand ist deshalb das Komplement der fünf Querschnitte allein. # Die Gebietsselektion Stenose und Nachlauf reicht in z von <math>-6\ \mathrm{mm}</math> bis <math>66\ \mathrm{mm}</math>. # Die Integrationsoperatoren werden auf den Querschnittsflächen angelegt und brauchen keinen Haken für rotierte Geometrie, weil das Flächenintegral im Volumen bereits über den ganzen Kreisquerschnitt läuft. Die Auswertungsvariablen sind mit denen des achsensymmetrischen Modells identisch, die axiale Geschwindigkeit heißt auch hier <code>w</code>. === Randbedingungen === Die Randbedingungen sind dieselben wie im Flächenmodell. Der Einlass erhält die voll entwickelte Strömung mit der mittleren Geschwindigkeit <code>U0</code>, wobei COMSOL das zugehörige Profil auf der kreisförmigen Einlassfläche selbst berechnet. Der Auslass erhält den Druck null, die Mantelfläche die Haftbedingung. Szenario B ist wieder als deaktivierter zweiter Einlass angelegt. === Vernetzung === # Statt des Dreiecksnetzes wird ein Freies Tetraedernetz (Free Tetrahedral) verwendet, mit der globalen Größe <code>hmax_g</code> und der örtlichen Verfeinerung <code>hmax_f</code> im Bereich der Stenose und des Nachlaufs. # Ein Grenzschichtnetz auf der Gefäßwand erhält fünf Schichten mit dem Streckungsfaktor 1,2. # Für den Stenosegrad 0,6 wird die Feinheit im Bereich der Stenose auf <code>R0/12</code> verringert. Der engste Radius beträgt dort 1,2 mm, und mit der Feinheit von 0,375 mm lägen nur gut drei Elemente über dem Radius. <!-- FIXME Elementzahl und Rechenzeit fuer s = 0, 0,3 und 0,6 eintragen --> === Studie === # Der parametrische Sweep erhält die Liste <code>0 0.3 0.6</code>. <!-- FIXME in der Modellmethode steht noch 0 0.3 0.5 --> # Wie im Flächenmodell wird zuerst nur der gesunde Fall gerechnet und mit den analytischen Werten verglichen. # Für die Volumenrechnung wird bei großen Netzen ein iterativer Löser verwendet, den COMSOL für dreidimensionale Strömungsprobleme vorschlägt. Konvergiert der Fall 0,6 nicht, wird die Lösung des Falls 0,3 als Startwert verwendet. === Darstellung === # Eine Schnittebenen-Darstellung (Slice) zeigt den Geschwindigkeitsbetrag in mehreren Querschnitten und im Längsschnitt. # Stromlinien werden als Röhren dargestellt und nach der Geschwindigkeit eingefärbt. Sie zeigen den Strahl hinter der Engstelle und das ringförmige Rückströmgebiet, das im Volumen als Wirbelring erscheint. # Eine Isofläche des Ausdrucks <code>w</code> zum Wert null umschließt das Rückströmgebiet räumlich. # Eine Oberflächendarstellung auf der Gefäßwand mit dem Ausdruck <code>tau_w</code> zeigt die Verteilung der Wandschubspannung. === Reproduzierbarkeit über Modellmethoden === Alle Modelle lassen sich statt von Hand auch über Modellmethoden aufbauen. Dazu wird ein leeres Modell geöffnet, im Reiter Entwickler eine neue Methode angelegt, der Methodentext eingefügt und ausgeführt. Jede Methode endet mit einer Prüfzeile in der Parametertabelle, die den Wert eins trägt, wenn alle Schritte fehlerfrei ausgeführt wurden. Die Dateien im Format mph lassen sich nicht auf Wikimedia Commons hochladen, das Modell ist deshalb über die Parametertabelle und den Methodentext vollständig dokumentiert. Der folgende Auszug zeigt den Kern des Geometrieaufbaus im achsensymmetrischen Modell. Der Kurvenparameter heißt <code>zz</code>, weil der Name <code>s</code> bereits für den Stenosegrad vergeben ist. <syntaxhighlight lang="java"> model.component("comp1").geom("geom1").create("pc1", "ParametricCurve"); model.component("comp1").geom("geom1").feature("pc1").set("parname", "zz"); model.component("comp1").geom("geom1").feature("pc1").set("parmin", "-Ls/2"); model.component("comp1").geom("geom1").feature("pc1").set("parmax", "Ls/2"); model.component("comp1").geom("geom1").feature("pc1") .set("coord", new String[]{"R0*(1-s/2*(1+cos(2*pi*zz/Ls)))", "zz"}); </syntaxhighlight> Die Randbedingung am Einlass wird in der Methode wie folgt gesetzt. <syntaxhighlight lang="java"> model.component("comp1").physics("spf").create("inl1", "InletBoundary", 1); model.component("comp1").physics("spf").feature("inl1").set("BoundaryCondition", "FullyDevelopedFlow"); model.component("comp1").physics("spf").feature("inl1").set("FullyDevelopedFlowOption", "Uav"); model.component("comp1").physics("spf").feature("inl1").set("Uavfdf", "U0"); </syntaxhighlight> <!-- FIXME vollstaendige Methodentexte und Octave-Skripte auf eine Unterseite auslagern und hier verlinken --> = Modellierungsergebnisse = Die Ergebnisse werden in der Reihenfolge der Modellhierarchie dargestellt. Zuerst stehen die Ergebnisse des Graphenmodells, die bereits für alle Stenosegrade vorliegen. Danach folgt die Verifikation der COMSOL-Modelle, denn erst wenn die Rechnungen im gesunden Fall die exakte Lösung treffen, sind ihre Ergebnisse bei Stenose belastbar. Anschließend werden die Feldgrößen der Flächen- und Volumenmodelle ausgewertet. == Ergebnisse des Graphenmodells == Alle Werte gelten bei eingeprägtem Volumenstrom von 6 ml/s, also im Szenario A. Die Geschwindigkeit, die Wandschubspannung und die Reynoldszahl beziehen sich auf den engsten Querschnitt, der Druckabfall auf das gesamte Gefäßstück von 150 mm. Der Zusatzverlust ist der Anteil des Druckabfalls, der über den Wert des gesunden Gefäßes hinausgeht. Die hervorgehobenen Zeilen sind die NASCET-Vertreter. {| class="wikitable" |+ Ergebnisse des Graphenmodells bei eingeprägtem Volumenstrom von 6 ml/s ! Stenosegrad !! NASCET-Kategorie !! engster Radius !! Flächenreduktion !! Scheitelgeschwindigkeit !! Wandschubspannung !! Reynoldszahl in der Engstelle !! Druckabfall !! Zusatzverlust |- style="font-weight:bold" | 0 || gesund || 3,00 mm || 0 % || 0,4244 m/s || 0,990 Pa || 386 || 99,03 Pa || 0,00 Pa |- | 0,1 || leichtgradig || 2,70 mm || 19 % || 0,5240 m/s || 1,358 Pa || 428 || 100,97 Pa || 1,94 Pa |- | 0,2 || leichtgradig || 2,40 mm || 36 % || 0,6631 m/s || 1,934 Pa || 482 || 103,95 Pa || 4,92 Pa |- style="font-weight:bold" | 0,3 || leichtgradig || 2,10 mm || 51 % || 0,8661 m/s || 2,887 Pa || 551 || 108,85 Pa || 9,82 Pa |- | 0,4 || leichtgradig || 1,80 mm || 64 % || 1,1789 m/s || 4,585 Pa || 643 || 117,62 Pa || 18,59 Pa |- | 0,5 || mittelgradig || 1,50 mm || 75 % || 1,6977 m/s || 7,922 Pa || 771 || 135,22 Pa || 36,19 Pa |- style="font-weight:bold" | 0,6 || mittelgradig || 1,20 mm || 84 % || 2,6526 m/s || 15,47 Pa || 964 || 176,74 Pa || 77,71 Pa |- | 0,7 || hochgradig || 0,90 mm || 91 % || 4,7157 m/s || 36,68 Pa || 1285 || 302,21 Pa || 203,18 Pa |- style="font-weight:bold" | 0,8 || hochgradig || 0,60 mm || 96 % || 10,610 m/s || 123,8 Pa || 1928 || 888,28 Pa || 789,25 Pa |} Im gesunden Fall reproduziert das Graphenmodell die analytischen Werte auf alle angegebenen Stellen. Das ist die erste Verifikation des Projekts, denn sie zeigt, dass Widerstandsnetzwerk, Randbedingungen und Parameter fehlerfrei umgesetzt sind. Für die Deutung ist es hilfreich, alle Größen auf das gesunde Gefäß zu beziehen. Die folgende Tabelle zeigt diese Verhältnisse für die NASCET-Vertreter. {| class="wikitable" |+ Kennwerte der NASCET-Vertreter bezogen auf das gesunde Gefäß ! Stenosegrad !! Druckabfall !! Scheitelgeschwindigkeit !! Reynoldszahl !! Wandschubspannung |- | 0,3 || 1,10fach || 2,04fach || 1,43fach || 2,92fach |- | 0,6 || 1,78fach || 6,25fach || 2,50fach || 15,6fach |- | 0,8 || 8,97fach || 25,0fach || 5,00fach || 125fach |} [[Datei:Stenose Gruppe5 Kennwerte.svg|mini|zentriert|800px|Kennwerte des Graphenmodells über dem Stenosegrad, jeweils bezogen auf das gesunde Gefäß.]] <!-- FIXME Abbildung fuer s = 0 bis 0,8 neu erzeugen und wegen des grossen Wertebereichs mit logarithmischer y-Achse darstellen --> Die Tabelle zeigt das zentrale Ergebnis des reduzierten Modells. Die vier Größen wachsen mit sehr unterschiedlichen Potenzen von <math>1/(1-s)</math>. Die Reynoldszahl wächst mit der ersten, die Geschwindigkeit mit der zweiten und die Wandschubspannung mit der dritten Potenz. Der Druckabfall über das ganze Gefäßstück reagiert dagegen träge, weil die Störstelle nur 12 der 150 mm einnimmt und der Rest des Gefäßes unverändert bleibt. Bei einer leichtgradigen Stenose von 30 % steigt der Druckabfall um nur zehn Prozent, während sich die Wandschubspannung bereits fast verdreifacht. Bei einer mittelgradigen Stenose von 60 % steigt der Druckabfall um gut drei Viertel, die Wandschubspannung aber um mehr als das Fünfzehnfache. Medizinisch bedeutet das, dass eine Stenose über den Druckabfall und damit über die Durchblutung lange unauffällig bleiben kann, während die mechanische Belastung der Gefäßwand bereits erheblich gestiegen ist. Beim hochgradigen Fall von 80 % liefert das Graphenmodell eine mittlere Geschwindigkeit von 5,3 m/s und eine Scheitelgeschwindigkeit von 10,6 m/s in der Engstelle. Diese Werte sind keine realistische Vorhersage, sondern zeigen die Grenze des Szenarios A. Wie im Abschnitt zu den Randbedingungen abgeschätzt, würde der Volumenstrom bei einer so starken Verengung im Kreislauf etwa auf die Hälfte sinken, und die Geschwindigkeiten wären entsprechend kleiner. [[Datei:Stenose Gruppe5 Graphenmodell Druck.svg|mini|zentriert|800px|Druckverlauf entlang der Gefäßachse im Graphenmodell. Außerhalb der Störstelle verlaufen alle Kurven parallel, der gesamte Unterschied entsteht auf den zwölf Millimetern der Engstelle.]] [[Datei:Stenose Gruppe5 Graphenmodell Wandschubspannung.svg|mini|zentriert|800px|Wandschubspannung entlang der Gefäßachse im Graphenmodell. Das Maximum liegt in der Engstelle und wächst mit der dritten Potenz von <math>1/(1-s)</math>.]] <!-- FIXME beide Abbildungen fuer s = 0 bis 0,8 neu erzeugen --> Außerhalb der Störstelle verlaufen alle Druckkurven parallel, weil dort der Radius und damit der Druckabfall je Längeneinheit unverändert ist. Auf den zwölf Millimetern der Störstelle fällt der Druck dagegen umso steiler, je stärker die Verengung ist. Beim gesunden Gefäß fallen auf diese zwölf Millimeter nur 7,9 Pa, beim Stenosegrad 0,6 bereits 85,6 Pa und beim Grad 0,8 rund 797 Pa. == Verifikation der COMSOL-Modelle == Die Rechnungen in COMSOL werden auf vier Wegen geprüft, bevor ihre Ergebnisse verwendet werden. === Vergleich mit der analytischen Lösung === Im gesunden Gefäß muss jedes Modell die analytischen Werte treffen. Zugelassen ist eine Abweichung von einem Prozent, bei der Wandschubspannung wegen ihrer Netzempfindlichkeit von zwei Prozent. {| class="wikitable" |+ Vergleich im gesunden Gefäß ! Größe !! analytisch !! Graphenmodell Octave !! Graphenmodell COMSOL !! achsensymmetrisch !! Volumenmodell |- | Scheitelgeschwindigkeit || 0,4244 m/s || 0,4244 m/s || FIXME || FIXME || FIXME |- | Druckabfall über 150 mm || 99,03 Pa || 99,03 Pa || FIXME || FIXME || FIXME |- | Wandschubspannung || 0,990 Pa || 0,990 Pa || FIXME || FIXME || FIXME |} Für den ebenen Kanal gelten die analytischen Kanalwerte von 0,3183 m/s, 37,14 Pa und 0,743 Pa. <!-- FIXME Ergebnis des ebenen Kanals eintragen --> === Massenerhaltung === Der Volumenstrom wird in fünf Querschnitten ausgewertet, nämlich am Einlass, vor der Stenose, in der Engstelle, am Ende des fein vernetzten Nachlaufs und am Auslass. Wegen der Massenerhaltung müssen alle fünf Werte gleich 6 ml/s sein. Eine Abweichung von mehr als einem Prozent zeigt ein zu grobes Netz an. Die Prüfung ist besonders wichtig, weil ein fehlender Haken bei den Integrationsoperatoren sofort auffällt. Die Volumenströme wären dann um Größenordnungen zu klein. {| class="wikitable" |+ Volumenstrom in fünf Querschnitten, achsensymmetrisches Modell ! Stenosegrad !! Einlass !! vor der Stenose !! Engstelle !! Ende Feinbereich !! Auslass !! größte Abweichung |- | 0 || FIXME || FIXME || FIXME || FIXME || FIXME || FIXME |- | 0,3 || FIXME || FIXME || FIXME || FIXME || FIXME || FIXME |- | 0,6 || FIXME || FIXME || FIXME || FIXME || FIXME || FIXME |- | 0,8 || FIXME || FIXME || FIXME || FIXME || FIXME || FIXME |} === Netzstudie === Die Netzstudie wird an zwei Stenosegraden durchgeführt. Der Grad 0,5 ist der stärkste Fall, für den es einen direkten Literaturvergleich gibt, der Grad 0,8 ist der numerisch schwierigste Fall. Die Feinheit im Bereich der Stenose wird dazu zweimal halbiert, und jeweils werden Elementzahl, Druckabfall und Höchstgeschwindigkeit notiert. Die Arbeitseinstellung ist erreicht, sobald sich beide Kennwerte zwischen zwei Stufen um weniger als ein Prozent ändern. Das ist dieselbe Logik wie bei der Konvergenzuntersuchung des Finite-Differenzen-Verfahrens in der Vorlesung, nur praktisch statt theoretisch.<ref name="hundertmark" /> {| class="wikitable" |+ Netzstudie am achsensymmetrischen Modell ! Stenosegrad !! Stufe !! hmax_f !! Elemente !! Druckabfall !! Höchstgeschwindigkeit !! Änderung zur vorigen Stufe |- | 0,5 || grob || R0/10 || FIXME || FIXME || FIXME || entfällt |- | 0,5 || mittel || R0/20 || FIXME || FIXME || FIXME || FIXME |- | 0,5 || fein || R0/40 || FIXME || FIXME || FIXME || FIXME |- | 0,8 || grob || R0/10 || FIXME || FIXME || FIXME || entfällt |- | 0,8 || mittel || R0/20 || FIXME || FIXME || FIXME || FIXME |- | 0,8 || fein || R0/40 || FIXME || FIXME || FIXME || FIXME |} === Vergleich mit der Literatur === Beim Stenosegrad 0,5 stimmt die Geometrie dieses Projekts mit der Standardgeometrie aus der Literatur überein, also einer kosinusförmigen Stenose der Länge zwei Durchmesser mit 75 % Flächenreduktion. Für diese Geometrie wurde bei einer Einström-Reynoldszahl von 500 eine laminare, rotationssymmetrische Strömung gefunden, die etwa zehn Durchmesser hinter der Engstelle wieder an der Wand anliegt.<ref name="varghese" /> Da die Reynoldszahl in diesem Projekt mit 386 etwas kleiner ist und das Rückströmgebiet einer laminaren Strömung mit der Reynoldszahl wächst, wird ein etwas kürzeres Rückströmgebiet erwartet. {| class="wikitable" |+ Literaturvergleich beim Stenosegrad 0,5 ! Größe !! Literatur, Re = 500 !! dieses Projekt, Re = 386 |- | Strömungsform || laminar, rotationssymmetrisch || FIXME |- | Wiederanlegen hinter der Engstellenmitte || etwa 10 D || FIXME |} == Ergebnisse der 2D-Modelle == == Ergebnisse der 3D-Modelle == = Literaturverzeichnis = Alle Quellen sind an den Stellen im Text angegeben, an denen die zugehörigen Werte oder Aussagen verwendet werden. Die Liste wird aus diesen Angaben automatisch erzeugt. <references /> ndbna0y9ej49lhld8jfdtyqlghjw2eg 1115629 1115628 2026-10-09T15:16:43Z Coc39ked 40763 1115629 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Joey Becker * Marie-Thérèse Heitele * Nicole Pander =Thema und Fragestellung= Gegenstand dieses Projekts ist die numerische Simulation einer lokalen Gefäßverengung, allgemein bekannt unter dem medizinischen Begriff ''Stenose''. Als medizinischer Anwendungsfall wird ein gerader Abschnitt der Arteria carotis communis (Halsschlagader) betrachtet. Um den Einfluss der Gefäßverengung möglichst isoliert untersuchen zu können, wird die reale Gefäßgeometrie bewusst vereinfacht. Bedeutet, dass Gefäßkrümmungen, Verzweigungen und patientenspezifische anatomische Strukturen nicht berücksichtigt werden. Stattdessen wird ein gerade, idealisiertes Gefäß mit einer symmetrischen bzw. im dreidimensionalen Modell rotationssymmetrischen Stenose untersucht. Als Referenz dient zunächst ein gesundes, unverengtes Gefäß, in dem sich die Poiseuille-Strömung mit ihrem charakterischtischen Geschwindigkeitsprofil ausbildet. Diese bildet den Ausgangspunkt für den anschließenden Vergleich verschiedener Stenosegrade. ===Fragestellung=== Wie verändert eine symmetrische bzw. rotationssymmetrische Stenose die stationäre Strömung eines inkompressibelen Newton'schen Fluid in einem idealisierten Abschnitt der Arteria carotis communis hinsichtlich Geschwindigkeitsverteilung, Druckverteilung sowie Strömungsmuster und wie entwickeln sich diese Größen mit zunehmendem Stenosegrad im Vergleich zu einem gesunden Gefäß? =Relevanz= Die Untersuchung von Gefäßverengungen besitzt sowohl eine medizinische als auch eine methodische Bedeutung. Aus medizinischer Sicht sind arterielle Stenosen, etwa in der Halsschlagader kritisch, da sie die Durchblutung beeinträchtigen und durch veränderte Wandschubspannungen sowie die Bildung von Wirbeln weitere Gefäßablagerungen begünstigen. Fachlich überträgt das Projekt damit die Prinzipien der Strömungsmechanik direkt auf eine biomedizinische Anwendung. Der methodische Mehrwert liegt in der Verknüpfung mehrerer Zugänge: Durch den systematischen Abgleich von analytischer Poiseuille-Theorie und Simulationen in COMSOL Multiphysics zeigt das Projekt anschaulich, wie numerische Modelle aufgebaut, verifiziert und an ihren Grenzen bewertet werden. ===Auswahl der Stenosegrade=== Um die untersuchten Gefäßverengungen nicht willkürlich festzulegen, orientiert sich die Auswahl der Stenosegrade an der klinisch gebräuchlichen NASCET-Klassifikation von Karotisstenosen. Dabei werden