Diskussion:Hauptseite

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&lt;div style=&quot;border: 2px solid #008000; background-color: #B9FFC5; padding: 1em; margin: 1em 1em 1em 1em;&quot;&gt;

* Bitte stelle hier Fragen, die '''Inhalt, Technik und Gestaltung der Hauptseite''' betreffen.
* Diskussionen zu projektbezogenen Themen werden in der '''[[Wikiversity:Cafeteria|Cafeteria]]''' geführt.
* Abgeschlossene Diskussionen werden '''[[/Archiv|archiviert]]'''.

&lt;div style=&quot;text-align:center; font-size:115%;&quot; class=&quot;plainlinks&quot;&gt;[http://de.wikiversity.org/wiki/Diskussion:Hauptseite?action=edit&amp;section=new '''Neue Frage einreichen''']&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;div style=&quot;border: 2px solid #008000; background-color: white; padding: 1em; margin: 1em 1em 1em 1em;&quot;&gt;
Die Inhalte der Hauptseite werden mittels Vorlagen eingebunden, die einzeln bearbeitet werden können:

'''Verwendete Vorlagen'''

* [[Vorlage:Hauptseite:Willkommen]]
* [[Vorlage:Hauptseite:Campus]]
* [[Vorlage:Hauptseite:Kommunikation]]
* [[Vorlage:Hauptseite:News]]
* [[Vorlage:Hauptseite:Aktuell]]
* [[Vorlage:Hauptseite:Schwesterprojekte]]
&lt;/div&gt;

__TOC__

== Campus ==

mit der Aenderung, den Campus ganz rauszunehmen, bin ich nicht einverstanden. Das Ergebnis ist, dass es jetzt keinen Link zu aktiven universitaeren Fachbereichen wie der Mathematik gibt. Unter Navigation, wo Schule steht, koennte man Campus oder Universitaet haben, und auf der Campusseite dann die aktiven Bereiche herausstellen (mit einer kurzen Beschreibung, was da passiert);  schoene Gruesse,--[[Benutzer:Bocardodarapti|Bocardodarapti]] ([[Benutzer Diskussion:Bocardodarapti|Diskussion]]) 01:07, 19. Apr. 2013 (CEST)
:Ich habe eine neue Seite [[Wikiversity:Hochschule]] (analog zu [[Wikiversity:Schule]]) angelegt. Dort können Links zu aktiven Hochschulprojekten gesammelt werden. Außerdem wäre dort Raum für konkrete Hilfestellung für Hochschullehrer, die auf Wikiversity arbeiten wollen. Alles weitere zu einzelnen Vorhaben sollte dann auf den jeweiligen Projektseiten stehen, die von den jeweiligen Lehrstühlen gepflegt werden. Wenn die Seite gut genug ist, kann sie in die Sidebar eingefügt werden. Wenn Seiten zu einzelnen Fächern gepflegt werden sollen, z.B. zur [[Mathematik]] oder zu einzelnen mathematischen Fächern etc., kann man sie ggf. neu anlegen. Wir sollten von den alten Campus-Strukturen weggehen, denn sie haben sich nicht bewährt. Diese Seiten würde ich gerne archivieren (am einfachsten wäre es, sie mit einem Baustein als inaktiv zu markieren und zu schützen).--[[Benutzer:Aschmidt|Aschmidt]] ([[Benutzer Diskussion:Aschmidt|Diskussion]]) 03:05, 19. Apr. 2013 (CEST)
&lt;br&gt;


{| class=&quot;wikitable&quot; style=background:#0047AB;&quot;
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&lt;div class=&quot;menuebox&quot; style=&quot;background:#0047AB&quot;&gt;
&lt;div class=&quot;menue&quot; style=&quot;width:100%&quot;&gt;

&lt;div class=&quot;aussen&quot;&gt;
    &lt;div class=&quot;menutag&quot;&gt;
    [[Kolloquium_Naturwissenschaften|Naturwissenschaften]]&lt;/div&gt;
&lt;mark&gt;[[Kolloquium_Naturwissenschaften|Kolloquium Naturwissenschaften]]&lt;/mark&gt;
* [[Alma Mater#1|Agrarwissenschaft]]
* [[Alma Mater#3|Astronomie]]
* &lt;mark style=&quot;background:lime;&quot;&gt;[[Alma Mater#7|Biologie]]&lt;/mark&gt;
* &lt;mark style=&quot;background:lime;&quot;&gt;[[Alma Mater#8|Chemie]]&lt;/mark&gt;
* [[Alma Mater#11|Geowissenschaft]]
* [[Alma Mater#13|Humanmedizin]]
* &lt;mark style=&quot;background:lime;&quot;&gt;[[Alma Mater#22|Mathematik]]&lt;/mark&gt;
* [[Alma Mater#25|Neurowissenschaft]]
* [[Alma Mater#27|Pflegewissenschaft]]
* &lt;mark style=&quot;background:lime;&quot;&gt;[[Alma Mater#29|Physik]]&lt;/mark&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;div class=&quot;aussen&quot; &gt;
    &lt;div class=&quot;menutag&quot;&gt;
    [[Kolloquium_Ingenieurwissenschaften|Ingenieurwissenschaften]]&lt;/div&gt;
&lt;mark&gt;[[Kolloquium_Ingenieurwissenschaften|Kolloquium Ingenieurwissenschaften]]&lt;/mark&gt;
* [[Alma Mater#2|Architektur und Stadtplannung]]
* [[Alma Mater#4|Bauingenieurwesen]]
* [[Alma Mater#9|Elektrotechnik und Elektronik]]
* &lt;mark style=&quot;background:lime;&quot;&gt;[[Alma Mater#14|Informatik]]&lt;/mark&gt;
* [[Alma Mater#19 |Luft- und Raumfahrttechnik]]
* [[Alma Mater#20 |Maschinenbau]]
* [[Alma Mater#21 |Materialwissenschaften]]
* [[Alma Mater#23 |Mechatronik]]
* [[Alma Mater#37|Versorgungs- und Gebäudetechnik]]
* [[Alma Mater#41 |Wirtschaftsingenieurwesen]]
&lt;/div&gt;

&lt;div class=&quot;aussen&quot;&gt;
    &lt;div class=&quot;menutag&quot;&gt;
    [[Kolloquium_Sozialwissenschaften|Sozialwissenschaften]]&lt;/div&gt;
&lt;mark&gt;[[Kolloquium_Sozialwissenschaften|Kolloquium Sozialwissenschaften]]&lt;/mark&gt;
* &lt;mark style=&quot;background:lime;&quot;&gt;[[Alma Mater#5|Betriebwirtschaftlehre (BWL)]]&lt;/mark&gt;
* [[Alma Mater#10|Empirische Sozialforschung]]
* [[Alma Mater#30|Politikwissenschaft]]
* [[Alma Mater#31|Psychologie]]
* [[Alma Mater#32|Rechtswissenschaft (Jura/Jus)]]
* [[Alma Mater#34|Sozialwirtschaft]]
* [[Alma Mater#35|Soziologie]]
* [[Alma Mater#36|Sprach- und Literaturwissenschaften]]
* [[Alma Mater#40|Volkswirtschaftslehre (VWL)]]
&lt;/div&gt;

&lt;div class=&quot;aussen&quot;&gt;
    &lt;div class=&quot;menutag&quot;&gt;
    [[Kolloquium_Geistwissenschaften|Geistwissenschaften]]&lt;/div&gt;
&lt;mark&gt;[[Kolloquium_Geistwissenschaften|Kolloquium Geistwissenschaften]]&lt;/mark&gt;
* &lt;mark style=&quot;background:lime;&quot;&gt;[[Alma Mater#6|Bibliotheks-, Informations- und &lt;br&gt; Dokumentationswissenschaften]]&lt;/mark&gt;
* &lt;mark style=&quot;background:lime;&quot;&gt;[[Alma Mater#12 |Geschichte]]&lt;/mark&gt;
* [[Alma Mater#16|Kommunikationswissenschaft]]
* &lt;mark style=&quot;background:lime;&quot;&gt;[[Alma Mater#17|Kunst- und Bildwissenschaften]]&lt;/mark&gt;
* [[Alma Mater#18 |Kunst und Design]]
* [[Alma Mater#24|Musik]]
* [[Alma Mater#26|Pädagogik]]
* &lt;mark style=&quot;background:lime;&quot;&gt;[[Alma Mater#28|Philosophie]]&lt;/mark&gt;
* &lt;mark style=&quot;background:lime;&quot;&gt;[[Alma Mater#33|Religionswissenschaften und Theologie]]&lt;/mark&gt;
* [[Alma Mater#39|Visuelle Kommunikation]]
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

[[Datei:Wikiversity Logo.png|mini|links]]
[[Datei:Globalen Logo für Offene Bildungsresourcen - Global OER Logo in German.svg|mini|rechts]]
 &lt;big&gt;&lt;big&gt;&lt;big&gt;&lt;big&gt;&lt;big&gt;&lt;big&gt;&lt;big&gt;&lt;br&gt;[[Wikiversität]]&lt;/big&gt;&lt;/big&gt;&lt;/big&gt;&lt;/big&gt;&lt;/big&gt;&lt;/big&gt;&lt;/big&gt;
 &lt;big&gt;&lt;big&gt;&lt;big&gt;&lt;big&gt;[[Freie Lehr- und Lernmaterialien]]&lt;/big&gt;&lt;/big&gt;&lt;/big&gt;&lt;/big&gt;
|}


--[[Benutzer:Cloud forest|Cloud forest]] ([[Benutzer Diskussion:Cloud forest|Diskussion]]) 18:38, 4. Apr. 2021 (CEST)


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|style=&quot;background:#CEF2F2;&quot;|&lt;big&gt;&lt;big&gt;[[Mathematik|MAT]]&lt;/big&gt;&lt;/big&gt;||style=&quot;background:white;&quot;|&lt;big&gt;&lt;big&gt;[[Informatik|INF]]&lt;/big&gt;&lt;/big&gt;||style=&quot;background:gray;&quot;|&lt;big&gt;&lt;big&gt;[[Kunst|KUN]]&lt;/big&gt;&lt;/big&gt;||style=&quot;background:black;color:white;&quot;|&lt;big&gt;&lt;big&gt;[[Sprache|SPR]]&lt;/big&gt;&lt;/big&gt;
|-
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 &lt;big&gt;&lt;big&gt;&lt;big&gt;&lt;big&gt;&lt;big&gt;&lt;big&gt;&lt;big&gt;[[Wikischule]]&lt;/big&gt;&lt;/big&gt;&lt;/big&gt;&lt;/big&gt;&lt;/big&gt;&lt;/big&gt;&lt;/big&gt;
 &lt;big&gt;&lt;big&gt;&lt;big&gt;&lt;big&gt;[[Freie Lehr- und Lernmaterialien]]&lt;/big&gt;&lt;/big&gt;&lt;/big&gt;&lt;/big&gt;
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[[Datei:Globalen Logo für Offene Bildungsresourcen - Global OER Logo in German.svg|150px]] 
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| [[Datei:No. COSMOS (star-chart).png|500px]]||[[Datei:No. COSMOS (star-chart) black.png|500px]]
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--[[Benutzer:Cloud forest|Cloud forest]] ([[Benutzer Diskussion:Cloud forest|Diskussion]]) 16:46, 8. Apr. 2021 (CEST)

== Educational Picture of the Day ==
Ich schlage vor, auf der deutschen Hauptseite nach dem Vorbild der englischsprachigen Wikiversity ein Bild des Tages einzuführen, das sich für die Verwendung im Bildungswesen eignet. Die englischsprachigen Kollegen haben diese Initiative im Rahmen einer &quot;Educational Media Awareness Campaign&quot; gestartet, um auf die vielen in commons verfügbaren Medien zur freien verwendung im Bidlungswesen aufmerksam zu machen. Mit dem Wikiversity-Bild-des-Tages könnten wir als Teil dieser Campaign im deutschsprachigen Raum wirken. --[[Benutzer:Wvk|Wvk]] ([[Benutzer Diskussion:Wvk|Diskussion]]) 08:38, 23. Apr. 2013 (CEST)
:+1. Das Picture of the day hatte mir auch immer gut gefallen. --[[Benutzer:Aschmidt|Aschmidt]] ([[Benutzer Diskussion:Aschmidt|Diskussion]]) 20:16, 23. Apr. 2013 (CEST)

== Wikiversity aktuell und Blickpunkt ==

Der Kasten &quot;Wikiversity aktuell&quot; sollte selbst keine Meldungen mehr enthalten. Die Lehrveranstaltungen für das aktuelle Semester werden auf [[Wikiversity:Hochschule]] gelistet. Daneben gibt es Nachrichtenseiten für Wikimedia und Bildung, die man schlicht verlinken kann. Alles weitere ebenda. Den &quot;Blickpunkt&quot; könnte man aber beibehalten und pflegen.--[[Benutzer:Aschmidt|Aschmidt]] ([[Benutzer Diskussion:Aschmidt|Diskussion]]) 21:21, 23. Apr. 2013 (CEST)

== tippfehler ==

Moin! Einn Leerzeichen fehlt vorne: &quot;aufbereitet.Hier&quot;. Gruß--[[Benutzer:Ot|Ot]] ([[Benutzer Diskussion:Ot|Diskussion]]) 14:51, 20. Mai 2013 (CEST)

== Beste Inhalte auf der Startseite praesentieren ==

Ich schlage vor, dass wir auf der startseite noch folgendes Template hinzufuegen [[Vorlage:Hauptseite:Beispielkurse]], damit wir neuen Nutzern (Lehrende wie Lernende) sofort zeigen koennen, dass Wikiversity lebt und tolle Inhalte besitzt --[[Benutzer:Renepick|Renepick]] ([[Benutzer Diskussion:Renepick|Diskussion]]) 14:40, 20. Jul. 2013 (CEST)

== Wikivoyage-Logo ==
[[Datei:Wikivoyage-Logo-v3-en.svg|rechts|100px|Logo]]
Wikivoyage [[:voy:Wikivoyage:Lounge#Wikivoyage logo: final selection|hat ein neues Logo]]. Darum sollte das Logo unter &quot;Schwesterprojekte&quot; durch &lt;code&gt;Wikivoyage-Logo-v3-icon.svg&lt;/code&gt; ([[Datei:Wikivoyage-Logo-v3-icon.svg|25px]]) ersetzt werden. --[[Benutzer:Entbert|Entbert]] ([[Benutzer Diskussion:Entbert|Diskussion]]) 18:55, 2. Sep. 2013 (CEST)

PS: Und bitte auch gleich in der [[Vorlage:Hauptseite:Schwesterprojekte]] ändern. --[[Benutzer:Entbert|Entbert]] ([[Benutzer Diskussion:Entbert|Diskussion]]) 18:59, 2. Sep. 2013 (CEST)

Hat sich nun erledigt, da das Logo verschoben wurde. --[[Benutzer:Entbert|Entbert]] ([[Benutzer Diskussion:Entbert|Diskussion]]) 22:16, 29. Sep. 2013 (CEST)

== Design der Hauptseite kaputt ==

Der Untertitel &quot;Freie Lehr- und Lernmaterialien&quot; auf der Hauptseite ist aktuell gar nicht zu lesen. Irgend etwas stimmt da mit dem CSS nicht. Wenn ihr in der [[Vorlage:Hauptseite:Wikiversity]] einfach die Angabe &lt;code&gt;top:32px;&lt;/code&gt; löscht, ist das Design zwar noch nicht ganz optimal, aber der Text wenigstens wieder zu lesen. --[[Benutzer:Thiemo Mättig (WMDE)|Thiemo Mättig (WMDE)]] ([[Benutzer Diskussion:Thiemo Mättig (WMDE)|Diskussion]]) 12:27, 17. Okt. 2014 (CEST)
:Ich kümmer mich drum. --[[Benutzer:Pölkkyposkisolisti|Pölkkyposkisolisti]] ([[Benutzer Diskussion:Pölkkyposkisolisti|Diskussion]]) 13:08, 17. Okt. 2014 (CEST)

== Informatik ==

Ihr könntet dort vielleicht [[Kurs:Genetische Algorithmen]] ergänzen. --[[Benutzer:Crosby Newton|Crosby Newton]] ([[Benutzer Diskussion:Crosby Newton|Diskussion]]) 23:39, 29. Dez. 2014 (CET)
:Ich habe ein '''Zeitproblem'''. Ich habe an einem Tag gleichzeitig '''den 24.01.2016 (2015 Sonntag)''' und den '''25.01.2016 Montag'''. Auf Grund der '''Technichen Aufzeichnung''' ist '''nur der 25.01.2015 (Sonntag &quot;15 Uhr&quot;)''' richtig. NBK [[Spezial:Beiträge/192.121.232.253|192.121.232.253]] 09:07, 26. Jan. 2016 (CET)

== Kurs Uni Bielefeld ==
Bitte den Kurs [[Kurs:Funktionen_und_Folgen_formalisierter_Organisationen | Uni Bielefeld]] auf der Hauptseite ergänzen! Besten Dank
[[Benutzer:Unisoz|Unisoz]] ([[Benutzer Diskussion:Unisoz|Diskussion]]) 11:03, 2. Apr. 2020 (CEST)

== MEDIENKOMPETENZ IN DER SCHULE ==


Medien können einerseits den fachlichen Kompetenzerwerb unterstützen und bereichern und zum anderen auch selbst Gegenstand des Unterrichts werden. Sowohl das Lernen mit Medien als auch das Lernen über Medien findet im Unterricht der einzelnen Fächer in jeweils spezifischer Ausprägung statt.


'''Lernen über Medien'''
Gleichzeitig werden digitale Medien selbst zum Unterrichtsgegenstand. Die reflektierte Nutzung digitaler Medien und ein sozial verantwortliches Handeln im virtuellen Raum sind die Unterrichtsziele. Dazu müssen eine anwendungsbezogene Perspektive, eine gesellschaftlich-kulturelle Perspektive und eine technologische Perspektive berücksichtigt werden.
In der anwendungsbezogenen Perspektive geht es um die Handhabung der digitalen Medien, damit sie als Werkzeuge zur Verfügung stehen können.
In der gesellschaftlich-kulturellen Perspektive werden medial übertragene Inhalte, ihre Möglichkeiten der Aufbereitung und der Verbreitung analysiert und kritisch reflektiert. Es gilt, Kenntnisse über Mechanismen medialer Manipulation zu untersuchen und die Gefahren des medialen Einflusses auf Weltwahrnehmung und Wertorientierungen zu erkennen. In der technologischen Perspektive werden die Strukturen und Funktionen von digitalen Medien als Informatiksysteme betrachtet. Erst damit können die Möglichkeiten und Risiken der Nutzung digitaler Medien, wie etwa die Möglichkeiten der Datenverarbeitung und der
Informationsgewinnung, aber auch Fragen zu Datensicherheit und Datenmissbrauch, verstanden und beurteilt werden.


'''Lernen mit Medien''' 
Im Fachunterricht werden digitale Medien ausgehend von vorhandenen fachdidaktischen Konzepten eingesetzt, um Informationen zu beschaffen und zu erweitern, um Kenntnisse zu festigen und Fertigkeiten einzuüben, Erkenntnisse zu gewinnen, kreative Lernprodukte zu schaffen, Ergebnisse zu präsentieren und über den
Klassenraum hinweg zu kommunizieren. Dabei eröffnen die vielfältigen Anpassungsmöglichkeiten an Lerntempo,Lernstand und Lerninteresse große Chancen der individuellen Förderung und des selbstständigen Lernens. Wegen seiner vielfältigen Möglichkeiten, Barrieren zu mildern, bietet der Einsatz digitaler Medien zudem ein bedeutendes Potenzial für das Lernen im inklusiven Unterricht. Digitale Medien unterstützen das Lernen, bestimmen es aber nicht.

'''1. Suchen, Verarbeiten und Aufbewahren
'''2. Kommunizieren und Kooperieren
'''3. Produzieren und Präsentieren'''
'''4. Schützen und sicher Agieren'''
'''5. Problemlösen und Handeln'''
'''6. Analysieren und Reflektieren'''


In den Unterpunkten zu diesen sechs Kompetenzbereichen
wird das Lernen mit Medien und das Lernen über Medien
jeweils unterschiedlich gewichtet. So wird in den Anforderungen der Kompetenzbereiche 1, 2, 3, 5 und 6 das fachliche
Lernen mit Medien mit einem Lernen über Medien verknüpft, während sich der Kompetenzbereich 4 ausschließlich dem Lernen über Medien widmet.

== Die Natur holt sich die Plätze züruck! ==

Pflege ist Liebe!
--[[Benutzer:Cloud forest|Cloud forest]] ([[Benutzer Diskussion:Cloud forest|Diskussion]]) 08:51, 28. Feb. 2021 (CET)

== Stumm und Taub! ==

Sind Sie eingeschlafen? --[[Benutzer:Cloud forest|Cloud forest]] ([[Benutzer Diskussion:Cloud forest|Diskussion]]) 11:06, 24. Apr. 2021 (CEST)

: mir sind solche Kommentare nicht nachvollziehbar. [[Benutzer:Bocardodarapti|Bocardodarapti]] ([[Benutzer Diskussion:Bocardodarapti|Diskussion]]) 11:44, 24. Apr. 2021 (CEST)
:: Entschuldigung, aber irgiendwie bin ich unkonform mir der Hauptseite! --[[Benutzer:Cloud forest|Cloud forest]] ([[Benutzer Diskussion:Cloud forest|Diskussion]]) 12:51, 24. Apr. 2021 (CEST)
::Zum Beispiel es ist Möglich im Banner &quot;[[Freie Lehr- und Lernmaterialien]]&quot; intern zu verknüpfen. --[[Benutzer:Cloud forest|Cloud forest]] ([[Benutzer Diskussion:Cloud forest|Diskussion]]) 13:21, 24. Apr. 2021 (CEST)
::Eine lebendige Seite ist wünscheswert. --[[Benutzer:Cloud forest|Cloud forest]] ([[Benutzer Diskussion:Cloud forest|Diskussion]]) 14:01, 29. Apr. 2021 (CEST)
: [[Spezial:Beiträge/2003:CB:A71C:9F00:1159:2C26:449E:4128|2003:CB:A71C:9F00:1159:2C26:449E:4128]] 17:25, 7. Mär. 2024 (CET)

== Technisches Update bezüglich der Einzelnachweise ==

Hallo zusammen. Ich habe in der Technik-Werkstatt der WP-DE angefragt, ob hier die Mediawiki-Konfiguration so geändert werden kann, dass Einzelnachweise so wie in der WP-DE dargestellt werden, siehe [[w:Wikipedia:Technik/Werkstatt#Einzelnachweise in der Wikiversität|hier]]. Konkret geht es darum, dass
# bei der mehrfachen Referenzierung derselben Quelle mit ''ref name'' nicht Nummern (4,00, 4,01, 4,02 usw.) angezeigt werden sollen, sondern Buchstaben (a, b, c usw.) wie in der Wikipedia
# Darstellung der Einzelnachweis-Liste in mehreren Spalten durch ''references responsive'', die in der Wikipedia bereits seit 2017 existiert, auch hier verfügbar gemacht wird.
Damit ein Ticket erstellt werden kann, muss ein Votum der de-Wikiversity-Community vorliegen. Können wir darüber hier einen Konsens herstellen? Vielen Dank im Voraus für Rückmeldungen. [[Benutzer:PaFra|PaFra]] ([[Benutzer Diskussion:PaFra|Diskussion]]) 23:29, 7. Nov. 2024 (CET)
::Die Sache hat sich erledigt. Ist schon technisch umgesetzt.--[[Benutzer:PaFra|PaFra]] ([[Benutzer Diskussion:PaFra|Diskussion]]) 21:42, 8. Nov. 2024 (CET)</text>
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    <title>Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus</title>
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      <contributor>
        <username>Bert Niehaus</username>
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      </contributor>
      <comment>/* Einleitung */</comment>
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      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="15176" sha1="nlhcactszvizhw3xegaez63tit7sf1n" xml:space="preserve">== Einleitung ==
In dieser Lerneinheit wird der Zusammenhang zwischen der Funktion &lt;math&gt; \exp(z) &lt;/math&gt; und &lt;math&gt; \frac{1}{z} &lt;/math&gt; sowie die Definition eines Zweiges des Logarithmus und die Notwendigkeit der Einschränkung der Definitions- und Wertebereiche der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] betrachtet, um eine bijektive und holomorphe [[w:de:Umkehrfunktion|Umkehrfunktion]] der Exponentialfunktion zu erhalten.
:&lt;math&gt; \exp(z) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{n!} 
&lt;/math&gt;

=== Vertiefende Lerneinheiten ===
* [[/Zweige/|Zweige des Logarithmus]]
* [[/Argumentfunktion/|Argumentfunktion und Polarkoordinatendarstellung]]
* [[/generalisiert/|generalisierter Logarithmus]] auf beliebigen [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] [[Gebiet (Mathematik)|Gebieten]], 
* [[/logmod/|logmod-Funktion]] und Periodizität der Exponentionalfunktion 
* [[/rlog/|rlog-Funktion]], beschreibt wie oft kann man einen Logarithmus als Verkettung &quot;rekursiv&quot; anwenden kann. 
* [[/rekursiver Logarithmus/]] als Mehrfachverkettung des Logarithmus mit sich selbst.
* [[/Eulersche Nullstellen/]]
* [[/einfach zusammenhängende LOG-Gebiete/]]

=== Zusammenhang zwischen Exponentialfunktion und Logarithmus ===
Die Exponentialfunktion &lt;math&gt; \exp(z) &lt;/math&gt; ist eine ganze Funktion, dessen Definitionsbereich &lt;math&gt;\mathbb{D} \subset \mathbb{C}&lt;/math&gt; und Wertebereich &lt;math&gt;\mathbb{D} \subset \mathbb{C}&lt;/math&gt; einschränken muss, um eine bijektive Abbildung  und &lt;math&gt; \exp : \mathbb{D} \to \mathbb{W}&lt;/math&gt; zu erhalten, für die man eine Umkehrfunktion definieren kann. 

=== Situation in der reellen Zahlen - Umkehrfunktion von exp(z) ===
&lt;math&gt; \exp : \mathbb{R} \to \mathbb{R}&lt;/math&gt; ist injektiv aber nicht surjektiv. Durch die Einschränkung des Wertebereiches von &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; auf &lt;math&gt;\mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt; ist die Funktion &lt;math&gt; \exp : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt; bijektiv und man kann nach einer Umkehrfunktion (den [[w:de:natürlicher Logarithmus|natürliche Logarithmus]]) suchen. Diese Konzept der Suche nach potentiellen Umgekehrfunktionen kann in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] nicht eindeutig beantwortet werden. In den komplexen Zahlen gibt unabhängig von der Wahl der Konstanten einer Stammfunktion von &lt;math&gt;\tfrac{1}{z}&lt;/math&gt; unterschiedliche Möglichkeiten Logarithmen zu definieren.

== Aufgaben ==
* '''(A1)''' [[Logarithmus#A1|Injektivität und Surjektivität]] 
* '''(A2)''' [[Logarithmus#A2|Stammfunktion als Wegintegrale]]

&lt;span id=&quot;aufgabe1&quot;&gt;&lt;/span&gt;
=== Aufgabe 1 - Umkehrbarkeit der komplexen Exponentialfunktion ===
Erläutern Sie, warum &lt;math&gt; \exp : \mathbb{C} \to \mathbb{C}&lt;/math&gt; weder injektiv noch surjektiv ist. Schränken Sie den Definitionsbereich und Wertebereich der komplexen Exponentialfunktion so ein, dass
&lt;math&gt; \exp : \mathbb{D} \to \mathbb{W}&lt;/math&gt; bijektiv ist und eine [[w:de:Umkehrfunktion|Umkehrfunktion]] besitzt!

&lt;span id=&quot;aufgabe2&quot;&gt;&lt;/span&gt;

=== Aufgabe 2 - Stammfunktion von 1/x in den reellen Zahlen ===
In den reellen Zahlen der Logarithmus z.B. auf den positiven reellen Zahlen die Stammfunktion von &lt;math&gt;\frac{1}{x} &lt;/math&gt;. Welche Beziehung besteht zwischen eine Zweig des Logarithmus und einem Wegintegral über die Funktion &lt;math&gt;\frac{1}{x} &lt;/math&gt;.

=== Eigenschaften 1/z im Komplexen ===
Die holomorphe Funktion &lt;math&gt; f(z)=\frac{1}{z} &lt;/math&gt; ist eine rationale Funktion, die auf &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; definiert ist. Sie besitzt aber auf &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; keine Stammfunktion, denn sonst würde das Integral über den Kreis um 0 nicht den Wert &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; sondern 0 liefern. &lt;math&gt; f(z)=\frac{1}{z} &lt;/math&gt; hat eine Polstelle bei &lt;math&gt; z = 0 &lt;/math&gt;.

=== Einschränkung des Definitions- / Wertebereiches ===
* '''([[w:de:Injektivität|injektiv]])''' Um eine injektive Abbildung für Definition des Logarithmus zu erhalten, muss man den ''Definitionsbereich'' einschränken, damit die Element aus dem Definitionsbereich entfernt, die auf die gleichen Bildpunkt abgebildet werden.
* '''([[w:de:Surjektivität|surjektiv]])''' Um eine surjektive Abbildung für Definition des Logarithmus zu erhalten, muss man den ''Wertebereich'' einschränken und &quot;nicht getroffene&quot; Elemente aus dem Wertebereich zu entfernen

&lt;span id=&quot;komplex&quot;&gt;&lt;/span&gt;

== Definition des komplexen Logarithmus ==
Analog zur reellen Definition heißt jede komplexe Zahl &lt;math&gt;w&lt;/math&gt; ein ''natürlicher Logarithmus'' von &lt;math&gt;z&lt;/math&gt;, wenn &lt;math&gt;w&lt;/math&gt; die folgende Gleichung bzgl. einem gegebenen &lt;math&gt;z&lt;/math&gt; erfüllt:
: &lt;math&gt;\mathrm{e}^w = z&lt;/math&gt;

=== Existenz ===
Für jedes &lt;math&gt;z \in \mathbb{C} \setminus \{0\}&lt;/math&gt; existiert ein solches &lt;math&gt;w&lt;/math&gt;. Man stellt dazu das Element &lt;math&gt;z&lt;/math&gt; in Polarkoordinaten mit &lt;math&gt;t\in [0,2\pi) &lt;/math&gt; wie folgt dar:
:&lt;math&gt;
  z= |z|\cdot e^{it}
&lt;/math&gt;
Dann ist &lt;math&gt;w:=\underbrace{\ln(|z|)}_{\in \mathbb{R}} + i\cdot \underbrace{t}_{\in \mathbb{R}}&lt;/math&gt; ein Logarithmus in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt;, da mit [[w:de:Potenzgesetze|Potenzgesetzen]] folgende Gleichung gilt:
:&lt;math&gt;
  e^w = e^{\ln(|z|) + i\cdot t} = e^{\ln(|z|)} \cdot  e^{i\cdot t} =  |z|\cdot e^{it} = z 
&lt;/math&gt;

=== Eindeutigkeit ===
Im Unterschied zum reellen Logarithmus ist der komplexe Logarithmus wegen
: &lt;math&gt;\mathrm{e}^{2k\pi \mathrm{i}} = 1, \quad k \in \mathbb{Z}&lt;/math&gt;,
nicht eindeutig bestimmt ist. Hat man also einen Logarithmus &lt;math&gt;w&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;z&lt;/math&gt; gefunden, so ist damit auch
: &lt;math&gt;w' =\,\! w + 2k\pi \mathrm{i}&lt;/math&gt;
mit jeder ganzen Zahl &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; ein Logarithmus von &lt;math&gt;z&lt;/math&gt;, denn es gilt
: &lt;math&gt;\mathrm{e}^{w'} = \mathrm{e}^{w + 2k\pi \mathrm{i}} = \mathrm{e}^w \cdot \mathrm{e}^{2k\pi \mathrm{i}} = \mathrm{e}^w \cdot 1 = \mathrm{e}^w = z&lt;/math&gt;.

=== Komplexer Logarithmus als Abbildung ===
Für die Definition einer Abbildung muss man einen eindeutigen Funktionswerte &lt;math&gt;\ln(z):=w&lt;/math&gt; definieren. Um Eindeutigkeit zu erreichen, wählt man aus den möglichen Werten für &lt;math&gt;w&lt;/math&gt; solche Werte aus, die in einem geeigneten Streifen der komplexen Zahlenebene liegen. Man kann z.&amp;nbsp;B. den Streifen
: &lt;math&gt;\left\{w \in \mathbb{C}: -\pi &lt; \operatorname{Im}\,w \leq \pi \right\}&lt;/math&gt;
verwenden. Ein Wert &lt;math&gt;w&lt;/math&gt; aus diesem Streifen heißt ''Hauptwert'' (engl. ''principal value'') des Logarithmus, und man schreibt &lt;math&gt;w = \ln(z)&lt;/math&gt;.

=== Zweige des Logarithmus ===
Stellt man &lt;math&gt;z = |z| \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i} \arg(z)}&lt;/math&gt; in [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|Polarform]] dar, so erhält man eine einfache Darstellung des ''k-ten Zweiges'' der Logarithmusfunktion:
: &lt;math&gt;w = \ln |z| + \mathrm{i}\left(\arg(z) + 2k\pi\right), \quad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;
mit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] &lt;math&gt;\arg&lt;/math&gt;. Im Summanden &lt;math&gt;\ln |z|&lt;/math&gt; wird der bereits oben definierte reelle Logarithmus &lt;math&gt;\ln&lt;/math&gt; verwendet.
Für &lt;math&gt;k = 0&lt;/math&gt; erhält man den ''Hauptzweig'' des komplexen Logarithmus zurück:
: &lt;math&gt;\ln z = \ln|z| + \mathrm{i}\arg(z)&lt;/math&gt;.

=== Stetigkeit von Zweigen des Logarithmus ===
&lt;math&gt;\ln: \mathbb{C}\setminus\{0\} \to \mathbb{C}&lt;/math&gt; ist nicht stetig in den Punkten &lt;math&gt;\mathcal{N} := \{z \in \mathbb{C} \, \colon \, (z=x+i\cdot 0) \wedge (0 &lt; x\in \mathbb{R}) \}&lt;/math&gt;. Entfernt man jedoch die negative reelle Achse &lt;math&gt;\mathcal{N}&lt;/math&gt;, so ist &lt;math&gt;\ln&lt;/math&gt; auf dem Gebiet
: &lt;math&gt;\mathbb{C}\setminus\{x \in \mathbb{R}: x\leq 0\}&lt;/math&gt;
stetig und sogar [[w:de:Holomorphe Funktion|holomorph]].

=== Algebraisch vollständige Logarithmus ===
Für den [[Polynomialer Nullstellensatz|polynomialen Nullstellensatz]]

=== Vergleich - Rechenregeln reeller/komplexer Logarithmus ===
Für den Hauptzweig des komplexen Logarithmus &lt;math&gt;\ln&lt;/math&gt; gelten nicht alle der weiter oben angeführten [[w:de:Logarithmus#Logarithmengesetze|Rechenregeln für die reelle Logarithmusfunktion]]. Sie gelten nur &lt;math&gt;\text{mod } 2\pi \mathrm{i}&lt;/math&gt;.

==== Mehrdeutigkeit und Periodizität 1 ====
Diese Mehrdeutigkeit ist eine direkte Folge aus der Periodizität seiner Umkehrfunktion, der komplexen Exponentialfunktion. Es gilt:
: &lt;math&gt;\ln(x) + \ln(y) = \ln(x \cdot y)+ 2\pi n \, \,\, n\in \mathbb{Z} &lt;/math&gt;

==== Mehrdeutigkeit und Periodizität 2 ====
Der Vergleich von &lt;math&gt;\ln(x) + \ln(y)&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\ln(x \cdot y)&lt;/math&gt; zeigt:
: &lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
\ln(\underbrace{-1+\mathrm{i}}_{=x}) + \ln(\underbrace{-1+\mathrm{i}}_{=y}) 
&amp; = &amp;
\bigl(\ln\sqrt2+\frac{3\pi}4\mathrm{i}\bigr) + \bigl(\ln\sqrt2+\frac{3\pi}4\mathrm{i}\bigr) 
\\
&amp; = &amp;
\ln2+\frac{3\pi}2\mathrm{i}
 \end{array}  
&lt;/math&gt;
und 
:&lt;math&gt;
\ln\bigl(\underbrace{(-1+\mathrm{i}}_{=x})\cdot (\underbrace{-1+\mathrm{i}}_{=y})\bigr)
= \ln(-2\mathrm{i})=\ln2-\frac\pi2\mathrm{i}&lt;/math&gt;

==== Mehrdeutigkeit und Periodizität 3 ====
Dies liefert ein Beispiel, dass &lt;math&gt;\ln x + \ln y = \ln(x \cdot y)&lt;/math&gt; nicht für beliebige &lt;math&gt;x,y\in \mathbb{C}&lt;/math&gt; gilt. Der rechte und linke Term unterscheiden sich, um Vielfache von &lt;math&gt;2\pi&lt;/math&gt;, d.h.
: &lt;math&gt;\ln x + \ln y = \ln(x \cdot y) + 2\pi n&lt;/math&gt;

==== Mehrdeutigkeit und Periodizität 4 ====
Auch die Gleichung
: &lt;math&gt;y \cdot \ln (x) = \ln\left({x^y}\right)&lt;/math&gt;
ist nicht immer erfüllt, wie das Gegenbeispiel
: &lt;math&gt;2\pi \mathrm{i} \ln (\mathrm{e}) = 2\pi \mathrm{i} \; \neq \; 0 = \ln 1 = \ln(\mathrm{e}^{2\pi \mathrm{i}})&lt;/math&gt;
beweist.

=== Graphen ===
&lt;gallery widths=&quot;180&quot; heights=&quot;120&quot; perrow=&quot;3&quot; caption=&quot;Grafische Darstellung des komplexen Logarithmus&quot;&gt;
   Ln abs.png|Betrag von &lt;math&gt;\ln z&lt;/math&gt;
   Ln re.png|Realteil von &lt;math&gt;\ln z&lt;/math&gt;
   Ln im.png|Imaginärteil von &lt;math&gt;\ln z&lt;/math&gt;
&lt;/gallery&gt;

==== Hauptzweig ====
Mit dem oben definierten Hauptzweig des komplexen Logarithmus kann man den Logarithmus für negative reellen Zahlen erklären:
: &lt;math&gt;\ln(-x) = \ln\left\vert-x\right\vert+ \mathrm{i}\arg(-x) = \ln x + \mathrm{i}\pi, \quad x\in\mathbb{R}^+\ .&lt;/math&gt;
Das setzt voraus, dass die [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] &lt;math&gt;\arg&lt;/math&gt; negativen reellen Zahlen den Wert &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt; zuweist.

==== Bemerkung - Argumentfunktion ====
Diese Betrachtungen zeigen, dass die Mehrdeutigkeit des komplexen Logarithmus letztlich auf die Mehrdeutigkeit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] zurückzuführen ist.

== Entwicklung in Potenzreihen ==
Jede auf einem Gebiet &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; [[holomorphe Funktion]] lässt sich lokal in eine Potenzreihe entwickelt. Durch den Zusammenhang von &lt;math&gt;\frac{1}{z}&lt;/math&gt; und dem Logarithmus erhält man auch eine Potenzreihendarstellung für beliebige [[w:de:Potenzreihe|Entwicklungspunkte]] &lt;math&gt;z_o=|z_o|\cdot e^{it} \not=0&lt;/math&gt; über die [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] mit &lt;math&gt;q=\frac{z-z_o}{-z_o}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;|z-z_0| &lt; |z_0|&lt;/math&gt;:
:&lt;math&gt;f(z)= \frac{1}{z} 
= \frac{1}{z_o} \cdot \frac{1}{ 1-  \underbrace{\frac{z-z_o}{-z_o} }_{=q} }
=
 \sum_{n=0}^\infty 
\underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1}} }_{=a_n} \cdot (z-z_o)^n 
&lt;/math&gt;

=== Stammfunktion - Konstante der Taylorreihe ===
Für den Zweig des Logarithmus erhält man daher folgende Potenzreihendarstellung auf &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;r&lt; |z_0|&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;c= \ln(|z_o|) + i\cdot t&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;t\in \mathbb{R}&lt;/math&gt;:
:&lt;math&gt;F(z)= c +
 \sum_{n=0}^\infty 
\frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1} \cdot (n+1)}  \cdot (z-z_o)^{n+1} 
&lt;/math&gt;
Der zugehörige Zweig von &lt;math&gt;F&lt;/math&gt; ist insgesamt auf dem Gebiet &lt;math&gt;G:= \C \setminus \{ z\in \C \, : \,  z=\lambda \cdot z_0 \mbox{ mit } 0  \geq \lambda \in \R \}&lt;/math&gt; definiert.

=== Bemerkung - Eindeutigkeitlemma für Logarithmuszweige ===
Das 
[[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] zeigt, dass mit der Wahl eines [[einfach zusammenhängend]]en &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;0\notin G&lt;/math&gt; und der Festlegung des Imaginärteiles des Logarithmuszweige für ein &lt;math&gt;z_0\in G&lt;/math&gt; der gesamte Zwei des Logarithmus eindeutig definiert ist. Ferner wird zwischen dem (reellen) Hauptzweig und dem imaginären Hauptzweig des Logarithmus unterschieden, wobei einmal der negative reelle Achse entfernt wurde und für imaginären Hauptzweig des Logarithmus negative reelle Achse in &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; fehlt.

== Siehe auch ==
* [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]]
* [[/generalisiert/|generalisierte Logarithmen]]
* [[Logarithmus]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Lokale_Entwicklung_in_Potenzreihen|Lokale Entwicklung in Potenzreihen]]
* [[Kurs:Funktionentheorie]]

== Seiteninformation ==
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=== Wiki2Reveal ===

Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&amp;title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&amp;author=Kurs:Funktionentheorie&amp;language=de&amp;audioslide=yes&amp;shorttitle=Logarithmus&amp;coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem  [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt.
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--&gt;
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* Datum: 31.7.2025
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[[Category:Wiki2Reveal]]

&lt;noinclude&gt;[[en:Complex Analysis/Logarithm]]&lt;/noinclude&gt;
[[Kategorie:Funktionentheorie]]</text>
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      <timestamp>2026-10-12T07:03:21Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bert Niehaus</username>
        <id>20843</id>
      </contributor>
      <comment>/* Stammfunktion - Konstante der Taylorreihe */</comment>
      <origin>1115786</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="15193" sha1="hhaedyh7jj371r08p6bn5s1lya6yeu4" xml:space="preserve">== Einleitung ==
In dieser Lerneinheit wird der Zusammenhang zwischen der Funktion &lt;math&gt; \exp(z) &lt;/math&gt; und &lt;math&gt; \frac{1}{z} &lt;/math&gt; sowie die Definition eines Zweiges des Logarithmus und die Notwendigkeit der Einschränkung der Definitions- und Wertebereiche der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] betrachtet, um eine bijektive und holomorphe [[w:de:Umkehrfunktion|Umkehrfunktion]] der Exponentialfunktion zu erhalten.
:&lt;math&gt; \exp(z) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{n!} 
&lt;/math&gt;

=== Vertiefende Lerneinheiten ===
* [[/Zweige/|Zweige des Logarithmus]]
* [[/Argumentfunktion/|Argumentfunktion und Polarkoordinatendarstellung]]
* [[/generalisiert/|generalisierter Logarithmus]] auf beliebigen [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] [[Gebiet (Mathematik)|Gebieten]], 
* [[/logmod/|logmod-Funktion]] und Periodizität der Exponentionalfunktion 
* [[/rlog/|rlog-Funktion]], beschreibt wie oft kann man einen Logarithmus als Verkettung &quot;rekursiv&quot; anwenden kann. 
* [[/rekursiver Logarithmus/]] als Mehrfachverkettung des Logarithmus mit sich selbst.
* [[/Eulersche Nullstellen/]]
* [[/einfach zusammenhängende LOG-Gebiete/]]

=== Zusammenhang zwischen Exponentialfunktion und Logarithmus ===
Die Exponentialfunktion &lt;math&gt; \exp(z) &lt;/math&gt; ist eine ganze Funktion, dessen Definitionsbereich &lt;math&gt;\mathbb{D} \subset \mathbb{C}&lt;/math&gt; und Wertebereich &lt;math&gt;\mathbb{D} \subset \mathbb{C}&lt;/math&gt; einschränken muss, um eine bijektive Abbildung  und &lt;math&gt; \exp : \mathbb{D} \to \mathbb{W}&lt;/math&gt; zu erhalten, für die man eine Umkehrfunktion definieren kann. 

=== Situation in der reellen Zahlen - Umkehrfunktion von exp(z) ===
&lt;math&gt; \exp : \mathbb{R} \to \mathbb{R}&lt;/math&gt; ist injektiv aber nicht surjektiv. Durch die Einschränkung des Wertebereiches von &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; auf &lt;math&gt;\mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt; ist die Funktion &lt;math&gt; \exp : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt; bijektiv und man kann nach einer Umkehrfunktion (den [[w:de:natürlicher Logarithmus|natürliche Logarithmus]]) suchen. Diese Konzept der Suche nach potentiellen Umgekehrfunktionen kann in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] nicht eindeutig beantwortet werden. In den komplexen Zahlen gibt unabhängig von der Wahl der Konstanten einer Stammfunktion von &lt;math&gt;\tfrac{1}{z}&lt;/math&gt; unterschiedliche Möglichkeiten Logarithmen zu definieren.

== Aufgaben ==
* '''(A1)''' [[Logarithmus#A1|Injektivität und Surjektivität]] 
* '''(A2)''' [[Logarithmus#A2|Stammfunktion als Wegintegrale]]

&lt;span id=&quot;aufgabe1&quot;&gt;&lt;/span&gt;
=== Aufgabe 1 - Umkehrbarkeit der komplexen Exponentialfunktion ===
Erläutern Sie, warum &lt;math&gt; \exp : \mathbb{C} \to \mathbb{C}&lt;/math&gt; weder injektiv noch surjektiv ist. Schränken Sie den Definitionsbereich und Wertebereich der komplexen Exponentialfunktion so ein, dass
&lt;math&gt; \exp : \mathbb{D} \to \mathbb{W}&lt;/math&gt; bijektiv ist und eine [[w:de:Umkehrfunktion|Umkehrfunktion]] besitzt!

