Vorlage:Mottomitauflistung

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Klausur19
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|Zweite Binomische Formel/Z nach Q/Aufgabe|p|||
|Dritte binomische Formel/Illustriere geometrisch/Aufgabe|p|||
|20-Cent/Darstellung mit Münzen/Anzahl/Aufgabe|p|||
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|Frühe Vogel/Späte Igel/Aufgabe|p|||
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|Aussagenlogik/Finde Ausdruck für Wahrheitsfunktion/ffwf/Aufgabe|p|||
|Kein Schwein ruft mich an/Negation/Aufgabe|p|||
|Topf/Deckel/Prädikatenlogisch/Aufgabe|p|||
|Mengentheorie/Einfaches Mengengesetz/1/Aufgabe|p|||
|Abbildung/Hintereinanderschaltung/Injektiv/Fakt/Beweis/Aufgabe|p|||
|Endliche Permutation/Zykellänge/Elemente/Aufgabe|p|||
|Abbildung/N und Z/Injektiv und surjektiv/Aufgabe|p+|||
|Endliche Mengen/Anzahl/Wohldefiniert/Fakt/Beweis/Aufgabe|p|||
|Natürliche Zahlen/Aufaddieren/Induktion/Aufgabe|p|||
|Induktion/6^(n+2)+7^(2n+1) teilbar durch 43/Aufgabe|p|||
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Klausur19
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Klausur19
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|Hörsaal/Tafelgestell/Reihenfolgen/Aufgabe|p|||
|Cocktailmixer/Anzahl/Aufgabe|p|||
|Räuberbande/Schatztruhe/Aufgabe|p|||
|Primzahlen/Unendlich viele/Fakt/Beweis/Aufgabe|p+|||
|Division mit Rest/Rechenbeispiel/2/Aufgabe|p|||
|Schriftliches Addieren/Dreiersystem/1/Aufgabe|p|||
|Zehnersystem/Schriftliches Addieren/Korrekt/Fakt/Beweis/Aufgabe|p|||
|Buchstabenkombination/Ersetzung/2/Aufgabe|p|||
|Term/Einsetzen/4/Aufgabe|p|||
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|Ganze Zahlen/Nullteilerfrei/Aufgabe|p|||
|Ganze Zahlen/25n^2-17/n ungerade/Vielfaches von 8/Aufgabe|p|||
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Klausur19
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*[[Kurs:Grundkurs Mathematik_(Osnabrück_2018-2019)/Teil_I/Definitionsabfrage|Definitionsabfrage]]
*[[Kurs:Grundkurs Mathematik_(Osnabrück_2018-2019)/Teil_I/Liste der Hauptsätze|Wichtigste Aussagen]]
*[[Kurs:Grundkurs Mathematik_(Osnabrück_2018-2019)/Teil_I/Liste der Hauptsätze/Zufallsabfrage|Aussagen (Abfrage)]]
*[[Mathematik/Hilfsmittel/Griechisches Alphabet|Griechisches Alphabet]]
*[[Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2018-2019)/Teil I/Reflexionsaufgaben|Reflexionsaufgaben]]
*[[Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/Klausuren|Beispielklausuren]]
*[[Benutzer:Bocardodarapti/Klausurbewertung/Linear|Klausurbewertung]]

&lt;noinclude&gt;[[Kategorie:Kurs:Grundkurs Mathematik_(Osnabrück_2018-2019)/Teil_I/Hilfsstruktur]]&lt;/noinclude&gt;</text>
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== Einleitung ==
Holomorphie einer Funktion &lt;math&gt;f\colon U \to \mathbb{C}&lt;/math&gt;  in einem Punkt &lt;math&gt;z_0\in U&lt;/math&gt; ist eine Umgebungseigenschaft von &lt;math&gt;z_0&lt;/math&gt;. Dazu gibt es in der komplexen Analysis zahlreiche Kriterien, mit denen man die Holomorphie überprüfen kann. 
Im Folgenden sei &lt;math&gt;U \subseteq \mathbb{C}&lt;/math&gt; ein [[w:de:Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] als Teilmenge der komplexen Ebene und &lt;math&gt;z_0\in U&lt;/math&gt; ein Punkt dieser Teilmenge. 

=== Animation - Veranschaulichung der Abbildung ===
Die Animation zeigt für die Funktion &lt;math&gt;f(z)=\frac{1}{z}&lt;/math&gt;. Für die Animation werden die Punkte &lt;math&gt;z&lt;/math&gt; in blauer Farbe und der zugehörige Bildpunkt &lt;math&gt;f(z)&lt;/math&gt; in roter Farbe dargestellt. Der Punkt &lt;math&gt;z&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;f(z)&lt;/math&gt; werden dabei in &lt;math&gt;\mathbb{C}\widetilde{=}\mathbb{R}^2&lt;/math&gt; dargestellt. Die &lt;math&gt;y&lt;/math&gt;-Achse repräsentiert den Imaginärteil einer komplexen Zahl &lt;math&gt;z&lt;/math&gt; bzw. &lt;math&gt;f(z)&lt;/math&gt;. Der blaue Punkt &lt;math&gt;z&lt;/math&gt; bewegt sich auf dem Weg &lt;math&gt;\gamma(t):=t\cdot (cos(t)+ i\cdot \sin(t)) &lt;/math&gt; 

[[File:Mapping f z equal 1 over z.gif|400px|zentriert|Animation]]

=== Komplexe Differenzierbarkeit ===
Eine Funktion &lt;math&gt;f\colon U \to \mathbb{C}&lt;/math&gt; heißt '''komplex differenzierbar''' im Punkt &lt;math&gt;z_0&lt;/math&gt;, falls der [[w:de:Grenzwert (Funktion)|Grenzwert]]
:&lt;math&gt;\lim_{h \to 0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}&lt;/math&gt;
mit &lt;math&gt;h\in\mathbb{C}&lt;/math&gt; existiert. Man bezeichnet ihn dann als &lt;math&gt;f'(z_0)&lt;/math&gt;.

=== Holomorphie ===
Die Funktion &lt;math&gt;f\colon U \to \mathbb{C}&lt;/math&gt; heißt '''holomorph im Punkt &lt;math&gt;z_0&lt;/math&gt;,''' falls eine [[w:de:Umgebung (Mathematik)|Umgebung]] &lt;math&gt;U_0 \subseteq U&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;z_0&lt;/math&gt; existiert, in der &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; komplex differenzierbar ist. Ist &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; auf ganz &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; holomorph, so nennt man &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; holomorph. Ist weiter &lt;math&gt;U=\mathbb{C}&lt;/math&gt;, so nennt man &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; eine ''[[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]].''

==Holomorphiekriterien==
Sei &lt;math&gt;f:G\to\mathbb{C}&lt;/math&gt; eine Funktion &lt;math&gt;G\subseteq \mathbb{C}&lt;/math&gt; Gebiet, dann sind folgende Eigenschaften der komplexwertigen Funktionen &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; äquivalent:

=== H1 - 1x komplex differenzierbar ===
Die Funktion &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; ist einmal komplex differenzierbar auf &lt;math&gt;G&lt;/math&gt;.

=== H2 - beliebig oft komplex differenzierbar ===
Die Funktion &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; ist beliebig oft komplex differenzierbar auf &lt;math&gt;G&lt;/math&gt;.

=== H3 - Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen ===
Real- &lt;math&gt;f_1&lt;/math&gt; und Imaginärteilfunktion &lt;math&gt;f_2&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;f=f_1+i\cdot f_2&lt;/math&gt; erfüllen die [[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen|Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]] und &lt;math&gt;f_1, f_2&lt;/math&gt; sind zumindest einmal stetig reell-differenzierbar auf &lt;math&gt;G&lt;/math&gt;.

=== H4 - Cauchy-Riemann-Operator ===
&lt;math&gt;f&lt;/math&gt; ist reell differenzierbar und es gilt&lt;br /&gt;&lt;math&gt;\quad\frac{\partial f}{\partial \bar z}=0,&lt;/math&gt;&lt;br /&gt;wobei &lt;math&gt;\tfrac{\partial}{\partial \bar z}&lt;/math&gt; der [[w:Cauchy-Riemann-Operator|Cauchy-Riemann-Operator]] ist, der durch &lt;math&gt;\tfrac\partial{\partial\bar z} := \tfrac12\left(\tfrac\partial{\partial x}+i\tfrac\partial{\partial y}\right)&lt;/math&gt; definiert ist.

=== H5 - Wegintegrale 0 ===
Ist &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; einfach zusammenhängend, ist das folgende Bedingung ebenfalls ein Holomorphiekriterium.
: Die Funktion &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; ist stetig und das [[w:Kurvenintegral|Wegintegral]] der Funktion über jeden beliebigen geschlossenen [[w:de:Homotopie|zusammenziehbaren]] Weg verschwindet.

=== H6 - Cauchysche Integralformel ===
Die Funktionswerte im Inneren einer [[w:Kreisscheibe|Kreisscheibe]] lassen sich aus den Funktionswerten am Rand mit Hilfe der [[w:Cauchysche Integralformel|cauchyschen Integralformel]] ermitteln.

=== H7 - Lokal in Potenzreihen entwickelbar ===
Die Funktion &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{C}&lt;/math&gt;  lässt sich lokal auf Kreisscheiben &lt;math&gt;U:=D_r(z_0)&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}\subset G &lt;/math&gt; in eine komplexe [[w:Potenzreihe|Potenzreihe]] entwickeln.

&lt;span id=&quot;StammfunktionOrdnung&quot;&gt;&lt;/span&gt;
=== H8 - Lokale Stammfunktionen ===
Die Funktion &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; besitzt lokal auf Kreisscheiben &lt;math&gt;U:=D_r(z_0)&lt;/math&gt; eine Stammfunktion mit &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}\subset G &lt;/math&gt;.

&lt;span id=&quot;LokaleStammfunktionOrdnung&quot;&gt;&lt;/span&gt;
=== H9 - Lokale Stammfunktionen beliebig hoher Ordnung ===
Die Funktion &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; besitzt lokal auf Kreisscheiben &lt;math&gt;U:=D_r(z_0)&lt;/math&gt; mit  &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}\subset G &lt;/math&gt; [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Stammfunktionen]] &lt;math&gt;F_{(k)}&lt;/math&gt; [[Stammfunktionen höherer Ordnung|mit beliebig hoher Ordung]] &lt;math&gt;k\in\mathbb{N}&lt;/math&gt;.

== Aufgaben == 
* Seinen &lt;math&gt;a,z_o \in \mathbb{C}&lt;/math&gt; beliebig gewählt, es gelte &lt;math&gt;a \ne z_o&lt;/math&gt;. Entwickeln Sie nun den Funktion  &lt;math&gt;f(z):=\frac{1}{z-a}&lt;/math&gt; für &lt;math&gt;z\in\mathbb{C}\setminus \{a\}&lt;/math&gt; in eine Potenzreihe um &lt;math&gt;z_o \in \mathbb{C}&lt;/math&gt; und zeigen Sie, dass folgende Aussage gilt:
:&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;f(z)=\frac{1}{z-a} = \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} -\frac{1}{(a-z_o)^{n+1}} \cdot (z-z_o)^n&lt;/math&gt; 
* Berechnen Sie den Konvergenzradius der Potenzreihe! Erläutern Sie, warum der [[Komplexe Potenzreihe/Konvergenzradius/Definition|Konvergenzradius]] in der berechneten Weise von &lt;math&gt;a,z_o \in \mathbb{C}&lt;/math&gt; abhängt und nicht größer sein kann!
* Dass aus der einmaligen Differenzierbarkeit der holomorphen Funktion &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; auch folgt, dass &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; unendlich oft differenzierbar ist, gilt in der reellen Analysis nicht. Betrachten Sie die auf ganz &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; definierte Funktion &lt;math&gt;g(x):= x \cdot |x|&lt;/math&gt;.
* Erläutern Sie, mit welchen zentralen Satz der Funktionentheorie aus dem Kriterium 1 das Kriterium 2 folgt!

== Siehe auch ==
* [[Holomorphie]]
* [[Kurs:Funktionentheorie]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Quiz]]

== Quellen ==
&lt;noinclude&gt;[[en:Holomorphic function/Criteria]]&lt;/noinclude&gt;</text>
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      <comment>/* Animation - Veranschaulichung der Abbildung */</comment>
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== Einleitung ==
Holomorphie einer Funktion &lt;math&gt;f\colon U \to \mathbb{C}&lt;/math&gt;  in einem Punkt &lt;math&gt;z_0\in U&lt;/math&gt; ist eine Umgebungseigenschaft von &lt;math&gt;z_0&lt;/math&gt;. Dazu gibt es in der komplexen Analysis zahlreiche Kriterien, mit denen man die Holomorphie überprüfen kann. 
Im Folgenden sei &lt;math&gt;U \subseteq \mathbb{C}&lt;/math&gt; ein [[w:de:Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] als Teilmenge der komplexen Ebene und &lt;math&gt;z_0\in U&lt;/math&gt; ein Punkt dieser Teilmenge. 

=== Animation - Veranschaulichung der Abbildung ===
Die Animation zeigt für die Funktion &lt;math&gt;f(z)=\frac{1}{z}&lt;/math&gt;. Für die Animation werden die Punkte &lt;math&gt;z&lt;/math&gt; in blauer Farbe und der zugehörige Bildpunkt &lt;math&gt;f(z)&lt;/math&gt; in roter Farbe dargestellt. Der Punkt &lt;math&gt;z&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;f(z)&lt;/math&gt; werden dabei in &lt;math&gt;\mathbb{C}\widetilde{=}\mathbb{R}^2&lt;/math&gt; dargestellt. Die &lt;math&gt;y&lt;/math&gt;-Achse repräsentiert den Imaginärteil einer komplexen Zahl &lt;math&gt;z&lt;/math&gt; bzw. &lt;math&gt;f(z)&lt;/math&gt;. Der blaue Punkt &lt;math&gt;z&lt;/math&gt; bewegt sich auf dem Weg &lt;math&gt;\gamma(t):=t\cdot (\cos(t)+ i\cdot \sin(t)) &lt;/math&gt; 

[[File:Mapping f z equal 1 over z.gif|400px|zentriert|Animation]]

=== Komplexe Differenzierbarkeit ===
Eine Funktion &lt;math&gt;f\colon U \to \mathbb{C}&lt;/math&gt; heißt '''komplex differenzierbar''' im Punkt &lt;math&gt;z_0&lt;/math&gt;, falls der [[w:de:Grenzwert (Funktion)|Grenzwert]]
:&lt;math&gt;\lim_{h \to 0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}&lt;/math&gt;
mit &lt;math&gt;h\in\mathbb{C}&lt;/math&gt; existiert. Man bezeichnet ihn dann als &lt;math&gt;f'(z_0)&lt;/math&gt;.

=== Holomorphie ===
Die Funktion &lt;math&gt;f\colon U \to \mathbb{C}&lt;/math&gt; heißt '''holomorph im Punkt &lt;math&gt;z_0&lt;/math&gt;,''' falls eine [[w:de:Umgebung (Mathematik)|Umgebung]] &lt;math&gt;U_0 \subseteq U&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;z_0&lt;/math&gt; existiert, in der &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; komplex differenzierbar ist. Ist &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; auf ganz &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; holomorph, so nennt man &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; holomorph. Ist weiter &lt;math&gt;U=\mathbb{C}&lt;/math&gt;, so nennt man &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; eine ''[[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]].''

==Holomorphiekriterien==
Sei &lt;math&gt;f:G\to\mathbb{C}&lt;/math&gt; eine Funktion &lt;math&gt;G\subseteq \mathbb{C}&lt;/math&gt; Gebiet, dann sind folgende Eigenschaften der komplexwertigen Funktionen &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; äquivalent:

=== H1 - 1x komplex differenzierbar ===
Die Funktion &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; ist einmal komplex differenzierbar auf &lt;math&gt;G&lt;/math&gt;.

=== H2 - beliebig oft komplex differenzierbar ===
Die Funktion &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; ist beliebig oft komplex differenzierbar auf &lt;math&gt;G&lt;/math&gt;.

=== H3 - Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen ===
Real- &lt;math&gt;f_1&lt;/math&gt; und Imaginärteilfunktion &lt;math&gt;f_2&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;f=f_1+i\cdot f_2&lt;/math&gt; erfüllen die [[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen|Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]] und &lt;math&gt;f_1, f_2&lt;/math&gt; sind zumindest einmal stetig reell-differenzierbar auf &lt;math&gt;G&lt;/math&gt;.

=== H4 - Cauchy-Riemann-Operator ===
&lt;math&gt;f&lt;/math&gt; ist reell differenzierbar und es gilt&lt;br /&gt;&lt;math&gt;\quad\frac{\partial f}{\partial \bar z}=0,&lt;/math&gt;&lt;br /&gt;wobei &lt;math&gt;\tfrac{\partial}{\partial \bar z}&lt;/math&gt; der [[w:Cauchy-Riemann-Operator|Cauchy-Riemann-Operator]] ist, der durch &lt;math&gt;\tfrac\partial{\partial\bar z} := \tfrac12\left(\tfrac\partial{\partial x}+i\tfrac\partial{\partial y}\right)&lt;/math&gt; definiert ist.

=== H5 - Wegintegrale 0 ===
Ist &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; einfach zusammenhängend, ist das folgende Bedingung ebenfalls ein Holomorphiekriterium.
: Die Funktion &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; ist stetig und das [[w:Kurvenintegral|Wegintegral]] der Funktion über jeden beliebigen geschlossenen [[w:de:Homotopie|zusammenziehbaren]] Weg verschwindet.

=== H6 - Cauchysche Integralformel ===
Die Funktionswerte im Inneren einer [[w:Kreisscheibe|Kreisscheibe]] lassen sich aus den Funktionswerten am Rand mit Hilfe der [[w:Cauchysche Integralformel|cauchyschen Integralformel]] ermitteln.

=== H7 - Lokal in Potenzreihen entwickelbar ===
Die Funktion &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{C}&lt;/math&gt;  lässt sich lokal auf Kreisscheiben &lt;math&gt;U:=D_r(z_0)&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}\subset G &lt;/math&gt; in eine komplexe [[w:Potenzreihe|Potenzreihe]] entwickeln.

&lt;span id=&quot;StammfunktionOrdnung&quot;&gt;&lt;/span&gt;
=== H8 - Lokale Stammfunktionen ===
Die Funktion &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; besitzt lokal auf Kreisscheiben &lt;math&gt;U:=D_r(z_0)&lt;/math&gt; eine Stammfunktion mit &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}\subset G &lt;/math&gt;.

&lt;span id=&quot;LokaleStammfunktionOrdnung&quot;&gt;&lt;/span&gt;
=== H9 - Lokale Stammfunktionen beliebig hoher Ordnung ===
Die Funktion &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; besitzt lokal auf Kreisscheiben &lt;math&gt;U:=D_r(z_0)&lt;/math&gt; mit  &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}\subset G &lt;/math&gt; [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Stammfunktionen]] &lt;math&gt;F_{(k)}&lt;/math&gt; [[Stammfunktionen höherer Ordnung|mit beliebig hoher Ordung]] &lt;math&gt;k\in\mathbb{N}&lt;/math&gt;.

== Aufgaben == 
* Seinen &lt;math&gt;a,z_o \in \mathbb{C}&lt;/math&gt; beliebig gewählt, es gelte &lt;math&gt;a \ne z_o&lt;/math&gt;. Entwickeln Sie nun den Funktion  &lt;math&gt;f(z):=\frac{1}{z-a}&lt;/math&gt; für &lt;math&gt;z\in\mathbb{C}\setminus \{a\}&lt;/math&gt; in eine Potenzreihe um &lt;math&gt;z_o \in \mathbb{C}&lt;/math&gt; und zeigen Sie, dass folgende Aussage gilt:
:&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;f(z)=\frac{1}{z-a} = \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} -\frac{1}{(a-z_o)^{n+1}} \cdot (z-z_o)^n&lt;/math&gt; 
* Berechnen Sie den Konvergenzradius der Potenzreihe! Erläutern Sie, warum der [[Komplexe Potenzreihe/Konvergenzradius/Definition|Konvergenzradius]] in der berechneten Weise von &lt;math&gt;a,z_o \in \mathbb{C}&lt;/math&gt; abhängt und nicht größer sein kann!
* Dass aus der einmaligen Differenzierbarkeit der holomorphen Funktion &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; auch folgt, dass &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; unendlich oft differenzierbar ist, gilt in der reellen Analysis nicht. Betrachten Sie die auf ganz &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; definierte Funktion &lt;math&gt;g(x):= x \cdot |x|&lt;/math&gt;.
* Erläutern Sie, mit welchen zentralen Satz der Funktionentheorie aus dem Kriterium 1 das Kriterium 2 folgt!

== Siehe auch ==
* [[Holomorphie]]
* [[Kurs:Funktionentheorie]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Quiz]]

== Quellen ==
&lt;noinclude&gt;[[en:Holomorphic function/Criteria]]&lt;/noinclude&gt;</text>
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      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
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      </contributor>
      <minor />
      <comment>Bocardodarapti verschob die Seite [[Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/T3/Klausur]] nach [[Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/1. Drittel/3/Klausur]], ohne dabei eine Weiterleitung anzulegen</comment>
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Klausur21
|Elementare Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/T3/Aufgabe|p|||
|Elementare Mathematik 1/Gemischte Satzabfrage/T3/Aufgabe|p|||
|Erste Binomische Formel/Z nach Q/Aufgabe|p|||
|Natürliche Zahlen/Produkt/Quadrieren/2/Aufgabe|p+|||
|Aussagenlogik/Finde Ausdruck für Wahrheitsfunktion/wwwf/Aufgabe|p|||
|Ponyhof/Ausflug/Aufgabe|p|||
|Tassen im Schrank/Umformulierung/Aufgabe|p|||
|Prädikat/Personen und Stiftfarbe/Aufgabe|p|||
|Maximal zwei Münzen/Eindeutigkeit/Aufgabe|p|||
|Mengentheorie/4 Mengen/2-Fächer-Bachelor/Skizziere Diagramm/Aufgabe|p|||
|Mengentheorie/Einfaches Mengengesetz/2/Aufgabe|p|||
|Zählen/Oma und Uroma/Aufgabe|p|||
|Absetzmulde/Austausch/Anzahl/Aufgabe|p|||
|Professor Knopfloch/Kontaktlinsen/Aufgabe|p|||
|Abbildung/Hintereinanderschaltung/Surjektiv/Fakt/Beweis/Aufgabe|p|||
|Abbildung/Mutter von/Aspekte/Aufgabe|p|||
|Abbildung/Wertetabellen/Begriffe/1/Aufgabe|p|||
|Endliche Mengen/Anzahl/Wohldefiniert/Fakt/Beweis/Aufgabe|p|||
|Vier ungerade Zahlen/Summe/Teilbarkeit/Aufgabe|p|||
|Additionstabelle/N/Volle Summe/Aufgabe|p|||
|Zählen/Lernprozess/Mathematischer Vergleich/Aufgabe|p|||
|Textart=Klausur
|Kategorie=Elementare Mathematik
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Klausur21
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|Elementare Mathematik 1/Gemischte Satzabfrage/1. Drittel/3/Aufgabe|p|||
|Erste Binomische Formel/Z nach Q/Aufgabe|p|||
|Natürliche Zahlen/Produkt/Quadrieren/2/Aufgabe|p+|||
|Aussagenlogik/Finde Ausdruck für Wahrheitsfunktion/wwwf/Aufgabe|p|||
|Ponyhof/Ausflug/Aufgabe|p|||
|Tassen im Schrank/Umformulierung/Aufgabe|p|||
|Prädikat/Personen und Stiftfarbe/Aufgabe|p|||
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|Zählen/Oma und Uroma/Aufgabe|p|||
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|Endliche Mengen/Anzahl/Wohldefiniert/Fakt/Beweis/Aufgabe|p|||
|Vier ungerade Zahlen/Summe/Teilbarkeit/Aufgabe|p|||
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Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}}
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Klausur22
|Elementare Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/T4/Aufgabe|p|||
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|Menge/Disjunkte Vereinigung/Bijektion der Potenzmengen/2/Aufgabe|p+|||
|Natürliche Zahlen/Ordnung/Differenz/Verschiebung/Aufgabe|p|||
|Kommutativer Halbring/Rechnung/4/Aufgabe|p|||
|Anfangsmenge/N/Minimum und Maximum/Kommutativer Halbring/Aufgabe|p|||
|Finger und Zehen/Aufteilung/Aufgabe|p|||
|Zahlentheorie/Primfaktorzerlegung/Existenz/Fakt/Beweis/Aufgabe|p|||
|Endliche Menge/Permutationen/Fakultät/Fakt/Beweis/Aufgabe|p|||
|Binomialkoeffizient/15 über 5/Primfaktorzerlegung/Aufgabe|p|||
|Division_mit_Rest/Zehn/Durch_d/Aufgabe|p|||
|Extrablatt/Aufgabe|p|||
|Ziffernentwicklung/13 nach 10/Umrechnung/2/Aufgabe|p|||
|Dezimalsystem/Vorgänger/Algorithmus/Aufgabe|p|||   
|Schriftliches Multiplizieren/Zehnersystem/Jalousie-Verfahren/3/Aufgabe|p|||
|Gleichungsarten/Beispiele/2/Aufgabe|p|||
|Quadratische Gleichung/Lösung vorgegeben/Unendlich/Aufgabe|p|||
|Klippe/Vorgänger und Nachfolger/Aufgabe|p|||
|Ganze Zahlen/Zeitreise/2/Aufgabe|p|||
|Lemma von Bézout/N/Teilerfremd/Induktion/Fakt/Beweis/Aufgabe|p|||
|Euklidischer Algorithmus (Z)/ggT/1085 und 806/Division/Aufgabe|p|||
|Abziehregel/Kürzungsregel/Vergleich/Aufgabe|p|||
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Klausur22
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|Elementare Mathematik 1/Gemischte Satzabfrage/2. Hälfte/2/Aufgabe|p|||
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|Ganze Zahlen/Zeitreise/2/Aufgabe|p|||
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    <title>Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)/Teil I/Materialaufzählung</title>
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*[[Kurs:Grundkurs Mathematik_(Osnabrück_2022-2023)/Teil_I/Definitionsabfrage|Definitionsabfrage]]

*[[Kurs:Grundkurs Mathematik_(Osnabrück_2022-2023)/Teil_I/Liste der Hauptsätze|Wichtigste Aussagen]]

*[[Kurs:Grundkurs Mathematik_(Osnabrück_2022-2023)/Teil_I/Liste der Hauptsätze/Zufallsabfrage|Aussagen (Abfrage)]]

*[[Mathematik/Hilfsmittel/Griechisches Alphabet|Griechisches Alphabet]]

*[[Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)/Teil I/Reflexionsaufgaben|Reflexionsaufgaben]]

*[[Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/Klausuren|Beispielklausuren]]

*[[Benutzer:Bocardodarapti/Klausurbewertung/Linear|Klausurbewertung]]

&lt;noinclude&gt;[[Kategorie:Kurs:Grundkurs Mathematik_(Osnabrück_2022-2023)/Teil_I/Hilfsstruktur]]&lt;/noinclude&gt;</text>
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    <title>Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/2. Hälfte/2/Klausur mit Lösungen/latex</title>
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    <title>Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus</title>
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        <username>Bert Niehaus</username>
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      <text bytes="15966" sha1="3bzj62p839m83o1tz7eq0rjm2kcsxh0" xml:space="preserve">== Einleitung ==
In dieser Lerneinheit wird der Zusammenhang zwischen der Funktion &lt;math&gt; \exp(z) &lt;/math&gt; und &lt;math&gt; \frac{1}{z} &lt;/math&gt; sowie die Definition eines Zweiges des Logarithmus und die Notwendigkeit der Einschränkung der Definitions- und Wertebereiche der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] betrachtet, um eine bijektive und holomorphe [[w:de:Umkehrfunktion|Umkehrfunktion]] der Exponentialfunktion zu erhalten.
:&lt;math&gt; \exp(z) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{n!} 
&lt;/math&gt;

=== Lerneinheiten ===
* [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/algebraische Vollständigkeit|algebraische Vollständigkeit]] des Logarithmus
* [[/Zweige/|Zweige des Logarithmus]]
** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#Hauptzweig|Hauptzweig des Logarithmus]]
** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#negativer_Hauptzweig|negativer Hauptzweig des Logarithmus]]
** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#imaginaerer_Hauptzweig|imaginärer Hauptzweig des Logarithmus]]
** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#negativer_imaginaerer_Hauptzweig|negativer imaginärer Hauptzweig des Logarithmus]]
* [[/Argumentfunktion/|Argumentfunktion und Polarkoordinatendarstellung]]
* [[/generalisiert/|generalisierter Logarithmus]] auf beliebigen [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] [[Gebiet (Mathematik)|Gebieten]], 
* [[/algebraische Vervollständigung/]]
* [[/logmod/|logmod-Funktion]] und Periodizität der Exponentionalfunktion,
* [[/Äquivalenzklassen/]] des Logarithmus,
* [[/rlog/|rlog-Funktion]], beschreibt wie oft kann man einen Logarithmus als Verkettung &quot;rekursiv&quot; anwenden kann. 
* [[/rekursiver Logarithmus/]] als Mehrfachverkettung des Logarithmus mit sich selbst.
* [[/Eulersche Nullstellen/]]
* [[/einfach zusammenhängende LOG-Gebiete/]]

=== Zusammenhang zwischen Exponentialfunktion und Logarithmus ===
Die Exponentialfunktion &lt;math&gt; \exp(z) &lt;/math&gt; ist eine ganze Funktion, dessen Definitionsbereich &lt;math&gt;\mathbb{D} \subset \mathbb{C}&lt;/math&gt; und Wertebereich &lt;math&gt;\mathbb{D} \subset \mathbb{C}&lt;/math&gt; einschränken muss, um eine bijektive Abbildung  und &lt;math&gt; \exp : \mathbb{D} \to \mathbb{W}&lt;/math&gt; zu erhalten, für die man eine Umkehrfunktion definieren kann. 

=== Situation in der reellen Zahlen - Umkehrfunktion von exp(z) ===
&lt;math&gt; \exp : \mathbb{R} \to \mathbb{R}&lt;/math&gt; ist injektiv aber nicht surjektiv. Durch die Einschränkung des Wertebereiches von &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; auf &lt;math&gt;\mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt; ist die Funktion &lt;math&gt; \exp : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt; bijektiv und man kann nach einer Umkehrfunktion (den [[w:de:natürlicher Logarithmus|natürliche Logarithmus]]) suchen. Diese Konzept der Suche nach potentiellen Umgekehrfunktionen kann in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] nicht eindeutig beantwortet werden. In den komplexen Zahlen gibt unabhängig von der Wahl der Konstanten einer Stammfunktion von &lt;math&gt;\tfrac{1}{z}&lt;/math&gt; unterschiedliche Möglichkeiten Logarithmen zu definieren.

== Aufgaben ==
* '''(A1)''' [[Logarithmus#A1|Injektivität und Surjektivität]] 
* '''(A2)''' [[Logarithmus#A2|Stammfunktion als Wegintegrale]]

&lt;span id=&quot;aufgabe1&quot;&gt;&lt;/span&gt;
=== Aufgabe 1 - Umkehrbarkeit der komplexen Exponentialfunktion ===
Erläutern Sie, warum &lt;math&gt; \exp : \mathbb{C} \to \mathbb{C}&lt;/math&gt; weder injektiv noch surjektiv ist. Schränken Sie den Definitionsbereich und Wertebereich der komplexen Exponentialfunktion so ein, dass
&lt;math&gt; \exp : \mathbb{D} \to \mathbb{W}&lt;/math&gt; bijektiv ist und eine [[w:de:Umkehrfunktion|Umkehrfunktion]] besitzt!

&lt;span id=&quot;aufgabe2&quot;&gt;&lt;/span&gt;

=== Aufgabe 2 - Stammfunktion von 1/x in den reellen Zahlen ===
In den reellen Zahlen der Logarithmus z.B. auf den positiven reellen Zahlen die Stammfunktion von &lt;math&gt;\frac{1}{x} &lt;/math&gt;. Welche Beziehung besteht zwischen eine Zweig des Logarithmus und einem Wegintegral über die Funktion &lt;math&gt;\frac{1}{x} &lt;/math&gt;.

=== Eigenschaften 1/z im Komplexen ===
Die holomorphe Funktion &lt;math&gt; f(z)=\frac{1}{z} &lt;/math&gt; ist eine rationale Funktion, die auf &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; definiert ist. Sie besitzt aber auf &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; keine Stammfunktion, denn sonst würde das Integral über den Kreis um 0 nicht den Wert &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; sondern 0 liefern. &lt;math&gt; f(z)=\frac{1}{z} &lt;/math&gt; hat eine Polstelle bei &lt;math&gt; z = 0 &lt;/math&gt;.

=== Einschränkung des Definitions- / Wertebereiches ===
* '''([[w:de:Injektivität|injektiv]])''' Um eine injektive Abbildung für Definition des Logarithmus zu erhalten, muss man den ''Definitionsbereich'' einschränken, damit die Element aus dem Definitionsbereich entfernt, die auf die gleichen Bildpunkt abgebildet werden.
* '''([[w:de:Surjektivität|surjektiv]])''' Um eine surjektive Abbildung für Definition des Logarithmus zu erhalten, muss man den ''Wertebereich'' einschränken und &quot;nicht getroffene&quot; Elemente aus dem Wertebereich zu entfernen

&lt;span id=&quot;komplex&quot;&gt;&lt;/span&gt;

== Definition des komplexen Logarithmus ==
Analog zur reellen Definition heißt jede komplexe Zahl &lt;math&gt;w&lt;/math&gt; ein ''natürlicher Logarithmus'' von &lt;math&gt;z&lt;/math&gt;, wenn &lt;math&gt;w&lt;/math&gt; die folgende Gleichung bzgl. einem gegebenen &lt;math&gt;z&lt;/math&gt; erfüllt:
: &lt;math&gt;\mathrm{e}^w = z&lt;/math&gt;

=== Existenz ===
Für jedes &lt;math&gt;z \in \mathbb{C} \setminus \{0\}&lt;/math&gt; existiert ein solches &lt;math&gt;w&lt;/math&gt;. Man stellt dazu das Element &lt;math&gt;z&lt;/math&gt; in Polarkoordinaten mit &lt;math&gt;t\in [0,2\pi) &lt;/math&gt; wie folgt dar:
:&lt;math&gt;
  z= |z|\cdot e^{it}
&lt;/math&gt;
Dann ist &lt;math&gt;w:=\underbrace{\ln(|z|)}_{\in \mathbb{R}} + i\cdot \underbrace{t}_{\in \mathbb{R}}&lt;/math&gt; ein Logarithmus in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt;, da mit [[w:de:Potenzgesetze|Potenzgesetzen]] folgende Gleichung gilt:
:&lt;math&gt;
  e^w = e^{\ln(|z|) + i\cdot t} = e^{\ln(|z|)} \cdot  e^{i\cdot t} =  |z|\cdot e^{it} = z 
&lt;/math&gt;

=== Eindeutigkeit ===
Im Unterschied zum reellen Logarithmus ist der komplexe Logarithmus wegen
: &lt;math&gt;\mathrm{e}^{2k\pi \mathrm{i}} = 1, \quad k \in \mathbb{Z}&lt;/math&gt;,
nicht eindeutig bestimmt ist. Hat man also einen Logarithmus &lt;math&gt;w&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;z&lt;/math&gt; gefunden, so ist damit auch
: &lt;math&gt;w' =\,\! w + 2k\pi \mathrm{i}&lt;/math&gt;
mit jeder ganzen Zahl &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; ein Logarithmus von &lt;math&gt;z&lt;/math&gt;, denn es gilt
: &lt;math&gt;\mathrm{e}^{w'} = \mathrm{e}^{w + 2k\pi \mathrm{i}} = \mathrm{e}^w \cdot \mathrm{e}^{2k\pi \mathrm{i}} = \mathrm{e}^w \cdot 1 = \mathrm{e}^w = z&lt;/math&gt;.

=== Komplexer Logarithmus als Abbildung ===
Für die Definition einer Abbildung muss man einen eindeutigen Funktionswerte &lt;math&gt;\ln(z):=w&lt;/math&gt; definieren. Um Eindeutigkeit zu erreichen, wählt man aus den möglichen Werten für &lt;math&gt;w&lt;/math&gt; solche Werte aus, die in einem geeigneten Streifen der komplexen Zahlenebene liegen. Man kann z.&amp;nbsp;B. den Streifen
: &lt;math&gt;\left\{w \in \mathbb{C}: -\pi &lt; \mathfrak{Im}(w) &lt; \pi \right\}&lt;/math&gt;
verwenden. Ein Wert &lt;math&gt;w&lt;/math&gt; aus diesem Streifen heißt ''Hauptwert'' (engl. ''principal value'') des Logarithmus, und man schreibt &lt;math&gt;w = \ln(z)&lt;/math&gt;.

=== Zweige des Logarithmus ===
Stellt man &lt;math&gt;z = |z| \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i} \arg(z)}&lt;/math&gt; in [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|Polarform]] dar, so erhält man eine einfache Darstellung des ''k-ten Zweiges'' der Logarithmusfunktion:
: &lt;math&gt;w = \ln |z| + \mathrm{i}\left(\arg(z) + 2k\pi\right), \quad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;
mit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] &lt;math&gt;\arg&lt;/math&gt;. Im Summanden &lt;math&gt;\ln |z|&lt;/math&gt; wird der bereits oben definierte reelle Logarithmus &lt;math&gt;\ln&lt;/math&gt; verwendet.
Für &lt;math&gt;k = 0&lt;/math&gt; erhält man den ''Hauptzweig'' des komplexen Logarithmus zurück:
: &lt;math&gt;\ln z = \ln|z| + \mathrm{i}\arg(z)&lt;/math&gt;.

=== Stetigkeit von Zweigen des Logarithmus ===
&lt;math&gt;\ln: \mathbb{C}\setminus\{0\} \to \mathbb{C}&lt;/math&gt; ist nicht stetig in den Punkten &lt;math&gt;\mathcal{N} := \{z \in \mathbb{C} \, \colon \, (z=x+i\cdot 0) \wedge (0 &lt; x\in \mathbb{R}) \}&lt;/math&gt;. Entfernt man jedoch die negative reelle Achse &lt;math&gt;\mathcal{N}&lt;/math&gt;, so ist &lt;math&gt;\ln&lt;/math&gt; auf dem Gebiet
: &lt;math&gt;\mathbb{C}\setminus\{x \in \mathbb{R}: x\leq 0\}&lt;/math&gt;
stetig und sogar [[w:de:Holomorphe Funktion|holomorph]].

=== Algebraisch vollständige Logarithmus ===
Für den [[Polynomialer Nullstellensatz|polynomialen Nullstellensatz]]

=== Vergleich - Rechenregeln reeller/komplexer Logarithmus ===
Für den Hauptzweig des komplexen Logarithmus &lt;math&gt;\ln&lt;/math&gt; gelten nicht alle der weiter oben angeführten [[w:de:Logarithmus#Logarithmengesetze|Rechenregeln für die reelle Logarithmusfunktion]]. Sie gelten nur &lt;math&gt;\text{mod } 2\pi \mathrm{i}&lt;/math&gt;.

==== Mehrdeutigkeit und Periodizität 1 ====
Diese Mehrdeutigkeit ist eine direkte Folge aus der Periodizität seiner Umkehrfunktion, der komplexen Exponentialfunktion. Es gilt:
: &lt;math&gt;\ln(x) + \ln(y) = \ln(x \cdot y)+ 2\pi n \, \,\, n\in \mathbb{Z} &lt;/math&gt;

==== Mehrdeutigkeit und Periodizität 2 ====
Der Vergleich von &lt;math&gt;\ln(x) + \ln(y)&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\ln(x \cdot y)&lt;/math&gt; zeigt:
: &lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
\ln(\underbrace{-1+\mathrm{i}}_{=x}) + \ln(\underbrace{-1+\mathrm{i}}_{=y}) 
&amp; = &amp;
\bigl(\ln\sqrt2+\frac{3\pi}4\mathrm{i}\bigr) + \bigl(\ln\sqrt2+\frac{3\pi}4\mathrm{i}\bigr) 
\\
&amp; = &amp;
\ln2+\frac{3\pi}2\mathrm{i}
 \end{array}  
&lt;/math&gt;
und 
:&lt;math&gt;
\ln\bigl(\underbrace{(-1+\mathrm{i}}_{=x})\cdot (\underbrace{-1+\mathrm{i}}_{=y})\bigr)
= \ln(-2\mathrm{i})=\ln2-\frac\pi2\mathrm{i}&lt;/math&gt;

==== Mehrdeutigkeit und Periodizität 3 ====
Dies liefert ein Beispiel, dass &lt;math&gt;\ln x + \ln y = \ln(x \cdot y)&lt;/math&gt; nicht für beliebige &lt;math&gt;x,y\in \mathbb{C}&lt;/math&gt; gilt. Der rechte und linke Term unterscheiden sich, um Vielfache von &lt;math&gt;2\pi&lt;/math&gt;, d.h.
: &lt;math&gt;\ln x + \ln y = \ln(x \cdot y) + 2\pi n&lt;/math&gt;

==== Mehrdeutigkeit und Periodizität 4 ====
Auch die Gleichung
: &lt;math&gt;y \cdot \ln (x) = \ln\left({x^y}\right)&lt;/math&gt;
ist nicht immer erfüllt, wie das Gegenbeispiel
: &lt;math&gt;2\pi \mathrm{i} \ln (\mathrm{e}) = 2\pi \mathrm{i} \; \neq \; 0 = \ln 1 = \ln(\mathrm{e}^{2\pi \mathrm{i}})&lt;/math&gt;
beweist.

=== Graphen ===
&lt;gallery widths=&quot;180&quot; heights=&quot;120&quot; perrow=&quot;3&quot; caption=&quot;Grafische Darstellung des komplexen Logarithmus&quot;&gt;
   Ln abs.png|Betrag von &lt;math&gt;\ln z&lt;/math&gt;
   Ln re.png|Realteil von &lt;math&gt;\ln z&lt;/math&gt;
   Ln im.png|Imaginärteil von &lt;math&gt;\ln z&lt;/math&gt;
&lt;/gallery&gt;

==== Hauptzweig ====
Mit dem oben definierten Hauptzweig des komplexen Logarithmus kann man den Logarithmus für negative reellen Zahlen erklären:
: &lt;math&gt;\ln(-x) = \ln\left\vert-x\right\vert+ \mathrm{i}\arg(-x) = \ln x + \mathrm{i}\pi, \quad x\in\mathbb{R}^+\ .&lt;/math&gt;
Das setzt voraus, dass die [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] &lt;math&gt;\arg&lt;/math&gt; negativen reellen Zahlen den Wert &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt; zuweist.

==== Bemerkung - Argumentfunktion ====
Diese Betrachtungen zeigen, dass die Mehrdeutigkeit des komplexen Logarithmus letztlich auf die Mehrdeutigkeit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] zurückzuführen ist.

== Entwicklung in Potenzreihen ==
Jede auf einem Gebiet &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; [[holomorphe Funktion]] lässt sich lokal in eine Potenzreihe entwickelt. Durch den Zusammenhang von &lt;math&gt;\tfrac{1}{z}&lt;/math&gt; und dem Logarithmus erhält man auch eine Potenzreihendarstellung für beliebige [[w:de:Potenzreihe|Entwicklungspunkte]] &lt;math&gt;z_o=|z_o|\cdot e^{it} \not=0&lt;/math&gt; über die [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] mit &lt;math&gt;q=\frac{z-z_o}{-z_o}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;|z-z_0| &lt; |z_0|&lt;/math&gt;:
:&lt;math&gt;f(z)= \frac{1}{z} 
= \frac{1}{z_o} \cdot \frac{1}{ 1-  \underbrace{\frac{z-z_o}{-z_o} }_{=q} }
=
 \sum_{n=0}^\infty 
\underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1}} }_{=a_n} \cdot (z-z_o)^n 
&lt;/math&gt;

=== Stammfunktion - Konstante der Taylorreihe ===
Für den [[w:de:Potenzreihe|Entwicklungspunkt]] &lt;math&gt;z_o=|z_o|\cdot e^{it} \not=0&lt;/math&gt; erhält man für einen Zweig des Logarithmus als Stammfunktion von von &lt;math&gt;\tfrac{1}{z}&lt;/math&gt; folgende Potenzreihendarstellung auf &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;r&lt; |z_0|&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;c= \ln(|z_o|) + i\cdot t&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;t\in \mathbb{R}&lt;/math&gt;:
:&lt;math&gt;\log_{_G}(z)= c +
 \sum_{n=0}^\infty 
\frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1} \cdot (n+1)}  \cdot (z-z_o)^{n+1} 
&lt;/math&gt;
Ein zugehöriger Zweig von &lt;math&gt;\log_{_G}&lt;/math&gt; ist dann z.B. auf dem Gebiet &lt;math&gt;G:= \mathbb{C} \setminus \{ z\in \mathbb{C} \, : \,  z=\lambda \cdot z_0 \mbox{ mit } 0  \geq \lambda \in \R \}&lt;/math&gt; definiert.

=== Bemerkung - Eindeutigkeitlemma für Logarithmuszweige ===
Das 
[[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] zeigt, dass mit der Wahl eines [[einfach zusammenhängend]]en &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;0\notin G&lt;/math&gt; und der Festlegung des Imaginärteiles des Logarithmuszweige für ein &lt;math&gt;z_0\in G&lt;/math&gt; der gesamte Zwei des Logarithmus eindeutig definiert ist. Ferner wird zwischen dem (reellen) Hauptzweig und dem imaginären Hauptzweig des Logarithmus unterschieden, wobei einmal der negative reelle Achse entfernt wurde und für imaginären Hauptzweig des Logarithmus negative reelle Achse in &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; fehlt.

== Siehe auch ==
* [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]]
* [[/generalisiert/|generalisierte Logarithmen]]
* [[Logarithmus]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Lokale_Entwicklung_in_Potenzreihen|Lokale Entwicklung in Potenzreihen]]
* [[Kurs:Funktionentheorie]]

== Seiteninformation ==
Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&amp;title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&amp;author=Kurs:Funktionentheorie&amp;language=de&amp;audioslide=yes&amp;shorttitle=Logarithmus&amp;coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen.

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[[Category:Wiki2Reveal]]

&lt;noinclude&gt;[[en:Complex Analysis/Logarithm]]&lt;/noinclude&gt;
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    <title>Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2026-2027)/Teil I/Materialaufzählung</title>
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*[[Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2026-2027)/Teil I/Definitionsabfrage|Definitionsabfrage]]

*[[Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2026-2027)/Teil I/Liste der Hauptsätze|Wichtigste Aussagen]]

*[[Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2026-2027)/Teil I/Liste der Hauptsätze/Zufallsabfrage|Aussagen (Abfrage)]] 

*[[Mathematik/Hilfsmittel/Griechisches Alphabet|Griechisches Alphabet]]

*[[Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/1. Drittel/1/Klausur|Beispiel für eine erste Testklausur]]

*[[Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/1. Drittel/3/Klausur|Beispiel für eine erste Testklausur]]

*[[Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/Klausuren|Beispielklausuren]]

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    <title>Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2026-2027)/Literatur</title>
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{{Literaturverzeichnis|Bättig Knörrer Singularitäten}}

{{Literaturverzeichnis|Brodmann Algebraische Geometrie}}

{{Literaturverzeichnis|Bruns Herzog Cohen-Macaulay rings}}

{{Literaturverzeichnis|Cutkosky Algebraic Geometry}}

{{Literaturverzeichnis|Ebeling Singularitäten}}

{{Literaturverzeichnis|Eisenbud Commutative Algebra}}

{{Literaturverzeichnis|Hartshorne Algebraic Geometry}}

{{Literaturverzeichnis|Lang Algebra}}

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{{Literaturverzeichnis|Mumford Algebraic Geometry}}

{{Literaturverzeichnis|Scheja Storch Lehrbuch der Algebra 2}}

{{Literaturverzeichnis|Serre Local Algebra}}

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{{Literaturverzeichnis|Storch Wiebe 4}}

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https://ems.press/content/serial-article-files/54073 Interview mit Serre 

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[https://ems.press/content/serial-article-files/54073] Interview mit Serre 

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    <title>Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2026-27 Wintersemester</title>
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      <text bytes="22675" sha1="g604nll2jilxsjg002usthdkak2bjx0" xml:space="preserve">==Begriffsklärung==

=== Was ist mathematische Modellbildung?===

''Ganz grob gesagt besteht Mathematische Modellierung oder auch Mathematische Modellbildung
darin, reale Fragestellungen mit mathematischen Mitteln zu bearbeiten und sie auf diesem Wege
zumindest teilweise zu beantworten.''&lt;ref&gt; 
Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., &amp; Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. &lt;/ref&gt;


=== Was ist ein Modell? ===

Ein Modell ist dabei gegeben durch innere Scheinbilder oder Repräsentatonen, die nicht
zum Bereich der äußeren Gegenstände, sondern zu Vorstellungen von einem solchen realen Gegenstand gehören und
ihnen daher auch in gewissen Grenzen etwas Willkürliches anhaftet (Sinngemäß nach Hertz, zitiert von Ortlieb&lt;ref&gt; 
Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., &amp; Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. &lt;/ref&gt;).

==== Eigenschaften von Modellen ====
Somit lassen sich vereinfacht und verkürzt folgende Eigenschaften ableiten (Stachowiak, zitiert nach Saam &lt;ref&gt; Saam, N. J. (2009). Modellbildung. In Handbuch Methoden der Organisationsforschung: Quantitative und Qualitative Methoden (pp. 517-532). Wiesbaden: VS Verlag für Sozialwissenschaften. &lt;/ref&gt;):
* '''Abbildungsmerkmal:''' Modelle repräsentieren die Realität, existieren jedoch nicht in der Realität
* '''Verkürzungsmerkmal:''' Modelle beschreiben das Objekt nicht exakt, sondern stets vereinfacht 
* '''Pragmatisches Merkmal:''' Modelle verfolgen einen gewissen Zweck: Sie ersetzen eine nicht abbildbare Realität um Fragestellungen zu beantwortbar zu machen

==== Typisches Beispiele ==== 
* Betrachtungen in der Physik (Federpendel, Bewegungsgesetze,...) - Physik und Mathematische Modellbildung sind sehr eng miteinander verwoben
* Populationsdynamiken und Ausbreitugnsschemata in der Biologie  (vgl. Lotka-Volterra Modell)
* Bewegungsanalysen und Optimierungen in den Sportwissenschaften
* Untersuchungen von Transport- und Umweltprozessen in Biologie, Chemie, Physik, Technik,...
* Bedarfs- und Verbrauchs- und Verhaltensanalysen in Geisteswissenschaften


=== Mathematische Modelle ===
Mathematische Modelle werden gemessen und bewertet anhand &lt;ref&gt; 
Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., &amp; Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. &lt;/ref&gt;:
* '''Zulässigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte in sich widerspruchsfrei sein.
* '''Richtigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte im Vergleich mit der Realität keine Widersprüche zu offensichtlich richtigen Tatsachen aufweisen.
* '''Zweckmäßigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte genau den Detailgrad beinhalten, den es zum Erfüllen des Zwecks benötigt, nicht mehr und nicht weniger.

==== Gegenbeispiele für mathematische Modelle ====
Gegenbeispiele wären:
* Ein nicht zulässiges Modell könnte bei einer Betrachtung einer Punktmasse im Raum dennoch Luftwiederstände berücksichtigen (Punkte haben kein Volumen)
* Ein nicht richtiges Modell könnte bei der Modellierung von Transportprozessen von Schadstoffen die Massenerhaltung vernachlässigen.
* Ein nicht zweckmäßiges Modell könnte bei dem Versuch den perfekten Abwurfwinkel beim Speerwurf die Krümmung der Erdpberfläche berücksichtigen.

==== Bemerkung - Kriterien ====
Die Kriterien, insbesondere Richtigkeit und Zweckmäßigkeit, sind nicht 100% operational. Einerseits fordert die Richtigkeit, keine bekannten Tatsachen auszulassen, andererseits dürfen hinsichtlich einer passenden Zweckmäßigkeit auch nur ausreichend viele Details integriert werden).

==Der Modellbildungszyklus==
Wie kommt man nun von einer Realen Situation, die ein Problem aufwirft zu einem adäquaten mathematischen Modell? Dazu hat sich als (möglichst allgemeine Vorgehensweise) der Modellbildungszyklus ergeben:
[[Datei:Modellbildungszyklus Mod6.png|miniatur|Modellbildungszyklus]]
===Verlauf des MBZ ===
Der Modellbildugnszyklus beschreibt schematisch die iterative Erstellung einer mathematischen Modellbildung:
* Ausgangspunkt ist eine reale Situation, die ein Problem aufwirft, die von dem mathematischen Modell adressiert werden soll
* Dieses Problem wird inhaltlich erfasst, anschliessend mathematisch Übersetzt (Betrachten von Gleichungen, Funktionen, Geometrischen Objekten,...)
* Durch das Betrachten von mathematischen Objekten können über passende Operationen deduktiv Resultate geschlussfolgert werden
* Diese Resultate werden mit der Realsituation abgeglichen
* Aus dem Vergleich werden mögliche Optimierungen und Limitationen des Modells abgeleitet
* Durch die Limitationen werden kann das Modell weiterentwickelt werden

Diese Schritte können/müssen dabei mehrfach durchlaufen werden.

Die Integration von computergestützter Software ist in der mathematischen Modellbildung definitionsgemäss nicht zwigend erforderlich, für die meisten anwendungsbezogenen Modellierungen jedoch unumgänglich.

==Konkretes Beispiel einer Mathematischen Modellbildung==
[[Kurs:Mathematische_Modellbildung/Themen/Radioaktivit%C3%A4t_und_Risikoliteralit%C3%A4t]]
[[Datei:Screenshot 2D Ansicht Resultate.png|miniatur|alternativtext=Ansicht der möglichen Auftreffpunkte des radioaktiven Niederschlags|Ansicht der möglichen Auftreffpunkte des radioaktiven Niederschlags]]
[[File:Zeitliche Abhängigkeit der Risikofunktion.gif|thumb|Das GIF zeigt die Zeitliche Abhängigkeit der Risikofunktion]]

=== Ziel der Modellierung ===
Ziel in dieser Modellierung war es, ein Modell zur räumlichen und zeitlichen Ausbreitung einer radioaktiv belasteten Wolke, sowie dessen Rain-Out, infolge einer Reaktorkatastrophe am (mittlerweile abgeschalteten) Kernkraftwerk in Philippsburg zu beschreiben.
Unter zu Hilfenahme von Messwerten von dem Reaktorunglück in Tschernobyl und den Halbwertszeiten des radioaktiven Materials wurde der zeitliche Zerfall erfasst.

Der Transport von radioaktiven Material wurde durch eine Kugel im &lt;math&gt; \mathbb{R}^3 &lt;/math&gt; modelliert. Diese bewegt sich gemäss einer variablen Windrichtung (gegeben durch Winkel &lt;math&gt; \alpha &lt;/math&gt;) und regnet sich nach einer gewissen Durchschnittsdauer ab. 


=== Endresultat ===
Es wurde in drei Modellbildungszyklen eine Funktion zur Beschreibung der radioaktiven Belastung (repräsentativ für das Risiko) abgeleitet:

 &lt;math&gt;u(x,y,t,\alpha)=\frac{1480\cdot e^{-\frac{ln(2)}{30a} \cdot t}}{1+\frac{7}{10.000}\cdot (x^2+y^2)}+\frac{40\cdot e^{-\frac{ln(2)}{30a} \cdot t}}{1+\frac{1}{7.500}\cdot ((x-1080cos(\alpha))^2+(y-1080sin(\alpha))^2)}&lt;/math&gt;

Letztlich erhält man also eine Funktion die in ihrem Ausgabewert &lt;math&gt;z=u(x,y,t,\alpha)&lt;/math&gt; abhängig von 4 Eingabewerten &lt;math&gt;x, y, t, \alpha &lt;/math&gt; ist.

==Modellbildung in der Schule==
===Einbindung in den Lehrplan===
Die mathematische Modellbildung ist stark in den Mathematik-Lehrplan für Schulen in Rheinland-Pfalz integriert (hier wird sich an dem Lehrplan für Sekundarstufe II orientiert &lt;ref&gt; Ministerium für Bildung, Wissensachft, Weiterbildung und Kultur (2015), Lehrplan Mathematik. Grund- und Leistungsfach in der gymnasialen Oberstufe (Mainzer Studienstufe) &lt;/ref&gt;).

Im Bezug zu Problemlösen im Mathematikunterricht und Mathematik im fachübergreifenden Kontext, sollen Anwendungsbeispiele Einzug halten, die Schülerinnen und Schülern aus anderen Fächern bekannt sind. In diesem Zusammenhang wird mathematische Modellbildung als Methode zur Lösung von solchen Anwendungsproblemen genannt.

===Konkreter Themenbezug===
Zu folgenden mathematischen Themengebieten wird explizit Mathematischen Modellbildung zur unterrichtlichen Umsetzung erwähnt:
*Exponentialfunktionen (Wachstums- und Zerfallsprozesse
*Matrizenrechnung (Input-Output-Analysen, Zustandsübergangsprozesse, Populationsentwicklung,...)
*Differential- und Integralrechnung (lineare oder logistische Wachstumsprozesse)
Auch der Einsatz von computergestützten Hilfs- und Lösungsmitteln im Zuge der Modellbildung wird betont. 

(Bemerke: Auch im Lehrplan wird ein vergleichbarer Modellbildungszyklus vorgestellt und beschrieben. Bei Bedarf kann dieser auf Seite 15-16 &lt;ref&gt; Ministerium für Bildung, Wissensachft, Weiterbildung und Kultur (2015), Lehrplan Mathematik. Grund- und Leistungsfach in der gymnasialen Oberstufe (Mainzer Studienstufe) &lt;/ref&gt; nachgelesen werden)

===Zugang zur Bildung für Nachhaltigen Entwicklung===
Durch die Möglichkeit fachübergreifende Fragestellungen zu behandeln und Prozesse der Realität in den Blick zu nehmen, kann mathematische Modellbildung die Brücke zur Bildung für Nachhaltigen Entwicklung (BNE) schlagen.

&quot;Die BNE zielt grundsätzlich darauf ab, es jedem und jeder Einzelnen zu ermöglichen, die Folgen des eigenen Handelns auf die Welt sowie intra- und intergenerationell zu verstehen, verantwortungsvolle Entscheidungen zu treffen und aktiv zu werden.&quot; &lt;ref&gt; Ministerium für Bildung. Bildung für nachhaltige Entwicklung. Online abrufbar unter: https://bm.rlp.de/unsere-schwerpunkte/bildung-fuer-nachhaltige-entwicklung &lt;/ref&gt;

Mathematische Modellbildung kann unter praktischer Anwendung von gelernten Inhalten im Schulunterricht zu BNE beitragen, indem eben gezielt Probleme adressiert werden und von Schülerinnen und Schülern eigenständig untersucht werden.

==Ziel und Organisation des Seminars==
===Ziel und Aufgabe===
In Kleingruppen (3-4 Personen) sollen aussermathematische Fragestellungen mit einer eigenen mathematischen Modellbildung behandelt werden.

Dazu sollen drei Modellbildungszyklen mit unterschiedlichem Grad an Vereinfachung und unterschiedlicher Mathematischen Grundlage erstellt werden:
* Zyklus: Mathematik der Sekundarstufe 1 (Mittelstufe)
* Zyklus: Mathematik der Sekundarstufe 2 (Oberstufe)
* Zyklus: Universitätsmathematik

In jedem Zyklus sollen computergestützte Untersuchungen und Betrachtungen Einzug erhalten. Somit bietet es sich an in insgesamt auch drei verschiedene Programme (Tabellenkalkulation, GeoGebra, RStudio, Maxima,...) zu integrieren - an manchen stellen lässt sich dies gar nicht vermeiden.

===Themenwahl===
Das Thema sollte einen weltlichen Bezug haben. Am besten eigenen sich Themen aus dem jeweiligen Zweitfach (s. Verbindung zu anderen Schulfächern im Lehrplan).

Das Thema sollte nachhaltige Entwicklung im Rahmen der Sustainable Development Goals adressieren. Siehe dazu: https://www.bundesumweltministerium.de/themen/nachhaltigkeit/nachhaltigkeitsziele-sdgs

Vorzugsweise: Räumliche Risikobetrachtungen in Desaster- und Katastrophenszenarien. 

Das Thema sollte sich nicht mit denen der vergangenen Semestern doppeln. Zur Orientierung und Inspiration finden sich hier die Projekte der vergangenen Semester:
:: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2026 Sommersemester|2026 Sommersemester]]'''
:: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2025-26 Wintersemester|2025/26 Wintersemester]]'''
:: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2024-25 Wintersemester|2024/25 Wintersemester]]'''
:: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2023-24 Wintersemester|2023/24 Wintersemester]]'''
:: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2022-23 Winteresemester|2022/23 Wintersemester]]'''

===Portfolio===
Während des Semesters soll in Gruppenarbeit die Modellbildung durchgeführt werden. Diese wird schriftlich in einem Portfolio festgehalten. Dies Portfolio wird, genau wie dieser Artikel auch, in einem Wikiversity Artikel dokumentiert. Dieser sollte folgendes enthalten:
* Einleitung: Beschreibung und Einordnung des Themas &amp; welche(s) SDG wird adressiert und warum?
* Ziel der Modellierung: Welches Problem wird in der Modellierung / den einzelnen Zyklen konkret angegangen?
* Zyklus 1-3
** Mathematisches Modell (welche Mathematischen Objekte werden betrachtet, wie ergeben die sich,...)
** Ergebnisse (Ableiten von Resultaten aus dem Modell)
** Bewertung der Ergebnisse
** Grenzen und Limitationen
** Ausblick für nächsten Zyklus (welche Limitationen und Probleme aus dem Zyklus werden im folgenden adressiert?)

In allen Punkten der Modellzyklen können Programme computergestützte Tools verwendet werden.

Zur Erstellung von Wiki-Seiten ist folgende Seite hilfreich:

https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:Textgestaltung

===Prüfung===
Die Prüfung gliedert sich in zwei Aspekte:
* '''Vorstellung von ausgewählten Teilen aus dem eigenen Portfolio''' - diese werden von den Prüfer:innen aus dem Portfolio der Studierenden ausgewählt.
* '''Diskussion und Fragen''' der Prüfer:innen zu dem Portfolio, z.B. zu Teilen des Portfolios, die in der Vorstellung nicht behandelt werden können.
Ein Portfolio kann aus Zeitgründen nie vollständig in der Prüfung dargestellt werden.

In der mündlichen Portfolio-Prüfung wird geprüft, ob
*das eigene Modell verstanden ist,
*das eigene Modell kritisch hinterfragt werden kann,
*die Limitationen des Modells begründet und nachvollziehbar wiedergegeben werden können,
*die Übergänge zwischen den Zyklen beschrieben und begründet werden können,
*die technische Umsetzung reproduziert und erklärt werden kann,
*... . 

Es ist also wichtig zu wissen, was wie an welcher Stelle und mit welchem Zweck in der Modellierung gemacht wurde!

Das Portfolio (Wiki-Seite) wird somit konkret vorgestellt. Eine Präsentation des Portfolio kann automatisch mit Wiki2Reveal erstellt werden.

=== Unterstützungsangebot ===
* Das Unterstützungsangebot erfolgt in der Lehrveranstaltung zur &quot;Mathematischen Modellbildung&quot;. 
* Eine individuelle Sonderbehandlung für einzelne Studierende, die das Angebot der Vorlesung nicht nutzen und kurz vor Prüfungsbeginn noch &quot;schnell&quot; ein Portfolio zusammenstellen wollen, ist aus zeitlichen Gründen kurz vor der Prüfung nicht möglich. 
* Portfolioprüfungen der Lehrveranstaltung beziehen sich immer auf das erstellte Portfolio im laufende Semester und bei Wiederholungsprüfungen auf das Semester, in dem Portfolio erstellt wurde. 
* Eine Prüfung kann nur zu dem eigenen erstellten Portfolio in der Lehrveranstaltung abgelegt werden, an dessen Erstellung man aktiv mitgearbeitet hat.

===Ablauf des Seminars===
Der Seminarablauf über das Semester gestaltet sich grob wie folgt: 
* 1. Woche (19.10.): Einführungsveranstaltung + Gruppenfindung
* 2. Woche (26.10.): Themenfindung
* 3. Woche (02.11.): Themenfindung + Zyklen festlegen
* 4. Woche (09.11.): Zyklen festlegen
* 5. Woche (16.11.): Kurzvorstellung der Themen und Zyklen (5 Minuten pro Gruppe)
Ab Woche 6 (23.11.) bis Ende des Semesters wird gemeinsam an den Modellen und dem Portfolio gearbeitet.

Empfehlenswert wäre es, die letzten 2-3 Wochen für Finalisierungsarbeiten zu nutzen und entsprechend frühzeitig zu planen! Ausschliesslich während der Seminarzeiten an dem Modell und Portfolio zu arbeiten wird nicht ausreichen! 

Die Kurzpräsentationen am 16.11. umfassen den aktuellen Stand der Überlegungen und sind noch unter keinen Umständen verbindlich. Stattdessen dient es einfach zur Grundlage von gemeinsamer Diskussion und zur Einbringung von weiteren Ideen.

=Hilfreiche Links=
===Fachmathematische Aspekte ===
Wenn man das Modellierungsproblem in den Mittelpunkt stellt und die Fragestellung den Nachhaltigkeitszielen der UN zuordnet, kommen z.T. fachmathematische Aspekte erforderlich, die nicht in der jeweiligen Schulstufe bzw. in den Vorlesungen behandelt wurden. Dies Kapitel erhält Hinweise zu fachmathematischen Bereichen, die für die mathematische Modellbildung ggf. als Werkzeug verwendet werden können
* '''[[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]''' dienen dazu, Datenpunkte im &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; oder allgemein im &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; zu [[w:Interpolation_(Mathematik)|interpolieren]].
* '''[https://en.wikiversity.org/wiki/3D_Modelling 3D Modellierung für Projektinhalte]''' und [[w:Projektive_Geometrie|projektive Geometrie]] zur Visualisierung
* '''[[Gradientenabstiegsverfahren]]''': Wird verwendet, um sich in der mathematischen Modellbildung iterativ einem Minimum einer Kosten- oder Fehlerfunktion anzunähern.
* [[w:Lineare_Optimierung|'''Lineare Optimierung''']]  wird in  Optimierungshaufgaben wie beispielsweise  bei der Suche nach Minimum der Produktionskosten verwendet. Hierbei wird in allgemeinem nach einem Minimium/Maximum einer linearer Zielfunktion über einer Menge gesucht. [https://www.geogebra.org/m/kr727992 '''Ein Beispiel in Geogebra''']
*[[Räumliche Diffusion|'''Räumliche Diffusion''']]
*[[Modelle_der_Populationsdynamik|'''Modelle der Populationsdynamik''']]  - [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&amp;title=Modelle%20der%20Populationsdynamik&amp;author=Kurs:R%C3%A4umliche%20Modellbildung&amp;language=de&amp;audioslide=yes (Wiki2Reveal-Folien)]  -  [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] 
* '''[[Kurs:Stochastik/Wahrscheinlichkeitsdichte|Wahrscheinlichkeitsdichte]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&amp;title=Kurs:Stochastik/Wahrscheinlichkeitsdichte&amp;author=Kurs:Stochastik&amp;language=de&amp;audioslide=yes&amp;shorttitle=Wahrscheinlichkeitsdichte&amp;coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]]

===Softwarenutzung ===
Im PC-Praktikum wurden grundlegende Kenntnisse im Umgang mit Software erlangt, die für die Berechnung von mathematischen Modellen vorwendig sind. Diese Kenntnisse müssen ggf. auf das spezielle Modellierungsthema angepasst und erweitert werden.
* '''[[CSV2Chart]]''' Aus CSV-Dateien mathematische Graphen in Wikiversity erstellen.
* '''[[Maxima CAS]]''' enthält die verwendeten Werkzeuge und Kommandos eines Computeralgebrasystems (CAS), die die einzelnen Projekte in dem Modellbildungszyklus verwendet haben.
* '''[https://sagecell.sagemath.org/ SageCell]''' Online-Umgebung zur Ausführung und Demonstration von Befehlen in R, Octave, Maxima, ... (Auswahl des Befehlssatzes auf der https://sagecell.sagemath.org/ SageCell-Seite] unten rechts auf dem Eingabefeld)
* '''[[Statistikprogramm R]]''' enthält die verwendeten Werkzeuge und Kommandos, die für Berechnungen und Veranschaulichungen in den  Projekten verwendet haben.
* '''[[Tabellenkalkulation]]''' werden in Portfolios in der Regel verwendet, um Daten in den Portfolios aufzubereiten.
* '''[[Octave]]''' wird in der Regel verwendet, um numerische Berechnung in der Mathematischen Modellbildung durchzuführen.
* '''[[Geogebra]]''' ist eine Dynamische Geometriesoftware, die zur vektoriellen Veranschaulichung von räumlichen Modellierungsproblemen oder auch zur parametrisierten Darstellung von Funktionen verwendet wird (Beispiel: [https://www.geogebra.org/m/e9b349k9 Parkplatzlösung in Geogebra von Shrey T (2017)]). 
* '''[[w:Screencast|Screencast]]''': Ein Screencast ist eine Bildschirmaufnahme mit Audiokommentaren, die zeigt, wie man z.B. Software bedient. Ein Screencast ist eine Hilfestellung für Lernende, die sich noch nicht so gut mit einer bestimmten Software auskennen.
:* [https://obsproject.com/ '''Open Broadcast Software (OBS)''' - Linux, Windows, MacOSX ] - [[Konvexkombination|Beispielvideo in Wikiversity]]
* [[v:en:3D_Modelling|'''3D-Modellbildung''' (englisch)]]
* '''[http://niebert.github.io/imgmap/ Online-ImageMap-Editor]''' - Anklickbare Bereiche in Wikiversity-Bildern erstellen.
* '''[https://openlayers.org/en/latest/examples/heatmap-earthquakes.html HeatMaps]:''' Erstellung von [https://niebert.github.io/openlayer_heatmap HeatMaps mit einem Online-Editor] (Download [https://github.com/niebert/openlayer_heatmap/archive/master.zip Heatmap-Editor und Beispieldaten in Ordner &lt;tt&gt;/HeatMap&lt;/tt&gt; in ZIP-Datei])
* '''[[Wiki2Reveal]]:''' Portfolio-Präsentationen direkt im Wikiversity erstellen.

===Editierungshilfen===
* [https://latexeditor.lagrida.com/ Online-Formel-Editor für LaTeX-Formeln]&lt;ref&gt;Lagrida Web-Portal (2021) Online-Latex-Formel-Editor mit Vorschau - URL: https://latexeditor.lagrida.com/ (accessed 2021/11/21))&lt;/ref&gt;  - die erzeugten Formeln müssen in einen MATH-Tag mit &lt;kbd&gt;&lt;math&gt; ...&lt;/math&gt;&lt;/kbd&gt; eingeschlossen werden bei der Seiteneditierung.
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:TeX Mathematische Formeln in Wikiversity]
* Textgestaltung in Wikis: https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:Textgestaltung
==Wiki2Reveal==
* '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung2627|Kurs:Mathematische Modellbildung2627]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&amp;title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung2627&amp;author=&amp;language=de&amp;audioslide=yes&amp;shorttitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung2627&amp;coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]]
 

== Verweise ==
&lt;references/&gt;

== Seiteninformation ==
Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&amp;title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&amp;author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&amp;language=de&amp;audioslide=yes&amp;shorttitle=2026-27%20Wintersemester&amp;coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen.

=== Wiki2Reveal ===

Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&amp;title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&amp;author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&amp;language=de&amp;audioslide=yes&amp;shorttitle=2026-27%20Wintersemester&amp;coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung Kurs:Mathematische Modellbildung]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem  [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt.
&lt;!--
* Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten:
** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester]
--&gt;
* [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt.
* Link zur Quelle in  Wikiversity:  https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester
* siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&amp;title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&amp;author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&amp;language=de&amp;audioslide=yes&amp;shorttitle=2026-27%20Wintersemester&amp;coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Linkgenerator].
&lt;!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --&gt;;

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      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="22673" sha1="pt6llxi32a53j0imp380wdilwm5c71j" xml:space="preserve">==Begriffsklärung==

=== Was ist mathematische Modellbildung?===
''Ganz grob gesagt besteht Mathematische Modellierung oder auch Mathematische Modellbildung
darin, reale Fragestellungen mit mathematischen Mitteln zu bearbeiten und sie auf diesem Wege
zumindest teilweise zu beantworten.''&lt;ref&gt; 
Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., &amp; Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. &lt;/ref&gt;


=== Was ist ein Modell? ===
Ein Modell ist dabei gegeben durch innere Scheinbilder oder Repräsentatonen, die nicht
zum Bereich der äußeren Gegenstände, sondern zu Vorstellungen von einem solchen realen Gegenstand gehören und
ihnen daher auch in gewissen Grenzen etwas Willkürliches anhaftet (Sinngemäß nach Hertz, zitiert von Ortlieb&lt;ref&gt; 
Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., &amp; Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. &lt;/ref&gt;).

==== Eigenschaften von Modellen ====
Somit lassen sich vereinfacht und verkürzt folgende Eigenschaften ableiten (Stachowiak, zitiert nach Saam &lt;ref&gt; Saam, N. J. (2009). Modellbildung. In Handbuch Methoden der Organisationsforschung: Quantitative und Qualitative Methoden (pp. 517-532). Wiesbaden: VS Verlag für Sozialwissenschaften. &lt;/ref&gt;):
* '''Abbildungsmerkmal:''' Modelle repräsentieren die Realität, existieren jedoch nicht in der Realität
* '''Verkürzungsmerkmal:''' Modelle beschreiben das Objekt nicht exakt, sondern stets vereinfacht 
* '''Pragmatisches Merkmal:''' Modelle verfolgen einen gewissen Zweck: Sie ersetzen eine nicht abbildbare Realität um Fragestellungen zu beantwortbar zu machen

==== Typisches Beispiele ==== 
* Betrachtungen in der Physik (Federpendel, Bewegungsgesetze,...) - Physik und Mathematische Modellbildung sind sehr eng miteinander verwoben
* Populationsdynamiken und Ausbreitugnsschemata in der Biologie  (vgl. Lotka-Volterra Modell)
* Bewegungsanalysen und Optimierungen in den Sportwissenschaften
* Untersuchungen von Transport- und Umweltprozessen in Biologie, Chemie, Physik, Technik,...
* Bedarfs- und Verbrauchs- und Verhaltensanalysen in Geisteswissenschaften


=== Mathematische Modelle ===
Mathematische Modelle werden gemessen und bewertet anhand &lt;ref&gt; 
Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., &amp; Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. &lt;/ref&gt;:
* '''Zulässigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte in sich widerspruchsfrei sein.
* '''Richtigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte im Vergleich mit der Realität keine Widersprüche zu offensichtlich richtigen Tatsachen aufweisen.
* '''Zweckmäßigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte genau den Detailgrad beinhalten, den es zum Erfüllen des Zwecks benötigt, nicht mehr und nicht weniger.

==== Gegenbeispiele für mathematische Modelle ====
Gegenbeispiele wären:
* Ein nicht zulässiges Modell könnte bei einer Betrachtung einer Punktmasse im Raum dennoch Luftwiederstände berücksichtigen (Punkte haben kein Volumen)
* Ein nicht richtiges Modell könnte bei der Modellierung von Transportprozessen von Schadstoffen die Massenerhaltung vernachlässigen.
* Ein nicht zweckmäßiges Modell könnte bei dem Versuch den perfekten Abwurfwinkel beim Speerwurf die Krümmung der Erdpberfläche berücksichtigen.

==== Bemerkung - Kriterien ====
Die Kriterien, insbesondere Richtigkeit und Zweckmäßigkeit, sind nicht 100% operational. Einerseits fordert die Richtigkeit, keine bekannten Tatsachen auszulassen, andererseits dürfen hinsichtlich einer passenden Zweckmäßigkeit auch nur ausreichend viele Details integriert werden).

==Der Modellbildungszyklus==
Wie kommt man nun von einer Realen Situation, die ein Problem aufwirft zu einem adäquaten mathematischen Modell? Dazu hat sich als (möglichst allgemeine Vorgehensweise) der Modellbildungszyklus ergeben:
[[Datei:Modellbildungszyklus Mod6.png|miniatur|Modellbildungszyklus]]
===Verlauf des MBZ ===
Der Modellbildugnszyklus beschreibt schematisch die iterative Erstellung einer mathematischen Modellbildung:
* Ausgangspunkt ist eine reale Situation, die ein Problem aufwirft, die von dem mathematischen Modell adressiert werden soll
* Dieses Problem wird inhaltlich erfasst, anschliessend mathematisch Übersetzt (Betrachten von Gleichungen, Funktionen, Geometrischen Objekten,...)
* Durch das Betrachten von mathematischen Objekten können über passende Operationen deduktiv Resultate geschlussfolgert werden
* Diese Resultate werden mit der Realsituation abgeglichen
* Aus dem Vergleich werden mögliche Optimierungen und Limitationen des Modells abgeleitet
* Durch die Limitationen werden kann das Modell weiterentwickelt werden

Diese Schritte können/müssen dabei mehrfach durchlaufen werden.

Die Integration von computergestützter Software ist in der mathematischen Modellbildung definitionsgemäss nicht zwigend erforderlich, für die meisten anwendungsbezogenen Modellierungen jedoch unumgänglich.

==Konkretes Beispiel einer Mathematischen Modellbildung==
[[Kurs:Mathematische_Modellbildung/Themen/Radioaktivit%C3%A4t_und_Risikoliteralit%C3%A4t]]
[[Datei:Screenshot 2D Ansicht Resultate.png|miniatur|alternativtext=Ansicht der möglichen Auftreffpunkte des radioaktiven Niederschlags|Ansicht der möglichen Auftreffpunkte des radioaktiven Niederschlags]]
[[File:Zeitliche Abhängigkeit der Risikofunktion.gif|thumb|Das GIF zeigt die Zeitliche Abhängigkeit der Risikofunktion]]

=== Ziel der Modellierung ===
Ziel in dieser Modellierung war es, ein Modell zur räumlichen und zeitlichen Ausbreitung einer radioaktiv belasteten Wolke, sowie dessen Rain-Out, infolge einer Reaktorkatastrophe am (mittlerweile abgeschalteten) Kernkraftwerk in Philippsburg zu beschreiben.
Unter zu Hilfenahme von Messwerten von dem Reaktorunglück in Tschernobyl und den Halbwertszeiten des radioaktiven Materials wurde der zeitliche Zerfall erfasst.

Der Transport von radioaktiven Material wurde durch eine Kugel im &lt;math&gt; \mathbb{R}^3 &lt;/math&gt; modelliert. Diese bewegt sich gemäss einer variablen Windrichtung (gegeben durch Winkel &lt;math&gt; \alpha &lt;/math&gt;) und regnet sich nach einer gewissen Durchschnittsdauer ab. 


=== Endresultat ===
Es wurde in drei Modellbildungszyklen eine Funktion zur Beschreibung der radioaktiven Belastung (repräsentativ für das Risiko) abgeleitet:

 &lt;math&gt;u(x,y,t,\alpha)=\frac{1480\cdot e^{-\frac{ln(2)}{30a} \cdot t}}{1+\frac{7}{10.000}\cdot (x^2+y^2)}+\frac{40\cdot e^{-\frac{ln(2)}{30a} \cdot t}}{1+\frac{1}{7.500}\cdot ((x-1080cos(\alpha))^2+(y-1080sin(\alpha))^2)}&lt;/math&gt;

Letztlich erhält man also eine Funktion die in ihrem Ausgabewert &lt;math&gt;z=u(x,y,t,\alpha)&lt;/math&gt; abhängig von 4 Eingabewerten &lt;math&gt;x, y, t, \alpha &lt;/math&gt; ist.

==Modellbildung in der Schule==
===Einbindung in den Lehrplan===
Die mathematische Modellbildung ist stark in den Mathematik-Lehrplan für Schulen in Rheinland-Pfalz integriert (hier wird sich an dem Lehrplan für Sekundarstufe II orientiert &lt;ref&gt; Ministerium für Bildung, Wissensachft, Weiterbildung und Kultur (2015), Lehrplan Mathematik. Grund- und Leistungsfach in der gymnasialen Oberstufe (Mainzer Studienstufe) &lt;/ref&gt;).

Im Bezug zu Problemlösen im Mathematikunterricht und Mathematik im fachübergreifenden Kontext, sollen Anwendungsbeispiele Einzug halten, die Schülerinnen und Schülern aus anderen Fächern bekannt sind. In diesem Zusammenhang wird mathematische Modellbildung als Methode zur Lösung von solchen Anwendungsproblemen genannt.

===Konkreter Themenbezug===
Zu folgenden mathematischen Themengebieten wird explizit Mathematischen Modellbildung zur unterrichtlichen Umsetzung erwähnt:
*Exponentialfunktionen (Wachstums- und Zerfallsprozesse
*Matrizenrechnung (Input-Output-Analysen, Zustandsübergangsprozesse, Populationsentwicklung,...)
*Differential- und Integralrechnung (lineare oder logistische Wachstumsprozesse)
Auch der Einsatz von computergestützten Hilfs- und Lösungsmitteln im Zuge der Modellbildung wird betont. 

(Bemerke: Auch im Lehrplan wird ein vergleichbarer Modellbildungszyklus vorgestellt und beschrieben. Bei Bedarf kann dieser auf Seite 15-16 &lt;ref&gt; Ministerium für Bildung, Wissensachft, Weiterbildung und Kultur (2015), Lehrplan Mathematik. Grund- und Leistungsfach in der gymnasialen Oberstufe (Mainzer Studienstufe) &lt;/ref&gt; nachgelesen werden)

===Zugang zur Bildung für Nachhaltigen Entwicklung===
Durch die Möglichkeit fachübergreifende Fragestellungen zu behandeln und Prozesse der Realität in den Blick zu nehmen, kann mathematische Modellbildung die Brücke zur Bildung für Nachhaltigen Entwicklung (BNE) schlagen.

&quot;Die BNE zielt grundsätzlich darauf ab, es jedem und jeder Einzelnen zu ermöglichen, die Folgen des eigenen Handelns auf die Welt sowie intra- und intergenerationell zu verstehen, verantwortungsvolle Entscheidungen zu treffen und aktiv zu werden.&quot; &lt;ref&gt; Ministerium für Bildung. Bildung für nachhaltige Entwicklung. Online abrufbar unter: https://bm.rlp.de/unsere-schwerpunkte/bildung-fuer-nachhaltige-entwicklung &lt;/ref&gt;

Mathematische Modellbildung kann unter praktischer Anwendung von gelernten Inhalten im Schulunterricht zu BNE beitragen, indem eben gezielt Probleme adressiert werden und von Schülerinnen und Schülern eigenständig untersucht werden.

==Ziel und Organisation des Seminars==
===Ziel und Aufgabe===
In Kleingruppen (3-4 Personen) sollen aussermathematische Fragestellungen mit einer eigenen mathematischen Modellbildung behandelt werden.

Dazu sollen drei Modellbildungszyklen mit unterschiedlichem Grad an Vereinfachung und unterschiedlicher Mathematischen Grundlage erstellt werden:
* Zyklus: Mathematik der Sekundarstufe 1 (Mittelstufe)
* Zyklus: Mathematik der Sekundarstufe 2 (Oberstufe)
* Zyklus: Universitätsmathematik

In jedem Zyklus sollen computergestützte Untersuchungen und Betrachtungen Einzug erhalten. Somit bietet es sich an in insgesamt auch drei verschiedene Programme (Tabellenkalkulation, GeoGebra, RStudio, Maxima,...) zu integrieren - an manchen stellen lässt sich dies gar nicht vermeiden.

===Themenwahl===
Das Thema sollte einen weltlichen Bezug haben. Am besten eigenen sich Themen aus dem jeweiligen Zweitfach (s. Verbindung zu anderen Schulfächern im Lehrplan).

Das Thema sollte nachhaltige Entwicklung im Rahmen der Sustainable Development Goals adressieren. Siehe dazu: https://www.bundesumweltministerium.de/themen/nachhaltigkeit/nachhaltigkeitsziele-sdgs

Vorzugsweise: Räumliche Risikobetrachtungen in Desaster- und Katastrophenszenarien. 

Das Thema sollte sich nicht mit denen der vergangenen Semestern doppeln. Zur Orientierung und Inspiration finden sich hier die Projekte der vergangenen Semester:
:: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2026 Sommersemester|2026 Sommersemester]]'''
:: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2025-26 Wintersemester|2025/26 Wintersemester]]'''
:: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2024-25 Wintersemester|2024/25 Wintersemester]]'''
:: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2023-24 Wintersemester|2023/24 Wintersemester]]'''
:: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2022-23 Winteresemester|2022/23 Wintersemester]]'''

===Portfolio===
Während des Semesters soll in Gruppenarbeit die Modellbildung durchgeführt werden. Diese wird schriftlich in einem Portfolio festgehalten. Dies Portfolio wird, genau wie dieser Artikel auch, in einem Wikiversity Artikel dokumentiert. Dieser sollte folgendes enthalten:
* Einleitung: Beschreibung und Einordnung des Themas &amp; welche(s) SDG wird adressiert und warum?
* Ziel der Modellierung: Welches Problem wird in der Modellierung / den einzelnen Zyklen konkret angegangen?
* Zyklus 1-3
** Mathematisches Modell (welche Mathematischen Objekte werden betrachtet, wie ergeben die sich,...)
** Ergebnisse (Ableiten von Resultaten aus dem Modell)
** Bewertung der Ergebnisse
** Grenzen und Limitationen
** Ausblick für nächsten Zyklus (welche Limitationen und Probleme aus dem Zyklus werden im folgenden adressiert?)

In allen Punkten der Modellzyklen können Programme computergestützte Tools verwendet werden.

Zur Erstellung von Wiki-Seiten ist folgende Seite hilfreich:

https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:Textgestaltung

===Prüfung===
Die Prüfung gliedert sich in zwei Aspekte:
* '''Vorstellung von ausgewählten Teilen aus dem eigenen Portfolio''' - diese werden von den Prüfer:innen aus dem Portfolio der Studierenden ausgewählt.
* '''Diskussion und Fragen''' der Prüfer:innen zu dem Portfolio, z.B. zu Teilen des Portfolios, die in der Vorstellung nicht behandelt werden können.
Ein Portfolio kann aus Zeitgründen nie vollständig in der Prüfung dargestellt werden.

In der mündlichen Portfolio-Prüfung wird geprüft, ob
*das eigene Modell verstanden ist,
*das eigene Modell kritisch hinterfragt werden kann,
*die Limitationen des Modells begründet und nachvollziehbar wiedergegeben werden können,
*die Übergänge zwischen den Zyklen beschrieben und begründet werden können,
*die technische Umsetzung reproduziert und erklärt werden kann,
*... . 

Es ist also wichtig zu wissen, was wie an welcher Stelle und mit welchem Zweck in der Modellierung gemacht wurde!

Das Portfolio (Wiki-Seite) wird somit konkret vorgestellt. Eine Präsentation des Portfolio kann automatisch mit Wiki2Reveal erstellt werden.

=== Unterstützungsangebot ===
* Das Unterstützungsangebot erfolgt in der Lehrveranstaltung zur &quot;Mathematischen Modellbildung&quot;. 
* Eine individuelle Sonderbehandlung für einzelne Studierende, die das Angebot der Vorlesung nicht nutzen und kurz vor Prüfungsbeginn noch &quot;schnell&quot; ein Portfolio zusammenstellen wollen, ist aus zeitlichen Gründen kurz vor der Prüfung nicht möglich. 
* Portfolioprüfungen der Lehrveranstaltung beziehen sich immer auf das erstellte Portfolio im laufende Semester und bei Wiederholungsprüfungen auf das Semester, in dem Portfolio erstellt wurde. 
* Eine Prüfung kann nur zu dem eigenen erstellten Portfolio in der Lehrveranstaltung abgelegt werden, an dessen Erstellung man aktiv mitgearbeitet hat.

===Ablauf des Seminars===
Der Seminarablauf über das Semester gestaltet sich grob wie folgt: 
* 1. Woche (19.10.): Einführungsveranstaltung + Gruppenfindung
* 2. Woche (26.10.): Themenfindung
* 3. Woche (02.11.): Themenfindung + Zyklen festlegen
* 4. Woche (09.11.): Zyklen festlegen
* 5. Woche (16.11.): Kurzvorstellung der Themen und Zyklen (5 Minuten pro Gruppe)
Ab Woche 6 (23.11.) bis Ende des Semesters wird gemeinsam an den Modellen und dem Portfolio gearbeitet.

Empfehlenswert wäre es, die letzten 2-3 Wochen für Finalisierungsarbeiten zu nutzen und entsprechend frühzeitig zu planen! Ausschliesslich während der Seminarzeiten an dem Modell und Portfolio zu arbeiten wird nicht ausreichen! 

Die Kurzpräsentationen am 16.11. umfassen den aktuellen Stand der Überlegungen und sind noch unter keinen Umständen verbindlich. Stattdessen dient es einfach zur Grundlage von gemeinsamer Diskussion und zur Einbringung von weiteren Ideen.

=Hilfreiche Links=
===Fachmathematische Aspekte ===
Wenn man das Modellierungsproblem in den Mittelpunkt stellt und die Fragestellung den Nachhaltigkeitszielen der UN zuordnet, kommen z.T. fachmathematische Aspekte erforderlich, die nicht in der jeweiligen Schulstufe bzw. in den Vorlesungen behandelt wurden. Dies Kapitel erhält Hinweise zu fachmathematischen Bereichen, die für die mathematische Modellbildung ggf. als Werkzeug verwendet werden können
* '''[[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]''' dienen dazu, Datenpunkte im &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; oder allgemein im &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; zu [[w:Interpolation_(Mathematik)|interpolieren]].
* '''[https://en.wikiversity.org/wiki/3D_Modelling 3D Modellierung für Projektinhalte]''' und [[w:Projektive_Geometrie|projektive Geometrie]] zur Visualisierung
* '''[[Gradientenabstiegsverfahren]]''': Wird verwendet, um sich in der mathematischen Modellbildung iterativ einem Minimum einer Kosten- oder Fehlerfunktion anzunähern.
* [[w:Lineare_Optimierung|'''Lineare Optimierung''']]  wird in  Optimierungshaufgaben wie beispielsweise  bei der Suche nach Minimum der Produktionskosten verwendet. Hierbei wird in allgemeinem nach einem Minimium/Maximum einer linearer Zielfunktion über einer Menge gesucht. [https://www.geogebra.org/m/kr727992 '''Ein Beispiel in Geogebra''']
*[[Räumliche Diffusion|'''Räumliche Diffusion''']]
*[[Modelle_der_Populationsdynamik|'''Modelle der Populationsdynamik''']]  - [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&amp;title=Modelle%20der%20Populationsdynamik&amp;author=Kurs:R%C3%A4umliche%20Modellbildung&amp;language=de&amp;audioslide=yes (Wiki2Reveal-Folien)]  -  [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] 
* '''[[Kurs:Stochastik/Wahrscheinlichkeitsdichte|Wahrscheinlichkeitsdichte]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&amp;title=Kurs:Stochastik/Wahrscheinlichkeitsdichte&amp;author=Kurs:Stochastik&amp;language=de&amp;audioslide=yes&amp;shorttitle=Wahrscheinlichkeitsdichte&amp;coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]]

===Softwarenutzung ===
Im PC-Praktikum wurden grundlegende Kenntnisse im Umgang mit Software erlangt, die für die Berechnung von mathematischen Modellen vorwendig sind. Diese Kenntnisse müssen ggf. auf das spezielle Modellierungsthema angepasst und erweitert werden.
* '''[[CSV2Chart]]''' Aus CSV-Dateien mathematische Graphen in Wikiversity erstellen.
* '''[[Maxima CAS]]''' enthält die verwendeten Werkzeuge und Kommandos eines Computeralgebrasystems (CAS), die die einzelnen Projekte in dem Modellbildungszyklus verwendet haben.
* '''[https://sagecell.sagemath.org/ SageCell]''' Online-Umgebung zur Ausführung und Demonstration von Befehlen in R, Octave, Maxima, ... (Auswahl des Befehlssatzes auf der https://sagecell.sagemath.org/ SageCell-Seite] unten rechts auf dem Eingabefeld)
* '''[[Statistikprogramm R]]''' enthält die verwendeten Werkzeuge und Kommandos, die für Berechnungen und Veranschaulichungen in den  Projekten verwendet haben.
* '''[[Tabellenkalkulation]]''' werden in Portfolios in der Regel verwendet, um Daten in den Portfolios aufzubereiten.
* '''[[Octave]]''' wird in der Regel verwendet, um numerische Berechnung in der Mathematischen Modellbildung durchzuführen.
* '''[[Geogebra]]''' ist eine Dynamische Geometriesoftware, die zur vektoriellen Veranschaulichung von räumlichen Modellierungsproblemen oder auch zur parametrisierten Darstellung von Funktionen verwendet wird (Beispiel: [https://www.geogebra.org/m/e9b349k9 Parkplatzlösung in Geogebra von Shrey T (2017)]). 
* '''[[w:Screencast|Screencast]]''': Ein Screencast ist eine Bildschirmaufnahme mit Audiokommentaren, die zeigt, wie man z.B. Software bedient. Ein Screencast ist eine Hilfestellung für Lernende, die sich noch nicht so gut mit einer bestimmten Software auskennen.
:* [https://obsproject.com/ '''Open Broadcast Software (OBS)''' - Linux, Windows, MacOSX ] - [[Konvexkombination|Beispielvideo in Wikiversity]]
* [[v:en:3D_Modelling|'''3D-Modellbildung''' (englisch)]]
* '''[http://niebert.github.io/imgmap/ Online-ImageMap-Editor]''' - Anklickbare Bereiche in Wikiversity-Bildern erstellen.
* '''[https://openlayers.org/en/latest/examples/heatmap-earthquakes.html HeatMaps]:''' Erstellung von [https://niebert.github.io/openlayer_heatmap HeatMaps mit einem Online-Editor] (Download [https://github.com/niebert/openlayer_heatmap/archive/master.zip Heatmap-Editor und Beispieldaten in Ordner &lt;tt&gt;/HeatMap&lt;/tt&gt; in ZIP-Datei])
* '''[[Wiki2Reveal]]:''' Portfolio-Präsentationen direkt im Wikiversity erstellen.

===Editierungshilfen===
* [https://latexeditor.lagrida.com/ Online-Formel-Editor für LaTeX-Formeln]&lt;ref&gt;Lagrida Web-Portal (2021) Online-Latex-Formel-Editor mit Vorschau - URL: https://latexeditor.lagrida.com/ (accessed 2021/11/21))&lt;/ref&gt;  - die erzeugten Formeln müssen in einen MATH-Tag mit &lt;kbd&gt;&lt;math&gt; ...&lt;/math&gt;&lt;/kbd&gt; eingeschlossen werden bei der Seiteneditierung.
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:TeX Mathematische Formeln in Wikiversity]
* Textgestaltung in Wikis: https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:Textgestaltung
==Wiki2Reveal==
* '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung2627|Kurs:Mathematische Modellbildung2627]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&amp;title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung2627&amp;author=&amp;language=de&amp;audioslide=yes&amp;shorttitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung2627&amp;coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]]
 

== Verweise ==
&lt;references/&gt;

== Seiteninformation ==
Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&amp;title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&amp;author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&amp;language=de&amp;audioslide=yes&amp;shorttitle=2026-27%20Wintersemester&amp;coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen.

=== Wiki2Reveal ===

Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&amp;title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&amp;author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&amp;language=de&amp;audioslide=yes&amp;shorttitle=2026-27%20Wintersemester&amp;coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung Kurs:Mathematische Modellbildung]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem  [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt.
&lt;!--
* Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten:
** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester]
--&gt;
* [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt.
* Link zur Quelle in  Wikiversity:  https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester
* siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&amp;title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&amp;author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&amp;language=de&amp;audioslide=yes&amp;shorttitle=2026-27%20Wintersemester&amp;coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Linkgenerator].
&lt;!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --&gt;;

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      <text bytes="22677" sha1="t6s1iuwj8bolkqtmu2h0aqktu5a3vu8" xml:space="preserve">==Begriffsklärung==
DEMO

=== Was ist mathematische Modellbildung ===
''Ganz grob gesagt besteht Mathematische Modellierung oder auch Mathematische Modellbildung
darin, reale Fragestellungen mit mathematischen Mitteln zu bearbeiten und sie auf diesem Wege
zumindest teilweise zu beantworten''&lt;ref&gt; 
Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., &amp; Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. &lt;/ref&gt; .

=== Was ist ein Modell ===
Ein Modell ist dabei gegeben durch innere Scheinbilder oder Repräsentatonen, die nicht
zum Bereich der äußeren Gegenstände, sondern zu Vorstellungen von einem solchen realen Gegenstand gehören und
ihnen daher auch in gewissen Grenzen etwas Willkürliches anhaftet (Sinngemäß nach Hertz, zitiert von Ortlieb&lt;ref&gt; 
Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., &amp; Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. &lt;/ref&gt;).

==== Eigenschaften von Modellen ====
Somit lassen sich vereinfacht und verkürzt folgende Eigenschaften ableiten (Stachowiak, zitiert nach Saam &lt;ref&gt; Saam, N. J. (2009). Modellbildung. In Handbuch Methoden der Organisationsforschung: Quantitative und Qualitative Methoden (pp. 517-532). Wiesbaden: VS Verlag für Sozialwissenschaften. &lt;/ref&gt;):
* '''Abbildungsmerkmal:''' Modelle repräsentieren die Realität, existieren jedoch nicht in der Realität
* '''Verkürzungsmerkmal:''' Modelle beschreiben das Objekt nicht exakt, sondern stets vereinfacht 
* '''Pragmatisches Merkmal:''' Modelle verfolgen einen gewissen Zweck: Sie ersetzen eine nicht abbildbare Realität um Fragestellungen zu beantwortbar zu machen

==== Typisches Beispiele ==== 
* Betrachtungen in der Physik (Federpendel, Bewegungsgesetze,...) - Physik und Mathematische Modellbildung sind sehr eng miteinander verwoben
* Populationsdynamiken und Ausbreitugnsschemata in der Biologie  (vgl. Lotka-Volterra Modell)
* Bewegungsanalysen und Optimierungen in den Sportwissenschaften
* Untersuchungen von Transport- und Umweltprozessen in Biologie, Chemie, Physik, Technik,...
* Bedarfs- und Verbrauchs- und Verhaltensanalysen in Geisteswissenschaften


=== Mathematische Modelle ===
Mathematische Modelle werden gemessen und bewertet anhand &lt;ref&gt; 
Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., &amp; Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. &lt;/ref&gt;:
* '''Zulässigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte in sich widerspruchsfrei sein.
* '''Richtigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte im Vergleich mit der Realität keine Widersprüche zu offensichtlich richtigen Tatsachen aufweisen.
* '''Zweckmäßigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte genau den Detailgrad beinhalten, den es zum Erfüllen des Zwecks benötigt, nicht mehr und nicht weniger.

==== Gegenbeispiele für mathematische Modelle ====
Gegenbeispiele wären:
* Ein nicht zulässiges Modell könnte bei einer Betrachtung einer Punktmasse im Raum dennoch Luftwiederstände berücksichtigen (Punkte haben kein Volumen)
* Ein nicht richtiges Modell könnte bei der Modellierung von Transportprozessen von Schadstoffen die Massenerhaltung vernachlässigen.
* Ein nicht zweckmäßiges Modell könnte bei dem Versuch den perfekten Abwurfwinkel beim Speerwurf die Krümmung der Erdpberfläche berücksichtigen.

==== Bemerkung - Kriterien ====
Die Kriterien, insbesondere Richtigkeit und Zweckmäßigkeit, sind nicht 100% operational. Einerseits fordert die Richtigkeit, keine bekannten Tatsachen auszulassen, andererseits dürfen hinsichtlich einer passenden Zweckmäßigkeit auch nur ausreichend viele Details integriert werden).

==Der Modellbildungszyklus==
Wie kommt man nun von einer Realen Situation, die ein Problem aufwirft zu einem adäquaten mathematischen Modell? Dazu hat sich als (möglichst allgemeine Vorgehensweise) der Modellbildungszyklus ergeben:
[[Datei:Modellbildungszyklus Mod6.png|miniatur|Modellbildungszyklus]]
===Verlauf des MBZ ===
Der Modellbildugnszyklus beschreibt schematisch die iterative Erstellung einer mathematischen Modellbildung:
* Ausgangspunkt ist eine reale Situation, die ein Problem aufwirft, die von dem mathematischen Modell adressiert werden soll
* Dieses Problem wird inhaltlich erfasst, anschliessend mathematisch Übersetzt (Betrachten von Gleichungen, Funktionen, Geometrischen Objekten,...)
* Durch das Betrachten von mathematischen Objekten können über passende Operationen deduktiv Resultate geschlussfolgert werden
* Diese Resultate werden mit der Realsituation abgeglichen
* Aus dem Vergleich werden mögliche Optimierungen und Limitationen des Modells abgeleitet
* Durch die Limitationen werden kann das Modell weiterentwickelt werden

Diese Schritte können/müssen dabei mehrfach durchlaufen werden.

Die Integration von computergestützter Software ist in der mathematischen Modellbildung definitionsgemäss nicht zwigend erforderlich, für die meisten anwendungsbezogenen Modellierungen jedoch unumgänglich.

==Konkretes Beispiel einer Mathematischen Modellbildung==
[[Kurs:Mathematische_Modellbildung/Themen/Radioaktivit%C3%A4t_und_Risikoliteralit%C3%A4t]]
[[Datei:Screenshot 2D Ansicht Resultate.png|miniatur|alternativtext=Ansicht der möglichen Auftreffpunkte des radioaktiven Niederschlags|Ansicht der möglichen Auftreffpunkte des radioaktiven Niederschlags]]
[[File:Zeitliche Abhängigkeit der Risikofunktion.gif|thumb|Das GIF zeigt die Zeitliche Abhängigkeit der Risikofunktion]]

=== Ziel der Modellierung ===
Ziel in dieser Modellierung war es, ein Modell zur räumlichen und zeitlichen Ausbreitung einer radioaktiv belasteten Wolke, sowie dessen Rain-Out, infolge einer Reaktorkatastrophe am (mittlerweile abgeschalteten) Kernkraftwerk in Philippsburg zu beschreiben.
Unter zu Hilfenahme von Messwerten von dem Reaktorunglück in Tschernobyl und den Halbwertszeiten des radioaktiven Materials wurde der zeitliche Zerfall erfasst.

Der Transport von radioaktiven Material wurde durch eine Kugel im &lt;math&gt; \mathbb{R}^3 &lt;/math&gt; modelliert. Diese bewegt sich gemäss einer variablen Windrichtung (gegeben durch Winkel &lt;math&gt; \alpha &lt;/math&gt;) und regnet sich nach einer gewissen Durchschnittsdauer ab. 


=== Endresultat ===
Es wurde in drei Modellbildungszyklen eine Funktion zur Beschreibung der radioaktiven Belastung (repräsentativ für das Risiko) abgeleitet:

 &lt;math&gt;u(x,y,t,\alpha)=\frac{1480\cdot e^{-\frac{ln(2)}{30a} \cdot t}}{1+\frac{7}{10.000}\cdot (x^2+y^2)}+\frac{40\cdot e^{-\frac{ln(2)}{30a} \cdot t}}{1+\frac{1}{7.500}\cdot ((x-1080cos(\alpha))^2+(y-1080sin(\alpha))^2)}&lt;/math&gt;

Letztlich erhält man also eine Funktion die in ihrem Ausgabewert &lt;math&gt;z=u(x,y,t,\alpha)&lt;/math&gt; abhängig von 4 Eingabewerten &lt;math&gt;x, y, t, \alpha &lt;/math&gt; ist.

==Modellbildung in der Schule==
===Einbindung in den Lehrplan===
Die mathematische Modellbildung ist stark in den Mathematik-Lehrplan für Schulen in Rheinland-Pfalz integriert (hier wird sich an dem Lehrplan für Sekundarstufe II orientiert &lt;ref&gt; Ministerium für Bildung, Wissensachft, Weiterbildung und Kultur (2015), Lehrplan Mathematik. Grund- und Leistungsfach in der gymnasialen Oberstufe (Mainzer Studienstufe) &lt;/ref&gt;).

Im Bezug zu Problemlösen im Mathematikunterricht und Mathematik im fachübergreifenden Kontext, sollen Anwendungsbeispiele Einzug halten, die Schülerinnen und Schülern aus anderen Fächern bekannt sind. In diesem Zusammenhang wird mathematische Modellbildung als Methode zur Lösung von solchen Anwendungsproblemen genannt.

===Konkreter Themenbezug===
Zu folgenden mathematischen Themengebieten wird explizit Mathematischen Modellbildung zur unterrichtlichen Umsetzung erwähnt:
*Exponentialfunktionen (Wachstums- und Zerfallsprozesse
*Matrizenrechnung (Input-Output-Analysen, Zustandsübergangsprozesse, Populationsentwicklung,...)
*Differential- und Integralrechnung (lineare oder logistische Wachstumsprozesse)
Auch der Einsatz von computergestützten Hilfs- und Lösungsmitteln im Zuge der Modellbildung wird betont. 

(Bemerke: Auch im Lehrplan wird ein vergleichbarer Modellbildungszyklus vorgestellt und beschrieben. Bei Bedarf kann dieser auf Seite 15-16 &lt;ref&gt; Ministerium für Bildung, Wissensachft, Weiterbildung und Kultur (2015), Lehrplan Mathematik. Grund- und Leistungsfach in der gymnasialen Oberstufe (Mainzer Studienstufe) &lt;/ref&gt; nachgelesen werden)

===Zugang zur Bildung für Nachhaltigen Entwicklung===
Durch die Möglichkeit fachübergreifende Fragestellungen zu behandeln und Prozesse der Realität in den Blick zu nehmen, kann mathematische Modellbildung die Brücke zur Bildung für Nachhaltigen Entwicklung (BNE) schlagen.

&quot;Die BNE zielt grundsätzlich darauf ab, es jedem und jeder Einzelnen zu ermöglichen, die Folgen des eigenen Handelns auf die Welt sowie intra- und intergenerationell zu verstehen, verantwortungsvolle Entscheidungen zu treffen und aktiv zu werden.&quot; &lt;ref&gt; Ministerium für Bildung. Bildung für nachhaltige Entwicklung. Online abrufbar unter: https://bm.rlp.de/unsere-schwerpunkte/bildung-fuer-nachhaltige-entwicklung &lt;/ref&gt;

Mathematische Modellbildung kann unter praktischer Anwendung von gelernten Inhalten im Schulunterricht zu BNE beitragen, indem eben gezielt Probleme adressiert werden und von Schülerinnen und Schülern eigenständig untersucht werden.

==Ziel und Organisation des Seminars==
===Ziel und Aufgabe===
In Kleingruppen (3-4 Personen) sollen aussermathematische Fragestellungen mit einer eigenen mathematischen Modellbildung behandelt werden.

Dazu sollen drei Modellbildungszyklen mit unterschiedlichem Grad an Vereinfachung und unterschiedlicher Mathematischen Grundlage erstellt werden:
* Zyklus: Mathematik der Sekundarstufe 1 (Mittelstufe)
* Zyklus: Mathematik der Sekundarstufe 2 (Oberstufe)
* Zyklus: Universitätsmathematik

In jedem Zyklus sollen computergestützte Untersuchungen und Betrachtungen Einzug erhalten. Somit bietet es sich an in insgesamt auch drei verschiedene Programme (Tabellenkalkulation, GeoGebra, RStudio, Maxima,...) zu integrieren - an manchen stellen lässt sich dies gar nicht vermeiden.

===Themenwahl===
Das Thema sollte einen weltlichen Bezug haben. Am besten eigenen sich Themen aus dem jeweiligen Zweitfach (s. Verbindung zu anderen Schulfächern im Lehrplan).

Das Thema sollte nachhaltige Entwicklung im Rahmen der Sustainable Development Goals adressieren. Siehe dazu: https://www.bundesumweltministerium.de/themen/nachhaltigkeit/nachhaltigkeitsziele-sdgs

Vorzugsweise: Räumliche Risikobetrachtungen in Desaster- und Katastrophenszenarien. 

Das Thema sollte sich nicht mit denen der vergangenen Semestern doppeln. Zur Orientierung und Inspiration finden sich hier die Projekte der vergangenen Semester:
:: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2026 Sommersemester|2026 Sommersemester]]'''
:: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2025-26 Wintersemester|2025/26 Wintersemester]]'''
:: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2024-25 Wintersemester|2024/25 Wintersemester]]'''
:: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2023-24 Wintersemester|2023/24 Wintersemester]]'''
:: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2022-23 Winteresemester|2022/23 Wintersemester]]'''

===Portfolio===
Während des Semesters soll in Gruppenarbeit die Modellbildung durchgeführt werden. Diese wird schriftlich in einem Portfolio festgehalten. Dies Portfolio wird, genau wie dieser Artikel auch, in einem Wikiversity Artikel dokumentiert. Dieser sollte folgendes enthalten:
* Einleitung: Beschreibung und Einordnung des Themas &amp; welche(s) SDG wird adressiert und warum?
* Ziel der Modellierung: Welches Problem wird in der Modellierung / den einzelnen Zyklen konkret angegangen?
* Zyklus 1-3
** Mathematisches Modell (welche Mathematischen Objekte werden betrachtet, wie ergeben die sich,...)
** Ergebnisse (Ableiten von Resultaten aus dem Modell)
** Bewertung der Ergebnisse
** Grenzen und Limitationen
** Ausblick für nächsten Zyklus (welche Limitationen und Probleme aus dem Zyklus werden im folgenden adressiert?)

In allen Punkten der Modellzyklen können Programme computergestützte Tools verwendet werden.

Zur Erstellung von Wiki-Seiten ist folgende Seite hilfreich:

https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:Textgestaltung

===Prüfung===
Die Prüfung gliedert sich in zwei Aspekte:
* '''Vorstellung von ausgewählten Teilen aus dem eigenen Portfolio''' - diese werden von den Prüfer:innen aus dem Portfolio der Studierenden ausgewählt.
* '''Diskussion und Fragen''' der Prüfer:innen zu dem Portfolio, z.B. zu Teilen des Portfolios, die in der Vorstellung nicht behandelt werden können.
Ein Portfolio kann aus Zeitgründen nie vollständig in der Prüfung dargestellt werden.

In der mündlichen Portfolio-Prüfung wird geprüft, ob
*das eigene Modell verstanden ist,
*das eigene Modell kritisch hinterfragt werden kann,
*die Limitationen des Modells begründet und nachvollziehbar wiedergegeben werden können,
*die Übergänge zwischen den Zyklen beschrieben und begründet werden können,
*die technische Umsetzung reproduziert und erklärt werden kann,
*... . 

Es ist also wichtig zu wissen, was wie an welcher Stelle und mit welchem Zweck in der Modellierung gemacht wurde!

Das Portfolio (Wiki-Seite) wird somit konkret vorgestellt. Eine Präsentation des Portfolio kann automatisch mit Wiki2Reveal erstellt werden.

=== Unterstützungsangebot ===
* Das Unterstützungsangebot erfolgt in der Lehrveranstaltung zur &quot;Mathematischen Modellbildung&quot;. 
* Eine individuelle Sonderbehandlung für einzelne Studierende, die das Angebot der Vorlesung nicht nutzen und kurz vor Prüfungsbeginn noch &quot;schnell&quot; ein Portfolio zusammenstellen wollen, ist aus zeitlichen Gründen kurz vor der Prüfung nicht möglich. 
* Portfolioprüfungen der Lehrveranstaltung beziehen sich immer auf das erstellte Portfolio im laufende Semester und bei Wiederholungsprüfungen auf das Semester, in dem Portfolio erstellt wurde. 
* Eine Prüfung kann nur zu dem eigenen erstellten Portfolio in der Lehrveranstaltung abgelegt werden, an dessen Erstellung man aktiv mitgearbeitet hat.

===Ablauf des Seminars===
Der Seminarablauf über das Semester gestaltet sich grob wie folgt: 
* 1. Woche (19.10.): Einführungsveranstaltung + Gruppenfindung
* 2. Woche (26.10.): Themenfindung
* 3. Woche (02.11.): Themenfindung + Zyklen festlegen
* 4. Woche (09.11.): Zyklen festlegen
* 5. Woche (16.11.): Kurzvorstellung der Themen und Zyklen (5 Minuten pro Gruppe)
Ab Woche 6 (23.11.) bis Ende des Semesters wird gemeinsam an den Modellen und dem Portfolio gearbeitet.

Empfehlenswert wäre es, die letzten 2-3 Wochen für Finalisierungsarbeiten zu nutzen und entsprechend frühzeitig zu planen! Ausschliesslich während der Seminarzeiten an dem Modell und Portfolio zu arbeiten wird nicht ausreichen! 

Die Kurzpräsentationen am 16.11. umfassen den aktuellen Stand der Überlegungen und sind noch unter keinen Umständen verbindlich. Stattdessen dient es einfach zur Grundlage von gemeinsamer Diskussion und zur Einbringung von weiteren Ideen.

=Hilfreiche Links=
===Fachmathematische Aspekte ===
Wenn man das Modellierungsproblem in den Mittelpunkt stellt und die Fragestellung den Nachhaltigkeitszielen der UN zuordnet, kommen z.T. fachmathematische Aspekte erforderlich, die nicht in der jeweiligen Schulstufe bzw. in den Vorlesungen behandelt wurden. Dies Kapitel erhält Hinweise zu fachmathematischen Bereichen, die für die mathematische Modellbildung ggf. als Werkzeug verwendet werden können
* '''[[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]''' dienen dazu, Datenpunkte im &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; oder allgemein im &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; zu [[w:Interpolation_(Mathematik)|interpolieren]].
* '''[https://en.wikiversity.org/wiki/3D_Modelling 3D Modellierung für Projektinhalte]''' und [[w:Projektive_Geometrie|projektive Geometrie]] zur Visualisierung
* '''[[Gradientenabstiegsverfahren]]''': Wird verwendet, um sich in der mathematischen Modellbildung iterativ einem Minimum einer Kosten- oder Fehlerfunktion anzunähern.
* [[w:Lineare_Optimierung|'''Lineare Optimierung''']]  wird in  Optimierungshaufgaben wie beispielsweise  bei der Suche nach Minimum der Produktionskosten verwendet. Hierbei wird in allgemeinem nach einem Minimium/Maximum einer linearer Zielfunktion über einer Menge gesucht. [https://www.geogebra.org/m/kr727992 '''Ein Beispiel in Geogebra''']
*[[Räumliche Diffusion|'''Räumliche Diffusion''']]
*[[Modelle_der_Populationsdynamik|'''Modelle der Populationsdynamik''']]  - [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&amp;title=Modelle%20der%20Populationsdynamik&amp;author=Kurs:R%C3%A4umliche%20Modellbildung&amp;language=de&amp;audioslide=yes (Wiki2Reveal-Folien)]  -  [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] 
* '''[[Kurs:Stochastik/Wahrscheinlichkeitsdichte|Wahrscheinlichkeitsdichte]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&amp;title=Kurs:Stochastik/Wahrscheinlichkeitsdichte&amp;author=Kurs:Stochastik&amp;language=de&amp;audioslide=yes&amp;shorttitle=Wahrscheinlichkeitsdichte&amp;coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]]

===Softwarenutzung ===
Im PC-Praktikum wurden grundlegende Kenntnisse im Umgang mit Software erlangt, die für die Berechnung von mathematischen Modellen vorwendig sind. Diese Kenntnisse müssen ggf. auf das spezielle Modellierungsthema angepasst und erweitert werden.
* '''[[CSV2Chart]]''' Aus CSV-Dateien mathematische Graphen in Wikiversity erstellen.
* '''[[Maxima CAS]]''' enthält die verwendeten Werkzeuge und Kommandos eines Computeralgebrasystems (CAS), die die einzelnen Projekte in dem Modellbildungszyklus verwendet haben.
* '''[https://sagecell.sagemath.org/ SageCell]''' Online-Umgebung zur Ausführung und Demonstration von Befehlen in R, Octave, Maxima, ... (Auswahl des Befehlssatzes auf der https://sagecell.sagemath.org/ SageCell-Seite] unten rechts auf dem Eingabefeld)
* '''[[Statistikprogramm R]]''' enthält die verwendeten Werkzeuge und Kommandos, die für Berechnungen und Veranschaulichungen in den  Projekten verwendet haben.
* '''[[Tabellenkalkulation]]''' werden in Portfolios in der Regel verwendet, um Daten in den Portfolios aufzubereiten.
* '''[[Octave]]''' wird in der Regel verwendet, um numerische Berechnung in der Mathematischen Modellbildung durchzuführen.
* '''[[Geogebra]]''' ist eine Dynamische Geometriesoftware, die zur vektoriellen Veranschaulichung von räumlichen Modellierungsproblemen oder auch zur parametrisierten Darstellung von Funktionen verwendet wird (Beispiel: [https://www.geogebra.org/m/e9b349k9 Parkplatzlösung in Geogebra von Shrey T (2017)]). 
* '''[[w:Screencast|Screencast]]''': Ein Screencast ist eine Bildschirmaufnahme mit Audiokommentaren, die zeigt, wie man z.B. Software bedient. Ein Screencast ist eine Hilfestellung für Lernende, die sich noch nicht so gut mit einer bestimmten Software auskennen.
:* [https://obsproject.com/ '''Open Broadcast Software (OBS)''' - Linux, Windows, MacOSX ] - [[Konvexkombination|Beispielvideo in Wikiversity]]
* [[v:en:3D_Modelling|'''3D-Modellbildung''' (englisch)]]
* '''[http://niebert.github.io/imgmap/ Online-ImageMap-Editor]''' - Anklickbare Bereiche in Wikiversity-Bildern erstellen.
* '''[https://openlayers.org/en/latest/examples/heatmap-earthquakes.html HeatMaps]:''' Erstellung von [https://niebert.github.io/openlayer_heatmap HeatMaps mit einem Online-Editor] (Download [https://github.com/niebert/openlayer_heatmap/archive/master.zip Heatmap-Editor und Beispieldaten in Ordner &lt;tt&gt;/HeatMap&lt;/tt&gt; in ZIP-Datei])
* '''[[Wiki2Reveal]]:''' Portfolio-Präsentationen direkt im Wikiversity erstellen.

===Editierungshilfen===
* [https://latexeditor.lagrida.com/ Online-Formel-Editor für LaTeX-Formeln]&lt;ref&gt;Lagrida Web-Portal (2021) Online-Latex-Formel-Editor mit Vorschau - URL: https://latexeditor.lagrida.com/ (accessed 2021/11/21))&lt;/ref&gt;  - die erzeugten Formeln müssen in einen MATH-Tag mit &lt;kbd&gt;&lt;math&gt; ...&lt;/math&gt;&lt;/kbd&gt; eingeschlossen werden bei der Seiteneditierung.
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:TeX Mathematische Formeln in Wikiversity]
* Textgestaltung in Wikis: https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:Textgestaltung
==Wiki2Reveal==
* '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung2627|Kurs:Mathematische Modellbildung2627]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&amp;title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung2627&amp;author=&amp;language=de&amp;audioslide=yes&amp;shorttitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung2627&amp;coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]]
 

== Verweise ==
&lt;references/&gt;

== Seiteninformation ==
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[[Category:Wiki2Reveal]]</text>
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      <text bytes="22533" sha1="hu5lkgl1xzd42okebn7ua85doa9va78" xml:space="preserve">==Begriffsklärung==
DEMO

=== Was ist mathematische Modellbildung ===
Ganz grob gesagt besteht Mathematische Modellierung oder auch Mathematische Modellbildung
darin, reale Fragestellungen mit mathematischen Mitteln zu bearbeiten und sie auf diesem Wege
zumindest teilweise zu beantworten

=== Was ist ein Modell ===
Ein Modell ist dabei gegeben durch innere Scheinbilder oder Repräsentatonen, die nicht
zum Bereich der äußeren Gegenstände, sondern zu Vorstellungen von einem solchen realen Gegenstand gehören und
ihnen daher auch in gewissen Grenzen etwas Willkürliches anhaftet (Sinngemäß nach Hertz, zitiert von Ortlieb&lt;ref&gt; 
Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., &amp; Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. &lt;/ref&gt;).

==== Eigenschaften von Modellen ====
Somit lassen sich vereinfacht und verkürzt folgende Eigenschaften ableiten (Stachowiak, zitiert nach Saam &lt;ref&gt; Saam, N. J. (2009). Modellbildung. In Handbuch Methoden der Organisationsforschung: Quantitative und Qualitative Methoden (pp. 517-532). Wiesbaden: VS Verlag für Sozialwissenschaften. &lt;/ref&gt;):
* '''Abbildungsmerkmal:''' Modelle repräsentieren die Realität, existieren jedoch nicht in der Realität
* '''Verkürzungsmerkmal:''' Modelle beschreiben das Objekt nicht exakt, sondern stets vereinfacht 
* '''Pragmatisches Merkmal:''' Modelle verfolgen einen gewissen Zweck: Sie ersetzen eine nicht abbildbare Realität um Fragestellungen zu beantwortbar zu machen

==== Typisches Beispiele ==== 
* Betrachtungen in der Physik (Federpendel, Bewegungsgesetze,...) - Physik und Mathematische Modellbildung sind sehr eng miteinander verwoben
* Populationsdynamiken und Ausbreitugnsschemata in der Biologie  (vgl. Lotka-Volterra Modell)
* Bewegungsanalysen und Optimierungen in den Sportwissenschaften
* Untersuchungen von Transport- und Umweltprozessen in Biologie, Chemie, Physik, Technik,...
* Bedarfs- und Verbrauchs- und Verhaltensanalysen in Geisteswissenschaften


=== Mathematische Modelle ===
Mathematische Modelle werden gemessen und bewertet anhand &lt;ref&gt; 
Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., &amp; Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. &lt;/ref&gt;:
* '''Zulässigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte in sich widerspruchsfrei sein.
* '''Richtigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte im Vergleich mit der Realität keine Widersprüche zu offensichtlich richtigen Tatsachen aufweisen.
* '''Zweckmäßigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte genau den Detailgrad beinhalten, den es zum Erfüllen des Zwecks benötigt, nicht mehr und nicht weniger.

==== Gegenbeispiele für mathematische Modelle ====
Gegenbeispiele wären:
* Ein nicht zulässiges Modell könnte bei einer Betrachtung einer Punktmasse im Raum dennoch Luftwiederstände berücksichtigen (Punkte haben kein Volumen)
* Ein nicht richtiges Modell könnte bei der Modellierung von Transportprozessen von Schadstoffen die Massenerhaltung vernachlässigen.
* Ein nicht zweckmäßiges Modell könnte bei dem Versuch den perfekten Abwurfwinkel beim Speerwurf die Krümmung der Erdpberfläche berücksichtigen.

==== Bemerkung - Kriterien ====
Die Kriterien, insbesondere Richtigkeit und Zweckmäßigkeit, sind nicht 100% operational. Einerseits fordert die Richtigkeit, keine bekannten Tatsachen auszulassen, andererseits dürfen hinsichtlich einer passenden Zweckmäßigkeit auch nur ausreichend viele Details integriert werden).

==Der Modellbildungszyklus==
Wie kommt man nun von einer Realen Situation, die ein Problem aufwirft zu einem adäquaten mathematischen Modell? Dazu hat sich als (möglichst allgemeine Vorgehensweise) der Modellbildungszyklus ergeben:
[[Datei:Modellbildungszyklus Mod6.png|miniatur|Modellbildungszyklus]]
===Verlauf des MBZ ===
Der Modellbildugnszyklus beschreibt schematisch die iterative Erstellung einer mathematischen Modellbildung:
* Ausgangspunkt ist eine reale Situation, die ein Problem aufwirft, die von dem mathematischen Modell adressiert werden soll
* Dieses Problem wird inhaltlich erfasst, anschliessend mathematisch Übersetzt (Betrachten von Gleichungen, Funktionen, Geometrischen Objekten,...)
* Durch das Betrachten von mathematischen Objekten können über passende Operationen deduktiv Resultate geschlussfolgert werden
* Diese Resultate werden mit der Realsituation abgeglichen
* Aus dem Vergleich werden mögliche Optimierungen und Limitationen des Modells abgeleitet
* Durch die Limitationen werden kann das Modell weiterentwickelt werden

Diese Schritte können/müssen dabei mehrfach durchlaufen werden.

Die Integration von computergestützter Software ist in der mathematischen Modellbildung definitionsgemäss nicht zwigend erforderlich, für die meisten anwendungsbezogenen Modellierungen jedoch unumgänglich.

==Konkretes Beispiel einer Mathematischen Modellbildung==
[[Kurs:Mathematische_Modellbildung/Themen/Radioaktivit%C3%A4t_und_Risikoliteralit%C3%A4t]]
[[Datei:Screenshot 2D Ansicht Resultate.png|miniatur|alternativtext=Ansicht der möglichen Auftreffpunkte des radioaktiven Niederschlags|Ansicht der möglichen Auftreffpunkte des radioaktiven Niederschlags]]
[[File:Zeitliche Abhängigkeit der Risikofunktion.gif|thumb|Das GIF zeigt die Zeitliche Abhängigkeit der Risikofunktion]]

=== Ziel der Modellierung ===
Ziel in dieser Modellierung war es, ein Modell zur räumlichen und zeitlichen Ausbreitung einer radioaktiv belasteten Wolke, sowie dessen Rain-Out, infolge einer Reaktorkatastrophe am (mittlerweile abgeschalteten) Kernkraftwerk in Philippsburg zu beschreiben.
Unter zu Hilfenahme von Messwerten von dem Reaktorunglück in Tschernobyl und den Halbwertszeiten des radioaktiven Materials wurde der zeitliche Zerfall erfasst.

Der Transport von radioaktiven Material wurde durch eine Kugel im &lt;math&gt; \mathbb{R}^3 &lt;/math&gt; modelliert. Diese bewegt sich gemäss einer variablen Windrichtung (gegeben durch Winkel &lt;math&gt; \alpha &lt;/math&gt;) und regnet sich nach einer gewissen Durchschnittsdauer ab. 


=== Endresultat ===
Es wurde in drei Modellbildungszyklen eine Funktion zur Beschreibung der radioaktiven Belastung (repräsentativ für das Risiko) abgeleitet:

 &lt;math&gt;u(x,y,t,\alpha)=\frac{1480\cdot e^{-\frac{ln(2)}{30a} \cdot t}}{1+\frac{7}{10.000}\cdot (x^2+y^2)}+\frac{40\cdot e^{-\frac{ln(2)}{30a} \cdot t}}{1+\frac{1}{7.500}\cdot ((x-1080cos(\alpha))^2+(y-1080sin(\alpha))^2)}&lt;/math&gt;

Letztlich erhält man also eine Funktion die in ihrem Ausgabewert &lt;math&gt;z=u(x,y,t,\alpha)&lt;/math&gt; abhängig von 4 Eingabewerten &lt;math&gt;x, y, t, \alpha &lt;/math&gt; ist.

==Modellbildung in der Schule==
===Einbindung in den Lehrplan===
Die mathematische Modellbildung ist stark in den Mathematik-Lehrplan für Schulen in Rheinland-Pfalz integriert (hier wird sich an dem Lehrplan für Sekundarstufe II orientiert &lt;ref&gt; Ministerium für Bildung, Wissensachft, Weiterbildung und Kultur (2015), Lehrplan Mathematik. Grund- und Leistungsfach in der gymnasialen Oberstufe (Mainzer Studienstufe) &lt;/ref&gt;).

Im Bezug zu Problemlösen im Mathematikunterricht und Mathematik im fachübergreifenden Kontext, sollen Anwendungsbeispiele Einzug halten, die Schülerinnen und Schülern aus anderen Fächern bekannt sind. In diesem Zusammenhang wird mathematische Modellbildung als Methode zur Lösung von solchen Anwendungsproblemen genannt.

===Konkreter Themenbezug===
Zu folgenden mathematischen Themengebieten wird explizit Mathematischen Modellbildung zur unterrichtlichen Umsetzung erwähnt:
*Exponentialfunktionen (Wachstums- und Zerfallsprozesse
*Matrizenrechnung (Input-Output-Analysen, Zustandsübergangsprozesse, Populationsentwicklung,...)
*Differential- und Integralrechnung (lineare oder logistische Wachstumsprozesse)
Auch der Einsatz von computergestützten Hilfs- und Lösungsmitteln im Zuge der Modellbildung wird betont. 

(Bemerke: Auch im Lehrplan wird ein vergleichbarer Modellbildungszyklus vorgestellt und beschrieben. Bei Bedarf kann dieser auf Seite 15-16 &lt;ref&gt; Ministerium für Bildung, Wissensachft, Weiterbildung und Kultur (2015), Lehrplan Mathematik. Grund- und Leistungsfach in der gymnasialen Oberstufe (Mainzer Studienstufe) &lt;/ref&gt; nachgelesen werden)

===Zugang zur Bildung für Nachhaltigen Entwicklung===
Durch die Möglichkeit fachübergreifende Fragestellungen zu behandeln und Prozesse der Realität in den Blick zu nehmen, kann mathematische Modellbildung die Brücke zur Bildung für Nachhaltigen Entwicklung (BNE) schlagen.

&quot;Die BNE zielt grundsätzlich darauf ab, es jedem und jeder Einzelnen zu ermöglichen, die Folgen des eigenen Handelns auf die Welt sowie intra- und intergenerationell zu verstehen, verantwortungsvolle Entscheidungen zu treffen und aktiv zu werden.&quot; &lt;ref&gt; Ministerium für Bildung. Bildung für nachhaltige Entwicklung. Online abrufbar unter: https://bm.rlp.de/unsere-schwerpunkte/bildung-fuer-nachhaltige-entwicklung &lt;/ref&gt;

Mathematische Modellbildung kann unter praktischer Anwendung von gelernten Inhalten im Schulunterricht zu BNE beitragen, indem eben gezielt Probleme adressiert werden und von Schülerinnen und Schülern eigenständig untersucht werden.

==Ziel und Organisation des Seminars==
===Ziel und Aufgabe===
In Kleingruppen (3-4 Personen) sollen aussermathematische Fragestellungen mit einer eigenen mathematischen Modellbildung behandelt werden.

Dazu sollen drei Modellbildungszyklen mit unterschiedlichem Grad an Vereinfachung und unterschiedlicher Mathematischen Grundlage erstellt werden:
* Zyklus: Mathematik der Sekundarstufe 1 (Mittelstufe)
* Zyklus: Mathematik der Sekundarstufe 2 (Oberstufe)
* Zyklus: Universitätsmathematik

In jedem Zyklus sollen computergestützte Untersuchungen und Betrachtungen Einzug erhalten. Somit bietet es sich an in insgesamt auch drei verschiedene Programme (Tabellenkalkulation, GeoGebra, RStudio, Maxima,...) zu integrieren - an manchen stellen lässt sich dies gar nicht vermeiden.

===Themenwahl===
Das Thema sollte einen weltlichen Bezug haben. Am besten eigenen sich Themen aus dem jeweiligen Zweitfach (s. Verbindung zu anderen Schulfächern im Lehrplan).

Das Thema sollte nachhaltige Entwicklung im Rahmen der Sustainable Development Goals adressieren. Siehe dazu: https://www.bundesumweltministerium.de/themen/nachhaltigkeit/nachhaltigkeitsziele-sdgs

Vorzugsweise: Räumliche Risikobetrachtungen in Desaster- und Katastrophenszenarien. 

Das Thema sollte sich nicht mit denen der vergangenen Semestern doppeln. Zur Orientierung und Inspiration finden sich hier die Projekte der vergangenen Semester:
:: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2026 Sommersemester|2026 Sommersemester]]'''
:: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2025-26 Wintersemester|2025/26 Wintersemester]]'''
:: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2024-25 Wintersemester|2024/25 Wintersemester]]'''
:: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2023-24 Wintersemester|2023/24 Wintersemester]]'''
:: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2022-23 Winteresemester|2022/23 Wintersemester]]'''

===Portfolio===
Während des Semesters soll in Gruppenarbeit die Modellbildung durchgeführt werden. Diese wird schriftlich in einem Portfolio festgehalten. Dies Portfolio wird, genau wie dieser Artikel auch, in einem Wikiversity Artikel dokumentiert. Dieser sollte folgendes enthalten:
* Einleitung: Beschreibung und Einordnung des Themas &amp; welche(s) SDG wird adressiert und warum?
* Ziel der Modellierung: Welches Problem wird in der Modellierung / den einzelnen Zyklen konkret angegangen?
* Zyklus 1-3
** Mathematisches Modell (welche Mathematischen Objekte werden betrachtet, wie ergeben die sich,...)
** Ergebnisse (Ableiten von Resultaten aus dem Modell)
** Bewertung der Ergebnisse
** Grenzen und Limitationen
** Ausblick für nächsten Zyklus (welche Limitationen und Probleme aus dem Zyklus werden im folgenden adressiert?)

In allen Punkten der Modellzyklen können Programme computergestützte Tools verwendet werden.

Zur Erstellung von Wiki-Seiten ist folgende Seite hilfreich:

https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:Textgestaltung

===Prüfung===
Die Prüfung gliedert sich in zwei Aspekte:
* '''Vorstellung von ausgewählten Teilen aus dem eigenen Portfolio''' - diese werden von den Prüfer:innen aus dem Portfolio der Studierenden ausgewählt.
* '''Diskussion und Fragen''' der Prüfer:innen zu dem Portfolio, z.B. zu Teilen des Portfolios, die in der Vorstellung nicht behandelt werden können.
Ein Portfolio kann aus Zeitgründen nie vollständig in der Prüfung dargestellt werden.

In der mündlichen Portfolio-Prüfung wird geprüft, ob
*das eigene Modell verstanden ist,
*das eigene Modell kritisch hinterfragt werden kann,
*die Limitationen des Modells begründet und nachvollziehbar wiedergegeben werden können,
*die Übergänge zwischen den Zyklen beschrieben und begründet werden können,
*die technische Umsetzung reproduziert und erklärt werden kann,
*... . 

Es ist also wichtig zu wissen, was wie an welcher Stelle und mit welchem Zweck in der Modellierung gemacht wurde!

Das Portfolio (Wiki-Seite) wird somit konkret vorgestellt. Eine Präsentation des Portfolio kann automatisch mit Wiki2Reveal erstellt werden.

=== Unterstützungsangebot ===
* Das Unterstützungsangebot erfolgt in der Lehrveranstaltung zur &quot;Mathematischen Modellbildung&quot;. 
* Eine individuelle Sonderbehandlung für einzelne Studierende, die das Angebot der Vorlesung nicht nutzen und kurz vor Prüfungsbeginn noch &quot;schnell&quot; ein Portfolio zusammenstellen wollen, ist aus zeitlichen Gründen kurz vor der Prüfung nicht möglich. 
* Portfolioprüfungen der Lehrveranstaltung beziehen sich immer auf das erstellte Portfolio im laufende Semester und bei Wiederholungsprüfungen auf das Semester, in dem Portfolio erstellt wurde. 
* Eine Prüfung kann nur zu dem eigenen erstellten Portfolio in der Lehrveranstaltung abgelegt werden, an dessen Erstellung man aktiv mitgearbeitet hat.

===Ablauf des Seminars===
Der Seminarablauf über das Semester gestaltet sich grob wie folgt: 
* 1. Woche (19.10.): Einführungsveranstaltung + Gruppenfindung
* 2. Woche (26.10.): Themenfindung
* 3. Woche (02.11.): Themenfindung + Zyklen festlegen
* 4. Woche (09.11.): Zyklen festlegen
* 5. Woche (16.11.): Kurzvorstellung der Themen und Zyklen (5 Minuten pro Gruppe)
Ab Woche 6 (23.11.) bis Ende des Semesters wird gemeinsam an den Modellen und dem Portfolio gearbeitet.

Empfehlenswert wäre es, die letzten 2-3 Wochen für Finalisierungsarbeiten zu nutzen und entsprechend frühzeitig zu planen! Ausschliesslich während der Seminarzeiten an dem Modell und Portfolio zu arbeiten wird nicht ausreichen! 

Die Kurzpräsentationen am 16.11. umfassen den aktuellen Stand der Überlegungen und sind noch unter keinen Umständen verbindlich. Stattdessen dient es einfach zur Grundlage von gemeinsamer Diskussion und zur Einbringung von weiteren Ideen.

=Hilfreiche Links=
===Fachmathematische Aspekte ===
Wenn man das Modellierungsproblem in den Mittelpunkt stellt und die Fragestellung den Nachhaltigkeitszielen der UN zuordnet, kommen z.T. fachmathematische Aspekte erforderlich, die nicht in der jeweiligen Schulstufe bzw. in den Vorlesungen behandelt wurden. Dies Kapitel erhält Hinweise zu fachmathematischen Bereichen, die für die mathematische Modellbildung ggf. als Werkzeug verwendet werden können
* '''[[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]''' dienen dazu, Datenpunkte im &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; oder allgemein im &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; zu [[w:Interpolation_(Mathematik)|interpolieren]].
* '''[https://en.wikiversity.org/wiki/3D_Modelling 3D Modellierung für Projektinhalte]''' und [[w:Projektive_Geometrie|projektive Geometrie]] zur Visualisierung
* '''[[Gradientenabstiegsverfahren]]''': Wird verwendet, um sich in der mathematischen Modellbildung iterativ einem Minimum einer Kosten- oder Fehlerfunktion anzunähern.
* [[w:Lineare_Optimierung|'''Lineare Optimierung''']]  wird in  Optimierungshaufgaben wie beispielsweise  bei der Suche nach Minimum der Produktionskosten verwendet. Hierbei wird in allgemeinem nach einem Minimium/Maximum einer linearer Zielfunktion über einer Menge gesucht. [https://www.geogebra.org/m/kr727992 '''Ein Beispiel in Geogebra''']
*[[Räumliche Diffusion|'''Räumliche Diffusion''']]
*[[Modelle_der_Populationsdynamik|'''Modelle der Populationsdynamik''']]  - [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&amp;title=Modelle%20der%20Populationsdynamik&amp;author=Kurs:R%C3%A4umliche%20Modellbildung&amp;language=de&amp;audioslide=yes (Wiki2Reveal-Folien)]  -  [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] 
* '''[[Kurs:Stochastik/Wahrscheinlichkeitsdichte|Wahrscheinlichkeitsdichte]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&amp;title=Kurs:Stochastik/Wahrscheinlichkeitsdichte&amp;author=Kurs:Stochastik&amp;language=de&amp;audioslide=yes&amp;shorttitle=Wahrscheinlichkeitsdichte&amp;coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]]

===Softwarenutzung ===
Im PC-Praktikum wurden grundlegende Kenntnisse im Umgang mit Software erlangt, die für die Berechnung von mathematischen Modellen vorwendig sind. Diese Kenntnisse müssen ggf. auf das spezielle Modellierungsthema angepasst und erweitert werden.
* '''[[CSV2Chart]]''' Aus CSV-Dateien mathematische Graphen in Wikiversity erstellen.
* '''[[Maxima CAS]]''' enthält die verwendeten Werkzeuge und Kommandos eines Computeralgebrasystems (CAS), die die einzelnen Projekte in dem Modellbildungszyklus verwendet haben.
* '''[https://sagecell.sagemath.org/ SageCell]''' Online-Umgebung zur Ausführung und Demonstration von Befehlen in R, Octave, Maxima, ... (Auswahl des Befehlssatzes auf der https://sagecell.sagemath.org/ SageCell-Seite] unten rechts auf dem Eingabefeld)
* '''[[Statistikprogramm R]]''' enthält die verwendeten Werkzeuge und Kommandos, die für Berechnungen und Veranschaulichungen in den  Projekten verwendet haben.
* '''[[Tabellenkalkulation]]''' werden in Portfolios in der Regel verwendet, um Daten in den Portfolios aufzubereiten.
* '''[[Octave]]''' wird in der Regel verwendet, um numerische Berechnung in der Mathematischen Modellbildung durchzuführen.
* '''[[Geogebra]]''' ist eine Dynamische Geometriesoftware, die zur vektoriellen Veranschaulichung von räumlichen Modellierungsproblemen oder auch zur parametrisierten Darstellung von Funktionen verwendet wird (Beispiel: [https://www.geogebra.org/m/e9b349k9 Parkplatzlösung in Geogebra von Shrey T (2017)]). 
* '''[[w:Screencast|Screencast]]''': Ein Screencast ist eine Bildschirmaufnahme mit Audiokommentaren, die zeigt, wie man z.B. Software bedient. Ein Screencast ist eine Hilfestellung für Lernende, die sich noch nicht so gut mit einer bestimmten Software auskennen.
:* [https://obsproject.com/ '''Open Broadcast Software (OBS)''' - Linux, Windows, MacOSX ] - [[Konvexkombination|Beispielvideo in Wikiversity]]
* [[v:en:3D_Modelling|'''3D-Modellbildung''' (englisch)]]
* '''[http://niebert.github.io/imgmap/ Online-ImageMap-Editor]''' - Anklickbare Bereiche in Wikiversity-Bildern erstellen.
* '''[https://openlayers.org/en/latest/examples/heatmap-earthquakes.html HeatMaps]:''' Erstellung von [https://niebert.github.io/openlayer_heatmap HeatMaps mit einem Online-Editor] (Download [https://github.com/niebert/openlayer_heatmap/archive/master.zip Heatmap-Editor und Beispieldaten in Ordner &lt;tt&gt;/HeatMap&lt;/tt&gt; in ZIP-Datei])
* '''[[Wiki2Reveal]]:''' Portfolio-Präsentationen direkt im Wikiversity erstellen.

