Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 01

<mediawiki xmlns="http://www.mediawiki.org/xml/export-0.11/" xmlns:xsi="http://www.w3.org/2001/XMLSchema-instance" xsi:schemaLocation="http://www.mediawiki.org/xml/export-0.11/ http://www.mediawiki.org/xml/export-0.11.xsd" version="0.11" xml:lang="de">
  <siteinfo>
    <sitename>Wikiversity</sitename>
    <dbname>dewikiversity</dbname>
    <base>https://de.wikiversity.org/wiki/Hauptseite</base>
    <generator>MediaWiki 1.47.0-wmf.23</generator>
    <case>first-letter</case>
    <namespaces>
      <namespace key="-2" case="first-letter">Medium</namespace>
      <namespace key="-1" case="first-letter">Spezial</namespace>
      <namespace key="0" case="first-letter" />
      <namespace key="1" case="first-letter">Diskussion</namespace>
      <namespace key="2" case="first-letter">Benutzer</namespace>
      <namespace key="3" case="first-letter">Benutzer Diskussion</namespace>
      <namespace key="4" case="first-letter">Wikiversity</namespace>
      <namespace key="5" case="first-letter">Wikiversity Diskussion</namespace>
      <namespace key="6" case="first-letter">Datei</namespace>
      <namespace key="7" case="first-letter">Datei Diskussion</namespace>
      <namespace key="8" case="first-letter">MediaWiki</namespace>
      <namespace key="9" case="first-letter">MediaWiki Diskussion</namespace>
      <namespace key="10" case="first-letter">Vorlage</namespace>
      <namespace key="11" case="first-letter">Vorlage Diskussion</namespace>
      <namespace key="12" case="first-letter">Hilfe</namespace>
      <namespace key="13" case="first-letter">Hilfe Diskussion</namespace>
      <namespace key="14" case="first-letter">Kategorie</namespace>
      <namespace key="15" case="first-letter">Kategorie Diskussion</namespace>
      <namespace key="106" case="first-letter">Kurs</namespace>
      <namespace key="107" case="first-letter">Kurs Diskussion</namespace>
      <namespace key="108" case="first-letter">Projekt</namespace>
      <namespace key="109" case="first-letter">Projekt Diskussion</namespace>
      <namespace key="710" case="first-letter">TimedText</namespace>
      <namespace key="711" case="first-letter">TimedText talk</namespace>
      <namespace key="828" case="first-letter">Modul</namespace>
      <namespace key="829" case="first-letter">Modul Diskussion</namespace>
      <namespace key="1728" case="first-letter">Veranstaltung</namespace>
      <namespace key="1729" case="first-letter">Veranstaltung Diskussion</namespace>
    </namespaces>
  </siteinfo>
  <page>
    <title>Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 01</title>
    <ns>0</ns>
    <id>98579</id>
    <revision>
      <id>1115958</id>
      <parentid>1113648</parentid>
      <timestamp>2026-10-13T09:37:57Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>PaFra</username>
        <id>14559</id>
      </contributor>
      <minor />
      <comment>/* 1.1.2. Der Koran als Arbeitsmittel */</comment>
      <origin>1115958</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="69125" sha1="ajs7rdsb6iid56ivguax1ay7go2dveh" xml:space="preserve">{{Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI)/Navigation}}
— [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 02|&gt;&gt;&gt; 2]]
{{TOC nonum}}
= 1. Grundlegendes, Arabien am Vorabend des Islams =
Die erste Sitzung klärt Präliminarien, führt in das Konzept der Vorlesung ein und behandelt dann die religiöse, gesellschaftliche und politische Situation im spätantiken Arabien und ihren Einfluss auf den Islam. Besondere Aufmerksamkeit wird den Spannungen zwischen den verschiedenen religiösen Kulturen gewidmet, die den Hintergrund der Entstehung des Hanīfentums, und damit auch des Islams, bilden.

== 1.1. Präliminaria ==
=== 1.1.1. Hinweise zum Arabischen ===
==== 1.1.1.1. Das verwendete Umschriftsystem ====
In der deutschsprachigen Wissenschaft wird für die Wiedergabe arabischer Namen und Begriffe üblicherweise die Transliteration der [[w:Deutsche Morgenländische Gesellschaft|Deutschen Morgenländischen Gesellschaft]] verwendet, bei der verschiedene Buchstaben mit [[w:Diakritisches Zeichen|diakritischen Zeichen]] versehen sind. Die genauen Regeln für dieses Transliterationssystem sind in der Broschüre ''Die Transliteration der arabischen Schrift in ihrer Anwendung auf die Hauptliteratursprachen der islamischen Welt. Denkschrift, dem 19. internationalen Orientalistenkongreß in Rom vorgelegt von der Transkriptionskommission der Deutschen Morgenländischen Gesellschaft'' (Leipzig: F. A. Brockhaus 1935) festgelegt. Der Text ist [http://www.dmg-web.de/pdf/Denkschrift.pdf hier] einsehbar.
 
Zur besseren Lesbarkeit wird in dieser Einführung für die Wiedergabe arabischer Namen und Begriffe jedoch allgemein ein vereinfachtes Umschriftsystem verwendet. Dieses System, das die Mittel der deutschen Orthographie nutzt, um möglichst nahe an die Originalaussprache heranzukommen, wird auch in der deutschsprachigen Wikipedia verwendet und dort unter den sogenannten [[w:Wikipedia:Namenskonventionen/Arabisch|Namenskonventionen/Arabisch]] erklärt.

Die DMG-Transliteration wird in dieser Einführung nur in einzelnen Fällen aufgeführt (so bei Buchtiteln, Zitaten und arabischen Fachtermini, die in Klammern einem deutschen Begriff oder Ausdruck nachgestellt werden). Wer bei den anderen arabischen Namen und Begriffen wissen will, wie sie wissenschaftlich transliteriert werden, kann sie in den verlinkten Wikipedia-Artikeln nachschlagen. Dort ist üblicherweise direkt am Anfang auch die DMG-Transliteration aufgeführt. Studierenden, die ein orientalistisches Fach im Hauptfach studieren, ist zu empfehlen, sich bei den betreffenden Worten auch die DMG-Transliteration einzuprägen.

Über die Zuordnung der verschiedenen arabischen und lateinischen Buchstaben zueinander gibt die folgende Tabelle Auskunft:
{| border=&quot;1&quot; style=&quot;border-collapse:collapse; text-align:center&quot; cellpadding=&quot;2&quot;
|- style=&quot;background-color:#CAE1FF;&quot;
! Arabischer Buchstabe
| &lt;span lang=&quot;ar&quot; dir=&quot;rtl&quot; style=&quot;font-size:1.5em&quot; class=&quot;spanAr&quot;&gt;ا&lt;/span&gt; || &lt;span lang=&quot;ar&quot; dir=&quot;rtl&quot; style=&quot;font-size:1.5em&quot; class=&quot;spanAr&quot;&gt;ب&lt;/span&gt; || &lt;span lang=&quot;ar&quot; dir=&quot;rtl&quot; style=&quot;font-size:1.5em&quot; class=&quot;spanAr&quot;&gt;ت&lt;/span&gt; || &lt;span lang=&quot;ar&quot; dir=&quot;rtl&quot; style=&quot;font-size:1.5em&quot; class=&quot;spanAr&quot;&gt;ث&lt;/span&gt;
| &lt;span lang=&quot;ar&quot; dir=&quot;rtl&quot; style=&quot;font-size:1.5em&quot; class=&quot;spanAr&quot;&gt;ج&lt;/span&gt; || &lt;span lang=&quot;ar&quot; dir=&quot;rtl&quot; style=&quot;font-size:1.5em&quot; class=&quot;spanAr&quot;&gt;ح&lt;/span&gt; || &lt;span lang=&quot;ar&quot; dir=&quot;rtl&quot; style=&quot;font-size:1.5em&quot; class=&quot;spanAr&quot;&gt;خ&lt;/span&gt; || &lt;span lang=&quot;ar&quot; dir=&quot;rtl&quot; style=&quot;font-size:1.5em&quot; class=&quot;spanAr&quot;&gt;د&lt;/span&gt;
| &lt;span lang=&quot;ar&quot; dir=&quot;rtl&quot; style=&quot;font-size:1.5em&quot; class=&quot;spanAr&quot;&gt;ذ&lt;/span&gt; || &lt;span lang=&quot;ar&quot; dir=&quot;rtl&quot; style=&quot;font-size:1.5em&quot; class=&quot;spanAr&quot;&gt;ر&lt;/span&gt; || &lt;span lang=&quot;ar&quot; dir=&quot;rtl&quot; style=&quot;font-size:1.5em&quot; class=&quot;spanAr&quot;&gt;ز&lt;/span&gt; || &lt;span lang=&quot;ar&quot; dir=&quot;rtl&quot; style=&quot;font-size:1.5em&quot; class=&quot;spanAr&quot;&gt;س&lt;/span&gt;
| &lt;span lang=&quot;ar&quot; dir=&quot;rtl&quot; style=&quot;font-size:1.5em&quot; class=&quot;spanAr&quot;&gt;ش&lt;/span&gt; || &lt;span lang=&quot;ar&quot; dir=&quot;rtl&quot; style=&quot;font-size:1.5em&quot; class=&quot;spanAr&quot;&gt;ص&lt;/span&gt; || &lt;span lang=&quot;ar&quot; dir=&quot;rtl&quot; style=&quot;font-size:1.5em&quot; class=&quot;spanAr&quot;&gt;ض&lt;/span&gt; || &lt;span lang=&quot;ar&quot; dir=&quot;rtl&quot; style=&quot;font-size:1.5em&quot; class=&quot;spanAr&quot;&gt;ط&lt;/span&gt;
| &lt;span lang=&quot;ar&quot; dir=&quot;rtl&quot; style=&quot;font-size:1.5em&quot; class=&quot;spanAr&quot;&gt;ظ&lt;/span&gt; || &lt;span lang=&quot;ar&quot; dir=&quot;rtl&quot; style=&quot;font-size:1.5em&quot; class=&quot;spanAr&quot;&gt;ع&lt;/span&gt; || &lt;span lang=&quot;ar&quot; dir=&quot;rtl&quot; style=&quot;font-size:1.5em&quot; class=&quot;spanAr&quot;&gt;غ&lt;/span&gt; || &lt;span lang=&quot;ar&quot; dir=&quot;rtl&quot; style=&quot;font-size:1.5em&quot; class=&quot;spanAr&quot;&gt;ف&lt;/span&gt;
| &lt;span lang=&quot;ar&quot; dir=&quot;rtl&quot; style=&quot;font-size:1.5em&quot; class=&quot;spanAr&quot;&gt;ق&lt;/span&gt; || &lt;span lang=&quot;ar&quot; dir=&quot;rtl&quot; style=&quot;font-size:1.5em&quot; class=&quot;spanAr&quot;&gt;ك&lt;/span&gt; || &lt;span lang=&quot;ar&quot; dir=&quot;rtl&quot; style=&quot;font-size:1.5em&quot; class=&quot;spanAr&quot;&gt;ل&lt;/span&gt; || &lt;span lang=&quot;ar&quot; dir=&quot;rtl&quot; style=&quot;font-size:1.5em&quot; class=&quot;spanAr&quot;&gt;م&lt;/span&gt;
| &lt;span lang=&quot;ar&quot; dir=&quot;rtl&quot; style=&quot;font-size:1.5em&quot; class=&quot;spanAr&quot;&gt;ن&lt;/span&gt; || &lt;span lang=&quot;ar&quot; dir=&quot;rtl&quot; style=&quot;font-size:1.5em&quot; class=&quot;spanAr&quot;&gt;ه&lt;/span&gt; || &lt;span lang=&quot;ar&quot; dir=&quot;rtl&quot; style=&quot;font-size:1.5em&quot; class=&quot;spanAr&quot;&gt;و&lt;/span&gt; || &lt;span lang=&quot;ar&quot; dir=&quot;rtl&quot; style=&quot;font-size:1.5em&quot; class=&quot;spanAr&quot;&gt;ي&lt;/span&gt;
| &lt;span lang=&quot;ar&quot; dir=&quot;rtl&quot; style=&quot;font-size:1.5em&quot; class=&quot;spanAr&quot;&gt;ء&lt;/span&gt; || &lt;span lang=&quot;ar&quot; dir=&quot;rtl&quot; style=&quot;font-size:1.5em&quot; class=&quot;spanAr&quot;&gt;ة&lt;/span&gt;
|- style=&quot;background-color:#FFFFFF;&quot;
! Name
| [[w:Alif|Alif]] || [[w:bā'|Bā']]
| [[w:tā'|Tā']] || [[w:thā'|Thā']]
| [[w:Dschīm|Dschīm]] || [[w:ḥā'|Ḥā']]
| [[w:Chā'|Chā']] || [[w:dāl|Dāl]]
| [[w:Dhāl|Dhāl]] || [[w:rā'|Rā']]
| [[w:Zāy|Zāy]] || [[w:sīn|Sīn]]
| [[w:Schīn|Schīn]] || [[w:Sād|Sād]]
| [[w:dād|Dād]] || [[w:ṭā'|Ṭā']]
| [[w:Zā'|Zā']] || [[w:ʿAin|ʿAin]]
| [[w:Ghain|Ghain]] || [[w:fā'|Fā']]
| [[w:qāf|Qāf]] || [[w:kāf|Kāf]]
| [[w:Lām|Lām]] || [[w:mīm|Mīm]]
| [[w:nūn|Nūn]] || [[w:hā'|Hā']]
| [[w:wāw|Wāw]] || [[w:yā'|Yā']]
| style=&quot;border-left:2px solid gray;&quot; | [[w:hamza|Hamza]] || [[w:Tā' marbūta|Tā' marbūta]]
|- style=&quot;background-color:#FFF; font-weight:bold&quot;
! Wikipedia-Umschrift
| a, i, u, ā || b || t || th
| dsch&lt;br /&gt;ddsch || h || ch || d
| dh || r || z || s
| sch || s || d || t
| z || ʿ || gh || f
| q || k || l || m
| n || h || ū, w, u || ī, y, i|| style=&quot;border-left:2px solid gray;&quot; | ' || a, at
|- style=&quot;background-color:#CAE1FF;&quot;
! [[w:Deutsche Morgenländische Gesellschaft|DMG]]-Transliteration &lt;br /&gt; ([[w:DIN 31635|DIN&amp;nbsp;31635]])
| a, i, u, ā || b || t || ṯ
| ǧ || ḥ || ḫ || d
| ḏ || r || z || s
| š || ṣ || ḍ || ṭ
| ẓ || ʿ || ġ || f
| q || k || l || m
| n || h || ū, w, u|| ī, y, i|| style=&quot;border-left:2px solid gray;&quot; | ʾ || a, at
|}

Informationen zur Aussprache der einzelnen arabischen Buchstaben bzw. zugehörigen Umschriftzeichen erhalten Sie auf den betreffenden verlinkten Seiten. Vokale mit einem Längungsstrich ''ā/ī/ū'' werden grundsätzlich lang ausgesprochen.

==== 1.1.1.2. Der arabische Artikel ====
Immer wieder wird der Leser in dieser Vorlesung auch auf den arabischen, geschlechtsneutralen Artikel ''al-'' begegnen, wie z.B. in ''al-bait'' „das Haus“. Vor den sogenannten [[w:Sonnenbuchstabe|Sonnenbuchstaben]] t (''t/ṭ''), th (''ṯ''), d (''d/ḍ''), dh (''ḏ''), r, s (''s/ṣ''), sch (''š''), z (''z/ẓ''), n wird das l des Artikels den genannten Lauten [[w:Assimilation (Phonologie)|assimiliert]], wie zum Beispiel in asch-Schams (DMG: ''aš-šams'') „die Sonne“. Nach einem Vokal fällt das ''a'' des Artikels weg.

==== 1.1.1.3. Die Morphologie arabischer Wörter ====
Die Wurzel fast aller arabischen Wörter setzt sich aus drei Konsonanten zusammen. Diese Wurzelkonsonanten werden [[w:Radikal (semitische Sprachen)|Radikale]] genannt. Die Radikale werden zur Wortbildung mit verschiedenen Vokalen, [[w:Präfix|Präfixen]], [[w:Infix_(Linguistik)|Infixen]] und [[w:Suffix|Suffixen]] kombiniert. Begriffe, die dieselben Wurzelkonsonanten haben, sind meist semantisch miteinander verwandt. Beispiel: Die Wurzelkonsonanten des arabischen Wortes Dschihād (''ǧihād'') sind dsch-h-d (''ǧ-h-d''). Derjenige, der den Dschihād ausübt, ist ein Mudschāhid (''muǧāhid''). Auch dieses Wort ist von der Wortwurzel dsch-h-d (''ǧ-h-d'') abgeleitet, hat allerdings das Präfix ''mu-'' erhalten. Die Wortwurzel dsch-h-d (''ǧ-h-d'') hat die Bedeutung von „sich bemühen, sich anstrengen“. Das Wort ''ǧihād'' bedeutet ebenfalls Anstrengung, hat allerdings die Spezialbedeutung von „Kampf gegen die Ungläubigen“ erhalten. Ein weiteres Wort, das von der Wortwurzel ''ǧ-h-d'' abgeleitet ist und ein Infix enthält, ist [[w:Idschtihād|Idschtihād]] (''iǧtihād''). Dieses hat die Spezialbedeutung von „eigene Urteilsbemühung“. Derjenige, der Idschtihād übt, wird [[w:Mudschtahid|Mudschtahid]] genannt. Die Kenntnis dieser Zusammenhänge hilft beim Wiedererkennen miteinander verwandter Wörter.

=== 1.1.2. Der Koran als Arbeitsmittel ===
[[File:Franz Horny - Friedrich Rückert 1818.jpg|mini|hochkant|[[w:Friedrich Rückert|Friedrich Rückert]] 1818, der eine besonders einfühlsame deutsche Koranübersetzung erstellte.]]
Die Abkürzung Q verweist in dieser Einführung auf Zitate aus dem [[w:Koran|Koran]], dem heiligen Buch des Islams. Der Koran ist auf Arabisch abgefasst und in [[w:Sure|Suren]] gegliedert, wobei diese wiederum in Verse unterteilt sind. Bei Zitaten aus dem Koran folgt auf das einleitende Q jeweils Suren- und Versangabe. Die Stellenangabe Q 2:42 zum Beispiel bedeutet also, dass das Zitat aus Sure 2, Vers 42 stammt. 
 
Koranzitate sind in dieser Einführung üblicherweise mit der digitalen Koranausgabe des [[w:Corpus Coranicum|Corpus Coranicum]] verlinkt, die auch eine Transkription und eine Übersetzung des betreffenden Koranverses enthält. Indem Sie diesen Links folgen, können Sie die betreffenden Textstellen selbst nachlesen und in ihrem Sinnzusammenhang nachvollziehen. Die Übersetzung, die vom Corpus Coranicum verwendet wird, wurde von [[w:Rudi Paret|Rudi Paret]] erstellt. Als weitere deutsche Übersetzungen kann ich diejenigen von [[w:Hartmut Bobzin|Hartmut Bobzin]] im [[w:Verlag C.H.Beck|Verlag C.H. Beck]] sowie von [[w:Max Henning|Max Henning]] im [[w:Reclam-Verlag|Reclam-Verlag]] empfehlen. In Veröffentlichungen von muslimischer Seite wird bei Koranzitaten meist nicht auf die Nummer der Sure verwiesen, sondern auf deren arabischen Namen. Ein Vorteil der Henningschen Übersetzung ist, dass sie im Inhaltsverzeichnis einen vollständigen Überblick über diese Surentitel mit ihren deutschen Übersetzungen liefert. Sehr nützlich ist daneben, dass sie im Text neben der heute am meisten verbreiteten Kairiner Verszählung auch die Verszählung von [[w:Gustav Flügel|Gustav Flügel]] berücksichtigt, die noch in mehreren älteren orientalistischen Werken zugrundegelegt worden ist.

Zu den literarischen Merkmalen des Korans gehört seine spezielle poetische Sprachform, die auf Arabisch als [[w:Sadschʿ|Sadschʿ]] bezeichnet wird. Es handelt sich um eine Art Reimprosa. Wer trotz fehlender arabischer Sprachkenntnisse etwas von der sprachlichen Ästhetik des Korans erleben will, nimmt am besten die auszugsweise Koranübersetzung des romantischen Dichters [[w:Friedrich Rückert|Friedrich Rückert]] (1788-1866) zur Hand, denn dieser hat sich mehr als jeder andere Übersetzer darum bemüht, den poetischen Reiz des Korans im Deutschen anschaulich zu machen. Hartmut Bobzin hat diese lang vergessene Koranübersetzung 1995 im Ergon-Verlag neu herausgegeben.

== 1.2. Zur Konzeption der Einführung ==
=== 1.2.1. Der zugrundegelegte Islam-Begriff ===
[[File:Map of the Muslim World.png|mini|links|Übersichtskarte zur muslimischen Weltbevölkerung]]
{| class=&quot;wikitable floatright&quot;
|- 
! colspan=&quot;4&quot; | Die zehn Länder mit der &lt;/br&gt; größten muslimischen Bevölkerung 2025&lt;ref&gt;[https://worldreligiondatabase.org/ World Religion Database, Boston University], abgerufen am 14.10.2025.&lt;/ref&gt;
|-
! !! Land !! Anzahl in &lt;br /&gt; Millionen !! % an muslimischer &lt;/br&gt; Weltbevölkerung 
|-
| 1 || Pakistan  || style=&quot;text-align:right&quot; | 243 || style=&quot;text-align:right&quot; | 11,6
|-
| 2 || [[w:Islam in Indonesien|Indonesien]] || style=&quot;text-align:right&quot; | 222 || style=&quot;text-align:right&quot; | 10,6
|-
| 3 || [[w:Islam in Indien|Indien]] || style=&quot;text-align:right&quot; | 196 || style=&quot;text-align:right&quot; | 9,3
|-
| 4 || Bangladesch || style=&quot;text-align:right&quot; | 156 || style=&quot;text-align:right&quot; | 7,4
|-
| 5 || Nigeria || style=&quot;text-align:right&quot; | 110 || style=&quot;text-align:right&quot; | 5,2
|-
| 6 || Ägypten || style=&quot;text-align:right&quot; | 107 || style=&quot;text-align:right&quot; | 5,1
|-
| 7 || Iran || style=&quot;text-align:right&quot; | 91 || style=&quot;text-align:right&quot; | 4,3
|-
| 8 || Türkei || style=&quot;text-align:right&quot; | 86 || style=&quot;text-align:right&quot; | 4,1
|-
| 9 || Sudan || style=&quot;text-align:right&quot; | 47 || style=&quot;text-align:right&quot; | 2,2
|-
| 10 || Algerien || style=&quot;text-align:right&quot; | 47 || style=&quot;text-align:right&quot; | 2,2
|-
!  !! Summe !! style=&quot;text-align:right&quot; | 1.305 !! style=&quot;text-align:right&quot; | 62,1
|}
Thema dieser Vorlesung ist der Islam, eine Religion mit ca. 2,1 Milliarden Anhängern, was einem Viertel der Weltbevölkerung entspricht. Auf einen wichtigen Punkt muss hier gleich am Anfang hingewiesen werden: nur ein Viertel der Muslime lebt heute in der sogenannten [[w:MENA-Region|MENA-Region]] ([[w:Vorderasien|Vorderasien]] und [[w:Nordafrika|Nordafrika]]). Knapp die Hälfte der Muslime (47 %) dagegen lebt in [[w:Südasien|Süd-]] und [[w:Südostasien|Südostasien]]. Der Rest verteilt sich auf das [[w:Subsaharisches Afrika|subsaharische Afrika]] (18 Prozent), [[w:Zentralasien|Zentralasien]] (3,5 %), [[w:Europa|Europa]] mit Russland (2,3 %) und Amerika (0,3 %). Die demographische Verteilung der Muslime in der Welt spiegelt sich auch in der Konzeption dieser Vorlesung wieder: es beschränkt sich keineswegs auf die MENA-Region, sondern widmet auch den anderen Regionen der Islamischen Welt große Aufmerksamkeit.

Der Begriff „Islam“ leitet sich von dem arabischen Verb ''aslama'' „übergeben, sich ergeben, sich hingeben“ ab. Dieses Verb kommt an verschiedenen Stellen im Koran vor. So heißt es zum Beispiel in [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/112 Q 2:112]: „Wer sein Angesicht Gott hingibt (''aslama'') und dabei rechtschaffen ist, dem steht bei seinem Herrn ein Lohn zu“ und in [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/22/vers/34 Q 22:34]: „Euer Gott ist ein einziger Gott. Ihm müsst ihr euch ergeben“. ''Islām'' ist das Verbalnomen (oder der substantivierte Infinitiv) zu ''aslama'': das Sich-Ergeben oder die Hingebung. Schon im Koran selbst wird es als Bezeichnung für eine Religion (''dīn'') verwendet: „Als Religion gilt bei Gott der Islam“ ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/3/vers/19 Q 3:19]) und „Ich habe für euch den Islam als Religion erwählt“ ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/5/vers/3 Q 5:3]). Derjenige, der sich ergibt oder hingibt, also den Islam ausübt, ist ein Muslim. Rein grammatisch betrachtet, ist ''muslim'' das Partizip Aktiv zu dem Verb ''aslama''.

Schon im Koran selbst wird eine interessante Unterscheidung getroffen, nämlich zwischen der Annahme des Islams (''islām'') und der Annahme des Glaubens ([[w:Īmān|Īmān]]). So werden zum Beispiel in [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/49/vers/14 Q 49:14] die Araber der Wüste aufgefordert, nicht zu sagen, „Wir haben den Glauben angenommen“, sondern „Wir haben den Islam angenommen“, weil der Glaube noch nicht in ihre Herzen eingegangen sei. An derartige Aussagen knüpft sich die Vorstellung, dass derjenige, der den Islam angenommen hat, also ein Muslim ist, nicht unbedingt ein „Gläubiger“, also ein [[w:Mu'min|Mu'min]], sein muss. Die Definition des Islams ist demnach weniger eng als die des Glaubens. Was'' islām'' ursprünglich bedeutete, wenn damit nicht der Glaube gemeint ist, ist nicht eindeutig geklärt. Meïr Bravmann, der den Sprachgebrauch des Wortes in der altarabischen Literatur untersucht hat, meint, dass er in der frühislamischen Gemeinschaft, die stark auf den [[w:Dschihad|Dschihad]] ausgerichtet war, die Bereitschaft zur Selbstaufopferung im Kampf bezeichnete.

[[File:Fünf Säulen des Islam.svg|mini|links|Dass der Islam auf „fünf Säulen“ ruht, ist heute meist das Erste, was Kinder in der Schule über den Islam lernen.]]
Seit Ende des 7. Jahrhunderts (vgl. dazu unten [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 05#5.3.5. ʿAbdallāh ibn ʿUmar und die fünf Säulen des Islams|5.3.5.]]) ist die Vorstellung nachweisbar, dass der Islam insgesamt auf fünf Säulen ruht: 1. dem Glauben an Gott und seinen Gesandten; 2. den fünf [[w:Salāt|Gebeten]], 3. dem [[w:Ramadan|Ramadān]]-Fasten, 4. der Entrichtung der [[w:Zakāt|Zakāt]], und 5. der [[w:Haddsch|Haddsch]]-Wallfahrt. Auf all diese Dinge wird im weiteren Verlauf der Vorlesung noch weiter eingegangen. Das Konzept von den fünf Säulen des Islams wurde später in Form des sogenannten [[w:Gabriel-Hadith|Gabriel-Hadith]] auf den Propheten zurückgeführt. Er hat Eingang in die wichtigsten islamischen Traditionssammlungen gefunden.

Der Islam hatte von Anfang an auch eine politische Dimension, und zwar dadurch, dass Muhammad, der Begründer dieser Religion, in [[w:Medina|Medina]] selbst ein eigenes Staatswesen errichtet hat. Muhammads politische Funktion und sein militärischer Erfolg sind auch Punkte, die ihn von den meisten anderen Religionsstiftern unterscheiden. Der von Muhammad begründete Staat wurde nach seinem Tode durch die sogenannten Kalifen fortgeführt. In der islamischen Völkerrechtslehre wird er als [[w:Dār al-Islām|Dār al-Islām]] („Haus des Islams“) bezeichnet (vgl. unten [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 06#Syrien|6.4.1.3.]]). Die politische Dimension des Islams wurde erst im Laufe des 19. Jahrhunderts im Zuge der Begegnung von reformgesinnten Muslimen mit der westlichen Rechts- und Werteordnung in Frage gestellt und abgeschwächt. Im Zuge des Reislamisierungsprozesses des späten 20. Jahrhundert sind allerdings viele Muslime wieder zu der Auffassung zurückgekehrt, dass der Islam auch in Form eines eigenen Staatswesens gelebt werden müsse. Mehrere heute existierende islamische Staaten sehen sich mehr oder weniger in der Nachfolge des Staates von Medina. Die politische Ideologie, die in Fortsetzung klassischer Lehren nach Wiedererrichtung eines islamischen Staates strebt, wird heute allgemein als „Islamismus“ oder „politischer Islam“ bezeichnet. Allerdings ist mittlerweile auf internationaler Ebene an die Stelle des einen islamischen Staates eine ganze Staatenfamilie getreten, nämlich die [[w:Organisation für Islamische Zusammenarbeit|Organisation für Islamische Zusammenarbeit]] (OIC) mit Sitz in [[w:Dschidda|Dschidda]].
  
In den europäischen Sprachen wurde dem Begriff „Islam“ ab dem 19. Jahrhundert eine sehr weite Bedeutung gegeben, insofern als man damit die Gesamtheit der muslimischen Völker, Länder und Staaten mit der ihnen eigenen Kultur bezeichnet hat. So kommt es auch, dass bis heute die [[w:Encyclopaedia of Islam|Encyclopaedia of Islam]], das wichtigste Nachschlagewerk der Islamwissenschaft, nicht allein die islamische Religion behandelt, sondern die gesamte Zivilisation der Länder mit muslimischer Bevölkerungsmehrheit, mit Schwerpunkt allerdings auf dem Vorderen Orient. Ähnlich weit fassen den Islam übrigens auch viele Islamisten. So erklärte zum Beispiel im Jahre 1939 [[w:Hasan al-Bannā|Hasan al-Bannā]], der Begründer der [[w:Muslimbrüder|Muslimbruderschaft]], dass der Islam „Bekenntnis und Gottesdienst, Heimatland und Nationalität, Religion (''dīn'') und Staat (''daula''), Spiritualität und Arbeit, Koran und Schwert“ sei (vgl. unten [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 12#12.1.2. Aufbruch der muslimischen Jugend: die Muslimbruderschaft und die Tablīghī Dschamāʿat|12.1.2.]]).

Die Frage, was der Islam ist und was er alles umfasst, wird also zum Teil sehr unterschiedlich beurteilt. In dieser Einführung wird ein Islam-Begriff zugrundelegt, der „Islam“ enger fasst als eine Zivilisation, aber dennoch nicht auf den Bereich der Religion reduziert. Als relevant betrachtet werden zunächst alle Strömungen, Bewegungen, Organisationen und Institutionen, die sich selbst als „islamisch“ bezeichnen, sowie Ideen und Konzepte, die von Muslimen als „islamisch“ deklariert worden sind (explizite Islamizität). Darüber hinaus werden solche Sachverhalte behandelt, die einen erkennbaren direkten oder indirekten Bezug zum Koran, zu Muhammad oder Mekka aufweisen (implizite Islamizität). Dies lässt sich damit begründen, dass der [[w:Koran|Koran]] der zentrale heilige Text, [[w:Mohammed|Muhammad]] die zentrale heilige Person und [[w:Mekka|Mekka]] der zentrale heilige Ort des Islams ist. Schließlich werden auch Ereignisse, Entwicklungen, Gruppen und Personen berücksichtigt, die für die Verbreitungsgeschichte des Islams von großer Bedeutung sind.

=== 1.2.2. Der historische Zugang ===
Grundsätzlich bieten sich bei der Darstellung einer Religion zwei verschiedene Herangehensweisen an. Bei der systematischen Herangehensweise werden nacheinander die verschiedenen Teilbereiche und Dimensionen der betreffenden Religion betrachtet, zum Beispiel die Gottesvorstellungen, die Mythologie, die Heiligen Schriften, die Schöpfungsvorstellungen, die Rituale, die Ethik, die rechtlichen und gesellschaftlichen Dimensionen, die politischen Konzepte usw. Eine solche Darstellungsweise hat den Vorteil, dass inhaltlich zusammengehörige Phänomene im Zusammenhang betrachtet werden können und dadurch manchmal größere Anschaulichkeit erhalten. Eine Gefahr bei dieser Darstellungsweise besteht allerdings darin, dass in den Köpfen der Zuhörer und Leser schnell ein [[w:Essentialismus|essentialistisches]] Bild von der betreffenden Religion entsteht, weil sie als unveränderlich und statisch wahrgenommen wird. 

Als Alternative bietet sich die historisierende Darstellungsweise an, die bei der Beschreibung der einzelnen Sachverhalte jeweils den historischen Zusammenhang berücksichtigt und somit [[w:Anachronismus|anachronistischen]] Vorstellungen entgegenwirkt. Es kann zum Beispiel auf diese Weise gezeigt werden, dass Phänomene, die heute mit der betreffenden Religion untrennbar verbunden scheinen, erst zu einem bestimmten Zeitpunkt in einer speziellen politischen und kulturellen Situation aufgekommen sind. Das Gleiche gilt auch für die verschiedenen islamischen Strömungen, deren Lehren häufig nur vor dem Hintergrund ihres Entstehungszusammenhangs verständlich werden. Die historische Darstellungsweise leitet allgemein zum kritischen Denken an, weil sie die Möglichkeit gibt, Vorstellungen und Normen in ihrer historischen Gewordenheit zu verstehen und damit auch kritisch hinsichtlich ihrer Allgemeingültigkeit zu hinterfragen. Sie zeigt auch auf, wie stark die Diskurse von den jeweils herrschenden Machtverhältnissen bestimmt werden. Ich habe mich deswegen in dieser Einführung in den Islam für die historische Herangehensweise entschieden. Dies hat auch Auswirkungen darauf, wie in ihren ersten Kapiteln der Koran behandelt wird: nicht als überzeitlicher heiliger Text, sondern als historisches Dokument, das die Entwicklung der Vorstellungen des islamischen Religionsstifters und seiner Umgebung widerspiegelt.

Bei der Darstellung der Entwicklungen, Ereignisse, Persönlichkeiten und Strömungen früherer Epochen kann schnell der Eindruck aufkommen, dass all diese Dinge nichts mit der Gegenwart zu tun haben. Dieser Eindruck täuscht jedoch, denn zum einen spielt die Erinnerung an die religiös-politischen Geschehnisse der islamischen Vergangenheit eine enorm wichtige Rolle im [[w:Kollektives Gedächtnis|kollektiven Gedächtnis]] der heutigen Muslime, zum anderen wird auch in allen religiös gefärbten Diskussionen, die in der Gegenwart unter Muslimen über Gesellschaft und Politik geführt werden, auf diese vergangenen Geschehnisse Bezug genommen. Die Beschäftigung mit vergangenen Entwicklungen ist also unabdinglich für das Verständnis heutiger islamischer Diskurse. Auch die Rituale, die den religiösen Alltag der heutigen Muslime prägen wie das rituelle Gebet, der [[w:Freitagsgebet|Freitagsgottesdienst]], das Ramadān-Fasten und die Wallfahrt nach Mekka, sind zu einer bestimmten Zeit eingeführt worden und haben im Laufe der Zeit Veränderungen erfahren. Indem in dieser Vorlesung die historischen Umstände, unter denen diese Rituale eingeführt und verändert wurden, in den Blick genommen werden, soll das Bewusstsein für ihre gesellschaftliche und politische Bedeutung, die sich jeweils in einer bestimmten historischen Situation konkretisiert, geweckt werden.

Ein Leitgedanke in meiner Darstellung ist, dass sich die Geschichte des Islams in Synthesen vollzieht. Dieser Gedanke knüpft in gewisser Weise an die [[w:Dialektik|dialektische]] Philosophie [[w:Georg Wilhelm Friedrich Hegel|Hegels]] an. Meine These ist, dass sich in jeder Epoche des Islams neue [[w:Widerspruch (Dialektik)|Antagonismen]] ergeben, die dann in Form einer [[w:Dialektische Aufhebung|Dialektischen Aufhebung]] überbrückt werden. Hierbei schreitet die Geschichte voran, und es wird eine höhere Entwicklungsstufe erreicht, in der die einzelnen Vorstellungen und Normen zum Teil auch neue Funktionen erhalten. Auch die Entstehung des Islams selbst lässt sich in dieser Weise als dialektische Aufhebung eines Gegensatzes deuten, desjenigen nämlich zwischen dem einheimischen [[w:Polytheismus|Polytheismus]] und den von außen eindringenden monotheistischen Religionen im spätantiken Arabien.

=== 1.2.3. Die zeitliche Gliederung ===
Nicht alle Zeiträume der islamischen Geschichte erhalten in dieser Vorlesung die gleiche Aufmerksamkeit. Schwerpunktmäßig werden die formative Phase sowie die gegenwartsnahe Geschichte des Islams behandelt. Die formative Phase des Islams, die Periode vom frühen 7. Jahrhundert bis zum frühen 10. Jahrhundert verdient deswegen besondere Aufmerksamkeit, weil in ihr fast das gesamte  Normen-, Werte- und Ideensystem, das bis heute für den Islam kennzeichnend ist, sowie viele islamische Strömungen, die bis heute existieren, entstanden sind. Die gegenwartsnahe Geschichte des Islams wird aus dem einfachen Grunde eingehender betrachtet, weil sie uns zeitlich näher steht und uns deswegen auch stärker betrifft. Die dazwischen liegenden Perioden, der Zeitraum zwischen 930 und 1813, sollen aber mit ihren wichtigen religionsgeschichtlichen Entwicklungen keineswegs vernachlässigt werden. Ihnen sind in dieser Einführung insgesamt drei Sitzungen gewidmet, was in einer Einführung zum Islam keineswegs selbstverständlich ist. Bei den einzelnen betrachteten Zeiträumen geht es nicht nur darum, das jeweils Neue herauszustellen, sondern auch die Elemente der Kontinuität aufzuzeigen.

Wichtig ist mir in dieser Vorlesung, die Autonomie der Geschichte des Islams herauszustellen. Bei der Periodisierung orientiere ich mich nicht an westlichen Epocheneinteilungen, sondern an den die ganze islamische Welt betreffenden Verschiebungen im religiös-politischen Bereich. Wie aber lassen sich solche Verschiebungen erkennen? Mekka ist nicht nur die Stadt, an dem Muhammad seine neue Religion begründete, sondern sie gilt bis heute auch als die wichtigste Heilige Stätte des Islams und bildet das religiöse Zentrum der islamischen Welt. Im Laufe der Zeit hat die Oberherrschaft über diese Stadt immer wieder gewechselt. Da diese Herrschaftswechsel Auswirkungen auf die gesamte islamische Welt hatten und auch die religiös-politische Großwetterlage beeinflussten, habe ich sie in meiner Vorlesung als Mittel für die Epocheneinteilung verwendet. Nur bei der Periodisierung der letzten Jahrzehnte bin ich von diesem Ordnungsprinzip abgewichen, weil die Machtverhältnisse in Mekka während dieses Zeitraums relativ stabil blieben, andere globale Verschiebungen jedoch stark auf das islamische Feld einwirkten.

== 1.3. Die Situation im spätantiken Arabien und ihr Einfluss auf den Islam ==
Mekka, die Stadt, in der Muhammad seine neue Religion begründete, liegt im Westen der arabischen Halbinsel. Im Koran, dem Buch, das gewissermaßen den Gründungstext dieser neuen Religion darstellt, wird an verschiedenen Stellen (vgl. z.B. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/33/vers/33 Q 33:33]) der Bruch mit den arabischen Bräuchen der vorislamischen Zeit, der sogenannten [[w:Dschāhilīya|Dschāhilīya]], betont. Allerdings weist der Islam auch viele Elemente der Kontinuität gegenüber der vorislamischen arabischen Kultur auf. Das Wichtigste davon ist die [[w:arabische Sprache|arabische Sprache]]. Sie hat eine lange Geschichte, die in das erste Jahrtausend vor Christus zurückreicht und in ihrer dialektalen Vielfalt durch Inschriften recht gut dokumentiert ist. Dadurch, dass auch der Koran in arabischer Sprache gehalten ist, hat diese Sprache in der islamischen Kultur eine geradezu heilige Stellung erhalten. In den folgenden Abschnitten werden noch verschiedene andere Vorstellungen und Institutionen des spätantiken Arabiens vorgestellt, an die der Islam angeknüpft hat.

=== 1.3.1. Die altarabische Stammesgesellschaft ===
[[File:Map of Arabia 600 AD.svg|mini|Tribale Gruppen auf der arabischen Halbinsel zur Zeit Muhammads]]
Die altarabische Gesellschaft war stammesmäßig organisiert, und das Individuum definierte sich primär durch seine tribale Zugehörigkeit. Der Koran erkennt diese gesellschaftliche Realität an, in dem er in [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/49/vers/13 Sure 49:13] an die Menschen gerichtet sagt: „Wir haben euch zu Verbänden und Stämmen gemacht, damit ihr euch untereinander kennt.“ Der einzelne Mensch war also nur durch seine Einordnung in dieses System von Verbänden und Stämmen, die nach innen wiederum in verschiedene Clane und Familien aufgegliedert waren, identifizierbar. Die große Bedeutung, die die alten Araber dieser Form der Identifizierung beimaßen, lässt sich daran erkennen, dass sie bei Nennung von Personen jeweils auch deren verbandsmäßige Zugehörigkeit angaben, und zwar durch die ''nisba'', ein Adjektiv, das mit dem Suffix -ī gebildet wird. So ist zum Beispiel al-Kindī die Nisba zum Stamm [[w:Kinda (Arabien)|Kinda]], at-Tanūchī die Nisba zum Stamm Tanūch und al-Machzūmī die Nisba zum Clan [[w:Machzūm|Machzūm]]. Eine noch genauere Verortung des Individuums in diesem System erfolgte durch den sogenannten ''nasab'', die Abstammungslinie. Sie setzt den Menschen über eine Filiation zu mythischen Vorfahren in Beziehung, die einer oder mehreren tribalen Gruppen gemeinsam sind. Die einzelnen Glieder auf dieser Kette von Vorfahren werden üblicherweise durch das Wort ''ibn'' „Sohn (des)...“ (abgekürzt b.) aneinandergereiht. Wenn es sich um Frauen handelt, steht ''bint'' „Tochter von“. Der Prophet zum Beispiel hatte den Nasab: Muhammad ibn ʿAbdallāh ibn ʿAbd al-Muttalib ibn Hāschim ibn ʿAbdmanāf ibn Qusaiy ibn Kilāb ibn Murra ibn Kaʿb ibn Lu'aiy ibn Ghālib ibn Fihr ibn Mālik ibn an-Nadr ibn Kināna. Auch die tribalen Verbände selbst wurden in dieser Weise über einen Nasab definiert. Bei ihnen wurde die Abstammung von einem gemeinsamen Vorfahren oder einer gemeinsamen Vorfahrin nicht durch ''ibn'' oder ''bint'', sondern das Wort ''banū'' (Söhne von…) angezeigt.
 
Die meisten arabischen Stämme lebten nomadisch in den wüsten- und steppenartigen Regionen der arabischen Halbinsel und betrieben Kamelzucht. Zur Erzielung von Beute unternahmen sie überfallartige Raubzüge auf andere Stämme und Siedlungen an der Grenze zum Fruchtland. Wichtigstes Ziel bei dieser Raubzugsaktivität, die [[w:Ghazw|Ghazw]] genannt wurde, war der Erwerb von Kamelen und Vieh. Bei vielen Raubzügen wurden aber auch Gefangene gemacht, die dann eine ganze Zeit als Sklaven Dienst leisten mussten. Bei weiblichen Sklaven war es üblich, dass diese ihren Herren auch sexuell zur Verfügung stehen mussten. Sklaverei war im ganzen vorislamischen Arabien weit verbreitet. Dieses Rechtsinstitut ist in den Islam übernommen worden. Auch im Haushalt Muhammads lebte anfangs ein Sklave, [[w:Zaid ibn Hāritha|Zaid ibn Hāritha]], der mit einer freigelassenen Abessinierin verheiratet war und mit dieser ein Kind hatte. Wenn Sklaven freigelassen wurden, verblieben sie weiter in einem Schutzverhältnis (''walāʾ'') zum Stamm oder Clan ihres früheren Besitzers. Als [[w:Mawālī|Mawālī]], also Schutzbefohlene, bildeten sie einen wichtigen Bestandteil der vorislamischen arabischen Gesellschaft.  

Neben den nomadisch lebenden Stämmen, den sogenannten Beduinen, gab es sesshafte Stämme, die Landwirtschaft oder Handel trieben. So war zum Beispiel die Stadt Yathrib einige hundert Kilometer nördlich von Mekka als eine Agglomeration von Oasen stark landwirtschaftlich ausgerichtet. Landwirtschaft wurde auch im südlichen Mesopotamien getrieben, dem Gebiet, das die Araber ''al-ʿIrāq'' („die fruchtbare Uferzone [von Euphrat und Tigris]“) nannten, woher auch der moderne Ländername Irak stammt. Mekka, die Heimatstadt Muhammads, zeichnete sich dadurch aus, dass sie stark auf den Handel ausgerichtet war.

[[File:Yemen Himyarite 330 AD.jpg|mini|Der Staat von [[w:Himyar|Himyar]] im Süden der arabischen Halbinsel]]
Unter den arabischen Stämmen gab es ein großes Machtgefälle. Einige waren eher schwach, andere hatten schon lange vor dem Islam eigene Staatswesen gegründet, wie etwa die [[w:Himyar|Himyar]] und Kinda in Südarabien, die [[w:Ghassaniden|Banū Ghassān]] in Südsyrien und die [[w:Lachmiden|Banū Lachm]] im Irak. An dieses Machtgefälle knüpfte sich das Konzept der Ehre (''šaraf''). Angeführt wurde der Stamm durch einen [[w:Sayyid|Saiyid]] („Herr“) oder [[w:Scheich|Scheich]]; einige Stammesoberhäupter führten sogar den Titel eines Königs (''malik''). Diesen Oberhäuptern gegenüber hatten die Angehörigen des Stammes einen Treueid ([[w:baiʿa|Baiʿa]]) zu leisten. Innerhalb des Stammes nahm außerdem der Dichter (''šāʿir'') eine äußerst wichtige Rolle ein. Indem er die Ruhmestaten des eigenen Stammes besang, konnte er das Zusammengehörigkeitsgefühl innerhalb dieses Verbandes stärken. Außerdem konnte er den Stamm beim Kampf durch dichterische Schmähung (''hiǧāʾ'') des Gegners unterstützen.

Innerhalb der Stämme kannte man bestimmte Normen des Zusammenlebens. Der Wert dieser Normen wurde auf die Tatsache zurückgeführt, dass sie auf „alter Rechtssetzung“ ([[w:Sunna|Sunna]]) beruhten. Da es keine gesonderten Institutionen gab, die im Falle einer Verletzung der Normen eingeschaltet werden konnten, wachte die Gruppe als ganze bzw. die Gruppen untereinander über deren Einhaltung. Es gab also durchaus auch Sanktionen. Gelang es in einem Streitfall den betroffenen Parteien nicht, eine Einigung zu erzielen, konnten sie einen Schiedsrichter (''ḥakam'') einschalten, der ihrer beiden Vertrauen genoss. Das wichtigste strafrechtliche Prinzip war der [[w:Qisās|Qisās]], nach dem jede Schädigung eine „Wiedervergeltung“ zur Folge haben musste. Bei Mord oder Totschlag implizierte das die [[w:Blutrache|Blutrache]]. Die durch die Rache bedrohte Gruppe konnte allerdings versuchen, diese durch das Angebot einer Wergeldzahlung ([[w:Diya (Islam)|Diya]]) abzuwenden. Der Qisās galt als ein lebenssicherndes Prinzip (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/179 Sure 2:179]), weil er abschreckend wirkte und dadurch von fortgesetztem Blutvergießen abhielt.

Neben der gewöhnlichen Blutsverwandtschaft gab es im alten Arabien noch die Institution der [[w:Milchverwandtschaft|Milchverwandtschaft]]. Hintergrund war der damals sehr verbreitete und später auch durch den Koran ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/233 Q 2:233]) sanktionierte Brauch, das Stillen der Kinder einer anderen Frau als der Mutter zu überlassen. Dieser Brauch kam offensichtlich auch bei Muhammad zur Anwendung, denn es wird berichtet, dass er als kleines Kind einer Amme namens [[w:Halīma bint Abī Dhuʾaib|Halīma]] aus dem nomadischen Stamm der Saʿd ibn Bakr anvertraut wurde, bei der er etwa zwei Jahre blieb. Das durch die Stillbeziehung hergestellte verwandtschaftliche Verhältnis bezog neben der [[w:Amme|Amme]] selbst deren Kinder sowie die Kinder, die von ihrer Brust getrunken hatten, ein und stand in seiner sozialen Bedeutung der Blutsverwandtschaft in nichts nach. Muhammad selbst fühlte sich zum Beispiel zeitlebens dem Stamm Saʿd ibn Bakr verbunden, obwohl dieser zeitweise mit seinen Gegnern paktiert hatte. Milchverwandtschaft schloss auch die Möglichkeit zur Heirat aus, eine Norm, die Eingang in den Koran ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/23 Q 4:23]) gefunden hat und somit auch für das islamische Normensystem bestimmend geworden ist.

=== 1.3.2. Geschlechterverhältnisse ===
Eine Besonderheit der spätantiken arabischen Gesellschaft war die Existenz uxorilokaler [[w:Besuchsehe|Besuchsehen]]. Es handelt sich um solche Ehen, bei denen das verheiratete Paar nicht zusammenlebte, sondern nur eine Besuchsbeziehung unterhielt. Über derartige Ehen sind wir durch aus vorislamischer Zeit stammende arabische Gedichte von Liebesaffären informiert. In vielen dieser Gedichte ist davon die Rede, dass der Mann die Frau in der Nacht im Zeltlager ihres Stammes besucht. In einigen Fällen tat er dies heimlich, in anderen ging er bei ihr für längere Zeit ohne Heimlichkeit ein und aus. Frauen, die solche Beziehungen eingingen, hatten auch die Möglichkeit, diese selbst zu beenden. In vielen Fällen unterhielten Frauen derartige Besuchsbeziehungen auch zu mehreren Männern. Berichte über uxorilokale Besuchsehen finden sich auch in den Überlieferungen über Muhammads Vorväter. So wird zum Beispiel über seinen Großvater [[w:ʿAbd al-Muttalib ibn Hāschim|ʿAbd al-Muttalib]] berichtet, dass er das Erzeugnis einer Besuchsehe war, die sein Vater [[w:Hāschim ibn ʿAbd Manāf|Hāschim]] mit einer vornehmen Dame in Yathrib abgeschlossen hatte, als er sich auf einer Geschäftsreise nach Palästina befand. Auch die Verbindung von Muhammads Eltern könnte diesem Ehetyp entsprochen haben. Es wird nämlich berichtet, dass seine Mutter [[w:Āmina bint Wahb|Āmina]] während der Ehe bei ihrem Clan Zuhra wohnen blieb, während ihr Mann [[w:ʿAbdallāh ibn ʿAbd al-Muttalib|ʿAbdallāh]] sie dort lediglich besuchte. In vielen Fällen war das System der Besuchsehen mit einem [[w:Matrilinearität|matrilinearen]] Verwandtschaftssystem verbunden. Das bedeutet, dass hier die Abstammung von der Mutter die verwandtschaftlichen Verhältnisse definiert, und auch das Erbe in der Mutterlinie weitergegeben wurde.

Die arabische Gesellschaft befand sich zur Zeit Muhammads allerdings in einem Umbruchsprozess weg von der matrilinearen und uxorilokalen Heiratsstruktur hin zu einem System, das patrilinear und virilokal ausgerichtet war. Bei diesen neuen Ehen zog die Braut bei der Heirat in das Haus des Mannes um und war dort seiner Autorität unterstellt. Der Ehemann, der mehrere solcher Ehen unterhalten konnte, war in diesem Fall auch der „Herr“ (''baʿl'') seiner Frauen und hatte das alleinige Recht zur Auflösung der Ehen. Wenn der Ehemann starb, ging das Verfügungsrecht über die Frau an dessen Erben über. Die neue islamische Geschlechterordnung entstand in Auseinandersetzung mit diesen beiden unterschiedlichen Eheformen.

=== 1.3.3. Das altarabische Heidentum und die Heiligtümer von Mekka ===
Unsere Informationen über die religiöse Situation im vorislamischen Arabien stammen im Wesentlichen aus den Werken der arabischen Traditionsliteratur; eines der bekanntesten monographischen Werke zu diesem Thema ist das sogenannte „Götzenbuch“ (''Kitāb al-Aṣnām'') von [[w:Ibn al-Kalbī|Ibn al-Kalbī]] (gest. 821). Diesen Quellen zufolge gab es zur Zeit des Propheten an zahlreichen Orten Arabiens Kultstätten, an denen lokale Gottheiten verehrt wurden. Einige von ihnen waren Astralgottheiten wie etwa Yaghūth, der als „Herr des [[w:Sirius|Hundssterns]]“ galt. Andere wurden als weiblich betrachtet wie zum Beispiel die Göttinnen [[w:al-Lāt|al-Lāt]], [[w:Manāt|Manāt]] und [[w:al-ʿUzzā|al-ʿUzzā]]. Die Gottheiten wurden an den verschiedenen Heiligtümern in Form von Idolen, d.h. heiligen Steinen (''anṣāb'', sg. ''nuṣb'') bzw. Standbildern verehrt. An diesen Heiligtümern wurden bestimmte Kulthandlungen wie die Opferung von Tieren oder Umläufe vollzogen.

[[File:Masjid al-Haram 1.jpg|thumb|Die Kaaba im Jahre 1907]]
Ein arabisches Heiligtum von überragender Bedeutung war die [[w:Kaaba|Kaaba]] in Mekka, ein würfelförmiges Gebäude (daher der Name ''al-Kaʿba'' = „Kubus“), in dessen Innerem sich ein Standbild des Gottes [[w:Hubal|Hubal]] befand. Dieses hatte divinatorische Funktion: man warf vor ihm Lospfeile, wenn man ein [[w:Orakel|Orakel]] begehrte. Ursprünglicher Gegenstand der Verehrung war ein [[w:Schwarzer Stein (Mekka)|Schwarzer Stein]], der in die östliche Ecke der Kaaba eingelassen war. Am hellen Morgen (''ḍuḥā'') wurde an dem Gebäude ein gemeinsames Gebet (''ṣalāt'') abgehalten, bei dem man eine Prosternation ([[w:Sudschūd|Sudschūd]]) vollzog. Eine Besonderheit dieses Heiligtums war, dass es von einem geheiligten Bezirk umgeben war. In diesem Bezirk, der [[w:Haram (heiliger Bezirk)|Haram]] genannte wurde, galten bestimmte Tabus (Tötungs-, Kampf- und Jagdverbot, auch wilde Pflanzen durften nicht abgeschnitten werden). Die Kaaba war auch Zielpunkt einer Wallfahrt, die [[w:ʿUmra|ʿUmra]] genannt wurde und aus einem siebenmaligen Umlauf ([[w:Tawāf|Tawāf]]) um das Gebäude bestand. Zu bestimmten feierlichen Anlässen wurde die Kaaba mit kostbaren Stoffen bedeckt und parfümiert. Um das Innere des Gebäudes vor den in Mekka häufigen [[w:Sturzfluten in Mekka|Sturzfluten]] zu schützen, wurde sein Boden Anfang des 7. Jahrhunderts auf Kopfhöhe angehoben. Ein Heiligtum von ähnlich großer Bedeutung befand sich in dem südwestarabischen Ort Tabāla zwischen Mekka und dem Jemen. Hier verehrten die Stämme der Daus, [[w:Chathʿam|Chathʿam]] und Badschīla die Gottheit [[w:Dhū l-Chalasa|Dhū l-Chalasa]] in Gestalt eines Kultsteins. Aufgrund seiner Beliebtheit als Wallfahrtsziel wurde das Heiligtum auch als die „südliche Kaaba“ (''al-Kaʿba al-yamānīya'') bezeichnet, im Gegensatz zur „nördlichen Kaaba“ (''al-Kaʿba aš-šāmīya'') in Mekka.
{| class=&quot;wikitable floatleft&quot;
|- 
! colspan=&quot;2&quot; | Die altarabischen Monate
|-
! Nr !! Name 
|-
| 1
| [[w:Safar|Safar I]]
|-
| 2
| Safar II
|-
| 3
| [[w:Rabīʿ al-awwal|Rabīʿ I]] 
|-
| 4
| [[w:Rabīʿ ath-thānī|Rabīʿ II]]
|-
| 5
| [[w:Dschumādā l-ūlā|Dschumādā I]]
|-
| 6
| [[w:Dschumādā th-thāniya|Dschumādā II]]
|-
| 7
| [[w:Radschab|Radschab]] 
|-
| 8
| [[w:Schaʿbān|Schaʿbān]]
|-
| 9
| [[w:Ramadan|Ramadān]]
|-
| 10
| [[w:Schawwāl|Schauwāl]]
|-
| 11
| [[w:Dhu l-qaʿda|Dhū l-Qaʿda]]
|-
| 12
| [[w:Dhū l-Hiddscha|Dhū l-Hiddscha]]
|}
{{Anker|Haddsch}}
Die Wallfahrten zu den verschiedenen Heiligtümern wurden nach einem [[w:Lunisolarkalender|Lunisolarkalender]] berechnet: Das Jahr begann im Herbst und bestand aus zwölf Mondmonaten, die von [[w:Neumond|Neumond]] zu Neumond gerechnet wurden; alle zwei oder drei Jahre wurde ein dreizehnter Monat angehängt, damit der Anfang des Jahres im Herbst beibehalten werden konnte. Dieses arabische Interkalationssystem wurde ''nasīʾ'', „Verschiebung“, genannt, weil es den ersten Monat des neuen Jahres verschob. Ein besonders wichtiger Termin im altarabischen Kalender war die als [[w:Haddsch|Haddsch]] bezeichnete Wallfahrt in dem nach ihr benannten Monat [[w:Dhū l-Hiddscha|Dhū l-Hiddscha]], der in vorislamischer Zeit im Herbst lag. Höhepunkt des Haddsch-Rituals war die große Pilgerversammlung am 9. Tag des Monats in [[w:ʿArafāt|ʿArafāt]], einer trockenen Gebirgsebene, die etwa 20 Kilometer östlich der Stadt Mekka liegt, bei der man vom Mittag bis zum Sonnenuntergang in der Ebene verweilte. Nach dieser Verweilzeremonie, die ''wuqūf'' genannt wurde, fand bei Sonnenuntergang die sogenannte ''ifāḍa'', das „Ausströmen“ zu dem etwa zwei Stunden entfernten Heiligtum von [[w:Muzdalifa|Muzdalifa]] statt. Hier wurde die Nacht wachend zugebracht. Bei Sonnenaufgang des 10. Tages wurden schließlich im näher an Mekka gelegenen Tal [[w:Minā|Minā]] Opfer dargebracht. Mit bestimmten Abwandlungen, auf die wir noch näher eingehen werden, ist dieses Ritual in den Islam übernommen worden.

[[File:Wuquf.JPG|mini|Heutige muslimische Pilger beim Wuqūf in der Ebene ʿArafāt]]
Aufgrund der Zeiten, zu denen der Lauf aus der ʿArafāt-Ebene nach Muzdalifa (Sonnenuntergang) und der Lauf von Muzdalifa nach Minā (Sonnenaufgang) in vorislamischer Zeit stattfanden, wird vermutet, dass dieser vorislamische Haddsch ein Ritual der [[w:Sonnenkult|Sonnenverehrung]] war. Der Haddsch hatte auch große wirtschaftliche Bedeutung, denn ihm gingen drei mehrtägige Märkte an verschiedenen Orten der Umgebung voraus, die gewissermaßen als Teil des Haddsch galten. Der letzte dieser Märkte fand vom 1. bis 8. Dhū l-Hiddscha in [[w:Dhū l-Madschāz|Dhū l-Madschāz]] statt, einem Ort mit kleinem Wasserlauf in der Nähe der Ebene ʿArafāt. Da es in ʿArafāt und in Muzdalifa kein Wasser gibt, nutzten die Pilger den letzten Markttag in Dhū l-Madschāz, um ihre Tiere dort zu tränken und sich selbst mit Wasser einzudecken. Deswegen wird bis heute der 8. Tag des Monat Dhū l-Hiddscha als „Tag der Tränkung“ (''yaum at-tarwiya'') bezeichnet.

Vier Monate des altarabischen Kalenders galten aufgrund der beiden genannten Wallfahrten als heilig: der Frühlingsmonat [[w:Radschab|Radschab]] wegen der ʿUmra, die vor allem in diesem Monat stattfand, und der Monat Dhū l-Hiddscha und die beiden Monate davor und danach wegen des Haddsch. Je nachdem, ob an das Jahr ein Schaltmonat angehängt wurde oder nicht, wurde der auf den Haddsch folgende erste Safar geheiligt oder nicht. Die ʿUmra bestand übrigens nicht nur aus der Umkreisung der Kaaba, sondern umfasste noch verschiedene andere Rituale wie den siebenmaligen Lauf (''saʿy'') zwischen den beiden Hügeln Safā und Marwa in der Nähe der Kaaba. In den heiligen Monaten galt eine allgemeine Friedenspflicht. Menschen, die sich auf eine der beiden Wallfahrten begeben wollten, mussten dafür in einen Weihezustand ([[w:Ihrām|Ihrām]]) eintreten, in dem sie ihre Haare nicht schneiden durften und auch das Leben wild lebender Tiere nicht antasten durften. Die Beendigung dieses Weihezustandes wurde zum Abschluss der Wallfahrt durch das Scheren des Haares und das Schlachten von Tieren symbolisiert. Beim Haddsch geschah dies in Minā, bei der ʿUmra im Bereich der Kaaba.

=== 1.3.4. Magische Bräuche; Opfer- und Reinigungsrituale ===
Darüber hinaus gibt es eine ganze Anzahl von magischen Bräuchen aus dem spätantiken Arabien, die Eingang in den Islam gefunden haben. Hierzu gehört zum Beispiel der Brauch, dass Personen nicht direkt mit ihrem Namen (''ism''), sondern nur indirekt als „Vater“ (''Abū'') bzw. „Mutter“ (''Umm'') ihres erstgeborenen Sohnes angesprochen wurden. Hintergrund ist wahrscheinlich das bei vielen frühen Völkern verbreitete Namenstabu. An die Stelle des Sohnesnamens konnte auch ein Nomen treten, das ein besonderes Attribut des Namensträgers hervorhob. Diese [[w:Kunya|Kunya]]-Namen sind ein fester Bestandteil islamischer Namensgebung geworden.
 
Ein weiteres markantes Beispiel ist der ''istisqāʾ'', die Regenbitte. Die Zeremonie, die in einer öffentlichen Versammlung stattfand, wurde üblicherweise von einem Stammesführer in Anwesenheit eines heiligen Mannes verrichtet. Die Anwesenden wendeten dabei ihr Obergewand um. Der Brauch wurde auch in den Islam übernommen und ist bis heute als Gebetsritus allgemein akzeptiert. Grundlegend sowohl im paganen als auch im islamischen Ritus ist die Vorstellung, dass das Gebet der Gemeinde durch die Gottesnähe des heiligen Mannes die Kraft besitzt, auf den Willen Gottes einzuwirken. In der islamischen Hagiographie finden sich viele Berichte über heilige Männer, die durch ihr Bittgebet die Regennot beendeten, eine Kraft, die manchmal auch ihren Gräbern zugeschrieben wurde.

Ein weiterer Brauch, der aus dem vorislamischen Arabien übernommen wurde, ist die sogenannte [[w:ʿAqīqa|ʿAqīqa]]-Zeremonie wenige Tage nach der Geburt eines Knaben. Hierbei brachte man ein Opfertier dar und spendete dessen Fleisch als Almosen. Der Kopf des Knaben wurde anschließend mit dem Opferblut des Tieres benetzt. Diese Zeremonie hat sich mit dem Islam verbreitet und wird noch heute in vielen islamischen Ländern ausgeführt. Heute ist sie zumeist mit der Namengebung für das Kind verbunden.
 
Darüber hinaus war in der Gedankenwelt der vorislamischen Araber auch der Glaube an geisterhafte Wesen, die [[w:Dschinn|Dschinn]] genannt wurden, tief verwurzelt. Verbreitet war die Vorstellung, dass sich die Dschinn an den Rändern der Himmelssphären aufhalten, um dort Wissen über das Verborgene zu erlauschen, das sie erwählten irdischen Empfängern, vor allem Dichtern weitergeben. Über den Koran, der den Dschinn eine eigene Sure ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/72/vers/1 Q 72]) widmet und sie noch an vielen anderen Stellen erwähnt, hat der Glaube an diese Wesen auch Eingang in den Islam gefunden. Vor allem im Volksglauben spielen die Dschinn bis heute eine bedeutende Rolle. Da sie als Verursacher von Krankheiten und Besessenheit gelten, versuchen viele Muslime, sich mit Amuletten und speziellen Gebets- und Zauberformeln vor ihrer negativen Wirkung zu schützen. Daneben werden in vielen islamischen Ländern exorzistische Praktiken angewandt, um von Dschinn besessene Menschen zu heilen.

[[Datei:Miswak2.jpg|mini|[[w:Miswāk|Miswāk]]-Hölzer vom [[w:Zahnbürstenbaum|Arakbaum]]]]
In ganz Arabien war schon in vorislamischer Zeit die Beschneidung (''ḫitān'') üblich. Unbeschnitten zu sein galt als große Schmach. Diese Vorstellung wurde im Islam stillschweigend übernommen. Neben der Knabenbeschneidung war auch die Mädchenbeschneidung verbreitet. Nach einer Überlieferung, die in verschiedenen Hadith-Sammlungen überliefert ist, soll Muhammad einer der „Klitorisbeschneiderinnen“ (''muqaṭṭiʿāt al-buẓūr'') sogar ausdrücklich erlaubt haben, ihr Handwerk weiter auszuüben, wenn sie nicht zu tief schneide. Unter Berufung auf diese [[w:Sunna|Sunna]] wird bis heute in einigen islamischen Ländern wie Ägypten, Jemen und Indonesien bei Mädchen eine „leichte Beschneidung“ durchgeführt.

Zur Zahnreinigung benutzte man wie in Ostafrika und Indien die Wurzelhölzer vom [[w:Zahnbürstenbaum|Arakbaum]] (''Salvadora persica''), die auf Arabisch als [[w:Miswāk|Miswāk]] bzw. ''siwāk''  bezeichnet werden. Es handelt sich um fluorhaltige Hölzchen, die bei der Benutzung zerfasern und sich insofern sehr gut als Zahnbürsten eignen. Da von Muhammad überliefert ist, dass er diese Hölzer gerne benutzte, halten bis heute auch viele Muslime ihre Benutzung für empfehlenswert.

=== 1.3.5. Die spätantiken Großreiche und der Stamm der Quraisch ===
[[File:Justinian Byzanz.png|mini|links|Das Oströmische Reich und das Sassanidenreich im 6. Jahrhundert n.Chr.]]
Arabien lag um 600 am Rande bedeutender Reiche. Im Norden stritten das [[w:Byzantinisches Reich|Oströmische Reich]] und das persische [[w:Sassanidenreich|Sassanidenreich]] um Einfluss und Kontrolle. Das Oströmische Reich, auch Byzanz genannt, umfasste die Länder des Östlichen Mittelmeergebiets (Kleinasien, Syrien) einschließlich eines Teils von Nordafrika (v.a. Ägypten), das persische Sasanidenreich dehnte sich von Mesopotamien über Persien bis nach Nordwest-Indien und Zentralasien aus. Die sasanidische Hauptstadt [[w:Seleukia-Ktesiphon|Ktesiphon]] lag allerdings im Irak und war somit nicht weit entfernt.

Mehrere arabische Stammesstaaten standen Ende des 6. Jahrhunderts in einem Vasallenverhältnis zu diesen Reichen. Die [[w:Ghassaniden|Banū Ghassān]] in Syrien waren Vasallen von Byzanz. Ihre Residenz war die Zeltstadt [[w:al-Dschābiya|al-Dschābiya]] im [[w:Golanhöhen|Golan]]. Die Sasaniden hatten eine ganze Reihe von arabischen Vasallen, denen jeweils vor Ort ein sassanidischer Gouverneur zur Seite stand: im Grenzgebiet zwischen Irak und arabischer Wüste herrschten die [[w:Lachmiden|Lachmiden]] mit Residenz in [[w:al-Hīra|al-Hīra]], in Bahrain (damals Bezeichnung für die gesamte arabische Golfküste) der tamīmitische Stammesfürst al-Mundhir ibn Sāwā, in [[w:Oman|Oman]] König Dschulandā ibn al-Mustakbir aus dem arabischen Stamm [[w:Azd (Stamm)|Azd]], und im Jemen der Marionettenherrscher Saif ibn Dhī Yazan aus dem Stamm der Himyar.
 
Eines der wenigen Gebiete auf der arabischen Halbinsel, die in dieser Zeit ihre politische Eigenständigkeit behaupten konnten, war der westarabische [[w:Hedschas|Hidschāz]] mit den Städten [[w:Mekka|Mekka]], [[w:Medina|Yathrib]] und [[w:Taif|at-Tā'if]]. Über Mekka herrschte der Stamm [[w:Quraisch|Quraisch]], der sich als Zweig des nordarabischen Stammes der [[w:Kināna|Kināna]] betrachtete. Die nordarabischen Stämme führten im Gegensatz zu den südarabischen Stämmen ihren Stammbau auf [[w:Abraham|Abraham]] zurück. Das steht nicht im Gegensatz zu damals verbreiteten Vorstellungen. Schon frühe christliche Kirchenhistoriker nahmen die Abstammung der Araber von Abraham über seinen von der Magd [[w:Hagar|Hagar]] geborenen Sohn [[w:Ismael|Ismael]] als sicher an. Zusammen mit den Kināna und den [[w:Chuzāʿa|Chuzāʿa]] bildeten die Quraisch eine auf den Heiligen Bezirk ([[w:Haram (heiliger Bezirk)|Haram]]) von Mekka bezogene [[w:Amphiktyonie|Amphiktyonie]]. Ihre Mitglieder wurden als „Geheiligte“ (''ḥums'')  bezeichnet und mussten während des Weihezustands bestimmte Tabus einhalten. Ihnen standen die übrigen Araber, die „Profane“ (''ḥilla''), gegenüber, die zwar diese Tabus nicht einzuhalten brauchten, dafür den Umlauf um die Kaaba aber nur nackt vollziehen durften, oder in Kleidern, die sie von den Geheiligten geliehen hatten.

[[File:Stammbaum Quraisch.png|mini|350px]] 
Die Quraisch gliederten sich in verschiedene Clane. Sechs davon, die ʿAbd ad-Dār, die [[w:ʿAbd Schams ibn ʿAbd Manāf|ʿAbd Schams]], die Banū Naufal, die [[w:Banū Hāschim|Banū Hāschim]], die Banū al-Muttalib und die Banū Asad genossen als Nachfahren von [[w:Qusaiy ibn Kilāb|Qusaiy ibn Kilāb]] besonderes Ansehen. Qusaiy gilt als der eigentliche Gründer von Mekka. Er hatte nach der arabischen Überlieferung fünf Generationen vor Muhammad die Herrschaft über den Ort dem südarabischen Stamm der Chuzāʿa entwunden und den Kult um die Kaaba neu geordnet. So soll er zum Beispiel die Grenzen des Haram genau bestimmt und durch Steinmale markiert haben. Zu den kultischen, politischen und militärischen Ämtern, die Qusaiy nach der Überlieferung in Mekka eingeführt hatte, gehörten das 1. Pförternamt der Kaaba, 2. die Tränkung der Pilger, 3. die Bewirtung der Pilger, 4. der Vorsitz in der Ratsversammlung, 5. das Führen der Standarte, das mit dem Recht, Krieg zu erklären, verbunden war, und 6. der Oberbefehl im Krieg. Für die Ratsversammlung, in der die verschiedenen Clane der Quraisch vertreten waren, soll Qusaiy selbst in Mekka ein Versammlungshaus errichtet haben, das [[w:Dār an-Nadwa|Dār an-Nadwa]] genannt und auch für die Abhaltung von Zeremonien (Eheschließungen, Beschneidungsfeiern usw.) verwendet wurde. Im frühen 7. Jahrhundert befanden sich diese Ämter in der Hand von Qusaiys Nachkommen: Während die ʿAbd ad-Dār das Pförtneramt der Kaaba innehatten und das Dār an-Nadwa erbten, besorgten die Banū Hāschim die Tränkung und Bewirtung der Mekka-Pilger; die ʿAbd Schams schließlich führten die Kriegsstandarte.

Nach außen hin verfügten die Quraisch über ein Netzwerk von Bündnissen mit anderen Stämmen auf der arabischen Halbinsel. Mit ihnen zusammen versuchten sie die Handelswege auf der arabischen Halbinsel unter ihre Kontrolle zu bringen. Hierbei gelangten sie manchmal auch in Konflikt mit anderen Stammesbündnissen wie zum Beispiel bei dem sogenannten Fidschār-Krieg (ca. 590). Er wurde deswegen so genannt weil die Kriegshandlungen während der Heiligen Monate (vgl. oben [[#1.3.3._Das altarabische Heidentum und die Heiligtümer von Mekka|1.3.3.]]) stattfanden, was ein Sakrileg (''fiǧār'') darstellte. Die wichtigsten Handelspartner von Mekka waren Südarabien, das in Mekka als „das Land zur Rechten“ (''Yaman'', daher unser Wort Jemen) bezeichnet wurde, und Syrien, „das Land zur Linken“ (''Šaʾm''). Die islamische Tradition überliefert im Zusammenhang mit der im Koran erwähnten „Reise des Sommers und des Winters“ ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/106/vers/2 Q 106:2]), dass die Quraisch jeweils im Sommer eine Karawanenreise in den Jemen und im Winter eine nach Syrien durchführten. Die Einführung dieser beiden jährlichen Karawanenreisen wird [[w:Hāschim ibn ʿAbd Manāf|Hāschim]], dem Vater der Banū Hāschim zugeschrieben. Gegen Ende des 6. Jahrhunderts waren die Banū Hāschim allerdings durch einen anderen quraischitischen Clan, die [[w:Machzūm|Machzūm]], im Handel überrundet worden. Die Machzūm, die sich nicht auf Qusaiy zurückführten, erlangten zu dieser Zeit auch die politische Führung (''siyāda'') der Quraisch.

=== 1.3.6. Der religiöse Wandel und die Hanīfen ===
Die Kultur der beiden spätantiken Großreiche hat auf verschiedenen Ebenen auf das arabische Entstehungsmilieu des Islams eingewirkt. Besonders wichtig war hierbei der Bereich der Religion. Das Byzantinische Reich war eindeutig christlich ausgerichtet und betrieb eine aktive Politik zur Ausbreitung dieser Religion. Das Sassanidenreich war dagegen ein multireligiöser Staat. Der [[w:Zoroastrismus|Zoroastrismus]] spielte zwar eine staatstragende Rolle, daneben gab es aber bedeutende andere religiöse Minderheiten, insbesondere Juden, Christen, [[w:Mandäer|Mandäer]] und [[w:Manichäismus|Manichäer]]. Ähnlich groß war wohl auch die religiöse Vielfalt, die im Entstehungsmilieu des Islams herrschte. Dies geht aus einem Koranvers ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/22/vers/17 Q 22:17]) hervor, der die verschiedenen religiösen Gruppen auflistet, denen die Anhänger der von Muhammad neu begründeten Religion gegenüberstanden: neben den Anhängern des Heidentums werden Juden, [[w:Sabier|Sabier]], Christen und Zoroastrier ([[w:Madschūs|Madschūs]]) erwähnt. Auch das Konzept der Religion ([[w:dīn|Dīn]]) hat der Islam wahrscheinlich aus dem Sassanidenreich entlehnt. Es geht auf das mittelpersische Wort ''dēn'' zurück, mit dem im Sasanidenreich die verschiedenen Religionsgemeinschaften bezeichnet wurden.
 
Was die einzelnen Religionen anlangt, so waren Zoroastrier vor allem in den arabischen Vasallenstaaten des Sasanidenreiches im Irak, Bahrain, Oman und Jemen als Verwalter, Grundherren und Soldaten tätig. Das Judentum war besonders bei den [[w:Kinda (Arabien)|Kinda]] in Südarabien sowie in den Oasen von Yathrib und [[w:Chaibar|Chaibar]] in Westarabien verbreitet. Ehe die beiden nichtjüdischen Stämme der [[w:Aus (Stamm)|Aus]] und [[w:Chazradsch|Chazradsch]] aus Südarabien nach Yathrib einwanderten, sollen die Juden in dieser Stadt, in die später Muhammad mit seinen Anhängern auswanderte, sogar die Bevölkerungsmehrheit gebildet haben.
 
Das Christentum war bei mehreren Stämmen Zentralarabiens wie den Taiyi' und Hanīfa verbreitet, vor allem aber in Südarabien präsent. [[w:Nadschran|Nadschrān]] im nördlichen Jemen entwickelte sich unter dem Einfluss des christlichen [[w:Aksumitisches Reich|Königreichs von Aksum]] zur heiligen Stadt der christlichen Araber. Etwa um 525 hatte ein aksumitisches Heer im heutigen Äthiopien den Jemen erobert. Der seit ca. 535 im Jemen herrschende aksumitische Vizekönig [[w:Abraha|Abraha]] ließ an mehreren Orten Kirchen errichten, in seiner Hauptstadt [[w:Sanaa|Sanʿā]] erbaute er eine Kathedrale. Offensichtlich empfand er das heidnische Heiligtum von Mekka als Konkurrenz. Das lässt sich daran erkennen, dass er um die Mitte des 6. Jahrhunderts einen Feldzug unternahm, um dieses unter seine Kontrolle zu bekommen. Bei diesem Feldzug, der letztendlich scheiterte, soll er Elefanten mitgeführt haben. Das Ereignis war so bedeutend, dass die Araber nach diesem [[w:Jahr des Elefanten|Jahr des Elefanten]] die Zeit datierten. Auch im Koran wird dieses Geschehen gespiegelt (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/105/vers/1 Sure 105]).

[[Datei:Kaaba-plan.svg|mini|links|Technische Zeichnung der Kaaba mit dem nach Nordosten, also nach Jerusalem zeigenden Hatīm]]
Juden und Christen verbreiteten in dieser Zeit die Kenntnis der jüdisch-christlichen Überlieferung. Der Koran setzt bei seinem Publikum eine solche Kenntnis bereits voraus. So tauchen in ihm zahlreiche Gestalten des Alten Testaments auf wie [[w:Mose|Mose]] (Mūsā), [[w:Noach|Noach]] (Nūh), [[w:David|David]] (Dāwūd), [[w:Salomo|Salomon]] (Sulaimān) und [[w:Jona|Jonas]] (Yūnus). Ihre Geschichten werden oft nur andeutungsweise wiedergegeben, so als ob den Hörern die Einzelheiten bereits bekannt wären. In der Kaaba von Mekka befanden sich nach dem Bericht der arabischen Historiker in vorislamischer Zeit Bilder von Abraham sowie von Jesus und Maria. Möglicherweise gab es an der Kaaba sogar einen christlichen Kult. Hierfür spricht, dass das Gebäude ursprünglich mit einer [[w:Apsis|Apsis]] versehen war, die nach [[w:Jerusalem|Jerusalem]] zeigte. Sie hat sich als ein Mauervorsprung, der als Hatīm bezeichnet wird, bis in die heutige Zeit erhalten.
 
Durch Juden- und Christentum fand in dieser Zeit auch der Monotheismus Eingang in die religiöse Vorstellungswelt der Araber. Der monotheistische Gott wurde in Südarabien unter den Namen ''ilahan'' sowie ''rḥmnan'' (von [[w:Aramäische Sprachen|jüdisch-aramäisch]] ''raḥmānā'') angerufen und in offiziellen Inschriften des Staates Himyar unter beiden Namen genannt. Beide Namen haben als Bezeichnung für den Einen Gott in etwas veränderter Form, ''Allāh'' (von ''al-ilāh'' „der Gott“) und ''ar-Rahmān'', auch Eingang in den Islam gefunden (vgl. unten [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 02#2.2.2. Aussagen über Gott|2.2.2.]]). Hier besteht erkennbare Kontinuität zur Staatsreligion Altsüdarabiens. Allāh wurde in vorislamischer Zeit auch schon in Mekka verehrt, allerdings vorwiegend nicht als monotheistischer, sondern als [[w:Henotheismus|henotheistischer]] Gott. Koranverse berichten davon, dass die Menschen in der Umgebung Muhammads die Dschinn auf eine Stufe mit ihm stellten und sie als seine Verwandten ansahen (Q [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/6/vers/100 6:100]; [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/37/vers/158 37:158]). Dem Koran ist außerdem zu entnehmen, dass die Gottheiten al-Lāt, Manāt und al-ʿUzzā von den Mekkanern als „Töchter Allāhs“ betrachtet wurden (vgl. Q [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/53/vers/19 53:19f]). ''Allāh'' hatte allerdings schon die Bedeutung eines Hochgottes, der die anderen Gottheiten überragt. Wenn die Beduinen nach Mekka zum Gebet kamen, riefen sie drei Mal ''Allāhu akbar'' („Allāh ist größer“) aus und machten damit deutlich, dass sie ihm die größte Macht unter den Gottheiten zumaßen. Diese Prädikationsformel ist in den Islam übernommen worden und wird [[w:Takbīr|Takbīr]] genannt.

[[Datei:The four supporters (angels) of the celestial throne Wellcome L0030654.jpg|mini|hochkant|Bildliche Umsetzung von [[w:Umaiya ibn Abī s-Salt|Umaiyas]] Beschreibung der vier Thronträger in einer persischen Handschrift der Kosmographie von [[w:al-Qazwīnī|al-Qazwīnī]] (gest. 1283)]] 
Im Koran wird gesagt, dass die religiöse Verkündung, dass Gott die Toten wiederauferwecke, bei den Zeitgenossen Erstaunen hervorrief (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/56/vers/47 Q 56:47]). Sie hielten ein jenseitiges Leben für unvorstellbar und sahen den Tod als etwas Endgültiges an ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/45/vers/24 Q 45:24]). Einzelne Personen verkündeten in dieser Zeit allerdings schon die Botschaft von der Auferstehung. So wird berichtet, dass der Prediger Quss ibn Sāʿida einst auf dem Markt von [[w:ʿUkāz|ʿUkāz]] in Anwesenheit des jungen Muhammad folgende Worte an die Menge gerichtet habe: „Ihr Leute, hört und behaltet im Gedächtnis! [...] Gott hat eine Religion, die ihm besser gefällt als diejenige, die ihr pflegt. Wieso sollten die Menschen sterben und nicht wiederkehren?“

Die religiöse Kultur Arabiens befand sich also schon am Vorabend des Islams im Umbruch. Auch in den Städten des Hidschāz gab es vor dem Auftreten Muhammads einzelne Menschen, die, obwohl keine Christen oder Juden, monotheistische Auffassungen vertraten. Sie werden in den arabischen Quellen als [[w:Hanīf|Hanīfen]] bezeichnet. Beispiele für diese Personengruppe sind der Dichter [[w:Umaiya ibn Abī s-Salt|Umaiya ibn Abī s-Salt]] in at-Tā'if und Zaid ibn ʿAmr in Mekka. Von Umaiya wird überliefert, dass er in den Schriften von Juden und Christen las, alkoholische Getränke verbot, und das Auftreten eines Propheten unter den Arabern erwartete. Christlich-jüdischer Einfluss zeigt sich darin, dass er in seiner Dichtung auch [[w:Engel|Engel]] erwähnt. In einem seiner Gedichte beschreibt er vier Träger des Gottesthrons in Form der vier [[w:Evangelistensymbole|Evangelistensymbole]]. Da Muhammad diese Verse für wahr erklärt hat, sind sie Teil der islamischen Kosmologie geworden. Aus den von Zaid überlieferten Gedichten spricht starke Ablehnung gegenüber dem altarabischen Polytheismus. Er betrachtete sich als Anhänger der Religion Abrahams (''dīn Ibrāhīm'') und betete zur Kaaba als der Gebetsrichtung von Abraham und Ismael. An solche Vorstellungen wird auch im Koran angeknüpft, wo es heißt, dass Abraham auf Befehl Gottes das mekkanische Heiligtum für alle, die es umkreisen und dort zum Gebete stehen und niederknien, gereinigt habe ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/56/vers/47 Q 22:26]).

== 1.4. Weiterführende Literatur ==
* Aziz Al-Azmeh: ''The Emergence of Islam in Late Antiquity: Allah and His People.'' Cambridge: Cambridge University Press 2014. 
* Meir Bravmann: ''The spiritual background of early Islam. Studies in Ancient Arab concepts.'' Leiden 1972.
* Patricia Crone: ''Meccan trade and the rise of Islam.'' Princeton 1987.
* Toufic Fahd: ''Le Panthéon de l’Arabie centrale à la veille de l’Hégire.'' Paris 1968.
* Iwona Gajda: ''Le royaume de Himyar à l’époque monotheiste.'' Paris 2009.
* Agnes Imhof: ''Religiöser Wandel und die Genese des Islam. Das Menschenbild altarabischer Panegyriker im 7. Jahrhundert.'' Würzburg: Ergon 2004.
* M.J. Kister: „Labbayka, Allāhumma, Labbayka…' On a Monotheistic Aspect of a Jāhiliyya Practice” in ''Jerusalem Studies in Arabic and Islam'' 2 (1980): 33-57.
* Tobias Nünlist: ''Dämonenglaube im Islam: eine Untersuchung unter besonderer Berücksichtigung schriftlicher Quellen aus der vormodernen Zeit (600–1500)''. Berlin: De Gruyter 2015.
* Otto Procksch: ''Über die Blutrache bei den vorislamischen Arabern und Mohammeds Stellung zu ihr.'' Leipzig: Teubner 1899. [https://archive.org/details/bub_gb_YmItAAAAYAAJ/page/n3/mode/2up Digitalisat]
* Uri Rubin: „The Kaʿba: Aspects of its Ritual Functions and Position in Pre-Islamic and Early Islamic Times” in ''Jerusalem Studies in Arabic and Islam'' 13 (1986) 97-131. [https://www.academia.edu/6119022/_The_Kaba_Aspects_of_its_Ritual_Functions_ Digitalisat]
* Uri Rubin: „Ḥanīfiyya and Kaʿba: An Inquiry into the Arabian Pre-Islamic Background of dīn Ibrāhīm“ in ''Jerusalem Studies in Arabic and Islam'' 13 (1990) 85–112. [https://www.academia.edu/6065751/_Hanifiyya_and_Kaba_An_Inquiry_into_the_Arabian_Pre-Islamic_Background_of_Din_Ibrahim_ Digitalisat]
* [[w:Julius Wellhausen|Julius Wellhausen]]: ''Reste arabischen Heidentums.'' 2. Aufl. Berlin: Reimer 1897. [https://archive.org/details/restearabischen00wellgoog/page/n7 Digitalisat]

== 1.5. Fragen und Aufgaben ==
1. Erklären Sie, wie arabische Wörter aufgebaut sind.

2. Geben Sie einen Überblick über die Geschichte des Begriffs „Islam“. 

3. Beschreiben Sie, wie die vorislamische arabische Gesellschaft organisiert war.

4. Aus welchen Elementen bestand der Haddsch in vorislamischer Zeit und wann fand er statt?

5. Beschreiben Sie die politische Situation der Stadt Mekka um das Jahr 600.

6. In welcher Weise waren Judentum und Christentum in vorislamischer Zeit auf der Arabischen Halbinsel präsent? 

7. Welche Rituale und Vorstellungen waren in vorislamischer Zeit mit der Kaaba von Mekka verbunden?

== Einzelnachweise ==
&lt;references/&gt;

{{Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI)/Navigation}}</text>
      <sha1>ajs7rdsb6iid56ivguax1ay7go2dveh</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 14</title>
    <ns>0</ns>
    <id>100756</id>
    <revision>
      <id>1115959</id>
      <parentid>1068694</parentid>
      <timestamp>2026-10-13T09:42:48Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>PaFra</username>
        <id>14559</id>
      </contributor>
      <comment>/* 14.1.1. Der internationale Kampf gegen den islamischen Terrorismus */</comment>
      <origin>1115959</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="74777" sha1="ti4vya4abcpbalx985gt1ugclf646od" xml:space="preserve">{{Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI)/Navigation}}
[[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 13|13 &lt;&lt;&lt;]] — 
{{TOC nonum}}
= 14. Der IS-Terror, Antiislamismus und die Bemühung um Deradikalisierung (2001–2025) =
Die Anschläge vom 11. September 2001 bringen weltweit eine Welle von Antiislamismus hervor. Militante Islamisten solidarisieren sich mit al-al-Qāʿida, die Führung der dschihadistischen Internationalen geht nach 2014 aber an die IS-Organisation über. Daneben laufen verschiedene Bemühungen um Ausgleich zwischen den Extremen. Der politische Islam der Muslimbruderschaft wird nach dem Arabischen Frühling zurückgedrängt.

== 14.1. Der militante Islam nach dem 11. September ==
=== 14.1.1. Der internationale Kampf gegen den islamischen Terrorismus ===
Die [[w:Terroranschläge am 11. September 2001|Anschläge vom 11. September 2001]] verursachten den Tod von knapp 3.000 Menschen. Als Reaktion darauf rief die [[w:US-Regierung|US-Regierung]] von [[w:George W. Bush|George W. Bush]] wenige Tage später ihren [[w:Krieg gegen den Terror|Global War on Terrorism]] aus. Hierbei handelte es sich um ein umfassendes Paket politischer, militärischer und juristischer Maßnahmen, die sich vor allem gegen den militanten Islamismus richteten. Die wichtigste militärische Komponente des Programms bestand aus der sogenannten [[w:Operation Enduring Freedom|Operation Enduring Freedom]], die schon im Oktober 2001 begann, verschiedene Einzelmissionen in Afghanistan, auf den Philippinen, am Horn von Afrika, im Kaukasus und Zentralasien umfasste und auch verschiedene Alliierte der USA einband. Eines der Hauptziele der Operation Enduring Freedom war die Vernichtung des Terrornetzwerks al-Qāʿida und die Gefangennahme von [[w:Osama bin Laden|Usāma ibn Lādin]], den die Vereinigten Staaten als Hauptverantwortlichen für die Anschläge ausgemacht hatten. Nachdem sich des [[w:Taliban|Taliban]]-Regime geweigert hatte, Usāma ibn Ladin auszuliefern, wurde es im Dezember 2001 von einer internationalen Koalition gestürzt. [[w:Mohammed Omar|Mullā ʿUmar]], der Anführer der Taliban, und Usāma ibn Lādin konnten allerdings nach Pakistan entkommen. Als neuer demokratisch organisierter Staat mit pro-westlicher Ausrichtung wurde 2004 die [[w:Islamische Republik Afghanistan|Islamische Republik Afghanistan]] gegründet.

Mit der Begründung, dass der Irak über nicht-konventionelle Waffen und entsprechende Rüstungsprogramme verfüge und den islamistischen Terrorismus unterstütze, marschierten im März 2003 außerdem amerikanische und britische Truppen im Irak ein und stürzten das dortige Regime von [[w:Saddam Hussein|Saddam Hussein]]. 

Ein wichtiger Bestandteil des Kampfes gegen den militanten Islamismus war aber auch die Ausweitung staatlicher Kontrolle über das islamische Schulwesen. In vielen Ländern, so zum Beispiel in Russland und Indien, schlossen die Regierungen private Madrasas und Koranschulen, weil sie sie als „Brutstätten des Terrorismus“ betrachteten. In anderen Ländern, so zum Beispiel Marokko und Senegal, haben die Regierungen das staatliche islamische Schulwesen ausgebaut, um damit einer religiösen Radikalisierung entgegenzuwirken.

=== 14.1.2. Solidarisierung mit al-Qāʿida und das militante islamische Lager ===
Auf Seiten der Muslime waren die Reaktionen auf die Anschläge vom 11. September 2001 sehr unterschiedlich. Die überwältigende Mehrheit von ihnen lehnte diese Anschläge sicherlich ab. Es gab aber auch Muslime, die sie begrüßten und zum Anlass nahmen, sich mit al-Qāʿida zu solidarisieren. Als ein Beispiel lässt sich der saudische Gelehrte [[w:Safar al-Hawālī|Safar al-Hawālī]] nennen, der in den 1990er Jahren zur [[w:Sahwa (Saudi-Arabien)|Sahwa-Gruppe]] gehört hatte. Er veröffentlichte wenige Wochen später einen Offenen Brief an den amerikanischen Präsidenten [[w:George W. Bush|George W. Bush]], in dem er die traditionelle Sympathie der Araber für die Vereinigten Staaten hervorhob, gleichzeitig aber seine Enttäuschung über den Wandel der amerikanischen Politik seit den 1970er Jahren zum Ausdruck brachte. In dem Brief steht auch die Bemerkung, dass der Schock, den die Muslime fühlten, als sie von den Anschlägen erfuhren, von einer „gewaltigen Welle der Freude“ begleitet gewesen sei. 

Andere Muslime bekundeten ihre Solidarität mit Usāma ibn Lādin und al-Qāʿida, indem sie selbst terroristische Anschläge organisierten. Im April 2002 erfolgte ein [[w:Anschlag auf die Al-Ghriba-Synagoge 2002|Anschlag auf die al-Ghriba-Synagoge]] auf der Insel [[w:Djerba|Djerba]] in Tunesien, infolgedessen 19 Touristen starben und weitere ca. 30 Personen zum Teil schwer verletzt wurden. Im Juni 2002 bekannte sich die al-Qāʿida in Form einer Videobotschaft zu der Tat. Im Oktober 2002 unternahm die südostasiatische [[w:Jemaah Islamiyah|Jemaah Islamiyah]] [[w:Anschlag von Bali 2002|Anschläge auf mehrere Nachtklubs in Bali]], bei denen mehr als 200 Menschen getötet wurden. In Saudi-Arabien gründete der Afghanistan-Kämpfer Yūsuf al-ʿUyairī 2002 auf Befehl von Usāma ibn Lādin die Organisation [[w:al-Qaida auf der Arabischen Halbinsel|al-Qāʿida auf der arabischen Halbinsel]] (''al-Qāʿida fī ǧazīrat al-ʿArab; AQAP''), die 2003/2004 eine Serie von Bombenanschlägen in Saudi-Arabien beging. Von 2003 bis 2006 gab diese Organisation das arabischsprachige Online-Magazin ''Ṣaut al-Ǧihād'' („Stimme des Dschihad“) heraus, das die arabisch-sprachigen Dschihadisten weltweit mit Informationen über verschiedene Aspekte der islamistischen Kriegführung versorgte.

Die Welle der Solidarisierung mit den militanten Islamisten setzte sich fort, als im März 2003 amerikanische und britische Truppen im Irak einmarschierten. Safar al-Hawālī gründete in dieser Zeit zusammen mit etwa 300 anderen muslimischen Persönlichkeiten „Die globale Kampagne zum Widerstand gegen die Aggression“. In Russland rief im April 2003 [[w:Talgat Tadschuddin|Talgat Tadschuddin]], Vorsitzender und Oberster [[w:Mufti|Mufti]] der [[w:Zentrale Geistliche Verwaltung der Muslime Russlands|Zentralen geistlichen Verwaltung der Muslime Russlands (ZDUM)]] gegen die USA und Großbritannien, den Hauptmitgliedern der sogenannten [[w:Koalition der Willigen|Koalition der Willigen]], den Dschihad aus. Im Irak selbst trat ab April 2004 die „Gemeinschaft für Tauhīd und Dschihad“ von [[w:Abū Musʿab az-Zarqāwī|Abū Musʿab az-Zarqāwī]] mit terroristischen Anschlägen in Erscheinung. Als er im Mai 2004 die amerikanische Geisel [[w:Nicholas Berg|Nicholas Berg]] ermordete, machte ihn das zum Helden der internationalen Gemeinschaft der Online-Dschihadisten. Az-Zarqāwī war ein Schüler von [[w:Abū Muhammad al-Maqdisī|Abū Muhammad al-Maqdisī]] (vgl. oben [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 13#13.2.3. Iran und Saudi-Arabien in der Krise, Sudan als neues islamisches Modell|13.2.3.]]). Im Oktober 2004 wandte er sich von seinem ehemaligen Lehrer ab, änderte den Namen seiner Organisation in ''Tanẓīm Qāʿidat al-Ǧihād fī Bilād ar-Rāfidain'' („Organisation der Basis des Dschihad im Zweistromland“) um und schwor offiziell Usāma ibn Lādin die Treue. Dieser erkannte umgekehrt im Dezember 2005 die Gruppe an und erklärte Zarqāwī zu seinem Stellvertreter im Irak. Eine ähnliche Entwicklung vollzog sich im Maghreb, wo sich Ende 2006 der ''Groupe Salafiste pour la Prédication et le Combat'' (GSPC) al-Qāʿida anschloss und sich entsprechend in [[w: al-Qaida im Maghreb|al-Qaïda au Maghreb islamique]] (AQMI) umbenannte. Die Organisation arbeitete eine Zeitlang mit der islamistischen Gruppierung [[w:Boko Haram|Boko Haram]] zusammen, die seit 2004 in Nigeria operiert und dort terroristische Anschläge verübt. Christina Hellmich hat dieses Phänomen der Namensübernahme als &quot;[[w:Franchising|Franchise]]-Terrorismus&quot; bezeichnet.

[[File:Ayman al-Zawahiri portrait.JPG|mini|hochkant|[[w:Aiman az-Zawahiri|Aiman az-Zawāhirī]], von 2011 bis 2022 Anführer der al-Qāʿida-Organisation]]
Usāma ibn Lādin wurde im Mai 2011 bei [[w:Operation Neptune Spear|einem von der CIA geleiteten US-Militäreinsatz]] in [[w:Abbottabad|Abbottabad]], Pakistan, erschossen. Danach war [[w:Aiman az-Zawahiri| Aiman az-Zawāhirī]] Anführer von al-Qāʿida. Die Kernzelle der Organisation rückte unter seiner Führung etwas in den Hintergrund und nahm an Militanz ab. Dies hat auch mit az-Zawāhirīs geistiger Heimat zu tun, der ägyptischen [[w:al-Dschamāʿa al-islāmiyya|Dschamāʿa Islāmīya]]. Sie stand den Anschlägen vom 11. September 2001 von Anfang kritisch gegenüber und hat in Reaktion auf sie 2002 öffentlich der Gewalt abgeschworen. Sehr aktiv blieb aber weiter AQAP, das 2009 sein Zentrum in den Jemen verlegt hatte. Ab Juli 2010 gab diese Zweigorganisation das englisch-sprachige Online-Magazin [[w:Inspire (Magazin)|Inspire]]  heraus, das auch Anleitungen für die Durchführung von Bombenattentaten enthielt. Diese Instruktionen dienten unter anderem bei dem [[w:Anschlag auf den Boston-Marathon|Anschlag auf den Boston-Marathon]] im April 2013 als Vorlage. AQMI machte 2016 durch Terroranschläge auf Touristen in Westafrika von sich reden, so unter anderem durch die [[w:Anschläge am 13. März 2016 in Grand-Bassam|Anschläge am 13. März 2016 in Grand-Bassam]].

=== 14.1.3. Errichtung islamischer Emirate in gescheiterten Staaten ===
Innerhalb der Kreise des al-Qāʿida-Netzwerks wurden nach 2001 neue strategische Pläne zur islamistischen Machtergreifung entwickelt. Sie zielten darauf ab, zunächst in möglichst vielen islamischen Ländern durch terroristische Anschläge Chaos zu stiften und dann auf den Ruinen der [[w:Gescheiterter Staat|Gescheiterten Staaten]] eine islamische Herrschaftsordnung zu errichten. Einer der ersten Texte, in dem dieser Gedanke entwickelt wird, ist das E-Book [[w:Management of Savagery|Idārat at-tawaḥḥuš]] („Die Verwaltung der Barbarei“), von dem Ausschnitte erstmals 2004 in dem oben erwähnten Online-Magazin ''Ṣaut al-ǧihād'' veröffentlicht wurden.

[[Datei:Shababgains 2010.png|mini|links|Das von al-Shabaab kontrollierte Gebiet in Somalia. Links im Januar 2009, rechts im Dezember 2010]]
In einigen Gebieten war diese neue Strategie ganz oder teilweise erfolgreich. In Somalia, wo staatliche Strukturen schon in den 1990er Jahren weitgehend zusammengebrochen waren, nahm im Juni 2006 die [[w:Union islamischer Gerichte|Union islamischer Gerichte]] nach seinem Sieg in Mogadischu ab Juni 2006 schnell und unter wenig Gegenwehr weite Teile des südlichen Landesteils ein. Zwar wurde sie schon Ende des Jahres durch äthiopische Truppen wieder entmachtet, doch ist seit dieser Zeit die islamistische [[w:al-Shabaab (Miliz)|Al-Shabaab-Miliz]] in Somalia aktiv. Al-Shabaab steht für ''Ḥarakat aš-šabāb al-muǧāhidīn'' („Bewegung der Mudschāhidīn-Jugend“). Die Gruppierung konnte bis Ende 2010 fast den gesamten südlichen Landesteil von Somalia unter ihre Kontrolle bringen. Seit 2012 gehört sie dem al-Qāʿida-Netzwerk an.

In Pakistan übernahmen 2007 die „Bewegung zur Durchsetzung der muhammadanischen Scharia“ (''Taḥrīk-i nifāẕ-i šarīʿat-i Muḥammadī''; TNSM) und die „Bewegung der Taliban in Pakistan“ (''Taḥrīk-i ṭālibān-i Pākistān'') nach Kämpfen mit der pakistanischen Armee die Herrschaft über weite Gebiete des [[w:Swat (Distrikt)|Swat-Distrikts]] im Norden des Landes. Sie verboten Mädchen den Schulbesuch und das unverschleierte Betreten öffentlicher Räume, untersagten das Hören von Musik und führten ihre eigene Rechtsprechung ein. Der internationalen Öffentlichkeit wurde diese Tatsache erst bewusst, als 2014 die aus dem Swat-Tal kommende Schülerin [[w:Malala Yousafzai|Malala Yousafzai]] den Friedensnobelbreis erhielt. Sie hatte 2009 als Elfjähirge damit begonnnen, in einem Blog-Tagebuch auf der BBC-Website über die Gewalttaten der Taliban zu berichten, war dann aber 2012 selbst zum Ziel eines Taliban-Attentas geworden.

Weitere gescheiterte Staaten entstanden ab 2011 im Zusammenhang mit den Protesten des [[w:Arabischer Frühling|Arabischen Frühlings]] in Libyen, Jemen und Syrien. Im Jemen nutzte eine Gruppierung, der die AQAP nahe steht, die Situation und rief Ende März 2011 im [[w:Gouvernement Abyan|Gouvernement]] ein Islamisches Emirat aus. Der Arabische Frühling führte auch zur Destabilisierung von Teilen Westafrikas. Am 6. April 2012 erklärten rebellierende [[w:Tuareg|Tuareg]] die Unabhängigkeit der Region [[w:Azawad|Azawad]] von der Republik [[w:Mali|Mali]]. Im Verlauf des Jahres 2012 gewannen die beiden mit AQMI verbundenen islamistischen Milizen [[w:Ansar Dine|Ansar Dine]] und [[w:Bewegung für Einheit und Dschihad in Westafrika|MUJAO]] immer mehr Macht in Azawad und verdrängten dort die nationalistischen Kräfte. Internationales Aufsehen erregte es, als im Mai und Juni 2012 Mitglieder dieser Milizen die zum [[w:UNESCO-Welterbe|UNESCO-Welterbe]] gehörende Grabmausoleen von muslimischen Heiligen in Timbuktu zerstörten. Als die islamistischen Rebellen die malische Hauptstadt einzunehmen drohten, intervenierten französische Truppen in der [[w:Opération Serval|Opération Serval]] und verdrängten die Islamisten.

Auch die Taliban Afghanistans, die seit 2016 unter der Führung von [[w:Hibatullah Achundsada|Hibatullah Akhundzada]] stehen, konnten sich reorganisieren. Nach dem 2020 mit den USA geschlossenen [[w:Doha-Abkommen|Doha-Abkommen]] und dem Beginn des Abzugs der US- und [[w:NATO|NATO]]-Truppen im Mai 2021 starteten sie eine Militäroffensive gegen die [[w:Afghanische Nationalarmee|Afghanische Nationalarmee]], brachten im Sommer das gesamte Land unter ihre Kontrolle und riefen am 16. August 2021 erneut das [[w:Islamisches Emirat Afghanistan|Islamische Emirat Afghanistan]] aus.

=== 14.1.4. Das IS-Kalifat ===
Das ambitionierteste Projekt zur Errichtung eines „Islamischen Staates“ auf den Ruinen gescheiterter Staaten entfaltete sich im Irak und in Syrien. Als theoretische Grundlage lässt sich ein Text ausmachen, der schon 2005 von dem jordanischen Journalisten Fu'ād Husain bekannt gemacht wurde. Er enthält einen mehrphasigen Plan des ägyptischen al-Qāʿida-Ideologen [[w:Saif al-Adel|Saif al-ʿAdl]] für die Errichtung einer islamischen Weltherrschaft. Demnach war die erste Phase dieses Plans, das &quot;Aufwachen&quot;, bereits abgeschlossen. Sie reichte von den Vorbereitungen für die Anschläge des 11. Septembers 2001 bis zum Fall von Bagdad 2003. Die zweite Phase, das &quot;Augenöffnen&quot;, lief gerade ab und sollte bis 2006 beendet sein. In dieser Phase sollte der Irak zur Operationsbasis für eine islamische Armee ausgebaut werden. In der dritten Phase, dem &quot;Aufstehen&quot;, von 2007 bis 2010 sollte der Kampf auf die Nachbarländer, insbesondere Syrien, ausgeweitet werden. In der vierten Phase, die die Jahre 2010 bis 2013 einnehmen sollte, sollte der Sturz der &quot;verhassten arabischen Regime&quot; erreicht werden. In der fünften Phase, zwischen 2013 und 2016 sollte das Kalifat ausgerufen werden, ab 2016 sollte mit der sechsten Phase die totale Konfrontation zwischen Glauben und Unglauben erfolgen, und in der siebten Phase, die bis zum Jahr 2020 abgeschlossen sein würde, der endgültige Sieg des Kalifats erreicht werden. Die restliche Welt, so hoffte al-ʿAdl, werde angesichts der Kampfbereitschaft von &quot;anderthalb Milliarden Muslimen&quot; klein beigeben.&lt;ref&gt;Eine Zusammenfassung des Textes wurde 2005 auch auf [[w:Spiegel-Online|Spiegel-Online]] veröffentlicht, siehe [https://www.spiegel.de/politik/ausland/terrorismus-al-qaidas-agenda-2020-a-369328.html hier]&lt;/ref&gt;

[[Datei:Mugshot of Abu Bakr al-Baghdadi, 2004.jpg|mini|links|hochkant|[[w:Abu Bakr al-Baghdadi|Abū Bakr al-Baghdādī]], 2004]]
Wie stark sich die al-Qāʿida-Organisation im Irak an diesem Plan orientierte, ist nicht klar, doch ist auffällig, dass sie sich im Oktober 2006 in „Islamischer Staat im Irak“ (ISI; ''ad-Daula al-islāmīya fī l-ʿIrāq'') umbenannte. Damit vollzog die Organisation den Wandel von einer Terrororganisation hin zu einer Rebellenmiliz mit Ziel der Staatsgründung. Mitte Mai 2010 erklärte ISI den Gelehrten Ibrāhīm ʿAuwād al-Badrī unter dem Namen [[w:Abu Bakr al-Baghdadi|Abū Bakr al-Baghdādī]] zu ihrem neuen Anführer. Ab Februar 2012 beteiligte sich ISI offen am [[w:Bürgerkrieg in Syrien seit 2011|Syrischen Bürgerkrieg]]. Dort gehörte sie neben der [[w:al-Nusra-Front|Nusra-Front]], mit der sie teils kollaborierte und die sie teils bekämpfte, zu den mit al-Qāʿida verbundenen Akteuren. Im April 2013 erklärte Abū Bakr al-Baghdādī die Nusra-Front zu einem bloßen Teil von ISI und gab die Vereinigung von Nusra-Front und ISI unter dem neuen Namen „Islamischer Staat im Irak und in Syrien“ (ISIS) bekannt. Dieser Schritt wurde aber von der Nusra-Front nicht akzeptiert. Da auch Aiman az-Zawāhirī diesen Schritt verurteilte, vollzog sich der Bruch mit al-Qāʿida. In der zweiten Hälfte 2013 konnte ISIS weite Teile Ostsyriens, darunter auch die Stadt [[w:ar-Raqqa|ar-Raqqa]] unter ihre Kontrolle bringen. Einen internationalen Prestigegewinn erzielte die Organisation dadurch, dass sich ihr im April 2014 der dschihadistische Rapper [[w:Denis Cuspert|Denis Cuspert]] anschloss und deutsche Muslime dazu aufrief, ihm zu folgen.

[[File:Iraqi HMMWV in eastern Mosul.png|mini|Schild, das das Territorium des „Islamischen Staates“ markiert, nach der Einnahme Mossuls im Januar 2017. Rechts oben Siegel des Propheten, unten der Schriftzug &quot;Kalifat nach dem Modell des Prophetentums&quot;]]
Nach Zusammenschluss der von ihr beherrschten Territorien in Syrien und im Irak rief ISIS am 29. Juni 2014 Abū Bakr al-Baghdādī zum Kalifen aus und benannte sich gleichzeitig in „Islamischer Staat“ (IS) um. Durch Versklavung [[w:Jesiden|jesidischer]] Frauen und Kinder in den eroberten Gebieten des Nordirak sowie die Enthauptung westlicher Geiseln (u.a. [[w:James Foley|James Foley]] im August 2014) löste die Organisation weltweit Entsetzen aus. Empörung riefen die IS-Terroristen auch durch ihre Zerstörung der antiken Stätten von [[w:Palmyra|Palmyra]] und die Ermordung des syrischen Archäologen [[w: Khaled Asaad|Chālid al-Asʿad]] im August 2015 hervor. Die USA begannen 2014 mit Luftangriffe auf Stellungen des IS und riefen ein internationales Militärbündnis gegen den IS ins Leben. Zusammen mit Bodentruppen aus Irak und Syrien konnte das Bündnis die meisten vom IS gehaltenen Gebiete bis zur Mitte des Jahres 2017 zurückerobern. Abū Bakr al-Baghdādī selbst tötete sich 2019 bei einem US-amerikanischen Militäreinsatz in Syrien. Nicht vergessen werden darf jedoch, dass der IS mittlerweile – wie früher al-Qāʿida – über ein weltweites Netzwerk von Ablegern und loyalen Milizen verfügt, so zum Beispiel in Afghanistan, Libyen, Nigeria und auf den Philippinen, die weiter von der Vision der Errichtung eines Islamischen Staates mit militärischen Mitteln erfüllt sind. Besonders aktiv ist die afghanische Zelle [[w:Islamischer Staat – Provinz Khorasan|IS-Provinz Khorasan (ISPK)]]. Sie verübte im März 2024 einen [[w:Anschlag in Krasnogorsk|Anschlag im russischen Krasnogorsk]] mit 144 Todesopfern.

=== 14.1.5. Die neue Zuspitzung im sunnitisch-schiitischen Konflikt ===
[[File:Al-Askari Mosque 2006.jpg|mini|links|Die zerstörte Kuppel des [[w:al-Askari-Schrein|Schreins von Hasan al-ʿAskarī]]]]
Der Einmarsch der USA in den Irak 2003 führte nicht nur dazu, dass hier eine starke militant-islamische Bewegung entstand, sondern er brachte auch eine neue Konfrontation in dem Verhältnis zwischen irakischen Sunniten und Schiiten hervor. Auf schiitischer Seite machten sich hier die Badr-Miliz des ''Supreme Council for Islamic Revolution in Iraq'' (SCIRI) und die [[w:Mahdi-Armee|Mahdi-Armee]] des schiitischen Geistlichen [[w:Muqtada as-Sadr|Muqtadā as-Sadr]] bemerkbar. Auf sunnitischer Seite gründete im Juli 2005 Abū Musʿab az-Zarqāwī die sogenannte ʿUmar-Brigade, die zahlreiche Selbstmordattentate auf Schiiten unternahm. [[w:Abū Muhammad al-Maqdisī|Abū Muhammad al-Maqdisī]], der geistige Ziehvater von az-Zarqāwī, wandte sich 2004 aufgrund dieser sektarischen Neuorientierung von ihm ab. Dies war auch der Grund, warum sich az-Zarqāwī al-Qāʿida anschloss. Im Februar 2006 zerstörte seine Gruppe mit einem Bombenanschlag die goldene Kuppel des [[w:al-Askari-Schrein|Mausoleums von Hasan al-ʿAskarī]] in Samarrā. Die Tatsache, dass die aus az-Zarqāwīs Gruppe hervorgegangene ISIS-Miliz ihre Angriffe gegen die Schiiten im Irak fortsetzte, war ein weiterer Grund für die Entzweiung zwischen ihr und al-Qāʿida im Jahre 2013.

Seit dem Arabischen Frühling haben auch in anderen islamischen Ländern die Spannungen zwischen Sunniten und Schiiten zugenommen. Im Inselstaat Bahrain, dessen Bevölkerungsmehrheit schiitisch ist, das aber von einer sunnitischen Dynastie regiert wird, kam es im Frühjahr 2011 zu einem schiitischen Aufstand. Der im gleichen Jahr ausgebrochene Aufstand gegen das Syrische Regime von [[w:Baschar al-Assad|Baschschār al-Asad]] hatte zeitweise ebenfalls den Charakter eines Konfessionskriegs: die Aufständischen betrachteten sich als Repräsentanten des wahren sunnitischen Islams, die ein ketzerisches [[w:Alawiten|nusairisches]] Regime bekämpfen. Auch der seit 2004 im Jemen schwelende [[w:Huthi-Konflikt|Huthi-Konflikt]] erhielt zunehmend einen konfessionalistischen Anstrich. Die sogenannten [[w:Huthi|Huthis]] sind [[w:Zaiditen|zaiditische]] Schiiten und seit 2011 im nördlichen Jemen in heftige Auseinandersetzungen mit Salafisten verwickelt. Den Huthis wird nachgesagt, Unterstützung aus Iran zu erhalten. Auch in Saudi-Arabien machte sich die schiitische Minderheit im Jahre 2011 durch Proteste bemerkbar. Der Anführer dieser Proteste, der Āyatullāh [[w:Nimr an-Nimr|Nimr an-Nimr]], wurde im Januar 2016 hingerichtet. Dies löste heftige Proteste von Schiiten im Iran und anderen Ländern aus und führte zu einer neuen Krise im Verhältnis zwischen Iran und Saudi-Arabien.

== 14.2. Das Anwachsen antiislamischer Tendenzen in den westlichen Ländern ==
=== 14.2.1. Frühe Erscheinungsformen des Antiislamismus ===
Die Anschläge vom 11. September 2001 lösten in den westlichen Ländern eine Welle von Antiislamismus aus. Als Antiislamismus bezeichne ich politische Grundhaltungen, die im Islam an sich eine Bedrohung für die Aufrechterhaltung der eigenen sozialen, politischen und kulturellen Traditionen sehen und deswegen auf seine Zurückdrängung ausgerichtet sind. Im öffentlichen und zum Teil auch im wissenschaftlichen Diskurs werden solche Haltungen mit Begriffen wie Islamophobie, [[w:Islamfeindlichkeit|Islamfeindlichkeit]] oder [[w:Islamkritik|Islamkritik]] belegt, doch vermeide ich diese Begriffe, weil sie mit Wertungen verbunden sind und zum Teil sogar [[w:Polemik|polemischen]] Charakter haben. In den Jahren nach 2001 entstand in Europa und Nordamerika ein engmaschiges Netz anti-islamischer Aktionsgruppen, Bewegungen und Parteien, die ihre Vorstellungen über die Medien, insbesondere das Internet, verbreiteten. In Deutschland entwarf [[w:Udo Ulfkotte|Udo Ulfkotte]] 2003 in seinem Buch „Der Krieg in unseren Städten“ zum ersten Mal ein umfassendes Bedrohungszenario von einer Unterwanderung der Gesellschaft durch radikale Islamisten. Großen Zuspruch fand auch der 2004 von [[w:Stefan Herre (Blogger)|Stefan Herre]] gegründete politische Blog [[w:Politically Incorrect|Politically Incorrect]], in dem Medienberichte mit negativen Schlagzeilen über Muslime gesammelt wurden, gleichzeitig aber den Medien auch vorgeworfen wurde, durch falsche [[w:Politische Korrektheit|Politische Korrektheit]] die Islamisierung Europas vorzubereiten. Die professionell gestaltete Seite ist bis heute online. 

Im Zuge zunehmender Ängste vor dem Islam und im Zusammenhang mit einer sich verändernden Religionspolitik in der Türkei unter der Regierung von [[w:Recep Tayyip Erdoğan|Recep Tayyip Erdoğan]] wurden auch die [[w:Türkeistämmige in Deutschland|Türkeistämmigen in Deutschland]] immer mehr als eine Minderheit mit islamischer Identität wahrgenommen. Fälle wie der sogenannte Ehrenmord an [[w:Hatun Sürücü|Hatun Sürücü]] lösten Debatten über die Wertvorstellungen von in Deutschland lebenden muslimischen Familien aus. In den Niederlanden erstellte [[w:Theo van Gogh|Theo van Gogh]] in Zusammenarbeit mit der ehemaligen Muslimin [[w:Ayaan Hirsi Ali|Ayaan Hirsi Ali]] 2004 den islamkritischen Film [[w: Submission (Film)|Submission]] (dt. „Unterwerfung“), in dem vier muslimische Frauen über ihre Missbrauchserfahrungen sprechen. Der Titel ist auch eine Anspielung an die Bedeutung des arabischen Worts ''Islām'' und suggeriert, dass der Islam in einem antagonistischen Verhältnis zur Freiheit steht. Die Fernsehausstrahlung im August 2004 führte zu heftigen Reaktionen unter Muslimen, Hirsi Ali und Theo van Gogh erhielten mehrfache Morddrohungen. Im November 2004 wurde Theo van Gogh in Amsterdam von einem marokkanischen Islamisten ermordet.

[[File:Paris 2006-02-11 anti-caricature protest bannieres dsc07543.jpg|mini|Friedliche Demonstrationen gegen die [[w:Mohammed-Karikaturen|Mohammed-Karikaturen]] am 11. Februar 2006 in Paris]]
Der Antiislamismus verstärkte sich weiter nach den [[w:Madrider Zuganschläge|Madrider Zuganschlägen]] im März 2004 und den [[w:Terroranschläge am 7. Juli 2005 in London|Terroranschlägen in London]] im Juli 2005, die beide islamistisch motiviert waren. In Dänemark veröffentlichte im September 2005 die Zeitung [[w:Jyllands-Posten|Jyllands-Posten]] zwölf abwertende Zeichnungen Mohammeds. In der Folge weiterer Veröffentlichungen dieser und weiterer [[w:Mohammed-Karikaturen|Muhammad-Karikaturen]] kam es in vielen islamischen Ländern zu islamistisch motivierten gewalttätigen Ausschreitungen, zu diplomatischen Konflikten zwischen der dänischen Regierung und Regierungen islamischer Staaten. Die [[w:Organisation für Islamische Zusammenarbeit|OIC]] beschloss noch im Dezember des gleichen Jahres auf ihrem dritten außerordentlichen Treffen in Mekka die Gründung eines „Observatory of Islamophobia“, die seitdem Jahresberichte zum Thema veröffentlicht.

Im September 2006 hielt [[w:Benedikt XVI.|Papst Benedikt XVI.]] bei einem Besuch in Deutschland vor Wissenschaftlern an der Universität Regensburg eine Vorlesung, in der er eine Aussage des spätmittelalterlichen byzantinischen Kaisers [[w:Manuel II. (Byzanz)|Manuel II.]] (1350-1424) zur Rolle der Gewalt im Islam zitierte. Wörtlich lautete das Zitat:
{{Zitat|Zeig mir doch, was Mohammed Neues gebracht hat, und da wirst du nur Schlechtes und Inhumanes finden wie dies, dass er vorgeschrieben hat, den Glauben, den er predigte, durch das Schwert zu verbreiten‘.|Manuel II., zitiert von Benedikt XVI.}}
Die Vorlesung, die sehr schnell in islamischen Kreisen bekannt wurde, löste dort heftige Proteste aus, weil man fand, dass sich der Papst nicht genügend von dem Zitat distanziert hatte. 

Kritik am Koran und dem islamischen Religionsgründer wird in Europa seit der zweiten Hälfte der 2000er Jahre viel offener vorgetragen als früher. Im Februar 2007 sagte der niederländische Parlamentarier [[w:Geert Wilders|Geert Wilders]], Führer der rechtsgerichteten [[w:Partij voor de Vrijheid|Partij voor de Vriejheid]], in einem Zeitungsinterview: „Wenn die Muslime in diesem Land bleiben wollen, dann müssen sie die Hälfte der Seiten des Korans herausreißen.“ 2008 veröffentlichte er im Internet seinen islamkritischen Film [[w:Fitna (Film)|Fitna]], eine Collage von Koranzitaten und Filmaufnahmen von islamistisch motivierten Gewalttaten.

Um 2007 entstand außerdem die sogenannte [[w:Zentralrat der Ex-Muslime|ex-muslimische Bewegung]]. Es handelt sich um eine Bewegung von im westlichen Ausland lebenden Muslimen, die sich von ihrer Religion abwenden und sich auch öffentlich dazu bekennen. Das hat es so noch nie in der islamischen Geschichte gegeben. Beispiele für solche „Ex-Muslime“ sind [[w:Ibn Warraq|Ibn Warraq]] in Großbritannien und [[w:Mina Ahadi|Mina Ahadi]] in Deutschland. Ein Jahr später wurde in Deutschland der Verein [[w:Bürgerbewegung Pax Europa|Bürgerbewegung Pax Europa (BPE)]] gegründet, der sich selbst als außerparlamentarische Plattform gegen die „schleichende Islamisierung“ Deutschlands und Europas definiert. Er sucht den Schulterschluss mit islamkritischen Muslimen und zeichnete mehrere von ihnen mit Preisen aus.

=== 14.2.2. Die gegenseitige Verstärkung von Salafismus und Antiislamismus ===
[[File:Pierre Vogel Koblenz 2011.jpg|mini|links|Der salafistische Prediger [[w:Pierre Vogel|Pierre Vogel]] mit Gegendemonstranten 2011 in Koblenz]]
Der Antiislamismus wurde dadurch noch verstärkt, dass zeitgleich mit ihr in den westlichen Ländern eine salafistische Szene entstand, die durch Abgrenzung gegenüber den aufnehmenden Gesellschaften geprägt war. Als ideologische Grundlage diente hierbei unter anderem die [[w:al-Walā' wa-l-barā'|al-Walā'-wa-l-barā']]-Doktrin (siehe oben [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 13#13.1.3. Dschihadismus, Salafismus und „islamisches Erwachen“|13.1.3.]]). Nach außen hin wurde die Abgrenzung vor allem durch [[w:Niqab|Niqāb]] und [[w:Burka|Burka]] deutlich gemacht. Beides sind Ganzkörperschleier für Frauen, wobei der Niqāb im Gegensatz zum Burka (vgl. oben [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 13#13.2.6. Die Taliban und Usāma ibn Lādins Dschihad gegen Amerika|13.2.6.]]) einen Sehschlitz für die Augen offen lässt. Mehrere europäische Staaten reagierten auf die neue Situation mit Verschleierungsverboten.

[[Datei:Identitäre Bewegung Logo.svg|mini|120px|Logo der Identitären Bewegung]]
Anfang der 2010er Jahr bildete sich mit der [[w:Identitäre Bewegung|Identitären Bewegung]] eine neue transnationale antiislamische Strömung in Europa. Die identitären Gruppierungen sehen Europa von einer Islamisierung bedroht und kämpfen für einen Schutz der europäischen Kulturidentität gegen migrantische Einflüsse. Von ähnlichen Ängsten war auch der norwegige Rechtsextremist [[w:Anders Behring Breivik|Anders Behring Breivik]] getrieben, der im Juli 2011 die [[w:Anschläge in Norwegen 2011|Anschläge in Oslo und auf der Insel Utøya]] verübte, denen 77 Menschen zum Opfer fielen.

In Deutschland veröffentlichte [[w:Thilo Sarrazin|Thilo Sarrazin]] 2010 sein Buch [[w:Deutschland schafft sich ab|Deutschland schafft sich ab]], in dem er einen Stopp „islamischer Immigration“ forderte. Die Angst vor einer Islamisierung wurde in Deutschland auch dadurch geschürt, dass salafistische Prediger bei ihren Daʿwa-Aktivitäten immer offensiver auftraten. Der palästinenische Geschäftsmann [[w:Ibrahim Abou Nagie|Ibrahim Abou Nagie]], der schon 2005 den Daʿwa-Verein „Die Wahre Religion“ (DWR) gegründet hatte, startete 2011 unter dem Namen „Lies!“ (angelehnt an [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/96/vers/1 Q 96:1]) in deutschen Großstädten eine großangelegte Koranverteilungsaktion mit dem Ziel, alle deutschen Haushalte mit einem Koranexemplar zu versorgen. Wie erst später bekannt wurde, nutzte der Verein die Infostände auch, um neue Anhänger für die IS-Organisation zu werben. Von 140 Menschen ist bekannt, dass sie nach Teilnahme an Lies!-Aktionen nach Syrien oder in den Irak reisten, um sich dem IS anzuschließen. Anhänger des salafistischen Predigers [[w:Sven Lau|Sven Lau]] traten im September 2014 in Wuppertal als „Sharia Police“ auf und erzeugten damit ein erhebliches Medienecho.

[[File:Pegida Demonstration in Dresden am 05.01.2015 (15647884864).jpg|mini|hochkant|links|Teilnehmer einer [[w:Pegida|Pegida]]-Demonstration im Januar 2015]]
Im Oktober und November 2014, also kurz nach dieser Aktion, organisierte in Deutschland die Aktionsgruppe [[w:Hooligans gegen Salafisten|Hooligans gegen Salafisten]] Demonstrationen, bei denen es zu Straßenschlachten mit der Polizei kam. In Dresden, wo schon 2009 ein Russlanddeutscher aus islamfeindlichen Motiven die Ägypterin [[w:Marwa El-Sherbini|Marwa El-Sherbini]] während einer Strafverhandlung ermordet hatte, bildete sich unter dem Namen „Patriotische Europäer gegen die Islamisierung des Abendlandes“ ([[w:Pegida|Pegida]]) zum ersten Mal eine anti-islamische Massenbewegung. Sie veranstaltete von Oktober 2014 bis Januar 2015 wöchentliche Demonstrationen. 

Die identitäre Bewegung wurde durch eine Serie islamistischer Anschläge in Frankreich und Belgien noch weiter gestärkt. Der [[w:Anschlag auf Charlie Hebdo|erste dieser Anschläge]] im Januar 2015 galt der französischen Karikaturzeitschrift [[w:Charlie Hebdo|Charlie Hebdo]]. Sie hatte im September 2012 erneut Muhammad-Karikaturen veröffentlicht, woraufhin das AQAP-Magazin [[w:Inspire (Magazin)|Inspire]] 2013 den Chefredakteur von Charlie Hebdo „tot oder lebendig wegen Verbrechen gegen den Islam“ „zur Fahndung“ ausschrieb. Nachdem im Januar 2015 Charlie Hebdo erneut islamkritische Karikaturen veröffentlicht hatte, drangen zwei maskierte Täter, die sich später zu AQAP bekannten, in die Redaktionsräume der Zeitschrift ein und töteten elf Personen. Im November desselben Jahres begingen sieben Islamisten im [[w:Bataclan|Bataclan]]-Theater und an sieben weiteren Orten in und um Paris [[w:Terroranschläge am 13. November 2015 in Paris|koordinierte Selbstmordattentate]], bei denen sie insgesamt 130 Menschen töteten. Planer der Anschläge war ein belgischer Islamist marokkanischer Abstammung, der sich dem IS angeschlossen hatte. Der IS selbst bekannte sich schon einen Tag später zu den Anschlägen und rühmte sie als „gesegnetes Gemetzel“. Im März 2016 begingen drei islamistische Selbstmordattentäter [[w:Terroranschläge in Brüssel am 22. März 2016|Anschläge in Brüssel]], bei denen 35 Menschen ums Leben kamen und über 300 Menschen verletzt wurden. Auch zu diesen Anschlägen bekannte sich die IS-Organisation.

Die Kette terroristischer Anschläge mit islamistischem Hintergrund in Europa setzte sich in den folgenden Monaten noch weiter fort. Im Juli 2016 fuhr ein 31-jähriger Tunesier, der dem IS seine Unterstützung bekundet hatte, in [[w:Anschlag in Nizza 2016|Nizza]] mit einem Lkw absichtlich in eine Menschenmenge, wodurch 86 Menschen zu Tode kamen und über 300 Menschen verletzt wurden. Im Dezember steuerte der 24-jährige [[w:Anis Amri|Anis Amri]], ebenfalls ein Tunesier, einen geraubten Lkw in eine Menschenmenge auf dem [[w:Anschlag auf den Berliner Weihnachtsmarkt an der Gedächtniskirche|Weihnachtsmarkt an der Gedächtniskirche in Berlin]], wodurch elf Menschen getötet und weitere 55 Besucher verletzt wurden. Weitere große islamistische Terroranschläge wurden 2017 unter anderem in [[w: Terroranschlag in Istanbul am 1. Januar 2017|Istanbul]] (39 Tote), [[w:Terroranschlag in Manchester am 22. Mai 2017|Manchester]] (23 Tote) und [[w: Terroranschlag in Barcelona am 17. August 2017|Barcelona]] (14 Tote) verübt. In mehreren dieser Fälle bekannten sich die Täter zur IS-Organisation.

[[File:Kundgebung von Pax Europa in Dresden 2024-05-04 04.jpg|mini|Ein Stand der Bürgerbewegung Pax Europa im Mai 2024 ähnlich demjenigen, der in Mannheim angegriffen wurde.]]
Als Reaktion auf die islamistischen Anschläge in Frankreich und Belgien 2015/16 verschärfte in Deutschland die rechtspopulistische Partei [[w:Alternative für Deutschland|Alternative für Deutschland]] (AfD) ihre anti-islamische Rhetorik. In ihrem Grundsatzprogramm, das Anfang Mai 2016 verabschiedet wurde, wies die Partei die Aussage, dass der Islam zu Deutschland gehöre, zurück und forderte eine Beendung der Auslandsfinanzierung von Moscheen, die Schließung von Koranschulen und ein Verbot der Vollverschleierung. [[w:Constantin Schreiber|Constantin Schreiber]] schürte 2017 mit seinem Buch [[w:Inside Islam – Was in Deutschlands Moscheen gepredigt wird|''Inside Islam - Was in Deutschlands Moscheen gepredigt wird'']] weiteres Misstrauen gegenüber den Muslimen. In Frankreich verboten nach dem Anschlag in Nizza verschiedene südfranzösische Gemeinden das Tragen von Burkinis am Strand. Beim [[w:Burkini|Burkini]] handelt es sich um einen Ganzkörper-Schwimmanzug mit Kapuze für muslimische Frauen, der ihnen die Einhaltung der islamischen Verhüllungsvorschriften beim Schwimmen ermöglichen soll. Das Verbot wurde damit begründet, dass der Burkini ein Symbol der Unterdrückung der Frau bzw. der Zugehörigkeit zu einer terroristischen Organisation sei. Die antiislamische Stimmung in Frankreich erreichte nach dem islamistisch motivierten [[w:Mord an Samuel Paty|Mord an dem Geschichtslehrer Samuel Paty]] am 16. Oktober 2020 und mit der Präsidentschaftskandidatur des offen mit identitären Positionen sympatisierenden Politikers [[w:Éric Zemmour|Éric Zemmour]] bei der Wahl von April 2022 einen neuen Höhepunkt. In Deutschland hat im Mai 2024 der [[w:Messerangriff in Mannheim am 31. Mai 2024|Messerangriff in Mannheim]] auf einen BPE-Stand, bei dem der antiislamische Aktivist [[w:Michael Stürzenberger|Michael Stürzenberger]] angegriffen und der Polizist [[w:Rouven Laur|Rouven Laur]] tödlich verletzt wurde, die antiislamische Stimmung noch einmal angeheizt.

Die identitäre Bewegung hat mittlerweile auch außerhalb Europas einige Anhänger gewonnen. Ein Beispiel ist der australische Rechtsextremist [[w:Brenton Tarrant|Brenton Tarrant]], der am im März 2019 einen [[w:Terroranschlag auf zwei Moscheen in Christchurch|Terroranschlag auf zwei Moscheen in Christchurch]] in Neuseeland verübte, bei dem er 51 Menschen tötete. Kurz vor der Tat stellte er ein Pamphlet ins Netz, in dem er sich auf Anders Behring Breivik sowie eine Reihe identitärer Theorien berief, darunter die des sogenannten [[w:Großer Austausch|Großen Austauschs]]. Ob der wenige Wochen später verübte [[w:Terroranschlag in Sri Lanka am Ostersonntag 2019|Terroranschlag am Ostersonntag in Sri Lanka]], bei dem Anhänger einer lokalen islamistischen Gruppe Kirchen und Hotels angriffen und 253 Menschen töteten, eine Antwort von islamistischer Seite auf den Anschlag von Christchurch war, ist umstritten. Auffällig ist jedoch, dass die Täter von Sri Lanka ähnlich handelten, indem sie die meisten ihrer Opfer beim Gottesdienst ermordeten. Es fällt außerdem auf, dass in den letzten Jahren mehrfach Attentäter, die ihre Anschläge aus Hass gegen den Islam begingen, die Vorgehensweise islamistischer Attentäter kopierten. Dies zeigt sich nicht nur bei Anders Breivik und Brenton Tarrant, sondern auch bei dem aus Saudi-Arabien stammenden Ex-Muslim [[w:Taleb al-Abdulmohsen|Taleb al-Abdulmohsen]], der am 20. Dezember 2024 den [[w:Anschlag auf den Magdeburger Weihnachtsmarkt|Anschlag auf den Magdeburger Weihnachtsmarkt]] verübte, bei dem sechs Menschen zu Tode kamen.

== 14.3. Jenseits des Extremismus: Die Suche nach Kompromissen ==
Nachdem in den beiden vorangehenden Abschnitten der militante Islamismus und die antiislamischen Tendenzen in der Zeit nach dem 11. September 2001 beschrieben wurden, soll der dritte und letzte Abschnitt den Bemühungen um einen Ausgleich zwischen diesen widerstrebenden Strömungen gewidmet werden. Als Orientierungspunkt dienen dabei verschiedene Deklarationen aus dem Zeitraum von 2001 bis 2014, an denen sich eine große Anzahl von muslimischen Persönlichkeiten aus verschiedenen Ländern beteiligt hat. Daneben wird am Beispiel der deutschen Islam-Politik aufgezeigt, welche Strategien westliche Staaten zur Bekämpfung des Extremismus auf beiden Seiten entwickelt haben.

=== 14.3.1. Die Amman-Message von 2005 ===
[[Datei:King Abdullah portrait.jpg|mini|hochkant|Der jordanische König [[w:Abdullah II. bin al-Hussein|ʿAbdallāh II]], der die [[w:Botschaft aus Amman|Amman Message]] initiierte.]]
Die erste hier behandelte Deklaration ist vor allem darauf ausgerichtet, islamischen Terroristen die Legitimation zu entziehen, die andere Muslime eigenmächtig zu Ungläubigen erklären und auf dieser Grundlage gegen sie Gewalt ausüben. Die Initiative zu dieser Deklaration, der sogenannten [[w:Botschaft aus Amman|Amman Message]], ging vom jordanischen König [[w:Abdullah II. bin al-Hussein|ʿAbdallāh II ibn al-Husain]] aus. Er sandte Ende 2004 an 24 muslimische Gelehrte, die verschiedenen Richtungen angehören, drei Fragen, mit der Bitte um Beantwortung, nämlich: (1) Wer ist ein Muslim? (2) Ist es erlaubt, jemanden zum Ungläubigen zu erklären? (3) Wer hat das Recht, Fatwas zu geben? Hierbei spielten Gelehrte der wenige Monate zuvor von [[w:Yusuf al-Qaradawi|Yūsuf al-Qaradāwī]] gegründeten [[w: Internationale Union Muslimischer Gelehrter|Internationalen Union muslimischer Gelehrter]]  eine tragende Rolle. Dieser Organisation gehören etwa 70 Gelehrte unterschiedlicher religiöser Denomination an. Auf Grundlage der Fatwas der 24 Gelehrten, zu denen auch der Schiit [[w:Ayatollah Sistani|Ayatollah Sistani]] und [[w:Ahmed bin Hamad al-Chalili|Ahmad ibn Hamad al-Chalīlī]], der [[w:Ibaditen|ibaditische]] Großmufti des Sultanats Oman gehörten, rief König ʿAbdallāh im Juli 2005 in Amman eine internationale islamische Konferenz zusammen, an der 200 Gelehrte aus fünfzig Ländern teilnahmen. Auf dieser Konferenz mit dem Titel “Wahrer Islam und seine Rolle in der modernen Gesellschaft” wurde die ''Amman Message'' verabschiedet. Sie enthält im Wesentlichen drei Punkte:
* Es werden insgesamt acht autoritative Rechtsschulen anerkannt: vier sunnitische ([[w:Hanafiten|hanafitisch]], [[w:Malikiten|malikitisch]], [[w:Schafiiten|schafiitisch]], [[w:Hanbaliten|hanbalitisch]]), zwei schiitische ([[w:Dschaʿfariten|dschaʿfaritisch]], [[w:Zaiditen|zaiditisch]]), die [[w:Ibaditen|ibaditische]] und die [[w:Zahiriten|zahiritische]]. Gleichfalls ist es nicht erlaubt, jemanden zum [[w:Apostasie im Islam|Apostaten]] zu erklären, der der [[w:Aschʿarīya|aschʿaritischen]] Dogmatik folgt, die „wahre [[w:Sufismus|Sufik]]“ praktiziert oder „wahrhaftiges salafitisches Denken“ verfolgt.
* Gegründet auf diese Definition, wird der gegenseitige [[w:Takfīr|Takfīr]] unter Muslimen verboten. Alle Denkschulen sind sich über die Grundlagen des Islams einig. Differenzen bestehen lediglich hinsichtlich der Einzelheiten (''furūʿ''). Dieser [[w:Ichtilāf|Dissens]] ist allerdings eine gute Sache.
* Gegründet auf die anerkannten [[w:Madhhab|Rechtsschulen]], werden subjektive und objektive Voraussetzungen für die Erteilung von Rechtsgutachten genannt. Damit wird ausgeschlossen, dass religiös nicht ausgebildete Laien [[w:Fatwa|Fatwas]] im Namen des Islams erteilen. Niemand darf Fatwas erteilen, der nicht die persönlichen Voraussetzungen dafür nach einer der acht Schulen erfüllt.
Die Amman Message hat insofern besonderes Gewicht, weil ihr im Dezember 2005 die [[w:Organisation für Islamische Zusammenarbeit|Organisation der Islamischen Konferenz (OIC)]] auf einer Gipfelkonferenz zustimmte und sie im Juli 2006 auch von der der OIC angeschlossenen [[w:Internationale Islamische Fiqh-Akademie|Internationalen islamischen Fiqh-Akademie]] als Beschluss angenommen wurde. Insgesamt haben sich danach etwa 500 führende muslimische Gelehrte der Amman Message angeschlossen. 

Das eigentlich Revolutionäre der Amman Message ist, dass die Anzahl der anerkannten Lehrrichtung von vier auf acht erweitert wurde und nun auch die beiden schiitischen und die ibaditische Lehrrichtung im Fiqh einschließt. Ein bemerkenswerter Zug der Erklärung ist außerdem das Verbot der Verketzerung von Aschʿariten, Sufis und Salafiten. Dies lässt sich als eine Antwort auf den seit Ende des 20. Jahrhunderts verschärften Gegensatz zwischen Aschʿariten/Sufis auf der einen Seite und Salafiten auf der anderen Seite interpretieren, die sich gegenseitig aus dem [[w:Sunniten|Sunnitentum]] ausschließen. Zwar ist die Amman-Erklärung ein wichtiger Schritt in Richtung einer islamischen Ökumente, doch hat er in den Folgejahren militante Anhänger des sunnitischen Islams nicht davon abgehalten, mit Brutalität gegen schiitische Minderheiten vorzugehen. Das Gleiche gilt auch für die Doha-Konferenz vom Januar 2007, eine weitere Initiative zur Ännäherung zwischen den islamischen Lehrrichtungen.

=== 14.3.2. Muslimische Dialoginitiativen und der Offene Brief an al-Baghdādī ===
[[File:Papa Benedetto.jpg|mini|hochkant|Papst Benedikt XVI, der Adressat des Offenen Briefes von 2006]]
Zwei zweitere Deklarationen, die hier vorgestellt werden sollen, sind muslimische Antworten auf die Regensburger Papstrede vom September 2006. Die erste ist der [[w:Offener Brief islamischer Gelehrter an Papst Benedikt XVI.|Offene Brief islamischer Gelehrter an Papst Benedikt XVI.]] vom Oktober 2006. Er ist von 38 hochrangige islamischen Gelehrten und Geistlichen aus aller Welt unterzeichnet, darunter die Großmuftis der Türkei, Ägypten, Syrien, Oman, Bosnien-Herzegowina und Usbekistan sowie der Vorsitzende der [[w:Nahdlatul Ulama|Nahdlatul Ulama]] in Indonesien. Russland ist durch Rawil Gainutdin vertreten, den Konkurrenten von Talgat Tadschuddin, der 2003 den USA und Großbritannien den Dschihad erklärte hatte (siehe oben [[#14.1.2. Solidarisierung mit al-Qāʿida und das militante islamische Lager|14.1.2.]]). Gainutdin hat übrigens 2014 als neue Vertretung der russischen Muslime die [[w:Geistliche Verwaltung der Muslime der Russischen Föderation|Geistliche Verwaltung der Muslime der Russischen Föderation]] ins Leben gerufen, was ihm heute zusätzliche Autorität verleiht.

Der Offene Brief widerspricht zunächst der Darstellung des islamischen Glaubens in der Papstrede. Insbesondere weist er die Vorstellung zurück, der Islam sei eine Religion der Gewalt. Die Behauptung, Muslimen sei befohlen, ihren Glauben „mit dem Schwert“ zu verbreiten, sei unhaltbar. Zwar sei der Islam als politisches Gebilde zum Teil durch Eroberung verbreitet worden, aber der weitaus größere Teil seiner Ausbreitung sei das Ergebnis predigender und missionarischer Tätigkeit gewesen. Die Geschichte zeige, dass zwar einige Muslime islamische Werte verletzt hätten, was Zwangsbekehrung und die Behandlung anderer Religionsgemeinschaften angehe, doch die Geschichte zeige auch, dass dies bei weitem die Ausnahme sei, die die Regel bestätigt. Die Unterzeichnenden bringen in dem Brief ihre Überzeugung zum Ausdruck, dass es keinesfalls von Gott gewollt sei, andere gewaltsam zum Glauben oder sie wegen ihres Glaubens zu töten. In diesem Zusammenhang verweist der Brief auf das Koranwort, dass in dem Falle, dass jemand ein menschliches Wesen tötet, es sei denn als Vergeltung für Mord oder für das Stiften von Verderben im Land, dies ist, „als habe er die gesamte Menschheit getötet“ ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/5/vers/32 Koran 5:32]). Zum Schluss ruft der Brief zu einer Fortführung des Dialogs zwischen Christentum und Islam auf.

[[Datei:H.R.H. Prince Ghazi bin Muhammad with Shmagh Smiling 13.12.11.jpg|mini|hochkant|links|Prinz [[w:Ghazi bin Muhammad|Ghazi ibn Muhammad]], der Koordinator der [[w:Ein gemeinsames Wort zwischen Uns und Euch|Common-Word-Initiative]]]]
Allein die Tatsache, dass sich so viele muslimische Gelehrte aus aller Welt mit einem gemeinsamen Text an den Papst wandten, in der sie sich in dialogisch-theologischer Form mit Aussagen von ihm auseinandersetzten, ist ein Novum in der Geschichte des Islams. Dies zeigt, dass es heute bei muslimischen Gelehrten eine große Bereitschaft gibt, mit Vertretern des Christentums in einen Dialog einzutreten. Bemerkenswert ist auch das Motto, unter das der Brief gestellt ist, nämlich das Koranwort: „Und streitet mit den [[w:Ahl al-kitāb|Leuten des Buches]] nur in bester Weise“ ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/29/vers/46 Q 29:46]). Damit machen sie deutlich, dass sie das Führen des christlich-islamischen Dialogs als Erfüllung eines koranischen Auftrags sehen.

Ein Jahre später, im Oktober 2007, haben 138 islamische Gelehrte und Geistliche einen weiteren Brief an den Papst und eine große Anzahl von Repräsentanten anderer christlicher Kirchen gerichtet. Initiator des Briefes war der jordanische Prinz [[w:Ghazi bin Muhammad|Ghazi ibn Muhammad]], Professor für islamische Philosophie an der [[w:Universität von Jordanien|Universität von Jordanien]]. Der Titel dieses Briefes [[w:Ein gemeinsames Wort zwischen Uns und Euch|Ein gemeinsames Wort zwischen Uns und Euch]] ist an das Koranwort in [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/3/vers/4r Sure 3:64] angelehnt, das bereits oben ([[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 03#3.2.2. Die Auseinandersetzung mit den Juden|3.2.2.]]) zitiert wurde: „Sag: O Leute des Buches, kommt her zu einem Wort, das uns und euch gemeinsam ist. Ist es nicht so, dass wir Gott allein dienen, ihm nichts beigesellen und uns nicht untereinander anstelle Gottes zu Herren nehmen?“ Dies stimmt mit dem allgemein Ziel des Briefes überein, nämlich die gemeinsamen Grundlagen von Christentum und Islam herauszustellen. Der Text weist daraufhin, dass Muslime und Christen zusammen mehr als die Hälfte der Weltbevölkerung stellen, und betont, dass es ohne Frieden und Gerechtigkeit zwischen diesen beiden Gemeinschaften keinen echten Frieden in der Welt geben könne. Die Zukunft der Welt hänge daher von dem Frieden zwischen Muslimen und Christen ab. Der Aufruf der islamischen Gelehrten und Geistlichen zum interreligiösen Dialog blieb nicht unbeantwortet. Eine Folge davon war die Gründung des [[w:Katholisch-Muslimisches Forum|Katholisch-Muslimischen Forums]], das bisher vier Mal (2008, 2011, 2014 und 2017) getagt hat.

Viele der Gelehrte, die an der Common-Word-Initiative teilgenommen haben, wandten sich im September 2014 mit einem [[w:Offener Brief an al-Baghdadi|Offenen Brief]] an Abū Bakr al-Baghdādī, den selbst ernannten Kalifen der IS-Organisation, sprachen ihm die religiöse Autorität ab, erklärten das IS-Kalifat für nichtig und machten deutlich, dass sie die vom IS verübten Praktiken (Tötung Unschuldiger, offensiver Dschihād, Wiedereinführung der Sklaverei, Folter, Entstellung von Toten usw.) als unvereinbar mit dem Islam betrachten. Ein bemerkenswerter Aspekt des Textes ist, dass den [[w:Jesiden|Jesiden]] darin zum ersten Mal der Status von [[w:Ahl al-kitāb|Ahl al-kitāb]] zugesprochen wird.&lt;ref&gt;Der Offene Brief ist [https://www.lettertobaghdadi.com/ hier] einsehbar. Eine deutsche Übersetzung findet sich [https://madrasah.de/leseecke/islam-allgemein/offener-brief-al-baghdadi-und-isis hier].&lt;/ref&gt;

=== 14.3.3. Westliche Strategien gegen Extremismus: die deutsche Islam-Politik als Beispiel ===
Auch die westlichen Länder haben Programme aufgelegt, um den Extremismus auf beiden Seiten zu bekämpfen. Sie sind vor allem auf die Integration der Muslime in die eigene Gesellschaft ausgerichtet. In Deutschland, das hier als Beispiel behandelt werden soll, rief im September 2006 Innenminister [[w:Wolfgang Schäuble|Wolfgang Schäuble]] die [[w:Deutsche Islamkonferenz|Deutsche Islamkonferenz]] (DIK) ins Leben. Die Konferenz, die „als langfristiger Verhandlungs- und Kommunikationsprozess zwischen dem deutschen Staat und Vertretern der muslimischen Bevölkerung Deutschlands angelegt“ ist, besteht aus 30 ständigen Teilnehmern, davon 15 Vertretern des Bundes, der Länder und der Kommunen und 15 Vertretern der in Deutschland lebenden Muslime. Als Reaktion auf die Deutsche Islamkonferenz gründeten im April 2007 die vier größten islamischen Organisationen in Deutschland, der [[w:Zentralrat der Muslime in Deutschland|Zentralrat der Muslime in Deutschland]] (ZMD), die [[w:Türkisch-islamische Union der Anstalt für Religion|Türkisch-islamische Union der Anstalt für Religion]] (DİTİB), der [[w:Islamrat für die Bundesrepublik Deutschland|Islamrat für die Bundesrepublik Deutschland]] (IR) und der [[w:Verband der Islamischen Kulturzentren|Verband der Islamischen Kulturzenten]] (VIKZ) den [[w:Koordinationsrat der Muslime in Deutschland|Koordinationsrat der Muslime in Deutschland]] (KRM).

Die DIK befindet sich mittlerweile in ihrer fünften Phase. Während der ersten Phase der DIK, die bis 2010 andauerte, wurden grundlegende Fragen des Zusammenlebens einschließlich der rechtlichen Rahmenbedingungen erörtert und vor allem auch religionspraktische Schwierigkeiten auf Lösungsmöglichkeiten hin untersucht. In der zweiten Phase (2010-2013) ging es schwerpunktmäßig um die Etablierung einer institutionalisierten Kooperation zwischen Staat und Muslimen, Geschlechtergerechtigkeit und Prävention von Extremismus. Die wichtigsten Themen der dritten Phase (ab 2014) waren der Aufbau einer muslimischen Wohlfahrtspflege und einer islamischen Seelsorge, der Fokus der vierten Phase (ab 2018) lag auf der praktischen Schulung von geistlichem Personal, und in der fünften Phase (ab 2022) ging es unter anderem um die Stärkung der muslimischen Selbstorganisation. 

Ausgehend von den Empfehlungen der DIK wurden mehrere weitere Maßnahmen zur Integration der Muslime in die deutsche Gesellschaft ergriffen, so zum Beispiel der Ausbau des islamischen Religionsunterrichtes an den Schulen. Im Februar 2010 gab der [[w:Wissenschaftsrat (Deutschland)|Wissenschaftsrat]] darüber hinaus die Empfehlung zum Aufbau islamisch-theologischer Zentren in Deutschland, um die „islamische Selbstauslegung“ in das akademische Feld der Universitäten zu integrieren. Auf diese Initiative hin wurden mit finanzieller Unterstützung des Bundes an sieben deutschen Universitäten (Osnabrück, Münster, Frankfurt, Tübingen, Erlangen, HU Berlin, Paderborn) derartige Zentren geschaffen.

[[File:Navid Kermani Frankfurter Buchmesse 2015.JPG|mini|[[w:Navid Kermani|Navid Kermani]]]]
Bundespräsident [[w:Christian Wulff|Christian Wulff]] betonte im Oktober 2010 in seiner Rede zum 20. Jahrestag der Wiedervereinigung, dass neben Christentum, Judentum inzwischen auch der Islam zu Deutschland gehöre. Integration wird zum Teil auch durch die Rechtsprechung betrieben. Am 11. September 2013 entschied das Bundesverwaltungsgericht (BVerwG) in Leipzig im sogenannten Burkini-Urteil, dass muslimische Schülerinnen regelmäßig keine Befreiung vom koedukativen Schwimmunterricht verlangen können, wenn ihnen die Möglichkeit offensteht, hierbei einen Burkini zu tragen. Hiermit wurde die rechtliche Grundlage für einen Kompromiss in dem Streit um die islamischen Verhüllungsvorschriften gelegt. Mit der Verleihung des [[w:Friedenspreis des Deutschen Buchhandels|Friedenspreises des Deutschen Buchhandels]] an [[w:Navid Kermani|Navid Kermani]] wurde 2015 ein muslimischer Intellektueller und Schriftsteller gewürdigt, der sich besonders um die christlich-islamische Verständigung verdient gemacht hat. Er hielt schon im Mai 2014 die Festrede zur Feierstunde ''65 Jahre Grundgesetz'' im [[w:Deutscher Bundestag|Deutschen Bundestag]]. Ein Antrag der [[w:AfD-Fraktion im Deutschen Bundestag|AfD-Fraktion]], der auf ein Verbot der „Verbreitung von im [[w:Koran|Koran]] enthaltenen gesetzwidrigen Inhalten und Aufrufen“ abzielte, wurde im Oktober 2018 von den anderen Fraktionen des Bundestages [[w:Bundestagsdebatte über den AfD-Antrag zu Islam und Scharia|entschieden zurückgewiesen]].

== 14.4. Die Zurückdrängung des politischen Islams ==
=== 14.4.1 Die Internationale des politischen Islams nach dem 11. September ===
Zum Schluss möchte ich hier auf die Entwicklung des politischen Islams eingehen. Als Ausgangspunkt nehme ich dabei eine Deklaration, die kurz nach den Anschlägen vom 11. September 2001 abgegeben wurde. Sie ist von 46 muslimischen Persönlichkeiten aus verschiedenen Ländern unterzeichnet, die zum großen Teil Anführer islamischer Organisationen waren. In [[Kurs:Die globalen Netzwerke der Muslimbruderschaft/Erklärung vom 14.09.2001|dieser Erklärung]], die am 14. September 2001 in der Zeitung [[w:al-Quds al-arabi|al-Quds al-ʿArabī]] erschien, brachten die Unterzeichnenden ihre Bestürzung und ihr Bedauern über diese Anschläge zum Ausdruck und machten deutlich, dass sie diese im Widerspruch zu allen menschlichen und islamischen Werten sahen. Der Islam, so äußerten sie in der Erklärung, verbiete alle Formen der Agression gegenüber Unschuldigen, wie aus dem Koranwort &quot;Und keiner wird die (Sünden)last eines anderen tragen&quot; in [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/17/vers/15 Sure 17:15] hervorgehe. Damit stellten sie sich gegen die Argumentation der Islamischen Weltfront, die in ihrer Dschihad-Fatwa vom Februar 1998 (vgl. oben [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 13#13.2.6. Die Taliban und Usāma ibn Lādins Dschihad gegen Amerika|13.2.6.]]) das Töten von amerikanischen Zivilisten nicht nur erlaubt, sondern auch zur Pflicht für Muslime erklärt hatte.
 
Separate Erklärungen, in denen die Anschläge verurteilt wurden, gaben in der gleichen Zeit auch andere muslimische Persönlichkeiten ab, doch gibt es keine Erklärung, die so viele Unterzeichner hat wie diese. Hierzu gehörten Yūsuf al-Qaradāwī, [[w:Rached al-Ghannouchi|Raschīd al-Ghannūschī]], zu dieser Zeit Anführer der [[w:Ennahda|Nahda-Bewegung]] in Tunesien, die Anführer der [[w:Muslimbrüder|Muslimbruderschaft]] in Ägypten, Syrien, Jordanien und Sudan, die Anführer der [[w:Jamaat-e-Islami|Jamaat-e-Islami]] in Pakistan, Bangladesch und Sri Lanka, [[w:Ahmad Yasin|Ahmad Yasin]], der geistige Führer der [[w:Hamas|Hamas]], die Vorsitzenden der [[w:Parti Islam Se-Malaysia|Islamischen Partei Malaysias]], der indonesischen [[w:Gerechtigkeits- und Wohlfahrtspartei|Gerechtigkeits- und Wohlfahrtspartei (PKS)]], der jemenitischen [[w:al-Islah|Islāh-Partei]], der marokkanischen [[w:Partei für Gerechtigkeit und Entwicklung (Marokko)|Partei für Gerechtigkeit und Entwicklung]], der algerischen [[w:Mouvement de la Société de la Paix|Bewegung der Friedensgesellschaft]] und der Vorsitzende der [[w:Föderation Islamischer Organisationen in Europa|Föderation Islamischer Organisationen in Europa]].

Diese Liste ist nicht nur deswegen interessant, weil sie die Breite der Ablehnung der Anschläge unter den Muslimen zeigt, sondern auch, weil sie ein internationales Netzwerk islamischer Organisationen und Einzelpersonen offenlegt, das so gut koordiniert war, dass es nur zwei Tage brauchte, um diese Erklärung zu organisieren. Man kann dieses Netzwerk als die Internationale des politischen Islams bezeichnen. Fast alle der genannten Organisationen und Parteien haben außerdem einen Bezug zur Muslimbruderschaft. Gemeinsam ist den Unterzeichnenden, dass sie für die Errichtung einer islamischen staatlichen Ordnung kämpfen, jedoch der Auffassung sind, dass dieser Kampf mit politischen Mitteln geführt werden muss. Das ist auch der Grund, warum mehrere der genannten Organisationen als Parteien organisiert sind. Sie sind bereit, sich die Macht auf dem Wege demokratischer Wahlen zu erkämpfen.

[[Datei:Tawakkul Karman (Munich Security Conference 2012).jpg|mini|hochkant|[[w:Tawakkol Karman|Tawakkul Karman]] 2012]]
Einige der genannten Organisationen haben schon eine lange Geschichte als Partei hinter sich. Die Islamische Partei Malaysias und die Jamaat-e-Islami beispielsweise sind schon in den 1950er Jahren bei Wahlen angetreten, andere wie die [[w:Bangladesh Jamaat-e-Islami|Jamaat-e Islami von Bangladesh]], die von 2001 bis 2006 in Bangladesch an der Regierung beteiligt war, die jemenitische Islāh-Partei, die algerische Friedensgesellschaft und die indonesische PKS sind nach 1979 gegründet worden. Wiederum andere Organisationen haben erst nach 2001 die Form einer Partei angenommen bzw. eine eigene Partei gegründet. Dies gilt zum Beispiel für die Hamas, die im Januar 2006 die Wahlen in den Palästinensischen Autonomiegebieten gewann und ab 2007 die Regierung im [[w:Gazastreifen|Gazastreifen]] stellte. In Ägypten gründete während der Revolution von 2011 die Muslimbruderschaft die [[w:Freiheits- und Gerechtigkeitspartei|Freiheits- und Gerechtigkeitspartei]]. Ihr Vorsitzender [[w:Mohammed Mursi|Muhammad Mursī]] wurde bei den ersten freien Präsidentschaftswahlen Ägyptens im Juni 2012 zum Staatspräsidenten gewählt. Die tunesische Nahda-Bewegung, die sich schon in den 1980er Jahren als Partei gegründet, aber damals keine Zulassung erhalten hatte, wurde während des Arabischen Frühlings im März 2011 legalisiert, gewann im gleichen Jahe die erste freie Wahl zur Verfassunggebenden Versammlung und konnte von 2011 bis 2014 mit Ghannoushi den ersten postrevolutionären Ministerpräsidenten stellen. In mehreren der hier genannten Parteien sind auch Frauen aktiv. Die größte internationale Bekanntheit erlangte die Aktivistin [[w:Tawakkol Karman|Tawakkul Karman]], die 2011 mit dem Friedensnobelpreis ausgezeichnet wurde. Sie war eine Abgeordnete der jemenitischen Islāh-Partei.

Einige Vertreter des politischen Islams haben sich klar gegen religiöse Gewalt ausgesprochen. Ein Beispiel ist [[w:Salmān al-ʿAuda|Salmān al-ʿAuda]], der wie Safar al-Hawālī in den 1990er Jahren zur Sahwa-Gruppe gehört hatte. Anders al-Hawālī hat er sich aber nach 2001 vom militanten Islam gelöst und ist zu einem der schärfsten Kritiker von Usāma ibn Lādin und al-Qāʿida innerhalb des salafistischen Islams geworden. Außerdem hat er mehrfach öffentlich zum Verzicht auf Gewalt bei der Verteidigung des Propheten aufgerufen. Als im September 2012 nach der Ausstrahlung des Muhammad verunglimpfenden Films [[w:Innocence of Muslims|Innocence of Muslims]] in mehreren islamischen Ländern amerikanische Botschaften und Konsulate angegriffen wurde, verurteilte er diese Aktionen und betonte, dass die ethischen Lehren des Islams derartige Aggression verböten. Zwar sei es für Muslime berechtigt, Ärger zu empfinden, wenn ihr Prophet beleidigt werde, doch dürfe dieser Ärger nicht in Gewalt umschlagen. Vielmehr sei es notwendig, alle verfügbaren Medien zu nutzen, um die Vision der Organisation zu erreichen, dass nämlich der Prophet &quot;weltweit als der vorbildlichste und bewundernswerteste aller Menschen anerkannt wird.&quot; 

=== 14.4.2. Die neue Front gegen den politischen Islam nach dem Ende des arabischen Frühlings ===
[[Datei:Rabia sign.svg|mini|hochkant|Das [[w:R4bia|R4bia]]-Emblem. Rābiʿa ist der Name des Platzes, auf dem am 14. August 2013 das Rābiʿa-Massaker stattfand. Rābiʿa heißt aber auch &quot;die Vierte&quot;, deshalb die vier Finger.]]
Die politischen Entwicklungen des Arabischen Frühlings schienen zunächst auf eine Stärkung des politischen Islams hinauszulaufen, hatten sie doch in Ägypten und Tunesien der Muslimbruderschaft nahestehende Parteien an die Macht gebracht. Katar hatte die verschiedenen der Muslimbruderschaft zugehörigen Parteien während des Arabischen Frühlings mit seinem Nachrichtensender [[w:Al Jazeera|Al Jazeera]] unterstützt. Al-Qaradāwī hatte 2011 selbst in Ägypten an der Revolution teilgenommen und ihr ideologische Hilfestellung gegeben, indem er davon sprach, dass nun eine „Jurisprudenz der Revolution“ (''fiqh aṯ-ṯaura'') entwickelt werden müsste, die den Umbrüchen islamische Legitimität verleiht. Als im Juni 2013 die [[w:Tamarod|Tamarrud]]-Proteste gegen die Regierung von Muhammad Mursī ausbrachen und er kurz danach [[w:Militärputsch in Ägypten 2013|vom Militär gestürzt wurde]], rief al-Qaradāwī die ägyptischen Muslime eindringlich dazu auf, gegen diesen Schritt zu protestieren. Dies führte zu einer heftigen Auseinandersetzung mit [[w:ʿAlī Dschumʿa|ʿAlī Dschumʿa]], dem früheren ägyptischen Staatsmufti, und der Azhar, die den Militärputsch unterstützt hatten. Infolgedessen verschlechterten sich auch die Beziehungen zwischen Katar und Ägypten. Der Konflikt zwischen den beiden Ländern um die Frage der Beurteilung der Muslimbruderschaft zog in der Folgezeit immer weitere Kreise, weil sich Saudi-Arabien, Bahrain und die Vereinigten Arabischen Emirate (VAE) im Frühjahr 2014 auf die Seite Ägyptens stellten und ebenfalls die Muslimbruderschaft verboten.
 
[[File:Erdogan gesturing Rabia.jpg|mini|links|Der türkische Ministerpräsident [[w:Recep Tayyip Erdoğan|Recep Tayyip Erdoğan]] mit dem R4bia-Zeichen]]
Zunächst konnte dies dadurch ausgeglichen werden, dass umgekehrt die türkische Regierung für die Muslimbruderschaft und Katar Partei ergriff. Zum politischen Symbol für die Unterstützung der Muslimbruderschaft wurde in dieser Zeit das [[w:R4bia|R4bia]]-Zeichen. Es ist von dem Namen des [[w:Rābiʿa-al-ʿAdawiyya-Moschee|Rābiʿa-ʿAdawīya-Platzes]] abgeleitet, auf dem am 14. August 2013 die Übergangsregierung des Militärratschefs [[w:Abd al-Fattah as-Sisi|Abd al-Fattah as-Sisi]] ein Blutbad an Unterstützern von Mursī anrichtete. Der türkische Politiker [[w:Recep Tayyip Erdoğan|Recep Tayyip Erdoğan]], bis 2014 Ministerpräsident, danach Präsident der Türkei, hat dieses Zeichen immer wieder bei öffentlichen Auftritten benutzt, so auch nach dem [[w:Putschversuch in der Türkei 2016|Putschversuch vom Juli 2016]], für die er die [[w:Gülen-Bewegung|Gülen-Bewegung]] verantwortlich machte. Damit hat er seine Solidarität mit der Muslimbruderschaft zum Ausdruck gebracht und gleichzeitig seine Partei, die [[w:Adalet ve Kalkınma Partisi|Adalet ve Kalkınma Partisi (AKP)]], die seit 2001 in der Türkei die Regierung stellt, in die Internationale des politischen Islams eingereiht. 2016 errichtete die Türkei unter Erdoğans Führung auch einen Militärstützpunkt in Katar. Ein symbolsträchtiger Schritt war es, dass er im Juli 2020 die [[w:Hagia Sophia|Hagia Sophia]] in eine Moschee rückumwandeln ließ. Damit kam er einer schon lange erhobenen Forderung seiner Anhänger nach, konnte aber auch international bei Anhängern des politischen Islams punkten.

Vorläufiger Höhepunkt des Konfliktes zwischen den Unterstützern und den Gegnern der Muslimbruderschaft war die [[w:Katar-Krise 2017 bis 2021|Katar-Krise]] im Juli 2017. Auslöser war, dass die vier Länder Ägypten, Saudi-Arabien, Bahrain und die VAE Katar einen Forderungskatalog mit 13 Punkten übermittelten, der innerhalb von zehn Tagen erfüllt werden sollte. Hierzu gehörten der Abbruch der Beziehung zur Muslimbruderschaft und ihren Zweigorganisationen wie Hamas, die Schließung des Nachrichtensenders Al Jazeera und des türkischen Militärstützpunktes in Doha sowie die direkte Überstellung aller als Terroristen gesuchten Personen des IS, al-Qāʿidas und der Muslimbruderschaft, darunter auch Yūsuf al-Qaradāwī. Die Regierung von Katar weigerte sich, diese Forderungen zu erfüllen. Daraufhin verhängten die vier Länder ein weitreichendes Embargo über Katar. Die Einstufung der Muslimbruderschaft als Terrororganisation und die Katar-Krise hatten übrigens auch in Saudi-Arabien selbst Folgen, weil islamische Gelehrte, die der Muslimbruderschaft nahestehen, hier verhaftet wurden. Eines der bekanntesten Opfer dieser Verhaftungswelle ist der oben genannte Prediger [[w:Salmān al-ʿAuda|Salmān al-ʿAuda]]. Er befindet sich seit September 2017 in Haft.

[[Datei:BinBayyah.jpg|mini|ʿAbdallāh ibn Baiya]]
Eine besonders aktive Rolle bei der Bekämpfung der politischen Islams spielen auch die Vereinigten Arabischen Emirate. Sie gründeten nach 2013 ein internationales Netzwerk von religiösen Organisationen und Initiativen, um einen „toleranten“, aber auch quietistischen Islam zu fördern, darunter das ''Forum for Promoting Peace in Muslim Societies'' (FPPMS), das durch den mauretanischen Scheich [[w:ʿAbdallāh ibn Baiya|ʿAbdallāh ibn Baiya]] geleitet wird. Er war ein früherer Weggefährte von Yūsuf al-Qaradāwī, der sich während des Arabischen Frühlings jedoch gegen ihn und seine „Jurisprudenz der Revolution“ stellte und zur Entwicklung einer „Jurisprudenz des Friedens“ (''fiqh as-salām'') aufrief. Dabei bezog er teilweise auch Stellung gegen das Konzept der Demokratie. So sagte er: „In Gesellschaften, die dafür nicht bereit sind, ist der Ruf nach Demokratie im Grunde ein Ruf nach Krieg.“ Da die menschlichen und finanziellen Kosten für die Errichtung der Demokratie in Gesellschaften ohne gemeinsame Grundlage sehr hoch seien, müsse als Grundlage für Frieden und Sicherheit Gerechtigkeit in ihrem islamischen Sinne hergestellt werden. Wie ein internationales Konsortium von Investigativjournalisten in den sogenannten [[w:en:Abu Dhabi Secrets|Abu Dhabi Secrets]] 2023 aufgedeckt hat, haben die Emirate in den Jahren nach 2013 eine internationale Diffamierungskampagne gegen Sympathisanten der Muslimbruderschaft durchgeführt und dabei auch Gelder an westliche Wissenschaftler gezahlt, die über den politischen Islam forschen. Teilweise ergeben sich auch Interessenüberschneidungen mit westlichen Institutionen, die sich der Einhegung des politischen Islams widmen, wie der österreichischen [[w:Dokumentationsstelle Politischer Islam|Dokumentationsstelle Politischer Islam]].

Ein Problem der islamischen Parteien des Muslimbruderschaft-Netzwerks besteht darin, dass sie sich nicht genügend vom militanten Islam abgrenzen, ja zum Teil selbst dschihadistischen Aktivitäten nachgehen. Dies hat in mehreren Fällen dazu geführt, dass ihnen die politische Anerkennung verwehrt wurde bzw. sie die Macht wieder verloren. Ein Auslöser für die Proteste, die zur Absetzung von Mursī in Ägypten führten, war, dass er ein Mitglied der ehemaligen Terrorgruppe Dschamāʿa Islāmīya zum Gouverneur für die Tourismusregion Luxor ernannt hatte, ausgerechnet dort, wo diese Gruppierung 1996 einen blutigen Anschlag auf Touristen verübt hatte. Die Generäle begründeten ihren Putsch auch damit, dass die Muslimbrüder auf dem Sinai Dschihadisten, die das Militär bekämpften, hatten gewähren lassen. Im September 2013 erklärten sie die Muslimbruderschaft zur Terrororganisation und verboten sie. Ein ähnliches, aber weniger dramatisches Schicksal ereilte die tunesische Nahda-Partei. Sie trat im Januar 2014 selbst aus der Regierung zurück, nachdem man ihr vorgeworfen hatte, den militanten Salafismus im Lande unterstützt zu haben. Unter der Herrschaft des zunehmend autoritär regierenden tunesischen Präsidenten [[w:Kais Saied|Kais Saied]] musste sie 2024 ihre Aktivitäten einstellen. Am stärksten zeigt sich der Machtverlust bei der Hamas, deren Herrschaft über den Gazastreifen mehr als 15 Jahre geduldet wurde. Nach ihrem [[w:Terrorangriff der Hamas auf Israel 2023|Terrorangriff auf Israel]] im Oktober 2023, bei dem sie gemeinsam mit dem [[w:Islamischer Dschihad in Palästina|Islamischen Dschihad]] über 1100 Menschen tötete und weitere 250 Personen in den Gaza-Streifen entführte, wurden ihre Führungsstrukturen im [[w:Krieg in Israel und Gaza seit 2023|Israel-Gaza-Krieg]] weitgehend zerschlagen. In Deutschland und mehreren anderen westlichen Ländern wurde die Hamas verboten.

== 14.4. Weiterführende Literatur ==
* Omar Ashour: “Lions Tamed? An Inquiry into the Causes of De-Radicalization of Armed Islamist Movements: The Case of the Egyptian Islamic Group” in ''Middle East Journal'' 61 (2007) 596-625.
* Gary R. Bunt: ''iMuslims. Rewiring the House of Islam.'' Chapel Hill 2009.
* Brian Fishman: ''The master plan: ISIS, Al-Qaeda, and the Jihadi strategy for final victory.'' Yale University Press, 2016.
* Christoph Günther: ''Ein zweiter Staat im Zweistromland? Genese und Ideologie des „Islamischen Staates Irak.'' Würzburg: Ergon 2014.
* Stig Jarle Hansen: ''Al-Shabaab in Somalia: The History and Ideology of a Militant Islamist Group, 2005–2012''. Oxford University Press, Oxford 2013,
* Jan-Peter Hartung, Helmut Reifeld (eds.): ''Islamic Education, Diversity, and National Identity. Dīnī Madāris in India Post 9/11.'' New Delhi-London 2006.
* Christina Hellmich: ''Al-Qaida: vom globalen Netzwerk zum Franchise-Terrorismus.'' Primus, Darmstadt, 2012.
* Roel Meijer (Hrsg.): ''Global Salafism. Islam’s new religious movement.'' London 2009.
* Paulo G. Pinto: &quot;‘Oh Syria, god protects you’: Islam as cultural idiom under Bashar al-Asad.&quot; in Middle East Critique 20/2 (2011) 189–205.
* Behnam Said: ''Islamische Ökumene als Mittel der Politik. Aktuelle Tendenzen in der Annäherungsdebatte zwischen Sunna und Schia auf der Doha-Konferenz 2007.'' Berlin 2009.
* Thorsten Schneiders (Hrsg.):  ''Salafismus in Deutschland: Ursprünge und Gefahren einer islamisch-fundamentalistischen Bewegung.'' Bielefeld, Transcript-Verl., 2014.
* Riem Spielhaus: ''Wer ist hier Muslim? Die Entwicklung eines islamischen Bewusstseins in Deutschland zwischen Selbstidentifikation und Fremdzuschreibung.'' Würzburg, Ergon-Verlag, 2011. 
* Oliver Stuke: ''Islamismus am Horn von Afrika. Al-Shabaabs Rolle für die Entwicklung Somalias.'' Frankfurt/Main 2011.
* Ann Marie Wainscott: ''Bureaucratizing Islam: Morocco and the war on terror.'' Cambridge University Press, Cambridge, 2017.
* David H. Warren: &quot;The ʿUlamāʾ and the Arab Uprisings 2011-13: Considering Yusuf al-Qaradawi, the ‘Global Mufti,’ between the Muslim Brotherhood, the Islamic Legal Tradition, and Qatari Foreign Policy&quot; in ''New Middle Eastern Studies'' 4 (2014) 2-32. [http://www.brismes.ac.uk/nmes/wp-content/uploads/2014/03/NMES2014Warren-with-video.pdf Digitalisat]
* David Warren: Rivals in the Gulf: ''Yusuf al-Qaradawi, Abdullah Bin Bayyah, and the Qatar-UAE Contest Over the Arab Spring and the Gulf Crisis.'' London: Routledge 2021.

== 14.5. Aufgaben/Fragen ==
1. Nach den Anschlägen vom 11. September 2001 kam es bei Islamisten zu einer Welle der Solidarisierung mit al-Qāʿida. Zeigen Sie das anhand von Beispielen auf.

2. Erklären Sie, wie die IS-Organisation entstanden ist und welche Ziele sie verfolgt.

3. Zeigen Sie anhand von Beispielen, wie sich das Bild vom Islam in den westlichen Gesellschaften nach den Anschlägen vom 11. September 2001 verändert hat.

4. Geben Sie einen Überblick über das Spektrum der Bewegungen und Organisationen mit antiislamischer Ausrichtung, die sich in den letzten 20 Jahren gebildet haben.

5. Was sind die wichtigsten Inhalte der sogenannten Amman Message und zu welchen religiös-politischen Entwicklungen steht sie in Beziehung?

6. Deutschland entwickelte nach dem 11. September 2001 eine eigene Politik zur Integration der Muslime in die Gesellschaft. Erklären Sie, woraus sie besteht.

7. Geben Sie einen Überblick über das internationale Netzwerk des politischen Islams.

8. Welche kurz- und langfristigen Auswirkungen hatte der Arabische Frühling für das Netzwerk der Muslimbruderschaft?

== 14.6. Belege ==
&lt;references /&gt;

{{Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI)/Navigation}}</text>
      <sha1>ti4vya4abcpbalx985gt1ugclf646od</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Algebraische Singularitäten/Fragestellungen/Bemerkung</title>
    <ns>0</ns>
    <id>104521</id>
    <revision>
      <id>1115829</id>
      <parentid>1107874</parentid>
      <timestamp>2026-10-12T12:33:49Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <origin>1115829</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="3689" sha1="9zpy2jq9l35kircs0z191k8ypiyokrc" xml:space="preserve">{{
Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}}
|Text=
Es sei {{math|term= K |SZ=}} ein Körper
{{
Zusatz/Klammer
|text=man denke an
{{
Relationskette
| K
|| \R
|| 
|| 
|| 
|SZ=
}}
oder
{{
Relationskette
| K
|| {{CC}} 
|| 
|| 
|| 
|SZ=
}}
|ISZ=|ESZ=
}}
{{
Relationskette
|Y
| \subseteq | K^n
||
||
||
|SZ=
}}
die Faser zu einer polynomialen Abbildung
{{
Abbildung
|name=F
|K^n | K
||
|SZ=
}}
und
{{
Relationskette
| P
| \in | Y
||
||
||
|SZ=
}}
ein singulärer Punkt von {{math|term= F |SZ=.}} Typische Fragen sind u.A. 
{{
Aufzählung11
|Wie kann man die singulären Punkte beschreiben? 
|Welche Eigenschaften, die in einem regulären Punkt einer Faser gelten, gelten auch in jedem singulären Punkt? Als Teilmenge des {{math|term= \R^n |SZ=}} ist {{math|term= Y |SZ=}} direkt ein 
{{
Definitionslink
|metrischer Raum|
|Kontext=|
|SZ=
}}
und damit auch ein
{{
Definitionslink
|topologischer Raum|
|Kontext=|
|SZ=,
}}
doch das sind sehr allgemeine Konzepte. In einem regulären Punkt handelt es sich lokal um eine Mannigfaltigkeit und diese hat eine wohldefinierte Dimension. Gibt es auch ein sinnvolles Dimensionskonzept in den singulären Punkten? {{
Zusatz/Klammer
|text=Krulldimension|
|ISZ=|ESZ=.
}}
Wie sieht es mit einem Tangentialraum in singulären Punkten aus, wie mit Differentialoperatoren?
|Welche Eigenschaften gelten in manchen singulären Punkten, in manchen nicht?
{{
Zusatz/Klammer
|text=normal, faktoriell, Cohen-Macaulay|
|ISZ=|ESZ=.
}}
Was sagt das da{{drucktrenn}}rüber aus, ob man die Singularität als {{Anführung|milde}} oder als schwerwiegend ansehen sollte?
|Wie kann man die Singularität quantitativ erfassen, wie kann man die Abweichung vom regulären Standardfall messen? Dies führt zu Invarianten
{{
Zusatz/Klammer
|text=Multiplizität, Milnorzahl, ...|
|ISZ=|ESZ=.
}}
|Gibt es abgesehen von der Beschreibung als Faser andere Möglichkeiten, singuläre Räume zu beschreiben?
|Welche Auswirkungen hat die Existenz eines singulären Punkten {{math|term= P |SZ=}} auf das Komplement {{mathl|term= Y \setminus \{P\} |SZ=?}} 
{{
Zusatz/Klammer
|text=Zusammenhangseigenschaften, lokale Fundamentalgruppe, Knoten, lokale Picardgruppe, Divisorenklassengruppe|
|ISZ=|ESZ=.
}}
Kann man die Singularität aus dem Komplement rekonstruieren?
|Welche Singularitäten lassen sich durch besonders einfache Gleichungen beschreiben? Monomiale Gleichungen, binomiale Gleichungen, ...
|In regulären Punkten einer Faser ist die Faser lokal diffeomorph zu einem offenen Ball des {{math|term= \R^k |SZ=}} und somit sind überhaupt alle glatten Punkte der gleichen Dimension untereinander diffeomorph. Wann sind Singularitäten als gleich anzusehen? Was ist ein sinnvoller Isomorphiebegriff für Singularitäten? Inwiefern gibt es für Singularitäten eine besonders einfache Repräsentierung?
|Ist die Singularität nur ein einzelner Punkt
{{
Zusatz/Klammer
|text=isolierte Singularität|
|ISZ=|ESZ=
}}
oder bildet die Singularitätenmenge eine substantielle Teilmenge
{{
Zusatz/Klammer
|text=Untervarietät|
|ISZ=|ESZ=?
}}
Im zweiten Fall, sind diese singulären Punkte gleichermaßen singulär oder kann man diese Menge gemäß der Schwere der Singularität ordnen? 
|Ein Punkt in einer Mannigfaltigkeit liegt in abgeschlossenen Untermannigfaltigkeiten unterschiedlicher Dimension. Liegt ein singulärer Punkt auf niedrigerdimensionalen glatten Untervarietäten?
|Kann man eine Singularität in irgendeiner Weise glätten?
{{
Zusatz/Klammer
|text=Normalisierung, Singularitätenauflösung|
|ISZ=|ESZ=.
}}
}}
|Textart=Bemerkung 
|Kategorie=Theorie der algebraischen Singularitäten
|Kategorie2=
|Kategorie3=
|Objektkategorie=
|Stichwort=
|Variante=
|Autor=
|Bearbeitungsstand=
}}</text>
      <sha1>9zpy2jq9l35kircs0z191k8ypiyokrc</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2019)/Liste der Hauptsätze</title>
    <ns>106</ns>
    <id>104616</id>
    <revision>
      <id>1115831</id>
      <parentid>658337</parentid>
      <timestamp>2026-10-12T12:43:50Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <origin>1115831</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="4660" sha1="nf8y6r5gbtggylkid9id0k6fa4xhoef" xml:space="preserve">{{
inputfaktklappe
|Satz über implizite Abbildungen/R/Fakt|Satz||
}}

{{
inputfaktklappe
|Affine Varietäten/Vereinigung und Durchschnitt von affin-algebraischen Mengen im affinen Raum/Fakt|Proposition| 
}}

{{
inputfaktklappe
|Kommutative Ringtheorie/Polynomring über Körper/Endliche viele Variablen/Noethersch/Fakt|Satz||
}}

{{
inputfaktklappe
|Affiner Raum/Algebraisch abgeschlossen/Korrespondenz zwischen affin algebraischen Mengen und Radikalen/Fakt|Satz||
}}

{{
inputfaktklappe
|Hilbertscher Nullstellensatz/Korrespondenz/Primideal/Fakt|Lemma||
}}

{{
inputfaktklappe
|Simplizialer Komplex/Achsenraumkonfiguration/Nullstellengebilde/Fakt|Lemma||
}}

{{
inputfaktklappe
|Simplizialer Komplex/Achsenraumkonfiguration/Nullstellengebilde/Irreduzible Komponenten/Fakt|Korollar||
}}

{{
inputfaktklappe
|Simplizialer Komplex/Achsenraumkonfiguration/Nullstellengebilde/Singuläre Punkte/Fakt|Lemma||
}}

{{
inputfaktklappe
|Kommutative Ringtheorie/Lokalisierung/Lokaler Ring/Fakt|Satz|
}}

{{
inputfaktklappe
|Binomiale Gleichung/Singulärer Punkt/Fakt|Lemma||
}}

{{
inputfaktklappe
|Binomiale Gleichung/Ebener Fall/Teilerfremd/Parametrisierung/Fakt|Lemma||
}}

{{
inputfaktklappe
|Kommutative Monoidringe/Universelle Eigenschaft für R-Algebren mit Monoidabbildung/Fakt|Satz|
}}

{{
inputfaktklappe
|Kommutative Monoidringe/Funktorialität im Monoid/Fakt|Korollar||
}}

{{
inputfaktklappe
|Kommutative Monoidringe/Funktorialität im Monoid/Surjektivität/Fakt|Lemma|
}}

{{
inputfaktklappe
|Kommutative Monoidringe/Erzeugendensystem für Monoid und Polynomring/Fakt|Korollar||
}}

{{
inputfaktklappe
|Monoidring/Erzeuger und Relationen/Ideal/Fakt|Lemma||
}}

{{
inputfaktklappe
|SU2C und SO3R/Gruppenbeziehung/Fakt|Satz||
}}

{{
inputfaktklappe
|SL2C/Endliche Untergruppen/Klassifikationsatz/Fakt|Satz||
}}

{{
inputfaktklappe
|Graduierter Ring/Körper/Endliche Gruppe/Einheitswurzeln/Invariantenring/Fakt|Lemma||
}}

{{
inputfaktklappe
|Invariantenring/Untergruppe/Fakt|Lemma||
}}

{{
inputfaktklappe
|Kähler-Differentiale/Universelle Eigenschaft/Fakt|Lemma||
}}

{{
inputfaktklappe
|Polynomring/Kählermodul und Derivation/Beschreibung/Fakt|Lemma||
}}

{{
inputfaktklappe
|Kähler-Differentiale/Relative Differentialsequenz/Fakt|Lemma||
}}

{{
inputfaktklappe
|Kähler-Differentiale/Konormalensequenz/Fakt|Lemma||
}}

{{
inputfaktklappe
|Kähler-Differentiale/Von endlichem Typ/Restklassendarstellung/Fakt|Korollar||
}}

{{
inputfaktklappe
|Kähler-Differentiale/Gleichungen/Extrinsischer Kotangentialraum/Fakt|Lemma||
}}

{{
inputfaktklappe
|Kähler-Differentiale/Lokaler Ring/Kotangentialraum/Fakt|Lemma||
}}

{{
inputfaktklappe
|Hyperfläche/K unendlich/Untergrad/Glatt/Schnittverhalten/Fakt|Korollar||
}}

{{
inputfaktklappe
|Standard-graduierter Ring/K/Modul/Hilbertfunktion/Polynomial/Fakt|Lemma||
}}

{{
inputfaktklappe
|Polynomring/K/Multiplizität/Fakt|Satz||
}}

{{
inputfaktklappe
|Polynomring/K/Homogenes Polynom/Hyperfläche/Multiplizität/Fakt|Satz||
}}

{{
inputfaktklappe
|Polynomring/Hyperfläche/Untergrad/Hilbert-Samuel-Multiplizität/Fakt|Satz||
}}

{{
inputfaktklappe
|Kommutativer noetherscher Ring/Hauptidealsatz/Fakt|Satz||
}}

{{
inputfaktklappe
|Kommutativer noetherscher Ring/Hauptidealsatz/Allgemein/Fakt|Satz||
}}

{{
inputfaktklappe
|Polynomring/Körper/Krulldimension/Höhengleichheit/Fakt|Satz||
}}

{{
inputfaktklappe
|Algebra/Körper/Endlicher Typ/Integer/Dimension und Transzendenzgrad/Fakt|Satz||
}}

{{
inputfaktklappe
|Affine Varietäten/Algebraisch abgeschlossener Körper/Produkt/Geometrisch/Dimension/Fakt|Satz||
}}

{{
inputfaktklappe
|Affine Varietät/Punkt/Jacobi-Matrix und regulär/Fakt|Satz||
}}

{{
inputfaktklappe
|Lokaler Ring/Restkörperbedingung/Regulär und Freier Kählermodul/Fakt|Satz||
}}

{{
inputfaktklappe
|Varietät/Glatter Punkt/Schnittverhalten/Dimension/Fakt|Satz||
}}

{{
inputfaktklappe
|Varietät/Glatt/Kählermodul/Lokal frei/Fakt|Satz||
}}

{{
inputfaktklappe
|Noetherscher Ring/Modul/Endlich erzeugt/Freie Auflösung/Existenz/Fakt|Satz||
}}

{{
inputfaktklappe
|Lokaler Ring/Regulär/Homologische Charakterisierung/Fakt|Satz||
}}

{{
inputfaktklappe
|Lokaler Ring/Regulär/Lokalisierung/Fakt|Satz||
}}

{{
inputfaktklappe
|Noetherscher Integritätsbereich/Faktoriell/Primideale der Höhe 1/Fakt|Satz||
}}

{{
inputfaktklappe
|Lokaler Ring/Regulär/Faktoriell/Fakt|Satz||
}}

{{
inputfaktklappe
|Ebene Singularitäten/Einfachheit/Klassifikation/ADE/Fakt|Satz||
}}

{{
inputfaktklappe
|Holomorphe Funktion/Singularitäten/Einfachheit/Klassifikation/ADE/Fakt|Satz||
}}

&lt;noinclude&gt; 
[[Kategorie:Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2019)/Listen|Liste der Hauptsätze]]
&lt;/noinclude&gt;</text>
      <sha1>nf8y6r5gbtggylkid9id0k6fa4xhoef</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Komplexe Zahl</title>
    <ns>0</ns>
    <id>111238</id>
    <revision>
      <id>1115939</id>
      <parentid>1115582</parentid>
      <timestamp>2026-10-13T07:41:26Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bert Niehaus</username>
        <id>20843</id>
      </contributor>
      <comment>/* e-Funktion und Trigonometrie */</comment>
      <origin>1115939</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="26302" sha1="hm1emklnlfbvc6juzn68pilm7nuyiqc" xml:space="preserve">== Erweiterung des Zahlbereiches ==
Die '''komplexen Zahlen''' &lt;math&gt;\mathbb C&lt;/math&gt; erweitern den [[w:de:Zahlenmenge|Zahlenbereich]] der [[w:de:Reelle Zahl|reellen Zahlen]] derart, dass die Gleichung &lt;math&gt;x^2 = -1&lt;/math&gt; lösbar wird, die in &lt;math&gt;\mathbb R&lt;/math&gt; nicht lösbar ist, da &lt;math&gt;x^2 \geq 0&lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt;x \in \mathbb R&lt;/math&gt; gilt.
Die Lösbarkeit gelingt durch Einführung einer neuen [[w:de:Imaginäre Zahl|imaginären Zahl]] &lt;math&gt;\mathrm i&lt;/math&gt; mit der Eigenschaft &lt;math&gt;\mathrm i^2 = -1&lt;/math&gt;. Diese Zahl &lt;math&gt;\mathrm i&lt;/math&gt; wird als '''imaginäre Einheit''' bezeichnet.
[[Datei:Audio0 komplexe zahl ft.ogg|Erweiterung des Zahlbereiches - 0]]

== Darstellung komplexer Zahlen ==
Komplexe Zahlen können in der Form &lt;math&gt;z=x+y\cdot \mathrm i&lt;/math&gt; dargestellt werden, wobei &lt;math&gt;x,y\in \mathbb R&lt;/math&gt; jeweils reelle Zahlen sind und &lt;math&gt;\mathrm i&lt;/math&gt; die imaginäre Einheit ist. Durch die Identifikation mit einem Vektor &lt;math&gt;(x,y) \in \mathbb{R}^2&lt;/math&gt; kann man komplexe Zahlen in einem Koordinatensystem (Gaußsche Zahlenebene) darstellen.
[[Datei:Audio1 komplexe zahl ft.ogg|Darstellung komplexer Zahlen - 1]]

== Realteil und Imaginärteil ==
Die reellwertigen [[w:de:Koeffizient|Koeffizienten]] &lt;math&gt;x, y&lt;/math&gt; werden als '''Real-''' bzw. '''Imaginärteil''' von &lt;math&gt;z=x + y\,\mathrm i&lt;/math&gt; bezeichnet. 
* &lt;math&gt;x = \operatorname{Re}(z) = \operatorname{Re}(x + y\,\mathrm i)&lt;/math&gt; und 
* &lt;math&gt;y = \operatorname{Im}(z) =  \operatorname{Im}(x + y\,\mathrm i)&lt;/math&gt;
[[Datei:Audio2 komplexe zahl ft.ogg|Realteil und Imaginärteil - 2]]

== Gaußsche Zahlenebene ==

[[Datei:2D Cartesian.svg|mini|Kartesische Koordinatensystem]]

== Polarkoordinaten ==

Verwendet man anstelle der kartesischen Koordinaten &lt;math&gt;a = \operatorname{Re}(z)&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;b = \operatorname{Im}(z)&lt;/math&gt; [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinaten]] &lt;math&gt;r = |z|&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\varphi = \arg(z)&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;\arg&lt;/math&gt; als der ''Argument''-Funktion, kann man die komplexe Zahl &lt;math&gt;z=a+b\,\mathrm{i}&lt;/math&gt; auch in der folgenden, auf der [[w:de:Eulersche Relation|eulerschen Relation]] beruhenden sogenannten ''Polarform'' (auch ''Polardarstellung'')&lt;ref&gt;{{Literatur |Autor=Ehrhard Behrends |Titel=Analysis Band 1 |Verlag=Springer Spektrum - ISBN: 978-3-658-07122-6 |Ort=Wiesbaden |Datum=2015 |Auflage=6 |DOI=10.1007/978-3-658-07123-3}}&lt;/ref&gt;
:&lt;math&gt;z = r \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi} = r \cdot (\cos \varphi + \mathrm{i} \cdot \sin \varphi)&lt;/math&gt;
darstellen, die sich aus &lt;math&gt;a = r \cdot \cos \varphi&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;b = r \cdot \sin \varphi&lt;/math&gt; ergibt.

  [[Datei:Audio4 komplexe zahl ft.ogg|Polarkoordinaten - 4]]

=== Darstellung Polarkoordinaten ===

[[Datei:Polarkoordinaten.svg|mini|Polarkoordinaten und kartesisches Koordinatensystem]]

[[Datei:Audio5 komplexe zahl ft.ogg|Darstellung Polarkoordinaten - 5]]

=== e-Funktion und Trigonometrie ===
Die Darstellung mit Hilfe der komplexen [[w:de:e-Funktion|e-Funktion]] &lt;math&gt;r \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}&lt;/math&gt; heißt dabei auch Exponentialdarstellung (der Polarform), die Darstellung mittels des Ausdrucks &lt;math&gt;r \cdot (\cos \varphi + \mathrm{i} \cdot \sin \varphi)&lt;/math&gt; trigonometrische Darstellung (der Polarform).
[[Datei:Audio6 komplexe zahl ft.ogg|e-Funktion und Trigonometrie - 6]]

=== Orbitdarstellung von algebraischen Operationen ===
Die folgenden Abbildung zeigt einen [[Integrationsweg]] 
:&lt;math&gt;\gamma(t) = \underbrace{\underbrace{z_0 + r_1\cdot e^{v_1\cdot t+ t_1}}_{=z_1} + r_2\cdot e^{v_2\cdot t+ t_2}}_{=z_2} ,&lt;/math&gt;
wobei &lt;math&gt;r_1,r_2 &gt; 0&lt;/math&gt; die Radien der Kreise sind, &lt;math&gt;v_1,v_2 \in \mathbb{R}&lt;/math&gt; Winkelgeschwindigkeiten und
* &lt;math&gt;s_0\in \mathbb{C}&lt;/math&gt; der Mittelpunkte des Orbits 1. Ordnung ist (vgl. &quot;Position der Sonne&quot;),
* &lt;math&gt;z_1\in \mathbb{C}&lt;/math&gt; der Punkt der sich mit der Winkelgeschwindigkeit &lt;math&gt;v_1&lt;/math&gt; (vgl. &quot;Position der Erde&quot;),
* &lt;math&gt;\gamma(t) = z_2\in \mathbb{C}&lt;/math&gt; ist der Punkt, der sich mit der Winkelgeschwindigkeit &lt;math&gt;v_2&lt;/math&gt; und Radius &lt;math&gt;r_2&lt;/math&gt; um den Mittelpunkte &lt;math&gt;z_1&lt;/math&gt; des Orbits 1. Ordnung dreht (vgl. &quot;Bewegung des Mondes um die Erde&quot;).

=== Animation für die Orbitdarstellung ===
Die Spur des Weges &lt;math&gt;\gamma&lt;/math&gt; ist in rot markiert und definiert Bahn von &lt;math&gt;\gamma(t)&lt;/math&gt; in der komplexen Zahlenebene.

[[File:Orbit representation of operations in the complex numbers.gif|350px|center|Orbit representation of operations in the complex numbers - Orbit3 v2 - Geogebra GIF animation]]

=== Bemerkung - Orbits - Sonnensystem ===
In einer Lehrveranstaltung kann man den Begriff des Orbits mit mit der Bewegung der Erde um die Sonne und der Bewegung des Mondes um die Erde motivieren. Man sollte allerdings ergänzen, dass die tatsächlichen Orbites von Himmelskörper sich nicht auf idealisierten Kreisbahnen bewegen, sondern sich die Bahnen u.a. durch Gravitation beeinflussen (siehe [[w:de:Merkur (Planet)|Merkurperihel]] und [[w:de:Allgemeine Relativitätstheorie|Allgemeine Relativitätstheorie]])

== Eigenschaften ==
Der konstruierte Zahlenbereich der komplexen Zahlen bildet einen [[w:de:Körpererweiterung|Erweiterungskörper]] der reellen Zahlen und hat eine Reihe vorteilhafter Eigenschaften, die in &lt;math&gt;\mathbb R&lt;/math&gt; nicht gelten: 
[[Datei:Audio7 komplexe zahl ft.ogg|Eigenschaften - 7]]

=== Fundamentalsatz der Algebra ===

Die komplexen Zahlen sind [[w:de:Algebraisch abgeschlossen|algebraische abgeschlossenen]] in den komplexen Zahlen. Dies bedeutet, dass in &lt;math&gt;\mathbb C&lt;/math&gt; jede [[w:de:algebraische Gleichung|algebraische Gleichung]] positiven Grades über den komplexen Zahlen eine Lösung besitzt, was für reelle Zahlen nicht gilt. 
: &lt;math&gt;x^2 + 4 = 0&lt;/math&gt; hat keine Lösung in &lt;math&gt;\mathbb R&lt;/math&gt; und in &lt;math&gt;\mathbb C&lt;/math&gt; die Lösungsmenge &lt;math&gt;\mathbb L = \{+2\mathrm i, -2\mathrm i\} &lt;/math&gt;
(siehe [[w:de:Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatzes der Algebra]]).
[[Datei:Audio8 komplexe zahl ft.ogg|Fundamentalsatz der Algebra - 8]]

=== Trigonometrie und Exponentialfunktion ===
In &lt;math&gt; \mathbb{C} &lt;/math&gt; wird der Zusammenhang von [[w:de:Trigonometrische Funktion|trigonometrischen Funktionen]] und der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] deutlich 
:&lt;math&gt; \mathrm e^{\mathrm it} = \cos(t) + \mathrm i \cdot \sin(t) &lt;/math&gt; 
siehe [[w:de:Eulerformel|Eulerformel]].
[[Datei:Audio9 komplexe zahl ft.ogg|Trigonometrie und Exponentialfunktion - 9]]

=== Unterschied: komplexe und reelle Differenzierbarkeit ===
Jede auf einer [[w:de:Offene Menge|offenen Menge]] ''einmal'' [[w:de:Differenzierbarkeit#Komplexe Funktionen|komplex differenzierbare]] Funktion dort auch ''beliebig oft'' differenzierbar. In der [[w:de:Analysis|reellen Analysis]] ist die Funktion 
: &lt;math&gt; f(x)=x^2\cdot |x| &lt;/math&gt; 
nur 2x reell differenzierbar, während &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; mit dem Definitionsbereich &lt;math&gt;\mathbb C&lt;/math&gt; lediglich stetig ist und auf keiner Umgebung komplex differenzierbar ist.
[[Datei:Audio10 komplexe zahl ft.ogg|Unterschied: komplexe und reelle Differenzierbarkeit - 10]]

=== Teilmengenbeziehung zwischen reellen und komplexen Zahlen ===
Die reellen Zahlen lassen sich als Teilmenge der komplexen Zahlen im Sinne einer [[w:de:Menge (Mathematik)|Teilmengenbeziehung zwischen Zahlbereichen]]  auffassen. Dabei wird eine relle Zahl &lt;math&gt;x\in \mathbb R&lt;/math&gt; mit der komplexen Zahl &lt;math&gt;x + 0\mathrm i\in \mathbb C&lt;/math&gt; identifiziert. In der Gaußschen Zahlenebene entsprechen die rellen Zahlen den Punkten auf der &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;-Achse.
[[Datei:Audio11 komplexe zahl ft.ogg|Teilmengenbeziehung zwischen reellen und komplexen Zahlen - 11]]

== Komplexe Konjugation ==
Ändert man das [[w:de:Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] des Imaginärteils &lt;math&gt;b&lt;/math&gt; einer komplexen Zahl &lt;math&gt;z = a+b\,\mathrm{i},&lt;/math&gt; so erhält man die zu &lt;math&gt;z&lt;/math&gt; [[w:de:Konjugation (Mathematik)|konjugiert komplexe]] Zahl &lt;math&gt;\bar z=a-b\,\mathrm{i}&lt;/math&gt; .
[[Datei:Audio12 komplexe zahl ft.ogg|Komplexe Konjugation - 12]]

=== Rechenregeln Konjugation ===
Die Konjugation &lt;math&gt;\mathbb{C} \to \mathbb{C} ,\,z\mapsto \bar z&lt;/math&gt; ist ein [[w:de:Involution (Mathematik)|(involutorischer)]] Körperautomorphismus, da sie mit Addition und Multiplikation verträglich ist, d.&amp;nbsp;h., für alle &lt;math&gt;y,z\in \mathbb{C} &lt;/math&gt; gilt
: &lt;math&gt;\overline{y+z}=\bar y+\bar z,\quad \overline{y\cdot z}=\bar y\cdot \bar z.&lt;/math&gt;
[[Datei:Audio13 komplexe zahl ft.ogg|Rechenregeln Konjugation - 13]]

=== Geometrische Darstellung der Konjugation ===
In der Polardarstellung hat die konjugiert komplexe Zahl &lt;math&gt; \bar z &lt;/math&gt; einen unveränderten Abstand zum Koordinatenursprung (also &lt;math&gt; |\bar{z}| = |z| &lt;/math&gt;) und besitzt gerade den negativen Winkel von &lt;math&gt;z&lt;/math&gt;. Man kann die Konjugation in der komplexen Zahlenebene also als die ''Spiegelung an der reellen Achse'' interpretieren. Insbesondere werden unter der Konjugation genau die reellen Zahlen auf sich selbst abgebildet.
[[Datei:Audio14 komplexe zahl ft.ogg|Geometrische Darstellung der Konjugation - 14]]

=== Geometrische Darstellung der Konjugation ===
[[Datei:Komplexe konjugation.svg|mini|Konjugation in Gaußschen Zahlenebene]]
Eine komplexe Zahl &lt;math&gt;z = a+b\,\mathrm{i}&lt;/math&gt; und die zu ihr konjugiert komplexe Zahl &lt;math&gt;\bar z=a-b\,\mathrm{i}&lt;/math&gt;
[[Datei:Audio15 komplexe zahl ft.ogg|Geometrische Darstellung der Konjugation - 15]]

== Betrag ==
Der Betrag &lt;math&gt;|z|&lt;/math&gt; einer komplexen Zahl &lt;math&gt;z&lt;/math&gt; ist die [[w:de:Euklidischer Raum|Länge]] ihres Vektors in der [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|Gaußschen Zahlenebene]] und lässt sich z.&amp;nbsp;B. zu
:&lt;math&gt;|z| = \sqrt{a^2 + b^2}&lt;/math&gt;
aus ihrem Realteil &lt;math&gt;\operatorname{Re}(z)=a&lt;/math&gt; und Imaginärteil &lt;math&gt;\operatorname{Im}(z)=b&lt;/math&gt; berechnen. Als eine Länge ist der Betrag reell und nicht negativ.
[[Datei:Audio16 komplexe zahl ft.ogg|Betrag - 16]]

=== Beispiel: Betrag ===
: &lt;math&gt;|239+\mathrm i| = \sqrt{239^2+1^2} = \sqrt{57121+1} = \sqrt{57122} = 169\cdot\sqrt{2}&lt;/math&gt;
[[Datei:Audio17 komplexe zahl ft.ogg|Beispiel: Betrag 16]]

=== Pythagoras ===
Den reellen Betrag vom Realteil &lt;math&gt;a \in \mathbb{R}&lt;/math&gt; und Imaginärteil &lt;math&gt;b \in \mathbb{R}&lt;/math&gt; kann man als Länge der Katheten in einem [[w:de:Rechtwinkliges_Dreieck|rechtwinkligen Dreieck]] mit Hypotenusenlänge &lt;math&gt;c=|z|&lt;/math&gt; auffassen.
:&lt;math&gt;|z| = \sqrt{a^2 + b^2}&lt;/math&gt;
[[Datei:Audio18 komplexe zahl ft.ogg|Pythagoras - 18]]

== Eigenschaften ==
In &lt;math&gt;(\mathbb{C},+,\cdot)&lt;/math&gt; gelten die folgenden Eigenschaften:
* '''(AG/KG)''' Das [[w:de:Assoziativgesetz|Assoziativgesetz]] und das [[w:de:Kommutativgesetz|Kommutativgesetz]] gelten für die Addition und die Multiplikation komplexer Zahlen.
* '''(DG)''' Das [[w:de:Distributivgesetz|Distributivgesetz]] gilt.
* '''(NE)''' O und 1 sind die neutralen Elemente der Addition bzw. der Multiplikation.
* '''(IE&lt;math&gt;+&lt;/math&gt;)''' Für jede komplexe Zahl &lt;math&gt;z&lt;/math&gt; existiert eine komplexe Zahl &lt;math&gt;-z&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;z+(-z)=0&lt;/math&gt;.
* '''(IE&lt;math&gt;\cdot&lt;/math&gt;)''' Für jede von null verschiedene komplexe Zahl &lt;math&gt;z&lt;/math&gt; existiert eine komplexe Zahl &lt;math&gt;z^{-1}&lt;/math&gt;  mit &lt;math&gt;z\cdot z^{-1}=1&lt;/math&gt;.
[[Datei:Audio19 komplexe zahl ft.ogg|Eigenschaften - 19]]

== Rechnen in der algebraischen Form ==
Die algebraischen Eigenschaften ergeben sich unmittelbar aus der Definition der beiden Verknüpfungen.
[[Datei:Audio20 komplexe zahl ft.ogg|Rechnen in der algebraischen Form - 20]]

=== Addition ===
Für die Addition zweier komplexer Zahlen &lt;math&gt;z_1=a+b\,\mathrm i&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;a,b \in \mathbb{R}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;z_2=c+d\,\mathrm i&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;c,d \in \mathbb{R}&lt;/math&gt; gilt
:&lt;math&gt;z_1+z_2=(a+c)+(b+d)\,\mathrm i.&lt;/math&gt;
[[Datei:Audio21 komplexe zahl ft.ogg|Addition - 21]]

=== Vektorielle Veranschaulichung Addition ===
[[Datei:Komplexe addition.svg|mini|hochkant=1.25|Die Addition zweier komplexer Zahlen in der komplexen Ebene veranschaulicht]]
[[Datei:Audio22 komplexe zahl ft.ogg|Vektorielle Veranschaulichung Addition - 22]]

=== Subtraktion ===
Für die Subtraktion zweier komplexer Zahlen &lt;math&gt;z_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;z_2&lt;/math&gt; (siehe Addition) gilt
:&lt;math&gt;z_1-z_2=(a-c)+(b-d)\,\mathrm i.&lt;/math&gt;
[[Datei:Audio23 komplexe zahl ft.ogg|Subtraktion - 23]]

=== Multiplikation ===
Für die Multiplikation zweier komplexer Zahlen &lt;math&gt;z_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;z_2&lt;/math&gt; (siehe Addition) gilt
:&lt;math&gt;z_1\cdot z_2=(ac+bd\,\mathrm i^2)+(ad+bc)\,\mathrm i=(ac-bd)+(ad+bc)\,\mathrm i.&lt;/math&gt;
[[Datei:Audio24 komplexe zahl ft.ogg|Multiplikation - 24]]

=== Division ===
Für die Division der komplexen Zahl &lt;math&gt;z_1&lt;/math&gt; durch die komplexe Zahl &lt;math&gt;z_2&lt;/math&gt; (siehe Addition) mit &lt;math&gt;z_2\neq 0&lt;/math&gt; [[w:de:Kürzen|erweitert]] man den Bruch mit der zum Nenner &lt;math&gt;z_2&lt;/math&gt; [[w:de:#Komplexe Konjugation|konjugiert komplexen]] Zahl &lt;math&gt;\bar z_2=c-d\,\mathrm i&lt;/math&gt;. Der Nenner wird dadurch reell (und ist gerade das Quadrat des Betrages von &lt;math&gt;c+d\,\mathrm i&lt;/math&gt;):
: &lt;math&gt;\frac{z_1}{z_2} = \frac{(a+b\,\mathrm i)(c-d\,\mathrm i)}{(c+d\,\mathrm i)(c-d\,\mathrm i)} = \frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{bc-ad}{c^2+d^2}\mathrm i.&lt;/math&gt;
[[Datei:Audio25 komplexe zahl ft.ogg|Division - 25]]

=== Rechenbeispiel Addition: ===
: &lt;math&gt;(3+2\mathrm i) + (5+5\mathrm i) = (3+5) + (2+5)\mathrm i = 8 + 7\mathrm i&lt;/math&gt;
[[Datei:Audio26 komplexe zahl ft.ogg|Rechenbeispiel Addition - 26]]

=== Rechenbeispiel Subtraktion: ===

: &lt;math&gt;(5+5\mathrm i) - (3+2\mathrm i) = (5-3) + (5-2)\mathrm i = 2 + 3\mathrm i&lt;/math&gt;
[[Datei:Audio27 komplexe zahl ft.ogg|Rechenbeispiel Subtraktion - 27]]

=== Rechenbeispiel Multiplikation: ===

: &lt;math&gt;(3+5\mathrm i) \cdot (4+11\mathrm i) = (3\cdot 4 - 5\cdot 11)+(3\cdot 11 + 5\cdot 4)\mathrm i = -43 + 53\mathrm i&lt;/math&gt;
[[Datei:Audio28 komplexe zahl ft.ogg|Rechenbeispiel Multiplikation - 28]]

=== Rechenbeispiel Division: ===
: &lt;math&gt;{\frac{(2+5\mathrm{i})}{(3+7\mathrm{i})} = \frac{(2+5\mathrm{i})}{(3+7\mathrm{i})} \cdot \frac{(3-7\mathrm{i})}{(3-7\mathrm{i})} } = &lt;/math&gt;
: &lt;math&gt; = { \frac{(6 + 35) + (15\mathrm{i}-14\mathrm{i})}{(9 + 49) + (21\mathrm{i}-21\mathrm{i})} = \frac{41+\mathrm{i}}{58} = \frac{41}{58} + \frac{1}{58}\cdot\mathrm{i}}&lt;/math&gt;
[[Datei:Audio29 komplexe zahl ft.ogg|Rechenbeispiel Division - 29]]

=== Aufgabe ===
* Sei &lt;math&gt;z=z_1 + \mathrm iz_2 \in \mathbb{C} \setminus \{0\}&lt;/math&gt; gegeben. Lösen Sie das Gleichungssystem:
:: &lt;math&gt;z\cdot x = 1 = 1 +0\mathrm i&lt;/math&gt; 
: mit &lt;math&gt;x= x_1 + \mathrm{i}x_2 \in \mathbb{C}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;x_1 , x_2 \in \mathbb{R}&lt;/math&gt;
* Zwei komplexe Zahl sind gleich, wenn diese bzgl. Realteil und Imaginärteil übereinstimmen. Dadurch entsteht ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und den beiden Unbekannten &lt;math&gt;x_1 , x_2 \in \mathbb{R}&lt;/math&gt;
[[Datei:Audio30 komplexe zahl ft.ogg|Aufgabe 30]]

=== Komplexe Zahlen als reeller Vektorraum ===
Der Körper &lt;math&gt; \mathbb{C} &lt;/math&gt; der komplexen Zahlen ist einerseits ein Oberkörper von &lt;math&gt; \mathbb{R}&lt;/math&gt;, andererseits ein zweidimensionaler &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;-[[w:de:Vektorraum|Vektorraum]]. Der [[w:de:Isomorphismus|Isomorphismus]] &lt;math&gt; \mathbb{C}  \cong \mathbb{R}^2&lt;/math&gt; wird auch als [[w:de:natürliche Identifikation|natürliche Identifikation]] bezeichnet. In der Regel nutzt man dies auch, um &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt; formell als &lt;math&gt;\mathbb{R}^2&lt;/math&gt; mit der entsprechenden komplexen Multiplikation zu ''definieren'' und dann &lt;math&gt;\mathrm{i} := (0,1)^\mathrm{T}&lt;/math&gt; zu setzen. Dabei hat die Gleichung &lt;math&gt;z^2=-1&lt;/math&gt; in den komplexen Zahlen zwei Lösungen. Dabei kann die Wurzel als Abbildung aber einen definierten Wert (wie in der reellen Analysis) besitzen &lt;math&gt;\sqrt{-1} = + \mathrm{i}&lt;/math&gt;.

[[Datei:Audio31 komplexe zahl ft.ogg|Komplexe Zahlen als reeller Vektorraum 31]]

=== Basis des Vektorraumes  ===
Als &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;-Vektorraum besitzt &lt;math&gt; \mathbb{C} &lt;/math&gt; die Basis &lt;math&gt;\{1, \mathrm{i}\}&lt;/math&gt;. Daneben ist &lt;math&gt; \mathbb{C} &lt;/math&gt; wie jeder Körper auch ein Vektorraum über sich selbst, also ein eindimensionaler &lt;math&gt; \mathbb{C} &lt;/math&gt;-Vektorraum mit Basis &lt;math&gt;\{1\}&lt;/math&gt;.
[[Datei:Audio32 komplexe zahl ft.ogg|Basis des Vektorraumes - 32]]

=== Keine Ordnungsrelation in komplexen Zahlen === 
&lt;math&gt; \mathbb{C} &lt;/math&gt; ist im Gegensatz zu &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; kein [[w:de:geordneter Körper|geordneter Körper]], d. h., es gibt keine mit der Körperstruktur verträgliche lineare Ordnungsrelation auf &lt;math&gt; \mathbb{C} &lt;/math&gt;. Von zwei unterschiedlichen komplexen Zahlen kann man daher nicht sinnvoll (bezogen auf die Addition und Multiplikation in &lt;math&gt; \mathbb{C} &lt;/math&gt;) festlegen, welche von beiden die größere bzw. die kleinere Zahl ist.

[[Datei:Audio32a komplexe zahl ft.ogg|Keine Ordnungsrelation in komplexen Zahlen - 32a]]

== Zusammenhang Darstellungsformen ==
[[Datei:Komplexe zahlenebene.svg|mini|hochkant=1.25|Gaußsche Ebene mit einer komplexen Zahl in kartesischen Koordinaten (a,b) und in Polarkoordinaten (r,φ)]]
[[Datei:Audio33 komplexe zahl ft.ogg|Zusammenhang Darstellungsformen - 33]]

=== Algebraische Form - Polarform ===
Während sich die Menge &lt;math&gt;\mathbb R&lt;/math&gt; der [[w:de:Reelle Zahlen|reellen Zahlen]] durch Punkte auf einer [[w:de:Zahlengerade|Zahlengerade]]n veranschaulichen lässt, kann man die Menge &lt;math&gt; \mathbb{C} &lt;/math&gt; der komplexen Zahlen als Punkte in einer Ebene (komplexe Ebene, gaußsche Zahlenebene) darstellen. Dies entspricht der „doppelten Natur“ von &lt;math&gt; \mathbb{C} &lt;/math&gt; als zweidimensionalem reellem Vektorraum.
[[Datei:Audio34 komplexe zahl ft.ogg|Algebraische Form - Polarform - 34]]

=== Punkte - Vektoren ===
Gemäß Definition entspricht die Addition komplexer Zahlen der Vektoraddition, wobei man die Punkte in der Zahlenebene mit ihren [[w:de:Ortsvektor|Ortsvektor]]en identifiziert. Die Multiplikation ist in der gaußschen Ebene eine [[w:de:Drehstreckung|Drehstreckung]], was nach Einführung der Polarform weiter unten klarer werden wird (siehe [https://www.geogebra.org/m/ETug55x4 Geogebra-Beispiel]).
[[Datei:Audio35 komplexe zahl ft.ogg|Punkte - Vektoren - 35]]

=== Umrechnungsformeln: algebraische Form in die Polarform ===
Für &lt;math&gt;z=a+b\,\mathrm{i}&lt;/math&gt; in algebraischer Form ist
:&lt;math&gt;r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}=\sqrt{z \cdot \overline z}.&lt;/math&gt;
Für &lt;math&gt;z = 0&lt;/math&gt; kann das Argument mit 0 definiert werden, bleibt aber meist undefiniert. Für &lt;math&gt;z \neq 0&lt;/math&gt; kann das Argument &lt;math&gt;\varphi&lt;/math&gt; im Intervall &lt;math&gt;(-\pi;\pi]&lt;/math&gt; mit Hilfe einer trigonometrischen Umkehrfunktion, bspw. mit Hilfe des [[w:de:Arkuskosinus|Arkuskosinus]]
:&lt;math&gt;\varphi=\arg(z)=\begin{cases} \arccos\frac{a}{r}&amp;\mathrm{f\ddot ur}\ b\geq 0\\-\arccos\frac{a}{r}&amp;\text{sonst} \end{cases} &lt;/math&gt;
ermittelt werden.
[[Datei:Audio36 komplexe zahl ft.ogg|Umrechnungsformeln: algebraische Form in die Polarform - 36]]

=== Umrechnungsformeln: Polarform in die algebraische Form ===
: &lt;math&gt;a = \mathfrak{Re}(z) = r \cdot \cos\varphi&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;b = \mathfrak{Im}(z) = r \cdot \sin\varphi&lt;/math&gt;
Wie weiter oben stellt &lt;math&gt;a\in \mathbb{R}&lt;/math&gt; den Realteil und &lt;math&gt;b\in \mathbb{R}&lt;/math&gt; den Imaginärteil jener komplexen Zahl &lt;math&gt;z = a+ib \in \mathbb{C}&lt;/math&gt; dar.
[[Datei:Audio37 komplexe zahl ft.ogg|Umrechnungsformeln: Polarform in die algebraische Form - 37]]

=== Arithmetische Operationen in der Polarform ===
Durch arithmetische Operationen sind folgende Operanden miteinander zu verknüpfen:
:&lt;math&gt;z_1=r\cdot (\cos \varphi + \mathrm{i}\cdot\sin \varphi) = r\cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;z_2=s\cdot (\cos \psi    + \mathrm{i}\cdot\sin \psi)    = s\cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}\psi}&lt;/math&gt;

Bei der Multiplikation werden die Beträge &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;s&lt;/math&gt; miteinander multipliziert und die zugehörigen Phasen &lt;math&gt;\varphi&lt;/math&gt; bzw. &lt;math&gt;\psi&lt;/math&gt; addiert. Bei der Division wird der Betrag des [[w:de:Dividend|Dividend]]en durch den Betrag des [[w:de:Division (Mathematik)|Divisors]] geteilt und die Phase des Divisors von der Phase des Dividenden subtrahiert. Für die Addition und die Subtraktion existiert auch eine, etwas kompliziertere, Formel:
[[Datei:Audio38 komplexe zahl ft.ogg|Arithmetische Operationen in der Polarform - 38]]

==== Trigonometrische Form - Multiplikation ====
[[Datei:Komplexe multiplikation.svg|mini|hochkant=1.25|Die Multiplikation von zwei komplexen Zahlen entspricht dem Addieren der Winkel und dem Multiplizieren der Beträge.]]
: &lt;math&gt;{z_1 \cdot z_2 = r \cdot s \cdot \left( \cos (\varphi+\psi) + \mathrm{i} \cdot \sin (\varphi+\psi) \right) }&lt;/math&gt;
[[Datei:Audio39 komplexe zahl ft.ogg|Trigonometrische Form - Multiplikation - 39]]

==== Trigonometrische Form - Division ====
: &lt;math&gt;\frac{z_1}{z_2} = \frac{r}{s} \cdot \left[ \cos (\varphi-\psi) + \mathrm{i} \cdot \sin (\varphi-\psi) \right]&lt;/math&gt;

[[Datei:Komplexe division.svg|mini|hochkant=1.25|Die Division von zwei komplexen Zahlen entspricht dem Subtrahieren der Winkel und dem Dividieren der Beträge.]]
[[Datei:Audio40 komplexe zahl ft.ogg|Trigonometrische Form - Division - 40]]

==== Exponentialform ====
* &lt;math&gt;z_1 \cdot z_2 = r \cdot s \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\varphi+\psi)}&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\frac{z_1}{z_2} = \frac{r}{s} \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\varphi-\psi)}&lt;/math&gt;
[[Datei:Audio41 komplexe zahl ft.ogg|Exponentialform - 41]]

== Realteil- und Imaginärteilfunktion ==
Sei &lt;math&gt;f:V\to\mathbb{C}&lt;/math&gt; so definiert man die Realteilfunktion und Imaginärteilfunktion als reellwertige Abbildung wie folgt.
* &lt;math&gt;g:V\to\mathbb{R}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;g(z):=\mathfrak{Re}(f(z))&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;h:V\to\mathbb{R}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;h(z):=\mathfrak{Im}(f(z))&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;f(z)=g(z)+i\cdot h(z)&lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt;z\in V&lt;/math&gt;
(siehe auch [[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]])

== Geschichte ==
Der Begriff „komplexe Zahlen“ wurde von [[w:de:Carl Friedrich Gauß|Carl Friedrich Gauß]] (''Theoria residuorum biquadraticorum,'' 1831) eingeführt, der Ursprung der Theorie der komplexen Zahlen geht auf die italienischen Mathematiker [[w:de:Gerolamo Cardano|Gerolamo Cardano]] (''Ars magna,'' Nürnberg 1545) und [[w:de:Rafael Bombelli|Rafael Bombelli]] (''L’Algebra,'' Bologna 1572; wahrscheinlich zwischen 1557 und 1560 geschrieben) zurück.&lt;ref&gt;{{Literatur |Autor=[[w:de:Helmuth Gericke|Helmuth Gericke]] |Titel=Geschichte des Zahlbegriffs |Verlag=Bibliographisches Institut |Ort=Mannheim |Datum=1970 |Seiten=57–67}}&lt;/ref&gt;
[[Datei:Audio42 komplexe zahl ft.ogg|Geschichte - 42]]

== Literatur ==
* Paul Nahin: ''An imaginary tale. The story of &lt;math&gt;\sqrt {-1}&lt;/math&gt;.'' Princeton University Press, 1998.
* Reinhold Remmert: ''Komplexe Zahlen.'' In D. Ebbinghaus u. a. (Hrsg.): ''Zahlen.'' Springer, 1983.

== Siehe auch ==
* [[Maxima CAS/Komplexe Zahlen]]
* [[Kurs:Mathematik der Quantenmechanik/Komplexe_Zahlen|Komplexe Zahl - Kurzfassung]] im [[Kurs:Mathematik der Quantenmechanik]]
* [[Quaternion]]
* [[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]]
* [[w:de:Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatz der Algebra]]
* [[w:de:Konjugation (Mathematik)|Konjugation in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt;]]
* [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] und [[w:de:Isomorphismus|Isomorphie]] für den Bezug zwischen &lt;math&gt;\mathbb{R}^2&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt;.
* [[Kurs:Funktionentheorie]]
* [[Kurs:Funktionalanalysis/Hahn-Banach - komplexer Fall]]
* [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]]

== Wiki2Reveal ==
* '''[[Zahlbereichserweiterung|Zahlbereichserweiterung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&amp;title=Zahlbereichserweiterung&amp;author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&amp;language=de&amp;audioslide=yes&amp;shorttitle=Zahlbereichserweiterung&amp;coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]]

== Verwandte Themen ==
* [[w:de:Gaußsche Zahlen|Gaußsche Zahlen]] und [[w:de:Eisenstein-Zahlen|Eisenstein-Zahlen]] sind eine Verallgemeinerung der ganzen Zahlen auf die komplexen Zahlen.
* [[w:de:Hyperkomplexe Zahlen|Hyperkomplexe Zahlen]] verallgemeinern die algebraische Struktur der komplexen Zahlen.
* [[w:de:Komplexwertige Funktion|Komplexwertige Funktion]]en bilden komplexe Zahlen auf komplexe Zahlen ab.

== Literaturquellen ==
&lt;references/&gt;


== Seiteninformation ==
Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&amp;title=Komplexe_Zahl&amp;author=Funktionentheorie&amp;language=de&amp;audioslide=yes&amp;shorttitle=Komplexe%20Zahl&amp;coursetitle= Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen.

=== Wiki2Reveal ===

Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&amp;title=Komplexe_Zahl&amp;author=Funktionentheorie&amp;language=de&amp;audioslide=yes&amp;shorttitle=Komplexe%20Zahl&amp;coursetitle= Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Funktionentheorie Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem  [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt.
&lt;!--
* Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten:
** [https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe_Zahl https://de.wikiversity.org/wiki/Komplexe_Zahl]
--&gt;
* [https://de.wikiversity.org/wiki/Komplexe_Zahl Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt.
* Link zur Quelle in  Wikiversity:  https://de.wikiversity.org/wiki/Komplexe_Zahl
* siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&amp;title=Komplexe_Zahl&amp;author=Funktionentheorie&amp;language=de&amp;audioslide=yes&amp;shorttitle=Komplexe%20Zahl&amp;coursetitle= Wiki2Reveal-Linkgenerator].
&lt;!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --&gt;;

=== Wikipedia2Wikiversity ===
Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe%20Zahl Wikipedia-Quelle] erstellt:
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe%20Zahl Komplexe Zahl] https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe%20Zahl
* Datum: 16.10.2019
* [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity


[[Category:Wiki2Reveal]]


[[Category:Wiki2Reveal]]
[[Kategorie:Zahl]]
&lt;noinclude&gt;[[en:Complex numbers]]&lt;/noinclude&gt;</text>
      <sha1>hm1emklnlfbvc6juzn68pilm7nuyiqc</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>1115940</id>
      <parentid>1115939</parentid>
      <timestamp>2026-10-13T07:59:09Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bert Niehaus</username>
        <id>20843</id>
      </contributor>
      <comment>/* Animation für die Orbitdarstellung */</comment>
      <origin>1115940</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="26302" sha1="j23wq32olsdtd1jrsvpa8roly5omekh" xml:space="preserve">== Erweiterung des Zahlbereiches ==
Die '''komplexen Zahlen''' &lt;math&gt;\mathbb C&lt;/math&gt; erweitern den [[w:de:Zahlenmenge|Zahlenbereich]] der [[w:de:Reelle Zahl|reellen Zahlen]] derart, dass die Gleichung &lt;math&gt;x^2 = -1&lt;/math&gt; lösbar wird, die in &lt;math&gt;\mathbb R&lt;/math&gt; nicht lösbar ist, da &lt;math&gt;x^2 \geq 0&lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt;x \in \mathbb R&lt;/math&gt; gilt.
Die Lösbarkeit gelingt durch Einführung einer neuen [[w:de:Imaginäre Zahl|imaginären Zahl]] &lt;math&gt;\mathrm i&lt;/math&gt; mit der Eigenschaft &lt;math&gt;\mathrm i^2 = -1&lt;/math&gt;. Diese Zahl &lt;math&gt;\mathrm i&lt;/math&gt; wird als '''imaginäre Einheit''' bezeichnet.
[[Datei:Audio0 komplexe zahl ft.ogg|Erweiterung des Zahlbereiches - 0]]

== Darstellung komplexer Zahlen ==
Komplexe Zahlen können in der Form &lt;math&gt;z=x+y\cdot \mathrm i&lt;/math&gt; dargestellt werden, wobei &lt;math&gt;x,y\in \mathbb R&lt;/math&gt; jeweils reelle Zahlen sind und &lt;math&gt;\mathrm i&lt;/math&gt; die imaginäre Einheit ist. Durch die Identifikation mit einem Vektor &lt;math&gt;(x,y) \in \mathbb{R}^2&lt;/math&gt; kann man komplexe Zahlen in einem Koordinatensystem (Gaußsche Zahlenebene) darstellen.
[[Datei:Audio1 komplexe zahl ft.ogg|Darstellung komplexer Zahlen - 1]]

== Realteil und Imaginärteil ==
Die reellwertigen [[w:de:Koeffizient|Koeffizienten]] &lt;math&gt;x, y&lt;/math&gt; werden als '''Real-''' bzw. '''Imaginärteil''' von &lt;math&gt;z=x + y\,\mathrm i&lt;/math&gt; bezeichnet. 
* &lt;math&gt;x = \operatorname{Re}(z) = \operatorname{Re}(x + y\,\mathrm i)&lt;/math&gt; und 
* &lt;math&gt;y = \operatorname{Im}(z) =  \operatorname{Im}(x + y\,\mathrm i)&lt;/math&gt;
[[Datei:Audio2 komplexe zahl ft.ogg|Realteil und Imaginärteil - 2]]

== Gaußsche Zahlenebene ==

[[Datei:2D Cartesian.svg|mini|Kartesische Koordinatensystem]]

== Polarkoordinaten ==

Verwendet man anstelle der kartesischen Koordinaten &lt;math&gt;a = \operatorname{Re}(z)&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;b = \operatorname{Im}(z)&lt;/math&gt; [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinaten]] &lt;math&gt;r = |z|&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\varphi = \arg(z)&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;\arg&lt;/math&gt; als der ''Argument''-Funktion, kann man die komplexe Zahl &lt;math&gt;z=a+b\,\mathrm{i}&lt;/math&gt; auch in der folgenden, auf der [[w:de:Eulersche Relation|eulerschen Relation]] beruhenden sogenannten ''Polarform'' (auch ''Polardarstellung'')&lt;ref&gt;{{Literatur |Autor=Ehrhard Behrends |Titel=Analysis Band 1 |Verlag=Springer Spektrum - ISBN: 978-3-658-07122-6 |Ort=Wiesbaden |Datum=2015 |Auflage=6 |DOI=10.1007/978-3-658-07123-3}}&lt;/ref&gt;
:&lt;math&gt;z = r \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi} = r \cdot (\cos \varphi + \mathrm{i} \cdot \sin \varphi)&lt;/math&gt;
darstellen, die sich aus &lt;math&gt;a = r \cdot \cos \varphi&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;b = r \cdot \sin \varphi&lt;/math&gt; ergibt.

  [[Datei:Audio4 komplexe zahl ft.ogg|Polarkoordinaten - 4]]

=== Darstellung Polarkoordinaten ===

[[Datei:Polarkoordinaten.svg|mini|Polarkoordinaten und kartesisches Koordinatensystem]]

[[Datei:Audio5 komplexe zahl ft.ogg|Darstellung Polarkoordinaten - 5]]

=== e-Funktion und Trigonometrie ===
Die Darstellung mit Hilfe der komplexen [[w:de:e-Funktion|e-Funktion]] &lt;math&gt;r \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}&lt;/math&gt; heißt dabei auch Exponentialdarstellung (der Polarform), die Darstellung mittels des Ausdrucks &lt;math&gt;r \cdot (\cos \varphi + \mathrm{i} \cdot \sin \varphi)&lt;/math&gt; trigonometrische Darstellung (der Polarform).
[[Datei:Audio6 komplexe zahl ft.ogg|e-Funktion und Trigonometrie - 6]]

=== Orbitdarstellung von algebraischen Operationen ===
Die folgenden Abbildung zeigt einen [[Integrationsweg]] 
:&lt;math&gt;\gamma(t) = \underbrace{\underbrace{z_0 + r_1\cdot e^{v_1\cdot t+ t_1}}_{=z_1} + r_2\cdot e^{v_2\cdot t+ t_2}}_{=z_2} ,&lt;/math&gt;
wobei &lt;math&gt;r_1,r_2 &gt; 0&lt;/math&gt; die Radien der Kreise sind, &lt;math&gt;v_1,v_2 \in \mathbb{R}&lt;/math&gt; Winkelgeschwindigkeiten und
* &lt;math&gt;s_0\in \mathbb{C}&lt;/math&gt; der Mittelpunkte des Orbits 1. Ordnung ist (vgl. &quot;Position der Sonne&quot;),
* &lt;math&gt;z_1\in \mathbb{C}&lt;/math&gt; der Punkt der sich mit der Winkelgeschwindigkeit &lt;math&gt;v_1&lt;/math&gt; (vgl. &quot;Position der Erde&quot;),
* &lt;math&gt;\gamma(t) = z_2\in \mathbb{C}&lt;/math&gt; ist der Punkt, der sich mit der Winkelgeschwindigkeit &lt;math&gt;v_2&lt;/math&gt; und Radius &lt;math&gt;r_2&lt;/math&gt; um den Mittelpunkte &lt;math&gt;z_1&lt;/math&gt; des Orbits 1. Ordnung dreht (vgl. &quot;Bewegung des Mondes um die Erde&quot;).

=== Animation für die Orbitdarstellung ===
Die Spur des Weges &lt;math&gt;\gamma&lt;/math&gt; ist in rot markiert und definiert Bahn von &lt;math&gt;\gamma(t)&lt;/math&gt; in der komplexen Zahlenebene.

[[File:Orbit representation of operations in the complex numbers.gif|450px|center|Orbit representation of operations in the complex numbers - Orbit3 v2 - Geogebra GIF animation]]

=== Bemerkung - Orbits - Sonnensystem ===
In einer Lehrveranstaltung kann man den Begriff des Orbits mit mit der Bewegung der Erde um die Sonne und der Bewegung des Mondes um die Erde motivieren. Man sollte allerdings ergänzen, dass die tatsächlichen Orbites von Himmelskörper sich nicht auf idealisierten Kreisbahnen bewegen, sondern sich die Bahnen u.a. durch Gravitation beeinflussen (siehe [[w:de:Merkur (Planet)|Merkurperihel]] und [[w:de:Allgemeine Relativitätstheorie|Allgemeine Relativitätstheorie]])

== Eigenschaften ==
Der konstruierte Zahlenbereich der komplexen Zahlen bildet einen [[w:de:Körpererweiterung|Erweiterungskörper]] der reellen Zahlen und hat eine Reihe vorteilhafter Eigenschaften, die in &lt;math&gt;\mathbb R&lt;/math&gt; nicht gelten: 
[[Datei:Audio7 komplexe zahl ft.ogg|Eigenschaften - 7]]

=== Fundamentalsatz der Algebra ===

Die komplexen Zahlen sind [[w:de:Algebraisch abgeschlossen|algebraische abgeschlossenen]] in den komplexen Zahlen. Dies bedeutet, dass in &lt;math&gt;\mathbb C&lt;/math&gt; jede [[w:de:algebraische Gleichung|algebraische Gleichung]] positiven Grades über den komplexen Zahlen eine Lösung besitzt, was für reelle Zahlen nicht gilt. 
: &lt;math&gt;x^2 + 4 = 0&lt;/math&gt; hat keine Lösung in &lt;math&gt;\mathbb R&lt;/math&gt; und in &lt;math&gt;\mathbb C&lt;/math&gt; die Lösungsmenge &lt;math&gt;\mathbb L = \{+2\mathrm i, -2\mathrm i\} &lt;/math&gt;
(siehe [[w:de:Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatzes der Algebra]]).
[[Datei:Audio8 komplexe zahl ft.ogg|Fundamentalsatz der Algebra - 8]]

=== Trigonometrie und Exponentialfunktion ===
In &lt;math&gt; \mathbb{C} &lt;/math&gt; wird der Zusammenhang von [[w:de:Trigonometrische Funktion|trigonometrischen Funktionen]] und der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] deutlich 
:&lt;math&gt; \mathrm e^{\mathrm it} = \cos(t) + \mathrm i \cdot \sin(t) &lt;/math&gt; 
siehe [[w:de:Eulerformel|Eulerformel]].
[[Datei:Audio9 komplexe zahl ft.ogg|Trigonometrie und Exponentialfunktion - 9]]

=== Unterschied: komplexe und reelle Differenzierbarkeit ===
Jede auf einer [[w:de:Offene Menge|offenen Menge]] ''einmal'' [[w:de:Differenzierbarkeit#Komplexe Funktionen|komplex differenzierbare]] Funktion dort auch ''beliebig oft'' differenzierbar. In der [[w:de:Analysis|reellen Analysis]] ist die Funktion 
: &lt;math&gt; f(x)=x^2\cdot |x| &lt;/math&gt; 
nur 2x reell differenzierbar, während &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; mit dem Definitionsbereich &lt;math&gt;\mathbb C&lt;/math&gt; lediglich stetig ist und auf keiner Umgebung komplex differenzierbar ist.
[[Datei:Audio10 komplexe zahl ft.ogg|Unterschied: komplexe und reelle Differenzierbarkeit - 10]]

=== Teilmengenbeziehung zwischen reellen und komplexen Zahlen ===
Die reellen Zahlen lassen sich als Teilmenge der komplexen Zahlen im Sinne einer [[w:de:Menge (Mathematik)|Teilmengenbeziehung zwischen Zahlbereichen]]  auffassen. Dabei wird eine relle Zahl &lt;math&gt;x\in \mathbb R&lt;/math&gt; mit der komplexen Zahl &lt;math&gt;x + 0\mathrm i\in \mathbb C&lt;/math&gt; identifiziert. In der Gaußschen Zahlenebene entsprechen die rellen Zahlen den Punkten auf der &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;-Achse.
[[Datei:Audio11 komplexe zahl ft.ogg|Teilmengenbeziehung zwischen reellen und komplexen Zahlen - 11]]

== Komplexe Konjugation ==
Ändert man das [[w:de:Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] des Imaginärteils &lt;math&gt;b&lt;/math&gt; einer komplexen Zahl &lt;math&gt;z = a+b\,\mathrm{i},&lt;/math&gt; so erhält man die zu &lt;math&gt;z&lt;/math&gt; [[w:de:Konjugation (Mathematik)|konjugiert komplexe]] Zahl &lt;math&gt;\bar z=a-b\,\mathrm{i}&lt;/math&gt; .
[[Datei:Audio12 komplexe zahl ft.ogg|Komplexe Konjugation - 12]]

=== Rechenregeln Konjugation ===
Die Konjugation &lt;math&gt;\mathbb{C} \to \mathbb{C} ,\,z\mapsto \bar z&lt;/math&gt; ist ein [[w:de:Involution (Mathematik)|(involutorischer)]] Körperautomorphismus, da sie mit Addition und Multiplikation verträglich ist, d.&amp;nbsp;h., für alle &lt;math&gt;y,z\in \mathbb{C} &lt;/math&gt; gilt
: &lt;math&gt;\overline{y+z}=\bar y+\bar z,\quad \overline{y\cdot z}=\bar y\cdot \bar z.&lt;/math&gt;
[[Datei:Audio13 komplexe zahl ft.ogg|Rechenregeln Konjugation - 13]]

=== Geometrische Darstellung der Konjugation ===
In der Polardarstellung hat die konjugiert komplexe Zahl &lt;math&gt; \bar z &lt;/math&gt; einen unveränderten Abstand zum Koordinatenursprung (also &lt;math&gt; |\bar{z}| = |z| &lt;/math&gt;) und besitzt gerade den negativen Winkel von &lt;math&gt;z&lt;/math&gt;. Man kann die Konjugation in der komplexen Zahlenebene also als die ''Spiegelung an der reellen Achse'' interpretieren. Insbesondere werden unter der Konjugation genau die reellen Zahlen auf sich selbst abgebildet.
[[Datei:Audio14 komplexe zahl ft.ogg|Geometrische Darstellung der Konjugation - 14]]

=== Geometrische Darstellung der Konjugation ===
[[Datei:Komplexe konjugation.svg|mini|Konjugation in Gaußschen Zahlenebene]]
Eine komplexe Zahl &lt;math&gt;z = a+b\,\mathrm{i}&lt;/math&gt; und die zu ihr konjugiert komplexe Zahl &lt;math&gt;\bar z=a-b\,\mathrm{i}&lt;/math&gt;
[[Datei:Audio15 komplexe zahl ft.ogg|Geometrische Darstellung der Konjugation - 15]]

== Betrag ==
Der Betrag &lt;math&gt;|z|&lt;/math&gt; einer komplexen Zahl &lt;math&gt;z&lt;/math&gt; ist die [[w:de:Euklidischer Raum|Länge]] ihres Vektors in der [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|Gaußschen Zahlenebene]] und lässt sich z.&amp;nbsp;B. zu
:&lt;math&gt;|z| = \sqrt{a^2 + b^2}&lt;/math&gt;
aus ihrem Realteil &lt;math&gt;\operatorname{Re}(z)=a&lt;/math&gt; und Imaginärteil &lt;math&gt;\operatorname{Im}(z)=b&lt;/math&gt; berechnen. Als eine Länge ist der Betrag reell und nicht negativ.
[[Datei:Audio16 komplexe zahl ft.ogg|Betrag - 16]]

=== Beispiel: Betrag ===
: &lt;math&gt;|239+\mathrm i| = \sqrt{239^2+1^2} = \sqrt{57121+1} = \sqrt{57122} = 169\cdot\sqrt{2}&lt;/math&gt;
[[Datei:Audio17 komplexe zahl ft.ogg|Beispiel: Betrag 16]]

=== Pythagoras ===
Den reellen Betrag vom Realteil &lt;math&gt;a \in \mathbb{R}&lt;/math&gt; und Imaginärteil &lt;math&gt;b \in \mathbb{R}&lt;/math&gt; kann man als Länge der Katheten in einem [[w:de:Rechtwinkliges_Dreieck|rechtwinkligen Dreieck]] mit Hypotenusenlänge &lt;math&gt;c=|z|&lt;/math&gt; auffassen.
:&lt;math&gt;|z| = \sqrt{a^2 + b^2}&lt;/math&gt;
[[Datei:Audio18 komplexe zahl ft.ogg|Pythagoras - 18]]

== Eigenschaften ==
In &lt;math&gt;(\mathbb{C},+,\cdot)&lt;/math&gt; gelten die folgenden Eigenschaften:
* '''(AG/KG)''' Das [[w:de:Assoziativgesetz|Assoziativgesetz]] und das [[w:de:Kommutativgesetz|Kommutativgesetz]] gelten für die Addition und die Multiplikation komplexer Zahlen.
* '''(DG)''' Das [[w:de:Distributivgesetz|Distributivgesetz]] gilt.
* '''(NE)''' O und 1 sind die neutralen Elemente der Addition bzw. der Multiplikation.
* '''(IE&lt;math&gt;+&lt;/math&gt;)''' Für jede komplexe Zahl &lt;math&gt;z&lt;/math&gt; existiert eine komplexe Zahl &lt;math&gt;-z&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;z+(-z)=0&lt;/math&gt;.
* '''(IE&lt;math&gt;\cdot&lt;/math&gt;)''' Für jede von null verschiedene komplexe Zahl &lt;math&gt;z&lt;/math&gt; existiert eine komplexe Zahl &lt;math&gt;z^{-1}&lt;/math&gt;  mit &lt;math&gt;z\cdot z^{-1}=1&lt;/math&gt;.
[[Datei:Audio19 komplexe zahl ft.ogg|Eigenschaften - 19]]

== Rechnen in der algebraischen Form ==
Die algebraischen Eigenschaften ergeben sich unmittelbar aus der Definition der beiden Verknüpfungen.
[[Datei:Audio20 komplexe zahl ft.ogg|Rechnen in der algebraischen Form - 20]]

=== Addition ===
Für die Addition zweier komplexer Zahlen &lt;math&gt;z_1=a+b\,\mathrm i&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;a,b \in \mathbb{R}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;z_2=c+d\,\mathrm i&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;c,d \in \mathbb{R}&lt;/math&gt; gilt
:&lt;math&gt;z_1+z_2=(a+c)+(b+d)\,\mathrm i.&lt;/math&gt;
[[Datei:Audio21 komplexe zahl ft.ogg|Addition - 21]]

=== Vektorielle Veranschaulichung Addition ===
[[Datei:Komplexe addition.svg|mini|hochkant=1.25|Die Addition zweier komplexer Zahlen in der komplexen Ebene veranschaulicht]]
[[Datei:Audio22 komplexe zahl ft.ogg|Vektorielle Veranschaulichung Addition - 22]]

=== Subtraktion ===
Für die Subtraktion zweier komplexer Zahlen &lt;math&gt;z_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;z_2&lt;/math&gt; (siehe Addition) gilt
:&lt;math&gt;z_1-z_2=(a-c)+(b-d)\,\mathrm i.&lt;/math&gt;
[[Datei:Audio23 komplexe zahl ft.ogg|Subtraktion - 23]]

=== Multiplikation ===
Für die Multiplikation zweier komplexer Zahlen &lt;math&gt;z_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;z_2&lt;/math&gt; (siehe Addition) gilt
:&lt;math&gt;z_1\cdot z_2=(ac+bd\,\mathrm i^2)+(ad+bc)\,\mathrm i=(ac-bd)+(ad+bc)\,\mathrm i.&lt;/math&gt;
[[Datei:Audio24 komplexe zahl ft.ogg|Multiplikation - 24]]

=== Division ===
Für die Division der komplexen Zahl &lt;math&gt;z_1&lt;/math&gt; durch die komplexe Zahl &lt;math&gt;z_2&lt;/math&gt; (siehe Addition) mit &lt;math&gt;z_2\neq 0&lt;/math&gt; [[w:de:Kürzen|erweitert]] man den Bruch mit der zum Nenner &lt;math&gt;z_2&lt;/math&gt; [[w:de:#Komplexe Konjugation|konjugiert komplexen]] Zahl &lt;math&gt;\bar z_2=c-d\,\mathrm i&lt;/math&gt;. Der Nenner wird dadurch reell (und ist gerade das Quadrat des Betrages von &lt;math&gt;c+d\,\mathrm i&lt;/math&gt;):
: &lt;math&gt;\frac{z_1}{z_2} = \frac{(a+b\,\mathrm i)(c-d\,\mathrm i)}{(c+d\,\mathrm i)(c-d\,\mathrm i)} = \frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{bc-ad}{c^2+d^2}\mathrm i.&lt;/math&gt;
[[Datei:Audio25 komplexe zahl ft.ogg|Division - 25]]

=== Rechenbeispiel Addition: ===
: &lt;math&gt;(3+2\mathrm i) + (5+5\mathrm i) = (3+5) + (2+5)\mathrm i = 8 + 7\mathrm i&lt;/math&gt;
[[Datei:Audio26 komplexe zahl ft.ogg|Rechenbeispiel Addition - 26]]

=== Rechenbeispiel Subtraktion: ===

: &lt;math&gt;(5+5\mathrm i) - (3+2\mathrm i) = (5-3) + (5-2)\mathrm i = 2 + 3\mathrm i&lt;/math&gt;
[[Datei:Audio27 komplexe zahl ft.ogg|Rechenbeispiel Subtraktion - 27]]

=== Rechenbeispiel Multiplikation: ===

: &lt;math&gt;(3+5\mathrm i) \cdot (4+11\mathrm i) = (3\cdot 4 - 5\cdot 11)+(3\cdot 11 + 5\cdot 4)\mathrm i = -43 + 53\mathrm i&lt;/math&gt;
[[Datei:Audio28 komplexe zahl ft.ogg|Rechenbeispiel Multiplikation - 28]]

=== Rechenbeispiel Division: ===
: &lt;math&gt;{\frac{(2+5\mathrm{i})}{(3+7\mathrm{i})} = \frac{(2+5\mathrm{i})}{(3+7\mathrm{i})} \cdot \frac{(3-7\mathrm{i})}{(3-7\mathrm{i})} } = &lt;/math&gt;
: &lt;math&gt; = { \frac{(6 + 35) + (15\mathrm{i}-14\mathrm{i})}{(9 + 49) + (21\mathrm{i}-21\mathrm{i})} = \frac{41+\mathrm{i}}{58} = \frac{41}{58} + \frac{1}{58}\cdot\mathrm{i}}&lt;/math&gt;
[[Datei:Audio29 komplexe zahl ft.ogg|Rechenbeispiel Division - 29]]

=== Aufgabe ===
* Sei &lt;math&gt;z=z_1 + \mathrm iz_2 \in \mathbb{C} \setminus \{0\}&lt;/math&gt; gegeben. Lösen Sie das Gleichungssystem:
:: &lt;math&gt;z\cdot x = 1 = 1 +0\mathrm i&lt;/math&gt; 
: mit &lt;math&gt;x= x_1 + \mathrm{i}x_2 \in \mathbb{C}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;x_1 , x_2 \in \mathbb{R}&lt;/math&gt;
* Zwei komplexe Zahl sind gleich, wenn diese bzgl. Realteil und Imaginärteil übereinstimmen. Dadurch entsteht ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und den beiden Unbekannten &lt;math&gt;x_1 , x_2 \in \mathbb{R}&lt;/math&gt;
[[Datei:Audio30 komplexe zahl ft.ogg|Aufgabe 30]]

=== Komplexe Zahlen als reeller Vektorraum ===
Der Körper &lt;math&gt; \mathbb{C} &lt;/math&gt; der komplexen Zahlen ist einerseits ein Oberkörper von &lt;math&gt; \mathbb{R}&lt;/math&gt;, andererseits ein zweidimensionaler &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;-[[w:de:Vektorraum|Vektorraum]]. Der [[w:de:Isomorphismus|Isomorphismus]] &lt;math&gt; \mathbb{C}  \cong \mathbb{R}^2&lt;/math&gt; wird auch als [[w:de:natürliche Identifikation|natürliche Identifikation]] bezeichnet. In der Regel nutzt man dies auch, um &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt; formell als &lt;math&gt;\mathbb{R}^2&lt;/math&gt; mit der entsprechenden komplexen Multiplikation zu ''definieren'' und dann &lt;math&gt;\mathrm{i} := (0,1)^\mathrm{T}&lt;/math&gt; zu setzen. Dabei hat die Gleichung &lt;math&gt;z^2=-1&lt;/math&gt; in den komplexen Zahlen zwei Lösungen. Dabei kann die Wurzel als Abbildung aber einen definierten Wert (wie in der reellen Analysis) besitzen &lt;math&gt;\sqrt{-1} = + \mathrm{i}&lt;/math&gt;.

[[Datei:Audio31 komplexe zahl ft.ogg|Komplexe Zahlen als reeller Vektorraum 31]]

=== Basis des Vektorraumes  ===
Als &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;-Vektorraum besitzt &lt;math&gt; \mathbb{C} &lt;/math&gt; die Basis &lt;math&gt;\{1, \mathrm{i}\}&lt;/math&gt;. Daneben ist &lt;math&gt; \mathbb{C} &lt;/math&gt; wie jeder Körper auch ein Vektorraum über sich selbst, also ein eindimensionaler &lt;math&gt; \mathbb{C} &lt;/math&gt;-Vektorraum mit Basis &lt;math&gt;\{1\}&lt;/math&gt;.
[[Datei:Audio32 komplexe zahl ft.ogg|Basis des Vektorraumes - 32]]

=== Keine Ordnungsrelation in komplexen Zahlen === 
&lt;math&gt; \mathbb{C} &lt;/math&gt; ist im Gegensatz zu &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; kein [[w:de:geordneter Körper|geordneter Körper]], d. h., es gibt keine mit der Körperstruktur verträgliche lineare Ordnungsrelation auf &lt;math&gt; \mathbb{C} &lt;/math&gt;. Von zwei unterschiedlichen komplexen Zahlen kann man daher nicht sinnvoll (bezogen auf die Addition und Multiplikation in &lt;math&gt; \mathbb{C} &lt;/math&gt;) festlegen, welche von beiden die größere bzw. die kleinere Zahl ist.

[[Datei:Audio32a komplexe zahl ft.ogg|Keine Ordnungsrelation in komplexen Zahlen - 32a]]

== Zusammenhang Darstellungsformen ==
[[Datei:Komplexe zahlenebene.svg|mini|hochkant=1.25|Gaußsche Ebene mit einer komplexen Zahl in kartesischen Koordinaten (a,b) und in Polarkoordinaten (r,φ)]]
[[Datei:Audio33 komplexe zahl ft.ogg|Zusammenhang Darstellungsformen - 33]]

=== Algebraische Form - Polarform ===
Während sich die Menge &lt;math&gt;\mathbb R&lt;/math&gt; der [[w:de:Reelle Zahlen|reellen Zahlen]] durch Punkte auf einer [[w:de:Zahlengerade|Zahlengerade]]n veranschaulichen lässt, kann man die Menge &lt;math&gt; \mathbb{C} &lt;/math&gt; der komplexen Zahlen als Punkte in einer Ebene (komplexe Ebene, gaußsche Zahlenebene) darstellen. Dies entspricht der „doppelten Natur“ von &lt;math&gt; \mathbb{C} &lt;/math&gt; als zweidimensionalem reellem Vektorraum.
[[Datei:Audio34 komplexe zahl ft.ogg|Algebraische Form - Polarform - 34]]

=== Punkte - Vektoren ===
Gemäß Definition entspricht die Addition komplexer Zahlen der Vektoraddition, wobei man die Punkte in der Zahlenebene mit ihren [[w:de:Ortsvektor|Ortsvektor]]en identifiziert. Die Multiplikation ist in der gaußschen Ebene eine [[w:de:Drehstreckung|Drehstreckung]], was nach Einführung der Polarform weiter unten klarer werden wird (siehe [https://www.geogebra.org/m/ETug55x4 Geogebra-Beispiel]).
[[Datei:Audio35 komplexe zahl ft.ogg|Punkte - Vektoren - 35]]

=== Umrechnungsformeln: algebraische Form in die Polarform ===
Für &lt;math&gt;z=a+b\,\mathrm{i}&lt;/math&gt; in algebraischer Form ist
:&lt;math&gt;r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}=\sqrt{z \cdot \overline z}.&lt;/math&gt;
Für &lt;math&gt;z = 0&lt;/math&gt; kann das Argument mit 0 definiert werden, bleibt aber meist undefiniert. Für &lt;math&gt;z \neq 0&lt;/math&gt; kann das Argument &lt;math&gt;\varphi&lt;/math&gt; im Intervall &lt;math&gt;(-\pi;\pi]&lt;/math&gt; mit Hilfe einer trigonometrischen Umkehrfunktion, bspw. mit Hilfe des [[w:de:Arkuskosinus|Arkuskosinus]]
:&lt;math&gt;\varphi=\arg(z)=\begin{cases} \arccos\frac{a}{r}&amp;\mathrm{f\ddot ur}\ b\geq 0\\-\arccos\frac{a}{r}&amp;\text{sonst} \end{cases} &lt;/math&gt;
ermittelt werden.
[[Datei:Audio36 komplexe zahl ft.ogg|Umrechnungsformeln: algebraische Form in die Polarform - 36]]

=== Umrechnungsformeln: Polarform in die algebraische Form ===
: &lt;math&gt;a = \mathfrak{Re}(z) = r \cdot \cos\varphi&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;b = \mathfrak{Im}(z) = r \cdot \sin\varphi&lt;/math&gt;
Wie weiter oben stellt &lt;math&gt;a\in \mathbb{R}&lt;/math&gt; den Realteil und &lt;math&gt;b\in \mathbb{R}&lt;/math&gt; den Imaginärteil jener komplexen Zahl &lt;math&gt;z = a+ib \in \mathbb{C}&lt;/math&gt; dar.
[[Datei:Audio37 komplexe zahl ft.ogg|Umrechnungsformeln: Polarform in die algebraische Form - 37]]

=== Arithmetische Operationen in der Polarform ===
Durch arithmetische Operationen sind folgende Operanden miteinander zu verknüpfen:
:&lt;math&gt;z_1=r\cdot (\cos \varphi + \mathrm{i}\cdot\sin \varphi) = r\cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;z_2=s\cdot (\cos \psi    + \mathrm{i}\cdot\sin \psi)    = s\cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}\psi}&lt;/math&gt;

Bei der Multiplikation werden die Beträge &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;s&lt;/math&gt; miteinander multipliziert und die zugehörigen Phasen &lt;math&gt;\varphi&lt;/math&gt; bzw. &lt;math&gt;\psi&lt;/math&gt; addiert. Bei der Division wird der Betrag des [[w:de:Dividend|Dividend]]en durch den Betrag des [[w:de:Division (Mathematik)|Divisors]] geteilt und die Phase des Divisors von der Phase des Dividenden subtrahiert. Für die Addition und die Subtraktion existiert auch eine, etwas kompliziertere, Formel:
[[Datei:Audio38 komplexe zahl ft.ogg|Arithmetische Operationen in der Polarform - 38]]

==== Trigonometrische Form - Multiplikation ====
[[Datei:Komplexe multiplikation.svg|mini|hochkant=1.25|Die Multiplikation von zwei komplexen Zahlen entspricht dem Addieren der Winkel und dem Multiplizieren der Beträge.]]
: &lt;math&gt;{z_1 \cdot z_2 = r \cdot s \cdot \left( \cos (\varphi+\psi) + \mathrm{i} \cdot \sin (\varphi+\psi) \right) }&lt;/math&gt;
[[Datei:Audio39 komplexe zahl ft.ogg|Trigonometrische Form - Multiplikation - 39]]

==== Trigonometrische Form - Division ====
: &lt;math&gt;\frac{z_1}{z_2} = \frac{r}{s} \cdot \left[ \cos (\varphi-\psi) + \mathrm{i} \cdot \sin (\varphi-\psi) \right]&lt;/math&gt;

[[Datei:Komplexe division.svg|mini|hochkant=1.25|Die Division von zwei komplexen Zahlen entspricht dem Subtrahieren der Winkel und dem Dividieren der Beträge.]]
[[Datei:Audio40 komplexe zahl ft.ogg|Trigonometrische Form - Division - 40]]

==== Exponentialform ====
* &lt;math&gt;z_1 \cdot z_2 = r \cdot s \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\varphi+\psi)}&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\frac{z_1}{z_2} = \frac{r}{s} \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\varphi-\psi)}&lt;/math&gt;
[[Datei:Audio41 komplexe zahl ft.ogg|Exponentialform - 41]]

== Realteil- und Imaginärteilfunktion ==
Sei &lt;math&gt;f:V\to\mathbb{C}&lt;/math&gt; so definiert man die Realteilfunktion und Imaginärteilfunktion als reellwertige Abbildung wie folgt.
* &lt;math&gt;g:V\to\mathbb{R}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;g(z):=\mathfrak{Re}(f(z))&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;h:V\to\mathbb{R}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;h(z):=\mathfrak{Im}(f(z))&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;f(z)=g(z)+i\cdot h(z)&lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt;z\in V&lt;/math&gt;
(siehe auch [[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]])

== Geschichte ==
Der Begriff „komplexe Zahlen“ wurde von [[w:de:Carl Friedrich Gauß|Carl Friedrich Gauß]] (''Theoria residuorum biquadraticorum,'' 1831) eingeführt, der Ursprung der Theorie der komplexen Zahlen geht auf die italienischen Mathematiker [[w:de:Gerolamo Cardano|Gerolamo Cardano]] (''Ars magna,'' Nürnberg 1545) und [[w:de:Rafael Bombelli|Rafael Bombelli]] (''L’Algebra,'' Bologna 1572; wahrscheinlich zwischen 1557 und 1560 geschrieben) zurück.&lt;ref&gt;{{Literatur |Autor=[[w:de:Helmuth Gericke|Helmuth Gericke]] |Titel=Geschichte des Zahlbegriffs |Verlag=Bibliographisches Institut |Ort=Mannheim |Datum=1970 |Seiten=57–67}}&lt;/ref&gt;
[[Datei:Audio42 komplexe zahl ft.ogg|Geschichte - 42]]

== Literatur ==
* Paul Nahin: ''An imaginary tale. The story of &lt;math&gt;\sqrt {-1}&lt;/math&gt;.'' Princeton University Press, 1998.
* Reinhold Remmert: ''Komplexe Zahlen.'' In D. Ebbinghaus u. a. (Hrsg.): ''Zahlen.'' Springer, 1983.

== Siehe auch ==
* [[Maxima CAS/Komplexe Zahlen]]
* [[Kurs:Mathematik der Quantenmechanik/Komplexe_Zahlen|Komplexe Zahl - Kurzfassung]] im [[Kurs:Mathematik der Quantenmechanik]]
* [[Quaternion]]
* [[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]]
* [[w:de:Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatz der Algebra]]
* [[w:de:Konjugation (Mathematik)|Konjugation in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt;]]
* [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] und [[w:de:Isomorphismus|Isomorphie]] für den Bezug zwischen &lt;math&gt;\mathbb{R}^2&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt;.
* [[Kurs:Funktionentheorie]]
* [[Kurs:Funktionalanalysis/Hahn-Banach - komplexer Fall]]
* [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]]

== Wiki2Reveal ==
* '''[[Zahlbereichserweiterung|Zahlbereichserweiterung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&amp;title=Zahlbereichserweiterung&amp;author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&amp;language=de&amp;audioslide=yes&amp;shorttitle=Zahlbereichserweiterung&amp;coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]]

== Verwandte Themen ==
* [[w:de:Gaußsche Zahlen|Gaußsche Zahlen]] und [[w:de:Eisenstein-Zahlen|Eisenstein-Zahlen]] sind eine Verallgemeinerung der ganzen Zahlen auf die komplexen Zahlen.
* [[w:de:Hyperkomplexe Zahlen|Hyperkomplexe Zahlen]] verallgemeinern die algebraische Struktur der komplexen Zahlen.
* [[w:de:Komplexwertige Funktion|Komplexwertige Funktion]]en bilden komplexe Zahlen auf komplexe Zahlen ab.

== Literaturquellen ==
&lt;references/&gt;


== Seiteninformation ==
Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&amp;title=Komplexe_Zahl&amp;author=Funktionentheorie&amp;language=de&amp;audioslide=yes&amp;shorttitle=Komplexe%20Zahl&amp;coursetitle= Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen.

=== Wiki2Reveal ===

Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&amp;title=Komplexe_Zahl&amp;author=Funktionentheorie&amp;language=de&amp;audioslide=yes&amp;shorttitle=Komplexe%20Zahl&amp;coursetitle= Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Funktionentheorie Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem  [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt.
&lt;!--
* Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten:
** [https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe_Zahl https://de.wikiversity.org/wiki/Komplexe_Zahl]
--&gt;
* [https://de.wikiversity.org/wiki/Komplexe_Zahl Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt.
* Link zur Quelle in  Wikiversity:  https://de.wikiversity.org/wiki/Komplexe_Zahl
* siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&amp;title=Komplexe_Zahl&amp;author=Funktionentheorie&amp;language=de&amp;audioslide=yes&amp;shorttitle=Komplexe%20Zahl&amp;coursetitle= Wiki2Reveal-Linkgenerator].
&lt;!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --&gt;;

=== Wikipedia2Wikiversity ===
Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe%20Zahl Wikipedia-Quelle] erstellt:
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe%20Zahl Komplexe Zahl] https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe%20Zahl
* Datum: 16.10.2019
* [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity


[[Category:Wiki2Reveal]]


[[Category:Wiki2Reveal]]
[[Kategorie:Zahl]]
&lt;noinclude&gt;[[en:Complex numbers]]&lt;/noinclude&gt;</text>
      <sha1>j23wq32olsdtd1jrsvpa8roly5omekh</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>1115941</id>
      <parentid>1115940</parentid>
      <timestamp>2026-10-13T08:00:34Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bert Niehaus</username>
        <id>20843</id>
      </contributor>
      <comment>/* Animation für die Orbitdarstellung */</comment>
      <origin>1115941</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="26350" sha1="7iyoweak38igbtn5ugj61q6ai1iv1w2" xml:space="preserve">== Erweiterung des Zahlbereiches ==
Die '''komplexen Zahlen''' &lt;math&gt;\mathbb C&lt;/math&gt; erweitern den [[w:de:Zahlenmenge|Zahlenbereich]] der [[w:de:Reelle Zahl|reellen Zahlen]] derart, dass die Gleichung &lt;math&gt;x^2 = -1&lt;/math&gt; lösbar wird, die in &lt;math&gt;\mathbb R&lt;/math&gt; nicht lösbar ist, da &lt;math&gt;x^2 \geq 0&lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt;x \in \mathbb R&lt;/math&gt; gilt.
Die Lösbarkeit gelingt durch Einführung einer neuen [[w:de:Imaginäre Zahl|imaginären Zahl]] &lt;math&gt;\mathrm i&lt;/math&gt; mit der Eigenschaft &lt;math&gt;\mathrm i^2 = -1&lt;/math&gt;. Diese Zahl &lt;math&gt;\mathrm i&lt;/math&gt; wird als '''imaginäre Einheit''' bezeichnet.
[[Datei:Audio0 komplexe zahl ft.ogg|Erweiterung des Zahlbereiches - 0]]

== Darstellung komplexer Zahlen ==
Komplexe Zahlen können in der Form &lt;math&gt;z=x+y\cdot \mathrm i&lt;/math&gt; dargestellt werden, wobei &lt;math&gt;x,y\in \mathbb R&lt;/math&gt; jeweils reelle Zahlen sind und &lt;math&gt;\mathrm i&lt;/math&gt; die imaginäre Einheit ist. Durch die Identifikation mit einem Vektor &lt;math&gt;(x,y) \in \mathbb{R}^2&lt;/math&gt; kann man komplexe Zahlen in einem Koordinatensystem (Gaußsche Zahlenebene) darstellen.
[[Datei:Audio1 komplexe zahl ft.ogg|Darstellung komplexer Zahlen - 1]]

== Realteil und Imaginärteil ==
Die reellwertigen [[w:de:Koeffizient|Koeffizienten]] &lt;math&gt;x, y&lt;/math&gt; werden als '''Real-''' bzw. '''Imaginärteil''' von &lt;math&gt;z=x + y\,\mathrm i&lt;/math&gt; bezeichnet. 
* &lt;math&gt;x = \operatorname{Re}(z) = \operatorname{Re}(x + y\,\mathrm i)&lt;/math&gt; und 
* &lt;math&gt;y = \operatorname{Im}(z) =  \operatorname{Im}(x + y\,\mathrm i)&lt;/math&gt;
[[Datei:Audio2 komplexe zahl ft.ogg|Realteil und Imaginärteil - 2]]

== Gaußsche Zahlenebene ==

[[Datei:2D Cartesian.svg|mini|Kartesische Koordinatensystem]]

== Polarkoordinaten ==

Verwendet man anstelle der kartesischen Koordinaten &lt;math&gt;a = \operatorname{Re}(z)&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;b = \operatorname{Im}(z)&lt;/math&gt; [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinaten]] &lt;math&gt;r = |z|&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\varphi = \arg(z)&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;\arg&lt;/math&gt; als der ''Argument''-Funktion, kann man die komplexe Zahl &lt;math&gt;z=a+b\,\mathrm{i}&lt;/math&gt; auch in der folgenden, auf der [[w:de:Eulersche Relation|eulerschen Relation]] beruhenden sogenannten ''Polarform'' (auch ''Polardarstellung'')&lt;ref&gt;{{Literatur |Autor=Ehrhard Behrends |Titel=Analysis Band 1 |Verlag=Springer Spektrum - ISBN: 978-3-658-07122-6 |Ort=Wiesbaden |Datum=2015 |Auflage=6 |DOI=10.1007/978-3-658-07123-3}}&lt;/ref&gt;
:&lt;math&gt;z = r \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi} = r \cdot (\cos \varphi + \mathrm{i} \cdot \sin \varphi)&lt;/math&gt;
darstellen, die sich aus &lt;math&gt;a = r \cdot \cos \varphi&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;b = r \cdot \sin \varphi&lt;/math&gt; ergibt.

  [[Datei:Audio4 komplexe zahl ft.ogg|Polarkoordinaten - 4]]

=== Darstellung Polarkoordinaten ===

[[Datei:Polarkoordinaten.svg|mini|Polarkoordinaten und kartesisches Koordinatensystem]]

[[Datei:Audio5 komplexe zahl ft.ogg|Darstellung Polarkoordinaten - 5]]

=== e-Funktion und Trigonometrie ===
Die Darstellung mit Hilfe der komplexen [[w:de:e-Funktion|e-Funktion]] &lt;math&gt;r \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}&lt;/math&gt; heißt dabei auch Exponentialdarstellung (der Polarform), die Darstellung mittels des Ausdrucks &lt;math&gt;r \cdot (\cos \varphi + \mathrm{i} \cdot \sin \varphi)&lt;/math&gt; trigonometrische Darstellung (der Polarform).
[[Datei:Audio6 komplexe zahl ft.ogg|e-Funktion und Trigonometrie - 6]]

=== Orbitdarstellung von algebraischen Operationen ===
Die folgenden Abbildung zeigt einen [[Integrationsweg]] 
:&lt;math&gt;\gamma(t) = \underbrace{\underbrace{z_0 + r_1\cdot e^{v_1\cdot t+ t_1}}_{=z_1} + r_2\cdot e^{v_2\cdot t+ t_2}}_{=z_2} ,&lt;/math&gt;
wobei &lt;math&gt;r_1,r_2 &gt; 0&lt;/math&gt; die Radien der Kreise sind, &lt;math&gt;v_1,v_2 \in \mathbb{R}&lt;/math&gt; Winkelgeschwindigkeiten und
* &lt;math&gt;s_0\in \mathbb{C}&lt;/math&gt; der Mittelpunkte des Orbits 1. Ordnung ist (vgl. &quot;Position der Sonne&quot;),
* &lt;math&gt;z_1\in \mathbb{C}&lt;/math&gt; der Punkt der sich mit der Winkelgeschwindigkeit &lt;math&gt;v_1&lt;/math&gt; (vgl. &quot;Position der Erde&quot;),
* &lt;math&gt;\gamma(t) = z_2\in \mathbb{C}&lt;/math&gt; ist der Punkt, der sich mit der Winkelgeschwindigkeit &lt;math&gt;v_2&lt;/math&gt; und Radius &lt;math&gt;r_2&lt;/math&gt; um den Mittelpunkte &lt;math&gt;z_1&lt;/math&gt; des Orbits 1. Ordnung dreht (vgl. &quot;Bewegung des Mondes um die Erde&quot;).

=== Animation für die Orbitdarstellung ===
Die Spur des Weges &lt;math&gt;\gamma&lt;/math&gt; ist in rot markiert und definiert Bahn von &lt;math&gt;\gamma(t)&lt;/math&gt; in der komplexen Zahlenebene (siehe auch [[Orbitdarstellung von Polynomen]]).

[[File:Orbit representation of operations in the complex numbers.gif|450px|center|Orbit representation of operations in the complex numbers - Orbit3 v2 - Geogebra GIF animation]]

=== Bemerkung - Orbits - Sonnensystem ===
In einer Lehrveranstaltung kann man den Begriff des Orbits mit mit der Bewegung der Erde um die Sonne und der Bewegung des Mondes um die Erde motivieren. Man sollte allerdings ergänzen, dass die tatsächlichen Orbites von Himmelskörper sich nicht auf idealisierten Kreisbahnen bewegen, sondern sich die Bahnen u.a. durch Gravitation beeinflussen (siehe [[w:de:Merkur (Planet)|Merkurperihel]] und [[w:de:Allgemeine Relativitätstheorie|Allgemeine Relativitätstheorie]])

== Eigenschaften ==
Der konstruierte Zahlenbereich der komplexen Zahlen bildet einen [[w:de:Körpererweiterung|Erweiterungskörper]] der reellen Zahlen und hat eine Reihe vorteilhafter Eigenschaften, die in &lt;math&gt;\mathbb R&lt;/math&gt; nicht gelten: 
[[Datei:Audio7 komplexe zahl ft.ogg|Eigenschaften - 7]]

=== Fundamentalsatz der Algebra ===

Die komplexen Zahlen sind [[w:de:Algebraisch abgeschlossen|algebraische abgeschlossenen]] in den komplexen Zahlen. Dies bedeutet, dass in &lt;math&gt;\mathbb C&lt;/math&gt; jede [[w:de:algebraische Gleichung|algebraische Gleichung]] positiven Grades über den komplexen Zahlen eine Lösung besitzt, was für reelle Zahlen nicht gilt. 
: &lt;math&gt;x^2 + 4 = 0&lt;/math&gt; hat keine Lösung in &lt;math&gt;\mathbb R&lt;/math&gt; und in &lt;math&gt;\mathbb C&lt;/math&gt; die Lösungsmenge &lt;math&gt;\mathbb L = \{+2\mathrm i, -2\mathrm i\} &lt;/math&gt;
(siehe [[w:de:Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatzes der Algebra]]).
[[Datei:Audio8 komplexe zahl ft.ogg|Fundamentalsatz der Algebra - 8]]

=== Trigonometrie und Exponentialfunktion ===
In &lt;math&gt; \mathbb{C} &lt;/math&gt; wird der Zusammenhang von [[w:de:Trigonometrische Funktion|trigonometrischen Funktionen]] und der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] deutlich 
:&lt;math&gt; \mathrm e^{\mathrm it} = \cos(t) + \mathrm i \cdot \sin(t) &lt;/math&gt; 
siehe [[w:de:Eulerformel|Eulerformel]].
[[Datei:Audio9 komplexe zahl ft.ogg|Trigonometrie und Exponentialfunktion - 9]]

=== Unterschied: komplexe und reelle Differenzierbarkeit ===
Jede auf einer [[w:de:Offene Menge|offenen Menge]] ''einmal'' [[w:de:Differenzierbarkeit#Komplexe Funktionen|komplex differenzierbare]] Funktion dort auch ''beliebig oft'' differenzierbar. In der [[w:de:Analysis|reellen Analysis]] ist die Funktion 
: &lt;math&gt; f(x)=x^2\cdot |x| &lt;/math&gt; 
nur 2x reell differenzierbar, während &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; mit dem Definitionsbereich &lt;math&gt;\mathbb C&lt;/math&gt; lediglich stetig ist und auf keiner Umgebung komplex differenzierbar ist.
[[Datei:Audio10 komplexe zahl ft.ogg|Unterschied: komplexe und reelle Differenzierbarkeit - 10]]

=== Teilmengenbeziehung zwischen reellen und komplexen Zahlen ===
Die reellen Zahlen lassen sich als Teilmenge der komplexen Zahlen im Sinne einer [[w:de:Menge (Mathematik)|Teilmengenbeziehung zwischen Zahlbereichen]]  auffassen. Dabei wird eine relle Zahl &lt;math&gt;x\in \mathbb R&lt;/math&gt; mit der komplexen Zahl &lt;math&gt;x + 0\mathrm i\in \mathbb C&lt;/math&gt; identifiziert. In der Gaußschen Zahlenebene entsprechen die rellen Zahlen den Punkten auf der &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;-Achse.
[[Datei:Audio11 komplexe zahl ft.ogg|Teilmengenbeziehung zwischen reellen und komplexen Zahlen - 11]]

== Komplexe Konjugation ==
Ändert man das [[w:de:Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] des Imaginärteils &lt;math&gt;b&lt;/math&gt; einer komplexen Zahl &lt;math&gt;z = a+b\,\mathrm{i},&lt;/math&gt; so erhält man die zu &lt;math&gt;z&lt;/math&gt; [[w:de:Konjugation (Mathematik)|konjugiert komplexe]] Zahl &lt;math&gt;\bar z=a-b\,\mathrm{i}&lt;/math&gt; .
[[Datei:Audio12 komplexe zahl ft.ogg|Komplexe Konjugation - 12]]

=== Rechenregeln Konjugation ===
Die Konjugation &lt;math&gt;\mathbb{C} \to \mathbb{C} ,\,z\mapsto \bar z&lt;/math&gt; ist ein [[w:de:Involution (Mathematik)|(involutorischer)]] Körperautomorphismus, da sie mit Addition und Multiplikation verträglich ist, d.&amp;nbsp;h., für alle &lt;math&gt;y,z\in \mathbb{C} &lt;/math&gt; gilt
: &lt;math&gt;\overline{y+z}=\bar y+\bar z,\quad \overline{y\cdot z}=\bar y\cdot \bar z.&lt;/math&gt;
[[Datei:Audio13 komplexe zahl ft.ogg|Rechenregeln Konjugation - 13]]

=== Geometrische Darstellung der Konjugation ===
In der Polardarstellung hat die konjugiert komplexe Zahl &lt;math&gt; \bar z &lt;/math&gt; einen unveränderten Abstand zum Koordinatenursprung (also &lt;math&gt; |\bar{z}| = |z| &lt;/math&gt;) und besitzt gerade den negativen Winkel von &lt;math&gt;z&lt;/math&gt;. Man kann die Konjugation in der komplexen Zahlenebene also als die ''Spiegelung an der reellen Achse'' interpretieren. Insbesondere werden unter der Konjugation genau die reellen Zahlen auf sich selbst abgebildet.
[[Datei:Audio14 komplexe zahl ft.ogg|Geometrische Darstellung der Konjugation - 14]]

=== Geometrische Darstellung der Konjugation ===
[[Datei:Komplexe konjugation.svg|mini|Konjugation in Gaußschen Zahlenebene]]
Eine komplexe Zahl &lt;math&gt;z = a+b\,\mathrm{i}&lt;/math&gt; und die zu ihr konjugiert komplexe Zahl &lt;math&gt;\bar z=a-b\,\mathrm{i}&lt;/math&gt;
[[Datei:Audio15 komplexe zahl ft.ogg|Geometrische Darstellung der Konjugation - 15]]

== Betrag ==
Der Betrag &lt;math&gt;|z|&lt;/math&gt; einer komplexen Zahl &lt;math&gt;z&lt;/math&gt; ist die [[w:de:Euklidischer Raum|Länge]] ihres Vektors in der [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|Gaußschen Zahlenebene]] und lässt sich z.&amp;nbsp;B. zu
:&lt;math&gt;|z| = \sqrt{a^2 + b^2}&lt;/math&gt;
aus ihrem Realteil &lt;math&gt;\operatorname{Re}(z)=a&lt;/math&gt; und Imaginärteil &lt;math&gt;\operatorname{Im}(z)=b&lt;/math&gt; berechnen. Als eine Länge ist der Betrag reell und nicht negativ.
[[Datei:Audio16 komplexe zahl ft.ogg|Betrag - 16]]

=== Beispiel: Betrag ===
: &lt;math&gt;|239+\mathrm i| = \sqrt{239^2+1^2} = \sqrt{57121+1} = \sqrt{57122} = 169\cdot\sqrt{2}&lt;/math&gt;
[[Datei:Audio17 komplexe zahl ft.ogg|Beispiel: Betrag 16]]

=== Pythagoras ===
Den reellen Betrag vom Realteil &lt;math&gt;a \in \mathbb{R}&lt;/math&gt; und Imaginärteil &lt;math&gt;b \in \mathbb{R}&lt;/math&gt; kann man als Länge der Katheten in einem [[w:de:Rechtwinkliges_Dreieck|rechtwinkligen Dreieck]] mit Hypotenusenlänge &lt;math&gt;c=|z|&lt;/math&gt; auffassen.
:&lt;math&gt;|z| = \sqrt{a^2 + b^2}&lt;/math&gt;
[[Datei:Audio18 komplexe zahl ft.ogg|Pythagoras - 18]]

== Eigenschaften ==
In &lt;math&gt;(\mathbb{C},+,\cdot)&lt;/math&gt; gelten die folgenden Eigenschaften:
* '''(AG/KG)''' Das [[w:de:Assoziativgesetz|Assoziativgesetz]] und das [[w:de:Kommutativgesetz|Kommutativgesetz]] gelten für die Addition und die Multiplikation komplexer Zahlen.
* '''(DG)''' Das [[w:de:Distributivgesetz|Distributivgesetz]] gilt.
* '''(NE)''' O und 1 sind die neutralen Elemente der Addition bzw. der Multiplikation.
* '''(IE&lt;math&gt;+&lt;/math&gt;)''' Für jede komplexe Zahl &lt;math&gt;z&lt;/math&gt; existiert eine komplexe Zahl &lt;math&gt;-z&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;z+(-z)=0&lt;/math&gt;.
* '''(IE&lt;math&gt;\cdot&lt;/math&gt;)''' Für jede von null verschiedene komplexe Zahl &lt;math&gt;z&lt;/math&gt; existiert eine komplexe Zahl &lt;math&gt;z^{-1}&lt;/math&gt;  mit &lt;math&gt;z\cdot z^{-1}=1&lt;/math&gt;.
[[Datei:Audio19 komplexe zahl ft.ogg|Eigenschaften - 19]]

== Rechnen in der algebraischen Form ==
Die algebraischen Eigenschaften ergeben sich unmittelbar aus der Definition der beiden Verknüpfungen.
[[Datei:Audio20 komplexe zahl ft.ogg|Rechnen in der algebraischen Form - 20]]

=== Addition ===
Für die Addition zweier komplexer Zahlen &lt;math&gt;z_1=a+b\,\mathrm i&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;a,b \in \mathbb{R}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;z_2=c+d\,\mathrm i&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;c,d \in \mathbb{R}&lt;/math&gt; gilt
:&lt;math&gt;z_1+z_2=(a+c)+(b+d)\,\mathrm i.&lt;/math&gt;
[[Datei:Audio21 komplexe zahl ft.ogg|Addition - 21]]

=== Vektorielle Veranschaulichung Addition ===
[[Datei:Komplexe addition.svg|mini|hochkant=1.25|Die Addition zweier komplexer Zahlen in der komplexen Ebene veranschaulicht]]
[[Datei:Audio22 komplexe zahl ft.ogg|Vektorielle Veranschaulichung Addition - 22]]

=== Subtraktion ===
Für die Subtraktion zweier komplexer Zahlen &lt;math&gt;z_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;z_2&lt;/math&gt; (siehe Addition) gilt
:&lt;math&gt;z_1-z_2=(a-c)+(b-d)\,\mathrm i.&lt;/math&gt;
[[Datei:Audio23 komplexe zahl ft.ogg|Subtraktion - 23]]

=== Multiplikation ===
Für die Multiplikation zweier komplexer Zahlen &lt;math&gt;z_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;z_2&lt;/math&gt; (siehe Addition) gilt
:&lt;math&gt;z_1\cdot z_2=(ac+bd\,\mathrm i^2)+(ad+bc)\,\mathrm i=(ac-bd)+(ad+bc)\,\mathrm i.&lt;/math&gt;
[[Datei:Audio24 komplexe zahl ft.ogg|Multiplikation - 24]]

=== Division ===
Für die Division der komplexen Zahl &lt;math&gt;z_1&lt;/math&gt; durch die komplexe Zahl &lt;math&gt;z_2&lt;/math&gt; (siehe Addition) mit &lt;math&gt;z_2\neq 0&lt;/math&gt; [[w:de:Kürzen|erweitert]] man den Bruch mit der zum Nenner &lt;math&gt;z_2&lt;/math&gt; [[w:de:#Komplexe Konjugation|konjugiert komplexen]] Zahl &lt;math&gt;\bar z_2=c-d\,\mathrm i&lt;/math&gt;. Der Nenner wird dadurch reell (und ist gerade das Quadrat des Betrages von &lt;math&gt;c+d\,\mathrm i&lt;/math&gt;):
: &lt;math&gt;\frac{z_1}{z_2} = \frac{(a+b\,\mathrm i)(c-d\,\mathrm i)}{(c+d\,\mathrm i)(c-d\,\mathrm i)} = \frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{bc-ad}{c^2+d^2}\mathrm i.&lt;/math&gt;
[[Datei:Audio25 komplexe zahl ft.ogg|Division - 25]]

=== Rechenbeispiel Addition: ===
: &lt;math&gt;(3+2\mathrm i) + (5+5\mathrm i) = (3+5) + (2+5)\mathrm i = 8 + 7\mathrm i&lt;/math&gt;
[[Datei:Audio26 komplexe zahl ft.ogg|Rechenbeispiel Addition - 26]]

=== Rechenbeispiel Subtraktion: ===

: &lt;math&gt;(5+5\mathrm i) - (3+2\mathrm i) = (5-3) + (5-2)\mathrm i = 2 + 3\mathrm i&lt;/math&gt;
[[Datei:Audio27 komplexe zahl ft.ogg|Rechenbeispiel Subtraktion - 27]]

=== Rechenbeispiel Multiplikation: ===

: &lt;math&gt;(3+5\mathrm i) \cdot (4+11\mathrm i) = (3\cdot 4 - 5\cdot 11)+(3\cdot 11 + 5\cdot 4)\mathrm i = -43 + 53\mathrm i&lt;/math&gt;
[[Datei:Audio28 komplexe zahl ft.ogg|Rechenbeispiel Multiplikation - 28]]

=== Rechenbeispiel Division: ===
: &lt;math&gt;{\frac{(2+5\mathrm{i})}{(3+7\mathrm{i})} = \frac{(2+5\mathrm{i})}{(3+7\mathrm{i})} \cdot \frac{(3-7\mathrm{i})}{(3-7\mathrm{i})} } = &lt;/math&gt;
: &lt;math&gt; = { \frac{(6 + 35) + (15\mathrm{i}-14\mathrm{i})}{(9 + 49) + (21\mathrm{i}-21\mathrm{i})} = \frac{41+\mathrm{i}}{58} = \frac{41}{58} + \frac{1}{58}\cdot\mathrm{i}}&lt;/math&gt;
[[Datei:Audio29 komplexe zahl ft.ogg|Rechenbeispiel Division - 29]]

=== Aufgabe ===
* Sei &lt;math&gt;z=z_1 + \mathrm iz_2 \in \mathbb{C} \setminus \{0\}&lt;/math&gt; gegeben. Lösen Sie das Gleichungssystem:
:: &lt;math&gt;z\cdot x = 1 = 1 +0\mathrm i&lt;/math&gt; 
: mit &lt;math&gt;x= x_1 + \mathrm{i}x_2 \in \mathbb{C}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;x_1 , x_2 \in \mathbb{R}&lt;/math&gt;
* Zwei komplexe Zahl sind gleich, wenn diese bzgl. Realteil und Imaginärteil übereinstimmen. Dadurch entsteht ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und den beiden Unbekannten &lt;math&gt;x_1 , x_2 \in \mathbb{R}&lt;/math&gt;
[[Datei:Audio30 komplexe zahl ft.ogg|Aufgabe 30]]

=== Komplexe Zahlen als reeller Vektorraum ===
Der Körper &lt;math&gt; \mathbb{C} &lt;/math&gt; der komplexen Zahlen ist einerseits ein Oberkörper von &lt;math&gt; \mathbb{R}&lt;/math&gt;, andererseits ein zweidimensionaler &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;-[[w:de:Vektorraum|Vektorraum]]. Der [[w:de:Isomorphismus|Isomorphismus]] &lt;math&gt; \mathbb{C}  \cong \mathbb{R}^2&lt;/math&gt; wird auch als [[w:de:natürliche Identifikation|natürliche Identifikation]] bezeichnet. In der Regel nutzt man dies auch, um &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt; formell als &lt;math&gt;\mathbb{R}^2&lt;/math&gt; mit der entsprechenden komplexen Multiplikation zu ''definieren'' und dann &lt;math&gt;\mathrm{i} := (0,1)^\mathrm{T}&lt;/math&gt; zu setzen. Dabei hat die Gleichung &lt;math&gt;z^2=-1&lt;/math&gt; in den komplexen Zahlen zwei Lösungen. Dabei kann die Wurzel als Abbildung aber einen definierten Wert (wie in der reellen Analysis) besitzen &lt;math&gt;\sqrt{-1} = + \mathrm{i}&lt;/math&gt;.

[[Datei:Audio31 komplexe zahl ft.ogg|Komplexe Zahlen als reeller Vektorraum 31]]

=== Basis des Vektorraumes  ===
Als &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;-Vektorraum besitzt &lt;math&gt; \mathbb{C} &lt;/math&gt; die Basis &lt;math&gt;\{1, \mathrm{i}\}&lt;/math&gt;. Daneben ist &lt;math&gt; \mathbb{C} &lt;/math&gt; wie jeder Körper auch ein Vektorraum über sich selbst, also ein eindimensionaler &lt;math&gt; \mathbb{C} &lt;/math&gt;-Vektorraum mit Basis &lt;math&gt;\{1\}&lt;/math&gt;.
[[Datei:Audio32 komplexe zahl ft.ogg|Basis des Vektorraumes - 32]]

=== Keine Ordnungsrelation in komplexen Zahlen === 
&lt;math&gt; \mathbb{C} &lt;/math&gt; ist im Gegensatz zu &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; kein [[w:de:geordneter Körper|geordneter Körper]], d. h., es gibt keine mit der Körperstruktur verträgliche lineare Ordnungsrelation auf &lt;math&gt; \mathbb{C} &lt;/math&gt;. Von zwei unterschiedlichen komplexen Zahlen kann man daher nicht sinnvoll (bezogen auf die Addition und Multiplikation in &lt;math&gt; \mathbb{C} &lt;/math&gt;) festlegen, welche von beiden die größere bzw. die kleinere Zahl ist.

[[Datei:Audio32a komplexe zahl ft.ogg|Keine Ordnungsrelation in komplexen Zahlen - 32a]]

== Zusammenhang Darstellungsformen ==
[[Datei:Komplexe zahlenebene.svg|mini|hochkant=1.25|Gaußsche Ebene mit einer komplexen Zahl in kartesischen Koordinaten (a,b) und in Polarkoordinaten (r,φ)]]
[[Datei:Audio33 komplexe zahl ft.ogg|Zusammenhang Darstellungsformen - 33]]

=== Algebraische Form - Polarform ===
Während sich die Menge &lt;math&gt;\mathbb R&lt;/math&gt; der [[w:de:Reelle Zahlen|reellen Zahlen]] durch Punkte auf einer [[w:de:Zahlengerade|Zahlengerade]]n veranschaulichen lässt, kann man die Menge &lt;math&gt; \mathbb{C} &lt;/math&gt; der komplexen Zahlen als Punkte in einer Ebene (komplexe Ebene, gaußsche Zahlenebene) darstellen. Dies entspricht der „doppelten Natur“ von &lt;math&gt; \mathbb{C} &lt;/math&gt; als zweidimensionalem reellem Vektorraum.
[[Datei:Audio34 komplexe zahl ft.ogg|Algebraische Form - Polarform - 34]]

=== Punkte - Vektoren ===
Gemäß Definition entspricht die Addition komplexer Zahlen der Vektoraddition, wobei man die Punkte in der Zahlenebene mit ihren [[w:de:Ortsvektor|Ortsvektor]]en identifiziert. Die Multiplikation ist in der gaußschen Ebene eine [[w:de:Drehstreckung|Drehstreckung]], was nach Einführung der Polarform weiter unten klarer werden wird (siehe [https://www.geogebra.org/m/ETug55x4 Geogebra-Beispiel]).
[[Datei:Audio35 komplexe zahl ft.ogg|Punkte - Vektoren - 35]]

=== Umrechnungsformeln: algebraische Form in die Polarform ===
Für &lt;math&gt;z=a+b\,\mathrm{i}&lt;/math&gt; in algebraischer Form ist
:&lt;math&gt;r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}=\sqrt{z \cdot \overline z}.&lt;/math&gt;
Für &lt;math&gt;z = 0&lt;/math&gt; kann das Argument mit 0 definiert werden, bleibt aber meist undefiniert. Für &lt;math&gt;z \neq 0&lt;/math&gt; kann das Argument &lt;math&gt;\varphi&lt;/math&gt; im Intervall &lt;math&gt;(-\pi;\pi]&lt;/math&gt; mit Hilfe einer trigonometrischen Umkehrfunktion, bspw. mit Hilfe des [[w:de:Arkuskosinus|Arkuskosinus]]
:&lt;math&gt;\varphi=\arg(z)=\begin{cases} \arccos\frac{a}{r}&amp;\mathrm{f\ddot ur}\ b\geq 0\\-\arccos\frac{a}{r}&amp;\text{sonst} \end{cases} &lt;/math&gt;
ermittelt werden.
[[Datei:Audio36 komplexe zahl ft.ogg|Umrechnungsformeln: algebraische Form in die Polarform - 36]]

=== Umrechnungsformeln: Polarform in die algebraische Form ===
: &lt;math&gt;a = \mathfrak{Re}(z) = r \cdot \cos\varphi&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;b = \mathfrak{Im}(z) = r \cdot \sin\varphi&lt;/math&gt;
Wie weiter oben stellt &lt;math&gt;a\in \mathbb{R}&lt;/math&gt; den Realteil und &lt;math&gt;b\in \mathbb{R}&lt;/math&gt; den Imaginärteil jener komplexen Zahl &lt;math&gt;z = a+ib \in \mathbb{C}&lt;/math&gt; dar.
[[Datei:Audio37 komplexe zahl ft.ogg|Umrechnungsformeln: Polarform in die algebraische Form - 37]]

=== Arithmetische Operationen in der Polarform ===
Durch arithmetische Operationen sind folgende Operanden miteinander zu verknüpfen:
:&lt;math&gt;z_1=r\cdot (\cos \varphi + \mathrm{i}\cdot\sin \varphi) = r\cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;z_2=s\cdot (\cos \psi    + \mathrm{i}\cdot\sin \psi)    = s\cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}\psi}&lt;/math&gt;

Bei der Multiplikation werden die Beträge &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;s&lt;/math&gt; miteinander multipliziert und die zugehörigen Phasen &lt;math&gt;\varphi&lt;/math&gt; bzw. &lt;math&gt;\psi&lt;/math&gt; addiert. Bei der Division wird der Betrag des [[w:de:Dividend|Dividend]]en durch den Betrag des [[w:de:Division (Mathematik)|Divisors]] geteilt und die Phase des Divisors von der Phase des Dividenden subtrahiert. Für die Addition und die Subtraktion existiert auch eine, etwas kompliziertere, Formel:
[[Datei:Audio38 komplexe zahl ft.ogg|Arithmetische Operationen in der Polarform - 38]]

==== Trigonometrische Form - Multiplikation ====
[[Datei:Komplexe multiplikation.svg|mini|hochkant=1.25|Die Multiplikation von zwei komplexen Zahlen entspricht dem Addieren der Winkel und dem Multiplizieren der Beträge.]]
: &lt;math&gt;{z_1 \cdot z_2 = r \cdot s \cdot \left( \cos (\varphi+\psi) + \mathrm{i} \cdot \sin (\varphi+\psi) \right) }&lt;/math&gt;
[[Datei:Audio39 komplexe zahl ft.ogg|Trigonometrische Form - Multiplikation - 39]]

==== Trigonometrische Form - Division ====
: &lt;math&gt;\frac{z_1}{z_2} = \frac{r}{s} \cdot \left[ \cos (\varphi-\psi) + \mathrm{i} \cdot \sin (\varphi-\psi) \right]&lt;/math&gt;

[[Datei:Komplexe division.svg|mini|hochkant=1.25|Die Division von zwei komplexen Zahlen entspricht dem Subtrahieren der Winkel und dem Dividieren der Beträge.]]
[[Datei:Audio40 komplexe zahl ft.ogg|Trigonometrische Form - Division - 40]]

==== Exponentialform ====
* &lt;math&gt;z_1 \cdot z_2 = r \cdot s \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\varphi+\psi)}&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\frac{z_1}{z_2} = \frac{r}{s} \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\varphi-\psi)}&lt;/math&gt;
[[Datei:Audio41 komplexe zahl ft.ogg|Exponentialform - 41]]

== Realteil- und Imaginärteilfunktion ==
Sei &lt;math&gt;f:V\to\mathbb{C}&lt;/math&gt; so definiert man die Realteilfunktion und Imaginärteilfunktion als reellwertige Abbildung wie folgt.
* &lt;math&gt;g:V\to\mathbb{R}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;g(z):=\mathfrak{Re}(f(z))&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;h:V\to\mathbb{R}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;h(z):=\mathfrak{Im}(f(z))&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;f(z)=g(z)+i\cdot h(z)&lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt;z\in V&lt;/math&gt;
(siehe auch [[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]])

== Geschichte ==
Der Begriff „komplexe Zahlen“ wurde von [[w:de:Carl Friedrich Gauß|Carl Friedrich Gauß]] (''Theoria residuorum biquadraticorum,'' 1831) eingeführt, der Ursprung der Theorie der komplexen Zahlen geht auf die italienischen Mathematiker [[w:de:Gerolamo Cardano|Gerolamo Cardano]] (''Ars magna,'' Nürnberg 1545) und [[w:de:Rafael Bombelli|Rafael Bombelli]] (''L’Algebra,'' Bologna 1572; wahrscheinlich zwischen 1557 und 1560 geschrieben) zurück.&lt;ref&gt;{{Literatur |Autor=[[w:de:Helmuth Gericke|Helmuth Gericke]] |Titel=Geschichte des Zahlbegriffs |Verlag=Bibliographisches Institut |Ort=Mannheim |Datum=1970 |Seiten=57–67}}&lt;/ref&gt;
[[Datei:Audio42 komplexe zahl ft.ogg|Geschichte - 42]]

== Literatur ==
* Paul Nahin: ''An imaginary tale. The story of &lt;math&gt;\sqrt {-1}&lt;/math&gt;.'' Princeton University Press, 1998.
* Reinhold Remmert: ''Komplexe Zahlen.'' In D. Ebbinghaus u. a. (Hrsg.): ''Zahlen.'' Springer, 1983.

== Siehe auch ==
* [[Maxima CAS/Komplexe Zahlen]]
* [[Kurs:Mathematik der Quantenmechanik/Komplexe_Zahlen|Komplexe Zahl - Kurzfassung]] im [[Kurs:Mathematik der Quantenmechanik]]
* [[Quaternion]]
* [[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]]
* [[w:de:Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatz der Algebra]]
* [[w:de:Konjugation (Mathematik)|Konjugation in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt;]]
* [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] und [[w:de:Isomorphismus|Isomorphie]] für den Bezug zwischen &lt;math&gt;\mathbb{R}^2&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt;.
* [[Kurs:Funktionentheorie]]
* [[Kurs:Funktionalanalysis/Hahn-Banach - komplexer Fall]]
* [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]]

== Wiki2Reveal ==
* '''[[Zahlbereichserweiterung|Zahlbereichserweiterung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&amp;title=Zahlbereichserweiterung&amp;author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&amp;language=de&amp;audioslide=yes&amp;shorttitle=Zahlbereichserweiterung&amp;coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]]

== Verwandte Themen ==
* [[w:de:Gaußsche Zahlen|Gaußsche Zahlen]] und [[w:de:Eisenstein-Zahlen|Eisenstein-Zahlen]] sind eine Verallgemeinerung der ganzen Zahlen auf die komplexen Zahlen.
* [[w:de:Hyperkomplexe Zahlen|Hyperkomplexe Zahlen]] verallgemeinern die algebraische Struktur der komplexen Zahlen.
* [[w:de:Komplexwertige Funktion|Komplexwertige Funktion]]en bilden komplexe Zahlen auf komplexe Zahlen ab.

== Literaturquellen ==
&lt;references/&gt;


== Seiteninformation ==
Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&amp;title=Komplexe_Zahl&amp;author=Funktionentheorie&amp;language=de&amp;audioslide=yes&amp;shorttitle=Komplexe%20Zahl&amp;coursetitle= Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen.

=== Wiki2Reveal ===

Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&amp;title=Komplexe_Zahl&amp;author=Funktionentheorie&amp;language=de&amp;audioslide=yes&amp;shorttitle=Komplexe%20Zahl&amp;coursetitle= Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Funktionentheorie Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem  [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt.
&lt;!--
* Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten:
** [https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe_Zahl https://de.wikiversity.org/wiki/Komplexe_Zahl]
--&gt;
* [https://de.wikiversity.org/wiki/Komplexe_Zahl Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt.
* Link zur Quelle in  Wikiversity:  https://de.wikiversity.org/wiki/Komplexe_Zahl
* siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&amp;title=Komplexe_Zahl&amp;author=Funktionentheorie&amp;language=de&amp;audioslide=yes&amp;shorttitle=Komplexe%20Zahl&amp;coursetitle= Wiki2Reveal-Linkgenerator].
&lt;!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --&gt;;

=== Wikipedia2Wikiversity ===
Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe%20Zahl Wikipedia-Quelle] erstellt:
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe%20Zahl Komplexe Zahl] https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe%20Zahl
* Datum: 16.10.2019
* [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity


[[Category:Wiki2Reveal]]


[[Category:Wiki2Reveal]]
[[Kategorie:Zahl]]
&lt;noinclude&gt;[[en:Complex numbers]]&lt;/noinclude&gt;</text>
      <sha1>7iyoweak38igbtn5ugj61q6ai1iv1w2</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>1115950</id>
      <parentid>1115941</parentid>
      <timestamp>2026-10-13T08:17:38Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bert Niehaus</username>
        <id>20843</id>
      </contributor>
      <comment>/* Orbitdarstellung von algebraischen Operationen */</comment>
      <origin>1115950</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="26386" sha1="bhjvcz2vqbc8e1etl0q7s4xrxtyf6s8" xml:space="preserve">== Erweiterung des Zahlbereiches ==
Die '''komplexen Zahlen''' &lt;math&gt;\mathbb C&lt;/math&gt; erweitern den [[w:de:Zahlenmenge|Zahlenbereich]] der [[w:de:Reelle Zahl|reellen Zahlen]] derart, dass die Gleichung &lt;math&gt;x^2 = -1&lt;/math&gt; lösbar wird, die in &lt;math&gt;\mathbb R&lt;/math&gt; nicht lösbar ist, da &lt;math&gt;x^2 \geq 0&lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt;x \in \mathbb R&lt;/math&gt; gilt.
Die Lösbarkeit gelingt durch Einführung einer neuen [[w:de:Imaginäre Zahl|imaginären Zahl]] &lt;math&gt;\mathrm i&lt;/math&gt; mit der Eigenschaft &lt;math&gt;\mathrm i^2 = -1&lt;/math&gt;. Diese Zahl &lt;math&gt;\mathrm i&lt;/math&gt; wird als '''imaginäre Einheit''' bezeichnet.
[[Datei:Audio0 komplexe zahl ft.ogg|Erweiterung des Zahlbereiches - 0]]

== Darstellung komplexer Zahlen ==
Komplexe Zahlen können in der Form &lt;math&gt;z=x+y\cdot \mathrm i&lt;/math&gt; dargestellt werden, wobei &lt;math&gt;x,y\in \mathbb R&lt;/math&gt; jeweils reelle Zahlen sind und &lt;math&gt;\mathrm i&lt;/math&gt; die imaginäre Einheit ist. Durch die Identifikation mit einem Vektor &lt;math&gt;(x,y) \in \mathbb{R}^2&lt;/math&gt; kann man komplexe Zahlen in einem Koordinatensystem (Gaußsche Zahlenebene) darstellen.
[[Datei:Audio1 komplexe zahl ft.ogg|Darstellung komplexer Zahlen - 1]]

== Realteil und Imaginärteil ==
Die reellwertigen [[w:de:Koeffizient|Koeffizienten]] &lt;math&gt;x, y&lt;/math&gt; werden als '''Real-''' bzw. '''Imaginärteil''' von &lt;math&gt;z=x + y\,\mathrm i&lt;/math&gt; bezeichnet. 
* &lt;math&gt;x = \operatorname{Re}(z) = \operatorname{Re}(x + y\,\mathrm i)&lt;/math&gt; und 
* &lt;math&gt;y = \operatorname{Im}(z) =  \operatorname{Im}(x + y\,\mathrm i)&lt;/math&gt;
[[Datei:Audio2 komplexe zahl ft.ogg|Realteil und Imaginärteil - 2]]

== Gaußsche Zahlenebene ==

[[Datei:2D Cartesian.svg|mini|Kartesische Koordinatensystem]]

== Polarkoordinaten ==

Verwendet man anstelle der kartesischen Koordinaten &lt;math&gt;a = \operatorname{Re}(z)&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;b = \operatorname{Im}(z)&lt;/math&gt; [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinaten]] &lt;math&gt;r = |z|&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\varphi = \arg(z)&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;\arg&lt;/math&gt; als der ''Argument''-Funktion, kann man die komplexe Zahl &lt;math&gt;z=a+b\,\mathrm{i}&lt;/math&gt; auch in der folgenden, auf der [[w:de:Eulersche Relation|eulerschen Relation]] beruhenden sogenannten ''Polarform'' (auch ''Polardarstellung'')&lt;ref&gt;{{Literatur |Autor=Ehrhard Behrends |Titel=Analysis Band 1 |Verlag=Springer Spektrum - ISBN: 978-3-658-07122-6 |Ort=Wiesbaden |Datum=2015 |Auflage=6 |DOI=10.1007/978-3-658-07123-3}}&lt;/ref&gt;
:&lt;math&gt;z = r \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi} = r \cdot (\cos \varphi + \mathrm{i} \cdot \sin \varphi)&lt;/math&gt;
darstellen, die sich aus &lt;math&gt;a = r \cdot \cos \varphi&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;b = r \cdot \sin \varphi&lt;/math&gt; ergibt.

  [[Datei:Audio4 komplexe zahl ft.ogg|Polarkoordinaten - 4]]

=== Darstellung Polarkoordinaten ===

[[Datei:Polarkoordinaten.svg|mini|Polarkoordinaten und kartesisches Koordinatensystem]]

[[Datei:Audio5 komplexe zahl ft.ogg|Darstellung Polarkoordinaten - 5]]

=== e-Funktion und Trigonometrie ===
Die Darstellung mit Hilfe der komplexen [[w:de:e-Funktion|e-Funktion]] &lt;math&gt;r \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}&lt;/math&gt; heißt dabei auch Exponentialdarstellung (der Polarform), die Darstellung mittels des Ausdrucks &lt;math&gt;r \cdot (\cos \varphi + \mathrm{i} \cdot \sin \varphi)&lt;/math&gt; trigonometrische Darstellung (der Polarform).
[[Datei:Audio6 komplexe zahl ft.ogg|e-Funktion und Trigonometrie - 6]]

&lt;span id=&quot;Orbitdarstellung&quot;&gt;&lt;/span&gt;
=== Orbitdarstellung von algebraischen Operationen ===
Die folgenden Abbildung zeigt einen [[Integrationsweg]] 
:&lt;math&gt;\gamma(t) = \underbrace{\underbrace{z_0 + r_1\cdot e^{v_1\cdot t+ t_1}}_{=z_1} + r_2\cdot e^{v_2\cdot t+ t_2}}_{=z_2} ,&lt;/math&gt;
wobei &lt;math&gt;r_1,r_2 &gt; 0&lt;/math&gt; die Radien der Kreise sind, &lt;math&gt;v_1,v_2 \in \mathbb{R}&lt;/math&gt; Winkelgeschwindigkeiten und
* &lt;math&gt;s_0\in \mathbb{C}&lt;/math&gt; der Mittelpunkte des Orbits 1. Ordnung ist (vgl. &quot;Position der Sonne&quot;),
* &lt;math&gt;z_1\in \mathbb{C}&lt;/math&gt; der Punkt der sich mit der Winkelgeschwindigkeit &lt;math&gt;v_1&lt;/math&gt; (vgl. &quot;Position der Erde&quot;),
* &lt;math&gt;\gamma(t) = z_2\in \mathbb{C}&lt;/math&gt; ist der Punkt, der sich mit der Winkelgeschwindigkeit &lt;math&gt;v_2&lt;/math&gt; und Radius &lt;math&gt;r_2&lt;/math&gt; um den Mittelpunkte &lt;math&gt;z_1&lt;/math&gt; des Orbits 1. Ordnung dreht (vgl. &quot;Bewegung des Mondes um die Erde&quot;).

=== Animation für die Orbitdarstellung ===
Die Spur des Weges &lt;math&gt;\gamma&lt;/math&gt; ist in rot markiert und definiert Bahn von &lt;math&gt;\gamma(t)&lt;/math&gt; in der komplexen Zahlenebene (siehe auch [[Orbitdarstellung von Polynomen]]).

[[File:Orbit representation of operations in the complex numbers.gif|450px|center|Orbit representation of operations in the complex numbers - Orbit3 v2 - Geogebra GIF animation]]

=== Bemerkung - Orbits - Sonnensystem ===
In einer Lehrveranstaltung kann man den Begriff des Orbits mit mit der Bewegung der Erde um die Sonne und der Bewegung des Mondes um die Erde motivieren. Man sollte allerdings ergänzen, dass die tatsächlichen Orbites von Himmelskörper sich nicht auf idealisierten Kreisbahnen bewegen, sondern sich die Bahnen u.a. durch Gravitation beeinflussen (siehe [[w:de:Merkur (Planet)|Merkurperihel]] und [[w:de:Allgemeine Relativitätstheorie|Allgemeine Relativitätstheorie]])

== Eigenschaften ==
Der konstruierte Zahlenbereich der komplexen Zahlen bildet einen [[w:de:Körpererweiterung|Erweiterungskörper]] der reellen Zahlen und hat eine Reihe vorteilhafter Eigenschaften, die in &lt;math&gt;\mathbb R&lt;/math&gt; nicht gelten: 
[[Datei:Audio7 komplexe zahl ft.ogg|Eigenschaften - 7]]

=== Fundamentalsatz der Algebra ===

Die komplexen Zahlen sind [[w:de:Algebraisch abgeschlossen|algebraische abgeschlossenen]] in den komplexen Zahlen. Dies bedeutet, dass in &lt;math&gt;\mathbb C&lt;/math&gt; jede [[w:de:algebraische Gleichung|algebraische Gleichung]] positiven Grades über den komplexen Zahlen eine Lösung besitzt, was für reelle Zahlen nicht gilt. 
: &lt;math&gt;x^2 + 4 = 0&lt;/math&gt; hat keine Lösung in &lt;math&gt;\mathbb R&lt;/math&gt; und in &lt;math&gt;\mathbb C&lt;/math&gt; die Lösungsmenge &lt;math&gt;\mathbb L = \{+2\mathrm i, -2\mathrm i\} &lt;/math&gt;
(siehe [[w:de:Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatzes der Algebra]]).
[[Datei:Audio8 komplexe zahl ft.ogg|Fundamentalsatz der Algebra - 8]]

=== Trigonometrie und Exponentialfunktion ===
In &lt;math&gt; \mathbb{C} &lt;/math&gt; wird der Zusammenhang von [[w:de:Trigonometrische Funktion|trigonometrischen Funktionen]] und der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] deutlich 
:&lt;math&gt; \mathrm e^{\mathrm it} = \cos(t) + \mathrm i \cdot \sin(t) &lt;/math&gt; 
siehe [[w:de:Eulerformel|Eulerformel]].
[[Datei:Audio9 komplexe zahl ft.ogg|Trigonometrie und Exponentialfunktion - 9]]

=== Unterschied: komplexe und reelle Differenzierbarkeit ===
Jede auf einer [[w:de:Offene Menge|offenen Menge]] ''einmal'' [[w:de:Differenzierbarkeit#Komplexe Funktionen|komplex differenzierbare]] Funktion dort auch ''beliebig oft'' differenzierbar. In der [[w:de:Analysis|reellen Analysis]] ist die Funktion 
: &lt;math&gt; f(x)=x^2\cdot |x| &lt;/math&gt; 
nur 2x reell differenzierbar, während &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; mit dem Definitionsbereich &lt;math&gt;\mathbb C&lt;/math&gt; lediglich stetig ist und auf keiner Umgebung komplex differenzierbar ist.
[[Datei:Audio10 komplexe zahl ft.ogg|Unterschied: komplexe und reelle Differenzierbarkeit - 10]]

=== Teilmengenbeziehung zwischen reellen und komplexen Zahlen ===
Die reellen Zahlen lassen sich als Teilmenge der komplexen Zahlen im Sinne einer [[w:de:Menge (Mathematik)|Teilmengenbeziehung zwischen Zahlbereichen]]  auffassen. Dabei wird eine relle Zahl &lt;math&gt;x\in \mathbb R&lt;/math&gt; mit der komplexen Zahl &lt;math&gt;x + 0\mathrm i\in \mathbb C&lt;/math&gt; identifiziert. In der Gaußschen Zahlenebene entsprechen die rellen Zahlen den Punkten auf der &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;-Achse.
[[Datei:Audio11 komplexe zahl ft.ogg|Teilmengenbeziehung zwischen reellen und komplexen Zahlen - 11]]

== Komplexe Konjugation ==
Ändert man das [[w:de:Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] des Imaginärteils &lt;math&gt;b&lt;/math&gt; einer komplexen Zahl &lt;math&gt;z = a+b\,\mathrm{i},&lt;/math&gt; so erhält man die zu &lt;math&gt;z&lt;/math&gt; [[w:de:Konjugation (Mathematik)|konjugiert komplexe]] Zahl &lt;math&gt;\bar z=a-b\,\mathrm{i}&lt;/math&gt; .
[[Datei:Audio12 komplexe zahl ft.ogg|Komplexe Konjugation - 12]]

=== Rechenregeln Konjugation ===
Die Konjugation &lt;math&gt;\mathbb{C} \to \mathbb{C} ,\,z\mapsto \bar z&lt;/math&gt; ist ein [[w:de:Involution (Mathematik)|(involutorischer)]] Körperautomorphismus, da sie mit Addition und Multiplikation verträglich ist, d.&amp;nbsp;h., für alle &lt;math&gt;y,z\in \mathbb{C} &lt;/math&gt; gilt
: &lt;math&gt;\overline{y+z}=\bar y+\bar z,\quad \overline{y\cdot z}=\bar y\cdot \bar z.&lt;/math&gt;
[[Datei:Audio13 komplexe zahl ft.ogg|Rechenregeln Konjugation - 13]]

=== Geometrische Darstellung der Konjugation ===
In der Polardarstellung hat die konjugiert komplexe Zahl &lt;math&gt; \bar z &lt;/math&gt; einen unveränderten Abstand zum Koordinatenursprung (also &lt;math&gt; |\bar{z}| = |z| &lt;/math&gt;) und besitzt gerade den negativen Winkel von &lt;math&gt;z&lt;/math&gt;. Man kann die Konjugation in der komplexen Zahlenebene also als die ''Spiegelung an der reellen Achse'' interpretieren. Insbesondere werden unter der Konjugation genau die reellen Zahlen auf sich selbst abgebildet.
[[Datei:Audio14 komplexe zahl ft.ogg|Geometrische Darstellung der Konjugation - 14]]

=== Geometrische Darstellung der Konjugation ===
[[Datei:Komplexe konjugation.svg|mini|Konjugation in Gaußschen Zahlenebene]]
Eine komplexe Zahl &lt;math&gt;z = a+b\,\mathrm{i}&lt;/math&gt; und die zu ihr konjugiert komplexe Zahl &lt;math&gt;\bar z=a-b\,\mathrm{i}&lt;/math&gt;
[[Datei:Audio15 komplexe zahl ft.ogg|Geometrische Darstellung der Konjugation - 15]]

== Betrag ==
Der Betrag &lt;math&gt;|z|&lt;/math&gt; einer komplexen Zahl &lt;math&gt;z&lt;/math&gt; ist die [[w:de:Euklidischer Raum|Länge]] ihres Vektors in der [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|Gaußschen Zahlenebene]] und lässt sich z.&amp;nbsp;B. zu
:&lt;math&gt;|z| = \sqrt{a^2 + b^2}&lt;/math&gt;
aus ihrem Realteil &lt;math&gt;\operatorname{Re}(z)=a&lt;/math&gt; und Imaginärteil &lt;math&gt;\operatorname{Im}(z)=b&lt;/math&gt; berechnen. Als eine Länge ist der Betrag reell und nicht negativ.
[[Datei:Audio16 komplexe zahl ft.ogg|Betrag - 16]]

=== Beispiel: Betrag ===
: &lt;math&gt;|239+\mathrm i| = \sqrt{239^2+1^2} = \sqrt{57121+1} = \sqrt{57122} = 169\cdot\sqrt{2}&lt;/math&gt;
[[Datei:Audio17 komplexe zahl ft.ogg|Beispiel: Betrag 16]]

=== Pythagoras ===
Den reellen Betrag vom Realteil &lt;math&gt;a \in \mathbb{R}&lt;/math&gt; und Imaginärteil &lt;math&gt;b \in \mathbb{R}&lt;/math&gt; kann man als Länge der Katheten in einem [[w:de:Rechtwinkliges_Dreieck|rechtwinkligen Dreieck]] mit Hypotenusenlänge &lt;math&gt;c=|z|&lt;/math&gt; auffassen.
:&lt;math&gt;|z| = \sqrt{a^2 + b^2}&lt;/math&gt;
[[Datei:Audio18 komplexe zahl ft.ogg|Pythagoras - 18]]

== Eigenschaften ==
In &lt;math&gt;(\mathbb{C},+,\cdot)&lt;/math&gt; gelten die folgenden Eigenschaften:
* '''(AG/KG)''' Das [[w:de:Assoziativgesetz|Assoziativgesetz]] und das [[w:de:Kommutativgesetz|Kommutativgesetz]] gelten für die Addition und die Multiplikation komplexer Zahlen.
* '''(DG)''' Das [[w:de:Distributivgesetz|Distributivgesetz]] gilt.
* '''(NE)''' O und 1 sind die neutralen Elemente der Addition bzw. der Multiplikation.
* '''(IE&lt;math&gt;+&lt;/math&gt;)''' Für jede komplexe Zahl &lt;math&gt;z&lt;/math&gt; existiert eine komplexe Zahl &lt;math&gt;-z&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;z+(-z)=0&lt;/math&gt;.
* '''(IE&lt;math&gt;\cdot&lt;/math&gt;)''' Für jede von null verschiedene komplexe Zahl &lt;math&gt;z&lt;/math&gt; existiert eine komplexe Zahl &lt;math&gt;z^{-1}&lt;/math&gt;  mit &lt;math&gt;z\cdot z^{-1}=1&lt;/math&gt;.
[[Datei:Audio19 komplexe zahl ft.ogg|Eigenschaften - 19]]

== Rechnen in der algebraischen Form ==
Die algebraischen Eigenschaften ergeben sich unmittelbar aus der Definition der beiden Verknüpfungen.
[[Datei:Audio20 komplexe zahl ft.ogg|Rechnen in der algebraischen Form - 20]]

=== Addition ===
Für die Addition zweier komplexer Zahlen &lt;math&gt;z_1=a+b\,\mathrm i&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;a,b \in \mathbb{R}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;z_2=c+d\,\mathrm i&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;c,d \in \mathbb{R}&lt;/math&gt; gilt
:&lt;math&gt;z_1+z_2=(a+c)+(b+d)\,\mathrm i.&lt;/math&gt;
[[Datei:Audio21 komplexe zahl ft.ogg|Addition - 21]]

=== Vektorielle Veranschaulichung Addition ===
[[Datei:Komplexe addition.svg|mini|hochkant=1.25|Die Addition zweier komplexer Zahlen in der komplexen Ebene veranschaulicht]]
[[Datei:Audio22 komplexe zahl ft.ogg|Vektorielle Veranschaulichung Addition - 22]]

=== Subtraktion ===
Für die Subtraktion zweier komplexer Zahlen &lt;math&gt;z_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;z_2&lt;/math&gt; (siehe Addition) gilt
:&lt;math&gt;z_1-z_2=(a-c)+(b-d)\,\mathrm i.&lt;/math&gt;
[[Datei:Audio23 komplexe zahl ft.ogg|Subtraktion - 23]]

=== Multiplikation ===
Für die Multiplikation zweier komplexer Zahlen &lt;math&gt;z_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;z_2&lt;/math&gt; (siehe Addition) gilt
:&lt;math&gt;z_1\cdot z_2=(ac+bd\,\mathrm i^2)+(ad+bc)\,\mathrm i=(ac-bd)+(ad+bc)\,\mathrm i.&lt;/math&gt;
[[Datei:Audio24 komplexe zahl ft.ogg|Multiplikation - 24]]

=== Division ===
Für die Division der komplexen Zahl &lt;math&gt;z_1&lt;/math&gt; durch die komplexe Zahl &lt;math&gt;z_2&lt;/math&gt; (siehe Addition) mit &lt;math&gt;z_2\neq 0&lt;/math&gt; [[w:de:Kürzen|erweitert]] man den Bruch mit der zum Nenner &lt;math&gt;z_2&lt;/math&gt; [[w:de:#Komplexe Konjugation|konjugiert komplexen]] Zahl &lt;math&gt;\bar z_2=c-d\,\mathrm i&lt;/math&gt;. Der Nenner wird dadurch reell (und ist gerade das Quadrat des Betrages von &lt;math&gt;c+d\,\mathrm i&lt;/math&gt;):
: &lt;math&gt;\frac{z_1}{z_2} = \frac{(a+b\,\mathrm i)(c-d\,\mathrm i)}{(c+d\,\mathrm i)(c-d\,\mathrm i)} = \frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{bc-ad}{c^2+d^2}\mathrm i.&lt;/math&gt;
[[Datei:Audio25 komplexe zahl ft.ogg|Division - 25]]

=== Rechenbeispiel Addition: ===
: &lt;math&gt;(3+2\mathrm i) + (5+5\mathrm i) = (3+5) + (2+5)\mathrm i = 8 + 7\mathrm i&lt;/math&gt;
[[Datei:Audio26 komplexe zahl ft.ogg|Rechenbeispiel Addition - 26]]

=== Rechenbeispiel Subtraktion: ===

: &lt;math&gt;(5+5\mathrm i) - (3+2\mathrm i) = (5-3) + (5-2)\mathrm i = 2 + 3\mathrm i&lt;/math&gt;
[[Datei:Audio27 komplexe zahl ft.ogg|Rechenbeispiel Subtraktion - 27]]

=== Rechenbeispiel Multiplikation: ===

: &lt;math&gt;(3+5\mathrm i) \cdot (4+11\mathrm i) = (3\cdot 4 - 5\cdot 11)+(3\cdot 11 + 5\cdot 4)\mathrm i = -43 + 53\mathrm i&lt;/math&gt;
[[Datei:Audio28 komplexe zahl ft.ogg|Rechenbeispiel Multiplikation - 28]]

=== Rechenbeispiel Division: ===
: &lt;math&gt;{\frac{(2+5\mathrm{i})}{(3+7\mathrm{i})} = \frac{(2+5\mathrm{i})}{(3+7\mathrm{i})} \cdot \frac{(3-7\mathrm{i})}{(3-7\mathrm{i})} } = &lt;/math&gt;
: &lt;math&gt; = { \frac{(6 + 35) + (15\mathrm{i}-14\mathrm{i})}{(9 + 49) + (21\mathrm{i}-21\mathrm{i})} = \frac{41+\mathrm{i}}{58} = \frac{41}{58} + \frac{1}{58}\cdot\mathrm{i}}&lt;/math&gt;
[[Datei:Audio29 komplexe zahl ft.ogg|Rechenbeispiel Division - 29]]

=== Aufgabe ===
* Sei &lt;math&gt;z=z_1 + \mathrm iz_2 \in \mathbb{C} \setminus \{0\}&lt;/math&gt; gegeben. Lösen Sie das Gleichungssystem:
:: &lt;math&gt;z\cdot x = 1 = 1 +0\mathrm i&lt;/math&gt; 
: mit &lt;math&gt;x= x_1 + \mathrm{i}x_2 \in \mathbb{C}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;x_1 , x_2 \in \mathbb{R}&lt;/math&gt;
* Zwei komplexe Zahl sind gleich, wenn diese bzgl. Realteil und Imaginärteil übereinstimmen. Dadurch entsteht ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und den beiden Unbekannten &lt;math&gt;x_1 , x_2 \in \mathbb{R}&lt;/math&gt;
[[Datei:Audio30 komplexe zahl ft.ogg|Aufgabe 30]]

=== Komplexe Zahlen als reeller Vektorraum ===
Der Körper &lt;math&gt; \mathbb{C} &lt;/math&gt; der komplexen Zahlen ist einerseits ein Oberkörper von &lt;math&gt; \mathbb{R}&lt;/math&gt;, andererseits ein zweidimensionaler &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;-[[w:de:Vektorraum|Vektorraum]]. Der [[w:de:Isomorphismus|Isomorphismus]] &lt;math&gt; \mathbb{C}  \cong \mathbb{R}^2&lt;/math&gt; wird auch als [[w:de:natürliche Identifikation|natürliche Identifikation]] bezeichnet. In der Regel nutzt man dies auch, um &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt; formell als &lt;math&gt;\mathbb{R}^2&lt;/math&gt; mit der entsprechenden komplexen Multiplikation zu ''definieren'' und dann &lt;math&gt;\mathrm{i} := (0,1)^\mathrm{T}&lt;/math&gt; zu setzen. Dabei hat die Gleichung &lt;math&gt;z^2=-1&lt;/math&gt; in den komplexen Zahlen zwei Lösungen. Dabei kann die Wurzel als Abbildung aber einen definierten Wert (wie in der reellen Analysis) besitzen &lt;math&gt;\sqrt{-1} = + \mathrm{i}&lt;/math&gt;.

[[Datei:Audio31 komplexe zahl ft.ogg|Komplexe Zahlen als reeller Vektorraum 31]]

=== Basis des Vektorraumes  ===
Als &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;-Vektorraum besitzt &lt;math&gt; \mathbb{C} &lt;/math&gt; die Basis &lt;math&gt;\{1, \mathrm{i}\}&lt;/math&gt;. Daneben ist &lt;math&gt; \mathbb{C} &lt;/math&gt; wie jeder Körper auch ein Vektorraum über sich selbst, also ein eindimensionaler &lt;math&gt; \mathbb{C} &lt;/math&gt;-Vektorraum mit Basis &lt;math&gt;\{1\}&lt;/math&gt;.
[[Datei:Audio32 komplexe zahl ft.ogg|Basis des Vektorraumes - 32]]

=== Keine Ordnungsrelation in komplexen Zahlen === 
&lt;math&gt; \mathbb{C} &lt;/math&gt; ist im Gegensatz zu &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; kein [[w:de:geordneter Körper|geordneter Körper]], d. h., es gibt keine mit der Körperstruktur verträgliche lineare Ordnungsrelation auf &lt;math&gt; \mathbb{C} &lt;/math&gt;. Von zwei unterschiedlichen komplexen Zahlen kann man daher nicht sinnvoll (bezogen auf die Addition und Multiplikation in &lt;math&gt; \mathbb{C} &lt;/math&gt;) festlegen, welche von beiden die größere bzw. die kleinere Zahl ist.

[[Datei:Audio32a komplexe zahl ft.ogg|Keine Ordnungsrelation in komplexen Zahlen - 32a]]

== Zusammenhang Darstellungsformen ==
[[Datei:Komplexe zahlenebene.svg|mini|hochkant=1.25|Gaußsche Ebene mit einer komplexen Zahl in kartesischen Koordinaten (a,b) und in Polarkoordinaten (r,φ)]]
[[Datei:Audio33 komplexe zahl ft.ogg|Zusammenhang Darstellungsformen - 33]]

=== Algebraische Form - Polarform ===
Während sich die Menge &lt;math&gt;\mathbb R&lt;/math&gt; der [[w:de:Reelle Zahlen|reellen Zahlen]] durch Punkte auf einer [[w:de:Zahlengerade|Zahlengerade]]n veranschaulichen lässt, kann man die Menge &lt;math&gt; \mathbb{C} &lt;/math&gt; der komplexen Zahlen als Punkte in einer Ebene (komplexe Ebene, gaußsche Zahlenebene) darstellen. Dies entspricht der „doppelten Natur“ von &lt;math&gt; \mathbb{C} &lt;/math&gt; als zweidimensionalem reellem Vektorraum.
[[Datei:Audio34 komplexe zahl ft.ogg|Algebraische Form - Polarform - 34]]

=== Punkte - Vektoren ===
Gemäß Definition entspricht die Addition komplexer Zahlen der Vektoraddition, wobei man die Punkte in der Zahlenebene mit ihren [[w:de:Ortsvektor|Ortsvektor]]en identifiziert. Die Multiplikation ist in der gaußschen Ebene eine [[w:de:Drehstreckung|Drehstreckung]], was nach Einführung der Polarform weiter unten klarer werden wird (siehe [https://www.geogebra.org/m/ETug55x4 Geogebra-Beispiel]).
[[Datei:Audio35 komplexe zahl ft.ogg|Punkte - Vektoren - 35]]

=== Umrechnungsformeln: algebraische Form in die Polarform ===
Für &lt;math&gt;z=a+b\,\mathrm{i}&lt;/math&gt; in algebraischer Form ist
:&lt;math&gt;r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}=\sqrt{z \cdot \overline z}.&lt;/math&gt;
Für &lt;math&gt;z = 0&lt;/math&gt; kann das Argument mit 0 definiert werden, bleibt aber meist undefiniert. Für &lt;math&gt;z \neq 0&lt;/math&gt; kann das Argument &lt;math&gt;\varphi&lt;/math&gt; im Intervall &lt;math&gt;(-\pi;\pi]&lt;/math&gt; mit Hilfe einer trigonometrischen Umkehrfunktion, bspw. mit Hilfe des [[w:de:Arkuskosinus|Arkuskosinus]]
:&lt;math&gt;\varphi=\arg(z)=\begin{cases} \arccos\frac{a}{r}&amp;\mathrm{f\ddot ur}\ b\geq 0\\-\arccos\frac{a}{r}&amp;\text{sonst} \end{cases} &lt;/math&gt;
ermittelt werden.
[[Datei:Audio36 komplexe zahl ft.ogg|Umrechnungsformeln: algebraische Form in die Polarform - 36]]

=== Umrechnungsformeln: Polarform in die algebraische Form ===
: &lt;math&gt;a = \mathfrak{Re}(z) = r \cdot \cos\varphi&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;b = \mathfrak{Im}(z) = r \cdot \sin\varphi&lt;/math&gt;
Wie weiter oben stellt &lt;math&gt;a\in \mathbb{R}&lt;/math&gt; den Realteil und &lt;math&gt;b\in \mathbb{R}&lt;/math&gt; den Imaginärteil jener komplexen Zahl &lt;math&gt;z = a+ib \in \mathbb{C}&lt;/math&gt; dar.
[[Datei:Audio37 komplexe zahl ft.ogg|Umrechnungsformeln: Polarform in die algebraische Form - 37]]

=== Arithmetische Operationen in der Polarform ===
Durch arithmetische Operationen sind folgende Operanden miteinander zu verknüpfen:
:&lt;math&gt;z_1=r\cdot (\cos \varphi + \mathrm{i}\cdot\sin \varphi) = r\cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;z_2=s\cdot (\cos \psi    + \mathrm{i}\cdot\sin \psi)    = s\cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}\psi}&lt;/math&gt;

Bei der Multiplikation werden die Beträge &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;s&lt;/math&gt; miteinander multipliziert und die zugehörigen Phasen &lt;math&gt;\varphi&lt;/math&gt; bzw. &lt;math&gt;\psi&lt;/math&gt; addiert. Bei der Division wird der Betrag des [[w:de:Dividend|Dividend]]en durch den Betrag des [[w:de:Division (Mathematik)|Divisors]] geteilt und die Phase des Divisors von der Phase des Dividenden subtrahiert. Für die Addition und die Subtraktion existiert auch eine, etwas kompliziertere, Formel:
[[Datei:Audio38 komplexe zahl ft.ogg|Arithmetische Operationen in der Polarform - 38]]

==== Trigonometrische Form - Multiplikation ====
[[Datei:Komplexe multiplikation.svg|mini|hochkant=1.25|Die Multiplikation von zwei komplexen Zahlen entspricht dem Addieren der Winkel und dem Multiplizieren der Beträge.]]
: &lt;math&gt;{z_1 \cdot z_2 = r \cdot s \cdot \left( \cos (\varphi+\psi) + \mathrm{i} \cdot \sin (\varphi+\psi) \right) }&lt;/math&gt;
[[Datei:Audio39 komplexe zahl ft.ogg|Trigonometrische Form - Multiplikation - 39]]

==== Trigonometrische Form - Division ====
: &lt;math&gt;\frac{z_1}{z_2} = \frac{r}{s} \cdot \left[ \cos (\varphi-\psi) + \mathrm{i} \cdot \sin (\varphi-\psi) \right]&lt;/math&gt;

[[Datei:Komplexe division.svg|mini|hochkant=1.25|Die Division von zwei komplexen Zahlen entspricht dem Subtrahieren der Winkel und dem Dividieren der Beträge.]]
[[Datei:Audio40 komplexe zahl ft.ogg|Trigonometrische Form - Division - 40]]

==== Exponentialform ====
* &lt;math&gt;z_1 \cdot z_2 = r \cdot s \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\varphi+\psi)}&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\frac{z_1}{z_2} = \frac{r}{s} \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\varphi-\psi)}&lt;/math&gt;
[[Datei:Audio41 komplexe zahl ft.ogg|Exponentialform - 41]]

== Realteil- und Imaginärteilfunktion ==
Sei &lt;math&gt;f:V\to\mathbb{C}&lt;/math&gt; so definiert man die Realteilfunktion und Imaginärteilfunktion als reellwertige Abbildung wie folgt.
* &lt;math&gt;g:V\to\mathbb{R}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;g(z):=\mathfrak{Re}(f(z))&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;h:V\to\mathbb{R}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;h(z):=\mathfrak{Im}(f(z))&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;f(z)=g(z)+i\cdot h(z)&lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt;z\in V&lt;/math&gt;
(siehe auch [[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]])

== Geschichte ==
Der Begriff „komplexe Zahlen“ wurde von [[w:de:Carl Friedrich Gauß|Carl Friedrich Gauß]] (''Theoria residuorum biquadraticorum,'' 1831) eingeführt, der Ursprung der Theorie der komplexen Zahlen geht auf die italienischen Mathematiker [[w:de:Gerolamo Cardano|Gerolamo Cardano]] (''Ars magna,'' Nürnberg 1545) und [[w:de:Rafael Bombelli|Rafael Bombelli]] (''L’Algebra,'' Bologna 1572; wahrscheinlich zwischen 1557 und 1560 geschrieben) zurück.&lt;ref&gt;{{Literatur |Autor=[[w:de:Helmuth Gericke|Helmuth Gericke]] |Titel=Geschichte des Zahlbegriffs |Verlag=Bibliographisches Institut |Ort=Mannheim |Datum=1970 |Seiten=57–67}}&lt;/ref&gt;
[[Datei:Audio42 komplexe zahl ft.ogg|Geschichte - 42]]

== Literatur ==
* Paul Nahin: ''An imaginary tale. The story of &lt;math&gt;\sqrt {-1}&lt;/math&gt;.'' Princeton University Press, 1998.
* Reinhold Remmert: ''Komplexe Zahlen.'' In D. Ebbinghaus u. a. (Hrsg.): ''Zahlen.'' Springer, 1983.

== Siehe auch ==
* [[Maxima CAS/Komplexe Zahlen]]
* [[Kurs:Mathematik der Quantenmechanik/Komplexe_Zahlen|Komplexe Zahl - Kurzfassung]] im [[Kurs:Mathematik der Quantenmechanik]]
* [[Quaternion]]
* [[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]]
* [[w:de:Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatz der Algebra]]
* [[w:de:Konjugation (Mathematik)|Konjugation in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt;]]
* [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] und [[w:de:Isomorphismus|Isomorphie]] für den Bezug zwischen &lt;math&gt;\mathbb{R}^2&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt;.
* [[Kurs:Funktionentheorie]]
* [[Kurs:Funktionalanalysis/Hahn-Banach - komplexer Fall]]
* [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]]

== Wiki2Reveal ==
* '''[[Zahlbereichserweiterung|Zahlbereichserweiterung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&amp;title=Zahlbereichserweiterung&amp;author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&amp;language=de&amp;audioslide=yes&amp;shorttitle=Zahlbereichserweiterung&amp;coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]]

== Verwandte Themen ==
* [[w:de:Gaußsche Zahlen|Gaußsche Zahlen]] und [[w:de:Eisenstein-Zahlen|Eisenstein-Zahlen]] sind eine Verallgemeinerung der ganzen Zahlen auf die komplexen Zahlen.
* [[w:de:Hyperkomplexe Zahlen|Hyperkomplexe Zahlen]] verallgemeinern die algebraische Struktur der komplexen Zahlen.
* [[w:de:Komplexwertige Funktion|Komplexwertige Funktion]]en bilden komplexe Zahlen auf komplexe Zahlen ab.

== Literaturquellen ==
&lt;references/&gt;


== Seiteninformation ==
Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&amp;title=Komplexe_Zahl&amp;author=Funktionentheorie&amp;language=de&amp;audioslide=yes&amp;shorttitle=Komplexe%20Zahl&amp;coursetitle= Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen.

=== Wiki2Reveal ===

Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&amp;title=Komplexe_Zahl&amp;author=Funktionentheorie&amp;language=de&amp;audioslide=yes&amp;shorttitle=Komplexe%20Zahl&amp;coursetitle= Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Funktionentheorie Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem  [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt.
&lt;!--
* Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten:
** [https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe_Zahl https://de.wikiversity.org/wiki/Komplexe_Zahl]
--&gt;
* [https://de.wikiversity.org/wiki/Komplexe_Zahl Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt.
* Link zur Quelle in  Wikiversity:  https://de.wikiversity.org/wiki/Komplexe_Zahl
* siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&amp;title=Komplexe_Zahl&amp;author=Funktionentheorie&amp;language=de&amp;audioslide=yes&amp;shorttitle=Komplexe%20Zahl&amp;coursetitle= Wiki2Reveal-Linkgenerator].
&lt;!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --&gt;;

=== Wikipedia2Wikiversity ===
Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe%20Zahl Wikipedia-Quelle] erstellt:
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe%20Zahl Komplexe Zahl] https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe%20Zahl
* Datum: 16.10.2019
* [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity


[[Category:Wiki2Reveal]]


[[Category:Wiki2Reveal]]
[[Kategorie:Zahl]]
&lt;noinclude&gt;[[en:Complex numbers]]&lt;/noinclude&gt;</text>
      <sha1>bhjvcz2vqbc8e1etl0q7s4xrxtyf6s8</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>1115951</id>
      <parentid>1115950</parentid>
      <timestamp>2026-10-13T08:18:19Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bert Niehaus</username>
        <id>20843</id>
      </contributor>
      <comment>/* Siehe auch */</comment>
      <origin>1115951</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="26423" sha1="gnowr9v2s12vfjzj1tihlyhsoepqhqw" xml:space="preserve">== Erweiterung des Zahlbereiches ==
Die '''komplexen Zahlen''' &lt;math&gt;\mathbb C&lt;/math&gt; erweitern den [[w:de:Zahlenmenge|Zahlenbereich]] der [[w:de:Reelle Zahl|reellen Zahlen]] derart, dass die Gleichung &lt;math&gt;x^2 = -1&lt;/math&gt; lösbar wird, die in &lt;math&gt;\mathbb R&lt;/math&gt; nicht lösbar ist, da &lt;math&gt;x^2 \geq 0&lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt;x \in \mathbb R&lt;/math&gt; gilt.
Die Lösbarkeit gelingt durch Einführung einer neuen [[w:de:Imaginäre Zahl|imaginären Zahl]] &lt;math&gt;\mathrm i&lt;/math&gt; mit der Eigenschaft &lt;math&gt;\mathrm i^2 = -1&lt;/math&gt;. Diese Zahl &lt;math&gt;\mathrm i&lt;/math&gt; wird als '''imaginäre Einheit''' bezeichnet.
[[Datei:Audio0 komplexe zahl ft.ogg|Erweiterung des Zahlbereiches - 0]]

== Darstellung komplexer Zahlen ==
Komplexe Zahlen können in der Form &lt;math&gt;z=x+y\cdot \mathrm i&lt;/math&gt; dargestellt werden, wobei &lt;math&gt;x,y\in \mathbb R&lt;/math&gt; jeweils reelle Zahlen sind und &lt;math&gt;\mathrm i&lt;/math&gt; die imaginäre Einheit ist. Durch die Identifikation mit einem Vektor &lt;math&gt;(x,y) \in \mathbb{R}^2&lt;/math&gt; kann man komplexe Zahlen in einem Koordinatensystem (Gaußsche Zahlenebene) darstellen.
[[Datei:Audio1 komplexe zahl ft.ogg|Darstellung komplexer Zahlen - 1]]

== Realteil und Imaginärteil ==
Die reellwertigen [[w:de:Koeffizient|Koeffizienten]] &lt;math&gt;x, y&lt;/math&gt; werden als '''Real-''' bzw. '''Imaginärteil''' von &lt;math&gt;z=x + y\,\mathrm i&lt;/math&gt; bezeichnet. 
* &lt;math&gt;x = \operatorname{Re}(z) = \operatorname{Re}(x + y\,\mathrm i)&lt;/math&gt; und 
* &lt;math&gt;y = \operatorname{Im}(z) =  \operatorname{Im}(x + y\,\mathrm i)&lt;/math&gt;
[[Datei:Audio2 komplexe zahl ft.ogg|Realteil und Imaginärteil - 2]]

== Gaußsche Zahlenebene ==

[[Datei:2D Cartesian.svg|mini|Kartesische Koordinatensystem]]

== Polarkoordinaten ==

Verwendet man anstelle der kartesischen Koordinaten &lt;math&gt;a = \operatorname{Re}(z)&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;b = \operatorname{Im}(z)&lt;/math&gt; [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinaten]] &lt;math&gt;r = |z|&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\varphi = \arg(z)&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;\arg&lt;/math&gt; als der ''Argument''-Funktion, kann man die komplexe Zahl &lt;math&gt;z=a+b\,\mathrm{i}&lt;/math&gt; auch in der folgenden, auf der [[w:de:Eulersche Relation|eulerschen Relation]] beruhenden sogenannten ''Polarform'' (auch ''Polardarstellung'')&lt;ref&gt;{{Literatur |Autor=Ehrhard Behrends |Titel=Analysis Band 1 |Verlag=Springer Spektrum - ISBN: 978-3-658-07122-6 |Ort=Wiesbaden |Datum=2015 |Auflage=6 |DOI=10.1007/978-3-658-07123-3}}&lt;/ref&gt;
:&lt;math&gt;z = r \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi} = r \cdot (\cos \varphi + \mathrm{i} \cdot \sin \varphi)&lt;/math&gt;
darstellen, die sich aus &lt;math&gt;a = r \cdot \cos \varphi&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;b = r \cdot \sin \varphi&lt;/math&gt; ergibt.

  [[Datei:Audio4 komplexe zahl ft.ogg|Polarkoordinaten - 4]]

=== Darstellung Polarkoordinaten ===

[[Datei:Polarkoordinaten.svg|mini|Polarkoordinaten und kartesisches Koordinatensystem]]

[[Datei:Audio5 komplexe zahl ft.ogg|Darstellung Polarkoordinaten - 5]]

=== e-Funktion und Trigonometrie ===
Die Darstellung mit Hilfe der komplexen [[w:de:e-Funktion|e-Funktion]] &lt;math&gt;r \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}&lt;/math&gt; heißt dabei auch Exponentialdarstellung (der Polarform), die Darstellung mittels des Ausdrucks &lt;math&gt;r \cdot (\cos \varphi + \mathrm{i} \cdot \sin \varphi)&lt;/math&gt; trigonometrische Darstellung (der Polarform).
[[Datei:Audio6 komplexe zahl ft.ogg|e-Funktion und Trigonometrie - 6]]

&lt;span id=&quot;Orbitdarstellung&quot;&gt;&lt;/span&gt;
=== Orbitdarstellung von algebraischen Operationen ===
Die folgenden Abbildung zeigt einen [[Integrationsweg]] 
:&lt;math&gt;\gamma(t) = \underbrace{\underbrace{z_0 + r_1\cdot e^{v_1\cdot t+ t_1}}_{=z_1} + r_2\cdot e^{v_2\cdot t+ t_2}}_{=z_2} ,&lt;/math&gt;
wobei &lt;math&gt;r_1,r_2 &gt; 0&lt;/math&gt; die Radien der Kreise sind, &lt;math&gt;v_1,v_2 \in \mathbb{R}&lt;/math&gt; Winkelgeschwindigkeiten und
* &lt;math&gt;s_0\in \mathbb{C}&lt;/math&gt; der Mittelpunkte des Orbits 1. Ordnung ist (vgl. &quot;Position der Sonne&quot;),
* &lt;math&gt;z_1\in \mathbb{C}&lt;/math&gt; der Punkt der sich mit der Winkelgeschwindigkeit &lt;math&gt;v_1&lt;/math&gt; (vgl. &quot;Position der Erde&quot;),
* &lt;math&gt;\gamma(t) = z_2\in \mathbb{C}&lt;/math&gt; ist der Punkt, der sich mit der Winkelgeschwindigkeit &lt;math&gt;v_2&lt;/math&gt; und Radius &lt;math&gt;r_2&lt;/math&gt; um den Mittelpunkte &lt;math&gt;z_1&lt;/math&gt; des Orbits 1. Ordnung dreht (vgl. &quot;Bewegung des Mondes um die Erde&quot;).

=== Animation für die Orbitdarstellung ===
Die Spur des Weges &lt;math&gt;\gamma&lt;/math&gt; ist in rot markiert und definiert Bahn von &lt;math&gt;\gamma(t)&lt;/math&gt; in der komplexen Zahlenebene (siehe auch [[Orbitdarstellung von Polynomen]]).

[[File:Orbit representation of operations in the complex numbers.gif|450px|center|Orbit representation of operations in the complex numbers - Orbit3 v2 - Geogebra GIF animation]]

=== Bemerkung - Orbits - Sonnensystem ===
In einer Lehrveranstaltung kann man den Begriff des Orbits mit mit der Bewegung der Erde um die Sonne und der Bewegung des Mondes um die Erde motivieren. Man sollte allerdings ergänzen, dass die tatsächlichen Orbites von Himmelskörper sich nicht auf idealisierten Kreisbahnen bewegen, sondern sich die Bahnen u.a. durch Gravitation beeinflussen (siehe [[w:de:Merkur (Planet)|Merkurperihel]] und [[w:de:Allgemeine Relativitätstheorie|Allgemeine Relativitätstheorie]])

== Eigenschaften ==
Der konstruierte Zahlenbereich der komplexen Zahlen bildet einen [[w:de:Körpererweiterung|Erweiterungskörper]] der reellen Zahlen und hat eine Reihe vorteilhafter Eigenschaften, die in &lt;math&gt;\mathbb R&lt;/math&gt; nicht gelten: 
[[Datei:Audio7 komplexe zahl ft.ogg|Eigenschaften - 7]]

=== Fundamentalsatz der Algebra ===

Die komplexen Zahlen sind [[w:de:Algebraisch abgeschlossen|algebraische abgeschlossenen]] in den komplexen Zahlen. Dies bedeutet, dass in &lt;math&gt;\mathbb C&lt;/math&gt; jede [[w:de:algebraische Gleichung|algebraische Gleichung]] positiven Grades über den komplexen Zahlen eine Lösung besitzt, was für reelle Zahlen nicht gilt. 
: &lt;math&gt;x^2 + 4 = 0&lt;/math&gt; hat keine Lösung in &lt;math&gt;\mathbb R&lt;/math&gt; und in &lt;math&gt;\mathbb C&lt;/math&gt; die Lösungsmenge &lt;math&gt;\mathbb L = \{+2\mathrm i, -2\mathrm i\} &lt;/math&gt;
(siehe [[w:de:Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatzes der Algebra]]).
[[Datei:Audio8 komplexe zahl ft.ogg|Fundamentalsatz der Algebra - 8]]

=== Trigonometrie und Exponentialfunktion ===
In &lt;math&gt; \mathbb{C} &lt;/math&gt; wird der Zusammenhang von [[w:de:Trigonometrische Funktion|trigonometrischen Funktionen]] und der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] deutlich 
:&lt;math&gt; \mathrm e^{\mathrm it} = \cos(t) + \mathrm i \cdot \sin(t) &lt;/math&gt; 
siehe [[w:de:Eulerformel|Eulerformel]].
[[Datei:Audio9 komplexe zahl ft.ogg|Trigonometrie und Exponentialfunktion - 9]]

=== Unterschied: komplexe und reelle Differenzierbarkeit ===
Jede auf einer [[w:de:Offene Menge|offenen Menge]] ''einmal'' [[w:de:Differenzierbarkeit#Komplexe Funktionen|komplex differenzierbare]] Funktion dort auch ''beliebig oft'' differenzierbar. In der [[w:de:Analysis|reellen Analysis]] ist die Funktion 
: &lt;math&gt; f(x)=x^2\cdot |x| &lt;/math&gt; 
nur 2x reell differenzierbar, während &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; mit dem Definitionsbereich &lt;math&gt;\mathbb C&lt;/math&gt; lediglich stetig ist und auf keiner Umgebung komplex differenzierbar ist.
[[Datei:Audio10 komplexe zahl ft.ogg|Unterschied: komplexe und reelle Differenzierbarkeit - 10]]

=== Teilmengenbeziehung zwischen reellen und komplexen Zahlen ===
Die reellen Zahlen lassen sich als Teilmenge der komplexen Zahlen im Sinne einer [[w:de:Menge (Mathematik)|Teilmengenbeziehung zwischen Zahlbereichen]]  auffassen. Dabei wird eine relle Zahl &lt;math&gt;x\in \mathbb R&lt;/math&gt; mit der komplexen Zahl &lt;math&gt;x + 0\mathrm i\in \mathbb C&lt;/math&gt; identifiziert. In der Gaußschen Zahlenebene entsprechen die rellen Zahlen den Punkten auf der &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;-Achse.
[[Datei:Audio11 komplexe zahl ft.ogg|Teilmengenbeziehung zwischen reellen und komplexen Zahlen - 11]]

== Komplexe Konjugation ==
Ändert man das [[w:de:Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] des Imaginärteils &lt;math&gt;b&lt;/math&gt; einer komplexen Zahl &lt;math&gt;z = a+b\,\mathrm{i},&lt;/math&gt; so erhält man die zu &lt;math&gt;z&lt;/math&gt; [[w:de:Konjugation (Mathematik)|konjugiert komplexe]] Zahl &lt;math&gt;\bar z=a-b\,\mathrm{i}&lt;/math&gt; .
[[Datei:Audio12 komplexe zahl ft.ogg|Komplexe Konjugation - 12]]

=== Rechenregeln Konjugation ===
Die Konjugation &lt;math&gt;\mathbb{C} \to \mathbb{C} ,\,z\mapsto \bar z&lt;/math&gt; ist ein [[w:de:Involution (Mathematik)|(involutorischer)]] Körperautomorphismus, da sie mit Addition und Multiplikation verträglich ist, d.&amp;nbsp;h., für alle &lt;math&gt;y,z\in \mathbb{C} &lt;/math&gt; gilt
: &lt;math&gt;\overline{y+z}=\bar y+\bar z,\quad \overline{y\cdot z}=\bar y\cdot \bar z.&lt;/math&gt;
[[Datei:Audio13 komplexe zahl ft.ogg|Rechenregeln Konjugation - 13]]

=== Geometrische Darstellung der Konjugation ===
In der Polardarstellung hat die konjugiert komplexe Zahl &lt;math&gt; \bar z &lt;/math&gt; einen unveränderten Abstand zum Koordinatenursprung (also &lt;math&gt; |\bar{z}| = |z| &lt;/math&gt;) und besitzt gerade den negativen Winkel von &lt;math&gt;z&lt;/math&gt;. Man kann die Konjugation in der komplexen Zahlenebene also als die ''Spiegelung an der reellen Achse'' interpretieren. Insbesondere werden unter der Konjugation genau die reellen Zahlen auf sich selbst abgebildet.
[[Datei:Audio14 komplexe zahl ft.ogg|Geometrische Darstellung der Konjugation - 14]]

=== Geometrische Darstellung der Konjugation ===
[[Datei:Komplexe konjugation.svg|mini|Konjugation in Gaußschen Zahlenebene]]
Eine komplexe Zahl &lt;math&gt;z = a+b\,\mathrm{i}&lt;/math&gt; und die zu ihr konjugiert komplexe Zahl &lt;math&gt;\bar z=a-b\,\mathrm{i}&lt;/math&gt;
[[Datei:Audio15 komplexe zahl ft.ogg|Geometrische Darstellung der Konjugation - 15]]

== Betrag ==
Der Betrag &lt;math&gt;|z|&lt;/math&gt; einer komplexen Zahl &lt;math&gt;z&lt;/math&gt; ist die [[w:de:Euklidischer Raum|Länge]] ihres Vektors in der [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|Gaußschen Zahlenebene]] und lässt sich z.&amp;nbsp;B. zu
:&lt;math&gt;|z| = \sqrt{a^2 + b^2}&lt;/math&gt;
aus ihrem Realteil &lt;math&gt;\operatorname{Re}(z)=a&lt;/math&gt; und Imaginärteil &lt;math&gt;\operatorname{Im}(z)=b&lt;/math&gt; berechnen. Als eine Länge ist der Betrag reell und nicht negativ.
[[Datei:Audio16 komplexe zahl ft.ogg|Betrag - 16]]

=== Beispiel: Betrag ===
: &lt;math&gt;|239+\mathrm i| = \sqrt{239^2+1^2} = \sqrt{57121+1} = \sqrt{57122} = 169\cdot\sqrt{2}&lt;/math&gt;
[[Datei:Audio17 komplexe zahl ft.ogg|Beispiel: Betrag 16]]

=== Pythagoras ===
Den reellen Betrag vom Realteil &lt;math&gt;a \in \mathbb{R}&lt;/math&gt; und Imaginärteil &lt;math&gt;b \in \mathbb{R}&lt;/math&gt; kann man als Länge der Katheten in einem [[w:de:Rechtwinkliges_Dreieck|rechtwinkligen Dreieck]] mit Hypotenusenlänge &lt;math&gt;c=|z|&lt;/math&gt; auffassen.
:&lt;math&gt;|z| = \sqrt{a^2 + b^2}&lt;/math&gt;
[[Datei:Audio18 komplexe zahl ft.ogg|Pythagoras - 18]]

== Eigenschaften ==
In &lt;math&gt;(\mathbb{C},+,\cdot)&lt;/math&gt; gelten die folgenden Eigenschaften:
* '''(AG/KG)''' Das [[w:de:Assoziativgesetz|Assoziativgesetz]] und das [[w:de:Kommutativgesetz|Kommutativgesetz]] gelten für die Addition und die Multiplikation komplexer Zahlen.
* '''(DG)''' Das [[w:de:Distributivgesetz|Distributivgesetz]] gilt.
* '''(NE)''' O und 1 sind die neutralen Elemente der Addition bzw. der Multiplikation.
* '''(IE&lt;math&gt;+&lt;/math&gt;)''' Für jede komplexe Zahl &lt;math&gt;z&lt;/math&gt; existiert eine komplexe Zahl &lt;math&gt;-z&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;z+(-z)=0&lt;/math&gt;.
* '''(IE&lt;math&gt;\cdot&lt;/math&gt;)''' Für jede von null verschiedene komplexe Zahl &lt;math&gt;z&lt;/math&gt; existiert eine komplexe Zahl &lt;math&gt;z^{-1}&lt;/math&gt;  mit &lt;math&gt;z\cdot z^{-1}=1&lt;/math&gt;.
[[Datei:Audio19 komplexe zahl ft.ogg|Eigenschaften - 19]]

== Rechnen in der algebraischen Form ==
Die algebraischen Eigenschaften ergeben sich unmittelbar aus der Definition der beiden Verknüpfungen.
[[Datei:Audio20 komplexe zahl ft.ogg|Rechnen in der algebraischen Form - 20]]

=== Addition ===
Für die Addition zweier komplexer Zahlen &lt;math&gt;z_1=a+b\,\mathrm i&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;a,b \in \mathbb{R}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;z_2=c+d\,\mathrm i&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;c,d \in \mathbb{R}&lt;/math&gt; gilt
:&lt;math&gt;z_1+z_2=(a+c)+(b+d)\,\mathrm i.&lt;/math&gt;
[[Datei:Audio21 komplexe zahl ft.ogg|Addition - 21]]

=== Vektorielle Veranschaulichung Addition ===
[[Datei:Komplexe addition.svg|mini|hochkant=1.25|Die Addition zweier komplexer Zahlen in der komplexen Ebene veranschaulicht]]
[[Datei:Audio22 komplexe zahl ft.ogg|Vektorielle Veranschaulichung Addition - 22]]

=== Subtraktion ===
Für die Subtraktion zweier komplexer Zahlen &lt;math&gt;z_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;z_2&lt;/math&gt; (siehe Addition) gilt
:&lt;math&gt;z_1-z_2=(a-c)+(b-d)\,\mathrm i.&lt;/math&gt;
[[Datei:Audio23 komplexe zahl ft.ogg|Subtraktion - 23]]

=== Multiplikation ===
Für die Multiplikation zweier komplexer Zahlen &lt;math&gt;z_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;z_2&lt;/math&gt; (siehe Addition) gilt
:&lt;math&gt;z_1\cdot z_2=(ac+bd\,\mathrm i^2)+(ad+bc)\,\mathrm i=(ac-bd)+(ad+bc)\,\mathrm i.&lt;/math&gt;
[[Datei:Audio24 komplexe zahl ft.ogg|Multiplikation - 24]]

=== Division ===
Für die Division der komplexen Zahl &lt;math&gt;z_1&lt;/math&gt; durch die komplexe Zahl &lt;math&gt;z_2&lt;/math&gt; (siehe Addition) mit &lt;math&gt;z_2\neq 0&lt;/math&gt; [[w:de:Kürzen|erweitert]] man den Bruch mit der zum Nenner &lt;math&gt;z_2&lt;/math&gt; [[w:de:#Komplexe Konjugation|konjugiert komplexen]] Zahl &lt;math&gt;\bar z_2=c-d\,\mathrm i&lt;/math&gt;. Der Nenner wird dadurch reell (und ist gerade das Quadrat des Betrages von &lt;math&gt;c+d\,\mathrm i&lt;/math&gt;):
: &lt;math&gt;\frac{z_1}{z_2} = \frac{(a+b\,\mathrm i)(c-d\,\mathrm i)}{(c+d\,\mathrm i)(c-d\,\mathrm i)} = \frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{bc-ad}{c^2+d^2}\mathrm i.&lt;/math&gt;
[[Datei:Audio25 komplexe zahl ft.ogg|Division - 25]]

=== Rechenbeispiel Addition: ===
: &lt;math&gt;(3+2\mathrm i) + (5+5\mathrm i) = (3+5) + (2+5)\mathrm i = 8 + 7\mathrm i&lt;/math&gt;
[[Datei:Audio26 komplexe zahl ft.ogg|Rechenbeispiel Addition - 26]]

=== Rechenbeispiel Subtraktion: ===

: &lt;math&gt;(5+5\mathrm i) - (3+2\mathrm i) = (5-3) + (5-2)\mathrm i = 2 + 3\mathrm i&lt;/math&gt;
[[Datei:Audio27 komplexe zahl ft.ogg|Rechenbeispiel Subtraktion - 27]]

=== Rechenbeispiel Multiplikation: ===

: &lt;math&gt;(3+5\mathrm i) \cdot (4+11\mathrm i) = (3\cdot 4 - 5\cdot 11)+(3\cdot 11 + 5\cdot 4)\mathrm i = -43 + 53\mathrm i&lt;/math&gt;
[[Datei:Audio28 komplexe zahl ft.ogg|Rechenbeispiel Multiplikation - 28]]

=== Rechenbeispiel Division: ===
: &lt;math&gt;{\frac{(2+5\mathrm{i})}{(3+7\mathrm{i})} = \frac{(2+5\mathrm{i})}{(3+7\mathrm{i})} \cdot \frac{(3-7\mathrm{i})}{(3-7\mathrm{i})} } = &lt;/math&gt;
: &lt;math&gt; = { \frac{(6 + 35) + (15\mathrm{i}-14\mathrm{i})}{(9 + 49) + (21\mathrm{i}-21\mathrm{i})} = \frac{41+\mathrm{i}}{58} = \frac{41}{58} + \frac{1}{58}\cdot\mathrm{i}}&lt;/math&gt;
[[Datei:Audio29 komplexe zahl ft.ogg|Rechenbeispiel Division - 29]]

=== Aufgabe ===
* Sei &lt;math&gt;z=z_1 + \mathrm iz_2 \in \mathbb{C} \setminus \{0\}&lt;/math&gt; gegeben. Lösen Sie das Gleichungssystem:
:: &lt;math&gt;z\cdot x = 1 = 1 +0\mathrm i&lt;/math&gt; 
: mit &lt;math&gt;x= x_1 + \mathrm{i}x_2 \in \mathbb{C}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;x_1 , x_2 \in \mathbb{R}&lt;/math&gt;
* Zwei komplexe Zahl sind gleich, wenn diese bzgl. Realteil und Imaginärteil übereinstimmen. Dadurch entsteht ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und den beiden Unbekannten &lt;math&gt;x_1 , x_2 \in \mathbb{R}&lt;/math&gt;
[[Datei:Audio30 komplexe zahl ft.ogg|Aufgabe 30]]

=== Komplexe Zahlen als reeller Vektorraum ===
Der Körper &lt;math&gt; \mathbb{C} &lt;/math&gt; der komplexen Zahlen ist einerseits ein Oberkörper von &lt;math&gt; \mathbb{R}&lt;/math&gt;, andererseits ein zweidimensionaler &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;-[[w:de:Vektorraum|Vektorraum]]. Der [[w:de:Isomorphismus|Isomorphismus]] &lt;math&gt; \mathbb{C}  \cong \mathbb{R}^2&lt;/math&gt; wird auch als [[w:de:natürliche Identifikation|natürliche Identifikation]] bezeichnet. In der Regel nutzt man dies auch, um &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt; formell als &lt;math&gt;\mathbb{R}^2&lt;/math&gt; mit der entsprechenden komplexen Multiplikation zu ''definieren'' und dann &lt;math&gt;\mathrm{i} := (0,1)^\mathrm{T}&lt;/math&gt; zu setzen. Dabei hat die Gleichung &lt;math&gt;z^2=-1&lt;/math&gt; in den komplexen Zahlen zwei Lösungen. Dabei kann die Wurzel als Abbildung aber einen definierten Wert (wie in der reellen Analysis) besitzen &lt;math&gt;\sqrt{-1} = + \mathrm{i}&lt;/math&gt;.

[[Datei:Audio31 komplexe zahl ft.ogg|Komplexe Zahlen als reeller Vektorraum 31]]

=== Basis des Vektorraumes  ===
Als &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;-Vektorraum besitzt &lt;math&gt; \mathbb{C} &lt;/math&gt; die Basis &lt;math&gt;\{1, \mathrm{i}\}&lt;/math&gt;. Daneben ist &lt;math&gt; \mathbb{C} &lt;/math&gt; wie jeder Körper auch ein Vektorraum über sich selbst, also ein eindimensionaler &lt;math&gt; \mathbb{C} &lt;/math&gt;-Vektorraum mit Basis &lt;math&gt;\{1\}&lt;/math&gt;.
[[Datei:Audio32 komplexe zahl ft.ogg|Basis des Vektorraumes - 32]]

=== Keine Ordnungsrelation in komplexen Zahlen === 
&lt;math&gt; \mathbb{C} &lt;/math&gt; ist im Gegensatz zu &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; kein [[w:de:geordneter Körper|geordneter Körper]], d. h., es gibt keine mit der Körperstruktur verträgliche lineare Ordnungsrelation auf &lt;math&gt; \mathbb{C} &lt;/math&gt;. Von zwei unterschiedlichen komplexen Zahlen kann man daher nicht sinnvoll (bezogen auf die Addition und Multiplikation in &lt;math&gt; \mathbb{C} &lt;/math&gt;) festlegen, welche von beiden die größere bzw. die kleinere Zahl ist.

[[Datei:Audio32a komplexe zahl ft.ogg|Keine Ordnungsrelation in komplexen Zahlen - 32a]]

== Zusammenhang Darstellungsformen ==
[[Datei:Komplexe zahlenebene.svg|mini|hochkant=1.25|Gaußsche Ebene mit einer komplexen Zahl in kartesischen Koordinaten (a,b) und in Polarkoordinaten (r,φ)]]
[[Datei:Audio33 komplexe zahl ft.ogg|Zusammenhang Darstellungsformen - 33]]

=== Algebraische Form - Polarform ===
Während sich die Menge &lt;math&gt;\mathbb R&lt;/math&gt; der [[w:de:Reelle Zahlen|reellen Zahlen]] durch Punkte auf einer [[w:de:Zahlengerade|Zahlengerade]]n veranschaulichen lässt, kann man die Menge &lt;math&gt; \mathbb{C} &lt;/math&gt; der komplexen Zahlen als Punkte in einer Ebene (komplexe Ebene, gaußsche Zahlenebene) darstellen. Dies entspricht der „doppelten Natur“ von &lt;math&gt; \mathbb{C} &lt;/math&gt; als zweidimensionalem reellem Vektorraum.
[[Datei:Audio34 komplexe zahl ft.ogg|Algebraische Form - Polarform - 34]]

=== Punkte - Vektoren ===
Gemäß Definition entspricht die Addition komplexer Zahlen der Vektoraddition, wobei man die Punkte in der Zahlenebene mit ihren [[w:de:Ortsvektor|Ortsvektor]]en identifiziert. Die Multiplikation ist in der gaußschen Ebene eine [[w:de:Drehstreckung|Drehstreckung]], was nach Einführung der Polarform weiter unten klarer werden wird (siehe [https://www.geogebra.org/m/ETug55x4 Geogebra-Beispiel]).
[[Datei:Audio35 komplexe zahl ft.ogg|Punkte - Vektoren - 35]]

=== Umrechnungsformeln: algebraische Form in die Polarform ===
Für &lt;math&gt;z=a+b\,\mathrm{i}&lt;/math&gt; in algebraischer Form ist
:&lt;math&gt;r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}=\sqrt{z \cdot \overline z}.&lt;/math&gt;
Für &lt;math&gt;z = 0&lt;/math&gt; kann das Argument mit 0 definiert werden, bleibt aber meist undefiniert. Für &lt;math&gt;z \neq 0&lt;/math&gt; kann das Argument &lt;math&gt;\varphi&lt;/math&gt; im Intervall &lt;math&gt;(-\pi;\pi]&lt;/math&gt; mit Hilfe einer trigonometrischen Umkehrfunktion, bspw. mit Hilfe des [[w:de:Arkuskosinus|Arkuskosinus]]
:&lt;math&gt;\varphi=\arg(z)=\begin{cases} \arccos\frac{a}{r}&amp;\mathrm{f\ddot ur}\ b\geq 0\\-\arccos\frac{a}{r}&amp;\text{sonst} \end{cases} &lt;/math&gt;
ermittelt werden.
[[Datei:Audio36 komplexe zahl ft.ogg|Umrechnungsformeln: algebraische Form in die Polarform - 36]]

=== Umrechnungsformeln: Polarform in die algebraische Form ===
: &lt;math&gt;a = \mathfrak{Re}(z) = r \cdot \cos\varphi&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;b = \mathfrak{Im}(z) = r \cdot \sin\varphi&lt;/math&gt;
Wie weiter oben stellt &lt;math&gt;a\in \mathbb{R}&lt;/math&gt; den Realteil und &lt;math&gt;b\in \mathbb{R}&lt;/math&gt; den Imaginärteil jener komplexen Zahl &lt;math&gt;z = a+ib \in \mathbb{C}&lt;/math&gt; dar.
[[Datei:Audio37 komplexe zahl ft.ogg|Umrechnungsformeln: Polarform in die algebraische Form - 37]]

=== Arithmetische Operationen in der Polarform ===
Durch arithmetische Operationen sind folgende Operanden miteinander zu verknüpfen:
:&lt;math&gt;z_1=r\cdot (\cos \varphi + \mathrm{i}\cdot\sin \varphi) = r\cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;z_2=s\cdot (\cos \psi    + \mathrm{i}\cdot\sin \psi)    = s\cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}\psi}&lt;/math&gt;

Bei der Multiplikation werden die Beträge &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;s&lt;/math&gt; miteinander multipliziert und die zugehörigen Phasen &lt;math&gt;\varphi&lt;/math&gt; bzw. &lt;math&gt;\psi&lt;/math&gt; addiert. Bei der Division wird der Betrag des [[w:de:Dividend|Dividend]]en durch den Betrag des [[w:de:Division (Mathematik)|Divisors]] geteilt und die Phase des Divisors von der Phase des Dividenden subtrahiert. Für die Addition und die Subtraktion existiert auch eine, etwas kompliziertere, Formel:
[[Datei:Audio38 komplexe zahl ft.ogg|Arithmetische Operationen in der Polarform - 38]]

==== Trigonometrische Form - Multiplikation ====
[[Datei:Komplexe multiplikation.svg|mini|hochkant=1.25|Die Multiplikation von zwei komplexen Zahlen entspricht dem Addieren der Winkel und dem Multiplizieren der Beträge.]]
: &lt;math&gt;{z_1 \cdot z_2 = r \cdot s \cdot \left( \cos (\varphi+\psi) + \mathrm{i} \cdot \sin (\varphi+\psi) \right) }&lt;/math&gt;
[[Datei:Audio39 komplexe zahl ft.ogg|Trigonometrische Form - Multiplikation - 39]]

==== Trigonometrische Form - Division ====
: &lt;math&gt;\frac{z_1}{z_2} = \frac{r}{s} \cdot \left[ \cos (\varphi-\psi) + \mathrm{i} \cdot \sin (\varphi-\psi) \right]&lt;/math&gt;

[[Datei:Komplexe division.svg|mini|hochkant=1.25|Die Division von zwei komplexen Zahlen entspricht dem Subtrahieren der Winkel und dem Dividieren der Beträge.]]
[[Datei:Audio40 komplexe zahl ft.ogg|Trigonometrische Form - Division - 40]]

==== Exponentialform ====
* &lt;math&gt;z_1 \cdot z_2 = r \cdot s \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\varphi+\psi)}&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\frac{z_1}{z_2} = \frac{r}{s} \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\varphi-\psi)}&lt;/math&gt;
[[Datei:Audio41 komplexe zahl ft.ogg|Exponentialform - 41]]

== Realteil- und Imaginärteilfunktion ==
Sei &lt;math&gt;f:V\to\mathbb{C}&lt;/math&gt; so definiert man die Realteilfunktion und Imaginärteilfunktion als reellwertige Abbildung wie folgt.
* &lt;math&gt;g:V\to\mathbb{R}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;g(z):=\mathfrak{Re}(f(z))&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;h:V\to\mathbb{R}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;h(z):=\mathfrak{Im}(f(z))&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;f(z)=g(z)+i\cdot h(z)&lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt;z\in V&lt;/math&gt;
(siehe auch [[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]])

== Geschichte ==
Der Begriff „komplexe Zahlen“ wurde von [[w:de:Carl Friedrich Gauß|Carl Friedrich Gauß]] (''Theoria residuorum biquadraticorum,'' 1831) eingeführt, der Ursprung der Theorie der komplexen Zahlen geht auf die italienischen Mathematiker [[w:de:Gerolamo Cardano|Gerolamo Cardano]] (''Ars magna,'' Nürnberg 1545) und [[w:de:Rafael Bombelli|Rafael Bombelli]] (''L’Algebra,'' Bologna 1572; wahrscheinlich zwischen 1557 und 1560 geschrieben) zurück.&lt;ref&gt;{{Literatur |Autor=[[w:de:Helmuth Gericke|Helmuth Gericke]] |Titel=Geschichte des Zahlbegriffs |Verlag=Bibliographisches Institut |Ort=Mannheim |Datum=1970 |Seiten=57–67}}&lt;/ref&gt;
[[Datei:Audio42 komplexe zahl ft.ogg|Geschichte - 42]]

== Literatur ==
* Paul Nahin: ''An imaginary tale. The story of &lt;math&gt;\sqrt {-1}&lt;/math&gt;.'' Princeton University Press, 1998.
* Reinhold Remmert: ''Komplexe Zahlen.'' In D. Ebbinghaus u. a. (Hrsg.): ''Zahlen.'' Springer, 1983.

== Siehe auch ==
* [[Maxima CAS/Komplexe Zahlen]]
* [[Kurs:Mathematik der Quantenmechanik/Komplexe_Zahlen|Komplexe Zahl - Kurzfassung]] im [[Kurs:Mathematik der Quantenmechanik]]
* [[Orbitdarstellung von Polynomen]]
* [[Quaternion]]
* [[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]]
* [[w:de:Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatz der Algebra]]
* [[w:de:Konjugation (Mathematik)|Konjugation in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt;]]
* [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] und [[w:de:Isomorphismus|Isomorphie]] für den Bezug zwischen &lt;math&gt;\mathbb{R}^2&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt;.
* [[Kurs:Funktionentheorie]]
* [[Kurs:Funktionalanalysis/Hahn-Banach - komplexer Fall]]
* [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]]

== Wiki2Reveal ==
* '''[[Zahlbereichserweiterung|Zahlbereichserweiterung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&amp;title=Zahlbereichserweiterung&amp;author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&amp;language=de&amp;audioslide=yes&amp;shorttitle=Zahlbereichserweiterung&amp;coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]]

== Verwandte Themen ==
* [[w:de:Gaußsche Zahlen|Gaußsche Zahlen]] und [[w:de:Eisenstein-Zahlen|Eisenstein-Zahlen]] sind eine Verallgemeinerung der ganzen Zahlen auf die komplexen Zahlen.
* [[w:de:Hyperkomplexe Zahlen|Hyperkomplexe Zahlen]] verallgemeinern die algebraische Struktur der komplexen Zahlen.
* [[w:de:Komplexwertige Funktion|Komplexwertige Funktion]]en bilden komplexe Zahlen auf komplexe Zahlen ab.

== Literaturquellen ==
&lt;references/&gt;


== Seiteninformation ==
Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&amp;title=Komplexe_Zahl&amp;author=Funktionentheorie&amp;language=de&amp;audioslide=yes&amp;shorttitle=Komplexe%20Zahl&amp;coursetitle= Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen.

=== Wiki2Reveal ===

Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&amp;title=Komplexe_Zahl&amp;author=Funktionentheorie&amp;language=de&amp;audioslide=yes&amp;shorttitle=Komplexe%20Zahl&amp;coursetitle= Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Funktionentheorie Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem  [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt.
&lt;!--
* Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten:
** [https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe_Zahl https://de.wikiversity.org/wiki/Komplexe_Zahl]
--&gt;
* [https://de.wikiversity.org/wiki/Komplexe_Zahl Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt.
* Link zur Quelle in  Wikiversity:  https://de.wikiversity.org/wiki/Komplexe_Zahl
* siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&amp;title=Komplexe_Zahl&amp;author=Funktionentheorie&amp;language=de&amp;audioslide=yes&amp;shorttitle=Komplexe%20Zahl&amp;coursetitle= Wiki2Reveal-Linkgenerator].
&lt;!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --&gt;;

=== Wikipedia2Wikiversity ===
Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe%20Zahl Wikipedia-Quelle] erstellt:
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe%20Zahl Komplexe Zahl] https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe%20Zahl
* Datum: 16.10.2019
* [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity


[[Category:Wiki2Reveal]]


[[Category:Wiki2Reveal]]
[[Kategorie:Zahl]]
&lt;noinclude&gt;[[en:Complex numbers]]&lt;/noinclude&gt;</text>
      <sha1>gnowr9v2s12vfjzj1tihlyhsoepqhqw</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra</title>
    <ns>106</ns>
    <id>129962</id>
    <revision>
      <id>1115943</id>
      <parentid>872587</parentid>
      <timestamp>2026-10-13T08:10:57Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bert Niehaus</username>
        <id>20843</id>
      </contributor>
      <comment>/* Aufgabe für Lernende */</comment>
      <origin>1115943</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="9368" sha1="ayj2588hb9loqxcf6r7tipsavwghfy2" xml:space="preserve">== Einführung ==
Eine Polynomalgebra &lt;math&gt;A[t]&lt;/math&gt; ist ein Vektorraum von Polynomen, wobei die Koeffizienten aus der gegebenen Algebra &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; stammmen. Die Polynomalgebra &lt;math&gt;A[t]&lt;/math&gt; ist ein wesentliches Hilfsmittel, um eine Algebraerweiterung &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; von  &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; zu konstruieren, in denen ein gegebenes &lt;math&gt;z\in A&lt;/math&gt; invertierbar ist, wenn es bestimmte topologische Invertierbarkeitskriterien erfüllt.

=== Bemerkung: Algebraerweiterung ===
Bei der [[Algebraerweiterung|Konstruktion der Algebraerweiterung]], in der ein &lt;math&gt;z \in A&lt;/math&gt; invertierbar ist, wird in einem ersten Schritt die Algebra der Polynome &lt;math&gt;A[t]&lt;/math&gt; betrachtet. Die folgende Abbildung zeigt, wie die Algebraerweiterung &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; über die Polynomalgebra konstruiert wird. 

[[Datei:Algebra extension of polynomials.png|450px|rahmenlos|Algebraerweiterung und Polynomalgebren mit Koeffizienten in A]]

== Algebraischer Abschluss ==
Wir erweitern nur die Algebra &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; um ein zusätzliches Element &lt;math&gt;t \notin A&lt;/math&gt; enthält, das in einer Algebraerweiterung &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; enthalten sein soll. Da die Multiplikation und die Addition in &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; abgeschlossen sein müssen, entstehen Polynome durch Multiplikationen &lt;math&gt;a\cdot t&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;t\cdot t = t^2&lt;/math&gt; mit Koeffizienten &lt;math&gt;a\in A&lt;/math&gt;n, die als Summanden &lt;math&gt;a_n\cdot t^n&lt;/math&gt; als Polynome in der Algebraerweiterung enthalten sein müssen.

=== Erweiterung der Algebra ===
Dies beinhaltet die Abgeschlossenheit der
* multiplikative Verknüpfung von &lt;math&gt;t&lt;/math&gt; mit sich selbst und daher müssen auch &lt;math&gt;t^n&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;n \in \mathbb{N}&lt;/math&gt; wieder in &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; liegen,
* die beliebige multiplikative Verknüpfungen von &lt;math&gt;t^n \in B&lt;/math&gt; mit Elementen aus &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;  wieder in &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; liegen, d.h. &lt;math&gt;a_n \cdot t^n \in B&lt;/math&gt;  liegen.
* der additive algebraische Alschluss verlangt auch schließlich, dass additive Verknüpfungen aus &lt;math&gt;a_n \cdot t^n \in B&lt;/math&gt; wieder in &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; liegen.

=== Polynome mit Koeffizienten aus der gegebenen Algebra ===
Aus dieser Notwendigkeit betrachtet man Polynome mit Koeffizienten aus &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; als ersten Schritt, um eine Algebraerweiterung zu konstruieren, in der ein &lt;math&gt;z&lt;/math&gt; invertierbar sein kann.