&lt;span id=&quot;aufgabe2&quot;&gt;&lt;/span&gt;

=== Aufgabe 2 - Stammfunktion von 1/x in den reellen Zahlen ===
In den reellen Zahlen der Logarithmus z.B. auf den positiven reellen Zahlen die Stammfunktion von &lt;math&gt;\frac{1}{x} &lt;/math&gt;. Welche Beziehung besteht zwischen eine Zweig des Logarithmus und einem Wegintegral über die Funktion &lt;math&gt;\frac{1}{x} &lt;/math&gt;.

=== Eigenschaften 1/z im Komplexen ===
Die holomorphe Funktion &lt;math&gt; f(z)=\frac{1}{z} &lt;/math&gt; ist eine rationale Funktion, die auf &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; definiert ist. Sie besitzt aber auf &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; keine Stammfunktion, denn sonst würde das Integral über den Kreis um 0 nicht den Wert &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; sondern 0 liefern. &lt;math&gt; f(z)=\frac{1}{z} &lt;/math&gt; hat eine Polstelle bei &lt;math&gt; z = 0 &lt;/math&gt;.

=== Einschränkung des Definitions- / Wertebereiches ===
* '''([[w:de:Injektivität|injektiv]])''' Um eine injektive Abbildung für Definition des Logarithmus zu erhalten, muss man den ''Definitionsbereich'' einschränken, damit die Element aus dem Definitionsbereich entfernt, die auf die gleichen Bildpunkt abgebildet werden.
* '''([[w:de:Surjektivität|surjektiv]])''' Um eine surjektive Abbildung für Definition des Logarithmus zu erhalten, muss man den ''Wertebereich'' einschränken und &quot;nicht getroffene&quot; Elemente aus dem Wertebereich zu entfernen

&lt;span id=&quot;komplex&quot;&gt;&lt;/span&gt;

== Definition des komplexen Logarithmus ==
Analog zur reellen Definition heißt jede komplexe Zahl &lt;math&gt;w&lt;/math&gt; ein ''natürlicher Logarithmus'' von &lt;math&gt;z&lt;/math&gt;, wenn &lt;math&gt;w&lt;/math&gt; die folgende Gleichung bzgl. einem gegebenen &lt;math&gt;z&lt;/math&gt; erfüllt:
: &lt;math&gt;\mathrm{e}^w = z&lt;/math&gt;

=== Existenz ===
Für jedes &lt;math&gt;z \in \mathbb{C} \setminus \{0\}&lt;/math&gt; existiert ein solches &lt;math&gt;w&lt;/math&gt;. Man stellt dazu das Element &lt;math&gt;z&lt;/math&gt; in Polarkoordinaten mit &lt;math&gt;t\in [0,2\pi) &lt;/math&gt; wie folgt dar:
:&lt;math&gt;
  z= |z|\cdot e^{it}
&lt;/math&gt;
Dann ist &lt;math&gt;w:=\underbrace{\ln(|z|)}_{\in \mathbb{R}} + i\cdot \underbrace{t}_{\in \mathbb{R}}&lt;/math&gt; ein Logarithmus in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt;, da mit [[w:de:Potenzgesetze|Potenzgesetzen]] folgende Gleichung gilt:
:&lt;math&gt;
  e^w = e^{\ln(|z|) + i\cdot t} = e^{\ln(|z|)} \cdot  e^{i\cdot t} =  |z|\cdot e^{it} = z 
&lt;/math&gt;

=== Eindeutigkeit ===
Im Unterschied zum reellen Logarithmus ist der komplexe Logarithmus wegen
: &lt;math&gt;\mathrm{e}^{2k\pi \mathrm{i}} = 1, \quad k \in \mathbb{Z}&lt;/math&gt;,
nicht eindeutig bestimmt ist. Hat man also einen Logarithmus &lt;math&gt;w&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;z&lt;/math&gt; gefunden, so ist damit auch
: &lt;math&gt;w' =\,\! w + 2k\pi \mathrm{i}&lt;/math&gt;
mit jeder ganzen Zahl &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; ein Logarithmus von &lt;math&gt;z&lt;/math&gt;, denn es gilt
: &lt;math&gt;\mathrm{e}^{w'} = \mathrm{e}^{w + 2k\pi \mathrm{i}} = \mathrm{e}^w \cdot \mathrm{e}^{2k\pi \mathrm{i}} = \mathrm{e}^w \cdot 1 = \mathrm{e}^w = z&lt;/math&gt;.

=== Komplexer Logarithmus als Abbildung ===
Für die Definition einer Abbildung muss man einen eindeutigen Funktionswerte &lt;math&gt;\ln(z):=w&lt;/math&gt; definieren. Um Eindeutigkeit zu erreichen, wählt man aus den möglichen Werten für &lt;math&gt;w&lt;/math&gt; solche Werte aus, die in einem geeigneten Streifen der komplexen Zahlenebene liegen. Man kann z.&amp;nbsp;B. den Streifen
: &lt;math&gt;\left\{w \in \mathbb{C}: -\pi &lt; \operatorname{Im}\,w \leq \pi \right\}&lt;/math&gt;
verwenden. Ein Wert &lt;math&gt;w&lt;/math&gt; aus diesem Streifen heißt ''Hauptwert'' (engl. ''principal value'') des Logarithmus, und man schreibt &lt;math&gt;w = \ln(z)&lt;/math&gt;.

=== Zweige des Logarithmus ===
Stellt man &lt;math&gt;z = |z| \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i} \arg(z)}&lt;/math&gt; in [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|Polarform]] dar, so erhält man eine einfache Darstellung des ''k-ten Zweiges'' der Logarithmusfunktion:
: &lt;math&gt;w = \ln |z| + \mathrm{i}\left(\arg(z) + 2k\pi\right), \quad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;
mit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] &lt;math&gt;\arg&lt;/math&gt;. Im Summanden &lt;math&gt;\ln |z|&lt;/math&gt; wird der bereits oben definierte reelle Logarithmus &lt;math&gt;\ln&lt;/math&gt; verwendet.
Für &lt;math&gt;k = 0&lt;/math&gt; erhält man den ''Hauptzweig'' des komplexen Logarithmus zurück:
: &lt;math&gt;\ln z = \ln|z| + \mathrm{i}\arg(z)&lt;/math&gt;.

=== Stetigkeit von Zweigen des Logarithmus ===
&lt;math&gt;\ln: \mathbb{C}\setminus\{0\} \to \mathbb{C}&lt;/math&gt; ist nicht stetig in den Punkten &lt;math&gt;\mathcal{N} := \{z \in \mathbb{C} \, \colon \, (z=x+i\cdot 0) \wedge (0 &lt; x\in \mathbb{R}) \}&lt;/math&gt;. Entfernt man jedoch die negative reelle Achse &lt;math&gt;\mathcal{N}&lt;/math&gt;, so ist &lt;math&gt;\ln&lt;/math&gt; auf dem Gebiet
: &lt;math&gt;\mathbb{C}\setminus\{x \in \mathbb{R}: x\leq 0\}&lt;/math&gt;
stetig und sogar [[w:de:Holomorphe Funktion|holomorph]].

=== Algebraisch vollständige Logarithmus ===
Für den [[Polynomialer Nullstellensatz|polynomialen Nullstellensatz]]

=== Vergleich - Rechenregeln reeller/komplexer Logarithmus ===
Für den Hauptzweig des komplexen Logarithmus &lt;math&gt;\ln&lt;/math&gt; gelten nicht alle der weiter oben angeführten [[w:de:Logarithmus#Logarithmengesetze|Rechenregeln für die reelle Logarithmusfunktion]]. Sie gelten nur &lt;math&gt;\text{mod } 2\pi \mathrm{i}&lt;/math&gt;.

==== Mehrdeutigkeit und Periodizität 1 ====
Diese Mehrdeutigkeit ist eine direkte Folge aus der Periodizität seiner Umkehrfunktion, der komplexen Exponentialfunktion. Es gilt:
: &lt;math&gt;\ln(x) + \ln(y) = \ln(x \cdot y)+ 2\pi n \, \,\, n\in \mathbb{Z} &lt;/math&gt;

==== Mehrdeutigkeit und Periodizität 2 ====
Der Vergleich von &lt;math&gt;\ln(x) + \ln(y)&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\ln(x \cdot y)&lt;/math&gt; zeigt:
: &lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
\ln(\underbrace{-1+\mathrm{i}}_{=x}) + \ln(\underbrace{-1+\mathrm{i}}_{=y}) 
&amp; = &amp;
\bigl(\ln\sqrt2+\frac{3\pi}4\mathrm{i}\bigr) + \bigl(\ln\sqrt2+\frac{3\pi}4\mathrm{i}\bigr) 
\\
&amp; = &amp;
\ln2+\frac{3\pi}2\mathrm{i}
 \end{array}  
&lt;/math&gt;
und 
:&lt;math&gt;
\ln\bigl(\underbrace{(-1+\mathrm{i}}_{=x})\cdot (\underbrace{-1+\mathrm{i}}_{=y})\bigr)
= \ln(-2\mathrm{i})=\ln2-\frac\pi2\mathrm{i}&lt;/math&gt;

==== Mehrdeutigkeit und Periodizität 3 ====
Dies liefert ein Beispiel, dass &lt;math&gt;\ln x + \ln y = \ln(x \cdot y)&lt;/math&gt; nicht für beliebige &lt;math&gt;x,y\in \mathbb{C}&lt;/math&gt; gilt. Der rechte und linke Term unterscheiden sich, um Vielfache von &lt;math&gt;2\pi&lt;/math&gt;, d.h.
: &lt;math&gt;\ln x + \ln y = \ln(x \cdot y) + 2\pi n&lt;/math&gt;

==== Mehrdeutigkeit und Periodizität 4 ====
Auch die Gleichung
: &lt;math&gt;y \cdot \ln (x) = \ln\left({x^y}\right)&lt;/math&gt;
ist nicht immer erfüllt, wie das Gegenbeispiel
: &lt;math&gt;2\pi \mathrm{i} \ln (\mathrm{e}) = 2\pi \mathrm{i} \; \neq \; 0 = \ln 1 = \ln(\mathrm{e}^{2\pi \mathrm{i}})&lt;/math&gt;
beweist.

=== Graphen ===
&lt;gallery widths=&quot;180&quot; heights=&quot;120&quot; perrow=&quot;3&quot; caption=&quot;Grafische Darstellung des komplexen Logarithmus&quot;&gt;
   Ln abs.png|Betrag von &lt;math&gt;\ln z&lt;/math&gt;
   Ln re.png|Realteil von &lt;math&gt;\ln z&lt;/math&gt;
   Ln im.png|Imaginärteil von &lt;math&gt;\ln z&lt;/math&gt;
&lt;/gallery&gt;

==== Hauptzweig ====
Mit dem oben definierten Hauptzweig des komplexen Logarithmus kann man den Logarithmus für negative reellen Zahlen erklären:
: &lt;math&gt;\ln(-x) = \ln\left\vert-x\right\vert+ \mathrm{i}\arg(-x) = \ln x + \mathrm{i}\pi, \quad x\in\mathbb{R}^+\ .&lt;/math&gt;
Das setzt voraus, dass die [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] &lt;math&gt;\arg&lt;/math&gt; negativen reellen Zahlen den Wert &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt; zuweist.

==== Bemerkung - Argumentfunktion ====
Diese Betrachtungen zeigen, dass die Mehrdeutigkeit des komplexen Logarithmus letztlich auf die Mehrdeutigkeit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] zurückzuführen ist.

== Entwicklung in Potenzreihen ==
Jede auf einem Gebiet &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; [[holomorphe Funktion]] lässt sich lokal in eine Potenzreihe entwickelt. Durch den Zusammenhang von &lt;math&gt;\frac{1}{z}&lt;/math&gt; und dem Logarithmus erhält man auch eine Potenzreihendarstellung für beliebige [[w:de:Potenzreihe|Entwicklungspunkte]] &lt;math&gt;z_o=|z_o|\cdot e^{it} \not=0&lt;/math&gt; über die [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] mit &lt;math&gt;q=\frac{z-z_o}{-z_o}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;|z-z_0| &lt; |z_0|&lt;/math&gt;:
:&lt;math&gt;f(z)= \frac{1}{z} 
= \frac{1}{z_o} \cdot \frac{1}{ 1-  \underbrace{\frac{z-z_o}{-z_o} }_{=q} }
=
 \sum_{n=0}^\infty 
\underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1}} }_{=a_n} \cdot (z-z_o)^n 
&lt;/math&gt;

=== Stammfunktion - Konstante der Taylorreihe ===
Für den Zweig des Logarithmus erhält man daher folgende Potenzreihendarstellung auf &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;r&lt; |z_0|&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;c= \ln(|z_o|) + i\cdot t&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;t\in \mathbb{R}&lt;/math&gt;:
:&lt;math&gt;F(z)= c +
 \sum_{n=0}^\infty 
\frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1} \cdot (n+1)}  \cdot (z-z_o)^{n+1} 
&lt;/math&gt;
Ein zugehöriger Zweig von &lt;math&gt;F&lt;/math&gt; ist dann z.B. auf dem Gebiet &lt;math&gt;G:= \mathbb{C} \setminus \{ z\in \mathbb{C} \, : \,  z=\lambda \cdot z_0 \mbox{ mit } 0  \geq \lambda \in \R \}&lt;/math&gt; definiert.

=== Bemerkung - Eindeutigkeitlemma für Logarithmuszweige ===
Das 
[[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] zeigt, dass mit der Wahl eines [[einfach zusammenhängend]]en &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;0\notin G&lt;/math&gt; und der Festlegung des Imaginärteiles des Logarithmuszweige für ein &lt;math&gt;z_0\in G&lt;/math&gt; der gesamte Zwei des Logarithmus eindeutig definiert ist. Ferner wird zwischen dem (reellen) Hauptzweig und dem imaginären Hauptzweig des Logarithmus unterschieden, wobei einmal der negative reelle Achse entfernt wurde und für imaginären Hauptzweig des Logarithmus negative reelle Achse in &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; fehlt.

== Siehe auch ==
* [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]]
* [[/generalisiert/|generalisierte Logarithmen]]
* [[Logarithmus]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Lokale_Entwicklung_in_Potenzreihen|Lokale Entwicklung in Potenzreihen]]
* [[Kurs:Funktionentheorie]]

== Seiteninformation ==
Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&amp;title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&amp;author=Kurs:Funktionentheorie&amp;language=de&amp;audioslide=yes&amp;shorttitle=Logarithmus&amp;coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen.

=== Wiki2Reveal ===

Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&amp;title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&amp;author=Kurs:Funktionentheorie&amp;language=de&amp;audioslide=yes&amp;shorttitle=Logarithmus&amp;coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem  [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt.
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* Datum: 31.7.2025
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[[Category:Wiki2Reveal]]

&lt;noinclude&gt;[[en:Complex Analysis/Logarithm]]&lt;/noinclude&gt;
[[Kategorie:Funktionentheorie]]</text>
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      <contributor>
        <username>Bert Niehaus</username>
        <id>20843</id>
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      <comment>/* Vertiefende Lerneinheiten */</comment>
      <origin>1115789</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="15181" sha1="4faf4md61ffjgqfspnk3cuj6zmq6fto" xml:space="preserve">== Einleitung ==
In dieser Lerneinheit wird der Zusammenhang zwischen der Funktion &lt;math&gt; \exp(z) &lt;/math&gt; und &lt;math&gt; \frac{1}{z} &lt;/math&gt; sowie die Definition eines Zweiges des Logarithmus und die Notwendigkeit der Einschränkung der Definitions- und Wertebereiche der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] betrachtet, um eine bijektive und holomorphe [[w:de:Umkehrfunktion|Umkehrfunktion]] der Exponentialfunktion zu erhalten.
:&lt;math&gt; \exp(z) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{n!} 
&lt;/math&gt;

=== Lerneinheiten ===
* [[/Zweige/|Zweige des Logarithmus]]
* [[/Argumentfunktion/|Argumentfunktion und Polarkoordinatendarstellung]]
* [[/generalisiert/|generalisierter Logarithmus]] auf beliebigen [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] [[Gebiet (Mathematik)|Gebieten]], 
* [[/logmod/|logmod-Funktion]] und Periodizität der Exponentionalfunktion 
* [[/rlog/|rlog-Funktion]], beschreibt wie oft kann man einen Logarithmus als Verkettung &quot;rekursiv&quot; anwenden kann. 
* [[/rekursiver Logarithmus/]] als Mehrfachverkettung des Logarithmus mit sich selbst.
* [[/Eulersche Nullstellen/]]
* [[/einfach zusammenhängende LOG-Gebiete/]]

=== Zusammenhang zwischen Exponentialfunktion und Logarithmus ===
Die Exponentialfunktion &lt;math&gt; \exp(z) &lt;/math&gt; ist eine ganze Funktion, dessen Definitionsbereich &lt;math&gt;\mathbb{D} \subset \mathbb{C}&lt;/math&gt; und Wertebereich &lt;math&gt;\mathbb{D} \subset \mathbb{C}&lt;/math&gt; einschränken muss, um eine bijektive Abbildung  und &lt;math&gt; \exp : \mathbb{D} \to \mathbb{W}&lt;/math&gt; zu erhalten, für die man eine Umkehrfunktion definieren kann. 

=== Situation in der reellen Zahlen - Umkehrfunktion von exp(z) ===
&lt;math&gt; \exp : \mathbb{R} \to \mathbb{R}&lt;/math&gt; ist injektiv aber nicht surjektiv. Durch die Einschränkung des Wertebereiches von &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; auf &lt;math&gt;\mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt; ist die Funktion &lt;math&gt; \exp : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt; bijektiv und man kann nach einer Umkehrfunktion (den [[w:de:natürlicher Logarithmus|natürliche Logarithmus]]) suchen. Diese Konzept der Suche nach potentiellen Umgekehrfunktionen kann in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] nicht eindeutig beantwortet werden. In den komplexen Zahlen gibt unabhängig von der Wahl der Konstanten einer Stammfunktion von &lt;math&gt;\tfrac{1}{z}&lt;/math&gt; unterschiedliche Möglichkeiten Logarithmen zu definieren.

== Aufgaben ==
* '''(A1)''' [[Logarithmus#A1|Injektivität und Surjektivität]] 
* '''(A2)''' [[Logarithmus#A2|Stammfunktion als Wegintegrale]]

&lt;span id=&quot;aufgabe1&quot;&gt;&lt;/span&gt;
=== Aufgabe 1 - Umkehrbarkeit der komplexen Exponentialfunktion ===
Erläutern Sie, warum &lt;math&gt; \exp : \mathbb{C} \to \mathbb{C}&lt;/math&gt; weder injektiv noch surjektiv ist. Schränken Sie den Definitionsbereich und Wertebereich der komplexen Exponentialfunktion so ein, dass
&lt;math&gt; \exp : \mathbb{D} \to \mathbb{W}&lt;/math&gt; bijektiv ist und eine [[w:de:Umkehrfunktion|Umkehrfunktion]] besitzt!

&lt;span id=&quot;aufgabe2&quot;&gt;&lt;/span&gt;

=== Aufgabe 2 - Stammfunktion von 1/x in den reellen Zahlen ===
In den reellen Zahlen der Logarithmus z.B. auf den positiven reellen Zahlen die Stammfunktion von &lt;math&gt;\frac{1}{x} &lt;/math&gt;. Welche Beziehung besteht zwischen eine Zweig des Logarithmus und einem Wegintegral über die Funktion &lt;math&gt;\frac{1}{x} &lt;/math&gt;.

=== Eigenschaften 1/z im Komplexen ===
Die holomorphe Funktion &lt;math&gt; f(z)=\frac{1}{z} &lt;/math&gt; ist eine rationale Funktion, die auf &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; definiert ist. Sie besitzt aber auf &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; keine Stammfunktion, denn sonst würde das Integral über den Kreis um 0 nicht den Wert &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; sondern 0 liefern. &lt;math&gt; f(z)=\frac{1}{z} &lt;/math&gt; hat eine Polstelle bei &lt;math&gt; z = 0 &lt;/math&gt;.

=== Einschränkung des Definitions- / Wertebereiches ===
* '''([[w:de:Injektivität|injektiv]])''' Um eine injektive Abbildung für Definition des Logarithmus zu erhalten, muss man den ''Definitionsbereich'' einschränken, damit die Element aus dem Definitionsbereich entfernt, die auf die gleichen Bildpunkt abgebildet werden.
* '''([[w:de:Surjektivität|surjektiv]])''' Um eine surjektive Abbildung für Definition des Logarithmus zu erhalten, muss man den ''Wertebereich'' einschränken und &quot;nicht getroffene&quot; Elemente aus dem Wertebereich zu entfernen

&lt;span id=&quot;komplex&quot;&gt;&lt;/span&gt;

== Definition des komplexen Logarithmus ==
Analog zur reellen Definition heißt jede komplexe Zahl &lt;math&gt;w&lt;/math&gt; ein ''natürlicher Logarithmus'' von &lt;math&gt;z&lt;/math&gt;, wenn &lt;math&gt;w&lt;/math&gt; die folgende Gleichung bzgl. einem gegebenen &lt;math&gt;z&lt;/math&gt; erfüllt:
: &lt;math&gt;\mathrm{e}^w = z&lt;/math&gt;

=== Existenz ===
Für jedes &lt;math&gt;z \in \mathbb{C} \setminus \{0\}&lt;/math&gt; existiert ein solches &lt;math&gt;w&lt;/math&gt;. Man stellt dazu das Element &lt;math&gt;z&lt;/math&gt; in Polarkoordinaten mit &lt;math&gt;t\in [0,2\pi) &lt;/math&gt; wie folgt dar:
:&lt;math&gt;
  z= |z|\cdot e^{it}
&lt;/math&gt;
Dann ist &lt;math&gt;w:=\underbrace{\ln(|z|)}_{\in \mathbb{R}} + i\cdot \underbrace{t}_{\in \mathbb{R}}&lt;/math&gt; ein Logarithmus in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt;, da mit [[w:de:Potenzgesetze|Potenzgesetzen]] folgende Gleichung gilt:
:&lt;math&gt;
  e^w = e^{\ln(|z|) + i\cdot t} = e^{\ln(|z|)} \cdot  e^{i\cdot t} =  |z|\cdot e^{it} = z 
&lt;/math&gt;

=== Eindeutigkeit ===
Im Unterschied zum reellen Logarithmus ist der komplexe Logarithmus wegen
: &lt;math&gt;\mathrm{e}^{2k\pi \mathrm{i}} = 1, \quad k \in \mathbb{Z}&lt;/math&gt;,
nicht eindeutig bestimmt ist. Hat man also einen Logarithmus &lt;math&gt;w&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;z&lt;/math&gt; gefunden, so ist damit auch
: &lt;math&gt;w' =\,\! w + 2k\pi \mathrm{i}&lt;/math&gt;
mit jeder ganzen Zahl &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; ein Logarithmus von &lt;math&gt;z&lt;/math&gt;, denn es gilt
: &lt;math&gt;\mathrm{e}^{w'} = \mathrm{e}^{w + 2k\pi \mathrm{i}} = \mathrm{e}^w \cdot \mathrm{e}^{2k\pi \mathrm{i}} = \mathrm{e}^w \cdot 1 = \mathrm{e}^w = z&lt;/math&gt;.

=== Komplexer Logarithmus als Abbildung ===
Für die Definition einer Abbildung muss man einen eindeutigen Funktionswerte &lt;math&gt;\ln(z):=w&lt;/math&gt; definieren. Um Eindeutigkeit zu erreichen, wählt man aus den möglichen Werten für &lt;math&gt;w&lt;/math&gt; solche Werte aus, die in einem geeigneten Streifen der komplexen Zahlenebene liegen. Man kann z.&amp;nbsp;B. den Streifen
: &lt;math&gt;\left\{w \in \mathbb{C}: -\pi &lt; \operatorname{Im}\,w \leq \pi \right\}&lt;/math&gt;
verwenden. Ein Wert &lt;math&gt;w&lt;/math&gt; aus diesem Streifen heißt ''Hauptwert'' (engl. ''principal value'') des Logarithmus, und man schreibt &lt;math&gt;w = \ln(z)&lt;/math&gt;.

=== Zweige des Logarithmus ===
Stellt man &lt;math&gt;z = |z| \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i} \arg(z)}&lt;/math&gt; in [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|Polarform]] dar, so erhält man eine einfache Darstellung des ''k-ten Zweiges'' der Logarithmusfunktion:
: &lt;math&gt;w = \ln |z| + \mathrm{i}\left(\arg(z) + 2k\pi\right), \quad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;
mit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] &lt;math&gt;\arg&lt;/math&gt;. Im Summanden &lt;math&gt;\ln |z|&lt;/math&gt; wird der bereits oben definierte reelle Logarithmus &lt;math&gt;\ln&lt;/math&gt; verwendet.
Für &lt;math&gt;k = 0&lt;/math&gt; erhält man den ''Hauptzweig'' des komplexen Logarithmus zurück:
: &lt;math&gt;\ln z = \ln|z| + \mathrm{i}\arg(z)&lt;/math&gt;.

=== Stetigkeit von Zweigen des Logarithmus ===
&lt;math&gt;\ln: \mathbb{C}\setminus\{0\} \to \mathbb{C}&lt;/math&gt; ist nicht stetig in den Punkten &lt;math&gt;\mathcal{N} := \{z \in \mathbb{C} \, \colon \, (z=x+i\cdot 0) \wedge (0 &lt; x\in \mathbb{R}) \}&lt;/math&gt;. Entfernt man jedoch die negative reelle Achse &lt;math&gt;\mathcal{N}&lt;/math&gt;, so ist &lt;math&gt;\ln&lt;/math&gt; auf dem Gebiet
: &lt;math&gt;\mathbb{C}\setminus\{x \in \mathbb{R}: x\leq 0\}&lt;/math&gt;
stetig und sogar [[w:de:Holomorphe Funktion|holomorph]].

=== Algebraisch vollständige Logarithmus ===
Für den [[Polynomialer Nullstellensatz|polynomialen Nullstellensatz]]

=== Vergleich - Rechenregeln reeller/komplexer Logarithmus ===
Für den Hauptzweig des komplexen Logarithmus &lt;math&gt;\ln&lt;/math&gt; gelten nicht alle der weiter oben angeführten [[w:de:Logarithmus#Logarithmengesetze|Rechenregeln für die reelle Logarithmusfunktion]]. Sie gelten nur &lt;math&gt;\text{mod } 2\pi \mathrm{i}&lt;/math&gt;.

==== Mehrdeutigkeit und Periodizität 1 ====
Diese Mehrdeutigkeit ist eine direkte Folge aus der Periodizität seiner Umkehrfunktion, der komplexen Exponentialfunktion. Es gilt:
: &lt;math&gt;\ln(x) + \ln(y) = \ln(x \cdot y)+ 2\pi n \, \,\, n\in \mathbb{Z} &lt;/math&gt;

==== Mehrdeutigkeit und Periodizität 2 ====
Der Vergleich von &lt;math&gt;\ln(x) + \ln(y)&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\ln(x \cdot y)&lt;/math&gt; zeigt:
: &lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
\ln(\underbrace{-1+\mathrm{i}}_{=x}) + \ln(\underbrace{-1+\mathrm{i}}_{=y}) 
&amp; = &amp;
\bigl(\ln\sqrt2+\frac{3\pi}4\mathrm{i}\bigr) + \bigl(\ln\sqrt2+\frac{3\pi}4\mathrm{i}\bigr) 
\\
&amp; = &amp;
\ln2+\frac{3\pi}2\mathrm{i}
 \end{array}  
&lt;/math&gt;
und 
:&lt;math&gt;
\ln\bigl(\underbrace{(-1+\mathrm{i}}_{=x})\cdot (\underbrace{-1+\mathrm{i}}_{=y})\bigr)
= \ln(-2\mathrm{i})=\ln2-\frac\pi2\mathrm{i}&lt;/math&gt;

==== Mehrdeutigkeit und Periodizität 3 ====
Dies liefert ein Beispiel, dass &lt;math&gt;\ln x + \ln y = \ln(x \cdot y)&lt;/math&gt; nicht für beliebige &lt;math&gt;x,y\in \mathbb{C}&lt;/math&gt; gilt. Der rechte und linke Term unterscheiden sich, um Vielfache von &lt;math&gt;2\pi&lt;/math&gt;, d.h.
: &lt;math&gt;\ln x + \ln y = \ln(x \cdot y) + 2\pi n&lt;/math&gt;

==== Mehrdeutigkeit und Periodizität 4 ====
Auch die Gleichung
: &lt;math&gt;y \cdot \ln (x) = \ln\left({x^y}\right)&lt;/math&gt;
ist nicht immer erfüllt, wie das Gegenbeispiel
: &lt;math&gt;2\pi \mathrm{i} \ln (\mathrm{e}) = 2\pi \mathrm{i} \; \neq \; 0 = \ln 1 = \ln(\mathrm{e}^{2\pi \mathrm{i}})&lt;/math&gt;
beweist.

=== Graphen ===
&lt;gallery widths=&quot;180&quot; heights=&quot;120&quot; perrow=&quot;3&quot; caption=&quot;Grafische Darstellung des komplexen Logarithmus&quot;&gt;
   Ln abs.png|Betrag von &lt;math&gt;\ln z&lt;/math&gt;
   Ln re.png|Realteil von &lt;math&gt;\ln z&lt;/math&gt;
   Ln im.png|Imaginärteil von &lt;math&gt;\ln z&lt;/math&gt;
&lt;/gallery&gt;

==== Hauptzweig ====
Mit dem oben definierten Hauptzweig des komplexen Logarithmus kann man den Logarithmus für negative reellen Zahlen erklären:
: &lt;math&gt;\ln(-x) = \ln\left\vert-x\right\vert+ \mathrm{i}\arg(-x) = \ln x + \mathrm{i}\pi, \quad x\in\mathbb{R}^+\ .&lt;/math&gt;
Das setzt voraus, dass die [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] &lt;math&gt;\arg&lt;/math&gt; negativen reellen Zahlen den Wert &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt; zuweist.

==== Bemerkung - Argumentfunktion ====
Diese Betrachtungen zeigen, dass die Mehrdeutigkeit des komplexen Logarithmus letztlich auf die Mehrdeutigkeit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] zurückzuführen ist.

== Entwicklung in Potenzreihen ==
Jede auf einem Gebiet &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; [[holomorphe Funktion]] lässt sich lokal in eine Potenzreihe entwickelt. Durch den Zusammenhang von &lt;math&gt;\frac{1}{z}&lt;/math&gt; und dem Logarithmus erhält man auch eine Potenzreihendarstellung für beliebige [[w:de:Potenzreihe|Entwicklungspunkte]] &lt;math&gt;z_o=|z_o|\cdot e^{it} \not=0&lt;/math&gt; über die [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] mit &lt;math&gt;q=\frac{z-z_o}{-z_o}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;|z-z_0| &lt; |z_0|&lt;/math&gt;:
:&lt;math&gt;f(z)= \frac{1}{z} 
= \frac{1}{z_o} \cdot \frac{1}{ 1-  \underbrace{\frac{z-z_o}{-z_o} }_{=q} }
=
 \sum_{n=0}^\infty 
\underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1}} }_{=a_n} \cdot (z-z_o)^n 
&lt;/math&gt;

=== Stammfunktion - Konstante der Taylorreihe ===
Für den Zweig des Logarithmus erhält man daher folgende Potenzreihendarstellung auf &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;r&lt; |z_0|&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;c= \ln(|z_o|) + i\cdot t&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;t\in \mathbb{R}&lt;/math&gt;:
:&lt;math&gt;F(z)= c +
 \sum_{n=0}^\infty 
\frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1} \cdot (n+1)}  \cdot (z-z_o)^{n+1} 
&lt;/math&gt;
Ein zugehöriger Zweig von &lt;math&gt;F&lt;/math&gt; ist dann z.B. auf dem Gebiet &lt;math&gt;G:= \mathbb{C} \setminus \{ z\in \mathbb{C} \, : \,  z=\lambda \cdot z_0 \mbox{ mit } 0  \geq \lambda \in \R \}&lt;/math&gt; definiert.

=== Bemerkung - Eindeutigkeitlemma für Logarithmuszweige ===
Das 
[[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] zeigt, dass mit der Wahl eines [[einfach zusammenhängend]]en &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;0\notin G&lt;/math&gt; und der Festlegung des Imaginärteiles des Logarithmuszweige für ein &lt;math&gt;z_0\in G&lt;/math&gt; der gesamte Zwei des Logarithmus eindeutig definiert ist. Ferner wird zwischen dem (reellen) Hauptzweig und dem imaginären Hauptzweig des Logarithmus unterschieden, wobei einmal der negative reelle Achse entfernt wurde und für imaginären Hauptzweig des Logarithmus negative reelle Achse in &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; fehlt.

== Siehe auch ==
* [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]]
* [[/generalisiert/|generalisierte Logarithmen]]
* [[Logarithmus]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Lokale_Entwicklung_in_Potenzreihen|Lokale Entwicklung in Potenzreihen]]
* [[Kurs:Funktionentheorie]]

== Seiteninformation ==
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=== Wiki2Reveal ===

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* siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&amp;title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&amp;author=Kurs:Funktionentheorie&amp;language=de&amp;audioslide=yes&amp;shorttitle=Logarithmus&amp;coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator].
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* Datum: 31.7.2025
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[[Category:Wiki2Reveal]]

&lt;noinclude&gt;[[en:Complex Analysis/Logarithm]]&lt;/noinclude&gt;
[[Kategorie:Funktionentheorie]]</text>
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      <timestamp>2026-10-12T11:00:07Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bert Niehaus</username>
        <id>20843</id>
      </contributor>
      <comment>/* Lerneinheiten */</comment>
      <origin>1115813</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="15298" sha1="gu4fplz3iqdp368ga1zhsfs1tuj96rh" xml:space="preserve">== Einleitung ==
In dieser Lerneinheit wird der Zusammenhang zwischen der Funktion &lt;math&gt; \exp(z) &lt;/math&gt; und &lt;math&gt; \frac{1}{z} &lt;/math&gt; sowie die Definition eines Zweiges des Logarithmus und die Notwendigkeit der Einschränkung der Definitions- und Wertebereiche der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] betrachtet, um eine bijektive und holomorphe [[w:de:Umkehrfunktion|Umkehrfunktion]] der Exponentialfunktion zu erhalten.
:&lt;math&gt; \exp(z) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{n!} 
&lt;/math&gt;

=== Lerneinheiten ===
* [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/algebraische Vollständigkeit|algebraische Vollständigkeit]] des Logarithmus
* [[/Zweige/|Zweige des Logarithmus]]
* [[/Argumentfunktion/|Argumentfunktion und Polarkoordinatendarstellung]]
* [[/generalisiert/|generalisierter Logarithmus]] auf beliebigen [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] [[Gebiet (Mathematik)|Gebieten]], 
* [[/logmod/|logmod-Funktion]] und Periodizität der Exponentionalfunktion 
* [[/rlog/|rlog-Funktion]], beschreibt wie oft kann man einen Logarithmus als Verkettung &quot;rekursiv&quot; anwenden kann. 
* [[/rekursiver Logarithmus/]] als Mehrfachverkettung des Logarithmus mit sich selbst.
* [[/Eulersche Nullstellen/]]
* [[/einfach zusammenhängende LOG-Gebiete/]]

=== Zusammenhang zwischen Exponentialfunktion und Logarithmus ===
Die Exponentialfunktion &lt;math&gt; \exp(z) &lt;/math&gt; ist eine ganze Funktion, dessen Definitionsbereich &lt;math&gt;\mathbb{D} \subset \mathbb{C}&lt;/math&gt; und Wertebereich &lt;math&gt;\mathbb{D} \subset \mathbb{C}&lt;/math&gt; einschränken muss, um eine bijektive Abbildung  und &lt;math&gt; \exp : \mathbb{D} \to \mathbb{W}&lt;/math&gt; zu erhalten, für die man eine Umkehrfunktion definieren kann. 

=== Situation in der reellen Zahlen - Umkehrfunktion von exp(z) ===
&lt;math&gt; \exp : \mathbb{R} \to \mathbb{R}&lt;/math&gt; ist injektiv aber nicht surjektiv. Durch die Einschränkung des Wertebereiches von &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; auf &lt;math&gt;\mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt; ist die Funktion &lt;math&gt; \exp : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt; bijektiv und man kann nach einer Umkehrfunktion (den [[w:de:natürlicher Logarithmus|natürliche Logarithmus]]) suchen. Diese Konzept der Suche nach potentiellen Umgekehrfunktionen kann in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] nicht eindeutig beantwortet werden. In den komplexen Zahlen gibt unabhängig von der Wahl der Konstanten einer Stammfunktion von &lt;math&gt;\tfrac{1}{z}&lt;/math&gt; unterschiedliche Möglichkeiten Logarithmen zu definieren.

== Aufgaben ==
* '''(A1)''' [[Logarithmus#A1|Injektivität und Surjektivität]] 
* '''(A2)''' [[Logarithmus#A2|Stammfunktion als Wegintegrale]]

&lt;span id=&quot;aufgabe1&quot;&gt;&lt;/span&gt;
=== Aufgabe 1 - Umkehrbarkeit der komplexen Exponentialfunktion ===
Erläutern Sie, warum &lt;math&gt; \exp : \mathbb{C} \to \mathbb{C}&lt;/math&gt; weder injektiv noch surjektiv ist. Schränken Sie den Definitionsbereich und Wertebereich der komplexen Exponentialfunktion so ein, dass
&lt;math&gt; \exp : \mathbb{D} \to \mathbb{W}&lt;/math&gt; bijektiv ist und eine [[w:de:Umkehrfunktion|Umkehrfunktion]] besitzt!

&lt;span id=&quot;aufgabe2&quot;&gt;&lt;/span&gt;

=== Aufgabe 2 - Stammfunktion von 1/x in den reellen Zahlen ===
In den reellen Zahlen der Logarithmus z.B. auf den positiven reellen Zahlen die Stammfunktion von &lt;math&gt;\frac{1}{x} &lt;/math&gt;. Welche Beziehung besteht zwischen eine Zweig des Logarithmus und einem Wegintegral über die Funktion &lt;math&gt;\frac{1}{x} &lt;/math&gt;.

=== Eigenschaften 1/z im Komplexen ===
Die holomorphe Funktion &lt;math&gt; f(z)=\frac{1}{z} &lt;/math&gt; ist eine rationale Funktion, die auf &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; definiert ist. Sie besitzt aber auf &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; keine Stammfunktion, denn sonst würde das Integral über den Kreis um 0 nicht den Wert &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; sondern 0 liefern. &lt;math&gt; f(z)=\frac{1}{z} &lt;/math&gt; hat eine Polstelle bei &lt;math&gt; z = 0 &lt;/math&gt;.

=== Einschränkung des Definitions- / Wertebereiches ===
* '''([[w:de:Injektivität|injektiv]])''' Um eine injektive Abbildung für Definition des Logarithmus zu erhalten, muss man den ''Definitionsbereich'' einschränken, damit die Element aus dem Definitionsbereich entfernt, die auf die gleichen Bildpunkt abgebildet werden.
* '''([[w:de:Surjektivität|surjektiv]])''' Um eine surjektive Abbildung für Definition des Logarithmus zu erhalten, muss man den ''Wertebereich'' einschränken und &quot;nicht getroffene&quot; Elemente aus dem Wertebereich zu entfernen

&lt;span id=&quot;komplex&quot;&gt;&lt;/span&gt;

== Definition des komplexen Logarithmus ==
Analog zur reellen Definition heißt jede komplexe Zahl &lt;math&gt;w&lt;/math&gt; ein ''natürlicher Logarithmus'' von &lt;math&gt;z&lt;/math&gt;, wenn &lt;math&gt;w&lt;/math&gt; die folgende Gleichung bzgl. einem gegebenen &lt;math&gt;z&lt;/math&gt; erfüllt:
: &lt;math&gt;\mathrm{e}^w = z&lt;/math&gt;

=== Existenz ===
Für jedes &lt;math&gt;z \in \mathbb{C} \setminus \{0\}&lt;/math&gt; existiert ein solches &lt;math&gt;w&lt;/math&gt;. Man stellt dazu das Element &lt;math&gt;z&lt;/math&gt; in Polarkoordinaten mit &lt;math&gt;t\in [0,2\pi) &lt;/math&gt; wie folgt dar:
:&lt;math&gt;
  z= |z|\cdot e^{it}
&lt;/math&gt;
Dann ist &lt;math&gt;w:=\underbrace{\ln(|z|)}_{\in \mathbb{R}} + i\cdot \underbrace{t}_{\in \mathbb{R}}&lt;/math&gt; ein Logarithmus in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt;, da mit [[w:de:Potenzgesetze|Potenzgesetzen]] folgende Gleichung gilt:
:&lt;math&gt;
  e^w = e^{\ln(|z|) + i\cdot t} = e^{\ln(|z|)} \cdot  e^{i\cdot t} =  |z|\cdot e^{it} = z 
&lt;/math&gt;

=== Eindeutigkeit ===
Im Unterschied zum reellen Logarithmus ist der komplexe Logarithmus wegen
: &lt;math&gt;\mathrm{e}^{2k\pi \mathrm{i}} = 1, \quad k \in \mathbb{Z}&lt;/math&gt;,
nicht eindeutig bestimmt ist. Hat man also einen Logarithmus &lt;math&gt;w&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;z&lt;/math&gt; gefunden, so ist damit auch
: &lt;math&gt;w' =\,\! w + 2k\pi \mathrm{i}&lt;/math&gt;
mit jeder ganzen Zahl &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; ein Logarithmus von &lt;math&gt;z&lt;/math&gt;, denn es gilt
: &lt;math&gt;\mathrm{e}^{w'} = \mathrm{e}^{w + 2k\pi \mathrm{i}} = \mathrm{e}^w \cdot \mathrm{e}^{2k\pi \mathrm{i}} = \mathrm{e}^w \cdot 1 = \mathrm{e}^w = z&lt;/math&gt;.

=== Komplexer Logarithmus als Abbildung ===
Für die Definition einer Abbildung muss man einen eindeutigen Funktionswerte &lt;math&gt;\ln(z):=w&lt;/math&gt; definieren. Um Eindeutigkeit zu erreichen, wählt man aus den möglichen Werten für &lt;math&gt;w&lt;/math&gt; solche Werte aus, die in einem geeigneten Streifen der komplexen Zahlenebene liegen. Man kann z.&amp;nbsp;B. den Streifen
: &lt;math&gt;\left\{w \in \mathbb{C}: -\pi &lt; \operatorname{Im}\,w \leq \pi \right\}&lt;/math&gt;
verwenden. Ein Wert &lt;math&gt;w&lt;/math&gt; aus diesem Streifen heißt ''Hauptwert'' (engl. ''principal value'') des Logarithmus, und man schreibt &lt;math&gt;w = \ln(z)&lt;/math&gt;.

=== Zweige des Logarithmus ===
Stellt man &lt;math&gt;z = |z| \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i} \arg(z)}&lt;/math&gt; in [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|Polarform]] dar, so erhält man eine einfache Darstellung des ''k-ten Zweiges'' der Logarithmusfunktion:
: &lt;math&gt;w = \ln |z| + \mathrm{i}\left(\arg(z) + 2k\pi\right), \quad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;
mit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] &lt;math&gt;\arg&lt;/math&gt;. Im Summanden &lt;math&gt;\ln |z|&lt;/math&gt; wird der bereits oben definierte reelle Logarithmus &lt;math&gt;\ln&lt;/math&gt; verwendet.
Für &lt;math&gt;k = 0&lt;/math&gt; erhält man den ''Hauptzweig'' des komplexen Logarithmus zurück:
: &lt;math&gt;\ln z = \ln|z| + \mathrm{i}\arg(z)&lt;/math&gt;.

=== Stetigkeit von Zweigen des Logarithmus ===
&lt;math&gt;\ln: \mathbb{C}\setminus\{0\} \to \mathbb{C}&lt;/math&gt; ist nicht stetig in den Punkten &lt;math&gt;\mathcal{N} := \{z \in \mathbb{C} \, \colon \, (z=x+i\cdot 0) \wedge (0 &lt; x\in \mathbb{R}) \}&lt;/math&gt;. Entfernt man jedoch die negative reelle Achse &lt;math&gt;\mathcal{N}&lt;/math&gt;, so ist &lt;math&gt;\ln&lt;/math&gt; auf dem Gebiet
: &lt;math&gt;\mathbb{C}\setminus\{x \in \mathbb{R}: x\leq 0\}&lt;/math&gt;
stetig und sogar [[w:de:Holomorphe Funktion|holomorph]].

=== Algebraisch vollständige Logarithmus ===
Für den [[Polynomialer Nullstellensatz|polynomialen Nullstellensatz]]

=== Vergleich - Rechenregeln reeller/komplexer Logarithmus ===
Für den Hauptzweig des komplexen Logarithmus &lt;math&gt;\ln&lt;/math&gt; gelten nicht alle der weiter oben angeführten [[w:de:Logarithmus#Logarithmengesetze|Rechenregeln für die reelle Logarithmusfunktion]]. Sie gelten nur &lt;math&gt;\text{mod } 2\pi \mathrm{i}&lt;/math&gt;.