===Editierungshilfen===
* [https://latexeditor.lagrida.com/ Online-Formel-Editor für LaTeX-Formeln]&lt;ref&gt;Lagrida Web-Portal (2021) Online-Latex-Formel-Editor mit Vorschau - URL: https://latexeditor.lagrida.com/ (accessed 2021/11/21))&lt;/ref&gt;  - die erzeugten Formeln müssen in einen MATH-Tag mit &lt;kbd&gt;&lt;math&gt; ...&lt;/math&gt;&lt;/kbd&gt; eingeschlossen werden bei der Seiteneditierung.
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:TeX Mathematische Formeln in Wikiversity]
* Textgestaltung in Wikis: https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:Textgestaltung
==Wiki2Reveal==
* '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung2627|Kurs:Mathematische Modellbildung2627]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&amp;title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung2627&amp;author=&amp;language=de&amp;audioslide=yes&amp;shorttitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung2627&amp;coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]]
 

== Verweise ==
&lt;references/&gt;

== Seiteninformation ==
Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&amp;title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&amp;author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&amp;language=de&amp;audioslide=yes&amp;shorttitle=2026-27%20Wintersemester&amp;coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen.

=== Wiki2Reveal ===

Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&amp;title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&amp;author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&amp;language=de&amp;audioslide=yes&amp;shorttitle=2026-27%20Wintersemester&amp;coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung Kurs:Mathematische Modellbildung]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem  [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt.
&lt;!--
* Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten:
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--&gt;
* [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt.
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DEMO

=== Was ist mathematische Modellbildung ===
Ganz grob gesagt besteht Mathematische Modellierung oder auch Mathematische Modellbildung
darin, reale Fragestellungen mit mathematischen Mitteln zu bearbeiten und sie auf diesem Wege
zumindest teilweise zu beantworten&lt;ref&gt; Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., &amp; Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. &lt;/ref&gt;.

=== Was ist ein Modell ===
Ein Modell ist dabei gegeben durch innere Scheinbilder oder Repräsentatonen, die nicht
zum Bereich der äußeren Gegenstände, sondern zu Vorstellungen von einem solchen realen Gegenstand gehören und
ihnen daher auch in gewissen Grenzen etwas Willkürliches anhaftet (Sinngemäß nach Hertz, zitiert von Ortlieb&lt;ref&gt; 
Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., &amp; Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. &lt;/ref&gt;).

==== Eigenschaften von Modellen ====
Somit lassen sich vereinfacht und verkürzt folgende Eigenschaften ableiten (Stachowiak, zitiert nach Saam &lt;ref&gt; Saam, N. J. (2009). Modellbildung. In Handbuch Methoden der Organisationsforschung: Quantitative und Qualitative Methoden (pp. 517-532). Wiesbaden: VS Verlag für Sozialwissenschaften. &lt;/ref&gt;):
* '''Abbildungsmerkmal:''' Modelle repräsentieren die Realität, existieren jedoch nicht in der Realität
* '''Verkürzungsmerkmal:''' Modelle beschreiben das Objekt nicht exakt, sondern stets vereinfacht 
* '''Pragmatisches Merkmal:''' Modelle verfolgen einen gewissen Zweck: Sie ersetzen eine nicht abbildbare Realität um Fragestellungen zu beantwortbar zu machen

==== Typisches Beispiele ==== 
* Betrachtungen in der Physik (Federpendel, Bewegungsgesetze,...) - Physik und Mathematische Modellbildung sind sehr eng miteinander verwoben
* Populationsdynamiken und Ausbreitugnsschemata in der Biologie  (vgl. Lotka-Volterra Modell)
* Bewegungsanalysen und Optimierungen in den Sportwissenschaften
* Untersuchungen von Transport- und Umweltprozessen in Biologie, Chemie, Physik, Technik,...
* Bedarfs- und Verbrauchs- und Verhaltensanalysen in Geisteswissenschaften


=== Mathematische Modelle ===
Mathematische Modelle werden gemessen und bewertet anhand &lt;ref&gt; 
Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., &amp; Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. &lt;/ref&gt;:
* '''Zulässigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte in sich widerspruchsfrei sein.
* '''Richtigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte im Vergleich mit der Realität keine Widersprüche zu offensichtlich richtigen Tatsachen aufweisen.
* '''Zweckmäßigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte genau den Detailgrad beinhalten, den es zum Erfüllen des Zwecks benötigt, nicht mehr und nicht weniger.

==== Gegenbeispiele für mathematische Modelle ====
Gegenbeispiele wären:
* Ein nicht zulässiges Modell könnte bei einer Betrachtung einer Punktmasse im Raum dennoch Luftwiederstände berücksichtigen (Punkte haben kein Volumen)
* Ein nicht richtiges Modell könnte bei der Modellierung von Transportprozessen von Schadstoffen die Massenerhaltung vernachlässigen.
* Ein nicht zweckmäßiges Modell könnte bei dem Versuch den perfekten Abwurfwinkel beim Speerwurf die Krümmung der Erdpberfläche berücksichtigen.

==== Bemerkung - Kriterien ====
Die Kriterien, insbesondere Richtigkeit und Zweckmäßigkeit, sind nicht 100% operational. Einerseits fordert die Richtigkeit, keine bekannten Tatsachen auszulassen, andererseits dürfen hinsichtlich einer passenden Zweckmäßigkeit auch nur ausreichend viele Details integriert werden).

==Der Modellbildungszyklus==
Wie kommt man nun von einer Realen Situation, die ein Problem aufwirft zu einem adäquaten mathematischen Modell? Dazu hat sich als (möglichst allgemeine Vorgehensweise) der Modellbildungszyklus ergeben:
[[Datei:Modellbildungszyklus Mod6.png|miniatur|Modellbildungszyklus]]
===Verlauf des MBZ ===
Der Modellbildugnszyklus beschreibt schematisch die iterative Erstellung einer mathematischen Modellbildung:
* Ausgangspunkt ist eine reale Situation, die ein Problem aufwirft, die von dem mathematischen Modell adressiert werden soll
* Dieses Problem wird inhaltlich erfasst, anschliessend mathematisch Übersetzt (Betrachten von Gleichungen, Funktionen, Geometrischen Objekten,...)
* Durch das Betrachten von mathematischen Objekten können über passende Operationen deduktiv Resultate geschlussfolgert werden
* Diese Resultate werden mit der Realsituation abgeglichen
* Aus dem Vergleich werden mögliche Optimierungen und Limitationen des Modells abgeleitet
* Durch die Limitationen werden kann das Modell weiterentwickelt werden

Diese Schritte können/müssen dabei mehrfach durchlaufen werden.

Die Integration von computergestützter Software ist in der mathematischen Modellbildung definitionsgemäss nicht zwigend erforderlich, für die meisten anwendungsbezogenen Modellierungen jedoch unumgänglich.

==Konkretes Beispiel einer Mathematischen Modellbildung==
[[Kurs:Mathematische_Modellbildung/Themen/Radioaktivit%C3%A4t_und_Risikoliteralit%C3%A4t]]
[[Datei:Screenshot 2D Ansicht Resultate.png|miniatur|alternativtext=Ansicht der möglichen Auftreffpunkte des radioaktiven Niederschlags|Ansicht der möglichen Auftreffpunkte des radioaktiven Niederschlags]]
[[File:Zeitliche Abhängigkeit der Risikofunktion.gif|thumb|Das GIF zeigt die Zeitliche Abhängigkeit der Risikofunktion]]

=== Ziel der Modellierung ===
Ziel in dieser Modellierung war es, ein Modell zur räumlichen und zeitlichen Ausbreitung einer radioaktiv belasteten Wolke, sowie dessen Rain-Out, infolge einer Reaktorkatastrophe am (mittlerweile abgeschalteten) Kernkraftwerk in Philippsburg zu beschreiben.
Unter zu Hilfenahme von Messwerten von dem Reaktorunglück in Tschernobyl und den Halbwertszeiten des radioaktiven Materials wurde der zeitliche Zerfall erfasst.

Der Transport von radioaktiven Material wurde durch eine Kugel im &lt;math&gt; \mathbb{R}^3 &lt;/math&gt; modelliert. Diese bewegt sich gemäss einer variablen Windrichtung (gegeben durch Winkel &lt;math&gt; \alpha &lt;/math&gt;) und regnet sich nach einer gewissen Durchschnittsdauer ab. 


=== Endresultat ===
Es wurde in drei Modellbildungszyklen eine Funktion zur Beschreibung der radioaktiven Belastung (repräsentativ für das Risiko) abgeleitet:

 &lt;math&gt;u(x,y,t,\alpha)=\frac{1480\cdot e^{-\frac{ln(2)}{30a} \cdot t}}{1+\frac{7}{10.000}\cdot (x^2+y^2)}+\frac{40\cdot e^{-\frac{ln(2)}{30a} \cdot t}}{1+\frac{1}{7.500}\cdot ((x-1080cos(\alpha))^2+(y-1080sin(\alpha))^2)}&lt;/math&gt;

Letztlich erhält man also eine Funktion die in ihrem Ausgabewert &lt;math&gt;z=u(x,y,t,\alpha)&lt;/math&gt; abhängig von 4 Eingabewerten &lt;math&gt;x, y, t, \alpha &lt;/math&gt; ist.

==Modellbildung in der Schule==
===Einbindung in den Lehrplan===
Die mathematische Modellbildung ist stark in den Mathematik-Lehrplan für Schulen in Rheinland-Pfalz integriert (hier wird sich an dem Lehrplan für Sekundarstufe II orientiert &lt;ref&gt; Ministerium für Bildung, Wissensachft, Weiterbildung und Kultur (2015), Lehrplan Mathematik. Grund- und Leistungsfach in der gymnasialen Oberstufe (Mainzer Studienstufe) &lt;/ref&gt;).

Im Bezug zu Problemlösen im Mathematikunterricht und Mathematik im fachübergreifenden Kontext, sollen Anwendungsbeispiele Einzug halten, die Schülerinnen und Schülern aus anderen Fächern bekannt sind. In diesem Zusammenhang wird mathematische Modellbildung als Methode zur Lösung von solchen Anwendungsproblemen genannt.

===Konkreter Themenbezug===
Zu folgenden mathematischen Themengebieten wird explizit Mathematischen Modellbildung zur unterrichtlichen Umsetzung erwähnt:
*Exponentialfunktionen (Wachstums- und Zerfallsprozesse
*Matrizenrechnung (Input-Output-Analysen, Zustandsübergangsprozesse, Populationsentwicklung,...)
*Differential- und Integralrechnung (lineare oder logistische Wachstumsprozesse)
Auch der Einsatz von computergestützten Hilfs- und Lösungsmitteln im Zuge der Modellbildung wird betont. 

(Bemerke: Auch im Lehrplan wird ein vergleichbarer Modellbildungszyklus vorgestellt und beschrieben. Bei Bedarf kann dieser auf Seite 15-16 &lt;ref&gt; Ministerium für Bildung, Wissensachft, Weiterbildung und Kultur (2015), Lehrplan Mathematik. Grund- und Leistungsfach in der gymnasialen Oberstufe (Mainzer Studienstufe) &lt;/ref&gt; nachgelesen werden)

===Zugang zur Bildung für Nachhaltigen Entwicklung===
Durch die Möglichkeit fachübergreifende Fragestellungen zu behandeln und Prozesse der Realität in den Blick zu nehmen, kann mathematische Modellbildung die Brücke zur Bildung für Nachhaltigen Entwicklung (BNE) schlagen.

&quot;Die BNE zielt grundsätzlich darauf ab, es jedem und jeder Einzelnen zu ermöglichen, die Folgen des eigenen Handelns auf die Welt sowie intra- und intergenerationell zu verstehen, verantwortungsvolle Entscheidungen zu treffen und aktiv zu werden.&quot; &lt;ref&gt; Ministerium für Bildung. Bildung für nachhaltige Entwicklung. Online abrufbar unter: https://bm.rlp.de/unsere-schwerpunkte/bildung-fuer-nachhaltige-entwicklung &lt;/ref&gt;

Mathematische Modellbildung kann unter praktischer Anwendung von gelernten Inhalten im Schulunterricht zu BNE beitragen, indem eben gezielt Probleme adressiert werden und von Schülerinnen und Schülern eigenständig untersucht werden.

==Ziel und Organisation des Seminars==
===Ziel und Aufgabe===
In Kleingruppen (3-4 Personen) sollen aussermathematische Fragestellungen mit einer eigenen mathematischen Modellbildung behandelt werden.

Dazu sollen drei Modellbildungszyklen mit unterschiedlichem Grad an Vereinfachung und unterschiedlicher Mathematischen Grundlage erstellt werden:
* Zyklus: Mathematik der Sekundarstufe 1 (Mittelstufe)
* Zyklus: Mathematik der Sekundarstufe 2 (Oberstufe)
* Zyklus: Universitätsmathematik

In jedem Zyklus sollen computergestützte Untersuchungen und Betrachtungen Einzug erhalten. Somit bietet es sich an in insgesamt auch drei verschiedene Programme (Tabellenkalkulation, GeoGebra, RStudio, Maxima,...) zu integrieren - an manchen stellen lässt sich dies gar nicht vermeiden.

===Themenwahl===
Das Thema sollte einen weltlichen Bezug haben. Am besten eigenen sich Themen aus dem jeweiligen Zweitfach (s. Verbindung zu anderen Schulfächern im Lehrplan).

Das Thema sollte nachhaltige Entwicklung im Rahmen der Sustainable Development Goals adressieren. Siehe dazu: https://www.bundesumweltministerium.de/themen/nachhaltigkeit/nachhaltigkeitsziele-sdgs

Vorzugsweise: Räumliche Risikobetrachtungen in Desaster- und Katastrophenszenarien. 

Das Thema sollte sich nicht mit denen der vergangenen Semestern doppeln. Zur Orientierung und Inspiration finden sich hier die Projekte der vergangenen Semester:
:: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2026 Sommersemester|2026 Sommersemester]]'''
:: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2025-26 Wintersemester|2025/26 Wintersemester]]'''
:: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2024-25 Wintersemester|2024/25 Wintersemester]]'''
:: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2023-24 Wintersemester|2023/24 Wintersemester]]'''
:: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2022-23 Winteresemester|2022/23 Wintersemester]]'''

===Portfolio===
Während des Semesters soll in Gruppenarbeit die Modellbildung durchgeführt werden. Diese wird schriftlich in einem Portfolio festgehalten. Dies Portfolio wird, genau wie dieser Artikel auch, in einem Wikiversity Artikel dokumentiert. Dieser sollte folgendes enthalten:
* Einleitung: Beschreibung und Einordnung des Themas &amp; welche(s) SDG wird adressiert und warum?
* Ziel der Modellierung: Welches Problem wird in der Modellierung / den einzelnen Zyklen konkret angegangen?
* Zyklus 1-3
** Mathematisches Modell (welche Mathematischen Objekte werden betrachtet, wie ergeben die sich,...)
** Ergebnisse (Ableiten von Resultaten aus dem Modell)
** Bewertung der Ergebnisse
** Grenzen und Limitationen
** Ausblick für nächsten Zyklus (welche Limitationen und Probleme aus dem Zyklus werden im folgenden adressiert?)

In allen Punkten der Modellzyklen können Programme computergestützte Tools verwendet werden.

Zur Erstellung von Wiki-Seiten ist folgende Seite hilfreich:

https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:Textgestaltung

===Prüfung===
Die Prüfung gliedert sich in zwei Aspekte:
* '''Vorstellung von ausgewählten Teilen aus dem eigenen Portfolio''' - diese werden von den Prüfer:innen aus dem Portfolio der Studierenden ausgewählt.
* '''Diskussion und Fragen''' der Prüfer:innen zu dem Portfolio, z.B. zu Teilen des Portfolios, die in der Vorstellung nicht behandelt werden können.
Ein Portfolio kann aus Zeitgründen nie vollständig in der Prüfung dargestellt werden.

In der mündlichen Portfolio-Prüfung wird geprüft, ob
*das eigene Modell verstanden ist,
*das eigene Modell kritisch hinterfragt werden kann,
*die Limitationen des Modells begründet und nachvollziehbar wiedergegeben werden können,
*die Übergänge zwischen den Zyklen beschrieben und begründet werden können,
*die technische Umsetzung reproduziert und erklärt werden kann,
*... . 

Es ist also wichtig zu wissen, was wie an welcher Stelle und mit welchem Zweck in der Modellierung gemacht wurde!

Das Portfolio (Wiki-Seite) wird somit konkret vorgestellt. Eine Präsentation des Portfolio kann automatisch mit Wiki2Reveal erstellt werden.

=== Unterstützungsangebot ===
* Das Unterstützungsangebot erfolgt in der Lehrveranstaltung zur &quot;Mathematischen Modellbildung&quot;. 
* Eine individuelle Sonderbehandlung für einzelne Studierende, die das Angebot der Vorlesung nicht nutzen und kurz vor Prüfungsbeginn noch &quot;schnell&quot; ein Portfolio zusammenstellen wollen, ist aus zeitlichen Gründen kurz vor der Prüfung nicht möglich. 
* Portfolioprüfungen der Lehrveranstaltung beziehen sich immer auf das erstellte Portfolio im laufende Semester und bei Wiederholungsprüfungen auf das Semester, in dem Portfolio erstellt wurde. 
* Eine Prüfung kann nur zu dem eigenen erstellten Portfolio in der Lehrveranstaltung abgelegt werden, an dessen Erstellung man aktiv mitgearbeitet hat.

===Ablauf des Seminars===
Der Seminarablauf über das Semester gestaltet sich grob wie folgt: 
* 1. Woche (19.10.): Einführungsveranstaltung + Gruppenfindung
* 2. Woche (26.10.): Themenfindung
* 3. Woche (02.11.): Themenfindung + Zyklen festlegen
* 4. Woche (09.11.): Zyklen festlegen
* 5. Woche (16.11.): Kurzvorstellung der Themen und Zyklen (5 Minuten pro Gruppe)
Ab Woche 6 (23.11.) bis Ende des Semesters wird gemeinsam an den Modellen und dem Portfolio gearbeitet.

Empfehlenswert wäre es, die letzten 2-3 Wochen für Finalisierungsarbeiten zu nutzen und entsprechend frühzeitig zu planen! Ausschliesslich während der Seminarzeiten an dem Modell und Portfolio zu arbeiten wird nicht ausreichen! 

Die Kurzpräsentationen am 16.11. umfassen den aktuellen Stand der Überlegungen und sind noch unter keinen Umständen verbindlich. Stattdessen dient es einfach zur Grundlage von gemeinsamer Diskussion und zur Einbringung von weiteren Ideen.

=Hilfreiche Links=
===Fachmathematische Aspekte ===
Wenn man das Modellierungsproblem in den Mittelpunkt stellt und die Fragestellung den Nachhaltigkeitszielen der UN zuordnet, kommen z.T. fachmathematische Aspekte erforderlich, die nicht in der jeweiligen Schulstufe bzw. in den Vorlesungen behandelt wurden. Dies Kapitel erhält Hinweise zu fachmathematischen Bereichen, die für die mathematische Modellbildung ggf. als Werkzeug verwendet werden können
* '''[[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]''' dienen dazu, Datenpunkte im &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; oder allgemein im &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; zu [[w:Interpolation_(Mathematik)|interpolieren]].
* '''[https://en.wikiversity.org/wiki/3D_Modelling 3D Modellierung für Projektinhalte]''' und [[w:Projektive_Geometrie|projektive Geometrie]] zur Visualisierung
* '''[[Gradientenabstiegsverfahren]]''': Wird verwendet, um sich in der mathematischen Modellbildung iterativ einem Minimum einer Kosten- oder Fehlerfunktion anzunähern.
* [[w:Lineare_Optimierung|'''Lineare Optimierung''']]  wird in  Optimierungshaufgaben wie beispielsweise  bei der Suche nach Minimum der Produktionskosten verwendet. Hierbei wird in allgemeinem nach einem Minimium/Maximum einer linearer Zielfunktion über einer Menge gesucht. [https://www.geogebra.org/m/kr727992 '''Ein Beispiel in Geogebra''']
*[[Räumliche Diffusion|'''Räumliche Diffusion''']]
*[[Modelle_der_Populationsdynamik|'''Modelle der Populationsdynamik''']]  - [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&amp;title=Modelle%20der%20Populationsdynamik&amp;author=Kurs:R%C3%A4umliche%20Modellbildung&amp;language=de&amp;audioslide=yes (Wiki2Reveal-Folien)]  -  [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] 
* '''[[Kurs:Stochastik/Wahrscheinlichkeitsdichte|Wahrscheinlichkeitsdichte]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&amp;title=Kurs:Stochastik/Wahrscheinlichkeitsdichte&amp;author=Kurs:Stochastik&amp;language=de&amp;audioslide=yes&amp;shorttitle=Wahrscheinlichkeitsdichte&amp;coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]]

===Softwarenutzung ===
Im PC-Praktikum wurden grundlegende Kenntnisse im Umgang mit Software erlangt, die für die Berechnung von mathematischen Modellen vorwendig sind. Diese Kenntnisse müssen ggf. auf das spezielle Modellierungsthema angepasst und erweitert werden.
* '''[[CSV2Chart]]''' Aus CSV-Dateien mathematische Graphen in Wikiversity erstellen.
* '''[[Maxima CAS]]''' enthält die verwendeten Werkzeuge und Kommandos eines Computeralgebrasystems (CAS), die die einzelnen Projekte in dem Modellbildungszyklus verwendet haben.
* '''[https://sagecell.sagemath.org/ SageCell]''' Online-Umgebung zur Ausführung und Demonstration von Befehlen in R, Octave, Maxima, ... (Auswahl des Befehlssatzes auf der https://sagecell.sagemath.org/ SageCell-Seite] unten rechts auf dem Eingabefeld)
* '''[[Statistikprogramm R]]''' enthält die verwendeten Werkzeuge und Kommandos, die für Berechnungen und Veranschaulichungen in den  Projekten verwendet haben.
* '''[[Tabellenkalkulation]]''' werden in Portfolios in der Regel verwendet, um Daten in den Portfolios aufzubereiten.
* '''[[Octave]]''' wird in der Regel verwendet, um numerische Berechnung in der Mathematischen Modellbildung durchzuführen.
* '''[[Geogebra]]''' ist eine Dynamische Geometriesoftware, die zur vektoriellen Veranschaulichung von räumlichen Modellierungsproblemen oder auch zur parametrisierten Darstellung von Funktionen verwendet wird (Beispiel: [https://www.geogebra.org/m/e9b349k9 Parkplatzlösung in Geogebra von Shrey T (2017)]). 
* '''[[w:Screencast|Screencast]]''': Ein Screencast ist eine Bildschirmaufnahme mit Audiokommentaren, die zeigt, wie man z.B. Software bedient. Ein Screencast ist eine Hilfestellung für Lernende, die sich noch nicht so gut mit einer bestimmten Software auskennen.
:* [https://obsproject.com/ '''Open Broadcast Software (OBS)''' - Linux, Windows, MacOSX ] - [[Konvexkombination|Beispielvideo in Wikiversity]]
* [[v:en:3D_Modelling|'''3D-Modellbildung''' (englisch)]]
* '''[http://niebert.github.io/imgmap/ Online-ImageMap-Editor]''' - Anklickbare Bereiche in Wikiversity-Bildern erstellen.
* '''[https://openlayers.org/en/latest/examples/heatmap-earthquakes.html HeatMaps]:''' Erstellung von [https://niebert.github.io/openlayer_heatmap HeatMaps mit einem Online-Editor] (Download [https://github.com/niebert/openlayer_heatmap/archive/master.zip Heatmap-Editor und Beispieldaten in Ordner &lt;tt&gt;/HeatMap&lt;/tt&gt; in ZIP-Datei])
* '''[[Wiki2Reveal]]:''' Portfolio-Präsentationen direkt im Wikiversity erstellen.

===Editierungshilfen===
* [https://latexeditor.lagrida.com/ Online-Formel-Editor für LaTeX-Formeln]&lt;ref&gt;Lagrida Web-Portal (2021) Online-Latex-Formel-Editor mit Vorschau - URL: https://latexeditor.lagrida.com/ (accessed 2021/11/21))&lt;/ref&gt;  - die erzeugten Formeln müssen in einen MATH-Tag mit &lt;kbd&gt;&lt;math&gt; ...&lt;/math&gt;&lt;/kbd&gt; eingeschlossen werden bei der Seiteneditierung.
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:TeX Mathematische Formeln in Wikiversity]
* Textgestaltung in Wikis: https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:Textgestaltung
==Wiki2Reveal==
* '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung2627|Kurs:Mathematische Modellbildung2627]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&amp;title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung2627&amp;author=&amp;language=de&amp;audioslide=yes&amp;shorttitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung2627&amp;coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]]
 

== Verweise ==
&lt;references/&gt;

== Seiteninformation ==
Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&amp;title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&amp;author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&amp;language=de&amp;audioslide=yes&amp;shorttitle=2026-27%20Wintersemester&amp;coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen.

=== Wiki2Reveal ===

Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&amp;title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&amp;author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&amp;language=de&amp;audioslide=yes&amp;shorttitle=2026-27%20Wintersemester&amp;coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung Kurs:Mathematische Modellbildung]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem  [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt.
&lt;!--
* Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten:
** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester]
--&gt;
* [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt.
* Link zur Quelle in  Wikiversity:  https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester
* siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&amp;title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&amp;author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&amp;language=de&amp;audioslide=yes&amp;shorttitle=2026-27%20Wintersemester&amp;coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Linkgenerator].
&lt;!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --&gt;;

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      <text bytes="22673" sha1="8pdqjkixgl0qa414daqo7c9m0fds1mu" xml:space="preserve">==Begriffsklärung==
DEMO

=== Was ist mathematische Modellbildung? ===
Ganz grob gesagt besteht Mathematische Modellierung oder auch Mathematische Modellbildung
darin, reale Fragestellungen mit mathematischen Mitteln zu bearbeiten und sie auf diesem Wege
zumindest teilweise zu beantworten&lt;ref&gt; Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., &amp; Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. &lt;/ref&gt;.

=== Was ist ein Modell? ===
Ein Modell ist dabei gegeben durch innere Scheinbilder oder Repräsentatonen, die nicht
zum Bereich der äußeren Gegenstände, sondern zu Vorstellungen von einem solchen realen Gegenstand gehören und
ihnen daher auch in gewissen Grenzen etwas Willkürliches anhaftet (Sinngemäß nach Hertz, zitiert von Ortlieb&lt;ref&gt; 
Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., &amp; Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. &lt;/ref&gt;).

==== Eigenschaften von Modellen ====
Somit lassen sich vereinfacht und verkürzt folgende Eigenschaften ableiten (Stachowiak, zitiert nach Saam &lt;ref&gt; Saam, N. J. (2009). Modellbildung. In Handbuch Methoden der Organisationsforschung: Quantitative und Qualitative Methoden (pp. 517-532). Wiesbaden: VS Verlag für Sozialwissenschaften. &lt;/ref&gt;):
* '''Abbildungsmerkmal:''' Modelle repräsentieren die Realität, existieren jedoch nicht in der Realität
* '''Verkürzungsmerkmal:''' Modelle beschreiben das Objekt nicht exakt, sondern stets vereinfacht 
* '''Pragmatisches Merkmal:''' Modelle verfolgen einen gewissen Zweck: Sie ersetzen eine nicht abbildbare Realität um Fragestellungen zu beantwortbar zu machen

==== Typisches Beispiele ==== 
* Betrachtungen in der Physik (Federpendel, Bewegungsgesetze,...) - Physik und Mathematische Modellbildung sind sehr eng miteinander verwoben
* Populationsdynamiken und Ausbreitugnsschemata in der Biologie  (vgl. Lotka-Volterra Modell)
* Bewegungsanalysen und Optimierungen in den Sportwissenschaften
* Untersuchungen von Transport- und Umweltprozessen in Biologie, Chemie, Physik, Technik,...
* Bedarfs- und Verbrauchs- und Verhaltensanalysen in Geisteswissenschaften


=== Mathematische Modelle ===
Mathematische Modelle werden gemessen und bewertet anhand &lt;ref&gt; 
Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., &amp; Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. &lt;/ref&gt;:
* '''Zulässigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte in sich widerspruchsfrei sein.
* '''Richtigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte im Vergleich mit der Realität keine Widersprüche zu offensichtlich richtigen Tatsachen aufweisen.
* '''Zweckmäßigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte genau den Detailgrad beinhalten, den es zum Erfüllen des Zwecks benötigt, nicht mehr und nicht weniger.

==== Gegenbeispiele für mathematische Modelle ====
Gegenbeispiele wären:
* Ein nicht zulässiges Modell könnte bei einer Betrachtung einer Punktmasse im Raum dennoch Luftwiederstände berücksichtigen (Punkte haben kein Volumen)
* Ein nicht richtiges Modell könnte bei der Modellierung von Transportprozessen von Schadstoffen die Massenerhaltung vernachlässigen.
* Ein nicht zweckmäßiges Modell könnte bei dem Versuch den perfekten Abwurfwinkel beim Speerwurf die Krümmung der Erdpberfläche berücksichtigen.

==== Bemerkung - Kriterien ====
Die Kriterien, insbesondere Richtigkeit und Zweckmäßigkeit, sind nicht 100% operational. Einerseits fordert die Richtigkeit, keine bekannten Tatsachen auszulassen, andererseits dürfen hinsichtlich einer passenden Zweckmäßigkeit auch nur ausreichend viele Details integriert werden).

==Der Modellbildungszyklus==
Wie kommt man nun von einer Realen Situation, die ein Problem aufwirft zu einem adäquaten mathematischen Modell? Dazu hat sich als (möglichst allgemeine Vorgehensweise) der Modellbildungszyklus ergeben:
[[Datei:Modellbildungszyklus Mod6.png|miniatur|Modellbildungszyklus]]
===Verlauf des MBZ ===
Der Modellbildugnszyklus beschreibt schematisch die iterative Erstellung einer mathematischen Modellbildung:
* Ausgangspunkt ist eine reale Situation, die ein Problem aufwirft, die von dem mathematischen Modell adressiert werden soll
* Dieses Problem wird inhaltlich erfasst, anschliessend mathematisch Übersetzt (Betrachten von Gleichungen, Funktionen, Geometrischen Objekten,...)
* Durch das Betrachten von mathematischen Objekten können über passende Operationen deduktiv Resultate geschlussfolgert werden
* Diese Resultate werden mit der Realsituation abgeglichen
* Aus dem Vergleich werden mögliche Optimierungen und Limitationen des Modells abgeleitet
* Durch die Limitationen werden kann das Modell weiterentwickelt werden

Diese Schritte können/müssen dabei mehrfach durchlaufen werden.

Die Integration von computergestützter Software ist in der mathematischen Modellbildung definitionsgemäss nicht zwigend erforderlich, für die meisten anwendungsbezogenen Modellierungen jedoch unumgänglich.

==Konkretes Beispiel einer Mathematischen Modellbildung==
[[Kurs:Mathematische_Modellbildung/Themen/Radioaktivit%C3%A4t_und_Risikoliteralit%C3%A4t]]
[[Datei:Screenshot 2D Ansicht Resultate.png|miniatur|alternativtext=Ansicht der möglichen Auftreffpunkte des radioaktiven Niederschlags|Ansicht der möglichen Auftreffpunkte des radioaktiven Niederschlags]]
[[File:Zeitliche Abhängigkeit der Risikofunktion.gif|thumb|Das GIF zeigt die Zeitliche Abhängigkeit der Risikofunktion]]

=== Ziel der Modellierung ===
Ziel in dieser Modellierung war es, ein Modell zur räumlichen und zeitlichen Ausbreitung einer radioaktiv belasteten Wolke, sowie dessen Rain-Out, infolge einer Reaktorkatastrophe am (mittlerweile abgeschalteten) Kernkraftwerk in Philippsburg zu beschreiben.
Unter zu Hilfenahme von Messwerten von dem Reaktorunglück in Tschernobyl und den Halbwertszeiten des radioaktiven Materials wurde der zeitliche Zerfall erfasst.

Der Transport von radioaktiven Material wurde durch eine Kugel im &lt;math&gt; \mathbb{R}^3 &lt;/math&gt; modelliert. Diese bewegt sich gemäss einer variablen Windrichtung (gegeben durch Winkel &lt;math&gt; \alpha &lt;/math&gt;) und regnet sich nach einer gewissen Durchschnittsdauer ab. 


=== Endresultat ===
Es wurde in drei Modellbildungszyklen eine Funktion zur Beschreibung der radioaktiven Belastung (repräsentativ für das Risiko) abgeleitet:

 &lt;math&gt;u(x,y,t,\alpha)=\frac{1480\cdot e^{-\frac{ln(2)}{30a} \cdot t}}{1+\frac{7}{10.000}\cdot (x^2+y^2)}+\frac{40\cdot e^{-\frac{ln(2)}{30a} \cdot t}}{1+\frac{1}{7.500}\cdot ((x-1080cos(\alpha))^2+(y-1080sin(\alpha))^2)}&lt;/math&gt;

Letztlich erhält man also eine Funktion die in ihrem Ausgabewert &lt;math&gt;z=u(x,y,t,\alpha)&lt;/math&gt; abhängig von 4 Eingabewerten &lt;math&gt;x, y, t, \alpha &lt;/math&gt; ist.

==Modellbildung in der Schule==
===Einbindung in den Lehrplan===
Die mathematische Modellbildung ist stark in den Mathematik-Lehrplan für Schulen in Rheinland-Pfalz integriert (hier wird sich an dem Lehrplan für Sekundarstufe II orientiert &lt;ref&gt; Ministerium für Bildung, Wissensachft, Weiterbildung und Kultur (2015), Lehrplan Mathematik. Grund- und Leistungsfach in der gymnasialen Oberstufe (Mainzer Studienstufe) &lt;/ref&gt;).

Im Bezug zu Problemlösen im Mathematikunterricht und Mathematik im fachübergreifenden Kontext, sollen Anwendungsbeispiele Einzug halten, die Schülerinnen und Schülern aus anderen Fächern bekannt sind. In diesem Zusammenhang wird mathematische Modellbildung als Methode zur Lösung von solchen Anwendungsproblemen genannt.

===Konkreter Themenbezug===
Zu folgenden mathematischen Themengebieten wird explizit Mathematischen Modellbildung zur unterrichtlichen Umsetzung erwähnt:
*Exponentialfunktionen (Wachstums- und Zerfallsprozesse
*Matrizenrechnung (Input-Output-Analysen, Zustandsübergangsprozesse, Populationsentwicklung,...)
*Differential- und Integralrechnung (lineare oder logistische Wachstumsprozesse)
Auch der Einsatz von computergestützten Hilfs- und Lösungsmitteln im Zuge der Modellbildung wird betont. 

(Bemerke: Auch im Lehrplan wird ein vergleichbarer Modellbildungszyklus vorgestellt und beschrieben. Bei Bedarf kann dieser auf Seite 15-16 &lt;ref&gt; Ministerium für Bildung, Wissensachft, Weiterbildung und Kultur (2015), Lehrplan Mathematik. Grund- und Leistungsfach in der gymnasialen Oberstufe (Mainzer Studienstufe) &lt;/ref&gt; nachgelesen werden)

===Zugang zur Bildung für Nachhaltigen Entwicklung===
Durch die Möglichkeit fachübergreifende Fragestellungen zu behandeln und Prozesse der Realität in den Blick zu nehmen, kann mathematische Modellbildung die Brücke zur Bildung für Nachhaltigen Entwicklung (BNE) schlagen.

&quot;Die BNE zielt grundsätzlich darauf ab, es jedem und jeder Einzelnen zu ermöglichen, die Folgen des eigenen Handelns auf die Welt sowie intra- und intergenerationell zu verstehen, verantwortungsvolle Entscheidungen zu treffen und aktiv zu werden.&quot; &lt;ref&gt; Ministerium für Bildung. Bildung für nachhaltige Entwicklung. Online abrufbar unter: https://bm.rlp.de/unsere-schwerpunkte/bildung-fuer-nachhaltige-entwicklung &lt;/ref&gt;

Mathematische Modellbildung kann unter praktischer Anwendung von gelernten Inhalten im Schulunterricht zu BNE beitragen, indem eben gezielt Probleme adressiert werden und von Schülerinnen und Schülern eigenständig untersucht werden.

==Ziel und Organisation des Seminars==
===Ziel und Aufgabe===
In Kleingruppen (3-4 Personen) sollen aussermathematische Fragestellungen mit einer eigenen mathematischen Modellbildung behandelt werden.

Dazu sollen drei Modellbildungszyklen mit unterschiedlichem Grad an Vereinfachung und unterschiedlicher Mathematischen Grundlage erstellt werden:
* Zyklus: Mathematik der Sekundarstufe 1 (Mittelstufe)
* Zyklus: Mathematik der Sekundarstufe 2 (Oberstufe)
* Zyklus: Universitätsmathematik

In jedem Zyklus sollen computergestützte Untersuchungen und Betrachtungen Einzug erhalten. Somit bietet es sich an in insgesamt auch drei verschiedene Programme (Tabellenkalkulation, GeoGebra, RStudio, Maxima,...) zu integrieren - an manchen stellen lässt sich dies gar nicht vermeiden.

===Themenwahl===
Das Thema sollte einen weltlichen Bezug haben. Am besten eigenen sich Themen aus dem jeweiligen Zweitfach (s. Verbindung zu anderen Schulfächern im Lehrplan).

Das Thema sollte nachhaltige Entwicklung im Rahmen der Sustainable Development Goals adressieren. Siehe dazu: https://www.bundesumweltministerium.de/themen/nachhaltigkeit/nachhaltigkeitsziele-sdgs

Vorzugsweise: Räumliche Risikobetrachtungen in Desaster- und Katastrophenszenarien. 

Das Thema sollte sich nicht mit denen der vergangenen Semestern doppeln. Zur Orientierung und Inspiration finden sich hier die Projekte der vergangenen Semester:
:: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2026 Sommersemester|2026 Sommersemester]]'''
:: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2025-26 Wintersemester|2025/26 Wintersemester]]'''
:: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2024-25 Wintersemester|2024/25 Wintersemester]]'''
:: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2023-24 Wintersemester|2023/24 Wintersemester]]'''
:: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2022-23 Winteresemester|2022/23 Wintersemester]]'''

===Portfolio===
Während des Semesters soll in Gruppenarbeit die Modellbildung durchgeführt werden. Diese wird schriftlich in einem Portfolio festgehalten. Dies Portfolio wird, genau wie dieser Artikel auch, in einem Wikiversity Artikel dokumentiert. Dieser sollte folgendes enthalten:
* Einleitung: Beschreibung und Einordnung des Themas &amp; welche(s) SDG wird adressiert und warum?
* Ziel der Modellierung: Welches Problem wird in der Modellierung / den einzelnen Zyklen konkret angegangen?
* Zyklus 1-3
** Mathematisches Modell (welche Mathematischen Objekte werden betrachtet, wie ergeben die sich,...)
** Ergebnisse (Ableiten von Resultaten aus dem Modell)
** Bewertung der Ergebnisse
** Grenzen und Limitationen
** Ausblick für nächsten Zyklus (welche Limitationen und Probleme aus dem Zyklus werden im folgenden adressiert?)

In allen Punkten der Modellzyklen können Programme computergestützte Tools verwendet werden.

Zur Erstellung von Wiki-Seiten ist folgende Seite hilfreich:

https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:Textgestaltung

===Prüfung===
Die Prüfung gliedert sich in zwei Aspekte:
* '''Vorstellung von ausgewählten Teilen aus dem eigenen Portfolio''' - diese werden von den Prüfer:innen aus dem Portfolio der Studierenden ausgewählt.
* '''Diskussion und Fragen''' der Prüfer:innen zu dem Portfolio, z.B. zu Teilen des Portfolios, die in der Vorstellung nicht behandelt werden können.
Ein Portfolio kann aus Zeitgründen nie vollständig in der Prüfung dargestellt werden.

In der mündlichen Portfolio-Prüfung wird geprüft, ob
*das eigene Modell verstanden ist,
*das eigene Modell kritisch hinterfragt werden kann,
*die Limitationen des Modells begründet und nachvollziehbar wiedergegeben werden können,
*die Übergänge zwischen den Zyklen beschrieben und begründet werden können,
*die technische Umsetzung reproduziert und erklärt werden kann,
*... . 

Es ist also wichtig zu wissen, was wie an welcher Stelle und mit welchem Zweck in der Modellierung gemacht wurde!

Das Portfolio (Wiki-Seite) wird somit konkret vorgestellt. Eine Präsentation des Portfolio kann automatisch mit Wiki2Reveal erstellt werden.

=== Unterstützungsangebot ===
* Das Unterstützungsangebot erfolgt in der Lehrveranstaltung zur &quot;Mathematischen Modellbildung&quot;. 
* Eine individuelle Sonderbehandlung für einzelne Studierende, die das Angebot der Vorlesung nicht nutzen und kurz vor Prüfungsbeginn noch &quot;schnell&quot; ein Portfolio zusammenstellen wollen, ist aus zeitlichen Gründen kurz vor der Prüfung nicht möglich. 
* Portfolioprüfungen der Lehrveranstaltung beziehen sich immer auf das erstellte Portfolio im laufende Semester und bei Wiederholungsprüfungen auf das Semester, in dem Portfolio erstellt wurde. 
* Eine Prüfung kann nur zu dem eigenen erstellten Portfolio in der Lehrveranstaltung abgelegt werden, an dessen Erstellung man aktiv mitgearbeitet hat.

===Ablauf des Seminars===
Der Seminarablauf über das Semester gestaltet sich grob wie folgt: 
* 1. Woche (19.10.): Einführungsveranstaltung + Gruppenfindung
* 2. Woche (26.10.): Themenfindung
* 3. Woche (02.11.): Themenfindung + Zyklen festlegen
* 4. Woche (09.11.): Zyklen festlegen
* 5. Woche (16.11.): Kurzvorstellung der Themen und Zyklen (5 Minuten pro Gruppe)
Ab Woche 6 (23.11.) bis Ende des Semesters wird gemeinsam an den Modellen und dem Portfolio gearbeitet.

Empfehlenswert wäre es, die letzten 2-3 Wochen für Finalisierungsarbeiten zu nutzen und entsprechend frühzeitig zu planen! Ausschliesslich während der Seminarzeiten an dem Modell und Portfolio zu arbeiten wird nicht ausreichen! 

Die Kurzpräsentationen am 16.11. umfassen den aktuellen Stand der Überlegungen und sind noch unter keinen Umständen verbindlich. Stattdessen dient es einfach zur Grundlage von gemeinsamer Diskussion und zur Einbringung von weiteren Ideen.

=Hilfreiche Links=
===Fachmathematische Aspekte ===
Wenn man das Modellierungsproblem in den Mittelpunkt stellt und die Fragestellung den Nachhaltigkeitszielen der UN zuordnet, kommen z.T. fachmathematische Aspekte erforderlich, die nicht in der jeweiligen Schulstufe bzw. in den Vorlesungen behandelt wurden. Dies Kapitel erhält Hinweise zu fachmathematischen Bereichen, die für die mathematische Modellbildung ggf. als Werkzeug verwendet werden können
* '''[[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]''' dienen dazu, Datenpunkte im &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; oder allgemein im &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; zu [[w:Interpolation_(Mathematik)|interpolieren]].
* '''[https://en.wikiversity.org/wiki/3D_Modelling 3D Modellierung für Projektinhalte]''' und [[w:Projektive_Geometrie|projektive Geometrie]] zur Visualisierung
* '''[[Gradientenabstiegsverfahren]]''': Wird verwendet, um sich in der mathematischen Modellbildung iterativ einem Minimum einer Kosten- oder Fehlerfunktion anzunähern.
* [[w:Lineare_Optimierung|'''Lineare Optimierung''']]  wird in  Optimierungshaufgaben wie beispielsweise  bei der Suche nach Minimum der Produktionskosten verwendet. Hierbei wird in allgemeinem nach einem Minimium/Maximum einer linearer Zielfunktion über einer Menge gesucht. [https://www.geogebra.org/m/kr727992 '''Ein Beispiel in Geogebra''']
*[[Räumliche Diffusion|'''Räumliche Diffusion''']]
*[[Modelle_der_Populationsdynamik|'''Modelle der Populationsdynamik''']]  - [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&amp;title=Modelle%20der%20Populationsdynamik&amp;author=Kurs:R%C3%A4umliche%20Modellbildung&amp;language=de&amp;audioslide=yes (Wiki2Reveal-Folien)]  -  [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] 
* '''[[Kurs:Stochastik/Wahrscheinlichkeitsdichte|Wahrscheinlichkeitsdichte]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&amp;title=Kurs:Stochastik/Wahrscheinlichkeitsdichte&amp;author=Kurs:Stochastik&amp;language=de&amp;audioslide=yes&amp;shorttitle=Wahrscheinlichkeitsdichte&amp;coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]]

===Softwarenutzung ===
Im PC-Praktikum wurden grundlegende Kenntnisse im Umgang mit Software erlangt, die für die Berechnung von mathematischen Modellen vorwendig sind. Diese Kenntnisse müssen ggf. auf das spezielle Modellierungsthema angepasst und erweitert werden.
* '''[[CSV2Chart]]''' Aus CSV-Dateien mathematische Graphen in Wikiversity erstellen.
* '''[[Maxima CAS]]''' enthält die verwendeten Werkzeuge und Kommandos eines Computeralgebrasystems (CAS), die die einzelnen Projekte in dem Modellbildungszyklus verwendet haben.
* '''[https://sagecell.sagemath.org/ SageCell]''' Online-Umgebung zur Ausführung und Demonstration von Befehlen in R, Octave, Maxima, ... (Auswahl des Befehlssatzes auf der https://sagecell.sagemath.org/ SageCell-Seite] unten rechts auf dem Eingabefeld)
* '''[[Statistikprogramm R]]''' enthält die verwendeten Werkzeuge und Kommandos, die für Berechnungen und Veranschaulichungen in den  Projekten verwendet haben.
* '''[[Tabellenkalkulation]]''' werden in Portfolios in der Regel verwendet, um Daten in den Portfolios aufzubereiten.
* '''[[Octave]]''' wird in der Regel verwendet, um numerische Berechnung in der Mathematischen Modellbildung durchzuführen.
* '''[[Geogebra]]''' ist eine Dynamische Geometriesoftware, die zur vektoriellen Veranschaulichung von räumlichen Modellierungsproblemen oder auch zur parametrisierten Darstellung von Funktionen verwendet wird (Beispiel: [https://www.geogebra.org/m/e9b349k9 Parkplatzlösung in Geogebra von Shrey T (2017)]). 
* '''[[w:Screencast|Screencast]]''': Ein Screencast ist eine Bildschirmaufnahme mit Audiokommentaren, die zeigt, wie man z.B. Software bedient. Ein Screencast ist eine Hilfestellung für Lernende, die sich noch nicht so gut mit einer bestimmten Software auskennen.
:* [https://obsproject.com/ '''Open Broadcast Software (OBS)''' - Linux, Windows, MacOSX ] - [[Konvexkombination|Beispielvideo in Wikiversity]]
* [[v:en:3D_Modelling|'''3D-Modellbildung''' (englisch)]]
* '''[http://niebert.github.io/imgmap/ Online-ImageMap-Editor]''' - Anklickbare Bereiche in Wikiversity-Bildern erstellen.
* '''[https://openlayers.org/en/latest/examples/heatmap-earthquakes.html HeatMaps]:''' Erstellung von [https://niebert.github.io/openlayer_heatmap HeatMaps mit einem Online-Editor] (Download [https://github.com/niebert/openlayer_heatmap/archive/master.zip Heatmap-Editor und Beispieldaten in Ordner &lt;tt&gt;/HeatMap&lt;/tt&gt; in ZIP-Datei])
* '''[[Wiki2Reveal]]:''' Portfolio-Präsentationen direkt im Wikiversity erstellen.

===Editierungshilfen===
* [https://latexeditor.lagrida.com/ Online-Formel-Editor für LaTeX-Formeln]&lt;ref&gt;Lagrida Web-Portal (2021) Online-Latex-Formel-Editor mit Vorschau - URL: https://latexeditor.lagrida.com/ (accessed 2021/11/21))&lt;/ref&gt;  - die erzeugten Formeln müssen in einen MATH-Tag mit &lt;kbd&gt;&lt;math&gt; ...&lt;/math&gt;&lt;/kbd&gt; eingeschlossen werden bei der Seiteneditierung.
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:TeX Mathematische Formeln in Wikiversity]
* Textgestaltung in Wikis: https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:Textgestaltung
==Wiki2Reveal==
* '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung2627|Kurs:Mathematische Modellbildung2627]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&amp;title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung2627&amp;author=&amp;language=de&amp;audioslide=yes&amp;shorttitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung2627&amp;coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]]
 

== Verweise ==
&lt;references/&gt;

== Seiteninformation ==
Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&amp;title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&amp;author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&amp;language=de&amp;audioslide=yes&amp;shorttitle=2026-27%20Wintersemester&amp;coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen.

=== Wiki2Reveal ===

Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&amp;title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&amp;author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&amp;language=de&amp;audioslide=yes&amp;shorttitle=2026-27%20Wintersemester&amp;coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung Kurs:Mathematische Modellbildung]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem  [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt.
&lt;!--
* Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten:
** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester]
--&gt;
* [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt.
* Link zur Quelle in  Wikiversity:  https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester
* siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&amp;title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&amp;author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&amp;language=de&amp;audioslide=yes&amp;shorttitle=2026-27%20Wintersemester&amp;coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Linkgenerator].
&lt;!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --&gt;;

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    <title>Mathematische Argumentation/Definitionen/Einführung/Textabschnitt</title>
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      <text bytes="8766" sha1="4czs36sab6u04kk7zypw7pzu566nbee" xml:space="preserve">{{
Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}}
|Inhalt=
Damit eine Argumentation stichhaltig sein kann, müssen die verwendeten Begriffe klar und eindeutig festgelegt sein. Dazu dienen Definitionen.

Definitionen kommen in allen Wissenschaften vor, aber auch in Gesetzen, Ausführungsbestimmungen, Spielanleitungen, Regelwerken. Es besteht ein großer Unterschied zu der {{Anführung|natürlichen Weise|SZ=,}} wie man im Allgemeinen die Bedeutung von Wörtern kennenlernt. Im natürlichen Spracherwerb lernt man neue Wörter, ihre Bedeutung und ihre Verwendung durch typische aussagekräftige Beispiele. Was ein Busch, ein Baum, ein Ast, ein Zweig ist, lernt man, indem auf diese Dinge gezeigt wird und sie entsprechend benannt werden. Wenn der Spracherwerb fortgeschritten ist, kann man Begriffe auch beschreibend einführen, wenn man beispielsweise sagt, ein Nadelbaum ist ein Baum mit einer bestimmten {{Anführung|nadelförmigen}} Blätterform. Komplexere Konzepte wie {{Anführung|Begründung|SZ=,}} {{Anführung|Analogie|SZ=,}} {{Anführung|Hierarchie}} werden durch typische Beispiele vermittelt. Dieser Begriffserwerb funktioniert erstaunlich gut. Es braucht nur einige wenige Beispielsituationen, um zu vermitteln, wann man eher Baum oder eher Busch sagt. Das liegt daran, dass die Objekte in der visuellen Wahrnehmung eine große Distanz zueinander besitzen und es wenige Grenzfälle gibt. Es sei bemerkt, dass eine KI ähnlich operiert und ziemlich schnell lernt, wann sie bei einem Foto Baum oder Busch oder Hund oder Katze sagen soll.

Eine wissenschaftliche Definition ist etwas grundsätzlich anderes als eine solche Beschreibung durch typische Beipiele. In einer Definition wird ein Begriff
{{
Zusatz/Klammer
|text=ein neues Wort|
|ISZ=|ESZ=
}}
dadurch festgelegt, dass logisch-sprachlich fixiert wird, in welcher Situation dieser Begriff welche Bedeutung besitzt. Dabei wird oft Bezug auf zuvor eingeführte Begriffe genommen. Eine Definition ist nur dann korrekt, wenn in grundsätzlich jeder Situation stets klar ist, wie der Begriff zu verstehen ist.

Ein Bezug auf Beispiele gehört nie zur Definition! Aber: Beispiele sind zur groben Orientierung, was mit der Definition gemeint ist, zum Verständnis sehr wichtig, und zwar sowohl Beispiele, die unter die Definition fallen, als auch Beispiele, die nicht unter die Definition fallen.

Die geforderte Klarheit einer Definition erfordert nicht, dass jeder Mensch in jeder Situation einfach entscheiden kann, ob die Definition zutrifft oder nicht, sondern nur, dass grundsätzlich nur das eine oder das andere gelten kann. Wenn man beispielsweise sagt, eine natürliche Zahl {{math|term= x |SZ=}} heißt eine Quadratzahl, wenn es eine natürliche Zahl {{math|term= y |SZ=}} mit
{{
Relationskette
| x
|| y^2
|| 
|| 
|| 
|SZ=
}}
gibt, so kann das grundsätzlich sein oder nicht sein. Ob es einen einfachen Test dafür gibt, zu entscheiden, ob beispielsweise {{mathl|term= 243 049 |SZ=}} eine Quadratzahl ist, wird damit nicht gesagt oder gefordert.

Häufig, und dies trifft insbesondere in der elementaren Mathemtik auf, werden in wissenschaftlichen Definitionen Begriffe eingeführt, die man aus dem Alltag oder aus der Schule schon kennt, für die man ein Vorverständnis hat, die intuitiv zugänglich sind, die zumindest eine Assoziationskette auslösen. Zwischen einer Definition und der intuitiven Vorstellung treten folgende Diskrepanzen auf
{{
Zusatz/{{{zusatz1|}}}
|text={{:Mathematik/Prinzipien/Intuition/Bemerkung}}|
|ISZ=|ESZ=.
}}

{{
Aufzählung3
|Der intuitive Zugang hat sich anhand von Beispielen entwickelt. Es ist häufig überraschend, wie die begriffliche Fixierung aussieht.
|Es ist zu überprüfen, ob die Definition mit dem intuitiv Gemeinten übereinstimmt.
|Die Situation, in der die Definition fixiert wird, weicht von den Situationen ab, in denen die Vokabel intuitiv verwendet wird.
}}

Es ist ein wichtiger Aspekt des Lernprozesses, diese Diskrepanzen wahrzunehmen und zu überwinden. Einige Beobachtungen zu diesen Punkten: (1) Sprachliche Präzision erfordert eine enorme geistige Anstrengung. Es ist einfacher, {{Anführung|sowas wie}} zu sagen. (2) Im wissenschaftlichen Kontext ist immer die Definition das Maß der Dinge, die Intuition muss sich weiterentwickeln. (3) Z.B. ist {{math|term= 0 |SZ=}} eine Quadratzahl, das hört sich für manche Leute komisch an, oder Primzahlen werden innerhalb der ganzen Zahlen definiert.


Wir besprechen einige Beispiele aus nichtmathematischen Bereichen.

{{
inputbeispiel
|Abseits/Definition/Beispiel||
}}

{{
inputbeispiel
|Mord/Definition/Beispiel||
}}

{{
inputbeispiel
|Reim/Definition/Beispiel||
}}

In diesem Kurs werden wir alle mathematischen Begriffe von Grund auf neu einführen und definieren. Insbesondere am Anfang werden wir aber auch Begriffe unter Bezug auf Schulwissen verwenden. Dies ist sinnvoll, um von Anfang an für den Gesamtkurs wichtige Sachverhalte an komplexen Beispielen erläutern zu können. So haben wir in der letzten Vorlesung die natürlichen Zahlen mit ihrer Addition und Multiplikation verwendet, ohne diese definiert zu haben. Wir werden aber diesen Zahlbereich und die darin auftretenden Operationen bald systematisch einführen. 

Eine mathematische Definition ist so aufgebaut, das ein neuer Begriff mit seiner präzisen Bedeutung beschrieben wird. In der Bedeutungsbeschreibung wird auf zuvor eingeführte Begriffe Bezug genommen. In einem mathematischen Text wird eine Definition
{{
Zusatz/Klammer
|text=so wie alle anderen Strukturelemente|
|ISZ=|ESZ=
}} 
herausgestellt, abgesetzt und nummeriert. Das neu eingeführte Wort wird kursiv gesetzt
{{
Zusatz/Klammer
|text=oder unterstrichen|
|ISZ=|ESZ=.
}}

{{
inputdefinition
|Quadratzahl/Definition||
}}

{{
inputdefinition
|Primzahl/Lexikalisch/Definition||
}}

In diesen beiden Beispielen werden die natürlichen Zahlen vorausgesetzt, in der ersten über das Symbol {{math|term= \N |SZ=,}}  in der zweiten direkt. In der ersten Definition wird auf die Quadrierung
{{
Relationskette/display
| n^2
|| n \cdot n
|| 
|| 
|| 
|SZ=
}}
und damit auf die Multiplikation Bezug genommen, in der zweiten wird auf Teiler und damit letztlich ebenfalls auf die Multiplikation Bezug genommen. In einem systematischen Aufbau, wie wir ihn verfolgen werden, muss man also zuerst diese Konzepte eingeführt haben, bevor man die obigen Definitionen hinschreiben darf. 

Beide Definitionen legen eindeutig fest, ob eine natürliche Zahl eine Quadratzahl bzw. eine Primzahl ist. Eine fixierte natürliche Zahl {{math|term= y |SZ=}} besitzt entweder die Form
{{
Relationskette
| y
|| n^2
|| 
|| 
|| 
|SZ=
}}
mit einer natürlichen Zahl {{math|term= n |SZ=,}} oder aber nicht. Dies ist letztlich eine Existenzaussage: Gibt es ein {{math|term= n |SZ=}} mit der Eigenschaft {{
Relationskette
| y
|| n^2
|| 
|| 
|| 
|SZ=
}}
oder nicht. Die Definition macht keine Aussage, wie man das {{Anführung|geschickt}} entscheiden kann, oder ob man die Menge aller Quadratzahlen einfach aufzählen kann. Bei der Definition der Primzahl wird Bezug auf die Zahl {{math|term= 2 |SZ=}} genommen, indem gefordert wird, dass genau zwei Teiler vorliegen. Hier muss man also wissen, dass man mit natürlichen Zahlen Anzahlen zählen kann. Da eine Zahl {{math|term= x |SZ=}} die {{math|term= 1 |SZ=}} und sich selbst als Teiler besitzt, bedeutet die Definition, dass {{math|term= x |SZ=}} von {{math|term= 1 |SZ=}} verschieden ist
{{
Zusatz/Klammer
|text=da die {{math|term= 1 |SZ=}} ja nur einen Teiler hat|
|ISZ=|ESZ=
}} 
und dass gleichzeitig {{math|term= x |SZ=}} nur die beiden trivialen Teiler hat, nämlich {{math|term= 1 |SZ=}} und {{math|term= x |SZ=.}} 
Häufig wird eine Primzahl auch so definiert.

Grundsätzlich kann man ein Konzept auf mehrere äquivalente Arten definieren. Man muss sich aber in einem mathematischen Kontext entscheiden, was man als eine Definition ansieht und was dann eine äquivalente Charakterisierung ist. Im gegebenen Beispiel gibt es fast keinen Unterschied zwischen der hingeschriebenen Definition und der anschließend erwähnten alternativen Definitionsmöglichkeit.
Eine Definition gilt für den gesamten folgenden Kontext: Immer, wenn irgendwann im Anschluss das Wort Quadratzahl vorkommt, ist die Bedeutung immer durch diese eine Definition festgelegt. Wenn man also eine Aussage über Quadratzahlen beweisen will, wie etwa, dass das Produkt von Quadratzahlen wieder eine Quadratzahl ist, so muss man sowohl in der Voraussetzung als auch in der Folgerung die Definition von Quadratzahl verwenden.

{{
inputbemerkung
|Definition/Sprachliche Gestalt/Primzahl und Strom/Bemerkung||
}}

|Textart=Textabschnitt
|Kategorie=Prinzipien der Mathematik
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|Kategorie3=
|Objektkategorie=
|Stichwort=
|Autor=
|Bearbeitungsstand=wd
|pdf=
}}</text>
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    <title>Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/generalisiert</title>
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      <contributor>
        <username>Bert Niehaus</username>
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      <comment>/* Siehe auch */</comment>
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      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="7929" sha1="ov4du1k6dajqohxzivo3gifc0vr4u05" xml:space="preserve">== Einleitung ==
Man betrachtet nun beliebige offene einfach zusammenhängende [[Gebiet (Mathematik)|Gebiete]] &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;z_0=|z_0|\cdot e^{it} \in G&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;t\in \mathbb{R}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;0\notin G&lt;/math&gt; und betrachtet die zugehörige Stammfunktion &lt;math&gt;log_{_G}(z)&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;f(z)&lt;/math&gt;, die die Eigenschaft &lt;math&gt;log_{_G}(z_0)=\ln(|z_0|)+i\cdot t&lt;/math&gt;. Im Allgemeinen muss &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; nur [[einfach zusammenhängend]] mit &lt;math&gt;0\notin G&lt;/math&gt; sein, damit eine Stammfunktion von &lt;math&gt;f(z)=\tfrac{1}{z}&lt;/math&gt; existiert. Stammfunktionen &lt;math&gt;F&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; unterscheiden sich nur durch eine Konstante &lt;math&gt;c&lt;/math&gt;. 

=== Festlegung der Stammfunktion als Logarithmus ===
Durch die Festlegung von &lt;math&gt;F(1)=0&lt;/math&gt; für den Hauptzweig des Logarithmus, bzw. &lt;math&gt;F(-1)=\pi i&lt;/math&gt; für den [[negativer Hauptzweig|negativen Hauptzweig]] ist der [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] als [[w:de:Stammfunktion|Stammfunktion]] von &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; allerdings eindeutig festgelegt. Für einen generalisierten Logarithmus auf einem Gebiet &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; reicht die Festlegung des Zweiges für die Festlegung in einem Punkt:
:&lt;math&gt;F(z_0)=\ln(|z_0|)+i\cdot t = w&lt;/math&gt;
Damit gilt bei Einsetzen in die Exponentialfunktion:
:&lt;math&gt;
 e^{w} = e^{F(z_0)}= e^{\ln(|z_0|)+i\cdot t} = e^{\ln(|z_0|)}\cdot e^{i\cdot t} = |z_0|\cdot e^{i\cdot t} = z_0
&lt;/math&gt;

=== Einführendes Beispiel - Archimedische Spiral ===
Man verwendet und ein [[Weg (Mathematik)/parametrisch unendlich#rechtsseitig|rechtseitig parametrisch unendlichen Weg]], der wie folgt definiert ist:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rrcl}
   \gamma : &amp; [0,+\infty) &amp; \rightarrow &amp; \mathbb{C} \\ 
    &amp;  t  &amp; \mapsto &amp; \gamma(t) = t\cdot e^{i\cdot t} 
  \end{array}  

&lt;/math&gt;
Die Spur der [[w:de:Archimedische Spirale|archimedischen Spirale]] &lt;math&gt;Spur(\gamma)&lt;/math&gt; wird nun aus den komplexen Zahlen entfernt &lt;math&gt;G:=\mathbb{C}\setminus Spur(\gamma)&lt;/math&gt; und man erhält ein [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängendes]] [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] &lt;math&gt;G&lt;/math&gt;.

==== Abbildung - Archimedische Spirale ====
Die folgende Abbildung zeigt die Spur des Weges &lt;math&gt;\gamma&lt;/math&gt; als [[Weg (Mathematik)/parametrisch unendlich#rechtsseitig|rechtseitig parametrisch unendlichen Weg]].

[[Datei:Archimedean spiral.svg|350px|zentriert|Archimedische Spirale]]

==== Beschränkter Imaginärteil beim Logarithmus ====
Wenn man den [[Hauptzweig des Logarithmus]] oder den [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweig des Logarithmus]] betrachtet, so haben die Logarithmen immer einen beschränkten Imaginärteil.
* &lt;math&gt;(-\pi,+\pi)&lt;/math&gt; für den [[Hauptzweig des Logarithmus]] und 
* &lt;math&gt;(0,2\pi)&lt;/math&gt; für den [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweig des Logarithmus]].
Bei generalisierten Logarithmen auf einfach zusammenhängenden Gebieten ist der Imaginärteil aber nicht notwendigerweise beschränkt.

=== Aufgabe für Studierende ===
Zeigen Sie, dass der [[Zweig des Logarithmus]], der auf dem Gebiet &lt;math&gt;G\setminus Spur(\gamma)&lt;/math&gt; definiert ist, einen unbeschränkten Imaginärteil besitzt. &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; entsteht dabei durch die Entfernung der Spur der [[w:de:archimedische Spirale|archimedischen Spirale]] aus den komplexen Zahlen. 

==== Hinweis zur Aufgabe ====
Die Zahl 0 wird ebenfalls aus dem Definitionsbereiches des Zweiges entfernt, da &lt;math&gt;\gamma(0)=0\cdot e^{i\cdot 0} = 0\in Spur(\gamma)&lt;/math&gt; gilt.

== Definition - generalisierter Logarithmus ==
Sei &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; ein [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängendes]] Gebiet mit &lt;math&gt;0\notin G&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;z_o=|z_o|\cdot e^{it} \not=0&lt;/math&gt;. Die Funktion &lt;math&gt;\log_{_G} : G \to \mathbb{C} &lt;/math&gt; mit 
:&lt;math&gt;
   \log_{_G}(z_0) = \ln(|z_0|) + i \cdot t
&lt;/math&gt; 
nennt man generalisierter Logarithmus auf &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; für &lt;math&gt;z_o=|z_o|\cdot e^{it} \in G&lt;/math&gt;.

=== LogMod-Funktion des Startpunktes ===
Analog zu den bereits angesprochenen [[Zweige des Logarithmus|Zweige des Logorithmus]] wählt man &lt;math&gt;z_o \in \mathbb{C} \setminus \{0\}&lt;/math&gt; als Startpunkt des definierenden Wegintegrals über &lt;math&gt;f(\xi)=\tfrac{1}{\xi}&lt;/math&gt;. Die Eigenschaft &lt;math&gt;log_{_G}(1)=2\pi i\cdot k&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;k\in \mathbb{Z}&lt;/math&gt; ist erfüllt, wobei die [[logmod-Funktion]] &lt;math&gt;logmod(z_0)&lt;/math&gt; und die topologische Struktur des [[einfach zusammenhängend]]en Gebietes die Vielfachheit &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;log_{_G}(1)&lt;/math&gt; eindeutig festlegt.

=== Aufgabe für Studierende ===
Wählen Sie als Gebiet &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; das [[einfach zusammenhängend]]e Gebiet, das durch die Entfernung der archimedischen Spirale in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt; entstanden ist. Sei &lt;math&gt;z_0 = 10\cdot e^{13\pi}&lt;/math&gt;. Berechnen Sie den Logarithmus von:
* &lt;math&gt;log_{_G}(1)=2\pi i\cdot k_1&lt;/math&gt; und
* &lt;math&gt;log_{_G}(e)=w+2\pi i\cdot k_2&lt;/math&gt;
und bestimmen Sie &lt;math&gt;k_1, k_2, w &lt;/math&gt; für die beiden Logarithmen.

=== Integraldarstellung des Zweiges ===
Die folgende Integraldarstellung des Hauptzweiges mit [[Konvexkombination]] &lt;math&gt;\gamma_z&lt;/math&gt; als Integrationsweg erfüllt diese Eigenschaft für &lt;math&gt;z_0 =|z_0|\cdot e^{it}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;t\in \mathbb{R}&lt;/math&gt;: 
:&lt;math&gt;
 \begin{array}{rrcl}
   \gamma_z : &amp; [0,1] &amp; \rightarrow &amp; \mathbb{C} \\ 
    &amp;  t  &amp; \mapsto &amp; \gamma_z(t) =  (1-t)\cdot z_0 + t\cdot z =  (t-1) + t\cdot z 
  \end{array}  
&lt;/math&gt;

:&lt;math&gt;
log_{_G}(z) := \underbrace{(\ln(|z_0|\cdot i\cdot t)}_{=\log_{_G}(z_0)} + \int_{\gamma_z}
 \frac{1}{\xi} \, d\xi = \log_{_G}(z_0) +  \int_{0}^1
 \frac{1}{\gamma_z(t)} \cdot \gamma_z{\!\!}'(t) \,\, dt  

&lt;/math&gt;

=== Entwicklung in Potenzreihen ===
Man legt 
Jede auf einem Gebiet &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; [[holomorphe Funktion]] lässt sich lokal in eine Potenzreihe entwickelt. Durch den Zusammenhang von &lt;math&gt;\tfrac{1}{z}&lt;/math&gt; und dem Logarithmus erhält man auch eine Potenzreihendarstellung für beliebige [[w:de:Potenzreihe|Entwicklungspunkte]] &lt;math&gt;z_o=|z_o|\cdot e^{it} \not=0&lt;/math&gt; über die [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] mit &lt;math&gt;q=\frac{z-z_o}{-z_o}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;|z-z_0| &lt; |z_0|&lt;/math&gt;:
:&lt;math&gt;f(z)= \frac{1}{z} 
= \frac{1}{z_o} \cdot \frac{1}{ 1-  \underbrace{\frac{z-z_o}{-z_o} }_{=q} }
=
 \sum_{n=0}^\infty 
\underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1}} }_{=a_n} \cdot (z-z_o)^n 
&lt;/math&gt;

=== Stammfunktion - Konstante der Taylorreihe ===
Für den [[w:de:Potenzreihe|Entwicklungspunkt]] &lt;math&gt;z_o=|z_o|\cdot e^{it} \not=0&lt;/math&gt; erhält man für einen Zweig des Logarithmus als Stammfunktion von von &lt;math&gt;\tfrac{1}{z}&lt;/math&gt; folgende Potenzreihendarstellung auf &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;r&lt; |z_0|&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;c= \ln(|z_o|) + i\cdot t&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;t\in \mathbb{R}&lt;/math&gt;:
:&lt;math&gt;\log_{_G}(z)= c +
 \sum_{n=0}^\infty 
\frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1} \cdot (n+1)}  \cdot (z-z_o)^{n+1} 
&lt;/math&gt;
Ein zugehöriger Zweig von &lt;math&gt;\log_{_G}&lt;/math&gt; ist dann z.B. auf dem Gebiet &lt;math&gt;G:= \mathbb{C} \setminus Spur(\gamma)&lt;/math&gt; definiert.

=== Bemerkung - Eindeutigkeitlemma für Logarithmuszweige ===
Das 
[[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] zeigt, dass mit der Wahl eines [[einfach zusammenhängend]]en &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;0\notin G&lt;/math&gt; und der Festlegung des Imaginärteiles des Logarithmuszweige für ein &lt;math&gt;z_0\in G&lt;/math&gt; der gesamte Zweig des Logarithmus auf &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; eindeutig definiert ist. Wie bei anderen Zweigen des Logarithmus ist durch den [[Identitätssatz]] bereits durch die Festlegung eines Punkte die Stammfunktion von &lt;math&gt;\tfrac{1}{z}&lt;/math&gt; auf einer Kreisscheibe festgelegt, die als nicht diskrete Menge den Logarithmus auf ganz &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; festlegt.

== Siehe auch ==
* [[logmod-Äquivalenzklassen]]
* [[einfach zusammenhängend]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]]
* [[w:de:Stammfunktion|Stammfunktion]]
* [[Zweige des Logarithmus]]</text>
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    <title>Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/logmod</title>
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      <timestamp>2026-10-15T06:45:11Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bert Niehaus</username>
        <id>20843</id>
      </contributor>
      <comment>/* Siehe auch */</comment>
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      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="10066" sha1="p09fw1g0691rrszvwt93tslxu2gqshz" xml:space="preserve">== Einleitung ==
Für die Definition eines rekursiven Logarithmus auf &lt;math&gt;\mathbb{C}\setminus \{0\}&lt;/math&gt; benötigt man die &lt;math&gt;logmod&lt;/math&gt;-Funktion. Ähnlich wie bei der Periodizität Addition &lt;math&gt;+1&lt;/math&gt; in Restklasse modulo &lt;math&gt;m&lt;/math&gt; hat die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] über die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] die Periodizität &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt;.

== Definition - logmod-Funktion ==
Sei eine komplexe Zahl &lt;math&gt;z=z_1+iz_2\in \mathbb{C}&lt;/math&gt; beliebig gewählt. Dann definiert man:
:&lt;math&gt;
  \mathrm{logmod}(z)=k\in\mathbb{Z}  \mbox{ mit } z_2 - k\cdot 2\pi i \in [0,2\pi i ) 
&lt;/math&gt;

=== Erläuterung - logmod ===
Die &lt;math&gt;logmod&lt;/math&gt;-Funktion gibt die Vielfachheit &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt;, die man von dem Imaginärteil &lt;math&gt;z_2=\mathfrak{Im}(z)\in \mathbb{R}&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;z&lt;/math&gt; abziehen muss, damit der Imaginärteil von &lt;math&gt;z-k\cdot 2\pi i&lt;/math&gt; in dem halboffenen Intervall &lt;math&gt;[0,2\pi i ) 
&lt;/math&gt; liegt. 

=== Beispiele ===
* für reelle Zahlen &lt;math&gt;z\in\mathbb{R}&lt;/math&gt; gilt &lt;math&gt;\mathrm{logmod}_{2\pi i}(z) = 0&lt;/math&gt;.
* für &lt;math&gt;z_1\in\mathbb{R}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;z_2\in [0,2\pi)&lt;/math&gt; gilt ebenfalls &lt;math&gt;\mathrm{logmod}_{2\pi i}(z) = 0&lt;/math&gt;, z.B. &lt;math&gt;7+2i\in \mathbb{R}\times [0,2\pi)\cdot i&lt;/math&gt; daher gilt &lt;math&gt;\mathrm{logmod}_{2\pi i}(7+2i) = 0&lt;/math&gt;.
* für &lt;math&gt;7+7i\in \mathbb{R}\times [0,2\pi)\cdot i&lt;/math&gt; gilt &lt;math&gt;\mathrm{logmod}_{2\pi i}(7+7i) = 1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\mathrm{logmod}_{2\pi i}(7-21i) = -3&lt;/math&gt;.

=== Bezug zur Restklassen und modulo-Rechnung ===
Wenn &lt;math&gt;14&lt;/math&gt; liegt in der Restklasse &lt;math&gt;[2]_5&lt;/math&gt; modulo &lt;math&gt;5&lt;/math&gt; mit:
:&lt;math&gt;
  [2]_5 := \{z\in \mathbb{Z} \, : \, \exist_{k\in \mathbb{Z}}\ 5\cdot k + 2 = z\}
&lt;/math&gt; 
Wenn man die Restklasse &lt;math&gt;r\in\{0,1,2,3,4\}&lt;/math&gt; einer beliebigen ganzen Zahl &lt;math&gt;z\in \mathbb{Z}&lt;/math&gt; modulo 5 sucht, bestimmen man die Vielfachheit &lt;math&gt;k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;, sodass &lt;math&gt;z-k\cdot \in \{0,1,2,3,4\}&lt;/math&gt; in der Repräsentantenmenge der Restklasse liegt.

== Bezug zur Exponentialfunktion ==
Die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] besitzt eine Periodizität von &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; (siehe [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]]). Wenn man den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige|negativen Hauptzweig]] algebraisch auf &lt;math&gt;\mathbb{D}_1&lt;/math&gt; vervollständigt, kann man &lt;math&gt;\mathbb{C}\setminus \{0\}&lt;/math&gt; bijektiv mit der Exponentialfunktion auf &lt;math&gt;\mathbb{D}_1&lt;/math&gt; abbilden. Dabei definiert man:
:&lt;math&gt;\mathbb{D}_1 := \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi i) = \{z_1+i\cdot z_2 \in \mathbb{C} \, :\, z_2\in  [0,2\pi i)\,\, \}&lt;/math&gt; 
und definert den zugehörigen Logarithmus wie folgt:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rrcl}
   \ln_1 : &amp; \mathbb{C}\setminus \{0\} &amp; \rightarrow &amp; \mathbb{D}_1 \\ 
    &amp;  z  &amp; \mapsto &amp; \ln_1(z) = w \in \mathbb{D}_1  \mbox{ mit } e^w = z
  \end{array}  
&lt;/math&gt;

=== Bemerkung - Stetigkeit und Differenzierbarkeit ===
Der [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#algebraischvollstaendig|algebraisch vervollständigte Logarithmus]] ist für alle Zahlen &lt;math&gt;z\in \mathbb{R}\setminus \{0\} \subset \mathbb{C} &lt;/math&gt; nicht stetig und damit auch nicht komplex differenzierbar. Den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] als [[holomorphe Funktion]] erhält als eine holomorphe Funktion als Stammfunktion &lt;math&gt;f(z)=\tfrac{1}{z}&lt;/math&gt; nur dann, wenn der Definitionbereich [[einfach zusammenhängend]] ist.

== Gaußklammer-Definition von logmod ==
Die &lt;math&gt;logmod&lt;/math&gt;-Funktion kann man über die [[w:de:Gaußklammer|Gaußklammer]] wie folgt ausdrücken:
:&lt;math&gt;\mathrm{logmod}(z):=\left\lfloor \frac{\mathfrak{Im}(z)}{2\pi} \right\rfloor&lt;/math&gt;

=== Bemerkung zur Definition ===
Die Gaußklammer wird in der obigen Definition auf einen Quotienten aus dem Imaginärteil &lt;math&gt;\mathfrak{Im}(z)\in\mathbb{R}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;2\pi&lt;/math&gt; als [[w:de:Reelle Zahlen|reelle Zahl]] angewendet, wobei  &lt;math&gt;\left\lfloor \tfrac{\mathfrak{Im}(z)}{2\pi} \right\rfloor&lt;/math&gt; die größte [[w:de:ganze Zahl|ganze Zahl]] ist, die kleiner oder gleich der reellen Zahl &lt;math&gt;\tfrac{\mathfrak{Im}(z)}{2\pi}&lt;/math&gt; ist:
:&lt;math&gt;\left\lfloor \tfrac{\mathfrak{Im}(z)}{2\pi} \right\rfloor := \max \left\{k\in\mathbb{Z} \mid k \leq \tfrac{\mathfrak{Im}(z)}{2\pi} \right\}\in \mathbb{Z}&lt;/math&gt;

== LogMod-Lemma ==
Sei &lt;math&gt;z\in \mathbb{C}&lt;/math&gt; eine beliebige komplexe Zahl, dann die folgende Eigenschaft gilt:
:&lt;math&gt;
 \mathfrak{Im}\left(z - \left\lfloor \frac{\mathfrak{Im}(z)}{2\pi} \right\rfloor \cdot 2\pi i \right) \in [0,2\pi)
&lt;/math&gt;

== Beweis - LogMod-Lemma ==

In dem Beweis ist zu zeigen, dass der Imaginärteil &lt;math&gt;\mathfrak{Im}(z)&lt;/math&gt; von einer komplexen Zahl &lt;math&gt;z\in \mathbb{C}&lt;/math&gt; in dem halboffenen Intervall &lt;math&gt;[0,2\pi)&lt;/math&gt; liegt, wenn man ein &lt;math&gt;logmod(z)&lt;/math&gt;-Vielfaches von &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;z&lt;/math&gt; subtrahiert.  

=== Schritt 1 - Definition des Argumentes ===
Zunächst definiert man zur Vereinfachung der Notation das Argument des äußeren Imaginärteiles als &lt;math&gt;w\in \mathbb{C}&lt;/math&gt;:  
:&lt;math&gt;
w := z - \left\lfloor \frac{\mathfrak{Im}(z)}{2\pi} \right\rfloor \cdot 2\pi i
&lt;/math&gt;  
Zu zeigen ist nun die Eigenschaft:
:&lt;math&gt;
\mathfrak{Im}(w) \in [0, 2\pi)
&lt;/math&gt;

=== Schritt 2 - Real-Imaginärteilzerlegung ===
Man zerlegt nun &lt;math&gt; z &lt;/math&gt; in seinen Real- und Imaginärteil.

:&lt;math&gt;
z = x + i y, \quad \text{mit } x, y \in \mathbb{R}
&lt;/math&gt;

Dann gilt &lt;math&gt;
\mathfrak{Re}(z) = x \in \mathbb{R}
&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;
\mathfrak{Im}(z) = y \in \mathbb{R}
&lt;/math&gt;.

=== Schritt 3 - Imaginärteilsubstitution im Ausdruck ===
Durch Ersetzen &lt;math&gt;
\mathfrak{Im}(z) = y \in \mathbb{R}
&lt;/math&gt; in dem Ausdruck betrachtet man nun folgende Gleichung:
:&lt;math&gt;
w = z - \left\lfloor \frac{y}{2\pi} \right\rfloor \cdot 2\pi i
&lt;/math&gt;

Setzt man ferner für &lt;math&gt; z &lt;/math&gt; den Term &lt;math&gt; x + i y &lt;/math&gt; ein, erhält man &lt;math&gt;
\mathfrak{Im}(w) = y - 2\pi  \cdot \left\lfloor \tfrac{y}{2\pi} \right\rfloor
&lt;/math&gt; durch folgende Umformung:

:&lt;math&gt;
w = x + i y - \left\lfloor \frac{y}{2\pi} \right\rfloor \cdot 2\pi i = \underbrace{x}_{=\mathfrak{Re}(w)} + i \underbrace{\left( y - 2\pi \cdot \left\lfloor \frac{y}{2\pi} \right\rfloor \right)}_{=\mathfrak{Im}(w)}
&lt;/math&gt;

=== Schritt 4 -Gaußklammereigenschaft anwenden === 
Wendet man nun die Definition der Gaußklammer Quotionenten
&lt;math&gt;\frac{y}{2\pi} &lt;/math&gt; für eine beliebige reelle Zahl &lt;math&gt; y \in \mathbb{R} &lt;/math&gt; an, so gilt folgende Ungleichungskette:

:&lt;math&gt;
\left\lfloor \frac{y}{2\pi} \right\rfloor \leq \frac{y}{2\pi} &lt; \left\lfloor \frac{y}{2\pi} \right\rfloor + 1
&lt;/math&gt;

Multipliziert man die Ungleichung mit einer positiven Zahl &lt;math&gt; 2\pi &gt; 0 &lt;/math&gt;, so bleibt die einzelnen Ungleichungen erhalten:

:&lt;math&gt;
2\pi \cdot \left\lfloor \frac{y}{2\pi} \right\rfloor \leq y &lt; 2\pi \cdot \left( \left\lfloor \frac{y}{2\pi} \right\rfloor + 1 \right)
&lt;/math&gt;

=== Schritt 5 - Subtraktion des Gaußklammerterms === 
Subtrahiert man nun eine reelle Zahl &lt;math&gt; 2\pi\cdot  \left\lfloor \frac{y}{2\pi} \right\rfloor &lt;/math&gt; von allen Termen der Ungleichungskette, so bleibt auch durch diese Operation die Ungleichungskette erhalten und es gilt:

:&lt;math&gt;
0 \leq \underbrace{y - 2\pi \cdot \left\lfloor \frac{y}{2\pi} \right\rfloor}_{=\mathfrak{Im}(w)} &lt; 2\pi
&lt;/math&gt;

=== Schritt 6 - Intervall und Imaginärteil ===
Das liefert nach Schritt 3 genau die gesuchte Ungleichung ist genau die gesuchte Eigenschaft aus der Behauptung, denn mit &lt;math&gt;
0 \leq \mathfrak{Im}(w) &lt; 2\pi
&lt;/math&gt;
gilt auch
:&lt;math&gt;
\mathfrak{Im}(w) = y - 2\pi \left\lfloor \frac{y}{2\pi} \right\rfloor \in [0, 2\pi)
&lt;/math&gt;

bzw. durch Rückersetzung der Definition von &lt;math&gt;w&lt;/math&gt; aus Schritt 1 folgt:
:&lt;math&gt;
\mathfrak{Im}\left(z - \left\lfloor \frac{\mathfrak{Im}(z)}{2\pi} \right\rfloor \cdot 2\pi i \right) \in [0, 2\pi)
&lt;/math&gt;


== Interpretation und Anwendung ==
Die Verwendung der &lt;math&gt;logmod&lt;/math&gt;-Funktion erlaubt es in der komplexen Analysis, insbesondere bei der Definition des [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#negativer_Hauptzweig|negativen Hauptzweigs]] des komplexen Logarithmus und der damit Verbundenen Periodizität der Exponentialfunktion Äquivalenzklassen 
:&lt;math&gt;[w]_0 =\{ \widehat{w}\in \mathbb{C} \, :\, \exist_{k\in \mathbb{Z}}\ : w-\widehat{w}=k\cdot 2\pi i \}&lt;/math&gt; 
zu bilden, für dessen Elemente &lt;math&gt;e^w = e^{\widehat{w}}&lt;/math&gt; gilt.

=== Beispiel - Anwendung logmod-Funktion ===  
Sei &lt;math&gt; z = 5\pi i &lt;/math&gt;, so gilt &lt;math&gt;\mathrm{logmod}(z)=2&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;z-\mathrm{logmod}(z)\cdot 2\pi = \pi i &lt;/math&gt;. Die zugehörige Äquivalenzklasse &lt;math&gt;[z]_0&lt;/math&gt; enthält die folgenden Elemente:
:&lt;math&gt;[z]_0 = \{\ldots , -5\pi i, -3\pi i, -1\pi i , +1\pi i , +3\pi i, +5\pi i,+7\pi i, \ldots\}&lt;/math&gt;
Ferner gilt für alle &lt;math&gt;w\in [z]_0&lt;/math&gt;, dass &lt;math&gt;e^w = e^{\pi i} = -1&lt;/math&gt;. Im Hauptzweig als holomorphe Funktion ist der Logorithmus von &lt;math&gt;-1&lt;/math&gt; nicht definiert. Allerdings ist der Logarithmus im der [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#allgebraischvollstaendig|algebraisch vervollständigten]] Funktionsdefinition definiert &lt;math&gt;\log(\pi i)=-1&lt;/math&gt;.

==== Analogie zu Restklassen ====
Betrachtet man die Zahl &lt;math&gt;5&lt;/math&gt;, so liegt diese in der Restklasse &lt;math&gt;[1]_2&lt;/math&gt; modulo &lt;math&gt;2&lt;/math&gt; mit:
:&lt;math&gt;
  [1]_2 := \{z\in \mathbb{Z} \, : \, \exist_{k\in \mathbb{Z}}\ 2\cdot k + 1 = z\}
&lt;/math&gt; 
Modulo 2 gibt es nur zwei Restklassen &lt;math&gt;[1]_2&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;[0]_2&lt;/math&gt;, da bei der Division durch 2 nur die Reste &lt;math&gt;r\in\{0,1\}&lt;/math&gt; auftreten. In aufzählender Form kann man die Restklasse &lt;math&gt;[1]_2&lt;/math&gt; wie folgt notieren:
:&lt;math&gt;[1]_2 = \{\ldots , -5, -3, -1 , +1 , +3, +5,+7, \ldots\}&lt;/math&gt;

== Siehe auch ==
* [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#algebraischvollstaendig|algebraisch vervollständigte Logarithmus]]
* [[einfach zusammenhängend]]
* [[w:de:Gaußklammer|Gaußklammer]]
* [[holomorphe Funktion]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]]
* [[logmod-Äquivalenzklassen]]</text>
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      <contributor>
        <username>Bert Niehaus</username>
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      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="10288" sha1="6lb2mky7dqkeo0ajykbt426ewqjozwz" xml:space="preserve">== Einleitung ==
Für die Definition eines rekursiven Logarithmus auf &lt;math&gt;\mathbb{C}\setminus \{0\}&lt;/math&gt; benötigt man die &lt;math&gt;logmod&lt;/math&gt;-Funktion. Ähnlich wie bei der Periodizität Addition &lt;math&gt;+1&lt;/math&gt; in Restklasse modulo &lt;math&gt;m&lt;/math&gt; hat die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] über die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] die Periodizität &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt;. Insgesamt wird diese Funktion verwendet, um algebraische Eigenschaften auf [[logmod-Äquivalenzklassen]] zu untersuchen, die als Repräsentantensystem &lt;math&gt;\mathbb{D}_1 := \mathbb{R} + i \cdot [0,2\pi) &lt;/math&gt; verwenden.

== Definition - logmod-Funktion ==
Sei eine komplexe Zahl &lt;math&gt;z=z_1+iz_2\in \mathbb{C}&lt;/math&gt; beliebig gewählt. Dann definiert man:
:&lt;math&gt;
  \mathrm{logmod}(z)=k\in\mathbb{Z}  \mbox{ mit } z_2 - k\cdot 2\pi i \in [0,2\pi i ) 
&lt;/math&gt;

=== Erläuterung - logmod ===
Die &lt;math&gt;logmod&lt;/math&gt;-Funktion gibt die Vielfachheit &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt;, die man von dem Imaginärteil &lt;math&gt;z_2=\mathfrak{Im}(z)\in \mathbb{R}&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;z&lt;/math&gt; abziehen muss, damit der Imaginärteil von &lt;math&gt;z-k\cdot 2\pi i&lt;/math&gt; in dem halboffenen Intervall &lt;math&gt;[0,2\pi i ) 
&lt;/math&gt; liegt. 

=== Beispiele ===
* für reelle Zahlen &lt;math&gt;z\in\mathbb{R}&lt;/math&gt; gilt &lt;math&gt;\mathrm{logmod}_{2\pi i}(z) = 0&lt;/math&gt;.
* für &lt;math&gt;z_1\in\mathbb{R}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;z_2\in [0,2\pi)&lt;/math&gt; gilt ebenfalls &lt;math&gt;\mathrm{logmod}_{2\pi i}(z) = 0&lt;/math&gt;, z.B. &lt;math&gt;7+2i\in \mathbb{R}\times [0,2\pi)\cdot i&lt;/math&gt; daher gilt &lt;math&gt;\mathrm{logmod}_{2\pi i}(7+2i) = 0&lt;/math&gt;.
* für &lt;math&gt;7+7i\in \mathbb{R}\times [0,2\pi)\cdot i&lt;/math&gt; gilt &lt;math&gt;\mathrm{logmod}_{2\pi i}(7+7i) = 1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\mathrm{logmod}_{2\pi i}(7-21i) = -3&lt;/math&gt;.

=== Bezug zur Restklassen und modulo-Rechnung ===
Wenn &lt;math&gt;14&lt;/math&gt; liegt in der Restklasse &lt;math&gt;[2]_5&lt;/math&gt; modulo &lt;math&gt;5&lt;/math&gt; mit:
:&lt;math&gt;
  [2]_5 := \{z\in \mathbb{Z} \, : \, \exist_{k\in \mathbb{Z}}\ 5\cdot k + 2 = z\}
&lt;/math&gt; 
Wenn man die Restklasse &lt;math&gt;r\in\{0,1,2,3,4\}&lt;/math&gt; einer beliebigen ganzen Zahl &lt;math&gt;z\in \mathbb{Z}&lt;/math&gt; modulo 5 sucht, bestimmen man die Vielfachheit &lt;math&gt;k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;, sodass &lt;math&gt;z-k\cdot \in \{0,1,2,3,4\}&lt;/math&gt; in der Repräsentantenmenge der Restklasse liegt.

== Bezug zur Exponentialfunktion ==
Die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] besitzt eine Periodizität von &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; (siehe [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]]). Wenn man den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige|negativen Hauptzweig]] algebraisch auf &lt;math&gt;\mathbb{D}_1&lt;/math&gt; vervollständigt, kann man &lt;math&gt;\mathbb{C}\setminus \{0\}&lt;/math&gt; bijektiv mit der Exponentialfunktion auf &lt;math&gt;\mathbb{D}_1&lt;/math&gt; abbilden. Dabei definiert man:
:&lt;math&gt;\mathbb{D}_1 := \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi i) = \{z_1+i\cdot z_2 \in \mathbb{C} \, :\, z_2\in  [0,2\pi i)\,\, \}&lt;/math&gt; 
und definert den zugehörigen Logarithmus wie folgt:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rrcl}
   \ln_1 : &amp; \mathbb{C}\setminus \{0\} &amp; \rightarrow &amp; \mathbb{D}_1 \\ 
    &amp;  z  &amp; \mapsto &amp; \ln_1(z) = w \in \mathbb{D}_1  \mbox{ mit } e^w = z
  \end{array}  
&lt;/math&gt;

=== Bemerkung - Stetigkeit und Differenzierbarkeit ===
Der [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#algebraischvollstaendig|algebraisch vervollständigte Logarithmus]] ist für alle Zahlen &lt;math&gt;z\in \mathbb{R}\setminus \{0\} \subset \mathbb{C} &lt;/math&gt; nicht stetig und damit auch nicht komplex differenzierbar. Den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] als [[holomorphe Funktion]] erhält als eine holomorphe Funktion als Stammfunktion &lt;math&gt;f(z)=\tfrac{1}{z}&lt;/math&gt; nur dann, wenn der Definitionbereich [[einfach zusammenhängend]] ist.

== Gaußklammer-Definition von logmod ==
Die &lt;math&gt;logmod&lt;/math&gt;-Funktion kann man über die [[w:de:Gaußklammer|Gaußklammer]] wie folgt ausdrücken:
:&lt;math&gt;\mathrm{logmod}(z):=\left\lfloor \frac{\mathfrak{Im}(z)}{2\pi} \right\rfloor&lt;/math&gt;

=== Bemerkung zur Definition ===
Die Gaußklammer wird in der obigen Definition auf einen Quotienten aus dem Imaginärteil &lt;math&gt;\mathfrak{Im}(z)\in\mathbb{R}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;2\pi&lt;/math&gt; als [[w:de:Reelle Zahlen|reelle Zahl]] angewendet, wobei  &lt;math&gt;\left\lfloor \tfrac{\mathfrak{Im}(z)}{2\pi} \right\rfloor&lt;/math&gt; die größte [[w:de:ganze Zahl|ganze Zahl]] ist, die kleiner oder gleich der reellen Zahl &lt;math&gt;\tfrac{\mathfrak{Im}(z)}{2\pi}&lt;/math&gt; ist:
:&lt;math&gt;\left\lfloor \tfrac{\mathfrak{Im}(z)}{2\pi} \right\rfloor := \max \left\{k\in\mathbb{Z} \mid k \leq \tfrac{\mathfrak{Im}(z)}{2\pi} \right\}\in \mathbb{Z}&lt;/math&gt;

== LogMod-Lemma ==
Sei &lt;math&gt;z\in \mathbb{C}&lt;/math&gt; eine beliebige komplexe Zahl, dann die folgende Eigenschaft gilt:
:&lt;math&gt;
 \mathfrak{Im}\left(z - \left\lfloor \frac{\mathfrak{Im}(z)}{2\pi} \right\rfloor \cdot 2\pi i \right) \in [0,2\pi)
&lt;/math&gt;

== Beweis - LogMod-Lemma ==

In dem Beweis ist zu zeigen, dass der Imaginärteil &lt;math&gt;\mathfrak{Im}(z)&lt;/math&gt; von einer komplexen Zahl &lt;math&gt;z\in \mathbb{C}&lt;/math&gt; in dem halboffenen Intervall &lt;math&gt;[0,2\pi)&lt;/math&gt; liegt, wenn man ein &lt;math&gt;logmod(z)&lt;/math&gt;-Vielfaches von &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;z&lt;/math&gt; subtrahiert.  

=== Schritt 1 - Definition des Argumentes ===
Zunächst definiert man zur Vereinfachung der Notation das Argument des äußeren Imaginärteiles als &lt;math&gt;w\in \mathbb{C}&lt;/math&gt;:  
:&lt;math&gt;
w := z - \left\lfloor \frac{\mathfrak{Im}(z)}{2\pi} \right\rfloor \cdot 2\pi i
&lt;/math&gt;  
Zu zeigen ist nun die Eigenschaft:
:&lt;math&gt;
\mathfrak{Im}(w) \in [0, 2\pi)
&lt;/math&gt;

=== Schritt 2 - Real-Imaginärteilzerlegung ===
Man zerlegt nun &lt;math&gt; z &lt;/math&gt; in seinen Real- und Imaginärteil.

:&lt;math&gt;
z = x + i y, \quad \text{mit } x, y \in \mathbb{R}
&lt;/math&gt;

Dann gilt &lt;math&gt;
\mathfrak{Re}(z) = x \in \mathbb{R}
&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;
\mathfrak{Im}(z) = y \in \mathbb{R}
&lt;/math&gt;.

=== Schritt 3 - Imaginärteilsubstitution im Ausdruck ===
Durch Ersetzen &lt;math&gt;
\mathfrak{Im}(z) = y \in \mathbb{R}
&lt;/math&gt; in dem Ausdruck betrachtet man nun folgende Gleichung:
:&lt;math&gt;
w = z - \left\lfloor \frac{y}{2\pi} \right\rfloor \cdot 2\pi i
&lt;/math&gt;

Setzt man ferner für &lt;math&gt; z &lt;/math&gt; den Term &lt;math&gt; x + i y &lt;/math&gt; ein, erhält man &lt;math&gt;
\mathfrak{Im}(w) = y - 2\pi  \cdot \left\lfloor \tfrac{y}{2\pi} \right\rfloor
&lt;/math&gt; durch folgende Umformung:

:&lt;math&gt;
w = x + i y - \left\lfloor \frac{y}{2\pi} \right\rfloor \cdot 2\pi i = \underbrace{x}_{=\mathfrak{Re}(w)} + i \underbrace{\left( y - 2\pi \cdot \left\lfloor \frac{y}{2\pi} \right\rfloor \right)}_{=\mathfrak{Im}(w)}
&lt;/math&gt;

=== Schritt 4 -Gaußklammereigenschaft anwenden === 
Wendet man nun die Definition der Gaußklammer Quotionenten
&lt;math&gt;\frac{y}{2\pi} &lt;/math&gt; für eine beliebige reelle Zahl &lt;math&gt; y \in \mathbb{R} &lt;/math&gt; an, so gilt folgende Ungleichungskette:

:&lt;math&gt;
\left\lfloor \frac{y}{2\pi} \right\rfloor \leq \frac{y}{2\pi} &lt; \left\lfloor \frac{y}{2\pi} \right\rfloor + 1
&lt;/math&gt;

Multipliziert man die Ungleichung mit einer positiven Zahl &lt;math&gt; 2\pi &gt; 0 &lt;/math&gt;, so bleibt die einzelnen Ungleichungen erhalten:

:&lt;math&gt;
2\pi \cdot \left\lfloor \frac{y}{2\pi} \right\rfloor \leq y &lt; 2\pi \cdot \left( \left\lfloor \frac{y}{2\pi} \right\rfloor + 1 \right)
&lt;/math&gt;

=== Schritt 5 - Subtraktion des Gaußklammerterms === 
Subtrahiert man nun eine reelle Zahl &lt;math&gt; 2\pi\cdot  \left\lfloor \frac{y}{2\pi} \right\rfloor &lt;/math&gt; von allen Termen der Ungleichungskette, so bleibt auch durch diese Operation die Ungleichungskette erhalten und es gilt:

:&lt;math&gt;
0 \leq \underbrace{y - 2\pi \cdot \left\lfloor \frac{y}{2\pi} \right\rfloor}_{=\mathfrak{Im}(w)} &lt; 2\pi
&lt;/math&gt;

=== Schritt 6 - Intervall und Imaginärteil ===
Das liefert nach Schritt 3 genau die gesuchte Ungleichung ist genau die gesuchte Eigenschaft aus der Behauptung, denn mit &lt;math&gt;
0 \leq \mathfrak{Im}(w) &lt; 2\pi
&lt;/math&gt;
gilt auch
:&lt;math&gt;
\mathfrak{Im}(w) = y - 2\pi \left\lfloor \frac{y}{2\pi} \right\rfloor \in [0, 2\pi)
&lt;/math&gt;

bzw. durch Rückersetzung der Definition von &lt;math&gt;w&lt;/math&gt; aus Schritt 1 folgt:
:&lt;math&gt;
\mathfrak{Im}\left(z - \left\lfloor \frac{\mathfrak{Im}(z)}{2\pi} \right\rfloor \cdot 2\pi i \right) \in [0, 2\pi)
&lt;/math&gt;


== Interpretation und Anwendung ==
Die Verwendung der &lt;math&gt;logmod&lt;/math&gt;-Funktion erlaubt es in der komplexen Analysis, insbesondere bei der Definition des [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#negativer_Hauptzweig|negativen Hauptzweigs]] des komplexen Logarithmus und der damit Verbundenen Periodizität der Exponentialfunktion Äquivalenzklassen 
:&lt;math&gt;[w]_0 =\{ \widehat{w}\in \mathbb{C} \, :\, \exist_{k\in \mathbb{Z}}\ : w-\widehat{w}=k\cdot 2\pi i \}&lt;/math&gt; 
zu bilden, für dessen Elemente &lt;math&gt;e^w = e^{\widehat{w}}&lt;/math&gt; gilt.

=== Beispiel - Anwendung logmod-Funktion ===  
Sei &lt;math&gt; z = 5\pi i &lt;/math&gt;, so gilt &lt;math&gt;\mathrm{logmod}(z)=2&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;z-\mathrm{logmod}(z)\cdot 2\pi = \pi i &lt;/math&gt;. Die zugehörige Äquivalenzklasse &lt;math&gt;[z]_0&lt;/math&gt; enthält die folgenden Elemente:
:&lt;math&gt;[z]_0 = \{\ldots , -5\pi i, -3\pi i, -1\pi i , +1\pi i , +3\pi i, +5\pi i,+7\pi i, \ldots\}&lt;/math&gt;
Ferner gilt für alle &lt;math&gt;w\in [z]_0&lt;/math&gt;, dass &lt;math&gt;e^w = e^{\pi i} = -1&lt;/math&gt;. Im Hauptzweig als holomorphe Funktion ist der Logorithmus von &lt;math&gt;-1&lt;/math&gt; nicht definiert. Allerdings ist der Logarithmus im der [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#allgebraischvollstaendig|algebraisch vervollständigten]] Funktionsdefinition definiert &lt;math&gt;\log(\pi i)=-1&lt;/math&gt;.

==== Analogie zu Restklassen ====
Betrachtet man die Zahl &lt;math&gt;5&lt;/math&gt;, so liegt diese in der Restklasse &lt;math&gt;[1]_2&lt;/math&gt; modulo &lt;math&gt;2&lt;/math&gt; mit:
:&lt;math&gt;
  [1]_2 := \{z\in \mathbb{Z} \, : \, \exist_{k\in \mathbb{Z}}\ 2\cdot k + 1 = z\}
&lt;/math&gt; 
Modulo 2 gibt es nur zwei Restklassen &lt;math&gt;[1]_2&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;[0]_2&lt;/math&gt;, da bei der Division durch 2 nur die Reste &lt;math&gt;r\in\{0,1\}&lt;/math&gt; auftreten. In aufzählender Form kann man die Restklasse &lt;math&gt;[1]_2&lt;/math&gt; wie folgt notieren:
:&lt;math&gt;[1]_2 = \{\ldots , -5, -3, -1 , +1 , +3, +5,+7, \ldots\}&lt;/math&gt;

== Siehe auch ==
* [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#algebraischvollstaendig|algebraisch vervollständigte Logarithmus]]
* [[einfach zusammenhängend]]
* [[w:de:Gaußklammer|Gaußklammer]]
* [[holomorphe Funktion]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]]
* [[logmod-Äquivalenzklassen]]</text>
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    <title>Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen</title>
    <ns>106</ns>
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      <timestamp>2026-10-14T12:02:45Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bert Niehaus</username>
        <id>20843</id>
      </contributor>
      <comment>/* Beweis - LogMod-Äquivalenzlemma */</comment>
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      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="5902" sha1="ie6v0jp74bdqfvuef6fwl4lxhkcpfyi" xml:space="preserve">== Einleitung == 
Diese Lerneinheit zu [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmen]] beschäftigt sich Äquivalenzklassen, deren Struktur und  Rechenregeln, die durch den Zusammenhang mit der Exponentialfunktion und deren imaginärer &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt;-Periodizität entsteht. Die Äquivalenzklassen helfen dabei, Rechenregeln aus den reellen Zahl für den [[Logarithmus]] auf den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexen Logarithmus]] bzw. deren Zweige zu übertragen. Die [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus]] spielt dabei bijektive Abbildungen eine besondere Rolle.

=== Periodizität der Exponentialfunktion ===

Der komplexe Logarithmus kann nicht eindeutig als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion &lt;math&gt; \exp: \mathbb{C} \to \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; festgelegt werden, da u.a. die Exponentialfunktion nicht injektiv ist und ein [[Zweig des Logarithmus]] von der Wahl des [[einfach zusammenhängend]]en Gebietes abhängt, auf dem der Logarithmus definiert ist. Es gilt für [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]]:
:&lt;math&gt;
\exp(w + 2\pi i) = \exp(w) = z\quad \text{für alle } w \in \mathbb{C}
&lt;/math&gt;

Daher gibt es unendlich viele komplexe Zahlen &lt;math&gt; w &lt;/math&gt;, die auf dieselbe Zahl &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; abgebildet werden. Diese Mehrdeutigkeit ist die Motivation, um Äquivalenzklassen zu bilden.

== Äquivalenzklassen des Logarithmus ==
Um Äquivalenzklassen zu bilden, benötigt man eine Äquivalenzrelation als Teilmenge von &lt;math&gt;\mathbb{C}\times \mathbb{C} &lt;/math&gt;, die zwei Elemente &lt;math&gt; w_1, w_2 \in \mathbb{C} &lt;/math&gt;, wenn deren Differenz ein ganzzahliges Vielfaches von &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; ist.

=== Definition - logmod-Äquivalenzrelation ===
Zwei komplexe Zahlen &lt;math&gt; w_1, w_2 \in \mathbb{C} &lt;/math&gt; heißen logmod-äquivalent modulo &lt;math&gt; 2\pi i &lt;/math&gt;, wenn gilt:
:&lt;math&gt;
w_1 - w_2 \in 2\pi i \cdot \mathbb{Z} := \{w\in \mathbb{C} \, : \, w=2\pi i \cdot k \mbox{ und } k\in \mathbb{Z} \}
&lt;/math&gt;

Formal notiert man diese Äquivalenz wie folgt:  

:&lt;math&gt;
w_1 \equiv w_2 \  \mathrm{logmod}\  {2\pi i}
&lt;/math&gt;

==== Aufgabe für Studierende ====
Zeigen Sie, dass diese Relation eine ''Äquivalenzrelation'' ist, d.h. die [[logmod-Funktion|logmod-Relation]] ist [[w:de:Äquivalenzrelation|reflexiv, symmetrisch und transitiv]].

=== Definition - logmod-Äquivalenzklasse ===
Für eine komplexe Zahl &lt;math&gt; w \in \mathbb{C} &lt;/math&gt; ist die Äquivalenzklasse definiert als:

:&lt;math&gt;
[w]_0 := \{ w + 2\pi i k \mid k \in \mathbb{Z} \}
&lt;/math&gt;

==== Bezeichnung - Äquivalenzklassenindex====
Die Indexierung mit &lt;math&gt; _0 &lt;/math&gt; deutet an, dass dies diese Äquivalenzklasse ohne Logarithmierung in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt; gebildet wurde. Bildet man rekursiv höhere Logarithmen als Verkettung entstehen Äquivalenzklassen &lt;math&gt;[w]_n&lt;/math&gt;, wobei &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-fach rekursiv der Logarithmus verkettet wird, falls dieser existiert.

== Verbindung mit der Exponentialfunktion ==

Da die Exponentialfunktion im Imaginärteil des Arguments eine Periodizität von &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; besitzt, entsprechen Äquivalenzklassen &lt;math&gt;[w]_0&lt;/math&gt; entsprechen einem Bildpunkt &lt;math&gt;z=e^w&lt;/math&gt;. Dieser Verbindung zwischen Exponentialfunktion und Logarithmus wird durch das LogMod-Äquivalenzklassenlemma festgehalten.

=== LogMod-Äquivalenzklassenlemma ===
Sei &lt;math&gt;w\in\mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;\mathrm{logmod}(w) = 0&lt;/math&gt; gegeben. Für eine feste komplexe Zahl &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; gilt folgende Äquivalenzaussage:
:&lt;math&gt;
 \exp(\widehat{w}) = z \quad \text{für alle } \widehat{w} \in [w]_0
 &lt;/math&gt;
genau dann, wenn &lt;math&gt; \exp(w) = z &lt;/math&gt;.

=== Beweis - LogMod-Äquivalenzlemma ===
Für &lt;math&gt; w\in \mathbb{D}_1 := \mathbb{R}\times i\cdot [0,2\pi)&lt;/math&gt; gelte &lt;math&gt;\exp(w)=z&lt;/math&gt;. Das LogMod-Äquivalenzlemma ist eine Äquivalenzaussage. Daher werden zwei Beweisrichtungen gezeigt:
* '''(LML1)''' &lt;math&gt; \exp(\widehat{w}) = z \quad \Longrightarrow \quad  \widehat{w} \in [w]_0&lt;/math&gt;
* '''(LML2)''' &lt;math&gt; \widehat{w} \in [w]_0 \quad \Longrightarrow \quad   \exp(\widehat{w}) = z&lt;/math&gt;

==== Schritt 2 - Beweisrichtung LML1 ====
Sei &lt;math&gt; \widehat{w} \in \mathbb{C} &lt;/math&gt; mit &lt;math&gt; \exp(\widehat{w}) = z &lt;/math&gt; beliebig gewählt. Man wendet nun die [[logmod-Funktion]] auf &lt;math&gt; \widehat{w}&lt;/math&gt; und definiert 
:&lt;math&gt;
  w := \widehat{w} - 2\pi i \cdot \mathrm{logmod}(\widehat{w})\in \mathbb{D}_1 =  \mathbb{R} + i \cdot [0,2\pi)
  . 
&lt;/math&gt;  
(siehe [[negativer Hauptzweig des Logarithmus]] und [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus]])) 

==== Schritt 2 - Äquivalenzklasse gegeben ====
Dann gilt für jedes &lt;math&gt; k \in \mathbb{Z} &lt;/math&gt; die folgenden Eigenschaft wegen der &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt;-Periodizität der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]]  &lt;math&gt;\widehat{w}:= w + 2\pi i k&lt;/math&gt;:  
:&lt;math&gt;
 \exp(\widehat{w}) =  \exp(w + 2\pi i k) = \exp(w) \cdot \exp(2\pi i k) = z \cdot 1 = z
&lt;/math&gt;
Also gilt für alle  &lt;math&gt; \widehat{w} \in [w]_0 &lt;/math&gt;, dass &lt;math&gt; \exp(\widehat{w}) = z &lt;/math&gt; für alle.
Umgekehrt gilt: Wenn &lt;math&gt; \exp(w) = z &lt;/math&gt; und &lt;math&gt; \exp(w_0) = z &lt;/math&gt;, dann:

:&lt;math&gt;
 \exp(w - w_0) = \frac{\exp(w)}{\exp(w_0)} = 1
 &lt;/math&gt;
Also &lt;math&gt; w - w_0 = 2\pi i k &lt;/math&gt; für ein &lt;math&gt; k \in \mathbb{Z} &lt;/math&gt;, d. h. &lt;math&gt; w \in [w_0]_0 &lt;/math&gt;.

==== Folgerung - LogMod-Äquivalenzklassenlemma ====  
Die Menge aller &lt;math&gt; w \in \mathbb{C} &lt;/math&gt; mit &lt;math&gt; \exp(w) = z &lt;/math&gt; ist genau die Äquivalenzklasse &lt;math&gt; [w_0]_0 &lt;/math&gt;, wobei &lt;math&gt; w_0 &lt;/math&gt; eine beliebige Lösung von &lt;math&gt; \exp(w_0) = z &lt;/math&gt; ist. 

==== Bemerkung - LogMod-Äquivalenzklassenlemma ====  
Für die Äquivalenzklassenanalyse spielen das Repräsentatensystem &lt;math&gt;\mathbb{D}_1&lt;/math&gt; eine besondere Rolle.

== Siehe auch ==
* [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexer Logarithmus]]</text>
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    </revision>
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      <contributor>
        <username>Bert Niehaus</username>
        <id>20843</id>
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      <comment>/* Beweis - LogMod-Äquivalenzlemma */</comment>
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      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="5120" sha1="jsymftjqf5yn200838gra1stldikauo" xml:space="preserve">== Einleitung == 
Diese Lerneinheit zu [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmen]] beschäftigt sich Äquivalenzklassen, deren Struktur und  Rechenregeln, die durch den Zusammenhang mit der Exponentialfunktion und deren imaginärer &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt;-Periodizität entsteht. Die Äquivalenzklassen helfen dabei, Rechenregeln aus den reellen Zahl für den [[Logarithmus]] auf den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexen Logarithmus]] bzw. deren Zweige zu übertragen. Die [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus]] spielt dabei bijektive Abbildungen eine besondere Rolle.

=== Periodizität der Exponentialfunktion ===

Der komplexe Logarithmus kann nicht eindeutig als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion &lt;math&gt; \exp: \mathbb{C} \to \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; festgelegt werden, da u.a. die Exponentialfunktion nicht injektiv ist und ein [[Zweig des Logarithmus]] von der Wahl des [[einfach zusammenhängend]]en Gebietes abhängt, auf dem der Logarithmus definiert ist. Es gilt für [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]]:
:&lt;math&gt;
\exp(w + 2\pi i) = \exp(w) = z\quad \text{für alle } w \in \mathbb{C}
&lt;/math&gt;

Daher gibt es unendlich viele komplexe Zahlen &lt;math&gt; w &lt;/math&gt;, die auf dieselbe Zahl &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; abgebildet werden. Diese Mehrdeutigkeit ist die Motivation, um Äquivalenzklassen zu bilden.

== Äquivalenzklassen des Logarithmus ==
Um Äquivalenzklassen zu bilden, benötigt man eine Äquivalenzrelation als Teilmenge von &lt;math&gt;\mathbb{C}\times \mathbb{C} &lt;/math&gt;, die zwei Elemente &lt;math&gt; w_1, w_2 \in \mathbb{C} &lt;/math&gt;, wenn deren Differenz ein ganzzahliges Vielfaches von &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; ist.

=== Definition - logmod-Äquivalenzrelation ===
Zwei komplexe Zahlen &lt;math&gt; w_1, w_2 \in \mathbb{C} &lt;/math&gt; heißen logmod-äquivalent modulo &lt;math&gt; 2\pi i &lt;/math&gt;, wenn gilt:
:&lt;math&gt;
w_1 - w_2 \in 2\pi i \cdot \mathbb{Z} := \{w\in \mathbb{C} \, : \, w=2\pi i \cdot k \mbox{ und } k\in \mathbb{Z} \}
&lt;/math&gt;

Formal notiert man diese Äquivalenz wie folgt:  

:&lt;math&gt;
w_1 \equiv w_2 \  \mathrm{logmod}\  {2\pi i}
&lt;/math&gt;

==== Aufgabe für Studierende ====
Zeigen Sie, dass diese Relation eine ''Äquivalenzrelation'' ist, d.h. die [[logmod-Funktion|logmod-Relation]] ist [[w:de:Äquivalenzrelation|reflexiv, symmetrisch und transitiv]].

=== Definition - logmod-Äquivalenzklasse ===
Für eine komplexe Zahl &lt;math&gt; w \in \mathbb{C} &lt;/math&gt; ist die Äquivalenzklasse definiert als:

:&lt;math&gt;
[w]_0 := \{ w + 2\pi i k \mid k \in \mathbb{Z} \}
&lt;/math&gt;

==== Bezeichnung - Äquivalenzklassenindex====
Die Indexierung mit &lt;math&gt; _0 &lt;/math&gt; deutet an, dass dies diese Äquivalenzklasse ohne Logarithmierung in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt; gebildet wurde. Bildet man rekursiv höhere Logarithmen als Verkettung entstehen Äquivalenzklassen &lt;math&gt;[w]_n&lt;/math&gt;, wobei &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-fach rekursiv der Logarithmus verkettet wird, falls dieser existiert.

== Verbindung mit der Exponentialfunktion ==

Da die Exponentialfunktion im Imaginärteil des Arguments eine Periodizität von &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; besitzt, entsprechen Äquivalenzklassen &lt;math&gt;[w]_0&lt;/math&gt; entsprechen einem Bildpunkt &lt;math&gt;z=e^w&lt;/math&gt;. Dieser Verbindung zwischen Exponentialfunktion und Logarithmus wird durch das LogMod-Äquivalenzklassenlemma festgehalten.

=== LogMod-Äquivalenzklassenlemma ===
Sei &lt;math&gt;w\in\mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;\mathrm{logmod}(w) = 0&lt;/math&gt; gegeben. Für eine feste komplexe Zahl &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; gilt folgende Äquivalenzaussage:
:&lt;math&gt;
 \exp(\widehat{w}) = z \quad \text{für alle } \widehat{w} \in [w]_0
 &lt;/math&gt;
genau dann, wenn &lt;math&gt; \exp(w) = z &lt;/math&gt;.

=== Beweis - LogMod-Äquivalenzlemma ===
Für &lt;math&gt; w\in \mathbb{D}_1 := \mathbb{R}\times i\cdot [0,2\pi)&lt;/math&gt; gelte &lt;math&gt;\exp(w)=z&lt;/math&gt;. Das LogMod-Äquivalenzlemma ist eine Äquivalenzaussage. Daher werden zwei Beweisrichtungen gezeigt:
\mbox{}
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{array}{llcl}
\mbox{ (LML1) }
 &amp; 
 \exp(\widehat{w}) = z  
 &amp;  
 \quad \Longrightarrow \quad 
 &amp; 
 \widehat{w} \in [w]_0
  \\ 
\mbox{ (LML2) }
 &amp; 
 \widehat{w} \in [w]_0
 &amp;  
 \quad \Longrightarrow \quad 
 &amp; 
 \exp(\widehat{w}) = z  
  \\ 
 \end{array}  
&lt;/math&gt;

==== Schritt 1 - Beweisrichtung LML1 ====
Sei &lt;math&gt; \widehat{w} \in \mathbb{C} &lt;/math&gt; mit &lt;math&gt; \exp(\widehat{w}) = z &lt;/math&gt; beliebig gewählt. Dann gilt mit der Voraussetzung &lt;math&gt; \exp(w) = z \not= 0&lt;/math&gt; und Potenzgesetzen:
:&lt;math&gt;
 1 = \frac{z}{z} = \frac{\widehat{w}}{\exp(\exp(w))} = \exp(\widehat{w}-w)
 &lt;/math&gt;
Die Gleichung &lt;math&gt;1 = \exp(\widehat{w}-w)&lt;/math&gt; gilt genau dann, wenn &lt;math&gt; w-\widehat{w} = 2\pi i \cdot k&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;k \in \mathbb{Z}&lt;/math&gt;. 

==== Schritt 2 - Beweisrichtung LML1 ====
Damit gilt auch  &lt;math&gt; w = \widehat{w} + 2\pi i \cdot k&lt;/math&gt;. Die ganze Zahl &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; ist durch die [[logmod-Funktion]] und es gilt &lt;math&gt;k= \mathrm{logmod}(\widehat{w})&lt;/math&gt;, da &lt;math&gt; w\in \mathbb{D}_1 = \mathbb{R} + i\cdot [0,2\pi) &lt;/math&gt; nach Voraussetzung gilt.

== Siehe auch ==
* [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexer Logarithmus]]</text>
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      <timestamp>2026-10-14T15:27:56Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bert Niehaus</username>
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      </contributor>
      <comment>/* Schritt 2 - Beweisrichtung LML1 */</comment>
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      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="6938" sha1="ff4ftu7ie8zs9162bayp8icnrnq7ld0" xml:space="preserve">== Einleitung == 
Diese Lerneinheit zu [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmen]] beschäftigt sich Äquivalenzklassen, deren Struktur und  Rechenregeln, die durch den Zusammenhang mit der Exponentialfunktion und deren imaginärer &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt;-Periodizität entsteht. Die Äquivalenzklassen helfen dabei, Rechenregeln aus den reellen Zahl für den [[Logarithmus]] auf den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexen Logarithmus]] bzw. deren Zweige zu übertragen. Die [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus]] spielt dabei bijektive Abbildungen eine besondere Rolle.

=== Periodizität der Exponentialfunktion ===

Der komplexe Logarithmus kann nicht eindeutig als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion &lt;math&gt; \exp: \mathbb{C} \to \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; festgelegt werden, da u.a. die Exponentialfunktion nicht injektiv ist und ein [[Zweig des Logarithmus]] von der Wahl des [[einfach zusammenhängend]]en Gebietes abhängt, auf dem der Logarithmus definiert ist. Es gilt für [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]]:
:&lt;math&gt;
\exp(w + 2\pi i) = \exp(w) = z\quad \text{für alle } w \in \mathbb{C}
&lt;/math&gt;

Daher gibt es unendlich viele komplexe Zahlen &lt;math&gt; w &lt;/math&gt;, die auf dieselbe Zahl &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; abgebildet werden. Diese Mehrdeutigkeit ist die Motivation, um Äquivalenzklassen zu bilden.

== Äquivalenzklassen des Logarithmus ==
Um Äquivalenzklassen zu bilden, benötigt man eine Äquivalenzrelation als Teilmenge von &lt;math&gt;\mathbb{C}\times \mathbb{C} &lt;/math&gt;, die zwei Elemente &lt;math&gt; w_1, w_2 \in \mathbb{C} &lt;/math&gt;, wenn deren Differenz ein ganzzahliges Vielfaches von &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; ist.

=== Definition - logmod-Äquivalenzrelation ===
Zwei komplexe Zahlen &lt;math&gt; w_1, w_2 \in \mathbb{C} &lt;/math&gt; heißen logmod-äquivalent modulo &lt;math&gt; 2\pi i &lt;/math&gt;, wenn gilt:
:&lt;math&gt;
w_1 - w_2 \in 2\pi i \cdot \mathbb{Z} := \{w\in \mathbb{C} \, : \, w=2\pi i \cdot k \mbox{ und } k\in \mathbb{Z} \}
&lt;/math&gt;

Formal notiert man diese Äquivalenz wie folgt:  

:&lt;math&gt;
w_1 \equiv w_2 \  \mathrm{logmod}\  {2\pi i}
&lt;/math&gt;

==== Aufgabe für Studierende ====
Zeigen Sie, dass diese Relation eine ''Äquivalenzrelation'' ist, d.h. die [[logmod-Funktion|logmod-Relation]] ist [[w:de:Äquivalenzrelation|reflexiv, symmetrisch und transitiv]].

=== Definition - logmod-Äquivalenzklasse ===
Für eine komplexe Zahl &lt;math&gt; w \in \mathbb{C} &lt;/math&gt; ist die Äquivalenzklasse definiert als:

:&lt;math&gt;
[w]_0 := \{ w + 2\pi i k \mid k \in \mathbb{Z} \}
&lt;/math&gt;

==== Bezeichnung - Äquivalenzklassenindex====
Die Indexierung mit &lt;math&gt; _0 &lt;/math&gt; deutet an, dass dies diese Äquivalenzklasse ohne Logarithmierung in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt; gebildet wurde. Bildet man rekursiv höhere Logarithmen als Verkettung entstehen Äquivalenzklassen &lt;math&gt;[w]_n&lt;/math&gt;, wobei &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-fach rekursiv der Logarithmus verkettet wird, falls dieser existiert.

== Verbindung mit der Exponentialfunktion ==

Da die Exponentialfunktion im Imaginärteil des Arguments eine Periodizität von &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; besitzt, entsprechen Äquivalenzklassen &lt;math&gt;[w]_0&lt;/math&gt; entsprechen einem Bildpunkt &lt;math&gt;z=e^w&lt;/math&gt;. Dieser Verbindung zwischen Exponentialfunktion und Logarithmus wird durch das LogMod-Äquivalenzklassenlemma festgehalten.

=== LogMod-Äquivalenzklassenlemma ===
Sei &lt;math&gt;w\in\mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;\mathrm{logmod}(w) = 0&lt;/math&gt; gegeben. Für eine feste komplexe Zahl &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; gilt folgende Äquivalenzaussage:
:&lt;math&gt;
 \exp(\widehat{w}) = z \quad \text{für alle } \widehat{w} \in [w]_0
 &lt;/math&gt;
genau dann, wenn &lt;math&gt; \exp(w) = z &lt;/math&gt;.

=== Beweis - LogMod-Äquivalenzlemma ===
Für &lt;math&gt; w\in \mathbb{D}_1 := \mathbb{R}\times i\cdot [0,2\pi)&lt;/math&gt; gelte &lt;math&gt;\exp(w)=z&lt;/math&gt;. Das LogMod-Äquivalenzlemma ist eine Äquivalenzaussage. Daher werden zwei Beweisrichtungen gezeigt:
\mbox{}
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{array}{llcl}
\mbox{ (LML1) }
 &amp; 
 \exp(\widehat{w}) = z  
 &amp;  
 \quad \Longrightarrow \quad 
 &amp; 
 \widehat{w} \in [w]_0
  \\ 
\mbox{ (LML2) }
 &amp; 
 \widehat{w} \in [w]_0
 &amp;  
 \quad \Longrightarrow \quad 
 &amp; 
 \exp(\widehat{w}) = z  
  \\ 
 \end{array}  
&lt;/math&gt;

==== Schritt 1 - Beweisrichtung LML1 ====
Sei &lt;math&gt; \widehat{w} \in \mathbb{C} &lt;/math&gt; mit &lt;math&gt; \exp(\widehat{w}) = z &lt;/math&gt; beliebig gewählt. Dann gilt mit der Voraussetzung &lt;math&gt; \exp(w) = z \not= 0&lt;/math&gt; und Potenzgesetzen:
:&lt;math&gt;
 1 = \frac{z}{z} = \frac{\widehat{w}}{\exp(\exp(w))} = \exp(\widehat{w}-w)
 &lt;/math&gt;
Die Gleichung &lt;math&gt;1 = \exp(\widehat{w}-w)&lt;/math&gt; gilt genau dann, wenn &lt;math&gt; w-\widehat{w} = 2\pi i \cdot k&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;k \in \mathbb{Z}&lt;/math&gt;. 

==== Schritt 2 - Beweisrichtung LML1 ====
Damit gilt auch  &lt;math&gt; w = \widehat{w} + 2\pi i \cdot k &lt;/math&gt;. Die ganze Zahl &lt;math&gt; k\in \mathbb{Z} &lt;/math&gt; ist durch die [[logmod-Funktion]] und es gilt &lt;math&gt;k= \mathrm{logmod}(\widehat{w})&lt;/math&gt;, da &lt;math&gt; w\in \mathbb{D}_1 = \mathbb{R} + i\cdot [0,2\pi) &lt;/math&gt; nach Voraussetzung gilt und man erhält &lt;math&gt;\widehat{w} \in [w]_0&lt;/math&gt;.

==== Schritt 3 - Äquivalenzklasse gegeben LML2 ====
Sei umgekehrt &lt;math&gt;\widehat{w} \in [w]_0&lt;/math&gt; gegeben. Dann gibt es nach Definition der Äquivalenzklasse ein &lt;math&gt; k := logmod(\widehat{w})\in \mathbb{Z} &lt;/math&gt; mit der Eigenschaft  &lt;math&gt;\widehat{w}:= w + 2\pi i k&lt;/math&gt;. Nun wen man diese Darstellung von &lt;math&gt;\widehat{w}&lt;/math&gt; auf die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] an und verwendet Periodizität &lt;math&gt;\exp&lt;/math&gt; bzgl. &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; und erhält:
:&lt;math&gt;
 \exp(\widehat{w}) =  \exp(w + 2\pi i k) = \exp(w) \cdot \exp(2\pi i k) = z \cdot 1 = z
&lt;/math&gt;

==== Schritt 4 - LML2 ====
Da &lt;math&gt;\widehat{w} \in [w]_0&lt;/math&gt; beliebig gewählt wurde, gilt für alle  &lt;math&gt; \widehat{w} \in [w]_0 &lt;/math&gt; die Eigenschaft &lt;math&gt; \exp(\widehat{w}) = z &lt;/math&gt; und zusammen mit LML1 gilt die Äquivalenzaussage aus dem Lemma &lt;math&gt;\quad \Box&lt;/math&gt;.


=== Folgerung - LogMod-Äquivalenzklassenlemma ====  
Fasst man zu einem gegebenen &lt;math&gt;z\in \mathbb{C}\setminus\{0\}&lt;/math&gt; die Menge alle komplexen Zahlen &lt;math&gt; \widehat{w} \in \mathbb{C} &lt;/math&gt; zu einer Menge zusammen, die die Eigenschaft &lt;math&gt; \exp(\widehat{w}) = z &lt;/math&gt; erfüllen, so erhält man die Äquivalenzklasse &lt;math&gt; [w]_0 &lt;/math&gt;, wobei &lt;math&gt; w &lt;/math&gt; eine beliebige Lösung von &lt;math&gt; \exp(w) = z &lt;/math&gt; ist. 

==== Bemerkung - LogMod-Äquivalenzklassenlemma ====  
Für die Äquivalenzklassenanalyse spielt das Repräsentatensystem &lt;math&gt;\mathbb{D}_1= \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi)&lt;/math&gt; eine besondere Rolle. DasRepräsentatensystem &lt;math&gt;\mathbb{D}_1&lt;/math&gt; entsteht durch [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus|algebraische Vervollständigkeit]] des [[negativen Hauptzweig der Logarithmus|negativen Hauptzweiges]] des [[Logarithmus]].

== Siehe auch ==
* [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexer Logarithmus]]</text>
      <sha1>ff4ftu7ie8zs9162bayp8icnrnq7ld0</sha1>
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      <timestamp>2026-10-14T15:28:32Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bert Niehaus</username>
        <id>20843</id>
      </contributor>
      <comment>/* Bemerkung - LogMod-Äquivalenzklassenlemma */</comment>
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      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="6938" sha1="iirx7ijcxegpkfmfgl4q0kx410kbs2l" xml:space="preserve">== Einleitung == 
Diese Lerneinheit zu [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmen]] beschäftigt sich Äquivalenzklassen, deren Struktur und  Rechenregeln, die durch den Zusammenhang mit der Exponentialfunktion und deren imaginärer &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt;-Periodizität entsteht. Die Äquivalenzklassen helfen dabei, Rechenregeln aus den reellen Zahl für den [[Logarithmus]] auf den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexen Logarithmus]] bzw. deren Zweige zu übertragen. Die [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus]] spielt dabei bijektive Abbildungen eine besondere Rolle.

=== Periodizität der Exponentialfunktion ===

Der komplexe Logarithmus kann nicht eindeutig als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion &lt;math&gt; \exp: \mathbb{C} \to \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; festgelegt werden, da u.a. die Exponentialfunktion nicht injektiv ist und ein [[Zweig des Logarithmus]] von der Wahl des [[einfach zusammenhängend]]en Gebietes abhängt, auf dem der Logarithmus definiert ist. Es gilt für [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]]:
:&lt;math&gt;
\exp(w + 2\pi i) = \exp(w) = z\quad \text{für alle } w \in \mathbb{C}
&lt;/math&gt;

Daher gibt es unendlich viele komplexe Zahlen &lt;math&gt; w &lt;/math&gt;, die auf dieselbe Zahl &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; abgebildet werden. Diese Mehrdeutigkeit ist die Motivation, um Äquivalenzklassen zu bilden.

== Äquivalenzklassen des Logarithmus ==
Um Äquivalenzklassen zu bilden, benötigt man eine Äquivalenzrelation als Teilmenge von &lt;math&gt;\mathbb{C}\times \mathbb{C} &lt;/math&gt;, die zwei Elemente &lt;math&gt; w_1, w_2 \in \mathbb{C} &lt;/math&gt;, wenn deren Differenz ein ganzzahliges Vielfaches von &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; ist.

=== Definition - logmod-Äquivalenzrelation ===
Zwei komplexe Zahlen &lt;math&gt; w_1, w_2 \in \mathbb{C} &lt;/math&gt; heißen logmod-äquivalent modulo &lt;math&gt; 2\pi i &lt;/math&gt;, wenn gilt:
:&lt;math&gt;
w_1 - w_2 \in 2\pi i \cdot \mathbb{Z} := \{w\in \mathbb{C} \, : \, w=2\pi i \cdot k \mbox{ und } k\in \mathbb{Z} \}
&lt;/math&gt;

Formal notiert man diese Äquivalenz wie folgt:  

:&lt;math&gt;
w_1 \equiv w_2 \  \mathrm{logmod}\  {2\pi i}
&lt;/math&gt;

==== Aufgabe für Studierende ====
Zeigen Sie, dass diese Relation eine ''Äquivalenzrelation'' ist, d.h. die [[logmod-Funktion|logmod-Relation]] ist [[w:de:Äquivalenzrelation|reflexiv, symmetrisch und transitiv]].

=== Definition - logmod-Äquivalenzklasse ===
Für eine komplexe Zahl &lt;math&gt; w \in \mathbb{C} &lt;/math&gt; ist die Äquivalenzklasse definiert als:

:&lt;math&gt;
[w]_0 := \{ w + 2\pi i k \mid k \in \mathbb{Z} \}
&lt;/math&gt;

==== Bezeichnung - Äquivalenzklassenindex====
Die Indexierung mit &lt;math&gt; _0 &lt;/math&gt; deutet an, dass dies diese Äquivalenzklasse ohne Logarithmierung in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt; gebildet wurde. Bildet man rekursiv höhere Logarithmen als Verkettung entstehen Äquivalenzklassen &lt;math&gt;[w]_n&lt;/math&gt;, wobei &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-fach rekursiv der Logarithmus verkettet wird, falls dieser existiert.

== Verbindung mit der Exponentialfunktion ==

Da die Exponentialfunktion im Imaginärteil des Arguments eine Periodizität von &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; besitzt, entsprechen Äquivalenzklassen &lt;math&gt;[w]_0&lt;/math&gt; entsprechen einem Bildpunkt &lt;math&gt;z=e^w&lt;/math&gt;. Dieser Verbindung zwischen Exponentialfunktion und Logarithmus wird durch das LogMod-Äquivalenzklassenlemma festgehalten.

=== LogMod-Äquivalenzklassenlemma ===
Sei &lt;math&gt;w\in\mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;\mathrm{logmod}(w) = 0&lt;/math&gt; gegeben. Für eine feste komplexe Zahl &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; gilt folgende Äquivalenzaussage:
:&lt;math&gt;
 \exp(\widehat{w}) = z \quad \text{für alle } \widehat{w} \in [w]_0
 &lt;/math&gt;
genau dann, wenn &lt;math&gt; \exp(w) = z &lt;/math&gt;.

=== Beweis - LogMod-Äquivalenzlemma ===
Für &lt;math&gt; w\in \mathbb{D}_1 := \mathbb{R}\times i\cdot [0,2\pi)&lt;/math&gt; gelte &lt;math&gt;\exp(w)=z&lt;/math&gt;. Das LogMod-Äquivalenzlemma ist eine Äquivalenzaussage. Daher werden zwei Beweisrichtungen gezeigt:
\mbox{}
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{array}{llcl}
\mbox{ (LML1) }
 &amp; 
 \exp(\widehat{w}) = z  
 &amp;  
 \quad \Longrightarrow \quad 
 &amp; 
 \widehat{w} \in [w]_0
  \\ 
\mbox{ (LML2) }
 &amp; 
 \widehat{w} \in [w]_0
 &amp;  
 \quad \Longrightarrow \quad 
 &amp; 
 \exp(\widehat{w}) = z  
  \\ 
 \end{array}  
&lt;/math&gt;

==== Schritt 1 - Beweisrichtung LML1 ====
Sei &lt;math&gt; \widehat{w} \in \mathbb{C} &lt;/math&gt; mit &lt;math&gt; \exp(\widehat{w}) = z &lt;/math&gt; beliebig gewählt. Dann gilt mit der Voraussetzung &lt;math&gt; \exp(w) = z \not= 0&lt;/math&gt; und Potenzgesetzen:
:&lt;math&gt;
 1 = \frac{z}{z} = \frac{\widehat{w}}{\exp(\exp(w))} = \exp(\widehat{w}-w)
 &lt;/math&gt;
Die Gleichung &lt;math&gt;1 = \exp(\widehat{w}-w)&lt;/math&gt; gilt genau dann, wenn &lt;math&gt; w-\widehat{w} = 2\pi i \cdot k&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;k \in \mathbb{Z}&lt;/math&gt;. 

==== Schritt 2 - Beweisrichtung LML1 ====
Damit gilt auch  &lt;math&gt; w = \widehat{w} + 2\pi i \cdot k &lt;/math&gt;. Die ganze Zahl &lt;math&gt; k\in \mathbb{Z} &lt;/math&gt; ist durch die [[logmod-Funktion]] und es gilt &lt;math&gt;k= \mathrm{logmod}(\widehat{w})&lt;/math&gt;, da &lt;math&gt; w\in \mathbb{D}_1 = \mathbb{R} + i\cdot [0,2\pi) &lt;/math&gt; nach Voraussetzung gilt und man erhält &lt;math&gt;\widehat{w} \in [w]_0&lt;/math&gt;.

==== Schritt 3 - Äquivalenzklasse gegeben LML2 ====
Sei umgekehrt &lt;math&gt;\widehat{w} \in [w]_0&lt;/math&gt; gegeben. Dann gibt es nach Definition der Äquivalenzklasse ein &lt;math&gt; k := logmod(\widehat{w})\in \mathbb{Z} &lt;/math&gt; mit der Eigenschaft  &lt;math&gt;\widehat{w}:= w + 2\pi i k&lt;/math&gt;. Nun wen man diese Darstellung von &lt;math&gt;\widehat{w}&lt;/math&gt; auf die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] an und verwendet Periodizität &lt;math&gt;\exp&lt;/math&gt; bzgl. &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; und erhält:
:&lt;math&gt;
 \exp(\widehat{w}) =  \exp(w + 2\pi i k) = \exp(w) \cdot \exp(2\pi i k) = z \cdot 1 = z
&lt;/math&gt;

==== Schritt 4 - LML2 ====
Da &lt;math&gt;\widehat{w} \in [w]_0&lt;/math&gt; beliebig gewählt wurde, gilt für alle  &lt;math&gt; \widehat{w} \in [w]_0 &lt;/math&gt; die Eigenschaft &lt;math&gt; \exp(\widehat{w}) = z &lt;/math&gt; und zusammen mit LML1 gilt die Äquivalenzaussage aus dem Lemma &lt;math&gt;\quad \Box&lt;/math&gt;.


=== Folgerung - LogMod-Äquivalenzklassenlemma ====  
Fasst man zu einem gegebenen &lt;math&gt;z\in \mathbb{C}\setminus\{0\}&lt;/math&gt; die Menge alle komplexen Zahlen &lt;math&gt; \widehat{w} \in \mathbb{C} &lt;/math&gt; zu einer Menge zusammen, die die Eigenschaft &lt;math&gt; \exp(\widehat{w}) = z &lt;/math&gt; erfüllen, so erhält man die Äquivalenzklasse &lt;math&gt; [w]_0 &lt;/math&gt;, wobei &lt;math&gt; w &lt;/math&gt; eine beliebige Lösung von &lt;math&gt; \exp(w) = z &lt;/math&gt; ist. 

==== Bemerkung - LogMod-Äquivalenzklassenlemma ====  
Für die Äquivalenzklassenanalyse spielt das Repräsentatensystem &lt;math&gt;\mathbb{D}_1= \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi)&lt;/math&gt; eine besondere Rolle. DasRepräsentatensystem &lt;math&gt;\mathbb{D}_1&lt;/math&gt; entsteht durch [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus|algebraische Vervollständigkeit]] des [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweiges]] des [[Logarithmus]].

== Siehe auch ==
* [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexer Logarithmus]]</text>
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      <comment>/* Siehe auch */</comment>
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      <text bytes="7033" sha1="b9dq2ko2g4ocjkvfckds1wp6sm9m1fa" xml:space="preserve">== Einleitung == 
Diese Lerneinheit zu [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmen]] beschäftigt sich Äquivalenzklassen, deren Struktur und  Rechenregeln, die durch den Zusammenhang mit der Exponentialfunktion und deren imaginärer &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt;-Periodizität entsteht. Die Äquivalenzklassen helfen dabei, Rechenregeln aus den reellen Zahl für den [[Logarithmus]] auf den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexen Logarithmus]] bzw. deren Zweige zu übertragen. Die [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus]] spielt dabei bijektive Abbildungen eine besondere Rolle.

=== Periodizität der Exponentialfunktion ===

Der komplexe Logarithmus kann nicht eindeutig als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion &lt;math&gt; \exp: \mathbb{C} \to \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; festgelegt werden, da u.a. die Exponentialfunktion nicht injektiv ist und ein [[Zweig des Logarithmus]] von der Wahl des [[einfach zusammenhängend]]en Gebietes abhängt, auf dem der Logarithmus definiert ist. Es gilt für [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]]:
:&lt;math&gt;
\exp(w + 2\pi i) = \exp(w) = z\quad \text{für alle } w \in \mathbb{C}
&lt;/math&gt;

Daher gibt es unendlich viele komplexe Zahlen &lt;math&gt; w &lt;/math&gt;, die auf dieselbe Zahl &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; abgebildet werden. Diese Mehrdeutigkeit ist die Motivation, um Äquivalenzklassen zu bilden.

== Äquivalenzklassen des Logarithmus ==
Um Äquivalenzklassen zu bilden, benötigt man eine Äquivalenzrelation als Teilmenge von &lt;math&gt;\mathbb{C}\times \mathbb{C} &lt;/math&gt;, die zwei Elemente &lt;math&gt; w_1, w_2 \in \mathbb{C} &lt;/math&gt;, wenn deren Differenz ein ganzzahliges Vielfaches von &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; ist.