== Polynomalgebra ==
Wir betrachten nun zu einer gegeben topologischen Algebra  &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\left(A,\left\|  \cdot \right\| _{{\mathcal{A}} }\right)\in \mathcal{K} (\mathbb{K}) &lt;/math&gt;  die Menge der Polynome mit Koeffizienten in &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.
:&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
     p(t)=\sum_{k=0}^{n} p_k\cdot t^k \mbox{ mit }
          p_k \in A \mbox{ für } k \in \{0,1,..., n\}
&lt;/math&gt;
und Potenzreihen mit Koeffizienten in der Algebra &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;
:&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
     p(t)=\sum_{k=0}^{\infty} p_k\cdot t^k \mbox{ mit }
           p_k \in A \mbox{ für } k \in \mathbb{N}_o
&lt;/math&gt;

=== Grad von Polynomen ===
Zunächst einmal würde man Polynome  formal eher in der obigen Form mit &lt;math&gt; n \in \mathbb{N}_o &lt;/math&gt; notieren und mit &lt;math&gt; p_n \not= 0_A &lt;/math&gt; würde &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; den Grad des Polynoms angeben. Für das Cauchyprodukt von zwei Polynomen &lt;math&gt;p,q \in A[t]&lt;/math&gt; ist diese Schreibweise allerdings ungeeignet, da bei der Addition und Multiplikation zwei Polynomen &lt;math&gt;p,q \in A[t]&lt;/math&gt; die Handhabung des Grades zusätzlichen formalen Aufwand nach sich zieht, der aber für die weitern Betrachtungen von Algebraerweiterungen keine Rolle spielt.

=== Schreibweise für die Polynomalgebra ===
Daher werden die Polynome wie folgt über &quot;endliche&quot; Folgen &lt;math&gt;c_{oo}(A)&lt;/math&gt; definiert, die ab einer Indexschranke &lt;math&gt;n\in\mathbb{N}_o&lt;/math&gt; nur noch aus dem Nullvektor &lt;math&gt;0_A&lt;/math&gt; in &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; besteht. 
:&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
     p(t)=\sum_{k=0}^{\infty} p_k\cdot t^k \mbox{ mit }
          (p_k)_{k\in\mathbb{N}_0}\in c_{oo}(A)
  &lt;/math&gt;

== Cauchy-Produkt ==
Gegeben sind allgemein zwei Polynome &lt;math&gt;p,q&lt;/math&gt; mit Koeffizienten aus &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;A&lt;/math&gt;.
:&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
    p(t):= \sum_{k=0}^{\infty} p_k\cdot t^k
         \mbox{ und }
    q(t):= \sum_{k=0}^{\infty} q_k\cdot t^k
  &lt;/math&gt;
Dann wird Cauchy-Produkt von &lt;math&gt;p,q&lt;/math&gt; wie folgt definiert:
:&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
    p(t)\cdot q(t):=\sum_{n=0}^{\infty} \left(
                    \sum_{k=0}^{n} p_k \cdot q_{n-k} \right) t^n.
&lt;/math&gt;

=== Bemerkung: Cauchy-Produkt ===
Betrachtet man Polynome &lt;math&gt;\mathbb{R}[t]&lt;/math&gt; oder &lt;math&gt;\mathbb{C}[t]&lt;/math&gt; mit reellen oder komplexwertigen Koeffizienten, so fasst das Cauchy-Produkt durch Anwendung vom Distributivgesetz, Assoziativgesetz und die Kommunitivtät der Addition die Terme bzgl. &lt;math&gt;t^n&lt;/math&gt;, die bei der Multiplikation den Exponenten &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; liefert, also:
:&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
  \left( p_k \cdot t^n \right) \cdot \left( q_{n-k} \cdot t^{n-k} \right)  = p_k \cdot q_{n-k} \cdot t^n
&lt;/math&gt;
Die dazu verwendeten algebraischen Operationen sind auch auf eine (topologische) Algebra übertragbar.

=== Bemerkung: Kommuntativtät Koeffizienten ===
In einer Algebra &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; kann die Kommutativität nicht für die Koeffizienten der Polynome &lt;math&gt;p_k \in A&lt;/math&gt; vorausgesetzt werden. Betrachten Sie dazu die Polynomalgebra &lt;math&gt;A[t]&lt;/math&gt; mit Koeffizienten aus &lt;math&gt;A:=Mat(n \times n, \mathbb{R})&lt;/math&gt; mit der Matrixmultiplikation als multiplikative Verknüpfung auf &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.


== Aufgabe für Lernende ==
* Betrachten Sie [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] der 3. Ordnung und erläutern Sie, warum diese mit Polynome mit Koeffizient im &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; darstellen, wobei hier der Definitionsbereich von &lt;math&gt;t\in [0,1]&lt;/math&gt; in der Anwendung auf ein Interval konkret beschränkt wird.
* Betrachten Sie die Algebra der &lt;math&gt;2\times 2&lt;/math&gt; Matrizen &lt;math&gt;A:=Mat(2\times 2,\mathbb{K})&lt;/math&gt; über dem Körper &lt;math&gt;\mathbb{K}=\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C}&lt;/math&gt; und der Matrixmultiplikation als multiplikative Verknüpfung auf &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;. 
** Welche Zusammenhänge aus der Linearen Algebra kennen Sie bzgl. Polynomen und Matrizen?
** Welche Gemeinsamkeiten und Unterschiede gibt es Sätzen in der [[w:de:Lineare Algebra|linearen Algebra]] (z.B. beim [[w:de:Charakteristisches Polynom|charakteristischen Polynom]], [[w:de:Satz_von_Cayley-Hamilton|Satz von Cayley-Hamiliton]], ...)

== Orbitdarstellung ==
Polynome &lt;math&gt;p\in A[t]&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;p(z):= \sum_{k=0}^n p_k\cdot z^k&lt;/math&gt; kann in eine Orbitdarstellung überführen, wobei die ganzzahlige Potenz &lt;math&gt;k \in \mathbb{N}_0&lt;/math&gt; als Winkelgeschwindigkeit in dem Orbit der entsprechenden Ordnung aufgefasst werden kann. Die Orbitdarstellung lautet mit &lt;math&gt;k_1,k_m \in \mathbb{N}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;n= \sum_{j=1}^m k_j &lt;/math&gt; und &lt;math&gt;b_1, b_m \not= 0{\!}_{_A}&lt;/math&gt; :
:&lt;math&gt;
  p(z) = (\ldots ((b_m \cdot z^{k_{m}} + b_{m-1})\cdot z^{k_{m-1}} + b_{m-2})\cdot \cdot z^{k_{m-2}} + .... + b_1) \cdot z^{k_{1}} + b_0
&lt;/math&gt;

== Siehe auch ==
* [[Algebraerweiterung]]
* [[w:de:Charakteristisches Polynom|charakteristischen Polynom]]
* [[w:de:Satz_von_Cayley-Hamilton|Satz von Cayley-Hamiliton]]
* [[w:de:Lineare Algebra|Lineare Algebra]]
* [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/B-Regularität|B-Regularität]]

== Seiteninformation ==
Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&amp;title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra&amp;author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&amp;language=de&amp;audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen.

=== Wiki2Reveal ===

Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&amp;title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra&amp;author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&amp;language=de&amp;audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem  [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt.
&lt;!--
* Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten:
** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra]
--&gt;
* [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt.
* Link zur Quelle in  Wikiversity:  https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra
* siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&amp;title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra&amp;author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&amp;language=de&amp;audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator].
&lt;!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --&gt;

[[Category:Wiki2Reveal]]
[[Category:Funktionalanalysis]]
&lt;noinclude&gt;[[en:Inverse-producing extensions of Topological Algebras/Algebra of polynomials]]&lt;/noinclude&gt;</text>
      <sha1>ayj2588hb9loqxcf6r7tipsavwghfy2</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>1115944</id>
      <parentid>1115943</parentid>
      <timestamp>2026-10-13T08:11:37Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bert Niehaus</username>
        <id>20843</id>
      </contributor>
      <comment>/* Orbitdarstellung */</comment>
      <origin>1115944</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="9390" sha1="lxbh1c7073i793myh84qnunbpkpgy6x" xml:space="preserve">== Einführung ==
Eine Polynomalgebra &lt;math&gt;A[t]&lt;/math&gt; ist ein Vektorraum von Polynomen, wobei die Koeffizienten aus der gegebenen Algebra &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; stammmen. Die Polynomalgebra &lt;math&gt;A[t]&lt;/math&gt; ist ein wesentliches Hilfsmittel, um eine Algebraerweiterung &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; von  &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; zu konstruieren, in denen ein gegebenes &lt;math&gt;z\in A&lt;/math&gt; invertierbar ist, wenn es bestimmte topologische Invertierbarkeitskriterien erfüllt.

=== Bemerkung: Algebraerweiterung ===
Bei der [[Algebraerweiterung|Konstruktion der Algebraerweiterung]], in der ein &lt;math&gt;z \in A&lt;/math&gt; invertierbar ist, wird in einem ersten Schritt die Algebra der Polynome &lt;math&gt;A[t]&lt;/math&gt; betrachtet. Die folgende Abbildung zeigt, wie die Algebraerweiterung &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; über die Polynomalgebra konstruiert wird. 

[[Datei:Algebra extension of polynomials.png|450px|rahmenlos|Algebraerweiterung und Polynomalgebren mit Koeffizienten in A]]

== Algebraischer Abschluss ==
Wir erweitern nur die Algebra &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; um ein zusätzliches Element &lt;math&gt;t \notin A&lt;/math&gt; enthält, das in einer Algebraerweiterung &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; enthalten sein soll. Da die Multiplikation und die Addition in &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; abgeschlossen sein müssen, entstehen Polynome durch Multiplikationen &lt;math&gt;a\cdot t&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;t\cdot t = t^2&lt;/math&gt; mit Koeffizienten &lt;math&gt;a\in A&lt;/math&gt;n, die als Summanden &lt;math&gt;a_n\cdot t^n&lt;/math&gt; als Polynome in der Algebraerweiterung enthalten sein müssen.

=== Erweiterung der Algebra ===
Dies beinhaltet die Abgeschlossenheit der
* multiplikative Verknüpfung von &lt;math&gt;t&lt;/math&gt; mit sich selbst und daher müssen auch &lt;math&gt;t^n&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;n \in \mathbb{N}&lt;/math&gt; wieder in &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; liegen,
* die beliebige multiplikative Verknüpfungen von &lt;math&gt;t^n \in B&lt;/math&gt; mit Elementen aus &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;  wieder in &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; liegen, d.h. &lt;math&gt;a_n \cdot t^n \in B&lt;/math&gt;  liegen.
* der additive algebraische Alschluss verlangt auch schließlich, dass additive Verknüpfungen aus &lt;math&gt;a_n \cdot t^n \in B&lt;/math&gt; wieder in &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; liegen.

=== Polynome mit Koeffizienten aus der gegebenen Algebra ===
Aus dieser Notwendigkeit betrachtet man Polynome mit Koeffizienten aus &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; als ersten Schritt, um eine Algebraerweiterung zu konstruieren, in der ein &lt;math&gt;z&lt;/math&gt; invertierbar sein kann.

== Polynomalgebra ==
Wir betrachten nun zu einer gegeben topologischen Algebra  &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\left(A,\left\|  \cdot \right\| _{{\mathcal{A}} }\right)\in \mathcal{K} (\mathbb{K}) &lt;/math&gt;  die Menge der Polynome mit Koeffizienten in &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.
:&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
     p(t)=\sum_{k=0}^{n} p_k\cdot t^k \mbox{ mit }
          p_k \in A \mbox{ für } k \in \{0,1,..., n\}
&lt;/math&gt;
und Potenzreihen mit Koeffizienten in der Algebra &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;
:&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
     p(t)=\sum_{k=0}^{\infty} p_k\cdot t^k \mbox{ mit }
           p_k \in A \mbox{ für } k \in \mathbb{N}_o
&lt;/math&gt;

=== Grad von Polynomen ===
Zunächst einmal würde man Polynome  formal eher in der obigen Form mit &lt;math&gt; n \in \mathbb{N}_o &lt;/math&gt; notieren und mit &lt;math&gt; p_n \not= 0_A &lt;/math&gt; würde &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; den Grad des Polynoms angeben. Für das Cauchyprodukt von zwei Polynomen &lt;math&gt;p,q \in A[t]&lt;/math&gt; ist diese Schreibweise allerdings ungeeignet, da bei der Addition und Multiplikation zwei Polynomen &lt;math&gt;p,q \in A[t]&lt;/math&gt; die Handhabung des Grades zusätzlichen formalen Aufwand nach sich zieht, der aber für die weitern Betrachtungen von Algebraerweiterungen keine Rolle spielt.

=== Schreibweise für die Polynomalgebra ===
Daher werden die Polynome wie folgt über &quot;endliche&quot; Folgen &lt;math&gt;c_{oo}(A)&lt;/math&gt; definiert, die ab einer Indexschranke &lt;math&gt;n\in\mathbb{N}_o&lt;/math&gt; nur noch aus dem Nullvektor &lt;math&gt;0_A&lt;/math&gt; in &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; besteht. 
:&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
     p(t)=\sum_{k=0}^{\infty} p_k\cdot t^k \mbox{ mit }
          (p_k)_{k\in\mathbb{N}_0}\in c_{oo}(A)
  &lt;/math&gt;

== Cauchy-Produkt ==
Gegeben sind allgemein zwei Polynome &lt;math&gt;p,q&lt;/math&gt; mit Koeffizienten aus &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;A&lt;/math&gt;.
:&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
    p(t):= \sum_{k=0}^{\infty} p_k\cdot t^k
         \mbox{ und }
    q(t):= \sum_{k=0}^{\infty} q_k\cdot t^k
  &lt;/math&gt;
Dann wird Cauchy-Produkt von &lt;math&gt;p,q&lt;/math&gt; wie folgt definiert:
:&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
    p(t)\cdot q(t):=\sum_{n=0}^{\infty} \left(
                    \sum_{k=0}^{n} p_k \cdot q_{n-k} \right) t^n.
&lt;/math&gt;

=== Bemerkung: Cauchy-Produkt ===
Betrachtet man Polynome &lt;math&gt;\mathbb{R}[t]&lt;/math&gt; oder &lt;math&gt;\mathbb{C}[t]&lt;/math&gt; mit reellen oder komplexwertigen Koeffizienten, so fasst das Cauchy-Produkt durch Anwendung vom Distributivgesetz, Assoziativgesetz und die Kommunitivtät der Addition die Terme bzgl. &lt;math&gt;t^n&lt;/math&gt;, die bei der Multiplikation den Exponenten &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; liefert, also:
:&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
  \left( p_k \cdot t^n \right) \cdot \left( q_{n-k} \cdot t^{n-k} \right)  = p_k \cdot q_{n-k} \cdot t^n
&lt;/math&gt;
Die dazu verwendeten algebraischen Operationen sind auch auf eine (topologische) Algebra übertragbar.

=== Bemerkung: Kommuntativtät Koeffizienten ===
In einer Algebra &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; kann die Kommutativität nicht für die Koeffizienten der Polynome &lt;math&gt;p_k \in A&lt;/math&gt; vorausgesetzt werden. Betrachten Sie dazu die Polynomalgebra &lt;math&gt;A[t]&lt;/math&gt; mit Koeffizienten aus &lt;math&gt;A:=Mat(n \times n, \mathbb{R})&lt;/math&gt; mit der Matrixmultiplikation als multiplikative Verknüpfung auf &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.


== Aufgabe für Lernende ==
* Betrachten Sie [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] der 3. Ordnung und erläutern Sie, warum diese mit Polynome mit Koeffizient im &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; darstellen, wobei hier der Definitionsbereich von &lt;math&gt;t\in [0,1]&lt;/math&gt; in der Anwendung auf ein Interval konkret beschränkt wird.
* Betrachten Sie die Algebra der &lt;math&gt;2\times 2&lt;/math&gt; Matrizen &lt;math&gt;A:=Mat(2\times 2,\mathbb{K})&lt;/math&gt; über dem Körper &lt;math&gt;\mathbb{K}=\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C}&lt;/math&gt; und der Matrixmultiplikation als multiplikative Verknüpfung auf &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;. 
** Welche Zusammenhänge aus der Linearen Algebra kennen Sie bzgl. Polynomen und Matrizen?
** Welche Gemeinsamkeiten und Unterschiede gibt es Sätzen in der [[w:de:Lineare Algebra|linearen Algebra]] (z.B. beim [[w:de:Charakteristisches Polynom|charakteristischen Polynom]], [[w:de:Satz_von_Cayley-Hamilton|Satz von Cayley-Hamiliton]], ...)

== Orbitdarstellung ==
Polynome &lt;math&gt;p\in A[t]&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;p(z):= \textstyle \sum_{k=0}^n p_k\cdot z^k&lt;/math&gt; kann in eine Orbitdarstellung überführen, wobei die ganzzahlige Potenz &lt;math&gt;k \in \mathbb{N}_0&lt;/math&gt; als Winkelgeschwindigkeit in dem Orbit der entsprechenden Ordnung aufgefasst werden kann. Die Orbitdarstellung lautet mit &lt;math&gt;k_1,k_m \in \mathbb{N}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;n= \textstyle \sum_{j=1}^m k_j &lt;/math&gt; und &lt;math&gt;b_1, b_m \not= 0{\!}_{_A}&lt;/math&gt; :
:&lt;math&gt;
  p(z) = (\ldots ((b_m \cdot z^{k_{m}} + b_{m-1})\cdot z^{k_{m-1}} + b_{m-2})\cdot \cdot z^{k_{m-2}} + .... + b_1) \cdot z^{k_{1}} + b_0
&lt;/math&gt;

== Siehe auch ==
* [[Algebraerweiterung]]
* [[w:de:Charakteristisches Polynom|charakteristischen Polynom]]
* [[w:de:Satz_von_Cayley-Hamilton|Satz von Cayley-Hamiliton]]
* [[w:de:Lineare Algebra|Lineare Algebra]]
* [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/B-Regularität|B-Regularität]]

== Seiteninformation ==
Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&amp;title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra&amp;author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&amp;language=de&amp;audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen.

=== Wiki2Reveal ===

Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&amp;title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra&amp;author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&amp;language=de&amp;audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem  [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt.
&lt;!--
* Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten:
** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra]
--&gt;
* [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt.
* Link zur Quelle in  Wikiversity:  https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra
* siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&amp;title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra&amp;author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&amp;language=de&amp;audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator].
&lt;!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --&gt;

[[Category:Wiki2Reveal]]
[[Category:Funktionalanalysis]]
&lt;noinclude&gt;[[en:Inverse-producing extensions of Topological Algebras/Algebra of polynomials]]&lt;/noinclude&gt;</text>
      <sha1>lxbh1c7073i793myh84qnunbpkpgy6x</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>1115945</id>
      <parentid>1115944</parentid>
      <timestamp>2026-10-13T08:13:36Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bert Niehaus</username>
        <id>20843</id>
      </contributor>
      <comment>/* Orbitdarstellung */</comment>
      <origin>1115945</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="9444" sha1="51a93fenewa00uvxkbts2tow7oap90z" xml:space="preserve">== Einführung ==
Eine Polynomalgebra &lt;math&gt;A[t]&lt;/math&gt; ist ein Vektorraum von Polynomen, wobei die Koeffizienten aus der gegebenen Algebra &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; stammmen. Die Polynomalgebra &lt;math&gt;A[t]&lt;/math&gt; ist ein wesentliches Hilfsmittel, um eine Algebraerweiterung &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; von  &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; zu konstruieren, in denen ein gegebenes &lt;math&gt;z\in A&lt;/math&gt; invertierbar ist, wenn es bestimmte topologische Invertierbarkeitskriterien erfüllt.

=== Bemerkung: Algebraerweiterung ===
Bei der [[Algebraerweiterung|Konstruktion der Algebraerweiterung]], in der ein &lt;math&gt;z \in A&lt;/math&gt; invertierbar ist, wird in einem ersten Schritt die Algebra der Polynome &lt;math&gt;A[t]&lt;/math&gt; betrachtet. Die folgende Abbildung zeigt, wie die Algebraerweiterung &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; über die Polynomalgebra konstruiert wird. 

[[Datei:Algebra extension of polynomials.png|450px|rahmenlos|Algebraerweiterung und Polynomalgebren mit Koeffizienten in A]]

== Algebraischer Abschluss ==
Wir erweitern nur die Algebra &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; um ein zusätzliches Element &lt;math&gt;t \notin A&lt;/math&gt; enthält, das in einer Algebraerweiterung &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; enthalten sein soll. Da die Multiplikation und die Addition in &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; abgeschlossen sein müssen, entstehen Polynome durch Multiplikationen &lt;math&gt;a\cdot t&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;t\cdot t = t^2&lt;/math&gt; mit Koeffizienten &lt;math&gt;a\in A&lt;/math&gt;n, die als Summanden &lt;math&gt;a_n\cdot t^n&lt;/math&gt; als Polynome in der Algebraerweiterung enthalten sein müssen.

=== Erweiterung der Algebra ===
Dies beinhaltet die Abgeschlossenheit der
* multiplikative Verknüpfung von &lt;math&gt;t&lt;/math&gt; mit sich selbst und daher müssen auch &lt;math&gt;t^n&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;n \in \mathbb{N}&lt;/math&gt; wieder in &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; liegen,
* die beliebige multiplikative Verknüpfungen von &lt;math&gt;t^n \in B&lt;/math&gt; mit Elementen aus &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;  wieder in &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; liegen, d.h. &lt;math&gt;a_n \cdot t^n \in B&lt;/math&gt;  liegen.
* der additive algebraische Alschluss verlangt auch schließlich, dass additive Verknüpfungen aus &lt;math&gt;a_n \cdot t^n \in B&lt;/math&gt; wieder in &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; liegen.

=== Polynome mit Koeffizienten aus der gegebenen Algebra ===
Aus dieser Notwendigkeit betrachtet man Polynome mit Koeffizienten aus &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; als ersten Schritt, um eine Algebraerweiterung zu konstruieren, in der ein &lt;math&gt;z&lt;/math&gt; invertierbar sein kann.

== Polynomalgebra ==
Wir betrachten nun zu einer gegeben topologischen Algebra  &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\left(A,\left\|  \cdot \right\| _{{\mathcal{A}} }\right)\in \mathcal{K} (\mathbb{K}) &lt;/math&gt;  die Menge der Polynome mit Koeffizienten in &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.
:&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
     p(t)=\sum_{k=0}^{n} p_k\cdot t^k \mbox{ mit }
          p_k \in A \mbox{ für } k \in \{0,1,..., n\}
&lt;/math&gt;
und Potenzreihen mit Koeffizienten in der Algebra &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;
:&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
     p(t)=\sum_{k=0}^{\infty} p_k\cdot t^k \mbox{ mit }
           p_k \in A \mbox{ für } k \in \mathbb{N}_o
&lt;/math&gt;

=== Grad von Polynomen ===
Zunächst einmal würde man Polynome  formal eher in der obigen Form mit &lt;math&gt; n \in \mathbb{N}_o &lt;/math&gt; notieren und mit &lt;math&gt; p_n \not= 0_A &lt;/math&gt; würde &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; den Grad des Polynoms angeben. Für das Cauchyprodukt von zwei Polynomen &lt;math&gt;p,q \in A[t]&lt;/math&gt; ist diese Schreibweise allerdings ungeeignet, da bei der Addition und Multiplikation zwei Polynomen &lt;math&gt;p,q \in A[t]&lt;/math&gt; die Handhabung des Grades zusätzlichen formalen Aufwand nach sich zieht, der aber für die weitern Betrachtungen von Algebraerweiterungen keine Rolle spielt.

=== Schreibweise für die Polynomalgebra ===
Daher werden die Polynome wie folgt über &quot;endliche&quot; Folgen &lt;math&gt;c_{oo}(A)&lt;/math&gt; definiert, die ab einer Indexschranke &lt;math&gt;n\in\mathbb{N}_o&lt;/math&gt; nur noch aus dem Nullvektor &lt;math&gt;0_A&lt;/math&gt; in &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; besteht. 
:&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
     p(t)=\sum_{k=0}^{\infty} p_k\cdot t^k \mbox{ mit }
          (p_k)_{k\in\mathbb{N}_0}\in c_{oo}(A)
  &lt;/math&gt;

== Cauchy-Produkt ==
Gegeben sind allgemein zwei Polynome &lt;math&gt;p,q&lt;/math&gt; mit Koeffizienten aus &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;A&lt;/math&gt;.
:&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
    p(t):= \sum_{k=0}^{\infty} p_k\cdot t^k
         \mbox{ und }
    q(t):= \sum_{k=0}^{\infty} q_k\cdot t^k
  &lt;/math&gt;
Dann wird Cauchy-Produkt von &lt;math&gt;p,q&lt;/math&gt; wie folgt definiert:
:&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
    p(t)\cdot q(t):=\sum_{n=0}^{\infty} \left(
                    \sum_{k=0}^{n} p_k \cdot q_{n-k} \right) t^n.
&lt;/math&gt;

=== Bemerkung: Cauchy-Produkt ===
Betrachtet man Polynome &lt;math&gt;\mathbb{R}[t]&lt;/math&gt; oder &lt;math&gt;\mathbb{C}[t]&lt;/math&gt; mit reellen oder komplexwertigen Koeffizienten, so fasst das Cauchy-Produkt durch Anwendung vom Distributivgesetz, Assoziativgesetz und die Kommunitivtät der Addition die Terme bzgl. &lt;math&gt;t^n&lt;/math&gt;, die bei der Multiplikation den Exponenten &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; liefert, also:
:&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
  \left( p_k \cdot t^n \right) \cdot \left( q_{n-k} \cdot t^{n-k} \right)  = p_k \cdot q_{n-k} \cdot t^n
&lt;/math&gt;
Die dazu verwendeten algebraischen Operationen sind auch auf eine (topologische) Algebra übertragbar.

=== Bemerkung: Kommuntativtät Koeffizienten ===
In einer Algebra &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; kann die Kommutativität nicht für die Koeffizienten der Polynome &lt;math&gt;p_k \in A&lt;/math&gt; vorausgesetzt werden. Betrachten Sie dazu die Polynomalgebra &lt;math&gt;A[t]&lt;/math&gt; mit Koeffizienten aus &lt;math&gt;A:=Mat(n \times n, \mathbb{R})&lt;/math&gt; mit der Matrixmultiplikation als multiplikative Verknüpfung auf &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.


== Aufgabe für Lernende ==
* Betrachten Sie [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] der 3. Ordnung und erläutern Sie, warum diese mit Polynome mit Koeffizient im &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; darstellen, wobei hier der Definitionsbereich von &lt;math&gt;t\in [0,1]&lt;/math&gt; in der Anwendung auf ein Interval konkret beschränkt wird.
* Betrachten Sie die Algebra der &lt;math&gt;2\times 2&lt;/math&gt; Matrizen &lt;math&gt;A:=Mat(2\times 2,\mathbb{K})&lt;/math&gt; über dem Körper &lt;math&gt;\mathbb{K}=\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C}&lt;/math&gt; und der Matrixmultiplikation als multiplikative Verknüpfung auf &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;. 
** Welche Zusammenhänge aus der Linearen Algebra kennen Sie bzgl. Polynomen und Matrizen?
** Welche Gemeinsamkeiten und Unterschiede gibt es Sätzen in der [[w:de:Lineare Algebra|linearen Algebra]] (z.B. beim [[w:de:Charakteristisches Polynom|charakteristischen Polynom]], [[w:de:Satz_von_Cayley-Hamilton|Satz von Cayley-Hamiliton]], ...)

== Orbitdarstellung ==
Polynome &lt;math&gt;p\in A[t]&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;p(z):= \textstyle \sum_{k=0}^n p_k\cdot z^k&lt;/math&gt; kann in eine Orbitdarstellung überführen, wobei die ganzzahlige Potenz &lt;math&gt;k \in \mathbb{N}_0&lt;/math&gt; als Winkelgeschwindigkeit in dem Orbit der entsprechenden Ordnung aufgefasst werden kann. Die Orbitdarstellung lautet mit &lt;math&gt;k_1,k_m \in \mathbb{N}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;n= \textstyle \sum_{j=1}^m k_j &lt;/math&gt; und &lt;math&gt;b_1, b_m \not= 0{\!}_{_A}&lt;/math&gt; :
:&lt;math&gt;
  p(z) = (\ldots ((b_m \cdot z^{k_{m}} + b_{m-1})\cdot z^{k_{m-1}} + b_{m-2})\cdot z^{k_{m-2}} + ..... + b_1) \cdot z^{k_{1}} + b_0
&lt;/math&gt;

=== Orbitdarstellung in den komplexwertigen Polynomen ===

== Siehe auch ==
* [[Algebraerweiterung]]
* [[w:de:Charakteristisches Polynom|charakteristischen Polynom]]
* [[w:de:Satz_von_Cayley-Hamilton|Satz von Cayley-Hamiliton]]
* [[w:de:Lineare Algebra|Lineare Algebra]]
* [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/B-Regularität|B-Regularität]]

== Seiteninformation ==
Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&amp;title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra&amp;author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&amp;language=de&amp;audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen.

=== Wiki2Reveal ===

Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&amp;title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra&amp;author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&amp;language=de&amp;audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem  [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt.
&lt;!--
* Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten:
** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra]
--&gt;
* [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt.
* Link zur Quelle in  Wikiversity:  https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra
* siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&amp;title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra&amp;author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&amp;language=de&amp;audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator].
&lt;!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --&gt;

[[Category:Wiki2Reveal]]
[[Category:Funktionalanalysis]]
&lt;noinclude&gt;[[en:Inverse-producing extensions of Topological Algebras/Algebra of polynomials]]&lt;/noinclude&gt;</text>
      <sha1>51a93fenewa00uvxkbts2tow7oap90z</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>1115946</id>
      <parentid>1115945</parentid>
      <timestamp>2026-10-13T08:14:47Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bert Niehaus</username>
        <id>20843</id>
      </contributor>
      <comment>/* Siehe auch */</comment>
      <origin>1115946</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="9488" sha1="jdpv8z7xmefw5h8k8hoxl29k5bc94d0" xml:space="preserve">== Einführung ==
Eine Polynomalgebra &lt;math&gt;A[t]&lt;/math&gt; ist ein Vektorraum von Polynomen, wobei die Koeffizienten aus der gegebenen Algebra &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; stammmen. Die Polynomalgebra &lt;math&gt;A[t]&lt;/math&gt; ist ein wesentliches Hilfsmittel, um eine Algebraerweiterung &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; von  &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; zu konstruieren, in denen ein gegebenes &lt;math&gt;z\in A&lt;/math&gt; invertierbar ist, wenn es bestimmte topologische Invertierbarkeitskriterien erfüllt.

=== Bemerkung: Algebraerweiterung ===
Bei der [[Algebraerweiterung|Konstruktion der Algebraerweiterung]], in der ein &lt;math&gt;z \in A&lt;/math&gt; invertierbar ist, wird in einem ersten Schritt die Algebra der Polynome &lt;math&gt;A[t]&lt;/math&gt; betrachtet. Die folgende Abbildung zeigt, wie die Algebraerweiterung &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; über die Polynomalgebra konstruiert wird. 

[[Datei:Algebra extension of polynomials.png|450px|rahmenlos|Algebraerweiterung und Polynomalgebren mit Koeffizienten in A]]

== Algebraischer Abschluss ==
Wir erweitern nur die Algebra &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; um ein zusätzliches Element &lt;math&gt;t \notin A&lt;/math&gt; enthält, das in einer Algebraerweiterung &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; enthalten sein soll. Da die Multiplikation und die Addition in &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; abgeschlossen sein müssen, entstehen Polynome durch Multiplikationen &lt;math&gt;a\cdot t&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;t\cdot t = t^2&lt;/math&gt; mit Koeffizienten &lt;math&gt;a\in A&lt;/math&gt;n, die als Summanden &lt;math&gt;a_n\cdot t^n&lt;/math&gt; als Polynome in der Algebraerweiterung enthalten sein müssen.

=== Erweiterung der Algebra ===
Dies beinhaltet die Abgeschlossenheit der
* multiplikative Verknüpfung von &lt;math&gt;t&lt;/math&gt; mit sich selbst und daher müssen auch &lt;math&gt;t^n&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;n \in \mathbb{N}&lt;/math&gt; wieder in &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; liegen,
* die beliebige multiplikative Verknüpfungen von &lt;math&gt;t^n \in B&lt;/math&gt; mit Elementen aus &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;  wieder in &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; liegen, d.h. &lt;math&gt;a_n \cdot t^n \in B&lt;/math&gt;  liegen.
* der additive algebraische Alschluss verlangt auch schließlich, dass additive Verknüpfungen aus &lt;math&gt;a_n \cdot t^n \in B&lt;/math&gt; wieder in &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; liegen.

=== Polynome mit Koeffizienten aus der gegebenen Algebra ===
Aus dieser Notwendigkeit betrachtet man Polynome mit Koeffizienten aus &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; als ersten Schritt, um eine Algebraerweiterung zu konstruieren, in der ein &lt;math&gt;z&lt;/math&gt; invertierbar sein kann.

== Polynomalgebra ==
Wir betrachten nun zu einer gegeben topologischen Algebra  &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\left(A,\left\|  \cdot \right\| _{{\mathcal{A}} }\right)\in \mathcal{K} (\mathbb{K}) &lt;/math&gt;  die Menge der Polynome mit Koeffizienten in &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.
:&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
     p(t)=\sum_{k=0}^{n} p_k\cdot t^k \mbox{ mit }
          p_k \in A \mbox{ für } k \in \{0,1,..., n\}
&lt;/math&gt;
und Potenzreihen mit Koeffizienten in der Algebra &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;
:&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
     p(t)=\sum_{k=0}^{\infty} p_k\cdot t^k \mbox{ mit }
           p_k \in A \mbox{ für } k \in \mathbb{N}_o
&lt;/math&gt;

=== Grad von Polynomen ===
Zunächst einmal würde man Polynome  formal eher in der obigen Form mit &lt;math&gt; n \in \mathbb{N}_o &lt;/math&gt; notieren und mit &lt;math&gt; p_n \not= 0_A &lt;/math&gt; würde &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; den Grad des Polynoms angeben. Für das Cauchyprodukt von zwei Polynomen &lt;math&gt;p,q \in A[t]&lt;/math&gt; ist diese Schreibweise allerdings ungeeignet, da bei der Addition und Multiplikation zwei Polynomen &lt;math&gt;p,q \in A[t]&lt;/math&gt; die Handhabung des Grades zusätzlichen formalen Aufwand nach sich zieht, der aber für die weitern Betrachtungen von Algebraerweiterungen keine Rolle spielt.

=== Schreibweise für die Polynomalgebra ===
Daher werden die Polynome wie folgt über &quot;endliche&quot; Folgen &lt;math&gt;c_{oo}(A)&lt;/math&gt; definiert, die ab einer Indexschranke &lt;math&gt;n\in\mathbb{N}_o&lt;/math&gt; nur noch aus dem Nullvektor &lt;math&gt;0_A&lt;/math&gt; in &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; besteht. 
:&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
     p(t)=\sum_{k=0}^{\infty} p_k\cdot t^k \mbox{ mit }
          (p_k)_{k\in\mathbb{N}_0}\in c_{oo}(A)
  &lt;/math&gt;

== Cauchy-Produkt ==
Gegeben sind allgemein zwei Polynome &lt;math&gt;p,q&lt;/math&gt; mit Koeffizienten aus &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;A&lt;/math&gt;.
:&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
    p(t):= \sum_{k=0}^{\infty} p_k\cdot t^k
         \mbox{ und }
    q(t):= \sum_{k=0}^{\infty} q_k\cdot t^k
  &lt;/math&gt;
Dann wird Cauchy-Produkt von &lt;math&gt;p,q&lt;/math&gt; wie folgt definiert:
:&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
    p(t)\cdot q(t):=\sum_{n=0}^{\infty} \left(
                    \sum_{k=0}^{n} p_k \cdot q_{n-k} \right) t^n.
&lt;/math&gt;

=== Bemerkung: Cauchy-Produkt ===
Betrachtet man Polynome &lt;math&gt;\mathbb{R}[t]&lt;/math&gt; oder &lt;math&gt;\mathbb{C}[t]&lt;/math&gt; mit reellen oder komplexwertigen Koeffizienten, so fasst das Cauchy-Produkt durch Anwendung vom Distributivgesetz, Assoziativgesetz und die Kommunitivtät der Addition die Terme bzgl. &lt;math&gt;t^n&lt;/math&gt;, die bei der Multiplikation den Exponenten &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; liefert, also:
:&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
  \left( p_k \cdot t^n \right) \cdot \left( q_{n-k} \cdot t^{n-k} \right)  = p_k \cdot q_{n-k} \cdot t^n
&lt;/math&gt;
Die dazu verwendeten algebraischen Operationen sind auch auf eine (topologische) Algebra übertragbar.

=== Bemerkung: Kommuntativtät Koeffizienten ===
In einer Algebra &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; kann die Kommutativität nicht für die Koeffizienten der Polynome &lt;math&gt;p_k \in A&lt;/math&gt; vorausgesetzt werden. Betrachten Sie dazu die Polynomalgebra &lt;math&gt;A[t]&lt;/math&gt; mit Koeffizienten aus &lt;math&gt;A:=Mat(n \times n, \mathbb{R})&lt;/math&gt; mit der Matrixmultiplikation als multiplikative Verknüpfung auf &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.


== Aufgabe für Lernende ==
* Betrachten Sie [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] der 3. Ordnung und erläutern Sie, warum diese mit Polynome mit Koeffizient im &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; darstellen, wobei hier der Definitionsbereich von &lt;math&gt;t\in [0,1]&lt;/math&gt; in der Anwendung auf ein Interval konkret beschränkt wird.
* Betrachten Sie die Algebra der &lt;math&gt;2\times 2&lt;/math&gt; Matrizen &lt;math&gt;A:=Mat(2\times 2,\mathbb{K})&lt;/math&gt; über dem Körper &lt;math&gt;\mathbb{K}=\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C}&lt;/math&gt; und der Matrixmultiplikation als multiplikative Verknüpfung auf &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;. 
** Welche Zusammenhänge aus der Linearen Algebra kennen Sie bzgl. Polynomen und Matrizen?
** Welche Gemeinsamkeiten und Unterschiede gibt es Sätzen in der [[w:de:Lineare Algebra|linearen Algebra]] (z.B. beim [[w:de:Charakteristisches Polynom|charakteristischen Polynom]], [[w:de:Satz_von_Cayley-Hamilton|Satz von Cayley-Hamiliton]], ...)

== Orbitdarstellung ==
Polynome &lt;math&gt;p\in A[t]&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;p(z):= \textstyle \sum_{k=0}^n p_k\cdot z^k&lt;/math&gt; kann in eine Orbitdarstellung überführen, wobei die ganzzahlige Potenz &lt;math&gt;k \in \mathbb{N}_0&lt;/math&gt; als Winkelgeschwindigkeit in dem Orbit der entsprechenden Ordnung aufgefasst werden kann. Die Orbitdarstellung lautet mit &lt;math&gt;k_1,k_m \in \mathbb{N}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;n= \textstyle \sum_{j=1}^m k_j &lt;/math&gt; und &lt;math&gt;b_1, b_m \not= 0{\!}_{_A}&lt;/math&gt; :
:&lt;math&gt;
  p(z) = (\ldots ((b_m \cdot z^{k_{m}} + b_{m-1})\cdot z^{k_{m-1}} + b_{m-2})\cdot z^{k_{m-2}} + ..... + b_1) \cdot z^{k_{1}} + b_0
&lt;/math&gt;

=== Orbitdarstellung in den komplexwertigen Polynomen ===

== Siehe auch ==
* [[Algebraerweiterung]]
* [[w:de:Charakteristisches Polynom|charakteristischen Polynom]]
* [[w:de:Satz_von_Cayley-Hamilton|Satz von Cayley-Hamiliton]]
* [[w:de:Lineare Algebra|Lineare Algebra]]
* [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/B-Regularität|B-Regularität]]

=== Kurse ===
* [[Kurs:Funktionentheorie]]

== Seiteninformation ==
Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&amp;title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra&amp;author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&amp;language=de&amp;audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen.

=== Wiki2Reveal ===

Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&amp;title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra&amp;author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&amp;language=de&amp;audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem  [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt.
&lt;!--
* Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten:
** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra]
--&gt;
* [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt.
* Link zur Quelle in  Wikiversity:  https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra
* siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&amp;title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra&amp;author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&amp;language=de&amp;audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator].
&lt;!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --&gt;

[[Category:Wiki2Reveal]]
[[Category:Funktionalanalysis]]
&lt;noinclude&gt;[[en:Inverse-producing extensions of Topological Algebras/Algebra of polynomials]]&lt;/noinclude&gt;</text>
      <sha1>jdpv8z7xmefw5h8k8hoxl29k5bc94d0</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>1115947</id>
      <parentid>1115946</parentid>
      <timestamp>2026-10-13T08:15:24Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bert Niehaus</username>
        <id>20843</id>
      </contributor>
      <comment>/* Kurse */</comment>
      <origin>1115947</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="9539" sha1="f1rfj4x6uoiytfa1awve5b1ghi6fhuv" xml:space="preserve">== Einführung ==
Eine Polynomalgebra &lt;math&gt;A[t]&lt;/math&gt; ist ein Vektorraum von Polynomen, wobei die Koeffizienten aus der gegebenen Algebra &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; stammmen. Die Polynomalgebra &lt;math&gt;A[t]&lt;/math&gt; ist ein wesentliches Hilfsmittel, um eine Algebraerweiterung &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; von  &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; zu konstruieren, in denen ein gegebenes &lt;math&gt;z\in A&lt;/math&gt; invertierbar ist, wenn es bestimmte topologische Invertierbarkeitskriterien erfüllt.

=== Bemerkung: Algebraerweiterung ===
Bei der [[Algebraerweiterung|Konstruktion der Algebraerweiterung]], in der ein &lt;math&gt;z \in A&lt;/math&gt; invertierbar ist, wird in einem ersten Schritt die Algebra der Polynome &lt;math&gt;A[t]&lt;/math&gt; betrachtet. Die folgende Abbildung zeigt, wie die Algebraerweiterung &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; über die Polynomalgebra konstruiert wird. 

[[Datei:Algebra extension of polynomials.png|450px|rahmenlos|Algebraerweiterung und Polynomalgebren mit Koeffizienten in A]]

== Algebraischer Abschluss ==
Wir erweitern nur die Algebra &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; um ein zusätzliches Element &lt;math&gt;t \notin A&lt;/math&gt; enthält, das in einer Algebraerweiterung &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; enthalten sein soll. Da die Multiplikation und die Addition in &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; abgeschlossen sein müssen, entstehen Polynome durch Multiplikationen &lt;math&gt;a\cdot t&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;t\cdot t = t^2&lt;/math&gt; mit Koeffizienten &lt;math&gt;a\in A&lt;/math&gt;n, die als Summanden &lt;math&gt;a_n\cdot t^n&lt;/math&gt; als Polynome in der Algebraerweiterung enthalten sein müssen.

=== Erweiterung der Algebra ===
Dies beinhaltet die Abgeschlossenheit der
* multiplikative Verknüpfung von &lt;math&gt;t&lt;/math&gt; mit sich selbst und daher müssen auch &lt;math&gt;t^n&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;n \in \mathbb{N}&lt;/math&gt; wieder in &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; liegen,
* die beliebige multiplikative Verknüpfungen von &lt;math&gt;t^n \in B&lt;/math&gt; mit Elementen aus &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;  wieder in &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; liegen, d.h. &lt;math&gt;a_n \cdot t^n \in B&lt;/math&gt;  liegen.
* der additive algebraische Alschluss verlangt auch schließlich, dass additive Verknüpfungen aus &lt;math&gt;a_n \cdot t^n \in B&lt;/math&gt; wieder in &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; liegen.

=== Polynome mit Koeffizienten aus der gegebenen Algebra ===
Aus dieser Notwendigkeit betrachtet man Polynome mit Koeffizienten aus &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; als ersten Schritt, um eine Algebraerweiterung zu konstruieren, in der ein &lt;math&gt;z&lt;/math&gt; invertierbar sein kann.

== Polynomalgebra ==
Wir betrachten nun zu einer gegeben topologischen Algebra  &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\left(A,\left\|  \cdot \right\| _{{\mathcal{A}} }\right)\in \mathcal{K} (\mathbb{K}) &lt;/math&gt;  die Menge der Polynome mit Koeffizienten in &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.
:&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
     p(t)=\sum_{k=0}^{n} p_k\cdot t^k \mbox{ mit }
          p_k \in A \mbox{ für } k \in \{0,1,..., n\}
&lt;/math&gt;
und Potenzreihen mit Koeffizienten in der Algebra &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;
:&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
     p(t)=\sum_{k=0}^{\infty} p_k\cdot t^k \mbox{ mit }
           p_k \in A \mbox{ für } k \in \mathbb{N}_o
&lt;/math&gt;

=== Grad von Polynomen ===
Zunächst einmal würde man Polynome  formal eher in der obigen Form mit &lt;math&gt; n \in \mathbb{N}_o &lt;/math&gt; notieren und mit &lt;math&gt; p_n \not= 0_A &lt;/math&gt; würde &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; den Grad des Polynoms angeben. Für das Cauchyprodukt von zwei Polynomen &lt;math&gt;p,q \in A[t]&lt;/math&gt; ist diese Schreibweise allerdings ungeeignet, da bei der Addition und Multiplikation zwei Polynomen &lt;math&gt;p,q \in A[t]&lt;/math&gt; die Handhabung des Grades zusätzlichen formalen Aufwand nach sich zieht, der aber für die weitern Betrachtungen von Algebraerweiterungen keine Rolle spielt.

=== Schreibweise für die Polynomalgebra ===
Daher werden die Polynome wie folgt über &quot;endliche&quot; Folgen &lt;math&gt;c_{oo}(A)&lt;/math&gt; definiert, die ab einer Indexschranke &lt;math&gt;n\in\mathbb{N}_o&lt;/math&gt; nur noch aus dem Nullvektor &lt;math&gt;0_A&lt;/math&gt; in &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; besteht. 
:&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
     p(t)=\sum_{k=0}^{\infty} p_k\cdot t^k \mbox{ mit }
          (p_k)_{k\in\mathbb{N}_0}\in c_{oo}(A)
  &lt;/math&gt;

== Cauchy-Produkt ==
Gegeben sind allgemein zwei Polynome &lt;math&gt;p,q&lt;/math&gt; mit Koeffizienten aus &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;A&lt;/math&gt;.
:&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
    p(t):= \sum_{k=0}^{\infty} p_k\cdot t^k
         \mbox{ und }
    q(t):= \sum_{k=0}^{\infty} q_k\cdot t^k
  &lt;/math&gt;
Dann wird Cauchy-Produkt von &lt;math&gt;p,q&lt;/math&gt; wie folgt definiert:
:&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
    p(t)\cdot q(t):=\sum_{n=0}^{\infty} \left(
                    \sum_{k=0}^{n} p_k \cdot q_{n-k} \right) t^n.
&lt;/math&gt;

=== Bemerkung: Cauchy-Produkt ===
Betrachtet man Polynome &lt;math&gt;\mathbb{R}[t]&lt;/math&gt; oder &lt;math&gt;\mathbb{C}[t]&lt;/math&gt; mit reellen oder komplexwertigen Koeffizienten, so fasst das Cauchy-Produkt durch Anwendung vom Distributivgesetz, Assoziativgesetz und die Kommunitivtät der Addition die Terme bzgl. &lt;math&gt;t^n&lt;/math&gt;, die bei der Multiplikation den Exponenten &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; liefert, also:
:&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
  \left( p_k \cdot t^n \right) \cdot \left( q_{n-k} \cdot t^{n-k} \right)  = p_k \cdot q_{n-k} \cdot t^n
&lt;/math&gt;
Die dazu verwendeten algebraischen Operationen sind auch auf eine (topologische) Algebra übertragbar.

=== Bemerkung: Kommuntativtät Koeffizienten ===
In einer Algebra &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; kann die Kommutativität nicht für die Koeffizienten der Polynome &lt;math&gt;p_k \in A&lt;/math&gt; vorausgesetzt werden. Betrachten Sie dazu die Polynomalgebra &lt;math&gt;A[t]&lt;/math&gt; mit Koeffizienten aus &lt;math&gt;A:=Mat(n \times n, \mathbb{R})&lt;/math&gt; mit der Matrixmultiplikation als multiplikative Verknüpfung auf &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.


== Aufgabe für Lernende ==
* Betrachten Sie [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] der 3. Ordnung und erläutern Sie, warum diese mit Polynome mit Koeffizient im &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; darstellen, wobei hier der Definitionsbereich von &lt;math&gt;t\in [0,1]&lt;/math&gt; in der Anwendung auf ein Interval konkret beschränkt wird.
* Betrachten Sie die Algebra der &lt;math&gt;2\times 2&lt;/math&gt; Matrizen &lt;math&gt;A:=Mat(2\times 2,\mathbb{K})&lt;/math&gt; über dem Körper &lt;math&gt;\mathbb{K}=\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C}&lt;/math&gt; und der Matrixmultiplikation als multiplikative Verknüpfung auf &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;. 
** Welche Zusammenhänge aus der Linearen Algebra kennen Sie bzgl. Polynomen und Matrizen?
** Welche Gemeinsamkeiten und Unterschiede gibt es Sätzen in der [[w:de:Lineare Algebra|linearen Algebra]] (z.B. beim [[w:de:Charakteristisches Polynom|charakteristischen Polynom]], [[w:de:Satz_von_Cayley-Hamilton|Satz von Cayley-Hamiliton]], ...)

== Orbitdarstellung ==
Polynome &lt;math&gt;p\in A[t]&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;p(z):= \textstyle \sum_{k=0}^n p_k\cdot z^k&lt;/math&gt; kann in eine Orbitdarstellung überführen, wobei die ganzzahlige Potenz &lt;math&gt;k \in \mathbb{N}_0&lt;/math&gt; als Winkelgeschwindigkeit in dem Orbit der entsprechenden Ordnung aufgefasst werden kann. Die Orbitdarstellung lautet mit &lt;math&gt;k_1,k_m \in \mathbb{N}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;n= \textstyle \sum_{j=1}^m k_j &lt;/math&gt; und &lt;math&gt;b_1, b_m \not= 0{\!}_{_A}&lt;/math&gt; :
:&lt;math&gt;
  p(z) = (\ldots ((b_m \cdot z^{k_{m}} + b_{m-1})\cdot z^{k_{m-1}} + b_{m-2})\cdot z^{k_{m-2}} + ..... + b_1) \cdot z^{k_{1}} + b_0
&lt;/math&gt;

=== Orbitdarstellung in den komplexwertigen Polynomen ===

== Siehe auch ==
* [[Algebraerweiterung]]
* [[w:de:Charakteristisches Polynom|charakteristischen Polynom]]
* [[w:de:Satz_von_Cayley-Hamilton|Satz von Cayley-Hamiliton]]
* [[w:de:Lineare Algebra|Lineare Algebra]]
* [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/B-Regularität|B-Regularität]]

* [[Banachalgebra]]

=== Kurse ===
* [[Kurs:Funktionentheorie]]
* [[Kurs:Funktionalanalysis]]

== Seiteninformation ==
Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&amp;title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra&amp;author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&amp;language=de&amp;audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen.

=== Wiki2Reveal ===

Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&amp;title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra&amp;author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&amp;language=de&amp;audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem  [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt.
&lt;!--
* Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten:
** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra]
--&gt;
* [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt.
* Link zur Quelle in  Wikiversity:  https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra
* siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&amp;title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra&amp;author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&amp;language=de&amp;audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator].
&lt;!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --&gt;

[[Category:Wiki2Reveal]]
[[Category:Funktionalanalysis]]
&lt;noinclude&gt;[[en:Inverse-producing extensions of Topological Algebras/Algebra of polynomials]]&lt;/noinclude&gt;</text>
      <sha1>f1rfj4x6uoiytfa1awve5b1ghi6fhuv</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>1115948</id>
      <parentid>1115947</parentid>
      <timestamp>2026-10-13T08:15:44Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bert Niehaus</username>
        <id>20843</id>
      </contributor>
      <comment>/* Siehe auch */</comment>
      <origin>1115948</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="9538" sha1="cz09m5xhyd73nimni7zj2ug2hxiqwco" xml:space="preserve">== Einführung ==
Eine Polynomalgebra &lt;math&gt;A[t]&lt;/math&gt; ist ein Vektorraum von Polynomen, wobei die Koeffizienten aus der gegebenen Algebra &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; stammmen. Die Polynomalgebra &lt;math&gt;A[t]&lt;/math&gt; ist ein wesentliches Hilfsmittel, um eine Algebraerweiterung &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; von  &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; zu konstruieren, in denen ein gegebenes &lt;math&gt;z\in A&lt;/math&gt; invertierbar ist, wenn es bestimmte topologische Invertierbarkeitskriterien erfüllt.

=== Bemerkung: Algebraerweiterung ===
Bei der [[Algebraerweiterung|Konstruktion der Algebraerweiterung]], in der ein &lt;math&gt;z \in A&lt;/math&gt; invertierbar ist, wird in einem ersten Schritt die Algebra der Polynome &lt;math&gt;A[t]&lt;/math&gt; betrachtet. Die folgende Abbildung zeigt, wie die Algebraerweiterung &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; über die Polynomalgebra konstruiert wird. 

[[Datei:Algebra extension of polynomials.png|450px|rahmenlos|Algebraerweiterung und Polynomalgebren mit Koeffizienten in A]]

== Algebraischer Abschluss ==
Wir erweitern nur die Algebra &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; um ein zusätzliches Element &lt;math&gt;t \notin A&lt;/math&gt; enthält, das in einer Algebraerweiterung &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; enthalten sein soll. Da die Multiplikation und die Addition in &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; abgeschlossen sein müssen, entstehen Polynome durch Multiplikationen &lt;math&gt;a\cdot t&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;t\cdot t = t^2&lt;/math&gt; mit Koeffizienten &lt;math&gt;a\in A&lt;/math&gt;n, die als Summanden &lt;math&gt;a_n\cdot t^n&lt;/math&gt; als Polynome in der Algebraerweiterung enthalten sein müssen.

=== Erweiterung der Algebra ===
Dies beinhaltet die Abgeschlossenheit der
* multiplikative Verknüpfung von &lt;math&gt;t&lt;/math&gt; mit sich selbst und daher müssen auch &lt;math&gt;t^n&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;n \in \mathbb{N}&lt;/math&gt; wieder in &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; liegen,
* die beliebige multiplikative Verknüpfungen von &lt;math&gt;t^n \in B&lt;/math&gt; mit Elementen aus &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;  wieder in &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; liegen, d.h. &lt;math&gt;a_n \cdot t^n \in B&lt;/math&gt;  liegen.
* der additive algebraische Alschluss verlangt auch schließlich, dass additive Verknüpfungen aus &lt;math&gt;a_n \cdot t^n \in B&lt;/math&gt; wieder in &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; liegen.

=== Polynome mit Koeffizienten aus der gegebenen Algebra ===
Aus dieser Notwendigkeit betrachtet man Polynome mit Koeffizienten aus &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; als ersten Schritt, um eine Algebraerweiterung zu konstruieren, in der ein &lt;math&gt;z&lt;/math&gt; invertierbar sein kann.

== Polynomalgebra ==
Wir betrachten nun zu einer gegeben topologischen Algebra  &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\left(A,\left\|  \cdot \right\| _{{\mathcal{A}} }\right)\in \mathcal{K} (\mathbb{K}) &lt;/math&gt;  die Menge der Polynome mit Koeffizienten in &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.
:&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
     p(t)=\sum_{k=0}^{n} p_k\cdot t^k \mbox{ mit }
          p_k \in A \mbox{ für } k \in \{0,1,..., n\}
&lt;/math&gt;
und Potenzreihen mit Koeffizienten in der Algebra &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;
:&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
     p(t)=\sum_{k=0}^{\infty} p_k\cdot t^k \mbox{ mit }
           p_k \in A \mbox{ für } k \in \mathbb{N}_o
&lt;/math&gt;

=== Grad von Polynomen ===
Zunächst einmal würde man Polynome  formal eher in der obigen Form mit &lt;math&gt; n \in \mathbb{N}_o &lt;/math&gt; notieren und mit &lt;math&gt; p_n \not= 0_A &lt;/math&gt; würde &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; den Grad des Polynoms angeben. Für das Cauchyprodukt von zwei Polynomen &lt;math&gt;p,q \in A[t]&lt;/math&gt; ist diese Schreibweise allerdings ungeeignet, da bei der Addition und Multiplikation zwei Polynomen &lt;math&gt;p,q \in A[t]&lt;/math&gt; die Handhabung des Grades zusätzlichen formalen Aufwand nach sich zieht, der aber für die weitern Betrachtungen von Algebraerweiterungen keine Rolle spielt.

=== Schreibweise für die Polynomalgebra ===
Daher werden die Polynome wie folgt über &quot;endliche&quot; Folgen &lt;math&gt;c_{oo}(A)&lt;/math&gt; definiert, die ab einer Indexschranke &lt;math&gt;n\in\mathbb{N}_o&lt;/math&gt; nur noch aus dem Nullvektor &lt;math&gt;0_A&lt;/math&gt; in &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; besteht. 
:&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
     p(t)=\sum_{k=0}^{\infty} p_k\cdot t^k \mbox{ mit }
          (p_k)_{k\in\mathbb{N}_0}\in c_{oo}(A)
  &lt;/math&gt;

== Cauchy-Produkt ==
Gegeben sind allgemein zwei Polynome &lt;math&gt;p,q&lt;/math&gt; mit Koeffizienten aus &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;A&lt;/math&gt;.
:&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
    p(t):= \sum_{k=0}^{\infty} p_k\cdot t^k
         \mbox{ und }
    q(t):= \sum_{k=0}^{\infty} q_k\cdot t^k
  &lt;/math&gt;
Dann wird Cauchy-Produkt von &lt;math&gt;p,q&lt;/math&gt; wie folgt definiert:
:&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
    p(t)\cdot q(t):=\sum_{n=0}^{\infty} \left(
                    \sum_{k=0}^{n} p_k \cdot q_{n-k} \right) t^n.
&lt;/math&gt;

=== Bemerkung: Cauchy-Produkt ===
Betrachtet man Polynome &lt;math&gt;\mathbb{R}[t]&lt;/math&gt; oder &lt;math&gt;\mathbb{C}[t]&lt;/math&gt; mit reellen oder komplexwertigen Koeffizienten, so fasst das Cauchy-Produkt durch Anwendung vom Distributivgesetz, Assoziativgesetz und die Kommunitivtät der Addition die Terme bzgl. &lt;math&gt;t^n&lt;/math&gt;, die bei der Multiplikation den Exponenten &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; liefert, also:
:&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
  \left( p_k \cdot t^n \right) \cdot \left( q_{n-k} \cdot t^{n-k} \right)  = p_k \cdot q_{n-k} \cdot t^n
&lt;/math&gt;
Die dazu verwendeten algebraischen Operationen sind auch auf eine (topologische) Algebra übertragbar.

=== Bemerkung: Kommuntativtät Koeffizienten ===
In einer Algebra &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; kann die Kommutativität nicht für die Koeffizienten der Polynome &lt;math&gt;p_k \in A&lt;/math&gt; vorausgesetzt werden. Betrachten Sie dazu die Polynomalgebra &lt;math&gt;A[t]&lt;/math&gt; mit Koeffizienten aus &lt;math&gt;A:=Mat(n \times n, \mathbb{R})&lt;/math&gt; mit der Matrixmultiplikation als multiplikative Verknüpfung auf &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.


== Aufgabe für Lernende ==
* Betrachten Sie [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] der 3. Ordnung und erläutern Sie, warum diese mit Polynome mit Koeffizient im &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; darstellen, wobei hier der Definitionsbereich von &lt;math&gt;t\in [0,1]&lt;/math&gt; in der Anwendung auf ein Interval konkret beschränkt wird.
* Betrachten Sie die Algebra der &lt;math&gt;2\times 2&lt;/math&gt; Matrizen &lt;math&gt;A:=Mat(2\times 2,\mathbb{K})&lt;/math&gt; über dem Körper &lt;math&gt;\mathbb{K}=\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C}&lt;/math&gt; und der Matrixmultiplikation als multiplikative Verknüpfung auf &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;. 
** Welche Zusammenhänge aus der Linearen Algebra kennen Sie bzgl. Polynomen und Matrizen?
** Welche Gemeinsamkeiten und Unterschiede gibt es Sätzen in der [[w:de:Lineare Algebra|linearen Algebra]] (z.B. beim [[w:de:Charakteristisches Polynom|charakteristischen Polynom]], [[w:de:Satz_von_Cayley-Hamilton|Satz von Cayley-Hamiliton]], ...)

== Orbitdarstellung ==
Polynome &lt;math&gt;p\in A[t]&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;p(z):= \textstyle \sum_{k=0}^n p_k\cdot z^k&lt;/math&gt; kann in eine Orbitdarstellung überführen, wobei die ganzzahlige Potenz &lt;math&gt;k \in \mathbb{N}_0&lt;/math&gt; als Winkelgeschwindigkeit in dem Orbit der entsprechenden Ordnung aufgefasst werden kann. Die Orbitdarstellung lautet mit &lt;math&gt;k_1,k_m \in \mathbb{N}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;n= \textstyle \sum_{j=1}^m k_j &lt;/math&gt; und &lt;math&gt;b_1, b_m \not= 0{\!}_{_A}&lt;/math&gt; :
:&lt;math&gt;
  p(z) = (\ldots ((b_m \cdot z^{k_{m}} + b_{m-1})\cdot z^{k_{m-1}} + b_{m-2})\cdot z^{k_{m-2}} + ..... + b_1) \cdot z^{k_{1}} + b_0
&lt;/math&gt;

=== Orbitdarstellung in den komplexwertigen Polynomen ===

== Siehe auch ==
* [[Algebraerweiterung]]
* [[Banachalgebra]]
* [[w:de:Charakteristisches Polynom|charakteristischen Polynom]]
* [[w:de:Satz_von_Cayley-Hamilton|Satz von Cayley-Hamiliton]]
* [[w:de:Lineare Algebra|Lineare Algebra]]
* [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/B-Regularität|B-Regularität]]

=== Kurse ===
* [[Kurs:Funktionentheorie]]
* [[Kurs:Funktionalanalysis]]

== Seiteninformation ==
Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&amp;title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra&amp;author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&amp;language=de&amp;audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen.

=== Wiki2Reveal ===

Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&amp;title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra&amp;author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&amp;language=de&amp;audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem  [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt.
&lt;!--
* Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten:
** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra]
--&gt;
* [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt.
* Link zur Quelle in  Wikiversity:  https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra
* siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&amp;title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra&amp;author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&amp;language=de&amp;audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator].
&lt;!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --&gt;

[[Category:Wiki2Reveal]]
[[Category:Funktionalanalysis]]
&lt;noinclude&gt;[[en:Inverse-producing extensions of Topological Algebras/Algebra of polynomials]]&lt;/noinclude&gt;</text>
      <sha1>cz09m5xhyd73nimni7zj2ug2hxiqwco</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>1115949</id>
      <parentid>1115948</parentid>
      <timestamp>2026-10-13T08:16:30Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bert Niehaus</username>
        <id>20843</id>
      </contributor>
      <comment>/* Siehe auch */</comment>
      <origin>1115949</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="9575" sha1="8841w2nxwb696dsdolndag6zfbm3tmx" xml:space="preserve">== Einführung ==
Eine Polynomalgebra &lt;math&gt;A[t]&lt;/math&gt; ist ein Vektorraum von Polynomen, wobei die Koeffizienten aus der gegebenen Algebra &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; stammmen. Die Polynomalgebra &lt;math&gt;A[t]&lt;/math&gt; ist ein wesentliches Hilfsmittel, um eine Algebraerweiterung &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; von  &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; zu konstruieren, in denen ein gegebenes &lt;math&gt;z\in A&lt;/math&gt; invertierbar ist, wenn es bestimmte topologische Invertierbarkeitskriterien erfüllt.

=== Bemerkung: Algebraerweiterung ===
Bei der [[Algebraerweiterung|Konstruktion der Algebraerweiterung]], in der ein &lt;math&gt;z \in A&lt;/math&gt; invertierbar ist, wird in einem ersten Schritt die Algebra der Polynome &lt;math&gt;A[t]&lt;/math&gt; betrachtet. Die folgende Abbildung zeigt, wie die Algebraerweiterung &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; über die Polynomalgebra konstruiert wird. 

[[Datei:Algebra extension of polynomials.png|450px|rahmenlos|Algebraerweiterung und Polynomalgebren mit Koeffizienten in A]]

== Algebraischer Abschluss ==
Wir erweitern nur die Algebra &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; um ein zusätzliches Element &lt;math&gt;t \notin A&lt;/math&gt; enthält, das in einer Algebraerweiterung &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; enthalten sein soll. Da die Multiplikation und die Addition in &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; abgeschlossen sein müssen, entstehen Polynome durch Multiplikationen &lt;math&gt;a\cdot t&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;t\cdot t = t^2&lt;/math&gt; mit Koeffizienten &lt;math&gt;a\in A&lt;/math&gt;n, die als Summanden &lt;math&gt;a_n\cdot t^n&lt;/math&gt; als Polynome in der Algebraerweiterung enthalten sein müssen.

=== Erweiterung der Algebra ===
Dies beinhaltet die Abgeschlossenheit der
* multiplikative Verknüpfung von &lt;math&gt;t&lt;/math&gt; mit sich selbst und daher müssen auch &lt;math&gt;t^n&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;n \in \mathbb{N}&lt;/math&gt; wieder in &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; liegen,
* die beliebige multiplikative Verknüpfungen von &lt;math&gt;t^n \in B&lt;/math&gt; mit Elementen aus &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;  wieder in &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; liegen, d.h. &lt;math&gt;a_n \cdot t^n \in B&lt;/math&gt;  liegen.
* der additive algebraische Alschluss verlangt auch schließlich, dass additive Verknüpfungen aus &lt;math&gt;a_n \cdot t^n \in B&lt;/math&gt; wieder in &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; liegen.

=== Polynome mit Koeffizienten aus der gegebenen Algebra ===
Aus dieser Notwendigkeit betrachtet man Polynome mit Koeffizienten aus &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; als ersten Schritt, um eine Algebraerweiterung zu konstruieren, in der ein &lt;math&gt;z&lt;/math&gt; invertierbar sein kann.

== Polynomalgebra ==
Wir betrachten nun zu einer gegeben topologischen Algebra  &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\left(A,\left\|  \cdot \right\| _{{\mathcal{A}} }\right)\in \mathcal{K} (\mathbb{K}) &lt;/math&gt;  die Menge der Polynome mit Koeffizienten in &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.
:&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
     p(t)=\sum_{k=0}^{n} p_k\cdot t^k \mbox{ mit }
          p_k \in A \mbox{ für } k \in \{0,1,..., n\}
&lt;/math&gt;
und Potenzreihen mit Koeffizienten in der Algebra &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;
:&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
     p(t)=\sum_{k=0}^{\infty} p_k\cdot t^k \mbox{ mit }
           p_k \in A \mbox{ für } k \in \mathbb{N}_o
&lt;/math&gt;

=== Grad von Polynomen ===
Zunächst einmal würde man Polynome  formal eher in der obigen Form mit &lt;math&gt; n \in \mathbb{N}_o &lt;/math&gt; notieren und mit &lt;math&gt; p_n \not= 0_A &lt;/math&gt; würde &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; den Grad des Polynoms angeben. Für das Cauchyprodukt von zwei Polynomen &lt;math&gt;p,q \in A[t]&lt;/math&gt; ist diese Schreibweise allerdings ungeeignet, da bei der Addition und Multiplikation zwei Polynomen &lt;math&gt;p,q \in A[t]&lt;/math&gt; die Handhabung des Grades zusätzlichen formalen Aufwand nach sich zieht, der aber für die weitern Betrachtungen von Algebraerweiterungen keine Rolle spielt.

=== Schreibweise für die Polynomalgebra ===
Daher werden die Polynome wie folgt über &quot;endliche&quot; Folgen &lt;math&gt;c_{oo}(A)&lt;/math&gt; definiert, die ab einer Indexschranke &lt;math&gt;n\in\mathbb{N}_o&lt;/math&gt; nur noch aus dem Nullvektor &lt;math&gt;0_A&lt;/math&gt; in &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; besteht. 
:&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
     p(t)=\sum_{k=0}^{\infty} p_k\cdot t^k \mbox{ mit }
          (p_k)_{k\in\mathbb{N}_0}\in c_{oo}(A)
  &lt;/math&gt;

== Cauchy-Produkt ==
Gegeben sind allgemein zwei Polynome &lt;math&gt;p,q&lt;/math&gt; mit Koeffizienten aus &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;A&lt;/math&gt;.
:&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
    p(t):= \sum_{k=0}^{\infty} p_k\cdot t^k
         \mbox{ und }
    q(t):= \sum_{k=0}^{\infty} q_k\cdot t^k
  &lt;/math&gt;
Dann wird Cauchy-Produkt von &lt;math&gt;p,q&lt;/math&gt; wie folgt definiert:
:&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
    p(t)\cdot q(t):=\sum_{n=0}^{\infty} \left(
                    \sum_{k=0}^{n} p_k \cdot q_{n-k} \right) t^n.
&lt;/math&gt;

=== Bemerkung: Cauchy-Produkt ===
Betrachtet man Polynome &lt;math&gt;\mathbb{R}[t]&lt;/math&gt; oder &lt;math&gt;\mathbb{C}[t]&lt;/math&gt; mit reellen oder komplexwertigen Koeffizienten, so fasst das Cauchy-Produkt durch Anwendung vom Distributivgesetz, Assoziativgesetz und die Kommunitivtät der Addition die Terme bzgl. &lt;math&gt;t^n&lt;/math&gt;, die bei der Multiplikation den Exponenten &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; liefert, also:
:&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
  \left( p_k \cdot t^n \right) \cdot \left( q_{n-k} \cdot t^{n-k} \right)  = p_k \cdot q_{n-k} \cdot t^n
&lt;/math&gt;
Die dazu verwendeten algebraischen Operationen sind auch auf eine (topologische) Algebra übertragbar.

=== Bemerkung: Kommuntativtät Koeffizienten ===
In einer Algebra &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; kann die Kommutativität nicht für die Koeffizienten der Polynome &lt;math&gt;p_k \in A&lt;/math&gt; vorausgesetzt werden. Betrachten Sie dazu die Polynomalgebra &lt;math&gt;A[t]&lt;/math&gt; mit Koeffizienten aus &lt;math&gt;A:=Mat(n \times n, \mathbb{R})&lt;/math&gt; mit der Matrixmultiplikation als multiplikative Verknüpfung auf &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.


== Aufgabe für Lernende ==
* Betrachten Sie [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] der 3. Ordnung und erläutern Sie, warum diese mit Polynome mit Koeffizient im &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; darstellen, wobei hier der Definitionsbereich von &lt;math&gt;t\in [0,1]&lt;/math&gt; in der Anwendung auf ein Interval konkret beschränkt wird.
* Betrachten Sie die Algebra der &lt;math&gt;2\times 2&lt;/math&gt; Matrizen &lt;math&gt;A:=Mat(2\times 2,\mathbb{K})&lt;/math&gt; über dem Körper &lt;math&gt;\mathbb{K}=\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C}&lt;/math&gt; und der Matrixmultiplikation als multiplikative Verknüpfung auf &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;. 
** Welche Zusammenhänge aus der Linearen Algebra kennen Sie bzgl. Polynomen und Matrizen?
** Welche Gemeinsamkeiten und Unterschiede gibt es Sätzen in der [[w:de:Lineare Algebra|linearen Algebra]] (z.B. beim [[w:de:Charakteristisches Polynom|charakteristischen Polynom]], [[w:de:Satz_von_Cayley-Hamilton|Satz von Cayley-Hamiliton]], ...)

== Orbitdarstellung ==
Polynome &lt;math&gt;p\in A[t]&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;p(z):= \textstyle \sum_{k=0}^n p_k\cdot z^k&lt;/math&gt; kann in eine Orbitdarstellung überführen, wobei die ganzzahlige Potenz &lt;math&gt;k \in \mathbb{N}_0&lt;/math&gt; als Winkelgeschwindigkeit in dem Orbit der entsprechenden Ordnung aufgefasst werden kann. Die Orbitdarstellung lautet mit &lt;math&gt;k_1,k_m \in \mathbb{N}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;n= \textstyle \sum_{j=1}^m k_j &lt;/math&gt; und &lt;math&gt;b_1, b_m \not= 0{\!}_{_A}&lt;/math&gt; :
:&lt;math&gt;
  p(z) = (\ldots ((b_m \cdot z^{k_{m}} + b_{m-1})\cdot z^{k_{m-1}} + b_{m-2})\cdot z^{k_{m-2}} + ..... + b_1) \cdot z^{k_{1}} + b_0
&lt;/math&gt;

=== Orbitdarstellung in den komplexwertigen Polynomen ===

== Siehe auch ==
* [[Algebraerweiterung]]
* [[Banachalgebra]]
* [[w:de:Charakteristisches Polynom|charakteristischen Polynom]]
* [[w:de:Lineare Algebra|Lineare Algebra]]
* [[Orbitdarstellung von Polynomen]]
* [[w:de:Satz_von_Cayley-Hamilton|Satz von Cayley-Hamiliton]]
* [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/B-Regularität|B-Regularität]]

=== Kurse ===
* [[Kurs:Funktionentheorie]]
* [[Kurs:Funktionalanalysis]]

== Seiteninformation ==
Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&amp;title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra&amp;author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&amp;language=de&amp;audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen.

=== Wiki2Reveal ===

Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&amp;title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra&amp;author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&amp;language=de&amp;audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem  [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt.
&lt;!--
* Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten:
** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra]
--&gt;
* [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt.
* Link zur Quelle in  Wikiversity:  https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra
* siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&amp;title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra&amp;author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&amp;language=de&amp;audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator].
&lt;!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --&gt;

[[Category:Wiki2Reveal]]
[[Category:Funktionalanalysis]]
&lt;noinclude&gt;[[en:Inverse-producing extensions of Topological Algebras/Algebra of polynomials]]&lt;/noinclude&gt;</text>
      <sha1>8841w2nxwb696dsdolndag6zfbm3tmx</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>1115952</id>
      <parentid>1115949</parentid>
      <timestamp>2026-10-13T08:22:31Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bert Niehaus</username>
        <id>20843</id>
      </contributor>
      <comment>/* Orbitdarstellung */</comment>
      <origin>1115952</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="10450" sha1="n7gyud7izy5d733xgvwg98djaidvg1a" xml:space="preserve">== Einführung ==
Eine Polynomalgebra &lt;math&gt;A[t]&lt;/math&gt; ist ein Vektorraum von Polynomen, wobei die Koeffizienten aus der gegebenen Algebra &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; stammmen. Die Polynomalgebra &lt;math&gt;A[t]&lt;/math&gt; ist ein wesentliches Hilfsmittel, um eine Algebraerweiterung &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; von  &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; zu konstruieren, in denen ein gegebenes &lt;math&gt;z\in A&lt;/math&gt; invertierbar ist, wenn es bestimmte topologische Invertierbarkeitskriterien erfüllt.

=== Bemerkung: Algebraerweiterung ===
Bei der [[Algebraerweiterung|Konstruktion der Algebraerweiterung]], in der ein &lt;math&gt;z \in A&lt;/math&gt; invertierbar ist, wird in einem ersten Schritt die Algebra der Polynome &lt;math&gt;A[t]&lt;/math&gt; betrachtet. Die folgende Abbildung zeigt, wie die Algebraerweiterung &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; über die Polynomalgebra konstruiert wird. 

[[Datei:Algebra extension of polynomials.png|450px|rahmenlos|Algebraerweiterung und Polynomalgebren mit Koeffizienten in A]]

== Algebraischer Abschluss ==
Wir erweitern nur die Algebra &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; um ein zusätzliches Element &lt;math&gt;t \notin A&lt;/math&gt; enthält, das in einer Algebraerweiterung &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; enthalten sein soll. Da die Multiplikation und die Addition in &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; abgeschlossen sein müssen, entstehen Polynome durch Multiplikationen &lt;math&gt;a\cdot t&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;t\cdot t = t^2&lt;/math&gt; mit Koeffizienten &lt;math&gt;a\in A&lt;/math&gt;n, die als Summanden &lt;math&gt;a_n\cdot t^n&lt;/math&gt; als Polynome in der Algebraerweiterung enthalten sein müssen.

=== Erweiterung der Algebra ===
Dies beinhaltet die Abgeschlossenheit der
* multiplikative Verknüpfung von &lt;math&gt;t&lt;/math&gt; mit sich selbst und daher müssen auch &lt;math&gt;t^n&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;n \in \mathbb{N}&lt;/math&gt; wieder in &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; liegen,
* die beliebige multiplikative Verknüpfungen von &lt;math&gt;t^n \in B&lt;/math&gt; mit Elementen aus &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;  wieder in &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; liegen, d.h. &lt;math&gt;a_n \cdot t^n \in B&lt;/math&gt;  liegen.
* der additive algebraische Alschluss verlangt auch schließlich, dass additive Verknüpfungen aus &lt;math&gt;a_n \cdot t^n \in B&lt;/math&gt; wieder in &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; liegen.

=== Polynome mit Koeffizienten aus der gegebenen Algebra ===
Aus dieser Notwendigkeit betrachtet man Polynome mit Koeffizienten aus &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; als ersten Schritt, um eine Algebraerweiterung zu konstruieren, in der ein &lt;math&gt;z&lt;/math&gt; invertierbar sein kann.

== Polynomalgebra ==
Wir betrachten nun zu einer gegeben topologischen Algebra  &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\left(A,\left\|  \cdot \right\| _{{\mathcal{A}} }\right)\in \mathcal{K} (\mathbb{K}) &lt;/math&gt;  die Menge der Polynome mit Koeffizienten in &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.
:&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
     p(t)=\sum_{k=0}^{n} p_k\cdot t^k \mbox{ mit }
          p_k \in A \mbox{ für } k \in \{0,1,..., n\}
&lt;/math&gt;
und Potenzreihen mit Koeffizienten in der Algebra &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;
:&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
     p(t)=\sum_{k=0}^{\infty} p_k\cdot t^k \mbox{ mit }
           p_k \in A \mbox{ für } k \in \mathbb{N}_o
&lt;/math&gt;

=== Grad von Polynomen ===
Zunächst einmal würde man Polynome  formal eher in der obigen Form mit &lt;math&gt; n \in \mathbb{N}_o &lt;/math&gt; notieren und mit &lt;math&gt; p_n \not= 0_A &lt;/math&gt; würde &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; den Grad des Polynoms angeben. Für das Cauchyprodukt von zwei Polynomen &lt;math&gt;p,q \in A[t]&lt;/math&gt; ist diese Schreibweise allerdings ungeeignet, da bei der Addition und Multiplikation zwei Polynomen &lt;math&gt;p,q \in A[t]&lt;/math&gt; die Handhabung des Grades zusätzlichen formalen Aufwand nach sich zieht, der aber für die weitern Betrachtungen von Algebraerweiterungen keine Rolle spielt.

=== Schreibweise für die Polynomalgebra ===
Daher werden die Polynome wie folgt über &quot;endliche&quot; Folgen &lt;math&gt;c_{oo}(A)&lt;/math&gt; definiert, die ab einer Indexschranke &lt;math&gt;n\in\mathbb{N}_o&lt;/math&gt; nur noch aus dem Nullvektor &lt;math&gt;0_A&lt;/math&gt; in &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; besteht. 
:&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
     p(t)=\sum_{k=0}^{\infty} p_k\cdot t^k \mbox{ mit }
          (p_k)_{k\in\mathbb{N}_0}\in c_{oo}(A)
  &lt;/math&gt;

== Cauchy-Produkt ==
Gegeben sind allgemein zwei Polynome &lt;math&gt;p,q&lt;/math&gt; mit Koeffizienten aus &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;A&lt;/math&gt;.
:&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
    p(t):= \sum_{k=0}^{\infty} p_k\cdot t^k
         \mbox{ und }
    q(t):= \sum_{k=0}^{\infty} q_k\cdot t^k
  &lt;/math&gt;
Dann wird Cauchy-Produkt von &lt;math&gt;p,q&lt;/math&gt; wie folgt definiert:
:&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
    p(t)\cdot q(t):=\sum_{n=0}^{\infty} \left(
                    \sum_{k=0}^{n} p_k \cdot q_{n-k} \right) t^n.
&lt;/math&gt;

=== Bemerkung: Cauchy-Produkt ===
Betrachtet man Polynome &lt;math&gt;\mathbb{R}[t]&lt;/math&gt; oder &lt;math&gt;\mathbb{C}[t]&lt;/math&gt; mit reellen oder komplexwertigen Koeffizienten, so fasst das Cauchy-Produkt durch Anwendung vom Distributivgesetz, Assoziativgesetz und die Kommunitivtät der Addition die Terme bzgl. &lt;math&gt;t^n&lt;/math&gt;, die bei der Multiplikation den Exponenten &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; liefert, also:
:&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
  \left( p_k \cdot t^n \right) \cdot \left( q_{n-k} \cdot t^{n-k} \right)  = p_k \cdot q_{n-k} \cdot t^n
&lt;/math&gt;
Die dazu verwendeten algebraischen Operationen sind auch auf eine (topologische) Algebra übertragbar.

=== Bemerkung: Kommuntativtät Koeffizienten ===
In einer Algebra &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; kann die Kommutativität nicht für die Koeffizienten der Polynome &lt;math&gt;p_k \in A&lt;/math&gt; vorausgesetzt werden. Betrachten Sie dazu die Polynomalgebra &lt;math&gt;A[t]&lt;/math&gt; mit Koeffizienten aus &lt;math&gt;A:=Mat(n \times n, \mathbb{R})&lt;/math&gt; mit der Matrixmultiplikation als multiplikative Verknüpfung auf &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.


== Aufgabe für Lernende ==
* Betrachten Sie [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] der 3. Ordnung und erläutern Sie, warum diese mit Polynome mit Koeffizient im &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; darstellen, wobei hier der Definitionsbereich von &lt;math&gt;t\in [0,1]&lt;/math&gt; in der Anwendung auf ein Interval konkret beschränkt wird.
* Betrachten Sie die Algebra der &lt;math&gt;2\times 2&lt;/math&gt; Matrizen &lt;math&gt;A:=Mat(2\times 2,\mathbb{K})&lt;/math&gt; über dem Körper &lt;math&gt;\mathbb{K}=\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C}&lt;/math&gt; und der Matrixmultiplikation als multiplikative Verknüpfung auf &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;. 
** Welche Zusammenhänge aus der Linearen Algebra kennen Sie bzgl. Polynomen und Matrizen?
** Welche Gemeinsamkeiten und Unterschiede gibt es Sätzen in der [[w:de:Lineare Algebra|linearen Algebra]] (z.B. beim [[w:de:Charakteristisches Polynom|charakteristischen Polynom]], [[w:de:Satz_von_Cayley-Hamilton|Satz von Cayley-Hamiliton]], ...)

== Orbitdarstellung ==
Polynome &lt;math&gt;p\in A[t]&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;p(z):= \textstyle \sum_{k=0}^n p_k\cdot z^k&lt;/math&gt; kann in eine Orbitdarstellung überführen, wobei die ganzzahlige Potenz &lt;math&gt;k \in \mathbb{N}_0&lt;/math&gt; als Winkelgeschwindigkeit in dem Orbit der entsprechenden Ordnung aufgefasst werden kann. Die Orbitdarstellung lautet mit &lt;math&gt;k_1,k_m \in \mathbb{N}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;n= \textstyle \sum_{j=1}^m k_j &lt;/math&gt; und &lt;math&gt;b_1, b_m \not= 0{\!}_{_A}&lt;/math&gt; :
:&lt;math&gt;
  p(z) = (\ldots ((b_m \cdot z^{k_{m}} + b_{m-1})\cdot z^{k_{m-1}} + b_{m-2})\cdot z^{k_{m-2}} + ..... + b_1) \cdot z^{k_{1}} + b_0
&lt;/math&gt;

=== Orbitdarstellung in den komplexwertigen Polynomen ===
Die folgenden Abbildung zeigt einen Polynom &lt;math&gt;p(z) = p_2\cdot z^2+ p_1\cdot z^1 + p_0&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;p \in \mathbb{C}[z]&lt;/math&gt;.
:&lt;math&gt;\gamma(t) = \underbrace{\underbrace{z_0 + r_1\cdot e^{v_1\cdot t+ t_1}}_{=z_1} + r_2\cdot e^{v_2\cdot t+ t_2}}_{=z_2} ,&lt;/math&gt;
wobei &lt;math&gt;r_1,r_2 &gt; 0&lt;/math&gt; die Radien der Kreise sind, &lt;math&gt;v_1,v_2 \in \mathbb{R}&lt;/math&gt; Winkelgeschwindigkeiten und
* &lt;math&gt;s_0\in \mathbb{C}&lt;/math&gt; der Mittelpunkte des Orbits 1. Ordnung ist (vgl. &quot;Position der Sonne&quot;),
* &lt;math&gt;z_1\in \mathbb{C}&lt;/math&gt; der Punkt der sich mit der Winkelgeschwindigkeit &lt;math&gt;v_1&lt;/math&gt; (vgl. &quot;Position der Erde&quot;),
* &lt;math&gt;\gamma(t) = z_2\in \mathbb{C}&lt;/math&gt; ist der Punkt, der sich mit der Winkelgeschwindigkeit &lt;math&gt;v_2&lt;/math&gt; und Radius &lt;math&gt;r_2&lt;/math&gt; um den Mittelpunkte &lt;math&gt;z_1&lt;/math&gt; des Orbits 1. Ordnung dreht (vgl. &quot;Bewegung des Mondes um die Erde&quot;).

== Siehe auch ==
* [[Algebraerweiterung]]
* [[Banachalgebra]]
* [[w:de:Charakteristisches Polynom|charakteristischen Polynom]]
* [[w:de:Lineare Algebra|Lineare Algebra]]
* [[Orbitdarstellung von Polynomen]]
* [[w:de:Satz_von_Cayley-Hamilton|Satz von Cayley-Hamiliton]]
* [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/B-Regularität|B-Regularität]]

=== Kurse ===
* [[Kurs:Funktionentheorie]]
* [[Kurs:Funktionalanalysis]]

== Seiteninformation ==
Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&amp;title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra&amp;author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&amp;language=de&amp;audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen.

=== Wiki2Reveal ===

Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&amp;title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra&amp;author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&amp;language=de&amp;audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem  [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt.
&lt;!--
* Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten:
** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra]
--&gt;
* [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt.
* Link zur Quelle in  Wikiversity:  https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra
* siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&amp;title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra&amp;author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&amp;language=de&amp;audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator].
&lt;!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --&gt;

[[Category:Wiki2Reveal]]
[[Category:Funktionalanalysis]]
&lt;noinclude&gt;[[en:Inverse-producing extensions of Topological Algebras/Algebra of polynomials]]&lt;/noinclude&gt;</text>
      <sha1>n7gyud7izy5d733xgvwg98djaidvg1a</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>1115953</id>
      <parentid>1115952</parentid>
      <timestamp>2026-10-13T08:23:25Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bert Niehaus</username>
        <id>20843</id>
      </contributor>
      <comment>/* Orbitdarstellung in den komplexwertigen Polynomen */</comment>
      <origin>1115953</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="10536" sha1="gffxuq39rhsgjujipryaj07e3zbkytb" xml:space="preserve">== Einführung ==
Eine Polynomalgebra &lt;math&gt;A[t]&lt;/math&gt; ist ein Vektorraum von Polynomen, wobei die Koeffizienten aus der gegebenen Algebra &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; stammmen. Die Polynomalgebra &lt;math&gt;A[t]&lt;/math&gt; ist ein wesentliches Hilfsmittel, um eine Algebraerweiterung &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; von  &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; zu konstruieren, in denen ein gegebenes &lt;math&gt;z\in A&lt;/math&gt; invertierbar ist, wenn es bestimmte topologische Invertierbarkeitskriterien erfüllt.

=== Bemerkung: Algebraerweiterung ===
Bei der [[Algebraerweiterung|Konstruktion der Algebraerweiterung]], in der ein &lt;math&gt;z \in A&lt;/math&gt; invertierbar ist, wird in einem ersten Schritt die Algebra der Polynome &lt;math&gt;A[t]&lt;/math&gt; betrachtet. Die folgende Abbildung zeigt, wie die Algebraerweiterung &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; über die Polynomalgebra konstruiert wird. 

[[Datei:Algebra extension of polynomials.png|450px|rahmenlos|Algebraerweiterung und Polynomalgebren mit Koeffizienten in A]]

== Algebraischer Abschluss ==
Wir erweitern nur die Algebra &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; um ein zusätzliches Element &lt;math&gt;t \notin A&lt;/math&gt; enthält, das in einer Algebraerweiterung &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; enthalten sein soll. Da die Multiplikation und die Addition in &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; abgeschlossen sein müssen, entstehen Polynome durch Multiplikationen &lt;math&gt;a\cdot t&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;t\cdot t = t^2&lt;/math&gt; mit Koeffizienten &lt;math&gt;a\in A&lt;/math&gt;n, die als Summanden &lt;math&gt;a_n\cdot t^n&lt;/math&gt; als Polynome in der Algebraerweiterung enthalten sein müssen.

=== Erweiterung der Algebra ===
Dies beinhaltet die Abgeschlossenheit der
* multiplikative Verknüpfung von &lt;math&gt;t&lt;/math&gt; mit sich selbst und daher müssen auch &lt;math&gt;t^n&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;n \in \mathbb{N}&lt;/math&gt; wieder in &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; liegen,
* die beliebige multiplikative Verknüpfungen von &lt;math&gt;t^n \in B&lt;/math&gt; mit Elementen aus &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;  wieder in &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; liegen, d.h. &lt;math&gt;a_n \cdot t^n \in B&lt;/math&gt;  liegen.
* der additive algebraische Alschluss verlangt auch schließlich, dass additive Verknüpfungen aus &lt;math&gt;a_n \cdot t^n \in B&lt;/math&gt; wieder in &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; liegen.

=== Polynome mit Koeffizienten aus der gegebenen Algebra ===
Aus dieser Notwendigkeit betrachtet man Polynome mit Koeffizienten aus &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; als ersten Schritt, um eine Algebraerweiterung zu konstruieren, in der ein &lt;math&gt;z&lt;/math&gt; invertierbar sein kann.

== Polynomalgebra ==
Wir betrachten nun zu einer gegeben topologischen Algebra  &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\left(A,\left\|  \cdot \right\| _{{\mathcal{A}} }\right)\in \mathcal{K} (\mathbb{K}) &lt;/math&gt;  die Menge der Polynome mit Koeffizienten in &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.
:&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
     p(t)=\sum_{k=0}^{n} p_k\cdot t^k \mbox{ mit }
          p_k \in A \mbox{ für } k \in \{0,1,..., n\}
&lt;/math&gt;
und Potenzreihen mit Koeffizienten in der Algebra &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;
:&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
     p(t)=\sum_{k=0}^{\infty} p_k\cdot t^k \mbox{ mit }
           p_k \in A \mbox{ für } k \in \mathbb{N}_o
&lt;/math&gt;

=== Grad von Polynomen ===
Zunächst einmal würde man Polynome  formal eher in der obigen Form mit &lt;math&gt; n \in \mathbb{N}_o &lt;/math&gt; notieren und mit &lt;math&gt; p_n \not= 0_A &lt;/math&gt; würde &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; den Grad des Polynoms angeben. Für das Cauchyprodukt von zwei Polynomen &lt;math&gt;p,q \in A[t]&lt;/math&gt; ist diese Schreibweise allerdings ungeeignet, da bei der Addition und Multiplikation zwei Polynomen &lt;math&gt;p,q \in A[t]&lt;/math&gt; die Handhabung des Grades zusätzlichen formalen Aufwand nach sich zieht, der aber für die weitern Betrachtungen von Algebraerweiterungen keine Rolle spielt.

=== Schreibweise für die Polynomalgebra ===
Daher werden die Polynome wie folgt über &quot;endliche&quot; Folgen &lt;math&gt;c_{oo}(A)&lt;/math&gt; definiert, die ab einer Indexschranke &lt;math&gt;n\in\mathbb{N}_o&lt;/math&gt; nur noch aus dem Nullvektor &lt;math&gt;0_A&lt;/math&gt; in &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; besteht. 
:&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
     p(t)=\sum_{k=0}^{\infty} p_k\cdot t^k \mbox{ mit }
          (p_k)_{k\in\mathbb{N}_0}\in c_{oo}(A)
  &lt;/math&gt;

== Cauchy-Produkt ==
Gegeben sind allgemein zwei Polynome &lt;math&gt;p,q&lt;/math&gt; mit Koeffizienten aus &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;A&lt;/math&gt;.
:&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
    p(t):= \sum_{k=0}^{\infty} p_k\cdot t^k
         \mbox{ und }
    q(t):= \sum_{k=0}^{\infty} q_k\cdot t^k
  &lt;/math&gt;
Dann wird Cauchy-Produkt von &lt;math&gt;p,q&lt;/math&gt; wie folgt definiert:
:&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
    p(t)\cdot q(t):=\sum_{n=0}^{\infty} \left(
                    \sum_{k=0}^{n} p_k \cdot q_{n-k} \right) t^n.
&lt;/math&gt;

=== Bemerkung: Cauchy-Produkt ===
Betrachtet man Polynome &lt;math&gt;\mathbb{R}[t]&lt;/math&gt; oder &lt;math&gt;\mathbb{C}[t]&lt;/math&gt; mit reellen oder komplexwertigen Koeffizienten, so fasst das Cauchy-Produkt durch Anwendung vom Distributivgesetz, Assoziativgesetz und die Kommunitivtät der Addition die Terme bzgl. &lt;math&gt;t^n&lt;/math&gt;, die bei der Multiplikation den Exponenten &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; liefert, also:
:&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
  \left( p_k \cdot t^n \right) \cdot \left( q_{n-k} \cdot t^{n-k} \right)  = p_k \cdot q_{n-k} \cdot t^n
&lt;/math&gt;
Die dazu verwendeten algebraischen Operationen sind auch auf eine (topologische) Algebra übertragbar.

=== Bemerkung: Kommuntativtät Koeffizienten ===
In einer Algebra &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; kann die Kommutativität nicht für die Koeffizienten der Polynome &lt;math&gt;p_k \in A&lt;/math&gt; vorausgesetzt werden. Betrachten Sie dazu die Polynomalgebra &lt;math&gt;A[t]&lt;/math&gt; mit Koeffizienten aus &lt;math&gt;A:=Mat(n \times n, \mathbb{R})&lt;/math&gt; mit der Matrixmultiplikation als multiplikative Verknüpfung auf &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.


== Aufgabe für Lernende ==
* Betrachten Sie [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] der 3. Ordnung und erläutern Sie, warum diese mit Polynome mit Koeffizient im &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; darstellen, wobei hier der Definitionsbereich von &lt;math&gt;t\in [0,1]&lt;/math&gt; in der Anwendung auf ein Interval konkret beschränkt wird.
* Betrachten Sie die Algebra der &lt;math&gt;2\times 2&lt;/math&gt; Matrizen &lt;math&gt;A:=Mat(2\times 2,\mathbb{K})&lt;/math&gt; über dem Körper &lt;math&gt;\mathbb{K}=\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C}&lt;/math&gt; und der Matrixmultiplikation als multiplikative Verknüpfung auf &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;. 
** Welche Zusammenhänge aus der Linearen Algebra kennen Sie bzgl. Polynomen und Matrizen?
** Welche Gemeinsamkeiten und Unterschiede gibt es Sätzen in der [[w:de:Lineare Algebra|linearen Algebra]] (z.B. beim [[w:de:Charakteristisches Polynom|charakteristischen Polynom]], [[w:de:Satz_von_Cayley-Hamilton|Satz von Cayley-Hamiliton]], ...)

== Orbitdarstellung ==
Polynome &lt;math&gt;p\in A[t]&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;p(z):= \textstyle \sum_{k=0}^n p_k\cdot z^k&lt;/math&gt; kann in eine Orbitdarstellung überführen, wobei die ganzzahlige Potenz &lt;math&gt;k \in \mathbb{N}_0&lt;/math&gt; als Winkelgeschwindigkeit in dem Orbit der entsprechenden Ordnung aufgefasst werden kann. Die Orbitdarstellung lautet mit &lt;math&gt;k_1,k_m \in \mathbb{N}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;n= \textstyle \sum_{j=1}^m k_j &lt;/math&gt; und &lt;math&gt;b_1, b_m \not= 0{\!}_{_A}&lt;/math&gt; :
:&lt;math&gt;
  p(z) = (\ldots ((b_m \cdot z^{k_{m}} + b_{m-1})\cdot z^{k_{m-1}} + b_{m-2})\cdot z^{k_{m-2}} + ..... + b_1) \cdot z^{k_{1}} + b_0
&lt;/math&gt;

=== Orbitdarstellung in den komplexwertigen Polynomen ===
Die folgenden Abbildung zeigt einen Polynom &lt;math&gt;p(z) = p_2\cdot z^2+ p_1\cdot z^1 + p_0&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;p \in \mathbb{C}[z]&lt;/math&gt; (siehe auch [[komplexe Zahl#Oribitdarstellung|komplexe Zahlen und Orbitdarstellung]]).
:&lt;math&gt;\gamma(t) = \underbrace{\underbrace{z_0 + r_1\cdot e^{v_1\cdot t+ t_1}}_{=z_1} + r_2\cdot e^{v_2\cdot t+ t_2}}_{=z_2} ,&lt;/math&gt;
wobei &lt;math&gt;r_1,r_2 &gt; 0&lt;/math&gt; die Radien der Kreise sind, &lt;math&gt;v_1,v_2 \in \mathbb{R}&lt;/math&gt; Winkelgeschwindigkeiten und
* &lt;math&gt;s_0\in \mathbb{C}&lt;/math&gt; der Mittelpunkte des Orbits 1. Ordnung ist (vgl. &quot;Position der Sonne&quot;),
* &lt;math&gt;z_1\in \mathbb{C}&lt;/math&gt; der Punkt der sich mit der Winkelgeschwindigkeit &lt;math&gt;v_1&lt;/math&gt; (vgl. &quot;Position der Erde&quot;),
* &lt;math&gt;\gamma(t) = z_2\in \mathbb{C}&lt;/math&gt; ist der Punkt, der sich mit der Winkelgeschwindigkeit &lt;math&gt;v_2&lt;/math&gt; und Radius &lt;math&gt;r_2&lt;/math&gt; um den Mittelpunkte &lt;math&gt;z_1&lt;/math&gt; des Orbits 1. Ordnung dreht (vgl. &quot;Bewegung des Mondes um die Erde&quot;).

== Siehe auch ==
* [[Algebraerweiterung]]
* [[Banachalgebra]]
* [[w:de:Charakteristisches Polynom|charakteristischen Polynom]]
* [[w:de:Lineare Algebra|Lineare Algebra]]
* [[Orbitdarstellung von Polynomen]]
* [[w:de:Satz_von_Cayley-Hamilton|Satz von Cayley-Hamiliton]]
* [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/B-Regularität|B-Regularität]]

=== Kurse ===
* [[Kurs:Funktionentheorie]]
* [[Kurs:Funktionalanalysis]]

== Seiteninformation ==
Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&amp;title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra&amp;author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&amp;language=de&amp;audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen.

=== Wiki2Reveal ===

Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&amp;title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra&amp;author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&amp;language=de&amp;audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem  [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt.
&lt;!--
* Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten:
** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra]
--&gt;
* [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt.
* Link zur Quelle in  Wikiversity:  https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra
* siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&amp;title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra&amp;author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&amp;language=de&amp;audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator].
&lt;!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --&gt;

[[Category:Wiki2Reveal]]
[[Category:Funktionalanalysis]]
&lt;noinclude&gt;[[en:Inverse-producing extensions of Topological Algebras/Algebra of polynomials]]&lt;/noinclude&gt;</text>
      <sha1>gffxuq39rhsgjujipryaj07e3zbkytb</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>1115957</id>
      <parentid>1115953</parentid>
      <timestamp>2026-10-13T09:18:24Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bert Niehaus</username>
        <id>20843</id>
      </contributor>
      <comment>/* Orbitdarstellung in den komplexwertigen Polynomen */</comment>
      <origin>1115957</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="10610" sha1="hmu5rpcb4fwcw1jiyh0pvyiryk4r5a2" xml:space="preserve">== Einführung ==
Eine Polynomalgebra &lt;math&gt;A[t]&lt;/math&gt; ist ein Vektorraum von Polynomen, wobei die Koeffizienten aus der gegebenen Algebra &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; stammmen. Die Polynomalgebra &lt;math&gt;A[t]&lt;/math&gt; ist ein wesentliches Hilfsmittel, um eine Algebraerweiterung &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; von  &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; zu konstruieren, in denen ein gegebenes &lt;math&gt;z\in A&lt;/math&gt; invertierbar ist, wenn es bestimmte topologische Invertierbarkeitskriterien erfüllt.

=== Bemerkung: Algebraerweiterung ===
Bei der [[Algebraerweiterung|Konstruktion der Algebraerweiterung]], in der ein &lt;math&gt;z \in A&lt;/math&gt; invertierbar ist, wird in einem ersten Schritt die Algebra der Polynome &lt;math&gt;A[t]&lt;/math&gt; betrachtet. Die folgende Abbildung zeigt, wie die Algebraerweiterung &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; über die Polynomalgebra konstruiert wird. 

[[Datei:Algebra extension of polynomials.png|450px|rahmenlos|Algebraerweiterung und Polynomalgebren mit Koeffizienten in A]]

== Algebraischer Abschluss ==
Wir erweitern nur die Algebra &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; um ein zusätzliches Element &lt;math&gt;t \notin A&lt;/math&gt; enthält, das in einer Algebraerweiterung &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; enthalten sein soll. Da die Multiplikation und die Addition in &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; abgeschlossen sein müssen, entstehen Polynome durch Multiplikationen &lt;math&gt;a\cdot t&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;t\cdot t = t^2&lt;/math&gt; mit Koeffizienten &lt;math&gt;a\in A&lt;/math&gt;n, die als Summanden &lt;math&gt;a_n\cdot t^n&lt;/math&gt; als Polynome in der Algebraerweiterung enthalten sein müssen.

=== Erweiterung der Algebra ===
Dies beinhaltet die Abgeschlossenheit der
* multiplikative Verknüpfung von &lt;math&gt;t&lt;/math&gt; mit sich selbst und daher müssen auch &lt;math&gt;t^n&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;n \in \mathbb{N}&lt;/math&gt; wieder in &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; liegen,
* die beliebige multiplikative Verknüpfungen von &lt;math&gt;t^n \in B&lt;/math&gt; mit Elementen aus &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;  wieder in &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; liegen, d.h. &lt;math&gt;a_n \cdot t^n \in B&lt;/math&gt;  liegen.
* der additive algebraische Alschluss verlangt auch schließlich, dass additive Verknüpfungen aus &lt;math&gt;a_n \cdot t^n \in B&lt;/math&gt; wieder in &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; liegen.

=== Polynome mit Koeffizienten aus der gegebenen Algebra ===
Aus dieser Notwendigkeit betrachtet man Polynome mit Koeffizienten aus &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; als ersten Schritt, um eine Algebraerweiterung zu konstruieren, in der ein &lt;math&gt;z&lt;/math&gt; invertierbar sein kann.

== Polynomalgebra ==
Wir betrachten nun zu einer gegeben topologischen Algebra  &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\left(A,\left\|  \cdot \right\| _{{\mathcal{A}} }\right)\in \mathcal{K} (\mathbb{K}) &lt;/math&gt;  die Menge der Polynome mit Koeffizienten in &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.
:&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
     p(t)=\sum_{k=0}^{n} p_k\cdot t^k \mbox{ mit }
          p_k \in A \mbox{ für } k \in \{0,1,..., n\}
&lt;/math&gt;
und Potenzreihen mit Koeffizienten in der Algebra &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;
:&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
     p(t)=\sum_{k=0}^{\infty} p_k\cdot t^k \mbox{ mit }
           p_k \in A \mbox{ für } k \in \mathbb{N}_o
&lt;/math&gt;

=== Grad von Polynomen ===
Zunächst einmal würde man Polynome  formal eher in der obigen Form mit &lt;math&gt; n \in \mathbb{N}_o &lt;/math&gt; notieren und mit &lt;math&gt; p_n \not= 0_A &lt;/math&gt; würde &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; den Grad des Polynoms angeben. Für das Cauchyprodukt von zwei Polynomen &lt;math&gt;p,q \in A[t]&lt;/math&gt; ist diese Schreibweise allerdings ungeeignet, da bei der Addition und Multiplikation zwei Polynomen &lt;math&gt;p,q \in A[t]&lt;/math&gt; die Handhabung des Grades zusätzlichen formalen Aufwand nach sich zieht, der aber für die weitern Betrachtungen von Algebraerweiterungen keine Rolle spielt.

=== Schreibweise für die Polynomalgebra ===
Daher werden die Polynome wie folgt über &quot;endliche&quot; Folgen &lt;math&gt;c_{oo}(A)&lt;/math&gt; definiert, die ab einer Indexschranke &lt;math&gt;n\in\mathbb{N}_o&lt;/math&gt; nur noch aus dem Nullvektor &lt;math&gt;0_A&lt;/math&gt; in &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; besteht. 
:&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
     p(t)=\sum_{k=0}^{\infty} p_k\cdot t^k \mbox{ mit }
          (p_k)_{k\in\mathbb{N}_0}\in c_{oo}(A)
  &lt;/math&gt;

== Cauchy-Produkt ==
Gegeben sind allgemein zwei Polynome &lt;math&gt;p,q&lt;/math&gt; mit Koeffizienten aus &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;A&lt;/math&gt;.
:&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
    p(t):= \sum_{k=0}^{\infty} p_k\cdot t^k
         \mbox{ und }
    q(t):= \sum_{k=0}^{\infty} q_k\cdot t^k
  &lt;/math&gt;
Dann wird Cauchy-Produkt von &lt;math&gt;p,q&lt;/math&gt; wie folgt definiert:
:&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
    p(t)\cdot q(t):=\sum_{n=0}^{\infty} \left(
                    \sum_{k=0}^{n} p_k \cdot q_{n-k} \right) t^n.
&lt;/math&gt;

=== Bemerkung: Cauchy-Produkt ===
Betrachtet man Polynome &lt;math&gt;\mathbb{R}[t]&lt;/math&gt; oder &lt;math&gt;\mathbb{C}[t]&lt;/math&gt; mit reellen oder komplexwertigen Koeffizienten, so fasst das Cauchy-Produkt durch Anwendung vom Distributivgesetz, Assoziativgesetz und die Kommunitivtät der Addition die Terme bzgl. &lt;math&gt;t^n&lt;/math&gt;, die bei der Multiplikation den Exponenten &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; liefert, also:
:&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
  \left( p_k \cdot t^n \right) \cdot \left( q_{n-k} \cdot t^{n-k} \right)  = p_k \cdot q_{n-k} \cdot t^n
&lt;/math&gt;
Die dazu verwendeten algebraischen Operationen sind auch auf eine (topologische) Algebra übertragbar.

=== Bemerkung: Kommuntativtät Koeffizienten ===
In einer Algebra &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; kann die Kommutativität nicht für die Koeffizienten der Polynome &lt;math&gt;p_k \in A&lt;/math&gt; vorausgesetzt werden. Betrachten Sie dazu die Polynomalgebra &lt;math&gt;A[t]&lt;/math&gt; mit Koeffizienten aus &lt;math&gt;A:=Mat(n \times n, \mathbb{R})&lt;/math&gt; mit der Matrixmultiplikation als multiplikative Verknüpfung auf &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.


== Aufgabe für Lernende ==
* Betrachten Sie [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] der 3. Ordnung und erläutern Sie, warum diese mit Polynome mit Koeffizient im &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; darstellen, wobei hier der Definitionsbereich von &lt;math&gt;t\in [0,1]&lt;/math&gt; in der Anwendung auf ein Interval konkret beschränkt wird.
* Betrachten Sie die Algebra der &lt;math&gt;2\times 2&lt;/math&gt; Matrizen &lt;math&gt;A:=Mat(2\times 2,\mathbb{K})&lt;/math&gt; über dem Körper &lt;math&gt;\mathbb{K}=\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C}&lt;/math&gt; und der Matrixmultiplikation als multiplikative Verknüpfung auf &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;. 
** Welche Zusammenhänge aus der Linearen Algebra kennen Sie bzgl. Polynomen und Matrizen?
** Welche Gemeinsamkeiten und Unterschiede gibt es Sätzen in der [[w:de:Lineare Algebra|linearen Algebra]] (z.B. beim [[w:de:Charakteristisches Polynom|charakteristischen Polynom]], [[w:de:Satz_von_Cayley-Hamilton|Satz von Cayley-Hamiliton]], ...)

== Orbitdarstellung ==
Polynome &lt;math&gt;p\in A[t]&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;p(z):= \textstyle \sum_{k=0}^n p_k\cdot z^k&lt;/math&gt; kann in eine Orbitdarstellung überführen, wobei die ganzzahlige Potenz &lt;math&gt;k \in \mathbb{N}_0&lt;/math&gt; als Winkelgeschwindigkeit in dem Orbit der entsprechenden Ordnung aufgefasst werden kann. Die Orbitdarstellung lautet mit &lt;math&gt;k_1,k_m \in \mathbb{N}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;n= \textstyle \sum_{j=1}^m k_j &lt;/math&gt; und &lt;math&gt;b_1, b_m \not= 0{\!}_{_A}&lt;/math&gt; :
:&lt;math&gt;
  p(z) = (\ldots ((b_m \cdot z^{k_{m}} + b_{m-1})\cdot z^{k_{m-1}} + b_{m-2})\cdot z^{k_{m-2}} + ..... + b_1) \cdot z^{k_{1}} + b_0
&lt;/math&gt;

=== Orbitdarstellung in den komplexwertigen Polynomen ===
Die folgenden Abbildung zeigt einen Polynom &lt;math&gt;p(z) = p_2\cdot z^2+ p_1\cdot z^1 + p_0&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;p \in \mathbb{C}[z]&lt;/math&gt; (siehe auch [[komplexe Zahl#Oribitdarstellung|komplexe Zahlen und Orbitdarstellung]]) mit &lt;math&gt;z:= r\cdot e^{it}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;z^k:= r^k\cdot e^{it\cdot k}&lt;/math&gt;.
:&lt;math&gt;p(z):=\gamma_z(t) = \underbrace{\underbrace{p_0 + p_1 \cdot r e^{t}}_{=z_1} + p_2\cdot r^2e^{2\cdot t}}_{=z_2} ,&lt;/math&gt;
wobei &lt;math&gt;r_1,r_2 &gt; 0&lt;/math&gt; die Radien der Kreise sind, &lt;math&gt;v_1,v_2 \in \mathbb{R}&lt;/math&gt; Winkelgeschwindigkeiten und
* &lt;math&gt;s_0\in \mathbb{C}&lt;/math&gt; der Mittelpunkte des Orbits 1. Ordnung ist (vgl. &quot;Position der Sonne&quot;),
* &lt;math&gt;z_1\in \mathbb{C}&lt;/math&gt; der Punkt der sich mit der Winkelgeschwindigkeit &lt;math&gt;v_1&lt;/math&gt; (vgl. &quot;Position der Erde&quot;),
* &lt;math&gt;\gamma(t) = z_2\in \mathbb{C}&lt;/math&gt; ist der Punkt, der sich mit der Winkelgeschwindigkeit &lt;math&gt;v_2&lt;/math&gt; und Radius &lt;math&gt;r_2&lt;/math&gt; um den Mittelpunkte &lt;math&gt;z_1&lt;/math&gt; des Orbits 1. Ordnung dreht (vgl. &quot;Bewegung des Mondes um die Erde&quot;).

== Siehe auch ==
* [[Algebraerweiterung]]
* [[Banachalgebra]]
* [[w:de:Charakteristisches Polynom|charakteristischen Polynom]]
* [[w:de:Lineare Algebra|Lineare Algebra]]
* [[Orbitdarstellung von Polynomen]]
* [[w:de:Satz_von_Cayley-Hamilton|Satz von Cayley-Hamiliton]]
* [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/B-Regularität|B-Regularität]]

=== Kurse ===
* [[Kurs:Funktionentheorie]]
* [[Kurs:Funktionalanalysis]]

== Seiteninformation ==
Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&amp;title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra&amp;author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&amp;language=de&amp;audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen.

=== Wiki2Reveal ===

Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&amp;title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra&amp;author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&amp;language=de&amp;audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem  [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt.
&lt;!--
* Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten:
** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra]
--&gt;
* [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt.
* Link zur Quelle in  Wikiversity:  https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra
* siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&amp;title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra&amp;author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&amp;language=de&amp;audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator].
&lt;!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --&gt;

[[Category:Wiki2Reveal]]
[[Category:Funktionalanalysis]]
&lt;noinclude&gt;[[en:Inverse-producing extensions of Topological Algebras/Algebra of polynomials]]&lt;/noinclude&gt;</text>
      <sha1>hmu5rpcb4fwcw1jiyh0pvyiryk4r5a2</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Benutzer:Paul Sutermeister/Gespräch</title>
    <ns>2</ns>
    <id>153593</id>
    <revision>
      <id>1115954</id>
      <parentid>1063728</parentid>
      <timestamp>2026-10-13T08:52:12Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Paul Sutermeister</username>
        <id>37610</id>
      </contributor>
      <origin>1115954</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="6935" sha1="3rtqe9yizv6fhga73vdiwmgpmx04h6c" xml:space="preserve">= Teams bilden sich =

&lt;quiz display=&quot;simple&quot;&gt;
{ [[:w:Teambildung#Phasenmodell_nach_Tuckman|Wie entwickelt sich ein Team?]] Ordne zu:
| typ=&quot;[]&quot; }
| Forming | Storming | Norming | Performing
--+- Kontrakt
+--- Kontakt
---+ Kooperation
-+-- Konflikt
&lt;/quiz&gt;

&lt;quiz display=&quot;simple&quot;&gt;
{ Wie entwickelt sich ein Team?
| type=&quot;{}&quot; }
Beim { Performing } arbeitet das Team effektiv und produktiv zusammen. Die Mitglieder haben ihre Rollen gefunden, kommunizieren gut miteinander und arbeiten gemeinsam an der Erreichung der Teamziele.
Beim { Norming } beginnen die Teammitglieder, sich auf gemeinsame Ziele und Arbeitsweisen zu einigen. Es werden Normen und Regeln für die Zusammenarbeit entwickelt, und Konflikte werden oft gelöst oder zumindest besser verwaltet.
Beim { Storming } können Konflikte und Meinungsverschiedenheiten auftreten, da Teammitglieder ihre unterschiedlichen Ansichten und Persönlichkeiten besser verstehen. Es kann zu Machtkämpfen und Unsicherheiten kommen, während das Team versucht, sich zu organisieren.
Beim { Forming } kommen die Teammitglieder erstmals zusammen. Sie sind in der Regel höflich, hören einander zu und versuchen, sich kennenzulernen. Die Rollen und Verantwortlichkeiten im Team sind oft noch nicht klar definiert.
&lt;/quiz&gt;

= Gespräche werden geführt =

&lt;quiz display=&quot;simple&quot;&gt;
{ Ordne zu:
| typ=&quot;[]&quot; }
| Aktives Zuhören | Paraphrasieren | Spiegeln | Überbrücken | Verbalisieren
---+- Zeit zum Nachdenken gewinnen
+---- sich auf den Gesprächspartner konzentrieren
--+-- sich dem Gegenüber angleichen
-+--- etwas in eigenen Worten wiedergeben
----+ Unausgesprochenes in Worte fassen
&lt;/quiz&gt;

&lt;quiz display=&quot;simple&quot;&gt;
{ '''Gesprächstechniken sind hilfreich, um Missverständnisse zu minimieren, effektive Kommunikation zu fördern und Beziehungen in kaufmännischen Teams zu stärken. Sie können je nach Situation und Gesprächspartner angepasst werden, um eine effiziente und respektvolle Kommunikation zu gewährleisten.'''
| type=&quot;{}&quot; }
{ Aktives Zuhören|Aktiv zuhören } bedeutet, dem Gesprächspartner aufmerksam zuzuhören und gleichzeitig nonverbale Signale zu senden, die Interesse und Aufmerksamkeit zeigen, wie z. B. Blickkontakt, Kopfnicken und offene Körpersprache. Durch das aktive Zuhören können Sie dem Gesprächspartner das Gefühl vermitteln, dass seine Meinung geschätzt wird, und Missverständnisse vermeiden.
Manchmal müssen Sie in einem Gespräch Zeit gewinnen oder auf eine Frage zurückkommen. { Überbrücken } beinhaltet das geschickte Lenken des Gesprächs in eine andere Richtung, bis Sie die benötigten Informationen oder Argumente sammeln können.
Beim { Paraphrasieren } wiederholen Sie in Ihren eigenen Worten, was der Gesprächspartner gesagt hat, um sicherzustellen, dass Sie seine Botschaft richtig verstanden haben. Dies zeigt dem Gesprächspartner, dass Sie aktiv versuchen, seine Perspektive zu verstehen, und ermöglicht es Ihnen, mögliche Missverständnisse zu klären.
{ Spiegeln|Verbalisieren } und { Verbalisieren|Spiegeln } geht über Paraphrasieren hinaus und bezieht sich auf die emotionalen Aspekte der Aussagen des Gesprächspartners. Es zielt darauf ab, die Gefühle und Bedürfnisse des Gesprächspartners anzusprechen und auszudrücken.
&lt;/quiz&gt;

= Konflikte werden gelöst =

&lt;quiz display=&quot;simple&quot;&gt;
{ Ergänze folgende Wörter: Chancen, herauszufinden, mangelnder, Meinungsverschiedenheiten, produktiver, scheinbaren, überrascht, Unklarheiten, Ziele. 
| type=&quot;{}&quot; }
Im Berufs- und Privatleben können { Meinungsverschiedenheiten } und Emotionen auftreten. Vorbereitung ist hilfreich, um nicht { überrascht } zu werden. Wenn Emotionen hochkochen, können Sie tief durchatmen oder versuchen { herauszufinden }, warum. Missverständnisse führen manchmal zu { scheinbaren } Konflikten, oft aufgrund kultureller Unterschiede oder { mangelnder } Information. Konflikte können auch entstehen, wenn Interessen, { Ziele } oder Werte unterschiedlich sind. Sie können anstrengend sein, aber auch { Chancen } für Fortschritt bieten. Zum Beispiel können { Unklarheiten } in einem neuen Team zu Konflikten führen. Investieren Sie Zeit in die Lösung solcher Konflikte, um das Team { produktiver } zu machen.
&lt;/quiz&gt;

&lt;quiz display=&quot;simple&quot;&gt;
{ Ordne zu:&lt;ref&gt;[[:w:Gerhard Schwarz (Philosoph)|Gerhard Schwarz]]: ''Konfliktmanagement. Konflikte erkennen, analysieren, lösen.'' Wiesbaden: Gabler, 2010.&lt;/ref&gt;
| typ=&quot;[]&quot; }
| Flucht | Kampf | Nachgeben | Delegieren | Verhandeln | Einigung
----+- Kompromiss
-+---- Sieger-Verlierer
-----+ Konsens
--+--- Unterwerfung
+----- Vermeidung
---+-- Schlichtung/Vermittlung
&lt;/quiz&gt;

&lt;quiz display=&quot;simple&quot;&gt;
{ Wie werden Konflikte gelöst?
| type=&quot;{}&quot; }
Die Wahl der besten Konfliktlösungsstrategie hängt von der jeweiligen Situation, den beteiligten Personen und den Zielen ab. Im Berufsalltag ist es oft ratsam, verschiedene Strategien anzuwenden, je nachdem, wie der Konflikt sich entwickelt. Eine effektive Konfliktlösung erfordert oft die Fähigkeit zur Anpassung und die Bereitschaft, je nach den Umständen zwischen den verschiedenen Strategien zu wechseln, um die besten Ergebnisse zu erzielen:
{ Delegieren } – In einigen Fällen kann es sinnvoll sein, die Verantwortung für die Konfliktlösung an eine höhere Instanz oder an spezialisierte Personen oder Gremien zu übertragen, insbesondere wenn der Konflikt komplex ist und Fachwissen erfordert.
{ Einigung } – Die Strategie beinhaltet das Finden eines Kompromisses, bei dem alle Parteien etwas nachgeben, um zu einer akzeptablen Lösung zu gelangen. Dies kann eine schnelle Möglichkeit sein, einen Konflikt beizulegen, erfordert jedoch, dass alle Kompromissbereitschaft zeigen.
{ Flucht } – Diese Strategie beinhaltet das Vermeiden oder Ignorieren des Konflikts. Dies kann sinnvoll sein, wenn der Konflikt geringfügig ist und keine sofortige Lösung erfordert. Es kann jedoch problematisch sein, wenn wichtige Angelegenheiten nicht angegangen werden.
{ Kampf } – Dabei versucht eine Person, ihre eigenen Interessen und Ziele durchzusetzen, ohne Rücksicht auf die Bedürfnisse oder Standpunkte anderer. Diese Strategie kann in Situationen angewendet werden, in denen schnelle Entscheidungen oder klare Führung erforderlich sind, kann jedoch zu Konflikten führen, wenn sie übermäßig eingesetzt wird.
{ Nachgeben } – Diese Strategie beinhaltet das Zurückweichen von eigenen Positionen zugunsten der Interessen und Bedürfnisse anderer. Sie kann nützlich sein, um Konflikte zu deeskalieren und Beziehungen zu erhalten, ist jedoch nicht immer die beste Wahl, wenn die eigenen Ziele wichtig sind.
{ Verhandeln } – Bei dieser Strategie arbeiten die Konfliktparteien zusammen, um eine für alle akzeptable Lösung zu finden. Diese Strategie kann in komplexen Konflikten besonders effektiv sein, erfordert jedoch Zeit, Geduld und die Fähigkeit zur Kommunikation und Zusammenarbeit.
&lt;/quiz&gt;

= Quellen =
&lt;references/&gt;</text>
      <sha1>3rtqe9yizv6fhga73vdiwmgpmx04h6c</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>1115972</id>
      <parentid>1115954</parentid>
      <timestamp>2026-10-13T11:45:03Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Paul Sutermeister</username>
        <id>37610</id>
      </contributor>
      <origin>1115972</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="1984" sha1="t16qrz25tn77v72n8p8t87ofmup1jcv" xml:space="preserve">= Gespräche werden geführt =

&lt;quiz display=&quot;simple&quot;&gt;
{ Ordne zu:
| typ=&quot;[]&quot; }
| Aktives Zuhören | Paraphrasieren | Spiegeln | Überbrücken | Verbalisieren
---+- Zeit zum Nachdenken gewinnen
+---- sich auf den Gesprächspartner konzentrieren
--+-- sich dem Gegenüber angleichen
-+--- etwas in eigenen Worten wiedergeben
----+ Unausgesprochenes in Worte fassen
&lt;/quiz&gt;

&lt;quiz display=&quot;simple&quot;&gt;
{ '''Gesprächstechniken sind hilfreich, um Missverständnisse zu minimieren, effektive Kommunikation zu fördern und Beziehungen in kaufmännischen Teams zu stärken. Sie können je nach Situation und Gesprächspartner angepasst werden, um eine effiziente und respektvolle Kommunikation zu gewährleisten.'''
| type=&quot;{}&quot; }
{ Aktives Zuhören|Aktiv zuhören } bedeutet, dem Gesprächspartner aufmerksam zuzuhören und gleichzeitig nonverbale Signale zu senden, die Interesse und Aufmerksamkeit zeigen, wie z. B. Blickkontakt, Kopfnicken und offene Körpersprache. Durch das aktive Zuhören können Sie dem Gesprächspartner das Gefühl vermitteln, dass seine Meinung geschätzt wird, und Missverständnisse vermeiden.
Manchmal müssen Sie in einem Gespräch Zeit gewinnen oder auf eine Frage zurückkommen. { Überbrücken } beinhaltet das geschickte Lenken des Gesprächs in eine andere Richtung, bis Sie die benötigten Informationen oder Argumente sammeln können.
Beim { Paraphrasieren } wiederholen Sie in Ihren eigenen Worten, was der Gesprächspartner gesagt hat, um sicherzustellen, dass Sie seine Botschaft richtig verstanden haben. Dies zeigt dem Gesprächspartner, dass Sie aktiv versuchen, seine Perspektive zu verstehen, und ermöglicht es Ihnen, mögliche Missverständnisse zu klären.
{ Spiegeln|Verbalisieren } und { Verbalisieren|Spiegeln } geht über Paraphrasieren hinaus und bezieht sich auf die emotionalen Aspekte der Aussagen des Gesprächspartners. Es zielt darauf ab, die Gefühle und Bedürfnisse des Gesprächspartners anzusprechen und auszudrücken.
&lt;/quiz&gt;</text>
      <sha1>t16qrz25tn77v72n8p8t87ofmup1jcv</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>1115973</id>
      <parentid>1115972</parentid>
      <timestamp>2026-10-13T11:52:36Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Paul Sutermeister</username>
        <id>37610</id>
      </contributor>
      <minor />
      <comment>Paul Sutermeister verschob die Seite [[Benutzer:Paul Sutermeister/Team]] nach [[Benutzer:Paul Sutermeister/Gespräch]]: Teile &quot;Teamphasen&quot; und &quot;Konflikt&quot; ausgelagert, jetzt nur noch &quot;Gespräch&quot;</comment>
      <origin>1115972</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="1984" sha1="t16qrz25tn77v72n8p8t87ofmup1jcv" xml:space="preserve">= Gespräche werden geführt =

&lt;quiz display=&quot;simple&quot;&gt;
{ Ordne zu:
| typ=&quot;[]&quot; }
| Aktives Zuhören | Paraphrasieren | Spiegeln | Überbrücken | Verbalisieren
---+- Zeit zum Nachdenken gewinnen
+---- sich auf den Gesprächspartner konzentrieren
--+-- sich dem Gegenüber angleichen
-+--- etwas in eigenen Worten wiedergeben
----+ Unausgesprochenes in Worte fassen
&lt;/quiz&gt;

&lt;quiz display=&quot;simple&quot;&gt;
{ '''Gesprächstechniken sind hilfreich, um Missverständnisse zu minimieren, effektive Kommunikation zu fördern und Beziehungen in kaufmännischen Teams zu stärken. Sie können je nach Situation und Gesprächspartner angepasst werden, um eine effiziente und respektvolle Kommunikation zu gewährleisten.'''
| type=&quot;{}&quot; }
{ Aktives Zuhören|Aktiv zuhören } bedeutet, dem Gesprächspartner aufmerksam zuzuhören und gleichzeitig nonverbale Signale zu senden, die Interesse und Aufmerksamkeit zeigen, wie z. B. Blickkontakt, Kopfnicken und offene Körpersprache. Durch das aktive Zuhören können Sie dem Gesprächspartner das Gefühl vermitteln, dass seine Meinung geschätzt wird, und Missverständnisse vermeiden.
Manchmal müssen Sie in einem Gespräch Zeit gewinnen oder auf eine Frage zurückkommen. { Überbrücken } beinhaltet das geschickte Lenken des Gesprächs in eine andere Richtung, bis Sie die benötigten Informationen oder Argumente sammeln können.
Beim { Paraphrasieren } wiederholen Sie in Ihren eigenen Worten, was der Gesprächspartner gesagt hat, um sicherzustellen, dass Sie seine Botschaft richtig verstanden haben. Dies zeigt dem Gesprächspartner, dass Sie aktiv versuchen, seine Perspektive zu verstehen, und ermöglicht es Ihnen, mögliche Missverständnisse zu klären.
{ Spiegeln|Verbalisieren } und { Verbalisieren|Spiegeln } geht über Paraphrasieren hinaus und bezieht sich auf die emotionalen Aspekte der Aussagen des Gesprächspartners. Es zielt darauf ab, die Gefühle und Bedürfnisse des Gesprächspartners anzusprechen und auszudrücken.
&lt;/quiz&gt;</text>
      <sha1>t16qrz25tn77v72n8p8t87ofmup1jcv</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Kurs:WikiCLIMATEchange</title>
    <ns>106</ns>
    <id>157135</id>
    <revision>
      <id>1115914</id>
      <parentid>1004144</parentid>
      <timestamp>2026-10-12T20:39:14Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Schreibzentrum</username>
        <id>39232</id>
      </contributor>
      <comment>/* Weiterführende Literatur zum Thema Klimawandel im Spannungsfeld von Theorie, Praxis und Aktivismus */</comment>
      <origin>1115914</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="13864" sha1="0gj64huu19j5v90i6kcu8fkke2lvrlg" xml:space="preserve">=wikiCLIMATEchange=

{{Achtung |Text=:: ''Diese Seite ist aktuell nur auf Deutsch vorhanden. Für den Abstract in englischer und spanischer Sprache siehe Fotodateien rechts.

::''This page is currently only available in German. For the abstract in English and Spanish see photo files on the right.

::''Esta página sólo está disponible en alemán. Para ver el resumen en inglés y español, consulte los archivos de fotos de la derecha |Breite=80% |Hintergrund=#FFCCCC |Rand=#FF0000 |RandLinks=#FF6666}}


== Was ist ''wikiCLIMATEchange''? ==
[[File:WikiCLIMATEchance abstract en.png|thumb|Abstract of the wikiCLIMATEchance project in English]]

''wikiCLIMATEchange'' ist eine transnationale und multilinguale Sammlung von Ideen zum 
''lokalen'' Umgang mit den Ursachen und Auswirkungen des Klimawandels rund um den Globus. Mithilfe multimodaler Ausdrucksformen und multimedialer Darstellungen (u.a. Text, Bild, Ton) werden die von den Akteur*innen in ihrem unmittelbaren Lebensumfeld beobachteten ''klimaverändernden Einflüsse'' dokumentiert, deren ''Ursachen erklärt'' und mögliche ''Veränderungen bzw. Problemlösungen vorgeschlagen'' oder bereits in Aktion gezeigt. Der Umgang mit den darzustellenden Informationen zu den Leitfragen des Projekts (''Was ist das Problem? Warum gibt es das Problem? Welche Problemlösungen sind denkbar?'') kann narrativer, journalistischer, künstlerisch-ästhetischer oder wissenschaftlicher Art sein. Durch diese Vielfalt an Darstellungsformen und -formaten entsteht ein umfassender Einblick in das Wissen, die Imagination, aber auch in die Empfindungen und Emotionen der Beitragenden. &lt;br&gt;

[[File:WikiCLIMATEchance abstract es.png|thumb|Resumen del proyecto wikiCLIMATEchance en español]]

Ein wichtiger Beitrag für diese Projektseite könnte auch darin bestehen, andere Menschen bei der Erstellung von Beiträgen für ''wikiCLIMATEchange'' anzuleiten bzw. zu begleiten, egal in welchem Handlungsumfeld (z.B. Schule, Studium, Beruf, Freizeit). Diese Anleitungen sollten u.a. Zwischenschritte vorschlagen, die den angezielten Akteur*innen im Gestaltungsprozess helfen. Das Material sollte außerdem für einen großen Leser*innenkreis selbsterklärend sein und zur praktischen Umsetzung, aber auch zur Weiterentwicklung motivieren. 

Die Nutzung von ''WIKIMEDIA'' als zentrale Darstellungsplattform ermöglicht eine globale digitale Vernetzung der lokal agierenden Akteur*innen und deren Beobachtungen und Ideen. Die dadurch entstehenden Synergie-Effekte tragen idealerweise dazu bei, den  eigenen digitalen Beitrag in einem erweiterten Kontext über den eigenen Lebensbezug hinaus — wahrzunehmen und die jeweils vorgestellte Problemlösung entsprechend zu optimieren. Die Nutzung von ''WIKIMEDIA'' initiiert auf diese Weise neues Wissen, solidarisches Handeln und Alternativen im Umgang mit den Ursachen und Auswirkungen des Klimawandels.

== Warum gibt es ''wikiCLIMATEchange''? ==
* Weil wir mehr frei zugängliches Wissen über den Klimawandel als die größte Herausforderung unserer Gegenwart benötigen. 
* Weil wir mehr gegenseitige Motivation und Unterstützung dafür brauchen, unsere bisherige  Art zu leben, deutlich zu verändern. 
* Weil wir wirkungsvoller als bisher kommunizieren sollten, was wir alles schon verändert haben und was wir noch verändern müssen.

== Was ist eigentlich ein Wiki? ==
: ''„Ein Wiki ist eine Website, deren Inhalte von den Besuchern nicht nur gelesen, sondern auch direkt im Webbrowser bearbeitet und geändert werden können. Das Ziel ist häufig, Erfahrung und Wissen gemeinschaftlich zu sammeln und in für die Zielgruppe verständlicher Form zu dokumentieren.“ '' (Wikipedia, wo sonst!) https://de.wikipedia.org/wiki/Wiki 

Im Wikimedia-Universum, einem Zusammenschluss von Websites, die alle die Software 
MediaWiki nutzen, werden bisher u.a. folgende Zielgruppen angesteuert: 
* Enzyklopädisch (am wissenschaftlich fundierten Allgemeinwissen) Interessierte („Wikipedia“), 
* am Lesen von kostenlosen Büchern Interessierte („Wikibooks“), 
* am Reisen Interessierte (Wikivoyage), 
* '''am Lehren und Lernen Interessierte („Wikiversity“)'''.
Das Projekt ''wikiCLIMATEchange'' wendet sich nun an Menschen, die sich speziell für das 
komplexe Thema „Klimawandel“ interessieren. 
Aber da es nicht nur um das Teilen eines gemeinsamen thematischen Interesses geht, sondern um das Ziel, andere Menschen für das Thema Klima durch wirksam kommunizierte Theorie und Praxis zu sensibilisieren, geht es hier um ein zentrales Anliegen des '''Lernens und Lehrens'''. Deswegen stellt ''Wikiversity'' eine sinnvolle Heimat für ''wikiCLIMATEchange'' dar. Hier wollen wir uns gemeinsam inspirieren, anleiten und begleiten beim Entwickeln und konkreten Umsetzen von Ideen zum Klimawandel.

== Was können wir auf ''wikiCLIMATEchange'' gemeinsam tun? ==
* Eigene Ideen mit individuellen Wiki-Beiträgen beschreiben, ohne bereits alles wissen und können zu müssen: Es wird immer andere Nutzer*innen von ''wikiCLIMATEchange'' geben, die die vorgeschlagenen Ideen weiterentwickeln werden, so lange diese Ideen grundsätzlich sprachlich und inhaltlich verstanden bzw. nachvollzogen werden können.
* Auf bereits im Wikimedia-Universum vorhandenes Material, passend zum eigenen Anliegen, verweisen bzw. es in die eigene Darstellung (mit Quellenverweis) einbinden.
* Bei Bedarf im eigenen Wiki-Beitrag auf verschiedene Zielgruppen (z.B. Eltern, Kinder, Peers) verweisen und dazu weiterführende Wiki-Beiträge erstellen bzw. anregen oder mit passenden externen Ressourcen verlinken.
* Konzepte und Materialien für formale Lehr-Lernsituationen (z.B. Fachunterricht, Projektarbeit) entwickeln, um mit einer bestimmten Zielgruppe (z.B. Schüler*innen, Studierende) Wissen und Können zum Thema systematisch zu entwickeln.

== Beiträge von anderen Nutzer*innen ==

{{Achtung |[[Kurs:WikiCLIMATEchange/Beiträge|Bereits auf Wikiversity veröffentlichte Beiträge von Nutzer*innen]] |Breite=80% |Hintergrund=#FFCCCC |Rand=#FF0000 |RandLinks=#FF6666}}.


[[Datei:Klimaplan &quot;Fleisch, das Klima und Wir&quot;.pdf|mini|mitte]] 

[[Datei:Klimaplan für Freiburg - Visuelle Darstellung.pdf|mini|mitte]]

== Teilnehmen — Wie geht das? ==

* Lokalen Klimawandel beobachten und mithilfe von Bildern, Text, Ton (u.a.) beschreiben: 
# Die Ursachen dieser lokalen Klimaveränderungen und deren Folgen für das unmittelbare Lebensumfeld erklären (ebenfalls mit verschiedenen Medien möglich)
# Wege im lokalen und individuellen Umgang mit den Ursachen und Folgen der Klimaveränderung entwerfen und ggf. bereits vorhandene Aktionen zeigen (ebenfalls mit verschiedenen Medien möglich) 

 ''Um einen Beitrag ohne viel Aufwand beizusteuern, kannst du ihn einfach an folgende Mail schicken: infoSCHREIBZENTRUM@ph-freiburg.de. Das Team kümmert sich dann um die Einbettung auf der Website. Möchtest du selbstständig einen Beitrag auf WikiCLIMATEchange veröffentlichen, hilft dir hoffentlich folgende Anleitung

* Einen Wiki-Account anlegen: https://de.wikiversity.org/w/index.php?title=Spezial:Benutzerkonto_anlegen&amp;returnto=Hauptseite
* Den eigenen Beitrag in WikiCLIMATEchange einfügen: 
# Eine Rubrik für den eigenen Beitrag wählen (https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:WikiCLIMATEchange/Beitr%C3%A4ge)  
# um in den Bearbeitungsmodus der Seite zu kommen: auf &quot;Bearbeiten&quot; klicken (auf der Seite rechts oben)/optional über Tastenkombination &quot;alt&quot;+&quot;shift&quot;+&quot;e&quot;
# eigenen Beitrag benennen im Stil &quot;==&quot; (um eine Überschrift zu generieren) + &quot;Name in Anführungszeichen&quot;
# anschließend darunter eigene Datei hinzufügen über: Menüband oben -&gt; Bilder und Medien (Grafik eines schwarzen Rechtecks mit zwei hellen Dreiecken) -&gt; entsprechende Datei hochladen (bestätigen, dass es sich um eigenes Werk handelt sowie Namen und Beschreibung hinzufügen) -&gt; Ausrichtung: links; Format: gerahmt -&gt; &quot;Einfügen&quot; und ganz hinten einen Punkt setzen(&quot;.&quot;, sonst wird folgende Überschrift nicht richtig angezeigt)
'' 
# auf der Beiträge-Übersichtsseite eigenen Beitrag entsprechend ergänzend: wieder über &quot;Bearbeiten&quot;; unter gewählter Rubrik eine &quot;#&quot; + (Raute markiert Nummerierung; bestenfalls Reihenfolge in Rubrik beibehalten zur Orientierung!) + den selbst gewählten Titel des Beitrags

'' Vielen Dank für euer Engagement und viel Spaß beim Ausprobieren''

[[Datei:Flyer Klimaplan für Agrikultur Festival 2024.pdf|mini]]

== Unsere Projektpartner == 

'''Climate Stories Map''' (https://climatemap.info/index.html) &lt;br&gt;

Hier können die eigenen Ideen, Erfahrungen und Visionen, die vielleicht bereits auf ''wikiCLIMATEchange'' gepostet wurden, geografisch verortet werden. Gleichzeitig können lokale und regionale Austausch- und Kooperationspartner*innen gefunden werden. Nicht zuletzt könnten auf der ''Climate Stories Map'' langfristig lokale und regionale Tendenzen im Klimawandel und im Umgang damit deutlich werden.

== Was andere Menschen über unser Projekt sagen ==
&quot;Let's talk about ''wikiCLIMATEchange'' ... with everybody, your friends, familiy, at school.
Freiburg (Germany) and Puebla (Mexico) are complex cities with particular environmental challenges. Let's help each other to better understand and meet these challenges!
(Cris Anastasio, Arts student at BUAP, Puebla/Mexico)

== Weiterführende Literatur zum Thema Klimawandel im Spannungsfeld von Theorie, Praxis und Aktivismus == 


; Bräuer, Gerd &amp; Moosmann, Noemi (2025). Schreiben in den Fächern, um die Welt zu retten: Das Projekt wikiCLIMATEchange. In: PH FR (1), S. 46-48 (https://www.ph-freiburg.de/fileadmin/shares/Zentral/Pubs/PH-FR/ph-fr_25.pdf) 
; BMBF BNE-Portal https://www.bne-portal.de/bne/de/home/home_node.html
: Das zentrale Portal für BNE in Deutschland (Bildung für nachhaltige Entwicklung) mit dem nationalen Aktionsplan, einem bundesweiten Überblick zu großen BNE-Initiativen, &quot;guter Praxis&quot; weltweit und einer umfangreichen Infothek (Fördermöglichkeiten, Lernmaterial, Publikationen) zum Download.

; Climate Change Performance Index https://ccpi.org
: Ranking und Dedail-Informationen zur Performance der einzelnen Länder in Sachen Klimaschutz: Wer sind die großen Aufsteiger und Absteiger im CCPI-Ranking 2025? Und warum?

; Diehl, Katja (2024). Raus aus der AUTOkratie — rein in die Mobilität von morgen! S. Fischer.
: Nicht E- oder Wasserstoff-Autos sind die Lösung, sondern gesamtgesellschaftliche Konzepte zur Mobilitätswende sind gefragt. Zu lesen sind hier konkrete Ideen zur aktiven Mitgestaltung der Mobilitätswende. 

; Earth4All. Deutschland. Aufbruch in eine Zukunft für Alle. https://earth4all.life/wp-content/uploads/2024/10/Earth4All-Deutschland_-_digital.pdf
: Die Studie von der internationalen Initiative &quot;Earth4all&quot; und ihrem Partner in Deutschland, dem &quot;Wuppertal Institut&quot;, hat den Stand der Dinge in Sachen Klimagerechtigkeit in Deutschland  (2023/24) untersucht. In diesem Dokument finden sich die zentralen Aussagen sowie das Plädoyer, fünf kursverändernde Wenden in Deutschland in Angriff zu nehmen.

; Köck, Thomas (2021). Und alle Tiere rufen. Dieser Titel rettet die Welt auch nicht mehr. (Live-Hörspiel) (https://www.hoerspielundfeature.de/und-alle-tiere-rufen-dieser-titel-rettet-die-welt-auch-nicht-mehr-100.html)
: Die verschwundenen Tiere dieser Welt melden sich zu Wort. Ein vielstimmiger Abgesang auf die Fauna und die Menschheit. Das Hörspiel wurde auf der Theaterbühne des Kunstfestes Weimar 2021 aufgenommen.

; Max-Planck-Institut (https://www.mpg.de/klima)
: Umfassende Sammlung von wissenschaftlichen Darstellungen zu den Ursachen, Auswirkungen und Möglichkeiten des Umgangs mit dem Klimawandel (Prognosen und Transformation).

; Molthan-Hill, Petra (et al., eds. 2020). Storytelling for Sustainability in Higher Education. An Educator's Handbook. Routledge.
: Ein Sammelband mit Beiträgen von Bildungswissenschaftler*innen und -praktiker*innen, um Storytelling als pädagogisches Tool zu erklären und zum Thema &quot;Nachhaltigkeit&quot; in Aktion zu zeigen. 

; Ripple, William J. (et al. 2024). The 2024 state of the climate report. Perilous times on planet Earth, BioScience, 2024, biae087, https://doi.org/10.1093/biosci/biae087
: Ein internationales Forscher*innen-Team hat 35 sogenannte planetare Lebenszeichen untersucht und ist dabei zum Ergebnis gekommen, dass mehr als zwei Drittel davon einen negativen Rekord anzeigen und insgesamt auf eine Erhöhung der globalen Durchschnittstemperatur um 2,7 Grad bis 2100 hindeuten.

; Röhrlich, Dagmar (2024). Wie der Planet unter der menschlichen Natur leidet. (&quot;Zeitfragen/Feature&quot;, Deutschlandfunk Kultur, Sendetermin 01.08.2024). https://www.deutschlandfunkkultur.de
: In diesem Radio-Feature wird möglichen Ursachen für die scheinbar fehlende Bereitschaft der Menschen auf die Spur gegangen, sich klimabewusster zu verhalten, um damit die zunehmende Klimaerwärmung zumindest einzudämmen. Um diesen tief in unserer evolutionären Geschichte verwurzelten Beharrungskräften entgegenzuwirken, scheint das Erzählen über Klimawandel, Artensterben, Bodenerosion und Meeresversauerung eine wichtige Rolle zu spielen.

; Schäffel, Ellen (et al. 2021).KlimaWandelWald. Eine Graphic Novel zu Folge und Anpassungsmaßnahmen an den Klimawandel in der Wald- und Forstwirtschaft. DOI: 10.6094/978-3-928969-85-7
(Eine digitale Version kann unter o.g. DOI kostenlos über das Portal FreiDok plus heruntergeladen werden).

; Steinlein, Christina &amp; Becker, Anne (2021). Die ganze Welt steckt voller Energie. Alles über die Kraft, die uns antreibt. Beltz &amp; Gelberg.
: Ausgezeichnet von der Stiftung Buchkunst als eines der schönsten deutschen Bücher 2021. Hier wird im Cartoon-Stil dem komplexen Phänomen &quot;Energie&quot; nachgegangen und gezeigt, wo und in welchen Formen Energie vorkommt, wie man Energie gewinnen und effizient nutzen kann. Eine Lektüre für die ganze Familie.</text>
      <sha1>0gj64huu19j5v90i6kcu8fkke2lvrlg</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>1115915</id>
      <parentid>1115914</parentid>
      <timestamp>2026-10-12T20:39:52Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Schreibzentrum</username>
        <id>39232</id>
      </contributor>
      <minor />
      <comment>/* Weiterführende Literatur zum Thema Klimawandel im Spannungsfeld von Theorie, Praxis und Aktivismus */</comment>
      <origin>1115915</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="13866" sha1="21yqc1e95hpq0nbr06jsd8k6eqentdw" xml:space="preserve">=wikiCLIMATEchange=

{{Achtung |Text=:: ''Diese Seite ist aktuell nur auf Deutsch vorhanden. Für den Abstract in englischer und spanischer Sprache siehe Fotodateien rechts.

::''This page is currently only available in German. For the abstract in English and Spanish see photo files on the right.

::''Esta página sólo está disponible en alemán. Para ver el resumen en inglés y español, consulte los archivos de fotos de la derecha |Breite=80% |Hintergrund=#FFCCCC |Rand=#FF0000 |RandLinks=#FF6666}}


== Was ist ''wikiCLIMATEchange''? ==
[[File:WikiCLIMATEchance abstract en.png|thumb|Abstract of the wikiCLIMATEchance project in English]]

''wikiCLIMATEchange'' ist eine transnationale und multilinguale Sammlung von Ideen zum 
''lokalen'' Umgang mit den Ursachen und Auswirkungen des Klimawandels rund um den Globus. Mithilfe multimodaler Ausdrucksformen und multimedialer Darstellungen (u.a. Text, Bild, Ton) werden die von den Akteur*innen in ihrem unmittelbaren Lebensumfeld beobachteten ''klimaverändernden Einflüsse'' dokumentiert, deren ''Ursachen erklärt'' und mögliche ''Veränderungen bzw. Problemlösungen vorgeschlagen'' oder bereits in Aktion gezeigt. Der Umgang mit den darzustellenden Informationen zu den Leitfragen des Projekts (''Was ist das Problem? Warum gibt es das Problem? Welche Problemlösungen sind denkbar?'') kann narrativer, journalistischer, künstlerisch-ästhetischer oder wissenschaftlicher Art sein. Durch diese Vielfalt an Darstellungsformen und -formaten entsteht ein umfassender Einblick in das Wissen, die Imagination, aber auch in die Empfindungen und Emotionen der Beitragenden. &lt;br&gt;

[[File:WikiCLIMATEchance abstract es.png|thumb|Resumen del proyecto wikiCLIMATEchance en español]]

Ein wichtiger Beitrag für diese Projektseite könnte auch darin bestehen, andere Menschen bei der Erstellung von Beiträgen für ''wikiCLIMATEchange'' anzuleiten bzw. zu begleiten, egal in welchem Handlungsumfeld (z.B. Schule, Studium, Beruf, Freizeit). Diese Anleitungen sollten u.a. Zwischenschritte vorschlagen, die den angezielten Akteur*innen im Gestaltungsprozess helfen. Das Material sollte außerdem für einen großen Leser*innenkreis selbsterklärend sein und zur praktischen Umsetzung, aber auch zur Weiterentwicklung motivieren. 

Die Nutzung von ''WIKIMEDIA'' als zentrale Darstellungsplattform ermöglicht eine globale digitale Vernetzung der lokal agierenden Akteur*innen und deren Beobachtungen und Ideen. Die dadurch entstehenden Synergie-Effekte tragen idealerweise dazu bei, den  eigenen digitalen Beitrag in einem erweiterten Kontext über den eigenen Lebensbezug hinaus — wahrzunehmen und die jeweils vorgestellte Problemlösung entsprechend zu optimieren. Die Nutzung von ''WIKIMEDIA'' initiiert auf diese Weise neues Wissen, solidarisches Handeln und Alternativen im Umgang mit den Ursachen und Auswirkungen des Klimawandels.

== Warum gibt es ''wikiCLIMATEchange''? ==
* Weil wir mehr frei zugängliches Wissen über den Klimawandel als die größte Herausforderung unserer Gegenwart benötigen. 
* Weil wir mehr gegenseitige Motivation und Unterstützung dafür brauchen, unsere bisherige  Art zu leben, deutlich zu verändern. 
* Weil wir wirkungsvoller als bisher kommunizieren sollten, was wir alles schon verändert haben und was wir noch verändern müssen.

== Was ist eigentlich ein Wiki? ==
: ''„Ein Wiki ist eine Website, deren Inhalte von den Besuchern nicht nur gelesen, sondern auch direkt im Webbrowser bearbeitet und geändert werden können. Das Ziel ist häufig, Erfahrung und Wissen gemeinschaftlich zu sammeln und in für die Zielgruppe verständlicher Form zu dokumentieren.“ '' (Wikipedia, wo sonst!) https://de.wikipedia.org/wiki/Wiki 

Im Wikimedia-Universum, einem Zusammenschluss von Websites, die alle die Software 
MediaWiki nutzen, werden bisher u.a. folgende Zielgruppen angesteuert: 
* Enzyklopädisch (am wissenschaftlich fundierten Allgemeinwissen) Interessierte („Wikipedia“), 
* am Lesen von kostenlosen Büchern Interessierte („Wikibooks“), 
* am Reisen Interessierte (Wikivoyage), 
* '''am Lehren und Lernen Interessierte („Wikiversity“)'''.
Das Projekt ''wikiCLIMATEchange'' wendet sich nun an Menschen, die sich speziell für das 
komplexe Thema „Klimawandel“ interessieren. 
Aber da es nicht nur um das Teilen eines gemeinsamen thematischen Interesses geht, sondern um das Ziel, andere Menschen für das Thema Klima durch wirksam kommunizierte Theorie und Praxis zu sensibilisieren, geht es hier um ein zentrales Anliegen des '''Lernens und Lehrens'''. Deswegen stellt ''Wikiversity'' eine sinnvolle Heimat für ''wikiCLIMATEchange'' dar. Hier wollen wir uns gemeinsam inspirieren, anleiten und begleiten beim Entwickeln und konkreten Umsetzen von Ideen zum Klimawandel.

== Was können wir auf ''wikiCLIMATEchange'' gemeinsam tun? ==
* Eigene Ideen mit individuellen Wiki-Beiträgen beschreiben, ohne bereits alles wissen und können zu müssen: Es wird immer andere Nutzer*innen von ''wikiCLIMATEchange'' geben, die die vorgeschlagenen Ideen weiterentwickeln werden, so lange diese Ideen grundsätzlich sprachlich und inhaltlich verstanden bzw. nachvollzogen werden können.
* Auf bereits im Wikimedia-Universum vorhandenes Material, passend zum eigenen Anliegen, verweisen bzw. es in die eigene Darstellung (mit Quellenverweis) einbinden.
* Bei Bedarf im eigenen Wiki-Beitrag auf verschiedene Zielgruppen (z.B. Eltern, Kinder, Peers) verweisen und dazu weiterführende Wiki-Beiträge erstellen bzw. anregen oder mit passenden externen Ressourcen verlinken.
* Konzepte und Materialien für formale Lehr-Lernsituationen (z.B. Fachunterricht, Projektarbeit) entwickeln, um mit einer bestimmten Zielgruppe (z.B. Schüler*innen, Studierende) Wissen und Können zum Thema systematisch zu entwickeln.

== Beiträge von anderen Nutzer*innen ==

{{Achtung |[[Kurs:WikiCLIMATEchange/Beiträge|Bereits auf Wikiversity veröffentlichte Beiträge von Nutzer*innen]] |Breite=80% |Hintergrund=#FFCCCC |Rand=#FF0000 |RandLinks=#FF6666}}.


[[Datei:Klimaplan &quot;Fleisch, das Klima und Wir&quot;.pdf|mini|mitte]] 

[[Datei:Klimaplan für Freiburg - Visuelle Darstellung.pdf|mini|mitte]]

== Teilnehmen — Wie geht das? ==

* Lokalen Klimawandel beobachten und mithilfe von Bildern, Text, Ton (u.a.) beschreiben: 
# Die Ursachen dieser lokalen Klimaveränderungen und deren Folgen für das unmittelbare Lebensumfeld erklären (ebenfalls mit verschiedenen Medien möglich)
# Wege im lokalen und individuellen Umgang mit den Ursachen und Folgen der Klimaveränderung entwerfen und ggf. bereits vorhandene Aktionen zeigen (ebenfalls mit verschiedenen Medien möglich) 

 ''Um einen Beitrag ohne viel Aufwand beizusteuern, kannst du ihn einfach an folgende Mail schicken: infoSCHREIBZENTRUM@ph-freiburg.de. Das Team kümmert sich dann um die Einbettung auf der Website. Möchtest du selbstständig einen Beitrag auf WikiCLIMATEchange veröffentlichen, hilft dir hoffentlich folgende Anleitung

* Einen Wiki-Account anlegen: https://de.wikiversity.org/w/index.php?title=Spezial:Benutzerkonto_anlegen&amp;returnto=Hauptseite
* Den eigenen Beitrag in WikiCLIMATEchange einfügen: 
# Eine Rubrik für den eigenen Beitrag wählen (https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:WikiCLIMATEchange/Beitr%C3%A4ge)  
# um in den Bearbeitungsmodus der Seite zu kommen: auf &quot;Bearbeiten&quot; klicken (auf der Seite rechts oben)/optional über Tastenkombination &quot;alt&quot;+&quot;shift&quot;+&quot;e&quot;
# eigenen Beitrag benennen im Stil &quot;==&quot; (um eine Überschrift zu generieren) + &quot;Name in Anführungszeichen&quot;
# anschließend darunter eigene Datei hinzufügen über: Menüband oben -&gt; Bilder und Medien (Grafik eines schwarzen Rechtecks mit zwei hellen Dreiecken) -&gt; entsprechende Datei hochladen (bestätigen, dass es sich um eigenes Werk handelt sowie Namen und Beschreibung hinzufügen) -&gt; Ausrichtung: links; Format: gerahmt -&gt; &quot;Einfügen&quot; und ganz hinten einen Punkt setzen(&quot;.&quot;, sonst wird folgende Überschrift nicht richtig angezeigt)
'' 
# auf der Beiträge-Übersichtsseite eigenen Beitrag entsprechend ergänzend: wieder über &quot;Bearbeiten&quot;; unter gewählter Rubrik eine &quot;#&quot; + (Raute markiert Nummerierung; bestenfalls Reihenfolge in Rubrik beibehalten zur Orientierung!) + den selbst gewählten Titel des Beitrags

'' Vielen Dank für euer Engagement und viel Spaß beim Ausprobieren''

[[Datei:Flyer Klimaplan für Agrikultur Festival 2024.pdf|mini]]

== Unsere Projektpartner == 

'''Climate Stories Map''' (https://climatemap.info/index.html) &lt;br&gt;

Hier können die eigenen Ideen, Erfahrungen und Visionen, die vielleicht bereits auf ''wikiCLIMATEchange'' gepostet wurden, geografisch verortet werden. Gleichzeitig können lokale und regionale Austausch- und Kooperationspartner*innen gefunden werden. Nicht zuletzt könnten auf der ''Climate Stories Map'' langfristig lokale und regionale Tendenzen im Klimawandel und im Umgang damit deutlich werden.

== Was andere Menschen über unser Projekt sagen ==
&quot;Let's talk about ''wikiCLIMATEchange'' ... with everybody, your friends, familiy, at school.
Freiburg (Germany) and Puebla (Mexico) are complex cities with particular environmental challenges. Let's help each other to better understand and meet these challenges!
(Cris Anastasio, Arts student at BUAP, Puebla/Mexico)

== Weiterführende Literatur zum Thema Klimawandel im Spannungsfeld von Theorie, Praxis und Aktivismus == 


; Bräuer, Gerd &amp; Moosmann, Noemi (2025). Schreiben in den Fächern, um die Welt zu retten: Das Projekt wikiCLIMATEchange. In: PH FR (1), S. 46-48 (https://www.ph-freiburg.de/fileadmin/shares/Zentral/Pubs/PH-FR/ph-fr_25.pdf) 
; BMBF BNE-Portal https://www.bne-portal.de/bne/de/home/home_node.html
: Das zentrale Portal für BNE in Deutschland (Bildung für nachhaltige Entwicklung) mit dem nationalen Aktionsplan, einem bundesweiten Überblick zu großen BNE-Initiativen, &quot;guter Praxis&quot; weltweit und einer umfangreichen Infothek (Fördermöglichkeiten, Lernmaterial, Publikationen) zum Download.

; Climate Change Performance Index https://ccpi.org
: Ranking und Dedail-Informationen zur Performance der einzelnen Länder in Sachen Klimaschutz: Wer sind die großen Aufsteiger und Absteiger im CCPI-Ranking 2025? Und warum?

; Diehl, Katja (2024). Raus aus der AUTOkratie — rein in die Mobilität von morgen! S. Fischer.
: Nicht E- oder Wasserstoff-Autos sind die Lösung, sondern gesamtgesellschaftliche Konzepte zur Mobilitätswende sind gefragt. Zu lesen sind hier konkrete Ideen zur aktiven Mitgestaltung der Mobilitätswende. 

; Earth4All. Deutschland. Aufbruch in eine Zukunft für Alle. https://earth4all.life/wp-content/uploads/2024/10/Earth4All-Deutschland_-_digital.pdf
: Die Studie von der internationalen Initiative &quot;Earth4all&quot; und ihrem Partner in Deutschland, dem &quot;Wuppertal Institut&quot;, hat den Stand der Dinge in Sachen Klimagerechtigkeit in Deutschland  (2023/24) untersucht. In diesem Dokument finden sich die zentralen Aussagen sowie das Plädoyer, fünf kursverändernde Wenden in Deutschland in Angriff zu nehmen.

; Köck, Thomas (2021). Und alle Tiere rufen. Dieser Titel rettet die Welt auch nicht mehr. (Live-Hörspiel) (https://www.hoerspielundfeature.de/und-alle-tiere-rufen-dieser-titel-rettet-die-welt-auch-nicht-mehr-100.html)
: Die verschwundenen Tiere dieser Welt melden sich zu Wort. Ein vielstimmiger Abgesang auf die Fauna und die Menschheit. Das Hörspiel wurde auf der Theaterbühne des Kunstfestes Weimar 2021 aufgenommen.

; Max-Planck-Institut (https://www.mpg.de/klima)
: Umfassende Sammlung von wissenschaftlichen Darstellungen zu den Ursachen, Auswirkungen und Möglichkeiten des Umgangs mit dem Klimawandel (Prognosen und Transformation).

; Molthan-Hill, Petra (et al., eds. 2020). Storytelling for Sustainability in Higher Education. An Educator's Handbook. Routledge.
: Ein Sammelband mit Beiträgen von Bildungswissenschaftler*innen und -praktiker*innen, um Storytelling als pädagogisches Tool zu erklären und zum Thema &quot;Nachhaltigkeit&quot; in Aktion zu zeigen. 

; Ripple, William J. (et al. 2024). The 2024 state of the climate report. Perilous times on planet Earth, BioScience, 2024, biae087, https://doi.org/10.1093/biosci/biae087
: Ein internationales Forscher*innen-Team hat 35 sogenannte planetare Lebenszeichen untersucht und ist dabei zum Ergebnis gekommen, dass mehr als zwei Drittel davon einen negativen Rekord anzeigen und insgesamt auf eine Erhöhung der globalen Durchschnittstemperatur um 2,7 Grad bis 2100 hindeuten.

; Röhrlich, Dagmar (2024). Wie der Planet unter der menschlichen Natur leidet. (&quot;Zeitfragen/Feature&quot;, Deutschlandfunk Kultur, Sendetermin 01.08.2024). https://www.deutschlandfunkkultur.de
: In diesem Radio-Feature wird möglichen Ursachen für die scheinbar fehlende Bereitschaft der Menschen auf die Spur gegangen, sich klimabewusster zu verhalten, um damit die zunehmende Klimaerwärmung zumindest einzudämmen. Um diesen tief in unserer evolutionären Geschichte verwurzelten Beharrungskräften entgegenzuwirken, scheint das Erzählen über Klimawandel, Artensterben, Bodenerosion und Meeresversauerung eine wichtige Rolle zu spielen.

; Schäffel, Ellen (et al. 2021). KlimaWandelWald. Eine Graphic Novel zu Folge und Anpassungsmaßnahmen an den Klimawandel in der Wald- und Forstwirtschaft. DOI: 10.6094/978-3-928969-85-7
:(Eine digitale Version kann unter o.g. DOI kostenlos über das Portal FreiDok plus heruntergeladen werden).

; Steinlein, Christina &amp; Becker, Anne (2021). Die ganze Welt steckt voller Energie. Alles über die Kraft, die uns antreibt. Beltz &amp; Gelberg.
: Ausgezeichnet von der Stiftung Buchkunst als eines der schönsten deutschen Bücher 2021. Hier wird im Cartoon-Stil dem komplexen Phänomen &quot;Energie&quot; nachgegangen und gezeigt, wo und in welchen Formen Energie vorkommt, wie man Energie gewinnen und effizient nutzen kann. Eine Lektüre für die ganze Familie.</text>
      <sha1>21yqc1e95hpq0nbr06jsd8k6eqentdw</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>1115916</id>
      <parentid>1115915</parentid>
      <timestamp>2026-10-12T20:43:10Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Schreibzentrum</username>
        <id>39232</id>
      </contributor>
      <comment>/* Teilnehmen — Wie geht das? */</comment>
      <origin>1115916</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="12941" sha1="cmyduv34b005y9595wtpc8hyrsxrmge" xml:space="preserve">=wikiCLIMATEchange=

{{Achtung |Text=:: ''Diese Seite ist aktuell nur auf Deutsch vorhanden. Für den Abstract in englischer und spanischer Sprache siehe Fotodateien rechts.

::''This page is currently only available in German. For the abstract in English and Spanish see photo files on the right.

::''Esta página sólo está disponible en alemán. Para ver el resumen en inglés y español, consulte los archivos de fotos de la derecha |Breite=80% |Hintergrund=#FFCCCC |Rand=#FF0000 |RandLinks=#FF6666}}


== Was ist ''wikiCLIMATEchange''? ==
[[File:WikiCLIMATEchance abstract en.png|thumb|Abstract of the wikiCLIMATEchance project in English]]

''wikiCLIMATEchange'' ist eine transnationale und multilinguale Sammlung von Ideen zum 
''lokalen'' Umgang mit den Ursachen und Auswirkungen des Klimawandels rund um den Globus. Mithilfe multimodaler Ausdrucksformen und multimedialer Darstellungen (u.a. Text, Bild, Ton) werden die von den Akteur*innen in ihrem unmittelbaren Lebensumfeld beobachteten ''klimaverändernden Einflüsse'' dokumentiert, deren ''Ursachen erklärt'' und mögliche ''Veränderungen bzw. Problemlösungen vorgeschlagen'' oder bereits in Aktion gezeigt. Der Umgang mit den darzustellenden Informationen zu den Leitfragen des Projekts (''Was ist das Problem? Warum gibt es das Problem? Welche Problemlösungen sind denkbar?'') kann narrativer, journalistischer, künstlerisch-ästhetischer oder wissenschaftlicher Art sein. Durch diese Vielfalt an Darstellungsformen und -formaten entsteht ein umfassender Einblick in das Wissen, die Imagination, aber auch in die Empfindungen und Emotionen der Beitragenden. &lt;br&gt;

[[File:WikiCLIMATEchance abstract es.png|thumb|Resumen del proyecto wikiCLIMATEchance en español]]

Ein wichtiger Beitrag für diese Projektseite könnte auch darin bestehen, andere Menschen bei der Erstellung von Beiträgen für ''wikiCLIMATEchange'' anzuleiten bzw. zu begleiten, egal in welchem Handlungsumfeld (z.B. Schule, Studium, Beruf, Freizeit). Diese Anleitungen sollten u.a. Zwischenschritte vorschlagen, die den angezielten Akteur*innen im Gestaltungsprozess helfen. Das Material sollte außerdem für einen großen Leser*innenkreis selbsterklärend sein und zur praktischen Umsetzung, aber auch zur Weiterentwicklung motivieren. 

Die Nutzung von ''WIKIMEDIA'' als zentrale Darstellungsplattform ermöglicht eine globale digitale Vernetzung der lokal agierenden Akteur*innen und deren Beobachtungen und Ideen. Die dadurch entstehenden Synergie-Effekte tragen idealerweise dazu bei, den  eigenen digitalen Beitrag in einem erweiterten Kontext über den eigenen Lebensbezug hinaus — wahrzunehmen und die jeweils vorgestellte Problemlösung entsprechend zu optimieren. Die Nutzung von ''WIKIMEDIA'' initiiert auf diese Weise neues Wissen, solidarisches Handeln und Alternativen im Umgang mit den Ursachen und Auswirkungen des Klimawandels.

== Warum gibt es ''wikiCLIMATEchange''? ==
* Weil wir mehr frei zugängliches Wissen über den Klimawandel als die größte Herausforderung unserer Gegenwart benötigen. 
* Weil wir mehr gegenseitige Motivation und Unterstützung dafür brauchen, unsere bisherige  Art zu leben, deutlich zu verändern. 
* Weil wir wirkungsvoller als bisher kommunizieren sollten, was wir alles schon verändert haben und was wir noch verändern müssen.

== Was ist eigentlich ein Wiki? ==
: ''„Ein Wiki ist eine Website, deren Inhalte von den Besuchern nicht nur gelesen, sondern auch direkt im Webbrowser bearbeitet und geändert werden können. Das Ziel ist häufig, Erfahrung und Wissen gemeinschaftlich zu sammeln und in für die Zielgruppe verständlicher Form zu dokumentieren.“ '' (Wikipedia, wo sonst!) https://de.wikipedia.org/wiki/Wiki 

Im Wikimedia-Universum, einem Zusammenschluss von Websites, die alle die Software 
MediaWiki nutzen, werden bisher u.a. folgende Zielgruppen angesteuert: 
* Enzyklopädisch (am wissenschaftlich fundierten Allgemeinwissen) Interessierte („Wikipedia“), 
* am Lesen von kostenlosen Büchern Interessierte („Wikibooks“), 
* am Reisen Interessierte (Wikivoyage), 
* '''am Lehren und Lernen Interessierte („Wikiversity“)'''.
Das Projekt ''wikiCLIMATEchange'' wendet sich nun an Menschen, die sich speziell für das 
komplexe Thema „Klimawandel“ interessieren. 
Aber da es nicht nur um das Teilen eines gemeinsamen thematischen Interesses geht, sondern um das Ziel, andere Menschen für das Thema Klima durch wirksam kommunizierte Theorie und Praxis zu sensibilisieren, geht es hier um ein zentrales Anliegen des '''Lernens und Lehrens'''. Deswegen stellt ''Wikiversity'' eine sinnvolle Heimat für ''wikiCLIMATEchange'' dar. Hier wollen wir uns gemeinsam inspirieren, anleiten und begleiten beim Entwickeln und konkreten Umsetzen von Ideen zum Klimawandel.

== Was können wir auf ''wikiCLIMATEchange'' gemeinsam tun? ==
* Eigene Ideen mit individuellen Wiki-Beiträgen beschreiben, ohne bereits alles wissen und können zu müssen: Es wird immer andere Nutzer*innen von ''wikiCLIMATEchange'' geben, die die vorgeschlagenen Ideen weiterentwickeln werden, so lange diese Ideen grundsätzlich sprachlich und inhaltlich verstanden bzw. nachvollzogen werden können.
* Auf bereits im Wikimedia-Universum vorhandenes Material, passend zum eigenen Anliegen, verweisen bzw. es in die eigene Darstellung (mit Quellenverweis) einbinden.
* Bei Bedarf im eigenen Wiki-Beitrag auf verschiedene Zielgruppen (z.B. Eltern, Kinder, Peers) verweisen und dazu weiterführende Wiki-Beiträge erstellen bzw. anregen oder mit passenden externen Ressourcen verlinken.
* Konzepte und Materialien für formale Lehr-Lernsituationen (z.B. Fachunterricht, Projektarbeit) entwickeln, um mit einer bestimmten Zielgruppe (z.B. Schüler*innen, Studierende) Wissen und Können zum Thema systematisch zu entwickeln.

== Beiträge von anderen Nutzer*innen ==

{{Achtung |[[Kurs:WikiCLIMATEchange/Beiträge|Bereits auf Wikiversity veröffentlichte Beiträge von Nutzer*innen]] |Breite=80% |Hintergrund=#FFCCCC |Rand=#FF0000 |RandLinks=#FF6666}}.


[[Datei:Klimaplan &quot;Fleisch, das Klima und Wir&quot;.pdf|mini|mitte]] 

[[Datei:Klimaplan für Freiburg - Visuelle Darstellung.pdf|mini|mitte]]

== Teilnehmen — Wie geht das? ==

===Einen Beitrag erstellen ===

* Lokalen Klimawandel beobachten und mithilfe von Bildern, Text, Ton (u.a.) beschreiben.
# Die Ursachen dieser lokalen Klimaveränderungen und deren Folgen für das unmittelbare Lebensumfeld erklären (ebenfalls mit verschiedenen Medien möglich)
# Wege im lokalen und individuellen Umgang mit den Ursachen und Folgen der Klimaveränderung entwerfen und ggf. bereits vorhandene Aktionen zeigen (ebenfalls mit verschiedenen Medien möglich) 

===Einen Beitrag veröffentlichen===

Du kannst deinen Beitrag selbst auf WikiCLIMATEchange veröffentlichen oder ihn uns zukommen lassen.

Wenn du deinen Beitrag selbstständig veröffentlichen möchtest, kannst du dich zunächst mit einem [[Spezial:Benutzerkonto_anlegen|Wiki-Account]] anmelden und anschließend eine passende Rubrik unter [[Kurs:WikiCLIMATEchange/Beiträge#Rubriken|Rubriken]] auswählen.

Wenn du Unterstützung bei der Veröffentlichung brauchst, kannst du deinen Beitrag einfach an '''infoSCHREIBZENTRUM@ph-freiburg.de''' schicken. Das Team des Schreibzentrums unterstützt dich bei der Einbettung auf WikiCLIMATEchange.

'' Vielen Dank für euer Engagement und viel Spaß beim Ausprobieren''

[[Datei:Flyer Klimaplan für Agrikultur Festival 2024.pdf|mini]]

== Unsere Projektpartner == 

'''Climate Stories Map''' (https://climatemap.info/index.html) &lt;br&gt;

Hier können die eigenen Ideen, Erfahrungen und Visionen, die vielleicht bereits auf ''wikiCLIMATEchange'' gepostet wurden, geografisch verortet werden. Gleichzeitig können lokale und regionale Austausch- und Kooperationspartner*innen gefunden werden. Nicht zuletzt könnten auf der ''Climate Stories Map'' langfristig lokale und regionale Tendenzen im Klimawandel und im Umgang damit deutlich werden.

== Was andere Menschen über unser Projekt sagen ==
&quot;Let's talk about ''wikiCLIMATEchange'' ... with everybody, your friends, familiy, at school.
Freiburg (Germany) and Puebla (Mexico) are complex cities with particular environmental challenges. Let's help each other to better understand and meet these challenges!
(Cris Anastasio, Arts student at BUAP, Puebla/Mexico)

== Weiterführende Literatur zum Thema Klimawandel im Spannungsfeld von Theorie, Praxis und Aktivismus == 


; Bräuer, Gerd &amp; Moosmann, Noemi (2025). Schreiben in den Fächern, um die Welt zu retten: Das Projekt wikiCLIMATEchange. In: PH FR (1), S. 46-48 (https://www.ph-freiburg.de/fileadmin/shares/Zentral/Pubs/PH-FR/ph-fr_25.pdf) 
; BMBF BNE-Portal https://www.bne-portal.de/bne/de/home/home_node.html
: Das zentrale Portal für BNE in Deutschland (Bildung für nachhaltige Entwicklung) mit dem nationalen Aktionsplan, einem bundesweiten Überblick zu großen BNE-Initiativen, &quot;guter Praxis&quot; weltweit und einer umfangreichen Infothek (Fördermöglichkeiten, Lernmaterial, Publikationen) zum Download.

; Climate Change Performance Index https://ccpi.org
: Ranking und Dedail-Informationen zur Performance der einzelnen Länder in Sachen Klimaschutz: Wer sind die großen Aufsteiger und Absteiger im CCPI-Ranking 2025? Und warum?

; Diehl, Katja (2024). Raus aus der AUTOkratie — rein in die Mobilität von morgen! S. Fischer.
: Nicht E- oder Wasserstoff-Autos sind die Lösung, sondern gesamtgesellschaftliche Konzepte zur Mobilitätswende sind gefragt. Zu lesen sind hier konkrete Ideen zur aktiven Mitgestaltung der Mobilitätswende. 

; Earth4All. Deutschland. Aufbruch in eine Zukunft für Alle. https://earth4all.life/wp-content/uploads/2024/10/Earth4All-Deutschland_-_digital.pdf
: Die Studie von der internationalen Initiative &quot;Earth4all&quot; und ihrem Partner in Deutschland, dem &quot;Wuppertal Institut&quot;, hat den Stand der Dinge in Sachen Klimagerechtigkeit in Deutschland  (2023/24) untersucht. In diesem Dokument finden sich die zentralen Aussagen sowie das Plädoyer, fünf kursverändernde Wenden in Deutschland in Angriff zu nehmen.

; Köck, Thomas (2021). Und alle Tiere rufen. Dieser Titel rettet die Welt auch nicht mehr. (Live-Hörspiel) (https://www.hoerspielundfeature.de/und-alle-tiere-rufen-dieser-titel-rettet-die-welt-auch-nicht-mehr-100.html)
: Die verschwundenen Tiere dieser Welt melden sich zu Wort. Ein vielstimmiger Abgesang auf die Fauna und die Menschheit. Das Hörspiel wurde auf der Theaterbühne des Kunstfestes Weimar 2021 aufgenommen.

; Max-Planck-Institut (https://www.mpg.de/klima)
: Umfassende Sammlung von wissenschaftlichen Darstellungen zu den Ursachen, Auswirkungen und Möglichkeiten des Umgangs mit dem Klimawandel (Prognosen und Transformation).

; Molthan-Hill, Petra (et al., eds. 2020). Storytelling for Sustainability in Higher Education. An Educator's Handbook. Routledge.
: Ein Sammelband mit Beiträgen von Bildungswissenschaftler*innen und -praktiker*innen, um Storytelling als pädagogisches Tool zu erklären und zum Thema &quot;Nachhaltigkeit&quot; in Aktion zu zeigen. 

; Ripple, William J. (et al. 2024). The 2024 state of the climate report. Perilous times on planet Earth, BioScience, 2024, biae087, https://doi.org/10.1093/biosci/biae087
: Ein internationales Forscher*innen-Team hat 35 sogenannte planetare Lebenszeichen untersucht und ist dabei zum Ergebnis gekommen, dass mehr als zwei Drittel davon einen negativen Rekord anzeigen und insgesamt auf eine Erhöhung der globalen Durchschnittstemperatur um 2,7 Grad bis 2100 hindeuten.

; Röhrlich, Dagmar (2024). Wie der Planet unter der menschlichen Natur leidet. (&quot;Zeitfragen/Feature&quot;, Deutschlandfunk Kultur, Sendetermin 01.08.2024). https://www.deutschlandfunkkultur.de
: In diesem Radio-Feature wird möglichen Ursachen für die scheinbar fehlende Bereitschaft der Menschen auf die Spur gegangen, sich klimabewusster zu verhalten, um damit die zunehmende Klimaerwärmung zumindest einzudämmen. Um diesen tief in unserer evolutionären Geschichte verwurzelten Beharrungskräften entgegenzuwirken, scheint das Erzählen über Klimawandel, Artensterben, Bodenerosion und Meeresversauerung eine wichtige Rolle zu spielen.

; Schäffel, Ellen (et al. 2021). KlimaWandelWald. Eine Graphic Novel zu Folge und Anpassungsmaßnahmen an den Klimawandel in der Wald- und Forstwirtschaft. DOI: 10.6094/978-3-928969-85-7
:(Eine digitale Version kann unter o.g. DOI kostenlos über das Portal FreiDok plus heruntergeladen werden).

; Steinlein, Christina &amp; Becker, Anne (2021). Die ganze Welt steckt voller Energie. Alles über die Kraft, die uns antreibt. Beltz &amp; Gelberg.
: Ausgezeichnet von der Stiftung Buchkunst als eines der schönsten deutschen Bücher 2021. Hier wird im Cartoon-Stil dem komplexen Phänomen &quot;Energie&quot; nachgegangen und gezeigt, wo und in welchen Formen Energie vorkommt, wie man Energie gewinnen und effizient nutzen kann. Eine Lektüre für die ganze Familie.</text>
      <sha1>cmyduv34b005y9595wtpc8hyrsxrmge</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>1115925</id>
      <parentid>1115916</parentid>
      <timestamp>2026-10-12T21:54:45Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Schreibzentrum</username>
        <id>39232</id>
      </contributor>
      <origin>1115925</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="14027" sha1="dk4fba4zoevgjogf6p1lca4jrbnu7c0" xml:space="preserve">=wikiCLIMATEchange=

{{Achtung |Text=:: ''Diese Seite ist aktuell nur auf Deutsch vorhanden. Für den Abstract in englischer und spanischer Sprache siehe Fotodateien rechts.

::''This page is currently only available in German. For the abstract in English and Spanish see photo files on the right.

::''Esta página sólo está disponible en alemán. Para ver el resumen en inglés y español, consulte los archivos de fotos de la derecha |Breite=80% |Hintergrund=#FFCCCC |Rand=#FF0000 |RandLinks=#FF6666}}


== Was ist ''wikiCLIMATEchange''? ==
[[File:WikiCLIMATEchance abstract en.png|thumb|Abstract of the wikiCLIMATEchance project in English]]

''wikiCLIMATEchange'' ist eine transnationale und multilinguale Sammlung von Ideen zum 
''lokalen'' Umgang mit den Ursachen und Auswirkungen des Klimawandels rund um den Globus. Mithilfe multimodaler Ausdrucksformen und multimedialer Darstellungen (u.a. Text, Bild, Ton) werden die von den Akteur*innen in ihrem unmittelbaren Lebensumfeld beobachteten ''klimaverändernden Einflüsse'' dokumentiert, deren ''Ursachen erklärt'' und mögliche ''Veränderungen bzw. Problemlösungen vorgeschlagen'' oder bereits in Aktion gezeigt. Der Umgang mit den darzustellenden Informationen zu den Leitfragen des Projekts (''Was ist das Problem? Warum gibt es das Problem? Welche Problemlösungen sind denkbar?'') kann narrativer, journalistischer, künstlerisch-ästhetischer oder wissenschaftlicher Art sein. Durch diese Vielfalt an Darstellungsformen und -formaten entsteht ein umfassender Einblick in das Wissen, die Imagination, aber auch in die Empfindungen und Emotionen der Beitragenden. &lt;br&gt;

[[File:WikiCLIMATEchance abstract es.png|thumb|Resumen del proyecto wikiCLIMATEchance en español]]

Ein wichtiger Beitrag für diese Projektseite könnte auch darin bestehen, andere Menschen bei der Erstellung von Beiträgen für ''wikiCLIMATEchange'' anzuleiten bzw. zu begleiten, egal in welchem Handlungsumfeld (z.B. Schule, Studium, Beruf, Freizeit). Diese Anleitungen sollten u.a. Zwischenschritte vorschlagen, die den angezielten Akteur*innen im Gestaltungsprozess helfen. Das Material sollte außerdem für einen großen Leser*innenkreis selbsterklärend sein und zur praktischen Umsetzung, aber auch zur Weiterentwicklung motivieren. 

[[Datei:Klimaplan für Freiburg - Visuelle Darstellung.pdf|mini|mitte]]

Die Nutzung von ''WIKIMEDIA'' als zentrale Darstellungsplattform ermöglicht eine globale digitale Vernetzung der lokal agierenden Akteur*innen und deren Beobachtungen und Ideen. Die dadurch entstehenden Synergie-Effekte tragen idealerweise dazu bei, den  eigenen digitalen Beitrag in einem erweiterten Kontext über den eigenen Lebensbezug hinaus — wahrzunehmen und die jeweils vorgestellte Problemlösung entsprechend zu optimieren. Die Nutzung von ''WIKIMEDIA'' initiiert auf diese Weise neues Wissen, solidarisches Handeln und Alternativen im Umgang mit den Ursachen und Auswirkungen des Klimawandels.

== Warum gibt es ''wikiCLIMATEchange''? ==
* Weil wir mehr frei zugängliches Wissen über den Klimawandel als die größte Herausforderung unserer Gegenwart benötigen. 
* Weil wir mehr gegenseitige Motivation und Unterstützung dafür brauchen, unsere bisherige  Art zu leben, deutlich zu verändern. 
* Weil wir wirkungsvoller als bisher kommunizieren sollten, was wir alles schon verändert haben und was wir noch verändern müssen.

== Was ist eigentlich ein Wiki? ==
: ''„Ein Wiki ist eine Website, deren Inhalte von den Besuchern nicht nur gelesen, sondern auch direkt im Webbrowser bearbeitet und geändert werden können. Das Ziel ist häufig, Erfahrung und Wissen gemeinschaftlich zu sammeln und in für die Zielgruppe verständlicher Form zu dokumentieren.“ '' (Wikipedia, wo sonst!) https://de.wikipedia.org/wiki/Wiki 

Im Wikimedia-Universum, einem Zusammenschluss von Websites, die alle die Software 
MediaWiki nutzen, werden bisher u.a. folgende Zielgruppen angesteuert: 
* Enzyklopädisch (am wissenschaftlich fundierten Allgemeinwissen) Interessierte („Wikipedia“), 
* am Lesen von kostenlosen Büchern Interessierte („Wikibooks“), 
* am Reisen Interessierte (Wikivoyage), 
* '''am Lehren und Lernen Interessierte („Wikiversity“)'''.
Das Projekt ''wikiCLIMATEchange'' wendet sich nun an Menschen, die sich speziell für das 
komplexe Thema „Klimawandel“ interessieren. 
Aber da es nicht nur um das Teilen eines gemeinsamen thematischen Interesses geht, sondern um das Ziel, andere Menschen für das Thema Klima durch wirksam kommunizierte Theorie und Praxis zu sensibilisieren, geht es hier um ein zentrales Anliegen des '''Lernens und Lehrens'''. Deswegen stellt ''Wikiversity'' eine sinnvolle Heimat für ''wikiCLIMATEchange'' dar. Hier wollen wir uns gemeinsam inspirieren, anleiten und begleiten beim Entwickeln und konkreten Umsetzen von Ideen zum Klimawandel.

== Was können wir auf ''wikiCLIMATEchange'' gemeinsam tun? ==

[[Datei:Klimaplan &quot;Fleisch, das Klima und Wir&quot;.pdf|mini|mitte]] 

* Eigene Ideen mit individuellen Wiki-Beiträgen beschreiben, ohne bereits alles wissen und können zu müssen: Es wird immer andere Nutzer*innen von ''wikiCLIMATEchange'' geben, die die vorgeschlagenen Ideen weiterentwickeln werden, so lange diese Ideen grundsätzlich sprachlich und inhaltlich verstanden bzw. nachvollzogen werden können.
* Auf bereits im Wikimedia-Universum vorhandenes Material, passend zum eigenen Anliegen, verweisen bzw. es in die eigene Darstellung (mit Quellenverweis) einbinden.
* Bei Bedarf im eigenen Wiki-Beitrag auf verschiedene Zielgruppen (z.B. Eltern, Kinder, Peers) verweisen und dazu weiterführende Wiki-Beiträge erstellen bzw. anregen oder mit passenden externen Ressourcen verlinken.
* Konzepte und Materialien für formale Lehr-Lernsituationen (z.B. Fachunterricht, Projektarbeit) entwickeln, um mit einer bestimmten Zielgruppe (z.B. Schüler*innen, Studierende) Wissen und Können zum Thema systematisch zu entwickeln.

==Beiträge entdecken==

 {{RoundBoxTop|theme=2}}&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;&lt;span style=&quot;font-size: 150%; font-weight: bold;&quot;&gt;WikiCLIMATEchange&lt;/span&gt;
&lt;/div&gt;&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;&lt;small&gt;Beiträge zum Klimawandel, zu Nachhaltigkeit und zu Handlungsmöglichkeiten&lt;/small&gt;&lt;/div&gt;&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;&lt;small&gt;''Entdecken, schreiben, gestalten und mitmachen''&lt;/small&gt;&lt;/div&gt;{{RoundBoxBottom}}

===Suche===

&lt;inputbox&gt;
type=search
width=30
namespaces=Kurs**
prefix=Kurs:WikiCLIMATEchange
searchbuttonlabel=Beiträge suchen
bgcolor=transparent
break=no
&lt;/inputbox&gt;

===Rubriken===

&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
! [[Kurs:WikiCLIMATEchange/Fiktionale Texte|Fiktionale Texte]]
! [[Kurs:WikiCLIMATEchange/Persönliche Texte|Persönliche Texte]]
! [[Kurs:WikiCLIMATEchange/Sachtexte|Sachtexte]]
|-
! [[Kurs:WikiCLIMATEchange/Visuelle Darstellungen|Visuelle Darstellungen]]
! [[Kurs:WikiCLIMATEchange/Video- und Audio-Beiträge|Video- und Audio-Beiträge]]
! [[Kurs:WikiCLIMATEchange/Aufgabenarrangements für Unterricht, Berufsausbildung und Studium|Aufgabenarrangements]]
|}
&lt;/div&gt;

&lt;!--
== Beiträge von anderen Nutzer*innen ==

{{Achtung |[[Kurs:WikiCLIMATEchange/Beiträge|Bereits auf Wikiversity veröffentlichte Beiträge von Nutzer*innen]] |Breite=80% |Hintergrund=#FFCCCC |Rand=#FF0000 |RandLinks=#FF6666}}.

--&gt;


== Teilnehmen — Wie geht das? ==

===Einen Beitrag erstellen ===

* Lokalen Klimawandel beobachten und mithilfe von Bildern, Text, Ton (u.a.) beschreiben.
# Die Ursachen dieser lokalen Klimaveränderungen und deren Folgen für das unmittelbare Lebensumfeld erklären (ebenfalls mit verschiedenen Medien möglich)
# Wege im lokalen und individuellen Umgang mit den Ursachen und Folgen der Klimaveränderung entwerfen und ggf. bereits vorhandene Aktionen zeigen (ebenfalls mit verschiedenen Medien möglich) 

===Einen Beitrag veröffentlichen===

Du kannst deinen Beitrag selbst auf WikiCLIMATEchange veröffentlichen oder ihn uns zukommen lassen.

Wenn du deinen Beitrag selbstständig veröffentlichen möchtest, kannst du dich zunächst mit einem [[Spezial:Benutzerkonto_anlegen|Wiki-Account]] anmelden und anschließend eine passende Rubrik unter [[Kurs:WikiCLIMATEchange/Beiträge#Rubriken|Rubriken]] auswählen.

Wenn du Unterstützung bei der Veröffentlichung brauchst, kannst du deinen Beitrag einfach an '''infoSCHREIBZENTRUM@ph-freiburg.de''' schicken. Das Team des Schreibzentrums unterstützt dich bei der Einbettung auf WikiCLIMATEchange.

'' Vielen Dank für euer Engagement und viel Spaß beim Ausprobieren''

[[Datei:Flyer Klimaplan für Agrikultur Festival 2024.pdf|mini]]

== Unsere Projektpartner == 

'''Climate Stories Map''' (https://climatemap.info/index.html) &lt;br&gt;

Hier können die eigenen Ideen, Erfahrungen und Visionen, die vielleicht bereits auf ''wikiCLIMATEchange'' gepostet wurden, geografisch verortet werden. Gleichzeitig können lokale und regionale Austausch- und Kooperationspartner*innen gefunden werden. Nicht zuletzt könnten auf der ''Climate Stories Map'' langfristig lokale und regionale Tendenzen im Klimawandel und im Umgang damit deutlich werden.

== Was andere Menschen über unser Projekt sagen ==
&quot;Let's talk about ''wikiCLIMATEchange'' ... with everybody, your friends, familiy, at school.
Freiburg (Germany) and Puebla (Mexico) are complex cities with particular environmental challenges. Let's help each other to better understand and meet these challenges!
(Cris Anastasio, Arts student at BUAP, Puebla/Mexico)

== Weiterführende Literatur zum Thema Klimawandel im Spannungsfeld von Theorie, Praxis und Aktivismus == 


; Bräuer, Gerd &amp; Moosmann, Noemi (2025). Schreiben in den Fächern, um die Welt zu retten: Das Projekt wikiCLIMATEchange. In: PH FR (1), S. 46-48 (https://www.ph-freiburg.de/fileadmin/shares/Zentral/Pubs/PH-FR/ph-fr_25.pdf) 
; BMBF BNE-Portal https://www.bne-portal.de/bne/de/home/home_node.html
: Das zentrale Portal für BNE in Deutschland (Bildung für nachhaltige Entwicklung) mit dem nationalen Aktionsplan, einem bundesweiten Überblick zu großen BNE-Initiativen, &quot;guter Praxis&quot; weltweit und einer umfangreichen Infothek (Fördermöglichkeiten, Lernmaterial, Publikationen) zum Download.

; Climate Change Performance Index https://ccpi.org
: Ranking und Dedail-Informationen zur Performance der einzelnen Länder in Sachen Klimaschutz: Wer sind die großen Aufsteiger und Absteiger im CCPI-Ranking 2025? Und warum?

; Diehl, Katja (2024). Raus aus der AUTOkratie — rein in die Mobilität von morgen! S. Fischer.
: Nicht E- oder Wasserstoff-Autos sind die Lösung, sondern gesamtgesellschaftliche Konzepte zur Mobilitätswende sind gefragt. Zu lesen sind hier konkrete Ideen zur aktiven Mitgestaltung der Mobilitätswende. 

; Earth4All. Deutschland. Aufbruch in eine Zukunft für Alle. https://earth4all.life/wp-content/uploads/2024/10/Earth4All-Deutschland_-_digital.pdf
: Die Studie von der internationalen Initiative &quot;Earth4all&quot; und ihrem Partner in Deutschland, dem &quot;Wuppertal Institut&quot;, hat den Stand der Dinge in Sachen Klimagerechtigkeit in Deutschland  (2023/24) untersucht. In diesem Dokument finden sich die zentralen Aussagen sowie das Plädoyer, fünf kursverändernde Wenden in Deutschland in Angriff zu nehmen.

; Köck, Thomas (2021). Und alle Tiere rufen. Dieser Titel rettet die Welt auch nicht mehr. (Live-Hörspiel) (https://www.hoerspielundfeature.de/und-alle-tiere-rufen-dieser-titel-rettet-die-welt-auch-nicht-mehr-100.html)
: Die verschwundenen Tiere dieser Welt melden sich zu Wort. Ein vielstimmiger Abgesang auf die Fauna und die Menschheit. Das Hörspiel wurde auf der Theaterbühne des Kunstfestes Weimar 2021 aufgenommen.

; Max-Planck-Institut (https://www.mpg.de/klima)
: Umfassende Sammlung von wissenschaftlichen Darstellungen zu den Ursachen, Auswirkungen und Möglichkeiten des Umgangs mit dem Klimawandel (Prognosen und Transformation).

; Molthan-Hill, Petra (et al., eds. 2020). Storytelling for Sustainability in Higher Education. An Educator's Handbook. Routledge.
: Ein Sammelband mit Beiträgen von Bildungswissenschaftler*innen und -praktiker*innen, um Storytelling als pädagogisches Tool zu erklären und zum Thema &quot;Nachhaltigkeit&quot; in Aktion zu zeigen. 

; Ripple, William J. (et al. 2024). The 2024 state of the climate report. Perilous times on planet Earth, BioScience, 2024, biae087, https://doi.org/10.1093/biosci/biae087
: Ein internationales Forscher*innen-Team hat 35 sogenannte planetare Lebenszeichen untersucht und ist dabei zum Ergebnis gekommen, dass mehr als zwei Drittel davon einen negativen Rekord anzeigen und insgesamt auf eine Erhöhung der globalen Durchschnittstemperatur um 2,7 Grad bis 2100 hindeuten.

; Röhrlich, Dagmar (2024). Wie der Planet unter der menschlichen Natur leidet. (&quot;Zeitfragen/Feature&quot;, Deutschlandfunk Kultur, Sendetermin 01.08.2024). https://www.deutschlandfunkkultur.de
: In diesem Radio-Feature wird möglichen Ursachen für die scheinbar fehlende Bereitschaft der Menschen auf die Spur gegangen, sich klimabewusster zu verhalten, um damit die zunehmende Klimaerwärmung zumindest einzudämmen. Um diesen tief in unserer evolutionären Geschichte verwurzelten Beharrungskräften entgegenzuwirken, scheint das Erzählen über Klimawandel, Artensterben, Bodenerosion und Meeresversauerung eine wichtige Rolle zu spielen.

; Schäffel, Ellen (et al. 2021). KlimaWandelWald. Eine Graphic Novel zu Folge und Anpassungsmaßnahmen an den Klimawandel in der Wald- und Forstwirtschaft. DOI: 10.6094/978-3-928969-85-7
:(Eine digitale Version kann unter o.g. DOI kostenlos über das Portal FreiDok plus heruntergeladen werden).

; Steinlein, Christina &amp; Becker, Anne (2021). Die ganze Welt steckt voller Energie. Alles über die Kraft, die uns antreibt. Beltz &amp; Gelberg.
: Ausgezeichnet von der Stiftung Buchkunst als eines der schönsten deutschen Bücher 2021. Hier wird im Cartoon-Stil dem komplexen Phänomen &quot;Energie&quot; nachgegangen und gezeigt, wo und in welchen Formen Energie vorkommt, wie man Energie gewinnen und effizient nutzen kann. Eine Lektüre für die ganze Familie.</text>
      <sha1>dk4fba4zoevgjogf6p1lca4jrbnu7c0</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Benutzer:Paul Sutermeister/Marke</title>
    <ns>2</ns>
    <id>157285</id>
    <revision>
      <id>1115938</id>
      <parentid>997845</parentid>
      <timestamp>2026-10-13T07:19:26Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Paul Sutermeister</username>
        <id>37610</id>
      </contributor>
      <origin>1115938</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="9696" sha1="51r1gd4budspd34dmz8fx8cbhzzfcn3" xml:space="preserve">
AIDA-Modell

[[:w:Mehrdeutigkeit|Mehrdeutigkeit]]

&lt;quiz display=&quot;simple&quot;&gt;
{ '''Was siehst du hier?''' [[Datei:WorkBuyConsumeDie 01 Square.jpg|250px]] }
- Werbung
+ Antiwerbung
+ Parodierte Logos
- Parodierte Slogans
&lt;/quiz&gt;

&lt;quiz display=&quot;simple&quot;&gt;
{ Was ist '''''Corporate…
| typ=&quot;()&quot; }
| …[[:w:Corporate Behaviour|Behaviour]] | …[[:w:Corporate Communication|Communication]] | …[[:w:Corporate Culture|Culture]] | …[[:w:Corporate Design|Design]] | …[[:w:Corporate Identity|Identity]]?
----+ Alles vorangegangene zusammen.
--+-- Teamarbeit, Innovationsfreude, Dresscode.
+---- Wie es mit Kunden umgeht, wie es Umwelt schützt.
-+--- Wie ein Unternehmen kommuniziert.
----+ So, wie das Unternehmen von außen wahrgenommen wird.
-+--- Werbung, Pressemitteilungen, Social Media.
---+- Logo, Farben, Website-Design.
--+-- Die Werte und Regeln im Unternehmen.
+---- Wie sich ein Unternehmen verhält.
---+- Das Aussehen eines Unternehmens.
&lt;/quiz&gt;

Jeder dieser Begriffe beschreibt einen Teil davon, wie ein Unternehmen sich darstellt und wie es von anderen gesehen wird.

&lt;quiz display=&quot;simple&quot;&gt;
{ Ergänze '''Behaviour''', '''Communication''', '''Culture''', '''Design''' und '''Identity''':
| type=&quot;{}&quot; }
'''Corporate { Identity }''' ist ein Konzept, das beschreibt, wie ein Unternehmen sich selbst darstellt und von anderen wahrgenommen wird. Es umfasst vier Komponenten, die zusammen ein einheitliches Bild des Unternehmens schaffen. Diese Komponenten sind:
'''Corporate { Design }''': Dies beinhaltet alle visuellen Elemente, die ein Unternehmen repräsentieren, wie Logo, Farbpalette, Typografie, Geschäftspapiere, Verpackungen und andere visuelle Kommunikationsmittel. Ziel ist es, ein einheitliches und wiedererkennbares Erscheinungsbild zu schaffen.
'''Corporate { Communication }''': Dies bezieht sich auf die Art und Weise, wie ein Unternehmen kommuniziert, sowohl intern als auch extern. Dazu gehören Werbekampagnen, PR-Aktivitäten, Social-Media-Auftritte, Unternehmenssprache und -tonfall. Ziel ist es, eine konsistente und kohärente Kommunikation zu gewährleisten, die die Unternehmenswerte und -botschaften klar vermittelt.
'''Corporate { Behaviour }''': Dies beschreibt das Verhalten eines Unternehmens und seiner Mitarbeiter. Es umfasst Aspekte wie Kundenservice, Mitarbeitermotivation, Unternehmensethik und das allgemeine Verhalten gegenüber Stakeholdern. Ziel ist es, durch konsistentes Verhalten Vertrauen und Glaubwürdigkeit aufzubauen.
'''Corporate { Culture }''': Dies ist die Unternehmenskultur, die die Werte, Überzeugungen und Normen eines Unternehmens umfasst. Sie beeinflusst, wie Mitarbeiter miteinander und mit externen Partnern interagieren. Eine starke Unternehmenskultur trägt zur Identität des Unternehmens bei und kann dessen Erfolg maßgeblich beeinflussen.
Eine starke Corporate Identity hilft dabei, das Unternehmen von Wettbewerbern zu unterscheiden, das Vertrauen und die Loyalität von Kunden und Mitarbeitern zu stärken und eine klare und einheitliche Markenbotschaft zu vermitteln.
&lt;/quiz&gt;

&lt;quiz display=&quot;simple&quot;&gt;
{ Ergänze '''[[:w:Externe Kommunikation|Externe Kommunikation]]''', '''[[:w:Interne Kommunikation7Interne Kommunikation]]''', '''[[:w:Investor Relations|Investor Relations]]''', '''[[:w:Krisenkommunikation|Krisenkommunikation]]''', '''[[:w:Markenkommunikation|Markenkommunikation]]''' und '''[[:w:Öffentlichkeitsarbeit|Öffentlichkeitsarbeit]]'''.
| type=&quot;{}&quot; }
'''Corporate Communication (Unternehmenskommunikation)''' bezieht sich auf die strategische Gestaltung und Koordination aller Kommunikationsaktivitäten eines Unternehmens, um eine konsistente und effektive Kommunikation mit internen und externen Stakeholdern zu gewährleisten. Sie ist ein wesentlicher Bestandteil der Corporate Identity und umfasst verschiedene Aspekte und Kanäle. Hier sind die Hauptkomponenten der Corporate Communication:
'''{ Interne Kommunikation }''' umfasst alle Kommunikationsprozesse innerhalb des Unternehmens. Ziel ist es, die Mitarbeitenden zu informieren, zu motivieren und zu binden. Dazu gehören Mitarbeiterinformationen und -newsletter, Intranet und interne soziale Netzwerke, Meetings und Besprechungen sowie Mitarbeitermagazine.
'''{ Externe Kommunikation }''' zielt darauf ab, das Unternehmen und seine Marken nach außen hin zu präsentieren und Beziehungen zu externen Stakeholdern aufzubauen. Dazu gehören Öffentlichkeitsarbeit (PR), Pressemitteilungen und Pressekonferenzen, Medienarbeit, Kundenkommunikation (z.B. Newsletter, Kundenzeitschriften) sowie Werbung und Marketingkommunikation.
'''{ Krisenkommunikation }''' bezieht sich auf die Strategien und Maßnahmen, die ein Unternehmen ergreift, um in Krisensituationen effektiv zu kommunizieren. Ziel ist es, das Vertrauen der Stakeholder zu erhalten und den Ruf des Unternehmens zu schützen. Dazu gehören Notfallpläne und -protokolle, Krisenmanagementteams sowie schnelle und transparente Kommunikation.
'''{ Markenkommunikation }''' konzentriert sich auf die Kommunikation der Markenidentität und -botschaften des Unternehmens. Ziel ist es, ein starkes und konsistentes Markenimage aufzubauen und zu pflegen. Dazu gehören Werbekampagnen, Social Media Auftritte, Sponsoring und Events und Content Marketing.
'''{ Investor Relations }''' betreffen die Kommunikation mit Investoren, Aktionären und der Finanzgemeinschaft. Ziel ist es, Transparenz zu gewährleisten und das Vertrauen der Investoren zu stärken. Dazu gehören Geschäftsberichte und Finanzberichte, Hauptversammlungen und Analystenkonferenzen.
'''{ Öffentlichkeitsarbeit } und gesellschaftliches Engagement''' umfasst die Kommunikation über das soziale und ökologische Engagement des Unternehmens. Ziel ist es, das Image des Unternehmens als verantwortungsbewusster Akteur zu stärken. Dazu gehören Nachhaltigkeitsberichte, Corporate Social Responsibility (CSR) Initiativen sowie Kommunikation über Umweltschutzmaßnahmen und soziales Engagement.
Corporate Communication spielt eine entscheidende Rolle dabei, wie ein Unternehmen wahrgenommen wird, wie es seine Botschaften vermittelt und wie es mit verschiedenen Zielgruppen interagiert. Eine gut durchdachte und konsistente Unternehmenskommunikation trägt wesentlich zum Erfolg und zur Reputation eines Unternehmens bei.
&lt;/quiz&gt;

&lt;quiz display=&quot;simple&quot;&gt;
{ Ergänze '''[[:w:Askese|Askese]]''', '''[[:w:Empirismus|Empirismus]]''', '''[[:w:Hedonismus|Hedonismus]]''', '''[[:w:Idealismus|Idealismus]]''', '''[[:w:Individualismus|Individualismus]]''', '''[[:w:Kollektivismus|Kollektivismus]]''', '''[[:w:Konservatismus|Konservatismus]]''', '''[[:w:Materialismus|Materialismus]]''', '''[[:w:Progressivismus|Progressivismus]]''' und '''[[:w:Rationalismus|Rationalismus]]''':
| type=&quot;{}&quot; }
Ein '''Unternehmensparadigma''' beschreibt die grundlegenden Werte, Überzeugungen und Ansätze, die eine Organisation oder Marke in ihrer Strategie, Kultur und Kommunikation leiten. Hier sind die Kategorien zusammengefasst:
{ Materialismus }: Betonung materieller Bedürfnisse und Massenkonsum.
{ Idealismus }: Betonung idealistischer Werte wie Nachhaltigkeit und soziale Gerechtigkeit.
{ Individualismus }: Betonung individueller Erlebnisse, Selbstständigkeit und persönlicher Erfolge.
{ Kollektivismus }: Betonung gemeinschaftlicher Ziele, kollektiver Verantwortung und sozialer Unterstützung.
{ Rationalismus }: Betonung von Vernunft, Präzision und theoretischem Wissen.
{ Empirismus }: Betonung von Erfahrung, Beobachtung und empirischem Wissen.
{ Hedonismus }: Betonung von Genuss, Vergnügen und Unterhaltungswert.
{ Askese }: Betonung von Verzicht, Selbstdisziplin und höheren moralischen oder ethischen Zielen.
{ Konservatismus }: Betonung von Tradition, Beständigkeit und klassischen Werten.
{ Progressivismus }: Betonung von Fortschritt, Innovation und Veränderung.
Diese Paradigmen bieten einen Rahmen, um die tiefgreifenden Unterschiede in den Corporate Identities verschiedener Marken und Organisationen zu verstehen und zu analysieren.
&lt;/quiz&gt;

{| class=&quot;wikitable&quot;
! Paradigma !! Beispiel !! Warum es passt
|-
| '''Materialismus''' || Denner || Positioniert sich seit Jahrzehnten über tiefe Preise: viel Ware für wenig Geld.
|-
| '''Idealismus''' || Freitag || Taschen aus alten Lastwagenplanen: Upcycling und Nachhaltigkeit sind der Kern der Marke.
|-
| '''Individualismus''' || On (Laufschuhe) || Mit Roger Federer als Gesicht: persönliche Bestleistung, eigener Stil, eigener Weg.
|-
| '''Kollektivismus''' || Migros, Rega || Die Migros gehört als Genossenschaft ihren Mitgliedern; die Rega wird von Gönnern finanziert und hilft allen.
|-
| '''Rationalismus''' || Logitech, Schweizer Uhren (Tissot, Rolex) || Ingenieurskunst und Präzision: Funktion und Technik stehen im Vordergrund.
|-
| '''Empirismus''' || Digitec Galaxus || Kaufentscheide beruhen auf Kundenbewertungen, Rückgabequoten und Erfahrungen der Community.
|-
| '''Hedonismus''' || Lindt, Zweifel || Reiner Genuss: Schokolade, die schmilzt, und Chips zum Film- oder Gameabend.
|-
| '''Askese''' || Cool and Clean (Swiss Olympic) || Kennen viele aus dem Sportverein: Verzicht auf Tabak und Alkohol, Fairplay, Selbstdisziplin für ein höheres Ziel.
|-
| '''Konservatismus''' || Ovomaltine, Victorinox || Seit Generationen praktisch unverändert, steht für Tradition und Swissness.
|-
| '''Progressivismus''' || Twint || Hat das Bezahlen in der Schweiz verändert: Bargeld wird durchs Handy ersetzt.
|}

Auch hier lohnt sich die Diskussion über Mischformen: Die Migros ist kollektivistisch organisiert, ihre Marke M-Budget bedient aber eher den Materialismus. Und Victorinox ist zwar traditionell, setzt aber auch auf Präzision, also Rationalismus.</text>
      <sha1>51r1gd4budspd34dmz8fx8cbhzzfcn3</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Kurs:WikiCLIMATEchange/Visuelle Darstellungen</title>
    <ns>106</ns>
    <id>157294</id>
    <revision>
      <id>1115927</id>
      <parentid>1114706</parentid>
      <timestamp>2026-10-12T22:09:42Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Schreibzentrum</username>
        <id>39232</id>
      </contributor>
      <origin>1115927</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="406" sha1="n7t2g94fxudlqr3dn3w18fpgpyeh2p0" xml:space="preserve">''Bislang veröffentlichte Beiträge im Bereich Visuelle Darstellungen''

{{Achtung |[[Kurs:WikiCLIMATEchange/Beiträge|Zurück zur Übersichtsseite der Beiträge]] |Breite=80% |Hintergrund=#FFF2CC|Rand=#E6B800|RandLinks=#E6B800}}


== Visuelle Darstellungen ==

* [[Kurs:WikiCLIMATEchange/Visuelle Darstellungen/Ein Klimaplan für Freiburg|Ein Klimaplan für Freiburg]]

&lt;!--

* Hoffnungen und Ängste
--&gt;</text>
      <sha1>n7t2g94fxudlqr3dn3w18fpgpyeh2p0</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Kurs:WikiCLIMATEchange/Sachtexte</title>
    <ns>106</ns>
    <id>157295</id>
    <revision>
      <id>1115934</id>
      <parentid>1115464</parentid>
      <timestamp>2026-10-12T23:24:57Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Schreibzentrum</username>
        <id>39232</id>
      </contributor>
      <origin>1115934</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="2585" sha1="2vfms7grm2fvfbf38x55tc1r3gj9xg0" xml:space="preserve">''Bislang veröffentlichte Beiträge im Bereich Sachtexte''

{{Achtung |[[Kurs:WikiCLIMATEchange/Beiträge|Zurück zur Übersichtsseite der Beiträge]] |Breite=80% |Hintergrund=#FFF2CC|Rand=#E6B800|RandLinks=#E6B800}}

== Sachtexte ==

* [[Kurs:WikiCLIMATEchange/Sachtexte/Climate Action Plan 2.0|Climate Action Plan 2.0]] 

* [[Kurs:WikiCLIMATEchange/Sachtexte/Die gute Seele vom Bio-Markt in Puebla|Die gute Seele vom Bio-Markt in Puebla: Eine Umweltreportage aus México]]

* [[Kurs:WikiCLIMATEchange/Sachtexte/Fleisch, das Klima und Wir|Fleisch, das Klima und Wir]]

* [[Kurs:WikiCLIMATEchange/Sachtexte/Nature Writing für ein Wiki — ein Widerspruch in sich?|Nature Writing für ein Wiki — ein Widerspruch in sich?]]

==Sachinformationen in fiktionaler Form ==

* [[Kurs:WikiCLIMATEchange/Fiktionale Texte/Kurzgeschichte: Wer hat Angst vorm Klimawandel|Kurzgeschichte: „Wer hat Angst vorm Klimawandel?“]]


&lt;!--

#alte Seite - wird derzeit umgebaut


== Nature Writing für ein Wiki - ein Widerspruch in sich? ==

==Ballona Wetlands Ecological Reserve: Los Angeles’s Last Large Marsh and Its Fight for Restoration ==
[[Datei:Sophie Sinor LA's Last Large Marsh and its Fight for Restoration.pdf|page=1|gerahmt|links|&quot;Ballona Wetlands Ecological Reserve: Los Angeles’s Last Large Marsh and Its Fight for Restoration&quot;(Seite 1 von 6)]]
{{clear}}

==Hillsboro Electric Avenue==
[[Datei:Hillsboro Electric Avenue.pdf|page=1|gerahmt|links|&quot;Hillsboro Electric Avenue&quot;(Seite 1 von 6)]]
{{clear}}

==Bull Kelp Loss on The Oregon Coast==
[[Datei:Bull Kelp Loss on the Oregon Coast.pdf|page=1|gerahmt|links|&quot;Bull Kelp Loss on The
Oregon Coast&quot;(Seite 1 von 6)]]
{{clear}}

==Environmental Effects of the 2020 Labor Day Weekend Oregon Wildfires==
[[Datei:Environmental effects of the 2020 LDW Oregon Wildfires.pdf|page=1|gerahmt|links|&quot;Environmental Effects of the 2020 Labor Day Weekend Oregon Wildfires&quot;(Seite 1 von 6)]]
{{clear}}

==How to prepare residents for wildfires==
[[Datei:How to prepare residents for wildfires.pdf||page=1|gerahmt|links|How to prepare residents for wildfires&quot;(Seite 1 von 6)]]
{{clear}}

==Wetland Project==
[[Datei:Wetland project.pdf||page=1|gerahmt|links|&quot;Wetland Project&quot;(Seite 1 von 7)]]
{{clear}}

==KWSO and Wildfire Smoke Coverage in Warm Springs==
[[Datei:KWSO and Wildfire Smoke Coverage in Warm Springs OR.pdf||page=1|gerahmt|links|&quot;KWSO and Wildfire Smoke Coverage&quot;(Seite 1 von 10)]]
{{clear}}

== Responding to wildfires==
[[Datei:Responding to wildfires.pdf|page=1|gerahmt|links|&quot;Responding to wildfires&quot;(Seite 1 von 8)]]
{{clear}}


--&gt;</text>
      <sha1>2vfms7grm2fvfbf38x55tc1r3gj9xg0</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Kurs:WikiCLIMATEchange/Persönliche Texte</title>
    <ns>106</ns>
    <id>158099</id>
    <revision>
      <id>1115931</id>
      <parentid>1114525</parentid>
      <timestamp>2026-10-12T22:24:11Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Schreibzentrum</username>
        <id>39232</id>
      </contributor>
      <origin>1115931</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="560" sha1="1m0nn4wknuxa4lccm9u15ms6e66cm8i" xml:space="preserve">''Bislang veröffentlichte Beiträge im Bereich Persönliche Texte''

{{Achtung |[[Kurs:WikiCLIMATEchange/Beiträge|Zurück zur Übersichtsseite der Beiträge]] |Breite=80% |Hintergrund=#FFF2CC|Rand=#E6B800|RandLinks=#E6B800}}


== Persönliche Texte ==

* [[Kurs:WikiCLIMATEchange/Persönliche Texte/Persönliche Erfahrungen 1|Persönliche Erfahrungen 1]]
* [[Kurs:WikiCLIMATEchange/Persönliche Texte/Persönliche Erfahrungen 2|Persönliche Erfahrungen 2]]
* [[Kurs:WikiCLIMATEchange/Persönliche Texte/Persönliche Erfahrungen 3|Persönliche Erfahrungen 3]]</text>
      <sha1>1m0nn4wknuxa4lccm9u15ms6e66cm8i</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Kurs:WikiCLIMATEchange/Aufgabenarrangements für Unterricht, Berufsausbildung und Studium</title>
    <ns>106</ns>
    <id>158414</id>
    <revision>
      <id>1115918</id>
      <parentid>1114527</parentid>
      <timestamp>2026-10-12T21:12:31Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Schreibzentrum</username>
        <id>39232</id>
      </contributor>
      <origin>1115918</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="2862" sha1="5a6m16cxhkbwe9so1sln43gydxrialn" xml:space="preserve">''Bislang veröffentlichte Beiträge im Bereich Aufgabenaarangements''

{{Achtung |[[Kurs:WikiCLIMATEchange/Beiträge|Zurück zur Übersichtsseite der Beiträge]] |Breite=80% |Hintergrund=#FFF2CC|Rand=#E6B800|RandLinks=#E6B800}}


== Aufgabenarrangements für Unterricht, Berufsausbildung und Studium==

* [[Kurs:WikiCLIMATEchange/Aufgabenarrangements für Unterricht, Berufsausbildung und Studium/KlimaWandelWald - eine Graphik Novel in der Anwendung|KlimaWandelWald – eine Graphik Novel in der Anwendung]]


{{Achtung |[[Kurs:WikiCLIMATEchange/Beiträge|Zurück zur Übersichtsseite der Beiträge]] |Breite=80% |Hintergrund=#FFCCCC |Rand=#FF0000 |RandLinks=#FF6666}}.


{{Absatz}}


&lt;!--
#alte Seite - wird derzeit umgebaut

''Bislang veröffentlichte Beiträge im Bereich Aufgabenarrangements''

 ''Hinweis: Zur besseren Übersicht ist auf der Wiki-Seite lediglich jeweils die erste Seite der Dokumente groß dargestellt. Über einen Klick auf die Darstellung gelangt man über &quot;Einzelheiten&quot; zum Media Viewer. Dort kann entweder mittels Pfeiltasten durch alle Seiten geklickt oder per Klick auf die große Darstellung das komplette PDF-Dokument abgerufen werden.

== Aufgabencluster für die Hochschule auf dem Weg zur Klimaneutralität ==

[[Datei:Aufgabencluster für die Hochschule auf dem Weg zur Klimaneutralität.pdf|page=1|gerahmt|links|Aufgabencluster für die Hochschule auf dem Weg zur Klimaneutralität (Seite 1 von 5) ]]

{{Absatz}}

== &quot;Schreibarrangement: Deutsch, Nachhaltigkeit, Comic&quot; == 

[[Datei: Comic_Vattes_2025.pdf|page=1|gerahmt|links|Schreibarrangement für die Schule zum Thema &quot;Recycling&quot; (Seite 1 von 11) ]]

{{Absatz}}

== &quot;Schreibarrangement: Sport, Nachhaltigkeit, Comic&quot; == 

[[Datei: Unterrichtsentwurf Sport_Nachhaltigkeit_Comic.pdf|page=2|gerahmt|links|Schreibarrangement für die Schule zum Thema &quot;Schonender Umgang mit Ressourcen&quot; (Seite 2 von 4) ]]

{{Absatz}}

== &quot;Schreibarrangement: Lebensmittelverschwendung&quot; == 

[[Datei:Schreibarrangement Rieger Stehlin.pdf|page=1|gerahmt|links|Schreibarrangement für die Schule zum Thema &quot;Lebensmittelverschwendung&quot; (Seite 1 von 3) ]]

{{Absatz}}

== &quot;Unterrichtsidee zum Biomüll&quot; ==
[[Datei:Unterrichtsidee zum Biomuell.pdf|page=1|gerahmt|links|Unterrichtsidee für die Schule zum Thema &quot;Biomüll&quot; (Seite 1 von 11)]]

{{Absatz}}

===Kommentare zum o.g. Beitrag===

== Schreibwerkstatt der Generationen: &quot;Visionen für eine zukunftsfähige Welt&quot; ==

Im Rahmen einer mehrtägigen Schreibwerkstatt des https://ewf-freiburg.de/ für junge Erwachsene und Menschen der älteren Generation sind spannende Geschichten und Visionen für eine solidarische Welt entstanden. Die Texte und Methoden zum Nachlesen finden Sie in einer anschaulichen Broschüre. Download als PDF hier: https://ewf-freiburg.de/wp-content/uploads/2022/11/Schreibwerkstatt_der_Generationen_compressed_.pdf

--&gt;</text>
      <sha1>5a6m16cxhkbwe9so1sln43gydxrialn</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>1115924</id>
      <parentid>1115918</parentid>
      <timestamp>2026-10-12T21:42:12Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Schreibzentrum</username>
        <id>39232</id>
      </contributor>
      <origin>1115924</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="1984" sha1="7knhkbnbb1e5xp6phpsxbzs6qwnrgdr" xml:space="preserve">''Bislang veröffentlichte Beiträge im Bereich Aufgabenaarangements''

{{Achtung |[[Kurs:WikiCLIMATEchange/Beiträge|Zurück zur Übersichtsseite der Beiträge]] |Breite=80% |Hintergrund=#FFF2CC|Rand=#E6B800|RandLinks=#E6B800}}


== Aufgabenarrangements für Unterricht, Berufsausbildung und Studium==

*[[Kurs:WikiCLIMATEchange/Aufgabenarrangements für Unterricht, Berufsausbildung und Studium/Aufgabencluster für die Hochschule auf dem Weg zur Klimaneutralität|Aufgabencluster für die Hochschule auf dem Weg zur Klimaneutralität]]

*[[Kurs:WikiCLIMATEchange/Aufgabenarrangements für Unterricht, Berufsausbildung und Studium/KlimaWandelWald - eine Graphik Novel in der Anwendung|KlimaWandelWald – eine Graphik Novel in der Anwendung]]

*[[Kurs:WikiCLIMATEchange/Aufgabenarrangements für Unterricht, Berufsausbildung und Studium/Schreibarrangement: Deutsch, Nachhaltigkeit, Comic|Schreibarrangement: Deutsch, Nachhaltigkeit, Comic]]

*[[Kurs:WikiCLIMATEchange/Aufgabenarrangements für Unterricht, Berufsausbildung und Studium/Schreibarrangement: Lebensmittelverschwendung|Schreibarrangement: Lebensmittelverschwendung]]

*[[Kurs:WikiCLIMATEchange/Aufgabenarrangements für Unterricht, Berufsausbildung und Studium/Schreibarrangement: Sport, Nachhaltigkeit, Comic|Schreibarrangement: Sport, Nachhaltigkeit, Comic]]

*[[Kurs:WikiCLIMATEchange/Aufgabenarrangements für Unterricht, Berufsausbildung und Studium/Unterrichtsidee zum Biomüll|Unterrichtsidee zum Biomüll]]

*Schreibwerkstatt der Generationen: ''&quot;Visionen für eine zukunftsfähige Welt&quot;''
**Im Rahmen einer mehrtägigen Schreibwerkstatt des https://ewf-freiburg.de/ für junge Erwachsene und Menschen der älteren Generation sind spannende Geschichten und Visionen für eine solidarische Welt entstanden. Die Texte und Methoden zum Nachlesen finden Sie in einer anschaulichen Broschüre. Download als PDF hier: https://ewf-freiburg.de/wp-content/uploads/2022/11/Schreibwerkstatt_der_Generationen_compressed_.pdf</text>
      <sha1>7knhkbnbb1e5xp6phpsxbzs6qwnrgdr</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus</title>
    <ns>106</ns>
    <id>164665</id>
    <revision>
      <id>1115838</id>
      <parentid>1115813</parentid>
      <timestamp>2026-10-12T13:02:43Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bert Niehaus</username>
        <id>20843</id>
      </contributor>
      <comment>/* Komplexer Logarithmus als Abbildung */</comment>
      <origin>1115838</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="15291" sha1="qsi9fvpp05cbspguex5c9p7shyk36i9" xml:space="preserve">== Einleitung ==
In dieser Lerneinheit wird der Zusammenhang zwischen der Funktion &lt;math&gt; \exp(z) &lt;/math&gt; und &lt;math&gt; \frac{1}{z} &lt;/math&gt; sowie die Definition eines Zweiges des Logarithmus und die Notwendigkeit der Einschränkung der Definitions- und Wertebereiche der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] betrachtet, um eine bijektive und holomorphe [[w:de:Umkehrfunktion|Umkehrfunktion]] der Exponentialfunktion zu erhalten.
:&lt;math&gt; \exp(z) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{n!} 
&lt;/math&gt;

=== Lerneinheiten ===
* [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/algebraische Vollständigkeit|algebraische Vollständigkeit]] des Logarithmus
* [[/Zweige/|Zweige des Logarithmus]]
* [[/Argumentfunktion/|Argumentfunktion und Polarkoordinatendarstellung]]
* [[/generalisiert/|generalisierter Logarithmus]] auf beliebigen [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] [[Gebiet (Mathematik)|Gebieten]], 
* [[/logmod/|logmod-Funktion]] und Periodizität der Exponentionalfunktion 
* [[/rlog/|rlog-Funktion]], beschreibt wie oft kann man einen Logarithmus als Verkettung &quot;rekursiv&quot; anwenden kann. 
* [[/rekursiver Logarithmus/]] als Mehrfachverkettung des Logarithmus mit sich selbst.
* [[/Eulersche Nullstellen/]]
* [[/einfach zusammenhängende LOG-Gebiete/]]

=== Zusammenhang zwischen Exponentialfunktion und Logarithmus ===
Die Exponentialfunktion &lt;math&gt; \exp(z) &lt;/math&gt; ist eine ganze Funktion, dessen Definitionsbereich &lt;math&gt;\mathbb{D} \subset \mathbb{C}&lt;/math&gt; und Wertebereich &lt;math&gt;\mathbb{D} \subset \mathbb{C}&lt;/math&gt; einschränken muss, um eine bijektive Abbildung  und &lt;math&gt; \exp : \mathbb{D} \to \mathbb{W}&lt;/math&gt; zu erhalten, für die man eine Umkehrfunktion definieren kann. 

=== Situation in der reellen Zahlen - Umkehrfunktion von exp(z) ===
&lt;math&gt; \exp : \mathbb{R} \to \mathbb{R}&lt;/math&gt; ist injektiv aber nicht surjektiv. Durch die Einschränkung des Wertebereiches von &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; auf &lt;math&gt;\mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt; ist die Funktion &lt;math&gt; \exp : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt; bijektiv und man kann nach einer Umkehrfunktion (den [[w:de:natürlicher Logarithmus|natürliche Logarithmus]]) suchen. Diese Konzept der Suche nach potentiellen Umgekehrfunktionen kann in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] nicht eindeutig beantwortet werden. In den komplexen Zahlen gibt unabhängig von der Wahl der Konstanten einer Stammfunktion von &lt;math&gt;\tfrac{1}{z}&lt;/math&gt; unterschiedliche Möglichkeiten Logarithmen zu definieren.

== Aufgaben ==
* '''(A1)''' [[Logarithmus#A1|Injektivität und Surjektivität]] 
* '''(A2)''' [[Logarithmus#A2|Stammfunktion als Wegintegrale]]

&lt;span id=&quot;aufgabe1&quot;&gt;&lt;/span&gt;
=== Aufgabe 1 - Umkehrbarkeit der komplexen Exponentialfunktion ===
Erläutern Sie, warum &lt;math&gt; \exp : \mathbb{C} \to \mathbb{C}&lt;/math&gt; weder injektiv noch surjektiv ist. Schränken Sie den Definitionsbereich und Wertebereich der komplexen Exponentialfunktion so ein, dass
&lt;math&gt; \exp : \mathbb{D} \to \mathbb{W}&lt;/math&gt; bijektiv ist und eine [[w:de:Umkehrfunktion|Umkehrfunktion]] besitzt!

&lt;span id=&quot;aufgabe2&quot;&gt;&lt;/span&gt;

=== Aufgabe 2 - Stammfunktion von 1/x in den reellen Zahlen ===
In den reellen Zahlen der Logarithmus z.B. auf den positiven reellen Zahlen die Stammfunktion von &lt;math&gt;\frac{1}{x} &lt;/math&gt;. Welche Beziehung besteht zwischen eine Zweig des Logarithmus und einem Wegintegral über die Funktion &lt;math&gt;\frac{1}{x} &lt;/math&gt;.

=== Eigenschaften 1/z im Komplexen ===
Die holomorphe Funktion &lt;math&gt; f(z)=\frac{1}{z} &lt;/math&gt; ist eine rationale Funktion, die auf &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; definiert ist. Sie besitzt aber auf &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; keine Stammfunktion, denn sonst würde das Integral über den Kreis um 0 nicht den Wert &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; sondern 0 liefern. &lt;math&gt; f(z)=\frac{1}{z} &lt;/math&gt; hat eine Polstelle bei &lt;math&gt; z = 0 &lt;/math&gt;.

=== Einschränkung des Definitions- / Wertebereiches ===
* '''([[w:de:Injektivität|injektiv]])''' Um eine injektive Abbildung für Definition des Logarithmus zu erhalten, muss man den ''Definitionsbereich'' einschränken, damit die Element aus dem Definitionsbereich entfernt, die auf die gleichen Bildpunkt abgebildet werden.
* '''([[w:de:Surjektivität|surjektiv]])''' Um eine surjektive Abbildung für Definition des Logarithmus zu erhalten, muss man den ''Wertebereich'' einschränken und &quot;nicht getroffene&quot; Elemente aus dem Wertebereich zu entfernen

&lt;span id=&quot;komplex&quot;&gt;&lt;/span&gt;

== Definition des komplexen Logarithmus ==
Analog zur reellen Definition heißt jede komplexe Zahl &lt;math&gt;w&lt;/math&gt; ein ''natürlicher Logarithmus'' von &lt;math&gt;z&lt;/math&gt;, wenn &lt;math&gt;w&lt;/math&gt; die folgende Gleichung bzgl. einem gegebenen &lt;math&gt;z&lt;/math&gt; erfüllt:
: &lt;math&gt;\mathrm{e}^w = z&lt;/math&gt;

=== Existenz ===
Für jedes &lt;math&gt;z \in \mathbb{C} \setminus \{0\}&lt;/math&gt; existiert ein solches &lt;math&gt;w&lt;/math&gt;. Man stellt dazu das Element &lt;math&gt;z&lt;/math&gt; in Polarkoordinaten mit &lt;math&gt;t\in [0,2\pi) &lt;/math&gt; wie folgt dar:
:&lt;math&gt;
  z= |z|\cdot e^{it}
&lt;/math&gt;
Dann ist &lt;math&gt;w:=\underbrace{\ln(|z|)}_{\in \mathbb{R}} + i\cdot \underbrace{t}_{\in \mathbb{R}}&lt;/math&gt; ein Logarithmus in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt;, da mit [[w:de:Potenzgesetze|Potenzgesetzen]] folgende Gleichung gilt:
:&lt;math&gt;
  e^w = e^{\ln(|z|) + i\cdot t} = e^{\ln(|z|)} \cdot  e^{i\cdot t} =  |z|\cdot e^{it} = z 
&lt;/math&gt;

=== Eindeutigkeit ===
Im Unterschied zum reellen Logarithmus ist der komplexe Logarithmus wegen
: &lt;math&gt;\mathrm{e}^{2k\pi \mathrm{i}} = 1, \quad k \in \mathbb{Z}&lt;/math&gt;,
nicht eindeutig bestimmt ist. Hat man also einen Logarithmus &lt;math&gt;w&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;z&lt;/math&gt; gefunden, so ist damit auch
: &lt;math&gt;w' =\,\! w + 2k\pi \mathrm{i}&lt;/math&gt;
mit jeder ganzen Zahl &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; ein Logarithmus von &lt;math&gt;z&lt;/math&gt;, denn es gilt
: &lt;math&gt;\mathrm{e}^{w'} = \mathrm{e}^{w + 2k\pi \mathrm{i}} = \mathrm{e}^w \cdot \mathrm{e}^{2k\pi \mathrm{i}} = \mathrm{e}^w \cdot 1 = \mathrm{e}^w = z&lt;/math&gt;.

=== Komplexer Logarithmus als Abbildung ===
Für die Definition einer Abbildung muss man einen eindeutigen Funktionswerte &lt;math&gt;\ln(z):=w&lt;/math&gt; definieren. Um Eindeutigkeit zu erreichen, wählt man aus den möglichen Werten für &lt;math&gt;w&lt;/math&gt; solche Werte aus, die in einem geeigneten Streifen der komplexen Zahlenebene liegen. Man kann z.&amp;nbsp;B. den Streifen
: &lt;math&gt;\left\{w \in \mathbb{C}: -\pi &lt; \mathfrak{Im}(w) &lt; \pi \right\}&lt;/math&gt;
verwenden. Ein Wert &lt;math&gt;w&lt;/math&gt; aus diesem Streifen heißt ''Hauptwert'' (engl. ''principal value'') des Logarithmus, und man schreibt &lt;math&gt;w = \ln(z)&lt;/math&gt;.

=== Zweige des Logarithmus ===
Stellt man &lt;math&gt;z = |z| \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i} \arg(z)}&lt;/math&gt; in [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|Polarform]] dar, so erhält man eine einfache Darstellung des ''k-ten Zweiges'' der Logarithmusfunktion:
: &lt;math&gt;w = \ln |z| + \mathrm{i}\left(\arg(z) + 2k\pi\right), \quad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;
mit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] &lt;math&gt;\arg&lt;/math&gt;. Im Summanden &lt;math&gt;\ln |z|&lt;/math&gt; wird der bereits oben definierte reelle Logarithmus &lt;math&gt;\ln&lt;/math&gt; verwendet.
Für &lt;math&gt;k = 0&lt;/math&gt; erhält man den ''Hauptzweig'' des komplexen Logarithmus zurück:
: &lt;math&gt;\ln z = \ln|z| + \mathrm{i}\arg(z)&lt;/math&gt;.

=== Stetigkeit von Zweigen des Logarithmus ===
&lt;math&gt;\ln: \mathbb{C}\setminus\{0\} \to \mathbb{C}&lt;/math&gt; ist nicht stetig in den Punkten &lt;math&gt;\mathcal{N} := \{z \in \mathbb{C} \, \colon \, (z=x+i\cdot 0) \wedge (0 &lt; x\in \mathbb{R}) \}&lt;/math&gt;. Entfernt man jedoch die negative reelle Achse &lt;math&gt;\mathcal{N}&lt;/math&gt;, so ist &lt;math&gt;\ln&lt;/math&gt; auf dem Gebiet
: &lt;math&gt;\mathbb{C}\setminus\{x \in \mathbb{R}: x\leq 0\}&lt;/math&gt;
stetig und sogar [[w:de:Holomorphe Funktion|holomorph]].

=== Algebraisch vollständige Logarithmus ===
Für den [[Polynomialer Nullstellensatz|polynomialen Nullstellensatz]]

=== Vergleich - Rechenregeln reeller/komplexer Logarithmus ===
Für den Hauptzweig des komplexen Logarithmus &lt;math&gt;\ln&lt;/math&gt; gelten nicht alle der weiter oben angeführten [[w:de:Logarithmus#Logarithmengesetze|Rechenregeln für die reelle Logarithmusfunktion]]. Sie gelten nur &lt;math&gt;\text{mod } 2\pi \mathrm{i}&lt;/math&gt;.

==== Mehrdeutigkeit und Periodizität 1 ====
Diese Mehrdeutigkeit ist eine direkte Folge aus der Periodizität seiner Umkehrfunktion, der komplexen Exponentialfunktion. Es gilt:
: &lt;math&gt;\ln(x) + \ln(y) = \ln(x \cdot y)+ 2\pi n \, \,\, n\in \mathbb{Z} &lt;/math&gt;

==== Mehrdeutigkeit und Periodizität 2 ====
Der Vergleich von &lt;math&gt;\ln(x) + \ln(y)&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\ln(x \cdot y)&lt;/math&gt; zeigt:
: &lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
\ln(\underbrace{-1+\mathrm{i}}_{=x}) + \ln(\underbrace{-1+\mathrm{i}}_{=y}) 
&amp; = &amp;
\bigl(\ln\sqrt2+\frac{3\pi}4\mathrm{i}\bigr) + \bigl(\ln\sqrt2+\frac{3\pi}4\mathrm{i}\bigr) 
\\
&amp; = &amp;
\ln2+\frac{3\pi}2\mathrm{i}
 \end{array}  
&lt;/math&gt;
und 
:&lt;math&gt;
\ln\bigl(\underbrace{(-1+\mathrm{i}}_{=x})\cdot (\underbrace{-1+\mathrm{i}}_{=y})\bigr)
= \ln(-2\mathrm{i})=\ln2-\frac\pi2\mathrm{i}&lt;/math&gt;

==== Mehrdeutigkeit und Periodizität 3 ====
Dies liefert ein Beispiel, dass &lt;math&gt;\ln x + \ln y = \ln(x \cdot y)&lt;/math&gt; nicht für beliebige &lt;math&gt;x,y\in \mathbb{C}&lt;/math&gt; gilt. Der rechte und linke Term unterscheiden sich, um Vielfache von &lt;math&gt;2\pi&lt;/math&gt;, d.h.
: &lt;math&gt;\ln x + \ln y = \ln(x \cdot y) + 2\pi n&lt;/math&gt;

==== Mehrdeutigkeit und Periodizität 4 ====
Auch die Gleichung
: &lt;math&gt;y \cdot \ln (x) = \ln\left({x^y}\right)&lt;/math&gt;
ist nicht immer erfüllt, wie das Gegenbeispiel
: &lt;math&gt;2\pi \mathrm{i} \ln (\mathrm{e}) = 2\pi \mathrm{i} \; \neq \; 0 = \ln 1 = \ln(\mathrm{e}^{2\pi \mathrm{i}})&lt;/math&gt;
beweist.

=== Graphen ===
&lt;gallery widths=&quot;180&quot; heights=&quot;120&quot; perrow=&quot;3&quot; caption=&quot;Grafische Darstellung des komplexen Logarithmus&quot;&gt;
   Ln abs.png|Betrag von &lt;math&gt;\ln z&lt;/math&gt;
   Ln re.png|Realteil von &lt;math&gt;\ln z&lt;/math&gt;
   Ln im.png|Imaginärteil von &lt;math&gt;\ln z&lt;/math&gt;
&lt;/gallery&gt;

==== Hauptzweig ====
Mit dem oben definierten Hauptzweig des komplexen Logarithmus kann man den Logarithmus für negative reellen Zahlen erklären:
: &lt;math&gt;\ln(-x) = \ln\left\vert-x\right\vert+ \mathrm{i}\arg(-x) = \ln x + \mathrm{i}\pi, \quad x\in\mathbb{R}^+\ .&lt;/math&gt;
Das setzt voraus, dass die [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] &lt;math&gt;\arg&lt;/math&gt; negativen reellen Zahlen den Wert &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt; zuweist.

==== Bemerkung - Argumentfunktion ====
Diese Betrachtungen zeigen, dass die Mehrdeutigkeit des komplexen Logarithmus letztlich auf die Mehrdeutigkeit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] zurückzuführen ist.

== Entwicklung in Potenzreihen ==
Jede auf einem Gebiet &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; [[holomorphe Funktion]] lässt sich lokal in eine Potenzreihe entwickelt. Durch den Zusammenhang von &lt;math&gt;\frac{1}{z}&lt;/math&gt; und dem Logarithmus erhält man auch eine Potenzreihendarstellung für beliebige [[w:de:Potenzreihe|Entwicklungspunkte]] &lt;math&gt;z_o=|z_o|\cdot e^{it} \not=0&lt;/math&gt; über die [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] mit &lt;math&gt;q=\frac{z-z_o}{-z_o}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;|z-z_0| &lt; |z_0|&lt;/math&gt;:
:&lt;math&gt;f(z)= \frac{1}{z} 
= \frac{1}{z_o} \cdot \frac{1}{ 1-  \underbrace{\frac{z-z_o}{-z_o} }_{=q} }
=
 \sum_{n=0}^\infty 
\underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1}} }_{=a_n} \cdot (z-z_o)^n 
&lt;/math&gt;

=== Stammfunktion - Konstante der Taylorreihe ===
Für den Zweig des Logarithmus erhält man daher folgende Potenzreihendarstellung auf &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;r&lt; |z_0|&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;c= \ln(|z_o|) + i\cdot t&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;t\in \mathbb{R}&lt;/math&gt;:
:&lt;math&gt;F(z)= c +
 \sum_{n=0}^\infty 
\frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1} \cdot (n+1)}  \cdot (z-z_o)^{n+1} 
&lt;/math&gt;
Ein zugehöriger Zweig von &lt;math&gt;F&lt;/math&gt; ist dann z.B. auf dem Gebiet &lt;math&gt;G:= \mathbb{C} \setminus \{ z\in \mathbb{C} \, : \,  z=\lambda \cdot z_0 \mbox{ mit } 0  \geq \lambda \in \R \}&lt;/math&gt; definiert.

=== Bemerkung - Eindeutigkeitlemma für Logarithmuszweige ===
Das 
[[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] zeigt, dass mit der Wahl eines [[einfach zusammenhängend]]en &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;0\notin G&lt;/math&gt; und der Festlegung des Imaginärteiles des Logarithmuszweige für ein &lt;math&gt;z_0\in G&lt;/math&gt; der gesamte Zwei des Logarithmus eindeutig definiert ist. Ferner wird zwischen dem (reellen) Hauptzweig und dem imaginären Hauptzweig des Logarithmus unterschieden, wobei einmal der negative reelle Achse entfernt wurde und für imaginären Hauptzweig des Logarithmus negative reelle Achse in &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; fehlt.

== Siehe auch ==
* [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]]
* [[/generalisiert/|generalisierte Logarithmen]]
* [[Logarithmus]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Lokale_Entwicklung_in_Potenzreihen|Lokale Entwicklung in Potenzreihen]]
* [[Kurs:Funktionentheorie]]

== Seiteninformation ==
Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&amp;title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&amp;author=Kurs:Funktionentheorie&amp;language=de&amp;audioslide=yes&amp;shorttitle=Logarithmus&amp;coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen.

=== Wiki2Reveal ===

Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&amp;title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&amp;author=Kurs:Funktionentheorie&amp;language=de&amp;audioslide=yes&amp;shorttitle=Logarithmus&amp;coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem  [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt.
&lt;!--
* Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten:
** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus]
--&gt;
* [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt.
* Link zur Quelle in  Wikiversity:  https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus
* siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&amp;title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&amp;author=Kurs:Funktionentheorie&amp;language=de&amp;audioslide=yes&amp;shorttitle=Logarithmus&amp;coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator].
&lt;!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --&gt;;

=== Wikipedia2Wikiversity ===
Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus Wikipedia-Quelle] erstellt:
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus Logarithmus] https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus
* Datum: 31.7.2025
* [https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity


[[Category:Wiki2Reveal]]

&lt;noinclude&gt;[[en:Complex Analysis/Logarithm]]&lt;/noinclude&gt;
[[Kategorie:Funktionentheorie]]</text>
      <sha1>qsi9fvpp05cbspguex5c9p7shyk36i9</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>1115839</id>
      <parentid>1115838</parentid>
      <timestamp>2026-10-12T13:08:51Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bert Niehaus</username>
        <id>20843</id>
      </contributor>
      <comment>/* Entwicklung in Potenzreihen */</comment>
      <origin>1115839</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="15446" sha1="n8gvxmcl4eefrs4kgejjx1m4zx6pjgv" xml:space="preserve">== Einleitung ==
In dieser Lerneinheit wird der Zusammenhang zwischen der Funktion &lt;math&gt; \exp(z) &lt;/math&gt; und &lt;math&gt; \frac{1}{z} &lt;/math&gt; sowie die Definition eines Zweiges des Logarithmus und die Notwendigkeit der Einschränkung der Definitions- und Wertebereiche der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] betrachtet, um eine bijektive und holomorphe [[w:de:Umkehrfunktion|Umkehrfunktion]] der Exponentialfunktion zu erhalten.
:&lt;math&gt; \exp(z) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{n!} 
&lt;/math&gt;

=== Lerneinheiten ===
* [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/algebraische Vollständigkeit|algebraische Vollständigkeit]] des Logarithmus
* [[/Zweige/|Zweige des Logarithmus]]
* [[/Argumentfunktion/|Argumentfunktion und Polarkoordinatendarstellung]]
* [[/generalisiert/|generalisierter Logarithmus]] auf beliebigen [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] [[Gebiet (Mathematik)|Gebieten]], 
* [[/logmod/|logmod-Funktion]] und Periodizität der Exponentionalfunktion 
* [[/rlog/|rlog-Funktion]], beschreibt wie oft kann man einen Logarithmus als Verkettung &quot;rekursiv&quot; anwenden kann. 
* [[/rekursiver Logarithmus/]] als Mehrfachverkettung des Logarithmus mit sich selbst.
* [[/Eulersche Nullstellen/]]
* [[/einfach zusammenhängende LOG-Gebiete/]]

=== Zusammenhang zwischen Exponentialfunktion und Logarithmus ===
Die Exponentialfunktion &lt;math&gt; \exp(z) &lt;/math&gt; ist eine ganze Funktion, dessen Definitionsbereich &lt;math&gt;\mathbb{D} \subset \mathbb{C}&lt;/math&gt; und Wertebereich &lt;math&gt;\mathbb{D} \subset \mathbb{C}&lt;/math&gt; einschränken muss, um eine bijektive Abbildung  und &lt;math&gt; \exp : \mathbb{D} \to \mathbb{W}&lt;/math&gt; zu erhalten, für die man eine Umkehrfunktion definieren kann. 

=== Situation in der reellen Zahlen - Umkehrfunktion von exp(z) ===
&lt;math&gt; \exp : \mathbb{R} \to \mathbb{R}&lt;/math&gt; ist injektiv aber nicht surjektiv. Durch die Einschränkung des Wertebereiches von &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; auf &lt;math&gt;\mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt; ist die Funktion &lt;math&gt; \exp : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt; bijektiv und man kann nach einer Umkehrfunktion (den [[w:de:natürlicher Logarithmus|natürliche Logarithmus]]) suchen. Diese Konzept der Suche nach potentiellen Umgekehrfunktionen kann in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] nicht eindeutig beantwortet werden. In den komplexen Zahlen gibt unabhängig von der Wahl der Konstanten einer Stammfunktion von &lt;math&gt;\tfrac{1}{z}&lt;/math&gt; unterschiedliche Möglichkeiten Logarithmen zu definieren.

== Aufgaben ==
* '''(A1)''' [[Logarithmus#A1|Injektivität und Surjektivität]] 
* '''(A2)''' [[Logarithmus#A2|Stammfunktion als Wegintegrale]]

&lt;span id=&quot;aufgabe1&quot;&gt;&lt;/span&gt;
=== Aufgabe 1 - Umkehrbarkeit der komplexen Exponentialfunktion ===
Erläutern Sie, warum &lt;math&gt; \exp : \mathbb{C} \to \mathbb{C}&lt;/math&gt; weder injektiv noch surjektiv ist. Schränken Sie den Definitionsbereich und Wertebereich der komplexen Exponentialfunktion so ein, dass
&lt;math&gt; \exp : \mathbb{D} \to \mathbb{W}&lt;/math&gt; bijektiv ist und eine [[w:de:Umkehrfunktion|Umkehrfunktion]] besitzt!

&lt;span id=&quot;aufgabe2&quot;&gt;&lt;/span&gt;

=== Aufgabe 2 - Stammfunktion von 1/x in den reellen Zahlen ===
In den reellen Zahlen der Logarithmus z.B. auf den positiven reellen Zahlen die Stammfunktion von &lt;math&gt;\frac{1}{x} &lt;/math&gt;. Welche Beziehung besteht zwischen eine Zweig des Logarithmus und einem Wegintegral über die Funktion &lt;math&gt;\frac{1}{x} &lt;/math&gt;.

=== Eigenschaften 1/z im Komplexen ===
Die holomorphe Funktion &lt;math&gt; f(z)=\frac{1}{z} &lt;/math&gt; ist eine rationale Funktion, die auf &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; definiert ist. Sie besitzt aber auf &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; keine Stammfunktion, denn sonst würde das Integral über den Kreis um 0 nicht den Wert &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; sondern 0 liefern. &lt;math&gt; f(z)=\frac{1}{z} &lt;/math&gt; hat eine Polstelle bei &lt;math&gt; z = 0 &lt;/math&gt;.

=== Einschränkung des Definitions- / Wertebereiches ===
* '''([[w:de:Injektivität|injektiv]])''' Um eine injektive Abbildung für Definition des Logarithmus zu erhalten, muss man den ''Definitionsbereich'' einschränken, damit die Element aus dem Definitionsbereich entfernt, die auf die gleichen Bildpunkt abgebildet werden.
* '''([[w:de:Surjektivität|surjektiv]])''' Um eine surjektive Abbildung für Definition des Logarithmus zu erhalten, muss man den ''Wertebereich'' einschränken und &quot;nicht getroffene&quot; Elemente aus dem Wertebereich zu entfernen

&lt;span id=&quot;komplex&quot;&gt;&lt;/span&gt;

== Definition des komplexen Logarithmus ==
Analog zur reellen Definition heißt jede komplexe Zahl &lt;math&gt;w&lt;/math&gt; ein ''natürlicher Logarithmus'' von &lt;math&gt;z&lt;/math&gt;, wenn &lt;math&gt;w&lt;/math&gt; die folgende Gleichung bzgl. einem gegebenen &lt;math&gt;z&lt;/math&gt; erfüllt:
: &lt;math&gt;\mathrm{e}^w = z&lt;/math&gt;

=== Existenz ===
Für jedes &lt;math&gt;z \in \mathbb{C} \setminus \{0\}&lt;/math&gt; existiert ein solches &lt;math&gt;w&lt;/math&gt;. Man stellt dazu das Element &lt;math&gt;z&lt;/math&gt; in Polarkoordinaten mit &lt;math&gt;t\in [0,2\pi) &lt;/math&gt; wie folgt dar:
:&lt;math&gt;
  z= |z|\cdot e^{it}
&lt;/math&gt;
Dann ist &lt;math&gt;w:=\underbrace{\ln(|z|)}_{\in \mathbb{R}} + i\cdot \underbrace{t}_{\in \mathbb{R}}&lt;/math&gt; ein Logarithmus in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt;, da mit [[w:de:Potenzgesetze|Potenzgesetzen]] folgende Gleichung gilt:
:&lt;math&gt;
  e^w = e^{\ln(|z|) + i\cdot t} = e^{\ln(|z|)} \cdot  e^{i\cdot t} =  |z|\cdot e^{it} = z 
&lt;/math&gt;

=== Eindeutigkeit ===
Im Unterschied zum reellen Logarithmus ist der komplexe Logarithmus wegen
: &lt;math&gt;\mathrm{e}^{2k\pi \mathrm{i}} = 1, \quad k \in \mathbb{Z}&lt;/math&gt;,
nicht eindeutig bestimmt ist. Hat man also einen Logarithmus &lt;math&gt;w&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;z&lt;/math&gt; gefunden, so ist damit auch
: &lt;math&gt;w' =\,\! w + 2k\pi \mathrm{i}&lt;/math&gt;
mit jeder ganzen Zahl &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; ein Logarithmus von &lt;math&gt;z&lt;/math&gt;, denn es gilt
: &lt;math&gt;\mathrm{e}^{w'} = \mathrm{e}^{w + 2k\pi \mathrm{i}} = \mathrm{e}^w \cdot \mathrm{e}^{2k\pi \mathrm{i}} = \mathrm{e}^w \cdot 1 = \mathrm{e}^w = z&lt;/math&gt;.

=== Komplexer Logarithmus als Abbildung ===
Für die Definition einer Abbildung muss man einen eindeutigen Funktionswerte &lt;math&gt;\ln(z):=w&lt;/math&gt; definieren. Um Eindeutigkeit zu erreichen, wählt man aus den möglichen Werten für &lt;math&gt;w&lt;/math&gt; solche Werte aus, die in einem geeigneten Streifen der komplexen Zahlenebene liegen. Man kann z.&amp;nbsp;B. den Streifen
: &lt;math&gt;\left\{w \in \mathbb{C}: -\pi &lt; \mathfrak{Im}(w) &lt; \pi \right\}&lt;/math&gt;
verwenden. Ein Wert &lt;math&gt;w&lt;/math&gt; aus diesem Streifen heißt ''Hauptwert'' (engl. ''principal value'') des Logarithmus, und man schreibt &lt;math&gt;w = \ln(z)&lt;/math&gt;.

=== Zweige des Logarithmus ===
Stellt man &lt;math&gt;z = |z| \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i} \arg(z)}&lt;/math&gt; in [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|Polarform]] dar, so erhält man eine einfache Darstellung des ''k-ten Zweiges'' der Logarithmusfunktion:
: &lt;math&gt;w = \ln |z| + \mathrm{i}\left(\arg(z) + 2k\pi\right), \quad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;
mit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] &lt;math&gt;\arg&lt;/math&gt;. Im Summanden &lt;math&gt;\ln |z|&lt;/math&gt; wird der bereits oben definierte reelle Logarithmus &lt;math&gt;\ln&lt;/math&gt; verwendet.
Für &lt;math&gt;k = 0&lt;/math&gt; erhält man den ''Hauptzweig'' des komplexen Logarithmus zurück:
: &lt;math&gt;\ln z = \ln|z| + \mathrm{i}\arg(z)&lt;/math&gt;.

=== Stetigkeit von Zweigen des Logarithmus ===
&lt;math&gt;\ln: \mathbb{C}\setminus\{0\} \to \mathbb{C}&lt;/math&gt; ist nicht stetig in den Punkten &lt;math&gt;\mathcal{N} := \{z \in \mathbb{C} \, \colon \, (z=x+i\cdot 0) \wedge (0 &lt; x\in \mathbb{R}) \}&lt;/math&gt;. Entfernt man jedoch die negative reelle Achse &lt;math&gt;\mathcal{N}&lt;/math&gt;, so ist &lt;math&gt;\ln&lt;/math&gt; auf dem Gebiet
: &lt;math&gt;\mathbb{C}\setminus\{x \in \mathbb{R}: x\leq 0\}&lt;/math&gt;
stetig und sogar [[w:de:Holomorphe Funktion|holomorph]].

=== Algebraisch vollständige Logarithmus ===
Für den [[Polynomialer Nullstellensatz|polynomialen Nullstellensatz]]

=== Vergleich - Rechenregeln reeller/komplexer Logarithmus ===
Für den Hauptzweig des komplexen Logarithmus &lt;math&gt;\ln&lt;/math&gt; gelten nicht alle der weiter oben angeführten [[w:de:Logarithmus#Logarithmengesetze|Rechenregeln für die reelle Logarithmusfunktion]]. Sie gelten nur &lt;math&gt;\text{mod } 2\pi \mathrm{i}&lt;/math&gt;.

==== Mehrdeutigkeit und Periodizität 1 ====
Diese Mehrdeutigkeit ist eine direkte Folge aus der Periodizität seiner Umkehrfunktion, der komplexen Exponentialfunktion. Es gilt:
: &lt;math&gt;\ln(x) + \ln(y) = \ln(x \cdot y)+ 2\pi n \, \,\, n\in \mathbb{Z} &lt;/math&gt;

==== Mehrdeutigkeit und Periodizität 2 ====
Der Vergleich von &lt;math&gt;\ln(x) + \ln(y)&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\ln(x \cdot y)&lt;/math&gt; zeigt:
: &lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
\ln(\underbrace{-1+\mathrm{i}}_{=x}) + \ln(\underbrace{-1+\mathrm{i}}_{=y}) 
&amp; = &amp;
\bigl(\ln\sqrt2+\frac{3\pi}4\mathrm{i}\bigr) + \bigl(\ln\sqrt2+\frac{3\pi}4\mathrm{i}\bigr) 
\\
&amp; = &amp;
\ln2+\frac{3\pi}2\mathrm{i}
 \end{array}  
&lt;/math&gt;
und 
:&lt;math&gt;
\ln\bigl(\underbrace{(-1+\mathrm{i}}_{=x})\cdot (\underbrace{-1+\mathrm{i}}_{=y})\bigr)
= \ln(-2\mathrm{i})=\ln2-\frac\pi2\mathrm{i}&lt;/math&gt;

==== Mehrdeutigkeit und Periodizität 3 ====
Dies liefert ein Beispiel, dass &lt;math&gt;\ln x + \ln y = \ln(x \cdot y)&lt;/math&gt; nicht für beliebige &lt;math&gt;x,y\in \mathbb{C}&lt;/math&gt; gilt. Der rechte und linke Term unterscheiden sich, um Vielfache von &lt;math&gt;2\pi&lt;/math&gt;, d.h.
: &lt;math&gt;\ln x + \ln y = \ln(x \cdot y) + 2\pi n&lt;/math&gt;

==== Mehrdeutigkeit und Periodizität 4 ====
Auch die Gleichung
: &lt;math&gt;y \cdot \ln (x) = \ln\left({x^y}\right)&lt;/math&gt;
ist nicht immer erfüllt, wie das Gegenbeispiel
: &lt;math&gt;2\pi \mathrm{i} \ln (\mathrm{e}) = 2\pi \mathrm{i} \; \neq \; 0 = \ln 1 = \ln(\mathrm{e}^{2\pi \mathrm{i}})&lt;/math&gt;
beweist.

=== Graphen ===
&lt;gallery widths=&quot;180&quot; heights=&quot;120&quot; perrow=&quot;3&quot; caption=&quot;Grafische Darstellung des komplexen Logarithmus&quot;&gt;
   Ln abs.png|Betrag von &lt;math&gt;\ln z&lt;/math&gt;
   Ln re.png|Realteil von &lt;math&gt;\ln z&lt;/math&gt;
   Ln im.png|Imaginärteil von &lt;math&gt;\ln z&lt;/math&gt;
&lt;/gallery&gt;

==== Hauptzweig ====
Mit dem oben definierten Hauptzweig des komplexen Logarithmus kann man den Logarithmus für negative reellen Zahlen erklären:
: &lt;math&gt;\ln(-x) = \ln\left\vert-x\right\vert+ \mathrm{i}\arg(-x) = \ln x + \mathrm{i}\pi, \quad x\in\mathbb{R}^+\ .&lt;/math&gt;
Das setzt voraus, dass die [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] &lt;math&gt;\arg&lt;/math&gt; negativen reellen Zahlen den Wert &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt; zuweist.

==== Bemerkung - Argumentfunktion ====
Diese Betrachtungen zeigen, dass die Mehrdeutigkeit des komplexen Logarithmus letztlich auf die Mehrdeutigkeit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] zurückzuführen ist.

== Entwicklung in Potenzreihen ==
Jede auf einem Gebiet &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; [[holomorphe Funktion]] lässt sich lokal in eine Potenzreihe entwickelt. Durch den Zusammenhang von &lt;math&gt;\tfrac{1}{z}&lt;/math&gt; und dem Logarithmus erhält man auch eine Potenzreihendarstellung für beliebige [[w:de:Potenzreihe|Entwicklungspunkte]] &lt;math&gt;z_o=|z_o|\cdot e^{it} \not=0&lt;/math&gt; über die [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] mit &lt;math&gt;q=\frac{z-z_o}{-z_o}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;|z-z_0| &lt; |z_0|&lt;/math&gt;:
:&lt;math&gt;f(z)= \frac{1}{z} 
= \frac{1}{z_o} \cdot \frac{1}{ 1-  \underbrace{\frac{z-z_o}{-z_o} }_{=q} }
=
 \sum_{n=0}^\infty 
\underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1}} }_{=a_n} \cdot (z-z_o)^n 
&lt;/math&gt;

=== Stammfunktion - Konstante der Taylorreihe ===
Für den [[w:de:Potenzreihe|Entwicklungspunkt]] &lt;math&gt;z_o=|z_o|\cdot e^{it} \not=0&lt;/math&gt; erhält man für einen Zweig des Logarithmus als Stammfunktion von von &lt;math&gt;\tfrac{1}{z}&lt;/math&gt; folgende Potenzreihendarstellung auf &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;r&lt; |z_0|&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;c= \ln(|z_o|) + i\cdot t&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;t\in \mathbb{R}&lt;/math&gt;:
:&lt;math&gt;\log_{_G}(z)= c +
 \sum_{n=0}^\infty 
\frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1} \cdot (n+1)}  \cdot (z-z_o)^{n+1} 
&lt;/math&gt;
Ein zugehöriger Zweig von &lt;math&gt;\log_{_G}&lt;/math&gt; ist dann z.B. auf dem Gebiet &lt;math&gt;G:= \mathbb{C} \setminus \{ z\in \mathbb{C} \, : \,  z=\lambda \cdot z_0 \mbox{ mit } 0  \geq \lambda \in \R \}&lt;/math&gt; definiert.

=== Bemerkung - Eindeutigkeitlemma für Logarithmuszweige ===
Das 
[[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] zeigt, dass mit der Wahl eines [[einfach zusammenhängend]]en &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;0\notin G&lt;/math&gt; und der Festlegung des Imaginärteiles des Logarithmuszweige für ein &lt;math&gt;z_0\in G&lt;/math&gt; der gesamte Zwei des Logarithmus eindeutig definiert ist. Ferner wird zwischen dem (reellen) Hauptzweig und dem imaginären Hauptzweig des Logarithmus unterschieden, wobei einmal der negative reelle Achse entfernt wurde und für imaginären Hauptzweig des Logarithmus negative reelle Achse in &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; fehlt.

== Siehe auch ==
* [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]]
* [[/generalisiert/|generalisierte Logarithmen]]
* [[Logarithmus]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Lokale_Entwicklung_in_Potenzreihen|Lokale Entwicklung in Potenzreihen]]
* [[Kurs:Funktionentheorie]]

== Seiteninformation ==
Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&amp;title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&amp;author=Kurs:Funktionentheorie&amp;language=de&amp;audioslide=yes&amp;shorttitle=Logarithmus&amp;coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen.

=== Wiki2Reveal ===

Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&amp;title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&amp;author=Kurs:Funktionentheorie&amp;language=de&amp;audioslide=yes&amp;shorttitle=Logarithmus&amp;coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem  [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt.
&lt;!--
* Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten:
** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus]
--&gt;
* [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt.
* Link zur Quelle in  Wikiversity:  https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus
* siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&amp;title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&amp;author=Kurs:Funktionentheorie&amp;language=de&amp;audioslide=yes&amp;shorttitle=Logarithmus&amp;coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator].
&lt;!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --&gt;;

=== Wikipedia2Wikiversity ===
Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus Wikipedia-Quelle] erstellt:
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus Logarithmus] https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus
* Datum: 31.7.2025
* [https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity


[[Category:Wiki2Reveal]]

&lt;noinclude&gt;[[en:Complex Analysis/Logarithm]]&lt;/noinclude&gt;
[[Kategorie:Funktionentheorie]]</text>
      <sha1>n8gvxmcl4eefrs4kgejjx1m4zx6pjgv</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>1115884</id>
      <parentid>1115839</parentid>
      <timestamp>2026-10-12T15:42:22Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bert Niehaus</username>
        <id>20843</id>
      </contributor>
      <comment>/* Lerneinheiten */</comment>
      <origin>1115884</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="15474" sha1="c0vbhycuufcqjsonxnmfnndj5eg4iel" xml:space="preserve">== Einleitung ==
In dieser Lerneinheit wird der Zusammenhang zwischen der Funktion &lt;math&gt; \exp(z) &lt;/math&gt; und &lt;math&gt; \frac{1}{z} &lt;/math&gt; sowie die Definition eines Zweiges des Logarithmus und die Notwendigkeit der Einschränkung der Definitions- und Wertebereiche der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] betrachtet, um eine bijektive und holomorphe [[w:de:Umkehrfunktion|Umkehrfunktion]] der Exponentialfunktion zu erhalten.
:&lt;math&gt; \exp(z) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{n!} 
&lt;/math&gt;

=== Lerneinheiten ===
* [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/algebraische Vollständigkeit|algebraische Vollständigkeit]] des Logarithmus
* [[/Zweige/|Zweige des Logarithmus]]
* [[/Argumentfunktion/|Argumentfunktion und Polarkoordinatendarstellung]]
* [[/generalisiert/|generalisierter Logarithmus]] auf beliebigen [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] [[Gebiet (Mathematik)|Gebieten]], 
* [[/logmod/|logmod-Funktion]] und Periodizität der Exponentionalfunktion,
* [[/Äquivalenzklassen/]] 
* [[/rlog/|rlog-Funktion]], beschreibt wie oft kann man einen Logarithmus als Verkettung &quot;rekursiv&quot; anwenden kann. 
* [[/rekursiver Logarithmus/]] als Mehrfachverkettung des Logarithmus mit sich selbst.
* [[/Eulersche Nullstellen/]]
* [[/einfach zusammenhängende LOG-Gebiete/]]

=== Zusammenhang zwischen Exponentialfunktion und Logarithmus ===
Die Exponentialfunktion &lt;math&gt; \exp(z) &lt;/math&gt; ist eine ganze Funktion, dessen Definitionsbereich &lt;math&gt;\mathbb{D} \subset \mathbb{C}&lt;/math&gt; und Wertebereich &lt;math&gt;\mathbb{D} \subset \mathbb{C}&lt;/math&gt; einschränken muss, um eine bijektive Abbildung  und &lt;math&gt; \exp : \mathbb{D} \to \mathbb{W}&lt;/math&gt; zu erhalten, für die man eine Umkehrfunktion definieren kann. 

=== Situation in der reellen Zahlen - Umkehrfunktion von exp(z) ===
&lt;math&gt; \exp : \mathbb{R} \to \mathbb{R}&lt;/math&gt; ist injektiv aber nicht surjektiv. Durch die Einschränkung des Wertebereiches von &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; auf &lt;math&gt;\mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt; ist die Funktion &lt;math&gt; \exp : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt; bijektiv und man kann nach einer Umkehrfunktion (den [[w:de:natürlicher Logarithmus|natürliche Logarithmus]]) suchen. Diese Konzept der Suche nach potentiellen Umgekehrfunktionen kann in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] nicht eindeutig beantwortet werden. In den komplexen Zahlen gibt unabhängig von der Wahl der Konstanten einer Stammfunktion von &lt;math&gt;\tfrac{1}{z}&lt;/math&gt; unterschiedliche Möglichkeiten Logarithmen zu definieren.

== Aufgaben ==
* '''(A1)''' [[Logarithmus#A1|Injektivität und Surjektivität]] 
* '''(A2)''' [[Logarithmus#A2|Stammfunktion als Wegintegrale]]

&lt;span id=&quot;aufgabe1&quot;&gt;&lt;/span&gt;
=== Aufgabe 1 - Umkehrbarkeit der komplexen Exponentialfunktion ===
Erläutern Sie, warum &lt;math&gt; \exp : \mathbb{C} \to \mathbb{C}&lt;/math&gt; weder injektiv noch surjektiv ist. Schränken Sie den Definitionsbereich und Wertebereich der komplexen Exponentialfunktion so ein, dass
&lt;math&gt; \exp : \mathbb{D} \to \mathbb{W}&lt;/math&gt; bijektiv ist und eine [[w:de:Umkehrfunktion|Umkehrfunktion]] besitzt!

&lt;span id=&quot;aufgabe2&quot;&gt;&lt;/span&gt;

=== Aufgabe 2 - Stammfunktion von 1/x in den reellen Zahlen ===
In den reellen Zahlen der Logarithmus z.B. auf den positiven reellen Zahlen die Stammfunktion von &lt;math&gt;\frac{1}{x} &lt;/math&gt;. Welche Beziehung besteht zwischen eine Zweig des Logarithmus und einem Wegintegral über die Funktion &lt;math&gt;\frac{1}{x} &lt;/math&gt;.

=== Eigenschaften 1/z im Komplexen ===
Die holomorphe Funktion &lt;math&gt; f(z)=\frac{1}{z} &lt;/math&gt; ist eine rationale Funktion, die auf &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; definiert ist. Sie besitzt aber auf &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; keine Stammfunktion, denn sonst würde das Integral über den Kreis um 0 nicht den Wert &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; sondern 0 liefern. &lt;math&gt; f(z)=\frac{1}{z} &lt;/math&gt; hat eine Polstelle bei &lt;math&gt; z = 0 &lt;/math&gt;.

=== Einschränkung des Definitions- / Wertebereiches ===
* '''([[w:de:Injektivität|injektiv]])''' Um eine injektive Abbildung für Definition des Logarithmus zu erhalten, muss man den ''Definitionsbereich'' einschränken, damit die Element aus dem Definitionsbereich entfernt, die auf die gleichen Bildpunkt abgebildet werden.
* '''([[w:de:Surjektivität|surjektiv]])''' Um eine surjektive Abbildung für Definition des Logarithmus zu erhalten, muss man den ''Wertebereich'' einschränken und &quot;nicht getroffene&quot; Elemente aus dem Wertebereich zu entfernen

&lt;span id=&quot;komplex&quot;&gt;&lt;/span&gt;

== Definition des komplexen Logarithmus ==
Analog zur reellen Definition heißt jede komplexe Zahl &lt;math&gt;w&lt;/math&gt; ein ''natürlicher Logarithmus'' von &lt;math&gt;z&lt;/math&gt;, wenn &lt;math&gt;w&lt;/math&gt; die folgende Gleichung bzgl. einem gegebenen &lt;math&gt;z&lt;/math&gt; erfüllt:
: &lt;math&gt;\mathrm{e}^w = z&lt;/math&gt;

=== Existenz ===
Für jedes &lt;math&gt;z \in \mathbb{C} \setminus \{0\}&lt;/math&gt; existiert ein solches &lt;math&gt;w&lt;/math&gt;. Man stellt dazu das Element &lt;math&gt;z&lt;/math&gt; in Polarkoordinaten mit &lt;math&gt;t\in [0,2\pi) &lt;/math&gt; wie folgt dar:
:&lt;math&gt;
  z= |z|\cdot e^{it}
&lt;/math&gt;
Dann ist &lt;math&gt;w:=\underbrace{\ln(|z|)}_{\in \mathbb{R}} + i\cdot \underbrace{t}_{\in \mathbb{R}}&lt;/math&gt; ein Logarithmus in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt;, da mit [[w:de:Potenzgesetze|Potenzgesetzen]] folgende Gleichung gilt:
:&lt;math&gt;
  e^w = e^{\ln(|z|) + i\cdot t} = e^{\ln(|z|)} \cdot  e^{i\cdot t} =  |z|\cdot e^{it} = z 
&lt;/math&gt;

=== Eindeutigkeit ===
Im Unterschied zum reellen Logarithmus ist der komplexe Logarithmus wegen
: &lt;math&gt;\mathrm{e}^{2k\pi \mathrm{i}} = 1, \quad k \in \mathbb{Z}&lt;/math&gt;,
nicht eindeutig bestimmt ist. Hat man also einen Logarithmus &lt;math&gt;w&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;z&lt;/math&gt; gefunden, so ist damit auch
: &lt;math&gt;w' =\,\! w + 2k\pi \mathrm{i}&lt;/math&gt;
mit jeder ganzen Zahl &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; ein Logarithmus von &lt;math&gt;z&lt;/math&gt;, denn es gilt
: &lt;math&gt;\mathrm{e}^{w'} = \mathrm{e}^{w + 2k\pi \mathrm{i}} = \mathrm{e}^w \cdot \mathrm{e}^{2k\pi \mathrm{i}} = \mathrm{e}^w \cdot 1 = \mathrm{e}^w = z&lt;/math&gt;.

=== Komplexer Logarithmus als Abbildung ===
Für die Definition einer Abbildung muss man einen eindeutigen Funktionswerte &lt;math&gt;\ln(z):=w&lt;/math&gt; definieren. Um Eindeutigkeit zu erreichen, wählt man aus den möglichen Werten für &lt;math&gt;w&lt;/math&gt; solche Werte aus, die in einem geeigneten Streifen der komplexen Zahlenebene liegen. Man kann z.&amp;nbsp;B. den Streifen
: &lt;math&gt;\left\{w \in \mathbb{C}: -\pi &lt; \mathfrak{Im}(w) &lt; \pi \right\}&lt;/math&gt;
verwenden. Ein Wert &lt;math&gt;w&lt;/math&gt; aus diesem Streifen heißt ''Hauptwert'' (engl. ''principal value'') des Logarithmus, und man schreibt &lt;math&gt;w = \ln(z)&lt;/math&gt;.

=== Zweige des Logarithmus ===
Stellt man &lt;math&gt;z = |z| \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i} \arg(z)}&lt;/math&gt; in [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|Polarform]] dar, so erhält man eine einfache Darstellung des ''k-ten Zweiges'' der Logarithmusfunktion:
: &lt;math&gt;w = \ln |z| + \mathrm{i}\left(\arg(z) + 2k\pi\right), \quad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;
mit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] &lt;math&gt;\arg&lt;/math&gt;. Im Summanden &lt;math&gt;\ln |z|&lt;/math&gt; wird der bereits oben definierte reelle Logarithmus &lt;math&gt;\ln&lt;/math&gt; verwendet.
Für &lt;math&gt;k = 0&lt;/math&gt; erhält man den ''Hauptzweig'' des komplexen Logarithmus zurück:
: &lt;math&gt;\ln z = \ln|z| + \mathrm{i}\arg(z)&lt;/math&gt;.

=== Stetigkeit von Zweigen des Logarithmus ===
&lt;math&gt;\ln: \mathbb{C}\setminus\{0\} \to \mathbb{C}&lt;/math&gt; ist nicht stetig in den Punkten &lt;math&gt;\mathcal{N} := \{z \in \mathbb{C} \, \colon \, (z=x+i\cdot 0) \wedge (0 &lt; x\in \mathbb{R}) \}&lt;/math&gt;. Entfernt man jedoch die negative reelle Achse &lt;math&gt;\mathcal{N}&lt;/math&gt;, so ist &lt;math&gt;\ln&lt;/math&gt; auf dem Gebiet
: &lt;math&gt;\mathbb{C}\setminus\{x \in \mathbb{R}: x\leq 0\}&lt;/math&gt;
stetig und sogar [[w:de:Holomorphe Funktion|holomorph]].

=== Algebraisch vollständige Logarithmus ===
Für den [[Polynomialer Nullstellensatz|polynomialen Nullstellensatz]]

=== Vergleich - Rechenregeln reeller/komplexer Logarithmus ===
Für den Hauptzweig des komplexen Logarithmus &lt;math&gt;\ln&lt;/math&gt; gelten nicht alle der weiter oben angeführten [[w:de:Logarithmus#Logarithmengesetze|Rechenregeln für die reelle Logarithmusfunktion]]. Sie gelten nur &lt;math&gt;\text{mod } 2\pi \mathrm{i}&lt;/math&gt;.

==== Mehrdeutigkeit und Periodizität 1 ====
Diese Mehrdeutigkeit ist eine direkte Folge aus der Periodizität seiner Umkehrfunktion, der komplexen Exponentialfunktion. Es gilt:
: &lt;math&gt;\ln(x) + \ln(y) = \ln(x \cdot y)+ 2\pi n \, \,\, n\in \mathbb{Z} &lt;/math&gt;

==== Mehrdeutigkeit und Periodizität 2 ====
Der Vergleich von &lt;math&gt;\ln(x) + \ln(y)&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\ln(x \cdot y)&lt;/math&gt; zeigt:
: &lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
\ln(\underbrace{-1+\mathrm{i}}_{=x}) + \ln(\underbrace{-1+\mathrm{i}}_{=y}) 
&amp; = &amp;
\bigl(\ln\sqrt2+\frac{3\pi}4\mathrm{i}\bigr) + \bigl(\ln\sqrt2+\frac{3\pi}4\mathrm{i}\bigr) 
\\
&amp; = &amp;
\ln2+\frac{3\pi}2\mathrm{i}
 \end{array}  
&lt;/math&gt;
und 
:&lt;math&gt;
\ln\bigl(\underbrace{(-1+\mathrm{i}}_{=x})\cdot (\underbrace{-1+\mathrm{i}}_{=y})\bigr)
= \ln(-2\mathrm{i})=\ln2-\frac\pi2\mathrm{i}&lt;/math&gt;

==== Mehrdeutigkeit und Periodizität 3 ====
Dies liefert ein Beispiel, dass &lt;math&gt;\ln x + \ln y = \ln(x \cdot y)&lt;/math&gt; nicht für beliebige &lt;math&gt;x,y\in \mathbb{C}&lt;/math&gt; gilt. Der rechte und linke Term unterscheiden sich, um Vielfache von &lt;math&gt;2\pi&lt;/math&gt;, d.h.
: &lt;math&gt;\ln x + \ln y = \ln(x \cdot y) + 2\pi n&lt;/math&gt;

==== Mehrdeutigkeit und Periodizität 4 ====
Auch die Gleichung
: &lt;math&gt;y \cdot \ln (x) = \ln\left({x^y}\right)&lt;/math&gt;
ist nicht immer erfüllt, wie das Gegenbeispiel
: &lt;math&gt;2\pi \mathrm{i} \ln (\mathrm{e}) = 2\pi \mathrm{i} \; \neq \; 0 = \ln 1 = \ln(\mathrm{e}^{2\pi \mathrm{i}})&lt;/math&gt;
beweist.

=== Graphen ===
&lt;gallery widths=&quot;180&quot; heights=&quot;120&quot; perrow=&quot;3&quot; caption=&quot;Grafische Darstellung des komplexen Logarithmus&quot;&gt;
   Ln abs.png|Betrag von &lt;math&gt;\ln z&lt;/math&gt;
   Ln re.png|Realteil von &lt;math&gt;\ln z&lt;/math&gt;
   Ln im.png|Imaginärteil von &lt;math&gt;\ln z&lt;/math&gt;
&lt;/gallery&gt;

==== Hauptzweig ====
Mit dem oben definierten Hauptzweig des komplexen Logarithmus kann man den Logarithmus für negative reellen Zahlen erklären:
: &lt;math&gt;\ln(-x) = \ln\left\vert-x\right\vert+ \mathrm{i}\arg(-x) = \ln x + \mathrm{i}\pi, \quad x\in\mathbb{R}^+\ .&lt;/math&gt;
Das setzt voraus, dass die [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] &lt;math&gt;\arg&lt;/math&gt; negativen reellen Zahlen den Wert &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt; zuweist.

==== Bemerkung - Argumentfunktion ====
Diese Betrachtungen zeigen, dass die Mehrdeutigkeit des komplexen Logarithmus letztlich auf die Mehrdeutigkeit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] zurückzuführen ist.

== Entwicklung in Potenzreihen ==
Jede auf einem Gebiet &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; [[holomorphe Funktion]] lässt sich lokal in eine Potenzreihe entwickelt. Durch den Zusammenhang von &lt;math&gt;\tfrac{1}{z}&lt;/math&gt; und dem Logarithmus erhält man auch eine Potenzreihendarstellung für beliebige [[w:de:Potenzreihe|Entwicklungspunkte]] &lt;math&gt;z_o=|z_o|\cdot e^{it} \not=0&lt;/math&gt; über die [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] mit &lt;math&gt;q=\frac{z-z_o}{-z_o}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;|z-z_0| &lt; |z_0|&lt;/math&gt;:
:&lt;math&gt;f(z)= \frac{1}{z} 
= \frac{1}{z_o} \cdot \frac{1}{ 1-  \underbrace{\frac{z-z_o}{-z_o} }_{=q} }
=
 \sum_{n=0}^\infty 
\underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1}} }_{=a_n} \cdot (z-z_o)^n 
&lt;/math&gt;

=== Stammfunktion - Konstante der Taylorreihe ===
Für den [[w:de:Potenzreihe|Entwicklungspunkt]] &lt;math&gt;z_o=|z_o|\cdot e^{it} \not=0&lt;/math&gt; erhält man für einen Zweig des Logarithmus als Stammfunktion von von &lt;math&gt;\tfrac{1}{z}&lt;/math&gt; folgende Potenzreihendarstellung auf &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;r&lt; |z_0|&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;c= \ln(|z_o|) + i\cdot t&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;t\in \mathbb{R}&lt;/math&gt;:
:&lt;math&gt;\log_{_G}(z)= c +
 \sum_{n=0}^\infty 
\frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1} \cdot (n+1)}  \cdot (z-z_o)^{n+1} 
&lt;/math&gt;
Ein zugehöriger Zweig von &lt;math&gt;\log_{_G}&lt;/math&gt; ist dann z.B. auf dem Gebiet &lt;math&gt;G:= \mathbb{C} \setminus \{ z\in \mathbb{C} \, : \,  z=\lambda \cdot z_0 \mbox{ mit } 0  \geq \lambda \in \R \}&lt;/math&gt; definiert.

=== Bemerkung - Eindeutigkeitlemma für Logarithmuszweige ===
Das 
[[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] zeigt, dass mit der Wahl eines [[einfach zusammenhängend]]en &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;0\notin G&lt;/math&gt; und der Festlegung des Imaginärteiles des Logarithmuszweige für ein &lt;math&gt;z_0\in G&lt;/math&gt; der gesamte Zwei des Logarithmus eindeutig definiert ist. Ferner wird zwischen dem (reellen) Hauptzweig und dem imaginären Hauptzweig des Logarithmus unterschieden, wobei einmal der negative reelle Achse entfernt wurde und für imaginären Hauptzweig des Logarithmus negative reelle Achse in &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; fehlt.

== Siehe auch ==
* [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]]
* [[/generalisiert/|generalisierte Logarithmen]]
* [[Logarithmus]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Lokale_Entwicklung_in_Potenzreihen|Lokale Entwicklung in Potenzreihen]]
* [[Kurs:Funktionentheorie]]

== Seiteninformation ==
Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&amp;title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&amp;author=Kurs:Funktionentheorie&amp;language=de&amp;audioslide=yes&amp;shorttitle=Logarithmus&amp;coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen.

=== Wiki2Reveal ===

Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&amp;title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&amp;author=Kurs:Funktionentheorie&amp;language=de&amp;audioslide=yes&amp;shorttitle=Logarithmus&amp;coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem  [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt.
&lt;!--
* Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten:
** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus]
--&gt;
* [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt.
* Link zur Quelle in  Wikiversity:  https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus
* siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&amp;title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&amp;author=Kurs:Funktionentheorie&amp;language=de&amp;audioslide=yes&amp;shorttitle=Logarithmus&amp;coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator].
&lt;!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --&gt;;

=== Wikipedia2Wikiversity ===
Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus Wikipedia-Quelle] erstellt:
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus Logarithmus] https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus
* Datum: 31.7.2025
* [https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity


[[Category:Wiki2Reveal]]

&lt;noinclude&gt;[[en:Complex Analysis/Logarithm]]&lt;/noinclude&gt;
[[Kategorie:Funktionentheorie]]</text>
      <sha1>c0vbhycuufcqjsonxnmfnndj5eg4iel</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>1115886</id>
      <parentid>1115884</parentid>
      <timestamp>2026-10-12T15:46:57Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bert Niehaus</username>
        <id>20843</id>
      </contributor>
      <comment>/* Lerneinheiten */</comment>
      <origin>1115886</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="15490" sha1="n2l7mh8wr3kkndc5ln3sr5hs760y5pz" xml:space="preserve">== Einleitung ==
In dieser Lerneinheit wird der Zusammenhang zwischen der Funktion &lt;math&gt; \exp(z) &lt;/math&gt; und &lt;math&gt; \frac{1}{z} &lt;/math&gt; sowie die Definition eines Zweiges des Logarithmus und die Notwendigkeit der Einschränkung der Definitions- und Wertebereiche der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] betrachtet, um eine bijektive und holomorphe [[w:de:Umkehrfunktion|Umkehrfunktion]] der Exponentialfunktion zu erhalten.
:&lt;math&gt; \exp(z) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{n!} 
&lt;/math&gt;

=== Lerneinheiten ===
* [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/algebraische Vollständigkeit|algebraische Vollständigkeit]] des Logarithmus
* [[/Zweige/|Zweige des Logarithmus]]
* [[/Argumentfunktion/|Argumentfunktion und Polarkoordinatendarstellung]]
* [[/generalisiert/|generalisierter Logarithmus]] auf beliebigen [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] [[Gebiet (Mathematik)|Gebieten]], 
* [[/logmod/|logmod-Funktion]] und Periodizität der Exponentionalfunktion,
* [[/Äquivalenzklassen/]] des Logarithmus,
* [[/rlog/|rlog-Funktion]], beschreibt wie oft kann man einen Logarithmus als Verkettung &quot;rekursiv&quot; anwenden kann. 
* [[/rekursiver Logarithmus/]] als Mehrfachverkettung des Logarithmus mit sich selbst.
* [[/Eulersche Nullstellen/]]
* [[/einfach zusammenhängende LOG-Gebiete/]]

=== Zusammenhang zwischen Exponentialfunktion und Logarithmus ===
Die Exponentialfunktion &lt;math&gt; \exp(z) &lt;/math&gt; ist eine ganze Funktion, dessen Definitionsbereich &lt;math&gt;\mathbb{D} \subset \mathbb{C}&lt;/math&gt; und Wertebereich &lt;math&gt;\mathbb{D} \subset \mathbb{C}&lt;/math&gt; einschränken muss, um eine bijektive Abbildung  und &lt;math&gt; \exp : \mathbb{D} \to \mathbb{W}&lt;/math&gt; zu erhalten, für die man eine Umkehrfunktion definieren kann. 

=== Situation in der reellen Zahlen - Umkehrfunktion von exp(z) ===
&lt;math&gt; \exp : \mathbb{R} \to \mathbb{R}&lt;/math&gt; ist injektiv aber nicht surjektiv. Durch die Einschränkung des Wertebereiches von &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; auf &lt;math&gt;\mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt; ist die Funktion &lt;math&gt; \exp : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt; bijektiv und man kann nach einer Umkehrfunktion (den [[w:de:natürlicher Logarithmus|natürliche Logarithmus]]) suchen. Diese Konzept der Suche nach potentiellen Umgekehrfunktionen kann in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] nicht eindeutig beantwortet werden. In den komplexen Zahlen gibt unabhängig von der Wahl der Konstanten einer Stammfunktion von &lt;math&gt;\tfrac{1}{z}&lt;/math&gt; unterschiedliche Möglichkeiten Logarithmen zu definieren.

== Aufgaben ==
* '''(A1)''' [[Logarithmus#A1|Injektivität und Surjektivität]] 
* '''(A2)''' [[Logarithmus#A2|Stammfunktion als Wegintegrale]]

&lt;span id=&quot;aufgabe1&quot;&gt;&lt;/span&gt;
=== Aufgabe 1 - Umkehrbarkeit der komplexen Exponentialfunktion ===
Erläutern Sie, warum &lt;math&gt; \exp : \mathbb{C} \to \mathbb{C}&lt;/math&gt; weder injektiv noch surjektiv ist. Schränken Sie den Definitionsbereich und Wertebereich der komplexen Exponentialfunktion so ein, dass
&lt;math&gt; \exp : \mathbb{D} \to \mathbb{W}&lt;/math&gt; bijektiv ist und eine [[w:de:Umkehrfunktion|Umkehrfunktion]] besitzt!

&lt;span id=&quot;aufgabe2&quot;&gt;&lt;/span&gt;

=== Aufgabe 2 - Stammfunktion von 1/x in den reellen Zahlen ===
In den reellen Zahlen der Logarithmus z.B. auf den positiven reellen Zahlen die Stammfunktion von &lt;math&gt;\frac{1}{x} &lt;/math&gt;. Welche Beziehung besteht zwischen eine Zweig des Logarithmus und einem Wegintegral über die Funktion &lt;math&gt;\frac{1}{x} &lt;/math&gt;.

=== Eigenschaften 1/z im Komplexen ===
Die holomorphe Funktion &lt;math&gt; f(z)=\frac{1}{z} &lt;/math&gt; ist eine rationale Funktion, die auf &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; definiert ist. Sie besitzt aber auf &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; keine Stammfunktion, denn sonst würde das Integral über den Kreis um 0 nicht den Wert &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; sondern 0 liefern. &lt;math&gt; f(z)=\frac{1}{z} &lt;/math&gt; hat eine Polstelle bei &lt;math&gt; z = 0 &lt;/math&gt;.

=== Einschränkung des Definitions- / Wertebereiches ===
* '''([[w:de:Injektivität|injektiv]])''' Um eine injektive Abbildung für Definition des Logarithmus zu erhalten, muss man den ''Definitionsbereich'' einschränken, damit die Element aus dem Definitionsbereich entfernt, die auf die gleichen Bildpunkt abgebildet werden.
* '''([[w:de:Surjektivität|surjektiv]])''' Um eine surjektive Abbildung für Definition des Logarithmus zu erhalten, muss man den ''Wertebereich'' einschränken und &quot;nicht getroffene&quot; Elemente aus dem Wertebereich zu entfernen

&lt;span id=&quot;komplex&quot;&gt;&lt;/span&gt;

== Definition des komplexen Logarithmus ==
Analog zur reellen Definition heißt jede komplexe Zahl &lt;math&gt;w&lt;/math&gt; ein ''natürlicher Logarithmus'' von &lt;math&gt;z&lt;/math&gt;, wenn &lt;math&gt;w&lt;/math&gt; die folgende Gleichung bzgl. einem gegebenen &lt;math&gt;z&lt;/math&gt; erfüllt:
: &lt;math&gt;\mathrm{e}^w = z&lt;/math&gt;

=== Existenz ===
Für jedes &lt;math&gt;z \in \mathbb{C} \setminus \{0\}&lt;/math&gt; existiert ein solches &lt;math&gt;w&lt;/math&gt;. Man stellt dazu das Element &lt;math&gt;z&lt;/math&gt; in Polarkoordinaten mit &lt;math&gt;t\in [0,2\pi) &lt;/math&gt; wie folgt dar:
:&lt;math&gt;
  z= |z|\cdot e^{it}
&lt;/math&gt;
Dann ist &lt;math&gt;w:=\underbrace{\ln(|z|)}_{\in \mathbb{R}} + i\cdot \underbrace{t}_{\in \mathbb{R}}&lt;/math&gt; ein Logarithmus in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt;, da mit [[w:de:Potenzgesetze|Potenzgesetzen]] folgende Gleichung gilt:
:&lt;math&gt;
  e^w = e^{\ln(|z|) + i\cdot t} = e^{\ln(|z|)} \cdot  e^{i\cdot t} =  |z|\cdot e^{it} = z 
&lt;/math&gt;

=== Eindeutigkeit ===
Im Unterschied zum reellen Logarithmus ist der komplexe Logarithmus wegen
: &lt;math&gt;\mathrm{e}^{2k\pi \mathrm{i}} = 1, \quad k \in \mathbb{Z}&lt;/math&gt;,
nicht eindeutig bestimmt ist. Hat man also einen Logarithmus &lt;math&gt;w&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;z&lt;/math&gt; gefunden, so ist damit auch
: &lt;math&gt;w' =\,\! w + 2k\pi \mathrm{i}&lt;/math&gt;
mit jeder ganzen Zahl &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; ein Logarithmus von &lt;math&gt;z&lt;/math&gt;, denn es gilt
: &lt;math&gt;\mathrm{e}^{w'} = \mathrm{e}^{w + 2k\pi \mathrm{i}} = \mathrm{e}^w \cdot \mathrm{e}^{2k\pi \mathrm{i}} = \mathrm{e}^w \cdot 1 = \mathrm{e}^w = z&lt;/math&gt;.

=== Komplexer Logarithmus als Abbildung ===
Für die Definition einer Abbildung muss man einen eindeutigen Funktionswerte &lt;math&gt;\ln(z):=w&lt;/math&gt; definieren. Um Eindeutigkeit zu erreichen, wählt man aus den möglichen Werten für &lt;math&gt;w&lt;/math&gt; solche Werte aus, die in einem geeigneten Streifen der komplexen Zahlenebene liegen. Man kann z.&amp;nbsp;B. den Streifen
: &lt;math&gt;\left\{w \in \mathbb{C}: -\pi &lt; \mathfrak{Im}(w) &lt; \pi \right\}&lt;/math&gt;
verwenden. Ein Wert &lt;math&gt;w&lt;/math&gt; aus diesem Streifen heißt ''Hauptwert'' (engl. ''principal value'') des Logarithmus, und man schreibt &lt;math&gt;w = \ln(z)&lt;/math&gt;.

=== Zweige des Logarithmus ===
Stellt man &lt;math&gt;z = |z| \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i} \arg(z)}&lt;/math&gt; in [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|Polarform]] dar, so erhält man eine einfache Darstellung des ''k-ten Zweiges'' der Logarithmusfunktion:
: &lt;math&gt;w = \ln |z| + \mathrm{i}\left(\arg(z) + 2k\pi\right), \quad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;
mit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] &lt;math&gt;\arg&lt;/math&gt;. Im Summanden &lt;math&gt;\ln |z|&lt;/math&gt; wird der bereits oben definierte reelle Logarithmus &lt;math&gt;\ln&lt;/math&gt; verwendet.
Für &lt;math&gt;k = 0&lt;/math&gt; erhält man den ''Hauptzweig'' des komplexen Logarithmus zurück:
: &lt;math&gt;\ln z = \ln|z| + \mathrm{i}\arg(z)&lt;/math&gt;.

=== Stetigkeit von Zweigen des Logarithmus ===
&lt;math&gt;\ln: \mathbb{C}\setminus\{0\} \to \mathbb{C}&lt;/math&gt; ist nicht stetig in den Punkten &lt;math&gt;\mathcal{N} := \{z \in \mathbb{C} \, \colon \, (z=x+i\cdot 0) \wedge (0 &lt; x\in \mathbb{R}) \}&lt;/math&gt;. Entfernt man jedoch die negative reelle Achse &lt;math&gt;\mathcal{N}&lt;/math&gt;, so ist &lt;math&gt;\ln&lt;/math&gt; auf dem Gebiet
: &lt;math&gt;\mathbb{C}\setminus\{x \in \mathbb{R}: x\leq 0\}&lt;/math&gt;
stetig und sogar [[w:de:Holomorphe Funktion|holomorph]].

=== Algebraisch vollständige Logarithmus ===
Für den [[Polynomialer Nullstellensatz|polynomialen Nullstellensatz]]

=== Vergleich - Rechenregeln reeller/komplexer Logarithmus ===
Für den Hauptzweig des komplexen Logarithmus &lt;math&gt;\ln&lt;/math&gt; gelten nicht alle der weiter oben angeführten [[w:de:Logarithmus#Logarithmengesetze|Rechenregeln für die reelle Logarithmusfunktion]]. Sie gelten nur &lt;math&gt;\text{mod } 2\pi \mathrm{i}&lt;/math&gt;.

==== Mehrdeutigkeit und Periodizität 1 ====
Diese Mehrdeutigkeit ist eine direkte Folge aus der Periodizität seiner Umkehrfunktion, der komplexen Exponentialfunktion. Es gilt:
: &lt;math&gt;\ln(x) + \ln(y) = \ln(x \cdot y)+ 2\pi n \, \,\, n\in \mathbb{Z} &lt;/math&gt;

==== Mehrdeutigkeit und Periodizität 2 ====
Der Vergleich von &lt;math&gt;\ln(x) + \ln(y)&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\ln(x \cdot y)&lt;/math&gt; zeigt:
: &lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
\ln(\underbrace{-1+\mathrm{i}}_{=x}) + \ln(\underbrace{-1+\mathrm{i}}_{=y}) 
&amp; = &amp;
\bigl(\ln\sqrt2+\frac{3\pi}4\mathrm{i}\bigr) + \bigl(\ln\sqrt2+\frac{3\pi}4\mathrm{i}\bigr) 
\\
&amp; = &amp;
\ln2+\frac{3\pi}2\mathrm{i}
 \end{array}  
&lt;/math&gt;
und 
:&lt;math&gt;
\ln\bigl(\underbrace{(-1+\mathrm{i}}_{=x})\cdot (\underbrace{-1+\mathrm{i}}_{=y})\bigr)
= \ln(-2\mathrm{i})=\ln2-\frac\pi2\mathrm{i}&lt;/math&gt;

==== Mehrdeutigkeit und Periodizität 3 ====
Dies liefert ein Beispiel, dass &lt;math&gt;\ln x + \ln y = \ln(x \cdot y)&lt;/math&gt; nicht für beliebige &lt;math&gt;x,y\in \mathbb{C}&lt;/math&gt; gilt. Der rechte und linke Term unterscheiden sich, um Vielfache von &lt;math&gt;2\pi&lt;/math&gt;, d.h.
: &lt;math&gt;\ln x + \ln y = \ln(x \cdot y) + 2\pi n&lt;/math&gt;

==== Mehrdeutigkeit und Periodizität 4 ====
Auch die Gleichung
: &lt;math&gt;y \cdot \ln (x) = \ln\left({x^y}\right)&lt;/math&gt;
ist nicht immer erfüllt, wie das Gegenbeispiel
: &lt;math&gt;2\pi \mathrm{i} \ln (\mathrm{e}) = 2\pi \mathrm{i} \; \neq \; 0 = \ln 1 = \ln(\mathrm{e}^{2\pi \mathrm{i}})&lt;/math&gt;
beweist.

=== Graphen ===
&lt;gallery widths=&quot;180&quot; heights=&quot;120&quot; perrow=&quot;3&quot; caption=&quot;Grafische Darstellung des komplexen Logarithmus&quot;&gt;
   Ln abs.png|Betrag von &lt;math&gt;\ln z&lt;/math&gt;
   Ln re.png|Realteil von &lt;math&gt;\ln z&lt;/math&gt;
   Ln im.png|Imaginärteil von &lt;math&gt;\ln z&lt;/math&gt;
&lt;/gallery&gt;

==== Hauptzweig ====
Mit dem oben definierten Hauptzweig des komplexen Logarithmus kann man den Logarithmus für negative reellen Zahlen erklären:
: &lt;math&gt;\ln(-x) = \ln\left\vert-x\right\vert+ \mathrm{i}\arg(-x) = \ln x + \mathrm{i}\pi, \quad x\in\mathbb{R}^+\ .&lt;/math&gt;
Das setzt voraus, dass die [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] &lt;math&gt;\arg&lt;/math&gt; negativen reellen Zahlen den Wert &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt; zuweist.

==== Bemerkung - Argumentfunktion ====
Diese Betrachtungen zeigen, dass die Mehrdeutigkeit des komplexen Logarithmus letztlich auf die Mehrdeutigkeit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] zurückzuführen ist.

== Entwicklung in Potenzreihen ==
Jede auf einem Gebiet &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; [[holomorphe Funktion]] lässt sich lokal in eine Potenzreihe entwickelt. Durch den Zusammenhang von &lt;math&gt;\tfrac{1}{z}&lt;/math&gt; und dem Logarithmus erhält man auch eine Potenzreihendarstellung für beliebige [[w:de:Potenzreihe|Entwicklungspunkte]] &lt;math&gt;z_o=|z_o|\cdot e^{it} \not=0&lt;/math&gt; über die [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] mit &lt;math&gt;q=\frac{z-z_o}{-z_o}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;|z-z_0| &lt; |z_0|&lt;/math&gt;:
:&lt;math&gt;f(z)= \frac{1}{z} 
= \frac{1}{z_o} \cdot \frac{1}{ 1-  \underbrace{\frac{z-z_o}{-z_o} }_{=q} }
=
 \sum_{n=0}^\infty 
\underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1}} }_{=a_n} \cdot (z-z_o)^n 
&lt;/math&gt;

=== Stammfunktion - Konstante der Taylorreihe ===
Für den [[w:de:Potenzreihe|Entwicklungspunkt]] &lt;math&gt;z_o=|z_o|\cdot e^{it} \not=0&lt;/math&gt; erhält man für einen Zweig des Logarithmus als Stammfunktion von von &lt;math&gt;\tfrac{1}{z}&lt;/math&gt; folgende Potenzreihendarstellung auf &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;r&lt; |z_0|&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;c= \ln(|z_o|) + i\cdot t&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;t\in \mathbb{R}&lt;/math&gt;:
:&lt;math&gt;\log_{_G}(z)= c +
 \sum_{n=0}^\infty 
\frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1} \cdot (n+1)}  \cdot (z-z_o)^{n+1} 
&lt;/math&gt;
Ein zugehöriger Zweig von &lt;math&gt;\log_{_G}&lt;/math&gt; ist dann z.B. auf dem Gebiet &lt;math&gt;G:= \mathbb{C} \setminus \{ z\in \mathbb{C} \, : \,  z=\lambda \cdot z_0 \mbox{ mit } 0  \geq \lambda \in \R \}&lt;/math&gt; definiert.

=== Bemerkung - Eindeutigkeitlemma für Logarithmuszweige ===
Das 
[[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] zeigt, dass mit der Wahl eines [[einfach zusammenhängend]]en &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;0\notin G&lt;/math&gt; und der Festlegung des Imaginärteiles des Logarithmuszweige für ein &lt;math&gt;z_0\in G&lt;/math&gt; der gesamte Zwei des Logarithmus eindeutig definiert ist. Ferner wird zwischen dem (reellen) Hauptzweig und dem imaginären Hauptzweig des Logarithmus unterschieden, wobei einmal der negative reelle Achse entfernt wurde und für imaginären Hauptzweig des Logarithmus negative reelle Achse in &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; fehlt.

== Siehe auch ==
* [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]]
* [[/generalisiert/|generalisierte Logarithmen]]
* [[Logarithmus]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Lokale_Entwicklung_in_Potenzreihen|Lokale Entwicklung in Potenzreihen]]
* [[Kurs:Funktionentheorie]]

== Seiteninformation ==
Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&amp;title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&amp;author=Kurs:Funktionentheorie&amp;language=de&amp;audioslide=yes&amp;shorttitle=Logarithmus&amp;coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen.

=== Wiki2Reveal ===

Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&amp;title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&amp;author=Kurs:Funktionentheorie&amp;language=de&amp;audioslide=yes&amp;shorttitle=Logarithmus&amp;coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem  [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt.
&lt;!--
* Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten:
** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus]
--&gt;
* [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt.
* Link zur Quelle in  Wikiversity:  https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus
* siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&amp;title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&amp;author=Kurs:Funktionentheorie&amp;language=de&amp;audioslide=yes&amp;shorttitle=Logarithmus&amp;coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator].
&lt;!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --&gt;;

=== Wikipedia2Wikiversity ===
Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus Wikipedia-Quelle] erstellt:
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus Logarithmus] https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus
* Datum: 31.7.2025
* [https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity


[[Category:Wiki2Reveal]]

&lt;noinclude&gt;[[en:Complex Analysis/Logarithm]]&lt;/noinclude&gt;
[[Kategorie:Funktionentheorie]]</text>
      <sha1>n2l7mh8wr3kkndc5ln3sr5hs760y5pz</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)</title>
    <ns>106</ns>
    <id>167054</id>
    <revision>
      <id>1115956</id>
      <parentid>1114493</parentid>
      <timestamp>2026-10-13T09:12:46Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Paul Sutermeister</username>
        <id>37610</id>
      </contributor>
      <comment>+Teamphasen nach Tuckman</comment>
      <origin>1115956</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="8592" sha1="eddr9qloiwbqrmxa38h68r3lzkmbez9" xml:space="preserve">Das Programm des Kurses '''Personal Skills''' zur Erlangung des [[Kurs:Handelsdiplom|Handelsdiploms]] des [[:w:Verband Schweizerischer Handelsschulen|Verbandes Schweizerischer Handelsschulen]] (VSH) basiert auf den Leistungszielen des VSH&lt;ref&gt;[https://www.vsh.swiss/assets/Downloads/Reglemente/VSH-Business/VSH-Reglement-HD-kZu-Kauffrau-Kaufmann-2025_rev_Brand_V1.pdf ''Reglement Handelsdiplom VSH Business Kaufmännische Zusatzausbildung.''] [[:w:Verband Schweizerischer Handelsschulen|Verband Schweizerischer Handelsschulen]], 2025, Seite 26.&lt;/ref&gt; &lt;small&gt;(kleine Änderungen vorbehalten)&lt;/small&gt;:

{| class=&quot;wikitable&quot;
! Kurstag (jeweils 45 Minuten)
! Kursinhalt
! Lehrmittel
|-
| 10./11. August 2026
| '''Office Knigge''':&lt;/br&gt;Telefongespräch, Reklamation, E-Mail (Abwesenheitsmeldung), soziale Netzwerke
| Graber/Ritter (2025), Seiten 7-18&lt;ref&gt;Bettina Graber, Sonja Ritter: ''Office-Knigge &amp; Selbstmanagement / Personal Skills für Handelsschulen: Praxisorientierte Theorie, Aufgaben &amp; Lösungen.'' Schaffhausen: [[:w:Westermann Gruppe|Westermann]], 2025. 134 Seiten. ISBN 978-3-85612-002-3&lt;/ref&gt;
|-
| 17./18. August
| '''Bekleidung und Auftreten'''&lt;/br&gt;
| Seiten 24-31
|-
| 24./25. August
| '''Arbeiten im Team''':&lt;/br&gt;Johari-Fenster, Teamrollen, Teamwerte, Wertschätzung
| Seiten 35-43
|-
| 31. August / 1. September
| Arbeiten im Team:&lt;/br&gt;[[Kurs:Personal_Skills_(Handelsdiplom_VSH)/Kommunikation#Sender-Empfänger-Modell|Sender-Empfänger-Modell]], [[Kurs:Personal_Skills_(Handelsdiplom_VSH)/Kommunikation#Watzlawick-Axiome|Watzlawick-Axiome]]
| Seiten 44-46
|-
| 7./8. September
| Arbeiten im Team:&lt;/br&gt;[[Kurs:Personal_Skills_(Handelsdiplom_VSH)/Kommunikation#Vier-Seiten-Modell|Vier-Seiten-Modell]], Distanzzonen
| Seiten 46-48
|-
| 14./15. September
| Arbeiten im Team:&lt;/br&gt;[[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Kognitive Verzerrung|Wahrnehmungsfehler]], [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Teambildung|Teamphasen (Tuckman)]]
| Seiten 48-51
|-
| 21./22. September
| Arbeiten im Team:&lt;/br&gt;[[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Fragen|Fragetechniken]], «Nein» sagen
| Seiten 52-56
|-
| 12./13. Oktober
| Arbeiten im Team:&lt;/br&gt;Stressoren, Konflikt
| Seiten 56-61
|-
| 19./20. Oktober
| Arbeiten im Team:&lt;/br&gt;Umgang mit [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Eskalation|Konflikt → Mobbing]] verhindern
| Seiten 62-68
|-
| 26./27. Oktober
| Arbeiten im Team:&lt;/br&gt;Resilienz
| Seiten 69-75
|-
| 2./3. November
| '''Eventmanagement''':&lt;/br&gt; Konzept, Checkliste
| Seiten 82-86
|-
| 9./10. November
| '''Selbstmanagement''':&lt;/br&gt;[[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/SMART|SMART]], [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Paretoprinzip|Pareto]]
| Seiten 90-94
|-
| 16./17. November
| Selbstmanagement:&lt;/br&gt;[[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/ALPEN-Methode|Alpenmethode]], IPERKA, Leistungskurve
| Seiten 95-99
|-
| 23./24. November
| Selbstmanagement:&lt;/br&gt;[[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/ABC-Analyse|ABC-Analyse]], Kreativitätstechniken
| Seiten 100-104
|-
| 30. November / 1. Dezember
| Selbstmanagement:&lt;/br&gt;Kopfstand-Technik, [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Eisenhower-Prinzip|Eisenhower-Prinzip]]
| Seiten 104-108
|-
| 7./8. Dezember
| '''Präsentationstechnik''': [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Präsentation|Erfolgskomponenten]], Rhetorik/Mimik/Gestik
| Seiten 113-119
|-
| 14./15. Dezember 2026
| Präsentationstechnik: Sitzungen organisieren (&amp; Protokoll), Checklisten erstellen
| Seiten 119-126
|-
| '''4./5. Januar 2027'''
| colspan=&quot;2&quot; | &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt;'''MODULPRÜFUNG'''&lt;/span&gt;: keine Hilfsmittel erlaubt (gemäss Hilfsmittelliste des [[:w:Verband Schweizerischer Handelsschulen|VSH]])&lt;ref name=&quot;hilfsmittelliste&quot;&gt;[https://www.vsh.swiss/assets/Downloads/Reglemente/VSH-Business/VSH-Hilfsmittelliste-2025_HD-kZu_rev_Brand_V1.pdf Hilfsmittelliste] des [[:w:Verband Schweizerischer Handelsschulen|VSH]] (Stand 2025)&lt;/ref&gt;
|}

&lt;!--
= Ergänzendes Material =
&lt;small&gt;
:[[:en:Human capital|Human Capital]]
:[[:en:Personal development|Personal development]]
:[[:en:21st century skills|21st century skills]]
:[[:en:Competence (human resources)|Competence in human resources]]
:[[:en:Key Skills Qualification|Key Skills Qualification]]&lt;/small&gt;

== Kommunikation ==

* [[Benutzer:Paul Sutermeister/Aktives Zuhören|Aktives Zuhören]]
* [[Benutzer:Paul Sutermeister/Fragetechnik|Fragetechnik]]

== Team ==

* '''[[Benutzer:Paul Sutermeister/Team|Teambildung, Gesprächsführung, Konfliktlösung]]'''
* [[Benutzer:Paul Sutermeister/Rangdynamik|Rangdynamik]]
* &lt;small&gt;[[:w:Gruppendynamik|Phasenmodell nach Tuckman / Rangdynamische Positionen nach Schindler (Alpha, Beta, Gamma, Omega)]]&lt;/small&gt;

== [[:w:Selbstmanagement|Selbstmanagement]] ==

# Persönliche Leistungskurve – Wann arbeite ich am besten?
# Pareto – Was lohnt sich?
# ABC – Was ist wichtig?
# Eisenhower – Was ist wichtig ''und'' dringend?
# SMART – Wie formuliere ich ein gutes Ziel?
# ALPEN – Wie plane ich meinen Tag?
# IPERKA – Wie führe ich einen ganzen Prozess durch?

=== [[:w:Arbeitskurve|Persönliche Leistungskurve]] ===

&lt;gallery&gt;
 Nivel de atención durante el ritmo circadiano.jpg|'''[[:w:Circadiane Rhythmik|Circadiane Rhythmik]]'''
 Adenosine Sleep Two Process Model.png|[[:w:Zwei-Prozess-Modell der Schlafregulation|Zwei-Prozess-Modell der Schlafregulation]]
&lt;/gallery&gt;

Das eigene Energie- und Konzentrationsniveau, und somit die Produktivität, schwanken über den Tag.
Diese Erkenntnis ist Grundlage für folgende Planungs- und Priorisierungsmethoden.

=== [[:w:Modell der vollständigen Handlung|IPERKA]] ===
; Zweck
: '''Strukturierter Arbeits- und Projektprozess:''' Komplexeste Methode, eignet sich für ganze Arbeits- und Projektprozesse. → Abschluss: Vom Tagesgeschäft zur vollständigen Handlung und Prozesssteuerung.
; Schritte
: '''I'''nformieren – Situation klären  
: '''P'''lanen – Vorgehen, Ressourcen  
: '''E'''ntscheiden – beste Lösung wählen  
: '''R'''ealisieren – ausführen  
: '''K'''ontrollieren – prüfen  
: '''A'''uswerten – lernen und verbessern

==== Beispiel: Spaghetti kochen ====

'''I – Informieren'''
* Was will ich kochen? → Spaghetti
* Was brauche ich? → Nudeln, Sauce, Salz, Wasser
* Habe ich alles zu Hause? → Sauce fehlt

'''P – Planen'''
* Ich gehe zuerst kurz einkaufen.
* Danach koche ich.
* Das Essen soll um 18 Uhr fertig sein.

'''E – Entscheiden'''
* Ich entscheide: '''Ich kaufe die Sauce und koche Spaghetti.'''

'''R – Realisieren (Ausführen)'''
* Ich gehe in den Laden und kaufe die Sauce.
* Ich koche Wasser.
* Ich koche die Spaghetti.
* Ich wärme die Sauce.

'''K – Kontrollieren'''
* Sind die Spaghetti gar?
* Schmeckt die Sauce?
* Ist das Essen rechtzeitig (z.B. um 18 Uhr) fertig?

'''A – Auswerten'''
* Hat alles gut geklappt?
* War meine Planung realistisch?
* Was mache ich nächstes Mal besser? (z.B. früher anfangen, mehr Sauce kaufen)

==== Beispiel: Eine Sitzung organisieren ====

'''I – Informieren'''
* Worum geht es in der Sitzung? → Team-Besprechung
* Wer muss dabei sein? → 5 Mitarbeitende
* Wie lange dauert die Sitzung? → 30 Minuten
* Gibt es einen Termin? → Noch nicht

'''P – Planen'''
* Ich schlage zwei mögliche Termine vor.
* Ich reserviere einen Sitzungsraum.
* Ich erstelle eine kurze Traktandenliste.
* Ich plane die Dauer der Sitzung (30 Minuten).

'''E – Entscheiden'''
* Ich entscheide mich für:
** Termin: Dienstag, 14:00 Uhr
** Raum: Sitzungszimmer 2
* Ich entscheide, welche Traktanden besprochen werden.

'''R – Realisieren (Ausführen)'''
* Ich verschicke die Einladung per E-Mail.
* Ich drucke die Traktandenliste aus.
* Ich leite die Sitzung.
* Ich mache kurze Notizen während der Sitzung.

'''K – Kontrollieren'''
* Waren alle eingeladen?
* Hat die Sitzung pünktlich begonnen und geendet?
* Wurden alle Traktanden besprochen?

'''A – Auswerten'''
* Hat die Sitzung etwas gebracht?
* War sie gut vorbereitet?
* Was mache ich nächstes Mal besser? (z.B. klarere Traktanden, weniger Themen)

=== [[:w:Kreativitätstechniken|Kreativitätstechniken]] ===

* [[:w:Walt-Disney-Methode|Walt-Disney-Methode]]
* [[:w:Denkhüte von De Bono|Denkhüte von De Bono]]
* [[:w:Kopfstandtechnik|Kopfstandtechnik]]--&gt;

=Lehrmittel=
* Bettina Graber, Sonja Ritter: ''Office-Knigge &amp; Selbstmanagement / Personal Skills für Handelsschulen: Praxisorientierte Theorie, Aufgaben &amp; Lösungen.'' Schaffhausen: [[:w:Westermann Gruppe|Westermann]], 2025. 134 Seiten. ISBN 978-3-85612-002-3

= Einzelnachweise =

&lt;references/&gt;

[[Kategorie:Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)| ]]</text>
      <sha1>eddr9qloiwbqrmxa38h68r3lzkmbez9</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>1115969</id>
      <parentid>1115956</parentid>
      <timestamp>2026-10-13T10:54:39Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Paul Sutermeister</username>
        <id>37610</id>
      </contributor>
      <comment>Johari-Fenster</comment>
      <origin>1115969</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="8614" sha1="mat461fr10n15x1irtd2ez7q0yw1c18" xml:space="preserve">Das Programm des Kurses '''Personal Skills''' zur Erlangung des [[Kurs:Handelsdiplom|Handelsdiploms]] des [[:w:Verband Schweizerischer Handelsschulen|Verbandes Schweizerischer Handelsschulen]] (VSH) basiert auf den Leistungszielen des VSH&lt;ref&gt;[https://www.vsh.swiss/assets/Downloads/Reglemente/VSH-Business/VSH-Reglement-HD-kZu-Kauffrau-Kaufmann-2025_rev_Brand_V1.pdf ''Reglement Handelsdiplom VSH Business Kaufmännische Zusatzausbildung.''] [[:w:Verband Schweizerischer Handelsschulen|Verband Schweizerischer Handelsschulen]], 2025, Seite 26.&lt;/ref&gt; &lt;small&gt;(kleine Änderungen vorbehalten)&lt;/small&gt;:

{| class=&quot;wikitable&quot;
! Kurstag (jeweils 45 Minuten)
! Kursinhalt
! Lehrmittel
|-
| 10./11. August 2026
| '''Office Knigge''':&lt;/br&gt;Telefongespräch, Reklamation, E-Mail (Abwesenheitsmeldung), soziale Netzwerke
| Graber/Ritter (2025), Seiten 7-18&lt;ref&gt;Bettina Graber, Sonja Ritter: ''Office-Knigge &amp; Selbstmanagement / Personal Skills für Handelsschulen: Praxisorientierte Theorie, Aufgaben &amp; Lösungen.'' Schaffhausen: [[:w:Westermann Gruppe|Westermann]], 2025. 134 Seiten. ISBN 978-3-85612-002-3&lt;/ref&gt;
|-
| 17./18. August
| '''Bekleidung und Auftreten'''&lt;/br&gt;
| Seiten 24-31
|-
| 24./25. August
| '''Arbeiten im Team''':&lt;/br&gt;[[:w:Johari-Fenster|Johari-Fenster]], Teamrollen, Teamwerte, Wertschätzung
| Seiten 35-43
|-
| 31. August / 1. September
| Arbeiten im Team:&lt;/br&gt;[[Kurs:Personal_Skills_(Handelsdiplom_VSH)/Kommunikation#Sender-Empfänger-Modell|Sender-Empfänger-Modell]], [[Kurs:Personal_Skills_(Handelsdiplom_VSH)/Kommunikation#Watzlawick-Axiome|Watzlawick-Axiome]]
| Seiten 44-46
|-
| 7./8. September
| Arbeiten im Team:&lt;/br&gt;[[Kurs:Personal_Skills_(Handelsdiplom_VSH)/Kommunikation#Vier-Seiten-Modell|Vier-Seiten-Modell]], Distanzzonen
| Seiten 46-48
|-
| 14./15. September
| Arbeiten im Team:&lt;/br&gt;[[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Kognitive Verzerrung|Wahrnehmungsfehler]], [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Teambildung|Teamphasen (Tuckman)]]
| Seiten 48-51
|-
| 21./22. September
| Arbeiten im Team:&lt;/br&gt;[[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Fragen|Fragetechniken]], «Nein» sagen
| Seiten 52-56
|-
| 12./13. Oktober
| Arbeiten im Team:&lt;/br&gt;Stressoren, Konflikt
| Seiten 56-61
|-
| 19./20. Oktober
| Arbeiten im Team:&lt;/br&gt;Umgang mit [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Eskalation|Konflikt → Mobbing]] verhindern
| Seiten 62-68
|-
| 26./27. Oktober
| Arbeiten im Team:&lt;/br&gt;Resilienz
| Seiten 69-75
|-
| 2./3. November
| '''Eventmanagement''':&lt;/br&gt; Konzept, Checkliste
| Seiten 82-86
|-
| 9./10. November
| '''Selbstmanagement''':&lt;/br&gt;[[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/SMART|SMART]], [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Paretoprinzip|Pareto]]
| Seiten 90-94
|-
| 16./17. November
| Selbstmanagement:&lt;/br&gt;[[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/ALPEN-Methode|Alpenmethode]], IPERKA, Leistungskurve
| Seiten 95-99
|-
| 23./24. November
| Selbstmanagement:&lt;/br&gt;[[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/ABC-Analyse|ABC-Analyse]], Kreativitätstechniken
| Seiten 100-104
|-
| 30. November / 1. Dezember
| Selbstmanagement:&lt;/br&gt;Kopfstand-Technik, [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Eisenhower-Prinzip|Eisenhower-Prinzip]]
| Seiten 104-108
|-
| 7./8. Dezember
| '''Präsentationstechnik''': [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Präsentation|Erfolgskomponenten]], Rhetorik/Mimik/Gestik
| Seiten 113-119
|-
| 14./15. Dezember 2026
| Präsentationstechnik: Sitzungen organisieren (&amp; Protokoll), Checklisten erstellen
| Seiten 119-126
|-
| '''4./5. Januar 2027'''
| colspan=&quot;2&quot; | &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt;'''MODULPRÜFUNG'''&lt;/span&gt;: keine Hilfsmittel erlaubt (gemäss Hilfsmittelliste des [[:w:Verband Schweizerischer Handelsschulen|VSH]])&lt;ref name=&quot;hilfsmittelliste&quot;&gt;[https://www.vsh.swiss/assets/Downloads/Reglemente/VSH-Business/VSH-Hilfsmittelliste-2025_HD-kZu_rev_Brand_V1.pdf Hilfsmittelliste] des [[:w:Verband Schweizerischer Handelsschulen|VSH]] (Stand 2025)&lt;/ref&gt;
|}

&lt;!--
= Ergänzendes Material =
&lt;small&gt;
:[[:en:Human capital|Human Capital]]
:[[:en:Personal development|Personal development]]
:[[:en:21st century skills|21st century skills]]
:[[:en:Competence (human resources)|Competence in human resources]]
:[[:en:Key Skills Qualification|Key Skills Qualification]]&lt;/small&gt;

== Kommunikation ==

* [[Benutzer:Paul Sutermeister/Aktives Zuhören|Aktives Zuhören]]
* [[Benutzer:Paul Sutermeister/Fragetechnik|Fragetechnik]]

== Team ==

* '''[[Benutzer:Paul Sutermeister/Team|Teambildung, Gesprächsführung, Konfliktlösung]]'''
* [[Benutzer:Paul Sutermeister/Rangdynamik|Rangdynamik]]
* &lt;small&gt;[[:w:Gruppendynamik|Phasenmodell nach Tuckman / Rangdynamische Positionen nach Schindler (Alpha, Beta, Gamma, Omega)]]&lt;/small&gt;

== [[:w:Selbstmanagement|Selbstmanagement]] ==

# Persönliche Leistungskurve – Wann arbeite ich am besten?
# Pareto – Was lohnt sich?
# ABC – Was ist wichtig?
# Eisenhower – Was ist wichtig ''und'' dringend?
# SMART – Wie formuliere ich ein gutes Ziel?
# ALPEN – Wie plane ich meinen Tag?
# IPERKA – Wie führe ich einen ganzen Prozess durch?

=== [[:w:Arbeitskurve|Persönliche Leistungskurve]] ===

&lt;gallery&gt;
 Nivel de atención durante el ritmo circadiano.jpg|'''[[:w:Circadiane Rhythmik|Circadiane Rhythmik]]'''
 Adenosine Sleep Two Process Model.png|[[:w:Zwei-Prozess-Modell der Schlafregulation|Zwei-Prozess-Modell der Schlafregulation]]
&lt;/gallery&gt;

Das eigene Energie- und Konzentrationsniveau, und somit die Produktivität, schwanken über den Tag.
Diese Erkenntnis ist Grundlage für folgende Planungs- und Priorisierungsmethoden.

=== [[:w:Modell der vollständigen Handlung|IPERKA]] ===
; Zweck
: '''Strukturierter Arbeits- und Projektprozess:''' Komplexeste Methode, eignet sich für ganze Arbeits- und Projektprozesse. → Abschluss: Vom Tagesgeschäft zur vollständigen Handlung und Prozesssteuerung.
; Schritte
: '''I'''nformieren – Situation klären  
: '''P'''lanen – Vorgehen, Ressourcen  
: '''E'''ntscheiden – beste Lösung wählen  
: '''R'''ealisieren – ausführen  
: '''K'''ontrollieren – prüfen  
: '''A'''uswerten – lernen und verbessern

==== Beispiel: Spaghetti kochen ====

'''I – Informieren'''
* Was will ich kochen? → Spaghetti
* Was brauche ich? → Nudeln, Sauce, Salz, Wasser
* Habe ich alles zu Hause? → Sauce fehlt

'''P – Planen'''
* Ich gehe zuerst kurz einkaufen.
* Danach koche ich.
* Das Essen soll um 18 Uhr fertig sein.

'''E – Entscheiden'''
* Ich entscheide: '''Ich kaufe die Sauce und koche Spaghetti.'''

'''R – Realisieren (Ausführen)'''
* Ich gehe in den Laden und kaufe die Sauce.
* Ich koche Wasser.
* Ich koche die Spaghetti.
* Ich wärme die Sauce.

'''K – Kontrollieren'''
* Sind die Spaghetti gar?
* Schmeckt die Sauce?
* Ist das Essen rechtzeitig (z.B. um 18 Uhr) fertig?

'''A – Auswerten'''
* Hat alles gut geklappt?
* War meine Planung realistisch?
* Was mache ich nächstes Mal besser? (z.B. früher anfangen, mehr Sauce kaufen)

==== Beispiel: Eine Sitzung organisieren ====

'''I – Informieren'''
* Worum geht es in der Sitzung? → Team-Besprechung
* Wer muss dabei sein? → 5 Mitarbeitende
* Wie lange dauert die Sitzung? → 30 Minuten
* Gibt es einen Termin? → Noch nicht

'''P – Planen'''
* Ich schlage zwei mögliche Termine vor.
* Ich reserviere einen Sitzungsraum.
* Ich erstelle eine kurze Traktandenliste.
* Ich plane die Dauer der Sitzung (30 Minuten).

'''E – Entscheiden'''
* Ich entscheide mich für:
** Termin: Dienstag, 14:00 Uhr
** Raum: Sitzungszimmer 2
* Ich entscheide, welche Traktanden besprochen werden.

'''R – Realisieren (Ausführen)'''
* Ich verschicke die Einladung per E-Mail.
* Ich drucke die Traktandenliste aus.
* Ich leite die Sitzung.
* Ich mache kurze Notizen während der Sitzung.

'''K – Kontrollieren'''
* Waren alle eingeladen?
* Hat die Sitzung pünktlich begonnen und geendet?
* Wurden alle Traktanden besprochen?

'''A – Auswerten'''
* Hat die Sitzung etwas gebracht?
* War sie gut vorbereitet?
* Was mache ich nächstes Mal besser? (z.B. klarere Traktanden, weniger Themen)

=== [[:w:Kreativitätstechniken|Kreativitätstechniken]] ===

* [[:w:Walt-Disney-Methode|Walt-Disney-Methode]]
* [[:w:Denkhüte von De Bono|Denkhüte von De Bono]]
* [[:w:Kopfstandtechnik|Kopfstandtechnik]]--&gt;

=Lehrmittel=
* Bettina Graber, Sonja Ritter: ''Office-Knigge &amp; Selbstmanagement / Personal Skills für Handelsschulen: Praxisorientierte Theorie, Aufgaben &amp; Lösungen.'' Schaffhausen: [[:w:Westermann Gruppe|Westermann]], 2025. 134 Seiten. ISBN 978-3-85612-002-3

= Einzelnachweise =

&lt;references/&gt;

[[Kategorie:Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)| ]]</text>
      <sha1>mat461fr10n15x1irtd2ez7q0yw1c18</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Benutzer Diskussion:NDG</title>
    <ns>3</ns>
    <id>167169</id>
    <revision>
      <id>1115912</id>
      <parentid>1056502</parentid>
      <timestamp>2026-10-12T18:31:45Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <origin>1115912</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="1416" sha1="dhuj5r97dntki0mgw8ng3klm9zzdrr1" xml:space="preserve">== Studi-Unternehmen ==

Hi, vielen Dank, dass Du so ein achtsames Auge auf neu erstellte Seiten hast! Wir hatten leider eine Reihe von Seiten mit &quot;Studi-Unternehmen&quot; direkt in den Namensraum gestellt und nicht in den Kurs. Ich bitte um etwas Geduld, bis wir mit dem Aufräumen fertig sind! --[[Benutzer:Barkmann-hdaOek|Barkmann-hdaOek]] ([[Benutzer Diskussion:Barkmann-hdaOek|Diskussion]]) 13:13, 20. Okt. 2025 (CEST)

:Nun, sowas lässt sich durch Verschieben, aber mindestens jedoch durch Bearbeitungskommentare heilen. Jedoch nicht durch Edit-Wars gegen die Löschbausteine. Ich nehme meine globalen Meldungen wegen Spam zurück. [[Benutzer:NDG|NDG]] ([[Benutzer Diskussion:NDG|Diskussion]]) 13:46, 20. Okt. 2025 (CEST)
::Dank Dir! --[[Benutzer:Barkmann-hdaOek|Barkmann-hdaOek]] ([[Benutzer Diskussion:Barkmann-hdaOek|Diskussion]]) 15:10, 23. Okt. 2025 (CEST) Entschuldige bitte nachträglich, dass ich die Löschbausteine herausgenommen habe. Es war für mich sehr unglücklich, wenn mitten in einer laufenden Lehrveranstaltung die Arbeit der Studies so unterbrochen wird. --[[Benutzer:Barkmann-hdaOek|Barkmann-hdaOek]] ([[Benutzer Diskussion:Barkmann-hdaOek|Diskussion]])

==Singularitätenkurs==
ich glaub das war in Ordnung, da haben Studenten eine Whatsapp-Gruppe zum Kurs gegründet. [[Benutzer:Bocardodarapti|Bocardodarapti]] ([[Benutzer Diskussion:Bocardodarapti|Diskussion]]) 20:31, 12. Okt. 2026 (CEST)</text>
      <sha1>dhuj5r97dntki0mgw8ng3klm9zzdrr1</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>1115913</id>
      <parentid>1115912</parentid>
      <timestamp>2026-10-12T18:40:56Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>NDG</username>
        <id>40315</id>
      </contributor>
      <comment>/* Singularitätenkurs */ Antwort</comment>
      <origin>1115913</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="1614" sha1="o54nw1eulw3jfsoaq6s32kijjh6hnly" xml:space="preserve">== Studi-Unternehmen ==

Hi, vielen Dank, dass Du so ein achtsames Auge auf neu erstellte Seiten hast! Wir hatten leider eine Reihe von Seiten mit &quot;Studi-Unternehmen&quot; direkt in den Namensraum gestellt und nicht in den Kurs. Ich bitte um etwas Geduld, bis wir mit dem Aufräumen fertig sind! --[[Benutzer:Barkmann-hdaOek|Barkmann-hdaOek]] ([[Benutzer Diskussion:Barkmann-hdaOek|Diskussion]]) 13:13, 20. Okt. 2025 (CEST)

:Nun, sowas lässt sich durch Verschieben, aber mindestens jedoch durch Bearbeitungskommentare heilen. Jedoch nicht durch Edit-Wars gegen die Löschbausteine. Ich nehme meine globalen Meldungen wegen Spam zurück. [[Benutzer:NDG|NDG]] ([[Benutzer Diskussion:NDG|Diskussion]]) 13:46, 20. Okt. 2025 (CEST)
::Dank Dir! --[[Benutzer:Barkmann-hdaOek|Barkmann-hdaOek]] ([[Benutzer Diskussion:Barkmann-hdaOek|Diskussion]]) 15:10, 23. Okt. 2025 (CEST) Entschuldige bitte nachträglich, dass ich die Löschbausteine herausgenommen habe. Es war für mich sehr unglücklich, wenn mitten in einer laufenden Lehrveranstaltung die Arbeit der Studies so unterbrochen wird. --[[Benutzer:Barkmann-hdaOek|Barkmann-hdaOek]] ([[Benutzer Diskussion:Barkmann-hdaOek|Diskussion]])

==Singularitätenkurs==
ich glaub das war in Ordnung, da haben Studenten eine Whatsapp-Gruppe zum Kurs gegründet. [[Benutzer:Bocardodarapti|Bocardodarapti]] ([[Benutzer Diskussion:Bocardodarapti|Diskussion]]) 20:31, 12. Okt. 2026 (CEST)

:Das habe ich geprüft und beim erneuten Reineditieren auch in Ruhe gelassen. Danke für die Gegenprüfung [[Benutzer:NDG|NDG]] ([[Benutzer Diskussion:NDG|Diskussion]]) 20:40, 12. Okt. 2026 (CEST)</text>
      <sha1>o54nw1eulw3jfsoaq6s32kijjh6hnly</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Konflikt</title>
    <ns>106</ns>
    <id>170264</id>
    <revision>
      <id>1115970</id>
      <parentid>1078160</parentid>
      <timestamp>2026-10-13T11:12:14Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Paul Sutermeister</username>
        <id>37610</id>
      </contributor>
      <origin>1115970</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="7028" sha1="9dyrs6vbj24gd453j8zni4s2tg2l1v5" xml:space="preserve">= Konflikte werden gelöst =

&lt;quiz display=&quot;simple&quot;&gt;
{ Ergänze folgende Wörter: Chancen, herauszufinden, mangelnder, Meinungsverschiedenheiten, produktiver, scheinbaren, überrascht, Unklarheiten, Ziele. 
| type=&quot;{}&quot; }
Im Berufs- und Privatleben können { Meinungsverschiedenheiten } und Emotionen auftreten. Vorbereitung ist hilfreich, um nicht { überrascht } zu werden. Wenn Emotionen hochkochen, können Sie tief durchatmen oder versuchen { herauszufinden }, warum. Missverständnisse führen manchmal zu { scheinbaren } Konflikten, oft aufgrund kultureller Unterschiede oder { mangelnder } Information. Konflikte können auch entstehen, wenn Interessen, { Ziele } oder Werte unterschiedlich sind. Sie können anstrengend sein, aber auch { Chancen } für Fortschritt bieten. Zum Beispiel können { Unklarheiten } in einem neuen Team zu Konflikten führen. Investieren Sie Zeit in die Lösung solcher Konflikte, um das Team { produktiver } zu machen.
&lt;/quiz&gt;

&lt;quiz display=&quot;simple&quot;&gt;
{ Ordne zu:&lt;ref&gt;[[:w:Gerhard Schwarz (Philosoph)|Gerhard Schwarz]]: ''Konfliktmanagement. Konflikte erkennen, analysieren, lösen.'' Wiesbaden: Gabler, 2010.&lt;/ref&gt;
| typ=&quot;[]&quot; }
| Flucht | Kampf | Nachgeben | Delegieren | Verhandeln | Einigung
----+- Kompromiss
-+---- Sieger-Verlierer
-----+ Konsens
--+--- Unterwerfung
+----- Vermeidung
---+-- Schlichtung/Vermittlung
&lt;/quiz&gt;

&lt;quiz display=&quot;simple&quot;&gt;
{ Wie werden Konflikte gelöst?
| type=&quot;{}&quot; }
Die Wahl der besten Konfliktlösungsstrategie hängt von der jeweiligen Situation, den beteiligten Personen und den Zielen ab. Im Berufsalltag ist es oft ratsam, verschiedene Strategien anzuwenden, je nachdem, wie der Konflikt sich entwickelt. Eine effektive Konfliktlösung erfordert oft die Fähigkeit zur Anpassung und die Bereitschaft, je nach den Umständen zwischen den verschiedenen Strategien zu wechseln, um die besten Ergebnisse zu erzielen:
{ Delegieren } – In einigen Fällen kann es sinnvoll sein, die Verantwortung für die Konfliktlösung an eine höhere Instanz oder an spezialisierte Personen oder Gremien zu übertragen, insbesondere wenn der Konflikt komplex ist und Fachwissen erfordert.
{ Einigung } – Die Strategie beinhaltet das Finden eines Kompromisses, bei dem alle Parteien etwas nachgeben, um zu einer akzeptablen Lösung zu gelangen. Dies kann eine schnelle Möglichkeit sein, einen Konflikt beizulegen, erfordert jedoch, dass alle Kompromissbereitschaft zeigen.
{ Flucht } – Diese Strategie beinhaltet das Vermeiden oder Ignorieren des Konflikts. Dies kann sinnvoll sein, wenn der Konflikt geringfügig ist und keine sofortige Lösung erfordert. Es kann jedoch problematisch sein, wenn wichtige Angelegenheiten nicht angegangen werden.
{ Kampf } – Dabei versucht eine Person, ihre eigenen Interessen und Ziele durchzusetzen, ohne Rücksicht auf die Bedürfnisse oder Standpunkte anderer. Diese Strategie kann in Situationen angewendet werden, in denen schnelle Entscheidungen oder klare Führung erforderlich sind, kann jedoch zu Konflikten führen, wenn sie übermäßig eingesetzt wird.
{ Nachgeben } – Diese Strategie beinhaltet das Zurückweichen von eigenen Positionen zugunsten der Interessen und Bedürfnisse anderer. Sie kann nützlich sein, um Konflikte zu deeskalieren und Beziehungen zu erhalten, ist jedoch nicht immer die beste Wahl, wenn die eigenen Ziele wichtig sind.
{ Verhandeln } – Bei dieser Strategie arbeiten die Konfliktparteien zusammen, um eine für alle akzeptable Lösung zu finden. Diese Strategie kann in komplexen Konflikten besonders effektiv sein, erfordert jedoch Zeit, Geduld und die Fähigkeit zur Kommunikation und Zusammenarbeit.
&lt;/quiz&gt;

== Berkel-Konfliktanalyse ==

Die '''Berkel-Konfliktanalyse''' ist ein Modell zur systematischen Untersuchung von Konflikten. Ziel ist es, Konflikte strukturiert zu verstehen, um geeignete Lösungen zu entwickeln.

&lt;big&gt;'''Analyse-Schritte'''&lt;/big&gt;

# '''Streitpunkte:''' Worum geht es konkret im Konflikt?
# '''Parteien:''' Wer ist beteiligt oder betroffen?
# '''Konfliktform:''' Wie zeigt sich der Konflikt (offen, verdeckt, sachlich, emotional)?
# '''Verlauf:''' Wie ist der Konflikt entstanden und wie hat er sich entwickelt?
# '''Ergebnis/Folgen:''' Welche Auswirkungen hat der Konflikt bisher?
# '''Interessen/Bedürfnisse:''' Welche Ziele und Motive haben die Beteiligten?
# '''Lösungsmöglichkeiten:''' Welche Lösungen sind für alle Parteien tragbar?

&lt;big&gt;'''Bedeutung'''&lt;/big&gt;

Konflikte können sowohl destruktiv als auch konstruktiv wirken. Eine strukturierte Analyse hilft, Missverständnisse zu klären und nachhaltige Lösungen zu finden.

== [[:w:Phasenmodell der Eskalation|Neun Eskalationsstufen nach Glasl]] ==

[[Datei:Konflikteskalation_nach_Glasl.svg|thumb|mini|[[:w:Deeskalation|Neun Eskalationsstufen]]]]

{| class=&quot;wikitable&quot;
! Stufe
! Bezeichnung
! Kurzbeschreibung
|-
| 1
| Verhärtung
| Erste Spannungen entstehen; die Standpunkte verhärten sich.
|-
| 2
| Debatte / Polemik
| Die Diskussion wird schärfer; jede Seite will recht behalten.
|-
| 3
| Taten statt Worte
| Man redet weniger miteinander und handelt zunehmend gegeneinander.
|-
| 4
| Images / Koalitionen
| Die Gegenseite wird schlechtgemacht; Verbündete werden gesucht.
|-
| 5
| Gesichtsverlust
| Es kommt zu persönlichen Angriffen und öffentlicher Demütigung.
|-
| 6
| Drohstrategien
| Druck, Ultimaten und Machtmittel werden eingesetzt.
|-
| 7
| Begrenzte Vernichtungsschläge
| Die Gegenseite soll gezielt geschädigt werden.
|-
| 8
| Zersplitterung
| Die gegnerische Seite soll systematisch zerstört werden.
|-
| 9
| Gemeinsam in den Abgrund
| Man nimmt sogar den eigenen Schaden in Kauf, nur um der Gegenseite zu schaden.
|}

'''Merksatz:''' Je höher die Stufe, desto schwieriger ist eine Lösung ohne Hilfe von aussen.

== Zusammenhang zwischen Konflikt und Mobbing ==

=== Definitionen ===
* '''Konflikt''': Aufeinandertreffen unterschiedlicher Meinungen, Interessen oder Bedürfnisse zwischen mindestens zwei gleichwertigen Parteien.
* '''Mobbing''': Systematische, wiederholte Angriffe auf eine Person über längere Zeit bei einem Machtungleichgewicht.

=== Unterschiede ===
{| class=&quot;wikitable&quot;
! Merkmal
! Konflikt
! Mobbing
|-
| Beziehung der Beteiligten
| eher gleichwertig
| ungleich (Opfer unterlegen)
|-
| Dauer
| oft kurzfristig
| langfristig, wiederholt
|-
| Ziel
| Lösung eines Problems
| Schädigung einer Person
|-
| Dynamik
| offen, direkt
| verdeckt oder gezielt ausgrenzend
|}

=== Zusammenhang ===
* Mobbing kann aus einem ungelösten Konflikt entstehen.
* Nicht jeder Konflikt führt zu Mobbing.
* Entscheidend ist die Eskalation und das Machtungleichgewicht.

=== Eskalation nach Glasl ===
* Konflikte entwickeln sich in Stufen (siehe Modell von Friedrich Glasl).
* Ab höheren Eskalationsstufen steht nicht mehr die Sache, sondern die Person im Mittelpunkt.
* In diesen Phasen kann Mobbing entstehen.

=== Merksatz ===
: ''Jedes Mobbing beginnt oft mit einem Konflikt – aber nicht jeder Konflikt wird zu Mobbing.''

= Quellen =
&lt;references/&gt;</text>
      <sha1>9dyrs6vbj24gd453j8zni4s2tg2l1v5</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>1115971</id>
      <parentid>1115970</parentid>
      <timestamp>2026-10-13T11:17:48Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Paul Sutermeister</username>
        <id>37610</id>
      </contributor>
      <comment>/* Konflikte werden gelöst */</comment>
      <origin>1115971</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="7082" sha1="5mmwooawy06l27qwrvcx32w4vwhra2p" xml:space="preserve">= Konflikte werden gelöst =

&lt;quiz display=&quot;simple&quot;&gt;
{ Ergänze folgende Wörter: '''Chancen''', '''herauszufinden''', '''mangelnder''', '''Meinungsverschiedenheiten''', '''produktiver''', '''scheinbaren''', '''überrascht''', '''Unklarheiten''', '''Ziele'''. 
| type=&quot;{}&quot; }
Im Berufs- und Privatleben können { Meinungsverschiedenheiten } und Emotionen auftreten. Vorbereitung ist hilfreich, um nicht { überrascht } zu werden. Wenn Emotionen hochkochen, können Sie tief durchatmen oder versuchen { herauszufinden }, warum. Missverständnisse führen manchmal zu { scheinbaren } Konflikten, oft aufgrund kultureller Unterschiede oder { mangelnder } Information. Konflikte können auch entstehen, wenn Interessen, { Ziele } oder Werte unterschiedlich sind. Sie können anstrengend sein, aber auch { Chancen } für Fortschritt bieten. Zum Beispiel können { Unklarheiten } in einem neuen Team zu Konflikten führen. Investieren Sie Zeit in die Lösung solcher Konflikte, um das Team { produktiver } zu machen.
&lt;/quiz&gt;

&lt;quiz display=&quot;simple&quot;&gt;
{ Ordne zu:&lt;ref&gt;[[:w:Gerhard Schwarz (Philosoph)|Gerhard Schwarz]]: ''Konfliktmanagement. Konflikte erkennen, analysieren, lösen.'' Wiesbaden: Gabler, 2010.&lt;/ref&gt;
| typ=&quot;[]&quot; }
| Flucht | Kampf | Nachgeben | Delegieren | Verhandeln | Einigung
----+- Kompromiss
-+---- Sieger-Verlierer
-----+ Konsens
--+--- Unterwerfung
+----- Vermeidung
---+-- Schlichtung/Vermittlung
&lt;/quiz&gt;

&lt;quiz display=&quot;simple&quot;&gt;
{ Wie werden Konflikte gelöst?
| type=&quot;{}&quot; }
Die Wahl der besten Konfliktlösungsstrategie hängt von der jeweiligen Situation, den beteiligten Personen und den Zielen ab. Im Berufsalltag ist es oft ratsam, verschiedene Strategien anzuwenden, je nachdem, wie der Konflikt sich entwickelt. Eine effektive Konfliktlösung erfordert oft die Fähigkeit zur Anpassung und die Bereitschaft, je nach den Umständen zwischen den verschiedenen Strategien zu wechseln, um die besten Ergebnisse zu erzielen:
{ Delegieren } – In einigen Fällen kann es sinnvoll sein, die Verantwortung für die Konfliktlösung an eine höhere Instanz oder an spezialisierte Personen oder Gremien zu übertragen, insbesondere wenn der Konflikt komplex ist und Fachwissen erfordert.
{ Einigung } – Die Strategie beinhaltet das Finden eines Kompromisses, bei dem alle Parteien etwas nachgeben, um zu einer akzeptablen Lösung zu gelangen. Dies kann eine schnelle Möglichkeit sein, einen Konflikt beizulegen, erfordert jedoch, dass alle Kompromissbereitschaft zeigen.
{ Flucht } – Diese Strategie beinhaltet das Vermeiden oder Ignorieren des Konflikts. Dies kann sinnvoll sein, wenn der Konflikt geringfügig ist und keine sofortige Lösung erfordert. Es kann jedoch problematisch sein, wenn wichtige Angelegenheiten nicht angegangen werden.
{ Kampf } – Dabei versucht eine Person, ihre eigenen Interessen und Ziele durchzusetzen, ohne Rücksicht auf die Bedürfnisse oder Standpunkte anderer. Diese Strategie kann in Situationen angewendet werden, in denen schnelle Entscheidungen oder klare Führung erforderlich sind, kann jedoch zu Konflikten führen, wenn sie übermäßig eingesetzt wird.
{ Nachgeben } – Diese Strategie beinhaltet das Zurückweichen von eigenen Positionen zugunsten der Interessen und Bedürfnisse anderer. Sie kann nützlich sein, um Konflikte zu deeskalieren und Beziehungen zu erhalten, ist jedoch nicht immer die beste Wahl, wenn die eigenen Ziele wichtig sind.
{ Verhandeln } – Bei dieser Strategie arbeiten die Konfliktparteien zusammen, um eine für alle akzeptable Lösung zu finden. Diese Strategie kann in komplexen Konflikten besonders effektiv sein, erfordert jedoch Zeit, Geduld und die Fähigkeit zur Kommunikation und Zusammenarbeit.
&lt;/quiz&gt;

== Berkel-Konfliktanalyse ==

Die '''Berkel-Konfliktanalyse''' ist ein Modell zur systematischen Untersuchung von Konflikten. Ziel ist es, Konflikte strukturiert zu verstehen, um geeignete Lösungen zu entwickeln.

&lt;big&gt;'''Analyse-Schritte'''&lt;/big&gt;

# '''Streitpunkte:''' Worum geht es konkret im Konflikt?
# '''Parteien:''' Wer ist beteiligt oder betroffen?
# '''Konfliktform:''' Wie zeigt sich der Konflikt (offen, verdeckt, sachlich, emotional)?
# '''Verlauf:''' Wie ist der Konflikt entstanden und wie hat er sich entwickelt?
# '''Ergebnis/Folgen:''' Welche Auswirkungen hat der Konflikt bisher?
# '''Interessen/Bedürfnisse:''' Welche Ziele und Motive haben die Beteiligten?
# '''Lösungsmöglichkeiten:''' Welche Lösungen sind für alle Parteien tragbar?

&lt;big&gt;'''Bedeutung'''&lt;/big&gt;

Konflikte können sowohl destruktiv als auch konstruktiv wirken. Eine strukturierte Analyse hilft, Missverständnisse zu klären und nachhaltige Lösungen zu finden.

== [[:w:Phasenmodell der Eskalation|Neun Eskalationsstufen nach Glasl]] ==

[[Datei:Konflikteskalation_nach_Glasl.svg|thumb|mini|[[:w:Deeskalation|Neun Eskalationsstufen]]]]

{| class=&quot;wikitable&quot;
! Stufe
! Bezeichnung
! Kurzbeschreibung
|-
| 1
| Verhärtung
| Erste Spannungen entstehen; die Standpunkte verhärten sich.
|-
| 2
| Debatte / Polemik
| Die Diskussion wird schärfer; jede Seite will recht behalten.
|-
| 3
| Taten statt Worte
| Man redet weniger miteinander und handelt zunehmend gegeneinander.
|-
| 4
| Images / Koalitionen
| Die Gegenseite wird schlechtgemacht; Verbündete werden gesucht.
|-
| 5
| Gesichtsverlust
| Es kommt zu persönlichen Angriffen und öffentlicher Demütigung.
|-
| 6
| Drohstrategien
| Druck, Ultimaten und Machtmittel werden eingesetzt.
|-
| 7
| Begrenzte Vernichtungsschläge
| Die Gegenseite soll gezielt geschädigt werden.
|-
| 8
| Zersplitterung
| Die gegnerische Seite soll systematisch zerstört werden.
|-
| 9
| Gemeinsam in den Abgrund
| Man nimmt sogar den eigenen Schaden in Kauf, nur um der Gegenseite zu schaden.
|}

'''Merksatz:''' Je höher die Stufe, desto schwieriger ist eine Lösung ohne Hilfe von aussen.

== Zusammenhang zwischen Konflikt und Mobbing ==

=== Definitionen ===
* '''Konflikt''': Aufeinandertreffen unterschiedlicher Meinungen, Interessen oder Bedürfnisse zwischen mindestens zwei gleichwertigen Parteien.
* '''Mobbing''': Systematische, wiederholte Angriffe auf eine Person über längere Zeit bei einem Machtungleichgewicht.

=== Unterschiede ===
{| class=&quot;wikitable&quot;
! Merkmal
! Konflikt
! Mobbing
|-
| Beziehung der Beteiligten
| eher gleichwertig
| ungleich (Opfer unterlegen)
|-
| Dauer
| oft kurzfristig
| langfristig, wiederholt
|-
| Ziel
| Lösung eines Problems
| Schädigung einer Person
|-
| Dynamik
| offen, direkt
| verdeckt oder gezielt ausgrenzend
|}

=== Zusammenhang ===
* Mobbing kann aus einem ungelösten Konflikt entstehen.
* Nicht jeder Konflikt führt zu Mobbing.
* Entscheidend ist die Eskalation und das Machtungleichgewicht.

=== Eskalation nach Glasl ===
* Konflikte entwickeln sich in Stufen (siehe Modell von Friedrich Glasl).
* Ab höheren Eskalationsstufen steht nicht mehr die Sache, sondern die Person im Mittelpunkt.
* In diesen Phasen kann Mobbing entstehen.

=== Merksatz ===
: ''Jedes Mobbing beginnt oft mit einem Konflikt – aber nicht jeder Konflikt wird zu Mobbing.''

= Quellen =
&lt;references/&gt;</text>
      <sha1>5mmwooawy06l27qwrvcx32w4vwhra2p</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2026-2027)/Teil I/Informationsaufzählung</title>
    <ns>106</ns>
    <id>170546</id>
    <revision>
      <id>1115968</id>
      <parentid>1080162</parentid>
      <timestamp>2026-10-13T10:49:06Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <origin>1115968</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="527" sha1="frx6sel59k8a7uns59j9dhewac231gs" xml:space="preserve">*[[Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2026-2027)/Teil I/Information/Inhalt|Information zum Inhalt]]

*[[Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2026-2027)/Teil I/Information/Ort und Zeit|Ort und Zeit]]

*[[Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2026-2027)/Teil I/Information/Übungsbetrieb|Information zum Ablauf]]

*[[Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2026-2027)/Teil I/Information/Klausur|Information zur Klausur]] &lt;noinclude&gt;[[Kategorie:Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2026-2027)/Teil I/Hilfsstruktur]]&lt;/noinclude&gt;</text>
      <sha1>frx6sel59k8a7uns59j9dhewac231gs</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2026-2027)/Teil I/Information/Übungsbetrieb</title>
    <ns>106</ns>
    <id>170549</id>
    <revision>
      <id>1115937</id>
      <parentid>1115627</parentid>
      <timestamp>2026-10-13T07:11:31Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <origin>1115937</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="12486" sha1="9kcf3xs1dh8thd5h2hmjz9bn9wztu0x" xml:space="preserve">{{Zwischenüberschrift|Liebe Freunde der Mathematik}}

Herzlich willkommen zur Vorlesung {{Anführung|Grundkurs Mathematik I}} im Wintersemester 2026/2027. Dieses Blatt enthält die wesentlichen Informationen zu Ablauf, Aufgaben, Übungsbetrieb und Klausur der Veranstaltung. Fragen Sie bitte nach, wenn etwas unklar ist.

{{Zwischenüberschrift|Allgemeines}}

Die Veranstaltung {{Anführung|Grundkurs Mathematik I und II}} ist eine Pflichtveranstaltung im BEU-Mathematikstudium, die Sie erfolgreich abschließen müssen. Die Mathematik an einer Universität unterscheidet sich in mancherlei Hinsicht von der Schulmathematik; insbesondere erfordert die erfolgreiche Durchdringung des Stoffes nicht nur mathematische Begabung, sondern auch Ausdauer, Organisationsgeschick, Motivation, Fleiß und Frustrationstoleranz, und das von Anfang an.

Der Besuch der Veranstaltungen ist formal gesehen frei und unterliegt keiner Kontrolle. Allerdings muss man auch deutlich sagen, dass der konsequente Besuch der Veranstaltung mit Nachdruck empfohlen wird.

Die Veranstaltung sollte man als Ganzes betrachten mit allem, was dazu gehört: Vorlesung, Vor- und Nachbereitung der Vorlesung, Übungen und Tutorien mit aktiver Mitarbeit, intensive Bearbeitung der Aufgaben in Einzel- und Gruppenarbeit (Lektüre, Ideensammlung, Diskussion, Ansätze, Versuche, Optimierung, Reinschrift, Abgabe, Lektüre der Korrekturen, Fehlereinsicht), Studieren des Skripts, Netzseite, Literatur, Testklausuren, intensive Stoffwiederholung in der vorlesungsfreien Zeit, Klausur, mündliche Prüfung. Die Einzelteile ergeben für sich genommen wenig Sinn und nur durch eine intensive Beschäftigung mit dem Gesamtangebot kann das Verständnis der Inhalte gelingen, das Voraussetzung für den Studienerfolg ist.

{{Zwischenüberschrift|Vorlesung}}

In der Vorlesung wird der neue Stoff vorgestellt. Wir haben drei Vorlesungstermine angesetzt, sodass wir genügend Platz und Zeit für aktive Mitarbeit haben. Dies werde ich auch einfordern. Mathematik ist ein sehr systematisch aufgebautes Fach, bei dem man sehr schnell {{Anführung|draußen}} sein kann. Umso wichtiger ist es, dass Sie die Vorlesungen regelmäßig nachbereiten. Es gibt ein Skript, das den Inhalt der Vorlesung abdeckt (alle Materialien sind unter [[Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2026-2027)/Teil I]] erhältlich und stehen unter der CC-by-sa-4.0-Lizenz). Dies ermöglicht Ihnen auch, sich die kommenden Vorlesungen schon im Voraus anzusehen, was dringend empfohlen wird. Der Gebrauch von Mobiltelefonen ist während der Vorlesung und bei allen angeschlossenen Veranstaltungen verboten.


{{Zwischenüberschrift|Arbeitsblätter}}

Zu jeder Vorlesung gibt es ein Arbeitsblatt. Es besteht jeweils aus mehreren Übungen bzw. Aufgaben, die das Verständnis des Vorlesungsinhaltes vertiefen sollen. Es unterteilt sich in {{Anführung|Übungsaufgaben}} (die tendenziell einfacher sind) und {{Anführung|Aufgaben zum Abgeben|SZ=.}} Ich empfehle, den Stoff der Vorlesung anhand der Arbeitsblätter sofort und kontinuierlich nachzuarbeiten.

Die Blätter sind verhältnismäßig umfangreich; der Umfang orientiert sich daran, in welchem Maße Sie sich (im Laufe des Kurses einschließlich der Vorbereitungszeit für die Klausur und die mündliche Prüfung) mit dem Stoff auseinandersetzen müssen, um ein sehr gutes Verständnis zu erzielen. Es wird nicht erwartet, dass Sie die Blätter vollständig in der Ausgabewoche bearbeiten. Bei der Gestaltung der Arbeitsblätter versuche ich grundsätzlich, ein umfangreiches Arbeitsangebot zur Verfügung zu stellen, das unterschiedliche Schwierigkeitsgrade abdeckt. Sie sollten sich dabei auf das für Sie Anspruchsvolle konzentrieren. Dass durch die Übungsaufgaben auch teilweise die Teilnahmeberechtigung an der Klausur erworben wird 
{{
Zusatz/Klammer
|text=siehe unten|
|ISZ=|ESZ=,
}}
ist wichtig, aber ein Nebenaspekt.

{{Zwischenüberschrift|Übungen und Tutorien}}

Die Übungen werden von Doktoranden eigenverantwortlich betreut. Es gibt zwei Arten von Übungen. Die Freitagsübung bildet die Brücke zwischen den Vorlesungen und den Aufgaben der Woche. Sie können Fragen zu den Vorlesungen der Woche stellen, es werden Übungsaufgaben besprochen, Präsenzaufgaben bearbeitet, Tipps zu den abzugebenden Aufgaben gegeben.

Im Tutorium (Dienstag), die von studentischen Tutoren betreut werden, die auch Ihre Aufgaben korrigieren, werden Sie beim Lösen der abzugebenden Aufgaben der Vorwoche unterstützt. Der Besuch der Tutorien ist nur dann sinnvoll, wenn Sie schon mitten im Bearbeiten sind, aber hier und da eine Rückmeldung, eine Bestätigung, einen Tipp brauchen könnten. Die Tutorien laufen ohne Programm im offenen Betrieb ab, typischerweise in Gruppenarbeit.

In der Vorrechenübung am Donnerstag werden die korrigierten Aufgaben zurückgegeben und typische Fehler besprochen. Zu einer Auswahl der Aufgaben stellen Sie Ihre Lösungen vor 
{{
Zusatz/Klammer
|text=siehe unten|
|ISZ=|ESZ=.
}}
In allen Teilen ist die aktive Mitarbeit der Studierenden wichtig und wird erwartet. Ein Besuch einer Übungsgruppe ohne adäquate Vorbereitung ist wenig sinnvoll. 

{{Zwischenüberschrift|Abgabegruppen}}

Die Aufgaben werden in festen Abgabegruppen bearbeitet. Die Abgabegruppen bestehen jeweils aus vier Personen. Bei der Zusammensetzung der Abgabegruppen empfiehlt es sich, ein ähnliches Niveau und kompatibles Engagement anzustreben, aber Sympathie, passende Zeiten spielen auch eine Rolle. Klären Sie miteinander, wie Sie in der Gruppe vorgehen wollen. Diese Abgabegruppen werden auf StudIP gebildet, indem sich die vier Leute unter einem Gruppenkürzel (z.B. X) eintragen. Dazu geht man auf die Veranstaltung in StudIP, dann TeilnehmerInnen, dann Funktionen/Gruppen.

Auf dem abzugebenden Übungsblatt wird nur dieses Kürzel draufgeschrieben, nicht die einzelnen Namen. Ein Wechsel der Abgabegruppe ist nur in Rücksprache mit dem Dozenten möglich, und wenn in der aufnehmenden Gruppe ein Platz frei geworden ist. Melden Sie sich bitte ab, wenn Sie eine Gruppe verlassen möchten.

Die pro Woche abzugebenden Übungen sollen getackert sein und auf dem Deckblatt, das gestellt wird, die folgenden Informationen enthalten:

Abgabegruppe: X

In einer Tabelle sollen die Aufgaben, die nicht bearbeitet wurden, durchgestrichen werden.

Dann folgen die Lösungen zu den Aufgaben.

Die Aufgaben sind handschriftlich abzugeben. Bitte keine Kopien oder doppelten Lösungen einreichen.

Der gemeinsame Abgabetermin für die beiden Arbeitsblätter einer Vorlesungswoche ist der nächste Donnerstag um 10:00 im Eingangsbereich des Gebäudes 69. Sie werfen die arbeitsgruppenweise erstellten Lösungen (gebündelt mit Deckblatt) in eines der für die Vorlesung bereitgestellten Fächer.

{{Zwischenüberschrift|Korrekturen}}

Die Tutoren korrigieren die Aufgaben, und Sie erhalten die korrigierten Aufgaben in der Vorrechenübung der nächst folgenden Woche zurück.
Wenn Sie eine Korrektur überhaupt nicht nachvollziehen können, wenden Sie sich bitte an den Korrekteur (=Tutor).

Bei den Korrekturen sind einige Besonderheiten zu beachten. Pro Woche können maximal 15 Punkte gut geschrieben werden
{{
Zusatz/Klammer
|text={{anführung|Deckelregel}}|
|ESZ=.
}}
Bei jeder (Teil-)Aufgabe gilt die {{Anführung|Sockelregel|SZ=,}} die besagt, dass eine Aufgabe
{{
Zusatz/Klammer
|text=bzw. ein Aufgabenteil|
|ISZ=|ESZ=
}}
nur dann in die Wertung eingeht, wenn sie zumindest zur Hälfte richtig bearbeitet ist. Es muss also ein {{Anführung|substantieller Beitrag|}} zur Lösung der Aufgabe erkennbar sein. Damit soll verhindert werden, dass in der Hoffnung auf Punkte rudimentäre Beiträge abgegeben werden. Diese Sockelregel gilt auch in der Klausur. Für Rechenfehler{{Zusatz/Fußnote|text={{:Rechenfehler/Bemerkung|opt=Text}} }} wird grundsätzlich ein Punkt abgezogen.

Es werden keine Musterlösungen ausgeteilt. Für einzelne Übungsaufgaben (zumeist frühere Klausuraufgaben), die mit einem Stern gekennzeichnet sind, gibt es Lösungen im Netz. Grundsätzlich ist zu beachten, dass es zu einer Aufgabe viele Lösungsmöglichkeiten gibt. 

{{Zwischenüberschrift|Testklausur}}

Es werden drei Testklausuren unter den Rahmenbedingungen einer echten Klausur geschrieben (6. November 2026, 11. Dezember und 29. Januar 2027, jeweils in der Freitagsvorlesung um 10:00). Die dabei erreichten Punktezahlen gehen fünffach in die Gesamtpunktzahl ein.

{{Zwischenüberschrift|Klausurberechtigung}}

Die Klausurberechtigung erhalten Sie aus einer Mischung von den wöchentlichen Abgaben zu den Übungsaufgaben und Testklausuren (Gruß an die KI)

a) In den drei Testklausuren müssen Sie zusammen {{math|term= 16 |SZ=}}  Punkte erhalten (das bedeutet, eine Klausur zu bestehen, oder zwei Klausuren zur Hälfte bestehen oder drei Klausuren je zu einem Drittel zu bestehen). Wenn Sie 16 Punkte erreicht haben, müssen Sie nicht zu den folgenden Klausuren kommen (dürfen aber).

b) Sie müssen insgesamt, durch Übungen und Testklausuren, {{math|term= 200 |SZ=}} Punkte erreichen. Dabei gehen die in den Testklausuren erzielten Punkte mit dem Faktor {{math|term= 5 |SZ=}} ein
{{
Zusatz/Klammer
|text=wegen Teil a) haben Sie also durch die Testklausuren schon mal {{mathl|term= 80 |SZ=}} Punkte|
|ISZ=|ESZ=.
}}
Also beispielsweise: Erste Testklausur  {{math|term= 16 |SZ=}}  Punkte und in  {{math|term= 12 |SZ=}} Wochen je {{math|term= 10 |SZ=}} Punkte durch die Abgaben ergibt {{mathl|term= 5 \cdot 16 + 12 \cdot 10 =200 |SZ=.}} Oder: Erste Testklausur {{math|term= 40 |SZ=}} Punkte
{{
Zusatz/Klammer
|text=der Maximalwert ist {{math|term= 64 |SZ=}} Punkte, ab {{math|term= 32 |SZ=}} gibt es eine {{math|term= 1 |SZ=}} |
|ISZ=|ESZ=,
}}
keine Übungsabgabe, das reicht. Zum erfolgreichen Absolvierung des Abgabeteils gehört auch das Vorrechnen in der Vorrechenübung. Jede Abgabegruppe muss im Semester zwei Lösungen vorstellen.

Wenn Sie in einem früheren Semester den Übungsbetrieb zu dieser Veranstaltung besucht und dadurch die Klausurberechtigung erworben haben, so wird diese Berechtigung akzeptiert.

{{Zwischenüberschrift|Klausur}}

Achtung: Zu den Klausuren 
{{
Zusatz/Klammer
|text=nicht zu den Testklausuren|
|ISZ=|ESZ=
}} müssen Sie sich drei Wochen im Voraus bei Hsinone anmelden. Hsinone ist das Prüfungsanmelde- und Verbuchungssystem der Universität Osnabrück. Eine nachträgliche Anmeldung ist nicht möglich (die Anmeldung ist gegenstandslos, wenn Sie die Berechtigung nicht erwerben). (Hsinone ist Hsinone und hat nichts mit dem Dozenten zu tun. Bei Problemen wenden Sie sich an das Prüfungsamt.)

{{Zwischenüberschrift|Mündliche Prüfung}}

Bei der mündlichen Modulabschlussprüfung zum Grundkurs Mathematik müssen Sie beweisen, dass Sie den Stoff weitgehend verstanden haben und wiedergeben können.

Die Prüfung dauert eine halbe Stunde, Prüfer ist der Dozent, sie findet in 69/232 statt, es gibt einen Beisitzer für das Protokoll. Die Prüfung läuft so ab, dass Sie die gestellten Fragen mündlich (und mitschreibend) beantworten.

Sie haben die Möglichkeit, die Prüfung mit einem freien mündlichen Kurzreferat
{{
Zusatz/Klammer
|text=also ohne Dokumente|
|ISZ=|ESZ=
}}
über ein Thema
{{
Zusatz/Klammer
|text=ca. 5 Minuten|
|ISZ=|ESZ=
}}
zu eröffnen, das für die Vorlesung durchgehend wichtig ist. Bei abseitigeren Themen lieber vorher nachfragen.

Anmeldung:

Es gibt zwei Schritte:

1) Sie müssen sich bei Opium für die Prüfung anmelden, und zwar im Zeitraum Ende der Vorlesungszeit des Semesters plus/minus 1 Woche (also irgendwann im Juli 2027 für den regulären Termin). Dies machen Sie unabhängig davon, ob Sie die Zulassung schon haben (und auch gar nicht haben können)! Eine nachträgliche Anmeldung ist nicht möglich.

2) Wenn Sie dann die Zulassung haben, machen Sie mit dem Dozenten (in der Sprechstunde oder per e-mail{{
Zusatz/Fußnote
|text=Verwenden Sie für die uniinterne Kommunikation ausschließlich Ihre Uni-Adresse|
|ISZ=!|ESZ=
}})
einen Prüfungstermin aus. Zum Ablauf der mündlichen Prüfung wird es eine Infoveranstaltung geben, wo Sie dann auch gleich einen Termin machen können.

Die Prüfung kann maximal zweimal wiederholt werden. Die Anmeldung zur nächsten Runde ist im Februar 2024. Bei bestandener Prüfung können Sie einmalig eine Verbesserungsprüfung in der nächsten Prüfungsrunde ablegen.