==== Mehrdeutigkeit und Periodizität 1 ====
Diese Mehrdeutigkeit ist eine direkte Folge aus der Periodizität seiner Umkehrfunktion, der komplexen Exponentialfunktion. Es gilt:
: &lt;math&gt;\ln(x) + \ln(y) = \ln(x \cdot y)+ 2\pi n \, \,\, n\in \mathbb{Z} &lt;/math&gt;

==== Mehrdeutigkeit und Periodizität 2 ====
Der Vergleich von &lt;math&gt;\ln(x) + \ln(y)&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\ln(x \cdot y)&lt;/math&gt; zeigt:
: &lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
\ln(\underbrace{-1+\mathrm{i}}_{=x}) + \ln(\underbrace{-1+\mathrm{i}}_{=y}) 
&amp; = &amp;
\bigl(\ln\sqrt2+\frac{3\pi}4\mathrm{i}\bigr) + \bigl(\ln\sqrt2+\frac{3\pi}4\mathrm{i}\bigr) 
\\
&amp; = &amp;
\ln2+\frac{3\pi}2\mathrm{i}
 \end{array}  
&lt;/math&gt;
und 
:&lt;math&gt;
\ln\bigl(\underbrace{(-1+\mathrm{i}}_{=x})\cdot (\underbrace{-1+\mathrm{i}}_{=y})\bigr)
= \ln(-2\mathrm{i})=\ln2-\frac\pi2\mathrm{i}&lt;/math&gt;

==== Mehrdeutigkeit und Periodizität 3 ====
Dies liefert ein Beispiel, dass &lt;math&gt;\ln x + \ln y = \ln(x \cdot y)&lt;/math&gt; nicht für beliebige &lt;math&gt;x,y\in \mathbb{C}&lt;/math&gt; gilt. Der rechte und linke Term unterscheiden sich, um Vielfache von &lt;math&gt;2\pi&lt;/math&gt;, d.h.
: &lt;math&gt;\ln x + \ln y = \ln(x \cdot y) + 2\pi n&lt;/math&gt;

==== Mehrdeutigkeit und Periodizität 4 ====
Auch die Gleichung
: &lt;math&gt;y \cdot \ln (x) = \ln\left({x^y}\right)&lt;/math&gt;
ist nicht immer erfüllt, wie das Gegenbeispiel
: &lt;math&gt;2\pi \mathrm{i} \ln (\mathrm{e}) = 2\pi \mathrm{i} \; \neq \; 0 = \ln 1 = \ln(\mathrm{e}^{2\pi \mathrm{i}})&lt;/math&gt;
beweist.

=== Graphen ===
&lt;gallery widths=&quot;180&quot; heights=&quot;120&quot; perrow=&quot;3&quot; caption=&quot;Grafische Darstellung des komplexen Logarithmus&quot;&gt;
   Ln abs.png|Betrag von &lt;math&gt;\ln z&lt;/math&gt;
   Ln re.png|Realteil von &lt;math&gt;\ln z&lt;/math&gt;
   Ln im.png|Imaginärteil von &lt;math&gt;\ln z&lt;/math&gt;
&lt;/gallery&gt;

==== Hauptzweig ====
Mit dem oben definierten Hauptzweig des komplexen Logarithmus kann man den Logarithmus für negative reellen Zahlen erklären:
: &lt;math&gt;\ln(-x) = \ln\left\vert-x\right\vert+ \mathrm{i}\arg(-x) = \ln x + \mathrm{i}\pi, \quad x\in\mathbb{R}^+\ .&lt;/math&gt;
Das setzt voraus, dass die [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] &lt;math&gt;\arg&lt;/math&gt; negativen reellen Zahlen den Wert &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt; zuweist.

==== Bemerkung - Argumentfunktion ====
Diese Betrachtungen zeigen, dass die Mehrdeutigkeit des komplexen Logarithmus letztlich auf die Mehrdeutigkeit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] zurückzuführen ist.

== Entwicklung in Potenzreihen ==
Jede auf einem Gebiet &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; [[holomorphe Funktion]] lässt sich lokal in eine Potenzreihe entwickelt. Durch den Zusammenhang von &lt;math&gt;\frac{1}{z}&lt;/math&gt; und dem Logarithmus erhält man auch eine Potenzreihendarstellung für beliebige [[w:de:Potenzreihe|Entwicklungspunkte]] &lt;math&gt;z_o=|z_o|\cdot e^{it} \not=0&lt;/math&gt; über die [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] mit &lt;math&gt;q=\frac{z-z_o}{-z_o}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;|z-z_0| &lt; |z_0|&lt;/math&gt;:
:&lt;math&gt;f(z)= \frac{1}{z} 
= \frac{1}{z_o} \cdot \frac{1}{ 1-  \underbrace{\frac{z-z_o}{-z_o} }_{=q} }
=
 \sum_{n=0}^\infty 
\underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1}} }_{=a_n} \cdot (z-z_o)^n 
&lt;/math&gt;

=== Stammfunktion - Konstante der Taylorreihe ===
Für den Zweig des Logarithmus erhält man daher folgende Potenzreihendarstellung auf &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;r&lt; |z_0|&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;c= \ln(|z_o|) + i\cdot t&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;t\in \mathbb{R}&lt;/math&gt;:
:&lt;math&gt;F(z)= c +
 \sum_{n=0}^\infty 
\frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1} \cdot (n+1)}  \cdot (z-z_o)^{n+1} 
&lt;/math&gt;
Ein zugehöriger Zweig von &lt;math&gt;F&lt;/math&gt; ist dann z.B. auf dem Gebiet &lt;math&gt;G:= \mathbb{C} \setminus \{ z\in \mathbb{C} \, : \,  z=\lambda \cdot z_0 \mbox{ mit } 0  \geq \lambda \in \R \}&lt;/math&gt; definiert.

=== Bemerkung - Eindeutigkeitlemma für Logarithmuszweige ===
Das 
[[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] zeigt, dass mit der Wahl eines [[einfach zusammenhängend]]en &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;0\notin G&lt;/math&gt; und der Festlegung des Imaginärteiles des Logarithmuszweige für ein &lt;math&gt;z_0\in G&lt;/math&gt; der gesamte Zwei des Logarithmus eindeutig definiert ist. Ferner wird zwischen dem (reellen) Hauptzweig und dem imaginären Hauptzweig des Logarithmus unterschieden, wobei einmal der negative reelle Achse entfernt wurde und für imaginären Hauptzweig des Logarithmus negative reelle Achse in &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; fehlt.

== Siehe auch ==
* [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]]
* [[/generalisiert/|generalisierte Logarithmen]]
* [[Logarithmus]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Lokale_Entwicklung_in_Potenzreihen|Lokale Entwicklung in Potenzreihen]]
* [[Kurs:Funktionentheorie]]

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    <title>Benutzer:Barkmann-hdaOek</title>
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      <comment>/* Wintersemester 2026/27 */</comment>
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      <text bytes="665" sha1="1a4q7lydnju82x0k4twz8myqm7gkz3r" xml:space="preserve">Dies ist die Seite von '''Prof. Dr. habil. Jan Barkmann, M.S. (UMaine)''', Risiko- und Nachhaltigkeitsforschung, FB Gesellschaftswissenschaften, Hochschule Darmstadt.

{{Fachbereich|Sozialwissenschaften}}

= Wintersemester 2026/27 =
* [[Kurs:Sozialwissenschaften/Einführung_BWL_(h_da)]]  

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* [[Kurs:Sozialwissenschaften/Einführung_BWL_(h_da)/Unternehmen_WS26_27]]

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      <text bytes="1859" sha1="0okcs1pnx4138xkocav1683nammzfqn" xml:space="preserve">{{Fachbereich|Sozialwissenschaften}}

= Einführung in die Ökonomik (BWL) für Sozialwissenschaften (h_da) = 

== Unternehmensübersicht ==
[[Kurs:Sozialwissenschaften/Einführung BWL (h_da)/Unternehmen WS26_27]]
[[Kurs:Sozialwissenschaften/Einführung BWL (h_da)/Unternehmen WS25_26]]

== Übersicht über die Kurstage ==
# Einführung (Folien auf unserem Moodle)
# [[Kurs:Sozialwissenschaften/Einführung_BWL (h_da)/Teambildung|Teambildung]] &amp; Gründungsvorbereitung
# [[Kurs:Sozialwissenschaften/Einführung BWL (h da)/Unternehmensgründung|Unternehmensgründung]] &amp; Webseite aktualisieren
#[[Kurs:Sozialwissenschaften/Einführung BWL (h da)/Erster Auftrag|Erster Auftrag]], Kalkulation &amp; Webseite aktualisieren
#[[Kurs:Sozialwissenschaften/Einführung BWL (h da)/Personalkosten|Personalkosten]] kalkulieren
#[[Kurs:Sozialwissenschaften/Einführung BWL (h da)/Alternative Angebote|Alternative Angebote]] für Angebotskurve und Wettbewerbsüberlegungen
#[[Kurs:Sozialwissenschaften:Einführung BWL (h da)/Wettbewerbsstrategien|Wettbewerbsstrategien]]: Kosten-, Innovationsführerschaft, Nischenstrategien
#[[Kurs:Sozialwissenschaften:Einführung BWL (h da)/Marktforschung|Marktforschung]]: Konsumentenwünsche, Zielgruppen
#[[Kurs:Sozialwissenschaften:Einführung BWL (h da)/Innovation|Innovation]]
#[[Kurs:Sozialwissenschaften:Einführung BWL (h da)/Vertrauen|Vertrauen]] und (Vertrauens-) Güter
#[[Kurs:Sozialwissenschaften:Einführung BWL (h da)/Bilanz|Bilanz &amp; Gewinn]] und etwas Doppelte Buchführung
#[[Kurs:Sozialwissenschaften:Einführung BWL (h da)/Klausuraufgaben-Übung|Klausuraufgaben-Übung]] (siehe Moodle)
#[[Kurs:Sozialwissenschaften:Einführung BWL (h da)/Wertschöpfungsketten|Wertschöpfungsketten]] und Zusammenarbeit zwischen Unternehmen
#[[Kurs:Sozialwissenschaften:Einführung BWL (h da)/Businessplan|Businessplan]] und Unsicherheit</text>
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      <text bytes="1860" sha1="squ7kpd0jfiyfjuxada4dxa7ft4q3f4" xml:space="preserve">{{Fachbereich|Sozialwissenschaften}}

= Einführung in die Ökonomik (BWL) für Sozialwissenschaften (h_da) = 

== Unternehmensübersicht ==
[[Kurs:Sozialwissenschaften/Einführung BWL (h_da)/Unternehmen WS26_27]]

[[Kurs:Sozialwissenschaften/Einführung BWL (h_da)/Unternehmen WS25_26]]

== Übersicht über die Kurstage ==
# Einführung (Folien auf unserem Moodle)
# [[Kurs:Sozialwissenschaften/Einführung_BWL (h_da)/Teambildung|Teambildung]] &amp; Gründungsvorbereitung
# [[Kurs:Sozialwissenschaften/Einführung BWL (h da)/Unternehmensgründung|Unternehmensgründung]] &amp; Webseite aktualisieren
#[[Kurs:Sozialwissenschaften/Einführung BWL (h da)/Erster Auftrag|Erster Auftrag]], Kalkulation &amp; Webseite aktualisieren
#[[Kurs:Sozialwissenschaften/Einführung BWL (h da)/Personalkosten|Personalkosten]] kalkulieren
#[[Kurs:Sozialwissenschaften/Einführung BWL (h da)/Alternative Angebote|Alternative Angebote]] für Angebotskurve und Wettbewerbsüberlegungen
#[[Kurs:Sozialwissenschaften:Einführung BWL (h da)/Wettbewerbsstrategien|Wettbewerbsstrategien]]: Kosten-, Innovationsführerschaft, Nischenstrategien
#[[Kurs:Sozialwissenschaften:Einführung BWL (h da)/Marktforschung|Marktforschung]]: Konsumentenwünsche, Zielgruppen
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#[[Kurs:Sozialwissenschaften:Einführung BWL (h da)/Vertrauen|Vertrauen]] und (Vertrauens-) Güter
#[[Kurs:Sozialwissenschaften:Einführung BWL (h da)/Bilanz|Bilanz &amp; Gewinn]] und etwas Doppelte Buchführung
#[[Kurs:Sozialwissenschaften:Einführung BWL (h da)/Klausuraufgaben-Übung|Klausuraufgaben-Übung]] (siehe Moodle)
#[[Kurs:Sozialwissenschaften:Einführung BWL (h da)/Wertschöpfungsketten|Wertschöpfungsketten]] und Zusammenarbeit zwischen Unternehmen
#[[Kurs:Sozialwissenschaften:Einführung BWL (h da)/Businessplan|Businessplan]] und Unsicherheit</text>
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    <title>Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2026-2027)/Teil I/Vorlesung/Fuß</title>
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|}

&lt;includeonly&gt;[[Kategorie:Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2026-2027)/Teil I/Vorlesungen|Vorlesung]]&lt;/includeonly&gt;

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    <title>Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2026-2027)/Teil I/Arbeitsblatt/Fuß</title>
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|- style=&quot;text-align:center;&quot;

! style=&quot;text-align:center;background-color:lightgray;&quot; |{{#ifeq: {{#expr: {{{1|0}}} &gt; 1}} | 1 | [[Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2026-2027) Teil I Arbeitsblatt {{#expr:{{{1|}}}-1}}{{!}}&lt;&lt;]] {{!}} |   }} [[Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2026-2027)/Teil I]] {{#ifeq: {{{2|}}} | last |   | {{!}} [[Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2026-2027)/Teil I/Arbeitsblatt {{#expr:{{{1|}}}+1}}|&gt;&gt;]]}}&lt;br/&gt; [[media:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2026-2027) Teil I Arbeitsblatt{{{1|}}}.pdf|PDF-Version dieses Arbeitsblattes]]&lt;br/&gt; [[Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2026-2027)/Teil I/Vorlesung {{{1|}}}{{!}} Zur Vorlesung]] ([[media:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2026-2027) Teil I Vorlesung{{{1|}}}.pdf|PDF]])

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    <title>Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2026-2027)/Teil I/Arbeitsblatt 1</title>
    <ns>106</ns>
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      <id>1115792</id>
      <parentid>1115700</parentid>
      <timestamp>2026-10-12T08:18:05Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
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      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="2617" sha1="45yfslak0nopbnloygtdkpucahdewj4" xml:space="preserve">{{Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2026-2027)/Teil I/Arbeitsblattgestaltung|1|

{{Zwischenüberschrift|Die Pausenaufgabe}}

{{
inputaufgabe
|Natürliche Zahlen/Produkt/Quadrieren/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{Zwischenüberschrift|Übungsaufgaben}}

{{
inputaufgabe
|Binomische Formeln/1001/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Binomische Formeln/Terme/Ausrechnen/1/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Binomische Formel/Rechtecksvisualisierung/Problematik/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Binomische Formeln/Polynome und Terme/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Z(a-b)(b-a)/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Distributivgesetz/Anschauung/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Binomische Formel/Erste und dritte/Zusammenhang/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Natürliche Zahlen/Dreiersumme/Zweite Potenz/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Natürliche Zahlen/Zweiersumme/Dritte Potenz/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Natürliche Zahlen/a-b mal a^2+ab+b^2/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Binomische Formeln/Terme/Ausrechnen/2/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Polynomiale Identität/2/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{:Algorithmischer Link/Anweisung/Kurs/Bemerkung|zusatz1=Fußnote}}

{{
inputaufgabe
|Externer Algorithmus/Termumformer/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Binomische Formel/Z nach Q/Rechengesetze/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Zweite Binomische Formel/Z nach Q/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

Die Addition und die Multiplikation von {{math|term=2 \times 2|SZ=-}}Matrizen kennen Sie aus der Schule.
{{
inputaufgabe
|Matrizen/Erste binomische Formel/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Verknüpfungen/Reihenfolge/Lernen und lehren/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Binomische Formel/Zahlenbeispiel/2/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Dritte binomische Formel/Illustriere geometrisch/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

Die binomische Formeln werden als Gleichungen formuliert, die für jede Belegung der Variablen gelten. Es gibt auch Gleichungen, bei denen es darum geht, alle Belegungen zu finden, damit die Gleichung gilt. 
{{
inputaufgabe
|N/Gleichung/xy ist x/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{Zwischenüberschrift|Aufgaben zum Abgeben}}

{{
inputaufgabe
|Bhaskara/Wurzelgleichheit/Aufgabe|p|
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Dritte Binomische Formel/Z nach Q/Aufgabe|p|
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Natürliche Zahlen/Produkt/Quadrieren/2/Aufgabe|p|
|zusatz=
|tipp=
}}

{{Fußnotenliste}}

}}</text>
      <sha1>45yfslak0nopbnloygtdkpucahdewj4</sha1>
    </revision>
  </page>
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    <title>Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2026-2027)/Teil I/Arbeitsblatt 2</title>
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      <timestamp>2026-10-12T08:35:58Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <origin>1115797</origin>
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      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="2186" sha1="gj8rqr8vsrs11bvzjoi749ws9xjo8u8" xml:space="preserve">{{Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2026-2027)/Teil I/Arbeitsblattgestaltung|2|

{{Zwischenüberschrift|Die Pausenaufgabe}}

{{
inputaufgabe
|Quadratzahlen/Gleicher Abstand/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{Zwischenüberschrift|Übungsaufgaben}}

{{
inputaufgabe
|Wissenschaft/Fakten/?/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Wissenschaft/Standpunkte/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Quadratzahlen/Bis 400/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Quadratzahlen/Summe und Produkt/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Aufeinanderfolgende Quadratzahlen/Differenz/Argument/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Ungerade Zahl/Quadratzahldifferenz/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|N^2-N/Parität/Fallunterscheidung/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Modulare Arithmetik/Gerade und ungerade Zahlen/Rechenregeln/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Ungerade Zahl/Restdarstellung/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Ungerade Zahl/Summe/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Ungerade Zahl/Produkt/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Gerade Zahl/Letzte Ziffer/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Ungerade Zahl/Letzte Ziffer/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Kleines Einmaleins/Summe aller Zahlen/Gerade/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Durch 0 teilen/Schule/Argument/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Null/Division/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputbild
|GabiHochster2|png|200px {{!}} right {{!}} 
|Text=Gabi Hochster
|Autor=
|Benutzer=Bocardodarapti
|Domäne=
|Lizenz=CC-by-sa 4.0
|Bemerkung=
}}
{{
inputaufgabe
|Durch 0 teilen/Schule/Gabi Hochster/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{Zwischenüberschrift|Aufgaben zum Abgeben}}

{{
inputaufgabe
|Quadratzahlen/Endziffer/Aufgabe|p|
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Achilles-Zahlen/Beispiel/Größer/Aufgabe|p|
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Fröhliche Zahl/Beispiele/Aufgabe|p|
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Gerade und ungerade Zahlen/Rechenregeln/Aufgabe|p|
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Natürliche Zahl/Neue Eigenschaft/Aufgabe|p|
|zusatz=
|tipp=
}}

}}</text>
      <sha1>gj8rqr8vsrs11bvzjoi749ws9xjo8u8</sha1>
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    <title>Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2026-2027)/Endliche Menge/Eins dazu/Anzahl/Aufgabe/Aufgabereferenznummer</title>
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        <username>Arbota</username>
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      </contributor>
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      <comment>Bot: Referenznummer aktualisiert.</comment>
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      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="48" sha1="l1i0e93crak160roga64imu1cdxpb8b" xml:space="preserve">{{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Aufgabe|6|17|Kurs=|}}</text>
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    <title>Generative engine optimization</title>
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    <id>172706</id>
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        <username>Grillb01</username>
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      <text bytes="8142" sha1="qktc1qhx73nommcrxd9v3g147p502yu" xml:space="preserve">'''Verständnis des Begriffs GEO (Generative Engine Optimization)'''

Der Begriff GEO (Generative Engine Optimization) beschreibt einen vergleichsweise neuen Ansatz der digitalen Inhaltsoptimierung, der im Zusammenhang mit der zunehmenden Nutzung generativer künstlicher Intelligenz entstanden ist.
Während sich klassische Suchmaschinenoptimierung (SEO) primär mit der Verbesserung der Sichtbarkeit von Webseiten in herkömmlichen Suchmaschinen beschäftigt, richtet sich GEO auf die Auffindbarkeit und inhaltliche Berücksichtigung digitaler Inhalte innerhalb generativer KI-Systeme aus. Dazu zählen insbesondere große Sprachmodelle und KI-basierte Antwortsysteme, die Nutzeranfragen nicht durch das Anzeigen von Trefferlisten, sondern durch die Erstellung zusammenhängender Textantworten bearbeiten (vgl. Gao et al., 2023; Coursera, 2025).

Generative Engines unterscheiden sich grundlegend von klassischen Suchmaschinen, da sie Informationen nicht lediglich weiterleiten, sondern diese eigenständig verarbeiten, kombinieren und in natürlicher Sprache ausgeben. Vor diesem Hintergrund verfolgt GEO das Ziel, Inhalte so aufzubereiten, dass sie von solchen Systemen inhaltlich erkannt,
korrekt eingeordnet und bei der Antwortgenerierung berücksichtigt werden können.
Dabei geht es weniger um kurzfristige Rankings, sondern um die langfristige inhaltliche Relevanz und Anschlussfähigkeit von Informationen in KI-gestützten Informationsprozessen (vgl. Conductor, 2025; Dreikon, 2025).

Ein zentrales Merkmal von GEO liegt in der stärkeren Betonung semantischer Klarheit und inhaltlicher Tiefe. Inhalte müssen nicht nur technisch zugänglich sein, sondern in einer Weise strukturiert werden, die es KI-Systemen ermöglicht, Zusammenhänge, Definitionen und Argumentationslinien zuverlässig zu erfassen. Dazu gehören unter anderem eine präzise Sprache, klar formulierte Kernaussagen sowie eine konsistente thematische Ausrichtung. Ziel ist es, dass Inhalte von generativen Modellen als verlässliche und fachlich fundierte Informationsgrundlage genutzt werden können (vgl. eology, 2025; Keyweo, 2025).

Die wissenschaftliche Auseinandersetzung mit GEO begann verstärkt ab dem Jahr 2023, als erste Studien das Konzept systematisch beschrieben und empirisch untersuchten. In diesen Arbeiten wurde gezeigt, dass gezielte Anpassungen von Inhalten die Wahrscheinlichkeit erhöhen, dass diese bei der Beantwortung von Nutzeranfragen durch generative Systeme berücksichtigt werden. GEO wurde dabei nicht nur als praktische Strategie, sondern als eigenständiger theoretischer Ansatz im Kontext moderner Informationssysteme eingeordnet (vgl. Aggarwal et al., 2023; Chen et al., 2025). Diese frühe Forschung trägt wesentlich zur begrifflichen und methodischen Fundierung von GEO bei.

Im Vergleich zur klassischen SEO verschiebt sich mit GEO auch der Fokus der Erfolgsmessung. Während SEO stark auf Sichtbarkeit in Ergebnislisten und Nutzerinteraktionen ausgerichtet ist, geht es bei GEO vor allem darum, ob und wie Inhalte in KI-generierten Antworten inhaltlich aufgegriffen werden. Nutzerinnen und Nutzer interagieren zunehmend direkt mit KI-Systemen und erwarten kompakte, verständliche Antworten.
In diesem Kontext wird es für Inhalte entscheidend, nicht nur auffindbar, sondern auch inhaltlich anschlussfähig für generative Modelle zu sein (vgl. Coursera, 2025; eology, 2025).
Darüber hinaus steht GEO in enger Beziehung zu verwandten Konzepten wie der „Answer Engine Optimization“ (AEO). Während AEO vor allem auf direkte Antwortformate in Suchmaschinen oder Sprachassistenten abzielt, erweitert GEO diesen Ansatz auf komplexere generative Systeme. Dabei werden klassische SEO-Prinzipien mit neuen Anforderungen an semantische Struktur, Kontextualisierung und fachliche Autorität kombiniert.

GEO kann somit als Weiterentwicklung bestehender Optimierungsstrategien verstanden werden, die den veränderten technischen und nutzerbezogenen Rahmenbedingungen Rechnung trägt (vgl. GPT-Insights, 2025).
GEO beschreibt nicht lediglich eine neue Marketing-Technik, sondern reflektiert einen grundlegenden Wandel darin, wie Wissen im digitalen Raum erzeugt, vermittelt und rezipiert wird (vgl. Gao et al., 2023; Conductor, 2025).

'''Unterschiede zwischen klassischem SEO und GEO'''

Die Unterschiede zwischen klassischer Suchmaschinenoptimierung und GEO ergeben sich vor allem aus den veränderten technischen Grundlagen der Informationssuche sowie aus dem Wandel des Nutzerverhaltens im digitalen Raum. Während SEO historisch für Suchmaschinen konzipiert wurde, die Inhalte indexieren und in Form von Ergebnislisten ausspielen, richtet sich GEO an generative KI-Systeme, die Informationen eigenständig verarbeiten und in zusammenhängenden Textantworten darstellen.
Dieser strukturelle Unterschied bildet die Grundlage für abweichende Zielsetzungen, Methoden und Bewertungslogiken beider Ansätze (vgl. Gao et al., 2023; Coursera, 2025).
Klassische SEO verfolgt primär das Ziel, Webseiten möglichst weit oben in den Suchergebnisseiten zu platzieren. Die Sichtbarkeit eines Inhalts wird dabei maßgeblich durch Rankingpositionen bestimmt, die wiederum von Faktoren wie Keywords, Backlinks, Ladezeiten und technischen Standards beeinflusst werden. Nutzerinnen und Nutzer wählen aus einer Vielzahl von Treffern aus und entscheiden selbst, welche Quelle sie aufrufen. GEO hinge-gen setzt an einem anderen Punkt an: Inhalte sollen so gestaltet werden, dass sie von generativen KI-Systemen inhaltlich aufgegriffen und in die Antworterstellung integriert werden. Die klassische Vorstellung einer Ergebnisliste tritt dabei in den Hintergrund, da Nutzerinnen und Nutzer zunehmend direkte, zusammengefasste Antworten erhalten, ohne einzelne Webseiten aktiv anzusteuern (vgl. Conductor, 2025; Dreikon, 2025).

Ein weiterer zentraler Unterschied liegt in der Art und Weise, wie Inhalte verarbeitet werden. SEO orientiert sich stark an expliziten Signalen wie Suchbegriffen, Metadaten und Linkstrukturen. Obwohl semantische Aspekte im Zuge moderner Suchalgorithmen an Bedeutung gewonnen haben, bleibt der Fokus häufig auf klar definierten Suchanfragen und deren Übereinstimmung mit bestehenden Inhalten gerichtet.
GEO hingegen verlangt eine stärkere Ausrichtung auf semantische Kohärenz, Kontextverständnis und inhaltliche Vollständigkeit, da generative Systeme Informationen nicht isoliert, sondern im Zusammenhang interpretieren. Inhalte müssen daher so formuliert sein, dass sie auch ohne explizite Suchbegriffe als thematisch relevant erkannt werden können (vgl. eology, 2025; Keyweo, 2025).

Darüber hinaus unterscheiden sich SEO und GEO hinsichtlich der Bewertung von inhaltlicher Qualität und Autorität. In der klassischen Suchmaschinenoptimierung wird Qualität häufig indirekt über Nutzersignale oder externe Verlinkungen abgebildet.
GEO hingegen erfordert eine klar erkennbare fachliche Tiefe und konsistente Argumentationsführung, da generative Modelle bevorzugt auf Inhalte zurückgreifen, die in sich geschlossen, nachvollziehbar und thematisch eindeutig sind. Die bloße Präsenz eines Keywords reicht hierfür nicht aus; vielmehr muss der Inhalt als verlässliche Wissens-quelle innerhalb eines thematischen Kontexts fungieren (vgl. Aggarwal et al., 2023; Chen et al., 2025).
KI-gestützte Suchsysteme greifen häufig – wenn auch nicht ausnahmslos – auf RAG (Re-rieval-Augmented Generation) zurück. Dabei löst eine Nutzereingabe nicht nur eine reine Textgenerierung aus, sondern initiiert automatisch eine oder mehrere Suchanfragen an externe Suchmaschinen wie Google® oder Bing®. Die gefundenen Ergebnisse dienen als aktuelle Informationsgrundlage, um zeitnahe Nachrichten und verlässliche Fakten in die Antwort zu integrieren.
Ohne diesen Mechanismus wären korrekte Antworten auf dynamische Fragestellungen – etwa nach dem Präsidenten eines Landes nach kürzlich abgehaltenen Wahlen – schlicht nicht möglich.

==Betreuer==
[[Benutzer:Jugiii|Jürgen Grill]]

==Referenzen==
&lt;references /&gt;

[https://www.smarketing-akademie.de Professionals Online Akademie für Sales und Marketing]</text>
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    <title>Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige</title>
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        <username>Bert Niehaus</username>
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      <text bytes="8771" sha1="1b4k0kszjfbc61xwpyv0011ujljgk21" xml:space="preserve">== Einleitung ==
Es gibt unterschiedliche Möglichkeiten (''&quot;Zweige&quot;''), einen Logarithmus als [[w:de:Umkehrfunktion|Umkehrfunktion]] zu definieren. Dies liegt einerseits an folgdenden mathematischen Eigenschaften und andererseits auch an der Zielsetzung, was man mit dem Logarithmus als Funktion erreichen möchte. 
* '''(Periodizität)''' Durch die Periodizität der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] im [[komplexe Zahl|Imaginärteil]] mit der Periode &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; gibt es unterschiedliche Zweige.
* '''(Wahl des Gebiet)''' Durch die Wahl des [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden Gebietes]] entstehen unterschiedliche Zweige.
* '''(Algebraische Vollständigkeit)''' Ein Zweig des Logaritmus ist algebraisch vollständig, wenn dieser auf &lt;math&gt;\mathbb{C}\setminus \{0\}&lt;/math&gt;. Dadurch verliert man aber die [[Stetigkeit]] und [[Holomorphie]] als Eigenschaft.

== Zweige des Logarithmus ==
Ein Zweig des Logarithmus ist eine Funktion &lt;math&gt; \log(z) &lt;/math&gt;, die auf einer Teilmenge &lt;math&gt; G &lt;/math&gt; von &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; definiert ist und die Eigenschaft hat, dass &lt;math&gt; \exp(\log(z)) = z &lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt; z \in G &lt;/math&gt;. Eine übliche Wahl für &lt;math&gt; D &lt;/math&gt; ist die Menge &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus (-\infty, 0] &lt;/math&gt;, die die negative reelle Achse ausschließt. In diesem Fall kann der Hauptzweig des Logarithmus definiert werden als:

:&lt;math&gt; \log(z) = \ln|z| + i \arg(z) 
&lt;/math&gt;
wobei &lt;math&gt; \arg(z) &lt;/math&gt; der Winkel von &lt;math&gt; z &lt;/math&gt; in der komplexen Ebene ist und &lt;math&gt; -\pi &lt; \arg(z) \leq \pi &lt;/math&gt;.

=== Alternativen der Argumentfunktion ===
Die Argumentfunktion &lt;math&gt; \arg(z) &lt;/math&gt; kann man auch  als Winkel von &lt;math&gt; z &lt;/math&gt; in der komplexen Ebene ist auch in &lt;math&gt; -\pi \leq \arg(z) &lt; \pi &lt;/math&gt; oder &lt;math&gt; 0 \leq \arg(z) &lt; 2\pi &lt;/math&gt; definieren. Der alternative Winkelbereich &lt;math&gt;[0,2\pi)&lt;/math&gt; spielt für die Definition der &lt;math&gt;logmod&lt;/math&gt;[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/logmod|-Funktion]] verwenden. 

=== Zweige des Logarithmus ===
Stellt man &lt;math&gt;z = |z| \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i} \arg(z)}&lt;/math&gt; in [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|Polarform]] dar, so erhält man eine einfache Darstellung des ''k-ten Zweiges'' der Logarithmusfunktion:
: &lt;math&gt;w = \ln |z| + \mathrm{i}\left(\arg(z) + 2k\pi\right), \quad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;
mit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] &lt;math&gt;\arg&lt;/math&gt;. Im Summanden &lt;math&gt;\ln |z|&lt;/math&gt; wird der bereits oben definierte reelle Logarithmus &lt;math&gt;\ln&lt;/math&gt; verwendet.
Für &lt;math&gt;k = 0&lt;/math&gt; erhält man den ''Hauptzweig'' des komplexen Logarithmus zurück:
: &lt;math&gt;\ln z = \ln|z| + \mathrm{i}\arg(z)&lt;/math&gt;.

&lt;span id=&quot;negativer_Hauptzweig&quot;&gt;&lt;/span&gt;
=== Negativer Hauptzweige des Logarithmus ===
Beim negativen Hauptzweig verwendet man für den Startwert der Integraldarstellung &lt;math&gt;-1&lt;/math&gt; statt &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; (wie beim Hauptzweig). Als holomorphe Funktion verwendet man für den Hauptzweig die Funktion &lt;math&gt;\ln&lt;/math&gt;, die auf den geschlitzten Ebene definiert ist, wobei die negative reelle Achse mit 0 aus dem Definitionsbereich entfernt wird. Beim negativen Hauptzweig wird dagen die positive Achse aus dem Definitionsbereich entfernt, wenn man ein Logarithmus auf diesem [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebiet definieren möchte.
Sei &lt;math&gt;z_o = -1\in \mathbb{C} \setminus \{0\}&lt;/math&gt; 
:&lt;math&gt;
 \begin{array}{rrcl}
   \gamma_z : &amp; [0,1] &amp; \rightarrow &amp; \mathbb{C} \\ 
    &amp;  t  &amp; \mapsto &amp; \gamma_z(t) =  (1-t)\cdot z_0 + t\cdot z =  (t-1) + t\cdot z 
  \end{array}  
&lt;/math&gt;

:&lt;math&gt;
ln_{-}(z) := \pi i + \int_{\gamma_z}
 \frac{1}{\xi} \, d\xi = \pi i +  \int_{0}^1
 \frac{1}{\gamma_z(t)} \cdot \gamma{\,}_z'(t)  dt  

&lt;/math&gt;

== Aufgabe - Integraldarstellung des Logarithmus ==
Sei &lt;math&gt;z_o \in \mathbb{C} \setminus \{0\}&lt;/math&gt; beliebig gewählt und 
:&lt;math&gt;
 \begin{array}{rrcl}
   \gamma_z : &amp; [0,1] &amp; \rightarrow &amp; \mathbb{C} \\ 
    &amp;  t  &amp; \mapsto &amp; \gamma_z(t) =  (1-t)\cdot z_0 + t\cdot z 
  \end{array}  
&lt;/math&gt;
* Skizzieren Sie die Menge &lt;math&gt;\mathbb{C}_{z_0} := \mathbb{C} \setminus \{  -\lambda \cdot z_0 \, :\, \lambda \in \mathbb{R}_0^+ \} &lt;/math&gt;
* Ist die folgende Funktion &lt;math&gt;F: \mathbb{C}_{z_0} \to \mathbb{C} &lt;/math&gt; eine wohldefinierte Funktion und für welche &lt;math&gt;z_0&lt;/math&gt; ist die folgende [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion]] &lt;math&gt;F&lt;/math&gt; als Wegintegral auch ein Zweig des Logarithmus? Wie muss man dann die Konstante &lt;math&gt;c_0&lt;/math&gt; zu dem gegebenen &lt;math&gt;z_0&lt;/math&gt; wählen? 
::&lt;math&gt;
F(z) := c_0 + \int_{\gamma_z}
 \frac{1}{\xi} \, d\xi = c_0 +  \int_{0}^1
 \frac{1}{\gamma_z(t)} \cdot \gamma{\,}_z'(t)  dt  

&lt;/math&gt;

=== Notwendigkeit der Einschränkung der Definitions- und Wertebereiche der Exponentialfunktion ===
Um eine bijektive Abbildung zu erhalten, müssen wir sowohl den Definitionsbereich als auch den Wertebereich der Exponentialfunktion einschränken.
Die Exponentialfunktion &lt;math&gt; \exp(z) &lt;/math&gt; ist periodisch mit der Periode &lt;math&gt; 2\pi i &lt;/math&gt;, das heißt, &lt;math&gt; \exp(z + 2\pi i k) = \exp(z) &lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt; k \in \mathbb{Z} &lt;/math&gt;. 

=== Surjektivität und Injektivität ===
Die Periodizität führt dazu, dass die Exponentialfunktion nicht injektiv auf der gesamten komplexen Ebene ist. Die Exponentialfunktion ist auch nicht surjektiv, da mit &lt;math&gt;z=x+i\cdot y \in \mathbb{C}&lt;/math&gt; die 0 als Bildpunkt auftritt, denn es gilt:
:&lt;math&gt;
 e^z = e^{x+iy} = \underbrace{e^x}_{\not=0} \cdot \underbrace{e^{iy}}_{\not=0} \not= 0
&lt;/math&gt;

=== Eulersche Formel ===
Mit der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] kann die Exponentialfunktion mit &lt;math&gt;z=x+i\cdot y \in \mathbb{C}&lt;/math&gt; wie folgt zerlegen:
:&lt;math&gt;
 e^z = e^{x+iy} = \underbrace{e^x}_{\not=0} \cdot e^{iy} = 
 e^x\cdot (\cos(y) + i \cdot \sin(y) )
&lt;/math&gt;

=== Bijektive Abbildung ===
Um eine bijektive und holomorphe Abbildung zu erhalten, kann man  den Definitionsbereich der Exponentialfunktion auf ein horizontales Streifen der Höhe &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; einschränken, zum Beispiel:

:&lt;math&gt; G := \mathbb{R} + i\cdot (-\pi,+\pi) := \{ z \in \mathbb{C} \mid -\pi &lt; \operatorname{Im}(z) \leq \pi \} \subset \mathbb{C}
&lt;/math&gt;
In diesem Fall ist die Exponentialfunktion &lt;math&gt;\exp : G \to  \mathbb{C}\setminus \{0\}   &lt;/math&gt; den &quot;Streifen&quot; &lt;math&gt;G  &lt;/math&gt; der Höhe &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt;  bijektiv auf  auf den Wertebereich &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; ab. Die Bildmenge wird nun zum Definitionsbereich des Hauptzweiges vom Logarithmus.

== Zusammenfassung ==
* Die Exponentialfunktion &lt;math&gt; \exp(z) &lt;/math&gt; ist nicht injektiv und nicht surjektiv (wegen &lt;math&gt; \exp(z) \not= 0)&lt;/math&gt; auf der gesamten komplexen Ebene.
* Um eine bijektive [[holomorphe Funktion]] zu erhalten, muss man den Definitionsbereich &lt;math&gt;\mathbb{D}&lt;/math&gt; und den Wertebereich &lt;math&gt;\mathbb{W}&lt;/math&gt; der Logarithmusfunktion &lt;math&gt;\log_G : G \to \mathbb{W} &lt;/math&gt; so einschränken, dass eine bijektive Abbildung entsteht.
* für die offene Menge &lt;math&gt;\mathbb{D}&lt;/math&gt; muss im Allgemeinen nur [[einfach zusammenhängend]] mit &lt;math&gt;0\notin \mathbb{D}&lt;/math&gt; sein (siehe auch [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/generalisiert|generalisierte Logarithmen]]). 
* Ein Zweig des Logarithmus kann definiert werden, indem der Definitionsbereich des Logarithmus eingeschränkt wird, zum Beispiel auf &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus (-\infty, 0] &lt;/math&gt;.

=== Algebraische Vervollständigung ===
Wenn man den Definitionsbereich von einer geschlitzten Ebene &lt;math&gt; \mathbb{W} := \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}_{0}^{-}&lt;/math&gt; auf &lt;math&gt;\mathbb{C}\setminus \{0\}&lt;/math&gt; erweitert und gleichzeitig den Definitionsbereich &lt;math&gt;G:=\mathbb{R}+(-\pi,+\pi) \cdot i &lt;/math&gt; zu &lt;math&gt;G_+ := \mathbb{R} + (-\pi,+\pi]\cdot i&lt;/math&gt; für den Hauptzweig erweitert, bleibt die algebraisch die Bijektivität erhalten, aber man verliert die Eigenschaft der Stetigkeit auf dem ganzen Definitionsbereich. Alternativ kann man für den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#negativer_Hauptzweig|negativen Hauptzweig]] den Definitionsbereich &lt;math&gt;G_1 := \mathbb{R} + (0,2\pi)\cdot i&lt;/math&gt; auch diesen Definitionsbereich auf &lt;math&gt;\mathbb{D}_1 := \mathbb{R} + [0,2\pi)\cdot i&lt;/math&gt; erweitern und man verliert analog die Eigenschaft der Stetigkeit und komplexen Differenzierbarkeit auf ganz &lt;math&gt;\mathbb{D}_1&lt;/math&gt;.

== Siehe auch ==
* [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]]
* [[holomorphe Funktion]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexer Logarithmus]]
* [[Logarithmus|reeller Logarithmus]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion als Wegintegral]]</text>
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      <contributor>
        <username>Bert Niehaus</username>
        <id>20843</id>
      </contributor>
      <comment>/* Einleitung */</comment>
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      <text bytes="8867" sha1="7z1b7th1aa71xc74fl5ru3ltgj3espt" xml:space="preserve">== Einleitung ==
Es gibt unterschiedliche Möglichkeiten (''&quot;Zweige&quot;''), einen Logarithmus als [[w:de:Umkehrfunktion|Umkehrfunktion]] zu definieren. Dies liegt einerseits an folgdenden mathematischen Eigenschaften und andererseits auch an der Zielsetzung, was man mit dem Logarithmus als Funktion erreichen möchte. 
* '''(Periodizität)''' Durch die Periodizität der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] im [[komplexe Zahl|Imaginärteil]] mit der Periode &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; gibt es unterschiedliche Zweige.
* '''(Wahl des Gebietes)''' Durch die Wahl des [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden Gebietes]]  entstehen unterschiedliche Zweige (siehe [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/verallgemeinert|verallgemeinerter Logarithmus]]).
* '''(Algebraische Vollständigkeit)''' Ein Zweig des Logaritmus ist algebraisch vollständig, wenn dieser auf &lt;math&gt;\mathbb{C}\setminus \{0\}&lt;/math&gt;. Dadurch verliert man aber die [[Stetigkeit]] und [[Holomorphie]] als Eigenschaft.

== Zweige des Logarithmus ==
Ein Zweig des Logarithmus ist eine Funktion &lt;math&gt; \log(z) &lt;/math&gt;, die auf einer Teilmenge &lt;math&gt; G &lt;/math&gt; von &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; definiert ist und die Eigenschaft hat, dass &lt;math&gt; \exp(\log(z)) = z &lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt; z \in G &lt;/math&gt;. Eine übliche Wahl für &lt;math&gt; D &lt;/math&gt; ist die Menge &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus (-\infty, 0] &lt;/math&gt;, die die negative reelle Achse ausschließt. In diesem Fall kann der Hauptzweig des Logarithmus definiert werden als:

:&lt;math&gt; \log(z) = \ln|z| + i \arg(z) 
&lt;/math&gt;
wobei &lt;math&gt; \arg(z) &lt;/math&gt; der Winkel von &lt;math&gt; z &lt;/math&gt; in der komplexen Ebene ist und &lt;math&gt; -\pi &lt; \arg(z) \leq \pi &lt;/math&gt;.

=== Alternativen der Argumentfunktion ===
Die Argumentfunktion &lt;math&gt; \arg(z) &lt;/math&gt; kann man auch  als Winkel von &lt;math&gt; z &lt;/math&gt; in der komplexen Ebene ist auch in &lt;math&gt; -\pi \leq \arg(z) &lt; \pi &lt;/math&gt; oder &lt;math&gt; 0 \leq \arg(z) &lt; 2\pi &lt;/math&gt; definieren. Der alternative Winkelbereich &lt;math&gt;[0,2\pi)&lt;/math&gt; spielt für die Definition der &lt;math&gt;logmod&lt;/math&gt;[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/logmod|-Funktion]] verwenden. 

=== Zweige des Logarithmus ===
Stellt man &lt;math&gt;z = |z| \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i} \arg(z)}&lt;/math&gt; in [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|Polarform]] dar, so erhält man eine einfache Darstellung des ''k-ten Zweiges'' der Logarithmusfunktion:
: &lt;math&gt;w = \ln |z| + \mathrm{i}\left(\arg(z) + 2k\pi\right), \quad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;
mit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] &lt;math&gt;\arg&lt;/math&gt;. Im Summanden &lt;math&gt;\ln |z|&lt;/math&gt; wird der bereits oben definierte reelle Logarithmus &lt;math&gt;\ln&lt;/math&gt; verwendet.
Für &lt;math&gt;k = 0&lt;/math&gt; erhält man den ''Hauptzweig'' des komplexen Logarithmus zurück:
: &lt;math&gt;\ln z = \ln|z| + \mathrm{i}\arg(z)&lt;/math&gt;.

&lt;span id=&quot;negativer_Hauptzweig&quot;&gt;&lt;/span&gt;
=== Negativer Hauptzweige des Logarithmus ===
Beim negativen Hauptzweig verwendet man für den Startwert der Integraldarstellung &lt;math&gt;-1&lt;/math&gt; statt &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; (wie beim Hauptzweig). Als holomorphe Funktion verwendet man für den Hauptzweig die Funktion &lt;math&gt;\ln&lt;/math&gt;, die auf den geschlitzten Ebene definiert ist, wobei die negative reelle Achse mit 0 aus dem Definitionsbereich entfernt wird. Beim negativen Hauptzweig wird dagen die positive Achse aus dem Definitionsbereich entfernt, wenn man ein Logarithmus auf diesem [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebiet definieren möchte.
Sei &lt;math&gt;z_o = -1\in \mathbb{C} \setminus \{0\}&lt;/math&gt; 
:&lt;math&gt;
 \begin{array}{rrcl}
   \gamma_z : &amp; [0,1] &amp; \rightarrow &amp; \mathbb{C} \\ 
    &amp;  t  &amp; \mapsto &amp; \gamma_z(t) =  (1-t)\cdot z_0 + t\cdot z =  (t-1) + t\cdot z 
  \end{array}  
&lt;/math&gt;

:&lt;math&gt;
ln_{-}(z) := \pi i + \int_{\gamma_z}
 \frac{1}{\xi} \, d\xi = \pi i +  \int_{0}^1
 \frac{1}{\gamma_z(t)} \cdot \gamma{\,}_z'(t)  dt  

&lt;/math&gt;

== Aufgabe - Integraldarstellung des Logarithmus ==
Sei &lt;math&gt;z_o \in \mathbb{C} \setminus \{0\}&lt;/math&gt; beliebig gewählt und 
:&lt;math&gt;
 \begin{array}{rrcl}
   \gamma_z : &amp; [0,1] &amp; \rightarrow &amp; \mathbb{C} \\ 
    &amp;  t  &amp; \mapsto &amp; \gamma_z(t) =  (1-t)\cdot z_0 + t\cdot z 
  \end{array}  
&lt;/math&gt;
* Skizzieren Sie die Menge &lt;math&gt;\mathbb{C}_{z_0} := \mathbb{C} \setminus \{  -\lambda \cdot z_0 \, :\, \lambda \in \mathbb{R}_0^+ \} &lt;/math&gt;
* Ist die folgende Funktion &lt;math&gt;F: \mathbb{C}_{z_0} \to \mathbb{C} &lt;/math&gt; eine wohldefinierte Funktion und für welche &lt;math&gt;z_0&lt;/math&gt; ist die folgende [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion]] &lt;math&gt;F&lt;/math&gt; als Wegintegral auch ein Zweig des Logarithmus? Wie muss man dann die Konstante &lt;math&gt;c_0&lt;/math&gt; zu dem gegebenen &lt;math&gt;z_0&lt;/math&gt; wählen? 
::&lt;math&gt;
F(z) := c_0 + \int_{\gamma_z}
 \frac{1}{\xi} \, d\xi = c_0 +  \int_{0}^1
 \frac{1}{\gamma_z(t)} \cdot \gamma{\,}_z'(t)  dt  

&lt;/math&gt;

=== Notwendigkeit der Einschränkung der Definitions- und Wertebereiche der Exponentialfunktion ===
Um eine bijektive Abbildung zu erhalten, müssen wir sowohl den Definitionsbereich als auch den Wertebereich der Exponentialfunktion einschränken.
Die Exponentialfunktion &lt;math&gt; \exp(z) &lt;/math&gt; ist periodisch mit der Periode &lt;math&gt; 2\pi i &lt;/math&gt;, das heißt, &lt;math&gt; \exp(z + 2\pi i k) = \exp(z) &lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt; k \in \mathbb{Z} &lt;/math&gt;. 