=== Definition - logmod-Äquivalenzrelation ===
Zwei komplexe Zahlen &lt;math&gt; w_1, w_2 \in \mathbb{C} &lt;/math&gt; heißen logmod-äquivalent modulo &lt;math&gt; 2\pi i &lt;/math&gt;, wenn gilt:
:&lt;math&gt;
w_1 - w_2 \in 2\pi i \cdot \mathbb{Z} := \{w\in \mathbb{C} \, : \, w=2\pi i \cdot k \mbox{ und } k\in \mathbb{Z} \}
&lt;/math&gt;

Formal notiert man diese Äquivalenz wie folgt:  

:&lt;math&gt;
w_1 \equiv w_2 \  \mathrm{logmod}\  {2\pi i}
&lt;/math&gt;

==== Aufgabe für Studierende ====
Zeigen Sie, dass diese Relation eine ''Äquivalenzrelation'' ist, d.h. die [[logmod-Funktion|logmod-Relation]] ist [[w:de:Äquivalenzrelation|reflexiv, symmetrisch und transitiv]].

=== Definition - logmod-Äquivalenzklasse ===
Für eine komplexe Zahl &lt;math&gt; w \in \mathbb{C} &lt;/math&gt; ist die Äquivalenzklasse definiert als:

:&lt;math&gt;
[w]_0 := \{ w + 2\pi i k \mid k \in \mathbb{Z} \}
&lt;/math&gt;

==== Bezeichnung - Äquivalenzklassenindex====
Die Indexierung mit &lt;math&gt; _0 &lt;/math&gt; deutet an, dass dies diese Äquivalenzklasse ohne Logarithmierung in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt; gebildet wurde. Bildet man rekursiv höhere Logarithmen als Verkettung entstehen Äquivalenzklassen &lt;math&gt;[w]_n&lt;/math&gt;, wobei &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-fach rekursiv der Logarithmus verkettet wird, falls dieser existiert.

== Verbindung mit der Exponentialfunktion ==

Da die Exponentialfunktion im Imaginärteil des Arguments eine Periodizität von &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; besitzt, entsprechen Äquivalenzklassen &lt;math&gt;[w]_0&lt;/math&gt; entsprechen einem Bildpunkt &lt;math&gt;z=e^w&lt;/math&gt;. Dieser Verbindung zwischen Exponentialfunktion und Logarithmus wird durch das LogMod-Äquivalenzklassenlemma festgehalten.

=== LogMod-Äquivalenzklassenlemma ===
Sei &lt;math&gt;w\in\mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;\mathrm{logmod}(w) = 0&lt;/math&gt; gegeben. Für eine feste komplexe Zahl &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; gilt folgende Äquivalenzaussage:
:&lt;math&gt;
 \exp(\widehat{w}) = z \quad \text{für alle } \widehat{w} \in [w]_0
 &lt;/math&gt;
genau dann, wenn &lt;math&gt; \exp(w) = z &lt;/math&gt;.

=== Beweis - LogMod-Äquivalenzlemma ===
Für &lt;math&gt; w\in \mathbb{D}_1 := \mathbb{R}\times i\cdot [0,2\pi)&lt;/math&gt; gelte &lt;math&gt;\exp(w)=z&lt;/math&gt;. Das LogMod-Äquivalenzlemma ist eine Äquivalenzaussage. Daher werden zwei Beweisrichtungen gezeigt:
\mbox{}
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{array}{llcl}
\mbox{ (LML1) }
 &amp; 
 \exp(\widehat{w}) = z  
 &amp;  
 \quad \Longrightarrow \quad 
 &amp; 
 \widehat{w} \in [w]_0
  \\ 
\mbox{ (LML2) }
 &amp; 
 \widehat{w} \in [w]_0
 &amp;  
 \quad \Longrightarrow \quad 
 &amp; 
 \exp(\widehat{w}) = z  
  \\ 
 \end{array}  
&lt;/math&gt;

==== Schritt 1 - Beweisrichtung LML1 ====
Sei &lt;math&gt; \widehat{w} \in \mathbb{C} &lt;/math&gt; mit &lt;math&gt; \exp(\widehat{w}) = z &lt;/math&gt; beliebig gewählt. Dann gilt mit der Voraussetzung &lt;math&gt; \exp(w) = z \not= 0&lt;/math&gt; und Potenzgesetzen:
:&lt;math&gt;
 1 = \frac{z}{z} = \frac{\widehat{w}}{\exp(\exp(w))} = \exp(\widehat{w}-w)
 &lt;/math&gt;
Die Gleichung &lt;math&gt;1 = \exp(\widehat{w}-w)&lt;/math&gt; gilt genau dann, wenn &lt;math&gt; w-\widehat{w} = 2\pi i \cdot k&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;k \in \mathbb{Z}&lt;/math&gt;. 

==== Schritt 2 - Beweisrichtung LML1 ====
Damit gilt auch  &lt;math&gt; w = \widehat{w} + 2\pi i \cdot k &lt;/math&gt;. Die ganze Zahl &lt;math&gt; k\in \mathbb{Z} &lt;/math&gt; ist durch die [[logmod-Funktion]] und es gilt &lt;math&gt;k= \mathrm{logmod}(\widehat{w})&lt;/math&gt;, da &lt;math&gt; w\in \mathbb{D}_1 = \mathbb{R} + i\cdot [0,2\pi) &lt;/math&gt; nach Voraussetzung gilt und man erhält &lt;math&gt;\widehat{w} \in [w]_0&lt;/math&gt;.

==== Schritt 3 - Äquivalenzklasse gegeben LML2 ====
Sei umgekehrt &lt;math&gt;\widehat{w} \in [w]_0&lt;/math&gt; gegeben. Dann gibt es nach Definition der Äquivalenzklasse ein &lt;math&gt; k := logmod(\widehat{w})\in \mathbb{Z} &lt;/math&gt; mit der Eigenschaft  &lt;math&gt;\widehat{w}:= w + 2\pi i k&lt;/math&gt;. Nun wen man diese Darstellung von &lt;math&gt;\widehat{w}&lt;/math&gt; auf die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] an und verwendet Periodizität &lt;math&gt;\exp&lt;/math&gt; bzgl. &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; und erhält:
:&lt;math&gt;
 \exp(\widehat{w}) =  \exp(w + 2\pi i k) = \exp(w) \cdot \exp(2\pi i k) = z \cdot 1 = z
&lt;/math&gt;

==== Schritt 4 - LML2 ====
Da &lt;math&gt;\widehat{w} \in [w]_0&lt;/math&gt; beliebig gewählt wurde, gilt für alle  &lt;math&gt; \widehat{w} \in [w]_0 &lt;/math&gt; die Eigenschaft &lt;math&gt; \exp(\widehat{w}) = z &lt;/math&gt; und zusammen mit LML1 gilt die Äquivalenzaussage aus dem Lemma &lt;math&gt;\quad \Box&lt;/math&gt;.


=== Folgerung - LogMod-Äquivalenzklassenlemma ====  
Fasst man zu einem gegebenen &lt;math&gt;z\in \mathbb{C}\setminus\{0\}&lt;/math&gt; die Menge alle komplexen Zahlen &lt;math&gt; \widehat{w} \in \mathbb{C} &lt;/math&gt; zu einer Menge zusammen, die die Eigenschaft &lt;math&gt; \exp(\widehat{w}) = z &lt;/math&gt; erfüllen, so erhält man die Äquivalenzklasse &lt;math&gt; [w]_0 &lt;/math&gt;, wobei &lt;math&gt; w &lt;/math&gt; eine beliebige Lösung von &lt;math&gt; \exp(w) = z &lt;/math&gt; ist. 

==== Bemerkung - LogMod-Äquivalenzklassenlemma ====  
Für die Äquivalenzklassenanalyse spielt das Repräsentatensystem &lt;math&gt;\mathbb{D}_1= \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi)&lt;/math&gt; eine besondere Rolle. DasRepräsentatensystem &lt;math&gt;\mathbb{D}_1&lt;/math&gt; entsteht durch [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus|algebraische Vervollständigkeit]] des [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweiges]] des [[Logarithmus]].

== Siehe auch ==
* [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexer Logarithmus]]
* [[negativer Hauptzweig des Logarithmus]]</text>
      <sha1>b9dq2ko2g4ocjkvfckds1wp6sm9m1fa</sha1>
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      <timestamp>2026-10-14T15:29:30Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bert Niehaus</username>
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      <comment>/* Schritt 4 - LML2 */</comment>
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      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="7032" sha1="hw3kxhhrv2twiqdfeeazplaca6ad7km" xml:space="preserve">== Einleitung == 
Diese Lerneinheit zu [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmen]] beschäftigt sich Äquivalenzklassen, deren Struktur und  Rechenregeln, die durch den Zusammenhang mit der Exponentialfunktion und deren imaginärer &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt;-Periodizität entsteht. Die Äquivalenzklassen helfen dabei, Rechenregeln aus den reellen Zahl für den [[Logarithmus]] auf den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexen Logarithmus]] bzw. deren Zweige zu übertragen. Die [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus]] spielt dabei bijektive Abbildungen eine besondere Rolle.

=== Periodizität der Exponentialfunktion ===

Der komplexe Logarithmus kann nicht eindeutig als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion &lt;math&gt; \exp: \mathbb{C} \to \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; festgelegt werden, da u.a. die Exponentialfunktion nicht injektiv ist und ein [[Zweig des Logarithmus]] von der Wahl des [[einfach zusammenhängend]]en Gebietes abhängt, auf dem der Logarithmus definiert ist. Es gilt für [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]]:
:&lt;math&gt;
\exp(w + 2\pi i) = \exp(w) = z\quad \text{für alle } w \in \mathbb{C}
&lt;/math&gt;

Daher gibt es unendlich viele komplexe Zahlen &lt;math&gt; w &lt;/math&gt;, die auf dieselbe Zahl &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; abgebildet werden. Diese Mehrdeutigkeit ist die Motivation, um Äquivalenzklassen zu bilden.

== Äquivalenzklassen des Logarithmus ==
Um Äquivalenzklassen zu bilden, benötigt man eine Äquivalenzrelation als Teilmenge von &lt;math&gt;\mathbb{C}\times \mathbb{C} &lt;/math&gt;, die zwei Elemente &lt;math&gt; w_1, w_2 \in \mathbb{C} &lt;/math&gt;, wenn deren Differenz ein ganzzahliges Vielfaches von &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; ist.

=== Definition - logmod-Äquivalenzrelation ===
Zwei komplexe Zahlen &lt;math&gt; w_1, w_2 \in \mathbb{C} &lt;/math&gt; heißen logmod-äquivalent modulo &lt;math&gt; 2\pi i &lt;/math&gt;, wenn gilt:
:&lt;math&gt;
w_1 - w_2 \in 2\pi i \cdot \mathbb{Z} := \{w\in \mathbb{C} \, : \, w=2\pi i \cdot k \mbox{ und } k\in \mathbb{Z} \}
&lt;/math&gt;

Formal notiert man diese Äquivalenz wie folgt:  

:&lt;math&gt;
w_1 \equiv w_2 \  \mathrm{logmod}\  {2\pi i}
&lt;/math&gt;

==== Aufgabe für Studierende ====
Zeigen Sie, dass diese Relation eine ''Äquivalenzrelation'' ist, d.h. die [[logmod-Funktion|logmod-Relation]] ist [[w:de:Äquivalenzrelation|reflexiv, symmetrisch und transitiv]].

=== Definition - logmod-Äquivalenzklasse ===
Für eine komplexe Zahl &lt;math&gt; w \in \mathbb{C} &lt;/math&gt; ist die Äquivalenzklasse definiert als:

:&lt;math&gt;
[w]_0 := \{ w + 2\pi i k \mid k \in \mathbb{Z} \}
&lt;/math&gt;

==== Bezeichnung - Äquivalenzklassenindex====
Die Indexierung mit &lt;math&gt; _0 &lt;/math&gt; deutet an, dass dies diese Äquivalenzklasse ohne Logarithmierung in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt; gebildet wurde. Bildet man rekursiv höhere Logarithmen als Verkettung entstehen Äquivalenzklassen &lt;math&gt;[w]_n&lt;/math&gt;, wobei &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-fach rekursiv der Logarithmus verkettet wird, falls dieser existiert.

== Verbindung mit der Exponentialfunktion ==

Da die Exponentialfunktion im Imaginärteil des Arguments eine Periodizität von &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; besitzt, entsprechen Äquivalenzklassen &lt;math&gt;[w]_0&lt;/math&gt; entsprechen einem Bildpunkt &lt;math&gt;z=e^w&lt;/math&gt;. Dieser Verbindung zwischen Exponentialfunktion und Logarithmus wird durch das LogMod-Äquivalenzklassenlemma festgehalten.

=== LogMod-Äquivalenzklassenlemma ===
Sei &lt;math&gt;w\in\mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;\mathrm{logmod}(w) = 0&lt;/math&gt; gegeben. Für eine feste komplexe Zahl &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; gilt folgende Äquivalenzaussage:
:&lt;math&gt;
 \exp(\widehat{w}) = z \quad \text{für alle } \widehat{w} \in [w]_0
 &lt;/math&gt;
genau dann, wenn &lt;math&gt; \exp(w) = z &lt;/math&gt;.

=== Beweis - LogMod-Äquivalenzlemma ===
Für &lt;math&gt; w\in \mathbb{D}_1 := \mathbb{R}\times i\cdot [0,2\pi)&lt;/math&gt; gelte &lt;math&gt;\exp(w)=z&lt;/math&gt;. Das LogMod-Äquivalenzlemma ist eine Äquivalenzaussage. Daher werden zwei Beweisrichtungen gezeigt:
\mbox{}
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{array}{llcl}
\mbox{ (LML1) }
 &amp; 
 \exp(\widehat{w}) = z  
 &amp;  
 \quad \Longrightarrow \quad 
 &amp; 
 \widehat{w} \in [w]_0
  \\ 
\mbox{ (LML2) }
 &amp; 
 \widehat{w} \in [w]_0
 &amp;  
 \quad \Longrightarrow \quad 
 &amp; 
 \exp(\widehat{w}) = z  
  \\ 
 \end{array}  
&lt;/math&gt;

==== Schritt 1 - Beweisrichtung LML1 ====
Sei &lt;math&gt; \widehat{w} \in \mathbb{C} &lt;/math&gt; mit &lt;math&gt; \exp(\widehat{w}) = z &lt;/math&gt; beliebig gewählt. Dann gilt mit der Voraussetzung &lt;math&gt; \exp(w) = z \not= 0&lt;/math&gt; und Potenzgesetzen:
:&lt;math&gt;
 1 = \frac{z}{z} = \frac{\widehat{w}}{\exp(\exp(w))} = \exp(\widehat{w}-w)
 &lt;/math&gt;
Die Gleichung &lt;math&gt;1 = \exp(\widehat{w}-w)&lt;/math&gt; gilt genau dann, wenn &lt;math&gt; w-\widehat{w} = 2\pi i \cdot k&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;k \in \mathbb{Z}&lt;/math&gt;. 

==== Schritt 2 - Beweisrichtung LML1 ====
Damit gilt auch  &lt;math&gt; w = \widehat{w} + 2\pi i \cdot k &lt;/math&gt;. Die ganze Zahl &lt;math&gt; k\in \mathbb{Z} &lt;/math&gt; ist durch die [[logmod-Funktion]] und es gilt &lt;math&gt;k= \mathrm{logmod}(\widehat{w})&lt;/math&gt;, da &lt;math&gt; w\in \mathbb{D}_1 = \mathbb{R} + i\cdot [0,2\pi) &lt;/math&gt; nach Voraussetzung gilt und man erhält &lt;math&gt;\widehat{w} \in [w]_0&lt;/math&gt;.

==== Schritt 3 - Äquivalenzklasse gegeben LML2 ====
Sei umgekehrt &lt;math&gt;\widehat{w} \in [w]_0&lt;/math&gt; gegeben. Dann gibt es nach Definition der Äquivalenzklasse ein &lt;math&gt; k := logmod(\widehat{w})\in \mathbb{Z} &lt;/math&gt; mit der Eigenschaft  &lt;math&gt;\widehat{w}:= w + 2\pi i k&lt;/math&gt;. Nun wen man diese Darstellung von &lt;math&gt;\widehat{w}&lt;/math&gt; auf die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] an und verwendet Periodizität &lt;math&gt;\exp&lt;/math&gt; bzgl. &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; und erhält:
:&lt;math&gt;
 \exp(\widehat{w}) =  \exp(w + 2\pi i k) = \exp(w) \cdot \exp(2\pi i k) = z \cdot 1 = z
&lt;/math&gt;

==== Schritt 4 - LML2 ====
Da &lt;math&gt;\widehat{w} \in [w]_0&lt;/math&gt; beliebig gewählt wurde, gilt für alle  &lt;math&gt; \widehat{w} \in [w]_0 &lt;/math&gt; die Eigenschaft &lt;math&gt; \exp(\widehat{w}) = z &lt;/math&gt; und zusammen mit LML1 gilt die Äquivalenzaussage aus dem Lemma &lt;math&gt;\quad \Box&lt;/math&gt;.

=== Folgerung - LogMod-Äquivalenzklassenlemma ====  
Fasst man zu einem gegebenen &lt;math&gt;z\in \mathbb{C}\setminus\{0\}&lt;/math&gt; die Menge alle komplexen Zahlen &lt;math&gt; \widehat{w} \in \mathbb{C} &lt;/math&gt; zu einer Menge zusammen, die die Eigenschaft &lt;math&gt; \exp(\widehat{w}) = z &lt;/math&gt; erfüllen, so erhält man die Äquivalenzklasse &lt;math&gt; [w]_0 &lt;/math&gt;, wobei &lt;math&gt; w &lt;/math&gt; eine beliebige Lösung von &lt;math&gt; \exp(w) = z &lt;/math&gt; ist. 

==== Bemerkung - LogMod-Äquivalenzklassenlemma ====  
Für die Äquivalenzklassenanalyse spielt das Repräsentatensystem &lt;math&gt;\mathbb{D}_1= \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi)&lt;/math&gt; eine besondere Rolle. DasRepräsentatensystem &lt;math&gt;\mathbb{D}_1&lt;/math&gt; entsteht durch [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus|algebraische Vervollständigkeit]] des [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweiges]] des [[Logarithmus]].

== Siehe auch ==
* [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexer Logarithmus]]
* [[negativer Hauptzweig des Logarithmus]]</text>
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        <username>Bert Niehaus</username>
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      <comment>/* Einleitung */</comment>
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      <text bytes="7103" sha1="7dp7qctgjuco0mh3reidlk8zwtilgmc" xml:space="preserve">== Einleitung == 
Diese Lerneinheit zu [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmen]] beschäftigt sich Äquivalenzklassen, deren Struktur und  Rechenregeln, die durch den Zusammenhang mit der Exponentialfunktion und deren imaginärer &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt;-Periodizität entsteht. Die Äquivalenzklassen helfen dabei, [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen#Rechenregeln|Rechenregeln]] aus den reellen Zahl für den [[Logarithmus]] auf den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexen Logarithmus]] bzw. deren Zweige zu übertragen. Die [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus]] spielt dabei bijektive Abbildungen eine besondere Rolle.

=== Periodizität der Exponentialfunktion ===

Der komplexe Logarithmus kann nicht eindeutig als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion &lt;math&gt; \exp: \mathbb{C} \to \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; festgelegt werden, da u.a. die Exponentialfunktion nicht injektiv ist und ein [[Zweig des Logarithmus]] von der Wahl des [[einfach zusammenhängend]]en Gebietes abhängt, auf dem der Logarithmus definiert ist. Es gilt für [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]]:
:&lt;math&gt;
\exp(w + 2\pi i) = \exp(w) = z\quad \text{für alle } w \in \mathbb{C}
&lt;/math&gt;

Daher gibt es unendlich viele komplexe Zahlen &lt;math&gt; w &lt;/math&gt;, die auf dieselbe Zahl &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; abgebildet werden. Diese Mehrdeutigkeit ist die Motivation, um Äquivalenzklassen zu bilden.

== Äquivalenzklassen des Logarithmus ==
Um Äquivalenzklassen zu bilden, benötigt man eine Äquivalenzrelation als Teilmenge von &lt;math&gt;\mathbb{C}\times \mathbb{C} &lt;/math&gt;, die zwei Elemente &lt;math&gt; w_1, w_2 \in \mathbb{C} &lt;/math&gt;, wenn deren Differenz ein ganzzahliges Vielfaches von &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; ist.

=== Definition - logmod-Äquivalenzrelation ===
Zwei komplexe Zahlen &lt;math&gt; w_1, w_2 \in \mathbb{C} &lt;/math&gt; heißen logmod-äquivalent modulo &lt;math&gt; 2\pi i &lt;/math&gt;, wenn gilt:
:&lt;math&gt;
w_1 - w_2 \in 2\pi i \cdot \mathbb{Z} := \{w\in \mathbb{C} \, : \, w=2\pi i \cdot k \mbox{ und } k\in \mathbb{Z} \}
&lt;/math&gt;

Formal notiert man diese Äquivalenz wie folgt:  

:&lt;math&gt;
w_1 \equiv w_2 \  \mathrm{logmod}\  {2\pi i}
&lt;/math&gt;

==== Aufgabe für Studierende ====
Zeigen Sie, dass diese Relation eine ''Äquivalenzrelation'' ist, d.h. die [[logmod-Funktion|logmod-Relation]] ist [[w:de:Äquivalenzrelation|reflexiv, symmetrisch und transitiv]].

=== Definition - logmod-Äquivalenzklasse ===
Für eine komplexe Zahl &lt;math&gt; w \in \mathbb{C} &lt;/math&gt; ist die Äquivalenzklasse definiert als:

:&lt;math&gt;
[w]_0 := \{ w + 2\pi i k \mid k \in \mathbb{Z} \}
&lt;/math&gt;

==== Bezeichnung - Äquivalenzklassenindex====
Die Indexierung mit &lt;math&gt; _0 &lt;/math&gt; deutet an, dass dies diese Äquivalenzklasse ohne Logarithmierung in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt; gebildet wurde. Bildet man rekursiv höhere Logarithmen als Verkettung entstehen Äquivalenzklassen &lt;math&gt;[w]_n&lt;/math&gt;, wobei &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-fach rekursiv der Logarithmus verkettet wird, falls dieser existiert.

== Verbindung mit der Exponentialfunktion ==

Da die Exponentialfunktion im Imaginärteil des Arguments eine Periodizität von &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; besitzt, entsprechen Äquivalenzklassen &lt;math&gt;[w]_0&lt;/math&gt; entsprechen einem Bildpunkt &lt;math&gt;z=e^w&lt;/math&gt;. Dieser Verbindung zwischen Exponentialfunktion und Logarithmus wird durch das LogMod-Äquivalenzklassenlemma festgehalten.

=== LogMod-Äquivalenzklassenlemma ===
Sei &lt;math&gt;w\in\mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;\mathrm{logmod}(w) = 0&lt;/math&gt; gegeben. Für eine feste komplexe Zahl &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; gilt folgende Äquivalenzaussage:
:&lt;math&gt;
 \exp(\widehat{w}) = z \quad \text{für alle } \widehat{w} \in [w]_0
 &lt;/math&gt;
genau dann, wenn &lt;math&gt; \exp(w) = z &lt;/math&gt;.

=== Beweis - LogMod-Äquivalenzlemma ===
Für &lt;math&gt; w\in \mathbb{D}_1 := \mathbb{R}\times i\cdot [0,2\pi)&lt;/math&gt; gelte &lt;math&gt;\exp(w)=z&lt;/math&gt;. Das LogMod-Äquivalenzlemma ist eine Äquivalenzaussage. Daher werden zwei Beweisrichtungen gezeigt:
\mbox{}
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{array}{llcl}
\mbox{ (LML1) }
 &amp; 
 \exp(\widehat{w}) = z  
 &amp;  
 \quad \Longrightarrow \quad 
 &amp; 
 \widehat{w} \in [w]_0
  \\ 
\mbox{ (LML2) }
 &amp; 
 \widehat{w} \in [w]_0
 &amp;  
 \quad \Longrightarrow \quad 
 &amp; 
 \exp(\widehat{w}) = z  
  \\ 
 \end{array}  
&lt;/math&gt;

==== Schritt 1 - Beweisrichtung LML1 ====
Sei &lt;math&gt; \widehat{w} \in \mathbb{C} &lt;/math&gt; mit &lt;math&gt; \exp(\widehat{w}) = z &lt;/math&gt; beliebig gewählt. Dann gilt mit der Voraussetzung &lt;math&gt; \exp(w) = z \not= 0&lt;/math&gt; und Potenzgesetzen:
:&lt;math&gt;
 1 = \frac{z}{z} = \frac{\widehat{w}}{\exp(\exp(w))} = \exp(\widehat{w}-w)
 &lt;/math&gt;
Die Gleichung &lt;math&gt;1 = \exp(\widehat{w}-w)&lt;/math&gt; gilt genau dann, wenn &lt;math&gt; w-\widehat{w} = 2\pi i \cdot k&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;k \in \mathbb{Z}&lt;/math&gt;. 

==== Schritt 2 - Beweisrichtung LML1 ====
Damit gilt auch  &lt;math&gt; w = \widehat{w} + 2\pi i \cdot k &lt;/math&gt;. Die ganze Zahl &lt;math&gt; k\in \mathbb{Z} &lt;/math&gt; ist durch die [[logmod-Funktion]] und es gilt &lt;math&gt;k= \mathrm{logmod}(\widehat{w})&lt;/math&gt;, da &lt;math&gt; w\in \mathbb{D}_1 = \mathbb{R} + i\cdot [0,2\pi) &lt;/math&gt; nach Voraussetzung gilt und man erhält &lt;math&gt;\widehat{w} \in [w]_0&lt;/math&gt;.

==== Schritt 3 - Äquivalenzklasse gegeben LML2 ====
Sei umgekehrt &lt;math&gt;\widehat{w} \in [w]_0&lt;/math&gt; gegeben. Dann gibt es nach Definition der Äquivalenzklasse ein &lt;math&gt; k := logmod(\widehat{w})\in \mathbb{Z} &lt;/math&gt; mit der Eigenschaft  &lt;math&gt;\widehat{w}:= w + 2\pi i k&lt;/math&gt;. Nun wen man diese Darstellung von &lt;math&gt;\widehat{w}&lt;/math&gt; auf die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] an und verwendet Periodizität &lt;math&gt;\exp&lt;/math&gt; bzgl. &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; und erhält:
:&lt;math&gt;
 \exp(\widehat{w}) =  \exp(w + 2\pi i k) = \exp(w) \cdot \exp(2\pi i k) = z \cdot 1 = z
&lt;/math&gt;

==== Schritt 4 - LML2 ====
Da &lt;math&gt;\widehat{w} \in [w]_0&lt;/math&gt; beliebig gewählt wurde, gilt für alle  &lt;math&gt; \widehat{w} \in [w]_0 &lt;/math&gt; die Eigenschaft &lt;math&gt; \exp(\widehat{w}) = z &lt;/math&gt; und zusammen mit LML1 gilt die Äquivalenzaussage aus dem Lemma &lt;math&gt;\quad \Box&lt;/math&gt;.

=== Folgerung - LogMod-Äquivalenzklassenlemma ====  
Fasst man zu einem gegebenen &lt;math&gt;z\in \mathbb{C}\setminus\{0\}&lt;/math&gt; die Menge alle komplexen Zahlen &lt;math&gt; \widehat{w} \in \mathbb{C} &lt;/math&gt; zu einer Menge zusammen, die die Eigenschaft &lt;math&gt; \exp(\widehat{w}) = z &lt;/math&gt; erfüllen, so erhält man die Äquivalenzklasse &lt;math&gt; [w]_0 &lt;/math&gt;, wobei &lt;math&gt; w &lt;/math&gt; eine beliebige Lösung von &lt;math&gt; \exp(w) = z &lt;/math&gt; ist. 

==== Bemerkung - LogMod-Äquivalenzklassenlemma ====  
Für die Äquivalenzklassenanalyse spielt das Repräsentatensystem &lt;math&gt;\mathbb{D}_1= \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi)&lt;/math&gt; eine besondere Rolle. DasRepräsentatensystem &lt;math&gt;\mathbb{D}_1&lt;/math&gt; entsteht durch [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus|algebraische Vervollständigkeit]] des [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweiges]] des [[Logarithmus]].

== Siehe auch ==
* [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexer Logarithmus]]
* [[negativer Hauptzweig des Logarithmus]]</text>
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      <contributor>
        <username>Bert Niehaus</username>
        <id>20843</id>
      </contributor>
      <comment>/* Siehe auch */</comment>
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      <text bytes="14201" sha1="5o8p59np3u560uafy5gxfb4t3bn1i5f" xml:space="preserve">== Einleitung == 
Diese Lerneinheit zu [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmen]] beschäftigt sich Äquivalenzklassen, deren Struktur und  Rechenregeln, die durch den Zusammenhang mit der Exponentialfunktion und deren imaginärer &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt;-Periodizität entsteht. Die Äquivalenzklassen helfen dabei, [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen#Rechenregeln|Rechenregeln]] aus den reellen Zahl für den [[Logarithmus]] auf den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexen Logarithmus]] bzw. deren Zweige zu übertragen. Die [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus]] spielt dabei bijektive Abbildungen eine besondere Rolle.

=== Periodizität der Exponentialfunktion ===

Der komplexe Logarithmus kann nicht eindeutig als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion &lt;math&gt; \exp: \mathbb{C} \to \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; festgelegt werden, da u.a. die Exponentialfunktion nicht injektiv ist und ein [[Zweig des Logarithmus]] von der Wahl des [[einfach zusammenhängend]]en Gebietes abhängt, auf dem der Logarithmus definiert ist. Es gilt für [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]]:
:&lt;math&gt;
\exp(w + 2\pi i) = \exp(w) = z\quad \text{für alle } w \in \mathbb{C}
&lt;/math&gt;

Daher gibt es unendlich viele komplexe Zahlen &lt;math&gt; w &lt;/math&gt;, die auf dieselbe Zahl &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; abgebildet werden. Diese Mehrdeutigkeit ist die Motivation, um Äquivalenzklassen zu bilden.

== Äquivalenzklassen des Logarithmus ==
Um Äquivalenzklassen zu bilden, benötigt man eine Äquivalenzrelation als Teilmenge von &lt;math&gt;\mathbb{C}\times \mathbb{C} &lt;/math&gt;, die zwei Elemente &lt;math&gt; w_1, w_2 \in \mathbb{C} &lt;/math&gt;, wenn deren Differenz ein ganzzahliges Vielfaches von &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; ist.

=== Definition - logmod-Äquivalenzrelation ===
Zwei komplexe Zahlen &lt;math&gt; w_1, w_2 \in \mathbb{C} &lt;/math&gt; heißen logmod-äquivalent modulo &lt;math&gt; 2\pi i &lt;/math&gt;, wenn gilt:
:&lt;math&gt;
w_1 - w_2 \in 2\pi i \cdot \mathbb{Z} := \{w\in \mathbb{C} \, : \, w=2\pi i \cdot k \mbox{ und } k\in \mathbb{Z} \}
&lt;/math&gt;

Formal notiert man diese Äquivalenz wie folgt:  

:&lt;math&gt;
w_1 \equiv w_2 \  \mathrm{logmod}\  {2\pi i}
&lt;/math&gt;

==== Aufgabe für Studierende ====
Zeigen Sie, dass diese Relation eine ''Äquivalenzrelation'' ist, d.h. die [[logmod-Funktion|logmod-Relation]] ist [[w:de:Äquivalenzrelation|reflexiv, symmetrisch und transitiv]].

=== Definition - logmod-Äquivalenzklasse ===
Für eine komplexe Zahl &lt;math&gt; w \in \mathbb{C} &lt;/math&gt; ist die Äquivalenzklasse definiert als:

:&lt;math&gt;
[w]_0 := \{ w + 2\pi i k \mid k \in \mathbb{Z} \}
&lt;/math&gt;

==== Bezeichnung - Äquivalenzklassenindex====
Die Indexierung mit &lt;math&gt; _0 &lt;/math&gt; deutet an, dass dies diese Äquivalenzklasse ohne Logarithmierung in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt; gebildet wurde. Bildet man rekursiv höhere Logarithmen als Verkettung entstehen Äquivalenzklassen &lt;math&gt;[w]_n&lt;/math&gt;, wobei &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-fach rekursiv der Logarithmus verkettet wird, falls dieser existiert.

== Verbindung mit der Exponentialfunktion ==

Da die Exponentialfunktion im Imaginärteil des Arguments eine Periodizität von &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; besitzt, entsprechen Äquivalenzklassen &lt;math&gt;[w]_0&lt;/math&gt; entsprechen einem Bildpunkt &lt;math&gt;z=e^w&lt;/math&gt;. Dieser Verbindung zwischen Exponentialfunktion und Logarithmus wird durch das LogMod-Äquivalenzklassenlemma festgehalten.

=== LogMod-Äquivalenzklassenlemma ===
Sei &lt;math&gt;w\in\mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;\mathrm{logmod}(w) = 0&lt;/math&gt; gegeben. Für eine feste komplexe Zahl &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; gilt folgende Äquivalenzaussage:
:&lt;math&gt;
 \exp(\widehat{w}) = z \quad \text{für alle } \widehat{w} \in [w]_0
 &lt;/math&gt;
genau dann, wenn &lt;math&gt; \exp(w) = z &lt;/math&gt;.

=== Beweis - LogMod-Äquivalenzlemma ===
Für &lt;math&gt; w\in \mathbb{D}_1 := \mathbb{R}\times i\cdot [0,2\pi)&lt;/math&gt; gelte &lt;math&gt;\exp(w)=z&lt;/math&gt;. Das LogMod-Äquivalenzlemma ist eine Äquivalenzaussage. Daher werden zwei Beweisrichtungen gezeigt:
\mbox{}
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{array}{llcl}
\mbox{ (LML1) }
 &amp; 
 \exp(\widehat{w}) = z  
 &amp;  
 \quad \Longrightarrow \quad 
 &amp; 
 \widehat{w} \in [w]_0
  \\ 
\mbox{ (LML2) }
 &amp; 
 \widehat{w} \in [w]_0
 &amp;  
 \quad \Longrightarrow \quad 
 &amp; 
 \exp(\widehat{w}) = z  
  \\ 
 \end{array}  
&lt;/math&gt;

==== Schritt 1 - Beweisrichtung LML1 ====
Sei &lt;math&gt; \widehat{w} \in \mathbb{C} &lt;/math&gt; mit &lt;math&gt; \exp(\widehat{w}) = z &lt;/math&gt; beliebig gewählt. Dann gilt mit der Voraussetzung &lt;math&gt; \exp(w) = z \not= 0&lt;/math&gt; und Potenzgesetzen:
:&lt;math&gt;
 1 = \frac{z}{z} = \frac{\widehat{w}}{\exp(\exp(w))} = \exp(\widehat{w}-w)
 &lt;/math&gt;
Die Gleichung &lt;math&gt;1 = \exp(\widehat{w}-w)&lt;/math&gt; gilt genau dann, wenn &lt;math&gt; w-\widehat{w} = 2\pi i \cdot k&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;k \in \mathbb{Z}&lt;/math&gt;. 

==== Schritt 2 - Beweisrichtung LML1 ====
Damit gilt auch  &lt;math&gt; w = \widehat{w} + 2\pi i \cdot k &lt;/math&gt;. Die ganze Zahl &lt;math&gt; k\in \mathbb{Z} &lt;/math&gt; ist durch die [[logmod-Funktion]] und es gilt &lt;math&gt;k= \mathrm{logmod}(\widehat{w})&lt;/math&gt;, da &lt;math&gt; w\in \mathbb{D}_1 = \mathbb{R} + i\cdot [0,2\pi) &lt;/math&gt; nach Voraussetzung gilt und man erhält &lt;math&gt;\widehat{w} \in [w]_0&lt;/math&gt;.

==== Schritt 3 - Äquivalenzklasse gegeben LML2 ====
Sei umgekehrt &lt;math&gt;\widehat{w} \in [w]_0&lt;/math&gt; gegeben. Dann gibt es nach Definition der Äquivalenzklasse ein &lt;math&gt; k := logmod(\widehat{w})\in \mathbb{Z} &lt;/math&gt; mit der Eigenschaft  &lt;math&gt;\widehat{w}:= w + 2\pi i k&lt;/math&gt;. Nun wen man diese Darstellung von &lt;math&gt;\widehat{w}&lt;/math&gt; auf die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] an und verwendet Periodizität &lt;math&gt;\exp&lt;/math&gt; bzgl. &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; und erhält:
:&lt;math&gt;
 \exp(\widehat{w}) =  \exp(w + 2\pi i k) = \exp(w) \cdot \exp(2\pi i k) = z \cdot 1 = z
&lt;/math&gt;

==== Schritt 4 - LML2 ====
Da &lt;math&gt;\widehat{w} \in [w]_0&lt;/math&gt; beliebig gewählt wurde, gilt für alle  &lt;math&gt; \widehat{w} \in [w]_0 &lt;/math&gt; die Eigenschaft &lt;math&gt; \exp(\widehat{w}) = z &lt;/math&gt; und zusammen mit LML1 gilt die Äquivalenzaussage aus dem Lemma &lt;math&gt;\quad \Box&lt;/math&gt;.

=== Folgerung - LogMod-Äquivalenzklassenlemma ====  
Fasst man zu einem gegebenen &lt;math&gt;z\in \mathbb{C}\setminus\{0\}&lt;/math&gt; die Menge alle komplexen Zahlen &lt;math&gt; \widehat{w} \in \mathbb{C} &lt;/math&gt; zu einer Menge zusammen, die die Eigenschaft &lt;math&gt; \exp(\widehat{w}) = z &lt;/math&gt; erfüllen, so erhält man die Äquivalenzklasse &lt;math&gt; [w]_0 &lt;/math&gt;, wobei &lt;math&gt; w &lt;/math&gt; eine beliebige Lösung von &lt;math&gt; \exp(w) = z &lt;/math&gt; ist. 

==== Bemerkung - LogMod-Äquivalenzklassenlemma ====  
Für die Äquivalenzklassenanalyse spielt das Repräsentatensystem &lt;math&gt;\mathbb{D}_1= \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi)&lt;/math&gt; eine besondere Rolle. DasRepräsentatensystem &lt;math&gt;\mathbb{D}_1&lt;/math&gt; entsteht durch [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus|algebraische Vervollständigkeit]] des [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweiges]] des [[Logarithmus]].

== Rechenregeln mit Äquivalenzklassen ==
Um die aus der reellen Analysis bekannten Rechenregeln auf Logarithmen in den komplexen Zahlen verwenden zu können werden Äquivalenzklassen verwendet.  Die Struktur und Gültigkeit der Rechenregeln wird in diesem Teil der Lerneinheit genauer untersucht.

=== komplexe Logarithmus als Lösungsmenge ===
Der komplexe Äquivalenzklassen-Logarithmus von &lt;math&gt; z &lt;/math&gt; bildet nicht auf ein Element in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt; ab, sondern auf ein Teilmenge von &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt;.   
:&lt;math&gt;
 \log_0(z) := \{ w \in \mathbb{C} \mid \exp(w) = z \} = [w_0]_0
&gt; &lt;/math&gt;
&gt; für ein beliebiges &lt;math&gt; w_0 &lt;/math&gt; mit &lt;math&gt; \exp(w_0) = z &lt;/math&gt;.

&gt; '''Beispiel:'''  
&gt; &lt;math&gt; z = 1 &lt;/math&gt; → &lt;math&gt; \log(1) = \{ 2\pi i k \mid k \in \mathbb{Z} \} = [0]_0 &lt;/math&gt;

&gt; '''Beispiel:'''  
&gt; &lt;math&gt; z = i &lt;/math&gt; → &lt;math&gt; \exp(i \pi/2) = i &lt;/math&gt;, also  
&gt; 
:&lt;math&gt;
&gt; \log(i) = \left\{ i \left( \frac{\pi}{2} + 2\pi k \right) \mid k \in \mathbb{Z} \right\} = \left[ i \frac{\pi}{2} \right]_0
&gt; &lt;/math&gt;

---

== 5. Hauptzweig des Logarithmus (Hauptwert) ==

Um eine '''eindeutige Funktion''' zu erhalten, wählt man eine '''spezielle Repräsentante''' aus jeder Äquivalenzklasse.

=== Definition: Hauptzweig des Logarithmus ===

Für &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt;, definiere den '''Hauptwert''' des Logarithmus:


:&lt;math&gt;
\text{Log}(z) := \ln|z| + i \cdot \text{Arg}(z)
&lt;/math&gt;

wobei &lt;math&gt; \text{Arg}(z) \in (-\pi, \pi] &lt;/math&gt; der '''Hauptwert des Arguments''' ist.

&gt; '''Eigenschaft:'''  
&gt; &lt;math&gt; \text{Log}(z) \in [w_0]_0 &lt;/math&gt;, aber '''nicht''' alle Elemente der Klasse.

&gt; '''Beispiel:'''  
&gt; &lt;math&gt; z = i &lt;/math&gt; → &lt;math&gt; \text{Arg}(i) = \pi/2 &lt;/math&gt;, also  
&gt; 
:&lt;math&gt;
&gt; \text{Log}(i) = \ln(1) + i \cdot \frac{\pi}{2} = i \frac{\pi}{2}
&gt; &lt;/math&gt;

&gt; '''Aber:''' &lt;math&gt; \log(i) = \left[ i \frac{\pi}{2} \right]_0 &lt;/math&gt;, also enthält &lt;math&gt; \log(i) &lt;/math&gt; auch &lt;math&gt; i \frac{5\pi}{2} &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; i \frac{-3\pi}{2} &lt;/math&gt;, usw.

---

== 6. Rechenregeln für Logarithmen und Exponentialfunktion ==

=== (1) Exponentialfunktion und Logarithmus ===

* &lt;math&gt; \exp(\log(z)) = z &lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt;
* &lt;math&gt; \log(\exp(w)) = [w]_0 &lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt; w \in \mathbb{C} &lt;/math&gt;

&gt; '''Achtung:''' &lt;math&gt; \log(\exp(w)) &lt;/math&gt; ist '''keine Zahl''', sondern eine '''Äquivalenzklasse'''.

---

=== (2) Multiplikation und Logarithmus ===

Für &lt;math&gt; z_1, z_2 \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt;:


:&lt;math&gt;
\log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2)
&lt;/math&gt;

&gt; '''Interpretation:'''  
&gt; Die Summe zweier Äquivalenzklassen ist definiert als:
&gt; 
:&lt;math&gt;
&gt; [w_1]_0 + [w_2]_0 := [w_1 + w_2]_0
&gt; &lt;/math&gt;
&gt; und es gilt:
&gt; 
:&lt;math&gt;
&gt; \log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2)
&gt; &lt;/math&gt;

&gt; '''Beispiel:'''  
&gt; &lt;math&gt; z_1 = i &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; z_2 = i &lt;/math&gt; → &lt;math&gt; z_1 z_2 = -1 &lt;/math&gt;  
&gt; &lt;math&gt; \log(i) = \left[ i \frac{\pi}{2} \right]_0 &lt;/math&gt;,  
&gt; &lt;math&gt; \log(i) + \log(i) = \left[ i \pi \right]_0 &lt;/math&gt;,  
&gt; &lt;math&gt; \log(-1) = \left[ i \pi \right]_0 &lt;/math&gt; → stimmt.

---

=== (3) Potenzen und Logarithmus ===

Für &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; a \in \mathbb{C} &lt;/math&gt;:


:&lt;math&gt;
\log(z^a) = a \cdot \log(z) + 2\pi i k \quad \text{für ein } k \in \mathbb{Z}
&lt;/math&gt;

&gt; '''Aber:''' In der Äquivalenzklassen-Sicht gilt:
&gt; 
:&lt;math&gt;
&gt; \log(z^a) = a \cdot \log(z)
&gt; &lt;/math&gt;
&gt; wobei die Multiplikation einer Äquivalenzklasse mit einer komplexen Zahl definiert ist als:
&gt; 
:&lt;math&gt;
&gt; a \cdot [w]_0 := [a w]_0
&gt; &lt;/math&gt;

&gt; '''Beispiel:'''  
&gt; &lt;math&gt; z = i &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; a = 2 &lt;/math&gt; → &lt;math&gt; z^a = -1 &lt;/math&gt;  
&gt; &lt;math&gt; \log(z^a) = \log(-1) = [i\pi]_0 &lt;/math&gt;  
&gt; &lt;math&gt; a \cdot \log(z) = 2 \cdot [i \pi/2]_0 = [i\pi]_0 &lt;/math&gt; → stimmt.

---

=== (4) Addition von Logarithmen ===


:&lt;math&gt;
\log(z_1) + \log(z_2) = \log(z_1 z_2)
&lt;/math&gt;

&gt; '''Achtung:''' Dies ist '''nicht''' immer wahr, wenn man '''nicht''' mit Äquivalenzklassen arbeitet!  
&gt; Aber '''in der Klassen-Sicht''' ist es '''richtig'''.

&gt; '''Warum?''' Weil die Addition von Klassen kommutativ und assoziativ ist.

---

== 7. Zusammenhang mit Logarithmenzweigen ==

Ein '''Logarithmenzweig''' ist eine '''stetige Auswahl''' von Werten aus &lt;math&gt; \log(z) &lt;/math&gt;, d. h. eine Funktion &lt;math&gt; L: G \to \mathbb{C} &lt;/math&gt;, sodass &lt;math&gt; \exp(L(z)) = z &lt;/math&gt; und &lt;math&gt; L &lt;/math&gt; stetig auf einem Gebiet &lt;math&gt; G \subseteq \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt;.

&gt; '''Beispiel:'''  
&gt; Der '''Hauptzweig''' &lt;math&gt; \text{Log}(z) &lt;/math&gt; ist ein Logarithmenzweig auf &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus (-\infty, 0] &lt;/math&gt;.

&gt; '''Jeder Logarithmenzweig''' &lt;math&gt; L &lt;/math&gt; wählt '''einen Repräsentanten''' aus jeder Äquivalenzklasse &lt;math&gt; [w]_0 &lt;/math&gt;, nämlich &lt;math&gt; L(z) \in [w]_0 &lt;/math&gt;.

&gt; '''Zusammenhang:'''  
&gt; Die Menge aller Logarithmenzweige entspricht '''der Wahl einer Schnittlinie''' (Branch Cut), die verhindert, dass man um den Ursprung herumwandert und die Klasse wechselt.

---

== 8. Zusammenfassung: Struktur der Logarithmen ==

| Konzept | Beschreibung |
|--------|--------------|
| '''Äquivalenzklasse''' &lt;math&gt; [w]_0 &lt;/math&gt; | Menge aller &lt;math&gt; w + 2\pi i k &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; k \in \mathbb{Z} &lt;/math&gt; |
| '''Logarithmus von &lt;math&gt; z &lt;/math&gt;''' | &lt;math&gt; \log(z) = [w]_0 &lt;/math&gt;, wobei &lt;math&gt; \exp(w) = z &lt;/math&gt; |
| '''Hauptzweig''' | &lt;math&gt; \text{Log}(z) \in \log(z) &lt;/math&gt;, mit &lt;math&gt; \text{Arg}(z) \in (-\pi, \pi] &lt;/math&gt; |
| '''Rechenregeln''' | &lt;math&gt; \log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2) &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; \log(z^a) = a \cdot \log(z) &lt;/math&gt; (in Klassen) |
| '''Exponentialfunktion''' | &lt;math&gt; \exp(\log(z)) = z &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; \log(\exp(w)) = [w]_0 &lt;/math&gt; |

---

== 9. Übungsaufgaben ==

1. Zeige, dass &lt;math&gt; \log(-1) = [i\pi]_0 &lt;/math&gt;.
2. Berechne &lt;math&gt; \log(i) + \log(i) &lt;/math&gt; und vergleiche mit &lt;math&gt; \log(-1) &lt;/math&gt;.
3. Zeige, dass &lt;math&gt; \log(z^2) = 2 \log(z) &lt;/math&gt; in der Klassen-Sicht gilt.
4. Warum ist &lt;math&gt; \log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2) &lt;/math&gt; '''nicht''' immer wahr, wenn man nur Zahlen verwendet?
5. Definiere einen anderen Logarithmenzweig auf &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus [0, \infty) &lt;/math&gt;, der &lt;math&gt; \log(z) \in [i \cdot 0]_0 &lt;/math&gt; für &lt;math&gt; z = 1 &lt;/math&gt; wählt.

---

== Lernziel ==

Du kannst:
* den komplexen Logarithmus als '''Äquivalenzklasse''' verstehen,
* die '''Rechenregeln''' für Logarithmen in der Klassen-Sicht korrekt anwenden,
* den Zusammenhang zwischen '''Exponentialfunktion''', '''Logarithmenzweigen''' und '''Äquivalenzklassen''' erklären,
* die '''Mehrdeutigkeit''' des Logarithmus strukturiert darstellen.

---

'''Ende der Lerneinheit'''

&gt; '''Zusammenfassungssatz:'''  
&gt; *Der komplexe Logarithmus von &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; ist die Äquivalenzklasse &lt;math&gt; [w]_0 &lt;/math&gt;, wobei &lt;math&gt; \exp(w) = z &lt;/math&gt;. Diese Klasse ist genau die Menge aller Lösungen von &lt;math&gt; \exp(w) = z &lt;/math&gt;. Alle Rechenregeln gelten in der Klassen-Sicht: &lt;math&gt; \log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2) &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; \log(z^a) = a \cdot \log(z) &lt;/math&gt;, und &lt;math&gt; \exp(\log(z)) = z &lt;/math&gt;.*
== Siehe auch ==
* [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexer Logarithmus]]
* [[negativer Hauptzweig des Logarithmus]]</text>
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      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="14317" sha1="fx3ym2e7hqsgkhjcqajedhb8efulq0w" xml:space="preserve">== Einleitung == 
Diese Lerneinheit zu [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmen]] beschäftigt sich Äquivalenzklassen, deren Struktur und  Rechenregeln, die durch den Zusammenhang mit der Exponentialfunktion und deren imaginärer &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt;-Periodizität entsteht. Die Äquivalenzklassen helfen dabei, [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen#Rechenregeln|Rechenregeln]] aus den reellen Zahl für den [[Logarithmus]] auf den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexen Logarithmus]] bzw. deren Zweige zu übertragen. Die [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus]] spielt dabei bijektive Abbildungen eine besondere Rolle.

=== Periodizität der Exponentialfunktion ===

Der komplexe Logarithmus kann nicht eindeutig als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion &lt;math&gt; \exp: \mathbb{C} \to \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; festgelegt werden, da u.a. die Exponentialfunktion nicht injektiv ist und ein [[Zweig des Logarithmus]] von der Wahl des [[einfach zusammenhängend]]en Gebietes abhängt, auf dem der Logarithmus definiert ist. Es gilt für [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]]:
:&lt;math&gt;
\exp(w + 2\pi i) = \exp(w) = z\quad \text{für alle } w \in \mathbb{C}
&lt;/math&gt;

Daher gibt es unendlich viele komplexe Zahlen &lt;math&gt; w &lt;/math&gt;, die auf dieselbe Zahl &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; abgebildet werden. Diese Mehrdeutigkeit ist die Motivation, um Äquivalenzklassen zu bilden.

== Äquivalenzklassen des Logarithmus ==
Um Äquivalenzklassen zu bilden, benötigt man eine Äquivalenzrelation als Teilmenge von &lt;math&gt;\mathbb{C}\times \mathbb{C} &lt;/math&gt;, die zwei Elemente &lt;math&gt; w_1, w_2 \in \mathbb{C} &lt;/math&gt;, wenn deren Differenz ein ganzzahliges Vielfaches von &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; ist.

=== Definition - logmod-Äquivalenzrelation ===
Zwei komplexe Zahlen &lt;math&gt; w_1, w_2 \in \mathbb{C} &lt;/math&gt; heißen logmod-äquivalent modulo &lt;math&gt; 2\pi i &lt;/math&gt;, wenn gilt:
:&lt;math&gt;
w_1 - w_2 \in 2\pi i \cdot \mathbb{Z} := \{w\in \mathbb{C} \, : \, w=2\pi i \cdot k \mbox{ und } k\in \mathbb{Z} \}
&lt;/math&gt;

Formal notiert man diese Äquivalenz wie folgt:  

:&lt;math&gt;
w_1 \equiv w_2 \  \mathrm{logmod}\  {2\pi i}
&lt;/math&gt;

==== Aufgabe für Studierende ====
Zeigen Sie, dass diese Relation eine ''Äquivalenzrelation'' ist, d.h. die [[logmod-Funktion|logmod-Relation]] ist [[w:de:Äquivalenzrelation|reflexiv, symmetrisch und transitiv]].

=== Definition - logmod-Äquivalenzklasse ===
Für eine komplexe Zahl &lt;math&gt; w \in \mathbb{C} &lt;/math&gt; ist die Äquivalenzklasse definiert als:

:&lt;math&gt;
[w]_0 := \{ w + 2\pi i k \mid k \in \mathbb{Z} \}
&lt;/math&gt;

==== Bezeichnung - Äquivalenzklassenindex====
Die Indexierung mit &lt;math&gt; _0 &lt;/math&gt; deutet an, dass dies diese Äquivalenzklasse ohne Logarithmierung in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt; gebildet wurde. Bildet man rekursiv höhere Logarithmen als Verkettung entstehen Äquivalenzklassen &lt;math&gt;[w]_n&lt;/math&gt;, wobei &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-fach rekursiv der Logarithmus verkettet wird, falls dieser existiert.

== Verbindung mit der Exponentialfunktion ==

Da die Exponentialfunktion im Imaginärteil des Arguments eine Periodizität von &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; besitzt, entsprechen Äquivalenzklassen &lt;math&gt;[w]_0&lt;/math&gt; entsprechen einem Bildpunkt &lt;math&gt;z=e^w&lt;/math&gt;. Dieser Verbindung zwischen Exponentialfunktion und Logarithmus wird durch das LogMod-Äquivalenzklassenlemma festgehalten.

=== LogMod-Äquivalenzklassenlemma ===
Sei &lt;math&gt;w\in\mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;\mathrm{logmod}(w) = 0&lt;/math&gt; gegeben. Für eine feste komplexe Zahl &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; gilt folgende Äquivalenzaussage:
:&lt;math&gt;
 \exp(\widehat{w}) = z \quad \text{für alle } \widehat{w} \in [w]_0
 &lt;/math&gt;
genau dann, wenn &lt;math&gt; \exp(w) = z &lt;/math&gt;.

=== Beweis - LogMod-Äquivalenzlemma ===
Für &lt;math&gt; w\in \mathbb{D}_1 := \mathbb{R}\times i\cdot [0,2\pi)&lt;/math&gt; gelte &lt;math&gt;\exp(w)=z&lt;/math&gt;. Das LogMod-Äquivalenzlemma ist eine Äquivalenzaussage. Daher werden zwei Beweisrichtungen gezeigt:
\mbox{}
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{array}{llcl}
\mbox{ (LML1) }
 &amp; 
 \exp(\widehat{w}) = z  
 &amp;  
 \quad \Longrightarrow \quad 
 &amp; 
 \widehat{w} \in [w]_0
  \\ 
\mbox{ (LML2) }
 &amp; 
 \widehat{w} \in [w]_0
 &amp;  
 \quad \Longrightarrow \quad 
 &amp; 
 \exp(\widehat{w}) = z  
  \\ 
 \end{array}  
&lt;/math&gt;

==== Schritt 1 - Beweisrichtung LML1 ====
Sei &lt;math&gt; \widehat{w} \in \mathbb{C} &lt;/math&gt; mit &lt;math&gt; \exp(\widehat{w}) = z &lt;/math&gt; beliebig gewählt. Dann gilt mit der Voraussetzung &lt;math&gt; \exp(w) = z \not= 0&lt;/math&gt; und Potenzgesetzen:
:&lt;math&gt;
 1 = \frac{z}{z} = \frac{\widehat{w}}{\exp(\exp(w))} = \exp(\widehat{w}-w)
 &lt;/math&gt;
Die Gleichung &lt;math&gt;1 = \exp(\widehat{w}-w)&lt;/math&gt; gilt genau dann, wenn &lt;math&gt; w-\widehat{w} = 2\pi i \cdot k&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;k \in \mathbb{Z}&lt;/math&gt;. 

==== Schritt 2 - Beweisrichtung LML1 ====
Damit gilt auch  &lt;math&gt; w = \widehat{w} + 2\pi i \cdot k &lt;/math&gt;. Die ganze Zahl &lt;math&gt; k\in \mathbb{Z} &lt;/math&gt; ist durch die [[logmod-Funktion]] und es gilt &lt;math&gt;k= \mathrm{logmod}(\widehat{w})&lt;/math&gt;, da &lt;math&gt; w\in \mathbb{D}_1 = \mathbb{R} + i\cdot [0,2\pi) &lt;/math&gt; nach Voraussetzung gilt und man erhält &lt;math&gt;\widehat{w} \in [w]_0&lt;/math&gt;.

==== Schritt 3 - Äquivalenzklasse gegeben LML2 ====
Sei umgekehrt &lt;math&gt;\widehat{w} \in [w]_0&lt;/math&gt; gegeben. Dann gibt es nach Definition der Äquivalenzklasse ein &lt;math&gt; k := logmod(\widehat{w})\in \mathbb{Z} &lt;/math&gt; mit der Eigenschaft  &lt;math&gt;\widehat{w}:= w + 2\pi i k&lt;/math&gt;. Nun wen man diese Darstellung von &lt;math&gt;\widehat{w}&lt;/math&gt; auf die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] an und verwendet Periodizität &lt;math&gt;\exp&lt;/math&gt; bzgl. &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; und erhält:
:&lt;math&gt;
 \exp(\widehat{w}) =  \exp(w + 2\pi i k) = \exp(w) \cdot \exp(2\pi i k) = z \cdot 1 = z
&lt;/math&gt;

==== Schritt 4 - LML2 ====
Da &lt;math&gt;\widehat{w} \in [w]_0&lt;/math&gt; beliebig gewählt wurde, gilt für alle  &lt;math&gt; \widehat{w} \in [w]_0 &lt;/math&gt; die Eigenschaft &lt;math&gt; \exp(\widehat{w}) = z &lt;/math&gt; und zusammen mit LML1 gilt die Äquivalenzaussage aus dem Lemma &lt;math&gt;\quad \Box&lt;/math&gt;.

=== Folgerung - LogMod-Äquivalenzklassenlemma ====  
Fasst man zu einem gegebenen &lt;math&gt;z\in \mathbb{C}\setminus\{0\}&lt;/math&gt; die Menge alle komplexen Zahlen &lt;math&gt; \widehat{w} \in \mathbb{C} &lt;/math&gt; zu einer Menge zusammen, die die Eigenschaft &lt;math&gt; \exp(\widehat{w}) = z &lt;/math&gt; erfüllen, so erhält man die Äquivalenzklasse &lt;math&gt; [w]_0 &lt;/math&gt;, wobei &lt;math&gt; w &lt;/math&gt; eine beliebige Lösung von &lt;math&gt; \exp(w) = z &lt;/math&gt; ist. 

==== Bemerkung - LogMod-Äquivalenzklassenlemma ====  
Für die Äquivalenzklassenanalyse spielt das Repräsentatensystem &lt;math&gt;\mathbb{D}_1= \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi)&lt;/math&gt; eine besondere Rolle. DasRepräsentatensystem &lt;math&gt;\mathbb{D}_1&lt;/math&gt; entsteht durch [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus|algebraische Vervollständigkeit]] des [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweiges]] des [[Logarithmus]].

== Rechenregeln mit Äquivalenzklassen ==
Um die aus der reellen Analysis bekannten Rechenregeln auf Logarithmen in den komplexen Zahlen verwenden zu können werden Äquivalenzklassen verwendet.  Die Struktur und Gültigkeit der Rechenregeln wird in diesem Teil der Lerneinheit genauer untersucht.

=== komplexe Logarithmus als Lösungsmenge ===
Der komplexe Äquivalenzklassen-Logarithmus von &lt;math&gt; z &lt;/math&gt; bildet nicht auf ein Element in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt; ab, sondern auf ein Teilmenge von &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt;. Dies führt im weiteren Verlauf der Lehrveranstaltung zum Begriff des [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarithmus]].  
:&lt;math&gt;
 \log_0(z) := \{ w \in \mathbb{C} \mid \exp(w) = z \} = [w]_0
&lt;/math&gt;
&gt; für ein beliebiges &lt;math&gt; w_0 &lt;/math&gt; mit &lt;math&gt; \exp(w_0) = z &lt;/math&gt;.

&gt; '''Beispiel:'''  
&gt; &lt;math&gt; z = 1 &lt;/math&gt; → &lt;math&gt; \log(1) = \{ 2\pi i k \mid k \in \mathbb{Z} \} = [0]_0 &lt;/math&gt;

&gt; '''Beispiel:'''  
&gt; &lt;math&gt; z = i &lt;/math&gt; → &lt;math&gt; \exp(i \pi/2) = i &lt;/math&gt;, also  
&gt; 
:&lt;math&gt;
&gt; \log(i) = \left\{ i \left( \frac{\pi}{2} + 2\pi k \right) \mid k \in \mathbb{Z} \right\} = \left[ i \frac{\pi}{2} \right]_0
&gt; &lt;/math&gt;

---

== 5. Hauptzweig des Logarithmus (Hauptwert) ==

Um eine '''eindeutige Funktion''' zu erhalten, wählt man eine '''spezielle Repräsentante''' aus jeder Äquivalenzklasse.

=== Definition: Hauptzweig des Logarithmus ===

Für &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt;, definiere den '''Hauptwert''' des Logarithmus:


:&lt;math&gt;
\text{Log}(z) := \ln|z| + i \cdot \text{Arg}(z)
&lt;/math&gt;

wobei &lt;math&gt; \text{Arg}(z) \in (-\pi, \pi] &lt;/math&gt; der '''Hauptwert des Arguments''' ist.

&gt; '''Eigenschaft:'''  
&gt; &lt;math&gt; \text{Log}(z) \in [w_0]_0 &lt;/math&gt;, aber '''nicht''' alle Elemente der Klasse.

&gt; '''Beispiel:'''  
&gt; &lt;math&gt; z = i &lt;/math&gt; → &lt;math&gt; \text{Arg}(i) = \pi/2 &lt;/math&gt;, also  
&gt; 
:&lt;math&gt;
&gt; \text{Log}(i) = \ln(1) + i \cdot \frac{\pi}{2} = i \frac{\pi}{2}
&gt; &lt;/math&gt;

&gt; '''Aber:''' &lt;math&gt; \log(i) = \left[ i \frac{\pi}{2} \right]_0 &lt;/math&gt;, also enthält &lt;math&gt; \log(i) &lt;/math&gt; auch &lt;math&gt; i \frac{5\pi}{2} &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; i \frac{-3\pi}{2} &lt;/math&gt;, usw.

---

== 6. Rechenregeln für Logarithmen und Exponentialfunktion ==

=== (1) Exponentialfunktion und Logarithmus ===

* &lt;math&gt; \exp(\log(z)) = z &lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt;
* &lt;math&gt; \log(\exp(w)) = [w]_0 &lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt; w \in \mathbb{C} &lt;/math&gt;

&gt; '''Achtung:''' &lt;math&gt; \log(\exp(w)) &lt;/math&gt; ist '''keine Zahl''', sondern eine '''Äquivalenzklasse'''.

---

=== (2) Multiplikation und Logarithmus ===

Für &lt;math&gt; z_1, z_2 \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt;:


:&lt;math&gt;
\log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2)
&lt;/math&gt;

&gt; '''Interpretation:'''  
&gt; Die Summe zweier Äquivalenzklassen ist definiert als:
&gt; 
:&lt;math&gt;
&gt; [w_1]_0 + [w_2]_0 := [w_1 + w_2]_0
&gt; &lt;/math&gt;
&gt; und es gilt:
&gt; 
:&lt;math&gt;
&gt; \log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2)
&gt; &lt;/math&gt;

&gt; '''Beispiel:'''  
&gt; &lt;math&gt; z_1 = i &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; z_2 = i &lt;/math&gt; → &lt;math&gt; z_1 z_2 = -1 &lt;/math&gt;  
&gt; &lt;math&gt; \log(i) = \left[ i \frac{\pi}{2} \right]_0 &lt;/math&gt;,  
&gt; &lt;math&gt; \log(i) + \log(i) = \left[ i \pi \right]_0 &lt;/math&gt;,  
&gt; &lt;math&gt; \log(-1) = \left[ i \pi \right]_0 &lt;/math&gt; → stimmt.

---

=== (3) Potenzen und Logarithmus ===

Für &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; a \in \mathbb{C} &lt;/math&gt;:


:&lt;math&gt;
\log(z^a) = a \cdot \log(z) + 2\pi i k \quad \text{für ein } k \in \mathbb{Z}
&lt;/math&gt;

&gt; '''Aber:''' In der Äquivalenzklassen-Sicht gilt:
&gt; 
:&lt;math&gt;
&gt; \log(z^a) = a \cdot \log(z)
&gt; &lt;/math&gt;
&gt; wobei die Multiplikation einer Äquivalenzklasse mit einer komplexen Zahl definiert ist als:
&gt; 
:&lt;math&gt;
&gt; a \cdot [w]_0 := [a w]_0
&gt; &lt;/math&gt;

&gt; '''Beispiel:'''  
&gt; &lt;math&gt; z = i &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; a = 2 &lt;/math&gt; → &lt;math&gt; z^a = -1 &lt;/math&gt;  
&gt; &lt;math&gt; \log(z^a) = \log(-1) = [i\pi]_0 &lt;/math&gt;  
&gt; &lt;math&gt; a \cdot \log(z) = 2 \cdot [i \pi/2]_0 = [i\pi]_0 &lt;/math&gt; → stimmt.

---

=== (4) Addition von Logarithmen ===


:&lt;math&gt;
\log(z_1) + \log(z_2) = \log(z_1 z_2)
&lt;/math&gt;

&gt; '''Achtung:''' Dies ist '''nicht''' immer wahr, wenn man '''nicht''' mit Äquivalenzklassen arbeitet!  
&gt; Aber '''in der Klassen-Sicht''' ist es '''richtig'''.

&gt; '''Warum?''' Weil die Addition von Klassen kommutativ und assoziativ ist.

---

== 7. Zusammenhang mit Logarithmenzweigen ==

Ein '''Logarithmenzweig''' ist eine '''stetige Auswahl''' von Werten aus &lt;math&gt; \log(z) &lt;/math&gt;, d. h. eine Funktion &lt;math&gt; L: G \to \mathbb{C} &lt;/math&gt;, sodass &lt;math&gt; \exp(L(z)) = z &lt;/math&gt; und &lt;math&gt; L &lt;/math&gt; stetig auf einem Gebiet &lt;math&gt; G \subseteq \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt;.

&gt; '''Beispiel:'''  
&gt; Der '''Hauptzweig''' &lt;math&gt; \text{Log}(z) &lt;/math&gt; ist ein Logarithmenzweig auf &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus (-\infty, 0] &lt;/math&gt;.

&gt; '''Jeder Logarithmenzweig''' &lt;math&gt; L &lt;/math&gt; wählt '''einen Repräsentanten''' aus jeder Äquivalenzklasse &lt;math&gt; [w]_0 &lt;/math&gt;, nämlich &lt;math&gt; L(z) \in [w]_0 &lt;/math&gt;.

&gt; '''Zusammenhang:'''  
&gt; Die Menge aller Logarithmenzweige entspricht '''der Wahl einer Schnittlinie''' (Branch Cut), die verhindert, dass man um den Ursprung herumwandert und die Klasse wechselt.

---

== 8. Zusammenfassung: Struktur der Logarithmen ==

| Konzept | Beschreibung |
|--------|--------------|
| '''Äquivalenzklasse''' &lt;math&gt; [w]_0 &lt;/math&gt; | Menge aller &lt;math&gt; w + 2\pi i k &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; k \in \mathbb{Z} &lt;/math&gt; |
| '''Logarithmus von &lt;math&gt; z &lt;/math&gt;''' | &lt;math&gt; \log(z) = [w]_0 &lt;/math&gt;, wobei &lt;math&gt; \exp(w) = z &lt;/math&gt; |
| '''Hauptzweig''' | &lt;math&gt; \text{Log}(z) \in \log(z) &lt;/math&gt;, mit &lt;math&gt; \text{Arg}(z) \in (-\pi, \pi] &lt;/math&gt; |
| '''Rechenregeln''' | &lt;math&gt; \log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2) &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; \log(z^a) = a \cdot \log(z) &lt;/math&gt; (in Klassen) |
| '''Exponentialfunktion''' | &lt;math&gt; \exp(\log(z)) = z &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; \log(\exp(w)) = [w]_0 &lt;/math&gt; |

---

== 9. Übungsaufgaben ==

1. Zeige, dass &lt;math&gt; \log(-1) = [i\pi]_0 &lt;/math&gt;.
2. Berechne &lt;math&gt; \log(i) + \log(i) &lt;/math&gt; und vergleiche mit &lt;math&gt; \log(-1) &lt;/math&gt;.
3. Zeige, dass &lt;math&gt; \log(z^2) = 2 \log(z) &lt;/math&gt; in der Klassen-Sicht gilt.
4. Warum ist &lt;math&gt; \log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2) &lt;/math&gt; '''nicht''' immer wahr, wenn man nur Zahlen verwendet?
5. Definiere einen anderen Logarithmenzweig auf &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus [0, \infty) &lt;/math&gt;, der &lt;math&gt; \log(z) \in [i \cdot 0]_0 &lt;/math&gt; für &lt;math&gt; z = 1 &lt;/math&gt; wählt.

---

== Lernziel ==

Du kannst:
* den komplexen Logarithmus als '''Äquivalenzklasse''' verstehen,
* die '''Rechenregeln''' für Logarithmen in der Klassen-Sicht korrekt anwenden,
* den Zusammenhang zwischen '''Exponentialfunktion''', '''Logarithmenzweigen''' und '''Äquivalenzklassen''' erklären,
* die '''Mehrdeutigkeit''' des Logarithmus strukturiert darstellen.

---

'''Ende der Lerneinheit'''

&gt; '''Zusammenfassungssatz:'''  
&gt; *Der komplexe Logarithmus von &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; ist die Äquivalenzklasse &lt;math&gt; [w]_0 &lt;/math&gt;, wobei &lt;math&gt; \exp(w) = z &lt;/math&gt;. Diese Klasse ist genau die Menge aller Lösungen von &lt;math&gt; \exp(w) = z &lt;/math&gt;. Alle Rechenregeln gelten in der Klassen-Sicht: &lt;math&gt; \log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2) &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; \log(z^a) = a \cdot \log(z) &lt;/math&gt;, und &lt;math&gt; \exp(\log(z)) = z &lt;/math&gt;.*
== Siehe auch ==
* [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexer Logarithmus]]
* [[negativer Hauptzweig des Logarithmus]]</text>
      <sha1>fx3ym2e7hqsgkhjcqajedhb8efulq0w</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>1116074</id>
      <parentid>1116071</parentid>
      <timestamp>2026-10-15T06:02:28Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bert Niehaus</username>
        <id>20843</id>
      </contributor>
      <comment>/* komplexe Logarithmus als Lösungsmenge */</comment>
      <origin>1116074</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="15314" sha1="qi35m3x856q7jky431kme7svltck2f1" xml:space="preserve">== Einleitung == 
Diese Lerneinheit zu [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmen]] beschäftigt sich Äquivalenzklassen, deren Struktur und  Rechenregeln, die durch den Zusammenhang mit der Exponentialfunktion und deren imaginärer &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt;-Periodizität entsteht. Die Äquivalenzklassen helfen dabei, [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen#Rechenregeln|Rechenregeln]] aus den reellen Zahl für den [[Logarithmus]] auf den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexen Logarithmus]] bzw. deren Zweige zu übertragen. Die [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus]] spielt dabei bijektive Abbildungen eine besondere Rolle.

=== Periodizität der Exponentialfunktion ===

Der komplexe Logarithmus kann nicht eindeutig als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion &lt;math&gt; \exp: \mathbb{C} \to \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; festgelegt werden, da u.a. die Exponentialfunktion nicht injektiv ist und ein [[Zweig des Logarithmus]] von der Wahl des [[einfach zusammenhängend]]en Gebietes abhängt, auf dem der Logarithmus definiert ist. Es gilt für [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]]:
:&lt;math&gt;
\exp(w + 2\pi i) = \exp(w) = z\quad \text{für alle } w \in \mathbb{C}
&lt;/math&gt;

Daher gibt es unendlich viele komplexe Zahlen &lt;math&gt; w &lt;/math&gt;, die auf dieselbe Zahl &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; abgebildet werden. Diese Mehrdeutigkeit ist die Motivation, um Äquivalenzklassen zu bilden.

== Äquivalenzklassen des Logarithmus ==
Um Äquivalenzklassen zu bilden, benötigt man eine Äquivalenzrelation als Teilmenge von &lt;math&gt;\mathbb{C}\times \mathbb{C} &lt;/math&gt;, die zwei Elemente &lt;math&gt; w_1, w_2 \in \mathbb{C} &lt;/math&gt;, wenn deren Differenz ein ganzzahliges Vielfaches von &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; ist.

=== Definition - logmod-Äquivalenzrelation ===
Zwei komplexe Zahlen &lt;math&gt; w_1, w_2 \in \mathbb{C} &lt;/math&gt; heißen logmod-äquivalent modulo &lt;math&gt; 2\pi i &lt;/math&gt;, wenn gilt:
:&lt;math&gt;
w_1 - w_2 \in 2\pi i \cdot \mathbb{Z} := \{w\in \mathbb{C} \, : \, w=2\pi i \cdot k \mbox{ und } k\in \mathbb{Z} \}
&lt;/math&gt;

Formal notiert man diese Äquivalenz wie folgt:  

:&lt;math&gt;
w_1 \equiv w_2 \  \mathrm{logmod}\  {2\pi i}
&lt;/math&gt;

==== Aufgabe für Studierende ====
Zeigen Sie, dass diese Relation eine ''Äquivalenzrelation'' ist, d.h. die [[logmod-Funktion|logmod-Relation]] ist [[w:de:Äquivalenzrelation|reflexiv, symmetrisch und transitiv]].

=== Definition - logmod-Äquivalenzklasse ===
Für eine komplexe Zahl &lt;math&gt; w \in \mathbb{C} &lt;/math&gt; ist die Äquivalenzklasse definiert als:

:&lt;math&gt;
[w]_0 := \{ w + 2\pi i k \mid k \in \mathbb{Z} \}
&lt;/math&gt;

==== Bezeichnung - Äquivalenzklassenindex====
Die Indexierung mit &lt;math&gt; _0 &lt;/math&gt; deutet an, dass dies diese Äquivalenzklasse ohne Logarithmierung in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt; gebildet wurde. Bildet man rekursiv höhere Logarithmen als Verkettung entstehen Äquivalenzklassen &lt;math&gt;[w]_n&lt;/math&gt;, wobei &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-fach rekursiv der Logarithmus verkettet wird, falls dieser existiert.

== Verbindung mit der Exponentialfunktion ==

Da die Exponentialfunktion im Imaginärteil des Arguments eine Periodizität von &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; besitzt, entsprechen Äquivalenzklassen &lt;math&gt;[w]_0&lt;/math&gt; entsprechen einem Bildpunkt &lt;math&gt;z=e^w&lt;/math&gt;. Dieser Verbindung zwischen Exponentialfunktion und Logarithmus wird durch das LogMod-Äquivalenzklassenlemma festgehalten.

=== LogMod-Äquivalenzklassenlemma ===
Sei &lt;math&gt;w\in\mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;\mathrm{logmod}(w) = 0&lt;/math&gt; gegeben. Für eine feste komplexe Zahl &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; gilt folgende Äquivalenzaussage:
:&lt;math&gt;
 \exp(\widehat{w}) = z \quad \text{für alle } \widehat{w} \in [w]_0
 &lt;/math&gt;
genau dann, wenn &lt;math&gt; \exp(w) = z &lt;/math&gt;.

=== Beweis - LogMod-Äquivalenzlemma ===
Für &lt;math&gt; w\in \mathbb{D}_1 := \mathbb{R}\times i\cdot [0,2\pi)&lt;/math&gt; gelte &lt;math&gt;\exp(w)=z&lt;/math&gt;. Das LogMod-Äquivalenzlemma ist eine Äquivalenzaussage. Daher werden zwei Beweisrichtungen gezeigt:
\mbox{}
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{array}{llcl}
\mbox{ (LML1) }
 &amp; 
 \exp(\widehat{w}) = z  
 &amp;  
 \quad \Longrightarrow \quad 
 &amp; 
 \widehat{w} \in [w]_0
  \\ 
\mbox{ (LML2) }
 &amp; 
 \widehat{w} \in [w]_0
 &amp;  
 \quad \Longrightarrow \quad 
 &amp; 
 \exp(\widehat{w}) = z  
  \\ 
 \end{array}  
&lt;/math&gt;

==== Schritt 1 - Beweisrichtung LML1 ====
Sei &lt;math&gt; \widehat{w} \in \mathbb{C} &lt;/math&gt; mit &lt;math&gt; \exp(\widehat{w}) = z &lt;/math&gt; beliebig gewählt. Dann gilt mit der Voraussetzung &lt;math&gt; \exp(w) = z \not= 0&lt;/math&gt; und Potenzgesetzen:
:&lt;math&gt;
 1 = \frac{z}{z} = \frac{\widehat{w}}{\exp(\exp(w))} = \exp(\widehat{w}-w)
 &lt;/math&gt;
Die Gleichung &lt;math&gt;1 = \exp(\widehat{w}-w)&lt;/math&gt; gilt genau dann, wenn &lt;math&gt; w-\widehat{w} = 2\pi i \cdot k&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;k \in \mathbb{Z}&lt;/math&gt;. 

==== Schritt 2 - Beweisrichtung LML1 ====
Damit gilt auch  &lt;math&gt; w = \widehat{w} + 2\pi i \cdot k &lt;/math&gt;. Die ganze Zahl &lt;math&gt; k\in \mathbb{Z} &lt;/math&gt; ist durch die [[logmod-Funktion]] und es gilt &lt;math&gt;k= \mathrm{logmod}(\widehat{w})&lt;/math&gt;, da &lt;math&gt; w\in \mathbb{D}_1 = \mathbb{R} + i\cdot [0,2\pi) &lt;/math&gt; nach Voraussetzung gilt und man erhält &lt;math&gt;\widehat{w} \in [w]_0&lt;/math&gt;.

==== Schritt 3 - Äquivalenzklasse gegeben LML2 ====
Sei umgekehrt &lt;math&gt;\widehat{w} \in [w]_0&lt;/math&gt; gegeben. Dann gibt es nach Definition der Äquivalenzklasse ein &lt;math&gt; k := logmod(\widehat{w})\in \mathbb{Z} &lt;/math&gt; mit der Eigenschaft  &lt;math&gt;\widehat{w}:= w + 2\pi i k&lt;/math&gt;. Nun wen man diese Darstellung von &lt;math&gt;\widehat{w}&lt;/math&gt; auf die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] an und verwendet Periodizität &lt;math&gt;\exp&lt;/math&gt; bzgl. &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; und erhält:
:&lt;math&gt;
 \exp(\widehat{w}) =  \exp(w + 2\pi i k) = \exp(w) \cdot \exp(2\pi i k) = z \cdot 1 = z
&lt;/math&gt;

==== Schritt 4 - LML2 ====
Da &lt;math&gt;\widehat{w} \in [w]_0&lt;/math&gt; beliebig gewählt wurde, gilt für alle  &lt;math&gt; \widehat{w} \in [w]_0 &lt;/math&gt; die Eigenschaft &lt;math&gt; \exp(\widehat{w}) = z &lt;/math&gt; und zusammen mit LML1 gilt die Äquivalenzaussage aus dem Lemma &lt;math&gt;\quad \Box&lt;/math&gt;.

=== Folgerung - LogMod-Äquivalenzklassenlemma ====  
Fasst man zu einem gegebenen &lt;math&gt;z\in \mathbb{C}\setminus\{0\}&lt;/math&gt; die Menge alle komplexen Zahlen &lt;math&gt; \widehat{w} \in \mathbb{C} &lt;/math&gt; zu einer Menge zusammen, die die Eigenschaft &lt;math&gt; \exp(\widehat{w}) = z &lt;/math&gt; erfüllen, so erhält man die Äquivalenzklasse &lt;math&gt; [w]_0 &lt;/math&gt;, wobei &lt;math&gt; w &lt;/math&gt; eine beliebige Lösung von &lt;math&gt; \exp(w) = z &lt;/math&gt; ist. 

==== Bemerkung - LogMod-Äquivalenzklassenlemma ====  
Für die Äquivalenzklassenanalyse spielt das Repräsentatensystem &lt;math&gt;\mathbb{D}_1= \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi)&lt;/math&gt; eine besondere Rolle. DasRepräsentatensystem &lt;math&gt;\mathbb{D}_1&lt;/math&gt; entsteht durch [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus|algebraische Vervollständigkeit]] des [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweiges]] des [[Logarithmus]].

== Rechenregeln mit Äquivalenzklassen ==
Um die aus der reellen Analysis bekannten Rechenregeln auf Logarithmen in den komplexen Zahlen verwenden zu können werden Äquivalenzklassen verwendet.  Die Struktur und Gültigkeit der Rechenregeln wird in diesem Teil der Lerneinheit genauer untersucht.

=== komplexe Logarithmus als Lösungsmenge ===
Der komplexe Äquivalenzklassen-Logarithmus von &lt;math&gt; z &lt;/math&gt; bildet nicht auf ein Element in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt; ab, sondern auf ein Teilmenge von &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt;. Dies führt im weiteren Verlauf der Lehrveranstaltung zum Begriff des [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarithmus]]. Sei &lt;math&gt;w \in \mathbb{C}&lt;/math&gt; beliebig gewählt, dann definiert man &lt;math&gt;w_0 := w - \mathrm{logmod}(w)\cdot 2\pi i \in \mathbb{D}_1&lt;/math&gt; als Repräsentant der Restklasse &lt;math&gt; [w]_0&lt;/math&gt;.
:&lt;math&gt;
 \mathrm{lnr}_0(z) := \{ w \in \mathbb{C} \mid \exp(w) = z \} = [w]_0
&lt;/math&gt;
für ein beliebiges &lt;math&gt; w_0 \in \mathbb{D}_1 := \mathbb{R}+ i\cdot [0,2\pi)&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt; \exp(w_0) = z &lt;/math&gt;.

=== Beispiel 1 - Neutrales Element für Äquivalenklassenaddition ===
Algebraisch wird später &lt;math&gt;\mathbb{D}_1&lt;/math&gt; mit einer inneren Verknüpfung &lt;math&gt;\oplus&lt;/math&gt; zu einer kommunitative Gruppe. Daher wird das [[w:de:neutrales Element|neutrale Element]] von &lt;math&gt;\oplus&lt;/math&gt; als Beispieläquivalenzklasse genannt und in Beziehung zum Logarithmus gesetzt. Für &lt;math&gt; z = 1 &lt;/math&gt; ist der komplexe rekursive Logarithmus 
:&lt;math&gt; 
   \mathrm{lnr}_0(1) = \{ 2\pi i k \, : \,  k \in \mathbb{Z} \} = [0]_0 
&lt;/math&gt;

=== Beispiel 2 - Logarithmus der imaginären Einheit ===
Da zunächst die [[rekursiver Logarithmus|rekursive komplexe Logarithmen]] von elementaren komplexen Zahlen genannt. Wählt man &lt;math&gt; z = i &lt;/math&gt; so gilt &lt;math&gt; \exp\left(i \tfrac{\pi}{2}\right) = i &lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\tfrac{\pi}{2} \in \mathbb{D}_1&lt;/math&gt;. Bildet man nun den von  [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarithmus]] von  &lt;math&gt; z = i &lt;/math&gt; erhält man:

:&lt;math&gt;
  \mathrm{lnr}_0(i) = \left\{ i \left( \frac{\pi}{2} + 2\pi k \right) \mid k \in \mathbb{Z} \right\} = \left[ i \frac{\pi}{2} \right]_0
&lt;/math&gt;

== 5. Hauptzweig des Logarithmus (Hauptwert) ==

Um eine '''eindeutige Funktion''' zu erhalten, wählt man eine '''spezielle Repräsentante''' aus jeder Äquivalenzklasse.

=== Definition: Hauptzweig des Logarithmus ===

Für &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt;, definiere den '''Hauptwert''' des Logarithmus:


:&lt;math&gt;
\text{Log}(z) := \ln|z| + i \cdot \text{Arg}(z)
&lt;/math&gt;

wobei &lt;math&gt; \text{Arg}(z) \in (-\pi, \pi] &lt;/math&gt; der '''Hauptwert des Arguments''' ist.

&gt; '''Eigenschaft:'''  
&gt; &lt;math&gt; \text{Log}(z) \in [w_0]_0 &lt;/math&gt;, aber '''nicht''' alle Elemente der Klasse.

&gt; '''Beispiel:'''  
&gt; &lt;math&gt; z = i &lt;/math&gt; → &lt;math&gt; \text{Arg}(i) = \pi/2 &lt;/math&gt;, also  
&gt; 
:&lt;math&gt;
&gt; \text{Log}(i) = \ln(1) + i \cdot \frac{\pi}{2} = i \frac{\pi}{2}
&gt; &lt;/math&gt;

&gt; '''Aber:''' &lt;math&gt; \log(i) = \left[ i \frac{\pi}{2} \right]_0 &lt;/math&gt;, also enthält &lt;math&gt; \log(i) &lt;/math&gt; auch &lt;math&gt; i \frac{5\pi}{2} &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; i \frac{-3\pi}{2} &lt;/math&gt;, usw.

---

== 6. Rechenregeln für Logarithmen und Exponentialfunktion ==

=== (1) Exponentialfunktion und Logarithmus ===

* &lt;math&gt; \exp(\log(z)) = z &lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt;
* &lt;math&gt; \log(\exp(w)) = [w]_0 &lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt; w \in \mathbb{C} &lt;/math&gt;

&gt; '''Achtung:''' &lt;math&gt; \log(\exp(w)) &lt;/math&gt; ist '''keine Zahl''', sondern eine '''Äquivalenzklasse'''.

---

=== (2) Multiplikation und Logarithmus ===

Für &lt;math&gt; z_1, z_2 \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt;:


:&lt;math&gt;
\log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2)
&lt;/math&gt;

&gt; '''Interpretation:'''  
&gt; Die Summe zweier Äquivalenzklassen ist definiert als:
&gt; 
:&lt;math&gt;
&gt; [w_1]_0 + [w_2]_0 := [w_1 + w_2]_0
&gt; &lt;/math&gt;
&gt; und es gilt:
&gt; 
:&lt;math&gt;
&gt; \log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2)
&gt; &lt;/math&gt;

&gt; '''Beispiel:'''  
&gt; &lt;math&gt; z_1 = i &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; z_2 = i &lt;/math&gt; → &lt;math&gt; z_1 z_2 = -1 &lt;/math&gt;  
&gt; &lt;math&gt; \log(i) = \left[ i \frac{\pi}{2} \right]_0 &lt;/math&gt;,  
&gt; &lt;math&gt; \log(i) + \log(i) = \left[ i \pi \right]_0 &lt;/math&gt;,  
&gt; &lt;math&gt; \log(-1) = \left[ i \pi \right]_0 &lt;/math&gt; → stimmt.

---

=== (3) Potenzen und Logarithmus ===

Für &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; a \in \mathbb{C} &lt;/math&gt;:


:&lt;math&gt;
\log(z^a) = a \cdot \log(z) + 2\pi i k \quad \text{für ein } k \in \mathbb{Z}
&lt;/math&gt;

&gt; '''Aber:''' In der Äquivalenzklassen-Sicht gilt:
&gt; 
:&lt;math&gt;
&gt; \log(z^a) = a \cdot \log(z)
&gt; &lt;/math&gt;
&gt; wobei die Multiplikation einer Äquivalenzklasse mit einer komplexen Zahl definiert ist als:
&gt; 
:&lt;math&gt;
&gt; a \cdot [w]_0 := [a w]_0
&gt; &lt;/math&gt;

&gt; '''Beispiel:'''  
&gt; &lt;math&gt; z = i &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; a = 2 &lt;/math&gt; → &lt;math&gt; z^a = -1 &lt;/math&gt;  
&gt; &lt;math&gt; \log(z^a) = \log(-1) = [i\pi]_0 &lt;/math&gt;  
&gt; &lt;math&gt; a \cdot \log(z) = 2 \cdot [i \pi/2]_0 = [i\pi]_0 &lt;/math&gt; → stimmt.

---

=== (4) Addition von Logarithmen ===


:&lt;math&gt;
\log(z_1) + \log(z_2) = \log(z_1 z_2)
&lt;/math&gt;

&gt; '''Achtung:''' Dies ist '''nicht''' immer wahr, wenn man '''nicht''' mit Äquivalenzklassen arbeitet!  
&gt; Aber '''in der Klassen-Sicht''' ist es '''richtig'''.

&gt; '''Warum?''' Weil die Addition von Klassen kommutativ und assoziativ ist.

---

== 7. Zusammenhang mit Logarithmenzweigen ==

Ein '''Logarithmenzweig''' ist eine '''stetige Auswahl''' von Werten aus &lt;math&gt; \log(z) &lt;/math&gt;, d. h. eine Funktion &lt;math&gt; L: G \to \mathbb{C} &lt;/math&gt;, sodass &lt;math&gt; \exp(L(z)) = z &lt;/math&gt; und &lt;math&gt; L &lt;/math&gt; stetig auf einem Gebiet &lt;math&gt; G \subseteq \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt;.

&gt; '''Beispiel:'''  
&gt; Der '''Hauptzweig''' &lt;math&gt; \text{Log}(z) &lt;/math&gt; ist ein Logarithmenzweig auf &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus (-\infty, 0] &lt;/math&gt;.

&gt; '''Jeder Logarithmenzweig''' &lt;math&gt; L &lt;/math&gt; wählt '''einen Repräsentanten''' aus jeder Äquivalenzklasse &lt;math&gt; [w]_0 &lt;/math&gt;, nämlich &lt;math&gt; L(z) \in [w]_0 &lt;/math&gt;.

&gt; '''Zusammenhang:'''  
&gt; Die Menge aller Logarithmenzweige entspricht '''der Wahl einer Schnittlinie''' (Branch Cut), die verhindert, dass man um den Ursprung herumwandert und die Klasse wechselt.

---

== 8. Zusammenfassung: Struktur der Logarithmen ==

| Konzept | Beschreibung |
|--------|--------------|
| '''Äquivalenzklasse''' &lt;math&gt; [w]_0 &lt;/math&gt; | Menge aller &lt;math&gt; w + 2\pi i k &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; k \in \mathbb{Z} &lt;/math&gt; |
| '''Logarithmus von &lt;math&gt; z &lt;/math&gt;''' | &lt;math&gt; \log(z) = [w]_0 &lt;/math&gt;, wobei &lt;math&gt; \exp(w) = z &lt;/math&gt; |
| '''Hauptzweig''' | &lt;math&gt; \text{Log}(z) \in \log(z) &lt;/math&gt;, mit &lt;math&gt; \text{Arg}(z) \in (-\pi, \pi] &lt;/math&gt; |
| '''Rechenregeln''' | &lt;math&gt; \log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2) &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; \log(z^a) = a \cdot \log(z) &lt;/math&gt; (in Klassen) |
| '''Exponentialfunktion''' | &lt;math&gt; \exp(\log(z)) = z &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; \log(\exp(w)) = [w]_0 &lt;/math&gt; |

---

== 9. Übungsaufgaben ==

1. Zeige, dass &lt;math&gt; \log(-1) = [i\pi]_0 &lt;/math&gt;.
2. Berechne &lt;math&gt; \log(i) + \log(i) &lt;/math&gt; und vergleiche mit &lt;math&gt; \log(-1) &lt;/math&gt;.
3. Zeige, dass &lt;math&gt; \log(z^2) = 2 \log(z) &lt;/math&gt; in der Klassen-Sicht gilt.
4. Warum ist &lt;math&gt; \log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2) &lt;/math&gt; '''nicht''' immer wahr, wenn man nur Zahlen verwendet?
5. Definiere einen anderen Logarithmenzweig auf &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus [0, \infty) &lt;/math&gt;, der &lt;math&gt; \log(z) \in [i \cdot 0]_0 &lt;/math&gt; für &lt;math&gt; z = 1 &lt;/math&gt; wählt.

---

== Lernziel ==

Du kannst:
* den komplexen Logarithmus als '''Äquivalenzklasse''' verstehen,
* die '''Rechenregeln''' für Logarithmen in der Klassen-Sicht korrekt anwenden,
* den Zusammenhang zwischen '''Exponentialfunktion''', '''Logarithmenzweigen''' und '''Äquivalenzklassen''' erklären,
* die '''Mehrdeutigkeit''' des Logarithmus strukturiert darstellen.

---

'''Ende der Lerneinheit'''

&gt; '''Zusammenfassungssatz:'''  
&gt; *Der komplexe Logarithmus von &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; ist die Äquivalenzklasse &lt;math&gt; [w]_0 &lt;/math&gt;, wobei &lt;math&gt; \exp(w) = z &lt;/math&gt;. Diese Klasse ist genau die Menge aller Lösungen von &lt;math&gt; \exp(w) = z &lt;/math&gt;. Alle Rechenregeln gelten in der Klassen-Sicht: &lt;math&gt; \log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2) &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; \log(z^a) = a \cdot \log(z) &lt;/math&gt;, und &lt;math&gt; \exp(\log(z)) = z &lt;/math&gt;.*
== Siehe auch ==
* [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexer Logarithmus]]
* [[negativer Hauptzweig des Logarithmus]]</text>
      <sha1>qi35m3x856q7jky431kme7svltck2f1</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>1116075</id>
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      <timestamp>2026-10-15T06:02:56Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bert Niehaus</username>
        <id>20843</id>
      </contributor>
      <comment>/* Beispiel 1 - Neutrales Element für Äquivalenklassenaddition */</comment>
      <origin>1116075</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="15316" sha1="jnf5sef632iig51lof1ulvy0g1jomze" xml:space="preserve">== Einleitung == 
Diese Lerneinheit zu [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmen]] beschäftigt sich Äquivalenzklassen, deren Struktur und  Rechenregeln, die durch den Zusammenhang mit der Exponentialfunktion und deren imaginärer &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt;-Periodizität entsteht. Die Äquivalenzklassen helfen dabei, [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen#Rechenregeln|Rechenregeln]] aus den reellen Zahl für den [[Logarithmus]] auf den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexen Logarithmus]] bzw. deren Zweige zu übertragen. Die [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus]] spielt dabei bijektive Abbildungen eine besondere Rolle.

=== Periodizität der Exponentialfunktion ===

Der komplexe Logarithmus kann nicht eindeutig als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion &lt;math&gt; \exp: \mathbb{C} \to \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; festgelegt werden, da u.a. die Exponentialfunktion nicht injektiv ist und ein [[Zweig des Logarithmus]] von der Wahl des [[einfach zusammenhängend]]en Gebietes abhängt, auf dem der Logarithmus definiert ist. Es gilt für [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]]:
:&lt;math&gt;
\exp(w + 2\pi i) = \exp(w) = z\quad \text{für alle } w \in \mathbb{C}
&lt;/math&gt;

Daher gibt es unendlich viele komplexe Zahlen &lt;math&gt; w &lt;/math&gt;, die auf dieselbe Zahl &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; abgebildet werden. Diese Mehrdeutigkeit ist die Motivation, um Äquivalenzklassen zu bilden.

== Äquivalenzklassen des Logarithmus ==
Um Äquivalenzklassen zu bilden, benötigt man eine Äquivalenzrelation als Teilmenge von &lt;math&gt;\mathbb{C}\times \mathbb{C} &lt;/math&gt;, die zwei Elemente &lt;math&gt; w_1, w_2 \in \mathbb{C} &lt;/math&gt;, wenn deren Differenz ein ganzzahliges Vielfaches von &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; ist.

=== Definition - logmod-Äquivalenzrelation ===
Zwei komplexe Zahlen &lt;math&gt; w_1, w_2 \in \mathbb{C} &lt;/math&gt; heißen logmod-äquivalent modulo &lt;math&gt; 2\pi i &lt;/math&gt;, wenn gilt:
:&lt;math&gt;
w_1 - w_2 \in 2\pi i \cdot \mathbb{Z} := \{w\in \mathbb{C} \, : \, w=2\pi i \cdot k \mbox{ und } k\in \mathbb{Z} \}
&lt;/math&gt;

Formal notiert man diese Äquivalenz wie folgt:  

:&lt;math&gt;
w_1 \equiv w_2 \  \mathrm{logmod}\  {2\pi i}
&lt;/math&gt;

==== Aufgabe für Studierende ====
Zeigen Sie, dass diese Relation eine ''Äquivalenzrelation'' ist, d.h. die [[logmod-Funktion|logmod-Relation]] ist [[w:de:Äquivalenzrelation|reflexiv, symmetrisch und transitiv]].

=== Definition - logmod-Äquivalenzklasse ===
Für eine komplexe Zahl &lt;math&gt; w \in \mathbb{C} &lt;/math&gt; ist die Äquivalenzklasse definiert als:

:&lt;math&gt;
[w]_0 := \{ w + 2\pi i k \mid k \in \mathbb{Z} \}
&lt;/math&gt;

==== Bezeichnung - Äquivalenzklassenindex====
Die Indexierung mit &lt;math&gt; _0 &lt;/math&gt; deutet an, dass dies diese Äquivalenzklasse ohne Logarithmierung in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt; gebildet wurde. Bildet man rekursiv höhere Logarithmen als Verkettung entstehen Äquivalenzklassen &lt;math&gt;[w]_n&lt;/math&gt;, wobei &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-fach rekursiv der Logarithmus verkettet wird, falls dieser existiert.

== Verbindung mit der Exponentialfunktion ==

Da die Exponentialfunktion im Imaginärteil des Arguments eine Periodizität von &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; besitzt, entsprechen Äquivalenzklassen &lt;math&gt;[w]_0&lt;/math&gt; entsprechen einem Bildpunkt &lt;math&gt;z=e^w&lt;/math&gt;. Dieser Verbindung zwischen Exponentialfunktion und Logarithmus wird durch das LogMod-Äquivalenzklassenlemma festgehalten.

=== LogMod-Äquivalenzklassenlemma ===
Sei &lt;math&gt;w\in\mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;\mathrm{logmod}(w) = 0&lt;/math&gt; gegeben. Für eine feste komplexe Zahl &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; gilt folgende Äquivalenzaussage:
:&lt;math&gt;
 \exp(\widehat{w}) = z \quad \text{für alle } \widehat{w} \in [w]_0
 &lt;/math&gt;
genau dann, wenn &lt;math&gt; \exp(w) = z &lt;/math&gt;.

=== Beweis - LogMod-Äquivalenzlemma ===
Für &lt;math&gt; w\in \mathbb{D}_1 := \mathbb{R}\times i\cdot [0,2\pi)&lt;/math&gt; gelte &lt;math&gt;\exp(w)=z&lt;/math&gt;. Das LogMod-Äquivalenzlemma ist eine Äquivalenzaussage. Daher werden zwei Beweisrichtungen gezeigt:
\mbox{}
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{array}{llcl}
\mbox{ (LML1) }
 &amp; 
 \exp(\widehat{w}) = z  
 &amp;  
 \quad \Longrightarrow \quad 
 &amp; 
 \widehat{w} \in [w]_0
  \\ 
\mbox{ (LML2) }
 &amp; 
 \widehat{w} \in [w]_0
 &amp;  
 \quad \Longrightarrow \quad 
 &amp; 
 \exp(\widehat{w}) = z  
  \\ 
 \end{array}  
&lt;/math&gt;

==== Schritt 1 - Beweisrichtung LML1 ====
Sei &lt;math&gt; \widehat{w} \in \mathbb{C} &lt;/math&gt; mit &lt;math&gt; \exp(\widehat{w}) = z &lt;/math&gt; beliebig gewählt. Dann gilt mit der Voraussetzung &lt;math&gt; \exp(w) = z \not= 0&lt;/math&gt; und Potenzgesetzen:
:&lt;math&gt;
 1 = \frac{z}{z} = \frac{\widehat{w}}{\exp(\exp(w))} = \exp(\widehat{w}-w)
 &lt;/math&gt;
Die Gleichung &lt;math&gt;1 = \exp(\widehat{w}-w)&lt;/math&gt; gilt genau dann, wenn &lt;math&gt; w-\widehat{w} = 2\pi i \cdot k&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;k \in \mathbb{Z}&lt;/math&gt;. 

==== Schritt 2 - Beweisrichtung LML1 ====
Damit gilt auch  &lt;math&gt; w = \widehat{w} + 2\pi i \cdot k &lt;/math&gt;. Die ganze Zahl &lt;math&gt; k\in \mathbb{Z} &lt;/math&gt; ist durch die [[logmod-Funktion]] und es gilt &lt;math&gt;k= \mathrm{logmod}(\widehat{w})&lt;/math&gt;, da &lt;math&gt; w\in \mathbb{D}_1 = \mathbb{R} + i\cdot [0,2\pi) &lt;/math&gt; nach Voraussetzung gilt und man erhält &lt;math&gt;\widehat{w} \in [w]_0&lt;/math&gt;.

==== Schritt 3 - Äquivalenzklasse gegeben LML2 ====
Sei umgekehrt &lt;math&gt;\widehat{w} \in [w]_0&lt;/math&gt; gegeben. Dann gibt es nach Definition der Äquivalenzklasse ein &lt;math&gt; k := logmod(\widehat{w})\in \mathbb{Z} &lt;/math&gt; mit der Eigenschaft  &lt;math&gt;\widehat{w}:= w + 2\pi i k&lt;/math&gt;. Nun wen man diese Darstellung von &lt;math&gt;\widehat{w}&lt;/math&gt; auf die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] an und verwendet Periodizität &lt;math&gt;\exp&lt;/math&gt; bzgl. &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; und erhält:
:&lt;math&gt;
 \exp(\widehat{w}) =  \exp(w + 2\pi i k) = \exp(w) \cdot \exp(2\pi i k) = z \cdot 1 = z
&lt;/math&gt;

==== Schritt 4 - LML2 ====
Da &lt;math&gt;\widehat{w} \in [w]_0&lt;/math&gt; beliebig gewählt wurde, gilt für alle  &lt;math&gt; \widehat{w} \in [w]_0 &lt;/math&gt; die Eigenschaft &lt;math&gt; \exp(\widehat{w}) = z &lt;/math&gt; und zusammen mit LML1 gilt die Äquivalenzaussage aus dem Lemma &lt;math&gt;\quad \Box&lt;/math&gt;.

=== Folgerung - LogMod-Äquivalenzklassenlemma ====  
Fasst man zu einem gegebenen &lt;math&gt;z\in \mathbb{C}\setminus\{0\}&lt;/math&gt; die Menge alle komplexen Zahlen &lt;math&gt; \widehat{w} \in \mathbb{C} &lt;/math&gt; zu einer Menge zusammen, die die Eigenschaft &lt;math&gt; \exp(\widehat{w}) = z &lt;/math&gt; erfüllen, so erhält man die Äquivalenzklasse &lt;math&gt; [w]_0 &lt;/math&gt;, wobei &lt;math&gt; w &lt;/math&gt; eine beliebige Lösung von &lt;math&gt; \exp(w) = z &lt;/math&gt; ist. 

==== Bemerkung - LogMod-Äquivalenzklassenlemma ====  
Für die Äquivalenzklassenanalyse spielt das Repräsentatensystem &lt;math&gt;\mathbb{D}_1= \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi)&lt;/math&gt; eine besondere Rolle. DasRepräsentatensystem &lt;math&gt;\mathbb{D}_1&lt;/math&gt; entsteht durch [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus|algebraische Vervollständigkeit]] des [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweiges]] des [[Logarithmus]].

== Rechenregeln mit Äquivalenzklassen ==
Um die aus der reellen Analysis bekannten Rechenregeln auf Logarithmen in den komplexen Zahlen verwenden zu können werden Äquivalenzklassen verwendet.  Die Struktur und Gültigkeit der Rechenregeln wird in diesem Teil der Lerneinheit genauer untersucht.

=== komplexe Logarithmus als Lösungsmenge ===
Der komplexe Äquivalenzklassen-Logarithmus von &lt;math&gt; z &lt;/math&gt; bildet nicht auf ein Element in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt; ab, sondern auf ein Teilmenge von &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt;. Dies führt im weiteren Verlauf der Lehrveranstaltung zum Begriff des [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarithmus]]. Sei &lt;math&gt;w \in \mathbb{C}&lt;/math&gt; beliebig gewählt, dann definiert man &lt;math&gt;w_0 := w - \mathrm{logmod}(w)\cdot 2\pi i \in \mathbb{D}_1&lt;/math&gt; als Repräsentant der Restklasse &lt;math&gt; [w]_0&lt;/math&gt;.
:&lt;math&gt;
 \mathrm{lnr}_0(z) := \{ w \in \mathbb{C} \mid \exp(w) = z \} = [w]_0
&lt;/math&gt;
für ein beliebiges &lt;math&gt; w_0 \in \mathbb{D}_1 := \mathbb{R}+ i\cdot [0,2\pi)&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt; \exp(w_0) = z &lt;/math&gt;.

==== Beispiel 1 - Neutrales Element für Äquivalenklassenaddition ====
Algebraisch wird später &lt;math&gt;\mathbb{D}_1&lt;/math&gt; mit einer inneren Verknüpfung &lt;math&gt;\oplus&lt;/math&gt; zu einer kommunitative Gruppe. Daher wird das [[w:de:neutrales Element|neutrale Element]] von &lt;math&gt;\oplus&lt;/math&gt; als Beispieläquivalenzklasse genannt und in Beziehung zum Logarithmus gesetzt. Für &lt;math&gt; z = 1 &lt;/math&gt; ist der komplexe rekursive Logarithmus 
:&lt;math&gt; 
   \mathrm{lnr}_0(1) = \{ 2\pi i k \, : \,  k \in \mathbb{Z} \} = [0]_0 
&lt;/math&gt;

=== Beispiel 2 - Logarithmus der imaginären Einheit ===
Da zunächst die [[rekursiver Logarithmus|rekursive komplexe Logarithmen]] von elementaren komplexen Zahlen genannt. Wählt man &lt;math&gt; z = i &lt;/math&gt; so gilt &lt;math&gt; \exp\left(i \tfrac{\pi}{2}\right) = i &lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\tfrac{\pi}{2} \in \mathbb{D}_1&lt;/math&gt;. Bildet man nun den von  [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarithmus]] von  &lt;math&gt; z = i &lt;/math&gt; erhält man:

:&lt;math&gt;
  \mathrm{lnr}_0(i) = \left\{ i \left( \frac{\pi}{2} + 2\pi k \right) \mid k \in \mathbb{Z} \right\} = \left[ i \frac{\pi}{2} \right]_0
&lt;/math&gt;

== 5. Hauptzweig des Logarithmus (Hauptwert) ==

Um eine '''eindeutige Funktion''' zu erhalten, wählt man eine '''spezielle Repräsentante''' aus jeder Äquivalenzklasse.

=== Definition: Hauptzweig des Logarithmus ===

Für &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt;, definiere den '''Hauptwert''' des Logarithmus:


:&lt;math&gt;
\text{Log}(z) := \ln|z| + i \cdot \text{Arg}(z)
&lt;/math&gt;

wobei &lt;math&gt; \text{Arg}(z) \in (-\pi, \pi] &lt;/math&gt; der '''Hauptwert des Arguments''' ist.

&gt; '''Eigenschaft:'''  
&gt; &lt;math&gt; \text{Log}(z) \in [w_0]_0 &lt;/math&gt;, aber '''nicht''' alle Elemente der Klasse.

&gt; '''Beispiel:'''  
&gt; &lt;math&gt; z = i &lt;/math&gt; → &lt;math&gt; \text{Arg}(i) = \pi/2 &lt;/math&gt;, also  
&gt; 
:&lt;math&gt;
&gt; \text{Log}(i) = \ln(1) + i \cdot \frac{\pi}{2} = i \frac{\pi}{2}
&gt; &lt;/math&gt;

&gt; '''Aber:''' &lt;math&gt; \log(i) = \left[ i \frac{\pi}{2} \right]_0 &lt;/math&gt;, also enthält &lt;math&gt; \log(i) &lt;/math&gt; auch &lt;math&gt; i \frac{5\pi}{2} &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; i \frac{-3\pi}{2} &lt;/math&gt;, usw.

---

== 6. Rechenregeln für Logarithmen und Exponentialfunktion ==

=== (1) Exponentialfunktion und Logarithmus ===

* &lt;math&gt; \exp(\log(z)) = z &lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt;
* &lt;math&gt; \log(\exp(w)) = [w]_0 &lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt; w \in \mathbb{C} &lt;/math&gt;

&gt; '''Achtung:''' &lt;math&gt; \log(\exp(w)) &lt;/math&gt; ist '''keine Zahl''', sondern eine '''Äquivalenzklasse'''.

---

=== (2) Multiplikation und Logarithmus ===

Für &lt;math&gt; z_1, z_2 \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt;:


:&lt;math&gt;
\log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2)
&lt;/math&gt;

&gt; '''Interpretation:'''  
&gt; Die Summe zweier Äquivalenzklassen ist definiert als:
&gt; 
:&lt;math&gt;
&gt; [w_1]_0 + [w_2]_0 := [w_1 + w_2]_0
&gt; &lt;/math&gt;
&gt; und es gilt:
&gt; 
:&lt;math&gt;
&gt; \log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2)
&gt; &lt;/math&gt;

&gt; '''Beispiel:'''  
&gt; &lt;math&gt; z_1 = i &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; z_2 = i &lt;/math&gt; → &lt;math&gt; z_1 z_2 = -1 &lt;/math&gt;  
&gt; &lt;math&gt; \log(i) = \left[ i \frac{\pi}{2} \right]_0 &lt;/math&gt;,  
&gt; &lt;math&gt; \log(i) + \log(i) = \left[ i \pi \right]_0 &lt;/math&gt;,  
&gt; &lt;math&gt; \log(-1) = \left[ i \pi \right]_0 &lt;/math&gt; → stimmt.

---

=== (3) Potenzen und Logarithmus ===

Für &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; a \in \mathbb{C} &lt;/math&gt;:


:&lt;math&gt;
\log(z^a) = a \cdot \log(z) + 2\pi i k \quad \text{für ein } k \in \mathbb{Z}
&lt;/math&gt;

&gt; '''Aber:''' In der Äquivalenzklassen-Sicht gilt:
&gt; 
:&lt;math&gt;
&gt; \log(z^a) = a \cdot \log(z)
&gt; &lt;/math&gt;
&gt; wobei die Multiplikation einer Äquivalenzklasse mit einer komplexen Zahl definiert ist als:
&gt; 
:&lt;math&gt;
&gt; a \cdot [w]_0 := [a w]_0
&gt; &lt;/math&gt;

&gt; '''Beispiel:'''  
&gt; &lt;math&gt; z = i &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; a = 2 &lt;/math&gt; → &lt;math&gt; z^a = -1 &lt;/math&gt;  
&gt; &lt;math&gt; \log(z^a) = \log(-1) = [i\pi]_0 &lt;/math&gt;  
&gt; &lt;math&gt; a \cdot \log(z) = 2 \cdot [i \pi/2]_0 = [i\pi]_0 &lt;/math&gt; → stimmt.

---

=== (4) Addition von Logarithmen ===


:&lt;math&gt;
\log(z_1) + \log(z_2) = \log(z_1 z_2)
&lt;/math&gt;

&gt; '''Achtung:''' Dies ist '''nicht''' immer wahr, wenn man '''nicht''' mit Äquivalenzklassen arbeitet!  
&gt; Aber '''in der Klassen-Sicht''' ist es '''richtig'''.

&gt; '''Warum?''' Weil die Addition von Klassen kommutativ und assoziativ ist.

---

== 7. Zusammenhang mit Logarithmenzweigen ==

Ein '''Logarithmenzweig''' ist eine '''stetige Auswahl''' von Werten aus &lt;math&gt; \log(z) &lt;/math&gt;, d. h. eine Funktion &lt;math&gt; L: G \to \mathbb{C} &lt;/math&gt;, sodass &lt;math&gt; \exp(L(z)) = z &lt;/math&gt; und &lt;math&gt; L &lt;/math&gt; stetig auf einem Gebiet &lt;math&gt; G \subseteq \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt;.

&gt; '''Beispiel:'''  
&gt; Der '''Hauptzweig''' &lt;math&gt; \text{Log}(z) &lt;/math&gt; ist ein Logarithmenzweig auf &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus (-\infty, 0] &lt;/math&gt;.

&gt; '''Jeder Logarithmenzweig''' &lt;math&gt; L &lt;/math&gt; wählt '''einen Repräsentanten''' aus jeder Äquivalenzklasse &lt;math&gt; [w]_0 &lt;/math&gt;, nämlich &lt;math&gt; L(z) \in [w]_0 &lt;/math&gt;.

&gt; '''Zusammenhang:'''  
&gt; Die Menge aller Logarithmenzweige entspricht '''der Wahl einer Schnittlinie''' (Branch Cut), die verhindert, dass man um den Ursprung herumwandert und die Klasse wechselt.

---

== 8. Zusammenfassung: Struktur der Logarithmen ==

| Konzept | Beschreibung |
|--------|--------------|
| '''Äquivalenzklasse''' &lt;math&gt; [w]_0 &lt;/math&gt; | Menge aller &lt;math&gt; w + 2\pi i k &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; k \in \mathbb{Z} &lt;/math&gt; |
| '''Logarithmus von &lt;math&gt; z &lt;/math&gt;''' | &lt;math&gt; \log(z) = [w]_0 &lt;/math&gt;, wobei &lt;math&gt; \exp(w) = z &lt;/math&gt; |
| '''Hauptzweig''' | &lt;math&gt; \text{Log}(z) \in \log(z) &lt;/math&gt;, mit &lt;math&gt; \text{Arg}(z) \in (-\pi, \pi] &lt;/math&gt; |
| '''Rechenregeln''' | &lt;math&gt; \log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2) &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; \log(z^a) = a \cdot \log(z) &lt;/math&gt; (in Klassen) |
| '''Exponentialfunktion''' | &lt;math&gt; \exp(\log(z)) = z &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; \log(\exp(w)) = [w]_0 &lt;/math&gt; |

---

== 9. Übungsaufgaben ==

1. Zeige, dass &lt;math&gt; \log(-1) = [i\pi]_0 &lt;/math&gt;.
2. Berechne &lt;math&gt; \log(i) + \log(i) &lt;/math&gt; und vergleiche mit &lt;math&gt; \log(-1) &lt;/math&gt;.
3. Zeige, dass &lt;math&gt; \log(z^2) = 2 \log(z) &lt;/math&gt; in der Klassen-Sicht gilt.
4. Warum ist &lt;math&gt; \log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2) &lt;/math&gt; '''nicht''' immer wahr, wenn man nur Zahlen verwendet?
5. Definiere einen anderen Logarithmenzweig auf &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus [0, \infty) &lt;/math&gt;, der &lt;math&gt; \log(z) \in [i \cdot 0]_0 &lt;/math&gt; für &lt;math&gt; z = 1 &lt;/math&gt; wählt.

---

== Lernziel ==

Du kannst:
* den komplexen Logarithmus als '''Äquivalenzklasse''' verstehen,
* die '''Rechenregeln''' für Logarithmen in der Klassen-Sicht korrekt anwenden,
* den Zusammenhang zwischen '''Exponentialfunktion''', '''Logarithmenzweigen''' und '''Äquivalenzklassen''' erklären,
* die '''Mehrdeutigkeit''' des Logarithmus strukturiert darstellen.

---

'''Ende der Lerneinheit'''

&gt; '''Zusammenfassungssatz:'''  
&gt; *Der komplexe Logarithmus von &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; ist die Äquivalenzklasse &lt;math&gt; [w]_0 &lt;/math&gt;, wobei &lt;math&gt; \exp(w) = z &lt;/math&gt;. Diese Klasse ist genau die Menge aller Lösungen von &lt;math&gt; \exp(w) = z &lt;/math&gt;. Alle Rechenregeln gelten in der Klassen-Sicht: &lt;math&gt; \log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2) &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; \log(z^a) = a \cdot \log(z) &lt;/math&gt;, und &lt;math&gt; \exp(\log(z)) = z &lt;/math&gt;.*
== Siehe auch ==
* [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexer Logarithmus]]
* [[negativer Hauptzweig des Logarithmus]]</text>
      <sha1>jnf5sef632iig51lof1ulvy0g1jomze</sha1>
    </revision>
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      <id>1116076</id>
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      <timestamp>2026-10-15T06:03:14Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bert Niehaus</username>
        <id>20843</id>
      </contributor>
      <comment>/* Beispiel 2 - Logarithmus der imaginären Einheit */</comment>
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      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="15318" sha1="o8x7m5ymfu1jdie79dfeft73gk3504k" xml:space="preserve">== Einleitung == 
Diese Lerneinheit zu [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmen]] beschäftigt sich Äquivalenzklassen, deren Struktur und  Rechenregeln, die durch den Zusammenhang mit der Exponentialfunktion und deren imaginärer &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt;-Periodizität entsteht. Die Äquivalenzklassen helfen dabei, [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen#Rechenregeln|Rechenregeln]] aus den reellen Zahl für den [[Logarithmus]] auf den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexen Logarithmus]] bzw. deren Zweige zu übertragen. Die [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus]] spielt dabei bijektive Abbildungen eine besondere Rolle.

=== Periodizität der Exponentialfunktion ===

Der komplexe Logarithmus kann nicht eindeutig als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion &lt;math&gt; \exp: \mathbb{C} \to \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; festgelegt werden, da u.a. die Exponentialfunktion nicht injektiv ist und ein [[Zweig des Logarithmus]] von der Wahl des [[einfach zusammenhängend]]en Gebietes abhängt, auf dem der Logarithmus definiert ist. Es gilt für [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]]:
:&lt;math&gt;
\exp(w + 2\pi i) = \exp(w) = z\quad \text{für alle } w \in \mathbb{C}
&lt;/math&gt;

Daher gibt es unendlich viele komplexe Zahlen &lt;math&gt; w &lt;/math&gt;, die auf dieselbe Zahl &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; abgebildet werden. Diese Mehrdeutigkeit ist die Motivation, um Äquivalenzklassen zu bilden.

== Äquivalenzklassen des Logarithmus ==
Um Äquivalenzklassen zu bilden, benötigt man eine Äquivalenzrelation als Teilmenge von &lt;math&gt;\mathbb{C}\times \mathbb{C} &lt;/math&gt;, die zwei Elemente &lt;math&gt; w_1, w_2 \in \mathbb{C} &lt;/math&gt;, wenn deren Differenz ein ganzzahliges Vielfaches von &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; ist.

=== Definition - logmod-Äquivalenzrelation ===
Zwei komplexe Zahlen &lt;math&gt; w_1, w_2 \in \mathbb{C} &lt;/math&gt; heißen logmod-äquivalent modulo &lt;math&gt; 2\pi i &lt;/math&gt;, wenn gilt:
:&lt;math&gt;
w_1 - w_2 \in 2\pi i \cdot \mathbb{Z} := \{w\in \mathbb{C} \, : \, w=2\pi i \cdot k \mbox{ und } k\in \mathbb{Z} \}
&lt;/math&gt;

Formal notiert man diese Äquivalenz wie folgt:  

:&lt;math&gt;
w_1 \equiv w_2 \  \mathrm{logmod}\  {2\pi i}
&lt;/math&gt;

==== Aufgabe für Studierende ====
Zeigen Sie, dass diese Relation eine ''Äquivalenzrelation'' ist, d.h. die [[logmod-Funktion|logmod-Relation]] ist [[w:de:Äquivalenzrelation|reflexiv, symmetrisch und transitiv]].

=== Definition - logmod-Äquivalenzklasse ===
Für eine komplexe Zahl &lt;math&gt; w \in \mathbb{C} &lt;/math&gt; ist die Äquivalenzklasse definiert als:

:&lt;math&gt;
[w]_0 := \{ w + 2\pi i k \mid k \in \mathbb{Z} \}
&lt;/math&gt;

==== Bezeichnung - Äquivalenzklassenindex====
Die Indexierung mit &lt;math&gt; _0 &lt;/math&gt; deutet an, dass dies diese Äquivalenzklasse ohne Logarithmierung in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt; gebildet wurde. Bildet man rekursiv höhere Logarithmen als Verkettung entstehen Äquivalenzklassen &lt;math&gt;[w]_n&lt;/math&gt;, wobei &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-fach rekursiv der Logarithmus verkettet wird, falls dieser existiert.

== Verbindung mit der Exponentialfunktion ==

Da die Exponentialfunktion im Imaginärteil des Arguments eine Periodizität von &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; besitzt, entsprechen Äquivalenzklassen &lt;math&gt;[w]_0&lt;/math&gt; entsprechen einem Bildpunkt &lt;math&gt;z=e^w&lt;/math&gt;. Dieser Verbindung zwischen Exponentialfunktion und Logarithmus wird durch das LogMod-Äquivalenzklassenlemma festgehalten.

=== LogMod-Äquivalenzklassenlemma ===
Sei &lt;math&gt;w\in\mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;\mathrm{logmod}(w) = 0&lt;/math&gt; gegeben. Für eine feste komplexe Zahl &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; gilt folgende Äquivalenzaussage:
:&lt;math&gt;
 \exp(\widehat{w}) = z \quad \text{für alle } \widehat{w} \in [w]_0
 &lt;/math&gt;
genau dann, wenn &lt;math&gt; \exp(w) = z &lt;/math&gt;.

=== Beweis - LogMod-Äquivalenzlemma ===
Für &lt;math&gt; w\in \mathbb{D}_1 := \mathbb{R}\times i\cdot [0,2\pi)&lt;/math&gt; gelte &lt;math&gt;\exp(w)=z&lt;/math&gt;. Das LogMod-Äquivalenzlemma ist eine Äquivalenzaussage. Daher werden zwei Beweisrichtungen gezeigt:
\mbox{}
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{array}{llcl}
\mbox{ (LML1) }
 &amp; 
 \exp(\widehat{w}) = z  
 &amp;  
 \quad \Longrightarrow \quad 
 &amp; 
 \widehat{w} \in [w]_0
  \\ 
\mbox{ (LML2) }
 &amp; 
 \widehat{w} \in [w]_0
 &amp;  
 \quad \Longrightarrow \quad 
 &amp; 
 \exp(\widehat{w}) = z  
  \\ 
 \end{array}  
&lt;/math&gt;

==== Schritt 1 - Beweisrichtung LML1 ====
Sei &lt;math&gt; \widehat{w} \in \mathbb{C} &lt;/math&gt; mit &lt;math&gt; \exp(\widehat{w}) = z &lt;/math&gt; beliebig gewählt. Dann gilt mit der Voraussetzung &lt;math&gt; \exp(w) = z \not= 0&lt;/math&gt; und Potenzgesetzen:
:&lt;math&gt;
 1 = \frac{z}{z} = \frac{\widehat{w}}{\exp(\exp(w))} = \exp(\widehat{w}-w)
 &lt;/math&gt;
Die Gleichung &lt;math&gt;1 = \exp(\widehat{w}-w)&lt;/math&gt; gilt genau dann, wenn &lt;math&gt; w-\widehat{w} = 2\pi i \cdot k&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;k \in \mathbb{Z}&lt;/math&gt;. 

==== Schritt 2 - Beweisrichtung LML1 ====
Damit gilt auch  &lt;math&gt; w = \widehat{w} + 2\pi i \cdot k &lt;/math&gt;. Die ganze Zahl &lt;math&gt; k\in \mathbb{Z} &lt;/math&gt; ist durch die [[logmod-Funktion]] und es gilt &lt;math&gt;k= \mathrm{logmod}(\widehat{w})&lt;/math&gt;, da &lt;math&gt; w\in \mathbb{D}_1 = \mathbb{R} + i\cdot [0,2\pi) &lt;/math&gt; nach Voraussetzung gilt und man erhält &lt;math&gt;\widehat{w} \in [w]_0&lt;/math&gt;.

==== Schritt 3 - Äquivalenzklasse gegeben LML2 ====
Sei umgekehrt &lt;math&gt;\widehat{w} \in [w]_0&lt;/math&gt; gegeben. Dann gibt es nach Definition der Äquivalenzklasse ein &lt;math&gt; k := logmod(\widehat{w})\in \mathbb{Z} &lt;/math&gt; mit der Eigenschaft  &lt;math&gt;\widehat{w}:= w + 2\pi i k&lt;/math&gt;. Nun wen man diese Darstellung von &lt;math&gt;\widehat{w}&lt;/math&gt; auf die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] an und verwendet Periodizität &lt;math&gt;\exp&lt;/math&gt; bzgl. &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; und erhält:
:&lt;math&gt;
 \exp(\widehat{w}) =  \exp(w + 2\pi i k) = \exp(w) \cdot \exp(2\pi i k) = z \cdot 1 = z
&lt;/math&gt;

==== Schritt 4 - LML2 ====
Da &lt;math&gt;\widehat{w} \in [w]_0&lt;/math&gt; beliebig gewählt wurde, gilt für alle  &lt;math&gt; \widehat{w} \in [w]_0 &lt;/math&gt; die Eigenschaft &lt;math&gt; \exp(\widehat{w}) = z &lt;/math&gt; und zusammen mit LML1 gilt die Äquivalenzaussage aus dem Lemma &lt;math&gt;\quad \Box&lt;/math&gt;.

=== Folgerung - LogMod-Äquivalenzklassenlemma ====  
Fasst man zu einem gegebenen &lt;math&gt;z\in \mathbb{C}\setminus\{0\}&lt;/math&gt; die Menge alle komplexen Zahlen &lt;math&gt; \widehat{w} \in \mathbb{C} &lt;/math&gt; zu einer Menge zusammen, die die Eigenschaft &lt;math&gt; \exp(\widehat{w}) = z &lt;/math&gt; erfüllen, so erhält man die Äquivalenzklasse &lt;math&gt; [w]_0 &lt;/math&gt;, wobei &lt;math&gt; w &lt;/math&gt; eine beliebige Lösung von &lt;math&gt; \exp(w) = z &lt;/math&gt; ist. 

==== Bemerkung - LogMod-Äquivalenzklassenlemma ====  
Für die Äquivalenzklassenanalyse spielt das Repräsentatensystem &lt;math&gt;\mathbb{D}_1= \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi)&lt;/math&gt; eine besondere Rolle. DasRepräsentatensystem &lt;math&gt;\mathbb{D}_1&lt;/math&gt; entsteht durch [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus|algebraische Vervollständigkeit]] des [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweiges]] des [[Logarithmus]].

== Rechenregeln mit Äquivalenzklassen ==
Um die aus der reellen Analysis bekannten Rechenregeln auf Logarithmen in den komplexen Zahlen verwenden zu können werden Äquivalenzklassen verwendet.  Die Struktur und Gültigkeit der Rechenregeln wird in diesem Teil der Lerneinheit genauer untersucht.

=== komplexe Logarithmus als Lösungsmenge ===
Der komplexe Äquivalenzklassen-Logarithmus von &lt;math&gt; z &lt;/math&gt; bildet nicht auf ein Element in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt; ab, sondern auf ein Teilmenge von &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt;. Dies führt im weiteren Verlauf der Lehrveranstaltung zum Begriff des [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarithmus]]. Sei &lt;math&gt;w \in \mathbb{C}&lt;/math&gt; beliebig gewählt, dann definiert man &lt;math&gt;w_0 := w - \mathrm{logmod}(w)\cdot 2\pi i \in \mathbb{D}_1&lt;/math&gt; als Repräsentant der Restklasse &lt;math&gt; [w]_0&lt;/math&gt;.
:&lt;math&gt;
 \mathrm{lnr}_0(z) := \{ w \in \mathbb{C} \mid \exp(w) = z \} = [w]_0
&lt;/math&gt;
für ein beliebiges &lt;math&gt; w_0 \in \mathbb{D}_1 := \mathbb{R}+ i\cdot [0,2\pi)&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt; \exp(w_0) = z &lt;/math&gt;.

==== Beispiel 1 - Neutrales Element für Äquivalenklassenaddition ====
Algebraisch wird später &lt;math&gt;\mathbb{D}_1&lt;/math&gt; mit einer inneren Verknüpfung &lt;math&gt;\oplus&lt;/math&gt; zu einer kommunitative Gruppe. Daher wird das [[w:de:neutrales Element|neutrale Element]] von &lt;math&gt;\oplus&lt;/math&gt; als Beispieläquivalenzklasse genannt und in Beziehung zum Logarithmus gesetzt. Für &lt;math&gt; z = 1 &lt;/math&gt; ist der komplexe rekursive Logarithmus 
:&lt;math&gt; 
   \mathrm{lnr}_0(1) = \{ 2\pi i k \, : \,  k \in \mathbb{Z} \} = [0]_0 
&lt;/math&gt;

==== Beispiel 2 - Logarithmus der imaginären Einheit ====
Da zunächst die [[rekursiver Logarithmus|rekursive komplexe Logarithmen]] von elementaren komplexen Zahlen genannt. Wählt man &lt;math&gt; z = i &lt;/math&gt; so gilt &lt;math&gt; \exp\left(i \tfrac{\pi}{2}\right) = i &lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\tfrac{\pi}{2} \in \mathbb{D}_1&lt;/math&gt;. Bildet man nun den von  [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarithmus]] von  &lt;math&gt; z = i &lt;/math&gt; erhält man:

:&lt;math&gt;
  \mathrm{lnr}_0(i) = \left\{ i \left( \frac{\pi}{2} + 2\pi k \right) \mid k \in \mathbb{Z} \right\} = \left[ i \frac{\pi}{2} \right]_0
&lt;/math&gt;

== 5. Hauptzweig des Logarithmus (Hauptwert) ==

Um eine '''eindeutige Funktion''' zu erhalten, wählt man eine '''spezielle Repräsentante''' aus jeder Äquivalenzklasse.

=== Definition: Hauptzweig des Logarithmus ===

Für &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt;, definiere den '''Hauptwert''' des Logarithmus:


:&lt;math&gt;
\text{Log}(z) := \ln|z| + i \cdot \text{Arg}(z)
&lt;/math&gt;

wobei &lt;math&gt; \text{Arg}(z) \in (-\pi, \pi] &lt;/math&gt; der '''Hauptwert des Arguments''' ist.

&gt; '''Eigenschaft:'''  
&gt; &lt;math&gt; \text{Log}(z) \in [w_0]_0 &lt;/math&gt;, aber '''nicht''' alle Elemente der Klasse.

&gt; '''Beispiel:'''  
&gt; &lt;math&gt; z = i &lt;/math&gt; → &lt;math&gt; \text{Arg}(i) = \pi/2 &lt;/math&gt;, also  
&gt; 
:&lt;math&gt;
&gt; \text{Log}(i) = \ln(1) + i \cdot \frac{\pi}{2} = i \frac{\pi}{2}
&gt; &lt;/math&gt;

&gt; '''Aber:''' &lt;math&gt; \log(i) = \left[ i \frac{\pi}{2} \right]_0 &lt;/math&gt;, also enthält &lt;math&gt; \log(i) &lt;/math&gt; auch &lt;math&gt; i \frac{5\pi}{2} &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; i \frac{-3\pi}{2} &lt;/math&gt;, usw.

---

== 6. Rechenregeln für Logarithmen und Exponentialfunktion ==

=== (1) Exponentialfunktion und Logarithmus ===

* &lt;math&gt; \exp(\log(z)) = z &lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt;
* &lt;math&gt; \log(\exp(w)) = [w]_0 &lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt; w \in \mathbb{C} &lt;/math&gt;

&gt; '''Achtung:''' &lt;math&gt; \log(\exp(w)) &lt;/math&gt; ist '''keine Zahl''', sondern eine '''Äquivalenzklasse'''.

---

=== (2) Multiplikation und Logarithmus ===

Für &lt;math&gt; z_1, z_2 \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt;:


:&lt;math&gt;
\log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2)
&lt;/math&gt;

&gt; '''Interpretation:'''  
&gt; Die Summe zweier Äquivalenzklassen ist definiert als:
&gt; 
:&lt;math&gt;
&gt; [w_1]_0 + [w_2]_0 := [w_1 + w_2]_0
&gt; &lt;/math&gt;
&gt; und es gilt:
&gt; 
:&lt;math&gt;
&gt; \log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2)
&gt; &lt;/math&gt;

&gt; '''Beispiel:'''  
&gt; &lt;math&gt; z_1 = i &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; z_2 = i &lt;/math&gt; → &lt;math&gt; z_1 z_2 = -1 &lt;/math&gt;  
&gt; &lt;math&gt; \log(i) = \left[ i \frac{\pi}{2} \right]_0 &lt;/math&gt;,  
&gt; &lt;math&gt; \log(i) + \log(i) = \left[ i \pi \right]_0 &lt;/math&gt;,  
&gt; &lt;math&gt; \log(-1) = \left[ i \pi \right]_0 &lt;/math&gt; → stimmt.

---

=== (3) Potenzen und Logarithmus ===

Für &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; a \in \mathbb{C} &lt;/math&gt;:


:&lt;math&gt;
\log(z^a) = a \cdot \log(z) + 2\pi i k \quad \text{für ein } k \in \mathbb{Z}
&lt;/math&gt;

&gt; '''Aber:''' In der Äquivalenzklassen-Sicht gilt:
&gt; 
:&lt;math&gt;
&gt; \log(z^a) = a \cdot \log(z)
&gt; &lt;/math&gt;
&gt; wobei die Multiplikation einer Äquivalenzklasse mit einer komplexen Zahl definiert ist als:
&gt; 
:&lt;math&gt;
&gt; a \cdot [w]_0 := [a w]_0
&gt; &lt;/math&gt;

&gt; '''Beispiel:'''  
&gt; &lt;math&gt; z = i &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; a = 2 &lt;/math&gt; → &lt;math&gt; z^a = -1 &lt;/math&gt;  
&gt; &lt;math&gt; \log(z^a) = \log(-1) = [i\pi]_0 &lt;/math&gt;  
&gt; &lt;math&gt; a \cdot \log(z) = 2 \cdot [i \pi/2]_0 = [i\pi]_0 &lt;/math&gt; → stimmt.

---

=== (4) Addition von Logarithmen ===


:&lt;math&gt;
\log(z_1) + \log(z_2) = \log(z_1 z_2)
&lt;/math&gt;

&gt; '''Achtung:''' Dies ist '''nicht''' immer wahr, wenn man '''nicht''' mit Äquivalenzklassen arbeitet!  
&gt; Aber '''in der Klassen-Sicht''' ist es '''richtig'''.

&gt; '''Warum?''' Weil die Addition von Klassen kommutativ und assoziativ ist.

---

== 7. Zusammenhang mit Logarithmenzweigen ==

Ein '''Logarithmenzweig''' ist eine '''stetige Auswahl''' von Werten aus &lt;math&gt; \log(z) &lt;/math&gt;, d. h. eine Funktion &lt;math&gt; L: G \to \mathbb{C} &lt;/math&gt;, sodass &lt;math&gt; \exp(L(z)) = z &lt;/math&gt; und &lt;math&gt; L &lt;/math&gt; stetig auf einem Gebiet &lt;math&gt; G \subseteq \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt;.

&gt; '''Beispiel:'''  
&gt; Der '''Hauptzweig''' &lt;math&gt; \text{Log}(z) &lt;/math&gt; ist ein Logarithmenzweig auf &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus (-\infty, 0] &lt;/math&gt;.

&gt; '''Jeder Logarithmenzweig''' &lt;math&gt; L &lt;/math&gt; wählt '''einen Repräsentanten''' aus jeder Äquivalenzklasse &lt;math&gt; [w]_0 &lt;/math&gt;, nämlich &lt;math&gt; L(z) \in [w]_0 &lt;/math&gt;.

&gt; '''Zusammenhang:'''  
&gt; Die Menge aller Logarithmenzweige entspricht '''der Wahl einer Schnittlinie''' (Branch Cut), die verhindert, dass man um den Ursprung herumwandert und die Klasse wechselt.

---

== 8. Zusammenfassung: Struktur der Logarithmen ==

| Konzept | Beschreibung |
|--------|--------------|
| '''Äquivalenzklasse''' &lt;math&gt; [w]_0 &lt;/math&gt; | Menge aller &lt;math&gt; w + 2\pi i k &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; k \in \mathbb{Z} &lt;/math&gt; |
| '''Logarithmus von &lt;math&gt; z &lt;/math&gt;''' | &lt;math&gt; \log(z) = [w]_0 &lt;/math&gt;, wobei &lt;math&gt; \exp(w) = z &lt;/math&gt; |
| '''Hauptzweig''' | &lt;math&gt; \text{Log}(z) \in \log(z) &lt;/math&gt;, mit &lt;math&gt; \text{Arg}(z) \in (-\pi, \pi] &lt;/math&gt; |
| '''Rechenregeln''' | &lt;math&gt; \log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2) &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; \log(z^a) = a \cdot \log(z) &lt;/math&gt; (in Klassen) |
| '''Exponentialfunktion''' | &lt;math&gt; \exp(\log(z)) = z &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; \log(\exp(w)) = [w]_0 &lt;/math&gt; |

---

== 9. Übungsaufgaben ==

1. Zeige, dass &lt;math&gt; \log(-1) = [i\pi]_0 &lt;/math&gt;.
2. Berechne &lt;math&gt; \log(i) + \log(i) &lt;/math&gt; und vergleiche mit &lt;math&gt; \log(-1) &lt;/math&gt;.
3. Zeige, dass &lt;math&gt; \log(z^2) = 2 \log(z) &lt;/math&gt; in der Klassen-Sicht gilt.
4. Warum ist &lt;math&gt; \log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2) &lt;/math&gt; '''nicht''' immer wahr, wenn man nur Zahlen verwendet?
5. Definiere einen anderen Logarithmenzweig auf &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus [0, \infty) &lt;/math&gt;, der &lt;math&gt; \log(z) \in [i \cdot 0]_0 &lt;/math&gt; für &lt;math&gt; z = 1 &lt;/math&gt; wählt.

---

== Lernziel ==

Du kannst:
* den komplexen Logarithmus als '''Äquivalenzklasse''' verstehen,
* die '''Rechenregeln''' für Logarithmen in der Klassen-Sicht korrekt anwenden,
* den Zusammenhang zwischen '''Exponentialfunktion''', '''Logarithmenzweigen''' und '''Äquivalenzklassen''' erklären,
* die '''Mehrdeutigkeit''' des Logarithmus strukturiert darstellen.

---

'''Ende der Lerneinheit'''

&gt; '''Zusammenfassungssatz:'''  
&gt; *Der komplexe Logarithmus von &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; ist die Äquivalenzklasse &lt;math&gt; [w]_0 &lt;/math&gt;, wobei &lt;math&gt; \exp(w) = z &lt;/math&gt;. Diese Klasse ist genau die Menge aller Lösungen von &lt;math&gt; \exp(w) = z &lt;/math&gt;. Alle Rechenregeln gelten in der Klassen-Sicht: &lt;math&gt; \log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2) &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; \log(z^a) = a \cdot \log(z) &lt;/math&gt;, und &lt;math&gt; \exp(\log(z)) = z &lt;/math&gt;.*
== Siehe auch ==
* [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexer Logarithmus]]
* [[negativer Hauptzweig des Logarithmus]]</text>
      <sha1>o8x7m5ymfu1jdie79dfeft73gk3504k</sha1>
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    <revision>
      <id>1116078</id>
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      <timestamp>2026-10-15T06:07:18Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bert Niehaus</username>
        <id>20843</id>
      </contributor>
      <comment>/* Beispiel 2 - Logarithmus der imaginären Einheit */</comment>
      <origin>1116078</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="15764" sha1="q9zvfpn90coyib9awi6f6qzdtxhuu8m" xml:space="preserve">== Einleitung == 
Diese Lerneinheit zu [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmen]] beschäftigt sich Äquivalenzklassen, deren Struktur und  Rechenregeln, die durch den Zusammenhang mit der Exponentialfunktion und deren imaginärer &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt;-Periodizität entsteht. Die Äquivalenzklassen helfen dabei, [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen#Rechenregeln|Rechenregeln]] aus den reellen Zahl für den [[Logarithmus]] auf den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexen Logarithmus]] bzw. deren Zweige zu übertragen. Die [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus]] spielt dabei bijektive Abbildungen eine besondere Rolle.

=== Periodizität der Exponentialfunktion ===

Der komplexe Logarithmus kann nicht eindeutig als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion &lt;math&gt; \exp: \mathbb{C} \to \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; festgelegt werden, da u.a. die Exponentialfunktion nicht injektiv ist und ein [[Zweig des Logarithmus]] von der Wahl des [[einfach zusammenhängend]]en Gebietes abhängt, auf dem der Logarithmus definiert ist. Es gilt für [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]]:
:&lt;math&gt;
\exp(w + 2\pi i) = \exp(w) = z\quad \text{für alle } w \in \mathbb{C}
&lt;/math&gt;

Daher gibt es unendlich viele komplexe Zahlen &lt;math&gt; w &lt;/math&gt;, die auf dieselbe Zahl &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; abgebildet werden. Diese Mehrdeutigkeit ist die Motivation, um Äquivalenzklassen zu bilden.

== Äquivalenzklassen des Logarithmus ==
Um Äquivalenzklassen zu bilden, benötigt man eine Äquivalenzrelation als Teilmenge von &lt;math&gt;\mathbb{C}\times \mathbb{C} &lt;/math&gt;, die zwei Elemente &lt;math&gt; w_1, w_2 \in \mathbb{C} &lt;/math&gt;, wenn deren Differenz ein ganzzahliges Vielfaches von &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; ist.