Stenosen nach ihrem Schweregrad unter anderem in: • leichte Stenosen unter 50% • mäßige Stenosen von 50 bis 69% • hochgradige Stenosen von 70 bis 99% eingeteilt. Ein vollständige Gefäßverschluss entspricht einer Okklusion. Für die numerische Untersuchung wird aus jeder dieser drei Kategorien ein repräsentativer Stenosegrad ausgewählt. Neben dem gesunden Gefäß mit '''0% Stenose''' werden daher eine '''30% Stenose''' als Beispiel für eine leichte, eine '''60% Stenose''' als Beispiel für eine mäßige und eine '''80% Stenose''' als Beispiel für eine hochgradige Verengung untersucht. Auf diese Weise können deutlich unterschiedliche Schweregrade miteinander vergleichen und die zunehmenden Veränderungen von Geschwindigkeit, Druck und Strömungsmuster systematisch analysiert werden. Ein vollständiger Gefäßverschluss von 100% wird nicht simuliert, da in diesem Fall keine durchgängige Strömung durch das Gefäß mehr vorliegt und damit keine Simulation betrachtet wird. Der Stenosegrad wird in unserem Projekt über die Verringerung des Gefäßdurchmessers beschreiben. In Anlehnung an das NASCET-Prinzip kann er als Verhältnis zwischen dem minimalen Durchmesser im Bereich der Stenose und einem Referenzdurchmesser formuliert werden. =Modellannahmen= Um den Einfluss des Stenosegrades möglichst isoliert zu untersuchen, werden für die Simulation folgende Modellannahmen getroffen: • '''Idealisierte Gefäßgeometrie''': Betrachtet wird ein gerader Abschnitt der ''Arteria carotis communis''. Gefäßverkrümmungen, Verzweigungen und patientenspezifische Strukturen werden nicht berücksichtigt. • '''Starre Gefäßwand''': Die Gefäßwand wird als unbeweglich und nicht verformbar angenommen. Eine Wechselwirkung zwischen elastischer Gefäßwand und Blutströmung wird nicht modelliert. • '''Stationäre Strömung''': Die Strömungsgrößen werden als zeitlich konstant angenommen. Die im realen Blutkreislauf vorhandene Pulsation durch den Herzschlag wird daher vernachlässigt: <math>\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t}=0</math>. • '''Inkompressibles Fluid''': Die Dichte des Fluids wird als konstant angenommen. Damit gilt für die Geschwindigkeit <math>\nabla \cdot \mathbf{u}=0</math>. Dies entspricht der in der Vorlesung behandelten Massenerhaltung für inkompressible Fluide: Was in das Gefäß einströmt, muss auch wieder ausströmen. • '''Newton'sche Näherung für Blut''': Reales Blut beseitzt ein nicht-newton'sches Fließverhalten. Hier wird Blut als Newton'sches Fluid behandelt. • '''Konstante Stoffeigenschaften''': Dichte <math>\rho</math> und dynamische Viskosität <math>\mu</math> werden als räumlich und zeitlich konstant angenommen. Temperaturabhängigkeiten werden nicht berücksichtigt. • '''Laminare Strömung''': Die Strömung wird mit dem COMSOL-Modul ''Laminar Flow'' beschrieben. Ein zusätzliches Turbulenzmodell wird nicht verwendet. • '''No-Slip-Bedingung an Gefäßwand''': Aufgrund der Viskosität wird angenommen, dass das Fluid direkt an der Gefäßwand haftet. Somit gilt <math>\mathbf{u}=0</math>. • '''Vernachlässigung der Gravitation''': Gravitation wird nicht berücksichtigt. Die Strömung wird ausschließlich durch die gewählten Ein- und Auslassbedingungen bestimmt. =Implementierung in COMSOL= = Gruppenteilnehmer = * Joey Becker * Marie-Thérèse Heitele * Nicole Pander = Thema und Fragestellung = Gegenstand dieses Projekts ist die numerische Simulation einer lokalen Gefäßverengung, die in der Medizin als ''Stenose'' bezeichnet wird. Als Anwendungsfall dient ein gerader Abschnitt der ''Arteria carotis communis'', der gemeinsamen Halsschlagader. Um den Einfluss der Verengung möglichst isoliert untersuchen zu können, wird die reale Gefäßgeometrie bewusst vereinfacht. Gefäßkrümmungen, Verzweigungen und patientenspezifische anatomische Strukturen werden nicht berücksichtigt. Stattdessen wird ein gerades, idealisiertes Gefäß mit einer rotationssymmetrischen Stenose untersucht. Im ebenen Vergleichsmodell erscheint dieselbe Verengung als symmetrische Einschnürung eines Kanals. Als Referenz dient ein gesundes, unverengtes Gefäß, in dem sich die Poiseuille-Strömung mit ihrem charakteristischen parabolischen Geschwindigkeitsprofil ausbildet. Diese Strömung ist aus zwei Gründen der natürliche Ausgangspunkt. Sie beschreibt den physiologischen Normalfall, mit dem jeder Stenosegrad verglichen wird, und sie ist exakt lösbar, sodass sich an ihr jede numerische Rechnung prüfen lässt, bevor die Verengung hinzukommt. == Fragestellung == Wie verändert eine rotationssymmetrische Stenose die stationäre Strömung eines inkompressiblen Newtonschen Fluids in einem idealisierten Abschnitt der Arteria carotis communis hinsichtlich Geschwindigkeitsverteilung, Druckverteilung, Wandschubspannung und Strömungsmuster, und wie entwickeln sich diese Größen mit zunehmendem Stenosegrad im Vergleich zu einem gesunden Gefäß? Aus dieser Fragestellung ergeben sich drei Teilfragen, an denen sich der Aufbau der Seite orientiert. # Welche Strömungsgrößen reagieren empfindlich auf den Stenosegrad und welche nur träge? # Ab welchem Stenosegrad ändert sich das Strömungsmuster qualitativ, das heißt, ab wann löst die Strömung hinter der Engstelle von der Wand ab und bildet ein Rückströmgebiet? # Wie weit tragen die vereinfachenden Modellannahmen, insbesondere die Annahme einer stationären und laminaren Strömung, über den untersuchten Bereich der Stenosegrade? = Relevanz = Die Untersuchung von Gefäßverengungen besitzt eine medizinische und eine methodische Bedeutung. Beide werden im Folgenden getrennt begründet, weil sie unterschiedliche Anforderungen an das Modell stellen. Die medizinische Fragestellung verlangt realistische Zahlenwerte, die methodische Fragestellung verlangt nachprüfbare Rechnungen. == Medizinische Relevanz == Arterielle Stenosen entstehen überwiegend durch Atherosklerose, also durch Ablagerungen aus Lipiden, Bindegewebe und Kalk in der Gefäßwand. In der Halsschlagader sind sie klinisch besonders bedeutsam, weil sie die Durchblutung des Gehirns beeinträchtigen und weil sich an ihnen Thromben bilden können, die als Embolie einen Schlaganfall auslösen. Dass die operative Entfernung einer hochgradigen Karotisstenose das Schlaganfallrisiko symptomatischer Patienten deutlich senkt, hat die NASCET-Studie gezeigt, deren Einteilung der Stenosegrade dieses Projekt übernimmt.<ref name="nascet">North American Symptomatic Carotid Endarterectomy Trial Collaborators: ''Beneficial effect of carotid endarterectomy in symptomatic patients with high-grade carotid stenosis.'' New England Journal of Medicine 325 (1991), Nr. 7, S. 445-453.</ref> Strömungsmechanisch ist an einer Stenose vor allem die Wandschubspannung von Interesse, also die tangentiale Kraft je Fläche, die das strömende Blut auf die innerste Zellschicht der Gefäßwand ausübt. Gesunde Halsschlagadern weisen zeitlich gemittelte Werte von etwa 1,1 bis 1,5 Pa auf.<ref name="samijo">Samijo, S. K.; Willigers, J. M.; Barkhuysen, R.; Kitslaar, P. J. E. H. M.; Reneman, R. S.; Brands, P. J.; Hoeks, A. P. G.: ''Wall shear stress in the human common carotid artery as function of age and gender.'' Cardiovascular Research 39 (1998), Nr. 2, S. 515-522.</ref> In einer Engstelle steigt sie stark an, unmittelbar dahinter fällt sie im Ablösegebiet auf nahezu null und wechselt dort sogar das Vorzeichen. Niedrige und im Vorzeichen wechselnde Wandschubspannungen gelten als Bedingungen, unter denen sich weitere Ablagerungen bevorzugt bilden. Eine bestehende Stenose schafft also stromabwärts die Voraussetzungen für ihr eigenes Wachstum. Genau diese Verteilung lässt sich im Körper nur schwer messen, in einer Simulation dagegen unmittelbar auswerten. == Methodische Relevanz == Fachlich überträgt das Projekt die Prinzipien der Strömungsmechanik aus der Vorlesung auf eine biomedizinische Anwendung.<ref name="hundertmark">Hundertmark, A.: ''Fluiddynamik.'' Vorlesungsunterlagen zum Modul Räumliche Modellbildung, RPTU Kaiserslautern-Landau, Sommersemester 2026.</ref> Der methodische Mehrwert liegt in der Verknüpfung mehrerer Zugänge, die sich gegenseitig kontrollieren. Die analytische Poiseuille-Lösung liefert exakte Sollwerte für das gesunde Gefäß. Ein reduziertes Graphenmodell liefert für jeden Stenosegrad eine schnelle Abschätzung, die analytisch nachrechenbar ist. Die Simulationen in COMSOL Multiphysics lösen schließlich die vollständigen Navier-Stokes-Gleichungen in zwei und drei Raumdimensionen. Weil jede Stufe die Sollwerte der nächsten liefert, zeigt das Projekt nicht nur Ergebnisse, sondern auch, wie numerische Modelle aufgebaut, verifiziert und an ihren Grenzen bewertet werden. == Auswahl der Stenosegrade == Um die untersuchten Gefäßverengungen nicht willkürlich festzulegen, orientiert sich die Auswahl der Stenosegrade an der klinisch gebräuchlichen NASCET-Klassifikation von Karotisstenosen.<ref name="nascet" /> Sie teilt Stenosen nach ihrer Durchmesserreduktion in drei Schweregrade ein, ein vollständiger Gefäßverschluss wird als Okklusion bezeichnet. {| class="wikitable" |+ Schweregrade nach NASCET und ihre Abdeckung im Projekt ! Schweregrad !! Durchmesserreduktion !! im Projekt gerechnete Stenosegrade !! hervorgehobener Vertreter |- | gesundes Gefäß || 0 % || 0 || 0 |- | leichtgradige Stenose || unter 50 % || 0,1 bis 0,4 || 0,3 |- | mittelgradige Stenose || 50 bis 69 % || 0,5 und 0,6 || 0,6 |- | hochgradige Stenose || 70 bis 99 % || 0,7 und 0,8 || 0,8 |- | Okklusion || 100 % || nicht gerechnet || entfällt |} Für die numerische Untersuchung wird aus jeder Kategorie ein repräsentativer Stenosegrad hervorgehoben. Neben dem gesunden Gefäß mit '''0 %''' Stenose sind das eine '''30 %''' Stenose als Beispiel für eine leichtgradige, eine '''60 %''' Stenose als Beispiel für eine mittelgradige und eine '''80 %''' Stenose als Beispiel für eine hochgradige Verengung. Zusätzlich werden im Graphenmodell und im achsensymmetrischen Flächenmodell alle Zwischenwerte in Schritten von zehn Prozentpunkten gerechnet. Das kostet in diesen beiden Modellen nur Sekunden, liefert aber glatte Verläufe über dem Stenosegrad und macht sichtbar, ab welchem Grad sich das Verhalten der Strömung ändert. Ein vollständiger Gefäßverschluss wird nicht simuliert, da in diesem Fall keine durchgängige Strömung mehr vorliegt. Der Stenosegrad wird in diesem Projekt wie bei NASCET über die Verringerung des Gefäßdurchmessers beschrieben, <math>s = 1 - \frac{d_{\min}}{d_{\mathrm{ref}}},</math> wobei <math>d_{\min}</math> der kleinste Durchmesser in der Engstelle und <math>d_{\mathrm{ref}}</math> ein Referenzdurchmesser ist. NASCET verwendet als Referenz den Durchmesser des gesunden Gefäßes stromabwärts der Stenose. Im idealisierten Modell hat das Gefäß vor und hinter der Engstelle denselben Durchmesser <math>D_0</math>, sodass <math>d_{\mathrm{ref}} = D_0</math> gilt und die NASCET-Definition mit allen anderen gebräuchlichen Durchmesserdefinitionen zusammenfällt. Wichtig für das Verständnis aller weiteren Ergebnisse ist der Unterschied zwischen Durchmesser- und Flächenreduktion. Da die Querschnittsfläche quadratisch vom Durchmesser abhängt, gilt für die Flächenreduktion <math>1-(1-s)^2</math>. Eine im klinischen Sinn nur mittelgradige Stenose von 60 % verschließt damit bereits 84 % der Querschnittsfläche. {| class="wikitable" |+ Durchmesser- und Flächenreduktion der gerechneten Stenosegrade ! Stenosegrad s !! 0 !! 0,1 !! 0,2 !! 0,3 !! 0,4 !! 0,5 !! 0,6 !! 0,7 !! 0,8 |- | engster Durchmesser in mm || 6,0 || 5,4 || 4,8 || 4,2 || 3,6 || 3,0 || 2,4 || 1,8 || 1,2 |- | Flächenreduktion || 0 % || 19 % || 36 % || 51 % || 64 % || 75 % || 84 % || 91 % || 96 % |} Zwei Einschränkungen gehören zur ehrlichen Einordnung. Erstens ist die NASCET-Klassifikation für Stenosen der ''Arteria carotis interna'' entwickelt worden, also des Astes hinter der Gabelung, während hier ein gerader Abschnitt der ''Arteria carotis communis'' modelliert wird. Die Klassifikation dient im Projekt deshalb als Orientierung für sinnvolle Abstufungen und nicht als diagnostische Aussage. Zweitens zeigt sich im Abschnitt zur Modellierung, dass die Annahme einer stationären, laminaren Strömung ab einem Stenosegrad von etwa 0,6 an ihre Grenzen stößt. Die hochgradigen Fälle werden deshalb zwar gerechnet, ihre Ergebnisse aber ausdrücklich als Grenzfall des Modells diskutiert. = Modellierung = Modellierung bedeutet hier, die reale Situation in eine mathematische Aufgabe zu übersetzen, die sich lösen lässt. Dazu gehören vier Bausteine, nämlich das Rechengebiet, die Gleichungen, die Zahlenwerte der Parameter und die Bedingungen an den Rändern. Jeder dieser Bausteine beruht auf Annahmen, und jede Annahme muss begründet werden. Dieser Abschnitt geht die Bausteine deshalb der Reihe nach durch und nennt bei jedem Zahlenwert, woher er stammt und warum er sinnvoll ist. == Modellhierarchie == Das Projekt rechnet nicht ein einziges Modell, sondern vier aufeinander aufbauende Modellvarianten. Sie entsprechen der Kursanforderung, eine Strömung als Graph, in zwei und in drei Raumdimensionen darzustellen, und sie sind bewusst von einfach nach aufwendig geordnet. {| class="wikitable" |+ Die vier Modellvarianten des Projekts ! Modell !! Raumdimension !! gelöste Gleichung !! Zweck !! Werkzeug |- | Graphenmodell || 1D, Gefäßachse || Hagen-Poiseuille je Rohrstück und Massenerhaltung in jedem Knoten || schnelle, analytisch nachrechenbare Abschätzung für jeden Stenosegrad || Octave und COMSOL (Koeffizientenform-PDGL) |- | achsensymmetrisches Flächenmodell || 2D, Halbschnitt in r und z || vollständige stationäre Navier-Stokes-Gleichungen in Zylinderkoordinaten || Hauptmodell, liefert alle Feldgrößen des rotationssymmetrischen Rohres || COMSOL, Laminare Strömung |- | ebenes Flächenmodell || 2D, Halbschnitt in x und y || vollständige stationäre Navier-Stokes-Gleichungen in kartesischen Koordinaten || Vergleich, zeigt den Einfluss der zweiten Querschnittsrichtung || COMSOL, Laminare Strömung |- | Volumenmodell || 3D || vollständige stationäre Navier-Stokes-Gleichungen || Kontrolle des Hauptmodells und räumliche Darstellung || COMSOL, Laminare Strömung |} Die Reihenfolge folgt einem einfachen Prinzip. Jede Stufe liefert die Sollwerte, an denen die nächste, komplexere Stufe geprüft wird. Das Graphenmodell muss im gesunden Fall exakt die Poiseuille-Lösung ergeben. Das achsensymmetrische Modell muss im gesunden Fall dieselben Werte liefern und bei Stenose für Geschwindigkeit und Wandschubspannung in der Nähe des Graphenmodells liegen. Das Volumenmodell muss, weil die Geometrie rotationssymmetrisch ist, mit dem achsensymmetrischen Modell übereinstimmen. == Modellannahmen == Um den Einfluss des Stenosegrades möglichst isoliert zu untersuchen, werden die folgenden Modellannahmen getroffen. Die Tabelle nennt zu jeder Annahme ihre mathematische Form, die Begründung und die Stelle, an der sie im Projekt überprüft wird. {| class="wikitable" |+ Modellannahmen, ihre Begründung und ihre Überprüfung ! Annahme !! mathematische Form !! Begründung !! Überprüfung |- | Idealisierte Gefäßgeometrie || gerades Rohr mit kosinusförmiger, rotationssymmetrischer Verengung || isoliert die Wirkung des Stenosegrades von Krümmung, Verzweigung und Plaqueform || Diskussion in den Schlussfolgerungen |- | Starre Gefäßwand || Wand ortsfest, keine Fluid-Struktur-Kopplung || im stationären Fall gibt es keine Druckschwankung, die die Wand periodisch aufweiten könnte || Abschätzung über die gemessene Durchmesseränderung im Herzzyklus |- | Stationäre Strömung || <math>\partial \mathbf{u}/\partial t = \mathbf{0}</math> || der Einfluss des Stenosegrades soll ohne Überlagerung durch die Pulsation sichtbar werden || Abschätzung über die Womersley-Zahl |- | Inkompressibles Fluid || <math>\rho = \mathrm{const}</math>, damit <math>\nabla\cdot\mathbf{u} = 0</math> || Blut ist eine Flüssigkeit, Druckänderungen von wenigen hundert Pascal ändern die Dichte nicht messbar || Massenerhaltung in fünf Querschnitten |- | Newtonsche Näherung || konstante Viskosität <math>\mu</math> || die Scherraten an der Wand und im größten Teil des Querschnitts liegen über dem Bereich, in dem Blut deutlich scherverdünnend wirkt || Scherrate an der Wand, Diskussion des Rückströmgebiets |- | Konstante Stoffeigenschaften || <math>\rho</math> und <math>\mu</math> räumlich und zeitlich konstant || Körpertemperatur ist im betrachteten Abschnitt konstant || entfällt |- | Laminare Strömung || kein Turbulenzmodell, Schnittstelle Laminare Strömung || Reynoldszahl des gesunden Gefäßes von 386 liegt weit unter dem Umschlagbereich || Reynoldszahl in der Engstelle, Literaturvergleich |- | Haftbedingung an der Wand || <math>\mathbf{u} = \mathbf{0}</math> auf der Wand || Folge der Viskosität, das Fluid haftet an der Wand || Grundlage jeder Wandschubspannung |- | Vernachlässigung der Gravitation || keine Volumenkraft || bei konstanter Dichte lässt sich die Schwerkraft vollständig in einen hydrostatischen Druckanteil verschieben und beeinflusst die Geschwindigkeit nicht || Begründung in den Mathematischen Hintergründen |- | Voll entwickelte Einströmung || parabolisches Profil am Einlass || die natürliche Einlaufstrecke wäre mit rund 139 mm fast so lang wie das ganze Rechengebiet || Scheitelgeschwindigkeit im gesunden Fall |- | Eingeprägter Volumenstrom || <math>Q = Q_0</math> am Einlass || der Strömungswiderstand des Abschnitts ist klein gegenüber dem des nachgeschalteten Gefäßbetts || Abschätzung mit einem Reihenwiderstand |} Einige dieser Annahmen sind unmittelbar einsichtig, andere verdienen eine genauere Begründung, weil von ihnen die Aussagekraft der Ergebnisse abhängt. Die '''Newtonsche Näherung''' ist die Annahme, die bei Blut am häufigsten hinterfragt wird. Reales Blut ist eine Suspension aus Plasma und Blutzellen und verhält sich scherverdünnend. Bei kleinen Scherraten lagern sich die roten Blutkörperchen zu geldrollenartigen Stapeln zusammen, und die Viskosität steigt auf ein Vielfaches an. Bei großen Scherraten lösen sich diese Stapel auf, und die Viskosität strebt gegen einen Grenzwert von etwa 3,5 mPa·s. Entscheidend ist also die Scherrate. An der Wand des gesunden Modellgefäßes beträgt sie nach der Poiseuille-Lösung <math>\dot\gamma_w = \frac{4\,U_0}{R_0} = \frac{4 \cdot 0{,}2122\ \mathrm{m/s}}{0{,}003\ \mathrm{m}} \approx 283\ \mathrm{s^{-1}}</math> und liegt damit oberhalb von etwa 100 pro Sekunde, wo sich Newtonsches und nicht Newtonsches Modell nach der Literatur nur noch wenig unterscheiden.