=== Surjektivität und Injektivität ===
Die Periodizität führt dazu, dass die Exponentialfunktion nicht injektiv auf der gesamten komplexen Ebene ist. Die Exponentialfunktion ist auch nicht surjektiv, da mit &lt;math&gt;z=x+i\cdot y \in \mathbb{C}&lt;/math&gt; die 0 als Bildpunkt auftritt, denn es gilt:
:&lt;math&gt;
 e^z = e^{x+iy} = \underbrace{e^x}_{\not=0} \cdot \underbrace{e^{iy}}_{\not=0} \not= 0
&lt;/math&gt;

=== Eulersche Formel ===
Mit der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] kann die Exponentialfunktion mit &lt;math&gt;z=x+i\cdot y \in \mathbb{C}&lt;/math&gt; wie folgt zerlegen:
:&lt;math&gt;
 e^z = e^{x+iy} = \underbrace{e^x}_{\not=0} \cdot e^{iy} = 
 e^x\cdot (\cos(y) + i \cdot \sin(y) )
&lt;/math&gt;

=== Bijektive Abbildung ===
Um eine bijektive und holomorphe Abbildung zu erhalten, kann man  den Definitionsbereich der Exponentialfunktion auf ein horizontales Streifen der Höhe &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; einschränken, zum Beispiel:

:&lt;math&gt; G := \mathbb{R} + i\cdot (-\pi,+\pi) := \{ z \in \mathbb{C} \mid -\pi &lt; \operatorname{Im}(z) \leq \pi \} \subset \mathbb{C}
&lt;/math&gt;
In diesem Fall ist die Exponentialfunktion &lt;math&gt;\exp : G \to  \mathbb{C}\setminus \{0\}   &lt;/math&gt; den &quot;Streifen&quot; &lt;math&gt;G  &lt;/math&gt; der Höhe &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt;  bijektiv auf  auf den Wertebereich &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; ab. Die Bildmenge wird nun zum Definitionsbereich des Hauptzweiges vom Logarithmus.

== Zusammenfassung ==
* Die Exponentialfunktion &lt;math&gt; \exp(z) &lt;/math&gt; ist nicht injektiv und nicht surjektiv (wegen &lt;math&gt; \exp(z) \not= 0)&lt;/math&gt; auf der gesamten komplexen Ebene.
* Um eine bijektive [[holomorphe Funktion]] zu erhalten, muss man den Definitionsbereich &lt;math&gt;\mathbb{D}&lt;/math&gt; und den Wertebereich &lt;math&gt;\mathbb{W}&lt;/math&gt; der Logarithmusfunktion &lt;math&gt;\log_G : G \to \mathbb{W} &lt;/math&gt; so einschränken, dass eine bijektive Abbildung entsteht.
* für die offene Menge &lt;math&gt;\mathbb{D}&lt;/math&gt; muss im Allgemeinen nur [[einfach zusammenhängend]] mit &lt;math&gt;0\notin \mathbb{D}&lt;/math&gt; sein (siehe auch [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/generalisiert|generalisierte Logarithmen]]). 
* Ein Zweig des Logarithmus kann definiert werden, indem der Definitionsbereich des Logarithmus eingeschränkt wird, zum Beispiel auf &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus (-\infty, 0] &lt;/math&gt;.

=== Algebraische Vervollständigung ===
Wenn man den Definitionsbereich von einer geschlitzten Ebene &lt;math&gt; \mathbb{W} := \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}_{0}^{-}&lt;/math&gt; auf &lt;math&gt;\mathbb{C}\setminus \{0\}&lt;/math&gt; erweitert und gleichzeitig den Definitionsbereich &lt;math&gt;G:=\mathbb{R}+(-\pi,+\pi) \cdot i &lt;/math&gt; zu &lt;math&gt;G_+ := \mathbb{R} + (-\pi,+\pi]\cdot i&lt;/math&gt; für den Hauptzweig erweitert, bleibt die algebraisch die Bijektivität erhalten, aber man verliert die Eigenschaft der Stetigkeit auf dem ganzen Definitionsbereich. Alternativ kann man für den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#negativer_Hauptzweig|negativen Hauptzweig]] den Definitionsbereich &lt;math&gt;G_1 := \mathbb{R} + (0,2\pi)\cdot i&lt;/math&gt; auch diesen Definitionsbereich auf &lt;math&gt;\mathbb{D}_1 := \mathbb{R} + [0,2\pi)\cdot i&lt;/math&gt; erweitern und man verliert analog die Eigenschaft der Stetigkeit und komplexen Differenzierbarkeit auf ganz &lt;math&gt;\mathbb{D}_1&lt;/math&gt;.

== Siehe auch ==
* [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]]
* [[holomorphe Funktion]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexer Logarithmus]]
* [[Logarithmus|reeller Logarithmus]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion als Wegintegral]]</text>
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      <contributor>
        <username>Bert Niehaus</username>
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      <text bytes="8865" sha1="9qfy0sah7e2zbadnw9byf3nviewshr4" xml:space="preserve">== Einleitung ==
Es gibt unterschiedliche Möglichkeiten (''&quot;Zweige&quot;''), einen Logarithmus als [[w:de:Umkehrfunktion|Umkehrfunktion]] zu definieren. Dies liegt einerseits an folgdenden mathematischen Eigenschaften und andererseits auch an der Zielsetzung, was man mit dem Logarithmus als Funktion erreichen möchte. 
* '''(Periodizität)''' Durch die Periodizität der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] im [[komplexe Zahl|Imaginärteil]] mit der Periode &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; gibt es unterschiedliche Zweige.
* '''(Wahl des Gebietes)''' Durch die Wahl des [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden Gebietes]]  entstehen unterschiedliche Zweige (siehe [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/generalisiert|verallgemeinerter Logarithmus]]).
* '''(Algebraische Vollständigkeit)''' Ein Zweig des Logaritmus ist algebraisch vollständig, wenn dieser auf &lt;math&gt;\mathbb{C}\setminus \{0\}&lt;/math&gt;. Dadurch verliert man aber die [[Stetigkeit]] und [[Holomorphie]] als Eigenschaft.

== Zweige des Logarithmus ==
Ein Zweig des Logarithmus ist eine Funktion &lt;math&gt; \log(z) &lt;/math&gt;, die auf einer Teilmenge &lt;math&gt; G &lt;/math&gt; von &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; definiert ist und die Eigenschaft hat, dass &lt;math&gt; \exp(\log(z)) = z &lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt; z \in G &lt;/math&gt;. Eine übliche Wahl für &lt;math&gt; D &lt;/math&gt; ist die Menge &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus (-\infty, 0] &lt;/math&gt;, die die negative reelle Achse ausschließt. In diesem Fall kann der Hauptzweig des Logarithmus definiert werden als:

:&lt;math&gt; \log(z) = \ln|z| + i \arg(z) 
&lt;/math&gt;
wobei &lt;math&gt; \arg(z) &lt;/math&gt; der Winkel von &lt;math&gt; z &lt;/math&gt; in der komplexen Ebene ist und &lt;math&gt; -\pi &lt; \arg(z) \leq \pi &lt;/math&gt;.

=== Alternativen der Argumentfunktion ===
Die Argumentfunktion &lt;math&gt; \arg(z) &lt;/math&gt; kann man auch  als Winkel von &lt;math&gt; z &lt;/math&gt; in der komplexen Ebene ist auch in &lt;math&gt; -\pi \leq \arg(z) &lt; \pi &lt;/math&gt; oder &lt;math&gt; 0 \leq \arg(z) &lt; 2\pi &lt;/math&gt; definieren. Der alternative Winkelbereich &lt;math&gt;[0,2\pi)&lt;/math&gt; spielt für die Definition der &lt;math&gt;logmod&lt;/math&gt;[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/logmod|-Funktion]] verwenden. 

=== Zweige des Logarithmus ===
Stellt man &lt;math&gt;z = |z| \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i} \arg(z)}&lt;/math&gt; in [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|Polarform]] dar, so erhält man eine einfache Darstellung des ''k-ten Zweiges'' der Logarithmusfunktion:
: &lt;math&gt;w = \ln |z| + \mathrm{i}\left(\arg(z) + 2k\pi\right), \quad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;
mit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] &lt;math&gt;\arg&lt;/math&gt;. Im Summanden &lt;math&gt;\ln |z|&lt;/math&gt; wird der bereits oben definierte reelle Logarithmus &lt;math&gt;\ln&lt;/math&gt; verwendet.
Für &lt;math&gt;k = 0&lt;/math&gt; erhält man den ''Hauptzweig'' des komplexen Logarithmus zurück:
: &lt;math&gt;\ln z = \ln|z| + \mathrm{i}\arg(z)&lt;/math&gt;.

&lt;span id=&quot;negativer_Hauptzweig&quot;&gt;&lt;/span&gt;
=== Negativer Hauptzweige des Logarithmus ===
Beim negativen Hauptzweig verwendet man für den Startwert der Integraldarstellung &lt;math&gt;-1&lt;/math&gt; statt &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; (wie beim Hauptzweig). Als holomorphe Funktion verwendet man für den Hauptzweig die Funktion &lt;math&gt;\ln&lt;/math&gt;, die auf den geschlitzten Ebene definiert ist, wobei die negative reelle Achse mit 0 aus dem Definitionsbereich entfernt wird. Beim negativen Hauptzweig wird dagen die positive Achse aus dem Definitionsbereich entfernt, wenn man ein Logarithmus auf diesem [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebiet definieren möchte.
Sei &lt;math&gt;z_o = -1\in \mathbb{C} \setminus \{0\}&lt;/math&gt; 
:&lt;math&gt;
 \begin{array}{rrcl}
   \gamma_z : &amp; [0,1] &amp; \rightarrow &amp; \mathbb{C} \\ 
    &amp;  t  &amp; \mapsto &amp; \gamma_z(t) =  (1-t)\cdot z_0 + t\cdot z =  (t-1) + t\cdot z 
  \end{array}  
&lt;/math&gt;

:&lt;math&gt;
ln_{-}(z) := \pi i + \int_{\gamma_z}
 \frac{1}{\xi} \, d\xi = \pi i +  \int_{0}^1
 \frac{1}{\gamma_z(t)} \cdot \gamma{\,}_z'(t)  dt  

&lt;/math&gt;

== Aufgabe - Integraldarstellung des Logarithmus ==
Sei &lt;math&gt;z_o \in \mathbb{C} \setminus \{0\}&lt;/math&gt; beliebig gewählt und 
:&lt;math&gt;
 \begin{array}{rrcl}
   \gamma_z : &amp; [0,1] &amp; \rightarrow &amp; \mathbb{C} \\ 
    &amp;  t  &amp; \mapsto &amp; \gamma_z(t) =  (1-t)\cdot z_0 + t\cdot z 
  \end{array}  
&lt;/math&gt;
* Skizzieren Sie die Menge &lt;math&gt;\mathbb{C}_{z_0} := \mathbb{C} \setminus \{  -\lambda \cdot z_0 \, :\, \lambda \in \mathbb{R}_0^+ \} &lt;/math&gt;
* Ist die folgende Funktion &lt;math&gt;F: \mathbb{C}_{z_0} \to \mathbb{C} &lt;/math&gt; eine wohldefinierte Funktion und für welche &lt;math&gt;z_0&lt;/math&gt; ist die folgende [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion]] &lt;math&gt;F&lt;/math&gt; als Wegintegral auch ein Zweig des Logarithmus? Wie muss man dann die Konstante &lt;math&gt;c_0&lt;/math&gt; zu dem gegebenen &lt;math&gt;z_0&lt;/math&gt; wählen? 
::&lt;math&gt;
F(z) := c_0 + \int_{\gamma_z}
 \frac{1}{\xi} \, d\xi = c_0 +  \int_{0}^1
 \frac{1}{\gamma_z(t)} \cdot \gamma{\,}_z'(t)  dt  

&lt;/math&gt;

=== Notwendigkeit der Einschränkung der Definitions- und Wertebereiche der Exponentialfunktion ===
Um eine bijektive Abbildung zu erhalten, müssen wir sowohl den Definitionsbereich als auch den Wertebereich der Exponentialfunktion einschränken.
Die Exponentialfunktion &lt;math&gt; \exp(z) &lt;/math&gt; ist periodisch mit der Periode &lt;math&gt; 2\pi i &lt;/math&gt;, das heißt, &lt;math&gt; \exp(z + 2\pi i k) = \exp(z) &lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt; k \in \mathbb{Z} &lt;/math&gt;. 

=== Surjektivität und Injektivität ===
Die Periodizität führt dazu, dass die Exponentialfunktion nicht injektiv auf der gesamten komplexen Ebene ist. Die Exponentialfunktion ist auch nicht surjektiv, da mit &lt;math&gt;z=x+i\cdot y \in \mathbb{C}&lt;/math&gt; die 0 als Bildpunkt auftritt, denn es gilt:
:&lt;math&gt;
 e^z = e^{x+iy} = \underbrace{e^x}_{\not=0} \cdot \underbrace{e^{iy}}_{\not=0} \not= 0
&lt;/math&gt;

=== Eulersche Formel ===
Mit der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] kann die Exponentialfunktion mit &lt;math&gt;z=x+i\cdot y \in \mathbb{C}&lt;/math&gt; wie folgt zerlegen:
:&lt;math&gt;
 e^z = e^{x+iy} = \underbrace{e^x}_{\not=0} \cdot e^{iy} = 
 e^x\cdot (\cos(y) + i \cdot \sin(y) )
&lt;/math&gt;

=== Bijektive Abbildung ===
Um eine bijektive und holomorphe Abbildung zu erhalten, kann man  den Definitionsbereich der Exponentialfunktion auf ein horizontales Streifen der Höhe &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; einschränken, zum Beispiel:

:&lt;math&gt; G := \mathbb{R} + i\cdot (-\pi,+\pi) := \{ z \in \mathbb{C} \mid -\pi &lt; \operatorname{Im}(z) \leq \pi \} \subset \mathbb{C}
&lt;/math&gt;
In diesem Fall ist die Exponentialfunktion &lt;math&gt;\exp : G \to  \mathbb{C}\setminus \{0\}   &lt;/math&gt; den &quot;Streifen&quot; &lt;math&gt;G  &lt;/math&gt; der Höhe &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt;  bijektiv auf  auf den Wertebereich &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; ab. Die Bildmenge wird nun zum Definitionsbereich des Hauptzweiges vom Logarithmus.

== Zusammenfassung ==
* Die Exponentialfunktion &lt;math&gt; \exp(z) &lt;/math&gt; ist nicht injektiv und nicht surjektiv (wegen &lt;math&gt; \exp(z) \not= 0)&lt;/math&gt; auf der gesamten komplexen Ebene.
* Um eine bijektive [[holomorphe Funktion]] zu erhalten, muss man den Definitionsbereich &lt;math&gt;\mathbb{D}&lt;/math&gt; und den Wertebereich &lt;math&gt;\mathbb{W}&lt;/math&gt; der Logarithmusfunktion &lt;math&gt;\log_G : G \to \mathbb{W} &lt;/math&gt; so einschränken, dass eine bijektive Abbildung entsteht.
* für die offene Menge &lt;math&gt;\mathbb{D}&lt;/math&gt; muss im Allgemeinen nur [[einfach zusammenhängend]] mit &lt;math&gt;0\notin \mathbb{D}&lt;/math&gt; sein (siehe auch [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/generalisiert|generalisierte Logarithmen]]). 
* Ein Zweig des Logarithmus kann definiert werden, indem der Definitionsbereich des Logarithmus eingeschränkt wird, zum Beispiel auf &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus (-\infty, 0] &lt;/math&gt;.

=== Algebraische Vervollständigung ===
Wenn man den Definitionsbereich von einer geschlitzten Ebene &lt;math&gt; \mathbb{W} := \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}_{0}^{-}&lt;/math&gt; auf &lt;math&gt;\mathbb{C}\setminus \{0\}&lt;/math&gt; erweitert und gleichzeitig den Definitionsbereich &lt;math&gt;G:=\mathbb{R}+(-\pi,+\pi) \cdot i &lt;/math&gt; zu &lt;math&gt;G_+ := \mathbb{R} + (-\pi,+\pi]\cdot i&lt;/math&gt; für den Hauptzweig erweitert, bleibt die algebraisch die Bijektivität erhalten, aber man verliert die Eigenschaft der Stetigkeit auf dem ganzen Definitionsbereich. Alternativ kann man für den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#negativer_Hauptzweig|negativen Hauptzweig]] den Definitionsbereich &lt;math&gt;G_1 := \mathbb{R} + (0,2\pi)\cdot i&lt;/math&gt; auch diesen Definitionsbereich auf &lt;math&gt;\mathbb{D}_1 := \mathbb{R} + [0,2\pi)\cdot i&lt;/math&gt; erweitern und man verliert analog die Eigenschaft der Stetigkeit und komplexen Differenzierbarkeit auf ganz &lt;math&gt;\mathbb{D}_1&lt;/math&gt;.

== Siehe auch ==
* [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]]
* [[holomorphe Funktion]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexer Logarithmus]]
* [[Logarithmus|reeller Logarithmus]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion als Wegintegral]]</text>
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        <username>Bert Niehaus</username>
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      <text bytes="9120" sha1="qi2jbkuudtar56yxb5z4ihflbho6fvd" xml:space="preserve">== Einleitung ==
Es gibt unterschiedliche Möglichkeiten (''&quot;Zweige&quot;''), einen Logarithmus als [[w:de:Umkehrfunktion|Umkehrfunktion]] zu definieren. Dies liegt einerseits an folgdenden mathematischen Eigenschaften und andererseits auch an der Zielsetzung, was man mit dem Logarithmus als Funktion erreichen möchte. 
* '''(Periodizität)''' Durch die Periodizität der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] im [[komplexe Zahl|Imaginärteil]] mit der Periode &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; gibt es unterschiedliche Zweige.
* '''(Wahl des Gebietes)''' Durch die Wahl des [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden Gebietes]]  entstehen unterschiedliche Zweige (siehe [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/generalisiert|verallgemeinerter Logarithmus]]).
* '''(Algebraische Vollständigkeit)''' Ein Zweig des Logaritmus ist algebraisch vollständig, wenn dieser auf &lt;math&gt;\mathbb{C}\setminus \{0\}&lt;/math&gt;. Dadurch verliert man aber die [[Stetigkeit]] und [[Holomorphie]] als Eigenschaft.

== Zweige des Logarithmus ==
Ein Zweig des Logarithmus ist eine Funktion &lt;math&gt; \log(z) &lt;/math&gt;, die auf einer Teilmenge &lt;math&gt; G &lt;/math&gt; von &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; definiert ist und die Eigenschaft hat, dass &lt;math&gt; \exp(\log(z)) = z &lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt; z \in G &lt;/math&gt;. Eine übliche Wahl für &lt;math&gt; D &lt;/math&gt; ist die Menge &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus (-\infty, 0] &lt;/math&gt;, die die negative reelle Achse ausschließt. In diesem Fall kann der Hauptzweig des Logarithmus definiert werden als:

:&lt;math&gt; \log(z) = \ln|z| + i \arg(z) 
&lt;/math&gt;
wobei &lt;math&gt; \arg(z) &lt;/math&gt; der Winkel von &lt;math&gt; z &lt;/math&gt; in der komplexen Ebene ist und &lt;math&gt; -\pi &lt; \arg(z) \leq \pi &lt;/math&gt;.

=== Alternativen der Argumentfunktion ===
Die Argumentfunktion &lt;math&gt; \arg(z) &lt;/math&gt; kann man auch  als Winkel von &lt;math&gt; z &lt;/math&gt; in der komplexen Ebene ist auch in &lt;math&gt; -\pi \leq \arg(z) &lt; \pi &lt;/math&gt; oder &lt;math&gt; 0 \leq \arg(z) &lt; 2\pi &lt;/math&gt; definieren. Der alternative Winkelbereich &lt;math&gt;[0,2\pi)&lt;/math&gt; spielt für die Definition der &lt;math&gt;logmod&lt;/math&gt;[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/logmod|-Funktion]] verwenden. 

=== Zweige des Logarithmus ===
Stellt man &lt;math&gt;z = |z| \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i} \arg(z)}&lt;/math&gt; in [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|Polarform]] dar, so erhält man eine einfache Darstellung des ''k-ten Zweiges'' der Logarithmusfunktion:
: &lt;math&gt;w = \ln |z| + \mathrm{i}\left(\arg(z) + 2k\pi\right), \quad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;
mit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] &lt;math&gt;\arg&lt;/math&gt;. Im Summanden &lt;math&gt;\ln |z|&lt;/math&gt; wird der bereits oben definierte reelle Logarithmus &lt;math&gt;\ln&lt;/math&gt; verwendet.
Für &lt;math&gt;k = 0&lt;/math&gt; erhält man den ''Hauptzweig'' des komplexen Logarithmus zurück:
: &lt;math&gt;\ln z = \ln|z| + \mathrm{i}\arg(z)&lt;/math&gt;.

&lt;span id=&quot;negativer_Hauptzweig&quot;&gt;&lt;/span&gt;
=== Negativer Hauptzweige des Logarithmus ===
Beim negativen Hauptzweig verwendet man für den Startwert der Integraldarstellung &lt;math&gt;-1&lt;/math&gt; statt &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; (wie beim Hauptzweig). Als holomorphe Funktion verwendet man für den Hauptzweig die Funktion &lt;math&gt;\ln&lt;/math&gt;, die auf den geschlitzten Ebene definiert ist, wobei die negative reelle Achse mit 0 aus dem Definitionsbereich entfernt wird. Beim negativen Hauptzweig wird dagen die positive Achse aus dem Definitionsbereich entfernt, wenn man ein Logarithmus auf diesem [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebiet definieren möchte.
Sei &lt;math&gt;z_o = -1\in \mathbb{C} \setminus \{0\}&lt;/math&gt; 
:&lt;math&gt;
 \begin{array}{rrcl}
   \gamma_z : &amp; [0,1] &amp; \rightarrow &amp; \mathbb{C} \\ 
    &amp;  t  &amp; \mapsto &amp; \gamma_z(t) =  (1-t)\cdot z_0 + t\cdot z =  (t-1) + t\cdot z 
  \end{array}  
&lt;/math&gt;

:&lt;math&gt;
ln_{-}(z) := \pi i + \int_{\gamma_z}
 \frac{1}{\xi} \, d\xi = \pi i +  \int_{0}^1
 \frac{1}{\gamma_z(t)} \cdot \gamma{\,}_z'(t)  dt  

&lt;/math&gt;

== Aufgabe - Integraldarstellung des Logarithmus ==
Sei &lt;math&gt;z_o \in \mathbb{C} \setminus \{0\}&lt;/math&gt; beliebig gewählt und 
:&lt;math&gt;
 \begin{array}{rrcl}
   \gamma_z : &amp; [0,1] &amp; \rightarrow &amp; \mathbb{C} \\ 
    &amp;  t  &amp; \mapsto &amp; \gamma_z(t) =  (1-t)\cdot z_0 + t\cdot z 
  \end{array}  
&lt;/math&gt;
* Skizzieren Sie die Menge &lt;math&gt;\mathbb{C}_{z_0} := \mathbb{C} \setminus \{  -\lambda \cdot z_0 \, :\, \lambda \in \mathbb{R}_0^+ \} &lt;/math&gt;
* Ist die folgende Funktion &lt;math&gt;F: \mathbb{C}_{z_0} \to \mathbb{C} &lt;/math&gt; eine wohldefinierte Funktion und für welche &lt;math&gt;z_0&lt;/math&gt; ist die folgende [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion]] &lt;math&gt;F&lt;/math&gt; als Wegintegral auch ein Zweig des Logarithmus? Wie muss man dann die Konstante &lt;math&gt;c_0&lt;/math&gt; zu dem gegebenen &lt;math&gt;z_0&lt;/math&gt; wählen? 
::&lt;math&gt;
F(z) := c_0 + \int_{\gamma_z}
 \frac{1}{\xi} \, d\xi = c_0 +  \int_{0}^1
 \frac{1}{\gamma_z(t)} \cdot \gamma{\,}_z'(t)  dt  

&lt;/math&gt;

=== Notwendigkeit der Einschränkung der Definitions- und Wertebereiche der Exponentialfunktion ===
Um eine bijektive Abbildung zu erhalten, müssen wir sowohl den Definitionsbereich als auch den Wertebereich der Exponentialfunktion einschränken.
Die Exponentialfunktion &lt;math&gt; \exp(z) &lt;/math&gt; ist periodisch mit der Periode &lt;math&gt; 2\pi i &lt;/math&gt;, das heißt, &lt;math&gt; \exp(z + 2\pi i k) = \exp(z) &lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt; k \in \mathbb{Z} &lt;/math&gt;. 

=== Surjektivität und Injektivität ===
Die Periodizität führt dazu, dass die Exponentialfunktion nicht injektiv auf der gesamten komplexen Ebene ist. Die Exponentialfunktion ist auch nicht surjektiv, da mit &lt;math&gt;z=x+i\cdot y \in \mathbb{C}&lt;/math&gt; die 0 als Bildpunkt auftritt, denn es gilt:
:&lt;math&gt;
 e^z = e^{x+iy} = \underbrace{e^x}_{\not=0} \cdot \underbrace{e^{iy}}_{\not=0} \not= 0
&lt;/math&gt;

=== Eulersche Formel ===
Mit der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] kann die Exponentialfunktion mit &lt;math&gt;z=x+i\cdot y \in \mathbb{C}&lt;/math&gt; wie folgt zerlegen:
:&lt;math&gt;
 e^z = e^{x+iy} = \underbrace{e^x}_{\not=0} \cdot e^{iy} = 
 e^x\cdot (\cos(y) + i \cdot \sin(y) )
&lt;/math&gt;

=== Bijektive Abbildung ===
Um eine bijektive und holomorphe Abbildung zu erhalten, kann man  den Definitionsbereich der Exponentialfunktion auf ein horizontales Streifen der Höhe &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; einschränken, zum Beispiel:

:&lt;math&gt; G := \mathbb{R} + i\cdot (-\pi,+\pi) := \{ z \in \mathbb{C} \mid -\pi &lt; \operatorname{Im}(z) \leq \pi \} \subset \mathbb{C}
&lt;/math&gt;
In diesem Fall ist die Exponentialfunktion &lt;math&gt;\exp : G \to  \mathbb{C}\setminus \{0\}   &lt;/math&gt; den &quot;Streifen&quot; &lt;math&gt;G  &lt;/math&gt; der Höhe &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt;  bijektiv auf  auf den Wertebereich &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; ab. Die Bildmenge wird nun zum Definitionsbereich des Hauptzweiges vom Logarithmus.

== Zusammenfassung ==
* Die Exponentialfunktion &lt;math&gt; \exp(z) &lt;/math&gt; ist nicht injektiv und nicht surjektiv (wegen &lt;math&gt; \exp(z) \not= 0)&lt;/math&gt; auf der gesamten komplexen Ebene.
* Um eine bijektive [[holomorphe Funktion]] zu erhalten, muss man den Definitionsbereich &lt;math&gt;\mathbb{D}&lt;/math&gt; und den Wertebereich &lt;math&gt;\mathbb{W}&lt;/math&gt; der Logarithmusfunktion &lt;math&gt;\log_G : G \to \mathbb{W} &lt;/math&gt; so einschränken, dass eine bijektive Abbildung entsteht.
* für die offene Menge &lt;math&gt;\mathbb{D}&lt;/math&gt; muss im Allgemeinen nur [[einfach zusammenhängend]] mit &lt;math&gt;0\notin \mathbb{D}&lt;/math&gt; sein (siehe auch [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/generalisiert|generalisierte Logarithmen]]). 
* Ein Zweig des Logarithmus kann definiert werden, indem der Definitionsbereich des Logarithmus eingeschränkt wird, zum Beispiel auf &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus (-\infty, 0] &lt;/math&gt;.

=== Algebraische Vervollständigung ===
Wenn man den Definitionsbereich von einer geschlitzten Ebene &lt;math&gt; \mathbb{W} := \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}_{0}^{-}&lt;/math&gt; auf &lt;math&gt;\mathbb{C}\setminus \{0\}&lt;/math&gt; erweitert und gleichzeitig den Definitionsbereich &lt;math&gt;G:=\mathbb{R}+(-\pi,+\pi) \cdot i &lt;/math&gt; zu &lt;math&gt;G_+ := \mathbb{R} + (-\pi,+\pi]\cdot i&lt;/math&gt; für den Hauptzweig erweitert, bleibt die algebraisch die Bijektivität erhalten, aber man verliert die Eigenschaft der Stetigkeit auf dem ganzen Definitionsbereich. Alternativ kann man für den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#negativer_Hauptzweig|negativen Hauptzweig]] den Definitionsbereich &lt;math&gt;G_1 := \mathbb{R} + (0,2\pi)\cdot i&lt;/math&gt; auch diesen Definitionsbereich auf &lt;math&gt;\mathbb{D}_1 := \mathbb{R} + [0,2\pi)\cdot i&lt;/math&gt; erweitern und man verliert analog die Eigenschaft der Stetigkeit und komplexen Differenzierbarkeit auf ganz &lt;math&gt;\mathbb{D}_1&lt;/math&gt;.

== Siehe auch ==
* [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/algebraische Vollständigkeit]]
* [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden Gebietes]] für Logarithmen
* [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]]
*[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/generalisiert|generalisierter Logarithmus]]
* [[holomorphe Funktion]] 
* [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexer Logarithmus]]
* [[Logarithmus|reeller Logarithmus]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion als Wegintegral]]
* [[Stetigkeit]]</text>
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      <timestamp>2026-10-12T10:59:43Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bert Niehaus</username>
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      <comment>/* Siehe auch */</comment>
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      <text bytes="9166" sha1="5yoq1qwzlpk4heqc45w2dt5ekra5cvy" xml:space="preserve">== Einleitung ==
Es gibt unterschiedliche Möglichkeiten (''&quot;Zweige&quot;''), einen Logarithmus als [[w:de:Umkehrfunktion|Umkehrfunktion]] zu definieren. Dies liegt einerseits an folgdenden mathematischen Eigenschaften und andererseits auch an der Zielsetzung, was man mit dem Logarithmus als Funktion erreichen möchte. 
* '''(Periodizität)''' Durch die Periodizität der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] im [[komplexe Zahl|Imaginärteil]] mit der Periode &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; gibt es unterschiedliche Zweige.
* '''(Wahl des Gebietes)''' Durch die Wahl des [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden Gebietes]]  entstehen unterschiedliche Zweige (siehe [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/generalisiert|verallgemeinerter Logarithmus]]).
* '''(Algebraische Vollständigkeit)''' Ein Zweig des Logaritmus ist algebraisch vollständig, wenn dieser auf &lt;math&gt;\mathbb{C}\setminus \{0\}&lt;/math&gt;. Dadurch verliert man aber die [[Stetigkeit]] und [[Holomorphie]] als Eigenschaft.

== Zweige des Logarithmus ==
Ein Zweig des Logarithmus ist eine Funktion &lt;math&gt; \log(z) &lt;/math&gt;, die auf einer Teilmenge &lt;math&gt; G &lt;/math&gt; von &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; definiert ist und die Eigenschaft hat, dass &lt;math&gt; \exp(\log(z)) = z &lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt; z \in G &lt;/math&gt;. Eine übliche Wahl für &lt;math&gt; D &lt;/math&gt; ist die Menge &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus (-\infty, 0] &lt;/math&gt;, die die negative reelle Achse ausschließt. In diesem Fall kann der Hauptzweig des Logarithmus definiert werden als:

:&lt;math&gt; \log(z) = \ln|z| + i \arg(z) 
&lt;/math&gt;
wobei &lt;math&gt; \arg(z) &lt;/math&gt; der Winkel von &lt;math&gt; z &lt;/math&gt; in der komplexen Ebene ist und &lt;math&gt; -\pi &lt; \arg(z) \leq \pi &lt;/math&gt;.

=== Alternativen der Argumentfunktion ===
Die Argumentfunktion &lt;math&gt; \arg(z) &lt;/math&gt; kann man auch  als Winkel von &lt;math&gt; z &lt;/math&gt; in der komplexen Ebene ist auch in &lt;math&gt; -\pi \leq \arg(z) &lt; \pi &lt;/math&gt; oder &lt;math&gt; 0 \leq \arg(z) &lt; 2\pi &lt;/math&gt; definieren. Der alternative Winkelbereich &lt;math&gt;[0,2\pi)&lt;/math&gt; spielt für die Definition der &lt;math&gt;logmod&lt;/math&gt;[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/logmod|-Funktion]] verwenden. 

=== Zweige des Logarithmus ===
Stellt man &lt;math&gt;z = |z| \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i} \arg(z)}&lt;/math&gt; in [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|Polarform]] dar, so erhält man eine einfache Darstellung des ''k-ten Zweiges'' der Logarithmusfunktion:
: &lt;math&gt;w = \ln |z| + \mathrm{i}\left(\arg(z) + 2k\pi\right), \quad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;
mit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] &lt;math&gt;\arg&lt;/math&gt;. Im Summanden &lt;math&gt;\ln |z|&lt;/math&gt; wird der bereits oben definierte reelle Logarithmus &lt;math&gt;\ln&lt;/math&gt; verwendet.
Für &lt;math&gt;k = 0&lt;/math&gt; erhält man den ''Hauptzweig'' des komplexen Logarithmus zurück:
: &lt;math&gt;\ln z = \ln|z| + \mathrm{i}\arg(z)&lt;/math&gt;.

&lt;span id=&quot;negativer_Hauptzweig&quot;&gt;&lt;/span&gt;
=== Negativer Hauptzweige des Logarithmus ===
Beim negativen Hauptzweig verwendet man für den Startwert der Integraldarstellung &lt;math&gt;-1&lt;/math&gt; statt &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; (wie beim Hauptzweig). Als holomorphe Funktion verwendet man für den Hauptzweig die Funktion &lt;math&gt;\ln&lt;/math&gt;, die auf den geschlitzten Ebene definiert ist, wobei die negative reelle Achse mit 0 aus dem Definitionsbereich entfernt wird. Beim negativen Hauptzweig wird dagen die positive Achse aus dem Definitionsbereich entfernt, wenn man ein Logarithmus auf diesem [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebiet definieren möchte.
Sei &lt;math&gt;z_o = -1\in \mathbb{C} \setminus \{0\}&lt;/math&gt; 
:&lt;math&gt;
 \begin{array}{rrcl}
   \gamma_z : &amp; [0,1] &amp; \rightarrow &amp; \mathbb{C} \\ 
    &amp;  t  &amp; \mapsto &amp; \gamma_z(t) =  (1-t)\cdot z_0 + t\cdot z =  (t-1) + t\cdot z 
  \end{array}  
&lt;/math&gt;

:&lt;math&gt;
ln_{-}(z) := \pi i + \int_{\gamma_z}
 \frac{1}{\xi} \, d\xi = \pi i +  \int_{0}^1
 \frac{1}{\gamma_z(t)} \cdot \gamma{\,}_z'(t)  dt  

&lt;/math&gt;

== Aufgabe - Integraldarstellung des Logarithmus ==
Sei &lt;math&gt;z_o \in \mathbb{C} \setminus \{0\}&lt;/math&gt; beliebig gewählt und 
:&lt;math&gt;
 \begin{array}{rrcl}
   \gamma_z : &amp; [0,1] &amp; \rightarrow &amp; \mathbb{C} \\ 
    &amp;  t  &amp; \mapsto &amp; \gamma_z(t) =  (1-t)\cdot z_0 + t\cdot z 
  \end{array}  
&lt;/math&gt;
* Skizzieren Sie die Menge &lt;math&gt;\mathbb{C}_{z_0} := \mathbb{C} \setminus \{  -\lambda \cdot z_0 \, :\, \lambda \in \mathbb{R}_0^+ \} &lt;/math&gt;
* Ist die folgende Funktion &lt;math&gt;F: \mathbb{C}_{z_0} \to \mathbb{C} &lt;/math&gt; eine wohldefinierte Funktion und für welche &lt;math&gt;z_0&lt;/math&gt; ist die folgende [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion]] &lt;math&gt;F&lt;/math&gt; als Wegintegral auch ein Zweig des Logarithmus? Wie muss man dann die Konstante &lt;math&gt;c_0&lt;/math&gt; zu dem gegebenen &lt;math&gt;z_0&lt;/math&gt; wählen? 
::&lt;math&gt;
F(z) := c_0 + \int_{\gamma_z}
 \frac{1}{\xi} \, d\xi = c_0 +  \int_{0}^1
 \frac{1}{\gamma_z(t)} \cdot \gamma{\,}_z'(t)  dt  

&lt;/math&gt;

=== Notwendigkeit der Einschränkung der Definitions- und Wertebereiche der Exponentialfunktion ===
Um eine bijektive Abbildung zu erhalten, müssen wir sowohl den Definitionsbereich als auch den Wertebereich der Exponentialfunktion einschränken.
Die Exponentialfunktion &lt;math&gt; \exp(z) &lt;/math&gt; ist periodisch mit der Periode &lt;math&gt; 2\pi i &lt;/math&gt;, das heißt, &lt;math&gt; \exp(z + 2\pi i k) = \exp(z) &lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt; k \in \mathbb{Z} &lt;/math&gt;. 

=== Surjektivität und Injektivität ===
Die Periodizität führt dazu, dass die Exponentialfunktion nicht injektiv auf der gesamten komplexen Ebene ist. Die Exponentialfunktion ist auch nicht surjektiv, da mit &lt;math&gt;z=x+i\cdot y \in \mathbb{C}&lt;/math&gt; die 0 als Bildpunkt auftritt, denn es gilt:
:&lt;math&gt;
 e^z = e^{x+iy} = \underbrace{e^x}_{\not=0} \cdot \underbrace{e^{iy}}_{\not=0} \not= 0
&lt;/math&gt;

=== Eulersche Formel ===
Mit der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] kann die Exponentialfunktion mit &lt;math&gt;z=x+i\cdot y \in \mathbb{C}&lt;/math&gt; wie folgt zerlegen:
:&lt;math&gt;
 e^z = e^{x+iy} = \underbrace{e^x}_{\not=0} \cdot e^{iy} = 
 e^x\cdot (\cos(y) + i \cdot \sin(y) )
&lt;/math&gt;

=== Bijektive Abbildung ===
Um eine bijektive und holomorphe Abbildung zu erhalten, kann man  den Definitionsbereich der Exponentialfunktion auf ein horizontales Streifen der Höhe &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; einschränken, zum Beispiel:

:&lt;math&gt; G := \mathbb{R} + i\cdot (-\pi,+\pi) := \{ z \in \mathbb{C} \mid -\pi &lt; \operatorname{Im}(z) \leq \pi \} \subset \mathbb{C}
&lt;/math&gt;
In diesem Fall ist die Exponentialfunktion &lt;math&gt;\exp : G \to  \mathbb{C}\setminus \{0\}   &lt;/math&gt; den &quot;Streifen&quot; &lt;math&gt;G  &lt;/math&gt; der Höhe &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt;  bijektiv auf  auf den Wertebereich &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; ab. Die Bildmenge wird nun zum Definitionsbereich des Hauptzweiges vom Logarithmus.

== Zusammenfassung ==
* Die Exponentialfunktion &lt;math&gt; \exp(z) &lt;/math&gt; ist nicht injektiv und nicht surjektiv (wegen &lt;math&gt; \exp(z) \not= 0)&lt;/math&gt; auf der gesamten komplexen Ebene.
* Um eine bijektive [[holomorphe Funktion]] zu erhalten, muss man den Definitionsbereich &lt;math&gt;\mathbb{D}&lt;/math&gt; und den Wertebereich &lt;math&gt;\mathbb{W}&lt;/math&gt; der Logarithmusfunktion &lt;math&gt;\log_G : G \to \mathbb{W} &lt;/math&gt; so einschränken, dass eine bijektive Abbildung entsteht.
* für die offene Menge &lt;math&gt;\mathbb{D}&lt;/math&gt; muss im Allgemeinen nur [[einfach zusammenhängend]] mit &lt;math&gt;0\notin \mathbb{D}&lt;/math&gt; sein (siehe auch [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/generalisiert|generalisierte Logarithmen]]). 
* Ein Zweig des Logarithmus kann definiert werden, indem der Definitionsbereich des Logarithmus eingeschränkt wird, zum Beispiel auf &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus (-\infty, 0] &lt;/math&gt;.

=== Algebraische Vervollständigung ===
Wenn man den Definitionsbereich von einer geschlitzten Ebene &lt;math&gt; \mathbb{W} := \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}_{0}^{-}&lt;/math&gt; auf &lt;math&gt;\mathbb{C}\setminus \{0\}&lt;/math&gt; erweitert und gleichzeitig den Definitionsbereich &lt;math&gt;G:=\mathbb{R}+(-\pi,+\pi) \cdot i &lt;/math&gt; zu &lt;math&gt;G_+ := \mathbb{R} + (-\pi,+\pi]\cdot i&lt;/math&gt; für den Hauptzweig erweitert, bleibt die algebraisch die Bijektivität erhalten, aber man verliert die Eigenschaft der Stetigkeit auf dem ganzen Definitionsbereich. Alternativ kann man für den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#negativer_Hauptzweig|negativen Hauptzweig]] den Definitionsbereich &lt;math&gt;G_1 := \mathbb{R} + (0,2\pi)\cdot i&lt;/math&gt; auch diesen Definitionsbereich auf &lt;math&gt;\mathbb{D}_1 := \mathbb{R} + [0,2\pi)\cdot i&lt;/math&gt; erweitern und man verliert analog die Eigenschaft der Stetigkeit und komplexen Differenzierbarkeit auf ganz &lt;math&gt;\mathbb{D}_1&lt;/math&gt;.

== Siehe auch ==
* [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/algebraische Vollständigkeit|algebraische Vollständigkeit]] des Logarithmus
* [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden Gebietes]] für Logarithmen
* [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]]
*[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/generalisiert|generalisierter Logarithmus]]
* [[holomorphe Funktion]] 
* [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexer Logarithmus]]
* [[Logarithmus|reeller Logarithmus]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion als Wegintegral]]
* [[Stetigkeit]]</text>
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      <contributor>
        <username>Bert Niehaus</username>
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      <comment>/* Zweige des Logarithmus */</comment>
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      <text bytes="9419" sha1="r58ofc8mj6eikxp1vpjfwrfo61mgya7" xml:space="preserve">== Einleitung ==
Es gibt unterschiedliche Möglichkeiten (''&quot;Zweige&quot;''), einen Logarithmus als [[w:de:Umkehrfunktion|Umkehrfunktion]] zu definieren. Dies liegt einerseits an folgdenden mathematischen Eigenschaften und andererseits auch an der Zielsetzung, was man mit dem Logarithmus als Funktion erreichen möchte. 
* '''(Periodizität)''' Durch die Periodizität der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] im [[komplexe Zahl|Imaginärteil]] mit der Periode &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; gibt es unterschiedliche Zweige.
* '''(Wahl des Gebietes)''' Durch die Wahl des [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden Gebietes]]  entstehen unterschiedliche Zweige (siehe [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/generalisiert|verallgemeinerter Logarithmus]]).
* '''(Algebraische Vollständigkeit)''' Ein Zweig des Logaritmus ist algebraisch vollständig, wenn dieser auf &lt;math&gt;\mathbb{C}\setminus \{0\}&lt;/math&gt;. Dadurch verliert man aber die [[Stetigkeit]] und [[Holomorphie]] als Eigenschaft.

== Zweige des Logarithmus ==
Ein Zweig des Logarithmus ist eine Funktion &lt;math&gt; \log(z) &lt;/math&gt;, die auf einer Teilmenge &lt;math&gt; G &lt;/math&gt; von &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; definiert ist und die Eigenschaft hat, dass &lt;math&gt; \exp(\log(z)) = z &lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt; z \in G &lt;/math&gt;. Eine übliche Wahl für &lt;math&gt; D &lt;/math&gt; ist die Menge &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus (-\infty, 0] &lt;/math&gt;, die die negative reelle Achse ausschließt. In diesem Fall kann der Hauptzweig des Logarithmus definiert werden als:

:&lt;math&gt; \log(z) = \ln|z| + i \arg(z) 
&lt;/math&gt;
wobei &lt;math&gt; \arg(z) &lt;/math&gt; der Winkel von &lt;math&gt; z &lt;/math&gt; in der komplexen Ebene ist und &lt;math&gt; -\pi &lt; \arg(z) \leq \pi &lt;/math&gt;.

&lt;span id=&quot;algebraisch_abgeschlossen&quot;&gt;&lt;/span&gt;
=== Definition - algebraisch abgeschlossen ===
Ein Zweig des Logarithmus ist eine Funktion &lt;math&gt; \log(z) &lt;/math&gt;, wobei dieser den Definitionsbereich &lt;math&gt; G := \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; besitzt.

=== Alternativen der Argumentfunktion ===
Die Argumentfunktion &lt;math&gt; \arg(z) &lt;/math&gt; kann man auch  als Winkel von &lt;math&gt; z &lt;/math&gt; in der komplexen Ebene ist auch in &lt;math&gt; -\pi \leq \arg(z) &lt; \pi &lt;/math&gt; oder &lt;math&gt; 0 \leq \arg(z) &lt; 2\pi &lt;/math&gt; definieren. Der alternative Winkelbereich &lt;math&gt;[0,2\pi)&lt;/math&gt; spielt für die Definition der &lt;math&gt;logmod&lt;/math&gt;[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/logmod|-Funktion]] verwenden. 