=== Definition - logmod-Äquivalenzrelation ===
Zwei komplexe Zahlen &lt;math&gt; w_1, w_2 \in \mathbb{C} &lt;/math&gt; heißen logmod-äquivalent modulo &lt;math&gt; 2\pi i &lt;/math&gt;, wenn gilt:
:&lt;math&gt;
w_1 - w_2 \in 2\pi i \cdot \mathbb{Z} := \{w\in \mathbb{C} \, : \, w=2\pi i \cdot k \mbox{ und } k\in \mathbb{Z} \}
&lt;/math&gt;

Formal notiert man diese Äquivalenz wie folgt:  

:&lt;math&gt;
w_1 \equiv w_2 \  \mathrm{logmod}\  {2\pi i}
&lt;/math&gt;

==== Aufgabe für Studierende ====
Zeigen Sie, dass diese Relation eine ''Äquivalenzrelation'' ist, d.h. die [[logmod-Funktion|logmod-Relation]] ist [[w:de:Äquivalenzrelation|reflexiv, symmetrisch und transitiv]].

=== Definition - logmod-Äquivalenzklasse ===
Für eine komplexe Zahl &lt;math&gt; w \in \mathbb{C} &lt;/math&gt; ist die Äquivalenzklasse definiert als:

:&lt;math&gt;
[w]_0 := \{ w + 2\pi i k \mid k \in \mathbb{Z} \}
&lt;/math&gt;

==== Bezeichnung - Äquivalenzklassenindex====
Die Indexierung mit &lt;math&gt; _0 &lt;/math&gt; deutet an, dass dies diese Äquivalenzklasse ohne Logarithmierung in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt; gebildet wurde. Bildet man rekursiv höhere Logarithmen als Verkettung entstehen Äquivalenzklassen &lt;math&gt;[w]_n&lt;/math&gt;, wobei &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-fach rekursiv der Logarithmus verkettet wird, falls dieser existiert.

== Verbindung mit der Exponentialfunktion ==

Da die Exponentialfunktion im Imaginärteil des Arguments eine Periodizität von &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; besitzt, entsprechen Äquivalenzklassen &lt;math&gt;[w]_0&lt;/math&gt; entsprechen einem Bildpunkt &lt;math&gt;z=e^w&lt;/math&gt;. Dieser Verbindung zwischen Exponentialfunktion und Logarithmus wird durch das LogMod-Äquivalenzklassenlemma festgehalten.

=== LogMod-Äquivalenzklassenlemma ===
Sei &lt;math&gt;w\in\mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;\mathrm{logmod}(w) = 0&lt;/math&gt; gegeben. Für eine feste komplexe Zahl &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; gilt folgende Äquivalenzaussage:
:&lt;math&gt;
 \exp(\widehat{w}) = z \quad \text{für alle } \widehat{w} \in [w]_0
 &lt;/math&gt;
genau dann, wenn &lt;math&gt; \exp(w) = z &lt;/math&gt;.

=== Beweis - LogMod-Äquivalenzlemma ===
Für &lt;math&gt; w\in \mathbb{D}_1 := \mathbb{R}\times i\cdot [0,2\pi)&lt;/math&gt; gelte &lt;math&gt;\exp(w)=z&lt;/math&gt;. Das LogMod-Äquivalenzlemma ist eine Äquivalenzaussage. Daher werden zwei Beweisrichtungen gezeigt:
\mbox{}
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{array}{llcl}
\mbox{ (LML1) }
 &amp; 
 \exp(\widehat{w}) = z  
 &amp;  
 \quad \Longrightarrow \quad 
 &amp; 
 \widehat{w} \in [w]_0
  \\ 
\mbox{ (LML2) }
 &amp; 
 \widehat{w} \in [w]_0
 &amp;  
 \quad \Longrightarrow \quad 
 &amp; 
 \exp(\widehat{w}) = z  
  \\ 
 \end{array}  
&lt;/math&gt;

==== Schritt 1 - Beweisrichtung LML1 ====
Sei &lt;math&gt; \widehat{w} \in \mathbb{C} &lt;/math&gt; mit &lt;math&gt; \exp(\widehat{w}) = z &lt;/math&gt; beliebig gewählt. Dann gilt mit der Voraussetzung &lt;math&gt; \exp(w) = z \not= 0&lt;/math&gt; und Potenzgesetzen:
:&lt;math&gt;
 1 = \frac{z}{z} = \frac{\widehat{w}}{\exp(\exp(w))} = \exp(\widehat{w}-w)
 &lt;/math&gt;
Die Gleichung &lt;math&gt;1 = \exp(\widehat{w}-w)&lt;/math&gt; gilt genau dann, wenn &lt;math&gt; w-\widehat{w} = 2\pi i \cdot k&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;k \in \mathbb{Z}&lt;/math&gt;. 

==== Schritt 2 - Beweisrichtung LML1 ====
Damit gilt auch  &lt;math&gt; w = \widehat{w} + 2\pi i \cdot k &lt;/math&gt;. Die ganze Zahl &lt;math&gt; k\in \mathbb{Z} &lt;/math&gt; ist durch die [[logmod-Funktion]] und es gilt &lt;math&gt;k= \mathrm{logmod}(\widehat{w})&lt;/math&gt;, da &lt;math&gt; w\in \mathbb{D}_1 = \mathbb{R} + i\cdot [0,2\pi) &lt;/math&gt; nach Voraussetzung gilt und man erhält &lt;math&gt;\widehat{w} \in [w]_0&lt;/math&gt;.

==== Schritt 3 - Äquivalenzklasse gegeben LML2 ====
Sei umgekehrt &lt;math&gt;\widehat{w} \in [w]_0&lt;/math&gt; gegeben. Dann gibt es nach Definition der Äquivalenzklasse ein &lt;math&gt; k := logmod(\widehat{w})\in \mathbb{Z} &lt;/math&gt; mit der Eigenschaft  &lt;math&gt;\widehat{w}:= w + 2\pi i k&lt;/math&gt;. Nun wen man diese Darstellung von &lt;math&gt;\widehat{w}&lt;/math&gt; auf die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] an und verwendet Periodizität &lt;math&gt;\exp&lt;/math&gt; bzgl. &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; und erhält:
:&lt;math&gt;
 \exp(\widehat{w}) =  \exp(w + 2\pi i k) = \exp(w) \cdot \exp(2\pi i k) = z \cdot 1 = z
&lt;/math&gt;

==== Schritt 4 - LML2 ====
Da &lt;math&gt;\widehat{w} \in [w]_0&lt;/math&gt; beliebig gewählt wurde, gilt für alle  &lt;math&gt; \widehat{w} \in [w]_0 &lt;/math&gt; die Eigenschaft &lt;math&gt; \exp(\widehat{w}) = z &lt;/math&gt; und zusammen mit LML1 gilt die Äquivalenzaussage aus dem Lemma &lt;math&gt;\quad \Box&lt;/math&gt;.

=== Folgerung - LogMod-Äquivalenzklassenlemma ====  
Fasst man zu einem gegebenen &lt;math&gt;z\in \mathbb{C}\setminus\{0\}&lt;/math&gt; die Menge alle komplexen Zahlen &lt;math&gt; \widehat{w} \in \mathbb{C} &lt;/math&gt; zu einer Menge zusammen, die die Eigenschaft &lt;math&gt; \exp(\widehat{w}) = z &lt;/math&gt; erfüllen, so erhält man die Äquivalenzklasse &lt;math&gt; [w]_0 &lt;/math&gt;, wobei &lt;math&gt; w &lt;/math&gt; eine beliebige Lösung von &lt;math&gt; \exp(w) = z &lt;/math&gt; ist. 

==== Bemerkung - LogMod-Äquivalenzklassenlemma ====  
Für die Äquivalenzklassenanalyse spielt das Repräsentatensystem &lt;math&gt;\mathbb{D}_1= \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi)&lt;/math&gt; eine besondere Rolle. DasRepräsentatensystem &lt;math&gt;\mathbb{D}_1&lt;/math&gt; entsteht durch [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus|algebraische Vervollständigkeit]] des [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweiges]] des [[Logarithmus]].

== Rechenregeln mit Äquivalenzklassen ==
Um die aus der reellen Analysis bekannten Rechenregeln auf Logarithmen in den komplexen Zahlen verwenden zu können werden Äquivalenzklassen verwendet.  Die Struktur und Gültigkeit der Rechenregeln wird in diesem Teil der Lerneinheit genauer untersucht.

=== komplexe Logarithmus als Lösungsmenge ===
Der komplexe Äquivalenzklassen-Logarithmus von &lt;math&gt; z &lt;/math&gt; bildet nicht auf ein Element in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt; ab, sondern auf ein Teilmenge von &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt;. Dies führt im weiteren Verlauf der Lehrveranstaltung zum Begriff des [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarithmus]]. Sei &lt;math&gt;w \in \mathbb{C}&lt;/math&gt; beliebig gewählt, dann definiert man &lt;math&gt;w_0 := w - \mathrm{logmod}(w)\cdot 2\pi i \in \mathbb{D}_1&lt;/math&gt; als Repräsentant der Restklasse &lt;math&gt; [w]_0&lt;/math&gt;.
:&lt;math&gt;
 \mathrm{lnr}_0(z) := \{ w \in \mathbb{C} \mid \exp(w) = z \} = [w]_0
&lt;/math&gt;
für ein beliebiges &lt;math&gt; w_0 \in \mathbb{D}_1 := \mathbb{R}+ i\cdot [0,2\pi)&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt; \exp(w_0) = z &lt;/math&gt;.

==== Beispiel 1 - Neutrales Element für Äquivalenklassenaddition ====
Algebraisch wird später &lt;math&gt;\mathbb{D}_1&lt;/math&gt; mit einer inneren Verknüpfung &lt;math&gt;\oplus&lt;/math&gt; zu einer kommunitative Gruppe. Daher wird das [[w:de:neutrales Element|neutrale Element]] von &lt;math&gt;\oplus&lt;/math&gt; als Beispieläquivalenzklasse genannt und in Beziehung zum Logarithmus gesetzt. Für &lt;math&gt; z = 1 &lt;/math&gt; ist der komplexe rekursive Logarithmus 
:&lt;math&gt; 
   \mathrm{lnr}_0(1) = \{ 2\pi i k \, : \,  k \in \mathbb{Z} \} = [0]_0 
&lt;/math&gt;

==== Beispiel 2 - Logarithmus der imaginären Einheit ====
Da zunächst die [[rekursiver Logarithmus|rekursive komplexe Logarithmen]] von elementaren komplexen Zahlen genannt. Wählt man &lt;math&gt; z = i &lt;/math&gt; so gilt &lt;math&gt; \exp\left(i \tfrac{\pi}{2}\right) = i &lt;/math&gt; und &lt;math&gt;i\tfrac{\pi}{2} \in \mathbb{D}_1&lt;/math&gt;. Bildet man nun den von  [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarithmus]] von  &lt;math&gt; z = i &lt;/math&gt; erhält man:

:&lt;math&gt;
  \mathrm{lnr}_0(i) = \left\{ i \left( \frac{\pi}{2} + 2\pi k \right) \mid k \in \mathbb{Z} \right\} = \left[ i \frac{\pi}{2} \right]_0
&lt;/math&gt;

==== Beispiel 3 - rekursiver Logarithmus von -1 ====
Ablschießend wird auch noch der [[rekursiver Logarithmus|rekursive komplexe Logarithmen]] von &lt;math&gt; z = -1 &lt;/math&gt; genannt. Wegen &lt;math&gt; \exp\left(i \pi \right) = -1 &lt;/math&gt; und &lt;math&gt;i \pi \in \mathbb{D}_1=\mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi) &lt;/math&gt; erhält man:

:&lt;math&gt;
  \mathrm{lnr}_0(-1) = \left\{ i \left( \pi + 2\pi k \right) \mid k \in \mathbb{Z} \right\} = \left[ i \pi \right]_0
&lt;/math&gt;

== 5. Hauptzweig des Logarithmus (Hauptwert) ==

Um eine '''eindeutige Funktion''' zu erhalten, wählt man eine '''spezielle Repräsentante''' aus jeder Äquivalenzklasse.

=== Definition: Hauptzweig des Logarithmus ===

Für &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt;, definiere den '''Hauptwert''' des Logarithmus:


:&lt;math&gt;
\text{Log}(z) := \ln|z| + i \cdot \text{Arg}(z)
&lt;/math&gt;

wobei &lt;math&gt; \text{Arg}(z) \in (-\pi, \pi] &lt;/math&gt; der '''Hauptwert des Arguments''' ist.

&gt; '''Eigenschaft:'''  
&gt; &lt;math&gt; \text{Log}(z) \in [w_0]_0 &lt;/math&gt;, aber '''nicht''' alle Elemente der Klasse.

&gt; '''Beispiel:'''  
&gt; &lt;math&gt; z = i &lt;/math&gt; → &lt;math&gt; \text{Arg}(i) = \pi/2 &lt;/math&gt;, also  
&gt; 
:&lt;math&gt;
&gt; \text{Log}(i) = \ln(1) + i \cdot \frac{\pi}{2} = i \frac{\pi}{2}
&gt; &lt;/math&gt;

&gt; '''Aber:''' &lt;math&gt; \log(i) = \left[ i \frac{\pi}{2} \right]_0 &lt;/math&gt;, also enthält &lt;math&gt; \log(i) &lt;/math&gt; auch &lt;math&gt; i \frac{5\pi}{2} &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; i \frac{-3\pi}{2} &lt;/math&gt;, usw.

---

== 6. Rechenregeln für Logarithmen und Exponentialfunktion ==

=== (1) Exponentialfunktion und Logarithmus ===

* &lt;math&gt; \exp(\log(z)) = z &lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt;
* &lt;math&gt; \log(\exp(w)) = [w]_0 &lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt; w \in \mathbb{C} &lt;/math&gt;

&gt; '''Achtung:''' &lt;math&gt; \log(\exp(w)) &lt;/math&gt; ist '''keine Zahl''', sondern eine '''Äquivalenzklasse'''.

---

=== (2) Multiplikation und Logarithmus ===

Für &lt;math&gt; z_1, z_2 \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt;:


:&lt;math&gt;
\log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2)
&lt;/math&gt;

&gt; '''Interpretation:'''  
&gt; Die Summe zweier Äquivalenzklassen ist definiert als:
&gt; 
:&lt;math&gt;
&gt; [w_1]_0 + [w_2]_0 := [w_1 + w_2]_0
&gt; &lt;/math&gt;
&gt; und es gilt:
&gt; 
:&lt;math&gt;
&gt; \log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2)
&gt; &lt;/math&gt;

&gt; '''Beispiel:'''  
&gt; &lt;math&gt; z_1 = i &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; z_2 = i &lt;/math&gt; → &lt;math&gt; z_1 z_2 = -1 &lt;/math&gt;  
&gt; &lt;math&gt; \log(i) = \left[ i \frac{\pi}{2} \right]_0 &lt;/math&gt;,  
&gt; &lt;math&gt; \log(i) + \log(i) = \left[ i \pi \right]_0 &lt;/math&gt;,  
&gt; &lt;math&gt; \log(-1) = \left[ i \pi \right]_0 &lt;/math&gt; → stimmt.

---

=== (3) Potenzen und Logarithmus ===

Für &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; a \in \mathbb{C} &lt;/math&gt;:


:&lt;math&gt;
\log(z^a) = a \cdot \log(z) + 2\pi i k \quad \text{für ein } k \in \mathbb{Z}
&lt;/math&gt;

&gt; '''Aber:''' In der Äquivalenzklassen-Sicht gilt:
&gt; 
:&lt;math&gt;
&gt; \log(z^a) = a \cdot \log(z)
&gt; &lt;/math&gt;
&gt; wobei die Multiplikation einer Äquivalenzklasse mit einer komplexen Zahl definiert ist als:
&gt; 
:&lt;math&gt;
&gt; a \cdot [w]_0 := [a w]_0
&gt; &lt;/math&gt;

&gt; '''Beispiel:'''  
&gt; &lt;math&gt; z = i &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; a = 2 &lt;/math&gt; → &lt;math&gt; z^a = -1 &lt;/math&gt;  
&gt; &lt;math&gt; \log(z^a) = \log(-1) = [i\pi]_0 &lt;/math&gt;  
&gt; &lt;math&gt; a \cdot \log(z) = 2 \cdot [i \pi/2]_0 = [i\pi]_0 &lt;/math&gt; → stimmt.

---

=== (4) Addition von Logarithmen ===


:&lt;math&gt;
\log(z_1) + \log(z_2) = \log(z_1 z_2)
&lt;/math&gt;

&gt; '''Achtung:''' Dies ist '''nicht''' immer wahr, wenn man '''nicht''' mit Äquivalenzklassen arbeitet!  
&gt; Aber '''in der Klassen-Sicht''' ist es '''richtig'''.

&gt; '''Warum?''' Weil die Addition von Klassen kommutativ und assoziativ ist.

---

== 7. Zusammenhang mit Logarithmenzweigen ==

Ein '''Logarithmenzweig''' ist eine '''stetige Auswahl''' von Werten aus &lt;math&gt; \log(z) &lt;/math&gt;, d. h. eine Funktion &lt;math&gt; L: G \to \mathbb{C} &lt;/math&gt;, sodass &lt;math&gt; \exp(L(z)) = z &lt;/math&gt; und &lt;math&gt; L &lt;/math&gt; stetig auf einem Gebiet &lt;math&gt; G \subseteq \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt;.

&gt; '''Beispiel:'''  
&gt; Der '''Hauptzweig''' &lt;math&gt; \text{Log}(z) &lt;/math&gt; ist ein Logarithmenzweig auf &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus (-\infty, 0] &lt;/math&gt;.

&gt; '''Jeder Logarithmenzweig''' &lt;math&gt; L &lt;/math&gt; wählt '''einen Repräsentanten''' aus jeder Äquivalenzklasse &lt;math&gt; [w]_0 &lt;/math&gt;, nämlich &lt;math&gt; L(z) \in [w]_0 &lt;/math&gt;.

&gt; '''Zusammenhang:'''  
&gt; Die Menge aller Logarithmenzweige entspricht '''der Wahl einer Schnittlinie''' (Branch Cut), die verhindert, dass man um den Ursprung herumwandert und die Klasse wechselt.

---

== 8. Zusammenfassung: Struktur der Logarithmen ==

| Konzept | Beschreibung |
|--------|--------------|
| '''Äquivalenzklasse''' &lt;math&gt; [w]_0 &lt;/math&gt; | Menge aller &lt;math&gt; w + 2\pi i k &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; k \in \mathbb{Z} &lt;/math&gt; |
| '''Logarithmus von &lt;math&gt; z &lt;/math&gt;''' | &lt;math&gt; \log(z) = [w]_0 &lt;/math&gt;, wobei &lt;math&gt; \exp(w) = z &lt;/math&gt; |
| '''Hauptzweig''' | &lt;math&gt; \text{Log}(z) \in \log(z) &lt;/math&gt;, mit &lt;math&gt; \text{Arg}(z) \in (-\pi, \pi] &lt;/math&gt; |
| '''Rechenregeln''' | &lt;math&gt; \log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2) &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; \log(z^a) = a \cdot \log(z) &lt;/math&gt; (in Klassen) |
| '''Exponentialfunktion''' | &lt;math&gt; \exp(\log(z)) = z &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; \log(\exp(w)) = [w]_0 &lt;/math&gt; |

---

== 9. Übungsaufgaben ==

1. Zeige, dass &lt;math&gt; \log(-1) = [i\pi]_0 &lt;/math&gt;.
2. Berechne &lt;math&gt; \log(i) + \log(i) &lt;/math&gt; und vergleiche mit &lt;math&gt; \log(-1) &lt;/math&gt;.
3. Zeige, dass &lt;math&gt; \log(z^2) = 2 \log(z) &lt;/math&gt; in der Klassen-Sicht gilt.
4. Warum ist &lt;math&gt; \log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2) &lt;/math&gt; '''nicht''' immer wahr, wenn man nur Zahlen verwendet?
5. Definiere einen anderen Logarithmenzweig auf &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus [0, \infty) &lt;/math&gt;, der &lt;math&gt; \log(z) \in [i \cdot 0]_0 &lt;/math&gt; für &lt;math&gt; z = 1 &lt;/math&gt; wählt.

---

== Lernziel ==

Du kannst:
* den komplexen Logarithmus als '''Äquivalenzklasse''' verstehen,
* die '''Rechenregeln''' für Logarithmen in der Klassen-Sicht korrekt anwenden,
* den Zusammenhang zwischen '''Exponentialfunktion''', '''Logarithmenzweigen''' und '''Äquivalenzklassen''' erklären,
* die '''Mehrdeutigkeit''' des Logarithmus strukturiert darstellen.

---

'''Ende der Lerneinheit'''

&gt; '''Zusammenfassungssatz:'''  
&gt; *Der komplexe Logarithmus von &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; ist die Äquivalenzklasse &lt;math&gt; [w]_0 &lt;/math&gt;, wobei &lt;math&gt; \exp(w) = z &lt;/math&gt;. Diese Klasse ist genau die Menge aller Lösungen von &lt;math&gt; \exp(w) = z &lt;/math&gt;. Alle Rechenregeln gelten in der Klassen-Sicht: &lt;math&gt; \log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2) &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; \log(z^a) = a \cdot \log(z) &lt;/math&gt;, und &lt;math&gt; \exp(\log(z)) = z &lt;/math&gt;.*
== Siehe auch ==
* [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexer Logarithmus]]
* [[negativer Hauptzweig des Logarithmus]]</text>
      <sha1>q9zvfpn90coyib9awi6f6qzdtxhuu8m</sha1>
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      <id>1116110</id>
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      <timestamp>2026-10-15T06:29:03Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bert Niehaus</username>
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      </contributor>
      <comment>/* 5. Hauptzweig des Logarithmus (Hauptwert) */</comment>
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      <text bytes="16457" sha1="pny0ivgrfqm09ohsypw6zpoveln353t" xml:space="preserve">== Einleitung == 
Diese Lerneinheit zu [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmen]] beschäftigt sich Äquivalenzklassen, deren Struktur und  Rechenregeln, die durch den Zusammenhang mit der Exponentialfunktion und deren imaginärer &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt;-Periodizität entsteht. Die Äquivalenzklassen helfen dabei, [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen#Rechenregeln|Rechenregeln]] aus den reellen Zahl für den [[Logarithmus]] auf den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexen Logarithmus]] bzw. deren Zweige zu übertragen. Die [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus]] spielt dabei bijektive Abbildungen eine besondere Rolle.

=== Periodizität der Exponentialfunktion ===

Der komplexe Logarithmus kann nicht eindeutig als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion &lt;math&gt; \exp: \mathbb{C} \to \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; festgelegt werden, da u.a. die Exponentialfunktion nicht injektiv ist und ein [[Zweig des Logarithmus]] von der Wahl des [[einfach zusammenhängend]]en Gebietes abhängt, auf dem der Logarithmus definiert ist. Es gilt für [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]]:
:&lt;math&gt;
\exp(w + 2\pi i) = \exp(w) = z\quad \text{für alle } w \in \mathbb{C}
&lt;/math&gt;

Daher gibt es unendlich viele komplexe Zahlen &lt;math&gt; w &lt;/math&gt;, die auf dieselbe Zahl &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; abgebildet werden. Diese Mehrdeutigkeit ist die Motivation, um Äquivalenzklassen zu bilden.

== Äquivalenzklassen des Logarithmus ==
Um Äquivalenzklassen zu bilden, benötigt man eine Äquivalenzrelation als Teilmenge von &lt;math&gt;\mathbb{C}\times \mathbb{C} &lt;/math&gt;, die zwei Elemente &lt;math&gt; w_1, w_2 \in \mathbb{C} &lt;/math&gt;, wenn deren Differenz ein ganzzahliges Vielfaches von &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; ist.

=== Definition - logmod-Äquivalenzrelation ===
Zwei komplexe Zahlen &lt;math&gt; w_1, w_2 \in \mathbb{C} &lt;/math&gt; heißen logmod-äquivalent modulo &lt;math&gt; 2\pi i &lt;/math&gt;, wenn gilt:
:&lt;math&gt;
w_1 - w_2 \in 2\pi i \cdot \mathbb{Z} := \{w\in \mathbb{C} \, : \, w=2\pi i \cdot k \mbox{ und } k\in \mathbb{Z} \}
&lt;/math&gt;

Formal notiert man diese Äquivalenz wie folgt:  

:&lt;math&gt;
w_1 \equiv w_2 \  \mathrm{logmod}\  {2\pi i}
&lt;/math&gt;

==== Aufgabe für Studierende ====
Zeigen Sie, dass diese Relation eine ''Äquivalenzrelation'' ist, d.h. die [[logmod-Funktion|logmod-Relation]] ist [[w:de:Äquivalenzrelation|reflexiv, symmetrisch und transitiv]].

=== Definition - logmod-Äquivalenzklasse ===
Für eine komplexe Zahl &lt;math&gt; w \in \mathbb{C} &lt;/math&gt; ist die Äquivalenzklasse definiert als:

:&lt;math&gt;
[w]_0 := \{ w + 2\pi i k \mid k \in \mathbb{Z} \}
&lt;/math&gt;

==== Bezeichnung - Äquivalenzklassenindex====
Die Indexierung mit &lt;math&gt; _0 &lt;/math&gt; deutet an, dass dies diese Äquivalenzklasse ohne Logarithmierung in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt; gebildet wurde. Bildet man rekursiv höhere Logarithmen als Verkettung entstehen Äquivalenzklassen &lt;math&gt;[w]_n&lt;/math&gt;, wobei &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-fach rekursiv der Logarithmus verkettet wird, falls dieser existiert.

== Verbindung mit der Exponentialfunktion ==

Da die Exponentialfunktion im Imaginärteil des Arguments eine Periodizität von &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; besitzt, entsprechen Äquivalenzklassen &lt;math&gt;[w]_0&lt;/math&gt; entsprechen einem Bildpunkt &lt;math&gt;z=e^w&lt;/math&gt;. Dieser Verbindung zwischen Exponentialfunktion und Logarithmus wird durch das LogMod-Äquivalenzklassenlemma festgehalten.

=== LogMod-Äquivalenzklassenlemma ===
Sei &lt;math&gt;w\in\mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;\mathrm{logmod}(w) = 0&lt;/math&gt; gegeben. Für eine feste komplexe Zahl &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; gilt folgende Äquivalenzaussage:
:&lt;math&gt;
 \exp(\widehat{w}) = z \quad \text{für alle } \widehat{w} \in [w]_0
 &lt;/math&gt;
genau dann, wenn &lt;math&gt; \exp(w) = z &lt;/math&gt;.

=== Beweis - LogMod-Äquivalenzlemma ===
Für &lt;math&gt; w\in \mathbb{D}_1 := \mathbb{R}\times i\cdot [0,2\pi)&lt;/math&gt; gelte &lt;math&gt;\exp(w)=z&lt;/math&gt;. Das LogMod-Äquivalenzlemma ist eine Äquivalenzaussage. Daher werden zwei Beweisrichtungen gezeigt:
\mbox{}
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{array}{llcl}
\mbox{ (LML1) }
 &amp; 
 \exp(\widehat{w}) = z  
 &amp;  
 \quad \Longrightarrow \quad 
 &amp; 
 \widehat{w} \in [w]_0
  \\ 
\mbox{ (LML2) }
 &amp; 
 \widehat{w} \in [w]_0
 &amp;  
 \quad \Longrightarrow \quad 
 &amp; 
 \exp(\widehat{w}) = z  
  \\ 
 \end{array}  
&lt;/math&gt;

==== Schritt 1 - Beweisrichtung LML1 ====
Sei &lt;math&gt; \widehat{w} \in \mathbb{C} &lt;/math&gt; mit &lt;math&gt; \exp(\widehat{w}) = z &lt;/math&gt; beliebig gewählt. Dann gilt mit der Voraussetzung &lt;math&gt; \exp(w) = z \not= 0&lt;/math&gt; und Potenzgesetzen:
:&lt;math&gt;
 1 = \frac{z}{z} = \frac{\widehat{w}}{\exp(\exp(w))} = \exp(\widehat{w}-w)
 &lt;/math&gt;
Die Gleichung &lt;math&gt;1 = \exp(\widehat{w}-w)&lt;/math&gt; gilt genau dann, wenn &lt;math&gt; w-\widehat{w} = 2\pi i \cdot k&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;k \in \mathbb{Z}&lt;/math&gt;. 

==== Schritt 2 - Beweisrichtung LML1 ====
Damit gilt auch  &lt;math&gt; w = \widehat{w} + 2\pi i \cdot k &lt;/math&gt;. Die ganze Zahl &lt;math&gt; k\in \mathbb{Z} &lt;/math&gt; ist durch die [[logmod-Funktion]] und es gilt &lt;math&gt;k= \mathrm{logmod}(\widehat{w})&lt;/math&gt;, da &lt;math&gt; w\in \mathbb{D}_1 = \mathbb{R} + i\cdot [0,2\pi) &lt;/math&gt; nach Voraussetzung gilt und man erhält &lt;math&gt;\widehat{w} \in [w]_0&lt;/math&gt;.

==== Schritt 3 - Äquivalenzklasse gegeben LML2 ====
Sei umgekehrt &lt;math&gt;\widehat{w} \in [w]_0&lt;/math&gt; gegeben. Dann gibt es nach Definition der Äquivalenzklasse ein &lt;math&gt; k := logmod(\widehat{w})\in \mathbb{Z} &lt;/math&gt; mit der Eigenschaft  &lt;math&gt;\widehat{w}:= w + 2\pi i k&lt;/math&gt;. Nun wen man diese Darstellung von &lt;math&gt;\widehat{w}&lt;/math&gt; auf die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] an und verwendet Periodizität &lt;math&gt;\exp&lt;/math&gt; bzgl. &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; und erhält:
:&lt;math&gt;
 \exp(\widehat{w}) =  \exp(w + 2\pi i k) = \exp(w) \cdot \exp(2\pi i k) = z \cdot 1 = z
&lt;/math&gt;

==== Schritt 4 - LML2 ====
Da &lt;math&gt;\widehat{w} \in [w]_0&lt;/math&gt; beliebig gewählt wurde, gilt für alle  &lt;math&gt; \widehat{w} \in [w]_0 &lt;/math&gt; die Eigenschaft &lt;math&gt; \exp(\widehat{w}) = z &lt;/math&gt; und zusammen mit LML1 gilt die Äquivalenzaussage aus dem Lemma &lt;math&gt;\quad \Box&lt;/math&gt;.

=== Folgerung - LogMod-Äquivalenzklassenlemma ====  
Fasst man zu einem gegebenen &lt;math&gt;z\in \mathbb{C}\setminus\{0\}&lt;/math&gt; die Menge alle komplexen Zahlen &lt;math&gt; \widehat{w} \in \mathbb{C} &lt;/math&gt; zu einer Menge zusammen, die die Eigenschaft &lt;math&gt; \exp(\widehat{w}) = z &lt;/math&gt; erfüllen, so erhält man die Äquivalenzklasse &lt;math&gt; [w]_0 &lt;/math&gt;, wobei &lt;math&gt; w &lt;/math&gt; eine beliebige Lösung von &lt;math&gt; \exp(w) = z &lt;/math&gt; ist. 

==== Bemerkung - LogMod-Äquivalenzklassenlemma ====  
Für die Äquivalenzklassenanalyse spielt das Repräsentatensystem &lt;math&gt;\mathbb{D}_1= \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi)&lt;/math&gt; eine besondere Rolle. DasRepräsentatensystem &lt;math&gt;\mathbb{D}_1&lt;/math&gt; entsteht durch [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus|algebraische Vervollständigkeit]] des [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweiges]] des [[Logarithmus]].

== Rechenregeln mit Äquivalenzklassen ==
Um die aus der reellen Analysis bekannten Rechenregeln auf Logarithmen in den komplexen Zahlen verwenden zu können werden Äquivalenzklassen verwendet.  Die Struktur und Gültigkeit der Rechenregeln wird in diesem Teil der Lerneinheit genauer untersucht.

=== komplexe Logarithmus als Lösungsmenge ===
Der komplexe Äquivalenzklassen-Logarithmus von &lt;math&gt; z &lt;/math&gt; bildet nicht auf ein Element in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt; ab, sondern auf ein Teilmenge von &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt;. Dies führt im weiteren Verlauf der Lehrveranstaltung zum Begriff des [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarithmus]]. Sei &lt;math&gt;w \in \mathbb{C}&lt;/math&gt; beliebig gewählt, dann definiert man &lt;math&gt;w_0 := w - \mathrm{logmod}(w)\cdot 2\pi i \in \mathbb{D}_1&lt;/math&gt; als Repräsentant der Restklasse &lt;math&gt; [w]_0&lt;/math&gt;.
:&lt;math&gt;
 \mathrm{lnr}_0(z) := \{ w \in \mathbb{C} \mid \exp(w) = z \} = [w]_0
&lt;/math&gt;
für ein beliebiges &lt;math&gt; w_0 \in \mathbb{D}_1 := \mathbb{R}+ i\cdot [0,2\pi)&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt; \exp(w_0) = z &lt;/math&gt;.

==== Beispiel 1 - Neutrales Element für Äquivalenklassenaddition ====
Algebraisch wird später &lt;math&gt;\mathbb{D}_1&lt;/math&gt; mit einer inneren Verknüpfung &lt;math&gt;\oplus&lt;/math&gt; zu einer kommunitative Gruppe. Daher wird das [[w:de:neutrales Element|neutrale Element]] von &lt;math&gt;\oplus&lt;/math&gt; als Beispieläquivalenzklasse genannt und in Beziehung zum Logarithmus gesetzt. Für &lt;math&gt; z = 1 &lt;/math&gt; ist der komplexe rekursive Logarithmus 
:&lt;math&gt; 
   \mathrm{lnr}_0(1) = \{ 2\pi i k \, : \,  k \in \mathbb{Z} \} = [0]_0 
&lt;/math&gt;

==== Beispiel 2 - Logarithmus der imaginären Einheit ====
Da zunächst die [[rekursiver Logarithmus|rekursive komplexe Logarithmen]] von elementaren komplexen Zahlen genannt. Wählt man &lt;math&gt; z = i &lt;/math&gt; so gilt &lt;math&gt; \exp\left(i \tfrac{\pi}{2}\right) = i &lt;/math&gt; und &lt;math&gt;i\tfrac{\pi}{2} \in \mathbb{D}_1&lt;/math&gt;. Bildet man nun den von  [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarithmus]] von  &lt;math&gt; z = i &lt;/math&gt; erhält man:

:&lt;math&gt;
  \mathrm{lnr}_0(i) = \left\{ i \left( \frac{\pi}{2} + 2\pi k \right) \mid k \in \mathbb{Z} \right\} = \left[ i \frac{\pi}{2} \right]_0
&lt;/math&gt;

==== Beispiel 3 - rekursiver Logarithmus von -1 ====
Ablschießend wird auch noch der [[rekursiver Logarithmus|rekursive komplexe Logarithmen]] von &lt;math&gt; z = -1 &lt;/math&gt; genannt. Wegen &lt;math&gt; \exp\left(i \pi \right) = -1 &lt;/math&gt; und &lt;math&gt;i \pi \in \mathbb{D}_1=\mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi) &lt;/math&gt; erhält man:

:&lt;math&gt;
  \mathrm{lnr}_0(-1) = \left\{ i \left( \pi + 2\pi k \right) \mid k \in \mathbb{Z} \right\} = \left[ i \pi \right]_0
&lt;/math&gt;

=== Repräsentantensystem ===

Um einen eindeutigen Funktionswert als Äquivalenzklasse zu erhalten, wählt man eine spezielles Repräsentantensystem &lt;math&gt;\mathbb{D}_1:= \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi) \subset \mathbb{C}&lt;/math&gt; um alle Äquivalenzklassen darstellen zu können. Dabei wird die [[logmod-Funktion]] verwendet, um für eine beliebige komplexe Zahl &lt;math&gt;w\in \mathbb{C}&lt;/math&gt; die zugehörigen Repräsentanten &lt;math&gt;w_0 \in\mathbb{D}_1&lt;/math&gt; über &lt;math&gt; w_0 = w - 2\pi i \cdot \mathrm{logmod}(w)&lt;/math&gt; zu bestimmen.

=== Definition - Äquivalenzklassenaddition ===

Für &lt;math&gt; z_1,z_2 \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; und  &lt;math&gt;w_1,w_2 \in\mathbb{D}_1&lt;/math&gt; gelte &lt;math&gt;\exp(z_1)=w_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\exp(z_2)=w_2&lt;/math&gt;. Man definiert nun die Äquivalenzklassenaddition &lt;math&gt;(\mathbb{D}_1,\oplus)&lt;/math&gt; wie folgt.
:&lt;math&gt;
[w_1]_0 + [w_2]_0 := [w_1 + w_2]_0
&lt;/math&gt;

==== Bemerkung - Repräsentant der Äquivalenzklasse ====
Der Repräsentant &lt;math&gt;w_1 + w_2 &lt;/math&gt; der Äquivalenzklasse 
wobei &lt;math&gt;[w_1 + w_2]_0 &lt;/math&gt; liegt nicht notwendigerweise auch in &lt;math&gt;\mathbb{D}_1&lt;/math&gt;, was das folgende Beispiel zeigt.

==== Beispiel - Repräsentant bei additiver Verknüpfung ====
Wählt man &lt;math&gt; z_1 = z_2 = -i &lt;/math&gt;, so erhält man &lt;math&gt; w_1 = w_2 = \tfrac{3}{2}\pi i \in \mathbb{D}_1 &lt;/math&gt; und es gilt &lt;math&gt; w_1 + w_2 = 3\pi i \notin \mathbb{D}_1 &lt;/math&gt;. Möchte man den zugehörigen Repräsentanten aus &lt;math&gt;\mathbb{D}_1 &lt;/math&gt; bestimmen, verwendet man wieder die [[logmod-Funktion]]:
:&lt;math&gt;
[w_1]_0 + [w_2]_0  = [w_1 + w_2]_0 = [w]_0 
&lt;/math&gt;
mit &lt;math&gt; w = w_1+w_2 - 2\pi i \cdot \mathrm{logmod}(w_1+w_2)&lt;/math&gt;

== 6. Rechenregeln für Logarithmen und Exponentialfunktion ==

=== (1) Exponentialfunktion und Logarithmus ===

* &lt;math&gt; \exp(\log(z)) = z &lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt;
* &lt;math&gt; \log(\exp(w)) = [w]_0 &lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt; w \in \mathbb{C} &lt;/math&gt;

&gt; '''Achtung:''' &lt;math&gt; \log(\exp(w)) &lt;/math&gt; ist '''keine Zahl''', sondern eine '''Äquivalenzklasse'''.

---

=== (2) Multiplikation und Logarithmus ===

Für &lt;math&gt; z_1, z_2 \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt;:


:&lt;math&gt;
\log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2)
&lt;/math&gt;

&gt; '''Interpretation:'''  
&gt; Die Summe zweier Äquivalenzklassen ist definiert als:
&gt; 
:&lt;math&gt;
&gt; [w_1]_0 + [w_2]_0 := [w_1 + w_2]_0
&gt; &lt;/math&gt;
&gt; und es gilt:
&gt; 
:&lt;math&gt;
&gt; \log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2)
&gt; &lt;/math&gt;

&gt; '''Beispiel:'''  
&gt; &lt;math&gt; z_1 = i &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; z_2 = i &lt;/math&gt; → &lt;math&gt; z_1 z_2 = -1 &lt;/math&gt;  
&gt; &lt;math&gt; \log(i) = \left[ i \frac{\pi}{2} \right]_0 &lt;/math&gt;,  
&gt; &lt;math&gt; \log(i) + \log(i) = \left[ i \pi \right]_0 &lt;/math&gt;,  
&gt; &lt;math&gt; \log(-1) = \left[ i \pi \right]_0 &lt;/math&gt; → stimmt.

---

=== (3) Potenzen und Logarithmus ===

Für &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; a \in \mathbb{C} &lt;/math&gt;:


:&lt;math&gt;
\log(z^a) = a \cdot \log(z) + 2\pi i k \quad \text{für ein } k \in \mathbb{Z}
&lt;/math&gt;

&gt; '''Aber:''' In der Äquivalenzklassen-Sicht gilt:
&gt; 
:&lt;math&gt;
&gt; \log(z^a) = a \cdot \log(z)
&gt; &lt;/math&gt;
&gt; wobei die Multiplikation einer Äquivalenzklasse mit einer komplexen Zahl definiert ist als:
&gt; 
:&lt;math&gt;
&gt; a \cdot [w]_0 := [a w]_0
&gt; &lt;/math&gt;

&gt; '''Beispiel:'''  
&gt; &lt;math&gt; z = i &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; a = 2 &lt;/math&gt; → &lt;math&gt; z^a = -1 &lt;/math&gt;  
&gt; &lt;math&gt; \log(z^a) = \log(-1) = [i\pi]_0 &lt;/math&gt;  
&gt; &lt;math&gt; a \cdot \log(z) = 2 \cdot [i \pi/2]_0 = [i\pi]_0 &lt;/math&gt; → stimmt.

---

=== (4) Addition von Logarithmen ===


:&lt;math&gt;
\log(z_1) + \log(z_2) = \log(z_1 z_2)
&lt;/math&gt;

&gt; '''Achtung:''' Dies ist '''nicht''' immer wahr, wenn man '''nicht''' mit Äquivalenzklassen arbeitet!  
&gt; Aber '''in der Klassen-Sicht''' ist es '''richtig'''.

&gt; '''Warum?''' Weil die Addition von Klassen kommutativ und assoziativ ist.

---

== 7. Zusammenhang mit Logarithmenzweigen ==

Ein '''Logarithmenzweig''' ist eine '''stetige Auswahl''' von Werten aus &lt;math&gt; \log(z) &lt;/math&gt;, d. h. eine Funktion &lt;math&gt; L: G \to \mathbb{C} &lt;/math&gt;, sodass &lt;math&gt; \exp(L(z)) = z &lt;/math&gt; und &lt;math&gt; L &lt;/math&gt; stetig auf einem Gebiet &lt;math&gt; G \subseteq \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt;.

&gt; '''Beispiel:'''  
&gt; Der '''Hauptzweig''' &lt;math&gt; \text{Log}(z) &lt;/math&gt; ist ein Logarithmenzweig auf &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus (-\infty, 0] &lt;/math&gt;.

&gt; '''Jeder Logarithmenzweig''' &lt;math&gt; L &lt;/math&gt; wählt '''einen Repräsentanten''' aus jeder Äquivalenzklasse &lt;math&gt; [w]_0 &lt;/math&gt;, nämlich &lt;math&gt; L(z) \in [w]_0 &lt;/math&gt;.

&gt; '''Zusammenhang:'''  
&gt; Die Menge aller Logarithmenzweige entspricht '''der Wahl einer Schnittlinie''' (Branch Cut), die verhindert, dass man um den Ursprung herumwandert und die Klasse wechselt.

---

== 8. Zusammenfassung: Struktur der Logarithmen ==

| Konzept | Beschreibung |
|--------|--------------|
| '''Äquivalenzklasse''' &lt;math&gt; [w]_0 &lt;/math&gt; | Menge aller &lt;math&gt; w + 2\pi i k &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; k \in \mathbb{Z} &lt;/math&gt; |
| '''Logarithmus von &lt;math&gt; z &lt;/math&gt;''' | &lt;math&gt; \log(z) = [w]_0 &lt;/math&gt;, wobei &lt;math&gt; \exp(w) = z &lt;/math&gt; |
| '''Hauptzweig''' | &lt;math&gt; \text{Log}(z) \in \log(z) &lt;/math&gt;, mit &lt;math&gt; \text{Arg}(z) \in (-\pi, \pi] &lt;/math&gt; |
| '''Rechenregeln''' | &lt;math&gt; \log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2) &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; \log(z^a) = a \cdot \log(z) &lt;/math&gt; (in Klassen) |
| '''Exponentialfunktion''' | &lt;math&gt; \exp(\log(z)) = z &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; \log(\exp(w)) = [w]_0 &lt;/math&gt; |

---

== 9. Übungsaufgaben ==

1. Zeige, dass &lt;math&gt; \log(-1) = [i\pi]_0 &lt;/math&gt;.
2. Berechne &lt;math&gt; \log(i) + \log(i) &lt;/math&gt; und vergleiche mit &lt;math&gt; \log(-1) &lt;/math&gt;.
3. Zeige, dass &lt;math&gt; \log(z^2) = 2 \log(z) &lt;/math&gt; in der Klassen-Sicht gilt.
4. Warum ist &lt;math&gt; \log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2) &lt;/math&gt; '''nicht''' immer wahr, wenn man nur Zahlen verwendet?
5. Definiere einen anderen Logarithmenzweig auf &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus [0, \infty) &lt;/math&gt;, der &lt;math&gt; \log(z) \in [i \cdot 0]_0 &lt;/math&gt; für &lt;math&gt; z = 1 &lt;/math&gt; wählt.

---

== Lernziel ==

Du kannst:
* den komplexen Logarithmus als '''Äquivalenzklasse''' verstehen,
* die '''Rechenregeln''' für Logarithmen in der Klassen-Sicht korrekt anwenden,
* den Zusammenhang zwischen '''Exponentialfunktion''', '''Logarithmenzweigen''' und '''Äquivalenzklassen''' erklären,
* die '''Mehrdeutigkeit''' des Logarithmus strukturiert darstellen.

---

'''Ende der Lerneinheit'''

&gt; '''Zusammenfassungssatz:'''  
&gt; *Der komplexe Logarithmus von &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; ist die Äquivalenzklasse &lt;math&gt; [w]_0 &lt;/math&gt;, wobei &lt;math&gt; \exp(w) = z &lt;/math&gt;. Diese Klasse ist genau die Menge aller Lösungen von &lt;math&gt; \exp(w) = z &lt;/math&gt;. Alle Rechenregeln gelten in der Klassen-Sicht: &lt;math&gt; \log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2) &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; \log(z^a) = a \cdot \log(z) &lt;/math&gt;, und &lt;math&gt; \exp(\log(z)) = z &lt;/math&gt;.*
== Siehe auch ==
* [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexer Logarithmus]]
* [[negativer Hauptzweig des Logarithmus]]</text>
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      <contributor>
        <username>Bert Niehaus</username>
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      <comment>/* Definition - Äquivalenzklassenaddition */</comment>
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      <text bytes="17042" sha1="3jcyidjqllzaegz10cwsocpnncu08pj" xml:space="preserve">== Einleitung == 
Diese Lerneinheit zu [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmen]] beschäftigt sich Äquivalenzklassen, deren Struktur und  Rechenregeln, die durch den Zusammenhang mit der Exponentialfunktion und deren imaginärer &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt;-Periodizität entsteht. Die Äquivalenzklassen helfen dabei, [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen#Rechenregeln|Rechenregeln]] aus den reellen Zahl für den [[Logarithmus]] auf den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexen Logarithmus]] bzw. deren Zweige zu übertragen. Die [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus]] spielt dabei bijektive Abbildungen eine besondere Rolle.

=== Periodizität der Exponentialfunktion ===

Der komplexe Logarithmus kann nicht eindeutig als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion &lt;math&gt; \exp: \mathbb{C} \to \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; festgelegt werden, da u.a. die Exponentialfunktion nicht injektiv ist und ein [[Zweig des Logarithmus]] von der Wahl des [[einfach zusammenhängend]]en Gebietes abhängt, auf dem der Logarithmus definiert ist. Es gilt für [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]]:
:&lt;math&gt;
\exp(w + 2\pi i) = \exp(w) = z\quad \text{für alle } w \in \mathbb{C}
&lt;/math&gt;

Daher gibt es unendlich viele komplexe Zahlen &lt;math&gt; w &lt;/math&gt;, die auf dieselbe Zahl &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; abgebildet werden. Diese Mehrdeutigkeit ist die Motivation, um Äquivalenzklassen zu bilden.

== Äquivalenzklassen des Logarithmus ==
Um Äquivalenzklassen zu bilden, benötigt man eine Äquivalenzrelation als Teilmenge von &lt;math&gt;\mathbb{C}\times \mathbb{C} &lt;/math&gt;, die zwei Elemente &lt;math&gt; w_1, w_2 \in \mathbb{C} &lt;/math&gt;, wenn deren Differenz ein ganzzahliges Vielfaches von &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; ist.

=== Definition - logmod-Äquivalenzrelation ===
Zwei komplexe Zahlen &lt;math&gt; w_1, w_2 \in \mathbb{C} &lt;/math&gt; heißen logmod-äquivalent modulo &lt;math&gt; 2\pi i &lt;/math&gt;, wenn gilt:
:&lt;math&gt;
w_1 - w_2 \in 2\pi i \cdot \mathbb{Z} := \{w\in \mathbb{C} \, : \, w=2\pi i \cdot k \mbox{ und } k\in \mathbb{Z} \}
&lt;/math&gt;

Formal notiert man diese Äquivalenz wie folgt:  

:&lt;math&gt;
w_1 \equiv w_2 \  \mathrm{logmod}\  {2\pi i}
&lt;/math&gt;

==== Aufgabe für Studierende ====
Zeigen Sie, dass diese Relation eine ''Äquivalenzrelation'' ist, d.h. die [[logmod-Funktion|logmod-Relation]] ist [[w:de:Äquivalenzrelation|reflexiv, symmetrisch und transitiv]].

=== Definition - logmod-Äquivalenzklasse ===
Für eine komplexe Zahl &lt;math&gt; w \in \mathbb{C} &lt;/math&gt; ist die Äquivalenzklasse definiert als:

:&lt;math&gt;
[w]_0 := \{ w + 2\pi i k \mid k \in \mathbb{Z} \}
&lt;/math&gt;

==== Bezeichnung - Äquivalenzklassenindex====
Die Indexierung mit &lt;math&gt; _0 &lt;/math&gt; deutet an, dass dies diese Äquivalenzklasse ohne Logarithmierung in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt; gebildet wurde. Bildet man rekursiv höhere Logarithmen als Verkettung entstehen Äquivalenzklassen &lt;math&gt;[w]_n&lt;/math&gt;, wobei &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-fach rekursiv der Logarithmus verkettet wird, falls dieser existiert.

== Verbindung mit der Exponentialfunktion ==

Da die Exponentialfunktion im Imaginärteil des Arguments eine Periodizität von &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; besitzt, entsprechen Äquivalenzklassen &lt;math&gt;[w]_0&lt;/math&gt; entsprechen einem Bildpunkt &lt;math&gt;z=e^w&lt;/math&gt;. Dieser Verbindung zwischen Exponentialfunktion und Logarithmus wird durch das LogMod-Äquivalenzklassenlemma festgehalten.

=== LogMod-Äquivalenzklassenlemma ===
Sei &lt;math&gt;w\in\mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;\mathrm{logmod}(w) = 0&lt;/math&gt; gegeben. Für eine feste komplexe Zahl &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; gilt folgende Äquivalenzaussage:
:&lt;math&gt;
 \exp(\widehat{w}) = z \quad \text{für alle } \widehat{w} \in [w]_0
 &lt;/math&gt;
genau dann, wenn &lt;math&gt; \exp(w) = z &lt;/math&gt;.

=== Beweis - LogMod-Äquivalenzlemma ===
Für &lt;math&gt; w\in \mathbb{D}_1 := \mathbb{R}\times i\cdot [0,2\pi)&lt;/math&gt; gelte &lt;math&gt;\exp(w)=z&lt;/math&gt;. Das LogMod-Äquivalenzlemma ist eine Äquivalenzaussage. Daher werden zwei Beweisrichtungen gezeigt:
\mbox{}
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{array}{llcl}
\mbox{ (LML1) }
 &amp; 
 \exp(\widehat{w}) = z  
 &amp;  
 \quad \Longrightarrow \quad 
 &amp; 
 \widehat{w} \in [w]_0
  \\ 
\mbox{ (LML2) }
 &amp; 
 \widehat{w} \in [w]_0
 &amp;  
 \quad \Longrightarrow \quad 
 &amp; 
 \exp(\widehat{w}) = z  
  \\ 
 \end{array}  
&lt;/math&gt;

==== Schritt 1 - Beweisrichtung LML1 ====
Sei &lt;math&gt; \widehat{w} \in \mathbb{C} &lt;/math&gt; mit &lt;math&gt; \exp(\widehat{w}) = z &lt;/math&gt; beliebig gewählt. Dann gilt mit der Voraussetzung &lt;math&gt; \exp(w) = z \not= 0&lt;/math&gt; und Potenzgesetzen:
:&lt;math&gt;
 1 = \frac{z}{z} = \frac{\widehat{w}}{\exp(\exp(w))} = \exp(\widehat{w}-w)
 &lt;/math&gt;
Die Gleichung &lt;math&gt;1 = \exp(\widehat{w}-w)&lt;/math&gt; gilt genau dann, wenn &lt;math&gt; w-\widehat{w} = 2\pi i \cdot k&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;k \in \mathbb{Z}&lt;/math&gt;. 

==== Schritt 2 - Beweisrichtung LML1 ====
Damit gilt auch  &lt;math&gt; w = \widehat{w} + 2\pi i \cdot k &lt;/math&gt;. Die ganze Zahl &lt;math&gt; k\in \mathbb{Z} &lt;/math&gt; ist durch die [[logmod-Funktion]] und es gilt &lt;math&gt;k= \mathrm{logmod}(\widehat{w})&lt;/math&gt;, da &lt;math&gt; w\in \mathbb{D}_1 = \mathbb{R} + i\cdot [0,2\pi) &lt;/math&gt; nach Voraussetzung gilt und man erhält &lt;math&gt;\widehat{w} \in [w]_0&lt;/math&gt;.

==== Schritt 3 - Äquivalenzklasse gegeben LML2 ====
Sei umgekehrt &lt;math&gt;\widehat{w} \in [w]_0&lt;/math&gt; gegeben. Dann gibt es nach Definition der Äquivalenzklasse ein &lt;math&gt; k := logmod(\widehat{w})\in \mathbb{Z} &lt;/math&gt; mit der Eigenschaft  &lt;math&gt;\widehat{w}:= w + 2\pi i k&lt;/math&gt;. Nun wen man diese Darstellung von &lt;math&gt;\widehat{w}&lt;/math&gt; auf die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] an und verwendet Periodizität &lt;math&gt;\exp&lt;/math&gt; bzgl. &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; und erhält:
:&lt;math&gt;
 \exp(\widehat{w}) =  \exp(w + 2\pi i k) = \exp(w) \cdot \exp(2\pi i k) = z \cdot 1 = z
&lt;/math&gt;

==== Schritt 4 - LML2 ====
Da &lt;math&gt;\widehat{w} \in [w]_0&lt;/math&gt; beliebig gewählt wurde, gilt für alle  &lt;math&gt; \widehat{w} \in [w]_0 &lt;/math&gt; die Eigenschaft &lt;math&gt; \exp(\widehat{w}) = z &lt;/math&gt; und zusammen mit LML1 gilt die Äquivalenzaussage aus dem Lemma &lt;math&gt;\quad \Box&lt;/math&gt;.

=== Folgerung - LogMod-Äquivalenzklassenlemma ====  
Fasst man zu einem gegebenen &lt;math&gt;z\in \mathbb{C}\setminus\{0\}&lt;/math&gt; die Menge alle komplexen Zahlen &lt;math&gt; \widehat{w} \in \mathbb{C} &lt;/math&gt; zu einer Menge zusammen, die die Eigenschaft &lt;math&gt; \exp(\widehat{w}) = z &lt;/math&gt; erfüllen, so erhält man die Äquivalenzklasse &lt;math&gt; [w]_0 &lt;/math&gt;, wobei &lt;math&gt; w &lt;/math&gt; eine beliebige Lösung von &lt;math&gt; \exp(w) = z &lt;/math&gt; ist. 

==== Bemerkung - LogMod-Äquivalenzklassenlemma ====  
Für die Äquivalenzklassenanalyse spielt das Repräsentatensystem &lt;math&gt;\mathbb{D}_1= \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi)&lt;/math&gt; eine besondere Rolle. DasRepräsentatensystem &lt;math&gt;\mathbb{D}_1&lt;/math&gt; entsteht durch [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus|algebraische Vervollständigkeit]] des [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweiges]] des [[Logarithmus]].

== Rechenregeln mit Äquivalenzklassen ==
Um die aus der reellen Analysis bekannten Rechenregeln auf Logarithmen in den komplexen Zahlen verwenden zu können werden Äquivalenzklassen verwendet.  Die Struktur und Gültigkeit der Rechenregeln wird in diesem Teil der Lerneinheit genauer untersucht.

=== komplexe Logarithmus als Lösungsmenge ===
Der komplexe Äquivalenzklassen-Logarithmus von &lt;math&gt; z &lt;/math&gt; bildet nicht auf ein Element in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt; ab, sondern auf ein Teilmenge von &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt;. Dies führt im weiteren Verlauf der Lehrveranstaltung zum Begriff des [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarithmus]]. Sei &lt;math&gt;w \in \mathbb{C}&lt;/math&gt; beliebig gewählt, dann definiert man &lt;math&gt;w_0 := w - \mathrm{logmod}(w)\cdot 2\pi i \in \mathbb{D}_1&lt;/math&gt; als Repräsentant der Restklasse &lt;math&gt; [w]_0&lt;/math&gt;.
:&lt;math&gt;
 \mathrm{lnr}_0(z) := \{ w \in \mathbb{C} \mid \exp(w) = z \} = [w]_0
&lt;/math&gt;
für ein beliebiges &lt;math&gt; w_0 \in \mathbb{D}_1 := \mathbb{R}+ i\cdot [0,2\pi)&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt; \exp(w_0) = z &lt;/math&gt;.

==== Beispiel 1 - Neutrales Element für Äquivalenklassenaddition ====
Algebraisch wird später &lt;math&gt;\mathbb{D}_1&lt;/math&gt; mit einer inneren Verknüpfung &lt;math&gt;\oplus&lt;/math&gt; zu einer kommunitative Gruppe. Daher wird das [[w:de:neutrales Element|neutrale Element]] von &lt;math&gt;\oplus&lt;/math&gt; als Beispieläquivalenzklasse genannt und in Beziehung zum Logarithmus gesetzt. Für &lt;math&gt; z = 1 &lt;/math&gt; ist der komplexe rekursive Logarithmus 
:&lt;math&gt; 
   \mathrm{lnr}_0(1) = \{ 2\pi i k \, : \,  k \in \mathbb{Z} \} = [0]_0 
&lt;/math&gt;

==== Beispiel 2 - Logarithmus der imaginären Einheit ====
Da zunächst die [[rekursiver Logarithmus|rekursive komplexe Logarithmen]] von elementaren komplexen Zahlen genannt. Wählt man &lt;math&gt; z = i &lt;/math&gt; so gilt &lt;math&gt; \exp\left(i \tfrac{\pi}{2}\right) = i &lt;/math&gt; und &lt;math&gt;i\tfrac{\pi}{2} \in \mathbb{D}_1&lt;/math&gt;. Bildet man nun den von  [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarithmus]] von  &lt;math&gt; z = i &lt;/math&gt; erhält man:

:&lt;math&gt;
  \mathrm{lnr}_0(i) = \left\{ i \left( \frac{\pi}{2} + 2\pi k \right) \mid k \in \mathbb{Z} \right\} = \left[ i \frac{\pi}{2} \right]_0
&lt;/math&gt;

==== Beispiel 3 - rekursiver Logarithmus von -1 ====
Ablschießend wird auch noch der [[rekursiver Logarithmus|rekursive komplexe Logarithmen]] von &lt;math&gt; z = -1 &lt;/math&gt; genannt. Wegen &lt;math&gt; \exp\left(i \pi \right) = -1 &lt;/math&gt; und &lt;math&gt;i \pi \in \mathbb{D}_1=\mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi) &lt;/math&gt; erhält man:

:&lt;math&gt;
  \mathrm{lnr}_0(-1) = \left\{ i \left( \pi + 2\pi k \right) \mid k \in \mathbb{Z} \right\} = \left[ i \pi \right]_0
&lt;/math&gt;

=== Repräsentantensystem ===

Um einen eindeutigen Funktionswert als Äquivalenzklasse zu erhalten, wählt man eine spezielles Repräsentantensystem &lt;math&gt;\mathbb{D}_1:= \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi) \subset \mathbb{C}&lt;/math&gt; um alle Äquivalenzklassen darstellen zu können. Dabei wird die [[logmod-Funktion]] verwendet, um für eine beliebige komplexe Zahl &lt;math&gt;w\in \mathbb{C}&lt;/math&gt; die zugehörigen Repräsentanten &lt;math&gt;w_0 \in\mathbb{D}_1&lt;/math&gt; über &lt;math&gt; w_0 = w - 2\pi i \cdot \mathrm{logmod}(w)&lt;/math&gt; zu bestimmen.

=== Definition - Äquivalenzklassenaddition ===

Für &lt;math&gt; z_1,z_2 \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; und  &lt;math&gt;w_1,w_2 \in\mathbb{D}_1&lt;/math&gt; gelte &lt;math&gt;\exp(z_1)=w_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\exp(z_2)=w_2&lt;/math&gt;. Man definiert nun die Äquivalenzklassenaddition &lt;math&gt;(\mathbb{D}_1,\oplus)&lt;/math&gt; wie folgt.
:&lt;math&gt;
[w_1]_0 \oplus [w_2]_0 := [w_1 + w_2]_0
&lt;/math&gt;

==== Bemerkung - Repräsentant der Äquivalenzklasse ====
Der Repräsentant &lt;math&gt;w_1 + w_2 &lt;/math&gt; der Äquivalenzklasse 
wobei &lt;math&gt;[w_1 + w_2]_0 &lt;/math&gt; liegt nicht notwendigerweise auch in &lt;math&gt;\mathbb{D}_1&lt;/math&gt;, was das folgende Beispiel zeigt.

==== Beispiel - Repräsentant bei additiver Verknüpfung ====
Wählt man &lt;math&gt; z_1 = z_2 = -i &lt;/math&gt;, so erhält man &lt;math&gt; w_1 = w_2 = \tfrac{3}{2}\pi i \in \mathbb{D}_1 &lt;/math&gt; und es gilt &lt;math&gt; w_1 + w_2 = 3\pi i \notin \mathbb{D}_1 &lt;/math&gt;. Möchte man den zugehörigen Repräsentanten aus &lt;math&gt;\mathbb{D}_1 &lt;/math&gt; bestimmen, verwendet man wieder die [[logmod-Funktion]]:
:&lt;math&gt;
[w_1]_0 \oplus [w_2]_0  = [w_1 + w_2]_0 = [w]_0 
&lt;/math&gt;
mit &lt;math&gt; w = w_1+w_2 - 2\pi i \cdot \mathrm{logmod}(w_1+w_2)&lt;/math&gt;

==== Bemerkung - Notation ====
Für die Addition der Äquivalenzklassen wird zur Abgrenzung zu additiven Verknüpfung in &lt;math&gt;+&lt;/math&gt; in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt; das Symbol &lt;math&gt;\oplus&lt;/math&gt; verwendet.
:&lt;math&gt;
\left[ 1+\frac{3}{2}\pi i \right]_0 \oplus \left[5+\frac{1}{2}\pi i \right]_0 = \left[ \left(1+\frac{3}{2}\pi i\right)  + \left(5+\frac{1}{2}\pi i\right) \right]_0 = [6+2\pi i]_0 = [6]_0 
&lt;/math&gt;
Im linken Term werden zwei Äquivalenzklassen addiert (daher &lt;math&gt;\oplus&lt;/math&gt;) und in den beiden rechten Termen ist das Standardaddition in den komplexen Zahlen.

== 6. Rechenregeln für Logarithmen und Exponentialfunktion ==

=== (1) Exponentialfunktion und Logarithmus ===

* &lt;math&gt; \exp(\log(z)) = z &lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt;
* &lt;math&gt; \log(\exp(w)) = [w]_0 &lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt; w \in \mathbb{C} &lt;/math&gt;

&gt; '''Achtung:''' &lt;math&gt; \log(\exp(w)) &lt;/math&gt; ist '''keine Zahl''', sondern eine '''Äquivalenzklasse'''.

---

=== (2) Multiplikation und Logarithmus ===

Für &lt;math&gt; z_1, z_2 \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt;:


:&lt;math&gt;
\log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2)
&lt;/math&gt;

&gt; '''Interpretation:'''  
&gt; Die Summe zweier Äquivalenzklassen ist definiert als:
&gt; 
:&lt;math&gt;
&gt; [w_1]_0 + [w_2]_0 := [w_1 + w_2]_0
&gt; &lt;/math&gt;
&gt; und es gilt:
&gt; 
:&lt;math&gt;
&gt; \log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2)
&gt; &lt;/math&gt;

&gt; '''Beispiel:'''  
&gt; &lt;math&gt; z_1 = i &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; z_2 = i &lt;/math&gt; → &lt;math&gt; z_1 z_2 = -1 &lt;/math&gt;  
&gt; &lt;math&gt; \log(i) = \left[ i \frac{\pi}{2} \right]_0 &lt;/math&gt;,  
&gt; &lt;math&gt; \log(i) + \log(i) = \left[ i \pi \right]_0 &lt;/math&gt;,  
&gt; &lt;math&gt; \log(-1) = \left[ i \pi \right]_0 &lt;/math&gt; → stimmt.

---

=== (3) Potenzen und Logarithmus ===

Für &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; a \in \mathbb{C} &lt;/math&gt;:


:&lt;math&gt;
\log(z^a) = a \cdot \log(z) + 2\pi i k \quad \text{für ein } k \in \mathbb{Z}
&lt;/math&gt;

&gt; '''Aber:''' In der Äquivalenzklassen-Sicht gilt:
&gt; 
:&lt;math&gt;
&gt; \log(z^a) = a \cdot \log(z)
&gt; &lt;/math&gt;
&gt; wobei die Multiplikation einer Äquivalenzklasse mit einer komplexen Zahl definiert ist als:
&gt; 
:&lt;math&gt;
&gt; a \cdot [w]_0 := [a w]_0
&gt; &lt;/math&gt;

&gt; '''Beispiel:'''  
&gt; &lt;math&gt; z = i &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; a = 2 &lt;/math&gt; → &lt;math&gt; z^a = -1 &lt;/math&gt;  
&gt; &lt;math&gt; \log(z^a) = \log(-1) = [i\pi]_0 &lt;/math&gt;  
&gt; &lt;math&gt; a \cdot \log(z) = 2 \cdot [i \pi/2]_0 = [i\pi]_0 &lt;/math&gt; → stimmt.

---

=== (4) Addition von Logarithmen ===


:&lt;math&gt;
\log(z_1) + \log(z_2) = \log(z_1 z_2)
&lt;/math&gt;

&gt; '''Achtung:''' Dies ist '''nicht''' immer wahr, wenn man '''nicht''' mit Äquivalenzklassen arbeitet!  
&gt; Aber '''in der Klassen-Sicht''' ist es '''richtig'''.

&gt; '''Warum?''' Weil die Addition von Klassen kommutativ und assoziativ ist.

---

== 7. Zusammenhang mit Logarithmenzweigen ==

Ein '''Logarithmenzweig''' ist eine '''stetige Auswahl''' von Werten aus &lt;math&gt; \log(z) &lt;/math&gt;, d. h. eine Funktion &lt;math&gt; L: G \to \mathbb{C} &lt;/math&gt;, sodass &lt;math&gt; \exp(L(z)) = z &lt;/math&gt; und &lt;math&gt; L &lt;/math&gt; stetig auf einem Gebiet &lt;math&gt; G \subseteq \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt;.

&gt; '''Beispiel:'''  
&gt; Der '''Hauptzweig''' &lt;math&gt; \text{Log}(z) &lt;/math&gt; ist ein Logarithmenzweig auf &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus (-\infty, 0] &lt;/math&gt;.

&gt; '''Jeder Logarithmenzweig''' &lt;math&gt; L &lt;/math&gt; wählt '''einen Repräsentanten''' aus jeder Äquivalenzklasse &lt;math&gt; [w]_0 &lt;/math&gt;, nämlich &lt;math&gt; L(z) \in [w]_0 &lt;/math&gt;.

&gt; '''Zusammenhang:'''  
&gt; Die Menge aller Logarithmenzweige entspricht '''der Wahl einer Schnittlinie''' (Branch Cut), die verhindert, dass man um den Ursprung herumwandert und die Klasse wechselt.

---

== 8. Zusammenfassung: Struktur der Logarithmen ==

| Konzept | Beschreibung |
|--------|--------------|
| '''Äquivalenzklasse''' &lt;math&gt; [w]_0 &lt;/math&gt; | Menge aller &lt;math&gt; w + 2\pi i k &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; k \in \mathbb{Z} &lt;/math&gt; |
| '''Logarithmus von &lt;math&gt; z &lt;/math&gt;''' | &lt;math&gt; \log(z) = [w]_0 &lt;/math&gt;, wobei &lt;math&gt; \exp(w) = z &lt;/math&gt; |
| '''Hauptzweig''' | &lt;math&gt; \text{Log}(z) \in \log(z) &lt;/math&gt;, mit &lt;math&gt; \text{Arg}(z) \in (-\pi, \pi] &lt;/math&gt; |
| '''Rechenregeln''' | &lt;math&gt; \log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2) &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; \log(z^a) = a \cdot \log(z) &lt;/math&gt; (in Klassen) |
| '''Exponentialfunktion''' | &lt;math&gt; \exp(\log(z)) = z &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; \log(\exp(w)) = [w]_0 &lt;/math&gt; |

---

== 9. Übungsaufgaben ==

1. Zeige, dass &lt;math&gt; \log(-1) = [i\pi]_0 &lt;/math&gt;.
2. Berechne &lt;math&gt; \log(i) + \log(i) &lt;/math&gt; und vergleiche mit &lt;math&gt; \log(-1) &lt;/math&gt;.
3. Zeige, dass &lt;math&gt; \log(z^2) = 2 \log(z) &lt;/math&gt; in der Klassen-Sicht gilt.
4. Warum ist &lt;math&gt; \log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2) &lt;/math&gt; '''nicht''' immer wahr, wenn man nur Zahlen verwendet?
5. Definiere einen anderen Logarithmenzweig auf &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus [0, \infty) &lt;/math&gt;, der &lt;math&gt; \log(z) \in [i \cdot 0]_0 &lt;/math&gt; für &lt;math&gt; z = 1 &lt;/math&gt; wählt.

---

== Lernziel ==

Du kannst:
* den komplexen Logarithmus als '''Äquivalenzklasse''' verstehen,
* die '''Rechenregeln''' für Logarithmen in der Klassen-Sicht korrekt anwenden,
* den Zusammenhang zwischen '''Exponentialfunktion''', '''Logarithmenzweigen''' und '''Äquivalenzklassen''' erklären,
* die '''Mehrdeutigkeit''' des Logarithmus strukturiert darstellen.

---

'''Ende der Lerneinheit'''

&gt; '''Zusammenfassungssatz:'''  
&gt; *Der komplexe Logarithmus von &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; ist die Äquivalenzklasse &lt;math&gt; [w]_0 &lt;/math&gt;, wobei &lt;math&gt; \exp(w) = z &lt;/math&gt;. Diese Klasse ist genau die Menge aller Lösungen von &lt;math&gt; \exp(w) = z &lt;/math&gt;. Alle Rechenregeln gelten in der Klassen-Sicht: &lt;math&gt; \log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2) &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; \log(z^a) = a \cdot \log(z) &lt;/math&gt;, und &lt;math&gt; \exp(\log(z)) = z &lt;/math&gt;.*
== Siehe auch ==
* [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexer Logarithmus]]
* [[negativer Hauptzweig des Logarithmus]]</text>
      <sha1>3jcyidjqllzaegz10cwsocpnncu08pj</sha1>
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      <contributor>
        <username>Bert Niehaus</username>
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      <comment>/* Rechenregeln mit Äquivalenzklassen */</comment>
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      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="17033" sha1="80nmgkxzehsghaf0blot7iv8bj8e5pq" xml:space="preserve">== Einleitung == 
Diese Lerneinheit zu [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmen]] beschäftigt sich Äquivalenzklassen, deren Struktur und  Rechenregeln, die durch den Zusammenhang mit der Exponentialfunktion und deren imaginärer &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt;-Periodizität entsteht. Die Äquivalenzklassen helfen dabei, [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen#Rechenregeln|Rechenregeln]] aus den reellen Zahl für den [[Logarithmus]] auf den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexen Logarithmus]] bzw. deren Zweige zu übertragen. Die [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus]] spielt dabei bijektive Abbildungen eine besondere Rolle.

=== Periodizität der Exponentialfunktion ===

Der komplexe Logarithmus kann nicht eindeutig als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion &lt;math&gt; \exp: \mathbb{C} \to \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; festgelegt werden, da u.a. die Exponentialfunktion nicht injektiv ist und ein [[Zweig des Logarithmus]] von der Wahl des [[einfach zusammenhängend]]en Gebietes abhängt, auf dem der Logarithmus definiert ist. Es gilt für [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]]:
:&lt;math&gt;
\exp(w + 2\pi i) = \exp(w) = z\quad \text{für alle } w \in \mathbb{C}
&lt;/math&gt;

Daher gibt es unendlich viele komplexe Zahlen &lt;math&gt; w &lt;/math&gt;, die auf dieselbe Zahl &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; abgebildet werden. Diese Mehrdeutigkeit ist die Motivation, um Äquivalenzklassen zu bilden.

== Äquivalenzklassen des Logarithmus ==
Um Äquivalenzklassen zu bilden, benötigt man eine Äquivalenzrelation als Teilmenge von &lt;math&gt;\mathbb{C}\times \mathbb{C} &lt;/math&gt;, die zwei Elemente &lt;math&gt; w_1, w_2 \in \mathbb{C} &lt;/math&gt;, wenn deren Differenz ein ganzzahliges Vielfaches von &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; ist.

=== Definition - logmod-Äquivalenzrelation ===
Zwei komplexe Zahlen &lt;math&gt; w_1, w_2 \in \mathbb{C} &lt;/math&gt; heißen logmod-äquivalent modulo &lt;math&gt; 2\pi i &lt;/math&gt;, wenn gilt:
:&lt;math&gt;
w_1 - w_2 \in 2\pi i \cdot \mathbb{Z} := \{w\in \mathbb{C} \, : \, w=2\pi i \cdot k \mbox{ und } k\in \mathbb{Z} \}
&lt;/math&gt;

Formal notiert man diese Äquivalenz wie folgt:  

:&lt;math&gt;
w_1 \equiv w_2 \  \mathrm{logmod}\  {2\pi i}
&lt;/math&gt;

==== Aufgabe für Studierende ====
Zeigen Sie, dass diese Relation eine ''Äquivalenzrelation'' ist, d.h. die [[logmod-Funktion|logmod-Relation]] ist [[w:de:Äquivalenzrelation|reflexiv, symmetrisch und transitiv]].

=== Definition - logmod-Äquivalenzklasse ===
Für eine komplexe Zahl &lt;math&gt; w \in \mathbb{C} &lt;/math&gt; ist die Äquivalenzklasse definiert als:

:&lt;math&gt;
[w]_0 := \{ w + 2\pi i k \mid k \in \mathbb{Z} \}
&lt;/math&gt;

==== Bezeichnung - Äquivalenzklassenindex====
Die Indexierung mit &lt;math&gt; _0 &lt;/math&gt; deutet an, dass dies diese Äquivalenzklasse ohne Logarithmierung in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt; gebildet wurde. Bildet man rekursiv höhere Logarithmen als Verkettung entstehen Äquivalenzklassen &lt;math&gt;[w]_n&lt;/math&gt;, wobei &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-fach rekursiv der Logarithmus verkettet wird, falls dieser existiert.

== Verbindung mit der Exponentialfunktion ==

Da die Exponentialfunktion im Imaginärteil des Arguments eine Periodizität von &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; besitzt, entsprechen Äquivalenzklassen &lt;math&gt;[w]_0&lt;/math&gt; entsprechen einem Bildpunkt &lt;math&gt;z=e^w&lt;/math&gt;. Dieser Verbindung zwischen Exponentialfunktion und Logarithmus wird durch das LogMod-Äquivalenzklassenlemma festgehalten.

=== LogMod-Äquivalenzklassenlemma ===
Sei &lt;math&gt;w\in\mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;\mathrm{logmod}(w) = 0&lt;/math&gt; gegeben. Für eine feste komplexe Zahl &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; gilt folgende Äquivalenzaussage:
:&lt;math&gt;
 \exp(\widehat{w}) = z \quad \text{für alle } \widehat{w} \in [w]_0
 &lt;/math&gt;
genau dann, wenn &lt;math&gt; \exp(w) = z &lt;/math&gt;.

=== Beweis - LogMod-Äquivalenzlemma ===
Für &lt;math&gt; w\in \mathbb{D}_1 := \mathbb{R}\times i\cdot [0,2\pi)&lt;/math&gt; gelte &lt;math&gt;\exp(w)=z&lt;/math&gt;. Das LogMod-Äquivalenzlemma ist eine Äquivalenzaussage. Daher werden zwei Beweisrichtungen gezeigt:
\mbox{}
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{array}{llcl}
\mbox{ (LML1) }
 &amp; 
 \exp(\widehat{w}) = z  
 &amp;  
 \quad \Longrightarrow \quad 
 &amp; 
 \widehat{w} \in [w]_0
  \\ 
\mbox{ (LML2) }
 &amp; 
 \widehat{w} \in [w]_0
 &amp;  
 \quad \Longrightarrow \quad 
 &amp; 
 \exp(\widehat{w}) = z  
  \\ 
 \end{array}  
&lt;/math&gt;

==== Schritt 1 - Beweisrichtung LML1 ====
Sei &lt;math&gt; \widehat{w} \in \mathbb{C} &lt;/math&gt; mit &lt;math&gt; \exp(\widehat{w}) = z &lt;/math&gt; beliebig gewählt. Dann gilt mit der Voraussetzung &lt;math&gt; \exp(w) = z \not= 0&lt;/math&gt; und Potenzgesetzen:
:&lt;math&gt;
 1 = \frac{z}{z} = \frac{\widehat{w}}{\exp(\exp(w))} = \exp(\widehat{w}-w)
 &lt;/math&gt;
Die Gleichung &lt;math&gt;1 = \exp(\widehat{w}-w)&lt;/math&gt; gilt genau dann, wenn &lt;math&gt; w-\widehat{w} = 2\pi i \cdot k&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;k \in \mathbb{Z}&lt;/math&gt;. 

==== Schritt 2 - Beweisrichtung LML1 ====
Damit gilt auch  &lt;math&gt; w = \widehat{w} + 2\pi i \cdot k &lt;/math&gt;. Die ganze Zahl &lt;math&gt; k\in \mathbb{Z} &lt;/math&gt; ist durch die [[logmod-Funktion]] und es gilt &lt;math&gt;k= \mathrm{logmod}(\widehat{w})&lt;/math&gt;, da &lt;math&gt; w\in \mathbb{D}_1 = \mathbb{R} + i\cdot [0,2\pi) &lt;/math&gt; nach Voraussetzung gilt und man erhält &lt;math&gt;\widehat{w} \in [w]_0&lt;/math&gt;.

==== Schritt 3 - Äquivalenzklasse gegeben LML2 ====
Sei umgekehrt &lt;math&gt;\widehat{w} \in [w]_0&lt;/math&gt; gegeben. Dann gibt es nach Definition der Äquivalenzklasse ein &lt;math&gt; k := logmod(\widehat{w})\in \mathbb{Z} &lt;/math&gt; mit der Eigenschaft  &lt;math&gt;\widehat{w}:= w + 2\pi i k&lt;/math&gt;. Nun wen man diese Darstellung von &lt;math&gt;\widehat{w}&lt;/math&gt; auf die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] an und verwendet Periodizität &lt;math&gt;\exp&lt;/math&gt; bzgl. &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; und erhält:
:&lt;math&gt;
 \exp(\widehat{w}) =  \exp(w + 2\pi i k) = \exp(w) \cdot \exp(2\pi i k) = z \cdot 1 = z
&lt;/math&gt;

==== Schritt 4 - LML2 ====
Da &lt;math&gt;\widehat{w} \in [w]_0&lt;/math&gt; beliebig gewählt wurde, gilt für alle  &lt;math&gt; \widehat{w} \in [w]_0 &lt;/math&gt; die Eigenschaft &lt;math&gt; \exp(\widehat{w}) = z &lt;/math&gt; und zusammen mit LML1 gilt die Äquivalenzaussage aus dem Lemma &lt;math&gt;\quad \Box&lt;/math&gt;.

=== Folgerung - LogMod-Äquivalenzklassenlemma ====  
Fasst man zu einem gegebenen &lt;math&gt;z\in \mathbb{C}\setminus\{0\}&lt;/math&gt; die Menge alle komplexen Zahlen &lt;math&gt; \widehat{w} \in \mathbb{C} &lt;/math&gt; zu einer Menge zusammen, die die Eigenschaft &lt;math&gt; \exp(\widehat{w}) = z &lt;/math&gt; erfüllen, so erhält man die Äquivalenzklasse &lt;math&gt; [w]_0 &lt;/math&gt;, wobei &lt;math&gt; w &lt;/math&gt; eine beliebige Lösung von &lt;math&gt; \exp(w) = z &lt;/math&gt; ist. 

==== Bemerkung - LogMod-Äquivalenzklassenlemma ====  
Für die Äquivalenzklassenanalyse spielt das Repräsentatensystem &lt;math&gt;\mathbb{D}_1= \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi)&lt;/math&gt; eine besondere Rolle. DasRepräsentatensystem &lt;math&gt;\mathbb{D}_1&lt;/math&gt; entsteht durch [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus|algebraische Vervollständigkeit]] des [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweiges]] des [[Logarithmus]].

== Äquivalenzklassenaddition ==
Um die aus der reellen Analysis bekannten Rechenregeln auf Logarithmen in den komplexen Zahlen verwenden zu können werden Äquivalenzklassen verwendet.  Die Struktur und Gültigkeit der Rechenregeln wird in diesem Teil der Lerneinheit genauer untersucht.

=== komplexe Logarithmus als Lösungsmenge ===
Der komplexe Äquivalenzklassen-Logarithmus von &lt;math&gt; z &lt;/math&gt; bildet nicht auf ein Element in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt; ab, sondern auf ein Teilmenge von &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt;. Dies führt im weiteren Verlauf der Lehrveranstaltung zum Begriff des [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarithmus]]. Sei &lt;math&gt;w \in \mathbb{C}&lt;/math&gt; beliebig gewählt, dann definiert man &lt;math&gt;w_0 := w - \mathrm{logmod}(w)\cdot 2\pi i \in \mathbb{D}_1&lt;/math&gt; als Repräsentant der Restklasse &lt;math&gt; [w]_0&lt;/math&gt;.
:&lt;math&gt;
 \mathrm{lnr}_0(z) := \{ w \in \mathbb{C} \mid \exp(w) = z \} = [w]_0
&lt;/math&gt;
für ein beliebiges &lt;math&gt; w_0 \in \mathbb{D}_1 := \mathbb{R}+ i\cdot [0,2\pi)&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt; \exp(w_0) = z &lt;/math&gt;.

==== Beispiel 1 - Neutrales Element für Äquivalenklassenaddition ====
Algebraisch wird später &lt;math&gt;\mathbb{D}_1&lt;/math&gt; mit einer inneren Verknüpfung &lt;math&gt;\oplus&lt;/math&gt; zu einer kommunitative Gruppe. Daher wird das [[w:de:neutrales Element|neutrale Element]] von &lt;math&gt;\oplus&lt;/math&gt; als Beispieläquivalenzklasse genannt und in Beziehung zum Logarithmus gesetzt. Für &lt;math&gt; z = 1 &lt;/math&gt; ist der komplexe rekursive Logarithmus 
:&lt;math&gt; 
   \mathrm{lnr}_0(1) = \{ 2\pi i k \, : \,  k \in \mathbb{Z} \} = [0]_0 
&lt;/math&gt;

==== Beispiel 2 - Logarithmus der imaginären Einheit ====
Da zunächst die [[rekursiver Logarithmus|rekursive komplexe Logarithmen]] von elementaren komplexen Zahlen genannt. Wählt man &lt;math&gt; z = i &lt;/math&gt; so gilt &lt;math&gt; \exp\left(i \tfrac{\pi}{2}\right) = i &lt;/math&gt; und &lt;math&gt;i\tfrac{\pi}{2} \in \mathbb{D}_1&lt;/math&gt;. Bildet man nun den von  [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarithmus]] von  &lt;math&gt; z = i &lt;/math&gt; erhält man:

:&lt;math&gt;
  \mathrm{lnr}_0(i) = \left\{ i \left( \frac{\pi}{2} + 2\pi k \right) \mid k \in \mathbb{Z} \right\} = \left[ i \frac{\pi}{2} \right]_0
&lt;/math&gt;

==== Beispiel 3 - rekursiver Logarithmus von -1 ====
Ablschießend wird auch noch der [[rekursiver Logarithmus|rekursive komplexe Logarithmen]] von &lt;math&gt; z = -1 &lt;/math&gt; genannt. Wegen &lt;math&gt; \exp\left(i \pi \right) = -1 &lt;/math&gt; und &lt;math&gt;i \pi \in \mathbb{D}_1=\mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi) &lt;/math&gt; erhält man:

:&lt;math&gt;
  \mathrm{lnr}_0(-1) = \left\{ i \left( \pi + 2\pi k \right) \mid k \in \mathbb{Z} \right\} = \left[ i \pi \right]_0
&lt;/math&gt;

=== Repräsentantensystem ===

Um einen eindeutigen Funktionswert als Äquivalenzklasse zu erhalten, wählt man eine spezielles Repräsentantensystem &lt;math&gt;\mathbb{D}_1:= \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi) \subset \mathbb{C}&lt;/math&gt; um alle Äquivalenzklassen darstellen zu können. Dabei wird die [[logmod-Funktion]] verwendet, um für eine beliebige komplexe Zahl &lt;math&gt;w\in \mathbb{C}&lt;/math&gt; die zugehörigen Repräsentanten &lt;math&gt;w_0 \in\mathbb{D}_1&lt;/math&gt; über &lt;math&gt; w_0 = w - 2\pi i \cdot \mathrm{logmod}(w)&lt;/math&gt; zu bestimmen.

=== Definition - Äquivalenzklassenaddition ===

Für &lt;math&gt; z_1,z_2 \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; und  &lt;math&gt;w_1,w_2 \in\mathbb{D}_1&lt;/math&gt; gelte &lt;math&gt;\exp(z_1)=w_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\exp(z_2)=w_2&lt;/math&gt;. Man definiert nun die Äquivalenzklassenaddition &lt;math&gt;(\mathbb{D}_1,\oplus)&lt;/math&gt; wie folgt.
:&lt;math&gt;
[w_1]_0 \oplus [w_2]_0 := [w_1 + w_2]_0
&lt;/math&gt;

==== Bemerkung - Repräsentant der Äquivalenzklasse ====
Der Repräsentant &lt;math&gt;w_1 + w_2 &lt;/math&gt; der Äquivalenzklasse 
wobei &lt;math&gt;[w_1 + w_2]_0 &lt;/math&gt; liegt nicht notwendigerweise auch in &lt;math&gt;\mathbb{D}_1&lt;/math&gt;, was das folgende Beispiel zeigt.

==== Beispiel - Repräsentant bei additiver Verknüpfung ====
Wählt man &lt;math&gt; z_1 = z_2 = -i &lt;/math&gt;, so erhält man &lt;math&gt; w_1 = w_2 = \tfrac{3}{2}\pi i \in \mathbb{D}_1 &lt;/math&gt; und es gilt &lt;math&gt; w_1 + w_2 = 3\pi i \notin \mathbb{D}_1 &lt;/math&gt;. Möchte man den zugehörigen Repräsentanten aus &lt;math&gt;\mathbb{D}_1 &lt;/math&gt; bestimmen, verwendet man wieder die [[logmod-Funktion]]:
:&lt;math&gt;
[w_1]_0 \oplus [w_2]_0  = [w_1 + w_2]_0 = [w]_0 
&lt;/math&gt;
mit &lt;math&gt; w = w_1+w_2 - 2\pi i \cdot \mathrm{logmod}(w_1+w_2)&lt;/math&gt;

==== Bemerkung - Notation ====
Für die Addition der Äquivalenzklassen wird zur Abgrenzung zu additiven Verknüpfung in &lt;math&gt;+&lt;/math&gt; in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt; das Symbol &lt;math&gt;\oplus&lt;/math&gt; verwendet.
:&lt;math&gt;
\left[ 1+\frac{3}{2}\pi i \right]_0 \oplus \left[5+\frac{1}{2}\pi i \right]_0 = \left[ \left(1+\frac{3}{2}\pi i\right)  + \left(5+\frac{1}{2}\pi i\right) \right]_0 = [6+2\pi i]_0 = [6]_0 
&lt;/math&gt;
Im linken Term werden zwei Äquivalenzklassen addiert (daher &lt;math&gt;\oplus&lt;/math&gt;) und in den beiden rechten Termen ist das Standardaddition in den komplexen Zahlen.

== 6. Rechenregeln für Logarithmen und Exponentialfunktion ==

=== (1) Exponentialfunktion und Logarithmus ===

* &lt;math&gt; \exp(\log(z)) = z &lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt;
* &lt;math&gt; \log(\exp(w)) = [w]_0 &lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt; w \in \mathbb{C} &lt;/math&gt;

&gt; '''Achtung:''' &lt;math&gt; \log(\exp(w)) &lt;/math&gt; ist '''keine Zahl''', sondern eine '''Äquivalenzklasse'''.

---

=== (2) Multiplikation und Logarithmus ===

Für &lt;math&gt; z_1, z_2 \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt;:


:&lt;math&gt;
\log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2)
&lt;/math&gt;

&gt; '''Interpretation:'''  
&gt; Die Summe zweier Äquivalenzklassen ist definiert als:
&gt; 
:&lt;math&gt;
&gt; [w_1]_0 + [w_2]_0 := [w_1 + w_2]_0
&gt; &lt;/math&gt;
&gt; und es gilt:
&gt; 
:&lt;math&gt;
&gt; \log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2)
&gt; &lt;/math&gt;

&gt; '''Beispiel:'''  
&gt; &lt;math&gt; z_1 = i &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; z_2 = i &lt;/math&gt; → &lt;math&gt; z_1 z_2 = -1 &lt;/math&gt;  
&gt; &lt;math&gt; \log(i) = \left[ i \frac{\pi}{2} \right]_0 &lt;/math&gt;,  
&gt; &lt;math&gt; \log(i) + \log(i) = \left[ i \pi \right]_0 &lt;/math&gt;,  
&gt; &lt;math&gt; \log(-1) = \left[ i \pi \right]_0 &lt;/math&gt; → stimmt.

---

=== (3) Potenzen und Logarithmus ===

Für &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; a \in \mathbb{C} &lt;/math&gt;:


:&lt;math&gt;
\log(z^a) = a \cdot \log(z) + 2\pi i k \quad \text{für ein } k \in \mathbb{Z}
&lt;/math&gt;

&gt; '''Aber:''' In der Äquivalenzklassen-Sicht gilt:
&gt; 
:&lt;math&gt;
&gt; \log(z^a) = a \cdot \log(z)
&gt; &lt;/math&gt;
&gt; wobei die Multiplikation einer Äquivalenzklasse mit einer komplexen Zahl definiert ist als:
&gt; 
:&lt;math&gt;
&gt; a \cdot [w]_0 := [a w]_0
&gt; &lt;/math&gt;

&gt; '''Beispiel:'''  
&gt; &lt;math&gt; z = i &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; a = 2 &lt;/math&gt; → &lt;math&gt; z^a = -1 &lt;/math&gt;  
&gt; &lt;math&gt; \log(z^a) = \log(-1) = [i\pi]_0 &lt;/math&gt;  
&gt; &lt;math&gt; a \cdot \log(z) = 2 \cdot [i \pi/2]_0 = [i\pi]_0 &lt;/math&gt; → stimmt.

---

=== (4) Addition von Logarithmen ===


:&lt;math&gt;
\log(z_1) + \log(z_2) = \log(z_1 z_2)
&lt;/math&gt;

&gt; '''Achtung:''' Dies ist '''nicht''' immer wahr, wenn man '''nicht''' mit Äquivalenzklassen arbeitet!  
&gt; Aber '''in der Klassen-Sicht''' ist es '''richtig'''.

&gt; '''Warum?''' Weil die Addition von Klassen kommutativ und assoziativ ist.

---

== 7. Zusammenhang mit Logarithmenzweigen ==

Ein '''Logarithmenzweig''' ist eine '''stetige Auswahl''' von Werten aus &lt;math&gt; \log(z) &lt;/math&gt;, d. h. eine Funktion &lt;math&gt; L: G \to \mathbb{C} &lt;/math&gt;, sodass &lt;math&gt; \exp(L(z)) = z &lt;/math&gt; und &lt;math&gt; L &lt;/math&gt; stetig auf einem Gebiet &lt;math&gt; G \subseteq \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt;.

&gt; '''Beispiel:'''  
&gt; Der '''Hauptzweig''' &lt;math&gt; \text{Log}(z) &lt;/math&gt; ist ein Logarithmenzweig auf &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus (-\infty, 0] &lt;/math&gt;.

&gt; '''Jeder Logarithmenzweig''' &lt;math&gt; L &lt;/math&gt; wählt '''einen Repräsentanten''' aus jeder Äquivalenzklasse &lt;math&gt; [w]_0 &lt;/math&gt;, nämlich &lt;math&gt; L(z) \in [w]_0 &lt;/math&gt;.

&gt; '''Zusammenhang:'''  
&gt; Die Menge aller Logarithmenzweige entspricht '''der Wahl einer Schnittlinie''' (Branch Cut), die verhindert, dass man um den Ursprung herumwandert und die Klasse wechselt.

---

== 8. Zusammenfassung: Struktur der Logarithmen ==

| Konzept | Beschreibung |
|--------|--------------|
| '''Äquivalenzklasse''' &lt;math&gt; [w]_0 &lt;/math&gt; | Menge aller &lt;math&gt; w + 2\pi i k &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; k \in \mathbb{Z} &lt;/math&gt; |
| '''Logarithmus von &lt;math&gt; z &lt;/math&gt;''' | &lt;math&gt; \log(z) = [w]_0 &lt;/math&gt;, wobei &lt;math&gt; \exp(w) = z &lt;/math&gt; |
| '''Hauptzweig''' | &lt;math&gt; \text{Log}(z) \in \log(z) &lt;/math&gt;, mit &lt;math&gt; \text{Arg}(z) \in (-\pi, \pi] &lt;/math&gt; |
| '''Rechenregeln''' | &lt;math&gt; \log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2) &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; \log(z^a) = a \cdot \log(z) &lt;/math&gt; (in Klassen) |
| '''Exponentialfunktion''' | &lt;math&gt; \exp(\log(z)) = z &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; \log(\exp(w)) = [w]_0 &lt;/math&gt; |

---

== 9. Übungsaufgaben ==

1. Zeige, dass &lt;math&gt; \log(-1) = [i\pi]_0 &lt;/math&gt;.
2. Berechne &lt;math&gt; \log(i) + \log(i) &lt;/math&gt; und vergleiche mit &lt;math&gt; \log(-1) &lt;/math&gt;.
3. Zeige, dass &lt;math&gt; \log(z^2) = 2 \log(z) &lt;/math&gt; in der Klassen-Sicht gilt.
4. Warum ist &lt;math&gt; \log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2) &lt;/math&gt; '''nicht''' immer wahr, wenn man nur Zahlen verwendet?
5. Definiere einen anderen Logarithmenzweig auf &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus [0, \infty) &lt;/math&gt;, der &lt;math&gt; \log(z) \in [i \cdot 0]_0 &lt;/math&gt; für &lt;math&gt; z = 1 &lt;/math&gt; wählt.

---

== Lernziel ==

Du kannst:
* den komplexen Logarithmus als '''Äquivalenzklasse''' verstehen,
* die '''Rechenregeln''' für Logarithmen in der Klassen-Sicht korrekt anwenden,
* den Zusammenhang zwischen '''Exponentialfunktion''', '''Logarithmenzweigen''' und '''Äquivalenzklassen''' erklären,
* die '''Mehrdeutigkeit''' des Logarithmus strukturiert darstellen.

---

'''Ende der Lerneinheit'''

&gt; '''Zusammenfassungssatz:'''  
&gt; *Der komplexe Logarithmus von &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; ist die Äquivalenzklasse &lt;math&gt; [w]_0 &lt;/math&gt;, wobei &lt;math&gt; \exp(w) = z &lt;/math&gt;. Diese Klasse ist genau die Menge aller Lösungen von &lt;math&gt; \exp(w) = z &lt;/math&gt;. Alle Rechenregeln gelten in der Klassen-Sicht: &lt;math&gt; \log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2) &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; \log(z^a) = a \cdot \log(z) &lt;/math&gt;, und &lt;math&gt; \exp(\log(z)) = z &lt;/math&gt;.*
== Siehe auch ==
* [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexer Logarithmus]]
* [[negativer Hauptzweig des Logarithmus]]</text>
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      <contributor>
        <username>Bert Niehaus</username>
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      <comment>/* 6. Rechenregeln für Logarithmen und Exponentialfunktion */</comment>
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      <text bytes="17208" sha1="pm7it8b0u7lx5mycm3srxjg8u1uujvb" xml:space="preserve">== Einleitung == 
Diese Lerneinheit zu [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmen]] beschäftigt sich Äquivalenzklassen, deren Struktur und  Rechenregeln, die durch den Zusammenhang mit der Exponentialfunktion und deren imaginärer &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt;-Periodizität entsteht. Die Äquivalenzklassen helfen dabei, [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen#Rechenregeln|Rechenregeln]] aus den reellen Zahl für den [[Logarithmus]] auf den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexen Logarithmus]] bzw. deren Zweige zu übertragen. Die [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus]] spielt dabei bijektive Abbildungen eine besondere Rolle.

=== Periodizität der Exponentialfunktion ===

Der komplexe Logarithmus kann nicht eindeutig als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion &lt;math&gt; \exp: \mathbb{C} \to \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; festgelegt werden, da u.a. die Exponentialfunktion nicht injektiv ist und ein [[Zweig des Logarithmus]] von der Wahl des [[einfach zusammenhängend]]en Gebietes abhängt, auf dem der Logarithmus definiert ist. Es gilt für [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]]:
:&lt;math&gt;
\exp(w + 2\pi i) = \exp(w) = z\quad \text{für alle } w \in \mathbb{C}
&lt;/math&gt;

Daher gibt es unendlich viele komplexe Zahlen &lt;math&gt; w &lt;/math&gt;, die auf dieselbe Zahl &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; abgebildet werden. Diese Mehrdeutigkeit ist die Motivation, um Äquivalenzklassen zu bilden.

== Äquivalenzklassen des Logarithmus ==
Um Äquivalenzklassen zu bilden, benötigt man eine Äquivalenzrelation als Teilmenge von &lt;math&gt;\mathbb{C}\times \mathbb{C} &lt;/math&gt;, die zwei Elemente &lt;math&gt; w_1, w_2 \in \mathbb{C} &lt;/math&gt;, wenn deren Differenz ein ganzzahliges Vielfaches von &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; ist.

=== Definition - logmod-Äquivalenzrelation ===
Zwei komplexe Zahlen &lt;math&gt; w_1, w_2 \in \mathbb{C} &lt;/math&gt; heißen logmod-äquivalent modulo &lt;math&gt; 2\pi i &lt;/math&gt;, wenn gilt:
:&lt;math&gt;
w_1 - w_2 \in 2\pi i \cdot \mathbb{Z} := \{w\in \mathbb{C} \, : \, w=2\pi i \cdot k \mbox{ und } k\in \mathbb{Z} \}
&lt;/math&gt;

Formal notiert man diese Äquivalenz wie folgt:  

:&lt;math&gt;
w_1 \equiv w_2 \  \mathrm{logmod}\  {2\pi i}
&lt;/math&gt;

==== Aufgabe für Studierende ====
Zeigen Sie, dass diese Relation eine ''Äquivalenzrelation'' ist, d.h. die [[logmod-Funktion|logmod-Relation]] ist [[w:de:Äquivalenzrelation|reflexiv, symmetrisch und transitiv]].

=== Definition - logmod-Äquivalenzklasse ===
Für eine komplexe Zahl &lt;math&gt; w \in \mathbb{C} &lt;/math&gt; ist die Äquivalenzklasse definiert als:

:&lt;math&gt;
[w]_0 := \{ w + 2\pi i k \mid k \in \mathbb{Z} \}
&lt;/math&gt;

==== Bezeichnung - Äquivalenzklassenindex====
Die Indexierung mit &lt;math&gt; _0 &lt;/math&gt; deutet an, dass dies diese Äquivalenzklasse ohne Logarithmierung in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt; gebildet wurde. Bildet man rekursiv höhere Logarithmen als Verkettung entstehen Äquivalenzklassen &lt;math&gt;[w]_n&lt;/math&gt;, wobei &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-fach rekursiv der Logarithmus verkettet wird, falls dieser existiert.

== Verbindung mit der Exponentialfunktion ==

Da die Exponentialfunktion im Imaginärteil des Arguments eine Periodizität von &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; besitzt, entsprechen Äquivalenzklassen &lt;math&gt;[w]_0&lt;/math&gt; entsprechen einem Bildpunkt &lt;math&gt;z=e^w&lt;/math&gt;. Dieser Verbindung zwischen Exponentialfunktion und Logarithmus wird durch das LogMod-Äquivalenzklassenlemma festgehalten.

=== LogMod-Äquivalenzklassenlemma ===
Sei &lt;math&gt;w\in\mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;\mathrm{logmod}(w) = 0&lt;/math&gt; gegeben. Für eine feste komplexe Zahl &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; gilt folgende Äquivalenzaussage:
:&lt;math&gt;
 \exp(\widehat{w}) = z \quad \text{für alle } \widehat{w} \in [w]_0
 &lt;/math&gt;
genau dann, wenn &lt;math&gt; \exp(w) = z &lt;/math&gt;.

=== Beweis - LogMod-Äquivalenzlemma ===
Für &lt;math&gt; w\in \mathbb{D}_1 := \mathbb{R}\times i\cdot [0,2\pi)&lt;/math&gt; gelte &lt;math&gt;\exp(w)=z&lt;/math&gt;. Das LogMod-Äquivalenzlemma ist eine Äquivalenzaussage. Daher werden zwei Beweisrichtungen gezeigt:
\mbox{}
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{array}{llcl}
\mbox{ (LML1) }
 &amp; 
 \exp(\widehat{w}) = z  
 &amp;  
 \quad \Longrightarrow \quad 
 &amp; 
 \widehat{w} \in [w]_0
  \\ 
\mbox{ (LML2) }
 &amp; 
 \widehat{w} \in [w]_0
 &amp;  
 \quad \Longrightarrow \quad 
 &amp; 
 \exp(\widehat{w}) = z  
  \\ 
 \end{array}  
&lt;/math&gt;

==== Schritt 1 - Beweisrichtung LML1 ====
Sei &lt;math&gt; \widehat{w} \in \mathbb{C} &lt;/math&gt; mit &lt;math&gt; \exp(\widehat{w}) = z &lt;/math&gt; beliebig gewählt. Dann gilt mit der Voraussetzung &lt;math&gt; \exp(w) = z \not= 0&lt;/math&gt; und Potenzgesetzen:
:&lt;math&gt;
 1 = \frac{z}{z} = \frac{\widehat{w}}{\exp(\exp(w))} = \exp(\widehat{w}-w)
 &lt;/math&gt;
Die Gleichung &lt;math&gt;1 = \exp(\widehat{w}-w)&lt;/math&gt; gilt genau dann, wenn &lt;math&gt; w-\widehat{w} = 2\pi i \cdot k&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;k \in \mathbb{Z}&lt;/math&gt;. 

==== Schritt 2 - Beweisrichtung LML1 ====
Damit gilt auch  &lt;math&gt; w = \widehat{w} + 2\pi i \cdot k &lt;/math&gt;. Die ganze Zahl &lt;math&gt; k\in \mathbb{Z} &lt;/math&gt; ist durch die [[logmod-Funktion]] und es gilt &lt;math&gt;k= \mathrm{logmod}(\widehat{w})&lt;/math&gt;, da &lt;math&gt; w\in \mathbb{D}_1 = \mathbb{R} + i\cdot [0,2\pi) &lt;/math&gt; nach Voraussetzung gilt und man erhält &lt;math&gt;\widehat{w} \in [w]_0&lt;/math&gt;.

==== Schritt 3 - Äquivalenzklasse gegeben LML2 ====
Sei umgekehrt &lt;math&gt;\widehat{w} \in [w]_0&lt;/math&gt; gegeben. Dann gibt es nach Definition der Äquivalenzklasse ein &lt;math&gt; k := logmod(\widehat{w})\in \mathbb{Z} &lt;/math&gt; mit der Eigenschaft  &lt;math&gt;\widehat{w}:= w + 2\pi i k&lt;/math&gt;. Nun wen man diese Darstellung von &lt;math&gt;\widehat{w}&lt;/math&gt; auf die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] an und verwendet Periodizität &lt;math&gt;\exp&lt;/math&gt; bzgl. &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; und erhält:
:&lt;math&gt;
 \exp(\widehat{w}) =  \exp(w + 2\pi i k) = \exp(w) \cdot \exp(2\pi i k) = z \cdot 1 = z
&lt;/math&gt;

==== Schritt 4 - LML2 ====
Da &lt;math&gt;\widehat{w} \in [w]_0&lt;/math&gt; beliebig gewählt wurde, gilt für alle  &lt;math&gt; \widehat{w} \in [w]_0 &lt;/math&gt; die Eigenschaft &lt;math&gt; \exp(\widehat{w}) = z &lt;/math&gt; und zusammen mit LML1 gilt die Äquivalenzaussage aus dem Lemma &lt;math&gt;\quad \Box&lt;/math&gt;.

=== Folgerung - LogMod-Äquivalenzklassenlemma ====  
Fasst man zu einem gegebenen &lt;math&gt;z\in \mathbb{C}\setminus\{0\}&lt;/math&gt; die Menge alle komplexen Zahlen &lt;math&gt; \widehat{w} \in \mathbb{C} &lt;/math&gt; zu einer Menge zusammen, die die Eigenschaft &lt;math&gt; \exp(\widehat{w}) = z &lt;/math&gt; erfüllen, so erhält man die Äquivalenzklasse &lt;math&gt; [w]_0 &lt;/math&gt;, wobei &lt;math&gt; w &lt;/math&gt; eine beliebige Lösung von &lt;math&gt; \exp(w) = z &lt;/math&gt; ist. 

==== Bemerkung - LogMod-Äquivalenzklassenlemma ====  
Für die Äquivalenzklassenanalyse spielt das Repräsentatensystem &lt;math&gt;\mathbb{D}_1= \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi)&lt;/math&gt; eine besondere Rolle. DasRepräsentatensystem &lt;math&gt;\mathbb{D}_1&lt;/math&gt; entsteht durch [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus|algebraische Vervollständigkeit]] des [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweiges]] des [[Logarithmus]].

== Äquivalenzklassenaddition ==
Um die aus der reellen Analysis bekannten Rechenregeln auf Logarithmen in den komplexen Zahlen verwenden zu können werden Äquivalenzklassen verwendet.  Die Struktur und Gültigkeit der Rechenregeln wird in diesem Teil der Lerneinheit genauer untersucht.

=== komplexe Logarithmus als Lösungsmenge ===
Der komplexe Äquivalenzklassen-Logarithmus von &lt;math&gt; z &lt;/math&gt; bildet nicht auf ein Element in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt; ab, sondern auf ein Teilmenge von &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt;. Dies führt im weiteren Verlauf der Lehrveranstaltung zum Begriff des [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarithmus]]. Sei &lt;math&gt;w \in \mathbb{C}&lt;/math&gt; beliebig gewählt, dann definiert man &lt;math&gt;w_0 := w - \mathrm{logmod}(w)\cdot 2\pi i \in \mathbb{D}_1&lt;/math&gt; als Repräsentant der Restklasse &lt;math&gt; [w]_0&lt;/math&gt;.
:&lt;math&gt;
 \mathrm{lnr}_0(z) := \{ w \in \mathbb{C} \mid \exp(w) = z \} = [w]_0
&lt;/math&gt;
für ein beliebiges &lt;math&gt; w_0 \in \mathbb{D}_1 := \mathbb{R}+ i\cdot [0,2\pi)&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt; \exp(w_0) = z &lt;/math&gt;.

==== Beispiel 1 - Neutrales Element für Äquivalenklassenaddition ====
Algebraisch wird später &lt;math&gt;\mathbb{D}_1&lt;/math&gt; mit einer inneren Verknüpfung &lt;math&gt;\oplus&lt;/math&gt; zu einer kommunitative Gruppe. Daher wird das [[w:de:neutrales Element|neutrale Element]] von &lt;math&gt;\oplus&lt;/math&gt; als Beispieläquivalenzklasse genannt und in Beziehung zum Logarithmus gesetzt. Für &lt;math&gt; z = 1 &lt;/math&gt; ist der komplexe rekursive Logarithmus 
:&lt;math&gt; 
   \mathrm{lnr}_0(1) = \{ 2\pi i k \, : \,  k \in \mathbb{Z} \} = [0]_0 
&lt;/math&gt;

==== Beispiel 2 - Logarithmus der imaginären Einheit ====
Da zunächst die [[rekursiver Logarithmus|rekursive komplexe Logarithmen]] von elementaren komplexen Zahlen genannt. Wählt man &lt;math&gt; z = i &lt;/math&gt; so gilt &lt;math&gt; \exp\left(i \tfrac{\pi}{2}\right) = i &lt;/math&gt; und &lt;math&gt;i\tfrac{\pi}{2} \in \mathbb{D}_1&lt;/math&gt;. Bildet man nun den von  [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarithmus]] von  &lt;math&gt; z = i &lt;/math&gt; erhält man:

:&lt;math&gt;
  \mathrm{lnr}_0(i) = \left\{ i \left( \frac{\pi}{2} + 2\pi k \right) \mid k \in \mathbb{Z} \right\} = \left[ i \frac{\pi}{2} \right]_0
&lt;/math&gt;

==== Beispiel 3 - rekursiver Logarithmus von -1 ====
Ablschießend wird auch noch der [[rekursiver Logarithmus|rekursive komplexe Logarithmen]] von &lt;math&gt; z = -1 &lt;/math&gt; genannt. Wegen &lt;math&gt; \exp\left(i \pi \right) = -1 &lt;/math&gt; und &lt;math&gt;i \pi \in \mathbb{D}_1=\mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi) &lt;/math&gt; erhält man:

:&lt;math&gt;
  \mathrm{lnr}_0(-1) = \left\{ i \left( \pi + 2\pi k \right) \mid k \in \mathbb{Z} \right\} = \left[ i \pi \right]_0
&lt;/math&gt;

=== Repräsentantensystem ===

Um einen eindeutigen Funktionswert als Äquivalenzklasse zu erhalten, wählt man eine spezielles Repräsentantensystem &lt;math&gt;\mathbb{D}_1:= \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi) \subset \mathbb{C}&lt;/math&gt; um alle Äquivalenzklassen darstellen zu können. Dabei wird die [[logmod-Funktion]] verwendet, um für eine beliebige komplexe Zahl &lt;math&gt;w\in \mathbb{C}&lt;/math&gt; die zugehörigen Repräsentanten &lt;math&gt;w_0 \in\mathbb{D}_1&lt;/math&gt; über &lt;math&gt; w_0 = w - 2\pi i \cdot \mathrm{logmod}(w)&lt;/math&gt; zu bestimmen.

=== Definition - Äquivalenzklassenaddition ===

Für &lt;math&gt; z_1,z_2 \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; und  &lt;math&gt;w_1,w_2 \in\mathbb{D}_1&lt;/math&gt; gelte &lt;math&gt;\exp(z_1)=w_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\exp(z_2)=w_2&lt;/math&gt;. Man definiert nun die Äquivalenzklassenaddition &lt;math&gt;(\mathbb{D}_1,\oplus)&lt;/math&gt; wie folgt.
:&lt;math&gt;
[w_1]_0 \oplus [w_2]_0 := [w_1 + w_2]_0
&lt;/math&gt;

==== Bemerkung - Repräsentant der Äquivalenzklasse ====
Der Repräsentant &lt;math&gt;w_1 + w_2 &lt;/math&gt; der Äquivalenzklasse 
wobei &lt;math&gt;[w_1 + w_2]_0 &lt;/math&gt; liegt nicht notwendigerweise auch in &lt;math&gt;\mathbb{D}_1&lt;/math&gt;, was das folgende Beispiel zeigt.

==== Beispiel - Repräsentant bei additiver Verknüpfung ====
Wählt man &lt;math&gt; z_1 = z_2 = -i &lt;/math&gt;, so erhält man &lt;math&gt; w_1 = w_2 = \tfrac{3}{2}\pi i \in \mathbb{D}_1 &lt;/math&gt; und es gilt &lt;math&gt; w_1 + w_2 = 3\pi i \notin \mathbb{D}_1 &lt;/math&gt;. Möchte man den zugehörigen Repräsentanten aus &lt;math&gt;\mathbb{D}_1 &lt;/math&gt; bestimmen, verwendet man wieder die [[logmod-Funktion]]:
:&lt;math&gt;
[w_1]_0 \oplus [w_2]_0  = [w_1 + w_2]_0 = [w]_0 
&lt;/math&gt;
mit &lt;math&gt; w = w_1+w_2 - 2\pi i \cdot \mathrm{logmod}(w_1+w_2)&lt;/math&gt;

==== Bemerkung - Notation ====
Für die Addition der Äquivalenzklassen wird zur Abgrenzung zu additiven Verknüpfung in &lt;math&gt;+&lt;/math&gt; in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt; das Symbol &lt;math&gt;\oplus&lt;/math&gt; verwendet.
:&lt;math&gt;
\left[ 1+\frac{3}{2}\pi i \right]_0 \oplus \left[5+\frac{1}{2}\pi i \right]_0 = \left[ \left(1+\frac{3}{2}\pi i\right)  + \left(5+\frac{1}{2}\pi i\right) \right]_0 = [6+2\pi i]_0 = [6]_0 
&lt;/math&gt;
Im linken Term werden zwei Äquivalenzklassen addiert (daher &lt;math&gt;\oplus&lt;/math&gt;) und in den beiden rechten Termen ist das Standardaddition in den komplexen Zahlen.

== Rechenregeln für Äquivalenzklassen ==
Zunächst einmal muss man kurz die Repräsentantenunabhängigkeit der Äquivalenzklassenaddition auf &lt;math&gt;[\mathbb{D}_1]_0&lt;/math&gt; überprüfen:

=== Lemma zur Repräsentantenunabhängigkeit ===

=== (1) Exponentialfunktion und Logarithmus ===

* &lt;math&gt; \exp(\log(z)) = z &lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt;
* &lt;math&gt; \log(\exp(w)) = [w]_0 &lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt; w \in \mathbb{C} &lt;/math&gt;

&gt; '''Achtung:''' &lt;math&gt; \log(\exp(w)) &lt;/math&gt; ist '''keine Zahl''', sondern eine '''Äquivalenzklasse'''.

---

=== (2) Multiplikation und Logarithmus ===

Für &lt;math&gt; z_1, z_2 \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt;:


:&lt;math&gt;
\log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2)
&lt;/math&gt;

&gt; '''Interpretation:'''  
&gt; Die Summe zweier Äquivalenzklassen ist definiert als:
&gt; 
:&lt;math&gt;
&gt; [w_1]_0 + [w_2]_0 := [w_1 + w_2]_0
&gt; &lt;/math&gt;
&gt; und es gilt:
&gt; 
:&lt;math&gt;
&gt; \log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2)
&gt; &lt;/math&gt;

&gt; '''Beispiel:'''  
&gt; &lt;math&gt; z_1 = i &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; z_2 = i &lt;/math&gt; → &lt;math&gt; z_1 z_2 = -1 &lt;/math&gt;  
&gt; &lt;math&gt; \log(i) = \left[ i \frac{\pi}{2} \right]_0 &lt;/math&gt;,  
&gt; &lt;math&gt; \log(i) + \log(i) = \left[ i \pi \right]_0 &lt;/math&gt;,  
&gt; &lt;math&gt; \log(-1) = \left[ i \pi \right]_0 &lt;/math&gt; → stimmt.

---

=== (3) Potenzen und Logarithmus ===

Für &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; a \in \mathbb{C} &lt;/math&gt;:


:&lt;math&gt;
\log(z^a) = a \cdot \log(z) + 2\pi i k \quad \text{für ein } k \in \mathbb{Z}
&lt;/math&gt;

&gt; '''Aber:''' In der Äquivalenzklassen-Sicht gilt:
&gt; 
:&lt;math&gt;
&gt; \log(z^a) = a \cdot \log(z)
&gt; &lt;/math&gt;
&gt; wobei die Multiplikation einer Äquivalenzklasse mit einer komplexen Zahl definiert ist als:
&gt; 
:&lt;math&gt;
&gt; a \cdot [w]_0 := [a w]_0
&gt; &lt;/math&gt;

&gt; '''Beispiel:'''  
&gt; &lt;math&gt; z = i &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; a = 2 &lt;/math&gt; → &lt;math&gt; z^a = -1 &lt;/math&gt;  
&gt; &lt;math&gt; \log(z^a) = \log(-1) = [i\pi]_0 &lt;/math&gt;  
&gt; &lt;math&gt; a \cdot \log(z) = 2 \cdot [i \pi/2]_0 = [i\pi]_0 &lt;/math&gt; → stimmt.

---

=== (4) Addition von Logarithmen ===


:&lt;math&gt;
\log(z_1) + \log(z_2) = \log(z_1 z_2)
&lt;/math&gt;

&gt; '''Achtung:''' Dies ist '''nicht''' immer wahr, wenn man '''nicht''' mit Äquivalenzklassen arbeitet!  
&gt; Aber '''in der Klassen-Sicht''' ist es '''richtig'''.

&gt; '''Warum?''' Weil die Addition von Klassen kommutativ und assoziativ ist.

---

== 7. Zusammenhang mit Logarithmenzweigen ==

Ein '''Logarithmenzweig''' ist eine '''stetige Auswahl''' von Werten aus &lt;math&gt; \log(z) &lt;/math&gt;, d. h. eine Funktion &lt;math&gt; L: G \to \mathbb{C} &lt;/math&gt;, sodass &lt;math&gt; \exp(L(z)) = z &lt;/math&gt; und &lt;math&gt; L &lt;/math&gt; stetig auf einem Gebiet &lt;math&gt; G \subseteq \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt;.

&gt; '''Beispiel:'''  
&gt; Der '''Hauptzweig''' &lt;math&gt; \text{Log}(z) &lt;/math&gt; ist ein Logarithmenzweig auf &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus (-\infty, 0] &lt;/math&gt;.

&gt; '''Jeder Logarithmenzweig''' &lt;math&gt; L &lt;/math&gt; wählt '''einen Repräsentanten''' aus jeder Äquivalenzklasse &lt;math&gt; [w]_0 &lt;/math&gt;, nämlich &lt;math&gt; L(z) \in [w]_0 &lt;/math&gt;.

&gt; '''Zusammenhang:'''  
&gt; Die Menge aller Logarithmenzweige entspricht '''der Wahl einer Schnittlinie''' (Branch Cut), die verhindert, dass man um den Ursprung herumwandert und die Klasse wechselt.

---

== 8. Zusammenfassung: Struktur der Logarithmen ==

| Konzept | Beschreibung |
|--------|--------------|
| '''Äquivalenzklasse''' &lt;math&gt; [w]_0 &lt;/math&gt; | Menge aller &lt;math&gt; w + 2\pi i k &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; k \in \mathbb{Z} &lt;/math&gt; |
| '''Logarithmus von &lt;math&gt; z &lt;/math&gt;''' | &lt;math&gt; \log(z) = [w]_0 &lt;/math&gt;, wobei &lt;math&gt; \exp(w) = z &lt;/math&gt; |
| '''Hauptzweig''' | &lt;math&gt; \text{Log}(z) \in \log(z) &lt;/math&gt;, mit &lt;math&gt; \text{Arg}(z) \in (-\pi, \pi] &lt;/math&gt; |
| '''Rechenregeln''' | &lt;math&gt; \log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2) &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; \log(z^a) = a \cdot \log(z) &lt;/math&gt; (in Klassen) |
| '''Exponentialfunktion''' | &lt;math&gt; \exp(\log(z)) = z &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; \log(\exp(w)) = [w]_0 &lt;/math&gt; |

---

== 9. Übungsaufgaben ==

1. Zeige, dass &lt;math&gt; \log(-1) = [i\pi]_0 &lt;/math&gt;.
2. Berechne &lt;math&gt; \log(i) + \log(i) &lt;/math&gt; und vergleiche mit &lt;math&gt; \log(-1) &lt;/math&gt;.
3. Zeige, dass &lt;math&gt; \log(z^2) = 2 \log(z) &lt;/math&gt; in der Klassen-Sicht gilt.
4. Warum ist &lt;math&gt; \log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2) &lt;/math&gt; '''nicht''' immer wahr, wenn man nur Zahlen verwendet?
5. Definiere einen anderen Logarithmenzweig auf &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus [0, \infty) &lt;/math&gt;, der &lt;math&gt; \log(z) \in [i \cdot 0]_0 &lt;/math&gt; für &lt;math&gt; z = 1 &lt;/math&gt; wählt.

---

== Lernziel ==

Du kannst:
* den komplexen Logarithmus als '''Äquivalenzklasse''' verstehen,
* die '''Rechenregeln''' für Logarithmen in der Klassen-Sicht korrekt anwenden,
* den Zusammenhang zwischen '''Exponentialfunktion''', '''Logarithmenzweigen''' und '''Äquivalenzklassen''' erklären,
* die '''Mehrdeutigkeit''' des Logarithmus strukturiert darstellen.

---

'''Ende der Lerneinheit'''

&gt; '''Zusammenfassungssatz:'''  
&gt; *Der komplexe Logarithmus von &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; ist die Äquivalenzklasse &lt;math&gt; [w]_0 &lt;/math&gt;, wobei &lt;math&gt; \exp(w) = z &lt;/math&gt;. Diese Klasse ist genau die Menge aller Lösungen von &lt;math&gt; \exp(w) = z &lt;/math&gt;. Alle Rechenregeln gelten in der Klassen-Sicht: &lt;math&gt; \log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2) &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; \log(z^a) = a \cdot \log(z) &lt;/math&gt;, und &lt;math&gt; \exp(\log(z)) = z &lt;/math&gt;.*
== Siehe auch ==
* [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexer Logarithmus]]
* [[negativer Hauptzweig des Logarithmus]]</text>
      <sha1>pm7it8b0u7lx5mycm3srxjg8u1uujvb</sha1>
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    <revision>
      <id>1116130</id>
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      <timestamp>2026-10-15T06:42:51Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bert Niehaus</username>
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      <comment>/* Definition - Äquivalenzklassenaddition */</comment>
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      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="17269" sha1="lurix96ykbgz83y3r4hrxw730apf6x7" xml:space="preserve">== Einleitung == 
Diese Lerneinheit zu [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmen]] beschäftigt sich Äquivalenzklassen, deren Struktur und  Rechenregeln, die durch den Zusammenhang mit der Exponentialfunktion und deren imaginärer &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt;-Periodizität entsteht. Die Äquivalenzklassen helfen dabei, [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen#Rechenregeln|Rechenregeln]] aus den reellen Zahl für den [[Logarithmus]] auf den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexen Logarithmus]] bzw. deren Zweige zu übertragen. Die [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus]] spielt dabei bijektive Abbildungen eine besondere Rolle.

=== Periodizität der Exponentialfunktion ===

Der komplexe Logarithmus kann nicht eindeutig als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion &lt;math&gt; \exp: \mathbb{C} \to \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; festgelegt werden, da u.a. die Exponentialfunktion nicht injektiv ist und ein [[Zweig des Logarithmus]] von der Wahl des [[einfach zusammenhängend]]en Gebietes abhängt, auf dem der Logarithmus definiert ist. Es gilt für [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]]:
:&lt;math&gt;
\exp(w + 2\pi i) = \exp(w) = z\quad \text{für alle } w \in \mathbb{C}
&lt;/math&gt;

Daher gibt es unendlich viele komplexe Zahlen &lt;math&gt; w &lt;/math&gt;, die auf dieselbe Zahl &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; abgebildet werden. Diese Mehrdeutigkeit ist die Motivation, um Äquivalenzklassen zu bilden.

== Äquivalenzklassen des Logarithmus ==
Um Äquivalenzklassen zu bilden, benötigt man eine Äquivalenzrelation als Teilmenge von &lt;math&gt;\mathbb{C}\times \mathbb{C} &lt;/math&gt;, die zwei Elemente &lt;math&gt; w_1, w_2 \in \mathbb{C} &lt;/math&gt;, wenn deren Differenz ein ganzzahliges Vielfaches von &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; ist.

=== Definition - logmod-Äquivalenzrelation ===
Zwei komplexe Zahlen &lt;math&gt; w_1, w_2 \in \mathbb{C} &lt;/math&gt; heißen logmod-äquivalent modulo &lt;math&gt; 2\pi i &lt;/math&gt;, wenn gilt:
:&lt;math&gt;
w_1 - w_2 \in 2\pi i \cdot \mathbb{Z} := \{w\in \mathbb{C} \, : \, w=2\pi i \cdot k \mbox{ und } k\in \mathbb{Z} \}
&lt;/math&gt;

Formal notiert man diese Äquivalenz wie folgt:  

:&lt;math&gt;
w_1 \equiv w_2 \  \mathrm{logmod}\  {2\pi i}
&lt;/math&gt;

==== Aufgabe für Studierende ====
Zeigen Sie, dass diese Relation eine ''Äquivalenzrelation'' ist, d.h. die [[logmod-Funktion|logmod-Relation]] ist [[w:de:Äquivalenzrelation|reflexiv, symmetrisch und transitiv]].

=== Definition - logmod-Äquivalenzklasse ===
Für eine komplexe Zahl &lt;math&gt; w \in \mathbb{C} &lt;/math&gt; ist die Äquivalenzklasse definiert als:

:&lt;math&gt;
[w]_0 := \{ w + 2\pi i k \mid k \in \mathbb{Z} \}
&lt;/math&gt;

==== Bezeichnung - Äquivalenzklassenindex====
Die Indexierung mit &lt;math&gt; _0 &lt;/math&gt; deutet an, dass dies diese Äquivalenzklasse ohne Logarithmierung in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt; gebildet wurde. Bildet man rekursiv höhere Logarithmen als Verkettung entstehen Äquivalenzklassen &lt;math&gt;[w]_n&lt;/math&gt;, wobei &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-fach rekursiv der Logarithmus verkettet wird, falls dieser existiert.

== Verbindung mit der Exponentialfunktion ==

Da die Exponentialfunktion im Imaginärteil des Arguments eine Periodizität von &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; besitzt, entsprechen Äquivalenzklassen &lt;math&gt;[w]_0&lt;/math&gt; entsprechen einem Bildpunkt &lt;math&gt;z=e^w&lt;/math&gt;. Dieser Verbindung zwischen Exponentialfunktion und Logarithmus wird durch das LogMod-Äquivalenzklassenlemma festgehalten.

=== LogMod-Äquivalenzklassenlemma ===
Sei &lt;math&gt;w\in\mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;\mathrm{logmod}(w) = 0&lt;/math&gt; gegeben. Für eine feste komplexe Zahl &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; gilt folgende Äquivalenzaussage:
:&lt;math&gt;
 \exp(\widehat{w}) = z \quad \text{für alle } \widehat{w} \in [w]_0
 &lt;/math&gt;
genau dann, wenn &lt;math&gt; \exp(w) = z &lt;/math&gt;.

=== Beweis - LogMod-Äquivalenzlemma ===
Für &lt;math&gt; w\in \mathbb{D}_1 := \mathbb{R}\times i\cdot [0,2\pi)&lt;/math&gt; gelte &lt;math&gt;\exp(w)=z&lt;/math&gt;. Das LogMod-Äquivalenzlemma ist eine Äquivalenzaussage. Daher werden zwei Beweisrichtungen gezeigt:
\mbox{}
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{array}{llcl}
\mbox{ (LML1) }
 &amp; 
 \exp(\widehat{w}) = z  
 &amp;  
 \quad \Longrightarrow \quad 
 &amp; 
 \widehat{w} \in [w]_0
  \\ 
\mbox{ (LML2) }
 &amp; 
 \widehat{w} \in [w]_0
 &amp;  
 \quad \Longrightarrow \quad 
 &amp; 
 \exp(\widehat{w}) = z  
  \\ 
 \end{array}  
&lt;/math&gt;

==== Schritt 1 - Beweisrichtung LML1 ====
Sei &lt;math&gt; \widehat{w} \in \mathbb{C} &lt;/math&gt; mit &lt;math&gt; \exp(\widehat{w}) = z &lt;/math&gt; beliebig gewählt. Dann gilt mit der Voraussetzung &lt;math&gt; \exp(w) = z \not= 0&lt;/math&gt; und Potenzgesetzen:
:&lt;math&gt;
 1 = \frac{z}{z} = \frac{\widehat{w}}{\exp(\exp(w))} = \exp(\widehat{w}-w)
 &lt;/math&gt;
Die Gleichung &lt;math&gt;1 = \exp(\widehat{w}-w)&lt;/math&gt; gilt genau dann, wenn &lt;math&gt; w-\widehat{w} = 2\pi i \cdot k&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;k \in \mathbb{Z}&lt;/math&gt;. 

==== Schritt 2 - Beweisrichtung LML1 ====
Damit gilt auch  &lt;math&gt; w = \widehat{w} + 2\pi i \cdot k &lt;/math&gt;. Die ganze Zahl &lt;math&gt; k\in \mathbb{Z} &lt;/math&gt; ist durch die [[logmod-Funktion]] und es gilt &lt;math&gt;k= \mathrm{logmod}(\widehat{w})&lt;/math&gt;, da &lt;math&gt; w\in \mathbb{D}_1 = \mathbb{R} + i\cdot [0,2\pi) &lt;/math&gt; nach Voraussetzung gilt und man erhält &lt;math&gt;\widehat{w} \in [w]_0&lt;/math&gt;.

==== Schritt 3 - Äquivalenzklasse gegeben LML2 ====
Sei umgekehrt &lt;math&gt;\widehat{w} \in [w]_0&lt;/math&gt; gegeben. Dann gibt es nach Definition der Äquivalenzklasse ein &lt;math&gt; k := logmod(\widehat{w})\in \mathbb{Z} &lt;/math&gt; mit der Eigenschaft  &lt;math&gt;\widehat{w}:= w + 2\pi i k&lt;/math&gt;. Nun wen man diese Darstellung von &lt;math&gt;\widehat{w}&lt;/math&gt; auf die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] an und verwendet Periodizität &lt;math&gt;\exp&lt;/math&gt; bzgl. &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; und erhält:
:&lt;math&gt;
 \exp(\widehat{w}) =  \exp(w + 2\pi i k) = \exp(w) \cdot \exp(2\pi i k) = z \cdot 1 = z
&lt;/math&gt;

==== Schritt 4 - LML2 ====
Da &lt;math&gt;\widehat{w} \in [w]_0&lt;/math&gt; beliebig gewählt wurde, gilt für alle  &lt;math&gt; \widehat{w} \in [w]_0 &lt;/math&gt; die Eigenschaft &lt;math&gt; \exp(\widehat{w}) = z &lt;/math&gt; und zusammen mit LML1 gilt die Äquivalenzaussage aus dem Lemma &lt;math&gt;\quad \Box&lt;/math&gt;.

=== Folgerung - LogMod-Äquivalenzklassenlemma ====  
Fasst man zu einem gegebenen &lt;math&gt;z\in \mathbb{C}\setminus\{0\}&lt;/math&gt; die Menge alle komplexen Zahlen &lt;math&gt; \widehat{w} \in \mathbb{C} &lt;/math&gt; zu einer Menge zusammen, die die Eigenschaft &lt;math&gt; \exp(\widehat{w}) = z &lt;/math&gt; erfüllen, so erhält man die Äquivalenzklasse &lt;math&gt; [w]_0 &lt;/math&gt;, wobei &lt;math&gt; w &lt;/math&gt; eine beliebige Lösung von &lt;math&gt; \exp(w) = z &lt;/math&gt; ist. 

==== Bemerkung - LogMod-Äquivalenzklassenlemma ====  
Für die Äquivalenzklassenanalyse spielt das Repräsentatensystem &lt;math&gt;\mathbb{D}_1= \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi)&lt;/math&gt; eine besondere Rolle. DasRepräsentatensystem &lt;math&gt;\mathbb{D}_1&lt;/math&gt; entsteht durch [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus|algebraische Vervollständigkeit]] des [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweiges]] des [[Logarithmus]].

== Äquivalenzklassenaddition ==
Um die aus der reellen Analysis bekannten Rechenregeln auf Logarithmen in den komplexen Zahlen verwenden zu können werden Äquivalenzklassen verwendet.  Die Struktur und Gültigkeit der Rechenregeln wird in diesem Teil der Lerneinheit genauer untersucht.

=== komplexe Logarithmus als Lösungsmenge ===
Der komplexe Äquivalenzklassen-Logarithmus von &lt;math&gt; z &lt;/math&gt; bildet nicht auf ein Element in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt; ab, sondern auf ein Teilmenge von &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt;. Dies führt im weiteren Verlauf der Lehrveranstaltung zum Begriff des [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarithmus]]. Sei &lt;math&gt;w \in \mathbb{C}&lt;/math&gt; beliebig gewählt, dann definiert man &lt;math&gt;w_0 := w - \mathrm{logmod}(w)\cdot 2\pi i \in \mathbb{D}_1&lt;/math&gt; als Repräsentant der Restklasse &lt;math&gt; [w]_0&lt;/math&gt;.
:&lt;math&gt;
 \mathrm{lnr}_0(z) := \{ w \in \mathbb{C} \mid \exp(w) = z \} = [w]_0
&lt;/math&gt;
für ein beliebiges &lt;math&gt; w_0 \in \mathbb{D}_1 := \mathbb{R}+ i\cdot [0,2\pi)&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt; \exp(w_0) = z &lt;/math&gt;.

==== Beispiel 1 - Neutrales Element für Äquivalenklassenaddition ====
Algebraisch wird später &lt;math&gt;\mathbb{D}_1&lt;/math&gt; mit einer inneren Verknüpfung &lt;math&gt;\oplus&lt;/math&gt; zu einer kommunitative Gruppe. Daher wird das [[w:de:neutrales Element|neutrale Element]] von &lt;math&gt;\oplus&lt;/math&gt; als Beispieläquivalenzklasse genannt und in Beziehung zum Logarithmus gesetzt. Für &lt;math&gt; z = 1 &lt;/math&gt; ist der komplexe rekursive Logarithmus 
:&lt;math&gt; 
   \mathrm{lnr}_0(1) = \{ 2\pi i k \, : \,  k \in \mathbb{Z} \} = [0]_0 
&lt;/math&gt;

==== Beispiel 2 - Logarithmus der imaginären Einheit ====
Da zunächst die [[rekursiver Logarithmus|rekursive komplexe Logarithmen]] von elementaren komplexen Zahlen genannt. Wählt man &lt;math&gt; z = i &lt;/math&gt; so gilt &lt;math&gt; \exp\left(i \tfrac{\pi}{2}\right) = i &lt;/math&gt; und &lt;math&gt;i\tfrac{\pi}{2} \in \mathbb{D}_1&lt;/math&gt;. Bildet man nun den von  [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarithmus]] von  &lt;math&gt; z = i &lt;/math&gt; erhält man:

:&lt;math&gt;
  \mathrm{lnr}_0(i) = \left\{ i \left( \frac{\pi}{2} + 2\pi k \right) \mid k \in \mathbb{Z} \right\} = \left[ i \frac{\pi}{2} \right]_0
&lt;/math&gt;

==== Beispiel 3 - rekursiver Logarithmus von -1 ====
Ablschießend wird auch noch der [[rekursiver Logarithmus|rekursive komplexe Logarithmen]] von &lt;math&gt; z = -1 &lt;/math&gt; genannt. Wegen &lt;math&gt; \exp\left(i \pi \right) = -1 &lt;/math&gt; und &lt;math&gt;i \pi \in \mathbb{D}_1=\mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi) &lt;/math&gt; erhält man:

:&lt;math&gt;
  \mathrm{lnr}_0(-1) = \left\{ i \left( \pi + 2\pi k \right) \mid k \in \mathbb{Z} \right\} = \left[ i \pi \right]_0
&lt;/math&gt;

=== Repräsentantensystem ===

Um einen eindeutigen Funktionswert als Äquivalenzklasse zu erhalten, wählt man eine spezielles Repräsentantensystem &lt;math&gt;\mathbb{D}_1:= \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi) \subset \mathbb{C}&lt;/math&gt; um alle Äquivalenzklassen darstellen zu können. Dabei wird die [[logmod-Funktion]] verwendet, um für eine beliebige komplexe Zahl &lt;math&gt;w\in \mathbb{C}&lt;/math&gt; die zugehörigen Repräsentanten &lt;math&gt;w_0 \in\mathbb{D}_1&lt;/math&gt; über &lt;math&gt; w_0 = w - 2\pi i \cdot \mathrm{logmod}(w)&lt;/math&gt; zu bestimmen.

&lt;span id=&quot;Definition&quot;&gt;
=== Definition - logmod-Äquivalenzklassenaddition ===

Für &lt;math&gt; z_1,z_2 \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; und  &lt;math&gt;w_1,w_2 \in\mathbb{D}_1&lt;/math&gt; gelte &lt;math&gt;\exp(z_1)=w_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\exp(z_2)=w_2&lt;/math&gt;. Man definiert nun die Äquivalenzklassenaddition &lt;math&gt;(\mathbb{D}_1,\oplus)&lt;/math&gt; wie folgt.
:&lt;math&gt;
[w_1]_0 \oplus [w_2]_0 := [w_1 + w_2]_0
&lt;/math&gt;

==== Bemerkung - Repräsentant der Äquivalenzklasse ====
Der Repräsentant &lt;math&gt;w_1 + w_2 &lt;/math&gt; der Äquivalenzklasse 
wobei &lt;math&gt;[w_1 + w_2]_0 &lt;/math&gt; liegt nicht notwendigerweise auch in &lt;math&gt;\mathbb{D}_1&lt;/math&gt;, was das folgende Beispiel zeigt.

==== Beispiel - Repräsentant bei additiver Verknüpfung ====
Wählt man &lt;math&gt; z_1 = z_2 = -i &lt;/math&gt;, so erhält man &lt;math&gt; w_1 = w_2 = \tfrac{3}{2}\pi i \in \mathbb{D}_1 &lt;/math&gt; und es gilt &lt;math&gt; w_1 + w_2 = 3\pi i \notin \mathbb{D}_1 &lt;/math&gt;. Möchte man den zugehörigen Repräsentanten aus &lt;math&gt;\mathbb{D}_1 &lt;/math&gt; bestimmen, verwendet man wieder die [[logmod-Funktion]]:
:&lt;math&gt;
[w_1]_0 \oplus [w_2]_0  = [w_1 + w_2]_0 = [w]_0 
&lt;/math&gt;
mit &lt;math&gt; w = w_1+w_2 - 2\pi i \cdot \mathrm{logmod}(w_1+w_2)&lt;/math&gt;

==== Bemerkung - Notation ====
Für die Addition &lt;math&gt;\oplus&lt;/math&gt; der [[logmod-Äquivalenzklassen]] wird zur Abgrenzung zu additiven Verknüpfung in &lt;math&gt;+&lt;/math&gt; in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt; das Symbol &lt;math&gt;\oplus&lt;/math&gt; verwendet.
:&lt;math&gt;
\left[ 1+\frac{3}{2}\pi i \right]_0 \oplus \left[5+\frac{1}{2}\pi i \right]_0 = \left[ \left(1+\frac{3}{2}\pi i\right)  + \left(5+\frac{1}{2}\pi i\right) \right]_0 = [6+2\pi i]_0 = [6]_0 
&lt;/math&gt;
Im linken Term werden zwei Äquivalenzklassen addiert (daher &lt;math&gt;\oplus&lt;/math&gt;) und in den beiden rechten Termen ist das Standardaddition in den komplexen Zahlen.

== Rechenregeln für Äquivalenzklassen ==
Zunächst einmal muss man kurz die Repräsentantenunabhängigkeit der Äquivalenzklassenaddition auf &lt;math&gt;[\mathbb{D}_1]_0&lt;/math&gt; überprüfen:

=== Lemma zur Repräsentantenunabhängigkeit ===

=== (1) Exponentialfunktion und Logarithmus ===

* &lt;math&gt; \exp(\log(z)) = z &lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt;
* &lt;math&gt; \log(\exp(w)) = [w]_0 &lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt; w \in \mathbb{C} &lt;/math&gt;

&gt; '''Achtung:''' &lt;math&gt; \log(\exp(w)) &lt;/math&gt; ist '''keine Zahl''', sondern eine '''Äquivalenzklasse'''.

---

=== (2) Multiplikation und Logarithmus ===

Für &lt;math&gt; z_1, z_2 \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt;:


:&lt;math&gt;
\log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2)
&lt;/math&gt;

&gt; '''Interpretation:'''  
&gt; Die Summe zweier Äquivalenzklassen ist definiert als:
&gt; 
:&lt;math&gt;
&gt; [w_1]_0 + [w_2]_0 := [w_1 + w_2]_0
&gt; &lt;/math&gt;
&gt; und es gilt:
&gt; 
:&lt;math&gt;
&gt; \log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2)
&gt; &lt;/math&gt;

&gt; '''Beispiel:'''  
&gt; &lt;math&gt; z_1 = i &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; z_2 = i &lt;/math&gt; → &lt;math&gt; z_1 z_2 = -1 &lt;/math&gt;  
&gt; &lt;math&gt; \log(i) = \left[ i \frac{\pi}{2} \right]_0 &lt;/math&gt;,  
&gt; &lt;math&gt; \log(i) + \log(i) = \left[ i \pi \right]_0 &lt;/math&gt;,  
&gt; &lt;math&gt; \log(-1) = \left[ i \pi \right]_0 &lt;/math&gt; → stimmt.