<ref name="boyd">Die Grenze von etwa 100 s^-1 wird in vergleichenden Studien zur Blutrheologie verwendet, etwa bei Bernabeu, M. O. u. a.: ''Impact of blood rheology on wall shear stress in a model of the middle cerebral artery.'' Interface Focus 3 (2013), 20120094. <!-- FIXME Zitat und Seitenangabe am Original pruefen --></ref> In der Engstelle steigt die Scherrate weiter an, beim Stenosegrad 0,5 auf rund 2260 pro Sekunde. Schwach ist die Näherung dort, wo die Scherrate klein wird, also in der Mitte des Gefäßes und vor allem im Rückströmgebiet hinter der Stenose. Dort ist reales Blut zäher als angenommen. Dieser Punkt wird in den Schlussfolgerungen wieder aufgegriffen. Die '''stationäre Strömung''' ist die stärkste Vereinfachung. Wie wichtig die Pulsation ist, misst die Womersley-Zahl, die das Verhältnis von instationärer Trägheit zu Reibung angibt. Mit einer Herzfrequenz von 60 Schlägen je Minute, also einer Kreisfrequenz <math>\omega = 2\pi\ \mathrm{s^{-1}}</math>, ergibt sich <math>\alpha = R_0 \sqrt{\frac{\omega \rho}{\mu}} = 0{,}003\ \mathrm{m} \cdot \sqrt{\frac{2\pi\ \mathrm{s^{-1}} \cdot 1060\ \mathrm{kg/m^3}}{0{,}0035\ \mathrm{Pa\,s}}} \approx 4{,}1 .</math> Ein Wert in dieser Größenordnung bedeutet, dass das reale Geschwindigkeitsprofil im Herzzyklus merklich von der Parabel abweicht.<ref name="womersley">Womersley, J. R.: ''Method for the calculation of velocity, rate of flow and viscous drag in arteries when the pressure gradient is known.'' Journal of Physiology 127 (1955), S. 553-563.</ref> Hinzu kommt, dass der Volumenstrom in der Systole kurzzeitig auf rund das Vierfache des Mittelwerts steigt.<ref name="holdsworth">Holdsworth, D. W.; Norley, C. J. D.; Frayne, R.; Steinman, D. A.; Rutt, B. K.: ''Characterization of common carotid artery blood-flow waveforms in normal human subjects.'' Physiological Measurement 20 (1999), Nr. 3, S. 219-240. DOI 10.1088/0967-3334/20/3/301. Angegeben werden ein mittlerer Volumenstrom von 6,0 ± 1,4 ml/s und ein systolischer Spitzenwert von 23,5 ± 3,8 ml/s. <!-- FIXME Zahlenwerte und Probandenzahl am Original pruefen --></ref> Die stationäre Rechnung mit dem Mittelwert beschreibt deshalb nicht den zeitlichen Verlauf, wohl aber den zeitlich gemittelten Zustand, an dem sich der Einfluss des Stenosegrades sauber vergleichen lässt. Die '''laminare Strömung''' wird über die Reynoldszahl begründet. Sie beträgt im gesunden Gefäß 386 und liegt damit weit unter dem Wert von etwa 2300, ab dem die Strömung in einem geraden Rohr in den Übergangsbereich gelangen kann. In der Engstelle steigt sie bei festem Volumenstrom auf <math>Re_0/(1-s)</math>, also auf 551 beim Stenosegrad 0,3, auf 964 beim Grad 0,6 und auf 1928 beim Grad 0,8. Für den Strahl hinter einer Engstelle ist der Umschlagbereich allerdings deutlich niedriger als im geraden Rohr. Direkte numerische Simulationen an genau der in diesem Projekt verwendeten Stenosegeometrie zeigen, dass die Strömung bei einer Einström-Reynoldszahl von 500 auch bei leichter Unsymmetrie laminar bleibt, bei 1000 dagegen schon eine Exzentrizität von fünf Prozent des Durchmessers genügt, um den Strahl in lokal turbulente Strömung umschlagen zu lassen.<ref name="varghese">Varghese, S. S.; Frankel, S. H.; Fischer, P. F.: ''Direct numerical simulation of stenotic flows. Part 1. Steady flow.'' Journal of Fluid Mechanics 582 (2007), S. 253-280. Untersucht wird eine kosinusförmige Stenose der Länge 2D mit 75 % Flächenreduktion, die mit der Geometrie dieses Projekts beim Stenosegrad 0,5 übereinstimmt. <!-- FIXME Band und Seiten am Original pruefen --></ref> Mit einer Einström-Reynoldszahl von 386 liegt das Projekt für die leicht- und mittelgradigen Stenosen sicher im laminaren Bereich. Für die hochgradigen Stenosen ab 0,7 ist ein laminares, stationäres Modell dagegen nur noch eine Näherung, die eine Obergrenze der geordneten Strömung beschreibt. Diese Fälle werden deshalb als Grenzfall des Modells gekennzeichnet. Die '''starre Wand''' lässt sich über Messungen abschätzen. Der Durchmesser der gemeinsamen Halsschlagader ändert sich im Herzzyklus bei jungen Menschen um etwa 12 bis 14 Prozent und bei älteren Menschen um etwa 5 Prozent.<ref name="hansen">Hansen, F.; Mangell, P.; Sonesson, B.; Länne, T.: ''Diameter and compliance in the human common carotid artery: variations with age and sex.'' Ultrasound in Medicine and Biology 21 (1995), Nr. 1, S. 1-9. DOI 10.1016/0301-5629(94)00090-5.</ref> Diese Bewegung ist eine Folge der Pulsation. In einer stationären Rechnung gibt es keine Druckschwankung, die die Wand periodisch aufweiten könnte, sodass die starre Wand zur stationären Annahme konsistent ist. Eine verkalkte Plaque ist ohnehin deutlich steifer als die gesunde Wand. Die Annahme des '''eingeprägten Volumenstroms''' wird im Abschnitt zu den Randbedingungen begründet, weil sie sich nur im Zusammenhang mit dem Kreislauf beurteilen lässt. == Simulationsgebiet und Geometrie == Die Gefäßachse ist die z-Achse, der Ursprung liegt in der Mitte der Stenose, und <math>r</math> bezeichnet den Abstand von der Achse. Das Rechengebiet reicht von <math>z = -L_u</math> bis <math>z = L_d</math> und wird radial von der Wandkontur <math>R(z)</math> begrenzt. Die Verengung wird über eine einzige glatte Funktion beschrieben, <math>R(z) = R_0 \left[ 1 - \frac{s}{2}\left(1 + \cos\frac{2\pi z}{L_s}\right)\right] \quad \text{falls } |z| \le \frac{L_s}{2}, \qquad R(z) = R_0 \ \text{sonst.}</math> Die Funktion hat drei Eigenschaften, die ihre Wahl begründen. Sie wird erstens über einen einzigen Parameter gesteuert, den Stenosegrad <math>s</math>. Der engste Radius in der Mitte beträgt <math>R(0) = R_0(1-s)</math>, und der Fall ohne Verengung ist einfach der Fall <math>s = 0</math>. Die gesamte Vergleichsreihe entsteht damit aus einem einzigen parametrischen Sweep. Sie geht zweitens an beiden Enden der Störstelle ohne Knick in das gerade Rohr über. Bei <math>z = \pm L_s/2</math> ist der Kosinus gleich minus eins, die Klammer also null, und seine Ableitung verschwindet dort ebenfalls. Das ist nicht nur ästhetisch, sondern numerisch notwendig, denn ein Knick in der Wand erzeugt eine Singularität der Wandschubspannung, deren berechneter Wert mit jeder Netzverfeinerung weiter wüchse. Eine Netzstudie wäre dann sinnlos. Sie ist drittens die in der Literatur gebräuchliche Standardgeometrie für Stenosen, sodass sich die Ergebnisse unmittelbar mit veröffentlichten Rechnungen vergleichen lassen.<ref name="varghese" /> [[Datei:Stenose Gruppe5 Wandkontur.svg|mini|zentriert|800px|Wandkontur <math>R(z)</math> für die untersuchten Stenosegrade. Die Darstellung ist in radialer Richtung gestreckt, das Rechengebiet ist in Wirklichkeit fünfundzwanzigmal länger als breit.]] <!-- FIXME Abbildung mit abbildungen_graph_1d.m fuer s = 0 bis 0,8 neu erzeugen, bisher nur bis 0,5 --> Die Abmessungen des Rechengebiets werden alle aus dem Gefäßradius abgeleitet. Das hat den Vorteil, dass sich das gesamte Modell durch Ändern eines einzigen Wertes auf ein anderes Gefäß übertragen lässt. Die einzelnen Längen werden im Folgenden Schritt für Schritt begründet. # Der '''Gefäßradius''' <math>R_0 = 3\ \mathrm{mm}</math> folgt aus Ultraschallmessungen an gesunden Erwachsenen. Dort wurden für die gemeinsame Halsschlagader mittlere Durchmesser von 6,10 ± 0,80 mm bei Frauen und 6,52 ± 0,98 mm bei Männern gemessen.<ref name="krejza">Krejza, J.; Arkuszewski, M.; Kasner, S. E.; Weigele, J.; Ustymowicz, A.; Hurst, R. W.; Cucchiara, B. L.; Messe, S. R.: ''Carotid artery diameter in men and women and the relation to body and neck size.'' Stroke 37 (2006), Nr. 4, S. 1103-1105. DOI 10.1161/01.STR.0000206440.48756.f7.</ref> Der gewählte Durchmesser von <math>D_0 = 6\ \mathrm{mm}</math> liegt damit innerhalb einer Standardabweichung beider Gruppen und ist bewusst auf einen runden Wert gesetzt, damit alle abgeleiteten Längen glatte Zahlen ergeben. # Die '''Länge der Störstelle''' <math>L_s = 2 D_0 = 12\ \mathrm{mm}</math> entspricht der Standardgeometrie aus der Literatur, die eine Stenosenlänge von zwei Durchmessern verwendet.<ref name="varghese" /> Damit ist beim Stenosegrad 0,5 ein direkter Vergleich mit veröffentlichten Ergebnissen möglich. # Die '''Vorlaufstrecke''' <math>L_u = 5 D_0 = 30\ \mathrm{mm}</math> trennt den Einlass von der Stenose. Da am Einlass bereits das voll entwickelte Profil vorgegeben wird, muss sie nicht die Einlaufstrecke abdecken, sondern nur verhindern, dass die Einströmrandbedingung die Strömung an der Engstelle beeinflusst. Bei Reynoldszahlen in dieser Größenordnung reicht der Einfluss einer Verengung nur wenige Durchmesser stromaufwärts, die Literatur kommt für dieselbe Geometrie mit drei Durchmessern Vorlauf aus.<ref name="varghese" /> Fünf Durchmesser lassen also eine Reserve. Überprüft wird das im Ergebnis, indem die Geschwindigkeit auf der Achse in der Mitte der Vorlaufstrecke mit dem Sollwert <math>2U_0</math> verglichen wird. # Die '''Nachlaufstrecke''' <math>L_d = 20 D_0 = 120\ \mathrm{mm}</math> ist deutlich länger, weil sich hinter der Engstelle ein Rückströmgebiet bildet, das nicht auf den Auslass treffen darf. Für die Geometrie mit dem Stenosegrad 0,5 legt die Strömung bei einer Einström-Reynoldszahl von 500 erst etwa zehn Durchmesser hinter der Engstelle wieder an, die Literatur rechnet mit sechzehn Durchmessern Nachlauf.<ref name="varghese" /> Zwanzig Durchmesser bieten damit für alle Stenosegrade bis 0,5 einen Sicherheitsabstand. Für die Grade ab 0,6 ist ein längeres Rückströmgebiet zu erwarten, dort wird die Lage des Wiederanlegepunktes ausdrücklich kontrolliert. # Das '''Ende des fein vernetzten Nachlaufs''' <math>L_f = L_s/2 + 10 D_0 = 66\ \mathrm{mm}</math> legt fest, bis wohin das Netz verfeinert wird. Der Wert ist so gewählt, dass das erwartete Rückströmgebiet von etwa zehn Durchmessern vollständig im feinen Bereich liegt. Damit hat das Rechengebiet eine Gesamtlänge von <math>L = L_u + L_d = 150\ \mathrm{mm}</math>, also das Fünfundzwanzigfache des Durchmessers. Es ist ein Modellgebiet und kein maßstäbliches Abbild eines bestimmten anatomischen Abschnitts. == Stoff- und Strömungsparameter == Die Stoffwerte des Blutes und der Volumenstrom sind die einzigen Eingangsgrößen, die nicht aus der Geometrie folgen. Aus ihnen werden alle weiteren Strömungskennwerte berechnet. Die folgenden Schritte zeigen jede Rechnung einzeln, damit sich jeder Wert nachprüfen lässt. # Die '''Dichte''' wird mit <math>\rho = 1060\ \mathrm{kg/m^3}</math> angesetzt. Der Wert lässt sich als Mischungsregel plausibel machen. Plasma hat eine Dichte von etwa 1025 kg/m³, rote Blutkörperchen von etwa 1100 kg/m³. Bei einem Zellanteil von 45 % ergibt sich <math>0{,}55 \cdot 1025 + 0{,}45 \cdot 1100 \approx 1059\ \mathrm{kg/m^3}</math>. Die Dichte geht nur über die Reynoldszahl in die Rechnung ein, eine Abweichung von einem Prozent ändert die Ergebnisse daher kaum. <!-- FIXME Lehrbuchquelle fuer Plasma- und Erythrozytendichte ergaenzen --> # Die '''dynamische Viskosität''' wird mit <math>\mu = 3{,}5\ \mathrm{mPa\,s}</math> angesetzt. Das ist der Grenzwert der Blutviskosität bei hohen Scherraten, also genau der Wert, der zur Newtonschen Näherung gehört. Derselbe Wert von 0,035 Poise wird auch im Standardwerk zur Modellierung des Herz-Kreislauf-Systems verwendet.<ref name="quarteroni">Quarteroni, A.; Formaggia, L.: ''Mathematical Modelling and Numerical Simulation of the Cardiovascular System.'' In: Ayache, N. (Hrsg.): ''Computational Models for the Human Body.'' Handbook of Numerical Analysis, Bd. XII, Elsevier, Amsterdam 2004, S. 3-127. DOI 10.1016/S1570-8659(03)12001-7. Zur Newtonschen Näherung in großen Gefäßen siehe S. 30, zur Viskosität von 0,035 Poise die Parametertabelle auf S. 116.</ref> # Der '''mittlere Volumenstrom''' wird mit <math>Q_0 = 6\ \mathrm{ml/s}</math> angesetzt. Das ist der zeitlich gemittelte Volumenstrom, der in der gemeinsamen Halsschlagader gesunder Probanden gemessen wurde.<ref name="holdsworth" /> # Die '''mittlere Geschwindigkeit''' folgt aus Volumenstrom und Querschnittsfläche, <math>U_0 = \frac{Q_0}{\pi R_0^2} = \frac{6 \cdot 10^{-6}\ \mathrm{m^3/s}}{\pi \cdot (0{,}003\ \mathrm{m})^2} = 0{,}2122\ \mathrm{m/s}</math>. # Die '''Reynoldszahl''' des gesunden Gefäßes ist <math>Re_0 = \frac{\rho\, U_0\, D_0}{\mu} = \frac{1060 \cdot 0{,}2122 \cdot 0{,}006}{0{,}0035} = 385{,}6</math>. Sie wird im Folgenden auf 386 gerundet. # Die '''Einlauflänge''', die eine anfangs gleichförmige Strömung bis zum voll entwickelten Parabelprofil bräuchte, beträgt nach der gebräuchlichen Abschätzung für laminare Rohrströmungen <math>L_e \approx 0{,}06\, Re_0\, D_0 \approx 0{,}06 \cdot 386 \cdot 6\ \mathrm{mm} \approx 139\ \mathrm{mm}</math>.<ref name="durst">Durst, F.; Ray, S.; Ünsal, B.; Bayoumi, O. A.: ''The development lengths of laminar pipe and channel flows.'' Journal of Fluids Engineering 127 (2005), Nr. 6, S. 1154-1160. Für große Reynoldszahlen nähert sich die dort angegebene Korrelation dem Wert 0,057·Re·D.