=== Zweige des Logarithmus ===
Stellt man &lt;math&gt;z = |z| \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i} \arg(z)}&lt;/math&gt; in [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|Polarform]] dar, so erhält man eine einfache Darstellung des ''k-ten Zweiges'' der Logarithmusfunktion:
: &lt;math&gt;w = \ln |z| + \mathrm{i}\left(\arg(z) + 2k\pi\right), \quad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;
mit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] &lt;math&gt;\arg&lt;/math&gt;. Im Summanden &lt;math&gt;\ln |z|&lt;/math&gt; wird der bereits oben definierte reelle Logarithmus &lt;math&gt;\ln&lt;/math&gt; verwendet.
Für &lt;math&gt;k = 0&lt;/math&gt; erhält man den ''Hauptzweig'' des komplexen Logarithmus zurück:
: &lt;math&gt;\ln z = \ln|z| + \mathrm{i}\arg(z)&lt;/math&gt;.

&lt;span id=&quot;negativer_Hauptzweig&quot;&gt;&lt;/span&gt;
=== Negativer Hauptzweige des Logarithmus ===
Beim negativen Hauptzweig verwendet man für den Startwert der Integraldarstellung &lt;math&gt;-1&lt;/math&gt; statt &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; (wie beim Hauptzweig). Als holomorphe Funktion verwendet man für den Hauptzweig die Funktion &lt;math&gt;\ln&lt;/math&gt;, die auf den geschlitzten Ebene definiert ist, wobei die negative reelle Achse mit 0 aus dem Definitionsbereich entfernt wird. Beim negativen Hauptzweig wird dagen die positive Achse aus dem Definitionsbereich entfernt, wenn man ein Logarithmus auf diesem [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebiet definieren möchte.
Sei &lt;math&gt;z_o = -1\in \mathbb{C} \setminus \{0\}&lt;/math&gt; 
:&lt;math&gt;
 \begin{array}{rrcl}
   \gamma_z : &amp; [0,1] &amp; \rightarrow &amp; \mathbb{C} \\ 
    &amp;  t  &amp; \mapsto &amp; \gamma_z(t) =  (1-t)\cdot z_0 + t\cdot z =  (t-1) + t\cdot z 
  \end{array}  
&lt;/math&gt;

:&lt;math&gt;
ln_{-}(z) := \pi i + \int_{\gamma_z}
 \frac{1}{\xi} \, d\xi = \pi i +  \int_{0}^1
 \frac{1}{\gamma_z(t)} \cdot \gamma{\,}_z'(t)  dt  

&lt;/math&gt;

== Aufgabe - Integraldarstellung des Logarithmus ==
Sei &lt;math&gt;z_o \in \mathbb{C} \setminus \{0\}&lt;/math&gt; beliebig gewählt und 
:&lt;math&gt;
 \begin{array}{rrcl}
   \gamma_z : &amp; [0,1] &amp; \rightarrow &amp; \mathbb{C} \\ 
    &amp;  t  &amp; \mapsto &amp; \gamma_z(t) =  (1-t)\cdot z_0 + t\cdot z 
  \end{array}  
&lt;/math&gt;
* Skizzieren Sie die Menge &lt;math&gt;\mathbb{C}_{z_0} := \mathbb{C} \setminus \{  -\lambda \cdot z_0 \, :\, \lambda \in \mathbb{R}_0^+ \} &lt;/math&gt;
* Ist die folgende Funktion &lt;math&gt;F: \mathbb{C}_{z_0} \to \mathbb{C} &lt;/math&gt; eine wohldefinierte Funktion und für welche &lt;math&gt;z_0&lt;/math&gt; ist die folgende [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion]] &lt;math&gt;F&lt;/math&gt; als Wegintegral auch ein Zweig des Logarithmus? Wie muss man dann die Konstante &lt;math&gt;c_0&lt;/math&gt; zu dem gegebenen &lt;math&gt;z_0&lt;/math&gt; wählen? 
::&lt;math&gt;
F(z) := c_0 + \int_{\gamma_z}
 \frac{1}{\xi} \, d\xi = c_0 +  \int_{0}^1
 \frac{1}{\gamma_z(t)} \cdot \gamma{\,}_z'(t)  dt  

&lt;/math&gt;

=== Notwendigkeit der Einschränkung der Definitions- und Wertebereiche der Exponentialfunktion ===
Um eine bijektive Abbildung zu erhalten, müssen wir sowohl den Definitionsbereich als auch den Wertebereich der Exponentialfunktion einschränken.
Die Exponentialfunktion &lt;math&gt; \exp(z) &lt;/math&gt; ist periodisch mit der Periode &lt;math&gt; 2\pi i &lt;/math&gt;, das heißt, &lt;math&gt; \exp(z + 2\pi i k) = \exp(z) &lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt; k \in \mathbb{Z} &lt;/math&gt;. 

=== Surjektivität und Injektivität ===
Die Periodizität führt dazu, dass die Exponentialfunktion nicht injektiv auf der gesamten komplexen Ebene ist. Die Exponentialfunktion ist auch nicht surjektiv, da mit &lt;math&gt;z=x+i\cdot y \in \mathbb{C}&lt;/math&gt; die 0 als Bildpunkt auftritt, denn es gilt:
:&lt;math&gt;
 e^z = e^{x+iy} = \underbrace{e^x}_{\not=0} \cdot \underbrace{e^{iy}}_{\not=0} \not= 0
&lt;/math&gt;

=== Eulersche Formel ===
Mit der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] kann die Exponentialfunktion mit &lt;math&gt;z=x+i\cdot y \in \mathbb{C}&lt;/math&gt; wie folgt zerlegen:
:&lt;math&gt;
 e^z = e^{x+iy} = \underbrace{e^x}_{\not=0} \cdot e^{iy} = 
 e^x\cdot (\cos(y) + i \cdot \sin(y) )
&lt;/math&gt;

=== Bijektive Abbildung ===
Um eine bijektive und holomorphe Abbildung zu erhalten, kann man  den Definitionsbereich der Exponentialfunktion auf ein horizontales Streifen der Höhe &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; einschränken, zum Beispiel:

:&lt;math&gt; G := \mathbb{R} + i\cdot (-\pi,+\pi) := \{ z \in \mathbb{C} \mid -\pi &lt; \operatorname{Im}(z) \leq \pi \} \subset \mathbb{C}
&lt;/math&gt;
In diesem Fall ist die Exponentialfunktion &lt;math&gt;\exp : G \to  \mathbb{C}\setminus \{0\}   &lt;/math&gt; den &quot;Streifen&quot; &lt;math&gt;G  &lt;/math&gt; der Höhe &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt;  bijektiv auf  auf den Wertebereich &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; ab. Die Bildmenge wird nun zum Definitionsbereich des Hauptzweiges vom Logarithmus.

== Zusammenfassung ==
* Die Exponentialfunktion &lt;math&gt; \exp(z) &lt;/math&gt; ist nicht injektiv und nicht surjektiv (wegen &lt;math&gt; \exp(z) \not= 0)&lt;/math&gt; auf der gesamten komplexen Ebene.
* Um eine bijektive [[holomorphe Funktion]] zu erhalten, muss man den Definitionsbereich &lt;math&gt;\mathbb{D}&lt;/math&gt; und den Wertebereich &lt;math&gt;\mathbb{W}&lt;/math&gt; der Logarithmusfunktion &lt;math&gt;\log_G : G \to \mathbb{W} &lt;/math&gt; so einschränken, dass eine bijektive Abbildung entsteht.
* für die offene Menge &lt;math&gt;\mathbb{D}&lt;/math&gt; muss im Allgemeinen nur [[einfach zusammenhängend]] mit &lt;math&gt;0\notin \mathbb{D}&lt;/math&gt; sein (siehe auch [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/generalisiert|generalisierte Logarithmen]]). 
* Ein Zweig des Logarithmus kann definiert werden, indem der Definitionsbereich des Logarithmus eingeschränkt wird, zum Beispiel auf &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus (-\infty, 0] &lt;/math&gt;.

=== Algebraische Vervollständigung ===
Wenn man den Definitionsbereich von einer geschlitzten Ebene &lt;math&gt; \mathbb{W} := \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}_{0}^{-}&lt;/math&gt; auf &lt;math&gt;\mathbb{C}\setminus \{0\}&lt;/math&gt; erweitert und gleichzeitig den Definitionsbereich &lt;math&gt;G:=\mathbb{R}+(-\pi,+\pi) \cdot i &lt;/math&gt; zu &lt;math&gt;G_+ := \mathbb{R} + (-\pi,+\pi]\cdot i&lt;/math&gt; für den Hauptzweig erweitert, bleibt die algebraisch die Bijektivität erhalten, aber man verliert die Eigenschaft der Stetigkeit auf dem ganzen Definitionsbereich. Alternativ kann man für den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#negativer_Hauptzweig|negativen Hauptzweig]] den Definitionsbereich &lt;math&gt;G_1 := \mathbb{R} + (0,2\pi)\cdot i&lt;/math&gt; auch diesen Definitionsbereich auf &lt;math&gt;\mathbb{D}_1 := \mathbb{R} + [0,2\pi)\cdot i&lt;/math&gt; erweitern und man verliert analog die Eigenschaft der Stetigkeit und komplexen Differenzierbarkeit auf ganz &lt;math&gt;\mathbb{D}_1&lt;/math&gt;.

== Siehe auch ==
* [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/algebraische Vollständigkeit|algebraische Vollständigkeit]] des Logarithmus
* [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden Gebietes]] für Logarithmen
* [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]]
*[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/generalisiert|generalisierter Logarithmus]]
* [[holomorphe Funktion]] 
* [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexer Logarithmus]]
* [[Logarithmus|reeller Logarithmus]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion als Wegintegral]]
* [[Stetigkeit]]</text>
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      <contributor>
        <username>Bert Niehaus</username>
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      <comment>/* Zweige des Logarithmus */</comment>
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      <text bytes="9529" sha1="6500crgek7r13ugj5l795srnrbud3zu" xml:space="preserve">== Einleitung ==
Es gibt unterschiedliche Möglichkeiten (''&quot;Zweige&quot;''), einen Logarithmus als [[w:de:Umkehrfunktion|Umkehrfunktion]] zu definieren. Dies liegt einerseits an folgdenden mathematischen Eigenschaften und andererseits auch an der Zielsetzung, was man mit dem Logarithmus als Funktion erreichen möchte. 
* '''(Periodizität)''' Durch die Periodizität der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] im [[komplexe Zahl|Imaginärteil]] mit der Periode &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; gibt es unterschiedliche Zweige.
* '''(Wahl des Gebietes)''' Durch die Wahl des [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden Gebietes]]  entstehen unterschiedliche Zweige (siehe [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/generalisiert|verallgemeinerter Logarithmus]]).
* '''(Algebraische Vollständigkeit)''' Ein Zweig des Logaritmus ist algebraisch vollständig, wenn dieser auf &lt;math&gt;\mathbb{C}\setminus \{0\}&lt;/math&gt;. Dadurch verliert man aber die [[Stetigkeit]] und [[Holomorphie]] als Eigenschaft.

== Zweige des Logarithmus ==
Ein Zweig des Logarithmus ist eine Funktion &lt;math&gt; \log(z) &lt;/math&gt;, die auf einer Teilmenge &lt;math&gt; G &lt;/math&gt; von &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; definiert ist und die Eigenschaft hat, dass &lt;math&gt; \exp(\log(z)) = z &lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt; z \in G &lt;/math&gt;. 

=== Hauptzweig des Logarithmus ===
Eine übliche Wahl für &lt;math&gt; G &lt;/math&gt; ist die Menge &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus (-\infty, 0] &lt;/math&gt;, die die negative reelle Achse ausschließt. In diesem Fall kann der Hauptzweig des Logarithmus definiert werden als:

:&lt;math&gt; \log(z) = \ln|z| + i \arg(z) 
&lt;/math&gt;
wobei &lt;math&gt; \arg(z) &lt;/math&gt; der Winkel von &lt;math&gt; z &lt;/math&gt; in der komplexen Ebene ist und &lt;math&gt; -\pi &lt; \arg(z) &lt; +\pi &lt;/math&gt;.


=== Alternativen der Argumentfunktion ===
Die Argumentfunktion &lt;math&gt; \arg(z) &lt;/math&gt; kann man auch  als Winkel von &lt;math&gt; z &lt;/math&gt; in der komplexen Ebene ist auch in &lt;math&gt; -\pi \leq \arg(z) &lt; \pi &lt;/math&gt; oder &lt;math&gt; 0 \leq \arg(z) &lt; 2\pi &lt;/math&gt; definieren. Der alternative Winkelbereich &lt;math&gt;[0,2\pi)&lt;/math&gt; spielt für die Definition der &lt;math&gt;logmod&lt;/math&gt;[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/logmod|-Funktion]] verwenden. 

=== Zweige des Logarithmus ===
Stellt man &lt;math&gt;z = |z| \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i} \arg(z)}&lt;/math&gt; in [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|Polarform]] dar, so erhält man eine einfache Darstellung des ''k-ten Zweiges'' der Logarithmusfunktion:
: &lt;math&gt;w = \ln |z| + \mathrm{i}\left(\arg(z) + 2k\pi\right), \quad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;
mit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] &lt;math&gt;\arg&lt;/math&gt;. Im Summanden &lt;math&gt;\ln |z|&lt;/math&gt; wird der bereits oben definierte reelle Logarithmus &lt;math&gt;\ln&lt;/math&gt; verwendet.
Für &lt;math&gt;k = 0&lt;/math&gt; erhält man den ''Hauptzweig'' des komplexen Logarithmus zurück:
: &lt;math&gt;\ln z = \ln|z| + \mathrm{i}\arg(z)&lt;/math&gt;.

&lt;span id=&quot;negativer_Hauptzweig&quot;&gt;&lt;/span&gt;
=== Negativer Hauptzweige des Logarithmus ===
Beim negativen Hauptzweig verwendet man für den Startwert der Integraldarstellung &lt;math&gt;-1&lt;/math&gt; statt &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; (wie beim Hauptzweig). Als holomorphe Funktion verwendet man für den Hauptzweig die Funktion &lt;math&gt;\ln&lt;/math&gt;, die auf den geschlitzten Ebene definiert ist, wobei die negative reelle Achse mit 0 aus dem Definitionsbereich entfernt wird. Beim negativen Hauptzweig wird dagen die positive Achse aus dem Definitionsbereich entfernt, wenn man ein Logarithmus auf diesem [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebiet definieren möchte.
Sei &lt;math&gt;z_o = -1\in \mathbb{C} \setminus \{0\}&lt;/math&gt; 
:&lt;math&gt;
 \begin{array}{rrcl}
   \gamma_z : &amp; [0,1] &amp; \rightarrow &amp; \mathbb{C} \\ 
    &amp;  t  &amp; \mapsto &amp; \gamma_z(t) =  (1-t)\cdot z_0 + t\cdot z =  (t-1) + t\cdot z 
  \end{array}  
&lt;/math&gt;

:&lt;math&gt;
ln_{-}(z) := \pi i + \int_{\gamma_z}
 \frac{1}{\xi} \, d\xi = \pi i +  \int_{0}^1
 \frac{1}{\gamma_z(t)} \cdot \gamma{\,}_z'(t)  dt  

&lt;/math&gt;

&lt;span id=&quot;algebraisch_abgeschlossen&quot;&gt;&lt;/span&gt;
== Definition - algebraisch abgeschlossen ==
Ein Zweig des Logarithmus ist eine Funktion &lt;math&gt; \log(z) &lt;/math&gt;, wobei dieser den Definitionsbereich &lt;math&gt; G := \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; besitzt und  &lt;math&gt; \exp(\log(z)) = z &lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt; z \in G &lt;/math&gt; gilt.

== Aufgabe - Integraldarstellung des Logarithmus ==
Sei &lt;math&gt;z_o \in \mathbb{C} \setminus \{0\}&lt;/math&gt; beliebig gewählt und 
:&lt;math&gt;
 \begin{array}{rrcl}
   \gamma_z : &amp; [0,1] &amp; \rightarrow &amp; \mathbb{C} \\ 
    &amp;  t  &amp; \mapsto &amp; \gamma_z(t) =  (1-t)\cdot z_0 + t\cdot z 
  \end{array}  
&lt;/math&gt;
* Skizzieren Sie die Menge &lt;math&gt;\mathbb{C}_{z_0} := \mathbb{C} \setminus \{  -\lambda \cdot z_0 \, :\, \lambda \in \mathbb{R}_0^+ \} &lt;/math&gt;
* Ist die folgende Funktion &lt;math&gt;F: \mathbb{C}_{z_0} \to \mathbb{C} &lt;/math&gt; eine wohldefinierte Funktion und für welche &lt;math&gt;z_0&lt;/math&gt; ist die folgende [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion]] &lt;math&gt;F&lt;/math&gt; als Wegintegral auch ein Zweig des Logarithmus? Wie muss man dann die Konstante &lt;math&gt;c_0&lt;/math&gt; zu dem gegebenen &lt;math&gt;z_0&lt;/math&gt; wählen? 
::&lt;math&gt;
F(z) := c_0 + \int_{\gamma_z}
 \frac{1}{\xi} \, d\xi = c_0 +  \int_{0}^1
 \frac{1}{\gamma_z(t)} \cdot \gamma{\,}_z'(t)  dt  

&lt;/math&gt;

=== Notwendigkeit der Einschränkung der Definitions- und Wertebereiche der Exponentialfunktion ===
Um eine bijektive Abbildung zu erhalten, müssen wir sowohl den Definitionsbereich als auch den Wertebereich der Exponentialfunktion einschränken.
Die Exponentialfunktion &lt;math&gt; \exp(z) &lt;/math&gt; ist periodisch mit der Periode &lt;math&gt; 2\pi i &lt;/math&gt;, das heißt, &lt;math&gt; \exp(z + 2\pi i k) = \exp(z) &lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt; k \in \mathbb{Z} &lt;/math&gt;. 

=== Surjektivität und Injektivität ===
Die Periodizität führt dazu, dass die Exponentialfunktion nicht injektiv auf der gesamten komplexen Ebene ist. Die Exponentialfunktion ist auch nicht surjektiv, da mit &lt;math&gt;z=x+i\cdot y \in \mathbb{C}&lt;/math&gt; die 0 als Bildpunkt auftritt, denn es gilt:
:&lt;math&gt;
 e^z = e^{x+iy} = \underbrace{e^x}_{\not=0} \cdot \underbrace{e^{iy}}_{\not=0} \not= 0
&lt;/math&gt;

=== Eulersche Formel ===
Mit der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] kann die Exponentialfunktion mit &lt;math&gt;z=x+i\cdot y \in \mathbb{C}&lt;/math&gt; wie folgt zerlegen:
:&lt;math&gt;
 e^z = e^{x+iy} = \underbrace{e^x}_{\not=0} \cdot e^{iy} = 
 e^x\cdot (\cos(y) + i \cdot \sin(y) )
&lt;/math&gt;

=== Bijektive Abbildung ===
Um eine bijektive und holomorphe Abbildung zu erhalten, kann man  den Definitionsbereich der Exponentialfunktion auf ein horizontales Streifen der Höhe &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; einschränken, zum Beispiel:

:&lt;math&gt; G := \mathbb{R} + i\cdot (-\pi,+\pi) := \{ z \in \mathbb{C} \mid -\pi &lt; \operatorname{Im}(z) \leq \pi \} \subset \mathbb{C}
&lt;/math&gt;
In diesem Fall ist die Exponentialfunktion &lt;math&gt;\exp : G \to  \mathbb{C}\setminus \{0\}   &lt;/math&gt; den &quot;Streifen&quot; &lt;math&gt;G  &lt;/math&gt; der Höhe &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt;  bijektiv auf  auf den Wertebereich &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; ab. Die Bildmenge wird nun zum Definitionsbereich des Hauptzweiges vom Logarithmus.

== Zusammenfassung ==
* Die Exponentialfunktion &lt;math&gt; \exp(z) &lt;/math&gt; ist nicht injektiv und nicht surjektiv (wegen &lt;math&gt; \exp(z) \not= 0)&lt;/math&gt; auf der gesamten komplexen Ebene.
* Um eine bijektive [[holomorphe Funktion]] zu erhalten, muss man den Definitionsbereich &lt;math&gt;\mathbb{D}&lt;/math&gt; und den Wertebereich &lt;math&gt;\mathbb{W}&lt;/math&gt; der Logarithmusfunktion &lt;math&gt;\log_G : G \to \mathbb{W} &lt;/math&gt; so einschränken, dass eine bijektive Abbildung entsteht.
* für die offene Menge &lt;math&gt;\mathbb{D}&lt;/math&gt; muss im Allgemeinen nur [[einfach zusammenhängend]] mit &lt;math&gt;0\notin \mathbb{D}&lt;/math&gt; sein (siehe auch [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/generalisiert|generalisierte Logarithmen]]). 
* Ein Zweig des Logarithmus kann definiert werden, indem der Definitionsbereich des Logarithmus eingeschränkt wird, zum Beispiel auf &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus (-\infty, 0] &lt;/math&gt;.

=== Algebraische Vervollständigung ===
Wenn man den Definitionsbereich von einer geschlitzten Ebene &lt;math&gt; \mathbb{W} := \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}_{0}^{-}&lt;/math&gt; auf &lt;math&gt;\mathbb{C}\setminus \{0\}&lt;/math&gt; erweitert und gleichzeitig den Definitionsbereich &lt;math&gt;G:=\mathbb{R}+(-\pi,+\pi) \cdot i &lt;/math&gt; zu &lt;math&gt;G_+ := \mathbb{R} + (-\pi,+\pi]\cdot i&lt;/math&gt; für den Hauptzweig erweitert, bleibt die algebraisch die Bijektivität erhalten, aber man verliert die Eigenschaft der Stetigkeit auf dem ganzen Definitionsbereich. Alternativ kann man für den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#negativer_Hauptzweig|negativen Hauptzweig]] den Definitionsbereich &lt;math&gt;G_1 := \mathbb{R} + (0,2\pi)\cdot i&lt;/math&gt; auch diesen Definitionsbereich auf &lt;math&gt;\mathbb{D}_1 := \mathbb{R} + [0,2\pi)\cdot i&lt;/math&gt; erweitern und man verliert analog die Eigenschaft der Stetigkeit und komplexen Differenzierbarkeit auf ganz &lt;math&gt;\mathbb{D}_1&lt;/math&gt;.

== Siehe auch ==
* [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/algebraische Vollständigkeit|algebraische Vollständigkeit]] des Logarithmus
* [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden Gebietes]] für Logarithmen
* [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]]
*[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/generalisiert|generalisierter Logarithmus]]
* [[holomorphe Funktion]] 
* [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexer Logarithmus]]
* [[Logarithmus|reeller Logarithmus]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion als Wegintegral]]
* [[Stetigkeit]]</text>
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        <username>Bert Niehaus</username>
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      <text bytes="9580" sha1="hgcv1q6veub7wqzhak2bpefamchnr5k" xml:space="preserve">== Einleitung ==
Es gibt unterschiedliche Möglichkeiten (''&quot;Zweige&quot;''), einen Logarithmus als [[w:de:Umkehrfunktion|Umkehrfunktion]] zu definieren. Dies liegt einerseits an folgdenden mathematischen Eigenschaften und andererseits auch an der Zielsetzung, was man mit dem Logarithmus als Funktion erreichen möchte. 
* '''(Periodizität)''' Durch die Periodizität der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] im [[komplexe Zahl|Imaginärteil]] mit der Periode &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; gibt es unterschiedliche Zweige.
* '''(Wahl des Gebietes)''' Durch die Wahl des [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden Gebietes]]  entstehen unterschiedliche Zweige (siehe [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/generalisiert|verallgemeinerter Logarithmus]]).
* '''(Algebraische Vollständigkeit)''' Ein Zweig des Logaritmus ist algebraisch vollständig, wenn dieser auf &lt;math&gt;\mathbb{C}\setminus \{0\}&lt;/math&gt;. Dadurch verliert man aber die [[Stetigkeit]] und [[Holomorphie]] als Eigenschaft.

== Zweige des Logarithmus ==
Ein Zweig des Logarithmus ist eine Funktion &lt;math&gt; \log_G(z) &lt;/math&gt;, die auf einer Teilmenge &lt;math&gt; G &lt;/math&gt; von &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; definiert ist und die Eigenschaft hat, dass &lt;math&gt; \exp(\log_G(z)) = z &lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt; z \in G &lt;/math&gt;. 

=== Hauptzweig des Logarithmus ===
Eine übliche Wahl für &lt;math&gt; G &lt;/math&gt; ist die Menge &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus (-\infty, 0] &lt;/math&gt;, die die negative reelle Achse ausschließt. In diesem Fall kann der Hauptzweig des Logarithmus definiert werden als:

:&lt;math&gt; \log(z) = \ln\big( |z|\big) + i \arg(z) 
&lt;/math&gt;
wobei &lt;math&gt; \arg(z) &lt;/math&gt; der Winkel von &lt;math&gt; z &lt;/math&gt; in der komplexen Ebene ist und für den Hauptzweig erfüllt dieser &lt;math&gt; -\pi &lt; \arg(z) &lt; +\pi &lt;/math&gt;.

=== Alternativen der Argumentfunktion ===
Die Argumentfunktion &lt;math&gt; \arg(z) &lt;/math&gt; kann man auch  als Winkel von &lt;math&gt; z &lt;/math&gt; in der komplexen Ebene ist auch in &lt;math&gt; -\pi \leq \arg(z) &lt; \pi &lt;/math&gt; oder &lt;math&gt; 0 \leq \arg(z) &lt; 2\pi &lt;/math&gt; definieren. Der alternative Winkelbereich &lt;math&gt;[0,2\pi)&lt;/math&gt; spielt für die Definition der &lt;math&gt;logmod&lt;/math&gt;[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/logmod|-Funktion]] verwenden. 

=== Zweige des Logarithmus ===
Stellt man &lt;math&gt;z = |z| \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i} \arg(z)}&lt;/math&gt; in [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|Polarform]] dar, so erhält man eine einfache Darstellung des ''k-ten Zweiges'' der Logarithmusfunktion:
: &lt;math&gt;w = \ln |z| + \mathrm{i}\left(\arg(z) + 2k\pi\right), \quad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;
mit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] &lt;math&gt;\arg&lt;/math&gt;. Im Summanden &lt;math&gt;\ln |z|&lt;/math&gt; wird der bereits oben definierte reelle Logarithmus &lt;math&gt;\ln&lt;/math&gt; verwendet.
Für &lt;math&gt;k = 0&lt;/math&gt; erhält man den ''Hauptzweig'' des komplexen Logarithmus zurück:
: &lt;math&gt;\ln z = \ln|z| + \mathrm{i}\arg(z)&lt;/math&gt;.

&lt;span id=&quot;negativer_Hauptzweig&quot;&gt;&lt;/span&gt;
=== Negativer Hauptzweige des Logarithmus ===
Beim negativen Hauptzweig verwendet man für den Startwert der Integraldarstellung &lt;math&gt;-1&lt;/math&gt; statt &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; (wie beim Hauptzweig). Als holomorphe Funktion verwendet man für den Hauptzweig die Funktion &lt;math&gt;\ln&lt;/math&gt;, die auf den geschlitzten Ebene definiert ist, wobei die negative reelle Achse mit 0 aus dem Definitionsbereich entfernt wird. Beim negativen Hauptzweig wird dagen die positive Achse aus dem Definitionsbereich entfernt, wenn man ein Logarithmus auf diesem [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebiet definieren möchte.
Sei &lt;math&gt;z_o = -1\in \mathbb{C} \setminus \{0\}&lt;/math&gt; 
:&lt;math&gt;
 \begin{array}{rrcl}
   \gamma_z : &amp; [0,1] &amp; \rightarrow &amp; \mathbb{C} \\ 
    &amp;  t  &amp; \mapsto &amp; \gamma_z(t) =  (1-t)\cdot z_0 + t\cdot z =  (t-1) + t\cdot z 
  \end{array}  
&lt;/math&gt;

:&lt;math&gt;
ln_{-}(z) := \pi i + \int_{\gamma_z}
 \frac{1}{\xi} \, d\xi = \pi i +  \int_{0}^1
 \frac{1}{\gamma_z(t)} \cdot \gamma{\,}_z'(t)  dt  

&lt;/math&gt;

&lt;span id=&quot;algebraisch_abgeschlossen&quot;&gt;&lt;/span&gt;

== Definition - algebraisch abgeschlossen ==
Ein Zweig des Logarithmus ist eine Funktion &lt;math&gt; \log(z) &lt;/math&gt;, wobei dieser den Definitionsbereich &lt;math&gt; G := \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; besitzt und  &lt;math&gt; \exp(\log(z)) = z &lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt; z \in G &lt;/math&gt; gilt.

== Aufgabe - Integraldarstellung des Logarithmus ==
Sei &lt;math&gt;z_o \in \mathbb{C} \setminus \{0\}&lt;/math&gt; beliebig gewählt und 
:&lt;math&gt;
 \begin{array}{rrcl}
   \gamma_z : &amp; [0,1] &amp; \rightarrow &amp; \mathbb{C} \\ 
    &amp;  t  &amp; \mapsto &amp; \gamma_z(t) =  (1-t)\cdot z_0 + t\cdot z 
  \end{array}  
&lt;/math&gt;
* Skizzieren Sie die Menge &lt;math&gt;\mathbb{C}_{z_0} := \mathbb{C} \setminus \{  -\lambda \cdot z_0 \, :\, \lambda \in \mathbb{R}_0^+ \} &lt;/math&gt;
* Ist die folgende Funktion &lt;math&gt;F: \mathbb{C}_{z_0} \to \mathbb{C} &lt;/math&gt; eine wohldefinierte Funktion und für welche &lt;math&gt;z_0&lt;/math&gt; ist die folgende [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion]] &lt;math&gt;F&lt;/math&gt; als Wegintegral auch ein Zweig des Logarithmus? Wie muss man dann die Konstante &lt;math&gt;c_0&lt;/math&gt; zu dem gegebenen &lt;math&gt;z_0&lt;/math&gt; wählen? 
::&lt;math&gt;
F(z) := c_0 + \int_{\gamma_z}
 \frac{1}{\xi} \, d\xi = c_0 +  \int_{0}^1
 \frac{1}{\gamma_z(t)} \cdot \gamma{\,}_z'(t)  dt  

&lt;/math&gt;

=== Notwendigkeit der Einschränkung der Definitions- und Wertebereiche der Exponentialfunktion ===
Um eine bijektive Abbildung zu erhalten, müssen wir sowohl den Definitionsbereich als auch den Wertebereich der Exponentialfunktion einschränken.
Die Exponentialfunktion &lt;math&gt; \exp(z) &lt;/math&gt; ist periodisch mit der Periode &lt;math&gt; 2\pi i &lt;/math&gt;, das heißt, &lt;math&gt; \exp(z + 2\pi i k) = \exp(z) &lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt; k \in \mathbb{Z} &lt;/math&gt;. 

=== Surjektivität und Injektivität ===
Die Periodizität führt dazu, dass die Exponentialfunktion nicht injektiv auf der gesamten komplexen Ebene ist. Die Exponentialfunktion ist auch nicht surjektiv, da mit &lt;math&gt;z=x+i\cdot y \in \mathbb{C}&lt;/math&gt; die 0 als Bildpunkt auftritt, denn es gilt:
:&lt;math&gt;
 e^z = e^{x+iy} = \underbrace{e^x}_{\not=0} \cdot \underbrace{e^{iy}}_{\not=0} \not= 0
&lt;/math&gt;

=== Eulersche Formel ===
Mit der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] kann die Exponentialfunktion mit &lt;math&gt;z=x+i\cdot y \in \mathbb{C}&lt;/math&gt; wie folgt zerlegen:
:&lt;math&gt;
 e^z = e^{x+iy} = \underbrace{e^x}_{\not=0} \cdot e^{iy} = 
 e^x\cdot (\cos(y) + i \cdot \sin(y) )
&lt;/math&gt;

=== Bijektive Abbildung ===
Um eine bijektive und holomorphe Abbildung zu erhalten, kann man  den Definitionsbereich der Exponentialfunktion auf ein horizontales Streifen der Höhe &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; einschränken, zum Beispiel:

:&lt;math&gt; G := \mathbb{R} + i\cdot (-\pi,+\pi) := \{ z \in \mathbb{C} \mid -\pi &lt; \operatorname{Im}(z) \leq \pi \} \subset \mathbb{C}
&lt;/math&gt;
In diesem Fall ist die Exponentialfunktion &lt;math&gt;\exp : G \to  \mathbb{C}\setminus \{0\}   &lt;/math&gt; den &quot;Streifen&quot; &lt;math&gt;G  &lt;/math&gt; der Höhe &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt;  bijektiv auf  auf den Wertebereich &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; ab. Die Bildmenge wird nun zum Definitionsbereich des Hauptzweiges vom Logarithmus.

== Zusammenfassung ==
* Die Exponentialfunktion &lt;math&gt; \exp(z) &lt;/math&gt; ist nicht injektiv und nicht surjektiv (wegen &lt;math&gt; \exp(z) \not= 0)&lt;/math&gt; auf der gesamten komplexen Ebene.
* Um eine bijektive [[holomorphe Funktion]] zu erhalten, muss man den Definitionsbereich &lt;math&gt;\mathbb{D}&lt;/math&gt; und den Wertebereich &lt;math&gt;\mathbb{W}&lt;/math&gt; der Logarithmusfunktion &lt;math&gt;\log_G : G \to \mathbb{W} &lt;/math&gt; so einschränken, dass eine bijektive Abbildung entsteht.
* für die offene Menge &lt;math&gt;\mathbb{D}&lt;/math&gt; muss im Allgemeinen nur [[einfach zusammenhängend]] mit &lt;math&gt;0\notin \mathbb{D}&lt;/math&gt; sein (siehe auch [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/generalisiert|generalisierte Logarithmen]]). 
* Ein Zweig des Logarithmus kann definiert werden, indem der Definitionsbereich des Logarithmus eingeschränkt wird, zum Beispiel auf &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus (-\infty, 0] &lt;/math&gt;.

=== Algebraische Vervollständigung ===
Wenn man den Definitionsbereich von einer geschlitzten Ebene &lt;math&gt; \mathbb{W} := \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}_{0}^{-}&lt;/math&gt; auf &lt;math&gt;\mathbb{C}\setminus \{0\}&lt;/math&gt; erweitert und gleichzeitig den Definitionsbereich &lt;math&gt;G:=\mathbb{R}+(-\pi,+\pi) \cdot i &lt;/math&gt; zu &lt;math&gt;G_+ := \mathbb{R} + (-\pi,+\pi]\cdot i&lt;/math&gt; für den Hauptzweig erweitert, bleibt die algebraisch die Bijektivität erhalten, aber man verliert die Eigenschaft der Stetigkeit auf dem ganzen Definitionsbereich. Alternativ kann man für den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#negativer_Hauptzweig|negativen Hauptzweig]] den Definitionsbereich &lt;math&gt;G_1 := \mathbb{R} + (0,2\pi)\cdot i&lt;/math&gt; auch diesen Definitionsbereich auf &lt;math&gt;\mathbb{D}_1 := \mathbb{R} + [0,2\pi)\cdot i&lt;/math&gt; erweitern und man verliert analog die Eigenschaft der Stetigkeit und komplexen Differenzierbarkeit auf ganz &lt;math&gt;\mathbb{D}_1&lt;/math&gt;.

== Siehe auch ==
* [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/algebraische Vollständigkeit|algebraische Vollständigkeit]] des Logarithmus
* [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden Gebietes]] für Logarithmen
* [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]]
*[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/generalisiert|generalisierter Logarithmus]]
* [[holomorphe Funktion]] 
* [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexer Logarithmus]]
* [[Logarithmus|reeller Logarithmus]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion als Wegintegral]]
* [[Stetigkeit]]</text>
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      <contributor>
        <username>Bert Niehaus</username>
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      <comment>/* Zweige des Logarithmus */</comment>
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      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="9724" sha1="9d9g3qmgflrfz0dvxl21ylxhz6c5pid" xml:space="preserve">== Einleitung ==
Es gibt unterschiedliche Möglichkeiten (''&quot;Zweige&quot;''), einen Logarithmus als [[w:de:Umkehrfunktion|Umkehrfunktion]] zu definieren. Dies liegt einerseits an folgdenden mathematischen Eigenschaften und andererseits auch an der Zielsetzung, was man mit dem Logarithmus als Funktion erreichen möchte. 
* '''(Periodizität)''' Durch die Periodizität der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] im [[komplexe Zahl|Imaginärteil]] mit der Periode &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; gibt es unterschiedliche Zweige.
* '''(Wahl des Gebietes)''' Durch die Wahl des [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden Gebietes]]  entstehen unterschiedliche Zweige (siehe [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/generalisiert|verallgemeinerter Logarithmus]]).
* '''(Algebraische Vollständigkeit)''' Ein Zweig des Logaritmus ist algebraisch vollständig, wenn dieser auf &lt;math&gt;\mathbb{C}\setminus \{0\}&lt;/math&gt;. Dadurch verliert man aber die [[Stetigkeit]] und [[Holomorphie]] als Eigenschaft.

== Zweige des Logarithmus ==
Ein Zweig des Logarithmus ist eine Funktion &lt;math&gt; \log_G(z) &lt;/math&gt;, die auf einer Teilmenge &lt;math&gt; G &lt;/math&gt; von &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; definiert ist und die Eigenschaft hat, dass &lt;math&gt; \exp(\log_G(z)) = z &lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt; z \in G &lt;/math&gt;. 

=== Hauptzweig des Logarithmus ===
Eine übliche Wahl für &lt;math&gt; G &lt;/math&gt; ist die Menge &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus (-\infty, 0] &lt;/math&gt;, die die negative reelle Achse ausschließt. In diesem Fall kann der Hauptzweig des Logarithmus definiert werden als:

:&lt;math&gt; \log(z) = \ln\big( |z|\big) + i \arg(z) 
&lt;/math&gt;
wobei &lt;math&gt; \arg(z) &lt;/math&gt; der Winkel von &lt;math&gt; z &lt;/math&gt; in der komplexen Ebene ist und für den Hauptzweig erfüllt dieser &lt;math&gt; -\pi &lt; \arg(z) &lt; +\pi &lt;/math&gt;.

=== Alternativen der Argumentfunktion ===
Die Argumentfunktion &lt;math&gt; \arg(z) &lt;/math&gt; kann man auch  als Winkel von &lt;math&gt; z &lt;/math&gt; in der komplexen Ebene ist auch in &lt;math&gt; -\pi \leq \arg(z) &lt; \pi &lt;/math&gt; oder &lt;math&gt; 0 \leq \arg(z) &lt; 2\pi &lt;/math&gt; definieren. Der alternative Winkelbereich &lt;math&gt;[0,2\pi)&lt;/math&gt; spielt für die Definition der &lt;math&gt;logmod&lt;/math&gt;[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/logmod|-Funktion]] verwenden. 

=== Zweige des Logarithmus - Peridoizität ===
Durch die imaginäre Periodizität bzgl. Vielfache von &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; Stellt man &lt;math&gt;z = |z| \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}  \cdot\arg(z)}&lt;/math&gt; in [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|Polarform]] dar, so erhält man eine einfache Darstellung des ''k-ten Zweiges'' der Logarithmusfunktion:
: &lt;math&gt;w = \ln |z| + \mathrm{i}\left(\arg(z) + 2\pi\cdot k\right), \quad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;
mit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] &lt;math&gt;\arg&lt;/math&gt;. Im Summanden &lt;math&gt;\ln \big(|z|\big)&lt;/math&gt; wird der bereits oben definierte reelle Logarithmus &lt;math&gt;\ln&lt;/math&gt; auf &lt;math&gt;\mathbb{R}^+&lt;/math&gt; verwendet.
Für &lt;math&gt;k = 0&lt;/math&gt; erhält man den ''Hauptzweig'' des komplexen Logarithmus zurück:
: &lt;math&gt;\ln z = \ln|z| + \mathrm{i}\arg(z)&lt;/math&gt;.

&lt;span id=&quot;negativer_Hauptzweig&quot;&gt;&lt;/span&gt;

=== Negativer Hauptzweige des Logarithmus ===
Beim negativen Hauptzweig verwendet man für den Startwert der Integraldarstellung &lt;math&gt;-1&lt;/math&gt; statt &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; (wie beim Hauptzweig). Als holomorphe Funktion verwendet man für den Hauptzweig die Funktion &lt;math&gt;\ln&lt;/math&gt;, die auf den geschlitzten Ebene definiert ist, wobei die negative reelle Achse mit 0 aus dem Definitionsbereich entfernt wird. Beim negativen Hauptzweig wird dagen die positive Achse aus dem Definitionsbereich entfernt, wenn man ein Logarithmus auf diesem [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebiet definieren möchte.
Sei &lt;math&gt;z_o = -1\in \mathbb{C} \setminus \{0\}&lt;/math&gt; 
:&lt;math&gt;
 \begin{array}{rrcl}
   \gamma_z : &amp; [0,1] &amp; \rightarrow &amp; \mathbb{C} \\ 
    &amp;  t  &amp; \mapsto &amp; \gamma_z(t) =  (1-t)\cdot z_0 + t\cdot z =  (t-1) + t\cdot z 
  \end{array}  
&lt;/math&gt;

:&lt;math&gt;
ln_{-}(z) := \pi i + \int_{\gamma_z}
 \frac{1}{\xi} \, d\xi = \pi i +  \int_{0}^1
 \frac{1}{\gamma_z(t)} \cdot \gamma{\,}_z'(t)  dt  

&lt;/math&gt;

&lt;span id=&quot;algebraisch_abgeschlossen&quot;&gt;&lt;/span&gt;

== Definition - algebraisch abgeschlossen ==
Ein Zweig des Logarithmus ist eine Funktion &lt;math&gt; \log(z) &lt;/math&gt;, wobei dieser den Definitionsbereich &lt;math&gt; G := \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; besitzt und  &lt;math&gt; \exp(\log(z)) = z &lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt; z \in G &lt;/math&gt; gilt.

== Aufgabe - Integraldarstellung des Logarithmus ==
Sei &lt;math&gt;z_o \in \mathbb{C} \setminus \{0\}&lt;/math&gt; beliebig gewählt und 
:&lt;math&gt;
 \begin{array}{rrcl}
   \gamma_z : &amp; [0,1] &amp; \rightarrow &amp; \mathbb{C} \\ 
    &amp;  t  &amp; \mapsto &amp; \gamma_z(t) =  (1-t)\cdot z_0 + t\cdot z 
  \end{array}  
&lt;/math&gt;
* Skizzieren Sie die Menge &lt;math&gt;\mathbb{C}_{z_0} := \mathbb{C} \setminus \{  -\lambda \cdot z_0 \, :\, \lambda \in \mathbb{R}_0^+ \} &lt;/math&gt;
* Ist die folgende Funktion &lt;math&gt;F: \mathbb{C}_{z_0} \to \mathbb{C} &lt;/math&gt; eine wohldefinierte Funktion und für welche &lt;math&gt;z_0&lt;/math&gt; ist die folgende [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion]] &lt;math&gt;F&lt;/math&gt; als Wegintegral auch ein Zweig des Logarithmus? Wie muss man dann die Konstante &lt;math&gt;c_0&lt;/math&gt; zu dem gegebenen &lt;math&gt;z_0&lt;/math&gt; wählen? 
::&lt;math&gt;
F(z) := c_0 + \int_{\gamma_z}
 \frac{1}{\xi} \, d\xi = c_0 +  \int_{0}^1
 \frac{1}{\gamma_z(t)} \cdot \gamma{\,}_z'(t)  dt  

&lt;/math&gt;

=== Notwendigkeit der Einschränkung der Definitions- und Wertebereiche der Exponentialfunktion ===
Um eine bijektive Abbildung zu erhalten, müssen wir sowohl den Definitionsbereich als auch den Wertebereich der Exponentialfunktion einschränken.
Die Exponentialfunktion &lt;math&gt; \exp(z) &lt;/math&gt; ist periodisch mit der Periode &lt;math&gt; 2\pi i &lt;/math&gt;, das heißt, &lt;math&gt; \exp(z + 2\pi i k) = \exp(z) &lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt; k \in \mathbb{Z} &lt;/math&gt;. 

=== Surjektivität und Injektivität ===
Die Periodizität führt dazu, dass die Exponentialfunktion nicht injektiv auf der gesamten komplexen Ebene ist. Die Exponentialfunktion ist auch nicht surjektiv, da mit &lt;math&gt;z=x+i\cdot y \in \mathbb{C}&lt;/math&gt; die 0 als Bildpunkt auftritt, denn es gilt:
:&lt;math&gt;
 e^z = e^{x+iy} = \underbrace{e^x}_{\not=0} \cdot \underbrace{e^{iy}}_{\not=0} \not= 0
&lt;/math&gt;

=== Eulersche Formel ===
Mit der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] kann die Exponentialfunktion mit &lt;math&gt;z=x+i\cdot y \in \mathbb{C}&lt;/math&gt; wie folgt zerlegen:
:&lt;math&gt;
 e^z = e^{x+iy} = \underbrace{e^x}_{\not=0} \cdot e^{iy} = 
 e^x\cdot (\cos(y) + i \cdot \sin(y) )
&lt;/math&gt;

=== Bijektive Abbildung ===
Um eine bijektive und holomorphe Abbildung zu erhalten, kann man  den Definitionsbereich der Exponentialfunktion auf ein horizontales Streifen der Höhe &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; einschränken, zum Beispiel:

:&lt;math&gt; G := \mathbb{R} + i\cdot (-\pi,+\pi) := \{ z \in \mathbb{C} \mid -\pi &lt; \operatorname{Im}(z) \leq \pi \} \subset \mathbb{C}
&lt;/math&gt;
In diesem Fall ist die Exponentialfunktion &lt;math&gt;\exp : G \to  \mathbb{C}\setminus \{0\}   &lt;/math&gt; den &quot;Streifen&quot; &lt;math&gt;G  &lt;/math&gt; der Höhe &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt;  bijektiv auf  auf den Wertebereich &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; ab. Die Bildmenge wird nun zum Definitionsbereich des Hauptzweiges vom Logarithmus.