---

=== (3) Potenzen und Logarithmus ===

Für &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; a \in \mathbb{C} &lt;/math&gt;:


:&lt;math&gt;
\log(z^a) = a \cdot \log(z) + 2\pi i k \quad \text{für ein } k \in \mathbb{Z}
&lt;/math&gt;

&gt; '''Aber:''' In der Äquivalenzklassen-Sicht gilt:
&gt; 
:&lt;math&gt;
&gt; \log(z^a) = a \cdot \log(z)
&gt; &lt;/math&gt;
&gt; wobei die Multiplikation einer Äquivalenzklasse mit einer komplexen Zahl definiert ist als:
&gt; 
:&lt;math&gt;
&gt; a \cdot [w]_0 := [a w]_0
&gt; &lt;/math&gt;

&gt; '''Beispiel:'''  
&gt; &lt;math&gt; z = i &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; a = 2 &lt;/math&gt; → &lt;math&gt; z^a = -1 &lt;/math&gt;  
&gt; &lt;math&gt; \log(z^a) = \log(-1) = [i\pi]_0 &lt;/math&gt;  
&gt; &lt;math&gt; a \cdot \log(z) = 2 \cdot [i \pi/2]_0 = [i\pi]_0 &lt;/math&gt; → stimmt.

---

=== (4) Addition von Logarithmen ===


:&lt;math&gt;
\log(z_1) + \log(z_2) = \log(z_1 z_2)
&lt;/math&gt;

&gt; '''Achtung:''' Dies ist '''nicht''' immer wahr, wenn man '''nicht''' mit Äquivalenzklassen arbeitet!  
&gt; Aber '''in der Klassen-Sicht''' ist es '''richtig'''.

&gt; '''Warum?''' Weil die Addition von Klassen kommutativ und assoziativ ist.

---

== 7. Zusammenhang mit Logarithmenzweigen ==

Ein '''Logarithmenzweig''' ist eine '''stetige Auswahl''' von Werten aus &lt;math&gt; \log(z) &lt;/math&gt;, d. h. eine Funktion &lt;math&gt; L: G \to \mathbb{C} &lt;/math&gt;, sodass &lt;math&gt; \exp(L(z)) = z &lt;/math&gt; und &lt;math&gt; L &lt;/math&gt; stetig auf einem Gebiet &lt;math&gt; G \subseteq \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt;.

&gt; '''Beispiel:'''  
&gt; Der '''Hauptzweig''' &lt;math&gt; \text{Log}(z) &lt;/math&gt; ist ein Logarithmenzweig auf &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus (-\infty, 0] &lt;/math&gt;.

&gt; '''Jeder Logarithmenzweig''' &lt;math&gt; L &lt;/math&gt; wählt '''einen Repräsentanten''' aus jeder Äquivalenzklasse &lt;math&gt; [w]_0 &lt;/math&gt;, nämlich &lt;math&gt; L(z) \in [w]_0 &lt;/math&gt;.

&gt; '''Zusammenhang:'''  
&gt; Die Menge aller Logarithmenzweige entspricht '''der Wahl einer Schnittlinie''' (Branch Cut), die verhindert, dass man um den Ursprung herumwandert und die Klasse wechselt.

---

== 8. Zusammenfassung: Struktur der Logarithmen ==

| Konzept | Beschreibung |
|--------|--------------|
| '''Äquivalenzklasse''' &lt;math&gt; [w]_0 &lt;/math&gt; | Menge aller &lt;math&gt; w + 2\pi i k &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; k \in \mathbb{Z} &lt;/math&gt; |
| '''Logarithmus von &lt;math&gt; z &lt;/math&gt;''' | &lt;math&gt; \log(z) = [w]_0 &lt;/math&gt;, wobei &lt;math&gt; \exp(w) = z &lt;/math&gt; |
| '''Hauptzweig''' | &lt;math&gt; \text{Log}(z) \in \log(z) &lt;/math&gt;, mit &lt;math&gt; \text{Arg}(z) \in (-\pi, \pi] &lt;/math&gt; |
| '''Rechenregeln''' | &lt;math&gt; \log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2) &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; \log(z^a) = a \cdot \log(z) &lt;/math&gt; (in Klassen) |
| '''Exponentialfunktion''' | &lt;math&gt; \exp(\log(z)) = z &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; \log(\exp(w)) = [w]_0 &lt;/math&gt; |

---

== 9. Übungsaufgaben ==

1. Zeige, dass &lt;math&gt; \log(-1) = [i\pi]_0 &lt;/math&gt;.
2. Berechne &lt;math&gt; \log(i) + \log(i) &lt;/math&gt; und vergleiche mit &lt;math&gt; \log(-1) &lt;/math&gt;.
3. Zeige, dass &lt;math&gt; \log(z^2) = 2 \log(z) &lt;/math&gt; in der Klassen-Sicht gilt.
4. Warum ist &lt;math&gt; \log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2) &lt;/math&gt; '''nicht''' immer wahr, wenn man nur Zahlen verwendet?
5. Definiere einen anderen Logarithmenzweig auf &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus [0, \infty) &lt;/math&gt;, der &lt;math&gt; \log(z) \in [i \cdot 0]_0 &lt;/math&gt; für &lt;math&gt; z = 1 &lt;/math&gt; wählt.

---

== Lernziel ==

Du kannst:
* den komplexen Logarithmus als '''Äquivalenzklasse''' verstehen,
* die '''Rechenregeln''' für Logarithmen in der Klassen-Sicht korrekt anwenden,
* den Zusammenhang zwischen '''Exponentialfunktion''', '''Logarithmenzweigen''' und '''Äquivalenzklassen''' erklären,
* die '''Mehrdeutigkeit''' des Logarithmus strukturiert darstellen.

---

'''Ende der Lerneinheit'''

&gt; '''Zusammenfassungssatz:'''  
&gt; *Der komplexe Logarithmus von &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; ist die Äquivalenzklasse &lt;math&gt; [w]_0 &lt;/math&gt;, wobei &lt;math&gt; \exp(w) = z &lt;/math&gt;. Diese Klasse ist genau die Menge aller Lösungen von &lt;math&gt; \exp(w) = z &lt;/math&gt;. Alle Rechenregeln gelten in der Klassen-Sicht: &lt;math&gt; \log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2) &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; \log(z^a) = a \cdot \log(z) &lt;/math&gt;, und &lt;math&gt; \exp(\log(z)) = z &lt;/math&gt;.*
== Siehe auch ==
* [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexer Logarithmus]]
* [[negativer Hauptzweig des Logarithmus]]</text>
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      <contributor>
        <username>Bert Niehaus</username>
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      <text bytes="17301" sha1="gxqnei8wvwo7fabizmc5p78x0097ham" xml:space="preserve">== Einleitung == 
Diese Lerneinheit zu [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmen]] beschäftigt sich Äquivalenzklassen, deren Struktur und  Rechenregeln, die durch den Zusammenhang mit der Exponentialfunktion und deren imaginärer &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt;-Periodizität entsteht. Die Äquivalenzklassen helfen dabei, [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen#Rechenregeln|Rechenregeln]] aus den reellen Zahl für den [[Logarithmus]] auf den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexen Logarithmus]] bzw. deren Zweige zu übertragen. Die [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus]] spielt dabei bijektive Abbildungen eine besondere Rolle.

=== Periodizität der Exponentialfunktion ===

Der komplexe Logarithmus kann nicht eindeutig als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion &lt;math&gt; \exp: \mathbb{C} \to \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; festgelegt werden, da u.a. die Exponentialfunktion nicht injektiv ist und ein [[Zweig des Logarithmus]] von der Wahl des [[einfach zusammenhängend]]en Gebietes abhängt, auf dem der Logarithmus definiert ist. Es gilt für [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]]:
:&lt;math&gt;
\exp(w + 2\pi i) = \exp(w) = z\quad \text{für alle } w \in \mathbb{C}
&lt;/math&gt;

Daher gibt es unendlich viele komplexe Zahlen &lt;math&gt; w &lt;/math&gt;, die auf dieselbe Zahl &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; abgebildet werden. Diese Mehrdeutigkeit ist die Motivation, um Äquivalenzklassen zu bilden.

== Äquivalenzklassen des Logarithmus ==
Um Äquivalenzklassen zu bilden, benötigt man eine Äquivalenzrelation als Teilmenge von &lt;math&gt;\mathbb{C}\times \mathbb{C} &lt;/math&gt;, die zwei Elemente &lt;math&gt; w_1, w_2 \in \mathbb{C} &lt;/math&gt;, wenn deren Differenz ein ganzzahliges Vielfaches von &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; ist.

=== Definition - logmod-Äquivalenzrelation ===
Zwei komplexe Zahlen &lt;math&gt; w_1, w_2 \in \mathbb{C} &lt;/math&gt; heißen logmod-äquivalent modulo &lt;math&gt; 2\pi i &lt;/math&gt;, wenn gilt:
:&lt;math&gt;
w_1 - w_2 \in 2\pi i \cdot \mathbb{Z} := \{w\in \mathbb{C} \, : \, w=2\pi i \cdot k \mbox{ und } k\in \mathbb{Z} \}
&lt;/math&gt;

Formal notiert man diese Äquivalenz wie folgt:  

:&lt;math&gt;
w_1 \equiv w_2 \  \mathrm{logmod}\  {2\pi i}
&lt;/math&gt;

==== Aufgabe für Studierende ====
Zeigen Sie, dass diese Relation eine ''Äquivalenzrelation'' ist, d.h. die [[logmod-Funktion|logmod-Relation]] ist [[w:de:Äquivalenzrelation|reflexiv, symmetrisch und transitiv]].

=== Definition - logmod-Äquivalenzklasse ===
Für eine komplexe Zahl &lt;math&gt; w \in \mathbb{C} &lt;/math&gt; ist die Äquivalenzklasse definiert als:

:&lt;math&gt;
[w]_0 := \{ w + 2\pi i k \mid k \in \mathbb{Z} \}
&lt;/math&gt;

==== Bezeichnung - Äquivalenzklassenindex====
Die Indexierung mit &lt;math&gt; _0 &lt;/math&gt; deutet an, dass dies diese Äquivalenzklasse ohne Logarithmierung in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt; gebildet wurde. Bildet man rekursiv höhere Logarithmen als Verkettung entstehen Äquivalenzklassen &lt;math&gt;[w]_n&lt;/math&gt;, wobei &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-fach rekursiv der Logarithmus verkettet wird, falls dieser existiert.

== Verbindung mit der Exponentialfunktion ==

Da die Exponentialfunktion im Imaginärteil des Arguments eine Periodizität von &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; besitzt, entsprechen Äquivalenzklassen &lt;math&gt;[w]_0&lt;/math&gt; entsprechen einem Bildpunkt &lt;math&gt;z=e^w&lt;/math&gt;. Dieser Verbindung zwischen Exponentialfunktion und Logarithmus wird durch das LogMod-Äquivalenzklassenlemma festgehalten.

=== LogMod-Äquivalenzklassenlemma ===
Sei &lt;math&gt;w\in\mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;\mathrm{logmod}(w) = 0&lt;/math&gt; gegeben. Für eine feste komplexe Zahl &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; gilt folgende Äquivalenzaussage:
:&lt;math&gt;
 \exp(\widehat{w}) = z \quad \text{für alle } \widehat{w} \in [w]_0
 &lt;/math&gt;
genau dann, wenn &lt;math&gt; \exp(w) = z &lt;/math&gt;.

=== Beweis - LogMod-Äquivalenzlemma ===
Für &lt;math&gt; w\in \mathbb{D}_1 := \mathbb{R}\times i\cdot [0,2\pi)&lt;/math&gt; gelte &lt;math&gt;\exp(w)=z&lt;/math&gt;. Das LogMod-Äquivalenzlemma ist eine Äquivalenzaussage. Daher werden zwei Beweisrichtungen gezeigt:
\mbox{}
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{array}{llcl}
\mbox{ (LML1) }
 &amp; 
 \exp(\widehat{w}) = z  
 &amp;  
 \quad \Longrightarrow \quad 
 &amp; 
 \widehat{w} \in [w]_0
  \\ 
\mbox{ (LML2) }
 &amp; 
 \widehat{w} \in [w]_0
 &amp;  
 \quad \Longrightarrow \quad 
 &amp; 
 \exp(\widehat{w}) = z  
  \\ 
 \end{array}  
&lt;/math&gt;

==== Schritt 1 - Beweisrichtung LML1 ====
Sei &lt;math&gt; \widehat{w} \in \mathbb{C} &lt;/math&gt; mit &lt;math&gt; \exp(\widehat{w}) = z &lt;/math&gt; beliebig gewählt. Dann gilt mit der Voraussetzung &lt;math&gt; \exp(w) = z \not= 0&lt;/math&gt; und Potenzgesetzen:
:&lt;math&gt;
 1 = \frac{z}{z} = \frac{\widehat{w}}{\exp(\exp(w))} = \exp(\widehat{w}-w)
 &lt;/math&gt;
Die Gleichung &lt;math&gt;1 = \exp(\widehat{w}-w)&lt;/math&gt; gilt genau dann, wenn &lt;math&gt; w-\widehat{w} = 2\pi i \cdot k&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;k \in \mathbb{Z}&lt;/math&gt;. 

==== Schritt 2 - Beweisrichtung LML1 ====
Damit gilt auch  &lt;math&gt; w = \widehat{w} + 2\pi i \cdot k &lt;/math&gt;. Die ganze Zahl &lt;math&gt; k\in \mathbb{Z} &lt;/math&gt; ist durch die [[logmod-Funktion]] und es gilt &lt;math&gt;k= \mathrm{logmod}(\widehat{w})&lt;/math&gt;, da &lt;math&gt; w\in \mathbb{D}_1 = \mathbb{R} + i\cdot [0,2\pi) &lt;/math&gt; nach Voraussetzung gilt und man erhält &lt;math&gt;\widehat{w} \in [w]_0&lt;/math&gt;.

==== Schritt 3 - Äquivalenzklasse gegeben LML2 ====
Sei umgekehrt &lt;math&gt;\widehat{w} \in [w]_0&lt;/math&gt; gegeben. Dann gibt es nach Definition der Äquivalenzklasse ein &lt;math&gt; k := logmod(\widehat{w})\in \mathbb{Z} &lt;/math&gt; mit der Eigenschaft  &lt;math&gt;\widehat{w}:= w + 2\pi i k&lt;/math&gt;. Nun wen man diese Darstellung von &lt;math&gt;\widehat{w}&lt;/math&gt; auf die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] an und verwendet Periodizität &lt;math&gt;\exp&lt;/math&gt; bzgl. &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; und erhält:
:&lt;math&gt;
 \exp(\widehat{w}) =  \exp(w + 2\pi i k) = \exp(w) \cdot \exp(2\pi i k) = z \cdot 1 = z
&lt;/math&gt;

==== Schritt 4 - LML2 ====
Da &lt;math&gt;\widehat{w} \in [w]_0&lt;/math&gt; beliebig gewählt wurde, gilt für alle  &lt;math&gt; \widehat{w} \in [w]_0 &lt;/math&gt; die Eigenschaft &lt;math&gt; \exp(\widehat{w}) = z &lt;/math&gt; und zusammen mit LML1 gilt die Äquivalenzaussage aus dem Lemma &lt;math&gt;\quad \Box&lt;/math&gt;.

=== Folgerung - LogMod-Äquivalenzklassenlemma ====  
Fasst man zu einem gegebenen &lt;math&gt;z\in \mathbb{C}\setminus\{0\}&lt;/math&gt; die Menge alle komplexen Zahlen &lt;math&gt; \widehat{w} \in \mathbb{C} &lt;/math&gt; zu einer Menge zusammen, die die Eigenschaft &lt;math&gt; \exp(\widehat{w}) = z &lt;/math&gt; erfüllen, so erhält man die Äquivalenzklasse &lt;math&gt; [w]_0 &lt;/math&gt;, wobei &lt;math&gt; w &lt;/math&gt; eine beliebige Lösung von &lt;math&gt; \exp(w) = z &lt;/math&gt; ist. 

==== Bemerkung - LogMod-Äquivalenzklassenlemma ====  
Für die Äquivalenzklassenanalyse spielt das Repräsentatensystem &lt;math&gt;\mathbb{D}_1= \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi)&lt;/math&gt; eine besondere Rolle. DasRepräsentatensystem &lt;math&gt;\mathbb{D}_1&lt;/math&gt; entsteht durch [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus|algebraische Vervollständigkeit]] des [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweiges]] des [[Logarithmus]].

== Äquivalenzklassenaddition ==
Um die aus der reellen Analysis bekannten Rechenregeln auf Logarithmen in den komplexen Zahlen verwenden zu können werden Äquivalenzklassen verwendet.  Die Struktur und Gültigkeit der Rechenregeln wird in diesem Teil der Lerneinheit genauer untersucht.

=== komplexe Logarithmus als Lösungsmenge ===
Der komplexe Äquivalenzklassen-Logarithmus von &lt;math&gt; z &lt;/math&gt; bildet nicht auf ein Element in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt; ab, sondern auf ein Teilmenge von &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt;. Dies führt im weiteren Verlauf der Lehrveranstaltung zum Begriff des [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarithmus]]. Sei &lt;math&gt;w \in \mathbb{C}&lt;/math&gt; beliebig gewählt, dann definiert man &lt;math&gt;w_0 := w - \mathrm{logmod}(w)\cdot 2\pi i \in \mathbb{D}_1&lt;/math&gt; als Repräsentant der Restklasse &lt;math&gt; [w]_0&lt;/math&gt;.
:&lt;math&gt;
 \mathrm{lnr}_0(z) := \{ w \in \mathbb{C} \mid \exp(w) = z \} = [w]_0
&lt;/math&gt;
für ein beliebiges &lt;math&gt; w_0 \in \mathbb{D}_1 := \mathbb{R}+ i\cdot [0,2\pi)&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt; \exp(w_0) = z &lt;/math&gt;.

==== Beispiel 1 - Neutrales Element für Äquivalenklassenaddition ====
Algebraisch wird später &lt;math&gt;\mathbb{D}_1&lt;/math&gt; mit einer inneren Verknüpfung &lt;math&gt;\oplus&lt;/math&gt; zu einer kommunitative Gruppe. Daher wird das [[w:de:neutrales Element|neutrale Element]] von &lt;math&gt;\oplus&lt;/math&gt; als Beispieläquivalenzklasse genannt und in Beziehung zum Logarithmus gesetzt. Für &lt;math&gt; z = 1 &lt;/math&gt; ist der komplexe rekursive Logarithmus 
:&lt;math&gt; 
   \mathrm{lnr}_0(1) = \{ 2\pi i k \, : \,  k \in \mathbb{Z} \} = [0]_0 
&lt;/math&gt;

==== Beispiel 2 - Logarithmus der imaginären Einheit ====
Da zunächst die [[rekursiver Logarithmus|rekursive komplexe Logarithmen]] von elementaren komplexen Zahlen genannt. Wählt man &lt;math&gt; z = i &lt;/math&gt; so gilt &lt;math&gt; \exp\left(i \tfrac{\pi}{2}\right) = i &lt;/math&gt; und &lt;math&gt;i\tfrac{\pi}{2} \in \mathbb{D}_1&lt;/math&gt;. Bildet man nun den von  [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarithmus]] von  &lt;math&gt; z = i &lt;/math&gt; erhält man:

:&lt;math&gt;
  \mathrm{lnr}_0(i) = \left\{ i \left( \frac{\pi}{2} + 2\pi k \right) \mid k \in \mathbb{Z} \right\} = \left[ i \frac{\pi}{2} \right]_0
&lt;/math&gt;

==== Beispiel 3 - rekursiver Logarithmus von -1 ====
Ablschießend wird auch noch der [[rekursiver Logarithmus|rekursive komplexe Logarithmen]] von &lt;math&gt; z = -1 &lt;/math&gt; genannt. Wegen &lt;math&gt; \exp\left(i \pi \right) = -1 &lt;/math&gt; und &lt;math&gt;i \pi \in \mathbb{D}_1=\mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi) &lt;/math&gt; erhält man:

:&lt;math&gt;
  \mathrm{lnr}_0(-1) = \left\{ i \left( \pi + 2\pi k \right) \mid k \in \mathbb{Z} \right\} = \left[ i \pi \right]_0
&lt;/math&gt;

=== Repräsentantensystem ===

Um einen eindeutigen Funktionswert als Äquivalenzklasse zu erhalten, wählt man eine spezielles Repräsentantensystem &lt;math&gt;\mathbb{D}_1:= \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi) \subset \mathbb{C}&lt;/math&gt; um alle Äquivalenzklassen darstellen zu können. Dabei wird die [[logmod-Funktion]] verwendet, um für eine beliebige komplexe Zahl &lt;math&gt;w\in \mathbb{C}&lt;/math&gt; die zugehörigen Repräsentanten &lt;math&gt;w_0 \in\mathbb{D}_1&lt;/math&gt; über &lt;math&gt; w_0 = w - 2\pi i \cdot \mathrm{logmod}(w)&lt;/math&gt; zu bestimmen.

&lt;span id=&quot;Definition&quot;&gt;
=== Definition - logmod-Äquivalenzklassenaddition ===

Für &lt;math&gt; z_1,z_2 \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; und  &lt;math&gt;w_1,w_2 \in\mathbb{D}_1&lt;/math&gt; gelte &lt;math&gt;\exp(z_1)=w_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\exp(z_2)=w_2&lt;/math&gt;. Man definiert nun die Äquivalenzklassenaddition &lt;math&gt;(\mathbb{D}_1,\oplus)&lt;/math&gt; wie folgt.
:&lt;math&gt;
[w_1]_0 \oplus [w_2]_0 := [w_1 + w_2]_0
&lt;/math&gt;

==== Bemerkung - Repräsentant der Äquivalenzklasse ====
Der Repräsentant &lt;math&gt;w_1 + w_2 &lt;/math&gt; der Äquivalenzklasse 
wobei &lt;math&gt;[w_1 + w_2]_0 &lt;/math&gt; liegt nicht notwendigerweise auch in &lt;math&gt;\mathbb{D}_1&lt;/math&gt;, was das folgende Beispiel zeigt.

==== Beispiel - Repräsentant bei additiver Verknüpfung ====
Wählt man &lt;math&gt; z_1 = z_2 = -i &lt;/math&gt;, so erhält man &lt;math&gt; w_1 = w_2 = \tfrac{3}{2}\pi i \in \mathbb{D}_1 &lt;/math&gt; und es gilt &lt;math&gt; w_1 + w_2 = 3\pi i \notin \mathbb{D}_1 &lt;/math&gt;. Möchte man den zugehörigen Repräsentanten aus &lt;math&gt;\mathbb{D}_1 &lt;/math&gt; bestimmen, verwendet man wieder die [[logmod-Funktion]]:
:&lt;math&gt;
[w_1]_0 \oplus [w_2]_0  = [w_1 + w_2]_0 = [w]_0 
&lt;/math&gt;
mit &lt;math&gt; w = w_1+w_2 - 2\pi i \cdot \mathrm{logmod}(w_1+w_2)&lt;/math&gt;

==== Bemerkung - Notation ====
Für die Addition &lt;math&gt;\oplus&lt;/math&gt; der [[logmod-Äquivalenzklassen]] wird zur Abgrenzung zu additiven Verknüpfung in &lt;math&gt;+&lt;/math&gt; in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt; das Symbol &lt;math&gt;\oplus&lt;/math&gt; verwendet.
:&lt;math&gt;
\left[ 1+\frac{3}{2}\pi i \right]_0 \oplus \left[5+\frac{1}{2}\pi i \right]_0 = \left[ \left(1+\frac{3}{2}\pi i\right)  + \left(5+\frac{1}{2}\pi i\right) \right]_0 = [6+2\pi i]_0 = [6]_0 
&lt;/math&gt;
Im linken Term werden zwei Äquivalenzklassen addiert (daher &lt;math&gt;\oplus&lt;/math&gt;) und in den beiden rechten Termen ist das Standardaddition in den komplexen Zahlen.

== Rechenregeln für Äquivalenzklassen ==
Zunächst einmal muss man kurz die Repräsentantenunabhängigkeit der Äquivalenzklassenaddition auf &lt;math&gt;[\mathbb{D}_1]_0&lt;/math&gt; überprüfen:

=== Lemma zur Repräsentantenunabhängigkeit ===

=== (1) Exponentialfunktion und Logarithmus ===

* &lt;math&gt; \exp(\log(z)) = z &lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt;
* &lt;math&gt; \log(\exp(w)) = [w]_0 &lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt; w \in \mathbb{C} &lt;/math&gt;

&gt; '''Achtung:''' &lt;math&gt; \log(\exp(w)) &lt;/math&gt; ist '''keine Zahl''', sondern eine '''Äquivalenzklasse'''.

---

=== (2) Multiplikation und Logarithmus ===

Für &lt;math&gt; z_1, z_2 \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt;:


:&lt;math&gt;
\log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2)
&lt;/math&gt;

&gt; '''Interpretation:'''  
&gt; Die Summe zweier Äquivalenzklassen ist definiert als:
&gt; 
:&lt;math&gt;
&gt; [w_1]_0 + [w_2]_0 := [w_1 + w_2]_0
&gt; &lt;/math&gt;
&gt; und es gilt:
&gt; 
:&lt;math&gt;
&gt; \log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2)
&gt; &lt;/math&gt;

&gt; '''Beispiel:'''  
&gt; &lt;math&gt; z_1 = i &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; z_2 = i &lt;/math&gt; → &lt;math&gt; z_1 z_2 = -1 &lt;/math&gt;  
&gt; &lt;math&gt; \log(i) = \left[ i \frac{\pi}{2} \right]_0 &lt;/math&gt;,  
&gt; &lt;math&gt; \log(i) + \log(i) = \left[ i \pi \right]_0 &lt;/math&gt;,  
&gt; &lt;math&gt; \log(-1) = \left[ i \pi \right]_0 &lt;/math&gt; → stimmt.

---

=== (3) Potenzen und Logarithmus ===

Für &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; a \in \mathbb{C} &lt;/math&gt;:


:&lt;math&gt;
\log(z^a) = a \cdot \log(z) + 2\pi i k \quad \text{für ein } k \in \mathbb{Z}
&lt;/math&gt;

&gt; '''Aber:''' In der Äquivalenzklassen-Sicht gilt:
&gt; 
:&lt;math&gt;
&gt; \log(z^a) = a \cdot \log(z)
&gt; &lt;/math&gt;
&gt; wobei die Multiplikation einer Äquivalenzklasse mit einer komplexen Zahl definiert ist als:
&gt; 
:&lt;math&gt;
&gt; a \cdot [w]_0 := [a w]_0
&gt; &lt;/math&gt;

&gt; '''Beispiel:'''  
&gt; &lt;math&gt; z = i &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; a = 2 &lt;/math&gt; → &lt;math&gt; z^a = -1 &lt;/math&gt;  
&gt; &lt;math&gt; \log(z^a) = \log(-1) = [i\pi]_0 &lt;/math&gt;  
&gt; &lt;math&gt; a \cdot \log(z) = 2 \cdot [i \pi/2]_0 = [i\pi]_0 &lt;/math&gt; → stimmt.

---

=== (4) Addition von Logarithmen ===


:&lt;math&gt;
\log(z_1) + \log(z_2) = \log(z_1 z_2)
&lt;/math&gt;

&gt; '''Achtung:''' Dies ist '''nicht''' immer wahr, wenn man '''nicht''' mit Äquivalenzklassen arbeitet!  
&gt; Aber '''in der Klassen-Sicht''' ist es '''richtig'''.

&gt; '''Warum?''' Weil die Addition von Klassen kommutativ und assoziativ ist.

---

== 7. Zusammenhang mit Logarithmenzweigen ==

Ein '''Logarithmenzweig''' ist eine '''stetige Auswahl''' von Werten aus &lt;math&gt; \log(z) &lt;/math&gt;, d. h. eine Funktion &lt;math&gt; L: G \to \mathbb{C} &lt;/math&gt;, sodass &lt;math&gt; \exp(L(z)) = z &lt;/math&gt; und &lt;math&gt; L &lt;/math&gt; stetig auf einem Gebiet &lt;math&gt; G \subseteq \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt;.

&gt; '''Beispiel:'''  
&gt; Der '''Hauptzweig''' &lt;math&gt; \text{Log}(z) &lt;/math&gt; ist ein Logarithmenzweig auf &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus (-\infty, 0] &lt;/math&gt;.

&gt; '''Jeder Logarithmenzweig''' &lt;math&gt; L &lt;/math&gt; wählt '''einen Repräsentanten''' aus jeder Äquivalenzklasse &lt;math&gt; [w]_0 &lt;/math&gt;, nämlich &lt;math&gt; L(z) \in [w]_0 &lt;/math&gt;.

&gt; '''Zusammenhang:'''  
&gt; Die Menge aller Logarithmenzweige entspricht '''der Wahl einer Schnittlinie''' (Branch Cut), die verhindert, dass man um den Ursprung herumwandert und die Klasse wechselt.

---

== 8. Zusammenfassung: Struktur der Logarithmen ==

| Konzept | Beschreibung |
|--------|--------------|
| '''Äquivalenzklasse''' &lt;math&gt; [w]_0 &lt;/math&gt; | Menge aller &lt;math&gt; w + 2\pi i k &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; k \in \mathbb{Z} &lt;/math&gt; |
| '''Logarithmus von &lt;math&gt; z &lt;/math&gt;''' | &lt;math&gt; \log(z) = [w]_0 &lt;/math&gt;, wobei &lt;math&gt; \exp(w) = z &lt;/math&gt; |
| '''Hauptzweig''' | &lt;math&gt; \text{Log}(z) \in \log(z) &lt;/math&gt;, mit &lt;math&gt; \text{Arg}(z) \in (-\pi, \pi] &lt;/math&gt; |
| '''Rechenregeln''' | &lt;math&gt; \log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2) &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; \log(z^a) = a \cdot \log(z) &lt;/math&gt; (in Klassen) |
| '''Exponentialfunktion''' | &lt;math&gt; \exp(\log(z)) = z &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; \log(\exp(w)) = [w]_0 &lt;/math&gt; |

---

== 9. Übungsaufgaben ==

1. Zeige, dass &lt;math&gt; \log(-1) = [i\pi]_0 &lt;/math&gt;.
2. Berechne &lt;math&gt; \log(i) + \log(i) &lt;/math&gt; und vergleiche mit &lt;math&gt; \log(-1) &lt;/math&gt;.
3. Zeige, dass &lt;math&gt; \log(z^2) = 2 \log(z) &lt;/math&gt; in der Klassen-Sicht gilt.
4. Warum ist &lt;math&gt; \log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2) &lt;/math&gt; '''nicht''' immer wahr, wenn man nur Zahlen verwendet?
5. Definiere einen anderen Logarithmenzweig auf &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus [0, \infty) &lt;/math&gt;, der &lt;math&gt; \log(z) \in [i \cdot 0]_0 &lt;/math&gt; für &lt;math&gt; z = 1 &lt;/math&gt; wählt.

---

== Lernziel ==

Du kannst:
* den komplexen Logarithmus als '''Äquivalenzklasse''' verstehen,
* die '''Rechenregeln''' für Logarithmen in der Klassen-Sicht korrekt anwenden,
* den Zusammenhang zwischen '''Exponentialfunktion''', '''Logarithmenzweigen''' und '''Äquivalenzklassen''' erklären,
* die '''Mehrdeutigkeit''' des Logarithmus strukturiert darstellen.

---

'''Ende der Lerneinheit'''

&gt; '''Zusammenfassungssatz:'''  
&gt; *Der komplexe Logarithmus von &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; ist die Äquivalenzklasse &lt;math&gt; [w]_0 &lt;/math&gt;, wobei &lt;math&gt; \exp(w) = z &lt;/math&gt;. Diese Klasse ist genau die Menge aller Lösungen von &lt;math&gt; \exp(w) = z &lt;/math&gt;. Alle Rechenregeln gelten in der Klassen-Sicht: &lt;math&gt; \log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2) &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; \log(z^a) = a \cdot \log(z) &lt;/math&gt;, und &lt;math&gt; \exp(\log(z)) = z &lt;/math&gt;.*
== Siehe auch ==
* [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexer Logarithmus]]
* [[Logmod-Äquivalenzklassen]]
* [[negativer Hauptzweig des Logarithmus]]</text>
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      <contributor>
        <username>Bert Niehaus</username>
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      <text bytes="17323" sha1="nzahq1anplse4dksqwdojp1xwy29wjn" xml:space="preserve">== Einleitung == 
Diese Lerneinheit zu [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmen]] beschäftigt sich Äquivalenzklassen, deren Struktur und  Rechenregeln, die durch den Zusammenhang mit der Exponentialfunktion und deren imaginärer &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt;-Periodizität entsteht. Die Äquivalenzklassen helfen dabei, [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen#Rechenregeln|Rechenregeln]] aus den reellen Zahl für den [[Logarithmus]] auf den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexen Logarithmus]] bzw. deren Zweige zu übertragen. Die [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus]] spielt dabei bijektive Abbildungen eine besondere Rolle.

=== Periodizität der Exponentialfunktion ===

Der komplexe Logarithmus kann nicht eindeutig als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion &lt;math&gt; \exp: \mathbb{C} \to \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; festgelegt werden, da u.a. die Exponentialfunktion nicht injektiv ist und ein [[Zweig des Logarithmus]] von der Wahl des [[einfach zusammenhängend]]en Gebietes abhängt, auf dem der Logarithmus definiert ist. Es gilt für [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]]:
:&lt;math&gt;
\exp(w + 2\pi i) = \exp(w) = z\quad \text{für alle } w \in \mathbb{C}
&lt;/math&gt;

Daher gibt es unendlich viele komplexe Zahlen &lt;math&gt; w &lt;/math&gt;, die auf dieselbe Zahl &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; abgebildet werden. Diese Mehrdeutigkeit ist die Motivation, um Äquivalenzklassen zu bilden.

== Äquivalenzklassen des Logarithmus ==
Um Äquivalenzklassen zu bilden, benötigt man eine Äquivalenzrelation als Teilmenge von &lt;math&gt;\mathbb{C}\times \mathbb{C} &lt;/math&gt;, die zwei Elemente &lt;math&gt; w_1, w_2 \in \mathbb{C} &lt;/math&gt;, wenn deren Differenz ein ganzzahliges Vielfaches von &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; ist.

=== Definition - logmod-Äquivalenzrelation ===
Zwei komplexe Zahlen &lt;math&gt; w_1, w_2 \in \mathbb{C} &lt;/math&gt; heißen logmod-äquivalent modulo &lt;math&gt; 2\pi i &lt;/math&gt;, wenn gilt:
:&lt;math&gt;
w_1 - w_2 \in 2\pi i \cdot \mathbb{Z} := \{w\in \mathbb{C} \, : \, w=2\pi i \cdot k \mbox{ und } k\in \mathbb{Z} \}
&lt;/math&gt;

Formal notiert man diese Äquivalenz wie folgt:  

:&lt;math&gt;
w_1 \equiv w_2 \  \mathrm{logmod}\  {2\pi i}
&lt;/math&gt;

==== Aufgabe für Studierende ====
Zeigen Sie, dass diese Relation eine ''Äquivalenzrelation'' ist, d.h. die [[logmod-Funktion|logmod-Relation]] ist [[w:de:Äquivalenzrelation|reflexiv, symmetrisch und transitiv]].

=== Definition - logmod-Äquivalenzklasse ===
Für eine komplexe Zahl &lt;math&gt; w \in \mathbb{C} &lt;/math&gt; ist die Äquivalenzklasse definiert als:

:&lt;math&gt;
[w]_0 := \{ w + 2\pi i k \mid k \in \mathbb{Z} \}
&lt;/math&gt;

==== Bezeichnung - Äquivalenzklassenindex====
Die Indexierung mit &lt;math&gt; _0 &lt;/math&gt; deutet an, dass dies diese Äquivalenzklasse ohne Logarithmierung in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt; gebildet wurde. Bildet man rekursiv höhere Logarithmen als Verkettung entstehen Äquivalenzklassen &lt;math&gt;[w]_n&lt;/math&gt;, wobei &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-fach rekursiv der Logarithmus verkettet wird, falls dieser existiert.

== Verbindung mit der Exponentialfunktion ==

Da die Exponentialfunktion im Imaginärteil des Arguments eine Periodizität von &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; besitzt, entsprechen Äquivalenzklassen &lt;math&gt;[w]_0&lt;/math&gt; entsprechen einem Bildpunkt &lt;math&gt;z=e^w&lt;/math&gt;. Dieser Verbindung zwischen Exponentialfunktion und Logarithmus wird durch das LogMod-Äquivalenzklassenlemma festgehalten.

=== LogMod-Äquivalenzklassenlemma ===
Sei &lt;math&gt;w\in\mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;\mathrm{logmod}(w) = 0&lt;/math&gt; gegeben. Für eine feste komplexe Zahl &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; gilt folgende Äquivalenzaussage:
:&lt;math&gt;
 \exp(\widehat{w}) = z \quad \text{für alle } \widehat{w} \in [w]_0
 &lt;/math&gt;
genau dann, wenn &lt;math&gt; \exp(w) = z &lt;/math&gt;.

=== Beweis - LogMod-Äquivalenzlemma ===
Für &lt;math&gt; w\in \mathbb{D}_1 := \mathbb{R}\times i\cdot [0,2\pi)&lt;/math&gt; gelte &lt;math&gt;\exp(w)=z&lt;/math&gt;. Das LogMod-Äquivalenzlemma ist eine Äquivalenzaussage. Daher werden zwei Beweisrichtungen gezeigt:
\mbox{}
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{array}{llcl}
\mbox{ (LML1) }
 &amp; 
 \exp(\widehat{w}) = z  
 &amp;  
 \quad \Longrightarrow \quad 
 &amp; 
 \widehat{w} \in [w]_0
  \\ 
\mbox{ (LML2) }
 &amp; 
 \widehat{w} \in [w]_0
 &amp;  
 \quad \Longrightarrow \quad 
 &amp; 
 \exp(\widehat{w}) = z  
  \\ 
 \end{array}  
&lt;/math&gt;

==== Schritt 1 - Beweisrichtung LML1 ====
Sei &lt;math&gt; \widehat{w} \in \mathbb{C} &lt;/math&gt; mit &lt;math&gt; \exp(\widehat{w}) = z &lt;/math&gt; beliebig gewählt. Dann gilt mit der Voraussetzung &lt;math&gt; \exp(w) = z \not= 0&lt;/math&gt; und Potenzgesetzen:
:&lt;math&gt;
 1 = \frac{z}{z} = \frac{\widehat{w}}{\exp(\exp(w))} = \exp(\widehat{w}-w)
 &lt;/math&gt;
Die Gleichung &lt;math&gt;1 = \exp(\widehat{w}-w)&lt;/math&gt; gilt genau dann, wenn &lt;math&gt; w-\widehat{w} = 2\pi i \cdot k&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;k \in \mathbb{Z}&lt;/math&gt;. 

==== Schritt 2 - Beweisrichtung LML1 ====
Damit gilt auch  &lt;math&gt; w = \widehat{w} + 2\pi i \cdot k &lt;/math&gt;. Die ganze Zahl &lt;math&gt; k\in \mathbb{Z} &lt;/math&gt; ist durch die [[logmod-Funktion]] und es gilt &lt;math&gt;k= \mathrm{logmod}(\widehat{w})&lt;/math&gt;, da &lt;math&gt; w\in \mathbb{D}_1 = \mathbb{R} + i\cdot [0,2\pi) &lt;/math&gt; nach Voraussetzung gilt und man erhält &lt;math&gt;\widehat{w} \in [w]_0&lt;/math&gt;.

==== Schritt 3 - Äquivalenzklasse gegeben LML2 ====
Sei umgekehrt &lt;math&gt;\widehat{w} \in [w]_0&lt;/math&gt; gegeben. Dann gibt es nach Definition der Äquivalenzklasse ein &lt;math&gt; k := logmod(\widehat{w})\in \mathbb{Z} &lt;/math&gt; mit der Eigenschaft  &lt;math&gt;\widehat{w}:= w + 2\pi i k&lt;/math&gt;. Nun wen man diese Darstellung von &lt;math&gt;\widehat{w}&lt;/math&gt; auf die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] an und verwendet Periodizität &lt;math&gt;\exp&lt;/math&gt; bzgl. &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; und erhält:
:&lt;math&gt;
 \exp(\widehat{w}) =  \exp(w + 2\pi i k) = \exp(w) \cdot \exp(2\pi i k) = z \cdot 1 = z
&lt;/math&gt;

==== Schritt 4 - LML2 ====
Da &lt;math&gt;\widehat{w} \in [w]_0&lt;/math&gt; beliebig gewählt wurde, gilt für alle  &lt;math&gt; \widehat{w} \in [w]_0 &lt;/math&gt; die Eigenschaft &lt;math&gt; \exp(\widehat{w}) = z &lt;/math&gt; und zusammen mit LML1 gilt die Äquivalenzaussage aus dem Lemma &lt;math&gt;\quad \Box&lt;/math&gt;.

=== Folgerung - LogMod-Äquivalenzklassenlemma ====  
Fasst man zu einem gegebenen &lt;math&gt;z\in \mathbb{C}\setminus\{0\}&lt;/math&gt; die Menge alle komplexen Zahlen &lt;math&gt; \widehat{w} \in \mathbb{C} &lt;/math&gt; zu einer Menge zusammen, die die Eigenschaft &lt;math&gt; \exp(\widehat{w}) = z &lt;/math&gt; erfüllen, so erhält man die Äquivalenzklasse &lt;math&gt; [w]_0 &lt;/math&gt;, wobei &lt;math&gt; w &lt;/math&gt; eine beliebige Lösung von &lt;math&gt; \exp(w) = z &lt;/math&gt; ist. 

==== Bemerkung - LogMod-Äquivalenzklassenlemma ====  
Für die Äquivalenzklassenanalyse spielt das Repräsentatensystem &lt;math&gt;\mathbb{D}_1= \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi)&lt;/math&gt; eine besondere Rolle. DasRepräsentatensystem &lt;math&gt;\mathbb{D}_1&lt;/math&gt; entsteht durch [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus|algebraische Vervollständigkeit]] des [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweiges]] des [[Logarithmus]].

== Äquivalenzklassenaddition ==
Um die aus der reellen Analysis bekannten Rechenregeln auf Logarithmen in den komplexen Zahlen verwenden zu können werden Äquivalenzklassen verwendet.  Die Struktur und Gültigkeit der Rechenregeln wird in diesem Teil der Lerneinheit genauer untersucht.

=== komplexe Logarithmus als Lösungsmenge ===
Der komplexe Äquivalenzklassen-Logarithmus von &lt;math&gt; z &lt;/math&gt; bildet nicht auf ein Element in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt; ab, sondern auf ein Teilmenge von &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt;. Dies führt im weiteren Verlauf der Lehrveranstaltung zum Begriff des [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarithmus]]. Sei &lt;math&gt;w \in \mathbb{C}&lt;/math&gt; beliebig gewählt, dann definiert man &lt;math&gt;w_0 := w - \mathrm{logmod}(w)\cdot 2\pi i \in \mathbb{D}_1&lt;/math&gt; als Repräsentant der Restklasse &lt;math&gt; [w]_0&lt;/math&gt;.
:&lt;math&gt;
 \mathrm{lnr}_0(z) := \{ w \in \mathbb{C} \mid \exp(w) = z \} = [w]_0
&lt;/math&gt;
für ein beliebiges &lt;math&gt; w_0 \in \mathbb{D}_1 := \mathbb{R}+ i\cdot [0,2\pi)&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt; \exp(w_0) = z &lt;/math&gt;.

==== Beispiel 1 - Neutrales Element für Äquivalenklassenaddition ====
Algebraisch wird später &lt;math&gt;\mathbb{D}_1&lt;/math&gt; mit einer inneren Verknüpfung &lt;math&gt;\oplus&lt;/math&gt; zu einer kommunitative Gruppe. Daher wird das [[w:de:neutrales Element|neutrale Element]] von &lt;math&gt;\oplus&lt;/math&gt; als Beispieläquivalenzklasse genannt und in Beziehung zum Logarithmus gesetzt. Für &lt;math&gt; z = 1 &lt;/math&gt; ist der komplexe rekursive Logarithmus 
:&lt;math&gt; 
   \mathrm{lnr}_0(1) = \{ 2\pi i k \, : \,  k \in \mathbb{Z} \} = [0]_0 
&lt;/math&gt;

==== Beispiel 2 - Logarithmus der imaginären Einheit ====
Da zunächst die [[rekursiver Logarithmus|rekursive komplexe Logarithmen]] von elementaren komplexen Zahlen genannt. Wählt man &lt;math&gt; z = i &lt;/math&gt; so gilt &lt;math&gt; \exp\left(i \tfrac{\pi}{2}\right) = i &lt;/math&gt; und &lt;math&gt;i\tfrac{\pi}{2} \in \mathbb{D}_1&lt;/math&gt;. Bildet man nun den von  [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarithmus]] von  &lt;math&gt; z = i &lt;/math&gt; erhält man:

:&lt;math&gt;
  \mathrm{lnr}_0(i) = \left\{ i \left( \frac{\pi}{2} + 2\pi k \right) \mid k \in \mathbb{Z} \right\} = \left[ i \frac{\pi}{2} \right]_0
&lt;/math&gt;

==== Beispiel 3 - rekursiver Logarithmus von -1 ====
Ablschießend wird auch noch der [[rekursiver Logarithmus|rekursive komplexe Logarithmen]] von &lt;math&gt; z = -1 &lt;/math&gt; genannt. Wegen &lt;math&gt; \exp\left(i \pi \right) = -1 &lt;/math&gt; und &lt;math&gt;i \pi \in \mathbb{D}_1=\mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi) &lt;/math&gt; erhält man:

:&lt;math&gt;
  \mathrm{lnr}_0(-1) = \left\{ i \left( \pi + 2\pi k \right) \mid k \in \mathbb{Z} \right\} = \left[ i \pi \right]_0
&lt;/math&gt;

=== Repräsentantensystem ===

Um einen eindeutigen Funktionswert als Äquivalenzklasse zu erhalten, wählt man eine spezielles Repräsentantensystem &lt;math&gt;\mathbb{D}_1:= \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi) \subset \mathbb{C}&lt;/math&gt; um alle Äquivalenzklassen darstellen zu können. Dabei wird die [[logmod-Funktion]] verwendet, um für eine beliebige komplexe Zahl &lt;math&gt;w\in \mathbb{C}&lt;/math&gt; die zugehörigen Repräsentanten &lt;math&gt;w_0 \in\mathbb{D}_1&lt;/math&gt; über &lt;math&gt; w_0 = w - 2\pi i \cdot \mathrm{logmod}(w)&lt;/math&gt; zu bestimmen.

&lt;span id=&quot;Definition&quot;&gt;
=== Definition - logmod-Äquivalenzklassenaddition ===

Für &lt;math&gt; z_1,z_2 \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; und  &lt;math&gt;w_1,w_2 \in\mathbb{D}_1&lt;/math&gt; gelte &lt;math&gt;\exp(z_1)=w_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\exp(z_2)=w_2&lt;/math&gt;. Man definiert nun die Äquivalenzklassenaddition &lt;math&gt;(\mathbb{D}_1,\oplus)&lt;/math&gt; wie folgt.
:&lt;math&gt;
[w_1]_0 \oplus [w_2]_0 := [w_1 + w_2]_0
&lt;/math&gt;

==== Bemerkung - Repräsentant der Äquivalenzklasse ====
Der Repräsentant &lt;math&gt;w_1 + w_2 &lt;/math&gt; der Äquivalenzklasse 
wobei &lt;math&gt;[w_1 + w_2]_0 &lt;/math&gt; liegt nicht notwendigerweise auch in &lt;math&gt;\mathbb{D}_1&lt;/math&gt;, was das folgende Beispiel zeigt.

==== Beispiel - Repräsentant bei additiver Verknüpfung ====
Wählt man &lt;math&gt; z_1 = z_2 = -i &lt;/math&gt;, so erhält man &lt;math&gt; w_1 = w_2 = \tfrac{3}{2}\pi i \in \mathbb{D}_1 &lt;/math&gt; und es gilt &lt;math&gt; w_1 + w_2 = 3\pi i \notin \mathbb{D}_1 &lt;/math&gt;. Möchte man den zugehörigen Repräsentanten aus &lt;math&gt;\mathbb{D}_1 &lt;/math&gt; bestimmen, verwendet man wieder die [[logmod-Funktion]]:
:&lt;math&gt;
[w_1]_0 \oplus [w_2]_0  = [w_1 + w_2]_0 = [w]_0 
&lt;/math&gt;
mit &lt;math&gt; w = w_1+w_2 - 2\pi i \cdot \mathrm{logmod}(w_1+w_2)&lt;/math&gt;

==== Bemerkung - Notation ====
Für die Addition &lt;math&gt;\oplus&lt;/math&gt; der [[logmod-Äquivalenzklassen]] wird zur Abgrenzung zu additiven Verknüpfung in &lt;math&gt;+&lt;/math&gt; in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt; das Symbol &lt;math&gt;\oplus&lt;/math&gt; verwendet.
:&lt;math&gt;
\left[ 1+\frac{3}{2}\pi i \right]_0 \oplus \left[5+\frac{1}{2}\pi i \right]_0 = \left[ \left(1+\frac{3}{2}\pi i\right)  + \left(5+\frac{1}{2}\pi i\right) \right]_0 = [6+2\pi i]_0 = [6]_0 
&lt;/math&gt;
Im linken Term werden zwei Äquivalenzklassen addiert (daher &lt;math&gt;\oplus&lt;/math&gt;) und in den beiden rechten Termen ist das Standardaddition in den komplexen Zahlen.

== Rechenregeln für Äquivalenzklassen ==
Zunächst einmal muss man kurz die Repräsentantenunabhängigkeit der Äquivalenzklassenaddition auf &lt;math&gt;[\mathbb{D}_1]_0&lt;/math&gt; überprüfen:

=== Lemma zur Repräsentantenunabhängigkeit ===

=== (1) Exponentialfunktion und Logarithmus ===

* &lt;math&gt; \exp(\log(z)) = z &lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt;
* &lt;math&gt; \log(\exp(w)) = [w]_0 &lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt; w \in \mathbb{C} &lt;/math&gt;

&gt; '''Achtung:''' &lt;math&gt; \log(\exp(w)) &lt;/math&gt; ist '''keine Zahl''', sondern eine '''Äquivalenzklasse'''.

---

=== (2) Multiplikation und Logarithmus ===

Für &lt;math&gt; z_1, z_2 \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt;:


:&lt;math&gt;
\log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2)
&lt;/math&gt;

&gt; '''Interpretation:'''  
&gt; Die Summe zweier Äquivalenzklassen ist definiert als:
&gt; 
:&lt;math&gt;
&gt; [w_1]_0 + [w_2]_0 := [w_1 + w_2]_0
&gt; &lt;/math&gt;
&gt; und es gilt:
&gt; 
:&lt;math&gt;
&gt; \log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2)
&gt; &lt;/math&gt;

&gt; '''Beispiel:'''  
&gt; &lt;math&gt; z_1 = i &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; z_2 = i &lt;/math&gt; → &lt;math&gt; z_1 z_2 = -1 &lt;/math&gt;  
&gt; &lt;math&gt; \log(i) = \left[ i \frac{\pi}{2} \right]_0 &lt;/math&gt;,  
&gt; &lt;math&gt; \log(i) + \log(i) = \left[ i \pi \right]_0 &lt;/math&gt;,  
&gt; &lt;math&gt; \log(-1) = \left[ i \pi \right]_0 &lt;/math&gt; → stimmt.

---

=== (3) Potenzen und Logarithmus ===

Für &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; a \in \mathbb{C} &lt;/math&gt;:


:&lt;math&gt;
\log(z^a) = a \cdot \log(z) + 2\pi i k \quad \text{für ein } k \in \mathbb{Z}
&lt;/math&gt;

&gt; '''Aber:''' In der Äquivalenzklassen-Sicht gilt:
&gt; 
:&lt;math&gt;
&gt; \log(z^a) = a \cdot \log(z)
&gt; &lt;/math&gt;
&gt; wobei die Multiplikation einer Äquivalenzklasse mit einer komplexen Zahl definiert ist als:
&gt; 
:&lt;math&gt;
&gt; a \cdot [w]_0 := [a w]_0
&gt; &lt;/math&gt;

&gt; '''Beispiel:'''  
&gt; &lt;math&gt; z = i &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; a = 2 &lt;/math&gt; → &lt;math&gt; z^a = -1 &lt;/math&gt;  
&gt; &lt;math&gt; \log(z^a) = \log(-1) = [i\pi]_0 &lt;/math&gt;  
&gt; &lt;math&gt; a \cdot \log(z) = 2 \cdot [i \pi/2]_0 = [i\pi]_0 &lt;/math&gt; → stimmt.

---

=== (4) Addition von Logarithmen ===


:&lt;math&gt;
\log(z_1) + \log(z_2) = \log(z_1 z_2)
&lt;/math&gt;

&gt; '''Achtung:''' Dies ist '''nicht''' immer wahr, wenn man '''nicht''' mit Äquivalenzklassen arbeitet!  
&gt; Aber '''in der Klassen-Sicht''' ist es '''richtig'''.

&gt; '''Warum?''' Weil die Addition von Klassen kommutativ und assoziativ ist.

---

== 7. Zusammenhang mit Logarithmenzweigen ==

Ein '''Logarithmenzweig''' ist eine '''stetige Auswahl''' von Werten aus &lt;math&gt; \log(z) &lt;/math&gt;, d. h. eine Funktion &lt;math&gt; L: G \to \mathbb{C} &lt;/math&gt;, sodass &lt;math&gt; \exp(L(z)) = z &lt;/math&gt; und &lt;math&gt; L &lt;/math&gt; stetig auf einem Gebiet &lt;math&gt; G \subseteq \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt;.

&gt; '''Beispiel:'''  
&gt; Der '''Hauptzweig''' &lt;math&gt; \text{Log}(z) &lt;/math&gt; ist ein Logarithmenzweig auf &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus (-\infty, 0] &lt;/math&gt;.

&gt; '''Jeder Logarithmenzweig''' &lt;math&gt; L &lt;/math&gt; wählt '''einen Repräsentanten''' aus jeder Äquivalenzklasse &lt;math&gt; [w]_0 &lt;/math&gt;, nämlich &lt;math&gt; L(z) \in [w]_0 &lt;/math&gt;.

&gt; '''Zusammenhang:'''  
&gt; Die Menge aller Logarithmenzweige entspricht '''der Wahl einer Schnittlinie''' (Branch Cut), die verhindert, dass man um den Ursprung herumwandert und die Klasse wechselt.

---

== 8. Zusammenfassung: Struktur der Logarithmen ==

| Konzept | Beschreibung |
|--------|--------------|
| '''Äquivalenzklasse''' &lt;math&gt; [w]_0 &lt;/math&gt; | Menge aller &lt;math&gt; w + 2\pi i k &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; k \in \mathbb{Z} &lt;/math&gt; |
| '''Logarithmus von &lt;math&gt; z &lt;/math&gt;''' | &lt;math&gt; \log(z) = [w]_0 &lt;/math&gt;, wobei &lt;math&gt; \exp(w) = z &lt;/math&gt; |
| '''Hauptzweig''' | &lt;math&gt; \text{Log}(z) \in \log(z) &lt;/math&gt;, mit &lt;math&gt; \text{Arg}(z) \in (-\pi, \pi] &lt;/math&gt; |
| '''Rechenregeln''' | &lt;math&gt; \log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2) &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; \log(z^a) = a \cdot \log(z) &lt;/math&gt; (in Klassen) |
| '''Exponentialfunktion''' | &lt;math&gt; \exp(\log(z)) = z &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; \log(\exp(w)) = [w]_0 &lt;/math&gt; |

---

== 9. Übungsaufgaben ==

1. Zeige, dass &lt;math&gt; \log(-1) = [i\pi]_0 &lt;/math&gt;.
2. Berechne &lt;math&gt; \log(i) + \log(i) &lt;/math&gt; und vergleiche mit &lt;math&gt; \log(-1) &lt;/math&gt;.
3. Zeige, dass &lt;math&gt; \log(z^2) = 2 \log(z) &lt;/math&gt; in der Klassen-Sicht gilt.
4. Warum ist &lt;math&gt; \log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2) &lt;/math&gt; '''nicht''' immer wahr, wenn man nur Zahlen verwendet?
5. Definiere einen anderen Logarithmenzweig auf &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus [0, \infty) &lt;/math&gt;, der &lt;math&gt; \log(z) \in [i \cdot 0]_0 &lt;/math&gt; für &lt;math&gt; z = 1 &lt;/math&gt; wählt.

---

== Lernziel ==

Du kannst:
* den komplexen Logarithmus als '''Äquivalenzklasse''' verstehen,
* die '''Rechenregeln''' für Logarithmen in der Klassen-Sicht korrekt anwenden,
* den Zusammenhang zwischen '''Exponentialfunktion''', '''Logarithmenzweigen''' und '''Äquivalenzklassen''' erklären,
* die '''Mehrdeutigkeit''' des Logarithmus strukturiert darstellen.

---

'''Ende der Lerneinheit'''

&gt; '''Zusammenfassungssatz:'''  
&gt; *Der komplexe Logarithmus von &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; ist die Äquivalenzklasse &lt;math&gt; [w]_0 &lt;/math&gt;, wobei &lt;math&gt; \exp(w) = z &lt;/math&gt;. Diese Klasse ist genau die Menge aller Lösungen von &lt;math&gt; \exp(w) = z &lt;/math&gt;. Alle Rechenregeln gelten in der Klassen-Sicht: &lt;math&gt; \log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2) &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; \log(z^a) = a \cdot \log(z) &lt;/math&gt;, und &lt;math&gt; \exp(\log(z)) = z &lt;/math&gt;.*
== Siehe auch ==
* [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexer Logarithmus]]
* [[logmod-Äquivalenzklassen]]
* [[logmod-Funktion]]
* [[negativer Hauptzweig des Logarithmus]]</text>
      <sha1>nzahq1anplse4dksqwdojp1xwy29wjn</sha1>
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    <revision>
      <id>1116139</id>
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      <timestamp>2026-10-15T06:48:57Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bert Niehaus</username>
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      </contributor>
      <comment>/* Rechenregeln für Äquivalenzklassen */</comment>
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      <text bytes="17423" sha1="1dgii9shldsvg40r86nk80kl3flhlmr" xml:space="preserve">== Einleitung == 
Diese Lerneinheit zu [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmen]] beschäftigt sich Äquivalenzklassen, deren Struktur und  Rechenregeln, die durch den Zusammenhang mit der Exponentialfunktion und deren imaginärer &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt;-Periodizität entsteht. Die Äquivalenzklassen helfen dabei, [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen#Rechenregeln|Rechenregeln]] aus den reellen Zahl für den [[Logarithmus]] auf den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexen Logarithmus]] bzw. deren Zweige zu übertragen. Die [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus]] spielt dabei bijektive Abbildungen eine besondere Rolle.

=== Periodizität der Exponentialfunktion ===

Der komplexe Logarithmus kann nicht eindeutig als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion &lt;math&gt; \exp: \mathbb{C} \to \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; festgelegt werden, da u.a. die Exponentialfunktion nicht injektiv ist und ein [[Zweig des Logarithmus]] von der Wahl des [[einfach zusammenhängend]]en Gebietes abhängt, auf dem der Logarithmus definiert ist. Es gilt für [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]]:
:&lt;math&gt;
\exp(w + 2\pi i) = \exp(w) = z\quad \text{für alle } w \in \mathbb{C}
&lt;/math&gt;

Daher gibt es unendlich viele komplexe Zahlen &lt;math&gt; w &lt;/math&gt;, die auf dieselbe Zahl &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; abgebildet werden. Diese Mehrdeutigkeit ist die Motivation, um Äquivalenzklassen zu bilden.

== Äquivalenzklassen des Logarithmus ==
Um Äquivalenzklassen zu bilden, benötigt man eine Äquivalenzrelation als Teilmenge von &lt;math&gt;\mathbb{C}\times \mathbb{C} &lt;/math&gt;, die zwei Elemente &lt;math&gt; w_1, w_2 \in \mathbb{C} &lt;/math&gt;, wenn deren Differenz ein ganzzahliges Vielfaches von &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; ist.

=== Definition - logmod-Äquivalenzrelation ===
Zwei komplexe Zahlen &lt;math&gt; w_1, w_2 \in \mathbb{C} &lt;/math&gt; heißen logmod-äquivalent modulo &lt;math&gt; 2\pi i &lt;/math&gt;, wenn gilt:
:&lt;math&gt;
w_1 - w_2 \in 2\pi i \cdot \mathbb{Z} := \{w\in \mathbb{C} \, : \, w=2\pi i \cdot k \mbox{ und } k\in \mathbb{Z} \}
&lt;/math&gt;

Formal notiert man diese Äquivalenz wie folgt:  

:&lt;math&gt;
w_1 \equiv w_2 \  \mathrm{logmod}\  {2\pi i}
&lt;/math&gt;

==== Aufgabe für Studierende ====
Zeigen Sie, dass diese Relation eine ''Äquivalenzrelation'' ist, d.h. die [[logmod-Funktion|logmod-Relation]] ist [[w:de:Äquivalenzrelation|reflexiv, symmetrisch und transitiv]].

=== Definition - logmod-Äquivalenzklasse ===
Für eine komplexe Zahl &lt;math&gt; w \in \mathbb{C} &lt;/math&gt; ist die Äquivalenzklasse definiert als:

:&lt;math&gt;
[w]_0 := \{ w + 2\pi i k \mid k \in \mathbb{Z} \}
&lt;/math&gt;

==== Bezeichnung - Äquivalenzklassenindex====
Die Indexierung mit &lt;math&gt; _0 &lt;/math&gt; deutet an, dass dies diese Äquivalenzklasse ohne Logarithmierung in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt; gebildet wurde. Bildet man rekursiv höhere Logarithmen als Verkettung entstehen Äquivalenzklassen &lt;math&gt;[w]_n&lt;/math&gt;, wobei &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-fach rekursiv der Logarithmus verkettet wird, falls dieser existiert.

== Verbindung mit der Exponentialfunktion ==

Da die Exponentialfunktion im Imaginärteil des Arguments eine Periodizität von &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; besitzt, entsprechen Äquivalenzklassen &lt;math&gt;[w]_0&lt;/math&gt; entsprechen einem Bildpunkt &lt;math&gt;z=e^w&lt;/math&gt;. Dieser Verbindung zwischen Exponentialfunktion und Logarithmus wird durch das LogMod-Äquivalenzklassenlemma festgehalten.

=== LogMod-Äquivalenzklassenlemma ===
Sei &lt;math&gt;w\in\mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;\mathrm{logmod}(w) = 0&lt;/math&gt; gegeben. Für eine feste komplexe Zahl &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; gilt folgende Äquivalenzaussage:
:&lt;math&gt;
 \exp(\widehat{w}) = z \quad \text{für alle } \widehat{w} \in [w]_0
 &lt;/math&gt;
genau dann, wenn &lt;math&gt; \exp(w) = z &lt;/math&gt;.

=== Beweis - LogMod-Äquivalenzlemma ===
Für &lt;math&gt; w\in \mathbb{D}_1 := \mathbb{R}\times i\cdot [0,2\pi)&lt;/math&gt; gelte &lt;math&gt;\exp(w)=z&lt;/math&gt;. Das LogMod-Äquivalenzlemma ist eine Äquivalenzaussage. Daher werden zwei Beweisrichtungen gezeigt:
\mbox{}
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{array}{llcl}
\mbox{ (LML1) }
 &amp; 
 \exp(\widehat{w}) = z  
 &amp;  
 \quad \Longrightarrow \quad 
 &amp; 
 \widehat{w} \in [w]_0
  \\ 
\mbox{ (LML2) }
 &amp; 
 \widehat{w} \in [w]_0
 &amp;  
 \quad \Longrightarrow \quad 
 &amp; 
 \exp(\widehat{w}) = z  
  \\ 
 \end{array}  
&lt;/math&gt;

==== Schritt 1 - Beweisrichtung LML1 ====
Sei &lt;math&gt; \widehat{w} \in \mathbb{C} &lt;/math&gt; mit &lt;math&gt; \exp(\widehat{w}) = z &lt;/math&gt; beliebig gewählt. Dann gilt mit der Voraussetzung &lt;math&gt; \exp(w) = z \not= 0&lt;/math&gt; und Potenzgesetzen:
:&lt;math&gt;
 1 = \frac{z}{z} = \frac{\widehat{w}}{\exp(\exp(w))} = \exp(\widehat{w}-w)
 &lt;/math&gt;
Die Gleichung &lt;math&gt;1 = \exp(\widehat{w}-w)&lt;/math&gt; gilt genau dann, wenn &lt;math&gt; w-\widehat{w} = 2\pi i \cdot k&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;k \in \mathbb{Z}&lt;/math&gt;. 

==== Schritt 2 - Beweisrichtung LML1 ====
Damit gilt auch  &lt;math&gt; w = \widehat{w} + 2\pi i \cdot k &lt;/math&gt;. Die ganze Zahl &lt;math&gt; k\in \mathbb{Z} &lt;/math&gt; ist durch die [[logmod-Funktion]] und es gilt &lt;math&gt;k= \mathrm{logmod}(\widehat{w})&lt;/math&gt;, da &lt;math&gt; w\in \mathbb{D}_1 = \mathbb{R} + i\cdot [0,2\pi) &lt;/math&gt; nach Voraussetzung gilt und man erhält &lt;math&gt;\widehat{w} \in [w]_0&lt;/math&gt;.

==== Schritt 3 - Äquivalenzklasse gegeben LML2 ====
Sei umgekehrt &lt;math&gt;\widehat{w} \in [w]_0&lt;/math&gt; gegeben. Dann gibt es nach Definition der Äquivalenzklasse ein &lt;math&gt; k := logmod(\widehat{w})\in \mathbb{Z} &lt;/math&gt; mit der Eigenschaft  &lt;math&gt;\widehat{w}:= w + 2\pi i k&lt;/math&gt;. Nun wen man diese Darstellung von &lt;math&gt;\widehat{w}&lt;/math&gt; auf die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] an und verwendet Periodizität &lt;math&gt;\exp&lt;/math&gt; bzgl. &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; und erhält:
:&lt;math&gt;
 \exp(\widehat{w}) =  \exp(w + 2\pi i k) = \exp(w) \cdot \exp(2\pi i k) = z \cdot 1 = z
&lt;/math&gt;

==== Schritt 4 - LML2 ====
Da &lt;math&gt;\widehat{w} \in [w]_0&lt;/math&gt; beliebig gewählt wurde, gilt für alle  &lt;math&gt; \widehat{w} \in [w]_0 &lt;/math&gt; die Eigenschaft &lt;math&gt; \exp(\widehat{w}) = z &lt;/math&gt; und zusammen mit LML1 gilt die Äquivalenzaussage aus dem Lemma &lt;math&gt;\quad \Box&lt;/math&gt;.

=== Folgerung - LogMod-Äquivalenzklassenlemma ====  
Fasst man zu einem gegebenen &lt;math&gt;z\in \mathbb{C}\setminus\{0\}&lt;/math&gt; die Menge alle komplexen Zahlen &lt;math&gt; \widehat{w} \in \mathbb{C} &lt;/math&gt; zu einer Menge zusammen, die die Eigenschaft &lt;math&gt; \exp(\widehat{w}) = z &lt;/math&gt; erfüllen, so erhält man die Äquivalenzklasse &lt;math&gt; [w]_0 &lt;/math&gt;, wobei &lt;math&gt; w &lt;/math&gt; eine beliebige Lösung von &lt;math&gt; \exp(w) = z &lt;/math&gt; ist. 

==== Bemerkung - LogMod-Äquivalenzklassenlemma ====  
Für die Äquivalenzklassenanalyse spielt das Repräsentatensystem &lt;math&gt;\mathbb{D}_1= \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi)&lt;/math&gt; eine besondere Rolle. DasRepräsentatensystem &lt;math&gt;\mathbb{D}_1&lt;/math&gt; entsteht durch [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus|algebraische Vervollständigkeit]] des [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweiges]] des [[Logarithmus]].

== Äquivalenzklassenaddition ==
Um die aus der reellen Analysis bekannten Rechenregeln auf Logarithmen in den komplexen Zahlen verwenden zu können werden Äquivalenzklassen verwendet.  Die Struktur und Gültigkeit der Rechenregeln wird in diesem Teil der Lerneinheit genauer untersucht.

=== komplexe Logarithmus als Lösungsmenge ===
Der komplexe Äquivalenzklassen-Logarithmus von &lt;math&gt; z &lt;/math&gt; bildet nicht auf ein Element in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt; ab, sondern auf ein Teilmenge von &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt;. Dies führt im weiteren Verlauf der Lehrveranstaltung zum Begriff des [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarithmus]]. Sei &lt;math&gt;w \in \mathbb{C}&lt;/math&gt; beliebig gewählt, dann definiert man &lt;math&gt;w_0 := w - \mathrm{logmod}(w)\cdot 2\pi i \in \mathbb{D}_1&lt;/math&gt; als Repräsentant der Restklasse &lt;math&gt; [w]_0&lt;/math&gt;.
:&lt;math&gt;
 \mathrm{lnr}_0(z) := \{ w \in \mathbb{C} \mid \exp(w) = z \} = [w]_0
&lt;/math&gt;
für ein beliebiges &lt;math&gt; w_0 \in \mathbb{D}_1 := \mathbb{R}+ i\cdot [0,2\pi)&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt; \exp(w_0) = z &lt;/math&gt;.

==== Beispiel 1 - Neutrales Element für Äquivalenklassenaddition ====
Algebraisch wird später &lt;math&gt;\mathbb{D}_1&lt;/math&gt; mit einer inneren Verknüpfung &lt;math&gt;\oplus&lt;/math&gt; zu einer kommunitative Gruppe. Daher wird das [[w:de:neutrales Element|neutrale Element]] von &lt;math&gt;\oplus&lt;/math&gt; als Beispieläquivalenzklasse genannt und in Beziehung zum Logarithmus gesetzt. Für &lt;math&gt; z = 1 &lt;/math&gt; ist der komplexe rekursive Logarithmus 
:&lt;math&gt; 
   \mathrm{lnr}_0(1) = \{ 2\pi i k \, : \,  k \in \mathbb{Z} \} = [0]_0 
&lt;/math&gt;

==== Beispiel 2 - Logarithmus der imaginären Einheit ====
Da zunächst die [[rekursiver Logarithmus|rekursive komplexe Logarithmen]] von elementaren komplexen Zahlen genannt. Wählt man &lt;math&gt; z = i &lt;/math&gt; so gilt &lt;math&gt; \exp\left(i \tfrac{\pi}{2}\right) = i &lt;/math&gt; und &lt;math&gt;i\tfrac{\pi}{2} \in \mathbb{D}_1&lt;/math&gt;. Bildet man nun den von  [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarithmus]] von  &lt;math&gt; z = i &lt;/math&gt; erhält man:

:&lt;math&gt;
  \mathrm{lnr}_0(i) = \left\{ i \left( \frac{\pi}{2} + 2\pi k \right) \mid k \in \mathbb{Z} \right\} = \left[ i \frac{\pi}{2} \right]_0
&lt;/math&gt;

==== Beispiel 3 - rekursiver Logarithmus von -1 ====
Ablschießend wird auch noch der [[rekursiver Logarithmus|rekursive komplexe Logarithmen]] von &lt;math&gt; z = -1 &lt;/math&gt; genannt. Wegen &lt;math&gt; \exp\left(i \pi \right) = -1 &lt;/math&gt; und &lt;math&gt;i \pi \in \mathbb{D}_1=\mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi) &lt;/math&gt; erhält man:

:&lt;math&gt;
  \mathrm{lnr}_0(-1) = \left\{ i \left( \pi + 2\pi k \right) \mid k \in \mathbb{Z} \right\} = \left[ i \pi \right]_0
&lt;/math&gt;

=== Repräsentantensystem ===

Um einen eindeutigen Funktionswert als Äquivalenzklasse zu erhalten, wählt man eine spezielles Repräsentantensystem &lt;math&gt;\mathbb{D}_1:= \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi) \subset \mathbb{C}&lt;/math&gt; um alle Äquivalenzklassen darstellen zu können. Dabei wird die [[logmod-Funktion]] verwendet, um für eine beliebige komplexe Zahl &lt;math&gt;w\in \mathbb{C}&lt;/math&gt; die zugehörigen Repräsentanten &lt;math&gt;w_0 \in\mathbb{D}_1&lt;/math&gt; über &lt;math&gt; w_0 = w - 2\pi i \cdot \mathrm{logmod}(w)&lt;/math&gt; zu bestimmen.

&lt;span id=&quot;Definition&quot;&gt;
=== Definition - logmod-Äquivalenzklassenaddition ===

Für &lt;math&gt; z_1,z_2 \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; und  &lt;math&gt;w_1,w_2 \in\mathbb{D}_1&lt;/math&gt; gelte &lt;math&gt;\exp(z_1)=w_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\exp(z_2)=w_2&lt;/math&gt;. Man definiert nun die Äquivalenzklassenaddition &lt;math&gt;(\mathbb{D}_1,\oplus)&lt;/math&gt; wie folgt.
:&lt;math&gt;
[w_1]_0 \oplus [w_2]_0 := [w_1 + w_2]_0
&lt;/math&gt;

==== Bemerkung - Repräsentant der Äquivalenzklasse ====
Der Repräsentant &lt;math&gt;w_1 + w_2 &lt;/math&gt; der Äquivalenzklasse 
wobei &lt;math&gt;[w_1 + w_2]_0 &lt;/math&gt; liegt nicht notwendigerweise auch in &lt;math&gt;\mathbb{D}_1&lt;/math&gt;, was das folgende Beispiel zeigt.

==== Beispiel - Repräsentant bei additiver Verknüpfung ====
Wählt man &lt;math&gt; z_1 = z_2 = -i &lt;/math&gt;, so erhält man &lt;math&gt; w_1 = w_2 = \tfrac{3}{2}\pi i \in \mathbb{D}_1 &lt;/math&gt; und es gilt &lt;math&gt; w_1 + w_2 = 3\pi i \notin \mathbb{D}_1 &lt;/math&gt;. Möchte man den zugehörigen Repräsentanten aus &lt;math&gt;\mathbb{D}_1 &lt;/math&gt; bestimmen, verwendet man wieder die [[logmod-Funktion]]:
:&lt;math&gt;
[w_1]_0 \oplus [w_2]_0  = [w_1 + w_2]_0 = [w]_0 
&lt;/math&gt;
mit &lt;math&gt; w = w_1+w_2 - 2\pi i \cdot \mathrm{logmod}(w_1+w_2)&lt;/math&gt;

==== Bemerkung - Notation ====
Für die Addition &lt;math&gt;\oplus&lt;/math&gt; der [[logmod-Äquivalenzklassen]] wird zur Abgrenzung zu additiven Verknüpfung in &lt;math&gt;+&lt;/math&gt; in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt; das Symbol &lt;math&gt;\oplus&lt;/math&gt; verwendet.
:&lt;math&gt;
\left[ 1+\frac{3}{2}\pi i \right]_0 \oplus \left[5+\frac{1}{2}\pi i \right]_0 = \left[ \left(1+\frac{3}{2}\pi i\right)  + \left(5+\frac{1}{2}\pi i\right) \right]_0 = [6+2\pi i]_0 = [6]_0 
&lt;/math&gt;
Im linken Term werden zwei Äquivalenzklassen addiert (daher &lt;math&gt;\oplus&lt;/math&gt;) und in den beiden rechten Termen ist das Standardaddition in den komplexen Zahlen.

== Rechenregeln für Äquivalenzklassen ==
Zunächst einmal muss man kurz die Repräsentantenunabhängigkeit der Äquivalenzklassenaddition auf &lt;math&gt;[\mathbb{D}_1]_0&lt;/math&gt; überprüfen. Dabei ist &lt;math&gt;\oplus&lt;/math&gt; eine innere Verknüpfung auf  &lt;math&gt;[\mathbb{D}_1]_0&lt;/math&gt; der Form:

=== Lemma zur Repräsentantenunabhängigkeit ===

=== (1) Exponentialfunktion und Logarithmus ===

* &lt;math&gt; \exp(\log(z)) = z &lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt;
* &lt;math&gt; \log(\exp(w)) = [w]_0 &lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt; w \in \mathbb{C} &lt;/math&gt;

&gt; '''Achtung:''' &lt;math&gt; \log(\exp(w)) &lt;/math&gt; ist '''keine Zahl''', sondern eine '''Äquivalenzklasse'''.

---

=== (2) Multiplikation und Logarithmus ===

Für &lt;math&gt; z_1, z_2 \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt;:


:&lt;math&gt;
\log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2)
&lt;/math&gt;

&gt; '''Interpretation:'''  
&gt; Die Summe zweier Äquivalenzklassen ist definiert als:
&gt; 
:&lt;math&gt;
&gt; [w_1]_0 + [w_2]_0 := [w_1 + w_2]_0
&gt; &lt;/math&gt;
&gt; und es gilt:
&gt; 
:&lt;math&gt;
&gt; \log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2)
&gt; &lt;/math&gt;

&gt; '''Beispiel:'''  
&gt; &lt;math&gt; z_1 = i &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; z_2 = i &lt;/math&gt; → &lt;math&gt; z_1 z_2 = -1 &lt;/math&gt;  
&gt; &lt;math&gt; \log(i) = \left[ i \frac{\pi}{2} \right]_0 &lt;/math&gt;,  
&gt; &lt;math&gt; \log(i) + \log(i) = \left[ i \pi \right]_0 &lt;/math&gt;,  
&gt; &lt;math&gt; \log(-1) = \left[ i \pi \right]_0 &lt;/math&gt; → stimmt.

---

=== (3) Potenzen und Logarithmus ===

Für &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; a \in \mathbb{C} &lt;/math&gt;:


:&lt;math&gt;
\log(z^a) = a \cdot \log(z) + 2\pi i k \quad \text{für ein } k \in \mathbb{Z}
&lt;/math&gt;

&gt; '''Aber:''' In der Äquivalenzklassen-Sicht gilt:
&gt; 
:&lt;math&gt;
&gt; \log(z^a) = a \cdot \log(z)
&gt; &lt;/math&gt;
&gt; wobei die Multiplikation einer Äquivalenzklasse mit einer komplexen Zahl definiert ist als:
&gt; 
:&lt;math&gt;
&gt; a \cdot [w]_0 := [a w]_0
&gt; &lt;/math&gt;

&gt; '''Beispiel:'''  
&gt; &lt;math&gt; z = i &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; a = 2 &lt;/math&gt; → &lt;math&gt; z^a = -1 &lt;/math&gt;  
&gt; &lt;math&gt; \log(z^a) = \log(-1) = [i\pi]_0 &lt;/math&gt;  
&gt; &lt;math&gt; a \cdot \log(z) = 2 \cdot [i \pi/2]_0 = [i\pi]_0 &lt;/math&gt; → stimmt.

---

=== (4) Addition von Logarithmen ===


:&lt;math&gt;
\log(z_1) + \log(z_2) = \log(z_1 z_2)
&lt;/math&gt;

&gt; '''Achtung:''' Dies ist '''nicht''' immer wahr, wenn man '''nicht''' mit Äquivalenzklassen arbeitet!  
&gt; Aber '''in der Klassen-Sicht''' ist es '''richtig'''.

&gt; '''Warum?''' Weil die Addition von Klassen kommutativ und assoziativ ist.

---

== 7. Zusammenhang mit Logarithmenzweigen ==

Ein '''Logarithmenzweig''' ist eine '''stetige Auswahl''' von Werten aus &lt;math&gt; \log(z) &lt;/math&gt;, d. h. eine Funktion &lt;math&gt; L: G \to \mathbb{C} &lt;/math&gt;, sodass &lt;math&gt; \exp(L(z)) = z &lt;/math&gt; und &lt;math&gt; L &lt;/math&gt; stetig auf einem Gebiet &lt;math&gt; G \subseteq \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt;.

&gt; '''Beispiel:'''  
&gt; Der '''Hauptzweig''' &lt;math&gt; \text{Log}(z) &lt;/math&gt; ist ein Logarithmenzweig auf &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus (-\infty, 0] &lt;/math&gt;.

&gt; '''Jeder Logarithmenzweig''' &lt;math&gt; L &lt;/math&gt; wählt '''einen Repräsentanten''' aus jeder Äquivalenzklasse &lt;math&gt; [w]_0 &lt;/math&gt;, nämlich &lt;math&gt; L(z) \in [w]_0 &lt;/math&gt;.

&gt; '''Zusammenhang:'''  
&gt; Die Menge aller Logarithmenzweige entspricht '''der Wahl einer Schnittlinie''' (Branch Cut), die verhindert, dass man um den Ursprung herumwandert und die Klasse wechselt.

---

== 8. Zusammenfassung: Struktur der Logarithmen ==

| Konzept | Beschreibung |
|--------|--------------|
| '''Äquivalenzklasse''' &lt;math&gt; [w]_0 &lt;/math&gt; | Menge aller &lt;math&gt; w + 2\pi i k &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; k \in \mathbb{Z} &lt;/math&gt; |
| '''Logarithmus von &lt;math&gt; z &lt;/math&gt;''' | &lt;math&gt; \log(z) = [w]_0 &lt;/math&gt;, wobei &lt;math&gt; \exp(w) = z &lt;/math&gt; |
| '''Hauptzweig''' | &lt;math&gt; \text{Log}(z) \in \log(z) &lt;/math&gt;, mit &lt;math&gt; \text{Arg}(z) \in (-\pi, \pi] &lt;/math&gt; |
| '''Rechenregeln''' | &lt;math&gt; \log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2) &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; \log(z^a) = a \cdot \log(z) &lt;/math&gt; (in Klassen) |
| '''Exponentialfunktion''' | &lt;math&gt; \exp(\log(z)) = z &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; \log(\exp(w)) = [w]_0 &lt;/math&gt; |

---

== 9. Übungsaufgaben ==

1. Zeige, dass &lt;math&gt; \log(-1) = [i\pi]_0 &lt;/math&gt;.
2. Berechne &lt;math&gt; \log(i) + \log(i) &lt;/math&gt; und vergleiche mit &lt;math&gt; \log(-1) &lt;/math&gt;.
3. Zeige, dass &lt;math&gt; \log(z^2) = 2 \log(z) &lt;/math&gt; in der Klassen-Sicht gilt.
4. Warum ist &lt;math&gt; \log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2) &lt;/math&gt; '''nicht''' immer wahr, wenn man nur Zahlen verwendet?
5. Definiere einen anderen Logarithmenzweig auf &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus [0, \infty) &lt;/math&gt;, der &lt;math&gt; \log(z) \in [i \cdot 0]_0 &lt;/math&gt; für &lt;math&gt; z = 1 &lt;/math&gt; wählt.

---

== Lernziel ==

Du kannst:
* den komplexen Logarithmus als '''Äquivalenzklasse''' verstehen,
* die '''Rechenregeln''' für Logarithmen in der Klassen-Sicht korrekt anwenden,
* den Zusammenhang zwischen '''Exponentialfunktion''', '''Logarithmenzweigen''' und '''Äquivalenzklassen''' erklären,
* die '''Mehrdeutigkeit''' des Logarithmus strukturiert darstellen.

---

'''Ende der Lerneinheit'''

&gt; '''Zusammenfassungssatz:'''  
&gt; *Der komplexe Logarithmus von &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; ist die Äquivalenzklasse &lt;math&gt; [w]_0 &lt;/math&gt;, wobei &lt;math&gt; \exp(w) = z &lt;/math&gt;. Diese Klasse ist genau die Menge aller Lösungen von &lt;math&gt; \exp(w) = z &lt;/math&gt;. Alle Rechenregeln gelten in der Klassen-Sicht: &lt;math&gt; \log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2) &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; \log(z^a) = a \cdot \log(z) &lt;/math&gt;, und &lt;math&gt; \exp(\log(z)) = z &lt;/math&gt;.*
== Siehe auch ==
* [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexer Logarithmus]]
* [[logmod-Äquivalenzklassen]]
* [[logmod-Funktion]]
* [[negativer Hauptzweig des Logarithmus]]</text>
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      <id>1116157</id>
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      <timestamp>2026-10-15T07:00:01Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bert Niehaus</username>
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      </contributor>
      <comment>/* Rechenregeln für Äquivalenzklassen */</comment>
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      <text bytes="18239" sha1="iodb1ym8e4zmr3bb7c72bfw7tmaqo06" xml:space="preserve">== Einleitung == 
Diese Lerneinheit zu [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmen]] beschäftigt sich Äquivalenzklassen, deren Struktur und  Rechenregeln, die durch den Zusammenhang mit der Exponentialfunktion und deren imaginärer &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt;-Periodizität entsteht. Die Äquivalenzklassen helfen dabei, [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen#Rechenregeln|Rechenregeln]] aus den reellen Zahl für den [[Logarithmus]] auf den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexen Logarithmus]] bzw. deren Zweige zu übertragen. Die [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus]] spielt dabei bijektive Abbildungen eine besondere Rolle.

=== Periodizität der Exponentialfunktion ===

Der komplexe Logarithmus kann nicht eindeutig als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion &lt;math&gt; \exp: \mathbb{C} \to \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; festgelegt werden, da u.a. die Exponentialfunktion nicht injektiv ist und ein [[Zweig des Logarithmus]] von der Wahl des [[einfach zusammenhängend]]en Gebietes abhängt, auf dem der Logarithmus definiert ist. Es gilt für [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]]:
:&lt;math&gt;
\exp(w + 2\pi i) = \exp(w) = z\quad \text{für alle } w \in \mathbb{C}
&lt;/math&gt;

Daher gibt es unendlich viele komplexe Zahlen &lt;math&gt; w &lt;/math&gt;, die auf dieselbe Zahl &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; abgebildet werden. Diese Mehrdeutigkeit ist die Motivation, um Äquivalenzklassen zu bilden.

== Äquivalenzklassen des Logarithmus ==
Um Äquivalenzklassen zu bilden, benötigt man eine Äquivalenzrelation als Teilmenge von &lt;math&gt;\mathbb{C}\times \mathbb{C} &lt;/math&gt;, die zwei Elemente &lt;math&gt; w_1, w_2 \in \mathbb{C} &lt;/math&gt;, wenn deren Differenz ein ganzzahliges Vielfaches von &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; ist.

=== Definition - logmod-Äquivalenzrelation ===
Zwei komplexe Zahlen &lt;math&gt; w_1, w_2 \in \mathbb{C} &lt;/math&gt; heißen logmod-äquivalent modulo &lt;math&gt; 2\pi i &lt;/math&gt;, wenn gilt:
:&lt;math&gt;
w_1 - w_2 \in 2\pi i \cdot \mathbb{Z} := \{w\in \mathbb{C} \, : \, w=2\pi i \cdot k \mbox{ und } k\in \mathbb{Z} \}
&lt;/math&gt;

Formal notiert man diese Äquivalenz wie folgt:  

:&lt;math&gt;
w_1 \equiv w_2 \  \mathrm{logmod}\  {2\pi i}
&lt;/math&gt;

==== Aufgabe für Studierende ====
Zeigen Sie, dass diese Relation eine ''Äquivalenzrelation'' ist, d.h. die [[logmod-Funktion|logmod-Relation]] ist [[w:de:Äquivalenzrelation|reflexiv, symmetrisch und transitiv]].

=== Definition - logmod-Äquivalenzklasse ===
Für eine komplexe Zahl &lt;math&gt; w \in \mathbb{C} &lt;/math&gt; ist die Äquivalenzklasse definiert als:

:&lt;math&gt;
[w]_0 := \{ w + 2\pi i k \mid k \in \mathbb{Z} \}
&lt;/math&gt;

==== Bezeichnung - Äquivalenzklassenindex====
Die Indexierung mit &lt;math&gt; _0 &lt;/math&gt; deutet an, dass dies diese Äquivalenzklasse ohne Logarithmierung in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt; gebildet wurde. Bildet man rekursiv höhere Logarithmen als Verkettung entstehen Äquivalenzklassen &lt;math&gt;[w]_n&lt;/math&gt;, wobei &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-fach rekursiv der Logarithmus verkettet wird, falls dieser existiert.

== Verbindung mit der Exponentialfunktion ==

Da die Exponentialfunktion im Imaginärteil des Arguments eine Periodizität von &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; besitzt, entsprechen Äquivalenzklassen &lt;math&gt;[w]_0&lt;/math&gt; entsprechen einem Bildpunkt &lt;math&gt;z=e^w&lt;/math&gt;. Dieser Verbindung zwischen Exponentialfunktion und Logarithmus wird durch das LogMod-Äquivalenzklassenlemma festgehalten.

=== LogMod-Äquivalenzklassenlemma ===
Sei &lt;math&gt;w\in\mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;\mathrm{logmod}(w) = 0&lt;/math&gt; gegeben. Für eine feste komplexe Zahl &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; gilt folgende Äquivalenzaussage:
:&lt;math&gt;
 \exp(\widehat{w}) = z \quad \text{für alle } \widehat{w} \in [w]_0
 &lt;/math&gt;
genau dann, wenn &lt;math&gt; \exp(w) = z &lt;/math&gt;.

=== Beweis - LogMod-Äquivalenzlemma ===
Für &lt;math&gt; w\in \mathbb{D}_1 := \mathbb{R}\times i\cdot [0,2\pi)&lt;/math&gt; gelte &lt;math&gt;\exp(w)=z&lt;/math&gt;. Das LogMod-Äquivalenzlemma ist eine Äquivalenzaussage. Daher werden zwei Beweisrichtungen gezeigt:
\mbox{}
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{array}{llcl}
\mbox{ (LML1) }
 &amp; 
 \exp(\widehat{w}) = z  
 &amp;  
 \quad \Longrightarrow \quad 
 &amp; 
 \widehat{w} \in [w]_0
  \\ 
\mbox{ (LML2) }
 &amp; 
 \widehat{w} \in [w]_0
 &amp;  
 \quad \Longrightarrow \quad 
 &amp; 
 \exp(\widehat{w}) = z  
  \\ 
 \end{array}  
&lt;/math&gt;

==== Schritt 1 - Beweisrichtung LML1 ====
Sei &lt;math&gt; \widehat{w} \in \mathbb{C} &lt;/math&gt; mit &lt;math&gt; \exp(\widehat{w}) = z &lt;/math&gt; beliebig gewählt. Dann gilt mit der Voraussetzung &lt;math&gt; \exp(w) = z \not= 0&lt;/math&gt; und Potenzgesetzen:
:&lt;math&gt;
 1 = \frac{z}{z} = \frac{\widehat{w}}{\exp(\exp(w))} = \exp(\widehat{w}-w)
 &lt;/math&gt;
Die Gleichung &lt;math&gt;1 = \exp(\widehat{w}-w)&lt;/math&gt; gilt genau dann, wenn &lt;math&gt; w-\widehat{w} = 2\pi i \cdot k&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;k \in \mathbb{Z}&lt;/math&gt;. 

==== Schritt 2 - Beweisrichtung LML1 ====
Damit gilt auch  &lt;math&gt; w = \widehat{w} + 2\pi i \cdot k &lt;/math&gt;. Die ganze Zahl &lt;math&gt; k\in \mathbb{Z} &lt;/math&gt; ist durch die [[logmod-Funktion]] und es gilt &lt;math&gt;k= \mathrm{logmod}(\widehat{w})&lt;/math&gt;, da &lt;math&gt; w\in \mathbb{D}_1 = \mathbb{R} + i\cdot [0,2\pi) &lt;/math&gt; nach Voraussetzung gilt und man erhält &lt;math&gt;\widehat{w} \in [w]_0&lt;/math&gt;.

==== Schritt 3 - Äquivalenzklasse gegeben LML2 ====
Sei umgekehrt &lt;math&gt;\widehat{w} \in [w]_0&lt;/math&gt; gegeben. Dann gibt es nach Definition der Äquivalenzklasse ein &lt;math&gt; k := logmod(\widehat{w})\in \mathbb{Z} &lt;/math&gt; mit der Eigenschaft  &lt;math&gt;\widehat{w}:= w + 2\pi i k&lt;/math&gt;. Nun wen man diese Darstellung von &lt;math&gt;\widehat{w}&lt;/math&gt; auf die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] an und verwendet Periodizität &lt;math&gt;\exp&lt;/math&gt; bzgl. &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; und erhält:
:&lt;math&gt;
 \exp(\widehat{w}) =  \exp(w + 2\pi i k) = \exp(w) \cdot \exp(2\pi i k) = z \cdot 1 = z
&lt;/math&gt;

==== Schritt 4 - LML2 ====
Da &lt;math&gt;\widehat{w} \in [w]_0&lt;/math&gt; beliebig gewählt wurde, gilt für alle  &lt;math&gt; \widehat{w} \in [w]_0 &lt;/math&gt; die Eigenschaft &lt;math&gt; \exp(\widehat{w}) = z &lt;/math&gt; und zusammen mit LML1 gilt die Äquivalenzaussage aus dem Lemma &lt;math&gt;\quad \Box&lt;/math&gt;.

=== Folgerung - LogMod-Äquivalenzklassenlemma ====  
Fasst man zu einem gegebenen &lt;math&gt;z\in \mathbb{C}\setminus\{0\}&lt;/math&gt; die Menge alle komplexen Zahlen &lt;math&gt; \widehat{w} \in \mathbb{C} &lt;/math&gt; zu einer Menge zusammen, die die Eigenschaft &lt;math&gt; \exp(\widehat{w}) = z &lt;/math&gt; erfüllen, so erhält man die Äquivalenzklasse &lt;math&gt; [w]_0 &lt;/math&gt;, wobei &lt;math&gt; w &lt;/math&gt; eine beliebige Lösung von &lt;math&gt; \exp(w) = z &lt;/math&gt; ist. 

==== Bemerkung - LogMod-Äquivalenzklassenlemma ====  
Für die Äquivalenzklassenanalyse spielt das Repräsentatensystem &lt;math&gt;\mathbb{D}_1= \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi)&lt;/math&gt; eine besondere Rolle. DasRepräsentatensystem &lt;math&gt;\mathbb{D}_1&lt;/math&gt; entsteht durch [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus|algebraische Vervollständigkeit]] des [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweiges]] des [[Logarithmus]].

== Äquivalenzklassenaddition ==
Um die aus der reellen Analysis bekannten Rechenregeln auf Logarithmen in den komplexen Zahlen verwenden zu können werden Äquivalenzklassen verwendet.  Die Struktur und Gültigkeit der Rechenregeln wird in diesem Teil der Lerneinheit genauer untersucht.

=== komplexe Logarithmus als Lösungsmenge ===
Der komplexe Äquivalenzklassen-Logarithmus von &lt;math&gt; z &lt;/math&gt; bildet nicht auf ein Element in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt; ab, sondern auf ein Teilmenge von &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt;. Dies führt im weiteren Verlauf der Lehrveranstaltung zum Begriff des [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarithmus]]. Sei &lt;math&gt;w \in \mathbb{C}&lt;/math&gt; beliebig gewählt, dann definiert man &lt;math&gt;w_0 := w - \mathrm{logmod}(w)\cdot 2\pi i \in \mathbb{D}_1&lt;/math&gt; als Repräsentant der Restklasse &lt;math&gt; [w]_0&lt;/math&gt;.
:&lt;math&gt;
 \mathrm{lnr}_0(z) := \{ w \in \mathbb{C} \mid \exp(w) = z \} = [w]_0
&lt;/math&gt;
für ein beliebiges &lt;math&gt; w_0 \in \mathbb{D}_1 := \mathbb{R}+ i\cdot [0,2\pi)&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt; \exp(w_0) = z &lt;/math&gt;.

==== Beispiel 1 - Neutrales Element für Äquivalenklassenaddition ====
Algebraisch wird später &lt;math&gt;\mathbb{D}_1&lt;/math&gt; mit einer inneren Verknüpfung &lt;math&gt;\oplus&lt;/math&gt; zu einer kommunitative Gruppe. Daher wird das [[w:de:neutrales Element|neutrale Element]] von &lt;math&gt;\oplus&lt;/math&gt; als Beispieläquivalenzklasse genannt und in Beziehung zum Logarithmus gesetzt. Für &lt;math&gt; z = 1 &lt;/math&gt; ist der komplexe rekursive Logarithmus 
:&lt;math&gt; 
   \mathrm{lnr}_0(1) = \{ 2\pi i k \, : \,  k \in \mathbb{Z} \} = [0]_0 
&lt;/math&gt;

==== Beispiel 2 - Logarithmus der imaginären Einheit ====
Da zunächst die [[rekursiver Logarithmus|rekursive komplexe Logarithmen]] von elementaren komplexen Zahlen genannt. Wählt man &lt;math&gt; z = i &lt;/math&gt; so gilt &lt;math&gt; \exp\left(i \tfrac{\pi}{2}\right) = i &lt;/math&gt; und &lt;math&gt;i\tfrac{\pi}{2} \in \mathbb{D}_1&lt;/math&gt;. Bildet man nun den von  [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarithmus]] von  &lt;math&gt; z = i &lt;/math&gt; erhält man:

:&lt;math&gt;
  \mathrm{lnr}_0(i) = \left\{ i \left( \frac{\pi}{2} + 2\pi k \right) \mid k \in \mathbb{Z} \right\} = \left[ i \frac{\pi}{2} \right]_0
&lt;/math&gt;

==== Beispiel 3 - rekursiver Logarithmus von -1 ====
Ablschießend wird auch noch der [[rekursiver Logarithmus|rekursive komplexe Logarithmen]] von &lt;math&gt; z = -1 &lt;/math&gt; genannt. Wegen &lt;math&gt; \exp\left(i \pi \right) = -1 &lt;/math&gt; und &lt;math&gt;i \pi \in \mathbb{D}_1=\mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi) &lt;/math&gt; erhält man:

:&lt;math&gt;
  \mathrm{lnr}_0(-1) = \left\{ i \left( \pi + 2\pi k \right) \mid k \in \mathbb{Z} \right\} = \left[ i \pi \right]_0
&lt;/math&gt;

=== Repräsentantensystem ===

Um einen eindeutigen Funktionswert als Äquivalenzklasse zu erhalten, wählt man eine spezielles Repräsentantensystem &lt;math&gt;\mathbb{D}_1:= \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi) \subset \mathbb{C}&lt;/math&gt; um alle Äquivalenzklassen darstellen zu können. Dabei wird die [[logmod-Funktion]] verwendet, um für eine beliebige komplexe Zahl &lt;math&gt;w\in \mathbb{C}&lt;/math&gt; die zugehörigen Repräsentanten &lt;math&gt;w_0 \in\mathbb{D}_1&lt;/math&gt; über &lt;math&gt; w_0 = w - 2\pi i \cdot \mathrm{logmod}(w)&lt;/math&gt; zu bestimmen.

&lt;span id=&quot;Definition&quot;&gt;
=== Definition - logmod-Äquivalenzklassenaddition ===

Für &lt;math&gt; z_1,z_2 \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; und  &lt;math&gt;w_1,w_2 \in\mathbb{D}_1&lt;/math&gt; gelte &lt;math&gt;\exp(z_1)=w_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\exp(z_2)=w_2&lt;/math&gt;. Man definiert nun die Äquivalenzklassenaddition &lt;math&gt;(\mathbb{D}_1,\oplus)&lt;/math&gt; wie folgt.
:&lt;math&gt;
[w_1]_0 \oplus [w_2]_0 := [w_1 + w_2]_0
&lt;/math&gt;

==== Bemerkung - Repräsentant der Äquivalenzklasse ====
Der Repräsentant &lt;math&gt;w_1 + w_2 &lt;/math&gt; der Äquivalenzklasse 
wobei &lt;math&gt;[w_1 + w_2]_0 &lt;/math&gt; liegt nicht notwendigerweise auch in &lt;math&gt;\mathbb{D}_1&lt;/math&gt;, was das folgende Beispiel zeigt.

==== Beispiel - Repräsentant bei additiver Verknüpfung ====
Wählt man &lt;math&gt; z_1 = z_2 = -i &lt;/math&gt;, so erhält man &lt;math&gt; w_1 = w_2 = \tfrac{3}{2}\pi i \in \mathbb{D}_1 &lt;/math&gt; und es gilt &lt;math&gt; w_1 + w_2 = 3\pi i \notin \mathbb{D}_1 &lt;/math&gt;. Möchte man den zugehörigen Repräsentanten aus &lt;math&gt;\mathbb{D}_1 &lt;/math&gt; bestimmen, verwendet man wieder die [[logmod-Funktion]]:
:&lt;math&gt;
[w_1]_0 \oplus [w_2]_0  = [w_1 + w_2]_0 = [w]_0 
&lt;/math&gt;
mit &lt;math&gt; w = w_1+w_2 - 2\pi i \cdot \mathrm{logmod}(w_1+w_2)&lt;/math&gt;

==== Bemerkung - Notation ====
Für die Addition &lt;math&gt;\oplus&lt;/math&gt; der [[logmod-Äquivalenzklassen]] wird zur Abgrenzung zu additiven Verknüpfung in &lt;math&gt;+&lt;/math&gt; in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt; das Symbol &lt;math&gt;\oplus&lt;/math&gt; verwendet.
:&lt;math&gt;
\left[ 1+\frac{3}{2}\pi i \right]_0 \oplus \left[5+\frac{1}{2}\pi i \right]_0 = \left[ \left(1+\frac{3}{2}\pi i\right)  + \left(5+\frac{1}{2}\pi i\right) \right]_0 = [6+2\pi i]_0 = [6]_0 
&lt;/math&gt;
Im linken Term werden zwei Äquivalenzklassen addiert (daher &lt;math&gt;\oplus&lt;/math&gt;) und in den beiden rechten Termen ist das Standardaddition in den komplexen Zahlen.

== Rechenregeln für Äquivalenzklassen ==
Zunächst einmal muss man kurz die Repräsentantenunabhängigkeit der Äquivalenzklassenaddition auf &lt;math&gt;[\mathbb{D}_1]_0&lt;/math&gt; überprüfen. Dabei ist &lt;math&gt;\oplus&lt;/math&gt; eine innere Verknüpfung auf  &lt;math&gt;[\mathbb{D}_1]_0&lt;/math&gt; der Form:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rrcl}
   f: &amp; [\mathbb{D}_1]_0 \times [\mathbb{D}_1]_0 &amp; \rightarrow &amp; [\mathbb{D}_1]_0\\ 
    &amp;  \left( [w_1]_0,[w_2]_0 \right)  &amp; \mapsto &amp; [w_1]_0 \oplus [w_2]_0 =  [w_1+w_2]_0 =
    \\
    &amp; &amp; &amp; 
    \bigg[\, \underbrace{w_1+w_2 - \mathrm{logmod}(w_1+w_2) \cdot 2\pi i}_{\in \mathbb{D}_1}\,\bigg]_0 
  \end{array}  

&lt;/math&gt;
Dabei beschreibt &lt;math&gt;[\mathbb{D}_1]_0 = \{ [w]_0 \, \colon \, w\in \mathbb{D}_1 \}&lt;/math&gt; die Menge aller [[logmod-Äquivalenzklassen]] mit dem Repräsentantensystem &lt;math&gt;\mathbb{D}_1&lt;/math&gt;. 

=== Lemma zur Repräsentantenunabhängigkeit ===
Die innere additive Verknüpfung &lt;math&gt; ([\mathbb{D}_1]_0 , \oplus)&lt;/math&gt; auf den [[logmod-Äquivalenzklassen]] ist repräsentantenunabhängig. 

=== Beweis - Lemma zur Repräsentantenunabhängigkeit ===
Seien &lt;math&gt;w_1,w_2 \in \mathbb{D}_1 \}&lt;/math&gt; beliebig gewählt
=== (1) Exponentialfunktion und Logarithmus ===

* &lt;math&gt; \exp(\log(z)) = z &lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt;
* &lt;math&gt; \log(\exp(w)) = [w]_0 &lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt; w \in \mathbb{C} &lt;/math&gt;

&gt; '''Achtung:''' &lt;math&gt; \log(\exp(w)) &lt;/math&gt; ist '''keine Zahl''', sondern eine '''Äquivalenzklasse'''.

---

=== (2) Multiplikation und Logarithmus ===

Für &lt;math&gt; z_1, z_2 \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt;:


:&lt;math&gt;
\log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2)
&lt;/math&gt;

&gt; '''Interpretation:'''  
&gt; Die Summe zweier Äquivalenzklassen ist definiert als:
&gt; 
:&lt;math&gt;
&gt; [w_1]_0 + [w_2]_0 := [w_1 + w_2]_0
&gt; &lt;/math&gt;
&gt; und es gilt:
&gt; 
:&lt;math&gt;
&gt; \log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2)
&gt; &lt;/math&gt;

&gt; '''Beispiel:'''  
&gt; &lt;math&gt; z_1 = i &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; z_2 = i &lt;/math&gt; → &lt;math&gt; z_1 z_2 = -1 &lt;/math&gt;  
&gt; &lt;math&gt; \log(i) = \left[ i \frac{\pi}{2} \right]_0 &lt;/math&gt;,  
&gt; &lt;math&gt; \log(i) + \log(i) = \left[ i \pi \right]_0 &lt;/math&gt;,  
&gt; &lt;math&gt; \log(-1) = \left[ i \pi \right]_0 &lt;/math&gt; → stimmt.

---

=== (3) Potenzen und Logarithmus ===

Für &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; a \in \mathbb{C} &lt;/math&gt;:


:&lt;math&gt;
\log(z^a) = a \cdot \log(z) + 2\pi i k \quad \text{für ein } k \in \mathbb{Z}
&lt;/math&gt;

&gt; '''Aber:''' In der Äquivalenzklassen-Sicht gilt:
&gt; 
:&lt;math&gt;
&gt; \log(z^a) = a \cdot \log(z)
&gt; &lt;/math&gt;
&gt; wobei die Multiplikation einer Äquivalenzklasse mit einer komplexen Zahl definiert ist als:
&gt; 
:&lt;math&gt;
&gt; a \cdot [w]_0 := [a w]_0
&gt; &lt;/math&gt;

&gt; '''Beispiel:'''  
&gt; &lt;math&gt; z = i &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; a = 2 &lt;/math&gt; → &lt;math&gt; z^a = -1 &lt;/math&gt;  
&gt; &lt;math&gt; \log(z^a) = \log(-1) = [i\pi]_0 &lt;/math&gt;  
&gt; &lt;math&gt; a \cdot \log(z) = 2 \cdot [i \pi/2]_0 = [i\pi]_0 &lt;/math&gt; → stimmt.

---

=== (4) Addition von Logarithmen ===


:&lt;math&gt;
\log(z_1) + \log(z_2) = \log(z_1 z_2)
&lt;/math&gt;

&gt; '''Achtung:''' Dies ist '''nicht''' immer wahr, wenn man '''nicht''' mit Äquivalenzklassen arbeitet!  
&gt; Aber '''in der Klassen-Sicht''' ist es '''richtig'''.

&gt; '''Warum?''' Weil die Addition von Klassen kommutativ und assoziativ ist.

---

== 7. Zusammenhang mit Logarithmenzweigen ==

Ein '''Logarithmenzweig''' ist eine '''stetige Auswahl''' von Werten aus &lt;math&gt; \log(z) &lt;/math&gt;, d. h. eine Funktion &lt;math&gt; L: G \to \mathbb{C} &lt;/math&gt;, sodass &lt;math&gt; \exp(L(z)) = z &lt;/math&gt; und &lt;math&gt; L &lt;/math&gt; stetig auf einem Gebiet &lt;math&gt; G \subseteq \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt;.

&gt; '''Beispiel:'''  
&gt; Der '''Hauptzweig''' &lt;math&gt; \text{Log}(z) &lt;/math&gt; ist ein Logarithmenzweig auf &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus (-\infty, 0] &lt;/math&gt;.

&gt; '''Jeder Logarithmenzweig''' &lt;math&gt; L &lt;/math&gt; wählt '''einen Repräsentanten''' aus jeder Äquivalenzklasse &lt;math&gt; [w]_0 &lt;/math&gt;, nämlich &lt;math&gt; L(z) \in [w]_0 &lt;/math&gt;.

&gt; '''Zusammenhang:'''  
&gt; Die Menge aller Logarithmenzweige entspricht '''der Wahl einer Schnittlinie''' (Branch Cut), die verhindert, dass man um den Ursprung herumwandert und die Klasse wechselt.

---

== 8. Zusammenfassung: Struktur der Logarithmen ==

| Konzept | Beschreibung |
|--------|--------------|
| '''Äquivalenzklasse''' &lt;math&gt; [w]_0 &lt;/math&gt; | Menge aller &lt;math&gt; w + 2\pi i k &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; k \in \mathbb{Z} &lt;/math&gt; |
| '''Logarithmus von &lt;math&gt; z &lt;/math&gt;''' | &lt;math&gt; \log(z) = [w]_0 &lt;/math&gt;, wobei &lt;math&gt; \exp(w) = z &lt;/math&gt; |
| '''Hauptzweig''' | &lt;math&gt; \text{Log}(z) \in \log(z) &lt;/math&gt;, mit &lt;math&gt; \text{Arg}(z) \in (-\pi, \pi] &lt;/math&gt; |
| '''Rechenregeln''' | &lt;math&gt; \log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2) &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; \log(z^a) = a \cdot \log(z) &lt;/math&gt; (in Klassen) |
| '''Exponentialfunktion''' | &lt;math&gt; \exp(\log(z)) = z &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; \log(\exp(w)) = [w]_0 &lt;/math&gt; |

---

== 9. Übungsaufgaben ==

1. Zeige, dass &lt;math&gt; \log(-1) = [i\pi]_0 &lt;/math&gt;.
2. Berechne &lt;math&gt; \log(i) + \log(i) &lt;/math&gt; und vergleiche mit &lt;math&gt; \log(-1) &lt;/math&gt;.
3. Zeige, dass &lt;math&gt; \log(z^2) = 2 \log(z) &lt;/math&gt; in der Klassen-Sicht gilt.
4. Warum ist &lt;math&gt; \log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2) &lt;/math&gt; '''nicht''' immer wahr, wenn man nur Zahlen verwendet?
5. Definiere einen anderen Logarithmenzweig auf &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus [0, \infty) &lt;/math&gt;, der &lt;math&gt; \log(z) \in [i \cdot 0]_0 &lt;/math&gt; für &lt;math&gt; z = 1 &lt;/math&gt; wählt.

---

== Lernziel ==

Du kannst:
* den komplexen Logarithmus als '''Äquivalenzklasse''' verstehen,
* die '''Rechenregeln''' für Logarithmen in der Klassen-Sicht korrekt anwenden,
* den Zusammenhang zwischen '''Exponentialfunktion''', '''Logarithmenzweigen''' und '''Äquivalenzklassen''' erklären,
* die '''Mehrdeutigkeit''' des Logarithmus strukturiert darstellen.

---

'''Ende der Lerneinheit'''

&gt; '''Zusammenfassungssatz:'''  
&gt; *Der komplexe Logarithmus von &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; ist die Äquivalenzklasse &lt;math&gt; [w]_0 &lt;/math&gt;, wobei &lt;math&gt; \exp(w) = z &lt;/math&gt;. Diese Klasse ist genau die Menge aller Lösungen von &lt;math&gt; \exp(w) = z &lt;/math&gt;. Alle Rechenregeln gelten in der Klassen-Sicht: &lt;math&gt; \log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2) &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; \log(z^a) = a \cdot \log(z) &lt;/math&gt;, und &lt;math&gt; \exp(\log(z)) = z &lt;/math&gt;.*
== Siehe auch ==
* [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexer Logarithmus]]
* [[logmod-Äquivalenzklassen]]
* [[logmod-Funktion]]
* [[negativer Hauptzweig des Logarithmus]]</text>
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      <id>1116161</id>
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      <timestamp>2026-10-15T07:04:33Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bert Niehaus</username>
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      </contributor>
      <comment>/* Beweis - Lemma zur Repräsentantenunabhängigkeit */</comment>
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      <text bytes="18713" sha1="n58xjeqgadvl1bbmv6qscxs685v35qu" xml:space="preserve">== Einleitung == 
Diese Lerneinheit zu [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmen]] beschäftigt sich Äquivalenzklassen, deren Struktur und  Rechenregeln, die durch den Zusammenhang mit der Exponentialfunktion und deren imaginärer &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt;-Periodizität entsteht. Die Äquivalenzklassen helfen dabei, [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen#Rechenregeln|Rechenregeln]] aus den reellen Zahl für den [[Logarithmus]] auf den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexen Logarithmus]] bzw. deren Zweige zu übertragen. Die [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus]] spielt dabei bijektive Abbildungen eine besondere Rolle.

=== Periodizität der Exponentialfunktion ===

Der komplexe Logarithmus kann nicht eindeutig als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion &lt;math&gt; \exp: \mathbb{C} \to \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; festgelegt werden, da u.a. die Exponentialfunktion nicht injektiv ist und ein [[Zweig des Logarithmus]] von der Wahl des [[einfach zusammenhängend]]en Gebietes abhängt, auf dem der Logarithmus definiert ist. Es gilt für [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]]:
:&lt;math&gt;
\exp(w + 2\pi i) = \exp(w) = z\quad \text{für alle } w \in \mathbb{C}
&lt;/math&gt;

Daher gibt es unendlich viele komplexe Zahlen &lt;math&gt; w &lt;/math&gt;, die auf dieselbe Zahl &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; abgebildet werden. Diese Mehrdeutigkeit ist die Motivation, um Äquivalenzklassen zu bilden.

== Äquivalenzklassen des Logarithmus ==
Um Äquivalenzklassen zu bilden, benötigt man eine Äquivalenzrelation als Teilmenge von &lt;math&gt;\mathbb{C}\times \mathbb{C} &lt;/math&gt;, die zwei Elemente &lt;math&gt; w_1, w_2 \in \mathbb{C} &lt;/math&gt;, wenn deren Differenz ein ganzzahliges Vielfaches von &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; ist.

=== Definition - logmod-Äquivalenzrelation ===
Zwei komplexe Zahlen &lt;math&gt; w_1, w_2 \in \mathbb{C} &lt;/math&gt; heißen logmod-äquivalent modulo &lt;math&gt; 2\pi i &lt;/math&gt;, wenn gilt:
:&lt;math&gt;
w_1 - w_2 \in 2\pi i \cdot \mathbb{Z} := \{w\in \mathbb{C} \, : \, w=2\pi i \cdot k \mbox{ und } k\in \mathbb{Z} \}
&lt;/math&gt;

Formal notiert man diese Äquivalenz wie folgt:  

:&lt;math&gt;
w_1 \equiv w_2 \  \mathrm{logmod}\  {2\pi i}
&lt;/math&gt;

==== Aufgabe für Studierende ====
Zeigen Sie, dass diese Relation eine ''Äquivalenzrelation'' ist, d.h. die [[logmod-Funktion|logmod-Relation]] ist [[w:de:Äquivalenzrelation|reflexiv, symmetrisch und transitiv]].

=== Definition - logmod-Äquivalenzklasse ===
Für eine komplexe Zahl &lt;math&gt; w \in \mathbb{C} &lt;/math&gt; ist die Äquivalenzklasse definiert als:

:&lt;math&gt;
[w]_0 := \{ w + 2\pi i k \mid k \in \mathbb{Z} \}
&lt;/math&gt;

==== Bezeichnung - Äquivalenzklassenindex====
Die Indexierung mit &lt;math&gt; _0 &lt;/math&gt; deutet an, dass dies diese Äquivalenzklasse ohne Logarithmierung in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt; gebildet wurde. Bildet man rekursiv höhere Logarithmen als Verkettung entstehen Äquivalenzklassen &lt;math&gt;[w]_n&lt;/math&gt;, wobei &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-fach rekursiv der Logarithmus verkettet wird, falls dieser existiert.

== Verbindung mit der Exponentialfunktion ==

Da die Exponentialfunktion im Imaginärteil des Arguments eine Periodizität von &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; besitzt, entsprechen Äquivalenzklassen &lt;math&gt;[w]_0&lt;/math&gt; entsprechen einem Bildpunkt &lt;math&gt;z=e^w&lt;/math&gt;. Dieser Verbindung zwischen Exponentialfunktion und Logarithmus wird durch das LogMod-Äquivalenzklassenlemma festgehalten.

=== LogMod-Äquivalenzklassenlemma ===
Sei &lt;math&gt;w\in\mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;\mathrm{logmod}(w) = 0&lt;/math&gt; gegeben. Für eine feste komplexe Zahl &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; gilt folgende Äquivalenzaussage:
:&lt;math&gt;
 \exp(\widehat{w}) = z \quad \text{für alle } \widehat{w} \in [w]_0
 &lt;/math&gt;
genau dann, wenn &lt;math&gt; \exp(w) = z &lt;/math&gt;.

=== Beweis - LogMod-Äquivalenzlemma ===
Für &lt;math&gt; w\in \mathbb{D}_1 := \mathbb{R}\times i\cdot [0,2\pi)&lt;/math&gt; gelte &lt;math&gt;\exp(w)=z&lt;/math&gt;. Das LogMod-Äquivalenzlemma ist eine Äquivalenzaussage. Daher werden zwei Beweisrichtungen gezeigt:
\mbox{}
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{array}{llcl}
\mbox{ (LML1) }
 &amp; 
 \exp(\widehat{w}) = z  
 &amp;  
 \quad \Longrightarrow \quad 
 &amp; 
 \widehat{w} \in [w]_0
  \\ 
\mbox{ (LML2) }
 &amp; 
 \widehat{w} \in [w]_0
 &amp;  
 \quad \Longrightarrow \quad 
 &amp; 
 \exp(\widehat{w}) = z  
  \\ 
 \end{array}  
&lt;/math&gt;

==== Schritt 1 - Beweisrichtung LML1 ====
Sei &lt;math&gt; \widehat{w} \in \mathbb{C} &lt;/math&gt; mit &lt;math&gt; \exp(\widehat{w}) = z &lt;/math&gt; beliebig gewählt. Dann gilt mit der Voraussetzung &lt;math&gt; \exp(w) = z \not= 0&lt;/math&gt; und Potenzgesetzen:
:&lt;math&gt;
 1 = \frac{z}{z} = \frac{\widehat{w}}{\exp(\exp(w))} = \exp(\widehat{w}-w)
 &lt;/math&gt;
Die Gleichung &lt;math&gt;1 = \exp(\widehat{w}-w)&lt;/math&gt; gilt genau dann, wenn &lt;math&gt; w-\widehat{w} = 2\pi i \cdot k&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;k \in \mathbb{Z}&lt;/math&gt;. 

==== Schritt 2 - Beweisrichtung LML1 ====
Damit gilt auch  &lt;math&gt; w = \widehat{w} + 2\pi i \cdot k &lt;/math&gt;. Die ganze Zahl &lt;math&gt; k\in \mathbb{Z} &lt;/math&gt; ist durch die [[logmod-Funktion]] und es gilt &lt;math&gt;k= \mathrm{logmod}(\widehat{w})&lt;/math&gt;, da &lt;math&gt; w\in \mathbb{D}_1 = \mathbb{R} + i\cdot [0,2\pi) &lt;/math&gt; nach Voraussetzung gilt und man erhält &lt;math&gt;\widehat{w} \in [w]_0&lt;/math&gt;.

==== Schritt 3 - Äquivalenzklasse gegeben LML2 ====
Sei umgekehrt &lt;math&gt;\widehat{w} \in [w]_0&lt;/math&gt; gegeben. Dann gibt es nach Definition der Äquivalenzklasse ein &lt;math&gt; k := logmod(\widehat{w})\in \mathbb{Z} &lt;/math&gt; mit der Eigenschaft  &lt;math&gt;\widehat{w}:= w + 2\pi i k&lt;/math&gt;. Nun wen man diese Darstellung von &lt;math&gt;\widehat{w}&lt;/math&gt; auf die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] an und verwendet Periodizität &lt;math&gt;\exp&lt;/math&gt; bzgl. &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; und erhält:
:&lt;math&gt;
 \exp(\widehat{w}) =  \exp(w + 2\pi i k) = \exp(w) \cdot \exp(2\pi i k) = z \cdot 1 = z
&lt;/math&gt;

==== Schritt 4 - LML2 ====
Da &lt;math&gt;\widehat{w} \in [w]_0&lt;/math&gt; beliebig gewählt wurde, gilt für alle  &lt;math&gt; \widehat{w} \in [w]_0 &lt;/math&gt; die Eigenschaft &lt;math&gt; \exp(\widehat{w}) = z &lt;/math&gt; und zusammen mit LML1 gilt die Äquivalenzaussage aus dem Lemma &lt;math&gt;\quad \Box&lt;/math&gt;.

=== Folgerung - LogMod-Äquivalenzklassenlemma ====  
Fasst man zu einem gegebenen &lt;math&gt;z\in \mathbb{C}\setminus\{0\}&lt;/math&gt; die Menge alle komplexen Zahlen &lt;math&gt; \widehat{w} \in \mathbb{C} &lt;/math&gt; zu einer Menge zusammen, die die Eigenschaft &lt;math&gt; \exp(\widehat{w}) = z &lt;/math&gt; erfüllen, so erhält man die Äquivalenzklasse &lt;math&gt; [w]_0 &lt;/math&gt;, wobei &lt;math&gt; w &lt;/math&gt; eine beliebige Lösung von &lt;math&gt; \exp(w) = z &lt;/math&gt; ist. 

==== Bemerkung - LogMod-Äquivalenzklassenlemma ====  
Für die Äquivalenzklassenanalyse spielt das Repräsentatensystem &lt;math&gt;\mathbb{D}_1= \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi)&lt;/math&gt; eine besondere Rolle. DasRepräsentatensystem &lt;math&gt;\mathbb{D}_1&lt;/math&gt; entsteht durch [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus|algebraische Vervollständigkeit]] des [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweiges]] des [[Logarithmus]].

== Äquivalenzklassenaddition ==
Um die aus der reellen Analysis bekannten Rechenregeln auf Logarithmen in den komplexen Zahlen verwenden zu können werden Äquivalenzklassen verwendet.  Die Struktur und Gültigkeit der Rechenregeln wird in diesem Teil der Lerneinheit genauer untersucht.

=== komplexe Logarithmus als Lösungsmenge ===
Der komplexe Äquivalenzklassen-Logarithmus von &lt;math&gt; z &lt;/math&gt; bildet nicht auf ein Element in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt; ab, sondern auf ein Teilmenge von &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt;. Dies führt im weiteren Verlauf der Lehrveranstaltung zum Begriff des [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarithmus]]. Sei &lt;math&gt;w \in \mathbb{C}&lt;/math&gt; beliebig gewählt, dann definiert man &lt;math&gt;w_0 := w - \mathrm{logmod}(w)\cdot 2\pi i \in \mathbb{D}_1&lt;/math&gt; als Repräsentant der Restklasse &lt;math&gt; [w]_0&lt;/math&gt;.
:&lt;math&gt;
 \mathrm{lnr}_0(z) := \{ w \in \mathbb{C} \mid \exp(w) = z \} = [w]_0
&lt;/math&gt;
für ein beliebiges &lt;math&gt; w_0 \in \mathbb{D}_1 := \mathbb{R}+ i\cdot [0,2\pi)&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt; \exp(w_0) = z &lt;/math&gt;.

==== Beispiel 1 - Neutrales Element für Äquivalenklassenaddition ====
Algebraisch wird später &lt;math&gt;\mathbb{D}_1&lt;/math&gt; mit einer inneren Verknüpfung &lt;math&gt;\oplus&lt;/math&gt; zu einer kommunitative Gruppe. Daher wird das [[w:de:neutrales Element|neutrale Element]] von &lt;math&gt;\oplus&lt;/math&gt; als Beispieläquivalenzklasse genannt und in Beziehung zum Logarithmus gesetzt. Für &lt;math&gt; z = 1 &lt;/math&gt; ist der komplexe rekursive Logarithmus 
:&lt;math&gt; 
   \mathrm{lnr}_0(1) = \{ 2\pi i k \, : \,  k \in \mathbb{Z} \} = [0]_0 
&lt;/math&gt;

==== Beispiel 2 - Logarithmus der imaginären Einheit ====
Da zunächst die [[rekursiver Logarithmus|rekursive komplexe Logarithmen]] von elementaren komplexen Zahlen genannt. Wählt man &lt;math&gt; z = i &lt;/math&gt; so gilt &lt;math&gt; \exp\left(i \tfrac{\pi}{2}\right) = i &lt;/math&gt; und &lt;math&gt;i\tfrac{\pi}{2} \in \mathbb{D}_1&lt;/math&gt;. Bildet man nun den von  [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarithmus]] von  &lt;math&gt; z = i &lt;/math&gt; erhält man:

:&lt;math&gt;
  \mathrm{lnr}_0(i) = \left\{ i \left( \frac{\pi}{2} + 2\pi k \right) \mid k \in \mathbb{Z} \right\} = \left[ i \frac{\pi}{2} \right]_0
&lt;/math&gt;

==== Beispiel 3 - rekursiver Logarithmus von -1 ====
Ablschießend wird auch noch der [[rekursiver Logarithmus|rekursive komplexe Logarithmen]] von &lt;math&gt; z = -1 &lt;/math&gt; genannt. Wegen &lt;math&gt; \exp\left(i \pi \right) = -1 &lt;/math&gt; und &lt;math&gt;i \pi \in \mathbb{D}_1=\mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi) &lt;/math&gt; erhält man:

:&lt;math&gt;
  \mathrm{lnr}_0(-1) = \left\{ i \left( \pi + 2\pi k \right) \mid k \in \mathbb{Z} \right\} = \left[ i \pi \right]_0
&lt;/math&gt;

=== Repräsentantensystem ===

Um einen eindeutigen Funktionswert als Äquivalenzklasse zu erhalten, wählt man eine spezielles Repräsentantensystem &lt;math&gt;\mathbb{D}_1:= \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi) \subset \mathbb{C}&lt;/math&gt; um alle Äquivalenzklassen darstellen zu können. Dabei wird die [[logmod-Funktion]] verwendet, um für eine beliebige komplexe Zahl &lt;math&gt;w\in \mathbb{C}&lt;/math&gt; die zugehörigen Repräsentanten &lt;math&gt;w_0 \in\mathbb{D}_1&lt;/math&gt; über &lt;math&gt; w_0 = w - 2\pi i \cdot \mathrm{logmod}(w)&lt;/math&gt; zu bestimmen.

&lt;span id=&quot;Definition&quot;&gt;
=== Definition - logmod-Äquivalenzklassenaddition ===

Für &lt;math&gt; z_1,z_2 \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; und  &lt;math&gt;w_1,w_2 \in\mathbb{D}_1&lt;/math&gt; gelte &lt;math&gt;\exp(z_1)=w_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\exp(z_2)=w_2&lt;/math&gt;. Man definiert nun die Äquivalenzklassenaddition &lt;math&gt;(\mathbb{D}_1,\oplus)&lt;/math&gt; wie folgt.
:&lt;math&gt;
[w_1]_0 \oplus [w_2]_0 := [w_1 + w_2]_0
&lt;/math&gt;

==== Bemerkung - Repräsentant der Äquivalenzklasse ====
Der Repräsentant &lt;math&gt;w_1 + w_2 &lt;/math&gt; der Äquivalenzklasse 
wobei &lt;math&gt;[w_1 + w_2]_0 &lt;/math&gt; liegt nicht notwendigerweise auch in &lt;math&gt;\mathbb{D}_1&lt;/math&gt;, was das folgende Beispiel zeigt.

==== Beispiel - Repräsentant bei additiver Verknüpfung ====
Wählt man &lt;math&gt; z_1 = z_2 = -i &lt;/math&gt;, so erhält man &lt;math&gt; w_1 = w_2 = \tfrac{3}{2}\pi i \in \mathbb{D}_1 &lt;/math&gt; und es gilt &lt;math&gt; w_1 + w_2 = 3\pi i \notin \mathbb{D}_1 &lt;/math&gt;. Möchte man den zugehörigen Repräsentanten aus &lt;math&gt;\mathbb{D}_1 &lt;/math&gt; bestimmen, verwendet man wieder die [[logmod-Funktion]]:
:&lt;math&gt;
[w_1]_0 \oplus [w_2]_0  = [w_1 + w_2]_0 = [w]_0 
&lt;/math&gt;
mit &lt;math&gt; w = w_1+w_2 - 2\pi i \cdot \mathrm{logmod}(w_1+w_2)&lt;/math&gt;

==== Bemerkung - Notation ====
Für die Addition &lt;math&gt;\oplus&lt;/math&gt; der [[logmod-Äquivalenzklassen]] wird zur Abgrenzung zu additiven Verknüpfung in &lt;math&gt;+&lt;/math&gt; in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt; das Symbol &lt;math&gt;\oplus&lt;/math&gt; verwendet.
:&lt;math&gt;
\left[ 1+\frac{3}{2}\pi i \right]_0 \oplus \left[5+\frac{1}{2}\pi i \right]_0 = \left[ \left(1+\frac{3}{2}\pi i\right)  + \left(5+\frac{1}{2}\pi i\right) \right]_0 = [6+2\pi i]_0 = [6]_0 
&lt;/math&gt;
Im linken Term werden zwei Äquivalenzklassen addiert (daher &lt;math&gt;\oplus&lt;/math&gt;) und in den beiden rechten Termen ist das Standardaddition in den komplexen Zahlen.

== Rechenregeln für Äquivalenzklassen ==
Zunächst einmal muss man kurz die Repräsentantenunabhängigkeit der Äquivalenzklassenaddition auf &lt;math&gt;[\mathbb{D}_1]_0&lt;/math&gt; überprüfen. Dabei ist &lt;math&gt;\oplus&lt;/math&gt; eine innere Verknüpfung auf  &lt;math&gt;[\mathbb{D}_1]_0&lt;/math&gt; der Form:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rrcl}
   f: &amp; [\mathbb{D}_1]_0 \times [\mathbb{D}_1]_0 &amp; \rightarrow &amp; [\mathbb{D}_1]_0\\ 
    &amp;  \left( [w_1]_0,[w_2]_0 \right)  &amp; \mapsto &amp; [w_1]_0 \oplus [w_2]_0 =  [w_1+w_2]_0 =
    \\
    &amp; &amp; &amp; 
    \bigg[\, \underbrace{w_1+w_2 - \mathrm{logmod}(w_1+w_2) \cdot 2\pi i}_{\in \mathbb{D}_1}\,\bigg]_0 
  \end{array}  

&lt;/math&gt;
Dabei beschreibt &lt;math&gt;[\mathbb{D}_1]_0 = \{ [w]_0 \, \colon \, w\in \mathbb{D}_1 \}&lt;/math&gt; die Menge aller [[logmod-Äquivalenzklassen]] mit dem Repräsentantensystem &lt;math&gt;\mathbb{D}_1&lt;/math&gt;. 

=== Lemma zur Repräsentantenunabhängigkeit ===
Die innere additive Verknüpfung &lt;math&gt; ([\mathbb{D}_1]_0 , \oplus)&lt;/math&gt; auf den [[logmod-Äquivalenzklassen]] ist repräsentantenunabhängig. 

=== Beweis - Lemma zur Repräsentantenunabhängigkeit ===
Seien &lt;math&gt;w_1,w_2 \in \mathbb{D}_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;k_1, k_2 \in \mathbb{Z}&lt;/math&gt; beliebig gewählt, dann sind &lt;math&gt;\widehat{w_1}=2\pi i\cdot k_1 &lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\widehat{w_2}=2\pi i\cdot k_2 &lt;/math&gt; weitere Repräsentanten der [[logmod-Äquivalenzklassen]]  &lt;math&gt;[w_1]_0,[w_2]_0 \in [\mathbb{D}_1]_0&lt;/math&gt; und es gilt:
:&lt;math&gt;
[w_1]_0  = [\widehat{w_1}]_0 \quad [w_2]_0 = [\widehat{w_2}]_0
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 1 - Definition der Addition anwenden ====
Nach Definition der Addition von [[logmod-Äquivalenzklassen]] gilt:

=== (1) Exponentialfunktion und Logarithmus ===

* &lt;math&gt; \exp(\log(z)) = z &lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt;
* &lt;math&gt; \log(\exp(w)) = [w]_0 &lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt; w \in \mathbb{C} &lt;/math&gt;

&gt; '''Achtung:''' &lt;math&gt; \log(\exp(w)) &lt;/math&gt; ist '''keine Zahl''', sondern eine '''Äquivalenzklasse'''.

---

=== (2) Multiplikation und Logarithmus ===

Für &lt;math&gt; z_1, z_2 \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt;:


:&lt;math&gt;
\log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2)
&lt;/math&gt;

&gt; '''Interpretation:'''  
&gt; Die Summe zweier Äquivalenzklassen ist definiert als:
&gt; 
:&lt;math&gt;
&gt; [w_1]_0 + [w_2]_0 := [w_1 + w_2]_0
&gt; &lt;/math&gt;
&gt; und es gilt:
&gt; 
:&lt;math&gt;
&gt; \log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2)
&gt; &lt;/math&gt;

&gt; '''Beispiel:'''  
&gt; &lt;math&gt; z_1 = i &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; z_2 = i &lt;/math&gt; → &lt;math&gt; z_1 z_2 = -1 &lt;/math&gt;  
&gt; &lt;math&gt; \log(i) = \left[ i \frac{\pi}{2} \right]_0 &lt;/math&gt;,  
&gt; &lt;math&gt; \log(i) + \log(i) = \left[ i \pi \right]_0 &lt;/math&gt;,  
&gt; &lt;math&gt; \log(-1) = \left[ i \pi \right]_0 &lt;/math&gt; → stimmt.

---

=== (3) Potenzen und Logarithmus ===

Für &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; a \in \mathbb{C} &lt;/math&gt;:


:&lt;math&gt;
\log(z^a) = a \cdot \log(z) + 2\pi i k \quad \text{für ein } k \in \mathbb{Z}
&lt;/math&gt;

&gt; '''Aber:''' In der Äquivalenzklassen-Sicht gilt:
&gt; 
:&lt;math&gt;
&gt; \log(z^a) = a \cdot \log(z)
&gt; &lt;/math&gt;
&gt; wobei die Multiplikation einer Äquivalenzklasse mit einer komplexen Zahl definiert ist als:
&gt; 
:&lt;math&gt;
&gt; a \cdot [w]_0 := [a w]_0
&gt; &lt;/math&gt;

&gt; '''Beispiel:'''  
&gt; &lt;math&gt; z = i &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; a = 2 &lt;/math&gt; → &lt;math&gt; z^a = -1 &lt;/math&gt;  
&gt; &lt;math&gt; \log(z^a) = \log(-1) = [i\pi]_0 &lt;/math&gt;  
&gt; &lt;math&gt; a \cdot \log(z) = 2 \cdot [i \pi/2]_0 = [i\pi]_0 &lt;/math&gt; → stimmt.

---

=== (4) Addition von Logarithmen ===


:&lt;math&gt;
\log(z_1) + \log(z_2) = \log(z_1 z_2)
&lt;/math&gt;

&gt; '''Achtung:''' Dies ist '''nicht''' immer wahr, wenn man '''nicht''' mit Äquivalenzklassen arbeitet!  
&gt; Aber '''in der Klassen-Sicht''' ist es '''richtig'''.

&gt; '''Warum?''' Weil die Addition von Klassen kommutativ und assoziativ ist.

---

== 7. Zusammenhang mit Logarithmenzweigen ==

Ein '''Logarithmenzweig''' ist eine '''stetige Auswahl''' von Werten aus &lt;math&gt; \log(z) &lt;/math&gt;, d. h. eine Funktion &lt;math&gt; L: G \to \mathbb{C} &lt;/math&gt;, sodass &lt;math&gt; \exp(L(z)) = z &lt;/math&gt; und &lt;math&gt; L &lt;/math&gt; stetig auf einem Gebiet &lt;math&gt; G \subseteq \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt;.

&gt; '''Beispiel:'''  
&gt; Der '''Hauptzweig''' &lt;math&gt; \text{Log}(z) &lt;/math&gt; ist ein Logarithmenzweig auf &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus (-\infty, 0] &lt;/math&gt;.

&gt; '''Jeder Logarithmenzweig''' &lt;math&gt; L &lt;/math&gt; wählt '''einen Repräsentanten''' aus jeder Äquivalenzklasse &lt;math&gt; [w]_0 &lt;/math&gt;, nämlich &lt;math&gt; L(z) \in [w]_0 &lt;/math&gt;.

&gt; '''Zusammenhang:'''  
&gt; Die Menge aller Logarithmenzweige entspricht '''der Wahl einer Schnittlinie''' (Branch Cut), die verhindert, dass man um den Ursprung herumwandert und die Klasse wechselt.

---

== 8. Zusammenfassung: Struktur der Logarithmen ==

| Konzept | Beschreibung |
|--------|--------------|
| '''Äquivalenzklasse''' &lt;math&gt; [w]_0 &lt;/math&gt; | Menge aller &lt;math&gt; w + 2\pi i k &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; k \in \mathbb{Z} &lt;/math&gt; |
| '''Logarithmus von &lt;math&gt; z &lt;/math&gt;''' | &lt;math&gt; \log(z) = [w]_0 &lt;/math&gt;, wobei &lt;math&gt; \exp(w) = z &lt;/math&gt; |
| '''Hauptzweig''' | &lt;math&gt; \text{Log}(z) \in \log(z) &lt;/math&gt;, mit &lt;math&gt; \text{Arg}(z) \in (-\pi, \pi] &lt;/math&gt; |
| '''Rechenregeln''' | &lt;math&gt; \log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2) &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; \log(z^a) = a \cdot \log(z) &lt;/math&gt; (in Klassen) |
| '''Exponentialfunktion''' | &lt;math&gt; \exp(\log(z)) = z &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; \log(\exp(w)) = [w]_0 &lt;/math&gt; |

---

== 9. Übungsaufgaben ==

1. Zeige, dass &lt;math&gt; \log(-1) = [i\pi]_0 &lt;/math&gt;.
2. Berechne &lt;math&gt; \log(i) + \log(i) &lt;/math&gt; und vergleiche mit &lt;math&gt; \log(-1) &lt;/math&gt;.
3. Zeige, dass &lt;math&gt; \log(z^2) = 2 \log(z) &lt;/math&gt; in der Klassen-Sicht gilt.
4. Warum ist &lt;math&gt; \log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2) &lt;/math&gt; '''nicht''' immer wahr, wenn man nur Zahlen verwendet?
5. Definiere einen anderen Logarithmenzweig auf &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus [0, \infty) &lt;/math&gt;, der &lt;math&gt; \log(z) \in [i \cdot 0]_0 &lt;/math&gt; für &lt;math&gt; z = 1 &lt;/math&gt; wählt.

---

== Lernziel ==

Du kannst:
* den komplexen Logarithmus als '''Äquivalenzklasse''' verstehen,
* die '''Rechenregeln''' für Logarithmen in der Klassen-Sicht korrekt anwenden,
* den Zusammenhang zwischen '''Exponentialfunktion''', '''Logarithmenzweigen''' und '''Äquivalenzklassen''' erklären,
* die '''Mehrdeutigkeit''' des Logarithmus strukturiert darstellen.

---

'''Ende der Lerneinheit'''

&gt; '''Zusammenfassungssatz:'''  
&gt; *Der komplexe Logarithmus von &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; ist die Äquivalenzklasse &lt;math&gt; [w]_0 &lt;/math&gt;, wobei &lt;math&gt; \exp(w) = z &lt;/math&gt;. Diese Klasse ist genau die Menge aller Lösungen von &lt;math&gt; \exp(w) = z &lt;/math&gt;. Alle Rechenregeln gelten in der Klassen-Sicht: &lt;math&gt; \log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2) &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; \log(z^a) = a \cdot \log(z) &lt;/math&gt;, und &lt;math&gt; \exp(\log(z)) = z &lt;/math&gt;.*
== Siehe auch ==
* [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexer Logarithmus]]
* [[logmod-Äquivalenzklassen]]
* [[logmod-Funktion]]
* [[negativer Hauptzweig des Logarithmus]]</text>
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      <timestamp>2026-10-15T07:08:29Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bert Niehaus</username>
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      <comment>/* Beweisschritt 1 - Definition der Addition anwenden */</comment>
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      <text bytes="18919" sha1="jhrkdi4pasygy9amqg6bzt5c3p4c20j" xml:space="preserve">== Einleitung == 
Diese Lerneinheit zu [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmen]] beschäftigt sich Äquivalenzklassen, deren Struktur und  Rechenregeln, die durch den Zusammenhang mit der Exponentialfunktion und deren imaginärer &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt;-Periodizität entsteht. Die Äquivalenzklassen helfen dabei, [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen#Rechenregeln|Rechenregeln]] aus den reellen Zahl für den [[Logarithmus]] auf den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexen Logarithmus]] bzw. deren Zweige zu übertragen. Die [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus]] spielt dabei bijektive Abbildungen eine besondere Rolle.

=== Periodizität der Exponentialfunktion ===

Der komplexe Logarithmus kann nicht eindeutig als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion &lt;math&gt; \exp: \mathbb{C} \to \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; festgelegt werden, da u.a. die Exponentialfunktion nicht injektiv ist und ein [[Zweig des Logarithmus]] von der Wahl des [[einfach zusammenhängend]]en Gebietes abhängt, auf dem der Logarithmus definiert ist. Es gilt für [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]]:
:&lt;math&gt;
\exp(w + 2\pi i) = \exp(w) = z\quad \text{für alle } w \in \mathbb{C}
&lt;/math&gt;

Daher gibt es unendlich viele komplexe Zahlen &lt;math&gt; w &lt;/math&gt;, die auf dieselbe Zahl &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; abgebildet werden. Diese Mehrdeutigkeit ist die Motivation, um Äquivalenzklassen zu bilden.