</ref> Das ist fast die gesamte Länge des Rechengebiets. Ein konstantes Einlassprofil würde die Strömung an der Stenose also verfälschen, weshalb am Einlass das voll entwickelte Profil vorgegeben wird. Damit liegen alle globalen Parameter fest. Die folgende Tabelle enthält sie mit genau den Namen, unter denen sie in COMSOL und in den Octave-Skripten verwendet werden. {| class="wikitable" |+ Globale Parameter des Modells ! Name !! Ausdruck in COMSOL !! Wert !! Bedeutung !! Herkunft |- | R0 || 3[mm] || 3 mm || Gefäßradius || Messwerte nach Krejza u. a. 2006, gerundet |- | D0 || 2*R0 || 6 mm || Gefäßdurchmesser || abgeleitet |- | Ls || 2*D0 || 12 mm || Länge der Störstelle || Standardgeometrie nach Varghese u. a. 2007 |- | Lu || 5*D0 || 30 mm || Vorlaufstrecke vor der Stenosemitte || Abstand der Einlassbedingung von der Stenose |- | Ld || 20*D0 || 120 mm || Nachlaufstrecke hinter der Stenosemitte || Platz für das Rückströmgebiet |- | Lf || Ls/2+10*D0 || 66 mm || Ende des fein vernetzten Nachlaufs || erwartete Länge des Rückströmgebiets |- | s || 0 bis 0.8 || 0 bis 0,8 || Stenosegrad bezogen auf den Durchmesser || NASCET-Einteilung |- | rho_b || 1060[kg/m^3] || 1060 kg/m³ || Dichte des Blutes || Mischungsregel, Literaturwert |- | mu_b || 3.5[mPa*s] || 3,5 mPa·s || dynamische Viskosität des Blutes || Hochscherwert, Quarteroni und Formaggia 2004 |- | Q0 || 6[ml/s] || 6 ml/s || mittlerer Volumenstrom || Messwerte nach Holdsworth u. a. 1999 |- | U0 || Q0/(pi*R0^2) || 0,2122 m/s || mittlere Einströmgeschwindigkeit || abgeleitet |- | Re0 || rho_b*U0*D0/mu_b || 385,6 || Reynoldszahl des gesunden Gefäßes || abgeleitet |- | dp_ref || 8*mu_b*U0*(Lu+Ld)/R0^2 || 99,03 Pa || Poiseuille-Druckabfall des gesunden Gefäßes || abgeleitet, Hagen-Poiseuille |} = Literaturverzeichnis = Alle Quellen sind an den Stellen im Text angegeben, an denen die zugehörigen Werte oder Aussagen verwendet werden. Die Liste wird aus diesen Angaben automatisch erzeugt. <references /> 3mn7eczto38i2i8niw4z3ddy6unb9jf 106 172948 1115644 2026-10-09T18:58:38Z Bert Niehaus 20843 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1115644 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Durch die Periodizität der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] im [[komplexe Zahl|Imaginärteil]] mit der Periode <math>2\pi i</math> == Zweige des Logarithmus == Ein Zweig des Logarithmus ist eine Funktion <math> \log(z) </math>, die auf einer Teilmenge <math> G </math> von <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> definiert ist und die Eigenschaft hat, dass <math> \exp(\log(z)) = z </math> für alle <math> z \in G </math>. Eine übliche Wahl für <math> D </math> ist die Menge <math> \mathbb{C} \setminus (-\infty, 0] </math>, die die negative reelle Achse ausschließt. In diesem Fall kann der Hauptzweig des Logarithmus definiert werden als: :<math> \log(z) = \ln|z| + i \arg(z) </math> wobei <math> \arg(z) </math> der Winkel von <math> z </math> in der komplexen Ebene ist und <math> -\pi < \arg(z) \leq \pi </math>. === Aufgabe - Integraldarstellung des Logarithmus === Sei <math>z_o \in \mathbb{C} \setminus \{0\}</math> beliebig gewählt und :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_z : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_z(t) = (1-t)\cdot z_0 + t\cdot z \end{array} </math> * Skizzieren Sie die Menge <math>\mathbb{C}_{z_0} := \mathbb{C} \setminus \{ -\lambda \cdot z_0 \, :\, \lambda \in \mathbb{R}_0^+ \} </math> * Ist die folgende Funktion <math>F: \mathbb{C}_{z_0} \to \mathbb{C} </math> eine wohldefinierte Funktion und für welche <math>z_0</math> ist die folgende [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion]] <math>F</math> als Wegintegral auch ein Zweig des Logarithmus? ::<math> F(z) := \int_{\gamma_z} \frac{1}{\xi} \, d\xi = \int_{0}^1 \frac{1}{\gamma_z(t)} \cdot \gamma{\,}_z'(t) dt </math> === Notwendigkeit der Einschränkung der Definitions- und Wertebereiche der Exponentialfunktion === Um eine bijektive Abbildung zu erhalten, müssen wir sowohl den Definitionsbereich als auch den Wertebereich der Exponentialfunktion einschränken. Die Exponentialfunktion <math> \exp(z) </math> ist periodisch mit der Periode <math> 2\pi i </math>, das heißt, <math> \exp(z + 2\pi i k) = \exp(z) </math> für alle <math> k \in \mathbb{Z} </math>. ==== Surjektivität und Injektivität ==== Die Periodizität führt dazu, dass die Exponentialfunktion nicht injektiv auf der gesamten komplexen Ebene ist. Die Exponentialfunktion ist auch nicht surjektiv, da mit <math>z=x+i\cdot y \in \mathbb{C}</math> gilt: :<math> e^z = e^{x+iy} = \underbrace{e^x}_{\not=0} \cdot \underbrace{e^{iy}}_{\not=0} \not= 0 </math> ==== Eulersche Formel ==== Mit der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] kann die Exponentialfunktion mit <math>z=x+i\cdot y \in \mathbb{C}</math> wie folgt zerlegen: :<math> e^z = e^{x+iy} = \underbrace{e^x}_{\not=0} \cdot e^{iy} = e^x\cdot (\cos(y) + i \cdot \sin(y) ) </math> ==== Bijektive Abbildung ==== Um eine bijektive Abbildung zu erhalten, können wir den Definitionsbereich der Exponentialfunktion auf ein horizontales Streifenmuster einschränken, zum Beispiel: :<math> \mathbb{D} := \mathbb{R} + i\cdot (-\pi,+\pi) := \{ z \in \mathbb{C} \mid -\pi < \operatorname{Im}(z) \leq \pi \} \subset \mathbb{C} </math> In diesem Fall ist die Exponentialfunktion <math>\exp : \mathbb{D} \to \mathbb{C}\setminus \{0\} </math> den "Streifen" <math> \mathbb{D} </math> der Höhe <math>2\pi i</math> bijektiv auf auf den Wertebereich <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> ab. === Zusammenfassung === * Die Exponentialfunktion <math> \exp(z) </math> ist nicht injektiv und nicht surjektiv (wegen <math> \exp(z) \not= 0)</math> auf der gesamten komplexen Ebene. * Um eine bijektive [[holomorphe Funktion]] zu erhalten, muss man den Definitionsbereich <math>\mathbb{D}</math> und den Wertebereich <math>\mathbb{W}</math> der Logarithmusfunktion <math>\log_G : \mathbb{D} \to \mathbb{W} </math> so einschränken, dass eine bijektive Abbildung. * für die offene Menge <math>\mathbb{D}</math> muss im Allgemeinen nur [[einfach zusammenhängend]] mit <math>0\notin \mathbb{D}</math> sein (siehe auch [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/generalisiert|generalisierte Logarithmen]]). * Ein Zweig des Logarithmus kann definiert werden, indem der Definitionsbereich des Logarithmus eingeschränkt wird, zum Beispiel auf <math> \mathbb{C} \setminus (-\infty, 0] </math>. == Siehe auch == * [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] * [[holomorphe Funktion]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion als Wegintegral]] gk9ql99l7wfl4eoo10ls4ky1jnnhla9 1115645 1115644 2026-10-09T18:59:28Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1115645 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Durch die Periodizität der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] im [[komplexe Zahl|Imaginärteil]] mit der Periode <math>2\pi i</math> == Zweige des Logarithmus == Ein Zweig des Logarithmus ist eine Funktion <math> \log(z) </math>, die auf einer Teilmenge <math> G </math> von <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> definiert ist und die Eigenschaft hat, dass <math> \exp(\log(z)) = z </math> für alle <math> z \in G </math>. Eine übliche Wahl für <math> D </math> ist die Menge <math> \mathbb{C} \setminus (-\infty, 0] </math>, die die negative reelle Achse ausschließt. In diesem Fall kann der Hauptzweig des Logarithmus definiert werden als: :<math> \log(z) = \ln|z| + i \arg(z) </math> wobei <math> \arg(z) </math> der Winkel von <math> z </math> in der komplexen Ebene ist und <math> -\pi < \arg(z) \leq \pi </math>. === Aufgabe - Integraldarstellung des Logarithmus === Sei <math>z_o \in \mathbb{C} \setminus \{0\}</math> beliebig gewählt und :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_z : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_z(t) = (1-t)\cdot z_0 + t\cdot z \end{array} </math> * Skizzieren Sie die Menge <math>\mathbb{C}_{z_0} := \mathbb{C} \setminus \{ -\lambda \cdot z_0 \, :\, \lambda \in \mathbb{R}_0^+ \} </math> * Ist die folgende Funktion <math>F: \mathbb{C}_{z_0} \to \mathbb{C} </math> eine wohldefinierte Funktion und für welche <math>z_0</math> ist die folgende [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion]] <math>F</math> als Wegintegral auch ein Zweig des Logarithmus? ::<math> F(z) := \int_{\gamma_z} \frac{1}{\xi} \, d\xi = \int_{0}^1 \frac{1}{\gamma_z(t)} \cdot \gamma{\,}_z'(t) dt </math> === Notwendigkeit der Einschränkung der Definitions- und Wertebereiche der Exponentialfunktion === Um eine bijektive Abbildung zu erhalten, müssen wir sowohl den Definitionsbereich als auch den Wertebereich der Exponentialfunktion einschränken. Die Exponentialfunktion <math> \exp(z) </math> ist periodisch mit der Periode <math> 2\pi i </math>, das heißt, <math> \exp(z + 2\pi i k) = \exp(z) </math> für alle <math> k \in \mathbb{Z} </math>. ==== Surjektivität und Injektivität ==== Die Periodizität führt dazu, dass die Exponentialfunktion nicht injektiv auf der gesamten komplexen Ebene ist. Die Exponentialfunktion ist auch nicht surjektiv, da mit <math>z=x+i\cdot y \in \mathbb{C}</math> gilt: :<math> e^z = e^{x+iy} = \underbrace{e^x}_{\not=0} \cdot \underbrace{e^{iy}}_{\not=0} \not= 0 </math> ==== Eulersche Formel ==== Mit der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] kann die Exponentialfunktion mit <math>z=x+i\cdot y \in \mathbb{C}</math> wie folgt zerlegen: :<math> e^z = e^{x+iy} = \underbrace{e^x}_{\not=0} \cdot e^{iy} = e^x\cdot (\cos(y) + i \cdot \sin(y) ) </math> ==== Bijektive Abbildung ==== Um eine bijektive Abbildung zu erhalten, können wir den Definitionsbereich der Exponentialfunktion auf ein horizontales Streifenmuster einschränken, zum Beispiel: :<math> \mathbb{D} := \mathbb{R} + i\cdot (-\pi,+\pi) := \{ z \in \mathbb{C} \mid -\pi < \operatorname{Im}(z) \leq \pi \} \subset \mathbb{C} </math> In diesem Fall ist die Exponentialfunktion <math>\exp : \mathbb{D} \to \mathbb{C}\setminus \{0\} </math> den "Streifen" <math> \mathbb{D} </math> der Höhe <math>2\pi i</math> bijektiv auf auf den Wertebereich <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> ab. === Zusammenfassung === * Die Exponentialfunktion <math> \exp(z) </math> ist nicht injektiv und nicht surjektiv (wegen <math> \exp(z) \not= 0)</math> auf der gesamten komplexen Ebene. * Um eine bijektive [[holomorphe Funktion]] zu erhalten, muss man den Definitionsbereich <math>\mathbb{D}</math> und den Wertebereich <math>\mathbb{W}</math> der Logarithmusfunktion <math>\log_G : \mathbb{D} \to \mathbb{W} </math> so einschränken, dass eine bijektive Abbildung. * für die offene Menge <math>\mathbb{D}</math> muss im Allgemeinen nur [[einfach zusammenhängend]] mit <math>0\notin \mathbb{D}</math> sein (siehe auch [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/generalisiert|generalisierte Logarithmen]]). * Ein Zweig des Logarithmus kann definiert werden, indem der Definitionsbereich des Logarithmus eingeschränkt wird, zum Beispiel auf <math> \mathbb{C} \setminus (-\infty, 0] </math>. == Siehe auch == * [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] * [[holomorphe Funktion]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexer Logarithmus]] * [[Logarithmus|reeller Logarithmus]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion als Wegintegral]] br17jw2d5ifom9cosygh3wpg9ycem49 1115646 1115645 2026-10-09T19:12:09Z Bert Niehaus 20843 /* Zweige des Logarithmus */ 1115646 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Durch die Periodizität der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] im [[komplexe Zahl|Imaginärteil]] mit der Periode <math>2\pi i</math> == Zweige des Logarithmus == Ein Zweig des Logarithmus ist eine Funktion <math> \log(z) </math>, die auf einer Teilmenge <math> G </math> von <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> definiert ist und die Eigenschaft hat, dass <math> \exp(\log(z)) = z </math> für alle <math> z \in G </math>. Eine übliche Wahl für <math> D </math> ist die Menge <math> \mathbb{C} \setminus (-\infty, 0] </math>, die die negative reelle Achse ausschließt. In diesem Fall kann der Hauptzweig des Logarithmus definiert werden als: :<math> \log(z) = \ln|z| + i \arg(z) </math> wobei <math> \arg(z) </math> der Winkel von <math> z </math> in der komplexen Ebene ist und <math> -\pi < \arg(z) \leq \pi </math>. === Alternativen der Argumentfunktion === Die Argumentfunktion <math> \arg(z) </math> kann man auch als Winkel von <math> z </math> in der komplexen Ebene ist auch in <math> -\pi \leq \arg(z) < \pi </math> oder <math> 0 \leq \arg(z) < 2\pi </math> definieren. Der alternative Winkelbereich <math>[0,2\pi)</math> spielt für die Definition der <math>logmod</math>[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/logmod|-Funktion]] verwenden. == Zweige des Logarithmus == Stellt man <math>z = |z| \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i} \arg(z)}</math> in [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|Polarform]] dar, so erhält man eine einfache Darstellung des ''k-ten Zweiges'' der Logarithmusfunktion: : <math>w = \ln |z| + \mathrm{i}\left(\arg(z) + 2k\pi\right), \quad k\in\mathbb{Z}</math> mit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] <math>\arg</math>. Im Summanden <math>\ln |z|</math> wird der bereits oben definierte reelle Logarithmus <math>\ln</math> verwendet. Für <math>k = 0</math> erhält man den ''Hauptzweig'' des komplexen Logarithmus zurück: : <math>\ln z = \ln|z| + \mathrm{i}\arg(z)</math>. == Aufgabe - Integraldarstellung des Logarithmus == Sei <math>z_o \in \mathbb{C} \setminus \{0\}</math> beliebig gewählt und :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_z : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_z(t) = (1-t)\cdot z_0 + t\cdot z \end{array} </math> * Skizzieren Sie die Menge <math>\mathbb{C}_{z_0} := \mathbb{C} \setminus \{ -\lambda \cdot z_0 \, :\, \lambda \in \mathbb{R}_0^+ \} </math> * Ist die folgende Funktion <math>F: \mathbb{C}_{z_0} \to \mathbb{C} </math> eine wohldefinierte Funktion und für welche <math>z_0</math> ist die folgende [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion]] <math>F</math> als Wegintegral auch ein Zweig des Logarithmus? ::<math> F(z) := \int_{\gamma_z} \frac{1}{\xi} \, d\xi = \int_{0}^1 \frac{1}{\gamma_z(t)} \cdot \gamma{\,}_z'(t) dt </math> === Notwendigkeit der Einschränkung der Definitions- und Wertebereiche der Exponentialfunktion === Um eine bijektive Abbildung zu erhalten, müssen wir sowohl den Definitionsbereich als auch den Wertebereich der Exponentialfunktion einschränken. Die Exponentialfunktion <math> \exp(z) </math> ist periodisch mit der Periode <math> 2\pi i </math>, das heißt, <math> \exp(z + 2\pi i k) = \exp(z) </math> für alle <math> k \in \mathbb{Z} </math>. === Surjektivität und Injektivität === Die Periodizität führt dazu, dass die Exponentialfunktion nicht injektiv auf der gesamten komplexen Ebene ist. Die Exponentialfunktion ist auch nicht surjektiv, da mit <math>z=x+i\cdot y \in \mathbb{C}</math> gilt: :<math> e^z = e^{x+iy} = \underbrace{e^x}_{\not=0} \cdot \underbrace{e^{iy}}_{\not=0} \not= 0 </math> === Eulersche Formel === Mit der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] kann die Exponentialfunktion mit <math>z=x+i\cdot y \in \mathbb{C}</math> wie folgt zerlegen: :<math> e^z = e^{x+iy} = \underbrace{e^x}_{\not=0} \cdot e^{iy} = e^x\cdot (\cos(y) + i \cdot \sin(y) ) </math> === Bijektive Abbildung === Um eine bijektive Abbildung zu erhalten, können wir den Definitionsbereich der Exponentialfunktion auf ein horizontales Streifenmuster einschränken, zum Beispiel: :<math> \mathbb{D} := \mathbb{R} + i\cdot (-\pi,+\pi) := \{ z \in \mathbb{C} \mid -\pi < \operatorname{Im}(z) \leq \pi \} \subset \mathbb{C} </math> In diesem Fall ist die Exponentialfunktion <math>\exp : \mathbb{D} \to \mathbb{C}\setminus \{0\} </math> den "Streifen" <math> \mathbb{D} </math> der Höhe <math>2\pi i</math> bijektiv auf auf den Wertebereich <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> ab. == Zusammenfassung == * Die Exponentialfunktion <math> \exp(z) </math> ist nicht injektiv und nicht surjektiv (wegen <math> \exp(z) \not= 0)</math> auf der gesamten komplexen Ebene. * Um eine bijektive [[holomorphe Funktion]] zu erhalten, muss man den Definitionsbereich <math>\mathbb{D}</math> und den Wertebereich <math>\mathbb{W}</math> der Logarithmusfunktion <math>\log_G : \mathbb{D} \to \mathbb{W} </math> so einschränken, dass eine bijektive Abbildung. * für die offene Menge <math>\mathbb{D}</math> muss im Allgemeinen nur [[einfach zusammenhängend]] mit <math>0\notin \mathbb{D}</math> sein (siehe auch [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/generalisiert|generalisierte Logarithmen]]). * Ein Zweig des Logarithmus kann definiert werden, indem der Definitionsbereich des Logarithmus eingeschränkt wird, zum Beispiel auf <math> \mathbb{C} \setminus (-\infty, 0] </math>. == Siehe auch == * [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] * [[holomorphe Funktion]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexer Logarithmus]] * [[Logarithmus|reeller Logarithmus]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion als Wegintegral]] 6dv67yr5aauz7d2iopas97l4p40x5pd 1115647 1115646 2026-10-09T19:18:05Z Bert Niehaus 20843 /* Zweige des Logarithmus */ 1115647 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Durch die Periodizität der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] im [[komplexe Zahl|Imaginärteil]] mit der Periode <math>2\pi i</math> == Zweige des Logarithmus == Ein Zweig des Logarithmus ist eine Funktion <math> \log(z) </math>, die auf einer Teilmenge <math> G </math> von <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> definiert ist und die Eigenschaft hat, dass <math> \exp(\log(z)) = z </math> für alle <math> z \in G </math>. Eine übliche Wahl für <math> D </math> ist die Menge <math> \mathbb{C} \setminus (-\infty, 0] </math>, die die negative reelle Achse ausschließt. In diesem Fall kann der Hauptzweig des Logarithmus definiert werden als: :<math> \log(z) = \ln|z| + i \arg(z) </math> wobei <math> \arg(z) </math> der Winkel von <math> z </math> in der komplexen Ebene ist und <math> -\pi < \arg(z) \leq \pi </math>. === Alternativen der Argumentfunktion === Die Argumentfunktion <math> \arg(z) </math> kann man auch als Winkel von <math> z </math> in der komplexen Ebene ist auch in <math> -\pi \leq \arg(z) < \pi </math> oder <math> 0 \leq \arg(z) < 2\pi </math> definieren. Der alternative Winkelbereich <math>[0,2\pi)</math> spielt für die Definition der <math>logmod</math>[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/logmod|-Funktion]] verwenden. === Zweige des Logarithmus === Stellt man <math>z = |z| \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i} \arg(z)}</math> in [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|Polarform]] dar, so erhält man eine einfache Darstellung des ''k-ten Zweiges'' der Logarithmusfunktion: : <math>w = \ln |z| + \mathrm{i}\left(\arg(z) + 2k\pi\right), \quad k\in\mathbb{Z}</math> mit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] <math>\arg</math>. Im Summanden <math>\ln |z|</math> wird der bereits oben definierte reelle Logarithmus <math>\ln</math> verwendet. Für <math>k = 0</math> erhält man den ''Hauptzweig'' des komplexen Logarithmus zurück: : <math>\ln z = \ln|z| + \mathrm{i}\arg(z)</math>. === Negativer Hauptzweige des Logarithmus === Beim negativen Hauptzweig verwendet man für den Startwert der Integraldarstellung <math>-1</math> statt <math>1</math> (wie beim Hauptzweig). Als holomorphe Funktion verwendet man für den Hauptzweig die Funktion <math>\ln</math>, die auf den geschlitzten Ebene definiert ist, wobei die negative reelle Achse mit 0 aus dem Definitionsbereich entfernt wird. Beim negativen Hauptzweig wird dagen die positive Achse aus dem Definitionsbereich entfernt, wenn man ein Logarithmus auf diesem [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebiet definieren möchte. == Aufgabe - Integraldarstellung des Logarithmus == Sei <math>z_o \in \mathbb{C} \setminus \{0\}</math> beliebig gewählt und :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_z : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_z(t) = (1-t)\cdot z_0 + t\cdot z \end{array} </math> * Skizzieren Sie die Menge <math>\mathbb{C}_{z_0} := \mathbb{C} \setminus \{ -\lambda \cdot z_0 \, :\, \lambda \in \mathbb{R}_0^+ \} </math> * Ist die folgende Funktion <math>F: \mathbb{C}_{z_0} \to \mathbb{C} </math> eine wohldefinierte Funktion und für welche <math>z_0</math> ist die folgende [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion]] <math>F</math> als Wegintegral auch ein Zweig des Logarithmus? ::<math> F(z) := \int_{\gamma_z} \frac{1}{\xi} \, d\xi = \int_{0}^1 \frac{1}{\gamma_z(t)} \cdot \gamma{\,}_z'(t) dt </math> === Notwendigkeit der Einschränkung der Definitions- und Wertebereiche der Exponentialfunktion === Um eine bijektive Abbildung zu erhalten, müssen wir sowohl den Definitionsbereich als auch den Wertebereich der Exponentialfunktion einschränken. Die Exponentialfunktion <math> \exp(z) </math> ist periodisch mit der Periode <math> 2\pi i </math>, das heißt, <math> \exp(z + 2\pi i k) = \exp(z) </math> für alle <math> k \in \mathbb{Z} </math>. === Surjektivität und Injektivität === Die Periodizität führt dazu, dass die Exponentialfunktion nicht injektiv auf der gesamten komplexen Ebene ist. Die Exponentialfunktion ist auch nicht surjektiv, da mit <math>z=x+i\cdot y \in \mathbb{C}</math> gilt: :<math> e^z = e^{x+iy} = \underbrace{e^x}_{\not=0} \cdot \underbrace{e^{iy}}_{\not=0} \not= 0 </math> === Eulersche Formel === Mit der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] kann die Exponentialfunktion mit <math>z=x+i\cdot y \in \mathbb{C}</math> wie folgt zerlegen: :<math> e^z = e^{x+iy} = \underbrace{e^x}_{\not=0} \cdot e^{iy} = e^x\cdot (\cos(y) + i \cdot \sin(y) ) </math> === Bijektive Abbildung === Um eine bijektive Abbildung zu erhalten, können wir den Definitionsbereich der Exponentialfunktion auf ein horizontales Streifenmuster einschränken, zum Beispiel: :<math> \mathbb{D} := \mathbb{R} + i\cdot (-\pi,+\pi) := \{ z \in \mathbb{C} \mid -\pi < \operatorname{Im}(z) \leq \pi \} \subset \mathbb{C} </math> In diesem Fall ist die Exponentialfunktion <math>\exp : \mathbb{D} \to \mathbb{C}\setminus \{0\} </math> den "Streifen" <math> \mathbb{D} </math> der Höhe <math>2\pi i</math> bijektiv auf auf den Wertebereich <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> ab. == Zusammenfassung == * Die Exponentialfunktion <math> \exp(z) </math> ist nicht injektiv und nicht surjektiv (wegen <math> \exp(z) \not= 0)</math> auf der gesamten komplexen Ebene. * Um eine bijektive [[holomorphe Funktion]] zu erhalten, muss man den Definitionsbereich <math>\mathbb{D}</math> und den Wertebereich <math>\mathbb{W}</math> der Logarithmusfunktion <math>\log_G : \mathbb{D} \to \mathbb{W} </math> so einschränken, dass eine bijektive Abbildung. * für die offene Menge <math>\mathbb{D}</math> muss im Allgemeinen nur [[einfach zusammenhängend]] mit <math>0\notin \mathbb{D}</math> sein (siehe auch [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/generalisiert|generalisierte Logarithmen]]). * Ein Zweig des Logarithmus kann definiert werden, indem der Definitionsbereich des Logarithmus eingeschränkt wird, zum Beispiel auf <math> \mathbb{C} \setminus (-\infty, 0] </math>. == Siehe auch == * [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] * [[holomorphe Funktion]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexer Logarithmus]] * [[Logarithmus|reeller Logarithmus]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion als Wegintegral]] 7gjsihugpras6k1ve1r3f914oh77ii7 1115648 1115647 2026-10-09T19:21:01Z Bert Niehaus 20843 /* Negativer Hauptzweige des Logarithmus */ 1115648 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Durch die Periodizität der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] im [[komplexe Zahl|Imaginärteil]] mit der Periode <math>2\pi i</math> == Zweige des Logarithmus == Ein Zweig des Logarithmus ist eine Funktion <math> \log(z) </math>, die auf einer Teilmenge <math> G </math> von <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> definiert ist und die Eigenschaft hat, dass <math> \exp(\log(z)) = z </math> für alle <math> z \in G </math>. Eine übliche Wahl für <math> D </math> ist die Menge <math> \mathbb{C} \setminus (-\infty, 0] </math>, die die negative reelle Achse ausschließt. In diesem Fall kann der Hauptzweig des Logarithmus definiert werden als: :<math> \log(z) = \ln|z| + i \arg(z) </math> wobei <math> \arg(z) </math> der Winkel von <math> z </math> in der komplexen Ebene ist und <math> -\pi < \arg(z) \leq \pi </math>. === Alternativen der Argumentfunktion === Die Argumentfunktion <math> \arg(z) </math> kann man auch als Winkel von <math> z </math> in der komplexen Ebene ist auch in <math> -\pi \leq \arg(z) < \pi </math> oder <math> 0 \leq \arg(z) < 2\pi </math> definieren. Der alternative Winkelbereich <math>[0,2\pi)</math> spielt für die Definition der <math>logmod</math>[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/logmod|-Funktion]] verwenden. === Zweige des Logarithmus === Stellt man <math>z = |z| \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i} \arg(z)}</math> in [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|Polarform]] dar, so erhält man eine einfache Darstellung des ''k-ten Zweiges'' der Logarithmusfunktion: : <math>w = \ln |z| + \mathrm{i}\left(\arg(z) + 2k\pi\right), \quad k\in\mathbb{Z}</math> mit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] <math>\arg</math>. Im Summanden <math>\ln |z|</math> wird der bereits oben definierte reelle Logarithmus <math>\ln</math> verwendet. Für <math>k = 0</math> erhält man den ''Hauptzweig'' des komplexen Logarithmus zurück: : <math>\ln z = \ln|z| + \mathrm{i}\arg(z)</math>. === Negativer Hauptzweige des Logarithmus === Beim negativen Hauptzweig verwendet man für den Startwert der Integraldarstellung <math>-1</math> statt <math>1</math> (wie beim Hauptzweig). Als holomorphe Funktion verwendet man für den Hauptzweig die Funktion <math>\ln</math>, die auf den geschlitzten Ebene definiert ist, wobei die negative reelle Achse mit 0 aus dem Definitionsbereich entfernt wird. Beim negativen Hauptzweig wird dagen die positive Achse aus dem Definitionsbereich entfernt, wenn man ein Logarithmus auf diesem [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebiet definieren möchte. Sei <math>z_o = -1\in \mathbb{C} \setminus \{0\}</math> :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_z : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_z(t) = (1-t)\cdot z_0 + t\cdot z \end{array} </math> :<math> ln_{-}(z) := \pi i + \int_{\gamma_z} \frac{1}{\xi} \, d\xi = \pi i + \int_{0}^1 \frac{1}{\gamma_z(t)} \cdot \gamma{\,}_z'(t) dt </math> == Aufgabe - Integraldarstellung des Logarithmus == Sei <math>z_o \in \mathbb{C} \setminus \{0\}</math> beliebig gewählt und :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_z : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_z(t) = (1-t)\cdot z_0 + t\cdot z \end{array} </math> * Skizzieren Sie die Menge <math>\mathbb{C}_{z_0} := \mathbb{C} \setminus \{ -\lambda \cdot z_0 \, :\, \lambda \in \mathbb{R}_0^+ \} </math> * Ist die folgende Funktion <math>F: \mathbb{C}_{z_0} \to \mathbb{C} </math> eine wohldefinierte Funktion und für welche <math>z_0</math> ist die folgende [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion]] <math>F</math> als Wegintegral auch ein Zweig des Logarithmus? ::<math> F(z) := \int_{\gamma_z} \frac{1}{\xi} \, d\xi = \int_{0}^1 \frac{1}{\gamma_z(t)} \cdot \gamma{\,}_z'(t) dt </math> === Notwendigkeit der Einschränkung der Definitions- und Wertebereiche der Exponentialfunktion === Um eine bijektive Abbildung zu erhalten, müssen wir sowohl den Definitionsbereich als auch den Wertebereich der Exponentialfunktion einschränken. Die Exponentialfunktion <math> \exp(z) </math> ist periodisch mit der Periode <math> 2\pi i </math>, das heißt, <math> \exp(z + 2\pi i k) = \exp(z) </math> für alle <math> k \in \mathbb{Z} </math>. === Surjektivität und Injektivität === Die Periodizität führt dazu, dass die Exponentialfunktion nicht injektiv auf der gesamten komplexen Ebene ist. Die Exponentialfunktion ist auch nicht surjektiv, da mit <math>z=x+i\cdot y \in \mathbb{C}</math> gilt: :<math> e^z = e^{x+iy} = \underbrace{e^x}_{\not=0} \cdot \underbrace{e^{iy}}_{\not=0} \not= 0 </math> === Eulersche Formel === Mit der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] kann die Exponentialfunktion mit <math>z=x+i\cdot y \in \mathbb{C}</math> wie folgt zerlegen: :<math> e^z = e^{x+iy} = \underbrace{e^x}_{\not=0} \cdot e^{iy} = e^x\cdot (\cos(y) + i \cdot \sin(y) ) </math> === Bijektive Abbildung === Um eine bijektive Abbildung zu erhalten, können wir den Definitionsbereich der Exponentialfunktion auf ein horizontales Streifenmuster einschränken, zum Beispiel: :<math> \mathbb{D} := \mathbb{R} + i\cdot (-\pi,+\pi) := \{ z \in \mathbb{C} \mid -\pi < \operatorname{Im}(z) \leq \pi \} \subset \mathbb{C} </math> In diesem Fall ist die Exponentialfunktion <math>\exp : \mathbb{D} \to \mathbb{C}\setminus \{0\} </math> den "Streifen" <math> \mathbb{D} </math> der Höhe <math>2\pi i</math> bijektiv auf auf den Wertebereich <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> ab. == Zusammenfassung == * Die Exponentialfunktion <math> \exp(z) </math> ist nicht injektiv und nicht surjektiv (wegen <math> \exp(z) \not= 0)</math> auf der gesamten komplexen Ebene. * Um eine bijektive [[holomorphe Funktion]] zu erhalten, muss man den Definitionsbereich <math>\mathbb{D}</math> und den Wertebereich <math>\mathbb{W}</math> der Logarithmusfunktion <math>\log_G : \mathbb{D} \to \mathbb{W} </math> so einschränken, dass eine bijektive Abbildung. * für die offene Menge <math>\mathbb{D}</math> muss im Allgemeinen nur [[einfach zusammenhängend]] mit <math>0\notin \mathbb{D}</math> sein (siehe auch [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/generalisiert|generalisierte Logarithmen]]). * Ein Zweig des Logarithmus kann definiert werden, indem der Definitionsbereich des Logarithmus eingeschränkt wird, zum Beispiel auf <math> \mathbb{C} \setminus (-\infty, 0] </math>. == Siehe auch == * [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] * [[holomorphe Funktion]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexer Logarithmus]] * [[Logarithmus|reeller Logarithmus]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion als Wegintegral]] nrp42s836jym1m32mrcpn9pacqxqia0 1115649 1115648 2026-10-09T19:22:20Z Bert Niehaus 20843 /* Negativer Hauptzweige des Logarithmus */ 1115649 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Durch die Periodizität der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] im [[komplexe Zahl|Imaginärteil]] mit der Periode <math>2\pi i</math> == Zweige des Logarithmus == Ein Zweig des Logarithmus ist eine Funktion <math> \log(z) </math>, die auf einer Teilmenge <math> G </math> von <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> definiert ist und die Eigenschaft hat, dass <math> \exp(\log(z)) = z </math> für alle <math> z \in G </math>. Eine übliche Wahl für <math> D </math> ist die Menge <math> \mathbb{C} \setminus (-\infty, 0] </math>, die die negative reelle Achse ausschließt. In diesem Fall kann der Hauptzweig des Logarithmus definiert werden als: :<math> \log(z) = \ln|z| + i \arg(z) </math> wobei <math> \arg(z) </math> der Winkel von <math> z </math> in der komplexen Ebene ist und <math> -\pi < \arg(z) \leq \pi </math>. === Alternativen der Argumentfunktion === Die Argumentfunktion <math> \arg(z) </math> kann man auch als Winkel von <math> z </math> in der komplexen Ebene ist auch in <math> -\pi \leq \arg(z) < \pi </math> oder <math> 0 \leq \arg(z) < 2\pi </math> definieren. Der alternative Winkelbereich <math>[0,2\pi)</math> spielt für die Definition der <math>logmod</math>[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/logmod|-Funktion]] verwenden. === Zweige des Logarithmus === Stellt man <math>z = |z| \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i} \arg(z)}</math> in [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|Polarform]] dar, so erhält man eine einfache Darstellung des ''k-ten Zweiges'' der Logarithmusfunktion: : <math>w = \ln |z| + \mathrm{i}\left(\arg(z) + 2k\pi\right), \quad k\in\mathbb{Z}</math> mit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] <math>\arg</math>. Im Summanden <math>\ln |z|</math> wird der bereits oben definierte reelle Logarithmus <math>\ln</math> verwendet. Für <math>k = 0</math> erhält man den ''Hauptzweig'' des komplexen Logarithmus zurück: : <math>\ln z = \ln|z| + \mathrm{i}\arg(z)</math>. === Negativer Hauptzweige des Logarithmus === Beim negativen Hauptzweig verwendet man für den Startwert der Integraldarstellung <math>-1</math> statt <math>1</math> (wie beim Hauptzweig). Als holomorphe Funktion verwendet man für den Hauptzweig die Funktion <math>\ln</math>, die auf den geschlitzten Ebene definiert ist, wobei die negative reelle Achse mit 0 aus dem Definitionsbereich entfernt wird. Beim negativen Hauptzweig wird dagen die positive Achse aus dem Definitionsbereich entfernt, wenn man ein Logarithmus auf diesem [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebiet definieren möchte. Sei <math>z_o = -1\in \mathbb{C} \setminus \{0\}</math> :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_z : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_z(t) = (1-t)\cdot z_0 + t\cdot z = (t-1) + t\cdot z \end{array} </math> :<math> ln_{-}(z) := \pi i + \int_{\gamma_z} \frac{1}{\xi} \, d\xi = \pi i + \int_{0}^1 \frac{1}{\gamma_z(t)} \cdot \gamma{\,}_z'(t) dt </math> == Aufgabe - Integraldarstellung des Logarithmus == Sei <math>z_o \in \mathbb{C} \setminus \{0\}</math> beliebig gewählt und :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_z : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_z(t) = (1-t)\cdot z_0 + t\cdot z \end{array} </math> * Skizzieren Sie die Menge <math>\mathbb{C}_{z_0} := \mathbb{C} \setminus \{ -\lambda \cdot z_0 \, :\, \lambda \in \mathbb{R}_0^+ \} </math> * Ist die folgende Funktion <math>F: \mathbb{C}_{z_0} \to \mathbb{C} </math> eine wohldefinierte Funktion und für welche <math>z_0</math> ist die folgende [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion]] <math>F</math> als Wegintegral auch ein Zweig des Logarithmus? ::<math> F(z) := \int_{\gamma_z} \frac{1}{\xi} \, d\xi = \int_{0}^1 \frac{1}{\gamma_z(t)} \cdot \gamma{\,}_z'(t) dt </math> === Notwendigkeit der Einschränkung der Definitions- und Wertebereiche der Exponentialfunktion === Um eine bijektive Abbildung zu erhalten, müssen wir sowohl den Definitionsbereich als auch den Wertebereich der Exponentialfunktion einschränken. Die Exponentialfunktion <math> \exp(z) </math> ist periodisch mit der Periode <math> 2\pi i </math>, das heißt, <math> \exp(z + 2\pi i k) = \exp(z) </math> für alle <math> k \in \mathbb{Z} </math>. === Surjektivität und Injektivität === Die Periodizität führt dazu, dass die Exponentialfunktion nicht injektiv auf der gesamten komplexen Ebene ist. Die Exponentialfunktion ist auch nicht surjektiv, da mit <math>z=x+i\cdot y \in \mathbb{C}</math> gilt: :<math> e^z = e^{x+iy} = \underbrace{e^x}_{\not=0} \cdot \underbrace{e^{iy}}_{\not=0} \not= 0 </math> === Eulersche Formel === Mit der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] kann die Exponentialfunktion mit <math>z=x+i\cdot y \in \mathbb{C}</math> wie folgt zerlegen: :<math> e^z = e^{x+iy} = \underbrace{e^x}_{\not=0} \cdot e^{iy} = e^x\cdot (\cos(y) + i \cdot \sin(y) ) </math> === Bijektive Abbildung === Um eine bijektive Abbildung zu erhalten, können wir den Definitionsbereich der Exponentialfunktion auf ein horizontales Streifenmuster einschränken, zum Beispiel: :<math> \mathbb{D} := \mathbb{R} + i\cdot (-\pi,+\pi) := \{ z \in \mathbb{C} \mid -\pi < \operatorname{Im}(z) \leq \pi \} \subset \mathbb{C} </math> In diesem Fall ist die Exponentialfunktion <math>\exp : \mathbb{D} \to \mathbb{C}\setminus \{0\} </math> den "Streifen" <math> \mathbb{D} </math> der Höhe <math>2\pi i</math> bijektiv auf auf den Wertebereich <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> ab. == Zusammenfassung == * Die Exponentialfunktion <math> \exp(z) </math> ist nicht injektiv und nicht surjektiv (wegen <math> \exp(z) \not= 0)</math> auf der gesamten komplexen Ebene. * Um eine bijektive [[holomorphe Funktion]] zu erhalten, muss man den Definitionsbereich <math>\mathbb{D}</math> und den Wertebereich <math>\mathbb{W}</math> der Logarithmusfunktion <math>\log_G : \mathbb{D} \to \mathbb{W} </math> so einschränken, dass eine bijektive Abbildung. * für die offene Menge <math>\mathbb{D}</math> muss im Allgemeinen nur [[einfach zusammenhängend]] mit <math>0\notin \mathbb{D}</math> sein (siehe auch [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/generalisiert|generalisierte Logarithmen]]). * Ein Zweig des Logarithmus kann definiert werden, indem der Definitionsbereich des Logarithmus eingeschränkt wird, zum Beispiel auf <math> \mathbb{C} \setminus (-\infty, 0] </math>. == Siehe auch == * [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] * [[holomorphe Funktion]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexer Logarithmus]] * [[Logarithmus|reeller Logarithmus]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion als Wegintegral]] l1m0hdu83f14a7d5ayx228whwok6qdb 1115650 1115649 2026-10-09T19:24:15Z Bert Niehaus 20843 /* Aufgabe - Integraldarstellung des Logarithmus */ 1115650 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Durch die Periodizität der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] im [[komplexe Zahl|Imaginärteil]] mit der Periode <math>2\pi i</math> == Zweige des Logarithmus == Ein Zweig des Logarithmus ist eine Funktion <math> \log(z) </math>, die auf einer Teilmenge <math> G </math> von <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> definiert ist und die Eigenschaft hat, dass <math> \exp(\log(z)) = z </math> für alle <math> z \in G </math>. Eine übliche Wahl für <math> D </math> ist die Menge <math> \mathbb{C} \setminus (-\infty, 0] </math>, die die negative reelle Achse ausschließt. In diesem Fall kann der Hauptzweig des Logarithmus definiert werden als: :<math> \log(z) = \ln|z| + i \arg(z) </math> wobei <math> \arg(z) </math> der Winkel von <math> z </math> in der komplexen Ebene ist und <math> -\pi < \arg(z) \leq \pi </math>. === Alternativen der Argumentfunktion === Die Argumentfunktion <math> \arg(z) </math> kann man auch als Winkel von <math> z </math> in der komplexen Ebene ist auch in <math> -\pi \leq \arg(z) < \pi </math> oder <math> 0 \leq \arg(z) < 2\pi </math> definieren. Der alternative Winkelbereich <math>[0,2\pi)</math> spielt für die Definition der <math>logmod</math>[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/logmod|-Funktion]] verwenden. === Zweige des Logarithmus === Stellt man <math>z = |z| \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i} \arg(z)}</math> in [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|Polarform]] dar, so erhält man eine einfache Darstellung des ''k-ten Zweiges'' der Logarithmusfunktion: : <math>w = \ln |z| + \mathrm{i}\left(\arg(z) + 2k\pi\right), \quad k\in\mathbb{Z}</math> mit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] <math>\arg</math>. Im Summanden <math>\ln |z|</math> wird der bereits oben definierte reelle Logarithmus <math>\ln</math> verwendet. Für <math>k = 0</math> erhält man den ''Hauptzweig'' des komplexen Logarithmus zurück: : <math>\ln z = \ln|z| + \mathrm{i}\arg(z)</math>. === Negativer Hauptzweige des Logarithmus === Beim negativen Hauptzweig verwendet man für den Startwert der Integraldarstellung <math>-1</math> statt <math>1</math> (wie beim Hauptzweig). Als holomorphe Funktion verwendet man für den Hauptzweig die Funktion <math>\ln</math>, die auf den geschlitzten Ebene definiert ist, wobei die negative reelle Achse mit 0 aus dem Definitionsbereich entfernt wird. Beim negativen Hauptzweig wird dagen die positive Achse aus dem Definitionsbereich entfernt, wenn man ein Logarithmus auf diesem [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebiet definieren möchte. Sei <math>z_o = -1\in \mathbb{C} \setminus \{0\}</math> :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_z : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_z(t) = (1-t)\cdot z_0 + t\cdot z = (t-1) + t\cdot z \end{array} </math> :<math> ln_{-}(z) := \pi i + \int_{\gamma_z} \frac{1}{\xi} \, d\xi = \pi i + \int_{0}^1 \frac{1}{\gamma_z(t)} \cdot \gamma{\,}_z'(t) dt </math> == Aufgabe - Integraldarstellung des Logarithmus == Sei <math>z_o \in \mathbb{C} \setminus \{0\}</math> beliebig gewählt und :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_z : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_z(t) = (1-t)\cdot z_0 + t\cdot z \end{array} </math> * Skizzieren Sie die Menge <math>\mathbb{C}_{z_0} := \mathbb{C} \setminus \{ -\lambda \cdot z_0 \, :\, \lambda \in \mathbb{R}_0^+ \} </math> * Ist die folgende Funktion <math>F: \mathbb{C}_{z_0} \to \mathbb{C} </math> eine wohldefinierte Funktion und für welche <math>z_0</math> ist die folgende [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion]] <math>F</math> als Wegintegral auch ein Zweig des Logarithmus? Wie muss man dann die Konstante <math>c_0</math> zu dem gegebenen <math>z_0</math> wählen? ::<math> F(z) := c_0 + \int_{\gamma_z} \frac{1}{\xi} \, d\xi = c_0 + \int_{0}^1 \frac{1}{\gamma_z(t)} \cdot \gamma{\,}_z'(t) dt </math> === Notwendigkeit der Einschränkung der Definitions- und Wertebereiche der Exponentialfunktion === Um eine bijektive Abbildung zu erhalten, müssen wir sowohl den Definitionsbereich als auch den Wertebereich der Exponentialfunktion einschränken. Die Exponentialfunktion <math> \exp(z) </math> ist periodisch mit der Periode <math> 2\pi i </math>, das heißt, <math> \exp(z + 2\pi i k) = \exp(z) </math> für alle <math> k \in \mathbb{Z} </math>. === Surjektivität und Injektivität === Die Periodizität führt dazu, dass die Exponentialfunktion nicht injektiv auf der gesamten komplexen Ebene ist. Die Exponentialfunktion ist auch nicht surjektiv, da mit <math>z=x+i\cdot y \in \mathbb{C}</math> gilt: :<math> e^z = e^{x+iy} = \underbrace{e^x}_{\not=0} \cdot \underbrace{e^{iy}}_{\not=0} \not= 0 </math> === Eulersche Formel === Mit der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] kann die Exponentialfunktion mit <math>z=x+i\cdot y \in \mathbb{C}</math> wie folgt zerlegen: :<math> e^z = e^{x+iy} = \underbrace{e^x}_{\not=0} \cdot e^{iy} = e^x\cdot (\cos(y) + i \cdot \sin(y) ) </math> === Bijektive Abbildung === Um eine bijektive Abbildung zu erhalten, können wir den Definitionsbereich der Exponentialfunktion auf ein horizontales Streifenmuster einschränken, zum Beispiel: :<math> \mathbb{D} := \mathbb{R} + i\cdot (-\pi,+\pi) := \{ z \in \mathbb{C} \mid -\pi < \operatorname{Im}(z) \leq \pi \} \subset \mathbb{C} </math> In diesem Fall ist die Exponentialfunktion <math>\exp : \mathbb{D} \to \mathbb{C}\setminus \{0\} </math> den "Streifen" <math> \mathbb{D} </math> der Höhe <math>2\pi i</math> bijektiv auf auf den Wertebereich <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> ab. == Zusammenfassung == * Die Exponentialfunktion <math> \exp(z) </math> ist nicht injektiv und nicht surjektiv (wegen <math> \exp(z) \not= 0)</math> auf der gesamten komplexen Ebene. * Um eine bijektive [[holomorphe Funktion]] zu erhalten, muss man den Definitionsbereich <math>\mathbb{D}</math> und den Wertebereich <math>\mathbb{W}</math> der Logarithmusfunktion <math>\log_G : \mathbb{D} \to \mathbb{W} </math> so einschränken, dass eine bijektive Abbildung. * für die offene Menge <math>\mathbb{D}</math> muss im Allgemeinen nur [[einfach zusammenhängend]] mit <math>0\notin \mathbb{D}</math> sein (siehe auch [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/generalisiert|generalisierte Logarithmen]]). * Ein Zweig des Logarithmus kann definiert werden, indem der Definitionsbereich des Logarithmus eingeschränkt wird, zum Beispiel auf <math> \mathbb{C} \setminus (-\infty, 0] </math>. == Siehe auch == * [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] * [[holomorphe Funktion]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexer Logarithmus]] * [[Logarithmus|reeller Logarithmus]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion als Wegintegral]] ruorz3lckwc3gdq9wsvdtxc31to4tyd 1115651 1115650 2026-10-09T20:18:19Z Bert Niehaus 20843 /* Surjektivität und Injektivität */ 1115651 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Durch die Periodizität der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] im [[komplexe Zahl|Imaginärteil]] mit der Periode <math>2\pi i</math> == Zweige des Logarithmus == Ein Zweig des Logarithmus ist eine Funktion <math> \log(z) </math>, die auf einer Teilmenge <math> G </math> von <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> definiert ist und die Eigenschaft hat, dass <math> \exp(\log(z)) = z </math> für alle <math> z \in G </math>. Eine übliche Wahl für <math> D </math> ist die Menge <math> \mathbb{C} \setminus (-\infty, 0] </math>, die die negative reelle Achse ausschließt. In diesem Fall kann der Hauptzweig des Logarithmus definiert werden als: :<math> \log(z) = \ln|z| + i \arg(z) </math> wobei <math> \arg(z) </math> der Winkel von <math> z </math> in der komplexen Ebene ist und <math> -\pi < \arg(z) \leq \pi </math>. === Alternativen der Argumentfunktion === Die Argumentfunktion <math> \arg(z) </math> kann man auch als Winkel von <math> z </math> in der komplexen Ebene ist auch in <math> -\pi \leq \arg(z) < \pi </math> oder <math> 0 \leq \arg(z) < 2\pi </math> definieren. Der alternative Winkelbereich <math>[0,2\pi)</math> spielt für die Definition der <math>logmod</math>[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/logmod|-Funktion]] verwenden. === Zweige des Logarithmus === Stellt man <math>z = |z| \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i} \arg(z)}</math> in [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|Polarform]] dar, so erhält man eine einfache Darstellung des ''k-ten Zweiges'' der Logarithmusfunktion: : <math>w = \ln |z| + \mathrm{i}\left(\arg(z) + 2k\pi\right), \quad k\in\mathbb{Z}</math> mit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] <math>\arg</math>. Im Summanden <math>\ln |z|</math> wird der bereits oben definierte reelle Logarithmus <math>\ln</math> verwendet. Für <math>k = 0</math> erhält man den ''Hauptzweig'' des komplexen Logarithmus zurück: : <math>\ln z = \ln|z| + \mathrm{i}\arg(z)</math>. === Negativer Hauptzweige des Logarithmus === Beim negativen Hauptzweig verwendet man für den Startwert der Integraldarstellung <math>-1</math> statt <math>1</math> (wie beim Hauptzweig). Als holomorphe Funktion verwendet man für den Hauptzweig die Funktion <math>\ln</math>, die auf den geschlitzten Ebene definiert ist, wobei die negative reelle Achse mit 0 aus dem Definitionsbereich entfernt wird. Beim negativen Hauptzweig wird dagen die positive Achse aus dem Definitionsbereich entfernt, wenn man ein Logarithmus auf diesem [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebiet definieren möchte. Sei <math>z_o = -1\in \mathbb{C} \setminus \{0\}</math> :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_z : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_z(t) = (1-t)\cdot z_0 + t\cdot z = (t-1) + t\cdot z \end{array} </math> :<math> ln_{-}(z) := \pi i + \int_{\gamma_z} \frac{1}{\xi} \, d\xi = \pi i + \int_{0}^1 \frac{1}{\gamma_z(t)} \cdot \gamma{\,}_z'(t) dt </math> == Aufgabe - Integraldarstellung des Logarithmus == Sei <math>z_o \in \mathbb{C} \setminus \{0\}</math> beliebig gewählt und :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_z : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_z(t) = (1-t)\cdot z_0 + t\cdot z \end{array} </math> * Skizzieren Sie die Menge <math>\mathbb{C}_{z_0} := \mathbb{C} \setminus \{ -\lambda \cdot z_0 \, :\, \lambda \in \mathbb{R}_0^+ \} </math> * Ist die folgende Funktion <math>F: \mathbb{C}_{z_0} \to \mathbb{C} </math> eine wohldefinierte Funktion und für welche <math>z_0</math> ist die folgende [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion]] <math>F</math> als Wegintegral auch ein Zweig des Logarithmus? Wie muss man dann die Konstante <math>c_0</math> zu dem gegebenen <math>z_0</math> wählen? ::<math> F(z) := c_0 + \int_{\gamma_z} \frac{1}{\xi} \, d\xi = c_0 + \int_{0}^1 \frac{1}{\gamma_z(t)} \cdot \gamma{\,}_z'(t) dt </math> === Notwendigkeit der Einschränkung der Definitions- und Wertebereiche der Exponentialfunktion === Um eine bijektive Abbildung zu erhalten, müssen wir sowohl den Definitionsbereich als auch den Wertebereich der Exponentialfunktion einschränken. Die Exponentialfunktion <math> \exp(z) </math> ist periodisch mit der Periode <math> 2\pi i </math>, das heißt, <math> \exp(z + 2\pi i k) = \exp(z) </math> für alle <math> k \in \mathbb{Z} </math>. === Surjektivität und Injektivität === Die Periodizität führt dazu, dass die Exponentialfunktion nicht injektiv auf der gesamten komplexen Ebene ist. Die Exponentialfunktion ist auch nicht surjektiv, da mit <math>z=x+i\cdot y \in \mathbb{C}</math> die 0 als Bildpunkt auftritt, denn es gilt: :<math> e^z = e^{x+iy} = \underbrace{e^x}_{\not=0} \cdot \underbrace{e^{iy}}_{\not=0} \not= 0 </math> === Eulersche Formel === Mit der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] kann die Exponentialfunktion mit <math>z=x+i\cdot y \in \mathbb{C}</math> wie folgt zerlegen: :<math> e^z = e^{x+iy} = \underbrace{e^x}_{\not=0} \cdot e^{iy} = e^x\cdot (\cos(y) + i \cdot \sin(y) ) </math> === Bijektive Abbildung === Um eine bijektive Abbildung zu erhalten, können wir den Definitionsbereich der Exponentialfunktion auf ein horizontales Streifenmuster einschränken, zum Beispiel: :<math> \mathbb{D} := \mathbb{R} + i\cdot (-\pi,+\pi) := \{ z \in \mathbb{C} \mid -\pi < \operatorname{Im}(z) \leq \pi \} \subset \mathbb{C} </math> In diesem Fall ist die Exponentialfunktion <math>\exp : \mathbb{D} \to \mathbb{C}\setminus \{0\} </math> den "Streifen" <math> \mathbb{D} </math> der Höhe <math>2\pi i</math> bijektiv auf auf den Wertebereich <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> ab. == Zusammenfassung == * Die Exponentialfunktion <math> \exp(z) </math> ist nicht injektiv und nicht surjektiv (wegen <math> \exp(z) \not= 0)</math> auf der gesamten komplexen Ebene. * Um eine bijektive [[holomorphe Funktion]] zu erhalten, muss man den Definitionsbereich <math>\mathbb{D}</math> und den Wertebereich <math>\mathbb{W}</math> der Logarithmusfunktion <math>\log_G : \mathbb{D} \to \mathbb{W} </math> so einschränken, dass eine bijektive Abbildung. * für die offene Menge <math>\mathbb{D}</math> muss im Allgemeinen nur [[einfach zusammenhängend]] mit <math>0\notin \mathbb{D}</math> sein (siehe auch [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/generalisiert|generalisierte Logarithmen]]). * Ein Zweig des Logarithmus kann definiert werden, indem der Definitionsbereich des Logarithmus eingeschränkt wird, zum Beispiel auf <math> \mathbb{C} \setminus (-\infty, 0] </math>. == Siehe auch == * [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] * [[holomorphe Funktion]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexer Logarithmus]] * [[Logarithmus|reeller Logarithmus]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion als Wegintegral]] cvgxo30ex28uotjrrzg80bc4n8mm1dk 1115652 1115651 2026-10-09T20:36:48Z Bert Niehaus 20843 /* Zusammenfassung */ 1115652 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Durch die Periodizität der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] im [[komplexe Zahl|Imaginärteil]] mit der Periode <math>2\pi i</math> == Zweige des Logarithmus == Ein Zweig des Logarithmus ist eine Funktion <math> \log(z) </math>, die auf einer Teilmenge <math> G </math> von <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> definiert ist und die Eigenschaft hat, dass <math> \exp(\log(z)) = z </math> für alle <math> z \in G </math>. Eine übliche Wahl für <math> D </math> ist die Menge <math> \mathbb{C} \setminus (-\infty, 0] </math>, die die negative reelle Achse ausschließt. In diesem Fall kann der Hauptzweig des