{{Fußnotenliste}}

&lt;noinclude&gt;[[Kategorie:Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2026-2027)/Teil I/Information]]&lt;/noinclude&gt;</text>
      <sha1>9kcf3xs1dh8thd5h2hmjz9bn9wztu0x</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2026-2027)/Teil I/Vorlesung/Fuß</title>
    <ns>106</ns>
    <id>170567</id>
    <revision>
      <id>1115964</id>
      <parentid>1115808</parentid>
      <timestamp>2026-10-13T10:33:21Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <origin>1115964</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="1076" sha1="5afabuzafx3uni98hscyzaiibsktfwf" xml:space="preserve">&lt;br clear=&quot;all&quot;/&gt;

{| class=&quot;prettytable center kursnavigation&quot; style=&quot;margin-top:0;&quot;

|- style=&quot;text-align:center;&quot;

! style=&quot;text-align:center;background-color:lightgray;&quot; |{{#ifeq: {{#expr: {{{1|0}}} &gt; 1}} | 1 | [[Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2026-2027)/Teil I/Vorlesung {{#expr:{{{1|}}}-1}}{{!}}&lt;&lt;]] {{!}} |   }} [[Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2026-2027)/Teil I]] {{#ifeq: {{{2|}}} | last |   | {{!}} [[Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2026-2027)/Teil I/Vorlesung {{#expr:{{{1|}}}+1}}|&gt;&gt;]]}}&lt;br/&gt; [[media:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2026-2027) Teil I Vorlesung{{{1|}}}.pdf|PDF-Version dieser Vorlesung]]&lt;br/&gt; [[Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2026-2027)/Teil I/Arbeitsblatt {{{1|}}}{{!}}Arbeitsblatt zur Vorlesung]] ([[media:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2026-2027)/Teil IArbeitsblatt{{{1|}}}.pdf|PDF]])

|}

&lt;includeonly&gt;[[Kategorie:Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2026-2027)/Teil I/Vorlesungen|Vorlesung]]&lt;/includeonly&gt;

&lt;noinclude&gt;[[Kategorie:Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2026-2027)/Teil I/Hilfsstruktur]]&lt;/noinclude&gt;</text>
      <sha1>5afabuzafx3uni98hscyzaiibsktfwf</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>1115966</id>
      <parentid>1115964</parentid>
      <timestamp>2026-10-13T10:39:57Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <origin>1115966</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="1077" sha1="frc4clxfcptvvolmx8fq1sqp7d4tpz2" xml:space="preserve">&lt;br clear=&quot;all&quot;/&gt;

{| class=&quot;prettytable center kursnavigation&quot; style=&quot;margin-top:0;&quot;

|- style=&quot;text-align:center;&quot;

! style=&quot;text-align:center;background-color:lightgray;&quot; |{{#ifeq: {{#expr: {{{1|0}}} &gt; 1}} | 1 | [[Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2026-2027)/Teil I/Vorlesung {{#expr:{{{1|}}}-1}}{{!}}&lt;&lt;]] {{!}} |   }} [[Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2026-2027)/Teil I]] {{#ifeq: {{{2|}}} | last |   | {{!}} [[Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2026-2027)/Teil I/Vorlesung {{#expr:{{{1|}}}+1}}|&gt;&gt;]]}}&lt;br/&gt; [[media:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2026-2027) Teil I Vorlesung{{{1|}}}.pdf|PDF-Version dieser Vorlesung]]&lt;br/&gt; [[Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2026-2027)/Teil I/Arbeitsblatt {{{1|}}}{{!}}Arbeitsblatt zur Vorlesung]] ([[media:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2026-2027)/Teil I Arbeitsblatt{{{1|}}}.pdf|PDF]])

|}

&lt;includeonly&gt;[[Kategorie:Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2026-2027)/Teil I/Vorlesungen|Vorlesung]]&lt;/includeonly&gt;

&lt;noinclude&gt;[[Kategorie:Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2026-2027)/Teil I/Hilfsstruktur]]&lt;/noinclude&gt;</text>
      <sha1>frc4clxfcptvvolmx8fq1sqp7d4tpz2</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>1115967</id>
      <parentid>1115966</parentid>
      <timestamp>2026-10-13T10:43:05Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <origin>1115967</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="1077" sha1="j0w3aflj2hnyx3ihqtzcx7da190evnw" xml:space="preserve">&lt;br clear=&quot;all&quot;/&gt;

{| class=&quot;prettytable center kursnavigation&quot; style=&quot;margin-top:0;&quot;

|- style=&quot;text-align:center;&quot;

! style=&quot;text-align:center;background-color:lightgray;&quot; |{{#ifeq: {{#expr: {{{1|0}}} &gt; 1}} | 1 | [[Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2026-2027)/Teil I/Vorlesung {{#expr:{{{1|}}}-1}}{{!}}&lt;&lt;]] {{!}} |   }} [[Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2026-2027)/Teil I]] {{#ifeq: {{{2|}}} | last |   | {{!}} [[Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2026-2027)/Teil I/Vorlesung {{#expr:{{{1|}}}+1}}|&gt;&gt;]]}}&lt;br/&gt; [[media:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2026-2027) Teil I Vorlesung{{{1|}}}.pdf|PDF-Version dieser Vorlesung]]&lt;br/&gt; [[Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2026-2027)/Teil I/Arbeitsblatt {{{1|}}}{{!}}Arbeitsblatt zur Vorlesung]] ([[media:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2026-2027) Teil I Arbeitsblatt{{{1|}}}.pdf|PDF]])

|}

&lt;includeonly&gt;[[Kategorie:Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2026-2027)/Teil I/Vorlesungen|Vorlesung]]&lt;/includeonly&gt;

&lt;noinclude&gt;[[Kategorie:Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2026-2027)/Teil I/Hilfsstruktur]]&lt;/noinclude&gt;</text>
      <sha1>j0w3aflj2hnyx3ihqtzcx7da190evnw</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2026-2027)/Teil I/Arbeitsblatt 1</title>
    <ns>106</ns>
    <id>170599</id>
    <revision>
      <id>1115965</id>
      <parentid>1115792</parentid>
      <timestamp>2026-10-13T10:34:52Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <origin>1115965</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="2603" sha1="fus15vqsp2kwrgwhwyo8eo43shcb624" xml:space="preserve">{{Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2026-2027)/Teil I/Arbeitsblattgestaltung|1|

{{Zwischenüberschrift|Die Pausenaufgabe}}

{{
inputaufgabe
|Wochentag/In 1000 Tagen/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{Zwischenüberschrift|Übungsaufgaben}}

{{
inputaufgabe
|Binomische Formeln/1001/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Binomische Formeln/Terme/Ausrechnen/1/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Binomische Formel/Rechtecksvisualisierung/Problematik/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Binomische Formeln/Polynome und Terme/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Z(a-b)(b-a)/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Distributivgesetz/Anschauung/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Binomische Formel/Erste und dritte/Zusammenhang/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Natürliche Zahlen/Dreiersumme/Zweite Potenz/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Natürliche Zahlen/Zweiersumme/Dritte Potenz/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Natürliche Zahlen/a-b mal a^2+ab+b^2/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Binomische Formeln/Terme/Ausrechnen/2/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Polynomiale Identität/2/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{:Algorithmischer Link/Anweisung/Kurs/Bemerkung|zusatz1=Fußnote}}

{{
inputaufgabe
|Externer Algorithmus/Termumformer/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Binomische Formel/Z nach Q/Rechengesetze/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Zweite Binomische Formel/Z nach Q/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

Die Addition und die Multiplikation von {{math|term=2 \times 2|SZ=-}}Matrizen kennen Sie aus der Schule.
{{
inputaufgabe
|Matrizen/Erste binomische Formel/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Verknüpfungen/Reihenfolge/Lernen und lehren/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Binomische Formel/Zahlenbeispiel/2/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Dritte binomische Formel/Illustriere geometrisch/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

Die binomische Formeln werden als Gleichungen formuliert, die für jede Belegung der Variablen gelten. Es gibt auch Gleichungen, bei denen es darum geht, alle Belegungen zu finden, damit die Gleichung gilt. 
{{
inputaufgabe
|N/Gleichung/xy ist x/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{Zwischenüberschrift|Aufgaben zum Abgeben}}

{{
inputaufgabe
|Bhaskara/Wurzelgleichheit/Aufgabe|p|
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Dritte Binomische Formel/Z nach Q/Aufgabe|p|
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Natürliche Zahlen/Produkt/Quadrieren/2/Aufgabe|p|
|zusatz=
|tipp=
}}

{{Fußnotenliste}}

}}</text>
      <sha1>fus15vqsp2kwrgwhwyo8eo43shcb624</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2026-2027)/Teil I/Definitionsliste</title>
    <ns>106</ns>
    <id>170630</id>
    <revision>
      <id>1115843</id>
      <parentid>1080249</parentid>
      <timestamp>2026-10-12T13:38:05Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <origin>1115843</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="7271" sha1="3mca61dpp8d6mpnkqunfkphx0ae5rvq" xml:space="preserve">

{{
inputdefinitionsklappe
|Zahlentheorie/Primzahl/Definition||
}}

{{
inputdefinitionsklappe
|Quadratzahl/Definition||
}}


&lt;!--

{{
inputdefinitionsklappe
|Implikation/Kontraposition/Definition||
}}

{{
inputdefinitionsklappe
|Mengenlehre/Leere Menge/Definition||
}}

{{
inputdefinitionsklappe
|Mengentheorie/Teilmenge/Definition||
}}

{{
inputdefinitionsklappe
|Mengentheorie/Zwei Mengen/Durchschnitt/Definition||
}}

{{
inputdefinitionsklappe
|Mengentheorie/Zwei Mengen/Vereinigung/Definition||
}}

{{
inputdefinitionsklappe
|Mengentheorie/Zwei Mengen/Differenzmenge/Definition||
}}

{{
inputdefinitionsklappe
|Mengenlehre/Komplement/Definition||
}}

{{
inputdefinitionsklappe
|Mengentheorie/Disjunkt/Definition||
}}

{{
inputdefinitionsklappe
|Theorie der Abbildungen/Abbildung/Definition||
}}

{{
inputdefinitionsklappe
|Abbildung/Surjektiv/Definition||
}}

{{
inputdefinitionsklappe
|Abbildung/Injektiv/Definition||
}}

{{
inputdefinitionsklappe
|Abbildung/Bijektiv/Definition||
}}

{{
inputdefinitionsklappe
|Endliche Menge/1...n/Definition||
}}

{{
inputdefinitionsklappe
|Abbildung/Hintereinanderschaltung/Definition||
}}

{{
inputdefinitionsklappe
|Abbildung/Identität/Definition||
}}

{{
inputdefinitionsklappe
|Abbildung/Bijektiv/Umkehrabbildung/Definition||
}}

{{
inputdefinitionsklappe
|Abbildung/Konstant/Definition||
}}

{{
inputdefinitionsklappe
|Zahlentheorie/Peano-Axiome/Definition||
}}

{{
inputdefinitionsklappe
|Produktmenge/Zwei Mengen/Definition||
}}

{{
inputdefinitionsklappe
|Abbildung/Graph (Menge)/Definition||
}}

{{
inputdefinitionsklappe
|Verknüpfung/Definition||
}} 
   
{{
inputdefinitionsklappe
|Verknüpfung/Assoziativ/Definition||
}}

{{
inputdefinitionsklappe
|Verknüpfung/Kommutativ/Definition||
}}

{{
inputdefinitionsklappe
|Verknüpfung/Neutrales Element/Definition||
}}

{{
inputdefinitionsklappe
|Natürliche Zahlen/Addition mit n/Nachfolgerzählen/Definition||ref1=
}}

{{
inputdefinitionsklappe
|Natürliche Zahlen/Multiplikation/Selbstaddition/Definition||ref1=
}}

{{
inputdefinitionsklappe
|Natürliche Zahlen/Potenzierung/Selbstmultiplikation/Definition||
}}

{{
inputdefinitionsklappe
|Quadratzahl/Definition||
}}

{{
inputdefinitionsklappe
|Mengentheorie/Relation auf einer Menge/Definition||
}}

{{
inputdefinitionsklappe
|Ordnungstheorie/Ordnungsrelation/Definition||
}}

{{
inputdefinitionsklappe
|Ordnungstheorie/Lineare Ordnung/Definition||
}}

{{
inputdefinitionsklappe
|Natürliche Zahlen/Ordnungsrelation/Definition||
}}

{{
inputdefinitionsklappe
|Natürliche Zahlen/Endliche Teilmenge/Maximum/Definition||
}}

{{
inputdefinitionsklappe
|Natürliche Zahlen/Nichtleere Teilmenge/Minimum/Definition||
}}

{{
inputdefinitionsklappe
|Natürliche Zahlen/Differenz/Definition||
}}

{{
inputdefinitionsklappe
|Kommutativer Halbring/Ausführlich/Definition||
}}

{{
inputdefinitionsklappe
|Mengen/Potenzmenge/Definition||
}}

{{
inputdefinitionsklappe
|Teilbarkeitstheorie (N)/Teilen/Definition||
}}

{{
inputdefinitionsklappe
|Teilbarkeitstheorie (N)/Gemeinsamer Teiler/Definition||
}}

{{
inputdefinitionsklappe
|Teilbarkeitstheorie (N)/Gemeinsamer Teiler/Ggt/Größerbeziehung/Definition||
}}

{{
inputdefinitionsklappe
|Elementare Zahlentheorie/N/2/Teilerfremd/Definition||
}}

{{
inputdefinitionsklappe
|Teilbarkeitstheorie (N)/Gemeinsames Vielfaches/Definition||
}}

{{
inputdefinitionsklappe
|Teilbarkeitstheorie (N)/Gemeinsames Vielfaches/KgV/Größerbeziehung/Definition||
}}

{{
inputdefinitionsklappe
|Zahlentheorie/Primzahl/Definition||
}}

{{
inputdefinitionsklappe
|Primzahlzwilling/Definition||
}}

{{
inputdefinitionsklappe
|Natürliche Zahlen/Fakultät/Definition||
}}

{{
inputdefinitionsklappe
|Binomialkoeffizient/Definition||
}}

{{
inputdefinitionsklappe
|Ganze Zahlen/Negative Zahlen/Direkt/Definition||
}}

{{
inputdefinitionsklappe
|Ganze Zahlen/Nachfolger/Definition||
}}

{{
inputdefinitionsklappe
|Ganze Zahlen/Negation/Definition||
}}

{{
inputdefinitionsklappe
|Ganze Zahlen/Negative Zahlen/Direkt/Addition/Definition||
}}

{{
inputdefinitionsklappe
|Ganze Zahlen/Negative Zahlen/Direkt/Multiplikation/Definition||
}}

{{
inputdefinitionsklappe
|Ganze Zahlen/Betrag/Definition||
}}

{{
inputdefinitionsklappe
|Ringtheorie/Ring/Ausführlich/Definition||
}}

{{
inputdefinitionsklappe
|Kommutative Ringtheorie/Kommutativer Ring/Definition||
}}

{{
inputdefinitionsklappe
|Gruppentheorie/Gruppe/Direkt/Definition||v=\circ
}}

{{
inputdefinitionsklappe
|Gruppentheorie/Abelsche Gruppe/Definition||v=\circ
}}

{{
inputdefinitionsklappe
|Ganze Zahlen/Negative Zahlen/Größergleichrelation/Natürliche Addition/Definition||
}}

{{
inputdefinitionsklappe
|Kommutative Ringtheorie/Angeordneter Ring/Definition||
}}

{{
inputdefinitionsklappe
|Teilbarkeitstheorie (Z)/Teilen/Definition|
}}

{{
inputdefinitionsklappe
|Gruppentheorie/Untergruppe/Definition||
}}

{{
inputdefinitionsklappe
|Euklidischer Algorithmus/Z/Euklidische Restfolge/Definition||ref1=
}}

{{
inputdefinitionsklappe
|Kommensurabilität/Definition||
}}

{{
inputdefinitionsklappe
|Ganze Zahl/p-Exponent/Definition||
}}

{{
inputdefinitionsklappe
|Größe/Proportionalität/Definition||
}}

{{
inputdefinitionsklappe
|Rationale Zahlen/Brüche/Definition||
}}

{{
inputdefinitionsklappe
|Rationale Zahl/Gekürzte Darstellung/Definition||
}}

{{
inputdefinitionsklappe
|Stammbruch/Definition||
}}

{{
inputdefinitionsklappe
|Rationale Zahlen/Brüche/Addition/Definition||
}}

{{
inputdefinitionsklappe
|Rationale Zahlen/Brüche/Multiplikation/Definition||
}}

{{
inputdefinitionsklappe
|Körpertheorie (Algebra)/Körper/Definition||
}}

{{
inputdefinitionsklappe
|Rationale Zahlen/Elementar/Anordnung/Definition||
}}

{{
inputdefinitionsklappe
|Körpertheorie/Angeordneter Körper/Definition||a=x|b=y|c=z
}}

{{
inputdefinitionsklappe
|Angeordneter Körper/Betrag/Definition||
}}

{{
inputdefinitionsklappe
|Angeordneter Körper/Arithmetisches Mittel/Definition||
}}

{{
inputdefinitionsklappe
|Angeordneter Körper/Archimedisch/Definition||
}}

{{
inputdefinitionsklappe
|Angeordneter Körper/Verschiedene Intervalle/Definition||
}}

{{
inputdefinitionsklappe
|Rationale Zahlen/Gaußklammer/Definition||
}}

{{
inputdefinitionsklappe
|Rationale Zahl/Gemischter Bruch/Definition||
}}

{{
inputdefinitionsklappe
|Angeordneter Körper/Teilmenge/Funktion/Wachsend/Definition||
}}

{{
inputdefinitionsklappe
|Angeordneter Körper/Teilmenge/Funktion/Streng wachsend/Definition||
}}

{{
inputdefinitionsklappe
|Angeordneter Körper/Teilmenge/Funktion/Fallend/Definition||
}}

{{
inputdefinitionsklappe
|Angeordneter Körper/Teilmenge/Funktion/Streng fallend/Definition||
}}

{{
inputdefinitionsklappe
|Lineare Funktion/Körper/Definition||
}}

{{
inputdefinitionsklappe
|Dezimalbruch/Definition||
}}

{{
inputdefinitionsklappe
|Dezimalbruch/Dezimalsystem/Definition||
}}

{{
inputdefinitionsklappe
|Rationale Zahl/Prozent/Definition||
}}

{{
inputdefinitionsklappe
|Rationale Zahl/Promille/Definition||
}}

{{
inputdefinitionsklappe
|Ganzzahlige Exponentialfunktion/Definition||
}}

{{
inputdefinitionsklappe
|Menge/Folge/Definition||
}}

{{
inputdefinitionsklappe
|Angeordneter Körper/Dezimalbruchfolge/Definition||
}}


--&gt;


&lt;noinclude&gt;[[Kategorie:Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2026-2027)/Teil I/Listen]]&lt;/noinclude&gt;</text>
      <sha1>3mca61dpp8d6mpnkqunfkphx0ae5rvq</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2026-2027)/Teil I/Liste der Hauptsätze</title>
    <ns>106</ns>
    <id>170632</id>
    <revision>
      <id>1115844</id>
      <parentid>1080251</parentid>
      <timestamp>2026-10-12T13:39:17Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <origin>1115844</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="5689" sha1="enyb08cvjphf6oqfb0on82z00b7owem" xml:space="preserve">
&lt;!--

{{
inputfaktklappe
|Eurozahlen/Eindeutige Darstellung/Charakterisierung/Fakt|Satz||
}}

{{
inputfaktklappe
|Endliche Mengen/Anzahl/Wohldefiniert/Fakt|Satz||
}}

{{
inputfaktklappe
|Natürliche Zahlen/Zählen/Nachfolgerabbildung/Isomorphie/Fakt|||
}}

{{
inputfaktklappe
|Zahlentheorie/Beweisverfahren/Induktionsprinzip/Fakt|||
}}

{{
inputfaktklappe
|Natürliche Zahlen/Eindeutigkeit der Addition/Fakt|Lemma||
}}

{{
inputfaktklappe
|Natürliche Zahlen/Nachfolger/Addition und disjunkte Vereinigung/Fakt|Satz||
}}

{{
inputfaktklappe
|Natürliche Zahlen/Eindeutigkeit der Multiplikation/Rekursive Bedingung/Fakt|Lemma||
}}

{{
inputfaktklappe
|Natürliche Zahlen/Multiplikation/Selbstaddition/Produktmenge/Fakt|Satz||
}}

{{
inputfaktklappe
|Natürliche Zahlen/Potenzen/Zählen/Fakt|Lemma||
}}

{{
inputfaktklappe
|Natürliche Zahlen/Multiplikation/Selbstaddition/Integrität/Fakt|Lemma||
}}

{{
inputfaktklappe
|Natürliche Zahlen/Multiplikation/Selbstaddition/Kürzungsregel/Fakt|Lemma||
}}

{{
inputfaktklappe
|Natürliche Zahlen/Ordnungsrelation/Addition/Fakt|Lemma||
}}

{{
inputfaktklappe
|Natürliche Zahlen/Ordnungsrelation/Total/Fakt|Satz||
}}

{{
inputfaktklappe
|Natürliche Zahlen/Ordnungsrelation/Verträglichkeit/Fakt|Satz||
}}

{{
inputfaktklappe
|Natürliche Zahlen/Differenz/Mengendifferenz/Fakt|Satz||
}}

{{
inputfaktklappe
|Natürliche Zahlen/Differenz/Distributivgesetz/Fakt|Lemma||
}}

{{
inputfaktklappe
|Natürliche Zahlen/Kommutativer Halbring/Fakt|Korollar||
}}

{{
inputfaktklappe
|Kommutativer Halbring/Allgemeines Distributivgesetz/Fakt|Satz||
}}

{{
inputfaktklappe
|Kommutativer Halbring/Erste binomische Formel/Fakt|Lemma||
}}

{{
inputfaktklappe
|Zahlentheorie/Primfaktorzerlegung/Existenz/Fakt|Satz||
}}

{{
inputfaktklappe
|Primzahlen/Unendlich viele/Fakt|Satz||
}}

{{
inputfaktklappe
|Endliche Menge/Permutationen/Fakultät/Fakt|Lemma||zusatz1={{{zusatz1|}}}
}}

{{
inputfaktklappe
|Binomialkoeffizient/Teilmengenanzahl/Fakt|Satz||
}}

{{
inputfaktklappe
|Binomialkoeffizient/Summe in Pascaldreieck/Fakt|Lemma||zusatz1={{{zusatz1|}}}
}}

{{
inputfaktklappe
|Kommutativer Halbring/Binomi/Fakt|Satz||
}}

{{
inputfaktklappe
|Division mit Rest/N/Induktion/Fakt|Satz||zusatz1=
}}

{{
inputfaktklappe
|Natürliche Zahl/Eindeutige Darstellung im Zehnersystem/Fakt|Satz||
}}

{{
inputfaktklappe
|Natürliche Zahl/Zehnersystem/Größenvergleich/Fakt|Satz||
}}

{{
inputfaktklappe
|Zehnersystem/Schriftliches Addieren/Korrekt/Fakt|Satz||zusatz1={{{zusatz1|zusatz1}}}|zusatz2={{{zusatz2|zusatz2}}}|
}}

{{
inputfaktklappe
|Zehnersystem/Schriftliches Multiplizieren/Korrekt/Fakt|Satz||
}}

{{
inputfaktklappe
|Zehnersystem/Schriftliches Subtrahieren/Korrektheit/Fakt|Satz||
}}

{{
inputfaktklappe
|Gleichung/Umformungsprinzip/Fakt|Satz||
}}

{{
inputfaktklappe
|Ganze Zahlen/Kommutativer Ring/2/Fakt|Satz||
}}

{{
inputfaktklappe
|Gruppe/Eindeutige Existenz des Inversen/Fakt|Lemma||
}}

{{
inputfaktklappe
|Gruppe/Lösbarkeit von Gleichungen/Fakt|Lemma||v=\circ
}}

{{
inputfaktklappe
|Lemma von Bézout/N/Teilerfremd/Induktion/Fakt|Satz||
}}

{{
inputfaktklappe
|Division mit Rest/Z/Fakt|Satz||
}}

{{
inputfaktklappe
|Untergruppen von Z/Ein Erzeuger/Fakt|Satz||
}}

{{
inputfaktklappe
|Euklidischer Algorithmus/Z/ggT/Invarianz/Fakt|Satz|
}}

{{
inputfaktklappe
|Z/Durchschnitt von Untergruppen/KgV/Fakt|Lemma||
}}

{{
inputfaktklappe
|Teilbarkeitstheorie (Z)/Beziehungen zwischen ggT und kgV/Fakt|Lemma||
}}

{{
inputfaktklappe
|Teilbarkeitstheorie (Z)/Primzahl erfüllt Primelementeigenschaft/Fakt|Satz||
}}

{{
inputfaktklappe
|Zahlentheorie/Primfaktorzerlegung/Fakt|Satz||
}}

{{
inputfaktklappe
|Teilbarkeitstheorie (Z)/Exponentenkriterium/Fakt|Korollar||
}}

{{
inputfaktklappe
|Zahlentheorie/Primfaktorzerlegung/KgV und ggT/Fakt|Korollar||
}}

{{
inputfaktklappe
|Proportionaler Zusammenhang/Elementare Eigenschaften/Ohne Quotient/Fakt|Lemma||
}}

{{
inputfaktklappe
|Rationale Zahlen/Brüche/Direkt/Körpereigenschaften/Fakt|Satz||
}}

{{
inputfaktklappe
|Körper/Integritätsbereich/Fakt|Lemma||
}}

{{
inputfaktklappe
|Rationale Zahlen/Elementar/Angeordneter Körper/Fakt|Satz||
}}

{{
inputfaktklappe
|Angeordneter Körper/Bernoulli Ungleichung/Fakt|Lemma||
}}

{{
inputfaktklappe
|Angeordneter Körper/Archimedisch/Formulierung mit zwei Elementen/Fakt|Lemma||
}}

{{
inputfaktklappe
|Angeordneter Körper/Archimedisch/Stammbrucheigenschaft/Fakt|Lemma||
}}

{{
inputfaktklappe
|Archimedisch angeordneter Körper/x größer 1/x^n unbeschränkt/Fakt|Lemma||
}}

{{
inputfaktklappe
|Angeordneter Körper/Streng wachsend/Injektiv/Fakt|Lemma||
}}

{{
inputfaktklappe
|Angeordneter Körper/Lineare Funktion/Wachstum/Fakt|Lemma||
}}

{{
inputfaktklappe
|Angeordneter Körper/Potenzierung/Wachstumsverhalten/Fakt|Lemma||
}}

{{
inputfaktklappe
|Dezimalbrüche/Ring/Fakt|Lemma||
}}

{{
inputfaktklappe
|Rationale Zahl/Approximation durch Dezimalbrüche/Fakt|Lemma||
}}

{{
inputfaktklappe
|Ganzzahlige Exponentialfunktion/Wachstumsverhalten/Fakt|Lemma||
}}

{{
inputfaktklappe
|Ganzzahlige Exponentialfunktion/Archimedisch angeordnet/Vergleich mit Potenzen/Fakt|Satz||
}}

{{
inputfaktklappe
|Schriftliche Division/Eigenschaften/Fakt|Lemma||
}}

{{
inputfaktklappe
|Archimedisch angeordneter Körper/Dezimalbruchfolge/Approximation/Fakt|Satz||
}}

{{
inputfaktklappe
|Bruch/Divisionsalgorithmus/Dezimalbruchfolge in Q/Fakt|Lemma||
}}

{{
inputfaktklappe
|Archimedisch angeordneter Körper/Dezimalbruchfolge/Konvergenzformulierung/Fakt|Korollar||
}}

{{
inputfaktklappe
|Rationale Zahlen/Dezimalbruchfolge/Konvergenzformulierung/Fakt|Korollar||
}}

--&gt;

&lt;noinclude&gt;[[Kategorie:Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)/Teil I/Listen]]&lt;/noinclude&gt;</text>
      <sha1>enyb08cvjphf6oqfb0on82z00b7owem</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2026-2027)/Forum</title>
    <ns>106</ns>
    <id>170990</id>
    <revision>
      <id>1115902</id>
      <parentid>1080628</parentid>
      <timestamp>2026-10-12T16:59:52Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>~2026-54822-73</username>
        <id>41987</id>
      </contributor>
      <comment>Neuer Abschnitt /* WhatsApp-Gruppe */</comment>
      <origin>1115902</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="468" sha1="b801c9uqvcytdg9zhfizdl8qpvzm1vz" xml:space="preserve">{{:Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2026-2027)/Navigation}} {{Intro-Forum}} &lt;noinclude&gt;[[Kategorie:Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2026-2027)/Hilfsstruktur]]&lt;/noinclude&gt;

== WhatsApp-Gruppe ==
Hey, wir haben eben eine WhatsApp-Gruppe erstellt, hier ist ein Einladungslink: https://chat.whatsapp.com/FLGBsGHG5X82LPZRWb5GtM [[Spezial:Beiträge/~2026-54822-73|~2026-54822-73]] ([[Benutzer Diskussion:~2026-54822-73|Diskussion]]) 18:59, 12. Okt. 2026 (CEST)</text>
      <sha1>b801c9uqvcytdg9zhfizdl8qpvzm1vz</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>1115903</id>
      <parentid>1115902</parentid>
      <timestamp>2026-10-12T17:00:04Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>NDG</username>
        <id>40315</id>
      </contributor>
      <minor />
      <comment>Reverted edits by [[Special:Contribs/~2026-54822-73|~2026-54822-73]] ([[User talk:~2026-54822-73|talk]]) to last version by Arbota: unnecessary links or spam</comment>
      <origin>1080628</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="184" sha1="0ttk5yxqrbaowyvx51sptnudf6zw2w3" xml:space="preserve">{{:Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2026-2027)/Navigation}} {{Intro-Forum}} &lt;noinclude&gt;[[Kategorie:Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2026-2027)/Hilfsstruktur]]&lt;/noinclude&gt;</text>
      <sha1>0ttk5yxqrbaowyvx51sptnudf6zw2w3</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>1115904</id>
      <parentid>1115903</parentid>
      <timestamp>2026-10-12T17:01:36Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>~2026-54822-73</username>
        <id>41987</id>
      </contributor>
      <comment>Neuer Abschnitt /* WhatsApp-Gruppe */</comment>
      <origin>1115904</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="503" sha1="2jsawlulaeb5n1fsk3g34ujq0pave0g" xml:space="preserve">{{:Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2026-2027)/Navigation}} {{Intro-Forum}} &lt;noinclude&gt;[[Kategorie:Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2026-2027)/Hilfsstruktur]]&lt;/noinclude&gt;

== WhatsApp-Gruppe ==
Hey, wir haben gerade eine WhatsApp-Gruppe auch für diesen Kurs erstellt, hier ist der Einladungslink: https://chat.whatsapp.com/FLGBsGHG5X82LPZRWb5GtM
MfG Fjodor [[Spezial:Beiträge/~2026-54822-73|~2026-54822-73]] ([[Benutzer Diskussion:~2026-54822-73|Diskussion]]) 19:01, 12. Okt. 2026 (CEST)</text>
      <sha1>2jsawlulaeb5n1fsk3g34ujq0pave0g</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2026-2027)/Definitionsliste</title>
    <ns>106</ns>
    <id>171078</id>
    <revision>
      <id>1115830</id>
      <parentid>1080721</parentid>
      <timestamp>2026-10-12T12:41:59Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <origin>1115830</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="6818" sha1="h3uo1upsivfslpqkdaaw5pbupumq0w6" xml:space="preserve">
{{inputdefinitionsklappe
|Affine Varietäten/Affiner Raum über einem Körper/Definition|
}}

{{
inputdefinitionsklappe
|Affiner Raum/Polynom/Hyperfläche/Definition||
}}

{{
inputdefinitionsklappe
|Affine Varietäten/Affiner Raum/Nullstellengebilde zu Polynommenge/Definition|
}}

{{
inputdefinitionsklappe
|Affine Varietäten/Affin-algebraische Menge/Definition|
}}

{{
inputdefinitionsklappe
|Affine Varietäten/Affiner Raum/Zariski-Topologie/Definition||
}}

{{
inputdefinitionsklappe
|Affine Varietäten/Verschwindungsideal zu Teilmenge/Definition||
}}

{{
inputdefinitionsklappe
|Idealtheorie (kommutative Algebra)/Radikal/Definition||
}}

{{
inputdefinitionsklappe
|Kommutative Ringtheorie/Primideal/Definition||
}}

{{
inputdefinitionsklappe
|Affine Varietäten/Affin-algebraische Mengen/Irreduzibel/Definition||
}}

{{
inputdefinitionsklappe
|Affin-algebraische Mengen/Irreduzible Komponenten/Definition||
}}

{{
inputdefinitionsklappe
|Affine-algebraische Mengen/Koordinatenring/Definition||
}}

&lt;!--

{{
inputdefinitionsklappe
|Simplizialer Komplex/Definition||
}}

{{
inputdefinitionsklappe
|Simplizialer Komplex/Achsenraumkonfiguration/K/Definition||
}}

{{
inputdefinitionsklappe
|Simplizialer Komplex/Facette/Definition||
}}

{{
inputdefinitionsklappe
|Graph/Ungerichtet/Definition||
}}

{{
inputdefinitionsklappe
|Simplizialer Komplex/Simplex/Definition||
}}

{{
inputdefinitionsklappe
|Simplizialer Komplex/Achsenraumkonfiguration/R/Geometrische Realisierung/Definition||
}}

{{
inputdefinitionsklappe
|Polynomring/Körper/Formales partielles Ableiten/Definition||
}}

{{
inputdefinitionsklappe
|Jacobi-Matrix/Körper/Polynome/Partielle Ableitungen/Definition||
}}

{{
inputdefinitionsklappe
|Affin-algebraische Menge/Punkt/Lokale Dimension/Glatt/Partielle Ableitungen/Definition||
}}

{{
inputdefinitionsklappe
|Polynomiale Abbildung/Nullstellenmenge/Punkt/Tangentialraum/Definition||
}}

{{
inputdefinitionsklappe
|Affine Varietät/Isolierte Singularität/Definition||
}}

{{
inputdefinitionsklappe
|Simplizialer Komplex/Stanley-Reisner-Ring/Definition||
}}

{{
inputdefinitionsklappe
|Kommutative Ringtheorie/Lokaler Ring/Definition|
}}

{{
inputdefinitionsklappe
|Kommutative Ringtheorie/Lokalisierung für Primideal/Definition|
}}

{{
inputdefinitionsklappe
|Affin-algebraische Menge/Punkt/Affiner Koordinatenring/Lokalisierung/Definition||
}}

{{
inputdefinitionsklappe
|Kommutatives Monoid/Äquivalenzrelation/Verträglich/Definition||
}}

{{
inputdefinitionsklappe
|Kommutative Ringtheorie/Monoidringe/Definition|
}}

{{
inputdefinitionsklappe
|Kommutative Monoidringe/R-wertige Punkte/Definition| 
}}

{{
inputdefinitionsklappe
|Menge/Gruppenoperation/Links/Definition||
}}

{{
inputdefinitionsklappe
|Gruppenoperation/Äquivalente Elemente/Definition||
}}

{{
inputdefinitionsklappe
|Gruppenoperation/Bahn/Definition||
}}

{{
inputdefinitionsklappe
|Gruppenoperation/Fixpunkt/Definition||
}}

{{
inputdefinitionsklappe
|Gruppenoperation/Bahnenraum/Definition||
}}

{{
inputdefinitionsklappe
|Kommutativer Ring/Gruppenoperation/Invariantenring/Definition||zusatz1={{{zusatz1|}}}
}}

{{
inputdefinitionsklappe
|Quotientensingularität/Endlich/Definition||
}}

{{
inputdefinitionsklappe
|Spezielle Quotientensingularität/Endlich/Definition||
}}


{{
inputdefinitionsklappe
|Graduierte Algebra/Ring/Gruppe beliebig/Definition||
}}

{{
inputdefinitionsklappe
|Knoten/R^3/Definition||
}}

{{
inputdefinitionsklappe
|Knoten/R^3/Äquivalenz/Definition||
}}

{{
inputdefinitionsklappe
|Knoten/R^3/Trivial/Definition||
}}

{{
inputdefinitionsklappe
|Torus/Produktmannigfaltigkeit/Definition||
}}

{{
inputdefinitionsklappe
|Torusknoten/Definition||
}}

{{
inputdefinitionsklappe
|Algebraische Derivation/Definition||
}}

{{
inputdefinitionsklappe
|Kähler Differentiale/Universeller Modul/Definition||
}}

{{
inputdefinitionsklappe
|Hyperfläche/Jacobiideal/Definition||
}}

{{
inputdefinitionsklappe
|Hyperfläche/Jacobiideal/Milnorzahl/Definition||
}}

{{
inputdefinitionsklappe
|Zweimal stetig differenzierbar/Hesse-Matrix bzgl. Basis/K/Definition||
}}

{{
inputdefinitionsklappe
|Differenzierbare Funktion/Koordinaten/Kritischer Punkt/Nichtausgeartet/Definition||
}}

{{
inputdefinitionsklappe
|Polynom/K/Kritischer Punkt/Nichtausgeartet/Definition||
}}

{{
inputdefinitionsklappe
|Polynom/n/Untergrad/Definition||
}}

{{
inputdefinitionsklappe
|Kommutativer Ring/Graduiert/Z/Graduierter Modul/Definition||
}}

{{
inputdefinitionsklappe
|Kommutativer Ring/Z/Graduierter Modul/Homogener Homomorphismus/Definition||
}}

{{
inputdefinitionsklappe
|Kommutativer Ring/Z/Graduierter Modul/Gradverschiebung/Definition||
}}

{{
inputdefinitionsklappe
|Standard-graduierter Ring/K/Modul/Hilbertfunktion/Definition||
}}

{{
inputdefinitionsklappe
|Standard-graduierter Ring/K/Modul/Hilbertpolynom/Definition||
}}

{{
inputdefinitionsklappe
|Funktion/Z nach Z/Polynomialer Typ/Definition||
}}

{{
inputdefinitionsklappe
|Standard-graduierter Ring/K/Modul/Multiplizität/Definition||
}}

{{
inputdefinitionsklappe
|Kommutativer Ring/Assoziierter graduierter Ring/Definition||
}}

{{
inputdefinitionsklappe
|Kommutativer Ring/Modul/Ideal/Assoziierter graduierter Modul/Definition||
}}

{{
inputdefinitionsklappe
|Lokaler noetherscher Ring/Maximales Ideal/Modul/Hilbert-Samuel-Multiplizität/Definition||
}}

{{
inputdefinitionsklappe
|Kommutative Ringtheorie/Primidealkette/Krulldimension/Definition||
}}

{{
inputdefinitionsklappe
|Kommutativer Ring/Primideal/Dimension/Definition||
}}

{{
inputdefinitionsklappe
|Kommutativer Ring/Primideal/Höhe/Definition||
}}

{{
inputdefinitionsklappe
|Kommutativer Ring/Modul/Dimension/Definition||
}}

{{
inputdefinitionsklappe
|Affine Varietäten/Körper/Produkt/Geometrisch/Zariski-Topologie/Definition||
}}

{{
inputdefinitionsklappe
|Lokale kommutative noethersche Ringe/Minimale Erzeugendenzahl des maximalen Ideals/Definition||
}}

{{
inputdefinitionsklappe
|Lokaler Ring/Regulär/Erzeugeranzahl/Definition||
}}

{{
inputdefinitionsklappe
|Kommutativer Ring/Komplex/Definition||
}}

{{
inputdefinitionsklappe
|Moduln/Kettenkomplex/Exaktheit/Definition||
}}

{{
inputdefinitionsklappe
|Kommutative Algebra/Flacher Modul/Definition||
}}

{{
inputdefinitionsklappe
|Kommutativer Ring/Projektiv/Universell/Definition||
}}

{{
inputdefinitionsklappe
|Kommutativer Ring/Modul/Lokal frei/Definition||
}}

{{
inputdefinitionsklappe
|Kommutativer Ring/Modul/Freie Auflösung/Definition||
}}

{{
inputdefinitionsklappe
|Kommutativer Ring/Modul/Freie Auflösung/Minimal/Definition||
}}

{{
inputdefinitionsklappe
|Lokaler Ring/Modul/Projektive Dimension/Definition||
}}

{{
inputdefinitionsklappe
|Kommutative Ringtheorie/Faktorieller Bereich/Über prim/Definition||
}}


--&gt;

&lt;noinclude&gt;[[Kategorie:Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2026-2027)/Listen]]&lt;/noinclude&gt;</text>
      <sha1>h3uo1upsivfslpqkdaaw5pbupumq0w6</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2026-2027)/Liste der Hauptsätze</title>
    <ns>106</ns>
    <id>171080</id>
    <revision>
      <id>1115832</id>
      <parentid>1080723</parentid>
      <timestamp>2026-10-12T12:44:50Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <origin>1115832</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="4650" sha1="7vkqdfuzppev5kr7zk9hto3s6cekfzv" xml:space="preserve">{{
inputfaktklappe
|Satz über implizite Abbildungen/R/Fakt|Satz||
}}

{{
inputfaktklappe
|Affine Varietäten/Vereinigung und Durchschnitt von affin-algebraischen Mengen im affinen Raum/Fakt|Proposition| 
}}

{{
inputfaktklappe
|Kommutative Ringtheorie/Polynomring über Körper/Endliche viele Variablen/Noethersch/Fakt|Satz||
}}

{{
inputfaktklappe
|Affiner Raum/Algebraisch abgeschlossen/Korrespondenz zwischen affin algebraischen Mengen und Radikalen/Fakt|Satz||
}}

{{
inputfaktklappe
|Hilbertscher Nullstellensatz/Korrespondenz/Primideal/Fakt|Lemma||
}}

&lt;!--
{{
inputfaktklappe
|Simplizialer Komplex/Achsenraumkonfiguration/Nullstellengebilde/Fakt|Lemma||
}}

{{
inputfaktklappe
|Simplizialer Komplex/Achsenraumkonfiguration/Nullstellengebilde/Irreduzible Komponenten/Fakt|Korollar||
}}

{{
inputfaktklappe
|Simplizialer Komplex/Achsenraumkonfiguration/Nullstellengebilde/Singuläre Punkte/Fakt|Lemma||
}}

{{
inputfaktklappe
|Kommutative Ringtheorie/Lokalisierung/Lokaler Ring/Fakt|Satz|
}}

{{
inputfaktklappe
|Binomiale Gleichung/Singulärer Punkt/Fakt|Lemma||
}}

{{
inputfaktklappe
|Binomiale Gleichung/Ebener Fall/Teilerfremd/Parametrisierung/Fakt|Lemma||
}}

{{
inputfaktklappe
|Kommutative Monoidringe/Universelle Eigenschaft für R-Algebren mit Monoidabbildung/Fakt|Satz|
}}

{{
inputfaktklappe
|Kommutative Monoidringe/Funktorialität im Monoid/Fakt|Korollar||
}}

{{
inputfaktklappe
|Kommutative Monoidringe/Funktorialität im Monoid/Surjektivität/Fakt|Lemma|
}}

{{
inputfaktklappe
|Kommutative Monoidringe/Erzeugendensystem für Monoid und Polynomring/Fakt|Korollar||
}}

{{
inputfaktklappe
|Monoidring/Erzeuger und Relationen/Ideal/Fakt|Lemma||
}}

{{
inputfaktklappe
|SU2C und SO3R/Gruppenbeziehung/Fakt|Satz||
}}

{{
inputfaktklappe
|SL2C/Endliche Untergruppen/Klassifikationsatz/Fakt|Satz||
}}

{{
inputfaktklappe
|Graduierter Ring/Körper/Endliche Gruppe/Einheitswurzeln/Invariantenring/Fakt|Lemma||
}}

{{
inputfaktklappe
|Invariantenring/Untergruppe/Fakt|Lemma||
}}

{{
inputfaktklappe
|Kähler-Differentiale/Universelle Eigenschaft/Fakt|Lemma||
}}

{{
inputfaktklappe
|Polynomring/Kählermodul und Derivation/Beschreibung/Fakt|Lemma||
}}

{{
inputfaktklappe
|Kähler-Differentiale/Relative Differentialsequenz/Fakt|Lemma||
}}

{{
inputfaktklappe
|Kähler-Differentiale/Konormalensequenz/Fakt|Lemma||
}}

{{
inputfaktklappe
|Kähler-Differentiale/Von endlichem Typ/Restklassendarstellung/Fakt|Korollar||
}}

{{
inputfaktklappe
|Kähler-Differentiale/Gleichungen/Extrinsischer Kotangentialraum/Fakt|Lemma||
}}

{{
inputfaktklappe
|Kähler-Differentiale/Lokaler Ring/Kotangentialraum/Fakt|Lemma||
}}

{{
inputfaktklappe
|Hyperfläche/K unendlich/Untergrad/Glatt/Schnittverhalten/Fakt|Korollar||
}}

{{
inputfaktklappe
|Standard-graduierter Ring/K/Modul/Hilbertfunktion/Polynomial/Fakt|Lemma||
}}

{{
inputfaktklappe
|Polynomring/K/Multiplizität/Fakt|Satz||
}}

{{
inputfaktklappe
|Polynomring/K/Homogenes Polynom/Hyperfläche/Multiplizität/Fakt|Satz||
}}

{{
inputfaktklappe
|Polynomring/Hyperfläche/Untergrad/Hilbert-Samuel-Multiplizität/Fakt|Satz||
}}

{{
inputfaktklappe
|Kommutativer noetherscher Ring/Hauptidealsatz/Fakt|Satz||
}}

{{
inputfaktklappe
|Kommutativer noetherscher Ring/Hauptidealsatz/Allgemein/Fakt|Satz||
}}

{{
inputfaktklappe
|Polynomring/Körper/Krulldimension/Höhengleichheit/Fakt|Satz||
}}

{{
inputfaktklappe
|Algebra/Körper/Endlicher Typ/Integer/Dimension und Transzendenzgrad/Fakt|Satz||
}}

{{
inputfaktklappe
|Affine Varietäten/Algebraisch abgeschlossener Körper/Produkt/Geometrisch/Dimension/Fakt|Satz||
}}

{{
inputfaktklappe
|Affine Varietät/Punkt/Jacobi-Matrix und regulär/Fakt|Satz||
}}

{{
inputfaktklappe
|Lokaler Ring/Restkörperbedingung/Regulär und Freier Kählermodul/Fakt|Satz||
}}

{{
inputfaktklappe
|Varietät/Glatter Punkt/Schnittverhalten/Dimension/Fakt|Satz||
}}

{{
inputfaktklappe
|Varietät/Glatt/Kählermodul/Lokal frei/Fakt|Satz||
}}

{{
inputfaktklappe
|Noetherscher Ring/Modul/Endlich erzeugt/Freie Auflösung/Existenz/Fakt|Satz||
}}

{{
inputfaktklappe
|Lokaler Ring/Regulär/Homologische Charakterisierung/Fakt|Satz||
}}

{{
inputfaktklappe
|Lokaler Ring/Regulär/Lokalisierung/Fakt|Satz||
}}

{{
inputfaktklappe
|Noetherscher Integritätsbereich/Faktoriell/Primideale der Höhe 1/Fakt|Satz||
}}

{{
inputfaktklappe
|Lokaler Ring/Regulär/Faktoriell/Fakt|Satz||
}}

{{
inputfaktklappe
|Ebene Singularitäten/Einfachheit/Klassifikation/ADE/Fakt|Satz||
}}

{{
inputfaktklappe
|Holomorphe Funktion/Singularitäten/Einfachheit/Klassifikation/ADE/Fakt|Satz||
}}

--&gt;

&lt;noinclude&gt;[[Kategorie:Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2026-2027)/Listen]]&lt;/noinclude&gt;</text>
      <sha1>7vkqdfuzppev5kr7zk9hto3s6cekfzv</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2026-27 Wintersemester</title>
    <ns>106</ns>
    <id>172153</id>
    <revision>
      <id>1115935</id>
      <parentid>1115178</parentid>
      <timestamp>2026-10-13T06:56:22Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Jonahschuster</username>
        <id>35626</id>
      </contributor>
      <origin>1115935</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="2628" sha1="nqmbf0hilz1iay2hifl60ewaiknyeaw" xml:space="preserve">==Begriffsklärung==

=== Was ist mathematische Modellbildung?===

''Ganz grob gesagt besteht Mathematische Modellierung oder auch Mathematische Modellbildung
darin, reale Fragestellungen mit mathematischen Mitteln zu bearbeiten und sie auf diesem Wege
zumindest teilweise zu beantworten.''&lt;ref&gt; 
Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., &amp; Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. &lt;/ref&gt;

== Verweise ==
&lt;references/&gt;

== Seiteninformation ==
Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&amp;title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&amp;author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&amp;language=de&amp;audioslide=yes&amp;shorttitle=2026-27%20Wintersemester&amp;coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen.

=== Wiki2Reveal ===

Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&amp;title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&amp;author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&amp;language=de&amp;audioslide=yes&amp;shorttitle=2026-27%20Wintersemester&amp;coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung Kurs:Mathematische Modellbildung]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem  [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt.
&lt;!--
* Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten:
** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester]
--&gt;
* [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt.
* Link zur Quelle in  Wikiversity:  https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester
* siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&amp;title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&amp;author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&amp;language=de&amp;audioslide=yes&amp;shorttitle=2026-27%20Wintersemester&amp;coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Linkgenerator].
&lt;!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --&gt;;

[[Category:Wiki2Reveal]]</text>
      <sha1>nqmbf0hilz1iay2hifl60ewaiknyeaw</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>1115936</id>
      <parentid>1115935</parentid>
      <timestamp>2026-10-13T06:57:05Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Jonahschuster</username>
        <id>35626</id>
      </contributor>
      <origin>1115936</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="22673" sha1="a6nhopjoxfr6fllryzk9wy2lgcgldf8" xml:space="preserve">==Begriffsklärung==

=== Was ist mathematische Modellbildung?===

''Ganz grob gesagt besteht Mathematische Modellierung oder auch Mathematische Modellbildung
darin, reale Fragestellungen mit mathematischen Mitteln zu bearbeiten und sie auf diesem Wege
zumindest teilweise zu beantworten.''&lt;ref&gt; 
Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., &amp; Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. &lt;/ref&gt;


=== Was ist ein Modell? ===

Ein Modell ist dabei gegeben durch innere Scheinbilder oder Repräsentatonen, die nicht
zum Bereich der äußeren Gegenstände, sondern zu Vorstellungen von einem solchen realen Gegenstand gehören und
ihnen daher auch in gewissen Grenzen etwas Willkürliches anhaftet (Sinngemäß nach Hertz, zitiert von Ortlieb&lt;ref&gt; 
Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., &amp; Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. &lt;/ref&gt;).

==== Eigenschaften von Modellen ====
Somit lassen sich vereinfacht und verkürzt folgende Eigenschaften ableiten (Stachowiak, zitiert nach Saam &lt;ref&gt; Saam, N. J. (2009). Modellbildung. In Handbuch Methoden der Organisationsforschung: Quantitative und Qualitative Methoden (pp. 517-532). Wiesbaden: VS Verlag für Sozialwissenschaften. &lt;/ref&gt;):
* '''Abbildungsmerkmal:''' Modelle repräsentieren die Realität, existieren jedoch nicht in der Realität
* '''Verkürzungsmerkmal:''' Modelle beschreiben das Objekt nicht exakt, sondern stets vereinfacht 
* '''Pragmatisches Merkmal:''' Modelle verfolgen einen gewissen Zweck: Sie ersetzen eine nicht abbildbare Realität um Fragestellungen zu beantwortbar zu machen

==== Typisches Beispiele ==== 
* Betrachtungen in der Physik (Federpendel, Bewegungsgesetze,...) - Physik und Mathematische Modellbildung sind sehr eng miteinander verwoben
* Populationsdynamiken und Ausbreitugnsschemata in der Biologie  (vgl. Lotka-Volterra Modell)
* Bewegungsanalysen und Optimierungen in den Sportwissenschaften
* Untersuchungen von Transport- und Umweltprozessen in Biologie, Chemie, Physik, Technik,...
* Bedarfs- und Verbrauchs- und Verhaltensanalysen in Geisteswissenschaften


=== Mathematische Modelle ===
Mathematische Modelle werden gemessen und bewertet anhand &lt;ref&gt; 
Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., &amp; Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. &lt;/ref&gt;:
* '''Zulässigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte in sich widerspruchsfrei sein.
* '''Richtigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte im Vergleich mit der Realität keine Widersprüche zu offensichtlich richtigen Tatsachen aufweisen.
* '''Zweckmäßigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte genau den Detailgrad beinhalten, den es zum Erfüllen des Zwecks benötigt, nicht mehr und nicht weniger.

==== Gegenbeispiele für mathematische Modelle ====
Gegenbeispiele wären:
* Ein nicht zulässiges Modell könnte bei einer Betrachtung einer Punktmasse im Raum dennoch Luftwiederstände berücksichtigen (Punkte haben kein Volumen)
* Ein nicht richtiges Modell könnte bei der Modellierung von Transportprozessen von Schadstoffen die Massenerhaltung vernachlässigen.
* Ein nicht zweckmäßiges Modell könnte bei dem Versuch den perfekten Abwurfwinkel beim Speerwurf die Krümmung der Erdpberfläche berücksichtigen.

==== Bemerkung - Kriterien ====
Die Kriterien, insbesondere Richtigkeit und Zweckmäßigkeit, sind nicht 100% operational. Einerseits fordert die Richtigkeit, keine bekannten Tatsachen auszulassen, andererseits dürfen hinsichtlich einer passenden Zweckmäßigkeit auch nur ausreichend viele Details integriert werden).

==Der Modellbildungszyklus==
Wie kommt man nun von einer Realen Situation, die ein Problem aufwirft zu einem adäquaten mathematischen Modell? Dazu hat sich als (möglichst allgemeine Vorgehensweise) der Modellbildungszyklus ergeben:
[[Datei:Modellbildungszyklus Mod6.png|miniatur|Modellbildungszyklus]]
===Verlauf des MBZ ===
Der Modellbildugnszyklus beschreibt schematisch die iterative Erstellung einer mathematischen Modellbildung:
* Ausgangspunkt ist eine reale Situation, die ein Problem aufwirft, die von dem mathematischen Modell adressiert werden soll
* Dieses Problem wird inhaltlich erfasst, anschliessend mathematisch Übersetzt (Betrachten von Gleichungen, Funktionen, Geometrischen Objekten,...)
* Durch das Betrachten von mathematischen Objekten können über passende Operationen deduktiv Resultate geschlussfolgert werden
* Diese Resultate werden mit der Realsituation abgeglichen
* Aus dem Vergleich werden mögliche Optimierungen und Limitationen des Modells abgeleitet
* Durch die Limitationen werden kann das Modell weiterentwickelt werden

Diese Schritte können/müssen dabei mehrfach durchlaufen werden.

Die Integration von computergestützter Software ist in der mathematischen Modellbildung definitionsgemäss nicht zwigend erforderlich, für die meisten anwendungsbezogenen Modellierungen jedoch unumgänglich.

==Konkretes Beispiel einer Mathematischen Modellbildung==
[[Kurs:Mathematische_Modellbildung/Themen/Radioaktivit%C3%A4t_und_Risikoliteralit%C3%A4t]]
[[Datei:Screenshot 2D Ansicht Resultate.png|miniatur|alternativtext=Ansicht der möglichen Auftreffpunkte des radioaktiven Niederschlags|Ansicht der möglichen Auftreffpunkte des radioaktiven Niederschlags]]
[[File:Zeitliche Abhängigkeit der Risikofunktion.gif|thumb|Das GIF zeigt die Zeitliche Abhängigkeit der Risikofunktion]]

=== Ziel der Modellierung ===
Ziel in dieser Modellierung war es, ein Modell zur räumlichen und zeitlichen Ausbreitung einer radioaktiv belasteten Wolke, sowie dessen Rain-Out, infolge einer Reaktorkatastrophe am (mittlerweile abgeschalteten) Kernkraftwerk in Philippsburg zu beschreiben.
Unter zu Hilfenahme von Messwerten von dem Reaktorunglück in Tschernobyl und den Halbwertszeiten des radioaktiven Materials wurde der zeitliche Zerfall erfasst.

Der Transport von radioaktiven Material wurde durch eine Kugel im &lt;math&gt; \mathbb{R}^3 &lt;/math&gt; modelliert. Diese bewegt sich gemäss einer variablen Windrichtung (gegeben durch Winkel &lt;math&gt; \alpha &lt;/math&gt;) und regnet sich nach einer gewissen Durchschnittsdauer ab. 


=== Endresultat ===
Es wurde in drei Modellbildungszyklen eine Funktion zur Beschreibung der radioaktiven Belastung (repräsentativ für das Risiko) abgeleitet:

 &lt;math&gt;u(x,y,t,\alpha)=\frac{1480\cdot e^{-\frac{ln(2)}{30a} \cdot t}}{1+\frac{7}{10.000}\cdot (x^2+y^2)}+\frac{40\cdot e^{-\frac{ln(2)}{30a} \cdot t}}{1+\frac{1}{7.500}\cdot ((x-1080cos(\alpha))^2+(y-1080sin(\alpha))^2)}&lt;/math&gt;

Letztlich erhält man also eine Funktion die in ihrem Ausgabewert &lt;math&gt;z=u(x,y,t,\alpha)&lt;/math&gt; abhängig von 4 Eingabewerten &lt;math&gt;x, y, t, \alpha &lt;/math&gt; ist.

==Modellbildung in der Schule==
===Einbindung in den Lehrplan===
Die mathematische Modellbildung ist stark in den Mathematik-Lehrplan für Schulen in Rheinland-Pfalz integriert (hier wird sich an dem Lehrplan für Sekundarstufe II orientiert &lt;ref&gt; Ministerium für Bildung, Wissensachft, Weiterbildung und Kultur (2015), Lehrplan Mathematik. Grund- und Leistungsfach in der gymnasialen Oberstufe (Mainzer Studienstufe) &lt;/ref&gt;).

Im Bezug zu Problemlösen im Mathematikunterricht und Mathematik im fachübergreifenden Kontext, sollen Anwendungsbeispiele Einzug halten, die Schülerinnen und Schülern aus anderen Fächern bekannt sind. In diesem Zusammenhang wird mathematische Modellbildung als Methode zur Lösung von solchen Anwendungsproblemen genannt.

===Konkreter Themenbezug===
Zu folgenden mathematischen Themengebieten wird explizit Mathematischen Modellbildung zur unterrichtlichen Umsetzung erwähnt:
*Exponentialfunktionen (Wachstums- und Zerfallsprozesse
*Matrizenrechnung (Input-Output-Analysen, Zustandsübergangsprozesse, Populationsentwicklung,...)
*Differential- und Integralrechnung (lineare oder logistische Wachstumsprozesse)
Auch der Einsatz von computergestützten Hilfs- und Lösungsmitteln im Zuge der Modellbildung wird betont. 

(Bemerke: Auch im Lehrplan wird ein vergleichbarer Modellbildungszyklus vorgestellt und beschrieben. Bei Bedarf kann dieser auf Seite 15-16 &lt;ref&gt; Ministerium für Bildung, Wissensachft, Weiterbildung und Kultur (2015), Lehrplan Mathematik. Grund- und Leistungsfach in der gymnasialen Oberstufe (Mainzer Studienstufe) &lt;/ref&gt; nachgelesen werden)

===Zugang zur Bildung für Nachhaltigen Entwicklung===
Durch die Möglichkeit fachübergreifende Fragestellungen zu behandeln und Prozesse der Realität in den Blick zu nehmen, kann mathematische Modellbildung die Brücke zur Bildung für Nachhaltigen Entwicklung (BNE) schlagen.

&quot;Die BNE zielt grundsätzlich darauf ab, es jedem und jeder Einzelnen zu ermöglichen, die Folgen des eigenen Handelns auf die Welt sowie intra- und intergenerationell zu verstehen, verantwortungsvolle Entscheidungen zu treffen und aktiv zu werden.&quot; &lt;ref&gt; Ministerium für Bildung. Bildung für nachhaltige Entwicklung. Online abrufbar unter: https://bm.rlp.de/unsere-schwerpunkte/bildung-fuer-nachhaltige-entwicklung &lt;/ref&gt;

Mathematische Modellbildung kann unter praktischer Anwendung von gelernten Inhalten im Schulunterricht zu BNE beitragen, indem eben gezielt Probleme adressiert werden und von Schülerinnen und Schülern eigenständig untersucht werden.

==Ziel und Organisation des Seminars==
===Ziel und Aufgabe===
In Kleingruppen (3-4 Personen) sollen aussermathematische Fragestellungen mit einer eigenen mathematischen Modellbildung behandelt werden.

Dazu sollen drei Modellbildungszyklen mit unterschiedlichem Grad an Vereinfachung und unterschiedlicher Mathematischen Grundlage erstellt werden:
* Zyklus: Mathematik der Sekundarstufe 1 (Mittelstufe)
* Zyklus: Mathematik der Sekundarstufe 2 (Oberstufe)
* Zyklus: Universitätsmathematik

In jedem Zyklus sollen computergestützte Untersuchungen und Betrachtungen Einzug erhalten. Somit bietet es sich an in insgesamt auch drei verschiedene Programme (Tabellenkalkulation, GeoGebra, RStudio, Maxima,...) zu integrieren - an manchen stellen lässt sich dies gar nicht vermeiden.

===Themenwahl===
Das Thema sollte einen weltlichen Bezug haben. Am besten eigenen sich Themen aus dem jeweiligen Zweitfach (s. Verbindung zu anderen Schulfächern im Lehrplan).

Das Thema sollte nachhaltige Entwicklung im Rahmen der Sustainable Development Goals adressieren. Siehe dazu: https://www.bundesumweltministerium.de/themen/nachhaltigkeit/nachhaltigkeitsziele-sdgs

Vorzugsweise: Räumliche Risikobetrachtungen in Desaster- und Katastrophenszenarien. 

Das Thema sollte sich nicht mit denen der vergangenen Semestern doppeln. Zur Orientierung und Inspiration finden sich hier die Projekte der vergangenen Semester:
:: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2026 Sommersemester|2026 Sommersemester]]'''
:: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2025-26 Wintersemester|2025/26 Wintersemester]]'''
:: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2024-25 Wintersemester|2024/25 Wintersemester]]'''
:: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2023-24 Wintersemester|2023/24 Wintersemester]]'''
:: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2022-23 Winteresemester|2022/23 Wintersemester]]'''

===Portfolio===
Während des Semesters soll in Gruppenarbeit die Modellbildung durchgeführt werden. Diese wird schriftlich in einem Portfolio festgehalten. Dies Portfolio wird, genau wie dieser Artikel auch, in einem Wikiversity Artikel dokumentiert. Dieser sollte folgendes enthalten:
* Einleitung: Beschreibung und Einordnung des Themas &amp; welche(s) SDG wird adressiert und warum?
* Ziel der Modellierung: Welches Problem wird in der Modellierung / den einzelnen Zyklen konkret angegangen?
* Zyklus 1-3
** Mathematisches Modell (welche Mathematischen Objekte werden betrachtet, wie ergeben die sich,...)
** Ergebnisse (Ableiten von Resultaten aus dem Modell)
** Bewertung der Ergebnisse
** Grenzen und Limitationen
** Ausblick für nächsten Zyklus (welche Limitationen und Probleme aus dem Zyklus werden im folgenden adressiert?)

In allen Punkten der Modellzyklen können Programme computergestützte Tools verwendet werden.

Zur Erstellung von Wiki-Seiten ist folgende Seite hilfreich:

https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:Textgestaltung

===Prüfung===
Die Prüfung gliedert sich in zwei Aspekte:
* '''Vorstellung von ausgewählten Teilen aus dem eigenen Portfolio''' - diese werden von den Prüfer:innen aus dem Portfolio der Studierenden ausgewählt.
* '''Diskussion und Fragen''' der Prüfer:innen zu dem Portfolio, z.B. zu Teilen des Portfolios, die in der Vorstellung nicht behandelt werden können.
Ein Portfolio kann aus Zeitgründen nie vollständig in der Prüfung dargestellt werden.

In der mündlichen Portfolio-Prüfung wird geprüft, ob
*das eigene Modell verstanden ist,
*das eigene Modell kritisch hinterfragt werden kann,
*die Limitationen des Modells begründet und nachvollziehbar wiedergegeben werden können,
*die Übergänge zwischen den Zyklen beschrieben und begründet werden können,
*die technische Umsetzung reproduziert und erklärt werden kann,
*... . 

Es ist also wichtig zu wissen, was wie an welcher Stelle und mit welchem Zweck in der Modellierung gemacht wurde!

Das Portfolio (Wiki-Seite) wird somit konkret vorgestellt. Eine Präsentation des Portfolio kann automatisch mit Wiki2Reveal erstellt werden.

=== Unterstützungsangebot ===
* Das Unterstützungsangebot erfolgt in der Lehrveranstaltung zur &quot;Mathematischen Modellbildung&quot;. 
* Eine individuelle Sonderbehandlung für einzelne Studierende, die das Angebot der Vorlesung nicht nutzen und kurz vor Prüfungsbeginn noch &quot;schnell&quot; ein Portfolio zusammenstellen wollen, ist aus zeitlichen Gründen kurz vor der Prüfung nicht möglich. 
* Portfolioprüfungen der Lehrveranstaltung beziehen sich immer auf das erstellte Portfolio im laufende Semester und bei Wiederholungsprüfungen auf das Semester, in dem Portfolio erstellt wurde. 
* Eine Prüfung kann nur zu dem eigenen erstellten Portfolio in der Lehrveranstaltung abgelegt werden, an dessen Erstellung man aktiv mitgearbeitet hat.

===Ablauf des Seminars===
Der Seminarablauf über das Semester gestaltet sich grob wie folgt: 
* 1. Woche (19.10.): Einführungsveranstaltung + Gruppenfindung
* 2. Woche (26.10.): Themenfindung
* 3. Woche (02.11.): Themenfindung + Zyklen festlegen
* 4. Woche (09.11.): Zyklen festlegen
* 5. Woche (16.11.): Kurzvorstellung der Themen und Zyklen (5 Minuten pro Gruppe)
Ab Woche 6 (23.11.) bis Ende des Semesters wird gemeinsam an den Modellen und dem Portfolio gearbeitet.

Empfehlenswert wäre es, die letzten 2-3 Wochen für Finalisierungsarbeiten zu nutzen und entsprechend frühzeitig zu planen! Ausschliesslich während der Seminarzeiten an dem Modell und Portfolio zu arbeiten wird nicht ausreichen! 

Die Kurzpräsentationen am 16.11. umfassen den aktuellen Stand der Überlegungen und sind noch unter keinen Umständen verbindlich. Stattdessen dient es einfach zur Grundlage von gemeinsamer Diskussion und zur Einbringung von weiteren Ideen.

=Hilfreiche Links=
===Fachmathematische Aspekte ===
Wenn man das Modellierungsproblem in den Mittelpunkt stellt und die Fragestellung den Nachhaltigkeitszielen der UN zuordnet, kommen z.T. fachmathematische Aspekte erforderlich, die nicht in der jeweiligen Schulstufe bzw. in den Vorlesungen behandelt wurden. Dies Kapitel erhält Hinweise zu fachmathematischen Bereichen, die für die mathematische Modellbildung ggf. als Werkzeug verwendet werden können
* '''[[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]''' dienen dazu, Datenpunkte im &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; oder allgemein im &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; zu [[w:Interpolation_(Mathematik)|interpolieren]].
* '''[https://en.wikiversity.org/wiki/3D_Modelling 3D Modellierung für Projektinhalte]''' und [[w:Projektive_Geometrie|projektive Geometrie]] zur Visualisierung
* '''[[Gradientenabstiegsverfahren]]''': Wird verwendet, um sich in der mathematischen Modellbildung iterativ einem Minimum einer Kosten- oder Fehlerfunktion anzunähern.
* [[w:Lineare_Optimierung|'''Lineare Optimierung''']]  wird in  Optimierungshaufgaben wie beispielsweise  bei der Suche nach Minimum der Produktionskosten verwendet. Hierbei wird in allgemeinem nach einem Minimium/Maximum einer linearer Zielfunktion über einer Menge gesucht. [https://www.geogebra.org/m/kr727992 '''Ein Beispiel in Geogebra''']
*[[Räumliche Diffusion|'''Räumliche Diffusion''']]
*[[Modelle_der_Populationsdynamik|'''Modelle der Populationsdynamik''']]  - [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&amp;title=Modelle%20der%20Populationsdynamik&amp;author=Kurs:R%C3%A4umliche%20Modellbildung&amp;language=de&amp;audioslide=yes (Wiki2Reveal-Folien)]  -  [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] 
* '''[[Kurs:Stochastik/Wahrscheinlichkeitsdichte|Wahrscheinlichkeitsdichte]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&amp;title=Kurs:Stochastik/Wahrscheinlichkeitsdichte&amp;author=Kurs:Stochastik&amp;language=de&amp;audioslide=yes&amp;shorttitle=Wahrscheinlichkeitsdichte&amp;coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]]

===Softwarenutzung ===
Im PC-Praktikum wurden grundlegende Kenntnisse im Umgang mit Software erlangt, die für die Berechnung von mathematischen Modellen vorwendig sind. Diese Kenntnisse müssen ggf. auf das spezielle Modellierungsthema angepasst und erweitert werden.
* '''[[CSV2Chart]]''' Aus CSV-Dateien mathematische Graphen in Wikiversity erstellen.
* '''[[Maxima CAS]]''' enthält die verwendeten Werkzeuge und Kommandos eines Computeralgebrasystems (CAS), die die einzelnen Projekte in dem Modellbildungszyklus verwendet haben.
* '''[https://sagecell.sagemath.org/ SageCell]''' Online-Umgebung zur Ausführung und Demonstration von Befehlen in R, Octave, Maxima, ... (Auswahl des Befehlssatzes auf der https://sagecell.sagemath.org/ SageCell-Seite] unten rechts auf dem Eingabefeld)
* '''[[Statistikprogramm R]]''' enthält die verwendeten Werkzeuge und Kommandos, die für Berechnungen und Veranschaulichungen in den  Projekten verwendet haben.
* '''[[Tabellenkalkulation]]''' werden in Portfolios in der Regel verwendet, um Daten in den Portfolios aufzubereiten.
* '''[[Octave]]''' wird in der Regel verwendet, um numerische Berechnung in der Mathematischen Modellbildung durchzuführen.
* '''[[Geogebra]]''' ist eine Dynamische Geometriesoftware, die zur vektoriellen Veranschaulichung von räumlichen Modellierungsproblemen oder auch zur parametrisierten Darstellung von Funktionen verwendet wird (Beispiel: [https://www.geogebra.org/m/e9b349k9 Parkplatzlösung in Geogebra von Shrey T (2017)]). 
* '''[[w:Screencast|Screencast]]''': Ein Screencast ist eine Bildschirmaufnahme mit Audiokommentaren, die zeigt, wie man z.B. Software bedient. Ein Screencast ist eine Hilfestellung für Lernende, die sich noch nicht so gut mit einer bestimmten Software auskennen.
:* [https://obsproject.com/ '''Open Broadcast Software (OBS)''' - Linux, Windows, MacOSX ] - [[Konvexkombination|Beispielvideo in Wikiversity]]
* [[v:en:3D_Modelling|'''3D-Modellbildung''' (englisch)]]
* '''[http://niebert.github.io/imgmap/ Online-ImageMap-Editor]''' - Anklickbare Bereiche in Wikiversity-Bildern erstellen.
* '''[https://openlayers.org/en/latest/examples/heatmap-earthquakes.html HeatMaps]:''' Erstellung von [https://niebert.github.io/openlayer_heatmap HeatMaps mit einem Online-Editor] (Download [https://github.com/niebert/openlayer_heatmap/archive/master.zip Heatmap-Editor und Beispieldaten in Ordner &lt;tt&gt;/HeatMap&lt;/tt&gt; in ZIP-Datei])
* '''[[Wiki2Reveal]]:''' Portfolio-Präsentationen direkt im Wikiversity erstellen.

===Editierungshilfen===
* [https://latexeditor.lagrida.com/ Online-Formel-Editor für LaTeX-Formeln]&lt;ref&gt;Lagrida Web-Portal (2021) Online-Latex-Formel-Editor mit Vorschau - URL: https://latexeditor.lagrida.com/ (accessed 2021/11/21))&lt;/ref&gt;  - die erzeugten Formeln müssen in einen MATH-Tag mit &lt;kbd&gt;&lt;math&gt; ...&lt;/math&gt;&lt;/kbd&gt; eingeschlossen werden bei der Seiteneditierung.
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:TeX Mathematische Formeln in Wikiversity]
* Textgestaltung in Wikis: https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:Textgestaltung
=Wiki2Reveal=
* '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung2627|Kurs:Mathematische Modellbildung2627]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&amp;title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung2627&amp;author=&amp;language=de&amp;audioslide=yes&amp;shorttitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung2627&amp;coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]]
 

== Verweise ==
&lt;references/&gt;

== Seiteninformation ==
Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&amp;title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&amp;author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&amp;language=de&amp;audioslide=yes&amp;shorttitle=2026-27%20Wintersemester&amp;coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen.

=== Wiki2Reveal ===

Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&amp;title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&amp;author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&amp;language=de&amp;audioslide=yes&amp;shorttitle=2026-27%20Wintersemester&amp;coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung Kurs:Mathematische Modellbildung]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem  [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt.
&lt;!--
* Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten:
** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester]
--&gt;
* [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt.
* Link zur Quelle in  Wikiversity:  https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester
* siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&amp;title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&amp;author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&amp;language=de&amp;audioslide=yes&amp;shorttitle=2026-27%20Wintersemester&amp;coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Linkgenerator].
&lt;!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --&gt;;

[[Category:Wiki2Reveal]]</text>
      <sha1>a6nhopjoxfr6fllryzk9wy2lgcgldf8</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/generalisiert</title>
    <ns>106</ns>
    <id>172698</id>
    <revision>
      <id>1115854</id>
      <parentid>1114879</parentid>
      <timestamp>2026-10-12T14:44:58Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bert Niehaus</username>
        <id>20843</id>
      </contributor>
      <comment>/* Einleitung */</comment>
      <origin>1115854</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="1552" sha1="1vmgdca51d39wd142poc2m0geegrzxy" xml:space="preserve">== Einleitung ==
Man betrachtet nun beliebige offene einfach zusammenhängende [[Gebiet (Mathematik)|Gebiete]] &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;z_0=|z_0|\cdot e^{it} \in G&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;t\in \mathbb{R}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;0\notin G&lt;/math&gt; und betrachtet die zugehörige Stammfunktion &lt;math&gt;log_{_G}(z)&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;f(z)&lt;/math&gt;, die die Eigenschaft &lt;math&gt;log_{_G}(z_0)=\ln(|z_0|)+i\cdot t&lt;/math&gt;. Im Allgemeinen muss &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; nur [[einfach zusammenhängend]] mit &lt;math&gt;0\notin G&lt;/math&gt; sein, damit eine Stammfunktion von &lt;math&gt;f(z)=\tfrac{1}{z}&lt;/math&gt; existiert. Stammfunktionen &lt;math&gt;F&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; unterscheiden sich nur durch eine Konstante &lt;math&gt;c&lt;/math&gt;. 

=== Festlegung der Stammfunktion als Logarithmus ===
Durch die Festlegung von &lt;math&gt;F(1)=0&lt;/math&gt; für den Hauptzweig des Logarithmus, bzw. &lt;math&gt;F(-1)=\pi i&lt;/math&gt; für den [[negativer Hauptzweig|negativen Hauptzweig]] ist der [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] als [[w:de:Stammfunktion|Stammfunktion]] von &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; allerdings eindeutig festgelegt. Für einen generalisierten Logarithmus auf einem Gebiet &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; reicht die Festlegung des Zweiges für die Festlegung in einem Punkt:
:&lt;math&gt;F(z_0)=\ln(|z_0|)+i\cdot t = w&lt;/math&gt;
Damit gilt bei Einsetzen in die Exponentialfunktion:
:&lt;math&gt;
 e^{w} = e^{F(z_0)}= e^{\ln(|z_0|)+i\cdot t} = e^{\ln(|z_0|)}\cdot e^{i\cdot t} = |z_0|\cdot e^{i\cdot t} = z_0
&lt;/math&gt;

== Siehe auch ==
* [[einfach zusammenhängend]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]]
* [[w:de:Stammfunktion|Stammfunktion]]</text>
      <sha1>1vmgdca51d39wd142poc2m0geegrzxy</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>1115856</id>
      <parentid>1115854</parentid>
      <timestamp>2026-10-12T14:53:28Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bert Niehaus</username>
        <id>20843</id>
      </contributor>
      <comment>/* Festlegung der Stammfunktion als Logarithmus */</comment>
      <origin>1115856</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="2047" sha1="id95mqg3yjz3hn10x7pr4b91lkb4u53" xml:space="preserve">== Einleitung ==
Man betrachtet nun beliebige offene einfach zusammenhängende [[Gebiet (Mathematik)|Gebiete]] &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;z_0=|z_0|\cdot e^{it} \in G&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;t\in \mathbb{R}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;0\notin G&lt;/math&gt; und betrachtet die zugehörige Stammfunktion &lt;math&gt;log_{_G}(z)&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;f(z)&lt;/math&gt;, die die Eigenschaft &lt;math&gt;log_{_G}(z_0)=\ln(|z_0|)+i\cdot t&lt;/math&gt;. Im Allgemeinen muss &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; nur [[einfach zusammenhängend]] mit &lt;math&gt;0\notin G&lt;/math&gt; sein, damit eine Stammfunktion von &lt;math&gt;f(z)=\tfrac{1}{z}&lt;/math&gt; existiert. Stammfunktionen &lt;math&gt;F&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; unterscheiden sich nur durch eine Konstante &lt;math&gt;c&lt;/math&gt;. 

=== Festlegung der Stammfunktion als Logarithmus ===
Durch die Festlegung von &lt;math&gt;F(1)=0&lt;/math&gt; für den Hauptzweig des Logarithmus, bzw. &lt;math&gt;F(-1)=\pi i&lt;/math&gt; für den [[negativer Hauptzweig|negativen Hauptzweig]] ist der [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] als [[w:de:Stammfunktion|Stammfunktion]] von &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; allerdings eindeutig festgelegt. Für einen generalisierten Logarithmus auf einem Gebiet &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; reicht die Festlegung des Zweiges für die Festlegung in einem Punkt:
:&lt;math&gt;F(z_0)=\ln(|z_0|)+i\cdot t = w&lt;/math&gt;
Damit gilt bei Einsetzen in die Exponentialfunktion:
:&lt;math&gt;
 e^{w} = e^{F(z_0)}= e^{\ln(|z_0|)+i\cdot t} = e^{\ln(|z_0|)}\cdot e^{i\cdot t} = |z_0|\cdot e^{i\cdot t} = z_0
&lt;/math&gt;

=== Einführendes Beispiel - Archimedische Spiral ===
Man verwendet und ein [[Weg (Mathematik)/parametrisch unendlich#rechtsseitig|rechtseitig parametrisch unendlichen Weg]], der wie folgt definiert ist:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rrcl}
   \gamma : &amp; [0,+\infty) &amp; \rightarrow &amp; \mathbb{C} \\ 
    &amp;  t  &amp; \mapsto &amp; \gamma(t) = t\cdot e^{i\cdot t} 
  \end{array}  

&lt;/math&gt;

==== Abbildung - Archimedische Spirale ====

[[Datei:Archimedean spiral.svg|350px|gerahmt|zentriert|Archimedische Spirale]]

== Siehe auch ==
* [[einfach zusammenhängend]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]]
* [[w:de:Stammfunktion|Stammfunktion]]</text>
      <sha1>id95mqg3yjz3hn10x7pr4b91lkb4u53</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>1115857</id>
      <parentid>1115856</parentid>
      <timestamp>2026-10-12T14:53:42Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bert Niehaus</username>
        <id>20843</id>
      </contributor>
      <comment>/* Abbildung - Archimedische Spirale */</comment>
      <origin>1115857</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="2047" sha1="08dni7hspm72264dx2kga4cqxt9v6g8" xml:space="preserve">== Einleitung ==
Man betrachtet nun beliebige offene einfach zusammenhängende [[Gebiet (Mathematik)|Gebiete]] &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;z_0=|z_0|\cdot e^{it} \in G&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;t\in \mathbb{R}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;0\notin G&lt;/math&gt; und betrachtet die zugehörige Stammfunktion &lt;math&gt;log_{_G}(z)&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;f(z)&lt;/math&gt;, die die Eigenschaft &lt;math&gt;log_{_G}(z_0)=\ln(|z_0|)+i\cdot t&lt;/math&gt;. Im Allgemeinen muss &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; nur [[einfach zusammenhängend]] mit &lt;math&gt;0\notin G&lt;/math&gt; sein, damit eine Stammfunktion von &lt;math&gt;f(z)=\tfrac{1}{z}&lt;/math&gt; existiert. Stammfunktionen &lt;math&gt;F&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; unterscheiden sich nur durch eine Konstante &lt;math&gt;c&lt;/math&gt;. 

=== Festlegung der Stammfunktion als Logarithmus ===
Durch die Festlegung von &lt;math&gt;F(1)=0&lt;/math&gt; für den Hauptzweig des Logarithmus, bzw. &lt;math&gt;F(-1)=\pi i&lt;/math&gt; für den [[negativer Hauptzweig|negativen Hauptzweig]] ist der [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] als [[w:de:Stammfunktion|Stammfunktion]] von &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; allerdings eindeutig festgelegt. Für einen generalisierten Logarithmus auf einem Gebiet &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; reicht die Festlegung des Zweiges für die Festlegung in einem Punkt:
:&lt;math&gt;F(z_0)=\ln(|z_0|)+i\cdot t = w&lt;/math&gt;
Damit gilt bei Einsetzen in die Exponentialfunktion:
:&lt;math&gt;
 e^{w} = e^{F(z_0)}= e^{\ln(|z_0|)+i\cdot t} = e^{\ln(|z_0|)}\cdot e^{i\cdot t} = |z_0|\cdot e^{i\cdot t} = z_0
&lt;/math&gt;

=== Einführendes Beispiel - Archimedische Spiral ===
Man verwendet und ein [[Weg (Mathematik)/parametrisch unendlich#rechtsseitig|rechtseitig parametrisch unendlichen Weg]], der wie folgt definiert ist:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rrcl}
   \gamma : &amp; [0,+\infty) &amp; \rightarrow &amp; \mathbb{C} \\ 
    &amp;  t  &amp; \mapsto &amp; \gamma(t) = t\cdot e^{i\cdot t} 
  \end{array}  

&lt;/math&gt;

==== Abbildung - Archimedische Spirale ====

[[Datei:Archimedean spiral.svg|250px|gerahmt|zentriert|Archimedische Spirale]]

== Siehe auch ==
* [[einfach zusammenhängend]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]]
* [[w:de:Stammfunktion|Stammfunktion]]</text>
      <sha1>08dni7hspm72264dx2kga4cqxt9v6g8</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>1115858</id>
      <parentid>1115857</parentid>
      <timestamp>2026-10-12T14:53:56Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bert Niehaus</username>
        <id>20843</id>
      </contributor>
      <comment>/* Abbildung - Archimedische Spirale */</comment>
      <origin>1115858</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="2039" sha1="1h8yhkaorl3h6sazhtgkm5dc8hu4w3i" xml:space="preserve">== Einleitung ==
Man betrachtet nun beliebige offene einfach zusammenhängende [[Gebiet (Mathematik)|Gebiete]] &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;z_0=|z_0|\cdot e^{it} \in G&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;t\in \mathbb{R}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;0\notin G&lt;/math&gt; und betrachtet die zugehörige Stammfunktion &lt;math&gt;log_{_G}(z)&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;f(z)&lt;/math&gt;, die die Eigenschaft &lt;math&gt;log_{_G}(z_0)=\ln(|z_0|)+i\cdot t&lt;/math&gt;. Im Allgemeinen muss &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; nur [[einfach zusammenhängend]] mit &lt;math&gt;0\notin G&lt;/math&gt; sein, damit eine Stammfunktion von &lt;math&gt;f(z)=\tfrac{1}{z}&lt;/math&gt; existiert. Stammfunktionen &lt;math&gt;F&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; unterscheiden sich nur durch eine Konstante &lt;math&gt;c&lt;/math&gt;. 

=== Festlegung der Stammfunktion als Logarithmus ===
Durch die Festlegung von &lt;math&gt;F(1)=0&lt;/math&gt; für den Hauptzweig des Logarithmus, bzw. &lt;math&gt;F(-1)=\pi i&lt;/math&gt; für den [[negativer Hauptzweig|negativen Hauptzweig]] ist der [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] als [[w:de:Stammfunktion|Stammfunktion]] von &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; allerdings eindeutig festgelegt. Für einen generalisierten Logarithmus auf einem Gebiet &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; reicht die Festlegung des Zweiges für die Festlegung in einem Punkt:
:&lt;math&gt;F(z_0)=\ln(|z_0|)+i\cdot t = w&lt;/math&gt;
Damit gilt bei Einsetzen in die Exponentialfunktion:
:&lt;math&gt;
 e^{w} = e^{F(z_0)}= e^{\ln(|z_0|)+i\cdot t} = e^{\ln(|z_0|)}\cdot e^{i\cdot t} = |z_0|\cdot e^{i\cdot t} = z_0
&lt;/math&gt;

=== Einführendes Beispiel - Archimedische Spiral ===
Man verwendet und ein [[Weg (Mathematik)/parametrisch unendlich#rechtsseitig|rechtseitig parametrisch unendlichen Weg]], der wie folgt definiert ist:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rrcl}
   \gamma : &amp; [0,+\infty) &amp; \rightarrow &amp; \mathbb{C} \\ 
    &amp;  t  &amp; \mapsto &amp; \gamma(t) = t\cdot e^{i\cdot t} 
  \end{array}  

&lt;/math&gt;

==== Abbildung - Archimedische Spirale ====

[[Datei:Archimedean spiral.svg|350px|zentriert|Archimedische Spirale]]

== Siehe auch ==
* [[einfach zusammenhängend]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]]
* [[w:de:Stammfunktion|Stammfunktion]]</text>
      <sha1>1h8yhkaorl3h6sazhtgkm5dc8hu4w3i</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>1115861</id>
      <parentid>1115858</parentid>
      <timestamp>2026-10-12T14:58:37Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bert Niehaus</username>
        <id>20843</id>
      </contributor>
      <comment>/* Einführendes Beispiel - Archimedische Spiral */</comment>
      <origin>1115861</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="2518" sha1="9mhmpthvjy5oj59ns8ob9ock57y7pm9" xml:space="preserve">== Einleitung ==
Man betrachtet nun beliebige offene einfach zusammenhängende [[Gebiet (Mathematik)|Gebiete]] &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;z_0=|z_0|\cdot e^{it} \in G&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;t\in \mathbb{R}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;0\notin G&lt;/math&gt; und betrachtet die zugehörige Stammfunktion &lt;math&gt;log_{_G}(z)&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;f(z)&lt;/math&gt;, die die Eigenschaft &lt;math&gt;log_{_G}(z_0)=\ln(|z_0|)+i\cdot t&lt;/math&gt;. Im Allgemeinen muss &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; nur [[einfach zusammenhängend]] mit &lt;math&gt;0\notin G&lt;/math&gt; sein, damit eine Stammfunktion von &lt;math&gt;f(z)=\tfrac{1}{z}&lt;/math&gt; existiert. Stammfunktionen &lt;math&gt;F&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; unterscheiden sich nur durch eine Konstante &lt;math&gt;c&lt;/math&gt;. 

=== Festlegung der Stammfunktion als Logarithmus ===
Durch die Festlegung von &lt;math&gt;F(1)=0&lt;/math&gt; für den Hauptzweig des Logarithmus, bzw. &lt;math&gt;F(-1)=\pi i&lt;/math&gt; für den [[negativer Hauptzweig|negativen Hauptzweig]] ist der [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] als [[w:de:Stammfunktion|Stammfunktion]] von &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; allerdings eindeutig festgelegt. Für einen generalisierten Logarithmus auf einem Gebiet &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; reicht die Festlegung des Zweiges für die Festlegung in einem Punkt:
:&lt;math&gt;F(z_0)=\ln(|z_0|)+i\cdot t = w&lt;/math&gt;
Damit gilt bei Einsetzen in die Exponentialfunktion:
:&lt;math&gt;
 e^{w} = e^{F(z_0)}= e^{\ln(|z_0|)+i\cdot t} = e^{\ln(|z_0|)}\cdot e^{i\cdot t} = |z_0|\cdot e^{i\cdot t} = z_0
&lt;/math&gt;

=== Einführendes Beispiel - Archimedische Spiral ===
Man verwendet und ein [[Weg (Mathematik)/parametrisch unendlich#rechtsseitig|rechtseitig parametrisch unendlichen Weg]], der wie folgt definiert ist:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rrcl}
   \gamma : &amp; [0,+\infty) &amp; \rightarrow &amp; \mathbb{C} \\ 
    &amp;  t  &amp; \mapsto &amp; \gamma(t) = t\cdot e^{i\cdot t} 
  \end{array}  

&lt;/math&gt;
Die Spur der [[w:de:Archimedische Spirale|archimedischen Spirale]] &lt;math&gt;Spur(\gamma)&lt;/math&gt; wird nun aus den komplexen Zahlen entfernt &lt;math&gt;G:=\mathbb{C}\setminus Spur(\gamma)&lt;/math&gt; und man erhält ein [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängendes]] [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] &lt;math&gt;G&lt;/math&gt;.

==== Abbildung - Archimedische Spirale ====
Die folgende Abbildung zeigt die Spur des Weges &lt;math&gt;\gamma&lt;/math&gt; als [[Weg (Mathematik)/parametrisch unendlich#rechtsseitig|rechtseitig parametrisch unendlichen Weg]].

[[Datei:Archimedean spiral.svg|350px|zentriert|Archimedische Spirale]]

== Siehe auch ==
* [[einfach zusammenhängend]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]]
* [[w:de:Stammfunktion|Stammfunktion]]</text>
      <sha1>9mhmpthvjy5oj59ns8ob9ock57y7pm9</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>1115862</id>
      <parentid>1115861</parentid>
      <timestamp>2026-10-12T14:58:59Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bert Niehaus</username>
        <id>20843</id>
      </contributor>
      <comment>/* Siehe auch */</comment>
      <origin>1115862</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="2547" sha1="9vnc9sp5t1xfb11zpsy9y7abcagibmv" xml:space="preserve">== Einleitung ==
Man betrachtet nun beliebige offene einfach zusammenhängende [[Gebiet (Mathematik)|Gebiete]] &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;z_0=|z_0|\cdot e^{it} \in G&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;t\in \mathbb{R}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;0\notin G&lt;/math&gt; und betrachtet die zugehörige Stammfunktion &lt;math&gt;log_{_G}(z)&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;f(z)&lt;/math&gt;, die die Eigenschaft &lt;math&gt;log_{_G}(z_0)=\ln(|z_0|)+i\cdot t&lt;/math&gt;. Im Allgemeinen muss &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; nur [[einfach zusammenhängend]] mit &lt;math&gt;0\notin G&lt;/math&gt; sein, damit eine Stammfunktion von &lt;math&gt;f(z)=\tfrac{1}{z}&lt;/math&gt; existiert. Stammfunktionen &lt;math&gt;F&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; unterscheiden sich nur durch eine Konstante &lt;math&gt;c&lt;/math&gt;. 

=== Festlegung der Stammfunktion als Logarithmus ===
Durch die Festlegung von &lt;math&gt;F(1)=0&lt;/math&gt; für den Hauptzweig des Logarithmus, bzw. &lt;math&gt;F(-1)=\pi i&lt;/math&gt; für den [[negativer Hauptzweig|negativen Hauptzweig]] ist der [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] als [[w:de:Stammfunktion|Stammfunktion]] von &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; allerdings eindeutig festgelegt. Für einen generalisierten Logarithmus auf einem Gebiet &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; reicht die Festlegung des Zweiges für die Festlegung in einem Punkt:
:&lt;math&gt;F(z_0)=\ln(|z_0|)+i\cdot t = w&lt;/math&gt;
Damit gilt bei Einsetzen in die Exponentialfunktion:
:&lt;math&gt;
 e^{w} = e^{F(z_0)}= e^{\ln(|z_0|)+i\cdot t} = e^{\ln(|z_0|)}\cdot e^{i\cdot t} = |z_0|\cdot e^{i\cdot t} = z_0
&lt;/math&gt;

=== Einführendes Beispiel - Archimedische Spiral ===
Man verwendet und ein [[Weg (Mathematik)/parametrisch unendlich#rechtsseitig|rechtseitig parametrisch unendlichen Weg]], der wie folgt definiert ist:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rrcl}
   \gamma : &amp; [0,+\infty) &amp; \rightarrow &amp; \mathbb{C} \\ 
    &amp;  t  &amp; \mapsto &amp; \gamma(t) = t\cdot e^{i\cdot t} 
  \end{array}  

&lt;/math&gt;
Die Spur der [[w:de:Archimedische Spirale|archimedischen Spirale]] &lt;math&gt;Spur(\gamma)&lt;/math&gt; wird nun aus den komplexen Zahlen entfernt &lt;math&gt;G:=\mathbb{C}\setminus Spur(\gamma)&lt;/math&gt; und man erhält ein [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängendes]] [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] &lt;math&gt;G&lt;/math&gt;.

==== Abbildung - Archimedische Spirale ====
Die folgende Abbildung zeigt die Spur des Weges &lt;math&gt;\gamma&lt;/math&gt; als [[Weg (Mathematik)/parametrisch unendlich#rechtsseitig|rechtseitig parametrisch unendlichen Weg]].

[[Datei:Archimedean spiral.svg|350px|zentriert|Archimedische Spirale]]

== Siehe auch ==
* [[einfach zusammenhängend]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]]
* [[w:de:Stammfunktion|Stammfunktion]]
* [[Zweige des Logarithmus]]</text>
      <sha1>9vnc9sp5t1xfb11zpsy9y7abcagibmv</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>1115871</id>
      <parentid>1115862</parentid>
      <timestamp>2026-10-12T15:11:02Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bert Niehaus</username>
        <id>20843</id>
      </contributor>
      <comment>/* Abbildung - Archimedische Spirale */</comment>
      <origin>1115871</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="3654" sha1="ch4qhlb9xu3tsdyis7f97o27esy5u21" xml:space="preserve">== Einleitung ==
Man betrachtet nun beliebige offene einfach zusammenhängende [[Gebiet (Mathematik)|Gebiete]] &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;z_0=|z_0|\cdot e^{it} \in G&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;t\in \mathbb{R}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;0\notin G&lt;/math&gt; und betrachtet die zugehörige Stammfunktion &lt;math&gt;log_{_G}(z)&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;f(z)&lt;/math&gt;, die die Eigenschaft &lt;math&gt;log_{_G}(z_0)=\ln(|z_0|)+i\cdot t&lt;/math&gt;. Im Allgemeinen muss &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; nur [[einfach zusammenhängend]] mit &lt;math&gt;0\notin G&lt;/math&gt; sein, damit eine Stammfunktion von &lt;math&gt;f(z)=\tfrac{1}{z}&lt;/math&gt; existiert. Stammfunktionen &lt;math&gt;F&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; unterscheiden sich nur durch eine Konstante &lt;math&gt;c&lt;/math&gt;. 

=== Festlegung der Stammfunktion als Logarithmus ===
Durch die Festlegung von &lt;math&gt;F(1)=0&lt;/math&gt; für den Hauptzweig des Logarithmus, bzw. &lt;math&gt;F(-1)=\pi i&lt;/math&gt; für den [[negativer Hauptzweig|negativen Hauptzweig]] ist der [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] als [[w:de:Stammfunktion|Stammfunktion]] von &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; allerdings eindeutig festgelegt. Für einen generalisierten Logarithmus auf einem Gebiet &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; reicht die Festlegung des Zweiges für die Festlegung in einem Punkt:
:&lt;math&gt;F(z_0)=\ln(|z_0|)+i\cdot t = w&lt;/math&gt;
Damit gilt bei Einsetzen in die Exponentialfunktion:
:&lt;math&gt;
 e^{w} = e^{F(z_0)}= e^{\ln(|z_0|)+i\cdot t} = e^{\ln(|z_0|)}\cdot e^{i\cdot t} = |z_0|\cdot e^{i\cdot t} = z_0
&lt;/math&gt;

=== Einführendes Beispiel - Archimedische Spiral ===
Man verwendet und ein [[Weg (Mathematik)/parametrisch unendlich#rechtsseitig|rechtseitig parametrisch unendlichen Weg]], der wie folgt definiert ist:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rrcl}
   \gamma : &amp; [0,+\infty) &amp; \rightarrow &amp; \mathbb{C} \\ 
    &amp;  t  &amp; \mapsto &amp; \gamma(t) = t\cdot e^{i\cdot t} 
  \end{array}  

&lt;/math&gt;
Die Spur der [[w:de:Archimedische Spirale|archimedischen Spirale]] &lt;math&gt;Spur(\gamma)&lt;/math&gt; wird nun aus den komplexen Zahlen entfernt &lt;math&gt;G:=\mathbb{C}\setminus Spur(\gamma)&lt;/math&gt; und man erhält ein [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängendes]] [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] &lt;math&gt;G&lt;/math&gt;.

==== Abbildung - Archimedische Spirale ====
Die folgende Abbildung zeigt die Spur des Weges &lt;math&gt;\gamma&lt;/math&gt; als [[Weg (Mathematik)/parametrisch unendlich#rechtsseitig|rechtseitig parametrisch unendlichen Weg]].

[[Datei:Archimedean spiral.svg|350px|zentriert|Archimedische Spirale]]

==== Beschränkter Imaginärteil beim Logarithmus ====
Wenn man den [[Hauptzweig des Logarithmus]] oder den [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweig des Logarithmus]] betrachtet, so haben die Logarithmen immer einen beschränkten Imaginärteil.
* &lt;math&gt;(-\pi,+\pi)&lt;/math&gt; für den [[Hauptzweig des Logarithmus]] und 
* &lt;math&gt;(0,2\pi)&lt;/math&gt; für den [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweig des Logarithmus]].
Bei generalisierten Logarithmen auf einfach zusammenhängenden Gebieten ist der Imaginärteil aber nicht notwendigerweise beschränkt.

=== Aufgabe für Studierende ===
Zeigen Sie, dass der [[Zweig des Logarithmus]], der auf dem Gebiet &lt;math&gt;G\setminus Spur(\gamma)&lt;/math&gt; definiert ist, einen unbeschränkten Imaginärteil besitzt. &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; entsteht dabei durch die Entfernung der Spur der [[w:de:archimedische Spirale|archimedischen Spirale]] aus den komplexen Zahlen. 

==== Hinweis zur Aufgabe ====
Die Zahl 0 wird ebenfalls aus dem Definitionsbereiches des Zweiges entfernt, da &lt;math&gt;\gamma(0)=0\cdot e^{i\cdot 0} = 0\in Spur(\gamma)&lt;/math&gt; gilt.

== Siehe auch ==
* [[einfach zusammenhängend]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]]
* [[w:de:Stammfunktion|Stammfunktion]]
* [[Zweige des Logarithmus]]</text>
      <sha1>ch4qhlb9xu3tsdyis7f97o27esy5u21</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>1115877</id>
      <parentid>1115871</parentid>
      <timestamp>2026-10-12T15:26:18Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bert Niehaus</username>
        <id>20843</id>
      </contributor>
      <comment>/* Hinweis zur Aufgabe */</comment>
      <origin>1115877</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="6228" sha1="80i87m3dop70z5ddyxj8j14ti9i0mgy" xml:space="preserve">== Einleitung ==
Man betrachtet nun beliebige offene einfach zusammenhängende [[Gebiet (Mathematik)|Gebiete]] &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;z_0=|z_0|\cdot e^{it} \in G&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;t\in \mathbb{R}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;0\notin G&lt;/math&gt; und betrachtet die zugehörige Stammfunktion &lt;math&gt;log_{_G}(z)&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;f(z)&lt;/math&gt;, die die Eigenschaft &lt;math&gt;log_{_G}(z_0)=\ln(|z_0|)+i\cdot t&lt;/math&gt;. Im Allgemeinen muss &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; nur [[einfach zusammenhängend]] mit &lt;math&gt;0\notin G&lt;/math&gt; sein, damit eine Stammfunktion von &lt;math&gt;f(z)=\tfrac{1}{z}&lt;/math&gt; existiert. Stammfunktionen &lt;math&gt;F&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; unterscheiden sich nur durch eine Konstante &lt;math&gt;c&lt;/math&gt;. 

=== Festlegung der Stammfunktion als Logarithmus ===
Durch die Festlegung von &lt;math&gt;F(1)=0&lt;/math&gt; für den Hauptzweig des Logarithmus, bzw. &lt;math&gt;F(-1)=\pi i&lt;/math&gt; für den [[negativer Hauptzweig|negativen Hauptzweig]] ist der [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] als [[w:de:Stammfunktion|Stammfunktion]] von &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; allerdings eindeutig festgelegt. Für einen generalisierten Logarithmus auf einem Gebiet &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; reicht die Festlegung des Zweiges für die Festlegung in einem Punkt:
:&lt;math&gt;F(z_0)=\ln(|z_0|)+i\cdot t = w&lt;/math&gt;
Damit gilt bei Einsetzen in die Exponentialfunktion:
:&lt;math&gt;
 e^{w} = e^{F(z_0)}= e^{\ln(|z_0|)+i\cdot t} = e^{\ln(|z_0|)}\cdot e^{i\cdot t} = |z_0|\cdot e^{i\cdot t} = z_0
&lt;/math&gt;

=== Einführendes Beispiel - Archimedische Spiral ===
Man verwendet und ein [[Weg (Mathematik)/parametrisch unendlich#rechtsseitig|rechtseitig parametrisch unendlichen Weg]], der wie folgt definiert ist:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rrcl}
   \gamma : &amp; [0,+\infty) &amp; \rightarrow &amp; \mathbb{C} \\ 
    &amp;  t  &amp; \mapsto &amp; \gamma(t) = t\cdot e^{i\cdot t} 
  \end{array}  

&lt;/math&gt;
Die Spur der [[w:de:Archimedische Spirale|archimedischen Spirale]] &lt;math&gt;Spur(\gamma)&lt;/math&gt; wird nun aus den komplexen Zahlen entfernt &lt;math&gt;G:=\mathbb{C}\setminus Spur(\gamma)&lt;/math&gt; und man erhält ein [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängendes]] [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] &lt;math&gt;G&lt;/math&gt;.

==== Abbildung - Archimedische Spirale ====
Die folgende Abbildung zeigt die Spur des Weges &lt;math&gt;\gamma&lt;/math&gt; als [[Weg (Mathematik)/parametrisch unendlich#rechtsseitig|rechtseitig parametrisch unendlichen Weg]].

[[Datei:Archimedean spiral.svg|350px|zentriert|Archimedische Spirale]]

==== Beschränkter Imaginärteil beim Logarithmus ====
Wenn man den [[Hauptzweig des Logarithmus]] oder den [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweig des Logarithmus]] betrachtet, so haben die Logarithmen immer einen beschränkten Imaginärteil.
* &lt;math&gt;(-\pi,+\pi)&lt;/math&gt; für den [[Hauptzweig des Logarithmus]] und 
* &lt;math&gt;(0,2\pi)&lt;/math&gt; für den [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweig des Logarithmus]].
Bei generalisierten Logarithmen auf einfach zusammenhängenden Gebieten ist der Imaginärteil aber nicht notwendigerweise beschränkt.

=== Aufgabe für Studierende ===
Zeigen Sie, dass der [[Zweig des Logarithmus]], der auf dem Gebiet &lt;math&gt;G\setminus Spur(\gamma)&lt;/math&gt; definiert ist, einen unbeschränkten Imaginärteil besitzt. &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; entsteht dabei durch die Entfernung der Spur der [[w:de:archimedische Spirale|archimedischen Spirale]] aus den komplexen Zahlen. 

==== Hinweis zur Aufgabe ====
Die Zahl 0 wird ebenfalls aus dem Definitionsbereiches des Zweiges entfernt, da &lt;math&gt;\gamma(0)=0\cdot e^{i\cdot 0} = 0\in Spur(\gamma)&lt;/math&gt; gilt.

== Definition - generalisierter Logarithmus ==
Sei &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; ein [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängendes]] Gebiet mit &lt;math&gt;0\notin G&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;z_o=|z_o|\cdot e^{it} \not=0&lt;/math&gt;. Die Funktion &lt;math&gt;\log_{_G} : G \to \mathbb{C} &lt;/math&gt; mit 
:&lt;math&gt;
   \log_{_G}(z_0) = \ln(|z_0|) + i \cdot t
&lt;/math&gt; 
nennt man generalisierter Logarithmus auf &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; für &lt;math&gt;z_o=|z_o|\cdot e^{it} \in G&lt;/math&gt;.

=== Integraldarstellung des Zweiges ===


=== Entwicklung in Potenzreihen ===
Man legt 
Jede auf einem Gebiet &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; [[holomorphe Funktion]] lässt sich lokal in eine Potenzreihe entwickelt. Durch den Zusammenhang von &lt;math&gt;\tfrac{1}{z}&lt;/math&gt; und dem Logarithmus erhält man auch eine Potenzreihendarstellung für beliebige [[w:de:Potenzreihe|Entwicklungspunkte]] &lt;math&gt;z_o=|z_o|\cdot e^{it} \not=0&lt;/math&gt; über die [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] mit &lt;math&gt;q=\frac{z-z_o}{-z_o}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;|z-z_0| &lt; |z_0|&lt;/math&gt;:
:&lt;math&gt;f(z)= \frac{1}{z} 
= \frac{1}{z_o} \cdot \frac{1}{ 1-  \underbrace{\frac{z-z_o}{-z_o} }_{=q} }
=
 \sum_{n=0}^\infty 
\underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1}} }_{=a_n} \cdot (z-z_o)^n 
&lt;/math&gt;

=== Stammfunktion - Konstante der Taylorreihe ===
Für den [[w:de:Potenzreihe|Entwicklungspunkt]] &lt;math&gt;z_o=|z_o|\cdot e^{it} \not=0&lt;/math&gt; erhält man für einen Zweig des Logarithmus als Stammfunktion von von &lt;math&gt;\tfrac{1}{z}&lt;/math&gt; folgende Potenzreihendarstellung auf &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;r&lt; |z_0|&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;c= \ln(|z_o|) + i\cdot t&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;t\in \mathbb{R}&lt;/math&gt;:
:&lt;math&gt;\log_{_G}(z)= c +
 \sum_{n=0}^\infty 
\frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1} \cdot (n+1)}  \cdot (z-z_o)^{n+1} 
&lt;/math&gt;
Ein zugehöriger Zweig von &lt;math&gt;\log_{_G}&lt;/math&gt; ist dann z.B. auf dem Gebiet &lt;math&gt;G:= \mathbb{C} \setminus Spur(\gamma)&lt;/math&gt; definiert.

=== Bemerkung - Eindeutigkeitlemma für Logarithmuszweige ===
Das 
[[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] zeigt, dass mit der Wahl eines [[einfach zusammenhängend]]en &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;0\notin G&lt;/math&gt; und der Festlegung des Imaginärteiles des Logarithmuszweige für ein &lt;math&gt;z_0\in G&lt;/math&gt; der gesamte Zweig des Logarithmus auf &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; eindeutig definiert ist. Wie bei anderen Zweigen des Logarithmus ist durch den [[Identitätssatz]] bereits durch die Festlegung eines Punkte die Stammfunktion von &lt;math&gt;\tfrac{1}{z}&lt;/math&gt; auf einer Kreisscheibe festgelegt, die als nicht diskrete Menge den Logarithmus auf ganz &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; festlegt.

== Siehe auch ==
* [[einfach zusammenhängend]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]]
* [[w:de:Stammfunktion|Stammfunktion]]
* [[Zweige des Logarithmus]]</text>
      <sha1>80i87m3dop70z5ddyxj8j14ti9i0mgy</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>1115880</id>
      <parentid>1115877</parentid>
      <timestamp>2026-10-12T15:35:32Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bert Niehaus</username>
        <id>20843</id>
      </contributor>
      <comment>/* Integraldarstellung des Zweiges */</comment>
      <origin>1115880</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="7442" sha1="1x9fa3qipllr2z6u1zgjfxptrz1pxc5" xml:space="preserve">== Einleitung ==
Man betrachtet nun beliebige offene einfach zusammenhängende [[Gebiet (Mathematik)|Gebiete]] &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;z_0=|z_0|\cdot e^{it} \in G&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;t\in \mathbb{R}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;0\notin G&lt;/math&gt; und betrachtet die zugehörige Stammfunktion &lt;math&gt;log_{_G}(z)&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;f(z)&lt;/math&gt;, die die Eigenschaft &lt;math&gt;log_{_G}(z_0)=\ln(|z_0|)+i\cdot t&lt;/math&gt;. Im Allgemeinen muss &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; nur [[einfach zusammenhängend]] mit &lt;math&gt;0\notin G&lt;/math&gt; sein, damit eine Stammfunktion von &lt;math&gt;f(z)=\tfrac{1}{z}&lt;/math&gt; existiert. Stammfunktionen &lt;math&gt;F&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; unterscheiden sich nur durch eine Konstante &lt;math&gt;c&lt;/math&gt;. 

=== Festlegung der Stammfunktion als Logarithmus ===
Durch die Festlegung von &lt;math&gt;F(1)=0&lt;/math&gt; für den Hauptzweig des Logarithmus, bzw. &lt;math&gt;F(-1)=\pi i&lt;/math&gt; für den [[negativer Hauptzweig|negativen Hauptzweig]] ist der [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] als [[w:de:Stammfunktion|Stammfunktion]] von &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; allerdings eindeutig festgelegt. Für einen generalisierten Logarithmus auf einem Gebiet &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; reicht die Festlegung des Zweiges für die Festlegung in einem Punkt:
:&lt;math&gt;F(z_0)=\ln(|z_0|)+i\cdot t = w&lt;/math&gt;
Damit gilt bei Einsetzen in die Exponentialfunktion:
:&lt;math&gt;
 e^{w} = e^{F(z_0)}= e^{\ln(|z_0|)+i\cdot t} = e^{\ln(|z_0|)}\cdot e^{i\cdot t} = |z_0|\cdot e^{i\cdot t} = z_0
&lt;/math&gt;

=== Einführendes Beispiel - Archimedische Spiral ===
Man verwendet und ein [[Weg (Mathematik)/parametrisch unendlich#rechtsseitig|rechtseitig parametrisch unendlichen Weg]], der wie folgt definiert ist:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rrcl}
   \gamma : &amp; [0,+\infty) &amp; \rightarrow &amp; \mathbb{C} \\ 
    &amp;  t  &amp; \mapsto &amp; \gamma(t) = t\cdot e^{i\cdot t} 
  \end{array}  

&lt;/math&gt;
Die Spur der [[w:de:Archimedische Spirale|archimedischen Spirale]] &lt;math&gt;Spur(\gamma)&lt;/math&gt; wird nun aus den komplexen Zahlen entfernt &lt;math&gt;G:=\mathbb{C}\setminus Spur(\gamma)&lt;/math&gt; und man erhält ein [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängendes]] [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] &lt;math&gt;G&lt;/math&gt;.

==== Abbildung - Archimedische Spirale ====
Die folgende Abbildung zeigt die Spur des Weges &lt;math&gt;\gamma&lt;/math&gt; als [[Weg (Mathematik)/parametrisch unendlich#rechtsseitig|rechtseitig parametrisch unendlichen Weg]].

[[Datei:Archimedean spiral.svg|350px|zentriert|Archimedische Spirale]]

==== Beschränkter Imaginärteil beim Logarithmus ====
Wenn man den [[Hauptzweig des Logarithmus]] oder den [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweig des Logarithmus]] betrachtet, so haben die Logarithmen immer einen beschränkten Imaginärteil.
* &lt;math&gt;(-\pi,+\pi)&lt;/math&gt; für den [[Hauptzweig des Logarithmus]] und 
* &lt;math&gt;(0,2\pi)&lt;/math&gt; für den [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweig des Logarithmus]].
Bei generalisierten Logarithmen auf einfach zusammenhängenden Gebieten ist der Imaginärteil aber nicht notwendigerweise beschränkt.

=== Aufgabe für Studierende ===
Zeigen Sie, dass der [[Zweig des Logarithmus]], der auf dem Gebiet &lt;math&gt;G\setminus Spur(\gamma)&lt;/math&gt; definiert ist, einen unbeschränkten Imaginärteil besitzt. &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; entsteht dabei durch die Entfernung der Spur der [[w:de:archimedische Spirale|archimedischen Spirale]] aus den komplexen Zahlen. 

==== Hinweis zur Aufgabe ====
Die Zahl 0 wird ebenfalls aus dem Definitionsbereiches des Zweiges entfernt, da &lt;math&gt;\gamma(0)=0\cdot e^{i\cdot 0} = 0\in Spur(\gamma)&lt;/math&gt; gilt.

== Definition - generalisierter Logarithmus ==
Sei &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; ein [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängendes]] Gebiet mit &lt;math&gt;0\notin G&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;z_o=|z_o|\cdot e^{it} \not=0&lt;/math&gt;. Die Funktion &lt;math&gt;\log_{_G} : G \to \mathbb{C} &lt;/math&gt; mit 
:&lt;math&gt;
   \log_{_G}(z_0) = \ln(|z_0|) + i \cdot t
&lt;/math&gt; 
nennt man generalisierter Logarithmus auf &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; für &lt;math&gt;z_o=|z_o|\cdot e^{it} \in G&lt;/math&gt;.

=== LogMod-Funktion des Startpunktes ===
Analog zu den bereits angesprochenen [[Zweige des Logarithmus|Zweige des Logorithmus]] wählt man &lt;math&gt;z_o \in \mathbb{C} \setminus \{0\}&lt;/math&gt; als Startpunkt des definierenden Wegintegrals über &lt;math&gt;f(\xi)=\tfrac{1}{\xi}&lt;/math&gt;. Die Eigenschaft &lt;math&gt;log_{_G}(1)=2\pi i\cdot k&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;k\in \mathbb{Z}&lt;/math&gt; ist erfüllt, wobei die [[logmod-Funktion]] &lt;math&gt;logmod(z_0)&lt;/math&gt; und die topologische Struktur des [[einfach zusammenhängend]]en Gebietes die Vielfachheit &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;log_{_G}(1)&lt;/math&gt; eindeutig festlegt. 

=== Integraldarstellung des Zweiges ===
Die folgende Integraldarstellung des Hauptzweiges mit [[Konvexkombination]] &lt;math&gt;\gamma_z&lt;/math&gt; als Integrationsweg erfüllt diese Eigenschaft für &lt;math&gt;z_0 =|z_0|\cdot e^{it}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;t\in \mathbb{R}&lt;/math&gt;: 
:&lt;math&gt;
 \begin{array}{rrcl}
   \gamma_z : &amp; [0,1] &amp; \rightarrow &amp; \mathbb{C} \\ 
    &amp;  t  &amp; \mapsto &amp; \gamma_z(t) =  (1-t)\cdot z_0 + t\cdot z =  (t-1) + t\cdot z 
  \end{array}  
&lt;/math&gt;

:&lt;math&gt;
log(z) := \underbrace{(\ln(|z_0|\cdot i\cdot t)}_{=\log_{_G}(z_0)} + \int_{\gamma_z}
 \frac{1}{\xi} \, d\xi = \log_{_G}(z_0) +  \int_{0}^1
 \frac{1}{\gamma_z(t)} \cdot \gamma_z{\!\!}'(t) \,\, dt  

&lt;/math&gt;

=== Entwicklung in Potenzreihen ===
Man legt 
Jede auf einem Gebiet &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; [[holomorphe Funktion]] lässt sich lokal in eine Potenzreihe entwickelt. Durch den Zusammenhang von &lt;math&gt;\tfrac{1}{z}&lt;/math&gt; und dem Logarithmus erhält man auch eine Potenzreihendarstellung für beliebige [[w:de:Potenzreihe|Entwicklungspunkte]] &lt;math&gt;z_o=|z_o|\cdot e^{it} \not=0&lt;/math&gt; über die [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] mit &lt;math&gt;q=\frac{z-z_o}{-z_o}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;|z-z_0| &lt; |z_0|&lt;/math&gt;:
:&lt;math&gt;f(z)= \frac{1}{z} 
= \frac{1}{z_o} \cdot \frac{1}{ 1-  \underbrace{\frac{z-z_o}{-z_o} }_{=q} }
=
 \sum_{n=0}^\infty 
\underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1}} }_{=a_n} \cdot (z-z_o)^n 
&lt;/math&gt;

=== Stammfunktion - Konstante der Taylorreihe ===
Für den [[w:de:Potenzreihe|Entwicklungspunkt]] &lt;math&gt;z_o=|z_o|\cdot e^{it} \not=0&lt;/math&gt; erhält man für einen Zweig des Logarithmus als Stammfunktion von von &lt;math&gt;\tfrac{1}{z}&lt;/math&gt; folgende Potenzreihendarstellung auf &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;r&lt; |z_0|&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;c= \ln(|z_o|) + i\cdot t&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;t\in \mathbb{R}&lt;/math&gt;:
:&lt;math&gt;\log_{_G}(z)= c +
 \sum_{n=0}^\infty 
\frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1} \cdot (n+1)}  \cdot (z-z_o)^{n+1} 
&lt;/math&gt;
Ein zugehöriger Zweig von &lt;math&gt;\log_{_G}&lt;/math&gt; ist dann z.B. auf dem Gebiet &lt;math&gt;G:= \mathbb{C} \setminus Spur(\gamma)&lt;/math&gt; definiert.

=== Bemerkung - Eindeutigkeitlemma für Logarithmuszweige ===
Das 
[[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] zeigt, dass mit der Wahl eines [[einfach zusammenhängend]]en &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;0\notin G&lt;/math&gt; und der Festlegung des Imaginärteiles des Logarithmuszweige für ein &lt;math&gt;z_0\in G&lt;/math&gt; der gesamte Zweig des Logarithmus auf &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; eindeutig definiert ist. Wie bei anderen Zweigen des Logarithmus ist durch den [[Identitätssatz]] bereits durch die Festlegung eines Punkte die Stammfunktion von &lt;math&gt;\tfrac{1}{z}&lt;/math&gt; auf einer Kreisscheibe festgelegt, die als nicht diskrete Menge den Logarithmus auf ganz &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; festlegt.

== Siehe auch ==
* [[einfach zusammenhängend]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]]
* [[w:de:Stammfunktion|Stammfunktion]]
* [[Zweige des Logarithmus]]</text>
      <sha1>1x9fa3qipllr2z6u1zgjfxptrz1pxc5</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>1115881</id>
      <parentid>1115880</parentid>
      <timestamp>2026-10-12T15:35:53Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bert Niehaus</username>
        <id>20843</id>
      </contributor>
      <comment>/* Integraldarstellung des Zweiges */</comment>
      <origin>1115881</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="7447" sha1="9lypy1h5x2kokfvutp9mzuavrf4rdle" xml:space="preserve">== Einleitung ==
Man betrachtet nun beliebige offene einfach zusammenhängende [[Gebiet (Mathematik)|Gebiete]] &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;z_0=|z_0|\cdot e^{it} \in G&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;t\in \mathbb{R}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;0\notin G&lt;/math&gt; und betrachtet die zugehörige Stammfunktion &lt;math&gt;log_{_G}(z)&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;f(z)&lt;/math&gt;, die die Eigenschaft &lt;math&gt;log_{_G}(z_0)=\ln(|z_0|)+i\cdot t&lt;/math&gt;. Im Allgemeinen muss &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; nur [[einfach zusammenhängend]] mit &lt;math&gt;0\notin G&lt;/math&gt; sein, damit eine Stammfunktion von &lt;math&gt;f(z)=\tfrac{1}{z}&lt;/math&gt; existiert. Stammfunktionen &lt;math&gt;F&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; unterscheiden sich nur durch eine Konstante &lt;math&gt;c&lt;/math&gt;. 

=== Festlegung der Stammfunktion als Logarithmus ===
Durch die Festlegung von &lt;math&gt;F(1)=0&lt;/math&gt; für den Hauptzweig des Logarithmus, bzw. &lt;math&gt;F(-1)=\pi i&lt;/math&gt; für den [[negativer Hauptzweig|negativen Hauptzweig]] ist der [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] als [[w:de:Stammfunktion|Stammfunktion]] von &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; allerdings eindeutig festgelegt. Für einen generalisierten Logarithmus auf einem Gebiet &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; reicht die Festlegung des Zweiges für die Festlegung in einem Punkt:
:&lt;math&gt;F(z_0)=\ln(|z_0|)+i\cdot t = w&lt;/math&gt;
Damit gilt bei Einsetzen in die Exponentialfunktion:
:&lt;math&gt;
 e^{w} = e^{F(z_0)}= e^{\ln(|z_0|)+i\cdot t} = e^{\ln(|z_0|)}\cdot e^{i\cdot t} = |z_0|\cdot e^{i\cdot t} = z_0
&lt;/math&gt;

=== Einführendes Beispiel - Archimedische Spiral ===
Man verwendet und ein [[Weg (Mathematik)/parametrisch unendlich#rechtsseitig|rechtseitig parametrisch unendlichen Weg]], der wie folgt definiert ist:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rrcl}
   \gamma : &amp; [0,+\infty) &amp; \rightarrow &amp; \mathbb{C} \\ 
    &amp;  t  &amp; \mapsto &amp; \gamma(t) = t\cdot e^{i\cdot t} 
  \end{array}  

&lt;/math&gt;
Die Spur der [[w:de:Archimedische Spirale|archimedischen Spirale]] &lt;math&gt;Spur(\gamma)&lt;/math&gt; wird nun aus den komplexen Zahlen entfernt &lt;math&gt;G:=\mathbb{C}\setminus Spur(\gamma)&lt;/math&gt; und man erhält ein [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängendes]] [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] &lt;math&gt;G&lt;/math&gt;.

==== Abbildung - Archimedische Spirale ====
Die folgende Abbildung zeigt die Spur des Weges &lt;math&gt;\gamma&lt;/math&gt; als [[Weg (Mathematik)/parametrisch unendlich#rechtsseitig|rechtseitig parametrisch unendlichen Weg]].

[[Datei:Archimedean spiral.svg|350px|zentriert|Archimedische Spirale]]

==== Beschränkter Imaginärteil beim Logarithmus ====
Wenn man den [[Hauptzweig des Logarithmus]] oder den [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweig des Logarithmus]] betrachtet, so haben die Logarithmen immer einen beschränkten Imaginärteil.
* &lt;math&gt;(-\pi,+\pi)&lt;/math&gt; für den [[Hauptzweig des Logarithmus]] und 
* &lt;math&gt;(0,2\pi)&lt;/math&gt; für den [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweig des Logarithmus]].
Bei generalisierten Logarithmen auf einfach zusammenhängenden Gebieten ist der Imaginärteil aber nicht notwendigerweise beschränkt.

=== Aufgabe für Studierende ===
Zeigen Sie, dass der [[Zweig des Logarithmus]], der auf dem Gebiet &lt;math&gt;G\setminus Spur(\gamma)&lt;/math&gt; definiert ist, einen unbeschränkten Imaginärteil besitzt. &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; entsteht dabei durch die Entfernung der Spur der [[w:de:archimedische Spirale|archimedischen Spirale]] aus den komplexen Zahlen. 

==== Hinweis zur Aufgabe ====
Die Zahl 0 wird ebenfalls aus dem Definitionsbereiches des Zweiges entfernt, da &lt;math&gt;\gamma(0)=0\cdot e^{i\cdot 0} = 0\in Spur(\gamma)&lt;/math&gt; gilt.

== Definition - generalisierter Logarithmus ==
Sei &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; ein [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängendes]] Gebiet mit &lt;math&gt;0\notin G&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;z_o=|z_o|\cdot e^{it} \not=0&lt;/math&gt;. Die Funktion &lt;math&gt;\log_{_G} : G \to \mathbb{C} &lt;/math&gt; mit 
:&lt;math&gt;
   \log_{_G}(z_0) = \ln(|z_0|) + i \cdot t
&lt;/math&gt; 
nennt man generalisierter Logarithmus auf &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; für &lt;math&gt;z_o=|z_o|\cdot e^{it} \in G&lt;/math&gt;.

=== LogMod-Funktion des Startpunktes ===
Analog zu den bereits angesprochenen [[Zweige des Logarithmus|Zweige des Logorithmus]] wählt man &lt;math&gt;z_o \in \mathbb{C} \setminus \{0\}&lt;/math&gt; als Startpunkt des definierenden Wegintegrals über &lt;math&gt;f(\xi)=\tfrac{1}{\xi}&lt;/math&gt;. Die Eigenschaft &lt;math&gt;log_{_G}(1)=2\pi i\cdot k&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;k\in \mathbb{Z}&lt;/math&gt; ist erfüllt, wobei die [[logmod-Funktion]] &lt;math&gt;logmod(z_0)&lt;/math&gt; und die topologische Struktur des [[einfach zusammenhängend]]en Gebietes die Vielfachheit &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;log_{_G}(1)&lt;/math&gt; eindeutig festlegt. 

=== Integraldarstellung des Zweiges ===
Die folgende Integraldarstellung des Hauptzweiges mit [[Konvexkombination]] &lt;math&gt;\gamma_z&lt;/math&gt; als Integrationsweg erfüllt diese Eigenschaft für &lt;math&gt;z_0 =|z_0|\cdot e^{it}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;t\in \mathbb{R}&lt;/math&gt;: 
:&lt;math&gt;
 \begin{array}{rrcl}
   \gamma_z : &amp; [0,1] &amp; \rightarrow &amp; \mathbb{C} \\ 
    &amp;  t  &amp; \mapsto &amp; \gamma_z(t) =  (1-t)\cdot z_0 + t\cdot z =  (t-1) + t\cdot z 
  \end{array}  
&lt;/math&gt;

:&lt;math&gt;
log_{_G}(z) := \underbrace{(\ln(|z_0|\cdot i\cdot t)}_{=\log_{_G}(z_0)} + \int_{\gamma_z}
 \frac{1}{\xi} \, d\xi = \log_{_G}(z_0) +  \int_{0}^1
 \frac{1}{\gamma_z(t)} \cdot \gamma_z{\!\!}'(t) \,\, dt  

&lt;/math&gt;

=== Entwicklung in Potenzreihen ===
Man legt 
Jede auf einem Gebiet &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; [[holomorphe Funktion]] lässt sich lokal in eine Potenzreihe entwickelt. Durch den Zusammenhang von &lt;math&gt;\tfrac{1}{z}&lt;/math&gt; und dem Logarithmus erhält man auch eine Potenzreihendarstellung für beliebige [[w:de:Potenzreihe|Entwicklungspunkte]] &lt;math&gt;z_o=|z_o|\cdot e^{it} \not=0&lt;/math&gt; über die [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] mit &lt;math&gt;q=\frac{z-z_o}{-z_o}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;|z-z_0| &lt; |z_0|&lt;/math&gt;:
:&lt;math&gt;f(z)= \frac{1}{z} 
= \frac{1}{z_o} \cdot \frac{1}{ 1-  \underbrace{\frac{z-z_o}{-z_o} }_{=q} }
=
 \sum_{n=0}^\infty 
\underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1}} }_{=a_n} \cdot (z-z_o)^n 
&lt;/math&gt;

=== Stammfunktion - Konstante der Taylorreihe ===
Für den [[w:de:Potenzreihe|Entwicklungspunkt]] &lt;math&gt;z_o=|z_o|\cdot e^{it} \not=0&lt;/math&gt; erhält man für einen Zweig des Logarithmus als Stammfunktion von von &lt;math&gt;\tfrac{1}{z}&lt;/math&gt; folgende Potenzreihendarstellung auf &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;r&lt; |z_0|&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;c= \ln(|z_o|) + i\cdot t&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;t\in \mathbb{R}&lt;/math&gt;:
:&lt;math&gt;\log_{_G}(z)= c +
 \sum_{n=0}^\infty 
\frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1} \cdot (n+1)}  \cdot (z-z_o)^{n+1} 
&lt;/math&gt;
Ein zugehöriger Zweig von &lt;math&gt;\log_{_G}&lt;/math&gt; ist dann z.B. auf dem Gebiet &lt;math&gt;G:= \mathbb{C} \setminus Spur(\gamma)&lt;/math&gt; definiert.

=== Bemerkung - Eindeutigkeitlemma für Logarithmuszweige ===
Das 
[[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] zeigt, dass mit der Wahl eines [[einfach zusammenhängend]]en &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;0\notin G&lt;/math&gt; und der Festlegung des Imaginärteiles des Logarithmuszweige für ein &lt;math&gt;z_0\in G&lt;/math&gt; der gesamte Zweig des Logarithmus auf &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; eindeutig definiert ist. Wie bei anderen Zweigen des Logarithmus ist durch den [[Identitätssatz]] bereits durch die Festlegung eines Punkte die Stammfunktion von &lt;math&gt;\tfrac{1}{z}&lt;/math&gt; auf einer Kreisscheibe festgelegt, die als nicht diskrete Menge den Logarithmus auf ganz &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; festlegt.

== Siehe auch ==
* [[einfach zusammenhängend]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]]
* [[w:de:Stammfunktion|Stammfunktion]]
* [[Zweige des Logarithmus]]</text>
      <sha1>9lypy1h5x2kokfvutp9mzuavrf4rdle</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>1115883</id>
      <parentid>1115881</parentid>
      <timestamp>2026-10-12T15:41:11Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bert Niehaus</username>
        <id>20843</id>
      </contributor>
      <comment>/* LogMod-Funktion des Startpunktes */</comment>
      <origin>1115883</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="7897" sha1="nahfe8pozbpmuhf39t6se58wakuqvxb" xml:space="preserve">== Einleitung ==
Man betrachtet nun beliebige offene einfach zusammenhängende [[Gebiet (Mathematik)|Gebiete]] &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;z_0=|z_0|\cdot e^{it} \in G&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;t\in \mathbb{R}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;0\notin G&lt;/math&gt; und betrachtet die zugehörige Stammfunktion &lt;math&gt;log_{_G}(z)&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;f(z)&lt;/math&gt;, die die Eigenschaft &lt;math&gt;log_{_G}(z_0)=\ln(|z_0|)+i\cdot t&lt;/math&gt;. Im Allgemeinen muss &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; nur [[einfach zusammenhängend]] mit &lt;math&gt;0\notin G&lt;/math&gt; sein, damit eine Stammfunktion von &lt;math&gt;f(z)=\tfrac{1}{z}&lt;/math&gt; existiert. Stammfunktionen &lt;math&gt;F&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; unterscheiden sich nur durch eine Konstante &lt;math&gt;c&lt;/math&gt;. 

=== Festlegung der Stammfunktion als Logarithmus ===
Durch die Festlegung von &lt;math&gt;F(1)=0&lt;/math&gt; für den Hauptzweig des Logarithmus, bzw. &lt;math&gt;F(-1)=\pi i&lt;/math&gt; für den [[negativer Hauptzweig|negativen Hauptzweig]] ist der [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] als [[w:de:Stammfunktion|Stammfunktion]] von &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; allerdings eindeutig festgelegt. Für einen generalisierten Logarithmus auf einem Gebiet &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; reicht die Festlegung des Zweiges für die Festlegung in einem Punkt:
:&lt;math&gt;F(z_0)=\ln(|z_0|)+i\cdot t = w&lt;/math&gt;
Damit gilt bei Einsetzen in die Exponentialfunktion:
:&lt;math&gt;
 e^{w} = e^{F(z_0)}= e^{\ln(|z_0|)+i\cdot t} = e^{\ln(|z_0|)}\cdot e^{i\cdot t} = |z_0|\cdot e^{i\cdot t} = z_0
&lt;/math&gt;

=== Einführendes Beispiel - Archimedische Spiral ===
Man verwendet und ein [[Weg (Mathematik)/parametrisch unendlich#rechtsseitig|rechtseitig parametrisch unendlichen Weg]], der wie folgt definiert ist:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rrcl}
   \gamma : &amp; [0,+\infty) &amp; \rightarrow &amp; \mathbb{C} \\ 
    &amp;  t  &amp; \mapsto &amp; \gamma(t) = t\cdot e^{i\cdot t} 
  \end{array}  

&lt;/math&gt;
Die Spur der [[w:de:Archimedische Spirale|archimedischen Spirale]] &lt;math&gt;Spur(\gamma)&lt;/math&gt; wird nun aus den komplexen Zahlen entfernt &lt;math&gt;G:=\mathbb{C}\setminus Spur(\gamma)&lt;/math&gt; und man erhält ein [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängendes]] [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] &lt;math&gt;G&lt;/math&gt;.

==== Abbildung - Archimedische Spirale ====
Die folgende Abbildung zeigt die Spur des Weges &lt;math&gt;\gamma&lt;/math&gt; als [[Weg (Mathematik)/parametrisch unendlich#rechtsseitig|rechtseitig parametrisch unendlichen Weg]].

[[Datei:Archimedean spiral.svg|350px|zentriert|Archimedische Spirale]]

==== Beschränkter Imaginärteil beim Logarithmus ====
Wenn man den [[Hauptzweig des Logarithmus]] oder den [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweig des Logarithmus]] betrachtet, so haben die Logarithmen immer einen beschränkten Imaginärteil.
* &lt;math&gt;(-\pi,+\pi)&lt;/math&gt; für den [[Hauptzweig des Logarithmus]] und 
* &lt;math&gt;(0,2\pi)&lt;/math&gt; für den [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweig des Logarithmus]].
Bei generalisierten Logarithmen auf einfach zusammenhängenden Gebieten ist der Imaginärteil aber nicht notwendigerweise beschränkt.

=== Aufgabe für Studierende ===
Zeigen Sie, dass der [[Zweig des Logarithmus]], der auf dem Gebiet &lt;math&gt;G\setminus Spur(\gamma)&lt;/math&gt; definiert ist, einen unbeschränkten Imaginärteil besitzt. &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; entsteht dabei durch die Entfernung der Spur der [[w:de:archimedische Spirale|archimedischen Spirale]] aus den komplexen Zahlen. 

==== Hinweis zur Aufgabe ====
Die Zahl 0 wird ebenfalls aus dem Definitionsbereiches des Zweiges entfernt, da &lt;math&gt;\gamma(0)=0\cdot e^{i\cdot 0} = 0\in Spur(\gamma)&lt;/math&gt; gilt.

== Definition - generalisierter Logarithmus ==
Sei &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; ein [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängendes]] Gebiet mit &lt;math&gt;0\notin G&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;z_o=|z_o|\cdot e^{it} \not=0&lt;/math&gt;. Die Funktion &lt;math&gt;\log_{_G} : G \to \mathbb{C} &lt;/math&gt; mit 
:&lt;math&gt;
   \log_{_G}(z_0) = \ln(|z_0|) + i \cdot t
&lt;/math&gt; 
nennt man generalisierter Logarithmus auf &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; für &lt;math&gt;z_o=|z_o|\cdot e^{it} \in G&lt;/math&gt;.

=== LogMod-Funktion des Startpunktes ===
Analog zu den bereits angesprochenen [[Zweige des Logarithmus|Zweige des Logorithmus]] wählt man &lt;math&gt;z_o \in \mathbb{C} \setminus \{0\}&lt;/math&gt; als Startpunkt des definierenden Wegintegrals über &lt;math&gt;f(\xi)=\tfrac{1}{\xi}&lt;/math&gt;. Die Eigenschaft &lt;math&gt;log_{_G}(1)=2\pi i\cdot k&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;k\in \mathbb{Z}&lt;/math&gt; ist erfüllt, wobei die [[logmod-Funktion]] &lt;math&gt;logmod(z_0)&lt;/math&gt; und die topologische Struktur des [[einfach zusammenhängend]]en Gebietes die Vielfachheit &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;log_{_G}(1)&lt;/math&gt; eindeutig festlegt.

=== Aufgabe für Studierende ===
Wählen Sie als Gebiet &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; das [[einfach zusammenhängend]]e Gebiet, das durch die Entfernung der archimedischen Spirale in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt; entstanden ist. Sei &lt;math&gt;z_0 = 10\cdot e^{13\pi}&lt;/math&gt;. Berechnen Sie den Logarithmus von:
* &lt;math&gt;log_{_G}(1)=2\pi i\cdot k_1&lt;/math&gt; und
* &lt;math&gt;log_{_G}(e)=w+2\pi i\cdot k_2&lt;/math&gt;
und bestimmen Sie &lt;math&gt;k_1, k_2, w &lt;/math&gt; für die beiden Logarithmen.

=== Integraldarstellung des Zweiges ===
Die folgende Integraldarstellung des Hauptzweiges mit [[Konvexkombination]] &lt;math&gt;\gamma_z&lt;/math&gt; als Integrationsweg erfüllt diese Eigenschaft für &lt;math&gt;z_0 =|z_0|\cdot e^{it}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;t\in \mathbb{R}&lt;/math&gt;: 
:&lt;math&gt;
 \begin{array}{rrcl}
   \gamma_z : &amp; [0,1] &amp; \rightarrow &amp; \mathbb{C} \\ 
    &amp;  t  &amp; \mapsto &amp; \gamma_z(t) =  (1-t)\cdot z_0 + t\cdot z =  (t-1) + t\cdot z 
  \end{array}  
&lt;/math&gt;

:&lt;math&gt;
log_{_G}(z) := \underbrace{(\ln(|z_0|\cdot i\cdot t)}_{=\log_{_G}(z_0)} + \int_{\gamma_z}
 \frac{1}{\xi} \, d\xi = \log_{_G}(z_0) +  \int_{0}^1
 \frac{1}{\gamma_z(t)} \cdot \gamma_z{\!\!}'(t) \,\, dt  

&lt;/math&gt;

=== Entwicklung in Potenzreihen ===
Man legt 
Jede auf einem Gebiet &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; [[holomorphe Funktion]] lässt sich lokal in eine Potenzreihe entwickelt. Durch den Zusammenhang von &lt;math&gt;\tfrac{1}{z}&lt;/math&gt; und dem Logarithmus erhält man auch eine Potenzreihendarstellung für beliebige [[w:de:Potenzreihe|Entwicklungspunkte]] &lt;math&gt;z_o=|z_o|\cdot e^{it} \not=0&lt;/math&gt; über die [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] mit &lt;math&gt;q=\frac{z-z_o}{-z_o}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;|z-z_0| &lt; |z_0|&lt;/math&gt;:
:&lt;math&gt;f(z)= \frac{1}{z} 
= \frac{1}{z_o} \cdot \frac{1}{ 1-  \underbrace{\frac{z-z_o}{-z_o} }_{=q} }
=
 \sum_{n=0}^\infty 
\underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1}} }_{=a_n} \cdot (z-z_o)^n 
&lt;/math&gt;

=== Stammfunktion - Konstante der Taylorreihe ===
Für den [[w:de:Potenzreihe|Entwicklungspunkt]] &lt;math&gt;z_o=|z_o|\cdot e^{it} \not=0&lt;/math&gt; erhält man für einen Zweig des Logarithmus als Stammfunktion von von &lt;math&gt;\tfrac{1}{z}&lt;/math&gt; folgende Potenzreihendarstellung auf &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;r&lt; |z_0|&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;c= \ln(|z_o|) + i\cdot t&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;t\in \mathbb{R}&lt;/math&gt;:
:&lt;math&gt;\log_{_G}(z)= c +
 \sum_{n=0}^\infty 
\frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1} \cdot (n+1)}  \cdot (z-z_o)^{n+1} 
&lt;/math&gt;
Ein zugehöriger Zweig von &lt;math&gt;\log_{_G}&lt;/math&gt; ist dann z.B. auf dem Gebiet &lt;math&gt;G:= \mathbb{C} \setminus Spur(\gamma)&lt;/math&gt; definiert.

=== Bemerkung - Eindeutigkeitlemma für Logarithmuszweige ===
Das 
[[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] zeigt, dass mit der Wahl eines [[einfach zusammenhängend]]en &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;0\notin G&lt;/math&gt; und der Festlegung des Imaginärteiles des Logarithmuszweige für ein &lt;math&gt;z_0\in G&lt;/math&gt; der gesamte Zweig des Logarithmus auf &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; eindeutig definiert ist. Wie bei anderen Zweigen des Logarithmus ist durch den [[Identitätssatz]] bereits durch die Festlegung eines Punkte die Stammfunktion von &lt;math&gt;\tfrac{1}{z}&lt;/math&gt; auf einer Kreisscheibe festgelegt, die als nicht diskrete Menge den Logarithmus auf ganz &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; festlegt.

== Siehe auch ==
* [[einfach zusammenhängend]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]]
* [[w:de:Stammfunktion|Stammfunktion]]
* [[Zweige des Logarithmus]]</text>
      <sha1>nahfe8pozbpmuhf39t6se58wakuqvxb</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/logmod</title>
    <ns>106</ns>
    <id>172700</id>
    <revision>
      <id>1115840</id>
      <parentid>1115639</parentid>
      <timestamp>2026-10-12T13:10:50Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bert Niehaus</username>
        <id>20843</id>
      </contributor>
      <comment>/* Bemerkung - Stetigkeit und Differenzierbarkeit */</comment>
      <origin>1115840</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="3728" sha1="dbzb7kbpwuj1giu68a5uumj3sthjbi8" xml:space="preserve">== Einleitung ==
Für die Definition eines rekursiven Logarithmus auf &lt;math&gt;\mathbb{C}\setminus \{0\}&lt;/math&gt; benötigt man die &lt;math&gt;logmod&lt;/math&gt;-Funktion. Ähnlich wie bei der Periodizität Addition &lt;math&gt;+1&lt;/math&gt; in Restklasse modulo &lt;math&gt;m&lt;/math&gt; hat die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] über die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] die Periodizität &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt;.

== Definition - logmod-Funktion ==
Sei eine komplexe Zahl &lt;math&gt;z=z_1+iz_2\in \mathbb{C}&lt;/math&gt; beliebig gewählt. Dann definiert man:
:&lt;math&gt;
  \mathrm{logmod}_{2\pi i}(z)=k\in\mathbb{Z}  \mbox{ mit } z_2 - k\cdot 2\pi i \in [0,2\pi i ) 
&lt;/math&gt;

=== Erläuterung - logmod ===
Die &lt;math&gt;logmod&lt;/math&gt;-Funktion gibt die Vielfachheit &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt;, die man von dem Imaginärteil &lt;math&gt;z_2=\mathfrak{Im}(z)\in \mathbb{R}&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;z&lt;/math&gt; abziehen muss, damit der Imaginärteil von &lt;math&gt;z-k\cdot 2\pi i&lt;/math&gt; in dem halboffenen Intervall &lt;math&gt;[0,2\pi i ) 
&lt;/math&gt; liegt. 

=== Beispiele ===
* für reelle Zahlen &lt;math&gt;z\in\mathbb{R}&lt;/math&gt; gilt &lt;math&gt;\mathrm{logmod}_{2\pi i}(z) = 0&lt;/math&gt;.
* für &lt;math&gt;z_1\in\mathbb{R}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;z_2\in [0,2\pi)&lt;/math&gt; gilt ebenfalls &lt;math&gt;\mathrm{logmod}_{2\pi i}(z) = 0&lt;/math&gt;, z.B. &lt;math&gt;7+2i\in \mathbb{R}\times [0,2\pi)\cdot i&lt;/math&gt; daher gilt &lt;math&gt;\mathrm{logmod}_{2\pi i}(7+2i) = 0&lt;/math&gt;.
* für &lt;math&gt;7+7i\in \mathbb{R}\times [0,2\pi)\cdot i&lt;/math&gt; gilt &lt;math&gt;\mathrm{logmod}_{2\pi i}(7+7i) = 1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\mathrm{logmod}_{2\pi i}(7-21i) = -3&lt;/math&gt;.

=== Bezug zur Restklassen und modulo-Rechnung ===
Wenn &lt;math&gt;14&lt;/math&gt; liegt in der Restklasse &lt;math&gt;[2]_5&lt;/math&gt; modulo &lt;math&gt;5&lt;/math&gt; mit:
:&lt;math&gt;
  [2]_5 := \{z\in \mathbb{Z} \, : \, \exist_{k\in \mathbb{Z}}\ 5\cdot k + 2 = z\}
&lt;/math&gt; 
Wenn man die Restklasse &lt;math&gt;r\in\{0,1,2,3,4\}&lt;/math&gt; einer beliebigen ganzen Zahl &lt;math&gt;z\in \mathbb{Z}&lt;/math&gt; modulo 5 sucht, bestimmen man die Vielfachheit &lt;math&gt;k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;, sodass &lt;math&gt;z-k\cdot \in \{0,1,2,3,4\}&lt;/math&gt; in der Repräsentantenmenge der Restklasse liegt.

== Bezug zur Exponentialfunktion ==
Die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] besitzt eine Periodizität von &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; (siehe [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]]). Wenn man den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige|negativen Hauptzweig]] algebraisch auf &lt;math&gt;\mathbb{D}_1&lt;/math&gt; vervollständigt, kann man &lt;math&gt;\mathbb{C}\setminus \{0\}&lt;/math&gt; bijektiv mit der Exponentialfunktion auf &lt;math&gt;\mathbb{D}_1&lt;/math&gt; abbilden. Dabei definiert man:
:&lt;math&gt;\mathbb{D}_1 := \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi i) = \{z_1+i\cdot z_2 \in \mathbb{C} \, :\, z_2\in  [0,2\pi i)\,\, \}&lt;/math&gt; 
und definert den zugehörigen Logarithmus wie folgt:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rrcl}
   \ln_1 : &amp; \mathbb{C}\setminus \{0\} &amp; \rightarrow &amp; \mathbb{D}_1 \\ 
    &amp;  z  &amp; \mapsto &amp; \ln_1(z) = w \in \mathbb{D}_1  \mbox{ mit } e^w = z
  \end{array}  
&lt;/math&gt;

=== Bemerkung - Stetigkeit und Differenzierbarkeit ===
Der [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#algebraischvollstaendig|algebraisch vervollständigte Logarithmus]] ist für alle Zahlen &lt;math&gt;z\in \mathbb{R}\setminus \{0\} \subset \mathbb{C} &lt;/math&gt; nicht stetig und damit auch nicht komplex differenzierbar. Den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] als [[holomorphe Funktion]] erhält als eine holomorphe Funktion als Stammfunktion &lt;math&gt;f(z)=\tfrac{1}{z}&lt;/math&gt; nur dann, wenn der Definitionbereich [[einfach zusammenhängend]] ist.

== Siehe auch ==
* [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#algebraischvollstaendig|algebraisch vervollständigte Logarithmus]]
* [[einfach zusammenhängend]]
* [[holomorphe Funktion]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]]</text>
      <sha1>dbzb7kbpwuj1giu68a5uumj3sthjbi8</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>1115841</id>
      <parentid>1115840</parentid>
      <timestamp>2026-10-12T13:11:17Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bert Niehaus</username>
        <id>20843</id>
      </contributor>
      <comment>/* Siehe auch */</comment>
      <origin>1115841</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="3747" sha1="icyjewzbjjqpevz77rpjpwhz5adi3c1" xml:space="preserve">== Einleitung ==
Für die Definition eines rekursiven Logarithmus auf &lt;math&gt;\mathbb{C}\setminus \{0\}&lt;/math&gt; benötigt man die &lt;math&gt;logmod&lt;/math&gt;-Funktion. Ähnlich wie bei der Periodizität Addition &lt;math&gt;+1&lt;/math&gt; in Restklasse modulo &lt;math&gt;m&lt;/math&gt; hat die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] über die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] die Periodizität &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt;.

== Definition - logmod-Funktion ==
Sei eine komplexe Zahl &lt;math&gt;z=z_1+iz_2\in \mathbb{C}&lt;/math&gt; beliebig gewählt. Dann definiert man:
:&lt;math&gt;
  \mathrm{logmod}_{2\pi i}(z)=k\in\mathbb{Z}  \mbox{ mit } z_2 - k\cdot 2\pi i \in [0,2\pi i ) 
&lt;/math&gt;

=== Erläuterung - logmod ===
Die &lt;math&gt;logmod&lt;/math&gt;-Funktion gibt die Vielfachheit &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt;, die man von dem Imaginärteil &lt;math&gt;z_2=\mathfrak{Im}(z)\in \mathbb{R}&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;z&lt;/math&gt; abziehen muss, damit der Imaginärteil von &lt;math&gt;z-k\cdot 2\pi i&lt;/math&gt; in dem halboffenen Intervall &lt;math&gt;[0,2\pi i ) 
&lt;/math&gt; liegt. 

=== Beispiele ===
* für reelle Zahlen &lt;math&gt;z\in\mathbb{R}&lt;/math&gt; gilt &lt;math&gt;\mathrm{logmod}_{2\pi i}(z) = 0&lt;/math&gt;.
* für &lt;math&gt;z_1\in\mathbb{R}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;z_2\in [0,2\pi)&lt;/math&gt; gilt ebenfalls &lt;math&gt;\mathrm{logmod}_{2\pi i}(z) = 0&lt;/math&gt;, z.B. &lt;math&gt;7+2i\in \mathbb{R}\times [0,2\pi)\cdot i&lt;/math&gt; daher gilt &lt;math&gt;\mathrm{logmod}_{2\pi i}(7+2i) = 0&lt;/math&gt;.
* für &lt;math&gt;7+7i\in \mathbb{R}\times [0,2\pi)\cdot i&lt;/math&gt; gilt &lt;math&gt;\mathrm{logmod}_{2\pi i}(7+7i) = 1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\mathrm{logmod}_{2\pi i}(7-21i) = -3&lt;/math&gt;.

=== Bezug zur Restklassen und modulo-Rechnung ===
Wenn &lt;math&gt;14&lt;/math&gt; liegt in der Restklasse &lt;math&gt;[2]_5&lt;/math&gt; modulo &lt;math&gt;5&lt;/math&gt; mit:
:&lt;math&gt;
  [2]_5 := \{z\in \mathbb{Z} \, : \, \exist_{k\in \mathbb{Z}}\ 5\cdot k + 2 = z\}
&lt;/math&gt; 
Wenn man die Restklasse &lt;math&gt;r\in\{0,1,2,3,4\}&lt;/math&gt; einer beliebigen ganzen Zahl &lt;math&gt;z\in \mathbb{Z}&lt;/math&gt; modulo 5 sucht, bestimmen man die Vielfachheit &lt;math&gt;k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;, sodass &lt;math&gt;z-k\cdot \in \{0,1,2,3,4\}&lt;/math&gt; in der Repräsentantenmenge der Restklasse liegt.

== Bezug zur Exponentialfunktion ==
Die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] besitzt eine Periodizität von &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; (siehe [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]]). Wenn man den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige|negativen Hauptzweig]] algebraisch auf &lt;math&gt;\mathbb{D}_1&lt;/math&gt; vervollständigt, kann man &lt;math&gt;\mathbb{C}\setminus \{0\}&lt;/math&gt; bijektiv mit der Exponentialfunktion auf &lt;math&gt;\mathbb{D}_1&lt;/math&gt; abbilden. Dabei definiert man:
:&lt;math&gt;\mathbb{D}_1 := \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi i) = \{z_1+i\cdot z_2 \in \mathbb{C} \, :\, z_2\in  [0,2\pi i)\,\, \}&lt;/math&gt; 
und definert den zugehörigen Logarithmus wie folgt:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rrcl}
   \ln_1 : &amp; \mathbb{C}\setminus \{0\} &amp; \rightarrow &amp; \mathbb{D}_1 \\ 
    &amp;  z  &amp; \mapsto &amp; \ln_1(z) = w \in \mathbb{D}_1  \mbox{ mit } e^w = z
  \end{array}  
&lt;/math&gt;

=== Bemerkung - Stetigkeit und Differenzierbarkeit ===
Der [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#algebraischvollstaendig|algebraisch vervollständigte Logarithmus]] ist für alle Zahlen &lt;math&gt;z\in \mathbb{R}\setminus \{0\} \subset \mathbb{C} &lt;/math&gt; nicht stetig und damit auch nicht komplex differenzierbar. Den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] als [[holomorphe Funktion]] erhält als eine holomorphe Funktion als Stammfunktion &lt;math&gt;f(z)=\tfrac{1}{z}&lt;/math&gt; nur dann, wenn der Definitionbereich [[einfach zusammenhängend]] ist.

== Siehe auch ==
* [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#algebraischvollstaendig|algebraisch vervollständigte Logarithmus]]
* [[einfach zusammenhängend]]
* [[Gaußklammer]]
* [[holomorphe Funktion]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]]</text>
      <sha1>icyjewzbjjqpevz77rpjpwhz5adi3c1</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>1115842</id>
      <parentid>1115841</parentid>
      <timestamp>2026-10-12T13:11:36Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bert Niehaus</username>
        <id>20843</id>
      </contributor>
      <comment>/* Siehe auch */</comment>
      <origin>1115842</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="3765" sha1="6a32zv0cxbw5rt7ljtnvrw2nliex6o8" xml:space="preserve">== Einleitung ==
Für die Definition eines rekursiven Logarithmus auf &lt;math&gt;\mathbb{C}\setminus \{0\}&lt;/math&gt; benötigt man die &lt;math&gt;logmod&lt;/math&gt;-Funktion. Ähnlich wie bei der Periodizität Addition &lt;math&gt;+1&lt;/math&gt; in Restklasse modulo &lt;math&gt;m&lt;/math&gt; hat die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] über die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] die Periodizität &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt;.

== Definition - logmod-Funktion ==
Sei eine komplexe Zahl &lt;math&gt;z=z_1+iz_2\in \mathbb{C}&lt;/math&gt; beliebig gewählt. Dann definiert man:
:&lt;math&gt;
  \mathrm{logmod}_{2\pi i}(z)=k\in\mathbb{Z}  \mbox{ mit } z_2 - k\cdot 2\pi i \in [0,2\pi i ) 
&lt;/math&gt;

=== Erläuterung - logmod ===
Die &lt;math&gt;logmod&lt;/math&gt;-Funktion gibt die Vielfachheit &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt;, die man von dem Imaginärteil &lt;math&gt;z_2=\mathfrak{Im}(z)\in \mathbb{R}&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;z&lt;/math&gt; abziehen muss, damit der Imaginärteil von &lt;math&gt;z-k\cdot 2\pi i&lt;/math&gt; in dem halboffenen Intervall &lt;math&gt;[0,2\pi i ) 
&lt;/math&gt; liegt. 

=== Beispiele ===
* für reelle Zahlen &lt;math&gt;z\in\mathbb{R}&lt;/math&gt; gilt &lt;math&gt;\mathrm{logmod}_{2\pi i}(z) = 0&lt;/math&gt;.
* für &lt;math&gt;z_1\in\mathbb{R}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;z_2\in [0,2\pi)&lt;/math&gt; gilt ebenfalls &lt;math&gt;\mathrm{logmod}_{2\pi i}(z) = 0&lt;/math&gt;, z.B. &lt;math&gt;7+2i\in \mathbb{R}\times [0,2\pi)\cdot i&lt;/math&gt; daher gilt &lt;math&gt;\mathrm{logmod}_{2\pi i}(7+2i) = 0&lt;/math&gt;.
* für &lt;math&gt;7+7i\in \mathbb{R}\times [0,2\pi)\cdot i&lt;/math&gt; gilt &lt;math&gt;\mathrm{logmod}_{2\pi i}(7+7i) = 1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\mathrm{logmod}_{2\pi i}(7-21i) = -3&lt;/math&gt;.

=== Bezug zur Restklassen und modulo-Rechnung ===
Wenn &lt;math&gt;14&lt;/math&gt; liegt in der Restklasse &lt;math&gt;[2]_5&lt;/math&gt; modulo &lt;math&gt;5&lt;/math&gt; mit:
:&lt;math&gt;
  [2]_5 := \{z\in \mathbb{Z} \, : \, \exist_{k\in \mathbb{Z}}\ 5\cdot k + 2 = z\}
&lt;/math&gt; 
Wenn man die Restklasse &lt;math&gt;r\in\{0,1,2,3,4\}&lt;/math&gt; einer beliebigen ganzen Zahl &lt;math&gt;z\in \mathbb{Z}&lt;/math&gt; modulo 5 sucht, bestimmen man die Vielfachheit &lt;math&gt;k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;, sodass &lt;math&gt;z-k\cdot \in \{0,1,2,3,4\}&lt;/math&gt; in der Repräsentantenmenge der Restklasse liegt.

== Bezug zur Exponentialfunktion ==
Die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] besitzt eine Periodizität von &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; (siehe [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]]). Wenn man den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige|negativen Hauptzweig]] algebraisch auf &lt;math&gt;\mathbb{D}_1&lt;/math&gt; vervollständigt, kann man &lt;math&gt;\mathbb{C}\setminus \{0\}&lt;/math&gt; bijektiv mit der Exponentialfunktion auf &lt;math&gt;\mathbb{D}_1&lt;/math&gt; abbilden. Dabei definiert man:
:&lt;math&gt;\mathbb{D}_1 := \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi i) = \{z_1+i\cdot z_2 \in \mathbb{C} \, :\, z_2\in  [0,2\pi i)\,\, \}&lt;/math&gt; 
und definert den zugehörigen Logarithmus wie folgt:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rrcl}
   \ln_1 : &amp; \mathbb{C}\setminus \{0\} &amp; \rightarrow &amp; \mathbb{D}_1 \\ 
    &amp;  z  &amp; \mapsto &amp; \ln_1(z) = w \in \mathbb{D}_1  \mbox{ mit } e^w = z
  \end{array}  
&lt;/math&gt;

=== Bemerkung - Stetigkeit und Differenzierbarkeit ===
Der [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#algebraischvollstaendig|algebraisch vervollständigte Logarithmus]] ist für alle Zahlen &lt;math&gt;z\in \mathbb{R}\setminus \{0\} \subset \mathbb{C} &lt;/math&gt; nicht stetig und damit auch nicht komplex differenzierbar. Den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] als [[holomorphe Funktion]] erhält als eine holomorphe Funktion als Stammfunktion &lt;math&gt;f(z)=\tfrac{1}{z}&lt;/math&gt; nur dann, wenn der Definitionbereich [[einfach zusammenhängend]] ist.

== Siehe auch ==
* [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#algebraischvollstaendig|algebraisch vervollständigte Logarithmus]]
* [[einfach zusammenhängend]]
* [[w:de:Gaußklammer|Gaußklammer]]
* [[holomorphe Funktion]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]]</text>
      <sha1>6a32zv0cxbw5rt7ljtnvrw2nliex6o8</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>1115845</id>
      <parentid>1115842</parentid>
      <timestamp>2026-10-12T14:10:07Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bert Niehaus</username>
        <id>20843</id>
      </contributor>
      <comment>/* Bemerkung - Stetigkeit und Differenzierbarkeit */</comment>
      <origin>1115845</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="8803" sha1="rtx278l16ecmileo5pkkiovzstz7lo2" xml:space="preserve">== Einleitung ==
Für die Definition eines rekursiven Logarithmus auf &lt;math&gt;\mathbb{C}\setminus \{0\}&lt;/math&gt; benötigt man die &lt;math&gt;logmod&lt;/math&gt;-Funktion. Ähnlich wie bei der Periodizität Addition &lt;math&gt;+1&lt;/math&gt; in Restklasse modulo &lt;math&gt;m&lt;/math&gt; hat die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] über die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] die Periodizität &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt;.

== Definition - logmod-Funktion ==
Sei eine komplexe Zahl &lt;math&gt;z=z_1+iz_2\in \mathbb{C}&lt;/math&gt; beliebig gewählt. Dann definiert man:
:&lt;math&gt;
  \mathrm{logmod}_{2\pi i}(z)=k\in\mathbb{Z}  \mbox{ mit } z_2 - k\cdot 2\pi i \in [0,2\pi i ) 
&lt;/math&gt;

=== Erläuterung - logmod ===
Die &lt;math&gt;logmod&lt;/math&gt;-Funktion gibt die Vielfachheit &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt;, die man von dem Imaginärteil &lt;math&gt;z_2=\mathfrak{Im}(z)\in \mathbb{R}&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;z&lt;/math&gt; abziehen muss, damit der Imaginärteil von &lt;math&gt;z-k\cdot 2\pi i&lt;/math&gt; in dem halboffenen Intervall &lt;math&gt;[0,2\pi i ) 
&lt;/math&gt; liegt. 

=== Beispiele ===
* für reelle Zahlen &lt;math&gt;z\in\mathbb{R}&lt;/math&gt; gilt &lt;math&gt;\mathrm{logmod}_{2\pi i}(z) = 0&lt;/math&gt;.
* für &lt;math&gt;z_1\in\mathbb{R}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;z_2\in [0,2\pi)&lt;/math&gt; gilt ebenfalls &lt;math&gt;\mathrm{logmod}_{2\pi i}(z) = 0&lt;/math&gt;, z.B. &lt;math&gt;7+2i\in \mathbb{R}\times [0,2\pi)\cdot i&lt;/math&gt; daher gilt &lt;math&gt;\mathrm{logmod}_{2\pi i}(7+2i) = 0&lt;/math&gt;.
* für &lt;math&gt;7+7i\in \mathbb{R}\times [0,2\pi)\cdot i&lt;/math&gt; gilt &lt;math&gt;\mathrm{logmod}_{2\pi i}(7+7i) = 1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\mathrm{logmod}_{2\pi i}(7-21i) = -3&lt;/math&gt;.

=== Bezug zur Restklassen und modulo-Rechnung ===
Wenn &lt;math&gt;14&lt;/math&gt; liegt in der Restklasse &lt;math&gt;[2]_5&lt;/math&gt; modulo &lt;math&gt;5&lt;/math&gt; mit:
:&lt;math&gt;
  [2]_5 := \{z\in \mathbb{Z} \, : \, \exist_{k\in \mathbb{Z}}\ 5\cdot k + 2 = z\}
&lt;/math&gt; 
Wenn man die Restklasse &lt;math&gt;r\in\{0,1,2,3,4\}&lt;/math&gt; einer beliebigen ganzen Zahl &lt;math&gt;z\in \mathbb{Z}&lt;/math&gt; modulo 5 sucht, bestimmen man die Vielfachheit &lt;math&gt;k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;, sodass &lt;math&gt;z-k\cdot \in \{0,1,2,3,4\}&lt;/math&gt; in der Repräsentantenmenge der Restklasse liegt.

== Bezug zur Exponentialfunktion ==
Die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] besitzt eine Periodizität von &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; (siehe [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]]). Wenn man den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige|negativen Hauptzweig]] algebraisch auf &lt;math&gt;\mathbb{D}_1&lt;/math&gt; vervollständigt, kann man &lt;math&gt;\mathbb{C}\setminus \{0\}&lt;/math&gt; bijektiv mit der Exponentialfunktion auf &lt;math&gt;\mathbb{D}_1&lt;/math&gt; abbilden. Dabei definiert man:
:&lt;math&gt;\mathbb{D}_1 := \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi i) = \{z_1+i\cdot z_2 \in \mathbb{C} \, :\, z_2\in  [0,2\pi i)\,\, \}&lt;/math&gt; 
und definert den zugehörigen Logarithmus wie folgt:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rrcl}
   \ln_1 : &amp; \mathbb{C}\setminus \{0\} &amp; \rightarrow &amp; \mathbb{D}_1 \\ 
    &amp;  z  &amp; \mapsto &amp; \ln_1(z) = w \in \mathbb{D}_1  \mbox{ mit } e^w = z
  \end{array}  
&lt;/math&gt;

=== Bemerkung - Stetigkeit und Differenzierbarkeit ===
Der [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#algebraischvollstaendig|algebraisch vervollständigte Logarithmus]] ist für alle Zahlen &lt;math&gt;z\in \mathbb{R}\setminus \{0\} \subset \mathbb{C} &lt;/math&gt; nicht stetig und damit auch nicht komplex differenzierbar. Den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] als [[holomorphe Funktion]] erhält als eine holomorphe Funktion als Stammfunktion &lt;math&gt;f(z)=\tfrac{1}{z}&lt;/math&gt; nur dann, wenn der Definitionbereich [[einfach zusammenhängend]] ist.

== Gaußklammer-Definition von logmod ==
Die &lt;math&gt;logmod&lt;/math&gt;-Funktion kann man über die [[w:de:Gaußklammer|Gaußklammer]] wie folgt ausdrücken:
:&lt;math&gt;\mathrm{logmod}(z):=\left\lfloor \frac{\mathfrak{Im}(z)}{2\pi} \right\rfloor&lt;/math&gt;

=== Bemerkung zur Definition ===
Die Gaußklammer wird in der obigen Definition auf einen Quotienten aus dem Imaginärteil &lt;math&gt;\mathfrak{Im}(z)\in\mathbb{R}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;2\pi&lt;/math&gt; als [[w:de:Reelle Zahlen|reelle Zahl]] angewendet, wobei  &lt;math&gt;\left\lfloor \tfrac{\mathfrak{Im}(z)}{2\pi} \right\rfloor&lt;/math&gt; die größte [[w:de:ganze Zahl|ganze Zahl]] ist, die kleiner oder gleich der reellen Zahl &lt;math&gt;\tfrac{\mathfrak{Im}(z)}{2\pi}&lt;/math&gt; ist:
:&lt;math&gt;\left\lfloor \tfrac{\mathfrak{Im}(z)}{2\pi} \right\rfloor := \max \left\{k\in\mathbb{Z} \mid k \leq \tfrac{\mathfrak{Im}(z)}{2\pi} \right\}\in \mathbb{Z}&lt;/math&gt;

== LogMod-Lemma ==
Sei &lt;math&gt;z\in \mathbb{C}&lt;/math&gt; eine beliebige komplexe Zahl, dann die folgende Eigenschaft gilt:
:&lt;math&gt;
 \mathfrak{Im}\left(z - \left\lfloor \frac{\mathfrak{Im}(z)}{2\pi} \right\rfloor \cdot 2\pi i \right) \in [0,2\pi)
&lt;/math&gt;

== Beweis - LogMod-Lemma ==

In dem Beweis ist zu zeigen, dass der Imaginärteil &lt;math&gt;\mathfrak{Im}(z)&lt;/math&gt; von einer komplexen Zahl &lt;math&gt;z\in \mathbb{C}&lt;/math&gt; in dem halboffenen Intervall &lt;math&gt;[0,2\pi)&lt;/math&gt; liegt, wenn man ein &lt;math&gt;logmod(z)&lt;/math&gt;-Vielfaches von &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;z&lt;/math&gt; subtrahiert.  

=== Schritt 1 - Definition des Argumentes ===
Zunächst definiert man zur Vereinfachung der Notation das Argument des äußeren Imaginärteiles als &lt;math&gt;w\in \mathbb{C}&lt;/math&gt;:  
:&lt;math&gt;
w := z - \left\lfloor \frac{\mathfrak{Im}(z)}{2\pi} \right\rfloor \cdot 2\pi i
&lt;/math&gt;  
Zu zeigen ist nun die Eigenschaft:
:&lt;math&gt;
\mathfrak{Im}(w) \in [0, 2\pi)
&lt;/math&gt;

=== Schritt 2 - Real-Imaginärteilzerlegung ===
Man zerlegt nun &lt;math&gt; z &lt;/math&gt; in seinen Real- und Imaginärteil.

:&lt;math&gt;
z = x + i y, \quad \text{mit } x, y \in \mathbb{R}
&lt;/math&gt;

Dann gilt &lt;math&gt;
\mathfrak{Re}(z) = x \in \mathbb{R}
&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;
\mathfrak{Im}(z) = y \in \mathbb{R}
&lt;/math&gt;.

=== Schritt 3 - Imaginärteilsubstitution im Ausdruck ===
Durch Ersetzen &lt;math&gt;
\mathfrak{Im}(z) = y \in \mathbb{R}
&lt;/math&gt; in dem Ausdruck betrachtet man nun folgende Gleichung:
:&lt;math&gt;
w = z - \left\lfloor \frac{y}{2\pi} \right\rfloor \cdot 2\pi i
&lt;/math&gt;

Setzt man ferner für &lt;math&gt; z &lt;/math&gt; den Term &lt;math&gt; x + i y &lt;/math&gt; ein, erhält man &lt;math&gt;
\mathfrak{Im}(w) = y - 2\pi  \cdot \left\lfloor \tfrac{y}{2\pi} \right\rfloor
&lt;/math&gt; durch folgende Umformung:

:&lt;math&gt;
w = x + i y - \left\lfloor \frac{y}{2\pi} \right\rfloor \cdot 2\pi i = \underbrace{x}_{=\mathfrak{Re}(w)} + i \underbrace{\left( y - 2\pi \cdot \left\lfloor \frac{y}{2\pi} \right\rfloor \right)}_{=\mathfrak{Im}(w)}
&lt;/math&gt;

=== Schritt 4 -Gaußklammereigenschaft anwenden === 
Wendet man nun die Definition der Gaußklammer Quotionenten
&lt;math&gt;\frac{y}{2\pi} &lt;/math&gt; für eine beliebige reelle Zahl &lt;math&gt; y \in \mathbb{R} &lt;/math&gt; an, so gilt folgende Ungleichungskette:

:&lt;math&gt;
\left\lfloor \frac{y}{2\pi} \right\rfloor \leq \frac{y}{2\pi} &lt; \left\lfloor \frac{y}{2\pi} \right\rfloor + 1
&lt;/math&gt;

Multipliziert man die Ungleichung mit einer positiven Zahl &lt;math&gt; 2\pi &gt; 0 &lt;/math&gt;, so bleibt die einzelnen Ungleichungen erhalten:

:&lt;math&gt;
2\pi \cdot \left\lfloor \frac{y}{2\pi} \right\rfloor \leq y &lt; 2\pi \cdot \left( \left\lfloor \frac{y}{2\pi} \right\rfloor + 1 \right)
&lt;/math&gt;

=== Schritt 5 - Subtraktion des Gaußklammerterms === 
Subtrahiert man nun eine reelle Zahl &lt;math&gt; 2\pi\cdot  \left\lfloor \frac{y}{2\pi} \right\rfloor &lt;/math&gt; von allen Termen der Ungleichungskette, so bleibt auch durch diese Operation die Ungleichungskette erhalten und es gilt:

:&lt;math&gt;
0 \leq \underbrace{y - 2\pi \cdot \left\lfloor \frac{y}{2\pi} \right\rfloor}_{=\mathfrak{Im}(w)} &lt; 2\pi
&lt;/math&gt;

=== Schritt 6 - Intervall und Imaginärteil ===
Das liefert nach Schritt 3 genau die gesuchte Ungleichung ist genau die gesuchte Eigenschaft aus der Behauptung, denn mit &lt;math&gt;
0 \leq \mathfrak{Im}(w) &lt; 2\pi
&lt;/math&gt;
gilt auch
:&lt;math&gt;
\mathfrak{Im}(w) = y - 2\pi \left\lfloor \frac{y}{2\pi} \right\rfloor \in [0, 2\pi)
&lt;/math&gt;

bzw. durch Rückersetzung der Definition von &lt;math&gt;w&lt;/math&gt; aus Schritt 1 folgt:
:&lt;math&gt;
\mathfrak{Im}\left(z - \left\lfloor \frac{\mathfrak{Im}(z)}{2\pi} \right\rfloor \cdot 2\pi i \right) \in [0, 2\pi)
&lt;/math&gt;


== Interpretation und Anwendung ==
Die Verwendung der &lt;math&gt;logmod&lt;/math&gt;-Funktion erlaubt es in der komplexen Analysis, insbesondere bei der Definition des [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#negativer_Hauptzweig|negativen Hauptzweigs]] des komplexen Logarithmus und der damit Verbundenen Periodizität der Exponentialfunktion Äquivalenzklassen 
:&lt;math&gt;[w]_0 =\{ \widehat{w}\in \mathbb{C} \, :\, \exist_{k\in \mathbb{Z}}\ : w-\widehat{w}=k\cdot 2\pi i \}&lt;/math&gt; 
zu bilden, für dessen Elemente &lt;math&gt;e^w = e^{\widehat{w}}&lt;/math&gt; gilt.

=== Beispiele - Anwendung logmod-Funktion ===  
Sei &lt;math&gt; z = 5\pi i &lt;/math&gt;.

== Siehe auch ==
* [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#algebraischvollstaendig|algebraisch vervollständigte Logarithmus]]
* [[einfach zusammenhängend]]
* [[w:de:Gaußklammer|Gaußklammer]]
* [[holomorphe Funktion]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]]</text>
      <sha1>rtx278l16ecmileo5pkkiovzstz7lo2</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>1115847</id>
      <parentid>1115845</parentid>
      <timestamp>2026-10-12T14:10:55Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bert Niehaus</username>
        <id>20843</id>
      </contributor>
      <comment>/* Definition - logmod-Funktion */</comment>
      <origin>1115847</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="8794" sha1="lvzbeivsuwks7nm9th3jwqi77hqpxbb" xml:space="preserve">== Einleitung ==
Für die Definition eines rekursiven Logarithmus auf &lt;math&gt;\mathbb{C}\setminus \{0\}&lt;/math&gt; benötigt man die &lt;math&gt;logmod&lt;/math&gt;-Funktion. Ähnlich wie bei der Periodizität Addition &lt;math&gt;+1&lt;/math&gt; in Restklasse modulo &lt;math&gt;m&lt;/math&gt; hat die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] über die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] die Periodizität &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt;.

== Definition - logmod-Funktion ==
Sei eine komplexe Zahl &lt;math&gt;z=z_1+iz_2\in \mathbb{C}&lt;/math&gt; beliebig gewählt. Dann definiert man:
:&lt;math&gt;
  \mathrm{logmod}(z)=k\in\mathbb{Z}  \mbox{ mit } z_2 - k\cdot 2\pi i \in [0,2\pi i ) 
&lt;/math&gt;

=== Erläuterung - logmod ===
Die &lt;math&gt;logmod&lt;/math&gt;-Funktion gibt die Vielfachheit &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt;, die man von dem Imaginärteil &lt;math&gt;z_2=\mathfrak{Im}(z)\in \mathbb{R}&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;z&lt;/math&gt; abziehen muss, damit der Imaginärteil von &lt;math&gt;z-k\cdot 2\pi i&lt;/math&gt; in dem halboffenen Intervall &lt;math&gt;[0,2\pi i ) 
&lt;/math&gt; liegt. 

=== Beispiele ===
* für reelle Zahlen &lt;math&gt;z\in\mathbb{R}&lt;/math&gt; gilt &lt;math&gt;\mathrm{logmod}_{2\pi i}(z) = 0&lt;/math&gt;.
* für &lt;math&gt;z_1\in\mathbb{R}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;z_2\in [0,2\pi)&lt;/math&gt; gilt ebenfalls &lt;math&gt;\mathrm{logmod}_{2\pi i}(z) = 0&lt;/math&gt;, z.B. &lt;math&gt;7+2i\in \mathbb{R}\times [0,2\pi)\cdot i&lt;/math&gt; daher gilt &lt;math&gt;\mathrm{logmod}_{2\pi i}(7+2i) = 0&lt;/math&gt;.
* für &lt;math&gt;7+7i\in \mathbb{R}\times [0,2\pi)\cdot i&lt;/math&gt; gilt &lt;math&gt;\mathrm{logmod}_{2\pi i}(7+7i) = 1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\mathrm{logmod}_{2\pi i}(7-21i) = -3&lt;/math&gt;.

=== Bezug zur Restklassen und modulo-Rechnung ===
Wenn &lt;math&gt;14&lt;/math&gt; liegt in der Restklasse &lt;math&gt;[2]_5&lt;/math&gt; modulo &lt;math&gt;5&lt;/math&gt; mit:
:&lt;math&gt;
  [2]_5 := \{z\in \mathbb{Z} \, : \, \exist_{k\in \mathbb{Z}}\ 5\cdot k + 2 = z\}
&lt;/math&gt; 
Wenn man die Restklasse &lt;math&gt;r\in\{0,1,2,3,4\}&lt;/math&gt; einer beliebigen ganzen Zahl &lt;math&gt;z\in \mathbb{Z}&lt;/math&gt; modulo 5 sucht, bestimmen man die Vielfachheit &lt;math&gt;k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;, sodass &lt;math&gt;z-k\cdot \in \{0,1,2,3,4\}&lt;/math&gt; in der Repräsentantenmenge der Restklasse liegt.

== Bezug zur Exponentialfunktion ==
Die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] besitzt eine Periodizität von &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; (siehe [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]]). Wenn man den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige|negativen Hauptzweig]] algebraisch auf &lt;math&gt;\mathbb{D}_1&lt;/math&gt; vervollständigt, kann man &lt;math&gt;\mathbb{C}\setminus \{0\}&lt;/math&gt; bijektiv mit der Exponentialfunktion auf &lt;math&gt;\mathbb{D}_1&lt;/math&gt; abbilden. Dabei definiert man:
:&lt;math&gt;\mathbb{D}_1 := \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi i) = \{z_1+i\cdot z_2 \in \mathbb{C} \, :\, z_2\in  [0,2\pi i)\,\, \}&lt;/math&gt; 
und definert den zugehörigen Logarithmus wie folgt:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rrcl}
   \ln_1 : &amp; \mathbb{C}\setminus \{0\} &amp; \rightarrow &amp; \mathbb{D}_1 \\ 
    &amp;  z  &amp; \mapsto &amp; \ln_1(z) = w \in \mathbb{D}_1  \mbox{ mit } e^w = z
  \end{array}  
&lt;/math&gt;

=== Bemerkung - Stetigkeit und Differenzierbarkeit ===
Der [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#algebraischvollstaendig|algebraisch vervollständigte Logarithmus]] ist für alle Zahlen &lt;math&gt;z\in \mathbb{R}\setminus \{0\} \subset \mathbb{C} &lt;/math&gt; nicht stetig und damit auch nicht komplex differenzierbar. Den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] als [[holomorphe Funktion]] erhält als eine holomorphe Funktion als Stammfunktion &lt;math&gt;f(z)=\tfrac{1}{z}&lt;/math&gt; nur dann, wenn der Definitionbereich [[einfach zusammenhängend]] ist.

== Gaußklammer-Definition von logmod ==
Die &lt;math&gt;logmod&lt;/math&gt;-Funktion kann man über die [[w:de:Gaußklammer|Gaußklammer]] wie folgt ausdrücken:
:&lt;math&gt;\mathrm{logmod}(z):=\left\lfloor \frac{\mathfrak{Im}(z)}{2\pi} \right\rfloor&lt;/math&gt;

=== Bemerkung zur Definition ===
Die Gaußklammer wird in der obigen Definition auf einen Quotienten aus dem Imaginärteil &lt;math&gt;\mathfrak{Im}(z)\in\mathbb{R}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;2\pi&lt;/math&gt; als [[w:de:Reelle Zahlen|reelle Zahl]] angewendet, wobei  &lt;math&gt;\left\lfloor \tfrac{\mathfrak{Im}(z)}{2\pi} \right\rfloor&lt;/math&gt; die größte [[w:de:ganze Zahl|ganze Zahl]] ist, die kleiner oder gleich der reellen Zahl &lt;math&gt;\tfrac{\mathfrak{Im}(z)}{2\pi}&lt;/math&gt; ist:
:&lt;math&gt;\left\lfloor \tfrac{\mathfrak{Im}(z)}{2\pi} \right\rfloor := \max \left\{k\in\mathbb{Z} \mid k \leq \tfrac{\mathfrak{Im}(z)}{2\pi} \right\}\in \mathbb{Z}&lt;/math&gt;

== LogMod-Lemma ==
Sei &lt;math&gt;z\in \mathbb{C}&lt;/math&gt; eine beliebige komplexe Zahl, dann die folgende Eigenschaft gilt:
:&lt;math&gt;
 \mathfrak{Im}\left(z - \left\lfloor \frac{\mathfrak{Im}(z)}{2\pi} \right\rfloor \cdot 2\pi i \right) \in [0,2\pi)
&lt;/math&gt;

== Beweis - LogMod-Lemma ==

In dem Beweis ist zu zeigen, dass der Imaginärteil &lt;math&gt;\mathfrak{Im}(z)&lt;/math&gt; von einer komplexen Zahl &lt;math&gt;z\in \mathbb{C}&lt;/math&gt; in dem halboffenen Intervall &lt;math&gt;[0,2\pi)&lt;/math&gt; liegt, wenn man ein &lt;math&gt;logmod(z)&lt;/math&gt;-Vielfaches von &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;z&lt;/math&gt; subtrahiert.  

=== Schritt 1 - Definition des Argumentes ===
Zunächst definiert man zur Vereinfachung der Notation das Argument des äußeren Imaginärteiles als &lt;math&gt;w\in \mathbb{C}&lt;/math&gt;:  
:&lt;math&gt;
w := z - \left\lfloor \frac{\mathfrak{Im}(z)}{2\pi} \right\rfloor \cdot 2\pi i
&lt;/math&gt;  
Zu zeigen ist nun die Eigenschaft:
:&lt;math&gt;
\mathfrak{Im}(w) \in [0, 2\pi)
&lt;/math&gt;

=== Schritt 2 - Real-Imaginärteilzerlegung ===
Man zerlegt nun &lt;math&gt; z &lt;/math&gt; in seinen Real- und Imaginärteil.

:&lt;math&gt;
z = x + i y, \quad \text{mit } x, y \in \mathbb{R}
&lt;/math&gt;

Dann gilt &lt;math&gt;
\mathfrak{Re}(z) = x \in \mathbb{R}
&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;
\mathfrak{Im}(z) = y \in \mathbb{R}
&lt;/math&gt;.

=== Schritt 3 - Imaginärteilsubstitution im Ausdruck ===
Durch Ersetzen &lt;math&gt;
\mathfrak{Im}(z) = y \in \mathbb{R}
&lt;/math&gt; in dem Ausdruck betrachtet man nun folgende Gleichung:
:&lt;math&gt;
w = z - \left\lfloor \frac{y}{2\pi} \right\rfloor \cdot 2\pi i
&lt;/math&gt;

Setzt man ferner für &lt;math&gt; z &lt;/math&gt; den Term &lt;math&gt; x + i y &lt;/math&gt; ein, erhält man &lt;math&gt;
\mathfrak{Im}(w) = y - 2\pi  \cdot \left\lfloor \tfrac{y}{2\pi} \right\rfloor
&lt;/math&gt; durch folgende Umformung:

:&lt;math&gt;
w = x + i y - \left\lfloor \frac{y}{2\pi} \right\rfloor \cdot 2\pi i = \underbrace{x}_{=\mathfrak{Re}(w)} + i \underbrace{\left( y - 2\pi \cdot \left\lfloor \frac{y}{2\pi} \right\rfloor \right)}_{=\mathfrak{Im}(w)}
&lt;/math&gt;

=== Schritt 4 -Gaußklammereigenschaft anwenden === 
Wendet man nun die Definition der Gaußklammer Quotionenten
&lt;math&gt;\frac{y}{2\pi} &lt;/math&gt; für eine beliebige reelle Zahl &lt;math&gt; y \in \mathbb{R} &lt;/math&gt; an, so gilt folgende Ungleichungskette:

:&lt;math&gt;
\left\lfloor \frac{y}{2\pi} \right\rfloor \leq \frac{y}{2\pi} &lt; \left\lfloor \frac{y}{2\pi} \right\rfloor + 1
&lt;/math&gt;

Multipliziert man die Ungleichung mit einer positiven Zahl &lt;math&gt; 2\pi &gt; 0 &lt;/math&gt;, so bleibt die einzelnen Ungleichungen erhalten:

:&lt;math&gt;
2\pi \cdot \left\lfloor \frac{y}{2\pi} \right\rfloor \leq y &lt; 2\pi \cdot \left( \left\lfloor \frac{y}{2\pi} \right\rfloor + 1 \right)
&lt;/math&gt;

=== Schritt 5 - Subtraktion des Gaußklammerterms === 
Subtrahiert man nun eine reelle Zahl &lt;math&gt; 2\pi\cdot  \left\lfloor \frac{y}{2\pi} \right\rfloor &lt;/math&gt; von allen Termen der Ungleichungskette, so bleibt auch durch diese Operation die Ungleichungskette erhalten und es gilt:

:&lt;math&gt;
0 \leq \underbrace{y - 2\pi \cdot \left\lfloor \frac{y}{2\pi} \right\rfloor}_{=\mathfrak{Im}(w)} &lt; 2\pi
&lt;/math&gt;

=== Schritt 6 - Intervall und Imaginärteil ===
Das liefert nach Schritt 3 genau die gesuchte Ungleichung ist genau die gesuchte Eigenschaft aus der Behauptung, denn mit &lt;math&gt;
0 \leq \mathfrak{Im}(w) &lt; 2\pi
&lt;/math&gt;
gilt auch
:&lt;math&gt;
\mathfrak{Im}(w) = y - 2\pi \left\lfloor \frac{y}{2\pi} \right\rfloor \in [0, 2\pi)
&lt;/math&gt;

bzw. durch Rückersetzung der Definition von &lt;math&gt;w&lt;/math&gt; aus Schritt 1 folgt:
:&lt;math&gt;
\mathfrak{Im}\left(z - \left\lfloor \frac{\mathfrak{Im}(z)}{2\pi} \right\rfloor \cdot 2\pi i \right) \in [0, 2\pi)
&lt;/math&gt;


== Interpretation und Anwendung ==
Die Verwendung der &lt;math&gt;logmod&lt;/math&gt;-Funktion erlaubt es in der komplexen Analysis, insbesondere bei der Definition des [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#negativer_Hauptzweig|negativen Hauptzweigs]] des komplexen Logarithmus und der damit Verbundenen Periodizität der Exponentialfunktion Äquivalenzklassen 
:&lt;math&gt;[w]_0 =\{ \widehat{w}\in \mathbb{C} \, :\, \exist_{k\in \mathbb{Z}}\ : w-\widehat{w}=k\cdot 2\pi i \}&lt;/math&gt; 
zu bilden, für dessen Elemente &lt;math&gt;e^w = e^{\widehat{w}}&lt;/math&gt; gilt.

=== Beispiele - Anwendung logmod-Funktion ===  
Sei &lt;math&gt; z = 5\pi i &lt;/math&gt;.

== Siehe auch ==
* [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#algebraischvollstaendig|algebraisch vervollständigte Logarithmus]]
* [[einfach zusammenhängend]]
* [[w:de:Gaußklammer|Gaußklammer]]
* [[holomorphe Funktion]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]]</text>
      <sha1>lvzbeivsuwks7nm9th3jwqi77hqpxbb</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>1115848</id>
      <parentid>1115847</parentid>
      <timestamp>2026-10-12T14:14:51Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bert Niehaus</username>
        <id>20843</id>
      </contributor>
      <comment>/* Beispiele - Anwendung logmod-Funktion */</comment>
      <origin>1115848</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="9073" sha1="ewd47a7ctxds9wc08c5zd5tbif7943v" xml:space="preserve">== Einleitung ==
Für die Definition eines rekursiven Logarithmus auf &lt;math&gt;\mathbb{C}\setminus \{0\}&lt;/math&gt; benötigt man die &lt;math&gt;logmod&lt;/math&gt;-Funktion. Ähnlich wie bei der Periodizität Addition &lt;math&gt;+1&lt;/math&gt; in Restklasse modulo &lt;math&gt;m&lt;/math&gt; hat die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] über die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] die Periodizität &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt;.

== Definition - logmod-Funktion ==
Sei eine komplexe Zahl &lt;math&gt;z=z_1+iz_2\in \mathbb{C}&lt;/math&gt; beliebig gewählt. Dann definiert man:
:&lt;math&gt;
  \mathrm{logmod}(z)=k\in\mathbb{Z}  \mbox{ mit } z_2 - k\cdot 2\pi i \in [0,2\pi i ) 
&lt;/math&gt;

=== Erläuterung - logmod ===
Die &lt;math&gt;logmod&lt;/math&gt;-Funktion gibt die Vielfachheit &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt;, die man von dem Imaginärteil &lt;math&gt;z_2=\mathfrak{Im}(z)\in \mathbb{R}&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;z&lt;/math&gt; abziehen muss, damit der Imaginärteil von &lt;math&gt;z-k\cdot 2\pi i&lt;/math&gt; in dem halboffenen Intervall &lt;math&gt;[0,2\pi i ) 
&lt;/math&gt; liegt. 

=== Beispiele ===
* für reelle Zahlen &lt;math&gt;z\in\mathbb{R}&lt;/math&gt; gilt &lt;math&gt;\mathrm{logmod}_{2\pi i}(z) = 0&lt;/math&gt;.
* für &lt;math&gt;z_1\in\mathbb{R}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;z_2\in [0,2\pi)&lt;/math&gt; gilt ebenfalls &lt;math&gt;\mathrm{logmod}_{2\pi i}(z) = 0&lt;/math&gt;, z.B. &lt;math&gt;7+2i\in \mathbb{R}\times [0,2\pi)\cdot i&lt;/math&gt; daher gilt &lt;math&gt;\mathrm{logmod}_{2\pi i}(7+2i) = 0&lt;/math&gt;.
* für &lt;math&gt;7+7i\in \mathbb{R}\times [0,2\pi)\cdot i&lt;/math&gt; gilt &lt;math&gt;\mathrm{logmod}_{2\pi i}(7+7i) = 1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\mathrm{logmod}_{2\pi i}(7-21i) = -3&lt;/math&gt;.

=== Bezug zur Restklassen und modulo-Rechnung ===
Wenn &lt;math&gt;14&lt;/math&gt; liegt in der Restklasse &lt;math&gt;[2]_5&lt;/math&gt; modulo &lt;math&gt;5&lt;/math&gt; mit:
:&lt;math&gt;
  [2]_5 := \{z\in \mathbb{Z} \, : \, \exist_{k\in \mathbb{Z}}\ 5\cdot k + 2 = z\}
&lt;/math&gt; 
Wenn man die Restklasse &lt;math&gt;r\in\{0,1,2,3,4\}&lt;/math&gt; einer beliebigen ganzen Zahl &lt;math&gt;z\in \mathbb{Z}&lt;/math&gt; modulo 5 sucht, bestimmen man die Vielfachheit &lt;math&gt;k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;, sodass &lt;math&gt;z-k\cdot \in \{0,1,2,3,4\}&lt;/math&gt; in der Repräsentantenmenge der Restklasse liegt.

== Bezug zur Exponentialfunktion ==
Die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] besitzt eine Periodizität von &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; (siehe [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]]). Wenn man den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige|negativen Hauptzweig]] algebraisch auf &lt;math&gt;\mathbb{D}_1&lt;/math&gt; vervollständigt, kann man &lt;math&gt;\mathbb{C}\setminus \{0\}&lt;/math&gt; bijektiv mit der Exponentialfunktion auf &lt;math&gt;\mathbb{D}_1&lt;/math&gt; abbilden. Dabei definiert man:
:&lt;math&gt;\mathbb{D}_1 := \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi i) = \{z_1+i\cdot z_2 \in \mathbb{C} \, :\, z_2\in  [0,2\pi i)\,\, \}&lt;/math&gt; 
und definert den zugehörigen Logarithmus wie folgt:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rrcl}
   \ln_1 : &amp; \mathbb{C}\setminus \{0\} &amp; \rightarrow &amp; \mathbb{D}_1 \\ 
    &amp;  z  &amp; \mapsto &amp; \ln_1(z) = w \in \mathbb{D}_1  \mbox{ mit } e^w = z
  \end{array}  
&lt;/math&gt;

=== Bemerkung - Stetigkeit und Differenzierbarkeit ===
Der [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#algebraischvollstaendig|algebraisch vervollständigte Logarithmus]] ist für alle Zahlen &lt;math&gt;z\in \mathbb{R}\setminus \{0\} \subset \mathbb{C} &lt;/math&gt; nicht stetig und damit auch nicht komplex differenzierbar. Den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] als [[holomorphe Funktion]] erhält als eine holomorphe Funktion als Stammfunktion &lt;math&gt;f(z)=\tfrac{1}{z}&lt;/math&gt; nur dann, wenn der Definitionbereich [[einfach zusammenhängend]] ist.

== Gaußklammer-Definition von logmod ==
Die &lt;math&gt;logmod&lt;/math&gt;-Funktion kann man über die [[w:de:Gaußklammer|Gaußklammer]] wie folgt ausdrücken:
:&lt;math&gt;\mathrm{logmod}(z):=\left\lfloor \frac{\mathfrak{Im}(z)}{2\pi} \right\rfloor&lt;/math&gt;

=== Bemerkung zur Definition ===
Die Gaußklammer wird in der obigen Definition auf einen Quotienten aus dem Imaginärteil &lt;math&gt;\mathfrak{Im}(z)\in\mathbb{R}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;2\pi&lt;/math&gt; als [[w:de:Reelle Zahlen|reelle Zahl]] angewendet, wobei  &lt;math&gt;\left\lfloor \tfrac{\mathfrak{Im}(z)}{2\pi} \right\rfloor&lt;/math&gt; die größte [[w:de:ganze Zahl|ganze Zahl]] ist, die kleiner oder gleich der reellen Zahl &lt;math&gt;\tfrac{\mathfrak{Im}(z)}{2\pi}&lt;/math&gt; ist:
:&lt;math&gt;\left\lfloor \tfrac{\mathfrak{Im}(z)}{2\pi} \right\rfloor := \max \left\{k\in\mathbb{Z} \mid k \leq \tfrac{\mathfrak{Im}(z)}{2\pi} \right\}\in \mathbb{Z}&lt;/math&gt;

== LogMod-Lemma ==
Sei &lt;math&gt;z\in \mathbb{C}&lt;/math&gt; eine beliebige komplexe Zahl, dann die folgende Eigenschaft gilt:
:&lt;math&gt;
 \mathfrak{Im}\left(z - \left\lfloor \frac{\mathfrak{Im}(z)}{2\pi} \right\rfloor \cdot 2\pi i \right) \in [0,2\pi)
&lt;/math&gt;

== Beweis - LogMod-Lemma ==

In dem Beweis ist zu zeigen, dass der Imaginärteil &lt;math&gt;\mathfrak{Im}(z)&lt;/math&gt; von einer komplexen Zahl &lt;math&gt;z\in \mathbb{C}&lt;/math&gt; in dem halboffenen Intervall &lt;math&gt;[0,2\pi)&lt;/math&gt; liegt, wenn man ein &lt;math&gt;logmod(z)&lt;/math&gt;-Vielfaches von &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;z&lt;/math&gt; subtrahiert.  

=== Schritt 1 - Definition des Argumentes ===
Zunächst definiert man zur Vereinfachung der Notation das Argument des äußeren Imaginärteiles als &lt;math&gt;w\in \mathbb{C}&lt;/math&gt;:  
:&lt;math&gt;
w := z - \left\lfloor \frac{\mathfrak{Im}(z)}{2\pi} \right\rfloor \cdot 2\pi i
&lt;/math&gt;  
Zu zeigen ist nun die Eigenschaft:
:&lt;math&gt;
\mathfrak{Im}(w) \in [0, 2\pi)
&lt;/math&gt;

=== Schritt 2 - Real-Imaginärteilzerlegung ===
Man zerlegt nun &lt;math&gt; z &lt;/math&gt; in seinen Real- und Imaginärteil.

:&lt;math&gt;
z = x + i y, \quad \text{mit } x, y \in \mathbb{R}
&lt;/math&gt;

Dann gilt &lt;math&gt;
\mathfrak{Re}(z) = x \in \mathbb{R}
&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;
\mathfrak{Im}(z) = y \in \mathbb{R}
&lt;/math&gt;.

=== Schritt 3 - Imaginärteilsubstitution im Ausdruck ===
Durch Ersetzen &lt;math&gt;
\mathfrak{Im}(z) = y \in \mathbb{R}
&lt;/math&gt; in dem Ausdruck betrachtet man nun folgende Gleichung:
:&lt;math&gt;
w = z - \left\lfloor \frac{y}{2\pi} \right\rfloor \cdot 2\pi i
&lt;/math&gt;

Setzt man ferner für &lt;math&gt; z &lt;/math&gt; den Term &lt;math&gt; x + i y &lt;/math&gt; ein, erhält man &lt;math&gt;
\mathfrak{Im}(w) = y - 2\pi  \cdot \left\lfloor \tfrac{y}{2\pi} \right\rfloor
&lt;/math&gt; durch folgende Umformung:

:&lt;math&gt;
w = x + i y - \left\lfloor \frac{y}{2\pi} \right\rfloor \cdot 2\pi i = \underbrace{x}_{=\mathfrak{Re}(w)} + i \underbrace{\left( y - 2\pi \cdot \left\lfloor \frac{y}{2\pi} \right\rfloor \right)}_{=\mathfrak{Im}(w)}
&lt;/math&gt;

=== Schritt 4 -Gaußklammereigenschaft anwenden === 
Wendet man nun die Definition der Gaußklammer Quotionenten
&lt;math&gt;\frac{y}{2\pi} &lt;/math&gt; für eine beliebige reelle Zahl &lt;math&gt; y \in \mathbb{R} &lt;/math&gt; an, so gilt folgende Ungleichungskette:

:&lt;math&gt;
\left\lfloor \frac{y}{2\pi} \right\rfloor \leq \frac{y}{2\pi} &lt; \left\lfloor \frac{y}{2\pi} \right\rfloor + 1
&lt;/math&gt;

Multipliziert man die Ungleichung mit einer positiven Zahl &lt;math&gt; 2\pi &gt; 0 &lt;/math&gt;, so bleibt die einzelnen Ungleichungen erhalten:

:&lt;math&gt;
2\pi \cdot \left\lfloor \frac{y}{2\pi} \right\rfloor \leq y &lt; 2\pi \cdot \left( \left\lfloor \frac{y}{2\pi} \right\rfloor + 1 \right)
&lt;/math&gt;

=== Schritt 5 - Subtraktion des Gaußklammerterms === 
Subtrahiert man nun eine reelle Zahl &lt;math&gt; 2\pi\cdot  \left\lfloor \frac{y}{2\pi} \right\rfloor &lt;/math&gt; von allen Termen der Ungleichungskette, so bleibt auch durch diese Operation die Ungleichungskette erhalten und es gilt:

:&lt;math&gt;
0 \leq \underbrace{y - 2\pi \cdot \left\lfloor \frac{y}{2\pi} \right\rfloor}_{=\mathfrak{Im}(w)} &lt; 2\pi
&lt;/math&gt;

=== Schritt 6 - Intervall und Imaginärteil ===
Das liefert nach Schritt 3 genau die gesuchte Ungleichung ist genau die gesuchte Eigenschaft aus der Behauptung, denn mit &lt;math&gt;
0 \leq \mathfrak{Im}(w) &lt; 2\pi
&lt;/math&gt;
gilt auch
:&lt;math&gt;
\mathfrak{Im}(w) = y - 2\pi \left\lfloor \frac{y}{2\pi} \right\rfloor \in [0, 2\pi)
&lt;/math&gt;

bzw. durch Rückersetzung der Definition von &lt;math&gt;w&lt;/math&gt; aus Schritt 1 folgt:
:&lt;math&gt;
\mathfrak{Im}\left(z - \left\lfloor \frac{\mathfrak{Im}(z)}{2\pi} \right\rfloor \cdot 2\pi i \right) \in [0, 2\pi)
&lt;/math&gt;


== Interpretation und Anwendung ==
Die Verwendung der &lt;math&gt;logmod&lt;/math&gt;-Funktion erlaubt es in der komplexen Analysis, insbesondere bei der Definition des [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#negativer_Hauptzweig|negativen Hauptzweigs]] des komplexen Logarithmus und der damit Verbundenen Periodizität der Exponentialfunktion Äquivalenzklassen 
:&lt;math&gt;[w]_0 =\{ \widehat{w}\in \mathbb{C} \, :\, \exist_{k\in \mathbb{Z}}\ : w-\widehat{w}=k\cdot 2\pi i \}&lt;/math&gt; 
zu bilden, für dessen Elemente &lt;math&gt;e^w = e^{\widehat{w}}&lt;/math&gt; gilt.

=== Beispiele - Anwendung logmod-Funktion ===  
Sei &lt;math&gt; z = 5\pi i &lt;/math&gt;, so gilt &lt;math&gt;\mathrm{logmod}(z)=2&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;z-\mathrm{logmod}(z)\cdot 2\pi = \pi i &lt;/math&gt;. Die zugehörige Äquivalenzklasse &lt;math&gt;[z]_0&lt;/math&gt; enthält die folgenden Elemente:
:&lt;math&gt;[z]_0 = \{\ldots , -3\pi i, -\pi i , +\pi i , +3\pi i, +5\pi i,+7\pi i\ldots\}&lt;/math&gt;

== Siehe auch ==
* [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#algebraischvollstaendig|algebraisch vervollständigte Logarithmus]]
* [[einfach zusammenhängend]]
* [[w:de:Gaußklammer|Gaußklammer]]
* [[holomorphe Funktion]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]]</text>
      <sha1>ewd47a7ctxds9wc08c5zd5tbif7943v</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>1115849</id>
      <parentid>1115848</parentid>
      <timestamp>2026-10-12T14:19:44Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bert Niehaus</username>
        <id>20843</id>
      </contributor>
      <comment>/* Beispiele - Anwendung logmod-Funktion */</comment>
      <origin>1115849</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="9454" sha1="972immcz2ya29h7ejoj804j10448uw1" xml:space="preserve">== Einleitung ==
Für die Definition eines rekursiven Logarithmus auf &lt;math&gt;\mathbb{C}\setminus \{0\}&lt;/math&gt; benötigt man die &lt;math&gt;logmod&lt;/math&gt;-Funktion. Ähnlich wie bei der Periodizität Addition &lt;math&gt;+1&lt;/math&gt; in Restklasse modulo &lt;math&gt;m&lt;/math&gt; hat die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] über die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] die Periodizität &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt;.

== Definition - logmod-Funktion ==
Sei eine komplexe Zahl &lt;math&gt;z=z_1+iz_2\in \mathbb{C}&lt;/math&gt; beliebig gewählt. Dann definiert man:
:&lt;math&gt;
  \mathrm{logmod}(z)=k\in\mathbb{Z}  \mbox{ mit } z_2 - k\cdot 2\pi i \in [0,2\pi i ) 
&lt;/math&gt;

=== Erläuterung - logmod ===
Die &lt;math&gt;logmod&lt;/math&gt;-Funktion gibt die Vielfachheit &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt;, die man von dem Imaginärteil &lt;math&gt;z_2=\mathfrak{Im}(z)\in \mathbb{R}&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;z&lt;/math&gt; abziehen muss, damit der Imaginärteil von &lt;math&gt;z-k\cdot 2\pi i&lt;/math&gt; in dem halboffenen Intervall &lt;math&gt;[0,2\pi i ) 
&lt;/math&gt; liegt. 

=== Beispiele ===
* für reelle Zahlen &lt;math&gt;z\in\mathbb{R}&lt;/math&gt; gilt &lt;math&gt;\mathrm{logmod}_{2\pi i}(z) = 0&lt;/math&gt;.
* für &lt;math&gt;z_1\in\mathbb{R}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;z_2\in [0,2\pi)&lt;/math&gt; gilt ebenfalls &lt;math&gt;\mathrm{logmod}_{2\pi i}(z) = 0&lt;/math&gt;, z.B. &lt;math&gt;7+2i\in \mathbb{R}\times [0,2\pi)\cdot i&lt;/math&gt; daher gilt &lt;math&gt;\mathrm{logmod}_{2\pi i}(7+2i) = 0&lt;/math&gt;.
* für &lt;math&gt;7+7i\in \mathbb{R}\times [0,2\pi)\cdot i&lt;/math&gt; gilt &lt;math&gt;\mathrm{logmod}_{2\pi i}(7+7i) = 1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\mathrm{logmod}_{2\pi i}(7-21i) = -3&lt;/math&gt;.

=== Bezug zur Restklassen und modulo-Rechnung ===
Wenn &lt;math&gt;14&lt;/math&gt; liegt in der Restklasse &lt;math&gt;[2]_5&lt;/math&gt; modulo &lt;math&gt;5&lt;/math&gt; mit:
:&lt;math&gt;
  [2]_5 := \{z\in \mathbb{Z} \, : \, \exist_{k\in \mathbb{Z}}\ 5\cdot k + 2 = z\}
&lt;/math&gt; 
Wenn man die Restklasse &lt;math&gt;r\in\{0,1,2,3,4\}&lt;/math&gt; einer beliebigen ganzen Zahl &lt;math&gt;z\in \mathbb{Z}&lt;/math&gt; modulo 5 sucht, bestimmen man die Vielfachheit &lt;math&gt;k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;, sodass &lt;math&gt;z-k\cdot \in \{0,1,2,3,4\}&lt;/math&gt; in der Repräsentantenmenge der Restklasse liegt.

== Bezug zur Exponentialfunktion ==
Die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] besitzt eine Periodizität von &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; (siehe [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]]). Wenn man den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige|negativen Hauptzweig]] algebraisch auf &lt;math&gt;\mathbb{D}_1&lt;/math&gt; vervollständigt, kann man &lt;math&gt;\mathbb{C}\setminus \{0\}&lt;/math&gt; bijektiv mit der Exponentialfunktion auf &lt;math&gt;\mathbb{D}_1&lt;/math&gt; abbilden. Dabei definiert man:
:&lt;math&gt;\mathbb{D}_1 := \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi i) = \{z_1+i\cdot z_2 \in \mathbb{C} \, :\, z_2\in  [0,2\pi i)\,\, \}&lt;/math&gt; 
und definert den zugehörigen Logarithmus wie folgt:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rrcl}
   \ln_1 : &amp; \mathbb{C}\setminus \{0\} &amp; \rightarrow &amp; \mathbb{D}_1 \\ 
    &amp;  z  &amp; \mapsto &amp; \ln_1(z) = w \in \mathbb{D}_1  \mbox{ mit } e^w = z
  \end{array}  
&lt;/math&gt;

=== Bemerkung - Stetigkeit und Differenzierbarkeit ===
Der [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#algebraischvollstaendig|algebraisch vervollständigte Logarithmus]] ist für alle Zahlen &lt;math&gt;z\in \mathbb{R}\setminus \{0\} \subset \mathbb{C} &lt;/math&gt; nicht stetig und damit auch nicht komplex differenzierbar. Den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] als [[holomorphe Funktion]] erhält als eine holomorphe Funktion als Stammfunktion &lt;math&gt;f(z)=\tfrac{1}{z}&lt;/math&gt; nur dann, wenn der Definitionbereich [[einfach zusammenhängend]] ist.

== Gaußklammer-Definition von logmod ==
Die &lt;math&gt;logmod&lt;/math&gt;-Funktion kann man über die [[w:de:Gaußklammer|Gaußklammer]] wie folgt ausdrücken:
:&lt;math&gt;\mathrm{logmod}(z):=\left\lfloor \frac{\mathfrak{Im}(z)}{2\pi} \right\rfloor&lt;/math&gt;

=== Bemerkung zur Definition ===
Die Gaußklammer wird in der obigen Definition auf einen Quotienten aus dem Imaginärteil &lt;math&gt;\mathfrak{Im}(z)\in\mathbb{R}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;2\pi&lt;/math&gt; als [[w:de:Reelle Zahlen|reelle Zahl]] angewendet, wobei  &lt;math&gt;\left\lfloor \tfrac{\mathfrak{Im}(z)}{2\pi} \right\rfloor&lt;/math&gt; die größte [[w:de:ganze Zahl|ganze Zahl]] ist, die kleiner oder gleich der reellen Zahl &lt;math&gt;\tfrac{\mathfrak{Im}(z)}{2\pi}&lt;/math&gt; ist:
:&lt;math&gt;\left\lfloor \tfrac{\mathfrak{Im}(z)}{2\pi} \right\rfloor := \max \left\{k\in\mathbb{Z} \mid k \leq \tfrac{\mathfrak{Im}(z)}{2\pi} \right\}\in \mathbb{Z}&lt;/math&gt;

== LogMod-Lemma ==
Sei &lt;math&gt;z\in \mathbb{C}&lt;/math&gt; eine beliebige komplexe Zahl, dann die folgende Eigenschaft gilt:
:&lt;math&gt;
 \mathfrak{Im}\left(z - \left\lfloor \frac{\mathfrak{Im}(z)}{2\pi} \right\rfloor \cdot 2\pi i \right) \in [0,2\pi)
&lt;/math&gt;

== Beweis - LogMod-Lemma ==

In dem Beweis ist zu zeigen, dass der Imaginärteil &lt;math&gt;\mathfrak{Im}(z)&lt;/math&gt; von einer komplexen Zahl &lt;math&gt;z\in \mathbb{C}&lt;/math&gt; in dem halboffenen Intervall &lt;math&gt;[0,2\pi)&lt;/math&gt; liegt, wenn man ein &lt;math&gt;logmod(z)&lt;/math&gt;-Vielfaches von &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;z&lt;/math&gt; subtrahiert.  

=== Schritt 1 - Definition des Argumentes ===
Zunächst definiert man zur Vereinfachung der Notation das Argument des äußeren Imaginärteiles als &lt;math&gt;w\in \mathbb{C}&lt;/math&gt;:  
:&lt;math&gt;
w := z - \left\lfloor \frac{\mathfrak{Im}(z)}{2\pi} \right\rfloor \cdot 2\pi i
&lt;/math&gt;  
Zu zeigen ist nun die Eigenschaft:
:&lt;math&gt;
\mathfrak{Im}(w) \in [0, 2\pi)
&lt;/math&gt;

=== Schritt 2 - Real-Imaginärteilzerlegung ===
Man zerlegt nun &lt;math&gt; z &lt;/math&gt; in seinen Real- und Imaginärteil.

:&lt;math&gt;
z = x + i y, \quad \text{mit } x, y \in \mathbb{R}
&lt;/math&gt;

Dann gilt &lt;math&gt;
\mathfrak{Re}(z) = x \in \mathbb{R}
&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;
\mathfrak{Im}(z) = y \in \mathbb{R}
&lt;/math&gt;.

=== Schritt 3 - Imaginärteilsubstitution im Ausdruck ===
Durch Ersetzen &lt;math&gt;
\mathfrak{Im}(z) = y \in \mathbb{R}
&lt;/math&gt; in dem Ausdruck betrachtet man nun folgende Gleichung:
:&lt;math&gt;
w = z - \left\lfloor \frac{y}{2\pi} \right\rfloor \cdot 2\pi i
&lt;/math&gt;

Setzt man ferner für &lt;math&gt; z &lt;/math&gt; den Term &lt;math&gt; x + i y &lt;/math&gt; ein, erhält man &lt;math&gt;
\mathfrak{Im}(w) = y - 2\pi  \cdot \left\lfloor \tfrac{y}{2\pi} \right\rfloor
&lt;/math&gt; durch folgende Umformung:

:&lt;math&gt;
w = x + i y - \left\lfloor \frac{y}{2\pi} \right\rfloor \cdot 2\pi i = \underbrace{x}_{=\mathfrak{Re}(w)} + i \underbrace{\left( y - 2\pi \cdot \left\lfloor \frac{y}{2\pi} \right\rfloor \right)}_{=\mathfrak{Im}(w)}
&lt;/math&gt;

=== Schritt 4 -Gaußklammereigenschaft anwenden === 
Wendet man nun die Definition der Gaußklammer Quotionenten
&lt;math&gt;\frac{y}{2\pi} &lt;/math&gt; für eine beliebige reelle Zahl &lt;math&gt; y \in \mathbb{R} &lt;/math&gt; an, so gilt folgende Ungleichungskette:

:&lt;math&gt;
\left\lfloor \frac{y}{2\pi} \right\rfloor \leq \frac{y}{2\pi} &lt; \left\lfloor \frac{y}{2\pi} \right\rfloor + 1
&lt;/math&gt;

Multipliziert man die Ungleichung mit einer positiven Zahl &lt;math&gt; 2\pi &gt; 0 &lt;/math&gt;, so bleibt die einzelnen Ungleichungen erhalten:

:&lt;math&gt;
2\pi \cdot \left\lfloor \frac{y}{2\pi} \right\rfloor \leq y &lt; 2\pi \cdot \left( \left\lfloor \frac{y}{2\pi} \right\rfloor + 1 \right)
&lt;/math&gt;

=== Schritt 5 - Subtraktion des Gaußklammerterms === 
Subtrahiert man nun eine reelle Zahl &lt;math&gt; 2\pi\cdot  \left\lfloor \frac{y}{2\pi} \right\rfloor &lt;/math&gt; von allen Termen der Ungleichungskette, so bleibt auch durch diese Operation die Ungleichungskette erhalten und es gilt:

:&lt;math&gt;
0 \leq \underbrace{y - 2\pi \cdot \left\lfloor \frac{y}{2\pi} \right\rfloor}_{=\mathfrak{Im}(w)} &lt; 2\pi
&lt;/math&gt;

=== Schritt 6 - Intervall und Imaginärteil ===
Das liefert nach Schritt 3 genau die gesuchte Ungleichung ist genau die gesuchte Eigenschaft aus der Behauptung, denn mit &lt;math&gt;
0 \leq \mathfrak{Im}(w) &lt; 2\pi
&lt;/math&gt;
gilt auch
:&lt;math&gt;
\mathfrak{Im}(w) = y - 2\pi \left\lfloor \frac{y}{2\pi} \right\rfloor \in [0, 2\pi)
&lt;/math&gt;

bzw. durch Rückersetzung der Definition von &lt;math&gt;w&lt;/math&gt; aus Schritt 1 folgt:
:&lt;math&gt;
\mathfrak{Im}\left(z - \left\lfloor \frac{\mathfrak{Im}(z)}{2\pi} \right\rfloor \cdot 2\pi i \right) \in [0, 2\pi)
&lt;/math&gt;


== Interpretation und Anwendung ==
Die Verwendung der &lt;math&gt;logmod&lt;/math&gt;-Funktion erlaubt es in der komplexen Analysis, insbesondere bei der Definition des [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#negativer_Hauptzweig|negativen Hauptzweigs]] des komplexen Logarithmus und der damit Verbundenen Periodizität der Exponentialfunktion Äquivalenzklassen 
:&lt;math&gt;[w]_0 =\{ \widehat{w}\in \mathbb{C} \, :\, \exist_{k\in \mathbb{Z}}\ : w-\widehat{w}=k\cdot 2\pi i \}&lt;/math&gt; 
zu bilden, für dessen Elemente &lt;math&gt;e^w = e^{\widehat{w}}&lt;/math&gt; gilt.

=== Beispiele - Anwendung logmod-Funktion ===  
Sei &lt;math&gt; z = 5\pi i &lt;/math&gt;, so gilt &lt;math&gt;\mathrm{logmod}(z)=2&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;z-\mathrm{logmod}(z)\cdot 2\pi = \pi i &lt;/math&gt;. Die zugehörige Äquivalenzklasse &lt;math&gt;[z]_0&lt;/math&gt; enthält die folgenden Elemente:
:&lt;math&gt;[z]_0 = \{\ldots , -3\pi i, -\pi i , +\pi i , +3\pi i, +5\pi i,+7\pi i\ldots\}&lt;/math&gt;
Ferner gilt für alle &lt;math&gt;w\in [z]_0&lt;/math&gt;, dass &lt;math&gt;e^w = e^{\pi i} = -1&lt;/math&gt;. Im Hauptzweig als holomorphe Funktion ist der Logorithmus von &lt;math&gt;-1&lt;/math&gt; nicht definiert. Allerdings ist der Logarithmus im der [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#allgebraischvollstaendig|algebraisch vervollständigten]] Funktionsdefinition definiert &lt;math&gt;\log(\pi i)=-1&lt;/math&gt;.

== Siehe auch ==
* [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#algebraischvollstaendig|algebraisch vervollständigte Logarithmus]]
* [[einfach zusammenhängend]]
* [[w:de:Gaußklammer|Gaußklammer]]
* [[holomorphe Funktion]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]]</text>
      <sha1>972immcz2ya29h7ejoj804j10448uw1</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>1115852</id>
      <parentid>1115849</parentid>
      <timestamp>2026-10-12T14:29:39Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bert Niehaus</username>
        <id>20843</id>
      </contributor>
      <comment>/* Beispiele - Anwendung logmod-Funktion */</comment>
      <origin>1115852</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="10021" sha1="l8jb0xw0bbg70yya77719voxow63qqg" xml:space="preserve">== Einleitung ==
Für die Definition eines rekursiven Logarithmus auf &lt;math&gt;\mathbb{C}\setminus \{0\}&lt;/math&gt; benötigt man die &lt;math&gt;logmod&lt;/math&gt;-Funktion. Ähnlich wie bei der Periodizität Addition &lt;math&gt;+1&lt;/math&gt; in Restklasse modulo &lt;math&gt;m&lt;/math&gt; hat die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] über die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] die Periodizität &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt;.

== Definition - logmod-Funktion ==
Sei eine komplexe Zahl &lt;math&gt;z=z_1+iz_2\in \mathbb{C}&lt;/math&gt; beliebig gewählt. Dann definiert man:
:&lt;math&gt;
  \mathrm{logmod}(z)=k\in\mathbb{Z}  \mbox{ mit } z_2 - k\cdot 2\pi i \in [0,2\pi i ) 
&lt;/math&gt;

=== Erläuterung - logmod ===
Die &lt;math&gt;logmod&lt;/math&gt;-Funktion gibt die Vielfachheit &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt;, die man von dem Imaginärteil &lt;math&gt;z_2=\mathfrak{Im}(z)\in \mathbb{R}&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;z&lt;/math&gt; abziehen muss, damit der Imaginärteil von &lt;math&gt;z-k\cdot 2\pi i&lt;/math&gt; in dem halboffenen Intervall &lt;math&gt;[0,2\pi i ) 
&lt;/math&gt; liegt. 

=== Beispiele ===
* für reelle Zahlen &lt;math&gt;z\in\mathbb{R}&lt;/math&gt; gilt &lt;math&gt;\mathrm{logmod}_{2\pi i}(z) = 0&lt;/math&gt;.
* für &lt;math&gt;z_1\in\mathbb{R}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;z_2\in [0,2\pi)&lt;/math&gt; gilt ebenfalls &lt;math&gt;\mathrm{logmod}_{2\pi i}(z) = 0&lt;/math&gt;, z.B. &lt;math&gt;7+2i\in \mathbb{R}\times [0,2\pi)\cdot i&lt;/math&gt; daher gilt &lt;math&gt;\mathrm{logmod}_{2\pi i}(7+2i) = 0&lt;/math&gt;.
* für &lt;math&gt;7+7i\in \mathbb{R}\times [0,2\pi)\cdot i&lt;/math&gt; gilt &lt;math&gt;\mathrm{logmod}_{2\pi i}(7+7i) = 1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\mathrm{logmod}_{2\pi i}(7-21i) = -3&lt;/math&gt;.

=== Bezug zur Restklassen und modulo-Rechnung ===
Wenn &lt;math&gt;14&lt;/math&gt; liegt in der Restklasse &lt;math&gt;[2]_5&lt;/math&gt; modulo &lt;math&gt;5&lt;/math&gt; mit:
:&lt;math&gt;
  [2]_5 := \{z\in \mathbb{Z} \, : \, \exist_{k\in \mathbb{Z}}\ 5\cdot k + 2 = z\}
&lt;/math&gt; 
Wenn man die Restklasse &lt;math&gt;r\in\{0,1,2,3,4\}&lt;/math&gt; einer beliebigen ganzen Zahl &lt;math&gt;z\in \mathbb{Z}&lt;/math&gt; modulo 5 sucht, bestimmen man die Vielfachheit &lt;math&gt;k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;, sodass &lt;math&gt;z-k\cdot \in \{0,1,2,3,4\}&lt;/math&gt; in der Repräsentantenmenge der Restklasse liegt.

== Bezug zur Exponentialfunktion ==
Die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] besitzt eine Periodizität von &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; (siehe [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]]). Wenn man den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige|negativen Hauptzweig]] algebraisch auf &lt;math&gt;\mathbb{D}_1&lt;/math&gt; vervollständigt, kann man &lt;math&gt;\mathbb{C}\setminus \{0\}&lt;/math&gt; bijektiv mit der Exponentialfunktion auf &lt;math&gt;\mathbb{D}_1&lt;/math&gt; abbilden. Dabei definiert man:
:&lt;math&gt;\mathbb{D}_1 := \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi i) = \{z_1+i\cdot z_2 \in \mathbb{C} \, :\, z_2\in  [0,2\pi i)\,\, \}&lt;/math&gt; 
und definert den zugehörigen Logarithmus wie folgt:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rrcl}
   \ln_1 : &amp; \mathbb{C}\setminus \{0\} &amp; \rightarrow &amp; \mathbb{D}_1 \\ 
    &amp;  z  &amp; \mapsto &amp; \ln_1(z) = w \in \mathbb{D}_1  \mbox{ mit } e^w = z
  \end{array}  
&lt;/math&gt;

=== Bemerkung - Stetigkeit und Differenzierbarkeit ===
Der [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#algebraischvollstaendig|algebraisch vervollständigte Logarithmus]] ist für alle Zahlen &lt;math&gt;z\in \mathbb{R}\setminus \{0\} \subset \mathbb{C} &lt;/math&gt; nicht stetig und damit auch nicht komplex differenzierbar. Den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] als [[holomorphe Funktion]] erhält als eine holomorphe Funktion als Stammfunktion &lt;math&gt;f(z)=\tfrac{1}{z}&lt;/math&gt; nur dann, wenn der Definitionbereich [[einfach zusammenhängend]] ist.

== Gaußklammer-Definition von logmod ==
Die &lt;math&gt;logmod&lt;/math&gt;-Funktion kann man über die [[w:de:Gaußklammer|Gaußklammer]] wie folgt ausdrücken:
:&lt;math&gt;\mathrm{logmod}(z):=\left\lfloor \frac{\mathfrak{Im}(z)}{2\pi} \right\rfloor&lt;/math&gt;

=== Bemerkung zur Definition ===
Die Gaußklammer wird in der obigen Definition auf einen Quotienten aus dem Imaginärteil &lt;math&gt;\mathfrak{Im}(z)\in\mathbb{R}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;2\pi&lt;/math&gt; als [[w:de:Reelle Zahlen|reelle Zahl]] angewendet, wobei  &lt;math&gt;\left\lfloor \tfrac{\mathfrak{Im}(z)}{2\pi} \right\rfloor&lt;/math&gt; die größte [[w:de:ganze Zahl|ganze Zahl]] ist, die kleiner oder gleich der reellen Zahl &lt;math&gt;\tfrac{\mathfrak{Im}(z)}{2\pi}&lt;/math&gt; ist:
:&lt;math&gt;\left\lfloor \tfrac{\mathfrak{Im}(z)}{2\pi} \right\rfloor := \max \left\{k\in\mathbb{Z} \mid k \leq \tfrac{\mathfrak{Im}(z)}{2\pi} \right\}\in \mathbb{Z}&lt;/math&gt;

== LogMod-Lemma ==
Sei &lt;math&gt;z\in \mathbb{C}&lt;/math&gt; eine beliebige komplexe Zahl, dann die folgende Eigenschaft gilt:
:&lt;math&gt;
 \mathfrak{Im}\left(z - \left\lfloor \frac{\mathfrak{Im}(z)}{2\pi} \right\rfloor \cdot 2\pi i \right) \in [0,2\pi)
&lt;/math&gt;

== Beweis - LogMod-Lemma ==

In dem Beweis ist zu zeigen, dass der Imaginärteil &lt;math&gt;\mathfrak{Im}(z)&lt;/math&gt; von einer komplexen Zahl &lt;math&gt;z\in \mathbb{C}&lt;/math&gt; in dem halboffenen Intervall &lt;math&gt;[0,2\pi)&lt;/math&gt; liegt, wenn man ein &lt;math&gt;logmod(z)&lt;/math&gt;-Vielfaches von &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;z&lt;/math&gt; subtrahiert.  

=== Schritt 1 - Definition des Argumentes ===
Zunächst definiert man zur Vereinfachung der Notation das Argument des äußeren Imaginärteiles als &lt;math&gt;w\in \mathbb{C}&lt;/math&gt;:  
:&lt;math&gt;
w := z - \left\lfloor \frac{\mathfrak{Im}(z)}{2\pi} \right\rfloor \cdot 2\pi i
&lt;/math&gt;  
Zu zeigen ist nun die Eigenschaft:
:&lt;math&gt;
\mathfrak{Im}(w) \in [0, 2\pi)
&lt;/math&gt;

=== Schritt 2 - Real-Imaginärteilzerlegung ===
Man zerlegt nun &lt;math&gt; z &lt;/math&gt; in seinen Real- und Imaginärteil.

:&lt;math&gt;
z = x + i y, \quad \text{mit } x, y \in \mathbb{R}
&lt;/math&gt;

Dann gilt &lt;math&gt;
\mathfrak{Re}(z) = x \in \mathbb{R}
&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;
\mathfrak{Im}(z) = y \in \mathbb{R}
&lt;/math&gt;.

=== Schritt 3 - Imaginärteilsubstitution im Ausdruck ===
Durch Ersetzen &lt;math&gt;
\mathfrak{Im}(z) = y \in \mathbb{R}
&lt;/math&gt; in dem Ausdruck betrachtet man nun folgende Gleichung:
:&lt;math&gt;
w = z - \left\lfloor \frac{y}{2\pi} \right\rfloor \cdot 2\pi i
&lt;/math&gt;

Setzt man ferner für &lt;math&gt; z &lt;/math&gt; den Term &lt;math&gt; x + i y &lt;/math&gt; ein, erhält man &lt;math&gt;
\mathfrak{Im}(w) = y - 2\pi  \cdot \left\lfloor \tfrac{y}{2\pi} \right\rfloor
&lt;/math&gt; durch folgende Umformung:

:&lt;math&gt;
w = x + i y - \left\lfloor \frac{y}{2\pi} \right\rfloor \cdot 2\pi i = \underbrace{x}_{=\mathfrak{Re}(w)} + i \underbrace{\left( y - 2\pi \cdot \left\lfloor \frac{y}{2\pi} \right\rfloor \right)}_{=\mathfrak{Im}(w)}
&lt;/math&gt;

=== Schritt 4 -Gaußklammereigenschaft anwenden === 
Wendet man nun die Definition der Gaußklammer Quotionenten
&lt;math&gt;\frac{y}{2\pi} &lt;/math&gt; für eine beliebige reelle Zahl &lt;math&gt; y \in \mathbb{R} &lt;/math&gt; an, so gilt folgende Ungleichungskette:

:&lt;math&gt;
\left\lfloor \frac{y}{2\pi} \right\rfloor \leq \frac{y}{2\pi} &lt; \left\lfloor \frac{y}{2\pi} \right\rfloor + 1
&lt;/math&gt;

Multipliziert man die Ungleichung mit einer positiven Zahl &lt;math&gt; 2\pi &gt; 0 &lt;/math&gt;, so bleibt die einzelnen Ungleichungen erhalten:

:&lt;math&gt;
2\pi \cdot \left\lfloor \frac{y}{2\pi} \right\rfloor \leq y &lt; 2\pi \cdot \left( \left\lfloor \frac{y}{2\pi} \right\rfloor + 1 \right)
&lt;/math&gt;

=== Schritt 5 - Subtraktion des Gaußklammerterms === 
Subtrahiert man nun eine reelle Zahl &lt;math&gt; 2\pi\cdot  \left\lfloor \frac{y}{2\pi} \right\rfloor &lt;/math&gt; von allen Termen der Ungleichungskette, so bleibt auch durch diese Operation die Ungleichungskette erhalten und es gilt:

:&lt;math&gt;
0 \leq \underbrace{y - 2\pi \cdot \left\lfloor \frac{y}{2\pi} \right\rfloor}_{=\mathfrak{Im}(w)} &lt; 2\pi
&lt;/math&gt;

=== Schritt 6 - Intervall und Imaginärteil ===
Das liefert nach Schritt 3 genau die gesuchte Ungleichung ist genau die gesuchte Eigenschaft aus der Behauptung, denn mit &lt;math&gt;
0 \leq \mathfrak{Im}(w) &lt; 2\pi
&lt;/math&gt;
gilt auch
:&lt;math&gt;
\mathfrak{Im}(w) = y - 2\pi \left\lfloor \frac{y}{2\pi} \right\rfloor \in [0, 2\pi)
&lt;/math&gt;

bzw. durch Rückersetzung der Definition von &lt;math&gt;w&lt;/math&gt; aus Schritt 1 folgt:
:&lt;math&gt;
\mathfrak{Im}\left(z - \left\lfloor \frac{\mathfrak{Im}(z)}{2\pi} \right\rfloor \cdot 2\pi i \right) \in [0, 2\pi)
&lt;/math&gt;


== Interpretation und Anwendung ==
Die Verwendung der &lt;math&gt;logmod&lt;/math&gt;-Funktion erlaubt es in der komplexen Analysis, insbesondere bei der Definition des [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#negativer_Hauptzweig|negativen Hauptzweigs]] des komplexen Logarithmus und der damit Verbundenen Periodizität der Exponentialfunktion Äquivalenzklassen 
:&lt;math&gt;[w]_0 =\{ \widehat{w}\in \mathbb{C} \, :\, \exist_{k\in \mathbb{Z}}\ : w-\widehat{w}=k\cdot 2\pi i \}&lt;/math&gt; 
zu bilden, für dessen Elemente &lt;math&gt;e^w = e^{\widehat{w}}&lt;/math&gt; gilt.

=== Beispiel - Anwendung logmod-Funktion ===  
Sei &lt;math&gt; z = 5\pi i &lt;/math&gt;, so gilt &lt;math&gt;\mathrm{logmod}(z)=2&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;z-\mathrm{logmod}(z)\cdot 2\pi = \pi i &lt;/math&gt;. Die zugehörige Äquivalenzklasse &lt;math&gt;[z]_0&lt;/math&gt; enthält die folgenden Elemente:
:&lt;math&gt;[z]_0 = \{\ldots , -3\pi i, -1\pi i , +1\pi i , +3\pi i, +5\pi i,+7\pi i, \ldots\}&lt;/math&gt;
Ferner gilt für alle &lt;math&gt;w\in [z]_0&lt;/math&gt;, dass &lt;math&gt;e^w = e^{\pi i} = -1&lt;/math&gt;. Im Hauptzweig als holomorphe Funktion ist der Logorithmus von &lt;math&gt;-1&lt;/math&gt; nicht definiert. Allerdings ist der Logarithmus im der [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#allgebraischvollstaendig|algebraisch vervollständigten]] Funktionsdefinition definiert &lt;math&gt;\log(\pi i)=-1&lt;/math&gt;.

==== Analogie zu Restklassen ====
Betrachtet man die Zahl &lt;math&gt;5&lt;/math&gt;, so liegt diese in der Restklasse &lt;math&gt;[1]_2&lt;/math&gt; modulo &lt;math&gt;2&lt;/math&gt; mit:
:&lt;math&gt;
  [1]_2 := \{z\in \mathbb{Z} \, : \, \exist_{k\in \mathbb{Z}}\ 2\cdot k + 1 = z\}
&lt;/math&gt; 
Modulo 2 gibt es nur zwei Restklassen &lt;math&gt;[1]_2&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;[0]_2&lt;/math&gt;, da bei der Division durch 2 nur die Reste &lt;math&gt;r\in\{0,1\}&lt;/math&gt; auftreten. In aufzählender Form kann man die Restklasse &lt;math&gt;[1]_2&lt;/math&gt; wie folgt notieren:
:&lt;math&gt;[1]_2 = \{\ldots , -3, -1 , +1 , +3, +5,+7, \ldots\}&lt;/math&gt;

== Siehe auch ==
* [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#algebraischvollstaendig|algebraisch vervollständigte Logarithmus]]
* [[einfach zusammenhängend]]
* [[w:de:Gaußklammer|Gaußklammer]]
* [[holomorphe Funktion]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]]</text>
      <sha1>l8jb0xw0bbg70yya77719voxow63qqg</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>1115853</id>
      <parentid>1115852</parentid>
      <timestamp>2026-10-12T14:30:17Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bert Niehaus</username>
        <id>20843</id>
      </contributor>
      <comment>/* Beispiel - Anwendung logmod-Funktion */</comment>
      <origin>1115853</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="10034" sha1="5w4126yu5mctpdctqsossnb6v39c4aj" xml:space="preserve">== Einleitung ==
Für die Definition eines rekursiven Logarithmus auf &lt;math&gt;\mathbb{C}\setminus \{0\}&lt;/math&gt; benötigt man die &lt;math&gt;logmod&lt;/math&gt;-Funktion. Ähnlich wie bei der Periodizität Addition &lt;math&gt;+1&lt;/math&gt; in Restklasse modulo &lt;math&gt;m&lt;/math&gt; hat die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] über die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] die Periodizität &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt;.

== Definition - logmod-Funktion ==
Sei eine komplexe Zahl &lt;math&gt;z=z_1+iz_2\in \mathbb{C}&lt;/math&gt; beliebig gewählt. Dann definiert man:
:&lt;math&gt;
  \mathrm{logmod}(z)=k\in\mathbb{Z}  \mbox{ mit } z_2 - k\cdot 2\pi i \in [0,2\pi i ) 
&lt;/math&gt;

=== Erläuterung - logmod ===
Die &lt;math&gt;logmod&lt;/math&gt;-Funktion gibt die Vielfachheit &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt;, die man von dem Imaginärteil &lt;math&gt;z_2=\mathfrak{Im}(z)\in \mathbb{R}&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;z&lt;/math&gt; abziehen muss, damit der Imaginärteil von &lt;math&gt;z-k\cdot 2\pi i&lt;/math&gt; in dem halboffenen Intervall &lt;math&gt;[0,2\pi i ) 
&lt;/math&gt; liegt. 

=== Beispiele ===
* für reelle Zahlen &lt;math&gt;z\in\mathbb{R}&lt;/math&gt; gilt &lt;math&gt;\mathrm{logmod}_{2\pi i}(z) = 0&lt;/math&gt;.
* für &lt;math&gt;z_1\in\mathbb{R}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;z_2\in [0,2\pi)&lt;/math&gt; gilt ebenfalls &lt;math&gt;\mathrm{logmod}_{2\pi i}(z) = 0&lt;/math&gt;, z.B. &lt;math&gt;7+2i\in \mathbb{R}\times [0,2\pi)\cdot i&lt;/math&gt; daher gilt &lt;math&gt;\mathrm{logmod}_{2\pi i}(7+2i) = 0&lt;/math&gt;.
* für &lt;math&gt;7+7i\in \mathbb{R}\times [0,2\pi)\cdot i&lt;/math&gt; gilt &lt;math&gt;\mathrm{logmod}_{2\pi i}(7+7i) = 1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\mathrm{logmod}_{2\pi i}(7-21i) = -3&lt;/math&gt;.

=== Bezug zur Restklassen und modulo-Rechnung ===
Wenn &lt;math&gt;14&lt;/math&gt; liegt in der Restklasse &lt;math&gt;[2]_5&lt;/math&gt; modulo &lt;math&gt;5&lt;/math&gt; mit:
:&lt;math&gt;
  [2]_5 := \{z\in \mathbb{Z} \, : \, \exist_{k\in \mathbb{Z}}\ 5\cdot k + 2 = z\}
&lt;/math&gt; 
Wenn man die Restklasse &lt;math&gt;r\in\{0,1,2,3,4\}&lt;/math&gt; einer beliebigen ganzen Zahl &lt;math&gt;z\in \mathbb{Z}&lt;/math&gt; modulo 5 sucht, bestimmen man die Vielfachheit &lt;math&gt;k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;, sodass &lt;math&gt;z-k\cdot \in \{0,1,2,3,4\}&lt;/math&gt; in der Repräsentantenmenge der Restklasse liegt.

== Bezug zur Exponentialfunktion ==
Die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] besitzt eine Periodizität von &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; (siehe [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]]). Wenn man den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige|negativen Hauptzweig]] algebraisch auf &lt;math&gt;\mathbb{D}_1&lt;/math&gt; vervollständigt, kann man &lt;math&gt;\mathbb{C}\setminus \{0\}&lt;/math&gt; bijektiv mit der Exponentialfunktion auf &lt;math&gt;\mathbb{D}_1&lt;/math&gt; abbilden. Dabei definiert man:
:&lt;math&gt;\mathbb{D}_1 := \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi i) = \{z_1+i\cdot z_2 \in \mathbb{C} \, :\, z_2\in  [0,2\pi i)\,\, \}&lt;/math&gt; 
und definert den zugehörigen Logarithmus wie folgt:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rrcl}
   \ln_1 : &amp; \mathbb{C}\setminus \{0\} &amp; \rightarrow &amp; \mathbb{D}_1 \\ 
    &amp;  z  &amp; \mapsto &amp; \ln_1(z) = w \in \mathbb{D}_1  \mbox{ mit } e^w = z
  \end{array}  
&lt;/math&gt;

=== Bemerkung - Stetigkeit und Differenzierbarkeit ===
Der [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#algebraischvollstaendig|algebraisch vervollständigte Logarithmus]] ist für alle Zahlen &lt;math&gt;z\in \mathbb{R}\setminus \{0\} \subset \mathbb{C} &lt;/math&gt; nicht stetig und damit auch nicht komplex differenzierbar. Den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] als [[holomorphe Funktion]] erhält als eine holomorphe Funktion als Stammfunktion &lt;math&gt;f(z)=\tfrac{1}{z}&lt;/math&gt; nur dann, wenn der Definitionbereich [[einfach zusammenhängend]] ist.

== Gaußklammer-Definition von logmod ==
Die &lt;math&gt;logmod&lt;/math&gt;-Funktion kann man über die [[w:de:Gaußklammer|Gaußklammer]] wie folgt ausdrücken:
:&lt;math&gt;\mathrm{logmod}(z):=\left\lfloor \frac{\mathfrak{Im}(z)}{2\pi} \right\rfloor&lt;/math&gt;

=== Bemerkung zur Definition ===
Die Gaußklammer wird in der obigen Definition auf einen Quotienten aus dem Imaginärteil &lt;math&gt;\mathfrak{Im}(z)\in\mathbb{R}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;2\pi&lt;/math&gt; als [[w:de:Reelle Zahlen|reelle Zahl]] angewendet, wobei  &lt;math&gt;\left\lfloor \tfrac{\mathfrak{Im}(z)}{2\pi} \right\rfloor&lt;/math&gt; die größte [[w:de:ganze Zahl|ganze Zahl]] ist, die kleiner oder gleich der reellen Zahl &lt;math&gt;\tfrac{\mathfrak{Im}(z)}{2\pi}&lt;/math&gt; ist:
:&lt;math&gt;\left\lfloor \tfrac{\mathfrak{Im}(z)}{2\pi} \right\rfloor := \max \left\{k\in\mathbb{Z} \mid k \leq \tfrac{\mathfrak{Im}(z)}{2\pi} \right\}\in \mathbb{Z}&lt;/math&gt;

== LogMod-Lemma ==
Sei &lt;math&gt;z\in \mathbb{C}&lt;/math&gt; eine beliebige komplexe Zahl, dann die folgende Eigenschaft gilt:
:&lt;math&gt;
 \mathfrak{Im}\left(z - \left\lfloor \frac{\mathfrak{Im}(z)}{2\pi} \right\rfloor \cdot 2\pi i \right) \in [0,2\pi)
&lt;/math&gt;

== Beweis - LogMod-Lemma ==

In dem Beweis ist zu zeigen, dass der Imaginärteil &lt;math&gt;\mathfrak{Im}(z)&lt;/math&gt; von einer komplexen Zahl &lt;math&gt;z\in \mathbb{C}&lt;/math&gt; in dem halboffenen Intervall &lt;math&gt;[0,2\pi)&lt;/math&gt; liegt, wenn man ein &lt;math&gt;logmod(z)&lt;/math&gt;-Vielfaches von &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;z&lt;/math&gt; subtrahiert.  

=== Schritt 1 - Definition des Argumentes ===
Zunächst definiert man zur Vereinfachung der Notation das Argument des äußeren Imaginärteiles als &lt;math&gt;w\in \mathbb{C}&lt;/math&gt;:  
:&lt;math&gt;
w := z - \left\lfloor \frac{\mathfrak{Im}(z)}{2\pi} \right\rfloor \cdot 2\pi i
&lt;/math&gt;  
Zu zeigen ist nun die Eigenschaft:
:&lt;math&gt;
\mathfrak{Im}(w) \in [0, 2\pi)
&lt;/math&gt;

=== Schritt 2 - Real-Imaginärteilzerlegung ===
Man zerlegt nun &lt;math&gt; z &lt;/math&gt; in seinen Real- und Imaginärteil.

:&lt;math&gt;
z = x + i y, \quad \text{mit } x, y \in \mathbb{R}
&lt;/math&gt;

Dann gilt &lt;math&gt;
\mathfrak{Re}(z) = x \in \mathbb{R}
&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;
\mathfrak{Im}(z) = y \in \mathbb{R}
&lt;/math&gt;.

=== Schritt 3 - Imaginärteilsubstitution im Ausdruck ===
Durch Ersetzen &lt;math&gt;
\mathfrak{Im}(z) = y \in \mathbb{R}
&lt;/math&gt; in dem Ausdruck betrachtet man nun folgende Gleichung:
:&lt;math&gt;
w = z - \left\lfloor \frac{y}{2\pi} \right\rfloor \cdot 2\pi i
&lt;/math&gt;

Setzt man ferner für &lt;math&gt; z &lt;/math&gt; den Term &lt;math&gt; x + i y &lt;/math&gt; ein, erhält man &lt;math&gt;
\mathfrak{Im}(w) = y - 2\pi  \cdot \left\lfloor \tfrac{y}{2\pi} \right\rfloor
&lt;/math&gt; durch folgende Umformung:

:&lt;math&gt;
w = x + i y - \left\lfloor \frac{y}{2\pi} \right\rfloor \cdot 2\pi i = \underbrace{x}_{=\mathfrak{Re}(w)} + i \underbrace{\left( y - 2\pi \cdot \left\lfloor \frac{y}{2\pi} \right\rfloor \right)}_{=\mathfrak{Im}(w)}
&lt;/math&gt;

=== Schritt 4 -Gaußklammereigenschaft anwenden === 
Wendet man nun die Definition der Gaußklammer Quotionenten
&lt;math&gt;\frac{y}{2\pi} &lt;/math&gt; für eine beliebige reelle Zahl &lt;math&gt; y \in \mathbb{R} &lt;/math&gt; an, so gilt folgende Ungleichungskette:

:&lt;math&gt;
\left\lfloor \frac{y}{2\pi} \right\rfloor \leq \frac{y}{2\pi} &lt; \left\lfloor \frac{y}{2\pi} \right\rfloor + 1
&lt;/math&gt;

Multipliziert man die Ungleichung mit einer positiven Zahl &lt;math&gt; 2\pi &gt; 0 &lt;/math&gt;, so bleibt die einzelnen Ungleichungen erhalten:

:&lt;math&gt;
2\pi \cdot \left\lfloor \frac{y}{2\pi} \right\rfloor \leq y &lt; 2\pi \cdot \left( \left\lfloor \frac{y}{2\pi} \right\rfloor + 1 \right)
&lt;/math&gt;

=== Schritt 5 - Subtraktion des Gaußklammerterms === 
Subtrahiert man nun eine reelle Zahl &lt;math&gt; 2\pi\cdot  \left\lfloor \frac{y}{2\pi} \right\rfloor &lt;/math&gt; von allen Termen der Ungleichungskette, so bleibt auch durch diese Operation die Ungleichungskette erhalten und es gilt:

:&lt;math&gt;
0 \leq \underbrace{y - 2\pi \cdot \left\lfloor \frac{y}{2\pi} \right\rfloor}_{=\mathfrak{Im}(w)} &lt; 2\pi
&lt;/math&gt;

=== Schritt 6 - Intervall und Imaginärteil ===
Das liefert nach Schritt 3 genau die gesuchte Ungleichung ist genau die gesuchte Eigenschaft aus der Behauptung, denn mit &lt;math&gt;
0 \leq \mathfrak{Im}(w) &lt; 2\pi
&lt;/math&gt;
gilt auch
:&lt;math&gt;
\mathfrak{Im}(w) = y - 2\pi \left\lfloor \frac{y}{2\pi} \right\rfloor \in [0, 2\pi)
&lt;/math&gt;

bzw. durch Rückersetzung der Definition von &lt;math&gt;w&lt;/math&gt; aus Schritt 1 folgt:
:&lt;math&gt;
\mathfrak{Im}\left(z - \left\lfloor \frac{\mathfrak{Im}(z)}{2\pi} \right\rfloor \cdot 2\pi i \right) \in [0, 2\pi)
&lt;/math&gt;


== Interpretation und Anwendung ==
Die Verwendung der &lt;math&gt;logmod&lt;/math&gt;-Funktion erlaubt es in der komplexen Analysis, insbesondere bei der Definition des [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#negativer_Hauptzweig|negativen Hauptzweigs]] des komplexen Logarithmus und der damit Verbundenen Periodizität der Exponentialfunktion Äquivalenzklassen 
:&lt;math&gt;[w]_0 =\{ \widehat{w}\in \mathbb{C} \, :\, \exist_{k\in \mathbb{Z}}\ : w-\widehat{w}=k\cdot 2\pi i \}&lt;/math&gt; 
zu bilden, für dessen Elemente &lt;math&gt;e^w = e^{\widehat{w}}&lt;/math&gt; gilt.

=== Beispiel - Anwendung logmod-Funktion ===  
Sei &lt;math&gt; z = 5\pi i &lt;/math&gt;, so gilt &lt;math&gt;\mathrm{logmod}(z)=2&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;z-\mathrm{logmod}(z)\cdot 2\pi = \pi i &lt;/math&gt;. Die zugehörige Äquivalenzklasse &lt;math&gt;[z]_0&lt;/math&gt; enthält die folgenden Elemente:
:&lt;math&gt;[z]_0 = \{\ldots , -5\pi i, -3\pi i, -1\pi i , +1\pi i , +3\pi i, +5\pi i,+7\pi i, \ldots\}&lt;/math&gt;
Ferner gilt für alle &lt;math&gt;w\in [z]_0&lt;/math&gt;, dass &lt;math&gt;e^w = e^{\pi i} = -1&lt;/math&gt;. Im Hauptzweig als holomorphe Funktion ist der Logorithmus von &lt;math&gt;-1&lt;/math&gt; nicht definiert. Allerdings ist der Logarithmus im der [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#allgebraischvollstaendig|algebraisch vervollständigten]] Funktionsdefinition definiert &lt;math&gt;\log(\pi i)=-1&lt;/math&gt;.

==== Analogie zu Restklassen ====
Betrachtet man die Zahl &lt;math&gt;5&lt;/math&gt;, so liegt diese in der Restklasse &lt;math&gt;[1]_2&lt;/math&gt; modulo &lt;math&gt;2&lt;/math&gt; mit:
:&lt;math&gt;
  [1]_2 := \{z\in \mathbb{Z} \, : \, \exist_{k\in \mathbb{Z}}\ 2\cdot k + 1 = z\}
&lt;/math&gt; 
Modulo 2 gibt es nur zwei Restklassen &lt;math&gt;[1]_2&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;[0]_2&lt;/math&gt;, da bei der Division durch 2 nur die Reste &lt;math&gt;r\in\{0,1\}&lt;/math&gt; auftreten. In aufzählender Form kann man die Restklasse &lt;math&gt;[1]_2&lt;/math&gt; wie folgt notieren:
:&lt;math&gt;[1]_2 = \{\ldots , -5, -3, -1 , +1 , +3, +5,+7, \ldots\}&lt;/math&gt;

== Siehe auch ==
* [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#algebraischvollstaendig|algebraisch vervollständigte Logarithmus]]
* [[einfach zusammenhängend]]
* [[w:de:Gaußklammer|Gaußklammer]]
* [[holomorphe Funktion]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]]</text>
      <sha1>5w4126yu5mctpdctqsossnb6v39c4aj</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Kurs:Räumliche Modellbildung/Fluiddynamik Gruppe 5</title>
    <ns>106</ns>
    <id>172715</id>
    <revision>
      <id>1115859</id>
      <parentid>1115629</parentid>
      <timestamp>2026-10-12T14:56:06Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Heitele</username>
        <id>38553</id>
      </contributor>
      <comment>/* Thema und Fragestellung */</comment>
      <origin>1115859</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="35506" sha1="oyuhx9c97nv0z0dyfx2pcqwtow8jb5n" xml:space="preserve">= Gruppenteilnehmer =
* Joey Becker
* Marie-Thérèse Heitele
* Nicole Pander

=Thema und Fragestellung=


===Fragestellung===

Wie verändert eine symmetrische bzw. rotationssymmetrische Stenose die stationäre Strömung eines inkompressibelen Newton'schen Fluid in einem idealisierten Abschnitt der Arteria carotis communis hinsichtlich Geschwindigkeitsverteilung, Druckverteilung sowie Strömungsmuster und wie entwickeln sich diese Größen mit zunehmendem Stenosegrad im Vergleich zu einem gesunden Gefäß?

=Relevanz=
Die Untersuchung von Gefäßverengungen besitzt sowohl eine medizinische als auch eine methodische Bedeutung. Aus medizinischer Sicht sind arterielle Stenosen, etwa in der Halsschlagader kritisch, da sie die Durchblutung beeinträchtigen und durch veränderte Wandschubspannungen sowie die Bildung von Wirbeln weitere Gefäßablagerungen begünstigen. Fachlich überträgt das Projekt damit die Prinzipien der Strömungsmechanik direkt auf eine biomedizinische Anwendung. Der methodische Mehrwert liegt in der Verknüpfung mehrerer Zugänge: Durch den systematischen Abgleich von analytischer Poiseuille-Theorie und Simulationen in COMSOL Multiphysics zeigt das Projekt anschaulich, wie numerische Modelle aufgebaut, verifiziert und an ihren Grenzen bewertet werden.

===Auswahl der Stenosegrade===
Um die untersuchten Gefäßverengungen nicht willkürlich festzulegen, orientiert sich die Auswahl der Stenosegrade an der klinisch gebräuchlichen NASCET-Klassifikation von Karotisstenosen. Dabei werden Stenosen nach ihrem Schweregrad unter anderem in:

• leichte Stenosen unter 50%

• mäßige Stenosen von 50 bis 69%

• hochgradige Stenosen von 70 bis 99%
eingeteilt.

Ein vollständige Gefäßverschluss entspricht einer Okklusion. 
Für die numerische Untersuchung wird aus jeder dieser drei Kategorien ein repräsentativer Stenosegrad ausgewählt. Neben dem gesunden Gefäß mit '''0% Stenose''' werden daher eine '''30% Stenose''' als Beispiel für eine leichte, eine '''60% Stenose''' als Beispiel für eine mäßige und eine '''80% Stenose''' als Beispiel für eine hochgradige Verengung untersucht. Auf diese Weise können deutlich unterschiedliche Schweregrade miteinander vergleichen und die zunehmenden Veränderungen von Geschwindigkeit, Druck und Strömungsmuster systematisch analysiert werden. Ein vollständiger Gefäßverschluss von 100% wird nicht simuliert, da in diesem Fall keine durchgängige Strömung durch das Gefäß mehr vorliegt und damit keine Simulation betrachtet wird.

Der Stenosegrad wird in unserem Projekt über die Verringerung des Gefäßdurchmessers beschreiben. In Anlehnung an das NASCET-Prinzip kann er als Verhältnis zwischen dem minimalen Durchmesser im Bereich der Stenose und einem Referenzdurchmesser formuliert werden.

=Modellannahmen=
Um den Einfluss des Stenosegrades möglichst isoliert zu untersuchen, werden für die Simulation folgende Modellannahmen getroffen:

• '''Idealisierte Gefäßgeometrie''': Betrachtet wird ein gerader Abschnitt der ''Arteria carotis communis''. Gefäßverkrümmungen, Verzweigungen und patientenspezifische Strukturen werden nicht berücksichtigt.  

• '''Starre Gefäßwand''': Die Gefäßwand wird als unbeweglich und nicht verformbar angenommen. Eine Wechselwirkung zwischen elastischer Gefäßwand und Blutströmung wird nicht modelliert.

• '''Stationäre Strömung''': Die Strömungsgrößen werden als zeitlich konstant angenommen. Die im realen Blutkreislauf vorhandene Pulsation durch den Herzschlag wird daher vernachlässigt: 
&lt;math&gt;\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t}=0&lt;/math&gt;.

• '''Inkompressibles Fluid''': Die Dichte des Fluids wird als konstant angenommen. Damit gilt für die Geschwindigkeit &lt;math&gt;\nabla \cdot \mathbf{u}=0&lt;/math&gt;. Dies entspricht der in der Vorlesung behandelten Massenerhaltung für inkompressible Fluide: Was in das Gefäß einströmt, muss auch wieder ausströmen.

• '''Newton'sche Näherung für Blut''': Reales Blut beseitzt ein nicht-newton'sches Fließverhalten. Hier wird Blut als Newton'sches Fluid behandelt.

• '''Konstante Stoffeigenschaften''': Dichte &lt;math&gt;\rho&lt;/math&gt; und dynamische Viskosität &lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt; werden als räumlich und zeitlich konstant angenommen. Temperaturabhängigkeiten werden nicht berücksichtigt.

• '''Laminare Strömung''': Die Strömung wird mit dem COMSOL-Modul ''Laminar Flow'' beschrieben. Ein zusätzliches Turbulenzmodell wird nicht verwendet.

• '''No-Slip-Bedingung an Gefäßwand''': Aufgrund der Viskosität wird angenommen, dass das Fluid direkt an der Gefäßwand haftet. Somit gilt &lt;math&gt;\mathbf{u}=0&lt;/math&gt;.

• '''Vernachlässigung der Gravitation''': Gravitation wird nicht berücksichtigt. Die Strömung wird ausschließlich durch die gewählten Ein- und Auslassbedingungen bestimmt.

=Implementierung in COMSOL=

= Gruppenteilnehmer =
* Joey Becker
* Marie-Thérèse Heitele
* Nicole Pander

= Thema und Fragestellung =

Gegenstand dieses Projekts ist die numerische Simulation einer lokalen Gefäßverengung, die in der Medizin als ''Stenose'' bezeichnet wird. Als Anwendungsfall dient ein gerader Abschnitt der ''Arteria carotis communis'', der gemeinsamen Halsschlagader. Um den Einfluss der Verengung möglichst isoliert untersuchen zu können, wird die reale Gefäßgeometrie bewusst vereinfacht. Gefäßkrümmungen, Verzweigungen und patientenspezifische anatomische Strukturen werden nicht berücksichtigt. Stattdessen wird ein gerades, idealisiertes Gefäß mit einer rotationssymmetrischen Stenose untersucht. Im ebenen Vergleichsmodell erscheint dieselbe Verengung als symmetrische Einschnürung eines Kanals.

Als Referenz dient ein gesundes, unverengtes Gefäß, in dem sich die Poiseuille-Strömung mit ihrem charakteristischen parabolischen Geschwindigkeitsprofil ausbildet. Diese Strömung ist aus zwei Gründen der natürliche Ausgangspunkt. Sie beschreibt den physiologischen Normalfall, mit dem jeder Stenosegrad verglichen wird, und sie ist exakt lösbar, sodass sich an ihr jede numerische Rechnung prüfen lässt, bevor die Verengung hinzukommt.

== Fragestellung ==

Wie verändert eine rotationssymmetrische Stenose die stationäre Strömung eines inkompressiblen Newtonschen Fluids in einem idealisierten Abschnitt der Arteria carotis communis hinsichtlich Geschwindigkeitsverteilung, Druckverteilung, Wandschubspannung und Strömungsmuster, und wie entwickeln sich diese Größen mit zunehmendem Stenosegrad im Vergleich zu einem gesunden Gefäß?

Aus dieser Fragestellung ergeben sich drei Teilfragen, an denen sich der Aufbau der Seite orientiert.

# Welche Strömungsgrößen reagieren empfindlich auf den Stenosegrad und welche nur träge?
# Ab welchem Stenosegrad ändert sich das Strömungsmuster qualitativ, das heißt, ab wann löst die Strömung hinter der Engstelle von der Wand ab und bildet ein Rückströmgebiet?
# Wie weit tragen die vereinfachenden Modellannahmen, insbesondere die Annahme einer stationären und laminaren Strömung, über den untersuchten Bereich der Stenosegrade?

= Relevanz =

Die Untersuchung von Gefäßverengungen besitzt eine medizinische und eine methodische Bedeutung. Beide werden im Folgenden getrennt begründet, weil sie unterschiedliche Anforderungen an das Modell stellen. Die medizinische Fragestellung verlangt realistische Zahlenwerte, die methodische Fragestellung verlangt nachprüfbare Rechnungen.

== Medizinische Relevanz ==

Arterielle Stenosen entstehen überwiegend durch Atherosklerose, also durch Ablagerungen aus Lipiden, Bindegewebe und Kalk in der Gefäßwand. In der Halsschlagader sind sie klinisch besonders bedeutsam, weil sie die Durchblutung des Gehirns beeinträchtigen und weil sich an ihnen Thromben bilden können, die als Embolie einen Schlaganfall auslösen. Dass die operative Entfernung einer hochgradigen Karotisstenose das Schlaganfallrisiko symptomatischer Patienten deutlich senkt, hat die NASCET-Studie gezeigt, deren Einteilung der Stenosegrade dieses Projekt übernimmt.&lt;ref name=&quot;nascet&quot;&gt;North American Symptomatic Carotid Endarterectomy Trial Collaborators: ''Beneficial effect of carotid endarterectomy in symptomatic patients with high-grade carotid stenosis.'' New England Journal of Medicine 325 (1991), Nr. 7, S. 445-453.&lt;/ref&gt;

Strömungsmechanisch ist an einer Stenose vor allem die Wandschubspannung von Interesse, also die tangentiale Kraft je Fläche, die das strömende Blut auf die innerste Zellschicht der Gefäßwand ausübt. Gesunde Halsschlagadern weisen zeitlich gemittelte Werte von etwa 1,1 bis 1,5 Pa auf.&lt;ref name=&quot;samijo&quot;&gt;Samijo, S. K.; Willigers, J. M.; Barkhuysen, R.; Kitslaar, P. J. E. H. M.; Reneman, R. S.; Brands, P. J.; Hoeks, A. P. G.: ''Wall shear stress in the human common carotid artery as function of age and gender.'' Cardiovascular Research 39 (1998), Nr. 2, S. 515-522.&lt;/ref&gt; In einer Engstelle steigt sie stark an, unmittelbar dahinter fällt sie im Ablösegebiet auf nahezu null und wechselt dort sogar das Vorzeichen. Niedrige und im Vorzeichen wechselnde Wandschubspannungen gelten als Bedingungen, unter denen sich weitere Ablagerungen bevorzugt bilden. Eine bestehende Stenose schafft also stromabwärts die Voraussetzungen für ihr eigenes Wachstum. Genau diese Verteilung lässt sich im Körper nur schwer messen, in einer Simulation dagegen unmittelbar auswerten.

== Methodische Relevanz ==

Fachlich überträgt das Projekt die Prinzipien der Strömungsmechanik aus der Vorlesung auf eine biomedizinische Anwendung.&lt;ref name=&quot;hundertmark&quot;&gt;Hundertmark, A.: ''Fluiddynamik.'' Vorlesungsunterlagen zum Modul Räumliche Modellbildung, RPTU Kaiserslautern-Landau, Sommersemester 2026.&lt;/ref&gt; Der methodische Mehrwert liegt in der Verknüpfung mehrerer Zugänge, die sich gegenseitig kontrollieren. Die analytische Poiseuille-Lösung liefert exakte Sollwerte für das gesunde Gefäß. Ein reduziertes Graphenmodell liefert für jeden Stenosegrad eine schnelle Abschätzung, die analytisch nachrechenbar ist. Die Simulationen in COMSOL Multiphysics lösen schließlich die vollständigen Navier-Stokes-Gleichungen in zwei und drei Raumdimensionen. Weil jede Stufe die Sollwerte der nächsten liefert, zeigt das Projekt nicht nur Ergebnisse, sondern auch, wie numerische Modelle aufgebaut, verifiziert und an ihren Grenzen bewertet werden.

== Auswahl der Stenosegrade ==

Um die untersuchten Gefäßverengungen nicht willkürlich festzulegen, orientiert sich die Auswahl der Stenosegrade an der klinisch gebräuchlichen NASCET-Klassifikation von Karotisstenosen.&lt;ref name=&quot;nascet&quot; /&gt; Sie teilt Stenosen nach ihrer Durchmesserreduktion in drei Schweregrade ein, ein vollständiger Gefäßverschluss wird als Okklusion bezeichnet.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Schweregrade nach NASCET und ihre Abdeckung im Projekt
! Schweregrad !! Durchmesserreduktion !! im Projekt gerechnete Stenosegrade !! hervorgehobener Vertreter
|-
| gesundes Gefäß || 0 % || 0 || 0
|-
| leichtgradige Stenose || unter 50 % || 0,1 bis 0,4 || 0,3
|-
| mittelgradige Stenose || 50 bis 69 % || 0,5 und 0,6 || 0,6
|-
| hochgradige Stenose || 70 bis 99 % || 0,7 und 0,8 || 0,8
|-
| Okklusion || 100 % || nicht gerechnet || entfällt
|}

Für die numerische Untersuchung wird aus jeder Kategorie ein repräsentativer Stenosegrad hervorgehoben. Neben dem gesunden Gefäß mit '''0 %''' Stenose sind das eine '''30 %''' Stenose als Beispiel für eine leichtgradige, eine '''60 %''' Stenose als Beispiel für eine mittelgradige und eine '''80 %''' Stenose als Beispiel für eine hochgradige Verengung. Zusätzlich werden im Graphenmodell und im achsensymmetrischen Flächenmodell alle Zwischenwerte in Schritten von zehn Prozentpunkten gerechnet. Das kostet in diesen beiden Modellen nur Sekunden, liefert aber glatte Verläufe über dem Stenosegrad und macht sichtbar, ab welchem Grad sich das Verhalten der Strömung ändert. Ein vollständiger Gefäßverschluss wird nicht simuliert, da in diesem Fall keine durchgängige Strömung mehr vorliegt.

Der Stenosegrad wird in diesem Projekt wie bei NASCET über die Verringerung des Gefäßdurchmessers beschrieben,

&lt;math&gt;s = 1 - \frac{d_{\min}}{d_{\mathrm{ref}}},&lt;/math&gt;

wobei &lt;math&gt;d_{\min}&lt;/math&gt; der kleinste Durchmesser in der Engstelle und &lt;math&gt;d_{\mathrm{ref}}&lt;/math&gt; ein Referenzdurchmesser ist. NASCET verwendet als Referenz den Durchmesser des gesunden Gefäßes stromabwärts der Stenose. Im idealisierten Modell hat das Gefäß vor und hinter der Engstelle denselben Durchmesser &lt;math&gt;D_0&lt;/math&gt;, sodass &lt;math&gt;d_{\mathrm{ref}} = D_0&lt;/math&gt; gilt und die NASCET-Definition mit allen anderen gebräuchlichen Durchmesserdefinitionen zusammenfällt.

Wichtig für das Verständnis aller weiteren Ergebnisse ist der Unterschied zwischen Durchmesser- und Flächenreduktion. Da die Querschnittsfläche quadratisch vom Durchmesser abhängt, gilt für die Flächenreduktion &lt;math&gt;1-(1-s)^2&lt;/math&gt;. Eine im klinischen Sinn nur mittelgradige Stenose von 60 % verschließt damit bereits 84 % der Querschnittsfläche.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Durchmesser- und Flächenreduktion der gerechneten Stenosegrade
! Stenosegrad s !! 0 !! 0,1 !! 0,2 !! 0,3 !! 0,4 !! 0,5 !! 0,6 !! 0,7 !! 0,8
|-
| engster Durchmesser in mm || 6,0 || 5,4 || 4,8 || 4,2 || 3,6 || 3,0 || 2,4 || 1,8 || 1,2
|-
| Flächenreduktion || 0 % || 19 % || 36 % || 51 % || 64 % || 75 % || 84 % || 91 % || 96 %
|}

Zwei Einschränkungen gehören zur ehrlichen Einordnung. Erstens ist die NASCET-Klassifikation für Stenosen der ''Arteria carotis interna'' entwickelt worden, also des Astes hinter der Gabelung, während hier ein gerader Abschnitt der ''Arteria carotis communis'' modelliert wird. Die Klassifikation dient im Projekt deshalb als Orientierung für sinnvolle Abstufungen und nicht als diagnostische Aussage. Zweitens zeigt sich im Abschnitt zur Modellierung, dass die Annahme einer stationären, laminaren Strömung ab einem Stenosegrad von etwa 0,6 an ihre Grenzen stößt. Die hochgradigen Fälle werden deshalb zwar gerechnet, ihre Ergebnisse aber ausdrücklich als Grenzfall des Modells diskutiert.

= Modellierung =

Modellierung bedeutet hier, die reale Situation in eine mathematische Aufgabe zu übersetzen, die sich lösen lässt. Dazu gehören vier Bausteine, nämlich das Rechengebiet, die Gleichungen, die Zahlenwerte der Parameter und die Bedingungen an den Rändern. Jeder dieser Bausteine beruht auf Annahmen, und jede Annahme muss begründet werden. Dieser Abschnitt geht die Bausteine deshalb der Reihe nach durch und nennt bei jedem Zahlenwert, woher er stammt und warum er sinnvoll ist.

== Modellhierarchie ==

Das Projekt rechnet nicht ein einziges Modell, sondern vier aufeinander aufbauende Modellvarianten. Sie entsprechen der Kursanforderung, eine Strömung als Graph, in zwei und in drei Raumdimensionen darzustellen, und sie sind bewusst von einfach nach aufwendig geordnet.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Die vier Modellvarianten des Projekts
! Modell !! Raumdimension !! gelöste Gleichung !! Zweck !! Werkzeug
|-
| Graphenmodell || 1D, Gefäßachse || Hagen-Poiseuille je Rohrstück und Massenerhaltung in jedem Knoten || schnelle, analytisch nachrechenbare Abschätzung für jeden Stenosegrad || Octave und COMSOL (Koeffizientenform-PDGL)
|-
| achsensymmetrisches Flächenmodell || 2D, Halbschnitt in r und z || vollständige stationäre Navier-Stokes-Gleichungen in Zylinderkoordinaten || Hauptmodell, liefert alle Feldgrößen des rotationssymmetrischen Rohres || COMSOL, Laminare Strömung
|-
| ebenes Flächenmodell || 2D, Halbschnitt in x und y || vollständige stationäre Navier-Stokes-Gleichungen in kartesischen Koordinaten || Vergleich, zeigt den Einfluss der zweiten Querschnittsrichtung || COMSOL, Laminare Strömung
|-
| Volumenmodell || 3D || vollständige stationäre Navier-Stokes-Gleichungen || Kontrolle des Hauptmodells und räumliche Darstellung || COMSOL, Laminare Strömung
|}

Die Reihenfolge folgt einem einfachen Prinzip. Jede Stufe liefert die Sollwerte, an denen die nächste, komplexere Stufe geprüft wird. Das Graphenmodell muss im gesunden Fall exakt die Poiseuille-Lösung ergeben. Das achsensymmetrische Modell muss im gesunden Fall dieselben Werte liefern und bei Stenose für Geschwindigkeit und Wandschubspannung in der Nähe des Graphenmodells liegen. Das Volumenmodell muss, weil die Geometrie rotationssymmetrisch ist, mit dem achsensymmetrischen Modell übereinstimmen.

== Modellannahmen ==

Um den Einfluss des Stenosegrades möglichst isoliert zu untersuchen, werden die folgenden Modellannahmen getroffen. Die Tabelle nennt zu jeder Annahme ihre mathematische Form, die Begründung und die Stelle, an der sie im Projekt überprüft wird.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Modellannahmen, ihre Begründung und ihre Überprüfung
! Annahme !! mathematische Form !! Begründung !! Überprüfung
|-
| Idealisierte Gefäßgeometrie || gerades Rohr mit kosinusförmiger, rotationssymmetrischer Verengung || isoliert die Wirkung des Stenosegrades von Krümmung, Verzweigung und Plaqueform || Diskussion in den Schlussfolgerungen
|-
| Starre Gefäßwand || Wand ortsfest, keine Fluid-Struktur-Kopplung || im stationären Fall gibt es keine Druckschwankung, die die Wand periodisch aufweiten könnte || Abschätzung über die gemessene Durchmesseränderung im Herzzyklus
|-
| Stationäre Strömung || &lt;math&gt;\partial \mathbf{u}/\partial t = \mathbf{0}&lt;/math&gt; || der Einfluss des Stenosegrades soll ohne Überlagerung durch die Pulsation sichtbar werden || Abschätzung über die Womersley-Zahl
|-
| Inkompressibles Fluid || &lt;math&gt;\rho = \mathrm{const}&lt;/math&gt;, damit &lt;math&gt;\nabla\cdot\mathbf{u} = 0&lt;/math&gt; || Blut ist eine Flüssigkeit, Druckänderungen von wenigen hundert Pascal ändern die Dichte nicht messbar || Massenerhaltung in fünf Querschnitten
|-
| Newtonsche Näherung || konstante Viskosität &lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt; || die Scherraten an der Wand und im größten Teil des Querschnitts liegen über dem Bereich, in dem Blut deutlich scherverdünnend wirkt || Scherrate an der Wand, Diskussion des Rückströmgebiets
|-
| Konstante Stoffeigenschaften || &lt;math&gt;\rho&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt; räumlich und zeitlich konstant || Körpertemperatur ist im betrachteten Abschnitt konstant || entfällt
|-
| Laminare Strömung || kein Turbulenzmodell, Schnittstelle Laminare Strömung || Reynoldszahl des gesunden Gefäßes von 386 liegt weit unter dem Umschlagbereich || Reynoldszahl in der Engstelle, Literaturvergleich
|-
| Haftbedingung an der Wand || &lt;math&gt;\mathbf{u} = \mathbf{0}&lt;/math&gt; auf der Wand || Folge der Viskosität, das Fluid haftet an der Wand || Grundlage jeder Wandschubspannung
|-
| Vernachlässigung der Gravitation || keine Volumenkraft || bei konstanter Dichte lässt sich die Schwerkraft vollständig in einen hydrostatischen Druckanteil verschieben und beeinflusst die Geschwindigkeit nicht || Begründung in den Mathematischen Hintergründen
|-
| Voll entwickelte Einströmung || parabolisches Profil am Einlass || die natürliche Einlaufstrecke wäre mit rund 139 mm fast so lang wie das ganze Rechengebiet || Scheitelgeschwindigkeit im gesunden Fall
|-
| Eingeprägter Volumenstrom || &lt;math&gt;Q = Q_0&lt;/math&gt; am Einlass || der Strömungswiderstand des Abschnitts ist klein gegenüber dem des nachgeschalteten Gefäßbetts || Abschätzung mit einem Reihenwiderstand
|}

Einige dieser Annahmen sind unmittelbar einsichtig, andere verdienen eine genauere Begründung, weil von ihnen die Aussagekraft der Ergebnisse abhängt.

Die '''Newtonsche Näherung''' ist die Annahme, die bei Blut am häufigsten hinterfragt wird. Reales Blut ist eine Suspension aus Plasma und Blutzellen und verhält sich scherverdünnend. Bei kleinen Scherraten lagern sich die roten Blutkörperchen zu geldrollenartigen Stapeln zusammen, und die Viskosität steigt auf ein Vielfaches an. Bei großen Scherraten lösen sich diese Stapel auf, und die Viskosität strebt gegen einen Grenzwert von etwa 3,5 mPa·s. Entscheidend ist also die Scherrate. An der Wand des gesunden Modellgefäßes beträgt sie nach der Poiseuille-Lösung

&lt;math&gt;\dot\gamma_w = \frac{4\,U_0}{R_0} = \frac{4 \cdot 0{,}2122\ \mathrm{m/s}}{0{,}003\ \mathrm{m}} \approx 283\ \mathrm{s^{-1}}&lt;/math&gt;

und liegt damit oberhalb von etwa 100 pro Sekunde, wo sich Newtonsches und nicht Newtonsches Modell nach der Literatur nur noch wenig unterscheiden.&lt;ref name=&quot;boyd&quot;&gt;Die Grenze von etwa 100 s&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt; wird in vergleichenden Studien zur Blutrheologie verwendet, etwa bei Bernabeu, M. O. u. a.: ''Impact of blood rheology on wall shear stress in a model of the middle cerebral artery.'' Interface Focus 3 (2013), 20120094. &lt;!-- FIXME Zitat und Seitenangabe am Original pruefen --&gt;&lt;/ref&gt; In der Engstelle steigt die Scherrate weiter an, beim Stenosegrad 0,5 auf rund 2260 pro Sekunde. Schwach ist die Näherung dort, wo die Scherrate klein wird, also in der Mitte des Gefäßes und vor allem im Rückströmgebiet hinter der Stenose. Dort ist reales Blut zäher als angenommen. Dieser Punkt wird in den Schlussfolgerungen wieder aufgegriffen.

Die '''stationäre Strömung''' ist die stärkste Vereinfachung. Wie wichtig die Pulsation ist, misst die Womersley-Zahl, die das Verhältnis von instationärer Trägheit zu Reibung angibt. Mit einer Herzfrequenz von 60 Schlägen je Minute, also einer Kreisfrequenz &lt;math&gt;\omega = 2\pi\ \mathrm{s^{-1}}&lt;/math&gt;, ergibt sich

&lt;math&gt;\alpha = R_0 \sqrt{\frac{\omega \rho}{\mu}} = 0{,}003\ \mathrm{m} \cdot \sqrt{\frac{2\pi\ \mathrm{s^{-1}} \cdot 1060\ \mathrm{kg/m^3}}{0{,}0035\ \mathrm{Pa\,s}}} \approx 4{,}1 .&lt;/math&gt;

Ein Wert in dieser Größenordnung bedeutet, dass das reale Geschwindigkeitsprofil im Herzzyklus merklich von der Parabel abweicht.&lt;ref name=&quot;womersley&quot;&gt;Womersley, J. R.: ''Method for the calculation of velocity, rate of flow and viscous drag in arteries when the pressure gradient is known.'' Journal of Physiology 127 (1955), S. 553-563.&lt;/ref&gt; Hinzu kommt, dass der Volumenstrom in der Systole kurzzeitig auf rund das Vierfache des Mittelwerts steigt.&lt;ref name=&quot;holdsworth&quot;&gt;Holdsworth, D. W.; Norley, C. J. D.; Frayne, R.; Steinman, D. A.; Rutt, B. K.: ''Characterization of common carotid artery blood-flow waveforms in normal human subjects.'' Physiological Measurement 20 (1999), Nr. 3, S. 219-240. DOI 10.1088/0967-3334/20/3/301. Angegeben werden ein mittlerer Volumenstrom von 6,0 ± 1,4 ml/s und ein systolischer Spitzenwert von 23,5 ± 3,8 ml/s. &lt;!-- FIXME Zahlenwerte und Probandenzahl am Original pruefen --&gt;&lt;/ref&gt; Die stationäre Rechnung mit dem Mittelwert beschreibt deshalb nicht den zeitlichen Verlauf, wohl aber den zeitlich gemittelten Zustand, an dem sich der Einfluss des Stenosegrades sauber vergleichen lässt.

Die '''laminare Strömung''' wird über die Reynoldszahl begründet. Sie beträgt im gesunden Gefäß 386 und liegt damit weit unter dem Wert von etwa 2300, ab dem die Strömung in einem geraden Rohr in den Übergangsbereich gelangen kann. In der Engstelle steigt sie bei festem Volumenstrom auf &lt;math&gt;Re_0/(1-s)&lt;/math&gt;, also auf 551 beim Stenosegrad 0,3, auf 964 beim Grad 0,6 und auf 1928 beim Grad 0,8. Für den Strahl hinter einer Engstelle ist der Umschlagbereich allerdings deutlich niedriger als im geraden Rohr. Direkte numerische Simulationen an genau der in diesem Projekt verwendeten Stenosegeometrie zeigen, dass die Strömung bei einer Einström-Reynoldszahl von 500 auch bei leichter Unsymmetrie laminar bleibt, bei 1000 dagegen schon eine Exzentrizität von fünf Prozent des Durchmessers genügt, um den Strahl in lokal turbulente Strömung umschlagen zu lassen.&lt;ref name=&quot;varghese&quot;&gt;Varghese, S. S.; Frankel, S. H.; Fischer, P. F.: ''Direct numerical simulation of stenotic flows. Part 1. Steady flow.'' Journal of Fluid Mechanics 582 (2007), S. 253-280. Untersucht wird eine kosinusförmige Stenose der Länge 2D mit 75 % Flächenreduktion, die mit der Geometrie dieses Projekts beim Stenosegrad 0,5 übereinstimmt. &lt;!-- FIXME Band und Seiten am Original pruefen --&gt;&lt;/ref&gt; Mit einer Einström-Reynoldszahl von 386 liegt das Projekt für die leicht- und mittelgradigen Stenosen sicher im laminaren Bereich. Für die hochgradigen Stenosen ab 0,7 ist ein laminares, stationäres Modell dagegen nur noch eine Näherung, die eine Obergrenze der geordneten Strömung beschreibt. Diese Fälle werden deshalb als Grenzfall des Modells gekennzeichnet.

Die '''starre Wand''' lässt sich über Messungen abschätzen. Der Durchmesser der gemeinsamen Halsschlagader ändert sich im Herzzyklus bei jungen Menschen um etwa 12 bis 14 Prozent und bei älteren Menschen um etwa 5 Prozent.&lt;ref name=&quot;hansen&quot;&gt;Hansen, F.; Mangell, P.; Sonesson, B.; Länne, T.: ''Diameter and compliance in the human common carotid artery: variations with age and sex.'' Ultrasound in Medicine and Biology 21 (1995), Nr. 1, S. 1-9. DOI 10.1016/0301-5629(94)00090-5.&lt;/ref&gt; Diese Bewegung ist eine Folge der Pulsation. In einer stationären Rechnung gibt es keine Druckschwankung, die die Wand periodisch aufweiten könnte, sodass die starre Wand zur stationären Annahme konsistent ist. Eine verkalkte Plaque ist ohnehin deutlich steifer als die gesunde Wand.

Die Annahme des '''eingeprägten Volumenstroms''' wird im Abschnitt zu den Randbedingungen begründet, weil sie sich nur im Zusammenhang mit dem Kreislauf beurteilen lässt.

== Simulationsgebiet und Geometrie ==

Die Gefäßachse ist die z-Achse, der Ursprung liegt in der Mitte der Stenose, und &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; bezeichnet den Abstand von der Achse. Das Rechengebiet reicht von &lt;math&gt;z = -L_u&lt;/math&gt; bis &lt;math&gt;z = L_d&lt;/math&gt; und wird radial von der Wandkontur &lt;math&gt;R(z)&lt;/math&gt; begrenzt. Die Verengung wird über eine einzige glatte Funktion beschrieben,

&lt;math&gt;R(z) = R_0 \left[ 1 - \frac{s}{2}\left(1 + \cos\frac{2\pi z}{L_s}\right)\right] \quad \text{falls } |z| \le \frac{L_s}{2}, \qquad R(z) = R_0 \ \text{sonst.}&lt;/math&gt;

Die Funktion hat drei Eigenschaften, die ihre Wahl begründen. Sie wird erstens über einen einzigen Parameter gesteuert, den Stenosegrad &lt;math&gt;s&lt;/math&gt;. Der engste Radius in der Mitte beträgt &lt;math&gt;R(0) = R_0(1-s)&lt;/math&gt;, und der Fall ohne Verengung ist einfach der Fall &lt;math&gt;s = 0&lt;/math&gt;. Die gesamte Vergleichsreihe entsteht damit aus einem einzigen parametrischen Sweep. Sie geht zweitens an beiden Enden der Störstelle ohne Knick in das gerade Rohr über. Bei &lt;math&gt;z = \pm L_s/2&lt;/math&gt; ist der Kosinus gleich minus eins, die Klammer also null, und seine Ableitung verschwindet dort ebenfalls. Das ist nicht nur ästhetisch, sondern numerisch notwendig, denn ein Knick in der Wand erzeugt eine Singularität der Wandschubspannung, deren berechneter Wert mit jeder Netzverfeinerung weiter wüchse. Eine Netzstudie wäre dann sinnlos. Sie ist drittens die in der Literatur gebräuchliche Standardgeometrie für Stenosen, sodass sich die Ergebnisse unmittelbar mit veröffentlichten Rechnungen vergleichen lassen.&lt;ref name=&quot;varghese&quot; /&gt;

[[Datei:Stenose Gruppe5 Wandkontur.svg|mini|zentriert|800px|Wandkontur &lt;math&gt;R(z)&lt;/math&gt; für die untersuchten Stenosegrade. Die Darstellung ist in radialer Richtung gestreckt, das Rechengebiet ist in Wirklichkeit fünfundzwanzigmal länger als breit.]]
&lt;!-- FIXME Abbildung mit abbildungen_graph_1d.m fuer s = 0 bis 0,8 neu erzeugen, bisher nur bis 0,5 --&gt;

Die Abmessungen des Rechengebiets werden alle aus dem Gefäßradius abgeleitet. Das hat den Vorteil, dass sich das gesamte Modell durch Ändern eines einzigen Wertes auf ein anderes Gefäß übertragen lässt. Die einzelnen Längen werden im Folgenden Schritt für Schritt begründet.

# Der '''Gefäßradius''' &lt;math&gt;R_0 = 3\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; folgt aus Ultraschallmessungen an gesunden Erwachsenen. Dort wurden für die gemeinsame Halsschlagader mittlere Durchmesser von 6,10 ± 0,80 mm bei Frauen und 6,52 ± 0,98 mm bei Männern gemessen.&lt;ref name=&quot;krejza&quot;&gt;Krejza, J.; Arkuszewski, M.; Kasner, S. E.; Weigele, J.; Ustymowicz, A.; Hurst, R. W.; Cucchiara, B. L.; Messe, S. R.: ''Carotid artery diameter in men and women and the relation to body and neck size.'' Stroke 37 (2006), Nr. 4, S. 1103-1105. DOI 10.1161/01.STR.0000206440.48756.f7.&lt;/ref&gt; Der gewählte Durchmesser von &lt;math&gt;D_0 = 6\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; liegt damit innerhalb einer Standardabweichung beider Gruppen und ist bewusst auf einen runden Wert gesetzt, damit alle abgeleiteten Längen glatte Zahlen ergeben.
# Die '''Länge der Störstelle''' &lt;math&gt;L_s = 2 D_0 = 12\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; entspricht der Standardgeometrie aus der Literatur, die eine Stenosenlänge von zwei Durchmessern verwendet.&lt;ref name=&quot;varghese&quot; /&gt; Damit ist beim Stenosegrad 0,5 ein direkter Vergleich mit veröffentlichten Ergebnissen möglich.
# Die '''Vorlaufstrecke''' &lt;math&gt;L_u = 5 D_0 = 30\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; trennt den Einlass von der Stenose. Da am Einlass bereits das voll entwickelte Profil vorgegeben wird, muss sie nicht die Einlaufstrecke abdecken, sondern nur verhindern, dass die Einströmrandbedingung die Strömung an der Engstelle beeinflusst. Bei Reynoldszahlen in dieser Größenordnung reicht der Einfluss einer Verengung nur wenige Durchmesser stromaufwärts, die Literatur kommt für dieselbe Geometrie mit drei Durchmessern Vorlauf aus.&lt;ref name=&quot;varghese&quot; /&gt; Fünf Durchmesser lassen also eine Reserve. Überprüft wird das im Ergebnis, indem die Geschwindigkeit auf der Achse in der Mitte der Vorlaufstrecke mit dem Sollwert &lt;math&gt;2U_0&lt;/math&gt; verglichen wird.
# Die '''Nachlaufstrecke''' &lt;math&gt;L_d = 20 D_0 = 120\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; ist deutlich länger, weil sich hinter der Engstelle ein Rückströmgebiet bildet, das nicht auf den Auslass treffen darf. Für die Geometrie mit dem Stenosegrad 0,5 legt die Strömung bei einer Einström-Reynoldszahl von 500 erst etwa zehn Durchmesser hinter der Engstelle wieder an, die Literatur rechnet mit sechzehn Durchmessern Nachlauf.&lt;ref name=&quot;varghese&quot; /&gt; Zwanzig Durchmesser bieten damit für alle Stenosegrade bis 0,5 einen Sicherheitsabstand. Für die Grade ab 0,6 ist ein längeres Rückströmgebiet zu erwarten, dort wird die Lage des Wiederanlegepunktes ausdrücklich kontrolliert.
# Das '''Ende des fein vernetzten Nachlaufs''' &lt;math&gt;L_f = L_s/2 + 10 D_0 = 66\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; legt fest, bis wohin das Netz verfeinert wird. Der Wert ist so gewählt, dass das erwartete Rückströmgebiet von etwa zehn Durchmessern vollständig im feinen Bereich liegt.

Damit hat das Rechengebiet eine Gesamtlänge von &lt;math&gt;L = L_u + L_d = 150\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt;, also das Fünfundzwanzigfache des Durchmessers. Es ist ein Modellgebiet und kein maßstäbliches Abbild eines bestimmten anatomischen Abschnitts.

== Stoff- und Strömungsparameter ==

Die Stoffwerte des Blutes und der Volumenstrom sind die einzigen Eingangsgrößen, die nicht aus der Geometrie folgen. Aus ihnen werden alle weiteren Strömungskennwerte berechnet. Die folgenden Schritte zeigen jede Rechnung einzeln, damit sich jeder Wert nachprüfen lässt.

# Die '''Dichte''' wird mit &lt;math&gt;\rho = 1060\ \mathrm{kg/m^3}&lt;/math&gt; angesetzt. Der Wert lässt sich als Mischungsregel plausibel machen. Plasma hat eine Dichte von etwa 1025 kg/m³, rote Blutkörperchen von etwa 1100 kg/m³. Bei einem Zellanteil von 45 % ergibt sich &lt;math&gt;0{,}55 \cdot 1025 + 0{,}45 \cdot 1100 \approx 1059\ \mathrm{kg/m^3}&lt;/math&gt;. Die Dichte geht nur über die Reynoldszahl in die Rechnung ein, eine Abweichung von einem Prozent ändert die Ergebnisse daher kaum. &lt;!-- FIXME Lehrbuchquelle fuer Plasma- und Erythrozytendichte ergaenzen --&gt;
# Die '''dynamische Viskosität''' wird mit &lt;math&gt;\mu = 3{,}5\ \mathrm{mPa\,s}&lt;/math&gt; angesetzt. Das ist der Grenzwert der Blutviskosität bei hohen Scherraten, also genau der Wert, der zur Newtonschen Näherung gehört. Derselbe Wert von 0,035 Poise wird auch im Standardwerk zur Modellierung des Herz-Kreislauf-Systems verwendet.&lt;ref name=&quot;quarteroni&quot;&gt;Quarteroni, A.; Formaggia, L.: ''Mathematical Modelling and Numerical Simulation of the Cardiovascular System.'' In: Ayache, N. (Hrsg.): ''Computational Models for the Human Body.'' Handbook of Numerical Analysis, Bd. XII, Elsevier, Amsterdam 2004, S. 3-127. DOI 10.1016/S1570-8659(03)12001-7. Zur Newtonschen Näherung in großen Gefäßen siehe S. 30, zur Viskosität von 0,035 Poise die Parametertabelle auf S. 116.&lt;/ref&gt;
# Der '''mittlere Volumenstrom''' wird mit &lt;math&gt;Q_0 = 6\ \mathrm{ml/s}&lt;/math&gt; angesetzt. Das ist der zeitlich gemittelte Volumenstrom, der in der gemeinsamen Halsschlagader gesunder Probanden gemessen wurde.&lt;ref name=&quot;holdsworth&quot; /&gt;
# Die '''mittlere Geschwindigkeit''' folgt aus Volumenstrom und Querschnittsfläche, &lt;math&gt;U_0 = \frac{Q_0}{\pi R_0^2} = \frac{6 \cdot 10^{-6}\ \mathrm{m^3/s}}{\pi \cdot (0{,}003\ \mathrm{m})^2} = 0{,}2122\ \mathrm{m/s}&lt;/math&gt;.
# Die '''Reynoldszahl''' des gesunden Gefäßes ist &lt;math&gt;Re_0 = \frac{\rho\, U_0\, D_0}{\mu} = \frac{1060 \cdot 0{,}2122 \cdot 0{,}006}{0{,}0035} = 385{,}6&lt;/math&gt;. Sie wird im Folgenden auf 386 gerundet.
# Die '''Einlauflänge''', die eine anfangs gleichförmige Strömung bis zum voll entwickelten Parabelprofil bräuchte, beträgt nach der gebräuchlichen Abschätzung für laminare Rohrströmungen &lt;math&gt;L_e \approx 0{,}06\, Re_0\, D_0 \approx 0{,}06 \cdot 386 \cdot 6\ \mathrm{mm} \approx 139\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt;.&lt;ref name=&quot;durst&quot;&gt;Durst, F.; Ray, S.; Ünsal, B.; Bayoumi, O. A.: ''The development lengths of laminar pipe and channel flows.'' Journal of Fluids Engineering 127 (2005), Nr. 6, S. 1154-1160. Für große Reynoldszahlen nähert sich die dort angegebene Korrelation dem Wert 0,057·Re·D.&lt;/ref&gt; Das ist fast die gesamte Länge des Rechengebiets. Ein konstantes Einlassprofil würde die Strömung an der Stenose also verfälschen, weshalb am Einlass das voll entwickelte Profil vorgegeben wird.

Damit liegen alle globalen Parameter fest. Die folgende Tabelle enthält sie mit genau den Namen, unter denen sie in COMSOL und in den Octave-Skripten verwendet werden.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Globale Parameter des Modells
! Name !! Ausdruck in COMSOL !! Wert !! Bedeutung !! Herkunft
|-
| R0 || 3[mm] || 3 mm || Gefäßradius || Messwerte nach Krejza u. a. 2006, gerundet
|-
| D0 || 2*R0 || 6 mm || Gefäßdurchmesser || abgeleitet
|-
| Ls || 2*D0 || 12 mm || Länge der Störstelle || Standardgeometrie nach Varghese u. a. 2007
|-
| Lu || 5*D0 || 30 mm || Vorlaufstrecke vor der Stenosemitte || Abstand der Einlassbedingung von der Stenose
|-
| Ld || 20*D0 || 120 mm || Nachlaufstrecke hinter der Stenosemitte || Platz für das Rückströmgebiet
|-
| Lf || Ls/2+10*D0 || 66 mm || Ende des fein vernetzten Nachlaufs || erwartete Länge des Rückströmgebiets
|-
| s || 0 bis 0.8 || 0 bis 0,8 || Stenosegrad bezogen auf den Durchmesser || NASCET-Einteilung
|-
| rho_b || 1060[kg/m^3] || 1060 kg/m³ || Dichte des Blutes || Mischungsregel, Literaturwert
|-
| mu_b || 3.5[mPa*s] || 3,5 mPa·s || dynamische Viskosität des Blutes || Hochscherwert, Quarteroni und Formaggia 2004
|-
| Q0 || 6[ml/s] || 6 ml/s || mittlerer Volumenstrom || Messwerte nach Holdsworth u. a. 1999
|-
| U0 || Q0/(pi*R0^2) || 0,2122 m/s || mittlere Einströmgeschwindigkeit || abgeleitet
|-
| Re0 || rho_b*U0*D0/mu_b || 385,6 || Reynoldszahl des gesunden Gefäßes || abgeleitet
|-
| dp_ref || 8*mu_b*U0*(Lu+Ld)/R0^2 || 99,03 Pa || Poiseuille-Druckabfall des gesunden Gefäßes || abgeleitet, Hagen-Poiseuille
|}


= Literaturverzeichnis =

Alle Quellen sind an den Stellen im Text angegeben, an denen die zugehörigen Werte oder Aussagen verwendet werden. Die Liste wird aus diesen Angaben automatisch erzeugt.

&lt;references /&gt;</text>
      <sha1>oyuhx9c97nv0z0dyfx2pcqwtow8jb5n</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>1115860</id>
      <parentid>1115859</parentid>
      <timestamp>2026-10-12T14:56:36Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Heitele</username>
        <id>38553</id>
      </contributor>
      <comment>/* Gruppenteilnehmer */</comment>
      <origin>1115860</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="35427" sha1="0qjzqofhu7ekoqnmxr2v9kzv0khugnp" xml:space="preserve">= Gruppenteilnehmer =
* Joey Becker
* Marie-Thérèse Heitele
* Nicole Pander

=Thema und Fragestellung=


===Fragestellung===

Wie verändert eine symmetrische bzw. rotationssymmetrische Stenose die stationäre Strömung eines inkompressibelen Newton'schen Fluid in einem idealisierten Abschnitt der Arteria carotis communis hinsichtlich Geschwindigkeitsverteilung, Druckverteilung sowie Strömungsmuster und wie entwickeln sich diese Größen mit zunehmendem Stenosegrad im Vergleich zu einem gesunden Gefäß?

=Relevanz=
Die Untersuchung von Gefäßverengungen besitzt sowohl eine medizinische als auch eine methodische Bedeutung. Aus medizinischer Sicht sind arterielle Stenosen, etwa in der Halsschlagader kritisch, da sie die Durchblutung beeinträchtigen und durch veränderte Wandschubspannungen sowie die Bildung von Wirbeln weitere Gefäßablagerungen begünstigen. Fachlich überträgt das Projekt damit die Prinzipien der Strömungsmechanik direkt auf eine biomedizinische Anwendung. Der methodische Mehrwert liegt in der Verknüpfung mehrerer Zugänge: Durch den systematischen Abgleich von analytischer Poiseuille-Theorie und Simulationen in COMSOL Multiphysics zeigt das Projekt anschaulich, wie numerische Modelle aufgebaut, verifiziert und an ihren Grenzen bewertet werden.

===Auswahl der Stenosegrade===
Um die untersuchten Gefäßverengungen nicht willkürlich festzulegen, orientiert sich die Auswahl der Stenosegrade an der klinisch gebräuchlichen NASCET-Klassifikation von Karotisstenosen. Dabei werden Stenosen nach ihrem Schweregrad unter anderem in:

• leichte Stenosen unter 50%

• mäßige Stenosen von 50 bis 69%

• hochgradige Stenosen von 70 bis 99%
eingeteilt.

Ein vollständige Gefäßverschluss entspricht einer Okklusion. 
Für die numerische Untersuchung wird aus jeder dieser drei Kategorien ein repräsentativer Stenosegrad ausgewählt. Neben dem gesunden Gefäß mit '''0% Stenose''' werden daher eine '''30% Stenose''' als Beispiel für eine leichte, eine '''60% Stenose''' als Beispiel für eine mäßige und eine '''80% Stenose''' als Beispiel für eine hochgradige Verengung untersucht. Auf diese Weise können deutlich unterschiedliche Schweregrade miteinander vergleichen und die zunehmenden Veränderungen von Geschwindigkeit, Druck und Strömungsmuster systematisch analysiert werden. Ein vollständiger Gefäßverschluss von 100% wird nicht simuliert, da in diesem Fall keine durchgängige Strömung durch das Gefäß mehr vorliegt und damit keine Simulation betrachtet wird.

Der Stenosegrad wird in unserem Projekt über die Verringerung des Gefäßdurchmessers beschreiben. In Anlehnung an das NASCET-Prinzip kann er als Verhältnis zwischen dem minimalen Durchmesser im Bereich der Stenose und einem Referenzdurchmesser formuliert werden.

=Modellannahmen=
Um den Einfluss des Stenosegrades möglichst isoliert zu untersuchen, werden für die Simulation folgende Modellannahmen getroffen:

• '''Idealisierte Gefäßgeometrie''': Betrachtet wird ein gerader Abschnitt der ''Arteria carotis communis''. Gefäßverkrümmungen, Verzweigungen und patientenspezifische Strukturen werden nicht berücksichtigt.  

• '''Starre Gefäßwand''': Die Gefäßwand wird als unbeweglich und nicht verformbar angenommen. Eine Wechselwirkung zwischen elastischer Gefäßwand und Blutströmung wird nicht modelliert.

• '''Stationäre Strömung''': Die Strömungsgrößen werden als zeitlich konstant angenommen. Die im realen Blutkreislauf vorhandene Pulsation durch den Herzschlag wird daher vernachlässigt: 
&lt;math&gt;\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t}=0&lt;/math&gt;.

• '''Inkompressibles Fluid''': Die Dichte des Fluids wird als konstant angenommen. Damit gilt für die Geschwindigkeit &lt;math&gt;\nabla \cdot \mathbf{u}=0&lt;/math&gt;. Dies entspricht der in der Vorlesung behandelten Massenerhaltung für inkompressible Fluide: Was in das Gefäß einströmt, muss auch wieder ausströmen.

• '''Newton'sche Näherung für Blut''': Reales Blut beseitzt ein nicht-newton'sches Fließverhalten. Hier wird Blut als Newton'sches Fluid behandelt.

• '''Konstante Stoffeigenschaften''': Dichte &lt;math&gt;\rho&lt;/math&gt; und dynamische Viskosität &lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt; werden als räumlich und zeitlich konstant angenommen. Temperaturabhängigkeiten werden nicht berücksichtigt.

• '''Laminare Strömung''': Die Strömung wird mit dem COMSOL-Modul ''Laminar Flow'' beschrieben. Ein zusätzliches Turbulenzmodell wird nicht verwendet.

• '''No-Slip-Bedingung an Gefäßwand''': Aufgrund der Viskosität wird angenommen, dass das Fluid direkt an der Gefäßwand haftet. Somit gilt &lt;math&gt;\mathbf{u}=0&lt;/math&gt;.

• '''Vernachlässigung der Gravitation''': Gravitation wird nicht berücksichtigt. Die Strömung wird ausschließlich durch die gewählten Ein- und Auslassbedingungen bestimmt.

=Implementierung in COMSOL=

= Thema und Fragestellung =

Gegenstand dieses Projekts ist die numerische Simulation einer lokalen Gefäßverengung, die in der Medizin als ''Stenose'' bezeichnet wird. Als Anwendungsfall dient ein gerader Abschnitt der ''Arteria carotis communis'', der gemeinsamen Halsschlagader. Um den Einfluss der Verengung möglichst isoliert untersuchen zu können, wird die reale Gefäßgeometrie bewusst vereinfacht. Gefäßkrümmungen, Verzweigungen und patientenspezifische anatomische Strukturen werden nicht berücksichtigt. Stattdessen wird ein gerades, idealisiertes Gefäß mit einer rotationssymmetrischen Stenose untersucht. Im ebenen Vergleichsmodell erscheint dieselbe Verengung als symmetrische Einschnürung eines Kanals.

Als Referenz dient ein gesundes, unverengtes Gefäß, in dem sich die Poiseuille-Strömung mit ihrem charakteristischen parabolischen Geschwindigkeitsprofil ausbildet. Diese Strömung ist aus zwei Gründen der natürliche Ausgangspunkt. Sie beschreibt den physiologischen Normalfall, mit dem jeder Stenosegrad verglichen wird, und sie ist exakt lösbar, sodass sich an ihr jede numerische Rechnung prüfen lässt, bevor die Verengung hinzukommt.

== Fragestellung ==

Wie verändert eine rotationssymmetrische Stenose die stationäre Strömung eines inkompressiblen Newtonschen Fluids in einem idealisierten Abschnitt der Arteria carotis communis hinsichtlich Geschwindigkeitsverteilung, Druckverteilung, Wandschubspannung und Strömungsmuster, und wie entwickeln sich diese Größen mit zunehmendem Stenosegrad im Vergleich zu einem gesunden Gefäß?

Aus dieser Fragestellung ergeben sich drei Teilfragen, an denen sich der Aufbau der Seite orientiert.

# Welche Strömungsgrößen reagieren empfindlich auf den Stenosegrad und welche nur träge?
# Ab welchem Stenosegrad ändert sich das Strömungsmuster qualitativ, das heißt, ab wann löst die Strömung hinter der Engstelle von der Wand ab und bildet ein Rückströmgebiet?
# Wie weit tragen die vereinfachenden Modellannahmen, insbesondere die Annahme einer stationären und laminaren Strömung, über den untersuchten Bereich der Stenosegrade?

= Relevanz =

Die Untersuchung von Gefäßverengungen besitzt eine medizinische und eine methodische Bedeutung. Beide werden im Folgenden getrennt begründet, weil sie unterschiedliche Anforderungen an das Modell stellen. Die medizinische Fragestellung verlangt realistische Zahlenwerte, die methodische Fragestellung verlangt nachprüfbare Rechnungen.

== Medizinische Relevanz ==

Arterielle Stenosen entstehen überwiegend durch Atherosklerose, also durch Ablagerungen aus Lipiden, Bindegewebe und Kalk in der Gefäßwand. In der Halsschlagader sind sie klinisch besonders bedeutsam, weil sie die Durchblutung des Gehirns beeinträchtigen und weil sich an ihnen Thromben bilden können, die als Embolie einen Schlaganfall auslösen. Dass die operative Entfernung einer hochgradigen Karotisstenose das Schlaganfallrisiko symptomatischer Patienten deutlich senkt, hat die NASCET-Studie gezeigt, deren Einteilung der Stenosegrade dieses Projekt übernimmt.&lt;ref name=&quot;nascet&quot;&gt;North American Symptomatic Carotid Endarterectomy Trial Collaborators: ''Beneficial effect of carotid endarterectomy in symptomatic patients with high-grade carotid stenosis.'' New England Journal of Medicine 325 (1991), Nr. 7, S. 445-453.&lt;/ref&gt;

Strömungsmechanisch ist an einer Stenose vor allem die Wandschubspannung von Interesse, also die tangentiale Kraft je Fläche, die das strömende Blut auf die innerste Zellschicht der Gefäßwand ausübt. Gesunde Halsschlagadern weisen zeitlich gemittelte Werte von etwa 1,1 bis 1,5 Pa auf.&lt;ref name=&quot;samijo&quot;&gt;Samijo, S. K.; Willigers, J. M.; Barkhuysen, R.; Kitslaar, P. J. E. H. M.; Reneman, R. S.; Brands, P. J.; Hoeks, A. P. G.: ''Wall shear stress in the human common carotid artery as function of age and gender.'' Cardiovascular Research 39 (1998), Nr. 2, S. 515-522.&lt;/ref&gt; In einer Engstelle steigt sie stark an, unmittelbar dahinter fällt sie im Ablösegebiet auf nahezu null und wechselt dort sogar das Vorzeichen. Niedrige und im Vorzeichen wechselnde Wandschubspannungen gelten als Bedingungen, unter denen sich weitere Ablagerungen bevorzugt bilden. Eine bestehende Stenose schafft also stromabwärts die Voraussetzungen für ihr eigenes Wachstum. Genau diese Verteilung lässt sich im Körper nur schwer messen, in einer Simulation dagegen unmittelbar auswerten.

== Methodische Relevanz ==

Fachlich überträgt das Projekt die Prinzipien der Strömungsmechanik aus der Vorlesung auf eine biomedizinische Anwendung.&lt;ref name=&quot;hundertmark&quot;&gt;Hundertmark, A.: ''Fluiddynamik.'' Vorlesungsunterlagen zum Modul Räumliche Modellbildung, RPTU Kaiserslautern-Landau, Sommersemester 2026.&lt;/ref&gt; Der methodische Mehrwert liegt in der Verknüpfung mehrerer Zugänge, die sich gegenseitig kontrollieren. Die analytische Poiseuille-Lösung liefert exakte Sollwerte für das gesunde Gefäß. Ein reduziertes Graphenmodell liefert für jeden Stenosegrad eine schnelle Abschätzung, die analytisch nachrechenbar ist. Die Simulationen in COMSOL Multiphysics lösen schließlich die vollständigen Navier-Stokes-Gleichungen in zwei und drei Raumdimensionen. Weil jede Stufe die Sollwerte der nächsten liefert, zeigt das Projekt nicht nur Ergebnisse, sondern auch, wie numerische Modelle aufgebaut, verifiziert und an ihren Grenzen bewertet werden.

== Auswahl der Stenosegrade ==

Um die untersuchten Gefäßverengungen nicht willkürlich festzulegen, orientiert sich die Auswahl der Stenosegrade an der klinisch gebräuchlichen NASCET-Klassifikation von Karotisstenosen.&lt;ref name=&quot;nascet&quot; /&gt; Sie teilt Stenosen nach ihrer Durchmesserreduktion in drei Schweregrade ein, ein vollständiger Gefäßverschluss wird als Okklusion bezeichnet.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Schweregrade nach NASCET und ihre Abdeckung im Projekt
! Schweregrad !! Durchmesserreduktion !! im Projekt gerechnete Stenosegrade !! hervorgehobener Vertreter
|-
| gesundes Gefäß || 0 % || 0 || 0
|-
| leichtgradige Stenose || unter 50 % || 0,1 bis 0,4 || 0,3
|-
| mittelgradige Stenose || 50 bis 69 % || 0,5 und 0,6 || 0,6
|-
| hochgradige Stenose || 70 bis 99 % || 0,7 und 0,8 || 0,8
|-
| Okklusion || 100 % || nicht gerechnet || entfällt
|}

Für die numerische Untersuchung wird aus jeder Kategorie ein repräsentativer Stenosegrad hervorgehoben. Neben dem gesunden Gefäß mit '''0 %''' Stenose sind das eine '''30 %''' Stenose als Beispiel für eine leichtgradige, eine '''60 %''' Stenose als Beispiel für eine mittelgradige und eine '''80 %''' Stenose als Beispiel für eine hochgradige Verengung. Zusätzlich werden im Graphenmodell und im achsensymmetrischen Flächenmodell alle Zwischenwerte in Schritten von zehn Prozentpunkten gerechnet. Das kostet in diesen beiden Modellen nur Sekunden, liefert aber glatte Verläufe über dem Stenosegrad und macht sichtbar, ab welchem Grad sich das Verhalten der Strömung ändert. Ein vollständiger Gefäßverschluss wird nicht simuliert, da in diesem Fall keine durchgängige Strömung mehr vorliegt.

Der Stenosegrad wird in diesem Projekt wie bei NASCET über die Verringerung des Gefäßdurchmessers beschrieben,

&lt;math&gt;s = 1 - \frac{d_{\min}}{d_{\mathrm{ref}}},&lt;/math&gt;

wobei &lt;math&gt;d_{\min}&lt;/math&gt; der kleinste Durchmesser in der Engstelle und &lt;math&gt;d_{\mathrm{ref}}&lt;/math&gt; ein Referenzdurchmesser ist. NASCET verwendet als Referenz den Durchmesser des gesunden Gefäßes stromabwärts der Stenose. Im idealisierten Modell hat das Gefäß vor und hinter der Engstelle denselben Durchmesser &lt;math&gt;D_0&lt;/math&gt;, sodass &lt;math&gt;d_{\mathrm{ref}} = D_0&lt;/math&gt; gilt und die NASCET-Definition mit allen anderen gebräuchlichen Durchmesserdefinitionen zusammenfällt.

Wichtig für das Verständnis aller weiteren Ergebnisse ist der Unterschied zwischen Durchmesser- und Flächenreduktion. Da die Querschnittsfläche quadratisch vom Durchmesser abhängt, gilt für die Flächenreduktion &lt;math&gt;1-(1-s)^2&lt;/math&gt;. Eine im klinischen Sinn nur mittelgradige Stenose von 60 % verschließt damit bereits 84 % der Querschnittsfläche.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Durchmesser- und Flächenreduktion der gerechneten Stenosegrade
! Stenosegrad s !! 0 !! 0,1 !! 0,2 !! 0,3 !! 0,4 !! 0,5 !! 0,6 !! 0,7 !! 0,8
|-
| engster Durchmesser in mm || 6,0 || 5,4 || 4,8 || 4,2 || 3,6 || 3,0 || 2,4 || 1,8 || 1,2
|-
| Flächenreduktion || 0 % || 19 % || 36 % || 51 % || 64 % || 75 % || 84 % || 91 % || 96 %
|}

Zwei Einschränkungen gehören zur ehrlichen Einordnung. Erstens ist die NASCET-Klassifikation für Stenosen der ''Arteria carotis interna'' entwickelt worden, also des Astes hinter der Gabelung, während hier ein gerader Abschnitt der ''Arteria carotis communis'' modelliert wird. Die Klassifikation dient im Projekt deshalb als Orientierung für sinnvolle Abstufungen und nicht als diagnostische Aussage. Zweitens zeigt sich im Abschnitt zur Modellierung, dass die Annahme einer stationären, laminaren Strömung ab einem Stenosegrad von etwa 0,6 an ihre Grenzen stößt. Die hochgradigen Fälle werden deshalb zwar gerechnet, ihre Ergebnisse aber ausdrücklich als Grenzfall des Modells diskutiert.

= Modellierung =

Modellierung bedeutet hier, die reale Situation in eine mathematische Aufgabe zu übersetzen, die sich lösen lässt. Dazu gehören vier Bausteine, nämlich das Rechengebiet, die Gleichungen, die Zahlenwerte der Parameter und die Bedingungen an den Rändern. Jeder dieser Bausteine beruht auf Annahmen, und jede Annahme muss begründet werden. Dieser Abschnitt geht die Bausteine deshalb der Reihe nach durch und nennt bei jedem Zahlenwert, woher er stammt und warum er sinnvoll ist.

== Modellhierarchie ==

Das Projekt rechnet nicht ein einziges Modell, sondern vier aufeinander aufbauende Modellvarianten. Sie entsprechen der Kursanforderung, eine Strömung als Graph, in zwei und in drei Raumdimensionen darzustellen, und sie sind bewusst von einfach nach aufwendig geordnet.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Die vier Modellvarianten des Projekts
! Modell !! Raumdimension !! gelöste Gleichung !! Zweck !! Werkzeug
|-
| Graphenmodell || 1D, Gefäßachse || Hagen-Poiseuille je Rohrstück und Massenerhaltung in jedem Knoten || schnelle, analytisch nachrechenbare Abschätzung für jeden Stenosegrad || Octave und COMSOL (Koeffizientenform-PDGL)
|-
| achsensymmetrisches Flächenmodell || 2D, Halbschnitt in r und z || vollständige stationäre Navier-Stokes-Gleichungen in Zylinderkoordinaten || Hauptmodell, liefert alle Feldgrößen des rotationssymmetrischen Rohres || COMSOL, Laminare Strömung
|-
| ebenes Flächenmodell || 2D, Halbschnitt in x und y || vollständige stationäre Navier-Stokes-Gleichungen in kartesischen Koordinaten || Vergleich, zeigt den Einfluss der zweiten Querschnittsrichtung || COMSOL, Laminare Strömung
|-
| Volumenmodell || 3D || vollständige stationäre Navier-Stokes-Gleichungen || Kontrolle des Hauptmodells und räumliche Darstellung || COMSOL, Laminare Strömung
|}

Die Reihenfolge folgt einem einfachen Prinzip. Jede Stufe liefert die Sollwerte, an denen die nächste, komplexere Stufe geprüft wird. Das Graphenmodell muss im gesunden Fall exakt die Poiseuille-Lösung ergeben. Das achsensymmetrische Modell muss im gesunden Fall dieselben Werte liefern und bei Stenose für Geschwindigkeit und Wandschubspannung in der Nähe des Graphenmodells liegen. Das Volumenmodell muss, weil die Geometrie rotationssymmetrisch ist, mit dem achsensymmetrischen Modell übereinstimmen.

== Modellannahmen ==

Um den Einfluss des Stenosegrades möglichst isoliert zu untersuchen, werden die folgenden Modellannahmen getroffen. Die Tabelle nennt zu jeder Annahme ihre mathematische Form, die Begründung und die Stelle, an der sie im Projekt überprüft wird.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Modellannahmen, ihre Begründung und ihre Überprüfung
! Annahme !! mathematische Form !! Begründung !! Überprüfung
|-
| Idealisierte Gefäßgeometrie || gerades Rohr mit kosinusförmiger, rotationssymmetrischer Verengung || isoliert die Wirkung des Stenosegrades von Krümmung, Verzweigung und Plaqueform || Diskussion in den Schlussfolgerungen
|-
| Starre Gefäßwand || Wand ortsfest, keine Fluid-Struktur-Kopplung || im stationären Fall gibt es keine Druckschwankung, die die Wand periodisch aufweiten könnte || Abschätzung über die gemessene Durchmesseränderung im Herzzyklus
|-
| Stationäre Strömung || &lt;math&gt;\partial \mathbf{u}/\partial t = \mathbf{0}&lt;/math&gt; || der Einfluss des Stenosegrades soll ohne Überlagerung durch die Pulsation sichtbar werden || Abschätzung über die Womersley-Zahl
|-
| Inkompressibles Fluid || &lt;math&gt;\rho = \mathrm{const}&lt;/math&gt;, damit &lt;math&gt;\nabla\cdot\mathbf{u} = 0&lt;/math&gt; || Blut ist eine Flüssigkeit, Druckänderungen von wenigen hundert Pascal ändern die Dichte nicht messbar || Massenerhaltung in fünf Querschnitten
|-
| Newtonsche Näherung || konstante Viskosität &lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt; || die Scherraten an der Wand und im größten Teil des Querschnitts liegen über dem Bereich, in dem Blut deutlich scherverdünnend wirkt || Scherrate an der Wand, Diskussion des Rückströmgebiets
|-
| Konstante Stoffeigenschaften || &lt;math&gt;\rho&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt; räumlich und zeitlich konstant || Körpertemperatur ist im betrachteten Abschnitt konstant || entfällt
|-
| Laminare Strömung || kein Turbulenzmodell, Schnittstelle Laminare Strömung || Reynoldszahl des gesunden Gefäßes von 386 liegt weit unter dem Umschlagbereich || Reynoldszahl in der Engstelle, Literaturvergleich
|-
| Haftbedingung an der Wand || &lt;math&gt;\mathbf{u} = \mathbf{0}&lt;/math&gt; auf der Wand || Folge der Viskosität, das Fluid haftet an der Wand || Grundlage jeder Wandschubspannung
|-
| Vernachlässigung der Gravitation || keine Volumenkraft || bei konstanter Dichte lässt sich die Schwerkraft vollständig in einen hydrostatischen Druckanteil verschieben und beeinflusst die Geschwindigkeit nicht || Begründung in den Mathematischen Hintergründen
|-
| Voll entwickelte Einströmung || parabolisches Profil am Einlass || die natürliche Einlaufstrecke wäre mit rund 139 mm fast so lang wie das ganze Rechengebiet || Scheitelgeschwindigkeit im gesunden Fall
|-
| Eingeprägter Volumenstrom || &lt;math&gt;Q = Q_0&lt;/math&gt; am Einlass || der Strömungswiderstand des Abschnitts ist klein gegenüber dem des nachgeschalteten Gefäßbetts || Abschätzung mit einem Reihenwiderstand
|}

Einige dieser Annahmen sind unmittelbar einsichtig, andere verdienen eine genauere Begründung, weil von ihnen die Aussagekraft der Ergebnisse abhängt.

Die '''Newtonsche Näherung''' ist die Annahme, die bei Blut am häufigsten hinterfragt wird. Reales Blut ist eine Suspension aus Plasma und Blutzellen und verhält sich scherverdünnend. Bei kleinen Scherraten lagern sich die roten Blutkörperchen zu geldrollenartigen Stapeln zusammen, und die Viskosität steigt auf ein Vielfaches an. Bei großen Scherraten lösen sich diese Stapel auf, und die Viskosität strebt gegen einen Grenzwert von etwa 3,5 mPa·s. Entscheidend ist also die Scherrate. An der Wand des gesunden Modellgefäßes beträgt sie nach der Poiseuille-Lösung

&lt;math&gt;\dot\gamma_w = \frac{4\,U_0}{R_0} = \frac{4 \cdot 0{,}2122\ \mathrm{m/s}}{0{,}003\ \mathrm{m}} \approx 283\ \mathrm{s^{-1}}&lt;/math&gt;

und liegt damit oberhalb von etwa 100 pro Sekunde, wo sich Newtonsches und nicht Newtonsches Modell nach der Literatur nur noch wenig unterscheiden.&lt;ref name=&quot;boyd&quot;&gt;Die Grenze von etwa 100 s&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt; wird in vergleichenden Studien zur Blutrheologie verwendet, etwa bei Bernabeu, M. O. u. a.: ''Impact of blood rheology on wall shear stress in a model of the middle cerebral artery.'' Interface Focus 3 (2013), 20120094. &lt;!-- FIXME Zitat und Seitenangabe am Original pruefen --&gt;&lt;/ref&gt; In der Engstelle steigt die Scherrate weiter an, beim Stenosegrad 0,5 auf rund 2260 pro Sekunde. Schwach ist die Näherung dort, wo die Scherrate klein wird, also in der Mitte des Gefäßes und vor allem im Rückströmgebiet hinter der Stenose. Dort ist reales Blut zäher als angenommen. Dieser Punkt wird in den Schlussfolgerungen wieder aufgegriffen.

Die '''stationäre Strömung''' ist die stärkste Vereinfachung. Wie wichtig die Pulsation ist, misst die Womersley-Zahl, die das Verhältnis von instationärer Trägheit zu Reibung angibt. Mit einer Herzfrequenz von 60 Schlägen je Minute, also einer Kreisfrequenz &lt;math&gt;\omega = 2\pi\ \mathrm{s^{-1}}&lt;/math&gt;, ergibt sich

&lt;math&gt;\alpha = R_0 \sqrt{\frac{\omega \rho}{\mu}} = 0{,}003\ \mathrm{m} \cdot \sqrt{\frac{2\pi\ \mathrm{s^{-1}} \cdot 1060\ \mathrm{kg/m^3}}{0{,}0035\ \mathrm{Pa\,s}}} \approx 4{,}1 .&lt;/math&gt;

Ein Wert in dieser Größenordnung bedeutet, dass das reale Geschwindigkeitsprofil im Herzzyklus merklich von der Parabel abweicht.&lt;ref name=&quot;womersley&quot;&gt;Womersley, J. R.: ''Method for the calculation of velocity, rate of flow and viscous drag in arteries when the pressure gradient is known.'' Journal of Physiology 127 (1955), S. 553-563.&lt;/ref&gt; Hinzu kommt, dass der Volumenstrom in der Systole kurzzeitig auf rund das Vierfache des Mittelwerts steigt.&lt;ref name=&quot;holdsworth&quot;&gt;Holdsworth, D. W.; Norley, C. J. D.; Frayne, R.; Steinman, D. A.; Rutt, B. K.: ''Characterization of common carotid artery blood-flow waveforms in normal human subjects.'' Physiological Measurement 20 (1999), Nr. 3, S. 219-240. DOI 10.1088/0967-3334/20/3/301. Angegeben werden ein mittlerer Volumenstrom von 6,0 ± 1,4 ml/s und ein systolischer Spitzenwert von 23,5 ± 3,8 ml/s. &lt;!-- FIXME Zahlenwerte und Probandenzahl am Original pruefen --&gt;&lt;/ref&gt; Die stationäre Rechnung mit dem Mittelwert beschreibt deshalb nicht den zeitlichen Verlauf, wohl aber den zeitlich gemittelten Zustand, an dem sich der Einfluss des Stenosegrades sauber vergleichen lässt.

Die '''laminare Strömung''' wird über die Reynoldszahl begründet. Sie beträgt im gesunden Gefäß 386 und liegt damit weit unter dem Wert von etwa 2300, ab dem die Strömung in einem geraden Rohr in den Übergangsbereich gelangen kann. In der Engstelle steigt sie bei festem Volumenstrom auf &lt;math&gt;Re_0/(1-s)&lt;/math&gt;, also auf 551 beim Stenosegrad 0,3, auf 964 beim Grad 0,6 und auf 1928 beim Grad 0,8. Für den Strahl hinter einer Engstelle ist der Umschlagbereich allerdings deutlich niedriger als im geraden Rohr. Direkte numerische Simulationen an genau der in diesem Projekt verwendeten Stenosegeometrie zeigen, dass die Strömung bei einer Einström-Reynoldszahl von 500 auch bei leichter Unsymmetrie laminar bleibt, bei 1000 dagegen schon eine Exzentrizität von fünf Prozent des Durchmessers genügt, um den Strahl in lokal turbulente Strömung umschlagen zu lassen.&lt;ref name=&quot;varghese&quot;&gt;Varghese, S. S.; Frankel, S. H.; Fischer, P. F.: ''Direct numerical simulation of stenotic flows. Part 1. Steady flow.'' Journal of Fluid Mechanics 582 (2007), S. 253-280. Untersucht wird eine kosinusförmige Stenose der Länge 2D mit 75 % Flächenreduktion, die mit der Geometrie dieses Projekts beim Stenosegrad 0,5 übereinstimmt. &lt;!-- FIXME Band und Seiten am Original pruefen --&gt;&lt;/ref&gt; Mit einer Einström-Reynoldszahl von 386 liegt das Projekt für die leicht- und mittelgradigen Stenosen sicher im laminaren Bereich. Für die hochgradigen Stenosen ab 0,7 ist ein laminares, stationäres Modell dagegen nur noch eine Näherung, die eine Obergrenze der geordneten Strömung beschreibt. Diese Fälle werden deshalb als Grenzfall des Modells gekennzeichnet.

Die '''starre Wand''' lässt sich über Messungen abschätzen. Der Durchmesser der gemeinsamen Halsschlagader ändert sich im Herzzyklus bei jungen Menschen um etwa 12 bis 14 Prozent und bei älteren Menschen um etwa 5 Prozent.&lt;ref name=&quot;hansen&quot;&gt;Hansen, F.; Mangell, P.; Sonesson, B.; Länne, T.: ''Diameter and compliance in the human common carotid artery: variations with age and sex.'' Ultrasound in Medicine and Biology 21 (1995), Nr. 1, S. 1-9. DOI 10.1016/0301-5629(94)00090-5.&lt;/ref&gt; Diese Bewegung ist eine Folge der Pulsation. In einer stationären Rechnung gibt es keine Druckschwankung, die die Wand periodisch aufweiten könnte, sodass die starre Wand zur stationären Annahme konsistent ist. Eine verkalkte Plaque ist ohnehin deutlich steifer als die gesunde Wand.

Die Annahme des '''eingeprägten Volumenstroms''' wird im Abschnitt zu den Randbedingungen begründet, weil sie sich nur im Zusammenhang mit dem Kreislauf beurteilen lässt.

== Simulationsgebiet und Geometrie ==

Die Gefäßachse ist die z-Achse, der Ursprung liegt in der Mitte der Stenose, und &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; bezeichnet den Abstand von der Achse. Das Rechengebiet reicht von &lt;math&gt;z = -L_u&lt;/math&gt; bis &lt;math&gt;z = L_d&lt;/math&gt; und wird radial von der Wandkontur &lt;math&gt;R(z)&lt;/math&gt; begrenzt. Die Verengung wird über eine einzige glatte Funktion beschrieben,

&lt;math&gt;R(z) = R_0 \left[ 1 - \frac{s}{2}\left(1 + \cos\frac{2\pi z}{L_s}\right)\right] \quad \text{falls } |z| \le \frac{L_s}{2}, \qquad R(z) = R_0 \ \text{sonst.}&lt;/math&gt;

Die Funktion hat drei Eigenschaften, die ihre Wahl begründen. Sie wird erstens über einen einzigen Parameter gesteuert, den Stenosegrad &lt;math&gt;s&lt;/math&gt;. Der engste Radius in der Mitte beträgt &lt;math&gt;R(0) = R_0(1-s)&lt;/math&gt;, und der Fall ohne Verengung ist einfach der Fall &lt;math&gt;s = 0&lt;/math&gt;. Die gesamte Vergleichsreihe entsteht damit aus einem einzigen parametrischen Sweep. Sie geht zweitens an beiden Enden der Störstelle ohne Knick in das gerade Rohr über. Bei &lt;math&gt;z = \pm L_s/2&lt;/math&gt; ist der Kosinus gleich minus eins, die Klammer also null, und seine Ableitung verschwindet dort ebenfalls. Das ist nicht nur ästhetisch, sondern numerisch notwendig, denn ein Knick in der Wand erzeugt eine Singularität der Wandschubspannung, deren berechneter Wert mit jeder Netzverfeinerung weiter wüchse. Eine Netzstudie wäre dann sinnlos. Sie ist drittens die in der Literatur gebräuchliche Standardgeometrie für Stenosen, sodass sich die Ergebnisse unmittelbar mit veröffentlichten Rechnungen vergleichen lassen.&lt;ref name=&quot;varghese&quot; /&gt;

[[Datei:Stenose Gruppe5 Wandkontur.svg|mini|zentriert|800px|Wandkontur &lt;math&gt;R(z)&lt;/math&gt; für die untersuchten Stenosegrade. Die Darstellung ist in radialer Richtung gestreckt, das Rechengebiet ist in Wirklichkeit fünfundzwanzigmal länger als breit.]]
&lt;!-- FIXME Abbildung mit abbildungen_graph_1d.m fuer s = 0 bis 0,8 neu erzeugen, bisher nur bis 0,5 --&gt;

Die Abmessungen des Rechengebiets werden alle aus dem Gefäßradius abgeleitet. Das hat den Vorteil, dass sich das gesamte Modell durch Ändern eines einzigen Wertes auf ein anderes Gefäß übertragen lässt. Die einzelnen Längen werden im Folgenden Schritt für Schritt begründet.

# Der '''Gefäßradius''' &lt;math&gt;R_0 = 3\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; folgt aus Ultraschallmessungen an gesunden Erwachsenen. Dort wurden für die gemeinsame Halsschlagader mittlere Durchmesser von 6,10 ± 0,80 mm bei Frauen und 6,52 ± 0,98 mm bei Männern gemessen.&lt;ref name=&quot;krejza&quot;&gt;Krejza, J.; Arkuszewski, M.; Kasner, S. E.; Weigele, J.; Ustymowicz, A.; Hurst, R. W.; Cucchiara, B. L.; Messe, S. R.: ''Carotid artery diameter in men and women and the relation to body and neck size.'' Stroke 37 (2006), Nr. 4, S. 1103-1105. DOI 10.1161/01.STR.0000206440.48756.f7.&lt;/ref&gt; Der gewählte Durchmesser von &lt;math&gt;D_0 = 6\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; liegt damit innerhalb einer Standardabweichung beider Gruppen und ist bewusst auf einen runden Wert gesetzt, damit alle abgeleiteten Längen glatte Zahlen ergeben.
# Die '''Länge der Störstelle''' &lt;math&gt;L_s = 2 D_0 = 12\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; entspricht der Standardgeometrie aus der Literatur, die eine Stenosenlänge von zwei Durchmessern verwendet.&lt;ref name=&quot;varghese&quot; /&gt; Damit ist beim Stenosegrad 0,5 ein direkter Vergleich mit veröffentlichten Ergebnissen möglich.
# Die '''Vorlaufstrecke''' &lt;math&gt;L_u = 5 D_0 = 30\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; trennt den Einlass von der Stenose. Da am Einlass bereits das voll entwickelte Profil vorgegeben wird, muss sie nicht die Einlaufstrecke abdecken, sondern nur verhindern, dass die Einströmrandbedingung die Strömung an der Engstelle beeinflusst. Bei Reynoldszahlen in dieser Größenordnung reicht der Einfluss einer Verengung nur wenige Durchmesser stromaufwärts, die Literatur kommt für dieselbe Geometrie mit drei Durchmessern Vorlauf aus.&lt;ref name=&quot;varghese&quot; /&gt; Fünf Durchmesser lassen also eine Reserve. Überprüft wird das im Ergebnis, indem die Geschwindigkeit auf der Achse in der Mitte der Vorlaufstrecke mit dem Sollwert &lt;math&gt;2U_0&lt;/math&gt; verglichen wird.
# Die '''Nachlaufstrecke''' &lt;math&gt;L_d = 20 D_0 = 120\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; ist deutlich länger, weil sich hinter der Engstelle ein Rückströmgebiet bildet, das nicht auf den Auslass treffen darf. Für die Geometrie mit dem Stenosegrad 0,5 legt die Strömung bei einer Einström-Reynoldszahl von 500 erst etwa zehn Durchmesser hinter der Engstelle wieder an, die Literatur rechnet mit sechzehn Durchmessern Nachlauf.&lt;ref name=&quot;varghese&quot; /&gt; Zwanzig Durchmesser bieten damit für alle Stenosegrade bis 0,5 einen Sicherheitsabstand. Für die Grade ab 0,6 ist ein längeres Rückströmgebiet zu erwarten, dort wird die Lage des Wiederanlegepunktes ausdrücklich kontrolliert.
# Das '''Ende des fein vernetzten Nachlaufs''' &lt;math&gt;L_f = L_s/2 + 10 D_0 = 66\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; legt fest, bis wohin das Netz verfeinert wird. Der Wert ist so gewählt, dass das erwartete Rückströmgebiet von etwa zehn Durchmessern vollständig im feinen Bereich liegt.

Damit hat das Rechengebiet eine Gesamtlänge von &lt;math&gt;L = L_u + L_d = 150\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt;, also das Fünfundzwanzigfache des Durchmessers. Es ist ein Modellgebiet und kein maßstäbliches Abbild eines bestimmten anatomischen Abschnitts.

== Stoff- und Strömungsparameter ==

Die Stoffwerte des Blutes und der Volumenstrom sind die einzigen Eingangsgrößen, die nicht aus der Geometrie folgen. Aus ihnen werden alle weiteren Strömungskennwerte berechnet. Die folgenden Schritte zeigen jede Rechnung einzeln, damit sich jeder Wert nachprüfen lässt.

# Die '''Dichte''' wird mit &lt;math&gt;\rho = 1060\ \mathrm{kg/m^3}&lt;/math&gt; angesetzt. Der Wert lässt sich als Mischungsregel plausibel machen. Plasma hat eine Dichte von etwa 1025 kg/m³, rote Blutkörperchen von etwa 1100 kg/m³. Bei einem Zellanteil von 45 % ergibt sich &lt;math&gt;0{,}55 \cdot 1025 + 0{,}45 \cdot 1100 \approx 1059\ \mathrm{kg/m^3}&lt;/math&gt;. Die Dichte geht nur über die Reynoldszahl in die Rechnung ein, eine Abweichung von einem Prozent ändert die Ergebnisse daher kaum. &lt;!-- FIXME Lehrbuchquelle fuer Plasma- und Erythrozytendichte ergaenzen --&gt;
# Die '''dynamische Viskosität''' wird mit &lt;math&gt;\mu = 3{,}5\ \mathrm{mPa\,s}&lt;/math&gt; angesetzt. Das ist der Grenzwert der Blutviskosität bei hohen Scherraten, also genau der Wert, der zur Newtonschen Näherung gehört. Derselbe Wert von 0,035 Poise wird auch im Standardwerk zur Modellierung des Herz-Kreislauf-Systems verwendet.&lt;ref name=&quot;quarteroni&quot;&gt;Quarteroni, A.; Formaggia, L.: ''Mathematical Modelling and Numerical Simulation of the Cardiovascular System.'' In: Ayache, N. (Hrsg.): ''Computational Models for the Human Body.'' Handbook of Numerical Analysis, Bd. XII, Elsevier, Amsterdam 2004, S. 3-127. DOI 10.1016/S1570-8659(03)12001-7. Zur Newtonschen Näherung in großen Gefäßen siehe S. 30, zur Viskosität von 0,035 Poise die Parametertabelle auf S. 116.&lt;/ref&gt;
# Der '''mittlere Volumenstrom''' wird mit &lt;math&gt;Q_0 = 6\ \mathrm{ml/s}&lt;/math&gt; angesetzt. Das ist der zeitlich gemittelte Volumenstrom, der in der gemeinsamen Halsschlagader gesunder Probanden gemessen wurde.&lt;ref name=&quot;holdsworth&quot; /&gt;
# Die '''mittlere Geschwindigkeit''' folgt aus Volumenstrom und Querschnittsfläche, &lt;math&gt;U_0 = \frac{Q_0}{\pi R_0^2} = \frac{6 \cdot 10^{-6}\ \mathrm{m^3/s}}{\pi \cdot (0{,}003\ \mathrm{m})^2} = 0{,}2122\ \mathrm{m/s}&lt;/math&gt;.
# Die '''Reynoldszahl''' des gesunden Gefäßes ist &lt;math&gt;Re_0 = \frac{\rho\, U_0\, D_0}{\mu} = \frac{1060 \cdot 0{,}2122 \cdot 0{,}006}{0{,}0035} = 385{,}6&lt;/math&gt;. Sie wird im Folgenden auf 386 gerundet.
# Die '''Einlauflänge''', die eine anfangs gleichförmige Strömung bis zum voll entwickelten Parabelprofil bräuchte, beträgt nach der gebräuchlichen Abschätzung für laminare Rohrströmungen &lt;math&gt;L_e \approx 0{,}06\, Re_0\, D_0 \approx 0{,}06 \cdot 386 \cdot 6\ \mathrm{mm} \approx 139\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt;.&lt;ref name=&quot;durst&quot;&gt;Durst, F.; Ray, S.; Ünsal, B.; Bayoumi, O. A.: ''The development lengths of laminar pipe and channel flows.'' Journal of Fluids Engineering 127 (2005), Nr. 6, S. 1154-1160. Für große Reynoldszahlen nähert sich die dort angegebene Korrelation dem Wert 0,057·Re·D.&lt;/ref&gt; Das ist fast die gesamte Länge des Rechengebiets. Ein konstantes Einlassprofil würde die Strömung an der Stenose also verfälschen, weshalb am Einlass das voll entwickelte Profil vorgegeben wird.

Damit liegen alle globalen Parameter fest. Die folgende Tabelle enthält sie mit genau den Namen, unter denen sie in COMSOL und in den Octave-Skripten verwendet werden.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Globale Parameter des Modells
! Name !! Ausdruck in COMSOL !! Wert !! Bedeutung !! Herkunft
|-
| R0 || 3[mm] || 3 mm || Gefäßradius || Messwerte nach Krejza u. a. 2006, gerundet
|-
| D0 || 2*R0 || 6 mm || Gefäßdurchmesser || abgeleitet
|-
| Ls || 2*D0 || 12 mm || Länge der Störstelle || Standardgeometrie nach Varghese u. a. 2007
|-
| Lu || 5*D0 || 30 mm || Vorlaufstrecke vor der Stenosemitte || Abstand der Einlassbedingung von der Stenose
|-
| Ld || 20*D0 || 120 mm || Nachlaufstrecke hinter der Stenosemitte || Platz für das Rückströmgebiet
|-
| Lf || Ls/2+10*D0 || 66 mm || Ende des fein vernetzten Nachlaufs || erwartete Länge des Rückströmgebiets
|-
| s || 0 bis 0.8 || 0 bis 0,8 || Stenosegrad bezogen auf den Durchmesser || NASCET-Einteilung
|-
| rho_b || 1060[kg/m^3] || 1060 kg/m³ || Dichte des Blutes || Mischungsregel, Literaturwert
|-
| mu_b || 3.5[mPa*s] || 3,5 mPa·s || dynamische Viskosität des Blutes || Hochscherwert, Quarteroni und Formaggia 2004
|-
| Q0 || 6[ml/s] || 6 ml/s || mittlerer Volumenstrom || Messwerte nach Holdsworth u. a. 1999
|-
| U0 || Q0/(pi*R0^2) || 0,2122 m/s || mittlere Einströmgeschwindigkeit || abgeleitet
|-
| Re0 || rho_b*U0*D0/mu_b || 385,6 || Reynoldszahl des gesunden Gefäßes || abgeleitet
|-
| dp_ref || 8*mu_b*U0*(Lu+Ld)/R0^2 || 99,03 Pa || Poiseuille-Druckabfall des gesunden Gefäßes || abgeleitet, Hagen-Poiseuille
|}


= Literaturverzeichnis =

Alle Quellen sind an den Stellen im Text angegeben, an denen die zugehörigen Werte oder Aussagen verwendet werden. Die Liste wird aus diesen Angaben automatisch erzeugt.

&lt;references /&gt;</text>
      <sha1>0qjzqofhu7ekoqnmxr2v9kzv0khugnp</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>1115863</id>
      <parentid>1115860</parentid>
      <timestamp>2026-10-12T14:59:21Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Heitele</username>
        <id>38553</id>
      </contributor>
      <comment>/* Modellannahmen */</comment>
      <origin>1115863</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="33409" sha1="177b3m9a6jocay4ae7395k0kef3mjjf" xml:space="preserve">= Gruppenteilnehmer =
* Joey Becker
* Marie-Thérèse Heitele
* Nicole Pander

=Thema und Fragestellung=


===Fragestellung===

Wie verändert eine symmetrische bzw. rotationssymmetrische Stenose die stationäre Strömung eines inkompressibelen Newton'schen Fluid in einem idealisierten Abschnitt der Arteria carotis communis hinsichtlich Geschwindigkeitsverteilung, Druckverteilung sowie Strömungsmuster und wie entwickeln sich diese Größen mit zunehmendem Stenosegrad im Vergleich zu einem gesunden Gefäß?

=Relevanz=
Die Untersuchung von Gefäßverengungen besitzt sowohl eine medizinische als auch eine methodische Bedeutung. Aus medizinischer Sicht sind arterielle Stenosen, etwa in der Halsschlagader kritisch, da sie die Durchblutung beeinträchtigen und durch veränderte Wandschubspannungen sowie die Bildung von Wirbeln weitere Gefäßablagerungen begünstigen. Fachlich überträgt das Projekt damit die Prinzipien der Strömungsmechanik direkt auf eine biomedizinische Anwendung. Der methodische Mehrwert liegt in der Verknüpfung mehrerer Zugänge: Durch den systematischen Abgleich von analytischer Poiseuille-Theorie und Simulationen in COMSOL Multiphysics zeigt das Projekt anschaulich, wie numerische Modelle aufgebaut, verifiziert und an ihren Grenzen bewertet werden.

===Auswahl der Stenosegrade===
Um die untersuchten Gefäßverengungen nicht willkürlich festzulegen, orientiert sich die Auswahl der Stenosegrade an der klinisch gebräuchlichen NASCET-Klassifikation von Karotisstenosen. Dabei werden Stenosen nach ihrem Schweregrad unter anderem in:

• leichte Stenosen unter 50%

• mäßige Stenosen von 50 bis 69%

• hochgradige Stenosen von 70 bis 99%
eingeteilt.

Ein vollständige Gefäßverschluss entspricht einer Okklusion. 
Für die numerische Untersuchung wird aus jeder dieser drei Kategorien ein repräsentativer Stenosegrad ausgewählt. Neben dem gesunden Gefäß mit '''0% Stenose''' werden daher eine '''30% Stenose''' als Beispiel für eine leichte, eine '''60% Stenose''' als Beispiel für eine mäßige und eine '''80% Stenose''' als Beispiel für eine hochgradige Verengung untersucht. Auf diese Weise können deutlich unterschiedliche Schweregrade miteinander vergleichen und die zunehmenden Veränderungen von Geschwindigkeit, Druck und Strömungsmuster systematisch analysiert werden. Ein vollständiger Gefäßverschluss von 100% wird nicht simuliert, da in diesem Fall keine durchgängige Strömung durch das Gefäß mehr vorliegt und damit keine Simulation betrachtet wird.

Der Stenosegrad wird in unserem Projekt über die Verringerung des Gefäßdurchmessers beschreiben. In Anlehnung an das NASCET-Prinzip kann er als Verhältnis zwischen dem minimalen Durchmesser im Bereich der Stenose und einem Referenzdurchmesser formuliert werden.

=Implementierung in COMSOL=

= Thema und Fragestellung =

Gegenstand dieses Projekts ist die numerische Simulation einer lokalen Gefäßverengung, die in der Medizin als ''Stenose'' bezeichnet wird. Als Anwendungsfall dient ein gerader Abschnitt der ''Arteria carotis communis'', der gemeinsamen Halsschlagader. Um den Einfluss der Verengung möglichst isoliert untersuchen zu können, wird die reale Gefäßgeometrie bewusst vereinfacht. Gefäßkrümmungen, Verzweigungen und patientenspezifische anatomische Strukturen werden nicht berücksichtigt. Stattdessen wird ein gerades, idealisiertes Gefäß mit einer rotationssymmetrischen Stenose untersucht. Im ebenen Vergleichsmodell erscheint dieselbe Verengung als symmetrische Einschnürung eines Kanals.

Als Referenz dient ein gesundes, unverengtes Gefäß, in dem sich die Poiseuille-Strömung mit ihrem charakteristischen parabolischen Geschwindigkeitsprofil ausbildet. Diese Strömung ist aus zwei Gründen der natürliche Ausgangspunkt. Sie beschreibt den physiologischen Normalfall, mit dem jeder Stenosegrad verglichen wird, und sie ist exakt lösbar, sodass sich an ihr jede numerische Rechnung prüfen lässt, bevor die Verengung hinzukommt.

== Fragestellung ==

Wie verändert eine rotationssymmetrische Stenose die stationäre Strömung eines inkompressiblen Newtonschen Fluids in einem idealisierten Abschnitt der Arteria carotis communis hinsichtlich Geschwindigkeitsverteilung, Druckverteilung, Wandschubspannung und Strömungsmuster, und wie entwickeln sich diese Größen mit zunehmendem Stenosegrad im Vergleich zu einem gesunden Gefäß?

Aus dieser Fragestellung ergeben sich drei Teilfragen, an denen sich der Aufbau der Seite orientiert.

# Welche Strömungsgrößen reagieren empfindlich auf den Stenosegrad und welche nur träge?
# Ab welchem Stenosegrad ändert sich das Strömungsmuster qualitativ, das heißt, ab wann löst die Strömung hinter der Engstelle von der Wand ab und bildet ein Rückströmgebiet?
# Wie weit tragen die vereinfachenden Modellannahmen, insbesondere die Annahme einer stationären und laminaren Strömung, über den untersuchten Bereich der Stenosegrade?

= Relevanz =

Die Untersuchung von Gefäßverengungen besitzt eine medizinische und eine methodische Bedeutung. Beide werden im Folgenden getrennt begründet, weil sie unterschiedliche Anforderungen an das Modell stellen. Die medizinische Fragestellung verlangt realistische Zahlenwerte, die methodische Fragestellung verlangt nachprüfbare Rechnungen.

== Medizinische Relevanz ==

Arterielle Stenosen entstehen überwiegend durch Atherosklerose, also durch Ablagerungen aus Lipiden, Bindegewebe und Kalk in der Gefäßwand. In der Halsschlagader sind sie klinisch besonders bedeutsam, weil sie die Durchblutung des Gehirns beeinträchtigen und weil sich an ihnen Thromben bilden können, die als Embolie einen Schlaganfall auslösen. Dass die operative Entfernung einer hochgradigen Karotisstenose das Schlaganfallrisiko symptomatischer Patienten deutlich senkt, hat die NASCET-Studie gezeigt, deren Einteilung der Stenosegrade dieses Projekt übernimmt.&lt;ref name=&quot;nascet&quot;&gt;North American Symptomatic Carotid Endarterectomy Trial Collaborators: ''Beneficial effect of carotid endarterectomy in symptomatic patients with high-grade carotid stenosis.'' New England Journal of Medicine 325 (1991), Nr. 7, S. 445-453.&lt;/ref&gt;

Strömungsmechanisch ist an einer Stenose vor allem die Wandschubspannung von Interesse, also die tangentiale Kraft je Fläche, die das strömende Blut auf die innerste Zellschicht der Gefäßwand ausübt. Gesunde Halsschlagadern weisen zeitlich gemittelte Werte von etwa 1,1 bis 1,5 Pa auf.&lt;ref name=&quot;samijo&quot;&gt;Samijo, S. K.; Willigers, J. M.; Barkhuysen, R.; Kitslaar, P. J. E. H. M.; Reneman, R. S.; Brands, P. J.; Hoeks, A. P. G.: ''Wall shear stress in the human common carotid artery as function of age and gender.'' Cardiovascular Research 39 (1998), Nr. 2, S. 515-522.&lt;/ref&gt; In einer Engstelle steigt sie stark an, unmittelbar dahinter fällt sie im Ablösegebiet auf nahezu null und wechselt dort sogar das Vorzeichen. Niedrige und im Vorzeichen wechselnde Wandschubspannungen gelten als Bedingungen, unter denen sich weitere Ablagerungen bevorzugt bilden. Eine bestehende Stenose schafft also stromabwärts die Voraussetzungen für ihr eigenes Wachstum. Genau diese Verteilung lässt sich im Körper nur schwer messen, in einer Simulation dagegen unmittelbar auswerten.

== Methodische Relevanz ==

Fachlich überträgt das Projekt die Prinzipien der Strömungsmechanik aus der Vorlesung auf eine biomedizinische Anwendung.&lt;ref name=&quot;hundertmark&quot;&gt;Hundertmark, A.: ''Fluiddynamik.'' Vorlesungsunterlagen zum Modul Räumliche Modellbildung, RPTU Kaiserslautern-Landau, Sommersemester 2026.&lt;/ref&gt; Der methodische Mehrwert liegt in der Verknüpfung mehrerer Zugänge, die sich gegenseitig kontrollieren. Die analytische Poiseuille-Lösung liefert exakte Sollwerte für das gesunde Gefäß. Ein reduziertes Graphenmodell liefert für jeden Stenosegrad eine schnelle Abschätzung, die analytisch nachrechenbar ist. Die Simulationen in COMSOL Multiphysics lösen schließlich die vollständigen Navier-Stokes-Gleichungen in zwei und drei Raumdimensionen. Weil jede Stufe die Sollwerte der nächsten liefert, zeigt das Projekt nicht nur Ergebnisse, sondern auch, wie numerische Modelle aufgebaut, verifiziert und an ihren Grenzen bewertet werden.

== Auswahl der Stenosegrade ==

Um die untersuchten Gefäßverengungen nicht willkürlich festzulegen, orientiert sich die Auswahl der Stenosegrade an der klinisch gebräuchlichen NASCET-Klassifikation von Karotisstenosen.&lt;ref name=&quot;nascet&quot; /&gt; Sie teilt Stenosen nach ihrer Durchmesserreduktion in drei Schweregrade ein, ein vollständiger Gefäßverschluss wird als Okklusion bezeichnet.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Schweregrade nach NASCET und ihre Abdeckung im Projekt
! Schweregrad !! Durchmesserreduktion !! im Projekt gerechnete Stenosegrade !! hervorgehobener Vertreter
|-
| gesundes Gefäß || 0 % || 0 || 0
|-
| leichtgradige Stenose || unter 50 % || 0,1 bis 0,4 || 0,3
|-
| mittelgradige Stenose || 50 bis 69 % || 0,5 und 0,6 || 0,6
|-
| hochgradige Stenose || 70 bis 99 % || 0,7 und 0,8 || 0,8
|-
| Okklusion || 100 % || nicht gerechnet || entfällt
|}

Für die numerische Untersuchung wird aus jeder Kategorie ein repräsentativer Stenosegrad hervorgehoben. Neben dem gesunden Gefäß mit '''0 %''' Stenose sind das eine '''30 %''' Stenose als Beispiel für eine leichtgradige, eine '''60 %''' Stenose als Beispiel für eine mittelgradige und eine '''80 %''' Stenose als Beispiel für eine hochgradige Verengung. Zusätzlich werden im Graphenmodell und im achsensymmetrischen Flächenmodell alle Zwischenwerte in Schritten von zehn Prozentpunkten gerechnet. Das kostet in diesen beiden Modellen nur Sekunden, liefert aber glatte Verläufe über dem Stenosegrad und macht sichtbar, ab welchem Grad sich das Verhalten der Strömung ändert. Ein vollständiger Gefäßverschluss wird nicht simuliert, da in diesem Fall keine durchgängige Strömung mehr vorliegt.

Der Stenosegrad wird in diesem Projekt wie bei NASCET über die Verringerung des Gefäßdurchmessers beschrieben,

&lt;math&gt;s = 1 - \frac{d_{\min}}{d_{\mathrm{ref}}},&lt;/math&gt;

wobei &lt;math&gt;d_{\min}&lt;/math&gt; der kleinste Durchmesser in der Engstelle und &lt;math&gt;d_{\mathrm{ref}}&lt;/math&gt; ein Referenzdurchmesser ist. NASCET verwendet als Referenz den Durchmesser des gesunden Gefäßes stromabwärts der Stenose. Im idealisierten Modell hat das Gefäß vor und hinter der Engstelle denselben Durchmesser &lt;math&gt;D_0&lt;/math&gt;, sodass &lt;math&gt;d_{\mathrm{ref}} = D_0&lt;/math&gt; gilt und die NASCET-Definition mit allen anderen gebräuchlichen Durchmesserdefinitionen zusammenfällt.

Wichtig für das Verständnis aller weiteren Ergebnisse ist der Unterschied zwischen Durchmesser- und Flächenreduktion. Da die Querschnittsfläche quadratisch vom Durchmesser abhängt, gilt für die Flächenreduktion &lt;math&gt;1-(1-s)^2&lt;/math&gt;. Eine im klinischen Sinn nur mittelgradige Stenose von 60 % verschließt damit bereits 84 % der Querschnittsfläche.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Durchmesser- und Flächenreduktion der gerechneten Stenosegrade
! Stenosegrad s !! 0 !! 0,1 !! 0,2 !! 0,3 !! 0,4 !! 0,5 !! 0,6 !! 0,7 !! 0,8
|-
| engster Durchmesser in mm || 6,0 || 5,4 || 4,8 || 4,2 || 3,6 || 3,0 || 2,4 || 1,8 || 1,2
|-
| Flächenreduktion || 0 % || 19 % || 36 % || 51 % || 64 % || 75 % || 84 % || 91 % || 96 %
|}

Zwei Einschränkungen gehören zur ehrlichen Einordnung. Erstens ist die NASCET-Klassifikation für Stenosen der ''Arteria carotis interna'' entwickelt worden, also des Astes hinter der Gabelung, während hier ein gerader Abschnitt der ''Arteria carotis communis'' modelliert wird. Die Klassifikation dient im Projekt deshalb als Orientierung für sinnvolle Abstufungen und nicht als diagnostische Aussage. Zweitens zeigt sich im Abschnitt zur Modellierung, dass die Annahme einer stationären, laminaren Strömung ab einem Stenosegrad von etwa 0,6 an ihre Grenzen stößt. Die hochgradigen Fälle werden deshalb zwar gerechnet, ihre Ergebnisse aber ausdrücklich als Grenzfall des Modells diskutiert.

= Modellierung =

Modellierung bedeutet hier, die reale Situation in eine mathematische Aufgabe zu übersetzen, die sich lösen lässt. Dazu gehören vier Bausteine, nämlich das Rechengebiet, die Gleichungen, die Zahlenwerte der Parameter und die Bedingungen an den Rändern. Jeder dieser Bausteine beruht auf Annahmen, und jede Annahme muss begründet werden. Dieser Abschnitt geht die Bausteine deshalb der Reihe nach durch und nennt bei jedem Zahlenwert, woher er stammt und warum er sinnvoll ist.

== Modellhierarchie ==

Das Projekt rechnet nicht ein einziges Modell, sondern vier aufeinander aufbauende Modellvarianten. Sie entsprechen der Kursanforderung, eine Strömung als Graph, in zwei und in drei Raumdimensionen darzustellen, und sie sind bewusst von einfach nach aufwendig geordnet.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Die vier Modellvarianten des Projekts
! Modell !! Raumdimension !! gelöste Gleichung !! Zweck !! Werkzeug
|-
| Graphenmodell || 1D, Gefäßachse || Hagen-Poiseuille je Rohrstück und Massenerhaltung in jedem Knoten || schnelle, analytisch nachrechenbare Abschätzung für jeden Stenosegrad || Octave und COMSOL (Koeffizientenform-PDGL)
|-
| achsensymmetrisches Flächenmodell || 2D, Halbschnitt in r und z || vollständige stationäre Navier-Stokes-Gleichungen in Zylinderkoordinaten || Hauptmodell, liefert alle Feldgrößen des rotationssymmetrischen Rohres || COMSOL, Laminare Strömung
|-
| ebenes Flächenmodell || 2D, Halbschnitt in x und y || vollständige stationäre Navier-Stokes-Gleichungen in kartesischen Koordinaten || Vergleich, zeigt den Einfluss der zweiten Querschnittsrichtung || COMSOL, Laminare Strömung
|-
| Volumenmodell || 3D || vollständige stationäre Navier-Stokes-Gleichungen || Kontrolle des Hauptmodells und räumliche Darstellung || COMSOL, Laminare Strömung
|}

Die Reihenfolge folgt einem einfachen Prinzip. Jede Stufe liefert die Sollwerte, an denen die nächste, komplexere Stufe geprüft wird. Das Graphenmodell muss im gesunden Fall exakt die Poiseuille-Lösung ergeben. Das achsensymmetrische Modell muss im gesunden Fall dieselben Werte liefern und bei Stenose für Geschwindigkeit und Wandschubspannung in der Nähe des Graphenmodells liegen. Das Volumenmodell muss, weil die Geometrie rotationssymmetrisch ist, mit dem achsensymmetrischen Modell übereinstimmen.

== Modellannahmen ==

Um den Einfluss des Stenosegrades möglichst isoliert zu untersuchen, werden die folgenden Modellannahmen getroffen. Die Tabelle nennt zu jeder Annahme ihre mathematische Form, die Begründung und die Stelle, an der sie im Projekt überprüft wird.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Modellannahmen, ihre Begründung und ihre Überprüfung
! Annahme !! mathematische Form !! Begründung !! Überprüfung
|-
| Idealisierte Gefäßgeometrie || gerades Rohr mit kosinusförmiger, rotationssymmetrischer Verengung || isoliert die Wirkung des Stenosegrades von Krümmung, Verzweigung und Plaqueform || Diskussion in den Schlussfolgerungen
|-
| Starre Gefäßwand || Wand ortsfest, keine Fluid-Struktur-Kopplung || im stationären Fall gibt es keine Druckschwankung, die die Wand periodisch aufweiten könnte || Abschätzung über die gemessene Durchmesseränderung im Herzzyklus
|-
| Stationäre Strömung || &lt;math&gt;\partial \mathbf{u}/\partial t = \mathbf{0}&lt;/math&gt; || der Einfluss des Stenosegrades soll ohne Überlagerung durch die Pulsation sichtbar werden || Abschätzung über die Womersley-Zahl
|-
| Inkompressibles Fluid || &lt;math&gt;\rho = \mathrm{const}&lt;/math&gt;, damit &lt;math&gt;\nabla\cdot\mathbf{u} = 0&lt;/math&gt; || Blut ist eine Flüssigkeit, Druckänderungen von wenigen hundert Pascal ändern die Dichte nicht messbar || Massenerhaltung in fünf Querschnitten
|-
| Newtonsche Näherung || konstante Viskosität &lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt; || die Scherraten an der Wand und im größten Teil des Querschnitts liegen über dem Bereich, in dem Blut deutlich scherverdünnend wirkt || Scherrate an der Wand, Diskussion des Rückströmgebiets
|-
| Konstante Stoffeigenschaften || &lt;math&gt;\rho&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt; räumlich und zeitlich konstant || Körpertemperatur ist im betrachteten Abschnitt konstant || entfällt
|-
| Laminare Strömung || kein Turbulenzmodell, Schnittstelle Laminare Strömung || Reynoldszahl des gesunden Gefäßes von 386 liegt weit unter dem Umschlagbereich || Reynoldszahl in der Engstelle, Literaturvergleich
|-
| Haftbedingung an der Wand || &lt;math&gt;\mathbf{u} = \mathbf{0}&lt;/math&gt; auf der Wand || Folge der Viskosität, das Fluid haftet an der Wand || Grundlage jeder Wandschubspannung
|-
| Vernachlässigung der Gravitation || keine Volumenkraft || bei konstanter Dichte lässt sich die Schwerkraft vollständig in einen hydrostatischen Druckanteil verschieben und beeinflusst die Geschwindigkeit nicht || Begründung in den Mathematischen Hintergründen
|-
| Voll entwickelte Einströmung || parabolisches Profil am Einlass || die natürliche Einlaufstrecke wäre mit rund 139 mm fast so lang wie das ganze Rechengebiet || Scheitelgeschwindigkeit im gesunden Fall
|-
| Eingeprägter Volumenstrom || &lt;math&gt;Q = Q_0&lt;/math&gt; am Einlass || der Strömungswiderstand des Abschnitts ist klein gegenüber dem des nachgeschalteten Gefäßbetts || Abschätzung mit einem Reihenwiderstand
|}

Einige dieser Annahmen sind unmittelbar einsichtig, andere verdienen eine genauere Begründung, weil von ihnen die Aussagekraft der Ergebnisse abhängt.

Die '''Newtonsche Näherung''' ist die Annahme, die bei Blut am häufigsten hinterfragt wird. Reales Blut ist eine Suspension aus Plasma und Blutzellen und verhält sich scherverdünnend. Bei kleinen Scherraten lagern sich die roten Blutkörperchen zu geldrollenartigen Stapeln zusammen, und die Viskosität steigt auf ein Vielfaches an. Bei großen Scherraten lösen sich diese Stapel auf, und die Viskosität strebt gegen einen Grenzwert von etwa 3,5 mPa·s. Entscheidend ist also die Scherrate. An der Wand des gesunden Modellgefäßes beträgt sie nach der Poiseuille-Lösung

&lt;math&gt;\dot\gamma_w = \frac{4\,U_0}{R_0} = \frac{4 \cdot 0{,}2122\ \mathrm{m/s}}{0{,}003\ \mathrm{m}} \approx 283\ \mathrm{s^{-1}}&lt;/math&gt;

und liegt damit oberhalb von etwa 100 pro Sekunde, wo sich Newtonsches und nicht Newtonsches Modell nach der Literatur nur noch wenig unterscheiden.&lt;ref name=&quot;boyd&quot;&gt;Die Grenze von etwa 100 s&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt; wird in vergleichenden Studien zur Blutrheologie verwendet, etwa bei Bernabeu, M. O. u. a.: ''Impact of blood rheology on wall shear stress in a model of the middle cerebral artery.'' Interface Focus 3 (2013), 20120094. &lt;!-- FIXME Zitat und Seitenangabe am Original pruefen --&gt;&lt;/ref&gt; In der Engstelle steigt die Scherrate weiter an, beim Stenosegrad 0,5 auf rund 2260 pro Sekunde. Schwach ist die Näherung dort, wo die Scherrate klein wird, also in der Mitte des Gefäßes und vor allem im Rückströmgebiet hinter der Stenose. Dort ist reales Blut zäher als angenommen. Dieser Punkt wird in den Schlussfolgerungen wieder aufgegriffen.

Die '''stationäre Strömung''' ist die stärkste Vereinfachung. Wie wichtig die Pulsation ist, misst die Womersley-Zahl, die das Verhältnis von instationärer Trägheit zu Reibung angibt. Mit einer Herzfrequenz von 60 Schlägen je Minute, also einer Kreisfrequenz &lt;math&gt;\omega = 2\pi\ \mathrm{s^{-1}}&lt;/math&gt;, ergibt sich

&lt;math&gt;\alpha = R_0 \sqrt{\frac{\omega \rho}{\mu}} = 0{,}003\ \mathrm{m} \cdot \sqrt{\frac{2\pi\ \mathrm{s^{-1}} \cdot 1060\ \mathrm{kg/m^3}}{0{,}0035\ \mathrm{Pa\,s}}} \approx 4{,}1 .&lt;/math&gt;

Ein Wert in dieser Größenordnung bedeutet, dass das reale Geschwindigkeitsprofil im Herzzyklus merklich von der Parabel abweicht.&lt;ref name=&quot;womersley&quot;&gt;Womersley, J. R.: ''Method for the calculation of velocity, rate of flow and viscous drag in arteries when the pressure gradient is known.'' Journal of Physiology 127 (1955), S. 553-563.&lt;/ref&gt; Hinzu kommt, dass der Volumenstrom in der Systole kurzzeitig auf rund das Vierfache des Mittelwerts steigt.&lt;ref name=&quot;holdsworth&quot;&gt;Holdsworth, D. W.; Norley, C. J. D.; Frayne, R.; Steinman, D. A.; Rutt, B. K.: ''Characterization of common carotid artery blood-flow waveforms in normal human subjects.'' Physiological Measurement 20 (1999), Nr. 3, S. 219-240. DOI 10.1088/0967-3334/20/3/301. Angegeben werden ein mittlerer Volumenstrom von 6,0 ± 1,4 ml/s und ein systolischer Spitzenwert von 23,5 ± 3,8 ml/s. &lt;!-- FIXME Zahlenwerte und Probandenzahl am Original pruefen --&gt;&lt;/ref&gt; Die stationäre Rechnung mit dem Mittelwert beschreibt deshalb nicht den zeitlichen Verlauf, wohl aber den zeitlich gemittelten Zustand, an dem sich der Einfluss des Stenosegrades sauber vergleichen lässt.

Die '''laminare Strömung''' wird über die Reynoldszahl begründet. Sie beträgt im gesunden Gefäß 386 und liegt damit weit unter dem Wert von etwa 2300, ab dem die Strömung in einem geraden Rohr in den Übergangsbereich gelangen kann. In der Engstelle steigt sie bei festem Volumenstrom auf &lt;math&gt;Re_0/(1-s)&lt;/math&gt;, also auf 551 beim Stenosegrad 0,3, auf 964 beim Grad 0,6 und auf 1928 beim Grad 0,8. Für den Strahl hinter einer Engstelle ist der Umschlagbereich allerdings deutlich niedriger als im geraden Rohr. Direkte numerische Simulationen an genau der in diesem Projekt verwendeten Stenosegeometrie zeigen, dass die Strömung bei einer Einström-Reynoldszahl von 500 auch bei leichter Unsymmetrie laminar bleibt, bei 1000 dagegen schon eine Exzentrizität von fünf Prozent des Durchmessers genügt, um den Strahl in lokal turbulente Strömung umschlagen zu lassen.&lt;ref name=&quot;varghese&quot;&gt;Varghese, S. S.; Frankel, S. H.; Fischer, P. F.: ''Direct numerical simulation of stenotic flows. Part 1. Steady flow.'' Journal of Fluid Mechanics 582 (2007), S. 253-280. Untersucht wird eine kosinusförmige Stenose der Länge 2D mit 75 % Flächenreduktion, die mit der Geometrie dieses Projekts beim Stenosegrad 0,5 übereinstimmt. &lt;!-- FIXME Band und Seiten am Original pruefen --&gt;&lt;/ref&gt; Mit einer Einström-Reynoldszahl von 386 liegt das Projekt für die leicht- und mittelgradigen Stenosen sicher im laminaren Bereich. Für die hochgradigen Stenosen ab 0,7 ist ein laminares, stationäres Modell dagegen nur noch eine Näherung, die eine Obergrenze der geordneten Strömung beschreibt. Diese Fälle werden deshalb als Grenzfall des Modells gekennzeichnet.

Die '''starre Wand''' lässt sich über Messungen abschätzen. Der Durchmesser der gemeinsamen Halsschlagader ändert sich im Herzzyklus bei jungen Menschen um etwa 12 bis 14 Prozent und bei älteren Menschen um etwa 5 Prozent.&lt;ref name=&quot;hansen&quot;&gt;Hansen, F.; Mangell, P.; Sonesson, B.; Länne, T.: ''Diameter and compliance in the human common carotid artery: variations with age and sex.'' Ultrasound in Medicine and Biology 21 (1995), Nr. 1, S. 1-9. DOI 10.1016/0301-5629(94)00090-5.&lt;/ref&gt; Diese Bewegung ist eine Folge der Pulsation. In einer stationären Rechnung gibt es keine Druckschwankung, die die Wand periodisch aufweiten könnte, sodass die starre Wand zur stationären Annahme konsistent ist. Eine verkalkte Plaque ist ohnehin deutlich steifer als die gesunde Wand.

Die Annahme des '''eingeprägten Volumenstroms''' wird im Abschnitt zu den Randbedingungen begründet, weil sie sich nur im Zusammenhang mit dem Kreislauf beurteilen lässt.

== Simulationsgebiet und Geometrie ==

Die Gefäßachse ist die z-Achse, der Ursprung liegt in der Mitte der Stenose, und &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; bezeichnet den Abstand von der Achse. Das Rechengebiet reicht von &lt;math&gt;z = -L_u&lt;/math&gt; bis &lt;math&gt;z = L_d&lt;/math&gt; und wird radial von der Wandkontur &lt;math&gt;R(z)&lt;/math&gt; begrenzt. Die Verengung wird über eine einzige glatte Funktion beschrieben,

&lt;math&gt;R(z) = R_0 \left[ 1 - \frac{s}{2}\left(1 + \cos\frac{2\pi z}{L_s}\right)\right] \quad \text{falls } |z| \le \frac{L_s}{2}, \qquad R(z) = R_0 \ \text{sonst.}&lt;/math&gt;

Die Funktion hat drei Eigenschaften, die ihre Wahl begründen. Sie wird erstens über einen einzigen Parameter gesteuert, den Stenosegrad &lt;math&gt;s&lt;/math&gt;. Der engste Radius in der Mitte beträgt &lt;math&gt;R(0) = R_0(1-s)&lt;/math&gt;, und der Fall ohne Verengung ist einfach der Fall &lt;math&gt;s = 0&lt;/math&gt;. Die gesamte Vergleichsreihe entsteht damit aus einem einzigen parametrischen Sweep. Sie geht zweitens an beiden Enden der Störstelle ohne Knick in das gerade Rohr über. Bei &lt;math&gt;z = \pm L_s/2&lt;/math&gt; ist der Kosinus gleich minus eins, die Klammer also null, und seine Ableitung verschwindet dort ebenfalls. Das ist nicht nur ästhetisch, sondern numerisch notwendig, denn ein Knick in der Wand erzeugt eine Singularität der Wandschubspannung, deren berechneter Wert mit jeder Netzverfeinerung weiter wüchse. Eine Netzstudie wäre dann sinnlos. Sie ist drittens die in der Literatur gebräuchliche Standardgeometrie für Stenosen, sodass sich die Ergebnisse unmittelbar mit veröffentlichten Rechnungen vergleichen lassen.&lt;ref name=&quot;varghese&quot; /&gt;

[[Datei:Stenose Gruppe5 Wandkontur.svg|mini|zentriert|800px|Wandkontur &lt;math&gt;R(z)&lt;/math&gt; für die untersuchten Stenosegrade. Die Darstellung ist in radialer Richtung gestreckt, das Rechengebiet ist in Wirklichkeit fünfundzwanzigmal länger als breit.]]
&lt;!-- FIXME Abbildung mit abbildungen_graph_1d.m fuer s = 0 bis 0,8 neu erzeugen, bisher nur bis 0,5 --&gt;

Die Abmessungen des Rechengebiets werden alle aus dem Gefäßradius abgeleitet. Das hat den Vorteil, dass sich das gesamte Modell durch Ändern eines einzigen Wertes auf ein anderes Gefäß übertragen lässt. Die einzelnen Längen werden im Folgenden Schritt für Schritt begründet.

# Der '''Gefäßradius''' &lt;math&gt;R_0 = 3\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; folgt aus Ultraschallmessungen an gesunden Erwachsenen. Dort wurden für die gemeinsame Halsschlagader mittlere Durchmesser von 6,10 ± 0,80 mm bei Frauen und 6,52 ± 0,98 mm bei Männern gemessen.&lt;ref name=&quot;krejza&quot;&gt;Krejza, J.; Arkuszewski, M.; Kasner, S. E.; Weigele, J.; Ustymowicz, A.; Hurst, R. W.; Cucchiara, B. L.; Messe, S. R.: ''Carotid artery diameter in men and women and the relation to body and neck size.'' Stroke 37 (2006), Nr. 4, S. 1103-1105. DOI 10.1161/01.STR.0000206440.48756.f7.&lt;/ref&gt; Der gewählte Durchmesser von &lt;math&gt;D_0 = 6\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; liegt damit innerhalb einer Standardabweichung beider Gruppen und ist bewusst auf einen runden Wert gesetzt, damit alle abgeleiteten Längen glatte Zahlen ergeben.
# Die '''Länge der Störstelle''' &lt;math&gt;L_s = 2 D_0 = 12\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; entspricht der Standardgeometrie aus der Literatur, die eine Stenosenlänge von zwei Durchmessern verwendet.&lt;ref name=&quot;varghese&quot; /&gt; Damit ist beim Stenosegrad 0,5 ein direkter Vergleich mit veröffentlichten Ergebnissen möglich.
# Die '''Vorlaufstrecke''' &lt;math&gt;L_u = 5 D_0 = 30\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; trennt den Einlass von der Stenose. Da am Einlass bereits das voll entwickelte Profil vorgegeben wird, muss sie nicht die Einlaufstrecke abdecken, sondern nur verhindern, dass die Einströmrandbedingung die Strömung an der Engstelle beeinflusst. Bei Reynoldszahlen in dieser Größenordnung reicht der Einfluss einer Verengung nur wenige Durchmesser stromaufwärts, die Literatur kommt für dieselbe Geometrie mit drei Durchmessern Vorlauf aus.&lt;ref name=&quot;varghese&quot; /&gt; Fünf Durchmesser lassen also eine Reserve. Überprüft wird das im Ergebnis, indem die Geschwindigkeit auf der Achse in der Mitte der Vorlaufstrecke mit dem Sollwert &lt;math&gt;2U_0&lt;/math&gt; verglichen wird.
# Die '''Nachlaufstrecke''' &lt;math&gt;L_d = 20 D_0 = 120\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; ist deutlich länger, weil sich hinter der Engstelle ein Rückströmgebiet bildet, das nicht auf den Auslass treffen darf. Für die Geometrie mit dem Stenosegrad 0,5 legt die Strömung bei einer Einström-Reynoldszahl von 500 erst etwa zehn Durchmesser hinter der Engstelle wieder an, die Literatur rechnet mit sechzehn Durchmessern Nachlauf.&lt;ref name=&quot;varghese&quot; /&gt; Zwanzig Durchmesser bieten damit für alle Stenosegrade bis 0,5 einen Sicherheitsabstand. Für die Grade ab 0,6 ist ein längeres Rückströmgebiet zu erwarten, dort wird die Lage des Wiederanlegepunktes ausdrücklich kontrolliert.
# Das '''Ende des fein vernetzten Nachlaufs''' &lt;math&gt;L_f = L_s/2 + 10 D_0 = 66\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; legt fest, bis wohin das Netz verfeinert wird. Der Wert ist so gewählt, dass das erwartete Rückströmgebiet von etwa zehn Durchmessern vollständig im feinen Bereich liegt.

Damit hat das Rechengebiet eine Gesamtlänge von &lt;math&gt;L = L_u + L_d = 150\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt;, also das Fünfundzwanzigfache des Durchmessers. Es ist ein Modellgebiet und kein maßstäbliches Abbild eines bestimmten anatomischen Abschnitts.

== Stoff- und Strömungsparameter ==

Die Stoffwerte des Blutes und der Volumenstrom sind die einzigen Eingangsgrößen, die nicht aus der Geometrie folgen. Aus ihnen werden alle weiteren Strömungskennwerte berechnet. Die folgenden Schritte zeigen jede Rechnung einzeln, damit sich jeder Wert nachprüfen lässt.

# Die '''Dichte''' wird mit &lt;math&gt;\rho = 1060\ \mathrm{kg/m^3}&lt;/math&gt; angesetzt. Der Wert lässt sich als Mischungsregel plausibel machen. Plasma hat eine Dichte von etwa 1025 kg/m³, rote Blutkörperchen von etwa 1100 kg/m³. Bei einem Zellanteil von 45 % ergibt sich &lt;math&gt;0{,}55 \cdot 1025 + 0{,}45 \cdot 1100 \approx 1059\ \mathrm{kg/m^3}&lt;/math&gt;. Die Dichte geht nur über die Reynoldszahl in die Rechnung ein, eine Abweichung von einem Prozent ändert die Ergebnisse daher kaum. &lt;!-- FIXME Lehrbuchquelle fuer Plasma- und Erythrozytendichte ergaenzen --&gt;
# Die '''dynamische Viskosität''' wird mit &lt;math&gt;\mu = 3{,}5\ \mathrm{mPa\,s}&lt;/math&gt; angesetzt. Das ist der Grenzwert der Blutviskosität bei hohen Scherraten, also genau der Wert, der zur Newtonschen Näherung gehört. Derselbe Wert von 0,035 Poise wird auch im Standardwerk zur Modellierung des Herz-Kreislauf-Systems verwendet.&lt;ref name=&quot;quarteroni&quot;&gt;Quarteroni, A.; Formaggia, L.: ''Mathematical Modelling and Numerical Simulation of the Cardiovascular System.'' In: Ayache, N. (Hrsg.): ''Computational Models for the Human Body.'' Handbook of Numerical Analysis, Bd. XII, Elsevier, Amsterdam 2004, S. 3-127. DOI 10.1016/S1570-8659(03)12001-7. Zur Newtonschen Näherung in großen Gefäßen siehe S. 30, zur Viskosität von 0,035 Poise die Parametertabelle auf S. 116.&lt;/ref&gt;
# Der '''mittlere Volumenstrom''' wird mit &lt;math&gt;Q_0 = 6\ \mathrm{ml/s}&lt;/math&gt; angesetzt. Das ist der zeitlich gemittelte Volumenstrom, der in der gemeinsamen Halsschlagader gesunder Probanden gemessen wurde.&lt;ref name=&quot;holdsworth&quot; /&gt;
# Die '''mittlere Geschwindigkeit''' folgt aus Volumenstrom und Querschnittsfläche, &lt;math&gt;U_0 = \frac{Q_0}{\pi R_0^2} = \frac{6 \cdot 10^{-6}\ \mathrm{m^3/s}}{\pi \cdot (0{,}003\ \mathrm{m})^2} = 0{,}2122\ \mathrm{m/s}&lt;/math&gt;.
# Die '''Reynoldszahl''' des gesunden Gefäßes ist &lt;math&gt;Re_0 = \frac{\rho\, U_0\, D_0}{\mu} = \frac{1060 \cdot 0{,}2122 \cdot 0{,}006}{0{,}0035} = 385{,}6&lt;/math&gt;. Sie wird im Folgenden auf 386 gerundet.
# Die '''Einlauflänge''', die eine anfangs gleichförmige Strömung bis zum voll entwickelten Parabelprofil bräuchte, beträgt nach der gebräuchlichen Abschätzung für laminare Rohrströmungen &lt;math&gt;L_e \approx 0{,}06\, Re_0\, D_0 \approx 0{,}06 \cdot 386 \cdot 6\ \mathrm{mm} \approx 139\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt;.&lt;ref name=&quot;durst&quot;&gt;Durst, F.; Ray, S.; Ünsal, B.; Bayoumi, O. A.: ''The development lengths of laminar pipe and channel flows.'' Journal of Fluids Engineering 127 (2005), Nr. 6, S. 1154-1160. Für große Reynoldszahlen nähert sich die dort angegebene Korrelation dem Wert 0,057·Re·D.&lt;/ref&gt; Das ist fast die gesamte Länge des Rechengebiets. Ein konstantes Einlassprofil würde die Strömung an der Stenose also verfälschen, weshalb am Einlass das voll entwickelte Profil vorgegeben wird.

Damit liegen alle globalen Parameter fest. Die folgende Tabelle enthält sie mit genau den Namen, unter denen sie in COMSOL und in den Octave-Skripten verwendet werden.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Globale Parameter des Modells
! Name !! Ausdruck in COMSOL !! Wert !! Bedeutung !! Herkunft
|-
| R0 || 3[mm] || 3 mm || Gefäßradius || Messwerte nach Krejza u. a. 2006, gerundet
|-
| D0 || 2*R0 || 6 mm || Gefäßdurchmesser || abgeleitet
|-
| Ls || 2*D0 || 12 mm || Länge der Störstelle || Standardgeometrie nach Varghese u. a. 2007
|-
| Lu || 5*D0 || 30 mm || Vorlaufstrecke vor der Stenosemitte || Abstand der Einlassbedingung von der Stenose
|-
| Ld || 20*D0 || 120 mm || Nachlaufstrecke hinter der Stenosemitte || Platz für das Rückströmgebiet
|-
| Lf || Ls/2+10*D0 || 66 mm || Ende des fein vernetzten Nachlaufs || erwartete Länge des Rückströmgebiets
|-
| s || 0 bis 0.8 || 0 bis 0,8 || Stenosegrad bezogen auf den Durchmesser || NASCET-Einteilung
|-
| rho_b || 1060[kg/m^3] || 1060 kg/m³ || Dichte des Blutes || Mischungsregel, Literaturwert
|-
| mu_b || 3.5[mPa*s] || 3,5 mPa·s || dynamische Viskosität des Blutes || Hochscherwert, Quarteroni und Formaggia 2004
|-
| Q0 || 6[ml/s] || 6 ml/s || mittlerer Volumenstrom || Messwerte nach Holdsworth u. a. 1999
|-
| U0 || Q0/(pi*R0^2) || 0,2122 m/s || mittlere Einströmgeschwindigkeit || abgeleitet
|-
| Re0 || rho_b*U0*D0/mu_b || 385,6 || Reynoldszahl des gesunden Gefäßes || abgeleitet
|-
| dp_ref || 8*mu_b*U0*(Lu+Ld)/R0^2 || 99,03 Pa || Poiseuille-Druckabfall des gesunden Gefäßes || abgeleitet, Hagen-Poiseuille
|}


= Literaturverzeichnis =

Alle Quellen sind an den Stellen im Text angegeben, an denen die zugehörigen Werte oder Aussagen verwendet werden. Die Liste wird aus diesen Angaben automatisch erzeugt.

&lt;references /&gt;</text>
      <sha1>177b3m9a6jocay4ae7395k0kef3mjjf</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>1115865</id>
      <parentid>1115863</parentid>
      <timestamp>2026-10-12T14:59:54Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Heitele</username>
        <id>38553</id>
      </contributor>
      <comment>/* Thema und Fragestellung */</comment>
      <origin>1115865</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="32974" sha1="six0879omw3m02egy3xgz2wfcpqavoi" xml:space="preserve">= Gruppenteilnehmer =
* Joey Becker
* Marie-Thérèse Heitele
* Nicole Pander

=Relevanz=
Die Untersuchung von Gefäßverengungen besitzt sowohl eine medizinische als auch eine methodische Bedeutung. Aus medizinischer Sicht sind arterielle Stenosen, etwa in der Halsschlagader kritisch, da sie die Durchblutung beeinträchtigen und durch veränderte Wandschubspannungen sowie die Bildung von Wirbeln weitere Gefäßablagerungen begünstigen. Fachlich überträgt das Projekt damit die Prinzipien der Strömungsmechanik direkt auf eine biomedizinische Anwendung. Der methodische Mehrwert liegt in der Verknüpfung mehrerer Zugänge: Durch den systematischen Abgleich von analytischer Poiseuille-Theorie und Simulationen in COMSOL Multiphysics zeigt das Projekt anschaulich, wie numerische Modelle aufgebaut, verifiziert und an ihren Grenzen bewertet werden.

===Auswahl der Stenosegrade===
Um die untersuchten Gefäßverengungen nicht willkürlich festzulegen, orientiert sich die Auswahl der Stenosegrade an der klinisch gebräuchlichen NASCET-Klassifikation von Karotisstenosen. Dabei werden Stenosen nach ihrem Schweregrad unter anderem in:

• leichte Stenosen unter 50%

• mäßige Stenosen von 50 bis 69%

• hochgradige Stenosen von 70 bis 99%
eingeteilt.

Ein vollständige Gefäßverschluss entspricht einer Okklusion. 
Für die numerische Untersuchung wird aus jeder dieser drei Kategorien ein repräsentativer Stenosegrad ausgewählt. Neben dem gesunden Gefäß mit '''0% Stenose''' werden daher eine '''30% Stenose''' als Beispiel für eine leichte, eine '''60% Stenose''' als Beispiel für eine mäßige und eine '''80% Stenose''' als Beispiel für eine hochgradige Verengung untersucht. Auf diese Weise können deutlich unterschiedliche Schweregrade miteinander vergleichen und die zunehmenden Veränderungen von Geschwindigkeit, Druck und Strömungsmuster systematisch analysiert werden. Ein vollständiger Gefäßverschluss von 100% wird nicht simuliert, da in diesem Fall keine durchgängige Strömung durch das Gefäß mehr vorliegt und damit keine Simulation betrachtet wird.

Der Stenosegrad wird in unserem Projekt über die Verringerung des Gefäßdurchmessers beschreiben. In Anlehnung an das NASCET-Prinzip kann er als Verhältnis zwischen dem minimalen Durchmesser im Bereich der Stenose und einem Referenzdurchmesser formuliert werden.

=Implementierung in COMSOL=

= Thema und Fragestellung =

Gegenstand dieses Projekts ist die numerische Simulation einer lokalen Gefäßverengung, die in der Medizin als ''Stenose'' bezeichnet wird. Als Anwendungsfall dient ein gerader Abschnitt der ''Arteria carotis communis'', der gemeinsamen Halsschlagader. Um den Einfluss der Verengung möglichst isoliert untersuchen zu können, wird die reale Gefäßgeometrie bewusst vereinfacht. Gefäßkrümmungen, Verzweigungen und patientenspezifische anatomische Strukturen werden nicht berücksichtigt. Stattdessen wird ein gerades, idealisiertes Gefäß mit einer rotationssymmetrischen Stenose untersucht. Im ebenen Vergleichsmodell erscheint dieselbe Verengung als symmetrische Einschnürung eines Kanals.

Als Referenz dient ein gesundes, unverengtes Gefäß, in dem sich die Poiseuille-Strömung mit ihrem charakteristischen parabolischen Geschwindigkeitsprofil ausbildet. Diese Strömung ist aus zwei Gründen der natürliche Ausgangspunkt. Sie beschreibt den physiologischen Normalfall, mit dem jeder Stenosegrad verglichen wird, und sie ist exakt lösbar, sodass sich an ihr jede numerische Rechnung prüfen lässt, bevor die Verengung hinzukommt.

== Fragestellung ==

Wie verändert eine rotationssymmetrische Stenose die stationäre Strömung eines inkompressiblen Newtonschen Fluids in einem idealisierten Abschnitt der Arteria carotis communis hinsichtlich Geschwindigkeitsverteilung, Druckverteilung, Wandschubspannung und Strömungsmuster, und wie entwickeln sich diese Größen mit zunehmendem Stenosegrad im Vergleich zu einem gesunden Gefäß?

Aus dieser Fragestellung ergeben sich drei Teilfragen, an denen sich der Aufbau der Seite orientiert.

# Welche Strömungsgrößen reagieren empfindlich auf den Stenosegrad und welche nur träge?
# Ab welchem Stenosegrad ändert sich das Strömungsmuster qualitativ, das heißt, ab wann löst die Strömung hinter der Engstelle von der Wand ab und bildet ein Rückströmgebiet?
# Wie weit tragen die vereinfachenden Modellannahmen, insbesondere die Annahme einer stationären und laminaren Strömung, über den untersuchten Bereich der Stenosegrade?

= Relevanz =

Die Untersuchung von Gefäßverengungen besitzt eine medizinische und eine methodische Bedeutung. Beide werden im Folgenden getrennt begründet, weil sie unterschiedliche Anforderungen an das Modell stellen. Die medizinische Fragestellung verlangt realistische Zahlenwerte, die methodische Fragestellung verlangt nachprüfbare Rechnungen.

== Medizinische Relevanz ==

Arterielle Stenosen entstehen überwiegend durch Atherosklerose, also durch Ablagerungen aus Lipiden, Bindegewebe und Kalk in der Gefäßwand. In der Halsschlagader sind sie klinisch besonders bedeutsam, weil sie die Durchblutung des Gehirns beeinträchtigen und weil sich an ihnen Thromben bilden können, die als Embolie einen Schlaganfall auslösen. Dass die operative Entfernung einer hochgradigen Karotisstenose das Schlaganfallrisiko symptomatischer Patienten deutlich senkt, hat die NASCET-Studie gezeigt, deren Einteilung der Stenosegrade dieses Projekt übernimmt.&lt;ref name=&quot;nascet&quot;&gt;North American Symptomatic Carotid Endarterectomy Trial Collaborators: ''Beneficial effect of carotid endarterectomy in symptomatic patients with high-grade carotid stenosis.'' New England Journal of Medicine 325 (1991), Nr. 7, S. 445-453.&lt;/ref&gt;

Strömungsmechanisch ist an einer Stenose vor allem die Wandschubspannung von Interesse, also die tangentiale Kraft je Fläche, die das strömende Blut auf die innerste Zellschicht der Gefäßwand ausübt. Gesunde Halsschlagadern weisen zeitlich gemittelte Werte von etwa 1,1 bis 1,5 Pa auf.&lt;ref name=&quot;samijo&quot;&gt;Samijo, S. K.; Willigers, J. M.; Barkhuysen, R.; Kitslaar, P. J. E. H. M.; Reneman, R. S.; Brands, P. J.; Hoeks, A. P. G.: ''Wall shear stress in the human common carotid artery as function of age and gender.'' Cardiovascular Research 39 (1998), Nr. 2, S. 515-522.&lt;/ref&gt; In einer Engstelle steigt sie stark an, unmittelbar dahinter fällt sie im Ablösegebiet auf nahezu null und wechselt dort sogar das Vorzeichen. Niedrige und im Vorzeichen wechselnde Wandschubspannungen gelten als Bedingungen, unter denen sich weitere Ablagerungen bevorzugt bilden. Eine bestehende Stenose schafft also stromabwärts die Voraussetzungen für ihr eigenes Wachstum. Genau diese Verteilung lässt sich im Körper nur schwer messen, in einer Simulation dagegen unmittelbar auswerten.

== Methodische Relevanz ==

Fachlich überträgt das Projekt die Prinzipien der Strömungsmechanik aus der Vorlesung auf eine biomedizinische Anwendung.&lt;ref name=&quot;hundertmark&quot;&gt;Hundertmark, A.: ''Fluiddynamik.'' Vorlesungsunterlagen zum Modul Räumliche Modellbildung, RPTU Kaiserslautern-Landau, Sommersemester 2026.&lt;/ref&gt; Der methodische Mehrwert liegt in der Verknüpfung mehrerer Zugänge, die sich gegenseitig kontrollieren. Die analytische Poiseuille-Lösung liefert exakte Sollwerte für das gesunde Gefäß. Ein reduziertes Graphenmodell liefert für jeden Stenosegrad eine schnelle Abschätzung, die analytisch nachrechenbar ist. Die Simulationen in COMSOL Multiphysics lösen schließlich die vollständigen Navier-Stokes-Gleichungen in zwei und drei Raumdimensionen. Weil jede Stufe die Sollwerte der nächsten liefert, zeigt das Projekt nicht nur Ergebnisse, sondern auch, wie numerische Modelle aufgebaut, verifiziert und an ihren Grenzen bewertet werden.

== Auswahl der Stenosegrade ==

Um die untersuchten Gefäßverengungen nicht willkürlich festzulegen, orientiert sich die Auswahl der Stenosegrade an der klinisch gebräuchlichen NASCET-Klassifikation von Karotisstenosen.&lt;ref name=&quot;nascet&quot; /&gt; Sie teilt Stenosen nach ihrer Durchmesserreduktion in drei Schweregrade ein, ein vollständiger Gefäßverschluss wird als Okklusion bezeichnet.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Schweregrade nach NASCET und ihre Abdeckung im Projekt
! Schweregrad !! Durchmesserreduktion !! im Projekt gerechnete Stenosegrade !! hervorgehobener Vertreter
|-
| gesundes Gefäß || 0 % || 0 || 0
|-
| leichtgradige Stenose || unter 50 % || 0,1 bis 0,4 || 0,3
|-
| mittelgradige Stenose || 50 bis 69 % || 0,5 und 0,6 || 0,6
|-
| hochgradige Stenose || 70 bis 99 % || 0,7 und 0,8 || 0,8
|-
| Okklusion || 100 % || nicht gerechnet || entfällt
|}

Für die numerische Untersuchung wird aus jeder Kategorie ein repräsentativer Stenosegrad hervorgehoben. Neben dem gesunden Gefäß mit '''0 %''' Stenose sind das eine '''30 %''' Stenose als Beispiel für eine leichtgradige, eine '''60 %''' Stenose als Beispiel für eine mittelgradige und eine '''80 %''' Stenose als Beispiel für eine hochgradige Verengung. Zusätzlich werden im Graphenmodell und im achsensymmetrischen Flächenmodell alle Zwischenwerte in Schritten von zehn Prozentpunkten gerechnet. Das kostet in diesen beiden Modellen nur Sekunden, liefert aber glatte Verläufe über dem Stenosegrad und macht sichtbar, ab welchem Grad sich das Verhalten der Strömung ändert. Ein vollständiger Gefäßverschluss wird nicht simuliert, da in diesem Fall keine durchgängige Strömung mehr vorliegt.

Der Stenosegrad wird in diesem Projekt wie bei NASCET über die Verringerung des Gefäßdurchmessers beschrieben,

&lt;math&gt;s = 1 - \frac{d_{\min}}{d_{\mathrm{ref}}},&lt;/math&gt;

wobei &lt;math&gt;d_{\min}&lt;/math&gt; der kleinste Durchmesser in der Engstelle und &lt;math&gt;d_{\mathrm{ref}}&lt;/math&gt; ein Referenzdurchmesser ist. NASCET verwendet als Referenz den Durchmesser des gesunden Gefäßes stromabwärts der Stenose. Im idealisierten Modell hat das Gefäß vor und hinter der Engstelle denselben Durchmesser &lt;math&gt;D_0&lt;/math&gt;, sodass &lt;math&gt;d_{\mathrm{ref}} = D_0&lt;/math&gt; gilt und die NASCET-Definition mit allen anderen gebräuchlichen Durchmesserdefinitionen zusammenfällt.

Wichtig für das Verständnis aller weiteren Ergebnisse ist der Unterschied zwischen Durchmesser- und Flächenreduktion. Da die Querschnittsfläche quadratisch vom Durchmesser abhängt, gilt für die Flächenreduktion &lt;math&gt;1-(1-s)^2&lt;/math&gt;. Eine im klinischen Sinn nur mittelgradige Stenose von 60 % verschließt damit bereits 84 % der Querschnittsfläche.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Durchmesser- und Flächenreduktion der gerechneten Stenosegrade
! Stenosegrad s !! 0 !! 0,1 !! 0,2 !! 0,3 !! 0,4 !! 0,5 !! 0,6 !! 0,7 !! 0,8
|-
| engster Durchmesser in mm || 6,0 || 5,4 || 4,8 || 4,2 || 3,6 || 3,0 || 2,4 || 1,8 || 1,2
|-
| Flächenreduktion || 0 % || 19 % || 36 % || 51 % || 64 % || 75 % || 84 % || 91 % || 96 %
|}

Zwei Einschränkungen gehören zur ehrlichen Einordnung. Erstens ist die NASCET-Klassifikation für Stenosen der ''Arteria carotis interna'' entwickelt worden, also des Astes hinter der Gabelung, während hier ein gerader Abschnitt der ''Arteria carotis communis'' modelliert wird. Die Klassifikation dient im Projekt deshalb als Orientierung für sinnvolle Abstufungen und nicht als diagnostische Aussage. Zweitens zeigt sich im Abschnitt zur Modellierung, dass die Annahme einer stationären, laminaren Strömung ab einem Stenosegrad von etwa 0,6 an ihre Grenzen stößt. Die hochgradigen Fälle werden deshalb zwar gerechnet, ihre Ergebnisse aber ausdrücklich als Grenzfall des Modells diskutiert.

= Modellierung =

Modellierung bedeutet hier, die reale Situation in eine mathematische Aufgabe zu übersetzen, die sich lösen lässt. Dazu gehören vier Bausteine, nämlich das Rechengebiet, die Gleichungen, die Zahlenwerte der Parameter und die Bedingungen an den Rändern. Jeder dieser Bausteine beruht auf Annahmen, und jede Annahme muss begründet werden. Dieser Abschnitt geht die Bausteine deshalb der Reihe nach durch und nennt bei jedem Zahlenwert, woher er stammt und warum er sinnvoll ist.