== Äquivalenzklassen des Logarithmus ==
Um Äquivalenzklassen zu bilden, benötigt man eine Äquivalenzrelation als Teilmenge von &lt;math&gt;\mathbb{C}\times \mathbb{C} &lt;/math&gt;, die zwei Elemente &lt;math&gt; w_1, w_2 \in \mathbb{C} &lt;/math&gt;, wenn deren Differenz ein ganzzahliges Vielfaches von &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; ist.

=== Definition - logmod-Äquivalenzrelation ===
Zwei komplexe Zahlen &lt;math&gt; w_1, w_2 \in \mathbb{C} &lt;/math&gt; heißen logmod-äquivalent modulo &lt;math&gt; 2\pi i &lt;/math&gt;, wenn gilt:
:&lt;math&gt;
w_1 - w_2 \in 2\pi i \cdot \mathbb{Z} := \{w\in \mathbb{C} \, : \, w=2\pi i \cdot k \mbox{ und } k\in \mathbb{Z} \}
&lt;/math&gt;

Formal notiert man diese Äquivalenz wie folgt:  

:&lt;math&gt;
w_1 \equiv w_2 \  \mathrm{logmod}\  {2\pi i}
&lt;/math&gt;

==== Aufgabe für Studierende ====
Zeigen Sie, dass diese Relation eine ''Äquivalenzrelation'' ist, d.h. die [[logmod-Funktion|logmod-Relation]] ist [[w:de:Äquivalenzrelation|reflexiv, symmetrisch und transitiv]].

=== Definition - logmod-Äquivalenzklasse ===
Für eine komplexe Zahl &lt;math&gt; w \in \mathbb{C} &lt;/math&gt; ist die Äquivalenzklasse definiert als:

:&lt;math&gt;
[w]_0 := \{ w + 2\pi i k \mid k \in \mathbb{Z} \}
&lt;/math&gt;

==== Bezeichnung - Äquivalenzklassenindex====
Die Indexierung mit &lt;math&gt; _0 &lt;/math&gt; deutet an, dass dies diese Äquivalenzklasse ohne Logarithmierung in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt; gebildet wurde. Bildet man rekursiv höhere Logarithmen als Verkettung entstehen Äquivalenzklassen &lt;math&gt;[w]_n&lt;/math&gt;, wobei &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-fach rekursiv der Logarithmus verkettet wird, falls dieser existiert.

== Verbindung mit der Exponentialfunktion ==

Da die Exponentialfunktion im Imaginärteil des Arguments eine Periodizität von &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; besitzt, entsprechen Äquivalenzklassen &lt;math&gt;[w]_0&lt;/math&gt; entsprechen einem Bildpunkt &lt;math&gt;z=e^w&lt;/math&gt;. Dieser Verbindung zwischen Exponentialfunktion und Logarithmus wird durch das LogMod-Äquivalenzklassenlemma festgehalten.

=== LogMod-Äquivalenzklassenlemma ===
Sei &lt;math&gt;w\in\mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;\mathrm{logmod}(w) = 0&lt;/math&gt; gegeben. Für eine feste komplexe Zahl &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; gilt folgende Äquivalenzaussage:
:&lt;math&gt;
 \exp(\widehat{w}) = z \quad \text{für alle } \widehat{w} \in [w]_0
 &lt;/math&gt;
genau dann, wenn &lt;math&gt; \exp(w) = z &lt;/math&gt;.

=== Beweis - LogMod-Äquivalenzlemma ===
Für &lt;math&gt; w\in \mathbb{D}_1 := \mathbb{R}\times i\cdot [0,2\pi)&lt;/math&gt; gelte &lt;math&gt;\exp(w)=z&lt;/math&gt;. Das LogMod-Äquivalenzlemma ist eine Äquivalenzaussage. Daher werden zwei Beweisrichtungen gezeigt:
\mbox{}
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{array}{llcl}
\mbox{ (LML1) }
 &amp; 
 \exp(\widehat{w}) = z  
 &amp;  
 \quad \Longrightarrow \quad 
 &amp; 
 \widehat{w} \in [w]_0
  \\ 
\mbox{ (LML2) }
 &amp; 
 \widehat{w} \in [w]_0
 &amp;  
 \quad \Longrightarrow \quad 
 &amp; 
 \exp(\widehat{w}) = z  
  \\ 
 \end{array}  
&lt;/math&gt;

==== Schritt 1 - Beweisrichtung LML1 ====
Sei &lt;math&gt; \widehat{w} \in \mathbb{C} &lt;/math&gt; mit &lt;math&gt; \exp(\widehat{w}) = z &lt;/math&gt; beliebig gewählt. Dann gilt mit der Voraussetzung &lt;math&gt; \exp(w) = z \not= 0&lt;/math&gt; und Potenzgesetzen:
:&lt;math&gt;
 1 = \frac{z}{z} = \frac{\widehat{w}}{\exp(\exp(w))} = \exp(\widehat{w}-w)
 &lt;/math&gt;
Die Gleichung &lt;math&gt;1 = \exp(\widehat{w}-w)&lt;/math&gt; gilt genau dann, wenn &lt;math&gt; w-\widehat{w} = 2\pi i \cdot k&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;k \in \mathbb{Z}&lt;/math&gt;. 

==== Schritt 2 - Beweisrichtung LML1 ====
Damit gilt auch  &lt;math&gt; w = \widehat{w} + 2\pi i \cdot k &lt;/math&gt;. Die ganze Zahl &lt;math&gt; k\in \mathbb{Z} &lt;/math&gt; ist durch die [[logmod-Funktion]] und es gilt &lt;math&gt;k= \mathrm{logmod}(\widehat{w})&lt;/math&gt;, da &lt;math&gt; w\in \mathbb{D}_1 = \mathbb{R} + i\cdot [0,2\pi) &lt;/math&gt; nach Voraussetzung gilt und man erhält &lt;math&gt;\widehat{w} \in [w]_0&lt;/math&gt;.

==== Schritt 3 - Äquivalenzklasse gegeben LML2 ====
Sei umgekehrt &lt;math&gt;\widehat{w} \in [w]_0&lt;/math&gt; gegeben. Dann gibt es nach Definition der Äquivalenzklasse ein &lt;math&gt; k := logmod(\widehat{w})\in \mathbb{Z} &lt;/math&gt; mit der Eigenschaft  &lt;math&gt;\widehat{w}:= w + 2\pi i k&lt;/math&gt;. Nun wen man diese Darstellung von &lt;math&gt;\widehat{w}&lt;/math&gt; auf die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] an und verwendet Periodizität &lt;math&gt;\exp&lt;/math&gt; bzgl. &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; und erhält:
:&lt;math&gt;
 \exp(\widehat{w}) =  \exp(w + 2\pi i k) = \exp(w) \cdot \exp(2\pi i k) = z \cdot 1 = z
&lt;/math&gt;

==== Schritt 4 - LML2 ====
Da &lt;math&gt;\widehat{w} \in [w]_0&lt;/math&gt; beliebig gewählt wurde, gilt für alle  &lt;math&gt; \widehat{w} \in [w]_0 &lt;/math&gt; die Eigenschaft &lt;math&gt; \exp(\widehat{w}) = z &lt;/math&gt; und zusammen mit LML1 gilt die Äquivalenzaussage aus dem Lemma &lt;math&gt;\quad \Box&lt;/math&gt;.

=== Folgerung - LogMod-Äquivalenzklassenlemma ====  
Fasst man zu einem gegebenen &lt;math&gt;z\in \mathbb{C}\setminus\{0\}&lt;/math&gt; die Menge alle komplexen Zahlen &lt;math&gt; \widehat{w} \in \mathbb{C} &lt;/math&gt; zu einer Menge zusammen, die die Eigenschaft &lt;math&gt; \exp(\widehat{w}) = z &lt;/math&gt; erfüllen, so erhält man die Äquivalenzklasse &lt;math&gt; [w]_0 &lt;/math&gt;, wobei &lt;math&gt; w &lt;/math&gt; eine beliebige Lösung von &lt;math&gt; \exp(w) = z &lt;/math&gt; ist. 

==== Bemerkung - LogMod-Äquivalenzklassenlemma ====  
Für die Äquivalenzklassenanalyse spielt das Repräsentatensystem &lt;math&gt;\mathbb{D}_1= \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi)&lt;/math&gt; eine besondere Rolle. DasRepräsentatensystem &lt;math&gt;\mathbb{D}_1&lt;/math&gt; entsteht durch [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus|algebraische Vervollständigkeit]] des [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweiges]] des [[Logarithmus]].

== Äquivalenzklassenaddition ==
Um die aus der reellen Analysis bekannten Rechenregeln auf Logarithmen in den komplexen Zahlen verwenden zu können werden Äquivalenzklassen verwendet.  Die Struktur und Gültigkeit der Rechenregeln wird in diesem Teil der Lerneinheit genauer untersucht.

=== komplexe Logarithmus als Lösungsmenge ===
Der komplexe Äquivalenzklassen-Logarithmus von &lt;math&gt; z &lt;/math&gt; bildet nicht auf ein Element in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt; ab, sondern auf ein Teilmenge von &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt;. Dies führt im weiteren Verlauf der Lehrveranstaltung zum Begriff des [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarithmus]]. Sei &lt;math&gt;w \in \mathbb{C}&lt;/math&gt; beliebig gewählt, dann definiert man &lt;math&gt;w_0 := w - \mathrm{logmod}(w)\cdot 2\pi i \in \mathbb{D}_1&lt;/math&gt; als Repräsentant der Restklasse &lt;math&gt; [w]_0&lt;/math&gt;.
:&lt;math&gt;
 \mathrm{lnr}_0(z) := \{ w \in \mathbb{C} \mid \exp(w) = z \} = [w]_0
&lt;/math&gt;
für ein beliebiges &lt;math&gt; w_0 \in \mathbb{D}_1 := \mathbb{R}+ i\cdot [0,2\pi)&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt; \exp(w_0) = z &lt;/math&gt;.

==== Beispiel 1 - Neutrales Element für Äquivalenklassenaddition ====
Algebraisch wird später &lt;math&gt;\mathbb{D}_1&lt;/math&gt; mit einer inneren Verknüpfung &lt;math&gt;\oplus&lt;/math&gt; zu einer kommunitative Gruppe. Daher wird das [[w:de:neutrales Element|neutrale Element]] von &lt;math&gt;\oplus&lt;/math&gt; als Beispieläquivalenzklasse genannt und in Beziehung zum Logarithmus gesetzt. Für &lt;math&gt; z = 1 &lt;/math&gt; ist der komplexe rekursive Logarithmus 
:&lt;math&gt; 
   \mathrm{lnr}_0(1) = \{ 2\pi i k \, : \,  k \in \mathbb{Z} \} = [0]_0 
&lt;/math&gt;

==== Beispiel 2 - Logarithmus der imaginären Einheit ====
Da zunächst die [[rekursiver Logarithmus|rekursive komplexe Logarithmen]] von elementaren komplexen Zahlen genannt. Wählt man &lt;math&gt; z = i &lt;/math&gt; so gilt &lt;math&gt; \exp\left(i \tfrac{\pi}{2}\right) = i &lt;/math&gt; und &lt;math&gt;i\tfrac{\pi}{2} \in \mathbb{D}_1&lt;/math&gt;. Bildet man nun den von  [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarithmus]] von  &lt;math&gt; z = i &lt;/math&gt; erhält man:

:&lt;math&gt;
  \mathrm{lnr}_0(i) = \left\{ i \left( \frac{\pi}{2} + 2\pi k \right) \mid k \in \mathbb{Z} \right\} = \left[ i \frac{\pi}{2} \right]_0
&lt;/math&gt;

==== Beispiel 3 - rekursiver Logarithmus von -1 ====
Ablschießend wird auch noch der [[rekursiver Logarithmus|rekursive komplexe Logarithmen]] von &lt;math&gt; z = -1 &lt;/math&gt; genannt. Wegen &lt;math&gt; \exp\left(i \pi \right) = -1 &lt;/math&gt; und &lt;math&gt;i \pi \in \mathbb{D}_1=\mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi) &lt;/math&gt; erhält man:

:&lt;math&gt;
  \mathrm{lnr}_0(-1) = \left\{ i \left( \pi + 2\pi k \right) \mid k \in \mathbb{Z} \right\} = \left[ i \pi \right]_0
&lt;/math&gt;

=== Repräsentantensystem ===

Um einen eindeutigen Funktionswert als Äquivalenzklasse zu erhalten, wählt man eine spezielles Repräsentantensystem &lt;math&gt;\mathbb{D}_1:= \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi) \subset \mathbb{C}&lt;/math&gt; um alle Äquivalenzklassen darstellen zu können. Dabei wird die [[logmod-Funktion]] verwendet, um für eine beliebige komplexe Zahl &lt;math&gt;w\in \mathbb{C}&lt;/math&gt; die zugehörigen Repräsentanten &lt;math&gt;w_0 \in\mathbb{D}_1&lt;/math&gt; über &lt;math&gt; w_0 = w - 2\pi i \cdot \mathrm{logmod}(w)&lt;/math&gt; zu bestimmen.

&lt;span id=&quot;Definition&quot;&gt;
=== Definition - logmod-Äquivalenzklassenaddition ===

Für &lt;math&gt; z_1,z_2 \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; und  &lt;math&gt;w_1,w_2 \in\mathbb{D}_1&lt;/math&gt; gelte &lt;math&gt;\exp(z_1)=w_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\exp(z_2)=w_2&lt;/math&gt;. Man definiert nun die Äquivalenzklassenaddition &lt;math&gt;(\mathbb{D}_1,\oplus)&lt;/math&gt; wie folgt.
:&lt;math&gt;
[w_1]_0 \oplus [w_2]_0 := [w_1 + w_2]_0
&lt;/math&gt;

==== Bemerkung - Repräsentant der Äquivalenzklasse ====
Der Repräsentant &lt;math&gt;w_1 + w_2 &lt;/math&gt; der Äquivalenzklasse 
wobei &lt;math&gt;[w_1 + w_2]_0 &lt;/math&gt; liegt nicht notwendigerweise auch in &lt;math&gt;\mathbb{D}_1&lt;/math&gt;, was das folgende Beispiel zeigt.

==== Beispiel - Repräsentant bei additiver Verknüpfung ====
Wählt man &lt;math&gt; z_1 = z_2 = -i &lt;/math&gt;, so erhält man &lt;math&gt; w_1 = w_2 = \tfrac{3}{2}\pi i \in \mathbb{D}_1 &lt;/math&gt; und es gilt &lt;math&gt; w_1 + w_2 = 3\pi i \notin \mathbb{D}_1 &lt;/math&gt;. Möchte man den zugehörigen Repräsentanten aus &lt;math&gt;\mathbb{D}_1 &lt;/math&gt; bestimmen, verwendet man wieder die [[logmod-Funktion]]:
:&lt;math&gt;
[w_1]_0 \oplus [w_2]_0  = [w_1 + w_2]_0 = [w]_0 
&lt;/math&gt;
mit &lt;math&gt; w = w_1+w_2 - 2\pi i \cdot \mathrm{logmod}(w_1+w_2)&lt;/math&gt;

==== Bemerkung - Notation ====
Für die Addition &lt;math&gt;\oplus&lt;/math&gt; der [[logmod-Äquivalenzklassen]] wird zur Abgrenzung zu additiven Verknüpfung in &lt;math&gt;+&lt;/math&gt; in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt; das Symbol &lt;math&gt;\oplus&lt;/math&gt; verwendet.
:&lt;math&gt;
\left[ 1+\frac{3}{2}\pi i \right]_0 \oplus \left[5+\frac{1}{2}\pi i \right]_0 = \left[ \left(1+\frac{3}{2}\pi i\right)  + \left(5+\frac{1}{2}\pi i\right) \right]_0 = [6+2\pi i]_0 = [6]_0 
&lt;/math&gt;
Im linken Term werden zwei Äquivalenzklassen addiert (daher &lt;math&gt;\oplus&lt;/math&gt;) und in den beiden rechten Termen ist das Standardaddition in den komplexen Zahlen.

== Rechenregeln für Äquivalenzklassen ==
Zunächst einmal muss man kurz die Repräsentantenunabhängigkeit der Äquivalenzklassenaddition auf &lt;math&gt;[\mathbb{D}_1]_0&lt;/math&gt; überprüfen. Dabei ist &lt;math&gt;\oplus&lt;/math&gt; eine innere Verknüpfung auf  &lt;math&gt;[\mathbb{D}_1]_0&lt;/math&gt; der Form:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rrcl}
   f: &amp; [\mathbb{D}_1]_0 \times [\mathbb{D}_1]_0 &amp; \rightarrow &amp; [\mathbb{D}_1]_0\\ 
    &amp;  \left( [w_1]_0,[w_2]_0 \right)  &amp; \mapsto &amp; [w_1]_0 \oplus [w_2]_0 =  [w_1+w_2]_0 =
    \\
    &amp; &amp; &amp; 
    \bigg[\, \underbrace{w_1+w_2 - \mathrm{logmod}(w_1+w_2) \cdot 2\pi i}_{\in \mathbb{D}_1}\,\bigg]_0 
  \end{array}  

&lt;/math&gt;
Dabei beschreibt &lt;math&gt;[\mathbb{D}_1]_0 = \{ [w]_0 \, \colon \, w\in \mathbb{D}_1 \}&lt;/math&gt; die Menge aller [[logmod-Äquivalenzklassen]] mit dem Repräsentantensystem &lt;math&gt;\mathbb{D}_1&lt;/math&gt;. 

=== Lemma zur Repräsentantenunabhängigkeit ===
Die innere additive Verknüpfung &lt;math&gt; ([\mathbb{D}_1]_0 , \oplus)&lt;/math&gt; auf den [[logmod-Äquivalenzklassen]] ist repräsentantenunabhängig. 

=== Beweis - Lemma zur Repräsentantenunabhängigkeit ===
Seien &lt;math&gt;w_1,w_2 \in \mathbb{D}_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;k_1, k_2 \in \mathbb{Z}&lt;/math&gt; beliebig gewählt, dann sind &lt;math&gt;\widehat{w_1}=2\pi i\cdot k_1 &lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\widehat{w_2}=2\pi i\cdot k_2 &lt;/math&gt; weitere Repräsentanten der [[logmod-Äquivalenzklassen]]  &lt;math&gt;[w_1]_0,[w_2]_0 \in [\mathbb{D}_1]_0&lt;/math&gt; und es gilt:
:&lt;math&gt;
[w_1]_0  = [\widehat{w_1}]_0 \quad [w_2]_0 = [\widehat{w_2}]_0
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 1 - Definition der Addition anwenden ====
Nach Definition der Addition von [[logmod-Äquivalenzklassen]] gilt:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
 [\widehat{w_1}]_0 \oplus [\widehat{w_1}]_0 &amp; = &amp;  
 [\widehat{w_1} + \widehat{w_1}]_0
 \\ 
 &amp; = &amp; 
 [w_1+w_2+ (k_1+k_2)\cdot 2\pi i]_0 = [w_1+w_2]_0
  \\ 
 \end{array}  
&lt;/math&gt;

=== (1) Exponentialfunktion und Logarithmus ===

* &lt;math&gt; \exp(\log(z)) = z &lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt;
* &lt;math&gt; \log(\exp(w)) = [w]_0 &lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt; w \in \mathbb{C} &lt;/math&gt;

&gt; '''Achtung:''' &lt;math&gt; \log(\exp(w)) &lt;/math&gt; ist '''keine Zahl''', sondern eine '''Äquivalenzklasse'''.

---

=== (2) Multiplikation und Logarithmus ===

Für &lt;math&gt; z_1, z_2 \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt;:


:&lt;math&gt;
\log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2)
&lt;/math&gt;

&gt; '''Interpretation:'''  
&gt; Die Summe zweier Äquivalenzklassen ist definiert als:
&gt; 
:&lt;math&gt;
&gt; [w_1]_0 + [w_2]_0 := [w_1 + w_2]_0
&gt; &lt;/math&gt;
&gt; und es gilt:
&gt; 
:&lt;math&gt;
&gt; \log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2)
&gt; &lt;/math&gt;

&gt; '''Beispiel:'''  
&gt; &lt;math&gt; z_1 = i &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; z_2 = i &lt;/math&gt; → &lt;math&gt; z_1 z_2 = -1 &lt;/math&gt;  
&gt; &lt;math&gt; \log(i) = \left[ i \frac{\pi}{2} \right]_0 &lt;/math&gt;,  
&gt; &lt;math&gt; \log(i) + \log(i) = \left[ i \pi \right]_0 &lt;/math&gt;,  
&gt; &lt;math&gt; \log(-1) = \left[ i \pi \right]_0 &lt;/math&gt; → stimmt.

---

=== (3) Potenzen und Logarithmus ===

Für &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; a \in \mathbb{C} &lt;/math&gt;:


:&lt;math&gt;
\log(z^a) = a \cdot \log(z) + 2\pi i k \quad \text{für ein } k \in \mathbb{Z}
&lt;/math&gt;

&gt; '''Aber:''' In der Äquivalenzklassen-Sicht gilt:
&gt; 
:&lt;math&gt;
&gt; \log(z^a) = a \cdot \log(z)
&gt; &lt;/math&gt;
&gt; wobei die Multiplikation einer Äquivalenzklasse mit einer komplexen Zahl definiert ist als:
&gt; 
:&lt;math&gt;
&gt; a \cdot [w]_0 := [a w]_0
&gt; &lt;/math&gt;

&gt; '''Beispiel:'''  
&gt; &lt;math&gt; z = i &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; a = 2 &lt;/math&gt; → &lt;math&gt; z^a = -1 &lt;/math&gt;  
&gt; &lt;math&gt; \log(z^a) = \log(-1) = [i\pi]_0 &lt;/math&gt;  
&gt; &lt;math&gt; a \cdot \log(z) = 2 \cdot [i \pi/2]_0 = [i\pi]_0 &lt;/math&gt; → stimmt.

---

=== (4) Addition von Logarithmen ===


:&lt;math&gt;
\log(z_1) + \log(z_2) = \log(z_1 z_2)
&lt;/math&gt;

&gt; '''Achtung:''' Dies ist '''nicht''' immer wahr, wenn man '''nicht''' mit Äquivalenzklassen arbeitet!  
&gt; Aber '''in der Klassen-Sicht''' ist es '''richtig'''.

&gt; '''Warum?''' Weil die Addition von Klassen kommutativ und assoziativ ist.

---

== 7. Zusammenhang mit Logarithmenzweigen ==

Ein '''Logarithmenzweig''' ist eine '''stetige Auswahl''' von Werten aus &lt;math&gt; \log(z) &lt;/math&gt;, d. h. eine Funktion &lt;math&gt; L: G \to \mathbb{C} &lt;/math&gt;, sodass &lt;math&gt; \exp(L(z)) = z &lt;/math&gt; und &lt;math&gt; L &lt;/math&gt; stetig auf einem Gebiet &lt;math&gt; G \subseteq \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt;.

&gt; '''Beispiel:'''  
&gt; Der '''Hauptzweig''' &lt;math&gt; \text{Log}(z) &lt;/math&gt; ist ein Logarithmenzweig auf &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus (-\infty, 0] &lt;/math&gt;.

&gt; '''Jeder Logarithmenzweig''' &lt;math&gt; L &lt;/math&gt; wählt '''einen Repräsentanten''' aus jeder Äquivalenzklasse &lt;math&gt; [w]_0 &lt;/math&gt;, nämlich &lt;math&gt; L(z) \in [w]_0 &lt;/math&gt;.

&gt; '''Zusammenhang:'''  
&gt; Die Menge aller Logarithmenzweige entspricht '''der Wahl einer Schnittlinie''' (Branch Cut), die verhindert, dass man um den Ursprung herumwandert und die Klasse wechselt.

---

== 8. Zusammenfassung: Struktur der Logarithmen ==

| Konzept | Beschreibung |
|--------|--------------|
| '''Äquivalenzklasse''' &lt;math&gt; [w]_0 &lt;/math&gt; | Menge aller &lt;math&gt; w + 2\pi i k &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; k \in \mathbb{Z} &lt;/math&gt; |
| '''Logarithmus von &lt;math&gt; z &lt;/math&gt;''' | &lt;math&gt; \log(z) = [w]_0 &lt;/math&gt;, wobei &lt;math&gt; \exp(w) = z &lt;/math&gt; |
| '''Hauptzweig''' | &lt;math&gt; \text{Log}(z) \in \log(z) &lt;/math&gt;, mit &lt;math&gt; \text{Arg}(z) \in (-\pi, \pi] &lt;/math&gt; |
| '''Rechenregeln''' | &lt;math&gt; \log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2) &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; \log(z^a) = a \cdot \log(z) &lt;/math&gt; (in Klassen) |
| '''Exponentialfunktion''' | &lt;math&gt; \exp(\log(z)) = z &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; \log(\exp(w)) = [w]_0 &lt;/math&gt; |

---

== 9. Übungsaufgaben ==

1. Zeige, dass &lt;math&gt; \log(-1) = [i\pi]_0 &lt;/math&gt;.
2. Berechne &lt;math&gt; \log(i) + \log(i) &lt;/math&gt; und vergleiche mit &lt;math&gt; \log(-1) &lt;/math&gt;.
3. Zeige, dass &lt;math&gt; \log(z^2) = 2 \log(z) &lt;/math&gt; in der Klassen-Sicht gilt.
4. Warum ist &lt;math&gt; \log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2) &lt;/math&gt; '''nicht''' immer wahr, wenn man nur Zahlen verwendet?
5. Definiere einen anderen Logarithmenzweig auf &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus [0, \infty) &lt;/math&gt;, der &lt;math&gt; \log(z) \in [i \cdot 0]_0 &lt;/math&gt; für &lt;math&gt; z = 1 &lt;/math&gt; wählt.

---

== Lernziel ==

Du kannst:
* den komplexen Logarithmus als '''Äquivalenzklasse''' verstehen,
* die '''Rechenregeln''' für Logarithmen in der Klassen-Sicht korrekt anwenden,
* den Zusammenhang zwischen '''Exponentialfunktion''', '''Logarithmenzweigen''' und '''Äquivalenzklassen''' erklären,
* die '''Mehrdeutigkeit''' des Logarithmus strukturiert darstellen.

---

'''Ende der Lerneinheit'''

&gt; '''Zusammenfassungssatz:'''  
&gt; *Der komplexe Logarithmus von &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; ist die Äquivalenzklasse &lt;math&gt; [w]_0 &lt;/math&gt;, wobei &lt;math&gt; \exp(w) = z &lt;/math&gt;. Diese Klasse ist genau die Menge aller Lösungen von &lt;math&gt; \exp(w) = z &lt;/math&gt;. Alle Rechenregeln gelten in der Klassen-Sicht: &lt;math&gt; \log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2) &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; \log(z^a) = a \cdot \log(z) &lt;/math&gt;, und &lt;math&gt; \exp(\log(z)) = z &lt;/math&gt;.*
== Siehe auch ==
* [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexer Logarithmus]]
* [[logmod-Äquivalenzklassen]]
* [[logmod-Funktion]]
* [[negativer Hauptzweig des Logarithmus]]</text>
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      <timestamp>2026-10-15T07:14:45Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bert Niehaus</username>
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      </contributor>
      <comment>/* Beweis - Lemma zur Repräsentantenunabhängigkeit */</comment>
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      <text bytes="19497" sha1="5fmxftr762jw2n9hzgw4e0v93v3vx8c" xml:space="preserve">== Einleitung == 
Diese Lerneinheit zu [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmen]] beschäftigt sich Äquivalenzklassen, deren Struktur und  Rechenregeln, die durch den Zusammenhang mit der Exponentialfunktion und deren imaginärer &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt;-Periodizität entsteht. Die Äquivalenzklassen helfen dabei, [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen#Rechenregeln|Rechenregeln]] aus den reellen Zahl für den [[Logarithmus]] auf den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexen Logarithmus]] bzw. deren Zweige zu übertragen. Die [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus]] spielt dabei bijektive Abbildungen eine besondere Rolle.

=== Periodizität der Exponentialfunktion ===

Der komplexe Logarithmus kann nicht eindeutig als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion &lt;math&gt; \exp: \mathbb{C} \to \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; festgelegt werden, da u.a. die Exponentialfunktion nicht injektiv ist und ein [[Zweig des Logarithmus]] von der Wahl des [[einfach zusammenhängend]]en Gebietes abhängt, auf dem der Logarithmus definiert ist. Es gilt für [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]]:
:&lt;math&gt;
\exp(w + 2\pi i) = \exp(w) = z\quad \text{für alle } w \in \mathbb{C}
&lt;/math&gt;

Daher gibt es unendlich viele komplexe Zahlen &lt;math&gt; w &lt;/math&gt;, die auf dieselbe Zahl &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; abgebildet werden. Diese Mehrdeutigkeit ist die Motivation, um Äquivalenzklassen zu bilden.

== Äquivalenzklassen des Logarithmus ==
Um Äquivalenzklassen zu bilden, benötigt man eine Äquivalenzrelation als Teilmenge von &lt;math&gt;\mathbb{C}\times \mathbb{C} &lt;/math&gt;, die zwei Elemente &lt;math&gt; w_1, w_2 \in \mathbb{C} &lt;/math&gt;, wenn deren Differenz ein ganzzahliges Vielfaches von &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; ist.

=== Definition - logmod-Äquivalenzrelation ===
Zwei komplexe Zahlen &lt;math&gt; w_1, w_2 \in \mathbb{C} &lt;/math&gt; heißen logmod-äquivalent modulo &lt;math&gt; 2\pi i &lt;/math&gt;, wenn gilt:
:&lt;math&gt;
w_1 - w_2 \in 2\pi i \cdot \mathbb{Z} := \{w\in \mathbb{C} \, : \, w=2\pi i \cdot k \mbox{ und } k\in \mathbb{Z} \}
&lt;/math&gt;

Formal notiert man diese Äquivalenz wie folgt:  

:&lt;math&gt;
w_1 \equiv w_2 \  \mathrm{logmod}\  {2\pi i}
&lt;/math&gt;

==== Aufgabe für Studierende ====
Zeigen Sie, dass diese Relation eine ''Äquivalenzrelation'' ist, d.h. die [[logmod-Funktion|logmod-Relation]] ist [[w:de:Äquivalenzrelation|reflexiv, symmetrisch und transitiv]].

=== Definition - logmod-Äquivalenzklasse ===
Für eine komplexe Zahl &lt;math&gt; w \in \mathbb{C} &lt;/math&gt; ist die Äquivalenzklasse definiert als:

:&lt;math&gt;
[w]_0 := \{ w + 2\pi i k \mid k \in \mathbb{Z} \}
&lt;/math&gt;

==== Bezeichnung - Äquivalenzklassenindex====
Die Indexierung mit &lt;math&gt; _0 &lt;/math&gt; deutet an, dass dies diese Äquivalenzklasse ohne Logarithmierung in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt; gebildet wurde. Bildet man rekursiv höhere Logarithmen als Verkettung entstehen Äquivalenzklassen &lt;math&gt;[w]_n&lt;/math&gt;, wobei &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-fach rekursiv der Logarithmus verkettet wird, falls dieser existiert.

== Verbindung mit der Exponentialfunktion ==

Da die Exponentialfunktion im Imaginärteil des Arguments eine Periodizität von &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; besitzt, entsprechen Äquivalenzklassen &lt;math&gt;[w]_0&lt;/math&gt; entsprechen einem Bildpunkt &lt;math&gt;z=e^w&lt;/math&gt;. Dieser Verbindung zwischen Exponentialfunktion und Logarithmus wird durch das LogMod-Äquivalenzklassenlemma festgehalten.

=== LogMod-Äquivalenzklassenlemma ===
Sei &lt;math&gt;w\in\mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;\mathrm{logmod}(w) = 0&lt;/math&gt; gegeben. Für eine feste komplexe Zahl &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; gilt folgende Äquivalenzaussage:
:&lt;math&gt;
 \exp(\widehat{w}) = z \quad \text{für alle } \widehat{w} \in [w]_0
 &lt;/math&gt;
genau dann, wenn &lt;math&gt; \exp(w) = z &lt;/math&gt;.

=== Beweis - LogMod-Äquivalenzlemma ===
Für &lt;math&gt; w\in \mathbb{D}_1 := \mathbb{R}\times i\cdot [0,2\pi)&lt;/math&gt; gelte &lt;math&gt;\exp(w)=z&lt;/math&gt;. Das LogMod-Äquivalenzlemma ist eine Äquivalenzaussage. Daher werden zwei Beweisrichtungen gezeigt:
\mbox{}
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{array}{llcl}
\mbox{ (LML1) }
 &amp; 
 \exp(\widehat{w}) = z  
 &amp;  
 \quad \Longrightarrow \quad 
 &amp; 
 \widehat{w} \in [w]_0
  \\ 
\mbox{ (LML2) }
 &amp; 
 \widehat{w} \in [w]_0
 &amp;  
 \quad \Longrightarrow \quad 
 &amp; 
 \exp(\widehat{w}) = z  
  \\ 
 \end{array}  
&lt;/math&gt;

==== Schritt 1 - Beweisrichtung LML1 ====
Sei &lt;math&gt; \widehat{w} \in \mathbb{C} &lt;/math&gt; mit &lt;math&gt; \exp(\widehat{w}) = z &lt;/math&gt; beliebig gewählt. Dann gilt mit der Voraussetzung &lt;math&gt; \exp(w) = z \not= 0&lt;/math&gt; und Potenzgesetzen:
:&lt;math&gt;
 1 = \frac{z}{z} = \frac{\widehat{w}}{\exp(\exp(w))} = \exp(\widehat{w}-w)
 &lt;/math&gt;
Die Gleichung &lt;math&gt;1 = \exp(\widehat{w}-w)&lt;/math&gt; gilt genau dann, wenn &lt;math&gt; w-\widehat{w} = 2\pi i \cdot k&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;k \in \mathbb{Z}&lt;/math&gt;. 

==== Schritt 2 - Beweisrichtung LML1 ====
Damit gilt auch  &lt;math&gt; w = \widehat{w} + 2\pi i \cdot k &lt;/math&gt;. Die ganze Zahl &lt;math&gt; k\in \mathbb{Z} &lt;/math&gt; ist durch die [[logmod-Funktion]] und es gilt &lt;math&gt;k= \mathrm{logmod}(\widehat{w})&lt;/math&gt;, da &lt;math&gt; w\in \mathbb{D}_1 = \mathbb{R} + i\cdot [0,2\pi) &lt;/math&gt; nach Voraussetzung gilt und man erhält &lt;math&gt;\widehat{w} \in [w]_0&lt;/math&gt;.

==== Schritt 3 - Äquivalenzklasse gegeben LML2 ====
Sei umgekehrt &lt;math&gt;\widehat{w} \in [w]_0&lt;/math&gt; gegeben. Dann gibt es nach Definition der Äquivalenzklasse ein &lt;math&gt; k := logmod(\widehat{w})\in \mathbb{Z} &lt;/math&gt; mit der Eigenschaft  &lt;math&gt;\widehat{w}:= w + 2\pi i k&lt;/math&gt;. Nun wen man diese Darstellung von &lt;math&gt;\widehat{w}&lt;/math&gt; auf die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] an und verwendet Periodizität &lt;math&gt;\exp&lt;/math&gt; bzgl. &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; und erhält:
:&lt;math&gt;
 \exp(\widehat{w}) =  \exp(w + 2\pi i k) = \exp(w) \cdot \exp(2\pi i k) = z \cdot 1 = z
&lt;/math&gt;

==== Schritt 4 - LML2 ====
Da &lt;math&gt;\widehat{w} \in [w]_0&lt;/math&gt; beliebig gewählt wurde, gilt für alle  &lt;math&gt; \widehat{w} \in [w]_0 &lt;/math&gt; die Eigenschaft &lt;math&gt; \exp(\widehat{w}) = z &lt;/math&gt; und zusammen mit LML1 gilt die Äquivalenzaussage aus dem Lemma &lt;math&gt;\quad \Box&lt;/math&gt;.

=== Folgerung - LogMod-Äquivalenzklassenlemma ====  
Fasst man zu einem gegebenen &lt;math&gt;z\in \mathbb{C}\setminus\{0\}&lt;/math&gt; die Menge alle komplexen Zahlen &lt;math&gt; \widehat{w} \in \mathbb{C} &lt;/math&gt; zu einer Menge zusammen, die die Eigenschaft &lt;math&gt; \exp(\widehat{w}) = z &lt;/math&gt; erfüllen, so erhält man die Äquivalenzklasse &lt;math&gt; [w]_0 &lt;/math&gt;, wobei &lt;math&gt; w &lt;/math&gt; eine beliebige Lösung von &lt;math&gt; \exp(w) = z &lt;/math&gt; ist. 

==== Bemerkung - LogMod-Äquivalenzklassenlemma ====  
Für die Äquivalenzklassenanalyse spielt das Repräsentatensystem &lt;math&gt;\mathbb{D}_1= \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi)&lt;/math&gt; eine besondere Rolle. DasRepräsentatensystem &lt;math&gt;\mathbb{D}_1&lt;/math&gt; entsteht durch [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus|algebraische Vervollständigkeit]] des [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweiges]] des [[Logarithmus]].

== Äquivalenzklassenaddition ==
Um die aus der reellen Analysis bekannten Rechenregeln auf Logarithmen in den komplexen Zahlen verwenden zu können werden Äquivalenzklassen verwendet.  Die Struktur und Gültigkeit der Rechenregeln wird in diesem Teil der Lerneinheit genauer untersucht.

=== komplexe Logarithmus als Lösungsmenge ===
Der komplexe Äquivalenzklassen-Logarithmus von &lt;math&gt; z &lt;/math&gt; bildet nicht auf ein Element in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt; ab, sondern auf ein Teilmenge von &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt;. Dies führt im weiteren Verlauf der Lehrveranstaltung zum Begriff des [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarithmus]]. Sei &lt;math&gt;w \in \mathbb{C}&lt;/math&gt; beliebig gewählt, dann definiert man &lt;math&gt;w_0 := w - \mathrm{logmod}(w)\cdot 2\pi i \in \mathbb{D}_1&lt;/math&gt; als Repräsentant der Restklasse &lt;math&gt; [w]_0&lt;/math&gt;.
:&lt;math&gt;
 \mathrm{lnr}_0(z) := \{ w \in \mathbb{C} \mid \exp(w) = z \} = [w]_0
&lt;/math&gt;
für ein beliebiges &lt;math&gt; w_0 \in \mathbb{D}_1 := \mathbb{R}+ i\cdot [0,2\pi)&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt; \exp(w_0) = z &lt;/math&gt;.

==== Beispiel 1 - Neutrales Element für Äquivalenklassenaddition ====
Algebraisch wird später &lt;math&gt;\mathbb{D}_1&lt;/math&gt; mit einer inneren Verknüpfung &lt;math&gt;\oplus&lt;/math&gt; zu einer kommunitative Gruppe. Daher wird das [[w:de:neutrales Element|neutrale Element]] von &lt;math&gt;\oplus&lt;/math&gt; als Beispieläquivalenzklasse genannt und in Beziehung zum Logarithmus gesetzt. Für &lt;math&gt; z = 1 &lt;/math&gt; ist der komplexe rekursive Logarithmus 
:&lt;math&gt; 
   \mathrm{lnr}_0(1) = \{ 2\pi i k \, : \,  k \in \mathbb{Z} \} = [0]_0 
&lt;/math&gt;

==== Beispiel 2 - Logarithmus der imaginären Einheit ====
Da zunächst die [[rekursiver Logarithmus|rekursive komplexe Logarithmen]] von elementaren komplexen Zahlen genannt. Wählt man &lt;math&gt; z = i &lt;/math&gt; so gilt &lt;math&gt; \exp\left(i \tfrac{\pi}{2}\right) = i &lt;/math&gt; und &lt;math&gt;i\tfrac{\pi}{2} \in \mathbb{D}_1&lt;/math&gt;. Bildet man nun den von  [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarithmus]] von  &lt;math&gt; z = i &lt;/math&gt; erhält man:

:&lt;math&gt;
  \mathrm{lnr}_0(i) = \left\{ i \left( \frac{\pi}{2} + 2\pi k \right) \mid k \in \mathbb{Z} \right\} = \left[ i \frac{\pi}{2} \right]_0
&lt;/math&gt;

==== Beispiel 3 - rekursiver Logarithmus von -1 ====
Ablschießend wird auch noch der [[rekursiver Logarithmus|rekursive komplexe Logarithmen]] von &lt;math&gt; z = -1 &lt;/math&gt; genannt. Wegen &lt;math&gt; \exp\left(i \pi \right) = -1 &lt;/math&gt; und &lt;math&gt;i \pi \in \mathbb{D}_1=\mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi) &lt;/math&gt; erhält man:

:&lt;math&gt;
  \mathrm{lnr}_0(-1) = \left\{ i \left( \pi + 2\pi k \right) \mid k \in \mathbb{Z} \right\} = \left[ i \pi \right]_0
&lt;/math&gt;

=== Repräsentantensystem ===

Um einen eindeutigen Funktionswert als Äquivalenzklasse zu erhalten, wählt man eine spezielles Repräsentantensystem &lt;math&gt;\mathbb{D}_1:= \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi) \subset \mathbb{C}&lt;/math&gt; um alle Äquivalenzklassen darstellen zu können. Dabei wird die [[logmod-Funktion]] verwendet, um für eine beliebige komplexe Zahl &lt;math&gt;w\in \mathbb{C}&lt;/math&gt; die zugehörigen Repräsentanten &lt;math&gt;w_0 \in\mathbb{D}_1&lt;/math&gt; über &lt;math&gt; w_0 = w - 2\pi i \cdot \mathrm{logmod}(w)&lt;/math&gt; zu bestimmen.

&lt;span id=&quot;Definition&quot;&gt;
=== Definition - logmod-Äquivalenzklassenaddition ===

Für &lt;math&gt; z_1,z_2 \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; und  &lt;math&gt;w_1,w_2 \in\mathbb{D}_1&lt;/math&gt; gelte &lt;math&gt;\exp(z_1)=w_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\exp(z_2)=w_2&lt;/math&gt;. Man definiert nun die Äquivalenzklassenaddition &lt;math&gt;(\mathbb{D}_1,\oplus)&lt;/math&gt; wie folgt.
:&lt;math&gt;
[w_1]_0 \oplus [w_2]_0 := [w_1 + w_2]_0
&lt;/math&gt;

==== Bemerkung - Repräsentant der Äquivalenzklasse ====
Der Repräsentant &lt;math&gt;w_1 + w_2 &lt;/math&gt; der Äquivalenzklasse 
wobei &lt;math&gt;[w_1 + w_2]_0 &lt;/math&gt; liegt nicht notwendigerweise auch in &lt;math&gt;\mathbb{D}_1&lt;/math&gt;, was das folgende Beispiel zeigt.

==== Beispiel - Repräsentant bei additiver Verknüpfung ====
Wählt man &lt;math&gt; z_1 = z_2 = -i &lt;/math&gt;, so erhält man &lt;math&gt; w_1 = w_2 = \tfrac{3}{2}\pi i \in \mathbb{D}_1 &lt;/math&gt; und es gilt &lt;math&gt; w_1 + w_2 = 3\pi i \notin \mathbb{D}_1 &lt;/math&gt;. Möchte man den zugehörigen Repräsentanten aus &lt;math&gt;\mathbb{D}_1 &lt;/math&gt; bestimmen, verwendet man wieder die [[logmod-Funktion]]:
:&lt;math&gt;
[w_1]_0 \oplus [w_2]_0  = [w_1 + w_2]_0 = [w]_0 
&lt;/math&gt;
mit &lt;math&gt; w = w_1+w_2 - 2\pi i \cdot \mathrm{logmod}(w_1+w_2)&lt;/math&gt;

==== Bemerkung - Notation ====
Für die Addition &lt;math&gt;\oplus&lt;/math&gt; der [[logmod-Äquivalenzklassen]] wird zur Abgrenzung zu additiven Verknüpfung in &lt;math&gt;+&lt;/math&gt; in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt; das Symbol &lt;math&gt;\oplus&lt;/math&gt; verwendet.
:&lt;math&gt;
\left[ 1+\frac{3}{2}\pi i \right]_0 \oplus \left[5+\frac{1}{2}\pi i \right]_0 = \left[ \left(1+\frac{3}{2}\pi i\right)  + \left(5+\frac{1}{2}\pi i\right) \right]_0 = [6+2\pi i]_0 = [6]_0 
&lt;/math&gt;
Im linken Term werden zwei Äquivalenzklassen addiert (daher &lt;math&gt;\oplus&lt;/math&gt;) und in den beiden rechten Termen ist das Standardaddition in den komplexen Zahlen.

== Rechenregeln für Äquivalenzklassen ==
Zunächst einmal muss man kurz die Repräsentantenunabhängigkeit der Äquivalenzklassenaddition auf &lt;math&gt;[\mathbb{D}_1]_0&lt;/math&gt; überprüfen. Dabei ist &lt;math&gt;\oplus&lt;/math&gt; eine innere Verknüpfung auf  &lt;math&gt;[\mathbb{D}_1]_0&lt;/math&gt; der Form:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rrcl}
   f: &amp; [\mathbb{D}_1]_0 \times [\mathbb{D}_1]_0 &amp; \rightarrow &amp; [\mathbb{D}_1]_0\\ 
    &amp;  \left( [w_1]_0,[w_2]_0 \right)  &amp; \mapsto &amp; [w_1]_0 \oplus [w_2]_0 =  [w_1+w_2]_0 =
    \\
    &amp; &amp; &amp; 
    \bigg[\, \underbrace{w_1+w_2 - \mathrm{logmod}(w_1+w_2) \cdot 2\pi i}_{\in \mathbb{D}_1}\,\bigg]_0 
  \end{array}  

&lt;/math&gt;
Dabei beschreibt &lt;math&gt;[\mathbb{D}_1]_0 = \{ [w]_0 \, \colon \, w\in \mathbb{D}_1 \}&lt;/math&gt; die Menge aller [[logmod-Äquivalenzklassen]] mit dem Repräsentantensystem &lt;math&gt;\mathbb{D}_1&lt;/math&gt;. 

=== Lemma zur Repräsentantenunabhängigkeit ===
Die innere additive Verknüpfung &lt;math&gt; ([\mathbb{D}_1]_0 , \oplus)&lt;/math&gt; auf den [[logmod-Äquivalenzklassen]] ist repräsentantenunabhängig. 

=== Beweis - Lemma zur Repräsentantenunabhängigkeit ===
Die Beweisidee der Repräsentantenunabhängigkeit beruht auf der Auswahl von zwei beliebigen unterschiedlichen Repräsentanten &lt;math&gt;w_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\widehat{w_1}&lt;/math&gt; bzw. &lt;math&gt;w_2&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\widehat{w_2}&lt;/math&gt; und man zeigt dann die Addition mit &lt;math&gt;\oplus&lt;/math&gt; für die [[logmod-Äquivalenzklassen]] die gleiche Äquivalenzklasse &lt;math&gt;[w_1+w_2]_0=[\widehat{w_1}+\widehat{w_2}]_0&lt;/math&gt; liefert.

==== Beweisschritt 1 - Wahl der Repräsentanten ====
Seien &lt;math&gt;w_1,w_2 \in \mathbb{D}_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;k_1, k_2 \in \mathbb{Z}&lt;/math&gt; beliebig gewählt, dann sind &lt;math&gt;\widehat{w_1}=2\pi i\cdot k_1 &lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\widehat{w_2}=2\pi i\cdot k_2 &lt;/math&gt; weitere Repräsentanten der [[logmod-Äquivalenzklassen]]  &lt;math&gt;[w_1]_0,[w_2]_0 \in [\mathbb{D}_1]_0&lt;/math&gt; und es gilt:
:&lt;math&gt;
[w_1]_0  = [\widehat{w_1}]_0 \quad [w_2]_0 = [\widehat{w_2}]_0
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 2 - Definition der Addition anwenden ====
Nach Definition der Addition von [[logmod-Äquivalenzklassen]] gilt:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
 [\widehat{w_1}]_0 \oplus [\widehat{w_1}]_0 &amp; = &amp;  
 [\widehat{w_1} + \widehat{w_1}]_0
 \\ 
 &amp; = &amp; 
 [w_1+w_2+ (k_1+k_2)\cdot 2\pi i]_0 = [w_1+w_2]_0
  \\ 
 \end{array}  
&lt;/math&gt;
Damit die Addition von [[logmod-Äquivalenzklassen]] repräsentantenunabhängig. &lt;math&gt;\quad \Box&lt;/math&gt;

=== (1) Exponentialfunktion und Logarithmus ===

* &lt;math&gt; \exp(\log(z)) = z &lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt;
* &lt;math&gt; \log(\exp(w)) = [w]_0 &lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt; w \in \mathbb{C} &lt;/math&gt;

&gt; '''Achtung:''' &lt;math&gt; \log(\exp(w)) &lt;/math&gt; ist '''keine Zahl''', sondern eine '''Äquivalenzklasse'''.

---

=== (2) Multiplikation und Logarithmus ===

Für &lt;math&gt; z_1, z_2 \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt;:


:&lt;math&gt;
\log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2)
&lt;/math&gt;

&gt; '''Interpretation:'''  
&gt; Die Summe zweier Äquivalenzklassen ist definiert als:
&gt; 
:&lt;math&gt;
&gt; [w_1]_0 + [w_2]_0 := [w_1 + w_2]_0
&gt; &lt;/math&gt;
&gt; und es gilt:
&gt; 
:&lt;math&gt;
&gt; \log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2)
&gt; &lt;/math&gt;

&gt; '''Beispiel:'''  
&gt; &lt;math&gt; z_1 = i &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; z_2 = i &lt;/math&gt; → &lt;math&gt; z_1 z_2 = -1 &lt;/math&gt;  
&gt; &lt;math&gt; \log(i) = \left[ i \frac{\pi}{2} \right]_0 &lt;/math&gt;,  
&gt; &lt;math&gt; \log(i) + \log(i) = \left[ i \pi \right]_0 &lt;/math&gt;,  
&gt; &lt;math&gt; \log(-1) = \left[ i \pi \right]_0 &lt;/math&gt; → stimmt.

---

=== (3) Potenzen und Logarithmus ===

Für &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; a \in \mathbb{C} &lt;/math&gt;:


:&lt;math&gt;
\log(z^a) = a \cdot \log(z) + 2\pi i k \quad \text{für ein } k \in \mathbb{Z}
&lt;/math&gt;

&gt; '''Aber:''' In der Äquivalenzklassen-Sicht gilt:
&gt; 
:&lt;math&gt;
&gt; \log(z^a) = a \cdot \log(z)
&gt; &lt;/math&gt;
&gt; wobei die Multiplikation einer Äquivalenzklasse mit einer komplexen Zahl definiert ist als:
&gt; 
:&lt;math&gt;
&gt; a \cdot [w]_0 := [a w]_0
&gt; &lt;/math&gt;

&gt; '''Beispiel:'''  
&gt; &lt;math&gt; z = i &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; a = 2 &lt;/math&gt; → &lt;math&gt; z^a = -1 &lt;/math&gt;  
&gt; &lt;math&gt; \log(z^a) = \log(-1) = [i\pi]_0 &lt;/math&gt;  
&gt; &lt;math&gt; a \cdot \log(z) = 2 \cdot [i \pi/2]_0 = [i\pi]_0 &lt;/math&gt; → stimmt.

---

=== (4) Addition von Logarithmen ===


:&lt;math&gt;
\log(z_1) + \log(z_2) = \log(z_1 z_2)
&lt;/math&gt;

&gt; '''Achtung:''' Dies ist '''nicht''' immer wahr, wenn man '''nicht''' mit Äquivalenzklassen arbeitet!  
&gt; Aber '''in der Klassen-Sicht''' ist es '''richtig'''.

&gt; '''Warum?''' Weil die Addition von Klassen kommutativ und assoziativ ist.

---

== 7. Zusammenhang mit Logarithmenzweigen ==

Ein '''Logarithmenzweig''' ist eine '''stetige Auswahl''' von Werten aus &lt;math&gt; \log(z) &lt;/math&gt;, d. h. eine Funktion &lt;math&gt; L: G \to \mathbb{C} &lt;/math&gt;, sodass &lt;math&gt; \exp(L(z)) = z &lt;/math&gt; und &lt;math&gt; L &lt;/math&gt; stetig auf einem Gebiet &lt;math&gt; G \subseteq \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt;.

&gt; '''Beispiel:'''  
&gt; Der '''Hauptzweig''' &lt;math&gt; \text{Log}(z) &lt;/math&gt; ist ein Logarithmenzweig auf &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus (-\infty, 0] &lt;/math&gt;.

&gt; '''Jeder Logarithmenzweig''' &lt;math&gt; L &lt;/math&gt; wählt '''einen Repräsentanten''' aus jeder Äquivalenzklasse &lt;math&gt; [w]_0 &lt;/math&gt;, nämlich &lt;math&gt; L(z) \in [w]_0 &lt;/math&gt;.

&gt; '''Zusammenhang:'''  
&gt; Die Menge aller Logarithmenzweige entspricht '''der Wahl einer Schnittlinie''' (Branch Cut), die verhindert, dass man um den Ursprung herumwandert und die Klasse wechselt.

---

== 8. Zusammenfassung: Struktur der Logarithmen ==

| Konzept | Beschreibung |
|--------|--------------|
| '''Äquivalenzklasse''' &lt;math&gt; [w]_0 &lt;/math&gt; | Menge aller &lt;math&gt; w + 2\pi i k &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; k \in \mathbb{Z} &lt;/math&gt; |
| '''Logarithmus von &lt;math&gt; z &lt;/math&gt;''' | &lt;math&gt; \log(z) = [w]_0 &lt;/math&gt;, wobei &lt;math&gt; \exp(w) = z &lt;/math&gt; |
| '''Hauptzweig''' | &lt;math&gt; \text{Log}(z) \in \log(z) &lt;/math&gt;, mit &lt;math&gt; \text{Arg}(z) \in (-\pi, \pi] &lt;/math&gt; |
| '''Rechenregeln''' | &lt;math&gt; \log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2) &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; \log(z^a) = a \cdot \log(z) &lt;/math&gt; (in Klassen) |
| '''Exponentialfunktion''' | &lt;math&gt; \exp(\log(z)) = z &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; \log(\exp(w)) = [w]_0 &lt;/math&gt; |

---

== 9. Übungsaufgaben ==

1. Zeige, dass &lt;math&gt; \log(-1) = [i\pi]_0 &lt;/math&gt;.
2. Berechne &lt;math&gt; \log(i) + \log(i) &lt;/math&gt; und vergleiche mit &lt;math&gt; \log(-1) &lt;/math&gt;.
3. Zeige, dass &lt;math&gt; \log(z^2) = 2 \log(z) &lt;/math&gt; in der Klassen-Sicht gilt.
4. Warum ist &lt;math&gt; \log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2) &lt;/math&gt; '''nicht''' immer wahr, wenn man nur Zahlen verwendet?
5. Definiere einen anderen Logarithmenzweig auf &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus [0, \infty) &lt;/math&gt;, der &lt;math&gt; \log(z) \in [i \cdot 0]_0 &lt;/math&gt; für &lt;math&gt; z = 1 &lt;/math&gt; wählt.

---

== Lernziel ==

Du kannst:
* den komplexen Logarithmus als '''Äquivalenzklasse''' verstehen,
* die '''Rechenregeln''' für Logarithmen in der Klassen-Sicht korrekt anwenden,
* den Zusammenhang zwischen '''Exponentialfunktion''', '''Logarithmenzweigen''' und '''Äquivalenzklassen''' erklären,
* die '''Mehrdeutigkeit''' des Logarithmus strukturiert darstellen.

---

'''Ende der Lerneinheit'''

&gt; '''Zusammenfassungssatz:'''  
&gt; *Der komplexe Logarithmus von &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; ist die Äquivalenzklasse &lt;math&gt; [w]_0 &lt;/math&gt;, wobei &lt;math&gt; \exp(w) = z &lt;/math&gt;. Diese Klasse ist genau die Menge aller Lösungen von &lt;math&gt; \exp(w) = z &lt;/math&gt;. Alle Rechenregeln gelten in der Klassen-Sicht: &lt;math&gt; \log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2) &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; \log(z^a) = a \cdot \log(z) &lt;/math&gt;, und &lt;math&gt; \exp(\log(z)) = z &lt;/math&gt;.*
== Siehe auch ==
* [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexer Logarithmus]]
* [[logmod-Äquivalenzklassen]]
* [[logmod-Funktion]]
* [[negativer Hauptzweig des Logarithmus]]</text>
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    <revision>
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      <timestamp>2026-10-15T07:17:11Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bert Niehaus</username>
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      </contributor>
      <comment>/* Beweisschritt 2 - Definition der Addition anwenden */</comment>
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      <model>wikitext</model>
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      <text bytes="19501" sha1="od31j6p8h5u53wl8ap02rm41myu6mug" xml:space="preserve">== Einleitung == 
Diese Lerneinheit zu [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmen]] beschäftigt sich Äquivalenzklassen, deren Struktur und  Rechenregeln, die durch den Zusammenhang mit der Exponentialfunktion und deren imaginärer &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt;-Periodizität entsteht. Die Äquivalenzklassen helfen dabei, [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen#Rechenregeln|Rechenregeln]] aus den reellen Zahl für den [[Logarithmus]] auf den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexen Logarithmus]] bzw. deren Zweige zu übertragen. Die [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus]] spielt dabei bijektive Abbildungen eine besondere Rolle.

=== Periodizität der Exponentialfunktion ===

Der komplexe Logarithmus kann nicht eindeutig als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion &lt;math&gt; \exp: \mathbb{C} \to \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; festgelegt werden, da u.a. die Exponentialfunktion nicht injektiv ist und ein [[Zweig des Logarithmus]] von der Wahl des [[einfach zusammenhängend]]en Gebietes abhängt, auf dem der Logarithmus definiert ist. Es gilt für [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]]:
:&lt;math&gt;
\exp(w + 2\pi i) = \exp(w) = z\quad \text{für alle } w \in \mathbb{C}
&lt;/math&gt;

Daher gibt es unendlich viele komplexe Zahlen &lt;math&gt; w &lt;/math&gt;, die auf dieselbe Zahl &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; abgebildet werden. Diese Mehrdeutigkeit ist die Motivation, um Äquivalenzklassen zu bilden.

== Äquivalenzklassen des Logarithmus ==
Um Äquivalenzklassen zu bilden, benötigt man eine Äquivalenzrelation als Teilmenge von &lt;math&gt;\mathbb{C}\times \mathbb{C} &lt;/math&gt;, die zwei Elemente &lt;math&gt; w_1, w_2 \in \mathbb{C} &lt;/math&gt;, wenn deren Differenz ein ganzzahliges Vielfaches von &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; ist.

=== Definition - logmod-Äquivalenzrelation ===
Zwei komplexe Zahlen &lt;math&gt; w_1, w_2 \in \mathbb{C} &lt;/math&gt; heißen logmod-äquivalent modulo &lt;math&gt; 2\pi i &lt;/math&gt;, wenn gilt:
:&lt;math&gt;
w_1 - w_2 \in 2\pi i \cdot \mathbb{Z} := \{w\in \mathbb{C} \, : \, w=2\pi i \cdot k \mbox{ und } k\in \mathbb{Z} \}
&lt;/math&gt;

Formal notiert man diese Äquivalenz wie folgt:  

:&lt;math&gt;
w_1 \equiv w_2 \  \mathrm{logmod}\  {2\pi i}
&lt;/math&gt;

==== Aufgabe für Studierende ====
Zeigen Sie, dass diese Relation eine ''Äquivalenzrelation'' ist, d.h. die [[logmod-Funktion|logmod-Relation]] ist [[w:de:Äquivalenzrelation|reflexiv, symmetrisch und transitiv]].

=== Definition - logmod-Äquivalenzklasse ===
Für eine komplexe Zahl &lt;math&gt; w \in \mathbb{C} &lt;/math&gt; ist die Äquivalenzklasse definiert als:

:&lt;math&gt;
[w]_0 := \{ w + 2\pi i k \mid k \in \mathbb{Z} \}
&lt;/math&gt;

==== Bezeichnung - Äquivalenzklassenindex====
Die Indexierung mit &lt;math&gt; _0 &lt;/math&gt; deutet an, dass dies diese Äquivalenzklasse ohne Logarithmierung in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt; gebildet wurde. Bildet man rekursiv höhere Logarithmen als Verkettung entstehen Äquivalenzklassen &lt;math&gt;[w]_n&lt;/math&gt;, wobei &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-fach rekursiv der Logarithmus verkettet wird, falls dieser existiert.

== Verbindung mit der Exponentialfunktion ==

Da die Exponentialfunktion im Imaginärteil des Arguments eine Periodizität von &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; besitzt, entsprechen Äquivalenzklassen &lt;math&gt;[w]_0&lt;/math&gt; entsprechen einem Bildpunkt &lt;math&gt;z=e^w&lt;/math&gt;. Dieser Verbindung zwischen Exponentialfunktion und Logarithmus wird durch das LogMod-Äquivalenzklassenlemma festgehalten.

=== LogMod-Äquivalenzklassenlemma ===
Sei &lt;math&gt;w\in\mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;\mathrm{logmod}(w) = 0&lt;/math&gt; gegeben. Für eine feste komplexe Zahl &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; gilt folgende Äquivalenzaussage:
:&lt;math&gt;
 \exp(\widehat{w}) = z \quad \text{für alle } \widehat{w} \in [w]_0
 &lt;/math&gt;
genau dann, wenn &lt;math&gt; \exp(w) = z &lt;/math&gt;.

=== Beweis - LogMod-Äquivalenzlemma ===
Für &lt;math&gt; w\in \mathbb{D}_1 := \mathbb{R}\times i\cdot [0,2\pi)&lt;/math&gt; gelte &lt;math&gt;\exp(w)=z&lt;/math&gt;. Das LogMod-Äquivalenzlemma ist eine Äquivalenzaussage. Daher werden zwei Beweisrichtungen gezeigt:
\mbox{}
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{array}{llcl}
\mbox{ (LML1) }
 &amp; 
 \exp(\widehat{w}) = z  
 &amp;  
 \quad \Longrightarrow \quad 
 &amp; 
 \widehat{w} \in [w]_0
  \\ 
\mbox{ (LML2) }
 &amp; 
 \widehat{w} \in [w]_0
 &amp;  
 \quad \Longrightarrow \quad 
 &amp; 
 \exp(\widehat{w}) = z  
  \\ 
 \end{array}  
&lt;/math&gt;

==== Schritt 1 - Beweisrichtung LML1 ====
Sei &lt;math&gt; \widehat{w} \in \mathbb{C} &lt;/math&gt; mit &lt;math&gt; \exp(\widehat{w}) = z &lt;/math&gt; beliebig gewählt. Dann gilt mit der Voraussetzung &lt;math&gt; \exp(w) = z \not= 0&lt;/math&gt; und Potenzgesetzen:
:&lt;math&gt;
 1 = \frac{z}{z} = \frac{\widehat{w}}{\exp(\exp(w))} = \exp(\widehat{w}-w)
 &lt;/math&gt;
Die Gleichung &lt;math&gt;1 = \exp(\widehat{w}-w)&lt;/math&gt; gilt genau dann, wenn &lt;math&gt; w-\widehat{w} = 2\pi i \cdot k&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;k \in \mathbb{Z}&lt;/math&gt;. 

==== Schritt 2 - Beweisrichtung LML1 ====
Damit gilt auch  &lt;math&gt; w = \widehat{w} + 2\pi i \cdot k &lt;/math&gt;. Die ganze Zahl &lt;math&gt; k\in \mathbb{Z} &lt;/math&gt; ist durch die [[logmod-Funktion]] und es gilt &lt;math&gt;k= \mathrm{logmod}(\widehat{w})&lt;/math&gt;, da &lt;math&gt; w\in \mathbb{D}_1 = \mathbb{R} + i\cdot [0,2\pi) &lt;/math&gt; nach Voraussetzung gilt und man erhält &lt;math&gt;\widehat{w} \in [w]_0&lt;/math&gt;.

==== Schritt 3 - Äquivalenzklasse gegeben LML2 ====
Sei umgekehrt &lt;math&gt;\widehat{w} \in [w]_0&lt;/math&gt; gegeben. Dann gibt es nach Definition der Äquivalenzklasse ein &lt;math&gt; k := logmod(\widehat{w})\in \mathbb{Z} &lt;/math&gt; mit der Eigenschaft  &lt;math&gt;\widehat{w}:= w + 2\pi i k&lt;/math&gt;. Nun wen man diese Darstellung von &lt;math&gt;\widehat{w}&lt;/math&gt; auf die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] an und verwendet Periodizität &lt;math&gt;\exp&lt;/math&gt; bzgl. &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; und erhält:
:&lt;math&gt;
 \exp(\widehat{w}) =  \exp(w + 2\pi i k) = \exp(w) \cdot \exp(2\pi i k) = z \cdot 1 = z
&lt;/math&gt;

==== Schritt 4 - LML2 ====
Da &lt;math&gt;\widehat{w} \in [w]_0&lt;/math&gt; beliebig gewählt wurde, gilt für alle  &lt;math&gt; \widehat{w} \in [w]_0 &lt;/math&gt; die Eigenschaft &lt;math&gt; \exp(\widehat{w}) = z &lt;/math&gt; und zusammen mit LML1 gilt die Äquivalenzaussage aus dem Lemma &lt;math&gt;\quad \Box&lt;/math&gt;.

=== Folgerung - LogMod-Äquivalenzklassenlemma ====  
Fasst man zu einem gegebenen &lt;math&gt;z\in \mathbb{C}\setminus\{0\}&lt;/math&gt; die Menge alle komplexen Zahlen &lt;math&gt; \widehat{w} \in \mathbb{C} &lt;/math&gt; zu einer Menge zusammen, die die Eigenschaft &lt;math&gt; \exp(\widehat{w}) = z &lt;/math&gt; erfüllen, so erhält man die Äquivalenzklasse &lt;math&gt; [w]_0 &lt;/math&gt;, wobei &lt;math&gt; w &lt;/math&gt; eine beliebige Lösung von &lt;math&gt; \exp(w) = z &lt;/math&gt; ist. 

==== Bemerkung - LogMod-Äquivalenzklassenlemma ====  
Für die Äquivalenzklassenanalyse spielt das Repräsentatensystem &lt;math&gt;\mathbb{D}_1= \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi)&lt;/math&gt; eine besondere Rolle. DasRepräsentatensystem &lt;math&gt;\mathbb{D}_1&lt;/math&gt; entsteht durch [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus|algebraische Vervollständigkeit]] des [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweiges]] des [[Logarithmus]].

== Äquivalenzklassenaddition ==
Um die aus der reellen Analysis bekannten Rechenregeln auf Logarithmen in den komplexen Zahlen verwenden zu können werden Äquivalenzklassen verwendet.  Die Struktur und Gültigkeit der Rechenregeln wird in diesem Teil der Lerneinheit genauer untersucht.

=== komplexe Logarithmus als Lösungsmenge ===
Der komplexe Äquivalenzklassen-Logarithmus von &lt;math&gt; z &lt;/math&gt; bildet nicht auf ein Element in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt; ab, sondern auf ein Teilmenge von &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt;. Dies führt im weiteren Verlauf der Lehrveranstaltung zum Begriff des [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarithmus]]. Sei &lt;math&gt;w \in \mathbb{C}&lt;/math&gt; beliebig gewählt, dann definiert man &lt;math&gt;w_0 := w - \mathrm{logmod}(w)\cdot 2\pi i \in \mathbb{D}_1&lt;/math&gt; als Repräsentant der Restklasse &lt;math&gt; [w]_0&lt;/math&gt;.
:&lt;math&gt;
 \mathrm{lnr}_0(z) := \{ w \in \mathbb{C} \mid \exp(w) = z \} = [w]_0
&lt;/math&gt;
für ein beliebiges &lt;math&gt; w_0 \in \mathbb{D}_1 := \mathbb{R}+ i\cdot [0,2\pi)&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt; \exp(w_0) = z &lt;/math&gt;.

==== Beispiel 1 - Neutrales Element für Äquivalenklassenaddition ====
Algebraisch wird später &lt;math&gt;\mathbb{D}_1&lt;/math&gt; mit einer inneren Verknüpfung &lt;math&gt;\oplus&lt;/math&gt; zu einer kommunitative Gruppe. Daher wird das [[w:de:neutrales Element|neutrale Element]] von &lt;math&gt;\oplus&lt;/math&gt; als Beispieläquivalenzklasse genannt und in Beziehung zum Logarithmus gesetzt. Für &lt;math&gt; z = 1 &lt;/math&gt; ist der komplexe rekursive Logarithmus 
:&lt;math&gt; 
   \mathrm{lnr}_0(1) = \{ 2\pi i k \, : \,  k \in \mathbb{Z} \} = [0]_0 
&lt;/math&gt;

==== Beispiel 2 - Logarithmus der imaginären Einheit ====
Da zunächst die [[rekursiver Logarithmus|rekursive komplexe Logarithmen]] von elementaren komplexen Zahlen genannt. Wählt man &lt;math&gt; z = i &lt;/math&gt; so gilt &lt;math&gt; \exp\left(i \tfrac{\pi}{2}\right) = i &lt;/math&gt; und &lt;math&gt;i\tfrac{\pi}{2} \in \mathbb{D}_1&lt;/math&gt;. Bildet man nun den von  [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarithmus]] von  &lt;math&gt; z = i &lt;/math&gt; erhält man:

:&lt;math&gt;
  \mathrm{lnr}_0(i) = \left\{ i \left( \frac{\pi}{2} + 2\pi k \right) \mid k \in \mathbb{Z} \right\} = \left[ i \frac{\pi}{2} \right]_0
&lt;/math&gt;

==== Beispiel 3 - rekursiver Logarithmus von -1 ====
Ablschießend wird auch noch der [[rekursiver Logarithmus|rekursive komplexe Logarithmen]] von &lt;math&gt; z = -1 &lt;/math&gt; genannt. Wegen &lt;math&gt; \exp\left(i \pi \right) = -1 &lt;/math&gt; und &lt;math&gt;i \pi \in \mathbb{D}_1=\mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi) &lt;/math&gt; erhält man:

:&lt;math&gt;
  \mathrm{lnr}_0(-1) = \left\{ i \left( \pi + 2\pi k \right) \mid k \in \mathbb{Z} \right\} = \left[ i \pi \right]_0
&lt;/math&gt;

=== Repräsentantensystem ===

Um einen eindeutigen Funktionswert als Äquivalenzklasse zu erhalten, wählt man eine spezielles Repräsentantensystem &lt;math&gt;\mathbb{D}_1:= \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi) \subset \mathbb{C}&lt;/math&gt; um alle Äquivalenzklassen darstellen zu können. Dabei wird die [[logmod-Funktion]] verwendet, um für eine beliebige komplexe Zahl &lt;math&gt;w\in \mathbb{C}&lt;/math&gt; die zugehörigen Repräsentanten &lt;math&gt;w_0 \in\mathbb{D}_1&lt;/math&gt; über &lt;math&gt; w_0 = w - 2\pi i \cdot \mathrm{logmod}(w)&lt;/math&gt; zu bestimmen.

&lt;span id=&quot;Definition&quot;&gt;
=== Definition - logmod-Äquivalenzklassenaddition ===

Für &lt;math&gt; z_1,z_2 \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; und  &lt;math&gt;w_1,w_2 \in\mathbb{D}_1&lt;/math&gt; gelte &lt;math&gt;\exp(z_1)=w_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\exp(z_2)=w_2&lt;/math&gt;. Man definiert nun die Äquivalenzklassenaddition &lt;math&gt;(\mathbb{D}_1,\oplus)&lt;/math&gt; wie folgt.
:&lt;math&gt;
[w_1]_0 \oplus [w_2]_0 := [w_1 + w_2]_0
&lt;/math&gt;

==== Bemerkung - Repräsentant der Äquivalenzklasse ====
Der Repräsentant &lt;math&gt;w_1 + w_2 &lt;/math&gt; der Äquivalenzklasse 
wobei &lt;math&gt;[w_1 + w_2]_0 &lt;/math&gt; liegt nicht notwendigerweise auch in &lt;math&gt;\mathbb{D}_1&lt;/math&gt;, was das folgende Beispiel zeigt.

==== Beispiel - Repräsentant bei additiver Verknüpfung ====
Wählt man &lt;math&gt; z_1 = z_2 = -i &lt;/math&gt;, so erhält man &lt;math&gt; w_1 = w_2 = \tfrac{3}{2}\pi i \in \mathbb{D}_1 &lt;/math&gt; und es gilt &lt;math&gt; w_1 + w_2 = 3\pi i \notin \mathbb{D}_1 &lt;/math&gt;. Möchte man den zugehörigen Repräsentanten aus &lt;math&gt;\mathbb{D}_1 &lt;/math&gt; bestimmen, verwendet man wieder die [[logmod-Funktion]]:
:&lt;math&gt;
[w_1]_0 \oplus [w_2]_0  = [w_1 + w_2]_0 = [w]_0 
&lt;/math&gt;
mit &lt;math&gt; w = w_1+w_2 - 2\pi i \cdot \mathrm{logmod}(w_1+w_2)&lt;/math&gt;

==== Bemerkung - Notation ====
Für die Addition &lt;math&gt;\oplus&lt;/math&gt; der [[logmod-Äquivalenzklassen]] wird zur Abgrenzung zu additiven Verknüpfung in &lt;math&gt;+&lt;/math&gt; in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt; das Symbol &lt;math&gt;\oplus&lt;/math&gt; verwendet.
:&lt;math&gt;
\left[ 1+\frac{3}{2}\pi i \right]_0 \oplus \left[5+\frac{1}{2}\pi i \right]_0 = \left[ \left(1+\frac{3}{2}\pi i\right)  + \left(5+\frac{1}{2}\pi i\right) \right]_0 = [6+2\pi i]_0 = [6]_0 
&lt;/math&gt;
Im linken Term werden zwei Äquivalenzklassen addiert (daher &lt;math&gt;\oplus&lt;/math&gt;) und in den beiden rechten Termen ist das Standardaddition in den komplexen Zahlen.

== Rechenregeln für Äquivalenzklassen ==
Zunächst einmal muss man kurz die Repräsentantenunabhängigkeit der Äquivalenzklassenaddition auf &lt;math&gt;[\mathbb{D}_1]_0&lt;/math&gt; überprüfen. Dabei ist &lt;math&gt;\oplus&lt;/math&gt; eine innere Verknüpfung auf  &lt;math&gt;[\mathbb{D}_1]_0&lt;/math&gt; der Form:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rrcl}
   f: &amp; [\mathbb{D}_1]_0 \times [\mathbb{D}_1]_0 &amp; \rightarrow &amp; [\mathbb{D}_1]_0\\ 
    &amp;  \left( [w_1]_0,[w_2]_0 \right)  &amp; \mapsto &amp; [w_1]_0 \oplus [w_2]_0 =  [w_1+w_2]_0 =
    \\
    &amp; &amp; &amp; 
    \bigg[\, \underbrace{w_1+w_2 - \mathrm{logmod}(w_1+w_2) \cdot 2\pi i}_{\in \mathbb{D}_1}\,\bigg]_0 
  \end{array}  

&lt;/math&gt;
Dabei beschreibt &lt;math&gt;[\mathbb{D}_1]_0 = \{ [w]_0 \, \colon \, w\in \mathbb{D}_1 \}&lt;/math&gt; die Menge aller [[logmod-Äquivalenzklassen]] mit dem Repräsentantensystem &lt;math&gt;\mathbb{D}_1&lt;/math&gt;. 

=== Lemma zur Repräsentantenunabhängigkeit ===
Die innere additive Verknüpfung &lt;math&gt; ([\mathbb{D}_1]_0 , \oplus)&lt;/math&gt; auf den [[logmod-Äquivalenzklassen]] ist repräsentantenunabhängig. 

=== Beweis - Lemma zur Repräsentantenunabhängigkeit ===
Die Beweisidee der Repräsentantenunabhängigkeit beruht auf der Auswahl von zwei beliebigen unterschiedlichen Repräsentanten &lt;math&gt;w_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\widehat{w_1}&lt;/math&gt; bzw. &lt;math&gt;w_2&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\widehat{w_2}&lt;/math&gt; und man zeigt dann die Addition mit &lt;math&gt;\oplus&lt;/math&gt; für die [[logmod-Äquivalenzklassen]] die gleiche Äquivalenzklasse &lt;math&gt;[w_1+w_2]_0=[\widehat{w_1}+\widehat{w_2}]_0&lt;/math&gt; liefert.

==== Beweisschritt 1 - Wahl der Repräsentanten ====
Seien &lt;math&gt;w_1,w_2 \in \mathbb{D}_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;k_1, k_2 \in \mathbb{Z}&lt;/math&gt; beliebig gewählt, dann sind &lt;math&gt;\widehat{w_1}=2\pi i\cdot k_1 &lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\widehat{w_2}=2\pi i\cdot k_2 &lt;/math&gt; weitere Repräsentanten der [[logmod-Äquivalenzklassen]]  &lt;math&gt;[w_1]_0,[w_2]_0 \in [\mathbb{D}_1]_0&lt;/math&gt; und es gilt:
:&lt;math&gt;
[w_1]_0  = [\widehat{w_1}]_0 \quad [w_2]_0 = [\widehat{w_2}]_0
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 2 - Definition der Addition anwenden ====
Nach Definition der Addition von [[logmod-Äquivalenzklassen]] gilt:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
 [\widehat{w_1}]_0 \oplus [\widehat{w_1}]_0 &amp; = &amp;  
 [\widehat{w_1} + \widehat{w_1}]_0
 \\ 
 &amp; = &amp; 
 [w_1+w_2+ (k_1+k_2)\cdot 2\pi i]_0 = [w_1+w_2]_0
  \\ 
 \end{array}  
&lt;/math&gt;
Damit ist die Addition von [[logmod-Äquivalenzklassen]] repräsentantenunabhängig. &lt;math&gt;\quad \Box&lt;/math&gt;

=== (1) Exponentialfunktion und Logarithmus ===

* &lt;math&gt; \exp(\log(z)) = z &lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt;
* &lt;math&gt; \log(\exp(w)) = [w]_0 &lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt; w \in \mathbb{C} &lt;/math&gt;

&gt; '''Achtung:''' &lt;math&gt; \log(\exp(w)) &lt;/math&gt; ist '''keine Zahl''', sondern eine '''Äquivalenzklasse'''.

---

=== (2) Multiplikation und Logarithmus ===

Für &lt;math&gt; z_1, z_2 \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt;:


:&lt;math&gt;
\log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2)
&lt;/math&gt;

&gt; '''Interpretation:'''  
&gt; Die Summe zweier Äquivalenzklassen ist definiert als:
&gt; 
:&lt;math&gt;
&gt; [w_1]_0 + [w_2]_0 := [w_1 + w_2]_0
&gt; &lt;/math&gt;
&gt; und es gilt:
&gt; 
:&lt;math&gt;
&gt; \log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2)
&gt; &lt;/math&gt;

&gt; '''Beispiel:'''  
&gt; &lt;math&gt; z_1 = i &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; z_2 = i &lt;/math&gt; → &lt;math&gt; z_1 z_2 = -1 &lt;/math&gt;  
&gt; &lt;math&gt; \log(i) = \left[ i \frac{\pi}{2} \right]_0 &lt;/math&gt;,  
&gt; &lt;math&gt; \log(i) + \log(i) = \left[ i \pi \right]_0 &lt;/math&gt;,  
&gt; &lt;math&gt; \log(-1) = \left[ i \pi \right]_0 &lt;/math&gt; → stimmt.

---

=== (3) Potenzen und Logarithmus ===

Für &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; a \in \mathbb{C} &lt;/math&gt;:


:&lt;math&gt;
\log(z^a) = a \cdot \log(z) + 2\pi i k \quad \text{für ein } k \in \mathbb{Z}
&lt;/math&gt;

&gt; '''Aber:''' In der Äquivalenzklassen-Sicht gilt:
&gt; 
:&lt;math&gt;
&gt; \log(z^a) = a \cdot \log(z)
&gt; &lt;/math&gt;
&gt; wobei die Multiplikation einer Äquivalenzklasse mit einer komplexen Zahl definiert ist als:
&gt; 
:&lt;math&gt;
&gt; a \cdot [w]_0 := [a w]_0
&gt; &lt;/math&gt;

&gt; '''Beispiel:'''  
&gt; &lt;math&gt; z = i &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; a = 2 &lt;/math&gt; → &lt;math&gt; z^a = -1 &lt;/math&gt;  
&gt; &lt;math&gt; \log(z^a) = \log(-1) = [i\pi]_0 &lt;/math&gt;  
&gt; &lt;math&gt; a \cdot \log(z) = 2 \cdot [i \pi/2]_0 = [i\pi]_0 &lt;/math&gt; → stimmt.

---

=== (4) Addition von Logarithmen ===


:&lt;math&gt;
\log(z_1) + \log(z_2) = \log(z_1 z_2)
&lt;/math&gt;

&gt; '''Achtung:''' Dies ist '''nicht''' immer wahr, wenn man '''nicht''' mit Äquivalenzklassen arbeitet!  
&gt; Aber '''in der Klassen-Sicht''' ist es '''richtig'''.

&gt; '''Warum?''' Weil die Addition von Klassen kommutativ und assoziativ ist.

---

== 7. Zusammenhang mit Logarithmenzweigen ==

Ein '''Logarithmenzweig''' ist eine '''stetige Auswahl''' von Werten aus &lt;math&gt; \log(z) &lt;/math&gt;, d. h. eine Funktion &lt;math&gt; L: G \to \mathbb{C} &lt;/math&gt;, sodass &lt;math&gt; \exp(L(z)) = z &lt;/math&gt; und &lt;math&gt; L &lt;/math&gt; stetig auf einem Gebiet &lt;math&gt; G \subseteq \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt;.

&gt; '''Beispiel:'''  
&gt; Der '''Hauptzweig''' &lt;math&gt; \text{Log}(z) &lt;/math&gt; ist ein Logarithmenzweig auf &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus (-\infty, 0] &lt;/math&gt;.

&gt; '''Jeder Logarithmenzweig''' &lt;math&gt; L &lt;/math&gt; wählt '''einen Repräsentanten''' aus jeder Äquivalenzklasse &lt;math&gt; [w]_0 &lt;/math&gt;, nämlich &lt;math&gt; L(z) \in [w]_0 &lt;/math&gt;.

&gt; '''Zusammenhang:'''  
&gt; Die Menge aller Logarithmenzweige entspricht '''der Wahl einer Schnittlinie''' (Branch Cut), die verhindert, dass man um den Ursprung herumwandert und die Klasse wechselt.

---

== 8. Zusammenfassung: Struktur der Logarithmen ==

| Konzept | Beschreibung |
|--------|--------------|
| '''Äquivalenzklasse''' &lt;math&gt; [w]_0 &lt;/math&gt; | Menge aller &lt;math&gt; w + 2\pi i k &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; k \in \mathbb{Z} &lt;/math&gt; |
| '''Logarithmus von &lt;math&gt; z &lt;/math&gt;''' | &lt;math&gt; \log(z) = [w]_0 &lt;/math&gt;, wobei &lt;math&gt; \exp(w) = z &lt;/math&gt; |
| '''Hauptzweig''' | &lt;math&gt; \text{Log}(z) \in \log(z) &lt;/math&gt;, mit &lt;math&gt; \text{Arg}(z) \in (-\pi, \pi] &lt;/math&gt; |
| '''Rechenregeln''' | &lt;math&gt; \log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2) &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; \log(z^a) = a \cdot \log(z) &lt;/math&gt; (in Klassen) |
| '''Exponentialfunktion''' | &lt;math&gt; \exp(\log(z)) = z &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; \log(\exp(w)) = [w]_0 &lt;/math&gt; |

---

== 9. Übungsaufgaben ==

1. Zeige, dass &lt;math&gt; \log(-1) = [i\pi]_0 &lt;/math&gt;.
2. Berechne &lt;math&gt; \log(i) + \log(i) &lt;/math&gt; und vergleiche mit &lt;math&gt; \log(-1) &lt;/math&gt;.
3. Zeige, dass &lt;math&gt; \log(z^2) = 2 \log(z) &lt;/math&gt; in der Klassen-Sicht gilt.
4. Warum ist &lt;math&gt; \log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2) &lt;/math&gt; '''nicht''' immer wahr, wenn man nur Zahlen verwendet?
5. Definiere einen anderen Logarithmenzweig auf &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus [0, \infty) &lt;/math&gt;, der &lt;math&gt; \log(z) \in [i \cdot 0]_0 &lt;/math&gt; für &lt;math&gt; z = 1 &lt;/math&gt; wählt.

---

== Lernziel ==

Du kannst:
* den komplexen Logarithmus als '''Äquivalenzklasse''' verstehen,
* die '''Rechenregeln''' für Logarithmen in der Klassen-Sicht korrekt anwenden,
* den Zusammenhang zwischen '''Exponentialfunktion''', '''Logarithmenzweigen''' und '''Äquivalenzklassen''' erklären,
* die '''Mehrdeutigkeit''' des Logarithmus strukturiert darstellen.

---

'''Ende der Lerneinheit'''

&gt; '''Zusammenfassungssatz:'''  
&gt; *Der komplexe Logarithmus von &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; ist die Äquivalenzklasse &lt;math&gt; [w]_0 &lt;/math&gt;, wobei &lt;math&gt; \exp(w) = z &lt;/math&gt;. Diese Klasse ist genau die Menge aller Lösungen von &lt;math&gt; \exp(w) = z &lt;/math&gt;. Alle Rechenregeln gelten in der Klassen-Sicht: &lt;math&gt; \log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2) &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; \log(z^a) = a \cdot \log(z) &lt;/math&gt;, und &lt;math&gt; \exp(\log(z)) = z &lt;/math&gt;.*
== Siehe auch ==
* [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexer Logarithmus]]
* [[logmod-Äquivalenzklassen]]
* [[logmod-Funktion]]
* [[negativer Hauptzweig des Logarithmus]]</text>
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    </revision>
    <revision>
      <id>1116165</id>
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      <timestamp>2026-10-15T07:36:38Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bert Niehaus</username>
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      <comment>/* (1) Exponentialfunktion und Logarithmus */</comment>
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      <text bytes="20385" sha1="fesp6la5zhw1wvfc58vgc5q4kp5c8uc" xml:space="preserve">== Einleitung == 
Diese Lerneinheit zu [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmen]] beschäftigt sich Äquivalenzklassen, deren Struktur und  Rechenregeln, die durch den Zusammenhang mit der Exponentialfunktion und deren imaginärer &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt;-Periodizität entsteht. Die Äquivalenzklassen helfen dabei, [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen#Rechenregeln|Rechenregeln]] aus den reellen Zahl für den [[Logarithmus]] auf den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexen Logarithmus]] bzw. deren Zweige zu übertragen. Die [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus]] spielt dabei bijektive Abbildungen eine besondere Rolle.

=== Periodizität der Exponentialfunktion ===

Der komplexe Logarithmus kann nicht eindeutig als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion &lt;math&gt; \exp: \mathbb{C} \to \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; festgelegt werden, da u.a. die Exponentialfunktion nicht injektiv ist und ein [[Zweig des Logarithmus]] von der Wahl des [[einfach zusammenhängend]]en Gebietes abhängt, auf dem der Logarithmus definiert ist. Es gilt für [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]]:
:&lt;math&gt;
\exp(w + 2\pi i) = \exp(w) = z\quad \text{für alle } w \in \mathbb{C}
&lt;/math&gt;

Daher gibt es unendlich viele komplexe Zahlen &lt;math&gt; w &lt;/math&gt;, die auf dieselbe Zahl &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; abgebildet werden. Diese Mehrdeutigkeit ist die Motivation, um Äquivalenzklassen zu bilden.

== Äquivalenzklassen des Logarithmus ==
Um Äquivalenzklassen zu bilden, benötigt man eine Äquivalenzrelation als Teilmenge von &lt;math&gt;\mathbb{C}\times \mathbb{C} &lt;/math&gt;, die zwei Elemente &lt;math&gt; w_1, w_2 \in \mathbb{C} &lt;/math&gt;, wenn deren Differenz ein ganzzahliges Vielfaches von &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; ist.

=== Definition - logmod-Äquivalenzrelation ===
Zwei komplexe Zahlen &lt;math&gt; w_1, w_2 \in \mathbb{C} &lt;/math&gt; heißen logmod-äquivalent modulo &lt;math&gt; 2\pi i &lt;/math&gt;, wenn gilt:
:&lt;math&gt;
w_1 - w_2 \in 2\pi i \cdot \mathbb{Z} := \{w\in \mathbb{C} \, : \, w=2\pi i \cdot k \mbox{ und } k\in \mathbb{Z} \}
&lt;/math&gt;

Formal notiert man diese Äquivalenz wie folgt:  

:&lt;math&gt;
w_1 \equiv w_2 \  \mathrm{logmod}\  {2\pi i}
&lt;/math&gt;

==== Aufgabe für Studierende ====
Zeigen Sie, dass diese Relation eine ''Äquivalenzrelation'' ist, d.h. die [[logmod-Funktion|logmod-Relation]] ist [[w:de:Äquivalenzrelation|reflexiv, symmetrisch und transitiv]].

=== Definition - logmod-Äquivalenzklasse ===
Für eine komplexe Zahl &lt;math&gt; w \in \mathbb{C} &lt;/math&gt; ist die Äquivalenzklasse definiert als:

:&lt;math&gt;
[w]_0 := \{ w + 2\pi i k \mid k \in \mathbb{Z} \}
&lt;/math&gt;

==== Bezeichnung - Äquivalenzklassenindex====
Die Indexierung mit &lt;math&gt; _0 &lt;/math&gt; deutet an, dass dies diese Äquivalenzklasse ohne Logarithmierung in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt; gebildet wurde. Bildet man rekursiv höhere Logarithmen als Verkettung entstehen Äquivalenzklassen &lt;math&gt;[w]_n&lt;/math&gt;, wobei &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-fach rekursiv der Logarithmus verkettet wird, falls dieser existiert.

== Verbindung mit der Exponentialfunktion ==

Da die Exponentialfunktion im Imaginärteil des Arguments eine Periodizität von &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; besitzt, entsprechen Äquivalenzklassen &lt;math&gt;[w]_0&lt;/math&gt; entsprechen einem Bildpunkt &lt;math&gt;z=e^w&lt;/math&gt;. Dieser Verbindung zwischen Exponentialfunktion und Logarithmus wird durch das LogMod-Äquivalenzklassenlemma festgehalten.

=== LogMod-Äquivalenzklassenlemma ===
Sei &lt;math&gt;w\in\mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;\mathrm{logmod}(w) = 0&lt;/math&gt; gegeben. Für eine feste komplexe Zahl &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; gilt folgende Äquivalenzaussage:
:&lt;math&gt;
 \exp(\widehat{w}) = z \quad \text{für alle } \widehat{w} \in [w]_0
 &lt;/math&gt;
genau dann, wenn &lt;math&gt; \exp(w) = z &lt;/math&gt;.

=== Beweis - LogMod-Äquivalenzlemma ===
Für &lt;math&gt; w\in \mathbb{D}_1 := \mathbb{R}\times i\cdot [0,2\pi)&lt;/math&gt; gelte &lt;math&gt;\exp(w)=z&lt;/math&gt;. Das LogMod-Äquivalenzlemma ist eine Äquivalenzaussage. Daher werden zwei Beweisrichtungen gezeigt:
\mbox{}
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{array}{llcl}
\mbox{ (LML1) }
 &amp; 
 \exp(\widehat{w}) = z  
 &amp;  
 \quad \Longrightarrow \quad 
 &amp; 
 \widehat{w} \in [w]_0
  \\ 
\mbox{ (LML2) }
 &amp; 
 \widehat{w} \in [w]_0
 &amp;  
 \quad \Longrightarrow \quad 
 &amp; 
 \exp(\widehat{w}) = z  
  \\ 
 \end{array}  
&lt;/math&gt;

==== Schritt 1 - Beweisrichtung LML1 ====
Sei &lt;math&gt; \widehat{w} \in \mathbb{C} &lt;/math&gt; mit &lt;math&gt; \exp(\widehat{w}) = z &lt;/math&gt; beliebig gewählt. Dann gilt mit der Voraussetzung &lt;math&gt; \exp(w) = z \not= 0&lt;/math&gt; und Potenzgesetzen:
:&lt;math&gt;
 1 = \frac{z}{z} = \frac{\widehat{w}}{\exp(\exp(w))} = \exp(\widehat{w}-w)
 &lt;/math&gt;
Die Gleichung &lt;math&gt;1 = \exp(\widehat{w}-w)&lt;/math&gt; gilt genau dann, wenn &lt;math&gt; w-\widehat{w} = 2\pi i \cdot k&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;k \in \mathbb{Z}&lt;/math&gt;. 

==== Schritt 2 - Beweisrichtung LML1 ====
Damit gilt auch  &lt;math&gt; w = \widehat{w} + 2\pi i \cdot k &lt;/math&gt;. Die ganze Zahl &lt;math&gt; k\in \mathbb{Z} &lt;/math&gt; ist durch die [[logmod-Funktion]] und es gilt &lt;math&gt;k= \mathrm{logmod}(\widehat{w})&lt;/math&gt;, da &lt;math&gt; w\in \mathbb{D}_1 = \mathbb{R} + i\cdot [0,2\pi) &lt;/math&gt; nach Voraussetzung gilt und man erhält &lt;math&gt;\widehat{w} \in [w]_0&lt;/math&gt;.

==== Schritt 3 - Äquivalenzklasse gegeben LML2 ====
Sei umgekehrt &lt;math&gt;\widehat{w} \in [w]_0&lt;/math&gt; gegeben. Dann gibt es nach Definition der Äquivalenzklasse ein &lt;math&gt; k := logmod(\widehat{w})\in \mathbb{Z} &lt;/math&gt; mit der Eigenschaft  &lt;math&gt;\widehat{w}:= w + 2\pi i k&lt;/math&gt;. Nun wen man diese Darstellung von &lt;math&gt;\widehat{w}&lt;/math&gt; auf die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] an und verwendet Periodizität &lt;math&gt;\exp&lt;/math&gt; bzgl. &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; und erhält:
:&lt;math&gt;
 \exp(\widehat{w}) =  \exp(w + 2\pi i k) = \exp(w) \cdot \exp(2\pi i k) = z \cdot 1 = z
&lt;/math&gt;

==== Schritt 4 - LML2 ====
Da &lt;math&gt;\widehat{w} \in [w]_0&lt;/math&gt; beliebig gewählt wurde, gilt für alle  &lt;math&gt; \widehat{w} \in [w]_0 &lt;/math&gt; die Eigenschaft &lt;math&gt; \exp(\widehat{w}) = z &lt;/math&gt; und zusammen mit LML1 gilt die Äquivalenzaussage aus dem Lemma &lt;math&gt;\quad \Box&lt;/math&gt;.

=== Folgerung - LogMod-Äquivalenzklassenlemma ====  
Fasst man zu einem gegebenen &lt;math&gt;z\in \mathbb{C}\setminus\{0\}&lt;/math&gt; die Menge alle komplexen Zahlen &lt;math&gt; \widehat{w} \in \mathbb{C} &lt;/math&gt; zu einer Menge zusammen, die die Eigenschaft &lt;math&gt; \exp(\widehat{w}) = z &lt;/math&gt; erfüllen, so erhält man die Äquivalenzklasse &lt;math&gt; [w]_0 &lt;/math&gt;, wobei &lt;math&gt; w &lt;/math&gt; eine beliebige Lösung von &lt;math&gt; \exp(w) = z &lt;/math&gt; ist. 

==== Bemerkung - LogMod-Äquivalenzklassenlemma ====  
Für die Äquivalenzklassenanalyse spielt das Repräsentatensystem &lt;math&gt;\mathbb{D}_1= \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi)&lt;/math&gt; eine besondere Rolle. DasRepräsentatensystem &lt;math&gt;\mathbb{D}_1&lt;/math&gt; entsteht durch [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus|algebraische Vervollständigkeit]] des [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweiges]] des [[Logarithmus]].

== Äquivalenzklassenaddition ==
Um die aus der reellen Analysis bekannten Rechenregeln auf Logarithmen in den komplexen Zahlen verwenden zu können werden Äquivalenzklassen verwendet.  Die Struktur und Gültigkeit der Rechenregeln wird in diesem Teil der Lerneinheit genauer untersucht.

=== komplexe Logarithmus als Lösungsmenge ===
Der komplexe Äquivalenzklassen-Logarithmus von &lt;math&gt; z &lt;/math&gt; bildet nicht auf ein Element in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt; ab, sondern auf ein Teilmenge von &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt;. Dies führt im weiteren Verlauf der Lehrveranstaltung zum Begriff des [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarithmus]]. Sei &lt;math&gt;w \in \mathbb{C}&lt;/math&gt; beliebig gewählt, dann definiert man &lt;math&gt;w_0 := w - \mathrm{logmod}(w)\cdot 2\pi i \in \mathbb{D}_1&lt;/math&gt; als Repräsentant der Restklasse &lt;math&gt; [w]_0&lt;/math&gt;.
:&lt;math&gt;
 \mathrm{lnr}_0(z) := \{ w \in \mathbb{C} \mid \exp(w) = z \} = [w]_0
&lt;/math&gt;
für ein beliebiges &lt;math&gt; w_0 \in \mathbb{D}_1 := \mathbb{R}+ i\cdot [0,2\pi)&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt; \exp(w_0) = z &lt;/math&gt;.

==== Beispiel 1 - Neutrales Element für Äquivalenklassenaddition ====
Algebraisch wird später &lt;math&gt;\mathbb{D}_1&lt;/math&gt; mit einer inneren Verknüpfung &lt;math&gt;\oplus&lt;/math&gt; zu einer kommunitative Gruppe. Daher wird das [[w:de:neutrales Element|neutrale Element]] von &lt;math&gt;\oplus&lt;/math&gt; als Beispieläquivalenzklasse genannt und in Beziehung zum Logarithmus gesetzt. Für &lt;math&gt; z = 1 &lt;/math&gt; ist der komplexe rekursive Logarithmus 
:&lt;math&gt; 
   \mathrm{lnr}_0(1) = \{ 2\pi i k \, : \,  k \in \mathbb{Z} \} = [0]_0 
&lt;/math&gt;

==== Beispiel 2 - Logarithmus der imaginären Einheit ====
Da zunächst die [[rekursiver Logarithmus|rekursive komplexe Logarithmen]] von elementaren komplexen Zahlen genannt. Wählt man &lt;math&gt; z = i &lt;/math&gt; so gilt &lt;math&gt; \exp\left(i \tfrac{\pi}{2}\right) = i &lt;/math&gt; und &lt;math&gt;i\tfrac{\pi}{2} \in \mathbb{D}_1&lt;/math&gt;. Bildet man nun den von  [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarithmus]] von  &lt;math&gt; z = i &lt;/math&gt; erhält man:

:&lt;math&gt;
  \mathrm{lnr}_0(i) = \left\{ i \left( \frac{\pi}{2} + 2\pi k \right) \mid k \in \mathbb{Z} \right\} = \left[ i \frac{\pi}{2} \right]_0
&lt;/math&gt;

==== Beispiel 3 - rekursiver Logarithmus von -1 ====
Ablschießend wird auch noch der [[rekursiver Logarithmus|rekursive komplexe Logarithmen]] von &lt;math&gt; z = -1 &lt;/math&gt; genannt. Wegen &lt;math&gt; \exp\left(i \pi \right) = -1 &lt;/math&gt; und &lt;math&gt;i \pi \in \mathbb{D}_1=\mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi) &lt;/math&gt; erhält man:

:&lt;math&gt;
  \mathrm{lnr}_0(-1) = \left\{ i \left( \pi + 2\pi k \right) \mid k \in \mathbb{Z} \right\} = \left[ i \pi \right]_0
&lt;/math&gt;

=== Repräsentantensystem ===

Um einen eindeutigen Funktionswert als Äquivalenzklasse zu erhalten, wählt man eine spezielles Repräsentantensystem &lt;math&gt;\mathbb{D}_1:= \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi) \subset \mathbb{C}&lt;/math&gt; um alle Äquivalenzklassen darstellen zu können. Dabei wird die [[logmod-Funktion]] verwendet, um für eine beliebige komplexe Zahl &lt;math&gt;w\in \mathbb{C}&lt;/math&gt; die zugehörigen Repräsentanten &lt;math&gt;w_0 \in\mathbb{D}_1&lt;/math&gt; über &lt;math&gt; w_0 = w - 2\pi i \cdot \mathrm{logmod}(w)&lt;/math&gt; zu bestimmen.

&lt;span id=&quot;Definition&quot;&gt;
=== Definition - logmod-Äquivalenzklassenaddition ===

Für &lt;math&gt; z_1,z_2 \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; und  &lt;math&gt;w_1,w_2 \in\mathbb{D}_1&lt;/math&gt; gelte &lt;math&gt;\exp(z_1)=w_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\exp(z_2)=w_2&lt;/math&gt;. Man definiert nun die Äquivalenzklassenaddition &lt;math&gt;(\mathbb{D}_1,\oplus)&lt;/math&gt; wie folgt.
:&lt;math&gt;
[w_1]_0 \oplus [w_2]_0 := [w_1 + w_2]_0
&lt;/math&gt;

==== Bemerkung - Repräsentant der Äquivalenzklasse ====
Der Repräsentant &lt;math&gt;w_1 + w_2 &lt;/math&gt; der Äquivalenzklasse 
wobei &lt;math&gt;[w_1 + w_2]_0 &lt;/math&gt; liegt nicht notwendigerweise auch in &lt;math&gt;\mathbb{D}_1&lt;/math&gt;, was das folgende Beispiel zeigt.

==== Beispiel - Repräsentant bei additiver Verknüpfung ====
Wählt man &lt;math&gt; z_1 = z_2 = -i &lt;/math&gt;, so erhält man &lt;math&gt; w_1 = w_2 = \tfrac{3}{2}\pi i \in \mathbb{D}_1 &lt;/math&gt; und es gilt &lt;math&gt; w_1 + w_2 = 3\pi i \notin \mathbb{D}_1 &lt;/math&gt;. Möchte man den zugehörigen Repräsentanten aus &lt;math&gt;\mathbb{D}_1 &lt;/math&gt; bestimmen, verwendet man wieder die [[logmod-Funktion]]:
:&lt;math&gt;
[w_1]_0 \oplus [w_2]_0  = [w_1 + w_2]_0 = [w]_0 
&lt;/math&gt;
mit &lt;math&gt; w = w_1+w_2 - 2\pi i \cdot \mathrm{logmod}(w_1+w_2)&lt;/math&gt;

==== Bemerkung - Notation ====
Für die Addition &lt;math&gt;\oplus&lt;/math&gt; der [[logmod-Äquivalenzklassen]] wird zur Abgrenzung zu additiven Verknüpfung in &lt;math&gt;+&lt;/math&gt; in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt; das Symbol &lt;math&gt;\oplus&lt;/math&gt; verwendet.
:&lt;math&gt;
\left[ 1+\frac{3}{2}\pi i \right]_0 \oplus \left[5+\frac{1}{2}\pi i \right]_0 = \left[ \left(1+\frac{3}{2}\pi i\right)  + \left(5+\frac{1}{2}\pi i\right) \right]_0 = [6+2\pi i]_0 = [6]_0 
&lt;/math&gt;
Im linken Term werden zwei Äquivalenzklassen addiert (daher &lt;math&gt;\oplus&lt;/math&gt;) und in den beiden rechten Termen ist das Standardaddition in den komplexen Zahlen.

== Rechenregeln für Äquivalenzklassen ==
Zunächst einmal muss man kurz die Repräsentantenunabhängigkeit der Äquivalenzklassenaddition auf &lt;math&gt;[\mathbb{D}_1]_0&lt;/math&gt; überprüfen. Dabei ist &lt;math&gt;\oplus&lt;/math&gt; eine innere Verknüpfung auf  &lt;math&gt;[\mathbb{D}_1]_0&lt;/math&gt; der Form:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rrcl}
   f: &amp; [\mathbb{D}_1]_0 \times [\mathbb{D}_1]_0 &amp; \rightarrow &amp; [\mathbb{D}_1]_0\\ 
    &amp;  \left( [w_1]_0,[w_2]_0 \right)  &amp; \mapsto &amp; [w_1]_0 \oplus [w_2]_0 =  [w_1+w_2]_0 =
    \\
    &amp; &amp; &amp; 
    \bigg[\, \underbrace{w_1+w_2 - \mathrm{logmod}(w_1+w_2) \cdot 2\pi i}_{\in \mathbb{D}_1}\,\bigg]_0 
  \end{array}  

&lt;/math&gt;
Dabei beschreibt &lt;math&gt;[\mathbb{D}_1]_0 = \{ [w]_0 \, \colon \, w\in \mathbb{D}_1 \}&lt;/math&gt; die Menge aller [[logmod-Äquivalenzklassen]] mit dem Repräsentantensystem &lt;math&gt;\mathbb{D}_1&lt;/math&gt;. 

=== Lemma zur Repräsentantenunabhängigkeit ===
Die innere additive Verknüpfung &lt;math&gt; ([\mathbb{D}_1]_0 , \oplus)&lt;/math&gt; auf den [[logmod-Äquivalenzklassen]] ist repräsentantenunabhängig. 

=== Beweis - Lemma zur Repräsentantenunabhängigkeit ===
Die Beweisidee der Repräsentantenunabhängigkeit beruht auf der Auswahl von zwei beliebigen unterschiedlichen Repräsentanten &lt;math&gt;w_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\widehat{w_1}&lt;/math&gt; bzw. &lt;math&gt;w_2&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\widehat{w_2}&lt;/math&gt; und man zeigt dann die Addition mit &lt;math&gt;\oplus&lt;/math&gt; für die [[logmod-Äquivalenzklassen]] die gleiche Äquivalenzklasse &lt;math&gt;[w_1+w_2]_0=[\widehat{w_1}+\widehat{w_2}]_0&lt;/math&gt; liefert.

==== Beweisschritt 1 - Wahl der Repräsentanten ====
Seien &lt;math&gt;w_1,w_2 \in \mathbb{D}_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;k_1, k_2 \in \mathbb{Z}&lt;/math&gt; beliebig gewählt, dann sind &lt;math&gt;\widehat{w_1}=2\pi i\cdot k_1 &lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\widehat{w_2}=2\pi i\cdot k_2 &lt;/math&gt; weitere Repräsentanten der [[logmod-Äquivalenzklassen]]  &lt;math&gt;[w_1]_0,[w_2]_0 \in [\mathbb{D}_1]_0&lt;/math&gt; und es gilt:
:&lt;math&gt;
[w_1]_0  = [\widehat{w_1}]_0 \quad [w_2]_0 = [\widehat{w_2}]_0
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 2 - Definition der Addition anwenden ====
Nach Definition der Addition von [[logmod-Äquivalenzklassen]] gilt:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
 [\widehat{w_1}]_0 \oplus [\widehat{w_1}]_0 &amp; = &amp;  
 [\widehat{w_1} + \widehat{w_1}]_0
 \\ 
 &amp; = &amp; 
 [w_1+w_2+ (k_1+k_2)\cdot 2\pi i]_0 = [w_1+w_2]_0
  \\ 
 \end{array}  
&lt;/math&gt;
Damit ist die Addition von [[logmod-Äquivalenzklassen]] repräsentantenunabhängig. &lt;math&gt;\quad \Box&lt;/math&gt;

==== Bemerkung - Exponentialfunktion und Zweige des Logarithmus ====
Sei &lt;math&gt;G\subset \mathbb{C}&lt;/math&gt; ein [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängendes]] [[Gebiet (Mathematik)|
Gebiet]] mit &lt;math&gt;0\notin G&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;w_0\in \mathbb{D}_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt; \exp(w_0)=z_0&lt;/math&gt; für ein mit &lt;math&gt;z_0 \in G \subset \mathbb{C}\setminus \{0\}&lt;/math&gt;. Durch die Festlegung von &lt;math&gt;\log_G(z_0)=w_0&lt;/math&gt; ist der gesamte Zweig &lt;math&gt;\log_{G}&lt;/math&gt; als [[generalisierter Logarithmus]] auf dem &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; bereits definiert (siehe [[Identitätssatz]]). Bei der [[algebraische Vervollstängigung der Logarithmus|algebraischen Vervollständigung des Zweiges eines Logarithmus]] verliert man die Eigenschaft der [[holomorphe Funktion|Holomorphie]] und sogar der [[Stetigkeit]]. Sei   Man muss daher [[Zweige des Logarithmus]] von der Definition eine [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarthmus]] trennen.
* &lt;math&gt; \exp(\log_G(z)) = z &lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt; z \in G \subset \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt;
* &lt;math&gt; \log(\exp(w)) = [w]_0 &lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt; w \in \mathbb{C} &lt;/math&gt;

&gt; '''Achtung:''' &lt;math&gt; \log(\exp(w)) &lt;/math&gt; ist '''keine Zahl''', sondern eine '''Äquivalenzklasse'''.

---

=== (2) Multiplikation und Logarithmus ===

Für &lt;math&gt; z_1, z_2 \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt;:


:&lt;math&gt;
\log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2)
&lt;/math&gt;

&gt; '''Interpretation:'''  
&gt; Die Summe zweier Äquivalenzklassen ist definiert als:
&gt; 
:&lt;math&gt;
&gt; [w_1]_0 + [w_2]_0 := [w_1 + w_2]_0
&gt; &lt;/math&gt;
&gt; und es gilt:
&gt; 
:&lt;math&gt;
&gt; \log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2)
&gt; &lt;/math&gt;

&gt; '''Beispiel:'''  
&gt; &lt;math&gt; z_1 = i &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; z_2 = i &lt;/math&gt; → &lt;math&gt; z_1 z_2 = -1 &lt;/math&gt;  
&gt; &lt;math&gt; \log(i) = \left[ i \frac{\pi}{2} \right]_0 &lt;/math&gt;,  
&gt; &lt;math&gt; \log(i) + \log(i) = \left[ i \pi \right]_0 &lt;/math&gt;,  
&gt; &lt;math&gt; \log(-1) = \left[ i \pi \right]_0 &lt;/math&gt; → stimmt.

---

=== (3) Potenzen und Logarithmus ===

Für &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; a \in \mathbb{C} &lt;/math&gt;:


:&lt;math&gt;
\log(z^a) = a \cdot \log(z) + 2\pi i k \quad \text{für ein } k \in \mathbb{Z}
&lt;/math&gt;

&gt; '''Aber:''' In der Äquivalenzklassen-Sicht gilt:
&gt; 
:&lt;math&gt;
&gt; \log(z^a) = a \cdot \log(z)
&gt; &lt;/math&gt;
&gt; wobei die Multiplikation einer Äquivalenzklasse mit einer komplexen Zahl definiert ist als:
&gt; 
:&lt;math&gt;
&gt; a \cdot [w]_0 := [a w]_0
&gt; &lt;/math&gt;

&gt; '''Beispiel:'''  
&gt; &lt;math&gt; z = i &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; a = 2 &lt;/math&gt; → &lt;math&gt; z^a = -1 &lt;/math&gt;  
&gt; &lt;math&gt; \log(z^a) = \log(-1) = [i\pi]_0 &lt;/math&gt;  
&gt; &lt;math&gt; a \cdot \log(z) = 2 \cdot [i \pi/2]_0 = [i\pi]_0 &lt;/math&gt; → stimmt.

---

=== (4) Addition von Logarithmen ===


:&lt;math&gt;
\log(z_1) + \log(z_2) = \log(z_1 z_2)
&lt;/math&gt;

&gt; '''Achtung:''' Dies ist '''nicht''' immer wahr, wenn man '''nicht''' mit Äquivalenzklassen arbeitet!  
&gt; Aber '''in der Klassen-Sicht''' ist es '''richtig'''.

&gt; '''Warum?''' Weil die Addition von Klassen kommutativ und assoziativ ist.

---

== 7. Zusammenhang mit Logarithmenzweigen ==

Ein '''Logarithmenzweig''' ist eine '''stetige Auswahl''' von Werten aus &lt;math&gt; \log(z) &lt;/math&gt;, d. h. eine Funktion &lt;math&gt; L: G \to \mathbb{C} &lt;/math&gt;, sodass &lt;math&gt; \exp(L(z)) = z &lt;/math&gt; und &lt;math&gt; L &lt;/math&gt; stetig auf einem Gebiet &lt;math&gt; G \subseteq \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt;.

&gt; '''Beispiel:'''  
&gt; Der '''Hauptzweig''' &lt;math&gt; \text{Log}(z) &lt;/math&gt; ist ein Logarithmenzweig auf &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus (-\infty, 0] &lt;/math&gt;.

&gt; '''Jeder Logarithmenzweig''' &lt;math&gt; L &lt;/math&gt; wählt '''einen Repräsentanten''' aus jeder Äquivalenzklasse &lt;math&gt; [w]_0 &lt;/math&gt;, nämlich &lt;math&gt; L(z) \in [w]_0 &lt;/math&gt;.

&gt; '''Zusammenhang:'''  
&gt; Die Menge aller Logarithmenzweige entspricht '''der Wahl einer Schnittlinie''' (Branch Cut), die verhindert, dass man um den Ursprung herumwandert und die Klasse wechselt.

---

== 8. Zusammenfassung: Struktur der Logarithmen ==

| Konzept | Beschreibung |
|--------|--------------|
| '''Äquivalenzklasse''' &lt;math&gt; [w]_0 &lt;/math&gt; | Menge aller &lt;math&gt; w + 2\pi i k &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; k \in \mathbb{Z} &lt;/math&gt; |
| '''Logarithmus von &lt;math&gt; z &lt;/math&gt;''' | &lt;math&gt; \log(z) = [w]_0 &lt;/math&gt;, wobei &lt;math&gt; \exp(w) = z &lt;/math&gt; |
| '''Hauptzweig''' | &lt;math&gt; \text{Log}(z) \in \log(z) &lt;/math&gt;, mit &lt;math&gt; \text{Arg}(z) \in (-\pi, \pi] &lt;/math&gt; |
| '''Rechenregeln''' | &lt;math&gt; \log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2) &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; \log(z^a) = a \cdot \log(z) &lt;/math&gt; (in Klassen) |
| '''Exponentialfunktion''' | &lt;math&gt; \exp(\log(z)) = z &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; \log(\exp(w)) = [w]_0 &lt;/math&gt; |

---

== 9. Übungsaufgaben ==

1. Zeige, dass &lt;math&gt; \log(-1) = [i\pi]_0 &lt;/math&gt;.
2. Berechne &lt;math&gt; \log(i) + \log(i) &lt;/math&gt; und vergleiche mit &lt;math&gt; \log(-1) &lt;/math&gt;.
3. Zeige, dass &lt;math&gt; \log(z^2) = 2 \log(z) &lt;/math&gt; in der Klassen-Sicht gilt.
4. Warum ist &lt;math&gt; \log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2) &lt;/math&gt; '''nicht''' immer wahr, wenn man nur Zahlen verwendet?
5. Definiere einen anderen Logarithmenzweig auf &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus [0, \infty) &lt;/math&gt;, der &lt;math&gt; \log(z) \in [i \cdot 0]_0 &lt;/math&gt; für &lt;math&gt; z = 1 &lt;/math&gt; wählt.

---

== Lernziel ==

Du kannst:
* den komplexen Logarithmus als '''Äquivalenzklasse''' verstehen,
* die '''Rechenregeln''' für Logarithmen in der Klassen-Sicht korrekt anwenden,
* den Zusammenhang zwischen '''Exponentialfunktion''', '''Logarithmenzweigen''' und '''Äquivalenzklassen''' erklären,
* die '''Mehrdeutigkeit''' des Logarithmus strukturiert darstellen.

---

'''Ende der Lerneinheit'''

&gt; '''Zusammenfassungssatz:'''  
&gt; *Der komplexe Logarithmus von &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; ist die Äquivalenzklasse &lt;math&gt; [w]_0 &lt;/math&gt;, wobei &lt;math&gt; \exp(w) = z &lt;/math&gt;. Diese Klasse ist genau die Menge aller Lösungen von &lt;math&gt; \exp(w) = z &lt;/math&gt;. Alle Rechenregeln gelten in der Klassen-Sicht: &lt;math&gt; \log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2) &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; \log(z^a) = a \cdot \log(z) &lt;/math&gt;, und &lt;math&gt; \exp(\log(z)) = z &lt;/math&gt;.*
== Siehe auch ==
* [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexer Logarithmus]]
* [[logmod-Äquivalenzklassen]]
* [[logmod-Funktion]]
* [[negativer Hauptzweig des Logarithmus]]</text>
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      <contributor>
        <username>Bert Niehaus</username>
        <id>20843</id>
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      <comment>/* komplexe Logarithmus als Lösungsmenge */</comment>
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      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="20424" sha1="bafq9iefhwetwo25gcvdyxowty0mf2g" xml:space="preserve">== Einleitung == 
Diese Lerneinheit zu [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmen]] beschäftigt sich Äquivalenzklassen, deren Struktur und  Rechenregeln, die durch den Zusammenhang mit der Exponentialfunktion und deren imaginärer &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt;-Periodizität entsteht. Die Äquivalenzklassen helfen dabei, [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen#Rechenregeln|Rechenregeln]] aus den reellen Zahl für den [[Logarithmus]] auf den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexen Logarithmus]] bzw. deren Zweige zu übertragen. Die [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus]] spielt dabei bijektive Abbildungen eine besondere Rolle.

=== Periodizität der Exponentialfunktion ===

Der komplexe Logarithmus kann nicht eindeutig als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion &lt;math&gt; \exp: \mathbb{C} \to \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; festgelegt werden, da u.a. die Exponentialfunktion nicht injektiv ist und ein [[Zweig des Logarithmus]] von der Wahl des [[einfach zusammenhängend]]en Gebietes abhängt, auf dem der Logarithmus definiert ist. Es gilt für [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]]:
:&lt;math&gt;
\exp(w + 2\pi i) = \exp(w) = z\quad \text{für alle } w \in \mathbb{C}
&lt;/math&gt;

Daher gibt es unendlich viele komplexe Zahlen &lt;math&gt; w &lt;/math&gt;, die auf dieselbe Zahl &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; abgebildet werden. Diese Mehrdeutigkeit ist die Motivation, um Äquivalenzklassen zu bilden.

== Äquivalenzklassen des Logarithmus ==
Um Äquivalenzklassen zu bilden, benötigt man eine Äquivalenzrelation als Teilmenge von &lt;math&gt;\mathbb{C}\times \mathbb{C} &lt;/math&gt;, die zwei Elemente &lt;math&gt; w_1, w_2 \in \mathbb{C} &lt;/math&gt;, wenn deren Differenz ein ganzzahliges Vielfaches von &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; ist.

=== Definition - logmod-Äquivalenzrelation ===
Zwei komplexe Zahlen &lt;math&gt; w_1, w_2 \in \mathbb{C} &lt;/math&gt; heißen logmod-äquivalent modulo &lt;math&gt; 2\pi i &lt;/math&gt;, wenn gilt:
:&lt;math&gt;
w_1 - w_2 \in 2\pi i \cdot \mathbb{Z} := \{w\in \mathbb{C} \, : \, w=2\pi i \cdot k \mbox{ und } k\in \mathbb{Z} \}
&lt;/math&gt;

Formal notiert man diese Äquivalenz wie folgt:  

:&lt;math&gt;
w_1 \equiv w_2 \  \mathrm{logmod}\  {2\pi i}
&lt;/math&gt;

==== Aufgabe für Studierende ====
Zeigen Sie, dass diese Relation eine ''Äquivalenzrelation'' ist, d.h. die [[logmod-Funktion|logmod-Relation]] ist [[w:de:Äquivalenzrelation|reflexiv, symmetrisch und transitiv]].

=== Definition - logmod-Äquivalenzklasse ===
Für eine komplexe Zahl &lt;math&gt; w \in \mathbb{C} &lt;/math&gt; ist die Äquivalenzklasse definiert als:

:&lt;math&gt;
[w]_0 := \{ w + 2\pi i k \mid k \in \mathbb{Z} \}
&lt;/math&gt;

==== Bezeichnung - Äquivalenzklassenindex====
Die Indexierung mit &lt;math&gt; _0 &lt;/math&gt; deutet an, dass dies diese Äquivalenzklasse ohne Logarithmierung in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt; gebildet wurde. Bildet man rekursiv höhere Logarithmen als Verkettung entstehen Äquivalenzklassen &lt;math&gt;[w]_n&lt;/math&gt;, wobei &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-fach rekursiv der Logarithmus verkettet wird, falls dieser existiert.

== Verbindung mit der Exponentialfunktion ==

Da die Exponentialfunktion im Imaginärteil des Arguments eine Periodizität von &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; besitzt, entsprechen Äquivalenzklassen &lt;math&gt;[w]_0&lt;/math&gt; entsprechen einem Bildpunkt &lt;math&gt;z=e^w&lt;/math&gt;. Dieser Verbindung zwischen Exponentialfunktion und Logarithmus wird durch das LogMod-Äquivalenzklassenlemma festgehalten.

=== LogMod-Äquivalenzklassenlemma ===
Sei &lt;math&gt;w\in\mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;\mathrm{logmod}(w) = 0&lt;/math&gt; gegeben. Für eine feste komplexe Zahl &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; gilt folgende Äquivalenzaussage:
:&lt;math&gt;
 \exp(\widehat{w}) = z \quad \text{für alle } \widehat{w} \in [w]_0
 &lt;/math&gt;
genau dann, wenn &lt;math&gt; \exp(w) = z &lt;/math&gt;.

=== Beweis - LogMod-Äquivalenzlemma ===
Für &lt;math&gt; w\in \mathbb{D}_1 := \mathbb{R}\times i\cdot [0,2\pi)&lt;/math&gt; gelte &lt;math&gt;\exp(w)=z&lt;/math&gt;. Das LogMod-Äquivalenzlemma ist eine Äquivalenzaussage. Daher werden zwei Beweisrichtungen gezeigt:
\mbox{}
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{array}{llcl}
\mbox{ (LML1) }
 &amp; 
 \exp(\widehat{w}) = z  
 &amp;  
 \quad \Longrightarrow \quad 
 &amp; 
 \widehat{w} \in [w]_0
  \\ 
\mbox{ (LML2) }
 &amp; 
 \widehat{w} \in [w]_0
 &amp;  
 \quad \Longrightarrow \quad 
 &amp; 
 \exp(\widehat{w}) = z  
  \\ 
 \end{array}  
&lt;/math&gt;

==== Schritt 1 - Beweisrichtung LML1 ====
Sei &lt;math&gt; \widehat{w} \in \mathbb{C} &lt;/math&gt; mit &lt;math&gt; \exp(\widehat{w}) = z &lt;/math&gt; beliebig gewählt. Dann gilt mit der Voraussetzung &lt;math&gt; \exp(w) = z \not= 0&lt;/math&gt; und Potenzgesetzen:
:&lt;math&gt;
 1 = \frac{z}{z} = \frac{\widehat{w}}{\exp(\exp(w))} = \exp(\widehat{w}-w)
 &lt;/math&gt;
Die Gleichung &lt;math&gt;1 = \exp(\widehat{w}-w)&lt;/math&gt; gilt genau dann, wenn &lt;math&gt; w-\widehat{w} = 2\pi i \cdot k&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;k \in \mathbb{Z}&lt;/math&gt;. 

==== Schritt 2 - Beweisrichtung LML1 ====
Damit gilt auch  &lt;math&gt; w = \widehat{w} + 2\pi i \cdot k &lt;/math&gt;. Die ganze Zahl &lt;math&gt; k\in \mathbb{Z} &lt;/math&gt; ist durch die [[logmod-Funktion]] und es gilt &lt;math&gt;k= \mathrm{logmod}(\widehat{w})&lt;/math&gt;, da &lt;math&gt; w\in \mathbb{D}_1 = \mathbb{R} + i\cdot [0,2\pi) &lt;/math&gt; nach Voraussetzung gilt und man erhält &lt;math&gt;\widehat{w} \in [w]_0&lt;/math&gt;.

==== Schritt 3 - Äquivalenzklasse gegeben LML2 ====
Sei umgekehrt &lt;math&gt;\widehat{w} \in [w]_0&lt;/math&gt; gegeben. Dann gibt es nach Definition der Äquivalenzklasse ein &lt;math&gt; k := logmod(\widehat{w})\in \mathbb{Z} &lt;/math&gt; mit der Eigenschaft  &lt;math&gt;\widehat{w}:= w + 2\pi i k&lt;/math&gt;. Nun wen man diese Darstellung von &lt;math&gt;\widehat{w}&lt;/math&gt; auf die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] an und verwendet Periodizität &lt;math&gt;\exp&lt;/math&gt; bzgl. &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; und erhält:
:&lt;math&gt;
 \exp(\widehat{w}) =  \exp(w + 2\pi i k) = \exp(w) \cdot \exp(2\pi i k) = z \cdot 1 = z
&lt;/math&gt;

==== Schritt 4 - LML2 ====
Da &lt;math&gt;\widehat{w} \in [w]_0&lt;/math&gt; beliebig gewählt wurde, gilt für alle  &lt;math&gt; \widehat{w} \in [w]_0 &lt;/math&gt; die Eigenschaft &lt;math&gt; \exp(\widehat{w}) = z &lt;/math&gt; und zusammen mit LML1 gilt die Äquivalenzaussage aus dem Lemma &lt;math&gt;\quad \Box&lt;/math&gt;.

=== Folgerung - LogMod-Äquivalenzklassenlemma ====  
Fasst man zu einem gegebenen &lt;math&gt;z\in \mathbb{C}\setminus\{0\}&lt;/math&gt; die Menge alle komplexen Zahlen &lt;math&gt; \widehat{w} \in \mathbb{C} &lt;/math&gt; zu einer Menge zusammen, die die Eigenschaft &lt;math&gt; \exp(\widehat{w}) = z &lt;/math&gt; erfüllen, so erhält man die Äquivalenzklasse &lt;math&gt; [w]_0 &lt;/math&gt;, wobei &lt;math&gt; w &lt;/math&gt; eine beliebige Lösung von &lt;math&gt; \exp(w) = z &lt;/math&gt; ist. 

==== Bemerkung - LogMod-Äquivalenzklassenlemma ====  
Für die Äquivalenzklassenanalyse spielt das Repräsentatensystem &lt;math&gt;\mathbb{D}_1= \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi)&lt;/math&gt; eine besondere Rolle. DasRepräsentatensystem &lt;math&gt;\mathbb{D}_1&lt;/math&gt; entsteht durch [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus|algebraische Vervollständigkeit]] des [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweiges]] des [[Logarithmus]].

== Äquivalenzklassenaddition ==
Um die aus der reellen Analysis bekannten Rechenregeln auf Logarithmen in den komplexen Zahlen verwenden zu können werden Äquivalenzklassen verwendet.  Die Struktur und Gültigkeit der Rechenregeln wird in diesem Teil der Lerneinheit genauer untersucht.

=== komplexe Logarithmus als Lösungsmenge ===
Der komplexe Äquivalenzklassen-Logarithmus von &lt;math&gt; z &lt;/math&gt; bildet nicht auf ein Element in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt; ab, sondern auf ein Teilmenge von &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt;. Dies führt im weiteren Verlauf der Lehrveranstaltung zum Begriff des [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarithmus]]. Sei &lt;math&gt;w \in \mathbb{C}&lt;/math&gt; beliebig gewählt, dann definiert man &lt;math&gt;w_0 := w - \mathrm{logmod}(w)\cdot 2\pi i \in \mathbb{D}_1&lt;/math&gt; als Repräsentant der [[logmod-Äquivalenzklassen|Äquivalenzklasse]] &lt;math&gt; [w]_0&lt;/math&gt;.
:&lt;math&gt;
 \mathrm{lnr}_1(z) := \{ w \in \mathbb{C} \mid \exp(w) = z \} = [w]_0
&lt;/math&gt;
für ein beliebiges &lt;math&gt; w_0 \in \mathbb{D}_1 := \mathbb{R}+ i\cdot [0,2\pi)&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt; \exp(w_0) = z &lt;/math&gt;.

==== Beispiel 1 - Neutrales Element für Äquivalenklassenaddition ====
Algebraisch wird später &lt;math&gt;\mathbb{D}_1&lt;/math&gt; mit einer inneren Verknüpfung &lt;math&gt;\oplus&lt;/math&gt; zu einer kommunitative Gruppe. Daher wird das [[w:de:neutrales Element|neutrale Element]] von &lt;math&gt;\oplus&lt;/math&gt; als Beispieläquivalenzklasse genannt und in Beziehung zum Logarithmus gesetzt. Für &lt;math&gt; z = 1 &lt;/math&gt; ist der komplexe rekursive Logarithmus 
:&lt;math&gt; 
   \mathrm{lnr}_1(1) = \{ 2\pi i k \, : \,  k \in \mathbb{Z} \} = [0]_0 
&lt;/math&gt;

==== Beispiel 2 - Logarithmus der imaginären Einheit ====
Da zunächst die [[rekursiver Logarithmus|rekursive komplexe Logarithmen]] von elementaren komplexen Zahlen genannt. Wählt man &lt;math&gt; z = i &lt;/math&gt; so gilt &lt;math&gt; \exp\left(i \tfrac{\pi}{2}\right) = i &lt;/math&gt; und &lt;math&gt;i\tfrac{\pi}{2} \in \mathbb{D}_1&lt;/math&gt;. Bildet man nun den von  [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarithmus]] von  &lt;math&gt; z = i &lt;/math&gt; erhält man:

:&lt;math&gt;
  \mathrm{lnr}_1(i) = \left\{ i \left( \frac{\pi}{2} + 2\pi k \right) \mid k \in \mathbb{Z} \right\} = \left[ i \frac{\pi}{2} \right]_0 
&lt;/math&gt;

==== Beispiel 3 - rekursiver Logarithmus von -1 ====
Ablschießend wird auch noch der [[rekursiver Logarithmus|rekursive komplexe Logarithmen]] von &lt;math&gt; z = -1 &lt;/math&gt; genannt. Wegen &lt;math&gt; \exp\left(i \pi \right) = -1 &lt;/math&gt; und &lt;math&gt;i \pi \in \mathbb{D}_1=\mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi) &lt;/math&gt; erhält man:

:&lt;math&gt;
  \mathrm{lnr}_1(-1) = \left\{ i \left( \pi + 2\pi k \right) \mid k \in \mathbb{Z} \right\} = \left[ i \pi \right]_0 
&lt;/math&gt;

=== Repräsentantensystem ===

Um einen eindeutigen Funktionswert als Äquivalenzklasse zu erhalten, wählt man eine spezielles Repräsentantensystem &lt;math&gt;\mathbb{D}_1:= \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi) \subset \mathbb{C}&lt;/math&gt; um alle Äquivalenzklassen darstellen zu können. Dabei wird die [[logmod-Funktion]] verwendet, um für eine beliebige komplexe Zahl &lt;math&gt;w\in \mathbb{C}&lt;/math&gt; die zugehörigen Repräsentanten &lt;math&gt;w_0 \in\mathbb{D}_1&lt;/math&gt; über &lt;math&gt; w_0 = w - 2\pi i \cdot \mathrm{logmod}(w)&lt;/math&gt; zu bestimmen.

&lt;span id=&quot;Definition&quot;&gt;
=== Definition - logmod-Äquivalenzklassenaddition ===

Für &lt;math&gt; z_1,z_2 \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; und  &lt;math&gt;w_1,w_2 \in\mathbb{D}_1&lt;/math&gt; gelte &lt;math&gt;\exp(z_1)=w_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\exp(z_2)=w_2&lt;/math&gt;. Man definiert nun die Äquivalenzklassenaddition &lt;math&gt;(\mathbb{D}_1,\oplus)&lt;/math&gt; wie folgt.
:&lt;math&gt;
[w_1]_0 \oplus [w_2]_0 := [w_1 + w_2]_0
&lt;/math&gt;

==== Bemerkung - Repräsentant der Äquivalenzklasse ====
Der Repräsentant &lt;math&gt;w_1 + w_2 &lt;/math&gt; der Äquivalenzklasse 
wobei &lt;math&gt;[w_1 + w_2]_0 &lt;/math&gt; liegt nicht notwendigerweise auch in &lt;math&gt;\mathbb{D}_1&lt;/math&gt;, was das folgende Beispiel zeigt.

==== Beispiel - Repräsentant bei additiver Verknüpfung ====
Wählt man &lt;math&gt; z_1 = z_2 = -i &lt;/math&gt;, so erhält man &lt;math&gt; w_1 = w_2 = \tfrac{3}{2}\pi i \in \mathbb{D}_1 &lt;/math&gt; und es gilt &lt;math&gt; w_1 + w_2 = 3\pi i \notin \mathbb{D}_1 &lt;/math&gt;. Möchte man den zugehörigen Repräsentanten aus &lt;math&gt;\mathbb{D}_1 &lt;/math&gt; bestimmen, verwendet man wieder die [[logmod-Funktion]]:
:&lt;math&gt;
[w_1]_0 \oplus [w_2]_0  = [w_1 + w_2]_0 = [w]_0 
&lt;/math&gt;
mit &lt;math&gt; w = w_1+w_2 - 2\pi i \cdot \mathrm{logmod}(w_1+w_2)&lt;/math&gt;

==== Bemerkung - Notation ====
Für die Addition &lt;math&gt;\oplus&lt;/math&gt; der [[logmod-Äquivalenzklassen]] wird zur Abgrenzung zu additiven Verknüpfung in &lt;math&gt;+&lt;/math&gt; in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt; das Symbol &lt;math&gt;\oplus&lt;/math&gt; verwendet.
:&lt;math&gt;
\left[ 1+\frac{3}{2}\pi i \right]_0 \oplus \left[5+\frac{1}{2}\pi i \right]_0 = \left[ \left(1+\frac{3}{2}\pi i\right)  + \left(5+\frac{1}{2}\pi i\right) \right]_0 = [6+2\pi i]_0 = [6]_0 
&lt;/math&gt;
Im linken Term werden zwei Äquivalenzklassen addiert (daher &lt;math&gt;\oplus&lt;/math&gt;) und in den beiden rechten Termen ist das Standardaddition in den komplexen Zahlen.

== Rechenregeln für Äquivalenzklassen ==
Zunächst einmal muss man kurz die Repräsentantenunabhängigkeit der Äquivalenzklassenaddition auf &lt;math&gt;[\mathbb{D}_1]_0&lt;/math&gt; überprüfen. Dabei ist &lt;math&gt;\oplus&lt;/math&gt; eine innere Verknüpfung auf  &lt;math&gt;[\mathbb{D}_1]_0&lt;/math&gt; der Form:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rrcl}
   f: &amp; [\mathbb{D}_1]_0 \times [\mathbb{D}_1]_0 &amp; \rightarrow &amp; [\mathbb{D}_1]_0\\ 
    &amp;  \left( [w_1]_0,[w_2]_0 \right)  &amp; \mapsto &amp; [w_1]_0 \oplus [w_2]_0 =  [w_1+w_2]_0 =
    \\
    &amp; &amp; &amp; 
    \bigg[\, \underbrace{w_1+w_2 - \mathrm{logmod}(w_1+w_2) \cdot 2\pi i}_{\in \mathbb{D}_1}\,\bigg]_0 
  \end{array}  

&lt;/math&gt;
Dabei beschreibt &lt;math&gt;[\mathbb{D}_1]_0 = \{ [w]_0 \, \colon \, w\in \mathbb{D}_1 \}&lt;/math&gt; die Menge aller [[logmod-Äquivalenzklassen]] mit dem Repräsentantensystem &lt;math&gt;\mathbb{D}_1&lt;/math&gt;. 

=== Lemma zur Repräsentantenunabhängigkeit ===
Die innere additive Verknüpfung &lt;math&gt; ([\mathbb{D}_1]_0 , \oplus)&lt;/math&gt; auf den [[logmod-Äquivalenzklassen]] ist repräsentantenunabhängig. 

=== Beweis - Lemma zur Repräsentantenunabhängigkeit ===
Die Beweisidee der Repräsentantenunabhängigkeit beruht auf der Auswahl von zwei beliebigen unterschiedlichen Repräsentanten &lt;math&gt;w_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\widehat{w_1}&lt;/math&gt; bzw. &lt;math&gt;w_2&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\widehat{w_2}&lt;/math&gt; und man zeigt dann die Addition mit &lt;math&gt;\oplus&lt;/math&gt; für die [[logmod-Äquivalenzklassen]] die gleiche Äquivalenzklasse &lt;math&gt;[w_1+w_2]_0=[\widehat{w_1}+\widehat{w_2}]_0&lt;/math&gt; liefert.

==== Beweisschritt 1 - Wahl der Repräsentanten ====
Seien &lt;math&gt;w_1,w_2 \in \mathbb{D}_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;k_1, k_2 \in \mathbb{Z}&lt;/math&gt; beliebig gewählt, dann sind &lt;math&gt;\widehat{w_1}=2\pi i\cdot k_1 &lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\widehat{w_2}=2\pi i\cdot k_2 &lt;/math&gt; weitere Repräsentanten der [[logmod-Äquivalenzklassen]]  &lt;math&gt;[w_1]_0,[w_2]_0 \in [\mathbb{D}_1]_0&lt;/math&gt; und es gilt:
:&lt;math&gt;
[w_1]_0  = [\widehat{w_1}]_0 \quad [w_2]_0 = [\widehat{w_2}]_0
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 2 - Definition der Addition anwenden ====
Nach Definition der Addition von [[logmod-Äquivalenzklassen]] gilt:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
 [\widehat{w_1}]_0 \oplus [\widehat{w_1}]_0 &amp; = &amp;  
 [\widehat{w_1} + \widehat{w_1}]_0
 \\ 
 &amp; = &amp; 
 [w_1+w_2+ (k_1+k_2)\cdot 2\pi i]_0 = [w_1+w_2]_0
  \\ 
 \end{array}  
&lt;/math&gt;
Damit ist die Addition von [[logmod-Äquivalenzklassen]] repräsentantenunabhängig. &lt;math&gt;\quad \Box&lt;/math&gt;

==== Bemerkung - Exponentialfunktion und Zweige des Logarithmus ====
Sei &lt;math&gt;G\subset \mathbb{C}&lt;/math&gt; ein [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängendes]] [[Gebiet (Mathematik)|
Gebiet]] mit &lt;math&gt;0\notin G&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;w_0\in \mathbb{D}_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt; \exp(w_0)=z_0&lt;/math&gt; für ein mit &lt;math&gt;z_0 \in G \subset \mathbb{C}\setminus \{0\}&lt;/math&gt;. Durch die Festlegung von &lt;math&gt;\log_G(z_0)=w_0&lt;/math&gt; ist der gesamte Zweig &lt;math&gt;\log_{G}&lt;/math&gt; als [[generalisierter Logarithmus]] auf dem &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; bereits definiert (siehe [[Identitätssatz]]). Bei der [[algebraische Vervollstängigung der Logarithmus|algebraischen Vervollständigung des Zweiges eines Logarithmus]] verliert man die Eigenschaft der [[holomorphe Funktion|Holomorphie]] und sogar der [[Stetigkeit]]. Sei   Man muss daher [[Zweige des Logarithmus]] von der Definition eine [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarthmus]] trennen.
* &lt;math&gt; \exp(\log_G(z)) = z &lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt; z \in G \subset \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt;
* &lt;math&gt; \log(\exp(w)) = [w]_0 &lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt; w \in \mathbb{C} &lt;/math&gt;

&gt; '''Achtung:''' &lt;math&gt; \log(\exp(w)) &lt;/math&gt; ist '''keine Zahl''', sondern eine '''Äquivalenzklasse'''.

---

=== (2) Multiplikation und Logarithmus ===

Für &lt;math&gt; z_1, z_2 \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt;:


:&lt;math&gt;
\log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2)
&lt;/math&gt;

&gt; '''Interpretation:'''  
&gt; Die Summe zweier Äquivalenzklassen ist definiert als:
&gt; 
:&lt;math&gt;
&gt; [w_1]_0 + [w_2]_0 := [w_1 + w_2]_0
&gt; &lt;/math&gt;
&gt; und es gilt:
&gt; 
:&lt;math&gt;
&gt; \log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2)
&gt; &lt;/math&gt;

&gt; '''Beispiel:'''  
&gt; &lt;math&gt; z_1 = i &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; z_2 = i &lt;/math&gt; → &lt;math&gt; z_1 z_2 = -1 &lt;/math&gt;  
&gt; &lt;math&gt; \log(i) = \left[ i \frac{\pi}{2} \right]_0 &lt;/math&gt;,  
&gt; &lt;math&gt; \log(i) + \log(i) = \left[ i \pi \right]_0 &lt;/math&gt;,  
&gt; &lt;math&gt; \log(-1) = \left[ i \pi \right]_0 &lt;/math&gt; → stimmt.

---

=== (3) Potenzen und Logarithmus ===

Für &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; a \in \mathbb{C} &lt;/math&gt;:


:&lt;math&gt;
\log(z^a) = a \cdot \log(z) + 2\pi i k \quad \text{für ein } k \in \mathbb{Z}
&lt;/math&gt;

&gt; '''Aber:''' In der Äquivalenzklassen-Sicht gilt:
&gt; 
:&lt;math&gt;
&gt; \log(z^a) = a \cdot \log(z)
&gt; &lt;/math&gt;
&gt; wobei die Multiplikation einer Äquivalenzklasse mit einer komplexen Zahl definiert ist als:
&gt; 
:&lt;math&gt;
&gt; a \cdot [w]_0 := [a w]_0
&gt; &lt;/math&gt;

&gt; '''Beispiel:'''  
&gt; &lt;math&gt; z = i &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; a = 2 &lt;/math&gt; → &lt;math&gt; z^a = -1 &lt;/math&gt;  
&gt; &lt;math&gt; \log(z^a) = \log(-1) = [i\pi]_0 &lt;/math&gt;  
&gt; &lt;math&gt; a \cdot \log(z) = 2 \cdot [i \pi/2]_0 = [i\pi]_0 &lt;/math&gt; → stimmt.