== Zusammenfassung ==
* Die Exponentialfunktion &lt;math&gt; \exp(z) &lt;/math&gt; ist nicht injektiv und nicht surjektiv (wegen &lt;math&gt; \exp(z) \not= 0)&lt;/math&gt; auf der gesamten komplexen Ebene.
* Um eine bijektive [[holomorphe Funktion]] zu erhalten, muss man den Definitionsbereich &lt;math&gt;\mathbb{D}&lt;/math&gt; und den Wertebereich &lt;math&gt;\mathbb{W}&lt;/math&gt; der Logarithmusfunktion &lt;math&gt;\log_G : G \to \mathbb{W} &lt;/math&gt; so einschränken, dass eine bijektive Abbildung entsteht.
* für die offene Menge &lt;math&gt;\mathbb{D}&lt;/math&gt; muss im Allgemeinen nur [[einfach zusammenhängend]] mit &lt;math&gt;0\notin \mathbb{D}&lt;/math&gt; sein (siehe auch [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/generalisiert|generalisierte Logarithmen]]). 
* Ein Zweig des Logarithmus kann definiert werden, indem der Definitionsbereich des Logarithmus eingeschränkt wird, zum Beispiel auf &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus (-\infty, 0] &lt;/math&gt;.

=== Algebraische Vervollständigung ===
Wenn man den Definitionsbereich von einer geschlitzten Ebene &lt;math&gt; \mathbb{W} := \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}_{0}^{-}&lt;/math&gt; auf &lt;math&gt;\mathbb{C}\setminus \{0\}&lt;/math&gt; erweitert und gleichzeitig den Definitionsbereich &lt;math&gt;G:=\mathbb{R}+(-\pi,+\pi) \cdot i &lt;/math&gt; zu &lt;math&gt;G_+ := \mathbb{R} + (-\pi,+\pi]\cdot i&lt;/math&gt; für den Hauptzweig erweitert, bleibt die algebraisch die Bijektivität erhalten, aber man verliert die Eigenschaft der Stetigkeit auf dem ganzen Definitionsbereich. Alternativ kann man für den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#negativer_Hauptzweig|negativen Hauptzweig]] den Definitionsbereich &lt;math&gt;G_1 := \mathbb{R} + (0,2\pi)\cdot i&lt;/math&gt; auch diesen Definitionsbereich auf &lt;math&gt;\mathbb{D}_1 := \mathbb{R} + [0,2\pi)\cdot i&lt;/math&gt; erweitern und man verliert analog die Eigenschaft der Stetigkeit und komplexen Differenzierbarkeit auf ganz &lt;math&gt;\mathbb{D}_1&lt;/math&gt;.

== Siehe auch ==
* [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/algebraische Vollständigkeit|algebraische Vollständigkeit]] des Logarithmus
* [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden Gebietes]] für Logarithmen
* [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]]
*[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/generalisiert|generalisierter Logarithmus]]
* [[holomorphe Funktion]] 
* [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexer Logarithmus]]
* [[Logarithmus|reeller Logarithmus]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion als Wegintegral]]
* [[Stetigkeit]]</text>
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      <contributor>
        <username>Bert Niehaus</username>
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      </contributor>
      <comment>/* Definition - algebraisch abgeschlossen */</comment>
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      <text bytes="10060" sha1="gos3l6hy2t368az6v0zitzdk2hq33r9" xml:space="preserve">== Einleitung ==
Es gibt unterschiedliche Möglichkeiten (''&quot;Zweige&quot;''), einen Logarithmus als [[w:de:Umkehrfunktion|Umkehrfunktion]] zu definieren. Dies liegt einerseits an folgdenden mathematischen Eigenschaften und andererseits auch an der Zielsetzung, was man mit dem Logarithmus als Funktion erreichen möchte. 
* '''(Periodizität)''' Durch die Periodizität der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] im [[komplexe Zahl|Imaginärteil]] mit der Periode &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; gibt es unterschiedliche Zweige.
* '''(Wahl des Gebietes)''' Durch die Wahl des [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden Gebietes]]  entstehen unterschiedliche Zweige (siehe [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/generalisiert|verallgemeinerter Logarithmus]]).
* '''(Algebraische Vollständigkeit)''' Ein Zweig des Logaritmus ist algebraisch vollständig, wenn dieser auf &lt;math&gt;\mathbb{C}\setminus \{0\}&lt;/math&gt;. Dadurch verliert man aber die [[Stetigkeit]] und [[Holomorphie]] als Eigenschaft.

== Zweige des Logarithmus ==
Ein Zweig des Logarithmus ist eine Funktion &lt;math&gt; \log_G(z) &lt;/math&gt;, die auf einer Teilmenge &lt;math&gt; G &lt;/math&gt; von &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; definiert ist und die Eigenschaft hat, dass &lt;math&gt; \exp(\log_G(z)) = z &lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt; z \in G &lt;/math&gt;. 

=== Hauptzweig des Logarithmus ===
Eine übliche Wahl für &lt;math&gt; G &lt;/math&gt; ist die Menge &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus (-\infty, 0] &lt;/math&gt;, die die negative reelle Achse ausschließt. In diesem Fall kann der Hauptzweig des Logarithmus definiert werden als:

:&lt;math&gt; \log(z) = \ln\big( |z|\big) + i \arg(z) 
&lt;/math&gt;
wobei &lt;math&gt; \arg(z) &lt;/math&gt; der Winkel von &lt;math&gt; z &lt;/math&gt; in der komplexen Ebene ist und für den Hauptzweig erfüllt dieser &lt;math&gt; -\pi &lt; \arg(z) &lt; +\pi &lt;/math&gt;.

=== Alternativen der Argumentfunktion ===
Die Argumentfunktion &lt;math&gt; \arg(z) &lt;/math&gt; kann man auch  als Winkel von &lt;math&gt; z &lt;/math&gt; in der komplexen Ebene ist auch in &lt;math&gt; -\pi \leq \arg(z) &lt; \pi &lt;/math&gt; oder &lt;math&gt; 0 \leq \arg(z) &lt; 2\pi &lt;/math&gt; definieren. Der alternative Winkelbereich &lt;math&gt;[0,2\pi)&lt;/math&gt; spielt für die Definition der &lt;math&gt;logmod&lt;/math&gt;[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/logmod|-Funktion]] verwenden. 

=== Zweige des Logarithmus - Peridoizität ===
Durch die imaginäre Periodizität bzgl. Vielfache von &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; Stellt man &lt;math&gt;z = |z| \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}  \cdot\arg(z)}&lt;/math&gt; in [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|Polarform]] dar, so erhält man eine einfache Darstellung des ''k-ten Zweiges'' der Logarithmusfunktion:
: &lt;math&gt;w = \ln |z| + \mathrm{i}\left(\arg(z) + 2\pi\cdot k\right), \quad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;
mit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] &lt;math&gt;\arg&lt;/math&gt;. Im Summanden &lt;math&gt;\ln \big(|z|\big)&lt;/math&gt; wird der bereits oben definierte reelle Logarithmus &lt;math&gt;\ln&lt;/math&gt; auf &lt;math&gt;\mathbb{R}^+&lt;/math&gt; verwendet.
Für &lt;math&gt;k = 0&lt;/math&gt; erhält man den ''Hauptzweig'' des komplexen Logarithmus zurück:
: &lt;math&gt;\ln z = \ln|z| + \mathrm{i}\arg(z)&lt;/math&gt;.

&lt;span id=&quot;negativer_Hauptzweig&quot;&gt;&lt;/span&gt;

=== Negativer Hauptzweige des Logarithmus ===
Beim negativen Hauptzweig verwendet man für den Startwert der Integraldarstellung &lt;math&gt;-1&lt;/math&gt; statt &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; (wie beim Hauptzweig). Als holomorphe Funktion verwendet man für den Hauptzweig die Funktion &lt;math&gt;\ln&lt;/math&gt;, die auf den geschlitzten Ebene definiert ist, wobei die negative reelle Achse mit 0 aus dem Definitionsbereich entfernt wird. Beim negativen Hauptzweig wird dagen die positive Achse aus dem Definitionsbereich entfernt, wenn man ein Logarithmus auf diesem [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebiet definieren möchte.
Sei &lt;math&gt;z_o = -1\in \mathbb{C} \setminus \{0\}&lt;/math&gt; 
:&lt;math&gt;
 \begin{array}{rrcl}
   \gamma_z : &amp; [0,1] &amp; \rightarrow &amp; \mathbb{C} \\ 
    &amp;  t  &amp; \mapsto &amp; \gamma_z(t) =  (1-t)\cdot z_0 + t\cdot z =  (t-1) + t\cdot z 
  \end{array}  
&lt;/math&gt;

:&lt;math&gt;
ln_{-}(z) := \pi i + \int_{\gamma_z}
 \frac{1}{\xi} \, d\xi = \pi i +  \int_{0}^1
 \frac{1}{\gamma_z(t)} \cdot \gamma{\,}_z'(t)  dt  

&lt;/math&gt;

&lt;span id=&quot;algebraisch_abgeschlossen&quot;&gt;&lt;/span&gt;

== Definition - algebraisch abgeschlossen ==
Ein Zweig des Logarithmus ist eine Funktion &lt;math&gt; \log(z) &lt;/math&gt;, wobei dieser den Definitionsbereich &lt;math&gt; G := \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; besitzt und  &lt;math&gt; \exp(\log(z)) = z &lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt; z \in G &lt;/math&gt; gilt.

=== Bemerkung - algebraische Abgeschlossenheit ===
Der Definitionsbereich &lt;math&gt; G := \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; ist als [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] eine offene und zusammenhängende Menge in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt;. Für holomorphe Funktionen gilt der [[Kurs:Funktionentheorie/Satz der Gebietstreue|Satz der Gebietstreue]]

== Aufgabe - Integraldarstellung des Logarithmus ==
Sei &lt;math&gt;z_o \in \mathbb{C} \setminus \{0\}&lt;/math&gt; beliebig gewählt und 
:&lt;math&gt;
 \begin{array}{rrcl}
   \gamma_z : &amp; [0,1] &amp; \rightarrow &amp; \mathbb{C} \\ 
    &amp;  t  &amp; \mapsto &amp; \gamma_z(t) =  (1-t)\cdot z_0 + t\cdot z 
  \end{array}  
&lt;/math&gt;
* Skizzieren Sie die Menge &lt;math&gt;\mathbb{C}_{z_0} := \mathbb{C} \setminus \{  -\lambda \cdot z_0 \, :\, \lambda \in \mathbb{R}_0^+ \} &lt;/math&gt;
* Ist die folgende Funktion &lt;math&gt;F: \mathbb{C}_{z_0} \to \mathbb{C} &lt;/math&gt; eine wohldefinierte Funktion und für welche &lt;math&gt;z_0&lt;/math&gt; ist die folgende [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion]] &lt;math&gt;F&lt;/math&gt; als Wegintegral auch ein Zweig des Logarithmus? Wie muss man dann die Konstante &lt;math&gt;c_0&lt;/math&gt; zu dem gegebenen &lt;math&gt;z_0&lt;/math&gt; wählen? 
::&lt;math&gt;
F(z) := c_0 + \int_{\gamma_z}
 \frac{1}{\xi} \, d\xi = c_0 +  \int_{0}^1
 \frac{1}{\gamma_z(t)} \cdot \gamma{\,}_z'(t)  dt  

&lt;/math&gt;

=== Notwendigkeit der Einschränkung der Definitions- und Wertebereiche der Exponentialfunktion ===
Um eine bijektive Abbildung zu erhalten, müssen wir sowohl den Definitionsbereich als auch den Wertebereich der Exponentialfunktion einschränken.
Die Exponentialfunktion &lt;math&gt; \exp(z) &lt;/math&gt; ist periodisch mit der Periode &lt;math&gt; 2\pi i &lt;/math&gt;, das heißt, &lt;math&gt; \exp(z + 2\pi i k) = \exp(z) &lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt; k \in \mathbb{Z} &lt;/math&gt;. 

=== Surjektivität und Injektivität ===
Die Periodizität führt dazu, dass die Exponentialfunktion nicht injektiv auf der gesamten komplexen Ebene ist. Die Exponentialfunktion ist auch nicht surjektiv, da mit &lt;math&gt;z=x+i\cdot y \in \mathbb{C}&lt;/math&gt; die 0 als Bildpunkt auftritt, denn es gilt:
:&lt;math&gt;
 e^z = e^{x+iy} = \underbrace{e^x}_{\not=0} \cdot \underbrace{e^{iy}}_{\not=0} \not= 0
&lt;/math&gt;

=== Eulersche Formel ===
Mit der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] kann die Exponentialfunktion mit &lt;math&gt;z=x+i\cdot y \in \mathbb{C}&lt;/math&gt; wie folgt zerlegen:
:&lt;math&gt;
 e^z = e^{x+iy} = \underbrace{e^x}_{\not=0} \cdot e^{iy} = 
 e^x\cdot (\cos(y) + i \cdot \sin(y) )
&lt;/math&gt;

=== Bijektive Abbildung ===
Um eine bijektive und holomorphe Abbildung zu erhalten, kann man  den Definitionsbereich der Exponentialfunktion auf ein horizontales Streifen der Höhe &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; einschränken, zum Beispiel:

:&lt;math&gt; G := \mathbb{R} + i\cdot (-\pi,+\pi) := \{ z \in \mathbb{C} \mid -\pi &lt; \operatorname{Im}(z) \leq \pi \} \subset \mathbb{C}
&lt;/math&gt;
In diesem Fall ist die Exponentialfunktion &lt;math&gt;\exp : G \to  \mathbb{C}\setminus \{0\}   &lt;/math&gt; den &quot;Streifen&quot; &lt;math&gt;G  &lt;/math&gt; der Höhe &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt;  bijektiv auf  auf den Wertebereich &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; ab. Die Bildmenge wird nun zum Definitionsbereich des Hauptzweiges vom Logarithmus.

== Zusammenfassung ==
* Die Exponentialfunktion &lt;math&gt; \exp(z) &lt;/math&gt; ist nicht injektiv und nicht surjektiv (wegen &lt;math&gt; \exp(z) \not= 0)&lt;/math&gt; auf der gesamten komplexen Ebene.
* Um eine bijektive [[holomorphe Funktion]] zu erhalten, muss man den Definitionsbereich &lt;math&gt;\mathbb{D}&lt;/math&gt; und den Wertebereich &lt;math&gt;\mathbb{W}&lt;/math&gt; der Logarithmusfunktion &lt;math&gt;\log_G : G \to \mathbb{W} &lt;/math&gt; so einschränken, dass eine bijektive Abbildung entsteht.
* für die offene Menge &lt;math&gt;\mathbb{D}&lt;/math&gt; muss im Allgemeinen nur [[einfach zusammenhängend]] mit &lt;math&gt;0\notin \mathbb{D}&lt;/math&gt; sein (siehe auch [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/generalisiert|generalisierte Logarithmen]]). 
* Ein Zweig des Logarithmus kann definiert werden, indem der Definitionsbereich des Logarithmus eingeschränkt wird, zum Beispiel auf &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus (-\infty, 0] &lt;/math&gt;.

=== Algebraische Vervollständigung ===
Wenn man den Definitionsbereich von einer geschlitzten Ebene &lt;math&gt; \mathbb{W} := \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}_{0}^{-}&lt;/math&gt; auf &lt;math&gt;\mathbb{C}\setminus \{0\}&lt;/math&gt; erweitert und gleichzeitig den Definitionsbereich &lt;math&gt;G:=\mathbb{R}+(-\pi,+\pi) \cdot i &lt;/math&gt; zu &lt;math&gt;G_+ := \mathbb{R} + (-\pi,+\pi]\cdot i&lt;/math&gt; für den Hauptzweig erweitert, bleibt die algebraisch die Bijektivität erhalten, aber man verliert die Eigenschaft der Stetigkeit auf dem ganzen Definitionsbereich. Alternativ kann man für den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#negativer_Hauptzweig|negativen Hauptzweig]] den Definitionsbereich &lt;math&gt;G_1 := \mathbb{R} + (0,2\pi)\cdot i&lt;/math&gt; auch diesen Definitionsbereich auf &lt;math&gt;\mathbb{D}_1 := \mathbb{R} + [0,2\pi)\cdot i&lt;/math&gt; erweitern und man verliert analog die Eigenschaft der Stetigkeit und komplexen Differenzierbarkeit auf ganz &lt;math&gt;\mathbb{D}_1&lt;/math&gt;.

== Siehe auch ==
* [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/algebraische Vollständigkeit|algebraische Vollständigkeit]] des Logarithmus
* [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden Gebietes]] für Logarithmen
* [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]]
*[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/generalisiert|generalisierter Logarithmus]]
* [[holomorphe Funktion]] 
* [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexer Logarithmus]]
* [[Logarithmus|reeller Logarithmus]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion als Wegintegral]]
* [[Stetigkeit]]</text>
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      <timestamp>2026-10-12T11:31:27Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bert Niehaus</username>
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      </contributor>
      <comment>/* Bemerkung - algebraische Abgeschlossenheit */</comment>
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      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="10683" sha1="20miff7qvf3av9uoae6sfwvz6nmd7so" xml:space="preserve">== Einleitung ==
Es gibt unterschiedliche Möglichkeiten (''&quot;Zweige&quot;''), einen Logarithmus als [[w:de:Umkehrfunktion|Umkehrfunktion]] zu definieren. Dies liegt einerseits an folgdenden mathematischen Eigenschaften und andererseits auch an der Zielsetzung, was man mit dem Logarithmus als Funktion erreichen möchte. 
* '''(Periodizität)''' Durch die Periodizität der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] im [[komplexe Zahl|Imaginärteil]] mit der Periode &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; gibt es unterschiedliche Zweige.
* '''(Wahl des Gebietes)''' Durch die Wahl des [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden Gebietes]]  entstehen unterschiedliche Zweige (siehe [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/generalisiert|verallgemeinerter Logarithmus]]).
* '''(Algebraische Vollständigkeit)''' Ein Zweig des Logaritmus ist algebraisch vollständig, wenn dieser auf &lt;math&gt;\mathbb{C}\setminus \{0\}&lt;/math&gt;. Dadurch verliert man aber die [[Stetigkeit]] und [[Holomorphie]] als Eigenschaft.

== Zweige des Logarithmus ==
Ein Zweig des Logarithmus ist eine Funktion &lt;math&gt; \log_G(z) &lt;/math&gt;, die auf einer Teilmenge &lt;math&gt; G &lt;/math&gt; von &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; definiert ist und die Eigenschaft hat, dass &lt;math&gt; \exp(\log_G(z)) = z &lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt; z \in G &lt;/math&gt;. 

=== Hauptzweig des Logarithmus ===
Eine übliche Wahl für &lt;math&gt; G &lt;/math&gt; ist die Menge &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus (-\infty, 0] &lt;/math&gt;, die die negative reelle Achse ausschließt. In diesem Fall kann der Hauptzweig des Logarithmus definiert werden als:

:&lt;math&gt; \log(z) = \ln\big( |z|\big) + i \arg(z) 
&lt;/math&gt;
wobei &lt;math&gt; \arg(z) &lt;/math&gt; der Winkel von &lt;math&gt; z &lt;/math&gt; in der komplexen Ebene ist und für den Hauptzweig erfüllt dieser &lt;math&gt; -\pi &lt; \arg(z) &lt; +\pi &lt;/math&gt;.

=== Alternativen der Argumentfunktion ===
Die Argumentfunktion &lt;math&gt; \arg(z) &lt;/math&gt; kann man auch  als Winkel von &lt;math&gt; z &lt;/math&gt; in der komplexen Ebene ist auch in &lt;math&gt; -\pi \leq \arg(z) &lt; \pi &lt;/math&gt; oder &lt;math&gt; 0 \leq \arg(z) &lt; 2\pi &lt;/math&gt; definieren. Der alternative Winkelbereich &lt;math&gt;[0,2\pi)&lt;/math&gt; spielt für die Definition der &lt;math&gt;logmod&lt;/math&gt;[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/logmod|-Funktion]] verwenden. 

=== Zweige des Logarithmus - Peridoizität ===
Durch die imaginäre Periodizität bzgl. Vielfache von &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; Stellt man &lt;math&gt;z = |z| \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}  \cdot\arg(z)}&lt;/math&gt; in [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|Polarform]] dar, so erhält man eine einfache Darstellung des ''k-ten Zweiges'' der Logarithmusfunktion:
: &lt;math&gt;w = \ln |z| + \mathrm{i}\left(\arg(z) + 2\pi\cdot k\right), \quad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;
mit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] &lt;math&gt;\arg&lt;/math&gt;. Im Summanden &lt;math&gt;\ln \big(|z|\big)&lt;/math&gt; wird der bereits oben definierte reelle Logarithmus &lt;math&gt;\ln&lt;/math&gt; auf &lt;math&gt;\mathbb{R}^+&lt;/math&gt; verwendet.
Für &lt;math&gt;k = 0&lt;/math&gt; erhält man den ''Hauptzweig'' des komplexen Logarithmus zurück:
: &lt;math&gt;\ln z = \ln|z| + \mathrm{i}\arg(z)&lt;/math&gt;.

&lt;span id=&quot;negativer_Hauptzweig&quot;&gt;&lt;/span&gt;

=== Negativer Hauptzweige des Logarithmus ===
Beim negativen Hauptzweig verwendet man für den Startwert der Integraldarstellung &lt;math&gt;-1&lt;/math&gt; statt &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; (wie beim Hauptzweig). Als holomorphe Funktion verwendet man für den Hauptzweig die Funktion &lt;math&gt;\ln&lt;/math&gt;, die auf den geschlitzten Ebene definiert ist, wobei die negative reelle Achse mit 0 aus dem Definitionsbereich entfernt wird. Beim negativen Hauptzweig wird dagen die positive Achse aus dem Definitionsbereich entfernt, wenn man ein Logarithmus auf diesem [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebiet definieren möchte.
Sei &lt;math&gt;z_o = -1\in \mathbb{C} \setminus \{0\}&lt;/math&gt; 
:&lt;math&gt;
 \begin{array}{rrcl}
   \gamma_z : &amp; [0,1] &amp; \rightarrow &amp; \mathbb{C} \\ 
    &amp;  t  &amp; \mapsto &amp; \gamma_z(t) =  (1-t)\cdot z_0 + t\cdot z =  (t-1) + t\cdot z 
  \end{array}  
&lt;/math&gt;

:&lt;math&gt;
ln_{-}(z) := \pi i + \int_{\gamma_z}
 \frac{1}{\xi} \, d\xi = \pi i +  \int_{0}^1
 \frac{1}{\gamma_z(t)} \cdot \gamma{\,}_z'(t)  dt  

&lt;/math&gt;

&lt;span id=&quot;algebraisch_abgeschlossen&quot;&gt;&lt;/span&gt;

== Definition - algebraisch abgeschlossen ==
Ein Zweig des Logarithmus ist eine Funktion &lt;math&gt; \log(z) &lt;/math&gt;, wobei dieser den Definitionsbereich &lt;math&gt; G := \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; besitzt und  &lt;math&gt; \exp(\log(z)) = z &lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt; z \in G &lt;/math&gt; gilt.

=== Bemerkung - algebraische Abgeschlossenheit ===
Der Definitionsbereich &lt;math&gt; G := \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; ist als [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] eine offene und zusammenhängende Menge in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt;. Für holomorphe Funktionen gilt der [[Kurs:Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue|Satz von der Gebietstreue]]. Damit muss für einen Zweig des Logarithmus als holomorphe Funktion auch das Bild offenen sein. Definiert man den Hauptzweig algebraisch vollständig, ist das Bild z.B. &lt;math&gt;\mathbb{R}+i\cdot (-\pi,+\pi]&lt;/math&gt;. Dies ist keine offene Teilmenge von &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt;. Eine auf diese Weise definierter Logarithmus kann also nicht mehr [[holomorphe Funktion|holomorph]] sein. Man verliert sogar die Eigenschaft der Stetigkeit. Vorteil von algebarisch abgeschlossenen Logarithmen ist, dass die Abblildung für alle &lt;math&gt; z \not= 0 &lt;/math&gt;  (bzw. &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt;) definiert ist.

== Aufgabe - Integraldarstellung des Logarithmus ==
Sei &lt;math&gt;z_o \in \mathbb{C} \setminus \{0\}&lt;/math&gt; beliebig gewählt und 
:&lt;math&gt;
 \begin{array}{rrcl}
   \gamma_z : &amp; [0,1] &amp; \rightarrow &amp; \mathbb{C} \\ 
    &amp;  t  &amp; \mapsto &amp; \gamma_z(t) =  (1-t)\cdot z_0 + t\cdot z 
  \end{array}  
&lt;/math&gt;
* Skizzieren Sie die Menge &lt;math&gt;\mathbb{C}_{z_0} := \mathbb{C} \setminus \{  -\lambda \cdot z_0 \, :\, \lambda \in \mathbb{R}_0^+ \} &lt;/math&gt;
* Ist die folgende Funktion &lt;math&gt;F: \mathbb{C}_{z_0} \to \mathbb{C} &lt;/math&gt; eine wohldefinierte Funktion und für welche &lt;math&gt;z_0&lt;/math&gt; ist die folgende [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion]] &lt;math&gt;F&lt;/math&gt; als Wegintegral auch ein Zweig des Logarithmus? Wie muss man dann die Konstante &lt;math&gt;c_0&lt;/math&gt; zu dem gegebenen &lt;math&gt;z_0&lt;/math&gt; wählen? 
::&lt;math&gt;
F(z) := c_0 + \int_{\gamma_z}
 \frac{1}{\xi} \, d\xi = c_0 +  \int_{0}^1
 \frac{1}{\gamma_z(t)} \cdot \gamma{\,}_z'(t)  dt  

&lt;/math&gt;

=== Notwendigkeit der Einschränkung der Definitions- und Wertebereiche der Exponentialfunktion ===
Um eine bijektive Abbildung zu erhalten, müssen wir sowohl den Definitionsbereich als auch den Wertebereich der Exponentialfunktion einschränken.
Die Exponentialfunktion &lt;math&gt; \exp(z) &lt;/math&gt; ist periodisch mit der Periode &lt;math&gt; 2\pi i &lt;/math&gt;, das heißt, &lt;math&gt; \exp(z + 2\pi i k) = \exp(z) &lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt; k \in \mathbb{Z} &lt;/math&gt;. 

=== Surjektivität und Injektivität ===
Die Periodizität führt dazu, dass die Exponentialfunktion nicht injektiv auf der gesamten komplexen Ebene ist. Die Exponentialfunktion ist auch nicht surjektiv, da mit &lt;math&gt;z=x+i\cdot y \in \mathbb{C}&lt;/math&gt; die 0 als Bildpunkt auftritt, denn es gilt:
:&lt;math&gt;
 e^z = e^{x+iy} = \underbrace{e^x}_{\not=0} \cdot \underbrace{e^{iy}}_{\not=0} \not= 0
&lt;/math&gt;

=== Eulersche Formel ===
Mit der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] kann die Exponentialfunktion mit &lt;math&gt;z=x+i\cdot y \in \mathbb{C}&lt;/math&gt; wie folgt zerlegen:
:&lt;math&gt;
 e^z = e^{x+iy} = \underbrace{e^x}_{\not=0} \cdot e^{iy} = 
 e^x\cdot (\cos(y) + i \cdot \sin(y) )
&lt;/math&gt;

=== Bijektive Abbildung ===
Um eine bijektive und holomorphe Abbildung zu erhalten, kann man  den Definitionsbereich der Exponentialfunktion auf ein horizontales Streifen der Höhe &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; einschränken, zum Beispiel:

:&lt;math&gt; G := \mathbb{R} + i\cdot (-\pi,+\pi) := \{ z \in \mathbb{C} \mid -\pi &lt; \operatorname{Im}(z) \leq \pi \} \subset \mathbb{C}
&lt;/math&gt;
In diesem Fall ist die Exponentialfunktion &lt;math&gt;\exp : G \to  \mathbb{C}\setminus \{0\}   &lt;/math&gt; den &quot;Streifen&quot; &lt;math&gt;G  &lt;/math&gt; der Höhe &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt;  bijektiv auf  auf den Wertebereich &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; ab. Die Bildmenge wird nun zum Definitionsbereich des Hauptzweiges vom Logarithmus.

== Zusammenfassung ==
* Die Exponentialfunktion &lt;math&gt; \exp(z) &lt;/math&gt; ist nicht injektiv und nicht surjektiv (wegen &lt;math&gt; \exp(z) \not= 0)&lt;/math&gt; auf der gesamten komplexen Ebene.
* Um eine bijektive [[holomorphe Funktion]] zu erhalten, muss man den Definitionsbereich &lt;math&gt;\mathbb{D}&lt;/math&gt; und den Wertebereich &lt;math&gt;\mathbb{W}&lt;/math&gt; der Logarithmusfunktion &lt;math&gt;\log_G : G \to \mathbb{W} &lt;/math&gt; so einschränken, dass eine bijektive Abbildung entsteht.
* für die offene Menge &lt;math&gt;\mathbb{D}&lt;/math&gt; muss im Allgemeinen nur [[einfach zusammenhängend]] mit &lt;math&gt;0\notin \mathbb{D}&lt;/math&gt; sein (siehe auch [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/generalisiert|generalisierte Logarithmen]]). 
* Ein Zweig des Logarithmus kann definiert werden, indem der Definitionsbereich des Logarithmus eingeschränkt wird, zum Beispiel auf &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus (-\infty, 0] &lt;/math&gt;.

=== Algebraische Vervollständigung ===
Wenn man den Definitionsbereich von einer geschlitzten Ebene &lt;math&gt; \mathbb{W} := \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}_{0}^{-}&lt;/math&gt; auf &lt;math&gt;\mathbb{C}\setminus \{0\}&lt;/math&gt; erweitert und gleichzeitig den Definitionsbereich &lt;math&gt;G:=\mathbb{R}+(-\pi,+\pi) \cdot i &lt;/math&gt; zu &lt;math&gt;G_+ := \mathbb{R} + (-\pi,+\pi]\cdot i&lt;/math&gt; für den Hauptzweig erweitert, bleibt die algebraisch die Bijektivität erhalten, aber man verliert die Eigenschaft der Stetigkeit auf dem ganzen Definitionsbereich. Alternativ kann man für den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#negativer_Hauptzweig|negativen Hauptzweig]] den Definitionsbereich &lt;math&gt;G_1 := \mathbb{R} + (0,2\pi)\cdot i&lt;/math&gt; auch diesen Definitionsbereich auf &lt;math&gt;\mathbb{D}_1 := \mathbb{R} + [0,2\pi)\cdot i&lt;/math&gt; erweitern und man verliert analog die Eigenschaft der Stetigkeit und komplexen Differenzierbarkeit auf ganz &lt;math&gt;\mathbb{D}_1&lt;/math&gt;.

== Siehe auch ==
* [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/algebraische Vollständigkeit|algebraische Vollständigkeit]] des Logarithmus
* [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden Gebietes]] für Logarithmen
* [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]]
*[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/generalisiert|generalisierter Logarithmus]]
* [[holomorphe Funktion]] 
* [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexer Logarithmus]]
* [[Logarithmus|reeller Logarithmus]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion als Wegintegral]]
* [[Stetigkeit]]</text>
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      <contributor>
        <username>Bert Niehaus</username>
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      <comment>/* Negativer Hauptzweige des Logarithmus */</comment>
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      <text bytes="10681" sha1="ibwr6f1yj7ro7nwba0qj7otdu2hwsko" xml:space="preserve">== Einleitung ==
Es gibt unterschiedliche Möglichkeiten (''&quot;Zweige&quot;''), einen Logarithmus als [[w:de:Umkehrfunktion|Umkehrfunktion]] zu definieren. Dies liegt einerseits an folgdenden mathematischen Eigenschaften und andererseits auch an der Zielsetzung, was man mit dem Logarithmus als Funktion erreichen möchte. 
* '''(Periodizität)''' Durch die Periodizität der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] im [[komplexe Zahl|Imaginärteil]] mit der Periode &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; gibt es unterschiedliche Zweige.
* '''(Wahl des Gebietes)''' Durch die Wahl des [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden Gebietes]]  entstehen unterschiedliche Zweige (siehe [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/generalisiert|verallgemeinerter Logarithmus]]).
* '''(Algebraische Vollständigkeit)''' Ein Zweig des Logaritmus ist algebraisch vollständig, wenn dieser auf &lt;math&gt;\mathbb{C}\setminus \{0\}&lt;/math&gt;. Dadurch verliert man aber die [[Stetigkeit]] und [[Holomorphie]] als Eigenschaft.

== Zweige des Logarithmus ==
Ein Zweig des Logarithmus ist eine Funktion &lt;math&gt; \log_G(z) &lt;/math&gt;, die auf einer Teilmenge &lt;math&gt; G &lt;/math&gt; von &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; definiert ist und die Eigenschaft hat, dass &lt;math&gt; \exp(\log_G(z)) = z &lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt; z \in G &lt;/math&gt;. 

=== Hauptzweig des Logarithmus ===
Eine übliche Wahl für &lt;math&gt; G &lt;/math&gt; ist die Menge &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus (-\infty, 0] &lt;/math&gt;, die die negative reelle Achse ausschließt. In diesem Fall kann der Hauptzweig des Logarithmus definiert werden als:

:&lt;math&gt; \log(z) = \ln\big( |z|\big) + i \arg(z) 
&lt;/math&gt;
wobei &lt;math&gt; \arg(z) &lt;/math&gt; der Winkel von &lt;math&gt; z &lt;/math&gt; in der komplexen Ebene ist und für den Hauptzweig erfüllt dieser &lt;math&gt; -\pi &lt; \arg(z) &lt; +\pi &lt;/math&gt;.

=== Alternativen der Argumentfunktion ===
Die Argumentfunktion &lt;math&gt; \arg(z) &lt;/math&gt; kann man auch  als Winkel von &lt;math&gt; z &lt;/math&gt; in der komplexen Ebene ist auch in &lt;math&gt; -\pi \leq \arg(z) &lt; \pi &lt;/math&gt; oder &lt;math&gt; 0 \leq \arg(z) &lt; 2\pi &lt;/math&gt; definieren. Der alternative Winkelbereich &lt;math&gt;[0,2\pi)&lt;/math&gt; spielt für die Definition der &lt;math&gt;logmod&lt;/math&gt;[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/logmod|-Funktion]] verwenden. 

=== Zweige des Logarithmus - Peridoizität ===
Durch die imaginäre Periodizität bzgl. Vielfache von &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; Stellt man &lt;math&gt;z = |z| \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}  \cdot\arg(z)}&lt;/math&gt; in [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|Polarform]] dar, so erhält man eine einfache Darstellung des ''k-ten Zweiges'' der Logarithmusfunktion:
: &lt;math&gt;w = \ln |z| + \mathrm{i}\left(\arg(z) + 2\pi\cdot k\right), \quad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;
mit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] &lt;math&gt;\arg&lt;/math&gt;. Im Summanden &lt;math&gt;\ln \big(|z|\big)&lt;/math&gt; wird der bereits oben definierte reelle Logarithmus &lt;math&gt;\ln&lt;/math&gt; auf &lt;math&gt;\mathbb{R}^+&lt;/math&gt; verwendet.
Für &lt;math&gt;k = 0&lt;/math&gt; erhält man den ''Hauptzweig'' des komplexen Logarithmus zurück:
: &lt;math&gt;\ln z = \ln|z| + \mathrm{i}\arg(z)&lt;/math&gt;.

&lt;span id=&quot;negativer_Hauptzweig&quot;&gt;&lt;/span&gt;

=== Negativer Hauptzweige des Logarithmus ===
Beim negativen Hauptzweig verwendet man für den Startwert der Integraldarstellung &lt;math&gt;-1&lt;/math&gt; statt &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; (wie beim Hauptzweig). Als holomorphe Funktion verwendet man für den Hauptzweig die Funktion &lt;math&gt;\ln&lt;/math&gt;, die auf den geschlitzten Ebene definiert ist, wobei die negative reelle Achse mit 0 aus dem Definitionsbereich entfernt wird. Beim negativen Hauptzweig wird dagen die positive Achse aus dem Definitionsbereich entfernt, wenn man ein Logarithmus auf diesem [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebiet definieren möchte.
Sei &lt;math&gt;z_o = -1\in \mathbb{C} \setminus \{0\}&lt;/math&gt; 
:&lt;math&gt;
 \begin{array}{rrcl}
   \gamma_z : &amp; [0,1] &amp; \rightarrow &amp; \mathbb{C} \\ 
    &amp;  t  &amp; \mapsto &amp; \gamma_z(t) =  (1-t)\cdot z_0 + t\cdot z =  (t-1) + t\cdot z 
  \end{array}  
&lt;/math&gt;

:&lt;math&gt;
ln_{-}(z) := \pi i + \int_{\gamma_z}
 \frac{1}{\xi} \, d\xi = \pi i +  \int_{0}^1
 \frac{1}{\gamma_z(t)} \cdot \gamma{\,}_z'(t)  dt  

&lt;/math&gt;

&lt;span id=&quot;algebraischvollstaendig&quot;&gt;&lt;/span&gt;

== Definition - algebraisch abgeschlossen ==
Ein Zweig des Logarithmus ist eine Funktion &lt;math&gt; \log(z) &lt;/math&gt;, wobei dieser den Definitionsbereich &lt;math&gt; G := \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; besitzt und  &lt;math&gt; \exp(\log(z)) = z &lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt; z \in G &lt;/math&gt; gilt.

=== Bemerkung - algebraische Abgeschlossenheit ===
Der Definitionsbereich &lt;math&gt; G := \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; ist als [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] eine offene und zusammenhängende Menge in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt;. Für holomorphe Funktionen gilt der [[Kurs:Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue|Satz von der Gebietstreue]]. Damit muss für einen Zweig des Logarithmus als holomorphe Funktion auch das Bild offenen sein. Definiert man den Hauptzweig algebraisch vollständig, ist das Bild z.B. &lt;math&gt;\mathbb{R}+i\cdot (-\pi,+\pi]&lt;/math&gt;. Dies ist keine offene Teilmenge von &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt;. Eine auf diese Weise definierter Logarithmus kann also nicht mehr [[holomorphe Funktion|holomorph]] sein. Man verliert sogar die Eigenschaft der Stetigkeit. Vorteil von algebarisch abgeschlossenen Logarithmen ist, dass die Abblildung für alle &lt;math&gt; z \not= 0 &lt;/math&gt;  (bzw. &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt;) definiert ist.

== Aufgabe - Integraldarstellung des Logarithmus ==
Sei &lt;math&gt;z_o \in \mathbb{C} \setminus \{0\}&lt;/math&gt; beliebig gewählt und 
:&lt;math&gt;
 \begin{array}{rrcl}
   \gamma_z : &amp; [0,1] &amp; \rightarrow &amp; \mathbb{C} \\ 
    &amp;  t  &amp; \mapsto &amp; \gamma_z(t) =  (1-t)\cdot z_0 + t\cdot z 
  \end{array}  
&lt;/math&gt;
* Skizzieren Sie die Menge &lt;math&gt;\mathbb{C}_{z_0} := \mathbb{C} \setminus \{  -\lambda \cdot z_0 \, :\, \lambda \in \mathbb{R}_0^+ \} &lt;/math&gt;
* Ist die folgende Funktion &lt;math&gt;F: \mathbb{C}_{z_0} \to \mathbb{C} &lt;/math&gt; eine wohldefinierte Funktion und für welche &lt;math&gt;z_0&lt;/math&gt; ist die folgende [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion]] &lt;math&gt;F&lt;/math&gt; als Wegintegral auch ein Zweig des Logarithmus? Wie muss man dann die Konstante &lt;math&gt;c_0&lt;/math&gt; zu dem gegebenen &lt;math&gt;z_0&lt;/math&gt; wählen? 
::&lt;math&gt;
F(z) := c_0 + \int_{\gamma_z}
 \frac{1}{\xi} \, d\xi = c_0 +  \int_{0}^1
 \frac{1}{\gamma_z(t)} \cdot \gamma{\,}_z'(t)  dt  

&lt;/math&gt;

=== Notwendigkeit der Einschränkung der Definitions- und Wertebereiche der Exponentialfunktion ===
Um eine bijektive Abbildung zu erhalten, müssen wir sowohl den Definitionsbereich als auch den Wertebereich der Exponentialfunktion einschränken.
Die Exponentialfunktion &lt;math&gt; \exp(z) &lt;/math&gt; ist periodisch mit der Periode &lt;math&gt; 2\pi i &lt;/math&gt;, das heißt, &lt;math&gt; \exp(z + 2\pi i k) = \exp(z) &lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt; k \in \mathbb{Z} &lt;/math&gt;. 

=== Surjektivität und Injektivität ===
Die Periodizität führt dazu, dass die Exponentialfunktion nicht injektiv auf der gesamten komplexen Ebene ist. Die Exponentialfunktion ist auch nicht surjektiv, da mit &lt;math&gt;z=x+i\cdot y \in \mathbb{C}&lt;/math&gt; die 0 als Bildpunkt auftritt, denn es gilt:
:&lt;math&gt;
 e^z = e^{x+iy} = \underbrace{e^x}_{\not=0} \cdot \underbrace{e^{iy}}_{\not=0} \not= 0
&lt;/math&gt;

=== Eulersche Formel ===
Mit der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] kann die Exponentialfunktion mit &lt;math&gt;z=x+i\cdot y \in \mathbb{C}&lt;/math&gt; wie folgt zerlegen:
:&lt;math&gt;
 e^z = e^{x+iy} = \underbrace{e^x}_{\not=0} \cdot e^{iy} = 
 e^x\cdot (\cos(y) + i \cdot \sin(y) )
&lt;/math&gt;

=== Bijektive Abbildung ===
Um eine bijektive und holomorphe Abbildung zu erhalten, kann man  den Definitionsbereich der Exponentialfunktion auf ein horizontales Streifen der Höhe &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; einschränken, zum Beispiel:

:&lt;math&gt; G := \mathbb{R} + i\cdot (-\pi,+\pi) := \{ z \in \mathbb{C} \mid -\pi &lt; \operatorname{Im}(z) \leq \pi \} \subset \mathbb{C}
&lt;/math&gt;
In diesem Fall ist die Exponentialfunktion &lt;math&gt;\exp : G \to  \mathbb{C}\setminus \{0\}   &lt;/math&gt; den &quot;Streifen&quot; &lt;math&gt;G  &lt;/math&gt; der Höhe &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt;  bijektiv auf  auf den Wertebereich &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; ab. Die Bildmenge wird nun zum Definitionsbereich des Hauptzweiges vom Logarithmus.

== Zusammenfassung ==
* Die Exponentialfunktion &lt;math&gt; \exp(z) &lt;/math&gt; ist nicht injektiv und nicht surjektiv (wegen &lt;math&gt; \exp(z) \not= 0)&lt;/math&gt; auf der gesamten komplexen Ebene.
* Um eine bijektive [[holomorphe Funktion]] zu erhalten, muss man den Definitionsbereich &lt;math&gt;\mathbb{D}&lt;/math&gt; und den Wertebereich &lt;math&gt;\mathbb{W}&lt;/math&gt; der Logarithmusfunktion &lt;math&gt;\log_G : G \to \mathbb{W} &lt;/math&gt; so einschränken, dass eine bijektive Abbildung entsteht.
* für die offene Menge &lt;math&gt;\mathbb{D}&lt;/math&gt; muss im Allgemeinen nur [[einfach zusammenhängend]] mit &lt;math&gt;0\notin \mathbb{D}&lt;/math&gt; sein (siehe auch [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/generalisiert|generalisierte Logarithmen]]). 
* Ein Zweig des Logarithmus kann definiert werden, indem der Definitionsbereich des Logarithmus eingeschränkt wird, zum Beispiel auf &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus (-\infty, 0] &lt;/math&gt;.

=== Algebraische Vervollständigung ===
Wenn man den Definitionsbereich von einer geschlitzten Ebene &lt;math&gt; \mathbb{W} := \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}_{0}^{-}&lt;/math&gt; auf &lt;math&gt;\mathbb{C}\setminus \{0\}&lt;/math&gt; erweitert und gleichzeitig den Definitionsbereich &lt;math&gt;G:=\mathbb{R}+(-\pi,+\pi) \cdot i &lt;/math&gt; zu &lt;math&gt;G_+ := \mathbb{R} + (-\pi,+\pi]\cdot i&lt;/math&gt; für den Hauptzweig erweitert, bleibt die algebraisch die Bijektivität erhalten, aber man verliert die Eigenschaft der Stetigkeit auf dem ganzen Definitionsbereich. Alternativ kann man für den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#negativer_Hauptzweig|negativen Hauptzweig]] den Definitionsbereich &lt;math&gt;G_1 := \mathbb{R} + (0,2\pi)\cdot i&lt;/math&gt; auch diesen Definitionsbereich auf &lt;math&gt;\mathbb{D}_1 := \mathbb{R} + [0,2\pi)\cdot i&lt;/math&gt; erweitern und man verliert analog die Eigenschaft der Stetigkeit und komplexen Differenzierbarkeit auf ganz &lt;math&gt;\mathbb{D}_1&lt;/math&gt;.

== Siehe auch ==
* [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/algebraische Vollständigkeit|algebraische Vollständigkeit]] des Logarithmus
* [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden Gebietes]] für Logarithmen
* [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]]
*[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/generalisiert|generalisierter Logarithmus]]
* [[holomorphe Funktion]] 
* [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexer Logarithmus]]
* [[Logarithmus|reeller Logarithmus]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion als Wegintegral]]
* [[Stetigkeit]]</text>
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      <timestamp>2026-10-12T11:36:09Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bert Niehaus</username>
        <id>20843</id>
      </contributor>
      <comment>/* Definition - algebraisch abgeschlossen */</comment>
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      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="10720" sha1="ejlg47tm0hwjevxude0jewq0138gbmt" xml:space="preserve">== Einleitung ==
Es gibt unterschiedliche Möglichkeiten (''&quot;Zweige&quot;''), einen Logarithmus als [[w:de:Umkehrfunktion|Umkehrfunktion]] zu definieren. Dies liegt einerseits an folgdenden mathematischen Eigenschaften und andererseits auch an der Zielsetzung, was man mit dem Logarithmus als Funktion erreichen möchte. 
* '''(Periodizität)''' Durch die Periodizität der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] im [[komplexe Zahl|Imaginärteil]] mit der Periode &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; gibt es unterschiedliche Zweige.
* '''(Wahl des Gebietes)''' Durch die Wahl des [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden Gebietes]]  entstehen unterschiedliche Zweige (siehe [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/generalisiert|verallgemeinerter Logarithmus]]).
* '''(Algebraische Vollständigkeit)''' Ein Zweig des Logaritmus ist algebraisch vollständig, wenn dieser auf &lt;math&gt;\mathbb{C}\setminus \{0\}&lt;/math&gt;. Dadurch verliert man aber die [[Stetigkeit]] und [[Holomorphie]] als Eigenschaft.