== Modellhierarchie ==

Das Projekt rechnet nicht ein einziges Modell, sondern vier aufeinander aufbauende Modellvarianten. Sie entsprechen der Kursanforderung, eine Strömung als Graph, in zwei und in drei Raumdimensionen darzustellen, und sie sind bewusst von einfach nach aufwendig geordnet.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Die vier Modellvarianten des Projekts
! Modell !! Raumdimension !! gelöste Gleichung !! Zweck !! Werkzeug
|-
| Graphenmodell || 1D, Gefäßachse || Hagen-Poiseuille je Rohrstück und Massenerhaltung in jedem Knoten || schnelle, analytisch nachrechenbare Abschätzung für jeden Stenosegrad || Octave und COMSOL (Koeffizientenform-PDGL)
|-
| achsensymmetrisches Flächenmodell || 2D, Halbschnitt in r und z || vollständige stationäre Navier-Stokes-Gleichungen in Zylinderkoordinaten || Hauptmodell, liefert alle Feldgrößen des rotationssymmetrischen Rohres || COMSOL, Laminare Strömung
|-
| ebenes Flächenmodell || 2D, Halbschnitt in x und y || vollständige stationäre Navier-Stokes-Gleichungen in kartesischen Koordinaten || Vergleich, zeigt den Einfluss der zweiten Querschnittsrichtung || COMSOL, Laminare Strömung
|-
| Volumenmodell || 3D || vollständige stationäre Navier-Stokes-Gleichungen || Kontrolle des Hauptmodells und räumliche Darstellung || COMSOL, Laminare Strömung
|}

Die Reihenfolge folgt einem einfachen Prinzip. Jede Stufe liefert die Sollwerte, an denen die nächste, komplexere Stufe geprüft wird. Das Graphenmodell muss im gesunden Fall exakt die Poiseuille-Lösung ergeben. Das achsensymmetrische Modell muss im gesunden Fall dieselben Werte liefern und bei Stenose für Geschwindigkeit und Wandschubspannung in der Nähe des Graphenmodells liegen. Das Volumenmodell muss, weil die Geometrie rotationssymmetrisch ist, mit dem achsensymmetrischen Modell übereinstimmen.

== Modellannahmen ==

Um den Einfluss des Stenosegrades möglichst isoliert zu untersuchen, werden die folgenden Modellannahmen getroffen. Die Tabelle nennt zu jeder Annahme ihre mathematische Form, die Begründung und die Stelle, an der sie im Projekt überprüft wird.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Modellannahmen, ihre Begründung und ihre Überprüfung
! Annahme !! mathematische Form !! Begründung !! Überprüfung
|-
| Idealisierte Gefäßgeometrie || gerades Rohr mit kosinusförmiger, rotationssymmetrischer Verengung || isoliert die Wirkung des Stenosegrades von Krümmung, Verzweigung und Plaqueform || Diskussion in den Schlussfolgerungen
|-
| Starre Gefäßwand || Wand ortsfest, keine Fluid-Struktur-Kopplung || im stationären Fall gibt es keine Druckschwankung, die die Wand periodisch aufweiten könnte || Abschätzung über die gemessene Durchmesseränderung im Herzzyklus
|-
| Stationäre Strömung || &lt;math&gt;\partial \mathbf{u}/\partial t = \mathbf{0}&lt;/math&gt; || der Einfluss des Stenosegrades soll ohne Überlagerung durch die Pulsation sichtbar werden || Abschätzung über die Womersley-Zahl
|-
| Inkompressibles Fluid || &lt;math&gt;\rho = \mathrm{const}&lt;/math&gt;, damit &lt;math&gt;\nabla\cdot\mathbf{u} = 0&lt;/math&gt; || Blut ist eine Flüssigkeit, Druckänderungen von wenigen hundert Pascal ändern die Dichte nicht messbar || Massenerhaltung in fünf Querschnitten
|-
| Newtonsche Näherung || konstante Viskosität &lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt; || die Scherraten an der Wand und im größten Teil des Querschnitts liegen über dem Bereich, in dem Blut deutlich scherverdünnend wirkt || Scherrate an der Wand, Diskussion des Rückströmgebiets
|-
| Konstante Stoffeigenschaften || &lt;math&gt;\rho&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt; räumlich und zeitlich konstant || Körpertemperatur ist im betrachteten Abschnitt konstant || entfällt
|-
| Laminare Strömung || kein Turbulenzmodell, Schnittstelle Laminare Strömung || Reynoldszahl des gesunden Gefäßes von 386 liegt weit unter dem Umschlagbereich || Reynoldszahl in der Engstelle, Literaturvergleich
|-
| Haftbedingung an der Wand || &lt;math&gt;\mathbf{u} = \mathbf{0}&lt;/math&gt; auf der Wand || Folge der Viskosität, das Fluid haftet an der Wand || Grundlage jeder Wandschubspannung
|-
| Vernachlässigung der Gravitation || keine Volumenkraft || bei konstanter Dichte lässt sich die Schwerkraft vollständig in einen hydrostatischen Druckanteil verschieben und beeinflusst die Geschwindigkeit nicht || Begründung in den Mathematischen Hintergründen
|-
| Voll entwickelte Einströmung || parabolisches Profil am Einlass || die natürliche Einlaufstrecke wäre mit rund 139 mm fast so lang wie das ganze Rechengebiet || Scheitelgeschwindigkeit im gesunden Fall
|-
| Eingeprägter Volumenstrom || &lt;math&gt;Q = Q_0&lt;/math&gt; am Einlass || der Strömungswiderstand des Abschnitts ist klein gegenüber dem des nachgeschalteten Gefäßbetts || Abschätzung mit einem Reihenwiderstand
|}

Einige dieser Annahmen sind unmittelbar einsichtig, andere verdienen eine genauere Begründung, weil von ihnen die Aussagekraft der Ergebnisse abhängt.

Die '''Newtonsche Näherung''' ist die Annahme, die bei Blut am häufigsten hinterfragt wird. Reales Blut ist eine Suspension aus Plasma und Blutzellen und verhält sich scherverdünnend. Bei kleinen Scherraten lagern sich die roten Blutkörperchen zu geldrollenartigen Stapeln zusammen, und die Viskosität steigt auf ein Vielfaches an. Bei großen Scherraten lösen sich diese Stapel auf, und die Viskosität strebt gegen einen Grenzwert von etwa 3,5 mPa·s. Entscheidend ist also die Scherrate. An der Wand des gesunden Modellgefäßes beträgt sie nach der Poiseuille-Lösung

&lt;math&gt;\dot\gamma_w = \frac{4\,U_0}{R_0} = \frac{4 \cdot 0{,}2122\ \mathrm{m/s}}{0{,}003\ \mathrm{m}} \approx 283\ \mathrm{s^{-1}}&lt;/math&gt;

und liegt damit oberhalb von etwa 100 pro Sekunde, wo sich Newtonsches und nicht Newtonsches Modell nach der Literatur nur noch wenig unterscheiden.&lt;ref name=&quot;boyd&quot;&gt;Die Grenze von etwa 100 s&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt; wird in vergleichenden Studien zur Blutrheologie verwendet, etwa bei Bernabeu, M. O. u. a.: ''Impact of blood rheology on wall shear stress in a model of the middle cerebral artery.'' Interface Focus 3 (2013), 20120094. &lt;!-- FIXME Zitat und Seitenangabe am Original pruefen --&gt;&lt;/ref&gt; In der Engstelle steigt die Scherrate weiter an, beim Stenosegrad 0,5 auf rund 2260 pro Sekunde. Schwach ist die Näherung dort, wo die Scherrate klein wird, also in der Mitte des Gefäßes und vor allem im Rückströmgebiet hinter der Stenose. Dort ist reales Blut zäher als angenommen. Dieser Punkt wird in den Schlussfolgerungen wieder aufgegriffen.

Die '''stationäre Strömung''' ist die stärkste Vereinfachung. Wie wichtig die Pulsation ist, misst die Womersley-Zahl, die das Verhältnis von instationärer Trägheit zu Reibung angibt. Mit einer Herzfrequenz von 60 Schlägen je Minute, also einer Kreisfrequenz &lt;math&gt;\omega = 2\pi\ \mathrm{s^{-1}}&lt;/math&gt;, ergibt sich

&lt;math&gt;\alpha = R_0 \sqrt{\frac{\omega \rho}{\mu}} = 0{,}003\ \mathrm{m} \cdot \sqrt{\frac{2\pi\ \mathrm{s^{-1}} \cdot 1060\ \mathrm{kg/m^3}}{0{,}0035\ \mathrm{Pa\,s}}} \approx 4{,}1 .&lt;/math&gt;

Ein Wert in dieser Größenordnung bedeutet, dass das reale Geschwindigkeitsprofil im Herzzyklus merklich von der Parabel abweicht.&lt;ref name=&quot;womersley&quot;&gt;Womersley, J. R.: ''Method for the calculation of velocity, rate of flow and viscous drag in arteries when the pressure gradient is known.'' Journal of Physiology 127 (1955), S. 553-563.&lt;/ref&gt; Hinzu kommt, dass der Volumenstrom in der Systole kurzzeitig auf rund das Vierfache des Mittelwerts steigt.&lt;ref name=&quot;holdsworth&quot;&gt;Holdsworth, D. W.; Norley, C. J. D.; Frayne, R.; Steinman, D. A.; Rutt, B. K.: ''Characterization of common carotid artery blood-flow waveforms in normal human subjects.'' Physiological Measurement 20 (1999), Nr. 3, S. 219-240. DOI 10.1088/0967-3334/20/3/301. Angegeben werden ein mittlerer Volumenstrom von 6,0 ± 1,4 ml/s und ein systolischer Spitzenwert von 23,5 ± 3,8 ml/s. &lt;!-- FIXME Zahlenwerte und Probandenzahl am Original pruefen --&gt;&lt;/ref&gt; Die stationäre Rechnung mit dem Mittelwert beschreibt deshalb nicht den zeitlichen Verlauf, wohl aber den zeitlich gemittelten Zustand, an dem sich der Einfluss des Stenosegrades sauber vergleichen lässt.

Die '''laminare Strömung''' wird über die Reynoldszahl begründet. Sie beträgt im gesunden Gefäß 386 und liegt damit weit unter dem Wert von etwa 2300, ab dem die Strömung in einem geraden Rohr in den Übergangsbereich gelangen kann. In der Engstelle steigt sie bei festem Volumenstrom auf &lt;math&gt;Re_0/(1-s)&lt;/math&gt;, also auf 551 beim Stenosegrad 0,3, auf 964 beim Grad 0,6 und auf 1928 beim Grad 0,8. Für den Strahl hinter einer Engstelle ist der Umschlagbereich allerdings deutlich niedriger als im geraden Rohr. Direkte numerische Simulationen an genau der in diesem Projekt verwendeten Stenosegeometrie zeigen, dass die Strömung bei einer Einström-Reynoldszahl von 500 auch bei leichter Unsymmetrie laminar bleibt, bei 1000 dagegen schon eine Exzentrizität von fünf Prozent des Durchmessers genügt, um den Strahl in lokal turbulente Strömung umschlagen zu lassen.&lt;ref name=&quot;varghese&quot;&gt;Varghese, S. S.; Frankel, S. H.; Fischer, P. F.: ''Direct numerical simulation of stenotic flows. Part 1. Steady flow.'' Journal of Fluid Mechanics 582 (2007), S. 253-280. Untersucht wird eine kosinusförmige Stenose der Länge 2D mit 75 % Flächenreduktion, die mit der Geometrie dieses Projekts beim Stenosegrad 0,5 übereinstimmt. &lt;!-- FIXME Band und Seiten am Original pruefen --&gt;&lt;/ref&gt; Mit einer Einström-Reynoldszahl von 386 liegt das Projekt für die leicht- und mittelgradigen Stenosen sicher im laminaren Bereich. Für die hochgradigen Stenosen ab 0,7 ist ein laminares, stationäres Modell dagegen nur noch eine Näherung, die eine Obergrenze der geordneten Strömung beschreibt. Diese Fälle werden deshalb als Grenzfall des Modells gekennzeichnet.

Die '''starre Wand''' lässt sich über Messungen abschätzen. Der Durchmesser der gemeinsamen Halsschlagader ändert sich im Herzzyklus bei jungen Menschen um etwa 12 bis 14 Prozent und bei älteren Menschen um etwa 5 Prozent.&lt;ref name=&quot;hansen&quot;&gt;Hansen, F.; Mangell, P.; Sonesson, B.; Länne, T.: ''Diameter and compliance in the human common carotid artery: variations with age and sex.'' Ultrasound in Medicine and Biology 21 (1995), Nr. 1, S. 1-9. DOI 10.1016/0301-5629(94)00090-5.&lt;/ref&gt; Diese Bewegung ist eine Folge der Pulsation. In einer stationären Rechnung gibt es keine Druckschwankung, die die Wand periodisch aufweiten könnte, sodass die starre Wand zur stationären Annahme konsistent ist. Eine verkalkte Plaque ist ohnehin deutlich steifer als die gesunde Wand.

Die Annahme des '''eingeprägten Volumenstroms''' wird im Abschnitt zu den Randbedingungen begründet, weil sie sich nur im Zusammenhang mit dem Kreislauf beurteilen lässt.

== Simulationsgebiet und Geometrie ==

Die Gefäßachse ist die z-Achse, der Ursprung liegt in der Mitte der Stenose, und &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; bezeichnet den Abstand von der Achse. Das Rechengebiet reicht von &lt;math&gt;z = -L_u&lt;/math&gt; bis &lt;math&gt;z = L_d&lt;/math&gt; und wird radial von der Wandkontur &lt;math&gt;R(z)&lt;/math&gt; begrenzt. Die Verengung wird über eine einzige glatte Funktion beschrieben,

&lt;math&gt;R(z) = R_0 \left[ 1 - \frac{s}{2}\left(1 + \cos\frac{2\pi z}{L_s}\right)\right] \quad \text{falls } |z| \le \frac{L_s}{2}, \qquad R(z) = R_0 \ \text{sonst.}&lt;/math&gt;

Die Funktion hat drei Eigenschaften, die ihre Wahl begründen. Sie wird erstens über einen einzigen Parameter gesteuert, den Stenosegrad &lt;math&gt;s&lt;/math&gt;. Der engste Radius in der Mitte beträgt &lt;math&gt;R(0) = R_0(1-s)&lt;/math&gt;, und der Fall ohne Verengung ist einfach der Fall &lt;math&gt;s = 0&lt;/math&gt;. Die gesamte Vergleichsreihe entsteht damit aus einem einzigen parametrischen Sweep. Sie geht zweitens an beiden Enden der Störstelle ohne Knick in das gerade Rohr über. Bei &lt;math&gt;z = \pm L_s/2&lt;/math&gt; ist der Kosinus gleich minus eins, die Klammer also null, und seine Ableitung verschwindet dort ebenfalls. Das ist nicht nur ästhetisch, sondern numerisch notwendig, denn ein Knick in der Wand erzeugt eine Singularität der Wandschubspannung, deren berechneter Wert mit jeder Netzverfeinerung weiter wüchse. Eine Netzstudie wäre dann sinnlos. Sie ist drittens die in der Literatur gebräuchliche Standardgeometrie für Stenosen, sodass sich die Ergebnisse unmittelbar mit veröffentlichten Rechnungen vergleichen lassen.&lt;ref name=&quot;varghese&quot; /&gt;

[[Datei:Stenose Gruppe5 Wandkontur.svg|mini|zentriert|800px|Wandkontur &lt;math&gt;R(z)&lt;/math&gt; für die untersuchten Stenosegrade. Die Darstellung ist in radialer Richtung gestreckt, das Rechengebiet ist in Wirklichkeit fünfundzwanzigmal länger als breit.]]
&lt;!-- FIXME Abbildung mit abbildungen_graph_1d.m fuer s = 0 bis 0,8 neu erzeugen, bisher nur bis 0,5 --&gt;

Die Abmessungen des Rechengebiets werden alle aus dem Gefäßradius abgeleitet. Das hat den Vorteil, dass sich das gesamte Modell durch Ändern eines einzigen Wertes auf ein anderes Gefäß übertragen lässt. Die einzelnen Längen werden im Folgenden Schritt für Schritt begründet.

# Der '''Gefäßradius''' &lt;math&gt;R_0 = 3\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; folgt aus Ultraschallmessungen an gesunden Erwachsenen. Dort wurden für die gemeinsame Halsschlagader mittlere Durchmesser von 6,10 ± 0,80 mm bei Frauen und 6,52 ± 0,98 mm bei Männern gemessen.&lt;ref name=&quot;krejza&quot;&gt;Krejza, J.; Arkuszewski, M.; Kasner, S. E.; Weigele, J.; Ustymowicz, A.; Hurst, R. W.; Cucchiara, B. L.; Messe, S. R.: ''Carotid artery diameter in men and women and the relation to body and neck size.'' Stroke 37 (2006), Nr. 4, S. 1103-1105. DOI 10.1161/01.STR.0000206440.48756.f7.&lt;/ref&gt; Der gewählte Durchmesser von &lt;math&gt;D_0 = 6\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; liegt damit innerhalb einer Standardabweichung beider Gruppen und ist bewusst auf einen runden Wert gesetzt, damit alle abgeleiteten Längen glatte Zahlen ergeben.
# Die '''Länge der Störstelle''' &lt;math&gt;L_s = 2 D_0 = 12\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; entspricht der Standardgeometrie aus der Literatur, die eine Stenosenlänge von zwei Durchmessern verwendet.&lt;ref name=&quot;varghese&quot; /&gt; Damit ist beim Stenosegrad 0,5 ein direkter Vergleich mit veröffentlichten Ergebnissen möglich.
# Die '''Vorlaufstrecke''' &lt;math&gt;L_u = 5 D_0 = 30\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; trennt den Einlass von der Stenose. Da am Einlass bereits das voll entwickelte Profil vorgegeben wird, muss sie nicht die Einlaufstrecke abdecken, sondern nur verhindern, dass die Einströmrandbedingung die Strömung an der Engstelle beeinflusst. Bei Reynoldszahlen in dieser Größenordnung reicht der Einfluss einer Verengung nur wenige Durchmesser stromaufwärts, die Literatur kommt für dieselbe Geometrie mit drei Durchmessern Vorlauf aus.&lt;ref name=&quot;varghese&quot; /&gt; Fünf Durchmesser lassen also eine Reserve. Überprüft wird das im Ergebnis, indem die Geschwindigkeit auf der Achse in der Mitte der Vorlaufstrecke mit dem Sollwert &lt;math&gt;2U_0&lt;/math&gt; verglichen wird.
# Die '''Nachlaufstrecke''' &lt;math&gt;L_d = 20 D_0 = 120\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; ist deutlich länger, weil sich hinter der Engstelle ein Rückströmgebiet bildet, das nicht auf den Auslass treffen darf. Für die Geometrie mit dem Stenosegrad 0,5 legt die Strömung bei einer Einström-Reynoldszahl von 500 erst etwa zehn Durchmesser hinter der Engstelle wieder an, die Literatur rechnet mit sechzehn Durchmessern Nachlauf.&lt;ref name=&quot;varghese&quot; /&gt; Zwanzig Durchmesser bieten damit für alle Stenosegrade bis 0,5 einen Sicherheitsabstand. Für die Grade ab 0,6 ist ein längeres Rückströmgebiet zu erwarten, dort wird die Lage des Wiederanlegepunktes ausdrücklich kontrolliert.
# Das '''Ende des fein vernetzten Nachlaufs''' &lt;math&gt;L_f = L_s/2 + 10 D_0 = 66\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; legt fest, bis wohin das Netz verfeinert wird. Der Wert ist so gewählt, dass das erwartete Rückströmgebiet von etwa zehn Durchmessern vollständig im feinen Bereich liegt.

Damit hat das Rechengebiet eine Gesamtlänge von &lt;math&gt;L = L_u + L_d = 150\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt;, also das Fünfundzwanzigfache des Durchmessers. Es ist ein Modellgebiet und kein maßstäbliches Abbild eines bestimmten anatomischen Abschnitts.

== Stoff- und Strömungsparameter ==

Die Stoffwerte des Blutes und der Volumenstrom sind die einzigen Eingangsgrößen, die nicht aus der Geometrie folgen. Aus ihnen werden alle weiteren Strömungskennwerte berechnet. Die folgenden Schritte zeigen jede Rechnung einzeln, damit sich jeder Wert nachprüfen lässt.

# Die '''Dichte''' wird mit &lt;math&gt;\rho = 1060\ \mathrm{kg/m^3}&lt;/math&gt; angesetzt. Der Wert lässt sich als Mischungsregel plausibel machen. Plasma hat eine Dichte von etwa 1025 kg/m³, rote Blutkörperchen von etwa 1100 kg/m³. Bei einem Zellanteil von 45 % ergibt sich &lt;math&gt;0{,}55 \cdot 1025 + 0{,}45 \cdot 1100 \approx 1059\ \mathrm{kg/m^3}&lt;/math&gt;. Die Dichte geht nur über die Reynoldszahl in die Rechnung ein, eine Abweichung von einem Prozent ändert die Ergebnisse daher kaum. &lt;!-- FIXME Lehrbuchquelle fuer Plasma- und Erythrozytendichte ergaenzen --&gt;
# Die '''dynamische Viskosität''' wird mit &lt;math&gt;\mu = 3{,}5\ \mathrm{mPa\,s}&lt;/math&gt; angesetzt. Das ist der Grenzwert der Blutviskosität bei hohen Scherraten, also genau der Wert, der zur Newtonschen Näherung gehört. Derselbe Wert von 0,035 Poise wird auch im Standardwerk zur Modellierung des Herz-Kreislauf-Systems verwendet.&lt;ref name=&quot;quarteroni&quot;&gt;Quarteroni, A.; Formaggia, L.: ''Mathematical Modelling and Numerical Simulation of the Cardiovascular System.'' In: Ayache, N. (Hrsg.): ''Computational Models for the Human Body.'' Handbook of Numerical Analysis, Bd. XII, Elsevier, Amsterdam 2004, S. 3-127. DOI 10.1016/S1570-8659(03)12001-7. Zur Newtonschen Näherung in großen Gefäßen siehe S. 30, zur Viskosität von 0,035 Poise die Parametertabelle auf S. 116.&lt;/ref&gt;
# Der '''mittlere Volumenstrom''' wird mit &lt;math&gt;Q_0 = 6\ \mathrm{ml/s}&lt;/math&gt; angesetzt. Das ist der zeitlich gemittelte Volumenstrom, der in der gemeinsamen Halsschlagader gesunder Probanden gemessen wurde.&lt;ref name=&quot;holdsworth&quot; /&gt;
# Die '''mittlere Geschwindigkeit''' folgt aus Volumenstrom und Querschnittsfläche, &lt;math&gt;U_0 = \frac{Q_0}{\pi R_0^2} = \frac{6 \cdot 10^{-6}\ \mathrm{m^3/s}}{\pi \cdot (0{,}003\ \mathrm{m})^2} = 0{,}2122\ \mathrm{m/s}&lt;/math&gt;.
# Die '''Reynoldszahl''' des gesunden Gefäßes ist &lt;math&gt;Re_0 = \frac{\rho\, U_0\, D_0}{\mu} = \frac{1060 \cdot 0{,}2122 \cdot 0{,}006}{0{,}0035} = 385{,}6&lt;/math&gt;. Sie wird im Folgenden auf 386 gerundet.
# Die '''Einlauflänge''', die eine anfangs gleichförmige Strömung bis zum voll entwickelten Parabelprofil bräuchte, beträgt nach der gebräuchlichen Abschätzung für laminare Rohrströmungen &lt;math&gt;L_e \approx 0{,}06\, Re_0\, D_0 \approx 0{,}06 \cdot 386 \cdot 6\ \mathrm{mm} \approx 139\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt;.&lt;ref name=&quot;durst&quot;&gt;Durst, F.; Ray, S.; Ünsal, B.; Bayoumi, O. A.: ''The development lengths of laminar pipe and channel flows.'' Journal of Fluids Engineering 127 (2005), Nr. 6, S. 1154-1160. Für große Reynoldszahlen nähert sich die dort angegebene Korrelation dem Wert 0,057·Re·D.&lt;/ref&gt; Das ist fast die gesamte Länge des Rechengebiets. Ein konstantes Einlassprofil würde die Strömung an der Stenose also verfälschen, weshalb am Einlass das voll entwickelte Profil vorgegeben wird.

Damit liegen alle globalen Parameter fest. Die folgende Tabelle enthält sie mit genau den Namen, unter denen sie in COMSOL und in den Octave-Skripten verwendet werden.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Globale Parameter des Modells
! Name !! Ausdruck in COMSOL !! Wert !! Bedeutung !! Herkunft
|-
| R0 || 3[mm] || 3 mm || Gefäßradius || Messwerte nach Krejza u. a. 2006, gerundet
|-
| D0 || 2*R0 || 6 mm || Gefäßdurchmesser || abgeleitet
|-
| Ls || 2*D0 || 12 mm || Länge der Störstelle || Standardgeometrie nach Varghese u. a. 2007
|-
| Lu || 5*D0 || 30 mm || Vorlaufstrecke vor der Stenosemitte || Abstand der Einlassbedingung von der Stenose
|-
| Ld || 20*D0 || 120 mm || Nachlaufstrecke hinter der Stenosemitte || Platz für das Rückströmgebiet
|-
| Lf || Ls/2+10*D0 || 66 mm || Ende des fein vernetzten Nachlaufs || erwartete Länge des Rückströmgebiets
|-
| s || 0 bis 0.8 || 0 bis 0,8 || Stenosegrad bezogen auf den Durchmesser || NASCET-Einteilung
|-
| rho_b || 1060[kg/m^3] || 1060 kg/m³ || Dichte des Blutes || Mischungsregel, Literaturwert
|-
| mu_b || 3.5[mPa*s] || 3,5 mPa·s || dynamische Viskosität des Blutes || Hochscherwert, Quarteroni und Formaggia 2004
|-
| Q0 || 6[ml/s] || 6 ml/s || mittlerer Volumenstrom || Messwerte nach Holdsworth u. a. 1999
|-
| U0 || Q0/(pi*R0^2) || 0,2122 m/s || mittlere Einströmgeschwindigkeit || abgeleitet
|-
| Re0 || rho_b*U0*D0/mu_b || 385,6 || Reynoldszahl des gesunden Gefäßes || abgeleitet
|-
| dp_ref || 8*mu_b*U0*(Lu+Ld)/R0^2 || 99,03 Pa || Poiseuille-Druckabfall des gesunden Gefäßes || abgeleitet, Hagen-Poiseuille
|}


= Literaturverzeichnis =

Alle Quellen sind an den Stellen im Text angegeben, an denen die zugehörigen Werte oder Aussagen verwendet werden. Die Liste wird aus diesen Angaben automatisch erzeugt.

&lt;references /&gt;</text>
      <sha1>six0879omw3m02egy3xgz2wfcpqavoi</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>1115866</id>
      <parentid>1115865</parentid>
      <timestamp>2026-10-12T15:00:04Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Heitele</username>
        <id>38553</id>
      </contributor>
      <comment>/* Relevanz */</comment>
      <origin>1115866</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="30687" sha1="i16vqh7e3fps1cxld4sgqz52qltgz2k" xml:space="preserve">= Gruppenteilnehmer =
* Joey Becker
* Marie-Thérèse Heitele
* Nicole Pander

=Implementierung in COMSOL=

= Thema und Fragestellung =

Gegenstand dieses Projekts ist die numerische Simulation einer lokalen Gefäßverengung, die in der Medizin als ''Stenose'' bezeichnet wird. Als Anwendungsfall dient ein gerader Abschnitt der ''Arteria carotis communis'', der gemeinsamen Halsschlagader. Um den Einfluss der Verengung möglichst isoliert untersuchen zu können, wird die reale Gefäßgeometrie bewusst vereinfacht. Gefäßkrümmungen, Verzweigungen und patientenspezifische anatomische Strukturen werden nicht berücksichtigt. Stattdessen wird ein gerades, idealisiertes Gefäß mit einer rotationssymmetrischen Stenose untersucht. Im ebenen Vergleichsmodell erscheint dieselbe Verengung als symmetrische Einschnürung eines Kanals.

Als Referenz dient ein gesundes, unverengtes Gefäß, in dem sich die Poiseuille-Strömung mit ihrem charakteristischen parabolischen Geschwindigkeitsprofil ausbildet. Diese Strömung ist aus zwei Gründen der natürliche Ausgangspunkt. Sie beschreibt den physiologischen Normalfall, mit dem jeder Stenosegrad verglichen wird, und sie ist exakt lösbar, sodass sich an ihr jede numerische Rechnung prüfen lässt, bevor die Verengung hinzukommt.

== Fragestellung ==

Wie verändert eine rotationssymmetrische Stenose die stationäre Strömung eines inkompressiblen Newtonschen Fluids in einem idealisierten Abschnitt der Arteria carotis communis hinsichtlich Geschwindigkeitsverteilung, Druckverteilung, Wandschubspannung und Strömungsmuster, und wie entwickeln sich diese Größen mit zunehmendem Stenosegrad im Vergleich zu einem gesunden Gefäß?

Aus dieser Fragestellung ergeben sich drei Teilfragen, an denen sich der Aufbau der Seite orientiert.

# Welche Strömungsgrößen reagieren empfindlich auf den Stenosegrad und welche nur träge?
# Ab welchem Stenosegrad ändert sich das Strömungsmuster qualitativ, das heißt, ab wann löst die Strömung hinter der Engstelle von der Wand ab und bildet ein Rückströmgebiet?
# Wie weit tragen die vereinfachenden Modellannahmen, insbesondere die Annahme einer stationären und laminaren Strömung, über den untersuchten Bereich der Stenosegrade?

= Relevanz =

Die Untersuchung von Gefäßverengungen besitzt eine medizinische und eine methodische Bedeutung. Beide werden im Folgenden getrennt begründet, weil sie unterschiedliche Anforderungen an das Modell stellen. Die medizinische Fragestellung verlangt realistische Zahlenwerte, die methodische Fragestellung verlangt nachprüfbare Rechnungen.

== Medizinische Relevanz ==

Arterielle Stenosen entstehen überwiegend durch Atherosklerose, also durch Ablagerungen aus Lipiden, Bindegewebe und Kalk in der Gefäßwand. In der Halsschlagader sind sie klinisch besonders bedeutsam, weil sie die Durchblutung des Gehirns beeinträchtigen und weil sich an ihnen Thromben bilden können, die als Embolie einen Schlaganfall auslösen. Dass die operative Entfernung einer hochgradigen Karotisstenose das Schlaganfallrisiko symptomatischer Patienten deutlich senkt, hat die NASCET-Studie gezeigt, deren Einteilung der Stenosegrade dieses Projekt übernimmt.&lt;ref name=&quot;nascet&quot;&gt;North American Symptomatic Carotid Endarterectomy Trial Collaborators: ''Beneficial effect of carotid endarterectomy in symptomatic patients with high-grade carotid stenosis.'' New England Journal of Medicine 325 (1991), Nr. 7, S. 445-453.&lt;/ref&gt;

Strömungsmechanisch ist an einer Stenose vor allem die Wandschubspannung von Interesse, also die tangentiale Kraft je Fläche, die das strömende Blut auf die innerste Zellschicht der Gefäßwand ausübt. Gesunde Halsschlagadern weisen zeitlich gemittelte Werte von etwa 1,1 bis 1,5 Pa auf.&lt;ref name=&quot;samijo&quot;&gt;Samijo, S. K.; Willigers, J. M.; Barkhuysen, R.; Kitslaar, P. J. E. H. M.; Reneman, R. S.; Brands, P. J.; Hoeks, A. P. G.: ''Wall shear stress in the human common carotid artery as function of age and gender.'' Cardiovascular Research 39 (1998), Nr. 2, S. 515-522.&lt;/ref&gt; In einer Engstelle steigt sie stark an, unmittelbar dahinter fällt sie im Ablösegebiet auf nahezu null und wechselt dort sogar das Vorzeichen. Niedrige und im Vorzeichen wechselnde Wandschubspannungen gelten als Bedingungen, unter denen sich weitere Ablagerungen bevorzugt bilden. Eine bestehende Stenose schafft also stromabwärts die Voraussetzungen für ihr eigenes Wachstum. Genau diese Verteilung lässt sich im Körper nur schwer messen, in einer Simulation dagegen unmittelbar auswerten.

== Methodische Relevanz ==

Fachlich überträgt das Projekt die Prinzipien der Strömungsmechanik aus der Vorlesung auf eine biomedizinische Anwendung.&lt;ref name=&quot;hundertmark&quot;&gt;Hundertmark, A.: ''Fluiddynamik.'' Vorlesungsunterlagen zum Modul Räumliche Modellbildung, RPTU Kaiserslautern-Landau, Sommersemester 2026.&lt;/ref&gt; Der methodische Mehrwert liegt in der Verknüpfung mehrerer Zugänge, die sich gegenseitig kontrollieren. Die analytische Poiseuille-Lösung liefert exakte Sollwerte für das gesunde Gefäß. Ein reduziertes Graphenmodell liefert für jeden Stenosegrad eine schnelle Abschätzung, die analytisch nachrechenbar ist. Die Simulationen in COMSOL Multiphysics lösen schließlich die vollständigen Navier-Stokes-Gleichungen in zwei und drei Raumdimensionen. Weil jede Stufe die Sollwerte der nächsten liefert, zeigt das Projekt nicht nur Ergebnisse, sondern auch, wie numerische Modelle aufgebaut, verifiziert und an ihren Grenzen bewertet werden.

== Auswahl der Stenosegrade ==

Um die untersuchten Gefäßverengungen nicht willkürlich festzulegen, orientiert sich die Auswahl der Stenosegrade an der klinisch gebräuchlichen NASCET-Klassifikation von Karotisstenosen.&lt;ref name=&quot;nascet&quot; /&gt; Sie teilt Stenosen nach ihrer Durchmesserreduktion in drei Schweregrade ein, ein vollständiger Gefäßverschluss wird als Okklusion bezeichnet.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Schweregrade nach NASCET und ihre Abdeckung im Projekt
! Schweregrad !! Durchmesserreduktion !! im Projekt gerechnete Stenosegrade !! hervorgehobener Vertreter
|-
| gesundes Gefäß || 0 % || 0 || 0
|-
| leichtgradige Stenose || unter 50 % || 0,1 bis 0,4 || 0,3
|-
| mittelgradige Stenose || 50 bis 69 % || 0,5 und 0,6 || 0,6
|-
| hochgradige Stenose || 70 bis 99 % || 0,7 und 0,8 || 0,8
|-
| Okklusion || 100 % || nicht gerechnet || entfällt
|}

Für die numerische Untersuchung wird aus jeder Kategorie ein repräsentativer Stenosegrad hervorgehoben. Neben dem gesunden Gefäß mit '''0 %''' Stenose sind das eine '''30 %''' Stenose als Beispiel für eine leichtgradige, eine '''60 %''' Stenose als Beispiel für eine mittelgradige und eine '''80 %''' Stenose als Beispiel für eine hochgradige Verengung. Zusätzlich werden im Graphenmodell und im achsensymmetrischen Flächenmodell alle Zwischenwerte in Schritten von zehn Prozentpunkten gerechnet. Das kostet in diesen beiden Modellen nur Sekunden, liefert aber glatte Verläufe über dem Stenosegrad und macht sichtbar, ab welchem Grad sich das Verhalten der Strömung ändert. Ein vollständiger Gefäßverschluss wird nicht simuliert, da in diesem Fall keine durchgängige Strömung mehr vorliegt.

Der Stenosegrad wird in diesem Projekt wie bei NASCET über die Verringerung des Gefäßdurchmessers beschrieben,

&lt;math&gt;s = 1 - \frac{d_{\min}}{d_{\mathrm{ref}}},&lt;/math&gt;

wobei &lt;math&gt;d_{\min}&lt;/math&gt; der kleinste Durchmesser in der Engstelle und &lt;math&gt;d_{\mathrm{ref}}&lt;/math&gt; ein Referenzdurchmesser ist. NASCET verwendet als Referenz den Durchmesser des gesunden Gefäßes stromabwärts der Stenose. Im idealisierten Modell hat das Gefäß vor und hinter der Engstelle denselben Durchmesser &lt;math&gt;D_0&lt;/math&gt;, sodass &lt;math&gt;d_{\mathrm{ref}} = D_0&lt;/math&gt; gilt und die NASCET-Definition mit allen anderen gebräuchlichen Durchmesserdefinitionen zusammenfällt.

Wichtig für das Verständnis aller weiteren Ergebnisse ist der Unterschied zwischen Durchmesser- und Flächenreduktion. Da die Querschnittsfläche quadratisch vom Durchmesser abhängt, gilt für die Flächenreduktion &lt;math&gt;1-(1-s)^2&lt;/math&gt;. Eine im klinischen Sinn nur mittelgradige Stenose von 60 % verschließt damit bereits 84 % der Querschnittsfläche.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Durchmesser- und Flächenreduktion der gerechneten Stenosegrade
! Stenosegrad s !! 0 !! 0,1 !! 0,2 !! 0,3 !! 0,4 !! 0,5 !! 0,6 !! 0,7 !! 0,8
|-
| engster Durchmesser in mm || 6,0 || 5,4 || 4,8 || 4,2 || 3,6 || 3,0 || 2,4 || 1,8 || 1,2
|-
| Flächenreduktion || 0 % || 19 % || 36 % || 51 % || 64 % || 75 % || 84 % || 91 % || 96 %
|}

Zwei Einschränkungen gehören zur ehrlichen Einordnung. Erstens ist die NASCET-Klassifikation für Stenosen der ''Arteria carotis interna'' entwickelt worden, also des Astes hinter der Gabelung, während hier ein gerader Abschnitt der ''Arteria carotis communis'' modelliert wird. Die Klassifikation dient im Projekt deshalb als Orientierung für sinnvolle Abstufungen und nicht als diagnostische Aussage. Zweitens zeigt sich im Abschnitt zur Modellierung, dass die Annahme einer stationären, laminaren Strömung ab einem Stenosegrad von etwa 0,6 an ihre Grenzen stößt. Die hochgradigen Fälle werden deshalb zwar gerechnet, ihre Ergebnisse aber ausdrücklich als Grenzfall des Modells diskutiert.

= Modellierung =

Modellierung bedeutet hier, die reale Situation in eine mathematische Aufgabe zu übersetzen, die sich lösen lässt. Dazu gehören vier Bausteine, nämlich das Rechengebiet, die Gleichungen, die Zahlenwerte der Parameter und die Bedingungen an den Rändern. Jeder dieser Bausteine beruht auf Annahmen, und jede Annahme muss begründet werden. Dieser Abschnitt geht die Bausteine deshalb der Reihe nach durch und nennt bei jedem Zahlenwert, woher er stammt und warum er sinnvoll ist.

== Modellhierarchie ==

Das Projekt rechnet nicht ein einziges Modell, sondern vier aufeinander aufbauende Modellvarianten. Sie entsprechen der Kursanforderung, eine Strömung als Graph, in zwei und in drei Raumdimensionen darzustellen, und sie sind bewusst von einfach nach aufwendig geordnet.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Die vier Modellvarianten des Projekts
! Modell !! Raumdimension !! gelöste Gleichung !! Zweck !! Werkzeug
|-
| Graphenmodell || 1D, Gefäßachse || Hagen-Poiseuille je Rohrstück und Massenerhaltung in jedem Knoten || schnelle, analytisch nachrechenbare Abschätzung für jeden Stenosegrad || Octave und COMSOL (Koeffizientenform-PDGL)
|-
| achsensymmetrisches Flächenmodell || 2D, Halbschnitt in r und z || vollständige stationäre Navier-Stokes-Gleichungen in Zylinderkoordinaten || Hauptmodell, liefert alle Feldgrößen des rotationssymmetrischen Rohres || COMSOL, Laminare Strömung
|-
| ebenes Flächenmodell || 2D, Halbschnitt in x und y || vollständige stationäre Navier-Stokes-Gleichungen in kartesischen Koordinaten || Vergleich, zeigt den Einfluss der zweiten Querschnittsrichtung || COMSOL, Laminare Strömung
|-
| Volumenmodell || 3D || vollständige stationäre Navier-Stokes-Gleichungen || Kontrolle des Hauptmodells und räumliche Darstellung || COMSOL, Laminare Strömung
|}

Die Reihenfolge folgt einem einfachen Prinzip. Jede Stufe liefert die Sollwerte, an denen die nächste, komplexere Stufe geprüft wird. Das Graphenmodell muss im gesunden Fall exakt die Poiseuille-Lösung ergeben. Das achsensymmetrische Modell muss im gesunden Fall dieselben Werte liefern und bei Stenose für Geschwindigkeit und Wandschubspannung in der Nähe des Graphenmodells liegen. Das Volumenmodell muss, weil die Geometrie rotationssymmetrisch ist, mit dem achsensymmetrischen Modell übereinstimmen.

== Modellannahmen ==

Um den Einfluss des Stenosegrades möglichst isoliert zu untersuchen, werden die folgenden Modellannahmen getroffen. Die Tabelle nennt zu jeder Annahme ihre mathematische Form, die Begründung und die Stelle, an der sie im Projekt überprüft wird.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Modellannahmen, ihre Begründung und ihre Überprüfung
! Annahme !! mathematische Form !! Begründung !! Überprüfung
|-
| Idealisierte Gefäßgeometrie || gerades Rohr mit kosinusförmiger, rotationssymmetrischer Verengung || isoliert die Wirkung des Stenosegrades von Krümmung, Verzweigung und Plaqueform || Diskussion in den Schlussfolgerungen
|-
| Starre Gefäßwand || Wand ortsfest, keine Fluid-Struktur-Kopplung || im stationären Fall gibt es keine Druckschwankung, die die Wand periodisch aufweiten könnte || Abschätzung über die gemessene Durchmesseränderung im Herzzyklus
|-
| Stationäre Strömung || &lt;math&gt;\partial \mathbf{u}/\partial t = \mathbf{0}&lt;/math&gt; || der Einfluss des Stenosegrades soll ohne Überlagerung durch die Pulsation sichtbar werden || Abschätzung über die Womersley-Zahl
|-
| Inkompressibles Fluid || &lt;math&gt;\rho = \mathrm{const}&lt;/math&gt;, damit &lt;math&gt;\nabla\cdot\mathbf{u} = 0&lt;/math&gt; || Blut ist eine Flüssigkeit, Druckänderungen von wenigen hundert Pascal ändern die Dichte nicht messbar || Massenerhaltung in fünf Querschnitten
|-
| Newtonsche Näherung || konstante Viskosität &lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt; || die Scherraten an der Wand und im größten Teil des Querschnitts liegen über dem Bereich, in dem Blut deutlich scherverdünnend wirkt || Scherrate an der Wand, Diskussion des Rückströmgebiets
|-
| Konstante Stoffeigenschaften || &lt;math&gt;\rho&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt; räumlich und zeitlich konstant || Körpertemperatur ist im betrachteten Abschnitt konstant || entfällt
|-
| Laminare Strömung || kein Turbulenzmodell, Schnittstelle Laminare Strömung || Reynoldszahl des gesunden Gefäßes von 386 liegt weit unter dem Umschlagbereich || Reynoldszahl in der Engstelle, Literaturvergleich
|-
| Haftbedingung an der Wand || &lt;math&gt;\mathbf{u} = \mathbf{0}&lt;/math&gt; auf der Wand || Folge der Viskosität, das Fluid haftet an der Wand || Grundlage jeder Wandschubspannung
|-
| Vernachlässigung der Gravitation || keine Volumenkraft || bei konstanter Dichte lässt sich die Schwerkraft vollständig in einen hydrostatischen Druckanteil verschieben und beeinflusst die Geschwindigkeit nicht || Begründung in den Mathematischen Hintergründen
|-
| Voll entwickelte Einströmung || parabolisches Profil am Einlass || die natürliche Einlaufstrecke wäre mit rund 139 mm fast so lang wie das ganze Rechengebiet || Scheitelgeschwindigkeit im gesunden Fall
|-
| Eingeprägter Volumenstrom || &lt;math&gt;Q = Q_0&lt;/math&gt; am Einlass || der Strömungswiderstand des Abschnitts ist klein gegenüber dem des nachgeschalteten Gefäßbetts || Abschätzung mit einem Reihenwiderstand
|}

Einige dieser Annahmen sind unmittelbar einsichtig, andere verdienen eine genauere Begründung, weil von ihnen die Aussagekraft der Ergebnisse abhängt.

Die '''Newtonsche Näherung''' ist die Annahme, die bei Blut am häufigsten hinterfragt wird. Reales Blut ist eine Suspension aus Plasma und Blutzellen und verhält sich scherverdünnend. Bei kleinen Scherraten lagern sich die roten Blutkörperchen zu geldrollenartigen Stapeln zusammen, und die Viskosität steigt auf ein Vielfaches an. Bei großen Scherraten lösen sich diese Stapel auf, und die Viskosität strebt gegen einen Grenzwert von etwa 3,5 mPa·s. Entscheidend ist also die Scherrate. An der Wand des gesunden Modellgefäßes beträgt sie nach der Poiseuille-Lösung

&lt;math&gt;\dot\gamma_w = \frac{4\,U_0}{R_0} = \frac{4 \cdot 0{,}2122\ \mathrm{m/s}}{0{,}003\ \mathrm{m}} \approx 283\ \mathrm{s^{-1}}&lt;/math&gt;

und liegt damit oberhalb von etwa 100 pro Sekunde, wo sich Newtonsches und nicht Newtonsches Modell nach der Literatur nur noch wenig unterscheiden.&lt;ref name=&quot;boyd&quot;&gt;Die Grenze von etwa 100 s&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt; wird in vergleichenden Studien zur Blutrheologie verwendet, etwa bei Bernabeu, M. O. u. a.: ''Impact of blood rheology on wall shear stress in a model of the middle cerebral artery.'' Interface Focus 3 (2013), 20120094. &lt;!-- FIXME Zitat und Seitenangabe am Original pruefen --&gt;&lt;/ref&gt; In der Engstelle steigt die Scherrate weiter an, beim Stenosegrad 0,5 auf rund 2260 pro Sekunde. Schwach ist die Näherung dort, wo die Scherrate klein wird, also in der Mitte des Gefäßes und vor allem im Rückströmgebiet hinter der Stenose. Dort ist reales Blut zäher als angenommen. Dieser Punkt wird in den Schlussfolgerungen wieder aufgegriffen.

Die '''stationäre Strömung''' ist die stärkste Vereinfachung. Wie wichtig die Pulsation ist, misst die Womersley-Zahl, die das Verhältnis von instationärer Trägheit zu Reibung angibt. Mit einer Herzfrequenz von 60 Schlägen je Minute, also einer Kreisfrequenz &lt;math&gt;\omega = 2\pi\ \mathrm{s^{-1}}&lt;/math&gt;, ergibt sich

&lt;math&gt;\alpha = R_0 \sqrt{\frac{\omega \rho}{\mu}} = 0{,}003\ \mathrm{m} \cdot \sqrt{\frac{2\pi\ \mathrm{s^{-1}} \cdot 1060\ \mathrm{kg/m^3}}{0{,}0035\ \mathrm{Pa\,s}}} \approx 4{,}1 .&lt;/math&gt;

Ein Wert in dieser Größenordnung bedeutet, dass das reale Geschwindigkeitsprofil im Herzzyklus merklich von der Parabel abweicht.&lt;ref name=&quot;womersley&quot;&gt;Womersley, J. R.: ''Method for the calculation of velocity, rate of flow and viscous drag in arteries when the pressure gradient is known.'' Journal of Physiology 127 (1955), S. 553-563.&lt;/ref&gt; Hinzu kommt, dass der Volumenstrom in der Systole kurzzeitig auf rund das Vierfache des Mittelwerts steigt.&lt;ref name=&quot;holdsworth&quot;&gt;Holdsworth, D. W.; Norley, C. J. D.; Frayne, R.; Steinman, D. A.; Rutt, B. K.: ''Characterization of common carotid artery blood-flow waveforms in normal human subjects.'' Physiological Measurement 20 (1999), Nr. 3, S. 219-240. DOI 10.1088/0967-3334/20/3/301. Angegeben werden ein mittlerer Volumenstrom von 6,0 ± 1,4 ml/s und ein systolischer Spitzenwert von 23,5 ± 3,8 ml/s. &lt;!-- FIXME Zahlenwerte und Probandenzahl am Original pruefen --&gt;&lt;/ref&gt; Die stationäre Rechnung mit dem Mittelwert beschreibt deshalb nicht den zeitlichen Verlauf, wohl aber den zeitlich gemittelten Zustand, an dem sich der Einfluss des Stenosegrades sauber vergleichen lässt.

Die '''laminare Strömung''' wird über die Reynoldszahl begründet. Sie beträgt im gesunden Gefäß 386 und liegt damit weit unter dem Wert von etwa 2300, ab dem die Strömung in einem geraden Rohr in den Übergangsbereich gelangen kann. In der Engstelle steigt sie bei festem Volumenstrom auf &lt;math&gt;Re_0/(1-s)&lt;/math&gt;, also auf 551 beim Stenosegrad 0,3, auf 964 beim Grad 0,6 und auf 1928 beim Grad 0,8. Für den Strahl hinter einer Engstelle ist der Umschlagbereich allerdings deutlich niedriger als im geraden Rohr. Direkte numerische Simulationen an genau der in diesem Projekt verwendeten Stenosegeometrie zeigen, dass die Strömung bei einer Einström-Reynoldszahl von 500 auch bei leichter Unsymmetrie laminar bleibt, bei 1000 dagegen schon eine Exzentrizität von fünf Prozent des Durchmessers genügt, um den Strahl in lokal turbulente Strömung umschlagen zu lassen.&lt;ref name=&quot;varghese&quot;&gt;Varghese, S. S.; Frankel, S. H.; Fischer, P. F.: ''Direct numerical simulation of stenotic flows. Part 1. Steady flow.'' Journal of Fluid Mechanics 582 (2007), S. 253-280. Untersucht wird eine kosinusförmige Stenose der Länge 2D mit 75 % Flächenreduktion, die mit der Geometrie dieses Projekts beim Stenosegrad 0,5 übereinstimmt. &lt;!-- FIXME Band und Seiten am Original pruefen --&gt;&lt;/ref&gt; Mit einer Einström-Reynoldszahl von 386 liegt das Projekt für die leicht- und mittelgradigen Stenosen sicher im laminaren Bereich. Für die hochgradigen Stenosen ab 0,7 ist ein laminares, stationäres Modell dagegen nur noch eine Näherung, die eine Obergrenze der geordneten Strömung beschreibt. Diese Fälle werden deshalb als Grenzfall des Modells gekennzeichnet.

Die '''starre Wand''' lässt sich über Messungen abschätzen. Der Durchmesser der gemeinsamen Halsschlagader ändert sich im Herzzyklus bei jungen Menschen um etwa 12 bis 14 Prozent und bei älteren Menschen um etwa 5 Prozent.&lt;ref name=&quot;hansen&quot;&gt;Hansen, F.; Mangell, P.; Sonesson, B.; Länne, T.: ''Diameter and compliance in the human common carotid artery: variations with age and sex.'' Ultrasound in Medicine and Biology 21 (1995), Nr. 1, S. 1-9. DOI 10.1016/0301-5629(94)00090-5.&lt;/ref&gt; Diese Bewegung ist eine Folge der Pulsation. In einer stationären Rechnung gibt es keine Druckschwankung, die die Wand periodisch aufweiten könnte, sodass die starre Wand zur stationären Annahme konsistent ist. Eine verkalkte Plaque ist ohnehin deutlich steifer als die gesunde Wand.

Die Annahme des '''eingeprägten Volumenstroms''' wird im Abschnitt zu den Randbedingungen begründet, weil sie sich nur im Zusammenhang mit dem Kreislauf beurteilen lässt.

== Simulationsgebiet und Geometrie ==

Die Gefäßachse ist die z-Achse, der Ursprung liegt in der Mitte der Stenose, und &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; bezeichnet den Abstand von der Achse. Das Rechengebiet reicht von &lt;math&gt;z = -L_u&lt;/math&gt; bis &lt;math&gt;z = L_d&lt;/math&gt; und wird radial von der Wandkontur &lt;math&gt;R(z)&lt;/math&gt; begrenzt. Die Verengung wird über eine einzige glatte Funktion beschrieben,

&lt;math&gt;R(z) = R_0 \left[ 1 - \frac{s}{2}\left(1 + \cos\frac{2\pi z}{L_s}\right)\right] \quad \text{falls } |z| \le \frac{L_s}{2}, \qquad R(z) = R_0 \ \text{sonst.}&lt;/math&gt;

Die Funktion hat drei Eigenschaften, die ihre Wahl begründen. Sie wird erstens über einen einzigen Parameter gesteuert, den Stenosegrad &lt;math&gt;s&lt;/math&gt;. Der engste Radius in der Mitte beträgt &lt;math&gt;R(0) = R_0(1-s)&lt;/math&gt;, und der Fall ohne Verengung ist einfach der Fall &lt;math&gt;s = 0&lt;/math&gt;. Die gesamte Vergleichsreihe entsteht damit aus einem einzigen parametrischen Sweep. Sie geht zweitens an beiden Enden der Störstelle ohne Knick in das gerade Rohr über. Bei &lt;math&gt;z = \pm L_s/2&lt;/math&gt; ist der Kosinus gleich minus eins, die Klammer also null, und seine Ableitung verschwindet dort ebenfalls. Das ist nicht nur ästhetisch, sondern numerisch notwendig, denn ein Knick in der Wand erzeugt eine Singularität der Wandschubspannung, deren berechneter Wert mit jeder Netzverfeinerung weiter wüchse. Eine Netzstudie wäre dann sinnlos. Sie ist drittens die in der Literatur gebräuchliche Standardgeometrie für Stenosen, sodass sich die Ergebnisse unmittelbar mit veröffentlichten Rechnungen vergleichen lassen.&lt;ref name=&quot;varghese&quot; /&gt;

[[Datei:Stenose Gruppe5 Wandkontur.svg|mini|zentriert|800px|Wandkontur &lt;math&gt;R(z)&lt;/math&gt; für die untersuchten Stenosegrade. Die Darstellung ist in radialer Richtung gestreckt, das Rechengebiet ist in Wirklichkeit fünfundzwanzigmal länger als breit.]]
&lt;!-- FIXME Abbildung mit abbildungen_graph_1d.m fuer s = 0 bis 0,8 neu erzeugen, bisher nur bis 0,5 --&gt;

Die Abmessungen des Rechengebiets werden alle aus dem Gefäßradius abgeleitet. Das hat den Vorteil, dass sich das gesamte Modell durch Ändern eines einzigen Wertes auf ein anderes Gefäß übertragen lässt. Die einzelnen Längen werden im Folgenden Schritt für Schritt begründet.

# Der '''Gefäßradius''' &lt;math&gt;R_0 = 3\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; folgt aus Ultraschallmessungen an gesunden Erwachsenen. Dort wurden für die gemeinsame Halsschlagader mittlere Durchmesser von 6,10 ± 0,80 mm bei Frauen und 6,52 ± 0,98 mm bei Männern gemessen.&lt;ref name=&quot;krejza&quot;&gt;Krejza, J.; Arkuszewski, M.; Kasner, S. E.; Weigele, J.; Ustymowicz, A.; Hurst, R. W.; Cucchiara, B. L.; Messe, S. R.: ''Carotid artery diameter in men and women and the relation to body and neck size.'' Stroke 37 (2006), Nr. 4, S. 1103-1105. DOI 10.1161/01.STR.0000206440.48756.f7.&lt;/ref&gt; Der gewählte Durchmesser von &lt;math&gt;D_0 = 6\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; liegt damit innerhalb einer Standardabweichung beider Gruppen und ist bewusst auf einen runden Wert gesetzt, damit alle abgeleiteten Längen glatte Zahlen ergeben.
# Die '''Länge der Störstelle''' &lt;math&gt;L_s = 2 D_0 = 12\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; entspricht der Standardgeometrie aus der Literatur, die eine Stenosenlänge von zwei Durchmessern verwendet.&lt;ref name=&quot;varghese&quot; /&gt; Damit ist beim Stenosegrad 0,5 ein direkter Vergleich mit veröffentlichten Ergebnissen möglich.
# Die '''Vorlaufstrecke''' &lt;math&gt;L_u = 5 D_0 = 30\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; trennt den Einlass von der Stenose. Da am Einlass bereits das voll entwickelte Profil vorgegeben wird, muss sie nicht die Einlaufstrecke abdecken, sondern nur verhindern, dass die Einströmrandbedingung die Strömung an der Engstelle beeinflusst. Bei Reynoldszahlen in dieser Größenordnung reicht der Einfluss einer Verengung nur wenige Durchmesser stromaufwärts, die Literatur kommt für dieselbe Geometrie mit drei Durchmessern Vorlauf aus.&lt;ref name=&quot;varghese&quot; /&gt; Fünf Durchmesser lassen also eine Reserve. Überprüft wird das im Ergebnis, indem die Geschwindigkeit auf der Achse in der Mitte der Vorlaufstrecke mit dem Sollwert &lt;math&gt;2U_0&lt;/math&gt; verglichen wird.
# Die '''Nachlaufstrecke''' &lt;math&gt;L_d = 20 D_0 = 120\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; ist deutlich länger, weil sich hinter der Engstelle ein Rückströmgebiet bildet, das nicht auf den Auslass treffen darf. Für die Geometrie mit dem Stenosegrad 0,5 legt die Strömung bei einer Einström-Reynoldszahl von 500 erst etwa zehn Durchmesser hinter der Engstelle wieder an, die Literatur rechnet mit sechzehn Durchmessern Nachlauf.&lt;ref name=&quot;varghese&quot; /&gt; Zwanzig Durchmesser bieten damit für alle Stenosegrade bis 0,5 einen Sicherheitsabstand. Für die Grade ab 0,6 ist ein längeres Rückströmgebiet zu erwarten, dort wird die Lage des Wiederanlegepunktes ausdrücklich kontrolliert.
# Das '''Ende des fein vernetzten Nachlaufs''' &lt;math&gt;L_f = L_s/2 + 10 D_0 = 66\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; legt fest, bis wohin das Netz verfeinert wird. Der Wert ist so gewählt, dass das erwartete Rückströmgebiet von etwa zehn Durchmessern vollständig im feinen Bereich liegt.

Damit hat das Rechengebiet eine Gesamtlänge von &lt;math&gt;L = L_u + L_d = 150\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt;, also das Fünfundzwanzigfache des Durchmessers. Es ist ein Modellgebiet und kein maßstäbliches Abbild eines bestimmten anatomischen Abschnitts.

== Stoff- und Strömungsparameter ==

Die Stoffwerte des Blutes und der Volumenstrom sind die einzigen Eingangsgrößen, die nicht aus der Geometrie folgen. Aus ihnen werden alle weiteren Strömungskennwerte berechnet. Die folgenden Schritte zeigen jede Rechnung einzeln, damit sich jeder Wert nachprüfen lässt.

# Die '''Dichte''' wird mit &lt;math&gt;\rho = 1060\ \mathrm{kg/m^3}&lt;/math&gt; angesetzt. Der Wert lässt sich als Mischungsregel plausibel machen. Plasma hat eine Dichte von etwa 1025 kg/m³, rote Blutkörperchen von etwa 1100 kg/m³. Bei einem Zellanteil von 45 % ergibt sich &lt;math&gt;0{,}55 \cdot 1025 + 0{,}45 \cdot 1100 \approx 1059\ \mathrm{kg/m^3}&lt;/math&gt;. Die Dichte geht nur über die Reynoldszahl in die Rechnung ein, eine Abweichung von einem Prozent ändert die Ergebnisse daher kaum. &lt;!-- FIXME Lehrbuchquelle fuer Plasma- und Erythrozytendichte ergaenzen --&gt;
# Die '''dynamische Viskosität''' wird mit &lt;math&gt;\mu = 3{,}5\ \mathrm{mPa\,s}&lt;/math&gt; angesetzt. Das ist der Grenzwert der Blutviskosität bei hohen Scherraten, also genau der Wert, der zur Newtonschen Näherung gehört. Derselbe Wert von 0,035 Poise wird auch im Standardwerk zur Modellierung des Herz-Kreislauf-Systems verwendet.&lt;ref name=&quot;quarteroni&quot;&gt;Quarteroni, A.; Formaggia, L.: ''Mathematical Modelling and Numerical Simulation of the Cardiovascular System.'' In: Ayache, N. (Hrsg.): ''Computational Models for the Human Body.'' Handbook of Numerical Analysis, Bd. XII, Elsevier, Amsterdam 2004, S. 3-127. DOI 10.1016/S1570-8659(03)12001-7. Zur Newtonschen Näherung in großen Gefäßen siehe S. 30, zur Viskosität von 0,035 Poise die Parametertabelle auf S. 116.&lt;/ref&gt;
# Der '''mittlere Volumenstrom''' wird mit &lt;math&gt;Q_0 = 6\ \mathrm{ml/s}&lt;/math&gt; angesetzt. Das ist der zeitlich gemittelte Volumenstrom, der in der gemeinsamen Halsschlagader gesunder Probanden gemessen wurde.&lt;ref name=&quot;holdsworth&quot; /&gt;
# Die '''mittlere Geschwindigkeit''' folgt aus Volumenstrom und Querschnittsfläche, &lt;math&gt;U_0 = \frac{Q_0}{\pi R_0^2} = \frac{6 \cdot 10^{-6}\ \mathrm{m^3/s}}{\pi \cdot (0{,}003\ \mathrm{m})^2} = 0{,}2122\ \mathrm{m/s}&lt;/math&gt;.
# Die '''Reynoldszahl''' des gesunden Gefäßes ist &lt;math&gt;Re_0 = \frac{\rho\, U_0\, D_0}{\mu} = \frac{1060 \cdot 0{,}2122 \cdot 0{,}006}{0{,}0035} = 385{,}6&lt;/math&gt;. Sie wird im Folgenden auf 386 gerundet.
# Die '''Einlauflänge''', die eine anfangs gleichförmige Strömung bis zum voll entwickelten Parabelprofil bräuchte, beträgt nach der gebräuchlichen Abschätzung für laminare Rohrströmungen &lt;math&gt;L_e \approx 0{,}06\, Re_0\, D_0 \approx 0{,}06 \cdot 386 \cdot 6\ \mathrm{mm} \approx 139\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt;.&lt;ref name=&quot;durst&quot;&gt;Durst, F.; Ray, S.; Ünsal, B.; Bayoumi, O. A.: ''The development lengths of laminar pipe and channel flows.'' Journal of Fluids Engineering 127 (2005), Nr. 6, S. 1154-1160. Für große Reynoldszahlen nähert sich die dort angegebene Korrelation dem Wert 0,057·Re·D.&lt;/ref&gt; Das ist fast die gesamte Länge des Rechengebiets. Ein konstantes Einlassprofil würde die Strömung an der Stenose also verfälschen, weshalb am Einlass das voll entwickelte Profil vorgegeben wird.

Damit liegen alle globalen Parameter fest. Die folgende Tabelle enthält sie mit genau den Namen, unter denen sie in COMSOL und in den Octave-Skripten verwendet werden.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Globale Parameter des Modells
! Name !! Ausdruck in COMSOL !! Wert !! Bedeutung !! Herkunft
|-
| R0 || 3[mm] || 3 mm || Gefäßradius || Messwerte nach Krejza u. a. 2006, gerundet
|-
| D0 || 2*R0 || 6 mm || Gefäßdurchmesser || abgeleitet
|-
| Ls || 2*D0 || 12 mm || Länge der Störstelle || Standardgeometrie nach Varghese u. a. 2007
|-
| Lu || 5*D0 || 30 mm || Vorlaufstrecke vor der Stenosemitte || Abstand der Einlassbedingung von der Stenose
|-
| Ld || 20*D0 || 120 mm || Nachlaufstrecke hinter der Stenosemitte || Platz für das Rückströmgebiet
|-
| Lf || Ls/2+10*D0 || 66 mm || Ende des fein vernetzten Nachlaufs || erwartete Länge des Rückströmgebiets
|-
| s || 0 bis 0.8 || 0 bis 0,8 || Stenosegrad bezogen auf den Durchmesser || NASCET-Einteilung
|-
| rho_b || 1060[kg/m^3] || 1060 kg/m³ || Dichte des Blutes || Mischungsregel, Literaturwert
|-
| mu_b || 3.5[mPa*s] || 3,5 mPa·s || dynamische Viskosität des Blutes || Hochscherwert, Quarteroni und Formaggia 2004
|-
| Q0 || 6[ml/s] || 6 ml/s || mittlerer Volumenstrom || Messwerte nach Holdsworth u. a. 1999
|-
| U0 || Q0/(pi*R0^2) || 0,2122 m/s || mittlere Einströmgeschwindigkeit || abgeleitet
|-
| Re0 || rho_b*U0*D0/mu_b || 385,6 || Reynoldszahl des gesunden Gefäßes || abgeleitet
|-
| dp_ref || 8*mu_b*U0*(Lu+Ld)/R0^2 || 99,03 Pa || Poiseuille-Druckabfall des gesunden Gefäßes || abgeleitet, Hagen-Poiseuille
|}


= Literaturverzeichnis =

Alle Quellen sind an den Stellen im Text angegeben, an denen die zugehörigen Werte oder Aussagen verwendet werden. Die Liste wird aus diesen Angaben automatisch erzeugt.

&lt;references /&gt;</text>
      <sha1>i16vqh7e3fps1cxld4sgqz52qltgz2k</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>1115867</id>
      <parentid>1115866</parentid>
      <timestamp>2026-10-12T15:00:12Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Heitele</username>
        <id>38553</id>
      </contributor>
      <comment>/* Implementierung in COMSOL */</comment>
      <origin>1115867</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="30658" sha1="c6dzxe9dwlhfpd2a3ho6udn7rfblfn8" xml:space="preserve">= Gruppenteilnehmer =
* Joey Becker
* Marie-Thérèse Heitele
* Nicole Pander

= Thema und Fragestellung =

Gegenstand dieses Projekts ist die numerische Simulation einer lokalen Gefäßverengung, die in der Medizin als ''Stenose'' bezeichnet wird. Als Anwendungsfall dient ein gerader Abschnitt der ''Arteria carotis communis'', der gemeinsamen Halsschlagader. Um den Einfluss der Verengung möglichst isoliert untersuchen zu können, wird die reale Gefäßgeometrie bewusst vereinfacht. Gefäßkrümmungen, Verzweigungen und patientenspezifische anatomische Strukturen werden nicht berücksichtigt. Stattdessen wird ein gerades, idealisiertes Gefäß mit einer rotationssymmetrischen Stenose untersucht. Im ebenen Vergleichsmodell erscheint dieselbe Verengung als symmetrische Einschnürung eines Kanals.

Als Referenz dient ein gesundes, unverengtes Gefäß, in dem sich die Poiseuille-Strömung mit ihrem charakteristischen parabolischen Geschwindigkeitsprofil ausbildet. Diese Strömung ist aus zwei Gründen der natürliche Ausgangspunkt. Sie beschreibt den physiologischen Normalfall, mit dem jeder Stenosegrad verglichen wird, und sie ist exakt lösbar, sodass sich an ihr jede numerische Rechnung prüfen lässt, bevor die Verengung hinzukommt.

== Fragestellung ==

Wie verändert eine rotationssymmetrische Stenose die stationäre Strömung eines inkompressiblen Newtonschen Fluids in einem idealisierten Abschnitt der Arteria carotis communis hinsichtlich Geschwindigkeitsverteilung, Druckverteilung, Wandschubspannung und Strömungsmuster, und wie entwickeln sich diese Größen mit zunehmendem Stenosegrad im Vergleich zu einem gesunden Gefäß?

Aus dieser Fragestellung ergeben sich drei Teilfragen, an denen sich der Aufbau der Seite orientiert.

# Welche Strömungsgrößen reagieren empfindlich auf den Stenosegrad und welche nur träge?
# Ab welchem Stenosegrad ändert sich das Strömungsmuster qualitativ, das heißt, ab wann löst die Strömung hinter der Engstelle von der Wand ab und bildet ein Rückströmgebiet?
# Wie weit tragen die vereinfachenden Modellannahmen, insbesondere die Annahme einer stationären und laminaren Strömung, über den untersuchten Bereich der Stenosegrade?

= Relevanz =

Die Untersuchung von Gefäßverengungen besitzt eine medizinische und eine methodische Bedeutung. Beide werden im Folgenden getrennt begründet, weil sie unterschiedliche Anforderungen an das Modell stellen. Die medizinische Fragestellung verlangt realistische Zahlenwerte, die methodische Fragestellung verlangt nachprüfbare Rechnungen.

== Medizinische Relevanz ==

Arterielle Stenosen entstehen überwiegend durch Atherosklerose, also durch Ablagerungen aus Lipiden, Bindegewebe und Kalk in der Gefäßwand. In der Halsschlagader sind sie klinisch besonders bedeutsam, weil sie die Durchblutung des Gehirns beeinträchtigen und weil sich an ihnen Thromben bilden können, die als Embolie einen Schlaganfall auslösen. Dass die operative Entfernung einer hochgradigen Karotisstenose das Schlaganfallrisiko symptomatischer Patienten deutlich senkt, hat die NASCET-Studie gezeigt, deren Einteilung der Stenosegrade dieses Projekt übernimmt.&lt;ref name=&quot;nascet&quot;&gt;North American Symptomatic Carotid Endarterectomy Trial Collaborators: ''Beneficial effect of carotid endarterectomy in symptomatic patients with high-grade carotid stenosis.'' New England Journal of Medicine 325 (1991), Nr. 7, S. 445-453.&lt;/ref&gt;

Strömungsmechanisch ist an einer Stenose vor allem die Wandschubspannung von Interesse, also die tangentiale Kraft je Fläche, die das strömende Blut auf die innerste Zellschicht der Gefäßwand ausübt. Gesunde Halsschlagadern weisen zeitlich gemittelte Werte von etwa 1,1 bis 1,5 Pa auf.&lt;ref name=&quot;samijo&quot;&gt;Samijo, S. K.; Willigers, J. M.; Barkhuysen, R.; Kitslaar, P. J. E. H. M.; Reneman, R. S.; Brands, P. J.; Hoeks, A. P. G.: ''Wall shear stress in the human common carotid artery as function of age and gender.'' Cardiovascular Research 39 (1998), Nr. 2, S. 515-522.&lt;/ref&gt; In einer Engstelle steigt sie stark an, unmittelbar dahinter fällt sie im Ablösegebiet auf nahezu null und wechselt dort sogar das Vorzeichen. Niedrige und im Vorzeichen wechselnde Wandschubspannungen gelten als Bedingungen, unter denen sich weitere Ablagerungen bevorzugt bilden. Eine bestehende Stenose schafft also stromabwärts die Voraussetzungen für ihr eigenes Wachstum. Genau diese Verteilung lässt sich im Körper nur schwer messen, in einer Simulation dagegen unmittelbar auswerten.

== Methodische Relevanz ==

Fachlich überträgt das Projekt die Prinzipien der Strömungsmechanik aus der Vorlesung auf eine biomedizinische Anwendung.&lt;ref name=&quot;hundertmark&quot;&gt;Hundertmark, A.: ''Fluiddynamik.'' Vorlesungsunterlagen zum Modul Räumliche Modellbildung, RPTU Kaiserslautern-Landau, Sommersemester 2026.&lt;/ref&gt; Der methodische Mehrwert liegt in der Verknüpfung mehrerer Zugänge, die sich gegenseitig kontrollieren. Die analytische Poiseuille-Lösung liefert exakte Sollwerte für das gesunde Gefäß. Ein reduziertes Graphenmodell liefert für jeden Stenosegrad eine schnelle Abschätzung, die analytisch nachrechenbar ist. Die Simulationen in COMSOL Multiphysics lösen schließlich die vollständigen Navier-Stokes-Gleichungen in zwei und drei Raumdimensionen. Weil jede Stufe die Sollwerte der nächsten liefert, zeigt das Projekt nicht nur Ergebnisse, sondern auch, wie numerische Modelle aufgebaut, verifiziert und an ihren Grenzen bewertet werden.

== Auswahl der Stenosegrade ==

Um die untersuchten Gefäßverengungen nicht willkürlich festzulegen, orientiert sich die Auswahl der Stenosegrade an der klinisch gebräuchlichen NASCET-Klassifikation von Karotisstenosen.&lt;ref name=&quot;nascet&quot; /&gt; Sie teilt Stenosen nach ihrer Durchmesserreduktion in drei Schweregrade ein, ein vollständiger Gefäßverschluss wird als Okklusion bezeichnet.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Schweregrade nach NASCET und ihre Abdeckung im Projekt
! Schweregrad !! Durchmesserreduktion !! im Projekt gerechnete Stenosegrade !! hervorgehobener Vertreter
|-
| gesundes Gefäß || 0 % || 0 || 0
|-
| leichtgradige Stenose || unter 50 % || 0,1 bis 0,4 || 0,3
|-
| mittelgradige Stenose || 50 bis 69 % || 0,5 und 0,6 || 0,6
|-
| hochgradige Stenose || 70 bis 99 % || 0,7 und 0,8 || 0,8
|-
| Okklusion || 100 % || nicht gerechnet || entfällt
|}

Für die numerische Untersuchung wird aus jeder Kategorie ein repräsentativer Stenosegrad hervorgehoben. Neben dem gesunden Gefäß mit '''0 %''' Stenose sind das eine '''30 %''' Stenose als Beispiel für eine leichtgradige, eine '''60 %''' Stenose als Beispiel für eine mittelgradige und eine '''80 %''' Stenose als Beispiel für eine hochgradige Verengung. Zusätzlich werden im Graphenmodell und im achsensymmetrischen Flächenmodell alle Zwischenwerte in Schritten von zehn Prozentpunkten gerechnet. Das kostet in diesen beiden Modellen nur Sekunden, liefert aber glatte Verläufe über dem Stenosegrad und macht sichtbar, ab welchem Grad sich das Verhalten der Strömung ändert. Ein vollständiger Gefäßverschluss wird nicht simuliert, da in diesem Fall keine durchgängige Strömung mehr vorliegt.

Der Stenosegrad wird in diesem Projekt wie bei NASCET über die Verringerung des Gefäßdurchmessers beschrieben,

&lt;math&gt;s = 1 - \frac{d_{\min}}{d_{\mathrm{ref}}},&lt;/math&gt;

wobei &lt;math&gt;d_{\min}&lt;/math&gt; der kleinste Durchmesser in der Engstelle und &lt;math&gt;d_{\mathrm{ref}}&lt;/math&gt; ein Referenzdurchmesser ist. NASCET verwendet als Referenz den Durchmesser des gesunden Gefäßes stromabwärts der Stenose. Im idealisierten Modell hat das Gefäß vor und hinter der Engstelle denselben Durchmesser &lt;math&gt;D_0&lt;/math&gt;, sodass &lt;math&gt;d_{\mathrm{ref}} = D_0&lt;/math&gt; gilt und die NASCET-Definition mit allen anderen gebräuchlichen Durchmesserdefinitionen zusammenfällt.

Wichtig für das Verständnis aller weiteren Ergebnisse ist der Unterschied zwischen Durchmesser- und Flächenreduktion. Da die Querschnittsfläche quadratisch vom Durchmesser abhängt, gilt für die Flächenreduktion &lt;math&gt;1-(1-s)^2&lt;/math&gt;. Eine im klinischen Sinn nur mittelgradige Stenose von 60 % verschließt damit bereits 84 % der Querschnittsfläche.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Durchmesser- und Flächenreduktion der gerechneten Stenosegrade
! Stenosegrad s !! 0 !! 0,1 !! 0,2 !! 0,3 !! 0,4 !! 0,5 !! 0,6 !! 0,7 !! 0,8
|-
| engster Durchmesser in mm || 6,0 || 5,4 || 4,8 || 4,2 || 3,6 || 3,0 || 2,4 || 1,8 || 1,2
|-
| Flächenreduktion || 0 % || 19 % || 36 % || 51 % || 64 % || 75 % || 84 % || 91 % || 96 %
|}

Zwei Einschränkungen gehören zur ehrlichen Einordnung. Erstens ist die NASCET-Klassifikation für Stenosen der ''Arteria carotis interna'' entwickelt worden, also des Astes hinter der Gabelung, während hier ein gerader Abschnitt der ''Arteria carotis communis'' modelliert wird. Die Klassifikation dient im Projekt deshalb als Orientierung für sinnvolle Abstufungen und nicht als diagnostische Aussage. Zweitens zeigt sich im Abschnitt zur Modellierung, dass die Annahme einer stationären, laminaren Strömung ab einem Stenosegrad von etwa 0,6 an ihre Grenzen stößt. Die hochgradigen Fälle werden deshalb zwar gerechnet, ihre Ergebnisse aber ausdrücklich als Grenzfall des Modells diskutiert.

= Modellierung =

Modellierung bedeutet hier, die reale Situation in eine mathematische Aufgabe zu übersetzen, die sich lösen lässt. Dazu gehören vier Bausteine, nämlich das Rechengebiet, die Gleichungen, die Zahlenwerte der Parameter und die Bedingungen an den Rändern. Jeder dieser Bausteine beruht auf Annahmen, und jede Annahme muss begründet werden. Dieser Abschnitt geht die Bausteine deshalb der Reihe nach durch und nennt bei jedem Zahlenwert, woher er stammt und warum er sinnvoll ist.

== Modellhierarchie ==

Das Projekt rechnet nicht ein einziges Modell, sondern vier aufeinander aufbauende Modellvarianten. Sie entsprechen der Kursanforderung, eine Strömung als Graph, in zwei und in drei Raumdimensionen darzustellen, und sie sind bewusst von einfach nach aufwendig geordnet.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Die vier Modellvarianten des Projekts
! Modell !! Raumdimension !! gelöste Gleichung !! Zweck !! Werkzeug
|-
| Graphenmodell || 1D, Gefäßachse || Hagen-Poiseuille je Rohrstück und Massenerhaltung in jedem Knoten || schnelle, analytisch nachrechenbare Abschätzung für jeden Stenosegrad || Octave und COMSOL (Koeffizientenform-PDGL)
|-
| achsensymmetrisches Flächenmodell || 2D, Halbschnitt in r und z || vollständige stationäre Navier-Stokes-Gleichungen in Zylinderkoordinaten || Hauptmodell, liefert alle Feldgrößen des rotationssymmetrischen Rohres || COMSOL, Laminare Strömung
|-
| ebenes Flächenmodell || 2D, Halbschnitt in x und y || vollständige stationäre Navier-Stokes-Gleichungen in kartesischen Koordinaten || Vergleich, zeigt den Einfluss der zweiten Querschnittsrichtung || COMSOL, Laminare Strömung
|-
| Volumenmodell || 3D || vollständige stationäre Navier-Stokes-Gleichungen || Kontrolle des Hauptmodells und räumliche Darstellung || COMSOL, Laminare Strömung
|}

Die Reihenfolge folgt einem einfachen Prinzip. Jede Stufe liefert die Sollwerte, an denen die nächste, komplexere Stufe geprüft wird. Das Graphenmodell muss im gesunden Fall exakt die Poiseuille-Lösung ergeben. Das achsensymmetrische Modell muss im gesunden Fall dieselben Werte liefern und bei Stenose für Geschwindigkeit und Wandschubspannung in der Nähe des Graphenmodells liegen. Das Volumenmodell muss, weil die Geometrie rotationssymmetrisch ist, mit dem achsensymmetrischen Modell übereinstimmen.

== Modellannahmen ==

Um den Einfluss des Stenosegrades möglichst isoliert zu untersuchen, werden die folgenden Modellannahmen getroffen. Die Tabelle nennt zu jeder Annahme ihre mathematische Form, die Begründung und die Stelle, an der sie im Projekt überprüft wird.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Modellannahmen, ihre Begründung und ihre Überprüfung
! Annahme !! mathematische Form !! Begründung !! Überprüfung
|-
| Idealisierte Gefäßgeometrie || gerades Rohr mit kosinusförmiger, rotationssymmetrischer Verengung || isoliert die Wirkung des Stenosegrades von Krümmung, Verzweigung und Plaqueform || Diskussion in den Schlussfolgerungen
|-
| Starre Gefäßwand || Wand ortsfest, keine Fluid-Struktur-Kopplung || im stationären Fall gibt es keine Druckschwankung, die die Wand periodisch aufweiten könnte || Abschätzung über die gemessene Durchmesseränderung im Herzzyklus
|-
| Stationäre Strömung || &lt;math&gt;\partial \mathbf{u}/\partial t = \mathbf{0}&lt;/math&gt; || der Einfluss des Stenosegrades soll ohne Überlagerung durch die Pulsation sichtbar werden || Abschätzung über die Womersley-Zahl
|-
| Inkompressibles Fluid || &lt;math&gt;\rho = \mathrm{const}&lt;/math&gt;, damit &lt;math&gt;\nabla\cdot\mathbf{u} = 0&lt;/math&gt; || Blut ist eine Flüssigkeit, Druckänderungen von wenigen hundert Pascal ändern die Dichte nicht messbar || Massenerhaltung in fünf Querschnitten
|-
| Newtonsche Näherung || konstante Viskosität &lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt; || die Scherraten an der Wand und im größten Teil des Querschnitts liegen über dem Bereich, in dem Blut deutlich scherverdünnend wirkt || Scherrate an der Wand, Diskussion des Rückströmgebiets
|-
| Konstante Stoffeigenschaften || &lt;math&gt;\rho&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt; räumlich und zeitlich konstant || Körpertemperatur ist im betrachteten Abschnitt konstant || entfällt
|-
| Laminare Strömung || kein Turbulenzmodell, Schnittstelle Laminare Strömung || Reynoldszahl des gesunden Gefäßes von 386 liegt weit unter dem Umschlagbereich || Reynoldszahl in der Engstelle, Literaturvergleich
|-
| Haftbedingung an der Wand || &lt;math&gt;\mathbf{u} = \mathbf{0}&lt;/math&gt; auf der Wand || Folge der Viskosität, das Fluid haftet an der Wand || Grundlage jeder Wandschubspannung
|-
| Vernachlässigung der Gravitation || keine Volumenkraft || bei konstanter Dichte lässt sich die Schwerkraft vollständig in einen hydrostatischen Druckanteil verschieben und beeinflusst die Geschwindigkeit nicht || Begründung in den Mathematischen Hintergründen
|-
| Voll entwickelte Einströmung || parabolisches Profil am Einlass || die natürliche Einlaufstrecke wäre mit rund 139 mm fast so lang wie das ganze Rechengebiet || Scheitelgeschwindigkeit im gesunden Fall
|-
| Eingeprägter Volumenstrom || &lt;math&gt;Q = Q_0&lt;/math&gt; am Einlass || der Strömungswiderstand des Abschnitts ist klein gegenüber dem des nachgeschalteten Gefäßbetts || Abschätzung mit einem Reihenwiderstand
|}

Einige dieser Annahmen sind unmittelbar einsichtig, andere verdienen eine genauere Begründung, weil von ihnen die Aussagekraft der Ergebnisse abhängt.

Die '''Newtonsche Näherung''' ist die Annahme, die bei Blut am häufigsten hinterfragt wird. Reales Blut ist eine Suspension aus Plasma und Blutzellen und verhält sich scherverdünnend. Bei kleinen Scherraten lagern sich die roten Blutkörperchen zu geldrollenartigen Stapeln zusammen, und die Viskosität steigt auf ein Vielfaches an. Bei großen Scherraten lösen sich diese Stapel auf, und die Viskosität strebt gegen einen Grenzwert von etwa 3,5 mPa·s. Entscheidend ist also die Scherrate. An der Wand des gesunden Modellgefäßes beträgt sie nach der Poiseuille-Lösung

&lt;math&gt;\dot\gamma_w = \frac{4\,U_0}{R_0} = \frac{4 \cdot 0{,}2122\ \mathrm{m/s}}{0{,}003\ \mathrm{m}} \approx 283\ \mathrm{s^{-1}}&lt;/math&gt;

und liegt damit oberhalb von etwa 100 pro Sekunde, wo sich Newtonsches und nicht Newtonsches Modell nach der Literatur nur noch wenig unterscheiden.&lt;ref name=&quot;boyd&quot;&gt;Die Grenze von etwa 100 s&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt; wird in vergleichenden Studien zur Blutrheologie verwendet, etwa bei Bernabeu, M. O. u. a.: ''Impact of blood rheology on wall shear stress in a model of the middle cerebral artery.'' Interface Focus 3 (2013), 20120094. &lt;!-- FIXME Zitat und Seitenangabe am Original pruefen --&gt;&lt;/ref&gt; In der Engstelle steigt die Scherrate weiter an, beim Stenosegrad 0,5 auf rund 2260 pro Sekunde. Schwach ist die Näherung dort, wo die Scherrate klein wird, also in der Mitte des Gefäßes und vor allem im Rückströmgebiet hinter der Stenose. Dort ist reales Blut zäher als angenommen. Dieser Punkt wird in den Schlussfolgerungen wieder aufgegriffen.

Die '''stationäre Strömung''' ist die stärkste Vereinfachung. Wie wichtig die Pulsation ist, misst die Womersley-Zahl, die das Verhältnis von instationärer Trägheit zu Reibung angibt. Mit einer Herzfrequenz von 60 Schlägen je Minute, also einer Kreisfrequenz &lt;math&gt;\omega = 2\pi\ \mathrm{s^{-1}}&lt;/math&gt;, ergibt sich

&lt;math&gt;\alpha = R_0 \sqrt{\frac{\omega \rho}{\mu}} = 0{,}003\ \mathrm{m} \cdot \sqrt{\frac{2\pi\ \mathrm{s^{-1}} \cdot 1060\ \mathrm{kg/m^3}}{0{,}0035\ \mathrm{Pa\,s}}} \approx 4{,}1 .&lt;/math&gt;

Ein Wert in dieser Größenordnung bedeutet, dass das reale Geschwindigkeitsprofil im Herzzyklus merklich von der Parabel abweicht.&lt;ref name=&quot;womersley&quot;&gt;Womersley, J. R.: ''Method for the calculation of velocity, rate of flow and viscous drag in arteries when the pressure gradient is known.'' Journal of Physiology 127 (1955), S. 553-563.&lt;/ref&gt; Hinzu kommt, dass der Volumenstrom in der Systole kurzzeitig auf rund das Vierfache des Mittelwerts steigt.&lt;ref name=&quot;holdsworth&quot;&gt;Holdsworth, D. W.; Norley, C. J. D.; Frayne, R.; Steinman, D. A.; Rutt, B. K.: ''Characterization of common carotid artery blood-flow waveforms in normal human subjects.'' Physiological Measurement 20 (1999), Nr. 3, S. 219-240. DOI 10.1088/0967-3334/20/3/301. Angegeben werden ein mittlerer Volumenstrom von 6,0 ± 1,4 ml/s und ein systolischer Spitzenwert von 23,5 ± 3,8 ml/s. &lt;!-- FIXME Zahlenwerte und Probandenzahl am Original pruefen --&gt;&lt;/ref&gt; Die stationäre Rechnung mit dem Mittelwert beschreibt deshalb nicht den zeitlichen Verlauf, wohl aber den zeitlich gemittelten Zustand, an dem sich der Einfluss des Stenosegrades sauber vergleichen lässt.

Die '''laminare Strömung''' wird über die Reynoldszahl begründet. Sie beträgt im gesunden Gefäß 386 und liegt damit weit unter dem Wert von etwa 2300, ab dem die Strömung in einem geraden Rohr in den Übergangsbereich gelangen kann. In der Engstelle steigt sie bei festem Volumenstrom auf &lt;math&gt;Re_0/(1-s)&lt;/math&gt;, also auf 551 beim Stenosegrad 0,3, auf 964 beim Grad 0,6 und auf 1928 beim Grad 0,8. Für den Strahl hinter einer Engstelle ist der Umschlagbereich allerdings deutlich niedriger als im geraden Rohr. Direkte numerische Simulationen an genau der in diesem Projekt verwendeten Stenosegeometrie zeigen, dass die Strömung bei einer Einström-Reynoldszahl von 500 auch bei leichter Unsymmetrie laminar bleibt, bei 1000 dagegen schon eine Exzentrizität von fünf Prozent des Durchmessers genügt, um den Strahl in lokal turbulente Strömung umschlagen zu lassen.&lt;ref name=&quot;varghese&quot;&gt;Varghese, S. S.; Frankel, S. H.; Fischer, P. F.: ''Direct numerical simulation of stenotic flows. Part 1. Steady flow.'' Journal of Fluid Mechanics 582 (2007), S. 253-280. Untersucht wird eine kosinusförmige Stenose der Länge 2D mit 75 % Flächenreduktion, die mit der Geometrie dieses Projekts beim Stenosegrad 0,5 übereinstimmt. &lt;!-- FIXME Band und Seiten am Original pruefen --&gt;&lt;/ref&gt; Mit einer Einström-Reynoldszahl von 386 liegt das Projekt für die leicht- und mittelgradigen Stenosen sicher im laminaren Bereich. Für die hochgradigen Stenosen ab 0,7 ist ein laminares, stationäres Modell dagegen nur noch eine Näherung, die eine Obergrenze der geordneten Strömung beschreibt. Diese Fälle werden deshalb als Grenzfall des Modells gekennzeichnet.

Die '''starre Wand''' lässt sich über Messungen abschätzen. Der Durchmesser der gemeinsamen Halsschlagader ändert sich im Herzzyklus bei jungen Menschen um etwa 12 bis 14 Prozent und bei älteren Menschen um etwa 5 Prozent.&lt;ref name=&quot;hansen&quot;&gt;Hansen, F.; Mangell, P.; Sonesson, B.; Länne, T.: ''Diameter and compliance in the human common carotid artery: variations with age and sex.'' Ultrasound in Medicine and Biology 21 (1995), Nr. 1, S. 1-9. DOI 10.1016/0301-5629(94)00090-5.&lt;/ref&gt; Diese Bewegung ist eine Folge der Pulsation. In einer stationären Rechnung gibt es keine Druckschwankung, die die Wand periodisch aufweiten könnte, sodass die starre Wand zur stationären Annahme konsistent ist. Eine verkalkte Plaque ist ohnehin deutlich steifer als die gesunde Wand.

Die Annahme des '''eingeprägten Volumenstroms''' wird im Abschnitt zu den Randbedingungen begründet, weil sie sich nur im Zusammenhang mit dem Kreislauf beurteilen lässt.

== Simulationsgebiet und Geometrie ==

Die Gefäßachse ist die z-Achse, der Ursprung liegt in der Mitte der Stenose, und &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; bezeichnet den Abstand von der Achse. Das Rechengebiet reicht von &lt;math&gt;z = -L_u&lt;/math&gt; bis &lt;math&gt;z = L_d&lt;/math&gt; und wird radial von der Wandkontur &lt;math&gt;R(z)&lt;/math&gt; begrenzt. Die Verengung wird über eine einzige glatte Funktion beschrieben,

&lt;math&gt;R(z) = R_0 \left[ 1 - \frac{s}{2}\left(1 + \cos\frac{2\pi z}{L_s}\right)\right] \quad \text{falls } |z| \le \frac{L_s}{2}, \qquad R(z) = R_0 \ \text{sonst.}&lt;/math&gt;

Die Funktion hat drei Eigenschaften, die ihre Wahl begründen. Sie wird erstens über einen einzigen Parameter gesteuert, den Stenosegrad &lt;math&gt;s&lt;/math&gt;. Der engste Radius in der Mitte beträgt &lt;math&gt;R(0) = R_0(1-s)&lt;/math&gt;, und der Fall ohne Verengung ist einfach der Fall &lt;math&gt;s = 0&lt;/math&gt;. Die gesamte Vergleichsreihe entsteht damit aus einem einzigen parametrischen Sweep. Sie geht zweitens an beiden Enden der Störstelle ohne Knick in das gerade Rohr über. Bei &lt;math&gt;z = \pm L_s/2&lt;/math&gt; ist der Kosinus gleich minus eins, die Klammer also null, und seine Ableitung verschwindet dort ebenfalls. Das ist nicht nur ästhetisch, sondern numerisch notwendig, denn ein Knick in der Wand erzeugt eine Singularität der Wandschubspannung, deren berechneter Wert mit jeder Netzverfeinerung weiter wüchse. Eine Netzstudie wäre dann sinnlos. Sie ist drittens die in der Literatur gebräuchliche Standardgeometrie für Stenosen, sodass sich die Ergebnisse unmittelbar mit veröffentlichten Rechnungen vergleichen lassen.&lt;ref name=&quot;varghese&quot; /&gt;

[[Datei:Stenose Gruppe5 Wandkontur.svg|mini|zentriert|800px|Wandkontur &lt;math&gt;R(z)&lt;/math&gt; für die untersuchten Stenosegrade. Die Darstellung ist in radialer Richtung gestreckt, das Rechengebiet ist in Wirklichkeit fünfundzwanzigmal länger als breit.]]
&lt;!-- FIXME Abbildung mit abbildungen_graph_1d.m fuer s = 0 bis 0,8 neu erzeugen, bisher nur bis 0,5 --&gt;

Die Abmessungen des Rechengebiets werden alle aus dem Gefäßradius abgeleitet. Das hat den Vorteil, dass sich das gesamte Modell durch Ändern eines einzigen Wertes auf ein anderes Gefäß übertragen lässt. Die einzelnen Längen werden im Folgenden Schritt für Schritt begründet.

# Der '''Gefäßradius''' &lt;math&gt;R_0 = 3\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; folgt aus Ultraschallmessungen an gesunden Erwachsenen. Dort wurden für die gemeinsame Halsschlagader mittlere Durchmesser von 6,10 ± 0,80 mm bei Frauen und 6,52 ± 0,98 mm bei Männern gemessen.&lt;ref name=&quot;krejza&quot;&gt;Krejza, J.; Arkuszewski, M.; Kasner, S. E.; Weigele, J.; Ustymowicz, A.; Hurst, R. W.; Cucchiara, B. L.; Messe, S. R.: ''Carotid artery diameter in men and women and the relation to body and neck size.'' Stroke 37 (2006), Nr. 4, S. 1103-1105. DOI 10.1161/01.STR.0000206440.48756.f7.&lt;/ref&gt; Der gewählte Durchmesser von &lt;math&gt;D_0 = 6\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; liegt damit innerhalb einer Standardabweichung beider Gruppen und ist bewusst auf einen runden Wert gesetzt, damit alle abgeleiteten Längen glatte Zahlen ergeben.
# Die '''Länge der Störstelle''' &lt;math&gt;L_s = 2 D_0 = 12\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; entspricht der Standardgeometrie aus der Literatur, die eine Stenosenlänge von zwei Durchmessern verwendet.&lt;ref name=&quot;varghese&quot; /&gt; Damit ist beim Stenosegrad 0,5 ein direkter Vergleich mit veröffentlichten Ergebnissen möglich.
# Die '''Vorlaufstrecke''' &lt;math&gt;L_u = 5 D_0 = 30\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; trennt den Einlass von der Stenose. Da am Einlass bereits das voll entwickelte Profil vorgegeben wird, muss sie nicht die Einlaufstrecke abdecken, sondern nur verhindern, dass die Einströmrandbedingung die Strömung an der Engstelle beeinflusst. Bei Reynoldszahlen in dieser Größenordnung reicht der Einfluss einer Verengung nur wenige Durchmesser stromaufwärts, die Literatur kommt für dieselbe Geometrie mit drei Durchmessern Vorlauf aus.&lt;ref name=&quot;varghese&quot; /&gt; Fünf Durchmesser lassen also eine Reserve. Überprüft wird das im Ergebnis, indem die Geschwindigkeit auf der Achse in der Mitte der Vorlaufstrecke mit dem Sollwert &lt;math&gt;2U_0&lt;/math&gt; verglichen wird.
# Die '''Nachlaufstrecke''' &lt;math&gt;L_d = 20 D_0 = 120\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; ist deutlich länger, weil sich hinter der Engstelle ein Rückströmgebiet bildet, das nicht auf den Auslass treffen darf. Für die Geometrie mit dem Stenosegrad 0,5 legt die Strömung bei einer Einström-Reynoldszahl von 500 erst etwa zehn Durchmesser hinter der Engstelle wieder an, die Literatur rechnet mit sechzehn Durchmessern Nachlauf.&lt;ref name=&quot;varghese&quot; /&gt; Zwanzig Durchmesser bieten damit für alle Stenosegrade bis 0,5 einen Sicherheitsabstand. Für die Grade ab 0,6 ist ein längeres Rückströmgebiet zu erwarten, dort wird die Lage des Wiederanlegepunktes ausdrücklich kontrolliert.
# Das '''Ende des fein vernetzten Nachlaufs''' &lt;math&gt;L_f = L_s/2 + 10 D_0 = 66\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; legt fest, bis wohin das Netz verfeinert wird. Der Wert ist so gewählt, dass das erwartete Rückströmgebiet von etwa zehn Durchmessern vollständig im feinen Bereich liegt.

Damit hat das Rechengebiet eine Gesamtlänge von &lt;math&gt;L = L_u + L_d = 150\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt;, also das Fünfundzwanzigfache des Durchmessers. Es ist ein Modellgebiet und kein maßstäbliches Abbild eines bestimmten anatomischen Abschnitts.

== Stoff- und Strömungsparameter ==

Die Stoffwerte des Blutes und der Volumenstrom sind die einzigen Eingangsgrößen, die nicht aus der Geometrie folgen. Aus ihnen werden alle weiteren Strömungskennwerte berechnet. Die folgenden Schritte zeigen jede Rechnung einzeln, damit sich jeder Wert nachprüfen lässt.

# Die '''Dichte''' wird mit &lt;math&gt;\rho = 1060\ \mathrm{kg/m^3}&lt;/math&gt; angesetzt. Der Wert lässt sich als Mischungsregel plausibel machen. Plasma hat eine Dichte von etwa 1025 kg/m³, rote Blutkörperchen von etwa 1100 kg/m³. Bei einem Zellanteil von 45 % ergibt sich &lt;math&gt;0{,}55 \cdot 1025 + 0{,}45 \cdot 1100 \approx 1059\ \mathrm{kg/m^3}&lt;/math&gt;. Die Dichte geht nur über die Reynoldszahl in die Rechnung ein, eine Abweichung von einem Prozent ändert die Ergebnisse daher kaum. &lt;!-- FIXME Lehrbuchquelle fuer Plasma- und Erythrozytendichte ergaenzen --&gt;
# Die '''dynamische Viskosität''' wird mit &lt;math&gt;\mu = 3{,}5\ \mathrm{mPa\,s}&lt;/math&gt; angesetzt. Das ist der Grenzwert der Blutviskosität bei hohen Scherraten, also genau der Wert, der zur Newtonschen Näherung gehört. Derselbe Wert von 0,035 Poise wird auch im Standardwerk zur Modellierung des Herz-Kreislauf-Systems verwendet.&lt;ref name=&quot;quarteroni&quot;&gt;Quarteroni, A.; Formaggia, L.: ''Mathematical Modelling and Numerical Simulation of the Cardiovascular System.'' In: Ayache, N. (Hrsg.): ''Computational Models for the Human Body.'' Handbook of Numerical Analysis, Bd. XII, Elsevier, Amsterdam 2004, S. 3-127. DOI 10.1016/S1570-8659(03)12001-7. Zur Newtonschen Näherung in großen Gefäßen siehe S. 30, zur Viskosität von 0,035 Poise die Parametertabelle auf S. 116.&lt;/ref&gt;
# Der '''mittlere Volumenstrom''' wird mit &lt;math&gt;Q_0 = 6\ \mathrm{ml/s}&lt;/math&gt; angesetzt. Das ist der zeitlich gemittelte Volumenstrom, der in der gemeinsamen Halsschlagader gesunder Probanden gemessen wurde.&lt;ref name=&quot;holdsworth&quot; /&gt;
# Die '''mittlere Geschwindigkeit''' folgt aus Volumenstrom und Querschnittsfläche, &lt;math&gt;U_0 = \frac{Q_0}{\pi R_0^2} = \frac{6 \cdot 10^{-6}\ \mathrm{m^3/s}}{\pi \cdot (0{,}003\ \mathrm{m})^2} = 0{,}2122\ \mathrm{m/s}&lt;/math&gt;.
# Die '''Reynoldszahl''' des gesunden Gefäßes ist &lt;math&gt;Re_0 = \frac{\rho\, U_0\, D_0}{\mu} = \frac{1060 \cdot 0{,}2122 \cdot 0{,}006}{0{,}0035} = 385{,}6&lt;/math&gt;. Sie wird im Folgenden auf 386 gerundet.
# Die '''Einlauflänge''', die eine anfangs gleichförmige Strömung bis zum voll entwickelten Parabelprofil bräuchte, beträgt nach der gebräuchlichen Abschätzung für laminare Rohrströmungen &lt;math&gt;L_e \approx 0{,}06\, Re_0\, D_0 \approx 0{,}06 \cdot 386 \cdot 6\ \mathrm{mm} \approx 139\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt;.&lt;ref name=&quot;durst&quot;&gt;Durst, F.; Ray, S.; Ünsal, B.; Bayoumi, O. A.: ''The development lengths of laminar pipe and channel flows.'' Journal of Fluids Engineering 127 (2005), Nr. 6, S. 1154-1160. Für große Reynoldszahlen nähert sich die dort angegebene Korrelation dem Wert 0,057·Re·D.&lt;/ref&gt; Das ist fast die gesamte Länge des Rechengebiets. Ein konstantes Einlassprofil würde die Strömung an der Stenose also verfälschen, weshalb am Einlass das voll entwickelte Profil vorgegeben wird.

Damit liegen alle globalen Parameter fest. Die folgende Tabelle enthält sie mit genau den Namen, unter denen sie in COMSOL und in den Octave-Skripten verwendet werden.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Globale Parameter des Modells
! Name !! Ausdruck in COMSOL !! Wert !! Bedeutung !! Herkunft
|-
| R0 || 3[mm] || 3 mm || Gefäßradius || Messwerte nach Krejza u. a. 2006, gerundet
|-
| D0 || 2*R0 || 6 mm || Gefäßdurchmesser || abgeleitet
|-
| Ls || 2*D0 || 12 mm || Länge der Störstelle || Standardgeometrie nach Varghese u. a. 2007
|-
| Lu || 5*D0 || 30 mm || Vorlaufstrecke vor der Stenosemitte || Abstand der Einlassbedingung von der Stenose
|-
| Ld || 20*D0 || 120 mm || Nachlaufstrecke hinter der Stenosemitte || Platz für das Rückströmgebiet
|-
| Lf || Ls/2+10*D0 || 66 mm || Ende des fein vernetzten Nachlaufs || erwartete Länge des Rückströmgebiets
|-
| s || 0 bis 0.8 || 0 bis 0,8 || Stenosegrad bezogen auf den Durchmesser || NASCET-Einteilung
|-
| rho_b || 1060[kg/m^3] || 1060 kg/m³ || Dichte des Blutes || Mischungsregel, Literaturwert
|-
| mu_b || 3.5[mPa*s] || 3,5 mPa·s || dynamische Viskosität des Blutes || Hochscherwert, Quarteroni und Formaggia 2004
|-
| Q0 || 6[ml/s] || 6 ml/s || mittlerer Volumenstrom || Messwerte nach Holdsworth u. a. 1999
|-
| U0 || Q0/(pi*R0^2) || 0,2122 m/s || mittlere Einströmgeschwindigkeit || abgeleitet
|-
| Re0 || rho_b*U0*D0/mu_b || 385,6 || Reynoldszahl des gesunden Gefäßes || abgeleitet
|-
| dp_ref || 8*mu_b*U0*(Lu+Ld)/R0^2 || 99,03 Pa || Poiseuille-Druckabfall des gesunden Gefäßes || abgeleitet, Hagen-Poiseuille
|}


= Literaturverzeichnis =

Alle Quellen sind an den Stellen im Text angegeben, an denen die zugehörigen Werte oder Aussagen verwendet werden. Die Liste wird aus diesen Angaben automatisch erzeugt.

&lt;references /&gt;</text>
      <sha1>c6dzxe9dwlhfpd2a3ho6udn7rfblfn8</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>1115868</id>
      <parentid>1115867</parentid>
      <timestamp>2026-10-12T15:01:13Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Heitele</username>
        <id>38553</id>
      </contributor>
      <comment>/* Gruppenteilnehmer */</comment>
      <origin>1115868</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="30687" sha1="3ojbk8vly4ua162boa5mzf3xduda8tb" xml:space="preserve">= Gruppenteilnehmer =
* Joey Becker
* Marie-Thérèse Heitele
* Nicole Pander

= Thema und Fragestellung =

= Thema und Fragestellung =

Gegenstand dieses Projekts ist die numerische Simulation einer lokalen Gefäßverengung, die in der Medizin als ''Stenose'' bezeichnet wird. Als Anwendungsfall dient ein gerader Abschnitt der ''Arteria carotis communis'', der gemeinsamen Halsschlagader. Um den Einfluss der Verengung möglichst isoliert untersuchen zu können, wird die reale Gefäßgeometrie bewusst vereinfacht. Gefäßkrümmungen, Verzweigungen und patientenspezifische anatomische Strukturen werden nicht berücksichtigt. Stattdessen wird ein gerades, idealisiertes Gefäß mit einer rotationssymmetrischen Stenose untersucht. Im ebenen Vergleichsmodell erscheint dieselbe Verengung als symmetrische Einschnürung eines Kanals.

Als Referenz dient ein gesundes, unverengtes Gefäß, in dem sich die Poiseuille-Strömung mit ihrem charakteristischen parabolischen Geschwindigkeitsprofil ausbildet. Diese Strömung ist aus zwei Gründen der natürliche Ausgangspunkt. Sie beschreibt den physiologischen Normalfall, mit dem jeder Stenosegrad verglichen wird, und sie ist exakt lösbar, sodass sich an ihr jede numerische Rechnung prüfen lässt, bevor die Verengung hinzukommt.

== Fragestellung ==

Wie verändert eine rotationssymmetrische Stenose die stationäre Strömung eines inkompressiblen Newtonschen Fluids in einem idealisierten Abschnitt der Arteria carotis communis hinsichtlich Geschwindigkeitsverteilung, Druckverteilung, Wandschubspannung und Strömungsmuster, und wie entwickeln sich diese Größen mit zunehmendem Stenosegrad im Vergleich zu einem gesunden Gefäß?

Aus dieser Fragestellung ergeben sich drei Teilfragen, an denen sich der Aufbau der Seite orientiert.

# Welche Strömungsgrößen reagieren empfindlich auf den Stenosegrad und welche nur träge?
# Ab welchem Stenosegrad ändert sich das Strömungsmuster qualitativ, das heißt, ab wann löst die Strömung hinter der Engstelle von der Wand ab und bildet ein Rückströmgebiet?
# Wie weit tragen die vereinfachenden Modellannahmen, insbesondere die Annahme einer stationären und laminaren Strömung, über den untersuchten Bereich der Stenosegrade?

= Relevanz =

Die Untersuchung von Gefäßverengungen besitzt eine medizinische und eine methodische Bedeutung. Beide werden im Folgenden getrennt begründet, weil sie unterschiedliche Anforderungen an das Modell stellen. Die medizinische Fragestellung verlangt realistische Zahlenwerte, die methodische Fragestellung verlangt nachprüfbare Rechnungen.

== Medizinische Relevanz ==

Arterielle Stenosen entstehen überwiegend durch Atherosklerose, also durch Ablagerungen aus Lipiden, Bindegewebe und Kalk in der Gefäßwand. In der Halsschlagader sind sie klinisch besonders bedeutsam, weil sie die Durchblutung des Gehirns beeinträchtigen und weil sich an ihnen Thromben bilden können, die als Embolie einen Schlaganfall auslösen. Dass die operative Entfernung einer hochgradigen Karotisstenose das Schlaganfallrisiko symptomatischer Patienten deutlich senkt, hat die NASCET-Studie gezeigt, deren Einteilung der Stenosegrade dieses Projekt übernimmt.&lt;ref name=&quot;nascet&quot;&gt;North American Symptomatic Carotid Endarterectomy Trial Collaborators: ''Beneficial effect of carotid endarterectomy in symptomatic patients with high-grade carotid stenosis.'' New England Journal of Medicine 325 (1991), Nr. 7, S. 445-453.&lt;/ref&gt;

Strömungsmechanisch ist an einer Stenose vor allem die Wandschubspannung von Interesse, also die tangentiale Kraft je Fläche, die das strömende Blut auf die innerste Zellschicht der Gefäßwand ausübt. Gesunde Halsschlagadern weisen zeitlich gemittelte Werte von etwa 1,1 bis 1,5 Pa auf.&lt;ref name=&quot;samijo&quot;&gt;Samijo, S. K.; Willigers, J. M.; Barkhuysen, R.; Kitslaar, P. J. E. H. M.; Reneman, R. S.; Brands, P. J.; Hoeks, A. P. G.: ''Wall shear stress in the human common carotid artery as function of age and gender.'' Cardiovascular Research 39 (1998), Nr. 2, S. 515-522.&lt;/ref&gt; In einer Engstelle steigt sie stark an, unmittelbar dahinter fällt sie im Ablösegebiet auf nahezu null und wechselt dort sogar das Vorzeichen. Niedrige und im Vorzeichen wechselnde Wandschubspannungen gelten als Bedingungen, unter denen sich weitere Ablagerungen bevorzugt bilden. Eine bestehende Stenose schafft also stromabwärts die Voraussetzungen für ihr eigenes Wachstum. Genau diese Verteilung lässt sich im Körper nur schwer messen, in einer Simulation dagegen unmittelbar auswerten.

== Methodische Relevanz ==

Fachlich überträgt das Projekt die Prinzipien der Strömungsmechanik aus der Vorlesung auf eine biomedizinische Anwendung.&lt;ref name=&quot;hundertmark&quot;&gt;Hundertmark, A.: ''Fluiddynamik.'' Vorlesungsunterlagen zum Modul Räumliche Modellbildung, RPTU Kaiserslautern-Landau, Sommersemester 2026.&lt;/ref&gt; Der methodische Mehrwert liegt in der Verknüpfung mehrerer Zugänge, die sich gegenseitig kontrollieren. Die analytische Poiseuille-Lösung liefert exakte Sollwerte für das gesunde Gefäß. Ein reduziertes Graphenmodell liefert für jeden Stenosegrad eine schnelle Abschätzung, die analytisch nachrechenbar ist. Die Simulationen in COMSOL Multiphysics lösen schließlich die vollständigen Navier-Stokes-Gleichungen in zwei und drei Raumdimensionen. Weil jede Stufe die Sollwerte der nächsten liefert, zeigt das Projekt nicht nur Ergebnisse, sondern auch, wie numerische Modelle aufgebaut, verifiziert und an ihren Grenzen bewertet werden.

== Auswahl der Stenosegrade ==

Um die untersuchten Gefäßverengungen nicht willkürlich festzulegen, orientiert sich die Auswahl der Stenosegrade an der klinisch gebräuchlichen NASCET-Klassifikation von Karotisstenosen.&lt;ref name=&quot;nascet&quot; /&gt; Sie teilt Stenosen nach ihrer Durchmesserreduktion in drei Schweregrade ein, ein vollständiger Gefäßverschluss wird als Okklusion bezeichnet.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Schweregrade nach NASCET und ihre Abdeckung im Projekt
! Schweregrad !! Durchmesserreduktion !! im Projekt gerechnete Stenosegrade !! hervorgehobener Vertreter
|-
| gesundes Gefäß || 0 % || 0 || 0
|-
| leichtgradige Stenose || unter 50 % || 0,1 bis 0,4 || 0,3
|-
| mittelgradige Stenose || 50 bis 69 % || 0,5 und 0,6 || 0,6
|-
| hochgradige Stenose || 70 bis 99 % || 0,7 und 0,8 || 0,8
|-
| Okklusion || 100 % || nicht gerechnet || entfällt
|}

Für die numerische Untersuchung wird aus jeder Kategorie ein repräsentativer Stenosegrad hervorgehoben. Neben dem gesunden Gefäß mit '''0 %''' Stenose sind das eine '''30 %''' Stenose als Beispiel für eine leichtgradige, eine '''60 %''' Stenose als Beispiel für eine mittelgradige und eine '''80 %''' Stenose als Beispiel für eine hochgradige Verengung. Zusätzlich werden im Graphenmodell und im achsensymmetrischen Flächenmodell alle Zwischenwerte in Schritten von zehn Prozentpunkten gerechnet. Das kostet in diesen beiden Modellen nur Sekunden, liefert aber glatte Verläufe über dem Stenosegrad und macht sichtbar, ab welchem Grad sich das Verhalten der Strömung ändert. Ein vollständiger Gefäßverschluss wird nicht simuliert, da in diesem Fall keine durchgängige Strömung mehr vorliegt.

Der Stenosegrad wird in diesem Projekt wie bei NASCET über die Verringerung des Gefäßdurchmessers beschrieben,

&lt;math&gt;s = 1 - \frac{d_{\min}}{d_{\mathrm{ref}}},&lt;/math&gt;

wobei &lt;math&gt;d_{\min}&lt;/math&gt; der kleinste Durchmesser in der Engstelle und &lt;math&gt;d_{\mathrm{ref}}&lt;/math&gt; ein Referenzdurchmesser ist. NASCET verwendet als Referenz den Durchmesser des gesunden Gefäßes stromabwärts der Stenose. Im idealisierten Modell hat das Gefäß vor und hinter der Engstelle denselben Durchmesser &lt;math&gt;D_0&lt;/math&gt;, sodass &lt;math&gt;d_{\mathrm{ref}} = D_0&lt;/math&gt; gilt und die NASCET-Definition mit allen anderen gebräuchlichen Durchmesserdefinitionen zusammenfällt.

Wichtig für das Verständnis aller weiteren Ergebnisse ist der Unterschied zwischen Durchmesser- und Flächenreduktion. Da die Querschnittsfläche quadratisch vom Durchmesser abhängt, gilt für die Flächenreduktion &lt;math&gt;1-(1-s)^2&lt;/math&gt;. Eine im klinischen Sinn nur mittelgradige Stenose von 60 % verschließt damit bereits 84 % der Querschnittsfläche.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Durchmesser- und Flächenreduktion der gerechneten Stenosegrade
! Stenosegrad s !! 0 !! 0,1 !! 0,2 !! 0,3 !! 0,4 !! 0,5 !! 0,6 !! 0,7 !! 0,8
|-
| engster Durchmesser in mm || 6,0 || 5,4 || 4,8 || 4,2 || 3,6 || 3,0 || 2,4 || 1,8 || 1,2
|-
| Flächenreduktion || 0 % || 19 % || 36 % || 51 % || 64 % || 75 % || 84 % || 91 % || 96 %
|}

Zwei Einschränkungen gehören zur ehrlichen Einordnung. Erstens ist die NASCET-Klassifikation für Stenosen der ''Arteria carotis interna'' entwickelt worden, also des Astes hinter der Gabelung, während hier ein gerader Abschnitt der ''Arteria carotis communis'' modelliert wird. Die Klassifikation dient im Projekt deshalb als Orientierung für sinnvolle Abstufungen und nicht als diagnostische Aussage. Zweitens zeigt sich im Abschnitt zur Modellierung, dass die Annahme einer stationären, laminaren Strömung ab einem Stenosegrad von etwa 0,6 an ihre Grenzen stößt. Die hochgradigen Fälle werden deshalb zwar gerechnet, ihre Ergebnisse aber ausdrücklich als Grenzfall des Modells diskutiert.

= Modellierung =

Modellierung bedeutet hier, die reale Situation in eine mathematische Aufgabe zu übersetzen, die sich lösen lässt. Dazu gehören vier Bausteine, nämlich das Rechengebiet, die Gleichungen, die Zahlenwerte der Parameter und die Bedingungen an den Rändern. Jeder dieser Bausteine beruht auf Annahmen, und jede Annahme muss begründet werden. Dieser Abschnitt geht die Bausteine deshalb der Reihe nach durch und nennt bei jedem Zahlenwert, woher er stammt und warum er sinnvoll ist.

== Modellhierarchie ==

Das Projekt rechnet nicht ein einziges Modell, sondern vier aufeinander aufbauende Modellvarianten. Sie entsprechen der Kursanforderung, eine Strömung als Graph, in zwei und in drei Raumdimensionen darzustellen, und sie sind bewusst von einfach nach aufwendig geordnet.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Die vier Modellvarianten des Projekts
! Modell !! Raumdimension !! gelöste Gleichung !! Zweck !! Werkzeug
|-
| Graphenmodell || 1D, Gefäßachse || Hagen-Poiseuille je Rohrstück und Massenerhaltung in jedem Knoten || schnelle, analytisch nachrechenbare Abschätzung für jeden Stenosegrad || Octave und COMSOL (Koeffizientenform-PDGL)
|-
| achsensymmetrisches Flächenmodell || 2D, Halbschnitt in r und z || vollständige stationäre Navier-Stokes-Gleichungen in Zylinderkoordinaten || Hauptmodell, liefert alle Feldgrößen des rotationssymmetrischen Rohres || COMSOL, Laminare Strömung
|-
| ebenes Flächenmodell || 2D, Halbschnitt in x und y || vollständige stationäre Navier-Stokes-Gleichungen in kartesischen Koordinaten || Vergleich, zeigt den Einfluss der zweiten Querschnittsrichtung || COMSOL, Laminare Strömung
|-
| Volumenmodell || 3D || vollständige stationäre Navier-Stokes-Gleichungen || Kontrolle des Hauptmodells und räumliche Darstellung || COMSOL, Laminare Strömung
|}

Die Reihenfolge folgt einem einfachen Prinzip. Jede Stufe liefert die Sollwerte, an denen die nächste, komplexere Stufe geprüft wird. Das Graphenmodell muss im gesunden Fall exakt die Poiseuille-Lösung ergeben. Das achsensymmetrische Modell muss im gesunden Fall dieselben Werte liefern und bei Stenose für Geschwindigkeit und Wandschubspannung in der Nähe des Graphenmodells liegen. Das Volumenmodell muss, weil die Geometrie rotationssymmetrisch ist, mit dem achsensymmetrischen Modell übereinstimmen.

== Modellannahmen ==

Um den Einfluss des Stenosegrades möglichst isoliert zu untersuchen, werden die folgenden Modellannahmen getroffen. Die Tabelle nennt zu jeder Annahme ihre mathematische Form, die Begründung und die Stelle, an der sie im Projekt überprüft wird.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Modellannahmen, ihre Begründung und ihre Überprüfung
! Annahme !! mathematische Form !! Begründung !! Überprüfung
|-
| Idealisierte Gefäßgeometrie || gerades Rohr mit kosinusförmiger, rotationssymmetrischer Verengung || isoliert die Wirkung des Stenosegrades von Krümmung, Verzweigung und Plaqueform || Diskussion in den Schlussfolgerungen
|-
| Starre Gefäßwand || Wand ortsfest, keine Fluid-Struktur-Kopplung || im stationären Fall gibt es keine Druckschwankung, die die Wand periodisch aufweiten könnte || Abschätzung über die gemessene Durchmesseränderung im Herzzyklus
|-
| Stationäre Strömung || &lt;math&gt;\partial \mathbf{u}/\partial t = \mathbf{0}&lt;/math&gt; || der Einfluss des Stenosegrades soll ohne Überlagerung durch die Pulsation sichtbar werden || Abschätzung über die Womersley-Zahl
|-
| Inkompressibles Fluid || &lt;math&gt;\rho = \mathrm{const}&lt;/math&gt;, damit &lt;math&gt;\nabla\cdot\mathbf{u} = 0&lt;/math&gt; || Blut ist eine Flüssigkeit, Druckänderungen von wenigen hundert Pascal ändern die Dichte nicht messbar || Massenerhaltung in fünf Querschnitten
|-
| Newtonsche Näherung || konstante Viskosität &lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt; || die Scherraten an der Wand und im größten Teil des Querschnitts liegen über dem Bereich, in dem Blut deutlich scherverdünnend wirkt || Scherrate an der Wand, Diskussion des Rückströmgebiets
|-
| Konstante Stoffeigenschaften || &lt;math&gt;\rho&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt; räumlich und zeitlich konstant || Körpertemperatur ist im betrachteten Abschnitt konstant || entfällt
|-
| Laminare Strömung || kein Turbulenzmodell, Schnittstelle Laminare Strömung || Reynoldszahl des gesunden Gefäßes von 386 liegt weit unter dem Umschlagbereich || Reynoldszahl in der Engstelle, Literaturvergleich
|-
| Haftbedingung an der Wand || &lt;math&gt;\mathbf{u} = \mathbf{0}&lt;/math&gt; auf der Wand || Folge der Viskosität, das Fluid haftet an der Wand || Grundlage jeder Wandschubspannung
|-
| Vernachlässigung der Gravitation || keine Volumenkraft || bei konstanter Dichte lässt sich die Schwerkraft vollständig in einen hydrostatischen Druckanteil verschieben und beeinflusst die Geschwindigkeit nicht || Begründung in den Mathematischen Hintergründen
|-
| Voll entwickelte Einströmung || parabolisches Profil am Einlass || die natürliche Einlaufstrecke wäre mit rund 139 mm fast so lang wie das ganze Rechengebiet || Scheitelgeschwindigkeit im gesunden Fall
|-
| Eingeprägter Volumenstrom || &lt;math&gt;Q = Q_0&lt;/math&gt; am Einlass || der Strömungswiderstand des Abschnitts ist klein gegenüber dem des nachgeschalteten Gefäßbetts || Abschätzung mit einem Reihenwiderstand
|}

Einige dieser Annahmen sind unmittelbar einsichtig, andere verdienen eine genauere Begründung, weil von ihnen die Aussagekraft der Ergebnisse abhängt.

Die '''Newtonsche Näherung''' ist die Annahme, die bei Blut am häufigsten hinterfragt wird. Reales Blut ist eine Suspension aus Plasma und Blutzellen und verhält sich scherverdünnend. Bei kleinen Scherraten lagern sich die roten Blutkörperchen zu geldrollenartigen Stapeln zusammen, und die Viskosität steigt auf ein Vielfaches an. Bei großen Scherraten lösen sich diese Stapel auf, und die Viskosität strebt gegen einen Grenzwert von etwa 3,5 mPa·s. Entscheidend ist also die Scherrate. An der Wand des gesunden Modellgefäßes beträgt sie nach der Poiseuille-Lösung

&lt;math&gt;\dot\gamma_w = \frac{4\,U_0}{R_0} = \frac{4 \cdot 0{,}2122\ \mathrm{m/s}}{0{,}003\ \mathrm{m}} \approx 283\ \mathrm{s^{-1}}&lt;/math&gt;

und liegt damit oberhalb von etwa 100 pro Sekunde, wo sich Newtonsches und nicht Newtonsches Modell nach der Literatur nur noch wenig unterscheiden.&lt;ref name=&quot;boyd&quot;&gt;Die Grenze von etwa 100 s&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt; wird in vergleichenden Studien zur Blutrheologie verwendet, etwa bei Bernabeu, M. O. u. a.: ''Impact of blood rheology on wall shear stress in a model of the middle cerebral artery.'' Interface Focus 3 (2013), 20120094. &lt;!-- FIXME Zitat und Seitenangabe am Original pruefen --&gt;&lt;/ref&gt; In der Engstelle steigt die Scherrate weiter an, beim Stenosegrad 0,5 auf rund 2260 pro Sekunde. Schwach ist die Näherung dort, wo die Scherrate klein wird, also in der Mitte des Gefäßes und vor allem im Rückströmgebiet hinter der Stenose. Dort ist reales Blut zäher als angenommen. Dieser Punkt wird in den Schlussfolgerungen wieder aufgegriffen.

Die '''stationäre Strömung''' ist die stärkste Vereinfachung. Wie wichtig die Pulsation ist, misst die Womersley-Zahl, die das Verhältnis von instationärer Trägheit zu Reibung angibt. Mit einer Herzfrequenz von 60 Schlägen je Minute, also einer Kreisfrequenz &lt;math&gt;\omega = 2\pi\ \mathrm{s^{-1}}&lt;/math&gt;, ergibt sich

&lt;math&gt;\alpha = R_0 \sqrt{\frac{\omega \rho}{\mu}} = 0{,}003\ \mathrm{m} \cdot \sqrt{\frac{2\pi\ \mathrm{s^{-1}} \cdot 1060\ \mathrm{kg/m^3}}{0{,}0035\ \mathrm{Pa\,s}}} \approx 4{,}1 .&lt;/math&gt;

Ein Wert in dieser Größenordnung bedeutet, dass das reale Geschwindigkeitsprofil im Herzzyklus merklich von der Parabel abweicht.&lt;ref name=&quot;womersley&quot;&gt;Womersley, J. R.: ''Method for the calculation of velocity, rate of flow and viscous drag in arteries when the pressure gradient is known.'' Journal of Physiology 127 (1955), S. 553-563.&lt;/ref&gt; Hinzu kommt, dass der Volumenstrom in der Systole kurzzeitig auf rund das Vierfache des Mittelwerts steigt.&lt;ref name=&quot;holdsworth&quot;&gt;Holdsworth, D. W.; Norley, C. J. D.; Frayne, R.; Steinman, D. A.; Rutt, B. K.: ''Characterization of common carotid artery blood-flow waveforms in normal human subjects.'' Physiological Measurement 20 (1999), Nr. 3, S. 219-240. DOI 10.1088/0967-3334/20/3/301. Angegeben werden ein mittlerer Volumenstrom von 6,0 ± 1,4 ml/s und ein systolischer Spitzenwert von 23,5 ± 3,8 ml/s. &lt;!-- FIXME Zahlenwerte und Probandenzahl am Original pruefen --&gt;&lt;/ref&gt; Die stationäre Rechnung mit dem Mittelwert beschreibt deshalb nicht den zeitlichen Verlauf, wohl aber den zeitlich gemittelten Zustand, an dem sich der Einfluss des Stenosegrades sauber vergleichen lässt.

Die '''laminare Strömung''' wird über die Reynoldszahl begründet. Sie beträgt im gesunden Gefäß 386 und liegt damit weit unter dem Wert von etwa 2300, ab dem die Strömung in einem geraden Rohr in den Übergangsbereich gelangen kann. In der Engstelle steigt sie bei festem Volumenstrom auf &lt;math&gt;Re_0/(1-s)&lt;/math&gt;, also auf 551 beim Stenosegrad 0,3, auf 964 beim Grad 0,6 und auf 1928 beim Grad 0,8. Für den Strahl hinter einer Engstelle ist der Umschlagbereich allerdings deutlich niedriger als im geraden Rohr. Direkte numerische Simulationen an genau der in diesem Projekt verwendeten Stenosegeometrie zeigen, dass die Strömung bei einer Einström-Reynoldszahl von 500 auch bei leichter Unsymmetrie laminar bleibt, bei 1000 dagegen schon eine Exzentrizität von fünf Prozent des Durchmessers genügt, um den Strahl in lokal turbulente Strömung umschlagen zu lassen.&lt;ref name=&quot;varghese&quot;&gt;Varghese, S. S.; Frankel, S. H.; Fischer, P. F.: ''Direct numerical simulation of stenotic flows. Part 1. Steady flow.'' Journal of Fluid Mechanics 582 (2007), S. 253-280. Untersucht wird eine kosinusförmige Stenose der Länge 2D mit 75 % Flächenreduktion, die mit der Geometrie dieses Projekts beim Stenosegrad 0,5 übereinstimmt. &lt;!-- FIXME Band und Seiten am Original pruefen --&gt;&lt;/ref&gt; Mit einer Einström-Reynoldszahl von 386 liegt das Projekt für die leicht- und mittelgradigen Stenosen sicher im laminaren Bereich. Für die hochgradigen Stenosen ab 0,7 ist ein laminares, stationäres Modell dagegen nur noch eine Näherung, die eine Obergrenze der geordneten Strömung beschreibt. Diese Fälle werden deshalb als Grenzfall des Modells gekennzeichnet.

Die '''starre Wand''' lässt sich über Messungen abschätzen. Der Durchmesser der gemeinsamen Halsschlagader ändert sich im Herzzyklus bei jungen Menschen um etwa 12 bis 14 Prozent und bei älteren Menschen um etwa 5 Prozent.&lt;ref name=&quot;hansen&quot;&gt;Hansen, F.; Mangell, P.; Sonesson, B.; Länne, T.: ''Diameter and compliance in the human common carotid artery: variations with age and sex.'' Ultrasound in Medicine and Biology 21 (1995), Nr. 1, S. 1-9. DOI 10.1016/0301-5629(94)00090-5.&lt;/ref&gt; Diese Bewegung ist eine Folge der Pulsation. In einer stationären Rechnung gibt es keine Druckschwankung, die die Wand periodisch aufweiten könnte, sodass die starre Wand zur stationären Annahme konsistent ist. Eine verkalkte Plaque ist ohnehin deutlich steifer als die gesunde Wand.

Die Annahme des '''eingeprägten Volumenstroms''' wird im Abschnitt zu den Randbedingungen begründet, weil sie sich nur im Zusammenhang mit dem Kreislauf beurteilen lässt.

== Simulationsgebiet und Geometrie ==

Die Gefäßachse ist die z-Achse, der Ursprung liegt in der Mitte der Stenose, und &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; bezeichnet den Abstand von der Achse. Das Rechengebiet reicht von &lt;math&gt;z = -L_u&lt;/math&gt; bis &lt;math&gt;z = L_d&lt;/math&gt; und wird radial von der Wandkontur &lt;math&gt;R(z)&lt;/math&gt; begrenzt. Die Verengung wird über eine einzige glatte Funktion beschrieben,

&lt;math&gt;R(z) = R_0 \left[ 1 - \frac{s}{2}\left(1 + \cos\frac{2\pi z}{L_s}\right)\right] \quad \text{falls } |z| \le \frac{L_s}{2}, \qquad R(z) = R_0 \ \text{sonst.}&lt;/math&gt;

Die Funktion hat drei Eigenschaften, die ihre Wahl begründen. Sie wird erstens über einen einzigen Parameter gesteuert, den Stenosegrad &lt;math&gt;s&lt;/math&gt;. Der engste Radius in der Mitte beträgt &lt;math&gt;R(0) = R_0(1-s)&lt;/math&gt;, und der Fall ohne Verengung ist einfach der Fall &lt;math&gt;s = 0&lt;/math&gt;. Die gesamte Vergleichsreihe entsteht damit aus einem einzigen parametrischen Sweep. Sie geht zweitens an beiden Enden der Störstelle ohne Knick in das gerade Rohr über. Bei &lt;math&gt;z = \pm L_s/2&lt;/math&gt; ist der Kosinus gleich minus eins, die Klammer also null, und seine Ableitung verschwindet dort ebenfalls. Das ist nicht nur ästhetisch, sondern numerisch notwendig, denn ein Knick in der Wand erzeugt eine Singularität der Wandschubspannung, deren berechneter Wert mit jeder Netzverfeinerung weiter wüchse. Eine Netzstudie wäre dann sinnlos. Sie ist drittens die in der Literatur gebräuchliche Standardgeometrie für Stenosen, sodass sich die Ergebnisse unmittelbar mit veröffentlichten Rechnungen vergleichen lassen.&lt;ref name=&quot;varghese&quot; /&gt;

[[Datei:Stenose Gruppe5 Wandkontur.svg|mini|zentriert|800px|Wandkontur &lt;math&gt;R(z)&lt;/math&gt; für die untersuchten Stenosegrade. Die Darstellung ist in radialer Richtung gestreckt, das Rechengebiet ist in Wirklichkeit fünfundzwanzigmal länger als breit.]]
&lt;!-- FIXME Abbildung mit abbildungen_graph_1d.m fuer s = 0 bis 0,8 neu erzeugen, bisher nur bis 0,5 --&gt;

Die Abmessungen des Rechengebiets werden alle aus dem Gefäßradius abgeleitet. Das hat den Vorteil, dass sich das gesamte Modell durch Ändern eines einzigen Wertes auf ein anderes Gefäß übertragen lässt. Die einzelnen Längen werden im Folgenden Schritt für Schritt begründet.

# Der '''Gefäßradius''' &lt;math&gt;R_0 = 3\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; folgt aus Ultraschallmessungen an gesunden Erwachsenen. Dort wurden für die gemeinsame Halsschlagader mittlere Durchmesser von 6,10 ± 0,80 mm bei Frauen und 6,52 ± 0,98 mm bei Männern gemessen.&lt;ref name=&quot;krejza&quot;&gt;Krejza, J.; Arkuszewski, M.; Kasner, S. E.; Weigele, J.; Ustymowicz, A.; Hurst, R. W.; Cucchiara, B. L.; Messe, S. R.: ''Carotid artery diameter in men and women and the relation to body and neck size.'' Stroke 37 (2006), Nr. 4, S. 1103-1105. DOI 10.1161/01.STR.0000206440.48756.f7.&lt;/ref&gt; Der gewählte Durchmesser von &lt;math&gt;D_0 = 6\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; liegt damit innerhalb einer Standardabweichung beider Gruppen und ist bewusst auf einen runden Wert gesetzt, damit alle abgeleiteten Längen glatte Zahlen ergeben.
# Die '''Länge der Störstelle''' &lt;math&gt;L_s = 2 D_0 = 12\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; entspricht der Standardgeometrie aus der Literatur, die eine Stenosenlänge von zwei Durchmessern verwendet.&lt;ref name=&quot;varghese&quot; /&gt; Damit ist beim Stenosegrad 0,5 ein direkter Vergleich mit veröffentlichten Ergebnissen möglich.
# Die '''Vorlaufstrecke''' &lt;math&gt;L_u = 5 D_0 = 30\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; trennt den Einlass von der Stenose. Da am Einlass bereits das voll entwickelte Profil vorgegeben wird, muss sie nicht die Einlaufstrecke abdecken, sondern nur verhindern, dass die Einströmrandbedingung die Strömung an der Engstelle beeinflusst. Bei Reynoldszahlen in dieser Größenordnung reicht der Einfluss einer Verengung nur wenige Durchmesser stromaufwärts, die Literatur kommt für dieselbe Geometrie mit drei Durchmessern Vorlauf aus.&lt;ref name=&quot;varghese&quot; /&gt; Fünf Durchmesser lassen also eine Reserve. Überprüft wird das im Ergebnis, indem die Geschwindigkeit auf der Achse in der Mitte der Vorlaufstrecke mit dem Sollwert &lt;math&gt;2U_0&lt;/math&gt; verglichen wird.
# Die '''Nachlaufstrecke''' &lt;math&gt;L_d = 20 D_0 = 120\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; ist deutlich länger, weil sich hinter der Engstelle ein Rückströmgebiet bildet, das nicht auf den Auslass treffen darf. Für die Geometrie mit dem Stenosegrad 0,5 legt die Strömung bei einer Einström-Reynoldszahl von 500 erst etwa zehn Durchmesser hinter der Engstelle wieder an, die Literatur rechnet mit sechzehn Durchmessern Nachlauf.&lt;ref name=&quot;varghese&quot; /&gt; Zwanzig Durchmesser bieten damit für alle Stenosegrade bis 0,5 einen Sicherheitsabstand. Für die Grade ab 0,6 ist ein längeres Rückströmgebiet zu erwarten, dort wird die Lage des Wiederanlegepunktes ausdrücklich kontrolliert.
# Das '''Ende des fein vernetzten Nachlaufs''' &lt;math&gt;L_f = L_s/2 + 10 D_0 = 66\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; legt fest, bis wohin das Netz verfeinert wird. Der Wert ist so gewählt, dass das erwartete Rückströmgebiet von etwa zehn Durchmessern vollständig im feinen Bereich liegt.

Damit hat das Rechengebiet eine Gesamtlänge von &lt;math&gt;L = L_u + L_d = 150\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt;, also das Fünfundzwanzigfache des Durchmessers. Es ist ein Modellgebiet und kein maßstäbliches Abbild eines bestimmten anatomischen Abschnitts.

== Stoff- und Strömungsparameter ==

Die Stoffwerte des Blutes und der Volumenstrom sind die einzigen Eingangsgrößen, die nicht aus der Geometrie folgen. Aus ihnen werden alle weiteren Strömungskennwerte berechnet. Die folgenden Schritte zeigen jede Rechnung einzeln, damit sich jeder Wert nachprüfen lässt.

# Die '''Dichte''' wird mit &lt;math&gt;\rho = 1060\ \mathrm{kg/m^3}&lt;/math&gt; angesetzt. Der Wert lässt sich als Mischungsregel plausibel machen. Plasma hat eine Dichte von etwa 1025 kg/m³, rote Blutkörperchen von etwa 1100 kg/m³. Bei einem Zellanteil von 45 % ergibt sich &lt;math&gt;0{,}55 \cdot 1025 + 0{,}45 \cdot 1100 \approx 1059\ \mathrm{kg/m^3}&lt;/math&gt;. Die Dichte geht nur über die Reynoldszahl in die Rechnung ein, eine Abweichung von einem Prozent ändert die Ergebnisse daher kaum. &lt;!-- FIXME Lehrbuchquelle fuer Plasma- und Erythrozytendichte ergaenzen --&gt;
# Die '''dynamische Viskosität''' wird mit &lt;math&gt;\mu = 3{,}5\ \mathrm{mPa\,s}&lt;/math&gt; angesetzt. Das ist der Grenzwert der Blutviskosität bei hohen Scherraten, also genau der Wert, der zur Newtonschen Näherung gehört. Derselbe Wert von 0,035 Poise wird auch im Standardwerk zur Modellierung des Herz-Kreislauf-Systems verwendet.&lt;ref name=&quot;quarteroni&quot;&gt;Quarteroni, A.; Formaggia, L.: ''Mathematical Modelling and Numerical Simulation of the Cardiovascular System.'' In: Ayache, N. (Hrsg.): ''Computational Models for the Human Body.'' Handbook of Numerical Analysis, Bd. XII, Elsevier, Amsterdam 2004, S. 3-127. DOI 10.1016/S1570-8659(03)12001-7. Zur Newtonschen Näherung in großen Gefäßen siehe S. 30, zur Viskosität von 0,035 Poise die Parametertabelle auf S. 116.&lt;/ref&gt;
# Der '''mittlere Volumenstrom''' wird mit &lt;math&gt;Q_0 = 6\ \mathrm{ml/s}&lt;/math&gt; angesetzt. Das ist der zeitlich gemittelte Volumenstrom, der in der gemeinsamen Halsschlagader gesunder Probanden gemessen wurde.&lt;ref name=&quot;holdsworth&quot; /&gt;
# Die '''mittlere Geschwindigkeit''' folgt aus Volumenstrom und Querschnittsfläche, &lt;math&gt;U_0 = \frac{Q_0}{\pi R_0^2} = \frac{6 \cdot 10^{-6}\ \mathrm{m^3/s}}{\pi \cdot (0{,}003\ \mathrm{m})^2} = 0{,}2122\ \mathrm{m/s}&lt;/math&gt;.
# Die '''Reynoldszahl''' des gesunden Gefäßes ist &lt;math&gt;Re_0 = \frac{\rho\, U_0\, D_0}{\mu} = \frac{1060 \cdot 0{,}2122 \cdot 0{,}006}{0{,}0035} = 385{,}6&lt;/math&gt;. Sie wird im Folgenden auf 386 gerundet.
# Die '''Einlauflänge''', die eine anfangs gleichförmige Strömung bis zum voll entwickelten Parabelprofil bräuchte, beträgt nach der gebräuchlichen Abschätzung für laminare Rohrströmungen &lt;math&gt;L_e \approx 0{,}06\, Re_0\, D_0 \approx 0{,}06 \cdot 386 \cdot 6\ \mathrm{mm} \approx 139\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt;.&lt;ref name=&quot;durst&quot;&gt;Durst, F.; Ray, S.; Ünsal, B.; Bayoumi, O. A.: ''The development lengths of laminar pipe and channel flows.'' Journal of Fluids Engineering 127 (2005), Nr. 6, S. 1154-1160. Für große Reynoldszahlen nähert sich die dort angegebene Korrelation dem Wert 0,057·Re·D.&lt;/ref&gt; Das ist fast die gesamte Länge des Rechengebiets. Ein konstantes Einlassprofil würde die Strömung an der Stenose also verfälschen, weshalb am Einlass das voll entwickelte Profil vorgegeben wird.

Damit liegen alle globalen Parameter fest. Die folgende Tabelle enthält sie mit genau den Namen, unter denen sie in COMSOL und in den Octave-Skripten verwendet werden.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Globale Parameter des Modells
! Name !! Ausdruck in COMSOL !! Wert !! Bedeutung !! Herkunft
|-
| R0 || 3[mm] || 3 mm || Gefäßradius || Messwerte nach Krejza u. a. 2006, gerundet
|-
| D0 || 2*R0 || 6 mm || Gefäßdurchmesser || abgeleitet
|-
| Ls || 2*D0 || 12 mm || Länge der Störstelle || Standardgeometrie nach Varghese u. a. 2007
|-
| Lu || 5*D0 || 30 mm || Vorlaufstrecke vor der Stenosemitte || Abstand der Einlassbedingung von der Stenose
|-
| Ld || 20*D0 || 120 mm || Nachlaufstrecke hinter der Stenosemitte || Platz für das Rückströmgebiet
|-
| Lf || Ls/2+10*D0 || 66 mm || Ende des fein vernetzten Nachlaufs || erwartete Länge des Rückströmgebiets
|-
| s || 0 bis 0.8 || 0 bis 0,8 || Stenosegrad bezogen auf den Durchmesser || NASCET-Einteilung
|-
| rho_b || 1060[kg/m^3] || 1060 kg/m³ || Dichte des Blutes || Mischungsregel, Literaturwert
|-
| mu_b || 3.5[mPa*s] || 3,5 mPa·s || dynamische Viskosität des Blutes || Hochscherwert, Quarteroni und Formaggia 2004
|-
| Q0 || 6[ml/s] || 6 ml/s || mittlerer Volumenstrom || Messwerte nach Holdsworth u. a. 1999
|-
| U0 || Q0/(pi*R0^2) || 0,2122 m/s || mittlere Einströmgeschwindigkeit || abgeleitet
|-
| Re0 || rho_b*U0*D0/mu_b || 385,6 || Reynoldszahl des gesunden Gefäßes || abgeleitet
|-
| dp_ref || 8*mu_b*U0*(Lu+Ld)/R0^2 || 99,03 Pa || Poiseuille-Druckabfall des gesunden Gefäßes || abgeleitet, Hagen-Poiseuille
|}


= Literaturverzeichnis =

Alle Quellen sind an den Stellen im Text angegeben, an denen die zugehörigen Werte oder Aussagen verwendet werden. Die Liste wird aus diesen Angaben automatisch erzeugt.

&lt;references /&gt;</text>
      <sha1>3ojbk8vly4ua162boa5mzf3xduda8tb</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>1115869</id>
      <parentid>1115868</parentid>
      <timestamp>2026-10-12T15:04:38Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Heitele</username>
        <id>38553</id>
      </contributor>
      <comment>/* Thema und Fragestellung */</comment>
      <origin>1115869</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="29513" sha1="lq7q7beogur4r11wedxr1a0wccvxgp2" xml:space="preserve">= Gruppenteilnehmer =
* Joey Becker
* Marie-Thérèse Heitele
* Nicole Pander

= Thema und Fragestellung =


== Fragestellung ==

Wie verändert eine rotationssymmetrische Stenose die stationäre Strömung eines inkompressiblen Newtonschen Fluids in einem idealisierten Abschnitt der Arteria carotis communis hinsichtlich Geschwindigkeitsverteilung, Druckverteilung, Wandschubspannung und Strömungsmuster, und wie entwickeln sich diese Größen mit zunehmendem Stenosegrad im Vergleich zu einem gesunden Gefäß?

Aus dieser Fragestellung ergeben sich drei Teilfragen, an denen sich der Aufbau der Seite orientiert.

# Welche Strömungsgrößen reagieren empfindlich auf den Stenosegrad und welche nur träge?
# Ab welchem Stenosegrad ändert sich das Strömungsmuster qualitativ, das heißt, ab wann löst die Strömung hinter der Engstelle von der Wand ab und bildet ein Rückströmgebiet?
# Wie weit tragen die vereinfachenden Modellannahmen, insbesondere die Annahme einer stationären und laminaren Strömung, über den untersuchten Bereich der Stenosegrade?

= Relevanz =

Die Untersuchung von Gefäßverengungen besitzt eine medizinische und eine methodische Bedeutung. Beide werden im Folgenden getrennt begründet, weil sie unterschiedliche Anforderungen an das Modell stellen. Die medizinische Fragestellung verlangt realistische Zahlenwerte, die methodische Fragestellung verlangt nachprüfbare Rechnungen.

== Medizinische Relevanz ==

Arterielle Stenosen entstehen überwiegend durch Atherosklerose, also durch Ablagerungen aus Lipiden, Bindegewebe und Kalk in der Gefäßwand. In der Halsschlagader sind sie klinisch besonders bedeutsam, weil sie die Durchblutung des Gehirns beeinträchtigen und weil sich an ihnen Thromben bilden können, die als Embolie einen Schlaganfall auslösen. Dass die operative Entfernung einer hochgradigen Karotisstenose das Schlaganfallrisiko symptomatischer Patienten deutlich senkt, hat die NASCET-Studie gezeigt, deren Einteilung der Stenosegrade dieses Projekt übernimmt.&lt;ref name=&quot;nascet&quot;&gt;North American Symptomatic Carotid Endarterectomy Trial Collaborators: ''Beneficial effect of carotid endarterectomy in symptomatic patients with high-grade carotid stenosis.'' New England Journal of Medicine 325 (1991), Nr. 7, S. 445-453.&lt;/ref&gt;

Strömungsmechanisch ist an einer Stenose vor allem die Wandschubspannung von Interesse, also die tangentiale Kraft je Fläche, die das strömende Blut auf die innerste Zellschicht der Gefäßwand ausübt. Gesunde Halsschlagadern weisen zeitlich gemittelte Werte von etwa 1,1 bis 1,5 Pa auf.&lt;ref name=&quot;samijo&quot;&gt;Samijo, S. K.; Willigers, J. M.; Barkhuysen, R.; Kitslaar, P. J. E. H. M.; Reneman, R. S.; Brands, P. J.; Hoeks, A. P. G.: ''Wall shear stress in the human common carotid artery as function of age and gender.'' Cardiovascular Research 39 (1998), Nr. 2, S. 515-522.&lt;/ref&gt; In einer Engstelle steigt sie stark an, unmittelbar dahinter fällt sie im Ablösegebiet auf nahezu null und wechselt dort sogar das Vorzeichen. Niedrige und im Vorzeichen wechselnde Wandschubspannungen gelten als Bedingungen, unter denen sich weitere Ablagerungen bevorzugt bilden. Eine bestehende Stenose schafft also stromabwärts die Voraussetzungen für ihr eigenes Wachstum. Genau diese Verteilung lässt sich im Körper nur schwer messen, in einer Simulation dagegen unmittelbar auswerten.

== Methodische Relevanz ==

Fachlich überträgt das Projekt die Prinzipien der Strömungsmechanik aus der Vorlesung auf eine biomedizinische Anwendung.&lt;ref name=&quot;hundertmark&quot;&gt;Hundertmark, A.: ''Fluiddynamik.'' Vorlesungsunterlagen zum Modul Räumliche Modellbildung, RPTU Kaiserslautern-Landau, Sommersemester 2026.&lt;/ref&gt; Der methodische Mehrwert liegt in der Verknüpfung mehrerer Zugänge, die sich gegenseitig kontrollieren. Die analytische Poiseuille-Lösung liefert exakte Sollwerte für das gesunde Gefäß. Ein reduziertes Graphenmodell liefert für jeden Stenosegrad eine schnelle Abschätzung, die analytisch nachrechenbar ist. Die Simulationen in COMSOL Multiphysics lösen schließlich die vollständigen Navier-Stokes-Gleichungen in zwei und drei Raumdimensionen. Weil jede Stufe die Sollwerte der nächsten liefert, zeigt das Projekt nicht nur Ergebnisse, sondern auch, wie numerische Modelle aufgebaut, verifiziert und an ihren Grenzen bewertet werden.

== Auswahl der Stenosegrade ==

Um die untersuchten Gefäßverengungen nicht willkürlich festzulegen, orientiert sich die Auswahl der Stenosegrade an der klinisch gebräuchlichen NASCET-Klassifikation von Karotisstenosen.&lt;ref name=&quot;nascet&quot; /&gt; Sie teilt Stenosen nach ihrer Durchmesserreduktion in drei Schweregrade ein, ein vollständiger Gefäßverschluss wird als Okklusion bezeichnet.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Schweregrade nach NASCET und ihre Abdeckung im Projekt
! Schweregrad !! Durchmesserreduktion !! im Projekt gerechnete Stenosegrade !! hervorgehobener Vertreter
|-
| gesundes Gefäß || 0 % || 0 || 0
|-
| leichtgradige Stenose || unter 50 % || 0,1 bis 0,4 || 0,3
|-
| mittelgradige Stenose || 50 bis 69 % || 0,5 und 0,6 || 0,6
|-
| hochgradige Stenose || 70 bis 99 % || 0,7 und 0,8 || 0,8
|-
| Okklusion || 100 % || nicht gerechnet || entfällt
|}

Für die numerische Untersuchung wird aus jeder Kategorie ein repräsentativer Stenosegrad hervorgehoben. Neben dem gesunden Gefäß mit '''0 %''' Stenose sind das eine '''30 %''' Stenose als Beispiel für eine leichtgradige, eine '''60 %''' Stenose als Beispiel für eine mittelgradige und eine '''80 %''' Stenose als Beispiel für eine hochgradige Verengung. Zusätzlich werden im Graphenmodell und im achsensymmetrischen Flächenmodell alle Zwischenwerte in Schritten von zehn Prozentpunkten gerechnet. Das kostet in diesen beiden Modellen nur Sekunden, liefert aber glatte Verläufe über dem Stenosegrad und macht sichtbar, ab welchem Grad sich das Verhalten der Strömung ändert. Ein vollständiger Gefäßverschluss wird nicht simuliert, da in diesem Fall keine durchgängige Strömung mehr vorliegt.

Der Stenosegrad wird in diesem Projekt wie bei NASCET über die Verringerung des Gefäßdurchmessers beschrieben,

&lt;math&gt;s = 1 - \frac{d_{\min}}{d_{\mathrm{ref}}},&lt;/math&gt;

wobei &lt;math&gt;d_{\min}&lt;/math&gt; der kleinste Durchmesser in der Engstelle und &lt;math&gt;d_{\mathrm{ref}}&lt;/math&gt; ein Referenzdurchmesser ist. NASCET verwendet als Referenz den Durchmesser des gesunden Gefäßes stromabwärts der Stenose. Im idealisierten Modell hat das Gefäß vor und hinter der Engstelle denselben Durchmesser &lt;math&gt;D_0&lt;/math&gt;, sodass &lt;math&gt;d_{\mathrm{ref}} = D_0&lt;/math&gt; gilt und die NASCET-Definition mit allen anderen gebräuchlichen Durchmesserdefinitionen zusammenfällt.

Wichtig für das Verständnis aller weiteren Ergebnisse ist der Unterschied zwischen Durchmesser- und Flächenreduktion. Da die Querschnittsfläche quadratisch vom Durchmesser abhängt, gilt für die Flächenreduktion &lt;math&gt;1-(1-s)^2&lt;/math&gt;. Eine im klinischen Sinn nur mittelgradige Stenose von 60 % verschließt damit bereits 84 % der Querschnittsfläche.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Durchmesser- und Flächenreduktion der gerechneten Stenosegrade
! Stenosegrad s !! 0 !! 0,1 !! 0,2 !! 0,3 !! 0,4 !! 0,5 !! 0,6 !! 0,7 !! 0,8
|-
| engster Durchmesser in mm || 6,0 || 5,4 || 4,8 || 4,2 || 3,6 || 3,0 || 2,4 || 1,8 || 1,2
|-
| Flächenreduktion || 0 % || 19 % || 36 % || 51 % || 64 % || 75 % || 84 % || 91 % || 96 %
|}

Zwei Einschränkungen gehören zur ehrlichen Einordnung. Erstens ist die NASCET-Klassifikation für Stenosen der ''Arteria carotis interna'' entwickelt worden, also des Astes hinter der Gabelung, während hier ein gerader Abschnitt der ''Arteria carotis communis'' modelliert wird. Die Klassifikation dient im Projekt deshalb als Orientierung für sinnvolle Abstufungen und nicht als diagnostische Aussage. Zweitens zeigt sich im Abschnitt zur Modellierung, dass die Annahme einer stationären, laminaren Strömung ab einem Stenosegrad von etwa 0,6 an ihre Grenzen stößt. Die hochgradigen Fälle werden deshalb zwar gerechnet, ihre Ergebnisse aber ausdrücklich als Grenzfall des Modells diskutiert.

= Modellierung =

Modellierung bedeutet hier, die reale Situation in eine mathematische Aufgabe zu übersetzen, die sich lösen lässt. Dazu gehören vier Bausteine, nämlich das Rechengebiet, die Gleichungen, die Zahlenwerte der Parameter und die Bedingungen an den Rändern. Jeder dieser Bausteine beruht auf Annahmen, und jede Annahme muss begründet werden. Dieser Abschnitt geht die Bausteine deshalb der Reihe nach durch und nennt bei jedem Zahlenwert, woher er stammt und warum er sinnvoll ist.

== Modellhierarchie ==

Das Projekt rechnet nicht ein einziges Modell, sondern vier aufeinander aufbauende Modellvarianten. Sie entsprechen der Kursanforderung, eine Strömung als Graph, in zwei und in drei Raumdimensionen darzustellen, und sie sind bewusst von einfach nach aufwendig geordnet.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Die vier Modellvarianten des Projekts
! Modell !! Raumdimension !! gelöste Gleichung !! Zweck !! Werkzeug
|-
| Graphenmodell || 1D, Gefäßachse || Hagen-Poiseuille je Rohrstück und Massenerhaltung in jedem Knoten || schnelle, analytisch nachrechenbare Abschätzung für jeden Stenosegrad || Octave und COMSOL (Koeffizientenform-PDGL)
|-
| achsensymmetrisches Flächenmodell || 2D, Halbschnitt in r und z || vollständige stationäre Navier-Stokes-Gleichungen in Zylinderkoordinaten || Hauptmodell, liefert alle Feldgrößen des rotationssymmetrischen Rohres || COMSOL, Laminare Strömung
|-
| ebenes Flächenmodell || 2D, Halbschnitt in x und y || vollständige stationäre Navier-Stokes-Gleichungen in kartesischen Koordinaten || Vergleich, zeigt den Einfluss der zweiten Querschnittsrichtung || COMSOL, Laminare Strömung
|-
| Volumenmodell || 3D || vollständige stationäre Navier-Stokes-Gleichungen || Kontrolle des Hauptmodells und räumliche Darstellung || COMSOL, Laminare Strömung
|}

Die Reihenfolge folgt einem einfachen Prinzip. Jede Stufe liefert die Sollwerte, an denen die nächste, komplexere Stufe geprüft wird. Das Graphenmodell muss im gesunden Fall exakt die Poiseuille-Lösung ergeben. Das achsensymmetrische Modell muss im gesunden Fall dieselben Werte liefern und bei Stenose für Geschwindigkeit und Wandschubspannung in der Nähe des Graphenmodells liegen. Das Volumenmodell muss, weil die Geometrie rotationssymmetrisch ist, mit dem achsensymmetrischen Modell übereinstimmen.

== Modellannahmen ==

Um den Einfluss des Stenosegrades möglichst isoliert zu untersuchen, werden die folgenden Modellannahmen getroffen. Die Tabelle nennt zu jeder Annahme ihre mathematische Form, die Begründung und die Stelle, an der sie im Projekt überprüft wird.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Modellannahmen, ihre Begründung und ihre Überprüfung
! Annahme !! mathematische Form !! Begründung !! Überprüfung
|-
| Idealisierte Gefäßgeometrie || gerades Rohr mit kosinusförmiger, rotationssymmetrischer Verengung || isoliert die Wirkung des Stenosegrades von Krümmung, Verzweigung und Plaqueform || Diskussion in den Schlussfolgerungen
|-
| Starre Gefäßwand || Wand ortsfest, keine Fluid-Struktur-Kopplung || im stationären Fall gibt es keine Druckschwankung, die die Wand periodisch aufweiten könnte || Abschätzung über die gemessene Durchmesseränderung im Herzzyklus
|-
| Stationäre Strömung || &lt;math&gt;\partial \mathbf{u}/\partial t = \mathbf{0}&lt;/math&gt; || der Einfluss des Stenosegrades soll ohne Überlagerung durch die Pulsation sichtbar werden || Abschätzung über die Womersley-Zahl
|-
| Inkompressibles Fluid || &lt;math&gt;\rho = \mathrm{const}&lt;/math&gt;, damit &lt;math&gt;\nabla\cdot\mathbf{u} = 0&lt;/math&gt; || Blut ist eine Flüssigkeit, Druckänderungen von wenigen hundert Pascal ändern die Dichte nicht messbar || Massenerhaltung in fünf Querschnitten
|-
| Newtonsche Näherung || konstante Viskosität &lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt; || die Scherraten an der Wand und im größten Teil des Querschnitts liegen über dem Bereich, in dem Blut deutlich scherverdünnend wirkt || Scherrate an der Wand, Diskussion des Rückströmgebiets
|-
| Konstante Stoffeigenschaften || &lt;math&gt;\rho&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt; räumlich und zeitlich konstant || Körpertemperatur ist im betrachteten Abschnitt konstant || entfällt
|-
| Laminare Strömung || kein Turbulenzmodell, Schnittstelle Laminare Strömung || Reynoldszahl des gesunden Gefäßes von 386 liegt weit unter dem Umschlagbereich || Reynoldszahl in der Engstelle, Literaturvergleich
|-
| Haftbedingung an der Wand || &lt;math&gt;\mathbf{u} = \mathbf{0}&lt;/math&gt; auf der Wand || Folge der Viskosität, das Fluid haftet an der Wand || Grundlage jeder Wandschubspannung
|-
| Vernachlässigung der Gravitation || keine Volumenkraft || bei konstanter Dichte lässt sich die Schwerkraft vollständig in einen hydrostatischen Druckanteil verschieben und beeinflusst die Geschwindigkeit nicht || Begründung in den Mathematischen Hintergründen
|-
| Voll entwickelte Einströmung || parabolisches Profil am Einlass || die natürliche Einlaufstrecke wäre mit rund 139 mm fast so lang wie das ganze Rechengebiet || Scheitelgeschwindigkeit im gesunden Fall
|-
| Eingeprägter Volumenstrom || &lt;math&gt;Q = Q_0&lt;/math&gt; am Einlass || der Strömungswiderstand des Abschnitts ist klein gegenüber dem des nachgeschalteten Gefäßbetts || Abschätzung mit einem Reihenwiderstand
|}

Einige dieser Annahmen sind unmittelbar einsichtig, andere verdienen eine genauere Begründung, weil von ihnen die Aussagekraft der Ergebnisse abhängt.

Die '''Newtonsche Näherung''' ist die Annahme, die bei Blut am häufigsten hinterfragt wird. Reales Blut ist eine Suspension aus Plasma und Blutzellen und verhält sich scherverdünnend. Bei kleinen Scherraten lagern sich die roten Blutkörperchen zu geldrollenartigen Stapeln zusammen, und die Viskosität steigt auf ein Vielfaches an. Bei großen Scherraten lösen sich diese Stapel auf, und die Viskosität strebt gegen einen Grenzwert von etwa 3,5 mPa·s. Entscheidend ist also die Scherrate. An der Wand des gesunden Modellgefäßes beträgt sie nach der Poiseuille-Lösung

&lt;math&gt;\dot\gamma_w = \frac{4\,U_0}{R_0} = \frac{4 \cdot 0{,}2122\ \mathrm{m/s}}{0{,}003\ \mathrm{m}} \approx 283\ \mathrm{s^{-1}}&lt;/math&gt;

und liegt damit oberhalb von etwa 100 pro Sekunde, wo sich Newtonsches und nicht Newtonsches Modell nach der Literatur nur noch wenig unterscheiden.&lt;ref name=&quot;boyd&quot;&gt;Die Grenze von etwa 100 s&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt; wird in vergleichenden Studien zur Blutrheologie verwendet, etwa bei Bernabeu, M. O. u. a.: ''Impact of blood rheology on wall shear stress in a model of the middle cerebral artery.'' Interface Focus 3 (2013), 20120094. &lt;!-- FIXME Zitat und Seitenangabe am Original pruefen --&gt;&lt;/ref&gt; In der Engstelle steigt die Scherrate weiter an, beim Stenosegrad 0,5 auf rund 2260 pro Sekunde. Schwach ist die Näherung dort, wo die Scherrate klein wird, also in der Mitte des Gefäßes und vor allem im Rückströmgebiet hinter der Stenose. Dort ist reales Blut zäher als angenommen. Dieser Punkt wird in den Schlussfolgerungen wieder aufgegriffen.

Die '''stationäre Strömung''' ist die stärkste Vereinfachung. Wie wichtig die Pulsation ist, misst die Womersley-Zahl, die das Verhältnis von instationärer Trägheit zu Reibung angibt. Mit einer Herzfrequenz von 60 Schlägen je Minute, also einer Kreisfrequenz &lt;math&gt;\omega = 2\pi\ \mathrm{s^{-1}}&lt;/math&gt;, ergibt sich

&lt;math&gt;\alpha = R_0 \sqrt{\frac{\omega \rho}{\mu}} = 0{,}003\ \mathrm{m} \cdot \sqrt{\frac{2\pi\ \mathrm{s^{-1}} \cdot 1060\ \mathrm{kg/m^3}}{0{,}0035\ \mathrm{Pa\,s}}} \approx 4{,}1 .&lt;/math&gt;

Ein Wert in dieser Größenordnung bedeutet, dass das reale Geschwindigkeitsprofil im Herzzyklus merklich von der Parabel abweicht.&lt;ref name=&quot;womersley&quot;&gt;Womersley, J. R.: ''Method for the calculation of velocity, rate of flow and viscous drag in arteries when the pressure gradient is known.'' Journal of Physiology 127 (1955), S. 553-563.&lt;/ref&gt; Hinzu kommt, dass der Volumenstrom in der Systole kurzzeitig auf rund das Vierfache des Mittelwerts steigt.&lt;ref name=&quot;holdsworth&quot;&gt;Holdsworth, D. W.; Norley, C. J. D.; Frayne, R.; Steinman, D. A.; Rutt, B. K.: ''Characterization of common carotid artery blood-flow waveforms in normal human subjects.'' Physiological Measurement 20 (1999), Nr. 3, S. 219-240. DOI 10.1088/0967-3334/20/3/301. Angegeben werden ein mittlerer Volumenstrom von 6,0 ± 1,4 ml/s und ein systolischer Spitzenwert von 23,5 ± 3,8 ml/s. &lt;!-- FIXME Zahlenwerte und Probandenzahl am Original pruefen --&gt;&lt;/ref&gt; Die stationäre Rechnung mit dem Mittelwert beschreibt deshalb nicht den zeitlichen Verlauf, wohl aber den zeitlich gemittelten Zustand, an dem sich der Einfluss des Stenosegrades sauber vergleichen lässt.

Die '''laminare Strömung''' wird über die Reynoldszahl begründet. Sie beträgt im gesunden Gefäß 386 und liegt damit weit unter dem Wert von etwa 2300, ab dem die Strömung in einem geraden Rohr in den Übergangsbereich gelangen kann. In der Engstelle steigt sie bei festem Volumenstrom auf &lt;math&gt;Re_0/(1-s)&lt;/math&gt;, also auf 551 beim Stenosegrad 0,3, auf 964 beim Grad 0,6 und auf 1928 beim Grad 0,8. Für den Strahl hinter einer Engstelle ist der Umschlagbereich allerdings deutlich niedriger als im geraden Rohr. Direkte numerische Simulationen an genau der in diesem Projekt verwendeten Stenosegeometrie zeigen, dass die Strömung bei einer Einström-Reynoldszahl von 500 auch bei leichter Unsymmetrie laminar bleibt, bei 1000 dagegen schon eine Exzentrizität von fünf Prozent des Durchmessers genügt, um den Strahl in lokal turbulente Strömung umschlagen zu lassen.&lt;ref name=&quot;varghese&quot;&gt;Varghese, S. S.; Frankel, S. H.; Fischer, P. F.: ''Direct numerical simulation of stenotic flows. Part 1. Steady flow.'' Journal of Fluid Mechanics 582 (2007), S. 253-280. Untersucht wird eine kosinusförmige Stenose der Länge 2D mit 75 % Flächenreduktion, die mit der Geometrie dieses Projekts beim Stenosegrad 0,5 übereinstimmt. &lt;!-- FIXME Band und Seiten am Original pruefen --&gt;&lt;/ref&gt; Mit einer Einström-Reynoldszahl von 386 liegt das Projekt für die leicht- und mittelgradigen Stenosen sicher im laminaren Bereich. Für die hochgradigen Stenosen ab 0,7 ist ein laminares, stationäres Modell dagegen nur noch eine Näherung, die eine Obergrenze der geordneten Strömung beschreibt. Diese Fälle werden deshalb als Grenzfall des Modells gekennzeichnet.

Die '''starre Wand''' lässt sich über Messungen abschätzen. Der Durchmesser der gemeinsamen Halsschlagader ändert sich im Herzzyklus bei jungen Menschen um etwa 12 bis 14 Prozent und bei älteren Menschen um etwa 5 Prozent.&lt;ref name=&quot;hansen&quot;&gt;Hansen, F.; Mangell, P.; Sonesson, B.; Länne, T.: ''Diameter and compliance in the human common carotid artery: variations with age and sex.'' Ultrasound in Medicine and Biology 21 (1995), Nr. 1, S. 1-9. DOI 10.1016/0301-5629(94)00090-5.&lt;/ref&gt; Diese Bewegung ist eine Folge der Pulsation. In einer stationären Rechnung gibt es keine Druckschwankung, die die Wand periodisch aufweiten könnte, sodass die starre Wand zur stationären Annahme konsistent ist. Eine verkalkte Plaque ist ohnehin deutlich steifer als die gesunde Wand.

Die Annahme des '''eingeprägten Volumenstroms''' wird im Abschnitt zu den Randbedingungen begründet, weil sie sich nur im Zusammenhang mit dem Kreislauf beurteilen lässt.

== Simulationsgebiet und Geometrie ==

Die Gefäßachse ist die z-Achse, der Ursprung liegt in der Mitte der Stenose, und &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; bezeichnet den Abstand von der Achse. Das Rechengebiet reicht von &lt;math&gt;z = -L_u&lt;/math&gt; bis &lt;math&gt;z = L_d&lt;/math&gt; und wird radial von der Wandkontur &lt;math&gt;R(z)&lt;/math&gt; begrenzt. Die Verengung wird über eine einzige glatte Funktion beschrieben,

&lt;math&gt;R(z) = R_0 \left[ 1 - \frac{s}{2}\left(1 + \cos\frac{2\pi z}{L_s}\right)\right] \quad \text{falls } |z| \le \frac{L_s}{2}, \qquad R(z) = R_0 \ \text{sonst.}&lt;/math&gt;

Die Funktion hat drei Eigenschaften, die ihre Wahl begründen. Sie wird erstens über einen einzigen Parameter gesteuert, den Stenosegrad &lt;math&gt;s&lt;/math&gt;. Der engste Radius in der Mitte beträgt &lt;math&gt;R(0) = R_0(1-s)&lt;/math&gt;, und der Fall ohne Verengung ist einfach der Fall &lt;math&gt;s = 0&lt;/math&gt;. Die gesamte Vergleichsreihe entsteht damit aus einem einzigen parametrischen Sweep. Sie geht zweitens an beiden Enden der Störstelle ohne Knick in das gerade Rohr über. Bei &lt;math&gt;z = \pm L_s/2&lt;/math&gt; ist der Kosinus gleich minus eins, die Klammer also null, und seine Ableitung verschwindet dort ebenfalls. Das ist nicht nur ästhetisch, sondern numerisch notwendig, denn ein Knick in der Wand erzeugt eine Singularität der Wandschubspannung, deren berechneter Wert mit jeder Netzverfeinerung weiter wüchse. Eine Netzstudie wäre dann sinnlos. Sie ist drittens die in der Literatur gebräuchliche Standardgeometrie für Stenosen, sodass sich die Ergebnisse unmittelbar mit veröffentlichten Rechnungen vergleichen lassen.&lt;ref name=&quot;varghese&quot; /&gt;

[[Datei:Stenose Gruppe5 Wandkontur.svg|mini|zentriert|800px|Wandkontur &lt;math&gt;R(z)&lt;/math&gt; für die untersuchten Stenosegrade. Die Darstellung ist in radialer Richtung gestreckt, das Rechengebiet ist in Wirklichkeit fünfundzwanzigmal länger als breit.]]
&lt;!-- FIXME Abbildung mit abbildungen_graph_1d.m fuer s = 0 bis 0,8 neu erzeugen, bisher nur bis 0,5 --&gt;

Die Abmessungen des Rechengebiets werden alle aus dem Gefäßradius abgeleitet. Das hat den Vorteil, dass sich das gesamte Modell durch Ändern eines einzigen Wertes auf ein anderes Gefäß übertragen lässt. Die einzelnen Längen werden im Folgenden Schritt für Schritt begründet.

# Der '''Gefäßradius''' &lt;math&gt;R_0 = 3\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; folgt aus Ultraschallmessungen an gesunden Erwachsenen. Dort wurden für die gemeinsame Halsschlagader mittlere Durchmesser von 6,10 ± 0,80 mm bei Frauen und 6,52 ± 0,98 mm bei Männern gemessen.&lt;ref name=&quot;krejza&quot;&gt;Krejza, J.; Arkuszewski, M.; Kasner, S. E.; Weigele, J.; Ustymowicz, A.; Hurst, R. W.; Cucchiara, B. L.; Messe, S. R.: ''Carotid artery diameter in men and women and the relation to body and neck size.'' Stroke 37 (2006), Nr. 4, S. 1103-1105. DOI 10.1161/01.STR.0000206440.48756.f7.&lt;/ref&gt; Der gewählte Durchmesser von &lt;math&gt;D_0 = 6\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; liegt damit innerhalb einer Standardabweichung beider Gruppen und ist bewusst auf einen runden Wert gesetzt, damit alle abgeleiteten Längen glatte Zahlen ergeben.
# Die '''Länge der Störstelle''' &lt;math&gt;L_s = 2 D_0 = 12\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; entspricht der Standardgeometrie aus der Literatur, die eine Stenosenlänge von zwei Durchmessern verwendet.&lt;ref name=&quot;varghese&quot; /&gt; Damit ist beim Stenosegrad 0,5 ein direkter Vergleich mit veröffentlichten Ergebnissen möglich.
# Die '''Vorlaufstrecke''' &lt;math&gt;L_u = 5 D_0 = 30\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; trennt den Einlass von der Stenose. Da am Einlass bereits das voll entwickelte Profil vorgegeben wird, muss sie nicht die Einlaufstrecke abdecken, sondern nur verhindern, dass die Einströmrandbedingung die Strömung an der Engstelle beeinflusst. Bei Reynoldszahlen in dieser Größenordnung reicht der Einfluss einer Verengung nur wenige Durchmesser stromaufwärts, die Literatur kommt für dieselbe Geometrie mit drei Durchmessern Vorlauf aus.&lt;ref name=&quot;varghese&quot; /&gt; Fünf Durchmesser lassen also eine Reserve. Überprüft wird das im Ergebnis, indem die Geschwindigkeit auf der Achse in der Mitte der Vorlaufstrecke mit dem Sollwert &lt;math&gt;2U_0&lt;/math&gt; verglichen wird.
# Die '''Nachlaufstrecke''' &lt;math&gt;L_d = 20 D_0 = 120\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; ist deutlich länger, weil sich hinter der Engstelle ein Rückströmgebiet bildet, das nicht auf den Auslass treffen darf. Für die Geometrie mit dem Stenosegrad 0,5 legt die Strömung bei einer Einström-Reynoldszahl von 500 erst etwa zehn Durchmesser hinter der Engstelle wieder an, die Literatur rechnet mit sechzehn Durchmessern Nachlauf.&lt;ref name=&quot;varghese&quot; /&gt; Zwanzig Durchmesser bieten damit für alle Stenosegrade bis 0,5 einen Sicherheitsabstand. Für die Grade ab 0,6 ist ein längeres Rückströmgebiet zu erwarten, dort wird die Lage des Wiederanlegepunktes ausdrücklich kontrolliert.
# Das '''Ende des fein vernetzten Nachlaufs''' &lt;math&gt;L_f = L_s/2 + 10 D_0 = 66\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; legt fest, bis wohin das Netz verfeinert wird. Der Wert ist so gewählt, dass das erwartete Rückströmgebiet von etwa zehn Durchmessern vollständig im feinen Bereich liegt.

Damit hat das Rechengebiet eine Gesamtlänge von &lt;math&gt;L = L_u + L_d = 150\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt;, also das Fünfundzwanzigfache des Durchmessers. Es ist ein Modellgebiet und kein maßstäbliches Abbild eines bestimmten anatomischen Abschnitts.

== Stoff- und Strömungsparameter ==

Die Stoffwerte des Blutes und der Volumenstrom sind die einzigen Eingangsgrößen, die nicht aus der Geometrie folgen. Aus ihnen werden alle weiteren Strömungskennwerte berechnet. Die folgenden Schritte zeigen jede Rechnung einzeln, damit sich jeder Wert nachprüfen lässt.

# Die '''Dichte''' wird mit &lt;math&gt;\rho = 1060\ \mathrm{kg/m^3}&lt;/math&gt; angesetzt. Der Wert lässt sich als Mischungsregel plausibel machen. Plasma hat eine Dichte von etwa 1025 kg/m³, rote Blutkörperchen von etwa 1100 kg/m³. Bei einem Zellanteil von 45 % ergibt sich &lt;math&gt;0{,}55 \cdot 1025 + 0{,}45 \cdot 1100 \approx 1059\ \mathrm{kg/m^3}&lt;/math&gt;. Die Dichte geht nur über die Reynoldszahl in die Rechnung ein, eine Abweichung von einem Prozent ändert die Ergebnisse daher kaum. &lt;!-- FIXME Lehrbuchquelle fuer Plasma- und Erythrozytendichte ergaenzen --&gt;
# Die '''dynamische Viskosität''' wird mit &lt;math&gt;\mu = 3{,}5\ \mathrm{mPa\,s}&lt;/math&gt; angesetzt. Das ist der Grenzwert der Blutviskosität bei hohen Scherraten, also genau der Wert, der zur Newtonschen Näherung gehört. Derselbe Wert von 0,035 Poise wird auch im Standardwerk zur Modellierung des Herz-Kreislauf-Systems verwendet.&lt;ref name=&quot;quarteroni&quot;&gt;Quarteroni, A.; Formaggia, L.: ''Mathematical Modelling and Numerical Simulation of the Cardiovascular System.'' In: Ayache, N. (Hrsg.): ''Computational Models for the Human Body.'' Handbook of Numerical Analysis, Bd. XII, Elsevier, Amsterdam 2004, S. 3-127. DOI 10.1016/S1570-8659(03)12001-7. Zur Newtonschen Näherung in großen Gefäßen siehe S. 30, zur Viskosität von 0,035 Poise die Parametertabelle auf S. 116.&lt;/ref&gt;
# Der '''mittlere Volumenstrom''' wird mit &lt;math&gt;Q_0 = 6\ \mathrm{ml/s}&lt;/math&gt; angesetzt. Das ist der zeitlich gemittelte Volumenstrom, der in der gemeinsamen Halsschlagader gesunder Probanden gemessen wurde.&lt;ref name=&quot;holdsworth&quot; /&gt;
# Die '''mittlere Geschwindigkeit''' folgt aus Volumenstrom und Querschnittsfläche, &lt;math&gt;U_0 = \frac{Q_0}{\pi R_0^2} = \frac{6 \cdot 10^{-6}\ \mathrm{m^3/s}}{\pi \cdot (0{,}003\ \mathrm{m})^2} = 0{,}2122\ \mathrm{m/s}&lt;/math&gt;.
# Die '''Reynoldszahl''' des gesunden Gefäßes ist &lt;math&gt;Re_0 = \frac{\rho\, U_0\, D_0}{\mu} = \frac{1060 \cdot 0{,}2122 \cdot 0{,}006}{0{,}0035} = 385{,}6&lt;/math&gt;. Sie wird im Folgenden auf 386 gerundet.
# Die '''Einlauflänge''', die eine anfangs gleichförmige Strömung bis zum voll entwickelten Parabelprofil bräuchte, beträgt nach der gebräuchlichen Abschätzung für laminare Rohrströmungen &lt;math&gt;L_e \approx 0{,}06\, Re_0\, D_0 \approx 0{,}06 \cdot 386 \cdot 6\ \mathrm{mm} \approx 139\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt;.&lt;ref name=&quot;durst&quot;&gt;Durst, F.; Ray, S.; Ünsal, B.; Bayoumi, O. A.: ''The development lengths of laminar pipe and channel flows.'' Journal of Fluids Engineering 127 (2005), Nr. 6, S. 1154-1160. Für große Reynoldszahlen nähert sich die dort angegebene Korrelation dem Wert 0,057·Re·D.&lt;/ref&gt; Das ist fast die gesamte Länge des Rechengebiets. Ein konstantes Einlassprofil würde die Strömung an der Stenose also verfälschen, weshalb am Einlass das voll entwickelte Profil vorgegeben wird.

Damit liegen alle globalen Parameter fest. Die folgende Tabelle enthält sie mit genau den Namen, unter denen sie in COMSOL und in den Octave-Skripten verwendet werden.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Globale Parameter des Modells
! Name !! Ausdruck in COMSOL !! Wert !! Bedeutung !! Herkunft
|-
| R0 || 3[mm] || 3 mm || Gefäßradius || Messwerte nach Krejza u. a. 2006, gerundet
|-
| D0 || 2*R0 || 6 mm || Gefäßdurchmesser || abgeleitet
|-
| Ls || 2*D0 || 12 mm || Länge der Störstelle || Standardgeometrie nach Varghese u. a. 2007
|-
| Lu || 5*D0 || 30 mm || Vorlaufstrecke vor der Stenosemitte || Abstand der Einlassbedingung von der Stenose
|-
| Ld || 20*D0 || 120 mm || Nachlaufstrecke hinter der Stenosemitte || Platz für das Rückströmgebiet
|-
| Lf || Ls/2+10*D0 || 66 mm || Ende des fein vernetzten Nachlaufs || erwartete Länge des Rückströmgebiets
|-
| s || 0 bis 0.8 || 0 bis 0,8 || Stenosegrad bezogen auf den Durchmesser || NASCET-Einteilung
|-
| rho_b || 1060[kg/m^3] || 1060 kg/m³ || Dichte des Blutes || Mischungsregel, Literaturwert
|-
| mu_b || 3.5[mPa*s] || 3,5 mPa·s || dynamische Viskosität des Blutes || Hochscherwert, Quarteroni und Formaggia 2004
|-
| Q0 || 6[ml/s] || 6 ml/s || mittlerer Volumenstrom || Messwerte nach Holdsworth u. a. 1999
|-
| U0 || Q0/(pi*R0^2) || 0,2122 m/s || mittlere Einströmgeschwindigkeit || abgeleitet
|-
| Re0 || rho_b*U0*D0/mu_b || 385,6 || Reynoldszahl des gesunden Gefäßes || abgeleitet
|-
| dp_ref || 8*mu_b*U0*(Lu+Ld)/R0^2 || 99,03 Pa || Poiseuille-Druckabfall des gesunden Gefäßes || abgeleitet, Hagen-Poiseuille
|}


= Literaturverzeichnis =

Alle Quellen sind an den Stellen im Text angegeben, an denen die zugehörigen Werte oder Aussagen verwendet werden. Die Liste wird aus diesen Angaben automatisch erzeugt.

&lt;references /&gt;</text>
      <sha1>lq7q7beogur4r11wedxr1a0wccvxgp2</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>1115870</id>
      <parentid>1115869</parentid>
      <timestamp>2026-10-12T15:09:16Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Heitele</username>
        <id>38553</id>
      </contributor>
      <comment>/* Thema und Fragestellung */</comment>
      <origin>1115870</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="30712" sha1="4prmvz4afhwhbbm6vv24eksiyccipjq" xml:space="preserve">= Gruppenteilnehmer =
* Joey Becker
* Marie-Thérèse Heitele
* Nicole Pander

= Thema und Fragestellung =

Gegenstand dieses Projekts ist die numerische Simulation der Blutströmung in einer verzweigten Halsschlagader ('''Carotis-Bifurkation''') unter dem Einfluss einer lokalen Gefäßverengung ('''Stenose''').
Im Vergleich zu einfachen Rohrströmungen wird hier die realitätsnahe Gefäßanatomie betrachtet: Die '''Arteria carotis communis (ACC)''' teilt sich in die '''Arteria carotis externa (ACE)''' und die '''Arteria carotis interna (ACI)''' auf. Während die '''ACE''' als gesunder, stenosefreier Ast dient, wird in der '''ACI''' eine geglättete, kosinusförmige Gefäßverengung modelliert. Um scharfe Kanten und unphysiologische Druckspitzen zu vermeiden, werden alle Wandübergänge und die Gabelungsspitze (Apex) anatomisch verrundet.

Als Referenz dient ein gesundes, unverengtes Gefäß, in dem sich die Poiseuille-Strömung mit ihrem charakteristischen parabolischen Geschwindigkeitsprofil ausbildet. Diese Strömung ist aus zwei Gründen der natürliche Ausgangspunkt. Sie beschreibt den physiologischen Normalfall, mit dem jeder Stenosegrad verglichen wird, und sie ist exakt lösbar, sodass sich an ihr jede numerische Rechnung prüfen lässt, bevor die Verengung hinzukommt.


== Fragestellung ==

Wie verändert eine rotationssymmetrische Stenose die stationäre Strömung eines inkompressiblen Newtonschen Fluids in einem idealisierten Abschnitt der Arteria carotis communis hinsichtlich Geschwindigkeitsverteilung, Druckverteilung, Wandschubspannung und Strömungsmuster, und wie entwickeln sich diese Größen mit zunehmendem Stenosegrad im Vergleich zu einem gesunden Gefäß?

Aus dieser Fragestellung ergeben sich drei Teilfragen, an denen sich der Aufbau der Seite orientiert.

# Welche Strömungsgrößen reagieren empfindlich auf den Stenosegrad und welche nur träge?
# Ab welchem Stenosegrad ändert sich das Strömungsmuster qualitativ, das heißt, ab wann löst die Strömung hinter der Engstelle von der Wand ab und bildet ein Rückströmgebiet?
# Wie weit tragen die vereinfachenden Modellannahmen, insbesondere die Annahme einer stationären und laminaren Strömung, über den untersuchten Bereich der Stenosegrade?

= Relevanz =

Die Untersuchung von Gefäßverengungen besitzt eine medizinische und eine methodische Bedeutung. Beide werden im Folgenden getrennt begründet, weil sie unterschiedliche Anforderungen an das Modell stellen. Die medizinische Fragestellung verlangt realistische Zahlenwerte, die methodische Fragestellung verlangt nachprüfbare Rechnungen.

== Medizinische Relevanz ==

Arterielle Stenosen entstehen überwiegend durch Atherosklerose, also durch Ablagerungen aus Lipiden, Bindegewebe und Kalk in der Gefäßwand. In der Halsschlagader sind sie klinisch besonders bedeutsam, weil sie die Durchblutung des Gehirns beeinträchtigen und weil sich an ihnen Thromben bilden können, die als Embolie einen Schlaganfall auslösen. Dass die operative Entfernung einer hochgradigen Karotisstenose das Schlaganfallrisiko symptomatischer Patienten deutlich senkt, hat die NASCET-Studie gezeigt, deren Einteilung der Stenosegrade dieses Projekt übernimmt.&lt;ref name=&quot;nascet&quot;&gt;North American Symptomatic Carotid Endarterectomy Trial Collaborators: ''Beneficial effect of carotid endarterectomy in symptomatic patients with high-grade carotid stenosis.'' New England Journal of Medicine 325 (1991), Nr. 7, S. 445-453.&lt;/ref&gt;

Strömungsmechanisch ist an einer Stenose vor allem die Wandschubspannung von Interesse, also die tangentiale Kraft je Fläche, die das strömende Blut auf die innerste Zellschicht der Gefäßwand ausübt. Gesunde Halsschlagadern weisen zeitlich gemittelte Werte von etwa 1,1 bis 1,5 Pa auf.&lt;ref name=&quot;samijo&quot;&gt;Samijo, S. K.; Willigers, J. M.; Barkhuysen, R.; Kitslaar, P. J. E. H. M.; Reneman, R. S.; Brands, P. J.; Hoeks, A. P. G.: ''Wall shear stress in the human common carotid artery as function of age and gender.'' Cardiovascular Research 39 (1998), Nr. 2, S. 515-522.&lt;/ref&gt; In einer Engstelle steigt sie stark an, unmittelbar dahinter fällt sie im Ablösegebiet auf nahezu null und wechselt dort sogar das Vorzeichen. Niedrige und im Vorzeichen wechselnde Wandschubspannungen gelten als Bedingungen, unter denen sich weitere Ablagerungen bevorzugt bilden. Eine bestehende Stenose schafft also stromabwärts die Voraussetzungen für ihr eigenes Wachstum. Genau diese Verteilung lässt sich im Körper nur schwer messen, in einer Simulation dagegen unmittelbar auswerten.

== Methodische Relevanz ==

Fachlich überträgt das Projekt die Prinzipien der Strömungsmechanik aus der Vorlesung auf eine biomedizinische Anwendung.&lt;ref name=&quot;hundertmark&quot;&gt;Hundertmark, A.: ''Fluiddynamik.'' Vorlesungsunterlagen zum Modul Räumliche Modellbildung, RPTU Kaiserslautern-Landau, Sommersemester 2026.&lt;/ref&gt; Der methodische Mehrwert liegt in der Verknüpfung mehrerer Zugänge, die sich gegenseitig kontrollieren. Die analytische Poiseuille-Lösung liefert exakte Sollwerte für das gesunde Gefäß. Ein reduziertes Graphenmodell liefert für jeden Stenosegrad eine schnelle Abschätzung, die analytisch nachrechenbar ist. Die Simulationen in COMSOL Multiphysics lösen schließlich die vollständigen Navier-Stokes-Gleichungen in zwei und drei Raumdimensionen. Weil jede Stufe die Sollwerte der nächsten liefert, zeigt das Projekt nicht nur Ergebnisse, sondern auch, wie numerische Modelle aufgebaut, verifiziert und an ihren Grenzen bewertet werden.

== Auswahl der Stenosegrade ==

Um die untersuchten Gefäßverengungen nicht willkürlich festzulegen, orientiert sich die Auswahl der Stenosegrade an der klinisch gebräuchlichen NASCET-Klassifikation von Karotisstenosen.&lt;ref name=&quot;nascet&quot; /&gt; Sie teilt Stenosen nach ihrer Durchmesserreduktion in drei Schweregrade ein, ein vollständiger Gefäßverschluss wird als Okklusion bezeichnet.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Schweregrade nach NASCET und ihre Abdeckung im Projekt
! Schweregrad !! Durchmesserreduktion !! im Projekt gerechnete Stenosegrade !! hervorgehobener Vertreter
|-
| gesundes Gefäß || 0 % || 0 || 0
|-
| leichtgradige Stenose || unter 50 % || 0,1 bis 0,4 || 0,3
|-
| mittelgradige Stenose || 50 bis 69 % || 0,5 und 0,6 || 0,6
|-
| hochgradige Stenose || 70 bis 99 % || 0,7 und 0,8 || 0,8
|-
| Okklusion || 100 % || nicht gerechnet || entfällt
|}

Für die numerische Untersuchung wird aus jeder Kategorie ein repräsentativer Stenosegrad hervorgehoben. Neben dem gesunden Gefäß mit '''0 %''' Stenose sind das eine '''30 %''' Stenose als Beispiel für eine leichtgradige, eine '''60 %''' Stenose als Beispiel für eine mittelgradige und eine '''80 %''' Stenose als Beispiel für eine hochgradige Verengung. Zusätzlich werden im Graphenmodell und im achsensymmetrischen Flächenmodell alle Zwischenwerte in Schritten von zehn Prozentpunkten gerechnet. Das kostet in diesen beiden Modellen nur Sekunden, liefert aber glatte Verläufe über dem Stenosegrad und macht sichtbar, ab welchem Grad sich das Verhalten der Strömung ändert. Ein vollständiger Gefäßverschluss wird nicht simuliert, da in diesem Fall keine durchgängige Strömung mehr vorliegt.

Der Stenosegrad wird in diesem Projekt wie bei NASCET über die Verringerung des Gefäßdurchmessers beschrieben,

&lt;math&gt;s = 1 - \frac{d_{\min}}{d_{\mathrm{ref}}},&lt;/math&gt;

wobei &lt;math&gt;d_{\min}&lt;/math&gt; der kleinste Durchmesser in der Engstelle und &lt;math&gt;d_{\mathrm{ref}}&lt;/math&gt; ein Referenzdurchmesser ist. NASCET verwendet als Referenz den Durchmesser des gesunden Gefäßes stromabwärts der Stenose. Im idealisierten Modell hat das Gefäß vor und hinter der Engstelle denselben Durchmesser &lt;math&gt;D_0&lt;/math&gt;, sodass &lt;math&gt;d_{\mathrm{ref}} = D_0&lt;/math&gt; gilt und die NASCET-Definition mit allen anderen gebräuchlichen Durchmesserdefinitionen zusammenfällt.

Wichtig für das Verständnis aller weiteren Ergebnisse ist der Unterschied zwischen Durchmesser- und Flächenreduktion. Da die Querschnittsfläche quadratisch vom Durchmesser abhängt, gilt für die Flächenreduktion &lt;math&gt;1-(1-s)^2&lt;/math&gt;. Eine im klinischen Sinn nur mittelgradige Stenose von 60 % verschließt damit bereits 84 % der Querschnittsfläche.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Durchmesser- und Flächenreduktion der gerechneten Stenosegrade
! Stenosegrad s !! 0 !! 0,1 !! 0,2 !! 0,3 !! 0,4 !! 0,5 !! 0,6 !! 0,7 !! 0,8
|-
| engster Durchmesser in mm || 6,0 || 5,4 || 4,8 || 4,2 || 3,6 || 3,0 || 2,4 || 1,8 || 1,2
|-
| Flächenreduktion || 0 % || 19 % || 36 % || 51 % || 64 % || 75 % || 84 % || 91 % || 96 %
|}

Zwei Einschränkungen gehören zur ehrlichen Einordnung. Erstens ist die NASCET-Klassifikation für Stenosen der ''Arteria carotis interna'' entwickelt worden, also des Astes hinter der Gabelung, während hier ein gerader Abschnitt der ''Arteria carotis communis'' modelliert wird. Die Klassifikation dient im Projekt deshalb als Orientierung für sinnvolle Abstufungen und nicht als diagnostische Aussage. Zweitens zeigt sich im Abschnitt zur Modellierung, dass die Annahme einer stationären, laminaren Strömung ab einem Stenosegrad von etwa 0,6 an ihre Grenzen stößt. Die hochgradigen Fälle werden deshalb zwar gerechnet, ihre Ergebnisse aber ausdrücklich als Grenzfall des Modells diskutiert.

= Modellierung =

Modellierung bedeutet hier, die reale Situation in eine mathematische Aufgabe zu übersetzen, die sich lösen lässt. Dazu gehören vier Bausteine, nämlich das Rechengebiet, die Gleichungen, die Zahlenwerte der Parameter und die Bedingungen an den Rändern. Jeder dieser Bausteine beruht auf Annahmen, und jede Annahme muss begründet werden. Dieser Abschnitt geht die Bausteine deshalb der Reihe nach durch und nennt bei jedem Zahlenwert, woher er stammt und warum er sinnvoll ist.

== Modellhierarchie ==

Das Projekt rechnet nicht ein einziges Modell, sondern vier aufeinander aufbauende Modellvarianten. Sie entsprechen der Kursanforderung, eine Strömung als Graph, in zwei und in drei Raumdimensionen darzustellen, und sie sind bewusst von einfach nach aufwendig geordnet.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Die vier Modellvarianten des Projekts
! Modell !! Raumdimension !! gelöste Gleichung !! Zweck !! Werkzeug
|-
| Graphenmodell || 1D, Gefäßachse || Hagen-Poiseuille je Rohrstück und Massenerhaltung in jedem Knoten || schnelle, analytisch nachrechenbare Abschätzung für jeden Stenosegrad || Octave und COMSOL (Koeffizientenform-PDGL)
|-
| achsensymmetrisches Flächenmodell || 2D, Halbschnitt in r und z || vollständige stationäre Navier-Stokes-Gleichungen in Zylinderkoordinaten || Hauptmodell, liefert alle Feldgrößen des rotationssymmetrischen Rohres || COMSOL, Laminare Strömung
|-
| ebenes Flächenmodell || 2D, Halbschnitt in x und y || vollständige stationäre Navier-Stokes-Gleichungen in kartesischen Koordinaten || Vergleich, zeigt den Einfluss der zweiten Querschnittsrichtung || COMSOL, Laminare Strömung
|-
| Volumenmodell || 3D || vollständige stationäre Navier-Stokes-Gleichungen || Kontrolle des Hauptmodells und räumliche Darstellung || COMSOL, Laminare Strömung
|}

Die Reihenfolge folgt einem einfachen Prinzip. Jede Stufe liefert die Sollwerte, an denen die nächste, komplexere Stufe geprüft wird. Das Graphenmodell muss im gesunden Fall exakt die Poiseuille-Lösung ergeben. Das achsensymmetrische Modell muss im gesunden Fall dieselben Werte liefern und bei Stenose für Geschwindigkeit und Wandschubspannung in der Nähe des Graphenmodells liegen. Das Volumenmodell muss, weil die Geometrie rotationssymmetrisch ist, mit dem achsensymmetrischen Modell übereinstimmen.

== Modellannahmen ==

Um den Einfluss des Stenosegrades möglichst isoliert zu untersuchen, werden die folgenden Modellannahmen getroffen. Die Tabelle nennt zu jeder Annahme ihre mathematische Form, die Begründung und die Stelle, an der sie im Projekt überprüft wird.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Modellannahmen, ihre Begründung und ihre Überprüfung
! Annahme !! mathematische Form !! Begründung !! Überprüfung
|-
| Idealisierte Gefäßgeometrie || gerades Rohr mit kosinusförmiger, rotationssymmetrischer Verengung || isoliert die Wirkung des Stenosegrades von Krümmung, Verzweigung und Plaqueform || Diskussion in den Schlussfolgerungen
|-
| Starre Gefäßwand || Wand ortsfest, keine Fluid-Struktur-Kopplung || im stationären Fall gibt es keine Druckschwankung, die die Wand periodisch aufweiten könnte || Abschätzung über die gemessene Durchmesseränderung im Herzzyklus
|-
| Stationäre Strömung || &lt;math&gt;\partial \mathbf{u}/\partial t = \mathbf{0}&lt;/math&gt; || der Einfluss des Stenosegrades soll ohne Überlagerung durch die Pulsation sichtbar werden || Abschätzung über die Womersley-Zahl
|-
| Inkompressibles Fluid || &lt;math&gt;\rho = \mathrm{const}&lt;/math&gt;, damit &lt;math&gt;\nabla\cdot\mathbf{u} = 0&lt;/math&gt; || Blut ist eine Flüssigkeit, Druckänderungen von wenigen hundert Pascal ändern die Dichte nicht messbar || Massenerhaltung in fünf Querschnitten
|-
| Newtonsche Näherung || konstante Viskosität &lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt; || die Scherraten an der Wand und im größten Teil des Querschnitts liegen über dem Bereich, in dem Blut deutlich scherverdünnend wirkt || Scherrate an der Wand, Diskussion des Rückströmgebiets
|-
| Konstante Stoffeigenschaften || &lt;math&gt;\rho&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt; räumlich und zeitlich konstant || Körpertemperatur ist im betrachteten Abschnitt konstant || entfällt
|-
| Laminare Strömung || kein Turbulenzmodell, Schnittstelle Laminare Strömung || Reynoldszahl des gesunden Gefäßes von 386 liegt weit unter dem Umschlagbereich || Reynoldszahl in der Engstelle, Literaturvergleich
|-
| Haftbedingung an der Wand || &lt;math&gt;\mathbf{u} = \mathbf{0}&lt;/math&gt; auf der Wand || Folge der Viskosität, das Fluid haftet an der Wand || Grundlage jeder Wandschubspannung
|-
| Vernachlässigung der Gravitation || keine Volumenkraft || bei konstanter Dichte lässt sich die Schwerkraft vollständig in einen hydrostatischen Druckanteil verschieben und beeinflusst die Geschwindigkeit nicht || Begründung in den Mathematischen Hintergründen
|-
| Voll entwickelte Einströmung || parabolisches Profil am Einlass || die natürliche Einlaufstrecke wäre mit rund 139 mm fast so lang wie das ganze Rechengebiet || Scheitelgeschwindigkeit im gesunden Fall
|-
| Eingeprägter Volumenstrom || &lt;math&gt;Q = Q_0&lt;/math&gt; am Einlass || der Strömungswiderstand des Abschnitts ist klein gegenüber dem des nachgeschalteten Gefäßbetts || Abschätzung mit einem Reihenwiderstand
|}

Einige dieser Annahmen sind unmittelbar einsichtig, andere verdienen eine genauere Begründung, weil von ihnen die Aussagekraft der Ergebnisse abhängt.

Die '''Newtonsche Näherung''' ist die Annahme, die bei Blut am häufigsten hinterfragt wird. Reales Blut ist eine Suspension aus Plasma und Blutzellen und verhält sich scherverdünnend. Bei kleinen Scherraten lagern sich die roten Blutkörperchen zu geldrollenartigen Stapeln zusammen, und die Viskosität steigt auf ein Vielfaches an. Bei großen Scherraten lösen sich diese Stapel auf, und die Viskosität strebt gegen einen Grenzwert von etwa 3,5 mPa·s. Entscheidend ist also die Scherrate. An der Wand des gesunden Modellgefäßes beträgt sie nach der Poiseuille-Lösung

&lt;math&gt;\dot\gamma_w = \frac{4\,U_0}{R_0} = \frac{4 \cdot 0{,}2122\ \mathrm{m/s}}{0{,}003\ \mathrm{m}} \approx 283\ \mathrm{s^{-1}}&lt;/math&gt;

und liegt damit oberhalb von etwa 100 pro Sekunde, wo sich Newtonsches und nicht Newtonsches Modell nach der Literatur nur noch wenig unterscheiden.&lt;ref name=&quot;boyd&quot;&gt;Die Grenze von etwa 100 s&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt; wird in vergleichenden Studien zur Blutrheologie verwendet, etwa bei Bernabeu, M. O. u. a.: ''Impact of blood rheology on wall shear stress in a model of the middle cerebral artery.'' Interface Focus 3 (2013), 20120094. &lt;!-- FIXME Zitat und Seitenangabe am Original pruefen --&gt;&lt;/ref&gt; In der Engstelle steigt die Scherrate weiter an, beim Stenosegrad 0,5 auf rund 2260 pro Sekunde. Schwach ist die Näherung dort, wo die Scherrate klein wird, also in der Mitte des Gefäßes und vor allem im Rückströmgebiet hinter der Stenose. Dort ist reales Blut zäher als angenommen. Dieser Punkt wird in den Schlussfolgerungen wieder aufgegriffen.

Die '''stationäre Strömung''' ist die stärkste Vereinfachung. Wie wichtig die Pulsation ist, misst die Womersley-Zahl, die das Verhältnis von instationärer Trägheit zu Reibung angibt. Mit einer Herzfrequenz von 60 Schlägen je Minute, also einer Kreisfrequenz &lt;math&gt;\omega = 2\pi\ \mathrm{s^{-1}}&lt;/math&gt;, ergibt sich

&lt;math&gt;\alpha = R_0 \sqrt{\frac{\omega \rho}{\mu}} = 0{,}003\ \mathrm{m} \cdot \sqrt{\frac{2\pi\ \mathrm{s^{-1}} \cdot 1060\ \mathrm{kg/m^3}}{0{,}0035\ \mathrm{Pa\,s}}} \approx 4{,}1 .&lt;/math&gt;

Ein Wert in dieser Größenordnung bedeutet, dass das reale Geschwindigkeitsprofil im Herzzyklus merklich von der Parabel abweicht.&lt;ref name=&quot;womersley&quot;&gt;Womersley, J. R.: ''Method for the calculation of velocity, rate of flow and viscous drag in arteries when the pressure gradient is known.'' Journal of Physiology 127 (1955), S. 553-563.&lt;/ref&gt; Hinzu kommt, dass der Volumenstrom in der Systole kurzzeitig auf rund das Vierfache des Mittelwerts steigt.&lt;ref name=&quot;holdsworth&quot;&gt;Holdsworth, D. W.; Norley, C. J. D.; Frayne, R.; Steinman, D. A.; Rutt, B. K.: ''Characterization of common carotid artery blood-flow waveforms in normal human subjects.'' Physiological Measurement 20 (1999), Nr. 3, S. 219-240. DOI 10.1088/0967-3334/20/3/301. Angegeben werden ein mittlerer Volumenstrom von 6,0 ± 1,4 ml/s und ein systolischer Spitzenwert von 23,5 ± 3,8 ml/s. &lt;!-- FIXME Zahlenwerte und Probandenzahl am Original pruefen --&gt;&lt;/ref&gt; Die stationäre Rechnung mit dem Mittelwert beschreibt deshalb nicht den zeitlichen Verlauf, wohl aber den zeitlich gemittelten Zustand, an dem sich der Einfluss des Stenosegrades sauber vergleichen lässt.

Die '''laminare Strömung''' wird über die Reynoldszahl begründet. Sie beträgt im gesunden Gefäß 386 und liegt damit weit unter dem Wert von etwa 2300, ab dem die Strömung in einem geraden Rohr in den Übergangsbereich gelangen kann. In der Engstelle steigt sie bei festem Volumenstrom auf &lt;math&gt;Re_0/(1-s)&lt;/math&gt;, also auf 551 beim Stenosegrad 0,3, auf 964 beim Grad 0,6 und auf 1928 beim Grad 0,8. Für den Strahl hinter einer Engstelle ist der Umschlagbereich allerdings deutlich niedriger als im geraden Rohr. Direkte numerische Simulationen an genau der in diesem Projekt verwendeten Stenosegeometrie zeigen, dass die Strömung bei einer Einström-Reynoldszahl von 500 auch bei leichter Unsymmetrie laminar bleibt, bei 1000 dagegen schon eine Exzentrizität von fünf Prozent des Durchmessers genügt, um den Strahl in lokal turbulente Strömung umschlagen zu lassen.&lt;ref name=&quot;varghese&quot;&gt;Varghese, S. S.; Frankel, S. H.; Fischer, P. F.: ''Direct numerical simulation of stenotic flows. Part 1. Steady flow.'' Journal of Fluid Mechanics 582 (2007), S. 253-280. Untersucht wird eine kosinusförmige Stenose der Länge 2D mit 75 % Flächenreduktion, die mit der Geometrie dieses Projekts beim Stenosegrad 0,5 übereinstimmt. &lt;!-- FIXME Band und Seiten am Original pruefen --&gt;&lt;/ref&gt; Mit einer Einström-Reynoldszahl von 386 liegt das Projekt für die leicht- und mittelgradigen Stenosen sicher im laminaren Bereich. Für die hochgradigen Stenosen ab 0,7 ist ein laminares, stationäres Modell dagegen nur noch eine Näherung, die eine Obergrenze der geordneten Strömung beschreibt. Diese Fälle werden deshalb als Grenzfall des Modells gekennzeichnet.

Die '''starre Wand''' lässt sich über Messungen abschätzen. Der Durchmesser der gemeinsamen Halsschlagader ändert sich im Herzzyklus bei jungen Menschen um etwa 12 bis 14 Prozent und bei älteren Menschen um etwa 5 Prozent.&lt;ref name=&quot;hansen&quot;&gt;Hansen, F.; Mangell, P.; Sonesson, B.; Länne, T.: ''Diameter and compliance in the human common carotid artery: variations with age and sex.'' Ultrasound in Medicine and Biology 21 (1995), Nr. 1, S. 1-9. DOI 10.1016/0301-5629(94)00090-5.&lt;/ref&gt; Diese Bewegung ist eine Folge der Pulsation. In einer stationären Rechnung gibt es keine Druckschwankung, die die Wand periodisch aufweiten könnte, sodass die starre Wand zur stationären Annahme konsistent ist. Eine verkalkte Plaque ist ohnehin deutlich steifer als die gesunde Wand.

Die Annahme des '''eingeprägten Volumenstroms''' wird im Abschnitt zu den Randbedingungen begründet, weil sie sich nur im Zusammenhang mit dem Kreislauf beurteilen lässt.

== Simulationsgebiet und Geometrie ==

Die Gefäßachse ist die z-Achse, der Ursprung liegt in der Mitte der Stenose, und &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; bezeichnet den Abstand von der Achse. Das Rechengebiet reicht von &lt;math&gt;z = -L_u&lt;/math&gt; bis &lt;math&gt;z = L_d&lt;/math&gt; und wird radial von der Wandkontur &lt;math&gt;R(z)&lt;/math&gt; begrenzt. Die Verengung wird über eine einzige glatte Funktion beschrieben,

&lt;math&gt;R(z) = R_0 \left[ 1 - \frac{s}{2}\left(1 + \cos\frac{2\pi z}{L_s}\right)\right] \quad \text{falls } |z| \le \frac{L_s}{2}, \qquad R(z) = R_0 \ \text{sonst.}&lt;/math&gt;

Die Funktion hat drei Eigenschaften, die ihre Wahl begründen. Sie wird erstens über einen einzigen Parameter gesteuert, den Stenosegrad &lt;math&gt;s&lt;/math&gt;. Der engste Radius in der Mitte beträgt &lt;math&gt;R(0) = R_0(1-s)&lt;/math&gt;, und der Fall ohne Verengung ist einfach der Fall &lt;math&gt;s = 0&lt;/math&gt;. Die gesamte Vergleichsreihe entsteht damit aus einem einzigen parametrischen Sweep. Sie geht zweitens an beiden Enden der Störstelle ohne Knick in das gerade Rohr über. Bei &lt;math&gt;z = \pm L_s/2&lt;/math&gt; ist der Kosinus gleich minus eins, die Klammer also null, und seine Ableitung verschwindet dort ebenfalls. Das ist nicht nur ästhetisch, sondern numerisch notwendig, denn ein Knick in der Wand erzeugt eine Singularität der Wandschubspannung, deren berechneter Wert mit jeder Netzverfeinerung weiter wüchse. Eine Netzstudie wäre dann sinnlos. Sie ist drittens die in der Literatur gebräuchliche Standardgeometrie für Stenosen, sodass sich die Ergebnisse unmittelbar mit veröffentlichten Rechnungen vergleichen lassen.&lt;ref name=&quot;varghese&quot; /&gt;

[[Datei:Stenose Gruppe5 Wandkontur.svg|mini|zentriert|800px|Wandkontur &lt;math&gt;R(z)&lt;/math&gt; für die untersuchten Stenosegrade. Die Darstellung ist in radialer Richtung gestreckt, das Rechengebiet ist in Wirklichkeit fünfundzwanzigmal länger als breit.]]
&lt;!-- FIXME Abbildung mit abbildungen_graph_1d.m fuer s = 0 bis 0,8 neu erzeugen, bisher nur bis 0,5 --&gt;

Die Abmessungen des Rechengebiets werden alle aus dem Gefäßradius abgeleitet. Das hat den Vorteil, dass sich das gesamte Modell durch Ändern eines einzigen Wertes auf ein anderes Gefäß übertragen lässt. Die einzelnen Längen werden im Folgenden Schritt für Schritt begründet.

# Der '''Gefäßradius''' &lt;math&gt;R_0 = 3\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; folgt aus Ultraschallmessungen an gesunden Erwachsenen. Dort wurden für die gemeinsame Halsschlagader mittlere Durchmesser von 6,10 ± 0,80 mm bei Frauen und 6,52 ± 0,98 mm bei Männern gemessen.&lt;ref name=&quot;krejza&quot;&gt;Krejza, J.; Arkuszewski, M.; Kasner, S. E.; Weigele, J.; Ustymowicz, A.; Hurst, R. W.; Cucchiara, B. L.; Messe, S. R.: ''Carotid artery diameter in men and women and the relation to body and neck size.'' Stroke 37 (2006), Nr. 4, S. 1103-1105. DOI 10.1161/01.STR.0000206440.48756.f7.&lt;/ref&gt; Der gewählte Durchmesser von &lt;math&gt;D_0 = 6\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; liegt damit innerhalb einer Standardabweichung beider Gruppen und ist bewusst auf einen runden Wert gesetzt, damit alle abgeleiteten Längen glatte Zahlen ergeben.
# Die '''Länge der Störstelle''' &lt;math&gt;L_s = 2 D_0 = 12\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; entspricht der Standardgeometrie aus der Literatur, die eine Stenosenlänge von zwei Durchmessern verwendet.&lt;ref name=&quot;varghese&quot; /&gt; Damit ist beim Stenosegrad 0,5 ein direkter Vergleich mit veröffentlichten Ergebnissen möglich.
# Die '''Vorlaufstrecke''' &lt;math&gt;L_u = 5 D_0 = 30\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; trennt den Einlass von der Stenose. Da am Einlass bereits das voll entwickelte Profil vorgegeben wird, muss sie nicht die Einlaufstrecke abdecken, sondern nur verhindern, dass die Einströmrandbedingung die Strömung an der Engstelle beeinflusst. Bei Reynoldszahlen in dieser Größenordnung reicht der Einfluss einer Verengung nur wenige Durchmesser stromaufwärts, die Literatur kommt für dieselbe Geometrie mit drei Durchmessern Vorlauf aus.&lt;ref name=&quot;varghese&quot; /&gt; Fünf Durchmesser lassen also eine Reserve. Überprüft wird das im Ergebnis, indem die Geschwindigkeit auf der Achse in der Mitte der Vorlaufstrecke mit dem Sollwert &lt;math&gt;2U_0&lt;/math&gt; verglichen wird.
# Die '''Nachlaufstrecke''' &lt;math&gt;L_d = 20 D_0 = 120\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; ist deutlich länger, weil sich hinter der Engstelle ein Rückströmgebiet bildet, das nicht auf den Auslass treffen darf. Für die Geometrie mit dem Stenosegrad 0,5 legt die Strömung bei einer Einström-Reynoldszahl von 500 erst etwa zehn Durchmesser hinter der Engstelle wieder an, die Literatur rechnet mit sechzehn Durchmessern Nachlauf.&lt;ref name=&quot;varghese&quot; /&gt; Zwanzig Durchmesser bieten damit für alle Stenosegrade bis 0,5 einen Sicherheitsabstand. Für die Grade ab 0,6 ist ein längeres Rückströmgebiet zu erwarten, dort wird die Lage des Wiederanlegepunktes ausdrücklich kontrolliert.
# Das '''Ende des fein vernetzten Nachlaufs''' &lt;math&gt;L_f = L_s/2 + 10 D_0 = 66\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; legt fest, bis wohin das Netz verfeinert wird. Der Wert ist so gewählt, dass das erwartete Rückströmgebiet von etwa zehn Durchmessern vollständig im feinen Bereich liegt.

Damit hat das Rechengebiet eine Gesamtlänge von &lt;math&gt;L = L_u + L_d = 150\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt;, also das Fünfundzwanzigfache des Durchmessers. Es ist ein Modellgebiet und kein maßstäbliches Abbild eines bestimmten anatomischen Abschnitts.

== Stoff- und Strömungsparameter ==

Die Stoffwerte des Blutes und der Volumenstrom sind die einzigen Eingangsgrößen, die nicht aus der Geometrie folgen. Aus ihnen werden alle weiteren Strömungskennwerte berechnet. Die folgenden Schritte zeigen jede Rechnung einzeln, damit sich jeder Wert nachprüfen lässt.

# Die '''Dichte''' wird mit &lt;math&gt;\rho = 1060\ \mathrm{kg/m^3}&lt;/math&gt; angesetzt. Der Wert lässt sich als Mischungsregel plausibel machen. Plasma hat eine Dichte von etwa 1025 kg/m³, rote Blutkörperchen von etwa 1100 kg/m³. Bei einem Zellanteil von 45 % ergibt sich &lt;math&gt;0{,}55 \cdot 1025 + 0{,}45 \cdot 1100 \approx 1059\ \mathrm{kg/m^3}&lt;/math&gt;. Die Dichte geht nur über die Reynoldszahl in die Rechnung ein, eine Abweichung von einem Prozent ändert die Ergebnisse daher kaum. &lt;!-- FIXME Lehrbuchquelle fuer Plasma- und Erythrozytendichte ergaenzen --&gt;
# Die '''dynamische Viskosität''' wird mit &lt;math&gt;\mu = 3{,}5\ \mathrm{mPa\,s}&lt;/math&gt; angesetzt. Das ist der Grenzwert der Blutviskosität bei hohen Scherraten, also genau der Wert, der zur Newtonschen Näherung gehört. Derselbe Wert von 0,035 Poise wird auch im Standardwerk zur Modellierung des Herz-Kreislauf-Systems verwendet.&lt;ref name=&quot;quarteroni&quot;&gt;Quarteroni, A.; Formaggia, L.: ''Mathematical Modelling and Numerical Simulation of the Cardiovascular System.'' In: Ayache, N. (Hrsg.): ''Computational Models for the Human Body.'' Handbook of Numerical Analysis, Bd. XII, Elsevier, Amsterdam 2004, S. 3-127. DOI 10.1016/S1570-8659(03)12001-7. Zur Newtonschen Näherung in großen Gefäßen siehe S. 30, zur Viskosität von 0,035 Poise die Parametertabelle auf S. 116.&lt;/ref&gt;
# Der '''mittlere Volumenstrom''' wird mit &lt;math&gt;Q_0 = 6\ \mathrm{ml/s}&lt;/math&gt; angesetzt. Das ist der zeitlich gemittelte Volumenstrom, der in der gemeinsamen Halsschlagader gesunder Probanden gemessen wurde.&lt;ref name=&quot;holdsworth&quot; /&gt;
# Die '''mittlere Geschwindigkeit''' folgt aus Volumenstrom und Querschnittsfläche, &lt;math&gt;U_0 = \frac{Q_0}{\pi R_0^2} = \frac{6 \cdot 10^{-6}\ \mathrm{m^3/s}}{\pi \cdot (0{,}003\ \mathrm{m})^2} = 0{,}2122\ \mathrm{m/s}&lt;/math&gt;.
# Die '''Reynoldszahl''' des gesunden Gefäßes ist &lt;math&gt;Re_0 = \frac{\rho\, U_0\, D_0}{\mu} = \frac{1060 \cdot 0{,}2122 \cdot 0{,}006}{0{,}0035} = 385{,}6&lt;/math&gt;. Sie wird im Folgenden auf 386 gerundet.
# Die '''Einlauflänge''', die eine anfangs gleichförmige Strömung bis zum voll entwickelten Parabelprofil bräuchte, beträgt nach der gebräuchlichen Abschätzung für laminare Rohrströmungen &lt;math&gt;L_e \approx 0{,}06\, Re_0\, D_0 \approx 0{,}06 \cdot 386 \cdot 6\ \mathrm{mm} \approx 139\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt;.&lt;ref name=&quot;durst&quot;&gt;Durst, F.; Ray, S.; Ünsal, B.; Bayoumi, O. A.: ''The development lengths of laminar pipe and channel flows.'' Journal of Fluids Engineering 127 (2005), Nr. 6, S. 1154-1160. Für große Reynoldszahlen nähert sich die dort angegebene Korrelation dem Wert 0,057·Re·D.&lt;/ref&gt; Das ist fast die gesamte Länge des Rechengebiets. Ein konstantes Einlassprofil würde die Strömung an der Stenose also verfälschen, weshalb am Einlass das voll entwickelte Profil vorgegeben wird.

Damit liegen alle globalen Parameter fest. Die folgende Tabelle enthält sie mit genau den Namen, unter denen sie in COMSOL und in den Octave-Skripten verwendet werden.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Globale Parameter des Modells
! Name !! Ausdruck in COMSOL !! Wert !! Bedeutung !! Herkunft
|-
| R0 || 3[mm] || 3 mm || Gefäßradius || Messwerte nach Krejza u. a. 2006, gerundet
|-
| D0 || 2*R0 || 6 mm || Gefäßdurchmesser || abgeleitet
|-
| Ls || 2*D0 || 12 mm || Länge der Störstelle || Standardgeometrie nach Varghese u. a. 2007
|-
| Lu || 5*D0 || 30 mm || Vorlaufstrecke vor der Stenosemitte || Abstand der Einlassbedingung von der Stenose
|-
| Ld || 20*D0 || 120 mm || Nachlaufstrecke hinter der Stenosemitte || Platz für das Rückströmgebiet
|-
| Lf || Ls/2+10*D0 || 66 mm || Ende des fein vernetzten Nachlaufs || erwartete Länge des Rückströmgebiets
|-
| s || 0 bis 0.8 || 0 bis 0,8 || Stenosegrad bezogen auf den Durchmesser || NASCET-Einteilung
|-
| rho_b || 1060[kg/m^3] || 1060 kg/m³ || Dichte des Blutes || Mischungsregel, Literaturwert
|-
| mu_b || 3.5[mPa*s] || 3,5 mPa·s || dynamische Viskosität des Blutes || Hochscherwert, Quarteroni und Formaggia 2004
|-
| Q0 || 6[ml/s] || 6 ml/s || mittlerer Volumenstrom || Messwerte nach Holdsworth u. a. 1999
|-
| U0 || Q0/(pi*R0^2) || 0,2122 m/s || mittlere Einströmgeschwindigkeit || abgeleitet
|-
| Re0 || rho_b*U0*D0/mu_b || 385,6 || Reynoldszahl des gesunden Gefäßes || abgeleitet
|-
| dp_ref || 8*mu_b*U0*(Lu+Ld)/R0^2 || 99,03 Pa || Poiseuille-Druckabfall des gesunden Gefäßes || abgeleitet, Hagen-Poiseuille
|}


= Literaturverzeichnis =

Alle Quellen sind an den Stellen im Text angegeben, an denen die zugehörigen Werte oder Aussagen verwendet werden. Die Liste wird aus diesen Angaben automatisch erzeugt.

&lt;references /&gt;</text>
      <sha1>4prmvz4afhwhbbm6vv24eksiyccipjq</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>1115876</id>
      <parentid>1115870</parentid>
      <timestamp>2026-10-12T15:23:56Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Heitele</username>
        <id>38553</id>
      </contributor>
      <comment>/* Thema und Fragestellung */</comment>
      <origin>1115876</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="30826" sha1="o2x1nndf1iibt4l2h81y2zvd1n3a15e" xml:space="preserve">= Gruppenteilnehmer =
* Joey Becker
* Marie-Thérèse Heitele
* Nicole Pander

= Thema und Fragestellung =

Gegenstand dieses Projekts ist die numerische Simulation der Blutströmung in einer verzweigten Halsschlagader ('''Carotis-Bifurkation''') unter dem Einfluss einer lokalen Gefäßverengung ('''Stenose''').
Im Vergleich zu einfachen Rohrströmungen wird hier die realitätsnahe Gefäßanatomie betrachtet: Die '''Arteria carotis communis (ACC)''' teilt sich in die '''Arteria carotis externa (ACE)''' und die '''Arteria carotis interna (ACI)''' auf. Während die '''ACE''' als gesunder, stenosefreier Ast dient, wird in der '''ACI''' eine geglättete, kosinusförmige Gefäßverengung modelliert. Um scharfe Kanten und unphysiologische Druckspitzen zu vermeiden, werden alle Wandübergänge und die Gabelungsspitze (Apex) anatomisch verrundet.

Als Referenz dient ein gesundes, unverengtes Gefäß, in dem sich die Poiseuille-Strömung mit ihrem charakteristischen parabolischen Geschwindigkeitsprofil ausbildet. Diese Strömung ist aus zwei Gründen der natürliche Ausgangspunkt. Sie beschreibt den physiologischen Normalfall, mit dem jeder Stenosegrad verglichen wird, und sie ist exakt lösbar, sodass sich an ihr jede numerische Rechnung prüfen lässt, bevor die Verengung hinzukommt.

== Fragestellung ==
Die Hauptfragestellung dieses Projektes lautet: 
Wie verändert eine symmetrische bzw. rotationssymmetrische Stenose in der '''Arteria carotis interna (ACI)''' die stationäre Strömung eines inkompressiblen Newton’schen Fluids in einer 2D-Carotis-Bifurkation hinsichtlich Geschwindigkeitsverteilung, Druckabfall, Wandschubspannung und Wirbelbildung im Vergleich zu den gesunden Gefäßabschnitten?

Aus dieser Fragestellung ergeben sich drei Teilfragen, an denen sich der Aufbau der Seite orientiert:

# Welche Strömungsgrößen reagieren empfindlich auf den Stenosegrad und welche nur träge?
# Ab welchem Stenosegrad ändert sich das Strömungsmuster qualitativ, das heißt, ab wann löst die Strömung hinter der Engstelle von der Wand ab und bildet ein Rückströmgebiet?
# Wie weit tragen die vereinfachenden Modellannahmen, insbesondere die Annahme einer stationären und laminaren Strömung, über den untersuchten Bereich der Stenosegrade?

Im Hinblick darauf werden für dieses Projekt einige Annahmen getroffen, um das Projekt zu simplifizieren.

= Relevanz =

Die Untersuchung von Gefäßverengungen besitzt eine medizinische und eine methodische Bedeutung. Beide werden im Folgenden getrennt begründet, weil sie unterschiedliche Anforderungen an das Modell stellen. Die medizinische Fragestellung verlangt realistische Zahlenwerte, die methodische Fragestellung verlangt nachprüfbare Rechnungen.

== Medizinische Relevanz ==

Arterielle Stenosen entstehen überwiegend durch Atherosklerose, also durch Ablagerungen aus Lipiden, Bindegewebe und Kalk in der Gefäßwand. In der Halsschlagader sind sie klinisch besonders bedeutsam, weil sie die Durchblutung des Gehirns beeinträchtigen und weil sich an ihnen Thromben bilden können, die als Embolie einen Schlaganfall auslösen. Dass die operative Entfernung einer hochgradigen Karotisstenose das Schlaganfallrisiko symptomatischer Patienten deutlich senkt, hat die NASCET-Studie gezeigt, deren Einteilung der Stenosegrade dieses Projekt übernimmt.&lt;ref name=&quot;nascet&quot;&gt;North American Symptomatic Carotid Endarterectomy Trial Collaborators: ''Beneficial effect of carotid endarterectomy in symptomatic patients with high-grade carotid stenosis.'' New England Journal of Medicine 325 (1991), Nr. 7, S. 445-453.&lt;/ref&gt;

Strömungsmechanisch ist an einer Stenose vor allem die Wandschubspannung von Interesse, also die tangentiale Kraft je Fläche, die das strömende Blut auf die innerste Zellschicht der Gefäßwand ausübt. Gesunde Halsschlagadern weisen zeitlich gemittelte Werte von etwa 1,1 bis 1,5 Pa auf.&lt;ref name=&quot;samijo&quot;&gt;Samijo, S. K.; Willigers, J. M.; Barkhuysen, R.; Kitslaar, P. J. E. H. M.; Reneman, R. S.; Brands, P. J.; Hoeks, A. P. G.: ''Wall shear stress in the human common carotid artery as function of age and gender.'' Cardiovascular Research 39 (1998), Nr. 2, S. 515-522.&lt;/ref&gt; In einer Engstelle steigt sie stark an, unmittelbar dahinter fällt sie im Ablösegebiet auf nahezu null und wechselt dort sogar das Vorzeichen. Niedrige und im Vorzeichen wechselnde Wandschubspannungen gelten als Bedingungen, unter denen sich weitere Ablagerungen bevorzugt bilden. Eine bestehende Stenose schafft also stromabwärts die Voraussetzungen für ihr eigenes Wachstum. Genau diese Verteilung lässt sich im Körper nur schwer messen, in einer Simulation dagegen unmittelbar auswerten.

== Methodische Relevanz ==

Fachlich überträgt das Projekt die Prinzipien der Strömungsmechanik aus der Vorlesung auf eine biomedizinische Anwendung.&lt;ref name=&quot;hundertmark&quot;&gt;Hundertmark, A.: ''Fluiddynamik.'' Vorlesungsunterlagen zum Modul Räumliche Modellbildung, RPTU Kaiserslautern-Landau, Sommersemester 2026.&lt;/ref&gt; Der methodische Mehrwert liegt in der Verknüpfung mehrerer Zugänge, die sich gegenseitig kontrollieren. Die analytische Poiseuille-Lösung liefert exakte Sollwerte für das gesunde Gefäß. Ein reduziertes Graphenmodell liefert für jeden Stenosegrad eine schnelle Abschätzung, die analytisch nachrechenbar ist. Die Simulationen in COMSOL Multiphysics lösen schließlich die vollständigen Navier-Stokes-Gleichungen in zwei und drei Raumdimensionen. Weil jede Stufe die Sollwerte der nächsten liefert, zeigt das Projekt nicht nur Ergebnisse, sondern auch, wie numerische Modelle aufgebaut, verifiziert und an ihren Grenzen bewertet werden.

== Auswahl der Stenosegrade ==

Um die untersuchten Gefäßverengungen nicht willkürlich festzulegen, orientiert sich die Auswahl der Stenosegrade an der klinisch gebräuchlichen NASCET-Klassifikation von Karotisstenosen.&lt;ref name=&quot;nascet&quot; /&gt; Sie teilt Stenosen nach ihrer Durchmesserreduktion in drei Schweregrade ein, ein vollständiger Gefäßverschluss wird als Okklusion bezeichnet.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Schweregrade nach NASCET und ihre Abdeckung im Projekt
! Schweregrad !! Durchmesserreduktion !! im Projekt gerechnete Stenosegrade !! hervorgehobener Vertreter
|-
| gesundes Gefäß || 0 % || 0 || 0
|-
| leichtgradige Stenose || unter 50 % || 0,1 bis 0,4 || 0,3
|-
| mittelgradige Stenose || 50 bis 69 % || 0,5 und 0,6 || 0,6
|-
| hochgradige Stenose || 70 bis 99 % || 0,7 und 0,8 || 0,8
|-
| Okklusion || 100 % || nicht gerechnet || entfällt
|}

Für die numerische Untersuchung wird aus jeder Kategorie ein repräsentativer Stenosegrad hervorgehoben. Neben dem gesunden Gefäß mit '''0 %''' Stenose sind das eine '''30 %''' Stenose als Beispiel für eine leichtgradige, eine '''60 %''' Stenose als Beispiel für eine mittelgradige und eine '''80 %''' Stenose als Beispiel für eine hochgradige Verengung. Zusätzlich werden im Graphenmodell und im achsensymmetrischen Flächenmodell alle Zwischenwerte in Schritten von zehn Prozentpunkten gerechnet. Das kostet in diesen beiden Modellen nur Sekunden, liefert aber glatte Verläufe über dem Stenosegrad und macht sichtbar, ab welchem Grad sich das Verhalten der Strömung ändert. Ein vollständiger Gefäßverschluss wird nicht simuliert, da in diesem Fall keine durchgängige Strömung mehr vorliegt.

Der Stenosegrad wird in diesem Projekt wie bei NASCET über die Verringerung des Gefäßdurchmessers beschrieben,

&lt;math&gt;s = 1 - \frac{d_{\min}}{d_{\mathrm{ref}}},&lt;/math&gt;

wobei &lt;math&gt;d_{\min}&lt;/math&gt; der kleinste Durchmesser in der Engstelle und &lt;math&gt;d_{\mathrm{ref}}&lt;/math&gt; ein Referenzdurchmesser ist. NASCET verwendet als Referenz den Durchmesser des gesunden Gefäßes stromabwärts der Stenose. Im idealisierten Modell hat das Gefäß vor und hinter der Engstelle denselben Durchmesser &lt;math&gt;D_0&lt;/math&gt;, sodass &lt;math&gt;d_{\mathrm{ref}} = D_0&lt;/math&gt; gilt und die NASCET-Definition mit allen anderen gebräuchlichen Durchmesserdefinitionen zusammenfällt.

Wichtig für das Verständnis aller weiteren Ergebnisse ist der Unterschied zwischen Durchmesser- und Flächenreduktion. Da die Querschnittsfläche quadratisch vom Durchmesser abhängt, gilt für die Flächenreduktion &lt;math&gt;1-(1-s)^2&lt;/math&gt;. Eine im klinischen Sinn nur mittelgradige Stenose von 60 % verschließt damit bereits 84 % der Querschnittsfläche.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Durchmesser- und Flächenreduktion der gerechneten Stenosegrade
! Stenosegrad s !! 0 !! 0,1 !! 0,2 !! 0,3 !! 0,4 !! 0,5 !! 0,6 !! 0,7 !! 0,8
|-
| engster Durchmesser in mm || 6,0 || 5,4 || 4,8 || 4,2 || 3,6 || 3,0 || 2,4 || 1,8 || 1,2
|-
| Flächenreduktion || 0 % || 19 % || 36 % || 51 % || 64 % || 75 % || 84 % || 91 % || 96 %
|}

Zwei Einschränkungen gehören zur ehrlichen Einordnung. Erstens ist die NASCET-Klassifikation für Stenosen der ''Arteria carotis interna'' entwickelt worden, also des Astes hinter der Gabelung, während hier ein gerader Abschnitt der ''Arteria carotis communis'' modelliert wird. Die Klassifikation dient im Projekt deshalb als Orientierung für sinnvolle Abstufungen und nicht als diagnostische Aussage. Zweitens zeigt sich im Abschnitt zur Modellierung, dass die Annahme einer stationären, laminaren Strömung ab einem Stenosegrad von etwa 0,6 an ihre Grenzen stößt. Die hochgradigen Fälle werden deshalb zwar gerechnet, ihre Ergebnisse aber ausdrücklich als Grenzfall des Modells diskutiert.

= Modellierung =

Modellierung bedeutet hier, die reale Situation in eine mathematische Aufgabe zu übersetzen, die sich lösen lässt. Dazu gehören vier Bausteine, nämlich das Rechengebiet, die Gleichungen, die Zahlenwerte der Parameter und die Bedingungen an den Rändern. Jeder dieser Bausteine beruht auf Annahmen, und jede Annahme muss begründet werden. Dieser Abschnitt geht die Bausteine deshalb der Reihe nach durch und nennt bei jedem Zahlenwert, woher er stammt und warum er sinnvoll ist.

== Modellhierarchie ==

Das Projekt rechnet nicht ein einziges Modell, sondern vier aufeinander aufbauende Modellvarianten. Sie entsprechen der Kursanforderung, eine Strömung als Graph, in zwei und in drei Raumdimensionen darzustellen, und sie sind bewusst von einfach nach aufwendig geordnet.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Die vier Modellvarianten des Projekts
! Modell !! Raumdimension !! gelöste Gleichung !! Zweck !! Werkzeug
|-
| Graphenmodell || 1D, Gefäßachse || Hagen-Poiseuille je Rohrstück und Massenerhaltung in jedem Knoten || schnelle, analytisch nachrechenbare Abschätzung für jeden Stenosegrad || Octave und COMSOL (Koeffizientenform-PDGL)
|-
| achsensymmetrisches Flächenmodell || 2D, Halbschnitt in r und z || vollständige stationäre Navier-Stokes-Gleichungen in Zylinderkoordinaten || Hauptmodell, liefert alle Feldgrößen des rotationssymmetrischen Rohres || COMSOL, Laminare Strömung
|-
| ebenes Flächenmodell || 2D, Halbschnitt in x und y || vollständige stationäre Navier-Stokes-Gleichungen in kartesischen Koordinaten || Vergleich, zeigt den Einfluss der zweiten Querschnittsrichtung || COMSOL, Laminare Strömung
|-
| Volumenmodell || 3D || vollständige stationäre Navier-Stokes-Gleichungen || Kontrolle des Hauptmodells und räumliche Darstellung || COMSOL, Laminare Strömung
|}

Die Reihenfolge folgt einem einfachen Prinzip. Jede Stufe liefert die Sollwerte, an denen die nächste, komplexere Stufe geprüft wird. Das Graphenmodell muss im gesunden Fall exakt die Poiseuille-Lösung ergeben. Das achsensymmetrische Modell muss im gesunden Fall dieselben Werte liefern und bei Stenose für Geschwindigkeit und Wandschubspannung in der Nähe des Graphenmodells liegen. Das Volumenmodell muss, weil die Geometrie rotationssymmetrisch ist, mit dem achsensymmetrischen Modell übereinstimmen.

== Modellannahmen ==

Um den Einfluss des Stenosegrades möglichst isoliert zu untersuchen, werden die folgenden Modellannahmen getroffen. Die Tabelle nennt zu jeder Annahme ihre mathematische Form, die Begründung und die Stelle, an der sie im Projekt überprüft wird.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Modellannahmen, ihre Begründung und ihre Überprüfung
! Annahme !! mathematische Form !! Begründung !! Überprüfung
|-
| Idealisierte Gefäßgeometrie || gerades Rohr mit kosinusförmiger, rotationssymmetrischer Verengung || isoliert die Wirkung des Stenosegrades von Krümmung, Verzweigung und Plaqueform || Diskussion in den Schlussfolgerungen
|-
| Starre Gefäßwand || Wand ortsfest, keine Fluid-Struktur-Kopplung || im stationären Fall gibt es keine Druckschwankung, die die Wand periodisch aufweiten könnte || Abschätzung über die gemessene Durchmesseränderung im Herzzyklus
|-
| Stationäre Strömung || &lt;math&gt;\partial \mathbf{u}/\partial t = \mathbf{0}&lt;/math&gt; || der Einfluss des Stenosegrades soll ohne Überlagerung durch die Pulsation sichtbar werden || Abschätzung über die Womersley-Zahl
|-
| Inkompressibles Fluid || &lt;math&gt;\rho = \mathrm{const}&lt;/math&gt;, damit &lt;math&gt;\nabla\cdot\mathbf{u} = 0&lt;/math&gt; || Blut ist eine Flüssigkeit, Druckänderungen von wenigen hundert Pascal ändern die Dichte nicht messbar || Massenerhaltung in fünf Querschnitten
|-
| Newtonsche Näherung || konstante Viskosität &lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt; || die Scherraten an der Wand und im größten Teil des Querschnitts liegen über dem Bereich, in dem Blut deutlich scherverdünnend wirkt || Scherrate an der Wand, Diskussion des Rückströmgebiets
|-
| Konstante Stoffeigenschaften || &lt;math&gt;\rho&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt; räumlich und zeitlich konstant || Körpertemperatur ist im betrachteten Abschnitt konstant || entfällt
|-
| Laminare Strömung || kein Turbulenzmodell, Schnittstelle Laminare Strömung || Reynoldszahl des gesunden Gefäßes von 386 liegt weit unter dem Umschlagbereich || Reynoldszahl in der Engstelle, Literaturvergleich
|-
| Haftbedingung an der Wand || &lt;math&gt;\mathbf{u} = \mathbf{0}&lt;/math&gt; auf der Wand || Folge der Viskosität, das Fluid haftet an der Wand || Grundlage jeder Wandschubspannung
|-
| Vernachlässigung der Gravitation || keine Volumenkraft || bei konstanter Dichte lässt sich die Schwerkraft vollständig in einen hydrostatischen Druckanteil verschieben und beeinflusst die Geschwindigkeit nicht || Begründung in den Mathematischen Hintergründen
|-
| Voll entwickelte Einströmung || parabolisches Profil am Einlass || die natürliche Einlaufstrecke wäre mit rund 139 mm fast so lang wie das ganze Rechengebiet || Scheitelgeschwindigkeit im gesunden Fall
|-
| Eingeprägter Volumenstrom || &lt;math&gt;Q = Q_0&lt;/math&gt; am Einlass || der Strömungswiderstand des Abschnitts ist klein gegenüber dem des nachgeschalteten Gefäßbetts || Abschätzung mit einem Reihenwiderstand
|}

Einige dieser Annahmen sind unmittelbar einsichtig, andere verdienen eine genauere Begründung, weil von ihnen die Aussagekraft der Ergebnisse abhängt.

Die '''Newtonsche Näherung''' ist die Annahme, die bei Blut am häufigsten hinterfragt wird. Reales Blut ist eine Suspension aus Plasma und Blutzellen und verhält sich scherverdünnend. Bei kleinen Scherraten lagern sich die roten Blutkörperchen zu geldrollenartigen Stapeln zusammen, und die Viskosität steigt auf ein Vielfaches an. Bei großen Scherraten lösen sich diese Stapel auf, und die Viskosität strebt gegen einen Grenzwert von etwa 3,5 mPa·s. Entscheidend ist also die Scherrate. An der Wand des gesunden Modellgefäßes beträgt sie nach der Poiseuille-Lösung

&lt;math&gt;\dot\gamma_w = \frac{4\,U_0}{R_0} = \frac{4 \cdot 0{,}2122\ \mathrm{m/s}}{0{,}003\ \mathrm{m}} \approx 283\ \mathrm{s^{-1}}&lt;/math&gt;

und liegt damit oberhalb von etwa 100 pro Sekunde, wo sich Newtonsches und nicht Newtonsches Modell nach der Literatur nur noch wenig unterscheiden.&lt;ref name=&quot;boyd&quot;&gt;Die Grenze von etwa 100 s&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt; wird in vergleichenden Studien zur Blutrheologie verwendet, etwa bei Bernabeu, M. O. u. a.: ''Impact of blood rheology on wall shear stress in a model of the middle cerebral artery.'' Interface Focus 3 (2013), 20120094. &lt;!-- FIXME Zitat und Seitenangabe am Original pruefen --&gt;&lt;/ref&gt; In der Engstelle steigt die Scherrate weiter an, beim Stenosegrad 0,5 auf rund 2260 pro Sekunde. Schwach ist die Näherung dort, wo die Scherrate klein wird, also in der Mitte des Gefäßes und vor allem im Rückströmgebiet hinter der Stenose. Dort ist reales Blut zäher als angenommen. Dieser Punkt wird in den Schlussfolgerungen wieder aufgegriffen.

Die '''stationäre Strömung''' ist die stärkste Vereinfachung. Wie wichtig die Pulsation ist, misst die Womersley-Zahl, die das Verhältnis von instationärer Trägheit zu Reibung angibt. Mit einer Herzfrequenz von 60 Schlägen je Minute, also einer Kreisfrequenz &lt;math&gt;\omega = 2\pi\ \mathrm{s^{-1}}&lt;/math&gt;, ergibt sich

&lt;math&gt;\alpha = R_0 \sqrt{\frac{\omega \rho}{\mu}} = 0{,}003\ \mathrm{m} \cdot \sqrt{\frac{2\pi\ \mathrm{s^{-1}} \cdot 1060\ \mathrm{kg/m^3}}{0{,}0035\ \mathrm{Pa\,s}}} \approx 4{,}1 .&lt;/math&gt;

Ein Wert in dieser Größenordnung bedeutet, dass das reale Geschwindigkeitsprofil im Herzzyklus merklich von der Parabel abweicht.&lt;ref name=&quot;womersley&quot;&gt;Womersley, J. R.: ''Method for the calculation of velocity, rate of flow and viscous drag in arteries when the pressure gradient is known.'' Journal of Physiology 127 (1955), S. 553-563.&lt;/ref&gt; Hinzu kommt, dass der Volumenstrom in der Systole kurzzeitig auf rund das Vierfache des Mittelwerts steigt.&lt;ref name=&quot;holdsworth&quot;&gt;Holdsworth, D. W.; Norley, C. J. D.; Frayne, R.; Steinman, D. A.; Rutt, B. K.: ''Characterization of common carotid artery blood-flow waveforms in normal human subjects.'' Physiological Measurement 20 (1999), Nr. 3, S. 219-240. DOI 10.1088/0967-3334/20/3/301. Angegeben werden ein mittlerer Volumenstrom von 6,0 ± 1,4 ml/s und ein systolischer Spitzenwert von 23,5 ± 3,8 ml/s. &lt;!-- FIXME Zahlenwerte und Probandenzahl am Original pruefen --&gt;&lt;/ref&gt; Die stationäre Rechnung mit dem Mittelwert beschreibt deshalb nicht den zeitlichen Verlauf, wohl aber den zeitlich gemittelten Zustand, an dem sich der Einfluss des Stenosegrades sauber vergleichen lässt.

Die '''laminare Strömung''' wird über die Reynoldszahl begründet. Sie beträgt im gesunden Gefäß 386 und liegt damit weit unter dem Wert von etwa 2300, ab dem die Strömung in einem geraden Rohr in den Übergangsbereich gelangen kann. In der Engstelle steigt sie bei festem Volumenstrom auf &lt;math&gt;Re_0/(1-s)&lt;/math&gt;, also auf 551 beim Stenosegrad 0,3, auf 964 beim Grad 0,6 und auf 1928 beim Grad 0,8. Für den Strahl hinter einer Engstelle ist der Umschlagbereich allerdings deutlich niedriger als im geraden Rohr. Direkte numerische Simulationen an genau der in diesem Projekt verwendeten Stenosegeometrie zeigen, dass die Strömung bei einer Einström-Reynoldszahl von 500 auch bei leichter Unsymmetrie laminar bleibt, bei 1000 dagegen schon eine Exzentrizität von fünf Prozent des Durchmessers genügt, um den Strahl in lokal turbulente Strömung umschlagen zu lassen.&lt;ref name=&quot;varghese&quot;&gt;Varghese, S. S.; Frankel, S. H.; Fischer, P. F.: ''Direct numerical simulation of stenotic flows. Part 1. Steady flow.'' Journal of Fluid Mechanics 582 (2007), S. 253-280. Untersucht wird eine kosinusförmige Stenose der Länge 2D mit 75 % Flächenreduktion, die mit der Geometrie dieses Projekts beim Stenosegrad 0,5 übereinstimmt. &lt;!-- FIXME Band und Seiten am Original pruefen --&gt;&lt;/ref&gt; Mit einer Einström-Reynoldszahl von 386 liegt das Projekt für die leicht- und mittelgradigen Stenosen sicher im laminaren Bereich. Für die hochgradigen Stenosen ab 0,7 ist ein laminares, stationäres Modell dagegen nur noch eine Näherung, die eine Obergrenze der geordneten Strömung beschreibt. Diese Fälle werden deshalb als Grenzfall des Modells gekennzeichnet.

Die '''starre Wand''' lässt sich über Messungen abschätzen. Der Durchmesser der gemeinsamen Halsschlagader ändert sich im Herzzyklus bei jungen Menschen um etwa 12 bis 14 Prozent und bei älteren Menschen um etwa 5 Prozent.&lt;ref name=&quot;hansen&quot;&gt;Hansen, F.; Mangell, P.; Sonesson, B.; Länne, T.: ''Diameter and compliance in the human common carotid artery: variations with age and sex.'' Ultrasound in Medicine and Biology 21 (1995), Nr. 1, S. 1-9. DOI 10.1016/0301-5629(94)00090-5.&lt;/ref&gt; Diese Bewegung ist eine Folge der Pulsation. In einer stationären Rechnung gibt es keine Druckschwankung, die die Wand periodisch aufweiten könnte, sodass die starre Wand zur stationären Annahme konsistent ist. Eine verkalkte Plaque ist ohnehin deutlich steifer als die gesunde Wand.

Die Annahme des '''eingeprägten Volumenstroms''' wird im Abschnitt zu den Randbedingungen begründet, weil sie sich nur im Zusammenhang mit dem Kreislauf beurteilen lässt.

== Simulationsgebiet und Geometrie ==

Die Gefäßachse ist die z-Achse, der Ursprung liegt in der Mitte der Stenose, und &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; bezeichnet den Abstand von der Achse. Das Rechengebiet reicht von &lt;math&gt;z = -L_u&lt;/math&gt; bis &lt;math&gt;z = L_d&lt;/math&gt; und wird radial von der Wandkontur &lt;math&gt;R(z)&lt;/math&gt; begrenzt. Die Verengung wird über eine einzige glatte Funktion beschrieben,

&lt;math&gt;R(z) = R_0 \left[ 1 - \frac{s}{2}\left(1 + \cos\frac{2\pi z}{L_s}\right)\right] \quad \text{falls } |z| \le \frac{L_s}{2}, \qquad R(z) = R_0 \ \text{sonst.}&lt;/math&gt;

Die Funktion hat drei Eigenschaften, die ihre Wahl begründen. Sie wird erstens über einen einzigen Parameter gesteuert, den Stenosegrad &lt;math&gt;s&lt;/math&gt;. Der engste Radius in der Mitte beträgt &lt;math&gt;R(0) = R_0(1-s)&lt;/math&gt;, und der Fall ohne Verengung ist einfach der Fall &lt;math&gt;s = 0&lt;/math&gt;. Die gesamte Vergleichsreihe entsteht damit aus einem einzigen parametrischen Sweep. Sie geht zweitens an beiden Enden der Störstelle ohne Knick in das gerade Rohr über. Bei &lt;math&gt;z = \pm L_s/2&lt;/math&gt; ist der Kosinus gleich minus eins, die Klammer also null, und seine Ableitung verschwindet dort ebenfalls. Das ist nicht nur ästhetisch, sondern numerisch notwendig, denn ein Knick in der Wand erzeugt eine Singularität der Wandschubspannung, deren berechneter Wert mit jeder Netzverfeinerung weiter wüchse. Eine Netzstudie wäre dann sinnlos. Sie ist drittens die in der Literatur gebräuchliche Standardgeometrie für Stenosen, sodass sich die Ergebnisse unmittelbar mit veröffentlichten Rechnungen vergleichen lassen.&lt;ref name=&quot;varghese&quot; /&gt;

[[Datei:Stenose Gruppe5 Wandkontur.svg|mini|zentriert|800px|Wandkontur &lt;math&gt;R(z)&lt;/math&gt; für die untersuchten Stenosegrade. Die Darstellung ist in radialer Richtung gestreckt, das Rechengebiet ist in Wirklichkeit fünfundzwanzigmal länger als breit.]]
&lt;!-- FIXME Abbildung mit abbildungen_graph_1d.m fuer s = 0 bis 0,8 neu erzeugen, bisher nur bis 0,5 --&gt;

Die Abmessungen des Rechengebiets werden alle aus dem Gefäßradius abgeleitet. Das hat den Vorteil, dass sich das gesamte Modell durch Ändern eines einzigen Wertes auf ein anderes Gefäß übertragen lässt. Die einzelnen Längen werden im Folgenden Schritt für Schritt begründet.

# Der '''Gefäßradius''' &lt;math&gt;R_0 = 3\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; folgt aus Ultraschallmessungen an gesunden Erwachsenen. Dort wurden für die gemeinsame Halsschlagader mittlere Durchmesser von 6,10 ± 0,80 mm bei Frauen und 6,52 ± 0,98 mm bei Männern gemessen.&lt;ref name=&quot;krejza&quot;&gt;Krejza, J.; Arkuszewski, M.; Kasner, S. E.; Weigele, J.; Ustymowicz, A.; Hurst, R. W.; Cucchiara, B. L.; Messe, S. R.: ''Carotid artery diameter in men and women and the relation to body and neck size.'' Stroke 37 (2006), Nr. 4, S. 1103-1105. DOI 10.1161/01.STR.0000206440.48756.f7.&lt;/ref&gt; Der gewählte Durchmesser von &lt;math&gt;D_0 = 6\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; liegt damit innerhalb einer Standardabweichung beider Gruppen und ist bewusst auf einen runden Wert gesetzt, damit alle abgeleiteten Längen glatte Zahlen ergeben.
# Die '''Länge der Störstelle''' &lt;math&gt;L_s = 2 D_0 = 12\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; entspricht der Standardgeometrie aus der Literatur, die eine Stenosenlänge von zwei Durchmessern verwendet.&lt;ref name=&quot;varghese&quot; /&gt; Damit ist beim Stenosegrad 0,5 ein direkter Vergleich mit veröffentlichten Ergebnissen möglich.
# Die '''Vorlaufstrecke''' &lt;math&gt;L_u = 5 D_0 = 30\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; trennt den Einlass von der Stenose. Da am Einlass bereits das voll entwickelte Profil vorgegeben wird, muss sie nicht die Einlaufstrecke abdecken, sondern nur verhindern, dass die Einströmrandbedingung die Strömung an der Engstelle beeinflusst. Bei Reynoldszahlen in dieser Größenordnung reicht der Einfluss einer Verengung nur wenige Durchmesser stromaufwärts, die Literatur kommt für dieselbe Geometrie mit drei Durchmessern Vorlauf aus.&lt;ref name=&quot;varghese&quot; /&gt; Fünf Durchmesser lassen also eine Reserve. Überprüft wird das im Ergebnis, indem die Geschwindigkeit auf der Achse in der Mitte der Vorlaufstrecke mit dem Sollwert &lt;math&gt;2U_0&lt;/math&gt; verglichen wird.
# Die '''Nachlaufstrecke''' &lt;math&gt;L_d = 20 D_0 = 120\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; ist deutlich länger, weil sich hinter der Engstelle ein Rückströmgebiet bildet, das nicht auf den Auslass treffen darf. Für die Geometrie mit dem Stenosegrad 0,5 legt die Strömung bei einer Einström-Reynoldszahl von 500 erst etwa zehn Durchmesser hinter der Engstelle wieder an, die Literatur rechnet mit sechzehn Durchmessern Nachlauf.&lt;ref name=&quot;varghese&quot; /&gt; Zwanzig Durchmesser bieten damit für alle Stenosegrade bis 0,5 einen Sicherheitsabstand. Für die Grade ab 0,6 ist ein längeres Rückströmgebiet zu erwarten, dort wird die Lage des Wiederanlegepunktes ausdrücklich kontrolliert.
# Das '''Ende des fein vernetzten Nachlaufs''' &lt;math&gt;L_f = L_s/2 + 10 D_0 = 66\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; legt fest, bis wohin das Netz verfeinert wird. Der Wert ist so gewählt, dass das erwartete Rückströmgebiet von etwa zehn Durchmessern vollständig im feinen Bereich liegt.

Damit hat das Rechengebiet eine Gesamtlänge von &lt;math&gt;L = L_u + L_d = 150\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt;, also das Fünfundzwanzigfache des Durchmessers. Es ist ein Modellgebiet und kein maßstäbliches Abbild eines bestimmten anatomischen Abschnitts.

== Stoff- und Strömungsparameter ==

Die Stoffwerte des Blutes und der Volumenstrom sind die einzigen Eingangsgrößen, die nicht aus der Geometrie folgen. Aus ihnen werden alle weiteren Strömungskennwerte berechnet. Die folgenden Schritte zeigen jede Rechnung einzeln, damit sich jeder Wert nachprüfen lässt.

# Die '''Dichte''' wird mit &lt;math&gt;\rho = 1060\ \mathrm{kg/m^3}&lt;/math&gt; angesetzt. Der Wert lässt sich als Mischungsregel plausibel machen. Plasma hat eine Dichte von etwa 1025 kg/m³, rote Blutkörperchen von etwa 1100 kg/m³. Bei einem Zellanteil von 45 % ergibt sich &lt;math&gt;0{,}55 \cdot 1025 + 0{,}45 \cdot 1100 \approx 1059\ \mathrm{kg/m^3}&lt;/math&gt;. Die Dichte geht nur über die Reynoldszahl in die Rechnung ein, eine Abweichung von einem Prozent ändert die Ergebnisse daher kaum. &lt;!-- FIXME Lehrbuchquelle fuer Plasma- und Erythrozytendichte ergaenzen --&gt;
# Die '''dynamische Viskosität''' wird mit &lt;math&gt;\mu = 3{,}5\ \mathrm{mPa\,s}&lt;/math&gt; angesetzt. Das ist der Grenzwert der Blutviskosität bei hohen Scherraten, also genau der Wert, der zur Newtonschen Näherung gehört. Derselbe Wert von 0,035 Poise wird auch im Standardwerk zur Modellierung des Herz-Kreislauf-Systems verwendet.&lt;ref name=&quot;quarteroni&quot;&gt;Quarteroni, A.; Formaggia, L.: ''Mathematical Modelling and Numerical Simulation of the Cardiovascular System.'' In: Ayache, N. (Hrsg.): ''Computational Models for the Human Body.'' Handbook of Numerical Analysis, Bd. XII, Elsevier, Amsterdam 2004, S. 3-127. DOI 10.1016/S1570-8659(03)12001-7. Zur Newtonschen Näherung in großen Gefäßen siehe S. 30, zur Viskosität von 0,035 Poise die Parametertabelle auf S. 116.&lt;/ref&gt;
# Der '''mittlere Volumenstrom''' wird mit &lt;math&gt;Q_0 = 6\ \mathrm{ml/s}&lt;/math&gt; angesetzt. Das ist der zeitlich gemittelte Volumenstrom, der in der gemeinsamen Halsschlagader gesunder Probanden gemessen wurde.&lt;ref name=&quot;holdsworth&quot; /&gt;
# Die '''mittlere Geschwindigkeit''' folgt aus Volumenstrom und Querschnittsfläche, &lt;math&gt;U_0 = \frac{Q_0}{\pi R_0^2} = \frac{6 \cdot 10^{-6}\ \mathrm{m^3/s}}{\pi \cdot (0{,}003\ \mathrm{m})^2} = 0{,}2122\ \mathrm{m/s}&lt;/math&gt;.
# Die '''Reynoldszahl''' des gesunden Gefäßes ist &lt;math&gt;Re_0 = \frac{\rho\, U_0\, D_0}{\mu} = \frac{1060 \cdot 0{,}2122 \cdot 0{,}006}{0{,}0035} = 385{,}6&lt;/math&gt;. Sie wird im Folgenden auf 386 gerundet.
# Die '''Einlauflänge''', die eine anfangs gleichförmige Strömung bis zum voll entwickelten Parabelprofil bräuchte, beträgt nach der gebräuchlichen Abschätzung für laminare Rohrströmungen &lt;math&gt;L_e \approx 0{,}06\, Re_0\, D_0 \approx 0{,}06 \cdot 386 \cdot 6\ \mathrm{mm} \approx 139\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt;.&lt;ref name=&quot;durst&quot;&gt;Durst, F.; Ray, S.; Ünsal, B.; Bayoumi, O. A.: ''The development lengths of laminar pipe and channel flows.'' Journal of Fluids Engineering 127 (2005), Nr. 6, S. 1154-1160. Für große Reynoldszahlen nähert sich die dort angegebene Korrelation dem Wert 0,057·Re·D.&lt;/ref&gt; Das ist fast die gesamte Länge des Rechengebiets. Ein konstantes Einlassprofil würde die Strömung an der Stenose also verfälschen, weshalb am Einlass das voll entwickelte Profil vorgegeben wird.

Damit liegen alle globalen Parameter fest. Die folgende Tabelle enthält sie mit genau den Namen, unter denen sie in COMSOL und in den Octave-Skripten verwendet werden.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Globale Parameter des Modells
! Name !! Ausdruck in COMSOL !! Wert !! Bedeutung !! Herkunft
|-
| R0 || 3[mm] || 3 mm || Gefäßradius || Messwerte nach Krejza u. a. 2006, gerundet
|-
| D0 || 2*R0 || 6 mm || Gefäßdurchmesser || abgeleitet
|-
| Ls || 2*D0 || 12 mm || Länge der Störstelle || Standardgeometrie nach Varghese u. a. 2007
|-
| Lu || 5*D0 || 30 mm || Vorlaufstrecke vor der Stenosemitte || Abstand der Einlassbedingung von der Stenose
|-
| Ld || 20*D0 || 120 mm || Nachlaufstrecke hinter der Stenosemitte || Platz für das Rückströmgebiet
|-
| Lf || Ls/2+10*D0 || 66 mm || Ende des fein vernetzten Nachlaufs || erwartete Länge des Rückströmgebiets
|-
| s || 0 bis 0.8 || 0 bis 0,8 || Stenosegrad bezogen auf den Durchmesser || NASCET-Einteilung
|-
| rho_b || 1060[kg/m^3] || 1060 kg/m³ || Dichte des Blutes || Mischungsregel, Literaturwert
|-
| mu_b || 3.5[mPa*s] || 3,5 mPa·s || dynamische Viskosität des Blutes || Hochscherwert, Quarteroni und Formaggia 2004
|-
| Q0 || 6[ml/s] || 6 ml/s || mittlerer Volumenstrom || Messwerte nach Holdsworth u. a. 1999
|-
| U0 || Q0/(pi*R0^2) || 0,2122 m/s || mittlere Einströmgeschwindigkeit || abgeleitet
|-
| Re0 || rho_b*U0*D0/mu_b || 385,6 || Reynoldszahl des gesunden Gefäßes || abgeleitet
|-
| dp_ref || 8*mu_b*U0*(Lu+Ld)/R0^2 || 99,03 Pa || Poiseuille-Druckabfall des gesunden Gefäßes || abgeleitet, Hagen-Poiseuille
|}


= Literaturverzeichnis =

Alle Quellen sind an den Stellen im Text angegeben, an denen die zugehörigen Werte oder Aussagen verwendet werden. Die Liste wird aus diesen Angaben automatisch erzeugt.

&lt;references /&gt;</text>
      <sha1>o2x1nndf1iibt4l2h81y2zvd1n3a15e</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>1115879</id>
      <parentid>1115876</parentid>
      <timestamp>2026-10-12T15:33:27Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Heitele</username>
        <id>38553</id>
      </contributor>
      <comment>/* Fragestellung */</comment>
      <origin>1115879</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="32635" sha1="bm4uczuk71t78r34bxgnbug7qk9xmuy" xml:space="preserve">= Gruppenteilnehmer =
* Joey Becker
* Marie-Thérèse Heitele
* Nicole Pander

= Thema und Fragestellung =

Gegenstand dieses Projekts ist die numerische Simulation der Blutströmung in einer verzweigten Halsschlagader ('''Carotis-Bifurkation''') unter dem Einfluss einer lokalen Gefäßverengung ('''Stenose''').
Im Vergleich zu einfachen Rohrströmungen wird hier die realitätsnahe Gefäßanatomie betrachtet: Die '''Arteria carotis communis (ACC)''' teilt sich in die '''Arteria carotis externa (ACE)''' und die '''Arteria carotis interna (ACI)''' auf. Während die '''ACE''' als gesunder, stenosefreier Ast dient, wird in der '''ACI''' eine geglättete, kosinusförmige Gefäßverengung modelliert. Um scharfe Kanten und unphysiologische Druckspitzen zu vermeiden, werden alle Wandübergänge und die Gabelungsspitze (Apex) anatomisch verrundet.

Als Referenz dient ein gesundes, unverengtes Gefäß, in dem sich die Poiseuille-Strömung mit ihrem charakteristischen parabolischen Geschwindigkeitsprofil ausbildet. Diese Strömung ist aus zwei Gründen der natürliche Ausgangspunkt. Sie beschreibt den physiologischen Normalfall, mit dem jeder Stenosegrad verglichen wird, und sie ist exakt lösbar, sodass sich an ihr jede numerische Rechnung prüfen lässt, bevor die Verengung hinzukommt.

== Fragestellung ==
Die Hauptfragestellung dieses Projektes lautet: 
Wie verändert eine symmetrische bzw. rotationssymmetrische Stenose in der '''Arteria carotis interna (ACI)''' die stationäre Strömung eines inkompressiblen Newton’schen Fluids in einer 2D-Carotis-Bifurkation hinsichtlich Geschwindigkeitsverteilung, Druckabfall, Wandschubspannung und Wirbelbildung im Vergleich zu den gesunden Gefäßabschnitten?

Aus dieser Fragestellung ergeben sich drei Teilfragen, an denen sich der Aufbau der Seite orientiert:

# Welche Strömungsgrößen reagieren empfindlich auf den Stenosegrad und welche nur träge?
# Ab welchem Stenosegrad ändert sich das Strömungsmuster qualitativ, das heißt, ab wann löst die Strömung hinter der Engstelle von der Wand ab und bildet ein Rückströmgebiet?
# Wie weit tragen die vereinfachenden Modellannahmen, insbesondere die Annahme einer stationären und laminaren Strömung, über den untersuchten Bereich der Stenosegrade?

== Modellannahmen ==
Im Hinblick darauf werden für dieses Projekt einige Annahmen getroffen, um das Projekt möglichst isoliert zu untersuchen und zu simplifizieren:

* '''Idealisierte Gefäßgeometrie''': Betrachtet wird ein  Teilabbschnitt der ''Arteria carotis communis'', die sog. ''ACI''. Zudem werden Gefäßverkrümmungen, weitere Verzweigungen und patientenspezifische Strukturen  nicht berücksichtigt. 
* '''Starre Gefäßwand''': Die Gefäßwand wird als unbeweglich und nicht verformbar angenommen. Eine Wechselwirkung zwischen elastischer Gefäßwand und Blutströmung wird nicht modelliert.
* '''Stationäre Strömung''': Die Strömungsgrößen werden als zeitlich konstant angenommen. Die im realen Blutkreislauf vorhandene Pulsation durch den Herzschlag wird daher vernachlässigt: ∂u/∂t=0.
* '''Inkompressibles Fluid''': Die Dichte des Fluids wird als konstant angenommen. Damit gilt für die Geschwindigkeit ∇⋅u=0. Dies entspricht der in der Vorlesung behandelten Massenerhaltung für inkompressible Fluide: Was in das Gefäß einströmt, muss auch wieder ausströmen.
* '''Newton'sche Näherung für Blut''': Reales Blut beseitzt ein nicht newton'sches Fließverhalten. Hier wird Blut als Newton'sches Fluid behandelt.
* '''Konstante Stoffeigenschaften''': Dichte ρ und dynamische Viskosität μ werden als räumlich und zeitlich konstant angenommen. Temperaturabhängigkeiten werden nicht berücksichtigt.
* '''Laminare Strömung''': Die Strömung wird mit dem COMSOL-Modul ''Laminar Flow'' beschrieben. Ein zusätzliches Turbulenzmodell wird nicht verwendet.
* '''No-Slip-Bedingung an Gefäßwand''': Aufgrund der Viskosität wird angenommen, dass das Fluid direkt an der Gefäßwand haftet. Somit gilt u=0.
* '''Vernachlässigung der Gravitation''': Gravitation wird nicht berücksichtigt. Die Strömung wird ausschließlich durch die gewählten Ein- und Auslassbedingungen bestimmt.

= Relevanz =

Die Untersuchung von Gefäßverengungen besitzt eine medizinische und eine methodische Bedeutung. Beide werden im Folgenden getrennt begründet, weil sie unterschiedliche Anforderungen an das Modell stellen. Die medizinische Fragestellung verlangt realistische Zahlenwerte, die methodische Fragestellung verlangt nachprüfbare Rechnungen.

== Medizinische Relevanz ==

Arterielle Stenosen entstehen überwiegend durch Atherosklerose, also durch Ablagerungen aus Lipiden, Bindegewebe und Kalk in der Gefäßwand. In der Halsschlagader sind sie klinisch besonders bedeutsam, weil sie die Durchblutung des Gehirns beeinträchtigen und weil sich an ihnen Thromben bilden können, die als Embolie einen Schlaganfall auslösen. Dass die operative Entfernung einer hochgradigen Karotisstenose das Schlaganfallrisiko symptomatischer Patienten deutlich senkt, hat die NASCET-Studie gezeigt, deren Einteilung der Stenosegrade dieses Projekt übernimmt.&lt;ref name=&quot;nascet&quot;&gt;North American Symptomatic Carotid Endarterectomy Trial Collaborators: ''Beneficial effect of carotid endarterectomy in symptomatic patients with high-grade carotid stenosis.'' New England Journal of Medicine 325 (1991), Nr. 7, S. 445-453.&lt;/ref&gt;

Strömungsmechanisch ist an einer Stenose vor allem die Wandschubspannung von Interesse, also die tangentiale Kraft je Fläche, die das strömende Blut auf die innerste Zellschicht der Gefäßwand ausübt. Gesunde Halsschlagadern weisen zeitlich gemittelte Werte von etwa 1,1 bis 1,5 Pa auf.&lt;ref name=&quot;samijo&quot;&gt;Samijo, S. K.; Willigers, J. M.; Barkhuysen, R.; Kitslaar, P. J. E. H. M.; Reneman, R. S.; Brands, P. J.; Hoeks, A. P. G.: ''Wall shear stress in the human common carotid artery as function of age and gender.'' Cardiovascular Research 39 (1998), Nr. 2, S. 515-522.&lt;/ref&gt; In einer Engstelle steigt sie stark an, unmittelbar dahinter fällt sie im Ablösegebiet auf nahezu null und wechselt dort sogar das Vorzeichen. Niedrige und im Vorzeichen wechselnde Wandschubspannungen gelten als Bedingungen, unter denen sich weitere Ablagerungen bevorzugt bilden. Eine bestehende Stenose schafft also stromabwärts die Voraussetzungen für ihr eigenes Wachstum. Genau diese Verteilung lässt sich im Körper nur schwer messen, in einer Simulation dagegen unmittelbar auswerten.

== Methodische Relevanz ==

Fachlich überträgt das Projekt die Prinzipien der Strömungsmechanik aus der Vorlesung auf eine biomedizinische Anwendung.&lt;ref name=&quot;hundertmark&quot;&gt;Hundertmark, A.: ''Fluiddynamik.'' Vorlesungsunterlagen zum Modul Räumliche Modellbildung, RPTU Kaiserslautern-Landau, Sommersemester 2026.&lt;/ref&gt; Der methodische Mehrwert liegt in der Verknüpfung mehrerer Zugänge, die sich gegenseitig kontrollieren. Die analytische Poiseuille-Lösung liefert exakte Sollwerte für das gesunde Gefäß. Ein reduziertes Graphenmodell liefert für jeden Stenosegrad eine schnelle Abschätzung, die analytisch nachrechenbar ist. Die Simulationen in COMSOL Multiphysics lösen schließlich die vollständigen Navier-Stokes-Gleichungen in zwei und drei Raumdimensionen. Weil jede Stufe die Sollwerte der nächsten liefert, zeigt das Projekt nicht nur Ergebnisse, sondern auch, wie numerische Modelle aufgebaut, verifiziert und an ihren Grenzen bewertet werden.

== Auswahl der Stenosegrade ==

Um die untersuchten Gefäßverengungen nicht willkürlich festzulegen, orientiert sich die Auswahl der Stenosegrade an der klinisch gebräuchlichen NASCET-Klassifikation von Karotisstenosen.&lt;ref name=&quot;nascet&quot; /&gt; Sie teilt Stenosen nach ihrer Durchmesserreduktion in drei Schweregrade ein, ein vollständiger Gefäßverschluss wird als Okklusion bezeichnet.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Schweregrade nach NASCET und ihre Abdeckung im Projekt
! Schweregrad !! Durchmesserreduktion !! im Projekt gerechnete Stenosegrade !! hervorgehobener Vertreter
|-
| gesundes Gefäß || 0 % || 0 || 0
|-
| leichtgradige Stenose || unter 50 % || 0,1 bis 0,4 || 0,3
|-
| mittelgradige Stenose || 50 bis 69 % || 0,5 und 0,6 || 0,6
|-
| hochgradige Stenose || 70 bis 99 % || 0,7 und 0,8 || 0,8
|-
| Okklusion || 100 % || nicht gerechnet || entfällt
|}

Für die numerische Untersuchung wird aus jeder Kategorie ein repräsentativer Stenosegrad hervorgehoben. Neben dem gesunden Gefäß mit '''0 %''' Stenose sind das eine '''30 %''' Stenose als Beispiel für eine leichtgradige, eine '''60 %''' Stenose als Beispiel für eine mittelgradige und eine '''80 %''' Stenose als Beispiel für eine hochgradige Verengung. Zusätzlich werden im Graphenmodell und im achsensymmetrischen Flächenmodell alle Zwischenwerte in Schritten von zehn Prozentpunkten gerechnet. Das kostet in diesen beiden Modellen nur Sekunden, liefert aber glatte Verläufe über dem Stenosegrad und macht sichtbar, ab welchem Grad sich das Verhalten der Strömung ändert. Ein vollständiger Gefäßverschluss wird nicht simuliert, da in diesem Fall keine durchgängige Strömung mehr vorliegt.

Der Stenosegrad wird in diesem Projekt wie bei NASCET über die Verringerung des Gefäßdurchmessers beschrieben,

&lt;math&gt;s = 1 - \frac{d_{\min}}{d_{\mathrm{ref}}},&lt;/math&gt;

wobei &lt;math&gt;d_{\min}&lt;/math&gt; der kleinste Durchmesser in der Engstelle und &lt;math&gt;d_{\mathrm{ref}}&lt;/math&gt; ein Referenzdurchmesser ist. NASCET verwendet als Referenz den Durchmesser des gesunden Gefäßes stromabwärts der Stenose. Im idealisierten Modell hat das Gefäß vor und hinter der Engstelle denselben Durchmesser &lt;math&gt;D_0&lt;/math&gt;, sodass &lt;math&gt;d_{\mathrm{ref}} = D_0&lt;/math&gt; gilt und die NASCET-Definition mit allen anderen gebräuchlichen Durchmesserdefinitionen zusammenfällt.

Wichtig für das Verständnis aller weiteren Ergebnisse ist der Unterschied zwischen Durchmesser- und Flächenreduktion. Da die Querschnittsfläche quadratisch vom Durchmesser abhängt, gilt für die Flächenreduktion &lt;math&gt;1-(1-s)^2&lt;/math&gt;. Eine im klinischen Sinn nur mittelgradige Stenose von 60 % verschließt damit bereits 84 % der Querschnittsfläche.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Durchmesser- und Flächenreduktion der gerechneten Stenosegrade
! Stenosegrad s !! 0 !! 0,1 !! 0,2 !! 0,3 !! 0,4 !! 0,5 !! 0,6 !! 0,7 !! 0,8
|-
| engster Durchmesser in mm || 6,0 || 5,4 || 4,8 || 4,2 || 3,6 || 3,0 || 2,4 || 1,8 || 1,2
|-
| Flächenreduktion || 0 % || 19 % || 36 % || 51 % || 64 % || 75 % || 84 % || 91 % || 96 %
|}

Zwei Einschränkungen gehören zur ehrlichen Einordnung. Erstens ist die NASCET-Klassifikation für Stenosen der ''Arteria carotis interna'' entwickelt worden, also des Astes hinter der Gabelung, während hier ein gerader Abschnitt der ''Arteria carotis communis'' modelliert wird. Die Klassifikation dient im Projekt deshalb als Orientierung für sinnvolle Abstufungen und nicht als diagnostische Aussage. Zweitens zeigt sich im Abschnitt zur Modellierung, dass die Annahme einer stationären, laminaren Strömung ab einem Stenosegrad von etwa 0,6 an ihre Grenzen stößt. Die hochgradigen Fälle werden deshalb zwar gerechnet, ihre Ergebnisse aber ausdrücklich als Grenzfall des Modells diskutiert.

= Modellierung =

Modellierung bedeutet hier, die reale Situation in eine mathematische Aufgabe zu übersetzen, die sich lösen lässt. Dazu gehören vier Bausteine, nämlich das Rechengebiet, die Gleichungen, die Zahlenwerte der Parameter und die Bedingungen an den Rändern. Jeder dieser Bausteine beruht auf Annahmen, und jede Annahme muss begründet werden. Dieser Abschnitt geht die Bausteine deshalb der Reihe nach durch und nennt bei jedem Zahlenwert, woher er stammt und warum er sinnvoll ist.

== Modellhierarchie ==

Das Projekt rechnet nicht ein einziges Modell, sondern vier aufeinander aufbauende Modellvarianten. Sie entsprechen der Kursanforderung, eine Strömung als Graph, in zwei und in drei Raumdimensionen darzustellen, und sie sind bewusst von einfach nach aufwendig geordnet.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Die vier Modellvarianten des Projekts
! Modell !! Raumdimension !! gelöste Gleichung !! Zweck !! Werkzeug
|-
| Graphenmodell || 1D, Gefäßachse || Hagen-Poiseuille je Rohrstück und Massenerhaltung in jedem Knoten || schnelle, analytisch nachrechenbare Abschätzung für jeden Stenosegrad || Octave und COMSOL (Koeffizientenform-PDGL)
|-
| achsensymmetrisches Flächenmodell || 2D, Halbschnitt in r und z || vollständige stationäre Navier-Stokes-Gleichungen in Zylinderkoordinaten || Hauptmodell, liefert alle Feldgrößen des rotationssymmetrischen Rohres || COMSOL, Laminare Strömung
|-
| ebenes Flächenmodell || 2D, Halbschnitt in x und y || vollständige stationäre Navier-Stokes-Gleichungen in kartesischen Koordinaten || Vergleich, zeigt den Einfluss der zweiten Querschnittsrichtung || COMSOL, Laminare Strömung
|-
| Volumenmodell || 3D || vollständige stationäre Navier-Stokes-Gleichungen || Kontrolle des Hauptmodells und räumliche Darstellung || COMSOL, Laminare Strömung
|}

Die Reihenfolge folgt einem einfachen Prinzip. Jede Stufe liefert die Sollwerte, an denen die nächste, komplexere Stufe geprüft wird. Das Graphenmodell muss im gesunden Fall exakt die Poiseuille-Lösung ergeben. Das achsensymmetrische Modell muss im gesunden Fall dieselben Werte liefern und bei Stenose für Geschwindigkeit und Wandschubspannung in der Nähe des Graphenmodells liegen. Das Volumenmodell muss, weil die Geometrie rotationssymmetrisch ist, mit dem achsensymmetrischen Modell übereinstimmen.

== Modellannahmen ==

Um den Einfluss des Stenosegrades möglichst isoliert zu untersuchen, werden die folgenden Modellannahmen getroffen. Die Tabelle nennt zu jeder Annahme ihre mathematische Form, die Begründung und die Stelle, an der sie im Projekt überprüft wird.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Modellannahmen, ihre Begründung und ihre Überprüfung
! Annahme !! mathematische Form !! Begründung !! Überprüfung
|-
| Idealisierte Gefäßgeometrie || gerades Rohr mit kosinusförmiger, rotationssymmetrischer Verengung || isoliert die Wirkung des Stenosegrades von Krümmung, Verzweigung und Plaqueform || Diskussion in den Schlussfolgerungen
|-
| Starre Gefäßwand || Wand ortsfest, keine Fluid-Struktur-Kopplung || im stationären Fall gibt es keine Druckschwankung, die die Wand periodisch aufweiten könnte || Abschätzung über die gemessene Durchmesseränderung im Herzzyklus
|-
| Stationäre Strömung || &lt;math&gt;\partial \mathbf{u}/\partial t = \mathbf{0}&lt;/math&gt; || der Einfluss des Stenosegrades soll ohne Überlagerung durch die Pulsation sichtbar werden || Abschätzung über die Womersley-Zahl
|-
| Inkompressibles Fluid || &lt;math&gt;\rho = \mathrm{const}&lt;/math&gt;, damit &lt;math&gt;\nabla\cdot\mathbf{u} = 0&lt;/math&gt; || Blut ist eine Flüssigkeit, Druckänderungen von wenigen hundert Pascal ändern die Dichte nicht messbar || Massenerhaltung in fünf Querschnitten
|-
| Newtonsche Näherung || konstante Viskosität &lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt; || die Scherraten an der Wand und im größten Teil des Querschnitts liegen über dem Bereich, in dem Blut deutlich scherverdünnend wirkt || Scherrate an der Wand, Diskussion des Rückströmgebiets
|-
| Konstante Stoffeigenschaften || &lt;math&gt;\rho&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt; räumlich und zeitlich konstant || Körpertemperatur ist im betrachteten Abschnitt konstant || entfällt
|-
| Laminare Strömung || kein Turbulenzmodell, Schnittstelle Laminare Strömung || Reynoldszahl des gesunden Gefäßes von 386 liegt weit unter dem Umschlagbereich || Reynoldszahl in der Engstelle, Literaturvergleich
|-
| Haftbedingung an der Wand || &lt;math&gt;\mathbf{u} = \mathbf{0}&lt;/math&gt; auf der Wand || Folge der Viskosität, das Fluid haftet an der Wand || Grundlage jeder Wandschubspannung
|-
| Vernachlässigung der Gravitation || keine Volumenkraft || bei konstanter Dichte lässt sich die Schwerkraft vollständig in einen hydrostatischen Druckanteil verschieben und beeinflusst die Geschwindigkeit nicht || Begründung in den Mathematischen Hintergründen
|-
| Voll entwickelte Einströmung || parabolisches Profil am Einlass || die natürliche Einlaufstrecke wäre mit rund 139 mm fast so lang wie das ganze Rechengebiet || Scheitelgeschwindigkeit im gesunden Fall
|-
| Eingeprägter Volumenstrom || &lt;math&gt;Q = Q_0&lt;/math&gt; am Einlass || der Strömungswiderstand des Abschnitts ist klein gegenüber dem des nachgeschalteten Gefäßbetts || Abschätzung mit einem Reihenwiderstand
|}

Einige dieser Annahmen sind unmittelbar einsichtig, andere verdienen eine genauere Begründung, weil von ihnen die Aussagekraft der Ergebnisse abhängt.

Die '''Newtonsche Näherung''' ist die Annahme, die bei Blut am häufigsten hinterfragt wird. Reales Blut ist eine Suspension aus Plasma und Blutzellen und verhält sich scherverdünnend. Bei kleinen Scherraten lagern sich die roten Blutkörperchen zu geldrollenartigen Stapeln zusammen, und die Viskosität steigt auf ein Vielfaches an. Bei großen Scherraten lösen sich diese Stapel auf, und die Viskosität strebt gegen einen Grenzwert von etwa 3,5 mPa·s. Entscheidend ist also die Scherrate. An der Wand des gesunden Modellgefäßes beträgt sie nach der Poiseuille-Lösung

&lt;math&gt;\dot\gamma_w = \frac{4\,U_0}{R_0} = \frac{4 \cdot 0{,}2122\ \mathrm{m/s}}{0{,}003\ \mathrm{m}} \approx 283\ \mathrm{s^{-1}}&lt;/math&gt;

und liegt damit oberhalb von etwa 100 pro Sekunde, wo sich Newtonsches und nicht Newtonsches Modell nach der Literatur nur noch wenig unterscheiden.&lt;ref name=&quot;boyd&quot;&gt;Die Grenze von etwa 100 s&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt; wird in vergleichenden Studien zur Blutrheologie verwendet, etwa bei Bernabeu, M. O. u. a.: ''Impact of blood rheology on wall shear stress in a model of the middle cerebral artery.'' Interface Focus 3 (2013), 20120094. &lt;!-- FIXME Zitat und Seitenangabe am Original pruefen --&gt;&lt;/ref&gt; In der Engstelle steigt die Scherrate weiter an, beim Stenosegrad 0,5 auf rund 2260 pro Sekunde. Schwach ist die Näherung dort, wo die Scherrate klein wird, also in der Mitte des Gefäßes und vor allem im Rückströmgebiet hinter der Stenose. Dort ist reales Blut zäher als angenommen. Dieser Punkt wird in den Schlussfolgerungen wieder aufgegriffen.

Die '''stationäre Strömung''' ist die stärkste Vereinfachung. Wie wichtig die Pulsation ist, misst die Womersley-Zahl, die das Verhältnis von instationärer Trägheit zu Reibung angibt. Mit einer Herzfrequenz von 60 Schlägen je Minute, also einer Kreisfrequenz &lt;math&gt;\omega = 2\pi\ \mathrm{s^{-1}}&lt;/math&gt;, ergibt sich

&lt;math&gt;\alpha = R_0 \sqrt{\frac{\omega \rho}{\mu}} = 0{,}003\ \mathrm{m} \cdot \sqrt{\frac{2\pi\ \mathrm{s^{-1}} \cdot 1060\ \mathrm{kg/m^3}}{0{,}0035\ \mathrm{Pa\,s}}} \approx 4{,}1 .&lt;/math&gt;

Ein Wert in dieser Größenordnung bedeutet, dass das reale Geschwindigkeitsprofil im Herzzyklus merklich von der Parabel abweicht.&lt;ref name=&quot;womersley&quot;&gt;Womersley, J. R.: ''Method for the calculation of velocity, rate of flow and viscous drag in arteries when the pressure gradient is known.'' Journal of Physiology 127 (1955), S. 553-563.&lt;/ref&gt; Hinzu kommt, dass der Volumenstrom in der Systole kurzzeitig auf rund das Vierfache des Mittelwerts steigt.&lt;ref name=&quot;holdsworth&quot;&gt;Holdsworth, D. W.; Norley, C. J. D.; Frayne, R.; Steinman, D. A.; Rutt, B. K.: ''Characterization of common carotid artery blood-flow waveforms in normal human subjects.'' Physiological Measurement 20 (1999), Nr. 3, S. 219-240. DOI 10.1088/0967-3334/20/3/301. Angegeben werden ein mittlerer Volumenstrom von 6,0 ± 1,4 ml/s und ein systolischer Spitzenwert von 23,5 ± 3,8 ml/s. &lt;!-- FIXME Zahlenwerte und Probandenzahl am Original pruefen --&gt;&lt;/ref&gt; Die stationäre Rechnung mit dem Mittelwert beschreibt deshalb nicht den zeitlichen Verlauf, wohl aber den zeitlich gemittelten Zustand, an dem sich der Einfluss des Stenosegrades sauber vergleichen lässt.

Die '''laminare Strömung''' wird über die Reynoldszahl begründet. Sie beträgt im gesunden Gefäß 386 und liegt damit weit unter dem Wert von etwa 2300, ab dem die Strömung in einem geraden Rohr in den Übergangsbereich gelangen kann. In der Engstelle steigt sie bei festem Volumenstrom auf &lt;math&gt;Re_0/(1-s)&lt;/math&gt;, also auf 551 beim Stenosegrad 0,3, auf 964 beim Grad 0,6 und auf 1928 beim Grad 0,8. Für den Strahl hinter einer Engstelle ist der Umschlagbereich allerdings deutlich niedriger als im geraden Rohr. Direkte numerische Simulationen an genau der in diesem Projekt verwendeten Stenosegeometrie zeigen, dass die Strömung bei einer Einström-Reynoldszahl von 500 auch bei leichter Unsymmetrie laminar bleibt, bei 1000 dagegen schon eine Exzentrizität von fünf Prozent des Durchmessers genügt, um den Strahl in lokal turbulente Strömung umschlagen zu lassen.&lt;ref name=&quot;varghese&quot;&gt;Varghese, S. S.; Frankel, S. H.; Fischer, P. F.: ''Direct numerical simulation of stenotic flows. Part 1. Steady flow.'' Journal of Fluid Mechanics 582 (2007), S. 253-280. Untersucht wird eine kosinusförmige Stenose der Länge 2D mit 75 % Flächenreduktion, die mit der Geometrie dieses Projekts beim Stenosegrad 0,5 übereinstimmt. &lt;!-- FIXME Band und Seiten am Original pruefen --&gt;&lt;/ref&gt; Mit einer Einström-Reynoldszahl von 386 liegt das Projekt für die leicht- und mittelgradigen Stenosen sicher im laminaren Bereich. Für die hochgradigen Stenosen ab 0,7 ist ein laminares, stationäres Modell dagegen nur noch eine Näherung, die eine Obergrenze der geordneten Strömung beschreibt. Diese Fälle werden deshalb als Grenzfall des Modells gekennzeichnet.

Die '''starre Wand''' lässt sich über Messungen abschätzen. Der Durchmesser der gemeinsamen Halsschlagader ändert sich im Herzzyklus bei jungen Menschen um etwa 12 bis 14 Prozent und bei älteren Menschen um etwa 5 Prozent.&lt;ref name=&quot;hansen&quot;&gt;Hansen, F.; Mangell, P.; Sonesson, B.; Länne, T.: ''Diameter and compliance in the human common carotid artery: variations with age and sex.'' Ultrasound in Medicine and Biology 21 (1995), Nr. 1, S. 1-9. DOI 10.1016/0301-5629(94)00090-5.&lt;/ref&gt; Diese Bewegung ist eine Folge der Pulsation. In einer stationären Rechnung gibt es keine Druckschwankung, die die Wand periodisch aufweiten könnte, sodass die starre Wand zur stationären Annahme konsistent ist. Eine verkalkte Plaque ist ohnehin deutlich steifer als die gesunde Wand.

Die Annahme des '''eingeprägten Volumenstroms''' wird im Abschnitt zu den Randbedingungen begründet, weil sie sich nur im Zusammenhang mit dem Kreislauf beurteilen lässt.

== Simulationsgebiet und Geometrie ==

Die Gefäßachse ist die z-Achse, der Ursprung liegt in der Mitte der Stenose, und &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; bezeichnet den Abstand von der Achse. Das Rechengebiet reicht von &lt;math&gt;z = -L_u&lt;/math&gt; bis &lt;math&gt;z = L_d&lt;/math&gt; und wird radial von der Wandkontur &lt;math&gt;R(z)&lt;/math&gt; begrenzt. Die Verengung wird über eine einzige glatte Funktion beschrieben,

&lt;math&gt;R(z) = R_0 \left[ 1 - \frac{s}{2}\left(1 + \cos\frac{2\pi z}{L_s}\right)\right] \quad \text{falls } |z| \le \frac{L_s}{2}, \qquad R(z) = R_0 \ \text{sonst.}&lt;/math&gt;

Die Funktion hat drei Eigenschaften, die ihre Wahl begründen. Sie wird erstens über einen einzigen Parameter gesteuert, den Stenosegrad &lt;math&gt;s&lt;/math&gt;. Der engste Radius in der Mitte beträgt &lt;math&gt;R(0) = R_0(1-s)&lt;/math&gt;, und der Fall ohne Verengung ist einfach der Fall &lt;math&gt;s = 0&lt;/math&gt;. Die gesamte Vergleichsreihe entsteht damit aus einem einzigen parametrischen Sweep. Sie geht zweitens an beiden Enden der Störstelle ohne Knick in das gerade Rohr über. Bei &lt;math&gt;z = \pm L_s/2&lt;/math&gt; ist der Kosinus gleich minus eins, die Klammer also null, und seine Ableitung verschwindet dort ebenfalls. Das ist nicht nur ästhetisch, sondern numerisch notwendig, denn ein Knick in der Wand erzeugt eine Singularität der Wandschubspannung, deren berechneter Wert mit jeder Netzverfeinerung weiter wüchse. Eine Netzstudie wäre dann sinnlos. Sie ist drittens die in der Literatur gebräuchliche Standardgeometrie für Stenosen, sodass sich die Ergebnisse unmittelbar mit veröffentlichten Rechnungen vergleichen lassen.&lt;ref name=&quot;varghese&quot; /&gt;

[[Datei:Stenose Gruppe5 Wandkontur.svg|mini|zentriert|800px|Wandkontur &lt;math&gt;R(z)&lt;/math&gt; für die untersuchten Stenosegrade. Die Darstellung ist in radialer Richtung gestreckt, das Rechengebiet ist in Wirklichkeit fünfundzwanzigmal länger als breit.]]
&lt;!-- FIXME Abbildung mit abbildungen_graph_1d.m fuer s = 0 bis 0,8 neu erzeugen, bisher nur bis 0,5 --&gt;

Die Abmessungen des Rechengebiets werden alle aus dem Gefäßradius abgeleitet. Das hat den Vorteil, dass sich das gesamte Modell durch Ändern eines einzigen Wertes auf ein anderes Gefäß übertragen lässt. Die einzelnen Längen werden im Folgenden Schritt für Schritt begründet.

# Der '''Gefäßradius''' &lt;math&gt;R_0 = 3\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; folgt aus Ultraschallmessungen an gesunden Erwachsenen. Dort wurden für die gemeinsame Halsschlagader mittlere Durchmesser von 6,10 ± 0,80 mm bei Frauen und 6,52 ± 0,98 mm bei Männern gemessen.&lt;ref name=&quot;krejza&quot;&gt;Krejza, J.; Arkuszewski, M.; Kasner, S. E.; Weigele, J.; Ustymowicz, A.; Hurst, R. W.; Cucchiara, B. L.; Messe, S. R.: ''Carotid artery diameter in men and women and the relation to body and neck size.'' Stroke 37 (2006), Nr. 4, S. 1103-1105. DOI 10.1161/01.STR.0000206440.48756.f7.&lt;/ref&gt; Der gewählte Durchmesser von &lt;math&gt;D_0 = 6\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; liegt damit innerhalb einer Standardabweichung beider Gruppen und ist bewusst auf einen runden Wert gesetzt, damit alle abgeleiteten Längen glatte Zahlen ergeben.
# Die '''Länge der Störstelle''' &lt;math&gt;L_s = 2 D_0 = 12\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; entspricht der Standardgeometrie aus der Literatur, die eine Stenosenlänge von zwei Durchmessern verwendet.&lt;ref name=&quot;varghese&quot; /&gt; Damit ist beim Stenosegrad 0,5 ein direkter Vergleich mit veröffentlichten Ergebnissen möglich.
# Die '''Vorlaufstrecke''' &lt;math&gt;L_u = 5 D_0 = 30\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; trennt den Einlass von der Stenose. Da am Einlass bereits das voll entwickelte Profil vorgegeben wird, muss sie nicht die Einlaufstrecke abdecken, sondern nur verhindern, dass die Einströmrandbedingung die Strömung an der Engstelle beeinflusst. Bei Reynoldszahlen in dieser Größenordnung reicht der Einfluss einer Verengung nur wenige Durchmesser stromaufwärts, die Literatur kommt für dieselbe Geometrie mit drei Durchmessern Vorlauf aus.&lt;ref name=&quot;varghese&quot; /&gt; Fünf Durchmesser lassen also eine Reserve. Überprüft wird das im Ergebnis, indem die Geschwindigkeit auf der Achse in der Mitte der Vorlaufstrecke mit dem Sollwert &lt;math&gt;2U_0&lt;/math&gt; verglichen wird.
# Die '''Nachlaufstrecke''' &lt;math&gt;L_d = 20 D_0 = 120\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; ist deutlich länger, weil sich hinter der Engstelle ein Rückströmgebiet bildet, das nicht auf den Auslass treffen darf. Für die Geometrie mit dem Stenosegrad 0,5 legt die Strömung bei einer Einström-Reynoldszahl von 500 erst etwa zehn Durchmesser hinter der Engstelle wieder an, die Literatur rechnet mit sechzehn Durchmessern Nachlauf.&lt;ref name=&quot;varghese&quot; /&gt; Zwanzig Durchmesser bieten damit für alle Stenosegrade bis 0,5 einen Sicherheitsabstand. Für die Grade ab 0,6 ist ein längeres Rückströmgebiet zu erwarten, dort wird die Lage des Wiederanlegepunktes ausdrücklich kontrolliert.
# Das '''Ende des fein vernetzten Nachlaufs''' &lt;math&gt;L_f = L_s/2 + 10 D_0 = 66\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; legt fest, bis wohin das Netz verfeinert wird. Der Wert ist so gewählt, dass das erwartete Rückströmgebiet von etwa zehn Durchmessern vollständig im feinen Bereich liegt.

Damit hat das Rechengebiet eine Gesamtlänge von &lt;math&gt;L = L_u + L_d = 150\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt;, also das Fünfundzwanzigfache des Durchmessers. Es ist ein Modellgebiet und kein maßstäbliches Abbild eines bestimmten anatomischen Abschnitts.

== Stoff- und Strömungsparameter ==

Die Stoffwerte des Blutes und der Volumenstrom sind die einzigen Eingangsgrößen, die nicht aus der Geometrie folgen. Aus ihnen werden alle weiteren Strömungskennwerte berechnet. Die folgenden Schritte zeigen jede Rechnung einzeln, damit sich jeder Wert nachprüfen lässt.

# Die '''Dichte''' wird mit &lt;math&gt;\rho = 1060\ \mathrm{kg/m^3}&lt;/math&gt; angesetzt. Der Wert lässt sich als Mischungsregel plausibel machen. Plasma hat eine Dichte von etwa 1025 kg/m³, rote Blutkörperchen von etwa 1100 kg/m³. Bei einem Zellanteil von 45 % ergibt sich &lt;math&gt;0{,}55 \cdot 1025 + 0{,}45 \cdot 1100 \approx 1059\ \mathrm{kg/m^3}&lt;/math&gt;. Die Dichte geht nur über die Reynoldszahl in die Rechnung ein, eine Abweichung von einem Prozent ändert die Ergebnisse daher kaum. &lt;!-- FIXME Lehrbuchquelle fuer Plasma- und Erythrozytendichte ergaenzen --&gt;
# Die '''dynamische Viskosität''' wird mit &lt;math&gt;\mu = 3{,}5\ \mathrm{mPa\,s}&lt;/math&gt; angesetzt. Das ist der Grenzwert der Blutviskosität bei hohen Scherraten, also genau der Wert, der zur Newtonschen Näherung gehört. Derselbe Wert von 0,035 Poise wird auch im Standardwerk zur Modellierung des Herz-Kreislauf-Systems verwendet.&lt;ref name=&quot;quarteroni&quot;&gt;Quarteroni, A.; Formaggia, L.: ''Mathematical Modelling and Numerical Simulation of the Cardiovascular System.'' In: Ayache, N. (Hrsg.): ''Computational Models for the Human Body.'' Handbook of Numerical Analysis, Bd. XII, Elsevier, Amsterdam 2004, S. 3-127. DOI 10.1016/S1570-8659(03)12001-7. Zur Newtonschen Näherung in großen Gefäßen siehe S. 30, zur Viskosität von 0,035 Poise die Parametertabelle auf S. 116.&lt;/ref&gt;
# Der '''mittlere Volumenstrom''' wird mit &lt;math&gt;Q_0 = 6\ \mathrm{ml/s}&lt;/math&gt; angesetzt. Das ist der zeitlich gemittelte Volumenstrom, der in der gemeinsamen Halsschlagader gesunder Probanden gemessen wurde.&lt;ref name=&quot;holdsworth&quot; /&gt;
# Die '''mittlere Geschwindigkeit''' folgt aus Volumenstrom und Querschnittsfläche, &lt;math&gt;U_0 = \frac{Q_0}{\pi R_0^2} = \frac{6 \cdot 10^{-6}\ \mathrm{m^3/s}}{\pi \cdot (0{,}003\ \mathrm{m})^2} = 0{,}2122\ \mathrm{m/s}&lt;/math&gt;.
# Die '''Reynoldszahl''' des gesunden Gefäßes ist &lt;math&gt;Re_0 = \frac{\rho\, U_0\, D_0}{\mu} = \frac{1060 \cdot 0{,}2122 \cdot 0{,}006}{0{,}0035} = 385{,}6&lt;/math&gt;. Sie wird im Folgenden auf 386 gerundet.
# Die '''Einlauflänge''', die eine anfangs gleichförmige Strömung bis zum voll entwickelten Parabelprofil bräuchte, beträgt nach der gebräuchlichen Abschätzung für laminare Rohrströmungen &lt;math&gt;L_e \approx 0{,}06\, Re_0\, D_0 \approx 0{,}06 \cdot 386 \cdot 6\ \mathrm{mm} \approx 139\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt;.&lt;ref name=&quot;durst&quot;&gt;Durst, F.; Ray, S.; Ünsal, B.; Bayoumi, O. A.: ''The development lengths of laminar pipe and channel flows.'' Journal of Fluids Engineering 127 (2005), Nr. 6, S. 1154-1160. Für große Reynoldszahlen nähert sich die dort angegebene Korrelation dem Wert 0,057·Re·D.&lt;/ref&gt; Das ist fast die gesamte Länge des Rechengebiets. Ein konstantes Einlassprofil würde die Strömung an der Stenose also verfälschen, weshalb am Einlass das voll entwickelte Profil vorgegeben wird.

Damit liegen alle globalen Parameter fest. Die folgende Tabelle enthält sie mit genau den Namen, unter denen sie in COMSOL und in den Octave-Skripten verwendet werden.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Globale Parameter des Modells
! Name !! Ausdruck in COMSOL !! Wert !! Bedeutung !! Herkunft
|-
| R0 || 3[mm] || 3 mm || Gefäßradius || Messwerte nach Krejza u. a. 2006, gerundet
|-
| D0 || 2*R0 || 6 mm || Gefäßdurchmesser || abgeleitet
|-
| Ls || 2*D0 || 12 mm || Länge der Störstelle || Standardgeometrie nach Varghese u. a. 2007
|-
| Lu || 5*D0 || 30 mm || Vorlaufstrecke vor der Stenosemitte || Abstand der Einlassbedingung von der Stenose
|-
| Ld || 20*D0 || 120 mm || Nachlaufstrecke hinter der Stenosemitte || Platz für das Rückströmgebiet
|-
| Lf || Ls/2+10*D0 || 66 mm || Ende des fein vernetzten Nachlaufs || erwartete Länge des Rückströmgebiets
|-
| s || 0 bis 0.8 || 0 bis 0,8 || Stenosegrad bezogen auf den Durchmesser || NASCET-Einteilung
|-
| rho_b || 1060[kg/m^3] || 1060 kg/m³ || Dichte des Blutes || Mischungsregel, Literaturwert
|-
| mu_b || 3.5[mPa*s] || 3,5 mPa·s || dynamische Viskosität des Blutes || Hochscherwert, Quarteroni und Formaggia 2004
|-
| Q0 || 6[ml/s] || 6 ml/s || mittlerer Volumenstrom || Messwerte nach Holdsworth u. a. 1999
|-
| U0 || Q0/(pi*R0^2) || 0,2122 m/s || mittlere Einströmgeschwindigkeit || abgeleitet
|-
| Re0 || rho_b*U0*D0/mu_b || 385,6 || Reynoldszahl des gesunden Gefäßes || abgeleitet
|-
| dp_ref || 8*mu_b*U0*(Lu+Ld)/R0^2 || 99,03 Pa || Poiseuille-Druckabfall des gesunden Gefäßes || abgeleitet, Hagen-Poiseuille
|}


= Literaturverzeichnis =

Alle Quellen sind an den Stellen im Text angegeben, an denen die zugehörigen Werte oder Aussagen verwendet werden. Die Liste wird aus diesen Angaben automatisch erzeugt.

&lt;references /&gt;</text>
      <sha1>bm4uczuk71t78r34bxgnbug7qk9xmuy</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>1115882</id>
      <parentid>1115879</parentid>
      <timestamp>2026-10-12T15:36:31Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Heitele</username>
        <id>38553</id>
      </contributor>
      <comment>/* Modellannahmen */</comment>
      <origin>1115882</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="32716" sha1="rpl6fob5vg5ozyjpyvix2eab6lzbpip" xml:space="preserve">= Gruppenteilnehmer =
* Joey Becker
* Marie-Thérèse Heitele
* Nicole Pander

= Thema und Fragestellung =

Gegenstand dieses Projekts ist die numerische Simulation der Blutströmung in einer verzweigten Halsschlagader ('''Carotis-Bifurkation''') unter dem Einfluss einer lokalen Gefäßverengung ('''Stenose''').
Im Vergleich zu einfachen Rohrströmungen wird hier die realitätsnahe Gefäßanatomie betrachtet: Die '''Arteria carotis communis (ACC)''' teilt sich in die '''Arteria carotis externa (ACE)''' und die '''Arteria carotis interna (ACI)''' auf. Während die '''ACE''' als gesunder, stenosefreier Ast dient, wird in der '''ACI''' eine geglättete, kosinusförmige Gefäßverengung modelliert. Um scharfe Kanten und unphysiologische Druckspitzen zu vermeiden, werden alle Wandübergänge und die Gabelungsspitze (Apex) anatomisch verrundet.

Als Referenz dient ein gesundes, unverengtes Gefäß, in dem sich die Poiseuille-Strömung mit ihrem charakteristischen parabolischen Geschwindigkeitsprofil ausbildet. Diese Strömung ist aus zwei Gründen der natürliche Ausgangspunkt. Sie beschreibt den physiologischen Normalfall, mit dem jeder Stenosegrad verglichen wird, und sie ist exakt lösbar, sodass sich an ihr jede numerische Rechnung prüfen lässt, bevor die Verengung hinzukommt.

== Fragestellung ==
Die Hauptfragestellung dieses Projektes lautet: 
Wie verändert eine symmetrische bzw. rotationssymmetrische Stenose in der '''Arteria carotis interna (ACI)''' die stationäre Strömung eines inkompressiblen Newton’schen Fluids in einer 2D-Carotis-Bifurkation hinsichtlich Geschwindigkeitsverteilung, Druckabfall, Wandschubspannung und Wirbelbildung im Vergleich zu den gesunden Gefäßabschnitten?

Aus dieser Fragestellung ergeben sich drei Teilfragen, an denen sich der Aufbau der Seite orientiert:

# Welche Strömungsgrößen reagieren empfindlich auf den Stenosegrad und welche nur träge?
# Ab welchem Stenosegrad ändert sich das Strömungsmuster qualitativ, das heißt, ab wann löst die Strömung hinter der Engstelle von der Wand ab und bildet ein Rückströmgebiet?
# Wie weit tragen die vereinfachenden Modellannahmen, insbesondere die Annahme einer stationären und laminaren Strömung, über den untersuchten Bereich der Stenosegrade?

== Modellannahmen ==
Im Hinblick darauf werden für dieses Projekt einige Annahmen getroffen, um das Projekt möglichst isoliert zu untersuchen und zu simplifizieren:

* '''Idealisierte Gefäßgeometrie''': Betrachtet wird ein  Teilabbschnitt der ''Arteria carotis communis'', die sog. ''ACI''. Zudem werden Gefäßverkrümmungen, weitere Verzweigungen und patientenspezifische Strukturen  nicht berücksichtigt. 
* '''Starre Gefäßwand''': Die Gefäßwand wird als unbeweglich und nicht verformbar angenommen. Eine Wechselwirkung zwischen elastischer Gefäßwand und Blutströmung wird nicht modelliert.
* '''Stationäre Strömung''': Die Strömungsgrößen werden als zeitlich konstant angenommen. Die im realen Blutkreislauf vorhandene Pulsation durch den Herzschlag wird daher vernachlässigt: &lt;math&gt;\frac{\partial u}{\partial t}=0&lt;/math&gt;.
* '''Inkompressibles Fluid''': Die Dichte des Fluids wird als konstant angenommen. Damit gilt für die Geschwindigkeit &lt;math&gt;\nabla \cdot u=0&lt;/math&gt;. Dies entspricht der in der Vorlesung behandelten Massenerhaltung für inkompressible Fluide: Was in das Gefäß einströmt, muss auch wieder ausströmen.
* '''Newton'sche Näherung für Blut''': Reales Blut beseitzt ein nicht newton'sches Fließverhalten. Hier wird Blut als Newton'sches Fluid behandelt.
* '''Konstante Stoffeigenschaften''': Dichte &lt;math&gt;\rho&lt;/math&gt; und dynamische Viskosität μ werden als räumlich und zeitlich konstant angenommen. Temperaturabhängigkeiten werden nicht berücksichtigt.
* '''Laminare Strömung''': Die Strömung wird mit dem COMSOL-Modul ''Laminar Flow'' beschrieben. Ein zusätzliches Turbulenzmodell wird nicht verwendet.
* '''No-Slip-Bedingung an Gefäßwand''': Aufgrund der Viskosität wird angenommen, dass das Fluid direkt an der Gefäßwand haftet. Somit gilt &lt;math&gt;u=0&lt;/math&gt;.
* '''Vernachlässigung der Gravitation''': Gravitation wird nicht berücksichtigt. Die Strömung wird ausschließlich durch die gewählten Ein- und Auslassbedingungen bestimmt.

= Relevanz =

Die Untersuchung von Gefäßverengungen besitzt eine medizinische und eine methodische Bedeutung. Beide werden im Folgenden getrennt begründet, weil sie unterschiedliche Anforderungen an das Modell stellen. Die medizinische Fragestellung verlangt realistische Zahlenwerte, die methodische Fragestellung verlangt nachprüfbare Rechnungen.

== Medizinische Relevanz ==

Arterielle Stenosen entstehen überwiegend durch Atherosklerose, also durch Ablagerungen aus Lipiden, Bindegewebe und Kalk in der Gefäßwand. In der Halsschlagader sind sie klinisch besonders bedeutsam, weil sie die Durchblutung des Gehirns beeinträchtigen und weil sich an ihnen Thromben bilden können, die als Embolie einen Schlaganfall auslösen. Dass die operative Entfernung einer hochgradigen Karotisstenose das Schlaganfallrisiko symptomatischer Patienten deutlich senkt, hat die NASCET-Studie gezeigt, deren Einteilung der Stenosegrade dieses Projekt übernimmt.&lt;ref name=&quot;nascet&quot;&gt;North American Symptomatic Carotid Endarterectomy Trial Collaborators: ''Beneficial effect of carotid endarterectomy in symptomatic patients with high-grade carotid stenosis.'' New England Journal of Medicine 325 (1991), Nr. 7, S. 445-453.&lt;/ref&gt;

Strömungsmechanisch ist an einer Stenose vor allem die Wandschubspannung von Interesse, also die tangentiale Kraft je Fläche, die das strömende Blut auf die innerste Zellschicht der Gefäßwand ausübt. Gesunde Halsschlagadern weisen zeitlich gemittelte Werte von etwa 1,1 bis 1,5 Pa auf.&lt;ref name=&quot;samijo&quot;&gt;Samijo, S. K.; Willigers, J. M.; Barkhuysen, R.; Kitslaar, P. J. E. H. M.; Reneman, R. S.; Brands, P. J.; Hoeks, A. P. G.: ''Wall shear stress in the human common carotid artery as function of age and gender.'' Cardiovascular Research 39 (1998), Nr. 2, S. 515-522.&lt;/ref&gt; In einer Engstelle steigt sie stark an, unmittelbar dahinter fällt sie im Ablösegebiet auf nahezu null und wechselt dort sogar das Vorzeichen. Niedrige und im Vorzeichen wechselnde Wandschubspannungen gelten als Bedingungen, unter denen sich weitere Ablagerungen bevorzugt bilden. Eine bestehende Stenose schafft also stromabwärts die Voraussetzungen für ihr eigenes Wachstum. Genau diese Verteilung lässt sich im Körper nur schwer messen, in einer Simulation dagegen unmittelbar auswerten.

== Methodische Relevanz ==

Fachlich überträgt das Projekt die Prinzipien der Strömungsmechanik aus der Vorlesung auf eine biomedizinische Anwendung.&lt;ref name=&quot;hundertmark&quot;&gt;Hundertmark, A.: ''Fluiddynamik.'' Vorlesungsunterlagen zum Modul Räumliche Modellbildung, RPTU Kaiserslautern-Landau, Sommersemester 2026.&lt;/ref&gt; Der methodische Mehrwert liegt in der Verknüpfung mehrerer Zugänge, die sich gegenseitig kontrollieren. Die analytische Poiseuille-Lösung liefert exakte Sollwerte für das gesunde Gefäß. Ein reduziertes Graphenmodell liefert für jeden Stenosegrad eine schnelle Abschätzung, die analytisch nachrechenbar ist. Die Simulationen in COMSOL Multiphysics lösen schließlich die vollständigen Navier-Stokes-Gleichungen in zwei und drei Raumdimensionen. Weil jede Stufe die Sollwerte der nächsten liefert, zeigt das Projekt nicht nur Ergebnisse, sondern auch, wie numerische Modelle aufgebaut, verifiziert und an ihren Grenzen bewertet werden.

== Auswahl der Stenosegrade ==

Um die untersuchten Gefäßverengungen nicht willkürlich festzulegen, orientiert sich die Auswahl der Stenosegrade an der klinisch gebräuchlichen NASCET-Klassifikation von Karotisstenosen.&lt;ref name=&quot;nascet&quot; /&gt; Sie teilt Stenosen nach ihrer Durchmesserreduktion in drei Schweregrade ein, ein vollständiger Gefäßverschluss wird als Okklusion bezeichnet.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Schweregrade nach NASCET und ihre Abdeckung im Projekt
! Schweregrad !! Durchmesserreduktion !! im Projekt gerechnete Stenosegrade !! hervorgehobener Vertreter
|-
| gesundes Gefäß || 0 % || 0 || 0
|-
| leichtgradige Stenose || unter 50 % || 0,1 bis 0,4 || 0,3
|-
| mittelgradige Stenose || 50 bis 69 % || 0,5 und 0,6 || 0,6
|-
| hochgradige Stenose || 70 bis 99 % || 0,7 und 0,8 || 0,8
|-
| Okklusion || 100 % || nicht gerechnet || entfällt
|}

Für die numerische Untersuchung wird aus jeder Kategorie ein repräsentativer Stenosegrad hervorgehoben. Neben dem gesunden Gefäß mit '''0 %''' Stenose sind das eine '''30 %''' Stenose als Beispiel für eine leichtgradige, eine '''60 %''' Stenose als Beispiel für eine mittelgradige und eine '''80 %''' Stenose als Beispiel für eine hochgradige Verengung. Zusätzlich werden im Graphenmodell und im achsensymmetrischen Flächenmodell alle Zwischenwerte in Schritten von zehn Prozentpunkten gerechnet. Das kostet in diesen beiden Modellen nur Sekunden, liefert aber glatte Verläufe über dem Stenosegrad und macht sichtbar, ab welchem Grad sich das Verhalten der Strömung ändert. Ein vollständiger Gefäßverschluss wird nicht simuliert, da in diesem Fall keine durchgängige Strömung mehr vorliegt.

Der Stenosegrad wird in diesem Projekt wie bei NASCET über die Verringerung des Gefäßdurchmessers beschrieben,

&lt;math&gt;s = 1 - \frac{d_{\min}}{d_{\mathrm{ref}}},&lt;/math&gt;

wobei &lt;math&gt;d_{\min}&lt;/math&gt; der kleinste Durchmesser in der Engstelle und &lt;math&gt;d_{\mathrm{ref}}&lt;/math&gt; ein Referenzdurchmesser ist. NASCET verwendet als Referenz den Durchmesser des gesunden Gefäßes stromabwärts der Stenose. Im idealisierten Modell hat das Gefäß vor und hinter der Engstelle denselben Durchmesser &lt;math&gt;D_0&lt;/math&gt;, sodass &lt;math&gt;d_{\mathrm{ref}} = D_0&lt;/math&gt; gilt und die NASCET-Definition mit allen anderen gebräuchlichen Durchmesserdefinitionen zusammenfällt.

Wichtig für das Verständnis aller weiteren Ergebnisse ist der Unterschied zwischen Durchmesser- und Flächenreduktion. Da die Querschnittsfläche quadratisch vom Durchmesser abhängt, gilt für die Flächenreduktion &lt;math&gt;1-(1-s)^2&lt;/math&gt;. Eine im klinischen Sinn nur mittelgradige Stenose von 60 % verschließt damit bereits 84 % der Querschnittsfläche.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Durchmesser- und Flächenreduktion der gerechneten Stenosegrade
! Stenosegrad s !! 0 !! 0,1 !! 0,2 !! 0,3 !! 0,4 !! 0,5 !! 0,6 !! 0,7 !! 0,8
|-
| engster Durchmesser in mm || 6,0 || 5,4 || 4,8 || 4,2 || 3,6 || 3,0 || 2,4 || 1,8 || 1,2
|-
| Flächenreduktion || 0 % || 19 % || 36 % || 51 % || 64 % || 75 % || 84 % || 91 % || 96 %
|}

Zwei Einschränkungen gehören zur ehrlichen Einordnung. Erstens ist die NASCET-Klassifikation für Stenosen der ''Arteria carotis interna'' entwickelt worden, also des Astes hinter der Gabelung, während hier ein gerader Abschnitt der ''Arteria carotis communis'' modelliert wird. Die Klassifikation dient im Projekt deshalb als Orientierung für sinnvolle Abstufungen und nicht als diagnostische Aussage. Zweitens zeigt sich im Abschnitt zur Modellierung, dass die Annahme einer stationären, laminaren Strömung ab einem Stenosegrad von etwa 0,6 an ihre Grenzen stößt. Die hochgradigen Fälle werden deshalb zwar gerechnet, ihre Ergebnisse aber ausdrücklich als Grenzfall des Modells diskutiert.

= Modellierung =

Modellierung bedeutet hier, die reale Situation in eine mathematische Aufgabe zu übersetzen, die sich lösen lässt. Dazu gehören vier Bausteine, nämlich das Rechengebiet, die Gleichungen, die Zahlenwerte der Parameter und die Bedingungen an den Rändern. Jeder dieser Bausteine beruht auf Annahmen, und jede Annahme muss begründet werden. Dieser Abschnitt geht die Bausteine deshalb der Reihe nach durch und nennt bei jedem Zahlenwert, woher er stammt und warum er sinnvoll ist.

== Modellhierarchie ==

Das Projekt rechnet nicht ein einziges Modell, sondern vier aufeinander aufbauende Modellvarianten. Sie entsprechen der Kursanforderung, eine Strömung als Graph, in zwei und in drei Raumdimensionen darzustellen, und sie sind bewusst von einfach nach aufwendig geordnet.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Die vier Modellvarianten des Projekts
! Modell !! Raumdimension !! gelöste Gleichung !! Zweck !! Werkzeug
|-
| Graphenmodell || 1D, Gefäßachse || Hagen-Poiseuille je Rohrstück und Massenerhaltung in jedem Knoten || schnelle, analytisch nachrechenbare Abschätzung für jeden Stenosegrad || Octave und COMSOL (Koeffizientenform-PDGL)
|-
| achsensymmetrisches Flächenmodell || 2D, Halbschnitt in r und z || vollständige stationäre Navier-Stokes-Gleichungen in Zylinderkoordinaten || Hauptmodell, liefert alle Feldgrößen des rotationssymmetrischen Rohres || COMSOL, Laminare Strömung
|-
| ebenes Flächenmodell || 2D, Halbschnitt in x und y || vollständige stationäre Navier-Stokes-Gleichungen in kartesischen Koordinaten || Vergleich, zeigt den Einfluss der zweiten Querschnittsrichtung || COMSOL, Laminare Strömung
|-
| Volumenmodell || 3D || vollständige stationäre Navier-Stokes-Gleichungen || Kontrolle des Hauptmodells und räumliche Darstellung || COMSOL, Laminare Strömung
|}

Die Reihenfolge folgt einem einfachen Prinzip. Jede Stufe liefert die Sollwerte, an denen die nächste, komplexere Stufe geprüft wird. Das Graphenmodell muss im gesunden Fall exakt die Poiseuille-Lösung ergeben. Das achsensymmetrische Modell muss im gesunden Fall dieselben Werte liefern und bei Stenose für Geschwindigkeit und Wandschubspannung in der Nähe des Graphenmodells liegen. Das Volumenmodell muss, weil die Geometrie rotationssymmetrisch ist, mit dem achsensymmetrischen Modell übereinstimmen.

== Modellannahmen ==

Um den Einfluss des Stenosegrades möglichst isoliert zu untersuchen, werden die folgenden Modellannahmen getroffen. Die Tabelle nennt zu jeder Annahme ihre mathematische Form, die Begründung und die Stelle, an der sie im Projekt überprüft wird.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Modellannahmen, ihre Begründung und ihre Überprüfung
! Annahme !! mathematische Form !! Begründung !! Überprüfung
|-
| Idealisierte Gefäßgeometrie || gerades Rohr mit kosinusförmiger, rotationssymmetrischer Verengung || isoliert die Wirkung des Stenosegrades von Krümmung, Verzweigung und Plaqueform || Diskussion in den Schlussfolgerungen
|-
| Starre Gefäßwand || Wand ortsfest, keine Fluid-Struktur-Kopplung || im stationären Fall gibt es keine Druckschwankung, die die Wand periodisch aufweiten könnte || Abschätzung über die gemessene Durchmesseränderung im Herzzyklus
|-
| Stationäre Strömung || &lt;math&gt;\partial \mathbf{u}/\partial t = \mathbf{0}&lt;/math&gt; || der Einfluss des Stenosegrades soll ohne Überlagerung durch die Pulsation sichtbar werden || Abschätzung über die Womersley-Zahl
|-
| Inkompressibles Fluid || &lt;math&gt;\rho = \mathrm{const}&lt;/math&gt;, damit &lt;math&gt;\nabla\cdot\mathbf{u} = 0&lt;/math&gt; || Blut ist eine Flüssigkeit, Druckänderungen von wenigen hundert Pascal ändern die Dichte nicht messbar || Massenerhaltung in fünf Querschnitten
|-
| Newtonsche Näherung || konstante Viskosität &lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt; || die Scherraten an der Wand und im größten Teil des Querschnitts liegen über dem Bereich, in dem Blut deutlich scherverdünnend wirkt || Scherrate an der Wand, Diskussion des Rückströmgebiets
|-
| Konstante Stoffeigenschaften || &lt;math&gt;\rho&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt; räumlich und zeitlich konstant || Körpertemperatur ist im betrachteten Abschnitt konstant || entfällt
|-
| Laminare Strömung || kein Turbulenzmodell, Schnittstelle Laminare Strömung || Reynoldszahl des gesunden Gefäßes von 386 liegt weit unter dem Umschlagbereich || Reynoldszahl in der Engstelle, Literaturvergleich
|-
| Haftbedingung an der Wand || &lt;math&gt;\mathbf{u} = \mathbf{0}&lt;/math&gt; auf der Wand || Folge der Viskosität, das Fluid haftet an der Wand || Grundlage jeder Wandschubspannung
|-
| Vernachlässigung der Gravitation || keine Volumenkraft || bei konstanter Dichte lässt sich die Schwerkraft vollständig in einen hydrostatischen Druckanteil verschieben und beeinflusst die Geschwindigkeit nicht || Begründung in den Mathematischen Hintergründen
|-
| Voll entwickelte Einströmung || parabolisches Profil am Einlass || die natürliche Einlaufstrecke wäre mit rund 139 mm fast so lang wie das ganze Rechengebiet || Scheitelgeschwindigkeit im gesunden Fall
|-
| Eingeprägter Volumenstrom || &lt;math&gt;Q = Q_0&lt;/math&gt; am Einlass || der Strömungswiderstand des Abschnitts ist klein gegenüber dem des nachgeschalteten Gefäßbetts || Abschätzung mit einem Reihenwiderstand
|}

Einige dieser Annahmen sind unmittelbar einsichtig, andere verdienen eine genauere Begründung, weil von ihnen die Aussagekraft der Ergebnisse abhängt.

Die '''Newtonsche Näherung''' ist die Annahme, die bei Blut am häufigsten hinterfragt wird. Reales Blut ist eine Suspension aus Plasma und Blutzellen und verhält sich scherverdünnend. Bei kleinen Scherraten lagern sich die roten Blutkörperchen zu geldrollenartigen Stapeln zusammen, und die Viskosität steigt auf ein Vielfaches an. Bei großen Scherraten lösen sich diese Stapel auf, und die Viskosität strebt gegen einen Grenzwert von etwa 3,5 mPa·s. Entscheidend ist also die Scherrate. An der Wand des gesunden Modellgefäßes beträgt sie nach der Poiseuille-Lösung

&lt;math&gt;\dot\gamma_w = \frac{4\,U_0}{R_0} = \frac{4 \cdot 0{,}2122\ \mathrm{m/s}}{0{,}003\ \mathrm{m}} \approx 283\ \mathrm{s^{-1}}&lt;/math&gt;

und liegt damit oberhalb von etwa 100 pro Sekunde, wo sich Newtonsches und nicht Newtonsches Modell nach der Literatur nur noch wenig unterscheiden.&lt;ref name=&quot;boyd&quot;&gt;Die Grenze von etwa 100 s&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt; wird in vergleichenden Studien zur Blutrheologie verwendet, etwa bei Bernabeu, M. O. u. a.: ''Impact of blood rheology on wall shear stress in a model of the middle cerebral artery.'' Interface Focus 3 (2013), 20120094. &lt;!-- FIXME Zitat und Seitenangabe am Original pruefen --&gt;&lt;/ref&gt; In der Engstelle steigt die Scherrate weiter an, beim Stenosegrad 0,5 auf rund 2260 pro Sekunde. Schwach ist die Näherung dort, wo die Scherrate klein wird, also in der Mitte des Gefäßes und vor allem im Rückströmgebiet hinter der Stenose. Dort ist reales Blut zäher als angenommen. Dieser Punkt wird in den Schlussfolgerungen wieder aufgegriffen.

Die '''stationäre Strömung''' ist die stärkste Vereinfachung. Wie wichtig die Pulsation ist, misst die Womersley-Zahl, die das Verhältnis von instationärer Trägheit zu Reibung angibt. Mit einer Herzfrequenz von 60 Schlägen je Minute, also einer Kreisfrequenz &lt;math&gt;\omega = 2\pi\ \mathrm{s^{-1}}&lt;/math&gt;, ergibt sich

&lt;math&gt;\alpha = R_0 \sqrt{\frac{\omega \rho}{\mu}} = 0{,}003\ \mathrm{m} \cdot \sqrt{\frac{2\pi\ \mathrm{s^{-1}} \cdot 1060\ \mathrm{kg/m^3}}{0{,}0035\ \mathrm{Pa\,s}}} \approx 4{,}1 .&lt;/math&gt;

Ein Wert in dieser Größenordnung bedeutet, dass das reale Geschwindigkeitsprofil im Herzzyklus merklich von der Parabel abweicht.&lt;ref name=&quot;womersley&quot;&gt;Womersley, J. R.: ''Method for the calculation of velocity, rate of flow and viscous drag in arteries when the pressure gradient is known.'' Journal of Physiology 127 (1955), S. 553-563.&lt;/ref&gt; Hinzu kommt, dass der Volumenstrom in der Systole kurzzeitig auf rund das Vierfache des Mittelwerts steigt.&lt;ref name=&quot;holdsworth&quot;&gt;Holdsworth, D. W.; Norley, C. J. D.; Frayne, R.; Steinman, D. A.; Rutt, B. K.: ''Characterization of common carotid artery blood-flow waveforms in normal human subjects.'' Physiological Measurement 20 (1999), Nr. 3, S. 219-240. DOI 10.1088/0967-3334/20/3/301. Angegeben werden ein mittlerer Volumenstrom von 6,0 ± 1,4 ml/s und ein systolischer Spitzenwert von 23,5 ± 3,8 ml/s. &lt;!-- FIXME Zahlenwerte und Probandenzahl am Original pruefen --&gt;&lt;/ref&gt; Die stationäre Rechnung mit dem Mittelwert beschreibt deshalb nicht den zeitlichen Verlauf, wohl aber den zeitlich gemittelten Zustand, an dem sich der Einfluss des Stenosegrades sauber vergleichen lässt.

Die '''laminare Strömung''' wird über die Reynoldszahl begründet. Sie beträgt im gesunden Gefäß 386 und liegt damit weit unter dem Wert von etwa 2300, ab dem die Strömung in einem geraden Rohr in den Übergangsbereich gelangen kann. In der Engstelle steigt sie bei festem Volumenstrom auf &lt;math&gt;Re_0/(1-s)&lt;/math&gt;, also auf 551 beim Stenosegrad 0,3, auf 964 beim Grad 0,6 und auf 1928 beim Grad 0,8. Für den Strahl hinter einer Engstelle ist der Umschlagbereich allerdings deutlich niedriger als im geraden Rohr. Direkte numerische Simulationen an genau der in diesem Projekt verwendeten Stenosegeometrie zeigen, dass die Strömung bei einer Einström-Reynoldszahl von 500 auch bei leichter Unsymmetrie laminar bleibt, bei 1000 dagegen schon eine Exzentrizität von fünf Prozent des Durchmessers genügt, um den Strahl in lokal turbulente Strömung umschlagen zu lassen.&lt;ref name=&quot;varghese&quot;&gt;Varghese, S. S.; Frankel, S. H.; Fischer, P. F.: ''Direct numerical simulation of stenotic flows. Part 1. Steady flow.'' Journal of Fluid Mechanics 582 (2007), S. 253-280. Untersucht wird eine kosinusförmige Stenose der Länge 2D mit 75 % Flächenreduktion, die mit der Geometrie dieses Projekts beim Stenosegrad 0,5 übereinstimmt. &lt;!-- FIXME Band und Seiten am Original pruefen --&gt;&lt;/ref&gt; Mit einer Einström-Reynoldszahl von 386 liegt das Projekt für die leicht- und mittelgradigen Stenosen sicher im laminaren Bereich. Für die hochgradigen Stenosen ab 0,7 ist ein laminares, stationäres Modell dagegen nur noch eine Näherung, die eine Obergrenze der geordneten Strömung beschreibt. Diese Fälle werden deshalb als Grenzfall des Modells gekennzeichnet.

Die '''starre Wand''' lässt sich über Messungen abschätzen. Der Durchmesser der gemeinsamen Halsschlagader ändert sich im Herzzyklus bei jungen Menschen um etwa 12 bis 14 Prozent und bei älteren Menschen um etwa 5 Prozent.&lt;ref name=&quot;hansen&quot;&gt;Hansen, F.; Mangell, P.; Sonesson, B.; Länne, T.: ''Diameter and compliance in the human common carotid artery: variations with age and sex.'' Ultrasound in Medicine and Biology 21 (1995), Nr. 1, S. 1-9. DOI 10.1016/0301-5629(94)00090-5.&lt;/ref&gt; Diese Bewegung ist eine Folge der Pulsation. In einer stationären Rechnung gibt es keine Druckschwankung, die die Wand periodisch aufweiten könnte, sodass die starre Wand zur stationären Annahme konsistent ist. Eine verkalkte Plaque ist ohnehin deutlich steifer als die gesunde Wand.

Die Annahme des '''eingeprägten Volumenstroms''' wird im Abschnitt zu den Randbedingungen begründet, weil sie sich nur im Zusammenhang mit dem Kreislauf beurteilen lässt.

== Simulationsgebiet und Geometrie ==

Die Gefäßachse ist die z-Achse, der Ursprung liegt in der Mitte der Stenose, und &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; bezeichnet den Abstand von der Achse. Das Rechengebiet reicht von &lt;math&gt;z = -L_u&lt;/math&gt; bis &lt;math&gt;z = L_d&lt;/math&gt; und wird radial von der Wandkontur &lt;math&gt;R(z)&lt;/math&gt; begrenzt. Die Verengung wird über eine einzige glatte Funktion beschrieben,

&lt;math&gt;R(z) = R_0 \left[ 1 - \frac{s}{2}\left(1 + \cos\frac{2\pi z}{L_s}\right)\right] \quad \text{falls } |z| \le \frac{L_s}{2}, \qquad R(z) = R_0 \ \text{sonst.}&lt;/math&gt;

Die Funktion hat drei Eigenschaften, die ihre Wahl begründen. Sie wird erstens über einen einzigen Parameter gesteuert, den Stenosegrad &lt;math&gt;s&lt;/math&gt;. Der engste Radius in der Mitte beträgt &lt;math&gt;R(0) = R_0(1-s)&lt;/math&gt;, und der Fall ohne Verengung ist einfach der Fall &lt;math&gt;s = 0&lt;/math&gt;. Die gesamte Vergleichsreihe entsteht damit aus einem einzigen parametrischen Sweep. Sie geht zweitens an beiden Enden der Störstelle ohne Knick in das gerade Rohr über. Bei &lt;math&gt;z = \pm L_s/2&lt;/math&gt; ist der Kosinus gleich minus eins, die Klammer also null, und seine Ableitung verschwindet dort ebenfalls. Das ist nicht nur ästhetisch, sondern numerisch notwendig, denn ein Knick in der Wand erzeugt eine Singularität der Wandschubspannung, deren berechneter Wert mit jeder Netzverfeinerung weiter wüchse. Eine Netzstudie wäre dann sinnlos. Sie ist drittens die in der Literatur gebräuchliche Standardgeometrie für Stenosen, sodass sich die Ergebnisse unmittelbar mit veröffentlichten Rechnungen vergleichen lassen.&lt;ref name=&quot;varghese&quot; /&gt;

[[Datei:Stenose Gruppe5 Wandkontur.svg|mini|zentriert|800px|Wandkontur &lt;math&gt;R(z)&lt;/math&gt; für die untersuchten Stenosegrade. Die Darstellung ist in radialer Richtung gestreckt, das Rechengebiet ist in Wirklichkeit fünfundzwanzigmal länger als breit.]]
&lt;!-- FIXME Abbildung mit abbildungen_graph_1d.m fuer s = 0 bis 0,8 neu erzeugen, bisher nur bis 0,5 --&gt;

Die Abmessungen des Rechengebiets werden alle aus dem Gefäßradius abgeleitet. Das hat den Vorteil, dass sich das gesamte Modell durch Ändern eines einzigen Wertes auf ein anderes Gefäß übertragen lässt. Die einzelnen Längen werden im Folgenden Schritt für Schritt begründet.

# Der '''Gefäßradius''' &lt;math&gt;R_0 = 3\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; folgt aus Ultraschallmessungen an gesunden Erwachsenen. Dort wurden für die gemeinsame Halsschlagader mittlere Durchmesser von 6,10 ± 0,80 mm bei Frauen und 6,52 ± 0,98 mm bei Männern gemessen.&lt;ref name=&quot;krejza&quot;&gt;Krejza, J.; Arkuszewski, M.; Kasner, S. E.; Weigele, J.; Ustymowicz, A.; Hurst, R. W.; Cucchiara, B. L.; Messe, S. R.: ''Carotid artery diameter in men and women and the relation to body and neck size.'' Stroke 37 (2006), Nr. 4, S. 1103-1105. DOI 10.1161/01.STR.0000206440.48756.f7.&lt;/ref&gt; Der gewählte Durchmesser von &lt;math&gt;D_0 = 6\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; liegt damit innerhalb einer Standardabweichung beider Gruppen und ist bewusst auf einen runden Wert gesetzt, damit alle abgeleiteten Längen glatte Zahlen ergeben.
# Die '''Länge der Störstelle''' &lt;math&gt;L_s = 2 D_0 = 12\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; entspricht der Standardgeometrie aus der Literatur, die eine Stenosenlänge von zwei Durchmessern verwendet.&lt;ref name=&quot;varghese&quot; /&gt; Damit ist beim Stenosegrad 0,5 ein direkter Vergleich mit veröffentlichten Ergebnissen möglich.
# Die '''Vorlaufstrecke''' &lt;math&gt;L_u = 5 D_0 = 30\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; trennt den Einlass von der Stenose. Da am Einlass bereits das voll entwickelte Profil vorgegeben wird, muss sie nicht die Einlaufstrecke abdecken, sondern nur verhindern, dass die Einströmrandbedingung die Strömung an der Engstelle beeinflusst. Bei Reynoldszahlen in dieser Größenordnung reicht der Einfluss einer Verengung nur wenige Durchmesser stromaufwärts, die Literatur kommt für dieselbe Geometrie mit drei Durchmessern Vorlauf aus.&lt;ref name=&quot;varghese&quot; /&gt; Fünf Durchmesser lassen also eine Reserve. Überprüft wird das im Ergebnis, indem die Geschwindigkeit auf der Achse in der Mitte der Vorlaufstrecke mit dem Sollwert &lt;math&gt;2U_0&lt;/math&gt; verglichen wird.
# Die '''Nachlaufstrecke''' &lt;math&gt;L_d = 20 D_0 = 120\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; ist deutlich länger, weil sich hinter der Engstelle ein Rückströmgebiet bildet, das nicht auf den Auslass treffen darf. Für die Geometrie mit dem Stenosegrad 0,5 legt die Strömung bei einer Einström-Reynoldszahl von 500 erst etwa zehn Durchmesser hinter der Engstelle wieder an, die Literatur rechnet mit sechzehn Durchmessern Nachlauf.&lt;ref name=&quot;varghese&quot; /&gt; Zwanzig Durchmesser bieten damit für alle Stenosegrade bis 0,5 einen Sicherheitsabstand. Für die Grade ab 0,6 ist ein längeres Rückströmgebiet zu erwarten, dort wird die Lage des Wiederanlegepunktes ausdrücklich kontrolliert.
# Das '''Ende des fein vernetzten Nachlaufs''' &lt;math&gt;L_f = L_s/2 + 10 D_0 = 66\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; legt fest, bis wohin das Netz verfeinert wird. Der Wert ist so gewählt, dass das erwartete Rückströmgebiet von etwa zehn Durchmessern vollständig im feinen Bereich liegt.

Damit hat das Rechengebiet eine Gesamtlänge von &lt;math&gt;L = L_u + L_d = 150\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt;, also das Fünfundzwanzigfache des Durchmessers. Es ist ein Modellgebiet und kein maßstäbliches Abbild eines bestimmten anatomischen Abschnitts.

== Stoff- und Strömungsparameter ==

Die Stoffwerte des Blutes und der Volumenstrom sind die einzigen Eingangsgrößen, die nicht aus der Geometrie folgen. Aus ihnen werden alle weiteren Strömungskennwerte berechnet. Die folgenden Schritte zeigen jede Rechnung einzeln, damit sich jeder Wert nachprüfen lässt.

# Die '''Dichte''' wird mit &lt;math&gt;\rho = 1060\ \mathrm{kg/m^3}&lt;/math&gt; angesetzt. Der Wert lässt sich als Mischungsregel plausibel machen. Plasma hat eine Dichte von etwa 1025 kg/m³, rote Blutkörperchen von etwa 1100 kg/m³. Bei einem Zellanteil von 45 % ergibt sich &lt;math&gt;0{,}55 \cdot 1025 + 0{,}45 \cdot 1100 \approx 1059\ \mathrm{kg/m^3}&lt;/math&gt;. Die Dichte geht nur über die Reynoldszahl in die Rechnung ein, eine Abweichung von einem Prozent ändert die Ergebnisse daher kaum. &lt;!-- FIXME Lehrbuchquelle fuer Plasma- und Erythrozytendichte ergaenzen --&gt;
# Die '''dynamische Viskosität''' wird mit &lt;math&gt;\mu = 3{,}5\ \mathrm{mPa\,s}&lt;/math&gt; angesetzt. Das ist der Grenzwert der Blutviskosität bei hohen Scherraten, also genau der Wert, der zur Newtonschen Näherung gehört. Derselbe Wert von 0,035 Poise wird auch im Standardwerk zur Modellierung des Herz-Kreislauf-Systems verwendet.&lt;ref name=&quot;quarteroni&quot;&gt;Quarteroni, A.; Formaggia, L.: ''Mathematical Modelling and Numerical Simulation of the Cardiovascular System.'' In: Ayache, N. (Hrsg.): ''Computational Models for the Human Body.'' Handbook of Numerical Analysis, Bd. XII, Elsevier, Amsterdam 2004, S. 3-127. DOI 10.1016/S1570-8659(03)12001-7. Zur Newtonschen Näherung in großen Gefäßen siehe S. 30, zur Viskosität von 0,035 Poise die Parametertabelle auf S. 116.&lt;/ref&gt;
# Der '''mittlere Volumenstrom''' wird mit &lt;math&gt;Q_0 = 6\ \mathrm{ml/s}&lt;/math&gt; angesetzt. Das ist der zeitlich gemittelte Volumenstrom, der in der gemeinsamen Halsschlagader gesunder Probanden gemessen wurde.&lt;ref name=&quot;holdsworth&quot; /&gt;
# Die '''mittlere Geschwindigkeit''' folgt aus Volumenstrom und Querschnittsfläche, &lt;math&gt;U_0 = \frac{Q_0}{\pi R_0^2} = \frac{6 \cdot 10^{-6}\ \mathrm{m^3/s}}{\pi \cdot (0{,}003\ \mathrm{m})^2} = 0{,}2122\ \mathrm{m/s}&lt;/math&gt;.
# Die '''Reynoldszahl''' des gesunden Gefäßes ist &lt;math&gt;Re_0 = \frac{\rho\, U_0\, D_0}{\mu} = \frac{1060 \cdot 0{,}2122 \cdot 0{,}006}{0{,}0035} = 385{,}6&lt;/math&gt;. Sie wird im Folgenden auf 386 gerundet.
# Die '''Einlauflänge''', die eine anfangs gleichförmige Strömung bis zum voll entwickelten Parabelprofil bräuchte, beträgt nach der gebräuchlichen Abschätzung für laminare Rohrströmungen &lt;math&gt;L_e \approx 0{,}06\, Re_0\, D_0 \approx 0{,}06 \cdot 386 \cdot 6\ \mathrm{mm} \approx 139\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt;.&lt;ref name=&quot;durst&quot;&gt;Durst, F.; Ray, S.; Ünsal, B.; Bayoumi, O. A.: ''The development lengths of laminar pipe and channel flows.'' Journal of Fluids Engineering 127 (2005), Nr. 6, S. 1154-1160. Für große Reynoldszahlen nähert sich die dort angegebene Korrelation dem Wert 0,057·Re·D.&lt;/ref&gt; Das ist fast die gesamte Länge des Rechengebiets. Ein konstantes Einlassprofil würde die Strömung an der Stenose also verfälschen, weshalb am Einlass das voll entwickelte Profil vorgegeben wird.

Damit liegen alle globalen Parameter fest. Die folgende Tabelle enthält sie mit genau den Namen, unter denen sie in COMSOL und in den Octave-Skripten verwendet werden.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Globale Parameter des Modells
! Name !! Ausdruck in COMSOL !! Wert !! Bedeutung !! Herkunft
|-
| R0 || 3[mm] || 3 mm || Gefäßradius || Messwerte nach Krejza u. a. 2006, gerundet
|-
| D0 || 2*R0 || 6 mm || Gefäßdurchmesser || abgeleitet
|-
| Ls || 2*D0 || 12 mm || Länge der Störstelle || Standardgeometrie nach Varghese u. a. 2007
|-
| Lu || 5*D0 || 30 mm || Vorlaufstrecke vor der Stenosemitte || Abstand der Einlassbedingung von der Stenose
|-
| Ld || 20*D0 || 120 mm || Nachlaufstrecke hinter der Stenosemitte || Platz für das Rückströmgebiet
|-
| Lf || Ls/2+10*D0 || 66 mm || Ende des fein vernetzten Nachlaufs || erwartete Länge des Rückströmgebiets
|-
| s || 0 bis 0.8 || 0 bis 0,8 || Stenosegrad bezogen auf den Durchmesser || NASCET-Einteilung
|-
| rho_b || 1060[kg/m^3] || 1060 kg/m³ || Dichte des Blutes || Mischungsregel, Literaturwert
|-
| mu_b || 3.5[mPa*s] || 3,5 mPa·s || dynamische Viskosität des Blutes || Hochscherwert, Quarteroni und Formaggia 2004
|-
| Q0 || 6[ml/s] || 6 ml/s || mittlerer Volumenstrom || Messwerte nach Holdsworth u. a. 1999
|-
| U0 || Q0/(pi*R0^2) || 0,2122 m/s || mittlere Einströmgeschwindigkeit || abgeleitet
|-
| Re0 || rho_b*U0*D0/mu_b || 385,6 || Reynoldszahl des gesunden Gefäßes || abgeleitet
|-
| dp_ref || 8*mu_b*U0*(Lu+Ld)/R0^2 || 99,03 Pa || Poiseuille-Druckabfall des gesunden Gefäßes || abgeleitet, Hagen-Poiseuille
|}


= Literaturverzeichnis =

Alle Quellen sind an den Stellen im Text angegeben, an denen die zugehörigen Werte oder Aussagen verwendet werden. Die Liste wird aus diesen Angaben automatisch erzeugt.

&lt;references /&gt;</text>
      <sha1>rpl6fob5vg5ozyjpyvix2eab6lzbpip</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>1115885</id>
      <parentid>1115882</parentid>
      <timestamp>2026-10-12T15:46:28Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Heitele</username>
        <id>38553</id>
      </contributor>
      <comment>/* Modellannahmen */</comment>
      <origin>1115885</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="33818" sha1="gqsbtugzv79m1g4k157zc5sg2c8ru7l" xml:space="preserve">= Gruppenteilnehmer =
* Joey Becker
* Marie-Thérèse Heitele
* Nicole Pander

= Thema und Fragestellung =

Gegenstand dieses Projekts ist die numerische Simulation der Blutströmung in einer verzweigten Halsschlagader ('''Carotis-Bifurkation''') unter dem Einfluss einer lokalen Gefäßverengung ('''Stenose''').
Im Vergleich zu einfachen Rohrströmungen wird hier die realitätsnahe Gefäßanatomie betrachtet: Die '''Arteria carotis communis (ACC)''' teilt sich in die '''Arteria carotis externa (ACE)''' und die '''Arteria carotis interna (ACI)''' auf. Während die '''ACE''' als gesunder, stenosefreier Ast dient, wird in der '''ACI''' eine geglättete, kosinusförmige Gefäßverengung modelliert. Um scharfe Kanten und unphysiologische Druckspitzen zu vermeiden, werden alle Wandübergänge und die Gabelungsspitze (Apex) anatomisch verrundet.

Als Referenz dient ein gesundes, unverengtes Gefäß, in dem sich die Poiseuille-Strömung mit ihrem charakteristischen parabolischen Geschwindigkeitsprofil ausbildet. Diese Strömung ist aus zwei Gründen der natürliche Ausgangspunkt. Sie beschreibt den physiologischen Normalfall, mit dem jeder Stenosegrad verglichen wird, und sie ist exakt lösbar, sodass sich an ihr jede numerische Rechnung prüfen lässt, bevor die Verengung hinzukommt.

== Fragestellung ==
Die Hauptfragestellung dieses Projektes lautet: 
Wie verändert eine symmetrische bzw. rotationssymmetrische Stenose in der '''Arteria carotis interna (ACI)''' die stationäre Strömung eines inkompressiblen Newton’schen Fluids in einer 2D-Carotis-Bifurkation hinsichtlich Geschwindigkeitsverteilung, Druckabfall, Wandschubspannung und Wirbelbildung im Vergleich zu den gesunden Gefäßabschnitten?

Aus dieser Fragestellung ergeben sich drei Teilfragen, an denen sich der Aufbau der Seite orientiert:

# Welche Strömungsgrößen reagieren empfindlich auf den Stenosegrad und welche nur träge?
# Ab welchem Stenosegrad ändert sich das Strömungsmuster qualitativ, das heißt, ab wann löst die Strömung hinter der Engstelle von der Wand ab und bildet ein Rückströmgebiet?
# Wie weit tragen die vereinfachenden Modellannahmen, insbesondere die Annahme einer stationären und laminaren Strömung, über den untersuchten Bereich der Stenosegrade?

== Modellannahmen ==
Im Hinblick darauf werden für dieses Projekt einige Annahmen getroffen, um das Projekt möglichst isoliert zu untersuchen und zu simplifizieren:

* '''Idealisierte Gefäßgeometrie''': Betrachtet wird ein  Teilabbschnitt der ''Arteria carotis communis'', die sog. ''ACI''. Zudem werden Gefäßverkrümmungen, weitere Verzweigungen und patientenspezifische Strukturen  nicht berücksichtigt. 
* '''Starre Gefäßwand''': Die Gefäßwand wird als unbeweglich und nicht verformbar angenommen. Eine Wechselwirkung zwischen elastischer Gefäßwand und Blutströmung wird nicht modelliert.
* '''Stationäre Strömung''': Die Strömungsgrößen werden als zeitlich konstant angenommen. Die im realen Blutkreislauf vorhandene Pulsation durch den Herzschlag wird daher vernachlässigt: &lt;math&gt;\frac{\partial u}{\partial t}=0&lt;/math&gt;.
* '''Inkompressibles Fluid''': Die Dichte des Fluids wird als konstant angenommen. Damit gilt für die Geschwindigkeit &lt;math&gt;\nabla \cdot u=0&lt;/math&gt;. Dies entspricht der in der Vorlesung behandelten Massenerhaltung für inkompressible Fluide: Was in das Gefäß einströmt, muss auch wieder ausströmen.
* '''Newton'sche Näherung für Blut''': Reales Blut beseitzt ein nicht newton'sches Fließverhalten. Hier wird Blut als Newton'sches Fluid behandelt.
* '''Konstante Stoffeigenschaften''': Dichte &lt;math&gt;\rho&lt;/math&gt; und dynamische Viskosität μ werden als räumlich und zeitlich konstant angenommen. Temperaturabhängigkeiten werden nicht berücksichtigt.
* '''Laminare Strömung''': Die Strömung wird mit dem COMSOL-Modul ''Laminar Flow'' beschrieben. Ein zusätzliches Turbulenzmodell wird nicht verwendet.
* '''No-Slip-Bedingung an Gefäßwand''': Aufgrund der Viskosität wird angenommen, dass das Fluid direkt an der Gefäßwand haftet. Somit gilt &lt;math&gt;u=0&lt;/math&gt;.
* '''Vernachlässigung der Gravitation''': Gravitation wird nicht berücksichtigt. Die Strömung wird ausschließlich durch die gewählten Ein- und Auslassbedingungen bestimmt.

= Relevanz =
Die Untersuchung von Gefäßverengungen besitzt sowohl eine medizinische als auch eine methodische Bedeutung. Aus medizinischer Sicht sind arterielle Stenosen – etwa in der Halsschlagader, lat. ''arteria carotis communis'', – kritisch, da sie die Durchblutung beeinträchtigen und durch veränderte Wandschubspannungen sowie die Bildung von Wirbeln weitere Gefäßablagerungen begünstigen. Stenosen im Bereich der Karotisgabelung sind klinisch hochrelevant, da sie das Gehirn direkt versorgen und das Risiko für embolische Schlaganfälle erhöhen. Fachlich überträgt das Projekt damit die Prinzipien der Strömungsmechanik direkt auf eine biomedizinische Anwendung. Das Projekt verknüpft somit theoretische Grundlagen der Strömungsmechanik (Hagen-Poiseuille-Gleichung, Navier-Stokes-Gleichungen) mit der numerischen Simulation in COMSOL Multiphysics. Durch den Vergleich der '''gesunden Externa (ACE)''' mit der '''stenoisierten Interna (ACI)''' innerhalb desselben Rechengebiets wird die isolierte Wirkung der Stenose unter identischen Randbedingungen direkt sichtbar gemacht.

= Relevanz =

Die Untersuchung von Gefäßverengungen besitzt eine medizinische und eine methodische Bedeutung. Beide werden im Folgenden getrennt begründet, weil sie unterschiedliche Anforderungen an das Modell stellen. Die medizinische Fragestellung verlangt realistische Zahlenwerte, die methodische Fragestellung verlangt nachprüfbare Rechnungen.

== Medizinische Relevanz ==

Arterielle Stenosen entstehen überwiegend durch Atherosklerose, also durch Ablagerungen aus Lipiden, Bindegewebe und Kalk in der Gefäßwand. In der Halsschlagader sind sie klinisch besonders bedeutsam, weil sie die Durchblutung des Gehirns beeinträchtigen und weil sich an ihnen Thromben bilden können, die als Embolie einen Schlaganfall auslösen. Dass die operative Entfernung einer hochgradigen Karotisstenose das Schlaganfallrisiko symptomatischer Patienten deutlich senkt, hat die NASCET-Studie gezeigt, deren Einteilung der Stenosegrade dieses Projekt übernimmt.&lt;ref name=&quot;nascet&quot;&gt;North American Symptomatic Carotid Endarterectomy Trial Collaborators: ''Beneficial effect of carotid endarterectomy in symptomatic patients with high-grade carotid stenosis.'' New England Journal of Medicine 325 (1991), Nr. 7, S. 445-453.&lt;/ref&gt;

Strömungsmechanisch ist an einer Stenose vor allem die Wandschubspannung von Interesse, also die tangentiale Kraft je Fläche, die das strömende Blut auf die innerste Zellschicht der Gefäßwand ausübt. Gesunde Halsschlagadern weisen zeitlich gemittelte Werte von etwa 1,1 bis 1,5 Pa auf.&lt;ref name=&quot;samijo&quot;&gt;Samijo, S. K.; Willigers, J. M.; Barkhuysen, R.; Kitslaar, P. J. E. H. M.; Reneman, R. S.; Brands, P. J.; Hoeks, A. P. G.: ''Wall shear stress in the human common carotid artery as function of age and gender.'' Cardiovascular Research 39 (1998), Nr. 2, S. 515-522.&lt;/ref&gt; In einer Engstelle steigt sie stark an, unmittelbar dahinter fällt sie im Ablösegebiet auf nahezu null und wechselt dort sogar das Vorzeichen. Niedrige und im Vorzeichen wechselnde Wandschubspannungen gelten als Bedingungen, unter denen sich weitere Ablagerungen bevorzugt bilden. Eine bestehende Stenose schafft also stromabwärts die Voraussetzungen für ihr eigenes Wachstum. Genau diese Verteilung lässt sich im Körper nur schwer messen, in einer Simulation dagegen unmittelbar auswerten.

== Methodische Relevanz ==

Fachlich überträgt das Projekt die Prinzipien der Strömungsmechanik aus der Vorlesung auf eine biomedizinische Anwendung.&lt;ref name=&quot;hundertmark&quot;&gt;Hundertmark, A.: ''Fluiddynamik.'' Vorlesungsunterlagen zum Modul Räumliche Modellbildung, RPTU Kaiserslautern-Landau, Sommersemester 2026.&lt;/ref&gt; Der methodische Mehrwert liegt in der Verknüpfung mehrerer Zugänge, die sich gegenseitig kontrollieren. Die analytische Poiseuille-Lösung liefert exakte Sollwerte für das gesunde Gefäß. Ein reduziertes Graphenmodell liefert für jeden Stenosegrad eine schnelle Abschätzung, die analytisch nachrechenbar ist. Die Simulationen in COMSOL Multiphysics lösen schließlich die vollständigen Navier-Stokes-Gleichungen in zwei und drei Raumdimensionen. Weil jede Stufe die Sollwerte der nächsten liefert, zeigt das Projekt nicht nur Ergebnisse, sondern auch, wie numerische Modelle aufgebaut, verifiziert und an ihren Grenzen bewertet werden.

== Auswahl der Stenosegrade ==

Um die untersuchten Gefäßverengungen nicht willkürlich festzulegen, orientiert sich die Auswahl der Stenosegrade an der klinisch gebräuchlichen NASCET-Klassifikation von Karotisstenosen.&lt;ref name=&quot;nascet&quot; /&gt; Sie teilt Stenosen nach ihrer Durchmesserreduktion in drei Schweregrade ein, ein vollständiger Gefäßverschluss wird als Okklusion bezeichnet.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Schweregrade nach NASCET und ihre Abdeckung im Projekt
! Schweregrad !! Durchmesserreduktion !! im Projekt gerechnete Stenosegrade !! hervorgehobener Vertreter
|-
| gesundes Gefäß || 0 % || 0 || 0
|-
| leichtgradige Stenose || unter 50 % || 0,1 bis 0,4 || 0,3
|-
| mittelgradige Stenose || 50 bis 69 % || 0,5 und 0,6 || 0,6
|-
| hochgradige Stenose || 70 bis 99 % || 0,7 und 0,8 || 0,8
|-
| Okklusion || 100 % || nicht gerechnet || entfällt
|}

Für die numerische Untersuchung wird aus jeder Kategorie ein repräsentativer Stenosegrad hervorgehoben. Neben dem gesunden Gefäß mit '''0 %''' Stenose sind das eine '''30 %''' Stenose als Beispiel für eine leichtgradige, eine '''60 %''' Stenose als Beispiel für eine mittelgradige und eine '''80 %''' Stenose als Beispiel für eine hochgradige Verengung. Zusätzlich werden im Graphenmodell und im achsensymmetrischen Flächenmodell alle Zwischenwerte in Schritten von zehn Prozentpunkten gerechnet. Das kostet in diesen beiden Modellen nur Sekunden, liefert aber glatte Verläufe über dem Stenosegrad und macht sichtbar, ab welchem Grad sich das Verhalten der Strömung ändert. Ein vollständiger Gefäßverschluss wird nicht simuliert, da in diesem Fall keine durchgängige Strömung mehr vorliegt.

Der Stenosegrad wird in diesem Projekt wie bei NASCET über die Verringerung des Gefäßdurchmessers beschrieben,

&lt;math&gt;s = 1 - \frac{d_{\min}}{d_{\mathrm{ref}}},&lt;/math&gt;

wobei &lt;math&gt;d_{\min}&lt;/math&gt; der kleinste Durchmesser in der Engstelle und &lt;math&gt;d_{\mathrm{ref}}&lt;/math&gt; ein Referenzdurchmesser ist. NASCET verwendet als Referenz den Durchmesser des gesunden Gefäßes stromabwärts der Stenose. Im idealisierten Modell hat das Gefäß vor und hinter der Engstelle denselben Durchmesser &lt;math&gt;D_0&lt;/math&gt;, sodass &lt;math&gt;d_{\mathrm{ref}} = D_0&lt;/math&gt; gilt und die NASCET-Definition mit allen anderen gebräuchlichen Durchmesserdefinitionen zusammenfällt.

Wichtig für das Verständnis aller weiteren Ergebnisse ist der Unterschied zwischen Durchmesser- und Flächenreduktion. Da die Querschnittsfläche quadratisch vom Durchmesser abhängt, gilt für die Flächenreduktion &lt;math&gt;1-(1-s)^2&lt;/math&gt;. Eine im klinischen Sinn nur mittelgradige Stenose von 60 % verschließt damit bereits 84 % der Querschnittsfläche.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Durchmesser- und Flächenreduktion der gerechneten Stenosegrade
! Stenosegrad s !! 0 !! 0,1 !! 0,2 !! 0,3 !! 0,4 !! 0,5 !! 0,6 !! 0,7 !! 0,8
|-
| engster Durchmesser in mm || 6,0 || 5,4 || 4,8 || 4,2 || 3,6 || 3,0 || 2,4 || 1,8 || 1,2
|-
| Flächenreduktion || 0 % || 19 % || 36 % || 51 % || 64 % || 75 % || 84 % || 91 % || 96 %
|}

Zwei Einschränkungen gehören zur ehrlichen Einordnung. Erstens ist die NASCET-Klassifikation für Stenosen der ''Arteria carotis interna'' entwickelt worden, also des Astes hinter der Gabelung, während hier ein gerader Abschnitt der ''Arteria carotis communis'' modelliert wird. Die Klassifikation dient im Projekt deshalb als Orientierung für sinnvolle Abstufungen und nicht als diagnostische Aussage. Zweitens zeigt sich im Abschnitt zur Modellierung, dass die Annahme einer stationären, laminaren Strömung ab einem Stenosegrad von etwa 0,6 an ihre Grenzen stößt. Die hochgradigen Fälle werden deshalb zwar gerechnet, ihre Ergebnisse aber ausdrücklich als Grenzfall des Modells diskutiert.

= Modellierung =

Modellierung bedeutet hier, die reale Situation in eine mathematische Aufgabe zu übersetzen, die sich lösen lässt. Dazu gehören vier Bausteine, nämlich das Rechengebiet, die Gleichungen, die Zahlenwerte der Parameter und die Bedingungen an den Rändern. Jeder dieser Bausteine beruht auf Annahmen, und jede Annahme muss begründet werden. Dieser Abschnitt geht die Bausteine deshalb der Reihe nach durch und nennt bei jedem Zahlenwert, woher er stammt und warum er sinnvoll ist.

== Modellhierarchie ==

Das Projekt rechnet nicht ein einziges Modell, sondern vier aufeinander aufbauende Modellvarianten. Sie entsprechen der Kursanforderung, eine Strömung als Graph, in zwei und in drei Raumdimensionen darzustellen, und sie sind bewusst von einfach nach aufwendig geordnet.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Die vier Modellvarianten des Projekts
! Modell !! Raumdimension !! gelöste Gleichung !! Zweck !! Werkzeug
|-
| Graphenmodell || 1D, Gefäßachse || Hagen-Poiseuille je Rohrstück und Massenerhaltung in jedem Knoten || schnelle, analytisch nachrechenbare Abschätzung für jeden Stenosegrad || Octave und COMSOL (Koeffizientenform-PDGL)
|-
| achsensymmetrisches Flächenmodell || 2D, Halbschnitt in r und z || vollständige stationäre Navier-Stokes-Gleichungen in Zylinderkoordinaten || Hauptmodell, liefert alle Feldgrößen des rotationssymmetrischen Rohres || COMSOL, Laminare Strömung
|-
| ebenes Flächenmodell || 2D, Halbschnitt in x und y || vollständige stationäre Navier-Stokes-Gleichungen in kartesischen Koordinaten || Vergleich, zeigt den Einfluss der zweiten Querschnittsrichtung || COMSOL, Laminare Strömung
|-
| Volumenmodell || 3D || vollständige stationäre Navier-Stokes-Gleichungen || Kontrolle des Hauptmodells und räumliche Darstellung || COMSOL, Laminare Strömung
|}

Die Reihenfolge folgt einem einfachen Prinzip. Jede Stufe liefert die Sollwerte, an denen die nächste, komplexere Stufe geprüft wird. Das Graphenmodell muss im gesunden Fall exakt die Poiseuille-Lösung ergeben. Das achsensymmetrische Modell muss im gesunden Fall dieselben Werte liefern und bei Stenose für Geschwindigkeit und Wandschubspannung in der Nähe des Graphenmodells liegen. Das Volumenmodell muss, weil die Geometrie rotationssymmetrisch ist, mit dem achsensymmetrischen Modell übereinstimmen.

== Modellannahmen ==

Um den Einfluss des Stenosegrades möglichst isoliert zu untersuchen, werden die folgenden Modellannahmen getroffen. Die Tabelle nennt zu jeder Annahme ihre mathematische Form, die Begründung und die Stelle, an der sie im Projekt überprüft wird.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Modellannahmen, ihre Begründung und ihre Überprüfung
! Annahme !! mathematische Form !! Begründung !! Überprüfung
|-
| Idealisierte Gefäßgeometrie || gerades Rohr mit kosinusförmiger, rotationssymmetrischer Verengung || isoliert die Wirkung des Stenosegrades von Krümmung, Verzweigung und Plaqueform || Diskussion in den Schlussfolgerungen
|-
| Starre Gefäßwand || Wand ortsfest, keine Fluid-Struktur-Kopplung || im stationären Fall gibt es keine Druckschwankung, die die Wand periodisch aufweiten könnte || Abschätzung über die gemessene Durchmesseränderung im Herzzyklus
|-
| Stationäre Strömung || &lt;math&gt;\partial \mathbf{u}/\partial t = \mathbf{0}&lt;/math&gt; || der Einfluss des Stenosegrades soll ohne Überlagerung durch die Pulsation sichtbar werden || Abschätzung über die Womersley-Zahl
|-
| Inkompressibles Fluid || &lt;math&gt;\rho = \mathrm{const}&lt;/math&gt;, damit &lt;math&gt;\nabla\cdot\mathbf{u} = 0&lt;/math&gt; || Blut ist eine Flüssigkeit, Druckänderungen von wenigen hundert Pascal ändern die Dichte nicht messbar || Massenerhaltung in fünf Querschnitten
|-
| Newtonsche Näherung || konstante Viskosität &lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt; || die Scherraten an der Wand und im größten Teil des Querschnitts liegen über dem Bereich, in dem Blut deutlich scherverdünnend wirkt || Scherrate an der Wand, Diskussion des Rückströmgebiets
|-
| Konstante Stoffeigenschaften || &lt;math&gt;\rho&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt; räumlich und zeitlich konstant || Körpertemperatur ist im betrachteten Abschnitt konstant || entfällt
|-
| Laminare Strömung || kein Turbulenzmodell, Schnittstelle Laminare Strömung || Reynoldszahl des gesunden Gefäßes von 386 liegt weit unter dem Umschlagbereich || Reynoldszahl in der Engstelle, Literaturvergleich
|-
| Haftbedingung an der Wand || &lt;math&gt;\mathbf{u} = \mathbf{0}&lt;/math&gt; auf der Wand || Folge der Viskosität, das Fluid haftet an der Wand || Grundlage jeder Wandschubspannung
|-
| Vernachlässigung der Gravitation || keine Volumenkraft || bei konstanter Dichte lässt sich die Schwerkraft vollständig in einen hydrostatischen Druckanteil verschieben und beeinflusst die Geschwindigkeit nicht || Begründung in den Mathematischen Hintergründen
|-
| Voll entwickelte Einströmung || parabolisches Profil am Einlass || die natürliche Einlaufstrecke wäre mit rund 139 mm fast so lang wie das ganze Rechengebiet || Scheitelgeschwindigkeit im gesunden Fall
|-
| Eingeprägter Volumenstrom || &lt;math&gt;Q = Q_0&lt;/math&gt; am Einlass || der Strömungswiderstand des Abschnitts ist klein gegenüber dem des nachgeschalteten Gefäßbetts || Abschätzung mit einem Reihenwiderstand
|}

Einige dieser Annahmen sind unmittelbar einsichtig, andere verdienen eine genauere Begründung, weil von ihnen die Aussagekraft der Ergebnisse abhängt.

Die '''Newtonsche Näherung''' ist die Annahme, die bei Blut am häufigsten hinterfragt wird. Reales Blut ist eine Suspension aus Plasma und Blutzellen und verhält sich scherverdünnend. Bei kleinen Scherraten lagern sich die roten Blutkörperchen zu geldrollenartigen Stapeln zusammen, und die Viskosität steigt auf ein Vielfaches an. Bei großen Scherraten lösen sich diese Stapel auf, und die Viskosität strebt gegen einen Grenzwert von etwa 3,5 mPa·s. Entscheidend ist also die Scherrate. An der Wand des gesunden Modellgefäßes beträgt sie nach der Poiseuille-Lösung

&lt;math&gt;\dot\gamma_w = \frac{4\,U_0}{R_0} = \frac{4 \cdot 0{,}2122\ \mathrm{m/s}}{0{,}003\ \mathrm{m}} \approx 283\ \mathrm{s^{-1}}&lt;/math&gt;

und liegt damit oberhalb von etwa 100 pro Sekunde, wo sich Newtonsches und nicht Newtonsches Modell nach der Literatur nur noch wenig unterscheiden.&lt;ref name=&quot;boyd&quot;&gt;Die Grenze von etwa 100 s&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt; wird in vergleichenden Studien zur Blutrheologie verwendet, etwa bei Bernabeu, M. O. u. a.: ''Impact of blood rheology on wall shear stress in a model of the middle cerebral artery.'' Interface Focus 3 (2013), 20120094. &lt;!-- FIXME Zitat und Seitenangabe am Original pruefen --&gt;&lt;/ref&gt; In der Engstelle steigt die Scherrate weiter an, beim Stenosegrad 0,5 auf rund 2260 pro Sekunde. Schwach ist die Näherung dort, wo die Scherrate klein wird, also in der Mitte des Gefäßes und vor allem im Rückströmgebiet hinter der Stenose. Dort ist reales Blut zäher als angenommen. Dieser Punkt wird in den Schlussfolgerungen wieder aufgegriffen.

Die '''stationäre Strömung''' ist die stärkste Vereinfachung. Wie wichtig die Pulsation ist, misst die Womersley-Zahl, die das Verhältnis von instationärer Trägheit zu Reibung angibt. Mit einer Herzfrequenz von 60 Schlägen je Minute, also einer Kreisfrequenz &lt;math&gt;\omega = 2\pi\ \mathrm{s^{-1}}&lt;/math&gt;, ergibt sich

&lt;math&gt;\alpha = R_0 \sqrt{\frac{\omega \rho}{\mu}} = 0{,}003\ \mathrm{m} \cdot \sqrt{\frac{2\pi\ \mathrm{s^{-1}} \cdot 1060\ \mathrm{kg/m^3}}{0{,}0035\ \mathrm{Pa\,s}}} \approx 4{,}1 .&lt;/math&gt;

Ein Wert in dieser Größenordnung bedeutet, dass das reale Geschwindigkeitsprofil im Herzzyklus merklich von der Parabel abweicht.&lt;ref name=&quot;womersley&quot;&gt;Womersley, J. R.: ''Method for the calculation of velocity, rate of flow and viscous drag in arteries when the pressure gradient is known.'' Journal of Physiology 127 (1955), S. 553-563.&lt;/ref&gt; Hinzu kommt, dass der Volumenstrom in der Systole kurzzeitig auf rund das Vierfache des Mittelwerts steigt.&lt;ref name=&quot;holdsworth&quot;&gt;Holdsworth, D. W.; Norley, C. J. D.; Frayne, R.; Steinman, D. A.; Rutt, B. K.: ''Characterization of common carotid artery blood-flow waveforms in normal human subjects.'' Physiological Measurement 20 (1999), Nr. 3, S. 219-240. DOI 10.1088/0967-3334/20/3/301. Angegeben werden ein mittlerer Volumenstrom von 6,0 ± 1,4 ml/s und ein systolischer Spitzenwert von 23,5 ± 3,8 ml/s. &lt;!-- FIXME Zahlenwerte und Probandenzahl am Original pruefen --&gt;&lt;/ref&gt; Die stationäre Rechnung mit dem Mittelwert beschreibt deshalb nicht den zeitlichen Verlauf, wohl aber den zeitlich gemittelten Zustand, an dem sich der Einfluss des Stenosegrades sauber vergleichen lässt.

Die '''laminare Strömung''' wird über die Reynoldszahl begründet. Sie beträgt im gesunden Gefäß 386 und liegt damit weit unter dem Wert von etwa 2300, ab dem die Strömung in einem geraden Rohr in den Übergangsbereich gelangen kann. In der Engstelle steigt sie bei festem Volumenstrom auf &lt;math&gt;Re_0/(1-s)&lt;/math&gt;, also auf 551 beim Stenosegrad 0,3, auf 964 beim Grad 0,6 und auf 1928 beim Grad 0,8. Für den Strahl hinter einer Engstelle ist der Umschlagbereich allerdings deutlich niedriger als im geraden Rohr. Direkte numerische Simulationen an genau der in diesem Projekt verwendeten Stenosegeometrie zeigen, dass die Strömung bei einer Einström-Reynoldszahl von 500 auch bei leichter Unsymmetrie laminar bleibt, bei 1000 dagegen schon eine Exzentrizität von fünf Prozent des Durchmessers genügt, um den Strahl in lokal turbulente Strömung umschlagen zu lassen.&lt;ref name=&quot;varghese&quot;&gt;Varghese, S. S.; Frankel, S. H.; Fischer, P. F.: ''Direct numerical simulation of stenotic flows. Part 1. Steady flow.'' Journal of Fluid Mechanics 582 (2007), S. 253-280. Untersucht wird eine kosinusförmige Stenose der Länge 2D mit 75 % Flächenreduktion, die mit der Geometrie dieses Projekts beim Stenosegrad 0,5 übereinstimmt. &lt;!-- FIXME Band und Seiten am Original pruefen --&gt;&lt;/ref&gt; Mit einer Einström-Reynoldszahl von 386 liegt das Projekt für die leicht- und mittelgradigen Stenosen sicher im laminaren Bereich. Für die hochgradigen Stenosen ab 0,7 ist ein laminares, stationäres Modell dagegen nur noch eine Näherung, die eine Obergrenze der geordneten Strömung beschreibt. Diese Fälle werden deshalb als Grenzfall des Modells gekennzeichnet.

Die '''starre Wand''' lässt sich über Messungen abschätzen. Der Durchmesser der gemeinsamen Halsschlagader ändert sich im Herzzyklus bei jungen Menschen um etwa 12 bis 14 Prozent und bei älteren Menschen um etwa 5 Prozent.&lt;ref name=&quot;hansen&quot;&gt;Hansen, F.; Mangell, P.; Sonesson, B.; Länne, T.: ''Diameter and compliance in the human common carotid artery: variations with age and sex.'' Ultrasound in Medicine and Biology 21 (1995), Nr. 1, S. 1-9. DOI 10.1016/0301-5629(94)00090-5.&lt;/ref&gt; Diese Bewegung ist eine Folge der Pulsation. In einer stationären Rechnung gibt es keine Druckschwankung, die die Wand periodisch aufweiten könnte, sodass die starre Wand zur stationären Annahme konsistent ist. Eine verkalkte Plaque ist ohnehin deutlich steifer als die gesunde Wand.

Die Annahme des '''eingeprägten Volumenstroms''' wird im Abschnitt zu den Randbedingungen begründet, weil sie sich nur im Zusammenhang mit dem Kreislauf beurteilen lässt.

== Simulationsgebiet und Geometrie ==

Die Gefäßachse ist die z-Achse, der Ursprung liegt in der Mitte der Stenose, und &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; bezeichnet den Abstand von der Achse. Das Rechengebiet reicht von &lt;math&gt;z = -L_u&lt;/math&gt; bis &lt;math&gt;z = L_d&lt;/math&gt; und wird radial von der Wandkontur &lt;math&gt;R(z)&lt;/math&gt; begrenzt. Die Verengung wird über eine einzige glatte Funktion beschrieben,

&lt;math&gt;R(z) = R_0 \left[ 1 - \frac{s}{2}\left(1 + \cos\frac{2\pi z}{L_s}\right)\right] \quad \text{falls } |z| \le \frac{L_s}{2}, \qquad R(z) = R_0 \ \text{sonst.}&lt;/math&gt;

Die Funktion hat drei Eigenschaften, die ihre Wahl begründen. Sie wird erstens über einen einzigen Parameter gesteuert, den Stenosegrad &lt;math&gt;s&lt;/math&gt;. Der engste Radius in der Mitte beträgt &lt;math&gt;R(0) = R_0(1-s)&lt;/math&gt;, und der Fall ohne Verengung ist einfach der Fall &lt;math&gt;s = 0&lt;/math&gt;. Die gesamte Vergleichsreihe entsteht damit aus einem einzigen parametrischen Sweep. Sie geht zweitens an beiden Enden der Störstelle ohne Knick in das gerade Rohr über. Bei &lt;math&gt;z = \pm L_s/2&lt;/math&gt; ist der Kosinus gleich minus eins, die Klammer also null, und seine Ableitung verschwindet dort ebenfalls. Das ist nicht nur ästhetisch, sondern numerisch notwendig, denn ein Knick in der Wand erzeugt eine Singularität der Wandschubspannung, deren berechneter Wert mit jeder Netzverfeinerung weiter wüchse. Eine Netzstudie wäre dann sinnlos. Sie ist drittens die in der Literatur gebräuchliche Standardgeometrie für Stenosen, sodass sich die Ergebnisse unmittelbar mit veröffentlichten Rechnungen vergleichen lassen.&lt;ref name=&quot;varghese&quot; /&gt;

[[Datei:Stenose Gruppe5 Wandkontur.svg|mini|zentriert|800px|Wandkontur &lt;math&gt;R(z)&lt;/math&gt; für die untersuchten Stenosegrade. Die Darstellung ist in radialer Richtung gestreckt, das Rechengebiet ist in Wirklichkeit fünfundzwanzigmal länger als breit.]]
&lt;!-- FIXME Abbildung mit abbildungen_graph_1d.m fuer s = 0 bis 0,8 neu erzeugen, bisher nur bis 0,5 --&gt;

Die Abmessungen des Rechengebiets werden alle aus dem Gefäßradius abgeleitet. Das hat den Vorteil, dass sich das gesamte Modell durch Ändern eines einzigen Wertes auf ein anderes Gefäß übertragen lässt. Die einzelnen Längen werden im Folgenden Schritt für Schritt begründet.

# Der '''Gefäßradius''' &lt;math&gt;R_0 = 3\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; folgt aus Ultraschallmessungen an gesunden Erwachsenen. Dort wurden für die gemeinsame Halsschlagader mittlere Durchmesser von 6,10 ± 0,80 mm bei Frauen und 6,52 ± 0,98 mm bei Männern gemessen.&lt;ref name=&quot;krejza&quot;&gt;Krejza, J.; Arkuszewski, M.; Kasner, S. E.; Weigele, J.; Ustymowicz, A.; Hurst, R. W.; Cucchiara, B. L.; Messe, S. R.: ''Carotid artery diameter in men and women and the relation to body and neck size.'' Stroke 37 (2006), Nr. 4, S. 1103-1105. DOI 10.1161/01.STR.0000206440.48756.f7.&lt;/ref&gt; Der gewählte Durchmesser von &lt;math&gt;D_0 = 6\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; liegt damit innerhalb einer Standardabweichung beider Gruppen und ist bewusst auf einen runden Wert gesetzt, damit alle abgeleiteten Längen glatte Zahlen ergeben.
# Die '''Länge der Störstelle''' &lt;math&gt;L_s = 2 D_0 = 12\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; entspricht der Standardgeometrie aus der Literatur, die eine Stenosenlänge von zwei Durchmessern verwendet.&lt;ref name=&quot;varghese&quot; /&gt; Damit ist beim Stenosegrad 0,5 ein direkter Vergleich mit veröffentlichten Ergebnissen möglich.
# Die '''Vorlaufstrecke''' &lt;math&gt;L_u = 5 D_0 = 30\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; trennt den Einlass von der Stenose. Da am Einlass bereits das voll entwickelte Profil vorgegeben wird, muss sie nicht die Einlaufstrecke abdecken, sondern nur verhindern, dass die Einströmrandbedingung die Strömung an der Engstelle beeinflusst. Bei Reynoldszahlen in dieser Größenordnung reicht der Einfluss einer Verengung nur wenige Durchmesser stromaufwärts, die Literatur kommt für dieselbe Geometrie mit drei Durchmessern Vorlauf aus.&lt;ref name=&quot;varghese&quot; /&gt; Fünf Durchmesser lassen also eine Reserve. Überprüft wird das im Ergebnis, indem die Geschwindigkeit auf der Achse in der Mitte der Vorlaufstrecke mit dem Sollwert &lt;math&gt;2U_0&lt;/math&gt; verglichen wird.
# Die '''Nachlaufstrecke''' &lt;math&gt;L_d = 20 D_0 = 120\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; ist deutlich länger, weil sich hinter der Engstelle ein Rückströmgebiet bildet, das nicht auf den Auslass treffen darf. Für die Geometrie mit dem Stenosegrad 0,5 legt die Strömung bei einer Einström-Reynoldszahl von 500 erst etwa zehn Durchmesser hinter der Engstelle wieder an, die Literatur rechnet mit sechzehn Durchmessern Nachlauf.&lt;ref name=&quot;varghese&quot; /&gt; Zwanzig Durchmesser bieten damit für alle Stenosegrade bis 0,5 einen Sicherheitsabstand. Für die Grade ab 0,6 ist ein längeres Rückströmgebiet zu erwarten, dort wird die Lage des Wiederanlegepunktes ausdrücklich kontrolliert.
# Das '''Ende des fein vernetzten Nachlaufs''' &lt;math&gt;L_f = L_s/2 + 10 D_0 = 66\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; legt fest, bis wohin das Netz verfeinert wird. Der Wert ist so gewählt, dass das erwartete Rückströmgebiet von etwa zehn Durchmessern vollständig im feinen Bereich liegt.

Damit hat das Rechengebiet eine Gesamtlänge von &lt;math&gt;L = L_u + L_d = 150\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt;, also das Fünfundzwanzigfache des Durchmessers. Es ist ein Modellgebiet und kein maßstäbliches Abbild eines bestimmten anatomischen Abschnitts.

== Stoff- und Strömungsparameter ==

Die Stoffwerte des Blutes und der Volumenstrom sind die einzigen Eingangsgrößen, die nicht aus der Geometrie folgen. Aus ihnen werden alle weiteren Strömungskennwerte berechnet. Die folgenden Schritte zeigen jede Rechnung einzeln, damit sich jeder Wert nachprüfen lässt.

# Die '''Dichte''' wird mit &lt;math&gt;\rho = 1060\ \mathrm{kg/m^3}&lt;/math&gt; angesetzt. Der Wert lässt sich als Mischungsregel plausibel machen. Plasma hat eine Dichte von etwa 1025 kg/m³, rote Blutkörperchen von etwa 1100 kg/m³. Bei einem Zellanteil von 45 % ergibt sich &lt;math&gt;0{,}55 \cdot 1025 + 0{,}45 \cdot 1100 \approx 1059\ \mathrm{kg/m^3}&lt;/math&gt;. Die Dichte geht nur über die Reynoldszahl in die Rechnung ein, eine Abweichung von einem Prozent ändert die Ergebnisse daher kaum. &lt;!-- FIXME Lehrbuchquelle fuer Plasma- und Erythrozytendichte ergaenzen --&gt;
# Die '''dynamische Viskosität''' wird mit &lt;math&gt;\mu = 3{,}5\ \mathrm{mPa\,s}&lt;/math&gt; angesetzt. Das ist der Grenzwert der Blutviskosität bei hohen Scherraten, also genau der Wert, der zur Newtonschen Näherung gehört. Derselbe Wert von 0,035 Poise wird auch im Standardwerk zur Modellierung des Herz-Kreislauf-Systems verwendet.&lt;ref name=&quot;quarteroni&quot;&gt;Quarteroni, A.; Formaggia, L.: ''Mathematical Modelling and Numerical Simulation of the Cardiovascular System.'' In: Ayache, N. (Hrsg.): ''Computational Models for the Human Body.'' Handbook of Numerical Analysis, Bd. XII, Elsevier, Amsterdam 2004, S. 3-127. DOI 10.1016/S1570-8659(03)12001-7. Zur Newtonschen Näherung in großen Gefäßen siehe S. 30, zur Viskosität von 0,035 Poise die Parametertabelle auf S. 116.&lt;/ref&gt;
# Der '''mittlere Volumenstrom''' wird mit &lt;math&gt;Q_0 = 6\ \mathrm{ml/s}&lt;/math&gt; angesetzt. Das ist der zeitlich gemittelte Volumenstrom, der in der gemeinsamen Halsschlagader gesunder Probanden gemessen wurde.&lt;ref name=&quot;holdsworth&quot; /&gt;
# Die '''mittlere Geschwindigkeit''' folgt aus Volumenstrom und Querschnittsfläche, &lt;math&gt;U_0 = \frac{Q_0}{\pi R_0^2} = \frac{6 \cdot 10^{-6}\ \mathrm{m^3/s}}{\pi \cdot (0{,}003\ \mathrm{m})^2} = 0{,}2122\ \mathrm{m/s}&lt;/math&gt;.
# Die '''Reynoldszahl''' des gesunden Gefäßes ist &lt;math&gt;Re_0 = \frac{\rho\, U_0\, D_0}{\mu} = \frac{1060 \cdot 0{,}2122 \cdot 0{,}006}{0{,}0035} = 385{,}6&lt;/math&gt;. Sie wird im Folgenden auf 386 gerundet.
# Die '''Einlauflänge''', die eine anfangs gleichförmige Strömung bis zum voll entwickelten Parabelprofil bräuchte, beträgt nach der gebräuchlichen Abschätzung für laminare Rohrströmungen &lt;math&gt;L_e \approx 0{,}06\, Re_0\, D_0 \approx 0{,}06 \cdot 386 \cdot 6\ \mathrm{mm} \approx 139\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt;.&lt;ref name=&quot;durst&quot;&gt;Durst, F.; Ray, S.; Ünsal, B.; Bayoumi, O. A.: ''The development lengths of laminar pipe and channel flows.'' Journal of Fluids Engineering 127 (2005), Nr. 6, S. 1154-1160. Für große Reynoldszahlen nähert sich die dort angegebene Korrelation dem Wert 0,057·Re·D.&lt;/ref&gt; Das ist fast die gesamte Länge des Rechengebiets. Ein konstantes Einlassprofil würde die Strömung an der Stenose also verfälschen, weshalb am Einlass das voll entwickelte Profil vorgegeben wird.