---

=== (4) Addition von Logarithmen ===


:&lt;math&gt;
\log(z_1) + \log(z_2) = \log(z_1 z_2)
&lt;/math&gt;

&gt; '''Achtung:''' Dies ist '''nicht''' immer wahr, wenn man '''nicht''' mit Äquivalenzklassen arbeitet!  
&gt; Aber '''in der Klassen-Sicht''' ist es '''richtig'''.

&gt; '''Warum?''' Weil die Addition von Klassen kommutativ und assoziativ ist.

---

== 7. Zusammenhang mit Logarithmenzweigen ==

Ein '''Logarithmenzweig''' ist eine '''stetige Auswahl''' von Werten aus &lt;math&gt; \log(z) &lt;/math&gt;, d. h. eine Funktion &lt;math&gt; L: G \to \mathbb{C} &lt;/math&gt;, sodass &lt;math&gt; \exp(L(z)) = z &lt;/math&gt; und &lt;math&gt; L &lt;/math&gt; stetig auf einem Gebiet &lt;math&gt; G \subseteq \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt;.

&gt; '''Beispiel:'''  
&gt; Der '''Hauptzweig''' &lt;math&gt; \text{Log}(z) &lt;/math&gt; ist ein Logarithmenzweig auf &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus (-\infty, 0] &lt;/math&gt;.

&gt; '''Jeder Logarithmenzweig''' &lt;math&gt; L &lt;/math&gt; wählt '''einen Repräsentanten''' aus jeder Äquivalenzklasse &lt;math&gt; [w]_0 &lt;/math&gt;, nämlich &lt;math&gt; L(z) \in [w]_0 &lt;/math&gt;.

&gt; '''Zusammenhang:'''  
&gt; Die Menge aller Logarithmenzweige entspricht '''der Wahl einer Schnittlinie''' (Branch Cut), die verhindert, dass man um den Ursprung herumwandert und die Klasse wechselt.

---

== 8. Zusammenfassung: Struktur der Logarithmen ==

| Konzept | Beschreibung |
|--------|--------------|
| '''Äquivalenzklasse''' &lt;math&gt; [w]_0 &lt;/math&gt; | Menge aller &lt;math&gt; w + 2\pi i k &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; k \in \mathbb{Z} &lt;/math&gt; |
| '''Logarithmus von &lt;math&gt; z &lt;/math&gt;''' | &lt;math&gt; \log(z) = [w]_0 &lt;/math&gt;, wobei &lt;math&gt; \exp(w) = z &lt;/math&gt; |
| '''Hauptzweig''' | &lt;math&gt; \text{Log}(z) \in \log(z) &lt;/math&gt;, mit &lt;math&gt; \text{Arg}(z) \in (-\pi, \pi] &lt;/math&gt; |
| '''Rechenregeln''' | &lt;math&gt; \log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2) &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; \log(z^a) = a \cdot \log(z) &lt;/math&gt; (in Klassen) |
| '''Exponentialfunktion''' | &lt;math&gt; \exp(\log(z)) = z &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; \log(\exp(w)) = [w]_0 &lt;/math&gt; |

---

== 9. Übungsaufgaben ==

1. Zeige, dass &lt;math&gt; \log(-1) = [i\pi]_0 &lt;/math&gt;.
2. Berechne &lt;math&gt; \log(i) + \log(i) &lt;/math&gt; und vergleiche mit &lt;math&gt; \log(-1) &lt;/math&gt;.
3. Zeige, dass &lt;math&gt; \log(z^2) = 2 \log(z) &lt;/math&gt; in der Klassen-Sicht gilt.
4. Warum ist &lt;math&gt; \log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2) &lt;/math&gt; '''nicht''' immer wahr, wenn man nur Zahlen verwendet?
5. Definiere einen anderen Logarithmenzweig auf &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus [0, \infty) &lt;/math&gt;, der &lt;math&gt; \log(z) \in [i \cdot 0]_0 &lt;/math&gt; für &lt;math&gt; z = 1 &lt;/math&gt; wählt.

---

== Lernziel ==

Du kannst:
* den komplexen Logarithmus als '''Äquivalenzklasse''' verstehen,
* die '''Rechenregeln''' für Logarithmen in der Klassen-Sicht korrekt anwenden,
* den Zusammenhang zwischen '''Exponentialfunktion''', '''Logarithmenzweigen''' und '''Äquivalenzklassen''' erklären,
* die '''Mehrdeutigkeit''' des Logarithmus strukturiert darstellen.

---

'''Ende der Lerneinheit'''

&gt; '''Zusammenfassungssatz:'''  
&gt; *Der komplexe Logarithmus von &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; ist die Äquivalenzklasse &lt;math&gt; [w]_0 &lt;/math&gt;, wobei &lt;math&gt; \exp(w) = z &lt;/math&gt;. Diese Klasse ist genau die Menge aller Lösungen von &lt;math&gt; \exp(w) = z &lt;/math&gt;. Alle Rechenregeln gelten in der Klassen-Sicht: &lt;math&gt; \log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2) &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; \log(z^a) = a \cdot \log(z) &lt;/math&gt;, und &lt;math&gt; \exp(\log(z)) = z &lt;/math&gt;.*
== Siehe auch ==
* [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexer Logarithmus]]
* [[logmod-Äquivalenzklassen]]
* [[logmod-Funktion]]
* [[negativer Hauptzweig des Logarithmus]]</text>
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      <timestamp>2026-10-15T07:45:21Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bert Niehaus</username>
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      <comment>/* Bemerkung - Exponentialfunktion und Zweige des Logarithmus */</comment>
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      <text bytes="20424" sha1="oaiqnf3khg8xh64qfuv5daj6qslp6t2" xml:space="preserve">== Einleitung == 
Diese Lerneinheit zu [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmen]] beschäftigt sich Äquivalenzklassen, deren Struktur und  Rechenregeln, die durch den Zusammenhang mit der Exponentialfunktion und deren imaginärer &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt;-Periodizität entsteht. Die Äquivalenzklassen helfen dabei, [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen#Rechenregeln|Rechenregeln]] aus den reellen Zahl für den [[Logarithmus]] auf den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexen Logarithmus]] bzw. deren Zweige zu übertragen. Die [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus]] spielt dabei bijektive Abbildungen eine besondere Rolle.

=== Periodizität der Exponentialfunktion ===

Der komplexe Logarithmus kann nicht eindeutig als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion &lt;math&gt; \exp: \mathbb{C} \to \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; festgelegt werden, da u.a. die Exponentialfunktion nicht injektiv ist und ein [[Zweig des Logarithmus]] von der Wahl des [[einfach zusammenhängend]]en Gebietes abhängt, auf dem der Logarithmus definiert ist. Es gilt für [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]]:
:&lt;math&gt;
\exp(w + 2\pi i) = \exp(w) = z\quad \text{für alle } w \in \mathbb{C}
&lt;/math&gt;

Daher gibt es unendlich viele komplexe Zahlen &lt;math&gt; w &lt;/math&gt;, die auf dieselbe Zahl &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; abgebildet werden. Diese Mehrdeutigkeit ist die Motivation, um Äquivalenzklassen zu bilden.

== Äquivalenzklassen des Logarithmus ==
Um Äquivalenzklassen zu bilden, benötigt man eine Äquivalenzrelation als Teilmenge von &lt;math&gt;\mathbb{C}\times \mathbb{C} &lt;/math&gt;, die zwei Elemente &lt;math&gt; w_1, w_2 \in \mathbb{C} &lt;/math&gt;, wenn deren Differenz ein ganzzahliges Vielfaches von &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; ist.

=== Definition - logmod-Äquivalenzrelation ===
Zwei komplexe Zahlen &lt;math&gt; w_1, w_2 \in \mathbb{C} &lt;/math&gt; heißen logmod-äquivalent modulo &lt;math&gt; 2\pi i &lt;/math&gt;, wenn gilt:
:&lt;math&gt;
w_1 - w_2 \in 2\pi i \cdot \mathbb{Z} := \{w\in \mathbb{C} \, : \, w=2\pi i \cdot k \mbox{ und } k\in \mathbb{Z} \}
&lt;/math&gt;

Formal notiert man diese Äquivalenz wie folgt:  

:&lt;math&gt;
w_1 \equiv w_2 \  \mathrm{logmod}\  {2\pi i}
&lt;/math&gt;

==== Aufgabe für Studierende ====
Zeigen Sie, dass diese Relation eine ''Äquivalenzrelation'' ist, d.h. die [[logmod-Funktion|logmod-Relation]] ist [[w:de:Äquivalenzrelation|reflexiv, symmetrisch und transitiv]].

=== Definition - logmod-Äquivalenzklasse ===
Für eine komplexe Zahl &lt;math&gt; w \in \mathbb{C} &lt;/math&gt; ist die Äquivalenzklasse definiert als:

:&lt;math&gt;
[w]_0 := \{ w + 2\pi i k \mid k \in \mathbb{Z} \}
&lt;/math&gt;

==== Bezeichnung - Äquivalenzklassenindex====
Die Indexierung mit &lt;math&gt; _0 &lt;/math&gt; deutet an, dass dies diese Äquivalenzklasse ohne Logarithmierung in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt; gebildet wurde. Bildet man rekursiv höhere Logarithmen als Verkettung entstehen Äquivalenzklassen &lt;math&gt;[w]_n&lt;/math&gt;, wobei &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-fach rekursiv der Logarithmus verkettet wird, falls dieser existiert.

== Verbindung mit der Exponentialfunktion ==

Da die Exponentialfunktion im Imaginärteil des Arguments eine Periodizität von &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; besitzt, entsprechen Äquivalenzklassen &lt;math&gt;[w]_0&lt;/math&gt; entsprechen einem Bildpunkt &lt;math&gt;z=e^w&lt;/math&gt;. Dieser Verbindung zwischen Exponentialfunktion und Logarithmus wird durch das LogMod-Äquivalenzklassenlemma festgehalten.

=== LogMod-Äquivalenzklassenlemma ===
Sei &lt;math&gt;w\in\mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;\mathrm{logmod}(w) = 0&lt;/math&gt; gegeben. Für eine feste komplexe Zahl &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; gilt folgende Äquivalenzaussage:
:&lt;math&gt;
 \exp(\widehat{w}) = z \quad \text{für alle } \widehat{w} \in [w]_0
 &lt;/math&gt;
genau dann, wenn &lt;math&gt; \exp(w) = z &lt;/math&gt;.

=== Beweis - LogMod-Äquivalenzlemma ===
Für &lt;math&gt; w\in \mathbb{D}_1 := \mathbb{R}\times i\cdot [0,2\pi)&lt;/math&gt; gelte &lt;math&gt;\exp(w)=z&lt;/math&gt;. Das LogMod-Äquivalenzlemma ist eine Äquivalenzaussage. Daher werden zwei Beweisrichtungen gezeigt:
\mbox{}
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{array}{llcl}
\mbox{ (LML1) }
 &amp; 
 \exp(\widehat{w}) = z  
 &amp;  
 \quad \Longrightarrow \quad 
 &amp; 
 \widehat{w} \in [w]_0
  \\ 
\mbox{ (LML2) }
 &amp; 
 \widehat{w} \in [w]_0
 &amp;  
 \quad \Longrightarrow \quad 
 &amp; 
 \exp(\widehat{w}) = z  
  \\ 
 \end{array}  
&lt;/math&gt;

==== Schritt 1 - Beweisrichtung LML1 ====
Sei &lt;math&gt; \widehat{w} \in \mathbb{C} &lt;/math&gt; mit &lt;math&gt; \exp(\widehat{w}) = z &lt;/math&gt; beliebig gewählt. Dann gilt mit der Voraussetzung &lt;math&gt; \exp(w) = z \not= 0&lt;/math&gt; und Potenzgesetzen:
:&lt;math&gt;
 1 = \frac{z}{z} = \frac{\widehat{w}}{\exp(\exp(w))} = \exp(\widehat{w}-w)
 &lt;/math&gt;
Die Gleichung &lt;math&gt;1 = \exp(\widehat{w}-w)&lt;/math&gt; gilt genau dann, wenn &lt;math&gt; w-\widehat{w} = 2\pi i \cdot k&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;k \in \mathbb{Z}&lt;/math&gt;. 

==== Schritt 2 - Beweisrichtung LML1 ====
Damit gilt auch  &lt;math&gt; w = \widehat{w} + 2\pi i \cdot k &lt;/math&gt;. Die ganze Zahl &lt;math&gt; k\in \mathbb{Z} &lt;/math&gt; ist durch die [[logmod-Funktion]] und es gilt &lt;math&gt;k= \mathrm{logmod}(\widehat{w})&lt;/math&gt;, da &lt;math&gt; w\in \mathbb{D}_1 = \mathbb{R} + i\cdot [0,2\pi) &lt;/math&gt; nach Voraussetzung gilt und man erhält &lt;math&gt;\widehat{w} \in [w]_0&lt;/math&gt;.

==== Schritt 3 - Äquivalenzklasse gegeben LML2 ====
Sei umgekehrt &lt;math&gt;\widehat{w} \in [w]_0&lt;/math&gt; gegeben. Dann gibt es nach Definition der Äquivalenzklasse ein &lt;math&gt; k := logmod(\widehat{w})\in \mathbb{Z} &lt;/math&gt; mit der Eigenschaft  &lt;math&gt;\widehat{w}:= w + 2\pi i k&lt;/math&gt;. Nun wen man diese Darstellung von &lt;math&gt;\widehat{w}&lt;/math&gt; auf die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] an und verwendet Periodizität &lt;math&gt;\exp&lt;/math&gt; bzgl. &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; und erhält:
:&lt;math&gt;
 \exp(\widehat{w}) =  \exp(w + 2\pi i k) = \exp(w) \cdot \exp(2\pi i k) = z \cdot 1 = z
&lt;/math&gt;

==== Schritt 4 - LML2 ====
Da &lt;math&gt;\widehat{w} \in [w]_0&lt;/math&gt; beliebig gewählt wurde, gilt für alle  &lt;math&gt; \widehat{w} \in [w]_0 &lt;/math&gt; die Eigenschaft &lt;math&gt; \exp(\widehat{w}) = z &lt;/math&gt; und zusammen mit LML1 gilt die Äquivalenzaussage aus dem Lemma &lt;math&gt;\quad \Box&lt;/math&gt;.

=== Folgerung - LogMod-Äquivalenzklassenlemma ====  
Fasst man zu einem gegebenen &lt;math&gt;z\in \mathbb{C}\setminus\{0\}&lt;/math&gt; die Menge alle komplexen Zahlen &lt;math&gt; \widehat{w} \in \mathbb{C} &lt;/math&gt; zu einer Menge zusammen, die die Eigenschaft &lt;math&gt; \exp(\widehat{w}) = z &lt;/math&gt; erfüllen, so erhält man die Äquivalenzklasse &lt;math&gt; [w]_0 &lt;/math&gt;, wobei &lt;math&gt; w &lt;/math&gt; eine beliebige Lösung von &lt;math&gt; \exp(w) = z &lt;/math&gt; ist. 

==== Bemerkung - LogMod-Äquivalenzklassenlemma ====  
Für die Äquivalenzklassenanalyse spielt das Repräsentatensystem &lt;math&gt;\mathbb{D}_1= \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi)&lt;/math&gt; eine besondere Rolle. DasRepräsentatensystem &lt;math&gt;\mathbb{D}_1&lt;/math&gt; entsteht durch [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus|algebraische Vervollständigkeit]] des [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweiges]] des [[Logarithmus]].

== Äquivalenzklassenaddition ==
Um die aus der reellen Analysis bekannten Rechenregeln auf Logarithmen in den komplexen Zahlen verwenden zu können werden Äquivalenzklassen verwendet.  Die Struktur und Gültigkeit der Rechenregeln wird in diesem Teil der Lerneinheit genauer untersucht.

=== komplexe Logarithmus als Lösungsmenge ===
Der komplexe Äquivalenzklassen-Logarithmus von &lt;math&gt; z &lt;/math&gt; bildet nicht auf ein Element in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt; ab, sondern auf ein Teilmenge von &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt;. Dies führt im weiteren Verlauf der Lehrveranstaltung zum Begriff des [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarithmus]]. Sei &lt;math&gt;w \in \mathbb{C}&lt;/math&gt; beliebig gewählt, dann definiert man &lt;math&gt;w_0 := w - \mathrm{logmod}(w)\cdot 2\pi i \in \mathbb{D}_1&lt;/math&gt; als Repräsentant der [[logmod-Äquivalenzklassen|Äquivalenzklasse]] &lt;math&gt; [w]_0&lt;/math&gt;.
:&lt;math&gt;
 \mathrm{lnr}_1(z) := \{ w \in \mathbb{C} \mid \exp(w) = z \} = [w]_0
&lt;/math&gt;
für ein beliebiges &lt;math&gt; w_0 \in \mathbb{D}_1 := \mathbb{R}+ i\cdot [0,2\pi)&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt; \exp(w_0) = z &lt;/math&gt;.

==== Beispiel 1 - Neutrales Element für Äquivalenklassenaddition ====
Algebraisch wird später &lt;math&gt;\mathbb{D}_1&lt;/math&gt; mit einer inneren Verknüpfung &lt;math&gt;\oplus&lt;/math&gt; zu einer kommunitative Gruppe. Daher wird das [[w:de:neutrales Element|neutrale Element]] von &lt;math&gt;\oplus&lt;/math&gt; als Beispieläquivalenzklasse genannt und in Beziehung zum Logarithmus gesetzt. Für &lt;math&gt; z = 1 &lt;/math&gt; ist der komplexe rekursive Logarithmus 
:&lt;math&gt; 
   \mathrm{lnr}_1(1) = \{ 2\pi i k \, : \,  k \in \mathbb{Z} \} = [0]_0 
&lt;/math&gt;

==== Beispiel 2 - Logarithmus der imaginären Einheit ====
Da zunächst die [[rekursiver Logarithmus|rekursive komplexe Logarithmen]] von elementaren komplexen Zahlen genannt. Wählt man &lt;math&gt; z = i &lt;/math&gt; so gilt &lt;math&gt; \exp\left(i \tfrac{\pi}{2}\right) = i &lt;/math&gt; und &lt;math&gt;i\tfrac{\pi}{2} \in \mathbb{D}_1&lt;/math&gt;. Bildet man nun den von  [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarithmus]] von  &lt;math&gt; z = i &lt;/math&gt; erhält man:

:&lt;math&gt;
  \mathrm{lnr}_1(i) = \left\{ i \left( \frac{\pi}{2} + 2\pi k \right) \mid k \in \mathbb{Z} \right\} = \left[ i \frac{\pi}{2} \right]_0 
&lt;/math&gt;

==== Beispiel 3 - rekursiver Logarithmus von -1 ====
Ablschießend wird auch noch der [[rekursiver Logarithmus|rekursive komplexe Logarithmen]] von &lt;math&gt; z = -1 &lt;/math&gt; genannt. Wegen &lt;math&gt; \exp\left(i \pi \right) = -1 &lt;/math&gt; und &lt;math&gt;i \pi \in \mathbb{D}_1=\mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi) &lt;/math&gt; erhält man:

:&lt;math&gt;
  \mathrm{lnr}_1(-1) = \left\{ i \left( \pi + 2\pi k \right) \mid k \in \mathbb{Z} \right\} = \left[ i \pi \right]_0 
&lt;/math&gt;

=== Repräsentantensystem ===

Um einen eindeutigen Funktionswert als Äquivalenzklasse zu erhalten, wählt man eine spezielles Repräsentantensystem &lt;math&gt;\mathbb{D}_1:= \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi) \subset \mathbb{C}&lt;/math&gt; um alle Äquivalenzklassen darstellen zu können. Dabei wird die [[logmod-Funktion]] verwendet, um für eine beliebige komplexe Zahl &lt;math&gt;w\in \mathbb{C}&lt;/math&gt; die zugehörigen Repräsentanten &lt;math&gt;w_0 \in\mathbb{D}_1&lt;/math&gt; über &lt;math&gt; w_0 = w - 2\pi i \cdot \mathrm{logmod}(w)&lt;/math&gt; zu bestimmen.

&lt;span id=&quot;Definition&quot;&gt;
=== Definition - logmod-Äquivalenzklassenaddition ===

Für &lt;math&gt; z_1,z_2 \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; und  &lt;math&gt;w_1,w_2 \in\mathbb{D}_1&lt;/math&gt; gelte &lt;math&gt;\exp(z_1)=w_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\exp(z_2)=w_2&lt;/math&gt;. Man definiert nun die Äquivalenzklassenaddition &lt;math&gt;(\mathbb{D}_1,\oplus)&lt;/math&gt; wie folgt.
:&lt;math&gt;
[w_1]_0 \oplus [w_2]_0 := [w_1 + w_2]_0
&lt;/math&gt;

==== Bemerkung - Repräsentant der Äquivalenzklasse ====
Der Repräsentant &lt;math&gt;w_1 + w_2 &lt;/math&gt; der Äquivalenzklasse 
wobei &lt;math&gt;[w_1 + w_2]_0 &lt;/math&gt; liegt nicht notwendigerweise auch in &lt;math&gt;\mathbb{D}_1&lt;/math&gt;, was das folgende Beispiel zeigt.

==== Beispiel - Repräsentant bei additiver Verknüpfung ====
Wählt man &lt;math&gt; z_1 = z_2 = -i &lt;/math&gt;, so erhält man &lt;math&gt; w_1 = w_2 = \tfrac{3}{2}\pi i \in \mathbb{D}_1 &lt;/math&gt; und es gilt &lt;math&gt; w_1 + w_2 = 3\pi i \notin \mathbb{D}_1 &lt;/math&gt;. Möchte man den zugehörigen Repräsentanten aus &lt;math&gt;\mathbb{D}_1 &lt;/math&gt; bestimmen, verwendet man wieder die [[logmod-Funktion]]:
:&lt;math&gt;
[w_1]_0 \oplus [w_2]_0  = [w_1 + w_2]_0 = [w]_0 
&lt;/math&gt;
mit &lt;math&gt; w = w_1+w_2 - 2\pi i \cdot \mathrm{logmod}(w_1+w_2)&lt;/math&gt;

==== Bemerkung - Notation ====
Für die Addition &lt;math&gt;\oplus&lt;/math&gt; der [[logmod-Äquivalenzklassen]] wird zur Abgrenzung zu additiven Verknüpfung in &lt;math&gt;+&lt;/math&gt; in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt; das Symbol &lt;math&gt;\oplus&lt;/math&gt; verwendet.
:&lt;math&gt;
\left[ 1+\frac{3}{2}\pi i \right]_0 \oplus \left[5+\frac{1}{2}\pi i \right]_0 = \left[ \left(1+\frac{3}{2}\pi i\right)  + \left(5+\frac{1}{2}\pi i\right) \right]_0 = [6+2\pi i]_0 = [6]_0 
&lt;/math&gt;
Im linken Term werden zwei Äquivalenzklassen addiert (daher &lt;math&gt;\oplus&lt;/math&gt;) und in den beiden rechten Termen ist das Standardaddition in den komplexen Zahlen.

== Rechenregeln für Äquivalenzklassen ==
Zunächst einmal muss man kurz die Repräsentantenunabhängigkeit der Äquivalenzklassenaddition auf &lt;math&gt;[\mathbb{D}_1]_0&lt;/math&gt; überprüfen. Dabei ist &lt;math&gt;\oplus&lt;/math&gt; eine innere Verknüpfung auf  &lt;math&gt;[\mathbb{D}_1]_0&lt;/math&gt; der Form:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rrcl}
   f: &amp; [\mathbb{D}_1]_0 \times [\mathbb{D}_1]_0 &amp; \rightarrow &amp; [\mathbb{D}_1]_0\\ 
    &amp;  \left( [w_1]_0,[w_2]_0 \right)  &amp; \mapsto &amp; [w_1]_0 \oplus [w_2]_0 =  [w_1+w_2]_0 =
    \\
    &amp; &amp; &amp; 
    \bigg[\, \underbrace{w_1+w_2 - \mathrm{logmod}(w_1+w_2) \cdot 2\pi i}_{\in \mathbb{D}_1}\,\bigg]_0 
  \end{array}  

&lt;/math&gt;
Dabei beschreibt &lt;math&gt;[\mathbb{D}_1]_0 = \{ [w]_0 \, \colon \, w\in \mathbb{D}_1 \}&lt;/math&gt; die Menge aller [[logmod-Äquivalenzklassen]] mit dem Repräsentantensystem &lt;math&gt;\mathbb{D}_1&lt;/math&gt;. 

=== Lemma zur Repräsentantenunabhängigkeit ===
Die innere additive Verknüpfung &lt;math&gt; ([\mathbb{D}_1]_0 , \oplus)&lt;/math&gt; auf den [[logmod-Äquivalenzklassen]] ist repräsentantenunabhängig. 

=== Beweis - Lemma zur Repräsentantenunabhängigkeit ===
Die Beweisidee der Repräsentantenunabhängigkeit beruht auf der Auswahl von zwei beliebigen unterschiedlichen Repräsentanten &lt;math&gt;w_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\widehat{w_1}&lt;/math&gt; bzw. &lt;math&gt;w_2&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\widehat{w_2}&lt;/math&gt; und man zeigt dann die Addition mit &lt;math&gt;\oplus&lt;/math&gt; für die [[logmod-Äquivalenzklassen]] die gleiche Äquivalenzklasse &lt;math&gt;[w_1+w_2]_0=[\widehat{w_1}+\widehat{w_2}]_0&lt;/math&gt; liefert.

==== Beweisschritt 1 - Wahl der Repräsentanten ====
Seien &lt;math&gt;w_1,w_2 \in \mathbb{D}_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;k_1, k_2 \in \mathbb{Z}&lt;/math&gt; beliebig gewählt, dann sind &lt;math&gt;\widehat{w_1}=2\pi i\cdot k_1 &lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\widehat{w_2}=2\pi i\cdot k_2 &lt;/math&gt; weitere Repräsentanten der [[logmod-Äquivalenzklassen]]  &lt;math&gt;[w_1]_0,[w_2]_0 \in [\mathbb{D}_1]_0&lt;/math&gt; und es gilt:
:&lt;math&gt;
[w_1]_0  = [\widehat{w_1}]_0 \quad [w_2]_0 = [\widehat{w_2}]_0
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 2 - Definition der Addition anwenden ====
Nach Definition der Addition von [[logmod-Äquivalenzklassen]] gilt:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
 [\widehat{w_1}]_0 \oplus [\widehat{w_1}]_0 &amp; = &amp;  
 [\widehat{w_1} + \widehat{w_1}]_0
 \\ 
 &amp; = &amp; 
 [w_1+w_2+ (k_1+k_2)\cdot 2\pi i]_0 = [w_1+w_2]_0
  \\ 
 \end{array}  
&lt;/math&gt;
Damit ist die Addition von [[logmod-Äquivalenzklassen]] repräsentantenunabhängig. &lt;math&gt;\quad \Box&lt;/math&gt;

==== Bemerkung - Exponentialfunktion und Zweige des Logarithmus ====
Sei &lt;math&gt;G\subset \mathbb{C}&lt;/math&gt; ein [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängendes]] [[Gebiet (Mathematik)|
Gebiet]] mit &lt;math&gt;0\notin G&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;w_0\in \mathbb{D}_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt; \exp(w_0)=z_0&lt;/math&gt; für ein mit &lt;math&gt;z_0 \in G \subset \mathbb{C}\setminus \{0\}&lt;/math&gt;. Durch die Festlegung von &lt;math&gt;\log_G(z_0)=w_0&lt;/math&gt; ist der gesamte Zweig &lt;math&gt;\log_{G}&lt;/math&gt; als [[generalisierter Logarithmus]] auf dem &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; bereits definiert (siehe [[Identitätssatz]]). Bei der [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus|algebraischen Vervollständigung des Zweiges eines Logarithmus]] verliert man die Eigenschaft der [[holomorphe Funktion|Holomorphie]] und sogar der [[Stetigkeit]]. Sei   Man muss daher [[Zweige des Logarithmus]] von der Definition eine [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarthmus]] trennen.
* &lt;math&gt; \exp(\log_G(z)) = z &lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt; z \in G \subset \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt;
* &lt;math&gt; \log(\exp(w)) = [w]_0 &lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt; w \in \mathbb{C} &lt;/math&gt;

&gt; '''Achtung:''' &lt;math&gt; \log(\exp(w)) &lt;/math&gt; ist '''keine Zahl''', sondern eine '''Äquivalenzklasse'''.

---

=== (2) Multiplikation und Logarithmus ===

Für &lt;math&gt; z_1, z_2 \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt;:


:&lt;math&gt;
\log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2)
&lt;/math&gt;

&gt; '''Interpretation:'''  
&gt; Die Summe zweier Äquivalenzklassen ist definiert als:
&gt; 
:&lt;math&gt;
&gt; [w_1]_0 + [w_2]_0 := [w_1 + w_2]_0
&gt; &lt;/math&gt;
&gt; und es gilt:
&gt; 
:&lt;math&gt;
&gt; \log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2)
&gt; &lt;/math&gt;

&gt; '''Beispiel:'''  
&gt; &lt;math&gt; z_1 = i &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; z_2 = i &lt;/math&gt; → &lt;math&gt; z_1 z_2 = -1 &lt;/math&gt;  
&gt; &lt;math&gt; \log(i) = \left[ i \frac{\pi}{2} \right]_0 &lt;/math&gt;,  
&gt; &lt;math&gt; \log(i) + \log(i) = \left[ i \pi \right]_0 &lt;/math&gt;,  
&gt; &lt;math&gt; \log(-1) = \left[ i \pi \right]_0 &lt;/math&gt; → stimmt.

---

=== (3) Potenzen und Logarithmus ===

Für &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; a \in \mathbb{C} &lt;/math&gt;:


:&lt;math&gt;
\log(z^a) = a \cdot \log(z) + 2\pi i k \quad \text{für ein } k \in \mathbb{Z}
&lt;/math&gt;

&gt; '''Aber:''' In der Äquivalenzklassen-Sicht gilt:
&gt; 
:&lt;math&gt;
&gt; \log(z^a) = a \cdot \log(z)
&gt; &lt;/math&gt;
&gt; wobei die Multiplikation einer Äquivalenzklasse mit einer komplexen Zahl definiert ist als:
&gt; 
:&lt;math&gt;
&gt; a \cdot [w]_0 := [a w]_0
&gt; &lt;/math&gt;

&gt; '''Beispiel:'''  
&gt; &lt;math&gt; z = i &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; a = 2 &lt;/math&gt; → &lt;math&gt; z^a = -1 &lt;/math&gt;  
&gt; &lt;math&gt; \log(z^a) = \log(-1) = [i\pi]_0 &lt;/math&gt;  
&gt; &lt;math&gt; a \cdot \log(z) = 2 \cdot [i \pi/2]_0 = [i\pi]_0 &lt;/math&gt; → stimmt.

---

=== (4) Addition von Logarithmen ===


:&lt;math&gt;
\log(z_1) + \log(z_2) = \log(z_1 z_2)
&lt;/math&gt;

&gt; '''Achtung:''' Dies ist '''nicht''' immer wahr, wenn man '''nicht''' mit Äquivalenzklassen arbeitet!  
&gt; Aber '''in der Klassen-Sicht''' ist es '''richtig'''.

&gt; '''Warum?''' Weil die Addition von Klassen kommutativ und assoziativ ist.

---

== 7. Zusammenhang mit Logarithmenzweigen ==

Ein '''Logarithmenzweig''' ist eine '''stetige Auswahl''' von Werten aus &lt;math&gt; \log(z) &lt;/math&gt;, d. h. eine Funktion &lt;math&gt; L: G \to \mathbb{C} &lt;/math&gt;, sodass &lt;math&gt; \exp(L(z)) = z &lt;/math&gt; und &lt;math&gt; L &lt;/math&gt; stetig auf einem Gebiet &lt;math&gt; G \subseteq \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt;.

&gt; '''Beispiel:'''  
&gt; Der '''Hauptzweig''' &lt;math&gt; \text{Log}(z) &lt;/math&gt; ist ein Logarithmenzweig auf &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus (-\infty, 0] &lt;/math&gt;.

&gt; '''Jeder Logarithmenzweig''' &lt;math&gt; L &lt;/math&gt; wählt '''einen Repräsentanten''' aus jeder Äquivalenzklasse &lt;math&gt; [w]_0 &lt;/math&gt;, nämlich &lt;math&gt; L(z) \in [w]_0 &lt;/math&gt;.

&gt; '''Zusammenhang:'''  
&gt; Die Menge aller Logarithmenzweige entspricht '''der Wahl einer Schnittlinie''' (Branch Cut), die verhindert, dass man um den Ursprung herumwandert und die Klasse wechselt.

---

== 8. Zusammenfassung: Struktur der Logarithmen ==

| Konzept | Beschreibung |
|--------|--------------|
| '''Äquivalenzklasse''' &lt;math&gt; [w]_0 &lt;/math&gt; | Menge aller &lt;math&gt; w + 2\pi i k &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; k \in \mathbb{Z} &lt;/math&gt; |
| '''Logarithmus von &lt;math&gt; z &lt;/math&gt;''' | &lt;math&gt; \log(z) = [w]_0 &lt;/math&gt;, wobei &lt;math&gt; \exp(w) = z &lt;/math&gt; |
| '''Hauptzweig''' | &lt;math&gt; \text{Log}(z) \in \log(z) &lt;/math&gt;, mit &lt;math&gt; \text{Arg}(z) \in (-\pi, \pi] &lt;/math&gt; |
| '''Rechenregeln''' | &lt;math&gt; \log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2) &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; \log(z^a) = a \cdot \log(z) &lt;/math&gt; (in Klassen) |
| '''Exponentialfunktion''' | &lt;math&gt; \exp(\log(z)) = z &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; \log(\exp(w)) = [w]_0 &lt;/math&gt; |

---

== 9. Übungsaufgaben ==

1. Zeige, dass &lt;math&gt; \log(-1) = [i\pi]_0 &lt;/math&gt;.
2. Berechne &lt;math&gt; \log(i) + \log(i) &lt;/math&gt; und vergleiche mit &lt;math&gt; \log(-1) &lt;/math&gt;.
3. Zeige, dass &lt;math&gt; \log(z^2) = 2 \log(z) &lt;/math&gt; in der Klassen-Sicht gilt.
4. Warum ist &lt;math&gt; \log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2) &lt;/math&gt; '''nicht''' immer wahr, wenn man nur Zahlen verwendet?
5. Definiere einen anderen Logarithmenzweig auf &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus [0, \infty) &lt;/math&gt;, der &lt;math&gt; \log(z) \in [i \cdot 0]_0 &lt;/math&gt; für &lt;math&gt; z = 1 &lt;/math&gt; wählt.

---

== Lernziel ==

Du kannst:
* den komplexen Logarithmus als '''Äquivalenzklasse''' verstehen,
* die '''Rechenregeln''' für Logarithmen in der Klassen-Sicht korrekt anwenden,
* den Zusammenhang zwischen '''Exponentialfunktion''', '''Logarithmenzweigen''' und '''Äquivalenzklassen''' erklären,
* die '''Mehrdeutigkeit''' des Logarithmus strukturiert darstellen.

---

'''Ende der Lerneinheit'''

&gt; '''Zusammenfassungssatz:'''  
&gt; *Der komplexe Logarithmus von &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; ist die Äquivalenzklasse &lt;math&gt; [w]_0 &lt;/math&gt;, wobei &lt;math&gt; \exp(w) = z &lt;/math&gt;. Diese Klasse ist genau die Menge aller Lösungen von &lt;math&gt; \exp(w) = z &lt;/math&gt;. Alle Rechenregeln gelten in der Klassen-Sicht: &lt;math&gt; \log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2) &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; \log(z^a) = a \cdot \log(z) &lt;/math&gt;, und &lt;math&gt; \exp(\log(z)) = z &lt;/math&gt;.*
== Siehe auch ==
* [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexer Logarithmus]]
* [[logmod-Äquivalenzklassen]]
* [[logmod-Funktion]]
* [[negativer Hauptzweig des Logarithmus]]</text>
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    <revision>
      <id>1116174</id>
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      <timestamp>2026-10-15T08:00:13Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bert Niehaus</username>
        <id>20843</id>
      </contributor>
      <comment>/* Lemma zur Repräsentantenunabhängigkeit */</comment>
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      <text bytes="20478" sha1="svw0vveb326ymu09m61647f20zkck7v" xml:space="preserve">== Einleitung == 
Diese Lerneinheit zu [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmen]] beschäftigt sich Äquivalenzklassen, deren Struktur und  Rechenregeln, die durch den Zusammenhang mit der Exponentialfunktion und deren imaginärer &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt;-Periodizität entsteht. Die Äquivalenzklassen helfen dabei, [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen#Rechenregeln|Rechenregeln]] aus den reellen Zahl für den [[Logarithmus]] auf den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexen Logarithmus]] bzw. deren Zweige zu übertragen. Die [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus]] spielt dabei bijektive Abbildungen eine besondere Rolle.

=== Periodizität der Exponentialfunktion ===

Der komplexe Logarithmus kann nicht eindeutig als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion &lt;math&gt; \exp: \mathbb{C} \to \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; festgelegt werden, da u.a. die Exponentialfunktion nicht injektiv ist und ein [[Zweig des Logarithmus]] von der Wahl des [[einfach zusammenhängend]]en Gebietes abhängt, auf dem der Logarithmus definiert ist. Es gilt für [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]]:
:&lt;math&gt;
\exp(w + 2\pi i) = \exp(w) = z\quad \text{für alle } w \in \mathbb{C}
&lt;/math&gt;

Daher gibt es unendlich viele komplexe Zahlen &lt;math&gt; w &lt;/math&gt;, die auf dieselbe Zahl &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; abgebildet werden. Diese Mehrdeutigkeit ist die Motivation, um Äquivalenzklassen zu bilden.

== Äquivalenzklassen des Logarithmus ==
Um Äquivalenzklassen zu bilden, benötigt man eine Äquivalenzrelation als Teilmenge von &lt;math&gt;\mathbb{C}\times \mathbb{C} &lt;/math&gt;, die zwei Elemente &lt;math&gt; w_1, w_2 \in \mathbb{C} &lt;/math&gt;, wenn deren Differenz ein ganzzahliges Vielfaches von &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; ist.

=== Definition - logmod-Äquivalenzrelation ===
Zwei komplexe Zahlen &lt;math&gt; w_1, w_2 \in \mathbb{C} &lt;/math&gt; heißen logmod-äquivalent modulo &lt;math&gt; 2\pi i &lt;/math&gt;, wenn gilt:
:&lt;math&gt;
w_1 - w_2 \in 2\pi i \cdot \mathbb{Z} := \{w\in \mathbb{C} \, : \, w=2\pi i \cdot k \mbox{ und } k\in \mathbb{Z} \}
&lt;/math&gt;

Formal notiert man diese Äquivalenz wie folgt:  

:&lt;math&gt;
w_1 \equiv w_2 \  \mathrm{logmod}\  {2\pi i}
&lt;/math&gt;

==== Aufgabe für Studierende ====
Zeigen Sie, dass diese Relation eine ''Äquivalenzrelation'' ist, d.h. die [[logmod-Funktion|logmod-Relation]] ist [[w:de:Äquivalenzrelation|reflexiv, symmetrisch und transitiv]].

=== Definition - logmod-Äquivalenzklasse ===
Für eine komplexe Zahl &lt;math&gt; w \in \mathbb{C} &lt;/math&gt; ist die Äquivalenzklasse definiert als:

:&lt;math&gt;
[w]_0 := \{ w + 2\pi i k \mid k \in \mathbb{Z} \}
&lt;/math&gt;

==== Bezeichnung - Äquivalenzklassenindex====
Die Indexierung mit &lt;math&gt; _0 &lt;/math&gt; deutet an, dass dies diese Äquivalenzklasse ohne Logarithmierung in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt; gebildet wurde. Bildet man rekursiv höhere Logarithmen als Verkettung entstehen Äquivalenzklassen &lt;math&gt;[w]_n&lt;/math&gt;, wobei &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-fach rekursiv der Logarithmus verkettet wird, falls dieser existiert.

== Verbindung mit der Exponentialfunktion ==

Da die Exponentialfunktion im Imaginärteil des Arguments eine Periodizität von &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; besitzt, entsprechen Äquivalenzklassen &lt;math&gt;[w]_0&lt;/math&gt; entsprechen einem Bildpunkt &lt;math&gt;z=e^w&lt;/math&gt;. Dieser Verbindung zwischen Exponentialfunktion und Logarithmus wird durch das LogMod-Äquivalenzklassenlemma festgehalten.

=== LogMod-Äquivalenzklassenlemma ===
Sei &lt;math&gt;w\in\mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;\mathrm{logmod}(w) = 0&lt;/math&gt; gegeben. Für eine feste komplexe Zahl &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; gilt folgende Äquivalenzaussage:
:&lt;math&gt;
 \exp(\widehat{w}) = z \quad \text{für alle } \widehat{w} \in [w]_0
 &lt;/math&gt;
genau dann, wenn &lt;math&gt; \exp(w) = z &lt;/math&gt;.

=== Beweis - LogMod-Äquivalenzlemma ===
Für &lt;math&gt; w\in \mathbb{D}_1 := \mathbb{R}\times i\cdot [0,2\pi)&lt;/math&gt; gelte &lt;math&gt;\exp(w)=z&lt;/math&gt;. Das LogMod-Äquivalenzlemma ist eine Äquivalenzaussage. Daher werden zwei Beweisrichtungen gezeigt:
\mbox{}
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{array}{llcl}
\mbox{ (LML1) }
 &amp; 
 \exp(\widehat{w}) = z  
 &amp;  
 \quad \Longrightarrow \quad 
 &amp; 
 \widehat{w} \in [w]_0
  \\ 
\mbox{ (LML2) }
 &amp; 
 \widehat{w} \in [w]_0
 &amp;  
 \quad \Longrightarrow \quad 
 &amp; 
 \exp(\widehat{w}) = z  
  \\ 
 \end{array}  
&lt;/math&gt;

==== Schritt 1 - Beweisrichtung LML1 ====
Sei &lt;math&gt; \widehat{w} \in \mathbb{C} &lt;/math&gt; mit &lt;math&gt; \exp(\widehat{w}) = z &lt;/math&gt; beliebig gewählt. Dann gilt mit der Voraussetzung &lt;math&gt; \exp(w) = z \not= 0&lt;/math&gt; und Potenzgesetzen:
:&lt;math&gt;
 1 = \frac{z}{z} = \frac{\widehat{w}}{\exp(\exp(w))} = \exp(\widehat{w}-w)
 &lt;/math&gt;
Die Gleichung &lt;math&gt;1 = \exp(\widehat{w}-w)&lt;/math&gt; gilt genau dann, wenn &lt;math&gt; w-\widehat{w} = 2\pi i \cdot k&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;k \in \mathbb{Z}&lt;/math&gt;. 

==== Schritt 2 - Beweisrichtung LML1 ====
Damit gilt auch  &lt;math&gt; w = \widehat{w} + 2\pi i \cdot k &lt;/math&gt;. Die ganze Zahl &lt;math&gt; k\in \mathbb{Z} &lt;/math&gt; ist durch die [[logmod-Funktion]] und es gilt &lt;math&gt;k= \mathrm{logmod}(\widehat{w})&lt;/math&gt;, da &lt;math&gt; w\in \mathbb{D}_1 = \mathbb{R} + i\cdot [0,2\pi) &lt;/math&gt; nach Voraussetzung gilt und man erhält &lt;math&gt;\widehat{w} \in [w]_0&lt;/math&gt;.

==== Schritt 3 - Äquivalenzklasse gegeben LML2 ====
Sei umgekehrt &lt;math&gt;\widehat{w} \in [w]_0&lt;/math&gt; gegeben. Dann gibt es nach Definition der Äquivalenzklasse ein &lt;math&gt; k := logmod(\widehat{w})\in \mathbb{Z} &lt;/math&gt; mit der Eigenschaft  &lt;math&gt;\widehat{w}:= w + 2\pi i k&lt;/math&gt;. Nun wen man diese Darstellung von &lt;math&gt;\widehat{w}&lt;/math&gt; auf die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] an und verwendet Periodizität &lt;math&gt;\exp&lt;/math&gt; bzgl. &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; und erhält:
:&lt;math&gt;
 \exp(\widehat{w}) =  \exp(w + 2\pi i k) = \exp(w) \cdot \exp(2\pi i k) = z \cdot 1 = z
&lt;/math&gt;

==== Schritt 4 - LML2 ====
Da &lt;math&gt;\widehat{w} \in [w]_0&lt;/math&gt; beliebig gewählt wurde, gilt für alle  &lt;math&gt; \widehat{w} \in [w]_0 &lt;/math&gt; die Eigenschaft &lt;math&gt; \exp(\widehat{w}) = z &lt;/math&gt; und zusammen mit LML1 gilt die Äquivalenzaussage aus dem Lemma &lt;math&gt;\quad \Box&lt;/math&gt;.

=== Folgerung - LogMod-Äquivalenzklassenlemma ====  
Fasst man zu einem gegebenen &lt;math&gt;z\in \mathbb{C}\setminus\{0\}&lt;/math&gt; die Menge alle komplexen Zahlen &lt;math&gt; \widehat{w} \in \mathbb{C} &lt;/math&gt; zu einer Menge zusammen, die die Eigenschaft &lt;math&gt; \exp(\widehat{w}) = z &lt;/math&gt; erfüllen, so erhält man die Äquivalenzklasse &lt;math&gt; [w]_0 &lt;/math&gt;, wobei &lt;math&gt; w &lt;/math&gt; eine beliebige Lösung von &lt;math&gt; \exp(w) = z &lt;/math&gt; ist. 

==== Bemerkung - LogMod-Äquivalenzklassenlemma ====  
Für die Äquivalenzklassenanalyse spielt das Repräsentatensystem &lt;math&gt;\mathbb{D}_1= \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi)&lt;/math&gt; eine besondere Rolle. DasRepräsentatensystem &lt;math&gt;\mathbb{D}_1&lt;/math&gt; entsteht durch [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus|algebraische Vervollständigkeit]] des [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweiges]] des [[Logarithmus]].

== Äquivalenzklassenaddition ==
Um die aus der reellen Analysis bekannten Rechenregeln auf Logarithmen in den komplexen Zahlen verwenden zu können werden Äquivalenzklassen verwendet.  Die Struktur und Gültigkeit der Rechenregeln wird in diesem Teil der Lerneinheit genauer untersucht.

=== komplexe Logarithmus als Lösungsmenge ===
Der komplexe Äquivalenzklassen-Logarithmus von &lt;math&gt; z &lt;/math&gt; bildet nicht auf ein Element in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt; ab, sondern auf ein Teilmenge von &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt;. Dies führt im weiteren Verlauf der Lehrveranstaltung zum Begriff des [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarithmus]]. Sei &lt;math&gt;w \in \mathbb{C}&lt;/math&gt; beliebig gewählt, dann definiert man &lt;math&gt;w_0 := w - \mathrm{logmod}(w)\cdot 2\pi i \in \mathbb{D}_1&lt;/math&gt; als Repräsentant der [[logmod-Äquivalenzklassen|Äquivalenzklasse]] &lt;math&gt; [w]_0&lt;/math&gt;.
:&lt;math&gt;
 \mathrm{lnr}_1(z) := \{ w \in \mathbb{C} \mid \exp(w) = z \} = [w]_0
&lt;/math&gt;
für ein beliebiges &lt;math&gt; w_0 \in \mathbb{D}_1 := \mathbb{R}+ i\cdot [0,2\pi)&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt; \exp(w_0) = z &lt;/math&gt;.

==== Beispiel 1 - Neutrales Element für Äquivalenklassenaddition ====
Algebraisch wird später &lt;math&gt;\mathbb{D}_1&lt;/math&gt; mit einer inneren Verknüpfung &lt;math&gt;\oplus&lt;/math&gt; zu einer kommunitative Gruppe. Daher wird das [[w:de:neutrales Element|neutrale Element]] von &lt;math&gt;\oplus&lt;/math&gt; als Beispieläquivalenzklasse genannt und in Beziehung zum Logarithmus gesetzt. Für &lt;math&gt; z = 1 &lt;/math&gt; ist der komplexe rekursive Logarithmus 
:&lt;math&gt; 
   \mathrm{lnr}_1(1) = \{ 2\pi i k \, : \,  k \in \mathbb{Z} \} = [0]_0 
&lt;/math&gt;

==== Beispiel 2 - Logarithmus der imaginären Einheit ====
Da zunächst die [[rekursiver Logarithmus|rekursive komplexe Logarithmen]] von elementaren komplexen Zahlen genannt. Wählt man &lt;math&gt; z = i &lt;/math&gt; so gilt &lt;math&gt; \exp\left(i \tfrac{\pi}{2}\right) = i &lt;/math&gt; und &lt;math&gt;i\tfrac{\pi}{2} \in \mathbb{D}_1&lt;/math&gt;. Bildet man nun den von  [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarithmus]] von  &lt;math&gt; z = i &lt;/math&gt; erhält man:

:&lt;math&gt;
  \mathrm{lnr}_1(i) = \left\{ i \left( \frac{\pi}{2} + 2\pi k \right) \mid k \in \mathbb{Z} \right\} = \left[ i \frac{\pi}{2} \right]_0 
&lt;/math&gt;

==== Beispiel 3 - rekursiver Logarithmus von -1 ====
Ablschießend wird auch noch der [[rekursiver Logarithmus|rekursive komplexe Logarithmen]] von &lt;math&gt; z = -1 &lt;/math&gt; genannt. Wegen &lt;math&gt; \exp\left(i \pi \right) = -1 &lt;/math&gt; und &lt;math&gt;i \pi \in \mathbb{D}_1=\mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi) &lt;/math&gt; erhält man:

:&lt;math&gt;
  \mathrm{lnr}_1(-1) = \left\{ i \left( \pi + 2\pi k \right) \mid k \in \mathbb{Z} \right\} = \left[ i \pi \right]_0 
&lt;/math&gt;

=== Repräsentantensystem ===

Um einen eindeutigen Funktionswert als Äquivalenzklasse zu erhalten, wählt man eine spezielles Repräsentantensystem &lt;math&gt;\mathbb{D}_1:= \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi) \subset \mathbb{C}&lt;/math&gt; um alle Äquivalenzklassen darstellen zu können. Dabei wird die [[logmod-Funktion]] verwendet, um für eine beliebige komplexe Zahl &lt;math&gt;w\in \mathbb{C}&lt;/math&gt; die zugehörigen Repräsentanten &lt;math&gt;w_0 \in\mathbb{D}_1&lt;/math&gt; über &lt;math&gt; w_0 = w - 2\pi i \cdot \mathrm{logmod}(w)&lt;/math&gt; zu bestimmen.

&lt;span id=&quot;Definition&quot;&gt;
=== Definition - logmod-Äquivalenzklassenaddition ===

Für &lt;math&gt; z_1,z_2 \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; und  &lt;math&gt;w_1,w_2 \in\mathbb{D}_1&lt;/math&gt; gelte &lt;math&gt;\exp(z_1)=w_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\exp(z_2)=w_2&lt;/math&gt;. Man definiert nun die Äquivalenzklassenaddition &lt;math&gt;(\mathbb{D}_1,\oplus)&lt;/math&gt; wie folgt.
:&lt;math&gt;
[w_1]_0 \oplus [w_2]_0 := [w_1 + w_2]_0
&lt;/math&gt;

==== Bemerkung - Repräsentant der Äquivalenzklasse ====
Der Repräsentant &lt;math&gt;w_1 + w_2 &lt;/math&gt; der Äquivalenzklasse 
wobei &lt;math&gt;[w_1 + w_2]_0 &lt;/math&gt; liegt nicht notwendigerweise auch in &lt;math&gt;\mathbb{D}_1&lt;/math&gt;, was das folgende Beispiel zeigt.

==== Beispiel - Repräsentant bei additiver Verknüpfung ====
Wählt man &lt;math&gt; z_1 = z_2 = -i &lt;/math&gt;, so erhält man &lt;math&gt; w_1 = w_2 = \tfrac{3}{2}\pi i \in \mathbb{D}_1 &lt;/math&gt; und es gilt &lt;math&gt; w_1 + w_2 = 3\pi i \notin \mathbb{D}_1 &lt;/math&gt;. Möchte man den zugehörigen Repräsentanten aus &lt;math&gt;\mathbb{D}_1 &lt;/math&gt; bestimmen, verwendet man wieder die [[logmod-Funktion]]:
:&lt;math&gt;
[w_1]_0 \oplus [w_2]_0  = [w_1 + w_2]_0 = [w]_0 
&lt;/math&gt;
mit &lt;math&gt; w = w_1+w_2 - 2\pi i \cdot \mathrm{logmod}(w_1+w_2)&lt;/math&gt;

==== Bemerkung - Notation ====
Für die Addition &lt;math&gt;\oplus&lt;/math&gt; der [[logmod-Äquivalenzklassen]] wird zur Abgrenzung zu additiven Verknüpfung in &lt;math&gt;+&lt;/math&gt; in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt; das Symbol &lt;math&gt;\oplus&lt;/math&gt; verwendet.
:&lt;math&gt;
\left[ 1+\frac{3}{2}\pi i \right]_0 \oplus \left[5+\frac{1}{2}\pi i \right]_0 = \left[ \left(1+\frac{3}{2}\pi i\right)  + \left(5+\frac{1}{2}\pi i\right) \right]_0 = [6+2\pi i]_0 = [6]_0 
&lt;/math&gt;
Im linken Term werden zwei Äquivalenzklassen addiert (daher &lt;math&gt;\oplus&lt;/math&gt;) und in den beiden rechten Termen ist das Standardaddition in den komplexen Zahlen.

== Rechenregeln für Äquivalenzklassen ==
Zunächst einmal muss man kurz die Repräsentantenunabhängigkeit der Äquivalenzklassenaddition auf &lt;math&gt;[\mathbb{D}_1]_0&lt;/math&gt; überprüfen. Dabei ist &lt;math&gt;\oplus&lt;/math&gt; eine innere Verknüpfung auf  &lt;math&gt;[\mathbb{D}_1]_0&lt;/math&gt; der Form:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rrcl}
   f: &amp; [\mathbb{D}_1]_0 \times [\mathbb{D}_1]_0 &amp; \rightarrow &amp; [\mathbb{D}_1]_0\\ 
    &amp;  \left( [w_1]_0,[w_2]_0 \right)  &amp; \mapsto &amp; [w_1]_0 \oplus [w_2]_0 =  [w_1+w_2]_0 =
    \\
    &amp; &amp; &amp; 
    \bigg[\, \underbrace{w_1+w_2 - \mathrm{logmod}(w_1+w_2) \cdot 2\pi i}_{\in \mathbb{D}_1}\,\bigg]_0 
  \end{array}  

&lt;/math&gt;
Dabei beschreibt &lt;math&gt;[\mathbb{D}_1]_0 = \{ [w]_0 \, \colon \, w\in \mathbb{D}_1 \}&lt;/math&gt; die Menge aller [[logmod-Äquivalenzklassen]] mit dem Repräsentantensystem &lt;math&gt;\mathbb{D}_1&lt;/math&gt;. 

&lt;hr&gt;
&lt;span id=&quot;Repraesentantenunabhaengigkeit&quot;&gt;&lt;/span&gt;
=== Lemma zur Repräsentantenunabhängigkeit ===
Die innere additive Verknüpfung &lt;math&gt; ([\mathbb{D}_1]_0 , \oplus)&lt;/math&gt; auf den [[logmod-Äquivalenzklassen]] ist repräsentantenunabhängig.

=== Beweis - Lemma zur Repräsentantenunabhängigkeit ===
Die Beweisidee der Repräsentantenunabhängigkeit beruht auf der Auswahl von zwei beliebigen unterschiedlichen Repräsentanten &lt;math&gt;w_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\widehat{w_1}&lt;/math&gt; bzw. &lt;math&gt;w_2&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\widehat{w_2}&lt;/math&gt; und man zeigt dann die Addition mit &lt;math&gt;\oplus&lt;/math&gt; für die [[logmod-Äquivalenzklassen]] die gleiche Äquivalenzklasse &lt;math&gt;[w_1+w_2]_0=[\widehat{w_1}+\widehat{w_2}]_0&lt;/math&gt; liefert.

==== Beweisschritt 1 - Wahl der Repräsentanten ====
Seien &lt;math&gt;w_1,w_2 \in \mathbb{D}_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;k_1, k_2 \in \mathbb{Z}&lt;/math&gt; beliebig gewählt, dann sind &lt;math&gt;\widehat{w_1}=2\pi i\cdot k_1 &lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\widehat{w_2}=2\pi i\cdot k_2 &lt;/math&gt; weitere Repräsentanten der [[logmod-Äquivalenzklassen]]  &lt;math&gt;[w_1]_0,[w_2]_0 \in [\mathbb{D}_1]_0&lt;/math&gt; und es gilt:
:&lt;math&gt;
[w_1]_0  = [\widehat{w_1}]_0 \quad [w_2]_0 = [\widehat{w_2}]_0
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 2 - Definition der Addition anwenden ====
Nach Definition der Addition von [[logmod-Äquivalenzklassen]] gilt:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
 [\widehat{w_1}]_0 \oplus [\widehat{w_1}]_0 &amp; = &amp;  
 [\widehat{w_1} + \widehat{w_1}]_0
 \\ 
 &amp; = &amp; 
 [w_1+w_2+ (k_1+k_2)\cdot 2\pi i]_0 = [w_1+w_2]_0
  \\ 
 \end{array}  
&lt;/math&gt;
Damit ist die Addition von [[logmod-Äquivalenzklassen]] repräsentantenunabhängig. &lt;math&gt;\quad \Box&lt;/math&gt;

==== Bemerkung - Exponentialfunktion und Zweige des Logarithmus ====
Sei &lt;math&gt;G\subset \mathbb{C}&lt;/math&gt; ein [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängendes]] [[Gebiet (Mathematik)|
Gebiet]] mit &lt;math&gt;0\notin G&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;w_0\in \mathbb{D}_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt; \exp(w_0)=z_0&lt;/math&gt; für ein mit &lt;math&gt;z_0 \in G \subset \mathbb{C}\setminus \{0\}&lt;/math&gt;. Durch die Festlegung von &lt;math&gt;\log_G(z_0)=w_0&lt;/math&gt; ist der gesamte Zweig &lt;math&gt;\log_{G}&lt;/math&gt; als [[generalisierter Logarithmus]] auf dem &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; bereits definiert (siehe [[Identitätssatz]]). Bei der [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus|algebraischen Vervollständigung des Zweiges eines Logarithmus]] verliert man die Eigenschaft der [[holomorphe Funktion|Holomorphie]] und sogar der [[Stetigkeit]]. Sei   Man muss daher [[Zweige des Logarithmus]] von der Definition eine [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarthmus]] trennen.
* &lt;math&gt; \exp(\log_G(z)) = z &lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt; z \in G \subset \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt;
* &lt;math&gt; \log(\exp(w)) = [w]_0 &lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt; w \in \mathbb{C} &lt;/math&gt;

&gt; '''Achtung:''' &lt;math&gt; \log(\exp(w)) &lt;/math&gt; ist '''keine Zahl''', sondern eine '''Äquivalenzklasse'''.

---

=== (2) Multiplikation und Logarithmus ===

Für &lt;math&gt; z_1, z_2 \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt;:


:&lt;math&gt;
\log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2)
&lt;/math&gt;

&gt; '''Interpretation:'''  
&gt; Die Summe zweier Äquivalenzklassen ist definiert als:
&gt; 
:&lt;math&gt;
&gt; [w_1]_0 + [w_2]_0 := [w_1 + w_2]_0
&gt; &lt;/math&gt;
&gt; und es gilt:
&gt; 
:&lt;math&gt;
&gt; \log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2)
&gt; &lt;/math&gt;

&gt; '''Beispiel:'''  
&gt; &lt;math&gt; z_1 = i &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; z_2 = i &lt;/math&gt; → &lt;math&gt; z_1 z_2 = -1 &lt;/math&gt;  
&gt; &lt;math&gt; \log(i) = \left[ i \frac{\pi}{2} \right]_0 &lt;/math&gt;,  
&gt; &lt;math&gt; \log(i) + \log(i) = \left[ i \pi \right]_0 &lt;/math&gt;,  
&gt; &lt;math&gt; \log(-1) = \left[ i \pi \right]_0 &lt;/math&gt; → stimmt.

---

=== (3) Potenzen und Logarithmus ===

Für &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; a \in \mathbb{C} &lt;/math&gt;:


:&lt;math&gt;
\log(z^a) = a \cdot \log(z) + 2\pi i k \quad \text{für ein } k \in \mathbb{Z}
&lt;/math&gt;

&gt; '''Aber:''' In der Äquivalenzklassen-Sicht gilt:
&gt; 
:&lt;math&gt;
&gt; \log(z^a) = a \cdot \log(z)
&gt; &lt;/math&gt;
&gt; wobei die Multiplikation einer Äquivalenzklasse mit einer komplexen Zahl definiert ist als:
&gt; 
:&lt;math&gt;
&gt; a \cdot [w]_0 := [a w]_0
&gt; &lt;/math&gt;

&gt; '''Beispiel:'''  
&gt; &lt;math&gt; z = i &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; a = 2 &lt;/math&gt; → &lt;math&gt; z^a = -1 &lt;/math&gt;  
&gt; &lt;math&gt; \log(z^a) = \log(-1) = [i\pi]_0 &lt;/math&gt;  
&gt; &lt;math&gt; a \cdot \log(z) = 2 \cdot [i \pi/2]_0 = [i\pi]_0 &lt;/math&gt; → stimmt.

---

=== (4) Addition von Logarithmen ===


:&lt;math&gt;
\log(z_1) + \log(z_2) = \log(z_1 z_2)
&lt;/math&gt;

&gt; '''Achtung:''' Dies ist '''nicht''' immer wahr, wenn man '''nicht''' mit Äquivalenzklassen arbeitet!  
&gt; Aber '''in der Klassen-Sicht''' ist es '''richtig'''.

&gt; '''Warum?''' Weil die Addition von Klassen kommutativ und assoziativ ist.

---

== 7. Zusammenhang mit Logarithmenzweigen ==

Ein '''Logarithmenzweig''' ist eine '''stetige Auswahl''' von Werten aus &lt;math&gt; \log(z) &lt;/math&gt;, d. h. eine Funktion &lt;math&gt; L: G \to \mathbb{C} &lt;/math&gt;, sodass &lt;math&gt; \exp(L(z)) = z &lt;/math&gt; und &lt;math&gt; L &lt;/math&gt; stetig auf einem Gebiet &lt;math&gt; G \subseteq \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt;.

&gt; '''Beispiel:'''  
&gt; Der '''Hauptzweig''' &lt;math&gt; \text{Log}(z) &lt;/math&gt; ist ein Logarithmenzweig auf &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus (-\infty, 0] &lt;/math&gt;.

&gt; '''Jeder Logarithmenzweig''' &lt;math&gt; L &lt;/math&gt; wählt '''einen Repräsentanten''' aus jeder Äquivalenzklasse &lt;math&gt; [w]_0 &lt;/math&gt;, nämlich &lt;math&gt; L(z) \in [w]_0 &lt;/math&gt;.

&gt; '''Zusammenhang:'''  
&gt; Die Menge aller Logarithmenzweige entspricht '''der Wahl einer Schnittlinie''' (Branch Cut), die verhindert, dass man um den Ursprung herumwandert und die Klasse wechselt.

---

== 8. Zusammenfassung: Struktur der Logarithmen ==

| Konzept | Beschreibung |
|--------|--------------|
| '''Äquivalenzklasse''' &lt;math&gt; [w]_0 &lt;/math&gt; | Menge aller &lt;math&gt; w + 2\pi i k &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; k \in \mathbb{Z} &lt;/math&gt; |
| '''Logarithmus von &lt;math&gt; z &lt;/math&gt;''' | &lt;math&gt; \log(z) = [w]_0 &lt;/math&gt;, wobei &lt;math&gt; \exp(w) = z &lt;/math&gt; |
| '''Hauptzweig''' | &lt;math&gt; \text{Log}(z) \in \log(z) &lt;/math&gt;, mit &lt;math&gt; \text{Arg}(z) \in (-\pi, \pi] &lt;/math&gt; |
| '''Rechenregeln''' | &lt;math&gt; \log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2) &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; \log(z^a) = a \cdot \log(z) &lt;/math&gt; (in Klassen) |
| '''Exponentialfunktion''' | &lt;math&gt; \exp(\log(z)) = z &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; \log(\exp(w)) = [w]_0 &lt;/math&gt; |

---

== 9. Übungsaufgaben ==

1. Zeige, dass &lt;math&gt; \log(-1) = [i\pi]_0 &lt;/math&gt;.
2. Berechne &lt;math&gt; \log(i) + \log(i) &lt;/math&gt; und vergleiche mit &lt;math&gt; \log(-1) &lt;/math&gt;.
3. Zeige, dass &lt;math&gt; \log(z^2) = 2 \log(z) &lt;/math&gt; in der Klassen-Sicht gilt.
4. Warum ist &lt;math&gt; \log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2) &lt;/math&gt; '''nicht''' immer wahr, wenn man nur Zahlen verwendet?
5. Definiere einen anderen Logarithmenzweig auf &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus [0, \infty) &lt;/math&gt;, der &lt;math&gt; \log(z) \in [i \cdot 0]_0 &lt;/math&gt; für &lt;math&gt; z = 1 &lt;/math&gt; wählt.

---

== Lernziel ==

Du kannst:
* den komplexen Logarithmus als '''Äquivalenzklasse''' verstehen,
* die '''Rechenregeln''' für Logarithmen in der Klassen-Sicht korrekt anwenden,
* den Zusammenhang zwischen '''Exponentialfunktion''', '''Logarithmenzweigen''' und '''Äquivalenzklassen''' erklären,
* die '''Mehrdeutigkeit''' des Logarithmus strukturiert darstellen.

---

'''Ende der Lerneinheit'''

&gt; '''Zusammenfassungssatz:'''  
&gt; *Der komplexe Logarithmus von &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; ist die Äquivalenzklasse &lt;math&gt; [w]_0 &lt;/math&gt;, wobei &lt;math&gt; \exp(w) = z &lt;/math&gt;. Diese Klasse ist genau die Menge aller Lösungen von &lt;math&gt; \exp(w) = z &lt;/math&gt;. Alle Rechenregeln gelten in der Klassen-Sicht: &lt;math&gt; \log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2) &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; \log(z^a) = a \cdot \log(z) &lt;/math&gt;, und &lt;math&gt; \exp(\log(z)) = z &lt;/math&gt;.*
== Siehe auch ==
* [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexer Logarithmus]]
* [[logmod-Äquivalenzklassen]]
* [[logmod-Funktion]]
* [[negativer Hauptzweig des Logarithmus]]</text>
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    </revision>
    <revision>
      <id>1116175</id>
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      <timestamp>2026-10-15T08:02:53Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bert Niehaus</username>
        <id>20843</id>
      </contributor>
      <comment>/* Periodizität der Exponentialfunktion */</comment>
      <origin>1116175</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="20704" sha1="c4q4r0ocr0b6vjf2lh2so1nse3wefso" xml:space="preserve">== Einleitung == 
Diese Lerneinheit zu [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmen]] beschäftigt sich Äquivalenzklassen, deren Struktur und  Rechenregeln, die durch den Zusammenhang mit der Exponentialfunktion und deren imaginärer &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt;-Periodizität entsteht. Die Äquivalenzklassen helfen dabei, [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen#Rechenregeln|Rechenregeln]] aus den reellen Zahl für den [[Logarithmus]] auf den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexen Logarithmus]] bzw. deren Zweige zu übertragen. Die [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus]] spielt dabei bijektive Abbildungen eine besondere Rolle.

=== Periodizität der Exponentialfunktion ===

Der komplexe Logarithmus kann nicht eindeutig als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion &lt;math&gt; \exp: \mathbb{C} \to \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; festgelegt werden, da u.a. die Exponentialfunktion nicht injektiv ist und ein [[Zweig des Logarithmus]] von der Wahl des [[einfach zusammenhängend]]en Gebietes abhängt, auf dem der Logarithmus definiert ist. Es gilt für [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]]:
:&lt;math&gt;
\exp(w + 2\pi i) = \exp(w) = z\quad \text{für alle } w \in \mathbb{C}
&lt;/math&gt;

Daher gibt es unendlich viele komplexe Zahlen &lt;math&gt; w &lt;/math&gt;, die auf dieselbe Zahl &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; abgebildet werden. Diese Mehrdeutigkeit ist die Motivation, um Äquivalenzklassen zu bilden.

=== Behandelt Aspekte in der Lerneinheit ===
* '''[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen#Repraesentantenunabhaengigkeit|Repräsentantenunabhängigkeit]]''' für die Addition von [[logmod-Äquivalenzklassen]]

== Äquivalenzklassen des Logarithmus ==
Um Äquivalenzklassen zu bilden, benötigt man eine Äquivalenzrelation als Teilmenge von &lt;math&gt;\mathbb{C}\times \mathbb{C} &lt;/math&gt;, die zwei Elemente &lt;math&gt; w_1, w_2 \in \mathbb{C} &lt;/math&gt;, wenn deren Differenz ein ganzzahliges Vielfaches von &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; ist.

=== Definition - logmod-Äquivalenzrelation ===
Zwei komplexe Zahlen &lt;math&gt; w_1, w_2 \in \mathbb{C} &lt;/math&gt; heißen logmod-äquivalent modulo &lt;math&gt; 2\pi i &lt;/math&gt;, wenn gilt:
:&lt;math&gt;
w_1 - w_2 \in 2\pi i \cdot \mathbb{Z} := \{w\in \mathbb{C} \, : \, w=2\pi i \cdot k \mbox{ und } k\in \mathbb{Z} \}
&lt;/math&gt;

Formal notiert man diese Äquivalenz wie folgt:  

:&lt;math&gt;
w_1 \equiv w_2 \  \mathrm{logmod}\  {2\pi i}
&lt;/math&gt;

==== Aufgabe für Studierende ====
Zeigen Sie, dass diese Relation eine ''Äquivalenzrelation'' ist, d.h. die [[logmod-Funktion|logmod-Relation]] ist [[w:de:Äquivalenzrelation|reflexiv, symmetrisch und transitiv]].

=== Definition - logmod-Äquivalenzklasse ===
Für eine komplexe Zahl &lt;math&gt; w \in \mathbb{C} &lt;/math&gt; ist die Äquivalenzklasse definiert als:

:&lt;math&gt;
[w]_0 := \{ w + 2\pi i k \mid k \in \mathbb{Z} \}
&lt;/math&gt;

==== Bezeichnung - Äquivalenzklassenindex====
Die Indexierung mit &lt;math&gt; _0 &lt;/math&gt; deutet an, dass dies diese Äquivalenzklasse ohne Logarithmierung in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt; gebildet wurde. Bildet man rekursiv höhere Logarithmen als Verkettung entstehen Äquivalenzklassen &lt;math&gt;[w]_n&lt;/math&gt;, wobei &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-fach rekursiv der Logarithmus verkettet wird, falls dieser existiert.

== Verbindung mit der Exponentialfunktion ==

Da die Exponentialfunktion im Imaginärteil des Arguments eine Periodizität von &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; besitzt, entsprechen Äquivalenzklassen &lt;math&gt;[w]_0&lt;/math&gt; entsprechen einem Bildpunkt &lt;math&gt;z=e^w&lt;/math&gt;. Dieser Verbindung zwischen Exponentialfunktion und Logarithmus wird durch das LogMod-Äquivalenzklassenlemma festgehalten.

=== LogMod-Äquivalenzklassenlemma ===
Sei &lt;math&gt;w\in\mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;\mathrm{logmod}(w) = 0&lt;/math&gt; gegeben. Für eine feste komplexe Zahl &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; gilt folgende Äquivalenzaussage:
:&lt;math&gt;
 \exp(\widehat{w}) = z \quad \text{für alle } \widehat{w} \in [w]_0
 &lt;/math&gt;
genau dann, wenn &lt;math&gt; \exp(w) = z &lt;/math&gt;.

=== Beweis - LogMod-Äquivalenzlemma ===
Für &lt;math&gt; w\in \mathbb{D}_1 := \mathbb{R}\times i\cdot [0,2\pi)&lt;/math&gt; gelte &lt;math&gt;\exp(w)=z&lt;/math&gt;. Das LogMod-Äquivalenzlemma ist eine Äquivalenzaussage. Daher werden zwei Beweisrichtungen gezeigt:
\mbox{}
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{array}{llcl}
\mbox{ (LML1) }
 &amp; 
 \exp(\widehat{w}) = z  
 &amp;  
 \quad \Longrightarrow \quad 
 &amp; 
 \widehat{w} \in [w]_0
  \\ 
\mbox{ (LML2) }
 &amp; 
 \widehat{w} \in [w]_0
 &amp;  
 \quad \Longrightarrow \quad 
 &amp; 
 \exp(\widehat{w}) = z  
  \\ 
 \end{array}  
&lt;/math&gt;

==== Schritt 1 - Beweisrichtung LML1 ====
Sei &lt;math&gt; \widehat{w} \in \mathbb{C} &lt;/math&gt; mit &lt;math&gt; \exp(\widehat{w}) = z &lt;/math&gt; beliebig gewählt. Dann gilt mit der Voraussetzung &lt;math&gt; \exp(w) = z \not= 0&lt;/math&gt; und Potenzgesetzen:
:&lt;math&gt;
 1 = \frac{z}{z} = \frac{\widehat{w}}{\exp(\exp(w))} = \exp(\widehat{w}-w)
 &lt;/math&gt;
Die Gleichung &lt;math&gt;1 = \exp(\widehat{w}-w)&lt;/math&gt; gilt genau dann, wenn &lt;math&gt; w-\widehat{w} = 2\pi i \cdot k&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;k \in \mathbb{Z}&lt;/math&gt;. 

==== Schritt 2 - Beweisrichtung LML1 ====
Damit gilt auch  &lt;math&gt; w = \widehat{w} + 2\pi i \cdot k &lt;/math&gt;. Die ganze Zahl &lt;math&gt; k\in \mathbb{Z} &lt;/math&gt; ist durch die [[logmod-Funktion]] und es gilt &lt;math&gt;k= \mathrm{logmod}(\widehat{w})&lt;/math&gt;, da &lt;math&gt; w\in \mathbb{D}_1 = \mathbb{R} + i\cdot [0,2\pi) &lt;/math&gt; nach Voraussetzung gilt und man erhält &lt;math&gt;\widehat{w} \in [w]_0&lt;/math&gt;.

==== Schritt 3 - Äquivalenzklasse gegeben LML2 ====
Sei umgekehrt &lt;math&gt;\widehat{w} \in [w]_0&lt;/math&gt; gegeben. Dann gibt es nach Definition der Äquivalenzklasse ein &lt;math&gt; k := logmod(\widehat{w})\in \mathbb{Z} &lt;/math&gt; mit der Eigenschaft  &lt;math&gt;\widehat{w}:= w + 2\pi i k&lt;/math&gt;. Nun wen man diese Darstellung von &lt;math&gt;\widehat{w}&lt;/math&gt; auf die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] an und verwendet Periodizität &lt;math&gt;\exp&lt;/math&gt; bzgl. &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; und erhält:
:&lt;math&gt;
 \exp(\widehat{w}) =  \exp(w + 2\pi i k) = \exp(w) \cdot \exp(2\pi i k) = z \cdot 1 = z
&lt;/math&gt;

==== Schritt 4 - LML2 ====
Da &lt;math&gt;\widehat{w} \in [w]_0&lt;/math&gt; beliebig gewählt wurde, gilt für alle  &lt;math&gt; \widehat{w} \in [w]_0 &lt;/math&gt; die Eigenschaft &lt;math&gt; \exp(\widehat{w}) = z &lt;/math&gt; und zusammen mit LML1 gilt die Äquivalenzaussage aus dem Lemma &lt;math&gt;\quad \Box&lt;/math&gt;.

=== Folgerung - LogMod-Äquivalenzklassenlemma ====  
Fasst man zu einem gegebenen &lt;math&gt;z\in \mathbb{C}\setminus\{0\}&lt;/math&gt; die Menge alle komplexen Zahlen &lt;math&gt; \widehat{w} \in \mathbb{C} &lt;/math&gt; zu einer Menge zusammen, die die Eigenschaft &lt;math&gt; \exp(\widehat{w}) = z &lt;/math&gt; erfüllen, so erhält man die Äquivalenzklasse &lt;math&gt; [w]_0 &lt;/math&gt;, wobei &lt;math&gt; w &lt;/math&gt; eine beliebige Lösung von &lt;math&gt; \exp(w) = z &lt;/math&gt; ist. 

==== Bemerkung - LogMod-Äquivalenzklassenlemma ====  
Für die Äquivalenzklassenanalyse spielt das Repräsentatensystem &lt;math&gt;\mathbb{D}_1= \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi)&lt;/math&gt; eine besondere Rolle. DasRepräsentatensystem &lt;math&gt;\mathbb{D}_1&lt;/math&gt; entsteht durch [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus|algebraische Vervollständigkeit]] des [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweiges]] des [[Logarithmus]].

== Äquivalenzklassenaddition ==
Um die aus der reellen Analysis bekannten Rechenregeln auf Logarithmen in den komplexen Zahlen verwenden zu können werden Äquivalenzklassen verwendet.  Die Struktur und Gültigkeit der Rechenregeln wird in diesem Teil der Lerneinheit genauer untersucht.

=== komplexe Logarithmus als Lösungsmenge ===
Der komplexe Äquivalenzklassen-Logarithmus von &lt;math&gt; z &lt;/math&gt; bildet nicht auf ein Element in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt; ab, sondern auf ein Teilmenge von &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt;. Dies führt im weiteren Verlauf der Lehrveranstaltung zum Begriff des [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarithmus]]. Sei &lt;math&gt;w \in \mathbb{C}&lt;/math&gt; beliebig gewählt, dann definiert man &lt;math&gt;w_0 := w - \mathrm{logmod}(w)\cdot 2\pi i \in \mathbb{D}_1&lt;/math&gt; als Repräsentant der [[logmod-Äquivalenzklassen|Äquivalenzklasse]] &lt;math&gt; [w]_0&lt;/math&gt;.
:&lt;math&gt;
 \mathrm{lnr}_1(z) := \{ w \in \mathbb{C} \mid \exp(w) = z \} = [w]_0
&lt;/math&gt;
für ein beliebiges &lt;math&gt; w_0 \in \mathbb{D}_1 := \mathbb{R}+ i\cdot [0,2\pi)&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt; \exp(w_0) = z &lt;/math&gt;.

==== Beispiel 1 - Neutrales Element für Äquivalenklassenaddition ====
Algebraisch wird später &lt;math&gt;\mathbb{D}_1&lt;/math&gt; mit einer inneren Verknüpfung &lt;math&gt;\oplus&lt;/math&gt; zu einer kommunitative Gruppe. Daher wird das [[w:de:neutrales Element|neutrale Element]] von &lt;math&gt;\oplus&lt;/math&gt; als Beispieläquivalenzklasse genannt und in Beziehung zum Logarithmus gesetzt. Für &lt;math&gt; z = 1 &lt;/math&gt; ist der komplexe rekursive Logarithmus 
:&lt;math&gt; 
   \mathrm{lnr}_1(1) = \{ 2\pi i k \, : \,  k \in \mathbb{Z} \} = [0]_0 
&lt;/math&gt;

==== Beispiel 2 - Logarithmus der imaginären Einheit ====
Da zunächst die [[rekursiver Logarithmus|rekursive komplexe Logarithmen]] von elementaren komplexen Zahlen genannt. Wählt man &lt;math&gt; z = i &lt;/math&gt; so gilt &lt;math&gt; \exp\left(i \tfrac{\pi}{2}\right) = i &lt;/math&gt; und &lt;math&gt;i\tfrac{\pi}{2} \in \mathbb{D}_1&lt;/math&gt;. Bildet man nun den von  [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarithmus]] von  &lt;math&gt; z = i &lt;/math&gt; erhält man:

:&lt;math&gt;
  \mathrm{lnr}_1(i) = \left\{ i \left( \frac{\pi}{2} + 2\pi k \right) \mid k \in \mathbb{Z} \right\} = \left[ i \frac{\pi}{2} \right]_0 
&lt;/math&gt;

==== Beispiel 3 - rekursiver Logarithmus von -1 ====
Ablschießend wird auch noch der [[rekursiver Logarithmus|rekursive komplexe Logarithmen]] von &lt;math&gt; z = -1 &lt;/math&gt; genannt. Wegen &lt;math&gt; \exp\left(i \pi \right) = -1 &lt;/math&gt; und &lt;math&gt;i \pi \in \mathbb{D}_1=\mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi) &lt;/math&gt; erhält man:

:&lt;math&gt;
  \mathrm{lnr}_1(-1) = \left\{ i \left( \pi + 2\pi k \right) \mid k \in \mathbb{Z} \right\} = \left[ i \pi \right]_0 
&lt;/math&gt;

=== Repräsentantensystem ===

Um einen eindeutigen Funktionswert als Äquivalenzklasse zu erhalten, wählt man eine spezielles Repräsentantensystem &lt;math&gt;\mathbb{D}_1:= \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi) \subset \mathbb{C}&lt;/math&gt; um alle Äquivalenzklassen darstellen zu können. Dabei wird die [[logmod-Funktion]] verwendet, um für eine beliebige komplexe Zahl &lt;math&gt;w\in \mathbb{C}&lt;/math&gt; die zugehörigen Repräsentanten &lt;math&gt;w_0 \in\mathbb{D}_1&lt;/math&gt; über &lt;math&gt; w_0 = w - 2\pi i \cdot \mathrm{logmod}(w)&lt;/math&gt; zu bestimmen.

&lt;span id=&quot;Definition&quot;&gt;
=== Definition - logmod-Äquivalenzklassenaddition ===

Für &lt;math&gt; z_1,z_2 \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; und  &lt;math&gt;w_1,w_2 \in\mathbb{D}_1&lt;/math&gt; gelte &lt;math&gt;\exp(z_1)=w_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\exp(z_2)=w_2&lt;/math&gt;. Man definiert nun die Äquivalenzklassenaddition &lt;math&gt;(\mathbb{D}_1,\oplus)&lt;/math&gt; wie folgt.
:&lt;math&gt;
[w_1]_0 \oplus [w_2]_0 := [w_1 + w_2]_0
&lt;/math&gt;

==== Bemerkung - Repräsentant der Äquivalenzklasse ====
Der Repräsentant &lt;math&gt;w_1 + w_2 &lt;/math&gt; der Äquivalenzklasse 
wobei &lt;math&gt;[w_1 + w_2]_0 &lt;/math&gt; liegt nicht notwendigerweise auch in &lt;math&gt;\mathbb{D}_1&lt;/math&gt;, was das folgende Beispiel zeigt.

==== Beispiel - Repräsentant bei additiver Verknüpfung ====
Wählt man &lt;math&gt; z_1 = z_2 = -i &lt;/math&gt;, so erhält man &lt;math&gt; w_1 = w_2 = \tfrac{3}{2}\pi i \in \mathbb{D}_1 &lt;/math&gt; und es gilt &lt;math&gt; w_1 + w_2 = 3\pi i \notin \mathbb{D}_1 &lt;/math&gt;. Möchte man den zugehörigen Repräsentanten aus &lt;math&gt;\mathbb{D}_1 &lt;/math&gt; bestimmen, verwendet man wieder die [[logmod-Funktion]]:
:&lt;math&gt;
[w_1]_0 \oplus [w_2]_0  = [w_1 + w_2]_0 = [w]_0 
&lt;/math&gt;
mit &lt;math&gt; w = w_1+w_2 - 2\pi i \cdot \mathrm{logmod}(w_1+w_2)&lt;/math&gt;

==== Bemerkung - Notation ====
Für die Addition &lt;math&gt;\oplus&lt;/math&gt; der [[logmod-Äquivalenzklassen]] wird zur Abgrenzung zu additiven Verknüpfung in &lt;math&gt;+&lt;/math&gt; in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt; das Symbol &lt;math&gt;\oplus&lt;/math&gt; verwendet.
:&lt;math&gt;
\left[ 1+\frac{3}{2}\pi i \right]_0 \oplus \left[5+\frac{1}{2}\pi i \right]_0 = \left[ \left(1+\frac{3}{2}\pi i\right)  + \left(5+\frac{1}{2}\pi i\right) \right]_0 = [6+2\pi i]_0 = [6]_0 
&lt;/math&gt;
Im linken Term werden zwei Äquivalenzklassen addiert (daher &lt;math&gt;\oplus&lt;/math&gt;) und in den beiden rechten Termen ist das Standardaddition in den komplexen Zahlen.

== Rechenregeln für Äquivalenzklassen ==
Zunächst einmal muss man kurz die Repräsentantenunabhängigkeit der Äquivalenzklassenaddition auf &lt;math&gt;[\mathbb{D}_1]_0&lt;/math&gt; überprüfen. Dabei ist &lt;math&gt;\oplus&lt;/math&gt; eine innere Verknüpfung auf  &lt;math&gt;[\mathbb{D}_1]_0&lt;/math&gt; der Form:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rrcl}
   f: &amp; [\mathbb{D}_1]_0 \times [\mathbb{D}_1]_0 &amp; \rightarrow &amp; [\mathbb{D}_1]_0\\ 
    &amp;  \left( [w_1]_0,[w_2]_0 \right)  &amp; \mapsto &amp; [w_1]_0 \oplus [w_2]_0 =  [w_1+w_2]_0 =
    \\
    &amp; &amp; &amp; 
    \bigg[\, \underbrace{w_1+w_2 - \mathrm{logmod}(w_1+w_2) \cdot 2\pi i}_{\in \mathbb{D}_1}\,\bigg]_0 
  \end{array}  

&lt;/math&gt;
Dabei beschreibt &lt;math&gt;[\mathbb{D}_1]_0 = \{ [w]_0 \, \colon \, w\in \mathbb{D}_1 \}&lt;/math&gt; die Menge aller [[logmod-Äquivalenzklassen]] mit dem Repräsentantensystem &lt;math&gt;\mathbb{D}_1&lt;/math&gt;. 

&lt;hr&gt;
&lt;span id=&quot;Repraesentantenunabhaengigkeit&quot;&gt;&lt;/span&gt;
=== Lemma zur Repräsentantenunabhängigkeit ===
Die innere additive Verknüpfung &lt;math&gt; ([\mathbb{D}_1]_0 , \oplus)&lt;/math&gt; auf den [[logmod-Äquivalenzklassen]] ist repräsentantenunabhängig.

=== Beweis - Lemma zur Repräsentantenunabhängigkeit ===
Die Beweisidee der Repräsentantenunabhängigkeit beruht auf der Auswahl von zwei beliebigen unterschiedlichen Repräsentanten &lt;math&gt;w_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\widehat{w_1}&lt;/math&gt; bzw. &lt;math&gt;w_2&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\widehat{w_2}&lt;/math&gt; und man zeigt dann die Addition mit &lt;math&gt;\oplus&lt;/math&gt; für die [[logmod-Äquivalenzklassen]] die gleiche Äquivalenzklasse &lt;math&gt;[w_1+w_2]_0=[\widehat{w_1}+\widehat{w_2}]_0&lt;/math&gt; liefert.

==== Beweisschritt 1 - Wahl der Repräsentanten ====
Seien &lt;math&gt;w_1,w_2 \in \mathbb{D}_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;k_1, k_2 \in \mathbb{Z}&lt;/math&gt; beliebig gewählt, dann sind &lt;math&gt;\widehat{w_1}=2\pi i\cdot k_1 &lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\widehat{w_2}=2\pi i\cdot k_2 &lt;/math&gt; weitere Repräsentanten der [[logmod-Äquivalenzklassen]]  &lt;math&gt;[w_1]_0,[w_2]_0 \in [\mathbb{D}_1]_0&lt;/math&gt; und es gilt:
:&lt;math&gt;
[w_1]_0  = [\widehat{w_1}]_0 \quad [w_2]_0 = [\widehat{w_2}]_0
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 2 - Definition der Addition anwenden ====
Nach Definition der Addition von [[logmod-Äquivalenzklassen]] gilt:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
 [\widehat{w_1}]_0 \oplus [\widehat{w_1}]_0 &amp; = &amp;  
 [\widehat{w_1} + \widehat{w_1}]_0
 \\ 
 &amp; = &amp; 
 [w_1+w_2+ (k_1+k_2)\cdot 2\pi i]_0 = [w_1+w_2]_0
  \\ 
 \end{array}  
&lt;/math&gt;
Damit ist die Addition von [[logmod-Äquivalenzklassen]] repräsentantenunabhängig. &lt;math&gt;\quad \Box&lt;/math&gt;

==== Bemerkung - Exponentialfunktion und Zweige des Logarithmus ====
Sei &lt;math&gt;G\subset \mathbb{C}&lt;/math&gt; ein [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängendes]] [[Gebiet (Mathematik)|
Gebiet]] mit &lt;math&gt;0\notin G&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;w_0\in \mathbb{D}_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt; \exp(w_0)=z_0&lt;/math&gt; für ein mit &lt;math&gt;z_0 \in G \subset \mathbb{C}\setminus \{0\}&lt;/math&gt;. Durch die Festlegung von &lt;math&gt;\log_G(z_0)=w_0&lt;/math&gt; ist der gesamte Zweig &lt;math&gt;\log_{G}&lt;/math&gt; als [[generalisierter Logarithmus]] auf dem &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; bereits definiert (siehe [[Identitätssatz]]). Bei der [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus|algebraischen Vervollständigung des Zweiges eines Logarithmus]] verliert man die Eigenschaft der [[holomorphe Funktion|Holomorphie]] und sogar der [[Stetigkeit]]. Sei   Man muss daher [[Zweige des Logarithmus]] von der Definition eine [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarthmus]] trennen.
* &lt;math&gt; \exp(\log_G(z)) = z &lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt; z \in G \subset \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt;
* &lt;math&gt; \log(\exp(w)) = [w]_0 &lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt; w \in \mathbb{C} &lt;/math&gt;

&gt; '''Achtung:''' &lt;math&gt; \log(\exp(w)) &lt;/math&gt; ist '''keine Zahl''', sondern eine '''Äquivalenzklasse'''.

---

=== (2) Multiplikation und Logarithmus ===

Für &lt;math&gt; z_1, z_2 \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt;:


:&lt;math&gt;
\log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2)
&lt;/math&gt;

&gt; '''Interpretation:'''  
&gt; Die Summe zweier Äquivalenzklassen ist definiert als:
&gt; 
:&lt;math&gt;
&gt; [w_1]_0 + [w_2]_0 := [w_1 + w_2]_0
&gt; &lt;/math&gt;
&gt; und es gilt:
&gt; 
:&lt;math&gt;
&gt; \log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2)
&gt; &lt;/math&gt;

&gt; '''Beispiel:'''  
&gt; &lt;math&gt; z_1 = i &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; z_2 = i &lt;/math&gt; → &lt;math&gt; z_1 z_2 = -1 &lt;/math&gt;  
&gt; &lt;math&gt; \log(i) = \left[ i \frac{\pi}{2} \right]_0 &lt;/math&gt;,  
&gt; &lt;math&gt; \log(i) + \log(i) = \left[ i \pi \right]_0 &lt;/math&gt;,  
&gt; &lt;math&gt; \log(-1) = \left[ i \pi \right]_0 &lt;/math&gt; → stimmt.

---

=== (3) Potenzen und Logarithmus ===

Für &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; a \in \mathbb{C} &lt;/math&gt;:


:&lt;math&gt;
\log(z^a) = a \cdot \log(z) + 2\pi i k \quad \text{für ein } k \in \mathbb{Z}
&lt;/math&gt;

&gt; '''Aber:''' In der Äquivalenzklassen-Sicht gilt:
&gt; 
:&lt;math&gt;
&gt; \log(z^a) = a \cdot \log(z)
&gt; &lt;/math&gt;
&gt; wobei die Multiplikation einer Äquivalenzklasse mit einer komplexen Zahl definiert ist als:
&gt; 
:&lt;math&gt;
&gt; a \cdot [w]_0 := [a w]_0
&gt; &lt;/math&gt;

&gt; '''Beispiel:'''  
&gt; &lt;math&gt; z = i &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; a = 2 &lt;/math&gt; → &lt;math&gt; z^a = -1 &lt;/math&gt;  
&gt; &lt;math&gt; \log(z^a) = \log(-1) = [i\pi]_0 &lt;/math&gt;  
&gt; &lt;math&gt; a \cdot \log(z) = 2 \cdot [i \pi/2]_0 = [i\pi]_0 &lt;/math&gt; → stimmt.

---

=== (4) Addition von Logarithmen ===


:&lt;math&gt;
\log(z_1) + \log(z_2) = \log(z_1 z_2)
&lt;/math&gt;

&gt; '''Achtung:''' Dies ist '''nicht''' immer wahr, wenn man '''nicht''' mit Äquivalenzklassen arbeitet!  
&gt; Aber '''in der Klassen-Sicht''' ist es '''richtig'''.

&gt; '''Warum?''' Weil die Addition von Klassen kommutativ und assoziativ ist.

---

== 7. Zusammenhang mit Logarithmenzweigen ==

Ein '''Logarithmenzweig''' ist eine '''stetige Auswahl''' von Werten aus &lt;math&gt; \log(z) &lt;/math&gt;, d. h. eine Funktion &lt;math&gt; L: G \to \mathbb{C} &lt;/math&gt;, sodass &lt;math&gt; \exp(L(z)) = z &lt;/math&gt; und &lt;math&gt; L &lt;/math&gt; stetig auf einem Gebiet &lt;math&gt; G \subseteq \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt;.

&gt; '''Beispiel:'''  
&gt; Der '''Hauptzweig''' &lt;math&gt; \text{Log}(z) &lt;/math&gt; ist ein Logarithmenzweig auf &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus (-\infty, 0] &lt;/math&gt;.

&gt; '''Jeder Logarithmenzweig''' &lt;math&gt; L &lt;/math&gt; wählt '''einen Repräsentanten''' aus jeder Äquivalenzklasse &lt;math&gt; [w]_0 &lt;/math&gt;, nämlich &lt;math&gt; L(z) \in [w]_0 &lt;/math&gt;.

&gt; '''Zusammenhang:'''  
&gt; Die Menge aller Logarithmenzweige entspricht '''der Wahl einer Schnittlinie''' (Branch Cut), die verhindert, dass man um den Ursprung herumwandert und die Klasse wechselt.

---

== 8. Zusammenfassung: Struktur der Logarithmen ==

| Konzept | Beschreibung |
|--------|--------------|
| '''Äquivalenzklasse''' &lt;math&gt; [w]_0 &lt;/math&gt; | Menge aller &lt;math&gt; w + 2\pi i k &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; k \in \mathbb{Z} &lt;/math&gt; |
| '''Logarithmus von &lt;math&gt; z &lt;/math&gt;''' | &lt;math&gt; \log(z) = [w]_0 &lt;/math&gt;, wobei &lt;math&gt; \exp(w) = z &lt;/math&gt; |
| '''Hauptzweig''' | &lt;math&gt; \text{Log}(z) \in \log(z) &lt;/math&gt;, mit &lt;math&gt; \text{Arg}(z) \in (-\pi, \pi] &lt;/math&gt; |
| '''Rechenregeln''' | &lt;math&gt; \log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2) &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; \log(z^a) = a \cdot \log(z) &lt;/math&gt; (in Klassen) |
| '''Exponentialfunktion''' | &lt;math&gt; \exp(\log(z)) = z &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; \log(\exp(w)) = [w]_0 &lt;/math&gt; |

---

== 9. Übungsaufgaben ==

1. Zeige, dass &lt;math&gt; \log(-1) = [i\pi]_0 &lt;/math&gt;.
2. Berechne &lt;math&gt; \log(i) + \log(i) &lt;/math&gt; und vergleiche mit &lt;math&gt; \log(-1) &lt;/math&gt;.
3. Zeige, dass &lt;math&gt; \log(z^2) = 2 \log(z) &lt;/math&gt; in der Klassen-Sicht gilt.
4. Warum ist &lt;math&gt; \log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2) &lt;/math&gt; '''nicht''' immer wahr, wenn man nur Zahlen verwendet?
5. Definiere einen anderen Logarithmenzweig auf &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus [0, \infty) &lt;/math&gt;, der &lt;math&gt; \log(z) \in [i \cdot 0]_0 &lt;/math&gt; für &lt;math&gt; z = 1 &lt;/math&gt; wählt.

---

== Lernziel ==

Du kannst:
* den komplexen Logarithmus als '''Äquivalenzklasse''' verstehen,
* die '''Rechenregeln''' für Logarithmen in der Klassen-Sicht korrekt anwenden,
* den Zusammenhang zwischen '''Exponentialfunktion''', '''Logarithmenzweigen''' und '''Äquivalenzklassen''' erklären,
* die '''Mehrdeutigkeit''' des Logarithmus strukturiert darstellen.

---

'''Ende der Lerneinheit'''

&gt; '''Zusammenfassungssatz:'''  
&gt; *Der komplexe Logarithmus von &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; ist die Äquivalenzklasse &lt;math&gt; [w]_0 &lt;/math&gt;, wobei &lt;math&gt; \exp(w) = z &lt;/math&gt;. Diese Klasse ist genau die Menge aller Lösungen von &lt;math&gt; \exp(w) = z &lt;/math&gt;. Alle Rechenregeln gelten in der Klassen-Sicht: &lt;math&gt; \log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2) &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; \log(z^a) = a \cdot \log(z) &lt;/math&gt;, und &lt;math&gt; \exp(\log(z)) = z &lt;/math&gt;.*
== Siehe auch ==
* [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexer Logarithmus]]
* [[logmod-Äquivalenzklassen]]
* [[logmod-Funktion]]
* [[negativer Hauptzweig des Logarithmus]]</text>
      <sha1>c4q4r0ocr0b6vjf2lh2so1nse3wefso</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>1116176</id>
      <parentid>1116175</parentid>
      <timestamp>2026-10-15T08:03:46Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bert Niehaus</username>
        <id>20843</id>
      </contributor>
      <comment>/* LogMod-Äquivalenzklassenlemma */</comment>
      <origin>1116176</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="20747" sha1="7wf3asu105ie7bem1ac5vgw3peqgvl8" xml:space="preserve">== Einleitung == 
Diese Lerneinheit zu [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmen]] beschäftigt sich Äquivalenzklassen, deren Struktur und  Rechenregeln, die durch den Zusammenhang mit der Exponentialfunktion und deren imaginärer &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt;-Periodizität entsteht. Die Äquivalenzklassen helfen dabei, [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen#Rechenregeln|Rechenregeln]] aus den reellen Zahl für den [[Logarithmus]] auf den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexen Logarithmus]] bzw. deren Zweige zu übertragen. Die [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus]] spielt dabei bijektive Abbildungen eine besondere Rolle.

=== Periodizität der Exponentialfunktion ===

Der komplexe Logarithmus kann nicht eindeutig als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion &lt;math&gt; \exp: \mathbb{C} \to \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; festgelegt werden, da u.a. die Exponentialfunktion nicht injektiv ist und ein [[Zweig des Logarithmus]] von der Wahl des [[einfach zusammenhängend]]en Gebietes abhängt, auf dem der Logarithmus definiert ist. Es gilt für [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]]:
:&lt;math&gt;
\exp(w + 2\pi i) = \exp(w) = z\quad \text{für alle } w \in \mathbb{C}
&lt;/math&gt;

Daher gibt es unendlich viele komplexe Zahlen &lt;math&gt; w &lt;/math&gt;, die auf dieselbe Zahl &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; abgebildet werden. Diese Mehrdeutigkeit ist die Motivation, um Äquivalenzklassen zu bilden.

=== Behandelt Aspekte in der Lerneinheit ===
* '''[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen#Repraesentantenunabhaengigkeit|Repräsentantenunabhängigkeit]]''' für die Addition von [[logmod-Äquivalenzklassen]]

== Äquivalenzklassen des Logarithmus ==
Um Äquivalenzklassen zu bilden, benötigt man eine Äquivalenzrelation als Teilmenge von &lt;math&gt;\mathbb{C}\times \mathbb{C} &lt;/math&gt;, die zwei Elemente &lt;math&gt; w_1, w_2 \in \mathbb{C} &lt;/math&gt;, wenn deren Differenz ein ganzzahliges Vielfaches von &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; ist.

=== Definition - logmod-Äquivalenzrelation ===
Zwei komplexe Zahlen &lt;math&gt; w_1, w_2 \in \mathbb{C} &lt;/math&gt; heißen logmod-äquivalent modulo &lt;math&gt; 2\pi i &lt;/math&gt;, wenn gilt:
:&lt;math&gt;
w_1 - w_2 \in 2\pi i \cdot \mathbb{Z} := \{w\in \mathbb{C} \, : \, w=2\pi i \cdot k \mbox{ und } k\in \mathbb{Z} \}
&lt;/math&gt;

Formal notiert man diese Äquivalenz wie folgt:  

:&lt;math&gt;
w_1 \equiv w_2 \  \mathrm{logmod}\  {2\pi i}
&lt;/math&gt;

==== Aufgabe für Studierende ====
Zeigen Sie, dass diese Relation eine ''Äquivalenzrelation'' ist, d.h. die [[logmod-Funktion|logmod-Relation]] ist [[w:de:Äquivalenzrelation|reflexiv, symmetrisch und transitiv]].

=== Definition - logmod-Äquivalenzklasse ===
Für eine komplexe Zahl &lt;math&gt; w \in \mathbb{C} &lt;/math&gt; ist die Äquivalenzklasse definiert als:

:&lt;math&gt;
[w]_0 := \{ w + 2\pi i k \mid k \in \mathbb{Z} \}
&lt;/math&gt;

==== Bezeichnung - Äquivalenzklassenindex====
Die Indexierung mit &lt;math&gt; _0 &lt;/math&gt; deutet an, dass dies diese Äquivalenzklasse ohne Logarithmierung in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt; gebildet wurde. Bildet man rekursiv höhere Logarithmen als Verkettung entstehen Äquivalenzklassen &lt;math&gt;[w]_n&lt;/math&gt;, wobei &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-fach rekursiv der Logarithmus verkettet wird, falls dieser existiert.

== Verbindung mit der Exponentialfunktion ==

Da die Exponentialfunktion im Imaginärteil des Arguments eine Periodizität von &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; besitzt, entsprechen Äquivalenzklassen &lt;math&gt;[w]_0&lt;/math&gt; entsprechen einem Bildpunkt &lt;math&gt;z=e^w&lt;/math&gt;. Dieser Verbindung zwischen Exponentialfunktion und Logarithmus wird durch das LogMod-Äquivalenzklassenlemma festgehalten.

&lt;span id=&quot;logmod_Aequivalenzlemma&quot;&gt;&lt;/span&gt;
=== LogMod-Äquivalenzklassenlemma ===
Sei &lt;math&gt;w\in\mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;\mathrm{logmod}(w) = 0&lt;/math&gt; gegeben. Für eine feste komplexe Zahl &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; gilt folgende Äquivalenzaussage:
:&lt;math&gt;
 \exp(\widehat{w}) = z \quad \text{für alle } \widehat{w} \in [w]_0
 &lt;/math&gt;
genau dann, wenn &lt;math&gt; \exp(w) = z &lt;/math&gt;.

=== Beweis - LogMod-Äquivalenzlemma ===
Für &lt;math&gt; w\in \mathbb{D}_1 := \mathbb{R}\times i\cdot [0,2\pi)&lt;/math&gt; gelte &lt;math&gt;\exp(w)=z&lt;/math&gt;. Das LogMod-Äquivalenzlemma ist eine Äquivalenzaussage. Daher werden zwei Beweisrichtungen gezeigt:
\mbox{}
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{array}{llcl}
\mbox{ (LML1) }
 &amp; 
 \exp(\widehat{w}) = z  
 &amp;  
 \quad \Longrightarrow \quad 
 &amp; 
 \widehat{w} \in [w]_0
  \\ 
\mbox{ (LML2) }
 &amp; 
 \widehat{w} \in [w]_0
 &amp;  
 \quad \Longrightarrow \quad 
 &amp; 
 \exp(\widehat{w}) = z  
  \\ 
 \end{array}  
&lt;/math&gt;

==== Schritt 1 - Beweisrichtung LML1 ====
Sei &lt;math&gt; \widehat{w} \in \mathbb{C} &lt;/math&gt; mit &lt;math&gt; \exp(\widehat{w}) = z &lt;/math&gt; beliebig gewählt. Dann gilt mit der Voraussetzung &lt;math&gt; \exp(w) = z \not= 0&lt;/math&gt; und Potenzgesetzen:
:&lt;math&gt;
 1 = \frac{z}{z} = \frac{\widehat{w}}{\exp(\exp(w))} = \exp(\widehat{w}-w)
 &lt;/math&gt;
Die Gleichung &lt;math&gt;1 = \exp(\widehat{w}-w)&lt;/math&gt; gilt genau dann, wenn &lt;math&gt; w-\widehat{w} = 2\pi i \cdot k&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;k \in \mathbb{Z}&lt;/math&gt;. 

==== Schritt 2 - Beweisrichtung LML1 ====
Damit gilt auch  &lt;math&gt; w = \widehat{w} + 2\pi i \cdot k &lt;/math&gt;. Die ganze Zahl &lt;math&gt; k\in \mathbb{Z} &lt;/math&gt; ist durch die [[logmod-Funktion]] und es gilt &lt;math&gt;k= \mathrm{logmod}(\widehat{w})&lt;/math&gt;, da &lt;math&gt; w\in \mathbb{D}_1 = \mathbb{R} + i\cdot [0,2\pi) &lt;/math&gt; nach Voraussetzung gilt und man erhält &lt;math&gt;\widehat{w} \in [w]_0&lt;/math&gt;.

==== Schritt 3 - Äquivalenzklasse gegeben LML2 ====
Sei umgekehrt &lt;math&gt;\widehat{w} \in [w]_0&lt;/math&gt; gegeben. Dann gibt es nach Definition der Äquivalenzklasse ein &lt;math&gt; k := logmod(\widehat{w})\in \mathbb{Z} &lt;/math&gt; mit der Eigenschaft  &lt;math&gt;\widehat{w}:= w + 2\pi i k&lt;/math&gt;. Nun wen man diese Darstellung von &lt;math&gt;\widehat{w}&lt;/math&gt; auf die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] an und verwendet Periodizität &lt;math&gt;\exp&lt;/math&gt; bzgl. &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; und erhält:
:&lt;math&gt;
 \exp(\widehat{w}) =  \exp(w + 2\pi i k) = \exp(w) \cdot \exp(2\pi i k) = z \cdot 1 = z
&lt;/math&gt;

==== Schritt 4 - LML2 ====
Da &lt;math&gt;\widehat{w} \in [w]_0&lt;/math&gt; beliebig gewählt wurde, gilt für alle  &lt;math&gt; \widehat{w} \in [w]_0 &lt;/math&gt; die Eigenschaft &lt;math&gt; \exp(\widehat{w}) = z &lt;/math&gt; und zusammen mit LML1 gilt die Äquivalenzaussage aus dem Lemma &lt;math&gt;\quad \Box&lt;/math&gt;.

=== Folgerung - LogMod-Äquivalenzklassenlemma ====  
Fasst man zu einem gegebenen &lt;math&gt;z\in \mathbb{C}\setminus\{0\}&lt;/math&gt; die Menge alle komplexen Zahlen &lt;math&gt; \widehat{w} \in \mathbb{C} &lt;/math&gt; zu einer Menge zusammen, die die Eigenschaft &lt;math&gt; \exp(\widehat{w}) = z &lt;/math&gt; erfüllen, so erhält man die Äquivalenzklasse &lt;math&gt; [w]_0 &lt;/math&gt;, wobei &lt;math&gt; w &lt;/math&gt; eine beliebige Lösung von &lt;math&gt; \exp(w) = z &lt;/math&gt; ist. 

==== Bemerkung - LogMod-Äquivalenzklassenlemma ====  
Für die Äquivalenzklassenanalyse spielt das Repräsentatensystem &lt;math&gt;\mathbb{D}_1= \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi)&lt;/math&gt; eine besondere Rolle. DasRepräsentatensystem &lt;math&gt;\mathbb{D}_1&lt;/math&gt; entsteht durch [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus|algebraische Vervollständigkeit]] des [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweiges]] des [[Logarithmus]].

== Äquivalenzklassenaddition ==
Um die aus der reellen Analysis bekannten Rechenregeln auf Logarithmen in den komplexen Zahlen verwenden zu können werden Äquivalenzklassen verwendet.  Die Struktur und Gültigkeit der Rechenregeln wird in diesem Teil der Lerneinheit genauer untersucht.

=== komplexe Logarithmus als Lösungsmenge ===
Der komplexe Äquivalenzklassen-Logarithmus von &lt;math&gt; z &lt;/math&gt; bildet nicht auf ein Element in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt; ab, sondern auf ein Teilmenge von &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt;. Dies führt im weiteren Verlauf der Lehrveranstaltung zum Begriff des [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarithmus]]. Sei &lt;math&gt;w \in \mathbb{C}&lt;/math&gt; beliebig gewählt, dann definiert man &lt;math&gt;w_0 := w - \mathrm{logmod}(w)\cdot 2\pi i \in \mathbb{D}_1&lt;/math&gt; als Repräsentant der [[logmod-Äquivalenzklassen|Äquivalenzklasse]] &lt;math&gt; [w]_0&lt;/math&gt;.
:&lt;math&gt;
 \mathrm{lnr}_1(z) := \{ w \in \mathbb{C} \mid \exp(w) = z \} = [w]_0
&lt;/math&gt;
für ein beliebiges &lt;math&gt; w_0 \in \mathbb{D}_1 := \mathbb{R}+ i\cdot [0,2\pi)&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt; \exp(w_0) = z &lt;/math&gt;.

==== Beispiel 1 - Neutrales Element für Äquivalenklassenaddition ====
Algebraisch wird später &lt;math&gt;\mathbb{D}_1&lt;/math&gt; mit einer inneren Verknüpfung &lt;math&gt;\oplus&lt;/math&gt; zu einer kommunitative Gruppe. Daher wird das [[w:de:neutrales Element|neutrale Element]] von &lt;math&gt;\oplus&lt;/math&gt; als Beispieläquivalenzklasse genannt und in Beziehung zum Logarithmus gesetzt. Für &lt;math&gt; z = 1 &lt;/math&gt; ist der komplexe rekursive Logarithmus 
:&lt;math&gt; 
   \mathrm{lnr}_1(1) = \{ 2\pi i k \, : \,  k \in \mathbb{Z} \} = [0]_0 
&lt;/math&gt;

==== Beispiel 2 - Logarithmus der imaginären Einheit ====
Da zunächst die [[rekursiver Logarithmus|rekursive komplexe Logarithmen]] von elementaren komplexen Zahlen genannt. Wählt man &lt;math&gt; z = i &lt;/math&gt; so gilt &lt;math&gt; \exp\left(i \tfrac{\pi}{2}\right) = i &lt;/math&gt; und &lt;math&gt;i\tfrac{\pi}{2} \in \mathbb{D}_1&lt;/math&gt;. Bildet man nun den von  [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarithmus]] von  &lt;math&gt; z = i &lt;/math&gt; erhält man:

:&lt;math&gt;
  \mathrm{lnr}_1(i) = \left\{ i \left( \frac{\pi}{2} + 2\pi k \right) \mid k \in \mathbb{Z} \right\} = \left[ i \frac{\pi}{2} \right]_0 
&lt;/math&gt;

==== Beispiel 3 - rekursiver Logarithmus von -1 ====
Ablschießend wird auch noch der [[rekursiver Logarithmus|rekursive komplexe Logarithmen]] von &lt;math&gt; z = -1 &lt;/math&gt; genannt. Wegen &lt;math&gt; \exp\left(i \pi \right) = -1 &lt;/math&gt; und &lt;math&gt;i \pi \in \mathbb{D}_1=\mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi) &lt;/math&gt; erhält man:

:&lt;math&gt;
  \mathrm{lnr}_1(-1) = \left\{ i \left( \pi + 2\pi k \right) \mid k \in \mathbb{Z} \right\} = \left[ i \pi \right]_0 
&lt;/math&gt;

=== Repräsentantensystem ===

Um einen eindeutigen Funktionswert als Äquivalenzklasse zu erhalten, wählt man eine spezielles Repräsentantensystem &lt;math&gt;\mathbb{D}_1:= \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi) \subset \mathbb{C}&lt;/math&gt; um alle Äquivalenzklassen darstellen zu können. Dabei wird die [[logmod-Funktion]] verwendet, um für eine beliebige komplexe Zahl &lt;math&gt;w\in \mathbb{C}&lt;/math&gt; die zugehörigen Repräsentanten &lt;math&gt;w_0 \in\mathbb{D}_1&lt;/math&gt; über &lt;math&gt; w_0 = w - 2\pi i \cdot \mathrm{logmod}(w)&lt;/math&gt; zu bestimmen.

&lt;span id=&quot;Definition&quot;&gt;
=== Definition - logmod-Äquivalenzklassenaddition ===

Für &lt;math&gt; z_1,z_2 \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; und  &lt;math&gt;w_1,w_2 \in\mathbb{D}_1&lt;/math&gt; gelte &lt;math&gt;\exp(z_1)=w_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\exp(z_2)=w_2&lt;/math&gt;. Man definiert nun die Äquivalenzklassenaddition &lt;math&gt;(\mathbb{D}_1,\oplus)&lt;/math&gt; wie folgt.
:&lt;math&gt;
[w_1]_0 \oplus [w_2]_0 := [w_1 + w_2]_0
&lt;/math&gt;

==== Bemerkung - Repräsentant der Äquivalenzklasse ====
Der Repräsentant &lt;math&gt;w_1 + w_2 &lt;/math&gt; der Äquivalenzklasse 
wobei &lt;math&gt;[w_1 + w_2]_0 &lt;/math&gt; liegt nicht notwendigerweise auch in &lt;math&gt;\mathbb{D}_1&lt;/math&gt;, was das folgende Beispiel zeigt.

==== Beispiel - Repräsentant bei additiver Verknüpfung ====
Wählt man &lt;math&gt; z_1 = z_2 = -i &lt;/math&gt;, so erhält man &lt;math&gt; w_1 = w_2 = \tfrac{3}{2}\pi i \in \mathbb{D}_1 &lt;/math&gt; und es gilt &lt;math&gt; w_1 + w_2 = 3\pi i \notin \mathbb{D}_1 &lt;/math&gt;. Möchte man den zugehörigen Repräsentanten aus &lt;math&gt;\mathbb{D}_1 &lt;/math&gt; bestimmen, verwendet man wieder die [[logmod-Funktion]]:
:&lt;math&gt;
[w_1]_0 \oplus [w_2]_0  = [w_1 + w_2]_0 = [w]_0 
&lt;/math&gt;
mit &lt;math&gt; w = w_1+w_2 - 2\pi i \cdot \mathrm{logmod}(w_1+w_2)&lt;/math&gt;

==== Bemerkung - Notation ====
Für die Addition &lt;math&gt;\oplus&lt;/math&gt; der [[logmod-Äquivalenzklassen]] wird zur Abgrenzung zu additiven Verknüpfung in &lt;math&gt;+&lt;/math&gt; in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt; das Symbol &lt;math&gt;\oplus&lt;/math&gt; verwendet.
:&lt;math&gt;
\left[ 1+\frac{3}{2}\pi i \right]_0 \oplus \left[5+\frac{1}{2}\pi i \right]_0 = \left[ \left(1+\frac{3}{2}\pi i\right)  + \left(5+\frac{1}{2}\pi i\right) \right]_0 = [6+2\pi i]_0 = [6]_0 
&lt;/math&gt;
Im linken Term werden zwei Äquivalenzklassen addiert (daher &lt;math&gt;\oplus&lt;/math&gt;) und in den beiden rechten Termen ist das Standardaddition in den komplexen Zahlen.

== Rechenregeln für Äquivalenzklassen ==
Zunächst einmal muss man kurz die Repräsentantenunabhängigkeit der Äquivalenzklassenaddition auf &lt;math&gt;[\mathbb{D}_1]_0&lt;/math&gt; überprüfen. Dabei ist &lt;math&gt;\oplus&lt;/math&gt; eine innere Verknüpfung auf  &lt;math&gt;[\mathbb{D}_1]_0&lt;/math&gt; der Form:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rrcl}
   f: &amp; [\mathbb{D}_1]_0 \times [\mathbb{D}_1]_0 &amp; \rightarrow &amp; [\mathbb{D}_1]_0\\ 
    &amp;  \left( [w_1]_0,[w_2]_0 \right)  &amp; \mapsto &amp; [w_1]_0 \oplus [w_2]_0 =  [w_1+w_2]_0 =
    \\
    &amp; &amp; &amp; 
    \bigg[\, \underbrace{w_1+w_2 - \mathrm{logmod}(w_1+w_2) \cdot 2\pi i}_{\in \mathbb{D}_1}\,\bigg]_0 
  \end{array}  

&lt;/math&gt;
Dabei beschreibt &lt;math&gt;[\mathbb{D}_1]_0 = \{ [w]_0 \, \colon \, w\in \mathbb{D}_1 \}&lt;/math&gt; die Menge aller [[logmod-Äquivalenzklassen]] mit dem Repräsentantensystem &lt;math&gt;\mathbb{D}_1&lt;/math&gt;. 

&lt;hr&gt;
&lt;span id=&quot;Repraesentantenunabhaengigkeit&quot;&gt;&lt;/span&gt;
=== Lemma zur Repräsentantenunabhängigkeit ===
Die innere additive Verknüpfung &lt;math&gt; ([\mathbb{D}_1]_0 , \oplus)&lt;/math&gt; auf den [[logmod-Äquivalenzklassen]] ist repräsentantenunabhängig.

=== Beweis - Lemma zur Repräsentantenunabhängigkeit ===
Die Beweisidee der Repräsentantenunabhängigkeit beruht auf der Auswahl von zwei beliebigen unterschiedlichen Repräsentanten &lt;math&gt;w_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\widehat{w_1}&lt;/math&gt; bzw. &lt;math&gt;w_2&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\widehat{w_2}&lt;/math&gt; und man zeigt dann die Addition mit &lt;math&gt;\oplus&lt;/math&gt; für die [[logmod-Äquivalenzklassen]] die gleiche Äquivalenzklasse &lt;math&gt;[w_1+w_2]_0=[\widehat{w_1}+\widehat{w_2}]_0&lt;/math&gt; liefert.

==== Beweisschritt 1 - Wahl der Repräsentanten ====
Seien &lt;math&gt;w_1,w_2 \in \mathbb{D}_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;k_1, k_2 \in \mathbb{Z}&lt;/math&gt; beliebig gewählt, dann sind &lt;math&gt;\widehat{w_1}=2\pi i\cdot k_1 &lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\widehat{w_2}=2\pi i\cdot k_2 &lt;/math&gt; weitere Repräsentanten der [[logmod-Äquivalenzklassen]]  &lt;math&gt;[w_1]_0,[w_2]_0 \in [\mathbb{D}_1]_0&lt;/math&gt; und es gilt:
:&lt;math&gt;
[w_1]_0  = [\widehat{w_1}]_0 \quad [w_2]_0 = [\widehat{w_2}]_0
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 2 - Definition der Addition anwenden ====
Nach Definition der Addition von [[logmod-Äquivalenzklassen]] gilt:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
 [\widehat{w_1}]_0 \oplus [\widehat{w_1}]_0 &amp; = &amp;  
 [\widehat{w_1} + \widehat{w_1}]_0
 \\ 
 &amp; = &amp; 
 [w_1+w_2+ (k_1+k_2)\cdot 2\pi i]_0 = [w_1+w_2]_0
  \\ 
 \end{array}  
&lt;/math&gt;
Damit ist die Addition von [[logmod-Äquivalenzklassen]] repräsentantenunabhängig. &lt;math&gt;\quad \Box&lt;/math&gt;

==== Bemerkung - Exponentialfunktion und Zweige des Logarithmus ====
Sei &lt;math&gt;G\subset \mathbb{C}&lt;/math&gt; ein [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängendes]] [[Gebiet (Mathematik)|
Gebiet]] mit &lt;math&gt;0\notin G&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;w_0\in \mathbb{D}_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt; \exp(w_0)=z_0&lt;/math&gt; für ein mit &lt;math&gt;z_0 \in G \subset \mathbb{C}\setminus \{0\}&lt;/math&gt;. Durch die Festlegung von &lt;math&gt;\log_G(z_0)=w_0&lt;/math&gt; ist der gesamte Zweig &lt;math&gt;\log_{G}&lt;/math&gt; als [[generalisierter Logarithmus]] auf dem &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; bereits definiert (siehe [[Identitätssatz]]). Bei der [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus|algebraischen Vervollständigung des Zweiges eines Logarithmus]] verliert man die Eigenschaft der [[holomorphe Funktion|Holomorphie]] und sogar der [[Stetigkeit]]. Sei   Man muss daher [[Zweige des Logarithmus]] von der Definition eine [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarthmus]] trennen.
* &lt;math&gt; \exp(\log_G(z)) = z &lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt; z \in G \subset \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt;
* &lt;math&gt; \log(\exp(w)) = [w]_0 &lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt; w \in \mathbb{C} &lt;/math&gt;

&gt; '''Achtung:''' &lt;math&gt; \log(\exp(w)) &lt;/math&gt; ist '''keine Zahl''', sondern eine '''Äquivalenzklasse'''.

---

=== (2) Multiplikation und Logarithmus ===

Für &lt;math&gt; z_1, z_2 \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt;:


:&lt;math&gt;
\log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2)
&lt;/math&gt;

&gt; '''Interpretation:'''  
&gt; Die Summe zweier Äquivalenzklassen ist definiert als:
&gt; 
:&lt;math&gt;
&gt; [w_1]_0 + [w_2]_0 := [w_1 + w_2]_0
&gt; &lt;/math&gt;
&gt; und es gilt:
&gt; 
:&lt;math&gt;
&gt; \log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2)
&gt; &lt;/math&gt;

&gt; '''Beispiel:'''  
&gt; &lt;math&gt; z_1 = i &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; z_2 = i &lt;/math&gt; → &lt;math&gt; z_1 z_2 = -1 &lt;/math&gt;  
&gt; &lt;math&gt; \log(i) = \left[ i \frac{\pi}{2} \right]_0 &lt;/math&gt;,  
&gt; &lt;math&gt; \log(i) + \log(i) = \left[ i \pi \right]_0 &lt;/math&gt;,  
&gt; &lt;math&gt; \log(-1) = \left[ i \pi \right]_0 &lt;/math&gt; → stimmt.

---

=== (3) Potenzen und Logarithmus ===

Für &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; a \in \mathbb{C} &lt;/math&gt;:


:&lt;math&gt;
\log(z^a) = a \cdot \log(z) + 2\pi i k \quad \text{für ein } k \in \mathbb{Z}
&lt;/math&gt;

&gt; '''Aber:''' In der Äquivalenzklassen-Sicht gilt:
&gt; 
:&lt;math&gt;
&gt; \log(z^a) = a \cdot \log(z)
&gt; &lt;/math&gt;
&gt; wobei die Multiplikation einer Äquivalenzklasse mit einer komplexen Zahl definiert ist als:
&gt; 
:&lt;math&gt;
&gt; a \cdot [w]_0 := [a w]_0
&gt; &lt;/math&gt;

&gt; '''Beispiel:'''  
&gt; &lt;math&gt; z = i &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; a = 2 &lt;/math&gt; → &lt;math&gt; z^a = -1 &lt;/math&gt;  
&gt; &lt;math&gt; \log(z^a) = \log(-1) = [i\pi]_0 &lt;/math&gt;  
&gt; &lt;math&gt; a \cdot \log(z) = 2 \cdot [i \pi/2]_0 = [i\pi]_0 &lt;/math&gt; → stimmt.

---

=== (4) Addition von Logarithmen ===


:&lt;math&gt;
\log(z_1) + \log(z_2) = \log(z_1 z_2)
&lt;/math&gt;

&gt; '''Achtung:''' Dies ist '''nicht''' immer wahr, wenn man '''nicht''' mit Äquivalenzklassen arbeitet!  
&gt; Aber '''in der Klassen-Sicht''' ist es '''richtig'''.

&gt; '''Warum?''' Weil die Addition von Klassen kommutativ und assoziativ ist.

---

== 7. Zusammenhang mit Logarithmenzweigen ==

Ein '''Logarithmenzweig''' ist eine '''stetige Auswahl''' von Werten aus &lt;math&gt; \log(z) &lt;/math&gt;, d. h. eine Funktion &lt;math&gt; L: G \to \mathbb{C} &lt;/math&gt;, sodass &lt;math&gt; \exp(L(z)) = z &lt;/math&gt; und &lt;math&gt; L &lt;/math&gt; stetig auf einem Gebiet &lt;math&gt; G \subseteq \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt;.

&gt; '''Beispiel:'''  
&gt; Der '''Hauptzweig''' &lt;math&gt; \text{Log}(z) &lt;/math&gt; ist ein Logarithmenzweig auf &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus (-\infty, 0] &lt;/math&gt;.

&gt; '''Jeder Logarithmenzweig''' &lt;math&gt; L &lt;/math&gt; wählt '''einen Repräsentanten''' aus jeder Äquivalenzklasse &lt;math&gt; [w]_0 &lt;/math&gt;, nämlich &lt;math&gt; L(z) \in [w]_0 &lt;/math&gt;.

&gt; '''Zusammenhang:'''  
&gt; Die Menge aller Logarithmenzweige entspricht '''der Wahl einer Schnittlinie''' (Branch Cut), die verhindert, dass man um den Ursprung herumwandert und die Klasse wechselt.

---

== 8. Zusammenfassung: Struktur der Logarithmen ==

| Konzept | Beschreibung |
|--------|--------------|
| '''Äquivalenzklasse''' &lt;math&gt; [w]_0 &lt;/math&gt; | Menge aller &lt;math&gt; w + 2\pi i k &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; k \in \mathbb{Z} &lt;/math&gt; |
| '''Logarithmus von &lt;math&gt; z &lt;/math&gt;''' | &lt;math&gt; \log(z) = [w]_0 &lt;/math&gt;, wobei &lt;math&gt; \exp(w) = z &lt;/math&gt; |
| '''Hauptzweig''' | &lt;math&gt; \text{Log}(z) \in \log(z) &lt;/math&gt;, mit &lt;math&gt; \text{Arg}(z) \in (-\pi, \pi] &lt;/math&gt; |
| '''Rechenregeln''' | &lt;math&gt; \log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2) &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; \log(z^a) = a \cdot \log(z) &lt;/math&gt; (in Klassen) |
| '''Exponentialfunktion''' | &lt;math&gt; \exp(\log(z)) = z &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; \log(\exp(w)) = [w]_0 &lt;/math&gt; |

---

== 9. Übungsaufgaben ==

1. Zeige, dass &lt;math&gt; \log(-1) = [i\pi]_0 &lt;/math&gt;.
2. Berechne &lt;math&gt; \log(i) + \log(i) &lt;/math&gt; und vergleiche mit &lt;math&gt; \log(-1) &lt;/math&gt;.
3. Zeige, dass &lt;math&gt; \log(z^2) = 2 \log(z) &lt;/math&gt; in der Klassen-Sicht gilt.
4. Warum ist &lt;math&gt; \log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2) &lt;/math&gt; '''nicht''' immer wahr, wenn man nur Zahlen verwendet?
5. Definiere einen anderen Logarithmenzweig auf &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus [0, \infty) &lt;/math&gt;, der &lt;math&gt; \log(z) \in [i \cdot 0]_0 &lt;/math&gt; für &lt;math&gt; z = 1 &lt;/math&gt; wählt.

---

== Lernziel ==

Du kannst:
* den komplexen Logarithmus als '''Äquivalenzklasse''' verstehen,
* die '''Rechenregeln''' für Logarithmen in der Klassen-Sicht korrekt anwenden,
* den Zusammenhang zwischen '''Exponentialfunktion''', '''Logarithmenzweigen''' und '''Äquivalenzklassen''' erklären,
* die '''Mehrdeutigkeit''' des Logarithmus strukturiert darstellen.

---

'''Ende der Lerneinheit'''

&gt; '''Zusammenfassungssatz:'''  
&gt; *Der komplexe Logarithmus von &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; ist die Äquivalenzklasse &lt;math&gt; [w]_0 &lt;/math&gt;, wobei &lt;math&gt; \exp(w) = z &lt;/math&gt;. Diese Klasse ist genau die Menge aller Lösungen von &lt;math&gt; \exp(w) = z &lt;/math&gt;. Alle Rechenregeln gelten in der Klassen-Sicht: &lt;math&gt; \log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2) &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; \log(z^a) = a \cdot \log(z) &lt;/math&gt;, und &lt;math&gt; \exp(\log(z)) = z &lt;/math&gt;.*
== Siehe auch ==
* [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexer Logarithmus]]
* [[logmod-Äquivalenzklassen]]
* [[logmod-Funktion]]
* [[negativer Hauptzweig des Logarithmus]]</text>
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      <timestamp>2026-10-15T08:05:13Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bert Niehaus</username>
        <id>20843</id>
      </contributor>
      <comment>/* Behandelt Aspekte in der Lerneinheit */</comment>
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      <text bytes="20928" sha1="dclin8f7e88gi62gk9pruoxivbt6dpf" xml:space="preserve">== Einleitung == 
Diese Lerneinheit zu [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmen]] beschäftigt sich Äquivalenzklassen, deren Struktur und  Rechenregeln, die durch den Zusammenhang mit der Exponentialfunktion und deren imaginärer &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt;-Periodizität entsteht. Die Äquivalenzklassen helfen dabei, [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen#Rechenregeln|Rechenregeln]] aus den reellen Zahl für den [[Logarithmus]] auf den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexen Logarithmus]] bzw. deren Zweige zu übertragen. Die [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus]] spielt dabei bijektive Abbildungen eine besondere Rolle.

=== Periodizität der Exponentialfunktion ===

Der komplexe Logarithmus kann nicht eindeutig als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion &lt;math&gt; \exp: \mathbb{C} \to \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; festgelegt werden, da u.a. die Exponentialfunktion nicht injektiv ist und ein [[Zweig des Logarithmus]] von der Wahl des [[einfach zusammenhängend]]en Gebietes abhängt, auf dem der Logarithmus definiert ist. Es gilt für [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]]:
:&lt;math&gt;
\exp(w + 2\pi i) = \exp(w) = z\quad \text{für alle } w \in \mathbb{C}
&lt;/math&gt;

Daher gibt es unendlich viele komplexe Zahlen &lt;math&gt; w &lt;/math&gt;, die auf dieselbe Zahl &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; abgebildet werden. Diese Mehrdeutigkeit ist die Motivation, um Äquivalenzklassen zu bilden.

=== Behandelt Aspekte in der Lerneinheit ===
*  '''[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen#logmod_Aequivalenzlemma|LogMod-Äquivalenzklassenlemma]]:''' Beziehung Exponentialfunktion und Zweigen des Logarithmus
* '''[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen#Repraesentantenunabhaengigkeit|Repräsentantenunabhängigkeit]]''' für die Addition von [[logmod-Äquivalenzklassen]]

== Äquivalenzklassen des Logarithmus ==
Um Äquivalenzklassen zu bilden, benötigt man eine Äquivalenzrelation als Teilmenge von &lt;math&gt;\mathbb{C}\times \mathbb{C} &lt;/math&gt;, die zwei Elemente &lt;math&gt; w_1, w_2 \in \mathbb{C} &lt;/math&gt;, wenn deren Differenz ein ganzzahliges Vielfaches von &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; ist.

=== Definition - logmod-Äquivalenzrelation ===
Zwei komplexe Zahlen &lt;math&gt; w_1, w_2 \in \mathbb{C} &lt;/math&gt; heißen logmod-äquivalent modulo &lt;math&gt; 2\pi i &lt;/math&gt;, wenn gilt:
:&lt;math&gt;
w_1 - w_2 \in 2\pi i \cdot \mathbb{Z} := \{w\in \mathbb{C} \, : \, w=2\pi i \cdot k \mbox{ und } k\in \mathbb{Z} \}
&lt;/math&gt;

Formal notiert man diese Äquivalenz wie folgt:  

:&lt;math&gt;
w_1 \equiv w_2 \  \mathrm{logmod}\  {2\pi i}
&lt;/math&gt;

==== Aufgabe für Studierende ====
Zeigen Sie, dass diese Relation eine ''Äquivalenzrelation'' ist, d.h. die [[logmod-Funktion|logmod-Relation]] ist [[w:de:Äquivalenzrelation|reflexiv, symmetrisch und transitiv]].

=== Definition - logmod-Äquivalenzklasse ===
Für eine komplexe Zahl &lt;math&gt; w \in \mathbb{C} &lt;/math&gt; ist die Äquivalenzklasse definiert als:

:&lt;math&gt;
[w]_0 := \{ w + 2\pi i k \mid k \in \mathbb{Z} \}
&lt;/math&gt;

==== Bezeichnung - Äquivalenzklassenindex====
Die Indexierung mit &lt;math&gt; _0 &lt;/math&gt; deutet an, dass dies diese Äquivalenzklasse ohne Logarithmierung in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt; gebildet wurde. Bildet man rekursiv höhere Logarithmen als Verkettung entstehen Äquivalenzklassen &lt;math&gt;[w]_n&lt;/math&gt;, wobei &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-fach rekursiv der Logarithmus verkettet wird, falls dieser existiert.

== Verbindung mit der Exponentialfunktion ==

Da die Exponentialfunktion im Imaginärteil des Arguments eine Periodizität von &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; besitzt, entsprechen Äquivalenzklassen &lt;math&gt;[w]_0&lt;/math&gt; entsprechen einem Bildpunkt &lt;math&gt;z=e^w&lt;/math&gt;. Dieser Verbindung zwischen Exponentialfunktion und Logarithmus wird durch das LogMod-Äquivalenzklassenlemma festgehalten.

&lt;span id=&quot;logmod_Aequivalenzlemma&quot;&gt;&lt;/span&gt;
=== LogMod-Äquivalenzklassenlemma ===
Sei &lt;math&gt;w\in\mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;\mathrm{logmod}(w) = 0&lt;/math&gt; gegeben. Für eine feste komplexe Zahl &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; gilt folgende Äquivalenzaussage:
:&lt;math&gt;
 \exp(\widehat{w}) = z \quad \text{für alle } \widehat{w} \in [w]_0
 &lt;/math&gt;
genau dann, wenn &lt;math&gt; \exp(w) = z &lt;/math&gt;.

=== Beweis - LogMod-Äquivalenzlemma ===
Für &lt;math&gt; w\in \mathbb{D}_1 := \mathbb{R}\times i\cdot [0,2\pi)&lt;/math&gt; gelte &lt;math&gt;\exp(w)=z&lt;/math&gt;. Das LogMod-Äquivalenzlemma ist eine Äquivalenzaussage. Daher werden zwei Beweisrichtungen gezeigt:
\mbox{}
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{array}{llcl}
\mbox{ (LML1) }
 &amp; 
 \exp(\widehat{w}) = z  
 &amp;  
 \quad \Longrightarrow \quad 
 &amp; 
 \widehat{w} \in [w]_0
  \\ 
\mbox{ (LML2) }
 &amp; 
 \widehat{w} \in [w]_0
 &amp;  
 \quad \Longrightarrow \quad 
 &amp; 
 \exp(\widehat{w}) = z  
  \\ 
 \end{array}  
&lt;/math&gt;

==== Schritt 1 - Beweisrichtung LML1 ====
Sei &lt;math&gt; \widehat{w} \in \mathbb{C} &lt;/math&gt; mit &lt;math&gt; \exp(\widehat{w}) = z &lt;/math&gt; beliebig gewählt. Dann gilt mit der Voraussetzung &lt;math&gt; \exp(w) = z \not= 0&lt;/math&gt; und Potenzgesetzen:
:&lt;math&gt;
 1 = \frac{z}{z} = \frac{\widehat{w}}{\exp(\exp(w))} = \exp(\widehat{w}-w)
 &lt;/math&gt;
Die Gleichung &lt;math&gt;1 = \exp(\widehat{w}-w)&lt;/math&gt; gilt genau dann, wenn &lt;math&gt; w-\widehat{w} = 2\pi i \cdot k&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;k \in \mathbb{Z}&lt;/math&gt;. 

==== Schritt 2 - Beweisrichtung LML1 ====
Damit gilt auch  &lt;math&gt; w = \widehat{w} + 2\pi i \cdot k &lt;/math&gt;. Die ganze Zahl &lt;math&gt; k\in \mathbb{Z} &lt;/math&gt; ist durch die [[logmod-Funktion]] und es gilt &lt;math&gt;k= \mathrm{logmod}(\widehat{w})&lt;/math&gt;, da &lt;math&gt; w\in \mathbb{D}_1 = \mathbb{R} + i\cdot [0,2\pi) &lt;/math&gt; nach Voraussetzung gilt und man erhält &lt;math&gt;\widehat{w} \in [w]_0&lt;/math&gt;.

==== Schritt 3 - Äquivalenzklasse gegeben LML2 ====
Sei umgekehrt &lt;math&gt;\widehat{w} \in [w]_0&lt;/math&gt; gegeben. Dann gibt es nach Definition der Äquivalenzklasse ein &lt;math&gt; k := logmod(\widehat{w})\in \mathbb{Z} &lt;/math&gt; mit der Eigenschaft  &lt;math&gt;\widehat{w}:= w + 2\pi i k&lt;/math&gt;. Nun wen man diese Darstellung von &lt;math&gt;\widehat{w}&lt;/math&gt; auf die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] an und verwendet Periodizität &lt;math&gt;\exp&lt;/math&gt; bzgl. &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; und erhält:
:&lt;math&gt;
 \exp(\widehat{w}) =  \exp(w + 2\pi i k) = \exp(w) \cdot \exp(2\pi i k) = z \cdot 1 = z
&lt;/math&gt;

==== Schritt 4 - LML2 ====
Da &lt;math&gt;\widehat{w} \in [w]_0&lt;/math&gt; beliebig gewählt wurde, gilt für alle  &lt;math&gt; \widehat{w} \in [w]_0 &lt;/math&gt; die Eigenschaft &lt;math&gt; \exp(\widehat{w}) = z &lt;/math&gt; und zusammen mit LML1 gilt die Äquivalenzaussage aus dem Lemma &lt;math&gt;\quad \Box&lt;/math&gt;.

=== Folgerung - LogMod-Äquivalenzklassenlemma ====  
Fasst man zu einem gegebenen &lt;math&gt;z\in \mathbb{C}\setminus\{0\}&lt;/math&gt; die Menge alle komplexen Zahlen &lt;math&gt; \widehat{w} \in \mathbb{C} &lt;/math&gt; zu einer Menge zusammen, die die Eigenschaft &lt;math&gt; \exp(\widehat{w}) = z &lt;/math&gt; erfüllen, so erhält man die Äquivalenzklasse &lt;math&gt; [w]_0 &lt;/math&gt;, wobei &lt;math&gt; w &lt;/math&gt; eine beliebige Lösung von &lt;math&gt; \exp(w) = z &lt;/math&gt; ist. 

==== Bemerkung - LogMod-Äquivalenzklassenlemma ====  
Für die Äquivalenzklassenanalyse spielt das Repräsentatensystem &lt;math&gt;\mathbb{D}_1= \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi)&lt;/math&gt; eine besondere Rolle. DasRepräsentatensystem &lt;math&gt;\mathbb{D}_1&lt;/math&gt; entsteht durch [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus|algebraische Vervollständigkeit]] des [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweiges]] des [[Logarithmus]].

== Äquivalenzklassenaddition ==
Um die aus der reellen Analysis bekannten Rechenregeln auf Logarithmen in den komplexen Zahlen verwenden zu können werden Äquivalenzklassen verwendet.  Die Struktur und Gültigkeit der Rechenregeln wird in diesem Teil der Lerneinheit genauer untersucht.

=== komplexe Logarithmus als Lösungsmenge ===
Der komplexe Äquivalenzklassen-Logarithmus von &lt;math&gt; z &lt;/math&gt; bildet nicht auf ein Element in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt; ab, sondern auf ein Teilmenge von &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt;. Dies führt im weiteren Verlauf der Lehrveranstaltung zum Begriff des [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarithmus]]. Sei &lt;math&gt;w \in \mathbb{C}&lt;/math&gt; beliebig gewählt, dann definiert man &lt;math&gt;w_0 := w - \mathrm{logmod}(w)\cdot 2\pi i \in \mathbb{D}_1&lt;/math&gt; als Repräsentant der [[logmod-Äquivalenzklassen|Äquivalenzklasse]] &lt;math&gt; [w]_0&lt;/math&gt;.
:&lt;math&gt;
 \mathrm{lnr}_1(z) := \{ w \in \mathbb{C} \mid \exp(w) = z \} = [w]_0
&lt;/math&gt;
für ein beliebiges &lt;math&gt; w_0 \in \mathbb{D}_1 := \mathbb{R}+ i\cdot [0,2\pi)&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt; \exp(w_0) = z &lt;/math&gt;.