== Zweige des Logarithmus ==
Ein Zweig des Logarithmus ist eine Funktion &lt;math&gt; \log_G(z) &lt;/math&gt;, die auf einer Teilmenge &lt;math&gt; G &lt;/math&gt; von &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; definiert ist und die Eigenschaft hat, dass &lt;math&gt; \exp(\log_G(z)) = z &lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt; z \in G &lt;/math&gt;. 

=== Hauptzweig des Logarithmus ===
Eine übliche Wahl für &lt;math&gt; G &lt;/math&gt; ist die Menge &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus (-\infty, 0] &lt;/math&gt;, die die negative reelle Achse ausschließt. In diesem Fall kann der Hauptzweig des Logarithmus definiert werden als:

:&lt;math&gt; \log(z) = \ln\big( |z|\big) + i \arg(z) 
&lt;/math&gt;
wobei &lt;math&gt; \arg(z) &lt;/math&gt; der Winkel von &lt;math&gt; z &lt;/math&gt; in der komplexen Ebene ist und für den Hauptzweig erfüllt dieser &lt;math&gt; -\pi &lt; \arg(z) &lt; +\pi &lt;/math&gt;.

=== Alternativen der Argumentfunktion ===
Die Argumentfunktion &lt;math&gt; \arg(z) &lt;/math&gt; kann man auch  als Winkel von &lt;math&gt; z &lt;/math&gt; in der komplexen Ebene ist auch in &lt;math&gt; -\pi \leq \arg(z) &lt; \pi &lt;/math&gt; oder &lt;math&gt; 0 \leq \arg(z) &lt; 2\pi &lt;/math&gt; definieren. Der alternative Winkelbereich &lt;math&gt;[0,2\pi)&lt;/math&gt; spielt für die Definition der &lt;math&gt;logmod&lt;/math&gt;[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/logmod|-Funktion]] verwenden. 

=== Zweige des Logarithmus - Peridoizität ===
Durch die imaginäre Periodizität bzgl. Vielfache von &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; Stellt man &lt;math&gt;z = |z| \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}  \cdot\arg(z)}&lt;/math&gt; in [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|Polarform]] dar, so erhält man eine einfache Darstellung des ''k-ten Zweiges'' der Logarithmusfunktion:
: &lt;math&gt;w = \ln |z| + \mathrm{i}\left(\arg(z) + 2\pi\cdot k\right), \quad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;
mit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] &lt;math&gt;\arg&lt;/math&gt;. Im Summanden &lt;math&gt;\ln \big(|z|\big)&lt;/math&gt; wird der bereits oben definierte reelle Logarithmus &lt;math&gt;\ln&lt;/math&gt; auf &lt;math&gt;\mathbb{R}^+&lt;/math&gt; verwendet.
Für &lt;math&gt;k = 0&lt;/math&gt; erhält man den ''Hauptzweig'' des komplexen Logarithmus zurück:
: &lt;math&gt;\ln z = \ln|z| + \mathrm{i}\arg(z)&lt;/math&gt;.

&lt;span id=&quot;negativer_Hauptzweig&quot;&gt;&lt;/span&gt;

=== Negativer Hauptzweige des Logarithmus ===
Beim negativen Hauptzweig verwendet man für den Startwert der Integraldarstellung &lt;math&gt;-1&lt;/math&gt; statt &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; (wie beim Hauptzweig). Als holomorphe Funktion verwendet man für den Hauptzweig die Funktion &lt;math&gt;\ln&lt;/math&gt;, die auf den geschlitzten Ebene definiert ist, wobei die negative reelle Achse mit 0 aus dem Definitionsbereich entfernt wird. Beim negativen Hauptzweig wird dagen die positive Achse aus dem Definitionsbereich entfernt, wenn man ein Logarithmus auf diesem [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebiet definieren möchte.
Sei &lt;math&gt;z_o = -1\in \mathbb{C} \setminus \{0\}&lt;/math&gt; 
:&lt;math&gt;
 \begin{array}{rrcl}
   \gamma_z : &amp; [0,1] &amp; \rightarrow &amp; \mathbb{C} \\ 
    &amp;  t  &amp; \mapsto &amp; \gamma_z(t) =  (1-t)\cdot z_0 + t\cdot z =  (t-1) + t\cdot z 
  \end{array}  
&lt;/math&gt;

:&lt;math&gt;
ln_{-}(z) := \pi i + \int_{\gamma_z}
 \frac{1}{\xi} \, d\xi = \pi i +  \int_{0}^1
 \frac{1}{\gamma_z(t)} \cdot \gamma{\,}_z'(t)  dt  

&lt;/math&gt;

&lt;span id=&quot;algebraischvollstaendig&quot;&gt;&lt;/span&gt;

== Definition - algebraisch vollständig ==
Ein Zweig des Logarithmus als Funktion &lt;math&gt; \log: G\to \mathbb{C} &lt;/math&gt; heißt algebraisch vollständig, wenn dieser den Definitionsbereich &lt;math&gt; G := \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; besitzt und  &lt;math&gt; \exp(\log(z)) = z &lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt; z \in G &lt;/math&gt; gilt.

=== Bemerkung - algebraische Abgeschlossenheit ===
Der Definitionsbereich &lt;math&gt; G := \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; ist als [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] eine offene und zusammenhängende Menge in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt;. Für holomorphe Funktionen gilt der [[Kurs:Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue|Satz von der Gebietstreue]]. Damit muss für einen Zweig des Logarithmus als holomorphe Funktion auch das Bild offenen sein. Definiert man den Hauptzweig algebraisch vollständig, ist das Bild z.B. &lt;math&gt;\mathbb{R}+i\cdot (-\pi,+\pi]&lt;/math&gt;. Dies ist keine offene Teilmenge von &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt;. Eine auf diese Weise definierter Logarithmus kann also nicht mehr [[holomorphe Funktion|holomorph]] sein. Man verliert sogar die Eigenschaft der Stetigkeit. Vorteil von algebarisch abgeschlossenen Logarithmen ist, dass die Abblildung für alle &lt;math&gt; z \not= 0 &lt;/math&gt;  (bzw. &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt;) definiert ist.

== Aufgabe - Integraldarstellung des Logarithmus ==
Sei &lt;math&gt;z_o \in \mathbb{C} \setminus \{0\}&lt;/math&gt; beliebig gewählt und 
:&lt;math&gt;
 \begin{array}{rrcl}
   \gamma_z : &amp; [0,1] &amp; \rightarrow &amp; \mathbb{C} \\ 
    &amp;  t  &amp; \mapsto &amp; \gamma_z(t) =  (1-t)\cdot z_0 + t\cdot z 
  \end{array}  
&lt;/math&gt;
* Skizzieren Sie die Menge &lt;math&gt;\mathbb{C}_{z_0} := \mathbb{C} \setminus \{  -\lambda \cdot z_0 \, :\, \lambda \in \mathbb{R}_0^+ \} &lt;/math&gt;
* Ist die folgende Funktion &lt;math&gt;F: \mathbb{C}_{z_0} \to \mathbb{C} &lt;/math&gt; eine wohldefinierte Funktion und für welche &lt;math&gt;z_0&lt;/math&gt; ist die folgende [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion]] &lt;math&gt;F&lt;/math&gt; als Wegintegral auch ein Zweig des Logarithmus? Wie muss man dann die Konstante &lt;math&gt;c_0&lt;/math&gt; zu dem gegebenen &lt;math&gt;z_0&lt;/math&gt; wählen? 
::&lt;math&gt;
F(z) := c_0 + \int_{\gamma_z}
 \frac{1}{\xi} \, d\xi = c_0 +  \int_{0}^1
 \frac{1}{\gamma_z(t)} \cdot \gamma{\,}_z'(t)  dt  

&lt;/math&gt;

=== Notwendigkeit der Einschränkung der Definitions- und Wertebereiche der Exponentialfunktion ===
Um eine bijektive Abbildung zu erhalten, müssen wir sowohl den Definitionsbereich als auch den Wertebereich der Exponentialfunktion einschränken.
Die Exponentialfunktion &lt;math&gt; \exp(z) &lt;/math&gt; ist periodisch mit der Periode &lt;math&gt; 2\pi i &lt;/math&gt;, das heißt, &lt;math&gt; \exp(z + 2\pi i k) = \exp(z) &lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt; k \in \mathbb{Z} &lt;/math&gt;. 

=== Surjektivität und Injektivität ===
Die Periodizität führt dazu, dass die Exponentialfunktion nicht injektiv auf der gesamten komplexen Ebene ist. Die Exponentialfunktion ist auch nicht surjektiv, da mit &lt;math&gt;z=x+i\cdot y \in \mathbb{C}&lt;/math&gt; die 0 als Bildpunkt auftritt, denn es gilt:
:&lt;math&gt;
 e^z = e^{x+iy} = \underbrace{e^x}_{\not=0} \cdot \underbrace{e^{iy}}_{\not=0} \not= 0
&lt;/math&gt;

=== Eulersche Formel ===
Mit der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] kann die Exponentialfunktion mit &lt;math&gt;z=x+i\cdot y \in \mathbb{C}&lt;/math&gt; wie folgt zerlegen:
:&lt;math&gt;
 e^z = e^{x+iy} = \underbrace{e^x}_{\not=0} \cdot e^{iy} = 
 e^x\cdot (\cos(y) + i \cdot \sin(y) )
&lt;/math&gt;

=== Bijektive Abbildung ===
Um eine bijektive und holomorphe Abbildung zu erhalten, kann man  den Definitionsbereich der Exponentialfunktion auf ein horizontales Streifen der Höhe &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; einschränken, zum Beispiel:

:&lt;math&gt; G := \mathbb{R} + i\cdot (-\pi,+\pi) := \{ z \in \mathbb{C} \mid -\pi &lt; \operatorname{Im}(z) \leq \pi \} \subset \mathbb{C}
&lt;/math&gt;
In diesem Fall ist die Exponentialfunktion &lt;math&gt;\exp : G \to  \mathbb{C}\setminus \{0\}   &lt;/math&gt; den &quot;Streifen&quot; &lt;math&gt;G  &lt;/math&gt; der Höhe &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt;  bijektiv auf  auf den Wertebereich &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; ab. Die Bildmenge wird nun zum Definitionsbereich des Hauptzweiges vom Logarithmus.

== Zusammenfassung ==
* Die Exponentialfunktion &lt;math&gt; \exp(z) &lt;/math&gt; ist nicht injektiv und nicht surjektiv (wegen &lt;math&gt; \exp(z) \not= 0)&lt;/math&gt; auf der gesamten komplexen Ebene.
* Um eine bijektive [[holomorphe Funktion]] zu erhalten, muss man den Definitionsbereich &lt;math&gt;\mathbb{D}&lt;/math&gt; und den Wertebereich &lt;math&gt;\mathbb{W}&lt;/math&gt; der Logarithmusfunktion &lt;math&gt;\log_G : G \to \mathbb{W} &lt;/math&gt; so einschränken, dass eine bijektive Abbildung entsteht.
* für die offene Menge &lt;math&gt;\mathbb{D}&lt;/math&gt; muss im Allgemeinen nur [[einfach zusammenhängend]] mit &lt;math&gt;0\notin \mathbb{D}&lt;/math&gt; sein (siehe auch [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/generalisiert|generalisierte Logarithmen]]). 
* Ein Zweig des Logarithmus kann definiert werden, indem der Definitionsbereich des Logarithmus eingeschränkt wird, zum Beispiel auf &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus (-\infty, 0] &lt;/math&gt;.

=== Algebraische Vervollständigung ===
Wenn man den Definitionsbereich von einer geschlitzten Ebene &lt;math&gt; \mathbb{W} := \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}_{0}^{-}&lt;/math&gt; auf &lt;math&gt;\mathbb{C}\setminus \{0\}&lt;/math&gt; erweitert und gleichzeitig den Definitionsbereich &lt;math&gt;G:=\mathbb{R}+(-\pi,+\pi) \cdot i &lt;/math&gt; zu &lt;math&gt;G_+ := \mathbb{R} + (-\pi,+\pi]\cdot i&lt;/math&gt; für den Hauptzweig erweitert, bleibt die algebraisch die Bijektivität erhalten, aber man verliert die Eigenschaft der Stetigkeit auf dem ganzen Definitionsbereich. Alternativ kann man für den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#negativer_Hauptzweig|negativen Hauptzweig]] den Definitionsbereich &lt;math&gt;G_1 := \mathbb{R} + (0,2\pi)\cdot i&lt;/math&gt; auch diesen Definitionsbereich auf &lt;math&gt;\mathbb{D}_1 := \mathbb{R} + [0,2\pi)\cdot i&lt;/math&gt; erweitern und man verliert analog die Eigenschaft der Stetigkeit und komplexen Differenzierbarkeit auf ganz &lt;math&gt;\mathbb{D}_1&lt;/math&gt;.

== Siehe auch ==
* [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/algebraische Vollständigkeit|algebraische Vollständigkeit]] des Logarithmus
* [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden Gebietes]] für Logarithmen
* [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]]
*[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/generalisiert|generalisierter Logarithmus]]
* [[holomorphe Funktion]] 
* [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexer Logarithmus]]
* [[Logarithmus|reeller Logarithmus]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion als Wegintegral]]
* [[Stetigkeit]]</text>
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      <contributor>
        <username>Bert Niehaus</username>
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      <comment>/* Bemerkung - algebraische Abgeschlossenheit */</comment>
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      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="10722" sha1="gidoh34z2934cdna8on1y62fytv97cz" xml:space="preserve">== Einleitung ==
Es gibt unterschiedliche Möglichkeiten (''&quot;Zweige&quot;''), einen Logarithmus als [[w:de:Umkehrfunktion|Umkehrfunktion]] zu definieren. Dies liegt einerseits an folgdenden mathematischen Eigenschaften und andererseits auch an der Zielsetzung, was man mit dem Logarithmus als Funktion erreichen möchte. 
* '''(Periodizität)''' Durch die Periodizität der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] im [[komplexe Zahl|Imaginärteil]] mit der Periode &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; gibt es unterschiedliche Zweige.
* '''(Wahl des Gebietes)''' Durch die Wahl des [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden Gebietes]]  entstehen unterschiedliche Zweige (siehe [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/generalisiert|verallgemeinerter Logarithmus]]).
* '''(Algebraische Vollständigkeit)''' Ein Zweig des Logaritmus ist algebraisch vollständig, wenn dieser auf &lt;math&gt;\mathbb{C}\setminus \{0\}&lt;/math&gt;. Dadurch verliert man aber die [[Stetigkeit]] und [[Holomorphie]] als Eigenschaft.

== Zweige des Logarithmus ==
Ein Zweig des Logarithmus ist eine Funktion &lt;math&gt; \log_G(z) &lt;/math&gt;, die auf einer Teilmenge &lt;math&gt; G &lt;/math&gt; von &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; definiert ist und die Eigenschaft hat, dass &lt;math&gt; \exp(\log_G(z)) = z &lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt; z \in G &lt;/math&gt;. 

=== Hauptzweig des Logarithmus ===
Eine übliche Wahl für &lt;math&gt; G &lt;/math&gt; ist die Menge &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus (-\infty, 0] &lt;/math&gt;, die die negative reelle Achse ausschließt. In diesem Fall kann der Hauptzweig des Logarithmus definiert werden als:

:&lt;math&gt; \log(z) = \ln\big( |z|\big) + i \arg(z) 
&lt;/math&gt;
wobei &lt;math&gt; \arg(z) &lt;/math&gt; der Winkel von &lt;math&gt; z &lt;/math&gt; in der komplexen Ebene ist und für den Hauptzweig erfüllt dieser &lt;math&gt; -\pi &lt; \arg(z) &lt; +\pi &lt;/math&gt;.

=== Alternativen der Argumentfunktion ===
Die Argumentfunktion &lt;math&gt; \arg(z) &lt;/math&gt; kann man auch  als Winkel von &lt;math&gt; z &lt;/math&gt; in der komplexen Ebene ist auch in &lt;math&gt; -\pi \leq \arg(z) &lt; \pi &lt;/math&gt; oder &lt;math&gt; 0 \leq \arg(z) &lt; 2\pi &lt;/math&gt; definieren. Der alternative Winkelbereich &lt;math&gt;[0,2\pi)&lt;/math&gt; spielt für die Definition der &lt;math&gt;logmod&lt;/math&gt;[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/logmod|-Funktion]] verwenden. 

=== Zweige des Logarithmus - Peridoizität ===
Durch die imaginäre Periodizität bzgl. Vielfache von &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; Stellt man &lt;math&gt;z = |z| \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}  \cdot\arg(z)}&lt;/math&gt; in [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|Polarform]] dar, so erhält man eine einfache Darstellung des ''k-ten Zweiges'' der Logarithmusfunktion:
: &lt;math&gt;w = \ln |z| + \mathrm{i}\left(\arg(z) + 2\pi\cdot k\right), \quad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;
mit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] &lt;math&gt;\arg&lt;/math&gt;. Im Summanden &lt;math&gt;\ln \big(|z|\big)&lt;/math&gt; wird der bereits oben definierte reelle Logarithmus &lt;math&gt;\ln&lt;/math&gt; auf &lt;math&gt;\mathbb{R}^+&lt;/math&gt; verwendet.
Für &lt;math&gt;k = 0&lt;/math&gt; erhält man den ''Hauptzweig'' des komplexen Logarithmus zurück:
: &lt;math&gt;\ln z = \ln|z| + \mathrm{i}\arg(z)&lt;/math&gt;.

&lt;span id=&quot;negativer_Hauptzweig&quot;&gt;&lt;/span&gt;

=== Negativer Hauptzweige des Logarithmus ===
Beim negativen Hauptzweig verwendet man für den Startwert der Integraldarstellung &lt;math&gt;-1&lt;/math&gt; statt &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; (wie beim Hauptzweig). Als holomorphe Funktion verwendet man für den Hauptzweig die Funktion &lt;math&gt;\ln&lt;/math&gt;, die auf den geschlitzten Ebene definiert ist, wobei die negative reelle Achse mit 0 aus dem Definitionsbereich entfernt wird. Beim negativen Hauptzweig wird dagen die positive Achse aus dem Definitionsbereich entfernt, wenn man ein Logarithmus auf diesem [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebiet definieren möchte.
Sei &lt;math&gt;z_o = -1\in \mathbb{C} \setminus \{0\}&lt;/math&gt; 
:&lt;math&gt;
 \begin{array}{rrcl}
   \gamma_z : &amp; [0,1] &amp; \rightarrow &amp; \mathbb{C} \\ 
    &amp;  t  &amp; \mapsto &amp; \gamma_z(t) =  (1-t)\cdot z_0 + t\cdot z =  (t-1) + t\cdot z 
  \end{array}  
&lt;/math&gt;

:&lt;math&gt;
ln_{-}(z) := \pi i + \int_{\gamma_z}
 \frac{1}{\xi} \, d\xi = \pi i +  \int_{0}^1
 \frac{1}{\gamma_z(t)} \cdot \gamma{\,}_z'(t)  dt  

&lt;/math&gt;

&lt;span id=&quot;algebraischvollstaendig&quot;&gt;&lt;/span&gt;

== Definition - algebraisch vollständig ==
Ein Zweig des Logarithmus als Funktion &lt;math&gt; \log: G\to \mathbb{C} &lt;/math&gt; heißt algebraisch vollständig, wenn dieser den Definitionsbereich &lt;math&gt; G := \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; besitzt und  &lt;math&gt; \exp(\log(z)) = z &lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt; z \in G &lt;/math&gt; gilt.

=== Bemerkung - algebraische Vollständigkeit ===
Der Definitionsbereich &lt;math&gt; G := \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; ist als [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] eine offene und zusammenhängende Menge in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt;. Für holomorphe Funktionen gilt der [[Kurs:Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue|Satz von der Gebietstreue]]. Damit muss für einen Zweig des Logarithmus als holomorphe Funktion auch das Bild offenen sein. Definiert man den Hauptzweig ''algebraisch vollständig'', ist das Bild z.B. &lt;math&gt;\mathbb{R}+i\cdot (-\pi,+\pi]&lt;/math&gt;. Dies ist keine offene Teilmenge von &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt;. Eine auf diese Weise definierter Logarithmus kann also nicht mehr [[holomorphe Funktion|holomorph]] sein. Man verliert sogar die Eigenschaft der Stetigkeit. Vorteil von algebarisch vollständigen Logarithmen ist, dass die Abblildung für alle &lt;math&gt; z \not= 0 &lt;/math&gt;  (bzw. &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt;) definiert ist.

== Aufgabe - Integraldarstellung des Logarithmus ==
Sei &lt;math&gt;z_o \in \mathbb{C} \setminus \{0\}&lt;/math&gt; beliebig gewählt und 
:&lt;math&gt;
 \begin{array}{rrcl}
   \gamma_z : &amp; [0,1] &amp; \rightarrow &amp; \mathbb{C} \\ 
    &amp;  t  &amp; \mapsto &amp; \gamma_z(t) =  (1-t)\cdot z_0 + t\cdot z 
  \end{array}  
&lt;/math&gt;
* Skizzieren Sie die Menge &lt;math&gt;\mathbb{C}_{z_0} := \mathbb{C} \setminus \{  -\lambda \cdot z_0 \, :\, \lambda \in \mathbb{R}_0^+ \} &lt;/math&gt;
* Ist die folgende Funktion &lt;math&gt;F: \mathbb{C}_{z_0} \to \mathbb{C} &lt;/math&gt; eine wohldefinierte Funktion und für welche &lt;math&gt;z_0&lt;/math&gt; ist die folgende [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion]] &lt;math&gt;F&lt;/math&gt; als Wegintegral auch ein Zweig des Logarithmus? Wie muss man dann die Konstante &lt;math&gt;c_0&lt;/math&gt; zu dem gegebenen &lt;math&gt;z_0&lt;/math&gt; wählen? 
::&lt;math&gt;
F(z) := c_0 + \int_{\gamma_z}
 \frac{1}{\xi} \, d\xi = c_0 +  \int_{0}^1
 \frac{1}{\gamma_z(t)} \cdot \gamma{\,}_z'(t)  dt  

&lt;/math&gt;

=== Notwendigkeit der Einschränkung der Definitions- und Wertebereiche der Exponentialfunktion ===
Um eine bijektive Abbildung zu erhalten, müssen wir sowohl den Definitionsbereich als auch den Wertebereich der Exponentialfunktion einschränken.
Die Exponentialfunktion &lt;math&gt; \exp(z) &lt;/math&gt; ist periodisch mit der Periode &lt;math&gt; 2\pi i &lt;/math&gt;, das heißt, &lt;math&gt; \exp(z + 2\pi i k) = \exp(z) &lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt; k \in \mathbb{Z} &lt;/math&gt;. 

=== Surjektivität und Injektivität ===
Die Periodizität führt dazu, dass die Exponentialfunktion nicht injektiv auf der gesamten komplexen Ebene ist. Die Exponentialfunktion ist auch nicht surjektiv, da mit &lt;math&gt;z=x+i\cdot y \in \mathbb{C}&lt;/math&gt; die 0 als Bildpunkt auftritt, denn es gilt:
:&lt;math&gt;
 e^z = e^{x+iy} = \underbrace{e^x}_{\not=0} \cdot \underbrace{e^{iy}}_{\not=0} \not= 0
&lt;/math&gt;

=== Eulersche Formel ===
Mit der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] kann die Exponentialfunktion mit &lt;math&gt;z=x+i\cdot y \in \mathbb{C}&lt;/math&gt; wie folgt zerlegen:
:&lt;math&gt;
 e^z = e^{x+iy} = \underbrace{e^x}_{\not=0} \cdot e^{iy} = 
 e^x\cdot (\cos(y) + i \cdot \sin(y) )
&lt;/math&gt;

=== Bijektive Abbildung ===
Um eine bijektive und holomorphe Abbildung zu erhalten, kann man  den Definitionsbereich der Exponentialfunktion auf ein horizontales Streifen der Höhe &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; einschränken, zum Beispiel:

:&lt;math&gt; G := \mathbb{R} + i\cdot (-\pi,+\pi) := \{ z \in \mathbb{C} \mid -\pi &lt; \operatorname{Im}(z) \leq \pi \} \subset \mathbb{C}
&lt;/math&gt;
In diesem Fall ist die Exponentialfunktion &lt;math&gt;\exp : G \to  \mathbb{C}\setminus \{0\}   &lt;/math&gt; den &quot;Streifen&quot; &lt;math&gt;G  &lt;/math&gt; der Höhe &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt;  bijektiv auf  auf den Wertebereich &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; ab. Die Bildmenge wird nun zum Definitionsbereich des Hauptzweiges vom Logarithmus.

== Zusammenfassung ==
* Die Exponentialfunktion &lt;math&gt; \exp(z) &lt;/math&gt; ist nicht injektiv und nicht surjektiv (wegen &lt;math&gt; \exp(z) \not= 0)&lt;/math&gt; auf der gesamten komplexen Ebene.
* Um eine bijektive [[holomorphe Funktion]] zu erhalten, muss man den Definitionsbereich &lt;math&gt;\mathbb{D}&lt;/math&gt; und den Wertebereich &lt;math&gt;\mathbb{W}&lt;/math&gt; der Logarithmusfunktion &lt;math&gt;\log_G : G \to \mathbb{W} &lt;/math&gt; so einschränken, dass eine bijektive Abbildung entsteht.
* für die offene Menge &lt;math&gt;\mathbb{D}&lt;/math&gt; muss im Allgemeinen nur [[einfach zusammenhängend]] mit &lt;math&gt;0\notin \mathbb{D}&lt;/math&gt; sein (siehe auch [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/generalisiert|generalisierte Logarithmen]]). 
* Ein Zweig des Logarithmus kann definiert werden, indem der Definitionsbereich des Logarithmus eingeschränkt wird, zum Beispiel auf &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus (-\infty, 0] &lt;/math&gt;.

=== Algebraische Vervollständigung ===
Wenn man den Definitionsbereich von einer geschlitzten Ebene &lt;math&gt; \mathbb{W} := \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}_{0}^{-}&lt;/math&gt; auf &lt;math&gt;\mathbb{C}\setminus \{0\}&lt;/math&gt; erweitert und gleichzeitig den Definitionsbereich &lt;math&gt;G:=\mathbb{R}+(-\pi,+\pi) \cdot i &lt;/math&gt; zu &lt;math&gt;G_+ := \mathbb{R} + (-\pi,+\pi]\cdot i&lt;/math&gt; für den Hauptzweig erweitert, bleibt die algebraisch die Bijektivität erhalten, aber man verliert die Eigenschaft der Stetigkeit auf dem ganzen Definitionsbereich. Alternativ kann man für den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#negativer_Hauptzweig|negativen Hauptzweig]] den Definitionsbereich &lt;math&gt;G_1 := \mathbb{R} + (0,2\pi)\cdot i&lt;/math&gt; auch diesen Definitionsbereich auf &lt;math&gt;\mathbb{D}_1 := \mathbb{R} + [0,2\pi)\cdot i&lt;/math&gt; erweitern und man verliert analog die Eigenschaft der Stetigkeit und komplexen Differenzierbarkeit auf ganz &lt;math&gt;\mathbb{D}_1&lt;/math&gt;.

== Siehe auch ==
* [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/algebraische Vollständigkeit|algebraische Vollständigkeit]] des Logarithmus
* [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden Gebietes]] für Logarithmen
* [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]]
*[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/generalisiert|generalisierter Logarithmus]]
* [[holomorphe Funktion]] 
* [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexer Logarithmus]]
* [[Logarithmus|reeller Logarithmus]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion als Wegintegral]]
* [[Stetigkeit]]</text>
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      <timestamp>2026-10-12T11:38:09Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bert Niehaus</username>
        <id>20843</id>
      </contributor>
      <comment>/* Zweige des Logarithmus - Peridoizität */</comment>
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      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="10755" sha1="5wesaovzxjfcnyk7s87n6g0w2ojwguu" xml:space="preserve">== Einleitung ==
Es gibt unterschiedliche Möglichkeiten (''&quot;Zweige&quot;''), einen Logarithmus als [[w:de:Umkehrfunktion|Umkehrfunktion]] zu definieren. Dies liegt einerseits an folgdenden mathematischen Eigenschaften und andererseits auch an der Zielsetzung, was man mit dem Logarithmus als Funktion erreichen möchte. 
* '''(Periodizität)''' Durch die Periodizität der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] im [[komplexe Zahl|Imaginärteil]] mit der Periode &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; gibt es unterschiedliche Zweige.
* '''(Wahl des Gebietes)''' Durch die Wahl des [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden Gebietes]]  entstehen unterschiedliche Zweige (siehe [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/generalisiert|verallgemeinerter Logarithmus]]).
* '''(Algebraische Vollständigkeit)''' Ein Zweig des Logaritmus ist algebraisch vollständig, wenn dieser auf &lt;math&gt;\mathbb{C}\setminus \{0\}&lt;/math&gt;. Dadurch verliert man aber die [[Stetigkeit]] und [[Holomorphie]] als Eigenschaft.

== Zweige des Logarithmus ==
Ein Zweig des Logarithmus ist eine Funktion &lt;math&gt; \log_G(z) &lt;/math&gt;, die auf einer Teilmenge &lt;math&gt; G &lt;/math&gt; von &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; definiert ist und die Eigenschaft hat, dass &lt;math&gt; \exp(\log_G(z)) = z &lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt; z \in G &lt;/math&gt;. 

=== Hauptzweig des Logarithmus ===
Eine übliche Wahl für &lt;math&gt; G &lt;/math&gt; ist die Menge &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus (-\infty, 0] &lt;/math&gt;, die die negative reelle Achse ausschließt. In diesem Fall kann der Hauptzweig des Logarithmus definiert werden als:

:&lt;math&gt; \log(z) = \ln\big( |z|\big) + i \arg(z) 
&lt;/math&gt;
wobei &lt;math&gt; \arg(z) &lt;/math&gt; der Winkel von &lt;math&gt; z &lt;/math&gt; in der komplexen Ebene ist und für den Hauptzweig erfüllt dieser &lt;math&gt; -\pi &lt; \arg(z) &lt; +\pi &lt;/math&gt;.

=== Alternativen der Argumentfunktion ===
Die Argumentfunktion &lt;math&gt; \arg(z) &lt;/math&gt; kann man auch  als Winkel von &lt;math&gt; z &lt;/math&gt; in der komplexen Ebene ist auch in &lt;math&gt; -\pi \leq \arg(z) &lt; \pi &lt;/math&gt; oder &lt;math&gt; 0 \leq \arg(z) &lt; 2\pi &lt;/math&gt; definieren. Der alternative Winkelbereich &lt;math&gt;[0,2\pi)&lt;/math&gt; spielt für die Definition der &lt;math&gt;logmod&lt;/math&gt;[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/logmod|-Funktion]] verwenden. 

&lt;span id=&quot;Periodizitaet&quot;&gt;&lt;/span&gt;
=== Zweige des Logarithmus - Peridoizität ===
Durch die imaginäre Periodizität bzgl. Vielfache von &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; Stellt man &lt;math&gt;z = |z| \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}  \cdot\arg(z)}&lt;/math&gt; in [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|Polarform]] dar, so erhält man eine einfache Darstellung des ''k-ten Zweiges'' der Logarithmusfunktion:
: &lt;math&gt;w = \ln |z| + \mathrm{i}\left(\arg(z) + 2\pi\cdot k\right), \quad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;
mit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] &lt;math&gt;\arg&lt;/math&gt;. Im Summanden &lt;math&gt;\ln \big(|z|\big)&lt;/math&gt; wird der bereits oben definierte reelle Logarithmus &lt;math&gt;\ln&lt;/math&gt; auf &lt;math&gt;\mathbb{R}^+&lt;/math&gt; verwendet.
Für &lt;math&gt;k = 0&lt;/math&gt; erhält man den ''Hauptzweig'' des komplexen Logarithmus zurück:
: &lt;math&gt;\ln z = \ln|z| + \mathrm{i}\arg(z)&lt;/math&gt;.

&lt;span id=&quot;negativer_Hauptzweig&quot;&gt;&lt;/span&gt;

=== Negativer Hauptzweige des Logarithmus ===
Beim negativen Hauptzweig verwendet man für den Startwert der Integraldarstellung &lt;math&gt;-1&lt;/math&gt; statt &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; (wie beim Hauptzweig). Als holomorphe Funktion verwendet man für den Hauptzweig die Funktion &lt;math&gt;\ln&lt;/math&gt;, die auf den geschlitzten Ebene definiert ist, wobei die negative reelle Achse mit 0 aus dem Definitionsbereich entfernt wird. Beim negativen Hauptzweig wird dagen die positive Achse aus dem Definitionsbereich entfernt, wenn man ein Logarithmus auf diesem [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebiet definieren möchte.
Sei &lt;math&gt;z_o = -1\in \mathbb{C} \setminus \{0\}&lt;/math&gt; 
:&lt;math&gt;
 \begin{array}{rrcl}
   \gamma_z : &amp; [0,1] &amp; \rightarrow &amp; \mathbb{C} \\ 
    &amp;  t  &amp; \mapsto &amp; \gamma_z(t) =  (1-t)\cdot z_0 + t\cdot z =  (t-1) + t\cdot z 
  \end{array}  
&lt;/math&gt;

:&lt;math&gt;
ln_{-}(z) := \pi i + \int_{\gamma_z}
 \frac{1}{\xi} \, d\xi = \pi i +  \int_{0}^1
 \frac{1}{\gamma_z(t)} \cdot \gamma{\,}_z'(t)  dt  

&lt;/math&gt;

&lt;span id=&quot;algebraischvollstaendig&quot;&gt;&lt;/span&gt;

== Definition - algebraisch vollständig ==
Ein Zweig des Logarithmus als Funktion &lt;math&gt; \log: G\to \mathbb{C} &lt;/math&gt; heißt algebraisch vollständig, wenn dieser den Definitionsbereich &lt;math&gt; G := \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; besitzt und  &lt;math&gt; \exp(\log(z)) = z &lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt; z \in G &lt;/math&gt; gilt.

=== Bemerkung - algebraische Vollständigkeit ===
Der Definitionsbereich &lt;math&gt; G := \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; ist als [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] eine offene und zusammenhängende Menge in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt;. Für holomorphe Funktionen gilt der [[Kurs:Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue|Satz von der Gebietstreue]]. Damit muss für einen Zweig des Logarithmus als holomorphe Funktion auch das Bild offenen sein. Definiert man den Hauptzweig ''algebraisch vollständig'', ist das Bild z.B. &lt;math&gt;\mathbb{R}+i\cdot (-\pi,+\pi]&lt;/math&gt;. Dies ist keine offene Teilmenge von &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt;. Eine auf diese Weise definierter Logarithmus kann also nicht mehr [[holomorphe Funktion|holomorph]] sein. Man verliert sogar die Eigenschaft der Stetigkeit. Vorteil von algebarisch vollständigen Logarithmen ist, dass die Abblildung für alle &lt;math&gt; z \not= 0 &lt;/math&gt;  (bzw. &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt;) definiert ist.

== Aufgabe - Integraldarstellung des Logarithmus ==
Sei &lt;math&gt;z_o \in \mathbb{C} \setminus \{0\}&lt;/math&gt; beliebig gewählt und 
:&lt;math&gt;
 \begin{array}{rrcl}
   \gamma_z : &amp; [0,1] &amp; \rightarrow &amp; \mathbb{C} \\ 
    &amp;  t  &amp; \mapsto &amp; \gamma_z(t) =  (1-t)\cdot z_0 + t\cdot z 
  \end{array}  
&lt;/math&gt;
* Skizzieren Sie die Menge &lt;math&gt;\mathbb{C}_{z_0} := \mathbb{C} \setminus \{  -\lambda \cdot z_0 \, :\, \lambda \in \mathbb{R}_0^+ \} &lt;/math&gt;
* Ist die folgende Funktion &lt;math&gt;F: \mathbb{C}_{z_0} \to \mathbb{C} &lt;/math&gt; eine wohldefinierte Funktion und für welche &lt;math&gt;z_0&lt;/math&gt; ist die folgende [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion]] &lt;math&gt;F&lt;/math&gt; als Wegintegral auch ein Zweig des Logarithmus? Wie muss man dann die Konstante &lt;math&gt;c_0&lt;/math&gt; zu dem gegebenen &lt;math&gt;z_0&lt;/math&gt; wählen? 
::&lt;math&gt;
F(z) := c_0 + \int_{\gamma_z}
 \frac{1}{\xi} \, d\xi = c_0 +  \int_{0}^1
 \frac{1}{\gamma_z(t)} \cdot \gamma{\,}_z'(t)  dt  

&lt;/math&gt;

=== Notwendigkeit der Einschränkung der Definitions- und Wertebereiche der Exponentialfunktion ===
Um eine bijektive Abbildung zu erhalten, müssen wir sowohl den Definitionsbereich als auch den Wertebereich der Exponentialfunktion einschränken.
Die Exponentialfunktion &lt;math&gt; \exp(z) &lt;/math&gt; ist periodisch mit der Periode &lt;math&gt; 2\pi i &lt;/math&gt;, das heißt, &lt;math&gt; \exp(z + 2\pi i k) = \exp(z) &lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt; k \in \mathbb{Z} &lt;/math&gt;. 

=== Surjektivität und Injektivität ===
Die Periodizität führt dazu, dass die Exponentialfunktion nicht injektiv auf der gesamten komplexen Ebene ist. Die Exponentialfunktion ist auch nicht surjektiv, da mit &lt;math&gt;z=x+i\cdot y \in \mathbb{C}&lt;/math&gt; die 0 als Bildpunkt auftritt, denn es gilt:
:&lt;math&gt;
 e^z = e^{x+iy} = \underbrace{e^x}_{\not=0} \cdot \underbrace{e^{iy}}_{\not=0} \not= 0
&lt;/math&gt;

=== Eulersche Formel ===
Mit der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] kann die Exponentialfunktion mit &lt;math&gt;z=x+i\cdot y \in \mathbb{C}&lt;/math&gt; wie folgt zerlegen:
:&lt;math&gt;
 e^z = e^{x+iy} = \underbrace{e^x}_{\not=0} \cdot e^{iy} = 
 e^x\cdot (\cos(y) + i \cdot \sin(y) )
&lt;/math&gt;

=== Bijektive Abbildung ===
Um eine bijektive und holomorphe Abbildung zu erhalten, kann man  den Definitionsbereich der Exponentialfunktion auf ein horizontales Streifen der Höhe &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; einschränken, zum Beispiel:

:&lt;math&gt; G := \mathbb{R} + i\cdot (-\pi,+\pi) := \{ z \in \mathbb{C} \mid -\pi &lt; \operatorname{Im}(z) \leq \pi \} \subset \mathbb{C}
&lt;/math&gt;
In diesem Fall ist die Exponentialfunktion &lt;math&gt;\exp : G \to  \mathbb{C}\setminus \{0\}   &lt;/math&gt; den &quot;Streifen&quot; &lt;math&gt;G  &lt;/math&gt; der Höhe &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt;  bijektiv auf  auf den Wertebereich &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; ab. Die Bildmenge wird nun zum Definitionsbereich des Hauptzweiges vom Logarithmus.

== Zusammenfassung ==
* Die Exponentialfunktion &lt;math&gt; \exp(z) &lt;/math&gt; ist nicht injektiv und nicht surjektiv (wegen &lt;math&gt; \exp(z) \not= 0)&lt;/math&gt; auf der gesamten komplexen Ebene.
* Um eine bijektive [[holomorphe Funktion]] zu erhalten, muss man den Definitionsbereich &lt;math&gt;\mathbb{D}&lt;/math&gt; und den Wertebereich &lt;math&gt;\mathbb{W}&lt;/math&gt; der Logarithmusfunktion &lt;math&gt;\log_G : G \to \mathbb{W} &lt;/math&gt; so einschränken, dass eine bijektive Abbildung entsteht.
* für die offene Menge &lt;math&gt;\mathbb{D}&lt;/math&gt; muss im Allgemeinen nur [[einfach zusammenhängend]] mit &lt;math&gt;0\notin \mathbb{D}&lt;/math&gt; sein (siehe auch [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/generalisiert|generalisierte Logarithmen]]). 
* Ein Zweig des Logarithmus kann definiert werden, indem der Definitionsbereich des Logarithmus eingeschränkt wird, zum Beispiel auf &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus (-\infty, 0] &lt;/math&gt;.

=== Algebraische Vervollständigung ===
Wenn man den Definitionsbereich von einer geschlitzten Ebene &lt;math&gt; \mathbb{W} := \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}_{0}^{-}&lt;/math&gt; auf &lt;math&gt;\mathbb{C}\setminus \{0\}&lt;/math&gt; erweitert und gleichzeitig den Definitionsbereich &lt;math&gt;G:=\mathbb{R}+(-\pi,+\pi) \cdot i &lt;/math&gt; zu &lt;math&gt;G_+ := \mathbb{R} + (-\pi,+\pi]\cdot i&lt;/math&gt; für den Hauptzweig erweitert, bleibt die algebraisch die Bijektivität erhalten, aber man verliert die Eigenschaft der Stetigkeit auf dem ganzen Definitionsbereich. Alternativ kann man für den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#negativer_Hauptzweig|negativen Hauptzweig]] den Definitionsbereich &lt;math&gt;G_1 := \mathbb{R} + (0,2\pi)\cdot i&lt;/math&gt; auch diesen Definitionsbereich auf &lt;math&gt;\mathbb{D}_1 := \mathbb{R} + [0,2\pi)\cdot i&lt;/math&gt; erweitern und man verliert analog die Eigenschaft der Stetigkeit und komplexen Differenzierbarkeit auf ganz &lt;math&gt;\mathbb{D}_1&lt;/math&gt;.

== Siehe auch ==
* [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/algebraische Vollständigkeit|algebraische Vollständigkeit]] des Logarithmus
* [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden Gebietes]] für Logarithmen
* [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]]
*[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/generalisiert|generalisierter Logarithmus]]
* [[holomorphe Funktion]] 
* [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexer Logarithmus]]
* [[Logarithmus|reeller Logarithmus]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion als Wegintegral]]
* [[Stetigkeit]]</text>
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        <username>Bert Niehaus</username>
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      <text bytes="10953" sha1="rbnnjsdy4v97gx06mmnjita46uqgikn" xml:space="preserve">== Einleitung ==
Es gibt unterschiedliche Möglichkeiten (''&quot;Zweige&quot;''), einen Logarithmus als [[w:de:Umkehrfunktion|Umkehrfunktion]] zu definieren. Dies liegt einerseits an folgdenden mathematischen Eigenschaften und andererseits auch an der Zielsetzung, was man mit dem Logarithmus als Funktion erreichen möchte. 
* '''([[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#Peridodizitaet|Periodizität]])''' Durch die Periodizität der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] im [[komplexe Zahl|Imaginärteil]] mit der Periode &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; gibt es unterschiedliche Zweige.
* '''([[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/generalisiert|Wahl des Gebietes]])''' Durch die Wahl des [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden Gebietes]]  entstehen unterschiedliche Zweige (siehe [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/generalisiert|verallgemeinerter Logarithmus]]).
* '''([[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#algebraischvollstaendig|Algebraische Vollständigkeit]])''' Ein Zweig des Logaritmus ist algebraisch vollständig, wenn dieser auf &lt;math&gt;\mathbb{C}\setminus \{0\}&lt;/math&gt; definiert ist. Dadurch verliert man aber die [[Stetigkeit]] und [[Holomorphie]] als Eigenschaft.

== Zweige des Logarithmus ==
Ein Zweig des Logarithmus ist eine Funktion &lt;math&gt; \log_G(z) &lt;/math&gt;, die auf einer Teilmenge &lt;math&gt; G &lt;/math&gt; von &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; definiert ist und die Eigenschaft hat, dass &lt;math&gt; \exp(\log_G(z)) = z &lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt; z \in G &lt;/math&gt;. 

=== Hauptzweig des Logarithmus ===
Eine übliche Wahl für &lt;math&gt; G &lt;/math&gt; ist die Menge &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus (-\infty, 0] &lt;/math&gt;, die die negative reelle Achse ausschließt. In diesem Fall kann der Hauptzweig des Logarithmus definiert werden als:

:&lt;math&gt; \log(z) = \ln\big( |z|\big) + i \arg(z) 
&lt;/math&gt;
wobei &lt;math&gt; \arg(z) &lt;/math&gt; der Winkel von &lt;math&gt; z &lt;/math&gt; in der komplexen Ebene ist und für den Hauptzweig erfüllt dieser &lt;math&gt; -\pi &lt; \arg(z) &lt; +\pi &lt;/math&gt;.

=== Alternativen der Argumentfunktion ===
Die Argumentfunktion &lt;math&gt; \arg(z) &lt;/math&gt; kann man auch  als Winkel von &lt;math&gt; z &lt;/math&gt; in der komplexen Ebene ist auch in &lt;math&gt; -\pi \leq \arg(z) &lt; \pi &lt;/math&gt; oder &lt;math&gt; 0 \leq \arg(z) &lt; 2\pi &lt;/math&gt; definieren. Der alternative Winkelbereich &lt;math&gt;[0,2\pi)&lt;/math&gt; spielt für die Definition der &lt;math&gt;logmod&lt;/math&gt;[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/logmod|-Funktion]] verwenden. 

&lt;span id=&quot;Periodizitaet&quot;&gt;&lt;/span&gt;
=== Zweige des Logarithmus - Peridoizität ===
Durch die imaginäre Periodizität bzgl. Vielfache von &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; Stellt man &lt;math&gt;z = |z| \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}  \cdot\arg(z)}&lt;/math&gt; in [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|Polarform]] dar, so erhält man eine einfache Darstellung des ''k-ten Zweiges'' der Logarithmusfunktion:
: &lt;math&gt;w = \ln |z| + \mathrm{i}\left(\arg(z) + 2\pi\cdot k\right), \quad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;
mit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] &lt;math&gt;\arg&lt;/math&gt;. Im Summanden &lt;math&gt;\ln \big(|z|\big)&lt;/math&gt; wird der bereits oben definierte reelle Logarithmus &lt;math&gt;\ln&lt;/math&gt; auf &lt;math&gt;\mathbb{R}^+&lt;/math&gt; verwendet.
Für &lt;math&gt;k = 0&lt;/math&gt; erhält man den ''Hauptzweig'' des komplexen Logarithmus zurück:
: &lt;math&gt;\ln z = \ln|z| + \mathrm{i}\arg(z)&lt;/math&gt;.