Damit liegen alle globalen Parameter fest. Die folgende Tabelle enthält sie mit genau den Namen, unter denen sie in COMSOL und in den Octave-Skripten verwendet werden.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Globale Parameter des Modells
! Name !! Ausdruck in COMSOL !! Wert !! Bedeutung !! Herkunft
|-
| R0 || 3[mm] || 3 mm || Gefäßradius || Messwerte nach Krejza u. a. 2006, gerundet
|-
| D0 || 2*R0 || 6 mm || Gefäßdurchmesser || abgeleitet
|-
| Ls || 2*D0 || 12 mm || Länge der Störstelle || Standardgeometrie nach Varghese u. a. 2007
|-
| Lu || 5*D0 || 30 mm || Vorlaufstrecke vor der Stenosemitte || Abstand der Einlassbedingung von der Stenose
|-
| Ld || 20*D0 || 120 mm || Nachlaufstrecke hinter der Stenosemitte || Platz für das Rückströmgebiet
|-
| Lf || Ls/2+10*D0 || 66 mm || Ende des fein vernetzten Nachlaufs || erwartete Länge des Rückströmgebiets
|-
| s || 0 bis 0.8 || 0 bis 0,8 || Stenosegrad bezogen auf den Durchmesser || NASCET-Einteilung
|-
| rho_b || 1060[kg/m^3] || 1060 kg/m³ || Dichte des Blutes || Mischungsregel, Literaturwert
|-
| mu_b || 3.5[mPa*s] || 3,5 mPa·s || dynamische Viskosität des Blutes || Hochscherwert, Quarteroni und Formaggia 2004
|-
| Q0 || 6[ml/s] || 6 ml/s || mittlerer Volumenstrom || Messwerte nach Holdsworth u. a. 1999
|-
| U0 || Q0/(pi*R0^2) || 0,2122 m/s || mittlere Einströmgeschwindigkeit || abgeleitet
|-
| Re0 || rho_b*U0*D0/mu_b || 385,6 || Reynoldszahl des gesunden Gefäßes || abgeleitet
|-
| dp_ref || 8*mu_b*U0*(Lu+Ld)/R0^2 || 99,03 Pa || Poiseuille-Druckabfall des gesunden Gefäßes || abgeleitet, Hagen-Poiseuille
|}


= Literaturverzeichnis =

Alle Quellen sind an den Stellen im Text angegeben, an denen die zugehörigen Werte oder Aussagen verwendet werden. Die Liste wird aus diesen Angaben automatisch erzeugt.

&lt;references /&gt;</text>
      <sha1>gqsbtugzv79m1g4k157zc5sg2c8ru7l</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>1115887</id>
      <parentid>1115885</parentid>
      <timestamp>2026-10-12T15:47:04Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Heitele</username>
        <id>38553</id>
      </contributor>
      <comment>/* Relevanz */</comment>
      <origin>1115887</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="33466" sha1="5iv4mkp00p69kk2it7k3rvfqffkb6o8" xml:space="preserve">= Gruppenteilnehmer =
* Joey Becker
* Marie-Thérèse Heitele
* Nicole Pander

= Thema und Fragestellung =

Gegenstand dieses Projekts ist die numerische Simulation der Blutströmung in einer verzweigten Halsschlagader ('''Carotis-Bifurkation''') unter dem Einfluss einer lokalen Gefäßverengung ('''Stenose''').
Im Vergleich zu einfachen Rohrströmungen wird hier die realitätsnahe Gefäßanatomie betrachtet: Die '''Arteria carotis communis (ACC)''' teilt sich in die '''Arteria carotis externa (ACE)''' und die '''Arteria carotis interna (ACI)''' auf. Während die '''ACE''' als gesunder, stenosefreier Ast dient, wird in der '''ACI''' eine geglättete, kosinusförmige Gefäßverengung modelliert. Um scharfe Kanten und unphysiologische Druckspitzen zu vermeiden, werden alle Wandübergänge und die Gabelungsspitze (Apex) anatomisch verrundet.

Als Referenz dient ein gesundes, unverengtes Gefäß, in dem sich die Poiseuille-Strömung mit ihrem charakteristischen parabolischen Geschwindigkeitsprofil ausbildet. Diese Strömung ist aus zwei Gründen der natürliche Ausgangspunkt. Sie beschreibt den physiologischen Normalfall, mit dem jeder Stenosegrad verglichen wird, und sie ist exakt lösbar, sodass sich an ihr jede numerische Rechnung prüfen lässt, bevor die Verengung hinzukommt.

== Fragestellung ==
Die Hauptfragestellung dieses Projektes lautet: 
Wie verändert eine symmetrische bzw. rotationssymmetrische Stenose in der '''Arteria carotis interna (ACI)''' die stationäre Strömung eines inkompressiblen Newton’schen Fluids in einer 2D-Carotis-Bifurkation hinsichtlich Geschwindigkeitsverteilung, Druckabfall, Wandschubspannung und Wirbelbildung im Vergleich zu den gesunden Gefäßabschnitten?

Aus dieser Fragestellung ergeben sich drei Teilfragen, an denen sich der Aufbau der Seite orientiert:

# Welche Strömungsgrößen reagieren empfindlich auf den Stenosegrad und welche nur träge?
# Ab welchem Stenosegrad ändert sich das Strömungsmuster qualitativ, das heißt, ab wann löst die Strömung hinter der Engstelle von der Wand ab und bildet ein Rückströmgebiet?
# Wie weit tragen die vereinfachenden Modellannahmen, insbesondere die Annahme einer stationären und laminaren Strömung, über den untersuchten Bereich der Stenosegrade?

== Modellannahmen ==
Im Hinblick darauf werden für dieses Projekt einige Annahmen getroffen, um das Projekt möglichst isoliert zu untersuchen und zu simplifizieren:

* '''Idealisierte Gefäßgeometrie''': Betrachtet wird ein  Teilabbschnitt der ''Arteria carotis communis'', die sog. ''ACI''. Zudem werden Gefäßverkrümmungen, weitere Verzweigungen und patientenspezifische Strukturen  nicht berücksichtigt. 
* '''Starre Gefäßwand''': Die Gefäßwand wird als unbeweglich und nicht verformbar angenommen. Eine Wechselwirkung zwischen elastischer Gefäßwand und Blutströmung wird nicht modelliert.
* '''Stationäre Strömung''': Die Strömungsgrößen werden als zeitlich konstant angenommen. Die im realen Blutkreislauf vorhandene Pulsation durch den Herzschlag wird daher vernachlässigt: &lt;math&gt;\frac{\partial u}{\partial t}=0&lt;/math&gt;.
* '''Inkompressibles Fluid''': Die Dichte des Fluids wird als konstant angenommen. Damit gilt für die Geschwindigkeit &lt;math&gt;\nabla \cdot u=0&lt;/math&gt;. Dies entspricht der in der Vorlesung behandelten Massenerhaltung für inkompressible Fluide: Was in das Gefäß einströmt, muss auch wieder ausströmen.
* '''Newton'sche Näherung für Blut''': Reales Blut beseitzt ein nicht newton'sches Fließverhalten. Hier wird Blut als Newton'sches Fluid behandelt.
* '''Konstante Stoffeigenschaften''': Dichte &lt;math&gt;\rho&lt;/math&gt; und dynamische Viskosität μ werden als räumlich und zeitlich konstant angenommen. Temperaturabhängigkeiten werden nicht berücksichtigt.
* '''Laminare Strömung''': Die Strömung wird mit dem COMSOL-Modul ''Laminar Flow'' beschrieben. Ein zusätzliches Turbulenzmodell wird nicht verwendet.
* '''No-Slip-Bedingung an Gefäßwand''': Aufgrund der Viskosität wird angenommen, dass das Fluid direkt an der Gefäßwand haftet. Somit gilt &lt;math&gt;u=0&lt;/math&gt;.
* '''Vernachlässigung der Gravitation''': Gravitation wird nicht berücksichtigt. Die Strömung wird ausschließlich durch die gewählten Ein- und Auslassbedingungen bestimmt.

= Relevanz =
Die Untersuchung von Gefäßverengungen besitzt sowohl eine medizinische als auch eine methodische Bedeutung. Aus medizinischer Sicht sind arterielle Stenosen – etwa in der Halsschlagader, lat. ''arteria carotis communis'', – kritisch, da sie die Durchblutung beeinträchtigen und durch veränderte Wandschubspannungen sowie die Bildung von Wirbeln weitere Gefäßablagerungen begünstigen. Stenosen im Bereich der Karotisgabelung sind klinisch hochrelevant, da sie das Gehirn direkt versorgen und das Risiko für embolische Schlaganfälle erhöhen. Fachlich überträgt das Projekt damit die Prinzipien der Strömungsmechanik direkt auf eine biomedizinische Anwendung. Das Projekt verknüpft somit theoretische Grundlagen der Strömungsmechanik (Hagen-Poiseuille-Gleichung, Navier-Stokes-Gleichungen) mit der numerischen Simulation in COMSOL Multiphysics. Durch den Vergleich der '''gesunden Externa (ACE)''' mit der '''stenoisierten Interna (ACI)''' innerhalb desselben Rechengebiets wird die isolierte Wirkung der Stenose unter identischen Randbedingungen direkt sichtbar gemacht.


== Medizinische Relevanz ==

Arterielle Stenosen entstehen überwiegend durch Atherosklerose, also durch Ablagerungen aus Lipiden, Bindegewebe und Kalk in der Gefäßwand. In der Halsschlagader sind sie klinisch besonders bedeutsam, weil sie die Durchblutung des Gehirns beeinträchtigen und weil sich an ihnen Thromben bilden können, die als Embolie einen Schlaganfall auslösen. Dass die operative Entfernung einer hochgradigen Karotisstenose das Schlaganfallrisiko symptomatischer Patienten deutlich senkt, hat die NASCET-Studie gezeigt, deren Einteilung der Stenosegrade dieses Projekt übernimmt.&lt;ref name=&quot;nascet&quot;&gt;North American Symptomatic Carotid Endarterectomy Trial Collaborators: ''Beneficial effect of carotid endarterectomy in symptomatic patients with high-grade carotid stenosis.'' New England Journal of Medicine 325 (1991), Nr. 7, S. 445-453.&lt;/ref&gt;

Strömungsmechanisch ist an einer Stenose vor allem die Wandschubspannung von Interesse, also die tangentiale Kraft je Fläche, die das strömende Blut auf die innerste Zellschicht der Gefäßwand ausübt. Gesunde Halsschlagadern weisen zeitlich gemittelte Werte von etwa 1,1 bis 1,5 Pa auf.&lt;ref name=&quot;samijo&quot;&gt;Samijo, S. K.; Willigers, J. M.; Barkhuysen, R.; Kitslaar, P. J. E. H. M.; Reneman, R. S.; Brands, P. J.; Hoeks, A. P. G.: ''Wall shear stress in the human common carotid artery as function of age and gender.'' Cardiovascular Research 39 (1998), Nr. 2, S. 515-522.&lt;/ref&gt; In einer Engstelle steigt sie stark an, unmittelbar dahinter fällt sie im Ablösegebiet auf nahezu null und wechselt dort sogar das Vorzeichen. Niedrige und im Vorzeichen wechselnde Wandschubspannungen gelten als Bedingungen, unter denen sich weitere Ablagerungen bevorzugt bilden. Eine bestehende Stenose schafft also stromabwärts die Voraussetzungen für ihr eigenes Wachstum. Genau diese Verteilung lässt sich im Körper nur schwer messen, in einer Simulation dagegen unmittelbar auswerten.

== Methodische Relevanz ==

Fachlich überträgt das Projekt die Prinzipien der Strömungsmechanik aus der Vorlesung auf eine biomedizinische Anwendung.&lt;ref name=&quot;hundertmark&quot;&gt;Hundertmark, A.: ''Fluiddynamik.'' Vorlesungsunterlagen zum Modul Räumliche Modellbildung, RPTU Kaiserslautern-Landau, Sommersemester 2026.&lt;/ref&gt; Der methodische Mehrwert liegt in der Verknüpfung mehrerer Zugänge, die sich gegenseitig kontrollieren. Die analytische Poiseuille-Lösung liefert exakte Sollwerte für das gesunde Gefäß. Ein reduziertes Graphenmodell liefert für jeden Stenosegrad eine schnelle Abschätzung, die analytisch nachrechenbar ist. Die Simulationen in COMSOL Multiphysics lösen schließlich die vollständigen Navier-Stokes-Gleichungen in zwei und drei Raumdimensionen. Weil jede Stufe die Sollwerte der nächsten liefert, zeigt das Projekt nicht nur Ergebnisse, sondern auch, wie numerische Modelle aufgebaut, verifiziert und an ihren Grenzen bewertet werden.

== Auswahl der Stenosegrade ==

Um die untersuchten Gefäßverengungen nicht willkürlich festzulegen, orientiert sich die Auswahl der Stenosegrade an der klinisch gebräuchlichen NASCET-Klassifikation von Karotisstenosen.&lt;ref name=&quot;nascet&quot; /&gt; Sie teilt Stenosen nach ihrer Durchmesserreduktion in drei Schweregrade ein, ein vollständiger Gefäßverschluss wird als Okklusion bezeichnet.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Schweregrade nach NASCET und ihre Abdeckung im Projekt
! Schweregrad !! Durchmesserreduktion !! im Projekt gerechnete Stenosegrade !! hervorgehobener Vertreter
|-
| gesundes Gefäß || 0 % || 0 || 0
|-
| leichtgradige Stenose || unter 50 % || 0,1 bis 0,4 || 0,3
|-
| mittelgradige Stenose || 50 bis 69 % || 0,5 und 0,6 || 0,6
|-
| hochgradige Stenose || 70 bis 99 % || 0,7 und 0,8 || 0,8
|-
| Okklusion || 100 % || nicht gerechnet || entfällt
|}

Für die numerische Untersuchung wird aus jeder Kategorie ein repräsentativer Stenosegrad hervorgehoben. Neben dem gesunden Gefäß mit '''0 %''' Stenose sind das eine '''30 %''' Stenose als Beispiel für eine leichtgradige, eine '''60 %''' Stenose als Beispiel für eine mittelgradige und eine '''80 %''' Stenose als Beispiel für eine hochgradige Verengung. Zusätzlich werden im Graphenmodell und im achsensymmetrischen Flächenmodell alle Zwischenwerte in Schritten von zehn Prozentpunkten gerechnet. Das kostet in diesen beiden Modellen nur Sekunden, liefert aber glatte Verläufe über dem Stenosegrad und macht sichtbar, ab welchem Grad sich das Verhalten der Strömung ändert. Ein vollständiger Gefäßverschluss wird nicht simuliert, da in diesem Fall keine durchgängige Strömung mehr vorliegt.

Der Stenosegrad wird in diesem Projekt wie bei NASCET über die Verringerung des Gefäßdurchmessers beschrieben,

&lt;math&gt;s = 1 - \frac{d_{\min}}{d_{\mathrm{ref}}},&lt;/math&gt;

wobei &lt;math&gt;d_{\min}&lt;/math&gt; der kleinste Durchmesser in der Engstelle und &lt;math&gt;d_{\mathrm{ref}}&lt;/math&gt; ein Referenzdurchmesser ist. NASCET verwendet als Referenz den Durchmesser des gesunden Gefäßes stromabwärts der Stenose. Im idealisierten Modell hat das Gefäß vor und hinter der Engstelle denselben Durchmesser &lt;math&gt;D_0&lt;/math&gt;, sodass &lt;math&gt;d_{\mathrm{ref}} = D_0&lt;/math&gt; gilt und die NASCET-Definition mit allen anderen gebräuchlichen Durchmesserdefinitionen zusammenfällt.

Wichtig für das Verständnis aller weiteren Ergebnisse ist der Unterschied zwischen Durchmesser- und Flächenreduktion. Da die Querschnittsfläche quadratisch vom Durchmesser abhängt, gilt für die Flächenreduktion &lt;math&gt;1-(1-s)^2&lt;/math&gt;. Eine im klinischen Sinn nur mittelgradige Stenose von 60 % verschließt damit bereits 84 % der Querschnittsfläche.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Durchmesser- und Flächenreduktion der gerechneten Stenosegrade
! Stenosegrad s !! 0 !! 0,1 !! 0,2 !! 0,3 !! 0,4 !! 0,5 !! 0,6 !! 0,7 !! 0,8
|-
| engster Durchmesser in mm || 6,0 || 5,4 || 4,8 || 4,2 || 3,6 || 3,0 || 2,4 || 1,8 || 1,2
|-
| Flächenreduktion || 0 % || 19 % || 36 % || 51 % || 64 % || 75 % || 84 % || 91 % || 96 %
|}

Zwei Einschränkungen gehören zur ehrlichen Einordnung. Erstens ist die NASCET-Klassifikation für Stenosen der ''Arteria carotis interna'' entwickelt worden, also des Astes hinter der Gabelung, während hier ein gerader Abschnitt der ''Arteria carotis communis'' modelliert wird. Die Klassifikation dient im Projekt deshalb als Orientierung für sinnvolle Abstufungen und nicht als diagnostische Aussage. Zweitens zeigt sich im Abschnitt zur Modellierung, dass die Annahme einer stationären, laminaren Strömung ab einem Stenosegrad von etwa 0,6 an ihre Grenzen stößt. Die hochgradigen Fälle werden deshalb zwar gerechnet, ihre Ergebnisse aber ausdrücklich als Grenzfall des Modells diskutiert.

= Modellierung =

Modellierung bedeutet hier, die reale Situation in eine mathematische Aufgabe zu übersetzen, die sich lösen lässt. Dazu gehören vier Bausteine, nämlich das Rechengebiet, die Gleichungen, die Zahlenwerte der Parameter und die Bedingungen an den Rändern. Jeder dieser Bausteine beruht auf Annahmen, und jede Annahme muss begründet werden. Dieser Abschnitt geht die Bausteine deshalb der Reihe nach durch und nennt bei jedem Zahlenwert, woher er stammt und warum er sinnvoll ist.

== Modellhierarchie ==

Das Projekt rechnet nicht ein einziges Modell, sondern vier aufeinander aufbauende Modellvarianten. Sie entsprechen der Kursanforderung, eine Strömung als Graph, in zwei und in drei Raumdimensionen darzustellen, und sie sind bewusst von einfach nach aufwendig geordnet.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Die vier Modellvarianten des Projekts
! Modell !! Raumdimension !! gelöste Gleichung !! Zweck !! Werkzeug
|-
| Graphenmodell || 1D, Gefäßachse || Hagen-Poiseuille je Rohrstück und Massenerhaltung in jedem Knoten || schnelle, analytisch nachrechenbare Abschätzung für jeden Stenosegrad || Octave und COMSOL (Koeffizientenform-PDGL)
|-
| achsensymmetrisches Flächenmodell || 2D, Halbschnitt in r und z || vollständige stationäre Navier-Stokes-Gleichungen in Zylinderkoordinaten || Hauptmodell, liefert alle Feldgrößen des rotationssymmetrischen Rohres || COMSOL, Laminare Strömung
|-
| ebenes Flächenmodell || 2D, Halbschnitt in x und y || vollständige stationäre Navier-Stokes-Gleichungen in kartesischen Koordinaten || Vergleich, zeigt den Einfluss der zweiten Querschnittsrichtung || COMSOL, Laminare Strömung
|-
| Volumenmodell || 3D || vollständige stationäre Navier-Stokes-Gleichungen || Kontrolle des Hauptmodells und räumliche Darstellung || COMSOL, Laminare Strömung
|}

Die Reihenfolge folgt einem einfachen Prinzip. Jede Stufe liefert die Sollwerte, an denen die nächste, komplexere Stufe geprüft wird. Das Graphenmodell muss im gesunden Fall exakt die Poiseuille-Lösung ergeben. Das achsensymmetrische Modell muss im gesunden Fall dieselben Werte liefern und bei Stenose für Geschwindigkeit und Wandschubspannung in der Nähe des Graphenmodells liegen. Das Volumenmodell muss, weil die Geometrie rotationssymmetrisch ist, mit dem achsensymmetrischen Modell übereinstimmen.

== Modellannahmen ==

Um den Einfluss des Stenosegrades möglichst isoliert zu untersuchen, werden die folgenden Modellannahmen getroffen. Die Tabelle nennt zu jeder Annahme ihre mathematische Form, die Begründung und die Stelle, an der sie im Projekt überprüft wird.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Modellannahmen, ihre Begründung und ihre Überprüfung
! Annahme !! mathematische Form !! Begründung !! Überprüfung
|-
| Idealisierte Gefäßgeometrie || gerades Rohr mit kosinusförmiger, rotationssymmetrischer Verengung || isoliert die Wirkung des Stenosegrades von Krümmung, Verzweigung und Plaqueform || Diskussion in den Schlussfolgerungen
|-
| Starre Gefäßwand || Wand ortsfest, keine Fluid-Struktur-Kopplung || im stationären Fall gibt es keine Druckschwankung, die die Wand periodisch aufweiten könnte || Abschätzung über die gemessene Durchmesseränderung im Herzzyklus
|-
| Stationäre Strömung || &lt;math&gt;\partial \mathbf{u}/\partial t = \mathbf{0}&lt;/math&gt; || der Einfluss des Stenosegrades soll ohne Überlagerung durch die Pulsation sichtbar werden || Abschätzung über die Womersley-Zahl
|-
| Inkompressibles Fluid || &lt;math&gt;\rho = \mathrm{const}&lt;/math&gt;, damit &lt;math&gt;\nabla\cdot\mathbf{u} = 0&lt;/math&gt; || Blut ist eine Flüssigkeit, Druckänderungen von wenigen hundert Pascal ändern die Dichte nicht messbar || Massenerhaltung in fünf Querschnitten
|-
| Newtonsche Näherung || konstante Viskosität &lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt; || die Scherraten an der Wand und im größten Teil des Querschnitts liegen über dem Bereich, in dem Blut deutlich scherverdünnend wirkt || Scherrate an der Wand, Diskussion des Rückströmgebiets
|-
| Konstante Stoffeigenschaften || &lt;math&gt;\rho&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt; räumlich und zeitlich konstant || Körpertemperatur ist im betrachteten Abschnitt konstant || entfällt
|-
| Laminare Strömung || kein Turbulenzmodell, Schnittstelle Laminare Strömung || Reynoldszahl des gesunden Gefäßes von 386 liegt weit unter dem Umschlagbereich || Reynoldszahl in der Engstelle, Literaturvergleich
|-
| Haftbedingung an der Wand || &lt;math&gt;\mathbf{u} = \mathbf{0}&lt;/math&gt; auf der Wand || Folge der Viskosität, das Fluid haftet an der Wand || Grundlage jeder Wandschubspannung
|-
| Vernachlässigung der Gravitation || keine Volumenkraft || bei konstanter Dichte lässt sich die Schwerkraft vollständig in einen hydrostatischen Druckanteil verschieben und beeinflusst die Geschwindigkeit nicht || Begründung in den Mathematischen Hintergründen
|-
| Voll entwickelte Einströmung || parabolisches Profil am Einlass || die natürliche Einlaufstrecke wäre mit rund 139 mm fast so lang wie das ganze Rechengebiet || Scheitelgeschwindigkeit im gesunden Fall
|-
| Eingeprägter Volumenstrom || &lt;math&gt;Q = Q_0&lt;/math&gt; am Einlass || der Strömungswiderstand des Abschnitts ist klein gegenüber dem des nachgeschalteten Gefäßbetts || Abschätzung mit einem Reihenwiderstand
|}

Einige dieser Annahmen sind unmittelbar einsichtig, andere verdienen eine genauere Begründung, weil von ihnen die Aussagekraft der Ergebnisse abhängt.

Die '''Newtonsche Näherung''' ist die Annahme, die bei Blut am häufigsten hinterfragt wird. Reales Blut ist eine Suspension aus Plasma und Blutzellen und verhält sich scherverdünnend. Bei kleinen Scherraten lagern sich die roten Blutkörperchen zu geldrollenartigen Stapeln zusammen, und die Viskosität steigt auf ein Vielfaches an. Bei großen Scherraten lösen sich diese Stapel auf, und die Viskosität strebt gegen einen Grenzwert von etwa 3,5 mPa·s. Entscheidend ist also die Scherrate. An der Wand des gesunden Modellgefäßes beträgt sie nach der Poiseuille-Lösung

&lt;math&gt;\dot\gamma_w = \frac{4\,U_0}{R_0} = \frac{4 \cdot 0{,}2122\ \mathrm{m/s}}{0{,}003\ \mathrm{m}} \approx 283\ \mathrm{s^{-1}}&lt;/math&gt;

und liegt damit oberhalb von etwa 100 pro Sekunde, wo sich Newtonsches und nicht Newtonsches Modell nach der Literatur nur noch wenig unterscheiden.&lt;ref name=&quot;boyd&quot;&gt;Die Grenze von etwa 100 s&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt; wird in vergleichenden Studien zur Blutrheologie verwendet, etwa bei Bernabeu, M. O. u. a.: ''Impact of blood rheology on wall shear stress in a model of the middle cerebral artery.'' Interface Focus 3 (2013), 20120094. &lt;!-- FIXME Zitat und Seitenangabe am Original pruefen --&gt;&lt;/ref&gt; In der Engstelle steigt die Scherrate weiter an, beim Stenosegrad 0,5 auf rund 2260 pro Sekunde. Schwach ist die Näherung dort, wo die Scherrate klein wird, also in der Mitte des Gefäßes und vor allem im Rückströmgebiet hinter der Stenose. Dort ist reales Blut zäher als angenommen. Dieser Punkt wird in den Schlussfolgerungen wieder aufgegriffen.

Die '''stationäre Strömung''' ist die stärkste Vereinfachung. Wie wichtig die Pulsation ist, misst die Womersley-Zahl, die das Verhältnis von instationärer Trägheit zu Reibung angibt. Mit einer Herzfrequenz von 60 Schlägen je Minute, also einer Kreisfrequenz &lt;math&gt;\omega = 2\pi\ \mathrm{s^{-1}}&lt;/math&gt;, ergibt sich

&lt;math&gt;\alpha = R_0 \sqrt{\frac{\omega \rho}{\mu}} = 0{,}003\ \mathrm{m} \cdot \sqrt{\frac{2\pi\ \mathrm{s^{-1}} \cdot 1060\ \mathrm{kg/m^3}}{0{,}0035\ \mathrm{Pa\,s}}} \approx 4{,}1 .&lt;/math&gt;

Ein Wert in dieser Größenordnung bedeutet, dass das reale Geschwindigkeitsprofil im Herzzyklus merklich von der Parabel abweicht.&lt;ref name=&quot;womersley&quot;&gt;Womersley, J. R.: ''Method for the calculation of velocity, rate of flow and viscous drag in arteries when the pressure gradient is known.'' Journal of Physiology 127 (1955), S. 553-563.&lt;/ref&gt; Hinzu kommt, dass der Volumenstrom in der Systole kurzzeitig auf rund das Vierfache des Mittelwerts steigt.&lt;ref name=&quot;holdsworth&quot;&gt;Holdsworth, D. W.; Norley, C. J. D.; Frayne, R.; Steinman, D. A.; Rutt, B. K.: ''Characterization of common carotid artery blood-flow waveforms in normal human subjects.'' Physiological Measurement 20 (1999), Nr. 3, S. 219-240. DOI 10.1088/0967-3334/20/3/301. Angegeben werden ein mittlerer Volumenstrom von 6,0 ± 1,4 ml/s und ein systolischer Spitzenwert von 23,5 ± 3,8 ml/s. &lt;!-- FIXME Zahlenwerte und Probandenzahl am Original pruefen --&gt;&lt;/ref&gt; Die stationäre Rechnung mit dem Mittelwert beschreibt deshalb nicht den zeitlichen Verlauf, wohl aber den zeitlich gemittelten Zustand, an dem sich der Einfluss des Stenosegrades sauber vergleichen lässt.

Die '''laminare Strömung''' wird über die Reynoldszahl begründet. Sie beträgt im gesunden Gefäß 386 und liegt damit weit unter dem Wert von etwa 2300, ab dem die Strömung in einem geraden Rohr in den Übergangsbereich gelangen kann. In der Engstelle steigt sie bei festem Volumenstrom auf &lt;math&gt;Re_0/(1-s)&lt;/math&gt;, also auf 551 beim Stenosegrad 0,3, auf 964 beim Grad 0,6 und auf 1928 beim Grad 0,8. Für den Strahl hinter einer Engstelle ist der Umschlagbereich allerdings deutlich niedriger als im geraden Rohr. Direkte numerische Simulationen an genau der in diesem Projekt verwendeten Stenosegeometrie zeigen, dass die Strömung bei einer Einström-Reynoldszahl von 500 auch bei leichter Unsymmetrie laminar bleibt, bei 1000 dagegen schon eine Exzentrizität von fünf Prozent des Durchmessers genügt, um den Strahl in lokal turbulente Strömung umschlagen zu lassen.&lt;ref name=&quot;varghese&quot;&gt;Varghese, S. S.; Frankel, S. H.; Fischer, P. F.: ''Direct numerical simulation of stenotic flows. Part 1. Steady flow.'' Journal of Fluid Mechanics 582 (2007), S. 253-280. Untersucht wird eine kosinusförmige Stenose der Länge 2D mit 75 % Flächenreduktion, die mit der Geometrie dieses Projekts beim Stenosegrad 0,5 übereinstimmt. &lt;!-- FIXME Band und Seiten am Original pruefen --&gt;&lt;/ref&gt; Mit einer Einström-Reynoldszahl von 386 liegt das Projekt für die leicht- und mittelgradigen Stenosen sicher im laminaren Bereich. Für die hochgradigen Stenosen ab 0,7 ist ein laminares, stationäres Modell dagegen nur noch eine Näherung, die eine Obergrenze der geordneten Strömung beschreibt. Diese Fälle werden deshalb als Grenzfall des Modells gekennzeichnet.

Die '''starre Wand''' lässt sich über Messungen abschätzen. Der Durchmesser der gemeinsamen Halsschlagader ändert sich im Herzzyklus bei jungen Menschen um etwa 12 bis 14 Prozent und bei älteren Menschen um etwa 5 Prozent.&lt;ref name=&quot;hansen&quot;&gt;Hansen, F.; Mangell, P.; Sonesson, B.; Länne, T.: ''Diameter and compliance in the human common carotid artery: variations with age and sex.'' Ultrasound in Medicine and Biology 21 (1995), Nr. 1, S. 1-9. DOI 10.1016/0301-5629(94)00090-5.&lt;/ref&gt; Diese Bewegung ist eine Folge der Pulsation. In einer stationären Rechnung gibt es keine Druckschwankung, die die Wand periodisch aufweiten könnte, sodass die starre Wand zur stationären Annahme konsistent ist. Eine verkalkte Plaque ist ohnehin deutlich steifer als die gesunde Wand.

Die Annahme des '''eingeprägten Volumenstroms''' wird im Abschnitt zu den Randbedingungen begründet, weil sie sich nur im Zusammenhang mit dem Kreislauf beurteilen lässt.

== Simulationsgebiet und Geometrie ==

Die Gefäßachse ist die z-Achse, der Ursprung liegt in der Mitte der Stenose, und &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; bezeichnet den Abstand von der Achse. Das Rechengebiet reicht von &lt;math&gt;z = -L_u&lt;/math&gt; bis &lt;math&gt;z = L_d&lt;/math&gt; und wird radial von der Wandkontur &lt;math&gt;R(z)&lt;/math&gt; begrenzt. Die Verengung wird über eine einzige glatte Funktion beschrieben,

&lt;math&gt;R(z) = R_0 \left[ 1 - \frac{s}{2}\left(1 + \cos\frac{2\pi z}{L_s}\right)\right] \quad \text{falls } |z| \le \frac{L_s}{2}, \qquad R(z) = R_0 \ \text{sonst.}&lt;/math&gt;

Die Funktion hat drei Eigenschaften, die ihre Wahl begründen. Sie wird erstens über einen einzigen Parameter gesteuert, den Stenosegrad &lt;math&gt;s&lt;/math&gt;. Der engste Radius in der Mitte beträgt &lt;math&gt;R(0) = R_0(1-s)&lt;/math&gt;, und der Fall ohne Verengung ist einfach der Fall &lt;math&gt;s = 0&lt;/math&gt;. Die gesamte Vergleichsreihe entsteht damit aus einem einzigen parametrischen Sweep. Sie geht zweitens an beiden Enden der Störstelle ohne Knick in das gerade Rohr über. Bei &lt;math&gt;z = \pm L_s/2&lt;/math&gt; ist der Kosinus gleich minus eins, die Klammer also null, und seine Ableitung verschwindet dort ebenfalls. Das ist nicht nur ästhetisch, sondern numerisch notwendig, denn ein Knick in der Wand erzeugt eine Singularität der Wandschubspannung, deren berechneter Wert mit jeder Netzverfeinerung weiter wüchse. Eine Netzstudie wäre dann sinnlos. Sie ist drittens die in der Literatur gebräuchliche Standardgeometrie für Stenosen, sodass sich die Ergebnisse unmittelbar mit veröffentlichten Rechnungen vergleichen lassen.&lt;ref name=&quot;varghese&quot; /&gt;

[[Datei:Stenose Gruppe5 Wandkontur.svg|mini|zentriert|800px|Wandkontur &lt;math&gt;R(z)&lt;/math&gt; für die untersuchten Stenosegrade. Die Darstellung ist in radialer Richtung gestreckt, das Rechengebiet ist in Wirklichkeit fünfundzwanzigmal länger als breit.]]
&lt;!-- FIXME Abbildung mit abbildungen_graph_1d.m fuer s = 0 bis 0,8 neu erzeugen, bisher nur bis 0,5 --&gt;

Die Abmessungen des Rechengebiets werden alle aus dem Gefäßradius abgeleitet. Das hat den Vorteil, dass sich das gesamte Modell durch Ändern eines einzigen Wertes auf ein anderes Gefäß übertragen lässt. Die einzelnen Längen werden im Folgenden Schritt für Schritt begründet.

# Der '''Gefäßradius''' &lt;math&gt;R_0 = 3\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; folgt aus Ultraschallmessungen an gesunden Erwachsenen. Dort wurden für die gemeinsame Halsschlagader mittlere Durchmesser von 6,10 ± 0,80 mm bei Frauen und 6,52 ± 0,98 mm bei Männern gemessen.&lt;ref name=&quot;krejza&quot;&gt;Krejza, J.; Arkuszewski, M.; Kasner, S. E.; Weigele, J.; Ustymowicz, A.; Hurst, R. W.; Cucchiara, B. L.; Messe, S. R.: ''Carotid artery diameter in men and women and the relation to body and neck size.'' Stroke 37 (2006), Nr. 4, S. 1103-1105. DOI 10.1161/01.STR.0000206440.48756.f7.&lt;/ref&gt; Der gewählte Durchmesser von &lt;math&gt;D_0 = 6\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; liegt damit innerhalb einer Standardabweichung beider Gruppen und ist bewusst auf einen runden Wert gesetzt, damit alle abgeleiteten Längen glatte Zahlen ergeben.
# Die '''Länge der Störstelle''' &lt;math&gt;L_s = 2 D_0 = 12\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; entspricht der Standardgeometrie aus der Literatur, die eine Stenosenlänge von zwei Durchmessern verwendet.&lt;ref name=&quot;varghese&quot; /&gt; Damit ist beim Stenosegrad 0,5 ein direkter Vergleich mit veröffentlichten Ergebnissen möglich.
# Die '''Vorlaufstrecke''' &lt;math&gt;L_u = 5 D_0 = 30\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; trennt den Einlass von der Stenose. Da am Einlass bereits das voll entwickelte Profil vorgegeben wird, muss sie nicht die Einlaufstrecke abdecken, sondern nur verhindern, dass die Einströmrandbedingung die Strömung an der Engstelle beeinflusst. Bei Reynoldszahlen in dieser Größenordnung reicht der Einfluss einer Verengung nur wenige Durchmesser stromaufwärts, die Literatur kommt für dieselbe Geometrie mit drei Durchmessern Vorlauf aus.&lt;ref name=&quot;varghese&quot; /&gt; Fünf Durchmesser lassen also eine Reserve. Überprüft wird das im Ergebnis, indem die Geschwindigkeit auf der Achse in der Mitte der Vorlaufstrecke mit dem Sollwert &lt;math&gt;2U_0&lt;/math&gt; verglichen wird.
# Die '''Nachlaufstrecke''' &lt;math&gt;L_d = 20 D_0 = 120\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; ist deutlich länger, weil sich hinter der Engstelle ein Rückströmgebiet bildet, das nicht auf den Auslass treffen darf. Für die Geometrie mit dem Stenosegrad 0,5 legt die Strömung bei einer Einström-Reynoldszahl von 500 erst etwa zehn Durchmesser hinter der Engstelle wieder an, die Literatur rechnet mit sechzehn Durchmessern Nachlauf.&lt;ref name=&quot;varghese&quot; /&gt; Zwanzig Durchmesser bieten damit für alle Stenosegrade bis 0,5 einen Sicherheitsabstand. Für die Grade ab 0,6 ist ein längeres Rückströmgebiet zu erwarten, dort wird die Lage des Wiederanlegepunktes ausdrücklich kontrolliert.
# Das '''Ende des fein vernetzten Nachlaufs''' &lt;math&gt;L_f = L_s/2 + 10 D_0 = 66\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; legt fest, bis wohin das Netz verfeinert wird. Der Wert ist so gewählt, dass das erwartete Rückströmgebiet von etwa zehn Durchmessern vollständig im feinen Bereich liegt.

Damit hat das Rechengebiet eine Gesamtlänge von &lt;math&gt;L = L_u + L_d = 150\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt;, also das Fünfundzwanzigfache des Durchmessers. Es ist ein Modellgebiet und kein maßstäbliches Abbild eines bestimmten anatomischen Abschnitts.

== Stoff- und Strömungsparameter ==

Die Stoffwerte des Blutes und der Volumenstrom sind die einzigen Eingangsgrößen, die nicht aus der Geometrie folgen. Aus ihnen werden alle weiteren Strömungskennwerte berechnet. Die folgenden Schritte zeigen jede Rechnung einzeln, damit sich jeder Wert nachprüfen lässt.

# Die '''Dichte''' wird mit &lt;math&gt;\rho = 1060\ \mathrm{kg/m^3}&lt;/math&gt; angesetzt. Der Wert lässt sich als Mischungsregel plausibel machen. Plasma hat eine Dichte von etwa 1025 kg/m³, rote Blutkörperchen von etwa 1100 kg/m³. Bei einem Zellanteil von 45 % ergibt sich &lt;math&gt;0{,}55 \cdot 1025 + 0{,}45 \cdot 1100 \approx 1059\ \mathrm{kg/m^3}&lt;/math&gt;. Die Dichte geht nur über die Reynoldszahl in die Rechnung ein, eine Abweichung von einem Prozent ändert die Ergebnisse daher kaum. &lt;!-- FIXME Lehrbuchquelle fuer Plasma- und Erythrozytendichte ergaenzen --&gt;
# Die '''dynamische Viskosität''' wird mit &lt;math&gt;\mu = 3{,}5\ \mathrm{mPa\,s}&lt;/math&gt; angesetzt. Das ist der Grenzwert der Blutviskosität bei hohen Scherraten, also genau der Wert, der zur Newtonschen Näherung gehört. Derselbe Wert von 0,035 Poise wird auch im Standardwerk zur Modellierung des Herz-Kreislauf-Systems verwendet.&lt;ref name=&quot;quarteroni&quot;&gt;Quarteroni, A.; Formaggia, L.: ''Mathematical Modelling and Numerical Simulation of the Cardiovascular System.'' In: Ayache, N. (Hrsg.): ''Computational Models for the Human Body.'' Handbook of Numerical Analysis, Bd. XII, Elsevier, Amsterdam 2004, S. 3-127. DOI 10.1016/S1570-8659(03)12001-7. Zur Newtonschen Näherung in großen Gefäßen siehe S. 30, zur Viskosität von 0,035 Poise die Parametertabelle auf S. 116.&lt;/ref&gt;
# Der '''mittlere Volumenstrom''' wird mit &lt;math&gt;Q_0 = 6\ \mathrm{ml/s}&lt;/math&gt; angesetzt. Das ist der zeitlich gemittelte Volumenstrom, der in der gemeinsamen Halsschlagader gesunder Probanden gemessen wurde.&lt;ref name=&quot;holdsworth&quot; /&gt;
# Die '''mittlere Geschwindigkeit''' folgt aus Volumenstrom und Querschnittsfläche, &lt;math&gt;U_0 = \frac{Q_0}{\pi R_0^2} = \frac{6 \cdot 10^{-6}\ \mathrm{m^3/s}}{\pi \cdot (0{,}003\ \mathrm{m})^2} = 0{,}2122\ \mathrm{m/s}&lt;/math&gt;.
# Die '''Reynoldszahl''' des gesunden Gefäßes ist &lt;math&gt;Re_0 = \frac{\rho\, U_0\, D_0}{\mu} = \frac{1060 \cdot 0{,}2122 \cdot 0{,}006}{0{,}0035} = 385{,}6&lt;/math&gt;. Sie wird im Folgenden auf 386 gerundet.
# Die '''Einlauflänge''', die eine anfangs gleichförmige Strömung bis zum voll entwickelten Parabelprofil bräuchte, beträgt nach der gebräuchlichen Abschätzung für laminare Rohrströmungen &lt;math&gt;L_e \approx 0{,}06\, Re_0\, D_0 \approx 0{,}06 \cdot 386 \cdot 6\ \mathrm{mm} \approx 139\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt;.&lt;ref name=&quot;durst&quot;&gt;Durst, F.; Ray, S.; Ünsal, B.; Bayoumi, O. A.: ''The development lengths of laminar pipe and channel flows.'' Journal of Fluids Engineering 127 (2005), Nr. 6, S. 1154-1160. Für große Reynoldszahlen nähert sich die dort angegebene Korrelation dem Wert 0,057·Re·D.&lt;/ref&gt; Das ist fast die gesamte Länge des Rechengebiets. Ein konstantes Einlassprofil würde die Strömung an der Stenose also verfälschen, weshalb am Einlass das voll entwickelte Profil vorgegeben wird.

Damit liegen alle globalen Parameter fest. Die folgende Tabelle enthält sie mit genau den Namen, unter denen sie in COMSOL und in den Octave-Skripten verwendet werden.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Globale Parameter des Modells
! Name !! Ausdruck in COMSOL !! Wert !! Bedeutung !! Herkunft
|-
| R0 || 3[mm] || 3 mm || Gefäßradius || Messwerte nach Krejza u. a. 2006, gerundet
|-
| D0 || 2*R0 || 6 mm || Gefäßdurchmesser || abgeleitet
|-
| Ls || 2*D0 || 12 mm || Länge der Störstelle || Standardgeometrie nach Varghese u. a. 2007
|-
| Lu || 5*D0 || 30 mm || Vorlaufstrecke vor der Stenosemitte || Abstand der Einlassbedingung von der Stenose
|-
| Ld || 20*D0 || 120 mm || Nachlaufstrecke hinter der Stenosemitte || Platz für das Rückströmgebiet
|-
| Lf || Ls/2+10*D0 || 66 mm || Ende des fein vernetzten Nachlaufs || erwartete Länge des Rückströmgebiets
|-
| s || 0 bis 0.8 || 0 bis 0,8 || Stenosegrad bezogen auf den Durchmesser || NASCET-Einteilung
|-
| rho_b || 1060[kg/m^3] || 1060 kg/m³ || Dichte des Blutes || Mischungsregel, Literaturwert
|-
| mu_b || 3.5[mPa*s] || 3,5 mPa·s || dynamische Viskosität des Blutes || Hochscherwert, Quarteroni und Formaggia 2004
|-
| Q0 || 6[ml/s] || 6 ml/s || mittlerer Volumenstrom || Messwerte nach Holdsworth u. a. 1999
|-
| U0 || Q0/(pi*R0^2) || 0,2122 m/s || mittlere Einströmgeschwindigkeit || abgeleitet
|-
| Re0 || rho_b*U0*D0/mu_b || 385,6 || Reynoldszahl des gesunden Gefäßes || abgeleitet
|-
| dp_ref || 8*mu_b*U0*(Lu+Ld)/R0^2 || 99,03 Pa || Poiseuille-Druckabfall des gesunden Gefäßes || abgeleitet, Hagen-Poiseuille
|}


= Literaturverzeichnis =

Alle Quellen sind an den Stellen im Text angegeben, an denen die zugehörigen Werte oder Aussagen verwendet werden. Die Liste wird aus diesen Angaben automatisch erzeugt.

&lt;references /&gt;</text>
      <sha1>5iv4mkp00p69kk2it7k3rvfqffkb6o8</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>1115888</id>
      <parentid>1115887</parentid>
      <timestamp>2026-10-12T15:52:45Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Heitele</username>
        <id>38553</id>
      </contributor>
      <comment>/* Relevanz */</comment>
      <origin>1115888</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="33104" sha1="j3h0el9kq6uq2inwdvfvf6gl5gc3fxa" xml:space="preserve">= Gruppenteilnehmer =
* Joey Becker
* Marie-Thérèse Heitele
* Nicole Pander

= Thema und Fragestellung =

Gegenstand dieses Projekts ist die numerische Simulation der Blutströmung in einer verzweigten Halsschlagader ('''Carotis-Bifurkation''') unter dem Einfluss einer lokalen Gefäßverengung ('''Stenose''').
Im Vergleich zu einfachen Rohrströmungen wird hier die realitätsnahe Gefäßanatomie betrachtet: Die '''Arteria carotis communis (ACC)''' teilt sich in die '''Arteria carotis externa (ACE)''' und die '''Arteria carotis interna (ACI)''' auf. Während die '''ACE''' als gesunder, stenosefreier Ast dient, wird in der '''ACI''' eine geglättete, kosinusförmige Gefäßverengung modelliert. Um scharfe Kanten und unphysiologische Druckspitzen zu vermeiden, werden alle Wandübergänge und die Gabelungsspitze (Apex) anatomisch verrundet.

Als Referenz dient ein gesundes, unverengtes Gefäß, in dem sich die Poiseuille-Strömung mit ihrem charakteristischen parabolischen Geschwindigkeitsprofil ausbildet. Diese Strömung ist aus zwei Gründen der natürliche Ausgangspunkt. Sie beschreibt den physiologischen Normalfall, mit dem jeder Stenosegrad verglichen wird, und sie ist exakt lösbar, sodass sich an ihr jede numerische Rechnung prüfen lässt, bevor die Verengung hinzukommt.

== Fragestellung ==
Die Hauptfragestellung dieses Projektes lautet: 
Wie verändert eine symmetrische bzw. rotationssymmetrische Stenose in der '''Arteria carotis interna (ACI)''' die stationäre Strömung eines inkompressiblen Newton’schen Fluids in einer 2D-Carotis-Bifurkation hinsichtlich Geschwindigkeitsverteilung, Druckabfall, Wandschubspannung und Wirbelbildung im Vergleich zu den gesunden Gefäßabschnitten?

Aus dieser Fragestellung ergeben sich drei Teilfragen, an denen sich der Aufbau der Seite orientiert:

# Welche Strömungsgrößen reagieren empfindlich auf den Stenosegrad und welche nur träge?
# Ab welchem Stenosegrad ändert sich das Strömungsmuster qualitativ, das heißt, ab wann löst die Strömung hinter der Engstelle von der Wand ab und bildet ein Rückströmgebiet?
# Wie weit tragen die vereinfachenden Modellannahmen, insbesondere die Annahme einer stationären und laminaren Strömung, über den untersuchten Bereich der Stenosegrade?

== Modellannahmen ==
Im Hinblick darauf werden für dieses Projekt einige Annahmen getroffen, um das Projekt möglichst isoliert zu untersuchen und zu simplifizieren:

* '''Idealisierte Gefäßgeometrie''': Betrachtet wird ein  Teilabbschnitt der ''Arteria carotis communis'', die sog. ''ACI''. Zudem werden Gefäßverkrümmungen, weitere Verzweigungen und patientenspezifische Strukturen  nicht berücksichtigt. 
* '''Starre Gefäßwand''': Die Gefäßwand wird als unbeweglich und nicht verformbar angenommen. Eine Wechselwirkung zwischen elastischer Gefäßwand und Blutströmung wird nicht modelliert.
* '''Stationäre Strömung''': Die Strömungsgrößen werden als zeitlich konstant angenommen. Die im realen Blutkreislauf vorhandene Pulsation durch den Herzschlag wird daher vernachlässigt: &lt;math&gt;\frac{\partial u}{\partial t}=0&lt;/math&gt;.
* '''Inkompressibles Fluid''': Die Dichte des Fluids wird als konstant angenommen. Damit gilt für die Geschwindigkeit &lt;math&gt;\nabla \cdot u=0&lt;/math&gt;. Dies entspricht der in der Vorlesung behandelten Massenerhaltung für inkompressible Fluide: Was in das Gefäß einströmt, muss auch wieder ausströmen.
* '''Newton'sche Näherung für Blut''': Reales Blut beseitzt ein nicht newton'sches Fließverhalten. Hier wird Blut als Newton'sches Fluid behandelt.
* '''Konstante Stoffeigenschaften''': Dichte &lt;math&gt;\rho&lt;/math&gt; und dynamische Viskosität μ werden als räumlich und zeitlich konstant angenommen. Temperaturabhängigkeiten werden nicht berücksichtigt.
* '''Laminare Strömung''': Die Strömung wird mit dem COMSOL-Modul ''Laminar Flow'' beschrieben. Ein zusätzliches Turbulenzmodell wird nicht verwendet.
* '''No-Slip-Bedingung an Gefäßwand''': Aufgrund der Viskosität wird angenommen, dass das Fluid direkt an der Gefäßwand haftet. Somit gilt &lt;math&gt;u=0&lt;/math&gt;.
* '''Vernachlässigung der Gravitation''': Gravitation wird nicht berücksichtigt. Die Strömung wird ausschließlich durch die gewählten Ein- und Auslassbedingungen bestimmt.

= Relevanz =
Die Untersuchung von Gefäßverengungen besitzt sowohl eine medizinische als auch eine methodische Bedeutung. Aus medizinischer Sicht sind arterielle Stenosen – etwa in der Halsschlagader, lat. ''arteria carotis communis'', – kritisch, da sie die Durchblutung beeinträchtigen und durch veränderte Wandschubspannungen sowie die Bildung von Wirbeln weitere Gefäßablagerungen begünstigen. Stenosen im Bereich der Karotisgabelung sind klinisch hochrelevant, da sie das Gehirn direkt versorgen und das Risiko für embolische Schlaganfälle erhöhen. Fachlich überträgt das Projekt damit die Prinzipien der Strömungsmechanik direkt auf eine biomedizinische Anwendung. Das Projekt verknüpft somit theoretische Grundlagen der Strömungsmechanik (Hagen-Poiseuille-Gleichung, Navier-Stokes-Gleichungen) mit der numerischen Simulation in COMSOL Multiphysics. Durch den Vergleich der '''gesunden Externa (ACE)''' mit der '''stenoisierten Interna (ACI)''' innerhalb desselben Rechengebiets wird die isolierte Wirkung der Stenose unter identischen Randbedingungen direkt sichtbar gemacht.

== Medizinische Relevanz ==

Arterielle Stenosen entstehen überwiegend durch Atherosklerose, also durch Ablagerungen aus Lipiden, Bindegewebe und Kalk in der Gefäßwand. In der Halsschlagader sind sie klinisch besonders bedeutsam, weil sie die Durchblutung des Gehirns beeinträchtigen und weil sich an ihnen Thromben bilden können, die als Embolie einen Schlaganfall auslösen. Dass die operative Entfernung einer hochgradigen Karotisstenose das Schlaganfallrisiko symptomatischer Patienten deutlich senkt, hat die NASCET-Studie gezeigt, deren Einteilung der Stenosegrade dieses Projekt übernimmt.&lt;ref name=&quot;nascet&quot;&gt;North American Symptomatic Carotid Endarterectomy Trial Collaborators: ''Beneficial effect of carotid endarterectomy in symptomatic patients with high-grade carotid stenosis.'' New England Journal of Medicine 325 (1991), Nr. 7, S. 445-453.&lt;/ref&gt;

Strömungsmechanisch ist an einer Stenose vor allem die Wandschubspannung von Interesse, also die tangentiale Kraft je Fläche, die das strömende Blut auf die innerste Zellschicht der Gefäßwand ausübt. Gesunde Halsschlagadern weisen zeitlich gemittelte Werte von etwa 1,1 bis 1,5 Pa auf.&lt;ref name=&quot;samijo&quot;&gt;Samijo, S. K.; Willigers, J. M.; Barkhuysen, R.; Kitslaar, P. J. E. H. M.; Reneman, R. S.; Brands, P. J.; Hoeks, A. P. G.: ''Wall shear stress in the human common carotid artery as function of age and gender.'' Cardiovascular Research 39 (1998), Nr. 2, S. 515-522.&lt;/ref&gt; In einer Engstelle steigt sie stark an, unmittelbar dahinter fällt sie im Ablösegebiet auf nahezu null und wechselt dort sogar das Vorzeichen. Niedrige und im Vorzeichen wechselnde Wandschubspannungen gelten als Bedingungen, unter denen sich weitere Ablagerungen bevorzugt bilden. Eine bestehende Stenose schafft also stromabwärts die Voraussetzungen für ihr eigenes Wachstum. Genau diese Verteilung lässt sich im Körper nur schwer messen, in einer Simulation dagegen unmittelbar auswerten.

== Methodische Relevanz ==

Fachlich überträgt das Projekt die Prinzipien der Strömungsmechanik aus der Vorlesung auf eine biomedizinische Anwendung.&lt;ref name=&quot;hundertmark&quot;&gt;Hundertmark, A.: ''Fluiddynamik.'' Vorlesungsunterlagen zum Modul Räumliche Modellbildung, RPTU Kaiserslautern-Landau, Sommersemester 2026.&lt;/ref&gt; Der methodische Mehrwert liegt in der Verknüpfung mehrerer Zugänge, die sich gegenseitig kontrollieren. Die analytische Poiseuille-Lösung liefert exakte Sollwerte für das gesunde Gefäß. Ein reduziertes Graphenmodell liefert für jeden Stenosegrad eine schnelle Abschätzung, die analytisch nachrechenbar ist. Die Simulationen in COMSOL Multiphysics lösen schließlich die vollständigen Navier-Stokes-Gleichungen in zwei und drei Raumdimensionen. Weil jede Stufe die Sollwerte der nächsten liefert, zeigt das Projekt nicht nur Ergebnisse, sondern auch, wie numerische Modelle aufgebaut, verifiziert und an ihren Grenzen bewertet werden.

== Auswahl der Stenosegrade ==

Um die untersuchten Gefäßverengungen nicht willkürlich festzulegen, orientiert sich die Auswahl der Stenosegrade an der klinisch gebräuchlichen NASCET-Klassifikation von Karotisstenosen.&lt;ref name=&quot;nascet&quot; /&gt; Sie teilt Stenosen nach ihrer Durchmesserreduktion in drei Schweregrade ein, ein vollständiger Gefäßverschluss wird als Okklusion bezeichnet.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Schweregrade nach NASCET und ihre Abdeckung im Projekt
! Schweregrad !! Durchmesserreduktion !! im Projekt gerechnete Stenosegrade !! hervorgehobener Vertreter
|-
| gesundes Gefäß || 0 % || 0 || 0
|-
| leichtgradige Stenose || unter 50 % || 0,1 bis 0,4 || 0,3
|-
| mittelgradige Stenose || 50 bis 69 % || 0,5 und 0,6 || 0,6
|-
| hochgradige Stenose || 70 bis 99 % || 0,7 und 0,8 || 0,8
|-
| Okklusion || 100 % || nicht gerechnet || entfällt
|}

Für die numerische Untersuchung wird aus jeder Kategorie ein repräsentativer Stenosegrad hervorgehoben. Neben dem gesunden Gefäß mit '''0 %''' Stenose sind das eine '''30 %''' Stenose als Beispiel für eine leichtgradige, eine '''60 %''' Stenose als Beispiel für eine mittelgradige und eine '''80 %''' Stenose als Beispiel für eine hochgradige Verengung. Zusätzlich werden im Graphenmodell und im achsensymmetrischen Flächenmodell alle Zwischenwerte in Schritten von zehn Prozentpunkten gerechnet. Das kostet in diesen beiden Modellen nur Sekunden, liefert aber glatte Verläufe über dem Stenosegrad und macht sichtbar, ab welchem Grad sich das Verhalten der Strömung ändert. Ein vollständiger Gefäßverschluss wird nicht simuliert, da in diesem Fall keine durchgängige Strömung mehr vorliegt.

Der Stenosegrad wird in diesem Projekt wie bei NASCET über die Verringerung des Gefäßdurchmessers beschrieben,
&lt;math&gt;s = 1 - \frac{d_{\min}}{d_{\mathrm{ref}}},&lt;/math&gt;wobei &lt;math&gt;d_{\min}&lt;/math&gt; der kleinste Durchmesser in der Engstelle und &lt;math&gt;d_{\mathrm{ref}}&lt;/math&gt; ein Referenzdurchmesser ist. NASCET verwendet als Referenz den Durchmesser des gesunden Gefäßes stromabwärts der Stenose. Im idealisierten Modell hat das Gefäß vor und hinter der Engstelle denselben Durchmesser &lt;math&gt;D_0&lt;/math&gt;, sodass &lt;math&gt;d_{\mathrm{ref}} = D_0&lt;/math&gt; gilt und die NASCET-Definition mit allen anderen gebräuchlichen Durchmesserdefinitionen zusammenfällt.

Wichtig für das Verständnis aller weiteren Ergebnisse ist der Unterschied zwischen Durchmesser- und Flächenreduktion. Da die Querschnittsfläche quadratisch vom Durchmesser abhängt, gilt für die Flächenreduktion &lt;math&gt;1-(1-s)^2&lt;/math&gt;. Eine im klinischen Sinn nur mittelgradige Stenose von 60 % verschließt damit bereits 84 % der Querschnittsfläche.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Durchmesser- und Flächenreduktion der gerechneten Stenosegrade
! Stenosegrad s !! 0 !! 0,1 !! 0,2 !! 0,3 !! 0,4 !! 0,5 !! 0,6 !! 0,7 !! 0,8
|-
| engster Durchmesser in mm || 6,0 || 5,4 || 4,8 || 4,2 || 3,6 || 3,0 || 2,4 || 1,8 || 1,2
|-
| Flächenreduktion || 0 % || 19 % || 36 % || 51 % || 64 % || 75 % || 84 % || 91 % || 96 %
|}

Eine Einschränkungen gehört zur ehrlichen Einordnung: 
# Im Abschnitt zur Modellierung zeigt sich, dass die Annahme einer stationären, laminaren Strömung ab einem Stenosegrad von etwa 0,6 an ihre Grenzen stößt. Die hochgradigen Fälle werden deshalb zwar gerechnet, ihre Ergebnisse aber ausdrücklich als Grenzfall des Modells diskutiert.

= Modellierung =

Modellierung bedeutet hier, die reale Situation in eine mathematische Aufgabe zu übersetzen, die sich lösen lässt. Dazu gehören vier Bausteine, nämlich das Rechengebiet, die Gleichungen, die Zahlenwerte der Parameter und die Bedingungen an den Rändern. Jeder dieser Bausteine beruht auf Annahmen, und jede Annahme muss begründet werden. Dieser Abschnitt geht die Bausteine deshalb der Reihe nach durch und nennt bei jedem Zahlenwert, woher er stammt und warum er sinnvoll ist.

== Modellhierarchie ==

Das Projekt rechnet nicht ein einziges Modell, sondern vier aufeinander aufbauende Modellvarianten. Sie entsprechen der Kursanforderung, eine Strömung als Graph, in zwei und in drei Raumdimensionen darzustellen, und sie sind bewusst von einfach nach aufwendig geordnet.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Die vier Modellvarianten des Projekts
! Modell !! Raumdimension !! gelöste Gleichung !! Zweck !! Werkzeug
|-
| Graphenmodell || 1D, Gefäßachse || Hagen-Poiseuille je Rohrstück und Massenerhaltung in jedem Knoten || schnelle, analytisch nachrechenbare Abschätzung für jeden Stenosegrad || Octave und COMSOL (Koeffizientenform-PDGL)
|-
| achsensymmetrisches Flächenmodell || 2D, Halbschnitt in r und z || vollständige stationäre Navier-Stokes-Gleichungen in Zylinderkoordinaten || Hauptmodell, liefert alle Feldgrößen des rotationssymmetrischen Rohres || COMSOL, Laminare Strömung
|-
| ebenes Flächenmodell || 2D, Halbschnitt in x und y || vollständige stationäre Navier-Stokes-Gleichungen in kartesischen Koordinaten || Vergleich, zeigt den Einfluss der zweiten Querschnittsrichtung || COMSOL, Laminare Strömung
|-
| Volumenmodell || 3D || vollständige stationäre Navier-Stokes-Gleichungen || Kontrolle des Hauptmodells und räumliche Darstellung || COMSOL, Laminare Strömung
|}

Die Reihenfolge folgt einem einfachen Prinzip. Jede Stufe liefert die Sollwerte, an denen die nächste, komplexere Stufe geprüft wird. Das Graphenmodell muss im gesunden Fall exakt die Poiseuille-Lösung ergeben. Das achsensymmetrische Modell muss im gesunden Fall dieselben Werte liefern und bei Stenose für Geschwindigkeit und Wandschubspannung in der Nähe des Graphenmodells liegen. Das Volumenmodell muss, weil die Geometrie rotationssymmetrisch ist, mit dem achsensymmetrischen Modell übereinstimmen.

== Modellannahmen ==

Um den Einfluss des Stenosegrades möglichst isoliert zu untersuchen, werden die folgenden Modellannahmen getroffen. Die Tabelle nennt zu jeder Annahme ihre mathematische Form, die Begründung und die Stelle, an der sie im Projekt überprüft wird.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Modellannahmen, ihre Begründung und ihre Überprüfung
! Annahme !! mathematische Form !! Begründung !! Überprüfung
|-
| Idealisierte Gefäßgeometrie || gerades Rohr mit kosinusförmiger, rotationssymmetrischer Verengung || isoliert die Wirkung des Stenosegrades von Krümmung, Verzweigung und Plaqueform || Diskussion in den Schlussfolgerungen
|-
| Starre Gefäßwand || Wand ortsfest, keine Fluid-Struktur-Kopplung || im stationären Fall gibt es keine Druckschwankung, die die Wand periodisch aufweiten könnte || Abschätzung über die gemessene Durchmesseränderung im Herzzyklus
|-
| Stationäre Strömung || &lt;math&gt;\partial \mathbf{u}/\partial t = \mathbf{0}&lt;/math&gt; || der Einfluss des Stenosegrades soll ohne Überlagerung durch die Pulsation sichtbar werden || Abschätzung über die Womersley-Zahl
|-
| Inkompressibles Fluid || &lt;math&gt;\rho = \mathrm{const}&lt;/math&gt;, damit &lt;math&gt;\nabla\cdot\mathbf{u} = 0&lt;/math&gt; || Blut ist eine Flüssigkeit, Druckänderungen von wenigen hundert Pascal ändern die Dichte nicht messbar || Massenerhaltung in fünf Querschnitten
|-
| Newtonsche Näherung || konstante Viskosität &lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt; || die Scherraten an der Wand und im größten Teil des Querschnitts liegen über dem Bereich, in dem Blut deutlich scherverdünnend wirkt || Scherrate an der Wand, Diskussion des Rückströmgebiets
|-
| Konstante Stoffeigenschaften || &lt;math&gt;\rho&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt; räumlich und zeitlich konstant || Körpertemperatur ist im betrachteten Abschnitt konstant || entfällt
|-
| Laminare Strömung || kein Turbulenzmodell, Schnittstelle Laminare Strömung || Reynoldszahl des gesunden Gefäßes von 386 liegt weit unter dem Umschlagbereich || Reynoldszahl in der Engstelle, Literaturvergleich
|-
| Haftbedingung an der Wand || &lt;math&gt;\mathbf{u} = \mathbf{0}&lt;/math&gt; auf der Wand || Folge der Viskosität, das Fluid haftet an der Wand || Grundlage jeder Wandschubspannung
|-
| Vernachlässigung der Gravitation || keine Volumenkraft || bei konstanter Dichte lässt sich die Schwerkraft vollständig in einen hydrostatischen Druckanteil verschieben und beeinflusst die Geschwindigkeit nicht || Begründung in den Mathematischen Hintergründen
|-
| Voll entwickelte Einströmung || parabolisches Profil am Einlass || die natürliche Einlaufstrecke wäre mit rund 139 mm fast so lang wie das ganze Rechengebiet || Scheitelgeschwindigkeit im gesunden Fall
|-
| Eingeprägter Volumenstrom || &lt;math&gt;Q = Q_0&lt;/math&gt; am Einlass || der Strömungswiderstand des Abschnitts ist klein gegenüber dem des nachgeschalteten Gefäßbetts || Abschätzung mit einem Reihenwiderstand
|}

Einige dieser Annahmen sind unmittelbar einsichtig, andere verdienen eine genauere Begründung, weil von ihnen die Aussagekraft der Ergebnisse abhängt.

Die '''Newtonsche Näherung''' ist die Annahme, die bei Blut am häufigsten hinterfragt wird. Reales Blut ist eine Suspension aus Plasma und Blutzellen und verhält sich scherverdünnend. Bei kleinen Scherraten lagern sich die roten Blutkörperchen zu geldrollenartigen Stapeln zusammen, und die Viskosität steigt auf ein Vielfaches an. Bei großen Scherraten lösen sich diese Stapel auf, und die Viskosität strebt gegen einen Grenzwert von etwa 3,5 mPa·s. Entscheidend ist also die Scherrate. An der Wand des gesunden Modellgefäßes beträgt sie nach der Poiseuille-Lösung

&lt;math&gt;\dot\gamma_w = \frac{4\,U_0}{R_0} = \frac{4 \cdot 0{,}2122\ \mathrm{m/s}}{0{,}003\ \mathrm{m}} \approx 283\ \mathrm{s^{-1}}&lt;/math&gt;

und liegt damit oberhalb von etwa 100 pro Sekunde, wo sich Newtonsches und nicht Newtonsches Modell nach der Literatur nur noch wenig unterscheiden.&lt;ref name=&quot;boyd&quot;&gt;Die Grenze von etwa 100 s&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt; wird in vergleichenden Studien zur Blutrheologie verwendet, etwa bei Bernabeu, M. O. u. a.: ''Impact of blood rheology on wall shear stress in a model of the middle cerebral artery.'' Interface Focus 3 (2013), 20120094. &lt;!-- FIXME Zitat und Seitenangabe am Original pruefen --&gt;&lt;/ref&gt; In der Engstelle steigt die Scherrate weiter an, beim Stenosegrad 0,5 auf rund 2260 pro Sekunde. Schwach ist die Näherung dort, wo die Scherrate klein wird, also in der Mitte des Gefäßes und vor allem im Rückströmgebiet hinter der Stenose. Dort ist reales Blut zäher als angenommen. Dieser Punkt wird in den Schlussfolgerungen wieder aufgegriffen.

Die '''stationäre Strömung''' ist die stärkste Vereinfachung. Wie wichtig die Pulsation ist, misst die Womersley-Zahl, die das Verhältnis von instationärer Trägheit zu Reibung angibt. Mit einer Herzfrequenz von 60 Schlägen je Minute, also einer Kreisfrequenz &lt;math&gt;\omega = 2\pi\ \mathrm{s^{-1}}&lt;/math&gt;, ergibt sich

&lt;math&gt;\alpha = R_0 \sqrt{\frac{\omega \rho}{\mu}} = 0{,}003\ \mathrm{m} \cdot \sqrt{\frac{2\pi\ \mathrm{s^{-1}} \cdot 1060\ \mathrm{kg/m^3}}{0{,}0035\ \mathrm{Pa\,s}}} \approx 4{,}1 .&lt;/math&gt;

Ein Wert in dieser Größenordnung bedeutet, dass das reale Geschwindigkeitsprofil im Herzzyklus merklich von der Parabel abweicht.&lt;ref name=&quot;womersley&quot;&gt;Womersley, J. R.: ''Method for the calculation of velocity, rate of flow and viscous drag in arteries when the pressure gradient is known.'' Journal of Physiology 127 (1955), S. 553-563.&lt;/ref&gt; Hinzu kommt, dass der Volumenstrom in der Systole kurzzeitig auf rund das Vierfache des Mittelwerts steigt.&lt;ref name=&quot;holdsworth&quot;&gt;Holdsworth, D. W.; Norley, C. J. D.; Frayne, R.; Steinman, D. A.; Rutt, B. K.: ''Characterization of common carotid artery blood-flow waveforms in normal human subjects.'' Physiological Measurement 20 (1999), Nr. 3, S. 219-240. DOI 10.1088/0967-3334/20/3/301. Angegeben werden ein mittlerer Volumenstrom von 6,0 ± 1,4 ml/s und ein systolischer Spitzenwert von 23,5 ± 3,8 ml/s. &lt;!-- FIXME Zahlenwerte und Probandenzahl am Original pruefen --&gt;&lt;/ref&gt; Die stationäre Rechnung mit dem Mittelwert beschreibt deshalb nicht den zeitlichen Verlauf, wohl aber den zeitlich gemittelten Zustand, an dem sich der Einfluss des Stenosegrades sauber vergleichen lässt.

Die '''laminare Strömung''' wird über die Reynoldszahl begründet. Sie beträgt im gesunden Gefäß 386 und liegt damit weit unter dem Wert von etwa 2300, ab dem die Strömung in einem geraden Rohr in den Übergangsbereich gelangen kann. In der Engstelle steigt sie bei festem Volumenstrom auf &lt;math&gt;Re_0/(1-s)&lt;/math&gt;, also auf 551 beim Stenosegrad 0,3, auf 964 beim Grad 0,6 und auf 1928 beim Grad 0,8. Für den Strahl hinter einer Engstelle ist der Umschlagbereich allerdings deutlich niedriger als im geraden Rohr. Direkte numerische Simulationen an genau der in diesem Projekt verwendeten Stenosegeometrie zeigen, dass die Strömung bei einer Einström-Reynoldszahl von 500 auch bei leichter Unsymmetrie laminar bleibt, bei 1000 dagegen schon eine Exzentrizität von fünf Prozent des Durchmessers genügt, um den Strahl in lokal turbulente Strömung umschlagen zu lassen.&lt;ref name=&quot;varghese&quot;&gt;Varghese, S. S.; Frankel, S. H.; Fischer, P. F.: ''Direct numerical simulation of stenotic flows. Part 1. Steady flow.'' Journal of Fluid Mechanics 582 (2007), S. 253-280. Untersucht wird eine kosinusförmige Stenose der Länge 2D mit 75 % Flächenreduktion, die mit der Geometrie dieses Projekts beim Stenosegrad 0,5 übereinstimmt. &lt;!-- FIXME Band und Seiten am Original pruefen --&gt;&lt;/ref&gt; Mit einer Einström-Reynoldszahl von 386 liegt das Projekt für die leicht- und mittelgradigen Stenosen sicher im laminaren Bereich. Für die hochgradigen Stenosen ab 0,7 ist ein laminares, stationäres Modell dagegen nur noch eine Näherung, die eine Obergrenze der geordneten Strömung beschreibt. Diese Fälle werden deshalb als Grenzfall des Modells gekennzeichnet.

Die '''starre Wand''' lässt sich über Messungen abschätzen. Der Durchmesser der gemeinsamen Halsschlagader ändert sich im Herzzyklus bei jungen Menschen um etwa 12 bis 14 Prozent und bei älteren Menschen um etwa 5 Prozent.&lt;ref name=&quot;hansen&quot;&gt;Hansen, F.; Mangell, P.; Sonesson, B.; Länne, T.: ''Diameter and compliance in the human common carotid artery: variations with age and sex.'' Ultrasound in Medicine and Biology 21 (1995), Nr. 1, S. 1-9. DOI 10.1016/0301-5629(94)00090-5.&lt;/ref&gt; Diese Bewegung ist eine Folge der Pulsation. In einer stationären Rechnung gibt es keine Druckschwankung, die die Wand periodisch aufweiten könnte, sodass die starre Wand zur stationären Annahme konsistent ist. Eine verkalkte Plaque ist ohnehin deutlich steifer als die gesunde Wand.

Die Annahme des '''eingeprägten Volumenstroms''' wird im Abschnitt zu den Randbedingungen begründet, weil sie sich nur im Zusammenhang mit dem Kreislauf beurteilen lässt.

== Simulationsgebiet und Geometrie ==

Die Gefäßachse ist die z-Achse, der Ursprung liegt in der Mitte der Stenose, und &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; bezeichnet den Abstand von der Achse. Das Rechengebiet reicht von &lt;math&gt;z = -L_u&lt;/math&gt; bis &lt;math&gt;z = L_d&lt;/math&gt; und wird radial von der Wandkontur &lt;math&gt;R(z)&lt;/math&gt; begrenzt. Die Verengung wird über eine einzige glatte Funktion beschrieben,

&lt;math&gt;R(z) = R_0 \left[ 1 - \frac{s}{2}\left(1 + \cos\frac{2\pi z}{L_s}\right)\right] \quad \text{falls } |z| \le \frac{L_s}{2}, \qquad R(z) = R_0 \ \text{sonst.}&lt;/math&gt;

Die Funktion hat drei Eigenschaften, die ihre Wahl begründen. Sie wird erstens über einen einzigen Parameter gesteuert, den Stenosegrad &lt;math&gt;s&lt;/math&gt;. Der engste Radius in der Mitte beträgt &lt;math&gt;R(0) = R_0(1-s)&lt;/math&gt;, und der Fall ohne Verengung ist einfach der Fall &lt;math&gt;s = 0&lt;/math&gt;. Die gesamte Vergleichsreihe entsteht damit aus einem einzigen parametrischen Sweep. Sie geht zweitens an beiden Enden der Störstelle ohne Knick in das gerade Rohr über. Bei &lt;math&gt;z = \pm L_s/2&lt;/math&gt; ist der Kosinus gleich minus eins, die Klammer also null, und seine Ableitung verschwindet dort ebenfalls. Das ist nicht nur ästhetisch, sondern numerisch notwendig, denn ein Knick in der Wand erzeugt eine Singularität der Wandschubspannung, deren berechneter Wert mit jeder Netzverfeinerung weiter wüchse. Eine Netzstudie wäre dann sinnlos. Sie ist drittens die in der Literatur gebräuchliche Standardgeometrie für Stenosen, sodass sich die Ergebnisse unmittelbar mit veröffentlichten Rechnungen vergleichen lassen.&lt;ref name=&quot;varghese&quot; /&gt;

[[Datei:Stenose Gruppe5 Wandkontur.svg|mini|zentriert|800px|Wandkontur &lt;math&gt;R(z)&lt;/math&gt; für die untersuchten Stenosegrade. Die Darstellung ist in radialer Richtung gestreckt, das Rechengebiet ist in Wirklichkeit fünfundzwanzigmal länger als breit.]]
&lt;!-- FIXME Abbildung mit abbildungen_graph_1d.m fuer s = 0 bis 0,8 neu erzeugen, bisher nur bis 0,5 --&gt;

Die Abmessungen des Rechengebiets werden alle aus dem Gefäßradius abgeleitet. Das hat den Vorteil, dass sich das gesamte Modell durch Ändern eines einzigen Wertes auf ein anderes Gefäß übertragen lässt. Die einzelnen Längen werden im Folgenden Schritt für Schritt begründet.

# Der '''Gefäßradius''' &lt;math&gt;R_0 = 3\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; folgt aus Ultraschallmessungen an gesunden Erwachsenen. Dort wurden für die gemeinsame Halsschlagader mittlere Durchmesser von 6,10 ± 0,80 mm bei Frauen und 6,52 ± 0,98 mm bei Männern gemessen.&lt;ref name=&quot;krejza&quot;&gt;Krejza, J.; Arkuszewski, M.; Kasner, S. E.; Weigele, J.; Ustymowicz, A.; Hurst, R. W.; Cucchiara, B. L.; Messe, S. R.: ''Carotid artery diameter in men and women and the relation to body and neck size.'' Stroke 37 (2006), Nr. 4, S. 1103-1105. DOI 10.1161/01.STR.0000206440.48756.f7.&lt;/ref&gt; Der gewählte Durchmesser von &lt;math&gt;D_0 = 6\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; liegt damit innerhalb einer Standardabweichung beider Gruppen und ist bewusst auf einen runden Wert gesetzt, damit alle abgeleiteten Längen glatte Zahlen ergeben.
# Die '''Länge der Störstelle''' &lt;math&gt;L_s = 2 D_0 = 12\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; entspricht der Standardgeometrie aus der Literatur, die eine Stenosenlänge von zwei Durchmessern verwendet.&lt;ref name=&quot;varghese&quot; /&gt; Damit ist beim Stenosegrad 0,5 ein direkter Vergleich mit veröffentlichten Ergebnissen möglich.
# Die '''Vorlaufstrecke''' &lt;math&gt;L_u = 5 D_0 = 30\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; trennt den Einlass von der Stenose. Da am Einlass bereits das voll entwickelte Profil vorgegeben wird, muss sie nicht die Einlaufstrecke abdecken, sondern nur verhindern, dass die Einströmrandbedingung die Strömung an der Engstelle beeinflusst. Bei Reynoldszahlen in dieser Größenordnung reicht der Einfluss einer Verengung nur wenige Durchmesser stromaufwärts, die Literatur kommt für dieselbe Geometrie mit drei Durchmessern Vorlauf aus.&lt;ref name=&quot;varghese&quot; /&gt; Fünf Durchmesser lassen also eine Reserve. Überprüft wird das im Ergebnis, indem die Geschwindigkeit auf der Achse in der Mitte der Vorlaufstrecke mit dem Sollwert &lt;math&gt;2U_0&lt;/math&gt; verglichen wird.
# Die '''Nachlaufstrecke''' &lt;math&gt;L_d = 20 D_0 = 120\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; ist deutlich länger, weil sich hinter der Engstelle ein Rückströmgebiet bildet, das nicht auf den Auslass treffen darf. Für die Geometrie mit dem Stenosegrad 0,5 legt die Strömung bei einer Einström-Reynoldszahl von 500 erst etwa zehn Durchmesser hinter der Engstelle wieder an, die Literatur rechnet mit sechzehn Durchmessern Nachlauf.&lt;ref name=&quot;varghese&quot; /&gt; Zwanzig Durchmesser bieten damit für alle Stenosegrade bis 0,5 einen Sicherheitsabstand. Für die Grade ab 0,6 ist ein längeres Rückströmgebiet zu erwarten, dort wird die Lage des Wiederanlegepunktes ausdrücklich kontrolliert.
# Das '''Ende des fein vernetzten Nachlaufs''' &lt;math&gt;L_f = L_s/2 + 10 D_0 = 66\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; legt fest, bis wohin das Netz verfeinert wird. Der Wert ist so gewählt, dass das erwartete Rückströmgebiet von etwa zehn Durchmessern vollständig im feinen Bereich liegt.

Damit hat das Rechengebiet eine Gesamtlänge von &lt;math&gt;L = L_u + L_d = 150\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt;, also das Fünfundzwanzigfache des Durchmessers. Es ist ein Modellgebiet und kein maßstäbliches Abbild eines bestimmten anatomischen Abschnitts.

== Stoff- und Strömungsparameter ==

Die Stoffwerte des Blutes und der Volumenstrom sind die einzigen Eingangsgrößen, die nicht aus der Geometrie folgen. Aus ihnen werden alle weiteren Strömungskennwerte berechnet. Die folgenden Schritte zeigen jede Rechnung einzeln, damit sich jeder Wert nachprüfen lässt.

# Die '''Dichte''' wird mit &lt;math&gt;\rho = 1060\ \mathrm{kg/m^3}&lt;/math&gt; angesetzt. Der Wert lässt sich als Mischungsregel plausibel machen. Plasma hat eine Dichte von etwa 1025 kg/m³, rote Blutkörperchen von etwa 1100 kg/m³. Bei einem Zellanteil von 45 % ergibt sich &lt;math&gt;0{,}55 \cdot 1025 + 0{,}45 \cdot 1100 \approx 1059\ \mathrm{kg/m^3}&lt;/math&gt;. Die Dichte geht nur über die Reynoldszahl in die Rechnung ein, eine Abweichung von einem Prozent ändert die Ergebnisse daher kaum. &lt;!-- FIXME Lehrbuchquelle fuer Plasma- und Erythrozytendichte ergaenzen --&gt;
# Die '''dynamische Viskosität''' wird mit &lt;math&gt;\mu = 3{,}5\ \mathrm{mPa\,s}&lt;/math&gt; angesetzt. Das ist der Grenzwert der Blutviskosität bei hohen Scherraten, also genau der Wert, der zur Newtonschen Näherung gehört. Derselbe Wert von 0,035 Poise wird auch im Standardwerk zur Modellierung des Herz-Kreislauf-Systems verwendet.&lt;ref name=&quot;quarteroni&quot;&gt;Quarteroni, A.; Formaggia, L.: ''Mathematical Modelling and Numerical Simulation of the Cardiovascular System.'' In: Ayache, N. (Hrsg.): ''Computational Models for the Human Body.'' Handbook of Numerical Analysis, Bd. XII, Elsevier, Amsterdam 2004, S. 3-127. DOI 10.1016/S1570-8659(03)12001-7. Zur Newtonschen Näherung in großen Gefäßen siehe S. 30, zur Viskosität von 0,035 Poise die Parametertabelle auf S. 116.&lt;/ref&gt;
# Der '''mittlere Volumenstrom''' wird mit &lt;math&gt;Q_0 = 6\ \mathrm{ml/s}&lt;/math&gt; angesetzt. Das ist der zeitlich gemittelte Volumenstrom, der in der gemeinsamen Halsschlagader gesunder Probanden gemessen wurde.&lt;ref name=&quot;holdsworth&quot; /&gt;
# Die '''mittlere Geschwindigkeit''' folgt aus Volumenstrom und Querschnittsfläche, &lt;math&gt;U_0 = \frac{Q_0}{\pi R_0^2} = \frac{6 \cdot 10^{-6}\ \mathrm{m^3/s}}{\pi \cdot (0{,}003\ \mathrm{m})^2} = 0{,}2122\ \mathrm{m/s}&lt;/math&gt;.
# Die '''Reynoldszahl''' des gesunden Gefäßes ist &lt;math&gt;Re_0 = \frac{\rho\, U_0\, D_0}{\mu} = \frac{1060 \cdot 0{,}2122 \cdot 0{,}006}{0{,}0035} = 385{,}6&lt;/math&gt;. Sie wird im Folgenden auf 386 gerundet.
# Die '''Einlauflänge''', die eine anfangs gleichförmige Strömung bis zum voll entwickelten Parabelprofil bräuchte, beträgt nach der gebräuchlichen Abschätzung für laminare Rohrströmungen &lt;math&gt;L_e \approx 0{,}06\, Re_0\, D_0 \approx 0{,}06 \cdot 386 \cdot 6\ \mathrm{mm} \approx 139\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt;.&lt;ref name=&quot;durst&quot;&gt;Durst, F.; Ray, S.; Ünsal, B.; Bayoumi, O. A.: ''The development lengths of laminar pipe and channel flows.'' Journal of Fluids Engineering 127 (2005), Nr. 6, S. 1154-1160. Für große Reynoldszahlen nähert sich die dort angegebene Korrelation dem Wert 0,057·Re·D.&lt;/ref&gt; Das ist fast die gesamte Länge des Rechengebiets. Ein konstantes Einlassprofil würde die Strömung an der Stenose also verfälschen, weshalb am Einlass das voll entwickelte Profil vorgegeben wird.

Damit liegen alle globalen Parameter fest. Die folgende Tabelle enthält sie mit genau den Namen, unter denen sie in COMSOL und in den Octave-Skripten verwendet werden.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Globale Parameter des Modells
! Name !! Ausdruck in COMSOL !! Wert !! Bedeutung !! Herkunft
|-
| R0 || 3[mm] || 3 mm || Gefäßradius || Messwerte nach Krejza u. a. 2006, gerundet
|-
| D0 || 2*R0 || 6 mm || Gefäßdurchmesser || abgeleitet
|-
| Ls || 2*D0 || 12 mm || Länge der Störstelle || Standardgeometrie nach Varghese u. a. 2007
|-
| Lu || 5*D0 || 30 mm || Vorlaufstrecke vor der Stenosemitte || Abstand der Einlassbedingung von der Stenose
|-
| Ld || 20*D0 || 120 mm || Nachlaufstrecke hinter der Stenosemitte || Platz für das Rückströmgebiet
|-
| Lf || Ls/2+10*D0 || 66 mm || Ende des fein vernetzten Nachlaufs || erwartete Länge des Rückströmgebiets
|-
| s || 0 bis 0.8 || 0 bis 0,8 || Stenosegrad bezogen auf den Durchmesser || NASCET-Einteilung
|-
| rho_b || 1060[kg/m^3] || 1060 kg/m³ || Dichte des Blutes || Mischungsregel, Literaturwert
|-
| mu_b || 3.5[mPa*s] || 3,5 mPa·s || dynamische Viskosität des Blutes || Hochscherwert, Quarteroni und Formaggia 2004
|-
| Q0 || 6[ml/s] || 6 ml/s || mittlerer Volumenstrom || Messwerte nach Holdsworth u. a. 1999
|-
| U0 || Q0/(pi*R0^2) || 0,2122 m/s || mittlere Einströmgeschwindigkeit || abgeleitet
|-
| Re0 || rho_b*U0*D0/mu_b || 385,6 || Reynoldszahl des gesunden Gefäßes || abgeleitet
|-
| dp_ref || 8*mu_b*U0*(Lu+Ld)/R0^2 || 99,03 Pa || Poiseuille-Druckabfall des gesunden Gefäßes || abgeleitet, Hagen-Poiseuille
|}


= Literaturverzeichnis =

Alle Quellen sind an den Stellen im Text angegeben, an denen die zugehörigen Werte oder Aussagen verwendet werden. Die Liste wird aus diesen Angaben automatisch erzeugt.

&lt;references /&gt;</text>
      <sha1>j3h0el9kq6uq2inwdvfvf6gl5gc3fxa</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>1115891</id>
      <parentid>1115888</parentid>
      <timestamp>2026-10-12T16:32:35Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Heitele</username>
        <id>38553</id>
      </contributor>
      <comment>/* Auswahl der Stenosegrade */</comment>
      <origin>1115891</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="34168" sha1="1xwfij8786booilzstnd983gfsy8nic" xml:space="preserve">= Gruppenteilnehmer =
* Joey Becker
* Marie-Thérèse Heitele
* Nicole Pander

= Thema und Fragestellung =

Gegenstand dieses Projekts ist die numerische Simulation der Blutströmung in einer verzweigten Halsschlagader ('''Carotis-Bifurkation''') unter dem Einfluss einer lokalen Gefäßverengung ('''Stenose''').
Im Vergleich zu einfachen Rohrströmungen wird hier die realitätsnahe Gefäßanatomie betrachtet: Die '''Arteria carotis communis (ACC)''' teilt sich in die '''Arteria carotis externa (ACE)''' und die '''Arteria carotis interna (ACI)''' auf. Während die '''ACE''' als gesunder, stenosefreier Ast dient, wird in der '''ACI''' eine geglättete, kosinusförmige Gefäßverengung modelliert. Um scharfe Kanten und unphysiologische Druckspitzen zu vermeiden, werden alle Wandübergänge und die Gabelungsspitze (Apex) anatomisch verrundet.

Als Referenz dient ein gesundes, unverengtes Gefäß, in dem sich die Poiseuille-Strömung mit ihrem charakteristischen parabolischen Geschwindigkeitsprofil ausbildet. Diese Strömung ist aus zwei Gründen der natürliche Ausgangspunkt. Sie beschreibt den physiologischen Normalfall, mit dem jeder Stenosegrad verglichen wird, und sie ist exakt lösbar, sodass sich an ihr jede numerische Rechnung prüfen lässt, bevor die Verengung hinzukommt.

== Fragestellung ==
Die Hauptfragestellung dieses Projektes lautet: 
Wie verändert eine symmetrische bzw. rotationssymmetrische Stenose in der '''Arteria carotis interna (ACI)''' die stationäre Strömung eines inkompressiblen Newton’schen Fluids in einer 2D-Carotis-Bifurkation hinsichtlich Geschwindigkeitsverteilung, Druckabfall, Wandschubspannung und Wirbelbildung im Vergleich zu den gesunden Gefäßabschnitten?

Aus dieser Fragestellung ergeben sich drei Teilfragen, an denen sich der Aufbau der Seite orientiert:

# Welche Strömungsgrößen reagieren empfindlich auf den Stenosegrad und welche nur träge?
# Ab welchem Stenosegrad ändert sich das Strömungsmuster qualitativ, das heißt, ab wann löst die Strömung hinter der Engstelle von der Wand ab und bildet ein Rückströmgebiet?
# Wie weit tragen die vereinfachenden Modellannahmen, insbesondere die Annahme einer stationären und laminaren Strömung, über den untersuchten Bereich der Stenosegrade?

== Modellannahmen ==
Im Hinblick darauf werden für dieses Projekt einige Annahmen getroffen, um das Projekt möglichst isoliert zu untersuchen und zu simplifizieren:

* '''Idealisierte Gefäßgeometrie''': Betrachtet wird ein  Teilabbschnitt der ''Arteria carotis communis'', die sog. ''ACI''. Zudem werden Gefäßverkrümmungen, weitere Verzweigungen und patientenspezifische Strukturen  nicht berücksichtigt. 
* '''Starre Gefäßwand''': Die Gefäßwand wird als unbeweglich und nicht verformbar angenommen. Eine Wechselwirkung zwischen elastischer Gefäßwand und Blutströmung wird nicht modelliert.
* '''Stationäre Strömung''': Die Strömungsgrößen werden als zeitlich konstant angenommen. Die im realen Blutkreislauf vorhandene Pulsation durch den Herzschlag wird daher vernachlässigt: &lt;math&gt;\frac{\partial u}{\partial t}=0&lt;/math&gt;.
* '''Inkompressibles Fluid''': Die Dichte des Fluids wird als konstant angenommen. Damit gilt für die Geschwindigkeit &lt;math&gt;\nabla \cdot u=0&lt;/math&gt;. Dies entspricht der in der Vorlesung behandelten Massenerhaltung für inkompressible Fluide: Was in das Gefäß einströmt, muss auch wieder ausströmen.
* '''Newton'sche Näherung für Blut''': Reales Blut beseitzt ein nicht newton'sches Fließverhalten. Hier wird Blut als Newton'sches Fluid behandelt.
* '''Konstante Stoffeigenschaften''': Dichte &lt;math&gt;\rho&lt;/math&gt; und dynamische Viskosität μ werden als räumlich und zeitlich konstant angenommen. Temperaturabhängigkeiten werden nicht berücksichtigt.
* '''Laminare Strömung''': Die Strömung wird mit dem COMSOL-Modul ''Laminar Flow'' beschrieben. Ein zusätzliches Turbulenzmodell wird nicht verwendet.
* '''No-Slip-Bedingung an Gefäßwand''': Aufgrund der Viskosität wird angenommen, dass das Fluid direkt an der Gefäßwand haftet. Somit gilt &lt;math&gt;u=0&lt;/math&gt;.
* '''Vernachlässigung der Gravitation''': Gravitation wird nicht berücksichtigt. Die Strömung wird ausschließlich durch die gewählten Ein- und Auslassbedingungen bestimmt.

= Relevanz =
Die Untersuchung von Gefäßverengungen besitzt sowohl eine medizinische als auch eine methodische Bedeutung. Aus medizinischer Sicht sind arterielle Stenosen – etwa in der Halsschlagader, lat. ''arteria carotis communis'', – kritisch, da sie die Durchblutung beeinträchtigen und durch veränderte Wandschubspannungen sowie die Bildung von Wirbeln weitere Gefäßablagerungen begünstigen. Stenosen im Bereich der Karotisgabelung sind klinisch hochrelevant, da sie das Gehirn direkt versorgen und das Risiko für embolische Schlaganfälle erhöhen. Fachlich überträgt das Projekt damit die Prinzipien der Strömungsmechanik direkt auf eine biomedizinische Anwendung. Das Projekt verknüpft somit theoretische Grundlagen der Strömungsmechanik (Hagen-Poiseuille-Gleichung, Navier-Stokes-Gleichungen) mit der numerischen Simulation in COMSOL Multiphysics. Durch den Vergleich der '''gesunden Externa (ACE)''' mit der '''stenoisierten Interna (ACI)''' innerhalb desselben Rechengebiets wird die isolierte Wirkung der Stenose unter identischen Randbedingungen direkt sichtbar gemacht.

== Medizinische Relevanz ==

Arterielle Stenosen entstehen überwiegend durch Atherosklerose, also durch Ablagerungen aus Lipiden, Bindegewebe und Kalk in der Gefäßwand. In der Halsschlagader sind sie klinisch besonders bedeutsam, weil sie die Durchblutung des Gehirns beeinträchtigen und weil sich an ihnen Thromben bilden können, die als Embolie einen Schlaganfall auslösen. Dass die operative Entfernung einer hochgradigen Karotisstenose das Schlaganfallrisiko symptomatischer Patienten deutlich senkt, hat die NASCET-Studie gezeigt, deren Einteilung der Stenosegrade dieses Projekt übernimmt.&lt;ref name=&quot;nascet&quot;&gt;North American Symptomatic Carotid Endarterectomy Trial Collaborators: ''Beneficial effect of carotid endarterectomy in symptomatic patients with high-grade carotid stenosis.'' New England Journal of Medicine 325 (1991), Nr. 7, S. 445-453.&lt;/ref&gt;

Strömungsmechanisch ist an einer Stenose vor allem die Wandschubspannung von Interesse, also die tangentiale Kraft je Fläche, die das strömende Blut auf die innerste Zellschicht der Gefäßwand ausübt. Gesunde Halsschlagadern weisen zeitlich gemittelte Werte von etwa 1,1 bis 1,5 Pa auf.&lt;ref name=&quot;samijo&quot;&gt;Samijo, S. K.; Willigers, J. M.; Barkhuysen, R.; Kitslaar, P. J. E. H. M.; Reneman, R. S.; Brands, P. J.; Hoeks, A. P. G.: ''Wall shear stress in the human common carotid artery as function of age and gender.'' Cardiovascular Research 39 (1998), Nr. 2, S. 515-522.&lt;/ref&gt; In einer Engstelle steigt sie stark an, unmittelbar dahinter fällt sie im Ablösegebiet auf nahezu null und wechselt dort sogar das Vorzeichen. Niedrige und im Vorzeichen wechselnde Wandschubspannungen gelten als Bedingungen, unter denen sich weitere Ablagerungen bevorzugt bilden. Eine bestehende Stenose schafft also stromabwärts die Voraussetzungen für ihr eigenes Wachstum. Genau diese Verteilung lässt sich im Körper nur schwer messen, in einer Simulation dagegen unmittelbar auswerten.

== Methodische Relevanz ==

Fachlich überträgt das Projekt die Prinzipien der Strömungsmechanik aus der Vorlesung auf eine biomedizinische Anwendung.&lt;ref name=&quot;hundertmark&quot;&gt;Hundertmark, A.: ''Fluiddynamik.'' Vorlesungsunterlagen zum Modul Räumliche Modellbildung, RPTU Kaiserslautern-Landau, Sommersemester 2026.&lt;/ref&gt; Der methodische Mehrwert liegt in der Verknüpfung mehrerer Zugänge, die sich gegenseitig kontrollieren. Die analytische Poiseuille-Lösung liefert exakte Sollwerte für das gesunde Gefäß. Ein reduziertes Graphenmodell liefert für jeden Stenosegrad eine schnelle Abschätzung, die analytisch nachrechenbar ist. Die Simulationen in COMSOL Multiphysics lösen schließlich die vollständigen Navier-Stokes-Gleichungen in zwei und drei Raumdimensionen. Weil jede Stufe die Sollwerte der nächsten liefert, zeigt das Projekt nicht nur Ergebnisse, sondern auch, wie numerische Modelle aufgebaut, verifiziert und an ihren Grenzen bewertet werden.

== Auswahl der Stenosegrade ==

Um die untersuchten Gefäßverengungen nicht willkürlich festzulegen, orientiert sich die Auswahl der Stenosegrade an der klinisch gebräuchlichen NASCET-Klassifikation von Karotisstenosen.&lt;ref name=&quot;nascet&quot; /&gt; Zur klinischen Einordnung werden Karotisstenosen anhand der nach NASCET bestimmten Durchmesserreduktion in leichtgradige, mittelgradige und hochgradige Stenosen eingeteilt. Die angegebenen Prozentgrenzen dienen in diesem Projekt als Orientierung für die Auswahl der untersuchten Stenosegrade. Ein vollständiger Gefäßverschluss wird als Okklusion bezeichnet.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Klinische Einteilung nach NASCET-gemessener Durchmesserreduktion und untersuchte Stenosegrade
! Schweregrad !! Durchmesserreduktion !! im Projekt gerechnete Stenosegrade !! hervorgehobener Vertreter
|-
| gesundes Gefäß || 0 % || 0 || 0
|-
| leichtgradige Stenose || unter 50 % || 0,1 bis 0,4 || 0,3
|-
| mittelgradige Stenose || 50 bis 69 % || 0,5 und 0,6 || 0,6
|-
| hochgradige Stenose || 70 bis 99 % || 0,7 und 0,8 || 0,8
|-
| Okklusion || 100 % || nicht gerechnet || entfällt
|}
'''Anmerkung''': Die Klassengrenzen dienen der Einordnung der Modellvarianten. Die in der Tabelle genannten Stenosegrade sind dimensionslose Werte, beispielsweise entspricht '''&lt;math&gt;s=0{,}6&lt;/math&gt;''' einer Durchmesserreduktion von '''60 %'''.

Für die numerische Untersuchung wird aus jeder Kategorie ein repräsentativer Stenosegrad hervorgehoben. Neben dem gesunden Gefäß mit '''0 %''' Stenose sind das eine '''30 %''' Stenose als Beispiel für eine leichtgradige, eine '''60 %''' Stenose als Beispiel für eine mittelgradige und eine '''80 %''' Stenose als Beispiel für eine hochgradige Verengung. Zusätzlich werden für das Graphenmodell und das achsensymmetrische Flächenmodell Stenosegrade von 0 bis 80 % in Schritten von zehn Prozentpunkten vorgesehen. Dadurch kann die Abhängigkeit der Strömungsgrößen vom Stenosegrad systematisch untersucht und grafisch dargestellt werden. Ob alle Modellvarianten tatsächlich berechnet wurden und wie hoch der Rechenaufwand war, wird anhand der durchgeführten Simulationen dokumentiert. Ein vollständiger Gefäßverschluss wird nicht simuliert, da in diesem Fall keine durchgängige Strömung mehr vorliegt.

Der Stenosegrad wird in diesem Projekt wie bei NASCET über die Verringerung des Gefäßdurchmessers beschrieben,
&lt;math&gt;s = 1 - \frac{d_{\min}}{d_{\mathrm{ref}}},&lt;/math&gt;wobei &lt;math&gt;d_{\min}&lt;/math&gt; der kleinste Durchmesser in der Engstelle und &lt;math&gt;d_{\mathrm{ref}}&lt;/math&gt; ein Referenzdurchmesser ist. NASCET verwendet als Referenz den Durchmesser des gesunden Gefäßes stromabwärts der Stenose. Für das idealisierte gerade Gefäßmodell wird ein konstanter Referenzdurchmesser von &lt;math&gt;D_0=6\,\mathrm{mm}&lt;/math&gt; angenommen. Da das Gefäß außerhalb der Stenose denselben Durchmesser besitzt, gilt in diesem Modell&lt;math&gt;d_{\mathrm{ref}}=D_0&lt;/math&gt;. Bei der zusätzlich betrachteten Gefäßaufzweigung muss der Referenzdurchmesser dagegen gesondert festgelegt werden, da die Gefäßäste unterschiedliche Durchmesser besitzen.

Wichtig für das Verständnis aller weiteren Ergebnisse ist der Unterschied zwischen Durchmesser- und Flächenreduktion. Da die Querschnittsfläche quadratisch vom Durchmesser abhängt, gilt für die Flächenreduktion &lt;math&gt;1-(1-s)^2&lt;/math&gt;. Eine im klinischen Sinn nur mittelgradige Stenose von 60 % verschließt damit bereits 84 % der Querschnittsfläche.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Durchmesser- und Flächenreduktion der gerechneten Stenosegrade
! Stenosegrad s !! 0 !! 0,1 !! 0,2 !! 0,3 !! 0,4 !! 0,5 !! 0,6 !! 0,7 !! 0,8
|-
| engster Durchmesser in mm || 6,0 || 5,4 || 4,8 || 4,2 || 3,6 || 3,0 || 2,4 || 1,8 || 1,2
|-
| Flächenreduktion || 0 % || 19 % || 36 % || 51 % || 64 % || 75 % || 84 % || 91 % || 96 %
|}

Eine Einschränkungen gehört zur ehrlichen Einordnung: 
# Mit zunehmendem Stenosegrad, insbesondere bei ausgeprägten Verengungen, können lokale Beschleunigungen, Strömungsablösungen und zeitabhängige Strömungsstrukturen auftreten. Daher muss bei den hochgradigen Stenosen geprüft werden, inwieweit die Annahme einer stationären, laminaren Strömung geeignet ist. Eine feste Grenze bei &lt;math&gt;s=0{,}6&lt;/math&gt; lässt sich ohne entsprechende Simulationsergebnisse oder Literaturbelege nicht allgemein festlegen. Die hochgradigen Fälle werden deshalb unter besonderer Berücksichtigung der Modellannahmen diskutiert..

= Modellierung =

Modellierung bedeutet hier, die reale Situation in eine mathematische Aufgabe zu übersetzen, die sich lösen lässt. Dazu gehören vier Bausteine, nämlich das Rechengebiet, die Gleichungen, die Zahlenwerte der Parameter und die Bedingungen an den Rändern. Jeder dieser Bausteine beruht auf Annahmen, und jede Annahme muss begründet werden. Dieser Abschnitt geht die Bausteine deshalb der Reihe nach durch und nennt bei jedem Zahlenwert, woher er stammt und warum er sinnvoll ist.

== Modellhierarchie ==

Das Projekt rechnet nicht ein einziges Modell, sondern vier aufeinander aufbauende Modellvarianten. Sie entsprechen der Kursanforderung, eine Strömung als Graph, in zwei und in drei Raumdimensionen darzustellen, und sie sind bewusst von einfach nach aufwendig geordnet.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Die vier Modellvarianten des Projekts
! Modell !! Raumdimension !! gelöste Gleichung !! Zweck !! Werkzeug
|-
| Graphenmodell || 1D, Gefäßachse || Hagen-Poiseuille je Rohrstück und Massenerhaltung in jedem Knoten || schnelle, analytisch nachrechenbare Abschätzung für jeden Stenosegrad || Octave und COMSOL (Koeffizientenform-PDGL)
|-
| achsensymmetrisches Flächenmodell || 2D, Halbschnitt in r und z || vollständige stationäre Navier-Stokes-Gleichungen in Zylinderkoordinaten || Hauptmodell, liefert alle Feldgrößen des rotationssymmetrischen Rohres || COMSOL, Laminare Strömung
|-
| ebenes Flächenmodell || 2D, Halbschnitt in x und y || vollständige stationäre Navier-Stokes-Gleichungen in kartesischen Koordinaten || Vergleich, zeigt den Einfluss der zweiten Querschnittsrichtung || COMSOL, Laminare Strömung
|-
| Volumenmodell || 3D || vollständige stationäre Navier-Stokes-Gleichungen || Kontrolle des Hauptmodells und räumliche Darstellung || COMSOL, Laminare Strömung
|}

Die Reihenfolge folgt einem einfachen Prinzip. Jede Stufe liefert die Sollwerte, an denen die nächste, komplexere Stufe geprüft wird. Das Graphenmodell muss im gesunden Fall exakt die Poiseuille-Lösung ergeben. Das achsensymmetrische Modell muss im gesunden Fall dieselben Werte liefern und bei Stenose für Geschwindigkeit und Wandschubspannung in der Nähe des Graphenmodells liegen. Das Volumenmodell muss, weil die Geometrie rotationssymmetrisch ist, mit dem achsensymmetrischen Modell übereinstimmen.

== Modellannahmen ==

Um den Einfluss des Stenosegrades möglichst isoliert zu untersuchen, werden die folgenden Modellannahmen getroffen. Die Tabelle nennt zu jeder Annahme ihre mathematische Form, die Begründung und die Stelle, an der sie im Projekt überprüft wird.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Modellannahmen, ihre Begründung und ihre Überprüfung
! Annahme !! mathematische Form !! Begründung !! Überprüfung
|-
| Idealisierte Gefäßgeometrie || gerades Rohr mit kosinusförmiger, rotationssymmetrischer Verengung || isoliert die Wirkung des Stenosegrades von Krümmung, Verzweigung und Plaqueform || Diskussion in den Schlussfolgerungen
|-
| Starre Gefäßwand || Wand ortsfest, keine Fluid-Struktur-Kopplung || im stationären Fall gibt es keine Druckschwankung, die die Wand periodisch aufweiten könnte || Abschätzung über die gemessene Durchmesseränderung im Herzzyklus
|-
| Stationäre Strömung || &lt;math&gt;\partial \mathbf{u}/\partial t = \mathbf{0}&lt;/math&gt; || der Einfluss des Stenosegrades soll ohne Überlagerung durch die Pulsation sichtbar werden || Abschätzung über die Womersley-Zahl
|-
| Inkompressibles Fluid || &lt;math&gt;\rho = \mathrm{const}&lt;/math&gt;, damit &lt;math&gt;\nabla\cdot\mathbf{u} = 0&lt;/math&gt; || Blut ist eine Flüssigkeit, Druckänderungen von wenigen hundert Pascal ändern die Dichte nicht messbar || Massenerhaltung in fünf Querschnitten
|-
| Newtonsche Näherung || konstante Viskosität &lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt; || die Scherraten an der Wand und im größten Teil des Querschnitts liegen über dem Bereich, in dem Blut deutlich scherverdünnend wirkt || Scherrate an der Wand, Diskussion des Rückströmgebiets
|-
| Konstante Stoffeigenschaften || &lt;math&gt;\rho&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt; räumlich und zeitlich konstant || Körpertemperatur ist im betrachteten Abschnitt konstant || entfällt
|-
| Laminare Strömung || kein Turbulenzmodell, Schnittstelle Laminare Strömung || Reynoldszahl des gesunden Gefäßes von 386 liegt weit unter dem Umschlagbereich || Reynoldszahl in der Engstelle, Literaturvergleich
|-
| Haftbedingung an der Wand || &lt;math&gt;\mathbf{u} = \mathbf{0}&lt;/math&gt; auf der Wand || Folge der Viskosität, das Fluid haftet an der Wand || Grundlage jeder Wandschubspannung
|-
| Vernachlässigung der Gravitation || keine Volumenkraft || bei konstanter Dichte lässt sich die Schwerkraft vollständig in einen hydrostatischen Druckanteil verschieben und beeinflusst die Geschwindigkeit nicht || Begründung in den Mathematischen Hintergründen
|-
| Voll entwickelte Einströmung || parabolisches Profil am Einlass || die natürliche Einlaufstrecke wäre mit rund 139 mm fast so lang wie das ganze Rechengebiet || Scheitelgeschwindigkeit im gesunden Fall
|-
| Eingeprägter Volumenstrom || &lt;math&gt;Q = Q_0&lt;/math&gt; am Einlass || der Strömungswiderstand des Abschnitts ist klein gegenüber dem des nachgeschalteten Gefäßbetts || Abschätzung mit einem Reihenwiderstand
|}

Einige dieser Annahmen sind unmittelbar einsichtig, andere verdienen eine genauere Begründung, weil von ihnen die Aussagekraft der Ergebnisse abhängt.

Die '''Newtonsche Näherung''' ist die Annahme, die bei Blut am häufigsten hinterfragt wird. Reales Blut ist eine Suspension aus Plasma und Blutzellen und verhält sich scherverdünnend. Bei kleinen Scherraten lagern sich die roten Blutkörperchen zu geldrollenartigen Stapeln zusammen, und die Viskosität steigt auf ein Vielfaches an. Bei großen Scherraten lösen sich diese Stapel auf, und die Viskosität strebt gegen einen Grenzwert von etwa 3,5 mPa·s. Entscheidend ist also die Scherrate. An der Wand des gesunden Modellgefäßes beträgt sie nach der Poiseuille-Lösung

&lt;math&gt;\dot\gamma_w = \frac{4\,U_0}{R_0} = \frac{4 \cdot 0{,}2122\ \mathrm{m/s}}{0{,}003\ \mathrm{m}} \approx 283\ \mathrm{s^{-1}}&lt;/math&gt;

und liegt damit oberhalb von etwa 100 pro Sekunde, wo sich Newtonsches und nicht Newtonsches Modell nach der Literatur nur noch wenig unterscheiden.&lt;ref name=&quot;boyd&quot;&gt;Die Grenze von etwa 100 s&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt; wird in vergleichenden Studien zur Blutrheologie verwendet, etwa bei Bernabeu, M. O. u. a.: ''Impact of blood rheology on wall shear stress in a model of the middle cerebral artery.'' Interface Focus 3 (2013), 20120094. &lt;!-- FIXME Zitat und Seitenangabe am Original pruefen --&gt;&lt;/ref&gt; In der Engstelle steigt die Scherrate weiter an, beim Stenosegrad 0,5 auf rund 2260 pro Sekunde. Schwach ist die Näherung dort, wo die Scherrate klein wird, also in der Mitte des Gefäßes und vor allem im Rückströmgebiet hinter der Stenose. Dort ist reales Blut zäher als angenommen. Dieser Punkt wird in den Schlussfolgerungen wieder aufgegriffen.

Die '''stationäre Strömung''' ist die stärkste Vereinfachung. Wie wichtig die Pulsation ist, misst die Womersley-Zahl, die das Verhältnis von instationärer Trägheit zu Reibung angibt. Mit einer Herzfrequenz von 60 Schlägen je Minute, also einer Kreisfrequenz &lt;math&gt;\omega = 2\pi\ \mathrm{s^{-1}}&lt;/math&gt;, ergibt sich

&lt;math&gt;\alpha = R_0 \sqrt{\frac{\omega \rho}{\mu}} = 0{,}003\ \mathrm{m} \cdot \sqrt{\frac{2\pi\ \mathrm{s^{-1}} \cdot 1060\ \mathrm{kg/m^3}}{0{,}0035\ \mathrm{Pa\,s}}} \approx 4{,}1 .&lt;/math&gt;

Ein Wert in dieser Größenordnung bedeutet, dass das reale Geschwindigkeitsprofil im Herzzyklus merklich von der Parabel abweicht.&lt;ref name=&quot;womersley&quot;&gt;Womersley, J. R.: ''Method for the calculation of velocity, rate of flow and viscous drag in arteries when the pressure gradient is known.'' Journal of Physiology 127 (1955), S. 553-563.&lt;/ref&gt; Hinzu kommt, dass der Volumenstrom in der Systole kurzzeitig auf rund das Vierfache des Mittelwerts steigt.&lt;ref name=&quot;holdsworth&quot;&gt;Holdsworth, D. W.; Norley, C. J. D.; Frayne, R.; Steinman, D. A.; Rutt, B. K.: ''Characterization of common carotid artery blood-flow waveforms in normal human subjects.'' Physiological Measurement 20 (1999), Nr. 3, S. 219-240. DOI 10.1088/0967-3334/20/3/301. Angegeben werden ein mittlerer Volumenstrom von 6,0 ± 1,4 ml/s und ein systolischer Spitzenwert von 23,5 ± 3,8 ml/s. &lt;!-- FIXME Zahlenwerte und Probandenzahl am Original pruefen --&gt;&lt;/ref&gt; Die stationäre Rechnung mit dem Mittelwert beschreibt deshalb nicht den zeitlichen Verlauf, wohl aber den zeitlich gemittelten Zustand, an dem sich der Einfluss des Stenosegrades sauber vergleichen lässt.

Die '''laminare Strömung''' wird über die Reynoldszahl begründet. Sie beträgt im gesunden Gefäß 386 und liegt damit weit unter dem Wert von etwa 2300, ab dem die Strömung in einem geraden Rohr in den Übergangsbereich gelangen kann. In der Engstelle steigt sie bei festem Volumenstrom auf &lt;math&gt;Re_0/(1-s)&lt;/math&gt;, also auf 551 beim Stenosegrad 0,3, auf 964 beim Grad 0,6 und auf 1928 beim Grad 0,8. Für den Strahl hinter einer Engstelle ist der Umschlagbereich allerdings deutlich niedriger als im geraden Rohr. Direkte numerische Simulationen an genau der in diesem Projekt verwendeten Stenosegeometrie zeigen, dass die Strömung bei einer Einström-Reynoldszahl von 500 auch bei leichter Unsymmetrie laminar bleibt, bei 1000 dagegen schon eine Exzentrizität von fünf Prozent des Durchmessers genügt, um den Strahl in lokal turbulente Strömung umschlagen zu lassen.&lt;ref name=&quot;varghese&quot;&gt;Varghese, S. S.; Frankel, S. H.; Fischer, P. F.: ''Direct numerical simulation of stenotic flows. Part 1. Steady flow.'' Journal of Fluid Mechanics 582 (2007), S. 253-280. Untersucht wird eine kosinusförmige Stenose der Länge 2D mit 75 % Flächenreduktion, die mit der Geometrie dieses Projekts beim Stenosegrad 0,5 übereinstimmt. &lt;!-- FIXME Band und Seiten am Original pruefen --&gt;&lt;/ref&gt; Mit einer Einström-Reynoldszahl von 386 liegt das Projekt für die leicht- und mittelgradigen Stenosen sicher im laminaren Bereich. Für die hochgradigen Stenosen ab 0,7 ist ein laminares, stationäres Modell dagegen nur noch eine Näherung, die eine Obergrenze der geordneten Strömung beschreibt. Diese Fälle werden deshalb als Grenzfall des Modells gekennzeichnet.

Die '''starre Wand''' lässt sich über Messungen abschätzen. Der Durchmesser der gemeinsamen Halsschlagader ändert sich im Herzzyklus bei jungen Menschen um etwa 12 bis 14 Prozent und bei älteren Menschen um etwa 5 Prozent.&lt;ref name=&quot;hansen&quot;&gt;Hansen, F.; Mangell, P.; Sonesson, B.; Länne, T.: ''Diameter and compliance in the human common carotid artery: variations with age and sex.'' Ultrasound in Medicine and Biology 21 (1995), Nr. 1, S. 1-9. DOI 10.1016/0301-5629(94)00090-5.&lt;/ref&gt; Diese Bewegung ist eine Folge der Pulsation. In einer stationären Rechnung gibt es keine Druckschwankung, die die Wand periodisch aufweiten könnte, sodass die starre Wand zur stationären Annahme konsistent ist. Eine verkalkte Plaque ist ohnehin deutlich steifer als die gesunde Wand.

Die Annahme des '''eingeprägten Volumenstroms''' wird im Abschnitt zu den Randbedingungen begründet, weil sie sich nur im Zusammenhang mit dem Kreislauf beurteilen lässt.

== Simulationsgebiet und Geometrie ==

Die Gefäßachse ist die z-Achse, der Ursprung liegt in der Mitte der Stenose, und &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; bezeichnet den Abstand von der Achse. Das Rechengebiet reicht von &lt;math&gt;z = -L_u&lt;/math&gt; bis &lt;math&gt;z = L_d&lt;/math&gt; und wird radial von der Wandkontur &lt;math&gt;R(z)&lt;/math&gt; begrenzt. Die Verengung wird über eine einzige glatte Funktion beschrieben,

&lt;math&gt;R(z) = R_0 \left[ 1 - \frac{s}{2}\left(1 + \cos\frac{2\pi z}{L_s}\right)\right] \quad \text{falls } |z| \le \frac{L_s}{2}, \qquad R(z) = R_0 \ \text{sonst.}&lt;/math&gt;

Die Funktion hat drei Eigenschaften, die ihre Wahl begründen. Sie wird erstens über einen einzigen Parameter gesteuert, den Stenosegrad &lt;math&gt;s&lt;/math&gt;. Der engste Radius in der Mitte beträgt &lt;math&gt;R(0) = R_0(1-s)&lt;/math&gt;, und der Fall ohne Verengung ist einfach der Fall &lt;math&gt;s = 0&lt;/math&gt;. Die gesamte Vergleichsreihe entsteht damit aus einem einzigen parametrischen Sweep. Sie geht zweitens an beiden Enden der Störstelle ohne Knick in das gerade Rohr über. Bei &lt;math&gt;z = \pm L_s/2&lt;/math&gt; ist der Kosinus gleich minus eins, die Klammer also null, und seine Ableitung verschwindet dort ebenfalls. Das ist nicht nur ästhetisch, sondern numerisch notwendig, denn ein Knick in der Wand erzeugt eine Singularität der Wandschubspannung, deren berechneter Wert mit jeder Netzverfeinerung weiter wüchse. Eine Netzstudie wäre dann sinnlos. Sie ist drittens die in der Literatur gebräuchliche Standardgeometrie für Stenosen, sodass sich die Ergebnisse unmittelbar mit veröffentlichten Rechnungen vergleichen lassen.&lt;ref name=&quot;varghese&quot; /&gt;

[[Datei:Stenose Gruppe5 Wandkontur.svg|mini|zentriert|800px|Wandkontur &lt;math&gt;R(z)&lt;/math&gt; für die untersuchten Stenosegrade. Die Darstellung ist in radialer Richtung gestreckt, das Rechengebiet ist in Wirklichkeit fünfundzwanzigmal länger als breit.]]
&lt;!-- FIXME Abbildung mit abbildungen_graph_1d.m fuer s = 0 bis 0,8 neu erzeugen, bisher nur bis 0,5 --&gt;

Die Abmessungen des Rechengebiets werden alle aus dem Gefäßradius abgeleitet. Das hat den Vorteil, dass sich das gesamte Modell durch Ändern eines einzigen Wertes auf ein anderes Gefäß übertragen lässt. Die einzelnen Längen werden im Folgenden Schritt für Schritt begründet.

# Der '''Gefäßradius''' &lt;math&gt;R_0 = 3\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; folgt aus Ultraschallmessungen an gesunden Erwachsenen. Dort wurden für die gemeinsame Halsschlagader mittlere Durchmesser von 6,10 ± 0,80 mm bei Frauen und 6,52 ± 0,98 mm bei Männern gemessen.&lt;ref name=&quot;krejza&quot;&gt;Krejza, J.; Arkuszewski, M.; Kasner, S. E.; Weigele, J.; Ustymowicz, A.; Hurst, R. W.; Cucchiara, B. L.; Messe, S. R.: ''Carotid artery diameter in men and women and the relation to body and neck size.'' Stroke 37 (2006), Nr. 4, S. 1103-1105. DOI 10.1161/01.STR.0000206440.48756.f7.&lt;/ref&gt; Der gewählte Durchmesser von &lt;math&gt;D_0 = 6\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; liegt damit innerhalb einer Standardabweichung beider Gruppen und ist bewusst auf einen runden Wert gesetzt, damit alle abgeleiteten Längen glatte Zahlen ergeben.
# Die '''Länge der Störstelle''' &lt;math&gt;L_s = 2 D_0 = 12\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; entspricht der Standardgeometrie aus der Literatur, die eine Stenosenlänge von zwei Durchmessern verwendet.&lt;ref name=&quot;varghese&quot; /&gt; Damit ist beim Stenosegrad 0,5 ein direkter Vergleich mit veröffentlichten Ergebnissen möglich.
# Die '''Vorlaufstrecke''' &lt;math&gt;L_u = 5 D_0 = 30\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; trennt den Einlass von der Stenose. Da am Einlass bereits das voll entwickelte Profil vorgegeben wird, muss sie nicht die Einlaufstrecke abdecken, sondern nur verhindern, dass die Einströmrandbedingung die Strömung an der Engstelle beeinflusst. Bei Reynoldszahlen in dieser Größenordnung reicht der Einfluss einer Verengung nur wenige Durchmesser stromaufwärts, die Literatur kommt für dieselbe Geometrie mit drei Durchmessern Vorlauf aus.&lt;ref name=&quot;varghese&quot; /&gt; Fünf Durchmesser lassen also eine Reserve. Überprüft wird das im Ergebnis, indem die Geschwindigkeit auf der Achse in der Mitte der Vorlaufstrecke mit dem Sollwert &lt;math&gt;2U_0&lt;/math&gt; verglichen wird.
# Die '''Nachlaufstrecke''' &lt;math&gt;L_d = 20 D_0 = 120\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; ist deutlich länger, weil sich hinter der Engstelle ein Rückströmgebiet bildet, das nicht auf den Auslass treffen darf. Für die Geometrie mit dem Stenosegrad 0,5 legt die Strömung bei einer Einström-Reynoldszahl von 500 erst etwa zehn Durchmesser hinter der Engstelle wieder an, die Literatur rechnet mit sechzehn Durchmessern Nachlauf.&lt;ref name=&quot;varghese&quot; /&gt; Zwanzig Durchmesser bieten damit für alle Stenosegrade bis 0,5 einen Sicherheitsabstand. Für die Grade ab 0,6 ist ein längeres Rückströmgebiet zu erwarten, dort wird die Lage des Wiederanlegepunktes ausdrücklich kontrolliert.
# Das '''Ende des fein vernetzten Nachlaufs''' &lt;math&gt;L_f = L_s/2 + 10 D_0 = 66\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; legt fest, bis wohin das Netz verfeinert wird. Der Wert ist so gewählt, dass das erwartete Rückströmgebiet von etwa zehn Durchmessern vollständig im feinen Bereich liegt.

Damit hat das Rechengebiet eine Gesamtlänge von &lt;math&gt;L = L_u + L_d = 150\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt;, also das Fünfundzwanzigfache des Durchmessers. Es ist ein Modellgebiet und kein maßstäbliches Abbild eines bestimmten anatomischen Abschnitts.

== Stoff- und Strömungsparameter ==

Die Stoffwerte des Blutes und der Volumenstrom sind die einzigen Eingangsgrößen, die nicht aus der Geometrie folgen. Aus ihnen werden alle weiteren Strömungskennwerte berechnet. Die folgenden Schritte zeigen jede Rechnung einzeln, damit sich jeder Wert nachprüfen lässt.

# Die '''Dichte''' wird mit &lt;math&gt;\rho = 1060\ \mathrm{kg/m^3}&lt;/math&gt; angesetzt. Der Wert lässt sich als Mischungsregel plausibel machen. Plasma hat eine Dichte von etwa 1025 kg/m³, rote Blutkörperchen von etwa 1100 kg/m³. Bei einem Zellanteil von 45 % ergibt sich &lt;math&gt;0{,}55 \cdot 1025 + 0{,}45 \cdot 1100 \approx 1059\ \mathrm{kg/m^3}&lt;/math&gt;. Die Dichte geht nur über die Reynoldszahl in die Rechnung ein, eine Abweichung von einem Prozent ändert die Ergebnisse daher kaum. &lt;!-- FIXME Lehrbuchquelle fuer Plasma- und Erythrozytendichte ergaenzen --&gt;
# Die '''dynamische Viskosität''' wird mit &lt;math&gt;\mu = 3{,}5\ \mathrm{mPa\,s}&lt;/math&gt; angesetzt. Das ist der Grenzwert der Blutviskosität bei hohen Scherraten, also genau der Wert, der zur Newtonschen Näherung gehört. Derselbe Wert von 0,035 Poise wird auch im Standardwerk zur Modellierung des Herz-Kreislauf-Systems verwendet.&lt;ref name=&quot;quarteroni&quot;&gt;Quarteroni, A.; Formaggia, L.: ''Mathematical Modelling and Numerical Simulation of the Cardiovascular System.'' In: Ayache, N. (Hrsg.): ''Computational Models for the Human Body.'' Handbook of Numerical Analysis, Bd. XII, Elsevier, Amsterdam 2004, S. 3-127. DOI 10.1016/S1570-8659(03)12001-7. Zur Newtonschen Näherung in großen Gefäßen siehe S. 30, zur Viskosität von 0,035 Poise die Parametertabelle auf S. 116.&lt;/ref&gt;
# Der '''mittlere Volumenstrom''' wird mit &lt;math&gt;Q_0 = 6\ \mathrm{ml/s}&lt;/math&gt; angesetzt. Das ist der zeitlich gemittelte Volumenstrom, der in der gemeinsamen Halsschlagader gesunder Probanden gemessen wurde.&lt;ref name=&quot;holdsworth&quot; /&gt;
# Die '''mittlere Geschwindigkeit''' folgt aus Volumenstrom und Querschnittsfläche, &lt;math&gt;U_0 = \frac{Q_0}{\pi R_0^2} = \frac{6 \cdot 10^{-6}\ \mathrm{m^3/s}}{\pi \cdot (0{,}003\ \mathrm{m})^2} = 0{,}2122\ \mathrm{m/s}&lt;/math&gt;.
# Die '''Reynoldszahl''' des gesunden Gefäßes ist &lt;math&gt;Re_0 = \frac{\rho\, U_0\, D_0}{\mu} = \frac{1060 \cdot 0{,}2122 \cdot 0{,}006}{0{,}0035} = 385{,}6&lt;/math&gt;. Sie wird im Folgenden auf 386 gerundet.
# Die '''Einlauflänge''', die eine anfangs gleichförmige Strömung bis zum voll entwickelten Parabelprofil bräuchte, beträgt nach der gebräuchlichen Abschätzung für laminare Rohrströmungen &lt;math&gt;L_e \approx 0{,}06\, Re_0\, D_0 \approx 0{,}06 \cdot 386 \cdot 6\ \mathrm{mm} \approx 139\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt;.&lt;ref name=&quot;durst&quot;&gt;Durst, F.; Ray, S.; Ünsal, B.; Bayoumi, O. A.: ''The development lengths of laminar pipe and channel flows.'' Journal of Fluids Engineering 127 (2005), Nr. 6, S. 1154-1160. Für große Reynoldszahlen nähert sich die dort angegebene Korrelation dem Wert 0,057·Re·D.&lt;/ref&gt; Das ist fast die gesamte Länge des Rechengebiets. Ein konstantes Einlassprofil würde die Strömung an der Stenose also verfälschen, weshalb am Einlass das voll entwickelte Profil vorgegeben wird.

Damit liegen alle globalen Parameter fest. Die folgende Tabelle enthält sie mit genau den Namen, unter denen sie in COMSOL und in den Octave-Skripten verwendet werden.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Globale Parameter des Modells
! Name !! Ausdruck in COMSOL !! Wert !! Bedeutung !! Herkunft
|-
| R0 || 3[mm] || 3 mm || Gefäßradius || Messwerte nach Krejza u. a. 2006, gerundet
|-
| D0 || 2*R0 || 6 mm || Gefäßdurchmesser || abgeleitet
|-
| Ls || 2*D0 || 12 mm || Länge der Störstelle || Standardgeometrie nach Varghese u. a. 2007
|-
| Lu || 5*D0 || 30 mm || Vorlaufstrecke vor der Stenosemitte || Abstand der Einlassbedingung von der Stenose
|-
| Ld || 20*D0 || 120 mm || Nachlaufstrecke hinter der Stenosemitte || Platz für das Rückströmgebiet
|-
| Lf || Ls/2+10*D0 || 66 mm || Ende des fein vernetzten Nachlaufs || erwartete Länge des Rückströmgebiets
|-
| s || 0 bis 0.8 || 0 bis 0,8 || Stenosegrad bezogen auf den Durchmesser || NASCET-Einteilung
|-
| rho_b || 1060[kg/m^3] || 1060 kg/m³ || Dichte des Blutes || Mischungsregel, Literaturwert
|-
| mu_b || 3.5[mPa*s] || 3,5 mPa·s || dynamische Viskosität des Blutes || Hochscherwert, Quarteroni und Formaggia 2004
|-
| Q0 || 6[ml/s] || 6 ml/s || mittlerer Volumenstrom || Messwerte nach Holdsworth u. a. 1999
|-
| U0 || Q0/(pi*R0^2) || 0,2122 m/s || mittlere Einströmgeschwindigkeit || abgeleitet
|-
| Re0 || rho_b*U0*D0/mu_b || 385,6 || Reynoldszahl des gesunden Gefäßes || abgeleitet
|-
| dp_ref || 8*mu_b*U0*(Lu+Ld)/R0^2 || 99,03 Pa || Poiseuille-Druckabfall des gesunden Gefäßes || abgeleitet, Hagen-Poiseuille
|}


= Literaturverzeichnis =

Alle Quellen sind an den Stellen im Text angegeben, an denen die zugehörigen Werte oder Aussagen verwendet werden. Die Liste wird aus diesen Angaben automatisch erzeugt.

&lt;references /&gt;</text>
      <sha1>1xwfij8786booilzstnd983gfsy8nic</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>1115895</id>
      <parentid>1115891</parentid>
      <timestamp>2026-10-12T16:41:35Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Heitele</username>
        <id>38553</id>
      </contributor>
      <comment>/* Auswahl der Stenosegrade */</comment>
      <origin>1115895</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="41765" sha1="p8apmcoch1o3o74vmox68dqrz6636am" xml:space="preserve">= Gruppenteilnehmer =
* Joey Becker
* Marie-Thérèse Heitele
* Nicole Pander

= Thema und Fragestellung =

Gegenstand dieses Projekts ist die numerische Simulation der Blutströmung in einer verzweigten Halsschlagader ('''Carotis-Bifurkation''') unter dem Einfluss einer lokalen Gefäßverengung ('''Stenose''').
Im Vergleich zu einfachen Rohrströmungen wird hier die realitätsnahe Gefäßanatomie betrachtet: Die '''Arteria carotis communis (ACC)''' teilt sich in die '''Arteria carotis externa (ACE)''' und die '''Arteria carotis interna (ACI)''' auf. Während die '''ACE''' als gesunder, stenosefreier Ast dient, wird in der '''ACI''' eine geglättete, kosinusförmige Gefäßverengung modelliert. Um scharfe Kanten und unphysiologische Druckspitzen zu vermeiden, werden alle Wandübergänge und die Gabelungsspitze (Apex) anatomisch verrundet.

Als Referenz dient ein gesundes, unverengtes Gefäß, in dem sich die Poiseuille-Strömung mit ihrem charakteristischen parabolischen Geschwindigkeitsprofil ausbildet. Diese Strömung ist aus zwei Gründen der natürliche Ausgangspunkt. Sie beschreibt den physiologischen Normalfall, mit dem jeder Stenosegrad verglichen wird, und sie ist exakt lösbar, sodass sich an ihr jede numerische Rechnung prüfen lässt, bevor die Verengung hinzukommt.

== Fragestellung ==
Die Hauptfragestellung dieses Projektes lautet: 
Wie verändert eine symmetrische bzw. rotationssymmetrische Stenose in der '''Arteria carotis interna (ACI)''' die stationäre Strömung eines inkompressiblen Newton’schen Fluids in einer 2D-Carotis-Bifurkation hinsichtlich Geschwindigkeitsverteilung, Druckabfall, Wandschubspannung und Wirbelbildung im Vergleich zu den gesunden Gefäßabschnitten?

Aus dieser Fragestellung ergeben sich drei Teilfragen, an denen sich der Aufbau der Seite orientiert:

# Welche Strömungsgrößen reagieren empfindlich auf den Stenosegrad und welche nur träge?
# Ab welchem Stenosegrad ändert sich das Strömungsmuster qualitativ, das heißt, ab wann löst die Strömung hinter der Engstelle von der Wand ab und bildet ein Rückströmgebiet?
# Wie weit tragen die vereinfachenden Modellannahmen, insbesondere die Annahme einer stationären und laminaren Strömung, über den untersuchten Bereich der Stenosegrade?

== Modellannahmen ==
Im Hinblick darauf werden für dieses Projekt einige Annahmen getroffen, um das Projekt möglichst isoliert zu untersuchen und zu simplifizieren:

* '''Idealisierte Gefäßgeometrie''': Betrachtet wird ein  Teilabbschnitt der ''Arteria carotis communis'', die sog. ''ACI''. Zudem werden Gefäßverkrümmungen, weitere Verzweigungen und patientenspezifische Strukturen  nicht berücksichtigt. 
* '''Starre Gefäßwand''': Die Gefäßwand wird als unbeweglich und nicht verformbar angenommen. Eine Wechselwirkung zwischen elastischer Gefäßwand und Blutströmung wird nicht modelliert.
* '''Stationäre Strömung''': Die Strömungsgrößen werden als zeitlich konstant angenommen. Die im realen Blutkreislauf vorhandene Pulsation durch den Herzschlag wird daher vernachlässigt: &lt;math&gt;\frac{\partial u}{\partial t}=0&lt;/math&gt;.
* '''Inkompressibles Fluid''': Die Dichte des Fluids wird als konstant angenommen. Damit gilt für die Geschwindigkeit &lt;math&gt;\nabla \cdot u=0&lt;/math&gt;. Dies entspricht der in der Vorlesung behandelten Massenerhaltung für inkompressible Fluide: Was in das Gefäß einströmt, muss auch wieder ausströmen.
* '''Newton'sche Näherung für Blut''': Reales Blut beseitzt ein nicht newton'sches Fließverhalten. Hier wird Blut als Newton'sches Fluid behandelt.
* '''Konstante Stoffeigenschaften''': Dichte &lt;math&gt;\rho&lt;/math&gt; und dynamische Viskosität μ werden als räumlich und zeitlich konstant angenommen. Temperaturabhängigkeiten werden nicht berücksichtigt.
* '''Laminare Strömung''': Die Strömung wird mit dem COMSOL-Modul ''Laminar Flow'' beschrieben. Ein zusätzliches Turbulenzmodell wird nicht verwendet.
* '''No-Slip-Bedingung an Gefäßwand''': Aufgrund der Viskosität wird angenommen, dass das Fluid direkt an der Gefäßwand haftet. Somit gilt &lt;math&gt;u=0&lt;/math&gt;.
* '''Vernachlässigung der Gravitation''': Gravitation wird nicht berücksichtigt. Die Strömung wird ausschließlich durch die gewählten Ein- und Auslassbedingungen bestimmt.

= Relevanz =
Die Untersuchung von Gefäßverengungen besitzt sowohl eine medizinische als auch eine methodische Bedeutung. Aus medizinischer Sicht sind arterielle Stenosen – etwa in der Halsschlagader, lat. ''arteria carotis communis'', – kritisch, da sie die Durchblutung beeinträchtigen und durch veränderte Wandschubspannungen sowie die Bildung von Wirbeln weitere Gefäßablagerungen begünstigen. Stenosen im Bereich der Karotisgabelung sind klinisch hochrelevant, da sie das Gehirn direkt versorgen und das Risiko für embolische Schlaganfälle erhöhen. Fachlich überträgt das Projekt damit die Prinzipien der Strömungsmechanik direkt auf eine biomedizinische Anwendung. Das Projekt verknüpft somit theoretische Grundlagen der Strömungsmechanik (Hagen-Poiseuille-Gleichung, Navier-Stokes-Gleichungen) mit der numerischen Simulation in COMSOL Multiphysics. Durch den Vergleich der '''gesunden Externa (ACE)''' mit der '''stenoisierten Interna (ACI)''' innerhalb desselben Rechengebiets wird die isolierte Wirkung der Stenose unter identischen Randbedingungen direkt sichtbar gemacht.

== Medizinische Relevanz ==

Arterielle Stenosen entstehen überwiegend durch Atherosklerose, also durch Ablagerungen aus Lipiden, Bindegewebe und Kalk in der Gefäßwand. In der Halsschlagader sind sie klinisch besonders bedeutsam, weil sie die Durchblutung des Gehirns beeinträchtigen und weil sich an ihnen Thromben bilden können, die als Embolie einen Schlaganfall auslösen. Dass die operative Entfernung einer hochgradigen Karotisstenose das Schlaganfallrisiko symptomatischer Patienten deutlich senkt, hat die NASCET-Studie gezeigt, deren Einteilung der Stenosegrade dieses Projekt übernimmt.&lt;ref name=&quot;nascet&quot;&gt;North American Symptomatic Carotid Endarterectomy Trial Collaborators: ''Beneficial effect of carotid endarterectomy in symptomatic patients with high-grade carotid stenosis.'' New England Journal of Medicine 325 (1991), Nr. 7, S. 445-453.&lt;/ref&gt;

Strömungsmechanisch ist an einer Stenose vor allem die Wandschubspannung von Interesse, also die tangentiale Kraft je Fläche, die das strömende Blut auf die innerste Zellschicht der Gefäßwand ausübt. Gesunde Halsschlagadern weisen zeitlich gemittelte Werte von etwa 1,1 bis 1,5 Pa auf.&lt;ref name=&quot;samijo&quot;&gt;Samijo, S. K.; Willigers, J. M.; Barkhuysen, R.; Kitslaar, P. J. E. H. M.; Reneman, R. S.; Brands, P. J.; Hoeks, A. P. G.: ''Wall shear stress in the human common carotid artery as function of age and gender.'' Cardiovascular Research 39 (1998), Nr. 2, S. 515-522.&lt;/ref&gt; In einer Engstelle steigt sie stark an, unmittelbar dahinter fällt sie im Ablösegebiet auf nahezu null und wechselt dort sogar das Vorzeichen. Niedrige und im Vorzeichen wechselnde Wandschubspannungen gelten als Bedingungen, unter denen sich weitere Ablagerungen bevorzugt bilden. Eine bestehende Stenose schafft also stromabwärts die Voraussetzungen für ihr eigenes Wachstum. Genau diese Verteilung lässt sich im Körper nur schwer messen, in einer Simulation dagegen unmittelbar auswerten.

== Methodische Relevanz ==

Fachlich überträgt das Projekt die Prinzipien der Strömungsmechanik aus der Vorlesung auf eine biomedizinische Anwendung.&lt;ref name=&quot;hundertmark&quot;&gt;Hundertmark, A.: ''Fluiddynamik.'' Vorlesungsunterlagen zum Modul Räumliche Modellbildung, RPTU Kaiserslautern-Landau, Sommersemester 2026.&lt;/ref&gt; Der methodische Mehrwert liegt in der Verknüpfung mehrerer Zugänge, die sich gegenseitig kontrollieren. Die analytische Poiseuille-Lösung liefert exakte Sollwerte für das gesunde Gefäß. Ein reduziertes Graphenmodell liefert für jeden Stenosegrad eine schnelle Abschätzung, die analytisch nachrechenbar ist. Die Simulationen in COMSOL Multiphysics lösen schließlich die vollständigen Navier-Stokes-Gleichungen in zwei und drei Raumdimensionen. Weil jede Stufe die Sollwerte der nächsten liefert, zeigt das Projekt nicht nur Ergebnisse, sondern auch, wie numerische Modelle aufgebaut, verifiziert und an ihren Grenzen bewertet werden.

== Auswahl der Stenosegrade ==

Um die untersuchten Gefäßverengungen nicht willkürlich festzulegen, orientiert sich die Auswahl der Stenosegrade an der klinisch gebräuchlichen NASCET-Klassifikation von Karotisstenosen.&lt;ref name=&quot;nascet&quot; /&gt; Zur klinischen Einordnung werden Karotisstenosen anhand der nach NASCET bestimmten Durchmesserreduktion in leichtgradige, mittelgradige und hochgradige Stenosen eingeteilt. Die angegebenen Prozentgrenzen dienen in diesem Projekt als Orientierung für die Auswahl der untersuchten Stenosegrade. Ein vollständiger Gefäßverschluss wird als Okklusion bezeichnet.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Klinische Einteilung nach NASCET-gemessener Durchmesserreduktion und untersuchte Stenosegrade
! Schweregrad !! Durchmesserreduktion !! im Projekt gerechnete Stenosegrade !! hervorgehobener Vertreter
|-
| gesundes Gefäß || 0 % || 0 || 0
|-
| leichtgradige Stenose || unter 50 % || 0,1 bis 0,4 || 0,3
|-
| mittelgradige Stenose || 50 bis 69 % || 0,5 und 0,6 || 0,6
|-
| hochgradige Stenose || 70 bis 99 % || 0,7 und 0,8 || 0,8
|-
| Okklusion || 100 % || nicht gerechnet || entfällt
|}
'''Anmerkung''': Die Klassengrenzen dienen der Einordnung der Modellvarianten. Die in der Tabelle genannten Stenosegrade sind dimensionslose Werte, beispielsweise entspricht '''&lt;math&gt;s=0{,}6&lt;/math&gt;''' einer Durchmesserreduktion von '''60 %'''.

Für die numerische Untersuchung wird aus jeder Kategorie ein repräsentativer Stenosegrad hervorgehoben. Neben dem gesunden Gefäß mit '''0 %''' Stenose sind das eine '''30 %''' Stenose als Beispiel für eine leichtgradige, eine '''60 %''' Stenose als Beispiel für eine mittelgradige und eine '''80 %''' Stenose als Beispiel für eine hochgradige Verengung. Zusätzlich werden für das Graphenmodell und das achsensymmetrische Flächenmodell Stenosegrade von 0 bis 80 % in Schritten von zehn Prozentpunkten vorgesehen. Dadurch kann die Abhängigkeit der Strömungsgrößen vom Stenosegrad systematisch untersucht und grafisch dargestellt werden. Ob alle Modellvarianten tatsächlich berechnet wurden und wie hoch der Rechenaufwand war, wird anhand der durchgeführten Simulationen dokumentiert. Ein vollständiger Gefäßverschluss wird nicht simuliert, da in diesem Fall keine durchgängige Strömung mehr vorliegt.

Der Stenosegrad wird in diesem Projekt wie bei NASCET über die Verringerung des Gefäßdurchmessers beschrieben,
&lt;math&gt;s = 1 - \frac{d_{\min}}{d_{\mathrm{ref}}},&lt;/math&gt;wobei &lt;math&gt;d_{\min}&lt;/math&gt; der kleinste Durchmesser in der Engstelle und &lt;math&gt;d_{\mathrm{ref}}&lt;/math&gt; ein Referenzdurchmesser ist. NASCET verwendet als Referenz den Durchmesser des gesunden Gefäßes stromabwärts der Stenose. Für das idealisierte gerade Gefäßmodell wird ein konstanter Referenzdurchmesser von &lt;math&gt;D_0=6\,\mathrm{mm}&lt;/math&gt; angenommen. Da das Gefäß außerhalb der Stenose denselben Durchmesser besitzt, gilt in diesem Modell&lt;math&gt;d_{\mathrm{ref}}=D_0&lt;/math&gt;. Bei der zusätzlich betrachteten Gefäßaufzweigung muss der Referenzdurchmesser dagegen gesondert festgelegt werden, da die Gefäßäste unterschiedliche Durchmesser besitzen.

Wichtig für das Verständnis aller weiteren Ergebnisse ist der Unterschied zwischen Durchmesser- und Flächenreduktion. Da die Querschnittsfläche quadratisch vom Durchmesser abhängt, gilt für die Flächenreduktion &lt;math&gt;1-(1-s)^2&lt;/math&gt;. Eine im klinischen Sinn nur mittelgradige Stenose von 60 % verschließt damit bereits 84 % der Querschnittsfläche.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Durchmesser- und Flächenreduktion der gerechneten Stenosegrade
! Stenosegrad s !! 0 !! 0,1 !! 0,2 !! 0,3 !! 0,4 !! 0,5 !! 0,6 !! 0,7 !! 0,8
|-
| engster Durchmesser in mm || 6,0 || 5,4 || 4,8 || 4,2 || 3,6 || 3,0 || 2,4 || 1,8 || 1,2
|-
| Flächenreduktion || 0 % || 19 % || 36 % || 51 % || 64 % || 75 % || 84 % || 91 % || 96 %
|}

Eine Einschränkungen gehört zur ehrlichen Einordnung: 
# Mit zunehmendem Stenosegrad, insbesondere bei ausgeprägten Verengungen, können lokale Beschleunigungen, Strömungsablösungen und zeitabhängige Strömungsstrukturen auftreten. Daher muss bei den hochgradigen Stenosen geprüft werden, inwieweit die Annahme einer stationären, laminaren Strömung geeignet ist. Eine feste Grenze bei &lt;math&gt;s=0{,}6&lt;/math&gt; lässt sich ohne entsprechende Simulationsergebnisse oder Literaturbelege nicht allgemein festlegen. Die hochgradigen Fälle werden deshalb unter besonderer Berücksichtigung der Modellannahmen diskutiert.

Unter Modellierung wird in diesem Projekt die Übertragung der Blutströmung in einer verengten Arterie auf ein mathematisches und numerisch lösbares Strömungsproblem verstanden. Dazu werden die Gefäßgeometrie, die zugrunde liegenden Gleichungen, die physikalischen Materialparameter sowie die Anfangs- und Randbedingungen festgelegt.

Jeder dieser Bestandteile beruht auf vereinfachenden Annahmen, die begründet und bei der Interpretation der Ergebnisse berücksichtigt werden müssen. Ziel ist es, den Einfluss unterschiedlicher Stenosegrade auf die Strömungsgeschwindigkeit, den Druckverlust und gegebenenfalls die Wandschubspannung systematisch zu untersuchen.

Die Modellierung erfolgt anhand mehrerer Modellvarianten mit unterschiedlicher räumlicher Auflösung. Dadurch können zunächst grundlegende Zusammenhänge analytisch abgeschätzt und anschließend mit numerischen Strömungsberechnungen verglichen werden. Die verwendeten Parameter orientieren sich an den bereitgestellten Referenzdaten und werden in den folgenden Abschnitten erläutert.

== Modellhierarchie ==

Für die Untersuchung werden vier Modellvarianten betrachtet, die sich hinsichtlich ihrer mathematischen Beschreibung, ihrer räumlichen Dimension und ihres Rechenaufwands unterscheiden. Die Modelle sind bewusst von einer vereinfachten analytischen Beschreibung bis zu einer dreidimensionalen numerischen Simulation angeordnet.

Diese Vorgehensweise ermöglicht es, die Ergebnisse der komplexeren Modelle anhand grundlegender physikalischer Zusammenhänge und geeigneter Referenzfälle zu überprüfen. Dabei ist zu beachten, dass nicht jede Modellvariante dieselben Strömungseigenschaften vollständig abbilden kann.

{| class=&quot;wikitable&quot; style=&quot;width:100%;&quot;
|+ '''Die vier Modellvarianten des Projekts'''
|-
! Modell
! Raumdimension
! Mathematische Grundlage
! Zweck
! Werkzeug
|-
| '''Graphenmodell'''
| 1D, Beschreibung entlang der Gefäßachse
| Hagen-Poiseuille-Gesetz für vereinfachte Rohrabschnitte und Massenerhaltung an Verzweigungsknoten
| Analytische Abschätzung von Volumenströmen und Druckverlusten; Referenz für die numerischen Modelle
| Octave; gegebenenfalls COMSOL mit geeigneter eindimensionaler Formulierung
|-
| '''Achsensymmetrisches Flächenmodell'''
| 2D, rotationssymmetrischer Längsschnitt in den Koordinaten &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;z&lt;/math&gt;
| Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen in achsensymmetrischer Form
| Detaillierte Untersuchung von Geschwindigkeits- und Druckfeldern sowie der Wandschubspannung in einem idealisierten rotationssymmetrischen Gefäß
| COMSOL Multiphysics, Laminar Flow
|-
| '''Ebenes Flächenmodell'''
| 2D, ebene Geometrie in den Koordinaten &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;y&lt;/math&gt;
| Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen in kartesischen Koordinaten
| Untersuchung der Strömung in einer vereinfachten ebenen Geometrie und Vergleich mit dem achsensymmetrischen Modell
| COMSOL Multiphysics, Laminar Flow
|-
| '''Volumenmodell'''
| 3D, räumliche Gefäßgeometrie
| Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen in drei Raumdimensionen
| Räumliche Darstellung der Strömung und Überprüfung der Ergebnisse des achsensymmetrischen Modells bei vergleichbarer Geometrie
| COMSOL Multiphysics, Laminar Flow
|}

=== Vergleich und Überprüfung der Modellvarianten ===

Die Modellhierarchie folgt dem Prinzip, dass zunächst vereinfachte Zusammenhänge untersucht und anschließend mit detaillierteren numerischen Modellen verglichen werden.

Das '''Graphenmodell''' bildet die einfachste Modellvariante. Es verwendet das Hagen-Poiseuille-Gesetz zur Abschätzung des Druckverlustes in geraden Rohrabschnitten mit konstantem Durchmesser. Für den unverengten Referenzfall kann damit eine analytische Vergleichsgröße bestimmt werden. Im Bereich einer Stenose ist die Anwendung jedoch nur als vereinfachte Näherung geeignet, da dort zusätzliche Strömungseffekte auftreten können.

Das '''achsensymmetrische Flächenmodell''' ermöglicht eine detailliertere Untersuchung des Geschwindigkeits- und Druckfeldes innerhalb einer idealisierten rotationssymmetrischen Gefäßverengung. Im unverengten Referenzfall können die numerischen Ergebnisse mit der analytischen Poiseuille-Lösung verglichen werden. Bei zunehmendem Stenosegrad werden insbesondere die Beschleunigung im Bereich der Engstelle, der Druckverlust und die Wandschubspannung betrachtet.

Das '''ebene Flächenmodell''' beschreibt die Strömung in einer zweidimensionalen kartesischen Geometrie. Im Unterschied zum achsensymmetrischen Modell wird dabei keine Rotationssymmetrie vorausgesetzt. Da sich die geometrische Beschreibung des Strömungsquerschnitts unterscheidet, sind die Ergebnisse nicht ohne Weiteres quantitativ gleichzusetzen. Der Vergleich dient insbesondere dazu, den Einfluss der Modellvereinfachung auf die berechneten Strömungsgrößen zu untersuchen.

Das '''Volumenmodell''' erweitert die Untersuchung auf drei Raumdimensionen. Bei einer rotationssymmetrischen Geometrie und entsprechend übereinstimmenden Randbedingungen wird eine weitgehende Übereinstimmung mit dem achsensymmetrischen Modell erwartet. Diese Übereinstimmung muss jedoch anhand der numerischen Ergebnisse überprüft werden. Bei einer Gefäßaufzweigung oder einer asymmetrischen Stenose können zusätzliche räumliche Strömungseffekte auftreten, die durch ein achsensymmetrisches Modell nicht vollständig beschrieben werden.

=== Referenzfall und Vergleichsgrößen ===

Als Ausgangspunkt dient ein unverengtes Gefäß mit dem Referenzdurchmesser &lt;math&gt;D_0=6\,\mathrm{mm}&lt;/math&gt;. Für das Blut werden eine Dichte von &lt;math&gt;\rho_b=1060\,\mathrm{kg/m^3}&lt;/math&gt; und eine dynamische Viskosität von &lt;math&gt;\mu_b=3{,}5\,\mathrm{mPa\,s}&lt;/math&gt; angenommen.

Der vorgegebene mittlere Volumenstrom beträgt &lt;math&gt;Q_0=6\,\mathrm{ml/s}&lt;/math&gt;. Daraus ergibt sich für den unverengten kreisförmigen Querschnitt eine mittlere Strömungsgeschwindigkeit von ungefähr &lt;math&gt;U_0=0{,}2122\,\mathrm{m/s}&lt;/math&gt;.

Die Referenz-Reynolds-Zahl beträgt &lt;math&gt;\mathrm{Re}_0=385{,}6&lt;/math&gt;. Für den in den Referenzdaten definierten Vergleichsfall ist außerdem ein analytischer Druckverlust von &lt;math&gt;\Delta p_{\mathrm{ref}}=99{,}03\,\mathrm{Pa}&lt;/math&gt; angegeben.

Diese Größen dienen als Ausgangspunkt für die Überprüfung der numerischen Modelle. Ein direkter Vergleich ist jedoch nur zulässig, wenn die jeweils verwendete Geometrie, die Auswertelänge und die Randbedingungen übereinstimmen.

=== Grenzen der Modellhierarchie ===

Die vier Modellvarianten unterscheiden sich nicht nur im Rechenaufwand, sondern auch in den physikalischen Effekten, die sie darstellen können.

Insbesondere bei hochgradigen Stenosen können starke lokale Geschwindigkeitsänderungen, Strömungsablösungen und zeitabhängige Strömungsstrukturen auftreten. Deshalb muss überprüft werden, ob die Annahme einer stationären laminaren Strömung für die betrachteten Fälle ausreichend ist.

Außerdem muss zwischen dem idealisierten geraden Gefäßmodell und einer Gefäßaufzweigung unterschieden werden. Das achsensymmetrische Modell eignet sich für eine rotationssymmetrische Stenose in einem geraden Gefäß, während eine realistische Gefäßaufzweigung eine andere geometrische Beschreibung erfordert.

Die Modellvarianten werden daher nicht als vollständig gleichwertig betrachtet. Vielmehr soll der Vergleich zeigen, welche Aussagen bereits durch vereinfachte Modelle möglich sind und für welche Strömungseigenschaften eine detailliertere numerische Beschreibung erforderlich ist.

= Modellierung =

Modellierung bedeutet hier, die reale Situation in eine mathematische Aufgabe zu übersetzen, die sich lösen lässt. Dazu gehören vier Bausteine, nämlich das Rechengebiet, die Gleichungen, die Zahlenwerte der Parameter und die Bedingungen an den Rändern. Jeder dieser Bausteine beruht auf Annahmen, und jede Annahme muss begründet werden. Dieser Abschnitt geht die Bausteine deshalb der Reihe nach durch und nennt bei jedem Zahlenwert, woher er stammt und warum er sinnvoll ist.

== Modellhierarchie ==

Das Projekt rechnet nicht ein einziges Modell, sondern vier aufeinander aufbauende Modellvarianten. Sie entsprechen der Kursanforderung, eine Strömung als Graph, in zwei und in drei Raumdimensionen darzustellen, und sie sind bewusst von einfach nach aufwendig geordnet.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Die vier Modellvarianten des Projekts
! Modell !! Raumdimension !! gelöste Gleichung !! Zweck !! Werkzeug
|-
| Graphenmodell || 1D, Gefäßachse || Hagen-Poiseuille je Rohrstück und Massenerhaltung in jedem Knoten || schnelle, analytisch nachrechenbare Abschätzung für jeden Stenosegrad || Octave und COMSOL (Koeffizientenform-PDGL)
|-
| achsensymmetrisches Flächenmodell || 2D, Halbschnitt in r und z || vollständige stationäre Navier-Stokes-Gleichungen in Zylinderkoordinaten || Hauptmodell, liefert alle Feldgrößen des rotationssymmetrischen Rohres || COMSOL, Laminare Strömung
|-
| ebenes Flächenmodell || 2D, Halbschnitt in x und y || vollständige stationäre Navier-Stokes-Gleichungen in kartesischen Koordinaten || Vergleich, zeigt den Einfluss der zweiten Querschnittsrichtung || COMSOL, Laminare Strömung
|-
| Volumenmodell || 3D || vollständige stationäre Navier-Stokes-Gleichungen || Kontrolle des Hauptmodells und räumliche Darstellung || COMSOL, Laminare Strömung
|}

Die Reihenfolge folgt einem einfachen Prinzip. Jede Stufe liefert die Sollwerte, an denen die nächste, komplexere Stufe geprüft wird. Das Graphenmodell muss im gesunden Fall exakt die Poiseuille-Lösung ergeben. Das achsensymmetrische Modell muss im gesunden Fall dieselben Werte liefern und bei Stenose für Geschwindigkeit und Wandschubspannung in der Nähe des Graphenmodells liegen. Das Volumenmodell muss, weil die Geometrie rotationssymmetrisch ist, mit dem achsensymmetrischen Modell übereinstimmen.

== Modellannahmen ==

Um den Einfluss des Stenosegrades möglichst isoliert zu untersuchen, werden die folgenden Modellannahmen getroffen. Die Tabelle nennt zu jeder Annahme ihre mathematische Form, die Begründung und die Stelle, an der sie im Projekt überprüft wird.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Modellannahmen, ihre Begründung und ihre Überprüfung
! Annahme !! mathematische Form !! Begründung !! Überprüfung
|-
| Idealisierte Gefäßgeometrie || gerades Rohr mit kosinusförmiger, rotationssymmetrischer Verengung || isoliert die Wirkung des Stenosegrades von Krümmung, Verzweigung und Plaqueform || Diskussion in den Schlussfolgerungen
|-
| Starre Gefäßwand || Wand ortsfest, keine Fluid-Struktur-Kopplung || im stationären Fall gibt es keine Druckschwankung, die die Wand periodisch aufweiten könnte || Abschätzung über die gemessene Durchmesseränderung im Herzzyklus
|-
| Stationäre Strömung || &lt;math&gt;\partial \mathbf{u}/\partial t = \mathbf{0}&lt;/math&gt; || der Einfluss des Stenosegrades soll ohne Überlagerung durch die Pulsation sichtbar werden || Abschätzung über die Womersley-Zahl
|-
| Inkompressibles Fluid || &lt;math&gt;\rho = \mathrm{const}&lt;/math&gt;, damit &lt;math&gt;\nabla\cdot\mathbf{u} = 0&lt;/math&gt; || Blut ist eine Flüssigkeit, Druckänderungen von wenigen hundert Pascal ändern die Dichte nicht messbar || Massenerhaltung in fünf Querschnitten
|-
| Newtonsche Näherung || konstante Viskosität &lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt; || die Scherraten an der Wand und im größten Teil des Querschnitts liegen über dem Bereich, in dem Blut deutlich scherverdünnend wirkt || Scherrate an der Wand, Diskussion des Rückströmgebiets
|-
| Konstante Stoffeigenschaften || &lt;math&gt;\rho&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt; räumlich und zeitlich konstant || Körpertemperatur ist im betrachteten Abschnitt konstant || entfällt
|-
| Laminare Strömung || kein Turbulenzmodell, Schnittstelle Laminare Strömung || Reynoldszahl des gesunden Gefäßes von 386 liegt weit unter dem Umschlagbereich || Reynoldszahl in der Engstelle, Literaturvergleich
|-
| Haftbedingung an der Wand || &lt;math&gt;\mathbf{u} = \mathbf{0}&lt;/math&gt; auf der Wand || Folge der Viskosität, das Fluid haftet an der Wand || Grundlage jeder Wandschubspannung
|-
| Vernachlässigung der Gravitation || keine Volumenkraft || bei konstanter Dichte lässt sich die Schwerkraft vollständig in einen hydrostatischen Druckanteil verschieben und beeinflusst die Geschwindigkeit nicht || Begründung in den Mathematischen Hintergründen
|-
| Voll entwickelte Einströmung || parabolisches Profil am Einlass || die natürliche Einlaufstrecke wäre mit rund 139 mm fast so lang wie das ganze Rechengebiet || Scheitelgeschwindigkeit im gesunden Fall
|-
| Eingeprägter Volumenstrom || &lt;math&gt;Q = Q_0&lt;/math&gt; am Einlass || der Strömungswiderstand des Abschnitts ist klein gegenüber dem des nachgeschalteten Gefäßbetts || Abschätzung mit einem Reihenwiderstand
|}

Einige dieser Annahmen sind unmittelbar einsichtig, andere verdienen eine genauere Begründung, weil von ihnen die Aussagekraft der Ergebnisse abhängt.

Die '''Newtonsche Näherung''' ist die Annahme, die bei Blut am häufigsten hinterfragt wird. Reales Blut ist eine Suspension aus Plasma und Blutzellen und verhält sich scherverdünnend. Bei kleinen Scherraten lagern sich die roten Blutkörperchen zu geldrollenartigen Stapeln zusammen, und die Viskosität steigt auf ein Vielfaches an. Bei großen Scherraten lösen sich diese Stapel auf, und die Viskosität strebt gegen einen Grenzwert von etwa 3,5 mPa·s. Entscheidend ist also die Scherrate. An der Wand des gesunden Modellgefäßes beträgt sie nach der Poiseuille-Lösung

&lt;math&gt;\dot\gamma_w = \frac{4\,U_0}{R_0} = \frac{4 \cdot 0{,}2122\ \mathrm{m/s}}{0{,}003\ \mathrm{m}} \approx 283\ \mathrm{s^{-1}}&lt;/math&gt;

und liegt damit oberhalb von etwa 100 pro Sekunde, wo sich Newtonsches und nicht Newtonsches Modell nach der Literatur nur noch wenig unterscheiden.&lt;ref name=&quot;boyd&quot;&gt;Die Grenze von etwa 100 s&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt; wird in vergleichenden Studien zur Blutrheologie verwendet, etwa bei Bernabeu, M. O. u. a.: ''Impact of blood rheology on wall shear stress in a model of the middle cerebral artery.'' Interface Focus 3 (2013), 20120094. &lt;!-- FIXME Zitat und Seitenangabe am Original pruefen --&gt;&lt;/ref&gt; In der Engstelle steigt die Scherrate weiter an, beim Stenosegrad 0,5 auf rund 2260 pro Sekunde. Schwach ist die Näherung dort, wo die Scherrate klein wird, also in der Mitte des Gefäßes und vor allem im Rückströmgebiet hinter der Stenose. Dort ist reales Blut zäher als angenommen. Dieser Punkt wird in den Schlussfolgerungen wieder aufgegriffen.

Die '''stationäre Strömung''' ist die stärkste Vereinfachung. Wie wichtig die Pulsation ist, misst die Womersley-Zahl, die das Verhältnis von instationärer Trägheit zu Reibung angibt. Mit einer Herzfrequenz von 60 Schlägen je Minute, also einer Kreisfrequenz &lt;math&gt;\omega = 2\pi\ \mathrm{s^{-1}}&lt;/math&gt;, ergibt sich

&lt;math&gt;\alpha = R_0 \sqrt{\frac{\omega \rho}{\mu}} = 0{,}003\ \mathrm{m} \cdot \sqrt{\frac{2\pi\ \mathrm{s^{-1}} \cdot 1060\ \mathrm{kg/m^3}}{0{,}0035\ \mathrm{Pa\,s}}} \approx 4{,}1 .&lt;/math&gt;

Ein Wert in dieser Größenordnung bedeutet, dass das reale Geschwindigkeitsprofil im Herzzyklus merklich von der Parabel abweicht.&lt;ref name=&quot;womersley&quot;&gt;Womersley, J. R.: ''Method for the calculation of velocity, rate of flow and viscous drag in arteries when the pressure gradient is known.'' Journal of Physiology 127 (1955), S. 553-563.&lt;/ref&gt; Hinzu kommt, dass der Volumenstrom in der Systole kurzzeitig auf rund das Vierfache des Mittelwerts steigt.&lt;ref name=&quot;holdsworth&quot;&gt;Holdsworth, D. W.; Norley, C. J. D.; Frayne, R.; Steinman, D. A.; Rutt, B. K.: ''Characterization of common carotid artery blood-flow waveforms in normal human subjects.'' Physiological Measurement 20 (1999), Nr. 3, S. 219-240. DOI 10.1088/0967-3334/20/3/301. Angegeben werden ein mittlerer Volumenstrom von 6,0 ± 1,4 ml/s und ein systolischer Spitzenwert von 23,5 ± 3,8 ml/s. &lt;!-- FIXME Zahlenwerte und Probandenzahl am Original pruefen --&gt;&lt;/ref&gt; Die stationäre Rechnung mit dem Mittelwert beschreibt deshalb nicht den zeitlichen Verlauf, wohl aber den zeitlich gemittelten Zustand, an dem sich der Einfluss des Stenosegrades sauber vergleichen lässt.

Die '''laminare Strömung''' wird über die Reynoldszahl begründet. Sie beträgt im gesunden Gefäß 386 und liegt damit weit unter dem Wert von etwa 2300, ab dem die Strömung in einem geraden Rohr in den Übergangsbereich gelangen kann. In der Engstelle steigt sie bei festem Volumenstrom auf &lt;math&gt;Re_0/(1-s)&lt;/math&gt;, also auf 551 beim Stenosegrad 0,3, auf 964 beim Grad 0,6 und auf 1928 beim Grad 0,8. Für den Strahl hinter einer Engstelle ist der Umschlagbereich allerdings deutlich niedriger als im geraden Rohr. Direkte numerische Simulationen an genau der in diesem Projekt verwendeten Stenosegeometrie zeigen, dass die Strömung bei einer Einström-Reynoldszahl von 500 auch bei leichter Unsymmetrie laminar bleibt, bei 1000 dagegen schon eine Exzentrizität von fünf Prozent des Durchmessers genügt, um den Strahl in lokal turbulente Strömung umschlagen zu lassen.&lt;ref name=&quot;varghese&quot;&gt;Varghese, S. S.; Frankel, S. H.; Fischer, P. F.: ''Direct numerical simulation of stenotic flows. Part 1. Steady flow.'' Journal of Fluid Mechanics 582 (2007), S. 253-280. Untersucht wird eine kosinusförmige Stenose der Länge 2D mit 75 % Flächenreduktion, die mit der Geometrie dieses Projekts beim Stenosegrad 0,5 übereinstimmt. &lt;!-- FIXME Band und Seiten am Original pruefen --&gt;&lt;/ref&gt; Mit einer Einström-Reynoldszahl von 386 liegt das Projekt für die leicht- und mittelgradigen Stenosen sicher im laminaren Bereich. Für die hochgradigen Stenosen ab 0,7 ist ein laminares, stationäres Modell dagegen nur noch eine Näherung, die eine Obergrenze der geordneten Strömung beschreibt. Diese Fälle werden deshalb als Grenzfall des Modells gekennzeichnet.

Die '''starre Wand''' lässt sich über Messungen abschätzen. Der Durchmesser der gemeinsamen Halsschlagader ändert sich im Herzzyklus bei jungen Menschen um etwa 12 bis 14 Prozent und bei älteren Menschen um etwa 5 Prozent.&lt;ref name=&quot;hansen&quot;&gt;Hansen, F.; Mangell, P.; Sonesson, B.; Länne, T.: ''Diameter and compliance in the human common carotid artery: variations with age and sex.'' Ultrasound in Medicine and Biology 21 (1995), Nr. 1, S. 1-9. DOI 10.1016/0301-5629(94)00090-5.&lt;/ref&gt; Diese Bewegung ist eine Folge der Pulsation. In einer stationären Rechnung gibt es keine Druckschwankung, die die Wand periodisch aufweiten könnte, sodass die starre Wand zur stationären Annahme konsistent ist. Eine verkalkte Plaque ist ohnehin deutlich steifer als die gesunde Wand.

Die Annahme des '''eingeprägten Volumenstroms''' wird im Abschnitt zu den Randbedingungen begründet, weil sie sich nur im Zusammenhang mit dem Kreislauf beurteilen lässt.

== Simulationsgebiet und Geometrie ==

Die Gefäßachse ist die z-Achse, der Ursprung liegt in der Mitte der Stenose, und &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; bezeichnet den Abstand von der Achse. Das Rechengebiet reicht von &lt;math&gt;z = -L_u&lt;/math&gt; bis &lt;math&gt;z = L_d&lt;/math&gt; und wird radial von der Wandkontur &lt;math&gt;R(z)&lt;/math&gt; begrenzt. Die Verengung wird über eine einzige glatte Funktion beschrieben,

&lt;math&gt;R(z) = R_0 \left[ 1 - \frac{s}{2}\left(1 + \cos\frac{2\pi z}{L_s}\right)\right] \quad \text{falls } |z| \le \frac{L_s}{2}, \qquad R(z) = R_0 \ \text{sonst.}&lt;/math&gt;

Die Funktion hat drei Eigenschaften, die ihre Wahl begründen. Sie wird erstens über einen einzigen Parameter gesteuert, den Stenosegrad &lt;math&gt;s&lt;/math&gt;. Der engste Radius in der Mitte beträgt &lt;math&gt;R(0) = R_0(1-s)&lt;/math&gt;, und der Fall ohne Verengung ist einfach der Fall &lt;math&gt;s = 0&lt;/math&gt;. Die gesamte Vergleichsreihe entsteht damit aus einem einzigen parametrischen Sweep. Sie geht zweitens an beiden Enden der Störstelle ohne Knick in das gerade Rohr über. Bei &lt;math&gt;z = \pm L_s/2&lt;/math&gt; ist der Kosinus gleich minus eins, die Klammer also null, und seine Ableitung verschwindet dort ebenfalls. Das ist nicht nur ästhetisch, sondern numerisch notwendig, denn ein Knick in der Wand erzeugt eine Singularität der Wandschubspannung, deren berechneter Wert mit jeder Netzverfeinerung weiter wüchse. Eine Netzstudie wäre dann sinnlos. Sie ist drittens die in der Literatur gebräuchliche Standardgeometrie für Stenosen, sodass sich die Ergebnisse unmittelbar mit veröffentlichten Rechnungen vergleichen lassen.&lt;ref name=&quot;varghese&quot; /&gt;

[[Datei:Stenose Gruppe5 Wandkontur.svg|mini|zentriert|800px|Wandkontur &lt;math&gt;R(z)&lt;/math&gt; für die untersuchten Stenosegrade. Die Darstellung ist in radialer Richtung gestreckt, das Rechengebiet ist in Wirklichkeit fünfundzwanzigmal länger als breit.]]
&lt;!-- FIXME Abbildung mit abbildungen_graph_1d.m fuer s = 0 bis 0,8 neu erzeugen, bisher nur bis 0,5 --&gt;

Die Abmessungen des Rechengebiets werden alle aus dem Gefäßradius abgeleitet. Das hat den Vorteil, dass sich das gesamte Modell durch Ändern eines einzigen Wertes auf ein anderes Gefäß übertragen lässt. Die einzelnen Längen werden im Folgenden Schritt für Schritt begründet.

# Der '''Gefäßradius''' &lt;math&gt;R_0 = 3\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; folgt aus Ultraschallmessungen an gesunden Erwachsenen. Dort wurden für die gemeinsame Halsschlagader mittlere Durchmesser von 6,10 ± 0,80 mm bei Frauen und 6,52 ± 0,98 mm bei Männern gemessen.&lt;ref name=&quot;krejza&quot;&gt;Krejza, J.; Arkuszewski, M.; Kasner, S. E.; Weigele, J.; Ustymowicz, A.; Hurst, R. W.; Cucchiara, B. L.; Messe, S. R.: ''Carotid artery diameter in men and women and the relation to body and neck size.'' Stroke 37 (2006), Nr. 4, S. 1103-1105. DOI 10.1161/01.STR.0000206440.48756.f7.&lt;/ref&gt; Der gewählte Durchmesser von &lt;math&gt;D_0 = 6\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; liegt damit innerhalb einer Standardabweichung beider Gruppen und ist bewusst auf einen runden Wert gesetzt, damit alle abgeleiteten Längen glatte Zahlen ergeben.
# Die '''Länge der Störstelle''' &lt;math&gt;L_s = 2 D_0 = 12\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; entspricht der Standardgeometrie aus der Literatur, die eine Stenosenlänge von zwei Durchmessern verwendet.&lt;ref name=&quot;varghese&quot; /&gt; Damit ist beim Stenosegrad 0,5 ein direkter Vergleich mit veröffentlichten Ergebnissen möglich.
# Die '''Vorlaufstrecke''' &lt;math&gt;L_u = 5 D_0 = 30\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; trennt den Einlass von der Stenose. Da am Einlass bereits das voll entwickelte Profil vorgegeben wird, muss sie nicht die Einlaufstrecke abdecken, sondern nur verhindern, dass die Einströmrandbedingung die Strömung an der Engstelle beeinflusst. Bei Reynoldszahlen in dieser Größenordnung reicht der Einfluss einer Verengung nur wenige Durchmesser stromaufwärts, die Literatur kommt für dieselbe Geometrie mit drei Durchmessern Vorlauf aus.&lt;ref name=&quot;varghese&quot; /&gt; Fünf Durchmesser lassen also eine Reserve. Überprüft wird das im Ergebnis, indem die Geschwindigkeit auf der Achse in der Mitte der Vorlaufstrecke mit dem Sollwert &lt;math&gt;2U_0&lt;/math&gt; verglichen wird.
# Die '''Nachlaufstrecke''' &lt;math&gt;L_d = 20 D_0 = 120\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; ist deutlich länger, weil sich hinter der Engstelle ein Rückströmgebiet bildet, das nicht auf den Auslass treffen darf. Für die Geometrie mit dem Stenosegrad 0,5 legt die Strömung bei einer Einström-Reynoldszahl von 500 erst etwa zehn Durchmesser hinter der Engstelle wieder an, die Literatur rechnet mit sechzehn Durchmessern Nachlauf.&lt;ref name=&quot;varghese&quot; /&gt; Zwanzig Durchmesser bieten damit für alle Stenosegrade bis 0,5 einen Sicherheitsabstand. Für die Grade ab 0,6 ist ein längeres Rückströmgebiet zu erwarten, dort wird die Lage des Wiederanlegepunktes ausdrücklich kontrolliert.
# Das '''Ende des fein vernetzten Nachlaufs''' &lt;math&gt;L_f = L_s/2 + 10 D_0 = 66\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; legt fest, bis wohin das Netz verfeinert wird. Der Wert ist so gewählt, dass das erwartete Rückströmgebiet von etwa zehn Durchmessern vollständig im feinen Bereich liegt.

Damit hat das Rechengebiet eine Gesamtlänge von &lt;math&gt;L = L_u + L_d = 150\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt;, also das Fünfundzwanzigfache des Durchmessers. Es ist ein Modellgebiet und kein maßstäbliches Abbild eines bestimmten anatomischen Abschnitts.

== Stoff- und Strömungsparameter ==

Die Stoffwerte des Blutes und der Volumenstrom sind die einzigen Eingangsgrößen, die nicht aus der Geometrie folgen. Aus ihnen werden alle weiteren Strömungskennwerte berechnet. Die folgenden Schritte zeigen jede Rechnung einzeln, damit sich jeder Wert nachprüfen lässt.

# Die '''Dichte''' wird mit &lt;math&gt;\rho = 1060\ \mathrm{kg/m^3}&lt;/math&gt; angesetzt. Der Wert lässt sich als Mischungsregel plausibel machen. Plasma hat eine Dichte von etwa 1025 kg/m³, rote Blutkörperchen von etwa 1100 kg/m³. Bei einem Zellanteil von 45 % ergibt sich &lt;math&gt;0{,}55 \cdot 1025 + 0{,}45 \cdot 1100 \approx 1059\ \mathrm{kg/m^3}&lt;/math&gt;. Die Dichte geht nur über die Reynoldszahl in die Rechnung ein, eine Abweichung von einem Prozent ändert die Ergebnisse daher kaum. &lt;!-- FIXME Lehrbuchquelle fuer Plasma- und Erythrozytendichte ergaenzen --&gt;
# Die '''dynamische Viskosität''' wird mit &lt;math&gt;\mu = 3{,}5\ \mathrm{mPa\,s}&lt;/math&gt; angesetzt. Das ist der Grenzwert der Blutviskosität bei hohen Scherraten, also genau der Wert, der zur Newtonschen Näherung gehört. Derselbe Wert von 0,035 Poise wird auch im Standardwerk zur Modellierung des Herz-Kreislauf-Systems verwendet.&lt;ref name=&quot;quarteroni&quot;&gt;Quarteroni, A.; Formaggia, L.: ''Mathematical Modelling and Numerical Simulation of the Cardiovascular System.'' In: Ayache, N. (Hrsg.): ''Computational Models for the Human Body.'' Handbook of Numerical Analysis, Bd. XII, Elsevier, Amsterdam 2004, S. 3-127. DOI 10.1016/S1570-8659(03)12001-7. Zur Newtonschen Näherung in großen Gefäßen siehe S. 30, zur Viskosität von 0,035 Poise die Parametertabelle auf S. 116.&lt;/ref&gt;
# Der '''mittlere Volumenstrom''' wird mit &lt;math&gt;Q_0 = 6\ \mathrm{ml/s}&lt;/math&gt; angesetzt. Das ist der zeitlich gemittelte Volumenstrom, der in der gemeinsamen Halsschlagader gesunder Probanden gemessen wurde.&lt;ref name=&quot;holdsworth&quot; /&gt;
# Die '''mittlere Geschwindigkeit''' folgt aus Volumenstrom und Querschnittsfläche, &lt;math&gt;U_0 = \frac{Q_0}{\pi R_0^2} = \frac{6 \cdot 10^{-6}\ \mathrm{m^3/s}}{\pi \cdot (0{,}003\ \mathrm{m})^2} = 0{,}2122\ \mathrm{m/s}&lt;/math&gt;.
# Die '''Reynoldszahl''' des gesunden Gefäßes ist &lt;math&gt;Re_0 = \frac{\rho\, U_0\, D_0}{\mu} = \frac{1060 \cdot 0{,}2122 \cdot 0{,}006}{0{,}0035} = 385{,}6&lt;/math&gt;. Sie wird im Folgenden auf 386 gerundet.
# Die '''Einlauflänge''', die eine anfangs gleichförmige Strömung bis zum voll entwickelten Parabelprofil bräuchte, beträgt nach der gebräuchlichen Abschätzung für laminare Rohrströmungen &lt;math&gt;L_e \approx 0{,}06\, Re_0\, D_0 \approx 0{,}06 \cdot 386 \cdot 6\ \mathrm{mm} \approx 139\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt;.&lt;ref name=&quot;durst&quot;&gt;Durst, F.; Ray, S.; Ünsal, B.; Bayoumi, O. A.: ''The development lengths of laminar pipe and channel flows.'' Journal of Fluids Engineering 127 (2005), Nr. 6, S. 1154-1160. Für große Reynoldszahlen nähert sich die dort angegebene Korrelation dem Wert 0,057·Re·D.&lt;/ref&gt; Das ist fast die gesamte Länge des Rechengebiets. Ein konstantes Einlassprofil würde die Strömung an der Stenose also verfälschen, weshalb am Einlass das voll entwickelte Profil vorgegeben wird.

Damit liegen alle globalen Parameter fest. Die folgende Tabelle enthält sie mit genau den Namen, unter denen sie in COMSOL und in den Octave-Skripten verwendet werden.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Globale Parameter des Modells
! Name !! Ausdruck in COMSOL !! Wert !! Bedeutung !! Herkunft
|-
| R0 || 3[mm] || 3 mm || Gefäßradius || Messwerte nach Krejza u. a. 2006, gerundet
|-
| D0 || 2*R0 || 6 mm || Gefäßdurchmesser || abgeleitet
|-
| Ls || 2*D0 || 12 mm || Länge der Störstelle || Standardgeometrie nach Varghese u. a. 2007
|-
| Lu || 5*D0 || 30 mm || Vorlaufstrecke vor der Stenosemitte || Abstand der Einlassbedingung von der Stenose
|-
| Ld || 20*D0 || 120 mm || Nachlaufstrecke hinter der Stenosemitte || Platz für das Rückströmgebiet
|-
| Lf || Ls/2+10*D0 || 66 mm || Ende des fein vernetzten Nachlaufs || erwartete Länge des Rückströmgebiets
|-
| s || 0 bis 0.8 || 0 bis 0,8 || Stenosegrad bezogen auf den Durchmesser || NASCET-Einteilung
|-
| rho_b || 1060[kg/m^3] || 1060 kg/m³ || Dichte des Blutes || Mischungsregel, Literaturwert
|-
| mu_b || 3.5[mPa*s] || 3,5 mPa·s || dynamische Viskosität des Blutes || Hochscherwert, Quarteroni und Formaggia 2004
|-
| Q0 || 6[ml/s] || 6 ml/s || mittlerer Volumenstrom || Messwerte nach Holdsworth u. a. 1999
|-
| U0 || Q0/(pi*R0^2) || 0,2122 m/s || mittlere Einströmgeschwindigkeit || abgeleitet
|-
| Re0 || rho_b*U0*D0/mu_b || 385,6 || Reynoldszahl des gesunden Gefäßes || abgeleitet
|-
| dp_ref || 8*mu_b*U0*(Lu+Ld)/R0^2 || 99,03 Pa || Poiseuille-Druckabfall des gesunden Gefäßes || abgeleitet, Hagen-Poiseuille
|}


= Literaturverzeichnis =

Alle Quellen sind an den Stellen im Text angegeben, an denen die zugehörigen Werte oder Aussagen verwendet werden. Die Liste wird aus diesen Angaben automatisch erzeugt.

&lt;references /&gt;</text>
      <sha1>p8apmcoch1o3o74vmox68dqrz6636am</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>1115896</id>
      <parentid>1115895</parentid>
      <timestamp>2026-10-12T16:43:48Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Heitele</username>
        <id>38553</id>
      </contributor>
      <comment>/* Modellhierarchie */</comment>
      <origin>1115896</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="41742" sha1="p9nuyj1ga5ntrvlqfbhzdsjb47bf77j" xml:space="preserve">= Gruppenteilnehmer =
* Joey Becker
* Marie-Thérèse Heitele
* Nicole Pander

= Thema und Fragestellung =

Gegenstand dieses Projekts ist die numerische Simulation der Blutströmung in einer verzweigten Halsschlagader ('''Carotis-Bifurkation''') unter dem Einfluss einer lokalen Gefäßverengung ('''Stenose''').
Im Vergleich zu einfachen Rohrströmungen wird hier die realitätsnahe Gefäßanatomie betrachtet: Die '''Arteria carotis communis (ACC)''' teilt sich in die '''Arteria carotis externa (ACE)''' und die '''Arteria carotis interna (ACI)''' auf. Während die '''ACE''' als gesunder, stenosefreier Ast dient, wird in der '''ACI''' eine geglättete, kosinusförmige Gefäßverengung modelliert. Um scharfe Kanten und unphysiologische Druckspitzen zu vermeiden, werden alle Wandübergänge und die Gabelungsspitze (Apex) anatomisch verrundet.

Als Referenz dient ein gesundes, unverengtes Gefäß, in dem sich die Poiseuille-Strömung mit ihrem charakteristischen parabolischen Geschwindigkeitsprofil ausbildet. Diese Strömung ist aus zwei Gründen der natürliche Ausgangspunkt. Sie beschreibt den physiologischen Normalfall, mit dem jeder Stenosegrad verglichen wird, und sie ist exakt lösbar, sodass sich an ihr jede numerische Rechnung prüfen lässt, bevor die Verengung hinzukommt.

== Fragestellung ==
Die Hauptfragestellung dieses Projektes lautet: 
Wie verändert eine symmetrische bzw. rotationssymmetrische Stenose in der '''Arteria carotis interna (ACI)''' die stationäre Strömung eines inkompressiblen Newton’schen Fluids in einer 2D-Carotis-Bifurkation hinsichtlich Geschwindigkeitsverteilung, Druckabfall, Wandschubspannung und Wirbelbildung im Vergleich zu den gesunden Gefäßabschnitten?

Aus dieser Fragestellung ergeben sich drei Teilfragen, an denen sich der Aufbau der Seite orientiert:

# Welche Strömungsgrößen reagieren empfindlich auf den Stenosegrad und welche nur träge?
# Ab welchem Stenosegrad ändert sich das Strömungsmuster qualitativ, das heißt, ab wann löst die Strömung hinter der Engstelle von der Wand ab und bildet ein Rückströmgebiet?
# Wie weit tragen die vereinfachenden Modellannahmen, insbesondere die Annahme einer stationären und laminaren Strömung, über den untersuchten Bereich der Stenosegrade?

== Modellannahmen ==
Im Hinblick darauf werden für dieses Projekt einige Annahmen getroffen, um das Projekt möglichst isoliert zu untersuchen und zu simplifizieren:

* '''Idealisierte Gefäßgeometrie''': Betrachtet wird ein  Teilabbschnitt der ''Arteria carotis communis'', die sog. ''ACI''. Zudem werden Gefäßverkrümmungen, weitere Verzweigungen und patientenspezifische Strukturen  nicht berücksichtigt. 
* '''Starre Gefäßwand''': Die Gefäßwand wird als unbeweglich und nicht verformbar angenommen. Eine Wechselwirkung zwischen elastischer Gefäßwand und Blutströmung wird nicht modelliert.
* '''Stationäre Strömung''': Die Strömungsgrößen werden als zeitlich konstant angenommen. Die im realen Blutkreislauf vorhandene Pulsation durch den Herzschlag wird daher vernachlässigt: &lt;math&gt;\frac{\partial u}{\partial t}=0&lt;/math&gt;.
* '''Inkompressibles Fluid''': Die Dichte des Fluids wird als konstant angenommen. Damit gilt für die Geschwindigkeit &lt;math&gt;\nabla \cdot u=0&lt;/math&gt;. Dies entspricht der in der Vorlesung behandelten Massenerhaltung für inkompressible Fluide: Was in das Gefäß einströmt, muss auch wieder ausströmen.
* '''Newton'sche Näherung für Blut''': Reales Blut beseitzt ein nicht newton'sches Fließverhalten. Hier wird Blut als Newton'sches Fluid behandelt.
* '''Konstante Stoffeigenschaften''': Dichte &lt;math&gt;\rho&lt;/math&gt; und dynamische Viskosität μ werden als räumlich und zeitlich konstant angenommen. Temperaturabhängigkeiten werden nicht berücksichtigt.
* '''Laminare Strömung''': Die Strömung wird mit dem COMSOL-Modul ''Laminar Flow'' beschrieben. Ein zusätzliches Turbulenzmodell wird nicht verwendet.
* '''No-Slip-Bedingung an Gefäßwand''': Aufgrund der Viskosität wird angenommen, dass das Fluid direkt an der Gefäßwand haftet. Somit gilt &lt;math&gt;u=0&lt;/math&gt;.
* '''Vernachlässigung der Gravitation''': Gravitation wird nicht berücksichtigt. Die Strömung wird ausschließlich durch die gewählten Ein- und Auslassbedingungen bestimmt.

= Relevanz =
Die Untersuchung von Gefäßverengungen besitzt sowohl eine medizinische als auch eine methodische Bedeutung. Aus medizinischer Sicht sind arterielle Stenosen – etwa in der Halsschlagader, lat. ''arteria carotis communis'', – kritisch, da sie die Durchblutung beeinträchtigen und durch veränderte Wandschubspannungen sowie die Bildung von Wirbeln weitere Gefäßablagerungen begünstigen. Stenosen im Bereich der Karotisgabelung sind klinisch hochrelevant, da sie das Gehirn direkt versorgen und das Risiko für embolische Schlaganfälle erhöhen. Fachlich überträgt das Projekt damit die Prinzipien der Strömungsmechanik direkt auf eine biomedizinische Anwendung. Das Projekt verknüpft somit theoretische Grundlagen der Strömungsmechanik (Hagen-Poiseuille-Gleichung, Navier-Stokes-Gleichungen) mit der numerischen Simulation in COMSOL Multiphysics. Durch den Vergleich der '''gesunden Externa (ACE)''' mit der '''stenoisierten Interna (ACI)''' innerhalb desselben Rechengebiets wird die isolierte Wirkung der Stenose unter identischen Randbedingungen direkt sichtbar gemacht.

== Medizinische Relevanz ==

Arterielle Stenosen entstehen überwiegend durch Atherosklerose, also durch Ablagerungen aus Lipiden, Bindegewebe und Kalk in der Gefäßwand. In der Halsschlagader sind sie klinisch besonders bedeutsam, weil sie die Durchblutung des Gehirns beeinträchtigen und weil sich an ihnen Thromben bilden können, die als Embolie einen Schlaganfall auslösen. Dass die operative Entfernung einer hochgradigen Karotisstenose das Schlaganfallrisiko symptomatischer Patienten deutlich senkt, hat die NASCET-Studie gezeigt, deren Einteilung der Stenosegrade dieses Projekt übernimmt.&lt;ref name=&quot;nascet&quot;&gt;North American Symptomatic Carotid Endarterectomy Trial Collaborators: ''Beneficial effect of carotid endarterectomy in symptomatic patients with high-grade carotid stenosis.'' New England Journal of Medicine 325 (1991), Nr. 7, S. 445-453.&lt;/ref&gt;

Strömungsmechanisch ist an einer Stenose vor allem die Wandschubspannung von Interesse, also die tangentiale Kraft je Fläche, die das strömende Blut auf die innerste Zellschicht der Gefäßwand ausübt. Gesunde Halsschlagadern weisen zeitlich gemittelte Werte von etwa 1,1 bis 1,5 Pa auf.&lt;ref name=&quot;samijo&quot;&gt;Samijo, S. K.; Willigers, J. M.; Barkhuysen, R.; Kitslaar, P. J. E. H. M.; Reneman, R. S.; Brands, P. J.; Hoeks, A. P. G.: ''Wall shear stress in the human common carotid artery as function of age and gender.'' Cardiovascular Research 39 (1998), Nr. 2, S. 515-522.&lt;/ref&gt; In einer Engstelle steigt sie stark an, unmittelbar dahinter fällt sie im Ablösegebiet auf nahezu null und wechselt dort sogar das Vorzeichen. Niedrige und im Vorzeichen wechselnde Wandschubspannungen gelten als Bedingungen, unter denen sich weitere Ablagerungen bevorzugt bilden. Eine bestehende Stenose schafft also stromabwärts die Voraussetzungen für ihr eigenes Wachstum. Genau diese Verteilung lässt sich im Körper nur schwer messen, in einer Simulation dagegen unmittelbar auswerten.

== Methodische Relevanz ==

Fachlich überträgt das Projekt die Prinzipien der Strömungsmechanik aus der Vorlesung auf eine biomedizinische Anwendung.&lt;ref name=&quot;hundertmark&quot;&gt;Hundertmark, A.: ''Fluiddynamik.'' Vorlesungsunterlagen zum Modul Räumliche Modellbildung, RPTU Kaiserslautern-Landau, Sommersemester 2026.&lt;/ref&gt; Der methodische Mehrwert liegt in der Verknüpfung mehrerer Zugänge, die sich gegenseitig kontrollieren. Die analytische Poiseuille-Lösung liefert exakte Sollwerte für das gesunde Gefäß. Ein reduziertes Graphenmodell liefert für jeden Stenosegrad eine schnelle Abschätzung, die analytisch nachrechenbar ist. Die Simulationen in COMSOL Multiphysics lösen schließlich die vollständigen Navier-Stokes-Gleichungen in zwei und drei Raumdimensionen. Weil jede Stufe die Sollwerte der nächsten liefert, zeigt das Projekt nicht nur Ergebnisse, sondern auch, wie numerische Modelle aufgebaut, verifiziert und an ihren Grenzen bewertet werden.

== Auswahl der Stenosegrade ==

Um die untersuchten Gefäßverengungen nicht willkürlich festzulegen, orientiert sich die Auswahl der Stenosegrade an der klinisch gebräuchlichen NASCET-Klassifikation von Karotisstenosen.&lt;ref name=&quot;nascet&quot; /&gt; Zur klinischen Einordnung werden Karotisstenosen anhand der nach NASCET bestimmten Durchmesserreduktion in leichtgradige, mittelgradige und hochgradige Stenosen eingeteilt. Die angegebenen Prozentgrenzen dienen in diesem Projekt als Orientierung für die Auswahl der untersuchten Stenosegrade. Ein vollständiger Gefäßverschluss wird als Okklusion bezeichnet.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Klinische Einteilung nach NASCET-gemessener Durchmesserreduktion und untersuchte Stenosegrade
! Schweregrad !! Durchmesserreduktion !! im Projekt gerechnete Stenosegrade !! hervorgehobener Vertreter
|-
| gesundes Gefäß || 0 % || 0 || 0
|-
| leichtgradige Stenose || unter 50 % || 0,1 bis 0,4 || 0,3
|-
| mittelgradige Stenose || 50 bis 69 % || 0,5 und 0,6 || 0,6
|-
| hochgradige Stenose || 70 bis 99 % || 0,7 und 0,8 || 0,8
|-
| Okklusion || 100 % || nicht gerechnet || entfällt
|}
'''Anmerkung''': Die Klassengrenzen dienen der Einordnung der Modellvarianten. Die in der Tabelle genannten Stenosegrade sind dimensionslose Werte, beispielsweise entspricht '''&lt;math&gt;s=0{,}6&lt;/math&gt;''' einer Durchmesserreduktion von '''60 %'''.

Für die numerische Untersuchung wird aus jeder Kategorie ein repräsentativer Stenosegrad hervorgehoben. Neben dem gesunden Gefäß mit '''0 %''' Stenose sind das eine '''30 %''' Stenose als Beispiel für eine leichtgradige, eine '''60 %''' Stenose als Beispiel für eine mittelgradige und eine '''80 %''' Stenose als Beispiel für eine hochgradige Verengung. Zusätzlich werden für das Graphenmodell und das achsensymmetrische Flächenmodell Stenosegrade von 0 bis 80 % in Schritten von zehn Prozentpunkten vorgesehen. Dadurch kann die Abhängigkeit der Strömungsgrößen vom Stenosegrad systematisch untersucht und grafisch dargestellt werden. Ob alle Modellvarianten tatsächlich berechnet wurden und wie hoch der Rechenaufwand war, wird anhand der durchgeführten Simulationen dokumentiert. Ein vollständiger Gefäßverschluss wird nicht simuliert, da in diesem Fall keine durchgängige Strömung mehr vorliegt.

Der Stenosegrad wird in diesem Projekt wie bei NASCET über die Verringerung des Gefäßdurchmessers beschrieben,
&lt;math&gt;s = 1 - \frac{d_{\min}}{d_{\mathrm{ref}}},&lt;/math&gt;wobei &lt;math&gt;d_{\min}&lt;/math&gt; der kleinste Durchmesser in der Engstelle und &lt;math&gt;d_{\mathrm{ref}}&lt;/math&gt; ein Referenzdurchmesser ist. NASCET verwendet als Referenz den Durchmesser des gesunden Gefäßes stromabwärts der Stenose. Für das idealisierte gerade Gefäßmodell wird ein konstanter Referenzdurchmesser von &lt;math&gt;D_0=6\,\mathrm{mm}&lt;/math&gt; angenommen. Da das Gefäß außerhalb der Stenose denselben Durchmesser besitzt, gilt in diesem Modell&lt;math&gt;d_{\mathrm{ref}}=D_0&lt;/math&gt;. Bei der zusätzlich betrachteten Gefäßaufzweigung muss der Referenzdurchmesser dagegen gesondert festgelegt werden, da die Gefäßäste unterschiedliche Durchmesser besitzen.

Wichtig für das Verständnis aller weiteren Ergebnisse ist der Unterschied zwischen Durchmesser- und Flächenreduktion. Da die Querschnittsfläche quadratisch vom Durchmesser abhängt, gilt für die Flächenreduktion &lt;math&gt;1-(1-s)^2&lt;/math&gt;. Eine im klinischen Sinn nur mittelgradige Stenose von 60 % verschließt damit bereits 84 % der Querschnittsfläche.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Durchmesser- und Flächenreduktion der gerechneten Stenosegrade
! Stenosegrad s !! 0 !! 0,1 !! 0,2 !! 0,3 !! 0,4 !! 0,5 !! 0,6 !! 0,7 !! 0,8
|-
| engster Durchmesser in mm || 6,0 || 5,4 || 4,8 || 4,2 || 3,6 || 3,0 || 2,4 || 1,8 || 1,2
|-
| Flächenreduktion || 0 % || 19 % || 36 % || 51 % || 64 % || 75 % || 84 % || 91 % || 96 %
|}

Eine Einschränkungen gehört zur ehrlichen Einordnung: 
# Mit zunehmendem Stenosegrad, insbesondere bei ausgeprägten Verengungen, können lokale Beschleunigungen, Strömungsablösungen und zeitabhängige Strömungsstrukturen auftreten. Daher muss bei den hochgradigen Stenosen geprüft werden, inwieweit die Annahme einer stationären, laminaren Strömung geeignet ist. Eine feste Grenze bei &lt;math&gt;s=0{,}6&lt;/math&gt; lässt sich ohne entsprechende Simulationsergebnisse oder Literaturbelege nicht allgemein festlegen. Die hochgradigen Fälle werden deshalb unter besonderer Berücksichtigung der Modellannahmen diskutiert.

Unter Modellierung wird in diesem Projekt die Übertragung der Blutströmung in einer verengten Arterie auf ein mathematisches und numerisch lösbares Strömungsproblem verstanden. Dazu werden die Gefäßgeometrie, die zugrunde liegenden Gleichungen, die physikalischen Materialparameter sowie die Anfangs- und Randbedingungen festgelegt.

Jeder dieser Bestandteile beruht auf vereinfachenden Annahmen, die begründet und bei der Interpretation der Ergebnisse berücksichtigt werden müssen. Ziel ist es, den Einfluss unterschiedlicher Stenosegrade auf die Strömungsgeschwindigkeit, den Druckverlust und gegebenenfalls die Wandschubspannung systematisch zu untersuchen.

Die Modellierung erfolgt anhand mehrerer Modellvarianten mit unterschiedlicher räumlicher Auflösung. Dadurch können zunächst grundlegende Zusammenhänge analytisch abgeschätzt und anschließend mit numerischen Strömungsberechnungen verglichen werden. Die verwendeten Parameter orientieren sich an den bereitgestellten Referenzdaten und werden in den folgenden Abschnitten erläutert.

== Modellhierarchie ==

Für die Untersuchung werden vier Modellvarianten betrachtet, die sich hinsichtlich ihrer mathematischen Beschreibung, ihrer räumlichen Dimension und ihres Rechenaufwands unterscheiden. Die Modelle sind bewusst von einer vereinfachten analytischen Beschreibung bis zu einer dreidimensionalen numerischen Simulation angeordnet.

Diese Vorgehensweise ermöglicht es, die Ergebnisse der komplexeren Modelle anhand grundlegender physikalischer Zusammenhänge und geeigneter Referenzfälle zu überprüfen. Dabei ist zu beachten, dass nicht jede Modellvariante dieselben Strömungseigenschaften vollständig abbilden kann.

{| class=&quot;wikitable&quot; style=&quot;width:100%;&quot;
|+ '''Die vier Modellvarianten des Projekts'''
|-
! Modell
! Raumdimension
! Mathematische Grundlage
! Zweck
! Werkzeug
|-
| '''Graphenmodell'''
| 1D, Beschreibung entlang der Gefäßachse
| Hagen-Poiseuille-Gesetz für vereinfachte Rohrabschnitte und Massenerhaltung an Verzweigungsknoten
| Analytische Abschätzung von Volumenströmen und Druckverlusten; Referenz für die numerischen Modelle
| COMSOL mit geeigneter eindimensionaler Formulierung
|-
| '''Achsensymmetrisches Flächenmodell'''
| 2D, rotationssymmetrischer Längsschnitt in den Koordinaten &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;z&lt;/math&gt;
| Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen in achsensymmetrischer Form
| Detaillierte Untersuchung von Geschwindigkeits- und Druckfeldern sowie der Wandschubspannung in einem idealisierten rotationssymmetrischen Gefäß
| COMSOL Multiphysics, Laminar Flow
|-
| '''Ebenes Flächenmodell'''
| 2D, ebene Geometrie in den Koordinaten &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;y&lt;/math&gt;
| Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen in kartesischen Koordinaten
| Untersuchung der Strömung in einer vereinfachten ebenen Geometrie und Vergleich mit dem achsensymmetrischen Modell
| COMSOL Multiphysics, Laminar Flow
|-
| '''Volumenmodell'''
| 3D, räumliche Gefäßgeometrie
| Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen in drei Raumdimensionen
| Räumliche Darstellung der Strömung und Überprüfung der Ergebnisse des achsensymmetrischen Modells bei vergleichbarer Geometrie
| COMSOL Multiphysics, Laminar Flow
|}

=== Vergleich und Überprüfung der Modellvarianten ===

Die Modellhierarchie folgt dem Prinzip, dass zunächst vereinfachte Zusammenhänge untersucht und anschließend mit detaillierteren numerischen Modellen verglichen werden.

Das '''Graphenmodell''' bildet die einfachste Modellvariante. Es verwendet das Hagen-Poiseuille-Gesetz zur Abschätzung des Druckverlustes in geraden Rohrabschnitten mit konstantem Durchmesser. Für den unverengten Referenzfall kann damit eine analytische Vergleichsgröße bestimmt werden. Im Bereich einer Stenose ist die Anwendung jedoch nur als vereinfachte Näherung geeignet, da dort zusätzliche Strömungseffekte auftreten können.

Das '''achsensymmetrische Flächenmodell''' ermöglicht eine detailliertere Untersuchung des Geschwindigkeits- und Druckfeldes innerhalb einer idealisierten rotationssymmetrischen Gefäßverengung. Im unverengten Referenzfall können die numerischen Ergebnisse mit der analytischen Poiseuille-Lösung verglichen werden. Bei zunehmendem Stenosegrad werden insbesondere die Beschleunigung im Bereich der Engstelle, der Druckverlust und die Wandschubspannung betrachtet.

Das '''ebene Flächenmodell''' beschreibt die Strömung in einer zweidimensionalen kartesischen Geometrie. Im Unterschied zum achsensymmetrischen Modell wird dabei keine Rotationssymmetrie vorausgesetzt. Da sich die geometrische Beschreibung des Strömungsquerschnitts unterscheidet, sind die Ergebnisse nicht ohne Weiteres quantitativ gleichzusetzen. Der Vergleich dient insbesondere dazu, den Einfluss der Modellvereinfachung auf die berechneten Strömungsgrößen zu untersuchen.

Das '''Volumenmodell''' erweitert die Untersuchung auf drei Raumdimensionen. Bei einer rotationssymmetrischen Geometrie und entsprechend übereinstimmenden Randbedingungen wird eine weitgehende Übereinstimmung mit dem achsensymmetrischen Modell erwartet. Diese Übereinstimmung muss jedoch anhand der numerischen Ergebnisse überprüft werden. Bei einer Gefäßaufzweigung oder einer asymmetrischen Stenose können zusätzliche räumliche Strömungseffekte auftreten, die durch ein achsensymmetrisches Modell nicht vollständig beschrieben werden.

=== Referenzfall und Vergleichsgrößen ===

Als Ausgangspunkt dient ein unverengtes Gefäß mit dem Referenzdurchmesser &lt;math&gt;D_0=6\,\mathrm{mm}&lt;/math&gt;. Für das Blut werden eine Dichte von &lt;math&gt;\rho_b=1060\,\mathrm{kg/m^3}&lt;/math&gt; und eine dynamische Viskosität von &lt;math&gt;\mu_b=3{,}5\,\mathrm{mPa\,s}&lt;/math&gt; angenommen.

Der vorgegebene mittlere Volumenstrom beträgt &lt;math&gt;Q_0=6\,\mathrm{ml/s}&lt;/math&gt;. Daraus ergibt sich für den unverengten kreisförmigen Querschnitt eine mittlere Strömungsgeschwindigkeit von ungefähr &lt;math&gt;U_0=0{,}2122\,\mathrm{m/s}&lt;/math&gt;.

Die Referenz-Reynolds-Zahl beträgt &lt;math&gt;\mathrm{Re}_0=385{,}6&lt;/math&gt;. Für den in den Referenzdaten definierten Vergleichsfall ist außerdem ein analytischer Druckverlust von &lt;math&gt;\Delta p_{\mathrm{ref}}=99{,}03\,\mathrm{Pa}&lt;/math&gt; angegeben.

Diese Größen dienen als Ausgangspunkt für die Überprüfung der numerischen Modelle. Ein direkter Vergleich ist jedoch nur zulässig, wenn die jeweils verwendete Geometrie, die Auswertelänge und die Randbedingungen übereinstimmen.

=== Grenzen der Modellhierarchie ===

Die vier Modellvarianten unterscheiden sich nicht nur im Rechenaufwand, sondern auch in den physikalischen Effekten, die sie darstellen können.

Insbesondere bei hochgradigen Stenosen können starke lokale Geschwindigkeitsänderungen, Strömungsablösungen und zeitabhängige Strömungsstrukturen auftreten. Deshalb muss überprüft werden, ob die Annahme einer stationären laminaren Strömung für die betrachteten Fälle ausreichend ist.

Außerdem muss zwischen dem idealisierten geraden Gefäßmodell und einer Gefäßaufzweigung unterschieden werden. Das achsensymmetrische Modell eignet sich für eine rotationssymmetrische Stenose in einem geraden Gefäß, während eine realistische Gefäßaufzweigung eine andere geometrische Beschreibung erfordert.

Die Modellvarianten werden daher nicht als vollständig gleichwertig betrachtet. Vielmehr soll der Vergleich zeigen, welche Aussagen bereits durch vereinfachte Modelle möglich sind und für welche Strömungseigenschaften eine detailliertere numerische Beschreibung erforderlich ist.

= Modellierung =

Modellierung bedeutet hier, die reale Situation in eine mathematische Aufgabe zu übersetzen, die sich lösen lässt. Dazu gehören vier Bausteine, nämlich das Rechengebiet, die Gleichungen, die Zahlenwerte der Parameter und die Bedingungen an den Rändern. Jeder dieser Bausteine beruht auf Annahmen, und jede Annahme muss begründet werden. Dieser Abschnitt geht die Bausteine deshalb der Reihe nach durch und nennt bei jedem Zahlenwert, woher er stammt und warum er sinnvoll ist.

== Modellhierarchie ==

Das Projekt rechnet nicht ein einziges Modell, sondern vier aufeinander aufbauende Modellvarianten. Sie entsprechen der Kursanforderung, eine Strömung als Graph, in zwei und in drei Raumdimensionen darzustellen, und sie sind bewusst von einfach nach aufwendig geordnet.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Die vier Modellvarianten des Projekts
! Modell !! Raumdimension !! gelöste Gleichung !! Zweck !! Werkzeug
|-
| Graphenmodell || 1D, Gefäßachse || Hagen-Poiseuille je Rohrstück und Massenerhaltung in jedem Knoten || schnelle, analytisch nachrechenbare Abschätzung für jeden Stenosegrad || Octave und COMSOL (Koeffizientenform-PDGL)
|-
| achsensymmetrisches Flächenmodell || 2D, Halbschnitt in r und z || vollständige stationäre Navier-Stokes-Gleichungen in Zylinderkoordinaten || Hauptmodell, liefert alle Feldgrößen des rotationssymmetrischen Rohres || COMSOL, Laminare Strömung
|-
| ebenes Flächenmodell || 2D, Halbschnitt in x und y || vollständige stationäre Navier-Stokes-Gleichungen in kartesischen Koordinaten || Vergleich, zeigt den Einfluss der zweiten Querschnittsrichtung || COMSOL, Laminare Strömung
|-
| Volumenmodell || 3D || vollständige stationäre Navier-Stokes-Gleichungen || Kontrolle des Hauptmodells und räumliche Darstellung || COMSOL, Laminare Strömung
|}

Die Reihenfolge folgt einem einfachen Prinzip. Jede Stufe liefert die Sollwerte, an denen die nächste, komplexere Stufe geprüft wird. Das Graphenmodell muss im gesunden Fall exakt die Poiseuille-Lösung ergeben. Das achsensymmetrische Modell muss im gesunden Fall dieselben Werte liefern und bei Stenose für Geschwindigkeit und Wandschubspannung in der Nähe des Graphenmodells liegen. Das Volumenmodell muss, weil die Geometrie rotationssymmetrisch ist, mit dem achsensymmetrischen Modell übereinstimmen.

== Modellannahmen ==

Um den Einfluss des Stenosegrades möglichst isoliert zu untersuchen, werden die folgenden Modellannahmen getroffen. Die Tabelle nennt zu jeder Annahme ihre mathematische Form, die Begründung und die Stelle, an der sie im Projekt überprüft wird.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Modellannahmen, ihre Begründung und ihre Überprüfung
! Annahme !! mathematische Form !! Begründung !! Überprüfung
|-
| Idealisierte Gefäßgeometrie || gerades Rohr mit kosinusförmiger, rotationssymmetrischer Verengung || isoliert die Wirkung des Stenosegrades von Krümmung, Verzweigung und Plaqueform || Diskussion in den Schlussfolgerungen
|-
| Starre Gefäßwand || Wand ortsfest, keine Fluid-Struktur-Kopplung || im stationären Fall gibt es keine Druckschwankung, die die Wand periodisch aufweiten könnte || Abschätzung über die gemessene Durchmesseränderung im Herzzyklus
|-
| Stationäre Strömung || &lt;math&gt;\partial \mathbf{u}/\partial t = \mathbf{0}&lt;/math&gt; || der Einfluss des Stenosegrades soll ohne Überlagerung durch die Pulsation sichtbar werden || Abschätzung über die Womersley-Zahl
|-
| Inkompressibles Fluid || &lt;math&gt;\rho = \mathrm{const}&lt;/math&gt;, damit &lt;math&gt;\nabla\cdot\mathbf{u} = 0&lt;/math&gt; || Blut ist eine Flüssigkeit, Druckänderungen von wenigen hundert Pascal ändern die Dichte nicht messbar || Massenerhaltung in fünf Querschnitten
|-
| Newtonsche Näherung || konstante Viskosität &lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt; || die Scherraten an der Wand und im größten Teil des Querschnitts liegen über dem Bereich, in dem Blut deutlich scherverdünnend wirkt || Scherrate an der Wand, Diskussion des Rückströmgebiets
|-
| Konstante Stoffeigenschaften || &lt;math&gt;\rho&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt; räumlich und zeitlich konstant || Körpertemperatur ist im betrachteten Abschnitt konstant || entfällt
|-
| Laminare Strömung || kein Turbulenzmodell, Schnittstelle Laminare Strömung || Reynoldszahl des gesunden Gefäßes von 386 liegt weit unter dem Umschlagbereich || Reynoldszahl in der Engstelle, Literaturvergleich
|-
| Haftbedingung an der Wand || &lt;math&gt;\mathbf{u} = \mathbf{0}&lt;/math&gt; auf der Wand || Folge der Viskosität, das Fluid haftet an der Wand || Grundlage jeder Wandschubspannung
|-
| Vernachlässigung der Gravitation || keine Volumenkraft || bei konstanter Dichte lässt sich die Schwerkraft vollständig in einen hydrostatischen Druckanteil verschieben und beeinflusst die Geschwindigkeit nicht || Begründung in den Mathematischen Hintergründen
|-
| Voll entwickelte Einströmung || parabolisches Profil am Einlass || die natürliche Einlaufstrecke wäre mit rund 139 mm fast so lang wie das ganze Rechengebiet || Scheitelgeschwindigkeit im gesunden Fall
|-
| Eingeprägter Volumenstrom || &lt;math&gt;Q = Q_0&lt;/math&gt; am Einlass || der Strömungswiderstand des Abschnitts ist klein gegenüber dem des nachgeschalteten Gefäßbetts || Abschätzung mit einem Reihenwiderstand
|}

Einige dieser Annahmen sind unmittelbar einsichtig, andere verdienen eine genauere Begründung, weil von ihnen die Aussagekraft der Ergebnisse abhängt.

Die '''Newtonsche Näherung''' ist die Annahme, die bei Blut am häufigsten hinterfragt wird. Reales Blut ist eine Suspension aus Plasma und Blutzellen und verhält sich scherverdünnend. Bei kleinen Scherraten lagern sich die roten Blutkörperchen zu geldrollenartigen Stapeln zusammen, und die Viskosität steigt auf ein Vielfaches an. Bei großen Scherraten lösen sich diese Stapel auf, und die Viskosität strebt gegen einen Grenzwert von etwa 3,5 mPa·s. Entscheidend ist also die Scherrate. An der Wand des gesunden Modellgefäßes beträgt sie nach der Poiseuille-Lösung

&lt;math&gt;\dot\gamma_w = \frac{4\,U_0}{R_0} = \frac{4 \cdot 0{,}2122\ \mathrm{m/s}}{0{,}003\ \mathrm{m}} \approx 283\ \mathrm{s^{-1}}&lt;/math&gt;

und liegt damit oberhalb von etwa 100 pro Sekunde, wo sich Newtonsches und nicht Newtonsches Modell nach der Literatur nur noch wenig unterscheiden.&lt;ref name=&quot;boyd&quot;&gt;Die Grenze von etwa 100 s&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt; wird in vergleichenden Studien zur Blutrheologie verwendet, etwa bei Bernabeu, M. O. u. a.: ''Impact of blood rheology on wall shear stress in a model of the middle cerebral artery.'' Interface Focus 3 (2013), 20120094. &lt;!-- FIXME Zitat und Seitenangabe am Original pruefen --&gt;&lt;/ref&gt; In der Engstelle steigt die Scherrate weiter an, beim Stenosegrad 0,5 auf rund 2260 pro Sekunde. Schwach ist die Näherung dort, wo die Scherrate klein wird, also in der Mitte des Gefäßes und vor allem im Rückströmgebiet hinter der Stenose. Dort ist reales Blut zäher als angenommen. Dieser Punkt wird in den Schlussfolgerungen wieder aufgegriffen.

Die '''stationäre Strömung''' ist die stärkste Vereinfachung. Wie wichtig die Pulsation ist, misst die Womersley-Zahl, die das Verhältnis von instationärer Trägheit zu Reibung angibt. Mit einer Herzfrequenz von 60 Schlägen je Minute, also einer Kreisfrequenz &lt;math&gt;\omega = 2\pi\ \mathrm{s^{-1}}&lt;/math&gt;, ergibt sich

&lt;math&gt;\alpha = R_0 \sqrt{\frac{\omega \rho}{\mu}} = 0{,}003\ \mathrm{m} \cdot \sqrt{\frac{2\pi\ \mathrm{s^{-1}} \cdot 1060\ \mathrm{kg/m^3}}{0{,}0035\ \mathrm{Pa\,s}}} \approx 4{,}1 .&lt;/math&gt;

Ein Wert in dieser Größenordnung bedeutet, dass das reale Geschwindigkeitsprofil im Herzzyklus merklich von der Parabel abweicht.&lt;ref name=&quot;womersley&quot;&gt;Womersley, J. R.: ''Method for the calculation of velocity, rate of flow and viscous drag in arteries when the pressure gradient is known.'' Journal of Physiology 127 (1955), S. 553-563.&lt;/ref&gt; Hinzu kommt, dass der Volumenstrom in der Systole kurzzeitig auf rund das Vierfache des Mittelwerts steigt.&lt;ref name=&quot;holdsworth&quot;&gt;Holdsworth, D. W.; Norley, C. J. D.; Frayne, R.; Steinman, D. A.; Rutt, B. K.: ''Characterization of common carotid artery blood-flow waveforms in normal human subjects.'' Physiological Measurement 20 (1999), Nr. 3, S. 219-240. DOI 10.1088/0967-3334/20/3/301. Angegeben werden ein mittlerer Volumenstrom von 6,0 ± 1,4 ml/s und ein systolischer Spitzenwert von 23,5 ± 3,8 ml/s. &lt;!-- FIXME Zahlenwerte und Probandenzahl am Original pruefen --&gt;&lt;/ref&gt; Die stationäre Rechnung mit dem Mittelwert beschreibt deshalb nicht den zeitlichen Verlauf, wohl aber den zeitlich gemittelten Zustand, an dem sich der Einfluss des Stenosegrades sauber vergleichen lässt.

Die '''laminare Strömung''' wird über die Reynoldszahl begründet. Sie beträgt im gesunden Gefäß 386 und liegt damit weit unter dem Wert von etwa 2300, ab dem die Strömung in einem geraden Rohr in den Übergangsbereich gelangen kann. In der Engstelle steigt sie bei festem Volumenstrom auf &lt;math&gt;Re_0/(1-s)&lt;/math&gt;, also auf 551 beim Stenosegrad 0,3, auf 964 beim Grad 0,6 und auf 1928 beim Grad 0,8. Für den Strahl hinter einer Engstelle ist der Umschlagbereich allerdings deutlich niedriger als im geraden Rohr. Direkte numerische Simulationen an genau der in diesem Projekt verwendeten Stenosegeometrie zeigen, dass die Strömung bei einer Einström-Reynoldszahl von 500 auch bei leichter Unsymmetrie laminar bleibt, bei 1000 dagegen schon eine Exzentrizität von fünf Prozent des Durchmessers genügt, um den Strahl in lokal turbulente Strömung umschlagen zu lassen.&lt;ref name=&quot;varghese&quot;&gt;Varghese, S. S.; Frankel, S. H.; Fischer, P. F.: ''Direct numerical simulation of stenotic flows. Part 1. Steady flow.'' Journal of Fluid Mechanics 582 (2007), S. 253-280. Untersucht wird eine kosinusförmige Stenose der Länge 2D mit 75 % Flächenreduktion, die mit der Geometrie dieses Projekts beim Stenosegrad 0,5 übereinstimmt. &lt;!-- FIXME Band und Seiten am Original pruefen --&gt;&lt;/ref&gt; Mit einer Einström-Reynoldszahl von 386 liegt das Projekt für die leicht- und mittelgradigen Stenosen sicher im laminaren Bereich. Für die hochgradigen Stenosen ab 0,7 ist ein laminares, stationäres Modell dagegen nur noch eine Näherung, die eine Obergrenze der geordneten Strömung beschreibt. Diese Fälle werden deshalb als Grenzfall des Modells gekennzeichnet.

Die '''starre Wand''' lässt sich über Messungen abschätzen. Der Durchmesser der gemeinsamen Halsschlagader ändert sich im Herzzyklus bei jungen Menschen um etwa 12 bis 14 Prozent und bei älteren Menschen um etwa 5 Prozent.&lt;ref name=&quot;hansen&quot;&gt;Hansen, F.; Mangell, P.; Sonesson, B.; Länne, T.: ''Diameter and compliance in the human common carotid artery: variations with age and sex.'' Ultrasound in Medicine and Biology 21 (1995), Nr. 1, S. 1-9. DOI 10.1016/0301-5629(94)00090-5.&lt;/ref&gt; Diese Bewegung ist eine Folge der Pulsation. In einer stationären Rechnung gibt es keine Druckschwankung, die die Wand periodisch aufweiten könnte, sodass die starre Wand zur stationären Annahme konsistent ist. Eine verkalkte Plaque ist ohnehin deutlich steifer als die gesunde Wand.

Die Annahme des '''eingeprägten Volumenstroms''' wird im Abschnitt zu den Randbedingungen begründet, weil sie sich nur im Zusammenhang mit dem Kreislauf beurteilen lässt.

== Simulationsgebiet und Geometrie ==

Die Gefäßachse ist die z-Achse, der Ursprung liegt in der Mitte der Stenose, und &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; bezeichnet den Abstand von der Achse. Das Rechengebiet reicht von &lt;math&gt;z = -L_u&lt;/math&gt; bis &lt;math&gt;z = L_d&lt;/math&gt; und wird radial von der Wandkontur &lt;math&gt;R(z)&lt;/math&gt; begrenzt. Die Verengung wird über eine einzige glatte Funktion beschrieben,

&lt;math&gt;R(z) = R_0 \left[ 1 - \frac{s}{2}\left(1 + \cos\frac{2\pi z}{L_s}\right)\right] \quad \text{falls } |z| \le \frac{L_s}{2}, \qquad R(z) = R_0 \ \text{sonst.}&lt;/math&gt;

Die Funktion hat drei Eigenschaften, die ihre Wahl begründen. Sie wird erstens über einen einzigen Parameter gesteuert, den Stenosegrad &lt;math&gt;s&lt;/math&gt;. Der engste Radius in der Mitte beträgt &lt;math&gt;R(0) = R_0(1-s)&lt;/math&gt;, und der Fall ohne Verengung ist einfach der Fall &lt;math&gt;s = 0&lt;/math&gt;. Die gesamte Vergleichsreihe entsteht damit aus einem einzigen parametrischen Sweep. Sie geht zweitens an beiden Enden der Störstelle ohne Knick in das gerade Rohr über. Bei &lt;math&gt;z = \pm L_s/2&lt;/math&gt; ist der Kosinus gleich minus eins, die Klammer also null, und seine Ableitung verschwindet dort ebenfalls. Das ist nicht nur ästhetisch, sondern numerisch notwendig, denn ein Knick in der Wand erzeugt eine Singularität der Wandschubspannung, deren berechneter Wert mit jeder Netzverfeinerung weiter wüchse. Eine Netzstudie wäre dann sinnlos. Sie ist drittens die in der Literatur gebräuchliche Standardgeometrie für Stenosen, sodass sich die Ergebnisse unmittelbar mit veröffentlichten Rechnungen vergleichen lassen.&lt;ref name=&quot;varghese&quot; /&gt;

[[Datei:Stenose Gruppe5 Wandkontur.svg|mini|zentriert|800px|Wandkontur &lt;math&gt;R(z)&lt;/math&gt; für die untersuchten Stenosegrade. Die Darstellung ist in radialer Richtung gestreckt, das Rechengebiet ist in Wirklichkeit fünfundzwanzigmal länger als breit.]]
&lt;!-- FIXME Abbildung mit abbildungen_graph_1d.m fuer s = 0 bis 0,8 neu erzeugen, bisher nur bis 0,5 --&gt;

Die Abmessungen des Rechengebiets werden alle aus dem Gefäßradius abgeleitet. Das hat den Vorteil, dass sich das gesamte Modell durch Ändern eines einzigen Wertes auf ein anderes Gefäß übertragen lässt. Die einzelnen Längen werden im Folgenden Schritt für Schritt begründet.

# Der '''Gefäßradius''' &lt;math&gt;R_0 = 3\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; folgt aus Ultraschallmessungen an gesunden Erwachsenen. Dort wurden für die gemeinsame Halsschlagader mittlere Durchmesser von 6,10 ± 0,80 mm bei Frauen und 6,52 ± 0,98 mm bei Männern gemessen.&lt;ref name=&quot;krejza&quot;&gt;Krejza, J.; Arkuszewski, M.; Kasner, S. E.; Weigele, J.; Ustymowicz, A.; Hurst, R. W.; Cucchiara, B. L.; Messe, S. R.: ''Carotid artery diameter in men and women and the relation to body and neck size.'' Stroke 37 (2006), Nr. 4, S. 1103-1105. DOI 10.1161/01.STR.0000206440.48756.f7.&lt;/ref&gt; Der gewählte Durchmesser von &lt;math&gt;D_0 = 6\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; liegt damit innerhalb einer Standardabweichung beider Gruppen und ist bewusst auf einen runden Wert gesetzt, damit alle abgeleiteten Längen glatte Zahlen ergeben.
# Die '''Länge der Störstelle''' &lt;math&gt;L_s = 2 D_0 = 12\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; entspricht der Standardgeometrie aus der Literatur, die eine Stenosenlänge von zwei Durchmessern verwendet.&lt;ref name=&quot;varghese&quot; /&gt; Damit ist beim Stenosegrad 0,5 ein direkter Vergleich mit veröffentlichten Ergebnissen möglich.
# Die '''Vorlaufstrecke''' &lt;math&gt;L_u = 5 D_0 = 30\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; trennt den Einlass von der Stenose. Da am Einlass bereits das voll entwickelte Profil vorgegeben wird, muss sie nicht die Einlaufstrecke abdecken, sondern nur verhindern, dass die Einströmrandbedingung die Strömung an der Engstelle beeinflusst. Bei Reynoldszahlen in dieser Größenordnung reicht der Einfluss einer Verengung nur wenige Durchmesser stromaufwärts, die Literatur kommt für dieselbe Geometrie mit drei Durchmessern Vorlauf aus.&lt;ref name=&quot;varghese&quot; /&gt; Fünf Durchmesser lassen also eine Reserve. Überprüft wird das im Ergebnis, indem die Geschwindigkeit auf der Achse in der Mitte der Vorlaufstrecke mit dem Sollwert &lt;math&gt;2U_0&lt;/math&gt; verglichen wird.
# Die '''Nachlaufstrecke''' &lt;math&gt;L_d = 20 D_0 = 120\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; ist deutlich länger, weil sich hinter der Engstelle ein Rückströmgebiet bildet, das nicht auf den Auslass treffen darf. Für die Geometrie mit dem Stenosegrad 0,5 legt die Strömung bei einer Einström-Reynoldszahl von 500 erst etwa zehn Durchmesser hinter der Engstelle wieder an, die Literatur rechnet mit sechzehn Durchmessern Nachlauf.&lt;ref name=&quot;varghese&quot; /&gt; Zwanzig Durchmesser bieten damit für alle Stenosegrade bis 0,5 einen Sicherheitsabstand. Für die Grade ab 0,6 ist ein längeres Rückströmgebiet zu erwarten, dort wird die Lage des Wiederanlegepunktes ausdrücklich kontrolliert.
# Das '''Ende des fein vernetzten Nachlaufs''' &lt;math&gt;L_f = L_s/2 + 10 D_0 = 66\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; legt fest, bis wohin das Netz verfeinert wird. Der Wert ist so gewählt, dass das erwartete Rückströmgebiet von etwa zehn Durchmessern vollständig im feinen Bereich liegt.

Damit hat das Rechengebiet eine Gesamtlänge von &lt;math&gt;L = L_u + L_d = 150\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt;, also das Fünfundzwanzigfache des Durchmessers. Es ist ein Modellgebiet und kein maßstäbliches Abbild eines bestimmten anatomischen Abschnitts.

== Stoff- und Strömungsparameter ==

Die Stoffwerte des Blutes und der Volumenstrom sind die einzigen Eingangsgrößen, die nicht aus der Geometrie folgen. Aus ihnen werden alle weiteren Strömungskennwerte berechnet. Die folgenden Schritte zeigen jede Rechnung einzeln, damit sich jeder Wert nachprüfen lässt.

# Die '''Dichte''' wird mit &lt;math&gt;\rho = 1060\ \mathrm{kg/m^3}&lt;/math&gt; angesetzt. Der Wert lässt sich als Mischungsregel plausibel machen. Plasma hat eine Dichte von etwa 1025 kg/m³, rote Blutkörperchen von etwa 1100 kg/m³. Bei einem Zellanteil von 45 % ergibt sich &lt;math&gt;0{,}55 \cdot 1025 + 0{,}45 \cdot 1100 \approx 1059\ \mathrm{kg/m^3}&lt;/math&gt;. Die Dichte geht nur über die Reynoldszahl in die Rechnung ein, eine Abweichung von einem Prozent ändert die Ergebnisse daher kaum. &lt;!-- FIXME Lehrbuchquelle fuer Plasma- und Erythrozytendichte ergaenzen --&gt;
# Die '''dynamische Viskosität''' wird mit &lt;math&gt;\mu = 3{,}5\ \mathrm{mPa\,s}&lt;/math&gt; angesetzt. Das ist der Grenzwert der Blutviskosität bei hohen Scherraten, also genau der Wert, der zur Newtonschen Näherung gehört. Derselbe Wert von 0,035 Poise wird auch im Standardwerk zur Modellierung des Herz-Kreislauf-Systems verwendet.&lt;ref name=&quot;quarteroni&quot;&gt;Quarteroni, A.; Formaggia, L.: ''Mathematical Modelling and Numerical Simulation of the Cardiovascular System.'' In: Ayache, N. (Hrsg.): ''Computational Models for the Human Body.'' Handbook of Numerical Analysis, Bd. XII, Elsevier, Amsterdam 2004, S. 3-127. DOI 10.1016/S1570-8659(03)12001-7. Zur Newtonschen Näherung in großen Gefäßen siehe S. 30, zur Viskosität von 0,035 Poise die Parametertabelle auf S. 116.&lt;/ref&gt;
# Der '''mittlere Volumenstrom''' wird mit &lt;math&gt;Q_0 = 6\ \mathrm{ml/s}&lt;/math&gt; angesetzt. Das ist der zeitlich gemittelte Volumenstrom, der in der gemeinsamen Halsschlagader gesunder Probanden gemessen wurde.&lt;ref name=&quot;holdsworth&quot; /&gt;
# Die '''mittlere Geschwindigkeit''' folgt aus Volumenstrom und Querschnittsfläche, &lt;math&gt;U_0 = \frac{Q_0}{\pi R_0^2} = \frac{6 \cdot 10^{-6}\ \mathrm{m^3/s}}{\pi \cdot (0{,}003\ \mathrm{m})^2} = 0{,}2122\ \mathrm{m/s}&lt;/math&gt;.
# Die '''Reynoldszahl''' des gesunden Gefäßes ist &lt;math&gt;Re_0 = \frac{\rho\, U_0\, D_0}{\mu} = \frac{1060 \cdot 0{,}2122 \cdot 0{,}006}{0{,}0035} = 385{,}6&lt;/math&gt;. Sie wird im Folgenden auf 386 gerundet.
# Die '''Einlauflänge''', die eine anfangs gleichförmige Strömung bis zum voll entwickelten Parabelprofil bräuchte, beträgt nach der gebräuchlichen Abschätzung für laminare Rohrströmungen &lt;math&gt;L_e \approx 0{,}06\, Re_0\, D_0 \approx 0{,}06 \cdot 386 \cdot 6\ \mathrm{mm} \approx 139\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt;.&lt;ref name=&quot;durst&quot;&gt;Durst, F.; Ray, S.; Ünsal, B.; Bayoumi, O. A.: ''The development lengths of laminar pipe and channel flows.'' Journal of Fluids Engineering 127 (2005), Nr. 6, S. 1154-1160. Für große Reynoldszahlen nähert sich die dort angegebene Korrelation dem Wert 0,057·Re·D.&lt;/ref&gt; Das ist fast die gesamte Länge des Rechengebiets. Ein konstantes Einlassprofil würde die Strömung an der Stenose also verfälschen, weshalb am Einlass das voll entwickelte Profil vorgegeben wird.

Damit liegen alle globalen Parameter fest. Die folgende Tabelle enthält sie mit genau den Namen, unter denen sie in COMSOL und in den Octave-Skripten verwendet werden.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Globale Parameter des Modells
! Name !! Ausdruck in COMSOL !! Wert !! Bedeutung !! Herkunft
|-
| R0 || 3[mm] || 3 mm || Gefäßradius || Messwerte nach Krejza u. a. 2006, gerundet
|-
| D0 || 2*R0 || 6 mm || Gefäßdurchmesser || abgeleitet
|-
| Ls || 2*D0 || 12 mm || Länge der Störstelle || Standardgeometrie nach Varghese u. a. 2007
|-
| Lu || 5*D0 || 30 mm || Vorlaufstrecke vor der Stenosemitte || Abstand der Einlassbedingung von der Stenose
|-
| Ld || 20*D0 || 120 mm || Nachlaufstrecke hinter der Stenosemitte || Platz für das Rückströmgebiet
|-
| Lf || Ls/2+10*D0 || 66 mm || Ende des fein vernetzten Nachlaufs || erwartete Länge des Rückströmgebiets
|-
| s || 0 bis 0.8 || 0 bis 0,8 || Stenosegrad bezogen auf den Durchmesser || NASCET-Einteilung
|-
| rho_b || 1060[kg/m^3] || 1060 kg/m³ || Dichte des Blutes || Mischungsregel, Literaturwert
|-
| mu_b || 3.5[mPa*s] || 3,5 mPa·s || dynamische Viskosität des Blutes || Hochscherwert, Quarteroni und Formaggia 2004
|-
| Q0 || 6[ml/s] || 6 ml/s || mittlerer Volumenstrom || Messwerte nach Holdsworth u. a. 1999
|-
| U0 || Q0/(pi*R0^2) || 0,2122 m/s || mittlere Einströmgeschwindigkeit || abgeleitet
|-
| Re0 || rho_b*U0*D0/mu_b || 385,6 || Reynoldszahl des gesunden Gefäßes || abgeleitet
|-
| dp_ref || 8*mu_b*U0*(Lu+Ld)/R0^2 || 99,03 Pa || Poiseuille-Druckabfall des gesunden Gefäßes || abgeleitet, Hagen-Poiseuille
|}


= Literaturverzeichnis =

Alle Quellen sind an den Stellen im Text angegeben, an denen die zugehörigen Werte oder Aussagen verwendet werden. Die Liste wird aus diesen Angaben automatisch erzeugt.

&lt;references /&gt;</text>
      <sha1>p9nuyj1ga5ntrvlqfbhzdsjb47bf77j</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>1115897</id>
      <parentid>1115896</parentid>
      <timestamp>2026-10-12T16:52:42Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Heitele</username>
        <id>38553</id>
      </contributor>
      <comment>/* Modellhierarchie */</comment>
      <origin>1115897</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="49190" sha1="1q0bifileual5hjf9ifent9w6twdx66" xml:space="preserve">= Gruppenteilnehmer =
* Joey Becker
* Marie-Thérèse Heitele
* Nicole Pander

= Thema und Fragestellung =

Gegenstand dieses Projekts ist die numerische Simulation der Blutströmung in einer verzweigten Halsschlagader ('''Carotis-Bifurkation''') unter dem Einfluss einer lokalen Gefäßverengung ('''Stenose''').
Im Vergleich zu einfachen Rohrströmungen wird hier die realitätsnahe Gefäßanatomie betrachtet: Die '''Arteria carotis communis (ACC)''' teilt sich in die '''Arteria carotis externa (ACE)''' und die '''Arteria carotis interna (ACI)''' auf. Während die '''ACE''' als gesunder, stenosefreier Ast dient, wird in der '''ACI''' eine geglättete, kosinusförmige Gefäßverengung modelliert. Um scharfe Kanten und unphysiologische Druckspitzen zu vermeiden, werden alle Wandübergänge und die Gabelungsspitze (Apex) anatomisch verrundet.

Als Referenz dient ein gesundes, unverengtes Gefäß, in dem sich die Poiseuille-Strömung mit ihrem charakteristischen parabolischen Geschwindigkeitsprofil ausbildet. Diese Strömung ist aus zwei Gründen der natürliche Ausgangspunkt. Sie beschreibt den physiologischen Normalfall, mit dem jeder Stenosegrad verglichen wird, und sie ist exakt lösbar, sodass sich an ihr jede numerische Rechnung prüfen lässt, bevor die Verengung hinzukommt.

== Fragestellung ==
Die Hauptfragestellung dieses Projektes lautet: 
Wie verändert eine symmetrische bzw. rotationssymmetrische Stenose in der '''Arteria carotis interna (ACI)''' die stationäre Strömung eines inkompressiblen Newton’schen Fluids in einer 2D-Carotis-Bifurkation hinsichtlich Geschwindigkeitsverteilung, Druckabfall, Wandschubspannung und Wirbelbildung im Vergleich zu den gesunden Gefäßabschnitten?

Aus dieser Fragestellung ergeben sich drei Teilfragen, an denen sich der Aufbau der Seite orientiert:

# Welche Strömungsgrößen reagieren empfindlich auf den Stenosegrad und welche nur träge?
# Ab welchem Stenosegrad ändert sich das Strömungsmuster qualitativ, das heißt, ab wann löst die Strömung hinter der Engstelle von der Wand ab und bildet ein Rückströmgebiet?
# Wie weit tragen die vereinfachenden Modellannahmen, insbesondere die Annahme einer stationären und laminaren Strömung, über den untersuchten Bereich der Stenosegrade?

== Modellannahmen ==
Im Hinblick darauf werden für dieses Projekt einige Annahmen getroffen, um das Projekt möglichst isoliert zu untersuchen und zu simplifizieren:

* '''Idealisierte Gefäßgeometrie''': Betrachtet wird ein  Teilabbschnitt der ''Arteria carotis communis'', die sog. ''ACI''. Zudem werden Gefäßverkrümmungen, weitere Verzweigungen und patientenspezifische Strukturen  nicht berücksichtigt. 
* '''Starre Gefäßwand''': Die Gefäßwand wird als unbeweglich und nicht verformbar angenommen. Eine Wechselwirkung zwischen elastischer Gefäßwand und Blutströmung wird nicht modelliert.
* '''Stationäre Strömung''': Die Strömungsgrößen werden als zeitlich konstant angenommen. Die im realen Blutkreislauf vorhandene Pulsation durch den Herzschlag wird daher vernachlässigt: &lt;math&gt;\frac{\partial u}{\partial t}=0&lt;/math&gt;.
* '''Inkompressibles Fluid''': Die Dichte des Fluids wird als konstant angenommen. Damit gilt für die Geschwindigkeit &lt;math&gt;\nabla \cdot u=0&lt;/math&gt;. Dies entspricht der in der Vorlesung behandelten Massenerhaltung für inkompressible Fluide: Was in das Gefäß einströmt, muss auch wieder ausströmen.
* '''Newton'sche Näherung für Blut''': Reales Blut beseitzt ein nicht newton'sches Fließverhalten. Hier wird Blut als Newton'sches Fluid behandelt.
* '''Konstante Stoffeigenschaften''': Dichte &lt;math&gt;\rho&lt;/math&gt; und dynamische Viskosität μ werden als räumlich und zeitlich konstant angenommen. Temperaturabhängigkeiten werden nicht berücksichtigt.
* '''Laminare Strömung''': Die Strömung wird mit dem COMSOL-Modul ''Laminar Flow'' beschrieben. Ein zusätzliches Turbulenzmodell wird nicht verwendet.
* '''No-Slip-Bedingung an Gefäßwand''': Aufgrund der Viskosität wird angenommen, dass das Fluid direkt an der Gefäßwand haftet. Somit gilt &lt;math&gt;u=0&lt;/math&gt;.
* '''Vernachlässigung der Gravitation''': Gravitation wird nicht berücksichtigt. Die Strömung wird ausschließlich durch die gewählten Ein- und Auslassbedingungen bestimmt.

= Relevanz =
Die Untersuchung von Gefäßverengungen besitzt sowohl eine medizinische als auch eine methodische Bedeutung. Aus medizinischer Sicht sind arterielle Stenosen – etwa in der Halsschlagader, lat. ''arteria carotis communis'', – kritisch, da sie die Durchblutung beeinträchtigen und durch veränderte Wandschubspannungen sowie die Bildung von Wirbeln weitere Gefäßablagerungen begünstigen. Stenosen im Bereich der Karotisgabelung sind klinisch hochrelevant, da sie das Gehirn direkt versorgen und das Risiko für embolische Schlaganfälle erhöhen. Fachlich überträgt das Projekt damit die Prinzipien der Strömungsmechanik direkt auf eine biomedizinische Anwendung. Das Projekt verknüpft somit theoretische Grundlagen der Strömungsmechanik (Hagen-Poiseuille-Gleichung, Navier-Stokes-Gleichungen) mit der numerischen Simulation in COMSOL Multiphysics. Durch den Vergleich der '''gesunden Externa (ACE)''' mit der '''stenoisierten Interna (ACI)''' innerhalb desselben Rechengebiets wird die isolierte Wirkung der Stenose unter identischen Randbedingungen direkt sichtbar gemacht.

== Medizinische Relevanz ==

Arterielle Stenosen entstehen überwiegend durch Atherosklerose, also durch Ablagerungen aus Lipiden, Bindegewebe und Kalk in der Gefäßwand. In der Halsschlagader sind sie klinisch besonders bedeutsam, weil sie die Durchblutung des Gehirns beeinträchtigen und weil sich an ihnen Thromben bilden können, die als Embolie einen Schlaganfall auslösen. Dass die operative Entfernung einer hochgradigen Karotisstenose das Schlaganfallrisiko symptomatischer Patienten deutlich senkt, hat die NASCET-Studie gezeigt, deren Einteilung der Stenosegrade dieses Projekt übernimmt.&lt;ref name=&quot;nascet&quot;&gt;North American Symptomatic Carotid Endarterectomy Trial Collaborators: ''Beneficial effect of carotid endarterectomy in symptomatic patients with high-grade carotid stenosis.'' New England Journal of Medicine 325 (1991), Nr. 7, S. 445-453.&lt;/ref&gt;

Strömungsmechanisch ist an einer Stenose vor allem die Wandschubspannung von Interesse, also die tangentiale Kraft je Fläche, die das strömende Blut auf die innerste Zellschicht der Gefäßwand ausübt. Gesunde Halsschlagadern weisen zeitlich gemittelte Werte von etwa 1,1 bis 1,5 Pa auf.&lt;ref name=&quot;samijo&quot;&gt;Samijo, S. K.; Willigers, J. M.; Barkhuysen, R.; Kitslaar, P. J. E. H. M.; Reneman, R. S.; Brands, P. J.; Hoeks, A. P. G.: ''Wall shear stress in the human common carotid artery as function of age and gender.'' Cardiovascular Research 39 (1998), Nr. 2, S. 515-522.&lt;/ref&gt; In einer Engstelle steigt sie stark an, unmittelbar dahinter fällt sie im Ablösegebiet auf nahezu null und wechselt dort sogar das Vorzeichen. Niedrige und im Vorzeichen wechselnde Wandschubspannungen gelten als Bedingungen, unter denen sich weitere Ablagerungen bevorzugt bilden. Eine bestehende Stenose schafft also stromabwärts die Voraussetzungen für ihr eigenes Wachstum. Genau diese Verteilung lässt sich im Körper nur schwer messen, in einer Simulation dagegen unmittelbar auswerten.

== Methodische Relevanz ==

Fachlich überträgt das Projekt die Prinzipien der Strömungsmechanik aus der Vorlesung auf eine biomedizinische Anwendung.&lt;ref name=&quot;hundertmark&quot;&gt;Hundertmark, A.: ''Fluiddynamik.'' Vorlesungsunterlagen zum Modul Räumliche Modellbildung, RPTU Kaiserslautern-Landau, Sommersemester 2026.&lt;/ref&gt; Der methodische Mehrwert liegt in der Verknüpfung mehrerer Zugänge, die sich gegenseitig kontrollieren. Die analytische Poiseuille-Lösung liefert exakte Sollwerte für das gesunde Gefäß. Ein reduziertes Graphenmodell liefert für jeden Stenosegrad eine schnelle Abschätzung, die analytisch nachrechenbar ist. Die Simulationen in COMSOL Multiphysics lösen schließlich die vollständigen Navier-Stokes-Gleichungen in zwei und drei Raumdimensionen. Weil jede Stufe die Sollwerte der nächsten liefert, zeigt das Projekt nicht nur Ergebnisse, sondern auch, wie numerische Modelle aufgebaut, verifiziert und an ihren Grenzen bewertet werden.

== Auswahl der Stenosegrade ==

Um die untersuchten Gefäßverengungen nicht willkürlich festzulegen, orientiert sich die Auswahl der Stenosegrade an der klinisch gebräuchlichen NASCET-Klassifikation von Karotisstenosen.&lt;ref name=&quot;nascet&quot; /&gt; Zur klinischen Einordnung werden Karotisstenosen anhand der nach NASCET bestimmten Durchmesserreduktion in leichtgradige, mittelgradige und hochgradige Stenosen eingeteilt. Die angegebenen Prozentgrenzen dienen in diesem Projekt als Orientierung für die Auswahl der untersuchten Stenosegrade. Ein vollständiger Gefäßverschluss wird als Okklusion bezeichnet.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Klinische Einteilung nach NASCET-gemessener Durchmesserreduktion und untersuchte Stenosegrade
! Schweregrad !! Durchmesserreduktion !! im Projekt gerechnete Stenosegrade !! hervorgehobener Vertreter
|-
| gesundes Gefäß || 0 % || 0 || 0
|-
| leichtgradige Stenose || unter 50 % || 0,1 bis 0,4 || 0,3
|-
| mittelgradige Stenose || 50 bis 69 % || 0,5 und 0,6 || 0,6
|-
| hochgradige Stenose || 70 bis 99 % || 0,7 und 0,8 || 0,8
|-
| Okklusion || 100 % || nicht gerechnet || entfällt
|}
'''Anmerkung''': Die Klassengrenzen dienen der Einordnung der Modellvarianten. Die in der Tabelle genannten Stenosegrade sind dimensionslose Werte, beispielsweise entspricht '''&lt;math&gt;s=0{,}6&lt;/math&gt;''' einer Durchmesserreduktion von '''60 %'''.

Für die numerische Untersuchung wird aus jeder Kategorie ein repräsentativer Stenosegrad hervorgehoben. Neben dem gesunden Gefäß mit '''0 %''' Stenose sind das eine '''30 %''' Stenose als Beispiel für eine leichtgradige, eine '''60 %''' Stenose als Beispiel für eine mittelgradige und eine '''80 %''' Stenose als Beispiel für eine hochgradige Verengung. Zusätzlich werden für das Graphenmodell und das achsensymmetrische Flächenmodell Stenosegrade von 0 bis 80 % in Schritten von zehn Prozentpunkten vorgesehen. Dadurch kann die Abhängigkeit der Strömungsgrößen vom Stenosegrad systematisch untersucht und grafisch dargestellt werden. Ob alle Modellvarianten tatsächlich berechnet wurden und wie hoch der Rechenaufwand war, wird anhand der durchgeführten Simulationen dokumentiert. Ein vollständiger Gefäßverschluss wird nicht simuliert, da in diesem Fall keine durchgängige Strömung mehr vorliegt.

Der Stenosegrad wird in diesem Projekt wie bei NASCET über die Verringerung des Gefäßdurchmessers beschrieben,
&lt;math&gt;s = 1 - \frac{d_{\min}}{d_{\mathrm{ref}}},&lt;/math&gt;wobei &lt;math&gt;d_{\min}&lt;/math&gt; der kleinste Durchmesser in der Engstelle und &lt;math&gt;d_{\mathrm{ref}}&lt;/math&gt; ein Referenzdurchmesser ist. NASCET verwendet als Referenz den Durchmesser des gesunden Gefäßes stromabwärts der Stenose. Für das idealisierte gerade Gefäßmodell wird ein konstanter Referenzdurchmesser von &lt;math&gt;D_0=6\,\mathrm{mm}&lt;/math&gt; angenommen. Da das Gefäß außerhalb der Stenose denselben Durchmesser besitzt, gilt in diesem Modell&lt;math&gt;d_{\mathrm{ref}}=D_0&lt;/math&gt;. Bei der zusätzlich betrachteten Gefäßaufzweigung muss der Referenzdurchmesser dagegen gesondert festgelegt werden, da die Gefäßäste unterschiedliche Durchmesser besitzen.

Wichtig für das Verständnis aller weiteren Ergebnisse ist der Unterschied zwischen Durchmesser- und Flächenreduktion. Da die Querschnittsfläche quadratisch vom Durchmesser abhängt, gilt für die Flächenreduktion &lt;math&gt;1-(1-s)^2&lt;/math&gt;. Eine im klinischen Sinn nur mittelgradige Stenose von 60 % verschließt damit bereits 84 % der Querschnittsfläche.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Durchmesser- und Flächenreduktion der gerechneten Stenosegrade
! Stenosegrad s !! 0 !! 0,1 !! 0,2 !! 0,3 !! 0,4 !! 0,5 !! 0,6 !! 0,7 !! 0,8
|-
| engster Durchmesser in mm || 6,0 || 5,4 || 4,8 || 4,2 || 3,6 || 3,0 || 2,4 || 1,8 || 1,2
|-
| Flächenreduktion || 0 % || 19 % || 36 % || 51 % || 64 % || 75 % || 84 % || 91 % || 96 %
|}

Eine Einschränkungen gehört zur ehrlichen Einordnung: 
# Mit zunehmendem Stenosegrad, insbesondere bei ausgeprägten Verengungen, können lokale Beschleunigungen, Strömungsablösungen und zeitabhängige Strömungsstrukturen auftreten. Daher muss bei den hochgradigen Stenosen geprüft werden, inwieweit die Annahme einer stationären, laminaren Strömung geeignet ist. Eine feste Grenze bei &lt;math&gt;s=0{,}6&lt;/math&gt; lässt sich ohne entsprechende Simulationsergebnisse oder Literaturbelege nicht allgemein festlegen. Die hochgradigen Fälle werden deshalb unter besonderer Berücksichtigung der Modellannahmen diskutiert.

Unter Modellierung wird in diesem Projekt die Übertragung der Blutströmung in einer verengten Arterie auf ein mathematisches und numerisch lösbares Strömungsproblem verstanden. Dazu werden die Gefäßgeometrie, die zugrunde liegenden Gleichungen, die physikalischen Materialparameter sowie die Anfangs- und Randbedingungen festgelegt.

Jeder dieser Bestandteile beruht auf vereinfachenden Annahmen, die begründet und bei der Interpretation der Ergebnisse berücksichtigt werden müssen. Ziel ist es, den Einfluss unterschiedlicher Stenosegrade auf die Strömungsgeschwindigkeit, den Druckverlust und gegebenenfalls die Wandschubspannung systematisch zu untersuchen.

Die Modellierung erfolgt anhand mehrerer Modellvarianten mit unterschiedlicher räumlicher Auflösung. Dadurch können zunächst grundlegende Zusammenhänge analytisch abgeschätzt und anschließend mit numerischen Strömungsberechnungen verglichen werden. Die verwendeten Parameter orientieren sich an den bereitgestellten Referenzdaten und werden in den folgenden Abschnitten erläutert.

== Modellierung ==

Ziel der Modellierung ist es, die Blutströmung innerhalb einer Y-förmigen Aufzweigung der Halsschlagader mathematisch und numerisch zu untersuchen. Im Mittelpunkt steht eine Gefäßverengung (Stenose) in der Arteria carotis interna.

Das betrachtete Gefäßmodell besteht aus der Arteria carotis communis, die sich in die Arteria carotis interna und die Arteria carotis externa aufteilt. Die Stenose befindet sich ausschließlich in der Arteria carotis interna.

Durch die Verengung verändert sich der verfügbare Strömungsquerschnitt. Dies kann zu einer Erhöhung der lokalen Strömungsgeschwindigkeit, zu zusätzlichen Druckverlusten und zu einer Veränderung der Strömungsverteilung zwischen den beiden Gefäßästen führen.

Ziel ist es, den Einfluss unterschiedlicher Stenosegrade auf die Strömungsgeschwindigkeit, die Druckverteilung und die Wandschubspannung zu untersuchen. Zusätzlich soll betrachtet werden, wie sich die Strömung innerhalb der Y-förmigen Gefäßaufzweigung verhält.

Die numerische Modellierung erfolgt mit COMSOL Multiphysics. Dazu werden die Gefäßgeometrie, die Materialeigenschaften des Blutes, die Strömungsgleichungen und die Randbedingungen festgelegt.

Zur Vereinfachung wird Blut zunächst als inkompressibles, Newtonsches Fluid betrachtet. Die Gefäßwände werden als starr angenommen. Diese Annahmen ermöglichen eine systematische Untersuchung der Stenose, schränken jedoch die Übertragbarkeit auf reale physiologische Bedingungen ein.

=== Modellhierarchie ===

Für die Untersuchung der Blutströmung innerhalb der Y-förmigen Karotisaufzweigung werden drei Modellvarianten betrachtet. Diese unterscheiden sich hinsichtlich ihrer räumlichen Dimension, ihrer mathematischen Beschreibung und der Genauigkeit, mit der die Strömungsverhältnisse dargestellt werden können.

Das untersuchte Gefäß besteht aus der Arteria carotis communis, die sich in die Arteria carotis interna und die Arteria carotis externa aufteilt. Die Stenose befindet sich ausschließlich in der Arteria carotis interna.

Alle drei Modellvarianten werden mit COMSOL Multiphysics umgesetzt.

{| class=&quot;wikitable&quot; style=&quot;width:100%;&quot;
|+ '''Die drei Modellvarianten des Projekts'''
|-
! Modell
! Raumdimension
! Mathematische Grundlage
! Zweck
! Werkzeug
|-
| '''Graphenmodell'''
| 1D, Gefäßnetzwerk mit einer Verzweigung
| Massenerhaltung an der Verzweigung und vereinfachte Beschreibung der Strömungswiderstände
| Abschätzung der Volumenstromverteilung und der Druckverluste in den Gefäßästen
| COMSOL Multiphysics
|-
| '''Ebenes Flächenmodell'''
| 2D, Y-förmige Gefäßgeometrie in kartesischen Koordinaten
| Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen
| Untersuchung der Geschwindigkeits- und Druckverteilung sowie der Auswirkungen der Stenose in der Arteria carotis interna
| COMSOL Multiphysics, Laminare Strömung
|-
| '''Volumenmodell'''
| 3D, räumliche Y-förmige Gefäßgeometrie
| Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen
| Räumliche Untersuchung des Geschwindigkeitsfeldes, des Druckverlustes und der Wandschubspannung
| COMSOL Multiphysics, Laminare Strömung
|}

==== Vergleich und Überprüfung der Modellvarianten ====

Die drei Modellvarianten bauen hinsichtlich ihrer räumlichen Beschreibung aufeinander auf. Das Graphenmodell ermöglicht zunächst eine vereinfachte Betrachtung der Volumenströme und Druckverluste. Die zwei- und dreidimensionalen Modelle erlauben anschließend eine detailliertere Untersuchung der Strömung innerhalb der Gefäßaufzweigung.

Das '''Graphenmodell''' beschreibt die Arteria carotis communis sowie die beiden abzweigenden Gefäße als miteinander verbundenes Netzwerk. Dabei wird die Massenerhaltung an der Verzweigung berücksichtigt:

:&lt;math&gt;Q_{\mathrm{CCA}}=Q_{\mathrm{ICA}}+Q_{\mathrm{ECA}}&lt;/math&gt;

Das Modell liefert vereinfachte Abschätzungen der Volumenstromverteilung. Lokale Strömungsablösungen und räumliche Geschwindigkeitsverteilungen können damit nicht detailliert dargestellt werden.

Das '''ebene Flächenmodell''' bildet die Y-förmige Gefäßaufzweigung in zwei Raumdimensionen ab. Die Stenose wird innerhalb der Arteria carotis interna berücksichtigt. Dadurch können die Geschwindigkeits- und Druckverteilung sowie mögliche Rückströmungsbereiche untersucht werden.

Das '''Volumenmodell''' erweitert die Untersuchung auf drei Raumdimensionen. Es ermöglicht eine räumliche Darstellung der Strömung und eine detailliertere Berechnung der Wandschubspannung.

Die Ergebnisse des ebenen Flächenmodells und des Volumenmodells werden miteinander verglichen. Da das ebene Modell die räumliche Querschnittsgeometrie nur vereinfacht darstellt, müssen Unterschiede zwischen den beiden Modellen bei der Interpretation berücksichtigt werden.

Ziel der Modellhierarchie ist es, die Aussagekraft der einzelnen Modellvarianten zu bewerten und den Einfluss des Stenosegrades auf die Strömung innerhalb der Y-förmigen Karotisaufzweigung zu untersuchen.

=== Simulationsgebiet und Geometrie ===

Das Simulationsgebiet besteht aus einer idealisierten Y-förmigen Aufzweigung der Arteria carotis. Die Arteria carotis communis teilt sich in die Arteria carotis interna und die Arteria carotis externa.

Die Stenose befindet sich in der Arteria carotis interna. Die Arteria carotis externa wird ohne zusätzliche Verengung modelliert.

Die Geometrie orientiert sich an den bereitgestellten Referenzdaten. Die Gefäßdurchmesser werden innerhalb der jeweiligen unverengten Abschnitte als konstant angenommen.

{| class=&quot;wikitable&quot; style=&quot;width:100%;&quot;
|+ '''Geometrische Referenzparameter der Y-förmigen Gefäßaufzweigung'''
|-
! Gefäßabschnitt
! Durchmesser
! Länge
|-
| Arteria carotis communis
| 6 mm
| 60 mm
|-
| Arteria carotis interna
| 5 mm
| 60 mm
|-
| Arteria carotis externa
| 4 mm
| 60 mm
|-
| Stenose in der Arteria carotis interna
| Abhängig vom Stenosegrad
| 10 mm
|}

Die Verengung wird über den Stenosegrad &lt;math&gt;s&lt;/math&gt; beschrieben. Dieser gibt die relative Verringerung des Gefäßdurchmessers an:

:&lt;math&gt;s=1-\frac{d_{\min}}{D_{\mathrm{ICA}}}&lt;/math&gt;

Dabei bezeichnet &lt;math&gt;d_{\min}&lt;/math&gt; den minimalen Durchmesser innerhalb der Stenose und &lt;math&gt;D_{\mathrm{ICA}}&lt;/math&gt; den unverengten Referenzdurchmesser der Arteria carotis interna.

Für das Modell gilt:

:&lt;math&gt;D_{\mathrm{ICA}}=5\,\mathrm{mm}&lt;/math&gt;

Der minimale Durchmesser ergibt sich damit zu:

:&lt;math&gt;d_{\min}=D_{\mathrm{ICA}}(1-s)&lt;/math&gt;

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ '''Minimaler Durchmesser der Stenose in der Arteria carotis interna'''
|-
! Stenosegrad
! Minimaler Durchmesser
|-
| 0 %
| 5,0 mm
|-
| 10 %
| 4,5 mm
|-
| 20 %
| 4,0 mm
|-
| 30 %
| 3,5 mm
|-
| 40 %
| 3,0 mm
|-
| 50 %
| 2,5 mm
|-
| 60 %
| 2,0 mm
|-
| 70 %
| 1,5 mm
|-
| 80 %
| 1,0 mm
|}

Die angegebenen Stenosegrade beziehen sich ausschließlich auf den Durchmesser der Arteria carotis interna. Der Durchmesser der Arteria carotis communis wird nicht zur Berechnung des Stenosegrades verwendet.

Die Y-förmige Geometrie ermöglicht es, die Auswirkungen der Verengung sowohl auf die lokale Strömung in der Arteria carotis interna als auch auf die Strömungsverteilung innerhalb der gesamten Gefäßaufzweigung zu untersuchen.

Die genaue Form der Stenose, der Verzweigungswinkel und die Übergänge zwischen den Gefäßabschnitten müssen entsprechend der tatsächlich in COMSOL verwendeten Geometrie dokumentiert werden.


AB HIER ALT== Modellhierarchie ==

Für die Untersuchung werden vier Modellvarianten betrachtet, die sich hinsichtlich ihrer mathematischen Beschreibung, ihrer räumlichen Dimension und ihres Rechenaufwands unterscheiden. Die Modelle sind bewusst von einer vereinfachten analytischen Beschreibung bis zu einer dreidimensionalen numerischen Simulation angeordnet.

Diese Vorgehensweise ermöglicht es, die Ergebnisse der komplexeren Modelle anhand grundlegender physikalischer Zusammenhänge und geeigneter Referenzfälle zu überprüfen. Dabei ist zu beachten, dass nicht jede Modellvariante dieselben Strömungseigenschaften vollständig abbilden kann.

{| class=&quot;wikitable&quot; style=&quot;width:100%;&quot;
|+ '''Die vier Modellvarianten des Projekts'''
|-
! Modell
! Raumdimension
! Mathematische Grundlage
! Zweck
! Werkzeug
|-
| '''Graphenmodell'''
| 1D, Beschreibung entlang der Gefäßachse
| Hagen-Poiseuille-Gesetz für vereinfachte Rohrabschnitte und Massenerhaltung an Verzweigungsknoten
| Analytische Abschätzung von Volumenströmen und Druckverlusten; Referenz für die numerischen Modelle
| COMSOL mit geeigneter eindimensionaler Formulierung
|-
| '''Achsensymmetrisches Flächenmodell'''
| 2D, rotationssymmetrischer Längsschnitt in den Koordinaten &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;z&lt;/math&gt;
| Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen in achsensymmetrischer Form
| Detaillierte Untersuchung von Geschwindigkeits- und Druckfeldern sowie der Wandschubspannung in einem idealisierten rotationssymmetrischen Gefäß
| COMSOL Multiphysics, Laminar Flow
|-
| '''Ebenes Flächenmodell'''
| 2D, ebene Geometrie in den Koordinaten &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;y&lt;/math&gt;
| Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen in kartesischen Koordinaten
| Untersuchung der Strömung in einer vereinfachten ebenen Geometrie und Vergleich mit dem achsensymmetrischen Modell
| COMSOL Multiphysics, Laminar Flow
|-
| '''Volumenmodell'''
| 3D, räumliche Gefäßgeometrie
| Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen in drei Raumdimensionen
| Räumliche Darstellung der Strömung und Überprüfung der Ergebnisse des achsensymmetrischen Modells bei vergleichbarer Geometrie
| COMSOL Multiphysics, Laminar Flow
|}

=== Vergleich und Überprüfung der Modellvarianten ===

Die Modellhierarchie folgt dem Prinzip, dass zunächst vereinfachte Zusammenhänge untersucht und anschließend mit detaillierteren numerischen Modellen verglichen werden.

Das '''Graphenmodell''' bildet die einfachste Modellvariante. Es verwendet das Hagen-Poiseuille-Gesetz zur Abschätzung des Druckverlustes in geraden Rohrabschnitten mit konstantem Durchmesser. Für den unverengten Referenzfall kann damit eine analytische Vergleichsgröße bestimmt werden. Im Bereich einer Stenose ist die Anwendung jedoch nur als vereinfachte Näherung geeignet, da dort zusätzliche Strömungseffekte auftreten können.

Das '''achsensymmetrische Flächenmodell''' ermöglicht eine detailliertere Untersuchung des Geschwindigkeits- und Druckfeldes innerhalb einer idealisierten rotationssymmetrischen Gefäßverengung. Im unverengten Referenzfall können die numerischen Ergebnisse mit der analytischen Poiseuille-Lösung verglichen werden. Bei zunehmendem Stenosegrad werden insbesondere die Beschleunigung im Bereich der Engstelle, der Druckverlust und die Wandschubspannung betrachtet.

Das '''ebene Flächenmodell''' beschreibt die Strömung in einer zweidimensionalen kartesischen Geometrie. Im Unterschied zum achsensymmetrischen Modell wird dabei keine Rotationssymmetrie vorausgesetzt. Da sich die geometrische Beschreibung des Strömungsquerschnitts unterscheidet, sind die Ergebnisse nicht ohne Weiteres quantitativ gleichzusetzen. Der Vergleich dient insbesondere dazu, den Einfluss der Modellvereinfachung auf die berechneten Strömungsgrößen zu untersuchen.

Das '''Volumenmodell''' erweitert die Untersuchung auf drei Raumdimensionen. Bei einer rotationssymmetrischen Geometrie und entsprechend übereinstimmenden Randbedingungen wird eine weitgehende Übereinstimmung mit dem achsensymmetrischen Modell erwartet. Diese Übereinstimmung muss jedoch anhand der numerischen Ergebnisse überprüft werden. Bei einer Gefäßaufzweigung oder einer asymmetrischen Stenose können zusätzliche räumliche Strömungseffekte auftreten, die durch ein achsensymmetrisches Modell nicht vollständig beschrieben werden.

=== Referenzfall und Vergleichsgrößen ===

Als Ausgangspunkt dient ein unverengtes Gefäß mit dem Referenzdurchmesser &lt;math&gt;D_0=6\,\mathrm{mm}&lt;/math&gt;. Für das Blut werden eine Dichte von &lt;math&gt;\rho_b=1060\,\mathrm{kg/m^3}&lt;/math&gt; und eine dynamische Viskosität von &lt;math&gt;\mu_b=3{,}5\,\mathrm{mPa\,s}&lt;/math&gt; angenommen.

Der vorgegebene mittlere Volumenstrom beträgt &lt;math&gt;Q_0=6\,\mathrm{ml/s}&lt;/math&gt;. Daraus ergibt sich für den unverengten kreisförmigen Querschnitt eine mittlere Strömungsgeschwindigkeit von ungefähr &lt;math&gt;U_0=0{,}2122\,\mathrm{m/s}&lt;/math&gt;.

Die Referenz-Reynolds-Zahl beträgt &lt;math&gt;\mathrm{Re}_0=385{,}6&lt;/math&gt;. Für den in den Referenzdaten definierten Vergleichsfall ist außerdem ein analytischer Druckverlust von &lt;math&gt;\Delta p_{\mathrm{ref}}=99{,}03\,\mathrm{Pa}&lt;/math&gt; angegeben.

Diese Größen dienen als Ausgangspunkt für die Überprüfung der numerischen Modelle. Ein direkter Vergleich ist jedoch nur zulässig, wenn die jeweils verwendete Geometrie, die Auswertelänge und die Randbedingungen übereinstimmen.

=== Grenzen der Modellhierarchie ===

Die vier Modellvarianten unterscheiden sich nicht nur im Rechenaufwand, sondern auch in den physikalischen Effekten, die sie darstellen können.

Insbesondere bei hochgradigen Stenosen können starke lokale Geschwindigkeitsänderungen, Strömungsablösungen und zeitabhängige Strömungsstrukturen auftreten. Deshalb muss überprüft werden, ob die Annahme einer stationären laminaren Strömung für die betrachteten Fälle ausreichend ist.

Außerdem muss zwischen dem idealisierten geraden Gefäßmodell und einer Gefäßaufzweigung unterschieden werden. Das achsensymmetrische Modell eignet sich für eine rotationssymmetrische Stenose in einem geraden Gefäß, während eine realistische Gefäßaufzweigung eine andere geometrische Beschreibung erfordert.

Die Modellvarianten werden daher nicht als vollständig gleichwertig betrachtet. Vielmehr soll der Vergleich zeigen, welche Aussagen bereits durch vereinfachte Modelle möglich sind und für welche Strömungseigenschaften eine detailliertere numerische Beschreibung erforderlich ist.

= Modellierung =

Modellierung bedeutet hier, die reale Situation in eine mathematische Aufgabe zu übersetzen, die sich lösen lässt. Dazu gehören vier Bausteine, nämlich das Rechengebiet, die Gleichungen, die Zahlenwerte der Parameter und die Bedingungen an den Rändern. Jeder dieser Bausteine beruht auf Annahmen, und jede Annahme muss begründet werden. Dieser Abschnitt geht die Bausteine deshalb der Reihe nach durch und nennt bei jedem Zahlenwert, woher er stammt und warum er sinnvoll ist.

== Modellhierarchie ==

Das Projekt rechnet nicht ein einziges Modell, sondern vier aufeinander aufbauende Modellvarianten. Sie entsprechen der Kursanforderung, eine Strömung als Graph, in zwei und in drei Raumdimensionen darzustellen, und sie sind bewusst von einfach nach aufwendig geordnet.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Die vier Modellvarianten des Projekts
! Modell !! Raumdimension !! gelöste Gleichung !! Zweck !! Werkzeug
|-
| Graphenmodell || 1D, Gefäßachse || Hagen-Poiseuille je Rohrstück und Massenerhaltung in jedem Knoten || schnelle, analytisch nachrechenbare Abschätzung für jeden Stenosegrad || Octave und COMSOL (Koeffizientenform-PDGL)
|-
| achsensymmetrisches Flächenmodell || 2D, Halbschnitt in r und z || vollständige stationäre Navier-Stokes-Gleichungen in Zylinderkoordinaten || Hauptmodell, liefert alle Feldgrößen des rotationssymmetrischen Rohres || COMSOL, Laminare Strömung
|-
| ebenes Flächenmodell || 2D, Halbschnitt in x und y || vollständige stationäre Navier-Stokes-Gleichungen in kartesischen Koordinaten || Vergleich, zeigt den Einfluss der zweiten Querschnittsrichtung || COMSOL, Laminare Strömung
|-
| Volumenmodell || 3D || vollständige stationäre Navier-Stokes-Gleichungen || Kontrolle des Hauptmodells und räumliche Darstellung || COMSOL, Laminare Strömung
|}

Die Reihenfolge folgt einem einfachen Prinzip. Jede Stufe liefert die Sollwerte, an denen die nächste, komplexere Stufe geprüft wird. Das Graphenmodell muss im gesunden Fall exakt die Poiseuille-Lösung ergeben. Das achsensymmetrische Modell muss im gesunden Fall dieselben Werte liefern und bei Stenose für Geschwindigkeit und Wandschubspannung in der Nähe des Graphenmodells liegen. Das Volumenmodell muss, weil die Geometrie rotationssymmetrisch ist, mit dem achsensymmetrischen Modell übereinstimmen.

== Modellannahmen ==

Um den Einfluss des Stenosegrades möglichst isoliert zu untersuchen, werden die folgenden Modellannahmen getroffen. Die Tabelle nennt zu jeder Annahme ihre mathematische Form, die Begründung und die Stelle, an der sie im Projekt überprüft wird.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Modellannahmen, ihre Begründung und ihre Überprüfung
! Annahme !! mathematische Form !! Begründung !! Überprüfung
|-
| Idealisierte Gefäßgeometrie || gerades Rohr mit kosinusförmiger, rotationssymmetrischer Verengung || isoliert die Wirkung des Stenosegrades von Krümmung, Verzweigung und Plaqueform || Diskussion in den Schlussfolgerungen
|-
| Starre Gefäßwand || Wand ortsfest, keine Fluid-Struktur-Kopplung || im stationären Fall gibt es keine Druckschwankung, die die Wand periodisch aufweiten könnte || Abschätzung über die gemessene Durchmesseränderung im Herzzyklus
|-
| Stationäre Strömung || &lt;math&gt;\partial \mathbf{u}/\partial t = \mathbf{0}&lt;/math&gt; || der Einfluss des Stenosegrades soll ohne Überlagerung durch die Pulsation sichtbar werden || Abschätzung über die Womersley-Zahl
|-
| Inkompressibles Fluid || &lt;math&gt;\rho = \mathrm{const}&lt;/math&gt;, damit &lt;math&gt;\nabla\cdot\mathbf{u} = 0&lt;/math&gt; || Blut ist eine Flüssigkeit, Druckänderungen von wenigen hundert Pascal ändern die Dichte nicht messbar || Massenerhaltung in fünf Querschnitten
|-
| Newtonsche Näherung || konstante Viskosität &lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt; || die Scherraten an der Wand und im größten Teil des Querschnitts liegen über dem Bereich, in dem Blut deutlich scherverdünnend wirkt || Scherrate an der Wand, Diskussion des Rückströmgebiets
|-
| Konstante Stoffeigenschaften || &lt;math&gt;\rho&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt; räumlich und zeitlich konstant || Körpertemperatur ist im betrachteten Abschnitt konstant || entfällt
|-
| Laminare Strömung || kein Turbulenzmodell, Schnittstelle Laminare Strömung || Reynoldszahl des gesunden Gefäßes von 386 liegt weit unter dem Umschlagbereich || Reynoldszahl in der Engstelle, Literaturvergleich
|-
| Haftbedingung an der Wand || &lt;math&gt;\mathbf{u} = \mathbf{0}&lt;/math&gt; auf der Wand || Folge der Viskosität, das Fluid haftet an der Wand || Grundlage jeder Wandschubspannung
|-
| Vernachlässigung der Gravitation || keine Volumenkraft || bei konstanter Dichte lässt sich die Schwerkraft vollständig in einen hydrostatischen Druckanteil verschieben und beeinflusst die Geschwindigkeit nicht || Begründung in den Mathematischen Hintergründen
|-
| Voll entwickelte Einströmung || parabolisches Profil am Einlass || die natürliche Einlaufstrecke wäre mit rund 139 mm fast so lang wie das ganze Rechengebiet || Scheitelgeschwindigkeit im gesunden Fall
|-
| Eingeprägter Volumenstrom || &lt;math&gt;Q = Q_0&lt;/math&gt; am Einlass || der Strömungswiderstand des Abschnitts ist klein gegenüber dem des nachgeschalteten Gefäßbetts || Abschätzung mit einem Reihenwiderstand
|}

Einige dieser Annahmen sind unmittelbar einsichtig, andere verdienen eine genauere Begründung, weil von ihnen die Aussagekraft der Ergebnisse abhängt.

Die '''Newtonsche Näherung''' ist die Annahme, die bei Blut am häufigsten hinterfragt wird. Reales Blut ist eine Suspension aus Plasma und Blutzellen und verhält sich scherverdünnend. Bei kleinen Scherraten lagern sich die roten Blutkörperchen zu geldrollenartigen Stapeln zusammen, und die Viskosität steigt auf ein Vielfaches an. Bei großen Scherraten lösen sich diese Stapel auf, und die Viskosität strebt gegen einen Grenzwert von etwa 3,5 mPa·s. Entscheidend ist also die Scherrate. An der Wand des gesunden Modellgefäßes beträgt sie nach der Poiseuille-Lösung

&lt;math&gt;\dot\gamma_w = \frac{4\,U_0}{R_0} = \frac{4 \cdot 0{,}2122\ \mathrm{m/s}}{0{,}003\ \mathrm{m}} \approx 283\ \mathrm{s^{-1}}&lt;/math&gt;

und liegt damit oberhalb von etwa 100 pro Sekunde, wo sich Newtonsches und nicht Newtonsches Modell nach der Literatur nur noch wenig unterscheiden.&lt;ref name=&quot;boyd&quot;&gt;Die Grenze von etwa 100 s&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt; wird in vergleichenden Studien zur Blutrheologie verwendet, etwa bei Bernabeu, M. O. u. a.: ''Impact of blood rheology on wall shear stress in a model of the middle cerebral artery.'' Interface Focus 3 (2013), 20120094. &lt;!-- FIXME Zitat und Seitenangabe am Original pruefen --&gt;&lt;/ref&gt; In der Engstelle steigt die Scherrate weiter an, beim Stenosegrad 0,5 auf rund 2260 pro Sekunde. Schwach ist die Näherung dort, wo die Scherrate klein wird, also in der Mitte des Gefäßes und vor allem im Rückströmgebiet hinter der Stenose. Dort ist reales Blut zäher als angenommen. Dieser Punkt wird in den Schlussfolgerungen wieder aufgegriffen.

Die '''stationäre Strömung''' ist die stärkste Vereinfachung. Wie wichtig die Pulsation ist, misst die Womersley-Zahl, die das Verhältnis von instationärer Trägheit zu Reibung angibt. Mit einer Herzfrequenz von 60 Schlägen je Minute, also einer Kreisfrequenz &lt;math&gt;\omega = 2\pi\ \mathrm{s^{-1}}&lt;/math&gt;, ergibt sich

&lt;math&gt;\alpha = R_0 \sqrt{\frac{\omega \rho}{\mu}} = 0{,}003\ \mathrm{m} \cdot \sqrt{\frac{2\pi\ \mathrm{s^{-1}} \cdot 1060\ \mathrm{kg/m^3}}{0{,}0035\ \mathrm{Pa\,s}}} \approx 4{,}1 .&lt;/math&gt;

Ein Wert in dieser Größenordnung bedeutet, dass das reale Geschwindigkeitsprofil im Herzzyklus merklich von der Parabel abweicht.&lt;ref name=&quot;womersley&quot;&gt;Womersley, J. R.: ''Method for the calculation of velocity, rate of flow and viscous drag in arteries when the pressure gradient is known.'' Journal of Physiology 127 (1955), S. 553-563.&lt;/ref&gt; Hinzu kommt, dass der Volumenstrom in der Systole kurzzeitig auf rund das Vierfache des Mittelwerts steigt.&lt;ref name=&quot;holdsworth&quot;&gt;Holdsworth, D. W.; Norley, C. J. D.; Frayne, R.; Steinman, D. A.; Rutt, B. K.: ''Characterization of common carotid artery blood-flow waveforms in normal human subjects.'' Physiological Measurement 20 (1999), Nr. 3, S. 219-240. DOI 10.1088/0967-3334/20/3/301. Angegeben werden ein mittlerer Volumenstrom von 6,0 ± 1,4 ml/s und ein systolischer Spitzenwert von 23,5 ± 3,8 ml/s. &lt;!-- FIXME Zahlenwerte und Probandenzahl am Original pruefen --&gt;&lt;/ref&gt; Die stationäre Rechnung mit dem Mittelwert beschreibt deshalb nicht den zeitlichen Verlauf, wohl aber den zeitlich gemittelten Zustand, an dem sich der Einfluss des Stenosegrades sauber vergleichen lässt.

Die '''laminare Strömung''' wird über die Reynoldszahl begründet. Sie beträgt im gesunden Gefäß 386 und liegt damit weit unter dem Wert von etwa 2300, ab dem die Strömung in einem geraden Rohr in den Übergangsbereich gelangen kann. In der Engstelle steigt sie bei festem Volumenstrom auf &lt;math&gt;Re_0/(1-s)&lt;/math&gt;, also auf 551 beim Stenosegrad 0,3, auf 964 beim Grad 0,6 und auf 1928 beim Grad 0,8. Für den Strahl hinter einer Engstelle ist der Umschlagbereich allerdings deutlich niedriger als im geraden Rohr. Direkte numerische Simulationen an genau der in diesem Projekt verwendeten Stenosegeometrie zeigen, dass die Strömung bei einer Einström-Reynoldszahl von 500 auch bei leichter Unsymmetrie laminar bleibt, bei 1000 dagegen schon eine Exzentrizität von fünf Prozent des Durchmessers genügt, um den Strahl in lokal turbulente Strömung umschlagen zu lassen.&lt;ref name=&quot;varghese&quot;&gt;Varghese, S. S.; Frankel, S. H.; Fischer, P. F.: ''Direct numerical simulation of stenotic flows. Part 1. Steady flow.'' Journal of Fluid Mechanics 582 (2007), S. 253-280. Untersucht wird eine kosinusförmige Stenose der Länge 2D mit 75 % Flächenreduktion, die mit der Geometrie dieses Projekts beim Stenosegrad 0,5 übereinstimmt. &lt;!-- FIXME Band und Seiten am Original pruefen --&gt;&lt;/ref&gt; Mit einer Einström-Reynoldszahl von 386 liegt das Projekt für die leicht- und mittelgradigen Stenosen sicher im laminaren Bereich. Für die hochgradigen Stenosen ab 0,7 ist ein laminares, stationäres Modell dagegen nur noch eine Näherung, die eine Obergrenze der geordneten Strömung beschreibt. Diese Fälle werden deshalb als Grenzfall des Modells gekennzeichnet.

Die '''starre Wand''' lässt sich über Messungen abschätzen. Der Durchmesser der gemeinsamen Halsschlagader ändert sich im Herzzyklus bei jungen Menschen um etwa 12 bis 14 Prozent und bei älteren Menschen um etwa 5 Prozent.&lt;ref name=&quot;hansen&quot;&gt;Hansen, F.; Mangell, P.; Sonesson, B.; Länne, T.: ''Diameter and compliance in the human common carotid artery: variations with age and sex.'' Ultrasound in Medicine and Biology 21 (1995), Nr. 1, S. 1-9. DOI 10.1016/0301-5629(94)00090-5.&lt;/ref&gt; Diese Bewegung ist eine Folge der Pulsation. In einer stationären Rechnung gibt es keine Druckschwankung, die die Wand periodisch aufweiten könnte, sodass die starre Wand zur stationären Annahme konsistent ist. Eine verkalkte Plaque ist ohnehin deutlich steifer als die gesunde Wand.

Die Annahme des '''eingeprägten Volumenstroms''' wird im Abschnitt zu den Randbedingungen begründet, weil sie sich nur im Zusammenhang mit dem Kreislauf beurteilen lässt.

== Simulationsgebiet und Geometrie ==

Die Gefäßachse ist die z-Achse, der Ursprung liegt in der Mitte der Stenose, und &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; bezeichnet den Abstand von der Achse. Das Rechengebiet reicht von &lt;math&gt;z = -L_u&lt;/math&gt; bis &lt;math&gt;z = L_d&lt;/math&gt; und wird radial von der Wandkontur &lt;math&gt;R(z)&lt;/math&gt; begrenzt. Die Verengung wird über eine einzige glatte Funktion beschrieben,

&lt;math&gt;R(z) = R_0 \left[ 1 - \frac{s}{2}\left(1 + \cos\frac{2\pi z}{L_s}\right)\right] \quad \text{falls } |z| \le \frac{L_s}{2}, \qquad R(z) = R_0 \ \text{sonst.}&lt;/math&gt;

Die Funktion hat drei Eigenschaften, die ihre Wahl begründen. Sie wird erstens über einen einzigen Parameter gesteuert, den Stenosegrad &lt;math&gt;s&lt;/math&gt;. Der engste Radius in der Mitte beträgt &lt;math&gt;R(0) = R_0(1-s)&lt;/math&gt;, und der Fall ohne Verengung ist einfach der Fall &lt;math&gt;s = 0&lt;/math&gt;. Die gesamte Vergleichsreihe entsteht damit aus einem einzigen parametrischen Sweep. Sie geht zweitens an beiden Enden der Störstelle ohne Knick in das gerade Rohr über. Bei &lt;math&gt;z = \pm L_s/2&lt;/math&gt; ist der Kosinus gleich minus eins, die Klammer also null, und seine Ableitung verschwindet dort ebenfalls. Das ist nicht nur ästhetisch, sondern numerisch notwendig, denn ein Knick in der Wand erzeugt eine Singularität der Wandschubspannung, deren berechneter Wert mit jeder Netzverfeinerung weiter wüchse. Eine Netzstudie wäre dann sinnlos. Sie ist drittens die in der Literatur gebräuchliche Standardgeometrie für Stenosen, sodass sich die Ergebnisse unmittelbar mit veröffentlichten Rechnungen vergleichen lassen.&lt;ref name=&quot;varghese&quot; /&gt;

[[Datei:Stenose Gruppe5 Wandkontur.svg|mini|zentriert|800px|Wandkontur &lt;math&gt;R(z)&lt;/math&gt; für die untersuchten Stenosegrade. Die Darstellung ist in radialer Richtung gestreckt, das Rechengebiet ist in Wirklichkeit fünfundzwanzigmal länger als breit.]]
&lt;!-- FIXME Abbildung mit abbildungen_graph_1d.m fuer s = 0 bis 0,8 neu erzeugen, bisher nur bis 0,5 --&gt;

Die Abmessungen des Rechengebiets werden alle aus dem Gefäßradius abgeleitet. Das hat den Vorteil, dass sich das gesamte Modell durch Ändern eines einzigen Wertes auf ein anderes Gefäß übertragen lässt. Die einzelnen Längen werden im Folgenden Schritt für Schritt begründet.

# Der '''Gefäßradius''' &lt;math&gt;R_0 = 3\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; folgt aus Ultraschallmessungen an gesunden Erwachsenen. Dort wurden für die gemeinsame Halsschlagader mittlere Durchmesser von 6,10 ± 0,80 mm bei Frauen und 6,52 ± 0,98 mm bei Männern gemessen.&lt;ref name=&quot;krejza&quot;&gt;Krejza, J.; Arkuszewski, M.; Kasner, S. E.; Weigele, J.; Ustymowicz, A.; Hurst, R. W.; Cucchiara, B. L.; Messe, S. R.: ''Carotid artery diameter in men and women and the relation to body and neck size.'' Stroke 37 (2006), Nr. 4, S. 1103-1105. DOI 10.1161/01.STR.0000206440.48756.f7.&lt;/ref&gt; Der gewählte Durchmesser von &lt;math&gt;D_0 = 6\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; liegt damit innerhalb einer Standardabweichung beider Gruppen und ist bewusst auf einen runden Wert gesetzt, damit alle abgeleiteten Längen glatte Zahlen ergeben.
# Die '''Länge der Störstelle''' &lt;math&gt;L_s = 2 D_0 = 12\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; entspricht der Standardgeometrie aus der Literatur, die eine Stenosenlänge von zwei Durchmessern verwendet.&lt;ref name=&quot;varghese&quot; /&gt; Damit ist beim Stenosegrad 0,5 ein direkter Vergleich mit veröffentlichten Ergebnissen möglich.
# Die '''Vorlaufstrecke''' &lt;math&gt;L_u = 5 D_0 = 30\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; trennt den Einlass von der Stenose. Da am Einlass bereits das voll entwickelte Profil vorgegeben wird, muss sie nicht die Einlaufstrecke abdecken, sondern nur verhindern, dass die Einströmrandbedingung die Strömung an der Engstelle beeinflusst. Bei Reynoldszahlen in dieser Größenordnung reicht der Einfluss einer Verengung nur wenige Durchmesser stromaufwärts, die Literatur kommt für dieselbe Geometrie mit drei Durchmessern Vorlauf aus.&lt;ref name=&quot;varghese&quot; /&gt; Fünf Durchmesser lassen also eine Reserve. Überprüft wird das im Ergebnis, indem die Geschwindigkeit auf der Achse in der Mitte der Vorlaufstrecke mit dem Sollwert &lt;math&gt;2U_0&lt;/math&gt; verglichen wird.
# Die '''Nachlaufstrecke''' &lt;math&gt;L_d = 20 D_0 = 120\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; ist deutlich länger, weil sich hinter der Engstelle ein Rückströmgebiet bildet, das nicht auf den Auslass treffen darf. Für die Geometrie mit dem Stenosegrad 0,5 legt die Strömung bei einer Einström-Reynoldszahl von 500 erst etwa zehn Durchmesser hinter der Engstelle wieder an, die Literatur rechnet mit sechzehn Durchmessern Nachlauf.&lt;ref name=&quot;varghese&quot; /&gt; Zwanzig Durchmesser bieten damit für alle Stenosegrade bis 0,5 einen Sicherheitsabstand. Für die Grade ab 0,6 ist ein längeres Rückströmgebiet zu erwarten, dort wird die Lage des Wiederanlegepunktes ausdrücklich kontrolliert.
# Das '''Ende des fein vernetzten Nachlaufs''' &lt;math&gt;L_f = L_s/2 + 10 D_0 = 66\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; legt fest, bis wohin das Netz verfeinert wird. Der Wert ist so gewählt, dass das erwartete Rückströmgebiet von etwa zehn Durchmessern vollständig im feinen Bereich liegt.

Damit hat das Rechengebiet eine Gesamtlänge von &lt;math&gt;L = L_u + L_d = 150\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt;, also das Fünfundzwanzigfache des Durchmessers. Es ist ein Modellgebiet und kein maßstäbliches Abbild eines bestimmten anatomischen Abschnitts.

== Stoff- und Strömungsparameter ==

Die Stoffwerte des Blutes und der Volumenstrom sind die einzigen Eingangsgrößen, die nicht aus der Geometrie folgen. Aus ihnen werden alle weiteren Strömungskennwerte berechnet. Die folgenden Schritte zeigen jede Rechnung einzeln, damit sich jeder Wert nachprüfen lässt.

# Die '''Dichte''' wird mit &lt;math&gt;\rho = 1060\ \mathrm{kg/m^3}&lt;/math&gt; angesetzt. Der Wert lässt sich als Mischungsregel plausibel machen. Plasma hat eine Dichte von etwa 1025 kg/m³, rote Blutkörperchen von etwa 1100 kg/m³. Bei einem Zellanteil von 45 % ergibt sich &lt;math&gt;0{,}55 \cdot 1025 + 0{,}45 \cdot 1100 \approx 1059\ \mathrm{kg/m^3}&lt;/math&gt;. Die Dichte geht nur über die Reynoldszahl in die Rechnung ein, eine Abweichung von einem Prozent ändert die Ergebnisse daher kaum. &lt;!-- FIXME Lehrbuchquelle fuer Plasma- und Erythrozytendichte ergaenzen --&gt;
# Die '''dynamische Viskosität''' wird mit &lt;math&gt;\mu = 3{,}5\ \mathrm{mPa\,s}&lt;/math&gt; angesetzt. Das ist der Grenzwert der Blutviskosität bei hohen Scherraten, also genau der Wert, der zur Newtonschen Näherung gehört. Derselbe Wert von 0,035 Poise wird auch im Standardwerk zur Modellierung des Herz-Kreislauf-Systems verwendet.&lt;ref name=&quot;quarteroni&quot;&gt;Quarteroni, A.; Formaggia, L.: ''Mathematical Modelling and Numerical Simulation of the Cardiovascular System.'' In: Ayache, N. (Hrsg.): ''Computational Models for the Human Body.'' Handbook of Numerical Analysis, Bd. XII, Elsevier, Amsterdam 2004, S. 3-127. DOI 10.1016/S1570-8659(03)12001-7. Zur Newtonschen Näherung in großen Gefäßen siehe S. 30, zur Viskosität von 0,035 Poise die Parametertabelle auf S. 116.&lt;/ref&gt;
# Der '''mittlere Volumenstrom''' wird mit &lt;math&gt;Q_0 = 6\ \mathrm{ml/s}&lt;/math&gt; angesetzt. Das ist der zeitlich gemittelte Volumenstrom, der in der gemeinsamen Halsschlagader gesunder Probanden gemessen wurde.&lt;ref name=&quot;holdsworth&quot; /&gt;
# Die '''mittlere Geschwindigkeit''' folgt aus Volumenstrom und Querschnittsfläche, &lt;math&gt;U_0 = \frac{Q_0}{\pi R_0^2} = \frac{6 \cdot 10^{-6}\ \mathrm{m^3/s}}{\pi \cdot (0{,}003\ \mathrm{m})^2} = 0{,}2122\ \mathrm{m/s}&lt;/math&gt;.
# Die '''Reynoldszahl''' des gesunden Gefäßes ist &lt;math&gt;Re_0 = \frac{\rho\, U_0\, D_0}{\mu} = \frac{1060 \cdot 0{,}2122 \cdot 0{,}006}{0{,}0035} = 385{,}6&lt;/math&gt;. Sie wird im Folgenden auf 386 gerundet.
# Die '''Einlauflänge''', die eine anfangs gleichförmige Strömung bis zum voll entwickelten Parabelprofil bräuchte, beträgt nach der gebräuchlichen Abschätzung für laminare Rohrströmungen &lt;math&gt;L_e \approx 0{,}06\, Re_0\, D_0 \approx 0{,}06 \cdot 386 \cdot 6\ \mathrm{mm} \approx 139\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt;.&lt;ref name=&quot;durst&quot;&gt;Durst, F.; Ray, S.; Ünsal, B.; Bayoumi, O. A.: ''The development lengths of laminar pipe and channel flows.'' Journal of Fluids Engineering 127 (2005), Nr. 6, S. 1154-1160. Für große Reynoldszahlen nähert sich die dort angegebene Korrelation dem Wert 0,057·Re·D.&lt;/ref&gt; Das ist fast die gesamte Länge des Rechengebiets. Ein konstantes Einlassprofil würde die Strömung an der Stenose also verfälschen, weshalb am Einlass das voll entwickelte Profil vorgegeben wird.

Damit liegen alle globalen Parameter fest. Die folgende Tabelle enthält sie mit genau den Namen, unter denen sie in COMSOL und in den Octave-Skripten verwendet werden.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Globale Parameter des Modells
! Name !! Ausdruck in COMSOL !! Wert !! Bedeutung !! Herkunft
|-
| R0 || 3[mm] || 3 mm || Gefäßradius || Messwerte nach Krejza u. a. 2006, gerundet
|-
| D0 || 2*R0 || 6 mm || Gefäßdurchmesser || abgeleitet
|-
| Ls || 2*D0 || 12 mm || Länge der Störstelle || Standardgeometrie nach Varghese u. a. 2007
|-
| Lu || 5*D0 || 30 mm || Vorlaufstrecke vor der Stenosemitte || Abstand der Einlassbedingung von der Stenose
|-
| Ld || 20*D0 || 120 mm || Nachlaufstrecke hinter der Stenosemitte || Platz für das Rückströmgebiet
|-
| Lf || Ls/2+10*D0 || 66 mm || Ende des fein vernetzten Nachlaufs || erwartete Länge des Rückströmgebiets
|-
| s || 0 bis 0.8 || 0 bis 0,8 || Stenosegrad bezogen auf den Durchmesser || NASCET-Einteilung
|-
| rho_b || 1060[kg/m^3] || 1060 kg/m³ || Dichte des Blutes || Mischungsregel, Literaturwert
|-
| mu_b || 3.5[mPa*s] || 3,5 mPa·s || dynamische Viskosität des Blutes || Hochscherwert, Quarteroni und Formaggia 2004
|-
| Q0 || 6[ml/s] || 6 ml/s || mittlerer Volumenstrom || Messwerte nach Holdsworth u. a. 1999
|-
| U0 || Q0/(pi*R0^2) || 0,2122 m/s || mittlere Einströmgeschwindigkeit || abgeleitet
|-
| Re0 || rho_b*U0*D0/mu_b || 385,6 || Reynoldszahl des gesunden Gefäßes || abgeleitet
|-
| dp_ref || 8*mu_b*U0*(Lu+Ld)/R0^2 || 99,03 Pa || Poiseuille-Druckabfall des gesunden Gefäßes || abgeleitet, Hagen-Poiseuille
|}


= Literaturverzeichnis =

Alle Quellen sind an den Stellen im Text angegeben, an denen die zugehörigen Werte oder Aussagen verwendet werden. Die Liste wird aus diesen Angaben automatisch erzeugt.

&lt;references /&gt;</text>
      <sha1>1q0bifileual5hjf9ifent9w6twdx66</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>1115898</id>
      <parentid>1115897</parentid>
      <timestamp>2026-10-12T16:54:35Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Heitele</username>
        <id>38553</id>
      </contributor>
      <comment>/* Simulationsgebiet und Geometrie */</comment>
      <origin>1115898</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="53904" sha1="cphy18pmljex9okxinee6z10ruahg19" xml:space="preserve">= Gruppenteilnehmer =
* Joey Becker
* Marie-Thérèse Heitele
* Nicole Pander

= Thema und Fragestellung =

Gegenstand dieses Projekts ist die numerische Simulation der Blutströmung in einer verzweigten Halsschlagader ('''Carotis-Bifurkation''') unter dem Einfluss einer lokalen Gefäßverengung ('''Stenose''').
Im Vergleich zu einfachen Rohrströmungen wird hier die realitätsnahe Gefäßanatomie betrachtet: Die '''Arteria carotis communis (ACC)''' teilt sich in die '''Arteria carotis externa (ACE)''' und die '''Arteria carotis interna (ACI)''' auf. Während die '''ACE''' als gesunder, stenosefreier Ast dient, wird in der '''ACI''' eine geglättete, kosinusförmige Gefäßverengung modelliert. Um scharfe Kanten und unphysiologische Druckspitzen zu vermeiden, werden alle Wandübergänge und die Gabelungsspitze (Apex) anatomisch verrundet.

Als Referenz dient ein gesundes, unverengtes Gefäß, in dem sich die Poiseuille-Strömung mit ihrem charakteristischen parabolischen Geschwindigkeitsprofil ausbildet. Diese Strömung ist aus zwei Gründen der natürliche Ausgangspunkt. Sie beschreibt den physiologischen Normalfall, mit dem jeder Stenosegrad verglichen wird, und sie ist exakt lösbar, sodass sich an ihr jede numerische Rechnung prüfen lässt, bevor die Verengung hinzukommt.

== Fragestellung ==
Die Hauptfragestellung dieses Projektes lautet: 
Wie verändert eine symmetrische bzw. rotationssymmetrische Stenose in der '''Arteria carotis interna (ACI)''' die stationäre Strömung eines inkompressiblen Newton’schen Fluids in einer 2D-Carotis-Bifurkation hinsichtlich Geschwindigkeitsverteilung, Druckabfall, Wandschubspannung und Wirbelbildung im Vergleich zu den gesunden Gefäßabschnitten?

Aus dieser Fragestellung ergeben sich drei Teilfragen, an denen sich der Aufbau der Seite orientiert:

# Welche Strömungsgrößen reagieren empfindlich auf den Stenosegrad und welche nur träge?
# Ab welchem Stenosegrad ändert sich das Strömungsmuster qualitativ, das heißt, ab wann löst die Strömung hinter der Engstelle von der Wand ab und bildet ein Rückströmgebiet?
# Wie weit tragen die vereinfachenden Modellannahmen, insbesondere die Annahme einer stationären und laminaren Strömung, über den untersuchten Bereich der Stenosegrade?

== Modellannahmen ==
Im Hinblick darauf werden für dieses Projekt einige Annahmen getroffen, um das Projekt möglichst isoliert zu untersuchen und zu simplifizieren:

* '''Idealisierte Gefäßgeometrie''': Betrachtet wird ein  Teilabbschnitt der ''Arteria carotis communis'', die sog. ''ACI''. Zudem werden Gefäßverkrümmungen, weitere Verzweigungen und patientenspezifische Strukturen  nicht berücksichtigt. 
* '''Starre Gefäßwand''': Die Gefäßwand wird als unbeweglich und nicht verformbar angenommen. Eine Wechselwirkung zwischen elastischer Gefäßwand und Blutströmung wird nicht modelliert.
* '''Stationäre Strömung''': Die Strömungsgrößen werden als zeitlich konstant angenommen. Die im realen Blutkreislauf vorhandene Pulsation durch den Herzschlag wird daher vernachlässigt: &lt;math&gt;\frac{\partial u}{\partial t}=0&lt;/math&gt;.
* '''Inkompressibles Fluid''': Die Dichte des Fluids wird als konstant angenommen. Damit gilt für die Geschwindigkeit &lt;math&gt;\nabla \cdot u=0&lt;/math&gt;. Dies entspricht der in der Vorlesung behandelten Massenerhaltung für inkompressible Fluide: Was in das Gefäß einströmt, muss auch wieder ausströmen.
* '''Newton'sche Näherung für Blut''': Reales Blut beseitzt ein nicht newton'sches Fließverhalten. Hier wird Blut als Newton'sches Fluid behandelt.
* '''Konstante Stoffeigenschaften''': Dichte &lt;math&gt;\rho&lt;/math&gt; und dynamische Viskosität μ werden als räumlich und zeitlich konstant angenommen. Temperaturabhängigkeiten werden nicht berücksichtigt.
* '''Laminare Strömung''': Die Strömung wird mit dem COMSOL-Modul ''Laminar Flow'' beschrieben. Ein zusätzliches Turbulenzmodell wird nicht verwendet.
* '''No-Slip-Bedingung an Gefäßwand''': Aufgrund der Viskosität wird angenommen, dass das Fluid direkt an der Gefäßwand haftet. Somit gilt &lt;math&gt;u=0&lt;/math&gt;.
* '''Vernachlässigung der Gravitation''': Gravitation wird nicht berücksichtigt. Die Strömung wird ausschließlich durch die gewählten Ein- und Auslassbedingungen bestimmt.

= Relevanz =
Die Untersuchung von Gefäßverengungen besitzt sowohl eine medizinische als auch eine methodische Bedeutung. Aus medizinischer Sicht sind arterielle Stenosen – etwa in der Halsschlagader, lat. ''arteria carotis communis'', – kritisch, da sie die Durchblutung beeinträchtigen und durch veränderte Wandschubspannungen sowie die Bildung von Wirbeln weitere Gefäßablagerungen begünstigen. Stenosen im Bereich der Karotisgabelung sind klinisch hochrelevant, da sie das Gehirn direkt versorgen und das Risiko für embolische Schlaganfälle erhöhen. Fachlich überträgt das Projekt damit die Prinzipien der Strömungsmechanik direkt auf eine biomedizinische Anwendung. Das Projekt verknüpft somit theoretische Grundlagen der Strömungsmechanik (Hagen-Poiseuille-Gleichung, Navier-Stokes-Gleichungen) mit der numerischen Simulation in COMSOL Multiphysics. Durch den Vergleich der '''gesunden Externa (ACE)''' mit der '''stenoisierten Interna (ACI)''' innerhalb desselben Rechengebiets wird die isolierte Wirkung der Stenose unter identischen Randbedingungen direkt sichtbar gemacht.

== Medizinische Relevanz ==

Arterielle Stenosen entstehen überwiegend durch Atherosklerose, also durch Ablagerungen aus Lipiden, Bindegewebe und Kalk in der Gefäßwand. In der Halsschlagader sind sie klinisch besonders bedeutsam, weil sie die Durchblutung des Gehirns beeinträchtigen und weil sich an ihnen Thromben bilden können, die als Embolie einen Schlaganfall auslösen. Dass die operative Entfernung einer hochgradigen Karotisstenose das Schlaganfallrisiko symptomatischer Patienten deutlich senkt, hat die NASCET-Studie gezeigt, deren Einteilung der Stenosegrade dieses Projekt übernimmt.&lt;ref name=&quot;nascet&quot;&gt;North American Symptomatic Carotid Endarterectomy Trial Collaborators: ''Beneficial effect of carotid endarterectomy in symptomatic patients with high-grade carotid stenosis.'' New England Journal of Medicine 325 (1991), Nr. 7, S. 445-453.&lt;/ref&gt;

Strömungsmechanisch ist an einer Stenose vor allem die Wandschubspannung von Interesse, also die tangentiale Kraft je Fläche, die das strömende Blut auf die innerste Zellschicht der Gefäßwand ausübt. Gesunde Halsschlagadern weisen zeitlich gemittelte Werte von etwa 1,1 bis 1,5 Pa auf.&lt;ref name=&quot;samijo&quot;&gt;Samijo, S. K.; Willigers, J. M.; Barkhuysen, R.; Kitslaar, P. J. E. H. M.; Reneman, R. S.; Brands, P. J.; Hoeks, A. P. G.: ''Wall shear stress in the human common carotid artery as function of age and gender.'' Cardiovascular Research 39 (1998), Nr. 2, S. 515-522.&lt;/ref&gt; In einer Engstelle steigt sie stark an, unmittelbar dahinter fällt sie im Ablösegebiet auf nahezu null und wechselt dort sogar das Vorzeichen. Niedrige und im Vorzeichen wechselnde Wandschubspannungen gelten als Bedingungen, unter denen sich weitere Ablagerungen bevorzugt bilden. Eine bestehende Stenose schafft also stromabwärts die Voraussetzungen für ihr eigenes Wachstum. Genau diese Verteilung lässt sich im Körper nur schwer messen, in einer Simulation dagegen unmittelbar auswerten.

== Methodische Relevanz ==

Fachlich überträgt das Projekt die Prinzipien der Strömungsmechanik aus der Vorlesung auf eine biomedizinische Anwendung.&lt;ref name=&quot;hundertmark&quot;&gt;Hundertmark, A.: ''Fluiddynamik.'' Vorlesungsunterlagen zum Modul Räumliche Modellbildung, RPTU Kaiserslautern-Landau, Sommersemester 2026.&lt;/ref&gt; Der methodische Mehrwert liegt in der Verknüpfung mehrerer Zugänge, die sich gegenseitig kontrollieren. Die analytische Poiseuille-Lösung liefert exakte Sollwerte für das gesunde Gefäß. Ein reduziertes Graphenmodell liefert für jeden Stenosegrad eine schnelle Abschätzung, die analytisch nachrechenbar ist. Die Simulationen in COMSOL Multiphysics lösen schließlich die vollständigen Navier-Stokes-Gleichungen in zwei und drei Raumdimensionen. Weil jede Stufe die Sollwerte der nächsten liefert, zeigt das Projekt nicht nur Ergebnisse, sondern auch, wie numerische Modelle aufgebaut, verifiziert und an ihren Grenzen bewertet werden.

== Auswahl der Stenosegrade ==

Um die untersuchten Gefäßverengungen nicht willkürlich festzulegen, orientiert sich die Auswahl der Stenosegrade an der klinisch gebräuchlichen NASCET-Klassifikation von Karotisstenosen.&lt;ref name=&quot;nascet&quot; /&gt; Zur klinischen Einordnung werden Karotisstenosen anhand der nach NASCET bestimmten Durchmesserreduktion in leichtgradige, mittelgradige und hochgradige Stenosen eingeteilt. Die angegebenen Prozentgrenzen dienen in diesem Projekt als Orientierung für die Auswahl der untersuchten Stenosegrade. Ein vollständiger Gefäßverschluss wird als Okklusion bezeichnet.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Klinische Einteilung nach NASCET-gemessener Durchmesserreduktion und untersuchte Stenosegrade
! Schweregrad !! Durchmesserreduktion !! im Projekt gerechnete Stenosegrade !! hervorgehobener Vertreter
|-
| gesundes Gefäß || 0 % || 0 || 0
|-
| leichtgradige Stenose || unter 50 % || 0,1 bis 0,4 || 0,3
|-
| mittelgradige Stenose || 50 bis 69 % || 0,5 und 0,6 || 0,6
|-
| hochgradige Stenose || 70 bis 99 % || 0,7 und 0,8 || 0,8
|-
| Okklusion || 100 % || nicht gerechnet || entfällt
|}
'''Anmerkung''': Die Klassengrenzen dienen der Einordnung der Modellvarianten. Die in der Tabelle genannten Stenosegrade sind dimensionslose Werte, beispielsweise entspricht '''&lt;math&gt;s=0{,}6&lt;/math&gt;''' einer Durchmesserreduktion von '''60 %'''.

Für die numerische Untersuchung wird aus jeder Kategorie ein repräsentativer Stenosegrad hervorgehoben. Neben dem gesunden Gefäß mit '''0 %''' Stenose sind das eine '''30 %''' Stenose als Beispiel für eine leichtgradige, eine '''60 %''' Stenose als Beispiel für eine mittelgradige und eine '''80 %''' Stenose als Beispiel für eine hochgradige Verengung. Zusätzlich werden für das Graphenmodell und das achsensymmetrische Flächenmodell Stenosegrade von 0 bis 80 % in Schritten von zehn Prozentpunkten vorgesehen. Dadurch kann die Abhängigkeit der Strömungsgrößen vom Stenosegrad systematisch untersucht und grafisch dargestellt werden. Ob alle Modellvarianten tatsächlich berechnet wurden und wie hoch der Rechenaufwand war, wird anhand der durchgeführten Simulationen dokumentiert. Ein vollständiger Gefäßverschluss wird nicht simuliert, da in diesem Fall keine durchgängige Strömung mehr vorliegt.

Der Stenosegrad wird in diesem Projekt wie bei NASCET über die Verringerung des Gefäßdurchmessers beschrieben,
&lt;math&gt;s = 1 - \frac{d_{\min}}{d_{\mathrm{ref}}},&lt;/math&gt;wobei &lt;math&gt;d_{\min}&lt;/math&gt; der kleinste Durchmesser in der Engstelle und &lt;math&gt;d_{\mathrm{ref}}&lt;/math&gt; ein Referenzdurchmesser ist. NASCET verwendet als Referenz den Durchmesser des gesunden Gefäßes stromabwärts der Stenose. Für das idealisierte gerade Gefäßmodell wird ein konstanter Referenzdurchmesser von &lt;math&gt;D_0=6\,\mathrm{mm}&lt;/math&gt; angenommen. Da das Gefäß außerhalb der Stenose denselben Durchmesser besitzt, gilt in diesem Modell&lt;math&gt;d_{\mathrm{ref}}=D_0&lt;/math&gt;. Bei der zusätzlich betrachteten Gefäßaufzweigung muss der Referenzdurchmesser dagegen gesondert festgelegt werden, da die Gefäßäste unterschiedliche Durchmesser besitzen.

Wichtig für das Verständnis aller weiteren Ergebnisse ist der Unterschied zwischen Durchmesser- und Flächenreduktion. Da die Querschnittsfläche quadratisch vom Durchmesser abhängt, gilt für die Flächenreduktion &lt;math&gt;1-(1-s)^2&lt;/math&gt;. Eine im klinischen Sinn nur mittelgradige Stenose von 60 % verschließt damit bereits 84 % der Querschnittsfläche.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Durchmesser- und Flächenreduktion der gerechneten Stenosegrade
! Stenosegrad s !! 0 !! 0,1 !! 0,2 !! 0,3 !! 0,4 !! 0,5 !! 0,6 !! 0,7 !! 0,8
|-
| engster Durchmesser in mm || 6,0 || 5,4 || 4,8 || 4,2 || 3,6 || 3,0 || 2,4 || 1,8 || 1,2
|-
| Flächenreduktion || 0 % || 19 % || 36 % || 51 % || 64 % || 75 % || 84 % || 91 % || 96 %
|}

Eine Einschränkungen gehört zur ehrlichen Einordnung: 
# Mit zunehmendem Stenosegrad, insbesondere bei ausgeprägten Verengungen, können lokale Beschleunigungen, Strömungsablösungen und zeitabhängige Strömungsstrukturen auftreten. Daher muss bei den hochgradigen Stenosen geprüft werden, inwieweit die Annahme einer stationären, laminaren Strömung geeignet ist. Eine feste Grenze bei &lt;math&gt;s=0{,}6&lt;/math&gt; lässt sich ohne entsprechende Simulationsergebnisse oder Literaturbelege nicht allgemein festlegen. Die hochgradigen Fälle werden deshalb unter besonderer Berücksichtigung der Modellannahmen diskutiert.

Unter Modellierung wird in diesem Projekt die Übertragung der Blutströmung in einer verengten Arterie auf ein mathematisches und numerisch lösbares Strömungsproblem verstanden. Dazu werden die Gefäßgeometrie, die zugrunde liegenden Gleichungen, die physikalischen Materialparameter sowie die Anfangs- und Randbedingungen festgelegt.

Jeder dieser Bestandteile beruht auf vereinfachenden Annahmen, die begründet und bei der Interpretation der Ergebnisse berücksichtigt werden müssen. Ziel ist es, den Einfluss unterschiedlicher Stenosegrade auf die Strömungsgeschwindigkeit, den Druckverlust und gegebenenfalls die Wandschubspannung systematisch zu untersuchen.

Die Modellierung erfolgt anhand mehrerer Modellvarianten mit unterschiedlicher räumlicher Auflösung. Dadurch können zunächst grundlegende Zusammenhänge analytisch abgeschätzt und anschließend mit numerischen Strömungsberechnungen verglichen werden. Die verwendeten Parameter orientieren sich an den bereitgestellten Referenzdaten und werden in den folgenden Abschnitten erläutert.

== Modellierung ==

Ziel der Modellierung ist es, die Blutströmung innerhalb einer Y-förmigen Aufzweigung der Halsschlagader mathematisch und numerisch zu untersuchen. Im Mittelpunkt steht eine Gefäßverengung (Stenose) in der Arteria carotis interna.

Das betrachtete Gefäßmodell besteht aus der Arteria carotis communis, die sich in die Arteria carotis interna und die Arteria carotis externa aufteilt. Die Stenose befindet sich ausschließlich in der Arteria carotis interna.

Durch die Verengung verändert sich der verfügbare Strömungsquerschnitt. Dies kann zu einer Erhöhung der lokalen Strömungsgeschwindigkeit, zu zusätzlichen Druckverlusten und zu einer Veränderung der Strömungsverteilung zwischen den beiden Gefäßästen führen.

Ziel ist es, den Einfluss unterschiedlicher Stenosegrade auf die Strömungsgeschwindigkeit, die Druckverteilung und die Wandschubspannung zu untersuchen. Zusätzlich soll betrachtet werden, wie sich die Strömung innerhalb der Y-förmigen Gefäßaufzweigung verhält.

Die numerische Modellierung erfolgt mit COMSOL Multiphysics. Dazu werden die Gefäßgeometrie, die Materialeigenschaften des Blutes, die Strömungsgleichungen und die Randbedingungen festgelegt.

Zur Vereinfachung wird Blut zunächst als inkompressibles, Newtonsches Fluid betrachtet. Die Gefäßwände werden als starr angenommen. Diese Annahmen ermöglichen eine systematische Untersuchung der Stenose, schränken jedoch die Übertragbarkeit auf reale physiologische Bedingungen ein.

=== Modellhierarchie ===

Für die Untersuchung der Blutströmung innerhalb der Y-förmigen Karotisaufzweigung werden drei Modellvarianten betrachtet. Diese unterscheiden sich hinsichtlich ihrer räumlichen Dimension, ihrer mathematischen Beschreibung und der Genauigkeit, mit der die Strömungsverhältnisse dargestellt werden können.

Das untersuchte Gefäß besteht aus der Arteria carotis communis, die sich in die Arteria carotis interna und die Arteria carotis externa aufteilt. Die Stenose befindet sich ausschließlich in der Arteria carotis interna.

Alle drei Modellvarianten werden mit COMSOL Multiphysics umgesetzt.

{| class=&quot;wikitable&quot; style=&quot;width:100%;&quot;
|+ '''Die drei Modellvarianten des Projekts'''
|-
! Modell
! Raumdimension
! Mathematische Grundlage
! Zweck
! Werkzeug
|-
| '''Graphenmodell'''
| 1D, Gefäßnetzwerk mit einer Verzweigung
| Massenerhaltung an der Verzweigung und vereinfachte Beschreibung der Strömungswiderstände
| Abschätzung der Volumenstromverteilung und der Druckverluste in den Gefäßästen
| COMSOL Multiphysics
|-
| '''Ebenes Flächenmodell'''
| 2D, Y-förmige Gefäßgeometrie in kartesischen Koordinaten
| Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen
| Untersuchung der Geschwindigkeits- und Druckverteilung sowie der Auswirkungen der Stenose in der Arteria carotis interna
| COMSOL Multiphysics, Laminare Strömung
|-
| '''Volumenmodell'''
| 3D, räumliche Y-förmige Gefäßgeometrie
| Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen
| Räumliche Untersuchung des Geschwindigkeitsfeldes, des Druckverlustes und der Wandschubspannung
| COMSOL Multiphysics, Laminare Strömung
|}

==== Vergleich und Überprüfung der Modellvarianten ====

Die drei Modellvarianten bauen hinsichtlich ihrer räumlichen Beschreibung aufeinander auf. Das Graphenmodell ermöglicht zunächst eine vereinfachte Betrachtung der Volumenströme und Druckverluste. Die zwei- und dreidimensionalen Modelle erlauben anschließend eine detailliertere Untersuchung der Strömung innerhalb der Gefäßaufzweigung.

Das '''Graphenmodell''' beschreibt die Arteria carotis communis sowie die beiden abzweigenden Gefäße als miteinander verbundenes Netzwerk. Dabei wird die Massenerhaltung an der Verzweigung berücksichtigt:

:&lt;math&gt;Q_{\mathrm{CCA}}=Q_{\mathrm{ICA}}+Q_{\mathrm{ECA}}&lt;/math&gt;

Das Modell liefert vereinfachte Abschätzungen der Volumenstromverteilung. Lokale Strömungsablösungen und räumliche Geschwindigkeitsverteilungen können damit nicht detailliert dargestellt werden.

Das '''ebene Flächenmodell''' bildet die Y-förmige Gefäßaufzweigung in zwei Raumdimensionen ab. Die Stenose wird innerhalb der Arteria carotis interna berücksichtigt. Dadurch können die Geschwindigkeits- und Druckverteilung sowie mögliche Rückströmungsbereiche untersucht werden.

Das '''Volumenmodell''' erweitert die Untersuchung auf drei Raumdimensionen. Es ermöglicht eine räumliche Darstellung der Strömung und eine detailliertere Berechnung der Wandschubspannung.

Die Ergebnisse des ebenen Flächenmodells und des Volumenmodells werden miteinander verglichen. Da das ebene Modell die räumliche Querschnittsgeometrie nur vereinfacht darstellt, müssen Unterschiede zwischen den beiden Modellen bei der Interpretation berücksichtigt werden.

Ziel der Modellhierarchie ist es, die Aussagekraft der einzelnen Modellvarianten zu bewerten und den Einfluss des Stenosegrades auf die Strömung innerhalb der Y-förmigen Karotisaufzweigung zu untersuchen.

=== Simulationsgebiet und Geometrie ===

Das Simulationsgebiet besteht aus einer idealisierten Y-förmigen Aufzweigung der Arteria carotis. Die Arteria carotis communis teilt sich in die Arteria carotis interna und die Arteria carotis externa.

Die Stenose befindet sich in der Arteria carotis interna. Die Arteria carotis externa wird ohne zusätzliche Verengung modelliert.

Die Geometrie orientiert sich an den bereitgestellten Referenzdaten. Die Gefäßdurchmesser werden innerhalb der jeweiligen unverengten Abschnitte als konstant angenommen.

{| class=&quot;wikitable&quot; style=&quot;width:100%;&quot;
|+ '''Geometrische Referenzparameter der Y-förmigen Gefäßaufzweigung'''
|-
! Gefäßabschnitt
! Durchmesser
! Länge
|-
| Arteria carotis communis
| 6 mm
| 60 mm
|-
| Arteria carotis interna
| 5 mm
| 60 mm
|-
| Arteria carotis externa
| 4 mm
| 60 mm
|-
| Stenose in der Arteria carotis interna
| Abhängig vom Stenosegrad
| 10 mm
|}

Die Verengung wird über den Stenosegrad &lt;math&gt;s&lt;/math&gt; beschrieben. Dieser gibt die relative Verringerung des Gefäßdurchmessers an:

:&lt;math&gt;s=1-\frac{d_{\min}}{D_{\mathrm{ICA}}}&lt;/math&gt;

Dabei bezeichnet &lt;math&gt;d_{\min}&lt;/math&gt; den minimalen Durchmesser innerhalb der Stenose und &lt;math&gt;D_{\mathrm{ICA}}&lt;/math&gt; den unverengten Referenzdurchmesser der Arteria carotis interna.

Für das Modell gilt:

:&lt;math&gt;D_{\mathrm{ICA}}=5\,\mathrm{mm}&lt;/math&gt;

Der minimale Durchmesser ergibt sich damit zu:

:&lt;math&gt;d_{\min}=D_{\mathrm{ICA}}(1-s)&lt;/math&gt;

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ '''Minimaler Durchmesser der Stenose in der Arteria carotis interna'''
|-
! Stenosegrad
! Minimaler Durchmesser
|-
| 0 %
| 5,0 mm
|-
| 10 %
| 4,5 mm
|-
| 20 %
| 4,0 mm
|-
| 30 %
| 3,5 mm
|-
| 40 %
| 3,0 mm
|-
| 50 %
| 2,5 mm
|-
| 60 %
| 2,0 mm
|-
| 70 %
| 1,5 mm
|-
| 80 %
| 1,0 mm
|}

Die angegebenen Stenosegrade beziehen sich ausschließlich auf den Durchmesser der Arteria carotis interna. Der Durchmesser der Arteria carotis communis wird nicht zur Berechnung des Stenosegrades verwendet.

Die Y-förmige Geometrie ermöglicht es, die Auswirkungen der Verengung sowohl auf die lokale Strömung in der Arteria carotis interna als auch auf die Strömungsverteilung innerhalb der gesamten Gefäßaufzweigung zu untersuchen.

Die genaue Form der Stenose, der Verzweigungswinkel und die Übergänge zwischen den Gefäßabschnitten müssen entsprechend der tatsächlich in COMSOL verwendeten Geometrie dokumentiert werden.


AB HIER ALT== Modellhierarchie ==

Für die Untersuchung werden vier Modellvarianten betrachtet, die sich hinsichtlich ihrer mathematischen Beschreibung, ihrer räumlichen Dimension und ihres Rechenaufwands unterscheiden. Die Modelle sind bewusst von einer vereinfachten analytischen Beschreibung bis zu einer dreidimensionalen numerischen Simulation angeordnet.

Diese Vorgehensweise ermöglicht es, die Ergebnisse der komplexeren Modelle anhand grundlegender physikalischer Zusammenhänge und geeigneter Referenzfälle zu überprüfen. Dabei ist zu beachten, dass nicht jede Modellvariante dieselben Strömungseigenschaften vollständig abbilden kann.

{| class=&quot;wikitable&quot; style=&quot;width:100%;&quot;
|+ '''Die vier Modellvarianten des Projekts'''
|-
! Modell
! Raumdimension
! Mathematische Grundlage
! Zweck
! Werkzeug
|-
| '''Graphenmodell'''
| 1D, Beschreibung entlang der Gefäßachse
| Hagen-Poiseuille-Gesetz für vereinfachte Rohrabschnitte und Massenerhaltung an Verzweigungsknoten
| Analytische Abschätzung von Volumenströmen und Druckverlusten; Referenz für die numerischen Modelle
| COMSOL mit geeigneter eindimensionaler Formulierung
|-
| '''Achsensymmetrisches Flächenmodell'''
| 2D, rotationssymmetrischer Längsschnitt in den Koordinaten &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;z&lt;/math&gt;
| Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen in achsensymmetrischer Form
| Detaillierte Untersuchung von Geschwindigkeits- und Druckfeldern sowie der Wandschubspannung in einem idealisierten rotationssymmetrischen Gefäß
| COMSOL Multiphysics, Laminar Flow
|-
| '''Ebenes Flächenmodell'''
| 2D, ebene Geometrie in den Koordinaten &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;y&lt;/math&gt;
| Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen in kartesischen Koordinaten
| Untersuchung der Strömung in einer vereinfachten ebenen Geometrie und Vergleich mit dem achsensymmetrischen Modell
| COMSOL Multiphysics, Laminar Flow
|-
| '''Volumenmodell'''
| 3D, räumliche Gefäßgeometrie
| Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen in drei Raumdimensionen
| Räumliche Darstellung der Strömung und Überprüfung der Ergebnisse des achsensymmetrischen Modells bei vergleichbarer Geometrie
| COMSOL Multiphysics, Laminar Flow
|}

== Stoff- und Strömungsparameter ==

Die Stoffwerte des Blutes und der Volumenstrom sind die einzigen Eingangsgrößen, die nicht aus der Geometrie folgen. Aus ihnen werden alle weiteren Strömungskennwerte berechnet. Die folgenden Schritte zeigen jede Rechnung einzeln, damit sich jeder Wert nachprüfen lässt.

# Die '''Dichte''' wird mit &lt;math&gt;\rho = 1060\ \mathrm{kg/m^3}&lt;/math&gt; angesetzt. Der Wert lässt sich als Mischungsregel plausibel machen. Plasma hat eine Dichte von etwa 1025 kg/m³, rote Blutkörperchen von etwa 1100 kg/m³. Bei einem Zellanteil von 45 % ergibt sich &lt;math&gt;0{,}55 \cdot 1025 + 0{,}45 \cdot 1100 \approx 1059\ \mathrm{kg/m^3}&lt;/math&gt;. Die Dichte geht nur über die Reynoldszahl in die Rechnung ein, eine Abweichung von einem Prozent ändert die Ergebnisse daher kaum. &lt;!-- FIXME Lehrbuchquelle fuer Plasma- und Erythrozytendichte ergaenzen --&gt;
# Die '''dynamische Viskosität''' wird mit &lt;math&gt;\mu = 3{,}5\ \mathrm{mPa\,s}&lt;/math&gt; angesetzt. Das ist der Grenzwert der Blutviskosität bei hohen Scherraten, also genau der Wert, der zur Newtonschen Näherung gehört. Derselbe Wert von 0,035 Poise wird auch im Standardwerk zur Modellierung des Herz-Kreislauf-Systems verwendet.&lt;ref name=&quot;quarteroni&quot;&gt;Quarteroni, A.; Formaggia, L.: ''Mathematical Modelling and Numerical Simulation of the Cardiovascular System.'' In: Ayache, N. (Hrsg.): ''Computational Models for the Human Body.'' Handbook of Numerical Analysis, Bd. XII, Elsevier, Amsterdam 2004, S. 3-127. DOI 10.1016/S1570-8659(03)12001-7. Zur Newtonschen Näherung in großen Gefäßen siehe S. 30, zur Viskosität von 0,035 Poise die Parametertabelle auf S. 116.&lt;/ref&gt;
# Der '''mittlere Volumenstrom''' wird mit &lt;math&gt;Q_0 = 6\ \mathrm{ml/s}&lt;/math&gt; angesetzt. Das ist der zeitlich gemittelte Volumenstrom, der in der gemeinsamen Halsschlagader gesunder Probanden gemessen wurde.&lt;ref name=&quot;holdsworth&quot; /&gt;
# Die '''mittlere Geschwindigkeit''' folgt aus Volumenstrom und Querschnittsfläche, &lt;math&gt;U_0 = \frac{Q_0}{\pi R_0^2} = \frac{6 \cdot 10^{-6}\ \mathrm{m^3/s}}{\pi \cdot (0{,}003\ \mathrm{m})^2} = 0{,}2122\ \mathrm{m/s}&lt;/math&gt;.
# Die '''Reynoldszahl''' des gesunden Gefäßes ist &lt;math&gt;Re_0 = \frac{\rho\, U_0\, D_0}{\mu} = \frac{1060 \cdot 0{,}2122 \cdot 0{,}006}{0{,}0035} = 385{,}6&lt;/math&gt;. Sie wird im Folgenden auf 386 gerundet.
# Die '''Einlauflänge''', die eine anfangs gleichförmige Strömung bis zum voll entwickelten Parabelprofil bräuchte, beträgt nach der gebräuchlichen Abschätzung für laminare Rohrströmungen &lt;math&gt;L_e \approx 0{,}06\, Re_0\, D_0 \approx 0{,}06 \cdot 386 \cdot 6\ \mathrm{mm} \approx 139\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt;.&lt;ref name=&quot;durst&quot;&gt;Durst, F.; Ray, S.; Ünsal, B.; Bayoumi, O. A.: ''The development lengths of laminar pipe and channel flows.'' Journal of Fluids Engineering 127 (2005), Nr. 6, S. 1154-1160. Für große Reynoldszahlen nähert sich die dort angegebene Korrelation dem Wert 0,057·Re·D.&lt;/ref&gt; Das ist fast die gesamte Länge des Rechengebiets. Ein konstantes Einlassprofil würde die Strömung an der Stenose also verfälschen, weshalb am Einlass das voll entwickelte Profil vorgegeben wird.

Damit liegen alle globalen Parameter fest. Die folgende Tabelle enthält sie mit genau den Namen, unter denen sie in COMSOL und in den Octave-Skripten verwendet werden.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Globale Parameter des Modells
! Name !! Ausdruck in COMSOL !! Wert !! Bedeutung !! Herkunft
|-
| R0 || 3[mm] || 3 mm || Gefäßradius || Messwerte nach Krejza u. a. 2006, gerundet
|-
| D0 || 2*R0 || 6 mm || Gefäßdurchmesser || abgeleitet
|-
| Ls || 2*D0 || 12 mm || Länge der Störstelle || Standardgeometrie nach Varghese u. a. 2007
|-
| Lu || 5*D0 || 30 mm || Vorlaufstrecke vor der Stenosemitte || Abstand der Einlassbedingung von der Stenose
|-
| Ld || 20*D0 || 120 mm || Nachlaufstrecke hinter der Stenosemitte || Platz für das Rückströmgebiet
|-
| Lf || Ls/2+10*D0 || 66 mm || Ende des fein vernetzten Nachlaufs || erwartete Länge des Rückströmgebiets
|-
| s || 0 bis 0.8 || 0 bis 0,8 || Stenosegrad bezogen auf den Durchmesser || NASCET-Einteilung
|-
| rho_b || 1060[kg/m^3] || 1060 kg/m³ || Dichte des Blutes || Mischungsregel, Literaturwert
|-
| mu_b || 3.5[mPa*s] || 3,5 mPa·s || dynamische Viskosität des Blutes || Hochscherwert, Quarteroni und Formaggia 2004
|-
| Q0 || 6[ml/s] || 6 ml/s || mittlerer Volumenstrom || Messwerte nach Holdsworth u. a. 1999
|-
| U0 || Q0/(pi*R0^2) || 0,2122 m/s || mittlere Einströmgeschwindigkeit || abgeleitet
|-
| Re0 || rho_b*U0*D0/mu_b || 385,6 || Reynoldszahl des gesunden Gefäßes || abgeleitet
|-
| dp_ref || 8*mu_b*U0*(Lu+Ld)/R0^2 || 99,03 Pa || Poiseuille-Druckabfall des gesunden Gefäßes || abgeleitet, Hagen-Poiseuille
|}

=== Vergleich und Überprüfung der Modellvarianten ===

Die Modellhierarchie folgt dem Prinzip, dass zunächst vereinfachte Zusammenhänge untersucht und anschließend mit detaillierteren numerischen Modellen verglichen werden.

Das '''Graphenmodell''' bildet die einfachste Modellvariante. Es verwendet das Hagen-Poiseuille-Gesetz zur Abschätzung des Druckverlustes in geraden Rohrabschnitten mit konstantem Durchmesser. Für den unverengten Referenzfall kann damit eine analytische Vergleichsgröße bestimmt werden. Im Bereich einer Stenose ist die Anwendung jedoch nur als vereinfachte Näherung geeignet, da dort zusätzliche Strömungseffekte auftreten können.

Das '''achsensymmetrische Flächenmodell''' ermöglicht eine detailliertere Untersuchung des Geschwindigkeits- und Druckfeldes innerhalb einer idealisierten rotationssymmetrischen Gefäßverengung. Im unverengten Referenzfall können die numerischen Ergebnisse mit der analytischen Poiseuille-Lösung verglichen werden. Bei zunehmendem Stenosegrad werden insbesondere die Beschleunigung im Bereich der Engstelle, der Druckverlust und die Wandschubspannung betrachtet.

Das '''ebene Flächenmodell''' beschreibt die Strömung in einer zweidimensionalen kartesischen Geometrie. Im Unterschied zum achsensymmetrischen Modell wird dabei keine Rotationssymmetrie vorausgesetzt. Da sich die geometrische Beschreibung des Strömungsquerschnitts unterscheidet, sind die Ergebnisse nicht ohne Weiteres quantitativ gleichzusetzen. Der Vergleich dient insbesondere dazu, den Einfluss der Modellvereinfachung auf die berechneten Strömungsgrößen zu untersuchen.

Das '''Volumenmodell''' erweitert die Untersuchung auf drei Raumdimensionen. Bei einer rotationssymmetrischen Geometrie und entsprechend übereinstimmenden Randbedingungen wird eine weitgehende Übereinstimmung mit dem achsensymmetrischen Modell erwartet. Diese Übereinstimmung muss jedoch anhand der numerischen Ergebnisse überprüft werden. Bei einer Gefäßaufzweigung oder einer asymmetrischen Stenose können zusätzliche räumliche Strömungseffekte auftreten, die durch ein achsensymmetrisches Modell nicht vollständig beschrieben werden.

=== Referenzfall und Vergleichsgrößen ===

Als Ausgangspunkt dient ein unverengtes Gefäß mit dem Referenzdurchmesser &lt;math&gt;D_0=6\,\mathrm{mm}&lt;/math&gt;. Für das Blut werden eine Dichte von &lt;math&gt;\rho_b=1060\,\mathrm{kg/m^3}&lt;/math&gt; und eine dynamische Viskosität von &lt;math&gt;\mu_b=3{,}5\,\mathrm{mPa\,s}&lt;/math&gt; angenommen.

Der vorgegebene mittlere Volumenstrom beträgt &lt;math&gt;Q_0=6\,\mathrm{ml/s}&lt;/math&gt;. Daraus ergibt sich für den unverengten kreisförmigen Querschnitt eine mittlere Strömungsgeschwindigkeit von ungefähr &lt;math&gt;U_0=0{,}2122\,\mathrm{m/s}&lt;/math&gt;.

Die Referenz-Reynolds-Zahl beträgt &lt;math&gt;\mathrm{Re}_0=385{,}6&lt;/math&gt;. Für den in den Referenzdaten definierten Vergleichsfall ist außerdem ein analytischer Druckverlust von &lt;math&gt;\Delta p_{\mathrm{ref}}=99{,}03\,\mathrm{Pa}&lt;/math&gt; angegeben.

Diese Größen dienen als Ausgangspunkt für die Überprüfung der numerischen Modelle. Ein direkter Vergleich ist jedoch nur zulässig, wenn die jeweils verwendete Geometrie, die Auswertelänge und die Randbedingungen übereinstimmen.

=== Grenzen der Modellhierarchie ===

Die vier Modellvarianten unterscheiden sich nicht nur im Rechenaufwand, sondern auch in den physikalischen Effekten, die sie darstellen können.

Insbesondere bei hochgradigen Stenosen können starke lokale Geschwindigkeitsänderungen, Strömungsablösungen und zeitabhängige Strömungsstrukturen auftreten. Deshalb muss überprüft werden, ob die Annahme einer stationären laminaren Strömung für die betrachteten Fälle ausreichend ist.

Außerdem muss zwischen dem idealisierten geraden Gefäßmodell und einer Gefäßaufzweigung unterschieden werden. Das achsensymmetrische Modell eignet sich für eine rotationssymmetrische Stenose in einem geraden Gefäß, während eine realistische Gefäßaufzweigung eine andere geometrische Beschreibung erfordert.

Die Modellvarianten werden daher nicht als vollständig gleichwertig betrachtet. Vielmehr soll der Vergleich zeigen, welche Aussagen bereits durch vereinfachte Modelle möglich sind und für welche Strömungseigenschaften eine detailliertere numerische Beschreibung erforderlich ist.

= Modellierung =

Modellierung bedeutet hier, die reale Situation in eine mathematische Aufgabe zu übersetzen, die sich lösen lässt. Dazu gehören vier Bausteine, nämlich das Rechengebiet, die Gleichungen, die Zahlenwerte der Parameter und die Bedingungen an den Rändern. Jeder dieser Bausteine beruht auf Annahmen, und jede Annahme muss begründet werden. Dieser Abschnitt geht die Bausteine deshalb der Reihe nach durch und nennt bei jedem Zahlenwert, woher er stammt und warum er sinnvoll ist.

== Modellhierarchie ==

Das Projekt rechnet nicht ein einziges Modell, sondern vier aufeinander aufbauende Modellvarianten. Sie entsprechen der Kursanforderung, eine Strömung als Graph, in zwei und in drei Raumdimensionen darzustellen, und sie sind bewusst von einfach nach aufwendig geordnet.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Die vier Modellvarianten des Projekts
! Modell !! Raumdimension !! gelöste Gleichung !! Zweck !! Werkzeug
|-
| Graphenmodell || 1D, Gefäßachse || Hagen-Poiseuille je Rohrstück und Massenerhaltung in jedem Knoten || schnelle, analytisch nachrechenbare Abschätzung für jeden Stenosegrad || Octave und COMSOL (Koeffizientenform-PDGL)
|-
| achsensymmetrisches Flächenmodell || 2D, Halbschnitt in r und z || vollständige stationäre Navier-Stokes-Gleichungen in Zylinderkoordinaten || Hauptmodell, liefert alle Feldgrößen des rotationssymmetrischen Rohres || COMSOL, Laminare Strömung
|-
| ebenes Flächenmodell || 2D, Halbschnitt in x und y || vollständige stationäre Navier-Stokes-Gleichungen in kartesischen Koordinaten || Vergleich, zeigt den Einfluss der zweiten Querschnittsrichtung || COMSOL, Laminare Strömung
|-
| Volumenmodell || 3D || vollständige stationäre Navier-Stokes-Gleichungen || Kontrolle des Hauptmodells und räumliche Darstellung || COMSOL, Laminare Strömung
|}

Die Reihenfolge folgt einem einfachen Prinzip. Jede Stufe liefert die Sollwerte, an denen die nächste, komplexere Stufe geprüft wird. Das Graphenmodell muss im gesunden Fall exakt die Poiseuille-Lösung ergeben. Das achsensymmetrische Modell muss im gesunden Fall dieselben Werte liefern und bei Stenose für Geschwindigkeit und Wandschubspannung in der Nähe des Graphenmodells liegen. Das Volumenmodell muss, weil die Geometrie rotationssymmetrisch ist, mit dem achsensymmetrischen Modell übereinstimmen.

== Modellannahmen ==

Um den Einfluss des Stenosegrades möglichst isoliert zu untersuchen, werden die folgenden Modellannahmen getroffen. Die Tabelle nennt zu jeder Annahme ihre mathematische Form, die Begründung und die Stelle, an der sie im Projekt überprüft wird.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Modellannahmen, ihre Begründung und ihre Überprüfung
! Annahme !! mathematische Form !! Begründung !! Überprüfung
|-
| Idealisierte Gefäßgeometrie || gerades Rohr mit kosinusförmiger, rotationssymmetrischer Verengung || isoliert die Wirkung des Stenosegrades von Krümmung, Verzweigung und Plaqueform || Diskussion in den Schlussfolgerungen
|-
| Starre Gefäßwand || Wand ortsfest, keine Fluid-Struktur-Kopplung || im stationären Fall gibt es keine Druckschwankung, die die Wand periodisch aufweiten könnte || Abschätzung über die gemessene Durchmesseränderung im Herzzyklus
|-
| Stationäre Strömung || &lt;math&gt;\partial \mathbf{u}/\partial t = \mathbf{0}&lt;/math&gt; || der Einfluss des Stenosegrades soll ohne Überlagerung durch die Pulsation sichtbar werden || Abschätzung über die Womersley-Zahl
|-
| Inkompressibles Fluid || &lt;math&gt;\rho = \mathrm{const}&lt;/math&gt;, damit &lt;math&gt;\nabla\cdot\mathbf{u} = 0&lt;/math&gt; || Blut ist eine Flüssigkeit, Druckänderungen von wenigen hundert Pascal ändern die Dichte nicht messbar || Massenerhaltung in fünf Querschnitten
|-
| Newtonsche Näherung || konstante Viskosität &lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt; || die Scherraten an der Wand und im größten Teil des Querschnitts liegen über dem Bereich, in dem Blut deutlich scherverdünnend wirkt || Scherrate an der Wand, Diskussion des Rückströmgebiets
|-
| Konstante Stoffeigenschaften || &lt;math&gt;\rho&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt; räumlich und zeitlich konstant || Körpertemperatur ist im betrachteten Abschnitt konstant || entfällt
|-
| Laminare Strömung || kein Turbulenzmodell, Schnittstelle Laminare Strömung || Reynoldszahl des gesunden Gefäßes von 386 liegt weit unter dem Umschlagbereich || Reynoldszahl in der Engstelle, Literaturvergleich
|-
| Haftbedingung an der Wand || &lt;math&gt;\mathbf{u} = \mathbf{0}&lt;/math&gt; auf der Wand || Folge der Viskosität, das Fluid haftet an der Wand || Grundlage jeder Wandschubspannung
|-
| Vernachlässigung der Gravitation || keine Volumenkraft || bei konstanter Dichte lässt sich die Schwerkraft vollständig in einen hydrostatischen Druckanteil verschieben und beeinflusst die Geschwindigkeit nicht || Begründung in den Mathematischen Hintergründen
|-
| Voll entwickelte Einströmung || parabolisches Profil am Einlass || die natürliche Einlaufstrecke wäre mit rund 139 mm fast so lang wie das ganze Rechengebiet || Scheitelgeschwindigkeit im gesunden Fall
|-
| Eingeprägter Volumenstrom || &lt;math&gt;Q = Q_0&lt;/math&gt; am Einlass || der Strömungswiderstand des Abschnitts ist klein gegenüber dem des nachgeschalteten Gefäßbetts || Abschätzung mit einem Reihenwiderstand
|}

Einige dieser Annahmen sind unmittelbar einsichtig, andere verdienen eine genauere Begründung, weil von ihnen die Aussagekraft der Ergebnisse abhängt.

Die '''Newtonsche Näherung''' ist die Annahme, die bei Blut am häufigsten hinterfragt wird. Reales Blut ist eine Suspension aus Plasma und Blutzellen und verhält sich scherverdünnend. Bei kleinen Scherraten lagern sich die roten Blutkörperchen zu geldrollenartigen Stapeln zusammen, und die Viskosität steigt auf ein Vielfaches an. Bei großen Scherraten lösen sich diese Stapel auf, und die Viskosität strebt gegen einen Grenzwert von etwa 3,5 mPa·s. Entscheidend ist also die Scherrate. An der Wand des gesunden Modellgefäßes beträgt sie nach der Poiseuille-Lösung

&lt;math&gt;\dot\gamma_w = \frac{4\,U_0}{R_0} = \frac{4 \cdot 0{,}2122\ \mathrm{m/s}}{0{,}003\ \mathrm{m}} \approx 283\ \mathrm{s^{-1}}&lt;/math&gt;

und liegt damit oberhalb von etwa 100 pro Sekunde, wo sich Newtonsches und nicht Newtonsches Modell nach der Literatur nur noch wenig unterscheiden.&lt;ref name=&quot;boyd&quot;&gt;Die Grenze von etwa 100 s&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt; wird in vergleichenden Studien zur Blutrheologie verwendet, etwa bei Bernabeu, M. O. u. a.: ''Impact of blood rheology on wall shear stress in a model of the middle cerebral artery.'' Interface Focus 3 (2013), 20120094. &lt;!-- FIXME Zitat und Seitenangabe am Original pruefen --&gt;&lt;/ref&gt; In der Engstelle steigt die Scherrate weiter an, beim Stenosegrad 0,5 auf rund 2260 pro Sekunde. Schwach ist die Näherung dort, wo die Scherrate klein wird, also in der Mitte des Gefäßes und vor allem im Rückströmgebiet hinter der Stenose. Dort ist reales Blut zäher als angenommen. Dieser Punkt wird in den Schlussfolgerungen wieder aufgegriffen.

Die '''stationäre Strömung''' ist die stärkste Vereinfachung. Wie wichtig die Pulsation ist, misst die Womersley-Zahl, die das Verhältnis von instationärer Trägheit zu Reibung angibt. Mit einer Herzfrequenz von 60 Schlägen je Minute, also einer Kreisfrequenz &lt;math&gt;\omega = 2\pi\ \mathrm{s^{-1}}&lt;/math&gt;, ergibt sich

&lt;math&gt;\alpha = R_0 \sqrt{\frac{\omega \rho}{\mu}} = 0{,}003\ \mathrm{m} \cdot \sqrt{\frac{2\pi\ \mathrm{s^{-1}} \cdot 1060\ \mathrm{kg/m^3}}{0{,}0035\ \mathrm{Pa\,s}}} \approx 4{,}1 .&lt;/math&gt;

Ein Wert in dieser Größenordnung bedeutet, dass das reale Geschwindigkeitsprofil im Herzzyklus merklich von der Parabel abweicht.&lt;ref name=&quot;womersley&quot;&gt;Womersley, J. R.: ''Method for the calculation of velocity, rate of flow and viscous drag in arteries when the pressure gradient is known.'' Journal of Physiology 127 (1955), S. 553-563.&lt;/ref&gt; Hinzu kommt, dass der Volumenstrom in der Systole kurzzeitig auf rund das Vierfache des Mittelwerts steigt.&lt;ref name=&quot;holdsworth&quot;&gt;Holdsworth, D. W.; Norley, C. J. D.; Frayne, R.; Steinman, D. A.; Rutt, B. K.: ''Characterization of common carotid artery blood-flow waveforms in normal human subjects.'' Physiological Measurement 20 (1999), Nr. 3, S. 219-240. DOI 10.1088/0967-3334/20/3/301. Angegeben werden ein mittlerer Volumenstrom von 6,0 ± 1,4 ml/s und ein systolischer Spitzenwert von 23,5 ± 3,8 ml/s. &lt;!-- FIXME Zahlenwerte und Probandenzahl am Original pruefen --&gt;&lt;/ref&gt; Die stationäre Rechnung mit dem Mittelwert beschreibt deshalb nicht den zeitlichen Verlauf, wohl aber den zeitlich gemittelten Zustand, an dem sich der Einfluss des Stenosegrades sauber vergleichen lässt.

Die '''laminare Strömung''' wird über die Reynoldszahl begründet. Sie beträgt im gesunden Gefäß 386 und liegt damit weit unter dem Wert von etwa 2300, ab dem die Strömung in einem geraden Rohr in den Übergangsbereich gelangen kann. In der Engstelle steigt sie bei festem Volumenstrom auf &lt;math&gt;Re_0/(1-s)&lt;/math&gt;, also auf 551 beim Stenosegrad 0,3, auf 964 beim Grad 0,6 und auf 1928 beim Grad 0,8. Für den Strahl hinter einer Engstelle ist der Umschlagbereich allerdings deutlich niedriger als im geraden Rohr. Direkte numerische Simulationen an genau der in diesem Projekt verwendeten Stenosegeometrie zeigen, dass die Strömung bei einer Einström-Reynoldszahl von 500 auch bei leichter Unsymmetrie laminar bleibt, bei 1000 dagegen schon eine Exzentrizität von fünf Prozent des Durchmessers genügt, um den Strahl in lokal turbulente Strömung umschlagen zu lassen.&lt;ref name=&quot;varghese&quot;&gt;Varghese, S. S.; Frankel, S. H.; Fischer, P. F.: ''Direct numerical simulation of stenotic flows. Part 1. Steady flow.'' Journal of Fluid Mechanics 582 (2007), S. 253-280. Untersucht wird eine kosinusförmige Stenose der Länge 2D mit 75 % Flächenreduktion, die mit der Geometrie dieses Projekts beim Stenosegrad 0,5 übereinstimmt. &lt;!-- FIXME Band und Seiten am Original pruefen --&gt;&lt;/ref&gt; Mit einer Einström-Reynoldszahl von 386 liegt das Projekt für die leicht- und mittelgradigen Stenosen sicher im laminaren Bereich. Für die hochgradigen Stenosen ab 0,7 ist ein laminares, stationäres Modell dagegen nur noch eine Näherung, die eine Obergrenze der geordneten Strömung beschreibt. Diese Fälle werden deshalb als Grenzfall des Modells gekennzeichnet.

Die '''starre Wand''' lässt sich über Messungen abschätzen. Der Durchmesser der gemeinsamen Halsschlagader ändert sich im Herzzyklus bei jungen Menschen um etwa 12 bis 14 Prozent und bei älteren Menschen um etwa 5 Prozent.&lt;ref name=&quot;hansen&quot;&gt;Hansen, F.; Mangell, P.; Sonesson, B.; Länne, T.: ''Diameter and compliance in the human common carotid artery: variations with age and sex.'' Ultrasound in Medicine and Biology 21 (1995), Nr. 1, S. 1-9. DOI 10.1016/0301-5629(94)00090-5.&lt;/ref&gt; Diese Bewegung ist eine Folge der Pulsation. In einer stationären Rechnung gibt es keine Druckschwankung, die die Wand periodisch aufweiten könnte, sodass die starre Wand zur stationären Annahme konsistent ist. Eine verkalkte Plaque ist ohnehin deutlich steifer als die gesunde Wand.

Die Annahme des '''eingeprägten Volumenstroms''' wird im Abschnitt zu den Randbedingungen begründet, weil sie sich nur im Zusammenhang mit dem Kreislauf beurteilen lässt.

== Simulationsgebiet und Geometrie ==

Die Gefäßachse ist die z-Achse, der Ursprung liegt in der Mitte der Stenose, und &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; bezeichnet den Abstand von der Achse. Das Rechengebiet reicht von &lt;math&gt;z = -L_u&lt;/math&gt; bis &lt;math&gt;z = L_d&lt;/math&gt; und wird radial von der Wandkontur &lt;math&gt;R(z)&lt;/math&gt; begrenzt. Die Verengung wird über eine einzige glatte Funktion beschrieben,

&lt;math&gt;R(z) = R_0 \left[ 1 - \frac{s}{2}\left(1 + \cos\frac{2\pi z}{L_s}\right)\right] \quad \text{falls } |z| \le \frac{L_s}{2}, \qquad R(z) = R_0 \ \text{sonst.}&lt;/math&gt;

Die Funktion hat drei Eigenschaften, die ihre Wahl begründen. Sie wird erstens über einen einzigen Parameter gesteuert, den Stenosegrad &lt;math&gt;s&lt;/math&gt;. Der engste Radius in der Mitte beträgt &lt;math&gt;R(0) = R_0(1-s)&lt;/math&gt;, und der Fall ohne Verengung ist einfach der Fall &lt;math&gt;s = 0&lt;/math&gt;. Die gesamte Vergleichsreihe entsteht damit aus einem einzigen parametrischen Sweep. Sie geht zweitens an beiden Enden der Störstelle ohne Knick in das gerade Rohr über. Bei &lt;math&gt;z = \pm L_s/2&lt;/math&gt; ist der Kosinus gleich minus eins, die Klammer also null, und seine Ableitung verschwindet dort ebenfalls. Das ist nicht nur ästhetisch, sondern numerisch notwendig, denn ein Knick in der Wand erzeugt eine Singularität der Wandschubspannung, deren berechneter Wert mit jeder Netzverfeinerung weiter wüchse. Eine Netzstudie wäre dann sinnlos. Sie ist drittens die in der Literatur gebräuchliche Standardgeometrie für Stenosen, sodass sich die Ergebnisse unmittelbar mit veröffentlichten Rechnungen vergleichen lassen.&lt;ref name=&quot;varghese&quot; /&gt;

[[Datei:Stenose Gruppe5 Wandkontur.svg|mini|zentriert|800px|Wandkontur &lt;math&gt;R(z)&lt;/math&gt; für die untersuchten Stenosegrade. Die Darstellung ist in radialer Richtung gestreckt, das Rechengebiet ist in Wirklichkeit fünfundzwanzigmal länger als breit.]]
&lt;!-- FIXME Abbildung mit abbildungen_graph_1d.m fuer s = 0 bis 0,8 neu erzeugen, bisher nur bis 0,5 --&gt;

Die Abmessungen des Rechengebiets werden alle aus dem Gefäßradius abgeleitet. Das hat den Vorteil, dass sich das gesamte Modell durch Ändern eines einzigen Wertes auf ein anderes Gefäß übertragen lässt. Die einzelnen Längen werden im Folgenden Schritt für Schritt begründet.

# Der '''Gefäßradius''' &lt;math&gt;R_0 = 3\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; folgt aus Ultraschallmessungen an gesunden Erwachsenen. Dort wurden für die gemeinsame Halsschlagader mittlere Durchmesser von 6,10 ± 0,80 mm bei Frauen und 6,52 ± 0,98 mm bei Männern gemessen.&lt;ref name=&quot;krejza&quot;&gt;Krejza, J.; Arkuszewski, M.; Kasner, S. E.; Weigele, J.; Ustymowicz, A.; Hurst, R. W.; Cucchiara, B. L.; Messe, S. R.: ''Carotid artery diameter in men and women and the relation to body and neck size.'' Stroke 37 (2006), Nr. 4, S. 1103-1105. DOI 10.1161/01.STR.0000206440.48756.f7.&lt;/ref&gt; Der gewählte Durchmesser von &lt;math&gt;D_0 = 6\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; liegt damit innerhalb einer Standardabweichung beider Gruppen und ist bewusst auf einen runden Wert gesetzt, damit alle abgeleiteten Längen glatte Zahlen ergeben.
# Die '''Länge der Störstelle''' &lt;math&gt;L_s = 2 D_0 = 12\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; entspricht der Standardgeometrie aus der Literatur, die eine Stenosenlänge von zwei Durchmessern verwendet.&lt;ref name=&quot;varghese&quot; /&gt; Damit ist beim Stenosegrad 0,5 ein direkter Vergleich mit veröffentlichten Ergebnissen möglich.
# Die '''Vorlaufstrecke''' &lt;math&gt;L_u = 5 D_0 = 30\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; trennt den Einlass von der Stenose. Da am Einlass bereits das voll entwickelte Profil vorgegeben wird, muss sie nicht die Einlaufstrecke abdecken, sondern nur verhindern, dass die Einströmrandbedingung die Strömung an der Engstelle beeinflusst. Bei Reynoldszahlen in dieser Größenordnung reicht der Einfluss einer Verengung nur wenige Durchmesser stromaufwärts, die Literatur kommt für dieselbe Geometrie mit drei Durchmessern Vorlauf aus.&lt;ref name=&quot;varghese&quot; /&gt; Fünf Durchmesser lassen also eine Reserve. Überprüft wird das im Ergebnis, indem die Geschwindigkeit auf der Achse in der Mitte der Vorlaufstrecke mit dem Sollwert &lt;math&gt;2U_0&lt;/math&gt; verglichen wird.
# Die '''Nachlaufstrecke''' &lt;math&gt;L_d = 20 D_0 = 120\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; ist deutlich länger, weil sich hinter der Engstelle ein Rückströmgebiet bildet, das nicht auf den Auslass treffen darf. Für die Geometrie mit dem Stenosegrad 0,5 legt die Strömung bei einer Einström-Reynoldszahl von 500 erst etwa zehn Durchmesser hinter der Engstelle wieder an, die Literatur rechnet mit sechzehn Durchmessern Nachlauf.&lt;ref name=&quot;varghese&quot; /&gt; Zwanzig Durchmesser bieten damit für alle Stenosegrade bis 0,5 einen Sicherheitsabstand. Für die Grade ab 0,6 ist ein längeres Rückströmgebiet zu erwarten, dort wird die Lage des Wiederanlegepunktes ausdrücklich kontrolliert.
# Das '''Ende des fein vernetzten Nachlaufs''' &lt;math&gt;L_f = L_s/2 + 10 D_0 = 66\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; legt fest, bis wohin das Netz verfeinert wird. Der Wert ist so gewählt, dass das erwartete Rückströmgebiet von etwa zehn Durchmessern vollständig im feinen Bereich liegt.

Damit hat das Rechengebiet eine Gesamtlänge von &lt;math&gt;L = L_u + L_d = 150\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt;, also das Fünfundzwanzigfache des Durchmessers. Es ist ein Modellgebiet und kein maßstäbliches Abbild eines bestimmten anatomischen Abschnitts.

== Stoff- und Strömungsparameter ==

Die Stoffwerte des Blutes und der Volumenstrom sind die einzigen Eingangsgrößen, die nicht aus der Geometrie folgen. Aus ihnen werden alle weiteren Strömungskennwerte berechnet. Die folgenden Schritte zeigen jede Rechnung einzeln, damit sich jeder Wert nachprüfen lässt.

# Die '''Dichte''' wird mit &lt;math&gt;\rho = 1060\ \mathrm{kg/m^3}&lt;/math&gt; angesetzt. Der Wert lässt sich als Mischungsregel plausibel machen. Plasma hat eine Dichte von etwa 1025 kg/m³, rote Blutkörperchen von etwa 1100 kg/m³. Bei einem Zellanteil von 45 % ergibt sich &lt;math&gt;0{,}55 \cdot 1025 + 0{,}45 \cdot 1100 \approx 1059\ \mathrm{kg/m^3}&lt;/math&gt;. Die Dichte geht nur über die Reynoldszahl in die Rechnung ein, eine Abweichung von einem Prozent ändert die Ergebnisse daher kaum. &lt;!-- FIXME Lehrbuchquelle fuer Plasma- und Erythrozytendichte ergaenzen --&gt;
# Die '''dynamische Viskosität''' wird mit &lt;math&gt;\mu = 3{,}5\ \mathrm{mPa\,s}&lt;/math&gt; angesetzt. Das ist der Grenzwert der Blutviskosität bei hohen Scherraten, also genau der Wert, der zur Newtonschen Näherung gehört. Derselbe Wert von 0,035 Poise wird auch im Standardwerk zur Modellierung des Herz-Kreislauf-Systems verwendet.&lt;ref name=&quot;quarteroni&quot;&gt;Quarteroni, A.; Formaggia, L.: ''Mathematical Modelling and Numerical Simulation of the Cardiovascular System.'' In: Ayache, N. (Hrsg.): ''Computational Models for the Human Body.'' Handbook of Numerical Analysis, Bd. XII, Elsevier, Amsterdam 2004, S. 3-127. DOI 10.1016/S1570-8659(03)12001-7. Zur Newtonschen Näherung in großen Gefäßen siehe S. 30, zur Viskosität von 0,035 Poise die Parametertabelle auf S. 116.&lt;/ref&gt;
# Der '''mittlere Volumenstrom''' wird mit &lt;math&gt;Q_0 = 6\ \mathrm{ml/s}&lt;/math&gt; angesetzt. Das ist der zeitlich gemittelte Volumenstrom, der in der gemeinsamen Halsschlagader gesunder Probanden gemessen wurde.&lt;ref name=&quot;holdsworth&quot; /&gt;
# Die '''mittlere Geschwindigkeit''' folgt aus Volumenstrom und Querschnittsfläche, &lt;math&gt;U_0 = \frac{Q_0}{\pi R_0^2} = \frac{6 \cdot 10^{-6}\ \mathrm{m^3/s}}{\pi \cdot (0{,}003\ \mathrm{m})^2} = 0{,}2122\ \mathrm{m/s}&lt;/math&gt;.
# Die '''Reynoldszahl''' des gesunden Gefäßes ist &lt;math&gt;Re_0 = \frac{\rho\, U_0\, D_0}{\mu} = \frac{1060 \cdot 0{,}2122 \cdot 0{,}006}{0{,}0035} = 385{,}6&lt;/math&gt;. Sie wird im Folgenden auf 386 gerundet.
# Die '''Einlauflänge''', die eine anfangs gleichförmige Strömung bis zum voll entwickelten Parabelprofil bräuchte, beträgt nach der gebräuchlichen Abschätzung für laminare Rohrströmungen &lt;math&gt;L_e \approx 0{,}06\, Re_0\, D_0 \approx 0{,}06 \cdot 386 \cdot 6\ \mathrm{mm} \approx 139\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt;.&lt;ref name=&quot;durst&quot;&gt;Durst, F.; Ray, S.; Ünsal, B.; Bayoumi, O. A.: ''The development lengths of laminar pipe and channel flows.'' Journal of Fluids Engineering 127 (2005), Nr. 6, S. 1154-1160. Für große Reynoldszahlen nähert sich die dort angegebene Korrelation dem Wert 0,057·Re·D.&lt;/ref&gt; Das ist fast die gesamte Länge des Rechengebiets. Ein konstantes Einlassprofil würde die Strömung an der Stenose also verfälschen, weshalb am Einlass das voll entwickelte Profil vorgegeben wird.

Damit liegen alle globalen Parameter fest. Die folgende Tabelle enthält sie mit genau den Namen, unter denen sie in COMSOL und in den Octave-Skripten verwendet werden.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Globale Parameter des Modells
! Name !! Ausdruck in COMSOL !! Wert !! Bedeutung !! Herkunft
|-
| R0 || 3[mm] || 3 mm || Gefäßradius || Messwerte nach Krejza u. a. 2006, gerundet
|-
| D0 || 2*R0 || 6 mm || Gefäßdurchmesser || abgeleitet
|-
| Ls || 2*D0 || 12 mm || Länge der Störstelle || Standardgeometrie nach Varghese u. a. 2007
|-
| Lu || 5*D0 || 30 mm || Vorlaufstrecke vor der Stenosemitte || Abstand der Einlassbedingung von der Stenose
|-
| Ld || 20*D0 || 120 mm || Nachlaufstrecke hinter der Stenosemitte || Platz für das Rückströmgebiet
|-
| Lf || Ls/2+10*D0 || 66 mm || Ende des fein vernetzten Nachlaufs || erwartete Länge des Rückströmgebiets
|-
| s || 0 bis 0.8 || 0 bis 0,8 || Stenosegrad bezogen auf den Durchmesser || NASCET-Einteilung
|-
| rho_b || 1060[kg/m^3] || 1060 kg/m³ || Dichte des Blutes || Mischungsregel, Literaturwert
|-
| mu_b || 3.5[mPa*s] || 3,5 mPa·s || dynamische Viskosität des Blutes || Hochscherwert, Quarteroni und Formaggia 2004
|-
| Q0 || 6[ml/s] || 6 ml/s || mittlerer Volumenstrom || Messwerte nach Holdsworth u. a. 1999
|-
| U0 || Q0/(pi*R0^2) || 0,2122 m/s || mittlere Einströmgeschwindigkeit || abgeleitet
|-
| Re0 || rho_b*U0*D0/mu_b || 385,6 || Reynoldszahl des gesunden Gefäßes || abgeleitet
|-
| dp_ref || 8*mu_b*U0*(Lu+Ld)/R0^2 || 99,03 Pa || Poiseuille-Druckabfall des gesunden Gefäßes || abgeleitet, Hagen-Poiseuille
|}


= Literaturverzeichnis =

Alle Quellen sind an den Stellen im Text angegeben, an denen die zugehörigen Werte oder Aussagen verwendet werden. Die Liste wird aus diesen Angaben automatisch erzeugt.

&lt;references /&gt;</text>
      <sha1>cphy18pmljex9okxinee6z10ruahg19</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>1115899</id>
      <parentid>1115898</parentid>
      <timestamp>2026-10-12T16:56:11Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Heitele</username>
        <id>38553</id>
      </contributor>
      <comment>/* Modellhierarchie */</comment>
      <origin>1115899</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="58618" sha1="7tf433cr72mjemcc04627xenjsxmgxu" xml:space="preserve">= Gruppenteilnehmer =
* Joey Becker
* Marie-Thérèse Heitele
* Nicole Pander

= Thema und Fragestellung =

Gegenstand dieses Projekts ist die numerische Simulation der Blutströmung in einer verzweigten Halsschlagader ('''Carotis-Bifurkation''') unter dem Einfluss einer lokalen Gefäßverengung ('''Stenose''').
Im Vergleich zu einfachen Rohrströmungen wird hier die realitätsnahe Gefäßanatomie betrachtet: Die '''Arteria carotis communis (ACC)''' teilt sich in die '''Arteria carotis externa (ACE)''' und die '''Arteria carotis interna (ACI)''' auf. Während die '''ACE''' als gesunder, stenosefreier Ast dient, wird in der '''ACI''' eine geglättete, kosinusförmige Gefäßverengung modelliert. Um scharfe Kanten und unphysiologische Druckspitzen zu vermeiden, werden alle Wandübergänge und die Gabelungsspitze (Apex) anatomisch verrundet.

Als Referenz dient ein gesundes, unverengtes Gefäß, in dem sich die Poiseuille-Strömung mit ihrem charakteristischen parabolischen Geschwindigkeitsprofil ausbildet. Diese Strömung ist aus zwei Gründen der natürliche Ausgangspunkt. Sie beschreibt den physiologischen Normalfall, mit dem jeder Stenosegrad verglichen wird, und sie ist exakt lösbar, sodass sich an ihr jede numerische Rechnung prüfen lässt, bevor die Verengung hinzukommt.

== Fragestellung ==
Die Hauptfragestellung dieses Projektes lautet: 
Wie verändert eine symmetrische bzw. rotationssymmetrische Stenose in der '''Arteria carotis interna (ACI)''' die stationäre Strömung eines inkompressiblen Newton’schen Fluids in einer 2D-Carotis-Bifurkation hinsichtlich Geschwindigkeitsverteilung, Druckabfall, Wandschubspannung und Wirbelbildung im Vergleich zu den gesunden Gefäßabschnitten?

Aus dieser Fragestellung ergeben sich drei Teilfragen, an denen sich der Aufbau der Seite orientiert:

# Welche Strömungsgrößen reagieren empfindlich auf den Stenosegrad und welche nur träge?
# Ab welchem Stenosegrad ändert sich das Strömungsmuster qualitativ, das heißt, ab wann löst die Strömung hinter der Engstelle von der Wand ab und bildet ein Rückströmgebiet?
# Wie weit tragen die vereinfachenden Modellannahmen, insbesondere die Annahme einer stationären und laminaren Strömung, über den untersuchten Bereich der Stenosegrade?

== Modellannahmen ==
Im Hinblick darauf werden für dieses Projekt einige Annahmen getroffen, um das Projekt möglichst isoliert zu untersuchen und zu simplifizieren:

* '''Idealisierte Gefäßgeometrie''': Betrachtet wird ein  Teilabbschnitt der ''Arteria carotis communis'', die sog. ''ACI''. Zudem werden Gefäßverkrümmungen, weitere Verzweigungen und patientenspezifische Strukturen  nicht berücksichtigt. 
* '''Starre Gefäßwand''': Die Gefäßwand wird als unbeweglich und nicht verformbar angenommen. Eine Wechselwirkung zwischen elastischer Gefäßwand und Blutströmung wird nicht modelliert.
* '''Stationäre Strömung''': Die Strömungsgrößen werden als zeitlich konstant angenommen. Die im realen Blutkreislauf vorhandene Pulsation durch den Herzschlag wird daher vernachlässigt: &lt;math&gt;\frac{\partial u}{\partial t}=0&lt;/math&gt;.
* '''Inkompressibles Fluid''': Die Dichte des Fluids wird als konstant angenommen. Damit gilt für die Geschwindigkeit &lt;math&gt;\nabla \cdot u=0&lt;/math&gt;. Dies entspricht der in der Vorlesung behandelten Massenerhaltung für inkompressible Fluide: Was in das Gefäß einströmt, muss auch wieder ausströmen.
* '''Newton'sche Näherung für Blut''': Reales Blut beseitzt ein nicht newton'sches Fließverhalten. Hier wird Blut als Newton'sches Fluid behandelt.
* '''Konstante Stoffeigenschaften''': Dichte &lt;math&gt;\rho&lt;/math&gt; und dynamische Viskosität μ werden als räumlich und zeitlich konstant angenommen. Temperaturabhängigkeiten werden nicht berücksichtigt.
* '''Laminare Strömung''': Die Strömung wird mit dem COMSOL-Modul ''Laminar Flow'' beschrieben. Ein zusätzliches Turbulenzmodell wird nicht verwendet.
* '''No-Slip-Bedingung an Gefäßwand''': Aufgrund der Viskosität wird angenommen, dass das Fluid direkt an der Gefäßwand haftet. Somit gilt &lt;math&gt;u=0&lt;/math&gt;.
* '''Vernachlässigung der Gravitation''': Gravitation wird nicht berücksichtigt. Die Strömung wird ausschließlich durch die gewählten Ein- und Auslassbedingungen bestimmt.

= Relevanz =
Die Untersuchung von Gefäßverengungen besitzt sowohl eine medizinische als auch eine methodische Bedeutung. Aus medizinischer Sicht sind arterielle Stenosen – etwa in der Halsschlagader, lat. ''arteria carotis communis'', – kritisch, da sie die Durchblutung beeinträchtigen und durch veränderte Wandschubspannungen sowie die Bildung von Wirbeln weitere Gefäßablagerungen begünstigen. Stenosen im Bereich der Karotisgabelung sind klinisch hochrelevant, da sie das Gehirn direkt versorgen und das Risiko für embolische Schlaganfälle erhöhen. Fachlich überträgt das Projekt damit die Prinzipien der Strömungsmechanik direkt auf eine biomedizinische Anwendung. Das Projekt verknüpft somit theoretische Grundlagen der Strömungsmechanik (Hagen-Poiseuille-Gleichung, Navier-Stokes-Gleichungen) mit der numerischen Simulation in COMSOL Multiphysics. Durch den Vergleich der '''gesunden Externa (ACE)''' mit der '''stenoisierten Interna (ACI)''' innerhalb desselben Rechengebiets wird die isolierte Wirkung der Stenose unter identischen Randbedingungen direkt sichtbar gemacht.

== Medizinische Relevanz ==

Arterielle Stenosen entstehen überwiegend durch Atherosklerose, also durch Ablagerungen aus Lipiden, Bindegewebe und Kalk in der Gefäßwand. In der Halsschlagader sind sie klinisch besonders bedeutsam, weil sie die Durchblutung des Gehirns beeinträchtigen und weil sich an ihnen Thromben bilden können, die als Embolie einen Schlaganfall auslösen. Dass die operative Entfernung einer hochgradigen Karotisstenose das Schlaganfallrisiko symptomatischer Patienten deutlich senkt, hat die NASCET-Studie gezeigt, deren Einteilung der Stenosegrade dieses Projekt übernimmt.&lt;ref name=&quot;nascet&quot;&gt;North American Symptomatic Carotid Endarterectomy Trial Collaborators: ''Beneficial effect of carotid endarterectomy in symptomatic patients with high-grade carotid stenosis.'' New England Journal of Medicine 325 (1991), Nr. 7, S. 445-453.&lt;/ref&gt;

Strömungsmechanisch ist an einer Stenose vor allem die Wandschubspannung von Interesse, also die tangentiale Kraft je Fläche, die das strömende Blut auf die innerste Zellschicht der Gefäßwand ausübt. Gesunde Halsschlagadern weisen zeitlich gemittelte Werte von etwa 1,1 bis 1,5 Pa auf.&lt;ref name=&quot;samijo&quot;&gt;Samijo, S. K.; Willigers, J. M.; Barkhuysen, R.; Kitslaar, P. J. E. H. M.; Reneman, R. S.; Brands, P. J.; Hoeks, A. P. G.: ''Wall shear stress in the human common carotid artery as function of age and gender.'' Cardiovascular Research 39 (1998), Nr. 2, S. 515-522.&lt;/ref&gt; In einer Engstelle steigt sie stark an, unmittelbar dahinter fällt sie im Ablösegebiet auf nahezu null und wechselt dort sogar das Vorzeichen. Niedrige und im Vorzeichen wechselnde Wandschubspannungen gelten als Bedingungen, unter denen sich weitere Ablagerungen bevorzugt bilden. Eine bestehende Stenose schafft also stromabwärts die Voraussetzungen für ihr eigenes Wachstum. Genau diese Verteilung lässt sich im Körper nur schwer messen, in einer Simulation dagegen unmittelbar auswerten.

== Methodische Relevanz ==

Fachlich überträgt das Projekt die Prinzipien der Strömungsmechanik aus der Vorlesung auf eine biomedizinische Anwendung.&lt;ref name=&quot;hundertmark&quot;&gt;Hundertmark, A.: ''Fluiddynamik.'' Vorlesungsunterlagen zum Modul Räumliche Modellbildung, RPTU Kaiserslautern-Landau, Sommersemester 2026.&lt;/ref&gt; Der methodische Mehrwert liegt in der Verknüpfung mehrerer Zugänge, die sich gegenseitig kontrollieren. Die analytische Poiseuille-Lösung liefert exakte Sollwerte für das gesunde Gefäß. Ein reduziertes Graphenmodell liefert für jeden Stenosegrad eine schnelle Abschätzung, die analytisch nachrechenbar ist. Die Simulationen in COMSOL Multiphysics lösen schließlich die vollständigen Navier-Stokes-Gleichungen in zwei und drei Raumdimensionen. Weil jede Stufe die Sollwerte der nächsten liefert, zeigt das Projekt nicht nur Ergebnisse, sondern auch, wie numerische Modelle aufgebaut, verifiziert und an ihren Grenzen bewertet werden.

== Auswahl der Stenosegrade ==

Um die untersuchten Gefäßverengungen nicht willkürlich festzulegen, orientiert sich die Auswahl der Stenosegrade an der klinisch gebräuchlichen NASCET-Klassifikation von Karotisstenosen.&lt;ref name=&quot;nascet&quot; /&gt; Zur klinischen Einordnung werden Karotisstenosen anhand der nach NASCET bestimmten Durchmesserreduktion in leichtgradige, mittelgradige und hochgradige Stenosen eingeteilt. Die angegebenen Prozentgrenzen dienen in diesem Projekt als Orientierung für die Auswahl der untersuchten Stenosegrade. Ein vollständiger Gefäßverschluss wird als Okklusion bezeichnet.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Klinische Einteilung nach NASCET-gemessener Durchmesserreduktion und untersuchte Stenosegrade
! Schweregrad !! Durchmesserreduktion !! im Projekt gerechnete Stenosegrade !! hervorgehobener Vertreter
|-
| gesundes Gefäß || 0 % || 0 || 0
|-
| leichtgradige Stenose || unter 50 % || 0,1 bis 0,4 || 0,3
|-
| mittelgradige Stenose || 50 bis 69 % || 0,5 und 0,6 || 0,6
|-
| hochgradige Stenose || 70 bis 99 % || 0,7 und 0,8 || 0,8
|-
| Okklusion || 100 % || nicht gerechnet || entfällt
|}
'''Anmerkung''': Die Klassengrenzen dienen der Einordnung der Modellvarianten. Die in der Tabelle genannten Stenosegrade sind dimensionslose Werte, beispielsweise entspricht '''&lt;math&gt;s=0{,}6&lt;/math&gt;''' einer Durchmesserreduktion von '''60 %'''.

Für die numerische Untersuchung wird aus jeder Kategorie ein repräsentativer Stenosegrad hervorgehoben. Neben dem gesunden Gefäß mit '''0 %''' Stenose sind das eine '''30 %''' Stenose als Beispiel für eine leichtgradige, eine '''60 %''' Stenose als Beispiel für eine mittelgradige und eine '''80 %''' Stenose als Beispiel für eine hochgradige Verengung. Zusätzlich werden für das Graphenmodell und das achsensymmetrische Flächenmodell Stenosegrade von 0 bis 80 % in Schritten von zehn Prozentpunkten vorgesehen. Dadurch kann die Abhängigkeit der Strömungsgrößen vom Stenosegrad systematisch untersucht und grafisch dargestellt werden. Ob alle Modellvarianten tatsächlich berechnet wurden und wie hoch der Rechenaufwand war, wird anhand der durchgeführten Simulationen dokumentiert. Ein vollständiger Gefäßverschluss wird nicht simuliert, da in diesem Fall keine durchgängige Strömung mehr vorliegt.

Der Stenosegrad wird in diesem Projekt wie bei NASCET über die Verringerung des Gefäßdurchmessers beschrieben,
&lt;math&gt;s = 1 - \frac{d_{\min}}{d_{\mathrm{ref}}},&lt;/math&gt;wobei &lt;math&gt;d_{\min}&lt;/math&gt; der kleinste Durchmesser in der Engstelle und &lt;math&gt;d_{\mathrm{ref}}&lt;/math&gt; ein Referenzdurchmesser ist. NASCET verwendet als Referenz den Durchmesser des gesunden Gefäßes stromabwärts der Stenose. Für das idealisierte gerade Gefäßmodell wird ein konstanter Referenzdurchmesser von &lt;math&gt;D_0=6\,\mathrm{mm}&lt;/math&gt; angenommen. Da das Gefäß außerhalb der Stenose denselben Durchmesser besitzt, gilt in diesem Modell&lt;math&gt;d_{\mathrm{ref}}=D_0&lt;/math&gt;. Bei der zusätzlich betrachteten Gefäßaufzweigung muss der Referenzdurchmesser dagegen gesondert festgelegt werden, da die Gefäßäste unterschiedliche Durchmesser besitzen.

Wichtig für das Verständnis aller weiteren Ergebnisse ist der Unterschied zwischen Durchmesser- und Flächenreduktion. Da die Querschnittsfläche quadratisch vom Durchmesser abhängt, gilt für die Flächenreduktion &lt;math&gt;1-(1-s)^2&lt;/math&gt;. Eine im klinischen Sinn nur mittelgradige Stenose von 60 % verschließt damit bereits 84 % der Querschnittsfläche.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Durchmesser- und Flächenreduktion der gerechneten Stenosegrade
! Stenosegrad s !! 0 !! 0,1 !! 0,2 !! 0,3 !! 0,4 !! 0,5 !! 0,6 !! 0,7 !! 0,8
|-
| engster Durchmesser in mm || 6,0 || 5,4 || 4,8 || 4,2 || 3,6 || 3,0 || 2,4 || 1,8 || 1,2
|-
| Flächenreduktion || 0 % || 19 % || 36 % || 51 % || 64 % || 75 % || 84 % || 91 % || 96 %
|}

Eine Einschränkungen gehört zur ehrlichen Einordnung: 
# Mit zunehmendem Stenosegrad, insbesondere bei ausgeprägten Verengungen, können lokale Beschleunigungen, Strömungsablösungen und zeitabhängige Strömungsstrukturen auftreten. Daher muss bei den hochgradigen Stenosen geprüft werden, inwieweit die Annahme einer stationären, laminaren Strömung geeignet ist. Eine feste Grenze bei &lt;math&gt;s=0{,}6&lt;/math&gt; lässt sich ohne entsprechende Simulationsergebnisse oder Literaturbelege nicht allgemein festlegen. Die hochgradigen Fälle werden deshalb unter besonderer Berücksichtigung der Modellannahmen diskutiert.

Unter Modellierung wird in diesem Projekt die Übertragung der Blutströmung in einer verengten Arterie auf ein mathematisches und numerisch lösbares Strömungsproblem verstanden. Dazu werden die Gefäßgeometrie, die zugrunde liegenden Gleichungen, die physikalischen Materialparameter sowie die Anfangs- und Randbedingungen festgelegt.

Jeder dieser Bestandteile beruht auf vereinfachenden Annahmen, die begründet und bei der Interpretation der Ergebnisse berücksichtigt werden müssen. Ziel ist es, den Einfluss unterschiedlicher Stenosegrade auf die Strömungsgeschwindigkeit, den Druckverlust und gegebenenfalls die Wandschubspannung systematisch zu untersuchen.

Die Modellierung erfolgt anhand mehrerer Modellvarianten mit unterschiedlicher räumlicher Auflösung. Dadurch können zunächst grundlegende Zusammenhänge analytisch abgeschätzt und anschließend mit numerischen Strömungsberechnungen verglichen werden. Die verwendeten Parameter orientieren sich an den bereitgestellten Referenzdaten und werden in den folgenden Abschnitten erläutert.

== Modellierung ==

Ziel der Modellierung ist es, die Blutströmung innerhalb einer Y-förmigen Aufzweigung der Halsschlagader mathematisch und numerisch zu untersuchen. Im Mittelpunkt steht eine Gefäßverengung (Stenose) in der Arteria carotis interna.

Das betrachtete Gefäßmodell besteht aus der Arteria carotis communis, die sich in die Arteria carotis interna und die Arteria carotis externa aufteilt. Die Stenose befindet sich ausschließlich in der Arteria carotis interna.

Durch die Verengung verändert sich der verfügbare Strömungsquerschnitt. Dies kann zu einer Erhöhung der lokalen Strömungsgeschwindigkeit, zu zusätzlichen Druckverlusten und zu einer Veränderung der Strömungsverteilung zwischen den beiden Gefäßästen führen.

Ziel ist es, den Einfluss unterschiedlicher Stenosegrade auf die Strömungsgeschwindigkeit, die Druckverteilung und die Wandschubspannung zu untersuchen. Zusätzlich soll betrachtet werden, wie sich die Strömung innerhalb der Y-förmigen Gefäßaufzweigung verhält.

Die numerische Modellierung erfolgt mit COMSOL Multiphysics. Dazu werden die Gefäßgeometrie, die Materialeigenschaften des Blutes, die Strömungsgleichungen und die Randbedingungen festgelegt.

Zur Vereinfachung wird Blut zunächst als inkompressibles, Newtonsches Fluid betrachtet. Die Gefäßwände werden als starr angenommen. Diese Annahmen ermöglichen eine systematische Untersuchung der Stenose, schränken jedoch die Übertragbarkeit auf reale physiologische Bedingungen ein.

=== Modellhierarchie ===

Für die Untersuchung der Blutströmung innerhalb der Y-förmigen Karotisaufzweigung werden drei Modellvarianten betrachtet. Diese unterscheiden sich hinsichtlich ihrer räumlichen Dimension, ihrer mathematischen Beschreibung und der Genauigkeit, mit der die Strömungsverhältnisse dargestellt werden können.

Das untersuchte Gefäß besteht aus der Arteria carotis communis, die sich in die Arteria carotis interna und die Arteria carotis externa aufteilt. Die Stenose befindet sich ausschließlich in der Arteria carotis interna.

Alle drei Modellvarianten werden mit COMSOL Multiphysics umgesetzt.