Logarithmus definiert werden als: :<math> \log(z) = \ln|z| + i \arg(z) </math> wobei <math> \arg(z) </math> der Winkel von <math> z </math> in der komplexen Ebene ist und <math> -\pi < \arg(z) \leq \pi </math>. === Alternativen der Argumentfunktion === Die Argumentfunktion <math> \arg(z) </math> kann man auch als Winkel von <math> z </math> in der komplexen Ebene ist auch in <math> -\pi \leq \arg(z) < \pi </math> oder <math> 0 \leq \arg(z) < 2\pi </math> definieren. Der alternative Winkelbereich <math>[0,2\pi)</math> spielt für die Definition der <math>logmod</math>[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/logmod|-Funktion]] verwenden. === Zweige des Logarithmus === Stellt man <math>z = |z| \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i} \arg(z)}</math> in [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|Polarform]] dar, so erhält man eine einfache Darstellung des ''k-ten Zweiges'' der Logarithmusfunktion: : <math>w = \ln |z| + \mathrm{i}\left(\arg(z) + 2k\pi\right), \quad k\in\mathbb{Z}</math> mit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] <math>\arg</math>. Im Summanden <math>\ln |z|</math> wird der bereits oben definierte reelle Logarithmus <math>\ln</math> verwendet. Für <math>k = 0</math> erhält man den ''Hauptzweig'' des komplexen Logarithmus zurück: : <math>\ln z = \ln|z| + \mathrm{i}\arg(z)</math>. === Negativer Hauptzweige des Logarithmus === Beim negativen Hauptzweig verwendet man für den Startwert der Integraldarstellung <math>-1</math> statt <math>1</math> (wie beim Hauptzweig). Als holomorphe Funktion verwendet man für den Hauptzweig die Funktion <math>\ln</math>, die auf den geschlitzten Ebene definiert ist, wobei die negative reelle Achse mit 0 aus dem Definitionsbereich entfernt wird. Beim negativen Hauptzweig wird dagen die positive Achse aus dem Definitionsbereich entfernt, wenn man ein Logarithmus auf diesem [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebiet definieren möchte. Sei <math>z_o = -1\in \mathbb{C} \setminus \{0\}</math> :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_z : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_z(t) = (1-t)\cdot z_0 + t\cdot z = (t-1) + t\cdot z \end{array} </math> :<math> ln_{-}(z) := \pi i + \int_{\gamma_z} \frac{1}{\xi} \, d\xi = \pi i + \int_{0}^1 \frac{1}{\gamma_z(t)} \cdot \gamma{\,}_z'(t) dt </math> == Aufgabe - Integraldarstellung des Logarithmus == Sei <math>z_o \in \mathbb{C} \setminus \{0\}</math> beliebig gewählt und :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_z : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_z(t) = (1-t)\cdot z_0 + t\cdot z \end{array} </math> * Skizzieren Sie die Menge <math>\mathbb{C}_{z_0} := \mathbb{C} \setminus \{ -\lambda \cdot z_0 \, :\, \lambda \in \mathbb{R}_0^+ \} </math> * Ist die folgende Funktion <math>F: \mathbb{C}_{z_0} \to \mathbb{C} </math> eine wohldefinierte Funktion und für welche <math>z_0</math> ist die folgende [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion]] <math>F</math> als Wegintegral auch ein Zweig des Logarithmus? Wie muss man dann die Konstante <math>c_0</math> zu dem gegebenen <math>z_0</math> wählen? ::<math> F(z) := c_0 + \int_{\gamma_z} \frac{1}{\xi} \, d\xi = c_0 + \int_{0}^1 \frac{1}{\gamma_z(t)} \cdot \gamma{\,}_z'(t) dt </math> === Notwendigkeit der Einschränkung der Definitions- und Wertebereiche der Exponentialfunktion === Um eine bijektive Abbildung zu erhalten, müssen wir sowohl den Definitionsbereich als auch den Wertebereich der Exponentialfunktion einschränken. Die Exponentialfunktion <math> \exp(z) </math> ist periodisch mit der Periode <math> 2\pi i </math>, das heißt, <math> \exp(z + 2\pi i k) = \exp(z) </math> für alle <math> k \in \mathbb{Z} </math>. === Surjektivität und Injektivität === Die Periodizität führt dazu, dass die Exponentialfunktion nicht injektiv auf der gesamten komplexen Ebene ist. Die Exponentialfunktion ist auch nicht surjektiv, da mit <math>z=x+i\cdot y \in \mathbb{C}</math> die 0 als Bildpunkt auftritt, denn es gilt: :<math> e^z = e^{x+iy} = \underbrace{e^x}_{\not=0} \cdot \underbrace{e^{iy}}_{\not=0} \not= 0 </math> === Eulersche Formel === Mit der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] kann die Exponentialfunktion mit <math>z=x+i\cdot y \in \mathbb{C}</math> wie folgt zerlegen: :<math> e^z = e^{x+iy} = \underbrace{e^x}_{\not=0} \cdot e^{iy} = e^x\cdot (\cos(y) + i \cdot \sin(y) ) </math> === Bijektive Abbildung === Um eine bijektive Abbildung zu erhalten, können wir den Definitionsbereich der Exponentialfunktion auf ein horizontales Streifenmuster einschränken, zum Beispiel: :<math> \mathbb{D} := \mathbb{R} + i\cdot (-\pi,+\pi) := \{ z \in \mathbb{C} \mid -\pi < \operatorname{Im}(z) \leq \pi \} \subset \mathbb{C} </math> In diesem Fall ist die Exponentialfunktion <math>\exp : \mathbb{D} \to \mathbb{C}\setminus \{0\} </math> den "Streifen" <math> \mathbb{D} </math> der Höhe <math>2\pi i</math> bijektiv auf auf den Wertebereich <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> ab. == Zusammenfassung == * Die Exponentialfunktion <math> \exp(z) </math> ist nicht injektiv und nicht surjektiv (wegen <math> \exp(z) \not= 0)</math> auf der gesamten komplexen Ebene. * Um eine bijektive [[holomorphe Funktion]] zu erhalten, muss man den Definitionsbereich <math>\mathbb{D}</math> und den Wertebereich <math>\mathbb{W}</math> der Logarithmusfunktion <math>\log_G : G \to \mathbb{W} </math> so einschränken, dass eine bijektive Abbildung entsteht. * für die offene Menge <math>\mathbb{D}</math> muss im Allgemeinen nur [[einfach zusammenhängend]] mit <math>0\notin \mathbb{D}</math> sein (siehe auch [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/generalisiert|generalisierte Logarithmen]]). * Ein Zweig des Logarithmus kann definiert werden, indem der Definitionsbereich des Logarithmus eingeschränkt wird, zum Beispiel auf <math> \mathbb{C} \setminus (-\infty, 0] </math>. === Algebraische Vervollständigung === Wenn man den Definitionsbereich von einer geschlitzten Ebene <math>\mathbb{W}:= \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}_o^{⁻}</math> auf <math>\mathbb{C}\setminus \{0\}</math> erweitert und gleichzeitig den Definitionsbereich <math>G:=\mathbb{R}+(-\pi,\+\pi)\cdot i </math> zu <math>G_+ := \mathbb{R} + (-\pi,+\pi]\cdot i</math> für den Hauptzweig erweitert, bleibt die algebraisch die Bijektivität und man verliert den Stetigkeit auf dem ganzen Definitionsbereich. Alternativ kann man für den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#negativer_Hauptzweig|negativen Hauptzweig]] den Definitionsbereich <math>G_1 := \mathbb{R} + (0,2\pi)\cdot i</math> auch diesen Definitionsbereich auf <math>\mathbb{D}_1 := \mathbb{R} + [0,2\pi)\cdot i</math> erweitern und man verliert analog die Eigenschaft der Stetigkeit und komplexen Differenzierbarkeit auf ganz <math>\mathbb{D}_1</math>. == Siehe auch == * [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] * [[holomorphe Funktion]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexer Logarithmus]] * [[Logarithmus|reeller Logarithmus]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion als Wegintegral]] rxm429e7txrv07bd56bdf65hhofibrq 1115653 1115652 2026-10-09T20:39:26Z Bert Niehaus 20843 /* Algebraische Vervollständigung */ 1115653 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Durch die Periodizität der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] im [[komplexe Zahl|Imaginärteil]] mit der Periode <math>2\pi i</math> == Zweige des Logarithmus == Ein Zweig des Logarithmus ist eine Funktion <math> \log(z) </math>, die auf einer Teilmenge <math> G </math> von <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> definiert ist und die Eigenschaft hat, dass <math> \exp(\log(z)) = z </math> für alle <math> z \in G </math>. Eine übliche Wahl für <math> D </math> ist die Menge <math> \mathbb{C} \setminus (-\infty, 0] </math>, die die negative reelle Achse ausschließt. In diesem Fall kann der Hauptzweig des Logarithmus definiert werden als: :<math> \log(z) = \ln|z| + i \arg(z) </math> wobei <math> \arg(z) </math> der Winkel von <math> z </math> in der komplexen Ebene ist und <math> -\pi < \arg(z) \leq \pi </math>. === Alternativen der Argumentfunktion === Die Argumentfunktion <math> \arg(z) </math> kann man auch als Winkel von <math> z </math> in der komplexen Ebene ist auch in <math> -\pi \leq \arg(z) < \pi </math> oder <math> 0 \leq \arg(z) < 2\pi </math> definieren. Der alternative Winkelbereich <math>[0,2\pi)</math> spielt für die Definition der <math>logmod</math>[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/logmod|-Funktion]] verwenden. === Zweige des Logarithmus === Stellt man <math>z = |z| \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i} \arg(z)}</math> in [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|Polarform]] dar, so erhält man eine einfache Darstellung des ''k-ten Zweiges'' der Logarithmusfunktion: : <math>w = \ln |z| + \mathrm{i}\left(\arg(z) + 2k\pi\right), \quad k\in\mathbb{Z}</math> mit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] <math>\arg</math>. Im Summanden <math>\ln |z|</math> wird der bereits oben definierte reelle Logarithmus <math>\ln</math> verwendet. Für <math>k = 0</math> erhält man den ''Hauptzweig'' des komplexen Logarithmus zurück: : <math>\ln z = \ln|z| + \mathrm{i}\arg(z)</math>. === Negativer Hauptzweige des Logarithmus === Beim negativen Hauptzweig verwendet man für den Startwert der Integraldarstellung <math>-1</math> statt <math>1</math> (wie beim Hauptzweig). Als holomorphe Funktion verwendet man für den Hauptzweig die Funktion <math>\ln</math>, die auf den geschlitzten Ebene definiert ist, wobei die negative reelle Achse mit 0 aus dem Definitionsbereich entfernt wird. Beim negativen Hauptzweig wird dagen die positive Achse aus dem Definitionsbereich entfernt, wenn man ein Logarithmus auf diesem [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebiet definieren möchte. Sei <math>z_o = -1\in \mathbb{C} \setminus \{0\}</math> :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_z : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_z(t) = (1-t)\cdot z_0 + t\cdot z = (t-1) + t\cdot z \end{array} </math> :<math> ln_{-}(z) := \pi i + \int_{\gamma_z} \frac{1}{\xi} \, d\xi = \pi i + \int_{0}^1 \frac{1}{\gamma_z(t)} \cdot \gamma{\,}_z'(t) dt </math> == Aufgabe - Integraldarstellung des Logarithmus == Sei <math>z_o \in \mathbb{C} \setminus \{0\}</math> beliebig gewählt und :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_z : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_z(t) = (1-t)\cdot z_0 + t\cdot z \end{array} </math> * Skizzieren Sie die Menge <math>\mathbb{C}_{z_0} := \mathbb{C} \setminus \{ -\lambda \cdot z_0 \, :\, \lambda \in \mathbb{R}_0^+ \} </math> * Ist die folgende Funktion <math>F: \mathbb{C}_{z_0} \to \mathbb{C} </math> eine wohldefinierte Funktion und für welche <math>z_0</math> ist die folgende [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion]] <math>F</math> als Wegintegral auch ein Zweig des Logarithmus? Wie muss man dann die Konstante <math>c_0</math> zu dem gegebenen <math>z_0</math> wählen? ::<math> F(z) := c_0 + \int_{\gamma_z} \frac{1}{\xi} \, d\xi = c_0 + \int_{0}^1 \frac{1}{\gamma_z(t)} \cdot \gamma{\,}_z'(t) dt </math> === Notwendigkeit der Einschränkung der Definitions- und Wertebereiche der Exponentialfunktion === Um eine bijektive Abbildung zu erhalten, müssen wir sowohl den Definitionsbereich als auch den Wertebereich der Exponentialfunktion einschränken. Die Exponentialfunktion <math> \exp(z) </math> ist periodisch mit der Periode <math> 2\pi i </math>, das heißt, <math> \exp(z + 2\pi i k) = \exp(z) </math> für alle <math> k \in \mathbb{Z} </math>. === Surjektivität und Injektivität === Die Periodizität führt dazu, dass die Exponentialfunktion nicht injektiv auf der gesamten komplexen Ebene ist. Die Exponentialfunktion ist auch nicht surjektiv, da mit <math>z=x+i\cdot y \in \mathbb{C}</math> die 0 als Bildpunkt auftritt, denn es gilt: :<math> e^z = e^{x+iy} = \underbrace{e^x}_{\not=0} \cdot \underbrace{e^{iy}}_{\not=0} \not= 0 </math> === Eulersche Formel === Mit der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] kann die Exponentialfunktion mit <math>z=x+i\cdot y \in \mathbb{C}</math> wie folgt zerlegen: :<math> e^z = e^{x+iy} = \underbrace{e^x}_{\not=0} \cdot e^{iy} = e^x\cdot (\cos(y) + i \cdot \sin(y) ) </math> === Bijektive Abbildung === Um eine bijektive Abbildung zu erhalten, können wir den Definitionsbereich der Exponentialfunktion auf ein horizontales Streifenmuster einschränken, zum Beispiel: :<math> \mathbb{D} := \mathbb{R} + i\cdot (-\pi,+\pi) := \{ z \in \mathbb{C} \mid -\pi < \operatorname{Im}(z) \leq \pi \} \subset \mathbb{C} </math> In diesem Fall ist die Exponentialfunktion <math>\exp : \mathbb{D} \to \mathbb{C}\setminus \{0\} </math> den "Streifen" <math> \mathbb{D} </math> der Höhe <math>2\pi i</math> bijektiv auf auf den Wertebereich <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> ab. == Zusammenfassung == * Die Exponentialfunktion <math> \exp(z) </math> ist nicht injektiv und nicht surjektiv (wegen <math> \exp(z) \not= 0)</math> auf der gesamten komplexen Ebene. * Um eine bijektive [[holomorphe Funktion]] zu erhalten, muss man den Definitionsbereich <math>\mathbb{D}</math> und den Wertebereich <math>\mathbb{W}</math> der Logarithmusfunktion <math>\log_G : G \to \mathbb{W} </math> so einschränken, dass eine bijektive Abbildung entsteht. * für die offene Menge <math>\mathbb{D}</math> muss im Allgemeinen nur [[einfach zusammenhängend]] mit <math>0\notin \mathbb{D}</math> sein (siehe auch [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/generalisiert|generalisierte Logarithmen]]). * Ein Zweig des Logarithmus kann definiert werden, indem der Definitionsbereich des Logarithmus eingeschränkt wird, zum Beispiel auf <math> \mathbb{C} \setminus (-\infty, 0] </math>. === Algebraische Vervollständigung === Wenn man den Definitionsbereich von einer geschlitzten Ebene <math> \mathbb{W} := \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}_{0}^{-}</math> auf <math>\mathbb{C}\setminus \{0\}</math> erweitert und gleichzeitig den Definitionsbereich <math>G:=\mathbb{R}+(-\pi,+\pi) \cdot i </math> zu <math>G_+ := \mathbb{R} + (-\pi,+\pi]\cdot i</math> für den Hauptzweig erweitert, bleibt die algebraisch die Bijektivität erhalten, aber man verliert die Eigenschaft der Stetigkeit auf dem ganzen Definitionsbereich. Alternativ kann man für den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#negativer_Hauptzweig|negativen Hauptzweig]] den Definitionsbereich <math>G_1 := \mathbb{R} + (0,2\pi)\cdot i</math> auch diesen Definitionsbereich auf <math>\mathbb{D}_1 := \mathbb{R} + [0,2\pi)\cdot i</math> erweitern und man verliert analog die Eigenschaft der Stetigkeit und komplexen Differenzierbarkeit auf ganz <math>\mathbb{D}_1</math>. == Siehe auch == * [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] * [[holomorphe Funktion]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexer Logarithmus]] * [[Logarithmus|reeller Logarithmus]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion als Wegintegral]] 4ll7bjbtcvzcmmeqn52quhkt1p1mp0s 1115654 1115653 2026-10-09T20:40:05Z Bert Niehaus 20843 /* Negativer Hauptzweige des Logarithmus */ 1115654 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Durch die Periodizität der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] im [[komplexe Zahl|Imaginärteil]] mit der Periode <math>2\pi i</math> == Zweige des Logarithmus == Ein Zweig des Logarithmus ist eine Funktion <math> \log(z) </math>, die auf einer Teilmenge <math> G </math> von <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> definiert ist und die Eigenschaft hat, dass <math> \exp(\log(z)) = z </math> für alle <math> z \in G </math>. Eine übliche Wahl für <math> D </math> ist die Menge <math> \mathbb{C} \setminus (-\infty, 0] </math>, die die negative reelle Achse ausschließt. In diesem Fall kann der Hauptzweig des Logarithmus definiert werden als: :<math> \log(z) = \ln|z| + i \arg(z) </math> wobei <math> \arg(z) </math> der Winkel von <math> z </math> in der komplexen Ebene ist und <math> -\pi < \arg(z) \leq \pi </math>. === Alternativen der Argumentfunktion === Die Argumentfunktion <math> \arg(z) </math> kann man auch als Winkel von <math> z </math> in der komplexen Ebene ist auch in <math> -\pi \leq \arg(z) < \pi </math> oder <math> 0 \leq \arg(z) < 2\pi </math> definieren. Der alternative Winkelbereich <math>[0,2\pi)</math> spielt für die Definition der <math>logmod</math>[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/logmod|-Funktion]] verwenden. === Zweige des Logarithmus === Stellt man <math>z = |z| \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i} \arg(z)}</math> in [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|Polarform]] dar, so erhält man eine einfache Darstellung des ''k-ten Zweiges'' der Logarithmusfunktion: : <math>w = \ln |z| + \mathrm{i}\left(\arg(z) + 2k\pi\right), \quad k\in\mathbb{Z}</math> mit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] <math>\arg</math>. Im Summanden <math>\ln |z|</math> wird der bereits oben definierte reelle Logarithmus <math>\ln</math> verwendet. Für <math>k = 0</math> erhält man den ''Hauptzweig'' des komplexen Logarithmus zurück: : <math>\ln z = \ln|z| + \mathrm{i}\arg(z)</math>. <span id="negativer_Hauptzweig"></span> === Negativer Hauptzweige des Logarithmus === Beim negativen Hauptzweig verwendet man für den Startwert der Integraldarstellung <math>-1</math> statt <math>1</math> (wie beim Hauptzweig). Als holomorphe Funktion verwendet man für den Hauptzweig die Funktion <math>\ln</math>, die auf den geschlitzten Ebene definiert ist, wobei die negative reelle Achse mit 0 aus dem Definitionsbereich entfernt wird. Beim negativen Hauptzweig wird dagen die positive Achse aus dem Definitionsbereich entfernt, wenn man ein Logarithmus auf diesem [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebiet definieren möchte. Sei <math>z_o = -1\in \mathbb{C} \setminus \{0\}</math> :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_z : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_z(t) = (1-t)\cdot z_0 + t\cdot z = (t-1) + t\cdot z \end{array} </math> :<math> ln_{-}(z) := \pi i + \int_{\gamma_z} \frac{1}{\xi} \, d\xi = \pi i + \int_{0}^1 \frac{1}{\gamma_z(t)} \cdot \gamma{\,}_z'(t) dt </math> == Aufgabe - Integraldarstellung des Logarithmus == Sei <math>z_o \in \mathbb{C} \setminus \{0\}</math> beliebig gewählt und :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_z : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_z(t) = (1-t)\cdot z_0 + t\cdot z \end{array} </math> * Skizzieren Sie die Menge <math>\mathbb{C}_{z_0} := \mathbb{C} \setminus \{ -\lambda \cdot z_0 \, :\, \lambda \in \mathbb{R}_0^+ \} </math> * Ist die folgende Funktion <math>F: \mathbb{C}_{z_0} \to \mathbb{C} </math> eine wohldefinierte Funktion und für welche <math>z_0</math> ist die folgende [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion]] <math>F</math> als Wegintegral auch ein Zweig des Logarithmus? Wie muss man dann die Konstante <math>c_0</math> zu dem gegebenen <math>z_0</math> wählen? ::<math> F(z) := c_0 + \int_{\gamma_z} \frac{1}{\xi} \, d\xi = c_0 + \int_{0}^1 \frac{1}{\gamma_z(t)} \cdot \gamma{\,}_z'(t) dt </math> === Notwendigkeit der Einschränkung der Definitions- und Wertebereiche der Exponentialfunktion === Um eine bijektive Abbildung zu erhalten, müssen wir sowohl den Definitionsbereich als auch den Wertebereich der Exponentialfunktion einschränken. Die Exponentialfunktion <math> \exp(z) </math> ist periodisch mit der Periode <math> 2\pi i </math>, das heißt, <math> \exp(z + 2\pi i k) = \exp(z) </math> für alle <math> k \in \mathbb{Z} </math>. === Surjektivität und Injektivität === Die Periodizität führt dazu, dass die Exponentialfunktion nicht injektiv auf der gesamten komplexen Ebene ist. Die Exponentialfunktion ist auch nicht surjektiv, da mit <math>z=x+i\cdot y \in \mathbb{C}</math> die 0 als Bildpunkt auftritt, denn es gilt: :<math> e^z = e^{x+iy} = \underbrace{e^x}_{\not=0} \cdot \underbrace{e^{iy}}_{\not=0} \not= 0 </math> === Eulersche Formel === Mit der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] kann die Exponentialfunktion mit <math>z=x+i\cdot y \in \mathbb{C}</math> wie folgt zerlegen: :<math> e^z = e^{x+iy} = \underbrace{e^x}_{\not=0} \cdot e^{iy} = e^x\cdot (\cos(y) + i \cdot \sin(y) ) </math> === Bijektive Abbildung === Um eine bijektive Abbildung zu erhalten, können wir den Definitionsbereich der Exponentialfunktion auf ein horizontales Streifenmuster einschränken, zum Beispiel: :<math> \mathbb{D} := \mathbb{R} + i\cdot (-\pi,+\pi) := \{ z \in \mathbb{C} \mid -\pi < \operatorname{Im}(z) \leq \pi \} \subset \mathbb{C} </math> In diesem Fall ist die Exponentialfunktion <math>\exp : \mathbb{D} \to \mathbb{C}\setminus \{0\} </math> den "Streifen" <math> \mathbb{D} </math> der Höhe <math>2\pi i</math> bijektiv auf auf den Wertebereich <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> ab. == Zusammenfassung == * Die Exponentialfunktion <math> \exp(z) </math> ist nicht injektiv und nicht surjektiv (wegen <math> \exp(z) \not= 0)</math> auf der gesamten komplexen Ebene. * Um eine bijektive [[holomorphe Funktion]] zu erhalten, muss man den Definitionsbereich <math>\mathbb{D}</math> und den Wertebereich <math>\mathbb{W}</math> der Logarithmusfunktion <math>\log_G : G \to \mathbb{W} </math> so einschränken, dass eine bijektive Abbildung entsteht. * für die offene Menge <math>\mathbb{D}</math> muss im Allgemeinen nur [[einfach zusammenhängend]] mit <math>0\notin \mathbb{D}</math> sein (siehe auch [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/generalisiert|generalisierte Logarithmen]]). * Ein Zweig des Logarithmus kann definiert werden, indem der Definitionsbereich des Logarithmus eingeschränkt wird, zum Beispiel auf <math> \mathbb{C} \setminus (-\infty, 0] </math>. === Algebraische Vervollständigung === Wenn man den Definitionsbereich von einer geschlitzten Ebene <math> \mathbb{W} := \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}_{0}^{-}</math> auf <math>\mathbb{C}\setminus \{0\}</math> erweitert und gleichzeitig den Definitionsbereich <math>G:=\mathbb{R}+(-\pi,+\pi) \cdot i </math> zu <math>G_+ := \mathbb{R} + (-\pi,+\pi]\cdot i</math> für den Hauptzweig erweitert, bleibt die algebraisch die Bijektivität erhalten, aber man verliert die Eigenschaft der Stetigkeit auf dem ganzen Definitionsbereich. Alternativ kann man für den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#negativer_Hauptzweig|negativen Hauptzweig]] den Definitionsbereich <math>G_1 := \mathbb{R} + (0,2\pi)\cdot i</math> auch diesen Definitionsbereich auf <math>\mathbb{D}_1 := \mathbb{R} + [0,2\pi)\cdot i</math> erweitern und man verliert analog die Eigenschaft der Stetigkeit und komplexen Differenzierbarkeit auf ganz <math>\mathbb{D}_1</math>. == Siehe auch == * [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] * [[holomorphe Funktion]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexer Logarithmus]] * [[Logarithmus|reeller Logarithmus]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion als Wegintegral]] jhdkqduskhn8xw5iogbzqcx3r2bnfeb 1115655 1115654 2026-10-09T20:42:56Z Bert Niehaus 20843 /* Bijektive Abbildung */ 1115655 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Durch die Periodizität der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] im [[komplexe Zahl|Imaginärteil]] mit der Periode <math>2\pi i</math> == Zweige des Logarithmus == Ein Zweig des Logarithmus ist eine Funktion <math> \log(z) </math>, die auf einer Teilmenge <math> G </math> von <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> definiert ist und die Eigenschaft hat, dass <math> \exp(\log(z)) = z </math> für alle <math> z \in G </math>. Eine übliche Wahl für <math> D </math> ist die Menge <math> \mathbb{C} \setminus (-\infty, 0] </math>, die die negative reelle Achse ausschließt. In diesem Fall kann der Hauptzweig des Logarithmus definiert werden als: :<math> \log(z) = \ln|z| + i \arg(z) </math> wobei <math> \arg(z) </math> der Winkel von <math> z </math> in der komplexen Ebene ist und <math> -\pi < \arg(z) \leq \pi </math>. === Alternativen der Argumentfunktion === Die Argumentfunktion <math> \arg(z) </math> kann man auch als Winkel von <math> z </math> in der komplexen Ebene ist auch in <math> -\pi \leq \arg(z) < \pi </math> oder <math> 0 \leq \arg(z) < 2\pi </math> definieren. Der alternative Winkelbereich <math>[0,2\pi)</math> spielt für die Definition der <math>logmod</math>[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/logmod|-Funktion]] verwenden. === Zweige des Logarithmus === Stellt man <math>z = |z| \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i} \arg(z)}</math> in [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|Polarform]] dar, so erhält man eine einfache Darstellung des ''k-ten Zweiges'' der Logarithmusfunktion: : <math>w = \ln |z| + \mathrm{i}\left(\arg(z) + 2k\pi\right), \quad k\in\mathbb{Z}</math> mit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] <math>\arg</math>. Im Summanden <math>\ln |z|</math> wird der bereits oben definierte reelle Logarithmus <math>\ln</math> verwendet. Für <math>k = 0</math> erhält man den ''Hauptzweig'' des komplexen Logarithmus zurück: : <math>\ln z = \ln|z| + \mathrm{i}\arg(z)</math>. <span id="negativer_Hauptzweig"></span> === Negativer Hauptzweige des Logarithmus === Beim negativen Hauptzweig verwendet man für den Startwert der Integraldarstellung <math>-1</math> statt <math>1</math> (wie beim Hauptzweig). Als holomorphe Funktion verwendet man für den Hauptzweig die Funktion <math>\ln</math>, die auf den geschlitzten Ebene definiert ist, wobei die negative reelle Achse mit 0 aus dem Definitionsbereich entfernt wird. Beim negativen Hauptzweig wird dagen die positive Achse aus dem Definitionsbereich entfernt, wenn man ein Logarithmus auf diesem [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebiet definieren möchte. Sei <math>z_o = -1\in \mathbb{C} \setminus \{0\}</math> :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_z : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_z(t) = (1-t)\cdot z_0 + t\cdot z = (t-1) + t\cdot z \end{array} </math> :<math> ln_{-}(z) := \pi i + \int_{\gamma_z} \frac{1}{\xi} \, d\xi = \pi i + \int_{0}^1 \frac{1}{\gamma_z(t)} \cdot \gamma{\,}_z'(t) dt </math> == Aufgabe - Integraldarstellung des Logarithmus == Sei <math>z_o \in \mathbb{C} \setminus \{0\}</math> beliebig gewählt und :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_z : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_z(t) = (1-t)\cdot z_0 + t\cdot z \end{array} </math> * Skizzieren Sie die Menge <math>\mathbb{C}_{z_0} := \mathbb{C} \setminus \{ -\lambda \cdot z_0 \, :\, \lambda \in \mathbb{R}_0^+ \} </math> * Ist die folgende Funktion <math>F: \mathbb{C}_{z_0} \to \mathbb{C} </math> eine wohldefinierte Funktion und für welche <math>z_0</math> ist die folgende [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion]] <math>F</math> als Wegintegral auch ein Zweig des Logarithmus? Wie muss man dann die Konstante <math>c_0</math> zu dem gegebenen <math>z_0</math> wählen? ::<math> F(z) := c_0 + \int_{\gamma_z} \frac{1}{\xi} \, d\xi = c_0 + \int_{0}^1 \frac{1}{\gamma_z(t)} \cdot \gamma{\,}_z'(t) dt </math> === Notwendigkeit der Einschränkung der Definitions- und Wertebereiche der Exponentialfunktion === Um eine bijektive Abbildung zu erhalten, müssen wir sowohl den Definitionsbereich als auch den Wertebereich der Exponentialfunktion einschränken. Die Exponentialfunktion <math> \exp(z) </math> ist periodisch mit der Periode <math> 2\pi i </math>, das heißt, <math> \exp(z + 2\pi i k) = \exp(z) </math> für alle <math> k \in \mathbb{Z} </math>. === Surjektivität und Injektivität === Die Periodizität führt dazu, dass die Exponentialfunktion nicht injektiv auf der gesamten komplexen Ebene ist. Die Exponentialfunktion ist auch nicht surjektiv, da mit <math>z=x+i\cdot y \in \mathbb{C}</math> die 0 als Bildpunkt auftritt, denn es gilt: :<math> e^z = e^{x+iy} = \underbrace{e^x}_{\not=0} \cdot \underbrace{e^{iy}}_{\not=0} \not= 0 </math> === Eulersche Formel === Mit der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] kann die Exponentialfunktion mit <math>z=x+i\cdot y \in \mathbb{C}</math> wie folgt zerlegen: :<math> e^z = e^{x+iy} = \underbrace{e^x}_{\not=0} \cdot e^{iy} = e^x\cdot (\cos(y) + i \cdot \sin(y) ) </math> === Bijektive Abbildung === Um eine bijektive und holomorphe Abbildung zu erhalten, kann man den Definitionsbereich der Exponentialfunktion auf ein horizontales Streifen der Höhe <math>2\pi i</math> einschränken, zum Beispiel: :<math> G := \mathbb{R} + i\cdot (-\pi,+\pi) := \{ z \in \mathbb{C} \mid -\pi < \operatorname{Im}(z) \leq \pi \} \subset \mathbb{C} </math> In diesem Fall ist die Exponentialfunktion <math>\exp : G \to \mathbb{C}\setminus \{0\} </math> den "Streifen" <math>G </math> der Höhe <math>2\pi i</math> bijektiv auf auf den Wertebereich <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> ab. Die Bildmenge wird nun zum Definitionsbereich des Hauptzweiges vom Logarithmus. == Zusammenfassung == * Die Exponentialfunktion <math> \exp(z) </math> ist nicht injektiv und nicht surjektiv (wegen <math> \exp(z) \not= 0)</math> auf der gesamten komplexen Ebene. * Um eine bijektive [[holomorphe Funktion]] zu erhalten, muss man den Definitionsbereich <math>\mathbb{D}</math> und den Wertebereich <math>\mathbb{W}</math> der Logarithmusfunktion <math>\log_G : G \to \mathbb{W} </math> so einschränken, dass eine bijektive Abbildung entsteht. * für die offene Menge <math>\mathbb{D}</math> muss im Allgemeinen nur [[einfach zusammenhängend]] mit <math>0\notin \mathbb{D}</math> sein (siehe auch [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/generalisiert|generalisierte Logarithmen]]). * Ein Zweig des Logarithmus kann definiert werden, indem der Definitionsbereich des Logarithmus eingeschränkt wird, zum Beispiel auf <math> \mathbb{C} \setminus (-\infty, 0] </math>. === Algebraische Vervollständigung === Wenn man den Definitionsbereich von einer geschlitzten Ebene <math> \mathbb{W} := \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}_{0}^{-}</math> auf <math>\mathbb{C}\setminus \{0\}</math> erweitert und gleichzeitig den Definitionsbereich <math>G:=\mathbb{R}+(-\pi,+\pi) \cdot i </math> zu <math>G_+ := \mathbb{R} + (-\pi,+\pi]\cdot i</math> für den Hauptzweig erweitert, bleibt die algebraisch die Bijektivität erhalten, aber man verliert die Eigenschaft der Stetigkeit auf dem ganzen Definitionsbereich. Alternativ kann man für den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#negativer_Hauptzweig|negativen Hauptzweig]] den Definitionsbereich <math>G_1 := \mathbb{R} + (0,2\pi)\cdot i</math> auch diesen Definitionsbereich auf <math>\mathbb{D}_1 := \mathbb{R} + [0,2\pi)\cdot i</math> erweitern und man verliert analog die Eigenschaft der Stetigkeit und komplexen Differenzierbarkeit auf ganz <math>\mathbb{D}_1</math>. == Siehe auch == * [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] * [[holomorphe Funktion]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexer Logarithmus]] * [[Logarithmus|reeller Logarithmus]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion als Wegintegral]] rcu6ud1dk35sncdeost1067q2mlrsh2 14 172949 1115661 2026-10-10T08:34:30Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1115661 wikitext text/x-wiki {{Aufgaben-Kategorie unter}} rlx6vbjzsocfumyk0vs76mvwpuhptd4 14 172950 1115662 2026-10-10T08:34:53Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1115662 wikitext text/x-wiki {{ Theorie-Kategorie unter{{{opt|}}} |Theorie der Quadratzahlen|N ||}} 65ltfcru8ypuuw2qwg6uh5n00ewo42y 1115667 1115662 2026-10-10T08:36:49Z Bocardodarapti 2041 1115667 wikitext text/x-wiki {{ Theorie-Kategorie unter{{{opt|}}} |Theorie der Quadratzahlen|N |Theorie der Potenzierung der natürlichen Zahlen|Quadrat}} lh3as15otppwmfnf9f77z9gwed4zcjs 14 172951 1115665 2026-10-10T08:35:47Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1115665 wikitext text/x-wiki {{Definitions-Kategorie unter}} ls4sw8lzp64qkyjccp3etf8xupqojj9 14 172952 1115670 2026-10-10T08:37:55Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1115670 wikitext text/x-wiki {{Lösungs-Kategorie unter}} 5q1vyq1m9unmx4esndm9tvnwdz5b46a 106 172953 1115693 2026-10-10T09:03:21Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1115693 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Aufgabe|2||Kurs=|}} br1dddtddao699zmlt93xhiksoiki8m 1115697 1115693 2026-10-10T09:04:47Z Bocardodarapti 2041 1115697 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Aufgabe|2|12|Kurs=|}} m6lq6btkrne96zu4pw8plfls0e6w1n2 106 172954 1115694 2026-10-10T09:03:29Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1115694 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Aufgabe|2||Kurs=|}} br1dddtddao699zmlt93xhiksoiki8m 1115698 1115694 2026-10-10T09:04:58Z Bocardodarapti 2041 1115698 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Aufgabe|2|13|Kurs=|}} b0o94nk2tptsmwfs3aojkq9hzwvs980 106 172955 1115695 2026-10-10T09:03:35Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1115695 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Aufgabe|2||Kurs=|}} br1dddtddao699zmlt93xhiksoiki8m 1115696 1115695 2026-10-10T09:04:38Z Bocardodarapti 2041 1115696 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Aufgabe|2|9|Kurs=|}} kyqeo6ndhw75e51pgpg4afrp2027qry