&lt;span id=&quot;negativer_Hauptzweig&quot;&gt;&lt;/span&gt;

=== Negativer Hauptzweige des Logarithmus ===
Beim negativen Hauptzweig verwendet man für den Startwert der Integraldarstellung &lt;math&gt;-1&lt;/math&gt; statt &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; (wie beim Hauptzweig). Als holomorphe Funktion verwendet man für den Hauptzweig die Funktion &lt;math&gt;\ln&lt;/math&gt;, die auf den geschlitzten Ebene definiert ist, wobei die negative reelle Achse mit 0 aus dem Definitionsbereich entfernt wird. Beim negativen Hauptzweig wird dagen die positive Achse aus dem Definitionsbereich entfernt, wenn man ein Logarithmus auf diesem [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebiet definieren möchte.
Sei &lt;math&gt;z_o = -1\in \mathbb{C} \setminus \{0\}&lt;/math&gt; 
:&lt;math&gt;
 \begin{array}{rrcl}
   \gamma_z : &amp; [0,1] &amp; \rightarrow &amp; \mathbb{C} \\ 
    &amp;  t  &amp; \mapsto &amp; \gamma_z(t) =  (1-t)\cdot z_0 + t\cdot z =  (t-1) + t\cdot z 
  \end{array}  
&lt;/math&gt;

:&lt;math&gt;
ln_{-}(z) := \pi i + \int_{\gamma_z}
 \frac{1}{\xi} \, d\xi = \pi i +  \int_{0}^1
 \frac{1}{\gamma_z(t)} \cdot \gamma{\,}_z'(t)  dt  

&lt;/math&gt;

&lt;span id=&quot;algebraischvollstaendig&quot;&gt;&lt;/span&gt;

== Definition - algebraisch vollständig ==
Ein Zweig des Logarithmus als Funktion &lt;math&gt; \log: G\to \mathbb{C} &lt;/math&gt; heißt algebraisch vollständig, wenn dieser den Definitionsbereich &lt;math&gt; G := \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; besitzt und  &lt;math&gt; \exp(\log(z)) = z &lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt; z \in G &lt;/math&gt; gilt.

=== Bemerkung - algebraische Vollständigkeit ===
Der Definitionsbereich &lt;math&gt; G := \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; ist als [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] eine offene und zusammenhängende Menge in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt;. Für holomorphe Funktionen gilt der [[Kurs:Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue|Satz von der Gebietstreue]]. Damit muss für einen Zweig des Logarithmus als holomorphe Funktion auch das Bild offenen sein. Definiert man den Hauptzweig ''algebraisch vollständig'', ist das Bild z.B. &lt;math&gt;\mathbb{R}+i\cdot (-\pi,+\pi]&lt;/math&gt;. Dies ist keine offene Teilmenge von &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt;. Eine auf diese Weise definierter Logarithmus kann also nicht mehr [[holomorphe Funktion|holomorph]] sein. Man verliert sogar die Eigenschaft der Stetigkeit. Vorteil von algebarisch vollständigen Logarithmen ist, dass die Abblildung für alle &lt;math&gt; z \not= 0 &lt;/math&gt;  (bzw. &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt;) definiert ist.

== Aufgabe - Integraldarstellung des Logarithmus ==
Sei &lt;math&gt;z_o \in \mathbb{C} \setminus \{0\}&lt;/math&gt; beliebig gewählt und 
:&lt;math&gt;
 \begin{array}{rrcl}
   \gamma_z : &amp; [0,1] &amp; \rightarrow &amp; \mathbb{C} \\ 
    &amp;  t  &amp; \mapsto &amp; \gamma_z(t) =  (1-t)\cdot z_0 + t\cdot z 
  \end{array}  
&lt;/math&gt;
* Skizzieren Sie die Menge &lt;math&gt;\mathbb{C}_{z_0} := \mathbb{C} \setminus \{  -\lambda \cdot z_0 \, :\, \lambda \in \mathbb{R}_0^+ \} &lt;/math&gt;
* Ist die folgende Funktion &lt;math&gt;F: \mathbb{C}_{z_0} \to \mathbb{C} &lt;/math&gt; eine wohldefinierte Funktion und für welche &lt;math&gt;z_0&lt;/math&gt; ist die folgende [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion]] &lt;math&gt;F&lt;/math&gt; als Wegintegral auch ein Zweig des Logarithmus? Wie muss man dann die Konstante &lt;math&gt;c_0&lt;/math&gt; zu dem gegebenen &lt;math&gt;z_0&lt;/math&gt; wählen? 
::&lt;math&gt;
F(z) := c_0 + \int_{\gamma_z}
 \frac{1}{\xi} \, d\xi = c_0 +  \int_{0}^1
 \frac{1}{\gamma_z(t)} \cdot \gamma{\,}_z'(t)  dt  

&lt;/math&gt;

=== Notwendigkeit der Einschränkung der Definitions- und Wertebereiche der Exponentialfunktion ===
Um eine bijektive Abbildung zu erhalten, müssen wir sowohl den Definitionsbereich als auch den Wertebereich der Exponentialfunktion einschränken.
Die Exponentialfunktion &lt;math&gt; \exp(z) &lt;/math&gt; ist periodisch mit der Periode &lt;math&gt; 2\pi i &lt;/math&gt;, das heißt, &lt;math&gt; \exp(z + 2\pi i k) = \exp(z) &lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt; k \in \mathbb{Z} &lt;/math&gt;. 

=== Surjektivität und Injektivität ===
Die Periodizität führt dazu, dass die Exponentialfunktion nicht injektiv auf der gesamten komplexen Ebene ist. Die Exponentialfunktion ist auch nicht surjektiv, da mit &lt;math&gt;z=x+i\cdot y \in \mathbb{C}&lt;/math&gt; die 0 als Bildpunkt auftritt, denn es gilt:
:&lt;math&gt;
 e^z = e^{x+iy} = \underbrace{e^x}_{\not=0} \cdot \underbrace{e^{iy}}_{\not=0} \not= 0
&lt;/math&gt;

=== Eulersche Formel ===
Mit der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] kann die Exponentialfunktion mit &lt;math&gt;z=x+i\cdot y \in \mathbb{C}&lt;/math&gt; wie folgt zerlegen:
:&lt;math&gt;
 e^z = e^{x+iy} = \underbrace{e^x}_{\not=0} \cdot e^{iy} = 
 e^x\cdot (\cos(y) + i \cdot \sin(y) )
&lt;/math&gt;

=== Bijektive Abbildung ===
Um eine bijektive und holomorphe Abbildung zu erhalten, kann man  den Definitionsbereich der Exponentialfunktion auf ein horizontales Streifen der Höhe &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; einschränken, zum Beispiel:

:&lt;math&gt; G := \mathbb{R} + i\cdot (-\pi,+\pi) := \{ z \in \mathbb{C} \mid -\pi &lt; \operatorname{Im}(z) \leq \pi \} \subset \mathbb{C}
&lt;/math&gt;
In diesem Fall ist die Exponentialfunktion &lt;math&gt;\exp : G \to  \mathbb{C}\setminus \{0\}   &lt;/math&gt; den &quot;Streifen&quot; &lt;math&gt;G  &lt;/math&gt; der Höhe &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt;  bijektiv auf  auf den Wertebereich &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; ab. Die Bildmenge wird nun zum Definitionsbereich des Hauptzweiges vom Logarithmus.

== Zusammenfassung ==
* Die Exponentialfunktion &lt;math&gt; \exp(z) &lt;/math&gt; ist nicht injektiv und nicht surjektiv (wegen &lt;math&gt; \exp(z) \not= 0)&lt;/math&gt; auf der gesamten komplexen Ebene.
* Um eine bijektive [[holomorphe Funktion]] zu erhalten, muss man den Definitionsbereich &lt;math&gt;\mathbb{D}&lt;/math&gt; und den Wertebereich &lt;math&gt;\mathbb{W}&lt;/math&gt; der Logarithmusfunktion &lt;math&gt;\log_G : G \to \mathbb{W} &lt;/math&gt; so einschränken, dass eine bijektive Abbildung entsteht.
* für die offene Menge &lt;math&gt;\mathbb{D}&lt;/math&gt; muss im Allgemeinen nur [[einfach zusammenhängend]] mit &lt;math&gt;0\notin \mathbb{D}&lt;/math&gt; sein (siehe auch [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/generalisiert|generalisierte Logarithmen]]). 
* Ein Zweig des Logarithmus kann definiert werden, indem der Definitionsbereich des Logarithmus eingeschränkt wird, zum Beispiel auf &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus (-\infty, 0] &lt;/math&gt;.

=== Algebraische Vervollständigung ===
Wenn man den Definitionsbereich von einer geschlitzten Ebene &lt;math&gt; \mathbb{W} := \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}_{0}^{-}&lt;/math&gt; auf &lt;math&gt;\mathbb{C}\setminus \{0\}&lt;/math&gt; erweitert und gleichzeitig den Definitionsbereich &lt;math&gt;G:=\mathbb{R}+(-\pi,+\pi) \cdot i &lt;/math&gt; zu &lt;math&gt;G_+ := \mathbb{R} + (-\pi,+\pi]\cdot i&lt;/math&gt; für den Hauptzweig erweitert, bleibt die algebraisch die Bijektivität erhalten, aber man verliert die Eigenschaft der Stetigkeit auf dem ganzen Definitionsbereich. Alternativ kann man für den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#negativer_Hauptzweig|negativen Hauptzweig]] den Definitionsbereich &lt;math&gt;G_1 := \mathbb{R} + (0,2\pi)\cdot i&lt;/math&gt; auch diesen Definitionsbereich auf &lt;math&gt;\mathbb{D}_1 := \mathbb{R} + [0,2\pi)\cdot i&lt;/math&gt; erweitern und man verliert analog die Eigenschaft der Stetigkeit und komplexen Differenzierbarkeit auf ganz &lt;math&gt;\mathbb{D}_1&lt;/math&gt;.

== Siehe auch ==
* [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/algebraische Vollständigkeit|algebraische Vollständigkeit]] des Logarithmus
* [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden Gebietes]] für Logarithmen
* [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]]
*[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/generalisiert|generalisierter Logarithmus]]
* [[holomorphe Funktion]] 
* [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexer Logarithmus]]
* [[Logarithmus|reeller Logarithmus]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion als Wegintegral]]
* [[Stetigkeit]]</text>
      <sha1>rbnnjsdy4v97gx06mmnjita46uqgikn</sha1>
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    <revision>
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      <timestamp>2026-10-12T11:41:04Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bert Niehaus</username>
        <id>20843</id>
      </contributor>
      <comment>/* Negativer Hauptzweige des Logarithmus */</comment>
      <origin>1115827</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="10955" sha1="soqg7at414378uagjbo7v15nqc8hi3n" xml:space="preserve">== Einleitung ==
Es gibt unterschiedliche Möglichkeiten (''&quot;Zweige&quot;''), einen Logarithmus als [[w:de:Umkehrfunktion|Umkehrfunktion]] zu definieren. Dies liegt einerseits an folgdenden mathematischen Eigenschaften und andererseits auch an der Zielsetzung, was man mit dem Logarithmus als Funktion erreichen möchte. 
* '''([[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#Peridodizitaet|Periodizität]])''' Durch die Periodizität der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] im [[komplexe Zahl|Imaginärteil]] mit der Periode &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; gibt es unterschiedliche Zweige.
* '''([[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/generalisiert|Wahl des Gebietes]])''' Durch die Wahl des [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden Gebietes]]  entstehen unterschiedliche Zweige (siehe [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/generalisiert|verallgemeinerter Logarithmus]]).
* '''([[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#algebraischvollstaendig|Algebraische Vollständigkeit]])''' Ein Zweig des Logaritmus ist algebraisch vollständig, wenn dieser auf &lt;math&gt;\mathbb{C}\setminus \{0\}&lt;/math&gt; definiert ist. Dadurch verliert man aber die [[Stetigkeit]] und [[Holomorphie]] als Eigenschaft.

== Zweige des Logarithmus ==
Ein Zweig des Logarithmus ist eine Funktion &lt;math&gt; \log_G(z) &lt;/math&gt;, die auf einer Teilmenge &lt;math&gt; G &lt;/math&gt; von &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; definiert ist und die Eigenschaft hat, dass &lt;math&gt; \exp(\log_G(z)) = z &lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt; z \in G &lt;/math&gt;. 

=== Hauptzweig des Logarithmus ===
Eine übliche Wahl für &lt;math&gt; G &lt;/math&gt; ist die Menge &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus (-\infty, 0] &lt;/math&gt;, die die negative reelle Achse ausschließt. In diesem Fall kann der Hauptzweig des Logarithmus definiert werden als:

:&lt;math&gt; \log(z) = \ln\big( |z|\big) + i \arg(z) 
&lt;/math&gt;
wobei &lt;math&gt; \arg(z) &lt;/math&gt; der Winkel von &lt;math&gt; z &lt;/math&gt; in der komplexen Ebene ist und für den Hauptzweig erfüllt dieser &lt;math&gt; -\pi &lt; \arg(z) &lt; +\pi &lt;/math&gt;.

=== Alternativen der Argumentfunktion ===
Die Argumentfunktion &lt;math&gt; \arg(z) &lt;/math&gt; kann man auch  als Winkel von &lt;math&gt; z &lt;/math&gt; in der komplexen Ebene ist auch in &lt;math&gt; -\pi \leq \arg(z) &lt; \pi &lt;/math&gt; oder &lt;math&gt; 0 \leq \arg(z) &lt; 2\pi &lt;/math&gt; definieren. Der alternative Winkelbereich &lt;math&gt;[0,2\pi)&lt;/math&gt; spielt für die Definition der &lt;math&gt;logmod&lt;/math&gt;[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/logmod|-Funktion]] verwenden. 

&lt;span id=&quot;Periodizitaet&quot;&gt;&lt;/span&gt;
=== Zweige des Logarithmus - Peridoizität ===
Durch die imaginäre Periodizität bzgl. Vielfache von &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; Stellt man &lt;math&gt;z = |z| \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}  \cdot\arg(z)}&lt;/math&gt; in [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|Polarform]] dar, so erhält man eine einfache Darstellung des ''k-ten Zweiges'' der Logarithmusfunktion:
: &lt;math&gt;w = \ln |z| + \mathrm{i}\left(\arg(z) + 2\pi\cdot k\right), \quad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;
mit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] &lt;math&gt;\arg&lt;/math&gt;. Im Summanden &lt;math&gt;\ln \big(|z|\big)&lt;/math&gt; wird der bereits oben definierte reelle Logarithmus &lt;math&gt;\ln&lt;/math&gt; auf &lt;math&gt;\mathbb{R}^+&lt;/math&gt; verwendet.
Für &lt;math&gt;k = 0&lt;/math&gt; erhält man den ''Hauptzweig'' des komplexen Logarithmus zurück:
: &lt;math&gt;\ln z = \ln|z| + \mathrm{i}\arg(z)&lt;/math&gt;.

&lt;span id=&quot;negativer_Hauptzweig&quot;&gt;&lt;/span&gt;

=== Negativer Hauptzweige des Logarithmus ===
Beim negativen Hauptzweig verwendet man für den Startwert der Integraldarstellung &lt;math&gt;-1&lt;/math&gt; statt &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; (wie beim Hauptzweig). Als holomorphe Funktion verwendet man für den Hauptzweig die Funktion &lt;math&gt;\ln&lt;/math&gt;, die auf den geschlitzten Ebene definiert ist, wobei die negative reelle Achse mit 0 aus dem Definitionsbereich entfernt wird. Beim negativen Hauptzweig wird dagen die positive Achse aus dem Definitionsbereich entfernt, wenn man ein Logarithmus auf diesem [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebiet definieren möchte.
Sei &lt;math&gt;z_o = -1\in \mathbb{C} \setminus \{0\}&lt;/math&gt; 
:&lt;math&gt;
 \begin{array}{rrcl}
   \gamma_z : &amp; [0,1] &amp; \rightarrow &amp; \mathbb{C} \\ 
    &amp;  t  &amp; \mapsto &amp; \gamma_z(t) =  (1-t)\cdot z_0 + t\cdot z =  (t-1) + t\cdot z 
  \end{array}  
&lt;/math&gt;

:&lt;math&gt;
ln_{-}(z) := \pi i + \int_{\gamma_z}
 \frac{1}{\xi} \, d\xi = \pi i +  \int_{0}^1
 \frac{1}{\gamma_z(t)} \cdot \gamma_z{\!\!}'(t)  dt  

&lt;/math&gt;

&lt;span id=&quot;algebraischvollstaendig&quot;&gt;&lt;/span&gt;

== Definition - algebraisch vollständig ==
Ein Zweig des Logarithmus als Funktion &lt;math&gt; \log: G\to \mathbb{C} &lt;/math&gt; heißt algebraisch vollständig, wenn dieser den Definitionsbereich &lt;math&gt; G := \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; besitzt und  &lt;math&gt; \exp(\log(z)) = z &lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt; z \in G &lt;/math&gt; gilt.

=== Bemerkung - algebraische Vollständigkeit ===
Der Definitionsbereich &lt;math&gt; G := \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; ist als [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] eine offene und zusammenhängende Menge in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt;. Für holomorphe Funktionen gilt der [[Kurs:Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue|Satz von der Gebietstreue]]. Damit muss für einen Zweig des Logarithmus als holomorphe Funktion auch das Bild offenen sein. Definiert man den Hauptzweig ''algebraisch vollständig'', ist das Bild z.B. &lt;math&gt;\mathbb{R}+i\cdot (-\pi,+\pi]&lt;/math&gt;. Dies ist keine offene Teilmenge von &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt;. Eine auf diese Weise definierter Logarithmus kann also nicht mehr [[holomorphe Funktion|holomorph]] sein. Man verliert sogar die Eigenschaft der Stetigkeit. Vorteil von algebarisch vollständigen Logarithmen ist, dass die Abblildung für alle &lt;math&gt; z \not= 0 &lt;/math&gt;  (bzw. &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt;) definiert ist.

== Aufgabe - Integraldarstellung des Logarithmus ==
Sei &lt;math&gt;z_o \in \mathbb{C} \setminus \{0\}&lt;/math&gt; beliebig gewählt und 
:&lt;math&gt;
 \begin{array}{rrcl}
   \gamma_z : &amp; [0,1] &amp; \rightarrow &amp; \mathbb{C} \\ 
    &amp;  t  &amp; \mapsto &amp; \gamma_z(t) =  (1-t)\cdot z_0 + t\cdot z 
  \end{array}  
&lt;/math&gt;
* Skizzieren Sie die Menge &lt;math&gt;\mathbb{C}_{z_0} := \mathbb{C} \setminus \{  -\lambda \cdot z_0 \, :\, \lambda \in \mathbb{R}_0^+ \} &lt;/math&gt;
* Ist die folgende Funktion &lt;math&gt;F: \mathbb{C}_{z_0} \to \mathbb{C} &lt;/math&gt; eine wohldefinierte Funktion und für welche &lt;math&gt;z_0&lt;/math&gt; ist die folgende [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion]] &lt;math&gt;F&lt;/math&gt; als Wegintegral auch ein Zweig des Logarithmus? Wie muss man dann die Konstante &lt;math&gt;c_0&lt;/math&gt; zu dem gegebenen &lt;math&gt;z_0&lt;/math&gt; wählen? 
::&lt;math&gt;
F(z) := c_0 + \int_{\gamma_z}
 \frac{1}{\xi} \, d\xi = c_0 +  \int_{0}^1
 \frac{1}{\gamma_z(t)} \cdot \gamma{\,}_z'(t)  dt  

&lt;/math&gt;

=== Notwendigkeit der Einschränkung der Definitions- und Wertebereiche der Exponentialfunktion ===
Um eine bijektive Abbildung zu erhalten, müssen wir sowohl den Definitionsbereich als auch den Wertebereich der Exponentialfunktion einschränken.
Die Exponentialfunktion &lt;math&gt; \exp(z) &lt;/math&gt; ist periodisch mit der Periode &lt;math&gt; 2\pi i &lt;/math&gt;, das heißt, &lt;math&gt; \exp(z + 2\pi i k) = \exp(z) &lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt; k \in \mathbb{Z} &lt;/math&gt;. 

=== Surjektivität und Injektivität ===
Die Periodizität führt dazu, dass die Exponentialfunktion nicht injektiv auf der gesamten komplexen Ebene ist. Die Exponentialfunktion ist auch nicht surjektiv, da mit &lt;math&gt;z=x+i\cdot y \in \mathbb{C}&lt;/math&gt; die 0 als Bildpunkt auftritt, denn es gilt:
:&lt;math&gt;
 e^z = e^{x+iy} = \underbrace{e^x}_{\not=0} \cdot \underbrace{e^{iy}}_{\not=0} \not= 0
&lt;/math&gt;

=== Eulersche Formel ===
Mit der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] kann die Exponentialfunktion mit &lt;math&gt;z=x+i\cdot y \in \mathbb{C}&lt;/math&gt; wie folgt zerlegen:
:&lt;math&gt;
 e^z = e^{x+iy} = \underbrace{e^x}_{\not=0} \cdot e^{iy} = 
 e^x\cdot (\cos(y) + i \cdot \sin(y) )
&lt;/math&gt;

=== Bijektive Abbildung ===
Um eine bijektive und holomorphe Abbildung zu erhalten, kann man  den Definitionsbereich der Exponentialfunktion auf ein horizontales Streifen der Höhe &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; einschränken, zum Beispiel:

:&lt;math&gt; G := \mathbb{R} + i\cdot (-\pi,+\pi) := \{ z \in \mathbb{C} \mid -\pi &lt; \operatorname{Im}(z) \leq \pi \} \subset \mathbb{C}
&lt;/math&gt;
In diesem Fall ist die Exponentialfunktion &lt;math&gt;\exp : G \to  \mathbb{C}\setminus \{0\}   &lt;/math&gt; den &quot;Streifen&quot; &lt;math&gt;G  &lt;/math&gt; der Höhe &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt;  bijektiv auf  auf den Wertebereich &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; ab. Die Bildmenge wird nun zum Definitionsbereich des Hauptzweiges vom Logarithmus.

== Zusammenfassung ==
* Die Exponentialfunktion &lt;math&gt; \exp(z) &lt;/math&gt; ist nicht injektiv und nicht surjektiv (wegen &lt;math&gt; \exp(z) \not= 0)&lt;/math&gt; auf der gesamten komplexen Ebene.
* Um eine bijektive [[holomorphe Funktion]] zu erhalten, muss man den Definitionsbereich &lt;math&gt;\mathbb{D}&lt;/math&gt; und den Wertebereich &lt;math&gt;\mathbb{W}&lt;/math&gt; der Logarithmusfunktion &lt;math&gt;\log_G : G \to \mathbb{W} &lt;/math&gt; so einschränken, dass eine bijektive Abbildung entsteht.
* für die offene Menge &lt;math&gt;\mathbb{D}&lt;/math&gt; muss im Allgemeinen nur [[einfach zusammenhängend]] mit &lt;math&gt;0\notin \mathbb{D}&lt;/math&gt; sein (siehe auch [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/generalisiert|generalisierte Logarithmen]]). 
* Ein Zweig des Logarithmus kann definiert werden, indem der Definitionsbereich des Logarithmus eingeschränkt wird, zum Beispiel auf &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus (-\infty, 0] &lt;/math&gt;.

=== Algebraische Vervollständigung ===
Wenn man den Definitionsbereich von einer geschlitzten Ebene &lt;math&gt; \mathbb{W} := \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}_{0}^{-}&lt;/math&gt; auf &lt;math&gt;\mathbb{C}\setminus \{0\}&lt;/math&gt; erweitert und gleichzeitig den Definitionsbereich &lt;math&gt;G:=\mathbb{R}+(-\pi,+\pi) \cdot i &lt;/math&gt; zu &lt;math&gt;G_+ := \mathbb{R} + (-\pi,+\pi]\cdot i&lt;/math&gt; für den Hauptzweig erweitert, bleibt die algebraisch die Bijektivität erhalten, aber man verliert die Eigenschaft der Stetigkeit auf dem ganzen Definitionsbereich. Alternativ kann man für den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#negativer_Hauptzweig|negativen Hauptzweig]] den Definitionsbereich &lt;math&gt;G_1 := \mathbb{R} + (0,2\pi)\cdot i&lt;/math&gt; auch diesen Definitionsbereich auf &lt;math&gt;\mathbb{D}_1 := \mathbb{R} + [0,2\pi)\cdot i&lt;/math&gt; erweitern und man verliert analog die Eigenschaft der Stetigkeit und komplexen Differenzierbarkeit auf ganz &lt;math&gt;\mathbb{D}_1&lt;/math&gt;.

== Siehe auch ==
* [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/algebraische Vollständigkeit|algebraische Vollständigkeit]] des Logarithmus
* [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden Gebietes]] für Logarithmen
* [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]]
*[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/generalisiert|generalisierter Logarithmus]]
* [[holomorphe Funktion]] 
* [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexer Logarithmus]]
* [[Logarithmus|reeller Logarithmus]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion als Wegintegral]]
* [[Stetigkeit]]</text>
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      <text bytes="10959" sha1="21dd0j3kdhgjv1aa6e0hsg6py5rj0x9" xml:space="preserve">== Einleitung ==
Es gibt unterschiedliche Möglichkeiten (''&quot;Zweige&quot;''), einen Logarithmus als [[w:de:Umkehrfunktion|Umkehrfunktion]] zu definieren. Dies liegt einerseits an folgdenden mathematischen Eigenschaften und andererseits auch an der Zielsetzung, was man mit dem Logarithmus als Funktion erreichen möchte. 
* '''([[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#Peridodizitaet|Periodizität]])''' Durch die Periodizität der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] im [[komplexe Zahl|Imaginärteil]] mit der Periode &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; gibt es unterschiedliche Zweige.
* '''([[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/generalisiert|Wahl des Gebietes]])''' Durch die Wahl des [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden Gebietes]]  entstehen unterschiedliche Zweige (siehe [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/generalisiert|verallgemeinerter Logarithmus]]).
* '''([[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#algebraischvollstaendig|Algebraische Vollständigkeit]])''' Ein Zweig des Logaritmus ist algebraisch vollständig, wenn dieser auf &lt;math&gt;\mathbb{C}\setminus \{0\}&lt;/math&gt; definiert ist. Dadurch verliert man aber die [[Stetigkeit]] und [[Holomorphie]] als Eigenschaft.

== Zweige des Logarithmus ==
Ein Zweig des Logarithmus ist eine Funktion &lt;math&gt; \log_G(z) &lt;/math&gt;, die auf einer Teilmenge &lt;math&gt; G &lt;/math&gt; von &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; definiert ist und die Eigenschaft hat, dass &lt;math&gt; \exp(\log_G(z)) = z &lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt; z \in G &lt;/math&gt;. 

=== Hauptzweig des Logarithmus ===
Eine übliche Wahl für &lt;math&gt; G &lt;/math&gt; ist die Menge &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus (-\infty, 0] &lt;/math&gt;, die die negative reelle Achse ausschließt. In diesem Fall kann der Hauptzweig des Logarithmus definiert werden als:

:&lt;math&gt; \log(z) = \ln\big( |z|\big) + i \arg(z) 
&lt;/math&gt;
wobei &lt;math&gt; \arg(z) &lt;/math&gt; der Winkel von &lt;math&gt; z &lt;/math&gt; in der komplexen Ebene ist und für den Hauptzweig erfüllt dieser &lt;math&gt; -\pi &lt; \arg(z) &lt; +\pi &lt;/math&gt;.

=== Alternativen der Argumentfunktion ===
Die Argumentfunktion &lt;math&gt; \arg(z) &lt;/math&gt; kann man auch  als Winkel von &lt;math&gt; z &lt;/math&gt; in der komplexen Ebene ist auch in &lt;math&gt; -\pi \leq \arg(z) &lt; \pi &lt;/math&gt; oder &lt;math&gt; 0 \leq \arg(z) &lt; 2\pi &lt;/math&gt; definieren. Der alternative Winkelbereich &lt;math&gt;[0,2\pi)&lt;/math&gt; spielt für die Definition der &lt;math&gt;logmod&lt;/math&gt;[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/logmod|-Funktion]] verwenden. 

&lt;span id=&quot;Periodizitaet&quot;&gt;&lt;/span&gt;
=== Zweige des Logarithmus - Peridoizität ===
Durch die imaginäre Periodizität bzgl. Vielfache von &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; Stellt man &lt;math&gt;z = |z| \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}  \cdot\arg(z)}&lt;/math&gt; in [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|Polarform]] dar, so erhält man eine einfache Darstellung des ''k-ten Zweiges'' der Logarithmusfunktion:
: &lt;math&gt;w = \ln |z| + \mathrm{i}\left(\arg(z) + 2\pi\cdot k\right), \quad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;
mit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] &lt;math&gt;\arg&lt;/math&gt;. Im Summanden &lt;math&gt;\ln \big(|z|\big)&lt;/math&gt; wird der bereits oben definierte reelle Logarithmus &lt;math&gt;\ln&lt;/math&gt; auf &lt;math&gt;\mathbb{R}^+&lt;/math&gt; verwendet.
Für &lt;math&gt;k = 0&lt;/math&gt; erhält man den ''Hauptzweig'' des komplexen Logarithmus zurück:
: &lt;math&gt;\ln z = \ln|z| + \mathrm{i}\arg(z)&lt;/math&gt;.

&lt;span id=&quot;negativer_Hauptzweig&quot;&gt;&lt;/span&gt;

=== Negativer Hauptzweige des Logarithmus ===
Beim negativen Hauptzweig verwendet man für den Startwert der Integraldarstellung &lt;math&gt;-1&lt;/math&gt; statt &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; (wie beim Hauptzweig). Als holomorphe Funktion verwendet man für den Hauptzweig die Funktion &lt;math&gt;\ln&lt;/math&gt;, die auf den geschlitzten Ebene definiert ist, wobei die negative reelle Achse mit 0 aus dem Definitionsbereich entfernt wird. Beim negativen Hauptzweig wird dagen die positive Achse aus dem Definitionsbereich entfernt, wenn man ein Logarithmus auf diesem [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebiet definieren möchte.
Sei &lt;math&gt;z_o = -1\in \mathbb{C} \setminus \{0\}&lt;/math&gt; 
:&lt;math&gt;
 \begin{array}{rrcl}
   \gamma_z : &amp; [0,1] &amp; \rightarrow &amp; \mathbb{C} \\ 
    &amp;  t  &amp; \mapsto &amp; \gamma_z(t) =  (1-t)\cdot z_0 + t\cdot z =  (t-1) + t\cdot z 
  \end{array}  
&lt;/math&gt;

:&lt;math&gt;
ln_{-}(z) := \pi i + \int_{\gamma_z}
 \frac{1}{\xi} \, d\xi = \pi i +  \int_{0}^1
 \frac{1}{\gamma_z(t)} \cdot \gamma_z{\!\!}'(t) \,\, dt  

&lt;/math&gt;

&lt;span id=&quot;algebraischvollstaendig&quot;&gt;&lt;/span&gt;

== Definition - algebraisch vollständig ==
Ein Zweig des Logarithmus als Funktion &lt;math&gt; \log: G\to \mathbb{C} &lt;/math&gt; heißt algebraisch vollständig, wenn dieser den Definitionsbereich &lt;math&gt; G := \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; besitzt und  &lt;math&gt; \exp(\log(z)) = z &lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt; z \in G &lt;/math&gt; gilt.

=== Bemerkung - algebraische Vollständigkeit ===
Der Definitionsbereich &lt;math&gt; G := \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; ist als [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] eine offene und zusammenhängende Menge in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt;. Für holomorphe Funktionen gilt der [[Kurs:Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue|Satz von der Gebietstreue]]. Damit muss für einen Zweig des Logarithmus als holomorphe Funktion auch das Bild offenen sein. Definiert man den Hauptzweig ''algebraisch vollständig'', ist das Bild z.B. &lt;math&gt;\mathbb{R}+i\cdot (-\pi,+\pi]&lt;/math&gt;. Dies ist keine offene Teilmenge von &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt;. Eine auf diese Weise definierter Logarithmus kann also nicht mehr [[holomorphe Funktion|holomorph]] sein. Man verliert sogar die Eigenschaft der Stetigkeit. Vorteil von algebarisch vollständigen Logarithmen ist, dass die Abblildung für alle &lt;math&gt; z \not= 0 &lt;/math&gt;  (bzw. &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt;) definiert ist.

== Aufgabe - Integraldarstellung des Logarithmus ==
Sei &lt;math&gt;z_o \in \mathbb{C} \setminus \{0\}&lt;/math&gt; beliebig gewählt und 
:&lt;math&gt;
 \begin{array}{rrcl}
   \gamma_z : &amp; [0,1] &amp; \rightarrow &amp; \mathbb{C} \\ 
    &amp;  t  &amp; \mapsto &amp; \gamma_z(t) =  (1-t)\cdot z_0 + t\cdot z 
  \end{array}  
&lt;/math&gt;
* Skizzieren Sie die Menge &lt;math&gt;\mathbb{C}_{z_0} := \mathbb{C} \setminus \{  -\lambda \cdot z_0 \, :\, \lambda \in \mathbb{R}_0^+ \} &lt;/math&gt;
* Ist die folgende Funktion &lt;math&gt;F: \mathbb{C}_{z_0} \to \mathbb{C} &lt;/math&gt; eine wohldefinierte Funktion und für welche &lt;math&gt;z_0&lt;/math&gt; ist die folgende [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion]] &lt;math&gt;F&lt;/math&gt; als Wegintegral auch ein Zweig des Logarithmus? Wie muss man dann die Konstante &lt;math&gt;c_0&lt;/math&gt; zu dem gegebenen &lt;math&gt;z_0&lt;/math&gt; wählen? 
::&lt;math&gt;
F(z) := c_0 + \int_{\gamma_z}
 \frac{1}{\xi} \, d\xi = c_0 +  \int_{0}^1
 \frac{1}{\gamma_z(t)} \cdot \gamma{\,}_z'(t)  dt  

&lt;/math&gt;

=== Notwendigkeit der Einschränkung der Definitions- und Wertebereiche der Exponentialfunktion ===
Um eine bijektive Abbildung zu erhalten, müssen wir sowohl den Definitionsbereich als auch den Wertebereich der Exponentialfunktion einschränken.
Die Exponentialfunktion &lt;math&gt; \exp(z) &lt;/math&gt; ist periodisch mit der Periode &lt;math&gt; 2\pi i &lt;/math&gt;, das heißt, &lt;math&gt; \exp(z + 2\pi i k) = \exp(z) &lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt; k \in \mathbb{Z} &lt;/math&gt;. 

=== Surjektivität und Injektivität ===
Die Periodizität führt dazu, dass die Exponentialfunktion nicht injektiv auf der gesamten komplexen Ebene ist. Die Exponentialfunktion ist auch nicht surjektiv, da mit &lt;math&gt;z=x+i\cdot y \in \mathbb{C}&lt;/math&gt; die 0 als Bildpunkt auftritt, denn es gilt:
:&lt;math&gt;
 e^z = e^{x+iy} = \underbrace{e^x}_{\not=0} \cdot \underbrace{e^{iy}}_{\not=0} \not= 0
&lt;/math&gt;

=== Eulersche Formel ===
Mit der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] kann die Exponentialfunktion mit &lt;math&gt;z=x+i\cdot y \in \mathbb{C}&lt;/math&gt; wie folgt zerlegen:
:&lt;math&gt;
 e^z = e^{x+iy} = \underbrace{e^x}_{\not=0} \cdot e^{iy} = 
 e^x\cdot (\cos(y) + i \cdot \sin(y) )
&lt;/math&gt;

=== Bijektive Abbildung ===
Um eine bijektive und holomorphe Abbildung zu erhalten, kann man  den Definitionsbereich der Exponentialfunktion auf ein horizontales Streifen der Höhe &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; einschränken, zum Beispiel:

:&lt;math&gt; G := \mathbb{R} + i\cdot (-\pi,+\pi) := \{ z \in \mathbb{C} \mid -\pi &lt; \operatorname{Im}(z) \leq \pi \} \subset \mathbb{C}
&lt;/math&gt;
In diesem Fall ist die Exponentialfunktion &lt;math&gt;\exp : G \to  \mathbb{C}\setminus \{0\}   &lt;/math&gt; den &quot;Streifen&quot; &lt;math&gt;G  &lt;/math&gt; der Höhe &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt;  bijektiv auf  auf den Wertebereich &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; ab. Die Bildmenge wird nun zum Definitionsbereich des Hauptzweiges vom Logarithmus.

== Zusammenfassung ==
* Die Exponentialfunktion &lt;math&gt; \exp(z) &lt;/math&gt; ist nicht injektiv und nicht surjektiv (wegen &lt;math&gt; \exp(z) \not= 0)&lt;/math&gt; auf der gesamten komplexen Ebene.
* Um eine bijektive [[holomorphe Funktion]] zu erhalten, muss man den Definitionsbereich &lt;math&gt;\mathbb{D}&lt;/math&gt; und den Wertebereich &lt;math&gt;\mathbb{W}&lt;/math&gt; der Logarithmusfunktion &lt;math&gt;\log_G : G \to \mathbb{W} &lt;/math&gt; so einschränken, dass eine bijektive Abbildung entsteht.
* für die offene Menge &lt;math&gt;\mathbb{D}&lt;/math&gt; muss im Allgemeinen nur [[einfach zusammenhängend]] mit &lt;math&gt;0\notin \mathbb{D}&lt;/math&gt; sein (siehe auch [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/generalisiert|generalisierte Logarithmen]]). 
* Ein Zweig des Logarithmus kann definiert werden, indem der Definitionsbereich des Logarithmus eingeschränkt wird, zum Beispiel auf &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus (-\infty, 0] &lt;/math&gt;.

=== Algebraische Vervollständigung ===
Wenn man den Definitionsbereich von einer geschlitzten Ebene &lt;math&gt; \mathbb{W} := \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}_{0}^{-}&lt;/math&gt; auf &lt;math&gt;\mathbb{C}\setminus \{0\}&lt;/math&gt; erweitert und gleichzeitig den Definitionsbereich &lt;math&gt;G:=\mathbb{R}+(-\pi,+\pi) \cdot i &lt;/math&gt; zu &lt;math&gt;G_+ := \mathbb{R} + (-\pi,+\pi]\cdot i&lt;/math&gt; für den Hauptzweig erweitert, bleibt die algebraisch die Bijektivität erhalten, aber man verliert die Eigenschaft der Stetigkeit auf dem ganzen Definitionsbereich. Alternativ kann man für den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#negativer_Hauptzweig|negativen Hauptzweig]] den Definitionsbereich &lt;math&gt;G_1 := \mathbb{R} + (0,2\pi)\cdot i&lt;/math&gt; auch diesen Definitionsbereich auf &lt;math&gt;\mathbb{D}_1 := \mathbb{R} + [0,2\pi)\cdot i&lt;/math&gt; erweitern und man verliert analog die Eigenschaft der Stetigkeit und komplexen Differenzierbarkeit auf ganz &lt;math&gt;\mathbb{D}_1&lt;/math&gt;.

== Siehe auch ==
* [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/algebraische Vollständigkeit|algebraische Vollständigkeit]] des Logarithmus
* [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden Gebietes]] für Logarithmen
* [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]]
*[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/generalisiert|generalisierter Logarithmus]]
* [[holomorphe Funktion]] 
* [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexer Logarithmus]]
* [[Logarithmus|reeller Logarithmus]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion als Wegintegral]]
* [[Stetigkeit]]</text>
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    <title>Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2026-2027)/Gerade Zahl/Letzte Ziffer/Aufgabe/Aufgabereferenznummer</title>
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    <title>Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2026-2027)/Ungerade Zahl/Letzte Ziffer/Aufgabe/Aufgabereferenznummer</title>
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Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}}
|Text=
{{
Aufzählung2
|Bestimme{{n Sie}}, welche Endziffern im Zehnersystem eine 
{{
Definitionslink
|Prämath=
|Quadratzahl|
|Kontext=|
|SZ=
}}
haben kann.
|{{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} für jede Endziffer im Zehnersystem, die als Endziffer einer Quadratzahl auftreten kann, ein Beispiel für eine natürliche Zahl mit dieser Endziffer, die keine Quadratzahl ist.
}}
|Textart=Aufgabe 
|Kategorie=Theorie der natürlichen Quadratzahlen
|Kategorie2=
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Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}}
|Text=
Zu einer natürlichen Zahl
{{
Relationskette
| n
| \geq | 1
|| 
|| 
|| 
|SZ=,
}}
die im Zehnersystem durch die Ziffernfolge  {{mathl|term= z_k z_{k-1} \cdots z_1 z_0 |SZ=}}  gegeben sei, setzen wir 
{{
Relationskette/display
| SQZ(n)
|| z_0^2+z_1^2+z_2^2 {{plusdots}} z_k^2
|| 
|| 
|| 
|SZ=.
}}
Es ist also {{mathl|term= SQZ(n) |SZ=}} einfach die Summe der Quadrate der Ziffern von {{math|term= n |SZ=.}} Die dabei entstehende natürliche Zahl können wir wieder im Zehnersystem schreiben und somit diesen Prozess wiederholen.
{{
Aufzählung2
|Berechne {{mathl|term=  SQZ(4)  |SZ=,}}  {{mathl|term= SQZ(  SQZ(4)) |SZ=,}}  {{mathl|term=  SQZ(  SQZ(  SQZ(4))) |SZ=,}} u.s.w., bis sich eine Wiederholung
{{
Zusatz/Klammer
|text=eine Periode, eine Schleife|
|ISZ=|ESZ=
}}
ergibt.
|Eine natürliche Zahl {{math|term= n |SZ=}}  heißt {{Betonung|fröhlich|SZ=,}} wenn sich bei dem eingangs beschriebenen iterativen Prozess irgendwann die {{math|term= 1 |SZ=}} ergibt. Andernfalls heißt sie {{Betonung|traurig|SZ=.}} Bestimme{{n Sie}} für jede einstellige Zahl, ob sie fröhlich oder traurig ist.
}} 
|Textart=Aufgabe 
|Kategorie=Theorie der Zifferndarstellung für natürliche Zahlen
|Kategorie2=
|Kategorie3=
|Objektkategorie=
|Stichwort=
|Punkte=3
|p1=1
|p2=2
|Lösung=
|Autor=
|Bearbeitungsstand=wd
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    <title>Natürliche Zahl/Neue Eigenschaft/Aufgabe</title>
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Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}}
|Text=
Denken Sie sich eine {{Anführung|neue}} Eigenschaft aus, die man auf natürliche Zahlen anwenden kann. Die Eigenschaft soll sowohl von unendlich vielen natürlichen Zahlen erfüllt werden als auch von unendlich vielen natürlichen Zahlen nicht erfüllt werden! Die Zahlen, die diese Eigenschaft erfüllen, nennen wir im Folgenden Fuzzizahlen
{{
Zusatz/Klammer
|text=Sie denken sich eine eigene Bezeichnung aus|
|ISZ=|ESZ=.
}}
{{
Aufzählung5
|Formulieren Sie die genaue Definition. 
|Zeige{{n Sie}}, dass es unendlich viele Fuzzizahlen und unendlich viele Nichtfuzzizahlen gibt.
|Bestimme{{n Sie}} für jede einstellige Zahl, ob es sich um eine Fuzzizahl handelt.
|Ist die Summe von zwei (Nicht-)Fuzzizahlen wieder eine (Nicht-)Fuzzi{{drucktrenn|}}zahl? Immer? Manchmal? Nie?
|Ist das Produkt von zwei (Nicht-)Fuzzizahlen wieder eine (Nicht-)Fuzzizahl? Immer? Manchmal? Nie?
}} 
|Textart=Aufgabe 
|Kategorie=Theorie der natürlichen Zahlen
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|Objektkategorie=
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|Autor=
|Bearbeitungsstand=wd
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    <title>Benutzer Diskussion:Wikiversi007009</title>
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#[[Kurs:Sozialwissenschaften/Einführung_BWL_(h_da)/Unternehmen_WS25_26/Skyfall - Büro für Media Research]]

#[[Skyfall srt - Büro für Media Research]]


[[Kategorie:Kurs:Sozialwissenschaften:Einführung_BWL_(h da)]]</text>
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-- [[Benutzer:New user message|New user message]] ([[Benutzer Diskussion:New user message|Diskussion]]) 08:57, 12. Okt. 2026 (CEST)</text>
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    <title>Benutzer Diskussion:Gee2009</title>
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    <title>Benutzer Diskussion:Strucannn</title>
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    <title>Benutzer Diskussion:Schäfchen123</title>
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    <title>Benutzer Diskussion:Leonidas Müller</title>
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-- [[Benutzer:New user message|New user message]] ([[Benutzer Diskussion:New user message|Diskussion]]) 08:59, 12. Okt. 2026 (CEST)</text>
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-- [[Benutzer:New user message|New user message]] ([[Benutzer Diskussion:New user message|Diskussion]]) 08:59, 12. Okt. 2026 (CEST)</text>
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-- [[Benutzer:New user message|New user message]] ([[Benutzer Diskussion:New user message|Diskussion]]) 08:59, 12. Okt. 2026 (CEST)</text>
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    <title>Benutzer Diskussion:Morrison-Moestar</title>
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    <title>Benutzer Diskussion:Jonas Gassmann</title>
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    <title>Benutzer Diskussion:Elsuro</title>
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-- [[Benutzer:New user message|New user message]] ([[Benutzer Diskussion:New user message|Diskussion]]) 10:48, 12. Okt. 2026 (CEST)</text>
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    <title>Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/algebraische Vollständigkeit</title>
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      <comment>Weiterleitung nach [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#algebraisch vollständig]] erstellt</comment>
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        <username>Bert Niehaus</username>
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      </contributor>
      <comment>Weiterleitungsziel von [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#algebraisch vollständig]] nach [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#algebraischvollstaendig]] geändert</comment>
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