{| class=&quot;wikitable&quot; style=&quot;width:100%;&quot;
|+ '''Die drei Modellvarianten des Projekts'''
|-
! Modell
! Raumdimension
! Mathematische Grundlage
! Zweck
! Werkzeug
|-
| '''Graphenmodell'''
| 1D, Gefäßnetzwerk mit einer Verzweigung
| Massenerhaltung an der Verzweigung und vereinfachte Beschreibung der Strömungswiderstände
| Abschätzung der Volumenstromverteilung und der Druckverluste in den Gefäßästen
| COMSOL Multiphysics
|-
| '''Ebenes Flächenmodell'''
| 2D, Y-förmige Gefäßgeometrie in kartesischen Koordinaten
| Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen
| Untersuchung der Geschwindigkeits- und Druckverteilung sowie der Auswirkungen der Stenose in der Arteria carotis interna
| COMSOL Multiphysics, Laminare Strömung
|-
| '''Volumenmodell'''
| 3D, räumliche Y-förmige Gefäßgeometrie
| Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen
| Räumliche Untersuchung des Geschwindigkeitsfeldes, des Druckverlustes und der Wandschubspannung
| COMSOL Multiphysics, Laminare Strömung
|}

==== Vergleich und Überprüfung der Modellvarianten ====

Die drei Modellvarianten bauen hinsichtlich ihrer räumlichen Beschreibung aufeinander auf. Das Graphenmodell ermöglicht zunächst eine vereinfachte Betrachtung der Volumenströme und Druckverluste. Die zwei- und dreidimensionalen Modelle erlauben anschließend eine detailliertere Untersuchung der Strömung innerhalb der Gefäßaufzweigung.

Das '''Graphenmodell''' beschreibt die Arteria carotis communis sowie die beiden abzweigenden Gefäße als miteinander verbundenes Netzwerk. Dabei wird die Massenerhaltung an der Verzweigung berücksichtigt:

:&lt;math&gt;Q_{\mathrm{CCA}}=Q_{\mathrm{ICA}}+Q_{\mathrm{ECA}}&lt;/math&gt;

Das Modell liefert vereinfachte Abschätzungen der Volumenstromverteilung. Lokale Strömungsablösungen und räumliche Geschwindigkeitsverteilungen können damit nicht detailliert dargestellt werden.

Das '''ebene Flächenmodell''' bildet die Y-förmige Gefäßaufzweigung in zwei Raumdimensionen ab. Die Stenose wird innerhalb der Arteria carotis interna berücksichtigt. Dadurch können die Geschwindigkeits- und Druckverteilung sowie mögliche Rückströmungsbereiche untersucht werden.

Das '''Volumenmodell''' erweitert die Untersuchung auf drei Raumdimensionen. Es ermöglicht eine räumliche Darstellung der Strömung und eine detailliertere Berechnung der Wandschubspannung.

Die Ergebnisse des ebenen Flächenmodells und des Volumenmodells werden miteinander verglichen. Da das ebene Modell die räumliche Querschnittsgeometrie nur vereinfacht darstellt, müssen Unterschiede zwischen den beiden Modellen bei der Interpretation berücksichtigt werden.

Ziel der Modellhierarchie ist es, die Aussagekraft der einzelnen Modellvarianten zu bewerten und den Einfluss des Stenosegrades auf die Strömung innerhalb der Y-förmigen Karotisaufzweigung zu untersuchen.

== Stoff- und Strömungsparameter ==

Die Stoffwerte des Blutes und der Volumenstrom sind die einzigen Eingangsgrößen, die nicht aus der Geometrie folgen. Aus ihnen werden alle weiteren Strömungskennwerte berechnet. Die folgenden Schritte zeigen jede Rechnung einzeln, damit sich jeder Wert nachprüfen lässt.

# Die '''Dichte''' wird mit &lt;math&gt;\rho = 1060\ \mathrm{kg/m^3}&lt;/math&gt; angesetzt. Der Wert lässt sich als Mischungsregel plausibel machen. Plasma hat eine Dichte von etwa 1025 kg/m³, rote Blutkörperchen von etwa 1100 kg/m³. Bei einem Zellanteil von 45 % ergibt sich &lt;math&gt;0{,}55 \cdot 1025 + 0{,}45 \cdot 1100 \approx 1059\ \mathrm{kg/m^3}&lt;/math&gt;. Die Dichte geht nur über die Reynoldszahl in die Rechnung ein, eine Abweichung von einem Prozent ändert die Ergebnisse daher kaum. &lt;!-- FIXME Lehrbuchquelle fuer Plasma- und Erythrozytendichte ergaenzen --&gt;
# Die '''dynamische Viskosität''' wird mit &lt;math&gt;\mu = 3{,}5\ \mathrm{mPa\,s}&lt;/math&gt; angesetzt. Das ist der Grenzwert der Blutviskosität bei hohen Scherraten, also genau der Wert, der zur Newtonschen Näherung gehört. Derselbe Wert von 0,035 Poise wird auch im Standardwerk zur Modellierung des Herz-Kreislauf-Systems verwendet.&lt;ref name=&quot;quarteroni&quot;&gt;Quarteroni, A.; Formaggia, L.: ''Mathematical Modelling and Numerical Simulation of the Cardiovascular System.'' In: Ayache, N. (Hrsg.): ''Computational Models for the Human Body.'' Handbook of Numerical Analysis, Bd. XII, Elsevier, Amsterdam 2004, S. 3-127. DOI 10.1016/S1570-8659(03)12001-7. Zur Newtonschen Näherung in großen Gefäßen siehe S. 30, zur Viskosität von 0,035 Poise die Parametertabelle auf S. 116.&lt;/ref&gt;
# Der '''mittlere Volumenstrom''' wird mit &lt;math&gt;Q_0 = 6\ \mathrm{ml/s}&lt;/math&gt; angesetzt. Das ist der zeitlich gemittelte Volumenstrom, der in der gemeinsamen Halsschlagader gesunder Probanden gemessen wurde.&lt;ref name=&quot;holdsworth&quot; /&gt;
# Die '''mittlere Geschwindigkeit''' folgt aus Volumenstrom und Querschnittsfläche, &lt;math&gt;U_0 = \frac{Q_0}{\pi R_0^2} = \frac{6 \cdot 10^{-6}\ \mathrm{m^3/s}}{\pi \cdot (0{,}003\ \mathrm{m})^2} = 0{,}2122\ \mathrm{m/s}&lt;/math&gt;.
# Die '''Reynoldszahl''' des gesunden Gefäßes ist &lt;math&gt;Re_0 = \frac{\rho\, U_0\, D_0}{\mu} = \frac{1060 \cdot 0{,}2122 \cdot 0{,}006}{0{,}0035} = 385{,}6&lt;/math&gt;. Sie wird im Folgenden auf 386 gerundet.
# Die '''Einlauflänge''', die eine anfangs gleichförmige Strömung bis zum voll entwickelten Parabelprofil bräuchte, beträgt nach der gebräuchlichen Abschätzung für laminare Rohrströmungen &lt;math&gt;L_e \approx 0{,}06\, Re_0\, D_0 \approx 0{,}06 \cdot 386 \cdot 6\ \mathrm{mm} \approx 139\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt;.&lt;ref name=&quot;durst&quot;&gt;Durst, F.; Ray, S.; Ünsal, B.; Bayoumi, O. A.: ''The development lengths of laminar pipe and channel flows.'' Journal of Fluids Engineering 127 (2005), Nr. 6, S. 1154-1160. Für große Reynoldszahlen nähert sich die dort angegebene Korrelation dem Wert 0,057·Re·D.&lt;/ref&gt; Das ist fast die gesamte Länge des Rechengebiets. Ein konstantes Einlassprofil würde die Strömung an der Stenose also verfälschen, weshalb am Einlass das voll entwickelte Profil vorgegeben wird.

Damit liegen alle globalen Parameter fest. Die folgende Tabelle enthält sie mit genau den Namen, unter denen sie in COMSOL und in den Octave-Skripten verwendet werden.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Globale Parameter des Modells
! Name !! Ausdruck in COMSOL !! Wert !! Bedeutung !! Herkunft
|-
| R0 || 3[mm] || 3 mm || Gefäßradius || Messwerte nach Krejza u. a. 2006, gerundet
|-
| D0 || 2*R0 || 6 mm || Gefäßdurchmesser || abgeleitet
|-
| Ls || 2*D0 || 12 mm || Länge der Störstelle || Standardgeometrie nach Varghese u. a. 2007
|-
| Lu || 5*D0 || 30 mm || Vorlaufstrecke vor der Stenosemitte || Abstand der Einlassbedingung von der Stenose
|-
| Ld || 20*D0 || 120 mm || Nachlaufstrecke hinter der Stenosemitte || Platz für das Rückströmgebiet
|-
| Lf || Ls/2+10*D0 || 66 mm || Ende des fein vernetzten Nachlaufs || erwartete Länge des Rückströmgebiets
|-
| s || 0 bis 0.8 || 0 bis 0,8 || Stenosegrad bezogen auf den Durchmesser || NASCET-Einteilung
|-
| rho_b || 1060[kg/m^3] || 1060 kg/m³ || Dichte des Blutes || Mischungsregel, Literaturwert
|-
| mu_b || 3.5[mPa*s] || 3,5 mPa·s || dynamische Viskosität des Blutes || Hochscherwert, Quarteroni und Formaggia 2004
|-
| Q0 || 6[ml/s] || 6 ml/s || mittlerer Volumenstrom || Messwerte nach Holdsworth u. a. 1999
|-
| U0 || Q0/(pi*R0^2) || 0,2122 m/s || mittlere Einströmgeschwindigkeit || abgeleitet
|-
| Re0 || rho_b*U0*D0/mu_b || 385,6 || Reynoldszahl des gesunden Gefäßes || abgeleitet
|-
| dp_ref || 8*mu_b*U0*(Lu+Ld)/R0^2 || 99,03 Pa || Poiseuille-Druckabfall des gesunden Gefäßes || abgeleitet, Hagen-Poiseuille
|}

=== Simulationsgebiet und Geometrie ===

Das Simulationsgebiet besteht aus einer idealisierten Y-förmigen Aufzweigung der Arteria carotis. Die Arteria carotis communis teilt sich in die Arteria carotis interna und die Arteria carotis externa.

Die Stenose befindet sich in der Arteria carotis interna. Die Arteria carotis externa wird ohne zusätzliche Verengung modelliert.

Die Geometrie orientiert sich an den bereitgestellten Referenzdaten. Die Gefäßdurchmesser werden innerhalb der jeweiligen unverengten Abschnitte als konstant angenommen.

{| class=&quot;wikitable&quot; style=&quot;width:100%;&quot;
|+ '''Geometrische Referenzparameter der Y-förmigen Gefäßaufzweigung'''
|-
! Gefäßabschnitt
! Durchmesser
! Länge
|-
| Arteria carotis communis
| 6 mm
| 60 mm
|-
| Arteria carotis interna
| 5 mm
| 60 mm
|-
| Arteria carotis externa
| 4 mm
| 60 mm
|-
| Stenose in der Arteria carotis interna
| Abhängig vom Stenosegrad
| 10 mm
|}

Die Verengung wird über den Stenosegrad &lt;math&gt;s&lt;/math&gt; beschrieben. Dieser gibt die relative Verringerung des Gefäßdurchmessers an:

:&lt;math&gt;s=1-\frac{d_{\min}}{D_{\mathrm{ICA}}}&lt;/math&gt;

Dabei bezeichnet &lt;math&gt;d_{\min}&lt;/math&gt; den minimalen Durchmesser innerhalb der Stenose und &lt;math&gt;D_{\mathrm{ICA}}&lt;/math&gt; den unverengten Referenzdurchmesser der Arteria carotis interna.

Für das Modell gilt:

:&lt;math&gt;D_{\mathrm{ICA}}=5\,\mathrm{mm}&lt;/math&gt;

Der minimale Durchmesser ergibt sich damit zu:

:&lt;math&gt;d_{\min}=D_{\mathrm{ICA}}(1-s)&lt;/math&gt;

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ '''Minimaler Durchmesser der Stenose in der Arteria carotis interna'''
|-
! Stenosegrad
! Minimaler Durchmesser
|-
| 0 %
| 5,0 mm
|-
| 10 %
| 4,5 mm
|-
| 20 %
| 4,0 mm
|-
| 30 %
| 3,5 mm
|-
| 40 %
| 3,0 mm
|-
| 50 %
| 2,5 mm
|-
| 60 %
| 2,0 mm
|-
| 70 %
| 1,5 mm
|-
| 80 %
| 1,0 mm
|}

Die angegebenen Stenosegrade beziehen sich ausschließlich auf den Durchmesser der Arteria carotis interna. Der Durchmesser der Arteria carotis communis wird nicht zur Berechnung des Stenosegrades verwendet.

Die Y-förmige Geometrie ermöglicht es, die Auswirkungen der Verengung sowohl auf die lokale Strömung in der Arteria carotis interna als auch auf die Strömungsverteilung innerhalb der gesamten Gefäßaufzweigung zu untersuchen.

Die genaue Form der Stenose, der Verzweigungswinkel und die Übergänge zwischen den Gefäßabschnitten müssen entsprechend der tatsächlich in COMSOL verwendeten Geometrie dokumentiert werden.


AB HIER ALT== Modellhierarchie ==

Für die Untersuchung werden vier Modellvarianten betrachtet, die sich hinsichtlich ihrer mathematischen Beschreibung, ihrer räumlichen Dimension und ihres Rechenaufwands unterscheiden. Die Modelle sind bewusst von einer vereinfachten analytischen Beschreibung bis zu einer dreidimensionalen numerischen Simulation angeordnet.

Diese Vorgehensweise ermöglicht es, die Ergebnisse der komplexeren Modelle anhand grundlegender physikalischer Zusammenhänge und geeigneter Referenzfälle zu überprüfen. Dabei ist zu beachten, dass nicht jede Modellvariante dieselben Strömungseigenschaften vollständig abbilden kann.

{| class=&quot;wikitable&quot; style=&quot;width:100%;&quot;
|+ '''Die vier Modellvarianten des Projekts'''
|-
! Modell
! Raumdimension
! Mathematische Grundlage
! Zweck
! Werkzeug
|-
| '''Graphenmodell'''
| 1D, Beschreibung entlang der Gefäßachse
| Hagen-Poiseuille-Gesetz für vereinfachte Rohrabschnitte und Massenerhaltung an Verzweigungsknoten
| Analytische Abschätzung von Volumenströmen und Druckverlusten; Referenz für die numerischen Modelle
| COMSOL mit geeigneter eindimensionaler Formulierung
|-
| '''Achsensymmetrisches Flächenmodell'''
| 2D, rotationssymmetrischer Längsschnitt in den Koordinaten &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;z&lt;/math&gt;
| Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen in achsensymmetrischer Form
| Detaillierte Untersuchung von Geschwindigkeits- und Druckfeldern sowie der Wandschubspannung in einem idealisierten rotationssymmetrischen Gefäß
| COMSOL Multiphysics, Laminar Flow
|-
| '''Ebenes Flächenmodell'''
| 2D, ebene Geometrie in den Koordinaten &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;y&lt;/math&gt;
| Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen in kartesischen Koordinaten
| Untersuchung der Strömung in einer vereinfachten ebenen Geometrie und Vergleich mit dem achsensymmetrischen Modell
| COMSOL Multiphysics, Laminar Flow
|-
| '''Volumenmodell'''
| 3D, räumliche Gefäßgeometrie
| Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen in drei Raumdimensionen
| Räumliche Darstellung der Strömung und Überprüfung der Ergebnisse des achsensymmetrischen Modells bei vergleichbarer Geometrie
| COMSOL Multiphysics, Laminar Flow
|}

== Stoff- und Strömungsparameter ==

Die Stoffwerte des Blutes und der Volumenstrom sind die einzigen Eingangsgrößen, die nicht aus der Geometrie folgen. Aus ihnen werden alle weiteren Strömungskennwerte berechnet. Die folgenden Schritte zeigen jede Rechnung einzeln, damit sich jeder Wert nachprüfen lässt.

# Die '''Dichte''' wird mit &lt;math&gt;\rho = 1060\ \mathrm{kg/m^3}&lt;/math&gt; angesetzt. Der Wert lässt sich als Mischungsregel plausibel machen. Plasma hat eine Dichte von etwa 1025 kg/m³, rote Blutkörperchen von etwa 1100 kg/m³. Bei einem Zellanteil von 45 % ergibt sich &lt;math&gt;0{,}55 \cdot 1025 + 0{,}45 \cdot 1100 \approx 1059\ \mathrm{kg/m^3}&lt;/math&gt;. Die Dichte geht nur über die Reynoldszahl in die Rechnung ein, eine Abweichung von einem Prozent ändert die Ergebnisse daher kaum. &lt;!-- FIXME Lehrbuchquelle fuer Plasma- und Erythrozytendichte ergaenzen --&gt;
# Die '''dynamische Viskosität''' wird mit &lt;math&gt;\mu = 3{,}5\ \mathrm{mPa\,s}&lt;/math&gt; angesetzt. Das ist der Grenzwert der Blutviskosität bei hohen Scherraten, also genau der Wert, der zur Newtonschen Näherung gehört. Derselbe Wert von 0,035 Poise wird auch im Standardwerk zur Modellierung des Herz-Kreislauf-Systems verwendet.&lt;ref name=&quot;quarteroni&quot;&gt;Quarteroni, A.; Formaggia, L.: ''Mathematical Modelling and Numerical Simulation of the Cardiovascular System.'' In: Ayache, N. (Hrsg.): ''Computational Models for the Human Body.'' Handbook of Numerical Analysis, Bd. XII, Elsevier, Amsterdam 2004, S. 3-127. DOI 10.1016/S1570-8659(03)12001-7. Zur Newtonschen Näherung in großen Gefäßen siehe S. 30, zur Viskosität von 0,035 Poise die Parametertabelle auf S. 116.&lt;/ref&gt;
# Der '''mittlere Volumenstrom''' wird mit &lt;math&gt;Q_0 = 6\ \mathrm{ml/s}&lt;/math&gt; angesetzt. Das ist der zeitlich gemittelte Volumenstrom, der in der gemeinsamen Halsschlagader gesunder Probanden gemessen wurde.&lt;ref name=&quot;holdsworth&quot; /&gt;
# Die '''mittlere Geschwindigkeit''' folgt aus Volumenstrom und Querschnittsfläche, &lt;math&gt;U_0 = \frac{Q_0}{\pi R_0^2} = \frac{6 \cdot 10^{-6}\ \mathrm{m^3/s}}{\pi \cdot (0{,}003\ \mathrm{m})^2} = 0{,}2122\ \mathrm{m/s}&lt;/math&gt;.
# Die '''Reynoldszahl''' des gesunden Gefäßes ist &lt;math&gt;Re_0 = \frac{\rho\, U_0\, D_0}{\mu} = \frac{1060 \cdot 0{,}2122 \cdot 0{,}006}{0{,}0035} = 385{,}6&lt;/math&gt;. Sie wird im Folgenden auf 386 gerundet.
# Die '''Einlauflänge''', die eine anfangs gleichförmige Strömung bis zum voll entwickelten Parabelprofil bräuchte, beträgt nach der gebräuchlichen Abschätzung für laminare Rohrströmungen &lt;math&gt;L_e \approx 0{,}06\, Re_0\, D_0 \approx 0{,}06 \cdot 386 \cdot 6\ \mathrm{mm} \approx 139\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt;.&lt;ref name=&quot;durst&quot;&gt;Durst, F.; Ray, S.; Ünsal, B.; Bayoumi, O. A.: ''The development lengths of laminar pipe and channel flows.'' Journal of Fluids Engineering 127 (2005), Nr. 6, S. 1154-1160. Für große Reynoldszahlen nähert sich die dort angegebene Korrelation dem Wert 0,057·Re·D.&lt;/ref&gt; Das ist fast die gesamte Länge des Rechengebiets. Ein konstantes Einlassprofil würde die Strömung an der Stenose also verfälschen, weshalb am Einlass das voll entwickelte Profil vorgegeben wird.

Damit liegen alle globalen Parameter fest. Die folgende Tabelle enthält sie mit genau den Namen, unter denen sie in COMSOL und in den Octave-Skripten verwendet werden.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Globale Parameter des Modells
! Name !! Ausdruck in COMSOL !! Wert !! Bedeutung !! Herkunft
|-
| R0 || 3[mm] || 3 mm || Gefäßradius || Messwerte nach Krejza u. a. 2006, gerundet
|-
| D0 || 2*R0 || 6 mm || Gefäßdurchmesser || abgeleitet
|-
| Ls || 2*D0 || 12 mm || Länge der Störstelle || Standardgeometrie nach Varghese u. a. 2007
|-
| Lu || 5*D0 || 30 mm || Vorlaufstrecke vor der Stenosemitte || Abstand der Einlassbedingung von der Stenose
|-
| Ld || 20*D0 || 120 mm || Nachlaufstrecke hinter der Stenosemitte || Platz für das Rückströmgebiet
|-
| Lf || Ls/2+10*D0 || 66 mm || Ende des fein vernetzten Nachlaufs || erwartete Länge des Rückströmgebiets
|-
| s || 0 bis 0.8 || 0 bis 0,8 || Stenosegrad bezogen auf den Durchmesser || NASCET-Einteilung
|-
| rho_b || 1060[kg/m^3] || 1060 kg/m³ || Dichte des Blutes || Mischungsregel, Literaturwert
|-
| mu_b || 3.5[mPa*s] || 3,5 mPa·s || dynamische Viskosität des Blutes || Hochscherwert, Quarteroni und Formaggia 2004
|-
| Q0 || 6[ml/s] || 6 ml/s || mittlerer Volumenstrom || Messwerte nach Holdsworth u. a. 1999
|-
| U0 || Q0/(pi*R0^2) || 0,2122 m/s || mittlere Einströmgeschwindigkeit || abgeleitet
|-
| Re0 || rho_b*U0*D0/mu_b || 385,6 || Reynoldszahl des gesunden Gefäßes || abgeleitet
|-
| dp_ref || 8*mu_b*U0*(Lu+Ld)/R0^2 || 99,03 Pa || Poiseuille-Druckabfall des gesunden Gefäßes || abgeleitet, Hagen-Poiseuille
|}

=== Vergleich und Überprüfung der Modellvarianten ===

Die Modellhierarchie folgt dem Prinzip, dass zunächst vereinfachte Zusammenhänge untersucht und anschließend mit detaillierteren numerischen Modellen verglichen werden.

Das '''Graphenmodell''' bildet die einfachste Modellvariante. Es verwendet das Hagen-Poiseuille-Gesetz zur Abschätzung des Druckverlustes in geraden Rohrabschnitten mit konstantem Durchmesser. Für den unverengten Referenzfall kann damit eine analytische Vergleichsgröße bestimmt werden. Im Bereich einer Stenose ist die Anwendung jedoch nur als vereinfachte Näherung geeignet, da dort zusätzliche Strömungseffekte auftreten können.

Das '''achsensymmetrische Flächenmodell''' ermöglicht eine detailliertere Untersuchung des Geschwindigkeits- und Druckfeldes innerhalb einer idealisierten rotationssymmetrischen Gefäßverengung. Im unverengten Referenzfall können die numerischen Ergebnisse mit der analytischen Poiseuille-Lösung verglichen werden. Bei zunehmendem Stenosegrad werden insbesondere die Beschleunigung im Bereich der Engstelle, der Druckverlust und die Wandschubspannung betrachtet.

Das '''ebene Flächenmodell''' beschreibt die Strömung in einer zweidimensionalen kartesischen Geometrie. Im Unterschied zum achsensymmetrischen Modell wird dabei keine Rotationssymmetrie vorausgesetzt. Da sich die geometrische Beschreibung des Strömungsquerschnitts unterscheidet, sind die Ergebnisse nicht ohne Weiteres quantitativ gleichzusetzen. Der Vergleich dient insbesondere dazu, den Einfluss der Modellvereinfachung auf die berechneten Strömungsgrößen zu untersuchen.

Das '''Volumenmodell''' erweitert die Untersuchung auf drei Raumdimensionen. Bei einer rotationssymmetrischen Geometrie und entsprechend übereinstimmenden Randbedingungen wird eine weitgehende Übereinstimmung mit dem achsensymmetrischen Modell erwartet. Diese Übereinstimmung muss jedoch anhand der numerischen Ergebnisse überprüft werden. Bei einer Gefäßaufzweigung oder einer asymmetrischen Stenose können zusätzliche räumliche Strömungseffekte auftreten, die durch ein achsensymmetrisches Modell nicht vollständig beschrieben werden.

=== Referenzfall und Vergleichsgrößen ===

Als Ausgangspunkt dient ein unverengtes Gefäß mit dem Referenzdurchmesser &lt;math&gt;D_0=6\,\mathrm{mm}&lt;/math&gt;. Für das Blut werden eine Dichte von &lt;math&gt;\rho_b=1060\,\mathrm{kg/m^3}&lt;/math&gt; und eine dynamische Viskosität von &lt;math&gt;\mu_b=3{,}5\,\mathrm{mPa\,s}&lt;/math&gt; angenommen.

Der vorgegebene mittlere Volumenstrom beträgt &lt;math&gt;Q_0=6\,\mathrm{ml/s}&lt;/math&gt;. Daraus ergibt sich für den unverengten kreisförmigen Querschnitt eine mittlere Strömungsgeschwindigkeit von ungefähr &lt;math&gt;U_0=0{,}2122\,\mathrm{m/s}&lt;/math&gt;.

Die Referenz-Reynolds-Zahl beträgt &lt;math&gt;\mathrm{Re}_0=385{,}6&lt;/math&gt;. Für den in den Referenzdaten definierten Vergleichsfall ist außerdem ein analytischer Druckverlust von &lt;math&gt;\Delta p_{\mathrm{ref}}=99{,}03\,\mathrm{Pa}&lt;/math&gt; angegeben.

Diese Größen dienen als Ausgangspunkt für die Überprüfung der numerischen Modelle. Ein direkter Vergleich ist jedoch nur zulässig, wenn die jeweils verwendete Geometrie, die Auswertelänge und die Randbedingungen übereinstimmen.

=== Grenzen der Modellhierarchie ===

Die vier Modellvarianten unterscheiden sich nicht nur im Rechenaufwand, sondern auch in den physikalischen Effekten, die sie darstellen können.

Insbesondere bei hochgradigen Stenosen können starke lokale Geschwindigkeitsänderungen, Strömungsablösungen und zeitabhängige Strömungsstrukturen auftreten. Deshalb muss überprüft werden, ob die Annahme einer stationären laminaren Strömung für die betrachteten Fälle ausreichend ist.

Außerdem muss zwischen dem idealisierten geraden Gefäßmodell und einer Gefäßaufzweigung unterschieden werden. Das achsensymmetrische Modell eignet sich für eine rotationssymmetrische Stenose in einem geraden Gefäß, während eine realistische Gefäßaufzweigung eine andere geometrische Beschreibung erfordert.

Die Modellvarianten werden daher nicht als vollständig gleichwertig betrachtet. Vielmehr soll der Vergleich zeigen, welche Aussagen bereits durch vereinfachte Modelle möglich sind und für welche Strömungseigenschaften eine detailliertere numerische Beschreibung erforderlich ist.

= Modellierung =

Modellierung bedeutet hier, die reale Situation in eine mathematische Aufgabe zu übersetzen, die sich lösen lässt. Dazu gehören vier Bausteine, nämlich das Rechengebiet, die Gleichungen, die Zahlenwerte der Parameter und die Bedingungen an den Rändern. Jeder dieser Bausteine beruht auf Annahmen, und jede Annahme muss begründet werden. Dieser Abschnitt geht die Bausteine deshalb der Reihe nach durch und nennt bei jedem Zahlenwert, woher er stammt und warum er sinnvoll ist.

== Modellhierarchie ==

Das Projekt rechnet nicht ein einziges Modell, sondern vier aufeinander aufbauende Modellvarianten. Sie entsprechen der Kursanforderung, eine Strömung als Graph, in zwei und in drei Raumdimensionen darzustellen, und sie sind bewusst von einfach nach aufwendig geordnet.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Die vier Modellvarianten des Projekts
! Modell !! Raumdimension !! gelöste Gleichung !! Zweck !! Werkzeug
|-
| Graphenmodell || 1D, Gefäßachse || Hagen-Poiseuille je Rohrstück und Massenerhaltung in jedem Knoten || schnelle, analytisch nachrechenbare Abschätzung für jeden Stenosegrad || Octave und COMSOL (Koeffizientenform-PDGL)
|-
| achsensymmetrisches Flächenmodell || 2D, Halbschnitt in r und z || vollständige stationäre Navier-Stokes-Gleichungen in Zylinderkoordinaten || Hauptmodell, liefert alle Feldgrößen des rotationssymmetrischen Rohres || COMSOL, Laminare Strömung
|-
| ebenes Flächenmodell || 2D, Halbschnitt in x und y || vollständige stationäre Navier-Stokes-Gleichungen in kartesischen Koordinaten || Vergleich, zeigt den Einfluss der zweiten Querschnittsrichtung || COMSOL, Laminare Strömung
|-
| Volumenmodell || 3D || vollständige stationäre Navier-Stokes-Gleichungen || Kontrolle des Hauptmodells und räumliche Darstellung || COMSOL, Laminare Strömung
|}

Die Reihenfolge folgt einem einfachen Prinzip. Jede Stufe liefert die Sollwerte, an denen die nächste, komplexere Stufe geprüft wird. Das Graphenmodell muss im gesunden Fall exakt die Poiseuille-Lösung ergeben. Das achsensymmetrische Modell muss im gesunden Fall dieselben Werte liefern und bei Stenose für Geschwindigkeit und Wandschubspannung in der Nähe des Graphenmodells liegen. Das Volumenmodell muss, weil die Geometrie rotationssymmetrisch ist, mit dem achsensymmetrischen Modell übereinstimmen.

== Modellannahmen ==

Um den Einfluss des Stenosegrades möglichst isoliert zu untersuchen, werden die folgenden Modellannahmen getroffen. Die Tabelle nennt zu jeder Annahme ihre mathematische Form, die Begründung und die Stelle, an der sie im Projekt überprüft wird.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Modellannahmen, ihre Begründung und ihre Überprüfung
! Annahme !! mathematische Form !! Begründung !! Überprüfung
|-
| Idealisierte Gefäßgeometrie || gerades Rohr mit kosinusförmiger, rotationssymmetrischer Verengung || isoliert die Wirkung des Stenosegrades von Krümmung, Verzweigung und Plaqueform || Diskussion in den Schlussfolgerungen
|-
| Starre Gefäßwand || Wand ortsfest, keine Fluid-Struktur-Kopplung || im stationären Fall gibt es keine Druckschwankung, die die Wand periodisch aufweiten könnte || Abschätzung über die gemessene Durchmesseränderung im Herzzyklus
|-
| Stationäre Strömung || &lt;math&gt;\partial \mathbf{u}/\partial t = \mathbf{0}&lt;/math&gt; || der Einfluss des Stenosegrades soll ohne Überlagerung durch die Pulsation sichtbar werden || Abschätzung über die Womersley-Zahl
|-
| Inkompressibles Fluid || &lt;math&gt;\rho = \mathrm{const}&lt;/math&gt;, damit &lt;math&gt;\nabla\cdot\mathbf{u} = 0&lt;/math&gt; || Blut ist eine Flüssigkeit, Druckänderungen von wenigen hundert Pascal ändern die Dichte nicht messbar || Massenerhaltung in fünf Querschnitten
|-
| Newtonsche Näherung || konstante Viskosität &lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt; || die Scherraten an der Wand und im größten Teil des Querschnitts liegen über dem Bereich, in dem Blut deutlich scherverdünnend wirkt || Scherrate an der Wand, Diskussion des Rückströmgebiets
|-
| Konstante Stoffeigenschaften || &lt;math&gt;\rho&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt; räumlich und zeitlich konstant || Körpertemperatur ist im betrachteten Abschnitt konstant || entfällt
|-
| Laminare Strömung || kein Turbulenzmodell, Schnittstelle Laminare Strömung || Reynoldszahl des gesunden Gefäßes von 386 liegt weit unter dem Umschlagbereich || Reynoldszahl in der Engstelle, Literaturvergleich
|-
| Haftbedingung an der Wand || &lt;math&gt;\mathbf{u} = \mathbf{0}&lt;/math&gt; auf der Wand || Folge der Viskosität, das Fluid haftet an der Wand || Grundlage jeder Wandschubspannung
|-
| Vernachlässigung der Gravitation || keine Volumenkraft || bei konstanter Dichte lässt sich die Schwerkraft vollständig in einen hydrostatischen Druckanteil verschieben und beeinflusst die Geschwindigkeit nicht || Begründung in den Mathematischen Hintergründen
|-
| Voll entwickelte Einströmung || parabolisches Profil am Einlass || die natürliche Einlaufstrecke wäre mit rund 139 mm fast so lang wie das ganze Rechengebiet || Scheitelgeschwindigkeit im gesunden Fall
|-
| Eingeprägter Volumenstrom || &lt;math&gt;Q = Q_0&lt;/math&gt; am Einlass || der Strömungswiderstand des Abschnitts ist klein gegenüber dem des nachgeschalteten Gefäßbetts || Abschätzung mit einem Reihenwiderstand
|}

Einige dieser Annahmen sind unmittelbar einsichtig, andere verdienen eine genauere Begründung, weil von ihnen die Aussagekraft der Ergebnisse abhängt.

Die '''Newtonsche Näherung''' ist die Annahme, die bei Blut am häufigsten hinterfragt wird. Reales Blut ist eine Suspension aus Plasma und Blutzellen und verhält sich scherverdünnend. Bei kleinen Scherraten lagern sich die roten Blutkörperchen zu geldrollenartigen Stapeln zusammen, und die Viskosität steigt auf ein Vielfaches an. Bei großen Scherraten lösen sich diese Stapel auf, und die Viskosität strebt gegen einen Grenzwert von etwa 3,5 mPa·s. Entscheidend ist also die Scherrate. An der Wand des gesunden Modellgefäßes beträgt sie nach der Poiseuille-Lösung

&lt;math&gt;\dot\gamma_w = \frac{4\,U_0}{R_0} = \frac{4 \cdot 0{,}2122\ \mathrm{m/s}}{0{,}003\ \mathrm{m}} \approx 283\ \mathrm{s^{-1}}&lt;/math&gt;

und liegt damit oberhalb von etwa 100 pro Sekunde, wo sich Newtonsches und nicht Newtonsches Modell nach der Literatur nur noch wenig unterscheiden.&lt;ref name=&quot;boyd&quot;&gt;Die Grenze von etwa 100 s&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt; wird in vergleichenden Studien zur Blutrheologie verwendet, etwa bei Bernabeu, M. O. u. a.: ''Impact of blood rheology on wall shear stress in a model of the middle cerebral artery.'' Interface Focus 3 (2013), 20120094. &lt;!-- FIXME Zitat und Seitenangabe am Original pruefen --&gt;&lt;/ref&gt; In der Engstelle steigt die Scherrate weiter an, beim Stenosegrad 0,5 auf rund 2260 pro Sekunde. Schwach ist die Näherung dort, wo die Scherrate klein wird, also in der Mitte des Gefäßes und vor allem im Rückströmgebiet hinter der Stenose. Dort ist reales Blut zäher als angenommen. Dieser Punkt wird in den Schlussfolgerungen wieder aufgegriffen.

Die '''stationäre Strömung''' ist die stärkste Vereinfachung. Wie wichtig die Pulsation ist, misst die Womersley-Zahl, die das Verhältnis von instationärer Trägheit zu Reibung angibt. Mit einer Herzfrequenz von 60 Schlägen je Minute, also einer Kreisfrequenz &lt;math&gt;\omega = 2\pi\ \mathrm{s^{-1}}&lt;/math&gt;, ergibt sich

&lt;math&gt;\alpha = R_0 \sqrt{\frac{\omega \rho}{\mu}} = 0{,}003\ \mathrm{m} \cdot \sqrt{\frac{2\pi\ \mathrm{s^{-1}} \cdot 1060\ \mathrm{kg/m^3}}{0{,}0035\ \mathrm{Pa\,s}}} \approx 4{,}1 .&lt;/math&gt;

Ein Wert in dieser Größenordnung bedeutet, dass das reale Geschwindigkeitsprofil im Herzzyklus merklich von der Parabel abweicht.&lt;ref name=&quot;womersley&quot;&gt;Womersley, J. R.: ''Method for the calculation of velocity, rate of flow and viscous drag in arteries when the pressure gradient is known.'' Journal of Physiology 127 (1955), S. 553-563.&lt;/ref&gt; Hinzu kommt, dass der Volumenstrom in der Systole kurzzeitig auf rund das Vierfache des Mittelwerts steigt.&lt;ref name=&quot;holdsworth&quot;&gt;Holdsworth, D. W.; Norley, C. J. D.; Frayne, R.; Steinman, D. A.; Rutt, B. K.: ''Characterization of common carotid artery blood-flow waveforms in normal human subjects.'' Physiological Measurement 20 (1999), Nr. 3, S. 219-240. DOI 10.1088/0967-3334/20/3/301. Angegeben werden ein mittlerer Volumenstrom von 6,0 ± 1,4 ml/s und ein systolischer Spitzenwert von 23,5 ± 3,8 ml/s. &lt;!-- FIXME Zahlenwerte und Probandenzahl am Original pruefen --&gt;&lt;/ref&gt; Die stationäre Rechnung mit dem Mittelwert beschreibt deshalb nicht den zeitlichen Verlauf, wohl aber den zeitlich gemittelten Zustand, an dem sich der Einfluss des Stenosegrades sauber vergleichen lässt.

Die '''laminare Strömung''' wird über die Reynoldszahl begründet. Sie beträgt im gesunden Gefäß 386 und liegt damit weit unter dem Wert von etwa 2300, ab dem die Strömung in einem geraden Rohr in den Übergangsbereich gelangen kann. In der Engstelle steigt sie bei festem Volumenstrom auf &lt;math&gt;Re_0/(1-s)&lt;/math&gt;, also auf 551 beim Stenosegrad 0,3, auf 964 beim Grad 0,6 und auf 1928 beim Grad 0,8. Für den Strahl hinter einer Engstelle ist der Umschlagbereich allerdings deutlich niedriger als im geraden Rohr. Direkte numerische Simulationen an genau der in diesem Projekt verwendeten Stenosegeometrie zeigen, dass die Strömung bei einer Einström-Reynoldszahl von 500 auch bei leichter Unsymmetrie laminar bleibt, bei 1000 dagegen schon eine Exzentrizität von fünf Prozent des Durchmessers genügt, um den Strahl in lokal turbulente Strömung umschlagen zu lassen.&lt;ref name=&quot;varghese&quot;&gt;Varghese, S. S.; Frankel, S. H.; Fischer, P. F.: ''Direct numerical simulation of stenotic flows. Part 1. Steady flow.'' Journal of Fluid Mechanics 582 (2007), S. 253-280. Untersucht wird eine kosinusförmige Stenose der Länge 2D mit 75 % Flächenreduktion, die mit der Geometrie dieses Projekts beim Stenosegrad 0,5 übereinstimmt. &lt;!-- FIXME Band und Seiten am Original pruefen --&gt;&lt;/ref&gt; Mit einer Einström-Reynoldszahl von 386 liegt das Projekt für die leicht- und mittelgradigen Stenosen sicher im laminaren Bereich. Für die hochgradigen Stenosen ab 0,7 ist ein laminares, stationäres Modell dagegen nur noch eine Näherung, die eine Obergrenze der geordneten Strömung beschreibt. Diese Fälle werden deshalb als Grenzfall des Modells gekennzeichnet.

Die '''starre Wand''' lässt sich über Messungen abschätzen. Der Durchmesser der gemeinsamen Halsschlagader ändert sich im Herzzyklus bei jungen Menschen um etwa 12 bis 14 Prozent und bei älteren Menschen um etwa 5 Prozent.&lt;ref name=&quot;hansen&quot;&gt;Hansen, F.; Mangell, P.; Sonesson, B.; Länne, T.: ''Diameter and compliance in the human common carotid artery: variations with age and sex.'' Ultrasound in Medicine and Biology 21 (1995), Nr. 1, S. 1-9. DOI 10.1016/0301-5629(94)00090-5.&lt;/ref&gt; Diese Bewegung ist eine Folge der Pulsation. In einer stationären Rechnung gibt es keine Druckschwankung, die die Wand periodisch aufweiten könnte, sodass die starre Wand zur stationären Annahme konsistent ist. Eine verkalkte Plaque ist ohnehin deutlich steifer als die gesunde Wand.

Die Annahme des '''eingeprägten Volumenstroms''' wird im Abschnitt zu den Randbedingungen begründet, weil sie sich nur im Zusammenhang mit dem Kreislauf beurteilen lässt.

== Simulationsgebiet und Geometrie ==

Die Gefäßachse ist die z-Achse, der Ursprung liegt in der Mitte der Stenose, und &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; bezeichnet den Abstand von der Achse. Das Rechengebiet reicht von &lt;math&gt;z = -L_u&lt;/math&gt; bis &lt;math&gt;z = L_d&lt;/math&gt; und wird radial von der Wandkontur &lt;math&gt;R(z)&lt;/math&gt; begrenzt. Die Verengung wird über eine einzige glatte Funktion beschrieben,

&lt;math&gt;R(z) = R_0 \left[ 1 - \frac{s}{2}\left(1 + \cos\frac{2\pi z}{L_s}\right)\right] \quad \text{falls } |z| \le \frac{L_s}{2}, \qquad R(z) = R_0 \ \text{sonst.}&lt;/math&gt;

Die Funktion hat drei Eigenschaften, die ihre Wahl begründen. Sie wird erstens über einen einzigen Parameter gesteuert, den Stenosegrad &lt;math&gt;s&lt;/math&gt;. Der engste Radius in der Mitte beträgt &lt;math&gt;R(0) = R_0(1-s)&lt;/math&gt;, und der Fall ohne Verengung ist einfach der Fall &lt;math&gt;s = 0&lt;/math&gt;. Die gesamte Vergleichsreihe entsteht damit aus einem einzigen parametrischen Sweep. Sie geht zweitens an beiden Enden der Störstelle ohne Knick in das gerade Rohr über. Bei &lt;math&gt;z = \pm L_s/2&lt;/math&gt; ist der Kosinus gleich minus eins, die Klammer also null, und seine Ableitung verschwindet dort ebenfalls. Das ist nicht nur ästhetisch, sondern numerisch notwendig, denn ein Knick in der Wand erzeugt eine Singularität der Wandschubspannung, deren berechneter Wert mit jeder Netzverfeinerung weiter wüchse. Eine Netzstudie wäre dann sinnlos. Sie ist drittens die in der Literatur gebräuchliche Standardgeometrie für Stenosen, sodass sich die Ergebnisse unmittelbar mit veröffentlichten Rechnungen vergleichen lassen.&lt;ref name=&quot;varghese&quot; /&gt;

[[Datei:Stenose Gruppe5 Wandkontur.svg|mini|zentriert|800px|Wandkontur &lt;math&gt;R(z)&lt;/math&gt; für die untersuchten Stenosegrade. Die Darstellung ist in radialer Richtung gestreckt, das Rechengebiet ist in Wirklichkeit fünfundzwanzigmal länger als breit.]]
&lt;!-- FIXME Abbildung mit abbildungen_graph_1d.m fuer s = 0 bis 0,8 neu erzeugen, bisher nur bis 0,5 --&gt;

Die Abmessungen des Rechengebiets werden alle aus dem Gefäßradius abgeleitet. Das hat den Vorteil, dass sich das gesamte Modell durch Ändern eines einzigen Wertes auf ein anderes Gefäß übertragen lässt. Die einzelnen Längen werden im Folgenden Schritt für Schritt begründet.

# Der '''Gefäßradius''' &lt;math&gt;R_0 = 3\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; folgt aus Ultraschallmessungen an gesunden Erwachsenen. Dort wurden für die gemeinsame Halsschlagader mittlere Durchmesser von 6,10 ± 0,80 mm bei Frauen und 6,52 ± 0,98 mm bei Männern gemessen.&lt;ref name=&quot;krejza&quot;&gt;Krejza, J.; Arkuszewski, M.; Kasner, S. E.; Weigele, J.; Ustymowicz, A.; Hurst, R. W.; Cucchiara, B. L.; Messe, S. R.: ''Carotid artery diameter in men and women and the relation to body and neck size.'' Stroke 37 (2006), Nr. 4, S. 1103-1105. DOI 10.1161/01.STR.0000206440.48756.f7.&lt;/ref&gt; Der gewählte Durchmesser von &lt;math&gt;D_0 = 6\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; liegt damit innerhalb einer Standardabweichung beider Gruppen und ist bewusst auf einen runden Wert gesetzt, damit alle abgeleiteten Längen glatte Zahlen ergeben.
# Die '''Länge der Störstelle''' &lt;math&gt;L_s = 2 D_0 = 12\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; entspricht der Standardgeometrie aus der Literatur, die eine Stenosenlänge von zwei Durchmessern verwendet.&lt;ref name=&quot;varghese&quot; /&gt; Damit ist beim Stenosegrad 0,5 ein direkter Vergleich mit veröffentlichten Ergebnissen möglich.
# Die '''Vorlaufstrecke''' &lt;math&gt;L_u = 5 D_0 = 30\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; trennt den Einlass von der Stenose. Da am Einlass bereits das voll entwickelte Profil vorgegeben wird, muss sie nicht die Einlaufstrecke abdecken, sondern nur verhindern, dass die Einströmrandbedingung die Strömung an der Engstelle beeinflusst. Bei Reynoldszahlen in dieser Größenordnung reicht der Einfluss einer Verengung nur wenige Durchmesser stromaufwärts, die Literatur kommt für dieselbe Geometrie mit drei Durchmessern Vorlauf aus.&lt;ref name=&quot;varghese&quot; /&gt; Fünf Durchmesser lassen also eine Reserve. Überprüft wird das im Ergebnis, indem die Geschwindigkeit auf der Achse in der Mitte der Vorlaufstrecke mit dem Sollwert &lt;math&gt;2U_0&lt;/math&gt; verglichen wird.
# Die '''Nachlaufstrecke''' &lt;math&gt;L_d = 20 D_0 = 120\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; ist deutlich länger, weil sich hinter der Engstelle ein Rückströmgebiet bildet, das nicht auf den Auslass treffen darf. Für die Geometrie mit dem Stenosegrad 0,5 legt die Strömung bei einer Einström-Reynoldszahl von 500 erst etwa zehn Durchmesser hinter der Engstelle wieder an, die Literatur rechnet mit sechzehn Durchmessern Nachlauf.&lt;ref name=&quot;varghese&quot; /&gt; Zwanzig Durchmesser bieten damit für alle Stenosegrade bis 0,5 einen Sicherheitsabstand. Für die Grade ab 0,6 ist ein längeres Rückströmgebiet zu erwarten, dort wird die Lage des Wiederanlegepunktes ausdrücklich kontrolliert.
# Das '''Ende des fein vernetzten Nachlaufs''' &lt;math&gt;L_f = L_s/2 + 10 D_0 = 66\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; legt fest, bis wohin das Netz verfeinert wird. Der Wert ist so gewählt, dass das erwartete Rückströmgebiet von etwa zehn Durchmessern vollständig im feinen Bereich liegt.

Damit hat das Rechengebiet eine Gesamtlänge von &lt;math&gt;L = L_u + L_d = 150\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt;, also das Fünfundzwanzigfache des Durchmessers. Es ist ein Modellgebiet und kein maßstäbliches Abbild eines bestimmten anatomischen Abschnitts.

== Stoff- und Strömungsparameter ==

Die Stoffwerte des Blutes und der Volumenstrom sind die einzigen Eingangsgrößen, die nicht aus der Geometrie folgen. Aus ihnen werden alle weiteren Strömungskennwerte berechnet. Die folgenden Schritte zeigen jede Rechnung einzeln, damit sich jeder Wert nachprüfen lässt.

# Die '''Dichte''' wird mit &lt;math&gt;\rho = 1060\ \mathrm{kg/m^3}&lt;/math&gt; angesetzt. Der Wert lässt sich als Mischungsregel plausibel machen. Plasma hat eine Dichte von etwa 1025 kg/m³, rote Blutkörperchen von etwa 1100 kg/m³. Bei einem Zellanteil von 45 % ergibt sich &lt;math&gt;0{,}55 \cdot 1025 + 0{,}45 \cdot 1100 \approx 1059\ \mathrm{kg/m^3}&lt;/math&gt;. Die Dichte geht nur über die Reynoldszahl in die Rechnung ein, eine Abweichung von einem Prozent ändert die Ergebnisse daher kaum. &lt;!-- FIXME Lehrbuchquelle fuer Plasma- und Erythrozytendichte ergaenzen --&gt;
# Die '''dynamische Viskosität''' wird mit &lt;math&gt;\mu = 3{,}5\ \mathrm{mPa\,s}&lt;/math&gt; angesetzt. Das ist der Grenzwert der Blutviskosität bei hohen Scherraten, also genau der Wert, der zur Newtonschen Näherung gehört. Derselbe Wert von 0,035 Poise wird auch im Standardwerk zur Modellierung des Herz-Kreislauf-Systems verwendet.&lt;ref name=&quot;quarteroni&quot;&gt;Quarteroni, A.; Formaggia, L.: ''Mathematical Modelling and Numerical Simulation of the Cardiovascular System.'' In: Ayache, N. (Hrsg.): ''Computational Models for the Human Body.'' Handbook of Numerical Analysis, Bd. XII, Elsevier, Amsterdam 2004, S. 3-127. DOI 10.1016/S1570-8659(03)12001-7. Zur Newtonschen Näherung in großen Gefäßen siehe S. 30, zur Viskosität von 0,035 Poise die Parametertabelle auf S. 116.&lt;/ref&gt;
# Der '''mittlere Volumenstrom''' wird mit &lt;math&gt;Q_0 = 6\ \mathrm{ml/s}&lt;/math&gt; angesetzt. Das ist der zeitlich gemittelte Volumenstrom, der in der gemeinsamen Halsschlagader gesunder Probanden gemessen wurde.&lt;ref name=&quot;holdsworth&quot; /&gt;
# Die '''mittlere Geschwindigkeit''' folgt aus Volumenstrom und Querschnittsfläche, &lt;math&gt;U_0 = \frac{Q_0}{\pi R_0^2} = \frac{6 \cdot 10^{-6}\ \mathrm{m^3/s}}{\pi \cdot (0{,}003\ \mathrm{m})^2} = 0{,}2122\ \mathrm{m/s}&lt;/math&gt;.
# Die '''Reynoldszahl''' des gesunden Gefäßes ist &lt;math&gt;Re_0 = \frac{\rho\, U_0\, D_0}{\mu} = \frac{1060 \cdot 0{,}2122 \cdot 0{,}006}{0{,}0035} = 385{,}6&lt;/math&gt;. Sie wird im Folgenden auf 386 gerundet.
# Die '''Einlauflänge''', die eine anfangs gleichförmige Strömung bis zum voll entwickelten Parabelprofil bräuchte, beträgt nach der gebräuchlichen Abschätzung für laminare Rohrströmungen &lt;math&gt;L_e \approx 0{,}06\, Re_0\, D_0 \approx 0{,}06 \cdot 386 \cdot 6\ \mathrm{mm} \approx 139\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt;.&lt;ref name=&quot;durst&quot;&gt;Durst, F.; Ray, S.; Ünsal, B.; Bayoumi, O. A.: ''The development lengths of laminar pipe and channel flows.'' Journal of Fluids Engineering 127 (2005), Nr. 6, S. 1154-1160. Für große Reynoldszahlen nähert sich die dort angegebene Korrelation dem Wert 0,057·Re·D.&lt;/ref&gt; Das ist fast die gesamte Länge des Rechengebiets. Ein konstantes Einlassprofil würde die Strömung an der Stenose also verfälschen, weshalb am Einlass das voll entwickelte Profil vorgegeben wird.

Damit liegen alle globalen Parameter fest. Die folgende Tabelle enthält sie mit genau den Namen, unter denen sie in COMSOL und in den Octave-Skripten verwendet werden.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Globale Parameter des Modells
! Name !! Ausdruck in COMSOL !! Wert !! Bedeutung !! Herkunft
|-
| R0 || 3[mm] || 3 mm || Gefäßradius || Messwerte nach Krejza u. a. 2006, gerundet
|-
| D0 || 2*R0 || 6 mm || Gefäßdurchmesser || abgeleitet
|-
| Ls || 2*D0 || 12 mm || Länge der Störstelle || Standardgeometrie nach Varghese u. a. 2007
|-
| Lu || 5*D0 || 30 mm || Vorlaufstrecke vor der Stenosemitte || Abstand der Einlassbedingung von der Stenose
|-
| Ld || 20*D0 || 120 mm || Nachlaufstrecke hinter der Stenosemitte || Platz für das Rückströmgebiet
|-
| Lf || Ls/2+10*D0 || 66 mm || Ende des fein vernetzten Nachlaufs || erwartete Länge des Rückströmgebiets
|-
| s || 0 bis 0.8 || 0 bis 0,8 || Stenosegrad bezogen auf den Durchmesser || NASCET-Einteilung
|-
| rho_b || 1060[kg/m^3] || 1060 kg/m³ || Dichte des Blutes || Mischungsregel, Literaturwert
|-
| mu_b || 3.5[mPa*s] || 3,5 mPa·s || dynamische Viskosität des Blutes || Hochscherwert, Quarteroni und Formaggia 2004
|-
| Q0 || 6[ml/s] || 6 ml/s || mittlerer Volumenstrom || Messwerte nach Holdsworth u. a. 1999
|-
| U0 || Q0/(pi*R0^2) || 0,2122 m/s || mittlere Einströmgeschwindigkeit || abgeleitet
|-
| Re0 || rho_b*U0*D0/mu_b || 385,6 || Reynoldszahl des gesunden Gefäßes || abgeleitet
|-
| dp_ref || 8*mu_b*U0*(Lu+Ld)/R0^2 || 99,03 Pa || Poiseuille-Druckabfall des gesunden Gefäßes || abgeleitet, Hagen-Poiseuille
|}


= Literaturverzeichnis =

Alle Quellen sind an den Stellen im Text angegeben, an denen die zugehörigen Werte oder Aussagen verwendet werden. Die Liste wird aus diesen Angaben automatisch erzeugt.

&lt;references /&gt;</text>
      <sha1>7tf433cr72mjemcc04627xenjsxmgxu</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>1115900</id>
      <parentid>1115899</parentid>
      <timestamp>2026-10-12T16:56:54Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Heitele</username>
        <id>38553</id>
      </contributor>
      <comment>/* Simulationsgebiet und Geometrie */</comment>
      <origin>1115900</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="56204" sha1="pgddn906oz20qdzdox48pnraccla2sg" xml:space="preserve">= Gruppenteilnehmer =
* Joey Becker
* Marie-Thérèse Heitele
* Nicole Pander

= Thema und Fragestellung =

Gegenstand dieses Projekts ist die numerische Simulation der Blutströmung in einer verzweigten Halsschlagader ('''Carotis-Bifurkation''') unter dem Einfluss einer lokalen Gefäßverengung ('''Stenose''').
Im Vergleich zu einfachen Rohrströmungen wird hier die realitätsnahe Gefäßanatomie betrachtet: Die '''Arteria carotis communis (ACC)''' teilt sich in die '''Arteria carotis externa (ACE)''' und die '''Arteria carotis interna (ACI)''' auf. Während die '''ACE''' als gesunder, stenosefreier Ast dient, wird in der '''ACI''' eine geglättete, kosinusförmige Gefäßverengung modelliert. Um scharfe Kanten und unphysiologische Druckspitzen zu vermeiden, werden alle Wandübergänge und die Gabelungsspitze (Apex) anatomisch verrundet.

Als Referenz dient ein gesundes, unverengtes Gefäß, in dem sich die Poiseuille-Strömung mit ihrem charakteristischen parabolischen Geschwindigkeitsprofil ausbildet. Diese Strömung ist aus zwei Gründen der natürliche Ausgangspunkt. Sie beschreibt den physiologischen Normalfall, mit dem jeder Stenosegrad verglichen wird, und sie ist exakt lösbar, sodass sich an ihr jede numerische Rechnung prüfen lässt, bevor die Verengung hinzukommt.

== Fragestellung ==
Die Hauptfragestellung dieses Projektes lautet: 
Wie verändert eine symmetrische bzw. rotationssymmetrische Stenose in der '''Arteria carotis interna (ACI)''' die stationäre Strömung eines inkompressiblen Newton’schen Fluids in einer 2D-Carotis-Bifurkation hinsichtlich Geschwindigkeitsverteilung, Druckabfall, Wandschubspannung und Wirbelbildung im Vergleich zu den gesunden Gefäßabschnitten?

Aus dieser Fragestellung ergeben sich drei Teilfragen, an denen sich der Aufbau der Seite orientiert:

# Welche Strömungsgrößen reagieren empfindlich auf den Stenosegrad und welche nur träge?
# Ab welchem Stenosegrad ändert sich das Strömungsmuster qualitativ, das heißt, ab wann löst die Strömung hinter der Engstelle von der Wand ab und bildet ein Rückströmgebiet?
# Wie weit tragen die vereinfachenden Modellannahmen, insbesondere die Annahme einer stationären und laminaren Strömung, über den untersuchten Bereich der Stenosegrade?

== Modellannahmen ==
Im Hinblick darauf werden für dieses Projekt einige Annahmen getroffen, um das Projekt möglichst isoliert zu untersuchen und zu simplifizieren:

* '''Idealisierte Gefäßgeometrie''': Betrachtet wird ein  Teilabbschnitt der ''Arteria carotis communis'', die sog. ''ACI''. Zudem werden Gefäßverkrümmungen, weitere Verzweigungen und patientenspezifische Strukturen  nicht berücksichtigt. 
* '''Starre Gefäßwand''': Die Gefäßwand wird als unbeweglich und nicht verformbar angenommen. Eine Wechselwirkung zwischen elastischer Gefäßwand und Blutströmung wird nicht modelliert.
* '''Stationäre Strömung''': Die Strömungsgrößen werden als zeitlich konstant angenommen. Die im realen Blutkreislauf vorhandene Pulsation durch den Herzschlag wird daher vernachlässigt: &lt;math&gt;\frac{\partial u}{\partial t}=0&lt;/math&gt;.
* '''Inkompressibles Fluid''': Die Dichte des Fluids wird als konstant angenommen. Damit gilt für die Geschwindigkeit &lt;math&gt;\nabla \cdot u=0&lt;/math&gt;. Dies entspricht der in der Vorlesung behandelten Massenerhaltung für inkompressible Fluide: Was in das Gefäß einströmt, muss auch wieder ausströmen.
* '''Newton'sche Näherung für Blut''': Reales Blut beseitzt ein nicht newton'sches Fließverhalten. Hier wird Blut als Newton'sches Fluid behandelt.
* '''Konstante Stoffeigenschaften''': Dichte &lt;math&gt;\rho&lt;/math&gt; und dynamische Viskosität μ werden als räumlich und zeitlich konstant angenommen. Temperaturabhängigkeiten werden nicht berücksichtigt.
* '''Laminare Strömung''': Die Strömung wird mit dem COMSOL-Modul ''Laminar Flow'' beschrieben. Ein zusätzliches Turbulenzmodell wird nicht verwendet.
* '''No-Slip-Bedingung an Gefäßwand''': Aufgrund der Viskosität wird angenommen, dass das Fluid direkt an der Gefäßwand haftet. Somit gilt &lt;math&gt;u=0&lt;/math&gt;.
* '''Vernachlässigung der Gravitation''': Gravitation wird nicht berücksichtigt. Die Strömung wird ausschließlich durch die gewählten Ein- und Auslassbedingungen bestimmt.

= Relevanz =
Die Untersuchung von Gefäßverengungen besitzt sowohl eine medizinische als auch eine methodische Bedeutung. Aus medizinischer Sicht sind arterielle Stenosen – etwa in der Halsschlagader, lat. ''arteria carotis communis'', – kritisch, da sie die Durchblutung beeinträchtigen und durch veränderte Wandschubspannungen sowie die Bildung von Wirbeln weitere Gefäßablagerungen begünstigen. Stenosen im Bereich der Karotisgabelung sind klinisch hochrelevant, da sie das Gehirn direkt versorgen und das Risiko für embolische Schlaganfälle erhöhen. Fachlich überträgt das Projekt damit die Prinzipien der Strömungsmechanik direkt auf eine biomedizinische Anwendung. Das Projekt verknüpft somit theoretische Grundlagen der Strömungsmechanik (Hagen-Poiseuille-Gleichung, Navier-Stokes-Gleichungen) mit der numerischen Simulation in COMSOL Multiphysics. Durch den Vergleich der '''gesunden Externa (ACE)''' mit der '''stenoisierten Interna (ACI)''' innerhalb desselben Rechengebiets wird die isolierte Wirkung der Stenose unter identischen Randbedingungen direkt sichtbar gemacht.

== Medizinische Relevanz ==

Arterielle Stenosen entstehen überwiegend durch Atherosklerose, also durch Ablagerungen aus Lipiden, Bindegewebe und Kalk in der Gefäßwand. In der Halsschlagader sind sie klinisch besonders bedeutsam, weil sie die Durchblutung des Gehirns beeinträchtigen und weil sich an ihnen Thromben bilden können, die als Embolie einen Schlaganfall auslösen. Dass die operative Entfernung einer hochgradigen Karotisstenose das Schlaganfallrisiko symptomatischer Patienten deutlich senkt, hat die NASCET-Studie gezeigt, deren Einteilung der Stenosegrade dieses Projekt übernimmt.&lt;ref name=&quot;nascet&quot;&gt;North American Symptomatic Carotid Endarterectomy Trial Collaborators: ''Beneficial effect of carotid endarterectomy in symptomatic patients with high-grade carotid stenosis.'' New England Journal of Medicine 325 (1991), Nr. 7, S. 445-453.&lt;/ref&gt;

Strömungsmechanisch ist an einer Stenose vor allem die Wandschubspannung von Interesse, also die tangentiale Kraft je Fläche, die das strömende Blut auf die innerste Zellschicht der Gefäßwand ausübt. Gesunde Halsschlagadern weisen zeitlich gemittelte Werte von etwa 1,1 bis 1,5 Pa auf.&lt;ref name=&quot;samijo&quot;&gt;Samijo, S. K.; Willigers, J. M.; Barkhuysen, R.; Kitslaar, P. J. E. H. M.; Reneman, R. S.; Brands, P. J.; Hoeks, A. P. G.: ''Wall shear stress in the human common carotid artery as function of age and gender.'' Cardiovascular Research 39 (1998), Nr. 2, S. 515-522.&lt;/ref&gt; In einer Engstelle steigt sie stark an, unmittelbar dahinter fällt sie im Ablösegebiet auf nahezu null und wechselt dort sogar das Vorzeichen. Niedrige und im Vorzeichen wechselnde Wandschubspannungen gelten als Bedingungen, unter denen sich weitere Ablagerungen bevorzugt bilden. Eine bestehende Stenose schafft also stromabwärts die Voraussetzungen für ihr eigenes Wachstum. Genau diese Verteilung lässt sich im Körper nur schwer messen, in einer Simulation dagegen unmittelbar auswerten.

== Methodische Relevanz ==

Fachlich überträgt das Projekt die Prinzipien der Strömungsmechanik aus der Vorlesung auf eine biomedizinische Anwendung.&lt;ref name=&quot;hundertmark&quot;&gt;Hundertmark, A.: ''Fluiddynamik.'' Vorlesungsunterlagen zum Modul Räumliche Modellbildung, RPTU Kaiserslautern-Landau, Sommersemester 2026.&lt;/ref&gt; Der methodische Mehrwert liegt in der Verknüpfung mehrerer Zugänge, die sich gegenseitig kontrollieren. Die analytische Poiseuille-Lösung liefert exakte Sollwerte für das gesunde Gefäß. Ein reduziertes Graphenmodell liefert für jeden Stenosegrad eine schnelle Abschätzung, die analytisch nachrechenbar ist. Die Simulationen in COMSOL Multiphysics lösen schließlich die vollständigen Navier-Stokes-Gleichungen in zwei und drei Raumdimensionen. Weil jede Stufe die Sollwerte der nächsten liefert, zeigt das Projekt nicht nur Ergebnisse, sondern auch, wie numerische Modelle aufgebaut, verifiziert und an ihren Grenzen bewertet werden.

== Auswahl der Stenosegrade ==

Um die untersuchten Gefäßverengungen nicht willkürlich festzulegen, orientiert sich die Auswahl der Stenosegrade an der klinisch gebräuchlichen NASCET-Klassifikation von Karotisstenosen.&lt;ref name=&quot;nascet&quot; /&gt; Zur klinischen Einordnung werden Karotisstenosen anhand der nach NASCET bestimmten Durchmesserreduktion in leichtgradige, mittelgradige und hochgradige Stenosen eingeteilt. Die angegebenen Prozentgrenzen dienen in diesem Projekt als Orientierung für die Auswahl der untersuchten Stenosegrade. Ein vollständiger Gefäßverschluss wird als Okklusion bezeichnet.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Klinische Einteilung nach NASCET-gemessener Durchmesserreduktion und untersuchte Stenosegrade
! Schweregrad !! Durchmesserreduktion !! im Projekt gerechnete Stenosegrade !! hervorgehobener Vertreter
|-
| gesundes Gefäß || 0 % || 0 || 0
|-
| leichtgradige Stenose || unter 50 % || 0,1 bis 0,4 || 0,3
|-
| mittelgradige Stenose || 50 bis 69 % || 0,5 und 0,6 || 0,6
|-
| hochgradige Stenose || 70 bis 99 % || 0,7 und 0,8 || 0,8
|-
| Okklusion || 100 % || nicht gerechnet || entfällt
|}
'''Anmerkung''': Die Klassengrenzen dienen der Einordnung der Modellvarianten. Die in der Tabelle genannten Stenosegrade sind dimensionslose Werte, beispielsweise entspricht '''&lt;math&gt;s=0{,}6&lt;/math&gt;''' einer Durchmesserreduktion von '''60 %'''.

Für die numerische Untersuchung wird aus jeder Kategorie ein repräsentativer Stenosegrad hervorgehoben. Neben dem gesunden Gefäß mit '''0 %''' Stenose sind das eine '''30 %''' Stenose als Beispiel für eine leichtgradige, eine '''60 %''' Stenose als Beispiel für eine mittelgradige und eine '''80 %''' Stenose als Beispiel für eine hochgradige Verengung. Zusätzlich werden für das Graphenmodell und das achsensymmetrische Flächenmodell Stenosegrade von 0 bis 80 % in Schritten von zehn Prozentpunkten vorgesehen. Dadurch kann die Abhängigkeit der Strömungsgrößen vom Stenosegrad systematisch untersucht und grafisch dargestellt werden. Ob alle Modellvarianten tatsächlich berechnet wurden und wie hoch der Rechenaufwand war, wird anhand der durchgeführten Simulationen dokumentiert. Ein vollständiger Gefäßverschluss wird nicht simuliert, da in diesem Fall keine durchgängige Strömung mehr vorliegt.

Der Stenosegrad wird in diesem Projekt wie bei NASCET über die Verringerung des Gefäßdurchmessers beschrieben,
&lt;math&gt;s = 1 - \frac{d_{\min}}{d_{\mathrm{ref}}},&lt;/math&gt;wobei &lt;math&gt;d_{\min}&lt;/math&gt; der kleinste Durchmesser in der Engstelle und &lt;math&gt;d_{\mathrm{ref}}&lt;/math&gt; ein Referenzdurchmesser ist. NASCET verwendet als Referenz den Durchmesser des gesunden Gefäßes stromabwärts der Stenose. Für das idealisierte gerade Gefäßmodell wird ein konstanter Referenzdurchmesser von &lt;math&gt;D_0=6\,\mathrm{mm}&lt;/math&gt; angenommen. Da das Gefäß außerhalb der Stenose denselben Durchmesser besitzt, gilt in diesem Modell&lt;math&gt;d_{\mathrm{ref}}=D_0&lt;/math&gt;. Bei der zusätzlich betrachteten Gefäßaufzweigung muss der Referenzdurchmesser dagegen gesondert festgelegt werden, da die Gefäßäste unterschiedliche Durchmesser besitzen.

Wichtig für das Verständnis aller weiteren Ergebnisse ist der Unterschied zwischen Durchmesser- und Flächenreduktion. Da die Querschnittsfläche quadratisch vom Durchmesser abhängt, gilt für die Flächenreduktion &lt;math&gt;1-(1-s)^2&lt;/math&gt;. Eine im klinischen Sinn nur mittelgradige Stenose von 60 % verschließt damit bereits 84 % der Querschnittsfläche.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Durchmesser- und Flächenreduktion der gerechneten Stenosegrade
! Stenosegrad s !! 0 !! 0,1 !! 0,2 !! 0,3 !! 0,4 !! 0,5 !! 0,6 !! 0,7 !! 0,8
|-
| engster Durchmesser in mm || 6,0 || 5,4 || 4,8 || 4,2 || 3,6 || 3,0 || 2,4 || 1,8 || 1,2
|-
| Flächenreduktion || 0 % || 19 % || 36 % || 51 % || 64 % || 75 % || 84 % || 91 % || 96 %
|}

Eine Einschränkungen gehört zur ehrlichen Einordnung: 
# Mit zunehmendem Stenosegrad, insbesondere bei ausgeprägten Verengungen, können lokale Beschleunigungen, Strömungsablösungen und zeitabhängige Strömungsstrukturen auftreten. Daher muss bei den hochgradigen Stenosen geprüft werden, inwieweit die Annahme einer stationären, laminaren Strömung geeignet ist. Eine feste Grenze bei &lt;math&gt;s=0{,}6&lt;/math&gt; lässt sich ohne entsprechende Simulationsergebnisse oder Literaturbelege nicht allgemein festlegen. Die hochgradigen Fälle werden deshalb unter besonderer Berücksichtigung der Modellannahmen diskutiert.

Unter Modellierung wird in diesem Projekt die Übertragung der Blutströmung in einer verengten Arterie auf ein mathematisches und numerisch lösbares Strömungsproblem verstanden. Dazu werden die Gefäßgeometrie, die zugrunde liegenden Gleichungen, die physikalischen Materialparameter sowie die Anfangs- und Randbedingungen festgelegt.

Jeder dieser Bestandteile beruht auf vereinfachenden Annahmen, die begründet und bei der Interpretation der Ergebnisse berücksichtigt werden müssen. Ziel ist es, den Einfluss unterschiedlicher Stenosegrade auf die Strömungsgeschwindigkeit, den Druckverlust und gegebenenfalls die Wandschubspannung systematisch zu untersuchen.

Die Modellierung erfolgt anhand mehrerer Modellvarianten mit unterschiedlicher räumlicher Auflösung. Dadurch können zunächst grundlegende Zusammenhänge analytisch abgeschätzt und anschließend mit numerischen Strömungsberechnungen verglichen werden. Die verwendeten Parameter orientieren sich an den bereitgestellten Referenzdaten und werden in den folgenden Abschnitten erläutert.

== Modellierung ==

Ziel der Modellierung ist es, die Blutströmung innerhalb einer Y-förmigen Aufzweigung der Halsschlagader mathematisch und numerisch zu untersuchen. Im Mittelpunkt steht eine Gefäßverengung (Stenose) in der Arteria carotis interna.

Das betrachtete Gefäßmodell besteht aus der Arteria carotis communis, die sich in die Arteria carotis interna und die Arteria carotis externa aufteilt. Die Stenose befindet sich ausschließlich in der Arteria carotis interna.

Durch die Verengung verändert sich der verfügbare Strömungsquerschnitt. Dies kann zu einer Erhöhung der lokalen Strömungsgeschwindigkeit, zu zusätzlichen Druckverlusten und zu einer Veränderung der Strömungsverteilung zwischen den beiden Gefäßästen führen.

Ziel ist es, den Einfluss unterschiedlicher Stenosegrade auf die Strömungsgeschwindigkeit, die Druckverteilung und die Wandschubspannung zu untersuchen. Zusätzlich soll betrachtet werden, wie sich die Strömung innerhalb der Y-förmigen Gefäßaufzweigung verhält.

Die numerische Modellierung erfolgt mit COMSOL Multiphysics. Dazu werden die Gefäßgeometrie, die Materialeigenschaften des Blutes, die Strömungsgleichungen und die Randbedingungen festgelegt.

Zur Vereinfachung wird Blut zunächst als inkompressibles, Newtonsches Fluid betrachtet. Die Gefäßwände werden als starr angenommen. Diese Annahmen ermöglichen eine systematische Untersuchung der Stenose, schränken jedoch die Übertragbarkeit auf reale physiologische Bedingungen ein.

=== Modellhierarchie ===

Für die Untersuchung der Blutströmung innerhalb der Y-förmigen Karotisaufzweigung werden drei Modellvarianten betrachtet. Diese unterscheiden sich hinsichtlich ihrer räumlichen Dimension, ihrer mathematischen Beschreibung und der Genauigkeit, mit der die Strömungsverhältnisse dargestellt werden können.

Das untersuchte Gefäß besteht aus der Arteria carotis communis, die sich in die Arteria carotis interna und die Arteria carotis externa aufteilt. Die Stenose befindet sich ausschließlich in der Arteria carotis interna.

Alle drei Modellvarianten werden mit COMSOL Multiphysics umgesetzt.

{| class=&quot;wikitable&quot; style=&quot;width:100%;&quot;
|+ '''Die drei Modellvarianten des Projekts'''
|-
! Modell
! Raumdimension
! Mathematische Grundlage
! Zweck
! Werkzeug
|-
| '''Graphenmodell'''
| 1D, Gefäßnetzwerk mit einer Verzweigung
| Massenerhaltung an der Verzweigung und vereinfachte Beschreibung der Strömungswiderstände
| Abschätzung der Volumenstromverteilung und der Druckverluste in den Gefäßästen
| COMSOL Multiphysics
|-
| '''Ebenes Flächenmodell'''
| 2D, Y-förmige Gefäßgeometrie in kartesischen Koordinaten
| Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen
| Untersuchung der Geschwindigkeits- und Druckverteilung sowie der Auswirkungen der Stenose in der Arteria carotis interna
| COMSOL Multiphysics, Laminare Strömung
|-
| '''Volumenmodell'''
| 3D, räumliche Y-förmige Gefäßgeometrie
| Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen
| Räumliche Untersuchung des Geschwindigkeitsfeldes, des Druckverlustes und der Wandschubspannung
| COMSOL Multiphysics, Laminare Strömung
|}

==== Vergleich und Überprüfung der Modellvarianten ====

Die drei Modellvarianten bauen hinsichtlich ihrer räumlichen Beschreibung aufeinander auf. Das Graphenmodell ermöglicht zunächst eine vereinfachte Betrachtung der Volumenströme und Druckverluste. Die zwei- und dreidimensionalen Modelle erlauben anschließend eine detailliertere Untersuchung der Strömung innerhalb der Gefäßaufzweigung.

Das '''Graphenmodell''' beschreibt die Arteria carotis communis sowie die beiden abzweigenden Gefäße als miteinander verbundenes Netzwerk. Dabei wird die Massenerhaltung an der Verzweigung berücksichtigt:

:&lt;math&gt;Q_{\mathrm{CCA}}=Q_{\mathrm{ICA}}+Q_{\mathrm{ECA}}&lt;/math&gt;

Das Modell liefert vereinfachte Abschätzungen der Volumenstromverteilung. Lokale Strömungsablösungen und räumliche Geschwindigkeitsverteilungen können damit nicht detailliert dargestellt werden.

Das '''ebene Flächenmodell''' bildet die Y-förmige Gefäßaufzweigung in zwei Raumdimensionen ab. Die Stenose wird innerhalb der Arteria carotis interna berücksichtigt. Dadurch können die Geschwindigkeits- und Druckverteilung sowie mögliche Rückströmungsbereiche untersucht werden.

Das '''Volumenmodell''' erweitert die Untersuchung auf drei Raumdimensionen. Es ermöglicht eine räumliche Darstellung der Strömung und eine detailliertere Berechnung der Wandschubspannung.

Die Ergebnisse des ebenen Flächenmodells und des Volumenmodells werden miteinander verglichen. Da das ebene Modell die räumliche Querschnittsgeometrie nur vereinfacht darstellt, müssen Unterschiede zwischen den beiden Modellen bei der Interpretation berücksichtigt werden.

Ziel der Modellhierarchie ist es, die Aussagekraft der einzelnen Modellvarianten zu bewerten und den Einfluss des Stenosegrades auf die Strömung innerhalb der Y-förmigen Karotisaufzweigung zu untersuchen.

== Stoff- und Strömungsparameter ==

Die Stoffwerte des Blutes und der Volumenstrom sind die einzigen Eingangsgrößen, die nicht aus der Geometrie folgen. Aus ihnen werden alle weiteren Strömungskennwerte berechnet. Die folgenden Schritte zeigen jede Rechnung einzeln, damit sich jeder Wert nachprüfen lässt.

# Die '''Dichte''' wird mit &lt;math&gt;\rho = 1060\ \mathrm{kg/m^3}&lt;/math&gt; angesetzt. Der Wert lässt sich als Mischungsregel plausibel machen. Plasma hat eine Dichte von etwa 1025 kg/m³, rote Blutkörperchen von etwa 1100 kg/m³. Bei einem Zellanteil von 45 % ergibt sich &lt;math&gt;0{,}55 \cdot 1025 + 0{,}45 \cdot 1100 \approx 1059\ \mathrm{kg/m^3}&lt;/math&gt;. Die Dichte geht nur über die Reynoldszahl in die Rechnung ein, eine Abweichung von einem Prozent ändert die Ergebnisse daher kaum. &lt;!-- FIXME Lehrbuchquelle fuer Plasma- und Erythrozytendichte ergaenzen --&gt;
# Die '''dynamische Viskosität''' wird mit &lt;math&gt;\mu = 3{,}5\ \mathrm{mPa\,s}&lt;/math&gt; angesetzt. Das ist der Grenzwert der Blutviskosität bei hohen Scherraten, also genau der Wert, der zur Newtonschen Näherung gehört. Derselbe Wert von 0,035 Poise wird auch im Standardwerk zur Modellierung des Herz-Kreislauf-Systems verwendet.&lt;ref name=&quot;quarteroni&quot;&gt;Quarteroni, A.; Formaggia, L.: ''Mathematical Modelling and Numerical Simulation of the Cardiovascular System.'' In: Ayache, N. (Hrsg.): ''Computational Models for the Human Body.'' Handbook of Numerical Analysis, Bd. XII, Elsevier, Amsterdam 2004, S. 3-127. DOI 10.1016/S1570-8659(03)12001-7. Zur Newtonschen Näherung in großen Gefäßen siehe S. 30, zur Viskosität von 0,035 Poise die Parametertabelle auf S. 116.&lt;/ref&gt;
# Der '''mittlere Volumenstrom''' wird mit &lt;math&gt;Q_0 = 6\ \mathrm{ml/s}&lt;/math&gt; angesetzt. Das ist der zeitlich gemittelte Volumenstrom, der in der gemeinsamen Halsschlagader gesunder Probanden gemessen wurde.&lt;ref name=&quot;holdsworth&quot; /&gt;
# Die '''mittlere Geschwindigkeit''' folgt aus Volumenstrom und Querschnittsfläche, &lt;math&gt;U_0 = \frac{Q_0}{\pi R_0^2} = \frac{6 \cdot 10^{-6}\ \mathrm{m^3/s}}{\pi \cdot (0{,}003\ \mathrm{m})^2} = 0{,}2122\ \mathrm{m/s}&lt;/math&gt;.
# Die '''Reynoldszahl''' des gesunden Gefäßes ist &lt;math&gt;Re_0 = \frac{\rho\, U_0\, D_0}{\mu} = \frac{1060 \cdot 0{,}2122 \cdot 0{,}006}{0{,}0035} = 385{,}6&lt;/math&gt;. Sie wird im Folgenden auf 386 gerundet.
# Die '''Einlauflänge''', die eine anfangs gleichförmige Strömung bis zum voll entwickelten Parabelprofil bräuchte, beträgt nach der gebräuchlichen Abschätzung für laminare Rohrströmungen &lt;math&gt;L_e \approx 0{,}06\, Re_0\, D_0 \approx 0{,}06 \cdot 386 \cdot 6\ \mathrm{mm} \approx 139\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt;.&lt;ref name=&quot;durst&quot;&gt;Durst, F.; Ray, S.; Ünsal, B.; Bayoumi, O. A.: ''The development lengths of laminar pipe and channel flows.'' Journal of Fluids Engineering 127 (2005), Nr. 6, S. 1154-1160. Für große Reynoldszahlen nähert sich die dort angegebene Korrelation dem Wert 0,057·Re·D.&lt;/ref&gt; Das ist fast die gesamte Länge des Rechengebiets. Ein konstantes Einlassprofil würde die Strömung an der Stenose also verfälschen, weshalb am Einlass das voll entwickelte Profil vorgegeben wird.

Damit liegen alle globalen Parameter fest. Die folgende Tabelle enthält sie mit genau den Namen, unter denen sie in COMSOL und in den Octave-Skripten verwendet werden.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Globale Parameter des Modells
! Name !! Ausdruck in COMSOL !! Wert !! Bedeutung !! Herkunft
|-
| R0 || 3[mm] || 3 mm || Gefäßradius || Messwerte nach Krejza u. a. 2006, gerundet
|-
| D0 || 2*R0 || 6 mm || Gefäßdurchmesser || abgeleitet
|-
| Ls || 2*D0 || 12 mm || Länge der Störstelle || Standardgeometrie nach Varghese u. a. 2007
|-
| Lu || 5*D0 || 30 mm || Vorlaufstrecke vor der Stenosemitte || Abstand der Einlassbedingung von der Stenose
|-
| Ld || 20*D0 || 120 mm || Nachlaufstrecke hinter der Stenosemitte || Platz für das Rückströmgebiet
|-
| Lf || Ls/2+10*D0 || 66 mm || Ende des fein vernetzten Nachlaufs || erwartete Länge des Rückströmgebiets
|-
| s || 0 bis 0.8 || 0 bis 0,8 || Stenosegrad bezogen auf den Durchmesser || NASCET-Einteilung
|-
| rho_b || 1060[kg/m^3] || 1060 kg/m³ || Dichte des Blutes || Mischungsregel, Literaturwert
|-
| mu_b || 3.5[mPa*s] || 3,5 mPa·s || dynamische Viskosität des Blutes || Hochscherwert, Quarteroni und Formaggia 2004
|-
| Q0 || 6[ml/s] || 6 ml/s || mittlerer Volumenstrom || Messwerte nach Holdsworth u. a. 1999
|-
| U0 || Q0/(pi*R0^2) || 0,2122 m/s || mittlere Einströmgeschwindigkeit || abgeleitet
|-
| Re0 || rho_b*U0*D0/mu_b || 385,6 || Reynoldszahl des gesunden Gefäßes || abgeleitet
|-
| dp_ref || 8*mu_b*U0*(Lu+Ld)/R0^2 || 99,03 Pa || Poiseuille-Druckabfall des gesunden Gefäßes || abgeleitet, Hagen-Poiseuille
|}


AB HIER ALT== Modellhierarchie ==

Für die Untersuchung werden vier Modellvarianten betrachtet, die sich hinsichtlich ihrer mathematischen Beschreibung, ihrer räumlichen Dimension und ihres Rechenaufwands unterscheiden. Die Modelle sind bewusst von einer vereinfachten analytischen Beschreibung bis zu einer dreidimensionalen numerischen Simulation angeordnet.

Diese Vorgehensweise ermöglicht es, die Ergebnisse der komplexeren Modelle anhand grundlegender physikalischer Zusammenhänge und geeigneter Referenzfälle zu überprüfen. Dabei ist zu beachten, dass nicht jede Modellvariante dieselben Strömungseigenschaften vollständig abbilden kann.

{| class=&quot;wikitable&quot; style=&quot;width:100%;&quot;
|+ '''Die vier Modellvarianten des Projekts'''
|-
! Modell
! Raumdimension
! Mathematische Grundlage
! Zweck
! Werkzeug
|-
| '''Graphenmodell'''
| 1D, Beschreibung entlang der Gefäßachse
| Hagen-Poiseuille-Gesetz für vereinfachte Rohrabschnitte und Massenerhaltung an Verzweigungsknoten
| Analytische Abschätzung von Volumenströmen und Druckverlusten; Referenz für die numerischen Modelle
| COMSOL mit geeigneter eindimensionaler Formulierung
|-
| '''Achsensymmetrisches Flächenmodell'''
| 2D, rotationssymmetrischer Längsschnitt in den Koordinaten &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;z&lt;/math&gt;
| Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen in achsensymmetrischer Form
| Detaillierte Untersuchung von Geschwindigkeits- und Druckfeldern sowie der Wandschubspannung in einem idealisierten rotationssymmetrischen Gefäß
| COMSOL Multiphysics, Laminar Flow
|-
| '''Ebenes Flächenmodell'''
| 2D, ebene Geometrie in den Koordinaten &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;y&lt;/math&gt;
| Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen in kartesischen Koordinaten
| Untersuchung der Strömung in einer vereinfachten ebenen Geometrie und Vergleich mit dem achsensymmetrischen Modell
| COMSOL Multiphysics, Laminar Flow
|-
| '''Volumenmodell'''
| 3D, räumliche Gefäßgeometrie
| Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen in drei Raumdimensionen
| Räumliche Darstellung der Strömung und Überprüfung der Ergebnisse des achsensymmetrischen Modells bei vergleichbarer Geometrie
| COMSOL Multiphysics, Laminar Flow
|}

== Stoff- und Strömungsparameter ==

Die Stoffwerte des Blutes und der Volumenstrom sind die einzigen Eingangsgrößen, die nicht aus der Geometrie folgen. Aus ihnen werden alle weiteren Strömungskennwerte berechnet. Die folgenden Schritte zeigen jede Rechnung einzeln, damit sich jeder Wert nachprüfen lässt.

# Die '''Dichte''' wird mit &lt;math&gt;\rho = 1060\ \mathrm{kg/m^3}&lt;/math&gt; angesetzt. Der Wert lässt sich als Mischungsregel plausibel machen. Plasma hat eine Dichte von etwa 1025 kg/m³, rote Blutkörperchen von etwa 1100 kg/m³. Bei einem Zellanteil von 45 % ergibt sich &lt;math&gt;0{,}55 \cdot 1025 + 0{,}45 \cdot 1100 \approx 1059\ \mathrm{kg/m^3}&lt;/math&gt;. Die Dichte geht nur über die Reynoldszahl in die Rechnung ein, eine Abweichung von einem Prozent ändert die Ergebnisse daher kaum. &lt;!-- FIXME Lehrbuchquelle fuer Plasma- und Erythrozytendichte ergaenzen --&gt;
# Die '''dynamische Viskosität''' wird mit &lt;math&gt;\mu = 3{,}5\ \mathrm{mPa\,s}&lt;/math&gt; angesetzt. Das ist der Grenzwert der Blutviskosität bei hohen Scherraten, also genau der Wert, der zur Newtonschen Näherung gehört. Derselbe Wert von 0,035 Poise wird auch im Standardwerk zur Modellierung des Herz-Kreislauf-Systems verwendet.&lt;ref name=&quot;quarteroni&quot;&gt;Quarteroni, A.; Formaggia, L.: ''Mathematical Modelling and Numerical Simulation of the Cardiovascular System.'' In: Ayache, N. (Hrsg.): ''Computational Models for the Human Body.'' Handbook of Numerical Analysis, Bd. XII, Elsevier, Amsterdam 2004, S. 3-127. DOI 10.1016/S1570-8659(03)12001-7. Zur Newtonschen Näherung in großen Gefäßen siehe S. 30, zur Viskosität von 0,035 Poise die Parametertabelle auf S. 116.&lt;/ref&gt;
# Der '''mittlere Volumenstrom''' wird mit &lt;math&gt;Q_0 = 6\ \mathrm{ml/s}&lt;/math&gt; angesetzt. Das ist der zeitlich gemittelte Volumenstrom, der in der gemeinsamen Halsschlagader gesunder Probanden gemessen wurde.&lt;ref name=&quot;holdsworth&quot; /&gt;
# Die '''mittlere Geschwindigkeit''' folgt aus Volumenstrom und Querschnittsfläche, &lt;math&gt;U_0 = \frac{Q_0}{\pi R_0^2} = \frac{6 \cdot 10^{-6}\ \mathrm{m^3/s}}{\pi \cdot (0{,}003\ \mathrm{m})^2} = 0{,}2122\ \mathrm{m/s}&lt;/math&gt;.
# Die '''Reynoldszahl''' des gesunden Gefäßes ist &lt;math&gt;Re_0 = \frac{\rho\, U_0\, D_0}{\mu} = \frac{1060 \cdot 0{,}2122 \cdot 0{,}006}{0{,}0035} = 385{,}6&lt;/math&gt;. Sie wird im Folgenden auf 386 gerundet.
# Die '''Einlauflänge''', die eine anfangs gleichförmige Strömung bis zum voll entwickelten Parabelprofil bräuchte, beträgt nach der gebräuchlichen Abschätzung für laminare Rohrströmungen &lt;math&gt;L_e \approx 0{,}06\, Re_0\, D_0 \approx 0{,}06 \cdot 386 \cdot 6\ \mathrm{mm} \approx 139\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt;.&lt;ref name=&quot;durst&quot;&gt;Durst, F.; Ray, S.; Ünsal, B.; Bayoumi, O. A.: ''The development lengths of laminar pipe and channel flows.'' Journal of Fluids Engineering 127 (2005), Nr. 6, S. 1154-1160. Für große Reynoldszahlen nähert sich die dort angegebene Korrelation dem Wert 0,057·Re·D.&lt;/ref&gt; Das ist fast die gesamte Länge des Rechengebiets. Ein konstantes Einlassprofil würde die Strömung an der Stenose also verfälschen, weshalb am Einlass das voll entwickelte Profil vorgegeben wird.

Damit liegen alle globalen Parameter fest. Die folgende Tabelle enthält sie mit genau den Namen, unter denen sie in COMSOL und in den Octave-Skripten verwendet werden.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Globale Parameter des Modells
! Name !! Ausdruck in COMSOL !! Wert !! Bedeutung !! Herkunft
|-
| R0 || 3[mm] || 3 mm || Gefäßradius || Messwerte nach Krejza u. a. 2006, gerundet
|-
| D0 || 2*R0 || 6 mm || Gefäßdurchmesser || abgeleitet
|-
| Ls || 2*D0 || 12 mm || Länge der Störstelle || Standardgeometrie nach Varghese u. a. 2007
|-
| Lu || 5*D0 || 30 mm || Vorlaufstrecke vor der Stenosemitte || Abstand der Einlassbedingung von der Stenose
|-
| Ld || 20*D0 || 120 mm || Nachlaufstrecke hinter der Stenosemitte || Platz für das Rückströmgebiet
|-
| Lf || Ls/2+10*D0 || 66 mm || Ende des fein vernetzten Nachlaufs || erwartete Länge des Rückströmgebiets
|-
| s || 0 bis 0.8 || 0 bis 0,8 || Stenosegrad bezogen auf den Durchmesser || NASCET-Einteilung
|-
| rho_b || 1060[kg/m^3] || 1060 kg/m³ || Dichte des Blutes || Mischungsregel, Literaturwert
|-
| mu_b || 3.5[mPa*s] || 3,5 mPa·s || dynamische Viskosität des Blutes || Hochscherwert, Quarteroni und Formaggia 2004
|-
| Q0 || 6[ml/s] || 6 ml/s || mittlerer Volumenstrom || Messwerte nach Holdsworth u. a. 1999
|-
| U0 || Q0/(pi*R0^2) || 0,2122 m/s || mittlere Einströmgeschwindigkeit || abgeleitet
|-
| Re0 || rho_b*U0*D0/mu_b || 385,6 || Reynoldszahl des gesunden Gefäßes || abgeleitet
|-
| dp_ref || 8*mu_b*U0*(Lu+Ld)/R0^2 || 99,03 Pa || Poiseuille-Druckabfall des gesunden Gefäßes || abgeleitet, Hagen-Poiseuille
|}

=== Vergleich und Überprüfung der Modellvarianten ===

Die Modellhierarchie folgt dem Prinzip, dass zunächst vereinfachte Zusammenhänge untersucht und anschließend mit detaillierteren numerischen Modellen verglichen werden.

Das '''Graphenmodell''' bildet die einfachste Modellvariante. Es verwendet das Hagen-Poiseuille-Gesetz zur Abschätzung des Druckverlustes in geraden Rohrabschnitten mit konstantem Durchmesser. Für den unverengten Referenzfall kann damit eine analytische Vergleichsgröße bestimmt werden. Im Bereich einer Stenose ist die Anwendung jedoch nur als vereinfachte Näherung geeignet, da dort zusätzliche Strömungseffekte auftreten können.

Das '''achsensymmetrische Flächenmodell''' ermöglicht eine detailliertere Untersuchung des Geschwindigkeits- und Druckfeldes innerhalb einer idealisierten rotationssymmetrischen Gefäßverengung. Im unverengten Referenzfall können die numerischen Ergebnisse mit der analytischen Poiseuille-Lösung verglichen werden. Bei zunehmendem Stenosegrad werden insbesondere die Beschleunigung im Bereich der Engstelle, der Druckverlust und die Wandschubspannung betrachtet.

Das '''ebene Flächenmodell''' beschreibt die Strömung in einer zweidimensionalen kartesischen Geometrie. Im Unterschied zum achsensymmetrischen Modell wird dabei keine Rotationssymmetrie vorausgesetzt. Da sich die geometrische Beschreibung des Strömungsquerschnitts unterscheidet, sind die Ergebnisse nicht ohne Weiteres quantitativ gleichzusetzen. Der Vergleich dient insbesondere dazu, den Einfluss der Modellvereinfachung auf die berechneten Strömungsgrößen zu untersuchen.

Das '''Volumenmodell''' erweitert die Untersuchung auf drei Raumdimensionen. Bei einer rotationssymmetrischen Geometrie und entsprechend übereinstimmenden Randbedingungen wird eine weitgehende Übereinstimmung mit dem achsensymmetrischen Modell erwartet. Diese Übereinstimmung muss jedoch anhand der numerischen Ergebnisse überprüft werden. Bei einer Gefäßaufzweigung oder einer asymmetrischen Stenose können zusätzliche räumliche Strömungseffekte auftreten, die durch ein achsensymmetrisches Modell nicht vollständig beschrieben werden.

=== Referenzfall und Vergleichsgrößen ===

Als Ausgangspunkt dient ein unverengtes Gefäß mit dem Referenzdurchmesser &lt;math&gt;D_0=6\,\mathrm{mm}&lt;/math&gt;. Für das Blut werden eine Dichte von &lt;math&gt;\rho_b=1060\,\mathrm{kg/m^3}&lt;/math&gt; und eine dynamische Viskosität von &lt;math&gt;\mu_b=3{,}5\,\mathrm{mPa\,s}&lt;/math&gt; angenommen.

Der vorgegebene mittlere Volumenstrom beträgt &lt;math&gt;Q_0=6\,\mathrm{ml/s}&lt;/math&gt;. Daraus ergibt sich für den unverengten kreisförmigen Querschnitt eine mittlere Strömungsgeschwindigkeit von ungefähr &lt;math&gt;U_0=0{,}2122\,\mathrm{m/s}&lt;/math&gt;.

Die Referenz-Reynolds-Zahl beträgt &lt;math&gt;\mathrm{Re}_0=385{,}6&lt;/math&gt;. Für den in den Referenzdaten definierten Vergleichsfall ist außerdem ein analytischer Druckverlust von &lt;math&gt;\Delta p_{\mathrm{ref}}=99{,}03\,\mathrm{Pa}&lt;/math&gt; angegeben.

Diese Größen dienen als Ausgangspunkt für die Überprüfung der numerischen Modelle. Ein direkter Vergleich ist jedoch nur zulässig, wenn die jeweils verwendete Geometrie, die Auswertelänge und die Randbedingungen übereinstimmen.

=== Grenzen der Modellhierarchie ===

Die vier Modellvarianten unterscheiden sich nicht nur im Rechenaufwand, sondern auch in den physikalischen Effekten, die sie darstellen können.

Insbesondere bei hochgradigen Stenosen können starke lokale Geschwindigkeitsänderungen, Strömungsablösungen und zeitabhängige Strömungsstrukturen auftreten. Deshalb muss überprüft werden, ob die Annahme einer stationären laminaren Strömung für die betrachteten Fälle ausreichend ist.

Außerdem muss zwischen dem idealisierten geraden Gefäßmodell und einer Gefäßaufzweigung unterschieden werden. Das achsensymmetrische Modell eignet sich für eine rotationssymmetrische Stenose in einem geraden Gefäß, während eine realistische Gefäßaufzweigung eine andere geometrische Beschreibung erfordert.

Die Modellvarianten werden daher nicht als vollständig gleichwertig betrachtet. Vielmehr soll der Vergleich zeigen, welche Aussagen bereits durch vereinfachte Modelle möglich sind und für welche Strömungseigenschaften eine detailliertere numerische Beschreibung erforderlich ist.

= Modellierung =

Modellierung bedeutet hier, die reale Situation in eine mathematische Aufgabe zu übersetzen, die sich lösen lässt. Dazu gehören vier Bausteine, nämlich das Rechengebiet, die Gleichungen, die Zahlenwerte der Parameter und die Bedingungen an den Rändern. Jeder dieser Bausteine beruht auf Annahmen, und jede Annahme muss begründet werden. Dieser Abschnitt geht die Bausteine deshalb der Reihe nach durch und nennt bei jedem Zahlenwert, woher er stammt und warum er sinnvoll ist.

== Modellhierarchie ==

Das Projekt rechnet nicht ein einziges Modell, sondern vier aufeinander aufbauende Modellvarianten. Sie entsprechen der Kursanforderung, eine Strömung als Graph, in zwei und in drei Raumdimensionen darzustellen, und sie sind bewusst von einfach nach aufwendig geordnet.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Die vier Modellvarianten des Projekts
! Modell !! Raumdimension !! gelöste Gleichung !! Zweck !! Werkzeug
|-
| Graphenmodell || 1D, Gefäßachse || Hagen-Poiseuille je Rohrstück und Massenerhaltung in jedem Knoten || schnelle, analytisch nachrechenbare Abschätzung für jeden Stenosegrad || Octave und COMSOL (Koeffizientenform-PDGL)
|-
| achsensymmetrisches Flächenmodell || 2D, Halbschnitt in r und z || vollständige stationäre Navier-Stokes-Gleichungen in Zylinderkoordinaten || Hauptmodell, liefert alle Feldgrößen des rotationssymmetrischen Rohres || COMSOL, Laminare Strömung
|-
| ebenes Flächenmodell || 2D, Halbschnitt in x und y || vollständige stationäre Navier-Stokes-Gleichungen in kartesischen Koordinaten || Vergleich, zeigt den Einfluss der zweiten Querschnittsrichtung || COMSOL, Laminare Strömung
|-
| Volumenmodell || 3D || vollständige stationäre Navier-Stokes-Gleichungen || Kontrolle des Hauptmodells und räumliche Darstellung || COMSOL, Laminare Strömung
|}

Die Reihenfolge folgt einem einfachen Prinzip. Jede Stufe liefert die Sollwerte, an denen die nächste, komplexere Stufe geprüft wird. Das Graphenmodell muss im gesunden Fall exakt die Poiseuille-Lösung ergeben. Das achsensymmetrische Modell muss im gesunden Fall dieselben Werte liefern und bei Stenose für Geschwindigkeit und Wandschubspannung in der Nähe des Graphenmodells liegen. Das Volumenmodell muss, weil die Geometrie rotationssymmetrisch ist, mit dem achsensymmetrischen Modell übereinstimmen.

== Modellannahmen ==

Um den Einfluss des Stenosegrades möglichst isoliert zu untersuchen, werden die folgenden Modellannahmen getroffen. Die Tabelle nennt zu jeder Annahme ihre mathematische Form, die Begründung und die Stelle, an der sie im Projekt überprüft wird.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Modellannahmen, ihre Begründung und ihre Überprüfung
! Annahme !! mathematische Form !! Begründung !! Überprüfung
|-
| Idealisierte Gefäßgeometrie || gerades Rohr mit kosinusförmiger, rotationssymmetrischer Verengung || isoliert die Wirkung des Stenosegrades von Krümmung, Verzweigung und Plaqueform || Diskussion in den Schlussfolgerungen
|-
| Starre Gefäßwand || Wand ortsfest, keine Fluid-Struktur-Kopplung || im stationären Fall gibt es keine Druckschwankung, die die Wand periodisch aufweiten könnte || Abschätzung über die gemessene Durchmesseränderung im Herzzyklus
|-
| Stationäre Strömung || &lt;math&gt;\partial \mathbf{u}/\partial t = \mathbf{0}&lt;/math&gt; || der Einfluss des Stenosegrades soll ohne Überlagerung durch die Pulsation sichtbar werden || Abschätzung über die Womersley-Zahl
|-
| Inkompressibles Fluid || &lt;math&gt;\rho = \mathrm{const}&lt;/math&gt;, damit &lt;math&gt;\nabla\cdot\mathbf{u} = 0&lt;/math&gt; || Blut ist eine Flüssigkeit, Druckänderungen von wenigen hundert Pascal ändern die Dichte nicht messbar || Massenerhaltung in fünf Querschnitten
|-
| Newtonsche Näherung || konstante Viskosität &lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt; || die Scherraten an der Wand und im größten Teil des Querschnitts liegen über dem Bereich, in dem Blut deutlich scherverdünnend wirkt || Scherrate an der Wand, Diskussion des Rückströmgebiets
|-
| Konstante Stoffeigenschaften || &lt;math&gt;\rho&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt; räumlich und zeitlich konstant || Körpertemperatur ist im betrachteten Abschnitt konstant || entfällt
|-
| Laminare Strömung || kein Turbulenzmodell, Schnittstelle Laminare Strömung || Reynoldszahl des gesunden Gefäßes von 386 liegt weit unter dem Umschlagbereich || Reynoldszahl in der Engstelle, Literaturvergleich
|-
| Haftbedingung an der Wand || &lt;math&gt;\mathbf{u} = \mathbf{0}&lt;/math&gt; auf der Wand || Folge der Viskosität, das Fluid haftet an der Wand || Grundlage jeder Wandschubspannung
|-
| Vernachlässigung der Gravitation || keine Volumenkraft || bei konstanter Dichte lässt sich die Schwerkraft vollständig in einen hydrostatischen Druckanteil verschieben und beeinflusst die Geschwindigkeit nicht || Begründung in den Mathematischen Hintergründen
|-
| Voll entwickelte Einströmung || parabolisches Profil am Einlass || die natürliche Einlaufstrecke wäre mit rund 139 mm fast so lang wie das ganze Rechengebiet || Scheitelgeschwindigkeit im gesunden Fall
|-
| Eingeprägter Volumenstrom || &lt;math&gt;Q = Q_0&lt;/math&gt; am Einlass || der Strömungswiderstand des Abschnitts ist klein gegenüber dem des nachgeschalteten Gefäßbetts || Abschätzung mit einem Reihenwiderstand
|}

Einige dieser Annahmen sind unmittelbar einsichtig, andere verdienen eine genauere Begründung, weil von ihnen die Aussagekraft der Ergebnisse abhängt.

Die '''Newtonsche Näherung''' ist die Annahme, die bei Blut am häufigsten hinterfragt wird. Reales Blut ist eine Suspension aus Plasma und Blutzellen und verhält sich scherverdünnend. Bei kleinen Scherraten lagern sich die roten Blutkörperchen zu geldrollenartigen Stapeln zusammen, und die Viskosität steigt auf ein Vielfaches an. Bei großen Scherraten lösen sich diese Stapel auf, und die Viskosität strebt gegen einen Grenzwert von etwa 3,5 mPa·s. Entscheidend ist also die Scherrate. An der Wand des gesunden Modellgefäßes beträgt sie nach der Poiseuille-Lösung

&lt;math&gt;\dot\gamma_w = \frac{4\,U_0}{R_0} = \frac{4 \cdot 0{,}2122\ \mathrm{m/s}}{0{,}003\ \mathrm{m}} \approx 283\ \mathrm{s^{-1}}&lt;/math&gt;

und liegt damit oberhalb von etwa 100 pro Sekunde, wo sich Newtonsches und nicht Newtonsches Modell nach der Literatur nur noch wenig unterscheiden.&lt;ref name=&quot;boyd&quot;&gt;Die Grenze von etwa 100 s&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt; wird in vergleichenden Studien zur Blutrheologie verwendet, etwa bei Bernabeu, M. O. u. a.: ''Impact of blood rheology on wall shear stress in a model of the middle cerebral artery.'' Interface Focus 3 (2013), 20120094. &lt;!-- FIXME Zitat und Seitenangabe am Original pruefen --&gt;&lt;/ref&gt; In der Engstelle steigt die Scherrate weiter an, beim Stenosegrad 0,5 auf rund 2260 pro Sekunde. Schwach ist die Näherung dort, wo die Scherrate klein wird, also in der Mitte des Gefäßes und vor allem im Rückströmgebiet hinter der Stenose. Dort ist reales Blut zäher als angenommen. Dieser Punkt wird in den Schlussfolgerungen wieder aufgegriffen.

Die '''stationäre Strömung''' ist die stärkste Vereinfachung. Wie wichtig die Pulsation ist, misst die Womersley-Zahl, die das Verhältnis von instationärer Trägheit zu Reibung angibt. Mit einer Herzfrequenz von 60 Schlägen je Minute, also einer Kreisfrequenz &lt;math&gt;\omega = 2\pi\ \mathrm{s^{-1}}&lt;/math&gt;, ergibt sich

&lt;math&gt;\alpha = R_0 \sqrt{\frac{\omega \rho}{\mu}} = 0{,}003\ \mathrm{m} \cdot \sqrt{\frac{2\pi\ \mathrm{s^{-1}} \cdot 1060\ \mathrm{kg/m^3}}{0{,}0035\ \mathrm{Pa\,s}}} \approx 4{,}1 .&lt;/math&gt;

Ein Wert in dieser Größenordnung bedeutet, dass das reale Geschwindigkeitsprofil im Herzzyklus merklich von der Parabel abweicht.&lt;ref name=&quot;womersley&quot;&gt;Womersley, J. R.: ''Method for the calculation of velocity, rate of flow and viscous drag in arteries when the pressure gradient is known.'' Journal of Physiology 127 (1955), S. 553-563.&lt;/ref&gt; Hinzu kommt, dass der Volumenstrom in der Systole kurzzeitig auf rund das Vierfache des Mittelwerts steigt.&lt;ref name=&quot;holdsworth&quot;&gt;Holdsworth, D. W.; Norley, C. J. D.; Frayne, R.; Steinman, D. A.; Rutt, B. K.: ''Characterization of common carotid artery blood-flow waveforms in normal human subjects.'' Physiological Measurement 20 (1999), Nr. 3, S. 219-240. DOI 10.1088/0967-3334/20/3/301. Angegeben werden ein mittlerer Volumenstrom von 6,0 ± 1,4 ml/s und ein systolischer Spitzenwert von 23,5 ± 3,8 ml/s. &lt;!-- FIXME Zahlenwerte und Probandenzahl am Original pruefen --&gt;&lt;/ref&gt; Die stationäre Rechnung mit dem Mittelwert beschreibt deshalb nicht den zeitlichen Verlauf, wohl aber den zeitlich gemittelten Zustand, an dem sich der Einfluss des Stenosegrades sauber vergleichen lässt.

Die '''laminare Strömung''' wird über die Reynoldszahl begründet. Sie beträgt im gesunden Gefäß 386 und liegt damit weit unter dem Wert von etwa 2300, ab dem die Strömung in einem geraden Rohr in den Übergangsbereich gelangen kann. In der Engstelle steigt sie bei festem Volumenstrom auf &lt;math&gt;Re_0/(1-s)&lt;/math&gt;, also auf 551 beim Stenosegrad 0,3, auf 964 beim Grad 0,6 und auf 1928 beim Grad 0,8. Für den Strahl hinter einer Engstelle ist der Umschlagbereich allerdings deutlich niedriger als im geraden Rohr. Direkte numerische Simulationen an genau der in diesem Projekt verwendeten Stenosegeometrie zeigen, dass die Strömung bei einer Einström-Reynoldszahl von 500 auch bei leichter Unsymmetrie laminar bleibt, bei 1000 dagegen schon eine Exzentrizität von fünf Prozent des Durchmessers genügt, um den Strahl in lokal turbulente Strömung umschlagen zu lassen.&lt;ref name=&quot;varghese&quot;&gt;Varghese, S. S.; Frankel, S. H.; Fischer, P. F.: ''Direct numerical simulation of stenotic flows. Part 1. Steady flow.'' Journal of Fluid Mechanics 582 (2007), S. 253-280. Untersucht wird eine kosinusförmige Stenose der Länge 2D mit 75 % Flächenreduktion, die mit der Geometrie dieses Projekts beim Stenosegrad 0,5 übereinstimmt. &lt;!-- FIXME Band und Seiten am Original pruefen --&gt;&lt;/ref&gt; Mit einer Einström-Reynoldszahl von 386 liegt das Projekt für die leicht- und mittelgradigen Stenosen sicher im laminaren Bereich. Für die hochgradigen Stenosen ab 0,7 ist ein laminares, stationäres Modell dagegen nur noch eine Näherung, die eine Obergrenze der geordneten Strömung beschreibt. Diese Fälle werden deshalb als Grenzfall des Modells gekennzeichnet.

Die '''starre Wand''' lässt sich über Messungen abschätzen. Der Durchmesser der gemeinsamen Halsschlagader ändert sich im Herzzyklus bei jungen Menschen um etwa 12 bis 14 Prozent und bei älteren Menschen um etwa 5 Prozent.&lt;ref name=&quot;hansen&quot;&gt;Hansen, F.; Mangell, P.; Sonesson, B.; Länne, T.: ''Diameter and compliance in the human common carotid artery: variations with age and sex.'' Ultrasound in Medicine and Biology 21 (1995), Nr. 1, S. 1-9. DOI 10.1016/0301-5629(94)00090-5.&lt;/ref&gt; Diese Bewegung ist eine Folge der Pulsation. In einer stationären Rechnung gibt es keine Druckschwankung, die die Wand periodisch aufweiten könnte, sodass die starre Wand zur stationären Annahme konsistent ist. Eine verkalkte Plaque ist ohnehin deutlich steifer als die gesunde Wand.

Die Annahme des '''eingeprägten Volumenstroms''' wird im Abschnitt zu den Randbedingungen begründet, weil sie sich nur im Zusammenhang mit dem Kreislauf beurteilen lässt.

== Simulationsgebiet und Geometrie ==

Die Gefäßachse ist die z-Achse, der Ursprung liegt in der Mitte der Stenose, und &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; bezeichnet den Abstand von der Achse. Das Rechengebiet reicht von &lt;math&gt;z = -L_u&lt;/math&gt; bis &lt;math&gt;z = L_d&lt;/math&gt; und wird radial von der Wandkontur &lt;math&gt;R(z)&lt;/math&gt; begrenzt. Die Verengung wird über eine einzige glatte Funktion beschrieben,

&lt;math&gt;R(z) = R_0 \left[ 1 - \frac{s}{2}\left(1 + \cos\frac{2\pi z}{L_s}\right)\right] \quad \text{falls } |z| \le \frac{L_s}{2}, \qquad R(z) = R_0 \ \text{sonst.}&lt;/math&gt;

Die Funktion hat drei Eigenschaften, die ihre Wahl begründen. Sie wird erstens über einen einzigen Parameter gesteuert, den Stenosegrad &lt;math&gt;s&lt;/math&gt;. Der engste Radius in der Mitte beträgt &lt;math&gt;R(0) = R_0(1-s)&lt;/math&gt;, und der Fall ohne Verengung ist einfach der Fall &lt;math&gt;s = 0&lt;/math&gt;. Die gesamte Vergleichsreihe entsteht damit aus einem einzigen parametrischen Sweep. Sie geht zweitens an beiden Enden der Störstelle ohne Knick in das gerade Rohr über. Bei &lt;math&gt;z = \pm L_s/2&lt;/math&gt; ist der Kosinus gleich minus eins, die Klammer also null, und seine Ableitung verschwindet dort ebenfalls. Das ist nicht nur ästhetisch, sondern numerisch notwendig, denn ein Knick in der Wand erzeugt eine Singularität der Wandschubspannung, deren berechneter Wert mit jeder Netzverfeinerung weiter wüchse. Eine Netzstudie wäre dann sinnlos. Sie ist drittens die in der Literatur gebräuchliche Standardgeometrie für Stenosen, sodass sich die Ergebnisse unmittelbar mit veröffentlichten Rechnungen vergleichen lassen.&lt;ref name=&quot;varghese&quot; /&gt;

[[Datei:Stenose Gruppe5 Wandkontur.svg|mini|zentriert|800px|Wandkontur &lt;math&gt;R(z)&lt;/math&gt; für die untersuchten Stenosegrade. Die Darstellung ist in radialer Richtung gestreckt, das Rechengebiet ist in Wirklichkeit fünfundzwanzigmal länger als breit.]]
&lt;!-- FIXME Abbildung mit abbildungen_graph_1d.m fuer s = 0 bis 0,8 neu erzeugen, bisher nur bis 0,5 --&gt;

Die Abmessungen des Rechengebiets werden alle aus dem Gefäßradius abgeleitet. Das hat den Vorteil, dass sich das gesamte Modell durch Ändern eines einzigen Wertes auf ein anderes Gefäß übertragen lässt. Die einzelnen Längen werden im Folgenden Schritt für Schritt begründet.

# Der '''Gefäßradius''' &lt;math&gt;R_0 = 3\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; folgt aus Ultraschallmessungen an gesunden Erwachsenen. Dort wurden für die gemeinsame Halsschlagader mittlere Durchmesser von 6,10 ± 0,80 mm bei Frauen und 6,52 ± 0,98 mm bei Männern gemessen.&lt;ref name=&quot;krejza&quot;&gt;Krejza, J.; Arkuszewski, M.; Kasner, S. E.; Weigele, J.; Ustymowicz, A.; Hurst, R. W.; Cucchiara, B. L.; Messe, S. R.: ''Carotid artery diameter in men and women and the relation to body and neck size.'' Stroke 37 (2006), Nr. 4, S. 1103-1105. DOI 10.1161/01.STR.0000206440.48756.f7.&lt;/ref&gt; Der gewählte Durchmesser von &lt;math&gt;D_0 = 6\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; liegt damit innerhalb einer Standardabweichung beider Gruppen und ist bewusst auf einen runden Wert gesetzt, damit alle abgeleiteten Längen glatte Zahlen ergeben.
# Die '''Länge der Störstelle''' &lt;math&gt;L_s = 2 D_0 = 12\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; entspricht der Standardgeometrie aus der Literatur, die eine Stenosenlänge von zwei Durchmessern verwendet.&lt;ref name=&quot;varghese&quot; /&gt; Damit ist beim Stenosegrad 0,5 ein direkter Vergleich mit veröffentlichten Ergebnissen möglich.
# Die '''Vorlaufstrecke''' &lt;math&gt;L_u = 5 D_0 = 30\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; trennt den Einlass von der Stenose. Da am Einlass bereits das voll entwickelte Profil vorgegeben wird, muss sie nicht die Einlaufstrecke abdecken, sondern nur verhindern, dass die Einströmrandbedingung die Strömung an der Engstelle beeinflusst. Bei Reynoldszahlen in dieser Größenordnung reicht der Einfluss einer Verengung nur wenige Durchmesser stromaufwärts, die Literatur kommt für dieselbe Geometrie mit drei Durchmessern Vorlauf aus.&lt;ref name=&quot;varghese&quot; /&gt; Fünf Durchmesser lassen also eine Reserve. Überprüft wird das im Ergebnis, indem die Geschwindigkeit auf der Achse in der Mitte der Vorlaufstrecke mit dem Sollwert &lt;math&gt;2U_0&lt;/math&gt; verglichen wird.
# Die '''Nachlaufstrecke''' &lt;math&gt;L_d = 20 D_0 = 120\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; ist deutlich länger, weil sich hinter der Engstelle ein Rückströmgebiet bildet, das nicht auf den Auslass treffen darf. Für die Geometrie mit dem Stenosegrad 0,5 legt die Strömung bei einer Einström-Reynoldszahl von 500 erst etwa zehn Durchmesser hinter der Engstelle wieder an, die Literatur rechnet mit sechzehn Durchmessern Nachlauf.&lt;ref name=&quot;varghese&quot; /&gt; Zwanzig Durchmesser bieten damit für alle Stenosegrade bis 0,5 einen Sicherheitsabstand. Für die Grade ab 0,6 ist ein längeres Rückströmgebiet zu erwarten, dort wird die Lage des Wiederanlegepunktes ausdrücklich kontrolliert.
# Das '''Ende des fein vernetzten Nachlaufs''' &lt;math&gt;L_f = L_s/2 + 10 D_0 = 66\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; legt fest, bis wohin das Netz verfeinert wird. Der Wert ist so gewählt, dass das erwartete Rückströmgebiet von etwa zehn Durchmessern vollständig im feinen Bereich liegt.

Damit hat das Rechengebiet eine Gesamtlänge von &lt;math&gt;L = L_u + L_d = 150\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt;, also das Fünfundzwanzigfache des Durchmessers. Es ist ein Modellgebiet und kein maßstäbliches Abbild eines bestimmten anatomischen Abschnitts.

== Stoff- und Strömungsparameter ==

Die Stoffwerte des Blutes und der Volumenstrom sind die einzigen Eingangsgrößen, die nicht aus der Geometrie folgen. Aus ihnen werden alle weiteren Strömungskennwerte berechnet. Die folgenden Schritte zeigen jede Rechnung einzeln, damit sich jeder Wert nachprüfen lässt.

# Die '''Dichte''' wird mit &lt;math&gt;\rho = 1060\ \mathrm{kg/m^3}&lt;/math&gt; angesetzt. Der Wert lässt sich als Mischungsregel plausibel machen. Plasma hat eine Dichte von etwa 1025 kg/m³, rote Blutkörperchen von etwa 1100 kg/m³. Bei einem Zellanteil von 45 % ergibt sich &lt;math&gt;0{,}55 \cdot 1025 + 0{,}45 \cdot 1100 \approx 1059\ \mathrm{kg/m^3}&lt;/math&gt;. Die Dichte geht nur über die Reynoldszahl in die Rechnung ein, eine Abweichung von einem Prozent ändert die Ergebnisse daher kaum. &lt;!-- FIXME Lehrbuchquelle fuer Plasma- und Erythrozytendichte ergaenzen --&gt;
# Die '''dynamische Viskosität''' wird mit &lt;math&gt;\mu = 3{,}5\ \mathrm{mPa\,s}&lt;/math&gt; angesetzt. Das ist der Grenzwert der Blutviskosität bei hohen Scherraten, also genau der Wert, der zur Newtonschen Näherung gehört. Derselbe Wert von 0,035 Poise wird auch im Standardwerk zur Modellierung des Herz-Kreislauf-Systems verwendet.&lt;ref name=&quot;quarteroni&quot;&gt;Quarteroni, A.; Formaggia, L.: ''Mathematical Modelling and Numerical Simulation of the Cardiovascular System.'' In: Ayache, N. (Hrsg.): ''Computational Models for the Human Body.'' Handbook of Numerical Analysis, Bd. XII, Elsevier, Amsterdam 2004, S. 3-127. DOI 10.1016/S1570-8659(03)12001-7. Zur Newtonschen Näherung in großen Gefäßen siehe S. 30, zur Viskosität von 0,035 Poise die Parametertabelle auf S. 116.&lt;/ref&gt;
# Der '''mittlere Volumenstrom''' wird mit &lt;math&gt;Q_0 = 6\ \mathrm{ml/s}&lt;/math&gt; angesetzt. Das ist der zeitlich gemittelte Volumenstrom, der in der gemeinsamen Halsschlagader gesunder Probanden gemessen wurde.&lt;ref name=&quot;holdsworth&quot; /&gt;
# Die '''mittlere Geschwindigkeit''' folgt aus Volumenstrom und Querschnittsfläche, &lt;math&gt;U_0 = \frac{Q_0}{\pi R_0^2} = \frac{6 \cdot 10^{-6}\ \mathrm{m^3/s}}{\pi \cdot (0{,}003\ \mathrm{m})^2} = 0{,}2122\ \mathrm{m/s}&lt;/math&gt;.
# Die '''Reynoldszahl''' des gesunden Gefäßes ist &lt;math&gt;Re_0 = \frac{\rho\, U_0\, D_0}{\mu} = \frac{1060 \cdot 0{,}2122 \cdot 0{,}006}{0{,}0035} = 385{,}6&lt;/math&gt;. Sie wird im Folgenden auf 386 gerundet.
# Die '''Einlauflänge''', die eine anfangs gleichförmige Strömung bis zum voll entwickelten Parabelprofil bräuchte, beträgt nach der gebräuchlichen Abschätzung für laminare Rohrströmungen &lt;math&gt;L_e \approx 0{,}06\, Re_0\, D_0 \approx 0{,}06 \cdot 386 \cdot 6\ \mathrm{mm} \approx 139\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt;.&lt;ref name=&quot;durst&quot;&gt;Durst, F.; Ray, S.; Ünsal, B.; Bayoumi, O. A.: ''The development lengths of laminar pipe and channel flows.'' Journal of Fluids Engineering 127 (2005), Nr. 6, S. 1154-1160. Für große Reynoldszahlen nähert sich die dort angegebene Korrelation dem Wert 0,057·Re·D.&lt;/ref&gt; Das ist fast die gesamte Länge des Rechengebiets. Ein konstantes Einlassprofil würde die Strömung an der Stenose also verfälschen, weshalb am Einlass das voll entwickelte Profil vorgegeben wird.

Damit liegen alle globalen Parameter fest. Die folgende Tabelle enthält sie mit genau den Namen, unter denen sie in COMSOL und in den Octave-Skripten verwendet werden.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Globale Parameter des Modells
! Name !! Ausdruck in COMSOL !! Wert !! Bedeutung !! Herkunft
|-
| R0 || 3[mm] || 3 mm || Gefäßradius || Messwerte nach Krejza u. a. 2006, gerundet
|-
| D0 || 2*R0 || 6 mm || Gefäßdurchmesser || abgeleitet
|-
| Ls || 2*D0 || 12 mm || Länge der Störstelle || Standardgeometrie nach Varghese u. a. 2007
|-
| Lu || 5*D0 || 30 mm || Vorlaufstrecke vor der Stenosemitte || Abstand der Einlassbedingung von der Stenose
|-
| Ld || 20*D0 || 120 mm || Nachlaufstrecke hinter der Stenosemitte || Platz für das Rückströmgebiet
|-
| Lf || Ls/2+10*D0 || 66 mm || Ende des fein vernetzten Nachlaufs || erwartete Länge des Rückströmgebiets
|-
| s || 0 bis 0.8 || 0 bis 0,8 || Stenosegrad bezogen auf den Durchmesser || NASCET-Einteilung
|-
| rho_b || 1060[kg/m^3] || 1060 kg/m³ || Dichte des Blutes || Mischungsregel, Literaturwert
|-
| mu_b || 3.5[mPa*s] || 3,5 mPa·s || dynamische Viskosität des Blutes || Hochscherwert, Quarteroni und Formaggia 2004
|-
| Q0 || 6[ml/s] || 6 ml/s || mittlerer Volumenstrom || Messwerte nach Holdsworth u. a. 1999
|-
| U0 || Q0/(pi*R0^2) || 0,2122 m/s || mittlere Einströmgeschwindigkeit || abgeleitet
|-
| Re0 || rho_b*U0*D0/mu_b || 385,6 || Reynoldszahl des gesunden Gefäßes || abgeleitet
|-
| dp_ref || 8*mu_b*U0*(Lu+Ld)/R0^2 || 99,03 Pa || Poiseuille-Druckabfall des gesunden Gefäßes || abgeleitet, Hagen-Poiseuille
|}


= Literaturverzeichnis =

Alle Quellen sind an den Stellen im Text angegeben, an denen die zugehörigen Werte oder Aussagen verwendet werden. Die Liste wird aus diesen Angaben automatisch erzeugt.

&lt;references /&gt;</text>
      <sha1>pgddn906oz20qdzdox48pnraccla2sg</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>1115901</id>
      <parentid>1115900</parentid>
      <timestamp>2026-10-12T16:57:17Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Heitele</username>
        <id>38553</id>
      </contributor>
      <comment>/* Stoff- und Strömungsparameter */</comment>
      <origin>1115901</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="58620" sha1="fla6lagqbwrckau61rjhwr2714jkk91" xml:space="preserve">= Gruppenteilnehmer =
* Joey Becker
* Marie-Thérèse Heitele
* Nicole Pander

= Thema und Fragestellung =

Gegenstand dieses Projekts ist die numerische Simulation der Blutströmung in einer verzweigten Halsschlagader ('''Carotis-Bifurkation''') unter dem Einfluss einer lokalen Gefäßverengung ('''Stenose''').
Im Vergleich zu einfachen Rohrströmungen wird hier die realitätsnahe Gefäßanatomie betrachtet: Die '''Arteria carotis communis (ACC)''' teilt sich in die '''Arteria carotis externa (ACE)''' und die '''Arteria carotis interna (ACI)''' auf. Während die '''ACE''' als gesunder, stenosefreier Ast dient, wird in der '''ACI''' eine geglättete, kosinusförmige Gefäßverengung modelliert. Um scharfe Kanten und unphysiologische Druckspitzen zu vermeiden, werden alle Wandübergänge und die Gabelungsspitze (Apex) anatomisch verrundet.

Als Referenz dient ein gesundes, unverengtes Gefäß, in dem sich die Poiseuille-Strömung mit ihrem charakteristischen parabolischen Geschwindigkeitsprofil ausbildet. Diese Strömung ist aus zwei Gründen der natürliche Ausgangspunkt. Sie beschreibt den physiologischen Normalfall, mit dem jeder Stenosegrad verglichen wird, und sie ist exakt lösbar, sodass sich an ihr jede numerische Rechnung prüfen lässt, bevor die Verengung hinzukommt.

== Fragestellung ==
Die Hauptfragestellung dieses Projektes lautet: 
Wie verändert eine symmetrische bzw. rotationssymmetrische Stenose in der '''Arteria carotis interna (ACI)''' die stationäre Strömung eines inkompressiblen Newton’schen Fluids in einer 2D-Carotis-Bifurkation hinsichtlich Geschwindigkeitsverteilung, Druckabfall, Wandschubspannung und Wirbelbildung im Vergleich zu den gesunden Gefäßabschnitten?

Aus dieser Fragestellung ergeben sich drei Teilfragen, an denen sich der Aufbau der Seite orientiert:

# Welche Strömungsgrößen reagieren empfindlich auf den Stenosegrad und welche nur träge?
# Ab welchem Stenosegrad ändert sich das Strömungsmuster qualitativ, das heißt, ab wann löst die Strömung hinter der Engstelle von der Wand ab und bildet ein Rückströmgebiet?
# Wie weit tragen die vereinfachenden Modellannahmen, insbesondere die Annahme einer stationären und laminaren Strömung, über den untersuchten Bereich der Stenosegrade?

== Modellannahmen ==
Im Hinblick darauf werden für dieses Projekt einige Annahmen getroffen, um das Projekt möglichst isoliert zu untersuchen und zu simplifizieren:

* '''Idealisierte Gefäßgeometrie''': Betrachtet wird ein  Teilabbschnitt der ''Arteria carotis communis'', die sog. ''ACI''. Zudem werden Gefäßverkrümmungen, weitere Verzweigungen und patientenspezifische Strukturen  nicht berücksichtigt. 
* '''Starre Gefäßwand''': Die Gefäßwand wird als unbeweglich und nicht verformbar angenommen. Eine Wechselwirkung zwischen elastischer Gefäßwand und Blutströmung wird nicht modelliert.
* '''Stationäre Strömung''': Die Strömungsgrößen werden als zeitlich konstant angenommen. Die im realen Blutkreislauf vorhandene Pulsation durch den Herzschlag wird daher vernachlässigt: &lt;math&gt;\frac{\partial u}{\partial t}=0&lt;/math&gt;.
* '''Inkompressibles Fluid''': Die Dichte des Fluids wird als konstant angenommen. Damit gilt für die Geschwindigkeit &lt;math&gt;\nabla \cdot u=0&lt;/math&gt;. Dies entspricht der in der Vorlesung behandelten Massenerhaltung für inkompressible Fluide: Was in das Gefäß einströmt, muss auch wieder ausströmen.
* '''Newton'sche Näherung für Blut''': Reales Blut beseitzt ein nicht newton'sches Fließverhalten. Hier wird Blut als Newton'sches Fluid behandelt.
* '''Konstante Stoffeigenschaften''': Dichte &lt;math&gt;\rho&lt;/math&gt; und dynamische Viskosität μ werden als räumlich und zeitlich konstant angenommen. Temperaturabhängigkeiten werden nicht berücksichtigt.
* '''Laminare Strömung''': Die Strömung wird mit dem COMSOL-Modul ''Laminar Flow'' beschrieben. Ein zusätzliches Turbulenzmodell wird nicht verwendet.
* '''No-Slip-Bedingung an Gefäßwand''': Aufgrund der Viskosität wird angenommen, dass das Fluid direkt an der Gefäßwand haftet. Somit gilt &lt;math&gt;u=0&lt;/math&gt;.
* '''Vernachlässigung der Gravitation''': Gravitation wird nicht berücksichtigt. Die Strömung wird ausschließlich durch die gewählten Ein- und Auslassbedingungen bestimmt.

= Relevanz =
Die Untersuchung von Gefäßverengungen besitzt sowohl eine medizinische als auch eine methodische Bedeutung. Aus medizinischer Sicht sind arterielle Stenosen – etwa in der Halsschlagader, lat. ''arteria carotis communis'', – kritisch, da sie die Durchblutung beeinträchtigen und durch veränderte Wandschubspannungen sowie die Bildung von Wirbeln weitere Gefäßablagerungen begünstigen. Stenosen im Bereich der Karotisgabelung sind klinisch hochrelevant, da sie das Gehirn direkt versorgen und das Risiko für embolische Schlaganfälle erhöhen. Fachlich überträgt das Projekt damit die Prinzipien der Strömungsmechanik direkt auf eine biomedizinische Anwendung. Das Projekt verknüpft somit theoretische Grundlagen der Strömungsmechanik (Hagen-Poiseuille-Gleichung, Navier-Stokes-Gleichungen) mit der numerischen Simulation in COMSOL Multiphysics. Durch den Vergleich der '''gesunden Externa (ACE)''' mit der '''stenoisierten Interna (ACI)''' innerhalb desselben Rechengebiets wird die isolierte Wirkung der Stenose unter identischen Randbedingungen direkt sichtbar gemacht.

== Medizinische Relevanz ==

Arterielle Stenosen entstehen überwiegend durch Atherosklerose, also durch Ablagerungen aus Lipiden, Bindegewebe und Kalk in der Gefäßwand. In der Halsschlagader sind sie klinisch besonders bedeutsam, weil sie die Durchblutung des Gehirns beeinträchtigen und weil sich an ihnen Thromben bilden können, die als Embolie einen Schlaganfall auslösen. Dass die operative Entfernung einer hochgradigen Karotisstenose das Schlaganfallrisiko symptomatischer Patienten deutlich senkt, hat die NASCET-Studie gezeigt, deren Einteilung der Stenosegrade dieses Projekt übernimmt.&lt;ref name=&quot;nascet&quot;&gt;North American Symptomatic Carotid Endarterectomy Trial Collaborators: ''Beneficial effect of carotid endarterectomy in symptomatic patients with high-grade carotid stenosis.'' New England Journal of Medicine 325 (1991), Nr. 7, S. 445-453.&lt;/ref&gt;

Strömungsmechanisch ist an einer Stenose vor allem die Wandschubspannung von Interesse, also die tangentiale Kraft je Fläche, die das strömende Blut auf die innerste Zellschicht der Gefäßwand ausübt. Gesunde Halsschlagadern weisen zeitlich gemittelte Werte von etwa 1,1 bis 1,5 Pa auf.&lt;ref name=&quot;samijo&quot;&gt;Samijo, S. K.; Willigers, J. M.; Barkhuysen, R.; Kitslaar, P. J. E. H. M.; Reneman, R. S.; Brands, P. J.; Hoeks, A. P. G.: ''Wall shear stress in the human common carotid artery as function of age and gender.'' Cardiovascular Research 39 (1998), Nr. 2, S. 515-522.&lt;/ref&gt; In einer Engstelle steigt sie stark an, unmittelbar dahinter fällt sie im Ablösegebiet auf nahezu null und wechselt dort sogar das Vorzeichen. Niedrige und im Vorzeichen wechselnde Wandschubspannungen gelten als Bedingungen, unter denen sich weitere Ablagerungen bevorzugt bilden. Eine bestehende Stenose schafft also stromabwärts die Voraussetzungen für ihr eigenes Wachstum. Genau diese Verteilung lässt sich im Körper nur schwer messen, in einer Simulation dagegen unmittelbar auswerten.

== Methodische Relevanz ==

Fachlich überträgt das Projekt die Prinzipien der Strömungsmechanik aus der Vorlesung auf eine biomedizinische Anwendung.&lt;ref name=&quot;hundertmark&quot;&gt;Hundertmark, A.: ''Fluiddynamik.'' Vorlesungsunterlagen zum Modul Räumliche Modellbildung, RPTU Kaiserslautern-Landau, Sommersemester 2026.&lt;/ref&gt; Der methodische Mehrwert liegt in der Verknüpfung mehrerer Zugänge, die sich gegenseitig kontrollieren. Die analytische Poiseuille-Lösung liefert exakte Sollwerte für das gesunde Gefäß. Ein reduziertes Graphenmodell liefert für jeden Stenosegrad eine schnelle Abschätzung, die analytisch nachrechenbar ist. Die Simulationen in COMSOL Multiphysics lösen schließlich die vollständigen Navier-Stokes-Gleichungen in zwei und drei Raumdimensionen. Weil jede Stufe die Sollwerte der nächsten liefert, zeigt das Projekt nicht nur Ergebnisse, sondern auch, wie numerische Modelle aufgebaut, verifiziert und an ihren Grenzen bewertet werden.

== Auswahl der Stenosegrade ==

Um die untersuchten Gefäßverengungen nicht willkürlich festzulegen, orientiert sich die Auswahl der Stenosegrade an der klinisch gebräuchlichen NASCET-Klassifikation von Karotisstenosen.&lt;ref name=&quot;nascet&quot; /&gt; Zur klinischen Einordnung werden Karotisstenosen anhand der nach NASCET bestimmten Durchmesserreduktion in leichtgradige, mittelgradige und hochgradige Stenosen eingeteilt. Die angegebenen Prozentgrenzen dienen in diesem Projekt als Orientierung für die Auswahl der untersuchten Stenosegrade. Ein vollständiger Gefäßverschluss wird als Okklusion bezeichnet.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Klinische Einteilung nach NASCET-gemessener Durchmesserreduktion und untersuchte Stenosegrade
! Schweregrad !! Durchmesserreduktion !! im Projekt gerechnete Stenosegrade !! hervorgehobener Vertreter
|-
| gesundes Gefäß || 0 % || 0 || 0
|-
| leichtgradige Stenose || unter 50 % || 0,1 bis 0,4 || 0,3
|-
| mittelgradige Stenose || 50 bis 69 % || 0,5 und 0,6 || 0,6
|-
| hochgradige Stenose || 70 bis 99 % || 0,7 und 0,8 || 0,8
|-
| Okklusion || 100 % || nicht gerechnet || entfällt
|}
'''Anmerkung''': Die Klassengrenzen dienen der Einordnung der Modellvarianten. Die in der Tabelle genannten Stenosegrade sind dimensionslose Werte, beispielsweise entspricht '''&lt;math&gt;s=0{,}6&lt;/math&gt;''' einer Durchmesserreduktion von '''60 %'''.

Für die numerische Untersuchung wird aus jeder Kategorie ein repräsentativer Stenosegrad hervorgehoben. Neben dem gesunden Gefäß mit '''0 %''' Stenose sind das eine '''30 %''' Stenose als Beispiel für eine leichtgradige, eine '''60 %''' Stenose als Beispiel für eine mittelgradige und eine '''80 %''' Stenose als Beispiel für eine hochgradige Verengung. Zusätzlich werden für das Graphenmodell und das achsensymmetrische Flächenmodell Stenosegrade von 0 bis 80 % in Schritten von zehn Prozentpunkten vorgesehen. Dadurch kann die Abhängigkeit der Strömungsgrößen vom Stenosegrad systematisch untersucht und grafisch dargestellt werden. Ob alle Modellvarianten tatsächlich berechnet wurden und wie hoch der Rechenaufwand war, wird anhand der durchgeführten Simulationen dokumentiert. Ein vollständiger Gefäßverschluss wird nicht simuliert, da in diesem Fall keine durchgängige Strömung mehr vorliegt.

Der Stenosegrad wird in diesem Projekt wie bei NASCET über die Verringerung des Gefäßdurchmessers beschrieben,
&lt;math&gt;s = 1 - \frac{d_{\min}}{d_{\mathrm{ref}}},&lt;/math&gt;wobei &lt;math&gt;d_{\min}&lt;/math&gt; der kleinste Durchmesser in der Engstelle und &lt;math&gt;d_{\mathrm{ref}}&lt;/math&gt; ein Referenzdurchmesser ist. NASCET verwendet als Referenz den Durchmesser des gesunden Gefäßes stromabwärts der Stenose. Für das idealisierte gerade Gefäßmodell wird ein konstanter Referenzdurchmesser von &lt;math&gt;D_0=6\,\mathrm{mm}&lt;/math&gt; angenommen. Da das Gefäß außerhalb der Stenose denselben Durchmesser besitzt, gilt in diesem Modell&lt;math&gt;d_{\mathrm{ref}}=D_0&lt;/math&gt;. Bei der zusätzlich betrachteten Gefäßaufzweigung muss der Referenzdurchmesser dagegen gesondert festgelegt werden, da die Gefäßäste unterschiedliche Durchmesser besitzen.

Wichtig für das Verständnis aller weiteren Ergebnisse ist der Unterschied zwischen Durchmesser- und Flächenreduktion. Da die Querschnittsfläche quadratisch vom Durchmesser abhängt, gilt für die Flächenreduktion &lt;math&gt;1-(1-s)^2&lt;/math&gt;. Eine im klinischen Sinn nur mittelgradige Stenose von 60 % verschließt damit bereits 84 % der Querschnittsfläche.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Durchmesser- und Flächenreduktion der gerechneten Stenosegrade
! Stenosegrad s !! 0 !! 0,1 !! 0,2 !! 0,3 !! 0,4 !! 0,5 !! 0,6 !! 0,7 !! 0,8
|-
| engster Durchmesser in mm || 6,0 || 5,4 || 4,8 || 4,2 || 3,6 || 3,0 || 2,4 || 1,8 || 1,2
|-
| Flächenreduktion || 0 % || 19 % || 36 % || 51 % || 64 % || 75 % || 84 % || 91 % || 96 %
|}

Eine Einschränkungen gehört zur ehrlichen Einordnung: 
# Mit zunehmendem Stenosegrad, insbesondere bei ausgeprägten Verengungen, können lokale Beschleunigungen, Strömungsablösungen und zeitabhängige Strömungsstrukturen auftreten. Daher muss bei den hochgradigen Stenosen geprüft werden, inwieweit die Annahme einer stationären, laminaren Strömung geeignet ist. Eine feste Grenze bei &lt;math&gt;s=0{,}6&lt;/math&gt; lässt sich ohne entsprechende Simulationsergebnisse oder Literaturbelege nicht allgemein festlegen. Die hochgradigen Fälle werden deshalb unter besonderer Berücksichtigung der Modellannahmen diskutiert.

Unter Modellierung wird in diesem Projekt die Übertragung der Blutströmung in einer verengten Arterie auf ein mathematisches und numerisch lösbares Strömungsproblem verstanden. Dazu werden die Gefäßgeometrie, die zugrunde liegenden Gleichungen, die physikalischen Materialparameter sowie die Anfangs- und Randbedingungen festgelegt.

Jeder dieser Bestandteile beruht auf vereinfachenden Annahmen, die begründet und bei der Interpretation der Ergebnisse berücksichtigt werden müssen. Ziel ist es, den Einfluss unterschiedlicher Stenosegrade auf die Strömungsgeschwindigkeit, den Druckverlust und gegebenenfalls die Wandschubspannung systematisch zu untersuchen.

Die Modellierung erfolgt anhand mehrerer Modellvarianten mit unterschiedlicher räumlicher Auflösung. Dadurch können zunächst grundlegende Zusammenhänge analytisch abgeschätzt und anschließend mit numerischen Strömungsberechnungen verglichen werden. Die verwendeten Parameter orientieren sich an den bereitgestellten Referenzdaten und werden in den folgenden Abschnitten erläutert.

== Modellierung ==

Ziel der Modellierung ist es, die Blutströmung innerhalb einer Y-förmigen Aufzweigung der Halsschlagader mathematisch und numerisch zu untersuchen. Im Mittelpunkt steht eine Gefäßverengung (Stenose) in der Arteria carotis interna.

Das betrachtete Gefäßmodell besteht aus der Arteria carotis communis, die sich in die Arteria carotis interna und die Arteria carotis externa aufteilt. Die Stenose befindet sich ausschließlich in der Arteria carotis interna.

Durch die Verengung verändert sich der verfügbare Strömungsquerschnitt. Dies kann zu einer Erhöhung der lokalen Strömungsgeschwindigkeit, zu zusätzlichen Druckverlusten und zu einer Veränderung der Strömungsverteilung zwischen den beiden Gefäßästen führen.

Ziel ist es, den Einfluss unterschiedlicher Stenosegrade auf die Strömungsgeschwindigkeit, die Druckverteilung und die Wandschubspannung zu untersuchen. Zusätzlich soll betrachtet werden, wie sich die Strömung innerhalb der Y-förmigen Gefäßaufzweigung verhält.

Die numerische Modellierung erfolgt mit COMSOL Multiphysics. Dazu werden die Gefäßgeometrie, die Materialeigenschaften des Blutes, die Strömungsgleichungen und die Randbedingungen festgelegt.

Zur Vereinfachung wird Blut zunächst als inkompressibles, Newtonsches Fluid betrachtet. Die Gefäßwände werden als starr angenommen. Diese Annahmen ermöglichen eine systematische Untersuchung der Stenose, schränken jedoch die Übertragbarkeit auf reale physiologische Bedingungen ein.

=== Modellhierarchie ===

Für die Untersuchung der Blutströmung innerhalb der Y-förmigen Karotisaufzweigung werden drei Modellvarianten betrachtet. Diese unterscheiden sich hinsichtlich ihrer räumlichen Dimension, ihrer mathematischen Beschreibung und der Genauigkeit, mit der die Strömungsverhältnisse dargestellt werden können.

Das untersuchte Gefäß besteht aus der Arteria carotis communis, die sich in die Arteria carotis interna und die Arteria carotis externa aufteilt. Die Stenose befindet sich ausschließlich in der Arteria carotis interna.

Alle drei Modellvarianten werden mit COMSOL Multiphysics umgesetzt.

{| class=&quot;wikitable&quot; style=&quot;width:100%;&quot;
|+ '''Die drei Modellvarianten des Projekts'''
|-
! Modell
! Raumdimension
! Mathematische Grundlage
! Zweck
! Werkzeug
|-
| '''Graphenmodell'''
| 1D, Gefäßnetzwerk mit einer Verzweigung
| Massenerhaltung an der Verzweigung und vereinfachte Beschreibung der Strömungswiderstände
| Abschätzung der Volumenstromverteilung und der Druckverluste in den Gefäßästen
| COMSOL Multiphysics
|-
| '''Ebenes Flächenmodell'''
| 2D, Y-förmige Gefäßgeometrie in kartesischen Koordinaten
| Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen
| Untersuchung der Geschwindigkeits- und Druckverteilung sowie der Auswirkungen der Stenose in der Arteria carotis interna
| COMSOL Multiphysics, Laminare Strömung
|-
| '''Volumenmodell'''
| 3D, räumliche Y-förmige Gefäßgeometrie
| Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen
| Räumliche Untersuchung des Geschwindigkeitsfeldes, des Druckverlustes und der Wandschubspannung
| COMSOL Multiphysics, Laminare Strömung
|}

==== Vergleich und Überprüfung der Modellvarianten ====

Die drei Modellvarianten bauen hinsichtlich ihrer räumlichen Beschreibung aufeinander auf. Das Graphenmodell ermöglicht zunächst eine vereinfachte Betrachtung der Volumenströme und Druckverluste. Die zwei- und dreidimensionalen Modelle erlauben anschließend eine detailliertere Untersuchung der Strömung innerhalb der Gefäßaufzweigung.

Das '''Graphenmodell''' beschreibt die Arteria carotis communis sowie die beiden abzweigenden Gefäße als miteinander verbundenes Netzwerk. Dabei wird die Massenerhaltung an der Verzweigung berücksichtigt:

:&lt;math&gt;Q_{\mathrm{CCA}}=Q_{\mathrm{ICA}}+Q_{\mathrm{ECA}}&lt;/math&gt;

Das Modell liefert vereinfachte Abschätzungen der Volumenstromverteilung. Lokale Strömungsablösungen und räumliche Geschwindigkeitsverteilungen können damit nicht detailliert dargestellt werden.

Das '''ebene Flächenmodell''' bildet die Y-förmige Gefäßaufzweigung in zwei Raumdimensionen ab. Die Stenose wird innerhalb der Arteria carotis interna berücksichtigt. Dadurch können die Geschwindigkeits- und Druckverteilung sowie mögliche Rückströmungsbereiche untersucht werden.

Das '''Volumenmodell''' erweitert die Untersuchung auf drei Raumdimensionen. Es ermöglicht eine räumliche Darstellung der Strömung und eine detailliertere Berechnung der Wandschubspannung.

Die Ergebnisse des ebenen Flächenmodells und des Volumenmodells werden miteinander verglichen. Da das ebene Modell die räumliche Querschnittsgeometrie nur vereinfacht darstellt, müssen Unterschiede zwischen den beiden Modellen bei der Interpretation berücksichtigt werden.

Ziel der Modellhierarchie ist es, die Aussagekraft der einzelnen Modellvarianten zu bewerten und den Einfluss des Stenosegrades auf die Strömung innerhalb der Y-förmigen Karotisaufzweigung zu untersuchen.

=== Simulationsgebiet und Geometrie ===

Das Simulationsgebiet besteht aus einer idealisierten Y-förmigen Aufzweigung der Arteria carotis. Die Arteria carotis communis teilt sich in die Arteria carotis interna und die Arteria carotis externa.

Die Stenose befindet sich in der Arteria carotis interna. Die Arteria carotis externa wird ohne zusätzliche Verengung modelliert.

Die Geometrie orientiert sich an den bereitgestellten Referenzdaten. Die Gefäßdurchmesser werden innerhalb der jeweiligen unverengten Abschnitte als konstant angenommen.

{| class=&quot;wikitable&quot; style=&quot;width:100%;&quot;
|+ '''Geometrische Referenzparameter der Y-förmigen Gefäßaufzweigung'''
|-
! Gefäßabschnitt
! Durchmesser
! Länge
|-
| Arteria carotis communis
| 6 mm
| 60 mm
|-
| Arteria carotis interna
| 5 mm
| 60 mm
|-
| Arteria carotis externa
| 4 mm
| 60 mm
|-
| Stenose in der Arteria carotis interna
| Abhängig vom Stenosegrad
| 10 mm
|}

Die Verengung wird über den Stenosegrad &lt;math&gt;s&lt;/math&gt; beschrieben. Dieser gibt die relative Verringerung des Gefäßdurchmessers an:

:&lt;math&gt;s=1-\frac{d_{\min}}{D_{\mathrm{ICA}}}&lt;/math&gt;

Dabei bezeichnet &lt;math&gt;d_{\min}&lt;/math&gt; den minimalen Durchmesser innerhalb der Stenose und &lt;math&gt;D_{\mathrm{ICA}}&lt;/math&gt; den unverengten Referenzdurchmesser der Arteria carotis interna.

Für das Modell gilt:

:&lt;math&gt;D_{\mathrm{ICA}}=5\,\mathrm{mm}&lt;/math&gt;

Der minimale Durchmesser ergibt sich damit zu:

:&lt;math&gt;d_{\min}=D_{\mathrm{ICA}}(1-s)&lt;/math&gt;

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ '''Minimaler Durchmesser der Stenose in der Arteria carotis interna'''
|-
! Stenosegrad
! Minimaler Durchmesser
|-
| 0 %
| 5,0 mm
|-
| 10 %
| 4,5 mm
|-
| 20 %
| 4,0 mm
|-
| 30 %
| 3,5 mm
|-
| 40 %
| 3,0 mm
|-
| 50 %
| 2,5 mm
|-
| 60 %
| 2,0 mm
|-
| 70 %
| 1,5 mm
|-
| 80 %
| 1,0 mm
|}

Die angegebenen Stenosegrade beziehen sich ausschließlich auf den Durchmesser der Arteria carotis interna. Der Durchmesser der Arteria carotis communis wird nicht zur Berechnung des Stenosegrades verwendet.

Die Y-förmige Geometrie ermöglicht es, die Auswirkungen der Verengung sowohl auf die lokale Strömung in der Arteria carotis interna als auch auf die Strömungsverteilung innerhalb der gesamten Gefäßaufzweigung zu untersuchen.

Die genaue Form der Stenose, der Verzweigungswinkel und die Übergänge zwischen den Gefäßabschnitten müssen entsprechend der tatsächlich in COMSOL verwendeten Geometrie dokumentiert werden.


== Stoff- und Strömungsparameter ==

Die Stoffwerte des Blutes und der Volumenstrom sind die einzigen Eingangsgrößen, die nicht aus der Geometrie folgen. Aus ihnen werden alle weiteren Strömungskennwerte berechnet. Die folgenden Schritte zeigen jede Rechnung einzeln, damit sich jeder Wert nachprüfen lässt.

# Die '''Dichte''' wird mit &lt;math&gt;\rho = 1060\ \mathrm{kg/m^3}&lt;/math&gt; angesetzt. Der Wert lässt sich als Mischungsregel plausibel machen. Plasma hat eine Dichte von etwa 1025 kg/m³, rote Blutkörperchen von etwa 1100 kg/m³. Bei einem Zellanteil von 45 % ergibt sich &lt;math&gt;0{,}55 \cdot 1025 + 0{,}45 \cdot 1100 \approx 1059\ \mathrm{kg/m^3}&lt;/math&gt;. Die Dichte geht nur über die Reynoldszahl in die Rechnung ein, eine Abweichung von einem Prozent ändert die Ergebnisse daher kaum. &lt;!-- FIXME Lehrbuchquelle fuer Plasma- und Erythrozytendichte ergaenzen --&gt;
# Die '''dynamische Viskosität''' wird mit &lt;math&gt;\mu = 3{,}5\ \mathrm{mPa\,s}&lt;/math&gt; angesetzt. Das ist der Grenzwert der Blutviskosität bei hohen Scherraten, also genau der Wert, der zur Newtonschen Näherung gehört. Derselbe Wert von 0,035 Poise wird auch im Standardwerk zur Modellierung des Herz-Kreislauf-Systems verwendet.&lt;ref name=&quot;quarteroni&quot;&gt;Quarteroni, A.; Formaggia, L.: ''Mathematical Modelling and Numerical Simulation of the Cardiovascular System.'' In: Ayache, N. (Hrsg.): ''Computational Models for the Human Body.'' Handbook of Numerical Analysis, Bd. XII, Elsevier, Amsterdam 2004, S. 3-127. DOI 10.1016/S1570-8659(03)12001-7. Zur Newtonschen Näherung in großen Gefäßen siehe S. 30, zur Viskosität von 0,035 Poise die Parametertabelle auf S. 116.&lt;/ref&gt;
# Der '''mittlere Volumenstrom''' wird mit &lt;math&gt;Q_0 = 6\ \mathrm{ml/s}&lt;/math&gt; angesetzt. Das ist der zeitlich gemittelte Volumenstrom, der in der gemeinsamen Halsschlagader gesunder Probanden gemessen wurde.&lt;ref name=&quot;holdsworth&quot; /&gt;
# Die '''mittlere Geschwindigkeit''' folgt aus Volumenstrom und Querschnittsfläche, &lt;math&gt;U_0 = \frac{Q_0}{\pi R_0^2} = \frac{6 \cdot 10^{-6}\ \mathrm{m^3/s}}{\pi \cdot (0{,}003\ \mathrm{m})^2} = 0{,}2122\ \mathrm{m/s}&lt;/math&gt;.
# Die '''Reynoldszahl''' des gesunden Gefäßes ist &lt;math&gt;Re_0 = \frac{\rho\, U_0\, D_0}{\mu} = \frac{1060 \cdot 0{,}2122 \cdot 0{,}006}{0{,}0035} = 385{,}6&lt;/math&gt;. Sie wird im Folgenden auf 386 gerundet.
# Die '''Einlauflänge''', die eine anfangs gleichförmige Strömung bis zum voll entwickelten Parabelprofil bräuchte, beträgt nach der gebräuchlichen Abschätzung für laminare Rohrströmungen &lt;math&gt;L_e \approx 0{,}06\, Re_0\, D_0 \approx 0{,}06 \cdot 386 \cdot 6\ \mathrm{mm} \approx 139\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt;.&lt;ref name=&quot;durst&quot;&gt;Durst, F.; Ray, S.; Ünsal, B.; Bayoumi, O. A.: ''The development lengths of laminar pipe and channel flows.'' Journal of Fluids Engineering 127 (2005), Nr. 6, S. 1154-1160. Für große Reynoldszahlen nähert sich die dort angegebene Korrelation dem Wert 0,057·Re·D.&lt;/ref&gt; Das ist fast die gesamte Länge des Rechengebiets. Ein konstantes Einlassprofil würde die Strömung an der Stenose also verfälschen, weshalb am Einlass das voll entwickelte Profil vorgegeben wird.

Damit liegen alle globalen Parameter fest. Die folgende Tabelle enthält sie mit genau den Namen, unter denen sie in COMSOL und in den Octave-Skripten verwendet werden.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Globale Parameter des Modells
! Name !! Ausdruck in COMSOL !! Wert !! Bedeutung !! Herkunft
|-
| R0 || 3[mm] || 3 mm || Gefäßradius || Messwerte nach Krejza u. a. 2006, gerundet
|-
| D0 || 2*R0 || 6 mm || Gefäßdurchmesser || abgeleitet
|-
| Ls || 2*D0 || 12 mm || Länge der Störstelle || Standardgeometrie nach Varghese u. a. 2007
|-
| Lu || 5*D0 || 30 mm || Vorlaufstrecke vor der Stenosemitte || Abstand der Einlassbedingung von der Stenose
|-
| Ld || 20*D0 || 120 mm || Nachlaufstrecke hinter der Stenosemitte || Platz für das Rückströmgebiet
|-
| Lf || Ls/2+10*D0 || 66 mm || Ende des fein vernetzten Nachlaufs || erwartete Länge des Rückströmgebiets
|-
| s || 0 bis 0.8 || 0 bis 0,8 || Stenosegrad bezogen auf den Durchmesser || NASCET-Einteilung
|-
| rho_b || 1060[kg/m^3] || 1060 kg/m³ || Dichte des Blutes || Mischungsregel, Literaturwert
|-
| mu_b || 3.5[mPa*s] || 3,5 mPa·s || dynamische Viskosität des Blutes || Hochscherwert, Quarteroni und Formaggia 2004
|-
| Q0 || 6[ml/s] || 6 ml/s || mittlerer Volumenstrom || Messwerte nach Holdsworth u. a. 1999
|-
| U0 || Q0/(pi*R0^2) || 0,2122 m/s || mittlere Einströmgeschwindigkeit || abgeleitet
|-
| Re0 || rho_b*U0*D0/mu_b || 385,6 || Reynoldszahl des gesunden Gefäßes || abgeleitet
|-
| dp_ref || 8*mu_b*U0*(Lu+Ld)/R0^2 || 99,03 Pa || Poiseuille-Druckabfall des gesunden Gefäßes || abgeleitet, Hagen-Poiseuille
|}


AB HIER ALT== Modellhierarchie ==

Für die Untersuchung werden vier Modellvarianten betrachtet, die sich hinsichtlich ihrer mathematischen Beschreibung, ihrer räumlichen Dimension und ihres Rechenaufwands unterscheiden. Die Modelle sind bewusst von einer vereinfachten analytischen Beschreibung bis zu einer dreidimensionalen numerischen Simulation angeordnet.

Diese Vorgehensweise ermöglicht es, die Ergebnisse der komplexeren Modelle anhand grundlegender physikalischer Zusammenhänge und geeigneter Referenzfälle zu überprüfen. Dabei ist zu beachten, dass nicht jede Modellvariante dieselben Strömungseigenschaften vollständig abbilden kann.

{| class=&quot;wikitable&quot; style=&quot;width:100%;&quot;
|+ '''Die vier Modellvarianten des Projekts'''
|-
! Modell
! Raumdimension
! Mathematische Grundlage
! Zweck
! Werkzeug
|-
| '''Graphenmodell'''
| 1D, Beschreibung entlang der Gefäßachse
| Hagen-Poiseuille-Gesetz für vereinfachte Rohrabschnitte und Massenerhaltung an Verzweigungsknoten
| Analytische Abschätzung von Volumenströmen und Druckverlusten; Referenz für die numerischen Modelle
| COMSOL mit geeigneter eindimensionaler Formulierung
|-
| '''Achsensymmetrisches Flächenmodell'''
| 2D, rotationssymmetrischer Längsschnitt in den Koordinaten &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;z&lt;/math&gt;
| Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen in achsensymmetrischer Form
| Detaillierte Untersuchung von Geschwindigkeits- und Druckfeldern sowie der Wandschubspannung in einem idealisierten rotationssymmetrischen Gefäß
| COMSOL Multiphysics, Laminar Flow
|-
| '''Ebenes Flächenmodell'''
| 2D, ebene Geometrie in den Koordinaten &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;y&lt;/math&gt;
| Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen in kartesischen Koordinaten
| Untersuchung der Strömung in einer vereinfachten ebenen Geometrie und Vergleich mit dem achsensymmetrischen Modell
| COMSOL Multiphysics, Laminar Flow
|-
| '''Volumenmodell'''
| 3D, räumliche Gefäßgeometrie
| Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen in drei Raumdimensionen
| Räumliche Darstellung der Strömung und Überprüfung der Ergebnisse des achsensymmetrischen Modells bei vergleichbarer Geometrie
| COMSOL Multiphysics, Laminar Flow
|}

== Stoff- und Strömungsparameter ==

Die Stoffwerte des Blutes und der Volumenstrom sind die einzigen Eingangsgrößen, die nicht aus der Geometrie folgen. Aus ihnen werden alle weiteren Strömungskennwerte berechnet. Die folgenden Schritte zeigen jede Rechnung einzeln, damit sich jeder Wert nachprüfen lässt.

# Die '''Dichte''' wird mit &lt;math&gt;\rho = 1060\ \mathrm{kg/m^3}&lt;/math&gt; angesetzt. Der Wert lässt sich als Mischungsregel plausibel machen. Plasma hat eine Dichte von etwa 1025 kg/m³, rote Blutkörperchen von etwa 1100 kg/m³. Bei einem Zellanteil von 45 % ergibt sich &lt;math&gt;0{,}55 \cdot 1025 + 0{,}45 \cdot 1100 \approx 1059\ \mathrm{kg/m^3}&lt;/math&gt;. Die Dichte geht nur über die Reynoldszahl in die Rechnung ein, eine Abweichung von einem Prozent ändert die Ergebnisse daher kaum. &lt;!-- FIXME Lehrbuchquelle fuer Plasma- und Erythrozytendichte ergaenzen --&gt;
# Die '''dynamische Viskosität''' wird mit &lt;math&gt;\mu = 3{,}5\ \mathrm{mPa\,s}&lt;/math&gt; angesetzt. Das ist der Grenzwert der Blutviskosität bei hohen Scherraten, also genau der Wert, der zur Newtonschen Näherung gehört. Derselbe Wert von 0,035 Poise wird auch im Standardwerk zur Modellierung des Herz-Kreislauf-Systems verwendet.&lt;ref name=&quot;quarteroni&quot;&gt;Quarteroni, A.; Formaggia, L.: ''Mathematical Modelling and Numerical Simulation of the Cardiovascular System.'' In: Ayache, N. (Hrsg.): ''Computational Models for the Human Body.'' Handbook of Numerical Analysis, Bd. XII, Elsevier, Amsterdam 2004, S. 3-127. DOI 10.1016/S1570-8659(03)12001-7. Zur Newtonschen Näherung in großen Gefäßen siehe S. 30, zur Viskosität von 0,035 Poise die Parametertabelle auf S. 116.&lt;/ref&gt;
# Der '''mittlere Volumenstrom''' wird mit &lt;math&gt;Q_0 = 6\ \mathrm{ml/s}&lt;/math&gt; angesetzt. Das ist der zeitlich gemittelte Volumenstrom, der in der gemeinsamen Halsschlagader gesunder Probanden gemessen wurde.&lt;ref name=&quot;holdsworth&quot; /&gt;
# Die '''mittlere Geschwindigkeit''' folgt aus Volumenstrom und Querschnittsfläche, &lt;math&gt;U_0 = \frac{Q_0}{\pi R_0^2} = \frac{6 \cdot 10^{-6}\ \mathrm{m^3/s}}{\pi \cdot (0{,}003\ \mathrm{m})^2} = 0{,}2122\ \mathrm{m/s}&lt;/math&gt;.
# Die '''Reynoldszahl''' des gesunden Gefäßes ist &lt;math&gt;Re_0 = \frac{\rho\, U_0\, D_0}{\mu} = \frac{1060 \cdot 0{,}2122 \cdot 0{,}006}{0{,}0035} = 385{,}6&lt;/math&gt;. Sie wird im Folgenden auf 386 gerundet.
# Die '''Einlauflänge''', die eine anfangs gleichförmige Strömung bis zum voll entwickelten Parabelprofil bräuchte, beträgt nach der gebräuchlichen Abschätzung für laminare Rohrströmungen &lt;math&gt;L_e \approx 0{,}06\, Re_0\, D_0 \approx 0{,}06 \cdot 386 \cdot 6\ \mathrm{mm} \approx 139\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt;.&lt;ref name=&quot;durst&quot;&gt;Durst, F.; Ray, S.; Ünsal, B.; Bayoumi, O. A.: ''The development lengths of laminar pipe and channel flows.'' Journal of Fluids Engineering 127 (2005), Nr. 6, S. 1154-1160. Für große Reynoldszahlen nähert sich die dort angegebene Korrelation dem Wert 0,057·Re·D.&lt;/ref&gt; Das ist fast die gesamte Länge des Rechengebiets. Ein konstantes Einlassprofil würde die Strömung an der Stenose also verfälschen, weshalb am Einlass das voll entwickelte Profil vorgegeben wird.

Damit liegen alle globalen Parameter fest. Die folgende Tabelle enthält sie mit genau den Namen, unter denen sie in COMSOL und in den Octave-Skripten verwendet werden.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Globale Parameter des Modells
! Name !! Ausdruck in COMSOL !! Wert !! Bedeutung !! Herkunft
|-
| R0 || 3[mm] || 3 mm || Gefäßradius || Messwerte nach Krejza u. a. 2006, gerundet
|-
| D0 || 2*R0 || 6 mm || Gefäßdurchmesser || abgeleitet
|-
| Ls || 2*D0 || 12 mm || Länge der Störstelle || Standardgeometrie nach Varghese u. a. 2007
|-
| Lu || 5*D0 || 30 mm || Vorlaufstrecke vor der Stenosemitte || Abstand der Einlassbedingung von der Stenose
|-
| Ld || 20*D0 || 120 mm || Nachlaufstrecke hinter der Stenosemitte || Platz für das Rückströmgebiet
|-
| Lf || Ls/2+10*D0 || 66 mm || Ende des fein vernetzten Nachlaufs || erwartete Länge des Rückströmgebiets
|-
| s || 0 bis 0.8 || 0 bis 0,8 || Stenosegrad bezogen auf den Durchmesser || NASCET-Einteilung
|-
| rho_b || 1060[kg/m^3] || 1060 kg/m³ || Dichte des Blutes || Mischungsregel, Literaturwert
|-
| mu_b || 3.5[mPa*s] || 3,5 mPa·s || dynamische Viskosität des Blutes || Hochscherwert, Quarteroni und Formaggia 2004
|-
| Q0 || 6[ml/s] || 6 ml/s || mittlerer Volumenstrom || Messwerte nach Holdsworth u. a. 1999
|-
| U0 || Q0/(pi*R0^2) || 0,2122 m/s || mittlere Einströmgeschwindigkeit || abgeleitet
|-
| Re0 || rho_b*U0*D0/mu_b || 385,6 || Reynoldszahl des gesunden Gefäßes || abgeleitet
|-
| dp_ref || 8*mu_b*U0*(Lu+Ld)/R0^2 || 99,03 Pa || Poiseuille-Druckabfall des gesunden Gefäßes || abgeleitet, Hagen-Poiseuille
|}

=== Vergleich und Überprüfung der Modellvarianten ===

Die Modellhierarchie folgt dem Prinzip, dass zunächst vereinfachte Zusammenhänge untersucht und anschließend mit detaillierteren numerischen Modellen verglichen werden.

Das '''Graphenmodell''' bildet die einfachste Modellvariante. Es verwendet das Hagen-Poiseuille-Gesetz zur Abschätzung des Druckverlustes in geraden Rohrabschnitten mit konstantem Durchmesser. Für den unverengten Referenzfall kann damit eine analytische Vergleichsgröße bestimmt werden. Im Bereich einer Stenose ist die Anwendung jedoch nur als vereinfachte Näherung geeignet, da dort zusätzliche Strömungseffekte auftreten können.

Das '''achsensymmetrische Flächenmodell''' ermöglicht eine detailliertere Untersuchung des Geschwindigkeits- und Druckfeldes innerhalb einer idealisierten rotationssymmetrischen Gefäßverengung. Im unverengten Referenzfall können die numerischen Ergebnisse mit der analytischen Poiseuille-Lösung verglichen werden. Bei zunehmendem Stenosegrad werden insbesondere die Beschleunigung im Bereich der Engstelle, der Druckverlust und die Wandschubspannung betrachtet.

Das '''ebene Flächenmodell''' beschreibt die Strömung in einer zweidimensionalen kartesischen Geometrie. Im Unterschied zum achsensymmetrischen Modell wird dabei keine Rotationssymmetrie vorausgesetzt. Da sich die geometrische Beschreibung des Strömungsquerschnitts unterscheidet, sind die Ergebnisse nicht ohne Weiteres quantitativ gleichzusetzen. Der Vergleich dient insbesondere dazu, den Einfluss der Modellvereinfachung auf die berechneten Strömungsgrößen zu untersuchen.

Das '''Volumenmodell''' erweitert die Untersuchung auf drei Raumdimensionen. Bei einer rotationssymmetrischen Geometrie und entsprechend übereinstimmenden Randbedingungen wird eine weitgehende Übereinstimmung mit dem achsensymmetrischen Modell erwartet. Diese Übereinstimmung muss jedoch anhand der numerischen Ergebnisse überprüft werden. Bei einer Gefäßaufzweigung oder einer asymmetrischen Stenose können zusätzliche räumliche Strömungseffekte auftreten, die durch ein achsensymmetrisches Modell nicht vollständig beschrieben werden.

=== Referenzfall und Vergleichsgrößen ===

Als Ausgangspunkt dient ein unverengtes Gefäß mit dem Referenzdurchmesser &lt;math&gt;D_0=6\,\mathrm{mm}&lt;/math&gt;. Für das Blut werden eine Dichte von &lt;math&gt;\rho_b=1060\,\mathrm{kg/m^3}&lt;/math&gt; und eine dynamische Viskosität von &lt;math&gt;\mu_b=3{,}5\,\mathrm{mPa\,s}&lt;/math&gt; angenommen.

Der vorgegebene mittlere Volumenstrom beträgt &lt;math&gt;Q_0=6\,\mathrm{ml/s}&lt;/math&gt;. Daraus ergibt sich für den unverengten kreisförmigen Querschnitt eine mittlere Strömungsgeschwindigkeit von ungefähr &lt;math&gt;U_0=0{,}2122\,\mathrm{m/s}&lt;/math&gt;.

Die Referenz-Reynolds-Zahl beträgt &lt;math&gt;\mathrm{Re}_0=385{,}6&lt;/math&gt;. Für den in den Referenzdaten definierten Vergleichsfall ist außerdem ein analytischer Druckverlust von &lt;math&gt;\Delta p_{\mathrm{ref}}=99{,}03\,\mathrm{Pa}&lt;/math&gt; angegeben.

Diese Größen dienen als Ausgangspunkt für die Überprüfung der numerischen Modelle. Ein direkter Vergleich ist jedoch nur zulässig, wenn die jeweils verwendete Geometrie, die Auswertelänge und die Randbedingungen übereinstimmen.

=== Grenzen der Modellhierarchie ===

Die vier Modellvarianten unterscheiden sich nicht nur im Rechenaufwand, sondern auch in den physikalischen Effekten, die sie darstellen können.

Insbesondere bei hochgradigen Stenosen können starke lokale Geschwindigkeitsänderungen, Strömungsablösungen und zeitabhängige Strömungsstrukturen auftreten. Deshalb muss überprüft werden, ob die Annahme einer stationären laminaren Strömung für die betrachteten Fälle ausreichend ist.

Außerdem muss zwischen dem idealisierten geraden Gefäßmodell und einer Gefäßaufzweigung unterschieden werden. Das achsensymmetrische Modell eignet sich für eine rotationssymmetrische Stenose in einem geraden Gefäß, während eine realistische Gefäßaufzweigung eine andere geometrische Beschreibung erfordert.

Die Modellvarianten werden daher nicht als vollständig gleichwertig betrachtet. Vielmehr soll der Vergleich zeigen, welche Aussagen bereits durch vereinfachte Modelle möglich sind und für welche Strömungseigenschaften eine detailliertere numerische Beschreibung erforderlich ist.

= Modellierung =

Modellierung bedeutet hier, die reale Situation in eine mathematische Aufgabe zu übersetzen, die sich lösen lässt. Dazu gehören vier Bausteine, nämlich das Rechengebiet, die Gleichungen, die Zahlenwerte der Parameter und die Bedingungen an den Rändern. Jeder dieser Bausteine beruht auf Annahmen, und jede Annahme muss begründet werden. Dieser Abschnitt geht die Bausteine deshalb der Reihe nach durch und nennt bei jedem Zahlenwert, woher er stammt und warum er sinnvoll ist.

== Modellhierarchie ==

Das Projekt rechnet nicht ein einziges Modell, sondern vier aufeinander aufbauende Modellvarianten. Sie entsprechen der Kursanforderung, eine Strömung als Graph, in zwei und in drei Raumdimensionen darzustellen, und sie sind bewusst von einfach nach aufwendig geordnet.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Die vier Modellvarianten des Projekts
! Modell !! Raumdimension !! gelöste Gleichung !! Zweck !! Werkzeug
|-
| Graphenmodell || 1D, Gefäßachse || Hagen-Poiseuille je Rohrstück und Massenerhaltung in jedem Knoten || schnelle, analytisch nachrechenbare Abschätzung für jeden Stenosegrad || Octave und COMSOL (Koeffizientenform-PDGL)
|-
| achsensymmetrisches Flächenmodell || 2D, Halbschnitt in r und z || vollständige stationäre Navier-Stokes-Gleichungen in Zylinderkoordinaten || Hauptmodell, liefert alle Feldgrößen des rotationssymmetrischen Rohres || COMSOL, Laminare Strömung
|-
| ebenes Flächenmodell || 2D, Halbschnitt in x und y || vollständige stationäre Navier-Stokes-Gleichungen in kartesischen Koordinaten || Vergleich, zeigt den Einfluss der zweiten Querschnittsrichtung || COMSOL, Laminare Strömung
|-
| Volumenmodell || 3D || vollständige stationäre Navier-Stokes-Gleichungen || Kontrolle des Hauptmodells und räumliche Darstellung || COMSOL, Laminare Strömung
|}

Die Reihenfolge folgt einem einfachen Prinzip. Jede Stufe liefert die Sollwerte, an denen die nächste, komplexere Stufe geprüft wird. Das Graphenmodell muss im gesunden Fall exakt die Poiseuille-Lösung ergeben. Das achsensymmetrische Modell muss im gesunden Fall dieselben Werte liefern und bei Stenose für Geschwindigkeit und Wandschubspannung in der Nähe des Graphenmodells liegen. Das Volumenmodell muss, weil die Geometrie rotationssymmetrisch ist, mit dem achsensymmetrischen Modell übereinstimmen.

== Modellannahmen ==

Um den Einfluss des Stenosegrades möglichst isoliert zu untersuchen, werden die folgenden Modellannahmen getroffen. Die Tabelle nennt zu jeder Annahme ihre mathematische Form, die Begründung und die Stelle, an der sie im Projekt überprüft wird.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Modellannahmen, ihre Begründung und ihre Überprüfung
! Annahme !! mathematische Form !! Begründung !! Überprüfung
|-
| Idealisierte Gefäßgeometrie || gerades Rohr mit kosinusförmiger, rotationssymmetrischer Verengung || isoliert die Wirkung des Stenosegrades von Krümmung, Verzweigung und Plaqueform || Diskussion in den Schlussfolgerungen
|-
| Starre Gefäßwand || Wand ortsfest, keine Fluid-Struktur-Kopplung || im stationären Fall gibt es keine Druckschwankung, die die Wand periodisch aufweiten könnte || Abschätzung über die gemessene Durchmesseränderung im Herzzyklus
|-
| Stationäre Strömung || &lt;math&gt;\partial \mathbf{u}/\partial t = \mathbf{0}&lt;/math&gt; || der Einfluss des Stenosegrades soll ohne Überlagerung durch die Pulsation sichtbar werden || Abschätzung über die Womersley-Zahl
|-
| Inkompressibles Fluid || &lt;math&gt;\rho = \mathrm{const}&lt;/math&gt;, damit &lt;math&gt;\nabla\cdot\mathbf{u} = 0&lt;/math&gt; || Blut ist eine Flüssigkeit, Druckänderungen von wenigen hundert Pascal ändern die Dichte nicht messbar || Massenerhaltung in fünf Querschnitten
|-
| Newtonsche Näherung || konstante Viskosität &lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt; || die Scherraten an der Wand und im größten Teil des Querschnitts liegen über dem Bereich, in dem Blut deutlich scherverdünnend wirkt || Scherrate an der Wand, Diskussion des Rückströmgebiets
|-
| Konstante Stoffeigenschaften || &lt;math&gt;\rho&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt; räumlich und zeitlich konstant || Körpertemperatur ist im betrachteten Abschnitt konstant || entfällt
|-
| Laminare Strömung || kein Turbulenzmodell, Schnittstelle Laminare Strömung || Reynoldszahl des gesunden Gefäßes von 386 liegt weit unter dem Umschlagbereich || Reynoldszahl in der Engstelle, Literaturvergleich
|-
| Haftbedingung an der Wand || &lt;math&gt;\mathbf{u} = \mathbf{0}&lt;/math&gt; auf der Wand || Folge der Viskosität, das Fluid haftet an der Wand || Grundlage jeder Wandschubspannung
|-
| Vernachlässigung der Gravitation || keine Volumenkraft || bei konstanter Dichte lässt sich die Schwerkraft vollständig in einen hydrostatischen Druckanteil verschieben und beeinflusst die Geschwindigkeit nicht || Begründung in den Mathematischen Hintergründen
|-
| Voll entwickelte Einströmung || parabolisches Profil am Einlass || die natürliche Einlaufstrecke wäre mit rund 139 mm fast so lang wie das ganze Rechengebiet || Scheitelgeschwindigkeit im gesunden Fall
|-
| Eingeprägter Volumenstrom || &lt;math&gt;Q = Q_0&lt;/math&gt; am Einlass || der Strömungswiderstand des Abschnitts ist klein gegenüber dem des nachgeschalteten Gefäßbetts || Abschätzung mit einem Reihenwiderstand
|}

Einige dieser Annahmen sind unmittelbar einsichtig, andere verdienen eine genauere Begründung, weil von ihnen die Aussagekraft der Ergebnisse abhängt.

Die '''Newtonsche Näherung''' ist die Annahme, die bei Blut am häufigsten hinterfragt wird. Reales Blut ist eine Suspension aus Plasma und Blutzellen und verhält sich scherverdünnend. Bei kleinen Scherraten lagern sich die roten Blutkörperchen zu geldrollenartigen Stapeln zusammen, und die Viskosität steigt auf ein Vielfaches an. Bei großen Scherraten lösen sich diese Stapel auf, und die Viskosität strebt gegen einen Grenzwert von etwa 3,5 mPa·s. Entscheidend ist also die Scherrate. An der Wand des gesunden Modellgefäßes beträgt sie nach der Poiseuille-Lösung

&lt;math&gt;\dot\gamma_w = \frac{4\,U_0}{R_0} = \frac{4 \cdot 0{,}2122\ \mathrm{m/s}}{0{,}003\ \mathrm{m}} \approx 283\ \mathrm{s^{-1}}&lt;/math&gt;

und liegt damit oberhalb von etwa 100 pro Sekunde, wo sich Newtonsches und nicht Newtonsches Modell nach der Literatur nur noch wenig unterscheiden.&lt;ref name=&quot;boyd&quot;&gt;Die Grenze von etwa 100 s&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt; wird in vergleichenden Studien zur Blutrheologie verwendet, etwa bei Bernabeu, M. O. u. a.: ''Impact of blood rheology on wall shear stress in a model of the middle cerebral artery.'' Interface Focus 3 (2013), 20120094. &lt;!-- FIXME Zitat und Seitenangabe am Original pruefen --&gt;&lt;/ref&gt; In der Engstelle steigt die Scherrate weiter an, beim Stenosegrad 0,5 auf rund 2260 pro Sekunde. Schwach ist die Näherung dort, wo die Scherrate klein wird, also in der Mitte des Gefäßes und vor allem im Rückströmgebiet hinter der Stenose. Dort ist reales Blut zäher als angenommen. Dieser Punkt wird in den Schlussfolgerungen wieder aufgegriffen.

Die '''stationäre Strömung''' ist die stärkste Vereinfachung. Wie wichtig die Pulsation ist, misst die Womersley-Zahl, die das Verhältnis von instationärer Trägheit zu Reibung angibt. Mit einer Herzfrequenz von 60 Schlägen je Minute, also einer Kreisfrequenz &lt;math&gt;\omega = 2\pi\ \mathrm{s^{-1}}&lt;/math&gt;, ergibt sich

&lt;math&gt;\alpha = R_0 \sqrt{\frac{\omega \rho}{\mu}} = 0{,}003\ \mathrm{m} \cdot \sqrt{\frac{2\pi\ \mathrm{s^{-1}} \cdot 1060\ \mathrm{kg/m^3}}{0{,}0035\ \mathrm{Pa\,s}}} \approx 4{,}1 .&lt;/math&gt;

Ein Wert in dieser Größenordnung bedeutet, dass das reale Geschwindigkeitsprofil im Herzzyklus merklich von der Parabel abweicht.&lt;ref name=&quot;womersley&quot;&gt;Womersley, J. R.: ''Method for the calculation of velocity, rate of flow and viscous drag in arteries when the pressure gradient is known.'' Journal of Physiology 127 (1955), S. 553-563.&lt;/ref&gt; Hinzu kommt, dass der Volumenstrom in der Systole kurzzeitig auf rund das Vierfache des Mittelwerts steigt.&lt;ref name=&quot;holdsworth&quot;&gt;Holdsworth, D. W.; Norley, C. J. D.; Frayne, R.; Steinman, D. A.; Rutt, B. K.: ''Characterization of common carotid artery blood-flow waveforms in normal human subjects.'' Physiological Measurement 20 (1999), Nr. 3, S. 219-240. DOI 10.1088/0967-3334/20/3/301. Angegeben werden ein mittlerer Volumenstrom von 6,0 ± 1,4 ml/s und ein systolischer Spitzenwert von 23,5 ± 3,8 ml/s. &lt;!-- FIXME Zahlenwerte und Probandenzahl am Original pruefen --&gt;&lt;/ref&gt; Die stationäre Rechnung mit dem Mittelwert beschreibt deshalb nicht den zeitlichen Verlauf, wohl aber den zeitlich gemittelten Zustand, an dem sich der Einfluss des Stenosegrades sauber vergleichen lässt.

Die '''laminare Strömung''' wird über die Reynoldszahl begründet. Sie beträgt im gesunden Gefäß 386 und liegt damit weit unter dem Wert von etwa 2300, ab dem die Strömung in einem geraden Rohr in den Übergangsbereich gelangen kann. In der Engstelle steigt sie bei festem Volumenstrom auf &lt;math&gt;Re_0/(1-s)&lt;/math&gt;, also auf 551 beim Stenosegrad 0,3, auf 964 beim Grad 0,6 und auf 1928 beim Grad 0,8. Für den Strahl hinter einer Engstelle ist der Umschlagbereich allerdings deutlich niedriger als im geraden Rohr. Direkte numerische Simulationen an genau der in diesem Projekt verwendeten Stenosegeometrie zeigen, dass die Strömung bei einer Einström-Reynoldszahl von 500 auch bei leichter Unsymmetrie laminar bleibt, bei 1000 dagegen schon eine Exzentrizität von fünf Prozent des Durchmessers genügt, um den Strahl in lokal turbulente Strömung umschlagen zu lassen.&lt;ref name=&quot;varghese&quot;&gt;Varghese, S. S.; Frankel, S. H.; Fischer, P. F.: ''Direct numerical simulation of stenotic flows. Part 1. Steady flow.'' Journal of Fluid Mechanics 582 (2007), S. 253-280. Untersucht wird eine kosinusförmige Stenose der Länge 2D mit 75 % Flächenreduktion, die mit der Geometrie dieses Projekts beim Stenosegrad 0,5 übereinstimmt. &lt;!-- FIXME Band und Seiten am Original pruefen --&gt;&lt;/ref&gt; Mit einer Einström-Reynoldszahl von 386 liegt das Projekt für die leicht- und mittelgradigen Stenosen sicher im laminaren Bereich. Für die hochgradigen Stenosen ab 0,7 ist ein laminares, stationäres Modell dagegen nur noch eine Näherung, die eine Obergrenze der geordneten Strömung beschreibt. Diese Fälle werden deshalb als Grenzfall des Modells gekennzeichnet.

Die '''starre Wand''' lässt sich über Messungen abschätzen. Der Durchmesser der gemeinsamen Halsschlagader ändert sich im Herzzyklus bei jungen Menschen um etwa 12 bis 14 Prozent und bei älteren Menschen um etwa 5 Prozent.&lt;ref name=&quot;hansen&quot;&gt;Hansen, F.; Mangell, P.; Sonesson, B.; Länne, T.: ''Diameter and compliance in the human common carotid artery: variations with age and sex.'' Ultrasound in Medicine and Biology 21 (1995), Nr. 1, S. 1-9. DOI 10.1016/0301-5629(94)00090-5.&lt;/ref&gt; Diese Bewegung ist eine Folge der Pulsation. In einer stationären Rechnung gibt es keine Druckschwankung, die die Wand periodisch aufweiten könnte, sodass die starre Wand zur stationären Annahme konsistent ist. Eine verkalkte Plaque ist ohnehin deutlich steifer als die gesunde Wand.

Die Annahme des '''eingeprägten Volumenstroms''' wird im Abschnitt zu den Randbedingungen begründet, weil sie sich nur im Zusammenhang mit dem Kreislauf beurteilen lässt.

== Simulationsgebiet und Geometrie ==

Die Gefäßachse ist die z-Achse, der Ursprung liegt in der Mitte der Stenose, und &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; bezeichnet den Abstand von der Achse. Das Rechengebiet reicht von &lt;math&gt;z = -L_u&lt;/math&gt; bis &lt;math&gt;z = L_d&lt;/math&gt; und wird radial von der Wandkontur &lt;math&gt;R(z)&lt;/math&gt; begrenzt. Die Verengung wird über eine einzige glatte Funktion beschrieben,

&lt;math&gt;R(z) = R_0 \left[ 1 - \frac{s}{2}\left(1 + \cos\frac{2\pi z}{L_s}\right)\right] \quad \text{falls } |z| \le \frac{L_s}{2}, \qquad R(z) = R_0 \ \text{sonst.}&lt;/math&gt;

Die Funktion hat drei Eigenschaften, die ihre Wahl begründen. Sie wird erstens über einen einzigen Parameter gesteuert, den Stenosegrad &lt;math&gt;s&lt;/math&gt;. Der engste Radius in der Mitte beträgt &lt;math&gt;R(0) = R_0(1-s)&lt;/math&gt;, und der Fall ohne Verengung ist einfach der Fall &lt;math&gt;s = 0&lt;/math&gt;. Die gesamte Vergleichsreihe entsteht damit aus einem einzigen parametrischen Sweep. Sie geht zweitens an beiden Enden der Störstelle ohne Knick in das gerade Rohr über. Bei &lt;math&gt;z = \pm L_s/2&lt;/math&gt; ist der Kosinus gleich minus eins, die Klammer also null, und seine Ableitung verschwindet dort ebenfalls. Das ist nicht nur ästhetisch, sondern numerisch notwendig, denn ein Knick in der Wand erzeugt eine Singularität der Wandschubspannung, deren berechneter Wert mit jeder Netzverfeinerung weiter wüchse. Eine Netzstudie wäre dann sinnlos. Sie ist drittens die in der Literatur gebräuchliche Standardgeometrie für Stenosen, sodass sich die Ergebnisse unmittelbar mit veröffentlichten Rechnungen vergleichen lassen.&lt;ref name=&quot;varghese&quot; /&gt;

[[Datei:Stenose Gruppe5 Wandkontur.svg|mini|zentriert|800px|Wandkontur &lt;math&gt;R(z)&lt;/math&gt; für die untersuchten Stenosegrade. Die Darstellung ist in radialer Richtung gestreckt, das Rechengebiet ist in Wirklichkeit fünfundzwanzigmal länger als breit.]]
&lt;!-- FIXME Abbildung mit abbildungen_graph_1d.m fuer s = 0 bis 0,8 neu erzeugen, bisher nur bis 0,5 --&gt;

Die Abmessungen des Rechengebiets werden alle aus dem Gefäßradius abgeleitet. Das hat den Vorteil, dass sich das gesamte Modell durch Ändern eines einzigen Wertes auf ein anderes Gefäß übertragen lässt. Die einzelnen Längen werden im Folgenden Schritt für Schritt begründet.

# Der '''Gefäßradius''' &lt;math&gt;R_0 = 3\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; folgt aus Ultraschallmessungen an gesunden Erwachsenen. Dort wurden für die gemeinsame Halsschlagader mittlere Durchmesser von 6,10 ± 0,80 mm bei Frauen und 6,52 ± 0,98 mm bei Männern gemessen.&lt;ref name=&quot;krejza&quot;&gt;Krejza, J.; Arkuszewski, M.; Kasner, S. E.; Weigele, J.; Ustymowicz, A.; Hurst, R. W.; Cucchiara, B. L.; Messe, S. R.: ''Carotid artery diameter in men and women and the relation to body and neck size.'' Stroke 37 (2006), Nr. 4, S. 1103-1105. DOI 10.1161/01.STR.0000206440.48756.f7.&lt;/ref&gt; Der gewählte Durchmesser von &lt;math&gt;D_0 = 6\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; liegt damit innerhalb einer Standardabweichung beider Gruppen und ist bewusst auf einen runden Wert gesetzt, damit alle abgeleiteten Längen glatte Zahlen ergeben.
# Die '''Länge der Störstelle''' &lt;math&gt;L_s = 2 D_0 = 12\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; entspricht der Standardgeometrie aus der Literatur, die eine Stenosenlänge von zwei Durchmessern verwendet.&lt;ref name=&quot;varghese&quot; /&gt; Damit ist beim Stenosegrad 0,5 ein direkter Vergleich mit veröffentlichten Ergebnissen möglich.
# Die '''Vorlaufstrecke''' &lt;math&gt;L_u = 5 D_0 = 30\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; trennt den Einlass von der Stenose. Da am Einlass bereits das voll entwickelte Profil vorgegeben wird, muss sie nicht die Einlaufstrecke abdecken, sondern nur verhindern, dass die Einströmrandbedingung die Strömung an der Engstelle beeinflusst. Bei Reynoldszahlen in dieser Größenordnung reicht der Einfluss einer Verengung nur wenige Durchmesser stromaufwärts, die Literatur kommt für dieselbe Geometrie mit drei Durchmessern Vorlauf aus.&lt;ref name=&quot;varghese&quot; /&gt; Fünf Durchmesser lassen also eine Reserve. Überprüft wird das im Ergebnis, indem die Geschwindigkeit auf der Achse in der Mitte der Vorlaufstrecke mit dem Sollwert &lt;math&gt;2U_0&lt;/math&gt; verglichen wird.
# Die '''Nachlaufstrecke''' &lt;math&gt;L_d = 20 D_0 = 120\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; ist deutlich länger, weil sich hinter der Engstelle ein Rückströmgebiet bildet, das nicht auf den Auslass treffen darf. Für die Geometrie mit dem Stenosegrad 0,5 legt die Strömung bei einer Einström-Reynoldszahl von 500 erst etwa zehn Durchmesser hinter der Engstelle wieder an, die Literatur rechnet mit sechzehn Durchmessern Nachlauf.&lt;ref name=&quot;varghese&quot; /&gt; Zwanzig Durchmesser bieten damit für alle Stenosegrade bis 0,5 einen Sicherheitsabstand. Für die Grade ab 0,6 ist ein längeres Rückströmgebiet zu erwarten, dort wird die Lage des Wiederanlegepunktes ausdrücklich kontrolliert.
# Das '''Ende des fein vernetzten Nachlaufs''' &lt;math&gt;L_f = L_s/2 + 10 D_0 = 66\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; legt fest, bis wohin das Netz verfeinert wird. Der Wert ist so gewählt, dass das erwartete Rückströmgebiet von etwa zehn Durchmessern vollständig im feinen Bereich liegt.

Damit hat das Rechengebiet eine Gesamtlänge von &lt;math&gt;L = L_u + L_d = 150\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt;, also das Fünfundzwanzigfache des Durchmessers. Es ist ein Modellgebiet und kein maßstäbliches Abbild eines bestimmten anatomischen Abschnitts.

== Stoff- und Strömungsparameter ==

Die Stoffwerte des Blutes und der Volumenstrom sind die einzigen Eingangsgrößen, die nicht aus der Geometrie folgen. Aus ihnen werden alle weiteren Strömungskennwerte berechnet. Die folgenden Schritte zeigen jede Rechnung einzeln, damit sich jeder Wert nachprüfen lässt.

# Die '''Dichte''' wird mit &lt;math&gt;\rho = 1060\ \mathrm{kg/m^3}&lt;/math&gt; angesetzt. Der Wert lässt sich als Mischungsregel plausibel machen. Plasma hat eine Dichte von etwa 1025 kg/m³, rote Blutkörperchen von etwa 1100 kg/m³. Bei einem Zellanteil von 45 % ergibt sich &lt;math&gt;0{,}55 \cdot 1025 + 0{,}45 \cdot 1100 \approx 1059\ \mathrm{kg/m^3}&lt;/math&gt;. Die Dichte geht nur über die Reynoldszahl in die Rechnung ein, eine Abweichung von einem Prozent ändert die Ergebnisse daher kaum. &lt;!-- FIXME Lehrbuchquelle fuer Plasma- und Erythrozytendichte ergaenzen --&gt;
# Die '''dynamische Viskosität''' wird mit &lt;math&gt;\mu = 3{,}5\ \mathrm{mPa\,s}&lt;/math&gt; angesetzt. Das ist der Grenzwert der Blutviskosität bei hohen Scherraten, also genau der Wert, der zur Newtonschen Näherung gehört. Derselbe Wert von 0,035 Poise wird auch im Standardwerk zur Modellierung des Herz-Kreislauf-Systems verwendet.&lt;ref name=&quot;quarteroni&quot;&gt;Quarteroni, A.; Formaggia, L.: ''Mathematical Modelling and Numerical Simulation of the Cardiovascular System.'' In: Ayache, N. (Hrsg.): ''Computational Models for the Human Body.'' Handbook of Numerical Analysis, Bd. XII, Elsevier, Amsterdam 2004, S. 3-127. DOI 10.1016/S1570-8659(03)12001-7. Zur Newtonschen Näherung in großen Gefäßen siehe S. 30, zur Viskosität von 0,035 Poise die Parametertabelle auf S. 116.&lt;/ref&gt;
# Der '''mittlere Volumenstrom''' wird mit &lt;math&gt;Q_0 = 6\ \mathrm{ml/s}&lt;/math&gt; angesetzt. Das ist der zeitlich gemittelte Volumenstrom, der in der gemeinsamen Halsschlagader gesunder Probanden gemessen wurde.&lt;ref name=&quot;holdsworth&quot; /&gt;
# Die '''mittlere Geschwindigkeit''' folgt aus Volumenstrom und Querschnittsfläche, &lt;math&gt;U_0 = \frac{Q_0}{\pi R_0^2} = \frac{6 \cdot 10^{-6}\ \mathrm{m^3/s}}{\pi \cdot (0{,}003\ \mathrm{m})^2} = 0{,}2122\ \mathrm{m/s}&lt;/math&gt;.
# Die '''Reynoldszahl''' des gesunden Gefäßes ist &lt;math&gt;Re_0 = \frac{\rho\, U_0\, D_0}{\mu} = \frac{1060 \cdot 0{,}2122 \cdot 0{,}006}{0{,}0035} = 385{,}6&lt;/math&gt;. Sie wird im Folgenden auf 386 gerundet.
# Die '''Einlauflänge''', die eine anfangs gleichförmige Strömung bis zum voll entwickelten Parabelprofil bräuchte, beträgt nach der gebräuchlichen Abschätzung für laminare Rohrströmungen &lt;math&gt;L_e \approx 0{,}06\, Re_0\, D_0 \approx 0{,}06 \cdot 386 \cdot 6\ \mathrm{mm} \approx 139\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt;.&lt;ref name=&quot;durst&quot;&gt;Durst, F.; Ray, S.; Ünsal, B.; Bayoumi, O. A.: ''The development lengths of laminar pipe and channel flows.'' Journal of Fluids Engineering 127 (2005), Nr. 6, S. 1154-1160. Für große Reynoldszahlen nähert sich die dort angegebene Korrelation dem Wert 0,057·Re·D.&lt;/ref&gt; Das ist fast die gesamte Länge des Rechengebiets. Ein konstantes Einlassprofil würde die Strömung an der Stenose also verfälschen, weshalb am Einlass das voll entwickelte Profil vorgegeben wird.

Damit liegen alle globalen Parameter fest. Die folgende Tabelle enthält sie mit genau den Namen, unter denen sie in COMSOL und in den Octave-Skripten verwendet werden.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Globale Parameter des Modells
! Name !! Ausdruck in COMSOL !! Wert !! Bedeutung !! Herkunft
|-
| R0 || 3[mm] || 3 mm || Gefäßradius || Messwerte nach Krejza u. a. 2006, gerundet
|-
| D0 || 2*R0 || 6 mm || Gefäßdurchmesser || abgeleitet
|-
| Ls || 2*D0 || 12 mm || Länge der Störstelle || Standardgeometrie nach Varghese u. a. 2007
|-
| Lu || 5*D0 || 30 mm || Vorlaufstrecke vor der Stenosemitte || Abstand der Einlassbedingung von der Stenose
|-
| Ld || 20*D0 || 120 mm || Nachlaufstrecke hinter der Stenosemitte || Platz für das Rückströmgebiet
|-
| Lf || Ls/2+10*D0 || 66 mm || Ende des fein vernetzten Nachlaufs || erwartete Länge des Rückströmgebiets
|-
| s || 0 bis 0.8 || 0 bis 0,8 || Stenosegrad bezogen auf den Durchmesser || NASCET-Einteilung
|-
| rho_b || 1060[kg/m^3] || 1060 kg/m³ || Dichte des Blutes || Mischungsregel, Literaturwert
|-
| mu_b || 3.5[mPa*s] || 3,5 mPa·s || dynamische Viskosität des Blutes || Hochscherwert, Quarteroni und Formaggia 2004
|-
| Q0 || 6[ml/s] || 6 ml/s || mittlerer Volumenstrom || Messwerte nach Holdsworth u. a. 1999
|-
| U0 || Q0/(pi*R0^2) || 0,2122 m/s || mittlere Einströmgeschwindigkeit || abgeleitet
|-
| Re0 || rho_b*U0*D0/mu_b || 385,6 || Reynoldszahl des gesunden Gefäßes || abgeleitet
|-
| dp_ref || 8*mu_b*U0*(Lu+Ld)/R0^2 || 99,03 Pa || Poiseuille-Druckabfall des gesunden Gefäßes || abgeleitet, Hagen-Poiseuille
|}


= Literaturverzeichnis =

Alle Quellen sind an den Stellen im Text angegeben, an denen die zugehörigen Werte oder Aussagen verwendet werden. Die Liste wird aus diesen Angaben automatisch erzeugt.

&lt;references /&gt;</text>
      <sha1>fla6lagqbwrckau61rjhwr2714jkk91</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>1115905</id>
      <parentid>1115901</parentid>
      <timestamp>2026-10-12T17:02:05Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Heitele</username>
        <id>38553</id>
      </contributor>
      <comment>/* Gruppenteilnehmer */</comment>
      <origin>1115905</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="93297" sha1="7xijsli6m72cc1rzkq04weq3p7bt9wa" xml:space="preserve">
== Gruppenteilnehmer ==

* Joey Becker
* Marie-Thérèse Heitele
* Nicole Pander

== Thema und Fragestellung ==

Gegenstand dieses Projekts ist die numerische Untersuchung der Blutströmung innerhalb einer idealisierten Y-förmigen Aufzweigung der Halsschlagader (Carotis-Bifurkation). Dabei teilt sich die Arteria carotis communis (ACC) in die Arteria carotis interna (ACI) und die Arteria carotis externa (ACE).

Im Mittelpunkt steht eine lokale Gefäßverengung (Stenose) in der Arteria carotis interna. Die Arteria carotis externa wird ohne zusätzliche Stenose modelliert. Die Verengung wird durch eine glatte Gefäßkontur beschrieben, um abrupte geometrische Übergänge zu vermeiden.

Ziel ist es, den Einfluss unterschiedlicher Stenosegrade auf die Geschwindigkeitsverteilung, den Druckverlust, die Wandschubspannung und die Strömungsverteilung zwischen den beiden Gefäßästen zu untersuchen.

Die Modellierung und numerische Simulation erfolgen ausschließlich mit COMSOL Multiphysics. Hierfür werden drei Modellvarianten betrachtet: ein eindimensionales Graphenmodell, ein ebenes zweidimensionales Flächenmodell und ein dreidimensionales Volumenmodell.

=== Fragestellung ===

Die zentrale Fragestellung lautet:

'''Wie beeinflusst eine lokale Stenose in der Arteria carotis interna die stationäre Strömung eines inkompressiblen Newtonschen Fluids innerhalb einer idealisierten Y-förmigen Karotisaufzweigung?'''

Daraus ergeben sich folgende Teilfragen:

# Wie verändern sich die Strömungsgeschwindigkeit, die Druckverteilung und die Wandschubspannung mit zunehmendem Stenosegrad?
# Welchen Einfluss hat die Verengung der Arteria carotis interna auf die Verteilung des Volumenstroms zwischen Arteria carotis interna und Arteria carotis externa?
# Unter welchen Bedingungen treten im Bereich der Stenose oder stromabwärts davon Strömungsablösungen beziehungsweise Rückströmungsgebiete auf?
# Welche Unterschiede ergeben sich zwischen dem eindimensionalen Graphenmodell, dem zweidimensionalen Flächenmodell und dem dreidimensionalen Volumenmodell?
# Inwieweit sind die vereinfachenden Annahmen einer stationären, laminaren Strömung für die untersuchten Stenosegrade geeignet?

== Relevanz ==

Die Untersuchung von Gefäßverengungen besitzt sowohl medizinische als auch strömungsmechanische Bedeutung. Eine Stenose verändert den verfügbaren Strömungsquerschnitt und kann dadurch die Geschwindigkeit, den Druckverlust und die Schubbeanspruchung der Gefäßwand beeinflussen.

Besonders relevant ist die Karotisaufzweigung, da die Arteria carotis interna wesentlich an der Blutversorgung des Gehirns beteiligt ist. Eine ausgeprägte Stenose kann die Durchblutung beeinträchtigen und ist mit einem erhöhten Schlaganfallrisiko verbunden.

Das Projekt verbindet theoretische Grundlagen der Strömungsmechanik mit der numerischen Modellierung einer biomedizinischen Anwendung.

=== Medizinische Relevanz ===

Karotisstenosen entstehen häufig im Zusammenhang mit Atherosklerose. Dabei können Ablagerungen in der Gefäßwand den durchströmbaren Querschnitt verringern.

Neben einer möglichen Beeinträchtigung der Durchblutung spielt das Risiko thromboembolischer Ereignisse eine wichtige Rolle. Die klinische Bedeutung symptomatischer hochgradiger Karotisstenosen wurde unter anderem durch die NASCET-Studie untersucht.&lt;ref name=&quot;NASCET&quot;&gt;North American Symptomatic Carotid Endarterectomy Trial Collaborators: Beneficial effect of carotid endarterectomy in symptomatic patients with high-grade carotid stenosis. ''New England Journal of Medicine'' 325 (1991), Nr. 7, S. 445–453.&lt;/ref&gt;

Aus strömungsmechanischer Sicht ist insbesondere die Wandschubspannung von Interesse. Sie beschreibt die tangentiale Kraft pro Fläche, die das strömende Blut auf die Gefäßwand ausübt.

Die Wandschubspannung kann im Bereich einer Engstelle aufgrund der erhöhten Geschwindigkeitsgradienten ansteigen. Stromabwärts der Stenose können dagegen Bereiche mit geringen oder wechselnden Wandschubspannungen auftreten. Ob und in welchem Ausmaß solche Bereiche entstehen, hängt von der Geometrie und den Strömungsbedingungen ab.

Messungen der Wandschubspannung in menschlichen Halsschlagadern wurden beispielsweise von Samijo und Mitarbeitern veröffentlicht.&lt;ref name=&quot;Samijo&quot;&gt;Samijo, S. K.; Willigers, J. M.; Barkhuysen, R.; Kitslaar, P. J. E. H. M.; Reneman, R. S.; Brands, P. J.; Hoeks, A. P. G.: Wall shear stress in the human common carotid artery as function of age and gender. ''Cardiovascular Research'' 39 (1998), Nr. 2, S. 515–522.&lt;/ref&gt;

Die numerische Simulation ermöglicht es, Geschwindigkeits- und Druckfelder sowie die Wandschubspannung innerhalb der idealisierten Gefäßgeometrie räumlich zu untersuchen.

=== Methodische Relevanz ===

Das Projekt überträgt die in der Fluiddynamik behandelten Grundlagen auf die Strömung in einem verzweigten Gefäßsystem.&lt;ref name=&quot;Hundertmark&quot;&gt;Hundertmark, A.: ''Fluiddynamik''. Vorlesungsunterlagen zum Modul Räumliche Modellbildung, RPTU Kaiserslautern-Landau, Sommersemester 2026.&lt;/ref&gt;

Ein wesentlicher Bestandteil ist der Vergleich unterschiedlich komplexer Modellvarianten.

Das eindimensionale Graphenmodell beschreibt die Gefäßaufzweigung anhand vereinfachter Strömungswiderstände und der Massenerhaltung.

Das zweidimensionale Flächenmodell ermöglicht die Untersuchung der Strömung innerhalb einer ebenen Y-förmigen Geometrie.

Das dreidimensionale Volumenmodell erweitert die Beschreibung auf eine räumliche Gefäßgeometrie und ermöglicht insbesondere die Untersuchung räumlicher Geschwindigkeitsverteilungen und Wandschubspannungen.

Die Modelle werden hinsichtlich ihrer Annahmen, ihrer Aussagekraft und ihrer Grenzen verglichen. Dabei dienen analytische Beziehungen, beispielsweise das Hagen-Poiseuille-Gesetz, als Referenz für geeignete vereinfachte Teilprobleme.

== Auswahl der Stenosegrade ==

Die Auswahl der untersuchten Stenosegrade orientiert sich an klinisch gebräuchlichen Kategorien der Durchmesserreduktion bei Karotisstenosen. Die NASCET-Methode beschreibt den Stenosegrad anhand des Verhältnisses zwischen dem minimalen Durchmesser in der Engstelle und einem Referenzdurchmesser des nicht verengten Gefäßabschnitts.&lt;ref name=&quot;NASCET&quot; /&gt;

Für die idealisierte Modellgeometrie wird als Referenzdurchmesser der unverengte Durchmesser der Arteria carotis interna verwendet.

Die klinischen Schweregradkategorien dienen im Projekt zur Einordnung der untersuchten Modellvarianten. Die mathematische Definition des Stenosegrades erfolgt bezogen auf den festgelegten Referenzdurchmesser der ACI.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ '''Einordnung der untersuchten Stenosegrade'''
|-
! Schweregrad
! Durchmesserreduktion
! Im Projekt vorgesehene Stenosegrade
! Hervorgehobener Vertreter
|-
| Gesundes Gefäß
| 0 %
| 0
| 0
|-
| Leichtgradige Stenose
| Unter 50 %
| 0,1 bis 0,4
| 0,3
|-
| Mittelgradige Stenose
| 50 bis 69 %
| 0,5 und 0,6
| 0,6
|-
| Hochgradige Stenose
| 70 bis 99 %
| 0,7 und 0,8
| 0,8
|-
| Okklusion
| 100 %
| Nicht vorgesehen
| Entfällt
|}

Für die Untersuchung werden insbesondere das gesunde Gefäß sowie Stenosegrade von 30 %, 60 % und 80 % betrachtet. Diese repräsentieren unterschiedliche Ausprägungen der Gefäßverengung.

Zusätzlich sind Stenosegrade von 0 bis 80 % in Schritten von zehn Prozentpunkten vorgesehen. Welche dieser Varianten für die einzelnen Modelle tatsächlich berechnet werden, wird anhand der durchgeführten COMSOL-Simulationen dokumentiert.

Ein vollständiger Gefäßverschluss wird nicht betrachtet, da bei einer vollständigen Okklusion keine durchgängige Strömung durch den betroffenen Gefäßast mehr möglich ist.

=== Definition des Stenosegrades ===

Der Stenosegrad &lt;math&gt;s&lt;/math&gt; beschreibt die relative Verringerung des Gefäßdurchmessers:

:&lt;math&gt;s=1-\frac{d_{\min}}{D_{\mathrm{ICA}}}&lt;/math&gt;

Dabei ist:

* &lt;math&gt;d_{\min}&lt;/math&gt;: minimaler Durchmesser innerhalb der Stenose,
* &lt;math&gt;D_{\mathrm{ICA}}&lt;/math&gt;: unverengter Referenzdurchmesser der Arteria carotis interna.

Für das Modell wird festgelegt:

:&lt;math&gt;D_{\mathrm{ICA}}=5\,\mathrm{mm}&lt;/math&gt;

Damit ergibt sich:

:&lt;math&gt;d_{\min}=D_{\mathrm{ICA}}(1-s)&lt;/math&gt;

Die Definition bezieht sich ausschließlich auf die Arteria carotis interna. Der Durchmesser der Arteria carotis communis wird nicht zur Berechnung des Stenosegrades verwendet.

=== Durchmesser- und Flächenreduktion ===

Bei einem kreisförmigen Gefäßquerschnitt hängt die Querschnittsfläche quadratisch vom Durchmesser ab.

Für die relative Flächenreduktion gilt daher:

:&lt;math&gt;A_{\mathrm{Reduktion}}=1-(1-s)^2&lt;/math&gt;

Eine Durchmesserreduktion von 60 % entspricht somit einer Flächenreduktion von:

:&lt;math&gt;1-(1-0{,}6)^2=0{,}84=84\,\%&lt;/math&gt;

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ '''Durchmesser- und Flächenreduktion in der Arteria carotis interna'''
|-
! Stenosegrad &lt;math&gt;s&lt;/math&gt;
! Minimaler Durchmesser
! Flächenreduktion
|-
| 0
| 5,0 mm
| 0 %
|-
| 0,1
| 4,5 mm
| 19 %
|-
| 0,2
| 4,0 mm
| 36 %
|-
| 0,3
| 3,5 mm
| 51 %
|-
| 0,4
| 3,0 mm
| 64 %
|-
| 0,5
| 2,5 mm
| 75 %
|-
| 0,6
| 2,0 mm
| 84 %
|-
| 0,7
| 1,5 mm
| 91 %
|-
| 0,8
| 1,0 mm
| 96 %
|}

'''Einschränkung:''' Die Beziehung zwischen Durchmesser- und Flächenreduktion gilt für kreisförmige Querschnitte mit einer entsprechenden gleichmäßigen Verringerung des Durchmessers. Bei einer ausschließlich ebenen zweidimensionalen Geometrie ist die dargestellte Querschnittsfläche nicht unmittelbar mit der eines dreidimensionalen kreisförmigen Gefäßes gleichzusetzen.

Mit zunehmendem Stenosegrad können starke lokale Beschleunigungen, Strömungsablösungen und zeitabhängige Strömungsstrukturen auftreten. Die Aussagekraft einer stationären laminaren Berechnung muss deshalb insbesondere für hochgradige Stenosen kritisch bewertet werden.

== Modellierung ==

Ziel der Modellierung ist es, die Blutströmung innerhalb einer Y-förmigen Karotisaufzweigung mathematisch und numerisch zu beschreiben.

Das Gefäßmodell besteht aus der Arteria carotis communis, die sich in die Arteria carotis interna und die Arteria carotis externa verzweigt. Die Stenose befindet sich ausschließlich in der Arteria carotis interna.

Durch die Verengung wird der verfügbare Strömungsquerschnitt reduziert. Dies kann zu einer lokalen Erhöhung der Strömungsgeschwindigkeit, zu zusätzlichen Druckverlusten und zu Veränderungen der Volumenstromverteilung zwischen den beiden Gefäßästen führen.

Die numerische Modellierung erfolgt mit COMSOL Multiphysics. Hierzu werden die Gefäßgeometrie, die Materialeigenschaften des Blutes, die Strömungsgleichungen und die Randbedingungen festgelegt.

Für die Untersuchung werden vereinfachende Annahmen getroffen, die eine systematische Variation des Stenosegrades ermöglichen.

=== Modellhierarchie ===

Die Untersuchung erfolgt anhand von drei Modellvarianten, die sich hinsichtlich ihrer räumlichen Dimension und der darstellbaren Strömungseigenschaften unterscheiden.

{| class=&quot;wikitable&quot; style=&quot;width:100%;&quot;
|+ '''Die drei Modellvarianten des Projekts'''
|-
! Modell
! Raumdimension
! Mathematische Grundlage
! Zweck
! Werkzeug
|-
| '''Graphenmodell'''
| 1D, Gefäßnetzwerk mit Verzweigung
| Massenerhaltung und vereinfachte Strömungswiderstände
| Abschätzung der Volumenstromverteilung und der Druckverluste in den Gefäßästen
| COMSOL Multiphysics
|-
| '''Ebenes Flächenmodell'''
| 2D, Y-förmige Gefäßgeometrie in kartesischen Koordinaten
| Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen
| Untersuchung von Geschwindigkeits- und Druckfeldern sowie möglichen Rückströmungsbereichen
| COMSOL Multiphysics, Laminar Flow
|-
| '''Volumenmodell'''
| 3D, räumliche Y-förmige Gefäßgeometrie
| Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen
| Untersuchung der räumlichen Strömung und der Wandschubspannung
| COMSOL Multiphysics, Laminar Flow
|}

=== Vergleich und Überprüfung der Modellvarianten ===

Das '''Graphenmodell''' stellt die Gefäßaufzweigung als Netzwerk miteinander verbundener Gefäßabschnitte dar. Dabei bildet die Arteria carotis communis den zuführenden Abschnitt. Die Arteria carotis interna und die Arteria carotis externa stellen die beiden abführenden Äste dar.

An der Verzweigung gilt für eine stationäre inkompressible Strömung die Massenerhaltung:

:&lt;math&gt;Q_{\mathrm{ACC}}=Q_{\mathrm{ACI}}+Q_{\mathrm{ACE}}&lt;/math&gt;

Das Graphenmodell liefert vereinfachte Abschätzungen der Volumenstromverteilung und der Druckverluste. Lokale Geschwindigkeitsfelder, Strömungsablösungen und Wandschubspannungen können damit nicht detailliert bestimmt werden.

Das '''ebene Flächenmodell''' beschreibt die Y-förmige Gefäßaufzweigung in zwei Raumdimensionen. Die Stenose wird im Ast der Arteria carotis interna berücksichtigt. Dadurch können die Geschwindigkeits- und Druckverteilung sowie mögliche Rückströmungsbereiche untersucht werden.

Das '''Volumenmodell''' erweitert die Untersuchung auf drei Raumdimensionen. Dadurch können räumliche Strömungsstrukturen und die Verteilung der Wandschubspannung auf der Gefäßwand betrachtet werden.

Die Ergebnisse der drei Modelle werden unter Berücksichtigung ihrer unterschiedlichen Annahmen verglichen. Insbesondere ist zu beachten, dass ein ebenes zweidimensionales Modell die räumliche Querschnittsgeometrie eines Gefäßes nicht vollständig beschreibt.

Die Modelle müssen deshalb nicht dieselben Zahlenwerte liefern. Vielmehr dient der Vergleich dazu, die Aussagekraft und die Grenzen der jeweiligen Modellvereinfachung zu bewerten.

=== Modellannahmen ===

Für die numerische Untersuchung werden folgende Annahmen getroffen:

* '''Idealisierte Gefäßgeometrie:''' Betrachtet wird eine Y-förmige Aufzweigung aus Arteria carotis communis, Arteria carotis interna und Arteria carotis externa. Patientenspezifische Krümmungen, weitere Verzweigungen und individuelle anatomische Besonderheiten werden nicht berücksichtigt.
* '''Starre Gefäßwände:''' Die Gefäßwände werden als unbeweglich und nicht verformbar angenommen. Eine Fluid-Struktur-Kopplung wird nicht modelliert.
* '''Stationäre Strömung:''' Die Strömungsgrößen werden als zeitlich konstant angenommen. Die Pulsation des Blutflusses durch den Herzschlag bleibt unberücksichtigt.
* '''Inkompressibles Fluid:''' Die Dichte des Blutes wird als konstant angenommen.
* '''Newtonsche Näherung:''' Blut wird durch ein Fluid mit konstanter dynamischer Viskosität beschrieben.
* '''Konstante Stoffeigenschaften:''' Dichte und Viskosität werden als räumlich und zeitlich konstant betrachtet.
* '''Laminare Strömungsmodellierung:''' Die Berechnung erfolgt ohne zusätzliches Turbulenzmodell.
* '''Haftbedingung an der Wand:''' An den starren Gefäßwänden gilt die No-Slip-Bedingung.
* '''Vernachlässigung der Gravitation:''' Volumenkräfte durch die Schwerkraft werden nicht explizit berücksichtigt.

Diese Annahmen vereinfachen die Berechnung, begrenzen jedoch die Übertragbarkeit auf die reale Blutströmung.

=== Mathematische Grundlagen ===

==== Massenerhaltung ====

Für eine inkompressible Strömung gilt:

:&lt;math&gt;\nabla\cdot\mathbf{u}=0&lt;/math&gt;

Dabei bezeichnet &lt;math&gt;\mathbf{u}&lt;/math&gt; das Geschwindigkeitsfeld.

Für die Y-förmige Gefäßaufzweigung folgt daraus die Volumenstrombilanz:

:&lt;math&gt;Q_{\mathrm{ACC}}=Q_{\mathrm{ACI}}+Q_{\mathrm{ACE}}&lt;/math&gt;

==== Impulserhaltung ====

Die stationäre Strömung eines inkompressiblen Newtonschen Fluids wird durch die Navier-Stokes-Gleichungen beschrieben:

:&lt;math&gt;\rho_b(\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u}=-\nabla p+\mu_b\nabla^2\mathbf{u}&lt;/math&gt;

Dabei bezeichnet:

* &lt;math&gt;\rho_b&lt;/math&gt; die Blutdichte,
* &lt;math&gt;\mathbf{u}&lt;/math&gt; das Geschwindigkeitsfeld,
* &lt;math&gt;p&lt;/math&gt; den Druck,
* &lt;math&gt;\mu_b&lt;/math&gt; die dynamische Viskosität.

Die Gleichung beschreibt das Gleichgewicht zwischen Trägheitskräften, Druckkräften und viskosen Kräften.

==== Hagen-Poiseuille-Gesetz ====

Für eine stationäre, voll entwickelte laminare Strömung durch ein gerades kreisförmiges Rohr mit konstantem Radius gilt:

:&lt;math&gt;\Delta p=\frac{8\mu_b LQ}{\pi R^4}&lt;/math&gt;

Der Strömungswiderstand kann damit als

:&lt;math&gt;\mathcal{R}=\frac{8\mu_b L}{\pi R^4}&lt;/math&gt;

geschrieben werden.

Daraus folgt:

:&lt;math&gt;\Delta p=\mathcal{R}Q&lt;/math&gt;

Diese Beziehung kann für die vereinfachte Beschreibung einzelner Gefäßabschnitte im Graphenmodell verwendet werden.

Bei einer realen Verzweigung oder einer ausgeprägten Stenose können zusätzliche Druckverluste auftreten. Das Hagen-Poiseuille-Gesetz allein bildet diese Effekte nicht vollständig ab.

==== Reynolds-Zahl ====

Die Reynolds-Zahl beschreibt das Verhältnis von Trägheitskräften zu viskosen Kräften:

:&lt;math&gt;\mathrm{Re}=\frac{\rho_b U D}{\mu_b}&lt;/math&gt;

Sie dient zur Einordnung des Strömungsverhaltens.

Die Reynolds-Zahl eines unverengten geraden Rohrabschnitts erlaubt jedoch keine sichere Aussage darüber, ob die Strömung hinter einer hochgradigen Stenose stationär bleibt.

==== Wandschubspannung ====

Die Wandschubspannung beschreibt die tangentiale Beanspruchung der Gefäßwand durch die Strömung.

Für ein Newtonsches Fluid ergibt sich ihre Größe aus den tangentialen viskosen Spannungen an der Wand. Bei einer einfachen parallelen Scherströmung gilt:

:&lt;math&gt;\tau_w=\mu_b\left.\frac{\partial u_t}{\partial n}\right|_{\mathrm{Wand}}&lt;/math&gt;

Dabei ist &lt;math&gt;u_t&lt;/math&gt; die tangentiale Geschwindigkeitskomponente und &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; die Richtung senkrecht zur Wand.

Bei gekrümmten oder verzweigten Gefäßgeometrien wird die Wandschubspannung aus dem vollständigen viskosen Spannungstensor bestimmt.

== Simulationsgebiet und Geometrie ==

Das Simulationsgebiet besteht aus einer idealisierten Y-förmigen Karotisaufzweigung.

Die Arteria carotis communis bildet den zuführenden Gefäßabschnitt. An der Verzweigung teilt sie sich in die Arteria carotis interna und die Arteria carotis externa.

Die Stenose befindet sich ausschließlich in der Arteria carotis interna. Die Arteria carotis externa wird ohne zusätzliche Verengung betrachtet.

Die geometrischen Abmessungen orientieren sich an den bereitgestellten Referenzdaten.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ '''Geometrische Referenzparameter'''
|-
! Gefäßabschnitt
! Durchmesser
! Länge
|-
| Arteria carotis communis
| 6 mm
| 60 mm
|-
| Arteria carotis interna
| 5 mm
| 60 mm
|-
| Arteria carotis externa
| 4 mm
| 60 mm
|-
| Stenose in der Arteria carotis interna
| Abhängig vom Stenosegrad
| 10 mm
|}

Die angegebenen Längen beziehen sich auf die jeweiligen Gefäßabschnitte. Sie dürfen nicht als Gesamtlänge eines geraden Rohres addiert werden.

=== Geometrische Beschreibung der Stenose ===

Der unverengte Referenzdurchmesser der Arteria carotis interna beträgt:

:&lt;math&gt;D_{\mathrm{ICA}}=5\,\mathrm{mm}&lt;/math&gt;

Daraus folgt der Referenzradius:

:&lt;math&gt;R_{\mathrm{ICA}}=2{,}5\,\mathrm{mm}&lt;/math&gt;

Die Länge der Stenose beträgt:

:&lt;math&gt;L_s=10\,\mathrm{mm}&lt;/math&gt;

Für eine idealisierte symmetrische Stenose kann die lokale Radiusverringerung durch eine kosinusförmige Funktion beschrieben werden:

:&lt;math&gt;R(\xi)=R_{\mathrm{ICA}}\left[1-\frac{s}{2}\left(1+\cos\left(\frac{2\pi\xi}{L_s}\right)\right)\right]&lt;/math&gt;

Diese Beziehung gilt innerhalb der Stenose für:

:&lt;math&gt;|\xi|\leq\frac{L_s}{2}&lt;/math&gt;

Außerhalb der Stenose gilt:

:&lt;math&gt;R(\xi)=R_{\mathrm{ICA}}&lt;/math&gt;

Dabei bezeichnet &lt;math&gt;\xi&lt;/math&gt; die lokale Koordinate entlang der Mittellinie der Arteria carotis interna. Der Ursprung liegt in der Mitte der Stenose.

Der minimale Radius beträgt:

:&lt;math&gt;R_{\min}=R_{\mathrm{ICA}}(1-s)&lt;/math&gt;

Diese Funktion beschreibt eine glatte symmetrische Verengung. Für die dreidimensionale Geometrie kann sie als rotationssymmetrische lokale Querschnittsverengung eines einzelnen Gefäßastes interpretiert werden.

Die gesamte Y-förmige Gefäßaufzweigung ist dagegen nicht rotationssymmetrisch.

'''Hinweis zur Umsetzung:''' Die angegebene Funktion ist eine mögliche mathematische Beschreibung der Stenose. Für die endgültige Dokumentation muss geprüft werden, ob die in COMSOL verwendete Geometrie tatsächlich durch diese Funktion erzeugt wurde. Ebenso müssen der Verzweigungswinkel, die Lage der Stenose und die Verrundung der Übergänge anhand des COMSOL-Modells angegeben werden.

=== Referenzdurchmesser und Stenosegrad ===

Für die Stenose in der Arteria carotis interna gilt:

:&lt;math&gt;s=1-\frac{d_{\min}}{D_{\mathrm{ICA}}}&lt;/math&gt;

mit:

:&lt;math&gt;D_{\mathrm{ICA}}=5\,\mathrm{mm}&lt;/math&gt;

Damit ergeben sich beispielsweise:

* Bei &lt;math&gt;s=0{,}3&lt;/math&gt;: &lt;math&gt;d_{\min}=3{,}5\,\mathrm{mm}&lt;/math&gt;
* Bei &lt;math&gt;s=0{,}6&lt;/math&gt;: &lt;math&gt;d_{\min}=2{,}0\,\mathrm{mm}&lt;/math&gt;
* Bei &lt;math&gt;s=0{,}8&lt;/math&gt;: &lt;math&gt;d_{\min}=1{,}0\,\mathrm{mm}&lt;/math&gt;

Der Referenzdurchmesser von 6 mm der Arteria carotis communis wird nicht für die Berechnung des Stenosegrades in der Arteria carotis interna verwendet.

== Stoff- und Strömungsparameter ==

Für die numerische Simulation werden die Stoffeigenschaften des Blutes als konstant angenommen.

Die verwendeten Referenzwerte orientieren sich an den bereitgestellten Projektdaten und an Literaturwerten zur Blutströmung in größeren Arterien.&lt;ref name=&quot;Quarteroni&quot;&gt;Quarteroni, A.; Formaggia, L.: Mathematical Modelling and Numerical Simulation of the Cardiovascular System. In: Ayache, N. (Hrsg.): ''Computational Models for the Human Body''. Handbook of Numerical Analysis, Bd. XII, Elsevier, 2004, S. 3–127. DOI: 10.1016/S1570-8659(03)12001-7.&lt;/ref&gt;

=== Blutdichte ===

Die Blutdichte wird angesetzt mit:

:&lt;math&gt;\rho_b=1060\,\mathrm{kg/m^3}&lt;/math&gt;

Dieser Wert wird im gesamten Rechengebiet als konstant angenommen.

=== Dynamische Viskosität ===

Für die dynamische Viskosität gilt:

:&lt;math&gt;\mu_b=3{,}5\,\mathrm{mPa\,s}&lt;/math&gt;

Dies entspricht:

:&lt;math&gt;\mu_b=0{,}0035\,\mathrm{Pa\,s}&lt;/math&gt;

Die konstante Viskosität stellt eine Newtonsche Näherung des realen Blutverhaltens dar.

=== Volumenstrom ===

Der vorgegebene Referenzvolumenstrom am Einlass der Arteria carotis communis beträgt:

:&lt;math&gt;Q_0=6\,\mathrm{ml/s}&lt;/math&gt;

Dieser Wert orientiert sich an veröffentlichten Messungen des Blutflusses in der Arteria carotis communis.&lt;ref name=&quot;Holdsworth&quot;&gt;Holdsworth, D. W.; Norley, C. J. D.; Frayne, R.; Steinman, D. A.; Rutt, B. K.: Characterization of common carotid artery blood-flow waveforms in normal human subjects. ''Physiological Measurement'' 20 (1999), Nr. 3, S. 219–240. DOI: 10.1088/0967-3334/20/3/301.&lt;/ref&gt;

Für die stationäre Berechnung wird der Volumenstrom zeitlich konstant angesetzt.

=== Mittlere Eintrittsgeschwindigkeit ===

Für den kreisförmigen Einlassquerschnitt der Arteria carotis communis mit einem Radius von 3 mm ergibt sich die mittlere Geschwindigkeit aus:

:&lt;math&gt;U_0=\frac{Q_0}{\pi R_{\mathrm{ACC}}^2}&lt;/math&gt;

Mit:

:&lt;math&gt;R_{\mathrm{ACC}}=3\,\mathrm{mm}&lt;/math&gt;

folgt:

:&lt;math&gt;U_0=\frac{6\cdot10^{-6}\,\mathrm{m^3/s}}{\pi(0{,}003\,\mathrm{m})^2}&lt;/math&gt;

Damit beträgt die mittlere Eintrittsgeschwindigkeit:

:&lt;math&gt;U_0\approx0{,}2122\,\mathrm{m/s}&lt;/math&gt;

Dieser Wert bezieht sich auf den dreidimensionalen kreisförmigen Einlassquerschnitt der Arteria carotis communis.

Für ein ebenes zweidimensionales Modell muss die Einlassrandbedingung entsprechend der zweidimensionalen Modellbeschreibung festgelegt werden. Ein dreidimensionaler Volumenstrom kann nicht ohne zusätzliche Annahme unmittelbar als zweidimensionaler Volumenstrom pro Tiefeneinheit verwendet werden.

=== Reynolds-Zahl am Einlass ===

Die Reynolds-Zahl am Einlass der Arteria carotis communis beträgt:

:&lt;math&gt;\mathrm{Re}_0=\frac{\rho_b U_0D_{\mathrm{ACC}}}{\mu_b}&lt;/math&gt;

Mit:

:&lt;math&gt;D_{\mathrm{ACC}}=6\,\mathrm{mm}&lt;/math&gt;

ergibt sich:

:&lt;math&gt;\mathrm{Re}_0\approx385{,}6&lt;/math&gt;

Dieser Wert charakterisiert den unverengten Einlassabschnitt der Arteria carotis communis. Er ist nicht mit einer lokalen Reynolds-Zahl in der Stenose gleichzusetzen.

=== Einlauflänge ===

Für eine laminare Strömung in einem geraden Rohr kann die Länge zur Entwicklung eines zunächst gleichförmigen Geschwindigkeitsprofils näherungsweise abgeschätzt werden:

:&lt;math&gt;L_e\approx0{,}06\,\mathrm{Re}_0D_{\mathrm{ACC}}&lt;/math&gt;

Für die Referenzwerte ergibt sich:

:&lt;math&gt;L_e\approx139\,\mathrm{mm}&lt;/math&gt;

Diese Abschätzung bezieht sich auf ein gerades Rohr mit einem zunächst gleichförmigen Einlassprofil.&lt;ref name=&quot;Durst&quot;&gt;Durst, F.; Ray, S.; Ünsal, B.; Bayoumi, O. A.: The development lengths of laminar pipe and channel flows. ''Journal of Fluids Engineering'' 127 (2005), Nr. 6, S. 1154–1160.&lt;/ref&gt;

Sie beschreibt nicht unmittelbar die notwendige Einlauflänge einer Y-förmigen Gefäßaufzweigung.

Da der zuführende Gefäßabschnitt im Modell 60 mm lang ist, sollte die Einlassrandbedingung so gewählt werden, dass unerwünschte Einlaufeffekte die Strömung im Bereich der Verzweigung möglichst wenig beeinflussen.

Für das dreidimensionale Modell kann hierzu ein voll entwickeltes Geschwindigkeitsprofil verwendet werden. Die konkrete Randbedingung muss mit der COMSOL-Implementierung übereinstimmen.

=== Analytischer Referenzdruckverlust ===

Das Hagen-Poiseuille-Gesetz ermöglicht die Berechnung des Druckverlustes für einen geraden kreisförmigen Rohrabschnitt:

:&lt;math&gt;\Delta p=\frac{8\mu_b LQ}{\pi R^4}&lt;/math&gt;

Diese Beziehung kann als analytische Referenz für einen unverengten einzelnen Gefäßabschnitt dienen.

Für die gesamte Y-förmige Karotisaufzweigung lässt sich der Druckverlust jedoch nicht allein mit der Formel für ein einzelnes gerades Rohr bestimmen. Hierfür müssen die Volumenstromverteilung, die unterschiedlichen Gefäßdurchmesser und zusätzliche Verluste an der Verzweigung berücksichtigt werden.

Der bisherige Referenzwert von &lt;math&gt;99{,}03\,\mathrm{Pa}&lt;/math&gt; gehört zum früheren geraden Rohrmodell mit einer Länge von 150 mm und wird deshalb nicht als Referenzdruckverlust der Y-förmigen Gefäßaufzweigung verwendet.

=== Globale Parameter des COMSOL-Modells ===

{| class=&quot;wikitable&quot; style=&quot;width:100%;&quot;
|+ '''Globale Parameter für die Y-förmige Karotisaufzweigung'''
|-
! Name
! Ausdruck in COMSOL
! Wert
! Bedeutung
|-
| D_ACC
| &lt;code&gt;6[mm]&lt;/code&gt;
| 6 mm
| Durchmesser der Arteria carotis communis
|-
| D_ACI
| &lt;code&gt;5[mm]&lt;/code&gt;
| 5 mm
| Durchmesser der Arteria carotis interna
|-
| D_ACE
| &lt;code&gt;4[mm]&lt;/code&gt;
| 4 mm
| Durchmesser der Arteria carotis externa
|-
| L_ACC
| &lt;code&gt;60[mm]&lt;/code&gt;
| 60 mm
| Länge der Arteria carotis communis
|-
| L_ACI
| &lt;code&gt;60[mm]&lt;/code&gt;
| 60 mm
| Länge der Arteria carotis interna
|-
| L_ACE
| &lt;code&gt;60[mm]&lt;/code&gt;
| 60 mm
| Länge der Arteria carotis externa
|-
| L_s
| &lt;code&gt;10[mm]&lt;/code&gt;
| 10 mm
| Stenosenlänge
|-
| s
| &lt;code&gt;0&lt;/code&gt;
| 0 bis 0,8
| Variabler Stenosegrad
|-
| d_min
| &lt;code&gt;D_ACI*(1-s)&lt;/code&gt;
| Abhängig von s
| Minimaler Stenosedurchmesser
|-
| rho_b
| &lt;code&gt;1060[kg/m^3]&lt;/code&gt;
| 1060 kg/m³
| Blutdichte
|-
| mu_b
| &lt;code&gt;3.5[mPa*s]&lt;/code&gt;
| 3,5 mPa·s
| Dynamische Viskosität
|-
| Q0
| &lt;code&gt;6[ml/s]&lt;/code&gt;
| 6 ml/s
| Einlassvolumenstrom der ACC
|-
| U0
| &lt;code&gt;Q0/(pi*(D_ACC/2)^2)&lt;/code&gt;
| 0,2122 m/s
| Mittlere Eintrittsgeschwindigkeit für einen kreisförmigen Querschnitt
|-
| Re0
| &lt;code&gt;rho_b*U0*D_ACC/mu_b&lt;/code&gt;
| 385,6
| Reynolds-Zahl am Einlass der ACC
|}

'''Hinweis:''' Die Parameternamen dienen als konsistente Vorlage. Vor der Übernahme in COMSOL beziehungsweise in die Projektdokumentation müssen sie mit den tatsächlich verwendeten Namen und Geometrieeinstellungen abgeglichen werden.

== Randbedingungen und numerische Umsetzung ==

Die Randbedingungen bestimmen, wie Blut in das Modell einströmt, sich innerhalb der Gefäßaufzweigung verteilt und die beiden Gefäßäste verlässt.

=== Einlass ===

Der Einlass befindet sich an der Arteria carotis communis.

Für das dreidimensionale Referenzmodell wird ein Volumenstrom von:

:&lt;math&gt;Q_0=6\,\mathrm{ml/s}&lt;/math&gt;

vorgegeben.

Die zugehörige mittlere Geschwindigkeit beträgt:

:&lt;math&gt;U_0\approx0{,}2122\,\mathrm{m/s}&lt;/math&gt;

Ein geeignetes Geschwindigkeitsprofil beziehungsweise eine entsprechende Volumenstromrandbedingung wird in COMSOL festgelegt.

=== Auslässe ===

Das Modell besitzt zwei Auslässe:

* Auslass der Arteria carotis interna,
* Auslass der Arteria carotis externa.

Für die Volumenströme gilt:

:&lt;math&gt;Q_{\mathrm{ACC}}=Q_{\mathrm{ACI}}+Q_{\mathrm{ACE}}&lt;/math&gt;

Die konkrete Aufteilung hängt von den Strömungswiderständen und den vorgegebenen Auslassrandbedingungen ab.

'''Die tatsächlichen Auslassbedingungen müssen aus dem COMSOL-Modell übernommen werden.''' Ohne diese Angabe lässt sich nicht eindeutig bestimmen, wie sich der Volumenstrom zwischen den beiden Gefäßästen verteilt.

=== Gefäßwände ===

An den starren Gefäßwänden wird die Haftbedingung verwendet:

:&lt;math&gt;\mathbf{u}=0&lt;/math&gt;

Dadurch ist die Geschwindigkeit des Fluids unmittelbar an der Wand gleich null.

=== Numerische Vernetzung ===

Die Geometrie wird für die numerische Berechnung in ein Rechennetz unterteilt.

Eine ausreichende Netzauflösung ist insbesondere im Bereich der Stenose, an der Gefäßaufzweigung und in wandnahen Bereichen erforderlich, da dort starke Geschwindigkeitsgradienten auftreten können.

Die Qualität der numerischen Ergebnisse sollte anhand einer Netzverfeinerungsstudie überprüft werden.

Hierzu können beispielsweise die maximale Geschwindigkeit, der Druckverlust und die maximale Wandschubspannung bei unterschiedlichen Netzauflösungen miteinander verglichen werden.

Die konkreten Netzgrößen und Elementzahlen werden anhand der tatsächlich durchgeführten COMSOL-Berechnungen dokumentiert.

== Auswertung und Überprüfung der Ergebnisse ==

Die Auswertung erfolgt für die untersuchten Stenosegrade und Modellvarianten.

Von besonderem Interesse sind:

* maximale Strömungsgeschwindigkeit innerhalb der Stenose,
* Druckverteilung und Druckverlust,
* Volumenstromverteilung zwischen ACI und ACE,
* Wandschubspannung im Bereich der Stenose,
* mögliche Rückströmungsgebiete stromabwärts der Engstelle.

=== Überprüfung der Massenerhaltung ===

Für jede stationäre Berechnung wird überprüft, ob die Summe der beiden Auslassvolumenströme dem Einlassvolumenstrom entspricht:

:&lt;math&gt;Q_{\mathrm{ACC}}\approx Q_{\mathrm{ACI}}+Q_{\mathrm{ACE}}&lt;/math&gt;

Abweichungen können auf numerische Ungenauigkeiten oder ungeeignete Auswertungseinstellungen hinweisen.

=== Vergleich der Stenosegrade ===

Die Ergebnisse werden für unterschiedliche Stenosegrade gegenübergestellt.

Dabei wird untersucht, wie stark die maximale Geschwindigkeit, der Druckverlust und die Wandschubspannung mit zunehmender Verengung ansteigen beziehungsweise sich verändern.

Die Volumenstromverteilung zwischen den beiden Gefäßästen wird ebenfalls betrachtet, sofern die gewählten Auslassrandbedingungen eine solche Auswertung ermöglichen.

=== Vergleich der Modellvarianten ===

Das Graphenmodell liefert vereinfachte Abschätzungen für Volumenströme und Druckverluste.

Das zweidimensionale Flächenmodell ermöglicht die Darstellung ebener Geschwindigkeits- und Druckfelder.

Das dreidimensionale Volumenmodell liefert zusätzlich eine räumliche Beschreibung der Strömung und der Wandschubspannung.

Die Ergebnisse werden nicht als zwangsläufig identisch betrachtet, da die Modelle unterschiedliche geometrische und mathematische Vereinfachungen verwenden.

=== Ergebnisse und Diskussion ===

Die konkreten Simulationsergebnisse werden nach Durchführung und Auswertung der COMSOL-Berechnungen ergänzt.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ '''Vorlage für die Auswertung der Stenosegrade'''
|-
! Stenosegrad
! Maximale Geschwindigkeit
! Druckverlust
! Volumenstrom ACI
! Volumenstrom ACE
! Maximale Wandschubspannung
|-
| 0 %
| Noch einzutragen
| Noch einzutragen
| Noch einzutragen
| Noch einzutragen
| Noch einzutragen
|-
| 30 %
| Noch einzutragen
| Noch einzutragen
| Noch einzutragen
| Noch einzutragen
| Noch einzutragen
|-
| 60 %
| Noch einzutragen
| Noch einzutragen
| Noch einzutragen
| Noch einzutragen
| Noch einzutragen
|-
| 80 %
| Noch einzutragen
| Noch einzutragen
| Noch einzutragen
| Noch einzutragen
| Noch einzutragen
|}

Die Auswertung soll insbesondere zeigen, welche Auswirkungen die Verengung der Arteria carotis interna auf die lokale Strömung und die Strömungsverteilung innerhalb der Y-förmigen Karotisaufzweigung besitzt.

Bei hochgradigen Stenosen ist zusätzlich zu diskutieren, inwieweit die Annahme einer stationären laminaren Strömung geeignet bleibt.

== Grenzen des Modells ==

Die untersuchte Gefäßgeometrie ist eine idealisierte Darstellung der Karotisaufzweigung. Individuelle anatomische Unterschiede werden nicht berücksichtigt.

Darüber hinaus werden die Gefäßwände als starr angenommen und Blut wird durch ein inkompressibles Newtonsches Fluid mit konstanter Viskosität beschrieben.

Die Strömung wird stationär berechnet. Die natürliche Pulsation des Blutflusses und zeitabhängige Effekte bleiben damit unberücksichtigt.

Insbesondere bei hochgradigen Stenosen können zeitabhängige Strömungsablösungen auftreten, die durch eine stationäre Modellierung nicht vollständig beschrieben werden.

Das Graphenmodell kann lokale Strömungsphänomene nicht detailliert erfassen. Das ebene Flächenmodell vereinfacht die räumliche Gefäßgeometrie. Auch das dreidimensionale Modell bleibt aufgrund der idealisierten Geometrie und der vereinfachten Materialannahmen eine Annäherung an die reale Blutströmung.

Die Ergebnisse sind daher als strömungsmechanische Untersuchung eines idealisierten Modells zu interpretieren und nicht als patientenspezifische medizinische Vorhersage.

== Literaturverzeichnis ==

&lt;references /&gt;

=== Weiterführende Literatur ===

* Bernabeu, M. O. u. a.: Impact of blood rheology on wall shear stress in a model of the middle cerebral artery. ''Interface Focus'' 3 (2013), 20120094.
* Womersley, J. R.: Method for the calculation of velocity, rate of flow and viscous drag in arteries when the pressure gradient is known. ''Journal of Physiology'' 127 (1955), S. 553–563.
* Varghese, S. S.; Frankel, S. H.; Fischer, P. F.: Direct numerical simulation of stenotic flows. Part 1. Steady flow. ''Journal of Fluid Mechanics'' 582 (2007), S. 253–280.
* Hansen, F.; Mangell, P.; Sonesson, B.; Länne, T.: Diameter and compliance in the human common carotid artery: variations with age and sex. ''Ultrasound in Medicine and Biology'' 21 (1995), Nr. 1, S. 1–9.
* Krejza, J.; Arkuszewski, M.; Kasner, S. E.; Weigele, J.; Ustymowicz, A.; Hurst, R. W.; Cucchiara, B. L.; Messe, S. R.: Carotid artery diameter in men and women and the relation to body and neck size. ''Stroke'' 37 (2006), Nr. 4, S. 1103–1105.


ALTTTTT

= Gruppenteilnehmer =
* Joey Becker
* Marie-Thérèse Heitele
* Nicole Pander

= Thema und Fragestellung =

Gegenstand dieses Projekts ist die numerische Simulation der Blutströmung in einer verzweigten Halsschlagader ('''Carotis-Bifurkation''') unter dem Einfluss einer lokalen Gefäßverengung ('''Stenose''').
Im Vergleich zu einfachen Rohrströmungen wird hier die realitätsnahe Gefäßanatomie betrachtet: Die '''Arteria carotis communis (ACC)''' teilt sich in die '''Arteria carotis externa (ACE)''' und die '''Arteria carotis interna (ACI)''' auf. Während die '''ACE''' als gesunder, stenosefreier Ast dient, wird in der '''ACI''' eine geglättete, kosinusförmige Gefäßverengung modelliert. Um scharfe Kanten und unphysiologische Druckspitzen zu vermeiden, werden alle Wandübergänge und die Gabelungsspitze (Apex) anatomisch verrundet.

Als Referenz dient ein gesundes, unverengtes Gefäß, in dem sich die Poiseuille-Strömung mit ihrem charakteristischen parabolischen Geschwindigkeitsprofil ausbildet. Diese Strömung ist aus zwei Gründen der natürliche Ausgangspunkt. Sie beschreibt den physiologischen Normalfall, mit dem jeder Stenosegrad verglichen wird, und sie ist exakt lösbar, sodass sich an ihr jede numerische Rechnung prüfen lässt, bevor die Verengung hinzukommt.

== Fragestellung ==
Die Hauptfragestellung dieses Projektes lautet: 
Wie verändert eine symmetrische bzw. rotationssymmetrische Stenose in der '''Arteria carotis interna (ACI)''' die stationäre Strömung eines inkompressiblen Newton’schen Fluids in einer 2D-Carotis-Bifurkation hinsichtlich Geschwindigkeitsverteilung, Druckabfall, Wandschubspannung und Wirbelbildung im Vergleich zu den gesunden Gefäßabschnitten?

Aus dieser Fragestellung ergeben sich drei Teilfragen, an denen sich der Aufbau der Seite orientiert:

# Welche Strömungsgrößen reagieren empfindlich auf den Stenosegrad und welche nur träge?
# Ab welchem Stenosegrad ändert sich das Strömungsmuster qualitativ, das heißt, ab wann löst die Strömung hinter der Engstelle von der Wand ab und bildet ein Rückströmgebiet?
# Wie weit tragen die vereinfachenden Modellannahmen, insbesondere die Annahme einer stationären und laminaren Strömung, über den untersuchten Bereich der Stenosegrade?

== Modellannahmen ==
Im Hinblick darauf werden für dieses Projekt einige Annahmen getroffen, um das Projekt möglichst isoliert zu untersuchen und zu simplifizieren:

* '''Idealisierte Gefäßgeometrie''': Betrachtet wird ein  Teilabbschnitt der ''Arteria carotis communis'', die sog. ''ACI''. Zudem werden Gefäßverkrümmungen, weitere Verzweigungen und patientenspezifische Strukturen  nicht berücksichtigt. 
* '''Starre Gefäßwand''': Die Gefäßwand wird als unbeweglich und nicht verformbar angenommen. Eine Wechselwirkung zwischen elastischer Gefäßwand und Blutströmung wird nicht modelliert.
* '''Stationäre Strömung''': Die Strömungsgrößen werden als zeitlich konstant angenommen. Die im realen Blutkreislauf vorhandene Pulsation durch den Herzschlag wird daher vernachlässigt: &lt;math&gt;\frac{\partial u}{\partial t}=0&lt;/math&gt;.
* '''Inkompressibles Fluid''': Die Dichte des Fluids wird als konstant angenommen. Damit gilt für die Geschwindigkeit &lt;math&gt;\nabla \cdot u=0&lt;/math&gt;. Dies entspricht der in der Vorlesung behandelten Massenerhaltung für inkompressible Fluide: Was in das Gefäß einströmt, muss auch wieder ausströmen.
* '''Newton'sche Näherung für Blut''': Reales Blut beseitzt ein nicht newton'sches Fließverhalten. Hier wird Blut als Newton'sches Fluid behandelt.
* '''Konstante Stoffeigenschaften''': Dichte &lt;math&gt;\rho&lt;/math&gt; und dynamische Viskosität μ werden als räumlich und zeitlich konstant angenommen. Temperaturabhängigkeiten werden nicht berücksichtigt.
* '''Laminare Strömung''': Die Strömung wird mit dem COMSOL-Modul ''Laminar Flow'' beschrieben. Ein zusätzliches Turbulenzmodell wird nicht verwendet.
* '''No-Slip-Bedingung an Gefäßwand''': Aufgrund der Viskosität wird angenommen, dass das Fluid direkt an der Gefäßwand haftet. Somit gilt &lt;math&gt;u=0&lt;/math&gt;.
* '''Vernachlässigung der Gravitation''': Gravitation wird nicht berücksichtigt. Die Strömung wird ausschließlich durch die gewählten Ein- und Auslassbedingungen bestimmt.

= Relevanz =
Die Untersuchung von Gefäßverengungen besitzt sowohl eine medizinische als auch eine methodische Bedeutung. Aus medizinischer Sicht sind arterielle Stenosen – etwa in der Halsschlagader, lat. ''arteria carotis communis'', – kritisch, da sie die Durchblutung beeinträchtigen und durch veränderte Wandschubspannungen sowie die Bildung von Wirbeln weitere Gefäßablagerungen begünstigen. Stenosen im Bereich der Karotisgabelung sind klinisch hochrelevant, da sie das Gehirn direkt versorgen und das Risiko für embolische Schlaganfälle erhöhen. Fachlich überträgt das Projekt damit die Prinzipien der Strömungsmechanik direkt auf eine biomedizinische Anwendung. Das Projekt verknüpft somit theoretische Grundlagen der Strömungsmechanik (Hagen-Poiseuille-Gleichung, Navier-Stokes-Gleichungen) mit der numerischen Simulation in COMSOL Multiphysics. Durch den Vergleich der '''gesunden Externa (ACE)''' mit der '''stenoisierten Interna (ACI)''' innerhalb desselben Rechengebiets wird die isolierte Wirkung der Stenose unter identischen Randbedingungen direkt sichtbar gemacht.

== Medizinische Relevanz ==

Arterielle Stenosen entstehen überwiegend durch Atherosklerose, also durch Ablagerungen aus Lipiden, Bindegewebe und Kalk in der Gefäßwand. In der Halsschlagader sind sie klinisch besonders bedeutsam, weil sie die Durchblutung des Gehirns beeinträchtigen und weil sich an ihnen Thromben bilden können, die als Embolie einen Schlaganfall auslösen. Dass die operative Entfernung einer hochgradigen Karotisstenose das Schlaganfallrisiko symptomatischer Patienten deutlich senkt, hat die NASCET-Studie gezeigt, deren Einteilung der Stenosegrade dieses Projekt übernimmt.&lt;ref name=&quot;nascet&quot;&gt;North American Symptomatic Carotid Endarterectomy Trial Collaborators: ''Beneficial effect of carotid endarterectomy in symptomatic patients with high-grade carotid stenosis.'' New England Journal of Medicine 325 (1991), Nr. 7, S. 445-453.&lt;/ref&gt;

Strömungsmechanisch ist an einer Stenose vor allem die Wandschubspannung von Interesse, also die tangentiale Kraft je Fläche, die das strömende Blut auf die innerste Zellschicht der Gefäßwand ausübt. Gesunde Halsschlagadern weisen zeitlich gemittelte Werte von etwa 1,1 bis 1,5 Pa auf.&lt;ref name=&quot;samijo&quot;&gt;Samijo, S. K.; Willigers, J. M.; Barkhuysen, R.; Kitslaar, P. J. E. H. M.; Reneman, R. S.; Brands, P. J.; Hoeks, A. P. G.: ''Wall shear stress in the human common carotid artery as function of age and gender.'' Cardiovascular Research 39 (1998), Nr. 2, S. 515-522.&lt;/ref&gt; In einer Engstelle steigt sie stark an, unmittelbar dahinter fällt sie im Ablösegebiet auf nahezu null und wechselt dort sogar das Vorzeichen. Niedrige und im Vorzeichen wechselnde Wandschubspannungen gelten als Bedingungen, unter denen sich weitere Ablagerungen bevorzugt bilden. Eine bestehende Stenose schafft also stromabwärts die Voraussetzungen für ihr eigenes Wachstum. Genau diese Verteilung lässt sich im Körper nur schwer messen, in einer Simulation dagegen unmittelbar auswerten.

== Methodische Relevanz ==

Fachlich überträgt das Projekt die Prinzipien der Strömungsmechanik aus der Vorlesung auf eine biomedizinische Anwendung.&lt;ref name=&quot;hundertmark&quot;&gt;Hundertmark, A.: ''Fluiddynamik.'' Vorlesungsunterlagen zum Modul Räumliche Modellbildung, RPTU Kaiserslautern-Landau, Sommersemester 2026.&lt;/ref&gt; Der methodische Mehrwert liegt in der Verknüpfung mehrerer Zugänge, die sich gegenseitig kontrollieren. Die analytische Poiseuille-Lösung liefert exakte Sollwerte für das gesunde Gefäß. Ein reduziertes Graphenmodell liefert für jeden Stenosegrad eine schnelle Abschätzung, die analytisch nachrechenbar ist. Die Simulationen in COMSOL Multiphysics lösen schließlich die vollständigen Navier-Stokes-Gleichungen in zwei und drei Raumdimensionen. Weil jede Stufe die Sollwerte der nächsten liefert, zeigt das Projekt nicht nur Ergebnisse, sondern auch, wie numerische Modelle aufgebaut, verifiziert und an ihren Grenzen bewertet werden.

== Auswahl der Stenosegrade ==

Um die untersuchten Gefäßverengungen nicht willkürlich festzulegen, orientiert sich die Auswahl der Stenosegrade an der klinisch gebräuchlichen NASCET-Klassifikation von Karotisstenosen.&lt;ref name=&quot;nascet&quot; /&gt; Zur klinischen Einordnung werden Karotisstenosen anhand der nach NASCET bestimmten Durchmesserreduktion in leichtgradige, mittelgradige und hochgradige Stenosen eingeteilt. Die angegebenen Prozentgrenzen dienen in diesem Projekt als Orientierung für die Auswahl der untersuchten Stenosegrade. Ein vollständiger Gefäßverschluss wird als Okklusion bezeichnet.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Klinische Einteilung nach NASCET-gemessener Durchmesserreduktion und untersuchte Stenosegrade
! Schweregrad !! Durchmesserreduktion !! im Projekt gerechnete Stenosegrade !! hervorgehobener Vertreter
|-
| gesundes Gefäß || 0 % || 0 || 0
|-
| leichtgradige Stenose || unter 50 % || 0,1 bis 0,4 || 0,3
|-
| mittelgradige Stenose || 50 bis 69 % || 0,5 und 0,6 || 0,6
|-
| hochgradige Stenose || 70 bis 99 % || 0,7 und 0,8 || 0,8
|-
| Okklusion || 100 % || nicht gerechnet || entfällt
|}
'''Anmerkung''': Die Klassengrenzen dienen der Einordnung der Modellvarianten. Die in der Tabelle genannten Stenosegrade sind dimensionslose Werte, beispielsweise entspricht '''&lt;math&gt;s=0{,}6&lt;/math&gt;''' einer Durchmesserreduktion von '''60 %'''.

Für die numerische Untersuchung wird aus jeder Kategorie ein repräsentativer Stenosegrad hervorgehoben. Neben dem gesunden Gefäß mit '''0 %''' Stenose sind das eine '''30 %''' Stenose als Beispiel für eine leichtgradige, eine '''60 %''' Stenose als Beispiel für eine mittelgradige und eine '''80 %''' Stenose als Beispiel für eine hochgradige Verengung. Zusätzlich werden für das Graphenmodell und das achsensymmetrische Flächenmodell Stenosegrade von 0 bis 80 % in Schritten von zehn Prozentpunkten vorgesehen. Dadurch kann die Abhängigkeit der Strömungsgrößen vom Stenosegrad systematisch untersucht und grafisch dargestellt werden. Ob alle Modellvarianten tatsächlich berechnet wurden und wie hoch der Rechenaufwand war, wird anhand der durchgeführten Simulationen dokumentiert. Ein vollständiger Gefäßverschluss wird nicht simuliert, da in diesem Fall keine durchgängige Strömung mehr vorliegt.

Der Stenosegrad wird in diesem Projekt wie bei NASCET über die Verringerung des Gefäßdurchmessers beschrieben,
&lt;math&gt;s = 1 - \frac{d_{\min}}{d_{\mathrm{ref}}},&lt;/math&gt;wobei &lt;math&gt;d_{\min}&lt;/math&gt; der kleinste Durchmesser in der Engstelle und &lt;math&gt;d_{\mathrm{ref}}&lt;/math&gt; ein Referenzdurchmesser ist. NASCET verwendet als Referenz den Durchmesser des gesunden Gefäßes stromabwärts der Stenose. Für das idealisierte gerade Gefäßmodell wird ein konstanter Referenzdurchmesser von &lt;math&gt;D_0=6\,\mathrm{mm}&lt;/math&gt; angenommen. Da das Gefäß außerhalb der Stenose denselben Durchmesser besitzt, gilt in diesem Modell&lt;math&gt;d_{\mathrm{ref}}=D_0&lt;/math&gt;. Bei der zusätzlich betrachteten Gefäßaufzweigung muss der Referenzdurchmesser dagegen gesondert festgelegt werden, da die Gefäßäste unterschiedliche Durchmesser besitzen.

Wichtig für das Verständnis aller weiteren Ergebnisse ist der Unterschied zwischen Durchmesser- und Flächenreduktion. Da die Querschnittsfläche quadratisch vom Durchmesser abhängt, gilt für die Flächenreduktion &lt;math&gt;1-(1-s)^2&lt;/math&gt;. Eine im klinischen Sinn nur mittelgradige Stenose von 60 % verschließt damit bereits 84 % der Querschnittsfläche.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Durchmesser- und Flächenreduktion der gerechneten Stenosegrade
! Stenosegrad s !! 0 !! 0,1 !! 0,2 !! 0,3 !! 0,4 !! 0,5 !! 0,6 !! 0,7 !! 0,8
|-
| engster Durchmesser in mm || 6,0 || 5,4 || 4,8 || 4,2 || 3,6 || 3,0 || 2,4 || 1,8 || 1,2
|-
| Flächenreduktion || 0 % || 19 % || 36 % || 51 % || 64 % || 75 % || 84 % || 91 % || 96 %
|}

Eine Einschränkungen gehört zur ehrlichen Einordnung: 
# Mit zunehmendem Stenosegrad, insbesondere bei ausgeprägten Verengungen, können lokale Beschleunigungen, Strömungsablösungen und zeitabhängige Strömungsstrukturen auftreten. Daher muss bei den hochgradigen Stenosen geprüft werden, inwieweit die Annahme einer stationären, laminaren Strömung geeignet ist. Eine feste Grenze bei &lt;math&gt;s=0{,}6&lt;/math&gt; lässt sich ohne entsprechende Simulationsergebnisse oder Literaturbelege nicht allgemein festlegen. Die hochgradigen Fälle werden deshalb unter besonderer Berücksichtigung der Modellannahmen diskutiert.

Unter Modellierung wird in diesem Projekt die Übertragung der Blutströmung in einer verengten Arterie auf ein mathematisches und numerisch lösbares Strömungsproblem verstanden. Dazu werden die Gefäßgeometrie, die zugrunde liegenden Gleichungen, die physikalischen Materialparameter sowie die Anfangs- und Randbedingungen festgelegt.

Jeder dieser Bestandteile beruht auf vereinfachenden Annahmen, die begründet und bei der Interpretation der Ergebnisse berücksichtigt werden müssen. Ziel ist es, den Einfluss unterschiedlicher Stenosegrade auf die Strömungsgeschwindigkeit, den Druckverlust und gegebenenfalls die Wandschubspannung systematisch zu untersuchen.

Die Modellierung erfolgt anhand mehrerer Modellvarianten mit unterschiedlicher räumlicher Auflösung. Dadurch können zunächst grundlegende Zusammenhänge analytisch abgeschätzt und anschließend mit numerischen Strömungsberechnungen verglichen werden. Die verwendeten Parameter orientieren sich an den bereitgestellten Referenzdaten und werden in den folgenden Abschnitten erläutert.

== Modellierung ==

Ziel der Modellierung ist es, die Blutströmung innerhalb einer Y-förmigen Aufzweigung der Halsschlagader mathematisch und numerisch zu untersuchen. Im Mittelpunkt steht eine Gefäßverengung (Stenose) in der Arteria carotis interna.

Das betrachtete Gefäßmodell besteht aus der Arteria carotis communis, die sich in die Arteria carotis interna und die Arteria carotis externa aufteilt. Die Stenose befindet sich ausschließlich in der Arteria carotis interna.

Durch die Verengung verändert sich der verfügbare Strömungsquerschnitt. Dies kann zu einer Erhöhung der lokalen Strömungsgeschwindigkeit, zu zusätzlichen Druckverlusten und zu einer Veränderung der Strömungsverteilung zwischen den beiden Gefäßästen führen.

Ziel ist es, den Einfluss unterschiedlicher Stenosegrade auf die Strömungsgeschwindigkeit, die Druckverteilung und die Wandschubspannung zu untersuchen. Zusätzlich soll betrachtet werden, wie sich die Strömung innerhalb der Y-förmigen Gefäßaufzweigung verhält.

Die numerische Modellierung erfolgt mit COMSOL Multiphysics. Dazu werden die Gefäßgeometrie, die Materialeigenschaften des Blutes, die Strömungsgleichungen und die Randbedingungen festgelegt.

Zur Vereinfachung wird Blut zunächst als inkompressibles, Newtonsches Fluid betrachtet. Die Gefäßwände werden als starr angenommen. Diese Annahmen ermöglichen eine systematische Untersuchung der Stenose, schränken jedoch die Übertragbarkeit auf reale physiologische Bedingungen ein.

=== Modellhierarchie ===

Für die Untersuchung der Blutströmung innerhalb der Y-förmigen Karotisaufzweigung werden drei Modellvarianten betrachtet. Diese unterscheiden sich hinsichtlich ihrer räumlichen Dimension, ihrer mathematischen Beschreibung und der Genauigkeit, mit der die Strömungsverhältnisse dargestellt werden können.

Das untersuchte Gefäß besteht aus der Arteria carotis communis, die sich in die Arteria carotis interna und die Arteria carotis externa aufteilt. Die Stenose befindet sich ausschließlich in der Arteria carotis interna.

Alle drei Modellvarianten werden mit COMSOL Multiphysics umgesetzt.

{| class=&quot;wikitable&quot; style=&quot;width:100%;&quot;
|+ '''Die drei Modellvarianten des Projekts'''
|-
! Modell
! Raumdimension
! Mathematische Grundlage
! Zweck
! Werkzeug
|-
| '''Graphenmodell'''
| 1D, Gefäßnetzwerk mit einer Verzweigung
| Massenerhaltung an der Verzweigung und vereinfachte Beschreibung der Strömungswiderstände
| Abschätzung der Volumenstromverteilung und der Druckverluste in den Gefäßästen
| COMSOL Multiphysics
|-
| '''Ebenes Flächenmodell'''
| 2D, Y-förmige Gefäßgeometrie in kartesischen Koordinaten
| Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen
| Untersuchung der Geschwindigkeits- und Druckverteilung sowie der Auswirkungen der Stenose in der Arteria carotis interna
| COMSOL Multiphysics, Laminare Strömung
|-
| '''Volumenmodell'''
| 3D, räumliche Y-förmige Gefäßgeometrie
| Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen
| Räumliche Untersuchung des Geschwindigkeitsfeldes, des Druckverlustes und der Wandschubspannung
| COMSOL Multiphysics, Laminare Strömung
|}

==== Vergleich und Überprüfung der Modellvarianten ====

Die drei Modellvarianten bauen hinsichtlich ihrer räumlichen Beschreibung aufeinander auf. Das Graphenmodell ermöglicht zunächst eine vereinfachte Betrachtung der Volumenströme und Druckverluste. Die zwei- und dreidimensionalen Modelle erlauben anschließend eine detailliertere Untersuchung der Strömung innerhalb der Gefäßaufzweigung.

Das '''Graphenmodell''' beschreibt die Arteria carotis communis sowie die beiden abzweigenden Gefäße als miteinander verbundenes Netzwerk. Dabei wird die Massenerhaltung an der Verzweigung berücksichtigt:

:&lt;math&gt;Q_{\mathrm{CCA}}=Q_{\mathrm{ICA}}+Q_{\mathrm{ECA}}&lt;/math&gt;

Das Modell liefert vereinfachte Abschätzungen der Volumenstromverteilung. Lokale Strömungsablösungen und räumliche Geschwindigkeitsverteilungen können damit nicht detailliert dargestellt werden.

Das '''ebene Flächenmodell''' bildet die Y-förmige Gefäßaufzweigung in zwei Raumdimensionen ab. Die Stenose wird innerhalb der Arteria carotis interna berücksichtigt. Dadurch können die Geschwindigkeits- und Druckverteilung sowie mögliche Rückströmungsbereiche untersucht werden.

Das '''Volumenmodell''' erweitert die Untersuchung auf drei Raumdimensionen. Es ermöglicht eine räumliche Darstellung der Strömung und eine detailliertere Berechnung der Wandschubspannung.

Die Ergebnisse des ebenen Flächenmodells und des Volumenmodells werden miteinander verglichen. Da das ebene Modell die räumliche Querschnittsgeometrie nur vereinfacht darstellt, müssen Unterschiede zwischen den beiden Modellen bei der Interpretation berücksichtigt werden.

Ziel der Modellhierarchie ist es, die Aussagekraft der einzelnen Modellvarianten zu bewerten und den Einfluss des Stenosegrades auf die Strömung innerhalb der Y-förmigen Karotisaufzweigung zu untersuchen.

=== Simulationsgebiet und Geometrie ===

Das Simulationsgebiet besteht aus einer idealisierten Y-förmigen Aufzweigung der Arteria carotis. Die Arteria carotis communis teilt sich in die Arteria carotis interna und die Arteria carotis externa.

Die Stenose befindet sich in der Arteria carotis interna. Die Arteria carotis externa wird ohne zusätzliche Verengung modelliert.

Die Geometrie orientiert sich an den bereitgestellten Referenzdaten. Die Gefäßdurchmesser werden innerhalb der jeweiligen unverengten Abschnitte als konstant angenommen.

{| class=&quot;wikitable&quot; style=&quot;width:100%;&quot;
|+ '''Geometrische Referenzparameter der Y-förmigen Gefäßaufzweigung'''
|-
! Gefäßabschnitt
! Durchmesser
! Länge
|-
| Arteria carotis communis
| 6 mm
| 60 mm
|-
| Arteria carotis interna
| 5 mm
| 60 mm
|-
| Arteria carotis externa
| 4 mm
| 60 mm
|-
| Stenose in der Arteria carotis interna
| Abhängig vom Stenosegrad
| 10 mm
|}

Die Verengung wird über den Stenosegrad &lt;math&gt;s&lt;/math&gt; beschrieben. Dieser gibt die relative Verringerung des Gefäßdurchmessers an:

:&lt;math&gt;s=1-\frac{d_{\min}}{D_{\mathrm{ICA}}}&lt;/math&gt;

Dabei bezeichnet &lt;math&gt;d_{\min}&lt;/math&gt; den minimalen Durchmesser innerhalb der Stenose und &lt;math&gt;D_{\mathrm{ICA}}&lt;/math&gt; den unverengten Referenzdurchmesser der Arteria carotis interna.

Für das Modell gilt:

:&lt;math&gt;D_{\mathrm{ICA}}=5\,\mathrm{mm}&lt;/math&gt;

Der minimale Durchmesser ergibt sich damit zu:

:&lt;math&gt;d_{\min}=D_{\mathrm{ICA}}(1-s)&lt;/math&gt;

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ '''Minimaler Durchmesser der Stenose in der Arteria carotis interna'''
|-
! Stenosegrad
! Minimaler Durchmesser
|-
| 0 %
| 5,0 mm
|-
| 10 %
| 4,5 mm
|-
| 20 %
| 4,0 mm
|-
| 30 %
| 3,5 mm
|-
| 40 %
| 3,0 mm
|-
| 50 %
| 2,5 mm
|-
| 60 %
| 2,0 mm
|-
| 70 %
| 1,5 mm
|-
| 80 %
| 1,0 mm
|}

Die angegebenen Stenosegrade beziehen sich ausschließlich auf den Durchmesser der Arteria carotis interna. Der Durchmesser der Arteria carotis communis wird nicht zur Berechnung des Stenosegrades verwendet.

Die Y-förmige Geometrie ermöglicht es, die Auswirkungen der Verengung sowohl auf die lokale Strömung in der Arteria carotis interna als auch auf die Strömungsverteilung innerhalb der gesamten Gefäßaufzweigung zu untersuchen.

Die genaue Form der Stenose, der Verzweigungswinkel und die Übergänge zwischen den Gefäßabschnitten müssen entsprechend der tatsächlich in COMSOL verwendeten Geometrie dokumentiert werden.


== Stoff- und Strömungsparameter ==

Die Stoffwerte des Blutes und der Volumenstrom sind die einzigen Eingangsgrößen, die nicht aus der Geometrie folgen. Aus ihnen werden alle weiteren Strömungskennwerte berechnet. Die folgenden Schritte zeigen jede Rechnung einzeln, damit sich jeder Wert nachprüfen lässt.

# Die '''Dichte''' wird mit &lt;math&gt;\rho = 1060\ \mathrm{kg/m^3}&lt;/math&gt; angesetzt. Der Wert lässt sich als Mischungsregel plausibel machen. Plasma hat eine Dichte von etwa 1025 kg/m³, rote Blutkörperchen von etwa 1100 kg/m³. Bei einem Zellanteil von 45 % ergibt sich &lt;math&gt;0{,}55 \cdot 1025 + 0{,}45 \cdot 1100 \approx 1059\ \mathrm{kg/m^3}&lt;/math&gt;. Die Dichte geht nur über die Reynoldszahl in die Rechnung ein, eine Abweichung von einem Prozent ändert die Ergebnisse daher kaum. &lt;!-- FIXME Lehrbuchquelle fuer Plasma- und Erythrozytendichte ergaenzen --&gt;
# Die '''dynamische Viskosität''' wird mit &lt;math&gt;\mu = 3{,}5\ \mathrm{mPa\,s}&lt;/math&gt; angesetzt. Das ist der Grenzwert der Blutviskosität bei hohen Scherraten, also genau der Wert, der zur Newtonschen Näherung gehört. Derselbe Wert von 0,035 Poise wird auch im Standardwerk zur Modellierung des Herz-Kreislauf-Systems verwendet.&lt;ref name=&quot;quarteroni&quot;&gt;Quarteroni, A.; Formaggia, L.: ''Mathematical Modelling and Numerical Simulation of the Cardiovascular System.'' In: Ayache, N. (Hrsg.): ''Computational Models for the Human Body.'' Handbook of Numerical Analysis, Bd. XII, Elsevier, Amsterdam 2004, S. 3-127. DOI 10.1016/S1570-8659(03)12001-7. Zur Newtonschen Näherung in großen Gefäßen siehe S. 30, zur Viskosität von 0,035 Poise die Parametertabelle auf S. 116.&lt;/ref&gt;
# Der '''mittlere Volumenstrom''' wird mit &lt;math&gt;Q_0 = 6\ \mathrm{ml/s}&lt;/math&gt; angesetzt. Das ist der zeitlich gemittelte Volumenstrom, der in der gemeinsamen Halsschlagader gesunder Probanden gemessen wurde.&lt;ref name=&quot;holdsworth&quot; /&gt;
# Die '''mittlere Geschwindigkeit''' folgt aus Volumenstrom und Querschnittsfläche, &lt;math&gt;U_0 = \frac{Q_0}{\pi R_0^2} = \frac{6 \cdot 10^{-6}\ \mathrm{m^3/s}}{\pi \cdot (0{,}003\ \mathrm{m})^2} = 0{,}2122\ \mathrm{m/s}&lt;/math&gt;.
# Die '''Reynoldszahl''' des gesunden Gefäßes ist &lt;math&gt;Re_0 = \frac{\rho\, U_0\, D_0}{\mu} = \frac{1060 \cdot 0{,}2122 \cdot 0{,}006}{0{,}0035} = 385{,}6&lt;/math&gt;. Sie wird im Folgenden auf 386 gerundet.
# Die '''Einlauflänge''', die eine anfangs gleichförmige Strömung bis zum voll entwickelten Parabelprofil bräuchte, beträgt nach der gebräuchlichen Abschätzung für laminare Rohrströmungen &lt;math&gt;L_e \approx 0{,}06\, Re_0\, D_0 \approx 0{,}06 \cdot 386 \cdot 6\ \mathrm{mm} \approx 139\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt;.&lt;ref name=&quot;durst&quot;&gt;Durst, F.; Ray, S.; Ünsal, B.; Bayoumi, O. A.: ''The development lengths of laminar pipe and channel flows.'' Journal of Fluids Engineering 127 (2005), Nr. 6, S. 1154-1160. Für große Reynoldszahlen nähert sich die dort angegebene Korrelation dem Wert 0,057·Re·D.&lt;/ref&gt; Das ist fast die gesamte Länge des Rechengebiets. Ein konstantes Einlassprofil würde die Strömung an der Stenose also verfälschen, weshalb am Einlass das voll entwickelte Profil vorgegeben wird.

Damit liegen alle globalen Parameter fest. Die folgende Tabelle enthält sie mit genau den Namen, unter denen sie in COMSOL und in den Octave-Skripten verwendet werden.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Globale Parameter des Modells
! Name !! Ausdruck in COMSOL !! Wert !! Bedeutung !! Herkunft
|-
| R0 || 3[mm] || 3 mm || Gefäßradius || Messwerte nach Krejza u. a. 2006, gerundet
|-
| D0 || 2*R0 || 6 mm || Gefäßdurchmesser || abgeleitet
|-
| Ls || 2*D0 || 12 mm || Länge der Störstelle || Standardgeometrie nach Varghese u. a. 2007
|-
| Lu || 5*D0 || 30 mm || Vorlaufstrecke vor der Stenosemitte || Abstand der Einlassbedingung von der Stenose
|-
| Ld || 20*D0 || 120 mm || Nachlaufstrecke hinter der Stenosemitte || Platz für das Rückströmgebiet
|-
| Lf || Ls/2+10*D0 || 66 mm || Ende des fein vernetzten Nachlaufs || erwartete Länge des Rückströmgebiets
|-
| s || 0 bis 0.8 || 0 bis 0,8 || Stenosegrad bezogen auf den Durchmesser || NASCET-Einteilung
|-
| rho_b || 1060[kg/m^3] || 1060 kg/m³ || Dichte des Blutes || Mischungsregel, Literaturwert
|-
| mu_b || 3.5[mPa*s] || 3,5 mPa·s || dynamische Viskosität des Blutes || Hochscherwert, Quarteroni und Formaggia 2004
|-
| Q0 || 6[ml/s] || 6 ml/s || mittlerer Volumenstrom || Messwerte nach Holdsworth u. a. 1999
|-
| U0 || Q0/(pi*R0^2) || 0,2122 m/s || mittlere Einströmgeschwindigkeit || abgeleitet
|-
| Re0 || rho_b*U0*D0/mu_b || 385,6 || Reynoldszahl des gesunden Gefäßes || abgeleitet
|-
| dp_ref || 8*mu_b*U0*(Lu+Ld)/R0^2 || 99,03 Pa || Poiseuille-Druckabfall des gesunden Gefäßes || abgeleitet, Hagen-Poiseuille
|}


AB HIER ALT== Modellhierarchie ==

Für die Untersuchung werden vier Modellvarianten betrachtet, die sich hinsichtlich ihrer mathematischen Beschreibung, ihrer räumlichen Dimension und ihres Rechenaufwands unterscheiden. Die Modelle sind bewusst von einer vereinfachten analytischen Beschreibung bis zu einer dreidimensionalen numerischen Simulation angeordnet.

Diese Vorgehensweise ermöglicht es, die Ergebnisse der komplexeren Modelle anhand grundlegender physikalischer Zusammenhänge und geeigneter Referenzfälle zu überprüfen. Dabei ist zu beachten, dass nicht jede Modellvariante dieselben Strömungseigenschaften vollständig abbilden kann.

{| class=&quot;wikitable&quot; style=&quot;width:100%;&quot;
|+ '''Die vier Modellvarianten des Projekts'''
|-
! Modell
! Raumdimension
! Mathematische Grundlage
! Zweck
! Werkzeug
|-
| '''Graphenmodell'''
| 1D, Beschreibung entlang der Gefäßachse
| Hagen-Poiseuille-Gesetz für vereinfachte Rohrabschnitte und Massenerhaltung an Verzweigungsknoten
| Analytische Abschätzung von Volumenströmen und Druckverlusten; Referenz für die numerischen Modelle
| COMSOL mit geeigneter eindimensionaler Formulierung
|-
| '''Achsensymmetrisches Flächenmodell'''
| 2D, rotationssymmetrischer Längsschnitt in den Koordinaten &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;z&lt;/math&gt;
| Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen in achsensymmetrischer Form
| Detaillierte Untersuchung von Geschwindigkeits- und Druckfeldern sowie der Wandschubspannung in einem idealisierten rotationssymmetrischen Gefäß
| COMSOL Multiphysics, Laminar Flow
|-
| '''Ebenes Flächenmodell'''
| 2D, ebene Geometrie in den Koordinaten &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;y&lt;/math&gt;
| Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen in kartesischen Koordinaten
| Untersuchung der Strömung in einer vereinfachten ebenen Geometrie und Vergleich mit dem achsensymmetrischen Modell
| COMSOL Multiphysics, Laminar Flow
|-
| '''Volumenmodell'''
| 3D, räumliche Gefäßgeometrie
| Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen in drei Raumdimensionen
| Räumliche Darstellung der Strömung und Überprüfung der Ergebnisse des achsensymmetrischen Modells bei vergleichbarer Geometrie
| COMSOL Multiphysics, Laminar Flow
|}

== Stoff- und Strömungsparameter ==

Die Stoffwerte des Blutes und der Volumenstrom sind die einzigen Eingangsgrößen, die nicht aus der Geometrie folgen. Aus ihnen werden alle weiteren Strömungskennwerte berechnet. Die folgenden Schritte zeigen jede Rechnung einzeln, damit sich jeder Wert nachprüfen lässt.

# Die '''Dichte''' wird mit &lt;math&gt;\rho = 1060\ \mathrm{kg/m^3}&lt;/math&gt; angesetzt. Der Wert lässt sich als Mischungsregel plausibel machen. Plasma hat eine Dichte von etwa 1025 kg/m³, rote Blutkörperchen von etwa 1100 kg/m³. Bei einem Zellanteil von 45 % ergibt sich &lt;math&gt;0{,}55 \cdot 1025 + 0{,}45 \cdot 1100 \approx 1059\ \mathrm{kg/m^3}&lt;/math&gt;. Die Dichte geht nur über die Reynoldszahl in die Rechnung ein, eine Abweichung von einem Prozent ändert die Ergebnisse daher kaum. &lt;!-- FIXME Lehrbuchquelle fuer Plasma- und Erythrozytendichte ergaenzen --&gt;
# Die '''dynamische Viskosität''' wird mit &lt;math&gt;\mu = 3{,}5\ \mathrm{mPa\,s}&lt;/math&gt; angesetzt. Das ist der Grenzwert der Blutviskosität bei hohen Scherraten, also genau der Wert, der zur Newtonschen Näherung gehört. Derselbe Wert von 0,035 Poise wird auch im Standardwerk zur Modellierung des Herz-Kreislauf-Systems verwendet.&lt;ref name=&quot;quarteroni&quot;&gt;Quarteroni, A.; Formaggia, L.: ''Mathematical Modelling and Numerical Simulation of the Cardiovascular System.'' In: Ayache, N. (Hrsg.): ''Computational Models for the Human Body.'' Handbook of Numerical Analysis, Bd. XII, Elsevier, Amsterdam 2004, S. 3-127. DOI 10.1016/S1570-8659(03)12001-7. Zur Newtonschen Näherung in großen Gefäßen siehe S. 30, zur Viskosität von 0,035 Poise die Parametertabelle auf S. 116.&lt;/ref&gt;
# Der '''mittlere Volumenstrom''' wird mit &lt;math&gt;Q_0 = 6\ \mathrm{ml/s}&lt;/math&gt; angesetzt. Das ist der zeitlich gemittelte Volumenstrom, der in der gemeinsamen Halsschlagader gesunder Probanden gemessen wurde.&lt;ref name=&quot;holdsworth&quot; /&gt;
# Die '''mittlere Geschwindigkeit''' folgt aus Volumenstrom und Querschnittsfläche, &lt;math&gt;U_0 = \frac{Q_0}{\pi R_0^2} = \frac{6 \cdot 10^{-6}\ \mathrm{m^3/s}}{\pi \cdot (0{,}003\ \mathrm{m})^2} = 0{,}2122\ \mathrm{m/s}&lt;/math&gt;.
# Die '''Reynoldszahl''' des gesunden Gefäßes ist &lt;math&gt;Re_0 = \frac{\rho\, U_0\, D_0}{\mu} = \frac{1060 \cdot 0{,}2122 \cdot 0{,}006}{0{,}0035} = 385{,}6&lt;/math&gt;. Sie wird im Folgenden auf 386 gerundet.
# Die '''Einlauflänge''', die eine anfangs gleichförmige Strömung bis zum voll entwickelten Parabelprofil bräuchte, beträgt nach der gebräuchlichen Abschätzung für laminare Rohrströmungen &lt;math&gt;L_e \approx 0{,}06\, Re_0\, D_0 \approx 0{,}06 \cdot 386 \cdot 6\ \mathrm{mm} \approx 139\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt;.&lt;ref name=&quot;durst&quot;&gt;Durst, F.; Ray, S.; Ünsal, B.; Bayoumi, O. A.: ''The development lengths of laminar pipe and channel flows.'' Journal of Fluids Engineering 127 (2005), Nr. 6, S. 1154-1160. Für große Reynoldszahlen nähert sich die dort angegebene Korrelation dem Wert 0,057·Re·D.&lt;/ref&gt; Das ist fast die gesamte Länge des Rechengebiets. Ein konstantes Einlassprofil würde die Strömung an der Stenose also verfälschen, weshalb am Einlass das voll entwickelte Profil vorgegeben wird.

Damit liegen alle globalen Parameter fest. Die folgende Tabelle enthält sie mit genau den Namen, unter denen sie in COMSOL und in den Octave-Skripten verwendet werden.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Globale Parameter des Modells
! Name !! Ausdruck in COMSOL !! Wert !! Bedeutung !! Herkunft
|-
| R0 || 3[mm] || 3 mm || Gefäßradius || Messwerte nach Krejza u. a. 2006, gerundet
|-
| D0 || 2*R0 || 6 mm || Gefäßdurchmesser || abgeleitet
|-
| Ls || 2*D0 || 12 mm || Länge der Störstelle || Standardgeometrie nach Varghese u. a. 2007
|-
| Lu || 5*D0 || 30 mm || Vorlaufstrecke vor der Stenosemitte || Abstand der Einlassbedingung von der Stenose
|-
| Ld || 20*D0 || 120 mm || Nachlaufstrecke hinter der Stenosemitte || Platz für das Rückströmgebiet
|-
| Lf || Ls/2+10*D0 || 66 mm || Ende des fein vernetzten Nachlaufs || erwartete Länge des Rückströmgebiets
|-
| s || 0 bis 0.8 || 0 bis 0,8 || Stenosegrad bezogen auf den Durchmesser || NASCET-Einteilung
|-
| rho_b || 1060[kg/m^3] || 1060 kg/m³ || Dichte des Blutes || Mischungsregel, Literaturwert
|-
| mu_b || 3.5[mPa*s] || 3,5 mPa·s || dynamische Viskosität des Blutes || Hochscherwert, Quarteroni und Formaggia 2004
|-
| Q0 || 6[ml/s] || 6 ml/s || mittlerer Volumenstrom || Messwerte nach Holdsworth u. a. 1999
|-
| U0 || Q0/(pi*R0^2) || 0,2122 m/s || mittlere Einströmgeschwindigkeit || abgeleitet
|-
| Re0 || rho_b*U0*D0/mu_b || 385,6 || Reynoldszahl des gesunden Gefäßes || abgeleitet
|-
| dp_ref || 8*mu_b*U0*(Lu+Ld)/R0^2 || 99,03 Pa || Poiseuille-Druckabfall des gesunden Gefäßes || abgeleitet, Hagen-Poiseuille
|}

=== Vergleich und Überprüfung der Modellvarianten ===

Die Modellhierarchie folgt dem Prinzip, dass zunächst vereinfachte Zusammenhänge untersucht und anschließend mit detaillierteren numerischen Modellen verglichen werden.

Das '''Graphenmodell''' bildet die einfachste Modellvariante. Es verwendet das Hagen-Poiseuille-Gesetz zur Abschätzung des Druckverlustes in geraden Rohrabschnitten mit konstantem Durchmesser. Für den unverengten Referenzfall kann damit eine analytische Vergleichsgröße bestimmt werden. Im Bereich einer Stenose ist die Anwendung jedoch nur als vereinfachte Näherung geeignet, da dort zusätzliche Strömungseffekte auftreten können.

Das '''achsensymmetrische Flächenmodell''' ermöglicht eine detailliertere Untersuchung des Geschwindigkeits- und Druckfeldes innerhalb einer idealisierten rotationssymmetrischen Gefäßverengung. Im unverengten Referenzfall können die numerischen Ergebnisse mit der analytischen Poiseuille-Lösung verglichen werden. Bei zunehmendem Stenosegrad werden insbesondere die Beschleunigung im Bereich der Engstelle, der Druckverlust und die Wandschubspannung betrachtet.

Das '''ebene Flächenmodell''' beschreibt die Strömung in einer zweidimensionalen kartesischen Geometrie. Im Unterschied zum achsensymmetrischen Modell wird dabei keine Rotationssymmetrie vorausgesetzt. Da sich die geometrische Beschreibung des Strömungsquerschnitts unterscheidet, sind die Ergebnisse nicht ohne Weiteres quantitativ gleichzusetzen. Der Vergleich dient insbesondere dazu, den Einfluss der Modellvereinfachung auf die berechneten Strömungsgrößen zu untersuchen.

Das '''Volumenmodell''' erweitert die Untersuchung auf drei Raumdimensionen. Bei einer rotationssymmetrischen Geometrie und entsprechend übereinstimmenden Randbedingungen wird eine weitgehende Übereinstimmung mit dem achsensymmetrischen Modell erwartet. Diese Übereinstimmung muss jedoch anhand der numerischen Ergebnisse überprüft werden. Bei einer Gefäßaufzweigung oder einer asymmetrischen Stenose können zusätzliche räumliche Strömungseffekte auftreten, die durch ein achsensymmetrisches Modell nicht vollständig beschrieben werden.

=== Referenzfall und Vergleichsgrößen ===

Als Ausgangspunkt dient ein unverengtes Gefäß mit dem Referenzdurchmesser &lt;math&gt;D_0=6\,\mathrm{mm}&lt;/math&gt;. Für das Blut werden eine Dichte von &lt;math&gt;\rho_b=1060\,\mathrm{kg/m^3}&lt;/math&gt; und eine dynamische Viskosität von &lt;math&gt;\mu_b=3{,}5\,\mathrm{mPa\,s}&lt;/math&gt; angenommen.

Der vorgegebene mittlere Volumenstrom beträgt &lt;math&gt;Q_0=6\,\mathrm{ml/s}&lt;/math&gt;. Daraus ergibt sich für den unverengten kreisförmigen Querschnitt eine mittlere Strömungsgeschwindigkeit von ungefähr &lt;math&gt;U_0=0{,}2122\,\mathrm{m/s}&lt;/math&gt;.

Die Referenz-Reynolds-Zahl beträgt &lt;math&gt;\mathrm{Re}_0=385{,}6&lt;/math&gt;. Für den in den Referenzdaten definierten Vergleichsfall ist außerdem ein analytischer Druckverlust von &lt;math&gt;\Delta p_{\mathrm{ref}}=99{,}03\,\mathrm{Pa}&lt;/math&gt; angegeben.

Diese Größen dienen als Ausgangspunkt für die Überprüfung der numerischen Modelle. Ein direkter Vergleich ist jedoch nur zulässig, wenn die jeweils verwendete Geometrie, die Auswertelänge und die Randbedingungen übereinstimmen.

=== Grenzen der Modellhierarchie ===

Die vier Modellvarianten unterscheiden sich nicht nur im Rechenaufwand, sondern auch in den physikalischen Effekten, die sie darstellen können.

Insbesondere bei hochgradigen Stenosen können starke lokale Geschwindigkeitsänderungen, Strömungsablösungen und zeitabhängige Strömungsstrukturen auftreten. Deshalb muss überprüft werden, ob die Annahme einer stationären laminaren Strömung für die betrachteten Fälle ausreichend ist.

Außerdem muss zwischen dem idealisierten geraden Gefäßmodell und einer Gefäßaufzweigung unterschieden werden. Das achsensymmetrische Modell eignet sich für eine rotationssymmetrische Stenose in einem geraden Gefäß, während eine realistische Gefäßaufzweigung eine andere geometrische Beschreibung erfordert.

Die Modellvarianten werden daher nicht als vollständig gleichwertig betrachtet. Vielmehr soll der Vergleich zeigen, welche Aussagen bereits durch vereinfachte Modelle möglich sind und für welche Strömungseigenschaften eine detailliertere numerische Beschreibung erforderlich ist.

= Modellierung =

Modellierung bedeutet hier, die reale Situation in eine mathematische Aufgabe zu übersetzen, die sich lösen lässt. Dazu gehören vier Bausteine, nämlich das Rechengebiet, die Gleichungen, die Zahlenwerte der Parameter und die Bedingungen an den Rändern. Jeder dieser Bausteine beruht auf Annahmen, und jede Annahme muss begründet werden. Dieser Abschnitt geht die Bausteine deshalb der Reihe nach durch und nennt bei jedem Zahlenwert, woher er stammt und warum er sinnvoll ist.

== Modellhierarchie ==

Das Projekt rechnet nicht ein einziges Modell, sondern vier aufeinander aufbauende Modellvarianten. Sie entsprechen der Kursanforderung, eine Strömung als Graph, in zwei und in drei Raumdimensionen darzustellen, und sie sind bewusst von einfach nach aufwendig geordnet.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Die vier Modellvarianten des Projekts
! Modell !! Raumdimension !! gelöste Gleichung !! Zweck !! Werkzeug
|-
| Graphenmodell || 1D, Gefäßachse || Hagen-Poiseuille je Rohrstück und Massenerhaltung in jedem Knoten || schnelle, analytisch nachrechenbare Abschätzung für jeden Stenosegrad || Octave und COMSOL (Koeffizientenform-PDGL)
|-
| achsensymmetrisches Flächenmodell || 2D, Halbschnitt in r und z || vollständige stationäre Navier-Stokes-Gleichungen in Zylinderkoordinaten || Hauptmodell, liefert alle Feldgrößen des rotationssymmetrischen Rohres || COMSOL, Laminare Strömung
|-
| ebenes Flächenmodell || 2D, Halbschnitt in x und y || vollständige stationäre Navier-Stokes-Gleichungen in kartesischen Koordinaten || Vergleich, zeigt den Einfluss der zweiten Querschnittsrichtung || COMSOL, Laminare Strömung
|-
| Volumenmodell || 3D || vollständige stationäre Navier-Stokes-Gleichungen || Kontrolle des Hauptmodells und räumliche Darstellung || COMSOL, Laminare Strömung
|}

Die Reihenfolge folgt einem einfachen Prinzip. Jede Stufe liefert die Sollwerte, an denen die nächste, komplexere Stufe geprüft wird. Das Graphenmodell muss im gesunden Fall exakt die Poiseuille-Lösung ergeben. Das achsensymmetrische Modell muss im gesunden Fall dieselben Werte liefern und bei Stenose für Geschwindigkeit und Wandschubspannung in der Nähe des Graphenmodells liegen. Das Volumenmodell muss, weil die Geometrie rotationssymmetrisch ist, mit dem achsensymmetrischen Modell übereinstimmen.

== Modellannahmen ==

Um den Einfluss des Stenosegrades möglichst isoliert zu untersuchen, werden die folgenden Modellannahmen getroffen. Die Tabelle nennt zu jeder Annahme ihre mathematische Form, die Begründung und die Stelle, an der sie im Projekt überprüft wird.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Modellannahmen, ihre Begründung und ihre Überprüfung
! Annahme !! mathematische Form !! Begründung !! Überprüfung
|-
| Idealisierte Gefäßgeometrie || gerades Rohr mit kosinusförmiger, rotationssymmetrischer Verengung || isoliert die Wirkung des Stenosegrades von Krümmung, Verzweigung und Plaqueform || Diskussion in den Schlussfolgerungen
|-
| Starre Gefäßwand || Wand ortsfest, keine Fluid-Struktur-Kopplung || im stationären Fall gibt es keine Druckschwankung, die die Wand periodisch aufweiten könnte || Abschätzung über die gemessene Durchmesseränderung im Herzzyklus
|-
| Stationäre Strömung || &lt;math&gt;\partial \mathbf{u}/\partial t = \mathbf{0}&lt;/math&gt; || der Einfluss des Stenosegrades soll ohne Überlagerung durch die Pulsation sichtbar werden || Abschätzung über die Womersley-Zahl
|-
| Inkompressibles Fluid || &lt;math&gt;\rho = \mathrm{const}&lt;/math&gt;, damit &lt;math&gt;\nabla\cdot\mathbf{u} = 0&lt;/math&gt; || Blut ist eine Flüssigkeit, Druckänderungen von wenigen hundert Pascal ändern die Dichte nicht messbar || Massenerhaltung in fünf Querschnitten
|-
| Newtonsche Näherung || konstante Viskosität &lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt; || die Scherraten an der Wand und im größten Teil des Querschnitts liegen über dem Bereich, in dem Blut deutlich scherverdünnend wirkt || Scherrate an der Wand, Diskussion des Rückströmgebiets
|-
| Konstante Stoffeigenschaften || &lt;math&gt;\rho&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt; räumlich und zeitlich konstant || Körpertemperatur ist im betrachteten Abschnitt konstant || entfällt
|-
| Laminare Strömung || kein Turbulenzmodell, Schnittstelle Laminare Strömung || Reynoldszahl des gesunden Gefäßes von 386 liegt weit unter dem Umschlagbereich || Reynoldszahl in der Engstelle, Literaturvergleich
|-
| Haftbedingung an der Wand || &lt;math&gt;\mathbf{u} = \mathbf{0}&lt;/math&gt; auf der Wand || Folge der Viskosität, das Fluid haftet an der Wand || Grundlage jeder Wandschubspannung
|-
| Vernachlässigung der Gravitation || keine Volumenkraft || bei konstanter Dichte lässt sich die Schwerkraft vollständig in einen hydrostatischen Druckanteil verschieben und beeinflusst die Geschwindigkeit nicht || Begründung in den Mathematischen Hintergründen
|-
| Voll entwickelte Einströmung || parabolisches Profil am Einlass || die natürliche Einlaufstrecke wäre mit rund 139 mm fast so lang wie das ganze Rechengebiet || Scheitelgeschwindigkeit im gesunden Fall
|-
| Eingeprägter Volumenstrom || &lt;math&gt;Q = Q_0&lt;/math&gt; am Einlass || der Strömungswiderstand des Abschnitts ist klein gegenüber dem des nachgeschalteten Gefäßbetts || Abschätzung mit einem Reihenwiderstand
|}

Einige dieser Annahmen sind unmittelbar einsichtig, andere verdienen eine genauere Begründung, weil von ihnen die Aussagekraft der Ergebnisse abhängt.

Die '''Newtonsche Näherung''' ist die Annahme, die bei Blut am häufigsten hinterfragt wird. Reales Blut ist eine Suspension aus Plasma und Blutzellen und verhält sich scherverdünnend. Bei kleinen Scherraten lagern sich die roten Blutkörperchen zu geldrollenartigen Stapeln zusammen, und die Viskosität steigt auf ein Vielfaches an. Bei großen Scherraten lösen sich diese Stapel auf, und die Viskosität strebt gegen einen Grenzwert von etwa 3,5 mPa·s. Entscheidend ist also die Scherrate. An der Wand des gesunden Modellgefäßes beträgt sie nach der Poiseuille-Lösung

&lt;math&gt;\dot\gamma_w = \frac{4\,U_0}{R_0} = \frac{4 \cdot 0{,}2122\ \mathrm{m/s}}{0{,}003\ \mathrm{m}} \approx 283\ \mathrm{s^{-1}}&lt;/math&gt;

und liegt damit oberhalb von etwa 100 pro Sekunde, wo sich Newtonsches und nicht Newtonsches Modell nach der Literatur nur noch wenig unterscheiden.&lt;ref name=&quot;boyd&quot;&gt;Die Grenze von etwa 100 s&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt; wird in vergleichenden Studien zur Blutrheologie verwendet, etwa bei Bernabeu, M. O. u. a.: ''Impact of blood rheology on wall shear stress in a model of the middle cerebral artery.'' Interface Focus 3 (2013), 20120094. &lt;!-- FIXME Zitat und Seitenangabe am Original pruefen --&gt;&lt;/ref&gt; In der Engstelle steigt die Scherrate weiter an, beim Stenosegrad 0,5 auf rund 2260 pro Sekunde. Schwach ist die Näherung dort, wo die Scherrate klein wird, also in der Mitte des Gefäßes und vor allem im Rückströmgebiet hinter der Stenose. Dort ist reales Blut zäher als angenommen. Dieser Punkt wird in den Schlussfolgerungen wieder aufgegriffen.

Die '''stationäre Strömung''' ist die stärkste Vereinfachung. Wie wichtig die Pulsation ist, misst die Womersley-Zahl, die das Verhältnis von instationärer Trägheit zu Reibung angibt. Mit einer Herzfrequenz von 60 Schlägen je Minute, also einer Kreisfrequenz &lt;math&gt;\omega = 2\pi\ \mathrm{s^{-1}}&lt;/math&gt;, ergibt sich

&lt;math&gt;\alpha = R_0 \sqrt{\frac{\omega \rho}{\mu}} = 0{,}003\ \mathrm{m} \cdot \sqrt{\frac{2\pi\ \mathrm{s^{-1}} \cdot 1060\ \mathrm{kg/m^3}}{0{,}0035\ \mathrm{Pa\,s}}} \approx 4{,}1 .&lt;/math&gt;

Ein Wert in dieser Größenordnung bedeutet, dass das reale Geschwindigkeitsprofil im Herzzyklus merklich von der Parabel abweicht.&lt;ref name=&quot;womersley&quot;&gt;Womersley, J. R.: ''Method for the calculation of velocity, rate of flow and viscous drag in arteries when the pressure gradient is known.'' Journal of Physiology 127 (1955), S. 553-563.&lt;/ref&gt; Hinzu kommt, dass der Volumenstrom in der Systole kurzzeitig auf rund das Vierfache des Mittelwerts steigt.&lt;ref name=&quot;holdsworth&quot;&gt;Holdsworth, D. W.; Norley, C. J. D.; Frayne, R.; Steinman, D. A.; Rutt, B. K.: ''Characterization of common carotid artery blood-flow waveforms in normal human subjects.'' Physiological Measurement 20 (1999), Nr. 3, S. 219-240. DOI 10.1088/0967-3334/20/3/301. Angegeben werden ein mittlerer Volumenstrom von 6,0 ± 1,4 ml/s und ein systolischer Spitzenwert von 23,5 ± 3,8 ml/s. &lt;!-- FIXME Zahlenwerte und Probandenzahl am Original pruefen --&gt;&lt;/ref&gt; Die stationäre Rechnung mit dem Mittelwert beschreibt deshalb nicht den zeitlichen Verlauf, wohl aber den zeitlich gemittelten Zustand, an dem sich der Einfluss des Stenosegrades sauber vergleichen lässt.

Die '''laminare Strömung''' wird über die Reynoldszahl begründet. Sie beträgt im gesunden Gefäß 386 und liegt damit weit unter dem Wert von etwa 2300, ab dem die Strömung in einem geraden Rohr in den Übergangsbereich gelangen kann. In der Engstelle steigt sie bei festem Volumenstrom auf &lt;math&gt;Re_0/(1-s)&lt;/math&gt;, also auf 551 beim Stenosegrad 0,3, auf 964 beim Grad 0,6 und auf 1928 beim Grad 0,8. Für den Strahl hinter einer Engstelle ist der Umschlagbereich allerdings deutlich niedriger als im geraden Rohr. Direkte numerische Simulationen an genau der in diesem Projekt verwendeten Stenosegeometrie zeigen, dass die Strömung bei einer Einström-Reynoldszahl von 500 auch bei leichter Unsymmetrie laminar bleibt, bei 1000 dagegen schon eine Exzentrizität von fünf Prozent des Durchmessers genügt, um den Strahl in lokal turbulente Strömung umschlagen zu lassen.&lt;ref name=&quot;varghese&quot;&gt;Varghese, S. S.; Frankel, S. H.; Fischer, P. F.: ''Direct numerical simulation of stenotic flows. Part 1. Steady flow.'' Journal of Fluid Mechanics 582 (2007), S. 253-280. Untersucht wird eine kosinusförmige Stenose der Länge 2D mit 75 % Flächenreduktion, die mit der Geometrie dieses Projekts beim Stenosegrad 0,5 übereinstimmt. &lt;!-- FIXME Band und Seiten am Original pruefen --&gt;&lt;/ref&gt; Mit einer Einström-Reynoldszahl von 386 liegt das Projekt für die leicht- und mittelgradigen Stenosen sicher im laminaren Bereich. Für die hochgradigen Stenosen ab 0,7 ist ein laminares, stationäres Modell dagegen nur noch eine Näherung, die eine Obergrenze der geordneten Strömung beschreibt. Diese Fälle werden deshalb als Grenzfall des Modells gekennzeichnet.

Die '''starre Wand''' lässt sich über Messungen abschätzen. Der Durchmesser der gemeinsamen Halsschlagader ändert sich im Herzzyklus bei jungen Menschen um etwa 12 bis 14 Prozent und bei älteren Menschen um etwa 5 Prozent.&lt;ref name=&quot;hansen&quot;&gt;Hansen, F.; Mangell, P.; Sonesson, B.; Länne, T.: ''Diameter and compliance in the human common carotid artery: variations with age and sex.'' Ultrasound in Medicine and Biology 21 (1995), Nr. 1, S. 1-9. DOI 10.1016/0301-5629(94)00090-5.&lt;/ref&gt; Diese Bewegung ist eine Folge der Pulsation. In einer stationären Rechnung gibt es keine Druckschwankung, die die Wand periodisch aufweiten könnte, sodass die starre Wand zur stationären Annahme konsistent ist. Eine verkalkte Plaque ist ohnehin deutlich steifer als die gesunde Wand.

Die Annahme des '''eingeprägten Volumenstroms''' wird im Abschnitt zu den Randbedingungen begründet, weil sie sich nur im Zusammenhang mit dem Kreislauf beurteilen lässt.

== Simulationsgebiet und Geometrie ==

Die Gefäßachse ist die z-Achse, der Ursprung liegt in der Mitte der Stenose, und &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; bezeichnet den Abstand von der Achse. Das Rechengebiet reicht von &lt;math&gt;z = -L_u&lt;/math&gt; bis &lt;math&gt;z = L_d&lt;/math&gt; und wird radial von der Wandkontur &lt;math&gt;R(z)&lt;/math&gt; begrenzt. Die Verengung wird über eine einzige glatte Funktion beschrieben,

&lt;math&gt;R(z) = R_0 \left[ 1 - \frac{s}{2}\left(1 + \cos\frac{2\pi z}{L_s}\right)\right] \quad \text{falls } |z| \le \frac{L_s}{2}, \qquad R(z) = R_0 \ \text{sonst.}&lt;/math&gt;

Die Funktion hat drei Eigenschaften, die ihre Wahl begründen. Sie wird erstens über einen einzigen Parameter gesteuert, den Stenosegrad &lt;math&gt;s&lt;/math&gt;. Der engste Radius in der Mitte beträgt &lt;math&gt;R(0) = R_0(1-s)&lt;/math&gt;, und der Fall ohne Verengung ist einfach der Fall &lt;math&gt;s = 0&lt;/math&gt;. Die gesamte Vergleichsreihe entsteht damit aus einem einzigen parametrischen Sweep. Sie geht zweitens an beiden Enden der Störstelle ohne Knick in das gerade Rohr über. Bei &lt;math&gt;z = \pm L_s/2&lt;/math&gt; ist der Kosinus gleich minus eins, die Klammer also null, und seine Ableitung verschwindet dort ebenfalls. Das ist nicht nur ästhetisch, sondern numerisch notwendig, denn ein Knick in der Wand erzeugt eine Singularität der Wandschubspannung, deren berechneter Wert mit jeder Netzverfeinerung weiter wüchse. Eine Netzstudie wäre dann sinnlos. Sie ist drittens die in der Literatur gebräuchliche Standardgeometrie für Stenosen, sodass sich die Ergebnisse unmittelbar mit veröffentlichten Rechnungen vergleichen lassen.&lt;ref name=&quot;varghese&quot; /&gt;

[[Datei:Stenose Gruppe5 Wandkontur.svg|mini|zentriert|800px|Wandkontur &lt;math&gt;R(z)&lt;/math&gt; für die untersuchten Stenosegrade. Die Darstellung ist in radialer Richtung gestreckt, das Rechengebiet ist in Wirklichkeit fünfundzwanzigmal länger als breit.]]
&lt;!-- FIXME Abbildung mit abbildungen_graph_1d.m fuer s = 0 bis 0,8 neu erzeugen, bisher nur bis 0,5 --&gt;

Die Abmessungen des Rechengebiets werden alle aus dem Gefäßradius abgeleitet. Das hat den Vorteil, dass sich das gesamte Modell durch Ändern eines einzigen Wertes auf ein anderes Gefäß übertragen lässt. Die einzelnen Längen werden im Folgenden Schritt für Schritt begründet.

# Der '''Gefäßradius''' &lt;math&gt;R_0 = 3\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; folgt aus Ultraschallmessungen an gesunden Erwachsenen. Dort wurden für die gemeinsame Halsschlagader mittlere Durchmesser von 6,10 ± 0,80 mm bei Frauen und 6,52 ± 0,98 mm bei Männern gemessen.&lt;ref name=&quot;krejza&quot;&gt;Krejza, J.; Arkuszewski, M.; Kasner, S. E.; Weigele, J.; Ustymowicz, A.; Hurst, R. W.; Cucchiara, B. L.; Messe, S. R.: ''Carotid artery diameter in men and women and the relation to body and neck size.'' Stroke 37 (2006), Nr. 4, S. 1103-1105. DOI 10.1161/01.STR.0000206440.48756.f7.&lt;/ref&gt; Der gewählte Durchmesser von &lt;math&gt;D_0 = 6\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; liegt damit innerhalb einer Standardabweichung beider Gruppen und ist bewusst auf einen runden Wert gesetzt, damit alle abgeleiteten Längen glatte Zahlen ergeben.
# Die '''Länge der Störstelle''' &lt;math&gt;L_s = 2 D_0 = 12\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; entspricht der Standardgeometrie aus der Literatur, die eine Stenosenlänge von zwei Durchmessern verwendet.&lt;ref name=&quot;varghese&quot; /&gt; Damit ist beim Stenosegrad 0,5 ein direkter Vergleich mit veröffentlichten Ergebnissen möglich.
# Die '''Vorlaufstrecke''' &lt;math&gt;L_u = 5 D_0 = 30\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; trennt den Einlass von der Stenose. Da am Einlass bereits das voll entwickelte Profil vorgegeben wird, muss sie nicht die Einlaufstrecke abdecken, sondern nur verhindern, dass die Einströmrandbedingung die Strömung an der Engstelle beeinflusst. Bei Reynoldszahlen in dieser Größenordnung reicht der Einfluss einer Verengung nur wenige Durchmesser stromaufwärts, die Literatur kommt für dieselbe Geometrie mit drei Durchmessern Vorlauf aus.&lt;ref name=&quot;varghese&quot; /&gt; Fünf Durchmesser lassen also eine Reserve. Überprüft wird das im Ergebnis, indem die Geschwindigkeit auf der Achse in der Mitte der Vorlaufstrecke mit dem Sollwert &lt;math&gt;2U_0&lt;/math&gt; verglichen wird.
# Die '''Nachlaufstrecke''' &lt;math&gt;L_d = 20 D_0 = 120\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; ist deutlich länger, weil sich hinter der Engstelle ein Rückströmgebiet bildet, das nicht auf den Auslass treffen darf. Für die Geometrie mit dem Stenosegrad 0,5 legt die Strömung bei einer Einström-Reynoldszahl von 500 erst etwa zehn Durchmesser hinter der Engstelle wieder an, die Literatur rechnet mit sechzehn Durchmessern Nachlauf.&lt;ref name=&quot;varghese&quot; /&gt; Zwanzig Durchmesser bieten damit für alle Stenosegrade bis 0,5 einen Sicherheitsabstand. Für die Grade ab 0,6 ist ein längeres Rückströmgebiet zu erwarten, dort wird die Lage des Wiederanlegepunktes ausdrücklich kontrolliert.
# Das '''Ende des fein vernetzten Nachlaufs''' &lt;math&gt;L_f = L_s/2 + 10 D_0 = 66\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; legt fest, bis wohin das Netz verfeinert wird. Der Wert ist so gewählt, dass das erwartete Rückströmgebiet von etwa zehn Durchmessern vollständig im feinen Bereich liegt.

Damit hat das Rechengebiet eine Gesamtlänge von &lt;math&gt;L = L_u + L_d = 150\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt;, also das Fünfundzwanzigfache des Durchmessers. Es ist ein Modellgebiet und kein maßstäbliches Abbild eines bestimmten anatomischen Abschnitts.

== Stoff- und Strömungsparameter ==

Die Stoffwerte des Blutes und der Volumenstrom sind die einzigen Eingangsgrößen, die nicht aus der Geometrie folgen. Aus ihnen werden alle weiteren Strömungskennwerte berechnet. Die folgenden Schritte zeigen jede Rechnung einzeln, damit sich jeder Wert nachprüfen lässt.

# Die '''Dichte''' wird mit &lt;math&gt;\rho = 1060\ \mathrm{kg/m^3}&lt;/math&gt; angesetzt. Der Wert lässt sich als Mischungsregel plausibel machen. Plasma hat eine Dichte von etwa 1025 kg/m³, rote Blutkörperchen von etwa 1100 kg/m³. Bei einem Zellanteil von 45 % ergibt sich &lt;math&gt;0{,}55 \cdot 1025 + 0{,}45 \cdot 1100 \approx 1059\ \mathrm{kg/m^3}&lt;/math&gt;. Die Dichte geht nur über die Reynoldszahl in die Rechnung ein, eine Abweichung von einem Prozent ändert die Ergebnisse daher kaum. &lt;!-- FIXME Lehrbuchquelle fuer Plasma- und Erythrozytendichte ergaenzen --&gt;
# Die '''dynamische Viskosität''' wird mit &lt;math&gt;\mu = 3{,}5\ \mathrm{mPa\,s}&lt;/math&gt; angesetzt. Das ist der Grenzwert der Blutviskosität bei hohen Scherraten, also genau der Wert, der zur Newtonschen Näherung gehört. Derselbe Wert von 0,035 Poise wird auch im Standardwerk zur Modellierung des Herz-Kreislauf-Systems verwendet.&lt;ref name=&quot;quarteroni&quot;&gt;Quarteroni, A.; Formaggia, L.: ''Mathematical Modelling and Numerical Simulation of the Cardiovascular System.'' In: Ayache, N. (Hrsg.): ''Computational Models for the Human Body.'' Handbook of Numerical Analysis, Bd. XII, Elsevier, Amsterdam 2004, S. 3-127. DOI 10.1016/S1570-8659(03)12001-7. Zur Newtonschen Näherung in großen Gefäßen siehe S. 30, zur Viskosität von 0,035 Poise die Parametertabelle auf S. 116.&lt;/ref&gt;
# Der '''mittlere Volumenstrom''' wird mit &lt;math&gt;Q_0 = 6\ \mathrm{ml/s}&lt;/math&gt; angesetzt. Das ist der zeitlich gemittelte Volumenstrom, der in der gemeinsamen Halsschlagader gesunder Probanden gemessen wurde.&lt;ref name=&quot;holdsworth&quot; /&gt;
# Die '''mittlere Geschwindigkeit''' folgt aus Volumenstrom und Querschnittsfläche, &lt;math&gt;U_0 = \frac{Q_0}{\pi R_0^2} = \frac{6 \cdot 10^{-6}\ \mathrm{m^3/s}}{\pi \cdot (0{,}003\ \mathrm{m})^2} = 0{,}2122\ \mathrm{m/s}&lt;/math&gt;.
# Die '''Reynoldszahl''' des gesunden Gefäßes ist &lt;math&gt;Re_0 = \frac{\rho\, U_0\, D_0}{\mu} = \frac{1060 \cdot 0{,}2122 \cdot 0{,}006}{0{,}0035} = 385{,}6&lt;/math&gt;. Sie wird im Folgenden auf 386 gerundet.
# Die '''Einlauflänge''', die eine anfangs gleichförmige Strömung bis zum voll entwickelten Parabelprofil bräuchte, beträgt nach der gebräuchlichen Abschätzung für laminare Rohrströmungen &lt;math&gt;L_e \approx 0{,}06\, Re_0\, D_0 \approx 0{,}06 \cdot 386 \cdot 6\ \mathrm{mm} \approx 139\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt;.&lt;ref name=&quot;durst&quot;&gt;Durst, F.; Ray, S.; Ünsal, B.; Bayoumi, O. A.: ''The development lengths of laminar pipe and channel flows.'' Journal of Fluids Engineering 127 (2005), Nr. 6, S. 1154-1160. Für große Reynoldszahlen nähert sich die dort angegebene Korrelation dem Wert 0,057·Re·D.&lt;/ref&gt; Das ist fast die gesamte Länge des Rechengebiets. Ein konstantes Einlassprofil würde die Strömung an der Stenose also verfälschen, weshalb am Einlass das voll entwickelte Profil vorgegeben wird.

Damit liegen alle globalen Parameter fest. Die folgende Tabelle enthält sie mit genau den Namen, unter denen sie in COMSOL und in den Octave-Skripten verwendet werden.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Globale Parameter des Modells
! Name !! Ausdruck in COMSOL !! Wert !! Bedeutung !! Herkunft
|-
| R0 || 3[mm] || 3 mm || Gefäßradius || Messwerte nach Krejza u. a. 2006, gerundet
|-
| D0 || 2*R0 || 6 mm || Gefäßdurchmesser || abgeleitet
|-
| Ls || 2*D0 || 12 mm || Länge der Störstelle || Standardgeometrie nach Varghese u. a. 2007
|-
| Lu || 5*D0 || 30 mm || Vorlaufstrecke vor der Stenosemitte || Abstand der Einlassbedingung von der Stenose
|-
| Ld || 20*D0 || 120 mm || Nachlaufstrecke hinter der Stenosemitte || Platz für das Rückströmgebiet
|-
| Lf || Ls/2+10*D0 || 66 mm || Ende des fein vernetzten Nachlaufs || erwartete Länge des Rückströmgebiets
|-
| s || 0 bis 0.8 || 0 bis 0,8 || Stenosegrad bezogen auf den Durchmesser || NASCET-Einteilung
|-
| rho_b || 1060[kg/m^3] || 1060 kg/m³ || Dichte des Blutes || Mischungsregel, Literaturwert
|-
| mu_b || 3.5[mPa*s] || 3,5 mPa·s || dynamische Viskosität des Blutes || Hochscherwert, Quarteroni und Formaggia 2004
|-
| Q0 || 6[ml/s] || 6 ml/s || mittlerer Volumenstrom || Messwerte nach Holdsworth u. a. 1999
|-
| U0 || Q0/(pi*R0^2) || 0,2122 m/s || mittlere Einströmgeschwindigkeit || abgeleitet
|-
| Re0 || rho_b*U0*D0/mu_b || 385,6 || Reynoldszahl des gesunden Gefäßes || abgeleitet
|-
| dp_ref || 8*mu_b*U0*(Lu+Ld)/R0^2 || 99,03 Pa || Poiseuille-Druckabfall des gesunden Gefäßes || abgeleitet, Hagen-Poiseuille
|}


= Literaturverzeichnis =

Alle Quellen sind an den Stellen im Text angegeben, an denen die zugehörigen Werte oder Aussagen verwendet werden. Die Liste wird aus diesen Angaben automatisch erzeugt.

&lt;references /&gt;</text>
      <sha1>7xijsli6m72cc1rzkq04weq3p7bt9wa</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>1115906</id>
      <parentid>1115905</parentid>
      <timestamp>2026-10-12T17:03:15Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Heitele</username>
        <id>38553</id>
      </contributor>
      <comment>/* Gruppenteilnehmer */</comment>
      <origin>1115906</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="93215" sha1="cjk9sk3filo27se2wj6iur6kz2s70nu" xml:space="preserve">
== Thema und Fragestellung ==

Gegenstand dieses Projekts ist die numerische Untersuchung der Blutströmung innerhalb einer idealisierten Y-förmigen Aufzweigung der Halsschlagader (Carotis-Bifurkation). Dabei teilt sich die Arteria carotis communis (ACC) in die Arteria carotis interna (ACI) und die Arteria carotis externa (ACE).

Im Mittelpunkt steht eine lokale Gefäßverengung (Stenose) in der Arteria carotis interna. Die Arteria carotis externa wird ohne zusätzliche Stenose modelliert. Die Verengung wird durch eine glatte Gefäßkontur beschrieben, um abrupte geometrische Übergänge zu vermeiden.

Ziel ist es, den Einfluss unterschiedlicher Stenosegrade auf die Geschwindigkeitsverteilung, den Druckverlust, die Wandschubspannung und die Strömungsverteilung zwischen den beiden Gefäßästen zu untersuchen.

Die Modellierung und numerische Simulation erfolgen ausschließlich mit COMSOL Multiphysics. Hierfür werden drei Modellvarianten betrachtet: ein eindimensionales Graphenmodell, ein ebenes zweidimensionales Flächenmodell und ein dreidimensionales Volumenmodell.

=== Fragestellung ===

Die zentrale Fragestellung lautet:

'''Wie beeinflusst eine lokale Stenose in der Arteria carotis interna die stationäre Strömung eines inkompressiblen Newtonschen Fluids innerhalb einer idealisierten Y-förmigen Karotisaufzweigung?'''

Daraus ergeben sich folgende Teilfragen:

# Wie verändern sich die Strömungsgeschwindigkeit, die Druckverteilung und die Wandschubspannung mit zunehmendem Stenosegrad?
# Welchen Einfluss hat die Verengung der Arteria carotis interna auf die Verteilung des Volumenstroms zwischen Arteria carotis interna und Arteria carotis externa?
# Unter welchen Bedingungen treten im Bereich der Stenose oder stromabwärts davon Strömungsablösungen beziehungsweise Rückströmungsgebiete auf?
# Welche Unterschiede ergeben sich zwischen dem eindimensionalen Graphenmodell, dem zweidimensionalen Flächenmodell und dem dreidimensionalen Volumenmodell?
# Inwieweit sind die vereinfachenden Annahmen einer stationären, laminaren Strömung für die untersuchten Stenosegrade geeignet?

== Relevanz ==

Die Untersuchung von Gefäßverengungen besitzt sowohl medizinische als auch strömungsmechanische Bedeutung. Eine Stenose verändert den verfügbaren Strömungsquerschnitt und kann dadurch die Geschwindigkeit, den Druckverlust und die Schubbeanspruchung der Gefäßwand beeinflussen.

Besonders relevant ist die Karotisaufzweigung, da die Arteria carotis interna wesentlich an der Blutversorgung des Gehirns beteiligt ist. Eine ausgeprägte Stenose kann die Durchblutung beeinträchtigen und ist mit einem erhöhten Schlaganfallrisiko verbunden.

Das Projekt verbindet theoretische Grundlagen der Strömungsmechanik mit der numerischen Modellierung einer biomedizinischen Anwendung.

=== Medizinische Relevanz ===

Karotisstenosen entstehen häufig im Zusammenhang mit Atherosklerose. Dabei können Ablagerungen in der Gefäßwand den durchströmbaren Querschnitt verringern.

Neben einer möglichen Beeinträchtigung der Durchblutung spielt das Risiko thromboembolischer Ereignisse eine wichtige Rolle. Die klinische Bedeutung symptomatischer hochgradiger Karotisstenosen wurde unter anderem durch die NASCET-Studie untersucht.&lt;ref name=&quot;NASCET&quot;&gt;North American Symptomatic Carotid Endarterectomy Trial Collaborators: Beneficial effect of carotid endarterectomy in symptomatic patients with high-grade carotid stenosis. ''New England Journal of Medicine'' 325 (1991), Nr. 7, S. 445–453.&lt;/ref&gt;

Aus strömungsmechanischer Sicht ist insbesondere die Wandschubspannung von Interesse. Sie beschreibt die tangentiale Kraft pro Fläche, die das strömende Blut auf die Gefäßwand ausübt.

Die Wandschubspannung kann im Bereich einer Engstelle aufgrund der erhöhten Geschwindigkeitsgradienten ansteigen. Stromabwärts der Stenose können dagegen Bereiche mit geringen oder wechselnden Wandschubspannungen auftreten. Ob und in welchem Ausmaß solche Bereiche entstehen, hängt von der Geometrie und den Strömungsbedingungen ab.

Messungen der Wandschubspannung in menschlichen Halsschlagadern wurden beispielsweise von Samijo und Mitarbeitern veröffentlicht.&lt;ref name=&quot;Samijo&quot;&gt;Samijo, S. K.; Willigers, J. M.; Barkhuysen, R.; Kitslaar, P. J. E. H. M.; Reneman, R. S.; Brands, P. J.; Hoeks, A. P. G.: Wall shear stress in the human common carotid artery as function of age and gender. ''Cardiovascular Research'' 39 (1998), Nr. 2, S. 515–522.&lt;/ref&gt;

Die numerische Simulation ermöglicht es, Geschwindigkeits- und Druckfelder sowie die Wandschubspannung innerhalb der idealisierten Gefäßgeometrie räumlich zu untersuchen.

=== Methodische Relevanz ===

Das Projekt überträgt die in der Fluiddynamik behandelten Grundlagen auf die Strömung in einem verzweigten Gefäßsystem.&lt;ref name=&quot;Hundertmark&quot;&gt;Hundertmark, A.: ''Fluiddynamik''. Vorlesungsunterlagen zum Modul Räumliche Modellbildung, RPTU Kaiserslautern-Landau, Sommersemester 2026.&lt;/ref&gt;

Ein wesentlicher Bestandteil ist der Vergleich unterschiedlich komplexer Modellvarianten.

Das eindimensionale Graphenmodell beschreibt die Gefäßaufzweigung anhand vereinfachter Strömungswiderstände und der Massenerhaltung.

Das zweidimensionale Flächenmodell ermöglicht die Untersuchung der Strömung innerhalb einer ebenen Y-förmigen Geometrie.

Das dreidimensionale Volumenmodell erweitert die Beschreibung auf eine räumliche Gefäßgeometrie und ermöglicht insbesondere die Untersuchung räumlicher Geschwindigkeitsverteilungen und Wandschubspannungen.

Die Modelle werden hinsichtlich ihrer Annahmen, ihrer Aussagekraft und ihrer Grenzen verglichen. Dabei dienen analytische Beziehungen, beispielsweise das Hagen-Poiseuille-Gesetz, als Referenz für geeignete vereinfachte Teilprobleme.

== Auswahl der Stenosegrade ==

Die Auswahl der untersuchten Stenosegrade orientiert sich an klinisch gebräuchlichen Kategorien der Durchmesserreduktion bei Karotisstenosen. Die NASCET-Methode beschreibt den Stenosegrad anhand des Verhältnisses zwischen dem minimalen Durchmesser in der Engstelle und einem Referenzdurchmesser des nicht verengten Gefäßabschnitts.&lt;ref name=&quot;NASCET&quot; /&gt;

Für die idealisierte Modellgeometrie wird als Referenzdurchmesser der unverengte Durchmesser der Arteria carotis interna verwendet.

Die klinischen Schweregradkategorien dienen im Projekt zur Einordnung der untersuchten Modellvarianten. Die mathematische Definition des Stenosegrades erfolgt bezogen auf den festgelegten Referenzdurchmesser der ACI.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ '''Einordnung der untersuchten Stenosegrade'''
|-
! Schweregrad
! Durchmesserreduktion
! Im Projekt vorgesehene Stenosegrade
! Hervorgehobener Vertreter
|-
| Gesundes Gefäß
| 0 %
| 0
| 0
|-
| Leichtgradige Stenose
| Unter 50 %
| 0,1 bis 0,4
| 0,3
|-
| Mittelgradige Stenose
| 50 bis 69 %
| 0,5 und 0,6
| 0,6
|-
| Hochgradige Stenose
| 70 bis 99 %
| 0,7 und 0,8
| 0,8
|-
| Okklusion
| 100 %
| Nicht vorgesehen
| Entfällt
|}

Für die Untersuchung werden insbesondere das gesunde Gefäß sowie Stenosegrade von 30 %, 60 % und 80 % betrachtet. Diese repräsentieren unterschiedliche Ausprägungen der Gefäßverengung.

Zusätzlich sind Stenosegrade von 0 bis 80 % in Schritten von zehn Prozentpunkten vorgesehen. Welche dieser Varianten für die einzelnen Modelle tatsächlich berechnet werden, wird anhand der durchgeführten COMSOL-Simulationen dokumentiert.

Ein vollständiger Gefäßverschluss wird nicht betrachtet, da bei einer vollständigen Okklusion keine durchgängige Strömung durch den betroffenen Gefäßast mehr möglich ist.

=== Definition des Stenosegrades ===

Der Stenosegrad &lt;math&gt;s&lt;/math&gt; beschreibt die relative Verringerung des Gefäßdurchmessers:

:&lt;math&gt;s=1-\frac{d_{\min}}{D_{\mathrm{ICA}}}&lt;/math&gt;

Dabei ist:

* &lt;math&gt;d_{\min}&lt;/math&gt;: minimaler Durchmesser innerhalb der Stenose,
* &lt;math&gt;D_{\mathrm{ICA}}&lt;/math&gt;: unverengter Referenzdurchmesser der Arteria carotis interna.

Für das Modell wird festgelegt:

:&lt;math&gt;D_{\mathrm{ICA}}=5\,\mathrm{mm}&lt;/math&gt;

Damit ergibt sich:

:&lt;math&gt;d_{\min}=D_{\mathrm{ICA}}(1-s)&lt;/math&gt;

Die Definition bezieht sich ausschließlich auf die Arteria carotis interna. Der Durchmesser der Arteria carotis communis wird nicht zur Berechnung des Stenosegrades verwendet.

=== Durchmesser- und Flächenreduktion ===

Bei einem kreisförmigen Gefäßquerschnitt hängt die Querschnittsfläche quadratisch vom Durchmesser ab.

Für die relative Flächenreduktion gilt daher:

:&lt;math&gt;A_{\mathrm{Reduktion}}=1-(1-s)^2&lt;/math&gt;

Eine Durchmesserreduktion von 60 % entspricht somit einer Flächenreduktion von:

:&lt;math&gt;1-(1-0{,}6)^2=0{,}84=84\,\%&lt;/math&gt;

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ '''Durchmesser- und Flächenreduktion in der Arteria carotis interna'''
|-
! Stenosegrad &lt;math&gt;s&lt;/math&gt;
! Minimaler Durchmesser
! Flächenreduktion
|-
| 0
| 5,0 mm
| 0 %
|-
| 0,1
| 4,5 mm
| 19 %
|-
| 0,2
| 4,0 mm
| 36 %
|-
| 0,3
| 3,5 mm
| 51 %
|-
| 0,4
| 3,0 mm
| 64 %
|-
| 0,5
| 2,5 mm
| 75 %
|-
| 0,6
| 2,0 mm
| 84 %
|-
| 0,7
| 1,5 mm
| 91 %
|-
| 0,8
| 1,0 mm
| 96 %
|}

'''Einschränkung:''' Die Beziehung zwischen Durchmesser- und Flächenreduktion gilt für kreisförmige Querschnitte mit einer entsprechenden gleichmäßigen Verringerung des Durchmessers. Bei einer ausschließlich ebenen zweidimensionalen Geometrie ist die dargestellte Querschnittsfläche nicht unmittelbar mit der eines dreidimensionalen kreisförmigen Gefäßes gleichzusetzen.

Mit zunehmendem Stenosegrad können starke lokale Beschleunigungen, Strömungsablösungen und zeitabhängige Strömungsstrukturen auftreten. Die Aussagekraft einer stationären laminaren Berechnung muss deshalb insbesondere für hochgradige Stenosen kritisch bewertet werden.

== Modellierung ==

Ziel der Modellierung ist es, die Blutströmung innerhalb einer Y-förmigen Karotisaufzweigung mathematisch und numerisch zu beschreiben.

Das Gefäßmodell besteht aus der Arteria carotis communis, die sich in die Arteria carotis interna und die Arteria carotis externa verzweigt. Die Stenose befindet sich ausschließlich in der Arteria carotis interna.

Durch die Verengung wird der verfügbare Strömungsquerschnitt reduziert. Dies kann zu einer lokalen Erhöhung der Strömungsgeschwindigkeit, zu zusätzlichen Druckverlusten und zu Veränderungen der Volumenstromverteilung zwischen den beiden Gefäßästen führen.

Die numerische Modellierung erfolgt mit COMSOL Multiphysics. Hierzu werden die Gefäßgeometrie, die Materialeigenschaften des Blutes, die Strömungsgleichungen und die Randbedingungen festgelegt.

Für die Untersuchung werden vereinfachende Annahmen getroffen, die eine systematische Variation des Stenosegrades ermöglichen.

=== Modellhierarchie ===

Die Untersuchung erfolgt anhand von drei Modellvarianten, die sich hinsichtlich ihrer räumlichen Dimension und der darstellbaren Strömungseigenschaften unterscheiden.

{| class=&quot;wikitable&quot; style=&quot;width:100%;&quot;
|+ '''Die drei Modellvarianten des Projekts'''
|-
! Modell
! Raumdimension
! Mathematische Grundlage
! Zweck
! Werkzeug
|-
| '''Graphenmodell'''
| 1D, Gefäßnetzwerk mit Verzweigung
| Massenerhaltung und vereinfachte Strömungswiderstände
| Abschätzung der Volumenstromverteilung und der Druckverluste in den Gefäßästen
| COMSOL Multiphysics
|-
| '''Ebenes Flächenmodell'''
| 2D, Y-förmige Gefäßgeometrie in kartesischen Koordinaten
| Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen
| Untersuchung von Geschwindigkeits- und Druckfeldern sowie möglichen Rückströmungsbereichen
| COMSOL Multiphysics, Laminar Flow
|-
| '''Volumenmodell'''
| 3D, räumliche Y-förmige Gefäßgeometrie
| Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen
| Untersuchung der räumlichen Strömung und der Wandschubspannung
| COMSOL Multiphysics, Laminar Flow
|}

=== Vergleich und Überprüfung der Modellvarianten ===

Das '''Graphenmodell''' stellt die Gefäßaufzweigung als Netzwerk miteinander verbundener Gefäßabschnitte dar. Dabei bildet die Arteria carotis communis den zuführenden Abschnitt. Die Arteria carotis interna und die Arteria carotis externa stellen die beiden abführenden Äste dar.

An der Verzweigung gilt für eine stationäre inkompressible Strömung die Massenerhaltung:

:&lt;math&gt;Q_{\mathrm{ACC}}=Q_{\mathrm{ACI}}+Q_{\mathrm{ACE}}&lt;/math&gt;

Das Graphenmodell liefert vereinfachte Abschätzungen der Volumenstromverteilung und der Druckverluste. Lokale Geschwindigkeitsfelder, Strömungsablösungen und Wandschubspannungen können damit nicht detailliert bestimmt werden.

Das '''ebene Flächenmodell''' beschreibt die Y-förmige Gefäßaufzweigung in zwei Raumdimensionen. Die Stenose wird im Ast der Arteria carotis interna berücksichtigt. Dadurch können die Geschwindigkeits- und Druckverteilung sowie mögliche Rückströmungsbereiche untersucht werden.

Das '''Volumenmodell''' erweitert die Untersuchung auf drei Raumdimensionen. Dadurch können räumliche Strömungsstrukturen und die Verteilung der Wandschubspannung auf der Gefäßwand betrachtet werden.

Die Ergebnisse der drei Modelle werden unter Berücksichtigung ihrer unterschiedlichen Annahmen verglichen. Insbesondere ist zu beachten, dass ein ebenes zweidimensionales Modell die räumliche Querschnittsgeometrie eines Gefäßes nicht vollständig beschreibt.

Die Modelle müssen deshalb nicht dieselben Zahlenwerte liefern. Vielmehr dient der Vergleich dazu, die Aussagekraft und die Grenzen der jeweiligen Modellvereinfachung zu bewerten.

=== Modellannahmen ===

Für die numerische Untersuchung werden folgende Annahmen getroffen:

* '''Idealisierte Gefäßgeometrie:''' Betrachtet wird eine Y-förmige Aufzweigung aus Arteria carotis communis, Arteria carotis interna und Arteria carotis externa. Patientenspezifische Krümmungen, weitere Verzweigungen und individuelle anatomische Besonderheiten werden nicht berücksichtigt.
* '''Starre Gefäßwände:''' Die Gefäßwände werden als unbeweglich und nicht verformbar angenommen. Eine Fluid-Struktur-Kopplung wird nicht modelliert.
* '''Stationäre Strömung:''' Die Strömungsgrößen werden als zeitlich konstant angenommen. Die Pulsation des Blutflusses durch den Herzschlag bleibt unberücksichtigt.
* '''Inkompressibles Fluid:''' Die Dichte des Blutes wird als konstant angenommen.
* '''Newtonsche Näherung:''' Blut wird durch ein Fluid mit konstanter dynamischer Viskosität beschrieben.
* '''Konstante Stoffeigenschaften:''' Dichte und Viskosität werden als räumlich und zeitlich konstant betrachtet.
* '''Laminare Strömungsmodellierung:''' Die Berechnung erfolgt ohne zusätzliches Turbulenzmodell.
* '''Haftbedingung an der Wand:''' An den starren Gefäßwänden gilt die No-Slip-Bedingung.
* '''Vernachlässigung der Gravitation:''' Volumenkräfte durch die Schwerkraft werden nicht explizit berücksichtigt.

Diese Annahmen vereinfachen die Berechnung, begrenzen jedoch die Übertragbarkeit auf die reale Blutströmung.

=== Mathematische Grundlagen ===

==== Massenerhaltung ====

Für eine inkompressible Strömung gilt:

:&lt;math&gt;\nabla\cdot\mathbf{u}=0&lt;/math&gt;

Dabei bezeichnet &lt;math&gt;\mathbf{u}&lt;/math&gt; das Geschwindigkeitsfeld.

Für die Y-förmige Gefäßaufzweigung folgt daraus die Volumenstrombilanz:

:&lt;math&gt;Q_{\mathrm{ACC}}=Q_{\mathrm{ACI}}+Q_{\mathrm{ACE}}&lt;/math&gt;

==== Impulserhaltung ====

Die stationäre Strömung eines inkompressiblen Newtonschen Fluids wird durch die Navier-Stokes-Gleichungen beschrieben:

:&lt;math&gt;\rho_b(\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u}=-\nabla p+\mu_b\nabla^2\mathbf{u}&lt;/math&gt;

Dabei bezeichnet:

* &lt;math&gt;\rho_b&lt;/math&gt; die Blutdichte,
* &lt;math&gt;\mathbf{u}&lt;/math&gt; das Geschwindigkeitsfeld,
* &lt;math&gt;p&lt;/math&gt; den Druck,
* &lt;math&gt;\mu_b&lt;/math&gt; die dynamische Viskosität.

Die Gleichung beschreibt das Gleichgewicht zwischen Trägheitskräften, Druckkräften und viskosen Kräften.

==== Hagen-Poiseuille-Gesetz ====

Für eine stationäre, voll entwickelte laminare Strömung durch ein gerades kreisförmiges Rohr mit konstantem Radius gilt:

:&lt;math&gt;\Delta p=\frac{8\mu_b LQ}{\pi R^4}&lt;/math&gt;

Der Strömungswiderstand kann damit als

:&lt;math&gt;\mathcal{R}=\frac{8\mu_b L}{\pi R^4}&lt;/math&gt;

geschrieben werden.

Daraus folgt:

:&lt;math&gt;\Delta p=\mathcal{R}Q&lt;/math&gt;

Diese Beziehung kann für die vereinfachte Beschreibung einzelner Gefäßabschnitte im Graphenmodell verwendet werden.

Bei einer realen Verzweigung oder einer ausgeprägten Stenose können zusätzliche Druckverluste auftreten. Das Hagen-Poiseuille-Gesetz allein bildet diese Effekte nicht vollständig ab.

==== Reynolds-Zahl ====

Die Reynolds-Zahl beschreibt das Verhältnis von Trägheitskräften zu viskosen Kräften:

:&lt;math&gt;\mathrm{Re}=\frac{\rho_b U D}{\mu_b}&lt;/math&gt;

Sie dient zur Einordnung des Strömungsverhaltens.

Die Reynolds-Zahl eines unverengten geraden Rohrabschnitts erlaubt jedoch keine sichere Aussage darüber, ob die Strömung hinter einer hochgradigen Stenose stationär bleibt.

==== Wandschubspannung ====

Die Wandschubspannung beschreibt die tangentiale Beanspruchung der Gefäßwand durch die Strömung.

Für ein Newtonsches Fluid ergibt sich ihre Größe aus den tangentialen viskosen Spannungen an der Wand. Bei einer einfachen parallelen Scherströmung gilt:

:&lt;math&gt;\tau_w=\mu_b\left.\frac{\partial u_t}{\partial n}\right|_{\mathrm{Wand}}&lt;/math&gt;

Dabei ist &lt;math&gt;u_t&lt;/math&gt; die tangentiale Geschwindigkeitskomponente und &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; die Richtung senkrecht zur Wand.

Bei gekrümmten oder verzweigten Gefäßgeometrien wird die Wandschubspannung aus dem vollständigen viskosen Spannungstensor bestimmt.

== Simulationsgebiet und Geometrie ==

Das Simulationsgebiet besteht aus einer idealisierten Y-förmigen Karotisaufzweigung.

Die Arteria carotis communis bildet den zuführenden Gefäßabschnitt. An der Verzweigung teilt sie sich in die Arteria carotis interna und die Arteria carotis externa.

Die Stenose befindet sich ausschließlich in der Arteria carotis interna. Die Arteria carotis externa wird ohne zusätzliche Verengung betrachtet.

Die geometrischen Abmessungen orientieren sich an den bereitgestellten Referenzdaten.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ '''Geometrische Referenzparameter'''
|-
! Gefäßabschnitt
! Durchmesser
! Länge
|-
| Arteria carotis communis
| 6 mm
| 60 mm
|-
| Arteria carotis interna
| 5 mm
| 60 mm
|-
| Arteria carotis externa
| 4 mm
| 60 mm
|-
| Stenose in der Arteria carotis interna
| Abhängig vom Stenosegrad
| 10 mm
|}

Die angegebenen Längen beziehen sich auf die jeweiligen Gefäßabschnitte. Sie dürfen nicht als Gesamtlänge eines geraden Rohres addiert werden.

=== Geometrische Beschreibung der Stenose ===

Der unverengte Referenzdurchmesser der Arteria carotis interna beträgt:

:&lt;math&gt;D_{\mathrm{ICA}}=5\,\mathrm{mm}&lt;/math&gt;

Daraus folgt der Referenzradius:

:&lt;math&gt;R_{\mathrm{ICA}}=2{,}5\,\mathrm{mm}&lt;/math&gt;

Die Länge der Stenose beträgt:

:&lt;math&gt;L_s=10\,\mathrm{mm}&lt;/math&gt;

Für eine idealisierte symmetrische Stenose kann die lokale Radiusverringerung durch eine kosinusförmige Funktion beschrieben werden:

:&lt;math&gt;R(\xi)=R_{\mathrm{ICA}}\left[1-\frac{s}{2}\left(1+\cos\left(\frac{2\pi\xi}{L_s}\right)\right)\right]&lt;/math&gt;

Diese Beziehung gilt innerhalb der Stenose für:

:&lt;math&gt;|\xi|\leq\frac{L_s}{2}&lt;/math&gt;

Außerhalb der Stenose gilt:

:&lt;math&gt;R(\xi)=R_{\mathrm{ICA}}&lt;/math&gt;

Dabei bezeichnet &lt;math&gt;\xi&lt;/math&gt; die lokale Koordinate entlang der Mittellinie der Arteria carotis interna. Der Ursprung liegt in der Mitte der Stenose.

Der minimale Radius beträgt:

:&lt;math&gt;R_{\min}=R_{\mathrm{ICA}}(1-s)&lt;/math&gt;

Diese Funktion beschreibt eine glatte symmetrische Verengung. Für die dreidimensionale Geometrie kann sie als rotationssymmetrische lokale Querschnittsverengung eines einzelnen Gefäßastes interpretiert werden.

Die gesamte Y-förmige Gefäßaufzweigung ist dagegen nicht rotationssymmetrisch.

'''Hinweis zur Umsetzung:''' Die angegebene Funktion ist eine mögliche mathematische Beschreibung der Stenose. Für die endgültige Dokumentation muss geprüft werden, ob die in COMSOL verwendete Geometrie tatsächlich durch diese Funktion erzeugt wurde. Ebenso müssen der Verzweigungswinkel, die Lage der Stenose und die Verrundung der Übergänge anhand des COMSOL-Modells angegeben werden.

=== Referenzdurchmesser und Stenosegrad ===

Für die Stenose in der Arteria carotis interna gilt:

:&lt;math&gt;s=1-\frac{d_{\min}}{D_{\mathrm{ICA}}}&lt;/math&gt;

mit:

:&lt;math&gt;D_{\mathrm{ICA}}=5\,\mathrm{mm}&lt;/math&gt;

Damit ergeben sich beispielsweise:

* Bei &lt;math&gt;s=0{,}3&lt;/math&gt;: &lt;math&gt;d_{\min}=3{,}5\,\mathrm{mm}&lt;/math&gt;
* Bei &lt;math&gt;s=0{,}6&lt;/math&gt;: &lt;math&gt;d_{\min}=2{,}0\,\mathrm{mm}&lt;/math&gt;
* Bei &lt;math&gt;s=0{,}8&lt;/math&gt;: &lt;math&gt;d_{\min}=1{,}0\,\mathrm{mm}&lt;/math&gt;

Der Referenzdurchmesser von 6 mm der Arteria carotis communis wird nicht für die Berechnung des Stenosegrades in der Arteria carotis interna verwendet.

== Stoff- und Strömungsparameter ==

Für die numerische Simulation werden die Stoffeigenschaften des Blutes als konstant angenommen.

Die verwendeten Referenzwerte orientieren sich an den bereitgestellten Projektdaten und an Literaturwerten zur Blutströmung in größeren Arterien.&lt;ref name=&quot;Quarteroni&quot;&gt;Quarteroni, A.; Formaggia, L.: Mathematical Modelling and Numerical Simulation of the Cardiovascular System. In: Ayache, N. (Hrsg.): ''Computational Models for the Human Body''. Handbook of Numerical Analysis, Bd. XII, Elsevier, 2004, S. 3–127. DOI: 10.1016/S1570-8659(03)12001-7.&lt;/ref&gt;

=== Blutdichte ===

Die Blutdichte wird angesetzt mit:

:&lt;math&gt;\rho_b=1060\,\mathrm{kg/m^3}&lt;/math&gt;

Dieser Wert wird im gesamten Rechengebiet als konstant angenommen.

=== Dynamische Viskosität ===

Für die dynamische Viskosität gilt:

:&lt;math&gt;\mu_b=3{,}5\,\mathrm{mPa\,s}&lt;/math&gt;

Dies entspricht:

:&lt;math&gt;\mu_b=0{,}0035\,\mathrm{Pa\,s}&lt;/math&gt;

Die konstante Viskosität stellt eine Newtonsche Näherung des realen Blutverhaltens dar.

=== Volumenstrom ===

Der vorgegebene Referenzvolumenstrom am Einlass der Arteria carotis communis beträgt:

:&lt;math&gt;Q_0=6\,\mathrm{ml/s}&lt;/math&gt;

Dieser Wert orientiert sich an veröffentlichten Messungen des Blutflusses in der Arteria carotis communis.&lt;ref name=&quot;Holdsworth&quot;&gt;Holdsworth, D. W.; Norley, C. J. D.; Frayne, R.; Steinman, D. A.; Rutt, B. K.: Characterization of common carotid artery blood-flow waveforms in normal human subjects. ''Physiological Measurement'' 20 (1999), Nr. 3, S. 219–240. DOI: 10.1088/0967-3334/20/3/301.&lt;/ref&gt;

Für die stationäre Berechnung wird der Volumenstrom zeitlich konstant angesetzt.

=== Mittlere Eintrittsgeschwindigkeit ===

Für den kreisförmigen Einlassquerschnitt der Arteria carotis communis mit einem Radius von 3 mm ergibt sich die mittlere Geschwindigkeit aus:

:&lt;math&gt;U_0=\frac{Q_0}{\pi R_{\mathrm{ACC}}^2}&lt;/math&gt;

Mit:

:&lt;math&gt;R_{\mathrm{ACC}}=3\,\mathrm{mm}&lt;/math&gt;

folgt:

:&lt;math&gt;U_0=\frac{6\cdot10^{-6}\,\mathrm{m^3/s}}{\pi(0{,}003\,\mathrm{m})^2}&lt;/math&gt;

Damit beträgt die mittlere Eintrittsgeschwindigkeit:

:&lt;math&gt;U_0\approx0{,}2122\,\mathrm{m/s}&lt;/math&gt;

Dieser Wert bezieht sich auf den dreidimensionalen kreisförmigen Einlassquerschnitt der Arteria carotis communis.

Für ein ebenes zweidimensionales Modell muss die Einlassrandbedingung entsprechend der zweidimensionalen Modellbeschreibung festgelegt werden. Ein dreidimensionaler Volumenstrom kann nicht ohne zusätzliche Annahme unmittelbar als zweidimensionaler Volumenstrom pro Tiefeneinheit verwendet werden.

=== Reynolds-Zahl am Einlass ===

Die Reynolds-Zahl am Einlass der Arteria carotis communis beträgt:

:&lt;math&gt;\mathrm{Re}_0=\frac{\rho_b U_0D_{\mathrm{ACC}}}{\mu_b}&lt;/math&gt;

Mit:

:&lt;math&gt;D_{\mathrm{ACC}}=6\,\mathrm{mm}&lt;/math&gt;

ergibt sich:

:&lt;math&gt;\mathrm{Re}_0\approx385{,}6&lt;/math&gt;

Dieser Wert charakterisiert den unverengten Einlassabschnitt der Arteria carotis communis. Er ist nicht mit einer lokalen Reynolds-Zahl in der Stenose gleichzusetzen.

=== Einlauflänge ===

Für eine laminare Strömung in einem geraden Rohr kann die Länge zur Entwicklung eines zunächst gleichförmigen Geschwindigkeitsprofils näherungsweise abgeschätzt werden:

:&lt;math&gt;L_e\approx0{,}06\,\mathrm{Re}_0D_{\mathrm{ACC}}&lt;/math&gt;

Für die Referenzwerte ergibt sich:

:&lt;math&gt;L_e\approx139\,\mathrm{mm}&lt;/math&gt;

Diese Abschätzung bezieht sich auf ein gerades Rohr mit einem zunächst gleichförmigen Einlassprofil.&lt;ref name=&quot;Durst&quot;&gt;Durst, F.; Ray, S.; Ünsal, B.; Bayoumi, O. A.: The development lengths of laminar pipe and channel flows. ''Journal of Fluids Engineering'' 127 (2005), Nr. 6, S. 1154–1160.&lt;/ref&gt;

Sie beschreibt nicht unmittelbar die notwendige Einlauflänge einer Y-förmigen Gefäßaufzweigung.

Da der zuführende Gefäßabschnitt im Modell 60 mm lang ist, sollte die Einlassrandbedingung so gewählt werden, dass unerwünschte Einlaufeffekte die Strömung im Bereich der Verzweigung möglichst wenig beeinflussen.

Für das dreidimensionale Modell kann hierzu ein voll entwickeltes Geschwindigkeitsprofil verwendet werden. Die konkrete Randbedingung muss mit der COMSOL-Implementierung übereinstimmen.

=== Analytischer Referenzdruckverlust ===

Das Hagen-Poiseuille-Gesetz ermöglicht die Berechnung des Druckverlustes für einen geraden kreisförmigen Rohrabschnitt:

:&lt;math&gt;\Delta p=\frac{8\mu_b LQ}{\pi R^4}&lt;/math&gt;

Diese Beziehung kann als analytische Referenz für einen unverengten einzelnen Gefäßabschnitt dienen.

Für die gesamte Y-förmige Karotisaufzweigung lässt sich der Druckverlust jedoch nicht allein mit der Formel für ein einzelnes gerades Rohr bestimmen. Hierfür müssen die Volumenstromverteilung, die unterschiedlichen Gefäßdurchmesser und zusätzliche Verluste an der Verzweigung berücksichtigt werden.

Der bisherige Referenzwert von &lt;math&gt;99{,}03\,\mathrm{Pa}&lt;/math&gt; gehört zum früheren geraden Rohrmodell mit einer Länge von 150 mm und wird deshalb nicht als Referenzdruckverlust der Y-förmigen Gefäßaufzweigung verwendet.

=== Globale Parameter des COMSOL-Modells ===

{| class=&quot;wikitable&quot; style=&quot;width:100%;&quot;
|+ '''Globale Parameter für die Y-förmige Karotisaufzweigung'''
|-
! Name
! Ausdruck in COMSOL
! Wert
! Bedeutung
|-
| D_ACC
| &lt;code&gt;6[mm]&lt;/code&gt;
| 6 mm
| Durchmesser der Arteria carotis communis
|-
| D_ACI
| &lt;code&gt;5[mm]&lt;/code&gt;
| 5 mm
| Durchmesser der Arteria carotis interna
|-
| D_ACE
| &lt;code&gt;4[mm]&lt;/code&gt;
| 4 mm
| Durchmesser der Arteria carotis externa
|-
| L_ACC
| &lt;code&gt;60[mm]&lt;/code&gt;
| 60 mm
| Länge der Arteria carotis communis
|-
| L_ACI
| &lt;code&gt;60[mm]&lt;/code&gt;
| 60 mm
| Länge der Arteria carotis interna
|-
| L_ACE
| &lt;code&gt;60[mm]&lt;/code&gt;
| 60 mm
| Länge der Arteria carotis externa
|-
| L_s
| &lt;code&gt;10[mm]&lt;/code&gt;
| 10 mm
| Stenosenlänge
|-
| s
| &lt;code&gt;0&lt;/code&gt;
| 0 bis 0,8
| Variabler Stenosegrad
|-
| d_min
| &lt;code&gt;D_ACI*(1-s)&lt;/code&gt;
| Abhängig von s
| Minimaler Stenosedurchmesser
|-
| rho_b
| &lt;code&gt;1060[kg/m^3]&lt;/code&gt;
| 1060 kg/m³
| Blutdichte
|-
| mu_b
| &lt;code&gt;3.5[mPa*s]&lt;/code&gt;
| 3,5 mPa·s
| Dynamische Viskosität
|-
| Q0
| &lt;code&gt;6[ml/s]&lt;/code&gt;
| 6 ml/s
| Einlassvolumenstrom der ACC
|-
| U0
| &lt;code&gt;Q0/(pi*(D_ACC/2)^2)&lt;/code&gt;
| 0,2122 m/s
| Mittlere Eintrittsgeschwindigkeit für einen kreisförmigen Querschnitt
|-
| Re0
| &lt;code&gt;rho_b*U0*D_ACC/mu_b&lt;/code&gt;
| 385,6
| Reynolds-Zahl am Einlass der ACC
|}

'''Hinweis:''' Die Parameternamen dienen als konsistente Vorlage. Vor der Übernahme in COMSOL beziehungsweise in die Projektdokumentation müssen sie mit den tatsächlich verwendeten Namen und Geometrieeinstellungen abgeglichen werden.

== Randbedingungen und numerische Umsetzung ==

Die Randbedingungen bestimmen, wie Blut in das Modell einströmt, sich innerhalb der Gefäßaufzweigung verteilt und die beiden Gefäßäste verlässt.

=== Einlass ===

Der Einlass befindet sich an der Arteria carotis communis.

Für das dreidimensionale Referenzmodell wird ein Volumenstrom von:

:&lt;math&gt;Q_0=6\,\mathrm{ml/s}&lt;/math&gt;

vorgegeben.

Die zugehörige mittlere Geschwindigkeit beträgt:

:&lt;math&gt;U_0\approx0{,}2122\,\mathrm{m/s}&lt;/math&gt;

Ein geeignetes Geschwindigkeitsprofil beziehungsweise eine entsprechende Volumenstromrandbedingung wird in COMSOL festgelegt.

=== Auslässe ===

Das Modell besitzt zwei Auslässe:

* Auslass der Arteria carotis interna,
* Auslass der Arteria carotis externa.

Für die Volumenströme gilt:

:&lt;math&gt;Q_{\mathrm{ACC}}=Q_{\mathrm{ACI}}+Q_{\mathrm{ACE}}&lt;/math&gt;

Die konkrete Aufteilung hängt von den Strömungswiderständen und den vorgegebenen Auslassrandbedingungen ab.

'''Die tatsächlichen Auslassbedingungen müssen aus dem COMSOL-Modell übernommen werden.''' Ohne diese Angabe lässt sich nicht eindeutig bestimmen, wie sich der Volumenstrom zwischen den beiden Gefäßästen verteilt.

=== Gefäßwände ===

An den starren Gefäßwänden wird die Haftbedingung verwendet:

:&lt;math&gt;\mathbf{u}=0&lt;/math&gt;

Dadurch ist die Geschwindigkeit des Fluids unmittelbar an der Wand gleich null.

=== Numerische Vernetzung ===

Die Geometrie wird für die numerische Berechnung in ein Rechennetz unterteilt.

Eine ausreichende Netzauflösung ist insbesondere im Bereich der Stenose, an der Gefäßaufzweigung und in wandnahen Bereichen erforderlich, da dort starke Geschwindigkeitsgradienten auftreten können.

Die Qualität der numerischen Ergebnisse sollte anhand einer Netzverfeinerungsstudie überprüft werden.

Hierzu können beispielsweise die maximale Geschwindigkeit, der Druckverlust und die maximale Wandschubspannung bei unterschiedlichen Netzauflösungen miteinander verglichen werden.

Die konkreten Netzgrößen und Elementzahlen werden anhand der tatsächlich durchgeführten COMSOL-Berechnungen dokumentiert.

== Auswertung und Überprüfung der Ergebnisse ==

Die Auswertung erfolgt für die untersuchten Stenosegrade und Modellvarianten.

Von besonderem Interesse sind:

* maximale Strömungsgeschwindigkeit innerhalb der Stenose,
* Druckverteilung und Druckverlust,
* Volumenstromverteilung zwischen ACI und ACE,
* Wandschubspannung im Bereich der Stenose,
* mögliche Rückströmungsgebiete stromabwärts der Engstelle.

=== Überprüfung der Massenerhaltung ===

Für jede stationäre Berechnung wird überprüft, ob die Summe der beiden Auslassvolumenströme dem Einlassvolumenstrom entspricht:

:&lt;math&gt;Q_{\mathrm{ACC}}\approx Q_{\mathrm{ACI}}+Q_{\mathrm{ACE}}&lt;/math&gt;

Abweichungen können auf numerische Ungenauigkeiten oder ungeeignete Auswertungseinstellungen hinweisen.

=== Vergleich der Stenosegrade ===

Die Ergebnisse werden für unterschiedliche Stenosegrade gegenübergestellt.

Dabei wird untersucht, wie stark die maximale Geschwindigkeit, der Druckverlust und die Wandschubspannung mit zunehmender Verengung ansteigen beziehungsweise sich verändern.

Die Volumenstromverteilung zwischen den beiden Gefäßästen wird ebenfalls betrachtet, sofern die gewählten Auslassrandbedingungen eine solche Auswertung ermöglichen.

=== Vergleich der Modellvarianten ===

Das Graphenmodell liefert vereinfachte Abschätzungen für Volumenströme und Druckverluste.

Das zweidimensionale Flächenmodell ermöglicht die Darstellung ebener Geschwindigkeits- und Druckfelder.

Das dreidimensionale Volumenmodell liefert zusätzlich eine räumliche Beschreibung der Strömung und der Wandschubspannung.

Die Ergebnisse werden nicht als zwangsläufig identisch betrachtet, da die Modelle unterschiedliche geometrische und mathematische Vereinfachungen verwenden.

=== Ergebnisse und Diskussion ===

Die konkreten Simulationsergebnisse werden nach Durchführung und Auswertung der COMSOL-Berechnungen ergänzt.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ '''Vorlage für die Auswertung der Stenosegrade'''
|-
! Stenosegrad
! Maximale Geschwindigkeit
! Druckverlust
! Volumenstrom ACI
! Volumenstrom ACE
! Maximale Wandschubspannung
|-
| 0 %
| Noch einzutragen
| Noch einzutragen
| Noch einzutragen
| Noch einzutragen
| Noch einzutragen
|-
| 30 %
| Noch einzutragen
| Noch einzutragen
| Noch einzutragen
| Noch einzutragen
| Noch einzutragen
|-
| 60 %
| Noch einzutragen
| Noch einzutragen
| Noch einzutragen
| Noch einzutragen
| Noch einzutragen
|-
| 80 %
| Noch einzutragen
| Noch einzutragen
| Noch einzutragen
| Noch einzutragen
| Noch einzutragen
|}

Die Auswertung soll insbesondere zeigen, welche Auswirkungen die Verengung der Arteria carotis interna auf die lokale Strömung und die Strömungsverteilung innerhalb der Y-förmigen Karotisaufzweigung besitzt.

Bei hochgradigen Stenosen ist zusätzlich zu diskutieren, inwieweit die Annahme einer stationären laminaren Strömung geeignet bleibt.

== Grenzen des Modells ==

Die untersuchte Gefäßgeometrie ist eine idealisierte Darstellung der Karotisaufzweigung. Individuelle anatomische Unterschiede werden nicht berücksichtigt.

Darüber hinaus werden die Gefäßwände als starr angenommen und Blut wird durch ein inkompressibles Newtonsches Fluid mit konstanter Viskosität beschrieben.

Die Strömung wird stationär berechnet. Die natürliche Pulsation des Blutflusses und zeitabhängige Effekte bleiben damit unberücksichtigt.

Insbesondere bei hochgradigen Stenosen können zeitabhängige Strömungsablösungen auftreten, die durch eine stationäre Modellierung nicht vollständig beschrieben werden.

Das Graphenmodell kann lokale Strömungsphänomene nicht detailliert erfassen. Das ebene Flächenmodell vereinfacht die räumliche Gefäßgeometrie. Auch das dreidimensionale Modell bleibt aufgrund der idealisierten Geometrie und der vereinfachten Materialannahmen eine Annäherung an die reale Blutströmung.

Die Ergebnisse sind daher als strömungsmechanische Untersuchung eines idealisierten Modells zu interpretieren und nicht als patientenspezifische medizinische Vorhersage.

== Literaturverzeichnis ==

&lt;references /&gt;

=== Weiterführende Literatur ===

* Bernabeu, M. O. u. a.: Impact of blood rheology on wall shear stress in a model of the middle cerebral artery. ''Interface Focus'' 3 (2013), 20120094.
* Womersley, J. R.: Method for the calculation of velocity, rate of flow and viscous drag in arteries when the pressure gradient is known. ''Journal of Physiology'' 127 (1955), S. 553–563.
* Varghese, S. S.; Frankel, S. H.; Fischer, P. F.: Direct numerical simulation of stenotic flows. Part 1. Steady flow. ''Journal of Fluid Mechanics'' 582 (2007), S. 253–280.
* Hansen, F.; Mangell, P.; Sonesson, B.; Länne, T.: Diameter and compliance in the human common carotid artery: variations with age and sex. ''Ultrasound in Medicine and Biology'' 21 (1995), Nr. 1, S. 1–9.
* Krejza, J.; Arkuszewski, M.; Kasner, S. E.; Weigele, J.; Ustymowicz, A.; Hurst, R. W.; Cucchiara, B. L.; Messe, S. R.: Carotid artery diameter in men and women and the relation to body and neck size. ''Stroke'' 37 (2006), Nr. 4, S. 1103–1105.


ALTTTTT

= Gruppenteilnehmer =
* Joey Becker
* Marie-Thérèse Heitele
* Nicole Pander

= Thema und Fragestellung =

Gegenstand dieses Projekts ist die numerische Simulation der Blutströmung in einer verzweigten Halsschlagader ('''Carotis-Bifurkation''') unter dem Einfluss einer lokalen Gefäßverengung ('''Stenose''').
Im Vergleich zu einfachen Rohrströmungen wird hier die realitätsnahe Gefäßanatomie betrachtet: Die '''Arteria carotis communis (ACC)''' teilt sich in die '''Arteria carotis externa (ACE)''' und die '''Arteria carotis interna (ACI)''' auf. Während die '''ACE''' als gesunder, stenosefreier Ast dient, wird in der '''ACI''' eine geglättete, kosinusförmige Gefäßverengung modelliert. Um scharfe Kanten und unphysiologische Druckspitzen zu vermeiden, werden alle Wandübergänge und die Gabelungsspitze (Apex) anatomisch verrundet.

Als Referenz dient ein gesundes, unverengtes Gefäß, in dem sich die Poiseuille-Strömung mit ihrem charakteristischen parabolischen Geschwindigkeitsprofil ausbildet. Diese Strömung ist aus zwei Gründen der natürliche Ausgangspunkt. Sie beschreibt den physiologischen Normalfall, mit dem jeder Stenosegrad verglichen wird, und sie ist exakt lösbar, sodass sich an ihr jede numerische Rechnung prüfen lässt, bevor die Verengung hinzukommt.

== Fragestellung ==
Die Hauptfragestellung dieses Projektes lautet: 
Wie verändert eine symmetrische bzw. rotationssymmetrische Stenose in der '''Arteria carotis interna (ACI)''' die stationäre Strömung eines inkompressiblen Newton’schen Fluids in einer 2D-Carotis-Bifurkation hinsichtlich Geschwindigkeitsverteilung, Druckabfall, Wandschubspannung und Wirbelbildung im Vergleich zu den gesunden Gefäßabschnitten?

Aus dieser Fragestellung ergeben sich drei Teilfragen, an denen sich der Aufbau der Seite orientiert:

# Welche Strömungsgrößen reagieren empfindlich auf den Stenosegrad und welche nur träge?
# Ab welchem Stenosegrad ändert sich das Strömungsmuster qualitativ, das heißt, ab wann löst die Strömung hinter der Engstelle von der Wand ab und bildet ein Rückströmgebiet?
# Wie weit tragen die vereinfachenden Modellannahmen, insbesondere die Annahme einer stationären und laminaren Strömung, über den untersuchten Bereich der Stenosegrade?

== Modellannahmen ==
Im Hinblick darauf werden für dieses Projekt einige Annahmen getroffen, um das Projekt möglichst isoliert zu untersuchen und zu simplifizieren:

* '''Idealisierte Gefäßgeometrie''': Betrachtet wird ein  Teilabbschnitt der ''Arteria carotis communis'', die sog. ''ACI''. Zudem werden Gefäßverkrümmungen, weitere Verzweigungen und patientenspezifische Strukturen  nicht berücksichtigt. 
* '''Starre Gefäßwand''': Die Gefäßwand wird als unbeweglich und nicht verformbar angenommen. Eine Wechselwirkung zwischen elastischer Gefäßwand und Blutströmung wird nicht modelliert.
* '''Stationäre Strömung''': Die Strömungsgrößen werden als zeitlich konstant angenommen. Die im realen Blutkreislauf vorhandene Pulsation durch den Herzschlag wird daher vernachlässigt: &lt;math&gt;\frac{\partial u}{\partial t}=0&lt;/math&gt;.
* '''Inkompressibles Fluid''': Die Dichte des Fluids wird als konstant angenommen. Damit gilt für die Geschwindigkeit &lt;math&gt;\nabla \cdot u=0&lt;/math&gt;. Dies entspricht der in der Vorlesung behandelten Massenerhaltung für inkompressible Fluide: Was in das Gefäß einströmt, muss auch wieder ausströmen.
* '''Newton'sche Näherung für Blut''': Reales Blut beseitzt ein nicht newton'sches Fließverhalten. Hier wird Blut als Newton'sches Fluid behandelt.
* '''Konstante Stoffeigenschaften''': Dichte &lt;math&gt;\rho&lt;/math&gt; und dynamische Viskosität μ werden als räumlich und zeitlich konstant angenommen. Temperaturabhängigkeiten werden nicht berücksichtigt.
* '''Laminare Strömung''': Die Strömung wird mit dem COMSOL-Modul ''Laminar Flow'' beschrieben. Ein zusätzliches Turbulenzmodell wird nicht verwendet.
* '''No-Slip-Bedingung an Gefäßwand''': Aufgrund der Viskosität wird angenommen, dass das Fluid direkt an der Gefäßwand haftet. Somit gilt &lt;math&gt;u=0&lt;/math&gt;.
* '''Vernachlässigung der Gravitation''': Gravitation wird nicht berücksichtigt. Die Strömung wird ausschließlich durch die gewählten Ein- und Auslassbedingungen bestimmt.

= Relevanz =
Die Untersuchung von Gefäßverengungen besitzt sowohl eine medizinische als auch eine methodische Bedeutung. Aus medizinischer Sicht sind arterielle Stenosen – etwa in der Halsschlagader, lat. ''arteria carotis communis'', – kritisch, da sie die Durchblutung beeinträchtigen und durch veränderte Wandschubspannungen sowie die Bildung von Wirbeln weitere Gefäßablagerungen begünstigen. Stenosen im Bereich der Karotisgabelung sind klinisch hochrelevant, da sie das Gehirn direkt versorgen und das Risiko für embolische Schlaganfälle erhöhen. Fachlich überträgt das Projekt damit die Prinzipien der Strömungsmechanik direkt auf eine biomedizinische Anwendung. Das Projekt verknüpft somit theoretische Grundlagen der Strömungsmechanik (Hagen-Poiseuille-Gleichung, Navier-Stokes-Gleichungen) mit der numerischen Simulation in COMSOL Multiphysics. Durch den Vergleich der '''gesunden Externa (ACE)''' mit der '''stenoisierten Interna (ACI)''' innerhalb desselben Rechengebiets wird die isolierte Wirkung der Stenose unter identischen Randbedingungen direkt sichtbar gemacht.

== Medizinische Relevanz ==

Arterielle Stenosen entstehen überwiegend durch Atherosklerose, also durch Ablagerungen aus Lipiden, Bindegewebe und Kalk in der Gefäßwand. In der Halsschlagader sind sie klinisch besonders bedeutsam, weil sie die Durchblutung des Gehirns beeinträchtigen und weil sich an ihnen Thromben bilden können, die als Embolie einen Schlaganfall auslösen. Dass die operative Entfernung einer hochgradigen Karotisstenose das Schlaganfallrisiko symptomatischer Patienten deutlich senkt, hat die NASCET-Studie gezeigt, deren Einteilung der Stenosegrade dieses Projekt übernimmt.&lt;ref name=&quot;nascet&quot;&gt;North American Symptomatic Carotid Endarterectomy Trial Collaborators: ''Beneficial effect of carotid endarterectomy in symptomatic patients with high-grade carotid stenosis.'' New England Journal of Medicine 325 (1991), Nr. 7, S. 445-453.&lt;/ref&gt;

Strömungsmechanisch ist an einer Stenose vor allem die Wandschubspannung von Interesse, also die tangentiale Kraft je Fläche, die das strömende Blut auf die innerste Zellschicht der Gefäßwand ausübt. Gesunde Halsschlagadern weisen zeitlich gemittelte Werte von etwa 1,1 bis 1,5 Pa auf.&lt;ref name=&quot;samijo&quot;&gt;Samijo, S. K.; Willigers, J. M.; Barkhuysen, R.; Kitslaar, P. J. E. H. M.; Reneman, R. S.; Brands, P. J.; Hoeks, A. P. G.: ''Wall shear stress in the human common carotid artery as function of age and gender.'' Cardiovascular Research 39 (1998), Nr. 2, S. 515-522.&lt;/ref&gt; In einer Engstelle steigt sie stark an, unmittelbar dahinter fällt sie im Ablösegebiet auf nahezu null und wechselt dort sogar das Vorzeichen. Niedrige und im Vorzeichen wechselnde Wandschubspannungen gelten als Bedingungen, unter denen sich weitere Ablagerungen bevorzugt bilden. Eine bestehende Stenose schafft also stromabwärts die Voraussetzungen für ihr eigenes Wachstum. Genau diese Verteilung lässt sich im Körper nur schwer messen, in einer Simulation dagegen unmittelbar auswerten.

== Methodische Relevanz ==

Fachlich überträgt das Projekt die Prinzipien der Strömungsmechanik aus der Vorlesung auf eine biomedizinische Anwendung.&lt;ref name=&quot;hundertmark&quot;&gt;Hundertmark, A.: ''Fluiddynamik.'' Vorlesungsunterlagen zum Modul Räumliche Modellbildung, RPTU Kaiserslautern-Landau, Sommersemester 2026.&lt;/ref&gt; Der methodische Mehrwert liegt in der Verknüpfung mehrerer Zugänge, die sich gegenseitig kontrollieren. Die analytische Poiseuille-Lösung liefert exakte Sollwerte für das gesunde Gefäß. Ein reduziertes Graphenmodell liefert für jeden Stenosegrad eine schnelle Abschätzung, die analytisch nachrechenbar ist. Die Simulationen in COMSOL Multiphysics lösen schließlich die vollständigen Navier-Stokes-Gleichungen in zwei und drei Raumdimensionen. Weil jede Stufe die Sollwerte der nächsten liefert, zeigt das Projekt nicht nur Ergebnisse, sondern auch, wie numerische Modelle aufgebaut, verifiziert und an ihren Grenzen bewertet werden.

== Auswahl der Stenosegrade ==

Um die untersuchten Gefäßverengungen nicht willkürlich festzulegen, orientiert sich die Auswahl der Stenosegrade an der klinisch gebräuchlichen NASCET-Klassifikation von Karotisstenosen.&lt;ref name=&quot;nascet&quot; /&gt; Zur klinischen Einordnung werden Karotisstenosen anhand der nach NASCET bestimmten Durchmesserreduktion in leichtgradige, mittelgradige und hochgradige Stenosen eingeteilt. Die angegebenen Prozentgrenzen dienen in diesem Projekt als Orientierung für die Auswahl der untersuchten Stenosegrade. Ein vollständiger Gefäßverschluss wird als Okklusion bezeichnet.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Klinische Einteilung nach NASCET-gemessener Durchmesserreduktion und untersuchte Stenosegrade
! Schweregrad !! Durchmesserreduktion !! im Projekt gerechnete Stenosegrade !! hervorgehobener Vertreter
|-
| gesundes Gefäß || 0 % || 0 || 0
|-
| leichtgradige Stenose || unter 50 % || 0,1 bis 0,4 || 0,3
|-
| mittelgradige Stenose || 50 bis 69 % || 0,5 und 0,6 || 0,6
|-
| hochgradige Stenose || 70 bis 99 % || 0,7 und 0,8 || 0,8
|-
| Okklusion || 100 % || nicht gerechnet || entfällt
|}
'''Anmerkung''': Die Klassengrenzen dienen der Einordnung der Modellvarianten. Die in der Tabelle genannten Stenosegrade sind dimensionslose Werte, beispielsweise entspricht '''&lt;math&gt;s=0{,}6&lt;/math&gt;''' einer Durchmesserreduktion von '''60 %'''.

Für die numerische Untersuchung wird aus jeder Kategorie ein repräsentativer Stenosegrad hervorgehoben. Neben dem gesunden Gefäß mit '''0 %''' Stenose sind das eine '''30 %''' Stenose als Beispiel für eine leichtgradige, eine '''60 %''' Stenose als Beispiel für eine mittelgradige und eine '''80 %''' Stenose als Beispiel für eine hochgradige Verengung. Zusätzlich werden für das Graphenmodell und das achsensymmetrische Flächenmodell Stenosegrade von 0 bis 80 % in Schritten von zehn Prozentpunkten vorgesehen. Dadurch kann die Abhängigkeit der Strömungsgrößen vom Stenosegrad systematisch untersucht und grafisch dargestellt werden. Ob alle Modellvarianten tatsächlich berechnet wurden und wie hoch der Rechenaufwand war, wird anhand der durchgeführten Simulationen dokumentiert. Ein vollständiger Gefäßverschluss wird nicht simuliert, da in diesem Fall keine durchgängige Strömung mehr vorliegt.

Der Stenosegrad wird in diesem Projekt wie bei NASCET über die Verringerung des Gefäßdurchmessers beschrieben,
&lt;math&gt;s = 1 - \frac{d_{\min}}{d_{\mathrm{ref}}},&lt;/math&gt;wobei &lt;math&gt;d_{\min}&lt;/math&gt; der kleinste Durchmesser in der Engstelle und &lt;math&gt;d_{\mathrm{ref}}&lt;/math&gt; ein Referenzdurchmesser ist. NASCET verwendet als Referenz den Durchmesser des gesunden Gefäßes stromabwärts der Stenose. Für das idealisierte gerade Gefäßmodell wird ein konstanter Referenzdurchmesser von &lt;math&gt;D_0=6\,\mathrm{mm}&lt;/math&gt; angenommen. Da das Gefäß außerhalb der Stenose denselben Durchmesser besitzt, gilt in diesem Modell&lt;math&gt;d_{\mathrm{ref}}=D_0&lt;/math&gt;. Bei der zusätzlich betrachteten Gefäßaufzweigung muss der Referenzdurchmesser dagegen gesondert festgelegt werden, da die Gefäßäste unterschiedliche Durchmesser besitzen.

Wichtig für das Verständnis aller weiteren Ergebnisse ist der Unterschied zwischen Durchmesser- und Flächenreduktion. Da die Querschnittsfläche quadratisch vom Durchmesser abhängt, gilt für die Flächenreduktion &lt;math&gt;1-(1-s)^2&lt;/math&gt;. Eine im klinischen Sinn nur mittelgradige Stenose von 60 % verschließt damit bereits 84 % der Querschnittsfläche.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Durchmesser- und Flächenreduktion der gerechneten Stenosegrade
! Stenosegrad s !! 0 !! 0,1 !! 0,2 !! 0,3 !! 0,4 !! 0,5 !! 0,6 !! 0,7 !! 0,8
|-
| engster Durchmesser in mm || 6,0 || 5,4 || 4,8 || 4,2 || 3,6 || 3,0 || 2,4 || 1,8 || 1,2
|-
| Flächenreduktion || 0 % || 19 % || 36 % || 51 % || 64 % || 75 % || 84 % || 91 % || 96 %
|}

Eine Einschränkungen gehört zur ehrlichen Einordnung: 
# Mit zunehmendem Stenosegrad, insbesondere bei ausgeprägten Verengungen, können lokale Beschleunigungen, Strömungsablösungen und zeitabhängige Strömungsstrukturen auftreten. Daher muss bei den hochgradigen Stenosen geprüft werden, inwieweit die Annahme einer stationären, laminaren Strömung geeignet ist. Eine feste Grenze bei &lt;math&gt;s=0{,}6&lt;/math&gt; lässt sich ohne entsprechende Simulationsergebnisse oder Literaturbelege nicht allgemein festlegen. Die hochgradigen Fälle werden deshalb unter besonderer Berücksichtigung der Modellannahmen diskutiert.

Unter Modellierung wird in diesem Projekt die Übertragung der Blutströmung in einer verengten Arterie auf ein mathematisches und numerisch lösbares Strömungsproblem verstanden. Dazu werden die Gefäßgeometrie, die zugrunde liegenden Gleichungen, die physikalischen Materialparameter sowie die Anfangs- und Randbedingungen festgelegt.

Jeder dieser Bestandteile beruht auf vereinfachenden Annahmen, die begründet und bei der Interpretation der Ergebnisse berücksichtigt werden müssen. Ziel ist es, den Einfluss unterschiedlicher Stenosegrade auf die Strömungsgeschwindigkeit, den Druckverlust und gegebenenfalls die Wandschubspannung systematisch zu untersuchen.

Die Modellierung erfolgt anhand mehrerer Modellvarianten mit unterschiedlicher räumlicher Auflösung. Dadurch können zunächst grundlegende Zusammenhänge analytisch abgeschätzt und anschließend mit numerischen Strömungsberechnungen verglichen werden. Die verwendeten Parameter orientieren sich an den bereitgestellten Referenzdaten und werden in den folgenden Abschnitten erläutert.

== Modellierung ==

Ziel der Modellierung ist es, die Blutströmung innerhalb einer Y-förmigen Aufzweigung der Halsschlagader mathematisch und numerisch zu untersuchen. Im Mittelpunkt steht eine Gefäßverengung (Stenose) in der Arteria carotis interna.

Das betrachtete Gefäßmodell besteht aus der Arteria carotis communis, die sich in die Arteria carotis interna und die Arteria carotis externa aufteilt. Die Stenose befindet sich ausschließlich in der Arteria carotis interna.

Durch die Verengung verändert sich der verfügbare Strömungsquerschnitt. Dies kann zu einer Erhöhung der lokalen Strömungsgeschwindigkeit, zu zusätzlichen Druckverlusten und zu einer Veränderung der Strömungsverteilung zwischen den beiden Gefäßästen führen.

Ziel ist es, den Einfluss unterschiedlicher Stenosegrade auf die Strömungsgeschwindigkeit, die Druckverteilung und die Wandschubspannung zu untersuchen. Zusätzlich soll betrachtet werden, wie sich die Strömung innerhalb der Y-förmigen Gefäßaufzweigung verhält.

Die numerische Modellierung erfolgt mit COMSOL Multiphysics. Dazu werden die Gefäßgeometrie, die Materialeigenschaften des Blutes, die Strömungsgleichungen und die Randbedingungen festgelegt.

Zur Vereinfachung wird Blut zunächst als inkompressibles, Newtonsches Fluid betrachtet. Die Gefäßwände werden als starr angenommen. Diese Annahmen ermöglichen eine systematische Untersuchung der Stenose, schränken jedoch die Übertragbarkeit auf reale physiologische Bedingungen ein.

=== Modellhierarchie ===

Für die Untersuchung der Blutströmung innerhalb der Y-förmigen Karotisaufzweigung werden drei Modellvarianten betrachtet. Diese unterscheiden sich hinsichtlich ihrer räumlichen Dimension, ihrer mathematischen Beschreibung und der Genauigkeit, mit der die Strömungsverhältnisse dargestellt werden können.

Das untersuchte Gefäß besteht aus der Arteria carotis communis, die sich in die Arteria carotis interna und die Arteria carotis externa aufteilt. Die Stenose befindet sich ausschließlich in der Arteria carotis interna.

Alle drei Modellvarianten werden mit COMSOL Multiphysics umgesetzt.

{| class=&quot;wikitable&quot; style=&quot;width:100%;&quot;
|+ '''Die drei Modellvarianten des Projekts'''
|-
! Modell
! Raumdimension
! Mathematische Grundlage
! Zweck
! Werkzeug
|-
| '''Graphenmodell'''
| 1D, Gefäßnetzwerk mit einer Verzweigung
| Massenerhaltung an der Verzweigung und vereinfachte Beschreibung der Strömungswiderstände
| Abschätzung der Volumenstromverteilung und der Druckverluste in den Gefäßästen
| COMSOL Multiphysics
|-
| '''Ebenes Flächenmodell'''
| 2D, Y-förmige Gefäßgeometrie in kartesischen Koordinaten
| Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen
| Untersuchung der Geschwindigkeits- und Druckverteilung sowie der Auswirkungen der Stenose in der Arteria carotis interna
| COMSOL Multiphysics, Laminare Strömung
|-
| '''Volumenmodell'''
| 3D, räumliche Y-förmige Gefäßgeometrie
| Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen
| Räumliche Untersuchung des Geschwindigkeitsfeldes, des Druckverlustes und der Wandschubspannung
| COMSOL Multiphysics, Laminare Strömung
|}

==== Vergleich und Überprüfung der Modellvarianten ====

Die drei Modellvarianten bauen hinsichtlich ihrer räumlichen Beschreibung aufeinander auf. Das Graphenmodell ermöglicht zunächst eine vereinfachte Betrachtung der Volumenströme und Druckverluste. Die zwei- und dreidimensionalen Modelle erlauben anschließend eine detailliertere Untersuchung der Strömung innerhalb der Gefäßaufzweigung.

Das '''Graphenmodell''' beschreibt die Arteria carotis communis sowie die beiden abzweigenden Gefäße als miteinander verbundenes Netzwerk. Dabei wird die Massenerhaltung an der Verzweigung berücksichtigt:

:&lt;math&gt;Q_{\mathrm{CCA}}=Q_{\mathrm{ICA}}+Q_{\mathrm{ECA}}&lt;/math&gt;

Das Modell liefert vereinfachte Abschätzungen der Volumenstromverteilung. Lokale Strömungsablösungen und räumliche Geschwindigkeitsverteilungen können damit nicht detailliert dargestellt werden.

Das '''ebene Flächenmodell''' bildet die Y-förmige Gefäßaufzweigung in zwei Raumdimensionen ab. Die Stenose wird innerhalb der Arteria carotis interna berücksichtigt. Dadurch können die Geschwindigkeits- und Druckverteilung sowie mögliche Rückströmungsbereiche untersucht werden.

Das '''Volumenmodell''' erweitert die Untersuchung auf drei Raumdimensionen. Es ermöglicht eine räumliche Darstellung der Strömung und eine detailliertere Berechnung der Wandschubspannung.

Die Ergebnisse des ebenen Flächenmodells und des Volumenmodells werden miteinander verglichen. Da das ebene Modell die räumliche Querschnittsgeometrie nur vereinfacht darstellt, müssen Unterschiede zwischen den beiden Modellen bei der Interpretation berücksichtigt werden.

Ziel der Modellhierarchie ist es, die Aussagekraft der einzelnen Modellvarianten zu bewerten und den Einfluss des Stenosegrades auf die Strömung innerhalb der Y-förmigen Karotisaufzweigung zu untersuchen.

=== Simulationsgebiet und Geometrie ===

Das Simulationsgebiet besteht aus einer idealisierten Y-förmigen Aufzweigung der Arteria carotis. Die Arteria carotis communis teilt sich in die Arteria carotis interna und die Arteria carotis externa.

Die Stenose befindet sich in der Arteria carotis interna. Die Arteria carotis externa wird ohne zusätzliche Verengung modelliert.

Die Geometrie orientiert sich an den bereitgestellten Referenzdaten. Die Gefäßdurchmesser werden innerhalb der jeweiligen unverengten Abschnitte als konstant angenommen.

{| class=&quot;wikitable&quot; style=&quot;width:100%;&quot;
|+ '''Geometrische Referenzparameter der Y-förmigen Gefäßaufzweigung'''
|-
! Gefäßabschnitt
! Durchmesser
! Länge
|-
| Arteria carotis communis
| 6 mm
| 60 mm
|-
| Arteria carotis interna
| 5 mm
| 60 mm
|-
| Arteria carotis externa
| 4 mm
| 60 mm
|-
| Stenose in der Arteria carotis interna
| Abhängig vom Stenosegrad
| 10 mm
|}

Die Verengung wird über den Stenosegrad &lt;math&gt;s&lt;/math&gt; beschrieben. Dieser gibt die relative Verringerung des Gefäßdurchmessers an:

:&lt;math&gt;s=1-\frac{d_{\min}}{D_{\mathrm{ICA}}}&lt;/math&gt;

Dabei bezeichnet &lt;math&gt;d_{\min}&lt;/math&gt; den minimalen Durchmesser innerhalb der Stenose und &lt;math&gt;D_{\mathrm{ICA}}&lt;/math&gt; den unverengten Referenzdurchmesser der Arteria carotis interna.

Für das Modell gilt:

:&lt;math&gt;D_{\mathrm{ICA}}=5\,\mathrm{mm}&lt;/math&gt;

Der minimale Durchmesser ergibt sich damit zu:

:&lt;math&gt;d_{\min}=D_{\mathrm{ICA}}(1-s)&lt;/math&gt;

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ '''Minimaler Durchmesser der Stenose in der Arteria carotis interna'''
|-
! Stenosegrad
! Minimaler Durchmesser
|-
| 0 %
| 5,0 mm
|-
| 10 %
| 4,5 mm
|-
| 20 %
| 4,0 mm
|-
| 30 %
| 3,5 mm
|-
| 40 %
| 3,0 mm
|-
| 50 %
| 2,5 mm
|-
| 60 %
| 2,0 mm
|-
| 70 %
| 1,5 mm
|-
| 80 %
| 1,0 mm
|}

Die angegebenen Stenosegrade beziehen sich ausschließlich auf den Durchmesser der Arteria carotis interna. Der Durchmesser der Arteria carotis communis wird nicht zur Berechnung des Stenosegrades verwendet.

Die Y-förmige Geometrie ermöglicht es, die Auswirkungen der Verengung sowohl auf die lokale Strömung in der Arteria carotis interna als auch auf die Strömungsverteilung innerhalb der gesamten Gefäßaufzweigung zu untersuchen.

Die genaue Form der Stenose, der Verzweigungswinkel und die Übergänge zwischen den Gefäßabschnitten müssen entsprechend der tatsächlich in COMSOL verwendeten Geometrie dokumentiert werden.


== Stoff- und Strömungsparameter ==

Die Stoffwerte des Blutes und der Volumenstrom sind die einzigen Eingangsgrößen, die nicht aus der Geometrie folgen. Aus ihnen werden alle weiteren Strömungskennwerte berechnet. Die folgenden Schritte zeigen jede Rechnung einzeln, damit sich jeder Wert nachprüfen lässt.

# Die '''Dichte''' wird mit &lt;math&gt;\rho = 1060\ \mathrm{kg/m^3}&lt;/math&gt; angesetzt. Der Wert lässt sich als Mischungsregel plausibel machen. Plasma hat eine Dichte von etwa 1025 kg/m³, rote Blutkörperchen von etwa 1100 kg/m³. Bei einem Zellanteil von 45 % ergibt sich &lt;math&gt;0{,}55 \cdot 1025 + 0{,}45 \cdot 1100 \approx 1059\ \mathrm{kg/m^3}&lt;/math&gt;. Die Dichte geht nur über die Reynoldszahl in die Rechnung ein, eine Abweichung von einem Prozent ändert die Ergebnisse daher kaum. &lt;!-- FIXME Lehrbuchquelle fuer Plasma- und Erythrozytendichte ergaenzen --&gt;
# Die '''dynamische Viskosität''' wird mit &lt;math&gt;\mu = 3{,}5\ \mathrm{mPa\,s}&lt;/math&gt; angesetzt. Das ist der Grenzwert der Blutviskosität bei hohen Scherraten, also genau der Wert, der zur Newtonschen Näherung gehört. Derselbe Wert von 0,035 Poise wird auch im Standardwerk zur Modellierung des Herz-Kreislauf-Systems verwendet.&lt;ref name=&quot;quarteroni&quot;&gt;Quarteroni, A.; Formaggia, L.: ''Mathematical Modelling and Numerical Simulation of the Cardiovascular System.'' In: Ayache, N. (Hrsg.): ''Computational Models for the Human Body.'' Handbook of Numerical Analysis, Bd. XII, Elsevier, Amsterdam 2004, S. 3-127. DOI 10.1016/S1570-8659(03)12001-7. Zur Newtonschen Näherung in großen Gefäßen siehe S. 30, zur Viskosität von 0,035 Poise die Parametertabelle auf S. 116.&lt;/ref&gt;
# Der '''mittlere Volumenstrom''' wird mit &lt;math&gt;Q_0 = 6\ \mathrm{ml/s}&lt;/math&gt; angesetzt. Das ist der zeitlich gemittelte Volumenstrom, der in der gemeinsamen Halsschlagader gesunder Probanden gemessen wurde.&lt;ref name=&quot;holdsworth&quot; /&gt;
# Die '''mittlere Geschwindigkeit''' folgt aus Volumenstrom und Querschnittsfläche, &lt;math&gt;U_0 = \frac{Q_0}{\pi R_0^2} = \frac{6 \cdot 10^{-6}\ \mathrm{m^3/s}}{\pi \cdot (0{,}003\ \mathrm{m})^2} = 0{,}2122\ \mathrm{m/s}&lt;/math&gt;.
# Die '''Reynoldszahl''' des gesunden Gefäßes ist &lt;math&gt;Re_0 = \frac{\rho\, U_0\, D_0}{\mu} = \frac{1060 \cdot 0{,}2122 \cdot 0{,}006}{0{,}0035} = 385{,}6&lt;/math&gt;. Sie wird im Folgenden auf 386 gerundet.
# Die '''Einlauflänge''', die eine anfangs gleichförmige Strömung bis zum voll entwickelten Parabelprofil bräuchte, beträgt nach der gebräuchlichen Abschätzung für laminare Rohrströmungen &lt;math&gt;L_e \approx 0{,}06\, Re_0\, D_0 \approx 0{,}06 \cdot 386 \cdot 6\ \mathrm{mm} \approx 139\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt;.&lt;ref name=&quot;durst&quot;&gt;Durst, F.; Ray, S.; Ünsal, B.; Bayoumi, O. A.: ''The development lengths of laminar pipe and channel flows.'' Journal of Fluids Engineering 127 (2005), Nr. 6, S. 1154-1160. Für große Reynoldszahlen nähert sich die dort angegebene Korrelation dem Wert 0,057·Re·D.&lt;/ref&gt; Das ist fast die gesamte Länge des Rechengebiets. Ein konstantes Einlassprofil würde die Strömung an der Stenose also verfälschen, weshalb am Einlass das voll entwickelte Profil vorgegeben wird.

Damit liegen alle globalen Parameter fest. Die folgende Tabelle enthält sie mit genau den Namen, unter denen sie in COMSOL und in den Octave-Skripten verwendet werden.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Globale Parameter des Modells
! Name !! Ausdruck in COMSOL !! Wert !! Bedeutung !! Herkunft
|-
| R0 || 3[mm] || 3 mm || Gefäßradius || Messwerte nach Krejza u. a. 2006, gerundet
|-
| D0 || 2*R0 || 6 mm || Gefäßdurchmesser || abgeleitet
|-
| Ls || 2*D0 || 12 mm || Länge der Störstelle || Standardgeometrie nach Varghese u. a. 2007
|-
| Lu || 5*D0 || 30 mm || Vorlaufstrecke vor der Stenosemitte || Abstand der Einlassbedingung von der Stenose
|-
| Ld || 20*D0 || 120 mm || Nachlaufstrecke hinter der Stenosemitte || Platz für das Rückströmgebiet
|-
| Lf || Ls/2+10*D0 || 66 mm || Ende des fein vernetzten Nachlaufs || erwartete Länge des Rückströmgebiets
|-
| s || 0 bis 0.8 || 0 bis 0,8 || Stenosegrad bezogen auf den Durchmesser || NASCET-Einteilung
|-
| rho_b || 1060[kg/m^3] || 1060 kg/m³ || Dichte des Blutes || Mischungsregel, Literaturwert
|-
| mu_b || 3.5[mPa*s] || 3,5 mPa·s || dynamische Viskosität des Blutes || Hochscherwert, Quarteroni und Formaggia 2004
|-
| Q0 || 6[ml/s] || 6 ml/s || mittlerer Volumenstrom || Messwerte nach Holdsworth u. a. 1999
|-
| U0 || Q0/(pi*R0^2) || 0,2122 m/s || mittlere Einströmgeschwindigkeit || abgeleitet
|-
| Re0 || rho_b*U0*D0/mu_b || 385,6 || Reynoldszahl des gesunden Gefäßes || abgeleitet
|-
| dp_ref || 8*mu_b*U0*(Lu+Ld)/R0^2 || 99,03 Pa || Poiseuille-Druckabfall des gesunden Gefäßes || abgeleitet, Hagen-Poiseuille
|}


AB HIER ALT== Modellhierarchie ==

Für die Untersuchung werden vier Modellvarianten betrachtet, die sich hinsichtlich ihrer mathematischen Beschreibung, ihrer räumlichen Dimension und ihres Rechenaufwands unterscheiden. Die Modelle sind bewusst von einer vereinfachten analytischen Beschreibung bis zu einer dreidimensionalen numerischen Simulation angeordnet.

Diese Vorgehensweise ermöglicht es, die Ergebnisse der komplexeren Modelle anhand grundlegender physikalischer Zusammenhänge und geeigneter Referenzfälle zu überprüfen. Dabei ist zu beachten, dass nicht jede Modellvariante dieselben Strömungseigenschaften vollständig abbilden kann.

{| class=&quot;wikitable&quot; style=&quot;width:100%;&quot;
|+ '''Die vier Modellvarianten des Projekts'''
|-
! Modell
! Raumdimension
! Mathematische Grundlage
! Zweck
! Werkzeug
|-
| '''Graphenmodell'''
| 1D, Beschreibung entlang der Gefäßachse
| Hagen-Poiseuille-Gesetz für vereinfachte Rohrabschnitte und Massenerhaltung an Verzweigungsknoten
| Analytische Abschätzung von Volumenströmen und Druckverlusten; Referenz für die numerischen Modelle
| COMSOL mit geeigneter eindimensionaler Formulierung
|-
| '''Achsensymmetrisches Flächenmodell'''
| 2D, rotationssymmetrischer Längsschnitt in den Koordinaten &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;z&lt;/math&gt;
| Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen in achsensymmetrischer Form
| Detaillierte Untersuchung von Geschwindigkeits- und Druckfeldern sowie der Wandschubspannung in einem idealisierten rotationssymmetrischen Gefäß
| COMSOL Multiphysics, Laminar Flow
|-
| '''Ebenes Flächenmodell'''
| 2D, ebene Geometrie in den Koordinaten &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;y&lt;/math&gt;
| Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen in kartesischen Koordinaten
| Untersuchung der Strömung in einer vereinfachten ebenen Geometrie und Vergleich mit dem achsensymmetrischen Modell
| COMSOL Multiphysics, Laminar Flow
|-
| '''Volumenmodell'''
| 3D, räumliche Gefäßgeometrie
| Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen in drei Raumdimensionen
| Räumliche Darstellung der Strömung und Überprüfung der Ergebnisse des achsensymmetrischen Modells bei vergleichbarer Geometrie
| COMSOL Multiphysics, Laminar Flow
|}

== Stoff- und Strömungsparameter ==

Die Stoffwerte des Blutes und der Volumenstrom sind die einzigen Eingangsgrößen, die nicht aus der Geometrie folgen. Aus ihnen werden alle weiteren Strömungskennwerte berechnet. Die folgenden Schritte zeigen jede Rechnung einzeln, damit sich jeder Wert nachprüfen lässt.

# Die '''Dichte''' wird mit &lt;math&gt;\rho = 1060\ \mathrm{kg/m^3}&lt;/math&gt; angesetzt. Der Wert lässt sich als Mischungsregel plausibel machen. Plasma hat eine Dichte von etwa 1025 kg/m³, rote Blutkörperchen von etwa 1100 kg/m³. Bei einem Zellanteil von 45 % ergibt sich &lt;math&gt;0{,}55 \cdot 1025 + 0{,}45 \cdot 1100 \approx 1059\ \mathrm{kg/m^3}&lt;/math&gt;. Die Dichte geht nur über die Reynoldszahl in die Rechnung ein, eine Abweichung von einem Prozent ändert die Ergebnisse daher kaum. &lt;!-- FIXME Lehrbuchquelle fuer Plasma- und Erythrozytendichte ergaenzen --&gt;
# Die '''dynamische Viskosität''' wird mit &lt;math&gt;\mu = 3{,}5\ \mathrm{mPa\,s}&lt;/math&gt; angesetzt. Das ist der Grenzwert der Blutviskosität bei hohen Scherraten, also genau der Wert, der zur Newtonschen Näherung gehört. Derselbe Wert von 0,035 Poise wird auch im Standardwerk zur Modellierung des Herz-Kreislauf-Systems verwendet.&lt;ref name=&quot;quarteroni&quot;&gt;Quarteroni, A.; Formaggia, L.: ''Mathematical Modelling and Numerical Simulation of the Cardiovascular System.'' In: Ayache, N. (Hrsg.): ''Computational Models for the Human Body.'' Handbook of Numerical Analysis, Bd. XII, Elsevier, Amsterdam 2004, S. 3-127. DOI 10.1016/S1570-8659(03)12001-7. Zur Newtonschen Näherung in großen Gefäßen siehe S. 30, zur Viskosität von 0,035 Poise die Parametertabelle auf S. 116.&lt;/ref&gt;
# Der '''mittlere Volumenstrom''' wird mit &lt;math&gt;Q_0 = 6\ \mathrm{ml/s}&lt;/math&gt; angesetzt. Das ist der zeitlich gemittelte Volumenstrom, der in der gemeinsamen Halsschlagader gesunder Probanden gemessen wurde.&lt;ref name=&quot;holdsworth&quot; /&gt;
# Die '''mittlere Geschwindigkeit''' folgt aus Volumenstrom und Querschnittsfläche, &lt;math&gt;U_0 = \frac{Q_0}{\pi R_0^2} = \frac{6 \cdot 10^{-6}\ \mathrm{m^3/s}}{\pi \cdot (0{,}003\ \mathrm{m})^2} = 0{,}2122\ \mathrm{m/s}&lt;/math&gt;.
# Die '''Reynoldszahl''' des gesunden Gefäßes ist &lt;math&gt;Re_0 = \frac{\rho\, U_0\, D_0}{\mu} = \frac{1060 \cdot 0{,}2122 \cdot 0{,}006}{0{,}0035} = 385{,}6&lt;/math&gt;. Sie wird im Folgenden auf 386 gerundet.
# Die '''Einlauflänge''', die eine anfangs gleichförmige Strömung bis zum voll entwickelten Parabelprofil bräuchte, beträgt nach der gebräuchlichen Abschätzung für laminare Rohrströmungen &lt;math&gt;L_e \approx 0{,}06\, Re_0\, D_0 \approx 0{,}06 \cdot 386 \cdot 6\ \mathrm{mm} \approx 139\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt;.&lt;ref name=&quot;durst&quot;&gt;Durst, F.; Ray, S.; Ünsal, B.; Bayoumi, O. A.: ''The development lengths of laminar pipe and channel flows.'' Journal of Fluids Engineering 127 (2005), Nr. 6, S. 1154-1160. Für große Reynoldszahlen nähert sich die dort angegebene Korrelation dem Wert 0,057·Re·D.&lt;/ref&gt; Das ist fast die gesamte Länge des Rechengebiets. Ein konstantes Einlassprofil würde die Strömung an der Stenose also verfälschen, weshalb am Einlass das voll entwickelte Profil vorgegeben wird.

Damit liegen alle globalen Parameter fest. Die folgende Tabelle enthält sie mit genau den Namen, unter denen sie in COMSOL und in den Octave-Skripten verwendet werden.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Globale Parameter des Modells
! Name !! Ausdruck in COMSOL !! Wert !! Bedeutung !! Herkunft
|-
| R0 || 3[mm] || 3 mm || Gefäßradius || Messwerte nach Krejza u. a. 2006, gerundet
|-
| D0 || 2*R0 || 6 mm || Gefäßdurchmesser || abgeleitet
|-
| Ls || 2*D0 || 12 mm || Länge der Störstelle || Standardgeometrie nach Varghese u. a. 2007
|-
| Lu || 5*D0 || 30 mm || Vorlaufstrecke vor der Stenosemitte || Abstand der Einlassbedingung von der Stenose
|-
| Ld || 20*D0 || 120 mm || Nachlaufstrecke hinter der Stenosemitte || Platz für das Rückströmgebiet
|-
| Lf || Ls/2+10*D0 || 66 mm || Ende des fein vernetzten Nachlaufs || erwartete Länge des Rückströmgebiets
|-
| s || 0 bis 0.8 || 0 bis 0,8 || Stenosegrad bezogen auf den Durchmesser || NASCET-Einteilung
|-
| rho_b || 1060[kg/m^3] || 1060 kg/m³ || Dichte des Blutes || Mischungsregel, Literaturwert
|-
| mu_b || 3.5[mPa*s] || 3,5 mPa·s || dynamische Viskosität des Blutes || Hochscherwert, Quarteroni und Formaggia 2004
|-
| Q0 || 6[ml/s] || 6 ml/s || mittlerer Volumenstrom || Messwerte nach Holdsworth u. a. 1999
|-
| U0 || Q0/(pi*R0^2) || 0,2122 m/s || mittlere Einströmgeschwindigkeit || abgeleitet
|-
| Re0 || rho_b*U0*D0/mu_b || 385,6 || Reynoldszahl des gesunden Gefäßes || abgeleitet
|-
| dp_ref || 8*mu_b*U0*(Lu+Ld)/R0^2 || 99,03 Pa || Poiseuille-Druckabfall des gesunden Gefäßes || abgeleitet, Hagen-Poiseuille
|}

=== Vergleich und Überprüfung der Modellvarianten ===

Die Modellhierarchie folgt dem Prinzip, dass zunächst vereinfachte Zusammenhänge untersucht und anschließend mit detaillierteren numerischen Modellen verglichen werden.

Das '''Graphenmodell''' bildet die einfachste Modellvariante. Es verwendet das Hagen-Poiseuille-Gesetz zur Abschätzung des Druckverlustes in geraden Rohrabschnitten mit konstantem Durchmesser. Für den unverengten Referenzfall kann damit eine analytische Vergleichsgröße bestimmt werden. Im Bereich einer Stenose ist die Anwendung jedoch nur als vereinfachte Näherung geeignet, da dort zusätzliche Strömungseffekte auftreten können.

Das '''achsensymmetrische Flächenmodell''' ermöglicht eine detailliertere Untersuchung des Geschwindigkeits- und Druckfeldes innerhalb einer idealisierten rotationssymmetrischen Gefäßverengung. Im unverengten Referenzfall können die numerischen Ergebnisse mit der analytischen Poiseuille-Lösung verglichen werden. Bei zunehmendem Stenosegrad werden insbesondere die Beschleunigung im Bereich der Engstelle, der Druckverlust und die Wandschubspannung betrachtet.

Das '''ebene Flächenmodell''' beschreibt die Strömung in einer zweidimensionalen kartesischen Geometrie. Im Unterschied zum achsensymmetrischen Modell wird dabei keine Rotationssymmetrie vorausgesetzt. Da sich die geometrische Beschreibung des Strömungsquerschnitts unterscheidet, sind die Ergebnisse nicht ohne Weiteres quantitativ gleichzusetzen. Der Vergleich dient insbesondere dazu, den Einfluss der Modellvereinfachung auf die berechneten Strömungsgrößen zu untersuchen.

Das '''Volumenmodell''' erweitert die Untersuchung auf drei Raumdimensionen. Bei einer rotationssymmetrischen Geometrie und entsprechend übereinstimmenden Randbedingungen wird eine weitgehende Übereinstimmung mit dem achsensymmetrischen Modell erwartet. Diese Übereinstimmung muss jedoch anhand der numerischen Ergebnisse überprüft werden. Bei einer Gefäßaufzweigung oder einer asymmetrischen Stenose können zusätzliche räumliche Strömungseffekte auftreten, die durch ein achsensymmetrisches Modell nicht vollständig beschrieben werden.

=== Referenzfall und Vergleichsgrößen ===

Als Ausgangspunkt dient ein unverengtes Gefäß mit dem Referenzdurchmesser &lt;math&gt;D_0=6\,\mathrm{mm}&lt;/math&gt;. Für das Blut werden eine Dichte von &lt;math&gt;\rho_b=1060\,\mathrm{kg/m^3}&lt;/math&gt; und eine dynamische Viskosität von &lt;math&gt;\mu_b=3{,}5\,\mathrm{mPa\,s}&lt;/math&gt; angenommen.

Der vorgegebene mittlere Volumenstrom beträgt &lt;math&gt;Q_0=6\,\mathrm{ml/s}&lt;/math&gt;. Daraus ergibt sich für den unverengten kreisförmigen Querschnitt eine mittlere Strömungsgeschwindigkeit von ungefähr &lt;math&gt;U_0=0{,}2122\,\mathrm{m/s}&lt;/math&gt;.

Die Referenz-Reynolds-Zahl beträgt &lt;math&gt;\mathrm{Re}_0=385{,}6&lt;/math&gt;. Für den in den Referenzdaten definierten Vergleichsfall ist außerdem ein analytischer Druckverlust von &lt;math&gt;\Delta p_{\mathrm{ref}}=99{,}03\,\mathrm{Pa}&lt;/math&gt; angegeben.

Diese Größen dienen als Ausgangspunkt für die Überprüfung der numerischen Modelle. Ein direkter Vergleich ist jedoch nur zulässig, wenn die jeweils verwendete Geometrie, die Auswertelänge und die Randbedingungen übereinstimmen.

=== Grenzen der Modellhierarchie ===

Die vier Modellvarianten unterscheiden sich nicht nur im Rechenaufwand, sondern auch in den physikalischen Effekten, die sie darstellen können.

Insbesondere bei hochgradigen Stenosen können starke lokale Geschwindigkeitsänderungen, Strömungsablösungen und zeitabhängige Strömungsstrukturen auftreten. Deshalb muss überprüft werden, ob die Annahme einer stationären laminaren Strömung für die betrachteten Fälle ausreichend ist.

Außerdem muss zwischen dem idealisierten geraden Gefäßmodell und einer Gefäßaufzweigung unterschieden werden. Das achsensymmetrische Modell eignet sich für eine rotationssymmetrische Stenose in einem geraden Gefäß, während eine realistische Gefäßaufzweigung eine andere geometrische Beschreibung erfordert.

Die Modellvarianten werden daher nicht als vollständig gleichwertig betrachtet. Vielmehr soll der Vergleich zeigen, welche Aussagen bereits durch vereinfachte Modelle möglich sind und für welche Strömungseigenschaften eine detailliertere numerische Beschreibung erforderlich ist.

= Modellierung =

Modellierung bedeutet hier, die reale Situation in eine mathematische Aufgabe zu übersetzen, die sich lösen lässt. Dazu gehören vier Bausteine, nämlich das Rechengebiet, die Gleichungen, die Zahlenwerte der Parameter und die Bedingungen an den Rändern. Jeder dieser Bausteine beruht auf Annahmen, und jede Annahme muss begründet werden. Dieser Abschnitt geht die Bausteine deshalb der Reihe nach durch und nennt bei jedem Zahlenwert, woher er stammt und warum er sinnvoll ist.

== Modellhierarchie ==

Das Projekt rechnet nicht ein einziges Modell, sondern vier aufeinander aufbauende Modellvarianten. Sie entsprechen der Kursanforderung, eine Strömung als Graph, in zwei und in drei Raumdimensionen darzustellen, und sie sind bewusst von einfach nach aufwendig geordnet.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Die vier Modellvarianten des Projekts
! Modell !! Raumdimension !! gelöste Gleichung !! Zweck !! Werkzeug
|-
| Graphenmodell || 1D, Gefäßachse || Hagen-Poiseuille je Rohrstück und Massenerhaltung in jedem Knoten || schnelle, analytisch nachrechenbare Abschätzung für jeden Stenosegrad || Octave und COMSOL (Koeffizientenform-PDGL)
|-
| achsensymmetrisches Flächenmodell || 2D, Halbschnitt in r und z || vollständige stationäre Navier-Stokes-Gleichungen in Zylinderkoordinaten || Hauptmodell, liefert alle Feldgrößen des rotationssymmetrischen Rohres || COMSOL, Laminare Strömung
|-
| ebenes Flächenmodell || 2D, Halbschnitt in x und y || vollständige stationäre Navier-Stokes-Gleichungen in kartesischen Koordinaten || Vergleich, zeigt den Einfluss der zweiten Querschnittsrichtung || COMSOL, Laminare Strömung
|-
| Volumenmodell || 3D || vollständige stationäre Navier-Stokes-Gleichungen || Kontrolle des Hauptmodells und räumliche Darstellung || COMSOL, Laminare Strömung
|}

Die Reihenfolge folgt einem einfachen Prinzip. Jede Stufe liefert die Sollwerte, an denen die nächste, komplexere Stufe geprüft wird. Das Graphenmodell muss im gesunden Fall exakt die Poiseuille-Lösung ergeben. Das achsensymmetrische Modell muss im gesunden Fall dieselben Werte liefern und bei Stenose für Geschwindigkeit und Wandschubspannung in der Nähe des Graphenmodells liegen. Das Volumenmodell muss, weil die Geometrie rotationssymmetrisch ist, mit dem achsensymmetrischen Modell übereinstimmen.

== Modellannahmen ==

Um den Einfluss des Stenosegrades möglichst isoliert zu untersuchen, werden die folgenden Modellannahmen getroffen. Die Tabelle nennt zu jeder Annahme ihre mathematische Form, die Begründung und die Stelle, an der sie im Projekt überprüft wird.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Modellannahmen, ihre Begründung und ihre Überprüfung
! Annahme !! mathematische Form !! Begründung !! Überprüfung
|-
| Idealisierte Gefäßgeometrie || gerades Rohr mit kosinusförmiger, rotationssymmetrischer Verengung || isoliert die Wirkung des Stenosegrades von Krümmung, Verzweigung und Plaqueform || Diskussion in den Schlussfolgerungen
|-
| Starre Gefäßwand || Wand ortsfest, keine Fluid-Struktur-Kopplung || im stationären Fall gibt es keine Druckschwankung, die die Wand periodisch aufweiten könnte || Abschätzung über die gemessene Durchmesseränderung im Herzzyklus
|-
| Stationäre Strömung || &lt;math&gt;\partial \mathbf{u}/\partial t = \mathbf{0}&lt;/math&gt; || der Einfluss des Stenosegrades soll ohne Überlagerung durch die Pulsation sichtbar werden || Abschätzung über die Womersley-Zahl
|-
| Inkompressibles Fluid || &lt;math&gt;\rho = \mathrm{const}&lt;/math&gt;, damit &lt;math&gt;\nabla\cdot\mathbf{u} = 0&lt;/math&gt; || Blut ist eine Flüssigkeit, Druckänderungen von wenigen hundert Pascal ändern die Dichte nicht messbar || Massenerhaltung in fünf Querschnitten
|-
| Newtonsche Näherung || konstante Viskosität &lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt; || die Scherraten an der Wand und im größten Teil des Querschnitts liegen über dem Bereich, in dem Blut deutlich scherverdünnend wirkt || Scherrate an der Wand, Diskussion des Rückströmgebiets
|-
| Konstante Stoffeigenschaften || &lt;math&gt;\rho&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt; räumlich und zeitlich konstant || Körpertemperatur ist im betrachteten Abschnitt konstant || entfällt
|-
| Laminare Strömung || kein Turbulenzmodell, Schnittstelle Laminare Strömung || Reynoldszahl des gesunden Gefäßes von 386 liegt weit unter dem Umschlagbereich || Reynoldszahl in der Engstelle, Literaturvergleich
|-
| Haftbedingung an der Wand || &lt;math&gt;\mathbf{u} = \mathbf{0}&lt;/math&gt; auf der Wand || Folge der Viskosität, das Fluid haftet an der Wand || Grundlage jeder Wandschubspannung
|-
| Vernachlässigung der Gravitation || keine Volumenkraft || bei konstanter Dichte lässt sich die Schwerkraft vollständig in einen hydrostatischen Druckanteil verschieben und beeinflusst die Geschwindigkeit nicht || Begründung in den Mathematischen Hintergründen
|-
| Voll entwickelte Einströmung || parabolisches Profil am Einlass || die natürliche Einlaufstrecke wäre mit rund 139 mm fast so lang wie das ganze Rechengebiet || Scheitelgeschwindigkeit im gesunden Fall
|-
| Eingeprägter Volumenstrom || &lt;math&gt;Q = Q_0&lt;/math&gt; am Einlass || der Strömungswiderstand des Abschnitts ist klein gegenüber dem des nachgeschalteten Gefäßbetts || Abschätzung mit einem Reihenwiderstand
|}

Einige dieser Annahmen sind unmittelbar einsichtig, andere verdienen eine genauere Begründung, weil von ihnen die Aussagekraft der Ergebnisse abhängt.

Die '''Newtonsche Näherung''' ist die Annahme, die bei Blut am häufigsten hinterfragt wird. Reales Blut ist eine Suspension aus Plasma und Blutzellen und verhält sich scherverdünnend. Bei kleinen Scherraten lagern sich die roten Blutkörperchen zu geldrollenartigen Stapeln zusammen, und die Viskosität steigt auf ein Vielfaches an. Bei großen Scherraten lösen sich diese Stapel auf, und die Viskosität strebt gegen einen Grenzwert von etwa 3,5 mPa·s. Entscheidend ist also die Scherrate. An der Wand des gesunden Modellgefäßes beträgt sie nach der Poiseuille-Lösung

&lt;math&gt;\dot\gamma_w = \frac{4\,U_0}{R_0} = \frac{4 \cdot 0{,}2122\ \mathrm{m/s}}{0{,}003\ \mathrm{m}} \approx 283\ \mathrm{s^{-1}}&lt;/math&gt;

und liegt damit oberhalb von etwa 100 pro Sekunde, wo sich Newtonsches und nicht Newtonsches Modell nach der Literatur nur noch wenig unterscheiden.&lt;ref name=&quot;boyd&quot;&gt;Die Grenze von etwa 100 s&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt; wird in vergleichenden Studien zur Blutrheologie verwendet, etwa bei Bernabeu, M. O. u. a.: ''Impact of blood rheology on wall shear stress in a model of the middle cerebral artery.'' Interface Focus 3 (2013), 20120094. &lt;!-- FIXME Zitat und Seitenangabe am Original pruefen --&gt;&lt;/ref&gt; In der Engstelle steigt die Scherrate weiter an, beim Stenosegrad 0,5 auf rund 2260 pro Sekunde. Schwach ist die Näherung dort, wo die Scherrate klein wird, also in der Mitte des Gefäßes und vor allem im Rückströmgebiet hinter der Stenose. Dort ist reales Blut zäher als angenommen. Dieser Punkt wird in den Schlussfolgerungen wieder aufgegriffen.

Die '''stationäre Strömung''' ist die stärkste Vereinfachung. Wie wichtig die Pulsation ist, misst die Womersley-Zahl, die das Verhältnis von instationärer Trägheit zu Reibung angibt. Mit einer Herzfrequenz von 60 Schlägen je Minute, also einer Kreisfrequenz &lt;math&gt;\omega = 2\pi\ \mathrm{s^{-1}}&lt;/math&gt;, ergibt sich

&lt;math&gt;\alpha = R_0 \sqrt{\frac{\omega \rho}{\mu}} = 0{,}003\ \mathrm{m} \cdot \sqrt{\frac{2\pi\ \mathrm{s^{-1}} \cdot 1060\ \mathrm{kg/m^3}}{0{,}0035\ \mathrm{Pa\,s}}} \approx 4{,}1 .&lt;/math&gt;

Ein Wert in dieser Größenordnung bedeutet, dass das reale Geschwindigkeitsprofil im Herzzyklus merklich von der Parabel abweicht.&lt;ref name=&quot;womersley&quot;&gt;Womersley, J. R.: ''Method for the calculation of velocity, rate of flow and viscous drag in arteries when the pressure gradient is known.'' Journal of Physiology 127 (1955), S. 553-563.&lt;/ref&gt; Hinzu kommt, dass der Volumenstrom in der Systole kurzzeitig auf rund das Vierfache des Mittelwerts steigt.&lt;ref name=&quot;holdsworth&quot;&gt;Holdsworth, D. W.; Norley, C. J. D.; Frayne, R.; Steinman, D. A.; Rutt, B. K.: ''Characterization of common carotid artery blood-flow waveforms in normal human subjects.'' Physiological Measurement 20 (1999), Nr. 3, S. 219-240. DOI 10.1088/0967-3334/20/3/301. Angegeben werden ein mittlerer Volumenstrom von 6,0 ± 1,4 ml/s und ein systolischer Spitzenwert von 23,5 ± 3,8 ml/s. &lt;!-- FIXME Zahlenwerte und Probandenzahl am Original pruefen --&gt;&lt;/ref&gt; Die stationäre Rechnung mit dem Mittelwert beschreibt deshalb nicht den zeitlichen Verlauf, wohl aber den zeitlich gemittelten Zustand, an dem sich der Einfluss des Stenosegrades sauber vergleichen lässt.

Die '''laminare Strömung''' wird über die Reynoldszahl begründet. Sie beträgt im gesunden Gefäß 386 und liegt damit weit unter dem Wert von etwa 2300, ab dem die Strömung in einem geraden Rohr in den Übergangsbereich gelangen kann. In der Engstelle steigt sie bei festem Volumenstrom auf &lt;math&gt;Re_0/(1-s)&lt;/math&gt;, also auf 551 beim Stenosegrad 0,3, auf 964 beim Grad 0,6 und auf 1928 beim Grad 0,8. Für den Strahl hinter einer Engstelle ist der Umschlagbereich allerdings deutlich niedriger als im geraden Rohr. Direkte numerische Simulationen an genau der in diesem Projekt verwendeten Stenosegeometrie zeigen, dass die Strömung bei einer Einström-Reynoldszahl von 500 auch bei leichter Unsymmetrie laminar bleibt, bei 1000 dagegen schon eine Exzentrizität von fünf Prozent des Durchmessers genügt, um den Strahl in lokal turbulente Strömung umschlagen zu lassen.&lt;ref name=&quot;varghese&quot;&gt;Varghese, S. S.; Frankel, S. H.; Fischer, P. F.: ''Direct numerical simulation of stenotic flows. Part 1. Steady flow.'' Journal of Fluid Mechanics 582 (2007), S. 253-280. Untersucht wird eine kosinusförmige Stenose der Länge 2D mit 75 % Flächenreduktion, die mit der Geometrie dieses Projekts beim Stenosegrad 0,5 übereinstimmt. &lt;!-- FIXME Band und Seiten am Original pruefen --&gt;&lt;/ref&gt; Mit einer Einström-Reynoldszahl von 386 liegt das Projekt für die leicht- und mittelgradigen Stenosen sicher im laminaren Bereich. Für die hochgradigen Stenosen ab 0,7 ist ein laminares, stationäres Modell dagegen nur noch eine Näherung, die eine Obergrenze der geordneten Strömung beschreibt. Diese Fälle werden deshalb als Grenzfall des Modells gekennzeichnet.

Die '''starre Wand''' lässt sich über Messungen abschätzen. Der Durchmesser der gemeinsamen Halsschlagader ändert sich im Herzzyklus bei jungen Menschen um etwa 12 bis 14 Prozent und bei älteren Menschen um etwa 5 Prozent.&lt;ref name=&quot;hansen&quot;&gt;Hansen, F.; Mangell, P.; Sonesson, B.; Länne, T.: ''Diameter and compliance in the human common carotid artery: variations with age and sex.'' Ultrasound in Medicine and Biology 21 (1995), Nr. 1, S. 1-9. DOI 10.1016/0301-5629(94)00090-5.&lt;/ref&gt; Diese Bewegung ist eine Folge der Pulsation. In einer stationären Rechnung gibt es keine Druckschwankung, die die Wand periodisch aufweiten könnte, sodass die starre Wand zur stationären Annahme konsistent ist. Eine verkalkte Plaque ist ohnehin deutlich steifer als die gesunde Wand.

Die Annahme des '''eingeprägten Volumenstroms''' wird im Abschnitt zu den Randbedingungen begründet, weil sie sich nur im Zusammenhang mit dem Kreislauf beurteilen lässt.

== Simulationsgebiet und Geometrie ==

Die Gefäßachse ist die z-Achse, der Ursprung liegt in der Mitte der Stenose, und &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; bezeichnet den Abstand von der Achse. Das Rechengebiet reicht von &lt;math&gt;z = -L_u&lt;/math&gt; bis &lt;math&gt;z = L_d&lt;/math&gt; und wird radial von der Wandkontur &lt;math&gt;R(z)&lt;/math&gt; begrenzt. Die Verengung wird über eine einzige glatte Funktion beschrieben,

&lt;math&gt;R(z) = R_0 \left[ 1 - \frac{s}{2}\left(1 + \cos\frac{2\pi z}{L_s}\right)\right] \quad \text{falls } |z| \le \frac{L_s}{2}, \qquad R(z) = R_0 \ \text{sonst.}&lt;/math&gt;

Die Funktion hat drei Eigenschaften, die ihre Wahl begründen. Sie wird erstens über einen einzigen Parameter gesteuert, den Stenosegrad &lt;math&gt;s&lt;/math&gt;. Der engste Radius in der Mitte beträgt &lt;math&gt;R(0) = R_0(1-s)&lt;/math&gt;, und der Fall ohne Verengung ist einfach der Fall &lt;math&gt;s = 0&lt;/math&gt;. Die gesamte Vergleichsreihe entsteht damit aus einem einzigen parametrischen Sweep. Sie geht zweitens an beiden Enden der Störstelle ohne Knick in das gerade Rohr über. Bei &lt;math&gt;z = \pm L_s/2&lt;/math&gt; ist der Kosinus gleich minus eins, die Klammer also null, und seine Ableitung verschwindet dort ebenfalls. Das ist nicht nur ästhetisch, sondern numerisch notwendig, denn ein Knick in der Wand erzeugt eine Singularität der Wandschubspannung, deren berechneter Wert mit jeder Netzverfeinerung weiter wüchse. Eine Netzstudie wäre dann sinnlos. Sie ist drittens die in der Literatur gebräuchliche Standardgeometrie für Stenosen, sodass sich die Ergebnisse unmittelbar mit veröffentlichten Rechnungen vergleichen lassen.&lt;ref name=&quot;varghese&quot; /&gt;

[[Datei:Stenose Gruppe5 Wandkontur.svg|mini|zentriert|800px|Wandkontur &lt;math&gt;R(z)&lt;/math&gt; für die untersuchten Stenosegrade. Die Darstellung ist in radialer Richtung gestreckt, das Rechengebiet ist in Wirklichkeit fünfundzwanzigmal länger als breit.]]
&lt;!-- FIXME Abbildung mit abbildungen_graph_1d.m fuer s = 0 bis 0,8 neu erzeugen, bisher nur bis 0,5 --&gt;

Die Abmessungen des Rechengebiets werden alle aus dem Gefäßradius abgeleitet. Das hat den Vorteil, dass sich das gesamte Modell durch Ändern eines einzigen Wertes auf ein anderes Gefäß übertragen lässt. Die einzelnen Längen werden im Folgenden Schritt für Schritt begründet.

# Der '''Gefäßradius''' &lt;math&gt;R_0 = 3\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; folgt aus Ultraschallmessungen an gesunden Erwachsenen. Dort wurden für die gemeinsame Halsschlagader mittlere Durchmesser von 6,10 ± 0,80 mm bei Frauen und 6,52 ± 0,98 mm bei Männern gemessen.&lt;ref name=&quot;krejza&quot;&gt;Krejza, J.; Arkuszewski, M.; Kasner, S. E.; Weigele, J.; Ustymowicz, A.; Hurst, R. W.; Cucchiara, B. L.; Messe, S. R.: ''Carotid artery diameter in men and women and the relation to body and neck size.'' Stroke 37 (2006), Nr. 4, S. 1103-1105. DOI 10.1161/01.STR.0000206440.48756.f7.&lt;/ref&gt; Der gewählte Durchmesser von &lt;math&gt;D_0 = 6\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; liegt damit innerhalb einer Standardabweichung beider Gruppen und ist bewusst auf einen runden Wert gesetzt, damit alle abgeleiteten Längen glatte Zahlen ergeben.
# Die '''Länge der Störstelle''' &lt;math&gt;L_s = 2 D_0 = 12\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; entspricht der Standardgeometrie aus der Literatur, die eine Stenosenlänge von zwei Durchmessern verwendet.&lt;ref name=&quot;varghese&quot; /&gt; Damit ist beim Stenosegrad 0,5 ein direkter Vergleich mit veröffentlichten Ergebnissen möglich.
# Die '''Vorlaufstrecke''' &lt;math&gt;L_u = 5 D_0 = 30\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; trennt den Einlass von der Stenose. Da am Einlass bereits das voll entwickelte Profil vorgegeben wird, muss sie nicht die Einlaufstrecke abdecken, sondern nur verhindern, dass die Einströmrandbedingung die Strömung an der Engstelle beeinflusst. Bei Reynoldszahlen in dieser Größenordnung reicht der Einfluss einer Verengung nur wenige Durchmesser stromaufwärts, die Literatur kommt für dieselbe Geometrie mit drei Durchmessern Vorlauf aus.&lt;ref name=&quot;varghese&quot; /&gt; Fünf Durchmesser lassen also eine Reserve. Überprüft wird das im Ergebnis, indem die Geschwindigkeit auf der Achse in der Mitte der Vorlaufstrecke mit dem Sollwert &lt;math&gt;2U_0&lt;/math&gt; verglichen wird.
# Die '''Nachlaufstrecke''' &lt;math&gt;L_d = 20 D_0 = 120\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; ist deutlich länger, weil sich hinter der Engstelle ein Rückströmgebiet bildet, das nicht auf den Auslass treffen darf. Für die Geometrie mit dem Stenosegrad 0,5 legt die Strömung bei einer Einström-Reynoldszahl von 500 erst etwa zehn Durchmesser hinter der Engstelle wieder an, die Literatur rechnet mit sechzehn Durchmessern Nachlauf.&lt;ref name=&quot;varghese&quot; /&gt; Zwanzig Durchmesser bieten damit für alle Stenosegrade bis 0,5 einen Sicherheitsabstand. Für die Grade ab 0,6 ist ein längeres Rückströmgebiet zu erwarten, dort wird die Lage des Wiederanlegepunktes ausdrücklich kontrolliert.
# Das '''Ende des fein vernetzten Nachlaufs''' &lt;math&gt;L_f = L_s/2 + 10 D_0 = 66\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; legt fest, bis wohin das Netz verfeinert wird. Der Wert ist so gewählt, dass das erwartete Rückströmgebiet von etwa zehn Durchmessern vollständig im feinen Bereich liegt.

Damit hat das Rechengebiet eine Gesamtlänge von &lt;math&gt;L = L_u + L_d = 150\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt;, also das Fünfundzwanzigfache des Durchmessers. Es ist ein Modellgebiet und kein maßstäbliches Abbild eines bestimmten anatomischen Abschnitts.

== Stoff- und Strömungsparameter ==

Die Stoffwerte des Blutes und der Volumenstrom sind die einzigen Eingangsgrößen, die nicht aus der Geometrie folgen. Aus ihnen werden alle weiteren Strömungskennwerte berechnet. Die folgenden Schritte zeigen jede Rechnung einzeln, damit sich jeder Wert nachprüfen lässt.

# Die '''Dichte''' wird mit &lt;math&gt;\rho = 1060\ \mathrm{kg/m^3}&lt;/math&gt; angesetzt. Der Wert lässt sich als Mischungsregel plausibel machen. Plasma hat eine Dichte von etwa 1025 kg/m³, rote Blutkörperchen von etwa 1100 kg/m³. Bei einem Zellanteil von 45 % ergibt sich &lt;math&gt;0{,}55 \cdot 1025 + 0{,}45 \cdot 1100 \approx 1059\ \mathrm{kg/m^3}&lt;/math&gt;. Die Dichte geht nur über die Reynoldszahl in die Rechnung ein, eine Abweichung von einem Prozent ändert die Ergebnisse daher kaum. &lt;!-- FIXME Lehrbuchquelle fuer Plasma- und Erythrozytendichte ergaenzen --&gt;
# Die '''dynamische Viskosität''' wird mit &lt;math&gt;\mu = 3{,}5\ \mathrm{mPa\,s}&lt;/math&gt; angesetzt. Das ist der Grenzwert der Blutviskosität bei hohen Scherraten, also genau der Wert, der zur Newtonschen Näherung gehört. Derselbe Wert von 0,035 Poise wird auch im Standardwerk zur Modellierung des Herz-Kreislauf-Systems verwendet.&lt;ref name=&quot;quarteroni&quot;&gt;Quarteroni, A.; Formaggia, L.: ''Mathematical Modelling and Numerical Simulation of the Cardiovascular System.'' In: Ayache, N. (Hrsg.): ''Computational Models for the Human Body.'' Handbook of Numerical Analysis, Bd. XII, Elsevier, Amsterdam 2004, S. 3-127. DOI 10.1016/S1570-8659(03)12001-7. Zur Newtonschen Näherung in großen Gefäßen siehe S. 30, zur Viskosität von 0,035 Poise die Parametertabelle auf S. 116.&lt;/ref&gt;
# Der '''mittlere Volumenstrom''' wird mit &lt;math&gt;Q_0 = 6\ \mathrm{ml/s}&lt;/math&gt; angesetzt. Das ist der zeitlich gemittelte Volumenstrom, der in der gemeinsamen Halsschlagader gesunder Probanden gemessen wurde.&lt;ref name=&quot;holdsworth&quot; /&gt;
# Die '''mittlere Geschwindigkeit''' folgt aus Volumenstrom und Querschnittsfläche, &lt;math&gt;U_0 = \frac{Q_0}{\pi R_0^2} = \frac{6 \cdot 10^{-6}\ \mathrm{m^3/s}}{\pi \cdot (0{,}003\ \mathrm{m})^2} = 0{,}2122\ \mathrm{m/s}&lt;/math&gt;.
# Die '''Reynoldszahl''' des gesunden Gefäßes ist &lt;math&gt;Re_0 = \frac{\rho\, U_0\, D_0}{\mu} = \frac{1060 \cdot 0{,}2122 \cdot 0{,}006}{0{,}0035} = 385{,}6&lt;/math&gt;. Sie wird im Folgenden auf 386 gerundet.
# Die '''Einlauflänge''', die eine anfangs gleichförmige Strömung bis zum voll entwickelten Parabelprofil bräuchte, beträgt nach der gebräuchlichen Abschätzung für laminare Rohrströmungen &lt;math&gt;L_e \approx 0{,}06\, Re_0\, D_0 \approx 0{,}06 \cdot 386 \cdot 6\ \mathrm{mm} \approx 139\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt;.&lt;ref name=&quot;durst&quot;&gt;Durst, F.; Ray, S.; Ünsal, B.; Bayoumi, O. A.: ''The development lengths of laminar pipe and channel flows.'' Journal of Fluids Engineering 127 (2005), Nr. 6, S. 1154-1160. Für große Reynoldszahlen nähert sich die dort angegebene Korrelation dem Wert 0,057·Re·D.&lt;/ref&gt; Das ist fast die gesamte Länge des Rechengebiets. Ein konstantes Einlassprofil würde die Strömung an der Stenose also verfälschen, weshalb am Einlass das voll entwickelte Profil vorgegeben wird.

Damit liegen alle globalen Parameter fest. Die folgende Tabelle enthält sie mit genau den Namen, unter denen sie in COMSOL und in den Octave-Skripten verwendet werden.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Globale Parameter des Modells
! Name !! Ausdruck in COMSOL !! Wert !! Bedeutung !! Herkunft
|-
| R0 || 3[mm] || 3 mm || Gefäßradius || Messwerte nach Krejza u. a. 2006, gerundet
|-
| D0 || 2*R0 || 6 mm || Gefäßdurchmesser || abgeleitet
|-
| Ls || 2*D0 || 12 mm || Länge der Störstelle || Standardgeometrie nach Varghese u. a. 2007
|-
| Lu || 5*D0 || 30 mm || Vorlaufstrecke vor der Stenosemitte || Abstand der Einlassbedingung von der Stenose
|-
| Ld || 20*D0 || 120 mm || Nachlaufstrecke hinter der Stenosemitte || Platz für das Rückströmgebiet
|-
| Lf || Ls/2+10*D0 || 66 mm || Ende des fein vernetzten Nachlaufs || erwartete Länge des Rückströmgebiets
|-
| s || 0 bis 0.8 || 0 bis 0,8 || Stenosegrad bezogen auf den Durchmesser || NASCET-Einteilung
|-
| rho_b || 1060[kg/m^3] || 1060 kg/m³ || Dichte des Blutes || Mischungsregel, Literaturwert
|-
| mu_b || 3.5[mPa*s] || 3,5 mPa·s || dynamische Viskosität des Blutes || Hochscherwert, Quarteroni und Formaggia 2004
|-
| Q0 || 6[ml/s] || 6 ml/s || mittlerer Volumenstrom || Messwerte nach Holdsworth u. a. 1999
|-
| U0 || Q0/(pi*R0^2) || 0,2122 m/s || mittlere Einströmgeschwindigkeit || abgeleitet
|-
| Re0 || rho_b*U0*D0/mu_b || 385,6 || Reynoldszahl des gesunden Gefäßes || abgeleitet
|-
| dp_ref || 8*mu_b*U0*(Lu+Ld)/R0^2 || 99,03 Pa || Poiseuille-Druckabfall des gesunden Gefäßes || abgeleitet, Hagen-Poiseuille
|}


= Literaturverzeichnis =

Alle Quellen sind an den Stellen im Text angegeben, an denen die zugehörigen Werte oder Aussagen verwendet werden. Die Liste wird aus diesen Angaben automatisch erzeugt.

&lt;references /&gt;</text>
      <sha1>cjk9sk3filo27se2wj6iur6kz2s70nu</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>1115907</id>
      <parentid>1115906</parentid>
      <timestamp>2026-10-12T17:03:25Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Heitele</username>
        <id>38553</id>
      </contributor>
      <comment>/* Thema und Fragestellung */</comment>
      <origin>1115907</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="91092" sha1="8v7uqec87lh5h7mcqlds65da35elc6e" xml:space="preserve">
== Relevanz ==

Die Untersuchung von Gefäßverengungen besitzt sowohl medizinische als auch strömungsmechanische Bedeutung. Eine Stenose verändert den verfügbaren Strömungsquerschnitt und kann dadurch die Geschwindigkeit, den Druckverlust und die Schubbeanspruchung der Gefäßwand beeinflussen.

Besonders relevant ist die Karotisaufzweigung, da die Arteria carotis interna wesentlich an der Blutversorgung des Gehirns beteiligt ist. Eine ausgeprägte Stenose kann die Durchblutung beeinträchtigen und ist mit einem erhöhten Schlaganfallrisiko verbunden.

Das Projekt verbindet theoretische Grundlagen der Strömungsmechanik mit der numerischen Modellierung einer biomedizinischen Anwendung.

=== Medizinische Relevanz ===

Karotisstenosen entstehen häufig im Zusammenhang mit Atherosklerose. Dabei können Ablagerungen in der Gefäßwand den durchströmbaren Querschnitt verringern.

Neben einer möglichen Beeinträchtigung der Durchblutung spielt das Risiko thromboembolischer Ereignisse eine wichtige Rolle. Die klinische Bedeutung symptomatischer hochgradiger Karotisstenosen wurde unter anderem durch die NASCET-Studie untersucht.&lt;ref name=&quot;NASCET&quot;&gt;North American Symptomatic Carotid Endarterectomy Trial Collaborators: Beneficial effect of carotid endarterectomy in symptomatic patients with high-grade carotid stenosis. ''New England Journal of Medicine'' 325 (1991), Nr. 7, S. 445–453.&lt;/ref&gt;

Aus strömungsmechanischer Sicht ist insbesondere die Wandschubspannung von Interesse. Sie beschreibt die tangentiale Kraft pro Fläche, die das strömende Blut auf die Gefäßwand ausübt.

Die Wandschubspannung kann im Bereich einer Engstelle aufgrund der erhöhten Geschwindigkeitsgradienten ansteigen. Stromabwärts der Stenose können dagegen Bereiche mit geringen oder wechselnden Wandschubspannungen auftreten. Ob und in welchem Ausmaß solche Bereiche entstehen, hängt von der Geometrie und den Strömungsbedingungen ab.

Messungen der Wandschubspannung in menschlichen Halsschlagadern wurden beispielsweise von Samijo und Mitarbeitern veröffentlicht.&lt;ref name=&quot;Samijo&quot;&gt;Samijo, S. K.; Willigers, J. M.; Barkhuysen, R.; Kitslaar, P. J. E. H. M.; Reneman, R. S.; Brands, P. J.; Hoeks, A. P. G.: Wall shear stress in the human common carotid artery as function of age and gender. ''Cardiovascular Research'' 39 (1998), Nr. 2, S. 515–522.&lt;/ref&gt;

Die numerische Simulation ermöglicht es, Geschwindigkeits- und Druckfelder sowie die Wandschubspannung innerhalb der idealisierten Gefäßgeometrie räumlich zu untersuchen.

=== Methodische Relevanz ===

Das Projekt überträgt die in der Fluiddynamik behandelten Grundlagen auf die Strömung in einem verzweigten Gefäßsystem.&lt;ref name=&quot;Hundertmark&quot;&gt;Hundertmark, A.: ''Fluiddynamik''. Vorlesungsunterlagen zum Modul Räumliche Modellbildung, RPTU Kaiserslautern-Landau, Sommersemester 2026.&lt;/ref&gt;

Ein wesentlicher Bestandteil ist der Vergleich unterschiedlich komplexer Modellvarianten.

Das eindimensionale Graphenmodell beschreibt die Gefäßaufzweigung anhand vereinfachter Strömungswiderstände und der Massenerhaltung.

Das zweidimensionale Flächenmodell ermöglicht die Untersuchung der Strömung innerhalb einer ebenen Y-förmigen Geometrie.

Das dreidimensionale Volumenmodell erweitert die Beschreibung auf eine räumliche Gefäßgeometrie und ermöglicht insbesondere die Untersuchung räumlicher Geschwindigkeitsverteilungen und Wandschubspannungen.

Die Modelle werden hinsichtlich ihrer Annahmen, ihrer Aussagekraft und ihrer Grenzen verglichen. Dabei dienen analytische Beziehungen, beispielsweise das Hagen-Poiseuille-Gesetz, als Referenz für geeignete vereinfachte Teilprobleme.

== Auswahl der Stenosegrade ==

Die Auswahl der untersuchten Stenosegrade orientiert sich an klinisch gebräuchlichen Kategorien der Durchmesserreduktion bei Karotisstenosen. Die NASCET-Methode beschreibt den Stenosegrad anhand des Verhältnisses zwischen dem minimalen Durchmesser in der Engstelle und einem Referenzdurchmesser des nicht verengten Gefäßabschnitts.&lt;ref name=&quot;NASCET&quot; /&gt;

Für die idealisierte Modellgeometrie wird als Referenzdurchmesser der unverengte Durchmesser der Arteria carotis interna verwendet.

Die klinischen Schweregradkategorien dienen im Projekt zur Einordnung der untersuchten Modellvarianten. Die mathematische Definition des Stenosegrades erfolgt bezogen auf den festgelegten Referenzdurchmesser der ACI.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ '''Einordnung der untersuchten Stenosegrade'''
|-
! Schweregrad
! Durchmesserreduktion
! Im Projekt vorgesehene Stenosegrade
! Hervorgehobener Vertreter
|-
| Gesundes Gefäß
| 0 %
| 0
| 0
|-
| Leichtgradige Stenose
| Unter 50 %
| 0,1 bis 0,4
| 0,3
|-
| Mittelgradige Stenose
| 50 bis 69 %
| 0,5 und 0,6
| 0,6
|-
| Hochgradige Stenose
| 70 bis 99 %
| 0,7 und 0,8
| 0,8
|-
| Okklusion
| 100 %
| Nicht vorgesehen
| Entfällt
|}

Für die Untersuchung werden insbesondere das gesunde Gefäß sowie Stenosegrade von 30 %, 60 % und 80 % betrachtet. Diese repräsentieren unterschiedliche Ausprägungen der Gefäßverengung.

Zusätzlich sind Stenosegrade von 0 bis 80 % in Schritten von zehn Prozentpunkten vorgesehen. Welche dieser Varianten für die einzelnen Modelle tatsächlich berechnet werden, wird anhand der durchgeführten COMSOL-Simulationen dokumentiert.

Ein vollständiger Gefäßverschluss wird nicht betrachtet, da bei einer vollständigen Okklusion keine durchgängige Strömung durch den betroffenen Gefäßast mehr möglich ist.

=== Definition des Stenosegrades ===

Der Stenosegrad &lt;math&gt;s&lt;/math&gt; beschreibt die relative Verringerung des Gefäßdurchmessers:

:&lt;math&gt;s=1-\frac{d_{\min}}{D_{\mathrm{ICA}}}&lt;/math&gt;

Dabei ist:

* &lt;math&gt;d_{\min}&lt;/math&gt;: minimaler Durchmesser innerhalb der Stenose,
* &lt;math&gt;D_{\mathrm{ICA}}&lt;/math&gt;: unverengter Referenzdurchmesser der Arteria carotis interna.

Für das Modell wird festgelegt:

:&lt;math&gt;D_{\mathrm{ICA}}=5\,\mathrm{mm}&lt;/math&gt;

Damit ergibt sich:

:&lt;math&gt;d_{\min}=D_{\mathrm{ICA}}(1-s)&lt;/math&gt;

Die Definition bezieht sich ausschließlich auf die Arteria carotis interna. Der Durchmesser der Arteria carotis communis wird nicht zur Berechnung des Stenosegrades verwendet.

=== Durchmesser- und Flächenreduktion ===

Bei einem kreisförmigen Gefäßquerschnitt hängt die Querschnittsfläche quadratisch vom Durchmesser ab.

Für die relative Flächenreduktion gilt daher:

:&lt;math&gt;A_{\mathrm{Reduktion}}=1-(1-s)^2&lt;/math&gt;

Eine Durchmesserreduktion von 60 % entspricht somit einer Flächenreduktion von:

:&lt;math&gt;1-(1-0{,}6)^2=0{,}84=84\,\%&lt;/math&gt;

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ '''Durchmesser- und Flächenreduktion in der Arteria carotis interna'''
|-
! Stenosegrad &lt;math&gt;s&lt;/math&gt;
! Minimaler Durchmesser
! Flächenreduktion
|-
| 0
| 5,0 mm
| 0 %
|-
| 0,1
| 4,5 mm
| 19 %
|-
| 0,2
| 4,0 mm
| 36 %
|-
| 0,3
| 3,5 mm
| 51 %
|-
| 0,4
| 3,0 mm
| 64 %
|-
| 0,5
| 2,5 mm
| 75 %
|-
| 0,6
| 2,0 mm
| 84 %
|-
| 0,7
| 1,5 mm
| 91 %
|-
| 0,8
| 1,0 mm
| 96 %
|}

'''Einschränkung:''' Die Beziehung zwischen Durchmesser- und Flächenreduktion gilt für kreisförmige Querschnitte mit einer entsprechenden gleichmäßigen Verringerung des Durchmessers. Bei einer ausschließlich ebenen zweidimensionalen Geometrie ist die dargestellte Querschnittsfläche nicht unmittelbar mit der eines dreidimensionalen kreisförmigen Gefäßes gleichzusetzen.

Mit zunehmendem Stenosegrad können starke lokale Beschleunigungen, Strömungsablösungen und zeitabhängige Strömungsstrukturen auftreten. Die Aussagekraft einer stationären laminaren Berechnung muss deshalb insbesondere für hochgradige Stenosen kritisch bewertet werden.

== Modellierung ==

Ziel der Modellierung ist es, die Blutströmung innerhalb einer Y-förmigen Karotisaufzweigung mathematisch und numerisch zu beschreiben.

Das Gefäßmodell besteht aus der Arteria carotis communis, die sich in die Arteria carotis interna und die Arteria carotis externa verzweigt. Die Stenose befindet sich ausschließlich in der Arteria carotis interna.

Durch die Verengung wird der verfügbare Strömungsquerschnitt reduziert. Dies kann zu einer lokalen Erhöhung der Strömungsgeschwindigkeit, zu zusätzlichen Druckverlusten und zu Veränderungen der Volumenstromverteilung zwischen den beiden Gefäßästen führen.

Die numerische Modellierung erfolgt mit COMSOL Multiphysics. Hierzu werden die Gefäßgeometrie, die Materialeigenschaften des Blutes, die Strömungsgleichungen und die Randbedingungen festgelegt.

Für die Untersuchung werden vereinfachende Annahmen getroffen, die eine systematische Variation des Stenosegrades ermöglichen.

=== Modellhierarchie ===

Die Untersuchung erfolgt anhand von drei Modellvarianten, die sich hinsichtlich ihrer räumlichen Dimension und der darstellbaren Strömungseigenschaften unterscheiden.

{| class=&quot;wikitable&quot; style=&quot;width:100%;&quot;
|+ '''Die drei Modellvarianten des Projekts'''
|-
! Modell
! Raumdimension
! Mathematische Grundlage
! Zweck
! Werkzeug
|-
| '''Graphenmodell'''
| 1D, Gefäßnetzwerk mit Verzweigung
| Massenerhaltung und vereinfachte Strömungswiderstände
| Abschätzung der Volumenstromverteilung und der Druckverluste in den Gefäßästen
| COMSOL Multiphysics
|-
| '''Ebenes Flächenmodell'''
| 2D, Y-förmige Gefäßgeometrie in kartesischen Koordinaten
| Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen
| Untersuchung von Geschwindigkeits- und Druckfeldern sowie möglichen Rückströmungsbereichen
| COMSOL Multiphysics, Laminar Flow
|-
| '''Volumenmodell'''
| 3D, räumliche Y-förmige Gefäßgeometrie
| Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen
| Untersuchung der räumlichen Strömung und der Wandschubspannung
| COMSOL Multiphysics, Laminar Flow
|}

=== Vergleich und Überprüfung der Modellvarianten ===

Das '''Graphenmodell''' stellt die Gefäßaufzweigung als Netzwerk miteinander verbundener Gefäßabschnitte dar. Dabei bildet die Arteria carotis communis den zuführenden Abschnitt. Die Arteria carotis interna und die Arteria carotis externa stellen die beiden abführenden Äste dar.

An der Verzweigung gilt für eine stationäre inkompressible Strömung die Massenerhaltung:

:&lt;math&gt;Q_{\mathrm{ACC}}=Q_{\mathrm{ACI}}+Q_{\mathrm{ACE}}&lt;/math&gt;

Das Graphenmodell liefert vereinfachte Abschätzungen der Volumenstromverteilung und der Druckverluste. Lokale Geschwindigkeitsfelder, Strömungsablösungen und Wandschubspannungen können damit nicht detailliert bestimmt werden.

Das '''ebene Flächenmodell''' beschreibt die Y-förmige Gefäßaufzweigung in zwei Raumdimensionen. Die Stenose wird im Ast der Arteria carotis interna berücksichtigt. Dadurch können die Geschwindigkeits- und Druckverteilung sowie mögliche Rückströmungsbereiche untersucht werden.

Das '''Volumenmodell''' erweitert die Untersuchung auf drei Raumdimensionen. Dadurch können räumliche Strömungsstrukturen und die Verteilung der Wandschubspannung auf der Gefäßwand betrachtet werden.

Die Ergebnisse der drei Modelle werden unter Berücksichtigung ihrer unterschiedlichen Annahmen verglichen. Insbesondere ist zu beachten, dass ein ebenes zweidimensionales Modell die räumliche Querschnittsgeometrie eines Gefäßes nicht vollständig beschreibt.

Die Modelle müssen deshalb nicht dieselben Zahlenwerte liefern. Vielmehr dient der Vergleich dazu, die Aussagekraft und die Grenzen der jeweiligen Modellvereinfachung zu bewerten.

=== Modellannahmen ===

Für die numerische Untersuchung werden folgende Annahmen getroffen:

* '''Idealisierte Gefäßgeometrie:''' Betrachtet wird eine Y-förmige Aufzweigung aus Arteria carotis communis, Arteria carotis interna und Arteria carotis externa. Patientenspezifische Krümmungen, weitere Verzweigungen und individuelle anatomische Besonderheiten werden nicht berücksichtigt.
* '''Starre Gefäßwände:''' Die Gefäßwände werden als unbeweglich und nicht verformbar angenommen. Eine Fluid-Struktur-Kopplung wird nicht modelliert.
* '''Stationäre Strömung:''' Die Strömungsgrößen werden als zeitlich konstant angenommen. Die Pulsation des Blutflusses durch den Herzschlag bleibt unberücksichtigt.
* '''Inkompressibles Fluid:''' Die Dichte des Blutes wird als konstant angenommen.
* '''Newtonsche Näherung:''' Blut wird durch ein Fluid mit konstanter dynamischer Viskosität beschrieben.
* '''Konstante Stoffeigenschaften:''' Dichte und Viskosität werden als räumlich und zeitlich konstant betrachtet.
* '''Laminare Strömungsmodellierung:''' Die Berechnung erfolgt ohne zusätzliches Turbulenzmodell.
* '''Haftbedingung an der Wand:''' An den starren Gefäßwänden gilt die No-Slip-Bedingung.
* '''Vernachlässigung der Gravitation:''' Volumenkräfte durch die Schwerkraft werden nicht explizit berücksichtigt.

Diese Annahmen vereinfachen die Berechnung, begrenzen jedoch die Übertragbarkeit auf die reale Blutströmung.

=== Mathematische Grundlagen ===

==== Massenerhaltung ====

Für eine inkompressible Strömung gilt:

:&lt;math&gt;\nabla\cdot\mathbf{u}=0&lt;/math&gt;

Dabei bezeichnet &lt;math&gt;\mathbf{u}&lt;/math&gt; das Geschwindigkeitsfeld.

Für die Y-förmige Gefäßaufzweigung folgt daraus die Volumenstrombilanz:

:&lt;math&gt;Q_{\mathrm{ACC}}=Q_{\mathrm{ACI}}+Q_{\mathrm{ACE}}&lt;/math&gt;

==== Impulserhaltung ====

Die stationäre Strömung eines inkompressiblen Newtonschen Fluids wird durch die Navier-Stokes-Gleichungen beschrieben:

:&lt;math&gt;\rho_b(\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u}=-\nabla p+\mu_b\nabla^2\mathbf{u}&lt;/math&gt;

Dabei bezeichnet:

* &lt;math&gt;\rho_b&lt;/math&gt; die Blutdichte,
* &lt;math&gt;\mathbf{u}&lt;/math&gt; das Geschwindigkeitsfeld,
* &lt;math&gt;p&lt;/math&gt; den Druck,
* &lt;math&gt;\mu_b&lt;/math&gt; die dynamische Viskosität.

Die Gleichung beschreibt das Gleichgewicht zwischen Trägheitskräften, Druckkräften und viskosen Kräften.

==== Hagen-Poiseuille-Gesetz ====

Für eine stationäre, voll entwickelte laminare Strömung durch ein gerades kreisförmiges Rohr mit konstantem Radius gilt:

:&lt;math&gt;\Delta p=\frac{8\mu_b LQ}{\pi R^4}&lt;/math&gt;

Der Strömungswiderstand kann damit als

:&lt;math&gt;\mathcal{R}=\frac{8\mu_b L}{\pi R^4}&lt;/math&gt;

geschrieben werden.

Daraus folgt:

:&lt;math&gt;\Delta p=\mathcal{R}Q&lt;/math&gt;

Diese Beziehung kann für die vereinfachte Beschreibung einzelner Gefäßabschnitte im Graphenmodell verwendet werden.

Bei einer realen Verzweigung oder einer ausgeprägten Stenose können zusätzliche Druckverluste auftreten. Das Hagen-Poiseuille-Gesetz allein bildet diese Effekte nicht vollständig ab.

==== Reynolds-Zahl ====

Die Reynolds-Zahl beschreibt das Verhältnis von Trägheitskräften zu viskosen Kräften:

:&lt;math&gt;\mathrm{Re}=\frac{\rho_b U D}{\mu_b}&lt;/math&gt;

Sie dient zur Einordnung des Strömungsverhaltens.

Die Reynolds-Zahl eines unverengten geraden Rohrabschnitts erlaubt jedoch keine sichere Aussage darüber, ob die Strömung hinter einer hochgradigen Stenose stationär bleibt.

==== Wandschubspannung ====

Die Wandschubspannung beschreibt die tangentiale Beanspruchung der Gefäßwand durch die Strömung.

Für ein Newtonsches Fluid ergibt sich ihre Größe aus den tangentialen viskosen Spannungen an der Wand. Bei einer einfachen parallelen Scherströmung gilt:

:&lt;math&gt;\tau_w=\mu_b\left.\frac{\partial u_t}{\partial n}\right|_{\mathrm{Wand}}&lt;/math&gt;

Dabei ist &lt;math&gt;u_t&lt;/math&gt; die tangentiale Geschwindigkeitskomponente und &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; die Richtung senkrecht zur Wand.

Bei gekrümmten oder verzweigten Gefäßgeometrien wird die Wandschubspannung aus dem vollständigen viskosen Spannungstensor bestimmt.

== Simulationsgebiet und Geometrie ==

Das Simulationsgebiet besteht aus einer idealisierten Y-förmigen Karotisaufzweigung.

Die Arteria carotis communis bildet den zuführenden Gefäßabschnitt. An der Verzweigung teilt sie sich in die Arteria carotis interna und die Arteria carotis externa.

Die Stenose befindet sich ausschließlich in der Arteria carotis interna. Die Arteria carotis externa wird ohne zusätzliche Verengung betrachtet.

Die geometrischen Abmessungen orientieren sich an den bereitgestellten Referenzdaten.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ '''Geometrische Referenzparameter'''
|-
! Gefäßabschnitt
! Durchmesser
! Länge
|-
| Arteria carotis communis
| 6 mm
| 60 mm
|-
| Arteria carotis interna
| 5 mm
| 60 mm
|-
| Arteria carotis externa
| 4 mm
| 60 mm
|-
| Stenose in der Arteria carotis interna
| Abhängig vom Stenosegrad
| 10 mm
|}

Die angegebenen Längen beziehen sich auf die jeweiligen Gefäßabschnitte. Sie dürfen nicht als Gesamtlänge eines geraden Rohres addiert werden.

=== Geometrische Beschreibung der Stenose ===

Der unverengte Referenzdurchmesser der Arteria carotis interna beträgt:

:&lt;math&gt;D_{\mathrm{ICA}}=5\,\mathrm{mm}&lt;/math&gt;

Daraus folgt der Referenzradius:

:&lt;math&gt;R_{\mathrm{ICA}}=2{,}5\,\mathrm{mm}&lt;/math&gt;

Die Länge der Stenose beträgt:

:&lt;math&gt;L_s=10\,\mathrm{mm}&lt;/math&gt;

Für eine idealisierte symmetrische Stenose kann die lokale Radiusverringerung durch eine kosinusförmige Funktion beschrieben werden:

:&lt;math&gt;R(\xi)=R_{\mathrm{ICA}}\left[1-\frac{s}{2}\left(1+\cos\left(\frac{2\pi\xi}{L_s}\right)\right)\right]&lt;/math&gt;

Diese Beziehung gilt innerhalb der Stenose für:

:&lt;math&gt;|\xi|\leq\frac{L_s}{2}&lt;/math&gt;

Außerhalb der Stenose gilt:

:&lt;math&gt;R(\xi)=R_{\mathrm{ICA}}&lt;/math&gt;

Dabei bezeichnet &lt;math&gt;\xi&lt;/math&gt; die lokale Koordinate entlang der Mittellinie der Arteria carotis interna. Der Ursprung liegt in der Mitte der Stenose.

Der minimale Radius beträgt:

:&lt;math&gt;R_{\min}=R_{\mathrm{ICA}}(1-s)&lt;/math&gt;

Diese Funktion beschreibt eine glatte symmetrische Verengung. Für die dreidimensionale Geometrie kann sie als rotationssymmetrische lokale Querschnittsverengung eines einzelnen Gefäßastes interpretiert werden.

Die gesamte Y-förmige Gefäßaufzweigung ist dagegen nicht rotationssymmetrisch.

'''Hinweis zur Umsetzung:''' Die angegebene Funktion ist eine mögliche mathematische Beschreibung der Stenose. Für die endgültige Dokumentation muss geprüft werden, ob die in COMSOL verwendete Geometrie tatsächlich durch diese Funktion erzeugt wurde. Ebenso müssen der Verzweigungswinkel, die Lage der Stenose und die Verrundung der Übergänge anhand des COMSOL-Modells angegeben werden.

=== Referenzdurchmesser und Stenosegrad ===

Für die Stenose in der Arteria carotis interna gilt:

:&lt;math&gt;s=1-\frac{d_{\min}}{D_{\mathrm{ICA}}}&lt;/math&gt;

mit:

:&lt;math&gt;D_{\mathrm{ICA}}=5\,\mathrm{mm}&lt;/math&gt;

Damit ergeben sich beispielsweise:

* Bei &lt;math&gt;s=0{,}3&lt;/math&gt;: &lt;math&gt;d_{\min}=3{,}5\,\mathrm{mm}&lt;/math&gt;
* Bei &lt;math&gt;s=0{,}6&lt;/math&gt;: &lt;math&gt;d_{\min}=2{,}0\,\mathrm{mm}&lt;/math&gt;
* Bei &lt;math&gt;s=0{,}8&lt;/math&gt;: &lt;math&gt;d_{\min}=1{,}0\,\mathrm{mm}&lt;/math&gt;

Der Referenzdurchmesser von 6 mm der Arteria carotis communis wird nicht für die Berechnung des Stenosegrades in der Arteria carotis interna verwendet.

== Stoff- und Strömungsparameter ==

Für die numerische Simulation werden die Stoffeigenschaften des Blutes als konstant angenommen.

Die verwendeten Referenzwerte orientieren sich an den bereitgestellten Projektdaten und an Literaturwerten zur Blutströmung in größeren Arterien.&lt;ref name=&quot;Quarteroni&quot;&gt;Quarteroni, A.; Formaggia, L.: Mathematical Modelling and Numerical Simulation of the Cardiovascular System. In: Ayache, N. (Hrsg.): ''Computational Models for the Human Body''. Handbook of Numerical Analysis, Bd. XII, Elsevier, 2004, S. 3–127. DOI: 10.1016/S1570-8659(03)12001-7.&lt;/ref&gt;

=== Blutdichte ===

Die Blutdichte wird angesetzt mit:

:&lt;math&gt;\rho_b=1060\,\mathrm{kg/m^3}&lt;/math&gt;

Dieser Wert wird im gesamten Rechengebiet als konstant angenommen.

=== Dynamische Viskosität ===

Für die dynamische Viskosität gilt:

:&lt;math&gt;\mu_b=3{,}5\,\mathrm{mPa\,s}&lt;/math&gt;

Dies entspricht:

:&lt;math&gt;\mu_b=0{,}0035\,\mathrm{Pa\,s}&lt;/math&gt;

Die konstante Viskosität stellt eine Newtonsche Näherung des realen Blutverhaltens dar.

=== Volumenstrom ===

Der vorgegebene Referenzvolumenstrom am Einlass der Arteria carotis communis beträgt:

:&lt;math&gt;Q_0=6\,\mathrm{ml/s}&lt;/math&gt;

Dieser Wert orientiert sich an veröffentlichten Messungen des Blutflusses in der Arteria carotis communis.&lt;ref name=&quot;Holdsworth&quot;&gt;Holdsworth, D. W.; Norley, C. J. D.; Frayne, R.; Steinman, D. A.; Rutt, B. K.: Characterization of common carotid artery blood-flow waveforms in normal human subjects. ''Physiological Measurement'' 20 (1999), Nr. 3, S. 219–240. DOI: 10.1088/0967-3334/20/3/301.&lt;/ref&gt;

Für die stationäre Berechnung wird der Volumenstrom zeitlich konstant angesetzt.

=== Mittlere Eintrittsgeschwindigkeit ===

Für den kreisförmigen Einlassquerschnitt der Arteria carotis communis mit einem Radius von 3 mm ergibt sich die mittlere Geschwindigkeit aus:

:&lt;math&gt;U_0=\frac{Q_0}{\pi R_{\mathrm{ACC}}^2}&lt;/math&gt;

Mit:

:&lt;math&gt;R_{\mathrm{ACC}}=3\,\mathrm{mm}&lt;/math&gt;

folgt:

:&lt;math&gt;U_0=\frac{6\cdot10^{-6}\,\mathrm{m^3/s}}{\pi(0{,}003\,\mathrm{m})^2}&lt;/math&gt;

Damit beträgt die mittlere Eintrittsgeschwindigkeit:

:&lt;math&gt;U_0\approx0{,}2122\,\mathrm{m/s}&lt;/math&gt;

Dieser Wert bezieht sich auf den dreidimensionalen kreisförmigen Einlassquerschnitt der Arteria carotis communis.

Für ein ebenes zweidimensionales Modell muss die Einlassrandbedingung entsprechend der zweidimensionalen Modellbeschreibung festgelegt werden. Ein dreidimensionaler Volumenstrom kann nicht ohne zusätzliche Annahme unmittelbar als zweidimensionaler Volumenstrom pro Tiefeneinheit verwendet werden.

=== Reynolds-Zahl am Einlass ===

Die Reynolds-Zahl am Einlass der Arteria carotis communis beträgt:

:&lt;math&gt;\mathrm{Re}_0=\frac{\rho_b U_0D_{\mathrm{ACC}}}{\mu_b}&lt;/math&gt;

Mit:

:&lt;math&gt;D_{\mathrm{ACC}}=6\,\mathrm{mm}&lt;/math&gt;

ergibt sich:

:&lt;math&gt;\mathrm{Re}_0\approx385{,}6&lt;/math&gt;

Dieser Wert charakterisiert den unverengten Einlassabschnitt der Arteria carotis communis. Er ist nicht mit einer lokalen Reynolds-Zahl in der Stenose gleichzusetzen.

=== Einlauflänge ===

Für eine laminare Strömung in einem geraden Rohr kann die Länge zur Entwicklung eines zunächst gleichförmigen Geschwindigkeitsprofils näherungsweise abgeschätzt werden:

:&lt;math&gt;L_e\approx0{,}06\,\mathrm{Re}_0D_{\mathrm{ACC}}&lt;/math&gt;

Für die Referenzwerte ergibt sich:

:&lt;math&gt;L_e\approx139\,\mathrm{mm}&lt;/math&gt;

Diese Abschätzung bezieht sich auf ein gerades Rohr mit einem zunächst gleichförmigen Einlassprofil.&lt;ref name=&quot;Durst&quot;&gt;Durst, F.; Ray, S.; Ünsal, B.; Bayoumi, O. A.: The development lengths of laminar pipe and channel flows. ''Journal of Fluids Engineering'' 127 (2005), Nr. 6, S. 1154–1160.&lt;/ref&gt;

Sie beschreibt nicht unmittelbar die notwendige Einlauflänge einer Y-förmigen Gefäßaufzweigung.

Da der zuführende Gefäßabschnitt im Modell 60 mm lang ist, sollte die Einlassrandbedingung so gewählt werden, dass unerwünschte Einlaufeffekte die Strömung im Bereich der Verzweigung möglichst wenig beeinflussen.

Für das dreidimensionale Modell kann hierzu ein voll entwickeltes Geschwindigkeitsprofil verwendet werden. Die konkrete Randbedingung muss mit der COMSOL-Implementierung übereinstimmen.

=== Analytischer Referenzdruckverlust ===

Das Hagen-Poiseuille-Gesetz ermöglicht die Berechnung des Druckverlustes für einen geraden kreisförmigen Rohrabschnitt:

:&lt;math&gt;\Delta p=\frac{8\mu_b LQ}{\pi R^4}&lt;/math&gt;

Diese Beziehung kann als analytische Referenz für einen unverengten einzelnen Gefäßabschnitt dienen.

Für die gesamte Y-förmige Karotisaufzweigung lässt sich der Druckverlust jedoch nicht allein mit der Formel für ein einzelnes gerades Rohr bestimmen. Hierfür müssen die Volumenstromverteilung, die unterschiedlichen Gefäßdurchmesser und zusätzliche Verluste an der Verzweigung berücksichtigt werden.

Der bisherige Referenzwert von &lt;math&gt;99{,}03\,\mathrm{Pa}&lt;/math&gt; gehört zum früheren geraden Rohrmodell mit einer Länge von 150 mm und wird deshalb nicht als Referenzdruckverlust der Y-förmigen Gefäßaufzweigung verwendet.

=== Globale Parameter des COMSOL-Modells ===

{| class=&quot;wikitable&quot; style=&quot;width:100%;&quot;
|+ '''Globale Parameter für die Y-förmige Karotisaufzweigung'''
|-
! Name
! Ausdruck in COMSOL
! Wert
! Bedeutung
|-
| D_ACC
| &lt;code&gt;6[mm]&lt;/code&gt;
| 6 mm
| Durchmesser der Arteria carotis communis
|-
| D_ACI
| &lt;code&gt;5[mm]&lt;/code&gt;
| 5 mm
| Durchmesser der Arteria carotis interna
|-
| D_ACE
| &lt;code&gt;4[mm]&lt;/code&gt;
| 4 mm
| Durchmesser der Arteria carotis externa
|-
| L_ACC
| &lt;code&gt;60[mm]&lt;/code&gt;
| 60 mm
| Länge der Arteria carotis communis
|-
| L_ACI
| &lt;code&gt;60[mm]&lt;/code&gt;
| 60 mm
| Länge der Arteria carotis interna
|-
| L_ACE
| &lt;code&gt;60[mm]&lt;/code&gt;
| 60 mm
| Länge der Arteria carotis externa
|-
| L_s
| &lt;code&gt;10[mm]&lt;/code&gt;
| 10 mm
| Stenosenlänge
|-
| s
| &lt;code&gt;0&lt;/code&gt;
| 0 bis 0,8
| Variabler Stenosegrad
|-
| d_min
| &lt;code&gt;D_ACI*(1-s)&lt;/code&gt;
| Abhängig von s
| Minimaler Stenosedurchmesser
|-
| rho_b
| &lt;code&gt;1060[kg/m^3]&lt;/code&gt;
| 1060 kg/m³
| Blutdichte
|-
| mu_b
| &lt;code&gt;3.5[mPa*s]&lt;/code&gt;
| 3,5 mPa·s
| Dynamische Viskosität
|-
| Q0
| &lt;code&gt;6[ml/s]&lt;/code&gt;
| 6 ml/s
| Einlassvolumenstrom der ACC
|-
| U0
| &lt;code&gt;Q0/(pi*(D_ACC/2)^2)&lt;/code&gt;
| 0,2122 m/s
| Mittlere Eintrittsgeschwindigkeit für einen kreisförmigen Querschnitt
|-
| Re0
| &lt;code&gt;rho_b*U0*D_ACC/mu_b&lt;/code&gt;
| 385,6
| Reynolds-Zahl am Einlass der ACC
|}

'''Hinweis:''' Die Parameternamen dienen als konsistente Vorlage. Vor der Übernahme in COMSOL beziehungsweise in die Projektdokumentation müssen sie mit den tatsächlich verwendeten Namen und Geometrieeinstellungen abgeglichen werden.

== Randbedingungen und numerische Umsetzung ==

Die Randbedingungen bestimmen, wie Blut in das Modell einströmt, sich innerhalb der Gefäßaufzweigung verteilt und die beiden Gefäßäste verlässt.

=== Einlass ===

Der Einlass befindet sich an der Arteria carotis communis.

Für das dreidimensionale Referenzmodell wird ein Volumenstrom von:

:&lt;math&gt;Q_0=6\,\mathrm{ml/s}&lt;/math&gt;

vorgegeben.

Die zugehörige mittlere Geschwindigkeit beträgt:

:&lt;math&gt;U_0\approx0{,}2122\,\mathrm{m/s}&lt;/math&gt;

Ein geeignetes Geschwindigkeitsprofil beziehungsweise eine entsprechende Volumenstromrandbedingung wird in COMSOL festgelegt.

=== Auslässe ===

Das Modell besitzt zwei Auslässe:

* Auslass der Arteria carotis interna,
* Auslass der Arteria carotis externa.

Für die Volumenströme gilt:

:&lt;math&gt;Q_{\mathrm{ACC}}=Q_{\mathrm{ACI}}+Q_{\mathrm{ACE}}&lt;/math&gt;

Die konkrete Aufteilung hängt von den Strömungswiderständen und den vorgegebenen Auslassrandbedingungen ab.

'''Die tatsächlichen Auslassbedingungen müssen aus dem COMSOL-Modell übernommen werden.''' Ohne diese Angabe lässt sich nicht eindeutig bestimmen, wie sich der Volumenstrom zwischen den beiden Gefäßästen verteilt.

=== Gefäßwände ===

An den starren Gefäßwänden wird die Haftbedingung verwendet:

:&lt;math&gt;\mathbf{u}=0&lt;/math&gt;

Dadurch ist die Geschwindigkeit des Fluids unmittelbar an der Wand gleich null.

=== Numerische Vernetzung ===

Die Geometrie wird für die numerische Berechnung in ein Rechennetz unterteilt.

Eine ausreichende Netzauflösung ist insbesondere im Bereich der Stenose, an der Gefäßaufzweigung und in wandnahen Bereichen erforderlich, da dort starke Geschwindigkeitsgradienten auftreten können.

Die Qualität der numerischen Ergebnisse sollte anhand einer Netzverfeinerungsstudie überprüft werden.

Hierzu können beispielsweise die maximale Geschwindigkeit, der Druckverlust und die maximale Wandschubspannung bei unterschiedlichen Netzauflösungen miteinander verglichen werden.

Die konkreten Netzgrößen und Elementzahlen werden anhand der tatsächlich durchgeführten COMSOL-Berechnungen dokumentiert.

== Auswertung und Überprüfung der Ergebnisse ==

Die Auswertung erfolgt für die untersuchten Stenosegrade und Modellvarianten.

Von besonderem Interesse sind:

* maximale Strömungsgeschwindigkeit innerhalb der Stenose,
* Druckverteilung und Druckverlust,
* Volumenstromverteilung zwischen ACI und ACE,
* Wandschubspannung im Bereich der Stenose,
* mögliche Rückströmungsgebiete stromabwärts der Engstelle.

=== Überprüfung der Massenerhaltung ===

Für jede stationäre Berechnung wird überprüft, ob die Summe der beiden Auslassvolumenströme dem Einlassvolumenstrom entspricht:

:&lt;math&gt;Q_{\mathrm{ACC}}\approx Q_{\mathrm{ACI}}+Q_{\mathrm{ACE}}&lt;/math&gt;

Abweichungen können auf numerische Ungenauigkeiten oder ungeeignete Auswertungseinstellungen hinweisen.

=== Vergleich der Stenosegrade ===

Die Ergebnisse werden für unterschiedliche Stenosegrade gegenübergestellt.

Dabei wird untersucht, wie stark die maximale Geschwindigkeit, der Druckverlust und die Wandschubspannung mit zunehmender Verengung ansteigen beziehungsweise sich verändern.

Die Volumenstromverteilung zwischen den beiden Gefäßästen wird ebenfalls betrachtet, sofern die gewählten Auslassrandbedingungen eine solche Auswertung ermöglichen.

=== Vergleich der Modellvarianten ===

Das Graphenmodell liefert vereinfachte Abschätzungen für Volumenströme und Druckverluste.

Das zweidimensionale Flächenmodell ermöglicht die Darstellung ebener Geschwindigkeits- und Druckfelder.

Das dreidimensionale Volumenmodell liefert zusätzlich eine räumliche Beschreibung der Strömung und der Wandschubspannung.

Die Ergebnisse werden nicht als zwangsläufig identisch betrachtet, da die Modelle unterschiedliche geometrische und mathematische Vereinfachungen verwenden.

=== Ergebnisse und Diskussion ===

Die konkreten Simulationsergebnisse werden nach Durchführung und Auswertung der COMSOL-Berechnungen ergänzt.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ '''Vorlage für die Auswertung der Stenosegrade'''
|-
! Stenosegrad
! Maximale Geschwindigkeit
! Druckverlust
! Volumenstrom ACI
! Volumenstrom ACE
! Maximale Wandschubspannung
|-
| 0 %
| Noch einzutragen
| Noch einzutragen
| Noch einzutragen
| Noch einzutragen
| Noch einzutragen
|-
| 30 %
| Noch einzutragen
| Noch einzutragen
| Noch einzutragen
| Noch einzutragen
| Noch einzutragen
|-
| 60 %
| Noch einzutragen
| Noch einzutragen
| Noch einzutragen
| Noch einzutragen
| Noch einzutragen
|-
| 80 %
| Noch einzutragen
| Noch einzutragen
| Noch einzutragen
| Noch einzutragen
| Noch einzutragen
|}

Die Auswertung soll insbesondere zeigen, welche Auswirkungen die Verengung der Arteria carotis interna auf die lokale Strömung und die Strömungsverteilung innerhalb der Y-förmigen Karotisaufzweigung besitzt.

Bei hochgradigen Stenosen ist zusätzlich zu diskutieren, inwieweit die Annahme einer stationären laminaren Strömung geeignet bleibt.

== Grenzen des Modells ==

Die untersuchte Gefäßgeometrie ist eine idealisierte Darstellung der Karotisaufzweigung. Individuelle anatomische Unterschiede werden nicht berücksichtigt.

Darüber hinaus werden die Gefäßwände als starr angenommen und Blut wird durch ein inkompressibles Newtonsches Fluid mit konstanter Viskosität beschrieben.

Die Strömung wird stationär berechnet. Die natürliche Pulsation des Blutflusses und zeitabhängige Effekte bleiben damit unberücksichtigt.

Insbesondere bei hochgradigen Stenosen können zeitabhängige Strömungsablösungen auftreten, die durch eine stationäre Modellierung nicht vollständig beschrieben werden.

Das Graphenmodell kann lokale Strömungsphänomene nicht detailliert erfassen. Das ebene Flächenmodell vereinfacht die räumliche Gefäßgeometrie. Auch das dreidimensionale Modell bleibt aufgrund der idealisierten Geometrie und der vereinfachten Materialannahmen eine Annäherung an die reale Blutströmung.

Die Ergebnisse sind daher als strömungsmechanische Untersuchung eines idealisierten Modells zu interpretieren und nicht als patientenspezifische medizinische Vorhersage.

== Literaturverzeichnis ==

&lt;references /&gt;

=== Weiterführende Literatur ===

* Bernabeu, M. O. u. a.: Impact of blood rheology on wall shear stress in a model of the middle cerebral artery. ''Interface Focus'' 3 (2013), 20120094.
* Womersley, J. R.: Method for the calculation of velocity, rate of flow and viscous drag in arteries when the pressure gradient is known. ''Journal of Physiology'' 127 (1955), S. 553–563.
* Varghese, S. S.; Frankel, S. H.; Fischer, P. F.: Direct numerical simulation of stenotic flows. Part 1. Steady flow. ''Journal of Fluid Mechanics'' 582 (2007), S. 253–280.
* Hansen, F.; Mangell, P.; Sonesson, B.; Länne, T.: Diameter and compliance in the human common carotid artery: variations with age and sex. ''Ultrasound in Medicine and Biology'' 21 (1995), Nr. 1, S. 1–9.
* Krejza, J.; Arkuszewski, M.; Kasner, S. E.; Weigele, J.; Ustymowicz, A.; Hurst, R. W.; Cucchiara, B. L.; Messe, S. R.: Carotid artery diameter in men and women and the relation to body and neck size. ''Stroke'' 37 (2006), Nr. 4, S. 1103–1105.


ALTTTTT

= Gruppenteilnehmer =
* Joey Becker
* Marie-Thérèse Heitele
* Nicole Pander

= Thema und Fragestellung =

Gegenstand dieses Projekts ist die numerische Simulation der Blutströmung in einer verzweigten Halsschlagader ('''Carotis-Bifurkation''') unter dem Einfluss einer lokalen Gefäßverengung ('''Stenose''').
Im Vergleich zu einfachen Rohrströmungen wird hier die realitätsnahe Gefäßanatomie betrachtet: Die '''Arteria carotis communis (ACC)''' teilt sich in die '''Arteria carotis externa (ACE)''' und die '''Arteria carotis interna (ACI)''' auf. Während die '''ACE''' als gesunder, stenosefreier Ast dient, wird in der '''ACI''' eine geglättete, kosinusförmige Gefäßverengung modelliert. Um scharfe Kanten und unphysiologische Druckspitzen zu vermeiden, werden alle Wandübergänge und die Gabelungsspitze (Apex) anatomisch verrundet.

Als Referenz dient ein gesundes, unverengtes Gefäß, in dem sich die Poiseuille-Strömung mit ihrem charakteristischen parabolischen Geschwindigkeitsprofil ausbildet. Diese Strömung ist aus zwei Gründen der natürliche Ausgangspunkt. Sie beschreibt den physiologischen Normalfall, mit dem jeder Stenosegrad verglichen wird, und sie ist exakt lösbar, sodass sich an ihr jede numerische Rechnung prüfen lässt, bevor die Verengung hinzukommt.

== Fragestellung ==
Die Hauptfragestellung dieses Projektes lautet: 
Wie verändert eine symmetrische bzw. rotationssymmetrische Stenose in der '''Arteria carotis interna (ACI)''' die stationäre Strömung eines inkompressiblen Newton’schen Fluids in einer 2D-Carotis-Bifurkation hinsichtlich Geschwindigkeitsverteilung, Druckabfall, Wandschubspannung und Wirbelbildung im Vergleich zu den gesunden Gefäßabschnitten?

Aus dieser Fragestellung ergeben sich drei Teilfragen, an denen sich der Aufbau der Seite orientiert:

# Welche Strömungsgrößen reagieren empfindlich auf den Stenosegrad und welche nur träge?
# Ab welchem Stenosegrad ändert sich das Strömungsmuster qualitativ, das heißt, ab wann löst die Strömung hinter der Engstelle von der Wand ab und bildet ein Rückströmgebiet?
# Wie weit tragen die vereinfachenden Modellannahmen, insbesondere die Annahme einer stationären und laminaren Strömung, über den untersuchten Bereich der Stenosegrade?

== Modellannahmen ==
Im Hinblick darauf werden für dieses Projekt einige Annahmen getroffen, um das Projekt möglichst isoliert zu untersuchen und zu simplifizieren:

* '''Idealisierte Gefäßgeometrie''': Betrachtet wird ein  Teilabbschnitt der ''Arteria carotis communis'', die sog. ''ACI''. Zudem werden Gefäßverkrümmungen, weitere Verzweigungen und patientenspezifische Strukturen  nicht berücksichtigt. 
* '''Starre Gefäßwand''': Die Gefäßwand wird als unbeweglich und nicht verformbar angenommen. Eine Wechselwirkung zwischen elastischer Gefäßwand und Blutströmung wird nicht modelliert.
* '''Stationäre Strömung''': Die Strömungsgrößen werden als zeitlich konstant angenommen. Die im realen Blutkreislauf vorhandene Pulsation durch den Herzschlag wird daher vernachlässigt: &lt;math&gt;\frac{\partial u}{\partial t}=0&lt;/math&gt;.
* '''Inkompressibles Fluid''': Die Dichte des Fluids wird als konstant angenommen. Damit gilt für die Geschwindigkeit &lt;math&gt;\nabla \cdot u=0&lt;/math&gt;. Dies entspricht der in der Vorlesung behandelten Massenerhaltung für inkompressible Fluide: Was in das Gefäß einströmt, muss auch wieder ausströmen.
* '''Newton'sche Näherung für Blut''': Reales Blut beseitzt ein nicht newton'sches Fließverhalten. Hier wird Blut als Newton'sches Fluid behandelt.
* '''Konstante Stoffeigenschaften''': Dichte &lt;math&gt;\rho&lt;/math&gt; und dynamische Viskosität μ werden als räumlich und zeitlich konstant angenommen. Temperaturabhängigkeiten werden nicht berücksichtigt.
* '''Laminare Strömung''': Die Strömung wird mit dem COMSOL-Modul ''Laminar Flow'' beschrieben. Ein zusätzliches Turbulenzmodell wird nicht verwendet.
* '''No-Slip-Bedingung an Gefäßwand''': Aufgrund der Viskosität wird angenommen, dass das Fluid direkt an der Gefäßwand haftet. Somit gilt &lt;math&gt;u=0&lt;/math&gt;.
* '''Vernachlässigung der Gravitation''': Gravitation wird nicht berücksichtigt. Die Strömung wird ausschließlich durch die gewählten Ein- und Auslassbedingungen bestimmt.

= Relevanz =
Die Untersuchung von Gefäßverengungen besitzt sowohl eine medizinische als auch eine methodische Bedeutung. Aus medizinischer Sicht sind arterielle Stenosen – etwa in der Halsschlagader, lat. ''arteria carotis communis'', – kritisch, da sie die Durchblutung beeinträchtigen und durch veränderte Wandschubspannungen sowie die Bildung von Wirbeln weitere Gefäßablagerungen begünstigen. Stenosen im Bereich der Karotisgabelung sind klinisch hochrelevant, da sie das Gehirn direkt versorgen und das Risiko für embolische Schlaganfälle erhöhen. Fachlich überträgt das Projekt damit die Prinzipien der Strömungsmechanik direkt auf eine biomedizinische Anwendung. Das Projekt verknüpft somit theoretische Grundlagen der Strömungsmechanik (Hagen-Poiseuille-Gleichung, Navier-Stokes-Gleichungen) mit der numerischen Simulation in COMSOL Multiphysics. Durch den Vergleich der '''gesunden Externa (ACE)''' mit der '''stenoisierten Interna (ACI)''' innerhalb desselben Rechengebiets wird die isolierte Wirkung der Stenose unter identischen Randbedingungen direkt sichtbar gemacht.

== Medizinische Relevanz ==

Arterielle Stenosen entstehen überwiegend durch Atherosklerose, also durch Ablagerungen aus Lipiden, Bindegewebe und Kalk in der Gefäßwand. In der Halsschlagader sind sie klinisch besonders bedeutsam, weil sie die Durchblutung des Gehirns beeinträchtigen und weil sich an ihnen Thromben bilden können, die als Embolie einen Schlaganfall auslösen. Dass die operative Entfernung einer hochgradigen Karotisstenose das Schlaganfallrisiko symptomatischer Patienten deutlich senkt, hat die NASCET-Studie gezeigt, deren Einteilung der Stenosegrade dieses Projekt übernimmt.&lt;ref name=&quot;nascet&quot;&gt;North American Symptomatic Carotid Endarterectomy Trial Collaborators: ''Beneficial effect of carotid endarterectomy in symptomatic patients with high-grade carotid stenosis.'' New England Journal of Medicine 325 (1991), Nr. 7, S. 445-453.&lt;/ref&gt;

Strömungsmechanisch ist an einer Stenose vor allem die Wandschubspannung von Interesse, also die tangentiale Kraft je Fläche, die das strömende Blut auf die innerste Zellschicht der Gefäßwand ausübt. Gesunde Halsschlagadern weisen zeitlich gemittelte Werte von etwa 1,1 bis 1,5 Pa auf.&lt;ref name=&quot;samijo&quot;&gt;Samijo, S. K.; Willigers, J. M.; Barkhuysen, R.; Kitslaar, P. J. E. H. M.; Reneman, R. S.; Brands, P. J.; Hoeks, A. P. G.: ''Wall shear stress in the human common carotid artery as function of age and gender.'' Cardiovascular Research 39 (1998), Nr. 2, S. 515-522.&lt;/ref&gt; In einer Engstelle steigt sie stark an, unmittelbar dahinter fällt sie im Ablösegebiet auf nahezu null und wechselt dort sogar das Vorzeichen. Niedrige und im Vorzeichen wechselnde Wandschubspannungen gelten als Bedingungen, unter denen sich weitere Ablagerungen bevorzugt bilden. Eine bestehende Stenose schafft also stromabwärts die Voraussetzungen für ihr eigenes Wachstum. Genau diese Verteilung lässt sich im Körper nur schwer messen, in einer Simulation dagegen unmittelbar auswerten.

== Methodische Relevanz ==

Fachlich überträgt das Projekt die Prinzipien der Strömungsmechanik aus der Vorlesung auf eine biomedizinische Anwendung.&lt;ref name=&quot;hundertmark&quot;&gt;Hundertmark, A.: ''Fluiddynamik.'' Vorlesungsunterlagen zum Modul Räumliche Modellbildung, RPTU Kaiserslautern-Landau, Sommersemester 2026.&lt;/ref&gt; Der methodische Mehrwert liegt in der Verknüpfung mehrerer Zugänge, die sich gegenseitig kontrollieren. Die analytische Poiseuille-Lösung liefert exakte Sollwerte für das gesunde Gefäß. Ein reduziertes Graphenmodell liefert für jeden Stenosegrad eine schnelle Abschätzung, die analytisch nachrechenbar ist. Die Simulationen in COMSOL Multiphysics lösen schließlich die vollständigen Navier-Stokes-Gleichungen in zwei und drei Raumdimensionen. Weil jede Stufe die Sollwerte der nächsten liefert, zeigt das Projekt nicht nur Ergebnisse, sondern auch, wie numerische Modelle aufgebaut, verifiziert und an ihren Grenzen bewertet werden.

== Auswahl der Stenosegrade ==

Um die untersuchten Gefäßverengungen nicht willkürlich festzulegen, orientiert sich die Auswahl der Stenosegrade an der klinisch gebräuchlichen NASCET-Klassifikation von Karotisstenosen.&lt;ref name=&quot;nascet&quot; /&gt; Zur klinischen Einordnung werden Karotisstenosen anhand der nach NASCET bestimmten Durchmesserreduktion in leichtgradige, mittelgradige und hochgradige Stenosen eingeteilt. Die angegebenen Prozentgrenzen dienen in diesem Projekt als Orientierung für die Auswahl der untersuchten Stenosegrade. Ein vollständiger Gefäßverschluss wird als Okklusion bezeichnet.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Klinische Einteilung nach NASCET-gemessener Durchmesserreduktion und untersuchte Stenosegrade
! Schweregrad !! Durchmesserreduktion !! im Projekt gerechnete Stenosegrade !! hervorgehobener Vertreter
|-
| gesundes Gefäß || 0 % || 0 || 0
|-
| leichtgradige Stenose || unter 50 % || 0,1 bis 0,4 || 0,3
|-
| mittelgradige Stenose || 50 bis 69 % || 0,5 und 0,6 || 0,6
|-
| hochgradige Stenose || 70 bis 99 % || 0,7 und 0,8 || 0,8
|-
| Okklusion || 100 % || nicht gerechnet || entfällt
|}
'''Anmerkung''': Die Klassengrenzen dienen der Einordnung der Modellvarianten. Die in der Tabelle genannten Stenosegrade sind dimensionslose Werte, beispielsweise entspricht '''&lt;math&gt;s=0{,}6&lt;/math&gt;''' einer Durchmesserreduktion von '''60 %'''.

Für die numerische Untersuchung wird aus jeder Kategorie ein repräsentativer Stenosegrad hervorgehoben. Neben dem gesunden Gefäß mit '''0 %''' Stenose sind das eine '''30 %''' Stenose als Beispiel für eine leichtgradige, eine '''60 %''' Stenose als Beispiel für eine mittelgradige und eine '''80 %''' Stenose als Beispiel für eine hochgradige Verengung. Zusätzlich werden für das Graphenmodell und das achsensymmetrische Flächenmodell Stenosegrade von 0 bis 80 % in Schritten von zehn Prozentpunkten vorgesehen. Dadurch kann die Abhängigkeit der Strömungsgrößen vom Stenosegrad systematisch untersucht und grafisch dargestellt werden. Ob alle Modellvarianten tatsächlich berechnet wurden und wie hoch der Rechenaufwand war, wird anhand der durchgeführten Simulationen dokumentiert. Ein vollständiger Gefäßverschluss wird nicht simuliert, da in diesem Fall keine durchgängige Strömung mehr vorliegt.

Der Stenosegrad wird in diesem Projekt wie bei NASCET über die Verringerung des Gefäßdurchmessers beschrieben,
&lt;math&gt;s = 1 - \frac{d_{\min}}{d_{\mathrm{ref}}},&lt;/math&gt;wobei &lt;math&gt;d_{\min}&lt;/math&gt; der kleinste Durchmesser in der Engstelle und &lt;math&gt;d_{\mathrm{ref}}&lt;/math&gt; ein Referenzdurchmesser ist. NASCET verwendet als Referenz den Durchmesser des gesunden Gefäßes stromabwärts der Stenose. Für das idealisierte gerade Gefäßmodell wird ein konstanter Referenzdurchmesser von &lt;math&gt;D_0=6\,\mathrm{mm}&lt;/math&gt; angenommen. Da das Gefäß außerhalb der Stenose denselben Durchmesser besitzt, gilt in diesem Modell&lt;math&gt;d_{\mathrm{ref}}=D_0&lt;/math&gt;. Bei der zusätzlich betrachteten Gefäßaufzweigung muss der Referenzdurchmesser dagegen gesondert festgelegt werden, da die Gefäßäste unterschiedliche Durchmesser besitzen.

Wichtig für das Verständnis aller weiteren Ergebnisse ist der Unterschied zwischen Durchmesser- und Flächenreduktion. Da die Querschnittsfläche quadratisch vom Durchmesser abhängt, gilt für die Flächenreduktion &lt;math&gt;1-(1-s)^2&lt;/math&gt;. Eine im klinischen Sinn nur mittelgradige Stenose von 60 % verschließt damit bereits 84 % der Querschnittsfläche.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Durchmesser- und Flächenreduktion der gerechneten Stenosegrade
! Stenosegrad s !! 0 !! 0,1 !! 0,2 !! 0,3 !! 0,4 !! 0,5 !! 0,6 !! 0,7 !! 0,8
|-
| engster Durchmesser in mm || 6,0 || 5,4 || 4,8 || 4,2 || 3,6 || 3,0 || 2,4 || 1,8 || 1,2
|-
| Flächenreduktion || 0 % || 19 % || 36 % || 51 % || 64 % || 75 % || 84 % || 91 % || 96 %
|}

Eine Einschränkungen gehört zur ehrlichen Einordnung: 
# Mit zunehmendem Stenosegrad, insbesondere bei ausgeprägten Verengungen, können lokale Beschleunigungen, Strömungsablösungen und zeitabhängige Strömungsstrukturen auftreten. Daher muss bei den hochgradigen Stenosen geprüft werden, inwieweit die Annahme einer stationären, laminaren Strömung geeignet ist. Eine feste Grenze bei &lt;math&gt;s=0{,}6&lt;/math&gt; lässt sich ohne entsprechende Simulationsergebnisse oder Literaturbelege nicht allgemein festlegen. Die hochgradigen Fälle werden deshalb unter besonderer Berücksichtigung der Modellannahmen diskutiert.

Unter Modellierung wird in diesem Projekt die Übertragung der Blutströmung in einer verengten Arterie auf ein mathematisches und numerisch lösbares Strömungsproblem verstanden. Dazu werden die Gefäßgeometrie, die zugrunde liegenden Gleichungen, die physikalischen Materialparameter sowie die Anfangs- und Randbedingungen festgelegt.

Jeder dieser Bestandteile beruht auf vereinfachenden Annahmen, die begründet und bei der Interpretation der Ergebnisse berücksichtigt werden müssen. Ziel ist es, den Einfluss unterschiedlicher Stenosegrade auf die Strömungsgeschwindigkeit, den Druckverlust und gegebenenfalls die Wandschubspannung systematisch zu untersuchen.

Die Modellierung erfolgt anhand mehrerer Modellvarianten mit unterschiedlicher räumlicher Auflösung. Dadurch können zunächst grundlegende Zusammenhänge analytisch abgeschätzt und anschließend mit numerischen Strömungsberechnungen verglichen werden. Die verwendeten Parameter orientieren sich an den bereitgestellten Referenzdaten und werden in den folgenden Abschnitten erläutert.

== Modellierung ==

Ziel der Modellierung ist es, die Blutströmung innerhalb einer Y-förmigen Aufzweigung der Halsschlagader mathematisch und numerisch zu untersuchen. Im Mittelpunkt steht eine Gefäßverengung (Stenose) in der Arteria carotis interna.

Das betrachtete Gefäßmodell besteht aus der Arteria carotis communis, die sich in die Arteria carotis interna und die Arteria carotis externa aufteilt. Die Stenose befindet sich ausschließlich in der Arteria carotis interna.

Durch die Verengung verändert sich der verfügbare Strömungsquerschnitt. Dies kann zu einer Erhöhung der lokalen Strömungsgeschwindigkeit, zu zusätzlichen Druckverlusten und zu einer Veränderung der Strömungsverteilung zwischen den beiden Gefäßästen führen.

Ziel ist es, den Einfluss unterschiedlicher Stenosegrade auf die Strömungsgeschwindigkeit, die Druckverteilung und die Wandschubspannung zu untersuchen. Zusätzlich soll betrachtet werden, wie sich die Strömung innerhalb der Y-förmigen Gefäßaufzweigung verhält.

Die numerische Modellierung erfolgt mit COMSOL Multiphysics. Dazu werden die Gefäßgeometrie, die Materialeigenschaften des Blutes, die Strömungsgleichungen und die Randbedingungen festgelegt.

Zur Vereinfachung wird Blut zunächst als inkompressibles, Newtonsches Fluid betrachtet. Die Gefäßwände werden als starr angenommen. Diese Annahmen ermöglichen eine systematische Untersuchung der Stenose, schränken jedoch die Übertragbarkeit auf reale physiologische Bedingungen ein.

=== Modellhierarchie ===

Für die Untersuchung der Blutströmung innerhalb der Y-förmigen Karotisaufzweigung werden drei Modellvarianten betrachtet. Diese unterscheiden sich hinsichtlich ihrer räumlichen Dimension, ihrer mathematischen Beschreibung und der Genauigkeit, mit der die Strömungsverhältnisse dargestellt werden können.

Das untersuchte Gefäß besteht aus der Arteria carotis communis, die sich in die Arteria carotis interna und die Arteria carotis externa aufteilt. Die Stenose befindet sich ausschließlich in der Arteria carotis interna.

Alle drei Modellvarianten werden mit COMSOL Multiphysics umgesetzt.

{| class=&quot;wikitable&quot; style=&quot;width:100%;&quot;
|+ '''Die drei Modellvarianten des Projekts'''
|-
! Modell
! Raumdimension
! Mathematische Grundlage
! Zweck
! Werkzeug
|-
| '''Graphenmodell'''
| 1D, Gefäßnetzwerk mit einer Verzweigung
| Massenerhaltung an der Verzweigung und vereinfachte Beschreibung der Strömungswiderstände
| Abschätzung der Volumenstromverteilung und der Druckverluste in den Gefäßästen
| COMSOL Multiphysics
|-
| '''Ebenes Flächenmodell'''
| 2D, Y-förmige Gefäßgeometrie in kartesischen Koordinaten
| Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen
| Untersuchung der Geschwindigkeits- und Druckverteilung sowie der Auswirkungen der Stenose in der Arteria carotis interna
| COMSOL Multiphysics, Laminare Strömung
|-
| '''Volumenmodell'''
| 3D, räumliche Y-förmige Gefäßgeometrie
| Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen
| Räumliche Untersuchung des Geschwindigkeitsfeldes, des Druckverlustes und der Wandschubspannung
| COMSOL Multiphysics, Laminare Strömung
|}

==== Vergleich und Überprüfung der Modellvarianten ====

Die drei Modellvarianten bauen hinsichtlich ihrer räumlichen Beschreibung aufeinander auf. Das Graphenmodell ermöglicht zunächst eine vereinfachte Betrachtung der Volumenströme und Druckverluste. Die zwei- und dreidimensionalen Modelle erlauben anschließend eine detailliertere Untersuchung der Strömung innerhalb der Gefäßaufzweigung.

Das '''Graphenmodell''' beschreibt die Arteria carotis communis sowie die beiden abzweigenden Gefäße als miteinander verbundenes Netzwerk. Dabei wird die Massenerhaltung an der Verzweigung berücksichtigt:

:&lt;math&gt;Q_{\mathrm{CCA}}=Q_{\mathrm{ICA}}+Q_{\mathrm{ECA}}&lt;/math&gt;

Das Modell liefert vereinfachte Abschätzungen der Volumenstromverteilung. Lokale Strömungsablösungen und räumliche Geschwindigkeitsverteilungen können damit nicht detailliert dargestellt werden.

Das '''ebene Flächenmodell''' bildet die Y-förmige Gefäßaufzweigung in zwei Raumdimensionen ab. Die Stenose wird innerhalb der Arteria carotis interna berücksichtigt. Dadurch können die Geschwindigkeits- und Druckverteilung sowie mögliche Rückströmungsbereiche untersucht werden.

Das '''Volumenmodell''' erweitert die Untersuchung auf drei Raumdimensionen. Es ermöglicht eine räumliche Darstellung der Strömung und eine detailliertere Berechnung der Wandschubspannung.

Die Ergebnisse des ebenen Flächenmodells und des Volumenmodells werden miteinander verglichen. Da das ebene Modell die räumliche Querschnittsgeometrie nur vereinfacht darstellt, müssen Unterschiede zwischen den beiden Modellen bei der Interpretation berücksichtigt werden.

Ziel der Modellhierarchie ist es, die Aussagekraft der einzelnen Modellvarianten zu bewerten und den Einfluss des Stenosegrades auf die Strömung innerhalb der Y-förmigen Karotisaufzweigung zu untersuchen.

=== Simulationsgebiet und Geometrie ===

Das Simulationsgebiet besteht aus einer idealisierten Y-förmigen Aufzweigung der Arteria carotis. Die Arteria carotis communis teilt sich in die Arteria carotis interna und die Arteria carotis externa.

Die Stenose befindet sich in der Arteria carotis interna. Die Arteria carotis externa wird ohne zusätzliche Verengung modelliert.

Die Geometrie orientiert sich an den bereitgestellten Referenzdaten. Die Gefäßdurchmesser werden innerhalb der jeweiligen unverengten Abschnitte als konstant angenommen.

{| class=&quot;wikitable&quot; style=&quot;width:100%;&quot;
|+ '''Geometrische Referenzparameter der Y-förmigen Gefäßaufzweigung'''
|-
! Gefäßabschnitt
! Durchmesser
! Länge
|-
| Arteria carotis communis
| 6 mm
| 60 mm
|-
| Arteria carotis interna
| 5 mm
| 60 mm
|-
| Arteria carotis externa
| 4 mm
| 60 mm
|-
| Stenose in der Arteria carotis interna
| Abhängig vom Stenosegrad
| 10 mm
|}

Die Verengung wird über den Stenosegrad &lt;math&gt;s&lt;/math&gt; beschrieben. Dieser gibt die relative Verringerung des Gefäßdurchmessers an:

:&lt;math&gt;s=1-\frac{d_{\min}}{D_{\mathrm{ICA}}}&lt;/math&gt;

Dabei bezeichnet &lt;math&gt;d_{\min}&lt;/math&gt; den minimalen Durchmesser innerhalb der Stenose und &lt;math&gt;D_{\mathrm{ICA}}&lt;/math&gt; den unverengten Referenzdurchmesser der Arteria carotis interna.

Für das Modell gilt:

:&lt;math&gt;D_{\mathrm{ICA}}=5\,\mathrm{mm}&lt;/math&gt;

Der minimale Durchmesser ergibt sich damit zu:

:&lt;math&gt;d_{\min}=D_{\mathrm{ICA}}(1-s)&lt;/math&gt;

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ '''Minimaler Durchmesser der Stenose in der Arteria carotis interna'''
|-
! Stenosegrad
! Minimaler Durchmesser
|-
| 0 %
| 5,0 mm
|-
| 10 %
| 4,5 mm
|-
| 20 %
| 4,0 mm
|-
| 30 %
| 3,5 mm
|-
| 40 %
| 3,0 mm
|-
| 50 %
| 2,5 mm
|-
| 60 %
| 2,0 mm
|-
| 70 %
| 1,5 mm
|-
| 80 %
| 1,0 mm
|}

Die angegebenen Stenosegrade beziehen sich ausschließlich auf den Durchmesser der Arteria carotis interna. Der Durchmesser der Arteria carotis communis wird nicht zur Berechnung des Stenosegrades verwendet.

Die Y-förmige Geometrie ermöglicht es, die Auswirkungen der Verengung sowohl auf die lokale Strömung in der Arteria carotis interna als auch auf die Strömungsverteilung innerhalb der gesamten Gefäßaufzweigung zu untersuchen.

Die genaue Form der Stenose, der Verzweigungswinkel und die Übergänge zwischen den Gefäßabschnitten müssen entsprechend der tatsächlich in COMSOL verwendeten Geometrie dokumentiert werden.


== Stoff- und Strömungsparameter ==

Die Stoffwerte des Blutes und der Volumenstrom sind die einzigen Eingangsgrößen, die nicht aus der Geometrie folgen. Aus ihnen werden alle weiteren Strömungskennwerte berechnet. Die folgenden Schritte zeigen jede Rechnung einzeln, damit sich jeder Wert nachprüfen lässt.

# Die '''Dichte''' wird mit &lt;math&gt;\rho = 1060\ \mathrm{kg/m^3}&lt;/math&gt; angesetzt. Der Wert lässt sich als Mischungsregel plausibel machen. Plasma hat eine Dichte von etwa 1025 kg/m³, rote Blutkörperchen von etwa 1100 kg/m³. Bei einem Zellanteil von 45 % ergibt sich &lt;math&gt;0{,}55 \cdot 1025 + 0{,}45 \cdot 1100 \approx 1059\ \mathrm{kg/m^3}&lt;/math&gt;. Die Dichte geht nur über die Reynoldszahl in die Rechnung ein, eine Abweichung von einem Prozent ändert die Ergebnisse daher kaum. &lt;!-- FIXME Lehrbuchquelle fuer Plasma- und Erythrozytendichte ergaenzen --&gt;
# Die '''dynamische Viskosität''' wird mit &lt;math&gt;\mu = 3{,}5\ \mathrm{mPa\,s}&lt;/math&gt; angesetzt. Das ist der Grenzwert der Blutviskosität bei hohen Scherraten, also genau der Wert, der zur Newtonschen Näherung gehört. Derselbe Wert von 0,035 Poise wird auch im Standardwerk zur Modellierung des Herz-Kreislauf-Systems verwendet.&lt;ref name=&quot;quarteroni&quot;&gt;Quarteroni, A.; Formaggia, L.: ''Mathematical Modelling and Numerical Simulation of the Cardiovascular System.'' In: Ayache, N. (Hrsg.): ''Computational Models for the Human Body.'' Handbook of Numerical Analysis, Bd. XII, Elsevier, Amsterdam 2004, S. 3-127. DOI 10.1016/S1570-8659(03)12001-7. Zur Newtonschen Näherung in großen Gefäßen siehe S. 30, zur Viskosität von 0,035 Poise die Parametertabelle auf S. 116.&lt;/ref&gt;
# Der '''mittlere Volumenstrom''' wird mit &lt;math&gt;Q_0 = 6\ \mathrm{ml/s}&lt;/math&gt; angesetzt. Das ist der zeitlich gemittelte Volumenstrom, der in der gemeinsamen Halsschlagader gesunder Probanden gemessen wurde.&lt;ref name=&quot;holdsworth&quot; /&gt;
# Die '''mittlere Geschwindigkeit''' folgt aus Volumenstrom und Querschnittsfläche, &lt;math&gt;U_0 = \frac{Q_0}{\pi R_0^2} = \frac{6 \cdot 10^{-6}\ \mathrm{m^3/s}}{\pi \cdot (0{,}003\ \mathrm{m})^2} = 0{,}2122\ \mathrm{m/s}&lt;/math&gt;.
# Die '''Reynoldszahl''' des gesunden Gefäßes ist &lt;math&gt;Re_0 = \frac{\rho\, U_0\, D_0}{\mu} = \frac{1060 \cdot 0{,}2122 \cdot 0{,}006}{0{,}0035} = 385{,}6&lt;/math&gt;. Sie wird im Folgenden auf 386 gerundet.
# Die '''Einlauflänge''', die eine anfangs gleichförmige Strömung bis zum voll entwickelten Parabelprofil bräuchte, beträgt nach der gebräuchlichen Abschätzung für laminare Rohrströmungen &lt;math&gt;L_e \approx 0{,}06\, Re_0\, D_0 \approx 0{,}06 \cdot 386 \cdot 6\ \mathrm{mm} \approx 139\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt;.&lt;ref name=&quot;durst&quot;&gt;Durst, F.; Ray, S.; Ünsal, B.; Bayoumi, O. A.: ''The development lengths of laminar pipe and channel flows.'' Journal of Fluids Engineering 127 (2005), Nr. 6, S. 1154-1160. Für große Reynoldszahlen nähert sich die dort angegebene Korrelation dem Wert 0,057·Re·D.&lt;/ref&gt; Das ist fast die gesamte Länge des Rechengebiets. Ein konstantes Einlassprofil würde die Strömung an der Stenose also verfälschen, weshalb am Einlass das voll entwickelte Profil vorgegeben wird.

Damit liegen alle globalen Parameter fest. Die folgende Tabelle enthält sie mit genau den Namen, unter denen sie in COMSOL und in den Octave-Skripten verwendet werden.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Globale Parameter des Modells
! Name !! Ausdruck in COMSOL !! Wert !! Bedeutung !! Herkunft
|-
| R0 || 3[mm] || 3 mm || Gefäßradius || Messwerte nach Krejza u. a. 2006, gerundet
|-
| D0 || 2*R0 || 6 mm || Gefäßdurchmesser || abgeleitet
|-
| Ls || 2*D0 || 12 mm || Länge der Störstelle || Standardgeometrie nach Varghese u. a. 2007
|-
| Lu || 5*D0 || 30 mm || Vorlaufstrecke vor der Stenosemitte || Abstand der Einlassbedingung von der Stenose
|-
| Ld || 20*D0 || 120 mm || Nachlaufstrecke hinter der Stenosemitte || Platz für das Rückströmgebiet
|-
| Lf || Ls/2+10*D0 || 66 mm || Ende des fein vernetzten Nachlaufs || erwartete Länge des Rückströmgebiets
|-
| s || 0 bis 0.8 || 0 bis 0,8 || Stenosegrad bezogen auf den Durchmesser || NASCET-Einteilung
|-
| rho_b || 1060[kg/m^3] || 1060 kg/m³ || Dichte des Blutes || Mischungsregel, Literaturwert
|-
| mu_b || 3.5[mPa*s] || 3,5 mPa·s || dynamische Viskosität des Blutes || Hochscherwert, Quarteroni und Formaggia 2004
|-
| Q0 || 6[ml/s] || 6 ml/s || mittlerer Volumenstrom || Messwerte nach Holdsworth u. a. 1999
|-
| U0 || Q0/(pi*R0^2) || 0,2122 m/s || mittlere Einströmgeschwindigkeit || abgeleitet
|-
| Re0 || rho_b*U0*D0/mu_b || 385,6 || Reynoldszahl des gesunden Gefäßes || abgeleitet
|-
| dp_ref || 8*mu_b*U0*(Lu+Ld)/R0^2 || 99,03 Pa || Poiseuille-Druckabfall des gesunden Gefäßes || abgeleitet, Hagen-Poiseuille
|}


AB HIER ALT== Modellhierarchie ==

Für die Untersuchung werden vier Modellvarianten betrachtet, die sich hinsichtlich ihrer mathematischen Beschreibung, ihrer räumlichen Dimension und ihres Rechenaufwands unterscheiden. Die Modelle sind bewusst von einer vereinfachten analytischen Beschreibung bis zu einer dreidimensionalen numerischen Simulation angeordnet.

Diese Vorgehensweise ermöglicht es, die Ergebnisse der komplexeren Modelle anhand grundlegender physikalischer Zusammenhänge und geeigneter Referenzfälle zu überprüfen. Dabei ist zu beachten, dass nicht jede Modellvariante dieselben Strömungseigenschaften vollständig abbilden kann.

{| class=&quot;wikitable&quot; style=&quot;width:100%;&quot;
|+ '''Die vier Modellvarianten des Projekts'''
|-
! Modell
! Raumdimension
! Mathematische Grundlage
! Zweck
! Werkzeug
|-
| '''Graphenmodell'''
| 1D, Beschreibung entlang der Gefäßachse
| Hagen-Poiseuille-Gesetz für vereinfachte Rohrabschnitte und Massenerhaltung an Verzweigungsknoten
| Analytische Abschätzung von Volumenströmen und Druckverlusten; Referenz für die numerischen Modelle
| COMSOL mit geeigneter eindimensionaler Formulierung
|-
| '''Achsensymmetrisches Flächenmodell'''
| 2D, rotationssymmetrischer Längsschnitt in den Koordinaten &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;z&lt;/math&gt;
| Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen in achsensymmetrischer Form
| Detaillierte Untersuchung von Geschwindigkeits- und Druckfeldern sowie der Wandschubspannung in einem idealisierten rotationssymmetrischen Gefäß
| COMSOL Multiphysics, Laminar Flow
|-
| '''Ebenes Flächenmodell'''
| 2D, ebene Geometrie in den Koordinaten &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;y&lt;/math&gt;
| Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen in kartesischen Koordinaten
| Untersuchung der Strömung in einer vereinfachten ebenen Geometrie und Vergleich mit dem achsensymmetrischen Modell
| COMSOL Multiphysics, Laminar Flow
|-
| '''Volumenmodell'''
| 3D, räumliche Gefäßgeometrie
| Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen in drei Raumdimensionen
| Räumliche Darstellung der Strömung und Überprüfung der Ergebnisse des achsensymmetrischen Modells bei vergleichbarer Geometrie
| COMSOL Multiphysics, Laminar Flow
|}

== Stoff- und Strömungsparameter ==

Die Stoffwerte des Blutes und der Volumenstrom sind die einzigen Eingangsgrößen, die nicht aus der Geometrie folgen. Aus ihnen werden alle weiteren Strömungskennwerte berechnet. Die folgenden Schritte zeigen jede Rechnung einzeln, damit sich jeder Wert nachprüfen lässt.

# Die '''Dichte''' wird mit &lt;math&gt;\rho = 1060\ \mathrm{kg/m^3}&lt;/math&gt; angesetzt. Der Wert lässt sich als Mischungsregel plausibel machen. Plasma hat eine Dichte von etwa 1025 kg/m³, rote Blutkörperchen von etwa 1100 kg/m³. Bei einem Zellanteil von 45 % ergibt sich &lt;math&gt;0{,}55 \cdot 1025 + 0{,}45 \cdot 1100 \approx 1059\ \mathrm{kg/m^3}&lt;/math&gt;. Die Dichte geht nur über die Reynoldszahl in die Rechnung ein, eine Abweichung von einem Prozent ändert die Ergebnisse daher kaum. &lt;!-- FIXME Lehrbuchquelle fuer Plasma- und Erythrozytendichte ergaenzen --&gt;
# Die '''dynamische Viskosität''' wird mit &lt;math&gt;\mu = 3{,}5\ \mathrm{mPa\,s}&lt;/math&gt; angesetzt. Das ist der Grenzwert der Blutviskosität bei hohen Scherraten, also genau der Wert, der zur Newtonschen Näherung gehört. Derselbe Wert von 0,035 Poise wird auch im Standardwerk zur Modellierung des Herz-Kreislauf-Systems verwendet.&lt;ref name=&quot;quarteroni&quot;&gt;Quarteroni, A.; Formaggia, L.: ''Mathematical Modelling and Numerical Simulation of the Cardiovascular System.'' In: Ayache, N. (Hrsg.): ''Computational Models for the Human Body.'' Handbook of Numerical Analysis, Bd. XII, Elsevier, Amsterdam 2004, S. 3-127. DOI 10.1016/S1570-8659(03)12001-7. Zur Newtonschen Näherung in großen Gefäßen siehe S. 30, zur Viskosität von 0,035 Poise die Parametertabelle auf S. 116.&lt;/ref&gt;
# Der '''mittlere Volumenstrom''' wird mit &lt;math&gt;Q_0 = 6\ \mathrm{ml/s}&lt;/math&gt; angesetzt. Das ist der zeitlich gemittelte Volumenstrom, der in der gemeinsamen Halsschlagader gesunder Probanden gemessen wurde.&lt;ref name=&quot;holdsworth&quot; /&gt;
# Die '''mittlere Geschwindigkeit''' folgt aus Volumenstrom und Querschnittsfläche, &lt;math&gt;U_0 = \frac{Q_0}{\pi R_0^2} = \frac{6 \cdot 10^{-6}\ \mathrm{m^3/s}}{\pi \cdot (0{,}003\ \mathrm{m})^2} = 0{,}2122\ \mathrm{m/s}&lt;/math&gt;.
# Die '''Reynoldszahl''' des gesunden Gefäßes ist &lt;math&gt;Re_0 = \frac{\rho\, U_0\, D_0}{\mu} = \frac{1060 \cdot 0{,}2122 \cdot 0{,}006}{0{,}0035} = 385{,}6&lt;/math&gt;. Sie wird im Folgenden auf 386 gerundet.
# Die '''Einlauflänge''', die eine anfangs gleichförmige Strömung bis zum voll entwickelten Parabelprofil bräuchte, beträgt nach der gebräuchlichen Abschätzung für laminare Rohrströmungen &lt;math&gt;L_e \approx 0{,}06\, Re_0\, D_0 \approx 0{,}06 \cdot 386 \cdot 6\ \mathrm{mm} \approx 139\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt;.&lt;ref name=&quot;durst&quot;&gt;Durst, F.; Ray, S.; Ünsal, B.; Bayoumi, O. A.: ''The development lengths of laminar pipe and channel flows.'' Journal of Fluids Engineering 127 (2005), Nr. 6, S. 1154-1160. Für große Reynoldszahlen nähert sich die dort angegebene Korrelation dem Wert 0,057·Re·D.&lt;/ref&gt; Das ist fast die gesamte Länge des Rechengebiets. Ein konstantes Einlassprofil würde die Strömung an der Stenose also verfälschen, weshalb am Einlass das voll entwickelte Profil vorgegeben wird.

Damit liegen alle globalen Parameter fest. Die folgende Tabelle enthält sie mit genau den Namen, unter denen sie in COMSOL und in den Octave-Skripten verwendet werden.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Globale Parameter des Modells
! Name !! Ausdruck in COMSOL !! Wert !! Bedeutung !! Herkunft
|-
| R0 || 3[mm] || 3 mm || Gefäßradius || Messwerte nach Krejza u. a. 2006, gerundet
|-
| D0 || 2*R0 || 6 mm || Gefäßdurchmesser || abgeleitet
|-
| Ls || 2*D0 || 12 mm || Länge der Störstelle || Standardgeometrie nach Varghese u. a. 2007
|-
| Lu || 5*D0 || 30 mm || Vorlaufstrecke vor der Stenosemitte || Abstand der Einlassbedingung von der Stenose
|-
| Ld || 20*D0 || 120 mm || Nachlaufstrecke hinter der Stenosemitte || Platz für das Rückströmgebiet
|-
| Lf || Ls/2+10*D0 || 66 mm || Ende des fein vernetzten Nachlaufs || erwartete Länge des Rückströmgebiets
|-
| s || 0 bis 0.8 || 0 bis 0,8 || Stenosegrad bezogen auf den Durchmesser || NASCET-Einteilung
|-
| rho_b || 1060[kg/m^3] || 1060 kg/m³ || Dichte des Blutes || Mischungsregel, Literaturwert
|-
| mu_b || 3.5[mPa*s] || 3,5 mPa·s || dynamische Viskosität des Blutes || Hochscherwert, Quarteroni und Formaggia 2004
|-
| Q0 || 6[ml/s] || 6 ml/s || mittlerer Volumenstrom || Messwerte nach Holdsworth u. a. 1999
|-
| U0 || Q0/(pi*R0^2) || 0,2122 m/s || mittlere Einströmgeschwindigkeit || abgeleitet
|-
| Re0 || rho_b*U0*D0/mu_b || 385,6 || Reynoldszahl des gesunden Gefäßes || abgeleitet
|-
| dp_ref || 8*mu_b*U0*(Lu+Ld)/R0^2 || 99,03 Pa || Poiseuille-Druckabfall des gesunden Gefäßes || abgeleitet, Hagen-Poiseuille
|}

=== Vergleich und Überprüfung der Modellvarianten ===

Die Modellhierarchie folgt dem Prinzip, dass zunächst vereinfachte Zusammenhänge untersucht und anschließend mit detaillierteren numerischen Modellen verglichen werden.

Das '''Graphenmodell''' bildet die einfachste Modellvariante. Es verwendet das Hagen-Poiseuille-Gesetz zur Abschätzung des Druckverlustes in geraden Rohrabschnitten mit konstantem Durchmesser. Für den unverengten Referenzfall kann damit eine analytische Vergleichsgröße bestimmt werden. Im Bereich einer Stenose ist die Anwendung jedoch nur als vereinfachte Näherung geeignet, da dort zusätzliche Strömungseffekte auftreten können.

Das '''achsensymmetrische Flächenmodell''' ermöglicht eine detailliertere Untersuchung des Geschwindigkeits- und Druckfeldes innerhalb einer idealisierten rotationssymmetrischen Gefäßverengung. Im unverengten Referenzfall können die numerischen Ergebnisse mit der analytischen Poiseuille-Lösung verglichen werden. Bei zunehmendem Stenosegrad werden insbesondere die Beschleunigung im Bereich der Engstelle, der Druckverlust und die Wandschubspannung betrachtet.

Das '''ebene Flächenmodell''' beschreibt die Strömung in einer zweidimensionalen kartesischen Geometrie. Im Unterschied zum achsensymmetrischen Modell wird dabei keine Rotationssymmetrie vorausgesetzt. Da sich die geometrische Beschreibung des Strömungsquerschnitts unterscheidet, sind die Ergebnisse nicht ohne Weiteres quantitativ gleichzusetzen. Der Vergleich dient insbesondere dazu, den Einfluss der Modellvereinfachung auf die berechneten Strömungsgrößen zu untersuchen.

Das '''Volumenmodell''' erweitert die Untersuchung auf drei Raumdimensionen. Bei einer rotationssymmetrischen Geometrie und entsprechend übereinstimmenden Randbedingungen wird eine weitgehende Übereinstimmung mit dem achsensymmetrischen Modell erwartet. Diese Übereinstimmung muss jedoch anhand der numerischen Ergebnisse überprüft werden. Bei einer Gefäßaufzweigung oder einer asymmetrischen Stenose können zusätzliche räumliche Strömungseffekte auftreten, die durch ein achsensymmetrisches Modell nicht vollständig beschrieben werden.

=== Referenzfall und Vergleichsgrößen ===

Als Ausgangspunkt dient ein unverengtes Gefäß mit dem Referenzdurchmesser &lt;math&gt;D_0=6\,\mathrm{mm}&lt;/math&gt;. Für das Blut werden eine Dichte von &lt;math&gt;\rho_b=1060\,\mathrm{kg/m^3}&lt;/math&gt; und eine dynamische Viskosität von &lt;math&gt;\mu_b=3{,}5\,\mathrm{mPa\,s}&lt;/math&gt; angenommen.

Der vorgegebene mittlere Volumenstrom beträgt &lt;math&gt;Q_0=6\,\mathrm{ml/s}&lt;/math&gt;. Daraus ergibt sich für den unverengten kreisförmigen Querschnitt eine mittlere Strömungsgeschwindigkeit von ungefähr &lt;math&gt;U_0=0{,}2122\,\mathrm{m/s}&lt;/math&gt;.

Die Referenz-Reynolds-Zahl beträgt &lt;math&gt;\mathrm{Re}_0=385{,}6&lt;/math&gt;. Für den in den Referenzdaten definierten Vergleichsfall ist außerdem ein analytischer Druckverlust von &lt;math&gt;\Delta p_{\mathrm{ref}}=99{,}03\,\mathrm{Pa}&lt;/math&gt; angegeben.

Diese Größen dienen als Ausgangspunkt für die Überprüfung der numerischen Modelle. Ein direkter Vergleich ist jedoch nur zulässig, wenn die jeweils verwendete Geometrie, die Auswertelänge und die Randbedingungen übereinstimmen.

=== Grenzen der Modellhierarchie ===

Die vier Modellvarianten unterscheiden sich nicht nur im Rechenaufwand, sondern auch in den physikalischen Effekten, die sie darstellen können.

Insbesondere bei hochgradigen Stenosen können starke lokale Geschwindigkeitsänderungen, Strömungsablösungen und zeitabhängige Strömungsstrukturen auftreten. Deshalb muss überprüft werden, ob die Annahme einer stationären laminaren Strömung für die betrachteten Fälle ausreichend ist.

Außerdem muss zwischen dem idealisierten geraden Gefäßmodell und einer Gefäßaufzweigung unterschieden werden. Das achsensymmetrische Modell eignet sich für eine rotationssymmetrische Stenose in einem geraden Gefäß, während eine realistische Gefäßaufzweigung eine andere geometrische Beschreibung erfordert.

Die Modellvarianten werden daher nicht als vollständig gleichwertig betrachtet. Vielmehr soll der Vergleich zeigen, welche Aussagen bereits durch vereinfachte Modelle möglich sind und für welche Strömungseigenschaften eine detailliertere numerische Beschreibung erforderlich ist.

= Modellierung =

Modellierung bedeutet hier, die reale Situation in eine mathematische Aufgabe zu übersetzen, die sich lösen lässt. Dazu gehören vier Bausteine, nämlich das Rechengebiet, die Gleichungen, die Zahlenwerte der Parameter und die Bedingungen an den Rändern. Jeder dieser Bausteine beruht auf Annahmen, und jede Annahme muss begründet werden. Dieser Abschnitt geht die Bausteine deshalb der Reihe nach durch und nennt bei jedem Zahlenwert, woher er stammt und warum er sinnvoll ist.

== Modellhierarchie ==

Das Projekt rechnet nicht ein einziges Modell, sondern vier aufeinander aufbauende Modellvarianten. Sie entsprechen der Kursanforderung, eine Strömung als Graph, in zwei und in drei Raumdimensionen darzustellen, und sie sind bewusst von einfach nach aufwendig geordnet.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Die vier Modellvarianten des Projekts
! Modell !! Raumdimension !! gelöste Gleichung !! Zweck !! Werkzeug
|-
| Graphenmodell || 1D, Gefäßachse || Hagen-Poiseuille je Rohrstück und Massenerhaltung in jedem Knoten || schnelle, analytisch nachrechenbare Abschätzung für jeden Stenosegrad || Octave und COMSOL (Koeffizientenform-PDGL)
|-
| achsensymmetrisches Flächenmodell || 2D, Halbschnitt in r und z || vollständige stationäre Navier-Stokes-Gleichungen in Zylinderkoordinaten || Hauptmodell, liefert alle Feldgrößen des rotationssymmetrischen Rohres || COMSOL, Laminare Strömung
|-
| ebenes Flächenmodell || 2D, Halbschnitt in x und y || vollständige stationäre Navier-Stokes-Gleichungen in kartesischen Koordinaten || Vergleich, zeigt den Einfluss der zweiten Querschnittsrichtung || COMSOL, Laminare Strömung
|-
| Volumenmodell || 3D || vollständige stationäre Navier-Stokes-Gleichungen || Kontrolle des Hauptmodells und räumliche Darstellung || COMSOL, Laminare Strömung
|}

Die Reihenfolge folgt einem einfachen Prinzip. Jede Stufe liefert die Sollwerte, an denen die nächste, komplexere Stufe geprüft wird. Das Graphenmodell muss im gesunden Fall exakt die Poiseuille-Lösung ergeben. Das achsensymmetrische Modell muss im gesunden Fall dieselben Werte liefern und bei Stenose für Geschwindigkeit und Wandschubspannung in der Nähe des Graphenmodells liegen. Das Volumenmodell muss, weil die Geometrie rotationssymmetrisch ist, mit dem achsensymmetrischen Modell übereinstimmen.

== Modellannahmen ==

Um den Einfluss des Stenosegrades möglichst isoliert zu untersuchen, werden die folgenden Modellannahmen getroffen. Die Tabelle nennt zu jeder Annahme ihre mathematische Form, die Begründung und die Stelle, an der sie im Projekt überprüft wird.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Modellannahmen, ihre Begründung und ihre Überprüfung
! Annahme !! mathematische Form !! Begründung !! Überprüfung
|-
| Idealisierte Gefäßgeometrie || gerades Rohr mit kosinusförmiger, rotationssymmetrischer Verengung || isoliert die Wirkung des Stenosegrades von Krümmung, Verzweigung und Plaqueform || Diskussion in den Schlussfolgerungen
|-
| Starre Gefäßwand || Wand ortsfest, keine Fluid-Struktur-Kopplung || im stationären Fall gibt es keine Druckschwankung, die die Wand periodisch aufweiten könnte || Abschätzung über die gemessene Durchmesseränderung im Herzzyklus
|-
| Stationäre Strömung || &lt;math&gt;\partial \mathbf{u}/\partial t = \mathbf{0}&lt;/math&gt; || der Einfluss des Stenosegrades soll ohne Überlagerung durch die Pulsation sichtbar werden || Abschätzung über die Womersley-Zahl
|-
| Inkompressibles Fluid || &lt;math&gt;\rho = \mathrm{const}&lt;/math&gt;, damit &lt;math&gt;\nabla\cdot\mathbf{u} = 0&lt;/math&gt; || Blut ist eine Flüssigkeit, Druckänderungen von wenigen hundert Pascal ändern die Dichte nicht messbar || Massenerhaltung in fünf Querschnitten
|-
| Newtonsche Näherung || konstante Viskosität &lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt; || die Scherraten an der Wand und im größten Teil des Querschnitts liegen über dem Bereich, in dem Blut deutlich scherverdünnend wirkt || Scherrate an der Wand, Diskussion des Rückströmgebiets
|-
| Konstante Stoffeigenschaften || &lt;math&gt;\rho&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt; räumlich und zeitlich konstant || Körpertemperatur ist im betrachteten Abschnitt konstant || entfällt
|-
| Laminare Strömung || kein Turbulenzmodell, Schnittstelle Laminare Strömung || Reynoldszahl des gesunden Gefäßes von 386 liegt weit unter dem Umschlagbereich || Reynoldszahl in der Engstelle, Literaturvergleich
|-
| Haftbedingung an der Wand || &lt;math&gt;\mathbf{u} = \mathbf{0}&lt;/math&gt; auf der Wand || Folge der Viskosität, das Fluid haftet an der Wand || Grundlage jeder Wandschubspannung
|-
| Vernachlässigung der Gravitation || keine Volumenkraft || bei konstanter Dichte lässt sich die Schwerkraft vollständig in einen hydrostatischen Druckanteil verschieben und beeinflusst die Geschwindigkeit nicht || Begründung in den Mathematischen Hintergründen
|-
| Voll entwickelte Einströmung || parabolisches Profil am Einlass || die natürliche Einlaufstrecke wäre mit rund 139 mm fast so lang wie das ganze Rechengebiet || Scheitelgeschwindigkeit im gesunden Fall
|-
| Eingeprägter Volumenstrom || &lt;math&gt;Q = Q_0&lt;/math&gt; am Einlass || der Strömungswiderstand des Abschnitts ist klein gegenüber dem des nachgeschalteten Gefäßbetts || Abschätzung mit einem Reihenwiderstand
|}

Einige dieser Annahmen sind unmittelbar einsichtig, andere verdienen eine genauere Begründung, weil von ihnen die Aussagekraft der Ergebnisse abhängt.

Die '''Newtonsche Näherung''' ist die Annahme, die bei Blut am häufigsten hinterfragt wird. Reales Blut ist eine Suspension aus Plasma und Blutzellen und verhält sich scherverdünnend. Bei kleinen Scherraten lagern sich die roten Blutkörperchen zu geldrollenartigen Stapeln zusammen, und die Viskosität steigt auf ein Vielfaches an. Bei großen Scherraten lösen sich diese Stapel auf, und die Viskosität strebt gegen einen Grenzwert von etwa 3,5 mPa·s. Entscheidend ist also die Scherrate. An der Wand des gesunden Modellgefäßes beträgt sie nach der Poiseuille-Lösung

&lt;math&gt;\dot\gamma_w = \frac{4\,U_0}{R_0} = \frac{4 \cdot 0{,}2122\ \mathrm{m/s}}{0{,}003\ \mathrm{m}} \approx 283\ \mathrm{s^{-1}}&lt;/math&gt;

und liegt damit oberhalb von etwa 100 pro Sekunde, wo sich Newtonsches und nicht Newtonsches Modell nach der Literatur nur noch wenig unterscheiden.&lt;ref name=&quot;boyd&quot;&gt;Die Grenze von etwa 100 s&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt; wird in vergleichenden Studien zur Blutrheologie verwendet, etwa bei Bernabeu, M. O. u. a.: ''Impact of blood rheology on wall shear stress in a model of the middle cerebral artery.'' Interface Focus 3 (2013), 20120094. &lt;!-- FIXME Zitat und Seitenangabe am Original pruefen --&gt;&lt;/ref&gt; In der Engstelle steigt die Scherrate weiter an, beim Stenosegrad 0,5 auf rund 2260 pro Sekunde. Schwach ist die Näherung dort, wo die Scherrate klein wird, also in der Mitte des Gefäßes und vor allem im Rückströmgebiet hinter der Stenose. Dort ist reales Blut zäher als angenommen. Dieser Punkt wird in den Schlussfolgerungen wieder aufgegriffen.

Die '''stationäre Strömung''' ist die stärkste Vereinfachung. Wie wichtig die Pulsation ist, misst die Womersley-Zahl, die das Verhältnis von instationärer Trägheit zu Reibung angibt. Mit einer Herzfrequenz von 60 Schlägen je Minute, also einer Kreisfrequenz &lt;math&gt;\omega = 2\pi\ \mathrm{s^{-1}}&lt;/math&gt;, ergibt sich

&lt;math&gt;\alpha = R_0 \sqrt{\frac{\omega \rho}{\mu}} = 0{,}003\ \mathrm{m} \cdot \sqrt{\frac{2\pi\ \mathrm{s^{-1}} \cdot 1060\ \mathrm{kg/m^3}}{0{,}0035\ \mathrm{Pa\,s}}} \approx 4{,}1 .&lt;/math&gt;

Ein Wert in dieser Größenordnung bedeutet, dass das reale Geschwindigkeitsprofil im Herzzyklus merklich von der Parabel abweicht.&lt;ref name=&quot;womersley&quot;&gt;Womersley, J. R.: ''Method for the calculation of velocity, rate of flow and viscous drag in arteries when the pressure gradient is known.'' Journal of Physiology 127 (1955), S. 553-563.&lt;/ref&gt; Hinzu kommt, dass der Volumenstrom in der Systole kurzzeitig auf rund das Vierfache des Mittelwerts steigt.&lt;ref name=&quot;holdsworth&quot;&gt;Holdsworth, D. W.; Norley, C. J. D.; Frayne, R.; Steinman, D. A.; Rutt, B. K.: ''Characterization of common carotid artery blood-flow waveforms in normal human subjects.'' Physiological Measurement 20 (1999), Nr. 3, S. 219-240. DOI 10.1088/0967-3334/20/3/301. Angegeben werden ein mittlerer Volumenstrom von 6,0 ± 1,4 ml/s und ein systolischer Spitzenwert von 23,5 ± 3,8 ml/s. &lt;!-- FIXME Zahlenwerte und Probandenzahl am Original pruefen --&gt;&lt;/ref&gt; Die stationäre Rechnung mit dem Mittelwert beschreibt deshalb nicht den zeitlichen Verlauf, wohl aber den zeitlich gemittelten Zustand, an dem sich der Einfluss des Stenosegrades sauber vergleichen lässt.

Die '''laminare Strömung''' wird über die Reynoldszahl begründet. Sie beträgt im gesunden Gefäß 386 und liegt damit weit unter dem Wert von etwa 2300, ab dem die Strömung in einem geraden Rohr in den Übergangsbereich gelangen kann. In der Engstelle steigt sie bei festem Volumenstrom auf &lt;math&gt;Re_0/(1-s)&lt;/math&gt;, also auf 551 beim Stenosegrad 0,3, auf 964 beim Grad 0,6 und auf 1928 beim Grad 0,8. Für den Strahl hinter einer Engstelle ist der Umschlagbereich allerdings deutlich niedriger als im geraden Rohr. Direkte numerische Simulationen an genau der in diesem Projekt verwendeten Stenosegeometrie zeigen, dass die Strömung bei einer Einström-Reynoldszahl von 500 auch bei leichter Unsymmetrie laminar bleibt, bei 1000 dagegen schon eine Exzentrizität von fünf Prozent des Durchmessers genügt, um den Strahl in lokal turbulente Strömung umschlagen zu lassen.&lt;ref name=&quot;varghese&quot;&gt;Varghese, S. S.; Frankel, S. H.; Fischer, P. F.: ''Direct numerical simulation of stenotic flows. Part 1. Steady flow.'' Journal of Fluid Mechanics 582 (2007), S. 253-280. Untersucht wird eine kosinusförmige Stenose der Länge 2D mit 75 % Flächenreduktion, die mit der Geometrie dieses Projekts beim Stenosegrad 0,5 übereinstimmt. &lt;!-- FIXME Band und Seiten am Original pruefen --&gt;&lt;/ref&gt; Mit einer Einström-Reynoldszahl von 386 liegt das Projekt für die leicht- und mittelgradigen Stenosen sicher im laminaren Bereich. Für die hochgradigen Stenosen ab 0,7 ist ein laminares, stationäres Modell dagegen nur noch eine Näherung, die eine Obergrenze der geordneten Strömung beschreibt. Diese Fälle werden deshalb als Grenzfall des Modells gekennzeichnet.

Die '''starre Wand''' lässt sich über Messungen abschätzen. Der Durchmesser der gemeinsamen Halsschlagader ändert sich im Herzzyklus bei jungen Menschen um etwa 12 bis 14 Prozent und bei älteren Menschen um etwa 5 Prozent.&lt;ref name=&quot;hansen&quot;&gt;Hansen, F.; Mangell, P.; Sonesson, B.; Länne, T.: ''Diameter and compliance in the human common carotid artery: variations with age and sex.'' Ultrasound in Medicine and Biology 21 (1995), Nr. 1, S. 1-9. DOI 10.1016/0301-5629(94)00090-5.&lt;/ref&gt; Diese Bewegung ist eine Folge der Pulsation. In einer stationären Rechnung gibt es keine Druckschwankung, die die Wand periodisch aufweiten könnte, sodass die starre Wand zur stationären Annahme konsistent ist. Eine verkalkte Plaque ist ohnehin deutlich steifer als die gesunde Wand.

Die Annahme des '''eingeprägten Volumenstroms''' wird im Abschnitt zu den Randbedingungen begründet, weil sie sich nur im Zusammenhang mit dem Kreislauf beurteilen lässt.

== Simulationsgebiet und Geometrie ==

Die Gefäßachse ist die z-Achse, der Ursprung liegt in der Mitte der Stenose, und &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; bezeichnet den Abstand von der Achse. Das Rechengebiet reicht von &lt;math&gt;z = -L_u&lt;/math&gt; bis &lt;math&gt;z = L_d&lt;/math&gt; und wird radial von der Wandkontur &lt;math&gt;R(z)&lt;/math&gt; begrenzt. Die Verengung wird über eine einzige glatte Funktion beschrieben,

&lt;math&gt;R(z) = R_0 \left[ 1 - \frac{s}{2}\left(1 + \cos\frac{2\pi z}{L_s}\right)\right] \quad \text{falls } |z| \le \frac{L_s}{2}, \qquad R(z) = R_0 \ \text{sonst.}&lt;/math&gt;

Die Funktion hat drei Eigenschaften, die ihre Wahl begründen. Sie wird erstens über einen einzigen Parameter gesteuert, den Stenosegrad &lt;math&gt;s&lt;/math&gt;. Der engste Radius in der Mitte beträgt &lt;math&gt;R(0) = R_0(1-s)&lt;/math&gt;, und der Fall ohne Verengung ist einfach der Fall &lt;math&gt;s = 0&lt;/math&gt;. Die gesamte Vergleichsreihe entsteht damit aus einem einzigen parametrischen Sweep. Sie geht zweitens an beiden Enden der Störstelle ohne Knick in das gerade Rohr über. Bei &lt;math&gt;z = \pm L_s/2&lt;/math&gt; ist der Kosinus gleich minus eins, die Klammer also null, und seine Ableitung verschwindet dort ebenfalls. Das ist nicht nur ästhetisch, sondern numerisch notwendig, denn ein Knick in der Wand erzeugt eine Singularität der Wandschubspannung, deren berechneter Wert mit jeder Netzverfeinerung weiter wüchse. Eine Netzstudie wäre dann sinnlos. Sie ist drittens die in der Literatur gebräuchliche Standardgeometrie für Stenosen, sodass sich die Ergebnisse unmittelbar mit veröffentlichten Rechnungen vergleichen lassen.&lt;ref name=&quot;varghese&quot; /&gt;

[[Datei:Stenose Gruppe5 Wandkontur.svg|mini|zentriert|800px|Wandkontur &lt;math&gt;R(z)&lt;/math&gt; für die untersuchten Stenosegrade. Die Darstellung ist in radialer Richtung gestreckt, das Rechengebiet ist in Wirklichkeit fünfundzwanzigmal länger als breit.]]
&lt;!-- FIXME Abbildung mit abbildungen_graph_1d.m fuer s = 0 bis 0,8 neu erzeugen, bisher nur bis 0,5 --&gt;

Die Abmessungen des Rechengebiets werden alle aus dem Gefäßradius abgeleitet. Das hat den Vorteil, dass sich das gesamte Modell durch Ändern eines einzigen Wertes auf ein anderes Gefäß übertragen lässt. Die einzelnen Längen werden im Folgenden Schritt für Schritt begründet.

# Der '''Gefäßradius''' &lt;math&gt;R_0 = 3\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; folgt aus Ultraschallmessungen an gesunden Erwachsenen. Dort wurden für die gemeinsame Halsschlagader mittlere Durchmesser von 6,10 ± 0,80 mm bei Frauen und 6,52 ± 0,98 mm bei Männern gemessen.&lt;ref name=&quot;krejza&quot;&gt;Krejza, J.; Arkuszewski, M.; Kasner, S. E.; Weigele, J.; Ustymowicz, A.; Hurst, R. W.; Cucchiara, B. L.; Messe, S. R.: ''Carotid artery diameter in men and women and the relation to body and neck size.'' Stroke 37 (2006), Nr. 4, S. 1103-1105. DOI 10.1161/01.STR.0000206440.48756.f7.&lt;/ref&gt; Der gewählte Durchmesser von &lt;math&gt;D_0 = 6\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; liegt damit innerhalb einer Standardabweichung beider Gruppen und ist bewusst auf einen runden Wert gesetzt, damit alle abgeleiteten Längen glatte Zahlen ergeben.
# Die '''Länge der Störstelle''' &lt;math&gt;L_s = 2 D_0 = 12\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; entspricht der Standardgeometrie aus der Literatur, die eine Stenosenlänge von zwei Durchmessern verwendet.&lt;ref name=&quot;varghese&quot; /&gt; Damit ist beim Stenosegrad 0,5 ein direkter Vergleich mit veröffentlichten Ergebnissen möglich.
# Die '''Vorlaufstrecke''' &lt;math&gt;L_u = 5 D_0 = 30\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; trennt den Einlass von der Stenose. Da am Einlass bereits das voll entwickelte Profil vorgegeben wird, muss sie nicht die Einlaufstrecke abdecken, sondern nur verhindern, dass die Einströmrandbedingung die Strömung an der Engstelle beeinflusst. Bei Reynoldszahlen in dieser Größenordnung reicht der Einfluss einer Verengung nur wenige Durchmesser stromaufwärts, die Literatur kommt für dieselbe Geometrie mit drei Durchmessern Vorlauf aus.&lt;ref name=&quot;varghese&quot; /&gt; Fünf Durchmesser lassen also eine Reserve. Überprüft wird das im Ergebnis, indem die Geschwindigkeit auf der Achse in der Mitte der Vorlaufstrecke mit dem Sollwert &lt;math&gt;2U_0&lt;/math&gt; verglichen wird.
# Die '''Nachlaufstrecke''' &lt;math&gt;L_d = 20 D_0 = 120\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; ist deutlich länger, weil sich hinter der Engstelle ein Rückströmgebiet bildet, das nicht auf den Auslass treffen darf. Für die Geometrie mit dem Stenosegrad 0,5 legt die Strömung bei einer Einström-Reynoldszahl von 500 erst etwa zehn Durchmesser hinter der Engstelle wieder an, die Literatur rechnet mit sechzehn Durchmessern Nachlauf.&lt;ref name=&quot;varghese&quot; /&gt; Zwanzig Durchmesser bieten damit für alle Stenosegrade bis 0,5 einen Sicherheitsabstand. Für die Grade ab 0,6 ist ein längeres Rückströmgebiet zu erwarten, dort wird die Lage des Wiederanlegepunktes ausdrücklich kontrolliert.
# Das '''Ende des fein vernetzten Nachlaufs''' &lt;math&gt;L_f = L_s/2 + 10 D_0 = 66\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; legt fest, bis wohin das Netz verfeinert wird. Der Wert ist so gewählt, dass das erwartete Rückströmgebiet von etwa zehn Durchmessern vollständig im feinen Bereich liegt.

Damit hat das Rechengebiet eine Gesamtlänge von &lt;math&gt;L = L_u + L_d = 150\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt;, also das Fünfundzwanzigfache des Durchmessers. Es ist ein Modellgebiet und kein maßstäbliches Abbild eines bestimmten anatomischen Abschnitts.

== Stoff- und Strömungsparameter ==

Die Stoffwerte des Blutes und der Volumenstrom sind die einzigen Eingangsgrößen, die nicht aus der Geometrie folgen. Aus ihnen werden alle weiteren Strömungskennwerte berechnet. Die folgenden Schritte zeigen jede Rechnung einzeln, damit sich jeder Wert nachprüfen lässt.

# Die '''Dichte''' wird mit &lt;math&gt;\rho = 1060\ \mathrm{kg/m^3}&lt;/math&gt; angesetzt. Der Wert lässt sich als Mischungsregel plausibel machen. Plasma hat eine Dichte von etwa 1025 kg/m³, rote Blutkörperchen von etwa 1100 kg/m³. Bei einem Zellanteil von 45 % ergibt sich &lt;math&gt;0{,}55 \cdot 1025 + 0{,}45 \cdot 1100 \approx 1059\ \mathrm{kg/m^3}&lt;/math&gt;. Die Dichte geht nur über die Reynoldszahl in die Rechnung ein, eine Abweichung von einem Prozent ändert die Ergebnisse daher kaum. &lt;!-- FIXME Lehrbuchquelle fuer Plasma- und Erythrozytendichte ergaenzen --&gt;
# Die '''dynamische Viskosität''' wird mit &lt;math&gt;\mu = 3{,}5\ \mathrm{mPa\,s}&lt;/math&gt; angesetzt. Das ist der Grenzwert der Blutviskosität bei hohen Scherraten, also genau der Wert, der zur Newtonschen Näherung gehört. Derselbe Wert von 0,035 Poise wird auch im Standardwerk zur Modellierung des Herz-Kreislauf-Systems verwendet.&lt;ref name=&quot;quarteroni&quot;&gt;Quarteroni, A.; Formaggia, L.: ''Mathematical Modelling and Numerical Simulation of the Cardiovascular System.'' In: Ayache, N. (Hrsg.): ''Computational Models for the Human Body.'' Handbook of Numerical Analysis, Bd. XII, Elsevier, Amsterdam 2004, S. 3-127. DOI 10.1016/S1570-8659(03)12001-7. Zur Newtonschen Näherung in großen Gefäßen siehe S. 30, zur Viskosität von 0,035 Poise die Parametertabelle auf S. 116.&lt;/ref&gt;
# Der '''mittlere Volumenstrom''' wird mit &lt;math&gt;Q_0 = 6\ \mathrm{ml/s}&lt;/math&gt; angesetzt. Das ist der zeitlich gemittelte Volumenstrom, der in der gemeinsamen Halsschlagader gesunder Probanden gemessen wurde.&lt;ref name=&quot;holdsworth&quot; /&gt;
# Die '''mittlere Geschwindigkeit''' folgt aus Volumenstrom und Querschnittsfläche, &lt;math&gt;U_0 = \frac{Q_0}{\pi R_0^2} = \frac{6 \cdot 10^{-6}\ \mathrm{m^3/s}}{\pi \cdot (0{,}003\ \mathrm{m})^2} = 0{,}2122\ \mathrm{m/s}&lt;/math&gt;.
# Die '''Reynoldszahl''' des gesunden Gefäßes ist &lt;math&gt;Re_0 = \frac{\rho\, U_0\, D_0}{\mu} = \frac{1060 \cdot 0{,}2122 \cdot 0{,}006}{0{,}0035} = 385{,}6&lt;/math&gt;. Sie wird im Folgenden auf 386 gerundet.
# Die '''Einlauflänge''', die eine anfangs gleichförmige Strömung bis zum voll entwickelten Parabelprofil bräuchte, beträgt nach der gebräuchlichen Abschätzung für laminare Rohrströmungen &lt;math&gt;L_e \approx 0{,}06\, Re_0\, D_0 \approx 0{,}06 \cdot 386 \cdot 6\ \mathrm{mm} \approx 139\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt;.&lt;ref name=&quot;durst&quot;&gt;Durst, F.; Ray, S.; Ünsal, B.; Bayoumi, O. A.: ''The development lengths of laminar pipe and channel flows.'' Journal of Fluids Engineering 127 (2005), Nr. 6, S. 1154-1160. Für große Reynoldszahlen nähert sich die dort angegebene Korrelation dem Wert 0,057·Re·D.&lt;/ref&gt; Das ist fast die gesamte Länge des Rechengebiets. Ein konstantes Einlassprofil würde die Strömung an der Stenose also verfälschen, weshalb am Einlass das voll entwickelte Profil vorgegeben wird.

Damit liegen alle globalen Parameter fest. Die folgende Tabelle enthält sie mit genau den Namen, unter denen sie in COMSOL und in den Octave-Skripten verwendet werden.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Globale Parameter des Modells
! Name !! Ausdruck in COMSOL !! Wert !! Bedeutung !! Herkunft
|-
| R0 || 3[mm] || 3 mm || Gefäßradius || Messwerte nach Krejza u. a. 2006, gerundet
|-
| D0 || 2*R0 || 6 mm || Gefäßdurchmesser || abgeleitet
|-
| Ls || 2*D0 || 12 mm || Länge der Störstelle || Standardgeometrie nach Varghese u. a. 2007
|-
| Lu || 5*D0 || 30 mm || Vorlaufstrecke vor der Stenosemitte || Abstand der Einlassbedingung von der Stenose
|-
| Ld || 20*D0 || 120 mm || Nachlaufstrecke hinter der Stenosemitte || Platz für das Rückströmgebiet
|-
| Lf || Ls/2+10*D0 || 66 mm || Ende des fein vernetzten Nachlaufs || erwartete Länge des Rückströmgebiets
|-
| s || 0 bis 0.8 || 0 bis 0,8 || Stenosegrad bezogen auf den Durchmesser || NASCET-Einteilung
|-
| rho_b || 1060[kg/m^3] || 1060 kg/m³ || Dichte des Blutes || Mischungsregel, Literaturwert
|-
| mu_b || 3.5[mPa*s] || 3,5 mPa·s || dynamische Viskosität des Blutes || Hochscherwert, Quarteroni und Formaggia 2004
|-
| Q0 || 6[ml/s] || 6 ml/s || mittlerer Volumenstrom || Messwerte nach Holdsworth u. a. 1999
|-
| U0 || Q0/(pi*R0^2) || 0,2122 m/s || mittlere Einströmgeschwindigkeit || abgeleitet
|-
| Re0 || rho_b*U0*D0/mu_b || 385,6 || Reynoldszahl des gesunden Gefäßes || abgeleitet
|-
| dp_ref || 8*mu_b*U0*(Lu+Ld)/R0^2 || 99,03 Pa || Poiseuille-Druckabfall des gesunden Gefäßes || abgeleitet, Hagen-Poiseuille
|}


= Literaturverzeichnis =

Alle Quellen sind an den Stellen im Text angegeben, an denen die zugehörigen Werte oder Aussagen verwendet werden. Die Liste wird aus diesen Angaben automatisch erzeugt.

&lt;references /&gt;</text>
      <sha1>8v7uqec87lh5h7mcqlds65da35elc6e</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>1115908</id>
      <parentid>1115907</parentid>
      <timestamp>2026-10-12T17:03:39Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Heitele</username>
        <id>38553</id>
      </contributor>
      <comment>/* Relevanz */</comment>
      <origin>1115908</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="87425" sha1="fzw0kt8z867crrbzx3abt9af7chzi3n" xml:space="preserve">
´

== Auswahl der Stenosegrade ==

Die Auswahl der untersuchten Stenosegrade orientiert sich an klinisch gebräuchlichen Kategorien der Durchmesserreduktion bei Karotisstenosen. Die NASCET-Methode beschreibt den Stenosegrad anhand des Verhältnisses zwischen dem minimalen Durchmesser in der Engstelle und einem Referenzdurchmesser des nicht verengten Gefäßabschnitts.&lt;ref name=&quot;NASCET&quot; /&gt;

Für die idealisierte Modellgeometrie wird als Referenzdurchmesser der unverengte Durchmesser der Arteria carotis interna verwendet.

Die klinischen Schweregradkategorien dienen im Projekt zur Einordnung der untersuchten Modellvarianten. Die mathematische Definition des Stenosegrades erfolgt bezogen auf den festgelegten Referenzdurchmesser der ACI.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ '''Einordnung der untersuchten Stenosegrade'''
|-
! Schweregrad
! Durchmesserreduktion
! Im Projekt vorgesehene Stenosegrade
! Hervorgehobener Vertreter
|-
| Gesundes Gefäß
| 0 %
| 0
| 0
|-
| Leichtgradige Stenose
| Unter 50 %
| 0,1 bis 0,4
| 0,3
|-
| Mittelgradige Stenose
| 50 bis 69 %
| 0,5 und 0,6
| 0,6
|-
| Hochgradige Stenose
| 70 bis 99 %
| 0,7 und 0,8
| 0,8
|-
| Okklusion
| 100 %
| Nicht vorgesehen
| Entfällt
|}

Für die Untersuchung werden insbesondere das gesunde Gefäß sowie Stenosegrade von 30 %, 60 % und 80 % betrachtet. Diese repräsentieren unterschiedliche Ausprägungen der Gefäßverengung.

Zusätzlich sind Stenosegrade von 0 bis 80 % in Schritten von zehn Prozentpunkten vorgesehen. Welche dieser Varianten für die einzelnen Modelle tatsächlich berechnet werden, wird anhand der durchgeführten COMSOL-Simulationen dokumentiert.

Ein vollständiger Gefäßverschluss wird nicht betrachtet, da bei einer vollständigen Okklusion keine durchgängige Strömung durch den betroffenen Gefäßast mehr möglich ist.

=== Definition des Stenosegrades ===

Der Stenosegrad &lt;math&gt;s&lt;/math&gt; beschreibt die relative Verringerung des Gefäßdurchmessers:

:&lt;math&gt;s=1-\frac{d_{\min}}{D_{\mathrm{ICA}}}&lt;/math&gt;

Dabei ist:

* &lt;math&gt;d_{\min}&lt;/math&gt;: minimaler Durchmesser innerhalb der Stenose,
* &lt;math&gt;D_{\mathrm{ICA}}&lt;/math&gt;: unverengter Referenzdurchmesser der Arteria carotis interna.

Für das Modell wird festgelegt:

:&lt;math&gt;D_{\mathrm{ICA}}=5\,\mathrm{mm}&lt;/math&gt;

Damit ergibt sich:

:&lt;math&gt;d_{\min}=D_{\mathrm{ICA}}(1-s)&lt;/math&gt;

Die Definition bezieht sich ausschließlich auf die Arteria carotis interna. Der Durchmesser der Arteria carotis communis wird nicht zur Berechnung des Stenosegrades verwendet.

=== Durchmesser- und Flächenreduktion ===

Bei einem kreisförmigen Gefäßquerschnitt hängt die Querschnittsfläche quadratisch vom Durchmesser ab.

Für die relative Flächenreduktion gilt daher:

:&lt;math&gt;A_{\mathrm{Reduktion}}=1-(1-s)^2&lt;/math&gt;

Eine Durchmesserreduktion von 60 % entspricht somit einer Flächenreduktion von:

:&lt;math&gt;1-(1-0{,}6)^2=0{,}84=84\,\%&lt;/math&gt;

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ '''Durchmesser- und Flächenreduktion in der Arteria carotis interna'''
|-
! Stenosegrad &lt;math&gt;s&lt;/math&gt;
! Minimaler Durchmesser
! Flächenreduktion
|-
| 0
| 5,0 mm
| 0 %
|-
| 0,1
| 4,5 mm
| 19 %
|-
| 0,2
| 4,0 mm
| 36 %
|-
| 0,3
| 3,5 mm
| 51 %
|-
| 0,4
| 3,0 mm
| 64 %
|-
| 0,5
| 2,5 mm
| 75 %
|-
| 0,6
| 2,0 mm
| 84 %
|-
| 0,7
| 1,5 mm
| 91 %
|-
| 0,8
| 1,0 mm
| 96 %
|}

'''Einschränkung:''' Die Beziehung zwischen Durchmesser- und Flächenreduktion gilt für kreisförmige Querschnitte mit einer entsprechenden gleichmäßigen Verringerung des Durchmessers. Bei einer ausschließlich ebenen zweidimensionalen Geometrie ist die dargestellte Querschnittsfläche nicht unmittelbar mit der eines dreidimensionalen kreisförmigen Gefäßes gleichzusetzen.

Mit zunehmendem Stenosegrad können starke lokale Beschleunigungen, Strömungsablösungen und zeitabhängige Strömungsstrukturen auftreten. Die Aussagekraft einer stationären laminaren Berechnung muss deshalb insbesondere für hochgradige Stenosen kritisch bewertet werden.

== Modellierung ==

Ziel der Modellierung ist es, die Blutströmung innerhalb einer Y-förmigen Karotisaufzweigung mathematisch und numerisch zu beschreiben.

Das Gefäßmodell besteht aus der Arteria carotis communis, die sich in die Arteria carotis interna und die Arteria carotis externa verzweigt. Die Stenose befindet sich ausschließlich in der Arteria carotis interna.

Durch die Verengung wird der verfügbare Strömungsquerschnitt reduziert. Dies kann zu einer lokalen Erhöhung der Strömungsgeschwindigkeit, zu zusätzlichen Druckverlusten und zu Veränderungen der Volumenstromverteilung zwischen den beiden Gefäßästen führen.

Die numerische Modellierung erfolgt mit COMSOL Multiphysics. Hierzu werden die Gefäßgeometrie, die Materialeigenschaften des Blutes, die Strömungsgleichungen und die Randbedingungen festgelegt.

Für die Untersuchung werden vereinfachende Annahmen getroffen, die eine systematische Variation des Stenosegrades ermöglichen.

=== Modellhierarchie ===

Die Untersuchung erfolgt anhand von drei Modellvarianten, die sich hinsichtlich ihrer räumlichen Dimension und der darstellbaren Strömungseigenschaften unterscheiden.

{| class=&quot;wikitable&quot; style=&quot;width:100%;&quot;
|+ '''Die drei Modellvarianten des Projekts'''
|-
! Modell
! Raumdimension
! Mathematische Grundlage
! Zweck
! Werkzeug
|-
| '''Graphenmodell'''
| 1D, Gefäßnetzwerk mit Verzweigung
| Massenerhaltung und vereinfachte Strömungswiderstände
| Abschätzung der Volumenstromverteilung und der Druckverluste in den Gefäßästen
| COMSOL Multiphysics
|-
| '''Ebenes Flächenmodell'''
| 2D, Y-förmige Gefäßgeometrie in kartesischen Koordinaten
| Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen
| Untersuchung von Geschwindigkeits- und Druckfeldern sowie möglichen Rückströmungsbereichen
| COMSOL Multiphysics, Laminar Flow
|-
| '''Volumenmodell'''
| 3D, räumliche Y-förmige Gefäßgeometrie
| Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen
| Untersuchung der räumlichen Strömung und der Wandschubspannung
| COMSOL Multiphysics, Laminar Flow
|}

=== Vergleich und Überprüfung der Modellvarianten ===

Das '''Graphenmodell''' stellt die Gefäßaufzweigung als Netzwerk miteinander verbundener Gefäßabschnitte dar. Dabei bildet die Arteria carotis communis den zuführenden Abschnitt. Die Arteria carotis interna und die Arteria carotis externa stellen die beiden abführenden Äste dar.

An der Verzweigung gilt für eine stationäre inkompressible Strömung die Massenerhaltung:

:&lt;math&gt;Q_{\mathrm{ACC}}=Q_{\mathrm{ACI}}+Q_{\mathrm{ACE}}&lt;/math&gt;

Das Graphenmodell liefert vereinfachte Abschätzungen der Volumenstromverteilung und der Druckverluste. Lokale Geschwindigkeitsfelder, Strömungsablösungen und Wandschubspannungen können damit nicht detailliert bestimmt werden.

Das '''ebene Flächenmodell''' beschreibt die Y-förmige Gefäßaufzweigung in zwei Raumdimensionen. Die Stenose wird im Ast der Arteria carotis interna berücksichtigt. Dadurch können die Geschwindigkeits- und Druckverteilung sowie mögliche Rückströmungsbereiche untersucht werden.

Das '''Volumenmodell''' erweitert die Untersuchung auf drei Raumdimensionen. Dadurch können räumliche Strömungsstrukturen und die Verteilung der Wandschubspannung auf der Gefäßwand betrachtet werden.

Die Ergebnisse der drei Modelle werden unter Berücksichtigung ihrer unterschiedlichen Annahmen verglichen. Insbesondere ist zu beachten, dass ein ebenes zweidimensionales Modell die räumliche Querschnittsgeometrie eines Gefäßes nicht vollständig beschreibt.

Die Modelle müssen deshalb nicht dieselben Zahlenwerte liefern. Vielmehr dient der Vergleich dazu, die Aussagekraft und die Grenzen der jeweiligen Modellvereinfachung zu bewerten.

=== Modellannahmen ===

Für die numerische Untersuchung werden folgende Annahmen getroffen:

* '''Idealisierte Gefäßgeometrie:''' Betrachtet wird eine Y-förmige Aufzweigung aus Arteria carotis communis, Arteria carotis interna und Arteria carotis externa. Patientenspezifische Krümmungen, weitere Verzweigungen und individuelle anatomische Besonderheiten werden nicht berücksichtigt.
* '''Starre Gefäßwände:''' Die Gefäßwände werden als unbeweglich und nicht verformbar angenommen. Eine Fluid-Struktur-Kopplung wird nicht modelliert.
* '''Stationäre Strömung:''' Die Strömungsgrößen werden als zeitlich konstant angenommen. Die Pulsation des Blutflusses durch den Herzschlag bleibt unberücksichtigt.
* '''Inkompressibles Fluid:''' Die Dichte des Blutes wird als konstant angenommen.
* '''Newtonsche Näherung:''' Blut wird durch ein Fluid mit konstanter dynamischer Viskosität beschrieben.
* '''Konstante Stoffeigenschaften:''' Dichte und Viskosität werden als räumlich und zeitlich konstant betrachtet.
* '''Laminare Strömungsmodellierung:''' Die Berechnung erfolgt ohne zusätzliches Turbulenzmodell.
* '''Haftbedingung an der Wand:''' An den starren Gefäßwänden gilt die No-Slip-Bedingung.
* '''Vernachlässigung der Gravitation:''' Volumenkräfte durch die Schwerkraft werden nicht explizit berücksichtigt.

Diese Annahmen vereinfachen die Berechnung, begrenzen jedoch die Übertragbarkeit auf die reale Blutströmung.

=== Mathematische Grundlagen ===

==== Massenerhaltung ====

Für eine inkompressible Strömung gilt:

:&lt;math&gt;\nabla\cdot\mathbf{u}=0&lt;/math&gt;

Dabei bezeichnet &lt;math&gt;\mathbf{u}&lt;/math&gt; das Geschwindigkeitsfeld.

Für die Y-förmige Gefäßaufzweigung folgt daraus die Volumenstrombilanz:

:&lt;math&gt;Q_{\mathrm{ACC}}=Q_{\mathrm{ACI}}+Q_{\mathrm{ACE}}&lt;/math&gt;

==== Impulserhaltung ====

Die stationäre Strömung eines inkompressiblen Newtonschen Fluids wird durch die Navier-Stokes-Gleichungen beschrieben:

:&lt;math&gt;\rho_b(\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u}=-\nabla p+\mu_b\nabla^2\mathbf{u}&lt;/math&gt;

Dabei bezeichnet:

* &lt;math&gt;\rho_b&lt;/math&gt; die Blutdichte,
* &lt;math&gt;\mathbf{u}&lt;/math&gt; das Geschwindigkeitsfeld,
* &lt;math&gt;p&lt;/math&gt; den Druck,
* &lt;math&gt;\mu_b&lt;/math&gt; die dynamische Viskosität.

Die Gleichung beschreibt das Gleichgewicht zwischen Trägheitskräften, Druckkräften und viskosen Kräften.

==== Hagen-Poiseuille-Gesetz ====

Für eine stationäre, voll entwickelte laminare Strömung durch ein gerades kreisförmiges Rohr mit konstantem Radius gilt:

:&lt;math&gt;\Delta p=\frac{8\mu_b LQ}{\pi R^4}&lt;/math&gt;

Der Strömungswiderstand kann damit als

:&lt;math&gt;\mathcal{R}=\frac{8\mu_b L}{\pi R^4}&lt;/math&gt;

geschrieben werden.

Daraus folgt:

:&lt;math&gt;\Delta p=\mathcal{R}Q&lt;/math&gt;

Diese Beziehung kann für die vereinfachte Beschreibung einzelner Gefäßabschnitte im Graphenmodell verwendet werden.

Bei einer realen Verzweigung oder einer ausgeprägten Stenose können zusätzliche Druckverluste auftreten. Das Hagen-Poiseuille-Gesetz allein bildet diese Effekte nicht vollständig ab.

==== Reynolds-Zahl ====

Die Reynolds-Zahl beschreibt das Verhältnis von Trägheitskräften zu viskosen Kräften:

:&lt;math&gt;\mathrm{Re}=\frac{\rho_b U D}{\mu_b}&lt;/math&gt;

Sie dient zur Einordnung des Strömungsverhaltens.

Die Reynolds-Zahl eines unverengten geraden Rohrabschnitts erlaubt jedoch keine sichere Aussage darüber, ob die Strömung hinter einer hochgradigen Stenose stationär bleibt.

==== Wandschubspannung ====

Die Wandschubspannung beschreibt die tangentiale Beanspruchung der Gefäßwand durch die Strömung.

Für ein Newtonsches Fluid ergibt sich ihre Größe aus den tangentialen viskosen Spannungen an der Wand. Bei einer einfachen parallelen Scherströmung gilt:

:&lt;math&gt;\tau_w=\mu_b\left.\frac{\partial u_t}{\partial n}\right|_{\mathrm{Wand}}&lt;/math&gt;

Dabei ist &lt;math&gt;u_t&lt;/math&gt; die tangentiale Geschwindigkeitskomponente und &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; die Richtung senkrecht zur Wand.

Bei gekrümmten oder verzweigten Gefäßgeometrien wird die Wandschubspannung aus dem vollständigen viskosen Spannungstensor bestimmt.

== Simulationsgebiet und Geometrie ==

Das Simulationsgebiet besteht aus einer idealisierten Y-förmigen Karotisaufzweigung.

Die Arteria carotis communis bildet den zuführenden Gefäßabschnitt. An der Verzweigung teilt sie sich in die Arteria carotis interna und die Arteria carotis externa.

Die Stenose befindet sich ausschließlich in der Arteria carotis interna. Die Arteria carotis externa wird ohne zusätzliche Verengung betrachtet.

Die geometrischen Abmessungen orientieren sich an den bereitgestellten Referenzdaten.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ '''Geometrische Referenzparameter'''
|-
! Gefäßabschnitt
! Durchmesser
! Länge
|-
| Arteria carotis communis
| 6 mm
| 60 mm
|-
| Arteria carotis interna
| 5 mm
| 60 mm
|-
| Arteria carotis externa
| 4 mm
| 60 mm
|-
| Stenose in der Arteria carotis interna
| Abhängig vom Stenosegrad
| 10 mm
|}

Die angegebenen Längen beziehen sich auf die jeweiligen Gefäßabschnitte. Sie dürfen nicht als Gesamtlänge eines geraden Rohres addiert werden.

=== Geometrische Beschreibung der Stenose ===

Der unverengte Referenzdurchmesser der Arteria carotis interna beträgt:

:&lt;math&gt;D_{\mathrm{ICA}}=5\,\mathrm{mm}&lt;/math&gt;

Daraus folgt der Referenzradius:

:&lt;math&gt;R_{\mathrm{ICA}}=2{,}5\,\mathrm{mm}&lt;/math&gt;

Die Länge der Stenose beträgt:

:&lt;math&gt;L_s=10\,\mathrm{mm}&lt;/math&gt;

Für eine idealisierte symmetrische Stenose kann die lokale Radiusverringerung durch eine kosinusförmige Funktion beschrieben werden:

:&lt;math&gt;R(\xi)=R_{\mathrm{ICA}}\left[1-\frac{s}{2}\left(1+\cos\left(\frac{2\pi\xi}{L_s}\right)\right)\right]&lt;/math&gt;

Diese Beziehung gilt innerhalb der Stenose für:

:&lt;math&gt;|\xi|\leq\frac{L_s}{2}&lt;/math&gt;

Außerhalb der Stenose gilt:

:&lt;math&gt;R(\xi)=R_{\mathrm{ICA}}&lt;/math&gt;

Dabei bezeichnet &lt;math&gt;\xi&lt;/math&gt; die lokale Koordinate entlang der Mittellinie der Arteria carotis interna. Der Ursprung liegt in der Mitte der Stenose.

Der minimale Radius beträgt:

:&lt;math&gt;R_{\min}=R_{\mathrm{ICA}}(1-s)&lt;/math&gt;

Diese Funktion beschreibt eine glatte symmetrische Verengung. Für die dreidimensionale Geometrie kann sie als rotationssymmetrische lokale Querschnittsverengung eines einzelnen Gefäßastes interpretiert werden.

Die gesamte Y-förmige Gefäßaufzweigung ist dagegen nicht rotationssymmetrisch.

'''Hinweis zur Umsetzung:''' Die angegebene Funktion ist eine mögliche mathematische Beschreibung der Stenose. Für die endgültige Dokumentation muss geprüft werden, ob die in COMSOL verwendete Geometrie tatsächlich durch diese Funktion erzeugt wurde. Ebenso müssen der Verzweigungswinkel, die Lage der Stenose und die Verrundung der Übergänge anhand des COMSOL-Modells angegeben werden.

=== Referenzdurchmesser und Stenosegrad ===

Für die Stenose in der Arteria carotis interna gilt:

:&lt;math&gt;s=1-\frac{d_{\min}}{D_{\mathrm{ICA}}}&lt;/math&gt;

mit:

:&lt;math&gt;D_{\mathrm{ICA}}=5\,\mathrm{mm}&lt;/math&gt;

Damit ergeben sich beispielsweise:

* Bei &lt;math&gt;s=0{,}3&lt;/math&gt;: &lt;math&gt;d_{\min}=3{,}5\,\mathrm{mm}&lt;/math&gt;
* Bei &lt;math&gt;s=0{,}6&lt;/math&gt;: &lt;math&gt;d_{\min}=2{,}0\,\mathrm{mm}&lt;/math&gt;
* Bei &lt;math&gt;s=0{,}8&lt;/math&gt;: &lt;math&gt;d_{\min}=1{,}0\,\mathrm{mm}&lt;/math&gt;

Der Referenzdurchmesser von 6 mm der Arteria carotis communis wird nicht für die Berechnung des Stenosegrades in der Arteria carotis interna verwendet.

== Stoff- und Strömungsparameter ==

Für die numerische Simulation werden die Stoffeigenschaften des Blutes als konstant angenommen.

Die verwendeten Referenzwerte orientieren sich an den bereitgestellten Projektdaten und an Literaturwerten zur Blutströmung in größeren Arterien.&lt;ref name=&quot;Quarteroni&quot;&gt;Quarteroni, A.; Formaggia, L.: Mathematical Modelling and Numerical Simulation of the Cardiovascular System. In: Ayache, N. (Hrsg.): ''Computational Models for the Human Body''. Handbook of Numerical Analysis, Bd. XII, Elsevier, 2004, S. 3–127. DOI: 10.1016/S1570-8659(03)12001-7.&lt;/ref&gt;

=== Blutdichte ===

Die Blutdichte wird angesetzt mit:

:&lt;math&gt;\rho_b=1060\,\mathrm{kg/m^3}&lt;/math&gt;

Dieser Wert wird im gesamten Rechengebiet als konstant angenommen.

=== Dynamische Viskosität ===

Für die dynamische Viskosität gilt:

:&lt;math&gt;\mu_b=3{,}5\,\mathrm{mPa\,s}&lt;/math&gt;

Dies entspricht:

:&lt;math&gt;\mu_b=0{,}0035\,\mathrm{Pa\,s}&lt;/math&gt;

Die konstante Viskosität stellt eine Newtonsche Näherung des realen Blutverhaltens dar.

=== Volumenstrom ===

Der vorgegebene Referenzvolumenstrom am Einlass der Arteria carotis communis beträgt:

:&lt;math&gt;Q_0=6\,\mathrm{ml/s}&lt;/math&gt;

Dieser Wert orientiert sich an veröffentlichten Messungen des Blutflusses in der Arteria carotis communis.&lt;ref name=&quot;Holdsworth&quot;&gt;Holdsworth, D. W.; Norley, C. J. D.; Frayne, R.; Steinman, D. A.; Rutt, B. K.: Characterization of common carotid artery blood-flow waveforms in normal human subjects. ''Physiological Measurement'' 20 (1999), Nr. 3, S. 219–240. DOI: 10.1088/0967-3334/20/3/301.&lt;/ref&gt;

Für die stationäre Berechnung wird der Volumenstrom zeitlich konstant angesetzt.

=== Mittlere Eintrittsgeschwindigkeit ===

Für den kreisförmigen Einlassquerschnitt der Arteria carotis communis mit einem Radius von 3 mm ergibt sich die mittlere Geschwindigkeit aus:

:&lt;math&gt;U_0=\frac{Q_0}{\pi R_{\mathrm{ACC}}^2}&lt;/math&gt;

Mit:

:&lt;math&gt;R_{\mathrm{ACC}}=3\,\mathrm{mm}&lt;/math&gt;

folgt:

:&lt;math&gt;U_0=\frac{6\cdot10^{-6}\,\mathrm{m^3/s}}{\pi(0{,}003\,\mathrm{m})^2}&lt;/math&gt;

Damit beträgt die mittlere Eintrittsgeschwindigkeit:

:&lt;math&gt;U_0\approx0{,}2122\,\mathrm{m/s}&lt;/math&gt;

Dieser Wert bezieht sich auf den dreidimensionalen kreisförmigen Einlassquerschnitt der Arteria carotis communis.

Für ein ebenes zweidimensionales Modell muss die Einlassrandbedingung entsprechend der zweidimensionalen Modellbeschreibung festgelegt werden. Ein dreidimensionaler Volumenstrom kann nicht ohne zusätzliche Annahme unmittelbar als zweidimensionaler Volumenstrom pro Tiefeneinheit verwendet werden.

=== Reynolds-Zahl am Einlass ===

Die Reynolds-Zahl am Einlass der Arteria carotis communis beträgt:

:&lt;math&gt;\mathrm{Re}_0=\frac{\rho_b U_0D_{\mathrm{ACC}}}{\mu_b}&lt;/math&gt;

Mit:

:&lt;math&gt;D_{\mathrm{ACC}}=6\,\mathrm{mm}&lt;/math&gt;

ergibt sich:

:&lt;math&gt;\mathrm{Re}_0\approx385{,}6&lt;/math&gt;

Dieser Wert charakterisiert den unverengten Einlassabschnitt der Arteria carotis communis. Er ist nicht mit einer lokalen Reynolds-Zahl in der Stenose gleichzusetzen.

=== Einlauflänge ===

Für eine laminare Strömung in einem geraden Rohr kann die Länge zur Entwicklung eines zunächst gleichförmigen Geschwindigkeitsprofils näherungsweise abgeschätzt werden:

:&lt;math&gt;L_e\approx0{,}06\,\mathrm{Re}_0D_{\mathrm{ACC}}&lt;/math&gt;

Für die Referenzwerte ergibt sich:

:&lt;math&gt;L_e\approx139\,\mathrm{mm}&lt;/math&gt;

Diese Abschätzung bezieht sich auf ein gerades Rohr mit einem zunächst gleichförmigen Einlassprofil.&lt;ref name=&quot;Durst&quot;&gt;Durst, F.; Ray, S.; Ünsal, B.; Bayoumi, O. A.: The development lengths of laminar pipe and channel flows. ''Journal of Fluids Engineering'' 127 (2005), Nr. 6, S. 1154–1160.&lt;/ref&gt;

Sie beschreibt nicht unmittelbar die notwendige Einlauflänge einer Y-förmigen Gefäßaufzweigung.

Da der zuführende Gefäßabschnitt im Modell 60 mm lang ist, sollte die Einlassrandbedingung so gewählt werden, dass unerwünschte Einlaufeffekte die Strömung im Bereich der Verzweigung möglichst wenig beeinflussen.

Für das dreidimensionale Modell kann hierzu ein voll entwickeltes Geschwindigkeitsprofil verwendet werden. Die konkrete Randbedingung muss mit der COMSOL-Implementierung übereinstimmen.

=== Analytischer Referenzdruckverlust ===

Das Hagen-Poiseuille-Gesetz ermöglicht die Berechnung des Druckverlustes für einen geraden kreisförmigen Rohrabschnitt:

:&lt;math&gt;\Delta p=\frac{8\mu_b LQ}{\pi R^4}&lt;/math&gt;

Diese Beziehung kann als analytische Referenz für einen unverengten einzelnen Gefäßabschnitt dienen.

Für die gesamte Y-förmige Karotisaufzweigung lässt sich der Druckverlust jedoch nicht allein mit der Formel für ein einzelnes gerades Rohr bestimmen. Hierfür müssen die Volumenstromverteilung, die unterschiedlichen Gefäßdurchmesser und zusätzliche Verluste an der Verzweigung berücksichtigt werden.

Der bisherige Referenzwert von &lt;math&gt;99{,}03\,\mathrm{Pa}&lt;/math&gt; gehört zum früheren geraden Rohrmodell mit einer Länge von 150 mm und wird deshalb nicht als Referenzdruckverlust der Y-förmigen Gefäßaufzweigung verwendet.

=== Globale Parameter des COMSOL-Modells ===

{| class=&quot;wikitable&quot; style=&quot;width:100%;&quot;
|+ '''Globale Parameter für die Y-förmige Karotisaufzweigung'''
|-
! Name
! Ausdruck in COMSOL
! Wert
! Bedeutung
|-
| D_ACC
| &lt;code&gt;6[mm]&lt;/code&gt;
| 6 mm
| Durchmesser der Arteria carotis communis
|-
| D_ACI
| &lt;code&gt;5[mm]&lt;/code&gt;
| 5 mm
| Durchmesser der Arteria carotis interna
|-
| D_ACE
| &lt;code&gt;4[mm]&lt;/code&gt;
| 4 mm
| Durchmesser der Arteria carotis externa
|-
| L_ACC
| &lt;code&gt;60[mm]&lt;/code&gt;
| 60 mm
| Länge der Arteria carotis communis
|-
| L_ACI
| &lt;code&gt;60[mm]&lt;/code&gt;
| 60 mm
| Länge der Arteria carotis interna
|-
| L_ACE
| &lt;code&gt;60[mm]&lt;/code&gt;
| 60 mm
| Länge der Arteria carotis externa
|-
| L_s
| &lt;code&gt;10[mm]&lt;/code&gt;
| 10 mm
| Stenosenlänge
|-
| s
| &lt;code&gt;0&lt;/code&gt;
| 0 bis 0,8
| Variabler Stenosegrad
|-
| d_min
| &lt;code&gt;D_ACI*(1-s)&lt;/code&gt;
| Abhängig von s
| Minimaler Stenosedurchmesser
|-
| rho_b
| &lt;code&gt;1060[kg/m^3]&lt;/code&gt;
| 1060 kg/m³
| Blutdichte
|-
| mu_b
| &lt;code&gt;3.5[mPa*s]&lt;/code&gt;
| 3,5 mPa·s
| Dynamische Viskosität
|-
| Q0
| &lt;code&gt;6[ml/s]&lt;/code&gt;
| 6 ml/s
| Einlassvolumenstrom der ACC
|-
| U0
| &lt;code&gt;Q0/(pi*(D_ACC/2)^2)&lt;/code&gt;
| 0,2122 m/s
| Mittlere Eintrittsgeschwindigkeit für einen kreisförmigen Querschnitt
|-
| Re0
| &lt;code&gt;rho_b*U0*D_ACC/mu_b&lt;/code&gt;
| 385,6
| Reynolds-Zahl am Einlass der ACC
|}

'''Hinweis:''' Die Parameternamen dienen als konsistente Vorlage. Vor der Übernahme in COMSOL beziehungsweise in die Projektdokumentation müssen sie mit den tatsächlich verwendeten Namen und Geometrieeinstellungen abgeglichen werden.

== Randbedingungen und numerische Umsetzung ==

Die Randbedingungen bestimmen, wie Blut in das Modell einströmt, sich innerhalb der Gefäßaufzweigung verteilt und die beiden Gefäßäste verlässt.

=== Einlass ===

Der Einlass befindet sich an der Arteria carotis communis.

Für das dreidimensionale Referenzmodell wird ein Volumenstrom von:

:&lt;math&gt;Q_0=6\,\mathrm{ml/s}&lt;/math&gt;

vorgegeben.

Die zugehörige mittlere Geschwindigkeit beträgt:

:&lt;math&gt;U_0\approx0{,}2122\,\mathrm{m/s}&lt;/math&gt;

Ein geeignetes Geschwindigkeitsprofil beziehungsweise eine entsprechende Volumenstromrandbedingung wird in COMSOL festgelegt.

=== Auslässe ===

Das Modell besitzt zwei Auslässe:

* Auslass der Arteria carotis interna,
* Auslass der Arteria carotis externa.

Für die Volumenströme gilt:

:&lt;math&gt;Q_{\mathrm{ACC}}=Q_{\mathrm{ACI}}+Q_{\mathrm{ACE}}&lt;/math&gt;

Die konkrete Aufteilung hängt von den Strömungswiderständen und den vorgegebenen Auslassrandbedingungen ab.

'''Die tatsächlichen Auslassbedingungen müssen aus dem COMSOL-Modell übernommen werden.''' Ohne diese Angabe lässt sich nicht eindeutig bestimmen, wie sich der Volumenstrom zwischen den beiden Gefäßästen verteilt.

=== Gefäßwände ===

An den starren Gefäßwänden wird die Haftbedingung verwendet:

:&lt;math&gt;\mathbf{u}=0&lt;/math&gt;

Dadurch ist die Geschwindigkeit des Fluids unmittelbar an der Wand gleich null.

=== Numerische Vernetzung ===

Die Geometrie wird für die numerische Berechnung in ein Rechennetz unterteilt.

Eine ausreichende Netzauflösung ist insbesondere im Bereich der Stenose, an der Gefäßaufzweigung und in wandnahen Bereichen erforderlich, da dort starke Geschwindigkeitsgradienten auftreten können.

Die Qualität der numerischen Ergebnisse sollte anhand einer Netzverfeinerungsstudie überprüft werden.

Hierzu können beispielsweise die maximale Geschwindigkeit, der Druckverlust und die maximale Wandschubspannung bei unterschiedlichen Netzauflösungen miteinander verglichen werden.

Die konkreten Netzgrößen und Elementzahlen werden anhand der tatsächlich durchgeführten COMSOL-Berechnungen dokumentiert.

== Auswertung und Überprüfung der Ergebnisse ==

Die Auswertung erfolgt für die untersuchten Stenosegrade und Modellvarianten.

Von besonderem Interesse sind:

* maximale Strömungsgeschwindigkeit innerhalb der Stenose,
* Druckverteilung und Druckverlust,
* Volumenstromverteilung zwischen ACI und ACE,
* Wandschubspannung im Bereich der Stenose,
* mögliche Rückströmungsgebiete stromabwärts der Engstelle.

=== Überprüfung der Massenerhaltung ===

Für jede stationäre Berechnung wird überprüft, ob die Summe der beiden Auslassvolumenströme dem Einlassvolumenstrom entspricht:

:&lt;math&gt;Q_{\mathrm{ACC}}\approx Q_{\mathrm{ACI}}+Q_{\mathrm{ACE}}&lt;/math&gt;

Abweichungen können auf numerische Ungenauigkeiten oder ungeeignete Auswertungseinstellungen hinweisen.

=== Vergleich der Stenosegrade ===

Die Ergebnisse werden für unterschiedliche Stenosegrade gegenübergestellt.

Dabei wird untersucht, wie stark die maximale Geschwindigkeit, der Druckverlust und die Wandschubspannung mit zunehmender Verengung ansteigen beziehungsweise sich verändern.

Die Volumenstromverteilung zwischen den beiden Gefäßästen wird ebenfalls betrachtet, sofern die gewählten Auslassrandbedingungen eine solche Auswertung ermöglichen.

=== Vergleich der Modellvarianten ===

Das Graphenmodell liefert vereinfachte Abschätzungen für Volumenströme und Druckverluste.

Das zweidimensionale Flächenmodell ermöglicht die Darstellung ebener Geschwindigkeits- und Druckfelder.

Das dreidimensionale Volumenmodell liefert zusätzlich eine räumliche Beschreibung der Strömung und der Wandschubspannung.

Die Ergebnisse werden nicht als zwangsläufig identisch betrachtet, da die Modelle unterschiedliche geometrische und mathematische Vereinfachungen verwenden.

=== Ergebnisse und Diskussion ===

Die konkreten Simulationsergebnisse werden nach Durchführung und Auswertung der COMSOL-Berechnungen ergänzt.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ '''Vorlage für die Auswertung der Stenosegrade'''
|-
! Stenosegrad
! Maximale Geschwindigkeit
! Druckverlust
! Volumenstrom ACI
! Volumenstrom ACE
! Maximale Wandschubspannung
|-
| 0 %
| Noch einzutragen
| Noch einzutragen
| Noch einzutragen
| Noch einzutragen
| Noch einzutragen
|-
| 30 %
| Noch einzutragen
| Noch einzutragen
| Noch einzutragen
| Noch einzutragen
| Noch einzutragen
|-
| 60 %
| Noch einzutragen
| Noch einzutragen
| Noch einzutragen
| Noch einzutragen
| Noch einzutragen
|-
| 80 %
| Noch einzutragen
| Noch einzutragen
| Noch einzutragen
| Noch einzutragen
| Noch einzutragen
|}

Die Auswertung soll insbesondere zeigen, welche Auswirkungen die Verengung der Arteria carotis interna auf die lokale Strömung und die Strömungsverteilung innerhalb der Y-förmigen Karotisaufzweigung besitzt.

Bei hochgradigen Stenosen ist zusätzlich zu diskutieren, inwieweit die Annahme einer stationären laminaren Strömung geeignet bleibt.

== Grenzen des Modells ==

Die untersuchte Gefäßgeometrie ist eine idealisierte Darstellung der Karotisaufzweigung. Individuelle anatomische Unterschiede werden nicht berücksichtigt.

Darüber hinaus werden die Gefäßwände als starr angenommen und Blut wird durch ein inkompressibles Newtonsches Fluid mit konstanter Viskosität beschrieben.

Die Strömung wird stationär berechnet. Die natürliche Pulsation des Blutflusses und zeitabhängige Effekte bleiben damit unberücksichtigt.

Insbesondere bei hochgradigen Stenosen können zeitabhängige Strömungsablösungen auftreten, die durch eine stationäre Modellierung nicht vollständig beschrieben werden.

Das Graphenmodell kann lokale Strömungsphänomene nicht detailliert erfassen. Das ebene Flächenmodell vereinfacht die räumliche Gefäßgeometrie. Auch das dreidimensionale Modell bleibt aufgrund der idealisierten Geometrie und der vereinfachten Materialannahmen eine Annäherung an die reale Blutströmung.

Die Ergebnisse sind daher als strömungsmechanische Untersuchung eines idealisierten Modells zu interpretieren und nicht als patientenspezifische medizinische Vorhersage.

== Literaturverzeichnis ==

&lt;references /&gt;

=== Weiterführende Literatur ===

* Bernabeu, M. O. u. a.: Impact of blood rheology on wall shear stress in a model of the middle cerebral artery. ''Interface Focus'' 3 (2013), 20120094.
* Womersley, J. R.: Method for the calculation of velocity, rate of flow and viscous drag in arteries when the pressure gradient is known. ''Journal of Physiology'' 127 (1955), S. 553–563.
* Varghese, S. S.; Frankel, S. H.; Fischer, P. F.: Direct numerical simulation of stenotic flows. Part 1. Steady flow. ''Journal of Fluid Mechanics'' 582 (2007), S. 253–280.
* Hansen, F.; Mangell, P.; Sonesson, B.; Länne, T.: Diameter and compliance in the human common carotid artery: variations with age and sex. ''Ultrasound in Medicine and Biology'' 21 (1995), Nr. 1, S. 1–9.
* Krejza, J.; Arkuszewski, M.; Kasner, S. E.; Weigele, J.; Ustymowicz, A.; Hurst, R. W.; Cucchiara, B. L.; Messe, S. R.: Carotid artery diameter in men and women and the relation to body and neck size. ''Stroke'' 37 (2006), Nr. 4, S. 1103–1105.


ALTTTTT

= Gruppenteilnehmer =
* Joey Becker
* Marie-Thérèse Heitele
* Nicole Pander

= Thema und Fragestellung =

Gegenstand dieses Projekts ist die numerische Simulation der Blutströmung in einer verzweigten Halsschlagader ('''Carotis-Bifurkation''') unter dem Einfluss einer lokalen Gefäßverengung ('''Stenose''').
Im Vergleich zu einfachen Rohrströmungen wird hier die realitätsnahe Gefäßanatomie betrachtet: Die '''Arteria carotis communis (ACC)''' teilt sich in die '''Arteria carotis externa (ACE)''' und die '''Arteria carotis interna (ACI)''' auf. Während die '''ACE''' als gesunder, stenosefreier Ast dient, wird in der '''ACI''' eine geglättete, kosinusförmige Gefäßverengung modelliert. Um scharfe Kanten und unphysiologische Druckspitzen zu vermeiden, werden alle Wandübergänge und die Gabelungsspitze (Apex) anatomisch verrundet.

Als Referenz dient ein gesundes, unverengtes Gefäß, in dem sich die Poiseuille-Strömung mit ihrem charakteristischen parabolischen Geschwindigkeitsprofil ausbildet. Diese Strömung ist aus zwei Gründen der natürliche Ausgangspunkt. Sie beschreibt den physiologischen Normalfall, mit dem jeder Stenosegrad verglichen wird, und sie ist exakt lösbar, sodass sich an ihr jede numerische Rechnung prüfen lässt, bevor die Verengung hinzukommt.

== Fragestellung ==
Die Hauptfragestellung dieses Projektes lautet: 
Wie verändert eine symmetrische bzw. rotationssymmetrische Stenose in der '''Arteria carotis interna (ACI)''' die stationäre Strömung eines inkompressiblen Newton’schen Fluids in einer 2D-Carotis-Bifurkation hinsichtlich Geschwindigkeitsverteilung, Druckabfall, Wandschubspannung und Wirbelbildung im Vergleich zu den gesunden Gefäßabschnitten?

Aus dieser Fragestellung ergeben sich drei Teilfragen, an denen sich der Aufbau der Seite orientiert:

# Welche Strömungsgrößen reagieren empfindlich auf den Stenosegrad und welche nur träge?
# Ab welchem Stenosegrad ändert sich das Strömungsmuster qualitativ, das heißt, ab wann löst die Strömung hinter der Engstelle von der Wand ab und bildet ein Rückströmgebiet?
# Wie weit tragen die vereinfachenden Modellannahmen, insbesondere die Annahme einer stationären und laminaren Strömung, über den untersuchten Bereich der Stenosegrade?

== Modellannahmen ==
Im Hinblick darauf werden für dieses Projekt einige Annahmen getroffen, um das Projekt möglichst isoliert zu untersuchen und zu simplifizieren:

* '''Idealisierte Gefäßgeometrie''': Betrachtet wird ein  Teilabbschnitt der ''Arteria carotis communis'', die sog. ''ACI''. Zudem werden Gefäßverkrümmungen, weitere Verzweigungen und patientenspezifische Strukturen  nicht berücksichtigt. 
* '''Starre Gefäßwand''': Die Gefäßwand wird als unbeweglich und nicht verformbar angenommen. Eine Wechselwirkung zwischen elastischer Gefäßwand und Blutströmung wird nicht modelliert.
* '''Stationäre Strömung''': Die Strömungsgrößen werden als zeitlich konstant angenommen. Die im realen Blutkreislauf vorhandene Pulsation durch den Herzschlag wird daher vernachlässigt: &lt;math&gt;\frac{\partial u}{\partial t}=0&lt;/math&gt;.
* '''Inkompressibles Fluid''': Die Dichte des Fluids wird als konstant angenommen. Damit gilt für die Geschwindigkeit &lt;math&gt;\nabla \cdot u=0&lt;/math&gt;. Dies entspricht der in der Vorlesung behandelten Massenerhaltung für inkompressible Fluide: Was in das Gefäß einströmt, muss auch wieder ausströmen.
* '''Newton'sche Näherung für Blut''': Reales Blut beseitzt ein nicht newton'sches Fließverhalten. Hier wird Blut als Newton'sches Fluid behandelt.
* '''Konstante Stoffeigenschaften''': Dichte &lt;math&gt;\rho&lt;/math&gt; und dynamische Viskosität μ werden als räumlich und zeitlich konstant angenommen. Temperaturabhängigkeiten werden nicht berücksichtigt.
* '''Laminare Strömung''': Die Strömung wird mit dem COMSOL-Modul ''Laminar Flow'' beschrieben. Ein zusätzliches Turbulenzmodell wird nicht verwendet.
* '''No-Slip-Bedingung an Gefäßwand''': Aufgrund der Viskosität wird angenommen, dass das Fluid direkt an der Gefäßwand haftet. Somit gilt &lt;math&gt;u=0&lt;/math&gt;.
* '''Vernachlässigung der Gravitation''': Gravitation wird nicht berücksichtigt. Die Strömung wird ausschließlich durch die gewählten Ein- und Auslassbedingungen bestimmt.

= Relevanz =
Die Untersuchung von Gefäßverengungen besitzt sowohl eine medizinische als auch eine methodische Bedeutung. Aus medizinischer Sicht sind arterielle Stenosen – etwa in der Halsschlagader, lat. ''arteria carotis communis'', – kritisch, da sie die Durchblutung beeinträchtigen und durch veränderte Wandschubspannungen sowie die Bildung von Wirbeln weitere Gefäßablagerungen begünstigen. Stenosen im Bereich der Karotisgabelung sind klinisch hochrelevant, da sie das Gehirn direkt versorgen und das Risiko für embolische Schlaganfälle erhöhen. Fachlich überträgt das Projekt damit die Prinzipien der Strömungsmechanik direkt auf eine biomedizinische Anwendung. Das Projekt verknüpft somit theoretische Grundlagen der Strömungsmechanik (Hagen-Poiseuille-Gleichung, Navier-Stokes-Gleichungen) mit der numerischen Simulation in COMSOL Multiphysics. Durch den Vergleich der '''gesunden Externa (ACE)''' mit der '''stenoisierten Interna (ACI)''' innerhalb desselben Rechengebiets wird die isolierte Wirkung der Stenose unter identischen Randbedingungen direkt sichtbar gemacht.

== Medizinische Relevanz ==

Arterielle Stenosen entstehen überwiegend durch Atherosklerose, also durch Ablagerungen aus Lipiden, Bindegewebe und Kalk in der Gefäßwand. In der Halsschlagader sind sie klinisch besonders bedeutsam, weil sie die Durchblutung des Gehirns beeinträchtigen und weil sich an ihnen Thromben bilden können, die als Embolie einen Schlaganfall auslösen. Dass die operative Entfernung einer hochgradigen Karotisstenose das Schlaganfallrisiko symptomatischer Patienten deutlich senkt, hat die NASCET-Studie gezeigt, deren Einteilung der Stenosegrade dieses Projekt übernimmt.&lt;ref name=&quot;nascet&quot;&gt;North American Symptomatic Carotid Endarterectomy Trial Collaborators: ''Beneficial effect of carotid endarterectomy in symptomatic patients with high-grade carotid stenosis.'' New England Journal of Medicine 325 (1991), Nr. 7, S. 445-453.&lt;/ref&gt;

Strömungsmechanisch ist an einer Stenose vor allem die Wandschubspannung von Interesse, also die tangentiale Kraft je Fläche, die das strömende Blut auf die innerste Zellschicht der Gefäßwand ausübt. Gesunde Halsschlagadern weisen zeitlich gemittelte Werte von etwa 1,1 bis 1,5 Pa auf.&lt;ref name=&quot;samijo&quot;&gt;Samijo, S. K.; Willigers, J. M.; Barkhuysen, R.; Kitslaar, P. J. E. H. M.; Reneman, R. S.; Brands, P. J.; Hoeks, A. P. G.: ''Wall shear stress in the human common carotid artery as function of age and gender.'' Cardiovascular Research 39 (1998), Nr. 2, S. 515-522.&lt;/ref&gt; In einer Engstelle steigt sie stark an, unmittelbar dahinter fällt sie im Ablösegebiet auf nahezu null und wechselt dort sogar das Vorzeichen. Niedrige und im Vorzeichen wechselnde Wandschubspannungen gelten als Bedingungen, unter denen sich weitere Ablagerungen bevorzugt bilden. Eine bestehende Stenose schafft also stromabwärts die Voraussetzungen für ihr eigenes Wachstum. Genau diese Verteilung lässt sich im Körper nur schwer messen, in einer Simulation dagegen unmittelbar auswerten.

== Methodische Relevanz ==

Fachlich überträgt das Projekt die Prinzipien der Strömungsmechanik aus der Vorlesung auf eine biomedizinische Anwendung.&lt;ref name=&quot;hundertmark&quot;&gt;Hundertmark, A.: ''Fluiddynamik.'' Vorlesungsunterlagen zum Modul Räumliche Modellbildung, RPTU Kaiserslautern-Landau, Sommersemester 2026.&lt;/ref&gt; Der methodische Mehrwert liegt in der Verknüpfung mehrerer Zugänge, die sich gegenseitig kontrollieren. Die analytische Poiseuille-Lösung liefert exakte Sollwerte für das gesunde Gefäß. Ein reduziertes Graphenmodell liefert für jeden Stenosegrad eine schnelle Abschätzung, die analytisch nachrechenbar ist. Die Simulationen in COMSOL Multiphysics lösen schließlich die vollständigen Navier-Stokes-Gleichungen in zwei und drei Raumdimensionen. Weil jede Stufe die Sollwerte der nächsten liefert, zeigt das Projekt nicht nur Ergebnisse, sondern auch, wie numerische Modelle aufgebaut, verifiziert und an ihren Grenzen bewertet werden.

== Auswahl der Stenosegrade ==

Um die untersuchten Gefäßverengungen nicht willkürlich festzulegen, orientiert sich die Auswahl der Stenosegrade an der klinisch gebräuchlichen NASCET-Klassifikation von Karotisstenosen.&lt;ref name=&quot;nascet&quot; /&gt; Zur klinischen Einordnung werden Karotisstenosen anhand der nach NASCET bestimmten Durchmesserreduktion in leichtgradige, mittelgradige und hochgradige Stenosen eingeteilt. Die angegebenen Prozentgrenzen dienen in diesem Projekt als Orientierung für die Auswahl der untersuchten Stenosegrade. Ein vollständiger Gefäßverschluss wird als Okklusion bezeichnet.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Klinische Einteilung nach NASCET-gemessener Durchmesserreduktion und untersuchte Stenosegrade
! Schweregrad !! Durchmesserreduktion !! im Projekt gerechnete Stenosegrade !! hervorgehobener Vertreter
|-
| gesundes Gefäß || 0 % || 0 || 0
|-
| leichtgradige Stenose || unter 50 % || 0,1 bis 0,4 || 0,3
|-
| mittelgradige Stenose || 50 bis 69 % || 0,5 und 0,6 || 0,6
|-
| hochgradige Stenose || 70 bis 99 % || 0,7 und 0,8 || 0,8
|-
| Okklusion || 100 % || nicht gerechnet || entfällt
|}
'''Anmerkung''': Die Klassengrenzen dienen der Einordnung der Modellvarianten. Die in der Tabelle genannten Stenosegrade sind dimensionslose Werte, beispielsweise entspricht '''&lt;math&gt;s=0{,}6&lt;/math&gt;''' einer Durchmesserreduktion von '''60 %'''.

Für die numerische Untersuchung wird aus jeder Kategorie ein repräsentativer Stenosegrad hervorgehoben. Neben dem gesunden Gefäß mit '''0 %''' Stenose sind das eine '''30 %''' Stenose als Beispiel für eine leichtgradige, eine '''60 %''' Stenose als Beispiel für eine mittelgradige und eine '''80 %''' Stenose als Beispiel für eine hochgradige Verengung. Zusätzlich werden für das Graphenmodell und das achsensymmetrische Flächenmodell Stenosegrade von 0 bis 80 % in Schritten von zehn Prozentpunkten vorgesehen. Dadurch kann die Abhängigkeit der Strömungsgrößen vom Stenosegrad systematisch untersucht und grafisch dargestellt werden. Ob alle Modellvarianten tatsächlich berechnet wurden und wie hoch der Rechenaufwand war, wird anhand der durchgeführten Simulationen dokumentiert. Ein vollständiger Gefäßverschluss wird nicht simuliert, da in diesem Fall keine durchgängige Strömung mehr vorliegt.

Der Stenosegrad wird in diesem Projekt wie bei NASCET über die Verringerung des Gefäßdurchmessers beschrieben,
&lt;math&gt;s = 1 - \frac{d_{\min}}{d_{\mathrm{ref}}},&lt;/math&gt;wobei &lt;math&gt;d_{\min}&lt;/math&gt; der kleinste Durchmesser in der Engstelle und &lt;math&gt;d_{\mathrm{ref}}&lt;/math&gt; ein Referenzdurchmesser ist. NASCET verwendet als Referenz den Durchmesser des gesunden Gefäßes stromabwärts der Stenose. Für das idealisierte gerade Gefäßmodell wird ein konstanter Referenzdurchmesser von &lt;math&gt;D_0=6\,\mathrm{mm}&lt;/math&gt; angenommen. Da das Gefäß außerhalb der Stenose denselben Durchmesser besitzt, gilt in diesem Modell&lt;math&gt;d_{\mathrm{ref}}=D_0&lt;/math&gt;. Bei der zusätzlich betrachteten Gefäßaufzweigung muss der Referenzdurchmesser dagegen gesondert festgelegt werden, da die Gefäßäste unterschiedliche Durchmesser besitzen.

Wichtig für das Verständnis aller weiteren Ergebnisse ist der Unterschied zwischen Durchmesser- und Flächenreduktion. Da die Querschnittsfläche quadratisch vom Durchmesser abhängt, gilt für die Flächenreduktion &lt;math&gt;1-(1-s)^2&lt;/math&gt;. Eine im klinischen Sinn nur mittelgradige Stenose von 60 % verschließt damit bereits 84 % der Querschnittsfläche.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Durchmesser- und Flächenreduktion der gerechneten Stenosegrade
! Stenosegrad s !! 0 !! 0,1 !! 0,2 !! 0,3 !! 0,4 !! 0,5 !! 0,6 !! 0,7 !! 0,8
|-
| engster Durchmesser in mm || 6,0 || 5,4 || 4,8 || 4,2 || 3,6 || 3,0 || 2,4 || 1,8 || 1,2
|-
| Flächenreduktion || 0 % || 19 % || 36 % || 51 % || 64 % || 75 % || 84 % || 91 % || 96 %
|}

Eine Einschränkungen gehört zur ehrlichen Einordnung: 
# Mit zunehmendem Stenosegrad, insbesondere bei ausgeprägten Verengungen, können lokale Beschleunigungen, Strömungsablösungen und zeitabhängige Strömungsstrukturen auftreten. Daher muss bei den hochgradigen Stenosen geprüft werden, inwieweit die Annahme einer stationären, laminaren Strömung geeignet ist. Eine feste Grenze bei &lt;math&gt;s=0{,}6&lt;/math&gt; lässt sich ohne entsprechende Simulationsergebnisse oder Literaturbelege nicht allgemein festlegen. Die hochgradigen Fälle werden deshalb unter besonderer Berücksichtigung der Modellannahmen diskutiert.

Unter Modellierung wird in diesem Projekt die Übertragung der Blutströmung in einer verengten Arterie auf ein mathematisches und numerisch lösbares Strömungsproblem verstanden. Dazu werden die Gefäßgeometrie, die zugrunde liegenden Gleichungen, die physikalischen Materialparameter sowie die Anfangs- und Randbedingungen festgelegt.

Jeder dieser Bestandteile beruht auf vereinfachenden Annahmen, die begründet und bei der Interpretation der Ergebnisse berücksichtigt werden müssen. Ziel ist es, den Einfluss unterschiedlicher Stenosegrade auf die Strömungsgeschwindigkeit, den Druckverlust und gegebenenfalls die Wandschubspannung systematisch zu untersuchen.

Die Modellierung erfolgt anhand mehrerer Modellvarianten mit unterschiedlicher räumlicher Auflösung. Dadurch können zunächst grundlegende Zusammenhänge analytisch abgeschätzt und anschließend mit numerischen Strömungsberechnungen verglichen werden. Die verwendeten Parameter orientieren sich an den bereitgestellten Referenzdaten und werden in den folgenden Abschnitten erläutert.

== Modellierung ==

Ziel der Modellierung ist es, die Blutströmung innerhalb einer Y-förmigen Aufzweigung der Halsschlagader mathematisch und numerisch zu untersuchen. Im Mittelpunkt steht eine Gefäßverengung (Stenose) in der Arteria carotis interna.

Das betrachtete Gefäßmodell besteht aus der Arteria carotis communis, die sich in die Arteria carotis interna und die Arteria carotis externa aufteilt. Die Stenose befindet sich ausschließlich in der Arteria carotis interna.

Durch die Verengung verändert sich der verfügbare Strömungsquerschnitt. Dies kann zu einer Erhöhung der lokalen Strömungsgeschwindigkeit, zu zusätzlichen Druckverlusten und zu einer Veränderung der Strömungsverteilung zwischen den beiden Gefäßästen führen.

Ziel ist es, den Einfluss unterschiedlicher Stenosegrade auf die Strömungsgeschwindigkeit, die Druckverteilung und die Wandschubspannung zu untersuchen. Zusätzlich soll betrachtet werden, wie sich die Strömung innerhalb der Y-förmigen Gefäßaufzweigung verhält.

Die numerische Modellierung erfolgt mit COMSOL Multiphysics. Dazu werden die Gefäßgeometrie, die Materialeigenschaften des Blutes, die Strömungsgleichungen und die Randbedingungen festgelegt.

Zur Vereinfachung wird Blut zunächst als inkompressibles, Newtonsches Fluid betrachtet. Die Gefäßwände werden als starr angenommen. Diese Annahmen ermöglichen eine systematische Untersuchung der Stenose, schränken jedoch die Übertragbarkeit auf reale physiologische Bedingungen ein.

=== Modellhierarchie ===

Für die Untersuchung der Blutströmung innerhalb der Y-förmigen Karotisaufzweigung werden drei Modellvarianten betrachtet. Diese unterscheiden sich hinsichtlich ihrer räumlichen Dimension, ihrer mathematischen Beschreibung und der Genauigkeit, mit der die Strömungsverhältnisse dargestellt werden können.

Das untersuchte Gefäß besteht aus der Arteria carotis communis, die sich in die Arteria carotis interna und die Arteria carotis externa aufteilt. Die Stenose befindet sich ausschließlich in der Arteria carotis interna.

Alle drei Modellvarianten werden mit COMSOL Multiphysics umgesetzt.

{| class=&quot;wikitable&quot; style=&quot;width:100%;&quot;
|+ '''Die drei Modellvarianten des Projekts'''
|-
! Modell
! Raumdimension
! Mathematische Grundlage
! Zweck
! Werkzeug
|-
| '''Graphenmodell'''
| 1D, Gefäßnetzwerk mit einer Verzweigung
| Massenerhaltung an der Verzweigung und vereinfachte Beschreibung der Strömungswiderstände
| Abschätzung der Volumenstromverteilung und der Druckverluste in den Gefäßästen
| COMSOL Multiphysics
|-
| '''Ebenes Flächenmodell'''
| 2D, Y-förmige Gefäßgeometrie in kartesischen Koordinaten
| Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen
| Untersuchung der Geschwindigkeits- und Druckverteilung sowie der Auswirkungen der Stenose in der Arteria carotis interna
| COMSOL Multiphysics, Laminare Strömung
|-
| '''Volumenmodell'''
| 3D, räumliche Y-förmige Gefäßgeometrie
| Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen
| Räumliche Untersuchung des Geschwindigkeitsfeldes, des Druckverlustes und der Wandschubspannung
| COMSOL Multiphysics, Laminare Strömung
|}

==== Vergleich und Überprüfung der Modellvarianten ====

Die drei Modellvarianten bauen hinsichtlich ihrer räumlichen Beschreibung aufeinander auf. Das Graphenmodell ermöglicht zunächst eine vereinfachte Betrachtung der Volumenströme und Druckverluste. Die zwei- und dreidimensionalen Modelle erlauben anschließend eine detailliertere Untersuchung der Strömung innerhalb der Gefäßaufzweigung.

Das '''Graphenmodell''' beschreibt die Arteria carotis communis sowie die beiden abzweigenden Gefäße als miteinander verbundenes Netzwerk. Dabei wird die Massenerhaltung an der Verzweigung berücksichtigt:

:&lt;math&gt;Q_{\mathrm{CCA}}=Q_{\mathrm{ICA}}+Q_{\mathrm{ECA}}&lt;/math&gt;

Das Modell liefert vereinfachte Abschätzungen der Volumenstromverteilung. Lokale Strömungsablösungen und räumliche Geschwindigkeitsverteilungen können damit nicht detailliert dargestellt werden.

Das '''ebene Flächenmodell''' bildet die Y-förmige Gefäßaufzweigung in zwei Raumdimensionen ab. Die Stenose wird innerhalb der Arteria carotis interna berücksichtigt. Dadurch können die Geschwindigkeits- und Druckverteilung sowie mögliche Rückströmungsbereiche untersucht werden.

Das '''Volumenmodell''' erweitert die Untersuchung auf drei Raumdimensionen. Es ermöglicht eine räumliche Darstellung der Strömung und eine detailliertere Berechnung der Wandschubspannung.

Die Ergebnisse des ebenen Flächenmodells und des Volumenmodells werden miteinander verglichen. Da das ebene Modell die räumliche Querschnittsgeometrie nur vereinfacht darstellt, müssen Unterschiede zwischen den beiden Modellen bei der Interpretation berücksichtigt werden.

Ziel der Modellhierarchie ist es, die Aussagekraft der einzelnen Modellvarianten zu bewerten und den Einfluss des Stenosegrades auf die Strömung innerhalb der Y-förmigen Karotisaufzweigung zu untersuchen.

=== Simulationsgebiet und Geometrie ===

Das Simulationsgebiet besteht aus einer idealisierten Y-förmigen Aufzweigung der Arteria carotis. Die Arteria carotis communis teilt sich in die Arteria carotis interna und die Arteria carotis externa.

Die Stenose befindet sich in der Arteria carotis interna. Die Arteria carotis externa wird ohne zusätzliche Verengung modelliert.

Die Geometrie orientiert sich an den bereitgestellten Referenzdaten. Die Gefäßdurchmesser werden innerhalb der jeweiligen unverengten Abschnitte als konstant angenommen.

{| class=&quot;wikitable&quot; style=&quot;width:100%;&quot;
|+ '''Geometrische Referenzparameter der Y-förmigen Gefäßaufzweigung'''
|-
! Gefäßabschnitt
! Durchmesser
! Länge
|-
| Arteria carotis communis
| 6 mm
| 60 mm
|-
| Arteria carotis interna
| 5 mm
| 60 mm
|-
| Arteria carotis externa
| 4 mm
| 60 mm
|-
| Stenose in der Arteria carotis interna
| Abhängig vom Stenosegrad
| 10 mm
|}

Die Verengung wird über den Stenosegrad &lt;math&gt;s&lt;/math&gt; beschrieben. Dieser gibt die relative Verringerung des Gefäßdurchmessers an:

:&lt;math&gt;s=1-\frac{d_{\min}}{D_{\mathrm{ICA}}}&lt;/math&gt;

Dabei bezeichnet &lt;math&gt;d_{\min}&lt;/math&gt; den minimalen Durchmesser innerhalb der Stenose und &lt;math&gt;D_{\mathrm{ICA}}&lt;/math&gt; den unverengten Referenzdurchmesser der Arteria carotis interna.

Für das Modell gilt:

:&lt;math&gt;D_{\mathrm{ICA}}=5\,\mathrm{mm}&lt;/math&gt;

Der minimale Durchmesser ergibt sich damit zu:

:&lt;math&gt;d_{\min}=D_{\mathrm{ICA}}(1-s)&lt;/math&gt;

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ '''Minimaler Durchmesser der Stenose in der Arteria carotis interna'''
|-
! Stenosegrad
! Minimaler Durchmesser
|-
| 0 %
| 5,0 mm
|-
| 10 %
| 4,5 mm
|-
| 20 %
| 4,0 mm
|-
| 30 %
| 3,5 mm
|-
| 40 %
| 3,0 mm
|-
| 50 %
| 2,5 mm
|-
| 60 %
| 2,0 mm
|-
| 70 %
| 1,5 mm
|-
| 80 %
| 1,0 mm
|}

Die angegebenen Stenosegrade beziehen sich ausschließlich auf den Durchmesser der Arteria carotis interna. Der Durchmesser der Arteria carotis communis wird nicht zur Berechnung des Stenosegrades verwendet.

Die Y-förmige Geometrie ermöglicht es, die Auswirkungen der Verengung sowohl auf die lokale Strömung in der Arteria carotis interna als auch auf die Strömungsverteilung innerhalb der gesamten Gefäßaufzweigung zu untersuchen.

Die genaue Form der Stenose, der Verzweigungswinkel und die Übergänge zwischen den Gefäßabschnitten müssen entsprechend der tatsächlich in COMSOL verwendeten Geometrie dokumentiert werden.


== Stoff- und Strömungsparameter ==

Die Stoffwerte des Blutes und der Volumenstrom sind die einzigen Eingangsgrößen, die nicht aus der Geometrie folgen. Aus ihnen werden alle weiteren Strömungskennwerte berechnet. Die folgenden Schritte zeigen jede Rechnung einzeln, damit sich jeder Wert nachprüfen lässt.

# Die '''Dichte''' wird mit &lt;math&gt;\rho = 1060\ \mathrm{kg/m^3}&lt;/math&gt; angesetzt. Der Wert lässt sich als Mischungsregel plausibel machen. Plasma hat eine Dichte von etwa 1025 kg/m³, rote Blutkörperchen von etwa 1100 kg/m³. Bei einem Zellanteil von 45 % ergibt sich &lt;math&gt;0{,}55 \cdot 1025 + 0{,}45 \cdot 1100 \approx 1059\ \mathrm{kg/m^3}&lt;/math&gt;. Die Dichte geht nur über die Reynoldszahl in die Rechnung ein, eine Abweichung von einem Prozent ändert die Ergebnisse daher kaum. &lt;!-- FIXME Lehrbuchquelle fuer Plasma- und Erythrozytendichte ergaenzen --&gt;
# Die '''dynamische Viskosität''' wird mit &lt;math&gt;\mu = 3{,}5\ \mathrm{mPa\,s}&lt;/math&gt; angesetzt. Das ist der Grenzwert der Blutviskosität bei hohen Scherraten, also genau der Wert, der zur Newtonschen Näherung gehört. Derselbe Wert von 0,035 Poise wird auch im Standardwerk zur Modellierung des Herz-Kreislauf-Systems verwendet.&lt;ref name=&quot;quarteroni&quot;&gt;Quarteroni, A.; Formaggia, L.: ''Mathematical Modelling and Numerical Simulation of the Cardiovascular System.'' In: Ayache, N. (Hrsg.): ''Computational Models for the Human Body.'' Handbook of Numerical Analysis, Bd. XII, Elsevier, Amsterdam 2004, S. 3-127. DOI 10.1016/S1570-8659(03)12001-7. Zur Newtonschen Näherung in großen Gefäßen siehe S. 30, zur Viskosität von 0,035 Poise die Parametertabelle auf S. 116.&lt;/ref&gt;
# Der '''mittlere Volumenstrom''' wird mit &lt;math&gt;Q_0 = 6\ \mathrm{ml/s}&lt;/math&gt; angesetzt. Das ist der zeitlich gemittelte Volumenstrom, der in der gemeinsamen Halsschlagader gesunder Probanden gemessen wurde.&lt;ref name=&quot;holdsworth&quot; /&gt;
# Die '''mittlere Geschwindigkeit''' folgt aus Volumenstrom und Querschnittsfläche, &lt;math&gt;U_0 = \frac{Q_0}{\pi R_0^2} = \frac{6 \cdot 10^{-6}\ \mathrm{m^3/s}}{\pi \cdot (0{,}003\ \mathrm{m})^2} = 0{,}2122\ \mathrm{m/s}&lt;/math&gt;.
# Die '''Reynoldszahl''' des gesunden Gefäßes ist &lt;math&gt;Re_0 = \frac{\rho\, U_0\, D_0}{\mu} = \frac{1060 \cdot 0{,}2122 \cdot 0{,}006}{0{,}0035} = 385{,}6&lt;/math&gt;. Sie wird im Folgenden auf 386 gerundet.
# Die '''Einlauflänge''', die eine anfangs gleichförmige Strömung bis zum voll entwickelten Parabelprofil bräuchte, beträgt nach der gebräuchlichen Abschätzung für laminare Rohrströmungen &lt;math&gt;L_e \approx 0{,}06\, Re_0\, D_0 \approx 0{,}06 \cdot 386 \cdot 6\ \mathrm{mm} \approx 139\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt;.&lt;ref name=&quot;durst&quot;&gt;Durst, F.; Ray, S.; Ünsal, B.; Bayoumi, O. A.: ''The development lengths of laminar pipe and channel flows.'' Journal of Fluids Engineering 127 (2005), Nr. 6, S. 1154-1160. Für große Reynoldszahlen nähert sich die dort angegebene Korrelation dem Wert 0,057·Re·D.&lt;/ref&gt; Das ist fast die gesamte Länge des Rechengebiets. Ein konstantes Einlassprofil würde die Strömung an der Stenose also verfälschen, weshalb am Einlass das voll entwickelte Profil vorgegeben wird.

Damit liegen alle globalen Parameter fest. Die folgende Tabelle enthält sie mit genau den Namen, unter denen sie in COMSOL und in den Octave-Skripten verwendet werden.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Globale Parameter des Modells
! Name !! Ausdruck in COMSOL !! Wert !! Bedeutung !! Herkunft
|-
| R0 || 3[mm] || 3 mm || Gefäßradius || Messwerte nach Krejza u. a. 2006, gerundet
|-
| D0 || 2*R0 || 6 mm || Gefäßdurchmesser || abgeleitet
|-
| Ls || 2*D0 || 12 mm || Länge der Störstelle || Standardgeometrie nach Varghese u. a. 2007
|-
| Lu || 5*D0 || 30 mm || Vorlaufstrecke vor der Stenosemitte || Abstand der Einlassbedingung von der Stenose
|-
| Ld || 20*D0 || 120 mm || Nachlaufstrecke hinter der Stenosemitte || Platz für das Rückströmgebiet
|-
| Lf || Ls/2+10*D0 || 66 mm || Ende des fein vernetzten Nachlaufs || erwartete Länge des Rückströmgebiets
|-
| s || 0 bis 0.8 || 0 bis 0,8 || Stenosegrad bezogen auf den Durchmesser || NASCET-Einteilung
|-
| rho_b || 1060[kg/m^3] || 1060 kg/m³ || Dichte des Blutes || Mischungsregel, Literaturwert
|-
| mu_b || 3.5[mPa*s] || 3,5 mPa·s || dynamische Viskosität des Blutes || Hochscherwert, Quarteroni und Formaggia 2004
|-
| Q0 || 6[ml/s] || 6 ml/s || mittlerer Volumenstrom || Messwerte nach Holdsworth u. a. 1999
|-
| U0 || Q0/(pi*R0^2) || 0,2122 m/s || mittlere Einströmgeschwindigkeit || abgeleitet
|-
| Re0 || rho_b*U0*D0/mu_b || 385,6 || Reynoldszahl des gesunden Gefäßes || abgeleitet
|-
| dp_ref || 8*mu_b*U0*(Lu+Ld)/R0^2 || 99,03 Pa || Poiseuille-Druckabfall des gesunden Gefäßes || abgeleitet, Hagen-Poiseuille
|}


AB HIER ALT== Modellhierarchie ==

Für die Untersuchung werden vier Modellvarianten betrachtet, die sich hinsichtlich ihrer mathematischen Beschreibung, ihrer räumlichen Dimension und ihres Rechenaufwands unterscheiden. Die Modelle sind bewusst von einer vereinfachten analytischen Beschreibung bis zu einer dreidimensionalen numerischen Simulation angeordnet.

Diese Vorgehensweise ermöglicht es, die Ergebnisse der komplexeren Modelle anhand grundlegender physikalischer Zusammenhänge und geeigneter Referenzfälle zu überprüfen. Dabei ist zu beachten, dass nicht jede Modellvariante dieselben Strömungseigenschaften vollständig abbilden kann.

{| class=&quot;wikitable&quot; style=&quot;width:100%;&quot;
|+ '''Die vier Modellvarianten des Projekts'''
|-
! Modell
! Raumdimension
! Mathematische Grundlage
! Zweck
! Werkzeug
|-
| '''Graphenmodell'''
| 1D, Beschreibung entlang der Gefäßachse
| Hagen-Poiseuille-Gesetz für vereinfachte Rohrabschnitte und Massenerhaltung an Verzweigungsknoten
| Analytische Abschätzung von Volumenströmen und Druckverlusten; Referenz für die numerischen Modelle
| COMSOL mit geeigneter eindimensionaler Formulierung
|-
| '''Achsensymmetrisches Flächenmodell'''
| 2D, rotationssymmetrischer Längsschnitt in den Koordinaten &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;z&lt;/math&gt;
| Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen in achsensymmetrischer Form
| Detaillierte Untersuchung von Geschwindigkeits- und Druckfeldern sowie der Wandschubspannung in einem idealisierten rotationssymmetrischen Gefäß
| COMSOL Multiphysics, Laminar Flow
|-
| '''Ebenes Flächenmodell'''
| 2D, ebene Geometrie in den Koordinaten &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;y&lt;/math&gt;
| Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen in kartesischen Koordinaten
| Untersuchung der Strömung in einer vereinfachten ebenen Geometrie und Vergleich mit dem achsensymmetrischen Modell
| COMSOL Multiphysics, Laminar Flow
|-
| '''Volumenmodell'''
| 3D, räumliche Gefäßgeometrie
| Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen in drei Raumdimensionen
| Räumliche Darstellung der Strömung und Überprüfung der Ergebnisse des achsensymmetrischen Modells bei vergleichbarer Geometrie
| COMSOL Multiphysics, Laminar Flow
|}

== Stoff- und Strömungsparameter ==

Die Stoffwerte des Blutes und der Volumenstrom sind die einzigen Eingangsgrößen, die nicht aus der Geometrie folgen. Aus ihnen werden alle weiteren Strömungskennwerte berechnet. Die folgenden Schritte zeigen jede Rechnung einzeln, damit sich jeder Wert nachprüfen lässt.

# Die '''Dichte''' wird mit &lt;math&gt;\rho = 1060\ \mathrm{kg/m^3}&lt;/math&gt; angesetzt. Der Wert lässt sich als Mischungsregel plausibel machen. Plasma hat eine Dichte von etwa 1025 kg/m³, rote Blutkörperchen von etwa 1100 kg/m³. Bei einem Zellanteil von 45 % ergibt sich &lt;math&gt;0{,}55 \cdot 1025 + 0{,}45 \cdot 1100 \approx 1059\ \mathrm{kg/m^3}&lt;/math&gt;. Die Dichte geht nur über die Reynoldszahl in die Rechnung ein, eine Abweichung von einem Prozent ändert die Ergebnisse daher kaum. &lt;!-- FIXME Lehrbuchquelle fuer Plasma- und Erythrozytendichte ergaenzen --&gt;
# Die '''dynamische Viskosität''' wird mit &lt;math&gt;\mu = 3{,}5\ \mathrm{mPa\,s}&lt;/math&gt; angesetzt. Das ist der Grenzwert der Blutviskosität bei hohen Scherraten, also genau der Wert, der zur Newtonschen Näherung gehört. Derselbe Wert von 0,035 Poise wird auch im Standardwerk zur Modellierung des Herz-Kreislauf-Systems verwendet.&lt;ref name=&quot;quarteroni&quot;&gt;Quarteroni, A.; Formaggia, L.: ''Mathematical Modelling and Numerical Simulation of the Cardiovascular System.'' In: Ayache, N. (Hrsg.): ''Computational Models for the Human Body.'' Handbook of Numerical Analysis, Bd. XII, Elsevier, Amsterdam 2004, S. 3-127. DOI 10.1016/S1570-8659(03)12001-7. Zur Newtonschen Näherung in großen Gefäßen siehe S. 30, zur Viskosität von 0,035 Poise die Parametertabelle auf S. 116.&lt;/ref&gt;
# Der '''mittlere Volumenstrom''' wird mit &lt;math&gt;Q_0 = 6\ \mathrm{ml/s}&lt;/math&gt; angesetzt. Das ist der zeitlich gemittelte Volumenstrom, der in der gemeinsamen Halsschlagader gesunder Probanden gemessen wurde.&lt;ref name=&quot;holdsworth&quot; /&gt;
# Die '''mittlere Geschwindigkeit''' folgt aus Volumenstrom und Querschnittsfläche, &lt;math&gt;U_0 = \frac{Q_0}{\pi R_0^2} = \frac{6 \cdot 10^{-6}\ \mathrm{m^3/s}}{\pi \cdot (0{,}003\ \mathrm{m})^2} = 0{,}2122\ \mathrm{m/s}&lt;/math&gt;.
# Die '''Reynoldszahl''' des gesunden Gefäßes ist &lt;math&gt;Re_0 = \frac{\rho\, U_0\, D_0}{\mu} = \frac{1060 \cdot 0{,}2122 \cdot 0{,}006}{0{,}0035} = 385{,}6&lt;/math&gt;. Sie wird im Folgenden auf 386 gerundet.
# Die '''Einlauflänge''', die eine anfangs gleichförmige Strömung bis zum voll entwickelten Parabelprofil bräuchte, beträgt nach der gebräuchlichen Abschätzung für laminare Rohrströmungen &lt;math&gt;L_e \approx 0{,}06\, Re_0\, D_0 \approx 0{,}06 \cdot 386 \cdot 6\ \mathrm{mm} \approx 139\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt;.&lt;ref name=&quot;durst&quot;&gt;Durst, F.; Ray, S.; Ünsal, B.; Bayoumi, O. A.: ''The development lengths of laminar pipe and channel flows.'' Journal of Fluids Engineering 127 (2005), Nr. 6, S. 1154-1160. Für große Reynoldszahlen nähert sich die dort angegebene Korrelation dem Wert 0,057·Re·D.&lt;/ref&gt; Das ist fast die gesamte Länge des Rechengebiets. Ein konstantes Einlassprofil würde die Strömung an der Stenose also verfälschen, weshalb am Einlass das voll entwickelte Profil vorgegeben wird.

Damit liegen alle globalen Parameter fest. Die folgende Tabelle enthält sie mit genau den Namen, unter denen sie in COMSOL und in den Octave-Skripten verwendet werden.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Globale Parameter des Modells
! Name !! Ausdruck in COMSOL !! Wert !! Bedeutung !! Herkunft
|-
| R0 || 3[mm] || 3 mm || Gefäßradius || Messwerte nach Krejza u. a. 2006, gerundet
|-
| D0 || 2*R0 || 6 mm || Gefäßdurchmesser || abgeleitet
|-
| Ls || 2*D0 || 12 mm || Länge der Störstelle || Standardgeometrie nach Varghese u. a. 2007
|-
| Lu || 5*D0 || 30 mm || Vorlaufstrecke vor der Stenosemitte || Abstand der Einlassbedingung von der Stenose
|-
| Ld || 20*D0 || 120 mm || Nachlaufstrecke hinter der Stenosemitte || Platz für das Rückströmgebiet
|-
| Lf || Ls/2+10*D0 || 66 mm || Ende des fein vernetzten Nachlaufs || erwartete Länge des Rückströmgebiets
|-
| s || 0 bis 0.8 || 0 bis 0,8 || Stenosegrad bezogen auf den Durchmesser || NASCET-Einteilung
|-
| rho_b || 1060[kg/m^3] || 1060 kg/m³ || Dichte des Blutes || Mischungsregel, Literaturwert
|-
| mu_b || 3.5[mPa*s] || 3,5 mPa·s || dynamische Viskosität des Blutes || Hochscherwert, Quarteroni und Formaggia 2004
|-
| Q0 || 6[ml/s] || 6 ml/s || mittlerer Volumenstrom || Messwerte nach Holdsworth u. a. 1999
|-
| U0 || Q0/(pi*R0^2) || 0,2122 m/s || mittlere Einströmgeschwindigkeit || abgeleitet
|-
| Re0 || rho_b*U0*D0/mu_b || 385,6 || Reynoldszahl des gesunden Gefäßes || abgeleitet
|-
| dp_ref || 8*mu_b*U0*(Lu+Ld)/R0^2 || 99,03 Pa || Poiseuille-Druckabfall des gesunden Gefäßes || abgeleitet, Hagen-Poiseuille
|}

=== Vergleich und Überprüfung der Modellvarianten ===

Die Modellhierarchie folgt dem Prinzip, dass zunächst vereinfachte Zusammenhänge untersucht und anschließend mit detaillierteren numerischen Modellen verglichen werden.

Das '''Graphenmodell''' bildet die einfachste Modellvariante. Es verwendet das Hagen-Poiseuille-Gesetz zur Abschätzung des Druckverlustes in geraden Rohrabschnitten mit konstantem Durchmesser. Für den unverengten Referenzfall kann damit eine analytische Vergleichsgröße bestimmt werden. Im Bereich einer Stenose ist die Anwendung jedoch nur als vereinfachte Näherung geeignet, da dort zusätzliche Strömungseffekte auftreten können.

Das '''achsensymmetrische Flächenmodell''' ermöglicht eine detailliertere Untersuchung des Geschwindigkeits- und Druckfeldes innerhalb einer idealisierten rotationssymmetrischen Gefäßverengung. Im unverengten Referenzfall können die numerischen Ergebnisse mit der analytischen Poiseuille-Lösung verglichen werden. Bei zunehmendem Stenosegrad werden insbesondere die Beschleunigung im Bereich der Engstelle, der Druckverlust und die Wandschubspannung betrachtet.

Das '''ebene Flächenmodell''' beschreibt die Strömung in einer zweidimensionalen kartesischen Geometrie. Im Unterschied zum achsensymmetrischen Modell wird dabei keine Rotationssymmetrie vorausgesetzt. Da sich die geometrische Beschreibung des Strömungsquerschnitts unterscheidet, sind die Ergebnisse nicht ohne Weiteres quantitativ gleichzusetzen. Der Vergleich dient insbesondere dazu, den Einfluss der Modellvereinfachung auf die berechneten Strömungsgrößen zu untersuchen.

Das '''Volumenmodell''' erweitert die Untersuchung auf drei Raumdimensionen. Bei einer rotationssymmetrischen Geometrie und entsprechend übereinstimmenden Randbedingungen wird eine weitgehende Übereinstimmung mit dem achsensymmetrischen Modell erwartet. Diese Übereinstimmung muss jedoch anhand der numerischen Ergebnisse überprüft werden. Bei einer Gefäßaufzweigung oder einer asymmetrischen Stenose können zusätzliche räumliche Strömungseffekte auftreten, die durch ein achsensymmetrisches Modell nicht vollständig beschrieben werden.

=== Referenzfall und Vergleichsgrößen ===

Als Ausgangspunkt dient ein unverengtes Gefäß mit dem Referenzdurchmesser &lt;math&gt;D_0=6\,\mathrm{mm}&lt;/math&gt;. Für das Blut werden eine Dichte von &lt;math&gt;\rho_b=1060\,\mathrm{kg/m^3}&lt;/math&gt; und eine dynamische Viskosität von &lt;math&gt;\mu_b=3{,}5\,\mathrm{mPa\,s}&lt;/math&gt; angenommen.

Der vorgegebene mittlere Volumenstrom beträgt &lt;math&gt;Q_0=6\,\mathrm{ml/s}&lt;/math&gt;. Daraus ergibt sich für den unverengten kreisförmigen Querschnitt eine mittlere Strömungsgeschwindigkeit von ungefähr &lt;math&gt;U_0=0{,}2122\,\mathrm{m/s}&lt;/math&gt;.

Die Referenz-Reynolds-Zahl beträgt &lt;math&gt;\mathrm{Re}_0=385{,}6&lt;/math&gt;. Für den in den Referenzdaten definierten Vergleichsfall ist außerdem ein analytischer Druckverlust von &lt;math&gt;\Delta p_{\mathrm{ref}}=99{,}03\,\mathrm{Pa}&lt;/math&gt; angegeben.

Diese Größen dienen als Ausgangspunkt für die Überprüfung der numerischen Modelle. Ein direkter Vergleich ist jedoch nur zulässig, wenn die jeweils verwendete Geometrie, die Auswertelänge und die Randbedingungen übereinstimmen.

=== Grenzen der Modellhierarchie ===

Die vier Modellvarianten unterscheiden sich nicht nur im Rechenaufwand, sondern auch in den physikalischen Effekten, die sie darstellen können.

Insbesondere bei hochgradigen Stenosen können starke lokale Geschwindigkeitsänderungen, Strömungsablösungen und zeitabhängige Strömungsstrukturen auftreten. Deshalb muss überprüft werden, ob die Annahme einer stationären laminaren Strömung für die betrachteten Fälle ausreichend ist.

Außerdem muss zwischen dem idealisierten geraden Gefäßmodell und einer Gefäßaufzweigung unterschieden werden. Das achsensymmetrische Modell eignet sich für eine rotationssymmetrische Stenose in einem geraden Gefäß, während eine realistische Gefäßaufzweigung eine andere geometrische Beschreibung erfordert.

Die Modellvarianten werden daher nicht als vollständig gleichwertig betrachtet. Vielmehr soll der Vergleich zeigen, welche Aussagen bereits durch vereinfachte Modelle möglich sind und für welche Strömungseigenschaften eine detailliertere numerische Beschreibung erforderlich ist.

= Modellierung =

Modellierung bedeutet hier, die reale Situation in eine mathematische Aufgabe zu übersetzen, die sich lösen lässt. Dazu gehören vier Bausteine, nämlich das Rechengebiet, die Gleichungen, die Zahlenwerte der Parameter und die Bedingungen an den Rändern. Jeder dieser Bausteine beruht auf Annahmen, und jede Annahme muss begründet werden. Dieser Abschnitt geht die Bausteine deshalb der Reihe nach durch und nennt bei jedem Zahlenwert, woher er stammt und warum er sinnvoll ist.

== Modellhierarchie ==

Das Projekt rechnet nicht ein einziges Modell, sondern vier aufeinander aufbauende Modellvarianten. Sie entsprechen der Kursanforderung, eine Strömung als Graph, in zwei und in drei Raumdimensionen darzustellen, und sie sind bewusst von einfach nach aufwendig geordnet.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Die vier Modellvarianten des Projekts
! Modell !! Raumdimension !! gelöste Gleichung !! Zweck !! Werkzeug
|-
| Graphenmodell || 1D, Gefäßachse || Hagen-Poiseuille je Rohrstück und Massenerhaltung in jedem Knoten || schnelle, analytisch nachrechenbare Abschätzung für jeden Stenosegrad || Octave und COMSOL (Koeffizientenform-PDGL)
|-
| achsensymmetrisches Flächenmodell || 2D, Halbschnitt in r und z || vollständige stationäre Navier-Stokes-Gleichungen in Zylinderkoordinaten || Hauptmodell, liefert alle Feldgrößen des rotationssymmetrischen Rohres || COMSOL, Laminare Strömung
|-
| ebenes Flächenmodell || 2D, Halbschnitt in x und y || vollständige stationäre Navier-Stokes-Gleichungen in kartesischen Koordinaten || Vergleich, zeigt den Einfluss der zweiten Querschnittsrichtung || COMSOL, Laminare Strömung
|-
| Volumenmodell || 3D || vollständige stationäre Navier-Stokes-Gleichungen || Kontrolle des Hauptmodells und räumliche Darstellung || COMSOL, Laminare Strömung
|}

Die Reihenfolge folgt einem einfachen Prinzip. Jede Stufe liefert die Sollwerte, an denen die nächste, komplexere Stufe geprüft wird. Das Graphenmodell muss im gesunden Fall exakt die Poiseuille-Lösung ergeben. Das achsensymmetrische Modell muss im gesunden Fall dieselben Werte liefern und bei Stenose für Geschwindigkeit und Wandschubspannung in der Nähe des Graphenmodells liegen. Das Volumenmodell muss, weil die Geometrie rotationssymmetrisch ist, mit dem achsensymmetrischen Modell übereinstimmen.

== Modellannahmen ==

Um den Einfluss des Stenosegrades möglichst isoliert zu untersuchen, werden die folgenden Modellannahmen getroffen. Die Tabelle nennt zu jeder Annahme ihre mathematische Form, die Begründung und die Stelle, an der sie im Projekt überprüft wird.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Modellannahmen, ihre Begründung und ihre Überprüfung
! Annahme !! mathematische Form !! Begründung !! Überprüfung
|-
| Idealisierte Gefäßgeometrie || gerades Rohr mit kosinusförmiger, rotationssymmetrischer Verengung || isoliert die Wirkung des Stenosegrades von Krümmung, Verzweigung und Plaqueform || Diskussion in den Schlussfolgerungen
|-
| Starre Gefäßwand || Wand ortsfest, keine Fluid-Struktur-Kopplung || im stationären Fall gibt es keine Druckschwankung, die die Wand periodisch aufweiten könnte || Abschätzung über die gemessene Durchmesseränderung im Herzzyklus
|-
| Stationäre Strömung || &lt;math&gt;\partial \mathbf{u}/\partial t = \mathbf{0}&lt;/math&gt; || der Einfluss des Stenosegrades soll ohne Überlagerung durch die Pulsation sichtbar werden || Abschätzung über die Womersley-Zahl
|-
| Inkompressibles Fluid || &lt;math&gt;\rho = \mathrm{const}&lt;/math&gt;, damit &lt;math&gt;\nabla\cdot\mathbf{u} = 0&lt;/math&gt; || Blut ist eine Flüssigkeit, Druckänderungen von wenigen hundert Pascal ändern die Dichte nicht messbar || Massenerhaltung in fünf Querschnitten
|-
| Newtonsche Näherung || konstante Viskosität &lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt; || die Scherraten an der Wand und im größten Teil des Querschnitts liegen über dem Bereich, in dem Blut deutlich scherverdünnend wirkt || Scherrate an der Wand, Diskussion des Rückströmgebiets
|-
| Konstante Stoffeigenschaften || &lt;math&gt;\rho&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt; räumlich und zeitlich konstant || Körpertemperatur ist im betrachteten Abschnitt konstant || entfällt
|-
| Laminare Strömung || kein Turbulenzmodell, Schnittstelle Laminare Strömung || Reynoldszahl des gesunden Gefäßes von 386 liegt weit unter dem Umschlagbereich || Reynoldszahl in der Engstelle, Literaturvergleich
|-
| Haftbedingung an der Wand || &lt;math&gt;\mathbf{u} = \mathbf{0}&lt;/math&gt; auf der Wand || Folge der Viskosität, das Fluid haftet an der Wand || Grundlage jeder Wandschubspannung
|-
| Vernachlässigung der Gravitation || keine Volumenkraft || bei konstanter Dichte lässt sich die Schwerkraft vollständig in einen hydrostatischen Druckanteil verschieben und beeinflusst die Geschwindigkeit nicht || Begründung in den Mathematischen Hintergründen
|-
| Voll entwickelte Einströmung || parabolisches Profil am Einlass || die natürliche Einlaufstrecke wäre mit rund 139 mm fast so lang wie das ganze Rechengebiet || Scheitelgeschwindigkeit im gesunden Fall
|-
| Eingeprägter Volumenstrom || &lt;math&gt;Q = Q_0&lt;/math&gt; am Einlass || der Strömungswiderstand des Abschnitts ist klein gegenüber dem des nachgeschalteten Gefäßbetts || Abschätzung mit einem Reihenwiderstand
|}

Einige dieser Annahmen sind unmittelbar einsichtig, andere verdienen eine genauere Begründung, weil von ihnen die Aussagekraft der Ergebnisse abhängt.

Die '''Newtonsche Näherung''' ist die Annahme, die bei Blut am häufigsten hinterfragt wird. Reales Blut ist eine Suspension aus Plasma und Blutzellen und verhält sich scherverdünnend. Bei kleinen Scherraten lagern sich die roten Blutkörperchen zu geldrollenartigen Stapeln zusammen, und die Viskosität steigt auf ein Vielfaches an. Bei großen Scherraten lösen sich diese Stapel auf, und die Viskosität strebt gegen einen Grenzwert von etwa 3,5 mPa·s. Entscheidend ist also die Scherrate. An der Wand des gesunden Modellgefäßes beträgt sie nach der Poiseuille-Lösung

&lt;math&gt;\dot\gamma_w = \frac{4\,U_0}{R_0} = \frac{4 \cdot 0{,}2122\ \mathrm{m/s}}{0{,}003\ \mathrm{m}} \approx 283\ \mathrm{s^{-1}}&lt;/math&gt;

und liegt damit oberhalb von etwa 100 pro Sekunde, wo sich Newtonsches und nicht Newtonsches Modell nach der Literatur nur noch wenig unterscheiden.&lt;ref name=&quot;boyd&quot;&gt;Die Grenze von etwa 100 s&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt; wird in vergleichenden Studien zur Blutrheologie verwendet, etwa bei Bernabeu, M. O. u. a.: ''Impact of blood rheology on wall shear stress in a model of the middle cerebral artery.'' Interface Focus 3 (2013), 20120094. &lt;!-- FIXME Zitat und Seitenangabe am Original pruefen --&gt;&lt;/ref&gt; In der Engstelle steigt die Scherrate weiter an, beim Stenosegrad 0,5 auf rund 2260 pro Sekunde. Schwach ist die Näherung dort, wo die Scherrate klein wird, also in der Mitte des Gefäßes und vor allem im Rückströmgebiet hinter der Stenose. Dort ist reales Blut zäher als angenommen. Dieser Punkt wird in den Schlussfolgerungen wieder aufgegriffen.

Die '''stationäre Strömung''' ist die stärkste Vereinfachung. Wie wichtig die Pulsation ist, misst die Womersley-Zahl, die das Verhältnis von instationärer Trägheit zu Reibung angibt. Mit einer Herzfrequenz von 60 Schlägen je Minute, also einer Kreisfrequenz &lt;math&gt;\omega = 2\pi\ \mathrm{s^{-1}}&lt;/math&gt;, ergibt sich

&lt;math&gt;\alpha = R_0 \sqrt{\frac{\omega \rho}{\mu}} = 0{,}003\ \mathrm{m} \cdot \sqrt{\frac{2\pi\ \mathrm{s^{-1}} \cdot 1060\ \mathrm{kg/m^3}}{0{,}0035\ \mathrm{Pa\,s}}} \approx 4{,}1 .&lt;/math&gt;

Ein Wert in dieser Größenordnung bedeutet, dass das reale Geschwindigkeitsprofil im Herzzyklus merklich von der Parabel abweicht.&lt;ref name=&quot;womersley&quot;&gt;Womersley, J. R.: ''Method for the calculation of velocity, rate of flow and viscous drag in arteries when the pressure gradient is known.'' Journal of Physiology 127 (1955), S. 553-563.&lt;/ref&gt; Hinzu kommt, dass der Volumenstrom in der Systole kurzzeitig auf rund das Vierfache des Mittelwerts steigt.&lt;ref name=&quot;holdsworth&quot;&gt;Holdsworth, D. W.; Norley, C. J. D.; Frayne, R.; Steinman, D. A.; Rutt, B. K.: ''Characterization of common carotid artery blood-flow waveforms in normal human subjects.'' Physiological Measurement 20 (1999), Nr. 3, S. 219-240. DOI 10.1088/0967-3334/20/3/301. Angegeben werden ein mittlerer Volumenstrom von 6,0 ± 1,4 ml/s und ein systolischer Spitzenwert von 23,5 ± 3,8 ml/s. &lt;!-- FIXME Zahlenwerte und Probandenzahl am Original pruefen --&gt;&lt;/ref&gt; Die stationäre Rechnung mit dem Mittelwert beschreibt deshalb nicht den zeitlichen Verlauf, wohl aber den zeitlich gemittelten Zustand, an dem sich der Einfluss des Stenosegrades sauber vergleichen lässt.

Die '''laminare Strömung''' wird über die Reynoldszahl begründet. Sie beträgt im gesunden Gefäß 386 und liegt damit weit unter dem Wert von etwa 2300, ab dem die Strömung in einem geraden Rohr in den Übergangsbereich gelangen kann. In der Engstelle steigt sie bei festem Volumenstrom auf &lt;math&gt;Re_0/(1-s)&lt;/math&gt;, also auf 551 beim Stenosegrad 0,3, auf 964 beim Grad 0,6 und auf 1928 beim Grad 0,8. Für den Strahl hinter einer Engstelle ist der Umschlagbereich allerdings deutlich niedriger als im geraden Rohr. Direkte numerische Simulationen an genau der in diesem Projekt verwendeten Stenosegeometrie zeigen, dass die Strömung bei einer Einström-Reynoldszahl von 500 auch bei leichter Unsymmetrie laminar bleibt, bei 1000 dagegen schon eine Exzentrizität von fünf Prozent des Durchmessers genügt, um den Strahl in lokal turbulente Strömung umschlagen zu lassen.&lt;ref name=&quot;varghese&quot;&gt;Varghese, S. S.; Frankel, S. H.; Fischer, P. F.: ''Direct numerical simulation of stenotic flows. Part 1. Steady flow.'' Journal of Fluid Mechanics 582 (2007), S. 253-280. Untersucht wird eine kosinusförmige Stenose der Länge 2D mit 75 % Flächenreduktion, die mit der Geometrie dieses Projekts beim Stenosegrad 0,5 übereinstimmt. &lt;!-- FIXME Band und Seiten am Original pruefen --&gt;&lt;/ref&gt; Mit einer Einström-Reynoldszahl von 386 liegt das Projekt für die leicht- und mittelgradigen Stenosen sicher im laminaren Bereich. Für die hochgradigen Stenosen ab 0,7 ist ein laminares, stationäres Modell dagegen nur noch eine Näherung, die eine Obergrenze der geordneten Strömung beschreibt. Diese Fälle werden deshalb als Grenzfall des Modells gekennzeichnet.

Die '''starre Wand''' lässt sich über Messungen abschätzen. Der Durchmesser der gemeinsamen Halsschlagader ändert sich im Herzzyklus bei jungen Menschen um etwa 12 bis 14 Prozent und bei älteren Menschen um etwa 5 Prozent.&lt;ref name=&quot;hansen&quot;&gt;Hansen, F.; Mangell, P.; Sonesson, B.; Länne, T.: ''Diameter and compliance in the human common carotid artery: variations with age and sex.'' Ultrasound in Medicine and Biology 21 (1995), Nr. 1, S. 1-9. DOI 10.1016/0301-5629(94)00090-5.&lt;/ref&gt; Diese Bewegung ist eine Folge der Pulsation. In einer stationären Rechnung gibt es keine Druckschwankung, die die Wand periodisch aufweiten könnte, sodass die starre Wand zur stationären Annahme konsistent ist. Eine verkalkte Plaque ist ohnehin deutlich steifer als die gesunde Wand.

Die Annahme des '''eingeprägten Volumenstroms''' wird im Abschnitt zu den Randbedingungen begründet, weil sie sich nur im Zusammenhang mit dem Kreislauf beurteilen lässt.

== Simulationsgebiet und Geometrie ==

Die Gefäßachse ist die z-Achse, der Ursprung liegt in der Mitte der Stenose, und &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; bezeichnet den Abstand von der Achse. Das Rechengebiet reicht von &lt;math&gt;z = -L_u&lt;/math&gt; bis &lt;math&gt;z = L_d&lt;/math&gt; und wird radial von der Wandkontur &lt;math&gt;R(z)&lt;/math&gt; begrenzt. Die Verengung wird über eine einzige glatte Funktion beschrieben,

&lt;math&gt;R(z) = R_0 \left[ 1 - \frac{s}{2}\left(1 + \cos\frac{2\pi z}{L_s}\right)\right] \quad \text{falls } |z| \le \frac{L_s}{2}, \qquad R(z) = R_0 \ \text{sonst.}&lt;/math&gt;

Die Funktion hat drei Eigenschaften, die ihre Wahl begründen. Sie wird erstens über einen einzigen Parameter gesteuert, den Stenosegrad &lt;math&gt;s&lt;/math&gt;. Der engste Radius in der Mitte beträgt &lt;math&gt;R(0) = R_0(1-s)&lt;/math&gt;, und der Fall ohne Verengung ist einfach der Fall &lt;math&gt;s = 0&lt;/math&gt;. Die gesamte Vergleichsreihe entsteht damit aus einem einzigen parametrischen Sweep. Sie geht zweitens an beiden Enden der Störstelle ohne Knick in das gerade Rohr über. Bei &lt;math&gt;z = \pm L_s/2&lt;/math&gt; ist der Kosinus gleich minus eins, die Klammer also null, und seine Ableitung verschwindet dort ebenfalls. Das ist nicht nur ästhetisch, sondern numerisch notwendig, denn ein Knick in der Wand erzeugt eine Singularität der Wandschubspannung, deren berechneter Wert mit jeder Netzverfeinerung weiter wüchse. Eine Netzstudie wäre dann sinnlos. Sie ist drittens die in der Literatur gebräuchliche Standardgeometrie für Stenosen, sodass sich die Ergebnisse unmittelbar mit veröffentlichten Rechnungen vergleichen lassen.&lt;ref name=&quot;varghese&quot; /&gt;

[[Datei:Stenose Gruppe5 Wandkontur.svg|mini|zentriert|800px|Wandkontur &lt;math&gt;R(z)&lt;/math&gt; für die untersuchten Stenosegrade. Die Darstellung ist in radialer Richtung gestreckt, das Rechengebiet ist in Wirklichkeit fünfundzwanzigmal länger als breit.]]
&lt;!-- FIXME Abbildung mit abbildungen_graph_1d.m fuer s = 0 bis 0,8 neu erzeugen, bisher nur bis 0,5 --&gt;

Die Abmessungen des Rechengebiets werden alle aus dem Gefäßradius abgeleitet. Das hat den Vorteil, dass sich das gesamte Modell durch Ändern eines einzigen Wertes auf ein anderes Gefäß übertragen lässt. Die einzelnen Längen werden im Folgenden Schritt für Schritt begründet.

# Der '''Gefäßradius''' &lt;math&gt;R_0 = 3\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; folgt aus Ultraschallmessungen an gesunden Erwachsenen. Dort wurden für die gemeinsame Halsschlagader mittlere Durchmesser von 6,10 ± 0,80 mm bei Frauen und 6,52 ± 0,98 mm bei Männern gemessen.&lt;ref name=&quot;krejza&quot;&gt;Krejza, J.; Arkuszewski, M.; Kasner, S. E.; Weigele, J.; Ustymowicz, A.; Hurst, R. W.; Cucchiara, B. L.; Messe, S. R.: ''Carotid artery diameter in men and women and the relation to body and neck size.'' Stroke 37 (2006), Nr. 4, S. 1103-1105. DOI 10.1161/01.STR.0000206440.48756.f7.&lt;/ref&gt; Der gewählte Durchmesser von &lt;math&gt;D_0 = 6\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; liegt damit innerhalb einer Standardabweichung beider Gruppen und ist bewusst auf einen runden Wert gesetzt, damit alle abgeleiteten Längen glatte Zahlen ergeben.
# Die '''Länge der Störstelle''' &lt;math&gt;L_s = 2 D_0 = 12\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; entspricht der Standardgeometrie aus der Literatur, die eine Stenosenlänge von zwei Durchmessern verwendet.&lt;ref name=&quot;varghese&quot; /&gt; Damit ist beim Stenosegrad 0,5 ein direkter Vergleich mit veröffentlichten Ergebnissen möglich.
# Die '''Vorlaufstrecke''' &lt;math&gt;L_u = 5 D_0 = 30\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; trennt den Einlass von der Stenose. Da am Einlass bereits das voll entwickelte Profil vorgegeben wird, muss sie nicht die Einlaufstrecke abdecken, sondern nur verhindern, dass die Einströmrandbedingung die Strömung an der Engstelle beeinflusst. Bei Reynoldszahlen in dieser Größenordnung reicht der Einfluss einer Verengung nur wenige Durchmesser stromaufwärts, die Literatur kommt für dieselbe Geometrie mit drei Durchmessern Vorlauf aus.&lt;ref name=&quot;varghese&quot; /&gt; Fünf Durchmesser lassen also eine Reserve. Überprüft wird das im Ergebnis, indem die Geschwindigkeit auf der Achse in der Mitte der Vorlaufstrecke mit dem Sollwert &lt;math&gt;2U_0&lt;/math&gt; verglichen wird.
# Die '''Nachlaufstrecke''' &lt;math&gt;L_d = 20 D_0 = 120\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; ist deutlich länger, weil sich hinter der Engstelle ein Rückströmgebiet bildet, das nicht auf den Auslass treffen darf. Für die Geometrie mit dem Stenosegrad 0,5 legt die Strömung bei einer Einström-Reynoldszahl von 500 erst etwa zehn Durchmesser hinter der Engstelle wieder an, die Literatur rechnet mit sechzehn Durchmessern Nachlauf.&lt;ref name=&quot;varghese&quot; /&gt; Zwanzig Durchmesser bieten damit für alle Stenosegrade bis 0,5 einen Sicherheitsabstand. Für die Grade ab 0,6 ist ein längeres Rückströmgebiet zu erwarten, dort wird die Lage des Wiederanlegepunktes ausdrücklich kontrolliert.
# Das '''Ende des fein vernetzten Nachlaufs''' &lt;math&gt;L_f = L_s/2 + 10 D_0 = 66\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; legt fest, bis wohin das Netz verfeinert wird. Der Wert ist so gewählt, dass das erwartete Rückströmgebiet von etwa zehn Durchmessern vollständig im feinen Bereich liegt.

Damit hat das Rechengebiet eine Gesamtlänge von &lt;math&gt;L = L_u + L_d = 150\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt;, also das Fünfundzwanzigfache des Durchmessers. Es ist ein Modellgebiet und kein maßstäbliches Abbild eines bestimmten anatomischen Abschnitts.

== Stoff- und Strömungsparameter ==

Die Stoffwerte des Blutes und der Volumenstrom sind die einzigen Eingangsgrößen, die nicht aus der Geometrie folgen. Aus ihnen werden alle weiteren Strömungskennwerte berechnet. Die folgenden Schritte zeigen jede Rechnung einzeln, damit sich jeder Wert nachprüfen lässt.

# Die '''Dichte''' wird mit &lt;math&gt;\rho = 1060\ \mathrm{kg/m^3}&lt;/math&gt; angesetzt. Der Wert lässt sich als Mischungsregel plausibel machen. Plasma hat eine Dichte von etwa 1025 kg/m³, rote Blutkörperchen von etwa 1100 kg/m³. Bei einem Zellanteil von 45 % ergibt sich &lt;math&gt;0{,}55 \cdot 1025 + 0{,}45 \cdot 1100 \approx 1059\ \mathrm{kg/m^3}&lt;/math&gt;. Die Dichte geht nur über die Reynoldszahl in die Rechnung ein, eine Abweichung von einem Prozent ändert die Ergebnisse daher kaum. &lt;!-- FIXME Lehrbuchquelle fuer Plasma- und Erythrozytendichte ergaenzen --&gt;
# Die '''dynamische Viskosität''' wird mit &lt;math&gt;\mu = 3{,}5\ \mathrm{mPa\,s}&lt;/math&gt; angesetzt. Das ist der Grenzwert der Blutviskosität bei hohen Scherraten, also genau der Wert, der zur Newtonschen Näherung gehört. Derselbe Wert von 0,035 Poise wird auch im Standardwerk zur Modellierung des Herz-Kreislauf-Systems verwendet.&lt;ref name=&quot;quarteroni&quot;&gt;Quarteroni, A.; Formaggia, L.: ''Mathematical Modelling and Numerical Simulation of the Cardiovascular System.'' In: Ayache, N. (Hrsg.): ''Computational Models for the Human Body.'' Handbook of Numerical Analysis, Bd. XII, Elsevier, Amsterdam 2004, S. 3-127. DOI 10.1016/S1570-8659(03)12001-7. Zur Newtonschen Näherung in großen Gefäßen siehe S. 30, zur Viskosität von 0,035 Poise die Parametertabelle auf S. 116.&lt;/ref&gt;
# Der '''mittlere Volumenstrom''' wird mit &lt;math&gt;Q_0 = 6\ \mathrm{ml/s}&lt;/math&gt; angesetzt. Das ist der zeitlich gemittelte Volumenstrom, der in der gemeinsamen Halsschlagader gesunder Probanden gemessen wurde.&lt;ref name=&quot;holdsworth&quot; /&gt;
# Die '''mittlere Geschwindigkeit''' folgt aus Volumenstrom und Querschnittsfläche, &lt;math&gt;U_0 = \frac{Q_0}{\pi R_0^2} = \frac{6 \cdot 10^{-6}\ \mathrm{m^3/s}}{\pi \cdot (0{,}003\ \mathrm{m})^2} = 0{,}2122\ \mathrm{m/s}&lt;/math&gt;.
# Die '''Reynoldszahl''' des gesunden Gefäßes ist &lt;math&gt;Re_0 = \frac{\rho\, U_0\, D_0}{\mu} = \frac{1060 \cdot 0{,}2122 \cdot 0{,}006}{0{,}0035} = 385{,}6&lt;/math&gt;. Sie wird im Folgenden auf 386 gerundet.
# Die '''Einlauflänge''', die eine anfangs gleichförmige Strömung bis zum voll entwickelten Parabelprofil bräuchte, beträgt nach der gebräuchlichen Abschätzung für laminare Rohrströmungen &lt;math&gt;L_e \approx 0{,}06\, Re_0\, D_0 \approx 0{,}06 \cdot 386 \cdot 6\ \mathrm{mm} \approx 139\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt;.&lt;ref name=&quot;durst&quot;&gt;Durst, F.; Ray, S.; Ünsal, B.; Bayoumi, O. A.: ''The development lengths of laminar pipe and channel flows.'' Journal of Fluids Engineering 127 (2005), Nr. 6, S. 1154-1160. Für große Reynoldszahlen nähert sich die dort angegebene Korrelation dem Wert 0,057·Re·D.&lt;/ref&gt; Das ist fast die gesamte Länge des Rechengebiets. Ein konstantes Einlassprofil würde die Strömung an der Stenose also verfälschen, weshalb am Einlass das voll entwickelte Profil vorgegeben wird.

Damit liegen alle globalen Parameter fest. Die folgende Tabelle enthält sie mit genau den Namen, unter denen sie in COMSOL und in den Octave-Skripten verwendet werden.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Globale Parameter des Modells
! Name !! Ausdruck in COMSOL !! Wert !! Bedeutung !! Herkunft
|-
| R0 || 3[mm] || 3 mm || Gefäßradius || Messwerte nach Krejza u. a. 2006, gerundet
|-
| D0 || 2*R0 || 6 mm || Gefäßdurchmesser || abgeleitet
|-
| Ls || 2*D0 || 12 mm || Länge der Störstelle || Standardgeometrie nach Varghese u. a. 2007
|-
| Lu || 5*D0 || 30 mm || Vorlaufstrecke vor der Stenosemitte || Abstand der Einlassbedingung von der Stenose
|-
| Ld || 20*D0 || 120 mm || Nachlaufstrecke hinter der Stenosemitte || Platz für das Rückströmgebiet
|-
| Lf || Ls/2+10*D0 || 66 mm || Ende des fein vernetzten Nachlaufs || erwartete Länge des Rückströmgebiets
|-
| s || 0 bis 0.8 || 0 bis 0,8 || Stenosegrad bezogen auf den Durchmesser || NASCET-Einteilung
|-
| rho_b || 1060[kg/m^3] || 1060 kg/m³ || Dichte des Blutes || Mischungsregel, Literaturwert
|-
| mu_b || 3.5[mPa*s] || 3,5 mPa·s || dynamische Viskosität des Blutes || Hochscherwert, Quarteroni und Formaggia 2004
|-
| Q0 || 6[ml/s] || 6 ml/s || mittlerer Volumenstrom || Messwerte nach Holdsworth u. a. 1999
|-
| U0 || Q0/(pi*R0^2) || 0,2122 m/s || mittlere Einströmgeschwindigkeit || abgeleitet
|-
| Re0 || rho_b*U0*D0/mu_b || 385,6 || Reynoldszahl des gesunden Gefäßes || abgeleitet
|-
| dp_ref || 8*mu_b*U0*(Lu+Ld)/R0^2 || 99,03 Pa || Poiseuille-Druckabfall des gesunden Gefäßes || abgeleitet, Hagen-Poiseuille
|}


= Literaturverzeichnis =

Alle Quellen sind an den Stellen im Text angegeben, an denen die zugehörigen Werte oder Aussagen verwendet werden. Die Liste wird aus diesen Angaben automatisch erzeugt.

&lt;references /&gt;</text>
      <sha1>fzw0kt8z867crrbzx3abt9af7chzi3n</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>1115909</id>
      <parentid>1115908</parentid>
      <timestamp>2026-10-12T17:03:53Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Heitele</username>
        <id>38553</id>
      </contributor>
      <comment>/* Auswahl der Stenosegrade */</comment>
      <origin>1115909</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="83496" sha1="7vg3lee5k2348imy1ec20qm314frcdj" xml:space="preserve">
´

== Modellierung ==

Ziel der Modellierung ist es, die Blutströmung innerhalb einer Y-förmigen Karotisaufzweigung mathematisch und numerisch zu beschreiben.

Das Gefäßmodell besteht aus der Arteria carotis communis, die sich in die Arteria carotis interna und die Arteria carotis externa verzweigt. Die Stenose befindet sich ausschließlich in der Arteria carotis interna.

Durch die Verengung wird der verfügbare Strömungsquerschnitt reduziert. Dies kann zu einer lokalen Erhöhung der Strömungsgeschwindigkeit, zu zusätzlichen Druckverlusten und zu Veränderungen der Volumenstromverteilung zwischen den beiden Gefäßästen führen.

Die numerische Modellierung erfolgt mit COMSOL Multiphysics. Hierzu werden die Gefäßgeometrie, die Materialeigenschaften des Blutes, die Strömungsgleichungen und die Randbedingungen festgelegt.

Für die Untersuchung werden vereinfachende Annahmen getroffen, die eine systematische Variation des Stenosegrades ermöglichen.

=== Modellhierarchie ===

Die Untersuchung erfolgt anhand von drei Modellvarianten, die sich hinsichtlich ihrer räumlichen Dimension und der darstellbaren Strömungseigenschaften unterscheiden.

{| class=&quot;wikitable&quot; style=&quot;width:100%;&quot;
|+ '''Die drei Modellvarianten des Projekts'''
|-
! Modell
! Raumdimension
! Mathematische Grundlage
! Zweck
! Werkzeug
|-
| '''Graphenmodell'''
| 1D, Gefäßnetzwerk mit Verzweigung
| Massenerhaltung und vereinfachte Strömungswiderstände
| Abschätzung der Volumenstromverteilung und der Druckverluste in den Gefäßästen
| COMSOL Multiphysics
|-
| '''Ebenes Flächenmodell'''
| 2D, Y-förmige Gefäßgeometrie in kartesischen Koordinaten
| Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen
| Untersuchung von Geschwindigkeits- und Druckfeldern sowie möglichen Rückströmungsbereichen
| COMSOL Multiphysics, Laminar Flow
|-
| '''Volumenmodell'''
| 3D, räumliche Y-förmige Gefäßgeometrie
| Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen
| Untersuchung der räumlichen Strömung und der Wandschubspannung
| COMSOL Multiphysics, Laminar Flow
|}

=== Vergleich und Überprüfung der Modellvarianten ===

Das '''Graphenmodell''' stellt die Gefäßaufzweigung als Netzwerk miteinander verbundener Gefäßabschnitte dar. Dabei bildet die Arteria carotis communis den zuführenden Abschnitt. Die Arteria carotis interna und die Arteria carotis externa stellen die beiden abführenden Äste dar.

An der Verzweigung gilt für eine stationäre inkompressible Strömung die Massenerhaltung:

:&lt;math&gt;Q_{\mathrm{ACC}}=Q_{\mathrm{ACI}}+Q_{\mathrm{ACE}}&lt;/math&gt;

Das Graphenmodell liefert vereinfachte Abschätzungen der Volumenstromverteilung und der Druckverluste. Lokale Geschwindigkeitsfelder, Strömungsablösungen und Wandschubspannungen können damit nicht detailliert bestimmt werden.

Das '''ebene Flächenmodell''' beschreibt die Y-förmige Gefäßaufzweigung in zwei Raumdimensionen. Die Stenose wird im Ast der Arteria carotis interna berücksichtigt. Dadurch können die Geschwindigkeits- und Druckverteilung sowie mögliche Rückströmungsbereiche untersucht werden.

Das '''Volumenmodell''' erweitert die Untersuchung auf drei Raumdimensionen. Dadurch können räumliche Strömungsstrukturen und die Verteilung der Wandschubspannung auf der Gefäßwand betrachtet werden.

Die Ergebnisse der drei Modelle werden unter Berücksichtigung ihrer unterschiedlichen Annahmen verglichen. Insbesondere ist zu beachten, dass ein ebenes zweidimensionales Modell die räumliche Querschnittsgeometrie eines Gefäßes nicht vollständig beschreibt.

Die Modelle müssen deshalb nicht dieselben Zahlenwerte liefern. Vielmehr dient der Vergleich dazu, die Aussagekraft und die Grenzen der jeweiligen Modellvereinfachung zu bewerten.

=== Modellannahmen ===

Für die numerische Untersuchung werden folgende Annahmen getroffen:

* '''Idealisierte Gefäßgeometrie:''' Betrachtet wird eine Y-förmige Aufzweigung aus Arteria carotis communis, Arteria carotis interna und Arteria carotis externa. Patientenspezifische Krümmungen, weitere Verzweigungen und individuelle anatomische Besonderheiten werden nicht berücksichtigt.
* '''Starre Gefäßwände:''' Die Gefäßwände werden als unbeweglich und nicht verformbar angenommen. Eine Fluid-Struktur-Kopplung wird nicht modelliert.
* '''Stationäre Strömung:''' Die Strömungsgrößen werden als zeitlich konstant angenommen. Die Pulsation des Blutflusses durch den Herzschlag bleibt unberücksichtigt.
* '''Inkompressibles Fluid:''' Die Dichte des Blutes wird als konstant angenommen.
* '''Newtonsche Näherung:''' Blut wird durch ein Fluid mit konstanter dynamischer Viskosität beschrieben.
* '''Konstante Stoffeigenschaften:''' Dichte und Viskosität werden als räumlich und zeitlich konstant betrachtet.
* '''Laminare Strömungsmodellierung:''' Die Berechnung erfolgt ohne zusätzliches Turbulenzmodell.
* '''Haftbedingung an der Wand:''' An den starren Gefäßwänden gilt die No-Slip-Bedingung.
* '''Vernachlässigung der Gravitation:''' Volumenkräfte durch die Schwerkraft werden nicht explizit berücksichtigt.

Diese Annahmen vereinfachen die Berechnung, begrenzen jedoch die Übertragbarkeit auf die reale Blutströmung.

=== Mathematische Grundlagen ===

==== Massenerhaltung ====

Für eine inkompressible Strömung gilt:

:&lt;math&gt;\nabla\cdot\mathbf{u}=0&lt;/math&gt;

Dabei bezeichnet &lt;math&gt;\mathbf{u}&lt;/math&gt; das Geschwindigkeitsfeld.

Für die Y-förmige Gefäßaufzweigung folgt daraus die Volumenstrombilanz:

:&lt;math&gt;Q_{\mathrm{ACC}}=Q_{\mathrm{ACI}}+Q_{\mathrm{ACE}}&lt;/math&gt;

==== Impulserhaltung ====

Die stationäre Strömung eines inkompressiblen Newtonschen Fluids wird durch die Navier-Stokes-Gleichungen beschrieben:

:&lt;math&gt;\rho_b(\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u}=-\nabla p+\mu_b\nabla^2\mathbf{u}&lt;/math&gt;

Dabei bezeichnet:

* &lt;math&gt;\rho_b&lt;/math&gt; die Blutdichte,
* &lt;math&gt;\mathbf{u}&lt;/math&gt; das Geschwindigkeitsfeld,
* &lt;math&gt;p&lt;/math&gt; den Druck,
* &lt;math&gt;\mu_b&lt;/math&gt; die dynamische Viskosität.

Die Gleichung beschreibt das Gleichgewicht zwischen Trägheitskräften, Druckkräften und viskosen Kräften.

==== Hagen-Poiseuille-Gesetz ====

Für eine stationäre, voll entwickelte laminare Strömung durch ein gerades kreisförmiges Rohr mit konstantem Radius gilt:

:&lt;math&gt;\Delta p=\frac{8\mu_b LQ}{\pi R^4}&lt;/math&gt;

Der Strömungswiderstand kann damit als

:&lt;math&gt;\mathcal{R}=\frac{8\mu_b L}{\pi R^4}&lt;/math&gt;

geschrieben werden.

Daraus folgt:

:&lt;math&gt;\Delta p=\mathcal{R}Q&lt;/math&gt;

Diese Beziehung kann für die vereinfachte Beschreibung einzelner Gefäßabschnitte im Graphenmodell verwendet werden.

Bei einer realen Verzweigung oder einer ausgeprägten Stenose können zusätzliche Druckverluste auftreten. Das Hagen-Poiseuille-Gesetz allein bildet diese Effekte nicht vollständig ab.

==== Reynolds-Zahl ====

Die Reynolds-Zahl beschreibt das Verhältnis von Trägheitskräften zu viskosen Kräften:

:&lt;math&gt;\mathrm{Re}=\frac{\rho_b U D}{\mu_b}&lt;/math&gt;

Sie dient zur Einordnung des Strömungsverhaltens.

Die Reynolds-Zahl eines unverengten geraden Rohrabschnitts erlaubt jedoch keine sichere Aussage darüber, ob die Strömung hinter einer hochgradigen Stenose stationär bleibt.

==== Wandschubspannung ====

Die Wandschubspannung beschreibt die tangentiale Beanspruchung der Gefäßwand durch die Strömung.

Für ein Newtonsches Fluid ergibt sich ihre Größe aus den tangentialen viskosen Spannungen an der Wand. Bei einer einfachen parallelen Scherströmung gilt:

:&lt;math&gt;\tau_w=\mu_b\left.\frac{\partial u_t}{\partial n}\right|_{\mathrm{Wand}}&lt;/math&gt;

Dabei ist &lt;math&gt;u_t&lt;/math&gt; die tangentiale Geschwindigkeitskomponente und &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; die Richtung senkrecht zur Wand.

Bei gekrümmten oder verzweigten Gefäßgeometrien wird die Wandschubspannung aus dem vollständigen viskosen Spannungstensor bestimmt.

== Simulationsgebiet und Geometrie ==

Das Simulationsgebiet besteht aus einer idealisierten Y-förmigen Karotisaufzweigung.

Die Arteria carotis communis bildet den zuführenden Gefäßabschnitt. An der Verzweigung teilt sie sich in die Arteria carotis interna und die Arteria carotis externa.

Die Stenose befindet sich ausschließlich in der Arteria carotis interna. Die Arteria carotis externa wird ohne zusätzliche Verengung betrachtet.

Die geometrischen Abmessungen orientieren sich an den bereitgestellten Referenzdaten.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ '''Geometrische Referenzparameter'''
|-
! Gefäßabschnitt
! Durchmesser
! Länge
|-
| Arteria carotis communis
| 6 mm
| 60 mm
|-
| Arteria carotis interna
| 5 mm
| 60 mm
|-
| Arteria carotis externa
| 4 mm
| 60 mm
|-
| Stenose in der Arteria carotis interna
| Abhängig vom Stenosegrad
| 10 mm
|}

Die angegebenen Längen beziehen sich auf die jeweiligen Gefäßabschnitte. Sie dürfen nicht als Gesamtlänge eines geraden Rohres addiert werden.

=== Geometrische Beschreibung der Stenose ===

Der unverengte Referenzdurchmesser der Arteria carotis interna beträgt:

:&lt;math&gt;D_{\mathrm{ICA}}=5\,\mathrm{mm}&lt;/math&gt;

Daraus folgt der Referenzradius:

:&lt;math&gt;R_{\mathrm{ICA}}=2{,}5\,\mathrm{mm}&lt;/math&gt;

Die Länge der Stenose beträgt:

:&lt;math&gt;L_s=10\,\mathrm{mm}&lt;/math&gt;

Für eine idealisierte symmetrische Stenose kann die lokale Radiusverringerung durch eine kosinusförmige Funktion beschrieben werden:

:&lt;math&gt;R(\xi)=R_{\mathrm{ICA}}\left[1-\frac{s}{2}\left(1+\cos\left(\frac{2\pi\xi}{L_s}\right)\right)\right]&lt;/math&gt;

Diese Beziehung gilt innerhalb der Stenose für:

:&lt;math&gt;|\xi|\leq\frac{L_s}{2}&lt;/math&gt;

Außerhalb der Stenose gilt:

:&lt;math&gt;R(\xi)=R_{\mathrm{ICA}}&lt;/math&gt;

Dabei bezeichnet &lt;math&gt;\xi&lt;/math&gt; die lokale Koordinate entlang der Mittellinie der Arteria carotis interna. Der Ursprung liegt in der Mitte der Stenose.

Der minimale Radius beträgt:

:&lt;math&gt;R_{\min}=R_{\mathrm{ICA}}(1-s)&lt;/math&gt;

Diese Funktion beschreibt eine glatte symmetrische Verengung. Für die dreidimensionale Geometrie kann sie als rotationssymmetrische lokale Querschnittsverengung eines einzelnen Gefäßastes interpretiert werden.

Die gesamte Y-förmige Gefäßaufzweigung ist dagegen nicht rotationssymmetrisch.

'''Hinweis zur Umsetzung:''' Die angegebene Funktion ist eine mögliche mathematische Beschreibung der Stenose. Für die endgültige Dokumentation muss geprüft werden, ob die in COMSOL verwendete Geometrie tatsächlich durch diese Funktion erzeugt wurde. Ebenso müssen der Verzweigungswinkel, die Lage der Stenose und die Verrundung der Übergänge anhand des COMSOL-Modells angegeben werden.

=== Referenzdurchmesser und Stenosegrad ===

Für die Stenose in der Arteria carotis interna gilt:

:&lt;math&gt;s=1-\frac{d_{\min}}{D_{\mathrm{ICA}}}&lt;/math&gt;

mit:

:&lt;math&gt;D_{\mathrm{ICA}}=5\,\mathrm{mm}&lt;/math&gt;

Damit ergeben sich beispielsweise:

* Bei &lt;math&gt;s=0{,}3&lt;/math&gt;: &lt;math&gt;d_{\min}=3{,}5\,\mathrm{mm}&lt;/math&gt;
* Bei &lt;math&gt;s=0{,}6&lt;/math&gt;: &lt;math&gt;d_{\min}=2{,}0\,\mathrm{mm}&lt;/math&gt;
* Bei &lt;math&gt;s=0{,}8&lt;/math&gt;: &lt;math&gt;d_{\min}=1{,}0\,\mathrm{mm}&lt;/math&gt;

Der Referenzdurchmesser von 6 mm der Arteria carotis communis wird nicht für die Berechnung des Stenosegrades in der Arteria carotis interna verwendet.

== Stoff- und Strömungsparameter ==

Für die numerische Simulation werden die Stoffeigenschaften des Blutes als konstant angenommen.

Die verwendeten Referenzwerte orientieren sich an den bereitgestellten Projektdaten und an Literaturwerten zur Blutströmung in größeren Arterien.&lt;ref name=&quot;Quarteroni&quot;&gt;Quarteroni, A.; Formaggia, L.: Mathematical Modelling and Numerical Simulation of the Cardiovascular System. In: Ayache, N. (Hrsg.): ''Computational Models for the Human Body''. Handbook of Numerical Analysis, Bd. XII, Elsevier, 2004, S. 3–127. DOI: 10.1016/S1570-8659(03)12001-7.&lt;/ref&gt;

=== Blutdichte ===

Die Blutdichte wird angesetzt mit:

:&lt;math&gt;\rho_b=1060\,\mathrm{kg/m^3}&lt;/math&gt;

Dieser Wert wird im gesamten Rechengebiet als konstant angenommen.

=== Dynamische Viskosität ===

Für die dynamische Viskosität gilt:

:&lt;math&gt;\mu_b=3{,}5\,\mathrm{mPa\,s}&lt;/math&gt;

Dies entspricht:

:&lt;math&gt;\mu_b=0{,}0035\,\mathrm{Pa\,s}&lt;/math&gt;

Die konstante Viskosität stellt eine Newtonsche Näherung des realen Blutverhaltens dar.

=== Volumenstrom ===

Der vorgegebene Referenzvolumenstrom am Einlass der Arteria carotis communis beträgt:

:&lt;math&gt;Q_0=6\,\mathrm{ml/s}&lt;/math&gt;

Dieser Wert orientiert sich an veröffentlichten Messungen des Blutflusses in der Arteria carotis communis.&lt;ref name=&quot;Holdsworth&quot;&gt;Holdsworth, D. W.; Norley, C. J. D.; Frayne, R.; Steinman, D. A.; Rutt, B. K.: Characterization of common carotid artery blood-flow waveforms in normal human subjects. ''Physiological Measurement'' 20 (1999), Nr. 3, S. 219–240. DOI: 10.1088/0967-3334/20/3/301.&lt;/ref&gt;

Für die stationäre Berechnung wird der Volumenstrom zeitlich konstant angesetzt.

=== Mittlere Eintrittsgeschwindigkeit ===

Für den kreisförmigen Einlassquerschnitt der Arteria carotis communis mit einem Radius von 3 mm ergibt sich die mittlere Geschwindigkeit aus:

:&lt;math&gt;U_0=\frac{Q_0}{\pi R_{\mathrm{ACC}}^2}&lt;/math&gt;

Mit:

:&lt;math&gt;R_{\mathrm{ACC}}=3\,\mathrm{mm}&lt;/math&gt;

folgt:

:&lt;math&gt;U_0=\frac{6\cdot10^{-6}\,\mathrm{m^3/s}}{\pi(0{,}003\,\mathrm{m})^2}&lt;/math&gt;

Damit beträgt die mittlere Eintrittsgeschwindigkeit:

:&lt;math&gt;U_0\approx0{,}2122\,\mathrm{m/s}&lt;/math&gt;

Dieser Wert bezieht sich auf den dreidimensionalen kreisförmigen Einlassquerschnitt der Arteria carotis communis.

Für ein ebenes zweidimensionales Modell muss die Einlassrandbedingung entsprechend der zweidimensionalen Modellbeschreibung festgelegt werden. Ein dreidimensionaler Volumenstrom kann nicht ohne zusätzliche Annahme unmittelbar als zweidimensionaler Volumenstrom pro Tiefeneinheit verwendet werden.

=== Reynolds-Zahl am Einlass ===

Die Reynolds-Zahl am Einlass der Arteria carotis communis beträgt:

:&lt;math&gt;\mathrm{Re}_0=\frac{\rho_b U_0D_{\mathrm{ACC}}}{\mu_b}&lt;/math&gt;

Mit:

:&lt;math&gt;D_{\mathrm{ACC}}=6\,\mathrm{mm}&lt;/math&gt;

ergibt sich:

:&lt;math&gt;\mathrm{Re}_0\approx385{,}6&lt;/math&gt;

Dieser Wert charakterisiert den unverengten Einlassabschnitt der Arteria carotis communis. Er ist nicht mit einer lokalen Reynolds-Zahl in der Stenose gleichzusetzen.

=== Einlauflänge ===

Für eine laminare Strömung in einem geraden Rohr kann die Länge zur Entwicklung eines zunächst gleichförmigen Geschwindigkeitsprofils näherungsweise abgeschätzt werden:

:&lt;math&gt;L_e\approx0{,}06\,\mathrm{Re}_0D_{\mathrm{ACC}}&lt;/math&gt;

Für die Referenzwerte ergibt sich:

:&lt;math&gt;L_e\approx139\,\mathrm{mm}&lt;/math&gt;

Diese Abschätzung bezieht sich auf ein gerades Rohr mit einem zunächst gleichförmigen Einlassprofil.&lt;ref name=&quot;Durst&quot;&gt;Durst, F.; Ray, S.; Ünsal, B.; Bayoumi, O. A.: The development lengths of laminar pipe and channel flows. ''Journal of Fluids Engineering'' 127 (2005), Nr. 6, S. 1154–1160.&lt;/ref&gt;

Sie beschreibt nicht unmittelbar die notwendige Einlauflänge einer Y-förmigen Gefäßaufzweigung.

Da der zuführende Gefäßabschnitt im Modell 60 mm lang ist, sollte die Einlassrandbedingung so gewählt werden, dass unerwünschte Einlaufeffekte die Strömung im Bereich der Verzweigung möglichst wenig beeinflussen.

Für das dreidimensionale Modell kann hierzu ein voll entwickeltes Geschwindigkeitsprofil verwendet werden. Die konkrete Randbedingung muss mit der COMSOL-Implementierung übereinstimmen.

=== Analytischer Referenzdruckverlust ===

Das Hagen-Poiseuille-Gesetz ermöglicht die Berechnung des Druckverlustes für einen geraden kreisförmigen Rohrabschnitt:

:&lt;math&gt;\Delta p=\frac{8\mu_b LQ}{\pi R^4}&lt;/math&gt;

Diese Beziehung kann als analytische Referenz für einen unverengten einzelnen Gefäßabschnitt dienen.

Für die gesamte Y-förmige Karotisaufzweigung lässt sich der Druckverlust jedoch nicht allein mit der Formel für ein einzelnes gerades Rohr bestimmen. Hierfür müssen die Volumenstromverteilung, die unterschiedlichen Gefäßdurchmesser und zusätzliche Verluste an der Verzweigung berücksichtigt werden.

Der bisherige Referenzwert von &lt;math&gt;99{,}03\,\mathrm{Pa}&lt;/math&gt; gehört zum früheren geraden Rohrmodell mit einer Länge von 150 mm und wird deshalb nicht als Referenzdruckverlust der Y-förmigen Gefäßaufzweigung verwendet.

=== Globale Parameter des COMSOL-Modells ===

{| class=&quot;wikitable&quot; style=&quot;width:100%;&quot;
|+ '''Globale Parameter für die Y-förmige Karotisaufzweigung'''
|-
! Name
! Ausdruck in COMSOL
! Wert
! Bedeutung
|-
| D_ACC
| &lt;code&gt;6[mm]&lt;/code&gt;
| 6 mm
| Durchmesser der Arteria carotis communis
|-
| D_ACI
| &lt;code&gt;5[mm]&lt;/code&gt;
| 5 mm
| Durchmesser der Arteria carotis interna
|-
| D_ACE
| &lt;code&gt;4[mm]&lt;/code&gt;
| 4 mm
| Durchmesser der Arteria carotis externa
|-
| L_ACC
| &lt;code&gt;60[mm]&lt;/code&gt;
| 60 mm
| Länge der Arteria carotis communis
|-
| L_ACI
| &lt;code&gt;60[mm]&lt;/code&gt;
| 60 mm
| Länge der Arteria carotis interna
|-
| L_ACE
| &lt;code&gt;60[mm]&lt;/code&gt;
| 60 mm
| Länge der Arteria carotis externa
|-
| L_s
| &lt;code&gt;10[mm]&lt;/code&gt;
| 10 mm
| Stenosenlänge
|-
| s
| &lt;code&gt;0&lt;/code&gt;
| 0 bis 0,8
| Variabler Stenosegrad
|-
| d_min
| &lt;code&gt;D_ACI*(1-s)&lt;/code&gt;
| Abhängig von s
| Minimaler Stenosedurchmesser
|-
| rho_b
| &lt;code&gt;1060[kg/m^3]&lt;/code&gt;
| 1060 kg/m³
| Blutdichte
|-
| mu_b
| &lt;code&gt;3.5[mPa*s]&lt;/code&gt;
| 3,5 mPa·s
| Dynamische Viskosität
|-
| Q0
| &lt;code&gt;6[ml/s]&lt;/code&gt;
| 6 ml/s
| Einlassvolumenstrom der ACC
|-
| U0
| &lt;code&gt;Q0/(pi*(D_ACC/2)^2)&lt;/code&gt;
| 0,2122 m/s
| Mittlere Eintrittsgeschwindigkeit für einen kreisförmigen Querschnitt
|-
| Re0
| &lt;code&gt;rho_b*U0*D_ACC/mu_b&lt;/code&gt;
| 385,6
| Reynolds-Zahl am Einlass der ACC
|}

'''Hinweis:''' Die Parameternamen dienen als konsistente Vorlage. Vor der Übernahme in COMSOL beziehungsweise in die Projektdokumentation müssen sie mit den tatsächlich verwendeten Namen und Geometrieeinstellungen abgeglichen werden.

== Randbedingungen und numerische Umsetzung ==

Die Randbedingungen bestimmen, wie Blut in das Modell einströmt, sich innerhalb der Gefäßaufzweigung verteilt und die beiden Gefäßäste verlässt.

=== Einlass ===

Der Einlass befindet sich an der Arteria carotis communis.

Für das dreidimensionale Referenzmodell wird ein Volumenstrom von:

:&lt;math&gt;Q_0=6\,\mathrm{ml/s}&lt;/math&gt;

vorgegeben.

Die zugehörige mittlere Geschwindigkeit beträgt:

:&lt;math&gt;U_0\approx0{,}2122\,\mathrm{m/s}&lt;/math&gt;

Ein geeignetes Geschwindigkeitsprofil beziehungsweise eine entsprechende Volumenstromrandbedingung wird in COMSOL festgelegt.

=== Auslässe ===

Das Modell besitzt zwei Auslässe:

* Auslass der Arteria carotis interna,
* Auslass der Arteria carotis externa.

Für die Volumenströme gilt:

:&lt;math&gt;Q_{\mathrm{ACC}}=Q_{\mathrm{ACI}}+Q_{\mathrm{ACE}}&lt;/math&gt;

Die konkrete Aufteilung hängt von den Strömungswiderständen und den vorgegebenen Auslassrandbedingungen ab.

'''Die tatsächlichen Auslassbedingungen müssen aus dem COMSOL-Modell übernommen werden.''' Ohne diese Angabe lässt sich nicht eindeutig bestimmen, wie sich der Volumenstrom zwischen den beiden Gefäßästen verteilt.

=== Gefäßwände ===

An den starren Gefäßwänden wird die Haftbedingung verwendet:

:&lt;math&gt;\mathbf{u}=0&lt;/math&gt;

Dadurch ist die Geschwindigkeit des Fluids unmittelbar an der Wand gleich null.

=== Numerische Vernetzung ===

Die Geometrie wird für die numerische Berechnung in ein Rechennetz unterteilt.

Eine ausreichende Netzauflösung ist insbesondere im Bereich der Stenose, an der Gefäßaufzweigung und in wandnahen Bereichen erforderlich, da dort starke Geschwindigkeitsgradienten auftreten können.

Die Qualität der numerischen Ergebnisse sollte anhand einer Netzverfeinerungsstudie überprüft werden.

Hierzu können beispielsweise die maximale Geschwindigkeit, der Druckverlust und die maximale Wandschubspannung bei unterschiedlichen Netzauflösungen miteinander verglichen werden.

Die konkreten Netzgrößen und Elementzahlen werden anhand der tatsächlich durchgeführten COMSOL-Berechnungen dokumentiert.

== Auswertung und Überprüfung der Ergebnisse ==

Die Auswertung erfolgt für die untersuchten Stenosegrade und Modellvarianten.

Von besonderem Interesse sind:

* maximale Strömungsgeschwindigkeit innerhalb der Stenose,
* Druckverteilung und Druckverlust,
* Volumenstromverteilung zwischen ACI und ACE,
* Wandschubspannung im Bereich der Stenose,
* mögliche Rückströmungsgebiete stromabwärts der Engstelle.

=== Überprüfung der Massenerhaltung ===

Für jede stationäre Berechnung wird überprüft, ob die Summe der beiden Auslassvolumenströme dem Einlassvolumenstrom entspricht:

:&lt;math&gt;Q_{\mathrm{ACC}}\approx Q_{\mathrm{ACI}}+Q_{\mathrm{ACE}}&lt;/math&gt;

Abweichungen können auf numerische Ungenauigkeiten oder ungeeignete Auswertungseinstellungen hinweisen.

=== Vergleich der Stenosegrade ===

Die Ergebnisse werden für unterschiedliche Stenosegrade gegenübergestellt.

Dabei wird untersucht, wie stark die maximale Geschwindigkeit, der Druckverlust und die Wandschubspannung mit zunehmender Verengung ansteigen beziehungsweise sich verändern.

Die Volumenstromverteilung zwischen den beiden Gefäßästen wird ebenfalls betrachtet, sofern die gewählten Auslassrandbedingungen eine solche Auswertung ermöglichen.

=== Vergleich der Modellvarianten ===

Das Graphenmodell liefert vereinfachte Abschätzungen für Volumenströme und Druckverluste.

Das zweidimensionale Flächenmodell ermöglicht die Darstellung ebener Geschwindigkeits- und Druckfelder.

Das dreidimensionale Volumenmodell liefert zusätzlich eine räumliche Beschreibung der Strömung und der Wandschubspannung.

Die Ergebnisse werden nicht als zwangsläufig identisch betrachtet, da die Modelle unterschiedliche geometrische und mathematische Vereinfachungen verwenden.

=== Ergebnisse und Diskussion ===

Die konkreten Simulationsergebnisse werden nach Durchführung und Auswertung der COMSOL-Berechnungen ergänzt.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ '''Vorlage für die Auswertung der Stenosegrade'''
|-
! Stenosegrad
! Maximale Geschwindigkeit
! Druckverlust
! Volumenstrom ACI
! Volumenstrom ACE
! Maximale Wandschubspannung
|-
| 0 %
| Noch einzutragen
| Noch einzutragen
| Noch einzutragen
| Noch einzutragen
| Noch einzutragen
|-
| 30 %
| Noch einzutragen
| Noch einzutragen
| Noch einzutragen
| Noch einzutragen
| Noch einzutragen
|-
| 60 %
| Noch einzutragen
| Noch einzutragen
| Noch einzutragen
| Noch einzutragen
| Noch einzutragen
|-
| 80 %
| Noch einzutragen
| Noch einzutragen
| Noch einzutragen
| Noch einzutragen
| Noch einzutragen
|}

Die Auswertung soll insbesondere zeigen, welche Auswirkungen die Verengung der Arteria carotis interna auf die lokale Strömung und die Strömungsverteilung innerhalb der Y-förmigen Karotisaufzweigung besitzt.

Bei hochgradigen Stenosen ist zusätzlich zu diskutieren, inwieweit die Annahme einer stationären laminaren Strömung geeignet bleibt.

== Grenzen des Modells ==

Die untersuchte Gefäßgeometrie ist eine idealisierte Darstellung der Karotisaufzweigung. Individuelle anatomische Unterschiede werden nicht berücksichtigt.

Darüber hinaus werden die Gefäßwände als starr angenommen und Blut wird durch ein inkompressibles Newtonsches Fluid mit konstanter Viskosität beschrieben.

Die Strömung wird stationär berechnet. Die natürliche Pulsation des Blutflusses und zeitabhängige Effekte bleiben damit unberücksichtigt.

Insbesondere bei hochgradigen Stenosen können zeitabhängige Strömungsablösungen auftreten, die durch eine stationäre Modellierung nicht vollständig beschrieben werden.

Das Graphenmodell kann lokale Strömungsphänomene nicht detailliert erfassen. Das ebene Flächenmodell vereinfacht die räumliche Gefäßgeometrie. Auch das dreidimensionale Modell bleibt aufgrund der idealisierten Geometrie und der vereinfachten Materialannahmen eine Annäherung an die reale Blutströmung.

Die Ergebnisse sind daher als strömungsmechanische Untersuchung eines idealisierten Modells zu interpretieren und nicht als patientenspezifische medizinische Vorhersage.

== Literaturverzeichnis ==

&lt;references /&gt;

=== Weiterführende Literatur ===

* Bernabeu, M. O. u. a.: Impact of blood rheology on wall shear stress in a model of the middle cerebral artery. ''Interface Focus'' 3 (2013), 20120094.
* Womersley, J. R.: Method for the calculation of velocity, rate of flow and viscous drag in arteries when the pressure gradient is known. ''Journal of Physiology'' 127 (1955), S. 553–563.
* Varghese, S. S.; Frankel, S. H.; Fischer, P. F.: Direct numerical simulation of stenotic flows. Part 1. Steady flow. ''Journal of Fluid Mechanics'' 582 (2007), S. 253–280.
* Hansen, F.; Mangell, P.; Sonesson, B.; Länne, T.: Diameter and compliance in the human common carotid artery: variations with age and sex. ''Ultrasound in Medicine and Biology'' 21 (1995), Nr. 1, S. 1–9.
* Krejza, J.; Arkuszewski, M.; Kasner, S. E.; Weigele, J.; Ustymowicz, A.; Hurst, R. W.; Cucchiara, B. L.; Messe, S. R.: Carotid artery diameter in men and women and the relation to body and neck size. ''Stroke'' 37 (2006), Nr. 4, S. 1103–1105.


ALTTTTT

= Gruppenteilnehmer =
* Joey Becker
* Marie-Thérèse Heitele
* Nicole Pander

= Thema und Fragestellung =

Gegenstand dieses Projekts ist die numerische Simulation der Blutströmung in einer verzweigten Halsschlagader ('''Carotis-Bifurkation''') unter dem Einfluss einer lokalen Gefäßverengung ('''Stenose''').
Im Vergleich zu einfachen Rohrströmungen wird hier die realitätsnahe Gefäßanatomie betrachtet: Die '''Arteria carotis communis (ACC)''' teilt sich in die '''Arteria carotis externa (ACE)''' und die '''Arteria carotis interna (ACI)''' auf. Während die '''ACE''' als gesunder, stenosefreier Ast dient, wird in der '''ACI''' eine geglättete, kosinusförmige Gefäßverengung modelliert. Um scharfe Kanten und unphysiologische Druckspitzen zu vermeiden, werden alle Wandübergänge und die Gabelungsspitze (Apex) anatomisch verrundet.

Als Referenz dient ein gesundes, unverengtes Gefäß, in dem sich die Poiseuille-Strömung mit ihrem charakteristischen parabolischen Geschwindigkeitsprofil ausbildet. Diese Strömung ist aus zwei Gründen der natürliche Ausgangspunkt. Sie beschreibt den physiologischen Normalfall, mit dem jeder Stenosegrad verglichen wird, und sie ist exakt lösbar, sodass sich an ihr jede numerische Rechnung prüfen lässt, bevor die Verengung hinzukommt.

== Fragestellung ==
Die Hauptfragestellung dieses Projektes lautet: 
Wie verändert eine symmetrische bzw. rotationssymmetrische Stenose in der '''Arteria carotis interna (ACI)''' die stationäre Strömung eines inkompressiblen Newton’schen Fluids in einer 2D-Carotis-Bifurkation hinsichtlich Geschwindigkeitsverteilung, Druckabfall, Wandschubspannung und Wirbelbildung im Vergleich zu den gesunden Gefäßabschnitten?

Aus dieser Fragestellung ergeben sich drei Teilfragen, an denen sich der Aufbau der Seite orientiert:

# Welche Strömungsgrößen reagieren empfindlich auf den Stenosegrad und welche nur träge?
# Ab welchem Stenosegrad ändert sich das Strömungsmuster qualitativ, das heißt, ab wann löst die Strömung hinter der Engstelle von der Wand ab und bildet ein Rückströmgebiet?
# Wie weit tragen die vereinfachenden Modellannahmen, insbesondere die Annahme einer stationären und laminaren Strömung, über den untersuchten Bereich der Stenosegrade?

== Modellannahmen ==
Im Hinblick darauf werden für dieses Projekt einige Annahmen getroffen, um das Projekt möglichst isoliert zu untersuchen und zu simplifizieren:

* '''Idealisierte Gefäßgeometrie''': Betrachtet wird ein  Teilabbschnitt der ''Arteria carotis communis'', die sog. ''ACI''. Zudem werden Gefäßverkrümmungen, weitere Verzweigungen und patientenspezifische Strukturen  nicht berücksichtigt. 
* '''Starre Gefäßwand''': Die Gefäßwand wird als unbeweglich und nicht verformbar angenommen. Eine Wechselwirkung zwischen elastischer Gefäßwand und Blutströmung wird nicht modelliert.
* '''Stationäre Strömung''': Die Strömungsgrößen werden als zeitlich konstant angenommen. Die im realen Blutkreislauf vorhandene Pulsation durch den Herzschlag wird daher vernachlässigt: &lt;math&gt;\frac{\partial u}{\partial t}=0&lt;/math&gt;.
* '''Inkompressibles Fluid''': Die Dichte des Fluids wird als konstant angenommen. Damit gilt für die Geschwindigkeit &lt;math&gt;\nabla \cdot u=0&lt;/math&gt;. Dies entspricht der in der Vorlesung behandelten Massenerhaltung für inkompressible Fluide: Was in das Gefäß einströmt, muss auch wieder ausströmen.
* '''Newton'sche Näherung für Blut''': Reales Blut beseitzt ein nicht newton'sches Fließverhalten. Hier wird Blut als Newton'sches Fluid behandelt.
* '''Konstante Stoffeigenschaften''': Dichte &lt;math&gt;\rho&lt;/math&gt; und dynamische Viskosität μ werden als räumlich und zeitlich konstant angenommen. Temperaturabhängigkeiten werden nicht berücksichtigt.
* '''Laminare Strömung''': Die Strömung wird mit dem COMSOL-Modul ''Laminar Flow'' beschrieben. Ein zusätzliches Turbulenzmodell wird nicht verwendet.
* '''No-Slip-Bedingung an Gefäßwand''': Aufgrund der Viskosität wird angenommen, dass das Fluid direkt an der Gefäßwand haftet. Somit gilt &lt;math&gt;u=0&lt;/math&gt;.
* '''Vernachlässigung der Gravitation''': Gravitation wird nicht berücksichtigt. Die Strömung wird ausschließlich durch die gewählten Ein- und Auslassbedingungen bestimmt.

= Relevanz =
Die Untersuchung von Gefäßverengungen besitzt sowohl eine medizinische als auch eine methodische Bedeutung. Aus medizinischer Sicht sind arterielle Stenosen – etwa in der Halsschlagader, lat. ''arteria carotis communis'', – kritisch, da sie die Durchblutung beeinträchtigen und durch veränderte Wandschubspannungen sowie die Bildung von Wirbeln weitere Gefäßablagerungen begünstigen. Stenosen im Bereich der Karotisgabelung sind klinisch hochrelevant, da sie das Gehirn direkt versorgen und das Risiko für embolische Schlaganfälle erhöhen. Fachlich überträgt das Projekt damit die Prinzipien der Strömungsmechanik direkt auf eine biomedizinische Anwendung. Das Projekt verknüpft somit theoretische Grundlagen der Strömungsmechanik (Hagen-Poiseuille-Gleichung, Navier-Stokes-Gleichungen) mit der numerischen Simulation in COMSOL Multiphysics. Durch den Vergleich der '''gesunden Externa (ACE)''' mit der '''stenoisierten Interna (ACI)''' innerhalb desselben Rechengebiets wird die isolierte Wirkung der Stenose unter identischen Randbedingungen direkt sichtbar gemacht.

== Medizinische Relevanz ==

Arterielle Stenosen entstehen überwiegend durch Atherosklerose, also durch Ablagerungen aus Lipiden, Bindegewebe und Kalk in der Gefäßwand. In der Halsschlagader sind sie klinisch besonders bedeutsam, weil sie die Durchblutung des Gehirns beeinträchtigen und weil sich an ihnen Thromben bilden können, die als Embolie einen Schlaganfall auslösen. Dass die operative Entfernung einer hochgradigen Karotisstenose das Schlaganfallrisiko symptomatischer Patienten deutlich senkt, hat die NASCET-Studie gezeigt, deren Einteilung der Stenosegrade dieses Projekt übernimmt.&lt;ref name=&quot;nascet&quot;&gt;North American Symptomatic Carotid Endarterectomy Trial Collaborators: ''Beneficial effect of carotid endarterectomy in symptomatic patients with high-grade carotid stenosis.'' New England Journal of Medicine 325 (1991), Nr. 7, S. 445-453.&lt;/ref&gt;

Strömungsmechanisch ist an einer Stenose vor allem die Wandschubspannung von Interesse, also die tangentiale Kraft je Fläche, die das strömende Blut auf die innerste Zellschicht der Gefäßwand ausübt. Gesunde Halsschlagadern weisen zeitlich gemittelte Werte von etwa 1,1 bis 1,5 Pa auf.&lt;ref name=&quot;samijo&quot;&gt;Samijo, S. K.; Willigers, J. M.; Barkhuysen, R.; Kitslaar, P. J. E. H. M.; Reneman, R. S.; Brands, P. J.; Hoeks, A. P. G.: ''Wall shear stress in the human common carotid artery as function of age and gender.'' Cardiovascular Research 39 (1998), Nr. 2, S. 515-522.&lt;/ref&gt; In einer Engstelle steigt sie stark an, unmittelbar dahinter fällt sie im Ablösegebiet auf nahezu null und wechselt dort sogar das Vorzeichen. Niedrige und im Vorzeichen wechselnde Wandschubspannungen gelten als Bedingungen, unter denen sich weitere Ablagerungen bevorzugt bilden. Eine bestehende Stenose schafft also stromabwärts die Voraussetzungen für ihr eigenes Wachstum. Genau diese Verteilung lässt sich im Körper nur schwer messen, in einer Simulation dagegen unmittelbar auswerten.

== Methodische Relevanz ==

Fachlich überträgt das Projekt die Prinzipien der Strömungsmechanik aus der Vorlesung auf eine biomedizinische Anwendung.&lt;ref name=&quot;hundertmark&quot;&gt;Hundertmark, A.: ''Fluiddynamik.'' Vorlesungsunterlagen zum Modul Räumliche Modellbildung, RPTU Kaiserslautern-Landau, Sommersemester 2026.&lt;/ref&gt; Der methodische Mehrwert liegt in der Verknüpfung mehrerer Zugänge, die sich gegenseitig kontrollieren. Die analytische Poiseuille-Lösung liefert exakte Sollwerte für das gesunde Gefäß. Ein reduziertes Graphenmodell liefert für jeden Stenosegrad eine schnelle Abschätzung, die analytisch nachrechenbar ist. Die Simulationen in COMSOL Multiphysics lösen schließlich die vollständigen Navier-Stokes-Gleichungen in zwei und drei Raumdimensionen. Weil jede Stufe die Sollwerte der nächsten liefert, zeigt das Projekt nicht nur Ergebnisse, sondern auch, wie numerische Modelle aufgebaut, verifiziert und an ihren Grenzen bewertet werden.

== Auswahl der Stenosegrade ==

Um die untersuchten Gefäßverengungen nicht willkürlich festzulegen, orientiert sich die Auswahl der Stenosegrade an der klinisch gebräuchlichen NASCET-Klassifikation von Karotisstenosen.&lt;ref name=&quot;nascet&quot; /&gt; Zur klinischen Einordnung werden Karotisstenosen anhand der nach NASCET bestimmten Durchmesserreduktion in leichtgradige, mittelgradige und hochgradige Stenosen eingeteilt. Die angegebenen Prozentgrenzen dienen in diesem Projekt als Orientierung für die Auswahl der untersuchten Stenosegrade. Ein vollständiger Gefäßverschluss wird als Okklusion bezeichnet.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Klinische Einteilung nach NASCET-gemessener Durchmesserreduktion und untersuchte Stenosegrade
! Schweregrad !! Durchmesserreduktion !! im Projekt gerechnete Stenosegrade !! hervorgehobener Vertreter
|-
| gesundes Gefäß || 0 % || 0 || 0
|-
| leichtgradige Stenose || unter 50 % || 0,1 bis 0,4 || 0,3
|-
| mittelgradige Stenose || 50 bis 69 % || 0,5 und 0,6 || 0,6
|-
| hochgradige Stenose || 70 bis 99 % || 0,7 und 0,8 || 0,8
|-
| Okklusion || 100 % || nicht gerechnet || entfällt
|}
'''Anmerkung''': Die Klassengrenzen dienen der Einordnung der Modellvarianten. Die in der Tabelle genannten Stenosegrade sind dimensionslose Werte, beispielsweise entspricht '''&lt;math&gt;s=0{,}6&lt;/math&gt;''' einer Durchmesserreduktion von '''60 %'''.

Für die numerische Untersuchung wird aus jeder Kategorie ein repräsentativer Stenosegrad hervorgehoben. Neben dem gesunden Gefäß mit '''0 %''' Stenose sind das eine '''30 %''' Stenose als Beispiel für eine leichtgradige, eine '''60 %''' Stenose als Beispiel für eine mittelgradige und eine '''80 %''' Stenose als Beispiel für eine hochgradige Verengung. Zusätzlich werden für das Graphenmodell und das achsensymmetrische Flächenmodell Stenosegrade von 0 bis 80 % in Schritten von zehn Prozentpunkten vorgesehen. Dadurch kann die Abhängigkeit der Strömungsgrößen vom Stenosegrad systematisch untersucht und grafisch dargestellt werden. Ob alle Modellvarianten tatsächlich berechnet wurden und wie hoch der Rechenaufwand war, wird anhand der durchgeführten Simulationen dokumentiert. Ein vollständiger Gefäßverschluss wird nicht simuliert, da in diesem Fall keine durchgängige Strömung mehr vorliegt.

Der Stenosegrad wird in diesem Projekt wie bei NASCET über die Verringerung des Gefäßdurchmessers beschrieben,
&lt;math&gt;s = 1 - \frac{d_{\min}}{d_{\mathrm{ref}}},&lt;/math&gt;wobei &lt;math&gt;d_{\min}&lt;/math&gt; der kleinste Durchmesser in der Engstelle und &lt;math&gt;d_{\mathrm{ref}}&lt;/math&gt; ein Referenzdurchmesser ist. NASCET verwendet als Referenz den Durchmesser des gesunden Gefäßes stromabwärts der Stenose. Für das idealisierte gerade Gefäßmodell wird ein konstanter Referenzdurchmesser von &lt;math&gt;D_0=6\,\mathrm{mm}&lt;/math&gt; angenommen. Da das Gefäß außerhalb der Stenose denselben Durchmesser besitzt, gilt in diesem Modell&lt;math&gt;d_{\mathrm{ref}}=D_0&lt;/math&gt;. Bei der zusätzlich betrachteten Gefäßaufzweigung muss der Referenzdurchmesser dagegen gesondert festgelegt werden, da die Gefäßäste unterschiedliche Durchmesser besitzen.

Wichtig für das Verständnis aller weiteren Ergebnisse ist der Unterschied zwischen Durchmesser- und Flächenreduktion. Da die Querschnittsfläche quadratisch vom Durchmesser abhängt, gilt für die Flächenreduktion &lt;math&gt;1-(1-s)^2&lt;/math&gt;. Eine im klinischen Sinn nur mittelgradige Stenose von 60 % verschließt damit bereits 84 % der Querschnittsfläche.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Durchmesser- und Flächenreduktion der gerechneten Stenosegrade
! Stenosegrad s !! 0 !! 0,1 !! 0,2 !! 0,3 !! 0,4 !! 0,5 !! 0,6 !! 0,7 !! 0,8
|-
| engster Durchmesser in mm || 6,0 || 5,4 || 4,8 || 4,2 || 3,6 || 3,0 || 2,4 || 1,8 || 1,2
|-
| Flächenreduktion || 0 % || 19 % || 36 % || 51 % || 64 % || 75 % || 84 % || 91 % || 96 %
|}

Eine Einschränkungen gehört zur ehrlichen Einordnung: 
# Mit zunehmendem Stenosegrad, insbesondere bei ausgeprägten Verengungen, können lokale Beschleunigungen, Strömungsablösungen und zeitabhängige Strömungsstrukturen auftreten. Daher muss bei den hochgradigen Stenosen geprüft werden, inwieweit die Annahme einer stationären, laminaren Strömung geeignet ist. Eine feste Grenze bei &lt;math&gt;s=0{,}6&lt;/math&gt; lässt sich ohne entsprechende Simulationsergebnisse oder Literaturbelege nicht allgemein festlegen. Die hochgradigen Fälle werden deshalb unter besonderer Berücksichtigung der Modellannahmen diskutiert.

Unter Modellierung wird in diesem Projekt die Übertragung der Blutströmung in einer verengten Arterie auf ein mathematisches und numerisch lösbares Strömungsproblem verstanden. Dazu werden die Gefäßgeometrie, die zugrunde liegenden Gleichungen, die physikalischen Materialparameter sowie die Anfangs- und Randbedingungen festgelegt.

Jeder dieser Bestandteile beruht auf vereinfachenden Annahmen, die begründet und bei der Interpretation der Ergebnisse berücksichtigt werden müssen. Ziel ist es, den Einfluss unterschiedlicher Stenosegrade auf die Strömungsgeschwindigkeit, den Druckverlust und gegebenenfalls die Wandschubspannung systematisch zu untersuchen.

Die Modellierung erfolgt anhand mehrerer Modellvarianten mit unterschiedlicher räumlicher Auflösung. Dadurch können zunächst grundlegende Zusammenhänge analytisch abgeschätzt und anschließend mit numerischen Strömungsberechnungen verglichen werden. Die verwendeten Parameter orientieren sich an den bereitgestellten Referenzdaten und werden in den folgenden Abschnitten erläutert.

== Modellierung ==

Ziel der Modellierung ist es, die Blutströmung innerhalb einer Y-förmigen Aufzweigung der Halsschlagader mathematisch und numerisch zu untersuchen. Im Mittelpunkt steht eine Gefäßverengung (Stenose) in der Arteria carotis interna.

Das betrachtete Gefäßmodell besteht aus der Arteria carotis communis, die sich in die Arteria carotis interna und die Arteria carotis externa aufteilt. Die Stenose befindet sich ausschließlich in der Arteria carotis interna.

Durch die Verengung verändert sich der verfügbare Strömungsquerschnitt. Dies kann zu einer Erhöhung der lokalen Strömungsgeschwindigkeit, zu zusätzlichen Druckverlusten und zu einer Veränderung der Strömungsverteilung zwischen den beiden Gefäßästen führen.

Ziel ist es, den Einfluss unterschiedlicher Stenosegrade auf die Strömungsgeschwindigkeit, die Druckverteilung und die Wandschubspannung zu untersuchen. Zusätzlich soll betrachtet werden, wie sich die Strömung innerhalb der Y-förmigen Gefäßaufzweigung verhält.

Die numerische Modellierung erfolgt mit COMSOL Multiphysics. Dazu werden die Gefäßgeometrie, die Materialeigenschaften des Blutes, die Strömungsgleichungen und die Randbedingungen festgelegt.

Zur Vereinfachung wird Blut zunächst als inkompressibles, Newtonsches Fluid betrachtet. Die Gefäßwände werden als starr angenommen. Diese Annahmen ermöglichen eine systematische Untersuchung der Stenose, schränken jedoch die Übertragbarkeit auf reale physiologische Bedingungen ein.

=== Modellhierarchie ===

Für die Untersuchung der Blutströmung innerhalb der Y-förmigen Karotisaufzweigung werden drei Modellvarianten betrachtet. Diese unterscheiden sich hinsichtlich ihrer räumlichen Dimension, ihrer mathematischen Beschreibung und der Genauigkeit, mit der die Strömungsverhältnisse dargestellt werden können.

Das untersuchte Gefäß besteht aus der Arteria carotis communis, die sich in die Arteria carotis interna und die Arteria carotis externa aufteilt. Die Stenose befindet sich ausschließlich in der Arteria carotis interna.

Alle drei Modellvarianten werden mit COMSOL Multiphysics umgesetzt.

{| class=&quot;wikitable&quot; style=&quot;width:100%;&quot;
|+ '''Die drei Modellvarianten des Projekts'''
|-
! Modell
! Raumdimension
! Mathematische Grundlage
! Zweck
! Werkzeug
|-
| '''Graphenmodell'''
| 1D, Gefäßnetzwerk mit einer Verzweigung
| Massenerhaltung an der Verzweigung und vereinfachte Beschreibung der Strömungswiderstände
| Abschätzung der Volumenstromverteilung und der Druckverluste in den Gefäßästen
| COMSOL Multiphysics
|-
| '''Ebenes Flächenmodell'''
| 2D, Y-förmige Gefäßgeometrie in kartesischen Koordinaten
| Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen
| Untersuchung der Geschwindigkeits- und Druckverteilung sowie der Auswirkungen der Stenose in der Arteria carotis interna
| COMSOL Multiphysics, Laminare Strömung
|-
| '''Volumenmodell'''
| 3D, räumliche Y-förmige Gefäßgeometrie
| Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen
| Räumliche Untersuchung des Geschwindigkeitsfeldes, des Druckverlustes und der Wandschubspannung
| COMSOL Multiphysics, Laminare Strömung
|}

==== Vergleich und Überprüfung der Modellvarianten ====

Die drei Modellvarianten bauen hinsichtlich ihrer räumlichen Beschreibung aufeinander auf. Das Graphenmodell ermöglicht zunächst eine vereinfachte Betrachtung der Volumenströme und Druckverluste. Die zwei- und dreidimensionalen Modelle erlauben anschließend eine detailliertere Untersuchung der Strömung innerhalb der Gefäßaufzweigung.

Das '''Graphenmodell''' beschreibt die Arteria carotis communis sowie die beiden abzweigenden Gefäße als miteinander verbundenes Netzwerk. Dabei wird die Massenerhaltung an der Verzweigung berücksichtigt:

:&lt;math&gt;Q_{\mathrm{CCA}}=Q_{\mathrm{ICA}}+Q_{\mathrm{ECA}}&lt;/math&gt;

Das Modell liefert vereinfachte Abschätzungen der Volumenstromverteilung. Lokale Strömungsablösungen und räumliche Geschwindigkeitsverteilungen können damit nicht detailliert dargestellt werden.

Das '''ebene Flächenmodell''' bildet die Y-förmige Gefäßaufzweigung in zwei Raumdimensionen ab. Die Stenose wird innerhalb der Arteria carotis interna berücksichtigt. Dadurch können die Geschwindigkeits- und Druckverteilung sowie mögliche Rückströmungsbereiche untersucht werden.

Das '''Volumenmodell''' erweitert die Untersuchung auf drei Raumdimensionen. Es ermöglicht eine räumliche Darstellung der Strömung und eine detailliertere Berechnung der Wandschubspannung.

Die Ergebnisse des ebenen Flächenmodells und des Volumenmodells werden miteinander verglichen. Da das ebene Modell die räumliche Querschnittsgeometrie nur vereinfacht darstellt, müssen Unterschiede zwischen den beiden Modellen bei der Interpretation berücksichtigt werden.

Ziel der Modellhierarchie ist es, die Aussagekraft der einzelnen Modellvarianten zu bewerten und den Einfluss des Stenosegrades auf die Strömung innerhalb der Y-förmigen Karotisaufzweigung zu untersuchen.

=== Simulationsgebiet und Geometrie ===

Das Simulationsgebiet besteht aus einer idealisierten Y-förmigen Aufzweigung der Arteria carotis. Die Arteria carotis communis teilt sich in die Arteria carotis interna und die Arteria carotis externa.

Die Stenose befindet sich in der Arteria carotis interna. Die Arteria carotis externa wird ohne zusätzliche Verengung modelliert.

Die Geometrie orientiert sich an den bereitgestellten Referenzdaten. Die Gefäßdurchmesser werden innerhalb der jeweiligen unverengten Abschnitte als konstant angenommen.

{| class=&quot;wikitable&quot; style=&quot;width:100%;&quot;
|+ '''Geometrische Referenzparameter der Y-förmigen Gefäßaufzweigung'''
|-
! Gefäßabschnitt
! Durchmesser
! Länge
|-
| Arteria carotis communis
| 6 mm
| 60 mm
|-
| Arteria carotis interna
| 5 mm
| 60 mm
|-
| Arteria carotis externa
| 4 mm
| 60 mm
|-
| Stenose in der Arteria carotis interna
| Abhängig vom Stenosegrad
| 10 mm
|}

Die Verengung wird über den Stenosegrad &lt;math&gt;s&lt;/math&gt; beschrieben. Dieser gibt die relative Verringerung des Gefäßdurchmessers an:

:&lt;math&gt;s=1-\frac{d_{\min}}{D_{\mathrm{ICA}}}&lt;/math&gt;

Dabei bezeichnet &lt;math&gt;d_{\min}&lt;/math&gt; den minimalen Durchmesser innerhalb der Stenose und &lt;math&gt;D_{\mathrm{ICA}}&lt;/math&gt; den unverengten Referenzdurchmesser der Arteria carotis interna.

Für das Modell gilt:

:&lt;math&gt;D_{\mathrm{ICA}}=5\,\mathrm{mm}&lt;/math&gt;

Der minimale Durchmesser ergibt sich damit zu:

:&lt;math&gt;d_{\min}=D_{\mathrm{ICA}}(1-s)&lt;/math&gt;

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ '''Minimaler Durchmesser der Stenose in der Arteria carotis interna'''
|-
! Stenosegrad
! Minimaler Durchmesser
|-
| 0 %
| 5,0 mm
|-
| 10 %
| 4,5 mm
|-
| 20 %
| 4,0 mm
|-
| 30 %
| 3,5 mm
|-
| 40 %
| 3,0 mm
|-
| 50 %
| 2,5 mm
|-
| 60 %
| 2,0 mm
|-
| 70 %
| 1,5 mm
|-
| 80 %
| 1,0 mm
|}

Die angegebenen Stenosegrade beziehen sich ausschließlich auf den Durchmesser der Arteria carotis interna. Der Durchmesser der Arteria carotis communis wird nicht zur Berechnung des Stenosegrades verwendet.

Die Y-förmige Geometrie ermöglicht es, die Auswirkungen der Verengung sowohl auf die lokale Strömung in der Arteria carotis interna als auch auf die Strömungsverteilung innerhalb der gesamten Gefäßaufzweigung zu untersuchen.

Die genaue Form der Stenose, der Verzweigungswinkel und die Übergänge zwischen den Gefäßabschnitten müssen entsprechend der tatsächlich in COMSOL verwendeten Geometrie dokumentiert werden.


== Stoff- und Strömungsparameter ==

Die Stoffwerte des Blutes und der Volumenstrom sind die einzigen Eingangsgrößen, die nicht aus der Geometrie folgen. Aus ihnen werden alle weiteren Strömungskennwerte berechnet. Die folgenden Schritte zeigen jede Rechnung einzeln, damit sich jeder Wert nachprüfen lässt.

# Die '''Dichte''' wird mit &lt;math&gt;\rho = 1060\ \mathrm{kg/m^3}&lt;/math&gt; angesetzt. Der Wert lässt sich als Mischungsregel plausibel machen. Plasma hat eine Dichte von etwa 1025 kg/m³, rote Blutkörperchen von etwa 1100 kg/m³. Bei einem Zellanteil von 45 % ergibt sich &lt;math&gt;0{,}55 \cdot 1025 + 0{,}45 \cdot 1100 \approx 1059\ \mathrm{kg/m^3}&lt;/math&gt;. Die Dichte geht nur über die Reynoldszahl in die Rechnung ein, eine Abweichung von einem Prozent ändert die Ergebnisse daher kaum. &lt;!-- FIXME Lehrbuchquelle fuer Plasma- und Erythrozytendichte ergaenzen --&gt;
# Die '''dynamische Viskosität''' wird mit &lt;math&gt;\mu = 3{,}5\ \mathrm{mPa\,s}&lt;/math&gt; angesetzt. Das ist der Grenzwert der Blutviskosität bei hohen Scherraten, also genau der Wert, der zur Newtonschen Näherung gehört. Derselbe Wert von 0,035 Poise wird auch im Standardwerk zur Modellierung des Herz-Kreislauf-Systems verwendet.&lt;ref name=&quot;quarteroni&quot;&gt;Quarteroni, A.; Formaggia, L.: ''Mathematical Modelling and Numerical Simulation of the Cardiovascular System.'' In: Ayache, N. (Hrsg.): ''Computational Models for the Human Body.'' Handbook of Numerical Analysis, Bd. XII, Elsevier, Amsterdam 2004, S. 3-127. DOI 10.1016/S1570-8659(03)12001-7. Zur Newtonschen Näherung in großen Gefäßen siehe S. 30, zur Viskosität von 0,035 Poise die Parametertabelle auf S. 116.&lt;/ref&gt;
# Der '''mittlere Volumenstrom''' wird mit &lt;math&gt;Q_0 = 6\ \mathrm{ml/s}&lt;/math&gt; angesetzt. Das ist der zeitlich gemittelte Volumenstrom, der in der gemeinsamen Halsschlagader gesunder Probanden gemessen wurde.&lt;ref name=&quot;holdsworth&quot; /&gt;
# Die '''mittlere Geschwindigkeit''' folgt aus Volumenstrom und Querschnittsfläche, &lt;math&gt;U_0 = \frac{Q_0}{\pi R_0^2} = \frac{6 \cdot 10^{-6}\ \mathrm{m^3/s}}{\pi \cdot (0{,}003\ \mathrm{m})^2} = 0{,}2122\ \mathrm{m/s}&lt;/math&gt;.
# Die '''Reynoldszahl''' des gesunden Gefäßes ist &lt;math&gt;Re_0 = \frac{\rho\, U_0\, D_0}{\mu} = \frac{1060 \cdot 0{,}2122 \cdot 0{,}006}{0{,}0035} = 385{,}6&lt;/math&gt;. Sie wird im Folgenden auf 386 gerundet.
# Die '''Einlauflänge''', die eine anfangs gleichförmige Strömung bis zum voll entwickelten Parabelprofil bräuchte, beträgt nach der gebräuchlichen Abschätzung für laminare Rohrströmungen &lt;math&gt;L_e \approx 0{,}06\, Re_0\, D_0 \approx 0{,}06 \cdot 386 \cdot 6\ \mathrm{mm} \approx 139\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt;.&lt;ref name=&quot;durst&quot;&gt;Durst, F.; Ray, S.; Ünsal, B.; Bayoumi, O. A.: ''The development lengths of laminar pipe and channel flows.'' Journal of Fluids Engineering 127 (2005), Nr. 6, S. 1154-1160. Für große Reynoldszahlen nähert sich die dort angegebene Korrelation dem Wert 0,057·Re·D.&lt;/ref&gt; Das ist fast die gesamte Länge des Rechengebiets. Ein konstantes Einlassprofil würde die Strömung an der Stenose also verfälschen, weshalb am Einlass das voll entwickelte Profil vorgegeben wird.

Damit liegen alle globalen Parameter fest. Die folgende Tabelle enthält sie mit genau den Namen, unter denen sie in COMSOL und in den Octave-Skripten verwendet werden.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Globale Parameter des Modells
! Name !! Ausdruck in COMSOL !! Wert !! Bedeutung !! Herkunft
|-
| R0 || 3[mm] || 3 mm || Gefäßradius || Messwerte nach Krejza u. a. 2006, gerundet
|-
| D0 || 2*R0 || 6 mm || Gefäßdurchmesser || abgeleitet
|-
| Ls || 2*D0 || 12 mm || Länge der Störstelle || Standardgeometrie nach Varghese u. a. 2007
|-
| Lu || 5*D0 || 30 mm || Vorlaufstrecke vor der Stenosemitte || Abstand der Einlassbedingung von der Stenose
|-
| Ld || 20*D0 || 120 mm || Nachlaufstrecke hinter der Stenosemitte || Platz für das Rückströmgebiet
|-
| Lf || Ls/2+10*D0 || 66 mm || Ende des fein vernetzten Nachlaufs || erwartete Länge des Rückströmgebiets
|-
| s || 0 bis 0.8 || 0 bis 0,8 || Stenosegrad bezogen auf den Durchmesser || NASCET-Einteilung
|-
| rho_b || 1060[kg/m^3] || 1060 kg/m³ || Dichte des Blutes || Mischungsregel, Literaturwert
|-
| mu_b || 3.5[mPa*s] || 3,5 mPa·s || dynamische Viskosität des Blutes || Hochscherwert, Quarteroni und Formaggia 2004
|-
| Q0 || 6[ml/s] || 6 ml/s || mittlerer Volumenstrom || Messwerte nach Holdsworth u. a. 1999
|-
| U0 || Q0/(pi*R0^2) || 0,2122 m/s || mittlere Einströmgeschwindigkeit || abgeleitet
|-
| Re0 || rho_b*U0*D0/mu_b || 385,6 || Reynoldszahl des gesunden Gefäßes || abgeleitet
|-
| dp_ref || 8*mu_b*U0*(Lu+Ld)/R0^2 || 99,03 Pa || Poiseuille-Druckabfall des gesunden Gefäßes || abgeleitet, Hagen-Poiseuille
|}


AB HIER ALT== Modellhierarchie ==

Für die Untersuchung werden vier Modellvarianten betrachtet, die sich hinsichtlich ihrer mathematischen Beschreibung, ihrer räumlichen Dimension und ihres Rechenaufwands unterscheiden. Die Modelle sind bewusst von einer vereinfachten analytischen Beschreibung bis zu einer dreidimensionalen numerischen Simulation angeordnet.

Diese Vorgehensweise ermöglicht es, die Ergebnisse der komplexeren Modelle anhand grundlegender physikalischer Zusammenhänge und geeigneter Referenzfälle zu überprüfen. Dabei ist zu beachten, dass nicht jede Modellvariante dieselben Strömungseigenschaften vollständig abbilden kann.

{| class=&quot;wikitable&quot; style=&quot;width:100%;&quot;
|+ '''Die vier Modellvarianten des Projekts'''
|-
! Modell
! Raumdimension
! Mathematische Grundlage
! Zweck
! Werkzeug
|-
| '''Graphenmodell'''
| 1D, Beschreibung entlang der Gefäßachse
| Hagen-Poiseuille-Gesetz für vereinfachte Rohrabschnitte und Massenerhaltung an Verzweigungsknoten
| Analytische Abschätzung von Volumenströmen und Druckverlusten; Referenz für die numerischen Modelle
| COMSOL mit geeigneter eindimensionaler Formulierung
|-
| '''Achsensymmetrisches Flächenmodell'''
| 2D, rotationssymmetrischer Längsschnitt in den Koordinaten &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;z&lt;/math&gt;
| Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen in achsensymmetrischer Form
| Detaillierte Untersuchung von Geschwindigkeits- und Druckfeldern sowie der Wandschubspannung in einem idealisierten rotationssymmetrischen Gefäß
| COMSOL Multiphysics, Laminar Flow
|-
| '''Ebenes Flächenmodell'''
| 2D, ebene Geometrie in den Koordinaten &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;y&lt;/math&gt;
| Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen in kartesischen Koordinaten
| Untersuchung der Strömung in einer vereinfachten ebenen Geometrie und Vergleich mit dem achsensymmetrischen Modell
| COMSOL Multiphysics, Laminar Flow
|-
| '''Volumenmodell'''
| 3D, räumliche Gefäßgeometrie
| Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen in drei Raumdimensionen
| Räumliche Darstellung der Strömung und Überprüfung der Ergebnisse des achsensymmetrischen Modells bei vergleichbarer Geometrie
| COMSOL Multiphysics, Laminar Flow
|}

== Stoff- und Strömungsparameter ==

Die Stoffwerte des Blutes und der Volumenstrom sind die einzigen Eingangsgrößen, die nicht aus der Geometrie folgen. Aus ihnen werden alle weiteren Strömungskennwerte berechnet. Die folgenden Schritte zeigen jede Rechnung einzeln, damit sich jeder Wert nachprüfen lässt.

# Die '''Dichte''' wird mit &lt;math&gt;\rho = 1060\ \mathrm{kg/m^3}&lt;/math&gt; angesetzt. Der Wert lässt sich als Mischungsregel plausibel machen. Plasma hat eine Dichte von etwa 1025 kg/m³, rote Blutkörperchen von etwa 1100 kg/m³. Bei einem Zellanteil von 45 % ergibt sich &lt;math&gt;0{,}55 \cdot 1025 + 0{,}45 \cdot 1100 \approx 1059\ \mathrm{kg/m^3}&lt;/math&gt;. Die Dichte geht nur über die Reynoldszahl in die Rechnung ein, eine Abweichung von einem Prozent ändert die Ergebnisse daher kaum. &lt;!-- FIXME Lehrbuchquelle fuer Plasma- und Erythrozytendichte ergaenzen --&gt;
# Die '''dynamische Viskosität''' wird mit &lt;math&gt;\mu = 3{,}5\ \mathrm{mPa\,s}&lt;/math&gt; angesetzt. Das ist der Grenzwert der Blutviskosität bei hohen Scherraten, also genau der Wert, der zur Newtonschen Näherung gehört. Derselbe Wert von 0,035 Poise wird auch im Standardwerk zur Modellierung des Herz-Kreislauf-Systems verwendet.&lt;ref name=&quot;quarteroni&quot;&gt;Quarteroni, A.; Formaggia, L.: ''Mathematical Modelling and Numerical Simulation of the Cardiovascular System.'' In: Ayache, N. (Hrsg.): ''Computational Models for the Human Body.'' Handbook of Numerical Analysis, Bd. XII, Elsevier, Amsterdam 2004, S. 3-127. DOI 10.1016/S1570-8659(03)12001-7. Zur Newtonschen Näherung in großen Gefäßen siehe S. 30, zur Viskosität von 0,035 Poise die Parametertabelle auf S. 116.&lt;/ref&gt;
# Der '''mittlere Volumenstrom''' wird mit &lt;math&gt;Q_0 = 6\ \mathrm{ml/s}&lt;/math&gt; angesetzt. Das ist der zeitlich gemittelte Volumenstrom, der in der gemeinsamen Halsschlagader gesunder Probanden gemessen wurde.&lt;ref name=&quot;holdsworth&quot; /&gt;
# Die '''mittlere Geschwindigkeit''' folgt aus Volumenstrom und Querschnittsfläche, &lt;math&gt;U_0 = \frac{Q_0}{\pi R_0^2} = \frac{6 \cdot 10^{-6}\ \mathrm{m^3/s}}{\pi \cdot (0{,}003\ \mathrm{m})^2} = 0{,}2122\ \mathrm{m/s}&lt;/math&gt;.
# Die '''Reynoldszahl''' des gesunden Gefäßes ist &lt;math&gt;Re_0 = \frac{\rho\, U_0\, D_0}{\mu} = \frac{1060 \cdot 0{,}2122 \cdot 0{,}006}{0{,}0035} = 385{,}6&lt;/math&gt;. Sie wird im Folgenden auf 386 gerundet.
# Die '''Einlauflänge''', die eine anfangs gleichförmige Strömung bis zum voll entwickelten Parabelprofil bräuchte, beträgt nach der gebräuchlichen Abschätzung für laminare Rohrströmungen &lt;math&gt;L_e \approx 0{,}06\, Re_0\, D_0 \approx 0{,}06 \cdot 386 \cdot 6\ \mathrm{mm} \approx 139\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt;.&lt;ref name=&quot;durst&quot;&gt;Durst, F.; Ray, S.; Ünsal, B.; Bayoumi, O. A.: ''The development lengths of laminar pipe and channel flows.'' Journal of Fluids Engineering 127 (2005), Nr. 6, S. 1154-1160. Für große Reynoldszahlen nähert sich die dort angegebene Korrelation dem Wert 0,057·Re·D.&lt;/ref&gt; Das ist fast die gesamte Länge des Rechengebiets. Ein konstantes Einlassprofil würde die Strömung an der Stenose also verfälschen, weshalb am Einlass das voll entwickelte Profil vorgegeben wird.

Damit liegen alle globalen Parameter fest. Die folgende Tabelle enthält sie mit genau den Namen, unter denen sie in COMSOL und in den Octave-Skripten verwendet werden.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Globale Parameter des Modells
! Name !! Ausdruck in COMSOL !! Wert !! Bedeutung !! Herkunft
|-
| R0 || 3[mm] || 3 mm || Gefäßradius || Messwerte nach Krejza u. a. 2006, gerundet
|-
| D0 || 2*R0 || 6 mm || Gefäßdurchmesser || abgeleitet
|-
| Ls || 2*D0 || 12 mm || Länge der Störstelle || Standardgeometrie nach Varghese u. a. 2007
|-
| Lu || 5*D0 || 30 mm || Vorlaufstrecke vor der Stenosemitte || Abstand der Einlassbedingung von der Stenose
|-
| Ld || 20*D0 || 120 mm || Nachlaufstrecke hinter der Stenosemitte || Platz für das Rückströmgebiet
|-
| Lf || Ls/2+10*D0 || 66 mm || Ende des fein vernetzten Nachlaufs || erwartete Länge des Rückströmgebiets
|-
| s || 0 bis 0.8 || 0 bis 0,8 || Stenosegrad bezogen auf den Durchmesser || NASCET-Einteilung
|-
| rho_b || 1060[kg/m^3] || 1060 kg/m³ || Dichte des Blutes || Mischungsregel, Literaturwert
|-
| mu_b || 3.5[mPa*s] || 3,5 mPa·s || dynamische Viskosität des Blutes || Hochscherwert, Quarteroni und Formaggia 2004
|-
| Q0 || 6[ml/s] || 6 ml/s || mittlerer Volumenstrom || Messwerte nach Holdsworth u. a. 1999
|-
| U0 || Q0/(pi*R0^2) || 0,2122 m/s || mittlere Einströmgeschwindigkeit || abgeleitet
|-
| Re0 || rho_b*U0*D0/mu_b || 385,6 || Reynoldszahl des gesunden Gefäßes || abgeleitet
|-
| dp_ref || 8*mu_b*U0*(Lu+Ld)/R0^2 || 99,03 Pa || Poiseuille-Druckabfall des gesunden Gefäßes || abgeleitet, Hagen-Poiseuille
|}

=== Vergleich und Überprüfung der Modellvarianten ===

Die Modellhierarchie folgt dem Prinzip, dass zunächst vereinfachte Zusammenhänge untersucht und anschließend mit detaillierteren numerischen Modellen verglichen werden.

Das '''Graphenmodell''' bildet die einfachste Modellvariante. Es verwendet das Hagen-Poiseuille-Gesetz zur Abschätzung des Druckverlustes in geraden Rohrabschnitten mit konstantem Durchmesser. Für den unverengten Referenzfall kann damit eine analytische Vergleichsgröße bestimmt werden. Im Bereich einer Stenose ist die Anwendung jedoch nur als vereinfachte Näherung geeignet, da dort zusätzliche Strömungseffekte auftreten können.

Das '''achsensymmetrische Flächenmodell''' ermöglicht eine detailliertere Untersuchung des Geschwindigkeits- und Druckfeldes innerhalb einer idealisierten rotationssymmetrischen Gefäßverengung. Im unverengten Referenzfall können die numerischen Ergebnisse mit der analytischen Poiseuille-Lösung verglichen werden. Bei zunehmendem Stenosegrad werden insbesondere die Beschleunigung im Bereich der Engstelle, der Druckverlust und die Wandschubspannung betrachtet.

Das '''ebene Flächenmodell''' beschreibt die Strömung in einer zweidimensionalen kartesischen Geometrie. Im Unterschied zum achsensymmetrischen Modell wird dabei keine Rotationssymmetrie vorausgesetzt. Da sich die geometrische Beschreibung des Strömungsquerschnitts unterscheidet, sind die Ergebnisse nicht ohne Weiteres quantitativ gleichzusetzen. Der Vergleich dient insbesondere dazu, den Einfluss der Modellvereinfachung auf die berechneten Strömungsgrößen zu untersuchen.

Das '''Volumenmodell''' erweitert die Untersuchung auf drei Raumdimensionen. Bei einer rotationssymmetrischen Geometrie und entsprechend übereinstimmenden Randbedingungen wird eine weitgehende Übereinstimmung mit dem achsensymmetrischen Modell erwartet. Diese Übereinstimmung muss jedoch anhand der numerischen Ergebnisse überprüft werden. Bei einer Gefäßaufzweigung oder einer asymmetrischen Stenose können zusätzliche räumliche Strömungseffekte auftreten, die durch ein achsensymmetrisches Modell nicht vollständig beschrieben werden.

=== Referenzfall und Vergleichsgrößen ===

Als Ausgangspunkt dient ein unverengtes Gefäß mit dem Referenzdurchmesser &lt;math&gt;D_0=6\,\mathrm{mm}&lt;/math&gt;. Für das Blut werden eine Dichte von &lt;math&gt;\rho_b=1060\,\mathrm{kg/m^3}&lt;/math&gt; und eine dynamische Viskosität von &lt;math&gt;\mu_b=3{,}5\,\mathrm{mPa\,s}&lt;/math&gt; angenommen.

Der vorgegebene mittlere Volumenstrom beträgt &lt;math&gt;Q_0=6\,\mathrm{ml/s}&lt;/math&gt;. Daraus ergibt sich für den unverengten kreisförmigen Querschnitt eine mittlere Strömungsgeschwindigkeit von ungefähr &lt;math&gt;U_0=0{,}2122\,\mathrm{m/s}&lt;/math&gt;.

Die Referenz-Reynolds-Zahl beträgt &lt;math&gt;\mathrm{Re}_0=385{,}6&lt;/math&gt;. Für den in den Referenzdaten definierten Vergleichsfall ist außerdem ein analytischer Druckverlust von &lt;math&gt;\Delta p_{\mathrm{ref}}=99{,}03\,\mathrm{Pa}&lt;/math&gt; angegeben.

Diese Größen dienen als Ausgangspunkt für die Überprüfung der numerischen Modelle. Ein direkter Vergleich ist jedoch nur zulässig, wenn die jeweils verwendete Geometrie, die Auswertelänge und die Randbedingungen übereinstimmen.

=== Grenzen der Modellhierarchie ===

Die vier Modellvarianten unterscheiden sich nicht nur im Rechenaufwand, sondern auch in den physikalischen Effekten, die sie darstellen können.

Insbesondere bei hochgradigen Stenosen können starke lokale Geschwindigkeitsänderungen, Strömungsablösungen und zeitabhängige Strömungsstrukturen auftreten. Deshalb muss überprüft werden, ob die Annahme einer stationären laminaren Strömung für die betrachteten Fälle ausreichend ist.

Außerdem muss zwischen dem idealisierten geraden Gefäßmodell und einer Gefäßaufzweigung unterschieden werden. Das achsensymmetrische Modell eignet sich für eine rotationssymmetrische Stenose in einem geraden Gefäß, während eine realistische Gefäßaufzweigung eine andere geometrische Beschreibung erfordert.

Die Modellvarianten werden daher nicht als vollständig gleichwertig betrachtet. Vielmehr soll der Vergleich zeigen, welche Aussagen bereits durch vereinfachte Modelle möglich sind und für welche Strömungseigenschaften eine detailliertere numerische Beschreibung erforderlich ist.

= Modellierung =

Modellierung bedeutet hier, die reale Situation in eine mathematische Aufgabe zu übersetzen, die sich lösen lässt. Dazu gehören vier Bausteine, nämlich das Rechengebiet, die Gleichungen, die Zahlenwerte der Parameter und die Bedingungen an den Rändern. Jeder dieser Bausteine beruht auf Annahmen, und jede Annahme muss begründet werden. Dieser Abschnitt geht die Bausteine deshalb der Reihe nach durch und nennt bei jedem Zahlenwert, woher er stammt und warum er sinnvoll ist.

== Modellhierarchie ==

Das Projekt rechnet nicht ein einziges Modell, sondern vier aufeinander aufbauende Modellvarianten. Sie entsprechen der Kursanforderung, eine Strömung als Graph, in zwei und in drei Raumdimensionen darzustellen, und sie sind bewusst von einfach nach aufwendig geordnet.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Die vier Modellvarianten des Projekts
! Modell !! Raumdimension !! gelöste Gleichung !! Zweck !! Werkzeug
|-
| Graphenmodell || 1D, Gefäßachse || Hagen-Poiseuille je Rohrstück und Massenerhaltung in jedem Knoten || schnelle, analytisch nachrechenbare Abschätzung für jeden Stenosegrad || Octave und COMSOL (Koeffizientenform-PDGL)
|-
| achsensymmetrisches Flächenmodell || 2D, Halbschnitt in r und z || vollständige stationäre Navier-Stokes-Gleichungen in Zylinderkoordinaten || Hauptmodell, liefert alle Feldgrößen des rotationssymmetrischen Rohres || COMSOL, Laminare Strömung
|-
| ebenes Flächenmodell || 2D, Halbschnitt in x und y || vollständige stationäre Navier-Stokes-Gleichungen in kartesischen Koordinaten || Vergleich, zeigt den Einfluss der zweiten Querschnittsrichtung || COMSOL, Laminare Strömung
|-
| Volumenmodell || 3D || vollständige stationäre Navier-Stokes-Gleichungen || Kontrolle des Hauptmodells und räumliche Darstellung || COMSOL, Laminare Strömung
|}

Die Reihenfolge folgt einem einfachen Prinzip. Jede Stufe liefert die Sollwerte, an denen die nächste, komplexere Stufe geprüft wird. Das Graphenmodell muss im gesunden Fall exakt die Poiseuille-Lösung ergeben. Das achsensymmetrische Modell muss im gesunden Fall dieselben Werte liefern und bei Stenose für Geschwindigkeit und Wandschubspannung in der Nähe des Graphenmodells liegen. Das Volumenmodell muss, weil die Geometrie rotationssymmetrisch ist, mit dem achsensymmetrischen Modell übereinstimmen.

== Modellannahmen ==

Um den Einfluss des Stenosegrades möglichst isoliert zu untersuchen, werden die folgenden Modellannahmen getroffen. Die Tabelle nennt zu jeder Annahme ihre mathematische Form, die Begründung und die Stelle, an der sie im Projekt überprüft wird.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Modellannahmen, ihre Begründung und ihre Überprüfung
! Annahme !! mathematische Form !! Begründung !! Überprüfung
|-
| Idealisierte Gefäßgeometrie || gerades Rohr mit kosinusförmiger, rotationssymmetrischer Verengung || isoliert die Wirkung des Stenosegrades von Krümmung, Verzweigung und Plaqueform || Diskussion in den Schlussfolgerungen
|-
| Starre Gefäßwand || Wand ortsfest, keine Fluid-Struktur-Kopplung || im stationären Fall gibt es keine Druckschwankung, die die Wand periodisch aufweiten könnte || Abschätzung über die gemessene Durchmesseränderung im Herzzyklus
|-
| Stationäre Strömung || &lt;math&gt;\partial \mathbf{u}/\partial t = \mathbf{0}&lt;/math&gt; || der Einfluss des Stenosegrades soll ohne Überlagerung durch die Pulsation sichtbar werden || Abschätzung über die Womersley-Zahl
|-
| Inkompressibles Fluid || &lt;math&gt;\rho = \mathrm{const}&lt;/math&gt;, damit &lt;math&gt;\nabla\cdot\mathbf{u} = 0&lt;/math&gt; || Blut ist eine Flüssigkeit, Druckänderungen von wenigen hundert Pascal ändern die Dichte nicht messbar || Massenerhaltung in fünf Querschnitten
|-
| Newtonsche Näherung || konstante Viskosität &lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt; || die Scherraten an der Wand und im größten Teil des Querschnitts liegen über dem Bereich, in dem Blut deutlich scherverdünnend wirkt || Scherrate an der Wand, Diskussion des Rückströmgebiets
|-
| Konstante Stoffeigenschaften || &lt;math&gt;\rho&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt; räumlich und zeitlich konstant || Körpertemperatur ist im betrachteten Abschnitt konstant || entfällt
|-
| Laminare Strömung || kein Turbulenzmodell, Schnittstelle Laminare Strömung || Reynoldszahl des gesunden Gefäßes von 386 liegt weit unter dem Umschlagbereich || Reynoldszahl in der Engstelle, Literaturvergleich
|-
| Haftbedingung an der Wand || &lt;math&gt;\mathbf{u} = \mathbf{0}&lt;/math&gt; auf der Wand || Folge der Viskosität, das Fluid haftet an der Wand || Grundlage jeder Wandschubspannung
|-
| Vernachlässigung der Gravitation || keine Volumenkraft || bei konstanter Dichte lässt sich die Schwerkraft vollständig in einen hydrostatischen Druckanteil verschieben und beeinflusst die Geschwindigkeit nicht || Begründung in den Mathematischen Hintergründen
|-
| Voll entwickelte Einströmung || parabolisches Profil am Einlass || die natürliche Einlaufstrecke wäre mit rund 139 mm fast so lang wie das ganze Rechengebiet || Scheitelgeschwindigkeit im gesunden Fall
|-
| Eingeprägter Volumenstrom || &lt;math&gt;Q = Q_0&lt;/math&gt; am Einlass || der Strömungswiderstand des Abschnitts ist klein gegenüber dem des nachgeschalteten Gefäßbetts || Abschätzung mit einem Reihenwiderstand
|}

Einige dieser Annahmen sind unmittelbar einsichtig, andere verdienen eine genauere Begründung, weil von ihnen die Aussagekraft der Ergebnisse abhängt.

Die '''Newtonsche Näherung''' ist die Annahme, die bei Blut am häufigsten hinterfragt wird. Reales Blut ist eine Suspension aus Plasma und Blutzellen und verhält sich scherverdünnend. Bei kleinen Scherraten lagern sich die roten Blutkörperchen zu geldrollenartigen Stapeln zusammen, und die Viskosität steigt auf ein Vielfaches an. Bei großen Scherraten lösen sich diese Stapel auf, und die Viskosität strebt gegen einen Grenzwert von etwa 3,5 mPa·s. Entscheidend ist also die Scherrate. An der Wand des gesunden Modellgefäßes beträgt sie nach der Poiseuille-Lösung

&lt;math&gt;\dot\gamma_w = \frac{4\,U_0}{R_0} = \frac{4 \cdot 0{,}2122\ \mathrm{m/s}}{0{,}003\ \mathrm{m}} \approx 283\ \mathrm{s^{-1}}&lt;/math&gt;

und liegt damit oberhalb von etwa 100 pro Sekunde, wo sich Newtonsches und nicht Newtonsches Modell nach der Literatur nur noch wenig unterscheiden.&lt;ref name=&quot;boyd&quot;&gt;Die Grenze von etwa 100 s&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt; wird in vergleichenden Studien zur Blutrheologie verwendet, etwa bei Bernabeu, M. O. u. a.: ''Impact of blood rheology on wall shear stress in a model of the middle cerebral artery.'' Interface Focus 3 (2013), 20120094. &lt;!-- FIXME Zitat und Seitenangabe am Original pruefen --&gt;&lt;/ref&gt; In der Engstelle steigt die Scherrate weiter an, beim Stenosegrad 0,5 auf rund 2260 pro Sekunde. Schwach ist die Näherung dort, wo die Scherrate klein wird, also in der Mitte des Gefäßes und vor allem im Rückströmgebiet hinter der Stenose. Dort ist reales Blut zäher als angenommen. Dieser Punkt wird in den Schlussfolgerungen wieder aufgegriffen.

Die '''stationäre Strömung''' ist die stärkste Vereinfachung. Wie wichtig die Pulsation ist, misst die Womersley-Zahl, die das Verhältnis von instationärer Trägheit zu Reibung angibt. Mit einer Herzfrequenz von 60 Schlägen je Minute, also einer Kreisfrequenz &lt;math&gt;\omega = 2\pi\ \mathrm{s^{-1}}&lt;/math&gt;, ergibt sich

&lt;math&gt;\alpha = R_0 \sqrt{\frac{\omega \rho}{\mu}} = 0{,}003\ \mathrm{m} \cdot \sqrt{\frac{2\pi\ \mathrm{s^{-1}} \cdot 1060\ \mathrm{kg/m^3}}{0{,}0035\ \mathrm{Pa\,s}}} \approx 4{,}1 .&lt;/math&gt;

Ein Wert in dieser Größenordnung bedeutet, dass das reale Geschwindigkeitsprofil im Herzzyklus merklich von der Parabel abweicht.&lt;ref name=&quot;womersley&quot;&gt;Womersley, J. R.: ''Method for the calculation of velocity, rate of flow and viscous drag in arteries when the pressure gradient is known.'' Journal of Physiology 127 (1955), S. 553-563.&lt;/ref&gt; Hinzu kommt, dass der Volumenstrom in der Systole kurzzeitig auf rund das Vierfache des Mittelwerts steigt.&lt;ref name=&quot;holdsworth&quot;&gt;Holdsworth, D. W.; Norley, C. J. D.; Frayne, R.; Steinman, D. A.; Rutt, B. K.: ''Characterization of common carotid artery blood-flow waveforms in normal human subjects.'' Physiological Measurement 20 (1999), Nr. 3, S. 219-240. DOI 10.1088/0967-3334/20/3/301. Angegeben werden ein mittlerer Volumenstrom von 6,0 ± 1,4 ml/s und ein systolischer Spitzenwert von 23,5 ± 3,8 ml/s. &lt;!-- FIXME Zahlenwerte und Probandenzahl am Original pruefen --&gt;&lt;/ref&gt; Die stationäre Rechnung mit dem Mittelwert beschreibt deshalb nicht den zeitlichen Verlauf, wohl aber den zeitlich gemittelten Zustand, an dem sich der Einfluss des Stenosegrades sauber vergleichen lässt.

Die '''laminare Strömung''' wird über die Reynoldszahl begründet. Sie beträgt im gesunden Gefäß 386 und liegt damit weit unter dem Wert von etwa 2300, ab dem die Strömung in einem geraden Rohr in den Übergangsbereich gelangen kann. In der Engstelle steigt sie bei festem Volumenstrom auf &lt;math&gt;Re_0/(1-s)&lt;/math&gt;, also auf 551 beim Stenosegrad 0,3, auf 964 beim Grad 0,6 und auf 1928 beim Grad 0,8. Für den Strahl hinter einer Engstelle ist der Umschlagbereich allerdings deutlich niedriger als im geraden Rohr. Direkte numerische Simulationen an genau der in diesem Projekt verwendeten Stenosegeometrie zeigen, dass die Strömung bei einer Einström-Reynoldszahl von 500 auch bei leichter Unsymmetrie laminar bleibt, bei 1000 dagegen schon eine Exzentrizität von fünf Prozent des Durchmessers genügt, um den Strahl in lokal turbulente Strömung umschlagen zu lassen.&lt;ref name=&quot;varghese&quot;&gt;Varghese, S. S.; Frankel, S. H.; Fischer, P. F.: ''Direct numerical simulation of stenotic flows. Part 1. Steady flow.'' Journal of Fluid Mechanics 582 (2007), S. 253-280. Untersucht wird eine kosinusförmige Stenose der Länge 2D mit 75 % Flächenreduktion, die mit der Geometrie dieses Projekts beim Stenosegrad 0,5 übereinstimmt. &lt;!-- FIXME Band und Seiten am Original pruefen --&gt;&lt;/ref&gt; Mit einer Einström-Reynoldszahl von 386 liegt das Projekt für die leicht- und mittelgradigen Stenosen sicher im laminaren Bereich. Für die hochgradigen Stenosen ab 0,7 ist ein laminares, stationäres Modell dagegen nur noch eine Näherung, die eine Obergrenze der geordneten Strömung beschreibt. Diese Fälle werden deshalb als Grenzfall des Modells gekennzeichnet.

Die '''starre Wand''' lässt sich über Messungen abschätzen. Der Durchmesser der gemeinsamen Halsschlagader ändert sich im Herzzyklus bei jungen Menschen um etwa 12 bis 14 Prozent und bei älteren Menschen um etwa 5 Prozent.&lt;ref name=&quot;hansen&quot;&gt;Hansen, F.; Mangell, P.; Sonesson, B.; Länne, T.: ''Diameter and compliance in the human common carotid artery: variations with age and sex.'' Ultrasound in Medicine and Biology 21 (1995), Nr. 1, S. 1-9. DOI 10.1016/0301-5629(94)00090-5.&lt;/ref&gt; Diese Bewegung ist eine Folge der Pulsation. In einer stationären Rechnung gibt es keine Druckschwankung, die die Wand periodisch aufweiten könnte, sodass die starre Wand zur stationären Annahme konsistent ist. Eine verkalkte Plaque ist ohnehin deutlich steifer als die gesunde Wand.

Die Annahme des '''eingeprägten Volumenstroms''' wird im Abschnitt zu den Randbedingungen begründet, weil sie sich nur im Zusammenhang mit dem Kreislauf beurteilen lässt.

== Simulationsgebiet und Geometrie ==

Die Gefäßachse ist die z-Achse, der Ursprung liegt in der Mitte der Stenose, und &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; bezeichnet den Abstand von der Achse. Das Rechengebiet reicht von &lt;math&gt;z = -L_u&lt;/math&gt; bis &lt;math&gt;z = L_d&lt;/math&gt; und wird radial von der Wandkontur &lt;math&gt;R(z)&lt;/math&gt; begrenzt. Die Verengung wird über eine einzige glatte Funktion beschrieben,

&lt;math&gt;R(z) = R_0 \left[ 1 - \frac{s}{2}\left(1 + \cos\frac{2\pi z}{L_s}\right)\right] \quad \text{falls } |z| \le \frac{L_s}{2}, \qquad R(z) = R_0 \ \text{sonst.}&lt;/math&gt;

Die Funktion hat drei Eigenschaften, die ihre Wahl begründen. Sie wird erstens über einen einzigen Parameter gesteuert, den Stenosegrad &lt;math&gt;s&lt;/math&gt;. Der engste Radius in der Mitte beträgt &lt;math&gt;R(0) = R_0(1-s)&lt;/math&gt;, und der Fall ohne Verengung ist einfach der Fall &lt;math&gt;s = 0&lt;/math&gt;. Die gesamte Vergleichsreihe entsteht damit aus einem einzigen parametrischen Sweep. Sie geht zweitens an beiden Enden der Störstelle ohne Knick in das gerade Rohr über. Bei &lt;math&gt;z = \pm L_s/2&lt;/math&gt; ist der Kosinus gleich minus eins, die Klammer also null, und seine Ableitung verschwindet dort ebenfalls. Das ist nicht nur ästhetisch, sondern numerisch notwendig, denn ein Knick in der Wand erzeugt eine Singularität der Wandschubspannung, deren berechneter Wert mit jeder Netzverfeinerung weiter wüchse. Eine Netzstudie wäre dann sinnlos. Sie ist drittens die in der Literatur gebräuchliche Standardgeometrie für Stenosen, sodass sich die Ergebnisse unmittelbar mit veröffentlichten Rechnungen vergleichen lassen.&lt;ref name=&quot;varghese&quot; /&gt;

[[Datei:Stenose Gruppe5 Wandkontur.svg|mini|zentriert|800px|Wandkontur &lt;math&gt;R(z)&lt;/math&gt; für die untersuchten Stenosegrade. Die Darstellung ist in radialer Richtung gestreckt, das Rechengebiet ist in Wirklichkeit fünfundzwanzigmal länger als breit.]]
&lt;!-- FIXME Abbildung mit abbildungen_graph_1d.m fuer s = 0 bis 0,8 neu erzeugen, bisher nur bis 0,5 --&gt;

Die Abmessungen des Rechengebiets werden alle aus dem Gefäßradius abgeleitet. Das hat den Vorteil, dass sich das gesamte Modell durch Ändern eines einzigen Wertes auf ein anderes Gefäß übertragen lässt. Die einzelnen Längen werden im Folgenden Schritt für Schritt begründet.

# Der '''Gefäßradius''' &lt;math&gt;R_0 = 3\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; folgt aus Ultraschallmessungen an gesunden Erwachsenen. Dort wurden für die gemeinsame Halsschlagader mittlere Durchmesser von 6,10 ± 0,80 mm bei Frauen und 6,52 ± 0,98 mm bei Männern gemessen.&lt;ref name=&quot;krejza&quot;&gt;Krejza, J.; Arkuszewski, M.; Kasner, S. E.; Weigele, J.; Ustymowicz, A.; Hurst, R. W.; Cucchiara, B. L.; Messe, S. R.: ''Carotid artery diameter in men and women and the relation to body and neck size.'' Stroke 37 (2006), Nr. 4, S. 1103-1105. DOI 10.1161/01.STR.0000206440.48756.f7.&lt;/ref&gt; Der gewählte Durchmesser von &lt;math&gt;D_0 = 6\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; liegt damit innerhalb einer Standardabweichung beider Gruppen und ist bewusst auf einen runden Wert gesetzt, damit alle abgeleiteten Längen glatte Zahlen ergeben.
# Die '''Länge der Störstelle''' &lt;math&gt;L_s = 2 D_0 = 12\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; entspricht der Standardgeometrie aus der Literatur, die eine Stenosenlänge von zwei Durchmessern verwendet.&lt;ref name=&quot;varghese&quot; /&gt; Damit ist beim Stenosegrad 0,5 ein direkter Vergleich mit veröffentlichten Ergebnissen möglich.
# Die '''Vorlaufstrecke''' &lt;math&gt;L_u = 5 D_0 = 30\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; trennt den Einlass von der Stenose. Da am Einlass bereits das voll entwickelte Profil vorgegeben wird, muss sie nicht die Einlaufstrecke abdecken, sondern nur verhindern, dass die Einströmrandbedingung die Strömung an der Engstelle beeinflusst. Bei Reynoldszahlen in dieser Größenordnung reicht der Einfluss einer Verengung nur wenige Durchmesser stromaufwärts, die Literatur kommt für dieselbe Geometrie mit drei Durchmessern Vorlauf aus.&lt;ref name=&quot;varghese&quot; /&gt; Fünf Durchmesser lassen also eine Reserve. Überprüft wird das im Ergebnis, indem die Geschwindigkeit auf der Achse in der Mitte der Vorlaufstrecke mit dem Sollwert &lt;math&gt;2U_0&lt;/math&gt; verglichen wird.
# Die '''Nachlaufstrecke''' &lt;math&gt;L_d = 20 D_0 = 120\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; ist deutlich länger, weil sich hinter der Engstelle ein Rückströmgebiet bildet, das nicht auf den Auslass treffen darf. Für die Geometrie mit dem Stenosegrad 0,5 legt die Strömung bei einer Einström-Reynoldszahl von 500 erst etwa zehn Durchmesser hinter der Engstelle wieder an, die Literatur rechnet mit sechzehn Durchmessern Nachlauf.&lt;ref name=&quot;varghese&quot; /&gt; Zwanzig Durchmesser bieten damit für alle Stenosegrade bis 0,5 einen Sicherheitsabstand. Für die Grade ab 0,6 ist ein längeres Rückströmgebiet zu erwarten, dort wird die Lage des Wiederanlegepunktes ausdrücklich kontrolliert.
# Das '''Ende des fein vernetzten Nachlaufs''' &lt;math&gt;L_f = L_s/2 + 10 D_0 = 66\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; legt fest, bis wohin das Netz verfeinert wird. Der Wert ist so gewählt, dass das erwartete Rückströmgebiet von etwa zehn Durchmessern vollständig im feinen Bereich liegt.

Damit hat das Rechengebiet eine Gesamtlänge von &lt;math&gt;L = L_u + L_d = 150\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt;, also das Fünfundzwanzigfache des Durchmessers. Es ist ein Modellgebiet und kein maßstäbliches Abbild eines bestimmten anatomischen Abschnitts.

== Stoff- und Strömungsparameter ==

Die Stoffwerte des Blutes und der Volumenstrom sind die einzigen Eingangsgrößen, die nicht aus der Geometrie folgen. Aus ihnen werden alle weiteren Strömungskennwerte berechnet. Die folgenden Schritte zeigen jede Rechnung einzeln, damit sich jeder Wert nachprüfen lässt.

# Die '''Dichte''' wird mit &lt;math&gt;\rho = 1060\ \mathrm{kg/m^3}&lt;/math&gt; angesetzt. Der Wert lässt sich als Mischungsregel plausibel machen. Plasma hat eine Dichte von etwa 1025 kg/m³, rote Blutkörperchen von etwa 1100 kg/m³. Bei einem Zellanteil von 45 % ergibt sich &lt;math&gt;0{,}55 \cdot 1025 + 0{,}45 \cdot 1100 \approx 1059\ \mathrm{kg/m^3}&lt;/math&gt;. Die Dichte geht nur über die Reynoldszahl in die Rechnung ein, eine Abweichung von einem Prozent ändert die Ergebnisse daher kaum. &lt;!-- FIXME Lehrbuchquelle fuer Plasma- und Erythrozytendichte ergaenzen --&gt;
# Die '''dynamische Viskosität''' wird mit &lt;math&gt;\mu = 3{,}5\ \mathrm{mPa\,s}&lt;/math&gt; angesetzt. Das ist der Grenzwert der Blutviskosität bei hohen Scherraten, also genau der Wert, der zur Newtonschen Näherung gehört. Derselbe Wert von 0,035 Poise wird auch im Standardwerk zur Modellierung des Herz-Kreislauf-Systems verwendet.&lt;ref name=&quot;quarteroni&quot;&gt;Quarteroni, A.; Formaggia, L.: ''Mathematical Modelling and Numerical Simulation of the Cardiovascular System.'' In: Ayache, N. (Hrsg.): ''Computational Models for the Human Body.'' Handbook of Numerical Analysis, Bd. XII, Elsevier, Amsterdam 2004, S. 3-127. DOI 10.1016/S1570-8659(03)12001-7. Zur Newtonschen Näherung in großen Gefäßen siehe S. 30, zur Viskosität von 0,035 Poise die Parametertabelle auf S. 116.&lt;/ref&gt;
# Der '''mittlere Volumenstrom''' wird mit &lt;math&gt;Q_0 = 6\ \mathrm{ml/s}&lt;/math&gt; angesetzt. Das ist der zeitlich gemittelte Volumenstrom, der in der gemeinsamen Halsschlagader gesunder Probanden gemessen wurde.&lt;ref name=&quot;holdsworth&quot; /&gt;
# Die '''mittlere Geschwindigkeit''' folgt aus Volumenstrom und Querschnittsfläche, &lt;math&gt;U_0 = \frac{Q_0}{\pi R_0^2} = \frac{6 \cdot 10^{-6}\ \mathrm{m^3/s}}{\pi \cdot (0{,}003\ \mathrm{m})^2} = 0{,}2122\ \mathrm{m/s}&lt;/math&gt;.
# Die '''Reynoldszahl''' des gesunden Gefäßes ist &lt;math&gt;Re_0 = \frac{\rho\, U_0\, D_0}{\mu} = \frac{1060 \cdot 0{,}2122 \cdot 0{,}006}{0{,}0035} = 385{,}6&lt;/math&gt;. Sie wird im Folgenden auf 386 gerundet.
# Die '''Einlauflänge''', die eine anfangs gleichförmige Strömung bis zum voll entwickelten Parabelprofil bräuchte, beträgt nach der gebräuchlichen Abschätzung für laminare Rohrströmungen &lt;math&gt;L_e \approx 0{,}06\, Re_0\, D_0 \approx 0{,}06 \cdot 386 \cdot 6\ \mathrm{mm} \approx 139\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt;.&lt;ref name=&quot;durst&quot;&gt;Durst, F.; Ray, S.; Ünsal, B.; Bayoumi, O. A.: ''The development lengths of laminar pipe and channel flows.'' Journal of Fluids Engineering 127 (2005), Nr. 6, S. 1154-1160. Für große Reynoldszahlen nähert sich die dort angegebene Korrelation dem Wert 0,057·Re·D.&lt;/ref&gt; Das ist fast die gesamte Länge des Rechengebiets. Ein konstantes Einlassprofil würde die Strömung an der Stenose also verfälschen, weshalb am Einlass das voll entwickelte Profil vorgegeben wird.

Damit liegen alle globalen Parameter fest. Die folgende Tabelle enthält sie mit genau den Namen, unter denen sie in COMSOL und in den Octave-Skripten verwendet werden.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Globale Parameter des Modells
! Name !! Ausdruck in COMSOL !! Wert !! Bedeutung !! Herkunft
|-
| R0 || 3[mm] || 3 mm || Gefäßradius || Messwerte nach Krejza u. a. 2006, gerundet
|-
| D0 || 2*R0 || 6 mm || Gefäßdurchmesser || abgeleitet
|-
| Ls || 2*D0 || 12 mm || Länge der Störstelle || Standardgeometrie nach Varghese u. a. 2007
|-
| Lu || 5*D0 || 30 mm || Vorlaufstrecke vor der Stenosemitte || Abstand der Einlassbedingung von der Stenose
|-
| Ld || 20*D0 || 120 mm || Nachlaufstrecke hinter der Stenosemitte || Platz für das Rückströmgebiet
|-
| Lf || Ls/2+10*D0 || 66 mm || Ende des fein vernetzten Nachlaufs || erwartete Länge des Rückströmgebiets
|-
| s || 0 bis 0.8 || 0 bis 0,8 || Stenosegrad bezogen auf den Durchmesser || NASCET-Einteilung
|-
| rho_b || 1060[kg/m^3] || 1060 kg/m³ || Dichte des Blutes || Mischungsregel, Literaturwert
|-
| mu_b || 3.5[mPa*s] || 3,5 mPa·s || dynamische Viskosität des Blutes || Hochscherwert, Quarteroni und Formaggia 2004
|-
| Q0 || 6[ml/s] || 6 ml/s || mittlerer Volumenstrom || Messwerte nach Holdsworth u. a. 1999
|-
| U0 || Q0/(pi*R0^2) || 0,2122 m/s || mittlere Einströmgeschwindigkeit || abgeleitet
|-
| Re0 || rho_b*U0*D0/mu_b || 385,6 || Reynoldszahl des gesunden Gefäßes || abgeleitet
|-
| dp_ref || 8*mu_b*U0*(Lu+Ld)/R0^2 || 99,03 Pa || Poiseuille-Druckabfall des gesunden Gefäßes || abgeleitet, Hagen-Poiseuille
|}


= Literaturverzeichnis =

Alle Quellen sind an den Stellen im Text angegeben, an denen die zugehörigen Werte oder Aussagen verwendet werden. Die Liste wird aus diesen Angaben automatisch erzeugt.

&lt;references /&gt;</text>
      <sha1>7vg3lee5k2348imy1ec20qm314frcdj</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>1115910</id>
      <parentid>1115909</parentid>
      <timestamp>2026-10-12T17:05:24Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Heitele</username>
        <id>38553</id>
      </contributor>
      <comment>/* Grenzen des Modells */</comment>
      <origin>1115910</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="82346" sha1="9sgvgufof4ccmwoti0kd69bfirq13wl" xml:space="preserve">
´

== Modellierung ==

Ziel der Modellierung ist es, die Blutströmung innerhalb einer Y-förmigen Karotisaufzweigung mathematisch und numerisch zu beschreiben.

Das Gefäßmodell besteht aus der Arteria carotis communis, die sich in die Arteria carotis interna und die Arteria carotis externa verzweigt. Die Stenose befindet sich ausschließlich in der Arteria carotis interna.

Durch die Verengung wird der verfügbare Strömungsquerschnitt reduziert. Dies kann zu einer lokalen Erhöhung der Strömungsgeschwindigkeit, zu zusätzlichen Druckverlusten und zu Veränderungen der Volumenstromverteilung zwischen den beiden Gefäßästen führen.

Die numerische Modellierung erfolgt mit COMSOL Multiphysics. Hierzu werden die Gefäßgeometrie, die Materialeigenschaften des Blutes, die Strömungsgleichungen und die Randbedingungen festgelegt.

Für die Untersuchung werden vereinfachende Annahmen getroffen, die eine systematische Variation des Stenosegrades ermöglichen.

=== Modellhierarchie ===

Die Untersuchung erfolgt anhand von drei Modellvarianten, die sich hinsichtlich ihrer räumlichen Dimension und der darstellbaren Strömungseigenschaften unterscheiden.

{| class=&quot;wikitable&quot; style=&quot;width:100%;&quot;
|+ '''Die drei Modellvarianten des Projekts'''
|-
! Modell
! Raumdimension
! Mathematische Grundlage
! Zweck
! Werkzeug
|-
| '''Graphenmodell'''
| 1D, Gefäßnetzwerk mit Verzweigung
| Massenerhaltung und vereinfachte Strömungswiderstände
| Abschätzung der Volumenstromverteilung und der Druckverluste in den Gefäßästen
| COMSOL Multiphysics
|-
| '''Ebenes Flächenmodell'''
| 2D, Y-förmige Gefäßgeometrie in kartesischen Koordinaten
| Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen
| Untersuchung von Geschwindigkeits- und Druckfeldern sowie möglichen Rückströmungsbereichen
| COMSOL Multiphysics, Laminar Flow
|-
| '''Volumenmodell'''
| 3D, räumliche Y-förmige Gefäßgeometrie
| Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen
| Untersuchung der räumlichen Strömung und der Wandschubspannung
| COMSOL Multiphysics, Laminar Flow
|}

=== Vergleich und Überprüfung der Modellvarianten ===

Das '''Graphenmodell''' stellt die Gefäßaufzweigung als Netzwerk miteinander verbundener Gefäßabschnitte dar. Dabei bildet die Arteria carotis communis den zuführenden Abschnitt. Die Arteria carotis interna und die Arteria carotis externa stellen die beiden abführenden Äste dar.

An der Verzweigung gilt für eine stationäre inkompressible Strömung die Massenerhaltung:

:&lt;math&gt;Q_{\mathrm{ACC}}=Q_{\mathrm{ACI}}+Q_{\mathrm{ACE}}&lt;/math&gt;

Das Graphenmodell liefert vereinfachte Abschätzungen der Volumenstromverteilung und der Druckverluste. Lokale Geschwindigkeitsfelder, Strömungsablösungen und Wandschubspannungen können damit nicht detailliert bestimmt werden.

Das '''ebene Flächenmodell''' beschreibt die Y-förmige Gefäßaufzweigung in zwei Raumdimensionen. Die Stenose wird im Ast der Arteria carotis interna berücksichtigt. Dadurch können die Geschwindigkeits- und Druckverteilung sowie mögliche Rückströmungsbereiche untersucht werden.

Das '''Volumenmodell''' erweitert die Untersuchung auf drei Raumdimensionen. Dadurch können räumliche Strömungsstrukturen und die Verteilung der Wandschubspannung auf der Gefäßwand betrachtet werden.

Die Ergebnisse der drei Modelle werden unter Berücksichtigung ihrer unterschiedlichen Annahmen verglichen. Insbesondere ist zu beachten, dass ein ebenes zweidimensionales Modell die räumliche Querschnittsgeometrie eines Gefäßes nicht vollständig beschreibt.

Die Modelle müssen deshalb nicht dieselben Zahlenwerte liefern. Vielmehr dient der Vergleich dazu, die Aussagekraft und die Grenzen der jeweiligen Modellvereinfachung zu bewerten.

=== Modellannahmen ===

Für die numerische Untersuchung werden folgende Annahmen getroffen:

* '''Idealisierte Gefäßgeometrie:''' Betrachtet wird eine Y-förmige Aufzweigung aus Arteria carotis communis, Arteria carotis interna und Arteria carotis externa. Patientenspezifische Krümmungen, weitere Verzweigungen und individuelle anatomische Besonderheiten werden nicht berücksichtigt.
* '''Starre Gefäßwände:''' Die Gefäßwände werden als unbeweglich und nicht verformbar angenommen. Eine Fluid-Struktur-Kopplung wird nicht modelliert.
* '''Stationäre Strömung:''' Die Strömungsgrößen werden als zeitlich konstant angenommen. Die Pulsation des Blutflusses durch den Herzschlag bleibt unberücksichtigt.
* '''Inkompressibles Fluid:''' Die Dichte des Blutes wird als konstant angenommen.
* '''Newtonsche Näherung:''' Blut wird durch ein Fluid mit konstanter dynamischer Viskosität beschrieben.
* '''Konstante Stoffeigenschaften:''' Dichte und Viskosität werden als räumlich und zeitlich konstant betrachtet.
* '''Laminare Strömungsmodellierung:''' Die Berechnung erfolgt ohne zusätzliches Turbulenzmodell.
* '''Haftbedingung an der Wand:''' An den starren Gefäßwänden gilt die No-Slip-Bedingung.
* '''Vernachlässigung der Gravitation:''' Volumenkräfte durch die Schwerkraft werden nicht explizit berücksichtigt.

Diese Annahmen vereinfachen die Berechnung, begrenzen jedoch die Übertragbarkeit auf die reale Blutströmung.

=== Mathematische Grundlagen ===

==== Massenerhaltung ====

Für eine inkompressible Strömung gilt:

:&lt;math&gt;\nabla\cdot\mathbf{u}=0&lt;/math&gt;

Dabei bezeichnet &lt;math&gt;\mathbf{u}&lt;/math&gt; das Geschwindigkeitsfeld.

Für die Y-förmige Gefäßaufzweigung folgt daraus die Volumenstrombilanz:

:&lt;math&gt;Q_{\mathrm{ACC}}=Q_{\mathrm{ACI}}+Q_{\mathrm{ACE}}&lt;/math&gt;

==== Impulserhaltung ====

Die stationäre Strömung eines inkompressiblen Newtonschen Fluids wird durch die Navier-Stokes-Gleichungen beschrieben:

:&lt;math&gt;\rho_b(\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u}=-\nabla p+\mu_b\nabla^2\mathbf{u}&lt;/math&gt;

Dabei bezeichnet:

* &lt;math&gt;\rho_b&lt;/math&gt; die Blutdichte,
* &lt;math&gt;\mathbf{u}&lt;/math&gt; das Geschwindigkeitsfeld,
* &lt;math&gt;p&lt;/math&gt; den Druck,
* &lt;math&gt;\mu_b&lt;/math&gt; die dynamische Viskosität.

Die Gleichung beschreibt das Gleichgewicht zwischen Trägheitskräften, Druckkräften und viskosen Kräften.

==== Hagen-Poiseuille-Gesetz ====

Für eine stationäre, voll entwickelte laminare Strömung durch ein gerades kreisförmiges Rohr mit konstantem Radius gilt:

:&lt;math&gt;\Delta p=\frac{8\mu_b LQ}{\pi R^4}&lt;/math&gt;

Der Strömungswiderstand kann damit als

:&lt;math&gt;\mathcal{R}=\frac{8\mu_b L}{\pi R^4}&lt;/math&gt;

geschrieben werden.

Daraus folgt:

:&lt;math&gt;\Delta p=\mathcal{R}Q&lt;/math&gt;

Diese Beziehung kann für die vereinfachte Beschreibung einzelner Gefäßabschnitte im Graphenmodell verwendet werden.

Bei einer realen Verzweigung oder einer ausgeprägten Stenose können zusätzliche Druckverluste auftreten. Das Hagen-Poiseuille-Gesetz allein bildet diese Effekte nicht vollständig ab.

==== Reynolds-Zahl ====

Die Reynolds-Zahl beschreibt das Verhältnis von Trägheitskräften zu viskosen Kräften:

:&lt;math&gt;\mathrm{Re}=\frac{\rho_b U D}{\mu_b}&lt;/math&gt;

Sie dient zur Einordnung des Strömungsverhaltens.

Die Reynolds-Zahl eines unverengten geraden Rohrabschnitts erlaubt jedoch keine sichere Aussage darüber, ob die Strömung hinter einer hochgradigen Stenose stationär bleibt.

==== Wandschubspannung ====

Die Wandschubspannung beschreibt die tangentiale Beanspruchung der Gefäßwand durch die Strömung.

Für ein Newtonsches Fluid ergibt sich ihre Größe aus den tangentialen viskosen Spannungen an der Wand. Bei einer einfachen parallelen Scherströmung gilt:

:&lt;math&gt;\tau_w=\mu_b\left.\frac{\partial u_t}{\partial n}\right|_{\mathrm{Wand}}&lt;/math&gt;

Dabei ist &lt;math&gt;u_t&lt;/math&gt; die tangentiale Geschwindigkeitskomponente und &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; die Richtung senkrecht zur Wand.

Bei gekrümmten oder verzweigten Gefäßgeometrien wird die Wandschubspannung aus dem vollständigen viskosen Spannungstensor bestimmt.

== Simulationsgebiet und Geometrie ==

Das Simulationsgebiet besteht aus einer idealisierten Y-förmigen Karotisaufzweigung.

Die Arteria carotis communis bildet den zuführenden Gefäßabschnitt. An der Verzweigung teilt sie sich in die Arteria carotis interna und die Arteria carotis externa.

Die Stenose befindet sich ausschließlich in der Arteria carotis interna. Die Arteria carotis externa wird ohne zusätzliche Verengung betrachtet.

Die geometrischen Abmessungen orientieren sich an den bereitgestellten Referenzdaten.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ '''Geometrische Referenzparameter'''
|-
! Gefäßabschnitt
! Durchmesser
! Länge
|-
| Arteria carotis communis
| 6 mm
| 60 mm
|-
| Arteria carotis interna
| 5 mm
| 60 mm
|-
| Arteria carotis externa
| 4 mm
| 60 mm
|-
| Stenose in der Arteria carotis interna
| Abhängig vom Stenosegrad
| 10 mm
|}

Die angegebenen Längen beziehen sich auf die jeweiligen Gefäßabschnitte. Sie dürfen nicht als Gesamtlänge eines geraden Rohres addiert werden.

=== Geometrische Beschreibung der Stenose ===

Der unverengte Referenzdurchmesser der Arteria carotis interna beträgt:

:&lt;math&gt;D_{\mathrm{ICA}}=5\,\mathrm{mm}&lt;/math&gt;

Daraus folgt der Referenzradius:

:&lt;math&gt;R_{\mathrm{ICA}}=2{,}5\,\mathrm{mm}&lt;/math&gt;

Die Länge der Stenose beträgt:

:&lt;math&gt;L_s=10\,\mathrm{mm}&lt;/math&gt;

Für eine idealisierte symmetrische Stenose kann die lokale Radiusverringerung durch eine kosinusförmige Funktion beschrieben werden:

:&lt;math&gt;R(\xi)=R_{\mathrm{ICA}}\left[1-\frac{s}{2}\left(1+\cos\left(\frac{2\pi\xi}{L_s}\right)\right)\right]&lt;/math&gt;

Diese Beziehung gilt innerhalb der Stenose für:

:&lt;math&gt;|\xi|\leq\frac{L_s}{2}&lt;/math&gt;

Außerhalb der Stenose gilt:

:&lt;math&gt;R(\xi)=R_{\mathrm{ICA}}&lt;/math&gt;

Dabei bezeichnet &lt;math&gt;\xi&lt;/math&gt; die lokale Koordinate entlang der Mittellinie der Arteria carotis interna. Der Ursprung liegt in der Mitte der Stenose.

Der minimale Radius beträgt:

:&lt;math&gt;R_{\min}=R_{\mathrm{ICA}}(1-s)&lt;/math&gt;

Diese Funktion beschreibt eine glatte symmetrische Verengung. Für die dreidimensionale Geometrie kann sie als rotationssymmetrische lokale Querschnittsverengung eines einzelnen Gefäßastes interpretiert werden.

Die gesamte Y-förmige Gefäßaufzweigung ist dagegen nicht rotationssymmetrisch.

'''Hinweis zur Umsetzung:''' Die angegebene Funktion ist eine mögliche mathematische Beschreibung der Stenose. Für die endgültige Dokumentation muss geprüft werden, ob die in COMSOL verwendete Geometrie tatsächlich durch diese Funktion erzeugt wurde. Ebenso müssen der Verzweigungswinkel, die Lage der Stenose und die Verrundung der Übergänge anhand des COMSOL-Modells angegeben werden.

=== Referenzdurchmesser und Stenosegrad ===

Für die Stenose in der Arteria carotis interna gilt:

:&lt;math&gt;s=1-\frac{d_{\min}}{D_{\mathrm{ICA}}}&lt;/math&gt;

mit:

:&lt;math&gt;D_{\mathrm{ICA}}=5\,\mathrm{mm}&lt;/math&gt;

Damit ergeben sich beispielsweise:

* Bei &lt;math&gt;s=0{,}3&lt;/math&gt;: &lt;math&gt;d_{\min}=3{,}5\,\mathrm{mm}&lt;/math&gt;
* Bei &lt;math&gt;s=0{,}6&lt;/math&gt;: &lt;math&gt;d_{\min}=2{,}0\,\mathrm{mm}&lt;/math&gt;
* Bei &lt;math&gt;s=0{,}8&lt;/math&gt;: &lt;math&gt;d_{\min}=1{,}0\,\mathrm{mm}&lt;/math&gt;

Der Referenzdurchmesser von 6 mm der Arteria carotis communis wird nicht für die Berechnung des Stenosegrades in der Arteria carotis interna verwendet.

== Stoff- und Strömungsparameter ==

Für die numerische Simulation werden die Stoffeigenschaften des Blutes als konstant angenommen.

Die verwendeten Referenzwerte orientieren sich an den bereitgestellten Projektdaten und an Literaturwerten zur Blutströmung in größeren Arterien.&lt;ref name=&quot;Quarteroni&quot;&gt;Quarteroni, A.; Formaggia, L.: Mathematical Modelling and Numerical Simulation of the Cardiovascular System. In: Ayache, N. (Hrsg.): ''Computational Models for the Human Body''. Handbook of Numerical Analysis, Bd. XII, Elsevier, 2004, S. 3–127. DOI: 10.1016/S1570-8659(03)12001-7.&lt;/ref&gt;

=== Blutdichte ===

Die Blutdichte wird angesetzt mit:

:&lt;math&gt;\rho_b=1060\,\mathrm{kg/m^3}&lt;/math&gt;

Dieser Wert wird im gesamten Rechengebiet als konstant angenommen.

=== Dynamische Viskosität ===

Für die dynamische Viskosität gilt:

:&lt;math&gt;\mu_b=3{,}5\,\mathrm{mPa\,s}&lt;/math&gt;

Dies entspricht:

:&lt;math&gt;\mu_b=0{,}0035\,\mathrm{Pa\,s}&lt;/math&gt;

Die konstante Viskosität stellt eine Newtonsche Näherung des realen Blutverhaltens dar.

=== Volumenstrom ===

Der vorgegebene Referenzvolumenstrom am Einlass der Arteria carotis communis beträgt:

:&lt;math&gt;Q_0=6\,\mathrm{ml/s}&lt;/math&gt;

Dieser Wert orientiert sich an veröffentlichten Messungen des Blutflusses in der Arteria carotis communis.&lt;ref name=&quot;Holdsworth&quot;&gt;Holdsworth, D. W.; Norley, C. J. D.; Frayne, R.; Steinman, D. A.; Rutt, B. K.: Characterization of common carotid artery blood-flow waveforms in normal human subjects. ''Physiological Measurement'' 20 (1999), Nr. 3, S. 219–240. DOI: 10.1088/0967-3334/20/3/301.&lt;/ref&gt;

Für die stationäre Berechnung wird der Volumenstrom zeitlich konstant angesetzt.

=== Mittlere Eintrittsgeschwindigkeit ===

Für den kreisförmigen Einlassquerschnitt der Arteria carotis communis mit einem Radius von 3 mm ergibt sich die mittlere Geschwindigkeit aus:

:&lt;math&gt;U_0=\frac{Q_0}{\pi R_{\mathrm{ACC}}^2}&lt;/math&gt;

Mit:

:&lt;math&gt;R_{\mathrm{ACC}}=3\,\mathrm{mm}&lt;/math&gt;

folgt:

:&lt;math&gt;U_0=\frac{6\cdot10^{-6}\,\mathrm{m^3/s}}{\pi(0{,}003\,\mathrm{m})^2}&lt;/math&gt;

Damit beträgt die mittlere Eintrittsgeschwindigkeit:

:&lt;math&gt;U_0\approx0{,}2122\,\mathrm{m/s}&lt;/math&gt;

Dieser Wert bezieht sich auf den dreidimensionalen kreisförmigen Einlassquerschnitt der Arteria carotis communis.

Für ein ebenes zweidimensionales Modell muss die Einlassrandbedingung entsprechend der zweidimensionalen Modellbeschreibung festgelegt werden. Ein dreidimensionaler Volumenstrom kann nicht ohne zusätzliche Annahme unmittelbar als zweidimensionaler Volumenstrom pro Tiefeneinheit verwendet werden.

=== Reynolds-Zahl am Einlass ===

Die Reynolds-Zahl am Einlass der Arteria carotis communis beträgt:

:&lt;math&gt;\mathrm{Re}_0=\frac{\rho_b U_0D_{\mathrm{ACC}}}{\mu_b}&lt;/math&gt;

Mit:

:&lt;math&gt;D_{\mathrm{ACC}}=6\,\mathrm{mm}&lt;/math&gt;

ergibt sich:

:&lt;math&gt;\mathrm{Re}_0\approx385{,}6&lt;/math&gt;

Dieser Wert charakterisiert den unverengten Einlassabschnitt der Arteria carotis communis. Er ist nicht mit einer lokalen Reynolds-Zahl in der Stenose gleichzusetzen.

=== Einlauflänge ===

Für eine laminare Strömung in einem geraden Rohr kann die Länge zur Entwicklung eines zunächst gleichförmigen Geschwindigkeitsprofils näherungsweise abgeschätzt werden:

:&lt;math&gt;L_e\approx0{,}06\,\mathrm{Re}_0D_{\mathrm{ACC}}&lt;/math&gt;

Für die Referenzwerte ergibt sich:

:&lt;math&gt;L_e\approx139\,\mathrm{mm}&lt;/math&gt;

Diese Abschätzung bezieht sich auf ein gerades Rohr mit einem zunächst gleichförmigen Einlassprofil.&lt;ref name=&quot;Durst&quot;&gt;Durst, F.; Ray, S.; Ünsal, B.; Bayoumi, O. A.: The development lengths of laminar pipe and channel flows. ''Journal of Fluids Engineering'' 127 (2005), Nr. 6, S. 1154–1160.&lt;/ref&gt;

Sie beschreibt nicht unmittelbar die notwendige Einlauflänge einer Y-förmigen Gefäßaufzweigung.

Da der zuführende Gefäßabschnitt im Modell 60 mm lang ist, sollte die Einlassrandbedingung so gewählt werden, dass unerwünschte Einlaufeffekte die Strömung im Bereich der Verzweigung möglichst wenig beeinflussen.

Für das dreidimensionale Modell kann hierzu ein voll entwickeltes Geschwindigkeitsprofil verwendet werden. Die konkrete Randbedingung muss mit der COMSOL-Implementierung übereinstimmen.

=== Analytischer Referenzdruckverlust ===

Das Hagen-Poiseuille-Gesetz ermöglicht die Berechnung des Druckverlustes für einen geraden kreisförmigen Rohrabschnitt:

:&lt;math&gt;\Delta p=\frac{8\mu_b LQ}{\pi R^4}&lt;/math&gt;

Diese Beziehung kann als analytische Referenz für einen unverengten einzelnen Gefäßabschnitt dienen.

Für die gesamte Y-förmige Karotisaufzweigung lässt sich der Druckverlust jedoch nicht allein mit der Formel für ein einzelnes gerades Rohr bestimmen. Hierfür müssen die Volumenstromverteilung, die unterschiedlichen Gefäßdurchmesser und zusätzliche Verluste an der Verzweigung berücksichtigt werden.

Der bisherige Referenzwert von &lt;math&gt;99{,}03\,\mathrm{Pa}&lt;/math&gt; gehört zum früheren geraden Rohrmodell mit einer Länge von 150 mm und wird deshalb nicht als Referenzdruckverlust der Y-förmigen Gefäßaufzweigung verwendet.

=== Globale Parameter des COMSOL-Modells ===

{| class=&quot;wikitable&quot; style=&quot;width:100%;&quot;
|+ '''Globale Parameter für die Y-förmige Karotisaufzweigung'''
|-
! Name
! Ausdruck in COMSOL
! Wert
! Bedeutung
|-
| D_ACC
| &lt;code&gt;6[mm]&lt;/code&gt;
| 6 mm
| Durchmesser der Arteria carotis communis
|-
| D_ACI
| &lt;code&gt;5[mm]&lt;/code&gt;
| 5 mm
| Durchmesser der Arteria carotis interna
|-
| D_ACE
| &lt;code&gt;4[mm]&lt;/code&gt;
| 4 mm
| Durchmesser der Arteria carotis externa
|-
| L_ACC
| &lt;code&gt;60[mm]&lt;/code&gt;
| 60 mm
| Länge der Arteria carotis communis
|-
| L_ACI
| &lt;code&gt;60[mm]&lt;/code&gt;
| 60 mm
| Länge der Arteria carotis interna
|-
| L_ACE
| &lt;code&gt;60[mm]&lt;/code&gt;
| 60 mm
| Länge der Arteria carotis externa
|-
| L_s
| &lt;code&gt;10[mm]&lt;/code&gt;
| 10 mm
| Stenosenlänge
|-
| s
| &lt;code&gt;0&lt;/code&gt;
| 0 bis 0,8
| Variabler Stenosegrad
|-
| d_min
| &lt;code&gt;D_ACI*(1-s)&lt;/code&gt;
| Abhängig von s
| Minimaler Stenosedurchmesser
|-
| rho_b
| &lt;code&gt;1060[kg/m^3]&lt;/code&gt;
| 1060 kg/m³
| Blutdichte
|-
| mu_b
| &lt;code&gt;3.5[mPa*s]&lt;/code&gt;
| 3,5 mPa·s
| Dynamische Viskosität
|-
| Q0
| &lt;code&gt;6[ml/s]&lt;/code&gt;
| 6 ml/s
| Einlassvolumenstrom der ACC
|-
| U0
| &lt;code&gt;Q0/(pi*(D_ACC/2)^2)&lt;/code&gt;
| 0,2122 m/s
| Mittlere Eintrittsgeschwindigkeit für einen kreisförmigen Querschnitt
|-
| Re0
| &lt;code&gt;rho_b*U0*D_ACC/mu_b&lt;/code&gt;
| 385,6
| Reynolds-Zahl am Einlass der ACC
|}

'''Hinweis:''' Die Parameternamen dienen als konsistente Vorlage. Vor der Übernahme in COMSOL beziehungsweise in die Projektdokumentation müssen sie mit den tatsächlich verwendeten Namen und Geometrieeinstellungen abgeglichen werden.

== Randbedingungen und numerische Umsetzung ==

Die Randbedingungen bestimmen, wie Blut in das Modell einströmt, sich innerhalb der Gefäßaufzweigung verteilt und die beiden Gefäßäste verlässt.

=== Einlass ===

Der Einlass befindet sich an der Arteria carotis communis.

Für das dreidimensionale Referenzmodell wird ein Volumenstrom von:

:&lt;math&gt;Q_0=6\,\mathrm{ml/s}&lt;/math&gt;

vorgegeben.

Die zugehörige mittlere Geschwindigkeit beträgt:

:&lt;math&gt;U_0\approx0{,}2122\,\mathrm{m/s}&lt;/math&gt;

Ein geeignetes Geschwindigkeitsprofil beziehungsweise eine entsprechende Volumenstromrandbedingung wird in COMSOL festgelegt.

=== Auslässe ===

Das Modell besitzt zwei Auslässe:

* Auslass der Arteria carotis interna,
* Auslass der Arteria carotis externa.

Für die Volumenströme gilt:

:&lt;math&gt;Q_{\mathrm{ACC}}=Q_{\mathrm{ACI}}+Q_{\mathrm{ACE}}&lt;/math&gt;

Die konkrete Aufteilung hängt von den Strömungswiderständen und den vorgegebenen Auslassrandbedingungen ab.

'''Die tatsächlichen Auslassbedingungen müssen aus dem COMSOL-Modell übernommen werden.''' Ohne diese Angabe lässt sich nicht eindeutig bestimmen, wie sich der Volumenstrom zwischen den beiden Gefäßästen verteilt.

=== Gefäßwände ===

An den starren Gefäßwänden wird die Haftbedingung verwendet:

:&lt;math&gt;\mathbf{u}=0&lt;/math&gt;

Dadurch ist die Geschwindigkeit des Fluids unmittelbar an der Wand gleich null.

=== Numerische Vernetzung ===

Die Geometrie wird für die numerische Berechnung in ein Rechennetz unterteilt.

Eine ausreichende Netzauflösung ist insbesondere im Bereich der Stenose, an der Gefäßaufzweigung und in wandnahen Bereichen erforderlich, da dort starke Geschwindigkeitsgradienten auftreten können.

Die Qualität der numerischen Ergebnisse sollte anhand einer Netzverfeinerungsstudie überprüft werden.

Hierzu können beispielsweise die maximale Geschwindigkeit, der Druckverlust und die maximale Wandschubspannung bei unterschiedlichen Netzauflösungen miteinander verglichen werden.

Die konkreten Netzgrößen und Elementzahlen werden anhand der tatsächlich durchgeführten COMSOL-Berechnungen dokumentiert.

== Auswertung und Überprüfung der Ergebnisse ==

Die Auswertung erfolgt für die untersuchten Stenosegrade und Modellvarianten.

Von besonderem Interesse sind:

* maximale Strömungsgeschwindigkeit innerhalb der Stenose,
* Druckverteilung und Druckverlust,
* Volumenstromverteilung zwischen ACI und ACE,
* Wandschubspannung im Bereich der Stenose,
* mögliche Rückströmungsgebiete stromabwärts der Engstelle.

=== Überprüfung der Massenerhaltung ===

Für jede stationäre Berechnung wird überprüft, ob die Summe der beiden Auslassvolumenströme dem Einlassvolumenstrom entspricht:

:&lt;math&gt;Q_{\mathrm{ACC}}\approx Q_{\mathrm{ACI}}+Q_{\mathrm{ACE}}&lt;/math&gt;

Abweichungen können auf numerische Ungenauigkeiten oder ungeeignete Auswertungseinstellungen hinweisen.

=== Vergleich der Stenosegrade ===

Die Ergebnisse werden für unterschiedliche Stenosegrade gegenübergestellt.

Dabei wird untersucht, wie stark die maximale Geschwindigkeit, der Druckverlust und die Wandschubspannung mit zunehmender Verengung ansteigen beziehungsweise sich verändern.

Die Volumenstromverteilung zwischen den beiden Gefäßästen wird ebenfalls betrachtet, sofern die gewählten Auslassrandbedingungen eine solche Auswertung ermöglichen.

=== Vergleich der Modellvarianten ===

Das Graphenmodell liefert vereinfachte Abschätzungen für Volumenströme und Druckverluste.

Das zweidimensionale Flächenmodell ermöglicht die Darstellung ebener Geschwindigkeits- und Druckfelder.

Das dreidimensionale Volumenmodell liefert zusätzlich eine räumliche Beschreibung der Strömung und der Wandschubspannung.

Die Ergebnisse werden nicht als zwangsläufig identisch betrachtet, da die Modelle unterschiedliche geometrische und mathematische Vereinfachungen verwenden.

=== Ergebnisse und Diskussion ===

Die konkreten Simulationsergebnisse werden nach Durchführung und Auswertung der COMSOL-Berechnungen ergänzt.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ '''Vorlage für die Auswertung der Stenosegrade'''
|-
! Stenosegrad
! Maximale Geschwindigkeit
! Druckverlust
! Volumenstrom ACI
! Volumenstrom ACE
! Maximale Wandschubspannung
|-
| 0 %
| Noch einzutragen
| Noch einzutragen
| Noch einzutragen
| Noch einzutragen
| Noch einzutragen
|-
| 30 %
| Noch einzutragen
| Noch einzutragen
| Noch einzutragen
| Noch einzutragen
| Noch einzutragen
|-
| 60 %
| Noch einzutragen
| Noch einzutragen
| Noch einzutragen
| Noch einzutragen
| Noch einzutragen
|-
| 80 %
| Noch einzutragen
| Noch einzutragen
| Noch einzutragen
| Noch einzutragen
| Noch einzutragen
|}

Die Auswertung soll insbesondere zeigen, welche Auswirkungen die Verengung der Arteria carotis interna auf die lokale Strömung und die Strömungsverteilung innerhalb der Y-förmigen Karotisaufzweigung besitzt.

Bei hochgradigen Stenosen ist zusätzlich zu diskutieren, inwieweit die Annahme einer stationären laminaren Strömung geeignet bleibt.

== Literaturverzeichnis ==

&lt;references /&gt;

=== Weiterführende Literatur ===

* Bernabeu, M. O. u. a.: Impact of blood rheology on wall shear stress in a model of the middle cerebral artery. ''Interface Focus'' 3 (2013), 20120094.
* Womersley, J. R.: Method for the calculation of velocity, rate of flow and viscous drag in arteries when the pressure gradient is known. ''Journal of Physiology'' 127 (1955), S. 553–563.
* Varghese, S. S.; Frankel, S. H.; Fischer, P. F.: Direct numerical simulation of stenotic flows. Part 1. Steady flow. ''Journal of Fluid Mechanics'' 582 (2007), S. 253–280.
* Hansen, F.; Mangell, P.; Sonesson, B.; Länne, T.: Diameter and compliance in the human common carotid artery: variations with age and sex. ''Ultrasound in Medicine and Biology'' 21 (1995), Nr. 1, S. 1–9.
* Krejza, J.; Arkuszewski, M.; Kasner, S. E.; Weigele, J.; Ustymowicz, A.; Hurst, R. W.; Cucchiara, B. L.; Messe, S. R.: Carotid artery diameter in men and women and the relation to body and neck size. ''Stroke'' 37 (2006), Nr. 4, S. 1103–1105.


ALTTTTT

= Gruppenteilnehmer =
* Joey Becker
* Marie-Thérèse Heitele
* Nicole Pander

= Thema und Fragestellung =

Gegenstand dieses Projekts ist die numerische Simulation der Blutströmung in einer verzweigten Halsschlagader ('''Carotis-Bifurkation''') unter dem Einfluss einer lokalen Gefäßverengung ('''Stenose''').
Im Vergleich zu einfachen Rohrströmungen wird hier die realitätsnahe Gefäßanatomie betrachtet: Die '''Arteria carotis communis (ACC)''' teilt sich in die '''Arteria carotis externa (ACE)''' und die '''Arteria carotis interna (ACI)''' auf. Während die '''ACE''' als gesunder, stenosefreier Ast dient, wird in der '''ACI''' eine geglättete, kosinusförmige Gefäßverengung modelliert. Um scharfe Kanten und unphysiologische Druckspitzen zu vermeiden, werden alle Wandübergänge und die Gabelungsspitze (Apex) anatomisch verrundet.

Als Referenz dient ein gesundes, unverengtes Gefäß, in dem sich die Poiseuille-Strömung mit ihrem charakteristischen parabolischen Geschwindigkeitsprofil ausbildet. Diese Strömung ist aus zwei Gründen der natürliche Ausgangspunkt. Sie beschreibt den physiologischen Normalfall, mit dem jeder Stenosegrad verglichen wird, und sie ist exakt lösbar, sodass sich an ihr jede numerische Rechnung prüfen lässt, bevor die Verengung hinzukommt.

== Fragestellung ==
Die Hauptfragestellung dieses Projektes lautet: 
Wie verändert eine symmetrische bzw. rotationssymmetrische Stenose in der '''Arteria carotis interna (ACI)''' die stationäre Strömung eines inkompressiblen Newton’schen Fluids in einer 2D-Carotis-Bifurkation hinsichtlich Geschwindigkeitsverteilung, Druckabfall, Wandschubspannung und Wirbelbildung im Vergleich zu den gesunden Gefäßabschnitten?

Aus dieser Fragestellung ergeben sich drei Teilfragen, an denen sich der Aufbau der Seite orientiert:

# Welche Strömungsgrößen reagieren empfindlich auf den Stenosegrad und welche nur träge?
# Ab welchem Stenosegrad ändert sich das Strömungsmuster qualitativ, das heißt, ab wann löst die Strömung hinter der Engstelle von der Wand ab und bildet ein Rückströmgebiet?
# Wie weit tragen die vereinfachenden Modellannahmen, insbesondere die Annahme einer stationären und laminaren Strömung, über den untersuchten Bereich der Stenosegrade?

== Modellannahmen ==
Im Hinblick darauf werden für dieses Projekt einige Annahmen getroffen, um das Projekt möglichst isoliert zu untersuchen und zu simplifizieren:

* '''Idealisierte Gefäßgeometrie''': Betrachtet wird ein  Teilabbschnitt der ''Arteria carotis communis'', die sog. ''ACI''. Zudem werden Gefäßverkrümmungen, weitere Verzweigungen und patientenspezifische Strukturen  nicht berücksichtigt. 
* '''Starre Gefäßwand''': Die Gefäßwand wird als unbeweglich und nicht verformbar angenommen. Eine Wechselwirkung zwischen elastischer Gefäßwand und Blutströmung wird nicht modelliert.
* '''Stationäre Strömung''': Die Strömungsgrößen werden als zeitlich konstant angenommen. Die im realen Blutkreislauf vorhandene Pulsation durch den Herzschlag wird daher vernachlässigt: &lt;math&gt;\frac{\partial u}{\partial t}=0&lt;/math&gt;.
* '''Inkompressibles Fluid''': Die Dichte des Fluids wird als konstant angenommen. Damit gilt für die Geschwindigkeit &lt;math&gt;\nabla \cdot u=0&lt;/math&gt;. Dies entspricht der in der Vorlesung behandelten Massenerhaltung für inkompressible Fluide: Was in das Gefäß einströmt, muss auch wieder ausströmen.
* '''Newton'sche Näherung für Blut''': Reales Blut beseitzt ein nicht newton'sches Fließverhalten. Hier wird Blut als Newton'sches Fluid behandelt.
* '''Konstante Stoffeigenschaften''': Dichte &lt;math&gt;\rho&lt;/math&gt; und dynamische Viskosität μ werden als räumlich und zeitlich konstant angenommen. Temperaturabhängigkeiten werden nicht berücksichtigt.
* '''Laminare Strömung''': Die Strömung wird mit dem COMSOL-Modul ''Laminar Flow'' beschrieben. Ein zusätzliches Turbulenzmodell wird nicht verwendet.
* '''No-Slip-Bedingung an Gefäßwand''': Aufgrund der Viskosität wird angenommen, dass das Fluid direkt an der Gefäßwand haftet. Somit gilt &lt;math&gt;u=0&lt;/math&gt;.
* '''Vernachlässigung der Gravitation''': Gravitation wird nicht berücksichtigt. Die Strömung wird ausschließlich durch die gewählten Ein- und Auslassbedingungen bestimmt.

= Relevanz =
Die Untersuchung von Gefäßverengungen besitzt sowohl eine medizinische als auch eine methodische Bedeutung. Aus medizinischer Sicht sind arterielle Stenosen – etwa in der Halsschlagader, lat. ''arteria carotis communis'', – kritisch, da sie die Durchblutung beeinträchtigen und durch veränderte Wandschubspannungen sowie die Bildung von Wirbeln weitere Gefäßablagerungen begünstigen. Stenosen im Bereich der Karotisgabelung sind klinisch hochrelevant, da sie das Gehirn direkt versorgen und das Risiko für embolische Schlaganfälle erhöhen. Fachlich überträgt das Projekt damit die Prinzipien der Strömungsmechanik direkt auf eine biomedizinische Anwendung. Das Projekt verknüpft somit theoretische Grundlagen der Strömungsmechanik (Hagen-Poiseuille-Gleichung, Navier-Stokes-Gleichungen) mit der numerischen Simulation in COMSOL Multiphysics. Durch den Vergleich der '''gesunden Externa (ACE)''' mit der '''stenoisierten Interna (ACI)''' innerhalb desselben Rechengebiets wird die isolierte Wirkung der Stenose unter identischen Randbedingungen direkt sichtbar gemacht.

== Medizinische Relevanz ==

Arterielle Stenosen entstehen überwiegend durch Atherosklerose, also durch Ablagerungen aus Lipiden, Bindegewebe und Kalk in der Gefäßwand. In der Halsschlagader sind sie klinisch besonders bedeutsam, weil sie die Durchblutung des Gehirns beeinträchtigen und weil sich an ihnen Thromben bilden können, die als Embolie einen Schlaganfall auslösen. Dass die operative Entfernung einer hochgradigen Karotisstenose das Schlaganfallrisiko symptomatischer Patienten deutlich senkt, hat die NASCET-Studie gezeigt, deren Einteilung der Stenosegrade dieses Projekt übernimmt.&lt;ref name=&quot;nascet&quot;&gt;North American Symptomatic Carotid Endarterectomy Trial Collaborators: ''Beneficial effect of carotid endarterectomy in symptomatic patients with high-grade carotid stenosis.'' New England Journal of Medicine 325 (1991), Nr. 7, S. 445-453.&lt;/ref&gt;

Strömungsmechanisch ist an einer Stenose vor allem die Wandschubspannung von Interesse, also die tangentiale Kraft je Fläche, die das strömende Blut auf die innerste Zellschicht der Gefäßwand ausübt. Gesunde Halsschlagadern weisen zeitlich gemittelte Werte von etwa 1,1 bis 1,5 Pa auf.&lt;ref name=&quot;samijo&quot;&gt;Samijo, S. K.; Willigers, J. M.; Barkhuysen, R.; Kitslaar, P. J. E. H. M.; Reneman, R. S.; Brands, P. J.; Hoeks, A. P. G.: ''Wall shear stress in the human common carotid artery as function of age and gender.'' Cardiovascular Research 39 (1998), Nr. 2, S. 515-522.&lt;/ref&gt; In einer Engstelle steigt sie stark an, unmittelbar dahinter fällt sie im Ablösegebiet auf nahezu null und wechselt dort sogar das Vorzeichen. Niedrige und im Vorzeichen wechselnde Wandschubspannungen gelten als Bedingungen, unter denen sich weitere Ablagerungen bevorzugt bilden. Eine bestehende Stenose schafft also stromabwärts die Voraussetzungen für ihr eigenes Wachstum. Genau diese Verteilung lässt sich im Körper nur schwer messen, in einer Simulation dagegen unmittelbar auswerten.

== Methodische Relevanz ==

Fachlich überträgt das Projekt die Prinzipien der Strömungsmechanik aus der Vorlesung auf eine biomedizinische Anwendung.&lt;ref name=&quot;hundertmark&quot;&gt;Hundertmark, A.: ''Fluiddynamik.'' Vorlesungsunterlagen zum Modul Räumliche Modellbildung, RPTU Kaiserslautern-Landau, Sommersemester 2026.&lt;/ref&gt; Der methodische Mehrwert liegt in der Verknüpfung mehrerer Zugänge, die sich gegenseitig kontrollieren. Die analytische Poiseuille-Lösung liefert exakte Sollwerte für das gesunde Gefäß. Ein reduziertes Graphenmodell liefert für jeden Stenosegrad eine schnelle Abschätzung, die analytisch nachrechenbar ist. Die Simulationen in COMSOL Multiphysics lösen schließlich die vollständigen Navier-Stokes-Gleichungen in zwei und drei Raumdimensionen. Weil jede Stufe die Sollwerte der nächsten liefert, zeigt das Projekt nicht nur Ergebnisse, sondern auch, wie numerische Modelle aufgebaut, verifiziert und an ihren Grenzen bewertet werden.

== Auswahl der Stenosegrade ==

Um die untersuchten Gefäßverengungen nicht willkürlich festzulegen, orientiert sich die Auswahl der Stenosegrade an der klinisch gebräuchlichen NASCET-Klassifikation von Karotisstenosen.&lt;ref name=&quot;nascet&quot; /&gt; Zur klinischen Einordnung werden Karotisstenosen anhand der nach NASCET bestimmten Durchmesserreduktion in leichtgradige, mittelgradige und hochgradige Stenosen eingeteilt. Die angegebenen Prozentgrenzen dienen in diesem Projekt als Orientierung für die Auswahl der untersuchten Stenosegrade. Ein vollständiger Gefäßverschluss wird als Okklusion bezeichnet.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Klinische Einteilung nach NASCET-gemessener Durchmesserreduktion und untersuchte Stenosegrade
! Schweregrad !! Durchmesserreduktion !! im Projekt gerechnete Stenosegrade !! hervorgehobener Vertreter
|-
| gesundes Gefäß || 0 % || 0 || 0
|-
| leichtgradige Stenose || unter 50 % || 0,1 bis 0,4 || 0,3
|-
| mittelgradige Stenose || 50 bis 69 % || 0,5 und 0,6 || 0,6
|-
| hochgradige Stenose || 70 bis 99 % || 0,7 und 0,8 || 0,8
|-
| Okklusion || 100 % || nicht gerechnet || entfällt
|}
'''Anmerkung''': Die Klassengrenzen dienen der Einordnung der Modellvarianten. Die in der Tabelle genannten Stenosegrade sind dimensionslose Werte, beispielsweise entspricht '''&lt;math&gt;s=0{,}6&lt;/math&gt;''' einer Durchmesserreduktion von '''60 %'''.

Für die numerische Untersuchung wird aus jeder Kategorie ein repräsentativer Stenosegrad hervorgehoben. Neben dem gesunden Gefäß mit '''0 %''' Stenose sind das eine '''30 %''' Stenose als Beispiel für eine leichtgradige, eine '''60 %''' Stenose als Beispiel für eine mittelgradige und eine '''80 %''' Stenose als Beispiel für eine hochgradige Verengung. Zusätzlich werden für das Graphenmodell und das achsensymmetrische Flächenmodell Stenosegrade von 0 bis 80 % in Schritten von zehn Prozentpunkten vorgesehen. Dadurch kann die Abhängigkeit der Strömungsgrößen vom Stenosegrad systematisch untersucht und grafisch dargestellt werden. Ob alle Modellvarianten tatsächlich berechnet wurden und wie hoch der Rechenaufwand war, wird anhand der durchgeführten Simulationen dokumentiert. Ein vollständiger Gefäßverschluss wird nicht simuliert, da in diesem Fall keine durchgängige Strömung mehr vorliegt.

Der Stenosegrad wird in diesem Projekt wie bei NASCET über die Verringerung des Gefäßdurchmessers beschrieben,
&lt;math&gt;s = 1 - \frac{d_{\min}}{d_{\mathrm{ref}}},&lt;/math&gt;wobei &lt;math&gt;d_{\min}&lt;/math&gt; der kleinste Durchmesser in der Engstelle und &lt;math&gt;d_{\mathrm{ref}}&lt;/math&gt; ein Referenzdurchmesser ist. NASCET verwendet als Referenz den Durchmesser des gesunden Gefäßes stromabwärts der Stenose. Für das idealisierte gerade Gefäßmodell wird ein konstanter Referenzdurchmesser von &lt;math&gt;D_0=6\,\mathrm{mm}&lt;/math&gt; angenommen. Da das Gefäß außerhalb der Stenose denselben Durchmesser besitzt, gilt in diesem Modell&lt;math&gt;d_{\mathrm{ref}}=D_0&lt;/math&gt;. Bei der zusätzlich betrachteten Gefäßaufzweigung muss der Referenzdurchmesser dagegen gesondert festgelegt werden, da die Gefäßäste unterschiedliche Durchmesser besitzen.

Wichtig für das Verständnis aller weiteren Ergebnisse ist der Unterschied zwischen Durchmesser- und Flächenreduktion. Da die Querschnittsfläche quadratisch vom Durchmesser abhängt, gilt für die Flächenreduktion &lt;math&gt;1-(1-s)^2&lt;/math&gt;. Eine im klinischen Sinn nur mittelgradige Stenose von 60 % verschließt damit bereits 84 % der Querschnittsfläche.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Durchmesser- und Flächenreduktion der gerechneten Stenosegrade
! Stenosegrad s !! 0 !! 0,1 !! 0,2 !! 0,3 !! 0,4 !! 0,5 !! 0,6 !! 0,7 !! 0,8
|-
| engster Durchmesser in mm || 6,0 || 5,4 || 4,8 || 4,2 || 3,6 || 3,0 || 2,4 || 1,8 || 1,2
|-
| Flächenreduktion || 0 % || 19 % || 36 % || 51 % || 64 % || 75 % || 84 % || 91 % || 96 %
|}

Eine Einschränkungen gehört zur ehrlichen Einordnung: 
# Mit zunehmendem Stenosegrad, insbesondere bei ausgeprägten Verengungen, können lokale Beschleunigungen, Strömungsablösungen und zeitabhängige Strömungsstrukturen auftreten. Daher muss bei den hochgradigen Stenosen geprüft werden, inwieweit die Annahme einer stationären, laminaren Strömung geeignet ist. Eine feste Grenze bei &lt;math&gt;s=0{,}6&lt;/math&gt; lässt sich ohne entsprechende Simulationsergebnisse oder Literaturbelege nicht allgemein festlegen. Die hochgradigen Fälle werden deshalb unter besonderer Berücksichtigung der Modellannahmen diskutiert.

Unter Modellierung wird in diesem Projekt die Übertragung der Blutströmung in einer verengten Arterie auf ein mathematisches und numerisch lösbares Strömungsproblem verstanden. Dazu werden die Gefäßgeometrie, die zugrunde liegenden Gleichungen, die physikalischen Materialparameter sowie die Anfangs- und Randbedingungen festgelegt.

Jeder dieser Bestandteile beruht auf vereinfachenden Annahmen, die begründet und bei der Interpretation der Ergebnisse berücksichtigt werden müssen. Ziel ist es, den Einfluss unterschiedlicher Stenosegrade auf die Strömungsgeschwindigkeit, den Druckverlust und gegebenenfalls die Wandschubspannung systematisch zu untersuchen.

Die Modellierung erfolgt anhand mehrerer Modellvarianten mit unterschiedlicher räumlicher Auflösung. Dadurch können zunächst grundlegende Zusammenhänge analytisch abgeschätzt und anschließend mit numerischen Strömungsberechnungen verglichen werden. Die verwendeten Parameter orientieren sich an den bereitgestellten Referenzdaten und werden in den folgenden Abschnitten erläutert.

== Modellierung ==

Ziel der Modellierung ist es, die Blutströmung innerhalb einer Y-förmigen Aufzweigung der Halsschlagader mathematisch und numerisch zu untersuchen. Im Mittelpunkt steht eine Gefäßverengung (Stenose) in der Arteria carotis interna.

Das betrachtete Gefäßmodell besteht aus der Arteria carotis communis, die sich in die Arteria carotis interna und die Arteria carotis externa aufteilt. Die Stenose befindet sich ausschließlich in der Arteria carotis interna.

Durch die Verengung verändert sich der verfügbare Strömungsquerschnitt. Dies kann zu einer Erhöhung der lokalen Strömungsgeschwindigkeit, zu zusätzlichen Druckverlusten und zu einer Veränderung der Strömungsverteilung zwischen den beiden Gefäßästen führen.

Ziel ist es, den Einfluss unterschiedlicher Stenosegrade auf die Strömungsgeschwindigkeit, die Druckverteilung und die Wandschubspannung zu untersuchen. Zusätzlich soll betrachtet werden, wie sich die Strömung innerhalb der Y-förmigen Gefäßaufzweigung verhält.

Die numerische Modellierung erfolgt mit COMSOL Multiphysics. Dazu werden die Gefäßgeometrie, die Materialeigenschaften des Blutes, die Strömungsgleichungen und die Randbedingungen festgelegt.

Zur Vereinfachung wird Blut zunächst als inkompressibles, Newtonsches Fluid betrachtet. Die Gefäßwände werden als starr angenommen. Diese Annahmen ermöglichen eine systematische Untersuchung der Stenose, schränken jedoch die Übertragbarkeit auf reale physiologische Bedingungen ein.

=== Modellhierarchie ===

Für die Untersuchung der Blutströmung innerhalb der Y-förmigen Karotisaufzweigung werden drei Modellvarianten betrachtet. Diese unterscheiden sich hinsichtlich ihrer räumlichen Dimension, ihrer mathematischen Beschreibung und der Genauigkeit, mit der die Strömungsverhältnisse dargestellt werden können.

Das untersuchte Gefäß besteht aus der Arteria carotis communis, die sich in die Arteria carotis interna und die Arteria carotis externa aufteilt. Die Stenose befindet sich ausschließlich in der Arteria carotis interna.

Alle drei Modellvarianten werden mit COMSOL Multiphysics umgesetzt.

{| class=&quot;wikitable&quot; style=&quot;width:100%;&quot;
|+ '''Die drei Modellvarianten des Projekts'''
|-
! Modell
! Raumdimension
! Mathematische Grundlage
! Zweck
! Werkzeug
|-
| '''Graphenmodell'''
| 1D, Gefäßnetzwerk mit einer Verzweigung
| Massenerhaltung an der Verzweigung und vereinfachte Beschreibung der Strömungswiderstände
| Abschätzung der Volumenstromverteilung und der Druckverluste in den Gefäßästen
| COMSOL Multiphysics
|-
| '''Ebenes Flächenmodell'''
| 2D, Y-förmige Gefäßgeometrie in kartesischen Koordinaten
| Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen
| Untersuchung der Geschwindigkeits- und Druckverteilung sowie der Auswirkungen der Stenose in der Arteria carotis interna
| COMSOL Multiphysics, Laminare Strömung
|-
| '''Volumenmodell'''
| 3D, räumliche Y-förmige Gefäßgeometrie
| Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen
| Räumliche Untersuchung des Geschwindigkeitsfeldes, des Druckverlustes und der Wandschubspannung
| COMSOL Multiphysics, Laminare Strömung
|}

==== Vergleich und Überprüfung der Modellvarianten ====

Die drei Modellvarianten bauen hinsichtlich ihrer räumlichen Beschreibung aufeinander auf. Das Graphenmodell ermöglicht zunächst eine vereinfachte Betrachtung der Volumenströme und Druckverluste. Die zwei- und dreidimensionalen Modelle erlauben anschließend eine detailliertere Untersuchung der Strömung innerhalb der Gefäßaufzweigung.

Das '''Graphenmodell''' beschreibt die Arteria carotis communis sowie die beiden abzweigenden Gefäße als miteinander verbundenes Netzwerk. Dabei wird die Massenerhaltung an der Verzweigung berücksichtigt:

:&lt;math&gt;Q_{\mathrm{CCA}}=Q_{\mathrm{ICA}}+Q_{\mathrm{ECA}}&lt;/math&gt;

Das Modell liefert vereinfachte Abschätzungen der Volumenstromverteilung. Lokale Strömungsablösungen und räumliche Geschwindigkeitsverteilungen können damit nicht detailliert dargestellt werden.

Das '''ebene Flächenmodell''' bildet die Y-förmige Gefäßaufzweigung in zwei Raumdimensionen ab. Die Stenose wird innerhalb der Arteria carotis interna berücksichtigt. Dadurch können die Geschwindigkeits- und Druckverteilung sowie mögliche Rückströmungsbereiche untersucht werden.

Das '''Volumenmodell''' erweitert die Untersuchung auf drei Raumdimensionen. Es ermöglicht eine räumliche Darstellung der Strömung und eine detailliertere Berechnung der Wandschubspannung.

Die Ergebnisse des ebenen Flächenmodells und des Volumenmodells werden miteinander verglichen. Da das ebene Modell die räumliche Querschnittsgeometrie nur vereinfacht darstellt, müssen Unterschiede zwischen den beiden Modellen bei der Interpretation berücksichtigt werden.

Ziel der Modellhierarchie ist es, die Aussagekraft der einzelnen Modellvarianten zu bewerten und den Einfluss des Stenosegrades auf die Strömung innerhalb der Y-förmigen Karotisaufzweigung zu untersuchen.

=== Simulationsgebiet und Geometrie ===

Das Simulationsgebiet besteht aus einer idealisierten Y-förmigen Aufzweigung der Arteria carotis. Die Arteria carotis communis teilt sich in die Arteria carotis interna und die Arteria carotis externa.

Die Stenose befindet sich in der Arteria carotis interna. Die Arteria carotis externa wird ohne zusätzliche Verengung modelliert.

Die Geometrie orientiert sich an den bereitgestellten Referenzdaten. Die Gefäßdurchmesser werden innerhalb der jeweiligen unverengten Abschnitte als konstant angenommen.

{| class=&quot;wikitable&quot; style=&quot;width:100%;&quot;
|+ '''Geometrische Referenzparameter der Y-förmigen Gefäßaufzweigung'''
|-
! Gefäßabschnitt
! Durchmesser
! Länge
|-
| Arteria carotis communis
| 6 mm
| 60 mm
|-
| Arteria carotis interna
| 5 mm
| 60 mm
|-
| Arteria carotis externa
| 4 mm
| 60 mm
|-
| Stenose in der Arteria carotis interna
| Abhängig vom Stenosegrad
| 10 mm
|}

Die Verengung wird über den Stenosegrad &lt;math&gt;s&lt;/math&gt; beschrieben. Dieser gibt die relative Verringerung des Gefäßdurchmessers an:

:&lt;math&gt;s=1-\frac{d_{\min}}{D_{\mathrm{ICA}}}&lt;/math&gt;

Dabei bezeichnet &lt;math&gt;d_{\min}&lt;/math&gt; den minimalen Durchmesser innerhalb der Stenose und &lt;math&gt;D_{\mathrm{ICA}}&lt;/math&gt; den unverengten Referenzdurchmesser der Arteria carotis interna.

Für das Modell gilt:

:&lt;math&gt;D_{\mathrm{ICA}}=5\,\mathrm{mm}&lt;/math&gt;

Der minimale Durchmesser ergibt sich damit zu:

:&lt;math&gt;d_{\min}=D_{\mathrm{ICA}}(1-s)&lt;/math&gt;

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ '''Minimaler Durchmesser der Stenose in der Arteria carotis interna'''
|-
! Stenosegrad
! Minimaler Durchmesser
|-
| 0 %
| 5,0 mm
|-
| 10 %
| 4,5 mm
|-
| 20 %
| 4,0 mm
|-
| 30 %
| 3,5 mm
|-
| 40 %
| 3,0 mm
|-
| 50 %
| 2,5 mm
|-
| 60 %
| 2,0 mm
|-
| 70 %
| 1,5 mm
|-
| 80 %
| 1,0 mm
|}

Die angegebenen Stenosegrade beziehen sich ausschließlich auf den Durchmesser der Arteria carotis interna. Der Durchmesser der Arteria carotis communis wird nicht zur Berechnung des Stenosegrades verwendet.

Die Y-förmige Geometrie ermöglicht es, die Auswirkungen der Verengung sowohl auf die lokale Strömung in der Arteria carotis interna als auch auf die Strömungsverteilung innerhalb der gesamten Gefäßaufzweigung zu untersuchen.

Die genaue Form der Stenose, der Verzweigungswinkel und die Übergänge zwischen den Gefäßabschnitten müssen entsprechend der tatsächlich in COMSOL verwendeten Geometrie dokumentiert werden.


== Stoff- und Strömungsparameter ==

Die Stoffwerte des Blutes und der Volumenstrom sind die einzigen Eingangsgrößen, die nicht aus der Geometrie folgen. Aus ihnen werden alle weiteren Strömungskennwerte berechnet. Die folgenden Schritte zeigen jede Rechnung einzeln, damit sich jeder Wert nachprüfen lässt.

# Die '''Dichte''' wird mit &lt;math&gt;\rho = 1060\ \mathrm{kg/m^3}&lt;/math&gt; angesetzt. Der Wert lässt sich als Mischungsregel plausibel machen. Plasma hat eine Dichte von etwa 1025 kg/m³, rote Blutkörperchen von etwa 1100 kg/m³. Bei einem Zellanteil von 45 % ergibt sich &lt;math&gt;0{,}55 \cdot 1025 + 0{,}45 \cdot 1100 \approx 1059\ \mathrm{kg/m^3}&lt;/math&gt;. Die Dichte geht nur über die Reynoldszahl in die Rechnung ein, eine Abweichung von einem Prozent ändert die Ergebnisse daher kaum. &lt;!-- FIXME Lehrbuchquelle fuer Plasma- und Erythrozytendichte ergaenzen --&gt;
# Die '''dynamische Viskosität''' wird mit &lt;math&gt;\mu = 3{,}5\ \mathrm{mPa\,s}&lt;/math&gt; angesetzt. Das ist der Grenzwert der Blutviskosität bei hohen Scherraten, also genau der Wert, der zur Newtonschen Näherung gehört. Derselbe Wert von 0,035 Poise wird auch im Standardwerk zur Modellierung des Herz-Kreislauf-Systems verwendet.&lt;ref name=&quot;quarteroni&quot;&gt;Quarteroni, A.; Formaggia, L.: ''Mathematical Modelling and Numerical Simulation of the Cardiovascular System.'' In: Ayache, N. (Hrsg.): ''Computational Models for the Human Body.'' Handbook of Numerical Analysis, Bd. XII, Elsevier, Amsterdam 2004, S. 3-127. DOI 10.1016/S1570-8659(03)12001-7. Zur Newtonschen Näherung in großen Gefäßen siehe S. 30, zur Viskosität von 0,035 Poise die Parametertabelle auf S. 116.&lt;/ref&gt;
# Der '''mittlere Volumenstrom''' wird mit &lt;math&gt;Q_0 = 6\ \mathrm{ml/s}&lt;/math&gt; angesetzt. Das ist der zeitlich gemittelte Volumenstrom, der in der gemeinsamen Halsschlagader gesunder Probanden gemessen wurde.&lt;ref name=&quot;holdsworth&quot; /&gt;
# Die '''mittlere Geschwindigkeit''' folgt aus Volumenstrom und Querschnittsfläche, &lt;math&gt;U_0 = \frac{Q_0}{\pi R_0^2} = \frac{6 \cdot 10^{-6}\ \mathrm{m^3/s}}{\pi \cdot (0{,}003\ \mathrm{m})^2} = 0{,}2122\ \mathrm{m/s}&lt;/math&gt;.
# Die '''Reynoldszahl''' des gesunden Gefäßes ist &lt;math&gt;Re_0 = \frac{\rho\, U_0\, D_0}{\mu} = \frac{1060 \cdot 0{,}2122 \cdot 0{,}006}{0{,}0035} = 385{,}6&lt;/math&gt;. Sie wird im Folgenden auf 386 gerundet.
# Die '''Einlauflänge''', die eine anfangs gleichförmige Strömung bis zum voll entwickelten Parabelprofil bräuchte, beträgt nach der gebräuchlichen Abschätzung für laminare Rohrströmungen &lt;math&gt;L_e \approx 0{,}06\, Re_0\, D_0 \approx 0{,}06 \cdot 386 \cdot 6\ \mathrm{mm} \approx 139\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt;.&lt;ref name=&quot;durst&quot;&gt;Durst, F.; Ray, S.; Ünsal, B.; Bayoumi, O. A.: ''The development lengths of laminar pipe and channel flows.'' Journal of Fluids Engineering 127 (2005), Nr. 6, S. 1154-1160. Für große Reynoldszahlen nähert sich die dort angegebene Korrelation dem Wert 0,057·Re·D.&lt;/ref&gt; Das ist fast die gesamte Länge des Rechengebiets. Ein konstantes Einlassprofil würde die Strömung an der Stenose also verfälschen, weshalb am Einlass das voll entwickelte Profil vorgegeben wird.

Damit liegen alle globalen Parameter fest. Die folgende Tabelle enthält sie mit genau den Namen, unter denen sie in COMSOL und in den Octave-Skripten verwendet werden.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Globale Parameter des Modells
! Name !! Ausdruck in COMSOL !! Wert !! Bedeutung !! Herkunft
|-
| R0 || 3[mm] || 3 mm || Gefäßradius || Messwerte nach Krejza u. a. 2006, gerundet
|-
| D0 || 2*R0 || 6 mm || Gefäßdurchmesser || abgeleitet
|-
| Ls || 2*D0 || 12 mm || Länge der Störstelle || Standardgeometrie nach Varghese u. a. 2007
|-
| Lu || 5*D0 || 30 mm || Vorlaufstrecke vor der Stenosemitte || Abstand der Einlassbedingung von der Stenose
|-
| Ld || 20*D0 || 120 mm || Nachlaufstrecke hinter der Stenosemitte || Platz für das Rückströmgebiet
|-
| Lf || Ls/2+10*D0 || 66 mm || Ende des fein vernetzten Nachlaufs || erwartete Länge des Rückströmgebiets
|-
| s || 0 bis 0.8 || 0 bis 0,8 || Stenosegrad bezogen auf den Durchmesser || NASCET-Einteilung
|-
| rho_b || 1060[kg/m^3] || 1060 kg/m³ || Dichte des Blutes || Mischungsregel, Literaturwert
|-
| mu_b || 3.5[mPa*s] || 3,5 mPa·s || dynamische Viskosität des Blutes || Hochscherwert, Quarteroni und Formaggia 2004
|-
| Q0 || 6[ml/s] || 6 ml/s || mittlerer Volumenstrom || Messwerte nach Holdsworth u. a. 1999
|-
| U0 || Q0/(pi*R0^2) || 0,2122 m/s || mittlere Einströmgeschwindigkeit || abgeleitet
|-
| Re0 || rho_b*U0*D0/mu_b || 385,6 || Reynoldszahl des gesunden Gefäßes || abgeleitet
|-
| dp_ref || 8*mu_b*U0*(Lu+Ld)/R0^2 || 99,03 Pa || Poiseuille-Druckabfall des gesunden Gefäßes || abgeleitet, Hagen-Poiseuille
|}


AB HIER ALT== Modellhierarchie ==

Für die Untersuchung werden vier Modellvarianten betrachtet, die sich hinsichtlich ihrer mathematischen Beschreibung, ihrer räumlichen Dimension und ihres Rechenaufwands unterscheiden. Die Modelle sind bewusst von einer vereinfachten analytischen Beschreibung bis zu einer dreidimensionalen numerischen Simulation angeordnet.

Diese Vorgehensweise ermöglicht es, die Ergebnisse der komplexeren Modelle anhand grundlegender physikalischer Zusammenhänge und geeigneter Referenzfälle zu überprüfen. Dabei ist zu beachten, dass nicht jede Modellvariante dieselben Strömungseigenschaften vollständig abbilden kann.

{| class=&quot;wikitable&quot; style=&quot;width:100%;&quot;
|+ '''Die vier Modellvarianten des Projekts'''
|-
! Modell
! Raumdimension
! Mathematische Grundlage
! Zweck
! Werkzeug
|-
| '''Graphenmodell'''
| 1D, Beschreibung entlang der Gefäßachse
| Hagen-Poiseuille-Gesetz für vereinfachte Rohrabschnitte und Massenerhaltung an Verzweigungsknoten
| Analytische Abschätzung von Volumenströmen und Druckverlusten; Referenz für die numerischen Modelle
| COMSOL mit geeigneter eindimensionaler Formulierung
|-
| '''Achsensymmetrisches Flächenmodell'''
| 2D, rotationssymmetrischer Längsschnitt in den Koordinaten &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;z&lt;/math&gt;
| Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen in achsensymmetrischer Form
| Detaillierte Untersuchung von Geschwindigkeits- und Druckfeldern sowie der Wandschubspannung in einem idealisierten rotationssymmetrischen Gefäß
| COMSOL Multiphysics, Laminar Flow
|-
| '''Ebenes Flächenmodell'''
| 2D, ebene Geometrie in den Koordinaten &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;y&lt;/math&gt;
| Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen in kartesischen Koordinaten
| Untersuchung der Strömung in einer vereinfachten ebenen Geometrie und Vergleich mit dem achsensymmetrischen Modell
| COMSOL Multiphysics, Laminar Flow
|-
| '''Volumenmodell'''
| 3D, räumliche Gefäßgeometrie
| Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen in drei Raumdimensionen
| Räumliche Darstellung der Strömung und Überprüfung der Ergebnisse des achsensymmetrischen Modells bei vergleichbarer Geometrie
| COMSOL Multiphysics, Laminar Flow
|}

== Stoff- und Strömungsparameter ==

Die Stoffwerte des Blutes und der Volumenstrom sind die einzigen Eingangsgrößen, die nicht aus der Geometrie folgen. Aus ihnen werden alle weiteren Strömungskennwerte berechnet. Die folgenden Schritte zeigen jede Rechnung einzeln, damit sich jeder Wert nachprüfen lässt.

# Die '''Dichte''' wird mit &lt;math&gt;\rho = 1060\ \mathrm{kg/m^3}&lt;/math&gt; angesetzt. Der Wert lässt sich als Mischungsregel plausibel machen. Plasma hat eine Dichte von etwa 1025 kg/m³, rote Blutkörperchen von etwa 1100 kg/m³. Bei einem Zellanteil von 45 % ergibt sich &lt;math&gt;0{,}55 \cdot 1025 + 0{,}45 \cdot 1100 \approx 1059\ \mathrm{kg/m^3}&lt;/math&gt;. Die Dichte geht nur über die Reynoldszahl in die Rechnung ein, eine Abweichung von einem Prozent ändert die Ergebnisse daher kaum. &lt;!-- FIXME Lehrbuchquelle fuer Plasma- und Erythrozytendichte ergaenzen --&gt;
# Die '''dynamische Viskosität''' wird mit &lt;math&gt;\mu = 3{,}5\ \mathrm{mPa\,s}&lt;/math&gt; angesetzt. Das ist der Grenzwert der Blutviskosität bei hohen Scherraten, also genau der Wert, der zur Newtonschen Näherung gehört. Derselbe Wert von 0,035 Poise wird auch im Standardwerk zur Modellierung des Herz-Kreislauf-Systems verwendet.&lt;ref name=&quot;quarteroni&quot;&gt;Quarteroni, A.; Formaggia, L.: ''Mathematical Modelling and Numerical Simulation of the Cardiovascular System.'' In: Ayache, N. (Hrsg.): ''Computational Models for the Human Body.'' Handbook of Numerical Analysis, Bd. XII, Elsevier, Amsterdam 2004, S. 3-127. DOI 10.1016/S1570-8659(03)12001-7. Zur Newtonschen Näherung in großen Gefäßen siehe S. 30, zur Viskosität von 0,035 Poise die Parametertabelle auf S. 116.&lt;/ref&gt;
# Der '''mittlere Volumenstrom''' wird mit &lt;math&gt;Q_0 = 6\ \mathrm{ml/s}&lt;/math&gt; angesetzt. Das ist der zeitlich gemittelte Volumenstrom, der in der gemeinsamen Halsschlagader gesunder Probanden gemessen wurde.&lt;ref name=&quot;holdsworth&quot; /&gt;
# Die '''mittlere Geschwindigkeit''' folgt aus Volumenstrom und Querschnittsfläche, &lt;math&gt;U_0 = \frac{Q_0}{\pi R_0^2} = \frac{6 \cdot 10^{-6}\ \mathrm{m^3/s}}{\pi \cdot (0{,}003\ \mathrm{m})^2} = 0{,}2122\ \mathrm{m/s}&lt;/math&gt;.
# Die '''Reynoldszahl''' des gesunden Gefäßes ist &lt;math&gt;Re_0 = \frac{\rho\, U_0\, D_0}{\mu} = \frac{1060 \cdot 0{,}2122 \cdot 0{,}006}{0{,}0035} = 385{,}6&lt;/math&gt;. Sie wird im Folgenden auf 386 gerundet.
# Die '''Einlauflänge''', die eine anfangs gleichförmige Strömung bis zum voll entwickelten Parabelprofil bräuchte, beträgt nach der gebräuchlichen Abschätzung für laminare Rohrströmungen &lt;math&gt;L_e \approx 0{,}06\, Re_0\, D_0 \approx 0{,}06 \cdot 386 \cdot 6\ \mathrm{mm} \approx 139\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt;.&lt;ref name=&quot;durst&quot;&gt;Durst, F.; Ray, S.; Ünsal, B.; Bayoumi, O. A.: ''The development lengths of laminar pipe and channel flows.'' Journal of Fluids Engineering 127 (2005), Nr. 6, S. 1154-1160. Für große Reynoldszahlen nähert sich die dort angegebene Korrelation dem Wert 0,057·Re·D.&lt;/ref&gt; Das ist fast die gesamte Länge des Rechengebiets. Ein konstantes Einlassprofil würde die Strömung an der Stenose also verfälschen, weshalb am Einlass das voll entwickelte Profil vorgegeben wird.

Damit liegen alle globalen Parameter fest. Die folgende Tabelle enthält sie mit genau den Namen, unter denen sie in COMSOL und in den Octave-Skripten verwendet werden.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Globale Parameter des Modells
! Name !! Ausdruck in COMSOL !! Wert !! Bedeutung !! Herkunft
|-
| R0 || 3[mm] || 3 mm || Gefäßradius || Messwerte nach Krejza u. a. 2006, gerundet
|-
| D0 || 2*R0 || 6 mm || Gefäßdurchmesser || abgeleitet
|-
| Ls || 2*D0 || 12 mm || Länge der Störstelle || Standardgeometrie nach Varghese u. a. 2007
|-
| Lu || 5*D0 || 30 mm || Vorlaufstrecke vor der Stenosemitte || Abstand der Einlassbedingung von der Stenose
|-
| Ld || 20*D0 || 120 mm || Nachlaufstrecke hinter der Stenosemitte || Platz für das Rückströmgebiet
|-
| Lf || Ls/2+10*D0 || 66 mm || Ende des fein vernetzten Nachlaufs || erwartete Länge des Rückströmgebiets
|-
| s || 0 bis 0.8 || 0 bis 0,8 || Stenosegrad bezogen auf den Durchmesser || NASCET-Einteilung
|-
| rho_b || 1060[kg/m^3] || 1060 kg/m³ || Dichte des Blutes || Mischungsregel, Literaturwert
|-
| mu_b || 3.5[mPa*s] || 3,5 mPa·s || dynamische Viskosität des Blutes || Hochscherwert, Quarteroni und Formaggia 2004
|-
| Q0 || 6[ml/s] || 6 ml/s || mittlerer Volumenstrom || Messwerte nach Holdsworth u. a. 1999
|-
| U0 || Q0/(pi*R0^2) || 0,2122 m/s || mittlere Einströmgeschwindigkeit || abgeleitet
|-
| Re0 || rho_b*U0*D0/mu_b || 385,6 || Reynoldszahl des gesunden Gefäßes || abgeleitet
|-
| dp_ref || 8*mu_b*U0*(Lu+Ld)/R0^2 || 99,03 Pa || Poiseuille-Druckabfall des gesunden Gefäßes || abgeleitet, Hagen-Poiseuille
|}

=== Vergleich und Überprüfung der Modellvarianten ===

Die Modellhierarchie folgt dem Prinzip, dass zunächst vereinfachte Zusammenhänge untersucht und anschließend mit detaillierteren numerischen Modellen verglichen werden.

Das '''Graphenmodell''' bildet die einfachste Modellvariante. Es verwendet das Hagen-Poiseuille-Gesetz zur Abschätzung des Druckverlustes in geraden Rohrabschnitten mit konstantem Durchmesser. Für den unverengten Referenzfall kann damit eine analytische Vergleichsgröße bestimmt werden. Im Bereich einer Stenose ist die Anwendung jedoch nur als vereinfachte Näherung geeignet, da dort zusätzliche Strömungseffekte auftreten können.

Das '''achsensymmetrische Flächenmodell''' ermöglicht eine detailliertere Untersuchung des Geschwindigkeits- und Druckfeldes innerhalb einer idealisierten rotationssymmetrischen Gefäßverengung. Im unverengten Referenzfall können die numerischen Ergebnisse mit der analytischen Poiseuille-Lösung verglichen werden. Bei zunehmendem Stenosegrad werden insbesondere die Beschleunigung im Bereich der Engstelle, der Druckverlust und die Wandschubspannung betrachtet.

Das '''ebene Flächenmodell''' beschreibt die Strömung in einer zweidimensionalen kartesischen Geometrie. Im Unterschied zum achsensymmetrischen Modell wird dabei keine Rotationssymmetrie vorausgesetzt. Da sich die geometrische Beschreibung des Strömungsquerschnitts unterscheidet, sind die Ergebnisse nicht ohne Weiteres quantitativ gleichzusetzen. Der Vergleich dient insbesondere dazu, den Einfluss der Modellvereinfachung auf die berechneten Strömungsgrößen zu untersuchen.

Das '''Volumenmodell''' erweitert die Untersuchung auf drei Raumdimensionen. Bei einer rotationssymmetrischen Geometrie und entsprechend übereinstimmenden Randbedingungen wird eine weitgehende Übereinstimmung mit dem achsensymmetrischen Modell erwartet. Diese Übereinstimmung muss jedoch anhand der numerischen Ergebnisse überprüft werden. Bei einer Gefäßaufzweigung oder einer asymmetrischen Stenose können zusätzliche räumliche Strömungseffekte auftreten, die durch ein achsensymmetrisches Modell nicht vollständig beschrieben werden.

=== Referenzfall und Vergleichsgrößen ===

Als Ausgangspunkt dient ein unverengtes Gefäß mit dem Referenzdurchmesser &lt;math&gt;D_0=6\,\mathrm{mm}&lt;/math&gt;. Für das Blut werden eine Dichte von &lt;math&gt;\rho_b=1060\,\mathrm{kg/m^3}&lt;/math&gt; und eine dynamische Viskosität von &lt;math&gt;\mu_b=3{,}5\,\mathrm{mPa\,s}&lt;/math&gt; angenommen.

Der vorgegebene mittlere Volumenstrom beträgt &lt;math&gt;Q_0=6\,\mathrm{ml/s}&lt;/math&gt;. Daraus ergibt sich für den unverengten kreisförmigen Querschnitt eine mittlere Strömungsgeschwindigkeit von ungefähr &lt;math&gt;U_0=0{,}2122\,\mathrm{m/s}&lt;/math&gt;.

Die Referenz-Reynolds-Zahl beträgt &lt;math&gt;\mathrm{Re}_0=385{,}6&lt;/math&gt;. Für den in den Referenzdaten definierten Vergleichsfall ist außerdem ein analytischer Druckverlust von &lt;math&gt;\Delta p_{\mathrm{ref}}=99{,}03\,\mathrm{Pa}&lt;/math&gt; angegeben.

Diese Größen dienen als Ausgangspunkt für die Überprüfung der numerischen Modelle. Ein direkter Vergleich ist jedoch nur zulässig, wenn die jeweils verwendete Geometrie, die Auswertelänge und die Randbedingungen übereinstimmen.

=== Grenzen der Modellhierarchie ===

Die vier Modellvarianten unterscheiden sich nicht nur im Rechenaufwand, sondern auch in den physikalischen Effekten, die sie darstellen können.

Insbesondere bei hochgradigen Stenosen können starke lokale Geschwindigkeitsänderungen, Strömungsablösungen und zeitabhängige Strömungsstrukturen auftreten. Deshalb muss überprüft werden, ob die Annahme einer stationären laminaren Strömung für die betrachteten Fälle ausreichend ist.

Außerdem muss zwischen dem idealisierten geraden Gefäßmodell und einer Gefäßaufzweigung unterschieden werden. Das achsensymmetrische Modell eignet sich für eine rotationssymmetrische Stenose in einem geraden Gefäß, während eine realistische Gefäßaufzweigung eine andere geometrische Beschreibung erfordert.

Die Modellvarianten werden daher nicht als vollständig gleichwertig betrachtet. Vielmehr soll der Vergleich zeigen, welche Aussagen bereits durch vereinfachte Modelle möglich sind und für welche Strömungseigenschaften eine detailliertere numerische Beschreibung erforderlich ist.

= Modellierung =

Modellierung bedeutet hier, die reale Situation in eine mathematische Aufgabe zu übersetzen, die sich lösen lässt. Dazu gehören vier Bausteine, nämlich das Rechengebiet, die Gleichungen, die Zahlenwerte der Parameter und die Bedingungen an den Rändern. Jeder dieser Bausteine beruht auf Annahmen, und jede Annahme muss begründet werden. Dieser Abschnitt geht die Bausteine deshalb der Reihe nach durch und nennt bei jedem Zahlenwert, woher er stammt und warum er sinnvoll ist.

== Modellhierarchie ==

Das Projekt rechnet nicht ein einziges Modell, sondern vier aufeinander aufbauende Modellvarianten. Sie entsprechen der Kursanforderung, eine Strömung als Graph, in zwei und in drei Raumdimensionen darzustellen, und sie sind bewusst von einfach nach aufwendig geordnet.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Die vier Modellvarianten des Projekts
! Modell !! Raumdimension !! gelöste Gleichung !! Zweck !! Werkzeug
|-
| Graphenmodell || 1D, Gefäßachse || Hagen-Poiseuille je Rohrstück und Massenerhaltung in jedem Knoten || schnelle, analytisch nachrechenbare Abschätzung für jeden Stenosegrad || Octave und COMSOL (Koeffizientenform-PDGL)
|-
| achsensymmetrisches Flächenmodell || 2D, Halbschnitt in r und z || vollständige stationäre Navier-Stokes-Gleichungen in Zylinderkoordinaten || Hauptmodell, liefert alle Feldgrößen des rotationssymmetrischen Rohres || COMSOL, Laminare Strömung
|-
| ebenes Flächenmodell || 2D, Halbschnitt in x und y || vollständige stationäre Navier-Stokes-Gleichungen in kartesischen Koordinaten || Vergleich, zeigt den Einfluss der zweiten Querschnittsrichtung || COMSOL, Laminare Strömung
|-
| Volumenmodell || 3D || vollständige stationäre Navier-Stokes-Gleichungen || Kontrolle des Hauptmodells und räumliche Darstellung || COMSOL, Laminare Strömung
|}

Die Reihenfolge folgt einem einfachen Prinzip. Jede Stufe liefert die Sollwerte, an denen die nächste, komplexere Stufe geprüft wird. Das Graphenmodell muss im gesunden Fall exakt die Poiseuille-Lösung ergeben. Das achsensymmetrische Modell muss im gesunden Fall dieselben Werte liefern und bei Stenose für Geschwindigkeit und Wandschubspannung in der Nähe des Graphenmodells liegen. Das Volumenmodell muss, weil die Geometrie rotationssymmetrisch ist, mit dem achsensymmetrischen Modell übereinstimmen.

== Modellannahmen ==

Um den Einfluss des Stenosegrades möglichst isoliert zu untersuchen, werden die folgenden Modellannahmen getroffen. Die Tabelle nennt zu jeder Annahme ihre mathematische Form, die Begründung und die Stelle, an der sie im Projekt überprüft wird.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Modellannahmen, ihre Begründung und ihre Überprüfung
! Annahme !! mathematische Form !! Begründung !! Überprüfung
|-
| Idealisierte Gefäßgeometrie || gerades Rohr mit kosinusförmiger, rotationssymmetrischer Verengung || isoliert die Wirkung des Stenosegrades von Krümmung, Verzweigung und Plaqueform || Diskussion in den Schlussfolgerungen
|-
| Starre Gefäßwand || Wand ortsfest, keine Fluid-Struktur-Kopplung || im stationären Fall gibt es keine Druckschwankung, die die Wand periodisch aufweiten könnte || Abschätzung über die gemessene Durchmesseränderung im Herzzyklus
|-
| Stationäre Strömung || &lt;math&gt;\partial \mathbf{u}/\partial t = \mathbf{0}&lt;/math&gt; || der Einfluss des Stenosegrades soll ohne Überlagerung durch die Pulsation sichtbar werden || Abschätzung über die Womersley-Zahl
|-
| Inkompressibles Fluid || &lt;math&gt;\rho = \mathrm{const}&lt;/math&gt;, damit &lt;math&gt;\nabla\cdot\mathbf{u} = 0&lt;/math&gt; || Blut ist eine Flüssigkeit, Druckänderungen von wenigen hundert Pascal ändern die Dichte nicht messbar || Massenerhaltung in fünf Querschnitten
|-
| Newtonsche Näherung || konstante Viskosität &lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt; || die Scherraten an der Wand und im größten Teil des Querschnitts liegen über dem Bereich, in dem Blut deutlich scherverdünnend wirkt || Scherrate an der Wand, Diskussion des Rückströmgebiets
|-
| Konstante Stoffeigenschaften || &lt;math&gt;\rho&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt; räumlich und zeitlich konstant || Körpertemperatur ist im betrachteten Abschnitt konstant || entfällt
|-
| Laminare Strömung || kein Turbulenzmodell, Schnittstelle Laminare Strömung || Reynoldszahl des gesunden Gefäßes von 386 liegt weit unter dem Umschlagbereich || Reynoldszahl in der Engstelle, Literaturvergleich
|-
| Haftbedingung an der Wand || &lt;math&gt;\mathbf{u} = \mathbf{0}&lt;/math&gt; auf der Wand || Folge der Viskosität, das Fluid haftet an der Wand || Grundlage jeder Wandschubspannung
|-
| Vernachlässigung der Gravitation || keine Volumenkraft || bei konstanter Dichte lässt sich die Schwerkraft vollständig in einen hydrostatischen Druckanteil verschieben und beeinflusst die Geschwindigkeit nicht || Begründung in den Mathematischen Hintergründen
|-
| Voll entwickelte Einströmung || parabolisches Profil am Einlass || die natürliche Einlaufstrecke wäre mit rund 139 mm fast so lang wie das ganze Rechengebiet || Scheitelgeschwindigkeit im gesunden Fall
|-
| Eingeprägter Volumenstrom || &lt;math&gt;Q = Q_0&lt;/math&gt; am Einlass || der Strömungswiderstand des Abschnitts ist klein gegenüber dem des nachgeschalteten Gefäßbetts || Abschätzung mit einem Reihenwiderstand
|}

Einige dieser Annahmen sind unmittelbar einsichtig, andere verdienen eine genauere Begründung, weil von ihnen die Aussagekraft der Ergebnisse abhängt.

Die '''Newtonsche Näherung''' ist die Annahme, die bei Blut am häufigsten hinterfragt wird. Reales Blut ist eine Suspension aus Plasma und Blutzellen und verhält sich scherverdünnend. Bei kleinen Scherraten lagern sich die roten Blutkörperchen zu geldrollenartigen Stapeln zusammen, und die Viskosität steigt auf ein Vielfaches an. Bei großen Scherraten lösen sich diese Stapel auf, und die Viskosität strebt gegen einen Grenzwert von etwa 3,5 mPa·s. Entscheidend ist also die Scherrate. An der Wand des gesunden Modellgefäßes beträgt sie nach der Poiseuille-Lösung

&lt;math&gt;\dot\gamma_w = \frac{4\,U_0}{R_0} = \frac{4 \cdot 0{,}2122\ \mathrm{m/s}}{0{,}003\ \mathrm{m}} \approx 283\ \mathrm{s^{-1}}&lt;/math&gt;

und liegt damit oberhalb von etwa 100 pro Sekunde, wo sich Newtonsches und nicht Newtonsches Modell nach der Literatur nur noch wenig unterscheiden.&lt;ref name=&quot;boyd&quot;&gt;Die Grenze von etwa 100 s&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt; wird in vergleichenden Studien zur Blutrheologie verwendet, etwa bei Bernabeu, M. O. u. a.: ''Impact of blood rheology on wall shear stress in a model of the middle cerebral artery.'' Interface Focus 3 (2013), 20120094. &lt;!-- FIXME Zitat und Seitenangabe am Original pruefen --&gt;&lt;/ref&gt; In der Engstelle steigt die Scherrate weiter an, beim Stenosegrad 0,5 auf rund 2260 pro Sekunde. Schwach ist die Näherung dort, wo die Scherrate klein wird, also in der Mitte des Gefäßes und vor allem im Rückströmgebiet hinter der Stenose. Dort ist reales Blut zäher als angenommen. Dieser Punkt wird in den Schlussfolgerungen wieder aufgegriffen.

Die '''stationäre Strömung''' ist die stärkste Vereinfachung. Wie wichtig die Pulsation ist, misst die Womersley-Zahl, die das Verhältnis von instationärer Trägheit zu Reibung angibt. Mit einer Herzfrequenz von 60 Schlägen je Minute, also einer Kreisfrequenz &lt;math&gt;\omega = 2\pi\ \mathrm{s^{-1}}&lt;/math&gt;, ergibt sich

&lt;math&gt;\alpha = R_0 \sqrt{\frac{\omega \rho}{\mu}} = 0{,}003\ \mathrm{m} \cdot \sqrt{\frac{2\pi\ \mathrm{s^{-1}} \cdot 1060\ \mathrm{kg/m^3}}{0{,}0035\ \mathrm{Pa\,s}}} \approx 4{,}1 .&lt;/math&gt;

Ein Wert in dieser Größenordnung bedeutet, dass das reale Geschwindigkeitsprofil im Herzzyklus merklich von der Parabel abweicht.&lt;ref name=&quot;womersley&quot;&gt;Womersley, J. R.: ''Method for the calculation of velocity, rate of flow and viscous drag in arteries when the pressure gradient is known.'' Journal of Physiology 127 (1955), S. 553-563.&lt;/ref&gt; Hinzu kommt, dass der Volumenstrom in der Systole kurzzeitig auf rund das Vierfache des Mittelwerts steigt.&lt;ref name=&quot;holdsworth&quot;&gt;Holdsworth, D. W.; Norley, C. J. D.; Frayne, R.; Steinman, D. A.; Rutt, B. K.: ''Characterization of common carotid artery blood-flow waveforms in normal human subjects.'' Physiological Measurement 20 (1999), Nr. 3, S. 219-240. DOI 10.1088/0967-3334/20/3/301. Angegeben werden ein mittlerer Volumenstrom von 6,0 ± 1,4 ml/s und ein systolischer Spitzenwert von 23,5 ± 3,8 ml/s. &lt;!-- FIXME Zahlenwerte und Probandenzahl am Original pruefen --&gt;&lt;/ref&gt; Die stationäre Rechnung mit dem Mittelwert beschreibt deshalb nicht den zeitlichen Verlauf, wohl aber den zeitlich gemittelten Zustand, an dem sich der Einfluss des Stenosegrades sauber vergleichen lässt.

Die '''laminare Strömung''' wird über die Reynoldszahl begründet. Sie beträgt im gesunden Gefäß 386 und liegt damit weit unter dem Wert von etwa 2300, ab dem die Strömung in einem geraden Rohr in den Übergangsbereich gelangen kann. In der Engstelle steigt sie bei festem Volumenstrom auf &lt;math&gt;Re_0/(1-s)&lt;/math&gt;, also auf 551 beim Stenosegrad 0,3, auf 964 beim Grad 0,6 und auf 1928 beim Grad 0,8. Für den Strahl hinter einer Engstelle ist der Umschlagbereich allerdings deutlich niedriger als im geraden Rohr. Direkte numerische Simulationen an genau der in diesem Projekt verwendeten Stenosegeometrie zeigen, dass die Strömung bei einer Einström-Reynoldszahl von 500 auch bei leichter Unsymmetrie laminar bleibt, bei 1000 dagegen schon eine Exzentrizität von fünf Prozent des Durchmessers genügt, um den Strahl in lokal turbulente Strömung umschlagen zu lassen.&lt;ref name=&quot;varghese&quot;&gt;Varghese, S. S.; Frankel, S. H.; Fischer, P. F.: ''Direct numerical simulation of stenotic flows. Part 1. Steady flow.'' Journal of Fluid Mechanics 582 (2007), S. 253-280. Untersucht wird eine kosinusförmige Stenose der Länge 2D mit 75 % Flächenreduktion, die mit der Geometrie dieses Projekts beim Stenosegrad 0,5 übereinstimmt. &lt;!-- FIXME Band und Seiten am Original pruefen --&gt;&lt;/ref&gt; Mit einer Einström-Reynoldszahl von 386 liegt das Projekt für die leicht- und mittelgradigen Stenosen sicher im laminaren Bereich. Für die hochgradigen Stenosen ab 0,7 ist ein laminares, stationäres Modell dagegen nur noch eine Näherung, die eine Obergrenze der geordneten Strömung beschreibt. Diese Fälle werden deshalb als Grenzfall des Modells gekennzeichnet.

Die '''starre Wand''' lässt sich über Messungen abschätzen. Der Durchmesser der gemeinsamen Halsschlagader ändert sich im Herzzyklus bei jungen Menschen um etwa 12 bis 14 Prozent und bei älteren Menschen um etwa 5 Prozent.&lt;ref name=&quot;hansen&quot;&gt;Hansen, F.; Mangell, P.; Sonesson, B.; Länne, T.: ''Diameter and compliance in the human common carotid artery: variations with age and sex.'' Ultrasound in Medicine and Biology 21 (1995), Nr. 1, S. 1-9. DOI 10.1016/0301-5629(94)00090-5.&lt;/ref&gt; Diese Bewegung ist eine Folge der Pulsation. In einer stationären Rechnung gibt es keine Druckschwankung, die die Wand periodisch aufweiten könnte, sodass die starre Wand zur stationären Annahme konsistent ist. Eine verkalkte Plaque ist ohnehin deutlich steifer als die gesunde Wand.

Die Annahme des '''eingeprägten Volumenstroms''' wird im Abschnitt zu den Randbedingungen begründet, weil sie sich nur im Zusammenhang mit dem Kreislauf beurteilen lässt.

== Simulationsgebiet und Geometrie ==

Die Gefäßachse ist die z-Achse, der Ursprung liegt in der Mitte der Stenose, und &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; bezeichnet den Abstand von der Achse. Das Rechengebiet reicht von &lt;math&gt;z = -L_u&lt;/math&gt; bis &lt;math&gt;z = L_d&lt;/math&gt; und wird radial von der Wandkontur &lt;math&gt;R(z)&lt;/math&gt; begrenzt. Die Verengung wird über eine einzige glatte Funktion beschrieben,

&lt;math&gt;R(z) = R_0 \left[ 1 - \frac{s}{2}\left(1 + \cos\frac{2\pi z}{L_s}\right)\right] \quad \text{falls } |z| \le \frac{L_s}{2}, \qquad R(z) = R_0 \ \text{sonst.}&lt;/math&gt;

Die Funktion hat drei Eigenschaften, die ihre Wahl begründen. Sie wird erstens über einen einzigen Parameter gesteuert, den Stenosegrad &lt;math&gt;s&lt;/math&gt;. Der engste Radius in der Mitte beträgt &lt;math&gt;R(0) = R_0(1-s)&lt;/math&gt;, und der Fall ohne Verengung ist einfach der Fall &lt;math&gt;s = 0&lt;/math&gt;. Die gesamte Vergleichsreihe entsteht damit aus einem einzigen parametrischen Sweep. Sie geht zweitens an beiden Enden der Störstelle ohne Knick in das gerade Rohr über. Bei &lt;math&gt;z = \pm L_s/2&lt;/math&gt; ist der Kosinus gleich minus eins, die Klammer also null, und seine Ableitung verschwindet dort ebenfalls. Das ist nicht nur ästhetisch, sondern numerisch notwendig, denn ein Knick in der Wand erzeugt eine Singularität der Wandschubspannung, deren berechneter Wert mit jeder Netzverfeinerung weiter wüchse. Eine Netzstudie wäre dann sinnlos. Sie ist drittens die in der Literatur gebräuchliche Standardgeometrie für Stenosen, sodass sich die Ergebnisse unmittelbar mit veröffentlichten Rechnungen vergleichen lassen.&lt;ref name=&quot;varghese&quot; /&gt;

[[Datei:Stenose Gruppe5 Wandkontur.svg|mini|zentriert|800px|Wandkontur &lt;math&gt;R(z)&lt;/math&gt; für die untersuchten Stenosegrade. Die Darstellung ist in radialer Richtung gestreckt, das Rechengebiet ist in Wirklichkeit fünfundzwanzigmal länger als breit.]]
&lt;!-- FIXME Abbildung mit abbildungen_graph_1d.m fuer s = 0 bis 0,8 neu erzeugen, bisher nur bis 0,5 --&gt;

Die Abmessungen des Rechengebiets werden alle aus dem Gefäßradius abgeleitet. Das hat den Vorteil, dass sich das gesamte Modell durch Ändern eines einzigen Wertes auf ein anderes Gefäß übertragen lässt. Die einzelnen Längen werden im Folgenden Schritt für Schritt begründet.

# Der '''Gefäßradius''' &lt;math&gt;R_0 = 3\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; folgt aus Ultraschallmessungen an gesunden Erwachsenen. Dort wurden für die gemeinsame Halsschlagader mittlere Durchmesser von 6,10 ± 0,80 mm bei Frauen und 6,52 ± 0,98 mm bei Männern gemessen.&lt;ref name=&quot;krejza&quot;&gt;Krejza, J.; Arkuszewski, M.; Kasner, S. E.; Weigele, J.; Ustymowicz, A.; Hurst, R. W.; Cucchiara, B. L.; Messe, S. R.: ''Carotid artery diameter in men and women and the relation to body and neck size.'' Stroke 37 (2006), Nr. 4, S. 1103-1105. DOI 10.1161/01.STR.0000206440.48756.f7.&lt;/ref&gt; Der gewählte Durchmesser von &lt;math&gt;D_0 = 6\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; liegt damit innerhalb einer Standardabweichung beider Gruppen und ist bewusst auf einen runden Wert gesetzt, damit alle abgeleiteten Längen glatte Zahlen ergeben.
# Die '''Länge der Störstelle''' &lt;math&gt;L_s = 2 D_0 = 12\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; entspricht der Standardgeometrie aus der Literatur, die eine Stenosenlänge von zwei Durchmessern verwendet.&lt;ref name=&quot;varghese&quot; /&gt; Damit ist beim Stenosegrad 0,5 ein direkter Vergleich mit veröffentlichten Ergebnissen möglich.
# Die '''Vorlaufstrecke''' &lt;math&gt;L_u = 5 D_0 = 30\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; trennt den Einlass von der Stenose. Da am Einlass bereits das voll entwickelte Profil vorgegeben wird, muss sie nicht die Einlaufstrecke abdecken, sondern nur verhindern, dass die Einströmrandbedingung die Strömung an der Engstelle beeinflusst. Bei Reynoldszahlen in dieser Größenordnung reicht der Einfluss einer Verengung nur wenige Durchmesser stromaufwärts, die Literatur kommt für dieselbe Geometrie mit drei Durchmessern Vorlauf aus.&lt;ref name=&quot;varghese&quot; /&gt; Fünf Durchmesser lassen also eine Reserve. Überprüft wird das im Ergebnis, indem die Geschwindigkeit auf der Achse in der Mitte der Vorlaufstrecke mit dem Sollwert &lt;math&gt;2U_0&lt;/math&gt; verglichen wird.
# Die '''Nachlaufstrecke''' &lt;math&gt;L_d = 20 D_0 = 120\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; ist deutlich länger, weil sich hinter der Engstelle ein Rückströmgebiet bildet, das nicht auf den Auslass treffen darf. Für die Geometrie mit dem Stenosegrad 0,5 legt die Strömung bei einer Einström-Reynoldszahl von 500 erst etwa zehn Durchmesser hinter der Engstelle wieder an, die Literatur rechnet mit sechzehn Durchmessern Nachlauf.&lt;ref name=&quot;varghese&quot; /&gt; Zwanzig Durchmesser bieten damit für alle Stenosegrade bis 0,5 einen Sicherheitsabstand. Für die Grade ab 0,6 ist ein längeres Rückströmgebiet zu erwarten, dort wird die Lage des Wiederanlegepunktes ausdrücklich kontrolliert.
# Das '''Ende des fein vernetzten Nachlaufs''' &lt;math&gt;L_f = L_s/2 + 10 D_0 = 66\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; legt fest, bis wohin das Netz verfeinert wird. Der Wert ist so gewählt, dass das erwartete Rückströmgebiet von etwa zehn Durchmessern vollständig im feinen Bereich liegt.

Damit hat das Rechengebiet eine Gesamtlänge von &lt;math&gt;L = L_u + L_d = 150\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt;, also das Fünfundzwanzigfache des Durchmessers. Es ist ein Modellgebiet und kein maßstäbliches Abbild eines bestimmten anatomischen Abschnitts.

== Stoff- und Strömungsparameter ==

Die Stoffwerte des Blutes und der Volumenstrom sind die einzigen Eingangsgrößen, die nicht aus der Geometrie folgen. Aus ihnen werden alle weiteren Strömungskennwerte berechnet. Die folgenden Schritte zeigen jede Rechnung einzeln, damit sich jeder Wert nachprüfen lässt.

# Die '''Dichte''' wird mit &lt;math&gt;\rho = 1060\ \mathrm{kg/m^3}&lt;/math&gt; angesetzt. Der Wert lässt sich als Mischungsregel plausibel machen. Plasma hat eine Dichte von etwa 1025 kg/m³, rote Blutkörperchen von etwa 1100 kg/m³. Bei einem Zellanteil von 45 % ergibt sich &lt;math&gt;0{,}55 \cdot 1025 + 0{,}45 \cdot 1100 \approx 1059\ \mathrm{kg/m^3}&lt;/math&gt;. Die Dichte geht nur über die Reynoldszahl in die Rechnung ein, eine Abweichung von einem Prozent ändert die Ergebnisse daher kaum. &lt;!-- FIXME Lehrbuchquelle fuer Plasma- und Erythrozytendichte ergaenzen --&gt;
# Die '''dynamische Viskosität''' wird mit &lt;math&gt;\mu = 3{,}5\ \mathrm{mPa\,s}&lt;/math&gt; angesetzt. Das ist der Grenzwert der Blutviskosität bei hohen Scherraten, also genau der Wert, der zur Newtonschen Näherung gehört. Derselbe Wert von 0,035 Poise wird auch im Standardwerk zur Modellierung des Herz-Kreislauf-Systems verwendet.&lt;ref name=&quot;quarteroni&quot;&gt;Quarteroni, A.; Formaggia, L.: ''Mathematical Modelling and Numerical Simulation of the Cardiovascular System.'' In: Ayache, N. (Hrsg.): ''Computational Models for the Human Body.'' Handbook of Numerical Analysis, Bd. XII, Elsevier, Amsterdam 2004, S. 3-127. DOI 10.1016/S1570-8659(03)12001-7. Zur Newtonschen Näherung in großen Gefäßen siehe S. 30, zur Viskosität von 0,035 Poise die Parametertabelle auf S. 116.&lt;/ref&gt;
# Der '''mittlere Volumenstrom''' wird mit &lt;math&gt;Q_0 = 6\ \mathrm{ml/s}&lt;/math&gt; angesetzt. Das ist der zeitlich gemittelte Volumenstrom, der in der gemeinsamen Halsschlagader gesunder Probanden gemessen wurde.&lt;ref name=&quot;holdsworth&quot; /&gt;
# Die '''mittlere Geschwindigkeit''' folgt aus Volumenstrom und Querschnittsfläche, &lt;math&gt;U_0 = \frac{Q_0}{\pi R_0^2} = \frac{6 \cdot 10^{-6}\ \mathrm{m^3/s}}{\pi \cdot (0{,}003\ \mathrm{m})^2} = 0{,}2122\ \mathrm{m/s}&lt;/math&gt;.
# Die '''Reynoldszahl''' des gesunden Gefäßes ist &lt;math&gt;Re_0 = \frac{\rho\, U_0\, D_0}{\mu} = \frac{1060 \cdot 0{,}2122 \cdot 0{,}006}{0{,}0035} = 385{,}6&lt;/math&gt;. Sie wird im Folgenden auf 386 gerundet.
# Die '''Einlauflänge''', die eine anfangs gleichförmige Strömung bis zum voll entwickelten Parabelprofil bräuchte, beträgt nach der gebräuchlichen Abschätzung für laminare Rohrströmungen &lt;math&gt;L_e \approx 0{,}06\, Re_0\, D_0 \approx 0{,}06 \cdot 386 \cdot 6\ \mathrm{mm} \approx 139\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt;.&lt;ref name=&quot;durst&quot;&gt;Durst, F.; Ray, S.; Ünsal, B.; Bayoumi, O. A.: ''The development lengths of laminar pipe and channel flows.'' Journal of Fluids Engineering 127 (2005), Nr. 6, S. 1154-1160. Für große Reynoldszahlen nähert sich die dort angegebene Korrelation dem Wert 0,057·Re·D.&lt;/ref&gt; Das ist fast die gesamte Länge des Rechengebiets. Ein konstantes Einlassprofil würde die Strömung an der Stenose also verfälschen, weshalb am Einlass das voll entwickelte Profil vorgegeben wird.

Damit liegen alle globalen Parameter fest. Die folgende Tabelle enthält sie mit genau den Namen, unter denen sie in COMSOL und in den Octave-Skripten verwendet werden.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Globale Parameter des Modells
! Name !! Ausdruck in COMSOL !! Wert !! Bedeutung !! Herkunft
|-
| R0 || 3[mm] || 3 mm || Gefäßradius || Messwerte nach Krejza u. a. 2006, gerundet
|-
| D0 || 2*R0 || 6 mm || Gefäßdurchmesser || abgeleitet
|-
| Ls || 2*D0 || 12 mm || Länge der Störstelle || Standardgeometrie nach Varghese u. a. 2007
|-
| Lu || 5*D0 || 30 mm || Vorlaufstrecke vor der Stenosemitte || Abstand der Einlassbedingung von der Stenose
|-
| Ld || 20*D0 || 120 mm || Nachlaufstrecke hinter der Stenosemitte || Platz für das Rückströmgebiet
|-
| Lf || Ls/2+10*D0 || 66 mm || Ende des fein vernetzten Nachlaufs || erwartete Länge des Rückströmgebiets
|-
| s || 0 bis 0.8 || 0 bis 0,8 || Stenosegrad bezogen auf den Durchmesser || NASCET-Einteilung
|-
| rho_b || 1060[kg/m^3] || 1060 kg/m³ || Dichte des Blutes || Mischungsregel, Literaturwert
|-
| mu_b || 3.5[mPa*s] || 3,5 mPa·s || dynamische Viskosität des Blutes || Hochscherwert, Quarteroni und Formaggia 2004
|-
| Q0 || 6[ml/s] || 6 ml/s || mittlerer Volumenstrom || Messwerte nach Holdsworth u. a. 1999
|-
| U0 || Q0/(pi*R0^2) || 0,2122 m/s || mittlere Einströmgeschwindigkeit || abgeleitet
|-
| Re0 || rho_b*U0*D0/mu_b || 385,6 || Reynoldszahl des gesunden Gefäßes || abgeleitet
|-
| dp_ref || 8*mu_b*U0*(Lu+Ld)/R0^2 || 99,03 Pa || Poiseuille-Druckabfall des gesunden Gefäßes || abgeleitet, Hagen-Poiseuille
|}


= Literaturverzeichnis =

Alle Quellen sind an den Stellen im Text angegeben, an denen die zugehörigen Werte oder Aussagen verwendet werden. Die Liste wird aus diesen Angaben automatisch erzeugt.

&lt;references /&gt;</text>
      <sha1>9sgvgufof4ccmwoti0kd69bfirq13wl</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>1115911</id>
      <parentid>1115910</parentid>
      <timestamp>2026-10-12T17:06:39Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Heitele</username>
        <id>38553</id>
      </contributor>
      <origin>1115911</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="59769" sha1="ec37rmtd8dtxpqabnl15c1a85oe4f90" xml:space="preserve">= Gruppenteilnehmer =
* Joey Becker
* Marie-Thérèse Heitele
* Nicole Pander

= Thema und Fragestellung =

Gegenstand dieses Projekts ist die numerische Simulation der Blutströmung in einer verzweigten Halsschlagader ('''Carotis-Bifurkation''') unter dem Einfluss einer lokalen Gefäßverengung ('''Stenose''').
Im Vergleich zu einfachen Rohrströmungen wird hier die realitätsnahe Gefäßanatomie betrachtet: Die '''Arteria carotis communis (ACC)''' teilt sich in die '''Arteria carotis externa (ACE)''' und die '''Arteria carotis interna (ACI)''' auf. Während die '''ACE''' als gesunder, stenosefreier Ast dient, wird in der '''ACI''' eine geglättete, kosinusförmige Gefäßverengung modelliert. Um scharfe Kanten und unphysiologische Druckspitzen zu vermeiden, werden alle Wandübergänge und die Gabelungsspitze (Apex) anatomisch verrundet.

Als Referenz dient ein gesundes, unverengtes Gefäß, in dem sich die Poiseuille-Strömung mit ihrem charakteristischen parabolischen Geschwindigkeitsprofil ausbildet. Diese Strömung ist aus zwei Gründen der natürliche Ausgangspunkt. Sie beschreibt den physiologischen Normalfall, mit dem jeder Stenosegrad verglichen wird, und sie ist exakt lösbar, sodass sich an ihr jede numerische Rechnung prüfen lässt, bevor die Verengung hinzukommt.

== Fragestellung ==
Die Hauptfragestellung dieses Projektes lautet: 
Wie verändert eine symmetrische bzw. rotationssymmetrische Stenose in der '''Arteria carotis interna (ACI)''' die stationäre Strömung eines inkompressiblen Newton’schen Fluids in einer 2D-Carotis-Bifurkation hinsichtlich Geschwindigkeitsverteilung, Druckabfall, Wandschubspannung und Wirbelbildung im Vergleich zu den gesunden Gefäßabschnitten?

Aus dieser Fragestellung ergeben sich drei Teilfragen, an denen sich der Aufbau der Seite orientiert:

# Welche Strömungsgrößen reagieren empfindlich auf den Stenosegrad und welche nur träge?
# Ab welchem Stenosegrad ändert sich das Strömungsmuster qualitativ, das heißt, ab wann löst die Strömung hinter der Engstelle von der Wand ab und bildet ein Rückströmgebiet?
# Wie weit tragen die vereinfachenden Modellannahmen, insbesondere die Annahme einer stationären und laminaren Strömung, über den untersuchten Bereich der Stenosegrade?

== Modellannahmen ==
Im Hinblick darauf werden für dieses Projekt einige Annahmen getroffen, um das Projekt möglichst isoliert zu untersuchen und zu simplifizieren:

* '''Idealisierte Gefäßgeometrie''': Betrachtet wird ein  Teilabbschnitt der ''Arteria carotis communis'', die sog. ''ACI''. Zudem werden Gefäßverkrümmungen, weitere Verzweigungen und patientenspezifische Strukturen  nicht berücksichtigt. 
* '''Starre Gefäßwand''': Die Gefäßwand wird als unbeweglich und nicht verformbar angenommen. Eine Wechselwirkung zwischen elastischer Gefäßwand und Blutströmung wird nicht modelliert.
* '''Stationäre Strömung''': Die Strömungsgrößen werden als zeitlich konstant angenommen. Die im realen Blutkreislauf vorhandene Pulsation durch den Herzschlag wird daher vernachlässigt: &lt;math&gt;\frac{\partial u}{\partial t}=0&lt;/math&gt;.
* '''Inkompressibles Fluid''': Die Dichte des Fluids wird als konstant angenommen. Damit gilt für die Geschwindigkeit &lt;math&gt;\nabla \cdot u=0&lt;/math&gt;. Dies entspricht der in der Vorlesung behandelten Massenerhaltung für inkompressible Fluide: Was in das Gefäß einströmt, muss auch wieder ausströmen.
* '''Newton'sche Näherung für Blut''': Reales Blut beseitzt ein nicht newton'sches Fließverhalten. Hier wird Blut als Newton'sches Fluid behandelt.
* '''Konstante Stoffeigenschaften''': Dichte &lt;math&gt;\rho&lt;/math&gt; und dynamische Viskosität μ werden als räumlich und zeitlich konstant angenommen. Temperaturabhängigkeiten werden nicht berücksichtigt.
* '''Laminare Strömung''': Die Strömung wird mit dem COMSOL-Modul ''Laminar Flow'' beschrieben. Ein zusätzliches Turbulenzmodell wird nicht verwendet.
* '''No-Slip-Bedingung an Gefäßwand''': Aufgrund der Viskosität wird angenommen, dass das Fluid direkt an der Gefäßwand haftet. Somit gilt &lt;math&gt;u=0&lt;/math&gt;.
* '''Vernachlässigung der Gravitation''': Gravitation wird nicht berücksichtigt. Die Strömung wird ausschließlich durch die gewählten Ein- und Auslassbedingungen bestimmt.

= Relevanz =
Die Untersuchung von Gefäßverengungen besitzt sowohl eine medizinische als auch eine methodische Bedeutung. Aus medizinischer Sicht sind arterielle Stenosen – etwa in der Halsschlagader, lat. ''arteria carotis communis'', – kritisch, da sie die Durchblutung beeinträchtigen und durch veränderte Wandschubspannungen sowie die Bildung von Wirbeln weitere Gefäßablagerungen begünstigen. Stenosen im Bereich der Karotisgabelung sind klinisch hochrelevant, da sie das Gehirn direkt versorgen und das Risiko für embolische Schlaganfälle erhöhen. Fachlich überträgt das Projekt damit die Prinzipien der Strömungsmechanik direkt auf eine biomedizinische Anwendung. Das Projekt verknüpft somit theoretische Grundlagen der Strömungsmechanik (Hagen-Poiseuille-Gleichung, Navier-Stokes-Gleichungen) mit der numerischen Simulation in COMSOL Multiphysics. Durch den Vergleich der '''gesunden Externa (ACE)''' mit der '''stenoisierten Interna (ACI)''' innerhalb desselben Rechengebiets wird die isolierte Wirkung der Stenose unter identischen Randbedingungen direkt sichtbar gemacht.

== Medizinische Relevanz ==

Arterielle Stenosen entstehen überwiegend durch Atherosklerose, also durch Ablagerungen aus Lipiden, Bindegewebe und Kalk in der Gefäßwand. In der Halsschlagader sind sie klinisch besonders bedeutsam, weil sie die Durchblutung des Gehirns beeinträchtigen und weil sich an ihnen Thromben bilden können, die als Embolie einen Schlaganfall auslösen. Dass die operative Entfernung einer hochgradigen Karotisstenose das Schlaganfallrisiko symptomatischer Patienten deutlich senkt, hat die NASCET-Studie gezeigt, deren Einteilung der Stenosegrade dieses Projekt übernimmt.&lt;ref name=&quot;nascet&quot;&gt;North American Symptomatic Carotid Endarterectomy Trial Collaborators: ''Beneficial effect of carotid endarterectomy in symptomatic patients with high-grade carotid stenosis.'' New England Journal of Medicine 325 (1991), Nr. 7, S. 445-453.&lt;/ref&gt;

Strömungsmechanisch ist an einer Stenose vor allem die Wandschubspannung von Interesse, also die tangentiale Kraft je Fläche, die das strömende Blut auf die innerste Zellschicht der Gefäßwand ausübt. Gesunde Halsschlagadern weisen zeitlich gemittelte Werte von etwa 1,1 bis 1,5 Pa auf.&lt;ref name=&quot;samijo&quot;&gt;Samijo, S. K.; Willigers, J. M.; Barkhuysen, R.; Kitslaar, P. J. E. H. M.; Reneman, R. S.; Brands, P. J.; Hoeks, A. P. G.: ''Wall shear stress in the human common carotid artery as function of age and gender.'' Cardiovascular Research 39 (1998), Nr. 2, S. 515-522.&lt;/ref&gt; In einer Engstelle steigt sie stark an, unmittelbar dahinter fällt sie im Ablösegebiet auf nahezu null und wechselt dort sogar das Vorzeichen. Niedrige und im Vorzeichen wechselnde Wandschubspannungen gelten als Bedingungen, unter denen sich weitere Ablagerungen bevorzugt bilden. Eine bestehende Stenose schafft also stromabwärts die Voraussetzungen für ihr eigenes Wachstum. Genau diese Verteilung lässt sich im Körper nur schwer messen, in einer Simulation dagegen unmittelbar auswerten.

== Methodische Relevanz ==

Fachlich überträgt das Projekt die Prinzipien der Strömungsmechanik aus der Vorlesung auf eine biomedizinische Anwendung.&lt;ref name=&quot;hundertmark&quot;&gt;Hundertmark, A.: ''Fluiddynamik.'' Vorlesungsunterlagen zum Modul Räumliche Modellbildung, RPTU Kaiserslautern-Landau, Sommersemester 2026.&lt;/ref&gt; Der methodische Mehrwert liegt in der Verknüpfung mehrerer Zugänge, die sich gegenseitig kontrollieren. Die analytische Poiseuille-Lösung liefert exakte Sollwerte für das gesunde Gefäß. Ein reduziertes Graphenmodell liefert für jeden Stenosegrad eine schnelle Abschätzung, die analytisch nachrechenbar ist. Die Simulationen in COMSOL Multiphysics lösen schließlich die vollständigen Navier-Stokes-Gleichungen in zwei und drei Raumdimensionen. Weil jede Stufe die Sollwerte der nächsten liefert, zeigt das Projekt nicht nur Ergebnisse, sondern auch, wie numerische Modelle aufgebaut, verifiziert und an ihren Grenzen bewertet werden.

== Auswahl der Stenosegrade ==

Um die untersuchten Gefäßverengungen nicht willkürlich festzulegen, orientiert sich die Auswahl der Stenosegrade an der klinisch gebräuchlichen NASCET-Klassifikation von Karotisstenosen.&lt;ref name=&quot;nascet&quot; /&gt; Zur klinischen Einordnung werden Karotisstenosen anhand der nach NASCET bestimmten Durchmesserreduktion in leichtgradige, mittelgradige und hochgradige Stenosen eingeteilt. Die angegebenen Prozentgrenzen dienen in diesem Projekt als Orientierung für die Auswahl der untersuchten Stenosegrade. Ein vollständiger Gefäßverschluss wird als Okklusion bezeichnet.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Klinische Einteilung nach NASCET-gemessener Durchmesserreduktion und untersuchte Stenosegrade
! Schweregrad !! Durchmesserreduktion !! im Projekt gerechnete Stenosegrade !! hervorgehobener Vertreter
|-
| gesundes Gefäß || 0 % || 0 || 0
|-
| leichtgradige Stenose || unter 50 % || 0,1 bis 0,4 || 0,3
|-
| mittelgradige Stenose || 50 bis 69 % || 0,5 und 0,6 || 0,6
|-
| hochgradige Stenose || 70 bis 99 % || 0,7 und 0,8 || 0,8
|-
| Okklusion || 100 % || nicht gerechnet || entfällt
|}
'''Anmerkung''': Die Klassengrenzen dienen der Einordnung der Modellvarianten. Die in der Tabelle genannten Stenosegrade sind dimensionslose Werte, beispielsweise entspricht '''&lt;math&gt;s=0{,}6&lt;/math&gt;''' einer Durchmesserreduktion von '''60 %'''.

Für die numerische Untersuchung wird aus jeder Kategorie ein repräsentativer Stenosegrad hervorgehoben. Neben dem gesunden Gefäß mit '''0 %''' Stenose sind das eine '''30 %''' Stenose als Beispiel für eine leichtgradige, eine '''60 %''' Stenose als Beispiel für eine mittelgradige und eine '''80 %''' Stenose als Beispiel für eine hochgradige Verengung. Zusätzlich werden für das Graphenmodell und das achsensymmetrische Flächenmodell Stenosegrade von 0 bis 80 % in Schritten von zehn Prozentpunkten vorgesehen. Dadurch kann die Abhängigkeit der Strömungsgrößen vom Stenosegrad systematisch untersucht und grafisch dargestellt werden. Ob alle Modellvarianten tatsächlich berechnet wurden und wie hoch der Rechenaufwand war, wird anhand der durchgeführten Simulationen dokumentiert. Ein vollständiger Gefäßverschluss wird nicht simuliert, da in diesem Fall keine durchgängige Strömung mehr vorliegt.

Der Stenosegrad wird in diesem Projekt wie bei NASCET über die Verringerung des Gefäßdurchmessers beschrieben,
&lt;math&gt;s = 1 - \frac{d_{\min}}{d_{\mathrm{ref}}},&lt;/math&gt;wobei &lt;math&gt;d_{\min}&lt;/math&gt; der kleinste Durchmesser in der Engstelle und &lt;math&gt;d_{\mathrm{ref}}&lt;/math&gt; ein Referenzdurchmesser ist. NASCET verwendet als Referenz den Durchmesser des gesunden Gefäßes stromabwärts der Stenose. Für das idealisierte gerade Gefäßmodell wird ein konstanter Referenzdurchmesser von &lt;math&gt;D_0=6\,\mathrm{mm}&lt;/math&gt; angenommen. Da das Gefäß außerhalb der Stenose denselben Durchmesser besitzt, gilt in diesem Modell&lt;math&gt;d_{\mathrm{ref}}=D_0&lt;/math&gt;. Bei der zusätzlich betrachteten Gefäßaufzweigung muss der Referenzdurchmesser dagegen gesondert festgelegt werden, da die Gefäßäste unterschiedliche Durchmesser besitzen.

Wichtig für das Verständnis aller weiteren Ergebnisse ist der Unterschied zwischen Durchmesser- und Flächenreduktion. Da die Querschnittsfläche quadratisch vom Durchmesser abhängt, gilt für die Flächenreduktion &lt;math&gt;1-(1-s)^2&lt;/math&gt;. Eine im klinischen Sinn nur mittelgradige Stenose von 60 % verschließt damit bereits 84 % der Querschnittsfläche.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Durchmesser- und Flächenreduktion der gerechneten Stenosegrade
! Stenosegrad s !! 0 !! 0,1 !! 0,2 !! 0,3 !! 0,4 !! 0,5 !! 0,6 !! 0,7 !! 0,8
|-
| engster Durchmesser in mm || 6,0 || 5,4 || 4,8 || 4,2 || 3,6 || 3,0 || 2,4 || 1,8 || 1,2
|-
| Flächenreduktion || 0 % || 19 % || 36 % || 51 % || 64 % || 75 % || 84 % || 91 % || 96 %
|}

Eine Einschränkungen gehört zur ehrlichen Einordnung: 
# Mit zunehmendem Stenosegrad, insbesondere bei ausgeprägten Verengungen, können lokale Beschleunigungen, Strömungsablösungen und zeitabhängige Strömungsstrukturen auftreten. Daher muss bei den hochgradigen Stenosen geprüft werden, inwieweit die Annahme einer stationären, laminaren Strömung geeignet ist. Eine feste Grenze bei &lt;math&gt;s=0{,}6&lt;/math&gt; lässt sich ohne entsprechende Simulationsergebnisse oder Literaturbelege nicht allgemein festlegen. Die hochgradigen Fälle werden deshalb unter besonderer Berücksichtigung der Modellannahmen diskutiert.

Unter Modellierung wird in diesem Projekt die Übertragung der Blutströmung in einer verengten Arterie auf ein mathematisches und numerisch lösbares Strömungsproblem verstanden. Dazu werden die Gefäßgeometrie, die zugrunde liegenden Gleichungen, die physikalischen Materialparameter sowie die Anfangs- und Randbedingungen festgelegt.

Jeder dieser Bestandteile beruht auf vereinfachenden Annahmen, die begründet und bei der Interpretation der Ergebnisse berücksichtigt werden müssen. Ziel ist es, den Einfluss unterschiedlicher Stenosegrade auf die Strömungsgeschwindigkeit, den Druckverlust und gegebenenfalls die Wandschubspannung systematisch zu untersuchen.

Die Modellierung erfolgt anhand mehrerer Modellvarianten mit unterschiedlicher räumlicher Auflösung. Dadurch können zunächst grundlegende Zusammenhänge analytisch abgeschätzt und anschließend mit numerischen Strömungsberechnungen verglichen werden. Die verwendeten Parameter orientieren sich an den bereitgestellten Referenzdaten und werden in den folgenden Abschnitten erläutert.

== Modellierung ==

Ziel der Modellierung ist es, die Blutströmung innerhalb einer Y-förmigen Aufzweigung der Halsschlagader mathematisch und numerisch zu untersuchen. Im Mittelpunkt steht eine Gefäßverengung (Stenose) in der Arteria carotis interna.

Das betrachtete Gefäßmodell besteht aus der Arteria carotis communis, die sich in die Arteria carotis interna und die Arteria carotis externa aufteilt. Die Stenose befindet sich ausschließlich in der Arteria carotis interna.

Durch die Verengung verändert sich der verfügbare Strömungsquerschnitt. Dies kann zu einer Erhöhung der lokalen Strömungsgeschwindigkeit, zu zusätzlichen Druckverlusten und zu einer Veränderung der Strömungsverteilung zwischen den beiden Gefäßästen führen.

Ziel ist es, den Einfluss unterschiedlicher Stenosegrade auf die Strömungsgeschwindigkeit, die Druckverteilung und die Wandschubspannung zu untersuchen. Zusätzlich soll betrachtet werden, wie sich die Strömung innerhalb der Y-förmigen Gefäßaufzweigung verhält.

Die numerische Modellierung erfolgt mit COMSOL Multiphysics. Dazu werden die Gefäßgeometrie, die Materialeigenschaften des Blutes, die Strömungsgleichungen und die Randbedingungen festgelegt.

Zur Vereinfachung wird Blut zunächst als inkompressibles, Newtonsches Fluid betrachtet. Die Gefäßwände werden als starr angenommen. Diese Annahmen ermöglichen eine systematische Untersuchung der Stenose, schränken jedoch die Übertragbarkeit auf reale physiologische Bedingungen ein.

=== Modellhierarchie ===

Für die Untersuchung der Blutströmung innerhalb der Y-förmigen Karotisaufzweigung werden drei Modellvarianten betrachtet. Diese unterscheiden sich hinsichtlich ihrer räumlichen Dimension, ihrer mathematischen Beschreibung und der Genauigkeit, mit der die Strömungsverhältnisse dargestellt werden können.

Das untersuchte Gefäß besteht aus der Arteria carotis communis, die sich in die Arteria carotis interna und die Arteria carotis externa aufteilt. Die Stenose befindet sich ausschließlich in der Arteria carotis interna.

Alle drei Modellvarianten werden mit COMSOL Multiphysics umgesetzt.

{| class=&quot;wikitable&quot; style=&quot;width:100%;&quot;
|+ '''Die drei Modellvarianten des Projekts'''
|-
! Modell
! Raumdimension
! Mathematische Grundlage
! Zweck
! Werkzeug
|-
| '''Graphenmodell'''
| 1D, Gefäßnetzwerk mit einer Verzweigung
| Massenerhaltung an der Verzweigung und vereinfachte Beschreibung der Strömungswiderstände
| Abschätzung der Volumenstromverteilung und der Druckverluste in den Gefäßästen
| COMSOL Multiphysics
|-
| '''Ebenes Flächenmodell'''
| 2D, Y-förmige Gefäßgeometrie in kartesischen Koordinaten
| Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen
| Untersuchung der Geschwindigkeits- und Druckverteilung sowie der Auswirkungen der Stenose in der Arteria carotis interna
| COMSOL Multiphysics, Laminare Strömung
|-
| '''Volumenmodell'''
| 3D, räumliche Y-förmige Gefäßgeometrie
| Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen
| Räumliche Untersuchung des Geschwindigkeitsfeldes, des Druckverlustes und der Wandschubspannung
| COMSOL Multiphysics, Laminare Strömung
|}

==== Vergleich und Überprüfung der Modellvarianten ====

Die drei Modellvarianten bauen hinsichtlich ihrer räumlichen Beschreibung aufeinander auf. Das Graphenmodell ermöglicht zunächst eine vereinfachte Betrachtung der Volumenströme und Druckverluste. Die zwei- und dreidimensionalen Modelle erlauben anschließend eine detailliertere Untersuchung der Strömung innerhalb der Gefäßaufzweigung.

Das '''Graphenmodell''' beschreibt die Arteria carotis communis sowie die beiden abzweigenden Gefäße als miteinander verbundenes Netzwerk. Dabei wird die Massenerhaltung an der Verzweigung berücksichtigt:

:&lt;math&gt;Q_{\mathrm{CCA}}=Q_{\mathrm{ICA}}+Q_{\mathrm{ECA}}&lt;/math&gt;

Das Modell liefert vereinfachte Abschätzungen der Volumenstromverteilung. Lokale Strömungsablösungen und räumliche Geschwindigkeitsverteilungen können damit nicht detailliert dargestellt werden.

Das '''ebene Flächenmodell''' bildet die Y-förmige Gefäßaufzweigung in zwei Raumdimensionen ab. Die Stenose wird innerhalb der Arteria carotis interna berücksichtigt. Dadurch können die Geschwindigkeits- und Druckverteilung sowie mögliche Rückströmungsbereiche untersucht werden.

Das '''Volumenmodell''' erweitert die Untersuchung auf drei Raumdimensionen. Es ermöglicht eine räumliche Darstellung der Strömung und eine detailliertere Berechnung der Wandschubspannung.

Die Ergebnisse des ebenen Flächenmodells und des Volumenmodells werden miteinander verglichen. Da das ebene Modell die räumliche Querschnittsgeometrie nur vereinfacht darstellt, müssen Unterschiede zwischen den beiden Modellen bei der Interpretation berücksichtigt werden.

Ziel der Modellhierarchie ist es, die Aussagekraft der einzelnen Modellvarianten zu bewerten und den Einfluss des Stenosegrades auf die Strömung innerhalb der Y-förmigen Karotisaufzweigung zu untersuchen.

=== Simulationsgebiet und Geometrie ===

Das Simulationsgebiet besteht aus einer idealisierten Y-förmigen Aufzweigung der Arteria carotis. Die Arteria carotis communis teilt sich in die Arteria carotis interna und die Arteria carotis externa.

Die Stenose befindet sich in der Arteria carotis interna. Die Arteria carotis externa wird ohne zusätzliche Verengung modelliert.

Die Geometrie orientiert sich an den bereitgestellten Referenzdaten. Die Gefäßdurchmesser werden innerhalb der jeweiligen unverengten Abschnitte als konstant angenommen.

{| class=&quot;wikitable&quot; style=&quot;width:100%;&quot;
|+ '''Geometrische Referenzparameter der Y-förmigen Gefäßaufzweigung'''
|-
! Gefäßabschnitt
! Durchmesser
! Länge
|-
| Arteria carotis communis
| 6 mm
| 60 mm
|-
| Arteria carotis interna
| 5 mm
| 60 mm
|-
| Arteria carotis externa
| 4 mm
| 60 mm
|-
| Stenose in der Arteria carotis interna
| Abhängig vom Stenosegrad
| 10 mm
|}

Die Verengung wird über den Stenosegrad &lt;math&gt;s&lt;/math&gt; beschrieben. Dieser gibt die relative Verringerung des Gefäßdurchmessers an:

:&lt;math&gt;s=1-\frac{d_{\min}}{D_{\mathrm{ICA}}}&lt;/math&gt;

Dabei bezeichnet &lt;math&gt;d_{\min}&lt;/math&gt; den minimalen Durchmesser innerhalb der Stenose und &lt;math&gt;D_{\mathrm{ICA}}&lt;/math&gt; den unverengten Referenzdurchmesser der Arteria carotis interna.

Für das Modell gilt:

:&lt;math&gt;D_{\mathrm{ICA}}=5\,\mathrm{mm}&lt;/math&gt;

Der minimale Durchmesser ergibt sich damit zu:

:&lt;math&gt;d_{\min}=D_{\mathrm{ICA}}(1-s)&lt;/math&gt;

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ '''Minimaler Durchmesser der Stenose in der Arteria carotis interna'''
|-
! Stenosegrad
! Minimaler Durchmesser
|-
| 0 %
| 5,0 mm
|-
| 10 %
| 4,5 mm
|-
| 20 %
| 4,0 mm
|-
| 30 %
| 3,5 mm
|-
| 40 %
| 3,0 mm
|-
| 50 %
| 2,5 mm
|-
| 60 %
| 2,0 mm
|-
| 70 %
| 1,5 mm
|-
| 80 %
| 1,0 mm
|}

Die angegebenen Stenosegrade beziehen sich ausschließlich auf den Durchmesser der Arteria carotis interna. Der Durchmesser der Arteria carotis communis wird nicht zur Berechnung des Stenosegrades verwendet.

Die Y-förmige Geometrie ermöglicht es, die Auswirkungen der Verengung sowohl auf die lokale Strömung in der Arteria carotis interna als auch auf die Strömungsverteilung innerhalb der gesamten Gefäßaufzweigung zu untersuchen.

Die genaue Form der Stenose, der Verzweigungswinkel und die Übergänge zwischen den Gefäßabschnitten müssen entsprechend der tatsächlich in COMSOL verwendeten Geometrie dokumentiert werden.


== Stoff- und Strömungsparameter ==

Die Stoffwerte des Blutes und der Volumenstrom sind die einzigen Eingangsgrößen, die nicht aus der Geometrie folgen. Aus ihnen werden alle weiteren Strömungskennwerte berechnet. Die folgenden Schritte zeigen jede Rechnung einzeln, damit sich jeder Wert nachprüfen lässt.

# Die '''Dichte''' wird mit &lt;math&gt;\rho = 1060\ \mathrm{kg/m^3}&lt;/math&gt; angesetzt. Der Wert lässt sich als Mischungsregel plausibel machen. Plasma hat eine Dichte von etwa 1025 kg/m³, rote Blutkörperchen von etwa 1100 kg/m³. Bei einem Zellanteil von 45 % ergibt sich &lt;math&gt;0{,}55 \cdot 1025 + 0{,}45 \cdot 1100 \approx 1059\ \mathrm{kg/m^3}&lt;/math&gt;. Die Dichte geht nur über die Reynoldszahl in die Rechnung ein, eine Abweichung von einem Prozent ändert die Ergebnisse daher kaum. &lt;!-- FIXME Lehrbuchquelle fuer Plasma- und Erythrozytendichte ergaenzen --&gt;
# Die '''dynamische Viskosität''' wird mit &lt;math&gt;\mu = 3{,}5\ \mathrm{mPa\,s}&lt;/math&gt; angesetzt. Das ist der Grenzwert der Blutviskosität bei hohen Scherraten, also genau der Wert, der zur Newtonschen Näherung gehört. Derselbe Wert von 0,035 Poise wird auch im Standardwerk zur Modellierung des Herz-Kreislauf-Systems verwendet.&lt;ref name=&quot;quarteroni&quot;&gt;Quarteroni, A.; Formaggia, L.: ''Mathematical Modelling and Numerical Simulation of the Cardiovascular System.'' In: Ayache, N. (Hrsg.): ''Computational Models for the Human Body.'' Handbook of Numerical Analysis, Bd. XII, Elsevier, Amsterdam 2004, S. 3-127. DOI 10.1016/S1570-8659(03)12001-7. Zur Newtonschen Näherung in großen Gefäßen siehe S. 30, zur Viskosität von 0,035 Poise die Parametertabelle auf S. 116.&lt;/ref&gt;
# Der '''mittlere Volumenstrom''' wird mit &lt;math&gt;Q_0 = 6\ \mathrm{ml/s}&lt;/math&gt; angesetzt. Das ist der zeitlich gemittelte Volumenstrom, der in der gemeinsamen Halsschlagader gesunder Probanden gemessen wurde.&lt;ref name=&quot;holdsworth&quot; /&gt;
# Die '''mittlere Geschwindigkeit''' folgt aus Volumenstrom und Querschnittsfläche, &lt;math&gt;U_0 = \frac{Q_0}{\pi R_0^2} = \frac{6 \cdot 10^{-6}\ \mathrm{m^3/s}}{\pi \cdot (0{,}003\ \mathrm{m})^2} = 0{,}2122\ \mathrm{m/s}&lt;/math&gt;.
# Die '''Reynoldszahl''' des gesunden Gefäßes ist &lt;math&gt;Re_0 = \frac{\rho\, U_0\, D_0}{\mu} = \frac{1060 \cdot 0{,}2122 \cdot 0{,}006}{0{,}0035} = 385{,}6&lt;/math&gt;. Sie wird im Folgenden auf 386 gerundet.
# Die '''Einlauflänge''', die eine anfangs gleichförmige Strömung bis zum voll entwickelten Parabelprofil bräuchte, beträgt nach der gebräuchlichen Abschätzung für laminare Rohrströmungen &lt;math&gt;L_e \approx 0{,}06\, Re_0\, D_0 \approx 0{,}06 \cdot 386 \cdot 6\ \mathrm{mm} \approx 139\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt;.&lt;ref name=&quot;durst&quot;&gt;Durst, F.; Ray, S.; Ünsal, B.; Bayoumi, O. A.: ''The development lengths of laminar pipe and channel flows.'' Journal of Fluids Engineering 127 (2005), Nr. 6, S. 1154-1160. Für große Reynoldszahlen nähert sich die dort angegebene Korrelation dem Wert 0,057·Re·D.&lt;/ref&gt; Das ist fast die gesamte Länge des Rechengebiets. Ein konstantes Einlassprofil würde die Strömung an der Stenose also verfälschen, weshalb am Einlass das voll entwickelte Profil vorgegeben wird.

Damit liegen alle globalen Parameter fest. Die folgende Tabelle enthält sie mit genau den Namen, unter denen sie in COMSOL und in den Octave-Skripten verwendet werden.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Globale Parameter des Modells
! Name !! Ausdruck in COMSOL !! Wert !! Bedeutung !! Herkunft
|-
| R0 || 3[mm] || 3 mm || Gefäßradius || Messwerte nach Krejza u. a. 2006, gerundet
|-
| D0 || 2*R0 || 6 mm || Gefäßdurchmesser || abgeleitet
|-
| Ls || 2*D0 || 12 mm || Länge der Störstelle || Standardgeometrie nach Varghese u. a. 2007
|-
| Lu || 5*D0 || 30 mm || Vorlaufstrecke vor der Stenosemitte || Abstand der Einlassbedingung von der Stenose
|-
| Ld || 20*D0 || 120 mm || Nachlaufstrecke hinter der Stenosemitte || Platz für das Rückströmgebiet
|-
| Lf || Ls/2+10*D0 || 66 mm || Ende des fein vernetzten Nachlaufs || erwartete Länge des Rückströmgebiets
|-
| s || 0 bis 0.8 || 0 bis 0,8 || Stenosegrad bezogen auf den Durchmesser || NASCET-Einteilung
|-
| rho_b || 1060[kg/m^3] || 1060 kg/m³ || Dichte des Blutes || Mischungsregel, Literaturwert
|-
| mu_b || 3.5[mPa*s] || 3,5 mPa·s || dynamische Viskosität des Blutes || Hochscherwert, Quarteroni und Formaggia 2004
|-
| Q0 || 6[ml/s] || 6 ml/s || mittlerer Volumenstrom || Messwerte nach Holdsworth u. a. 1999
|-
| U0 || Q0/(pi*R0^2) || 0,2122 m/s || mittlere Einströmgeschwindigkeit || abgeleitet
|-
| Re0 || rho_b*U0*D0/mu_b || 385,6 || Reynoldszahl des gesunden Gefäßes || abgeleitet
|-
| dp_ref || 8*mu_b*U0*(Lu+Ld)/R0^2 || 99,03 Pa || Poiseuille-Druckabfall des gesunden Gefäßes || abgeleitet, Hagen-Poiseuille
|}

== Grenzen des Modells ==

Die untersuchte Gefäßgeometrie ist eine idealisierte Darstellung der Karotisaufzweigung. Individuelle anatomische Unterschiede werden nicht berücksichtigt.

Darüber hinaus werden die Gefäßwände als starr angenommen und Blut wird durch ein inkompressibles Newtonsches Fluid mit konstanter Viskosität beschrieben.

Die Strömung wird stationär berechnet. Die natürliche Pulsation des Blutflusses und zeitabhängige Effekte bleiben damit unberücksichtigt.

Insbesondere bei hochgradigen Stenosen können zeitabhängige Strömungsablösungen auftreten, die durch eine stationäre Modellierung nicht vollständig beschrieben werden.

Das Graphenmodell kann lokale Strömungsphänomene nicht detailliert erfassen. Das ebene Flächenmodell vereinfacht die räumliche Gefäßgeometrie. Auch das dreidimensionale Modell bleibt aufgrund der idealisierten Geometrie und der vereinfachten Materialannahmen eine Annäherung an die reale Blutströmung.

Die Ergebnisse sind daher als strömungsmechanische Untersuchung eines idealisierten Modells zu interpretieren und nicht als patientenspezifische medizinische Vorhersage.


AB HIER ALT== Modellhierarchie ==

Für die Untersuchung werden vier Modellvarianten betrachtet, die sich hinsichtlich ihrer mathematischen Beschreibung, ihrer räumlichen Dimension und ihres Rechenaufwands unterscheiden. Die Modelle sind bewusst von einer vereinfachten analytischen Beschreibung bis zu einer dreidimensionalen numerischen Simulation angeordnet.

Diese Vorgehensweise ermöglicht es, die Ergebnisse der komplexeren Modelle anhand grundlegender physikalischer Zusammenhänge und geeigneter Referenzfälle zu überprüfen. Dabei ist zu beachten, dass nicht jede Modellvariante dieselben Strömungseigenschaften vollständig abbilden kann.

{| class=&quot;wikitable&quot; style=&quot;width:100%;&quot;
|+ '''Die vier Modellvarianten des Projekts'''
|-
! Modell
! Raumdimension
! Mathematische Grundlage
! Zweck
! Werkzeug
|-
| '''Graphenmodell'''
| 1D, Beschreibung entlang der Gefäßachse
| Hagen-Poiseuille-Gesetz für vereinfachte Rohrabschnitte und Massenerhaltung an Verzweigungsknoten
| Analytische Abschätzung von Volumenströmen und Druckverlusten; Referenz für die numerischen Modelle
| COMSOL mit geeigneter eindimensionaler Formulierung
|-
| '''Achsensymmetrisches Flächenmodell'''
| 2D, rotationssymmetrischer Längsschnitt in den Koordinaten &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;z&lt;/math&gt;
| Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen in achsensymmetrischer Form
| Detaillierte Untersuchung von Geschwindigkeits- und Druckfeldern sowie der Wandschubspannung in einem idealisierten rotationssymmetrischen Gefäß
| COMSOL Multiphysics, Laminar Flow
|-
| '''Ebenes Flächenmodell'''
| 2D, ebene Geometrie in den Koordinaten &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;y&lt;/math&gt;
| Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen in kartesischen Koordinaten
| Untersuchung der Strömung in einer vereinfachten ebenen Geometrie und Vergleich mit dem achsensymmetrischen Modell
| COMSOL Multiphysics, Laminar Flow
|-
| '''Volumenmodell'''
| 3D, räumliche Gefäßgeometrie
| Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen in drei Raumdimensionen
| Räumliche Darstellung der Strömung und Überprüfung der Ergebnisse des achsensymmetrischen Modells bei vergleichbarer Geometrie
| COMSOL Multiphysics, Laminar Flow
|}

== Stoff- und Strömungsparameter ==

Die Stoffwerte des Blutes und der Volumenstrom sind die einzigen Eingangsgrößen, die nicht aus der Geometrie folgen. Aus ihnen werden alle weiteren Strömungskennwerte berechnet. Die folgenden Schritte zeigen jede Rechnung einzeln, damit sich jeder Wert nachprüfen lässt.

# Die '''Dichte''' wird mit &lt;math&gt;\rho = 1060\ \mathrm{kg/m^3}&lt;/math&gt; angesetzt. Der Wert lässt sich als Mischungsregel plausibel machen. Plasma hat eine Dichte von etwa 1025 kg/m³, rote Blutkörperchen von etwa 1100 kg/m³. Bei einem Zellanteil von 45 % ergibt sich &lt;math&gt;0{,}55 \cdot 1025 + 0{,}45 \cdot 1100 \approx 1059\ \mathrm{kg/m^3}&lt;/math&gt;. Die Dichte geht nur über die Reynoldszahl in die Rechnung ein, eine Abweichung von einem Prozent ändert die Ergebnisse daher kaum. &lt;!-- FIXME Lehrbuchquelle fuer Plasma- und Erythrozytendichte ergaenzen --&gt;
# Die '''dynamische Viskosität''' wird mit &lt;math&gt;\mu = 3{,}5\ \mathrm{mPa\,s}&lt;/math&gt; angesetzt. Das ist der Grenzwert der Blutviskosität bei hohen Scherraten, also genau der Wert, der zur Newtonschen Näherung gehört. Derselbe Wert von 0,035 Poise wird auch im Standardwerk zur Modellierung des Herz-Kreislauf-Systems verwendet.&lt;ref name=&quot;quarteroni&quot;&gt;Quarteroni, A.; Formaggia, L.: ''Mathematical Modelling and Numerical Simulation of the Cardiovascular System.'' In: Ayache, N. (Hrsg.): ''Computational Models for the Human Body.'' Handbook of Numerical Analysis, Bd. XII, Elsevier, Amsterdam 2004, S. 3-127. DOI 10.1016/S1570-8659(03)12001-7. Zur Newtonschen Näherung in großen Gefäßen siehe S. 30, zur Viskosität von 0,035 Poise die Parametertabelle auf S. 116.&lt;/ref&gt;
# Der '''mittlere Volumenstrom''' wird mit &lt;math&gt;Q_0 = 6\ \mathrm{ml/s}&lt;/math&gt; angesetzt. Das ist der zeitlich gemittelte Volumenstrom, der in der gemeinsamen Halsschlagader gesunder Probanden gemessen wurde.&lt;ref name=&quot;holdsworth&quot; /&gt;
# Die '''mittlere Geschwindigkeit''' folgt aus Volumenstrom und Querschnittsfläche, &lt;math&gt;U_0 = \frac{Q_0}{\pi R_0^2} = \frac{6 \cdot 10^{-6}\ \mathrm{m^3/s}}{\pi \cdot (0{,}003\ \mathrm{m})^2} = 0{,}2122\ \mathrm{m/s}&lt;/math&gt;.
# Die '''Reynoldszahl''' des gesunden Gefäßes ist &lt;math&gt;Re_0 = \frac{\rho\, U_0\, D_0}{\mu} = \frac{1060 \cdot 0{,}2122 \cdot 0{,}006}{0{,}0035} = 385{,}6&lt;/math&gt;. Sie wird im Folgenden auf 386 gerundet.
# Die '''Einlauflänge''', die eine anfangs gleichförmige Strömung bis zum voll entwickelten Parabelprofil bräuchte, beträgt nach der gebräuchlichen Abschätzung für laminare Rohrströmungen &lt;math&gt;L_e \approx 0{,}06\, Re_0\, D_0 \approx 0{,}06 \cdot 386 \cdot 6\ \mathrm{mm} \approx 139\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt;.&lt;ref name=&quot;durst&quot;&gt;Durst, F.; Ray, S.; Ünsal, B.; Bayoumi, O. A.: ''The development lengths of laminar pipe and channel flows.'' Journal of Fluids Engineering 127 (2005), Nr. 6, S. 1154-1160. Für große Reynoldszahlen nähert sich die dort angegebene Korrelation dem Wert 0,057·Re·D.&lt;/ref&gt; Das ist fast die gesamte Länge des Rechengebiets. Ein konstantes Einlassprofil würde die Strömung an der Stenose also verfälschen, weshalb am Einlass das voll entwickelte Profil vorgegeben wird.

Damit liegen alle globalen Parameter fest. Die folgende Tabelle enthält sie mit genau den Namen, unter denen sie in COMSOL und in den Octave-Skripten verwendet werden.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Globale Parameter des Modells
! Name !! Ausdruck in COMSOL !! Wert !! Bedeutung !! Herkunft
|-
| R0 || 3[mm] || 3 mm || Gefäßradius || Messwerte nach Krejza u. a. 2006, gerundet
|-
| D0 || 2*R0 || 6 mm || Gefäßdurchmesser || abgeleitet
|-
| Ls || 2*D0 || 12 mm || Länge der Störstelle || Standardgeometrie nach Varghese u. a. 2007
|-
| Lu || 5*D0 || 30 mm || Vorlaufstrecke vor der Stenosemitte || Abstand der Einlassbedingung von der Stenose
|-
| Ld || 20*D0 || 120 mm || Nachlaufstrecke hinter der Stenosemitte || Platz für das Rückströmgebiet
|-
| Lf || Ls/2+10*D0 || 66 mm || Ende des fein vernetzten Nachlaufs || erwartete Länge des Rückströmgebiets
|-
| s || 0 bis 0.8 || 0 bis 0,8 || Stenosegrad bezogen auf den Durchmesser || NASCET-Einteilung
|-
| rho_b || 1060[kg/m^3] || 1060 kg/m³ || Dichte des Blutes || Mischungsregel, Literaturwert
|-
| mu_b || 3.5[mPa*s] || 3,5 mPa·s || dynamische Viskosität des Blutes || Hochscherwert, Quarteroni und Formaggia 2004
|-
| Q0 || 6[ml/s] || 6 ml/s || mittlerer Volumenstrom || Messwerte nach Holdsworth u. a. 1999
|-
| U0 || Q0/(pi*R0^2) || 0,2122 m/s || mittlere Einströmgeschwindigkeit || abgeleitet
|-
| Re0 || rho_b*U0*D0/mu_b || 385,6 || Reynoldszahl des gesunden Gefäßes || abgeleitet
|-
| dp_ref || 8*mu_b*U0*(Lu+Ld)/R0^2 || 99,03 Pa || Poiseuille-Druckabfall des gesunden Gefäßes || abgeleitet, Hagen-Poiseuille
|}

=== Vergleich und Überprüfung der Modellvarianten ===

Die Modellhierarchie folgt dem Prinzip, dass zunächst vereinfachte Zusammenhänge untersucht und anschließend mit detaillierteren numerischen Modellen verglichen werden.

Das '''Graphenmodell''' bildet die einfachste Modellvariante. Es verwendet das Hagen-Poiseuille-Gesetz zur Abschätzung des Druckverlustes in geraden Rohrabschnitten mit konstantem Durchmesser. Für den unverengten Referenzfall kann damit eine analytische Vergleichsgröße bestimmt werden. Im Bereich einer Stenose ist die Anwendung jedoch nur als vereinfachte Näherung geeignet, da dort zusätzliche Strömungseffekte auftreten können.

Das '''achsensymmetrische Flächenmodell''' ermöglicht eine detailliertere Untersuchung des Geschwindigkeits- und Druckfeldes innerhalb einer idealisierten rotationssymmetrischen Gefäßverengung. Im unverengten Referenzfall können die numerischen Ergebnisse mit der analytischen Poiseuille-Lösung verglichen werden. Bei zunehmendem Stenosegrad werden insbesondere die Beschleunigung im Bereich der Engstelle, der Druckverlust und die Wandschubspannung betrachtet.

Das '''ebene Flächenmodell''' beschreibt die Strömung in einer zweidimensionalen kartesischen Geometrie. Im Unterschied zum achsensymmetrischen Modell wird dabei keine Rotationssymmetrie vorausgesetzt. Da sich die geometrische Beschreibung des Strömungsquerschnitts unterscheidet, sind die Ergebnisse nicht ohne Weiteres quantitativ gleichzusetzen. Der Vergleich dient insbesondere dazu, den Einfluss der Modellvereinfachung auf die berechneten Strömungsgrößen zu untersuchen.

Das '''Volumenmodell''' erweitert die Untersuchung auf drei Raumdimensionen. Bei einer rotationssymmetrischen Geometrie und entsprechend übereinstimmenden Randbedingungen wird eine weitgehende Übereinstimmung mit dem achsensymmetrischen Modell erwartet. Diese Übereinstimmung muss jedoch anhand der numerischen Ergebnisse überprüft werden. Bei einer Gefäßaufzweigung oder einer asymmetrischen Stenose können zusätzliche räumliche Strömungseffekte auftreten, die durch ein achsensymmetrisches Modell nicht vollständig beschrieben werden.

=== Referenzfall und Vergleichsgrößen ===

Als Ausgangspunkt dient ein unverengtes Gefäß mit dem Referenzdurchmesser &lt;math&gt;D_0=6\,\mathrm{mm}&lt;/math&gt;. Für das Blut werden eine Dichte von &lt;math&gt;\rho_b=1060\,\mathrm{kg/m^3}&lt;/math&gt; und eine dynamische Viskosität von &lt;math&gt;\mu_b=3{,}5\,\mathrm{mPa\,s}&lt;/math&gt; angenommen.

Der vorgegebene mittlere Volumenstrom beträgt &lt;math&gt;Q_0=6\,\mathrm{ml/s}&lt;/math&gt;. Daraus ergibt sich für den unverengten kreisförmigen Querschnitt eine mittlere Strömungsgeschwindigkeit von ungefähr &lt;math&gt;U_0=0{,}2122\,\mathrm{m/s}&lt;/math&gt;.

Die Referenz-Reynolds-Zahl beträgt &lt;math&gt;\mathrm{Re}_0=385{,}6&lt;/math&gt;. Für den in den Referenzdaten definierten Vergleichsfall ist außerdem ein analytischer Druckverlust von &lt;math&gt;\Delta p_{\mathrm{ref}}=99{,}03\,\mathrm{Pa}&lt;/math&gt; angegeben.

Diese Größen dienen als Ausgangspunkt für die Überprüfung der numerischen Modelle. Ein direkter Vergleich ist jedoch nur zulässig, wenn die jeweils verwendete Geometrie, die Auswertelänge und die Randbedingungen übereinstimmen.

=== Grenzen der Modellhierarchie ===

Die vier Modellvarianten unterscheiden sich nicht nur im Rechenaufwand, sondern auch in den physikalischen Effekten, die sie darstellen können.

Insbesondere bei hochgradigen Stenosen können starke lokale Geschwindigkeitsänderungen, Strömungsablösungen und zeitabhängige Strömungsstrukturen auftreten. Deshalb muss überprüft werden, ob die Annahme einer stationären laminaren Strömung für die betrachteten Fälle ausreichend ist.

Außerdem muss zwischen dem idealisierten geraden Gefäßmodell und einer Gefäßaufzweigung unterschieden werden. Das achsensymmetrische Modell eignet sich für eine rotationssymmetrische Stenose in einem geraden Gefäß, während eine realistische Gefäßaufzweigung eine andere geometrische Beschreibung erfordert.

Die Modellvarianten werden daher nicht als vollständig gleichwertig betrachtet. Vielmehr soll der Vergleich zeigen, welche Aussagen bereits durch vereinfachte Modelle möglich sind und für welche Strömungseigenschaften eine detailliertere numerische Beschreibung erforderlich ist.

= Modellierung =

Modellierung bedeutet hier, die reale Situation in eine mathematische Aufgabe zu übersetzen, die sich lösen lässt. Dazu gehören vier Bausteine, nämlich das Rechengebiet, die Gleichungen, die Zahlenwerte der Parameter und die Bedingungen an den Rändern. Jeder dieser Bausteine beruht auf Annahmen, und jede Annahme muss begründet werden. Dieser Abschnitt geht die Bausteine deshalb der Reihe nach durch und nennt bei jedem Zahlenwert, woher er stammt und warum er sinnvoll ist.

== Modellhierarchie ==

Das Projekt rechnet nicht ein einziges Modell, sondern vier aufeinander aufbauende Modellvarianten. Sie entsprechen der Kursanforderung, eine Strömung als Graph, in zwei und in drei Raumdimensionen darzustellen, und sie sind bewusst von einfach nach aufwendig geordnet.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Die vier Modellvarianten des Projekts
! Modell !! Raumdimension !! gelöste Gleichung !! Zweck !! Werkzeug
|-
| Graphenmodell || 1D, Gefäßachse || Hagen-Poiseuille je Rohrstück und Massenerhaltung in jedem Knoten || schnelle, analytisch nachrechenbare Abschätzung für jeden Stenosegrad || Octave und COMSOL (Koeffizientenform-PDGL)
|-
| achsensymmetrisches Flächenmodell || 2D, Halbschnitt in r und z || vollständige stationäre Navier-Stokes-Gleichungen in Zylinderkoordinaten || Hauptmodell, liefert alle Feldgrößen des rotationssymmetrischen Rohres || COMSOL, Laminare Strömung
|-
| ebenes Flächenmodell || 2D, Halbschnitt in x und y || vollständige stationäre Navier-Stokes-Gleichungen in kartesischen Koordinaten || Vergleich, zeigt den Einfluss der zweiten Querschnittsrichtung || COMSOL, Laminare Strömung
|-
| Volumenmodell || 3D || vollständige stationäre Navier-Stokes-Gleichungen || Kontrolle des Hauptmodells und räumliche Darstellung || COMSOL, Laminare Strömung
|}

Die Reihenfolge folgt einem einfachen Prinzip. Jede Stufe liefert die Sollwerte, an denen die nächste, komplexere Stufe geprüft wird. Das Graphenmodell muss im gesunden Fall exakt die Poiseuille-Lösung ergeben. Das achsensymmetrische Modell muss im gesunden Fall dieselben Werte liefern und bei Stenose für Geschwindigkeit und Wandschubspannung in der Nähe des Graphenmodells liegen. Das Volumenmodell muss, weil die Geometrie rotationssymmetrisch ist, mit dem achsensymmetrischen Modell übereinstimmen.

== Modellannahmen ==

Um den Einfluss des Stenosegrades möglichst isoliert zu untersuchen, werden die folgenden Modellannahmen getroffen. Die Tabelle nennt zu jeder Annahme ihre mathematische Form, die Begründung und die Stelle, an der sie im Projekt überprüft wird.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Modellannahmen, ihre Begründung und ihre Überprüfung
! Annahme !! mathematische Form !! Begründung !! Überprüfung
|-
| Idealisierte Gefäßgeometrie || gerades Rohr mit kosinusförmiger, rotationssymmetrischer Verengung || isoliert die Wirkung des Stenosegrades von Krümmung, Verzweigung und Plaqueform || Diskussion in den Schlussfolgerungen
|-
| Starre Gefäßwand || Wand ortsfest, keine Fluid-Struktur-Kopplung || im stationären Fall gibt es keine Druckschwankung, die die Wand periodisch aufweiten könnte || Abschätzung über die gemessene Durchmesseränderung im Herzzyklus
|-
| Stationäre Strömung || &lt;math&gt;\partial \mathbf{u}/\partial t = \mathbf{0}&lt;/math&gt; || der Einfluss des Stenosegrades soll ohne Überlagerung durch die Pulsation sichtbar werden || Abschätzung über die Womersley-Zahl
|-
| Inkompressibles Fluid || &lt;math&gt;\rho = \mathrm{const}&lt;/math&gt;, damit &lt;math&gt;\nabla\cdot\mathbf{u} = 0&lt;/math&gt; || Blut ist eine Flüssigkeit, Druckänderungen von wenigen hundert Pascal ändern die Dichte nicht messbar || Massenerhaltung in fünf Querschnitten
|-
| Newtonsche Näherung || konstante Viskosität &lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt; || die Scherraten an der Wand und im größten Teil des Querschnitts liegen über dem Bereich, in dem Blut deutlich scherverdünnend wirkt || Scherrate an der Wand, Diskussion des Rückströmgebiets
|-
| Konstante Stoffeigenschaften || &lt;math&gt;\rho&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt; räumlich und zeitlich konstant || Körpertemperatur ist im betrachteten Abschnitt konstant || entfällt
|-
| Laminare Strömung || kein Turbulenzmodell, Schnittstelle Laminare Strömung || Reynoldszahl des gesunden Gefäßes von 386 liegt weit unter dem Umschlagbereich || Reynoldszahl in der Engstelle, Literaturvergleich
|-
| Haftbedingung an der Wand || &lt;math&gt;\mathbf{u} = \mathbf{0}&lt;/math&gt; auf der Wand || Folge der Viskosität, das Fluid haftet an der Wand || Grundlage jeder Wandschubspannung
|-
| Vernachlässigung der Gravitation || keine Volumenkraft || bei konstanter Dichte lässt sich die Schwerkraft vollständig in einen hydrostatischen Druckanteil verschieben und beeinflusst die Geschwindigkeit nicht || Begründung in den Mathematischen Hintergründen
|-
| Voll entwickelte Einströmung || parabolisches Profil am Einlass || die natürliche Einlaufstrecke wäre mit rund 139 mm fast so lang wie das ganze Rechengebiet || Scheitelgeschwindigkeit im gesunden Fall
|-
| Eingeprägter Volumenstrom || &lt;math&gt;Q = Q_0&lt;/math&gt; am Einlass || der Strömungswiderstand des Abschnitts ist klein gegenüber dem des nachgeschalteten Gefäßbetts || Abschätzung mit einem Reihenwiderstand
|}

Einige dieser Annahmen sind unmittelbar einsichtig, andere verdienen eine genauere Begründung, weil von ihnen die Aussagekraft der Ergebnisse abhängt.

Die '''Newtonsche Näherung''' ist die Annahme, die bei Blut am häufigsten hinterfragt wird. Reales Blut ist eine Suspension aus Plasma und Blutzellen und verhält sich scherverdünnend. Bei kleinen Scherraten lagern sich die roten Blutkörperchen zu geldrollenartigen Stapeln zusammen, und die Viskosität steigt auf ein Vielfaches an. Bei großen Scherraten lösen sich diese Stapel auf, und die Viskosität strebt gegen einen Grenzwert von etwa 3,5 mPa·s. Entscheidend ist also die Scherrate. An der Wand des gesunden Modellgefäßes beträgt sie nach der Poiseuille-Lösung

&lt;math&gt;\dot\gamma_w = \frac{4\,U_0}{R_0} = \frac{4 \cdot 0{,}2122\ \mathrm{m/s}}{0{,}003\ \mathrm{m}} \approx 283\ \mathrm{s^{-1}}&lt;/math&gt;

und liegt damit oberhalb von etwa 100 pro Sekunde, wo sich Newtonsches und nicht Newtonsches Modell nach der Literatur nur noch wenig unterscheiden.&lt;ref name=&quot;boyd&quot;&gt;Die Grenze von etwa 100 s&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt; wird in vergleichenden Studien zur Blutrheologie verwendet, etwa bei Bernabeu, M. O. u. a.: ''Impact of blood rheology on wall shear stress in a model of the middle cerebral artery.'' Interface Focus 3 (2013), 20120094. &lt;!-- FIXME Zitat und Seitenangabe am Original pruefen --&gt;&lt;/ref&gt; In der Engstelle steigt die Scherrate weiter an, beim Stenosegrad 0,5 auf rund 2260 pro Sekunde. Schwach ist die Näherung dort, wo die Scherrate klein wird, also in der Mitte des Gefäßes und vor allem im Rückströmgebiet hinter der Stenose. Dort ist reales Blut zäher als angenommen. Dieser Punkt wird in den Schlussfolgerungen wieder aufgegriffen.

Die '''stationäre Strömung''' ist die stärkste Vereinfachung. Wie wichtig die Pulsation ist, misst die Womersley-Zahl, die das Verhältnis von instationärer Trägheit zu Reibung angibt. Mit einer Herzfrequenz von 60 Schlägen je Minute, also einer Kreisfrequenz &lt;math&gt;\omega = 2\pi\ \mathrm{s^{-1}}&lt;/math&gt;, ergibt sich

&lt;math&gt;\alpha = R_0 \sqrt{\frac{\omega \rho}{\mu}} = 0{,}003\ \mathrm{m} \cdot \sqrt{\frac{2\pi\ \mathrm{s^{-1}} \cdot 1060\ \mathrm{kg/m^3}}{0{,}0035\ \mathrm{Pa\,s}}} \approx 4{,}1 .&lt;/math&gt;

Ein Wert in dieser Größenordnung bedeutet, dass das reale Geschwindigkeitsprofil im Herzzyklus merklich von der Parabel abweicht.&lt;ref name=&quot;womersley&quot;&gt;Womersley, J. R.: ''Method for the calculation of velocity, rate of flow and viscous drag in arteries when the pressure gradient is known.'' Journal of Physiology 127 (1955), S. 553-563.&lt;/ref&gt; Hinzu kommt, dass der Volumenstrom in der Systole kurzzeitig auf rund das Vierfache des Mittelwerts steigt.&lt;ref name=&quot;holdsworth&quot;&gt;Holdsworth, D. W.; Norley, C. J. D.; Frayne, R.; Steinman, D. A.; Rutt, B. K.: ''Characterization of common carotid artery blood-flow waveforms in normal human subjects.'' Physiological Measurement 20 (1999), Nr. 3, S. 219-240. DOI 10.1088/0967-3334/20/3/301. Angegeben werden ein mittlerer Volumenstrom von 6,0 ± 1,4 ml/s und ein systolischer Spitzenwert von 23,5 ± 3,8 ml/s. &lt;!-- FIXME Zahlenwerte und Probandenzahl am Original pruefen --&gt;&lt;/ref&gt; Die stationäre Rechnung mit dem Mittelwert beschreibt deshalb nicht den zeitlichen Verlauf, wohl aber den zeitlich gemittelten Zustand, an dem sich der Einfluss des Stenosegrades sauber vergleichen lässt.

Die '''laminare Strömung''' wird über die Reynoldszahl begründet. Sie beträgt im gesunden Gefäß 386 und liegt damit weit unter dem Wert von etwa 2300, ab dem die Strömung in einem geraden Rohr in den Übergangsbereich gelangen kann. In der Engstelle steigt sie bei festem Volumenstrom auf &lt;math&gt;Re_0/(1-s)&lt;/math&gt;, also auf 551 beim Stenosegrad 0,3, auf 964 beim Grad 0,6 und auf 1928 beim Grad 0,8. Für den Strahl hinter einer Engstelle ist der Umschlagbereich allerdings deutlich niedriger als im geraden Rohr. Direkte numerische Simulationen an genau der in diesem Projekt verwendeten Stenosegeometrie zeigen, dass die Strömung bei einer Einström-Reynoldszahl von 500 auch bei leichter Unsymmetrie laminar bleibt, bei 1000 dagegen schon eine Exzentrizität von fünf Prozent des Durchmessers genügt, um den Strahl in lokal turbulente Strömung umschlagen zu lassen.&lt;ref name=&quot;varghese&quot;&gt;Varghese, S. S.; Frankel, S. H.; Fischer, P. F.: ''Direct numerical simulation of stenotic flows. Part 1. Steady flow.'' Journal of Fluid Mechanics 582 (2007), S. 253-280. Untersucht wird eine kosinusförmige Stenose der Länge 2D mit 75 % Flächenreduktion, die mit der Geometrie dieses Projekts beim Stenosegrad 0,5 übereinstimmt. &lt;!-- FIXME Band und Seiten am Original pruefen --&gt;&lt;/ref&gt; Mit einer Einström-Reynoldszahl von 386 liegt das Projekt für die leicht- und mittelgradigen Stenosen sicher im laminaren Bereich. Für die hochgradigen Stenosen ab 0,7 ist ein laminares, stationäres Modell dagegen nur noch eine Näherung, die eine Obergrenze der geordneten Strömung beschreibt. Diese Fälle werden deshalb als Grenzfall des Modells gekennzeichnet.

Die '''starre Wand''' lässt sich über Messungen abschätzen. Der Durchmesser der gemeinsamen Halsschlagader ändert sich im Herzzyklus bei jungen Menschen um etwa 12 bis 14 Prozent und bei älteren Menschen um etwa 5 Prozent.&lt;ref name=&quot;hansen&quot;&gt;Hansen, F.; Mangell, P.; Sonesson, B.; Länne, T.: ''Diameter and compliance in the human common carotid artery: variations with age and sex.'' Ultrasound in Medicine and Biology 21 (1995), Nr. 1, S. 1-9. DOI 10.1016/0301-5629(94)00090-5.&lt;/ref&gt; Diese Bewegung ist eine Folge der Pulsation. In einer stationären Rechnung gibt es keine Druckschwankung, die die Wand periodisch aufweiten könnte, sodass die starre Wand zur stationären Annahme konsistent ist. Eine verkalkte Plaque ist ohnehin deutlich steifer als die gesunde Wand.

Die Annahme des '''eingeprägten Volumenstroms''' wird im Abschnitt zu den Randbedingungen begründet, weil sie sich nur im Zusammenhang mit dem Kreislauf beurteilen lässt.

== Simulationsgebiet und Geometrie ==

Die Gefäßachse ist die z-Achse, der Ursprung liegt in der Mitte der Stenose, und &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; bezeichnet den Abstand von der Achse. Das Rechengebiet reicht von &lt;math&gt;z = -L_u&lt;/math&gt; bis &lt;math&gt;z = L_d&lt;/math&gt; und wird radial von der Wandkontur &lt;math&gt;R(z)&lt;/math&gt; begrenzt. Die Verengung wird über eine einzige glatte Funktion beschrieben,

&lt;math&gt;R(z) = R_0 \left[ 1 - \frac{s}{2}\left(1 + \cos\frac{2\pi z}{L_s}\right)\right] \quad \text{falls } |z| \le \frac{L_s}{2}, \qquad R(z) = R_0 \ \text{sonst.}&lt;/math&gt;

Die Funktion hat drei Eigenschaften, die ihre Wahl begründen. Sie wird erstens über einen einzigen Parameter gesteuert, den Stenosegrad &lt;math&gt;s&lt;/math&gt;. Der engste Radius in der Mitte beträgt &lt;math&gt;R(0) = R_0(1-s)&lt;/math&gt;, und der Fall ohne Verengung ist einfach der Fall &lt;math&gt;s = 0&lt;/math&gt;. Die gesamte Vergleichsreihe entsteht damit aus einem einzigen parametrischen Sweep. Sie geht zweitens an beiden Enden der Störstelle ohne Knick in das gerade Rohr über. Bei &lt;math&gt;z = \pm L_s/2&lt;/math&gt; ist der Kosinus gleich minus eins, die Klammer also null, und seine Ableitung verschwindet dort ebenfalls. Das ist nicht nur ästhetisch, sondern numerisch notwendig, denn ein Knick in der Wand erzeugt eine Singularität der Wandschubspannung, deren berechneter Wert mit jeder Netzverfeinerung weiter wüchse. Eine Netzstudie wäre dann sinnlos. Sie ist drittens die in der Literatur gebräuchliche Standardgeometrie für Stenosen, sodass sich die Ergebnisse unmittelbar mit veröffentlichten Rechnungen vergleichen lassen.&lt;ref name=&quot;varghese&quot; /&gt;

[[Datei:Stenose Gruppe5 Wandkontur.svg|mini|zentriert|800px|Wandkontur &lt;math&gt;R(z)&lt;/math&gt; für die untersuchten Stenosegrade. Die Darstellung ist in radialer Richtung gestreckt, das Rechengebiet ist in Wirklichkeit fünfundzwanzigmal länger als breit.]]
&lt;!-- FIXME Abbildung mit abbildungen_graph_1d.m fuer s = 0 bis 0,8 neu erzeugen, bisher nur bis 0,5 --&gt;

Die Abmessungen des Rechengebiets werden alle aus dem Gefäßradius abgeleitet. Das hat den Vorteil, dass sich das gesamte Modell durch Ändern eines einzigen Wertes auf ein anderes Gefäß übertragen lässt. Die einzelnen Längen werden im Folgenden Schritt für Schritt begründet.

# Der '''Gefäßradius''' &lt;math&gt;R_0 = 3\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; folgt aus Ultraschallmessungen an gesunden Erwachsenen. Dort wurden für die gemeinsame Halsschlagader mittlere Durchmesser von 6,10 ± 0,80 mm bei Frauen und 6,52 ± 0,98 mm bei Männern gemessen.&lt;ref name=&quot;krejza&quot;&gt;Krejza, J.; Arkuszewski, M.; Kasner, S. E.; Weigele, J.; Ustymowicz, A.; Hurst, R. W.; Cucchiara, B. L.; Messe, S. R.: ''Carotid artery diameter in men and women and the relation to body and neck size.'' Stroke 37 (2006), Nr. 4, S. 1103-1105. DOI 10.1161/01.STR.0000206440.48756.f7.&lt;/ref&gt; Der gewählte Durchmesser von &lt;math&gt;D_0 = 6\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; liegt damit innerhalb einer Standardabweichung beider Gruppen und ist bewusst auf einen runden Wert gesetzt, damit alle abgeleiteten Längen glatte Zahlen ergeben.
# Die '''Länge der Störstelle''' &lt;math&gt;L_s = 2 D_0 = 12\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; entspricht der Standardgeometrie aus der Literatur, die eine Stenosenlänge von zwei Durchmessern verwendet.&lt;ref name=&quot;varghese&quot; /&gt; Damit ist beim Stenosegrad 0,5 ein direkter Vergleich mit veröffentlichten Ergebnissen möglich.
# Die '''Vorlaufstrecke''' &lt;math&gt;L_u = 5 D_0 = 30\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; trennt den Einlass von der Stenose. Da am Einlass bereits das voll entwickelte Profil vorgegeben wird, muss sie nicht die Einlaufstrecke abdecken, sondern nur verhindern, dass die Einströmrandbedingung die Strömung an der Engstelle beeinflusst. Bei Reynoldszahlen in dieser Größenordnung reicht der Einfluss einer Verengung nur wenige Durchmesser stromaufwärts, die Literatur kommt für dieselbe Geometrie mit drei Durchmessern Vorlauf aus.&lt;ref name=&quot;varghese&quot; /&gt; Fünf Durchmesser lassen also eine Reserve. Überprüft wird das im Ergebnis, indem die Geschwindigkeit auf der Achse in der Mitte der Vorlaufstrecke mit dem Sollwert &lt;math&gt;2U_0&lt;/math&gt; verglichen wird.
# Die '''Nachlaufstrecke''' &lt;math&gt;L_d = 20 D_0 = 120\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; ist deutlich länger, weil sich hinter der Engstelle ein Rückströmgebiet bildet, das nicht auf den Auslass treffen darf. Für die Geometrie mit dem Stenosegrad 0,5 legt die Strömung bei einer Einström-Reynoldszahl von 500 erst etwa zehn Durchmesser hinter der Engstelle wieder an, die Literatur rechnet mit sechzehn Durchmessern Nachlauf.&lt;ref name=&quot;varghese&quot; /&gt; Zwanzig Durchmesser bieten damit für alle Stenosegrade bis 0,5 einen Sicherheitsabstand. Für die Grade ab 0,6 ist ein längeres Rückströmgebiet zu erwarten, dort wird die Lage des Wiederanlegepunktes ausdrücklich kontrolliert.
# Das '''Ende des fein vernetzten Nachlaufs''' &lt;math&gt;L_f = L_s/2 + 10 D_0 = 66\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt; legt fest, bis wohin das Netz verfeinert wird. Der Wert ist so gewählt, dass das erwartete Rückströmgebiet von etwa zehn Durchmessern vollständig im feinen Bereich liegt.

Damit hat das Rechengebiet eine Gesamtlänge von &lt;math&gt;L = L_u + L_d = 150\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt;, also das Fünfundzwanzigfache des Durchmessers. Es ist ein Modellgebiet und kein maßstäbliches Abbild eines bestimmten anatomischen Abschnitts.

== Stoff- und Strömungsparameter ==

Die Stoffwerte des Blutes und der Volumenstrom sind die einzigen Eingangsgrößen, die nicht aus der Geometrie folgen. Aus ihnen werden alle weiteren Strömungskennwerte berechnet. Die folgenden Schritte zeigen jede Rechnung einzeln, damit sich jeder Wert nachprüfen lässt.

# Die '''Dichte''' wird mit &lt;math&gt;\rho = 1060\ \mathrm{kg/m^3}&lt;/math&gt; angesetzt. Der Wert lässt sich als Mischungsregel plausibel machen. Plasma hat eine Dichte von etwa 1025 kg/m³, rote Blutkörperchen von etwa 1100 kg/m³. Bei einem Zellanteil von 45 % ergibt sich &lt;math&gt;0{,}55 \cdot 1025 + 0{,}45 \cdot 1100 \approx 1059\ \mathrm{kg/m^3}&lt;/math&gt;. Die Dichte geht nur über die Reynoldszahl in die Rechnung ein, eine Abweichung von einem Prozent ändert die Ergebnisse daher kaum. &lt;!-- FIXME Lehrbuchquelle fuer Plasma- und Erythrozytendichte ergaenzen --&gt;
# Die '''dynamische Viskosität''' wird mit &lt;math&gt;\mu = 3{,}5\ \mathrm{mPa\,s}&lt;/math&gt; angesetzt. Das ist der Grenzwert der Blutviskosität bei hohen Scherraten, also genau der Wert, der zur Newtonschen Näherung gehört. Derselbe Wert von 0,035 Poise wird auch im Standardwerk zur Modellierung des Herz-Kreislauf-Systems verwendet.&lt;ref name=&quot;quarteroni&quot;&gt;Quarteroni, A.; Formaggia, L.: ''Mathematical Modelling and Numerical Simulation of the Cardiovascular System.'' In: Ayache, N. (Hrsg.): ''Computational Models for the Human Body.'' Handbook of Numerical Analysis, Bd. XII, Elsevier, Amsterdam 2004, S. 3-127. DOI 10.1016/S1570-8659(03)12001-7. Zur Newtonschen Näherung in großen Gefäßen siehe S. 30, zur Viskosität von 0,035 Poise die Parametertabelle auf S. 116.&lt;/ref&gt;
# Der '''mittlere Volumenstrom''' wird mit &lt;math&gt;Q_0 = 6\ \mathrm{ml/s}&lt;/math&gt; angesetzt. Das ist der zeitlich gemittelte Volumenstrom, der in der gemeinsamen Halsschlagader gesunder Probanden gemessen wurde.&lt;ref name=&quot;holdsworth&quot; /&gt;
# Die '''mittlere Geschwindigkeit''' folgt aus Volumenstrom und Querschnittsfläche, &lt;math&gt;U_0 = \frac{Q_0}{\pi R_0^2} = \frac{6 \cdot 10^{-6}\ \mathrm{m^3/s}}{\pi \cdot (0{,}003\ \mathrm{m})^2} = 0{,}2122\ \mathrm{m/s}&lt;/math&gt;.
# Die '''Reynoldszahl''' des gesunden Gefäßes ist &lt;math&gt;Re_0 = \frac{\rho\, U_0\, D_0}{\mu} = \frac{1060 \cdot 0{,}2122 \cdot 0{,}006}{0{,}0035} = 385{,}6&lt;/math&gt;. Sie wird im Folgenden auf 386 gerundet.
# Die '''Einlauflänge''', die eine anfangs gleichförmige Strömung bis zum voll entwickelten Parabelprofil bräuchte, beträgt nach der gebräuchlichen Abschätzung für laminare Rohrströmungen &lt;math&gt;L_e \approx 0{,}06\, Re_0\, D_0 \approx 0{,}06 \cdot 386 \cdot 6\ \mathrm{mm} \approx 139\ \mathrm{mm}&lt;/math&gt;.&lt;ref name=&quot;durst&quot;&gt;Durst, F.; Ray, S.; Ünsal, B.; Bayoumi, O. A.: ''The development lengths of laminar pipe and channel flows.'' Journal of Fluids Engineering 127 (2005), Nr. 6, S. 1154-1160. Für große Reynoldszahlen nähert sich die dort angegebene Korrelation dem Wert 0,057·Re·D.&lt;/ref&gt; Das ist fast die gesamte Länge des Rechengebiets. Ein konstantes Einlassprofil würde die Strömung an der Stenose also verfälschen, weshalb am Einlass das voll entwickelte Profil vorgegeben wird.

Damit liegen alle globalen Parameter fest. Die folgende Tabelle enthält sie mit genau den Namen, unter denen sie in COMSOL und in den Octave-Skripten verwendet werden.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Globale Parameter des Modells
! Name !! Ausdruck in COMSOL !! Wert !! Bedeutung !! Herkunft
|-
| R0 || 3[mm] || 3 mm || Gefäßradius || Messwerte nach Krejza u. a. 2006, gerundet
|-
| D0 || 2*R0 || 6 mm || Gefäßdurchmesser || abgeleitet
|-
| Ls || 2*D0 || 12 mm || Länge der Störstelle || Standardgeometrie nach Varghese u. a. 2007
|-
| Lu || 5*D0 || 30 mm || Vorlaufstrecke vor der Stenosemitte || Abstand der Einlassbedingung von der Stenose
|-
| Ld || 20*D0 || 120 mm || Nachlaufstrecke hinter der Stenosemitte || Platz für das Rückströmgebiet
|-
| Lf || Ls/2+10*D0 || 66 mm || Ende des fein vernetzten Nachlaufs || erwartete Länge des Rückströmgebiets
|-
| s || 0 bis 0.8 || 0 bis 0,8 || Stenosegrad bezogen auf den Durchmesser || NASCET-Einteilung
|-
| rho_b || 1060[kg/m^3] || 1060 kg/m³ || Dichte des Blutes || Mischungsregel, Literaturwert
|-
| mu_b || 3.5[mPa*s] || 3,5 mPa·s || dynamische Viskosität des Blutes || Hochscherwert, Quarteroni und Formaggia 2004
|-
| Q0 || 6[ml/s] || 6 ml/s || mittlerer Volumenstrom || Messwerte nach Holdsworth u. a. 1999
|-
| U0 || Q0/(pi*R0^2) || 0,2122 m/s || mittlere Einströmgeschwindigkeit || abgeleitet
|-
| Re0 || rho_b*U0*D0/mu_b || 385,6 || Reynoldszahl des gesunden Gefäßes || abgeleitet
|-
| dp_ref || 8*mu_b*U0*(Lu+Ld)/R0^2 || 99,03 Pa || Poiseuille-Druckabfall des gesunden Gefäßes || abgeleitet, Hagen-Poiseuille
|}


= Literaturverzeichnis =

Alle Quellen sind an den Stellen im Text angegeben, an denen die zugehörigen Werte oder Aussagen verwendet werden. Die Liste wird aus diesen Angaben automatisch erzeugt.

&lt;references /&gt;</text>
      <sha1>ec37rmtd8dtxpqabnl15c1a85oe4f90</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/rekursiver Logarithmus</title>
    <ns>106</ns>
    <id>172719</id>
    <revision>
      <id>1115850</id>
      <parentid>1115091</parentid>
      <timestamp>2026-10-12T14:22:49Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bert Niehaus</username>
        <id>20843</id>
      </contributor>
      <comment>/* Siehe auch */</comment>
      <origin>1115850</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="160" sha1="13wp5j3974qjof4hx7sf2uvacf41i3n" xml:space="preserve">== Siehe auch ==
* [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Argumentfunktion|Argumentfunktion]]
* [[Logarithmus]]
* [[logmod-Funktion]]
* [[Kurs:Funktionentheorie]]</text>
      <sha1>13wp5j3974qjof4hx7sf2uvacf41i3n</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Kurs:WikiCLIMATEchange/Fiktionale Texte/Kurzgeschichte: Wer hat Angst vorm Klimawandel</title>
    <ns>106</ns>
    <id>172908</id>
    <revision>
      <id>1115932</id>
      <parentid>1115511</parentid>
      <timestamp>2026-10-12T22:40:59Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Schreibzentrum</username>
        <id>39232</id>
      </contributor>
      <origin>1115932</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="8767" sha1="fy22khwyz2mghutryq452dqao04e29i" xml:space="preserve">{{RoundBoxTop|theme=2}}&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;&lt;span style=&quot;font-size:150%; font-weight:bold;&quot;&gt;Kurzgeschichte: „Wer hat Angst vorm Klimawandel?“&lt;/span&gt;&lt;/div&gt;{{RoundBoxBottom}}

'''Rubrik:''' [[Kurs:WikiCLIMATEchange/Fiktionale Texte|Fiktionale Texte]]; [[Kurs:WikiCLIMATEchange/Sachtexte|Sachtexte]]

{{Achtung
|'''Diese Seite befindet sich derzeit im Aufbau.'''
&lt;br /&gt;
Der Beitrag wird momentan schrittweise als bearbeitbaren Wiki-Artikel aufbereitet.
|Breite=80%
|Hintergrund=#FFF2CC
|Rand=#E6B800
}}

==Kurzgeschichte==

Der Klimawandel ist so eine Sache. Er macht sich in meinem persönlichen Leben bislang lediglich in Form nostalgischer Erinnerungen an die prächtige Winterlandschaft, in die sich mein Heimatdörfchen früher stets verwandelte, oder gelegentlich durch diffuse Schwindelgefühle an überhitzten Sommertagen der heutigen Zeit bemerkbar. An solchen Tagen verwandeln sich Flüsse in Schotterwege. Keine Chance, die Auswirkungen des Klimawandels zu leugnen; aber verlockend einfach, das zu tun, solange es eben doch nur Nostalgie und Schwindel sind – ausgetrocknete Flüsse gab es schließlich schon immer – also keine Panik. Oder doch …?

Ich ziehe den Kopf aus dem Sand, nur um sicherzugehen. Man muss sich eben selbst ein Bild machen.

Das dürfte am ehesten gelingen, so denke ich mir, indem ich mir rasch und umfangreich Faktenwissen aneigne. Also tauche ich tief ein in die verführerische Kühle des Internets und erschrecke, als ich realisiere, dass ich gerade digitale CO2-Fußabdrücke hinterlasse. Fühle mich wiederum beschämend beruhigt, als ich gleich darauf lese, dass die digitalen Technologien enormes CO2-Einsparpotenzial bergen.&lt;ref name=&quot;digitalisierung&quot;&gt;https://www.50komma2.de/digitalisierung/bitkom-digitalisierung-kann-2030-mehr-als-70-millionen-tonnen-co2-einsparen/&lt;/ref&gt;

Ich verabschiede mich für heute von ChatGPT (wobei ich mich dabei wider besseren Wissens unhöflich fühle, weil ich die ständig neu generierten Nachfragen und Floskeln ignoriere, um die Unterhaltung zu beenden) und beschränkte mich auf Google (erst im Laufe der späteren Recherche werde ich von der umweltbewussteren Alternative Ecosia erfahren). Es gab einmal eine Zeit, in der waren Google und Co. keine Begrenzung, sondern ein riesiges Festmahl an Informationen. Aber die KI löffelt sie einem direkt in den Mund, dagegen fühlen sich herkömmliche Suchmaschinen wie Arbeit an.

Während die Regenwälder der Erde abgeholzt werden, wuchert im Internet ein aberwitziger Dschungel aus Fakten, überholten Fakten, Fakes und unendlich vielen Meinungen. Paradiesisch bunt, in welche Frucht will ich zuerst beißen? Manche schmecken einem weniger gut, andere sind zu süß, um wahr zu sein.

Hier zum Beispiel: Ein sehr seriös und klug wirkender Herr, ehemaliger Unternehmensvorstand und Dozent für Wirtschaftswissenschaften, erklärt, dass die wahre Gefahr nicht etwa von der globalen Erwärmung, sondern von den entsprechenden Klimaschutzmaßnahmen, einer groß angelegten „Sabotage der Biosphäre“,&lt;ref name=&quot;popp-klimawandel&quot;&gt;https://odysee.com/@Wissensmanufaktur:0/Andreas-Popp-Klimawandel:8&lt;/ref&gt; ausgehe. Er leugnet nicht den Klimawandel, aber dass wir Menschen mit unserer Lebensweise zur rasanten Beschleunigung dessen beitragen, davon will er nichts wissen. Wider besseren Wissens fühle ich einen Trost bei diesen Worten – wir können ja doch nichts dafür, niemand hat was falsch gemacht und alles kann weitergehen wie bisher –, doch der Schleier der Leugnung, den man sich allzu bereitwillig wieder über die Augen legen lässt, fällt wie ein Stein zu Boden, als ich an anderer Stelle den gleichen Herrn über Chemtrails und Wettermanipulationen&lt;ref name=&quot;popp-wetter&quot;&gt;https://odysee.com/@Wissensmanufaktur:0/wettermanipulation-gibt-es-schon-seit:b&lt;/ref&gt; sprechen höre. Es gibt keinen menschengemachten Klimawandel, menschengemachte Wettermanipulation hingegen schon? Das macht ja überhaupt keinen Sinn, Herr Popp!

Kopfschüttelnd klicke ich mich weiter durch die Seiten, auf der Suche nach verlässlichen Fakten. Oh, das klingt doch ermutigend: „Der Weltklimarat sagt, die Klimakatastrophe findet nicht statt“&lt;ref name=&quot;vahrenholt&quot;&gt;https://klimanachrichten.de/2026/05/13/fritz-vahrenholt-der-weltklimarat-sagt-dieklimakatastrophe-findet-nicht-statt/&lt;/ref&gt;, das wiederum sagt ein gewisser Herr Vahrenholt. Soso! Natürlich möchte ich, dass er recht hat, und lese weiter: „IPCC-Autoren verabschieden sich von den Katastrophenszenarien der letzten beiden Weltklimaberichte“&lt;ref name=&quot;vahrenholt&quot; /&gt;. Klingt eigentlich super, daher wundere ich mich über den leicht hämischen Ton, in dem Herr Vahrenholt von Katastrophen- und Horrorszenarien des Weltklimarats schreibt, die mit dem jüngsten Bericht „Schnee von gestern“&lt;ref name=&quot;vahrenholt&quot; /&gt; geworden seien (sag ich doch, früher gab’s mehr Schnee!). Wieso freut er sich denn nicht darüber? Stattdessen schreibt er sich in Rage über Deutschland, das nicht sofort seine Klimapolitik radikal ändert. Wieso sollten wir das tun, frage ich mich stirnrunzelnd, wenn sie offensichtlich dazu beiträgt, dass die beschriebenen Worst-Case-Szenarien unwahrscheinlich bleiben? Der Mann folgt einer faszinierenden und aberwitzigen Logik.

Andere Portale wiederum erklären in seriösem Gewand, „[w]arum Klimaforscher eine Horrorprognose aufgeben“&lt;ref name=&quot;nius&quot;&gt;https://nius.de/politik/klimaforschung-horrorszenario-unplausibel-ipcc&lt;/ref&gt; und „was die[se] Neuorientierung bedeutet“&lt;ref name=&quot;nius&quot; /&gt;. Na, dann legt mal los, denke ich und meine Augen huschen über die Zeilen. Man erläutert die Tatsache der mangelnden empirischen Überprüfbarkeit langfristiger Modelle; nachvollziehbar, nicke ich. Modelle, die die Zukunft beschreiben, sind in der Gegenwart nicht verifizier- oder falsifizierbar&lt;ref name=&quot;nius&quot; /&gt; – macht Sinn, aber Moment mal … Wenn einerseits die letzten Berichte des IPCC für unplausibel erklärt wurden, andererseits aber auch diese Distanzierung nur auf Annahmen beruht, was ist denn nun tatsächlich das Wahrscheinlichste? Ist der Klimawandel nun abgesagt oder ist die Absage abgesagt? Es wird wohl ein bisschen so sein wie mit Schrödingers Katze: Solange wir über die Zukunft sprechen, ist diese zugleich Worst- und Best-Case-Szenario. Übrigens, Herr Vahrenholt, hier bei Nius steht’s: Auch die Klimapolitik trägt ihren Teil dazu bei.&lt;ref name=&quot;nius&quot; /&gt; Sind Sie wirklich sicher, dass es eine gute Idee wäre, sie radikal umzumodeln?

Zumindest scheinen sich viele hier im Netz einig zu sein, dass der Klimawandel kein besorgniserregendes Thema sei und dass man sich davon nicht beunruhigen lassen solle. Auf der Suche nach weiteren Meinungen ploppt auch Andreas Popp wieder auf. Hello again! „Jeder weiß, der eins und eins zusammenzählen kann, dass hier eine politische Agenda, die ökonomisch konzipiert wurde“,&lt;ref name=&quot;popp-video&quot;&gt;https://www.youtube.com/watch?v=LdBA7flW_oU&lt;/ref&gt; für diese unplausiblen Schreckensszenarien verantwortlich sei. Ich kann zwar eins und eins zusammenzählen, aber die Sache mit der Agenda halte ich nun doch für weit hergeholt. Du liebe Güte. Ich höre trotzdem weiter zu, hoffe auf Erkenntnisse. Als er jedoch erklärt, dass sich wissenschaftliche Theorien stets diskursiv weiterentwickeln (das stimmt natürlich) und sich daher grundsätzlich nicht als Fundament für politische Entscheidungen eignen&lt;ref name=&quot;popp-video&quot; /&gt; (wait – what?), wird es mir dann doch zu kafkaesk.

Es schwurbelt im Internet und in meinem Kopf. In mir reift die Erkenntnis, dass ich weder wissenschaftliche Hintergründe kennen noch politische Entscheidungen nachvollziehen können muss, um meine ganz persönliche Haltung zu entwickeln und danach zu leben. Und das sind doch gerade die Dinge, die mir niemand erklären muss. Es gibt klimafreundliche Reisemöglichkeiten, um allzu hohe CO2-Emissionen zu vermeiden. Unverpackt-Läden, um unnötigen Plastikmüll zu reduzieren. Wochenmärkte, um regional und saisonal einzukaufen. Nichts online bestellen, was man auch vor Ort kaufen kann. Was man sich dann doch wieder mal zu viel gekauft hat, nicht einfach wegschmeißen, sondern weitergeben. Weniger Fleisch konsumieren. Ökostrom. Das sind doch viele Möglichkeiten, auf die ich immer wieder zurückgreifen kann.

Ich beende diesen Fiebertraum und klappe den Laptop zu.

== PS ==

Für diejenigen, die sich die Quellen anschauen wollen, noch eine weitere Seite, um den Algorithmus nicht allzu sehr durcheinanderzubringen … und zur Beruhigung, dass es auch sinnvolle Seiten gibt 😊

[https://dpa-factchecking.com/germany/260515-99-434579/ DPA Factchecking]

== Quellen ==

&lt;references /&gt;

----

[[Kurs:WikiCLIMATEchange/Fiktionale Texte|← Zurück zu den fiktionalen Texten]]</text>
      <sha1>fy22khwyz2mghutryq452dqao04e29i</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige</title>
    <ns>106</ns>
    <id>172948</id>
    <revision>
      <id>1115833</id>
      <parentid>1115828</parentid>
      <timestamp>2026-10-12T12:52:50Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bert Niehaus</username>
        <id>20843</id>
      </contributor>
      <comment>/* Hauptzweig des Logarithmus */</comment>
      <origin>1115833</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="11691" sha1="kazsg0i47i3xzvlgvlfr416k966t7u1" xml:space="preserve">== Einleitung ==
Es gibt unterschiedliche Möglichkeiten (''&quot;Zweige&quot;''), einen Logarithmus als [[w:de:Umkehrfunktion|Umkehrfunktion]] zu definieren. Dies liegt einerseits an folgdenden mathematischen Eigenschaften und andererseits auch an der Zielsetzung, was man mit dem Logarithmus als Funktion erreichen möchte. 
* '''([[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#Peridodizitaet|Periodizität]])''' Durch die Periodizität der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] im [[komplexe Zahl|Imaginärteil]] mit der Periode &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; gibt es unterschiedliche Zweige.
* '''([[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/generalisiert|Wahl des Gebietes]])''' Durch die Wahl des [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden Gebietes]]  entstehen unterschiedliche Zweige (siehe [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/generalisiert|verallgemeinerter Logarithmus]]).
* '''([[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#algebraischvollstaendig|Algebraische Vollständigkeit]])''' Ein Zweig des Logaritmus ist algebraisch vollständig, wenn dieser auf &lt;math&gt;\mathbb{C}\setminus \{0\}&lt;/math&gt; definiert ist. Dadurch verliert man aber die [[Stetigkeit]] und [[Holomorphie]] als Eigenschaft.

== Zweige des Logarithmus ==
Ein Zweig des Logarithmus ist eine Funktion &lt;math&gt; \log_G(z) &lt;/math&gt;, die auf einer Teilmenge &lt;math&gt; G &lt;/math&gt; von &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; definiert ist und die Eigenschaft hat, dass &lt;math&gt; \exp(\log_G(z)) = z &lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt; z \in G &lt;/math&gt;. 

=== Hauptzweig des Logarithmus ===
Eine übliche Wahl für &lt;math&gt; G &lt;/math&gt; ist die Menge &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus (-\infty, 0] &lt;/math&gt;, die die negative reelle Achse ausschließt. In diesem Fall kann der Hauptzweig des Logarithmus definiert werden als:

:&lt;math&gt; \log(z) = \ln\big( |z|\big) + i \arg(z) 
&lt;/math&gt;
wobei &lt;math&gt; \arg(z) &lt;/math&gt; der Winkel von &lt;math&gt; z &lt;/math&gt; in der komplexen Ebene ist und für den Hauptzweig erfüllt dieser &lt;math&gt; -\pi &lt; \arg(z) &lt; +\pi &lt;/math&gt;.

==== Integraldarstellung des Hauptzweiges ====
Wählt man &lt;math&gt;z_o = 1\in \mathbb{C} \setminus \{0\}&lt;/math&gt;, so gilt muss die Stammfunktion &lt;math&gt;log&lt;/math&gt;  von &lt;math&gt;f(\xi)=\tfrac{1}{\xi}&lt;/math&gt; die Eigenschaft &lt;math&gt;log(1)=0&lt;/math&gt; erfüllen. Die folgende Integraldarstellung des Hauptzweiges mit [[Konvexkombination]] &lt;math&gt;\gamma_z&lt;/math&gt; als Integrationsweg erfüllt diese Eigenschaft: 
:&lt;math&gt;
 \begin{array}{rrcl}
   \gamma_z : &amp; [0,1] &amp; \rightarrow &amp; \mathbb{C} \\ 
    &amp;  t  &amp; \mapsto &amp; \gamma_z(t) =  (1-t)\cdot z_0 + t\cdot z =  (t-1) + t\cdot z 
  \end{array}  
&lt;/math&gt;

:&lt;math&gt;
log(z) := \int_{\gamma_z}
 \frac{1}{\xi} \, d\xi = \pi i +  \int_{0}^1
 \frac{1}{\gamma_z(t)} \cdot \gamma_z{\!\!}'(t) \,\, dt  

&lt;/math&gt;

=== Alternativen der Argumentfunktion ===
Die Argumentfunktion &lt;math&gt; \arg(z) &lt;/math&gt; kann man auch  als Winkel von &lt;math&gt; z &lt;/math&gt; in der komplexen Ebene ist auch in &lt;math&gt; -\pi \leq \arg(z) &lt; \pi &lt;/math&gt; oder &lt;math&gt; 0 \leq \arg(z) &lt; 2\pi &lt;/math&gt; definieren. Der alternative Winkelbereich &lt;math&gt;[0,2\pi)&lt;/math&gt; spielt für die Definition der &lt;math&gt;logmod&lt;/math&gt;[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/logmod|-Funktion]] verwenden. 

&lt;span id=&quot;Periodizitaet&quot;&gt;&lt;/span&gt;
=== Zweige des Logarithmus - Peridoizität ===
Durch die imaginäre Periodizität bzgl. Vielfache von &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; Stellt man &lt;math&gt;z = |z| \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}  \cdot\arg(z)}&lt;/math&gt; in [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|Polarform]] dar, so erhält man eine einfache Darstellung des ''k-ten Zweiges'' der Logarithmusfunktion:
: &lt;math&gt;w = \ln |z| + \mathrm{i}\left(\arg(z) + 2\pi\cdot k\right), \quad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;
mit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] &lt;math&gt;\arg&lt;/math&gt;. Im Summanden &lt;math&gt;\ln \big(|z|\big)&lt;/math&gt; wird der bereits oben definierte reelle Logarithmus &lt;math&gt;\ln&lt;/math&gt; auf &lt;math&gt;\mathbb{R}^+&lt;/math&gt; verwendet.
Für &lt;math&gt;k = 0&lt;/math&gt; erhält man den ''Hauptzweig'' des komplexen Logarithmus zurück:
: &lt;math&gt;\ln z = \ln|z| + \mathrm{i}\arg(z)&lt;/math&gt;.

&lt;span id=&quot;negativer_Hauptzweig&quot;&gt;&lt;/span&gt;

=== Negativer Hauptzweige des Logarithmus ===
Beim negativen Hauptzweig verwendet man für den Startwert der Integraldarstellung &lt;math&gt;-1&lt;/math&gt; statt &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; (wie beim Hauptzweig). Als holomorphe Funktion verwendet man für den Hauptzweig die Funktion &lt;math&gt;\ln&lt;/math&gt;, die auf den geschlitzten Ebene definiert ist, wobei die negative reelle Achse mit 0 aus dem Definitionsbereich entfernt wird. Beim negativen Hauptzweig wird dagen die positive Achse aus dem Definitionsbereich entfernt, wenn man ein Logarithmus auf diesem [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebiet definieren möchte.
Sei &lt;math&gt;z_o = -1\in \mathbb{C} \setminus \{0\}&lt;/math&gt; 
:&lt;math&gt;
 \begin{array}{rrcl}
   \gamma_z : &amp; [0,1] &amp; \rightarrow &amp; \mathbb{C} \\ 
    &amp;  t  &amp; \mapsto &amp; \gamma_z(t) =  (1-t)\cdot z_0 + t\cdot z =  (t-1) + t\cdot z 
  \end{array}  
&lt;/math&gt;

:&lt;math&gt;
ln_{-}(z) := \pi i + \int_{\gamma_z}
 \frac{1}{\xi} \, d\xi = \pi i +  \int_{0}^1
 \frac{1}{\gamma_z(t)} \cdot \gamma_z{\!\!}'(t) \,\, dt  

&lt;/math&gt;

&lt;span id=&quot;algebraischvollstaendig&quot;&gt;&lt;/span&gt;

== Definition - algebraisch vollständig ==
Ein Zweig des Logarithmus als Funktion &lt;math&gt; \log: G\to \mathbb{C} &lt;/math&gt; heißt algebraisch vollständig, wenn dieser den Definitionsbereich &lt;math&gt; G := \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; besitzt und  &lt;math&gt; \exp(\log(z)) = z &lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt; z \in G &lt;/math&gt; gilt.

=== Bemerkung - algebraische Vollständigkeit ===
Der Definitionsbereich &lt;math&gt; G := \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; ist als [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] eine offene und zusammenhängende Menge in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt;. Für holomorphe Funktionen gilt der [[Kurs:Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue|Satz von der Gebietstreue]]. Damit muss für einen Zweig des Logarithmus als holomorphe Funktion auch das Bild offenen sein. Definiert man den Hauptzweig ''algebraisch vollständig'', ist das Bild z.B. &lt;math&gt;\mathbb{R}+i\cdot (-\pi,+\pi]&lt;/math&gt;. Dies ist keine offene Teilmenge von &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt;. Eine auf diese Weise definierter Logarithmus kann also nicht mehr [[holomorphe Funktion|holomorph]] sein. Man verliert sogar die Eigenschaft der Stetigkeit. Vorteil von algebarisch vollständigen Logarithmen ist, dass die Abblildung für alle &lt;math&gt; z \not= 0 &lt;/math&gt;  (bzw. &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt;) definiert ist.

== Aufgabe - Integraldarstellung des Logarithmus ==
Sei &lt;math&gt;z_o \in \mathbb{C} \setminus \{0\}&lt;/math&gt; beliebig gewählt und 
:&lt;math&gt;
 \begin{array}{rrcl}
   \gamma_z : &amp; [0,1] &amp; \rightarrow &amp; \mathbb{C} \\ 
    &amp;  t  &amp; \mapsto &amp; \gamma_z(t) =  (1-t)\cdot z_0 + t\cdot z 
  \end{array}  
&lt;/math&gt;
* Skizzieren Sie die Menge &lt;math&gt;\mathbb{C}_{z_0} := \mathbb{C} \setminus \{  -\lambda \cdot z_0 \, :\, \lambda \in \mathbb{R}_0^+ \} &lt;/math&gt;
* Ist die folgende Funktion &lt;math&gt;F: \mathbb{C}_{z_0} \to \mathbb{C} &lt;/math&gt; eine wohldefinierte Funktion und für welche &lt;math&gt;z_0&lt;/math&gt; ist die folgende [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion]] &lt;math&gt;F&lt;/math&gt; als Wegintegral auch ein Zweig des Logarithmus? Wie muss man dann die Konstante &lt;math&gt;c_0&lt;/math&gt; zu dem gegebenen &lt;math&gt;z_0&lt;/math&gt; wählen? 
::&lt;math&gt;
F(z) := c_0 + \int_{\gamma_z}
 \frac{1}{\xi} \, d\xi = c_0 +  \int_{0}^1
 \frac{1}{\gamma_z(t)} \cdot \gamma{\,}_z'(t)  dt  

&lt;/math&gt;

=== Notwendigkeit der Einschränkung der Definitions- und Wertebereiche der Exponentialfunktion ===
Um eine bijektive Abbildung zu erhalten, müssen wir sowohl den Definitionsbereich als auch den Wertebereich der Exponentialfunktion einschränken.
Die Exponentialfunktion &lt;math&gt; \exp(z) &lt;/math&gt; ist periodisch mit der Periode &lt;math&gt; 2\pi i &lt;/math&gt;, das heißt, &lt;math&gt; \exp(z + 2\pi i k) = \exp(z) &lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt; k \in \mathbb{Z} &lt;/math&gt;. 

=== Surjektivität und Injektivität ===
Die Periodizität führt dazu, dass die Exponentialfunktion nicht injektiv auf der gesamten komplexen Ebene ist. Die Exponentialfunktion ist auch nicht surjektiv, da mit &lt;math&gt;z=x+i\cdot y \in \mathbb{C}&lt;/math&gt; die 0 als Bildpunkt auftritt, denn es gilt:
:&lt;math&gt;
 e^z = e^{x+iy} = \underbrace{e^x}_{\not=0} \cdot \underbrace{e^{iy}}_{\not=0} \not= 0
&lt;/math&gt;

=== Eulersche Formel ===
Mit der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] kann die Exponentialfunktion mit &lt;math&gt;z=x+i\cdot y \in \mathbb{C}&lt;/math&gt; wie folgt zerlegen:
:&lt;math&gt;
 e^z = e^{x+iy} = \underbrace{e^x}_{\not=0} \cdot e^{iy} = 
 e^x\cdot (\cos(y) + i \cdot \sin(y) )
&lt;/math&gt;

=== Bijektive Abbildung ===
Um eine bijektive und holomorphe Abbildung zu erhalten, kann man  den Definitionsbereich der Exponentialfunktion auf ein horizontales Streifen der Höhe &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; einschränken, zum Beispiel:

:&lt;math&gt; G := \mathbb{R} + i\cdot (-\pi,+\pi) := \{ z \in \mathbb{C} \mid -\pi &lt; \operatorname{Im}(z) \leq \pi \} \subset \mathbb{C}
&lt;/math&gt;
In diesem Fall ist die Exponentialfunktion &lt;math&gt;\exp : G \to  \mathbb{C}\setminus \{0\}   &lt;/math&gt; den &quot;Streifen&quot; &lt;math&gt;G  &lt;/math&gt; der Höhe &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt;  bijektiv auf  auf den Wertebereich &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; ab. Die Bildmenge wird nun zum Definitionsbereich des Hauptzweiges vom Logarithmus.

== Zusammenfassung ==
* Die Exponentialfunktion &lt;math&gt; \exp(z) &lt;/math&gt; ist nicht injektiv und nicht surjektiv (wegen &lt;math&gt; \exp(z) \not= 0)&lt;/math&gt; auf der gesamten komplexen Ebene.
* Um eine bijektive [[holomorphe Funktion]] zu erhalten, muss man den Definitionsbereich &lt;math&gt;\mathbb{D}&lt;/math&gt; und den Wertebereich &lt;math&gt;\mathbb{W}&lt;/math&gt; der Logarithmusfunktion &lt;math&gt;\log_G : G \to \mathbb{W} &lt;/math&gt; so einschränken, dass eine bijektive Abbildung entsteht.
* für die offene Menge &lt;math&gt;\mathbb{D}&lt;/math&gt; muss im Allgemeinen nur [[einfach zusammenhängend]] mit &lt;math&gt;0\notin \mathbb{D}&lt;/math&gt; sein (siehe auch [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/generalisiert|generalisierte Logarithmen]]). 
* Ein Zweig des Logarithmus kann definiert werden, indem der Definitionsbereich des Logarithmus eingeschränkt wird, zum Beispiel auf &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus (-\infty, 0] &lt;/math&gt;.

=== Algebraische Vervollständigung ===
Wenn man den Definitionsbereich von einer geschlitzten Ebene &lt;math&gt; \mathbb{W} := \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}_{0}^{-}&lt;/math&gt; auf &lt;math&gt;\mathbb{C}\setminus \{0\}&lt;/math&gt; erweitert und gleichzeitig den Definitionsbereich &lt;math&gt;G:=\mathbb{R}+(-\pi,+\pi) \cdot i &lt;/math&gt; zu &lt;math&gt;G_+ := \mathbb{R} + (-\pi,+\pi]\cdot i&lt;/math&gt; für den Hauptzweig erweitert, bleibt die algebraisch die Bijektivität erhalten, aber man verliert die Eigenschaft der Stetigkeit auf dem ganzen Definitionsbereich. Alternativ kann man für den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#negativer_Hauptzweig|negativen Hauptzweig]] den Definitionsbereich &lt;math&gt;G_1 := \mathbb{R} + (0,2\pi)\cdot i&lt;/math&gt; auch diesen Definitionsbereich auf &lt;math&gt;\mathbb{D}_1 := \mathbb{R} + [0,2\pi)\cdot i&lt;/math&gt; erweitern und man verliert analog die Eigenschaft der Stetigkeit und komplexen Differenzierbarkeit auf ganz &lt;math&gt;\mathbb{D}_1&lt;/math&gt;.

== Siehe auch ==
* [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/algebraische Vollständigkeit|algebraische Vollständigkeit]] des Logarithmus
* [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden Gebietes]] für Logarithmen
* [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]]
*[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/generalisiert|generalisierter Logarithmus]]
* [[holomorphe Funktion]] 
* [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexer Logarithmus]]
* [[Logarithmus|reeller Logarithmus]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion als Wegintegral]]
* [[Stetigkeit]]</text>
      <sha1>kazsg0i47i3xzvlgvlfr416k966t7u1</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>1115834</id>
      <parentid>1115833</parentid>
      <timestamp>2026-10-12T12:53:29Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bert Niehaus</username>
        <id>20843</id>
      </contributor>
      <comment>/* Alternativen der Argumentfunktion */</comment>
      <origin>1115834</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="11261" sha1="42o11g2nutpsvgweckqhpvgzzinu5o8" xml:space="preserve">== Einleitung ==
Es gibt unterschiedliche Möglichkeiten (''&quot;Zweige&quot;''), einen Logarithmus als [[w:de:Umkehrfunktion|Umkehrfunktion]] zu definieren. Dies liegt einerseits an folgdenden mathematischen Eigenschaften und andererseits auch an der Zielsetzung, was man mit dem Logarithmus als Funktion erreichen möchte. 
* '''([[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#Peridodizitaet|Periodizität]])''' Durch die Periodizität der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] im [[komplexe Zahl|Imaginärteil]] mit der Periode &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; gibt es unterschiedliche Zweige.
* '''([[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/generalisiert|Wahl des Gebietes]])''' Durch die Wahl des [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden Gebietes]]  entstehen unterschiedliche Zweige (siehe [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/generalisiert|verallgemeinerter Logarithmus]]).
* '''([[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#algebraischvollstaendig|Algebraische Vollständigkeit]])''' Ein Zweig des Logaritmus ist algebraisch vollständig, wenn dieser auf &lt;math&gt;\mathbb{C}\setminus \{0\}&lt;/math&gt; definiert ist. Dadurch verliert man aber die [[Stetigkeit]] und [[Holomorphie]] als Eigenschaft.

== Zweige des Logarithmus ==
Ein Zweig des Logarithmus ist eine Funktion &lt;math&gt; \log_G(z) &lt;/math&gt;, die auf einer Teilmenge &lt;math&gt; G &lt;/math&gt; von &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; definiert ist und die Eigenschaft hat, dass &lt;math&gt; \exp(\log_G(z)) = z &lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt; z \in G &lt;/math&gt;. 

=== Hauptzweig des Logarithmus ===
Eine übliche Wahl für &lt;math&gt; G &lt;/math&gt; ist die Menge &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus (-\infty, 0] &lt;/math&gt;, die die negative reelle Achse ausschließt. In diesem Fall kann der Hauptzweig des Logarithmus definiert werden als:

:&lt;math&gt; \log(z) = \ln\big( |z|\big) + i \arg(z) 
&lt;/math&gt;
wobei &lt;math&gt; \arg(z) &lt;/math&gt; der Winkel von &lt;math&gt; z &lt;/math&gt; in der komplexen Ebene ist und für den Hauptzweig erfüllt dieser &lt;math&gt; -\pi &lt; \arg(z) &lt; +\pi &lt;/math&gt;.

==== Integraldarstellung des Hauptzweiges ====
Wählt man &lt;math&gt;z_o = 1\in \mathbb{C} \setminus \{0\}&lt;/math&gt;, so gilt muss die Stammfunktion &lt;math&gt;log&lt;/math&gt;  von &lt;math&gt;f(\xi)=\tfrac{1}{\xi}&lt;/math&gt; die Eigenschaft &lt;math&gt;log(1)=0&lt;/math&gt; erfüllen. Die folgende Integraldarstellung des Hauptzweiges mit [[Konvexkombination]] &lt;math&gt;\gamma_z&lt;/math&gt; als Integrationsweg erfüllt diese Eigenschaft: 
:&lt;math&gt;
 \begin{array}{rrcl}
   \gamma_z : &amp; [0,1] &amp; \rightarrow &amp; \mathbb{C} \\ 
    &amp;  t  &amp; \mapsto &amp; \gamma_z(t) =  (1-t)\cdot z_0 + t\cdot z =  (t-1) + t\cdot z 
  \end{array}  
&lt;/math&gt;

:&lt;math&gt;
log(z) := \int_{\gamma_z}
 \frac{1}{\xi} \, d\xi = \pi i +  \int_{0}^1
 \frac{1}{\gamma_z(t)} \cdot \gamma_z{\!\!}'(t) \,\, dt  

&lt;/math&gt;


&lt;span id=&quot;Periodizitaet&quot;&gt;&lt;/span&gt;

=== Zweige des Logarithmus - Peridoizität ===
Durch die imaginäre Periodizität bzgl. Vielfache von &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; Stellt man &lt;math&gt;z = |z| \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}  \cdot\arg(z)}&lt;/math&gt; in [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|Polarform]] dar, so erhält man eine einfache Darstellung des ''k-ten Zweiges'' der Logarithmusfunktion:
: &lt;math&gt;w = \ln |z| + \mathrm{i}\left(\arg(z) + 2\pi\cdot k\right), \quad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;
mit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] &lt;math&gt;\arg&lt;/math&gt;. Im Summanden &lt;math&gt;\ln \big(|z|\big)&lt;/math&gt; wird der bereits oben definierte reelle Logarithmus &lt;math&gt;\ln&lt;/math&gt; auf &lt;math&gt;\mathbb{R}^+&lt;/math&gt; verwendet.
Für &lt;math&gt;k = 0&lt;/math&gt; erhält man den ''Hauptzweig'' des komplexen Logarithmus zurück:
: &lt;math&gt;\ln z = \ln|z| + \mathrm{i}\arg(z)&lt;/math&gt;.

&lt;span id=&quot;negativer_Hauptzweig&quot;&gt;&lt;/span&gt;

=== Negativer Hauptzweige des Logarithmus ===
Beim negativen Hauptzweig verwendet man für den Startwert der Integraldarstellung &lt;math&gt;-1&lt;/math&gt; statt &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; (wie beim Hauptzweig). Als holomorphe Funktion verwendet man für den Hauptzweig die Funktion &lt;math&gt;\ln&lt;/math&gt;, die auf den geschlitzten Ebene definiert ist, wobei die negative reelle Achse mit 0 aus dem Definitionsbereich entfernt wird. Beim negativen Hauptzweig wird dagen die positive Achse aus dem Definitionsbereich entfernt, wenn man ein Logarithmus auf diesem [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebiet definieren möchte.
Sei &lt;math&gt;z_o = -1\in \mathbb{C} \setminus \{0\}&lt;/math&gt; 
:&lt;math&gt;
 \begin{array}{rrcl}
   \gamma_z : &amp; [0,1] &amp; \rightarrow &amp; \mathbb{C} \\ 
    &amp;  t  &amp; \mapsto &amp; \gamma_z(t) =  (1-t)\cdot z_0 + t\cdot z =  (t-1) + t\cdot z 
  \end{array}  
&lt;/math&gt;

:&lt;math&gt;
ln_{-}(z) := \pi i + \int_{\gamma_z}
 \frac{1}{\xi} \, d\xi = \pi i +  \int_{0}^1
 \frac{1}{\gamma_z(t)} \cdot \gamma_z{\!\!}'(t) \,\, dt  

&lt;/math&gt;

&lt;span id=&quot;algebraischvollstaendig&quot;&gt;&lt;/span&gt;

== Definition - algebraisch vollständig ==
Ein Zweig des Logarithmus als Funktion &lt;math&gt; \log: G\to \mathbb{C} &lt;/math&gt; heißt algebraisch vollständig, wenn dieser den Definitionsbereich &lt;math&gt; G := \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; besitzt und  &lt;math&gt; \exp(\log(z)) = z &lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt; z \in G &lt;/math&gt; gilt.

=== Bemerkung - algebraische Vollständigkeit ===
Der Definitionsbereich &lt;math&gt; G := \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; ist als [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] eine offene und zusammenhängende Menge in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt;. Für holomorphe Funktionen gilt der [[Kurs:Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue|Satz von der Gebietstreue]]. Damit muss für einen Zweig des Logarithmus als holomorphe Funktion auch das Bild offenen sein. Definiert man den Hauptzweig ''algebraisch vollständig'', ist das Bild z.B. &lt;math&gt;\mathbb{R}+i\cdot (-\pi,+\pi]&lt;/math&gt;. Dies ist keine offene Teilmenge von &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt;. Eine auf diese Weise definierter Logarithmus kann also nicht mehr [[holomorphe Funktion|holomorph]] sein. Man verliert sogar die Eigenschaft der Stetigkeit. Vorteil von algebarisch vollständigen Logarithmen ist, dass die Abblildung für alle &lt;math&gt; z \not= 0 &lt;/math&gt;  (bzw. &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt;) definiert ist.

== Aufgabe - Integraldarstellung des Logarithmus ==
Sei &lt;math&gt;z_o \in \mathbb{C} \setminus \{0\}&lt;/math&gt; beliebig gewählt und 
:&lt;math&gt;
 \begin{array}{rrcl}
   \gamma_z : &amp; [0,1] &amp; \rightarrow &amp; \mathbb{C} \\ 
    &amp;  t  &amp; \mapsto &amp; \gamma_z(t) =  (1-t)\cdot z_0 + t\cdot z 
  \end{array}  
&lt;/math&gt;
* Skizzieren Sie die Menge &lt;math&gt;\mathbb{C}_{z_0} := \mathbb{C} \setminus \{  -\lambda \cdot z_0 \, :\, \lambda \in \mathbb{R}_0^+ \} &lt;/math&gt;
* Ist die folgende Funktion &lt;math&gt;F: \mathbb{C}_{z_0} \to \mathbb{C} &lt;/math&gt; eine wohldefinierte Funktion und für welche &lt;math&gt;z_0&lt;/math&gt; ist die folgende [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion]] &lt;math&gt;F&lt;/math&gt; als Wegintegral auch ein Zweig des Logarithmus? Wie muss man dann die Konstante &lt;math&gt;c_0&lt;/math&gt; zu dem gegebenen &lt;math&gt;z_0&lt;/math&gt; wählen? 
::&lt;math&gt;
F(z) := c_0 + \int_{\gamma_z}
 \frac{1}{\xi} \, d\xi = c_0 +  \int_{0}^1
 \frac{1}{\gamma_z(t)} \cdot \gamma{\,}_z'(t)  dt  

&lt;/math&gt;

=== Notwendigkeit der Einschränkung der Definitions- und Wertebereiche der Exponentialfunktion ===
Um eine bijektive Abbildung zu erhalten, müssen wir sowohl den Definitionsbereich als auch den Wertebereich der Exponentialfunktion einschränken.
Die Exponentialfunktion &lt;math&gt; \exp(z) &lt;/math&gt; ist periodisch mit der Periode &lt;math&gt; 2\pi i &lt;/math&gt;, das heißt, &lt;math&gt; \exp(z + 2\pi i k) = \exp(z) &lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt; k \in \mathbb{Z} &lt;/math&gt;. 

=== Surjektivität und Injektivität ===
Die Periodizität führt dazu, dass die Exponentialfunktion nicht injektiv auf der gesamten komplexen Ebene ist. Die Exponentialfunktion ist auch nicht surjektiv, da mit &lt;math&gt;z=x+i\cdot y \in \mathbb{C}&lt;/math&gt; die 0 als Bildpunkt auftritt, denn es gilt:
:&lt;math&gt;
 e^z = e^{x+iy} = \underbrace{e^x}_{\not=0} \cdot \underbrace{e^{iy}}_{\not=0} \not= 0
&lt;/math&gt;

=== Eulersche Formel ===
Mit der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] kann die Exponentialfunktion mit &lt;math&gt;z=x+i\cdot y \in \mathbb{C}&lt;/math&gt; wie folgt zerlegen:
:&lt;math&gt;
 e^z = e^{x+iy} = \underbrace{e^x}_{\not=0} \cdot e^{iy} = 
 e^x\cdot (\cos(y) + i \cdot \sin(y) )
&lt;/math&gt;

=== Bijektive Abbildung ===
Um eine bijektive und holomorphe Abbildung zu erhalten, kann man  den Definitionsbereich der Exponentialfunktion auf ein horizontales Streifen der Höhe &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; einschränken, zum Beispiel:

:&lt;math&gt; G := \mathbb{R} + i\cdot (-\pi,+\pi) := \{ z \in \mathbb{C} \mid -\pi &lt; \operatorname{Im}(z) \leq \pi \} \subset \mathbb{C}
&lt;/math&gt;
In diesem Fall ist die Exponentialfunktion &lt;math&gt;\exp : G \to  \mathbb{C}\setminus \{0\}   &lt;/math&gt; den &quot;Streifen&quot; &lt;math&gt;G  &lt;/math&gt; der Höhe &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt;  bijektiv auf  auf den Wertebereich &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; ab. Die Bildmenge wird nun zum Definitionsbereich des Hauptzweiges vom Logarithmus.

== Zusammenfassung ==
* Die Exponentialfunktion &lt;math&gt; \exp(z) &lt;/math&gt; ist nicht injektiv und nicht surjektiv (wegen &lt;math&gt; \exp(z) \not= 0)&lt;/math&gt; auf der gesamten komplexen Ebene.
* Um eine bijektive [[holomorphe Funktion]] zu erhalten, muss man den Definitionsbereich &lt;math&gt;\mathbb{D}&lt;/math&gt; und den Wertebereich &lt;math&gt;\mathbb{W}&lt;/math&gt; der Logarithmusfunktion &lt;math&gt;\log_G : G \to \mathbb{W} &lt;/math&gt; so einschränken, dass eine bijektive Abbildung entsteht.
* für die offene Menge &lt;math&gt;\mathbb{D}&lt;/math&gt; muss im Allgemeinen nur [[einfach zusammenhängend]] mit &lt;math&gt;0\notin \mathbb{D}&lt;/math&gt; sein (siehe auch [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/generalisiert|generalisierte Logarithmen]]). 
* Ein Zweig des Logarithmus kann definiert werden, indem der Definitionsbereich des Logarithmus eingeschränkt wird, zum Beispiel auf &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus (-\infty, 0] &lt;/math&gt;.

=== Algebraische Vervollständigung ===
Wenn man den Definitionsbereich von einer geschlitzten Ebene &lt;math&gt; \mathbb{W} := \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}_{0}^{-}&lt;/math&gt; auf &lt;math&gt;\mathbb{C}\setminus \{0\}&lt;/math&gt; erweitert und gleichzeitig den Definitionsbereich &lt;math&gt;G:=\mathbb{R}+(-\pi,+\pi) \cdot i &lt;/math&gt; zu &lt;math&gt;G_+ := \mathbb{R} + (-\pi,+\pi]\cdot i&lt;/math&gt; für den Hauptzweig erweitert, bleibt die algebraisch die Bijektivität erhalten, aber man verliert die Eigenschaft der Stetigkeit auf dem ganzen Definitionsbereich. Alternativ kann man für den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#negativer_Hauptzweig|negativen Hauptzweig]] den Definitionsbereich &lt;math&gt;G_1 := \mathbb{R} + (0,2\pi)\cdot i&lt;/math&gt; auch diesen Definitionsbereich auf &lt;math&gt;\mathbb{D}_1 := \mathbb{R} + [0,2\pi)\cdot i&lt;/math&gt; erweitern und man verliert analog die Eigenschaft der Stetigkeit und komplexen Differenzierbarkeit auf ganz &lt;math&gt;\mathbb{D}_1&lt;/math&gt;.

== Siehe auch ==
* [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/algebraische Vollständigkeit|algebraische Vollständigkeit]] des Logarithmus
* [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden Gebietes]] für Logarithmen
* [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]]
*[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/generalisiert|generalisierter Logarithmus]]
* [[holomorphe Funktion]] 
* [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexer Logarithmus]]
* [[Logarithmus|reeller Logarithmus]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion als Wegintegral]]
* [[Stetigkeit]]</text>
      <sha1>42o11g2nutpsvgweckqhpvgzzinu5o8</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>1115835</id>
      <parentid>1115834</parentid>
      <timestamp>2026-10-12T12:58:41Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bert Niehaus</username>
        <id>20843</id>
      </contributor>
      <comment>/* Negativer Hauptzweige des Logarithmus */</comment>
      <origin>1115835</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="11285" sha1="76sas2gh5clvw8tnu0prov28ilzx3kt" xml:space="preserve">== Einleitung ==
Es gibt unterschiedliche Möglichkeiten (''&quot;Zweige&quot;''), einen Logarithmus als [[w:de:Umkehrfunktion|Umkehrfunktion]] zu definieren. Dies liegt einerseits an folgdenden mathematischen Eigenschaften und andererseits auch an der Zielsetzung, was man mit dem Logarithmus als Funktion erreichen möchte. 
* '''([[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#Peridodizitaet|Periodizität]])''' Durch die Periodizität der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] im [[komplexe Zahl|Imaginärteil]] mit der Periode &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; gibt es unterschiedliche Zweige.
* '''([[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/generalisiert|Wahl des Gebietes]])''' Durch die Wahl des [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden Gebietes]]  entstehen unterschiedliche Zweige (siehe [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/generalisiert|verallgemeinerter Logarithmus]]).
* '''([[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#algebraischvollstaendig|Algebraische Vollständigkeit]])''' Ein Zweig des Logaritmus ist algebraisch vollständig, wenn dieser auf &lt;math&gt;\mathbb{C}\setminus \{0\}&lt;/math&gt; definiert ist. Dadurch verliert man aber die [[Stetigkeit]] und [[Holomorphie]] als Eigenschaft.

== Zweige des Logarithmus ==
Ein Zweig des Logarithmus ist eine Funktion &lt;math&gt; \log_G(z) &lt;/math&gt;, die auf einer Teilmenge &lt;math&gt; G &lt;/math&gt; von &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; definiert ist und die Eigenschaft hat, dass &lt;math&gt; \exp(\log_G(z)) = z &lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt; z \in G &lt;/math&gt;. 

=== Hauptzweig des Logarithmus ===
Eine übliche Wahl für &lt;math&gt; G &lt;/math&gt; ist die Menge &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus (-\infty, 0] &lt;/math&gt;, die die negative reelle Achse ausschließt. In diesem Fall kann der Hauptzweig des Logarithmus definiert werden als:

:&lt;math&gt; \log(z) = \ln\big( |z|\big) + i \arg(z) 
&lt;/math&gt;
wobei &lt;math&gt; \arg(z) &lt;/math&gt; der Winkel von &lt;math&gt; z &lt;/math&gt; in der komplexen Ebene ist und für den Hauptzweig erfüllt dieser &lt;math&gt; -\pi &lt; \arg(z) &lt; +\pi &lt;/math&gt;.

==== Integraldarstellung des Hauptzweiges ====
Wählt man &lt;math&gt;z_o = 1\in \mathbb{C} \setminus \{0\}&lt;/math&gt;, so gilt muss die Stammfunktion &lt;math&gt;log&lt;/math&gt;  von &lt;math&gt;f(\xi)=\tfrac{1}{\xi}&lt;/math&gt; die Eigenschaft &lt;math&gt;log(1)=0&lt;/math&gt; erfüllen. Die folgende Integraldarstellung des Hauptzweiges mit [[Konvexkombination]] &lt;math&gt;\gamma_z&lt;/math&gt; als Integrationsweg erfüllt diese Eigenschaft: 
:&lt;math&gt;
 \begin{array}{rrcl}
   \gamma_z : &amp; [0,1] &amp; \rightarrow &amp; \mathbb{C} \\ 
    &amp;  t  &amp; \mapsto &amp; \gamma_z(t) =  (1-t)\cdot z_0 + t\cdot z =  (t-1) + t\cdot z 
  \end{array}  
&lt;/math&gt;

:&lt;math&gt;
log(z) := \int_{\gamma_z}
 \frac{1}{\xi} \, d\xi = \pi i +  \int_{0}^1
 \frac{1}{\gamma_z(t)} \cdot \gamma_z{\!\!}'(t) \,\, dt  

&lt;/math&gt;


&lt;span id=&quot;Periodizitaet&quot;&gt;&lt;/span&gt;

=== Zweige des Logarithmus - Peridoizität ===
Durch die imaginäre Periodizität bzgl. Vielfache von &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; Stellt man &lt;math&gt;z = |z| \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}  \cdot\arg(z)}&lt;/math&gt; in [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|Polarform]] dar, so erhält man eine einfache Darstellung des ''k-ten Zweiges'' der Logarithmusfunktion:
: &lt;math&gt;w = \ln |z| + \mathrm{i}\left(\arg(z) + 2\pi\cdot k\right), \quad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;
mit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] &lt;math&gt;\arg&lt;/math&gt;. Im Summanden &lt;math&gt;\ln \big(|z|\big)&lt;/math&gt; wird der bereits oben definierte reelle Logarithmus &lt;math&gt;\ln&lt;/math&gt; auf &lt;math&gt;\mathbb{R}^+&lt;/math&gt; verwendet.
Für &lt;math&gt;k = 0&lt;/math&gt; erhält man den ''Hauptzweig'' des komplexen Logarithmus zurück:
: &lt;math&gt;\ln z = \ln|z| + \mathrm{i}\arg(z)&lt;/math&gt;.

&lt;span id=&quot;negativer_Hauptzweig&quot;&gt;&lt;/span&gt;

=== Negativer Hauptzweige des Logarithmus ===
Beim negativen Hauptzweig verwendet man für den Startwert der Integraldarstellung &lt;math&gt;-1&lt;/math&gt; statt &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; (wie beim Hauptzweig). Als holomorphe Funktion verwendet man für den negativen Hauptzweig die Funktion &lt;math&gt;\log_{_-}(z)&lt;/math&gt;, die auf den geschlitzten Ebene definiert ist, wobei die positive reelle Achse mit 0 aus dem Definitionsbereich entfernt wird. Wenn man einen Logarithmus auf diesem [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebiet definieren möchte, setzt man &lt;math&gt;z_o = -1\in \mathbb{C} \setminus \{0\}&lt;/math&gt; und erhält als Integraldarstellung des ''negativen Hauptzweiges'' folgende Definition:
:&lt;math&gt;
 \begin{array}{rrcl}
   \gamma_z : &amp; [0,1] &amp; \rightarrow &amp; \mathbb{C} \\ 
    &amp;  t  &amp; \mapsto &amp; \gamma_z(t) =  (1-t)\cdot z_0 + t\cdot z =  (t-1) + t\cdot z 
  \end{array}  
&lt;/math&gt;

:&lt;math&gt;
\log_{_-}(z) := \pi i + \int_{\gamma_z}
 \frac{1}{\xi} \, d\xi = \pi i +  \int_{0}^1
 \frac{1}{\gamma_z(t)} \cdot \gamma_z{\!\!}'(t) \,\, dt  

&lt;/math&gt;

&lt;span id=&quot;algebraischvollstaendig&quot;&gt;&lt;/span&gt;

== Definition - algebraisch vollständig ==
Ein Zweig des Logarithmus als Funktion &lt;math&gt; \log: G\to \mathbb{C} &lt;/math&gt; heißt algebraisch vollständig, wenn dieser den Definitionsbereich &lt;math&gt; G := \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; besitzt und  &lt;math&gt; \exp(\log(z)) = z &lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt; z \in G &lt;/math&gt; gilt.

=== Bemerkung - algebraische Vollständigkeit ===
Der Definitionsbereich &lt;math&gt; G := \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; ist als [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] eine offene und zusammenhängende Menge in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt;. Für holomorphe Funktionen gilt der [[Kurs:Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue|Satz von der Gebietstreue]]. Damit muss für einen Zweig des Logarithmus als holomorphe Funktion auch das Bild offenen sein. Definiert man den Hauptzweig ''algebraisch vollständig'', ist das Bild z.B. &lt;math&gt;\mathbb{R}+i\cdot (-\pi,+\pi]&lt;/math&gt;. Dies ist keine offene Teilmenge von &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt;. Eine auf diese Weise definierter Logarithmus kann also nicht mehr [[holomorphe Funktion|holomorph]] sein. Man verliert sogar die Eigenschaft der Stetigkeit. Vorteil von algebarisch vollständigen Logarithmen ist, dass die Abblildung für alle &lt;math&gt; z \not= 0 &lt;/math&gt;  (bzw. &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt;) definiert ist.

== Aufgabe - Integraldarstellung des Logarithmus ==
Sei &lt;math&gt;z_o \in \mathbb{C} \setminus \{0\}&lt;/math&gt; beliebig gewählt und 
:&lt;math&gt;
 \begin{array}{rrcl}
   \gamma_z : &amp; [0,1] &amp; \rightarrow &amp; \mathbb{C} \\ 
    &amp;  t  &amp; \mapsto &amp; \gamma_z(t) =  (1-t)\cdot z_0 + t\cdot z 
  \end{array}  
&lt;/math&gt;
* Skizzieren Sie die Menge &lt;math&gt;\mathbb{C}_{z_0} := \mathbb{C} \setminus \{  -\lambda \cdot z_0 \, :\, \lambda \in \mathbb{R}_0^+ \} &lt;/math&gt;
* Ist die folgende Funktion &lt;math&gt;F: \mathbb{C}_{z_0} \to \mathbb{C} &lt;/math&gt; eine wohldefinierte Funktion und für welche &lt;math&gt;z_0&lt;/math&gt; ist die folgende [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion]] &lt;math&gt;F&lt;/math&gt; als Wegintegral auch ein Zweig des Logarithmus? Wie muss man dann die Konstante &lt;math&gt;c_0&lt;/math&gt; zu dem gegebenen &lt;math&gt;z_0&lt;/math&gt; wählen? 
::&lt;math&gt;
F(z) := c_0 + \int_{\gamma_z}
 \frac{1}{\xi} \, d\xi = c_0 +  \int_{0}^1
 \frac{1}{\gamma_z(t)} \cdot \gamma{\,}_z'(t)  dt  

&lt;/math&gt;

=== Notwendigkeit der Einschränkung der Definitions- und Wertebereiche der Exponentialfunktion ===
Um eine bijektive Abbildung zu erhalten, müssen wir sowohl den Definitionsbereich als auch den Wertebereich der Exponentialfunktion einschränken.
Die Exponentialfunktion &lt;math&gt; \exp(z) &lt;/math&gt; ist periodisch mit der Periode &lt;math&gt; 2\pi i &lt;/math&gt;, das heißt, &lt;math&gt; \exp(z + 2\pi i k) = \exp(z) &lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt; k \in \mathbb{Z} &lt;/math&gt;. 

=== Surjektivität und Injektivität ===
Die Periodizität führt dazu, dass die Exponentialfunktion nicht injektiv auf der gesamten komplexen Ebene ist. Die Exponentialfunktion ist auch nicht surjektiv, da mit &lt;math&gt;z=x+i\cdot y \in \mathbb{C}&lt;/math&gt; die 0 als Bildpunkt auftritt, denn es gilt:
:&lt;math&gt;
 e^z = e^{x+iy} = \underbrace{e^x}_{\not=0} \cdot \underbrace{e^{iy}}_{\not=0} \not= 0
&lt;/math&gt;

=== Eulersche Formel ===
Mit der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] kann die Exponentialfunktion mit &lt;math&gt;z=x+i\cdot y \in \mathbb{C}&lt;/math&gt; wie folgt zerlegen:
:&lt;math&gt;
 e^z = e^{x+iy} = \underbrace{e^x}_{\not=0} \cdot e^{iy} = 
 e^x\cdot (\cos(y) + i \cdot \sin(y) )
&lt;/math&gt;

=== Bijektive Abbildung ===
Um eine bijektive und holomorphe Abbildung zu erhalten, kann man  den Definitionsbereich der Exponentialfunktion auf ein horizontales Streifen der Höhe &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; einschränken, zum Beispiel:

:&lt;math&gt; G := \mathbb{R} + i\cdot (-\pi,+\pi) := \{ z \in \mathbb{C} \mid -\pi &lt; \operatorname{Im}(z) \leq \pi \} \subset \mathbb{C}
&lt;/math&gt;
In diesem Fall ist die Exponentialfunktion &lt;math&gt;\exp : G \to  \mathbb{C}\setminus \{0\}   &lt;/math&gt; den &quot;Streifen&quot; &lt;math&gt;G  &lt;/math&gt; der Höhe &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt;  bijektiv auf  auf den Wertebereich &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; ab. Die Bildmenge wird nun zum Definitionsbereich des Hauptzweiges vom Logarithmus.

== Zusammenfassung ==
* Die Exponentialfunktion &lt;math&gt; \exp(z) &lt;/math&gt; ist nicht injektiv und nicht surjektiv (wegen &lt;math&gt; \exp(z) \not= 0)&lt;/math&gt; auf der gesamten komplexen Ebene.
* Um eine bijektive [[holomorphe Funktion]] zu erhalten, muss man den Definitionsbereich &lt;math&gt;\mathbb{D}&lt;/math&gt; und den Wertebereich &lt;math&gt;\mathbb{W}&lt;/math&gt; der Logarithmusfunktion &lt;math&gt;\log_G : G \to \mathbb{W} &lt;/math&gt; so einschränken, dass eine bijektive Abbildung entsteht.
* für die offene Menge &lt;math&gt;\mathbb{D}&lt;/math&gt; muss im Allgemeinen nur [[einfach zusammenhängend]] mit &lt;math&gt;0\notin \mathbb{D}&lt;/math&gt; sein (siehe auch [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/generalisiert|generalisierte Logarithmen]]). 
* Ein Zweig des Logarithmus kann definiert werden, indem der Definitionsbereich des Logarithmus eingeschränkt wird, zum Beispiel auf &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus (-\infty, 0] &lt;/math&gt;.

=== Algebraische Vervollständigung ===
Wenn man den Definitionsbereich von einer geschlitzten Ebene &lt;math&gt; \mathbb{W} := \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}_{0}^{-}&lt;/math&gt; auf &lt;math&gt;\mathbb{C}\setminus \{0\}&lt;/math&gt; erweitert und gleichzeitig den Definitionsbereich &lt;math&gt;G:=\mathbb{R}+(-\pi,+\pi) \cdot i &lt;/math&gt; zu &lt;math&gt;G_+ := \mathbb{R} + (-\pi,+\pi]\cdot i&lt;/math&gt; für den Hauptzweig erweitert, bleibt die algebraisch die Bijektivität erhalten, aber man verliert die Eigenschaft der Stetigkeit auf dem ganzen Definitionsbereich. Alternativ kann man für den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#negativer_Hauptzweig|negativen Hauptzweig]] den Definitionsbereich &lt;math&gt;G_1 := \mathbb{R} + (0,2\pi)\cdot i&lt;/math&gt; auch diesen Definitionsbereich auf &lt;math&gt;\mathbb{D}_1 := \mathbb{R} + [0,2\pi)\cdot i&lt;/math&gt; erweitern und man verliert analog die Eigenschaft der Stetigkeit und komplexen Differenzierbarkeit auf ganz &lt;math&gt;\mathbb{D}_1&lt;/math&gt;.

== Siehe auch ==
* [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/algebraische Vollständigkeit|algebraische Vollständigkeit]] des Logarithmus
* [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden Gebietes]] für Logarithmen
* [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]]
*[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/generalisiert|generalisierter Logarithmus]]
* [[holomorphe Funktion]] 
* [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexer Logarithmus]]
* [[Logarithmus|reeller Logarithmus]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion als Wegintegral]]
* [[Stetigkeit]]</text>
      <sha1>76sas2gh5clvw8tnu0prov28ilzx3kt</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>1115836</id>
      <parentid>1115835</parentid>
      <timestamp>2026-10-12T12:59:48Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bert Niehaus</username>
        <id>20843</id>
      </contributor>
      <comment>/* Zweige des Logarithmus - Peridoizität */</comment>
      <origin>1115836</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="11307" sha1="8yq2du5ag59mrkiqcynxdfepbas9bi5" xml:space="preserve">== Einleitung ==
Es gibt unterschiedliche Möglichkeiten (''&quot;Zweige&quot;''), einen Logarithmus als [[w:de:Umkehrfunktion|Umkehrfunktion]] zu definieren. Dies liegt einerseits an folgdenden mathematischen Eigenschaften und andererseits auch an der Zielsetzung, was man mit dem Logarithmus als Funktion erreichen möchte. 
* '''([[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#Peridodizitaet|Periodizität]])''' Durch die Periodizität der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] im [[komplexe Zahl|Imaginärteil]] mit der Periode &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; gibt es unterschiedliche Zweige.
* '''([[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/generalisiert|Wahl des Gebietes]])''' Durch die Wahl des [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden Gebietes]]  entstehen unterschiedliche Zweige (siehe [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/generalisiert|verallgemeinerter Logarithmus]]).
* '''([[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#algebraischvollstaendig|Algebraische Vollständigkeit]])''' Ein Zweig des Logaritmus ist algebraisch vollständig, wenn dieser auf &lt;math&gt;\mathbb{C}\setminus \{0\}&lt;/math&gt; definiert ist. Dadurch verliert man aber die [[Stetigkeit]] und [[Holomorphie]] als Eigenschaft.

== Zweige des Logarithmus ==
Ein Zweig des Logarithmus ist eine Funktion &lt;math&gt; \log_G(z) &lt;/math&gt;, die auf einer Teilmenge &lt;math&gt; G &lt;/math&gt; von &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; definiert ist und die Eigenschaft hat, dass &lt;math&gt; \exp(\log_G(z)) = z &lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt; z \in G &lt;/math&gt;. 

=== Hauptzweig des Logarithmus ===
Eine übliche Wahl für &lt;math&gt; G &lt;/math&gt; ist die Menge &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus (-\infty, 0] &lt;/math&gt;, die die negative reelle Achse ausschließt. In diesem Fall kann der Hauptzweig des Logarithmus definiert werden als:

:&lt;math&gt; \log(z) = \ln\big( |z|\big) + i \arg(z) 
&lt;/math&gt;
wobei &lt;math&gt; \arg(z) &lt;/math&gt; der Winkel von &lt;math&gt; z &lt;/math&gt; in der komplexen Ebene ist und für den Hauptzweig erfüllt dieser &lt;math&gt; -\pi &lt; \arg(z) &lt; +\pi &lt;/math&gt;.

==== Integraldarstellung des Hauptzweiges ====
Wählt man &lt;math&gt;z_o = 1\in \mathbb{C} \setminus \{0\}&lt;/math&gt;, so gilt muss die Stammfunktion &lt;math&gt;log&lt;/math&gt;  von &lt;math&gt;f(\xi)=\tfrac{1}{\xi}&lt;/math&gt; die Eigenschaft &lt;math&gt;log(1)=0&lt;/math&gt; erfüllen. Die folgende Integraldarstellung des Hauptzweiges mit [[Konvexkombination]] &lt;math&gt;\gamma_z&lt;/math&gt; als Integrationsweg erfüllt diese Eigenschaft: 
:&lt;math&gt;
 \begin{array}{rrcl}
   \gamma_z : &amp; [0,1] &amp; \rightarrow &amp; \mathbb{C} \\ 
    &amp;  t  &amp; \mapsto &amp; \gamma_z(t) =  (1-t)\cdot z_0 + t\cdot z =  (t-1) + t\cdot z 
  \end{array}  
&lt;/math&gt;

:&lt;math&gt;
log(z) := \int_{\gamma_z}
 \frac{1}{\xi} \, d\xi = \pi i +  \int_{0}^1
 \frac{1}{\gamma_z(t)} \cdot \gamma_z{\!\!}'(t) \,\, dt  

&lt;/math&gt;


&lt;span id=&quot;Periodizitaet&quot;&gt;&lt;/span&gt;

=== Zweige des Logarithmus - Peridoizität ===
Durch die imaginäre Periodizität bzgl. Vielfache von &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; Stellt man &lt;math&gt;z = |z| \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}  \cdot\arg(z)}&lt;/math&gt; in [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|Polarform]] dar, so erhält man eine einfache Darstellung des ''k-ten Zweiges'' der Logarithmusfunktion:
: &lt;math&gt;w = \ln \big(|z|\big) + \mathrm{i}\left(\arg(z) + 2\pi\cdot k\right), \quad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;
mit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] &lt;math&gt;\arg&lt;/math&gt;. Im Summanden &lt;math&gt;\ln \big(|z|\big)&lt;/math&gt; wird der bereits oben definierte reelle Logarithmus &lt;math&gt;\ln&lt;/math&gt; auf &lt;math&gt;\mathbb{R}^+&lt;/math&gt; verwendet.
Für &lt;math&gt;k = 0&lt;/math&gt; erhält man den ''Hauptzweig'' des komplexen Logarithmus zurück:
: &lt;math&gt;\log(z) = \ln\big(|z|\big) + \mathrm{i}\arg(z)&lt;/math&gt;.

&lt;span id=&quot;negativer_Hauptzweig&quot;&gt;&lt;/span&gt;

=== Negativer Hauptzweige des Logarithmus ===
Beim negativen Hauptzweig verwendet man für den Startwert der Integraldarstellung &lt;math&gt;-1&lt;/math&gt; statt &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; (wie beim Hauptzweig). Als holomorphe Funktion verwendet man für den negativen Hauptzweig die Funktion &lt;math&gt;\log_{_-}(z)&lt;/math&gt;, die auf den geschlitzten Ebene definiert ist, wobei die positive reelle Achse mit 0 aus dem Definitionsbereich entfernt wird. Wenn man einen Logarithmus auf diesem [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebiet definieren möchte, setzt man &lt;math&gt;z_o = -1\in \mathbb{C} \setminus \{0\}&lt;/math&gt; und erhält als Integraldarstellung des ''negativen Hauptzweiges'' folgende Definition:
:&lt;math&gt;
 \begin{array}{rrcl}
   \gamma_z : &amp; [0,1] &amp; \rightarrow &amp; \mathbb{C} \\ 
    &amp;  t  &amp; \mapsto &amp; \gamma_z(t) =  (1-t)\cdot z_0 + t\cdot z =  (t-1) + t\cdot z 
  \end{array}  
&lt;/math&gt;

:&lt;math&gt;
\log_{_-}(z) := \pi i + \int_{\gamma_z}
 \frac{1}{\xi} \, d\xi = \pi i +  \int_{0}^1
 \frac{1}{\gamma_z(t)} \cdot \gamma_z{\!\!}'(t) \,\, dt  

&lt;/math&gt;

&lt;span id=&quot;algebraischvollstaendig&quot;&gt;&lt;/span&gt;

== Definition - algebraisch vollständig ==
Ein Zweig des Logarithmus als Funktion &lt;math&gt; \log: G\to \mathbb{C} &lt;/math&gt; heißt algebraisch vollständig, wenn dieser den Definitionsbereich &lt;math&gt; G := \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; besitzt und  &lt;math&gt; \exp(\log(z)) = z &lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt; z \in G &lt;/math&gt; gilt.

=== Bemerkung - algebraische Vollständigkeit ===
Der Definitionsbereich &lt;math&gt; G := \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; ist als [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] eine offene und zusammenhängende Menge in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt;. Für holomorphe Funktionen gilt der [[Kurs:Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue|Satz von der Gebietstreue]]. Damit muss für einen Zweig des Logarithmus als holomorphe Funktion auch das Bild offenen sein. Definiert man den Hauptzweig ''algebraisch vollständig'', ist das Bild z.B. &lt;math&gt;\mathbb{R}+i\cdot (-\pi,+\pi]&lt;/math&gt;. Dies ist keine offene Teilmenge von &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt;. Eine auf diese Weise definierter Logarithmus kann also nicht mehr [[holomorphe Funktion|holomorph]] sein. Man verliert sogar die Eigenschaft der Stetigkeit. Vorteil von algebarisch vollständigen Logarithmen ist, dass die Abblildung für alle &lt;math&gt; z \not= 0 &lt;/math&gt;  (bzw. &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt;) definiert ist.

== Aufgabe - Integraldarstellung des Logarithmus ==
Sei &lt;math&gt;z_o \in \mathbb{C} \setminus \{0\}&lt;/math&gt; beliebig gewählt und 
:&lt;math&gt;
 \begin{array}{rrcl}
   \gamma_z : &amp; [0,1] &amp; \rightarrow &amp; \mathbb{C} \\ 
    &amp;  t  &amp; \mapsto &amp; \gamma_z(t) =  (1-t)\cdot z_0 + t\cdot z 
  \end{array}  
&lt;/math&gt;
* Skizzieren Sie die Menge &lt;math&gt;\mathbb{C}_{z_0} := \mathbb{C} \setminus \{  -\lambda \cdot z_0 \, :\, \lambda \in \mathbb{R}_0^+ \} &lt;/math&gt;
* Ist die folgende Funktion &lt;math&gt;F: \mathbb{C}_{z_0} \to \mathbb{C} &lt;/math&gt; eine wohldefinierte Funktion und für welche &lt;math&gt;z_0&lt;/math&gt; ist die folgende [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion]] &lt;math&gt;F&lt;/math&gt; als Wegintegral auch ein Zweig des Logarithmus? Wie muss man dann die Konstante &lt;math&gt;c_0&lt;/math&gt; zu dem gegebenen &lt;math&gt;z_0&lt;/math&gt; wählen? 
::&lt;math&gt;
F(z) := c_0 + \int_{\gamma_z}
 \frac{1}{\xi} \, d\xi = c_0 +  \int_{0}^1
 \frac{1}{\gamma_z(t)} \cdot \gamma{\,}_z'(t)  dt  

&lt;/math&gt;

=== Notwendigkeit der Einschränkung der Definitions- und Wertebereiche der Exponentialfunktion ===
Um eine bijektive Abbildung zu erhalten, müssen wir sowohl den Definitionsbereich als auch den Wertebereich der Exponentialfunktion einschränken.
Die Exponentialfunktion &lt;math&gt; \exp(z) &lt;/math&gt; ist periodisch mit der Periode &lt;math&gt; 2\pi i &lt;/math&gt;, das heißt, &lt;math&gt; \exp(z + 2\pi i k) = \exp(z) &lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt; k \in \mathbb{Z} &lt;/math&gt;. 

=== Surjektivität und Injektivität ===
Die Periodizität führt dazu, dass die Exponentialfunktion nicht injektiv auf der gesamten komplexen Ebene ist. Die Exponentialfunktion ist auch nicht surjektiv, da mit &lt;math&gt;z=x+i\cdot y \in \mathbb{C}&lt;/math&gt; die 0 als Bildpunkt auftritt, denn es gilt:
:&lt;math&gt;
 e^z = e^{x+iy} = \underbrace{e^x}_{\not=0} \cdot \underbrace{e^{iy}}_{\not=0} \not= 0
&lt;/math&gt;

=== Eulersche Formel ===
Mit der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] kann die Exponentialfunktion mit &lt;math&gt;z=x+i\cdot y \in \mathbb{C}&lt;/math&gt; wie folgt zerlegen:
:&lt;math&gt;
 e^z = e^{x+iy} = \underbrace{e^x}_{\not=0} \cdot e^{iy} = 
 e^x\cdot (\cos(y) + i \cdot \sin(y) )
&lt;/math&gt;

=== Bijektive Abbildung ===
Um eine bijektive und holomorphe Abbildung zu erhalten, kann man  den Definitionsbereich der Exponentialfunktion auf ein horizontales Streifen der Höhe &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; einschränken, zum Beispiel:

:&lt;math&gt; G := \mathbb{R} + i\cdot (-\pi,+\pi) := \{ z \in \mathbb{C} \mid -\pi &lt; \operatorname{Im}(z) \leq \pi \} \subset \mathbb{C}
&lt;/math&gt;
In diesem Fall ist die Exponentialfunktion &lt;math&gt;\exp : G \to  \mathbb{C}\setminus \{0\}   &lt;/math&gt; den &quot;Streifen&quot; &lt;math&gt;G  &lt;/math&gt; der Höhe &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt;  bijektiv auf  auf den Wertebereich &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; ab. Die Bildmenge wird nun zum Definitionsbereich des Hauptzweiges vom Logarithmus.

== Zusammenfassung ==
* Die Exponentialfunktion &lt;math&gt; \exp(z) &lt;/math&gt; ist nicht injektiv und nicht surjektiv (wegen &lt;math&gt; \exp(z) \not= 0)&lt;/math&gt; auf der gesamten komplexen Ebene.
* Um eine bijektive [[holomorphe Funktion]] zu erhalten, muss man den Definitionsbereich &lt;math&gt;\mathbb{D}&lt;/math&gt; und den Wertebereich &lt;math&gt;\mathbb{W}&lt;/math&gt; der Logarithmusfunktion &lt;math&gt;\log_G : G \to \mathbb{W} &lt;/math&gt; so einschränken, dass eine bijektive Abbildung entsteht.
* für die offene Menge &lt;math&gt;\mathbb{D}&lt;/math&gt; muss im Allgemeinen nur [[einfach zusammenhängend]] mit &lt;math&gt;0\notin \mathbb{D}&lt;/math&gt; sein (siehe auch [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/generalisiert|generalisierte Logarithmen]]). 
* Ein Zweig des Logarithmus kann definiert werden, indem der Definitionsbereich des Logarithmus eingeschränkt wird, zum Beispiel auf &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus (-\infty, 0] &lt;/math&gt;.

=== Algebraische Vervollständigung ===
Wenn man den Definitionsbereich von einer geschlitzten Ebene &lt;math&gt; \mathbb{W} := \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}_{0}^{-}&lt;/math&gt; auf &lt;math&gt;\mathbb{C}\setminus \{0\}&lt;/math&gt; erweitert und gleichzeitig den Definitionsbereich &lt;math&gt;G:=\mathbb{R}+(-\pi,+\pi) \cdot i &lt;/math&gt; zu &lt;math&gt;G_+ := \mathbb{R} + (-\pi,+\pi]\cdot i&lt;/math&gt; für den Hauptzweig erweitert, bleibt die algebraisch die Bijektivität erhalten, aber man verliert die Eigenschaft der Stetigkeit auf dem ganzen Definitionsbereich. Alternativ kann man für den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#negativer_Hauptzweig|negativen Hauptzweig]] den Definitionsbereich &lt;math&gt;G_1 := \mathbb{R} + (0,2\pi)\cdot i&lt;/math&gt; auch diesen Definitionsbereich auf &lt;math&gt;\mathbb{D}_1 := \mathbb{R} + [0,2\pi)\cdot i&lt;/math&gt; erweitern und man verliert analog die Eigenschaft der Stetigkeit und komplexen Differenzierbarkeit auf ganz &lt;math&gt;\mathbb{D}_1&lt;/math&gt;.

== Siehe auch ==
* [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/algebraische Vollständigkeit|algebraische Vollständigkeit]] des Logarithmus
* [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden Gebietes]] für Logarithmen
* [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]]
*[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/generalisiert|generalisierter Logarithmus]]
* [[holomorphe Funktion]] 
* [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexer Logarithmus]]
* [[Logarithmus|reeller Logarithmus]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion als Wegintegral]]
* [[Stetigkeit]]</text>
      <sha1>8yq2du5ag59mrkiqcynxdfepbas9bi5</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>1115837</id>
      <parentid>1115836</parentid>
      <timestamp>2026-10-12T13:00:07Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bert Niehaus</username>
        <id>20843</id>
      </contributor>
      <comment>/* Integraldarstellung des Hauptzweiges */</comment>
      <origin>1115837</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="11305" sha1="3js1dby1zph5f3o62ohynofr5hpz3lq" xml:space="preserve">== Einleitung ==
Es gibt unterschiedliche Möglichkeiten (''&quot;Zweige&quot;''), einen Logarithmus als [[w:de:Umkehrfunktion|Umkehrfunktion]] zu definieren. Dies liegt einerseits an folgdenden mathematischen Eigenschaften und andererseits auch an der Zielsetzung, was man mit dem Logarithmus als Funktion erreichen möchte. 
* '''([[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#Peridodizitaet|Periodizität]])''' Durch die Periodizität der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] im [[komplexe Zahl|Imaginärteil]] mit der Periode &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; gibt es unterschiedliche Zweige.
* '''([[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/generalisiert|Wahl des Gebietes]])''' Durch die Wahl des [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden Gebietes]]  entstehen unterschiedliche Zweige (siehe [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/generalisiert|verallgemeinerter Logarithmus]]).
* '''([[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#algebraischvollstaendig|Algebraische Vollständigkeit]])''' Ein Zweig des Logaritmus ist algebraisch vollständig, wenn dieser auf &lt;math&gt;\mathbb{C}\setminus \{0\}&lt;/math&gt; definiert ist. Dadurch verliert man aber die [[Stetigkeit]] und [[Holomorphie]] als Eigenschaft.

== Zweige des Logarithmus ==
Ein Zweig des Logarithmus ist eine Funktion &lt;math&gt; \log_G(z) &lt;/math&gt;, die auf einer Teilmenge &lt;math&gt; G &lt;/math&gt; von &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; definiert ist und die Eigenschaft hat, dass &lt;math&gt; \exp(\log_G(z)) = z &lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt; z \in G &lt;/math&gt;. 

=== Hauptzweig des Logarithmus ===
Eine übliche Wahl für &lt;math&gt; G &lt;/math&gt; ist die Menge &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus (-\infty, 0] &lt;/math&gt;, die die negative reelle Achse ausschließt. In diesem Fall kann der Hauptzweig des Logarithmus definiert werden als:

:&lt;math&gt; \log(z) = \ln\big( |z|\big) + i \arg(z) 
&lt;/math&gt;
wobei &lt;math&gt; \arg(z) &lt;/math&gt; der Winkel von &lt;math&gt; z &lt;/math&gt; in der komplexen Ebene ist und für den Hauptzweig erfüllt dieser &lt;math&gt; -\pi &lt; \arg(z) &lt; +\pi &lt;/math&gt;.

=== Integraldarstellung des Hauptzweiges ===
Wählt man &lt;math&gt;z_o = 1\in \mathbb{C} \setminus \{0\}&lt;/math&gt;, so gilt muss die Stammfunktion &lt;math&gt;log&lt;/math&gt;  von &lt;math&gt;f(\xi)=\tfrac{1}{\xi}&lt;/math&gt; die Eigenschaft &lt;math&gt;log(1)=0&lt;/math&gt; erfüllen. Die folgende Integraldarstellung des Hauptzweiges mit [[Konvexkombination]] &lt;math&gt;\gamma_z&lt;/math&gt; als Integrationsweg erfüllt diese Eigenschaft: 
:&lt;math&gt;
 \begin{array}{rrcl}
   \gamma_z : &amp; [0,1] &amp; \rightarrow &amp; \mathbb{C} \\ 
    &amp;  t  &amp; \mapsto &amp; \gamma_z(t) =  (1-t)\cdot z_0 + t\cdot z =  (t-1) + t\cdot z 
  \end{array}  
&lt;/math&gt;

:&lt;math&gt;
log(z) := \int_{\gamma_z}
 \frac{1}{\xi} \, d\xi = \pi i +  \int_{0}^1
 \frac{1}{\gamma_z(t)} \cdot \gamma_z{\!\!}'(t) \,\, dt  

&lt;/math&gt;


&lt;span id=&quot;Periodizitaet&quot;&gt;&lt;/span&gt;

=== Zweige des Logarithmus - Peridoizität ===
Durch die imaginäre Periodizität bzgl. Vielfache von &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; Stellt man &lt;math&gt;z = |z| \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}  \cdot\arg(z)}&lt;/math&gt; in [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|Polarform]] dar, so erhält man eine einfache Darstellung des ''k-ten Zweiges'' der Logarithmusfunktion:
: &lt;math&gt;w = \ln \big(|z|\big) + \mathrm{i}\left(\arg(z) + 2\pi\cdot k\right), \quad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;
mit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] &lt;math&gt;\arg&lt;/math&gt;. Im Summanden &lt;math&gt;\ln \big(|z|\big)&lt;/math&gt; wird der bereits oben definierte reelle Logarithmus &lt;math&gt;\ln&lt;/math&gt; auf &lt;math&gt;\mathbb{R}^+&lt;/math&gt; verwendet.
Für &lt;math&gt;k = 0&lt;/math&gt; erhält man den ''Hauptzweig'' des komplexen Logarithmus zurück:
: &lt;math&gt;\log(z) = \ln\big(|z|\big) + \mathrm{i}\arg(z)&lt;/math&gt;.

&lt;span id=&quot;negativer_Hauptzweig&quot;&gt;&lt;/span&gt;

=== Negativer Hauptzweige des Logarithmus ===
Beim negativen Hauptzweig verwendet man für den Startwert der Integraldarstellung &lt;math&gt;-1&lt;/math&gt; statt &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; (wie beim Hauptzweig). Als holomorphe Funktion verwendet man für den negativen Hauptzweig die Funktion &lt;math&gt;\log_{_-}(z)&lt;/math&gt;, die auf den geschlitzten Ebene definiert ist, wobei die positive reelle Achse mit 0 aus dem Definitionsbereich entfernt wird. Wenn man einen Logarithmus auf diesem [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebiet definieren möchte, setzt man &lt;math&gt;z_o = -1\in \mathbb{C} \setminus \{0\}&lt;/math&gt; und erhält als Integraldarstellung des ''negativen Hauptzweiges'' folgende Definition:
:&lt;math&gt;
 \begin{array}{rrcl}
   \gamma_z : &amp; [0,1] &amp; \rightarrow &amp; \mathbb{C} \\ 
    &amp;  t  &amp; \mapsto &amp; \gamma_z(t) =  (1-t)\cdot z_0 + t\cdot z =  (t-1) + t\cdot z 
  \end{array}  
&lt;/math&gt;

:&lt;math&gt;
\log_{_-}(z) := \pi i + \int_{\gamma_z}
 \frac{1}{\xi} \, d\xi = \pi i +  \int_{0}^1
 \frac{1}{\gamma_z(t)} \cdot \gamma_z{\!\!}'(t) \,\, dt  

&lt;/math&gt;

&lt;span id=&quot;algebraischvollstaendig&quot;&gt;&lt;/span&gt;

== Definition - algebraisch vollständig ==
Ein Zweig des Logarithmus als Funktion &lt;math&gt; \log: G\to \mathbb{C} &lt;/math&gt; heißt algebraisch vollständig, wenn dieser den Definitionsbereich &lt;math&gt; G := \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; besitzt und  &lt;math&gt; \exp(\log(z)) = z &lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt; z \in G &lt;/math&gt; gilt.

=== Bemerkung - algebraische Vollständigkeit ===
Der Definitionsbereich &lt;math&gt; G := \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; ist als [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] eine offene und zusammenhängende Menge in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt;. Für holomorphe Funktionen gilt der [[Kurs:Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue|Satz von der Gebietstreue]]. Damit muss für einen Zweig des Logarithmus als holomorphe Funktion auch das Bild offenen sein. Definiert man den Hauptzweig ''algebraisch vollständig'', ist das Bild z.B. &lt;math&gt;\mathbb{R}+i\cdot (-\pi,+\pi]&lt;/math&gt;. Dies ist keine offene Teilmenge von &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt;. Eine auf diese Weise definierter Logarithmus kann also nicht mehr [[holomorphe Funktion|holomorph]] sein. Man verliert sogar die Eigenschaft der Stetigkeit. Vorteil von algebarisch vollständigen Logarithmen ist, dass die Abblildung für alle &lt;math&gt; z \not= 0 &lt;/math&gt;  (bzw. &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt;) definiert ist.

== Aufgabe - Integraldarstellung des Logarithmus ==
Sei &lt;math&gt;z_o \in \mathbb{C} \setminus \{0\}&lt;/math&gt; beliebig gewählt und 
:&lt;math&gt;
 \begin{array}{rrcl}
   \gamma_z : &amp; [0,1] &amp; \rightarrow &amp; \mathbb{C} \\ 
    &amp;  t  &amp; \mapsto &amp; \gamma_z(t) =  (1-t)\cdot z_0 + t\cdot z 
  \end{array}  
&lt;/math&gt;
* Skizzieren Sie die Menge &lt;math&gt;\mathbb{C}_{z_0} := \mathbb{C} \setminus \{  -\lambda \cdot z_0 \, :\, \lambda \in \mathbb{R}_0^+ \} &lt;/math&gt;
* Ist die folgende Funktion &lt;math&gt;F: \mathbb{C}_{z_0} \to \mathbb{C} &lt;/math&gt; eine wohldefinierte Funktion und für welche &lt;math&gt;z_0&lt;/math&gt; ist die folgende [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion]] &lt;math&gt;F&lt;/math&gt; als Wegintegral auch ein Zweig des Logarithmus? Wie muss man dann die Konstante &lt;math&gt;c_0&lt;/math&gt; zu dem gegebenen &lt;math&gt;z_0&lt;/math&gt; wählen? 
::&lt;math&gt;
F(z) := c_0 + \int_{\gamma_z}
 \frac{1}{\xi} \, d\xi = c_0 +  \int_{0}^1
 \frac{1}{\gamma_z(t)} \cdot \gamma{\,}_z'(t)  dt  

&lt;/math&gt;

=== Notwendigkeit der Einschränkung der Definitions- und Wertebereiche der Exponentialfunktion ===
Um eine bijektive Abbildung zu erhalten, müssen wir sowohl den Definitionsbereich als auch den Wertebereich der Exponentialfunktion einschränken.
Die Exponentialfunktion &lt;math&gt; \exp(z) &lt;/math&gt; ist periodisch mit der Periode &lt;math&gt; 2\pi i &lt;/math&gt;, das heißt, &lt;math&gt; \exp(z + 2\pi i k) = \exp(z) &lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt; k \in \mathbb{Z} &lt;/math&gt;. 

=== Surjektivität und Injektivität ===
Die Periodizität führt dazu, dass die Exponentialfunktion nicht injektiv auf der gesamten komplexen Ebene ist. Die Exponentialfunktion ist auch nicht surjektiv, da mit &lt;math&gt;z=x+i\cdot y \in \mathbb{C}&lt;/math&gt; die 0 als Bildpunkt auftritt, denn es gilt:
:&lt;math&gt;
 e^z = e^{x+iy} = \underbrace{e^x}_{\not=0} \cdot \underbrace{e^{iy}}_{\not=0} \not= 0
&lt;/math&gt;

=== Eulersche Formel ===
Mit der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] kann die Exponentialfunktion mit &lt;math&gt;z=x+i\cdot y \in \mathbb{C}&lt;/math&gt; wie folgt zerlegen:
:&lt;math&gt;
 e^z = e^{x+iy} = \underbrace{e^x}_{\not=0} \cdot e^{iy} = 
 e^x\cdot (\cos(y) + i \cdot \sin(y) )
&lt;/math&gt;

=== Bijektive Abbildung ===
Um eine bijektive und holomorphe Abbildung zu erhalten, kann man  den Definitionsbereich der Exponentialfunktion auf ein horizontales Streifen der Höhe &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; einschränken, zum Beispiel:

:&lt;math&gt; G := \mathbb{R} + i\cdot (-\pi,+\pi) := \{ z \in \mathbb{C} \mid -\pi &lt; \operatorname{Im}(z) \leq \pi \} \subset \mathbb{C}
&lt;/math&gt;
In diesem Fall ist die Exponentialfunktion &lt;math&gt;\exp : G \to  \mathbb{C}\setminus \{0\}   &lt;/math&gt; den &quot;Streifen&quot; &lt;math&gt;G  &lt;/math&gt; der Höhe &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt;  bijektiv auf  auf den Wertebereich &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; ab. Die Bildmenge wird nun zum Definitionsbereich des Hauptzweiges vom Logarithmus.

== Zusammenfassung ==
* Die Exponentialfunktion &lt;math&gt; \exp(z) &lt;/math&gt; ist nicht injektiv und nicht surjektiv (wegen &lt;math&gt; \exp(z) \not= 0)&lt;/math&gt; auf der gesamten komplexen Ebene.
* Um eine bijektive [[holomorphe Funktion]] zu erhalten, muss man den Definitionsbereich &lt;math&gt;\mathbb{D}&lt;/math&gt; und den Wertebereich &lt;math&gt;\mathbb{W}&lt;/math&gt; der Logarithmusfunktion &lt;math&gt;\log_G : G \to \mathbb{W} &lt;/math&gt; so einschränken, dass eine bijektive Abbildung entsteht.
* für die offene Menge &lt;math&gt;\mathbb{D}&lt;/math&gt; muss im Allgemeinen nur [[einfach zusammenhängend]] mit &lt;math&gt;0\notin \mathbb{D}&lt;/math&gt; sein (siehe auch [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/generalisiert|generalisierte Logarithmen]]). 
* Ein Zweig des Logarithmus kann definiert werden, indem der Definitionsbereich des Logarithmus eingeschränkt wird, zum Beispiel auf &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus (-\infty, 0] &lt;/math&gt;.

=== Algebraische Vervollständigung ===
Wenn man den Definitionsbereich von einer geschlitzten Ebene &lt;math&gt; \mathbb{W} := \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}_{0}^{-}&lt;/math&gt; auf &lt;math&gt;\mathbb{C}\setminus \{0\}&lt;/math&gt; erweitert und gleichzeitig den Definitionsbereich &lt;math&gt;G:=\mathbb{R}+(-\pi,+\pi) \cdot i &lt;/math&gt; zu &lt;math&gt;G_+ := \mathbb{R} + (-\pi,+\pi]\cdot i&lt;/math&gt; für den Hauptzweig erweitert, bleibt die algebraisch die Bijektivität erhalten, aber man verliert die Eigenschaft der Stetigkeit auf dem ganzen Definitionsbereich. Alternativ kann man für den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#negativer_Hauptzweig|negativen Hauptzweig]] den Definitionsbereich &lt;math&gt;G_1 := \mathbb{R} + (0,2\pi)\cdot i&lt;/math&gt; auch diesen Definitionsbereich auf &lt;math&gt;\mathbb{D}_1 := \mathbb{R} + [0,2\pi)\cdot i&lt;/math&gt; erweitern und man verliert analog die Eigenschaft der Stetigkeit und komplexen Differenzierbarkeit auf ganz &lt;math&gt;\mathbb{D}_1&lt;/math&gt;.

== Siehe auch ==
* [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/algebraische Vollständigkeit|algebraische Vollständigkeit]] des Logarithmus
* [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden Gebietes]] für Logarithmen
* [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]]
*[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/generalisiert|generalisierter Logarithmus]]
* [[holomorphe Funktion]] 
* [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexer Logarithmus]]
* [[Logarithmus|reeller Logarithmus]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion als Wegintegral]]
* [[Stetigkeit]]</text>
      <sha1>3js1dby1zph5f3o62ohynofr5hpz3lq</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>1115873</id>
      <parentid>1115837</parentid>
      <timestamp>2026-10-12T15:12:17Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bert Niehaus</username>
        <id>20843</id>
      </contributor>
      <comment>/* Hauptzweig des Logarithmus */</comment>
      <origin>1115873</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="11335" sha1="dgauggbzfxr1xv8qnlyivtn8vfbnzsi" xml:space="preserve">== Einleitung ==
Es gibt unterschiedliche Möglichkeiten (''&quot;Zweige&quot;''), einen Logarithmus als [[w:de:Umkehrfunktion|Umkehrfunktion]] zu definieren. Dies liegt einerseits an folgdenden mathematischen Eigenschaften und andererseits auch an der Zielsetzung, was man mit dem Logarithmus als Funktion erreichen möchte. 
* '''([[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#Peridodizitaet|Periodizität]])''' Durch die Periodizität der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] im [[komplexe Zahl|Imaginärteil]] mit der Periode &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; gibt es unterschiedliche Zweige.
* '''([[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/generalisiert|Wahl des Gebietes]])''' Durch die Wahl des [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden Gebietes]]  entstehen unterschiedliche Zweige (siehe [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/generalisiert|verallgemeinerter Logarithmus]]).
* '''([[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#algebraischvollstaendig|Algebraische Vollständigkeit]])''' Ein Zweig des Logaritmus ist algebraisch vollständig, wenn dieser auf &lt;math&gt;\mathbb{C}\setminus \{0\}&lt;/math&gt; definiert ist. Dadurch verliert man aber die [[Stetigkeit]] und [[Holomorphie]] als Eigenschaft.

== Zweige des Logarithmus ==
Ein Zweig des Logarithmus ist eine Funktion &lt;math&gt; \log_G(z) &lt;/math&gt;, die auf einer Teilmenge &lt;math&gt; G &lt;/math&gt; von &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; definiert ist und die Eigenschaft hat, dass &lt;math&gt; \exp(\log_G(z)) = z &lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt; z \in G &lt;/math&gt;. 

&lt;span id=&quot;Hauptzweig&quot;&gt;&lt;/span&gt;
=== Hauptzweig des Logarithmus ===
Eine übliche Wahl für &lt;math&gt; G &lt;/math&gt; ist die Menge &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus (-\infty, 0] &lt;/math&gt;, die die negative reelle Achse ausschließt. In diesem Fall kann der Hauptzweig des Logarithmus definiert werden als:

:&lt;math&gt; \log(z) = \ln\big( |z|\big) + i \arg(z) 
&lt;/math&gt;
wobei &lt;math&gt; \arg(z) &lt;/math&gt; der Winkel von &lt;math&gt; z &lt;/math&gt; in der komplexen Ebene ist und für den Hauptzweig erfüllt dieser &lt;math&gt; -\pi &lt; \arg(z) &lt; +\pi &lt;/math&gt;.

=== Integraldarstellung des Hauptzweiges ===
Wählt man &lt;math&gt;z_o = 1\in \mathbb{C} \setminus \{0\}&lt;/math&gt;, so gilt muss die Stammfunktion &lt;math&gt;log&lt;/math&gt;  von &lt;math&gt;f(\xi)=\tfrac{1}{\xi}&lt;/math&gt; die Eigenschaft &lt;math&gt;log(1)=0&lt;/math&gt; erfüllen. Die folgende Integraldarstellung des Hauptzweiges mit [[Konvexkombination]] &lt;math&gt;\gamma_z&lt;/math&gt; als Integrationsweg erfüllt diese Eigenschaft: 
:&lt;math&gt;
 \begin{array}{rrcl}
   \gamma_z : &amp; [0,1] &amp; \rightarrow &amp; \mathbb{C} \\ 
    &amp;  t  &amp; \mapsto &amp; \gamma_z(t) =  (1-t)\cdot z_0 + t\cdot z =  (t-1) + t\cdot z 
  \end{array}  
&lt;/math&gt;

:&lt;math&gt;
log(z) := \int_{\gamma_z}
 \frac{1}{\xi} \, d\xi = \pi i +  \int_{0}^1
 \frac{1}{\gamma_z(t)} \cdot \gamma_z{\!\!}'(t) \,\, dt  

&lt;/math&gt;


&lt;span id=&quot;Periodizitaet&quot;&gt;&lt;/span&gt;

=== Zweige des Logarithmus - Peridoizität ===
Durch die imaginäre Periodizität bzgl. Vielfache von &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; Stellt man &lt;math&gt;z = |z| \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}  \cdot\arg(z)}&lt;/math&gt; in [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|Polarform]] dar, so erhält man eine einfache Darstellung des ''k-ten Zweiges'' der Logarithmusfunktion:
: &lt;math&gt;w = \ln \big(|z|\big) + \mathrm{i}\left(\arg(z) + 2\pi\cdot k\right), \quad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;
mit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] &lt;math&gt;\arg&lt;/math&gt;. Im Summanden &lt;math&gt;\ln \big(|z|\big)&lt;/math&gt; wird der bereits oben definierte reelle Logarithmus &lt;math&gt;\ln&lt;/math&gt; auf &lt;math&gt;\mathbb{R}^+&lt;/math&gt; verwendet.
Für &lt;math&gt;k = 0&lt;/math&gt; erhält man den ''Hauptzweig'' des komplexen Logarithmus zurück:
: &lt;math&gt;\log(z) = \ln\big(|z|\big) + \mathrm{i}\arg(z)&lt;/math&gt;.

&lt;span id=&quot;negativer_Hauptzweig&quot;&gt;&lt;/span&gt;

=== Negativer Hauptzweige des Logarithmus ===
Beim negativen Hauptzweig verwendet man für den Startwert der Integraldarstellung &lt;math&gt;-1&lt;/math&gt; statt &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; (wie beim Hauptzweig). Als holomorphe Funktion verwendet man für den negativen Hauptzweig die Funktion &lt;math&gt;\log_{_-}(z)&lt;/math&gt;, die auf den geschlitzten Ebene definiert ist, wobei die positive reelle Achse mit 0 aus dem Definitionsbereich entfernt wird. Wenn man einen Logarithmus auf diesem [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebiet definieren möchte, setzt man &lt;math&gt;z_o = -1\in \mathbb{C} \setminus \{0\}&lt;/math&gt; und erhält als Integraldarstellung des ''negativen Hauptzweiges'' folgende Definition:
:&lt;math&gt;
 \begin{array}{rrcl}
   \gamma_z : &amp; [0,1] &amp; \rightarrow &amp; \mathbb{C} \\ 
    &amp;  t  &amp; \mapsto &amp; \gamma_z(t) =  (1-t)\cdot z_0 + t\cdot z =  (t-1) + t\cdot z 
  \end{array}  
&lt;/math&gt;

:&lt;math&gt;
\log_{_-}(z) := \pi i + \int_{\gamma_z}
 \frac{1}{\xi} \, d\xi = \pi i +  \int_{0}^1
 \frac{1}{\gamma_z(t)} \cdot \gamma_z{\!\!}'(t) \,\, dt  

&lt;/math&gt;

&lt;span id=&quot;algebraischvollstaendig&quot;&gt;&lt;/span&gt;

== Definition - algebraisch vollständig ==
Ein Zweig des Logarithmus als Funktion &lt;math&gt; \log: G\to \mathbb{C} &lt;/math&gt; heißt algebraisch vollständig, wenn dieser den Definitionsbereich &lt;math&gt; G := \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; besitzt und  &lt;math&gt; \exp(\log(z)) = z &lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt; z \in G &lt;/math&gt; gilt.

=== Bemerkung - algebraische Vollständigkeit ===
Der Definitionsbereich &lt;math&gt; G := \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; ist als [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] eine offene und zusammenhängende Menge in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt;. Für holomorphe Funktionen gilt der [[Kurs:Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue|Satz von der Gebietstreue]]. Damit muss für einen Zweig des Logarithmus als holomorphe Funktion auch das Bild offenen sein. Definiert man den Hauptzweig ''algebraisch vollständig'', ist das Bild z.B. &lt;math&gt;\mathbb{R}+i\cdot (-\pi,+\pi]&lt;/math&gt;. Dies ist keine offene Teilmenge von &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt;. Eine auf diese Weise definierter Logarithmus kann also nicht mehr [[holomorphe Funktion|holomorph]] sein. Man verliert sogar die Eigenschaft der Stetigkeit. Vorteil von algebarisch vollständigen Logarithmen ist, dass die Abblildung für alle &lt;math&gt; z \not= 0 &lt;/math&gt;  (bzw. &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt;) definiert ist.

== Aufgabe - Integraldarstellung des Logarithmus ==
Sei &lt;math&gt;z_o \in \mathbb{C} \setminus \{0\}&lt;/math&gt; beliebig gewählt und 
:&lt;math&gt;
 \begin{array}{rrcl}
   \gamma_z : &amp; [0,1] &amp; \rightarrow &amp; \mathbb{C} \\ 
    &amp;  t  &amp; \mapsto &amp; \gamma_z(t) =  (1-t)\cdot z_0 + t\cdot z 
  \end{array}  
&lt;/math&gt;
* Skizzieren Sie die Menge &lt;math&gt;\mathbb{C}_{z_0} := \mathbb{C} \setminus \{  -\lambda \cdot z_0 \, :\, \lambda \in \mathbb{R}_0^+ \} &lt;/math&gt;
* Ist die folgende Funktion &lt;math&gt;F: \mathbb{C}_{z_0} \to \mathbb{C} &lt;/math&gt; eine wohldefinierte Funktion und für welche &lt;math&gt;z_0&lt;/math&gt; ist die folgende [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion]] &lt;math&gt;F&lt;/math&gt; als Wegintegral auch ein Zweig des Logarithmus? Wie muss man dann die Konstante &lt;math&gt;c_0&lt;/math&gt; zu dem gegebenen &lt;math&gt;z_0&lt;/math&gt; wählen? 
::&lt;math&gt;
F(z) := c_0 + \int_{\gamma_z}
 \frac{1}{\xi} \, d\xi = c_0 +  \int_{0}^1
 \frac{1}{\gamma_z(t)} \cdot \gamma{\,}_z'(t)  dt  

&lt;/math&gt;

=== Notwendigkeit der Einschränkung der Definitions- und Wertebereiche der Exponentialfunktion ===
Um eine bijektive Abbildung zu erhalten, müssen wir sowohl den Definitionsbereich als auch den Wertebereich der Exponentialfunktion einschränken.
Die Exponentialfunktion &lt;math&gt; \exp(z) &lt;/math&gt; ist periodisch mit der Periode &lt;math&gt; 2\pi i &lt;/math&gt;, das heißt, &lt;math&gt; \exp(z + 2\pi i k) = \exp(z) &lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt; k \in \mathbb{Z} &lt;/math&gt;. 

=== Surjektivität und Injektivität ===
Die Periodizität führt dazu, dass die Exponentialfunktion nicht injektiv auf der gesamten komplexen Ebene ist. Die Exponentialfunktion ist auch nicht surjektiv, da mit &lt;math&gt;z=x+i\cdot y \in \mathbb{C}&lt;/math&gt; die 0 als Bildpunkt auftritt, denn es gilt:
:&lt;math&gt;
 e^z = e^{x+iy} = \underbrace{e^x}_{\not=0} \cdot \underbrace{e^{iy}}_{\not=0} \not= 0
&lt;/math&gt;

=== Eulersche Formel ===
Mit der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] kann die Exponentialfunktion mit &lt;math&gt;z=x+i\cdot y \in \mathbb{C}&lt;/math&gt; wie folgt zerlegen:
:&lt;math&gt;
 e^z = e^{x+iy} = \underbrace{e^x}_{\not=0} \cdot e^{iy} = 
 e^x\cdot (\cos(y) + i \cdot \sin(y) )
&lt;/math&gt;

=== Bijektive Abbildung ===
Um eine bijektive und holomorphe Abbildung zu erhalten, kann man  den Definitionsbereich der Exponentialfunktion auf ein horizontales Streifen der Höhe &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; einschränken, zum Beispiel:

:&lt;math&gt; G := \mathbb{R} + i\cdot (-\pi,+\pi) := \{ z \in \mathbb{C} \mid -\pi &lt; \operatorname{Im}(z) \leq \pi \} \subset \mathbb{C}
&lt;/math&gt;
In diesem Fall ist die Exponentialfunktion &lt;math&gt;\exp : G \to  \mathbb{C}\setminus \{0\}   &lt;/math&gt; den &quot;Streifen&quot; &lt;math&gt;G  &lt;/math&gt; der Höhe &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt;  bijektiv auf  auf den Wertebereich &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; ab. Die Bildmenge wird nun zum Definitionsbereich des Hauptzweiges vom Logarithmus.

== Zusammenfassung ==
* Die Exponentialfunktion &lt;math&gt; \exp(z) &lt;/math&gt; ist nicht injektiv und nicht surjektiv (wegen &lt;math&gt; \exp(z) \not= 0)&lt;/math&gt; auf der gesamten komplexen Ebene.
* Um eine bijektive [[holomorphe Funktion]] zu erhalten, muss man den Definitionsbereich &lt;math&gt;\mathbb{D}&lt;/math&gt; und den Wertebereich &lt;math&gt;\mathbb{W}&lt;/math&gt; der Logarithmusfunktion &lt;math&gt;\log_G : G \to \mathbb{W} &lt;/math&gt; so einschränken, dass eine bijektive Abbildung entsteht.
* für die offene Menge &lt;math&gt;\mathbb{D}&lt;/math&gt; muss im Allgemeinen nur [[einfach zusammenhängend]] mit &lt;math&gt;0\notin \mathbb{D}&lt;/math&gt; sein (siehe auch [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/generalisiert|generalisierte Logarithmen]]). 
* Ein Zweig des Logarithmus kann definiert werden, indem der Definitionsbereich des Logarithmus eingeschränkt wird, zum Beispiel auf &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus (-\infty, 0] &lt;/math&gt;.

=== Algebraische Vervollständigung ===
Wenn man den Definitionsbereich von einer geschlitzten Ebene &lt;math&gt; \mathbb{W} := \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}_{0}^{-}&lt;/math&gt; auf &lt;math&gt;\mathbb{C}\setminus \{0\}&lt;/math&gt; erweitert und gleichzeitig den Definitionsbereich &lt;math&gt;G:=\mathbb{R}+(-\pi,+\pi) \cdot i &lt;/math&gt; zu &lt;math&gt;G_+ := \mathbb{R} + (-\pi,+\pi]\cdot i&lt;/math&gt; für den Hauptzweig erweitert, bleibt die algebraisch die Bijektivität erhalten, aber man verliert die Eigenschaft der Stetigkeit auf dem ganzen Definitionsbereich. Alternativ kann man für den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#negativer_Hauptzweig|negativen Hauptzweig]] den Definitionsbereich &lt;math&gt;G_1 := \mathbb{R} + (0,2\pi)\cdot i&lt;/math&gt; auch diesen Definitionsbereich auf &lt;math&gt;\mathbb{D}_1 := \mathbb{R} + [0,2\pi)\cdot i&lt;/math&gt; erweitern und man verliert analog die Eigenschaft der Stetigkeit und komplexen Differenzierbarkeit auf ganz &lt;math&gt;\mathbb{D}_1&lt;/math&gt;.

== Siehe auch ==
* [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/algebraische Vollständigkeit|algebraische Vollständigkeit]] des Logarithmus
* [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden Gebietes]] für Logarithmen
* [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]]
*[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/generalisiert|generalisierter Logarithmus]]
* [[holomorphe Funktion]] 
* [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexer Logarithmus]]
* [[Logarithmus|reeller Logarithmus]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion als Wegintegral]]
* [[Stetigkeit]]</text>
      <sha1>dgauggbzfxr1xv8qnlyivtn8vfbnzsi</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>1115878</id>
      <parentid>1115873</parentid>
      <timestamp>2026-10-12T15:27:17Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bert Niehaus</username>
        <id>20843</id>
      </contributor>
      <comment>/* Integraldarstellung des Hauptzweiges */</comment>
      <origin>1115878</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="11334" sha1="rkjwl1x4btfiob3f4tq1oegpklztmo9" xml:space="preserve">== Einleitung ==
Es gibt unterschiedliche Möglichkeiten (''&quot;Zweige&quot;''), einen Logarithmus als [[w:de:Umkehrfunktion|Umkehrfunktion]] zu definieren. Dies liegt einerseits an folgdenden mathematischen Eigenschaften und andererseits auch an der Zielsetzung, was man mit dem Logarithmus als Funktion erreichen möchte. 
* '''([[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#Peridodizitaet|Periodizität]])''' Durch die Periodizität der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] im [[komplexe Zahl|Imaginärteil]] mit der Periode &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; gibt es unterschiedliche Zweige.
* '''([[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/generalisiert|Wahl des Gebietes]])''' Durch die Wahl des [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden Gebietes]]  entstehen unterschiedliche Zweige (siehe [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/generalisiert|verallgemeinerter Logarithmus]]).
* '''([[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#algebraischvollstaendig|Algebraische Vollständigkeit]])''' Ein Zweig des Logaritmus ist algebraisch vollständig, wenn dieser auf &lt;math&gt;\mathbb{C}\setminus \{0\}&lt;/math&gt; definiert ist. Dadurch verliert man aber die [[Stetigkeit]] und [[Holomorphie]] als Eigenschaft.

== Zweige des Logarithmus ==
Ein Zweig des Logarithmus ist eine Funktion &lt;math&gt; \log_G(z) &lt;/math&gt;, die auf einer Teilmenge &lt;math&gt; G &lt;/math&gt; von &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; definiert ist und die Eigenschaft hat, dass &lt;math&gt; \exp(\log_G(z)) = z &lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt; z \in G &lt;/math&gt;. 

&lt;span id=&quot;Hauptzweig&quot;&gt;&lt;/span&gt;
=== Hauptzweig des Logarithmus ===
Eine übliche Wahl für &lt;math&gt; G &lt;/math&gt; ist die Menge &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus (-\infty, 0] &lt;/math&gt;, die die negative reelle Achse ausschließt. In diesem Fall kann der Hauptzweig des Logarithmus definiert werden als:

:&lt;math&gt; \log(z) = \ln\big( |z|\big) + i \arg(z) 
&lt;/math&gt;
wobei &lt;math&gt; \arg(z) &lt;/math&gt; der Winkel von &lt;math&gt; z &lt;/math&gt; in der komplexen Ebene ist und für den Hauptzweig erfüllt dieser &lt;math&gt; -\pi &lt; \arg(z) &lt; +\pi &lt;/math&gt;.

=== Integraldarstellung des Hauptzweiges ===
Wählt man &lt;math&gt;z_o = 1\in \mathbb{C} \setminus \{0\}&lt;/math&gt;, so gilt muss die Stammfunktion &lt;math&gt;log&lt;/math&gt;  von &lt;math&gt;f(\xi)=\tfrac{1}{\xi}&lt;/math&gt; die Eigenschaft &lt;math&gt;log(1)=0&lt;/math&gt; erfüllen. Die folgende Integraldarstellung des Hauptzweiges mit [[Konvexkombination]] &lt;math&gt;\gamma_z&lt;/math&gt; als Integrationsweg erfüllt diese Eigenschaft: 
:&lt;math&gt;
 \begin{array}{rrcl}
   \gamma_z : &amp; [0,1] &amp; \rightarrow &amp; \mathbb{C} \\ 
    &amp;  t  &amp; \mapsto &amp; \gamma_z(t) =  (1-t)\cdot z_0 + t\cdot z =  (t-1) + t\cdot z 
  \end{array}  
&lt;/math&gt;

:&lt;math&gt;
log(z) := \int_{\gamma_z}
 \frac{1}{\xi} \, d\xi = \pi i +  \int_{0}^1
 \frac{1}{\gamma_z(t)} \cdot \gamma_z{\!\!}'(t) \,\, dt  

&lt;/math&gt;

&lt;span id=&quot;Periodizitaet&quot;&gt;&lt;/span&gt;

=== Zweige des Logarithmus - Peridoizität ===
Durch die imaginäre Periodizität bzgl. Vielfache von &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; Stellt man &lt;math&gt;z = |z| \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}  \cdot\arg(z)}&lt;/math&gt; in [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|Polarform]] dar, so erhält man eine einfache Darstellung des ''k-ten Zweiges'' der Logarithmusfunktion:
: &lt;math&gt;w = \ln \big(|z|\big) + \mathrm{i}\left(\arg(z) + 2\pi\cdot k\right), \quad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;
mit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] &lt;math&gt;\arg&lt;/math&gt;. Im Summanden &lt;math&gt;\ln \big(|z|\big)&lt;/math&gt; wird der bereits oben definierte reelle Logarithmus &lt;math&gt;\ln&lt;/math&gt; auf &lt;math&gt;\mathbb{R}^+&lt;/math&gt; verwendet.
Für &lt;math&gt;k = 0&lt;/math&gt; erhält man den ''Hauptzweig'' des komplexen Logarithmus zurück:
: &lt;math&gt;\log(z) = \ln\big(|z|\big) + \mathrm{i}\arg(z)&lt;/math&gt;.

&lt;span id=&quot;negativer_Hauptzweig&quot;&gt;&lt;/span&gt;

=== Negativer Hauptzweige des Logarithmus ===
Beim negativen Hauptzweig verwendet man für den Startwert der Integraldarstellung &lt;math&gt;-1&lt;/math&gt; statt &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; (wie beim Hauptzweig). Als holomorphe Funktion verwendet man für den negativen Hauptzweig die Funktion &lt;math&gt;\log_{_-}(z)&lt;/math&gt;, die auf den geschlitzten Ebene definiert ist, wobei die positive reelle Achse mit 0 aus dem Definitionsbereich entfernt wird. Wenn man einen Logarithmus auf diesem [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebiet definieren möchte, setzt man &lt;math&gt;z_o = -1\in \mathbb{C} \setminus \{0\}&lt;/math&gt; und erhält als Integraldarstellung des ''negativen Hauptzweiges'' folgende Definition:
:&lt;math&gt;
 \begin{array}{rrcl}
   \gamma_z : &amp; [0,1] &amp; \rightarrow &amp; \mathbb{C} \\ 
    &amp;  t  &amp; \mapsto &amp; \gamma_z(t) =  (1-t)\cdot z_0 + t\cdot z =  (t-1) + t\cdot z 
  \end{array}  
&lt;/math&gt;

:&lt;math&gt;
\log_{_-}(z) := \pi i + \int_{\gamma_z}
 \frac{1}{\xi} \, d\xi = \pi i +  \int_{0}^1
 \frac{1}{\gamma_z(t)} \cdot \gamma_z{\!\!}'(t) \,\, dt  

&lt;/math&gt;

&lt;span id=&quot;algebraischvollstaendig&quot;&gt;&lt;/span&gt;

== Definition - algebraisch vollständig ==
Ein Zweig des Logarithmus als Funktion &lt;math&gt; \log: G\to \mathbb{C} &lt;/math&gt; heißt algebraisch vollständig, wenn dieser den Definitionsbereich &lt;math&gt; G := \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; besitzt und  &lt;math&gt; \exp(\log(z)) = z &lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt; z \in G &lt;/math&gt; gilt.

=== Bemerkung - algebraische Vollständigkeit ===
Der Definitionsbereich &lt;math&gt; G := \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; ist als [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] eine offene und zusammenhängende Menge in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt;. Für holomorphe Funktionen gilt der [[Kurs:Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue|Satz von der Gebietstreue]]. Damit muss für einen Zweig des Logarithmus als holomorphe Funktion auch das Bild offenen sein. Definiert man den Hauptzweig ''algebraisch vollständig'', ist das Bild z.B. &lt;math&gt;\mathbb{R}+i\cdot (-\pi,+\pi]&lt;/math&gt;. Dies ist keine offene Teilmenge von &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt;. Eine auf diese Weise definierter Logarithmus kann also nicht mehr [[holomorphe Funktion|holomorph]] sein. Man verliert sogar die Eigenschaft der Stetigkeit. Vorteil von algebarisch vollständigen Logarithmen ist, dass die Abblildung für alle &lt;math&gt; z \not= 0 &lt;/math&gt;  (bzw. &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt;) definiert ist.

== Aufgabe - Integraldarstellung des Logarithmus ==
Sei &lt;math&gt;z_o \in \mathbb{C} \setminus \{0\}&lt;/math&gt; beliebig gewählt und 
:&lt;math&gt;
 \begin{array}{rrcl}
   \gamma_z : &amp; [0,1] &amp; \rightarrow &amp; \mathbb{C} \\ 
    &amp;  t  &amp; \mapsto &amp; \gamma_z(t) =  (1-t)\cdot z_0 + t\cdot z 
  \end{array}  
&lt;/math&gt;
* Skizzieren Sie die Menge &lt;math&gt;\mathbb{C}_{z_0} := \mathbb{C} \setminus \{  -\lambda \cdot z_0 \, :\, \lambda \in \mathbb{R}_0^+ \} &lt;/math&gt;
* Ist die folgende Funktion &lt;math&gt;F: \mathbb{C}_{z_0} \to \mathbb{C} &lt;/math&gt; eine wohldefinierte Funktion und für welche &lt;math&gt;z_0&lt;/math&gt; ist die folgende [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion]] &lt;math&gt;F&lt;/math&gt; als Wegintegral auch ein Zweig des Logarithmus? Wie muss man dann die Konstante &lt;math&gt;c_0&lt;/math&gt; zu dem gegebenen &lt;math&gt;z_0&lt;/math&gt; wählen? 
::&lt;math&gt;
F(z) := c_0 + \int_{\gamma_z}
 \frac{1}{\xi} \, d\xi = c_0 +  \int_{0}^1
 \frac{1}{\gamma_z(t)} \cdot \gamma{\,}_z'(t)  dt  

&lt;/math&gt;

=== Notwendigkeit der Einschränkung der Definitions- und Wertebereiche der Exponentialfunktion ===
Um eine bijektive Abbildung zu erhalten, müssen wir sowohl den Definitionsbereich als auch den Wertebereich der Exponentialfunktion einschränken.
Die Exponentialfunktion &lt;math&gt; \exp(z) &lt;/math&gt; ist periodisch mit der Periode &lt;math&gt; 2\pi i &lt;/math&gt;, das heißt, &lt;math&gt; \exp(z + 2\pi i k) = \exp(z) &lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt; k \in \mathbb{Z} &lt;/math&gt;. 

=== Surjektivität und Injektivität ===
Die Periodizität führt dazu, dass die Exponentialfunktion nicht injektiv auf der gesamten komplexen Ebene ist. Die Exponentialfunktion ist auch nicht surjektiv, da mit &lt;math&gt;z=x+i\cdot y \in \mathbb{C}&lt;/math&gt; die 0 als Bildpunkt auftritt, denn es gilt:
:&lt;math&gt;
 e^z = e^{x+iy} = \underbrace{e^x}_{\not=0} \cdot \underbrace{e^{iy}}_{\not=0} \not= 0
&lt;/math&gt;

=== Eulersche Formel ===
Mit der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] kann die Exponentialfunktion mit &lt;math&gt;z=x+i\cdot y \in \mathbb{C}&lt;/math&gt; wie folgt zerlegen:
:&lt;math&gt;
 e^z = e^{x+iy} = \underbrace{e^x}_{\not=0} \cdot e^{iy} = 
 e^x\cdot (\cos(y) + i \cdot \sin(y) )
&lt;/math&gt;

=== Bijektive Abbildung ===
Um eine bijektive und holomorphe Abbildung zu erhalten, kann man  den Definitionsbereich der Exponentialfunktion auf ein horizontales Streifen der Höhe &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; einschränken, zum Beispiel:

:&lt;math&gt; G := \mathbb{R} + i\cdot (-\pi,+\pi) := \{ z \in \mathbb{C} \mid -\pi &lt; \operatorname{Im}(z) \leq \pi \} \subset \mathbb{C}
&lt;/math&gt;
In diesem Fall ist die Exponentialfunktion &lt;math&gt;\exp : G \to  \mathbb{C}\setminus \{0\}   &lt;/math&gt; den &quot;Streifen&quot; &lt;math&gt;G  &lt;/math&gt; der Höhe &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt;  bijektiv auf  auf den Wertebereich &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; ab. Die Bildmenge wird nun zum Definitionsbereich des Hauptzweiges vom Logarithmus.

== Zusammenfassung ==
* Die Exponentialfunktion &lt;math&gt; \exp(z) &lt;/math&gt; ist nicht injektiv und nicht surjektiv (wegen &lt;math&gt; \exp(z) \not= 0)&lt;/math&gt; auf der gesamten komplexen Ebene.
* Um eine bijektive [[holomorphe Funktion]] zu erhalten, muss man den Definitionsbereich &lt;math&gt;\mathbb{D}&lt;/math&gt; und den Wertebereich &lt;math&gt;\mathbb{W}&lt;/math&gt; der Logarithmusfunktion &lt;math&gt;\log_G : G \to \mathbb{W} &lt;/math&gt; so einschränken, dass eine bijektive Abbildung entsteht.
* für die offene Menge &lt;math&gt;\mathbb{D}&lt;/math&gt; muss im Allgemeinen nur [[einfach zusammenhängend]] mit &lt;math&gt;0\notin \mathbb{D}&lt;/math&gt; sein (siehe auch [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/generalisiert|generalisierte Logarithmen]]). 
* Ein Zweig des Logarithmus kann definiert werden, indem der Definitionsbereich des Logarithmus eingeschränkt wird, zum Beispiel auf &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus (-\infty, 0] &lt;/math&gt;.

=== Algebraische Vervollständigung ===
Wenn man den Definitionsbereich von einer geschlitzten Ebene &lt;math&gt; \mathbb{W} := \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}_{0}^{-}&lt;/math&gt; auf &lt;math&gt;\mathbb{C}\setminus \{0\}&lt;/math&gt; erweitert und gleichzeitig den Definitionsbereich &lt;math&gt;G:=\mathbb{R}+(-\pi,+\pi) \cdot i &lt;/math&gt; zu &lt;math&gt;G_+ := \mathbb{R} + (-\pi,+\pi]\cdot i&lt;/math&gt; für den Hauptzweig erweitert, bleibt die algebraisch die Bijektivität erhalten, aber man verliert die Eigenschaft der Stetigkeit auf dem ganzen Definitionsbereich. Alternativ kann man für den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#negativer_Hauptzweig|negativen Hauptzweig]] den Definitionsbereich &lt;math&gt;G_1 := \mathbb{R} + (0,2\pi)\cdot i&lt;/math&gt; auch diesen Definitionsbereich auf &lt;math&gt;\mathbb{D}_1 := \mathbb{R} + [0,2\pi)\cdot i&lt;/math&gt; erweitern und man verliert analog die Eigenschaft der Stetigkeit und komplexen Differenzierbarkeit auf ganz &lt;math&gt;\mathbb{D}_1&lt;/math&gt;.

== Siehe auch ==
* [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/algebraische Vollständigkeit|algebraische Vollständigkeit]] des Logarithmus
* [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden Gebietes]] für Logarithmen
* [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]]
*[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/generalisiert|generalisierter Logarithmus]]
* [[holomorphe Funktion]] 
* [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexer Logarithmus]]
* [[Logarithmus|reeller Logarithmus]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion als Wegintegral]]
* [[Stetigkeit]]</text>
      <sha1>rkjwl1x4btfiob3f4tq1oegpklztmo9</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Benutzer Diskussion:Alex buchmann</title>
    <ns>3</ns>
    <id>173015</id>
    <revision>
      <id>1115846</id>
      <timestamp>2026-10-12T14:10:33Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>New user message</username>
        <id>15350</id>
      </contributor>
      <minor />
      <comment>Begrüßung eines neuen Benutzers mit einer [[Template:Welcome|Willkommensnachricht]] auf dessen Diskussionsseite</comment>
      <origin>1115846</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="172" sha1="tt6242fddmj6v1iem2cg8wczvxnmac7" xml:space="preserve">{{Template:Welcome|name=Alex buchmann}}

-- [[Benutzer:New user message|New user message]] ([[Benutzer Diskussion:New user message|Diskussion]]) 16:10, 12. Okt. 2026 (CEST)</text>
      <sha1>tt6242fddmj6v1iem2cg8wczvxnmac7</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Logmod-Funktion</title>
    <ns>0</ns>
    <id>173016</id>
    <redirect title="Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/logmod" />
    <revision>
      <id>1115851</id>
      <timestamp>2026-10-12T14:23:50Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bert Niehaus</username>
        <id>20843</id>
      </contributor>
      <comment>Weiterleitung nach [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/logmod]] erstellt</comment>
      <origin>1115851</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="54" sha1="8gfc5tf58mp96om8dlv0vjjc6ywyvzp" xml:space="preserve">#REDIRECT[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/logmod]]</text>
      <sha1>8gfc5tf58mp96om8dlv0vjjc6ywyvzp</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Negativer Hauptzweig</title>
    <ns>0</ns>
    <id>173017</id>
    <redirect title="Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige" />
    <revision>
      <id>1115855</id>
      <timestamp>2026-10-12T14:45:40Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bert Niehaus</username>
        <id>20843</id>
      </contributor>
      <comment>Weiterleitung nach [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#negativer Hauptzweig]] erstellt</comment>
      <origin>1115855</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="75" sha1="0d519r5zmv5ez431wzav84ld6a7hdsa" xml:space="preserve">#REDIRECT[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#negativer_Hauptzweig]]</text>
      <sha1>0d519r5zmv5ez431wzav84ld6a7hdsa</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Zweige des Logarithmus</title>
    <ns>0</ns>
    <id>173018</id>
    <redirect title="Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige" />
    <revision>
      <id>1115864</id>
      <timestamp>2026-10-12T14:59:23Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bert Niehaus</username>
        <id>20843</id>
      </contributor>
      <comment>Weiterleitung nach [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige]] erstellt</comment>
      <origin>1115864</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="54" sha1="4okiu1u4z7g38im5sgimp1eet12p59w" xml:space="preserve">#REDIRECT[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige]]</text>
      <sha1>4okiu1u4z7g38im5sgimp1eet12p59w</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Hauptzweig des Logarithmus</title>
    <ns>0</ns>
    <id>173019</id>
    <redirect title="Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige" />
    <revision>
      <id>1115872</id>
      <timestamp>2026-10-12T15:11:55Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bert Niehaus</username>
        <id>20843</id>
      </contributor>
      <comment>Weiterleitung nach [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#Hauptzweig]] erstellt</comment>
      <origin>1115872</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="65" sha1="inyesu7ixn5vnekv47r3hgisanje2jb" xml:space="preserve">#REDIRECT[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#Hauptzweig]]</text>
      <sha1>inyesu7ixn5vnekv47r3hgisanje2jb</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Negativer Hauptzweig des Logarithmus</title>
    <ns>0</ns>
    <id>173020</id>
    <redirect title="Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige" />
    <revision>
      <id>1115874</id>
      <timestamp>2026-10-12T15:12:34Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bert Niehaus</username>
        <id>20843</id>
      </contributor>
      <comment>Weiterleitung nach [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#negativer Hauptzweig]] erstellt</comment>
      <origin>1115874</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="75" sha1="0d519r5zmv5ez431wzav84ld6a7hdsa" xml:space="preserve">#REDIRECT[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#negativer_Hauptzweig]]</text>
      <sha1>0d519r5zmv5ez431wzav84ld6a7hdsa</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Zweig des Logarithmus</title>
    <ns>0</ns>
    <id>173021</id>
    <redirect title="Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige" />
    <revision>
      <id>1115875</id>
      <timestamp>2026-10-12T15:13:01Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bert Niehaus</username>
        <id>20843</id>
      </contributor>
      <comment>Weiterleitung nach [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige]] erstellt</comment>
      <origin>1115875</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="54" sha1="4okiu1u4z7g38im5sgimp1eet12p59w" xml:space="preserve">#REDIRECT[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige]]</text>
      <sha1>4okiu1u4z7g38im5sgimp1eet12p59w</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen</title>
    <ns>106</ns>
    <id>173022</id>
    <revision>
      <id>1115889</id>
      <timestamp>2026-10-12T16:28:09Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bert Niehaus</username>
        <id>20843</id>
      </contributor>
      <comment>Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt.</comment>
      <origin>1115889</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="3285" sha1="hgwulax3g5n0mw7qonu3xaey1dx6mtb" xml:space="preserve">== Einleitung == 
Diese Lerneinheit zu [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmen]] beschäftigt sich Äquivalenzklassen, deren Struktur und  Rechenregeln, die durch den Zusammenhang mit der Exponentialfunktion und deren imaginärer &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt;-Periodizität entsteht.

=== Periodizität der Exponentialfunktion ===

Der komplexe Logarithmus kann nicht eindeutig als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion &lt;math&gt; \exp: \mathbb{C} \to \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; festgelegt werden, da u.a. die Exponentialfunktion nicht injektiv ist und ein [[Zweig des Logarithmus]] von der Wahl des [[einfach zusammenhängend]]en Gebietes abhängt, auf dem der Logarithmus definiert ist. Es gilt für [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]]:
:&lt;math&gt;
\exp(w + 2\pi i) = \exp(w) = z\quad \text{für alle } w \in \mathbb{C}
&lt;/math&gt;

Daher gibt es unendlich viele komplexe Zahlen &lt;math&gt; w &lt;/math&gt;, die auf dieselbe Zahl &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; abgebildet werden. Diese Mehrdeutigkeit ist die Motivation, um Äquivalenzklassen zu bilden.

== Äquivalenzklassen des Logarithmus ==
Um Äquivalenzklassen zu bilden, benötigt man eine Äquivalenzrelation als Teilmenge von &lt;math&gt;\mathbb{C}\times \mathbb{C} &lt;/math&gt;, die zwei Elemente &lt;math&gt; w_1, w_2 \in \mathbb{C} &lt;/math&gt;, wenn deren Differenz ein ganzzahliges Vielfaches von &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; ist.

=== Definition - logmod-Äquivalenzrelation ===
Zwei komplexe Zahlen &lt;math&gt; w_1, w_2 \in \mathbb{C} &lt;/math&gt; heißen logmod-äquivalent modulo &lt;math&gt; 2\pi i &lt;/math&gt;, wenn gilt:
:&lt;math&gt;
w_1 - w_2 \in 2\pi i \cdot \mathbb{Z} := \{w\in \mathbb{C} \, : \, w=2\pi i \cdot k \mbox{ und } k\in \mathbb{Z} \}
&lt;/math&gt;

Formal notiert man diese Äquivalenz wie folgt:  

:&lt;math&gt;
w_1 \equiv w_2 \  \mathrm{logmod}\  {2\pi i}
&lt;/math&gt;

==== Aufgabe für Studierende ====
Zeigen Sie, dass diese Relation eine ''Äquivalenzrelation'' ist, d.h. die [[logmod-Funktion|logmod-Relation]] ist [[w:de:Äquivalenzrelation|reflexiv, symmetrisch und transitiv]].

=== Definition - logmod-Äquivalenzklasse ===
Für eine komplexe Zahl &lt;math&gt; w \in \mathbb{C} &lt;/math&gt; ist die Äquivalenzklasse definiert als:

:&lt;math&gt;
[w]_0 := \{ w + 2\pi i k \mid k \in \mathbb{Z} \}
&lt;/math&gt;

==== Bezeichnung - Äquivalenzklassenindex====
Die Indexierung mit &lt;math&gt; _0 &lt;/math&gt; deutet an, dass dies diese Äquivalenzklasse ohne Logarithmierung in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt; gebildet wurde. Bildet man rekursiv höhere Logarithmen als Verkettung entstehen Äquivalenzklassen &lt;math&gt;[w]_n&lt;/math&gt;, wobei &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-fach rekursiv der Logarithmus verkettet wird, falls dieser existiert.

== Verbindung mit der Exponentialfunktion ==

Da die Exponentialfunktion im Imaginärteil des Arguments eine Periodizität von &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; besitzt, entsprechen Äquivalenzklassen &lt;math&gt;[w]_0&lt;/math&gt; entsprechen einem Bildpunkt &lt;math&gt;z=e^w&lt;/math&gt;. Dieser Verbindung zwischen Exponentialfunktion und Logarithmus wird durch das LogMod-Äquivalenzklassenlemma festgehalten.

=== LogMod-Äquivalenzklassenlemma ===
Für eine feste komplexe Zahl &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; gilt:
:&lt;math&gt;
 \exp(\widehat{w}) = z \quad \text{für alle } \widehat{w} \in [w]_0
 &lt;/math&gt;
genau dann, wenn &lt;math&gt; \exp(w) = z &lt;/math&gt;.

=== Beweis - LogMod-Lemma ===</text>
      <sha1>hgwulax3g5n0mw7qonu3xaey1dx6mtb</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>1115890</id>
      <parentid>1115889</parentid>
      <timestamp>2026-10-12T16:32:32Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bert Niehaus</username>
        <id>20843</id>
      </contributor>
      <comment>/* Beweis - LogMod-Lemma */</comment>
      <origin>1115890</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="3367" sha1="p0ctdjkemp7udaxb75nhq857k4vt4e4" xml:space="preserve">== Einleitung == 
Diese Lerneinheit zu [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmen]] beschäftigt sich Äquivalenzklassen, deren Struktur und  Rechenregeln, die durch den Zusammenhang mit der Exponentialfunktion und deren imaginärer &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt;-Periodizität entsteht.

=== Periodizität der Exponentialfunktion ===

Der komplexe Logarithmus kann nicht eindeutig als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion &lt;math&gt; \exp: \mathbb{C} \to \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; festgelegt werden, da u.a. die Exponentialfunktion nicht injektiv ist und ein [[Zweig des Logarithmus]] von der Wahl des [[einfach zusammenhängend]]en Gebietes abhängt, auf dem der Logarithmus definiert ist. Es gilt für [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]]:
:&lt;math&gt;
\exp(w + 2\pi i) = \exp(w) = z\quad \text{für alle } w \in \mathbb{C}
&lt;/math&gt;

Daher gibt es unendlich viele komplexe Zahlen &lt;math&gt; w &lt;/math&gt;, die auf dieselbe Zahl &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; abgebildet werden. Diese Mehrdeutigkeit ist die Motivation, um Äquivalenzklassen zu bilden.

== Äquivalenzklassen des Logarithmus ==
Um Äquivalenzklassen zu bilden, benötigt man eine Äquivalenzrelation als Teilmenge von &lt;math&gt;\mathbb{C}\times \mathbb{C} &lt;/math&gt;, die zwei Elemente &lt;math&gt; w_1, w_2 \in \mathbb{C} &lt;/math&gt;, wenn deren Differenz ein ganzzahliges Vielfaches von &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; ist.

=== Definition - logmod-Äquivalenzrelation ===
Zwei komplexe Zahlen &lt;math&gt; w_1, w_2 \in \mathbb{C} &lt;/math&gt; heißen logmod-äquivalent modulo &lt;math&gt; 2\pi i &lt;/math&gt;, wenn gilt:
:&lt;math&gt;
w_1 - w_2 \in 2\pi i \cdot \mathbb{Z} := \{w\in \mathbb{C} \, : \, w=2\pi i \cdot k \mbox{ und } k\in \mathbb{Z} \}
&lt;/math&gt;

Formal notiert man diese Äquivalenz wie folgt:  

:&lt;math&gt;
w_1 \equiv w_2 \  \mathrm{logmod}\  {2\pi i}
&lt;/math&gt;

==== Aufgabe für Studierende ====
Zeigen Sie, dass diese Relation eine ''Äquivalenzrelation'' ist, d.h. die [[logmod-Funktion|logmod-Relation]] ist [[w:de:Äquivalenzrelation|reflexiv, symmetrisch und transitiv]].

=== Definition - logmod-Äquivalenzklasse ===
Für eine komplexe Zahl &lt;math&gt; w \in \mathbb{C} &lt;/math&gt; ist die Äquivalenzklasse definiert als:

:&lt;math&gt;
[w]_0 := \{ w + 2\pi i k \mid k \in \mathbb{Z} \}
&lt;/math&gt;

==== Bezeichnung - Äquivalenzklassenindex====
Die Indexierung mit &lt;math&gt; _0 &lt;/math&gt; deutet an, dass dies diese Äquivalenzklasse ohne Logarithmierung in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt; gebildet wurde. Bildet man rekursiv höhere Logarithmen als Verkettung entstehen Äquivalenzklassen &lt;math&gt;[w]_n&lt;/math&gt;, wobei &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-fach rekursiv der Logarithmus verkettet wird, falls dieser existiert.

== Verbindung mit der Exponentialfunktion ==

Da die Exponentialfunktion im Imaginärteil des Arguments eine Periodizität von &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; besitzt, entsprechen Äquivalenzklassen &lt;math&gt;[w]_0&lt;/math&gt; entsprechen einem Bildpunkt &lt;math&gt;z=e^w&lt;/math&gt;. Dieser Verbindung zwischen Exponentialfunktion und Logarithmus wird durch das LogMod-Äquivalenzklassenlemma festgehalten.

=== LogMod-Äquivalenzklassenlemma ===
Für eine feste komplexe Zahl &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; gilt:
:&lt;math&gt;
 \exp(\widehat{w}) = z \quad \text{für alle } \widehat{w} \in [w]_0
 &lt;/math&gt;
genau dann, wenn &lt;math&gt; \exp(w) = z &lt;/math&gt;.

=== Beweis - LogMod-Lemma ===

== Siehe auch ==
* [[\Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexer Logarithmus]]</text>
      <sha1>p0ctdjkemp7udaxb75nhq857k4vt4e4</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>1115892</id>
      <parentid>1115890</parentid>
      <timestamp>2026-10-12T16:32:45Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bert Niehaus</username>
        <id>20843</id>
      </contributor>
      <comment>/* Siehe auch */</comment>
      <origin>1115892</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="3366" sha1="nb7ke9eaufosovw44ihsggjib45im80" xml:space="preserve">== Einleitung == 
Diese Lerneinheit zu [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmen]] beschäftigt sich Äquivalenzklassen, deren Struktur und  Rechenregeln, die durch den Zusammenhang mit der Exponentialfunktion und deren imaginärer &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt;-Periodizität entsteht.

=== Periodizität der Exponentialfunktion ===

Der komplexe Logarithmus kann nicht eindeutig als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion &lt;math&gt; \exp: \mathbb{C} \to \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; festgelegt werden, da u.a. die Exponentialfunktion nicht injektiv ist und ein [[Zweig des Logarithmus]] von der Wahl des [[einfach zusammenhängend]]en Gebietes abhängt, auf dem der Logarithmus definiert ist. Es gilt für [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]]:
:&lt;math&gt;
\exp(w + 2\pi i) = \exp(w) = z\quad \text{für alle } w \in \mathbb{C}
&lt;/math&gt;

Daher gibt es unendlich viele komplexe Zahlen &lt;math&gt; w &lt;/math&gt;, die auf dieselbe Zahl &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; abgebildet werden. Diese Mehrdeutigkeit ist die Motivation, um Äquivalenzklassen zu bilden.

== Äquivalenzklassen des Logarithmus ==
Um Äquivalenzklassen zu bilden, benötigt man eine Äquivalenzrelation als Teilmenge von &lt;math&gt;\mathbb{C}\times \mathbb{C} &lt;/math&gt;, die zwei Elemente &lt;math&gt; w_1, w_2 \in \mathbb{C} &lt;/math&gt;, wenn deren Differenz ein ganzzahliges Vielfaches von &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; ist.

=== Definition - logmod-Äquivalenzrelation ===
Zwei komplexe Zahlen &lt;math&gt; w_1, w_2 \in \mathbb{C} &lt;/math&gt; heißen logmod-äquivalent modulo &lt;math&gt; 2\pi i &lt;/math&gt;, wenn gilt:
:&lt;math&gt;
w_1 - w_2 \in 2\pi i \cdot \mathbb{Z} := \{w\in \mathbb{C} \, : \, w=2\pi i \cdot k \mbox{ und } k\in \mathbb{Z} \}
&lt;/math&gt;

Formal notiert man diese Äquivalenz wie folgt:  

:&lt;math&gt;
w_1 \equiv w_2 \  \mathrm{logmod}\  {2\pi i}
&lt;/math&gt;

==== Aufgabe für Studierende ====
Zeigen Sie, dass diese Relation eine ''Äquivalenzrelation'' ist, d.h. die [[logmod-Funktion|logmod-Relation]] ist [[w:de:Äquivalenzrelation|reflexiv, symmetrisch und transitiv]].

=== Definition - logmod-Äquivalenzklasse ===
Für eine komplexe Zahl &lt;math&gt; w \in \mathbb{C} &lt;/math&gt; ist die Äquivalenzklasse definiert als:

:&lt;math&gt;
[w]_0 := \{ w + 2\pi i k \mid k \in \mathbb{Z} \}
&lt;/math&gt;

==== Bezeichnung - Äquivalenzklassenindex====
Die Indexierung mit &lt;math&gt; _0 &lt;/math&gt; deutet an, dass dies diese Äquivalenzklasse ohne Logarithmierung in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt; gebildet wurde. Bildet man rekursiv höhere Logarithmen als Verkettung entstehen Äquivalenzklassen &lt;math&gt;[w]_n&lt;/math&gt;, wobei &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-fach rekursiv der Logarithmus verkettet wird, falls dieser existiert.

== Verbindung mit der Exponentialfunktion ==

Da die Exponentialfunktion im Imaginärteil des Arguments eine Periodizität von &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; besitzt, entsprechen Äquivalenzklassen &lt;math&gt;[w]_0&lt;/math&gt; entsprechen einem Bildpunkt &lt;math&gt;z=e^w&lt;/math&gt;. Dieser Verbindung zwischen Exponentialfunktion und Logarithmus wird durch das LogMod-Äquivalenzklassenlemma festgehalten.

=== LogMod-Äquivalenzklassenlemma ===
Für eine feste komplexe Zahl &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; gilt:
:&lt;math&gt;
 \exp(\widehat{w}) = z \quad \text{für alle } \widehat{w} \in [w]_0
 &lt;/math&gt;
genau dann, wenn &lt;math&gt; \exp(w) = z &lt;/math&gt;.

=== Beweis - LogMod-Lemma ===

== Siehe auch ==
* [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexer Logarithmus]]</text>
      <sha1>nb7ke9eaufosovw44ihsggjib45im80</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>1115893</id>
      <parentid>1115892</parentid>
      <timestamp>2026-10-12T16:37:45Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bert Niehaus</username>
        <id>20843</id>
      </contributor>
      <comment>/* Einleitung */</comment>
      <origin>1115893</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="3676" sha1="pktmitstd5qu5hnplbdiksa7idxfo49" xml:space="preserve">== Einleitung == 
Diese Lerneinheit zu [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmen]] beschäftigt sich Äquivalenzklassen, deren Struktur und  Rechenregeln, die durch den Zusammenhang mit der Exponentialfunktion und deren imaginärer &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt;-Periodizität entsteht. Die Äquivalenzklassen helfen dabei, Rechenregeln aus den reellen Zahl für den [[Logarithmus]] auf den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexen Logarithmus]] bzw. deren Zweige zu übertragen. Die [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus]] spielt dabei bijektive Abbildungen eine besondere Rolle.

=== Periodizität der Exponentialfunktion ===

Der komplexe Logarithmus kann nicht eindeutig als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion &lt;math&gt; \exp: \mathbb{C} \to \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; festgelegt werden, da u.a. die Exponentialfunktion nicht injektiv ist und ein [[Zweig des Logarithmus]] von der Wahl des [[einfach zusammenhängend]]en Gebietes abhängt, auf dem der Logarithmus definiert ist. Es gilt für [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]]:
:&lt;math&gt;
\exp(w + 2\pi i) = \exp(w) = z\quad \text{für alle } w \in \mathbb{C}
&lt;/math&gt;

Daher gibt es unendlich viele komplexe Zahlen &lt;math&gt; w &lt;/math&gt;, die auf dieselbe Zahl &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; abgebildet werden. Diese Mehrdeutigkeit ist die Motivation, um Äquivalenzklassen zu bilden.

== Äquivalenzklassen des Logarithmus ==
Um Äquivalenzklassen zu bilden, benötigt man eine Äquivalenzrelation als Teilmenge von &lt;math&gt;\mathbb{C}\times \mathbb{C} &lt;/math&gt;, die zwei Elemente &lt;math&gt; w_1, w_2 \in \mathbb{C} &lt;/math&gt;, wenn deren Differenz ein ganzzahliges Vielfaches von &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; ist.

=== Definition - logmod-Äquivalenzrelation ===
Zwei komplexe Zahlen &lt;math&gt; w_1, w_2 \in \mathbb{C} &lt;/math&gt; heißen logmod-äquivalent modulo &lt;math&gt; 2\pi i &lt;/math&gt;, wenn gilt:
:&lt;math&gt;
w_1 - w_2 \in 2\pi i \cdot \mathbb{Z} := \{w\in \mathbb{C} \, : \, w=2\pi i \cdot k \mbox{ und } k\in \mathbb{Z} \}
&lt;/math&gt;

Formal notiert man diese Äquivalenz wie folgt:  

:&lt;math&gt;
w_1 \equiv w_2 \  \mathrm{logmod}\  {2\pi i}
&lt;/math&gt;

==== Aufgabe für Studierende ====
Zeigen Sie, dass diese Relation eine ''Äquivalenzrelation'' ist, d.h. die [[logmod-Funktion|logmod-Relation]] ist [[w:de:Äquivalenzrelation|reflexiv, symmetrisch und transitiv]].

=== Definition - logmod-Äquivalenzklasse ===
Für eine komplexe Zahl &lt;math&gt; w \in \mathbb{C} &lt;/math&gt; ist die Äquivalenzklasse definiert als:

:&lt;math&gt;
[w]_0 := \{ w + 2\pi i k \mid k \in \mathbb{Z} \}
&lt;/math&gt;

==== Bezeichnung - Äquivalenzklassenindex====
Die Indexierung mit &lt;math&gt; _0 &lt;/math&gt; deutet an, dass dies diese Äquivalenzklasse ohne Logarithmierung in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt; gebildet wurde. Bildet man rekursiv höhere Logarithmen als Verkettung entstehen Äquivalenzklassen &lt;math&gt;[w]_n&lt;/math&gt;, wobei &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-fach rekursiv der Logarithmus verkettet wird, falls dieser existiert.

== Verbindung mit der Exponentialfunktion ==

Da die Exponentialfunktion im Imaginärteil des Arguments eine Periodizität von &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; besitzt, entsprechen Äquivalenzklassen &lt;math&gt;[w]_0&lt;/math&gt; entsprechen einem Bildpunkt &lt;math&gt;z=e^w&lt;/math&gt;. Dieser Verbindung zwischen Exponentialfunktion und Logarithmus wird durch das LogMod-Äquivalenzklassenlemma festgehalten.

=== LogMod-Äquivalenzklassenlemma ===
Für eine feste komplexe Zahl &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; gilt:
:&lt;math&gt;
 \exp(\widehat{w}) = z \quad \text{für alle } \widehat{w} \in [w]_0
 &lt;/math&gt;
genau dann, wenn &lt;math&gt; \exp(w) = z &lt;/math&gt;.

=== Beweis - LogMod-Lemma ===

== Siehe auch ==
* [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexer Logarithmus]]</text>
      <sha1>pktmitstd5qu5hnplbdiksa7idxfo49</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Algebraische Vollständigkeit des Logarithmus</title>
    <ns>0</ns>
    <id>173023</id>
    <redirect title="Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige" />
    <revision>
      <id>1115894</id>
      <timestamp>2026-10-12T16:38:31Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bert Niehaus</username>
        <id>20843</id>
      </contributor>
      <comment>Weiterleitung nach [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#algebraischvollstaendig]] erstellt</comment>
      <origin>1115894</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="78" sha1="rl9sxj1bsx54vsrbk70oqr0pa9fs5dh" xml:space="preserve">#REDIRECT[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#algebraischvollstaendig]]</text>
      <sha1>rl9sxj1bsx54vsrbk70oqr0pa9fs5dh</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Kurs:WikiCLIMATEchange/Aufgabenarrangements für Unterricht, Berufsausbildung und Studium/KlimaWandelWald - eine Graphik Novel in der Anwendung</title>
    <ns>106</ns>
    <id>173024</id>
    <revision>
      <id>1115917</id>
      <timestamp>2026-10-12T21:04:56Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Schreibzentrum</username>
        <id>39232</id>
      </contributor>
      <comment>Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt.</comment>
      <origin>1115917</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="925" sha1="0fllp509lzuuvpkpw0k053jwec7txmf" xml:space="preserve">{{Achtung
|'''Diese Seite befindet sich derzeit im Aufbau.'''
&lt;br /&gt;
Der Beitrag wird derzeit für die Veröffentlichung auf WikiCLIMATEchange aufbereitet. Das zugehörige Material wird nachgereicht.
|Breite=80%
|Hintergrund=#FFF2CC
|Rand=#E6B800
}}

== Graphik Novel – Was ist das? ==

== Graphik Novel ''KlimaWandelWald'' – das Projekt ==

[[Datei:Klimawandelwald.png|mini]]

== Didaktische Überlegungen zur Nutzung in Schule und Hochschule ==


== Material ==
; Schäffel, Ellen (et al. 2021).KlimaWandelWald. Eine Graphic Novel zu Folge und Anpassungsmaßnahmen an den Klimawandel in der Wald- und Forstwirtschaft. DOI 
10.6094/978-3-928969-85-7
:(Eine digitale Version kann unter o.g. DOI kostenlos über das Portal FreiDok plus heruntergeladen werden).


----

[[Kurs:WikiCLIMATEchange/Aufgabenarrangements für Unterricht, Berufsausbildung und Studium|← Zurück zu den Aufgabenarrangements]]

[[Kategorie:Kurs]]</text>
      <sha1>0fllp509lzuuvpkpw0k053jwec7txmf</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Kurs:WikiCLIMATEchange/Aufgabenarrangements für Unterricht, Berufsausbildung und Studium/Schreibarrangement: Deutsch, Nachhaltigkeit, Comic</title>
    <ns>106</ns>
    <id>173025</id>
    <revision>
      <id>1115919</id>
      <timestamp>2026-10-12T21:25:52Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Schreibzentrum</username>
        <id>39232</id>
      </contributor>
      <comment>Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt.</comment>
      <origin>1115919</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="1003" sha1="5cekafzus1memc64nlrh3w7bzc3l4qp" xml:space="preserve">{{RoundBoxTop|theme=2}}&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;&lt;span style=&quot;font-size:150%; font-weight:bold;&quot;&gt;Schreibarrangement: Deutsch, Nachhaltigkeit, Comic&lt;/span&gt;&lt;/div&gt;{{RoundBoxBottom}}

'''Rubrik:''' [[Kurs:WikiCLIMATEchange/Aufgabenarrangements für Unterricht, Berufsausbildung und Studium|Aufgabenarrangements]]

{{Achtung
|'''Diese Seite befindet sich derzeit im Aufbau.'''
&lt;br /&gt;
Der Beitrag ist momentan noch als PDF eingebunden. Ziel ist es, den Beitrag schrittweise auf WikiCLIMATEchange aufzubereiten.
|Breite=80%
|Hintergrund=#FFF2CC
|Rand=#E6B800
}}

==Unterrichtsentwurf==

[[Datei: Comic_Vattes_2025.pdf|page=1|gerahmt|links|Schreibarrangement für die Schule zum Thema &quot;Recycling&quot; (Seite 1 von 11) ]]

''Das PDF wird hier zunächst als Vorschau der ersten Seite angezeigt. Über die Darstellung kann das vollständige Dokument geöffnet werden.''

[[Kurs:WikiCLIMATEchange/Aufgabenarrangements für Unterricht, Berufsausbildung und Studium|← Zurück zu den Aufgabenarrangements]]

[[Kategorie:Kurs]]</text>
      <sha1>5cekafzus1memc64nlrh3w7bzc3l4qp</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Kurs:WikiCLIMATEchange/Aufgabenarrangements für Unterricht, Berufsausbildung und Studium/Schreibarrangement: Sport, Nachhaltigkeit, Comic</title>
    <ns>106</ns>
    <id>173026</id>
    <revision>
      <id>1115920</id>
      <timestamp>2026-10-12T21:30:04Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Schreibzentrum</username>
        <id>39232</id>
      </contributor>
      <comment>Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt.</comment>
      <origin>1115920</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="1057" sha1="bh5wr07k9xa1q7gtz14uzubwyykh101" xml:space="preserve">{{RoundBoxTop|theme=2}}&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;&lt;span style=&quot;font-size:150%; font-weight:bold;&quot;&gt;Schreibarrangement: Sport, Nachhaltigkeit, Comic&lt;/span&gt;&lt;/div&gt;{{RoundBoxBottom}}

'''Rubrik:''' [[Kurs:WikiCLIMATEchange/Aufgabenarrangements für Unterricht, Berufsausbildung und Studium|Aufgabenarrangements]]

{{Achtung
|'''Diese Seite befindet sich derzeit im Aufbau.'''
&lt;br /&gt;
Der Beitrag ist momentan noch als PDF eingebunden. Ziel ist es, den Beitrag schrittweise auf WikiCLIMATEchange aufzubereiten.
|Breite=80%
|Hintergrund=#FFF2CC
|Rand=#E6B800
}}

==Unterrichtsentwurf==

[[Datei: Unterrichtsentwurf Sport_Nachhaltigkeit_Comic.pdf|page=2|gerahmt|links|Schreibarrangement für die Schule zum Thema &quot;Schonender Umgang mit Ressourcen&quot; (Seite 2 von 4) ]]

''Das PDF wird hier zunächst als Vorschau der ersten Seite angezeigt. Über die Darstellung kann das vollständige Dokument geöffnet werden.''

----

[[Kurs:WikiCLIMATEchange/Aufgabenarrangements für Unterricht, Berufsausbildung und Studium|← Zurück zu den Aufgabenarrangements]]

[[Kategorie:Kurs]]</text>
      <sha1>bh5wr07k9xa1q7gtz14uzubwyykh101</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Kurs:WikiCLIMATEchange/Aufgabenarrangements für Unterricht, Berufsausbildung und Studium/Aufgabencluster für die Hochschule auf dem Weg zur Klimaneutralität</title>
    <ns>106</ns>
    <id>173027</id>
    <revision>
      <id>1115921</id>
      <timestamp>2026-10-12T21:32:27Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Schreibzentrum</username>
        <id>39232</id>
      </contributor>
      <comment>Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt.</comment>
      <origin>1115921</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="1106" sha1="7c8l1x5e9xib34iyrxz28l9l8lna3qi" xml:space="preserve">{{RoundBoxTop|theme=2}}&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;&lt;span style=&quot;font-size:150%; font-weight:bold;&quot;&gt;Aufgabencluster für die Hochschule auf dem Weg zur Klimaneutralität&lt;/span&gt;&lt;/div&gt;{{RoundBoxBottom}}

'''Rubrik:''' [[Kurs:WikiCLIMATEchange/Aufgabenarrangements für Unterricht, Berufsausbildung und Studium|Aufgabenarrangements]]

{{Achtung
|'''Diese Seite befindet sich derzeit im Aufbau.'''
&lt;br /&gt;
Der Beitrag ist momentan noch als PDF eingebunden. Ziel ist es, den Beitrag schrittweise auf WikiCLIMATEchange aufzubereiten.
|Breite=80%
|Hintergrund=#FFF2CC
|Rand=#E6B800
}}

==Aufgabendesign für die Hochschule==

[[Datei:Aufgabencluster für die Hochschule auf dem Weg zur Klimaneutralität.pdf|page=1|gerahmt|links|Aufgabencluster für die Hochschule auf dem Weg zur Klimaneutralität (Seite 1 von 5)]]

''Das PDF wird hier zunächst als Vorschau der ersten Seite angezeigt. Über die Darstellung kann das vollständige Dokument geöffnet werden.''

----

[[Kurs:WikiCLIMATEchange/Aufgabenarrangements für Unterricht, Berufsausbildung und Studium|← Zurück zu den Aufgabenarrangements]]

[[Kategorie:Kurs]]</text>
      <sha1>7c8l1x5e9xib34iyrxz28l9l8lna3qi</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Kurs:WikiCLIMATEchange/Aufgabenarrangements für Unterricht, Berufsausbildung und Studium/Schreibarrangement: Lebensmittelverschwendung</title>
    <ns>106</ns>
    <id>173028</id>
    <revision>
      <id>1115922</id>
      <timestamp>2026-10-12T21:35:47Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Schreibzentrum</username>
        <id>39232</id>
      </contributor>
      <comment>Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt.</comment>
      <origin>1115922</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="1033" sha1="df2io7y2x843str26pqxi4pyy9caf96" xml:space="preserve">{{RoundBoxTop|theme=2}}&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;&lt;span style=&quot;font-size:150%; font-weight:bold;&quot;&gt;Schreibarrangement: Lebensmittelverschwendung&lt;/span&gt;&lt;/div&gt;{{RoundBoxBottom}}

'''Rubrik:''' [[Kurs:WikiCLIMATEchange/Aufgabenarrangements für Unterricht, Berufsausbildung und Studium|Aufgabenarrangements]]

{{Achtung
|'''Diese Seite befindet sich derzeit im Aufbau.'''
&lt;br /&gt;
Der Beitrag ist momentan noch als PDF eingebunden. Ziel ist es, den Beitrag schrittweise auf WikiCLIMATEchange aufzubereiten.
|Breite=80%
|Hintergrund=#FFF2CC
|Rand=#E6B800
}}

==Schreibarrangement==

[[Datei:Schreibarrangement Rieger Stehlin.pdf|page=1|gerahmt|links|Schreibarrangement für die Schule zum Thema &quot;Lebensmittelverschwendung&quot; (Seite 1 von 3)]]

''Das PDF wird hier zunächst als Vorschau der ersten Seite angezeigt. Über die Darstellung kann das vollständige Dokument geöffnet werden.''

----

[[Kurs:WikiCLIMATEchange/Aufgabenarrangements für Unterricht, Berufsausbildung und Studium|← Zurück zu den Aufgabenarrangements]]

[[Kategorie:Kurs]]</text>
      <sha1>df2io7y2x843str26pqxi4pyy9caf96</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Kurs:WikiCLIMATEchange/Aufgabenarrangements für Unterricht, Berufsausbildung und Studium/Unterrichtsidee zum Biomüll</title>
    <ns>106</ns>
    <id>173029</id>
    <revision>
      <id>1115923</id>
      <timestamp>2026-10-12T21:38:45Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Schreibzentrum</username>
        <id>39232</id>
      </contributor>
      <comment>Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt.</comment>
      <origin>1115923</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="989" sha1="o02wbymgj2p7o5hwfzjh7ihtcb1flmv" xml:space="preserve">{{RoundBoxTop|theme=2}}&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;&lt;span style=&quot;font-size:150%; font-weight:bold;&quot;&gt;Unterrichtsidee zum Biomüll&lt;/span&gt;&lt;/div&gt;{{RoundBoxBottom}}

'''Rubrik:''' [[Kurs:WikiCLIMATEchange/Aufgabenarrangements für Unterricht, Berufsausbildung und Studium|Aufgabenarrangements]]

{{Achtung
|'''Diese Seite befindet sich derzeit im Aufbau.'''
&lt;br /&gt;
Der Beitrag ist momentan noch als PDF eingebunden. Ziel ist es, den Beitrag schrittweise auf WikiCLIMATEchange aufzubereiten.
|Breite=80%
|Hintergrund=#FFF2CC
|Rand=#E6B800
}}

==Unterrichtsidee==

[[Datei:Unterrichtsidee zum Biomuell.pdf|page=1|gerahmt|links|Unterrichtsidee für die Schule zum Thema &quot;Biomüll&quot; (Seite 1 von 11)]]

''Das PDF wird hier zunächst als Vorschau der ersten Seite angezeigt. Über die Darstellung kann das vollständige Dokument geöffnet werden.''

----

[[Kurs:WikiCLIMATEchange/Aufgabenarrangements für Unterricht, Berufsausbildung und Studium|← Zurück zu den Aufgabenarrangements]]

[[Kategorie:Kurs]]</text>
      <sha1>o02wbymgj2p7o5hwfzjh7ihtcb1flmv</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Kurs:WikiCLIMATEchange/Visuelle Darstellungen/Ein Klimaplan für Freiburg</title>
    <ns>106</ns>
    <id>173030</id>
    <revision>
      <id>1115926</id>
      <timestamp>2026-10-12T22:07:25Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Schreibzentrum</username>
        <id>39232</id>
      </contributor>
      <comment>Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt.</comment>
      <origin>1115926</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="876" sha1="omcpwq1cahagnuoc1asgbx5t8y4ip07" xml:space="preserve">{{RoundBoxTop|theme=2}}&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;&lt;span style=&quot;font-size:150%; font-weight:bold;&quot;&gt;Ein Klimaplan für Freiburg&lt;/span&gt;&lt;/div&gt;{{RoundBoxBottom}}

'''Rubrik:''' [[Kurs:WikiCLIMATEchange/Visuelle Darstellungen|Visuelle Darstellungen]]

{{Achtung
|'''Diese Seite befindet sich derzeit im Aufbau.'''
&lt;br /&gt;
Der Beitrag ist momentan noch als PDF eingebunden. Ziel ist es, den Beitrag schrittweise auf WikiCLIMATEchange aufzubereiten.
|Breite=80%
|Hintergrund=#FFF2CC
|Rand=#E6B800
}}

==Visuelle Darstellung==

[[Datei:Klimaplan für Freiburg - Visuelle Darstellung.pdf|gerahmt|links|&quot;Ein Klimaplan für Freiburg&quot;]]

''Das PDF wird hier zunächst als Vorschau der ersten Seite angezeigt. Über die Darstellung kann das vollständige Dokument geöffnet werden.''

----

[[Kurs:WikiCLIMATEchange/Visuelle Darstellungen|← Zurück zu Visuelle Darstellungen]]

[[Kategorie:Kurs]]</text>
      <sha1>omcpwq1cahagnuoc1asgbx5t8y4ip07</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Kurs:WikiCLIMATEchange/Persönliche Texte/Persönliche Erfahrungen 2</title>
    <ns>106</ns>
    <id>173031</id>
    <revision>
      <id>1115928</id>
      <timestamp>2026-10-12T22:20:24Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Schreibzentrum</username>
        <id>39232</id>
      </contributor>
      <comment>Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt.</comment>
      <origin>1115928</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="834" sha1="2j2z18fkm1piycpa9j7k7iet1oumxxm" xml:space="preserve">{{RoundBoxTop|theme=2}}&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;&lt;span style=&quot;font-size:150%; font-weight:bold;&quot;&gt;Persönliche Erfahrungen 2&lt;/span&gt;&lt;/div&gt;{{RoundBoxBottom}}

'''Rubrik:''' [[Kurs:WikiCLIMATEchange/Persönliche Texte|Persönliche Texte]]

{{Achtung
|'''Diese Seite befindet sich derzeit im Aufbau.'''
&lt;br /&gt;
Der Beitrag ist momentan noch als PDF eingebunden. Ziel ist es, den Beitrag schrittweise auf WikiCLIMATEchange aufzubereiten.
|Breite=80%
|Hintergrund=#FFF2CC
|Rand=#E6B800
}}

==Klimaplan – „Persönliche Erfahrungen 2“==

[[Datei:Klimaplan für Freiburg 2.pdf|gerahmt|links]]

''Das PDF wird hier zunächst als Vorschau der ersten Seite angezeigt. Über die Darstellung kann das vollständige Dokument geöffnet werden.''

----

[[Kurs:WikiCLIMATEchange/Persönliche Texte|← Zurück zu Persönliche Texte]]

[[Kategorie:Kurs]]</text>
      <sha1>2j2z18fkm1piycpa9j7k7iet1oumxxm</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Kurs:WikiCLIMATEchange/Persönliche Texte/Persönliche Erfahrungen 1</title>
    <ns>106</ns>
    <id>173032</id>
    <revision>
      <id>1115929</id>
      <timestamp>2026-10-12T22:21:50Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Schreibzentrum</username>
        <id>39232</id>
      </contributor>
      <comment>Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt.</comment>
      <origin>1115929</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="834" sha1="3td8ptqqk95s1tpl3v0jo0aq8efhrko" xml:space="preserve">{{RoundBoxTop|theme=2}}&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;&lt;span style=&quot;font-size:150%; font-weight:bold;&quot;&gt;Persönliche Erfahrungen 1&lt;/span&gt;&lt;/div&gt;{{RoundBoxBottom}}

'''Rubrik:''' [[Kurs:WikiCLIMATEchange/Persönliche Texte|Persönliche Texte]]

{{Achtung
|'''Diese Seite befindet sich derzeit im Aufbau.'''
&lt;br /&gt;
Der Beitrag ist momentan noch als PDF eingebunden. Ziel ist es, den Beitrag schrittweise auf WikiCLIMATEchange aufzubereiten.
|Breite=80%
|Hintergrund=#FFF2CC
|Rand=#E6B800
}}

==Klimaplan – „Persönliche Erfahrungen 1“==
[[Datei:Klimaplan für Freiburg 1.pdf|gerahmt|links]].

''Das PDF wird hier zunächst als Vorschau der ersten Seite angezeigt. Über die Darstellung kann das vollständige Dokument geöffnet werden.''

----

[[Kurs:WikiCLIMATEchange/Persönliche Texte|← Zurück zu Persönliche Texte]]

[[Kategorie:Kurs]]</text>
      <sha1>3td8ptqqk95s1tpl3v0jo0aq8efhrko</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Kurs:WikiCLIMATEchange/Persönliche Texte/Persönliche Erfahrungen 3</title>
    <ns>106</ns>
    <id>173033</id>
    <revision>
      <id>1115930</id>
      <timestamp>2026-10-12T22:23:03Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Schreibzentrum</username>
        <id>39232</id>
      </contributor>
      <comment>Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt.</comment>
      <origin>1115930</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="834" sha1="fjyjwr20z8t65h03w1n3hb4ds5wi1bl" xml:space="preserve">{{RoundBoxTop|theme=2}}&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;&lt;span style=&quot;font-size:150%; font-weight:bold;&quot;&gt;Persönliche Erfahrungen 3&lt;/span&gt;&lt;/div&gt;{{RoundBoxBottom}}

'''Rubrik:''' [[Kurs:WikiCLIMATEchange/Persönliche Texte|Persönliche Texte]]

{{Achtung
|'''Diese Seite befindet sich derzeit im Aufbau.'''
&lt;br /&gt;
Der Beitrag ist momentan noch als PDF eingebunden. Ziel ist es, den Beitrag schrittweise auf WikiCLIMATEchange aufzubereiten.
|Breite=80%
|Hintergrund=#FFF2CC
|Rand=#E6B800
}}

==Klimaplan – „Persönliche Erfahrungen 3“==

[[Datei:Klimaplan für Freiburg 3.pdf|gerahmt|links]]

''Das PDF wird hier zunächst als Vorschau der ersten Seite angezeigt. Über die Darstellung kann das vollständige Dokument geöffnet werden.''

----

[[Kurs:WikiCLIMATEchange/Persönliche Texte|← Zurück zu Persönliche Texte]]

[[Kategorie:Kurs]]</text>
      <sha1>fjyjwr20z8t65h03w1n3hb4ds5wi1bl</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Kurs:WikiCLIMATEchange/Sachtexte/Nature Writing für ein Wiki — ein Widerspruch in sich?</title>
    <ns>106</ns>
    <id>173034</id>
    <revision>
      <id>1115933</id>
      <timestamp>2026-10-12T23:21:41Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Schreibzentrum</username>
        <id>39232</id>
      </contributor>
      <comment>Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt.</comment>
      <origin>1115933</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="8532" sha1="nwsb31veihd7yy7uxjlgbrjm6mmwm2q" xml:space="preserve">{{RoundBoxTop|theme=2}}&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;&lt;span style=&quot;font-size:150%; font-weight:bold;&quot;&gt;Nature Writing für ein Wiki — ein Widerspruch in sich?&lt;/span&gt;&lt;/div&gt;{{RoundBoxBottom}}

'''Rubrik:''' [[Kurs:WikiCLIMATEchange/Sachtexte|Sachtexte]]

== Nature WritingNature Writing für ein Wiki — ein Widerspruch in sich? ==

=== 1. Nature Writing - Schreiben über Natur und Umwelt ===

Wer für ein Wiki schreibt, wie zum Beispiel die Teilnehmenden am aktuellen Schreibprojekt des Freiburger Schreibzentrums, wikiCLIMATEchange, schaut zwangsläufig auf ein digitales Gerät — und nicht in die Natur. Mit all den Möglichkeiten digitaler Vernetzung durch eine solche Technologie ist die Schreibumgebung eine gänzlich andere als die von Henry David Thoreau, dem amerikanischen Schriftsteller aus dem 19. Jahrhundert, der als Begründer des Nature Writing gilt. Während er sich laut Tagebucheintrag „beim Schreiben im Wald mit allen Fasern meines Daseins“ mit der Natur verbunden fühlte, checke ich beim Schreiben für diesen Wiki-Beitrag wiederholt mein Handy und meine Gedanken sind bei verschiedenen Dingen und Menschen gleichzeitig. Bin ich damit „out“ für Nature Writing?

=== 2. Die Geschichte des Nature Writings ====

Als Thoreau sich 1845 entschloss, für längere Zeit in einer selbstgebauten Blockhütte für längere Zeit im Wald zu wohnen, um bewusster leben und authentischer schreiben zu können, konnte er nicht ahnen, dass er damit einer besonderen Art des Schreibens, abseits des turbulenten Medienbetriebs einer sich rasant industrialisierenden Gesellschaft in den Ostküsten-Staaten der USA des 19. Jahrhunderts, auf den Weg verhalf. Ergebnis der zwei Jahre Leben in der Natur war das Buch *Walden*, in dem er vom materiell einfachen, aber spirituell erfüllenden Leben in der Wildnis berichtete und damit gleichzeitig einen besonderen Sprachstil prägte. Diesen bezeichnete er selbst als direkt und natürlich bzw. als instinktiv und körperlich — aus der eigenen, handfesten Erfahrung heraus. In seinem Tagebuch schrieb er: „How vain it is to sit down to write when you have not stood up to live“ — Wie vergeblich ist es, sich zum Schreiben hinzusetzen, wenn man nicht aufgestanden ist, um zu leben.

Man kann also sagen, dass Nature Writing zum Einen direkt aus der Interaktion in und mit der Natur heraus entsteht und zum Anderen diese erlebte Natur konkret und direkt beschreibt. Thoreau sah den Autor — von ihm wird der Schriftsteller wirklich nur als Mann gedacht — als einen, der die Essenz des Lebens in und mit der Natur in seinen Texten festhält. Schon zu Thoreaus Lebzeit, aber vor allem in der Reform- und Naturbewegung Anfang des 20. Jahrhunderts war diese Art des Schreibens und Seins en vogue. Später aber galt Nature Writing lange als weltentrückt, idealisierend. Aber schon in den 1960er Jahren war diese Art des Schreibens wieder präsent und diesmal gar nicht „hinterwäldlerisch“, wie es lange kritisch gesehen wurde.

Spätestens mit dem Roman von Richard Brautigan, *Trout Fishing in America*, (1967), der Naturbeobachtung mit der Philosophie der Hippi-Bewegung verbindet, beginnt man sich wieder für Nature Writing zu interessieren. Diesmal erscheint die Natur als Sehnsuchtsort eines alternativen Gesellschaftsentwurfs und wird als Ventil für massive Kritik an der Zerstörung von Natur und Gesellschaft inszeniert.

=== 3. Nature Writing heute - und morgen? ===

Heute kann man Nature Writing als Ausdruck des eigenen, inneren Ichs und der dabei entstehenden Projektionen ins direkte, pralle Leben, aber auch als Aussicht auf mögliches, zukünftiges Leben — durchaus auch als pure Illusion — verstehen. Für die erstgenannte Funktionsweise — dem Blick nach innen und außen — steht zum Beispiel der 2021 erschienene Roman, *Saling aus dem Wald*, von Sylvia Schmieder. Ein fiktives Waldwesen (Saling) gerät aus Neugier in eine moderne Großstadt und sehnt sich dort recht bald wieder zurück in die Natur. In seinen verzweifelten Rückkehrbemühungen wird die Entfremdung des Menschen von der Natur eindrucksvoll sichtbar.

Für die zweite Funktionsweise von Nature Writing — dem Blick in die Zukunft und von dort zurück zu sich und zum eigenen Inneren— steht das 2025 von Erik Wunderlich verfasste Manuskript *Unearthing*, welches ein Jahr später als 8-teilige Hörspiel-Reihe von SWR-Kultur produziert wurde. Als so genanntes speculative nature writing inszeniert der Autor die Sehnsucht nach Verbundenheit mit der extrasolaren Natur nach der ökologischen Katastrophe auf der Erde. Ein solcher Sehnsuchtsort wird nun ein Planet außerhalb unseres Sonnensystems, zu dem die Astronauten mit ihrem Raumschiff, gesteuert von einer Künstlichen Intelligenz, jahrzehntelang unterwegs sind. Als sie aus einem für diese lange Reise nötigen Kälteschlaf aufwachen und sich später einem unbekannten siliziumfressenden Erreger ausgesetzt sehen, müssen sie das KI-System herunterfahren und schlagartig wieder eigenverantwortlich handeln.

Wenn ich es mir recht überlege, dann wären Sylvia Schmieders seltsames Waldmännchen Saling und Erik Wunderlichs mutige Astronauten ideale Teilnehmende am Projekt wikiCLIMATEchange, da sie quasi am eigenen Leib diverse Veränderungen im natürlichen Setting ihres Daseins erleben und intensiv reflektieren. In beiden Fällen trägt diese Reflexion zur Veränderung ihres Handelns bei: So passt Saling sich durch Verwandlung an seine neue Umgebung. Auf der Basis genauer Beobachtung kann es die Gestalt anderer Lebewesen annehmen, was ihm hilft, den Weg zurück in die unberührte Natur zu schaffen. In Erik Wunderlichs *Unearthing* ist diese auf Reflexion basierte Anpassung des Verhaltens komplexer, weil der Bezugspunkt „Mensch“, der in Schmieders *Saling* noch vorhanden ist, hier von einer Künstlichen Intelligenz, welche den extrasolaren Flug steuert, übernommen wird. Als die beiden Astronauten aus einem für diese lange Reise nötigen Kälteschlaf aufwachen und sich beim Anflug auf den einem unbekannten Erreger ausgesetzt sehen, müssen sie das KI-System herunterfahren und schlagartig wieder eigenverantwortlich handeln. Als sie auf dem Planeten, den sie ursprünglich für die zurückgelassene Menschheit „erobern“ wollten, ankommen, entwickeln Beide echte Begeisterung und Empathie für die fremden Lebensformen — ihre ursprüngliche Liebe zur Natur auf der Erde projizieren sie nun auf ihre extrasolare Wahlheimat. Im Nature Writing erscheint also die Anpassung an die sich verändernden Lebensbedingungen als grundlegend existenziell.

=== 4. Nature Writing im digitalen Raum - ein Widerspruch in sich? ===

Aber warum scheint diese Wirkung bei den meisten Menschen, die ich in meinen Workshops zum Schreiben für WikiCLIMATEchange erlebe, nicht einzutreten? Sie machen zwar mit, aber oft, so meine Befürchtung, um mir als Workshop-Leiter einen Gefallen zu tun. Liegt das an den digitalen Medien, mit denen wir im Workshop schreiben? Vielleicht auch am Ort der Workshops? Oft sind das sterile Seminarräume an der Hochschule. Vielleicht würden die Teilnehmenden etwas ganz anderes und vor allem mit viel mehr Motivation schreiben, wenn wir, mit Heft und Stift ausgestattet, draußen unterwegs wären: in den Straßen und Parks der Stadt, entlang des Flusses oder mitten im Wald. In den Tagebüchern Henry David Thoreaus erfährt man, wie er oft seine Gedanken und Texte entwickelt hat: wandernd über Berge und Täler, schlendernd durch Parks in der Stadt, auf Baumstümpfen sitzend, ausgestreckt im Gras…

Zum Ende dieses Textes möchte ich verraten wie dieser entstanden ist. Erste Ideen dazu sind mir beim Joggen gekommen, einige Stichworte habe ich nach dem Duschen auf dem Balkon, mit Blick auf die Rebberge aufgeschrieben. Den Rest habe ich zwei Tage später beim Gehen durch den Wald ins Handy gesprochen. Die von der KI verschriftlichte Fassung habe ich brav am Schreibtisch in meinem Büro überarbeitet. Dabei bin ich nicht nur wegen der aktuellen Hitzewelle arg ins Schwitzen gekommen. Plötzlich hatte ich nämlich das Bedürfnis, noch einen ganz anderen Text für das wikiCLIMATEchange zu schreiben: und zwar über drastische Veränderungen in meiner Lebensumgebung, die mich seit einiger Zeit immer mehr beunruhigen und mir den Schlaf rauben.

Wahrscheinlich, weil ich noch nicht weiß, wie ich mich an diese neuen Gegebenheiten anpassen soll, um zufrieden weiterzuleben.

----

[[Kurs:WikiCLIMATEchange/Sachtexte|← Zurück zu Sachtexte]]

[[Kategorie:Kurs]]</text>
      <sha1>nwsb31veihd7yy7uxjlgbrjm6mmwm2q</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Orbitdarstellung von Polynomen</title>
    <ns>0</ns>
    <id>173035</id>
    <redirect title="Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra" />
    <revision>
      <id>1115942</id>
      <timestamp>2026-10-13T08:02:02Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bert Niehaus</username>
        <id>20843</id>
      </contributor>
      <comment>Weiterleitung nach [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra#Orbitsdarstellung]] erstellt</comment>
      <origin>1115942</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="90" sha1="sufvesiagc1va1vf48n8b437mu9eucl" xml:space="preserve">#REDIRECT[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra#Orbitsdarstellung]]</text>
      <sha1>sufvesiagc1va1vf48n8b437mu9eucl</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Teambildung</title>
    <ns>106</ns>
    <id>173036</id>
    <revision>
      <id>1115955</id>
      <timestamp>2026-10-13T09:11:25Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Paul Sutermeister</username>
        <id>37610</id>
      </contributor>
      <comment>Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt.</comment>
      <origin>1115955</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="1299" sha1="7g0l0zvmnhd14s9pgwnorz77m011p3f" xml:space="preserve">&lt;quiz display=&quot;simple&quot;&gt;
{ [[:w:Teambildung#Phasenmodell_nach_Tuckman|Wie entwickelt sich ein Team?]] Ordne zu:
| typ=&quot;[]&quot; }
| Forming | Storming | Norming | Performing
--+- Kontrakt
+--- Kontakt
---+ Kooperation
-+-- Konflikt
&lt;/quiz&gt;

&lt;quiz display=&quot;simple&quot;&gt;
{ Wie entwickelt sich ein Team?
| type=&quot;{}&quot; }
Beim { Performing } arbeitet das Team effektiv und produktiv zusammen. Die Mitglieder haben ihre Rollen gefunden, kommunizieren gut miteinander und arbeiten gemeinsam an der Erreichung der Teamziele.
Beim { Norming } beginnen die Teammitglieder, sich auf gemeinsame Ziele und Arbeitsweisen zu einigen. Es werden Normen und Regeln für die Zusammenarbeit entwickelt, und Konflikte werden oft gelöst oder zumindest besser verwaltet.
Beim { Storming } können Konflikte und Meinungsverschiedenheiten auftreten, da Teammitglieder ihre unterschiedlichen Ansichten und Persönlichkeiten besser verstehen. Es kann zu Machtkämpfen und Unsicherheiten kommen, während das Team versucht, sich zu organisieren.
Beim { Forming } kommen die Teammitglieder erstmals zusammen. Sie sind in der Regel höflich, hören einander zu und versuchen, sich kennenzulernen. Die Rollen und Verantwortlichkeiten im Team sind oft noch nicht klar definiert.
&lt;/quiz&gt;

[[Kategorie:Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)]]</text>
      <sha1>7g0l0zvmnhd14s9pgwnorz77m011p3f</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2026-2027)/Teil I/Rechengesetze/Publikumsbeiträge/Textabschnitt</title>
    <ns>0</ns>
    <id>173037</id>
    <revision>
      <id>1115960</id>
      <timestamp>2026-10-13T10:17:10Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <comment>Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt.</comment>
      <origin>1115960</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="2139" sha1="bqfhlawt716axfkj66zey53ertl5aig" xml:space="preserve">{{
Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}}
|Inhalt=
Als Rechengesetze wurden genannt (nicht unbedingt in dieser Reihenfolge):
{{
Auflistung11
|Das Kommutativgesetz, und zwar für die Addition und die Multiplikation. Also die Identitäten
{{
Relationskette
|a+b
||b+a
||
||
||
|SZ=
}}
und
{{
Relationskette
|a \cdot b
||b \cdot a
||
||
||
|SZ=
}}
{{
Zusatz/Klammer
|text=hier und im Folgenden für beliebige
{{
Relationskette
| a,b
| \in | \N
||
||
||
|SZ=
}}
|
|ISZ=|ESZ=.
}}
|Das Assoziativgesetz, ebenfalls für diese beiden Verknüpfungen, also
{{
Relationskette
| (a+b )+c
|| a+ (b +c)
||
||
||
|SZ=
}}
und
{{
Relationskette
| (a \cdot b) \cdot c
|| a \cdot ( b \cdot c)
||
||
||
|SZ=.
}}
|Das Distributivgesetz, also die Beziehung
{{
Relationskette/display
|c \cdot (a+b)
|| c \cdot a + c \cdot b
||
||
||
|SZ=.
}}
Auf der rechten Seite verwenden wir die Konvention Punktrechnung vor Strichrechnung, um Klammern zu sparen
{{
Zusatz/Klammer
|text=Vorrangregel|
|ISZ=|ESZ=.
}}
|Die binomischen Formeln, siehe unten.
|{{
Relationskette/display
| 0 +a
|| a
||
||
||
|SZ=,
}}
d.h. {{math|term= 0|SZ=}} ist das neutrale Element der Addition.
|{{
Relationskette/display
| 1 \cdot a
||a
||
||
||
|SZ=,
}}
d.h. {{math|term= 1|SZ=}} ist das neutrale Element der Multiplikation.
|{{
Relationskette/display
| 0 \cdot a
|| 0
||
||
||
|SZ=.
}}
|Die Potenzgesetze, also
{{
Relationskette/display
| a^na^m
|| a^{n+m}
|| 
|| 
|| 
|SZ=,
}}
|{{
Relationskette/display
| a^nb^n
|| (ab)^n
|| 
|| 
|| 
|SZ=,
}}
|{{
Relationskette/display
| (a^b)^c
|| a^{bc}
|| 
|| 
|| 
|SZ=,
}}
wobei gleichzeitig bemerkt wurde, dass dies nicht gleich {{mathl|term= a^{(b^c)} |SZ=}} ist, es gilt also kein Assoziativgesetz für das Potenzieren
{{
Zusatz/Klammer
|text=beispielsweise ist
{{
Relationskette
| (3^3)^3
|| 3^9
|| 
|| 
|| 
|SZ=,
}}
aber
{{
Relationskette
| 3^{(3^3)}
|| 3^{27}
|| 
|| 
|| 
|SZ=
}}|
|ISZ=|ESZ=.
}}
Es gilt auch kein Kommutativegesetz.
|{{
Relationskette
| a^0
|| 1
|| 
|| 
|| 
|SZ=.
}}
}}
|Textart=Textabschnitt
|Kategorie=Theorie der natürlichen Zahlen
|Kategorie2=
|Kategorie3=
|Objektkategorie=
|Stichwort=
|Autor=
|Bearbeitungsstand=
|pdf=
}}</text>
      <sha1>bqfhlawt716axfkj66zey53ertl5aig</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>1115961</id>
      <parentid>1115960</parentid>
      <timestamp>2026-10-13T10:20:00Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <origin>1115961</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="2302" sha1="ptnqq94fh8ltxy4peq148d1y0a793g5" xml:space="preserve">{{
Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}}
|Inhalt=
Als Rechengesetze wurden genannt (nicht unbedingt in dieser Reihenfolge):
{{
Auflistung11
|Das Kommutativgesetz, und zwar für die Addition und die Multiplikation. Also die Identitäten
{{
Relationskette
|a+b
||b+a
||
||
||
|SZ=
}}
und
{{
Relationskette
|a \cdot b
||b \cdot a
||
||
||
|SZ=
}}
{{
Zusatz/Klammer
|text=hier und im Folgenden für beliebige
{{
Relationskette
| a,b
| \in | \N
||
||
||
|SZ=.
}}
Aus der allgemeinen Buchstabengleichung wird also, wenn man die Buchstaben durch beliebige Zahlen ersetzt, eine Gleichung von Zahlen|ISZ=|ESZ=.
}}
|Das Assoziativgesetz, ebenfalls für diese beiden Verknüpfungen, also
{{
Relationskette
| (a+b )+c
|| a+ (b +c)
||
||
||
|SZ=
}}
und
{{
Relationskette
| (a \cdot b) \cdot c
|| a \cdot ( b \cdot c)
||
||
||
|SZ=.
}}
|Das Distributivgesetz, also die Beziehung
{{
Relationskette/display
|c \cdot (a+b)
|| c \cdot a + c \cdot b
||
||
||
|SZ=.
}}
Auf der rechten Seite verwenden wir die Konvention Punktrechnung vor Strichrechnung, um Klammern zu sparen
{{
Zusatz/Klammer
|text=Vorrangregel|
|ISZ=|ESZ=.
}}
|Die binomischen Formeln, siehe unten.
|{{
Relationskette/display
| 0 +a
|| a
||
||
||
|SZ=,
}}
d.h. {{math|term= 0|SZ=}} ist das neutrale Element der Addition.
|{{
Relationskette/display
| 1 \cdot a
||a
||
||
||
|SZ=,
}}
d.h. {{math|term= 1|SZ=}} ist das neutrale Element der Multiplikation.
|{{
Relationskette/display
| 0 \cdot a
|| 0
||
||
||
|SZ=,
}}
das nennt man Annullationsregel.
|Die Potenzgesetze, also
{{
Relationskette/display
| a^na^m
|| a^{n+m}
|| 
|| 
|| 
|SZ=,
}}
|{{
Relationskette/display
| a^nb^n
|| (ab)^n
|| 
|| 
|| 
|SZ=,
}}
|{{
Relationskette/display
| (a^b)^c
|| a^{bc}
|| 
|| 
|| 
|SZ=,
}}
wobei gleichzeitig bemerkt wurde, dass dies nicht gleich {{mathl|term= a^{(b^c)} |SZ=}} ist, es gilt also kein Assoziativgesetz für das Potenzieren
{{
Zusatz/Klammer
|text=beispielsweise ist
{{
Relationskette
| (3^3)^3
|| 3^9
|| 
|| 
|| 
|SZ=,
}}
aber
{{
Relationskette
| 3^{(3^3)}
|| 3^{27}
|| 
|| 
|| 
|SZ=
}}|
|ISZ=|ESZ=.
}}
Es gilt auch kein Kommutativgesetz.
|{{
Relationskette
| a^0
|| 1
|| 
|| 
|| 
|SZ=.
}}
}}
|Textart=Textabschnitt
|Kategorie=Theorie der natürlichen Zahlen
|Kategorie2=
|Kategorie3=
|Objektkategorie=
|Stichwort=
|Autor=
|Bearbeitungsstand=
|pdf=
}}</text>
      <sha1>ptnqq94fh8ltxy4peq148d1y0a793g5</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>1115962</id>
      <parentid>1115961</parentid>
      <timestamp>2026-10-13T10:22:01Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <origin>1115962</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="2468" sha1="dbb340xtf0u0o5ttknsvanrowdizmed" xml:space="preserve">{{
Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}}
|Inhalt=
Als Rechengesetze wurden genannt (nicht unbedingt in dieser Reihenfolge):
{{
Auflistung11
|Das Kommutativgesetz, und zwar für die Addition und die Multiplikation. Also die Identitäten
{{
Relationskette
|a+b
||b+a
||
||
||
|SZ=
}}
und
{{
Relationskette
|a \cdot b
||b \cdot a
||
||
||
|SZ=
}}
{{
Zusatz/Klammer
|text=hier und im Folgenden für beliebige
{{
Relationskette
| a,b
| \in | \N
||
||
||
|SZ=.
}}
Aus der allgemeinen Buchstabengleichung wird also, wenn man die Buchstaben durch beliebige Zahlen ersetzt, eine Gleichung von Zahlen|ISZ=|ESZ=.
}}
|Das Assoziativgesetz, ebenfalls für diese beiden Verknüpfungen, also
{{
Relationskette
| (a+b )+c
|| a+ (b +c)
||
||
||
|SZ=
}}
und
{{
Relationskette
| (a \cdot b) \cdot c
|| a \cdot ( b \cdot c)
||
||
||
|SZ=.
}}
|Das Distributivgesetz, also die Beziehung
{{
Relationskette/display
|c \cdot (a+b)
|| c \cdot a + c \cdot b
||
||
||
|SZ=.
}}
Auf der rechten Seite verwenden wir die Konvention Punktrechnung vor Strichrechnung, um Klammern zu sparen
{{
Zusatz/Klammer
|text=Vorrangregel|
|ISZ=|ESZ=.
}}
|Die binomischen Formeln, siehe unten.
|{{
Relationskette/display
| 0 +a
|| a
||
||
||
|SZ=,
}}
d.h. {{math|term= 0|SZ=}} ist das neutrale Element der Addition. Anders als bei den Regeln zuvor tritt hier eine Regel auf, die eine besondere Eigenschaft einer besonderen Zahl ausdrückt, nämlich hier der {{math|term= 0 |SZ=.}} 
|{{
Relationskette/display
| 1 \cdot a
||a
||
||
||
|SZ=,
}}
d.h. {{math|term= 1|SZ=}} ist das neutrale Element der Multiplikation.
|{{
Relationskette/display
| 0 \cdot a
|| 0
||
||
||
|SZ=,
}}
das nennt man Annullationsregel.
|Die Potenzgesetze, also
{{
Relationskette/display
| a^na^m
|| a^{n+m}
|| 
|| 
|| 
|SZ=,
}}
|{{
Relationskette/display
| a^nb^n
|| (ab)^n
|| 
|| 
|| 
|SZ=,
}}
|{{
Relationskette/display
| (a^b)^c
|| a^{bc}
|| 
|| 
|| 
|SZ=,
}}
wobei gleichzeitig bemerkt wurde, dass dies nicht gleich {{mathl|term= a^{(b^c)} |SZ=}} ist, es gilt also kein Assoziativgesetz für das Potenzieren
{{
Zusatz/Klammer
|text=beispielsweise ist
{{
Relationskette
| (3^3)^3
|| 3^9
|| 
|| 
|| 
|SZ=,
}}
aber
{{
Relationskette
| 3^{(3^3)}
|| 3^{27}
|| 
|| 
|| 
|SZ=
}}|
|ISZ=|ESZ=.
}}
Es gilt auch kein Kommutativgesetz.
|{{
Relationskette
| a^0
|| 1
|| 
|| 
|| 
|SZ=.
}}
}}
|Textart=Textabschnitt
|Kategorie=Theorie der natürlichen Zahlen
|Kategorie2=
|Kategorie3=
|Objektkategorie=
|Stichwort=
|Autor=
|Bearbeitungsstand=
|pdf=
}}</text>
      <sha1>dbb340xtf0u0o5ttknsvanrowdizmed</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>1115963</id>
      <parentid>1115962</parentid>
      <timestamp>2026-10-13T10:28:10Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <origin>1115963</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="2528" sha1="6xmi55c8dlu9fnyltep7pbyozj9k3wm" xml:space="preserve">{{
Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}}
|Inhalt=
Als Rechengesetze wurden genannt (nicht unbedingt in dieser Reihenfolge):
{{
Auflistung10
|Das Kommutativgesetz, und zwar für die Addition und die Multiplikation. Also die Identitäten
{{
Relationskette
|a+b
||b+a
||
||
||
|SZ=
}}
und
{{
Relationskette
|a \cdot b
||b \cdot a
||
||
||
|SZ=
}}
{{
Zusatz/Klammer
|text=hier und im Folgenden für beliebige
{{
Relationskette
| a,b
| \in | \N
||
||
||
|SZ=.
}}
Aus der allgemeinen Buchstabengleichung wird also, wenn man die Buchstaben durch beliebige Zahlen ersetzt, eine Gleichung von Zahlen|ISZ=|ESZ=.
}}
|Das Assoziativgesetz, ebenfalls für diese beiden Verknüpfungen, also
{{
Relationskette
| (a+b )+c
|| a+ (b +c)
||
||
||
|SZ=
}}
und
{{
Relationskette
| (a \cdot b) \cdot c
|| a \cdot ( b \cdot c)
||
||
||
|SZ=.
}}
|Das Distributivgesetz, also die Beziehung
{{
Relationskette/display
|c \cdot (a+b)
|| c \cdot a + c \cdot b
||
||
||
|SZ=.
}}
Auf der rechten Seite verwenden wir die Konvention Punktrechnung vor Strichrechnung, um Klammern zu sparen
{{
Zusatz/Klammer
|text=Vorrangregel|
|ISZ=|ESZ=.
}}
|Die binomischen Formeln, siehe unten.
|{{
Relationskette/display
| 0 +a
|| a
||
||
||
|SZ=,
}}
d.h. {{math|term= 0|SZ=}} ist das neutrale Element der Addition. Anders als bei den Regeln zuvor tritt hier eine Regel auf, die eine besondere Eigenschaft einer besonderen Zahl ausdrückt, nämlich hier der {{math|term= 0 |SZ=.}} 
|{{
Relationskette/display
| 1 \cdot a
||a
||
||
||
|SZ=,
}}
d.h. {{math|term= 1|SZ=}} ist das neutrale Element der Multiplikation.
|{{
Relationskette/display
| 0 \cdot a
|| 0
||
||
||
|SZ=,
}}
das nennt man Annullationsregel.
|Die Potenzgesetze, also
{{
Relationskette/display
| a^na^m
|| a^{n+m}
|| 
|| 
|| 
|SZ=.
}}
Dies ist auch der Grund, warum
{{
Relationskette
| a^0
|| 1
|| 
|| 
|| 
|SZ=
}}
eine sinnvolle Festlegung ist.
|{{
Relationskette/display
| a^nb^n
|| (ab)^n
|| 
|| 
|| 
|SZ=,
}}
|{{
Relationskette/display
| (a^b)^c
|| a^{bc}
|| 
|| 
|| 
|SZ=,
}}
wobei gleichzeitig bemerkt wurde, dass dies nicht gleich {{mathl|term= a^{(b^c)} |SZ=}} ist, es gilt also kein Assoziativgesetz für das Potenzieren
{{
Zusatz/Klammer
|text=beispielsweise ist
{{
Relationskette
| (3^3)^3
|| 3^9
|| 
|| 
|| 
|SZ=,
}}
aber
{{
Relationskette
| 3^{(3^3)}
|| 3^{27}
|| 
|| 
|| 
|SZ=
}}|
|ISZ=|ESZ=.
}}
Es gilt auch kein Kommutativgesetz.
}}
|Textart=Textabschnitt
|Kategorie=Theorie der natürlichen Zahlen
|Kategorie2=
|Kategorie3=
|Objektkategorie=
|Stichwort=
|Autor=
|Bearbeitungsstand=
|pdf=
}}</text>
      <sha1>6xmi55c8dlu9fnyltep7pbyozj9k3wm</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Benutzer:Paul Sutermeister/Team</title>
    <ns>2</ns>
    <id>173038</id>
    <redirect title="Benutzer:Paul Sutermeister/Gespräch" />
    <revision>
      <id>1115974</id>
      <timestamp>2026-10-13T11:52:36Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Paul Sutermeister</username>
        <id>37610</id>
      </contributor>
      <comment>Paul Sutermeister verschob die Seite [[Benutzer:Paul Sutermeister/Team]] nach [[Benutzer:Paul Sutermeister/Gespräch]]: Teile &quot;Teamphasen&quot; und &quot;Konflikt&quot; ausgelagert, jetzt nur noch &quot;Gespräch&quot;</comment>
      <origin>1115974</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="55" sha1="o2knn20pr91iu0dtgtd3bjrsi4vnmma" xml:space="preserve">#WEITERLEITUNG [[Benutzer:Paul Sutermeister/Gespräch]]</text>
      <sha1>o2knn20pr91iu0dtgtd3bjrsi4vnmma</sha1>
    </revision>
  </page>
</mediawiki>