==== Beispiel 1 - Neutrales Element für Äquivalenklassenaddition ====
Algebraisch wird später &lt;math&gt;\mathbb{D}_1&lt;/math&gt; mit einer inneren Verknüpfung &lt;math&gt;\oplus&lt;/math&gt; zu einer kommunitative Gruppe. Daher wird das [[w:de:neutrales Element|neutrale Element]] von &lt;math&gt;\oplus&lt;/math&gt; als Beispieläquivalenzklasse genannt und in Beziehung zum Logarithmus gesetzt. Für &lt;math&gt; z = 1 &lt;/math&gt; ist der komplexe rekursive Logarithmus 
:&lt;math&gt; 
   \mathrm{lnr}_1(1) = \{ 2\pi i k \, : \,  k \in \mathbb{Z} \} = [0]_0 
&lt;/math&gt;

==== Beispiel 2 - Logarithmus der imaginären Einheit ====
Da zunächst die [[rekursiver Logarithmus|rekursive komplexe Logarithmen]] von elementaren komplexen Zahlen genannt. Wählt man &lt;math&gt; z = i &lt;/math&gt; so gilt &lt;math&gt; \exp\left(i \tfrac{\pi}{2}\right) = i &lt;/math&gt; und &lt;math&gt;i\tfrac{\pi}{2} \in \mathbb{D}_1&lt;/math&gt;. Bildet man nun den von  [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarithmus]] von  &lt;math&gt; z = i &lt;/math&gt; erhält man:

:&lt;math&gt;
  \mathrm{lnr}_1(i) = \left\{ i \left( \frac{\pi}{2} + 2\pi k \right) \mid k \in \mathbb{Z} \right\} = \left[ i \frac{\pi}{2} \right]_0 
&lt;/math&gt;

==== Beispiel 3 - rekursiver Logarithmus von -1 ====
Ablschießend wird auch noch der [[rekursiver Logarithmus|rekursive komplexe Logarithmen]] von &lt;math&gt; z = -1 &lt;/math&gt; genannt. Wegen &lt;math&gt; \exp\left(i \pi \right) = -1 &lt;/math&gt; und &lt;math&gt;i \pi \in \mathbb{D}_1=\mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi) &lt;/math&gt; erhält man:

:&lt;math&gt;
  \mathrm{lnr}_1(-1) = \left\{ i \left( \pi + 2\pi k \right) \mid k \in \mathbb{Z} \right\} = \left[ i \pi \right]_0 
&lt;/math&gt;

=== Repräsentantensystem ===

Um einen eindeutigen Funktionswert als Äquivalenzklasse zu erhalten, wählt man eine spezielles Repräsentantensystem &lt;math&gt;\mathbb{D}_1:= \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi) \subset \mathbb{C}&lt;/math&gt; um alle Äquivalenzklassen darstellen zu können. Dabei wird die [[logmod-Funktion]] verwendet, um für eine beliebige komplexe Zahl &lt;math&gt;w\in \mathbb{C}&lt;/math&gt; die zugehörigen Repräsentanten &lt;math&gt;w_0 \in\mathbb{D}_1&lt;/math&gt; über &lt;math&gt; w_0 = w - 2\pi i \cdot \mathrm{logmod}(w)&lt;/math&gt; zu bestimmen.

&lt;span id=&quot;Definition&quot;&gt;
=== Definition - logmod-Äquivalenzklassenaddition ===

Für &lt;math&gt; z_1,z_2 \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; und  &lt;math&gt;w_1,w_2 \in\mathbb{D}_1&lt;/math&gt; gelte &lt;math&gt;\exp(z_1)=w_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\exp(z_2)=w_2&lt;/math&gt;. Man definiert nun die Äquivalenzklassenaddition &lt;math&gt;(\mathbb{D}_1,\oplus)&lt;/math&gt; wie folgt.
:&lt;math&gt;
[w_1]_0 \oplus [w_2]_0 := [w_1 + w_2]_0
&lt;/math&gt;

==== Bemerkung - Repräsentant der Äquivalenzklasse ====
Der Repräsentant &lt;math&gt;w_1 + w_2 &lt;/math&gt; der Äquivalenzklasse 
wobei &lt;math&gt;[w_1 + w_2]_0 &lt;/math&gt; liegt nicht notwendigerweise auch in &lt;math&gt;\mathbb{D}_1&lt;/math&gt;, was das folgende Beispiel zeigt.

==== Beispiel - Repräsentant bei additiver Verknüpfung ====
Wählt man &lt;math&gt; z_1 = z_2 = -i &lt;/math&gt;, so erhält man &lt;math&gt; w_1 = w_2 = \tfrac{3}{2}\pi i \in \mathbb{D}_1 &lt;/math&gt; und es gilt &lt;math&gt; w_1 + w_2 = 3\pi i \notin \mathbb{D}_1 &lt;/math&gt;. Möchte man den zugehörigen Repräsentanten aus &lt;math&gt;\mathbb{D}_1 &lt;/math&gt; bestimmen, verwendet man wieder die [[logmod-Funktion]]:
:&lt;math&gt;
[w_1]_0 \oplus [w_2]_0  = [w_1 + w_2]_0 = [w]_0 
&lt;/math&gt;
mit &lt;math&gt; w = w_1+w_2 - 2\pi i \cdot \mathrm{logmod}(w_1+w_2)&lt;/math&gt;

==== Bemerkung - Notation ====
Für die Addition &lt;math&gt;\oplus&lt;/math&gt; der [[logmod-Äquivalenzklassen]] wird zur Abgrenzung zu additiven Verknüpfung in &lt;math&gt;+&lt;/math&gt; in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt; das Symbol &lt;math&gt;\oplus&lt;/math&gt; verwendet.
:&lt;math&gt;
\left[ 1+\frac{3}{2}\pi i \right]_0 \oplus \left[5+\frac{1}{2}\pi i \right]_0 = \left[ \left(1+\frac{3}{2}\pi i\right)  + \left(5+\frac{1}{2}\pi i\right) \right]_0 = [6+2\pi i]_0 = [6]_0 
&lt;/math&gt;
Im linken Term werden zwei Äquivalenzklassen addiert (daher &lt;math&gt;\oplus&lt;/math&gt;) und in den beiden rechten Termen ist das Standardaddition in den komplexen Zahlen.

== Rechenregeln für Äquivalenzklassen ==
Zunächst einmal muss man kurz die Repräsentantenunabhängigkeit der Äquivalenzklassenaddition auf &lt;math&gt;[\mathbb{D}_1]_0&lt;/math&gt; überprüfen. Dabei ist &lt;math&gt;\oplus&lt;/math&gt; eine innere Verknüpfung auf  &lt;math&gt;[\mathbb{D}_1]_0&lt;/math&gt; der Form:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rrcl}
   f: &amp; [\mathbb{D}_1]_0 \times [\mathbb{D}_1]_0 &amp; \rightarrow &amp; [\mathbb{D}_1]_0\\ 
    &amp;  \left( [w_1]_0,[w_2]_0 \right)  &amp; \mapsto &amp; [w_1]_0 \oplus [w_2]_0 =  [w_1+w_2]_0 =
    \\
    &amp; &amp; &amp; 
    \bigg[\, \underbrace{w_1+w_2 - \mathrm{logmod}(w_1+w_2) \cdot 2\pi i}_{\in \mathbb{D}_1}\,\bigg]_0 
  \end{array}  

&lt;/math&gt;
Dabei beschreibt &lt;math&gt;[\mathbb{D}_1]_0 = \{ [w]_0 \, \colon \, w\in \mathbb{D}_1 \}&lt;/math&gt; die Menge aller [[logmod-Äquivalenzklassen]] mit dem Repräsentantensystem &lt;math&gt;\mathbb{D}_1&lt;/math&gt;. 

&lt;hr&gt;
&lt;span id=&quot;Repraesentantenunabhaengigkeit&quot;&gt;&lt;/span&gt;
=== Lemma zur Repräsentantenunabhängigkeit ===
Die innere additive Verknüpfung &lt;math&gt; ([\mathbb{D}_1]_0 , \oplus)&lt;/math&gt; auf den [[logmod-Äquivalenzklassen]] ist repräsentantenunabhängig.

=== Beweis - Lemma zur Repräsentantenunabhängigkeit ===
Die Beweisidee der Repräsentantenunabhängigkeit beruht auf der Auswahl von zwei beliebigen unterschiedlichen Repräsentanten &lt;math&gt;w_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\widehat{w_1}&lt;/math&gt; bzw. &lt;math&gt;w_2&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\widehat{w_2}&lt;/math&gt; und man zeigt dann die Addition mit &lt;math&gt;\oplus&lt;/math&gt; für die [[logmod-Äquivalenzklassen]] die gleiche Äquivalenzklasse &lt;math&gt;[w_1+w_2]_0=[\widehat{w_1}+\widehat{w_2}]_0&lt;/math&gt; liefert.

==== Beweisschritt 1 - Wahl der Repräsentanten ====
Seien &lt;math&gt;w_1,w_2 \in \mathbb{D}_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;k_1, k_2 \in \mathbb{Z}&lt;/math&gt; beliebig gewählt, dann sind &lt;math&gt;\widehat{w_1}=2\pi i\cdot k_1 &lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\widehat{w_2}=2\pi i\cdot k_2 &lt;/math&gt; weitere Repräsentanten der [[logmod-Äquivalenzklassen]]  &lt;math&gt;[w_1]_0,[w_2]_0 \in [\mathbb{D}_1]_0&lt;/math&gt; und es gilt:
:&lt;math&gt;
[w_1]_0  = [\widehat{w_1}]_0 \quad [w_2]_0 = [\widehat{w_2}]_0
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 2 - Definition der Addition anwenden ====
Nach Definition der Addition von [[logmod-Äquivalenzklassen]] gilt:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
 [\widehat{w_1}]_0 \oplus [\widehat{w_1}]_0 &amp; = &amp;  
 [\widehat{w_1} + \widehat{w_1}]_0
 \\ 
 &amp; = &amp; 
 [w_1+w_2+ (k_1+k_2)\cdot 2\pi i]_0 = [w_1+w_2]_0
  \\ 
 \end{array}  
&lt;/math&gt;
Damit ist die Addition von [[logmod-Äquivalenzklassen]] repräsentantenunabhängig. &lt;math&gt;\quad \Box&lt;/math&gt;

==== Bemerkung - Exponentialfunktion und Zweige des Logarithmus ====
Sei &lt;math&gt;G\subset \mathbb{C}&lt;/math&gt; ein [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängendes]] [[Gebiet (Mathematik)|
Gebiet]] mit &lt;math&gt;0\notin G&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;w_0\in \mathbb{D}_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt; \exp(w_0)=z_0&lt;/math&gt; für ein mit &lt;math&gt;z_0 \in G \subset \mathbb{C}\setminus \{0\}&lt;/math&gt;. Durch die Festlegung von &lt;math&gt;\log_G(z_0)=w_0&lt;/math&gt; ist der gesamte Zweig &lt;math&gt;\log_{G}&lt;/math&gt; als [[generalisierter Logarithmus]] auf dem &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; bereits definiert (siehe [[Identitätssatz]]). Bei der [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus|algebraischen Vervollständigung des Zweiges eines Logarithmus]] verliert man die Eigenschaft der [[holomorphe Funktion|Holomorphie]] und sogar der [[Stetigkeit]]. Sei   Man muss daher [[Zweige des Logarithmus]] von der Definition eine [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarthmus]] trennen.
* &lt;math&gt; \exp(\log_G(z)) = z &lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt; z \in G \subset \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt;
* &lt;math&gt; \log(\exp(w)) = [w]_0 &lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt; w \in \mathbb{C} &lt;/math&gt;

&gt; '''Achtung:''' &lt;math&gt; \log(\exp(w)) &lt;/math&gt; ist '''keine Zahl''', sondern eine '''Äquivalenzklasse'''.

---

=== (2) Multiplikation und Logarithmus ===

Für &lt;math&gt; z_1, z_2 \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt;:


:&lt;math&gt;
\log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2)
&lt;/math&gt;

&gt; '''Interpretation:'''  
&gt; Die Summe zweier Äquivalenzklassen ist definiert als:
&gt; 
:&lt;math&gt;
&gt; [w_1]_0 + [w_2]_0 := [w_1 + w_2]_0
&gt; &lt;/math&gt;
&gt; und es gilt:
&gt; 
:&lt;math&gt;
&gt; \log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2)
&gt; &lt;/math&gt;

&gt; '''Beispiel:'''  
&gt; &lt;math&gt; z_1 = i &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; z_2 = i &lt;/math&gt; → &lt;math&gt; z_1 z_2 = -1 &lt;/math&gt;  
&gt; &lt;math&gt; \log(i) = \left[ i \frac{\pi}{2} \right]_0 &lt;/math&gt;,  
&gt; &lt;math&gt; \log(i) + \log(i) = \left[ i \pi \right]_0 &lt;/math&gt;,  
&gt; &lt;math&gt; \log(-1) = \left[ i \pi \right]_0 &lt;/math&gt; → stimmt.

---

=== (3) Potenzen und Logarithmus ===

Für &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; a \in \mathbb{C} &lt;/math&gt;:


:&lt;math&gt;
\log(z^a) = a \cdot \log(z) + 2\pi i k \quad \text{für ein } k \in \mathbb{Z}
&lt;/math&gt;

&gt; '''Aber:''' In der Äquivalenzklassen-Sicht gilt:
&gt; 
:&lt;math&gt;
&gt; \log(z^a) = a \cdot \log(z)
&gt; &lt;/math&gt;
&gt; wobei die Multiplikation einer Äquivalenzklasse mit einer komplexen Zahl definiert ist als:
&gt; 
:&lt;math&gt;
&gt; a \cdot [w]_0 := [a w]_0
&gt; &lt;/math&gt;

&gt; '''Beispiel:'''  
&gt; &lt;math&gt; z = i &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; a = 2 &lt;/math&gt; → &lt;math&gt; z^a = -1 &lt;/math&gt;  
&gt; &lt;math&gt; \log(z^a) = \log(-1) = [i\pi]_0 &lt;/math&gt;  
&gt; &lt;math&gt; a \cdot \log(z) = 2 \cdot [i \pi/2]_0 = [i\pi]_0 &lt;/math&gt; → stimmt.

---

=== (4) Addition von Logarithmen ===


:&lt;math&gt;
\log(z_1) + \log(z_2) = \log(z_1 z_2)
&lt;/math&gt;

&gt; '''Achtung:''' Dies ist '''nicht''' immer wahr, wenn man '''nicht''' mit Äquivalenzklassen arbeitet!  
&gt; Aber '''in der Klassen-Sicht''' ist es '''richtig'''.

&gt; '''Warum?''' Weil die Addition von Klassen kommutativ und assoziativ ist.

---

== 7. Zusammenhang mit Logarithmenzweigen ==

Ein '''Logarithmenzweig''' ist eine '''stetige Auswahl''' von Werten aus &lt;math&gt; \log(z) &lt;/math&gt;, d. h. eine Funktion &lt;math&gt; L: G \to \mathbb{C} &lt;/math&gt;, sodass &lt;math&gt; \exp(L(z)) = z &lt;/math&gt; und &lt;math&gt; L &lt;/math&gt; stetig auf einem Gebiet &lt;math&gt; G \subseteq \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt;.

&gt; '''Beispiel:'''  
&gt; Der '''Hauptzweig''' &lt;math&gt; \text{Log}(z) &lt;/math&gt; ist ein Logarithmenzweig auf &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus (-\infty, 0] &lt;/math&gt;.

&gt; '''Jeder Logarithmenzweig''' &lt;math&gt; L &lt;/math&gt; wählt '''einen Repräsentanten''' aus jeder Äquivalenzklasse &lt;math&gt; [w]_0 &lt;/math&gt;, nämlich &lt;math&gt; L(z) \in [w]_0 &lt;/math&gt;.

&gt; '''Zusammenhang:'''  
&gt; Die Menge aller Logarithmenzweige entspricht '''der Wahl einer Schnittlinie''' (Branch Cut), die verhindert, dass man um den Ursprung herumwandert und die Klasse wechselt.

---

== 8. Zusammenfassung: Struktur der Logarithmen ==

| Konzept | Beschreibung |
|--------|--------------|
| '''Äquivalenzklasse''' &lt;math&gt; [w]_0 &lt;/math&gt; | Menge aller &lt;math&gt; w + 2\pi i k &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; k \in \mathbb{Z} &lt;/math&gt; |
| '''Logarithmus von &lt;math&gt; z &lt;/math&gt;''' | &lt;math&gt; \log(z) = [w]_0 &lt;/math&gt;, wobei &lt;math&gt; \exp(w) = z &lt;/math&gt; |
| '''Hauptzweig''' | &lt;math&gt; \text{Log}(z) \in \log(z) &lt;/math&gt;, mit &lt;math&gt; \text{Arg}(z) \in (-\pi, \pi] &lt;/math&gt; |
| '''Rechenregeln''' | &lt;math&gt; \log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2) &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; \log(z^a) = a \cdot \log(z) &lt;/math&gt; (in Klassen) |
| '''Exponentialfunktion''' | &lt;math&gt; \exp(\log(z)) = z &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; \log(\exp(w)) = [w]_0 &lt;/math&gt; |

---

== 9. Übungsaufgaben ==

1. Zeige, dass &lt;math&gt; \log(-1) = [i\pi]_0 &lt;/math&gt;.
2. Berechne &lt;math&gt; \log(i) + \log(i) &lt;/math&gt; und vergleiche mit &lt;math&gt; \log(-1) &lt;/math&gt;.
3. Zeige, dass &lt;math&gt; \log(z^2) = 2 \log(z) &lt;/math&gt; in der Klassen-Sicht gilt.
4. Warum ist &lt;math&gt; \log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2) &lt;/math&gt; '''nicht''' immer wahr, wenn man nur Zahlen verwendet?
5. Definiere einen anderen Logarithmenzweig auf &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus [0, \infty) &lt;/math&gt;, der &lt;math&gt; \log(z) \in [i \cdot 0]_0 &lt;/math&gt; für &lt;math&gt; z = 1 &lt;/math&gt; wählt.

---

== Lernziel ==

Du kannst:
* den komplexen Logarithmus als '''Äquivalenzklasse''' verstehen,
* die '''Rechenregeln''' für Logarithmen in der Klassen-Sicht korrekt anwenden,
* den Zusammenhang zwischen '''Exponentialfunktion''', '''Logarithmenzweigen''' und '''Äquivalenzklassen''' erklären,
* die '''Mehrdeutigkeit''' des Logarithmus strukturiert darstellen.

---

'''Ende der Lerneinheit'''

&gt; '''Zusammenfassungssatz:'''  
&gt; *Der komplexe Logarithmus von &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; ist die Äquivalenzklasse &lt;math&gt; [w]_0 &lt;/math&gt;, wobei &lt;math&gt; \exp(w) = z &lt;/math&gt;. Diese Klasse ist genau die Menge aller Lösungen von &lt;math&gt; \exp(w) = z &lt;/math&gt;. Alle Rechenregeln gelten in der Klassen-Sicht: &lt;math&gt; \log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2) &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; \log(z^a) = a \cdot \log(z) &lt;/math&gt;, und &lt;math&gt; \exp(\log(z)) = z &lt;/math&gt;.*
== Siehe auch ==
* [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexer Logarithmus]]
* [[logmod-Äquivalenzklassen]]
* [[logmod-Funktion]]
* [[negativer Hauptzweig des Logarithmus]]</text>
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    </revision>
    <revision>
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      <timestamp>2026-10-15T11:44:02Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bert Niehaus</username>
        <id>20843</id>
      </contributor>
      <comment>/* Bemerkung - Exponentialfunktion und Zweige des Logarithmus */</comment>
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      <text bytes="21373" sha1="h6wwsl1yib7f3b56euuca9e9h4o1h88" xml:space="preserve">== Einleitung == 
Diese Lerneinheit zu [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmen]] beschäftigt sich Äquivalenzklassen, deren Struktur und  Rechenregeln, die durch den Zusammenhang mit der Exponentialfunktion und deren imaginärer &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt;-Periodizität entsteht. Die Äquivalenzklassen helfen dabei, [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen#Rechenregeln|Rechenregeln]] aus den reellen Zahl für den [[Logarithmus]] auf den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexen Logarithmus]] bzw. deren Zweige zu übertragen. Die [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus]] spielt dabei bijektive Abbildungen eine besondere Rolle.

=== Periodizität der Exponentialfunktion ===

Der komplexe Logarithmus kann nicht eindeutig als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion &lt;math&gt; \exp: \mathbb{C} \to \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; festgelegt werden, da u.a. die Exponentialfunktion nicht injektiv ist und ein [[Zweig des Logarithmus]] von der Wahl des [[einfach zusammenhängend]]en Gebietes abhängt, auf dem der Logarithmus definiert ist. Es gilt für [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]]:
:&lt;math&gt;
\exp(w + 2\pi i) = \exp(w) = z\quad \text{für alle } w \in \mathbb{C}
&lt;/math&gt;

Daher gibt es unendlich viele komplexe Zahlen &lt;math&gt; w &lt;/math&gt;, die auf dieselbe Zahl &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; abgebildet werden. Diese Mehrdeutigkeit ist die Motivation, um Äquivalenzklassen zu bilden.

=== Behandelt Aspekte in der Lerneinheit ===
*  '''[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen#logmod_Aequivalenzlemma|LogMod-Äquivalenzklassenlemma]]:''' Beziehung Exponentialfunktion und Zweigen des Logarithmus
* '''[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen#Repraesentantenunabhaengigkeit|Repräsentantenunabhängigkeit]]''' für die Addition von [[logmod-Äquivalenzklassen]]

== Äquivalenzklassen des Logarithmus ==
Um Äquivalenzklassen zu bilden, benötigt man eine Äquivalenzrelation als Teilmenge von &lt;math&gt;\mathbb{C}\times \mathbb{C} &lt;/math&gt;, die zwei Elemente &lt;math&gt; w_1, w_2 \in \mathbb{C} &lt;/math&gt;, wenn deren Differenz ein ganzzahliges Vielfaches von &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; ist.

=== Definition - logmod-Äquivalenzrelation ===
Zwei komplexe Zahlen &lt;math&gt; w_1, w_2 \in \mathbb{C} &lt;/math&gt; heißen logmod-äquivalent modulo &lt;math&gt; 2\pi i &lt;/math&gt;, wenn gilt:
:&lt;math&gt;
w_1 - w_2 \in 2\pi i \cdot \mathbb{Z} := \{w\in \mathbb{C} \, : \, w=2\pi i \cdot k \mbox{ und } k\in \mathbb{Z} \}
&lt;/math&gt;

Formal notiert man diese Äquivalenz wie folgt:  

:&lt;math&gt;
w_1 \equiv w_2 \  \mathrm{logmod}\  {2\pi i}
&lt;/math&gt;

==== Aufgabe für Studierende ====
Zeigen Sie, dass diese Relation eine ''Äquivalenzrelation'' ist, d.h. die [[logmod-Funktion|logmod-Relation]] ist [[w:de:Äquivalenzrelation|reflexiv, symmetrisch und transitiv]].

=== Definition - logmod-Äquivalenzklasse ===
Für eine komplexe Zahl &lt;math&gt; w \in \mathbb{C} &lt;/math&gt; ist die Äquivalenzklasse definiert als:

:&lt;math&gt;
[w]_0 := \{ w + 2\pi i k \mid k \in \mathbb{Z} \}
&lt;/math&gt;

==== Bezeichnung - Äquivalenzklassenindex====
Die Indexierung mit &lt;math&gt; _0 &lt;/math&gt; deutet an, dass dies diese Äquivalenzklasse ohne Logarithmierung in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt; gebildet wurde. Bildet man rekursiv höhere Logarithmen als Verkettung entstehen Äquivalenzklassen &lt;math&gt;[w]_n&lt;/math&gt;, wobei &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-fach rekursiv der Logarithmus verkettet wird, falls dieser existiert.

== Verbindung mit der Exponentialfunktion ==

Da die Exponentialfunktion im Imaginärteil des Arguments eine Periodizität von &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; besitzt, entsprechen Äquivalenzklassen &lt;math&gt;[w]_0&lt;/math&gt; entsprechen einem Bildpunkt &lt;math&gt;z=e^w&lt;/math&gt;. Dieser Verbindung zwischen Exponentialfunktion und Logarithmus wird durch das LogMod-Äquivalenzklassenlemma festgehalten.

&lt;span id=&quot;logmod_Aequivalenzlemma&quot;&gt;&lt;/span&gt;
=== LogMod-Äquivalenzklassenlemma ===
Sei &lt;math&gt;w\in\mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;\mathrm{logmod}(w) = 0&lt;/math&gt; gegeben. Für eine feste komplexe Zahl &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; gilt folgende Äquivalenzaussage:
:&lt;math&gt;
 \exp(\widehat{w}) = z \quad \text{für alle } \widehat{w} \in [w]_0
 &lt;/math&gt;
genau dann, wenn &lt;math&gt; \exp(w) = z &lt;/math&gt;.

=== Beweis - LogMod-Äquivalenzlemma ===
Für &lt;math&gt; w\in \mathbb{D}_1 := \mathbb{R}\times i\cdot [0,2\pi)&lt;/math&gt; gelte &lt;math&gt;\exp(w)=z&lt;/math&gt;. Das LogMod-Äquivalenzlemma ist eine Äquivalenzaussage. Daher werden zwei Beweisrichtungen gezeigt:
\mbox{}
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{array}{llcl}
\mbox{ (LML1) }
 &amp; 
 \exp(\widehat{w}) = z  
 &amp;  
 \quad \Longrightarrow \quad 
 &amp; 
 \widehat{w} \in [w]_0
  \\ 
\mbox{ (LML2) }
 &amp; 
 \widehat{w} \in [w]_0
 &amp;  
 \quad \Longrightarrow \quad 
 &amp; 
 \exp(\widehat{w}) = z  
  \\ 
 \end{array}  
&lt;/math&gt;

==== Schritt 1 - Beweisrichtung LML1 ====
Sei &lt;math&gt; \widehat{w} \in \mathbb{C} &lt;/math&gt; mit &lt;math&gt; \exp(\widehat{w}) = z &lt;/math&gt; beliebig gewählt. Dann gilt mit der Voraussetzung &lt;math&gt; \exp(w) = z \not= 0&lt;/math&gt; und Potenzgesetzen:
:&lt;math&gt;
 1 = \frac{z}{z} = \frac{\widehat{w}}{\exp(\exp(w))} = \exp(\widehat{w}-w)
 &lt;/math&gt;
Die Gleichung &lt;math&gt;1 = \exp(\widehat{w}-w)&lt;/math&gt; gilt genau dann, wenn &lt;math&gt; w-\widehat{w} = 2\pi i \cdot k&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;k \in \mathbb{Z}&lt;/math&gt;. 

==== Schritt 2 - Beweisrichtung LML1 ====
Damit gilt auch  &lt;math&gt; w = \widehat{w} + 2\pi i \cdot k &lt;/math&gt;. Die ganze Zahl &lt;math&gt; k\in \mathbb{Z} &lt;/math&gt; ist durch die [[logmod-Funktion]] und es gilt &lt;math&gt;k= \mathrm{logmod}(\widehat{w})&lt;/math&gt;, da &lt;math&gt; w\in \mathbb{D}_1 = \mathbb{R} + i\cdot [0,2\pi) &lt;/math&gt; nach Voraussetzung gilt und man erhält &lt;math&gt;\widehat{w} \in [w]_0&lt;/math&gt;.

==== Schritt 3 - Äquivalenzklasse gegeben LML2 ====
Sei umgekehrt &lt;math&gt;\widehat{w} \in [w]_0&lt;/math&gt; gegeben. Dann gibt es nach Definition der Äquivalenzklasse ein &lt;math&gt; k := logmod(\widehat{w})\in \mathbb{Z} &lt;/math&gt; mit der Eigenschaft  &lt;math&gt;\widehat{w}:= w + 2\pi i k&lt;/math&gt;. Nun wen man diese Darstellung von &lt;math&gt;\widehat{w}&lt;/math&gt; auf die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] an und verwendet Periodizität &lt;math&gt;\exp&lt;/math&gt; bzgl. &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; und erhält:
:&lt;math&gt;
 \exp(\widehat{w}) =  \exp(w + 2\pi i k) = \exp(w) \cdot \exp(2\pi i k) = z \cdot 1 = z
&lt;/math&gt;

==== Schritt 4 - LML2 ====
Da &lt;math&gt;\widehat{w} \in [w]_0&lt;/math&gt; beliebig gewählt wurde, gilt für alle  &lt;math&gt; \widehat{w} \in [w]_0 &lt;/math&gt; die Eigenschaft &lt;math&gt; \exp(\widehat{w}) = z &lt;/math&gt; und zusammen mit LML1 gilt die Äquivalenzaussage aus dem Lemma &lt;math&gt;\quad \Box&lt;/math&gt;.

=== Folgerung - LogMod-Äquivalenzklassenlemma ====  
Fasst man zu einem gegebenen &lt;math&gt;z\in \mathbb{C}\setminus\{0\}&lt;/math&gt; die Menge alle komplexen Zahlen &lt;math&gt; \widehat{w} \in \mathbb{C} &lt;/math&gt; zu einer Menge zusammen, die die Eigenschaft &lt;math&gt; \exp(\widehat{w}) = z &lt;/math&gt; erfüllen, so erhält man die Äquivalenzklasse &lt;math&gt; [w]_0 &lt;/math&gt;, wobei &lt;math&gt; w &lt;/math&gt; eine beliebige Lösung von &lt;math&gt; \exp(w) = z &lt;/math&gt; ist. 

==== Bemerkung - LogMod-Äquivalenzklassenlemma ====  
Für die Äquivalenzklassenanalyse spielt das Repräsentatensystem &lt;math&gt;\mathbb{D}_1= \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi)&lt;/math&gt; eine besondere Rolle. DasRepräsentatensystem &lt;math&gt;\mathbb{D}_1&lt;/math&gt; entsteht durch [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus|algebraische Vervollständigkeit]] des [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweiges]] des [[Logarithmus]].

== Äquivalenzklassenaddition ==
Um die aus der reellen Analysis bekannten Rechenregeln auf Logarithmen in den komplexen Zahlen verwenden zu können werden Äquivalenzklassen verwendet.  Die Struktur und Gültigkeit der Rechenregeln wird in diesem Teil der Lerneinheit genauer untersucht.

=== komplexe Logarithmus als Lösungsmenge ===
Der komplexe Äquivalenzklassen-Logarithmus von &lt;math&gt; z &lt;/math&gt; bildet nicht auf ein Element in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt; ab, sondern auf ein Teilmenge von &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt;. Dies führt im weiteren Verlauf der Lehrveranstaltung zum Begriff des [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarithmus]]. Sei &lt;math&gt;w \in \mathbb{C}&lt;/math&gt; beliebig gewählt, dann definiert man &lt;math&gt;w_0 := w - \mathrm{logmod}(w)\cdot 2\pi i \in \mathbb{D}_1&lt;/math&gt; als Repräsentant der [[logmod-Äquivalenzklassen|Äquivalenzklasse]] &lt;math&gt; [w]_0&lt;/math&gt;.
:&lt;math&gt;
 \mathrm{lnr}_1(z) := \{ w \in \mathbb{C} \mid \exp(w) = z \} = [w]_0
&lt;/math&gt;
für ein beliebiges &lt;math&gt; w_0 \in \mathbb{D}_1 := \mathbb{R}+ i\cdot [0,2\pi)&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt; \exp(w_0) = z &lt;/math&gt;.

==== Beispiel 1 - Neutrales Element für Äquivalenklassenaddition ====
Algebraisch wird später &lt;math&gt;\mathbb{D}_1&lt;/math&gt; mit einer inneren Verknüpfung &lt;math&gt;\oplus&lt;/math&gt; zu einer kommunitative Gruppe. Daher wird das [[w:de:neutrales Element|neutrale Element]] von &lt;math&gt;\oplus&lt;/math&gt; als Beispieläquivalenzklasse genannt und in Beziehung zum Logarithmus gesetzt. Für &lt;math&gt; z = 1 &lt;/math&gt; ist der komplexe rekursive Logarithmus 
:&lt;math&gt; 
   \mathrm{lnr}_1(1) = \{ 2\pi i k \, : \,  k \in \mathbb{Z} \} = [0]_0 
&lt;/math&gt;

==== Beispiel 2 - Logarithmus der imaginären Einheit ====
Da zunächst die [[rekursiver Logarithmus|rekursive komplexe Logarithmen]] von elementaren komplexen Zahlen genannt. Wählt man &lt;math&gt; z = i &lt;/math&gt; so gilt &lt;math&gt; \exp\left(i \tfrac{\pi}{2}\right) = i &lt;/math&gt; und &lt;math&gt;i\tfrac{\pi}{2} \in \mathbb{D}_1&lt;/math&gt;. Bildet man nun den von  [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarithmus]] von  &lt;math&gt; z = i &lt;/math&gt; erhält man:

:&lt;math&gt;
  \mathrm{lnr}_1(i) = \left\{ i \left( \frac{\pi}{2} + 2\pi k \right) \mid k \in \mathbb{Z} \right\} = \left[ i \frac{\pi}{2} \right]_0 
&lt;/math&gt;

==== Beispiel 3 - rekursiver Logarithmus von -1 ====
Ablschießend wird auch noch der [[rekursiver Logarithmus|rekursive komplexe Logarithmen]] von &lt;math&gt; z = -1 &lt;/math&gt; genannt. Wegen &lt;math&gt; \exp\left(i \pi \right) = -1 &lt;/math&gt; und &lt;math&gt;i \pi \in \mathbb{D}_1=\mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi) &lt;/math&gt; erhält man:

:&lt;math&gt;
  \mathrm{lnr}_1(-1) = \left\{ i \left( \pi + 2\pi k \right) \mid k \in \mathbb{Z} \right\} = \left[ i \pi \right]_0 
&lt;/math&gt;

=== Repräsentantensystem ===

Um einen eindeutigen Funktionswert als Äquivalenzklasse zu erhalten, wählt man eine spezielles Repräsentantensystem &lt;math&gt;\mathbb{D}_1:= \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi) \subset \mathbb{C}&lt;/math&gt; um alle Äquivalenzklassen darstellen zu können. Dabei wird die [[logmod-Funktion]] verwendet, um für eine beliebige komplexe Zahl &lt;math&gt;w\in \mathbb{C}&lt;/math&gt; die zugehörigen Repräsentanten &lt;math&gt;w_0 \in\mathbb{D}_1&lt;/math&gt; über &lt;math&gt; w_0 = w - 2\pi i \cdot \mathrm{logmod}(w)&lt;/math&gt; zu bestimmen.

&lt;span id=&quot;Definition&quot;&gt;
=== Definition - logmod-Äquivalenzklassenaddition ===

Für &lt;math&gt; z_1,z_2 \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; und  &lt;math&gt;w_1,w_2 \in\mathbb{D}_1&lt;/math&gt; gelte &lt;math&gt;\exp(z_1)=w_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\exp(z_2)=w_2&lt;/math&gt;. Man definiert nun die Äquivalenzklassenaddition &lt;math&gt;(\mathbb{D}_1,\oplus)&lt;/math&gt; wie folgt.
:&lt;math&gt;
[w_1]_0 \oplus [w_2]_0 := [w_1 + w_2]_0
&lt;/math&gt;

==== Bemerkung - Repräsentant der Äquivalenzklasse ====
Der Repräsentant &lt;math&gt;w_1 + w_2 &lt;/math&gt; der Äquivalenzklasse 
wobei &lt;math&gt;[w_1 + w_2]_0 &lt;/math&gt; liegt nicht notwendigerweise auch in &lt;math&gt;\mathbb{D}_1&lt;/math&gt;, was das folgende Beispiel zeigt.

==== Beispiel - Repräsentant bei additiver Verknüpfung ====
Wählt man &lt;math&gt; z_1 = z_2 = -i &lt;/math&gt;, so erhält man &lt;math&gt; w_1 = w_2 = \tfrac{3}{2}\pi i \in \mathbb{D}_1 &lt;/math&gt; und es gilt &lt;math&gt; w_1 + w_2 = 3\pi i \notin \mathbb{D}_1 &lt;/math&gt;. Möchte man den zugehörigen Repräsentanten aus &lt;math&gt;\mathbb{D}_1 &lt;/math&gt; bestimmen, verwendet man wieder die [[logmod-Funktion]]:
:&lt;math&gt;
[w_1]_0 \oplus [w_2]_0  = [w_1 + w_2]_0 = [w]_0 
&lt;/math&gt;
mit &lt;math&gt; w = w_1+w_2 - 2\pi i \cdot \mathrm{logmod}(w_1+w_2)&lt;/math&gt;

==== Bemerkung - Notation ====
Für die Addition &lt;math&gt;\oplus&lt;/math&gt; der [[logmod-Äquivalenzklassen]] wird zur Abgrenzung zu additiven Verknüpfung in &lt;math&gt;+&lt;/math&gt; in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt; das Symbol &lt;math&gt;\oplus&lt;/math&gt; verwendet.
:&lt;math&gt;
\left[ 1+\frac{3}{2}\pi i \right]_0 \oplus \left[5+\frac{1}{2}\pi i \right]_0 = \left[ \left(1+\frac{3}{2}\pi i\right)  + \left(5+\frac{1}{2}\pi i\right) \right]_0 = [6+2\pi i]_0 = [6]_0 
&lt;/math&gt;
Im linken Term werden zwei Äquivalenzklassen addiert (daher &lt;math&gt;\oplus&lt;/math&gt;) und in den beiden rechten Termen ist das Standardaddition in den komplexen Zahlen.

== Rechenregeln für Äquivalenzklassen ==
Zunächst einmal muss man kurz die Repräsentantenunabhängigkeit der Äquivalenzklassenaddition auf &lt;math&gt;[\mathbb{D}_1]_0&lt;/math&gt; überprüfen. Dabei ist &lt;math&gt;\oplus&lt;/math&gt; eine innere Verknüpfung auf  &lt;math&gt;[\mathbb{D}_1]_0&lt;/math&gt; der Form:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rrcl}
   f: &amp; [\mathbb{D}_1]_0 \times [\mathbb{D}_1]_0 &amp; \rightarrow &amp; [\mathbb{D}_1]_0\\ 
    &amp;  \left( [w_1]_0,[w_2]_0 \right)  &amp; \mapsto &amp; [w_1]_0 \oplus [w_2]_0 =  [w_1+w_2]_0 =
    \\
    &amp; &amp; &amp; 
    \bigg[\, \underbrace{w_1+w_2 - \mathrm{logmod}(w_1+w_2) \cdot 2\pi i}_{\in \mathbb{D}_1}\,\bigg]_0 
  \end{array}  

&lt;/math&gt;
Dabei beschreibt &lt;math&gt;[\mathbb{D}_1]_0 = \{ [w]_0 \, \colon \, w\in \mathbb{D}_1 \}&lt;/math&gt; die Menge aller [[logmod-Äquivalenzklassen]] mit dem Repräsentantensystem &lt;math&gt;\mathbb{D}_1&lt;/math&gt;. 

&lt;hr&gt;
&lt;span id=&quot;Repraesentantenunabhaengigkeit&quot;&gt;&lt;/span&gt;
=== Lemma zur Repräsentantenunabhängigkeit ===
Die innere additive Verknüpfung &lt;math&gt; ([\mathbb{D}_1]_0 , \oplus)&lt;/math&gt; auf den [[logmod-Äquivalenzklassen]] ist repräsentantenunabhängig.

=== Beweis - Lemma zur Repräsentantenunabhängigkeit ===
Die Beweisidee der Repräsentantenunabhängigkeit beruht auf der Auswahl von zwei beliebigen unterschiedlichen Repräsentanten &lt;math&gt;w_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\widehat{w_1}&lt;/math&gt; bzw. &lt;math&gt;w_2&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\widehat{w_2}&lt;/math&gt; und man zeigt dann die Addition mit &lt;math&gt;\oplus&lt;/math&gt; für die [[logmod-Äquivalenzklassen]] die gleiche Äquivalenzklasse &lt;math&gt;[w_1+w_2]_0=[\widehat{w_1}+\widehat{w_2}]_0&lt;/math&gt; liefert.

==== Beweisschritt 1 - Wahl der Repräsentanten ====
Seien &lt;math&gt;w_1,w_2 \in \mathbb{D}_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;k_1, k_2 \in \mathbb{Z}&lt;/math&gt; beliebig gewählt, dann sind &lt;math&gt;\widehat{w_1}=2\pi i\cdot k_1 &lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\widehat{w_2}=2\pi i\cdot k_2 &lt;/math&gt; weitere Repräsentanten der [[logmod-Äquivalenzklassen]]  &lt;math&gt;[w_1]_0,[w_2]_0 \in [\mathbb{D}_1]_0&lt;/math&gt; und es gilt:
:&lt;math&gt;
[w_1]_0  = [\widehat{w_1}]_0 \quad [w_2]_0 = [\widehat{w_2}]_0
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 2 - Definition der Addition anwenden ====
Nach Definition der Addition von [[logmod-Äquivalenzklassen]] gilt:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
 [\widehat{w_1}]_0 \oplus [\widehat{w_1}]_0 &amp; = &amp;  
 [\widehat{w_1} + \widehat{w_1}]_0
 \\ 
 &amp; = &amp; 
 [w_1+w_2+ (k_1+k_2)\cdot 2\pi i]_0 = [w_1+w_2]_0
  \\ 
 \end{array}  
&lt;/math&gt;
Damit ist die Addition von [[logmod-Äquivalenzklassen]] repräsentantenunabhängig. &lt;math&gt;\quad \Box&lt;/math&gt;

==== Bemerkung - Exponentialfunktion und Zweige des Logarithmus ====
Sei &lt;math&gt;G\subset \mathbb{C}&lt;/math&gt; ein [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängendes]] [[Gebiet (Mathematik)|
Gebiet]] mit &lt;math&gt;0\notin G&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;w_0\in \mathbb{D}_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt; \exp(w_0)=z_0&lt;/math&gt; für ein mit &lt;math&gt;z_0 \in G \subset \mathbb{C}\setminus \{0\}&lt;/math&gt;. Durch die Festlegung von &lt;math&gt;\log_G(z_0)=w_0&lt;/math&gt; ist der Zweig &lt;math&gt;\log_{G}&lt;/math&gt; als [[generalisierter Logarithmus]]  bereits auf ganz &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; definiert (siehe [[Identitätssatz]] und &lt;math&gt;\exp(\log_G(z)) = z&lt;/math&gt;). Bei der [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus|algebraischen Vervollständigung des Zweiges eines Logarithmus]] verliert man die Eigenschaft der [[holomorphe Funktion|Holomorphie]] und sogar der [[Stetigkeit]]. Sei   Man muss daher [[Zweige des Logarithmus]] von der Definition eine [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarthmus]] trennen.
* &lt;math&gt; \exp(\log_G(z)) = z &lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt; z \in G \subset \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt;
* &lt;math&gt; \log_G(\exp(w)) = z+2\pi i \cdot k &lt;/math&gt; für  &lt;math&gt; w \in \mathbb{C} &lt;/math&gt; und ein existierendes &lt;math&gt;k\in \mathbb{Z} &lt;/math&gt; für &lt;math&gt;w&lt;/math&gt;.

==== Äquivalenzklassen als Wertebereich ====
Der rekursive Logarithmus &lt;math&gt; \mathrm{lnr}_1(z) = [w]_0&lt;/math&gt; liefert als Funktionswert '''keine Zahl''', sondern eine '''Äquivalenzklasse'''. Diese ist selbst ein Element der [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelschen Sigma-Algebra]] &lt;math&gt;\mathcal{B}(\mathbb{C})&lt;/math&gt; als abzählbare Vereingigung von Einpunktmenge der Form &lt;math&gt;w+k\cdot 2\pi i&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;k\in \mathbb{Z} &lt;/math&gt; .

---

=== (2) Multiplikation und Logarithmus ===

Für &lt;math&gt; z_1, z_2 \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt;:


:&lt;math&gt;
\log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2)
&lt;/math&gt;

&gt; '''Interpretation:'''  
&gt; Die Summe zweier Äquivalenzklassen ist definiert als:
&gt; 
:&lt;math&gt;
&gt; [w_1]_0 + [w_2]_0 := [w_1 + w_2]_0
&gt; &lt;/math&gt;
&gt; und es gilt:
&gt; 
:&lt;math&gt;
&gt; \log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2)
&gt; &lt;/math&gt;

&gt; '''Beispiel:'''  
&gt; &lt;math&gt; z_1 = i &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; z_2 = i &lt;/math&gt; → &lt;math&gt; z_1 z_2 = -1 &lt;/math&gt;  
&gt; &lt;math&gt; \log(i) = \left[ i \frac{\pi}{2} \right]_0 &lt;/math&gt;,  
&gt; &lt;math&gt; \log(i) + \log(i) = \left[ i \pi \right]_0 &lt;/math&gt;,  
&gt; &lt;math&gt; \log(-1) = \left[ i \pi \right]_0 &lt;/math&gt; → stimmt.

---

=== (3) Potenzen und Logarithmus ===

Für &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; a \in \mathbb{C} &lt;/math&gt;:


:&lt;math&gt;
\log(z^a) = a \cdot \log(z) + 2\pi i k \quad \text{für ein } k \in \mathbb{Z}
&lt;/math&gt;

&gt; '''Aber:''' In der Äquivalenzklassen-Sicht gilt:
&gt; 
:&lt;math&gt;
&gt; \log(z^a) = a \cdot \log(z)
&gt; &lt;/math&gt;
&gt; wobei die Multiplikation einer Äquivalenzklasse mit einer komplexen Zahl definiert ist als:
&gt; 
:&lt;math&gt;
&gt; a \cdot [w]_0 := [a w]_0
&gt; &lt;/math&gt;

&gt; '''Beispiel:'''  
&gt; &lt;math&gt; z = i &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; a = 2 &lt;/math&gt; → &lt;math&gt; z^a = -1 &lt;/math&gt;  
&gt; &lt;math&gt; \log(z^a) = \log(-1) = [i\pi]_0 &lt;/math&gt;  
&gt; &lt;math&gt; a \cdot \log(z) = 2 \cdot [i \pi/2]_0 = [i\pi]_0 &lt;/math&gt; → stimmt.

---

=== (4) Addition von Logarithmen ===


:&lt;math&gt;
\log(z_1) + \log(z_2) = \log(z_1 z_2)
&lt;/math&gt;

&gt; '''Achtung:''' Dies ist '''nicht''' immer wahr, wenn man '''nicht''' mit Äquivalenzklassen arbeitet!  
&gt; Aber '''in der Klassen-Sicht''' ist es '''richtig'''.

&gt; '''Warum?''' Weil die Addition von Klassen kommutativ und assoziativ ist.

---

== 7. Zusammenhang mit Logarithmenzweigen ==

Ein '''Logarithmenzweig''' ist eine '''stetige Auswahl''' von Werten aus &lt;math&gt; \log(z) &lt;/math&gt;, d. h. eine Funktion &lt;math&gt; L: G \to \mathbb{C} &lt;/math&gt;, sodass &lt;math&gt; \exp(L(z)) = z &lt;/math&gt; und &lt;math&gt; L &lt;/math&gt; stetig auf einem Gebiet &lt;math&gt; G \subseteq \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt;.

&gt; '''Beispiel:'''  
&gt; Der '''Hauptzweig''' &lt;math&gt; \text{Log}(z) &lt;/math&gt; ist ein Logarithmenzweig auf &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus (-\infty, 0] &lt;/math&gt;.

&gt; '''Jeder Logarithmenzweig''' &lt;math&gt; L &lt;/math&gt; wählt '''einen Repräsentanten''' aus jeder Äquivalenzklasse &lt;math&gt; [w]_0 &lt;/math&gt;, nämlich &lt;math&gt; L(z) \in [w]_0 &lt;/math&gt;.

&gt; '''Zusammenhang:'''  
&gt; Die Menge aller Logarithmenzweige entspricht '''der Wahl einer Schnittlinie''' (Branch Cut), die verhindert, dass man um den Ursprung herumwandert und die Klasse wechselt.

---

== 8. Zusammenfassung: Struktur der Logarithmen ==

| Konzept | Beschreibung |
|--------|--------------|
| '''Äquivalenzklasse''' &lt;math&gt; [w]_0 &lt;/math&gt; | Menge aller &lt;math&gt; w + 2\pi i k &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; k \in \mathbb{Z} &lt;/math&gt; |
| '''Logarithmus von &lt;math&gt; z &lt;/math&gt;''' | &lt;math&gt; \log(z) = [w]_0 &lt;/math&gt;, wobei &lt;math&gt; \exp(w) = z &lt;/math&gt; |
| '''Hauptzweig''' | &lt;math&gt; \text{Log}(z) \in \log(z) &lt;/math&gt;, mit &lt;math&gt; \text{Arg}(z) \in (-\pi, \pi] &lt;/math&gt; |
| '''Rechenregeln''' | &lt;math&gt; \log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2) &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; \log(z^a) = a \cdot \log(z) &lt;/math&gt; (in Klassen) |
| '''Exponentialfunktion''' | &lt;math&gt; \exp(\log(z)) = z &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; \log(\exp(w)) = [w]_0 &lt;/math&gt; |

---

== 9. Übungsaufgaben ==

1. Zeige, dass &lt;math&gt; \log(-1) = [i\pi]_0 &lt;/math&gt;.
2. Berechne &lt;math&gt; \log(i) + \log(i) &lt;/math&gt; und vergleiche mit &lt;math&gt; \log(-1) &lt;/math&gt;.
3. Zeige, dass &lt;math&gt; \log(z^2) = 2 \log(z) &lt;/math&gt; in der Klassen-Sicht gilt.
4. Warum ist &lt;math&gt; \log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2) &lt;/math&gt; '''nicht''' immer wahr, wenn man nur Zahlen verwendet?
5. Definiere einen anderen Logarithmenzweig auf &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus [0, \infty) &lt;/math&gt;, der &lt;math&gt; \log(z) \in [i \cdot 0]_0 &lt;/math&gt; für &lt;math&gt; z = 1 &lt;/math&gt; wählt.

---

== Lernziel ==

Du kannst:
* den komplexen Logarithmus als '''Äquivalenzklasse''' verstehen,
* die '''Rechenregeln''' für Logarithmen in der Klassen-Sicht korrekt anwenden,
* den Zusammenhang zwischen '''Exponentialfunktion''', '''Logarithmenzweigen''' und '''Äquivalenzklassen''' erklären,
* die '''Mehrdeutigkeit''' des Logarithmus strukturiert darstellen.

---

'''Ende der Lerneinheit'''

&gt; '''Zusammenfassungssatz:'''  
&gt; *Der komplexe Logarithmus von &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; ist die Äquivalenzklasse &lt;math&gt; [w]_0 &lt;/math&gt;, wobei &lt;math&gt; \exp(w) = z &lt;/math&gt;. Diese Klasse ist genau die Menge aller Lösungen von &lt;math&gt; \exp(w) = z &lt;/math&gt;. Alle Rechenregeln gelten in der Klassen-Sicht: &lt;math&gt; \log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2) &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; \log(z^a) = a \cdot \log(z) &lt;/math&gt;, und &lt;math&gt; \exp(\log(z)) = z &lt;/math&gt;.*
== Siehe auch ==
* [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexer Logarithmus]]
* [[logmod-Äquivalenzklassen]]
* [[logmod-Funktion]]
* [[negativer Hauptzweig des Logarithmus]]</text>
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      <contributor>
        <username>Bert Niehaus</username>
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      <comment>/* Äquivalenzklassen als Wertebereich */</comment>
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      <text bytes="21368" sha1="aler1js99swpvi3n322ub35qe8fu90k" xml:space="preserve">== Einleitung == 
Diese Lerneinheit zu [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmen]] beschäftigt sich Äquivalenzklassen, deren Struktur und  Rechenregeln, die durch den Zusammenhang mit der Exponentialfunktion und deren imaginärer &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt;-Periodizität entsteht. Die Äquivalenzklassen helfen dabei, [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen#Rechenregeln|Rechenregeln]] aus den reellen Zahl für den [[Logarithmus]] auf den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexen Logarithmus]] bzw. deren Zweige zu übertragen. Die [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus]] spielt dabei bijektive Abbildungen eine besondere Rolle.

=== Periodizität der Exponentialfunktion ===

Der komplexe Logarithmus kann nicht eindeutig als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion &lt;math&gt; \exp: \mathbb{C} \to \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; festgelegt werden, da u.a. die Exponentialfunktion nicht injektiv ist und ein [[Zweig des Logarithmus]] von der Wahl des [[einfach zusammenhängend]]en Gebietes abhängt, auf dem der Logarithmus definiert ist. Es gilt für [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]]:
:&lt;math&gt;
\exp(w + 2\pi i) = \exp(w) = z\quad \text{für alle } w \in \mathbb{C}
&lt;/math&gt;

Daher gibt es unendlich viele komplexe Zahlen &lt;math&gt; w &lt;/math&gt;, die auf dieselbe Zahl &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; abgebildet werden. Diese Mehrdeutigkeit ist die Motivation, um Äquivalenzklassen zu bilden.

=== Behandelt Aspekte in der Lerneinheit ===
*  '''[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen#logmod_Aequivalenzlemma|LogMod-Äquivalenzklassenlemma]]:''' Beziehung Exponentialfunktion und Zweigen des Logarithmus
* '''[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen#Repraesentantenunabhaengigkeit|Repräsentantenunabhängigkeit]]''' für die Addition von [[logmod-Äquivalenzklassen]]

== Äquivalenzklassen des Logarithmus ==
Um Äquivalenzklassen zu bilden, benötigt man eine Äquivalenzrelation als Teilmenge von &lt;math&gt;\mathbb{C}\times \mathbb{C} &lt;/math&gt;, die zwei Elemente &lt;math&gt; w_1, w_2 \in \mathbb{C} &lt;/math&gt;, wenn deren Differenz ein ganzzahliges Vielfaches von &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; ist.

=== Definition - logmod-Äquivalenzrelation ===
Zwei komplexe Zahlen &lt;math&gt; w_1, w_2 \in \mathbb{C} &lt;/math&gt; heißen logmod-äquivalent modulo &lt;math&gt; 2\pi i &lt;/math&gt;, wenn gilt:
:&lt;math&gt;
w_1 - w_2 \in 2\pi i \cdot \mathbb{Z} := \{w\in \mathbb{C} \, : \, w=2\pi i \cdot k \mbox{ und } k\in \mathbb{Z} \}
&lt;/math&gt;

Formal notiert man diese Äquivalenz wie folgt:  

:&lt;math&gt;
w_1 \equiv w_2 \  \mathrm{logmod}\  {2\pi i}
&lt;/math&gt;

==== Aufgabe für Studierende ====
Zeigen Sie, dass diese Relation eine ''Äquivalenzrelation'' ist, d.h. die [[logmod-Funktion|logmod-Relation]] ist [[w:de:Äquivalenzrelation|reflexiv, symmetrisch und transitiv]].

=== Definition - logmod-Äquivalenzklasse ===
Für eine komplexe Zahl &lt;math&gt; w \in \mathbb{C} &lt;/math&gt; ist die Äquivalenzklasse definiert als:

:&lt;math&gt;
[w]_0 := \{ w + 2\pi i k \mid k \in \mathbb{Z} \}
&lt;/math&gt;

==== Bezeichnung - Äquivalenzklassenindex====
Die Indexierung mit &lt;math&gt; _0 &lt;/math&gt; deutet an, dass dies diese Äquivalenzklasse ohne Logarithmierung in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt; gebildet wurde. Bildet man rekursiv höhere Logarithmen als Verkettung entstehen Äquivalenzklassen &lt;math&gt;[w]_n&lt;/math&gt;, wobei &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-fach rekursiv der Logarithmus verkettet wird, falls dieser existiert.

== Verbindung mit der Exponentialfunktion ==

Da die Exponentialfunktion im Imaginärteil des Arguments eine Periodizität von &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; besitzt, entsprechen Äquivalenzklassen &lt;math&gt;[w]_0&lt;/math&gt; entsprechen einem Bildpunkt &lt;math&gt;z=e^w&lt;/math&gt;. Dieser Verbindung zwischen Exponentialfunktion und Logarithmus wird durch das LogMod-Äquivalenzklassenlemma festgehalten.

&lt;span id=&quot;logmod_Aequivalenzlemma&quot;&gt;&lt;/span&gt;
=== LogMod-Äquivalenzklassenlemma ===
Sei &lt;math&gt;w\in\mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;\mathrm{logmod}(w) = 0&lt;/math&gt; gegeben. Für eine feste komplexe Zahl &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; gilt folgende Äquivalenzaussage:
:&lt;math&gt;
 \exp(\widehat{w}) = z \quad \text{für alle } \widehat{w} \in [w]_0
 &lt;/math&gt;
genau dann, wenn &lt;math&gt; \exp(w) = z &lt;/math&gt;.

=== Beweis - LogMod-Äquivalenzlemma ===
Für &lt;math&gt; w\in \mathbb{D}_1 := \mathbb{R}\times i\cdot [0,2\pi)&lt;/math&gt; gelte &lt;math&gt;\exp(w)=z&lt;/math&gt;. Das LogMod-Äquivalenzlemma ist eine Äquivalenzaussage. Daher werden zwei Beweisrichtungen gezeigt:
\mbox{}
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{array}{llcl}
\mbox{ (LML1) }
 &amp; 
 \exp(\widehat{w}) = z  
 &amp;  
 \quad \Longrightarrow \quad 
 &amp; 
 \widehat{w} \in [w]_0
  \\ 
\mbox{ (LML2) }
 &amp; 
 \widehat{w} \in [w]_0
 &amp;  
 \quad \Longrightarrow \quad 
 &amp; 
 \exp(\widehat{w}) = z  
  \\ 
 \end{array}  
&lt;/math&gt;

==== Schritt 1 - Beweisrichtung LML1 ====
Sei &lt;math&gt; \widehat{w} \in \mathbb{C} &lt;/math&gt; mit &lt;math&gt; \exp(\widehat{w}) = z &lt;/math&gt; beliebig gewählt. Dann gilt mit der Voraussetzung &lt;math&gt; \exp(w) = z \not= 0&lt;/math&gt; und Potenzgesetzen:
:&lt;math&gt;
 1 = \frac{z}{z} = \frac{\widehat{w}}{\exp(\exp(w))} = \exp(\widehat{w}-w)
 &lt;/math&gt;
Die Gleichung &lt;math&gt;1 = \exp(\widehat{w}-w)&lt;/math&gt; gilt genau dann, wenn &lt;math&gt; w-\widehat{w} = 2\pi i \cdot k&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;k \in \mathbb{Z}&lt;/math&gt;. 

==== Schritt 2 - Beweisrichtung LML1 ====
Damit gilt auch  &lt;math&gt; w = \widehat{w} + 2\pi i \cdot k &lt;/math&gt;. Die ganze Zahl &lt;math&gt; k\in \mathbb{Z} &lt;/math&gt; ist durch die [[logmod-Funktion]] und es gilt &lt;math&gt;k= \mathrm{logmod}(\widehat{w})&lt;/math&gt;, da &lt;math&gt; w\in \mathbb{D}_1 = \mathbb{R} + i\cdot [0,2\pi) &lt;/math&gt; nach Voraussetzung gilt und man erhält &lt;math&gt;\widehat{w} \in [w]_0&lt;/math&gt;.

==== Schritt 3 - Äquivalenzklasse gegeben LML2 ====
Sei umgekehrt &lt;math&gt;\widehat{w} \in [w]_0&lt;/math&gt; gegeben. Dann gibt es nach Definition der Äquivalenzklasse ein &lt;math&gt; k := logmod(\widehat{w})\in \mathbb{Z} &lt;/math&gt; mit der Eigenschaft  &lt;math&gt;\widehat{w}:= w + 2\pi i k&lt;/math&gt;. Nun wen man diese Darstellung von &lt;math&gt;\widehat{w}&lt;/math&gt; auf die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] an und verwendet Periodizität &lt;math&gt;\exp&lt;/math&gt; bzgl. &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; und erhält:
:&lt;math&gt;
 \exp(\widehat{w}) =  \exp(w + 2\pi i k) = \exp(w) \cdot \exp(2\pi i k) = z \cdot 1 = z
&lt;/math&gt;

==== Schritt 4 - LML2 ====
Da &lt;math&gt;\widehat{w} \in [w]_0&lt;/math&gt; beliebig gewählt wurde, gilt für alle  &lt;math&gt; \widehat{w} \in [w]_0 &lt;/math&gt; die Eigenschaft &lt;math&gt; \exp(\widehat{w}) = z &lt;/math&gt; und zusammen mit LML1 gilt die Äquivalenzaussage aus dem Lemma &lt;math&gt;\quad \Box&lt;/math&gt;.

=== Folgerung - LogMod-Äquivalenzklassenlemma ====  
Fasst man zu einem gegebenen &lt;math&gt;z\in \mathbb{C}\setminus\{0\}&lt;/math&gt; die Menge alle komplexen Zahlen &lt;math&gt; \widehat{w} \in \mathbb{C} &lt;/math&gt; zu einer Menge zusammen, die die Eigenschaft &lt;math&gt; \exp(\widehat{w}) = z &lt;/math&gt; erfüllen, so erhält man die Äquivalenzklasse &lt;math&gt; [w]_0 &lt;/math&gt;, wobei &lt;math&gt; w &lt;/math&gt; eine beliebige Lösung von &lt;math&gt; \exp(w) = z &lt;/math&gt; ist. 

==== Bemerkung - LogMod-Äquivalenzklassenlemma ====  
Für die Äquivalenzklassenanalyse spielt das Repräsentatensystem &lt;math&gt;\mathbb{D}_1= \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi)&lt;/math&gt; eine besondere Rolle. DasRepräsentatensystem &lt;math&gt;\mathbb{D}_1&lt;/math&gt; entsteht durch [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus|algebraische Vervollständigkeit]] des [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweiges]] des [[Logarithmus]].

== Äquivalenzklassenaddition ==
Um die aus der reellen Analysis bekannten Rechenregeln auf Logarithmen in den komplexen Zahlen verwenden zu können werden Äquivalenzklassen verwendet.  Die Struktur und Gültigkeit der Rechenregeln wird in diesem Teil der Lerneinheit genauer untersucht.

=== komplexe Logarithmus als Lösungsmenge ===
Der komplexe Äquivalenzklassen-Logarithmus von &lt;math&gt; z &lt;/math&gt; bildet nicht auf ein Element in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt; ab, sondern auf ein Teilmenge von &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt;. Dies führt im weiteren Verlauf der Lehrveranstaltung zum Begriff des [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarithmus]]. Sei &lt;math&gt;w \in \mathbb{C}&lt;/math&gt; beliebig gewählt, dann definiert man &lt;math&gt;w_0 := w - \mathrm{logmod}(w)\cdot 2\pi i \in \mathbb{D}_1&lt;/math&gt; als Repräsentant der [[logmod-Äquivalenzklassen|Äquivalenzklasse]] &lt;math&gt; [w]_0&lt;/math&gt;.
:&lt;math&gt;
 \mathrm{lnr}_1(z) := \{ w \in \mathbb{C} \mid \exp(w) = z \} = [w]_0
&lt;/math&gt;
für ein beliebiges &lt;math&gt; w_0 \in \mathbb{D}_1 := \mathbb{R}+ i\cdot [0,2\pi)&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt; \exp(w_0) = z &lt;/math&gt;.

==== Beispiel 1 - Neutrales Element für Äquivalenklassenaddition ====
Algebraisch wird später &lt;math&gt;\mathbb{D}_1&lt;/math&gt; mit einer inneren Verknüpfung &lt;math&gt;\oplus&lt;/math&gt; zu einer kommunitative Gruppe. Daher wird das [[w:de:neutrales Element|neutrale Element]] von &lt;math&gt;\oplus&lt;/math&gt; als Beispieläquivalenzklasse genannt und in Beziehung zum Logarithmus gesetzt. Für &lt;math&gt; z = 1 &lt;/math&gt; ist der komplexe rekursive Logarithmus 
:&lt;math&gt; 
   \mathrm{lnr}_1(1) = \{ 2\pi i k \, : \,  k \in \mathbb{Z} \} = [0]_0 
&lt;/math&gt;

==== Beispiel 2 - Logarithmus der imaginären Einheit ====
Da zunächst die [[rekursiver Logarithmus|rekursive komplexe Logarithmen]] von elementaren komplexen Zahlen genannt. Wählt man &lt;math&gt; z = i &lt;/math&gt; so gilt &lt;math&gt; \exp\left(i \tfrac{\pi}{2}\right) = i &lt;/math&gt; und &lt;math&gt;i\tfrac{\pi}{2} \in \mathbb{D}_1&lt;/math&gt;. Bildet man nun den von  [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarithmus]] von  &lt;math&gt; z = i &lt;/math&gt; erhält man:

:&lt;math&gt;
  \mathrm{lnr}_1(i) = \left\{ i \left( \frac{\pi}{2} + 2\pi k \right) \mid k \in \mathbb{Z} \right\} = \left[ i \frac{\pi}{2} \right]_0 
&lt;/math&gt;

==== Beispiel 3 - rekursiver Logarithmus von -1 ====
Ablschießend wird auch noch der [[rekursiver Logarithmus|rekursive komplexe Logarithmen]] von &lt;math&gt; z = -1 &lt;/math&gt; genannt. Wegen &lt;math&gt; \exp\left(i \pi \right) = -1 &lt;/math&gt; und &lt;math&gt;i \pi \in \mathbb{D}_1=\mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi) &lt;/math&gt; erhält man:

:&lt;math&gt;
  \mathrm{lnr}_1(-1) = \left\{ i \left( \pi + 2\pi k \right) \mid k \in \mathbb{Z} \right\} = \left[ i \pi \right]_0 
&lt;/math&gt;

=== Repräsentantensystem ===

Um einen eindeutigen Funktionswert als Äquivalenzklasse zu erhalten, wählt man eine spezielles Repräsentantensystem &lt;math&gt;\mathbb{D}_1:= \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi) \subset \mathbb{C}&lt;/math&gt; um alle Äquivalenzklassen darstellen zu können. Dabei wird die [[logmod-Funktion]] verwendet, um für eine beliebige komplexe Zahl &lt;math&gt;w\in \mathbb{C}&lt;/math&gt; die zugehörigen Repräsentanten &lt;math&gt;w_0 \in\mathbb{D}_1&lt;/math&gt; über &lt;math&gt; w_0 = w - 2\pi i \cdot \mathrm{logmod}(w)&lt;/math&gt; zu bestimmen.

&lt;span id=&quot;Definition&quot;&gt;
=== Definition - logmod-Äquivalenzklassenaddition ===

Für &lt;math&gt; z_1,z_2 \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; und  &lt;math&gt;w_1,w_2 \in\mathbb{D}_1&lt;/math&gt; gelte &lt;math&gt;\exp(z_1)=w_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\exp(z_2)=w_2&lt;/math&gt;. Man definiert nun die Äquivalenzklassenaddition &lt;math&gt;(\mathbb{D}_1,\oplus)&lt;/math&gt; wie folgt.
:&lt;math&gt;
[w_1]_0 \oplus [w_2]_0 := [w_1 + w_2]_0
&lt;/math&gt;

==== Bemerkung - Repräsentant der Äquivalenzklasse ====
Der Repräsentant &lt;math&gt;w_1 + w_2 &lt;/math&gt; der Äquivalenzklasse 
wobei &lt;math&gt;[w_1 + w_2]_0 &lt;/math&gt; liegt nicht notwendigerweise auch in &lt;math&gt;\mathbb{D}_1&lt;/math&gt;, was das folgende Beispiel zeigt.

==== Beispiel - Repräsentant bei additiver Verknüpfung ====
Wählt man &lt;math&gt; z_1 = z_2 = -i &lt;/math&gt;, so erhält man &lt;math&gt; w_1 = w_2 = \tfrac{3}{2}\pi i \in \mathbb{D}_1 &lt;/math&gt; und es gilt &lt;math&gt; w_1 + w_2 = 3\pi i \notin \mathbb{D}_1 &lt;/math&gt;. Möchte man den zugehörigen Repräsentanten aus &lt;math&gt;\mathbb{D}_1 &lt;/math&gt; bestimmen, verwendet man wieder die [[logmod-Funktion]]:
:&lt;math&gt;
[w_1]_0 \oplus [w_2]_0  = [w_1 + w_2]_0 = [w]_0 
&lt;/math&gt;
mit &lt;math&gt; w = w_1+w_2 - 2\pi i \cdot \mathrm{logmod}(w_1+w_2)&lt;/math&gt;

==== Bemerkung - Notation ====
Für die Addition &lt;math&gt;\oplus&lt;/math&gt; der [[logmod-Äquivalenzklassen]] wird zur Abgrenzung zu additiven Verknüpfung in &lt;math&gt;+&lt;/math&gt; in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt; das Symbol &lt;math&gt;\oplus&lt;/math&gt; verwendet.
:&lt;math&gt;
\left[ 1+\frac{3}{2}\pi i \right]_0 \oplus \left[5+\frac{1}{2}\pi i \right]_0 = \left[ \left(1+\frac{3}{2}\pi i\right)  + \left(5+\frac{1}{2}\pi i\right) \right]_0 = [6+2\pi i]_0 = [6]_0 
&lt;/math&gt;
Im linken Term werden zwei Äquivalenzklassen addiert (daher &lt;math&gt;\oplus&lt;/math&gt;) und in den beiden rechten Termen ist das Standardaddition in den komplexen Zahlen.

== Rechenregeln für Äquivalenzklassen ==
Zunächst einmal muss man kurz die Repräsentantenunabhängigkeit der Äquivalenzklassenaddition auf &lt;math&gt;[\mathbb{D}_1]_0&lt;/math&gt; überprüfen. Dabei ist &lt;math&gt;\oplus&lt;/math&gt; eine innere Verknüpfung auf  &lt;math&gt;[\mathbb{D}_1]_0&lt;/math&gt; der Form:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rrcl}
   f: &amp; [\mathbb{D}_1]_0 \times [\mathbb{D}_1]_0 &amp; \rightarrow &amp; [\mathbb{D}_1]_0\\ 
    &amp;  \left( [w_1]_0,[w_2]_0 \right)  &amp; \mapsto &amp; [w_1]_0 \oplus [w_2]_0 =  [w_1+w_2]_0 =
    \\
    &amp; &amp; &amp; 
    \bigg[\, \underbrace{w_1+w_2 - \mathrm{logmod}(w_1+w_2) \cdot 2\pi i}_{\in \mathbb{D}_1}\,\bigg]_0 
  \end{array}  

&lt;/math&gt;
Dabei beschreibt &lt;math&gt;[\mathbb{D}_1]_0 = \{ [w]_0 \, \colon \, w\in \mathbb{D}_1 \}&lt;/math&gt; die Menge aller [[logmod-Äquivalenzklassen]] mit dem Repräsentantensystem &lt;math&gt;\mathbb{D}_1&lt;/math&gt;. 

&lt;hr&gt;
&lt;span id=&quot;Repraesentantenunabhaengigkeit&quot;&gt;&lt;/span&gt;
=== Lemma zur Repräsentantenunabhängigkeit ===
Die innere additive Verknüpfung &lt;math&gt; ([\mathbb{D}_1]_0 , \oplus)&lt;/math&gt; auf den [[logmod-Äquivalenzklassen]] ist repräsentantenunabhängig.

=== Beweis - Lemma zur Repräsentantenunabhängigkeit ===
Die Beweisidee der Repräsentantenunabhängigkeit beruht auf der Auswahl von zwei beliebigen unterschiedlichen Repräsentanten &lt;math&gt;w_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\widehat{w_1}&lt;/math&gt; bzw. &lt;math&gt;w_2&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\widehat{w_2}&lt;/math&gt; und man zeigt dann die Addition mit &lt;math&gt;\oplus&lt;/math&gt; für die [[logmod-Äquivalenzklassen]] die gleiche Äquivalenzklasse &lt;math&gt;[w_1+w_2]_0=[\widehat{w_1}+\widehat{w_2}]_0&lt;/math&gt; liefert.

==== Beweisschritt 1 - Wahl der Repräsentanten ====
Seien &lt;math&gt;w_1,w_2 \in \mathbb{D}_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;k_1, k_2 \in \mathbb{Z}&lt;/math&gt; beliebig gewählt, dann sind &lt;math&gt;\widehat{w_1}=2\pi i\cdot k_1 &lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\widehat{w_2}=2\pi i\cdot k_2 &lt;/math&gt; weitere Repräsentanten der [[logmod-Äquivalenzklassen]]  &lt;math&gt;[w_1]_0,[w_2]_0 \in [\mathbb{D}_1]_0&lt;/math&gt; und es gilt:
:&lt;math&gt;
[w_1]_0  = [\widehat{w_1}]_0 \quad [w_2]_0 = [\widehat{w_2}]_0
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 2 - Definition der Addition anwenden ====
Nach Definition der Addition von [[logmod-Äquivalenzklassen]] gilt:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
 [\widehat{w_1}]_0 \oplus [\widehat{w_1}]_0 &amp; = &amp;  
 [\widehat{w_1} + \widehat{w_1}]_0
 \\ 
 &amp; = &amp; 
 [w_1+w_2+ (k_1+k_2)\cdot 2\pi i]_0 = [w_1+w_2]_0
  \\ 
 \end{array}  
&lt;/math&gt;
Damit ist die Addition von [[logmod-Äquivalenzklassen]] repräsentantenunabhängig. &lt;math&gt;\quad \Box&lt;/math&gt;

==== Bemerkung - Exponentialfunktion und Zweige des Logarithmus ====
Sei &lt;math&gt;G\subset \mathbb{C}&lt;/math&gt; ein [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängendes]] [[Gebiet (Mathematik)|
Gebiet]] mit &lt;math&gt;0\notin G&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;w_0\in \mathbb{D}_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt; \exp(w_0)=z_0&lt;/math&gt; für ein mit &lt;math&gt;z_0 \in G \subset \mathbb{C}\setminus \{0\}&lt;/math&gt;. Durch die Festlegung von &lt;math&gt;\log_G(z_0)=w_0&lt;/math&gt; ist der Zweig &lt;math&gt;\log_{G}&lt;/math&gt; als [[generalisierter Logarithmus]]  bereits auf ganz &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; definiert (siehe [[Identitätssatz]] und &lt;math&gt;\exp(\log_G(z)) = z&lt;/math&gt;). Bei der [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus|algebraischen Vervollständigung des Zweiges eines Logarithmus]] verliert man die Eigenschaft der [[holomorphe Funktion|Holomorphie]] und sogar der [[Stetigkeit]]. Sei   Man muss daher [[Zweige des Logarithmus]] von der Definition eine [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarthmus]] trennen.
* &lt;math&gt; \exp(\log_G(z)) = z &lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt; z \in G \subset \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt;
* &lt;math&gt; \log_G(\exp(w)) = z+2\pi i \cdot k &lt;/math&gt; für  &lt;math&gt; w \in \mathbb{C} &lt;/math&gt; und ein existierendes &lt;math&gt;k\in \mathbb{Z} &lt;/math&gt; für &lt;math&gt;w&lt;/math&gt;.

==== Äquivalenzklassen als Wertebereich ====
Der rekursive Logarithmus &lt;math&gt; \mathrm{lnr}_1(z) = [w]_0&lt;/math&gt; liefert als Funktionswert '''keine Zahl''', sondern eine '''Äquivalenzklasse'''. Diese ist selbst ein Element der [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelschen Sigma-Algebra]] &lt;math&gt;\mathcal{B}(\mathbb{C})&lt;/math&gt; als abzählbare Vereingigung von Einpunktmenge der Form &lt;math&gt;w+k\cdot 2\pi i&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;k\in \mathbb{Z} &lt;/math&gt; .

=== (2) Multiplikation und Logarithmus ===

Für &lt;math&gt; z_1, z_2 \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt;:


:&lt;math&gt;
\log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2)
&lt;/math&gt;

&gt; '''Interpretation:'''  
&gt; Die Summe zweier Äquivalenzklassen ist definiert als:
&gt; 
:&lt;math&gt;
&gt; [w_1]_0 + [w_2]_0 := [w_1 + w_2]_0
&gt; &lt;/math&gt;
&gt; und es gilt:
&gt; 
:&lt;math&gt;
&gt; \log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2)
&gt; &lt;/math&gt;

&gt; '''Beispiel:'''  
&gt; &lt;math&gt; z_1 = i &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; z_2 = i &lt;/math&gt; → &lt;math&gt; z_1 z_2 = -1 &lt;/math&gt;  
&gt; &lt;math&gt; \log(i) = \left[ i \frac{\pi}{2} \right]_0 &lt;/math&gt;,  
&gt; &lt;math&gt; \log(i) + \log(i) = \left[ i \pi \right]_0 &lt;/math&gt;,  
&gt; &lt;math&gt; \log(-1) = \left[ i \pi \right]_0 &lt;/math&gt; → stimmt.

---

=== (3) Potenzen und Logarithmus ===

Für &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; a \in \mathbb{C} &lt;/math&gt;:


:&lt;math&gt;
\log(z^a) = a \cdot \log(z) + 2\pi i k \quad \text{für ein } k \in \mathbb{Z}
&lt;/math&gt;

&gt; '''Aber:''' In der Äquivalenzklassen-Sicht gilt:
&gt; 
:&lt;math&gt;
&gt; \log(z^a) = a \cdot \log(z)
&gt; &lt;/math&gt;
&gt; wobei die Multiplikation einer Äquivalenzklasse mit einer komplexen Zahl definiert ist als:
&gt; 
:&lt;math&gt;
&gt; a \cdot [w]_0 := [a w]_0
&gt; &lt;/math&gt;

&gt; '''Beispiel:'''  
&gt; &lt;math&gt; z = i &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; a = 2 &lt;/math&gt; → &lt;math&gt; z^a = -1 &lt;/math&gt;  
&gt; &lt;math&gt; \log(z^a) = \log(-1) = [i\pi]_0 &lt;/math&gt;  
&gt; &lt;math&gt; a \cdot \log(z) = 2 \cdot [i \pi/2]_0 = [i\pi]_0 &lt;/math&gt; → stimmt.

---

=== (4) Addition von Logarithmen ===


:&lt;math&gt;
\log(z_1) + \log(z_2) = \log(z_1 z_2)
&lt;/math&gt;

&gt; '''Achtung:''' Dies ist '''nicht''' immer wahr, wenn man '''nicht''' mit Äquivalenzklassen arbeitet!  
&gt; Aber '''in der Klassen-Sicht''' ist es '''richtig'''.

&gt; '''Warum?''' Weil die Addition von Klassen kommutativ und assoziativ ist.

---

== 7. Zusammenhang mit Logarithmenzweigen ==

Ein '''Logarithmenzweig''' ist eine '''stetige Auswahl''' von Werten aus &lt;math&gt; \log(z) &lt;/math&gt;, d. h. eine Funktion &lt;math&gt; L: G \to \mathbb{C} &lt;/math&gt;, sodass &lt;math&gt; \exp(L(z)) = z &lt;/math&gt; und &lt;math&gt; L &lt;/math&gt; stetig auf einem Gebiet &lt;math&gt; G \subseteq \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt;.

&gt; '''Beispiel:'''  
&gt; Der '''Hauptzweig''' &lt;math&gt; \text{Log}(z) &lt;/math&gt; ist ein Logarithmenzweig auf &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus (-\infty, 0] &lt;/math&gt;.

&gt; '''Jeder Logarithmenzweig''' &lt;math&gt; L &lt;/math&gt; wählt '''einen Repräsentanten''' aus jeder Äquivalenzklasse &lt;math&gt; [w]_0 &lt;/math&gt;, nämlich &lt;math&gt; L(z) \in [w]_0 &lt;/math&gt;.

&gt; '''Zusammenhang:'''  
&gt; Die Menge aller Logarithmenzweige entspricht '''der Wahl einer Schnittlinie''' (Branch Cut), die verhindert, dass man um den Ursprung herumwandert und die Klasse wechselt.

---

== 8. Zusammenfassung: Struktur der Logarithmen ==

| Konzept | Beschreibung |
|--------|--------------|
| '''Äquivalenzklasse''' &lt;math&gt; [w]_0 &lt;/math&gt; | Menge aller &lt;math&gt; w + 2\pi i k &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; k \in \mathbb{Z} &lt;/math&gt; |
| '''Logarithmus von &lt;math&gt; z &lt;/math&gt;''' | &lt;math&gt; \log(z) = [w]_0 &lt;/math&gt;, wobei &lt;math&gt; \exp(w) = z &lt;/math&gt; |
| '''Hauptzweig''' | &lt;math&gt; \text{Log}(z) \in \log(z) &lt;/math&gt;, mit &lt;math&gt; \text{Arg}(z) \in (-\pi, \pi] &lt;/math&gt; |
| '''Rechenregeln''' | &lt;math&gt; \log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2) &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; \log(z^a) = a \cdot \log(z) &lt;/math&gt; (in Klassen) |
| '''Exponentialfunktion''' | &lt;math&gt; \exp(\log(z)) = z &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; \log(\exp(w)) = [w]_0 &lt;/math&gt; |

---

== 9. Übungsaufgaben ==

1. Zeige, dass &lt;math&gt; \log(-1) = [i\pi]_0 &lt;/math&gt;.
2. Berechne &lt;math&gt; \log(i) + \log(i) &lt;/math&gt; und vergleiche mit &lt;math&gt; \log(-1) &lt;/math&gt;.
3. Zeige, dass &lt;math&gt; \log(z^2) = 2 \log(z) &lt;/math&gt; in der Klassen-Sicht gilt.
4. Warum ist &lt;math&gt; \log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2) &lt;/math&gt; '''nicht''' immer wahr, wenn man nur Zahlen verwendet?
5. Definiere einen anderen Logarithmenzweig auf &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus [0, \infty) &lt;/math&gt;, der &lt;math&gt; \log(z) \in [i \cdot 0]_0 &lt;/math&gt; für &lt;math&gt; z = 1 &lt;/math&gt; wählt.

---

== Lernziel ==

Du kannst:
* den komplexen Logarithmus als '''Äquivalenzklasse''' verstehen,
* die '''Rechenregeln''' für Logarithmen in der Klassen-Sicht korrekt anwenden,
* den Zusammenhang zwischen '''Exponentialfunktion''', '''Logarithmenzweigen''' und '''Äquivalenzklassen''' erklären,
* die '''Mehrdeutigkeit''' des Logarithmus strukturiert darstellen.

---

'''Ende der Lerneinheit'''

&gt; '''Zusammenfassungssatz:'''  
&gt; *Der komplexe Logarithmus von &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; ist die Äquivalenzklasse &lt;math&gt; [w]_0 &lt;/math&gt;, wobei &lt;math&gt; \exp(w) = z &lt;/math&gt;. Diese Klasse ist genau die Menge aller Lösungen von &lt;math&gt; \exp(w) = z &lt;/math&gt;. Alle Rechenregeln gelten in der Klassen-Sicht: &lt;math&gt; \log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2) &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; \log(z^a) = a \cdot \log(z) &lt;/math&gt;, und &lt;math&gt; \exp(\log(z)) = z &lt;/math&gt;.*
== Siehe auch ==
* [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexer Logarithmus]]
* [[logmod-Äquivalenzklassen]]
* [[logmod-Funktion]]
* [[negativer Hauptzweig des Logarithmus]]</text>
      <sha1>aler1js99swpvi3n322ub35qe8fu90k</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>1116181</id>
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      <timestamp>2026-10-15T11:46:36Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bert Niehaus</username>
        <id>20843</id>
      </contributor>
      <comment>/* (2) Multiplikation und Logarithmus */</comment>
      <origin>1116181</origin>
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      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="21371" sha1="53kk47ew13rchpows7sltv07yeov31i" xml:space="preserve">== Einleitung == 
Diese Lerneinheit zu [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmen]] beschäftigt sich Äquivalenzklassen, deren Struktur und  Rechenregeln, die durch den Zusammenhang mit der Exponentialfunktion und deren imaginärer &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt;-Periodizität entsteht. Die Äquivalenzklassen helfen dabei, [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen#Rechenregeln|Rechenregeln]] aus den reellen Zahl für den [[Logarithmus]] auf den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexen Logarithmus]] bzw. deren Zweige zu übertragen. Die [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus]] spielt dabei bijektive Abbildungen eine besondere Rolle.

=== Periodizität der Exponentialfunktion ===

Der komplexe Logarithmus kann nicht eindeutig als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion &lt;math&gt; \exp: \mathbb{C} \to \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; festgelegt werden, da u.a. die Exponentialfunktion nicht injektiv ist und ein [[Zweig des Logarithmus]] von der Wahl des [[einfach zusammenhängend]]en Gebietes abhängt, auf dem der Logarithmus definiert ist. Es gilt für [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]]:
:&lt;math&gt;
\exp(w + 2\pi i) = \exp(w) = z\quad \text{für alle } w \in \mathbb{C}
&lt;/math&gt;

Daher gibt es unendlich viele komplexe Zahlen &lt;math&gt; w &lt;/math&gt;, die auf dieselbe Zahl &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; abgebildet werden. Diese Mehrdeutigkeit ist die Motivation, um Äquivalenzklassen zu bilden.

=== Behandelt Aspekte in der Lerneinheit ===
*  '''[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen#logmod_Aequivalenzlemma|LogMod-Äquivalenzklassenlemma]]:''' Beziehung Exponentialfunktion und Zweigen des Logarithmus
* '''[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen#Repraesentantenunabhaengigkeit|Repräsentantenunabhängigkeit]]''' für die Addition von [[logmod-Äquivalenzklassen]]

== Äquivalenzklassen des Logarithmus ==
Um Äquivalenzklassen zu bilden, benötigt man eine Äquivalenzrelation als Teilmenge von &lt;math&gt;\mathbb{C}\times \mathbb{C} &lt;/math&gt;, die zwei Elemente &lt;math&gt; w_1, w_2 \in \mathbb{C} &lt;/math&gt;, wenn deren Differenz ein ganzzahliges Vielfaches von &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; ist.

=== Definition - logmod-Äquivalenzrelation ===
Zwei komplexe Zahlen &lt;math&gt; w_1, w_2 \in \mathbb{C} &lt;/math&gt; heißen logmod-äquivalent modulo &lt;math&gt; 2\pi i &lt;/math&gt;, wenn gilt:
:&lt;math&gt;
w_1 - w_2 \in 2\pi i \cdot \mathbb{Z} := \{w\in \mathbb{C} \, : \, w=2\pi i \cdot k \mbox{ und } k\in \mathbb{Z} \}
&lt;/math&gt;

Formal notiert man diese Äquivalenz wie folgt:  

:&lt;math&gt;
w_1 \equiv w_2 \  \mathrm{logmod}\  {2\pi i}
&lt;/math&gt;

==== Aufgabe für Studierende ====
Zeigen Sie, dass diese Relation eine ''Äquivalenzrelation'' ist, d.h. die [[logmod-Funktion|logmod-Relation]] ist [[w:de:Äquivalenzrelation|reflexiv, symmetrisch und transitiv]].

=== Definition - logmod-Äquivalenzklasse ===
Für eine komplexe Zahl &lt;math&gt; w \in \mathbb{C} &lt;/math&gt; ist die Äquivalenzklasse definiert als:

:&lt;math&gt;
[w]_0 := \{ w + 2\pi i k \mid k \in \mathbb{Z} \}
&lt;/math&gt;

==== Bezeichnung - Äquivalenzklassenindex====
Die Indexierung mit &lt;math&gt; _0 &lt;/math&gt; deutet an, dass dies diese Äquivalenzklasse ohne Logarithmierung in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt; gebildet wurde. Bildet man rekursiv höhere Logarithmen als Verkettung entstehen Äquivalenzklassen &lt;math&gt;[w]_n&lt;/math&gt;, wobei &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-fach rekursiv der Logarithmus verkettet wird, falls dieser existiert.

== Verbindung mit der Exponentialfunktion ==

Da die Exponentialfunktion im Imaginärteil des Arguments eine Periodizität von &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; besitzt, entsprechen Äquivalenzklassen &lt;math&gt;[w]_0&lt;/math&gt; entsprechen einem Bildpunkt &lt;math&gt;z=e^w&lt;/math&gt;. Dieser Verbindung zwischen Exponentialfunktion und Logarithmus wird durch das LogMod-Äquivalenzklassenlemma festgehalten.

&lt;span id=&quot;logmod_Aequivalenzlemma&quot;&gt;&lt;/span&gt;
=== LogMod-Äquivalenzklassenlemma ===
Sei &lt;math&gt;w\in\mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;\mathrm{logmod}(w) = 0&lt;/math&gt; gegeben. Für eine feste komplexe Zahl &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; gilt folgende Äquivalenzaussage:
:&lt;math&gt;
 \exp(\widehat{w}) = z \quad \text{für alle } \widehat{w} \in [w]_0
 &lt;/math&gt;
genau dann, wenn &lt;math&gt; \exp(w) = z &lt;/math&gt;.

=== Beweis - LogMod-Äquivalenzlemma ===
Für &lt;math&gt; w\in \mathbb{D}_1 := \mathbb{R}\times i\cdot [0,2\pi)&lt;/math&gt; gelte &lt;math&gt;\exp(w)=z&lt;/math&gt;. Das LogMod-Äquivalenzlemma ist eine Äquivalenzaussage. Daher werden zwei Beweisrichtungen gezeigt:
\mbox{}
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{array}{llcl}
\mbox{ (LML1) }
 &amp; 
 \exp(\widehat{w}) = z  
 &amp;  
 \quad \Longrightarrow \quad 
 &amp; 
 \widehat{w} \in [w]_0
  \\ 
\mbox{ (LML2) }
 &amp; 
 \widehat{w} \in [w]_0
 &amp;  
 \quad \Longrightarrow \quad 
 &amp; 
 \exp(\widehat{w}) = z  
  \\ 
 \end{array}  
&lt;/math&gt;

==== Schritt 1 - Beweisrichtung LML1 ====
Sei &lt;math&gt; \widehat{w} \in \mathbb{C} &lt;/math&gt; mit &lt;math&gt; \exp(\widehat{w}) = z &lt;/math&gt; beliebig gewählt. Dann gilt mit der Voraussetzung &lt;math&gt; \exp(w) = z \not= 0&lt;/math&gt; und Potenzgesetzen:
:&lt;math&gt;
 1 = \frac{z}{z} = \frac{\widehat{w}}{\exp(\exp(w))} = \exp(\widehat{w}-w)
 &lt;/math&gt;
Die Gleichung &lt;math&gt;1 = \exp(\widehat{w}-w)&lt;/math&gt; gilt genau dann, wenn &lt;math&gt; w-\widehat{w} = 2\pi i \cdot k&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;k \in \mathbb{Z}&lt;/math&gt;. 

==== Schritt 2 - Beweisrichtung LML1 ====
Damit gilt auch  &lt;math&gt; w = \widehat{w} + 2\pi i \cdot k &lt;/math&gt;. Die ganze Zahl &lt;math&gt; k\in \mathbb{Z} &lt;/math&gt; ist durch die [[logmod-Funktion]] und es gilt &lt;math&gt;k= \mathrm{logmod}(\widehat{w})&lt;/math&gt;, da &lt;math&gt; w\in \mathbb{D}_1 = \mathbb{R} + i\cdot [0,2\pi) &lt;/math&gt; nach Voraussetzung gilt und man erhält &lt;math&gt;\widehat{w} \in [w]_0&lt;/math&gt;.

==== Schritt 3 - Äquivalenzklasse gegeben LML2 ====
Sei umgekehrt &lt;math&gt;\widehat{w} \in [w]_0&lt;/math&gt; gegeben. Dann gibt es nach Definition der Äquivalenzklasse ein &lt;math&gt; k := logmod(\widehat{w})\in \mathbb{Z} &lt;/math&gt; mit der Eigenschaft  &lt;math&gt;\widehat{w}:= w + 2\pi i k&lt;/math&gt;. Nun wen man diese Darstellung von &lt;math&gt;\widehat{w}&lt;/math&gt; auf die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] an und verwendet Periodizität &lt;math&gt;\exp&lt;/math&gt; bzgl. &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; und erhält:
:&lt;math&gt;
 \exp(\widehat{w}) =  \exp(w + 2\pi i k) = \exp(w) \cdot \exp(2\pi i k) = z \cdot 1 = z
&lt;/math&gt;

==== Schritt 4 - LML2 ====
Da &lt;math&gt;\widehat{w} \in [w]_0&lt;/math&gt; beliebig gewählt wurde, gilt für alle  &lt;math&gt; \widehat{w} \in [w]_0 &lt;/math&gt; die Eigenschaft &lt;math&gt; \exp(\widehat{w}) = z &lt;/math&gt; und zusammen mit LML1 gilt die Äquivalenzaussage aus dem Lemma &lt;math&gt;\quad \Box&lt;/math&gt;.

=== Folgerung - LogMod-Äquivalenzklassenlemma ====  
Fasst man zu einem gegebenen &lt;math&gt;z\in \mathbb{C}\setminus\{0\}&lt;/math&gt; die Menge alle komplexen Zahlen &lt;math&gt; \widehat{w} \in \mathbb{C} &lt;/math&gt; zu einer Menge zusammen, die die Eigenschaft &lt;math&gt; \exp(\widehat{w}) = z &lt;/math&gt; erfüllen, so erhält man die Äquivalenzklasse &lt;math&gt; [w]_0 &lt;/math&gt;, wobei &lt;math&gt; w &lt;/math&gt; eine beliebige Lösung von &lt;math&gt; \exp(w) = z &lt;/math&gt; ist. 

==== Bemerkung - LogMod-Äquivalenzklassenlemma ====  
Für die Äquivalenzklassenanalyse spielt das Repräsentatensystem &lt;math&gt;\mathbb{D}_1= \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi)&lt;/math&gt; eine besondere Rolle. DasRepräsentatensystem &lt;math&gt;\mathbb{D}_1&lt;/math&gt; entsteht durch [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus|algebraische Vervollständigkeit]] des [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweiges]] des [[Logarithmus]].

== Äquivalenzklassenaddition ==
Um die aus der reellen Analysis bekannten Rechenregeln auf Logarithmen in den komplexen Zahlen verwenden zu können werden Äquivalenzklassen verwendet.  Die Struktur und Gültigkeit der Rechenregeln wird in diesem Teil der Lerneinheit genauer untersucht.

=== komplexe Logarithmus als Lösungsmenge ===
Der komplexe Äquivalenzklassen-Logarithmus von &lt;math&gt; z &lt;/math&gt; bildet nicht auf ein Element in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt; ab, sondern auf ein Teilmenge von &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt;. Dies führt im weiteren Verlauf der Lehrveranstaltung zum Begriff des [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarithmus]]. Sei &lt;math&gt;w \in \mathbb{C}&lt;/math&gt; beliebig gewählt, dann definiert man &lt;math&gt;w_0 := w - \mathrm{logmod}(w)\cdot 2\pi i \in \mathbb{D}_1&lt;/math&gt; als Repräsentant der [[logmod-Äquivalenzklassen|Äquivalenzklasse]] &lt;math&gt; [w]_0&lt;/math&gt;.
:&lt;math&gt;
 \mathrm{lnr}_1(z) := \{ w \in \mathbb{C} \mid \exp(w) = z \} = [w]_0
&lt;/math&gt;
für ein beliebiges &lt;math&gt; w_0 \in \mathbb{D}_1 := \mathbb{R}+ i\cdot [0,2\pi)&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt; \exp(w_0) = z &lt;/math&gt;.

==== Beispiel 1 - Neutrales Element für Äquivalenklassenaddition ====
Algebraisch wird später &lt;math&gt;\mathbb{D}_1&lt;/math&gt; mit einer inneren Verknüpfung &lt;math&gt;\oplus&lt;/math&gt; zu einer kommunitative Gruppe. Daher wird das [[w:de:neutrales Element|neutrale Element]] von &lt;math&gt;\oplus&lt;/math&gt; als Beispieläquivalenzklasse genannt und in Beziehung zum Logarithmus gesetzt. Für &lt;math&gt; z = 1 &lt;/math&gt; ist der komplexe rekursive Logarithmus 
:&lt;math&gt; 
   \mathrm{lnr}_1(1) = \{ 2\pi i k \, : \,  k \in \mathbb{Z} \} = [0]_0 
&lt;/math&gt;

==== Beispiel 2 - Logarithmus der imaginären Einheit ====
Da zunächst die [[rekursiver Logarithmus|rekursive komplexe Logarithmen]] von elementaren komplexen Zahlen genannt. Wählt man &lt;math&gt; z = i &lt;/math&gt; so gilt &lt;math&gt; \exp\left(i \tfrac{\pi}{2}\right) = i &lt;/math&gt; und &lt;math&gt;i\tfrac{\pi}{2} \in \mathbb{D}_1&lt;/math&gt;. Bildet man nun den von  [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarithmus]] von  &lt;math&gt; z = i &lt;/math&gt; erhält man:

:&lt;math&gt;
  \mathrm{lnr}_1(i) = \left\{ i \left( \frac{\pi}{2} + 2\pi k \right) \mid k \in \mathbb{Z} \right\} = \left[ i \frac{\pi}{2} \right]_0 
&lt;/math&gt;

==== Beispiel 3 - rekursiver Logarithmus von -1 ====
Ablschießend wird auch noch der [[rekursiver Logarithmus|rekursive komplexe Logarithmen]] von &lt;math&gt; z = -1 &lt;/math&gt; genannt. Wegen &lt;math&gt; \exp\left(i \pi \right) = -1 &lt;/math&gt; und &lt;math&gt;i \pi \in \mathbb{D}_1=\mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi) &lt;/math&gt; erhält man:

:&lt;math&gt;
  \mathrm{lnr}_1(-1) = \left\{ i \left( \pi + 2\pi k \right) \mid k \in \mathbb{Z} \right\} = \left[ i \pi \right]_0 
&lt;/math&gt;

=== Repräsentantensystem ===

Um einen eindeutigen Funktionswert als Äquivalenzklasse zu erhalten, wählt man eine spezielles Repräsentantensystem &lt;math&gt;\mathbb{D}_1:= \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi) \subset \mathbb{C}&lt;/math&gt; um alle Äquivalenzklassen darstellen zu können. Dabei wird die [[logmod-Funktion]] verwendet, um für eine beliebige komplexe Zahl &lt;math&gt;w\in \mathbb{C}&lt;/math&gt; die zugehörigen Repräsentanten &lt;math&gt;w_0 \in\mathbb{D}_1&lt;/math&gt; über &lt;math&gt; w_0 = w - 2\pi i \cdot \mathrm{logmod}(w)&lt;/math&gt; zu bestimmen.

&lt;span id=&quot;Definition&quot;&gt;
=== Definition - logmod-Äquivalenzklassenaddition ===

Für &lt;math&gt; z_1,z_2 \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; und  &lt;math&gt;w_1,w_2 \in\mathbb{D}_1&lt;/math&gt; gelte &lt;math&gt;\exp(z_1)=w_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\exp(z_2)=w_2&lt;/math&gt;. Man definiert nun die Äquivalenzklassenaddition &lt;math&gt;(\mathbb{D}_1,\oplus)&lt;/math&gt; wie folgt.
:&lt;math&gt;
[w_1]_0 \oplus [w_2]_0 := [w_1 + w_2]_0
&lt;/math&gt;

==== Bemerkung - Repräsentant der Äquivalenzklasse ====
Der Repräsentant &lt;math&gt;w_1 + w_2 &lt;/math&gt; der Äquivalenzklasse 
wobei &lt;math&gt;[w_1 + w_2]_0 &lt;/math&gt; liegt nicht notwendigerweise auch in &lt;math&gt;\mathbb{D}_1&lt;/math&gt;, was das folgende Beispiel zeigt.

==== Beispiel - Repräsentant bei additiver Verknüpfung ====
Wählt man &lt;math&gt; z_1 = z_2 = -i &lt;/math&gt;, so erhält man &lt;math&gt; w_1 = w_2 = \tfrac{3}{2}\pi i \in \mathbb{D}_1 &lt;/math&gt; und es gilt &lt;math&gt; w_1 + w_2 = 3\pi i \notin \mathbb{D}_1 &lt;/math&gt;. Möchte man den zugehörigen Repräsentanten aus &lt;math&gt;\mathbb{D}_1 &lt;/math&gt; bestimmen, verwendet man wieder die [[logmod-Funktion]]:
:&lt;math&gt;
[w_1]_0 \oplus [w_2]_0  = [w_1 + w_2]_0 = [w]_0 
&lt;/math&gt;
mit &lt;math&gt; w = w_1+w_2 - 2\pi i \cdot \mathrm{logmod}(w_1+w_2)&lt;/math&gt;

==== Bemerkung - Notation ====
Für die Addition &lt;math&gt;\oplus&lt;/math&gt; der [[logmod-Äquivalenzklassen]] wird zur Abgrenzung zu additiven Verknüpfung in &lt;math&gt;+&lt;/math&gt; in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt; das Symbol &lt;math&gt;\oplus&lt;/math&gt; verwendet.
:&lt;math&gt;
\left[ 1+\frac{3}{2}\pi i \right]_0 \oplus \left[5+\frac{1}{2}\pi i \right]_0 = \left[ \left(1+\frac{3}{2}\pi i\right)  + \left(5+\frac{1}{2}\pi i\right) \right]_0 = [6+2\pi i]_0 = [6]_0 
&lt;/math&gt;
Im linken Term werden zwei Äquivalenzklassen addiert (daher &lt;math&gt;\oplus&lt;/math&gt;) und in den beiden rechten Termen ist das Standardaddition in den komplexen Zahlen.

== Rechenregeln für Äquivalenzklassen ==
Zunächst einmal muss man kurz die Repräsentantenunabhängigkeit der Äquivalenzklassenaddition auf &lt;math&gt;[\mathbb{D}_1]_0&lt;/math&gt; überprüfen. Dabei ist &lt;math&gt;\oplus&lt;/math&gt; eine innere Verknüpfung auf  &lt;math&gt;[\mathbb{D}_1]_0&lt;/math&gt; der Form:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rrcl}
   f: &amp; [\mathbb{D}_1]_0 \times [\mathbb{D}_1]_0 &amp; \rightarrow &amp; [\mathbb{D}_1]_0\\ 
    &amp;  \left( [w_1]_0,[w_2]_0 \right)  &amp; \mapsto &amp; [w_1]_0 \oplus [w_2]_0 =  [w_1+w_2]_0 =
    \\
    &amp; &amp; &amp; 
    \bigg[\, \underbrace{w_1+w_2 - \mathrm{logmod}(w_1+w_2) \cdot 2\pi i}_{\in \mathbb{D}_1}\,\bigg]_0 
  \end{array}  

&lt;/math&gt;
Dabei beschreibt &lt;math&gt;[\mathbb{D}_1]_0 = \{ [w]_0 \, \colon \, w\in \mathbb{D}_1 \}&lt;/math&gt; die Menge aller [[logmod-Äquivalenzklassen]] mit dem Repräsentantensystem &lt;math&gt;\mathbb{D}_1&lt;/math&gt;. 

&lt;hr&gt;
&lt;span id=&quot;Repraesentantenunabhaengigkeit&quot;&gt;&lt;/span&gt;
=== Lemma zur Repräsentantenunabhängigkeit ===
Die innere additive Verknüpfung &lt;math&gt; ([\mathbb{D}_1]_0 , \oplus)&lt;/math&gt; auf den [[logmod-Äquivalenzklassen]] ist repräsentantenunabhängig.

=== Beweis - Lemma zur Repräsentantenunabhängigkeit ===
Die Beweisidee der Repräsentantenunabhängigkeit beruht auf der Auswahl von zwei beliebigen unterschiedlichen Repräsentanten &lt;math&gt;w_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\widehat{w_1}&lt;/math&gt; bzw. &lt;math&gt;w_2&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\widehat{w_2}&lt;/math&gt; und man zeigt dann die Addition mit &lt;math&gt;\oplus&lt;/math&gt; für die [[logmod-Äquivalenzklassen]] die gleiche Äquivalenzklasse &lt;math&gt;[w_1+w_2]_0=[\widehat{w_1}+\widehat{w_2}]_0&lt;/math&gt; liefert.

==== Beweisschritt 1 - Wahl der Repräsentanten ====
Seien &lt;math&gt;w_1,w_2 \in \mathbb{D}_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;k_1, k_2 \in \mathbb{Z}&lt;/math&gt; beliebig gewählt, dann sind &lt;math&gt;\widehat{w_1}=2\pi i\cdot k_1 &lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\widehat{w_2}=2\pi i\cdot k_2 &lt;/math&gt; weitere Repräsentanten der [[logmod-Äquivalenzklassen]]  &lt;math&gt;[w_1]_0,[w_2]_0 \in [\mathbb{D}_1]_0&lt;/math&gt; und es gilt:
:&lt;math&gt;
[w_1]_0  = [\widehat{w_1}]_0 \quad [w_2]_0 = [\widehat{w_2}]_0
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 2 - Definition der Addition anwenden ====
Nach Definition der Addition von [[logmod-Äquivalenzklassen]] gilt:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
 [\widehat{w_1}]_0 \oplus [\widehat{w_1}]_0 &amp; = &amp;  
 [\widehat{w_1} + \widehat{w_1}]_0
 \\ 
 &amp; = &amp; 
 [w_1+w_2+ (k_1+k_2)\cdot 2\pi i]_0 = [w_1+w_2]_0
  \\ 
 \end{array}  
&lt;/math&gt;
Damit ist die Addition von [[logmod-Äquivalenzklassen]] repräsentantenunabhängig. &lt;math&gt;\quad \Box&lt;/math&gt;

==== Bemerkung - Exponentialfunktion und Zweige des Logarithmus ====
Sei &lt;math&gt;G\subset \mathbb{C}&lt;/math&gt; ein [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängendes]] [[Gebiet (Mathematik)|
Gebiet]] mit &lt;math&gt;0\notin G&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;w_0\in \mathbb{D}_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt; \exp(w_0)=z_0&lt;/math&gt; für ein mit &lt;math&gt;z_0 \in G \subset \mathbb{C}\setminus \{0\}&lt;/math&gt;. Durch die Festlegung von &lt;math&gt;\log_G(z_0)=w_0&lt;/math&gt; ist der Zweig &lt;math&gt;\log_{G}&lt;/math&gt; als [[generalisierter Logarithmus]]  bereits auf ganz &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; definiert (siehe [[Identitätssatz]] und &lt;math&gt;\exp(\log_G(z)) = z&lt;/math&gt;). Bei der [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus|algebraischen Vervollständigung des Zweiges eines Logarithmus]] verliert man die Eigenschaft der [[holomorphe Funktion|Holomorphie]] und sogar der [[Stetigkeit]]. Sei   Man muss daher [[Zweige des Logarithmus]] von der Definition eine [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarthmus]] trennen.
* &lt;math&gt; \exp(\log_G(z)) = z &lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt; z \in G \subset \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt;
* &lt;math&gt; \log_G(\exp(w)) = z+2\pi i \cdot k &lt;/math&gt; für  &lt;math&gt; w \in \mathbb{C} &lt;/math&gt; und ein existierendes &lt;math&gt;k\in \mathbb{Z} &lt;/math&gt; für &lt;math&gt;w&lt;/math&gt;.

==== Äquivalenzklassen als Wertebereich ====
Der rekursive Logarithmus &lt;math&gt; \mathrm{lnr}_1(z) = [w]_0&lt;/math&gt; liefert als Funktionswert '''keine Zahl''', sondern eine '''Äquivalenzklasse'''. Diese ist selbst ein Element der [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelschen Sigma-Algebra]] &lt;math&gt;\mathcal{B}(\mathbb{C})&lt;/math&gt; als abzählbare Vereingigung von Einpunktmenge der Form &lt;math&gt;w+k\cdot 2\pi i&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;k\in \mathbb{Z} &lt;/math&gt; .

=== Multiplikation von Äquivalenzklassen ===

Für &lt;math&gt; z_1, z_2 \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt;:


:&lt;math&gt;
\log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2)
&lt;/math&gt;

&gt; '''Interpretation:'''  
&gt; Die Summe zweier Äquivalenzklassen ist definiert als:
&gt; 
:&lt;math&gt;
&gt; [w_1]_0 + [w_2]_0 := [w_1 + w_2]_0
&gt; &lt;/math&gt;
&gt; und es gilt:
&gt; 
:&lt;math&gt;
&gt; \log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2)
&gt; &lt;/math&gt;

&gt; '''Beispiel:'''  
&gt; &lt;math&gt; z_1 = i &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; z_2 = i &lt;/math&gt; → &lt;math&gt; z_1 z_2 = -1 &lt;/math&gt;  
&gt; &lt;math&gt; \log(i) = \left[ i \frac{\pi}{2} \right]_0 &lt;/math&gt;,  
&gt; &lt;math&gt; \log(i) + \log(i) = \left[ i \pi \right]_0 &lt;/math&gt;,  
&gt; &lt;math&gt; \log(-1) = \left[ i \pi \right]_0 &lt;/math&gt; → stimmt.

---

=== (3) Potenzen und Logarithmus ===

Für &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; a \in \mathbb{C} &lt;/math&gt;:


:&lt;math&gt;
\log(z^a) = a \cdot \log(z) + 2\pi i k \quad \text{für ein } k \in \mathbb{Z}
&lt;/math&gt;

&gt; '''Aber:''' In der Äquivalenzklassen-Sicht gilt:
&gt; 
:&lt;math&gt;
&gt; \log(z^a) = a \cdot \log(z)
&gt; &lt;/math&gt;
&gt; wobei die Multiplikation einer Äquivalenzklasse mit einer komplexen Zahl definiert ist als:
&gt; 
:&lt;math&gt;
&gt; a \cdot [w]_0 := [a w]_0
&gt; &lt;/math&gt;

&gt; '''Beispiel:'''  
&gt; &lt;math&gt; z = i &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; a = 2 &lt;/math&gt; → &lt;math&gt; z^a = -1 &lt;/math&gt;  
&gt; &lt;math&gt; \log(z^a) = \log(-1) = [i\pi]_0 &lt;/math&gt;  
&gt; &lt;math&gt; a \cdot \log(z) = 2 \cdot [i \pi/2]_0 = [i\pi]_0 &lt;/math&gt; → stimmt.

---

=== (4) Addition von Logarithmen ===


:&lt;math&gt;
\log(z_1) + \log(z_2) = \log(z_1 z_2)
&lt;/math&gt;

&gt; '''Achtung:''' Dies ist '''nicht''' immer wahr, wenn man '''nicht''' mit Äquivalenzklassen arbeitet!  
&gt; Aber '''in der Klassen-Sicht''' ist es '''richtig'''.

&gt; '''Warum?''' Weil die Addition von Klassen kommutativ und assoziativ ist.

---

== 7. Zusammenhang mit Logarithmenzweigen ==

Ein '''Logarithmenzweig''' ist eine '''stetige Auswahl''' von Werten aus &lt;math&gt; \log(z) &lt;/math&gt;, d. h. eine Funktion &lt;math&gt; L: G \to \mathbb{C} &lt;/math&gt;, sodass &lt;math&gt; \exp(L(z)) = z &lt;/math&gt; und &lt;math&gt; L &lt;/math&gt; stetig auf einem Gebiet &lt;math&gt; G \subseteq \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt;.

&gt; '''Beispiel:'''  
&gt; Der '''Hauptzweig''' &lt;math&gt; \text{Log}(z) &lt;/math&gt; ist ein Logarithmenzweig auf &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus (-\infty, 0] &lt;/math&gt;.

&gt; '''Jeder Logarithmenzweig''' &lt;math&gt; L &lt;/math&gt; wählt '''einen Repräsentanten''' aus jeder Äquivalenzklasse &lt;math&gt; [w]_0 &lt;/math&gt;, nämlich &lt;math&gt; L(z) \in [w]_0 &lt;/math&gt;.

&gt; '''Zusammenhang:'''  
&gt; Die Menge aller Logarithmenzweige entspricht '''der Wahl einer Schnittlinie''' (Branch Cut), die verhindert, dass man um den Ursprung herumwandert und die Klasse wechselt.

---

== 8. Zusammenfassung: Struktur der Logarithmen ==

| Konzept | Beschreibung |
|--------|--------------|
| '''Äquivalenzklasse''' &lt;math&gt; [w]_0 &lt;/math&gt; | Menge aller &lt;math&gt; w + 2\pi i k &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; k \in \mathbb{Z} &lt;/math&gt; |
| '''Logarithmus von &lt;math&gt; z &lt;/math&gt;''' | &lt;math&gt; \log(z) = [w]_0 &lt;/math&gt;, wobei &lt;math&gt; \exp(w) = z &lt;/math&gt; |
| '''Hauptzweig''' | &lt;math&gt; \text{Log}(z) \in \log(z) &lt;/math&gt;, mit &lt;math&gt; \text{Arg}(z) \in (-\pi, \pi] &lt;/math&gt; |
| '''Rechenregeln''' | &lt;math&gt; \log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2) &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; \log(z^a) = a \cdot \log(z) &lt;/math&gt; (in Klassen) |
| '''Exponentialfunktion''' | &lt;math&gt; \exp(\log(z)) = z &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; \log(\exp(w)) = [w]_0 &lt;/math&gt; |

---

== 9. Übungsaufgaben ==

1. Zeige, dass &lt;math&gt; \log(-1) = [i\pi]_0 &lt;/math&gt;.
2. Berechne &lt;math&gt; \log(i) + \log(i) &lt;/math&gt; und vergleiche mit &lt;math&gt; \log(-1) &lt;/math&gt;.
3. Zeige, dass &lt;math&gt; \log(z^2) = 2 \log(z) &lt;/math&gt; in der Klassen-Sicht gilt.
4. Warum ist &lt;math&gt; \log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2) &lt;/math&gt; '''nicht''' immer wahr, wenn man nur Zahlen verwendet?
5. Definiere einen anderen Logarithmenzweig auf &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus [0, \infty) &lt;/math&gt;, der &lt;math&gt; \log(z) \in [i \cdot 0]_0 &lt;/math&gt; für &lt;math&gt; z = 1 &lt;/math&gt; wählt.

---

== Lernziel ==

Du kannst:
* den komplexen Logarithmus als '''Äquivalenzklasse''' verstehen,
* die '''Rechenregeln''' für Logarithmen in der Klassen-Sicht korrekt anwenden,
* den Zusammenhang zwischen '''Exponentialfunktion''', '''Logarithmenzweigen''' und '''Äquivalenzklassen''' erklären,
* die '''Mehrdeutigkeit''' des Logarithmus strukturiert darstellen.

---

'''Ende der Lerneinheit'''

&gt; '''Zusammenfassungssatz:'''  
&gt; *Der komplexe Logarithmus von &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; ist die Äquivalenzklasse &lt;math&gt; [w]_0 &lt;/math&gt;, wobei &lt;math&gt; \exp(w) = z &lt;/math&gt;. Diese Klasse ist genau die Menge aller Lösungen von &lt;math&gt; \exp(w) = z &lt;/math&gt;. Alle Rechenregeln gelten in der Klassen-Sicht: &lt;math&gt; \log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2) &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; \log(z^a) = a \cdot \log(z) &lt;/math&gt;, und &lt;math&gt; \exp(\log(z)) = z &lt;/math&gt;.*
== Siehe auch ==
* [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexer Logarithmus]]
* [[logmod-Äquivalenzklassen]]
* [[logmod-Funktion]]
* [[negativer Hauptzweig des Logarithmus]]</text>
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    <revision>
      <id>1116184</id>
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      <timestamp>2026-10-15T11:54:22Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bert Niehaus</username>
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      </contributor>
      <comment>/* Multiplikation von Äquivalenzklassen */</comment>
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      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="22114" sha1="h3ftcf5wj4ajanplvsqwg0euci8vfeo" xml:space="preserve">== Einleitung == 
Diese Lerneinheit zu [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmen]] beschäftigt sich Äquivalenzklassen, deren Struktur und  Rechenregeln, die durch den Zusammenhang mit der Exponentialfunktion und deren imaginärer &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt;-Periodizität entsteht. Die Äquivalenzklassen helfen dabei, [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen#Rechenregeln|Rechenregeln]] aus den reellen Zahl für den [[Logarithmus]] auf den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexen Logarithmus]] bzw. deren Zweige zu übertragen. Die [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus]] spielt dabei bijektive Abbildungen eine besondere Rolle.

=== Periodizität der Exponentialfunktion ===

Der komplexe Logarithmus kann nicht eindeutig als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion &lt;math&gt; \exp: \mathbb{C} \to \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; festgelegt werden, da u.a. die Exponentialfunktion nicht injektiv ist und ein [[Zweig des Logarithmus]] von der Wahl des [[einfach zusammenhängend]]en Gebietes abhängt, auf dem der Logarithmus definiert ist. Es gilt für [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]]:
:&lt;math&gt;
\exp(w + 2\pi i) = \exp(w) = z\quad \text{für alle } w \in \mathbb{C}
&lt;/math&gt;

Daher gibt es unendlich viele komplexe Zahlen &lt;math&gt; w &lt;/math&gt;, die auf dieselbe Zahl &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; abgebildet werden. Diese Mehrdeutigkeit ist die Motivation, um Äquivalenzklassen zu bilden.

=== Behandelt Aspekte in der Lerneinheit ===
*  '''[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen#logmod_Aequivalenzlemma|LogMod-Äquivalenzklassenlemma]]:''' Beziehung Exponentialfunktion und Zweigen des Logarithmus
* '''[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen#Repraesentantenunabhaengigkeit|Repräsentantenunabhängigkeit]]''' für die Addition von [[logmod-Äquivalenzklassen]]

== Äquivalenzklassen des Logarithmus ==
Um Äquivalenzklassen zu bilden, benötigt man eine Äquivalenzrelation als Teilmenge von &lt;math&gt;\mathbb{C}\times \mathbb{C} &lt;/math&gt;, die zwei Elemente &lt;math&gt; w_1, w_2 \in \mathbb{C} &lt;/math&gt;, wenn deren Differenz ein ganzzahliges Vielfaches von &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; ist.

=== Definition - logmod-Äquivalenzrelation ===
Zwei komplexe Zahlen &lt;math&gt; w_1, w_2 \in \mathbb{C} &lt;/math&gt; heißen logmod-äquivalent modulo &lt;math&gt; 2\pi i &lt;/math&gt;, wenn gilt:
:&lt;math&gt;
w_1 - w_2 \in 2\pi i \cdot \mathbb{Z} := \{w\in \mathbb{C} \, : \, w=2\pi i \cdot k \mbox{ und } k\in \mathbb{Z} \}
&lt;/math&gt;

Formal notiert man diese Äquivalenz wie folgt:  

:&lt;math&gt;
w_1 \equiv w_2 \  \mathrm{logmod}\  {2\pi i}
&lt;/math&gt;

==== Aufgabe für Studierende ====
Zeigen Sie, dass diese Relation eine ''Äquivalenzrelation'' ist, d.h. die [[logmod-Funktion|logmod-Relation]] ist [[w:de:Äquivalenzrelation|reflexiv, symmetrisch und transitiv]].

=== Definition - logmod-Äquivalenzklasse ===
Für eine komplexe Zahl &lt;math&gt; w \in \mathbb{C} &lt;/math&gt; ist die Äquivalenzklasse definiert als:

:&lt;math&gt;
[w]_0 := \{ w + 2\pi i k \mid k \in \mathbb{Z} \}
&lt;/math&gt;

==== Bezeichnung - Äquivalenzklassenindex====
Die Indexierung mit &lt;math&gt; _0 &lt;/math&gt; deutet an, dass dies diese Äquivalenzklasse ohne Logarithmierung in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt; gebildet wurde. Bildet man rekursiv höhere Logarithmen als Verkettung entstehen Äquivalenzklassen &lt;math&gt;[w]_n&lt;/math&gt;, wobei &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-fach rekursiv der Logarithmus verkettet wird, falls dieser existiert.

== Verbindung mit der Exponentialfunktion ==

Da die Exponentialfunktion im Imaginärteil des Arguments eine Periodizität von &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; besitzt, entsprechen Äquivalenzklassen &lt;math&gt;[w]_0&lt;/math&gt; entsprechen einem Bildpunkt &lt;math&gt;z=e^w&lt;/math&gt;. Dieser Verbindung zwischen Exponentialfunktion und Logarithmus wird durch das LogMod-Äquivalenzklassenlemma festgehalten.

&lt;span id=&quot;logmod_Aequivalenzlemma&quot;&gt;&lt;/span&gt;
=== LogMod-Äquivalenzklassenlemma ===
Sei &lt;math&gt;w\in\mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;\mathrm{logmod}(w) = 0&lt;/math&gt; gegeben. Für eine feste komplexe Zahl &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; gilt folgende Äquivalenzaussage:
:&lt;math&gt;
 \exp(\widehat{w}) = z \quad \text{für alle } \widehat{w} \in [w]_0
 &lt;/math&gt;
genau dann, wenn &lt;math&gt; \exp(w) = z &lt;/math&gt;.

=== Beweis - LogMod-Äquivalenzlemma ===
Für &lt;math&gt; w\in \mathbb{D}_1 := \mathbb{R}\times i\cdot [0,2\pi)&lt;/math&gt; gelte &lt;math&gt;\exp(w)=z&lt;/math&gt;. Das LogMod-Äquivalenzlemma ist eine Äquivalenzaussage. Daher werden zwei Beweisrichtungen gezeigt:
\mbox{}
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{array}{llcl}
\mbox{ (LML1) }
 &amp; 
 \exp(\widehat{w}) = z  
 &amp;  
 \quad \Longrightarrow \quad 
 &amp; 
 \widehat{w} \in [w]_0
  \\ 
\mbox{ (LML2) }
 &amp; 
 \widehat{w} \in [w]_0
 &amp;  
 \quad \Longrightarrow \quad 
 &amp; 
 \exp(\widehat{w}) = z  
  \\ 
 \end{array}  
&lt;/math&gt;

==== Schritt 1 - Beweisrichtung LML1 ====
Sei &lt;math&gt; \widehat{w} \in \mathbb{C} &lt;/math&gt; mit &lt;math&gt; \exp(\widehat{w}) = z &lt;/math&gt; beliebig gewählt. Dann gilt mit der Voraussetzung &lt;math&gt; \exp(w) = z \not= 0&lt;/math&gt; und Potenzgesetzen:
:&lt;math&gt;
 1 = \frac{z}{z} = \frac{\widehat{w}}{\exp(\exp(w))} = \exp(\widehat{w}-w)
 &lt;/math&gt;
Die Gleichung &lt;math&gt;1 = \exp(\widehat{w}-w)&lt;/math&gt; gilt genau dann, wenn &lt;math&gt; w-\widehat{w} = 2\pi i \cdot k&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;k \in \mathbb{Z}&lt;/math&gt;. 

==== Schritt 2 - Beweisrichtung LML1 ====
Damit gilt auch  &lt;math&gt; w = \widehat{w} + 2\pi i \cdot k &lt;/math&gt;. Die ganze Zahl &lt;math&gt; k\in \mathbb{Z} &lt;/math&gt; ist durch die [[logmod-Funktion]] und es gilt &lt;math&gt;k= \mathrm{logmod}(\widehat{w})&lt;/math&gt;, da &lt;math&gt; w\in \mathbb{D}_1 = \mathbb{R} + i\cdot [0,2\pi) &lt;/math&gt; nach Voraussetzung gilt und man erhält &lt;math&gt;\widehat{w} \in [w]_0&lt;/math&gt;.

==== Schritt 3 - Äquivalenzklasse gegeben LML2 ====
Sei umgekehrt &lt;math&gt;\widehat{w} \in [w]_0&lt;/math&gt; gegeben. Dann gibt es nach Definition der Äquivalenzklasse ein &lt;math&gt; k := logmod(\widehat{w})\in \mathbb{Z} &lt;/math&gt; mit der Eigenschaft  &lt;math&gt;\widehat{w}:= w + 2\pi i k&lt;/math&gt;. Nun wen man diese Darstellung von &lt;math&gt;\widehat{w}&lt;/math&gt; auf die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] an und verwendet Periodizität &lt;math&gt;\exp&lt;/math&gt; bzgl. &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt; und erhält:
:&lt;math&gt;
 \exp(\widehat{w}) =  \exp(w + 2\pi i k) = \exp(w) \cdot \exp(2\pi i k) = z \cdot 1 = z
&lt;/math&gt;

==== Schritt 4 - LML2 ====
Da &lt;math&gt;\widehat{w} \in [w]_0&lt;/math&gt; beliebig gewählt wurde, gilt für alle  &lt;math&gt; \widehat{w} \in [w]_0 &lt;/math&gt; die Eigenschaft &lt;math&gt; \exp(\widehat{w}) = z &lt;/math&gt; und zusammen mit LML1 gilt die Äquivalenzaussage aus dem Lemma &lt;math&gt;\quad \Box&lt;/math&gt;.

=== Folgerung - LogMod-Äquivalenzklassenlemma ====  
Fasst man zu einem gegebenen &lt;math&gt;z\in \mathbb{C}\setminus\{0\}&lt;/math&gt; die Menge alle komplexen Zahlen &lt;math&gt; \widehat{w} \in \mathbb{C} &lt;/math&gt; zu einer Menge zusammen, die die Eigenschaft &lt;math&gt; \exp(\widehat{w}) = z &lt;/math&gt; erfüllen, so erhält man die Äquivalenzklasse &lt;math&gt; [w]_0 &lt;/math&gt;, wobei &lt;math&gt; w &lt;/math&gt; eine beliebige Lösung von &lt;math&gt; \exp(w) = z &lt;/math&gt; ist. 

==== Bemerkung - LogMod-Äquivalenzklassenlemma ====  
Für die Äquivalenzklassenanalyse spielt das Repräsentatensystem &lt;math&gt;\mathbb{D}_1= \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi)&lt;/math&gt; eine besondere Rolle. DasRepräsentatensystem &lt;math&gt;\mathbb{D}_1&lt;/math&gt; entsteht durch [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus|algebraische Vervollständigkeit]] des [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweiges]] des [[Logarithmus]].

== Äquivalenzklassenaddition ==
Um die aus der reellen Analysis bekannten Rechenregeln auf Logarithmen in den komplexen Zahlen verwenden zu können werden Äquivalenzklassen verwendet.  Die Struktur und Gültigkeit der Rechenregeln wird in diesem Teil der Lerneinheit genauer untersucht.

=== komplexe Logarithmus als Lösungsmenge ===
Der komplexe Äquivalenzklassen-Logarithmus von &lt;math&gt; z &lt;/math&gt; bildet nicht auf ein Element in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt; ab, sondern auf ein Teilmenge von &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt;. Dies führt im weiteren Verlauf der Lehrveranstaltung zum Begriff des [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarithmus]]. Sei &lt;math&gt;w \in \mathbb{C}&lt;/math&gt; beliebig gewählt, dann definiert man &lt;math&gt;w_0 := w - \mathrm{logmod}(w)\cdot 2\pi i \in \mathbb{D}_1&lt;/math&gt; als Repräsentant der [[logmod-Äquivalenzklassen|Äquivalenzklasse]] &lt;math&gt; [w]_0&lt;/math&gt;.
:&lt;math&gt;
 \mathrm{lnr}_1(z) := \{ w \in \mathbb{C} \mid \exp(w) = z \} = [w]_0
&lt;/math&gt;
für ein beliebiges &lt;math&gt; w_0 \in \mathbb{D}_1 := \mathbb{R}+ i\cdot [0,2\pi)&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt; \exp(w_0) = z &lt;/math&gt;.

==== Beispiel 1 - Neutrales Element für Äquivalenklassenaddition ====
Algebraisch wird später &lt;math&gt;\mathbb{D}_1&lt;/math&gt; mit einer inneren Verknüpfung &lt;math&gt;\oplus&lt;/math&gt; zu einer kommunitative Gruppe. Daher wird das [[w:de:neutrales Element|neutrale Element]] von &lt;math&gt;\oplus&lt;/math&gt; als Beispieläquivalenzklasse genannt und in Beziehung zum Logarithmus gesetzt. Für &lt;math&gt; z = 1 &lt;/math&gt; ist der komplexe rekursive Logarithmus 
:&lt;math&gt; 
   \mathrm{lnr}_1(1) = \{ 2\pi i k \, : \,  k \in \mathbb{Z} \} = [0]_0 
&lt;/math&gt;

==== Beispiel 2 - Logarithmus der imaginären Einheit ====
Da zunächst die [[rekursiver Logarithmus|rekursive komplexe Logarithmen]] von elementaren komplexen Zahlen genannt. Wählt man &lt;math&gt; z = i &lt;/math&gt; so gilt &lt;math&gt; \exp\left(i \tfrac{\pi}{2}\right) = i &lt;/math&gt; und &lt;math&gt;i\tfrac{\pi}{2} \in \mathbb{D}_1&lt;/math&gt;. Bildet man nun den von  [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarithmus]] von  &lt;math&gt; z = i &lt;/math&gt; erhält man:

:&lt;math&gt;
  \mathrm{lnr}_1(i) = \left\{ i \left( \frac{\pi}{2} + 2\pi k \right) \mid k \in \mathbb{Z} \right\} = \left[ i \frac{\pi}{2} \right]_0 
&lt;/math&gt;

==== Beispiel 3 - rekursiver Logarithmus von -1 ====
Ablschießend wird auch noch der [[rekursiver Logarithmus|rekursive komplexe Logarithmen]] von &lt;math&gt; z = -1 &lt;/math&gt; genannt. Wegen &lt;math&gt; \exp\left(i \pi \right) = -1 &lt;/math&gt; und &lt;math&gt;i \pi \in \mathbb{D}_1=\mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi) &lt;/math&gt; erhält man:

:&lt;math&gt;
  \mathrm{lnr}_1(-1) = \left\{ i \left( \pi + 2\pi k \right) \mid k \in \mathbb{Z} \right\} = \left[ i \pi \right]_0 
&lt;/math&gt;

=== Repräsentantensystem ===

Um einen eindeutigen Funktionswert als Äquivalenzklasse zu erhalten, wählt man eine spezielles Repräsentantensystem &lt;math&gt;\mathbb{D}_1:= \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi) \subset \mathbb{C}&lt;/math&gt; um alle Äquivalenzklassen darstellen zu können. Dabei wird die [[logmod-Funktion]] verwendet, um für eine beliebige komplexe Zahl &lt;math&gt;w\in \mathbb{C}&lt;/math&gt; die zugehörigen Repräsentanten &lt;math&gt;w_0 \in\mathbb{D}_1&lt;/math&gt; über &lt;math&gt; w_0 = w - 2\pi i \cdot \mathrm{logmod}(w)&lt;/math&gt; zu bestimmen.

&lt;span id=&quot;Definition&quot;&gt;
=== Definition - logmod-Äquivalenzklassenaddition ===

Für &lt;math&gt; z_1,z_2 \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; und  &lt;math&gt;w_1,w_2 \in\mathbb{D}_1&lt;/math&gt; gelte &lt;math&gt;\exp(z_1)=w_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\exp(z_2)=w_2&lt;/math&gt;. Man definiert nun die Äquivalenzklassenaddition &lt;math&gt;(\mathbb{D}_1,\oplus)&lt;/math&gt; wie folgt.
:&lt;math&gt;
[w_1]_0 \oplus [w_2]_0 := [w_1 + w_2]_0
&lt;/math&gt;

==== Bemerkung - Repräsentant der Äquivalenzklasse ====
Der Repräsentant &lt;math&gt;w_1 + w_2 &lt;/math&gt; der Äquivalenzklasse 
wobei &lt;math&gt;[w_1 + w_2]_0 &lt;/math&gt; liegt nicht notwendigerweise auch in &lt;math&gt;\mathbb{D}_1&lt;/math&gt;, was das folgende Beispiel zeigt.

==== Beispiel - Repräsentant bei additiver Verknüpfung ====
Wählt man &lt;math&gt; z_1 = z_2 = -i &lt;/math&gt;, so erhält man &lt;math&gt; w_1 = w_2 = \tfrac{3}{2}\pi i \in \mathbb{D}_1 &lt;/math&gt; und es gilt &lt;math&gt; w_1 + w_2 = 3\pi i \notin \mathbb{D}_1 &lt;/math&gt;. Möchte man den zugehörigen Repräsentanten aus &lt;math&gt;\mathbb{D}_1 &lt;/math&gt; bestimmen, verwendet man wieder die [[logmod-Funktion]]:
:&lt;math&gt;
[w_1]_0 \oplus [w_2]_0  = [w_1 + w_2]_0 = [w]_0 
&lt;/math&gt;
mit &lt;math&gt; w = w_1+w_2 - 2\pi i \cdot \mathrm{logmod}(w_1+w_2)&lt;/math&gt;

==== Bemerkung - Notation ====
Für die Addition &lt;math&gt;\oplus&lt;/math&gt; der [[logmod-Äquivalenzklassen]] wird zur Abgrenzung zu additiven Verknüpfung in &lt;math&gt;+&lt;/math&gt; in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt; das Symbol &lt;math&gt;\oplus&lt;/math&gt; verwendet.
:&lt;math&gt;
\left[ 1+\frac{3}{2}\pi i \right]_0 \oplus \left[5+\frac{1}{2}\pi i \right]_0 = \left[ \left(1+\frac{3}{2}\pi i\right)  + \left(5+\frac{1}{2}\pi i\right) \right]_0 = [6+2\pi i]_0 = [6]_0 
&lt;/math&gt;
Im linken Term werden zwei Äquivalenzklassen addiert (daher &lt;math&gt;\oplus&lt;/math&gt;) und in den beiden rechten Termen ist das Standardaddition in den komplexen Zahlen.

== Rechenregeln für Äquivalenzklassen ==
Zunächst einmal muss man kurz die Repräsentantenunabhängigkeit der Äquivalenzklassenaddition auf &lt;math&gt;[\mathbb{D}_1]_0&lt;/math&gt; überprüfen. Dabei ist &lt;math&gt;\oplus&lt;/math&gt; eine innere Verknüpfung auf  &lt;math&gt;[\mathbb{D}_1]_0&lt;/math&gt; der Form:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rrcl}
   f: &amp; [\mathbb{D}_1]_0 \times [\mathbb{D}_1]_0 &amp; \rightarrow &amp; [\mathbb{D}_1]_0\\ 
    &amp;  \left( [w_1]_0,[w_2]_0 \right)  &amp; \mapsto &amp; [w_1]_0 \oplus [w_2]_0 =  [w_1+w_2]_0 =
    \\
    &amp; &amp; &amp; 
    \bigg[\, \underbrace{w_1+w_2 - \mathrm{logmod}(w_1+w_2) \cdot 2\pi i}_{\in \mathbb{D}_1}\,\bigg]_0 
  \end{array}  

&lt;/math&gt;
Dabei beschreibt &lt;math&gt;[\mathbb{D}_1]_0 = \{ [w]_0 \, \colon \, w\in \mathbb{D}_1 \}&lt;/math&gt; die Menge aller [[logmod-Äquivalenzklassen]] mit dem Repräsentantensystem &lt;math&gt;\mathbb{D}_1&lt;/math&gt;. 

&lt;hr&gt;
&lt;span id=&quot;Repraesentantenunabhaengigkeit&quot;&gt;&lt;/span&gt;
=== Lemma zur Repräsentantenunabhängigkeit ===
Die innere additive Verknüpfung &lt;math&gt; ([\mathbb{D}_1]_0 , \oplus)&lt;/math&gt; auf den [[logmod-Äquivalenzklassen]] ist repräsentantenunabhängig.

=== Beweis - Lemma zur Repräsentantenunabhängigkeit ===
Die Beweisidee der Repräsentantenunabhängigkeit beruht auf der Auswahl von zwei beliebigen unterschiedlichen Repräsentanten &lt;math&gt;w_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\widehat{w_1}&lt;/math&gt; bzw. &lt;math&gt;w_2&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\widehat{w_2}&lt;/math&gt; und man zeigt dann die Addition mit &lt;math&gt;\oplus&lt;/math&gt; für die [[logmod-Äquivalenzklassen]] die gleiche Äquivalenzklasse &lt;math&gt;[w_1+w_2]_0=[\widehat{w_1}+\widehat{w_2}]_0&lt;/math&gt; liefert.

==== Beweisschritt 1 - Wahl der Repräsentanten ====
Seien &lt;math&gt;w_1,w_2 \in \mathbb{D}_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;k_1, k_2 \in \mathbb{Z}&lt;/math&gt; beliebig gewählt, dann sind &lt;math&gt;\widehat{w_1}=2\pi i\cdot k_1 &lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\widehat{w_2}=2\pi i\cdot k_2 &lt;/math&gt; weitere Repräsentanten der [[logmod-Äquivalenzklassen]]  &lt;math&gt;[w_1]_0,[w_2]_0 \in [\mathbb{D}_1]_0&lt;/math&gt; und es gilt:
:&lt;math&gt;
[w_1]_0  = [\widehat{w_1}]_0 \quad [w_2]_0 = [\widehat{w_2}]_0
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 2 - Definition der Addition anwenden ====
Nach Definition der Addition von [[logmod-Äquivalenzklassen]] gilt:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
 [\widehat{w_1}]_0 \oplus [\widehat{w_1}]_0 &amp; = &amp;  
 [\widehat{w_1} + \widehat{w_1}]_0
 \\ 
 &amp; = &amp; 
 [w_1+w_2+ (k_1+k_2)\cdot 2\pi i]_0 = [w_1+w_2]_0
  \\ 
 \end{array}  
&lt;/math&gt;
Damit ist die Addition von [[logmod-Äquivalenzklassen]] repräsentantenunabhängig. &lt;math&gt;\quad \Box&lt;/math&gt;

==== Bemerkung - Exponentialfunktion und Zweige des Logarithmus ====
Sei &lt;math&gt;G\subset \mathbb{C}&lt;/math&gt; ein [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängendes]] [[Gebiet (Mathematik)|
Gebiet]] mit &lt;math&gt;0\notin G&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;w_0\in \mathbb{D}_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt; \exp(w_0)=z_0&lt;/math&gt; für ein mit &lt;math&gt;z_0 \in G \subset \mathbb{C}\setminus \{0\}&lt;/math&gt;. Durch die Festlegung von &lt;math&gt;\log_G(z_0)=w_0&lt;/math&gt; ist der Zweig &lt;math&gt;\log_{G}&lt;/math&gt; als [[generalisierter Logarithmus]]  bereits auf ganz &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; definiert (siehe [[Identitätssatz]] und &lt;math&gt;\exp(\log_G(z)) = z&lt;/math&gt;). Bei der [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus|algebraischen Vervollständigung des Zweiges eines Logarithmus]] verliert man die Eigenschaft der [[holomorphe Funktion|Holomorphie]] und sogar der [[Stetigkeit]]. Sei   Man muss daher [[Zweige des Logarithmus]] von der Definition eine [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarthmus]] trennen.
* &lt;math&gt; \exp(\log_G(z)) = z &lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt; z \in G \subset \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt;
* &lt;math&gt; \log_G(\exp(w)) = z+2\pi i \cdot k &lt;/math&gt; für  &lt;math&gt; w \in \mathbb{C} &lt;/math&gt; und ein existierendes &lt;math&gt;k\in \mathbb{Z} &lt;/math&gt; für &lt;math&gt;w&lt;/math&gt;.

==== Äquivalenzklassen als Wertebereich ====
Der rekursive Logarithmus &lt;math&gt; \mathrm{lnr}_1(z) = [w]_0&lt;/math&gt; liefert als Funktionswert '''keine Zahl''', sondern eine '''Äquivalenzklasse'''. Diese ist selbst ein Element der [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelschen Sigma-Algebra]] &lt;math&gt;\mathcal{B}(\mathbb{C})&lt;/math&gt; als abzählbare Vereingigung von Einpunktmenge der Form &lt;math&gt;w+k\cdot 2\pi i&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;k\in \mathbb{Z} &lt;/math&gt; .

=== Multiplikation von Äquivalenzklassen ===

Für &lt;math&gt; z_1, z_2 \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; und &lt;math&gt;w_1,w_2 \in \mathbb{D}_1&lt;/math&gt; gelte &lt;math&gt;\exp(w_1)=z_1&lt;/math&gt; und  &lt;math&gt;\exp(w_2)=z_2&lt;/math&gt;. Ferner werden zwei beliebige weitere Repräsentanten  &lt;math&gt;\widehat{w_1}=w_1 + 2\pi i\cdot k_1 &lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\widehat{w_2}=w_2 + 2\pi i\cdot k_2 &lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;k_1, k_2 \in \mathbb{Z}&lt;/math&gt; der [[logmod-Äquivalenzklassen]]  &lt;math&gt;[w_1]_0,[w_2]_0 \in [\mathbb{D}_1]_0&lt;/math&gt; gewählt. Es gilt damit:
:&lt;math&gt;
[w_1]_0  = [\widehat{w_1}]_0 \quad [w_2]_0 = [\widehat{w_2}]_0
&lt;/math&gt;:
Man untersucht nun die Multiplikation bzgl. der [[logmod-Äquivalenzklassen]].

=== Multiplikation und Exponentialfunktion ===
Es gilt nach Voraussetzung &lt;math&gt;\exp(w_1)= \exp(\widehat{w_1})&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\exp(w_2)= \exp(\widehat{w_2})&lt;/math&gt; 


:&lt;math&gt;
\log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2)
&lt;/math&gt;

&gt; '''Interpretation:'''  
&gt; Die Summe zweier Äquivalenzklassen ist definiert als:
&gt; 
:&lt;math&gt;
&gt; [w_1]_0 + [w_2]_0 := [w_1 + w_2]_0
&gt; &lt;/math&gt;
&gt; und es gilt:
&gt; 
:&lt;math&gt;
&gt; \log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2)
&gt; &lt;/math&gt;

&gt; '''Beispiel:'''  
&gt; &lt;math&gt; z_1 = i &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; z_2 = i &lt;/math&gt; → &lt;math&gt; z_1 z_2 = -1 &lt;/math&gt;  
&gt; &lt;math&gt; \log(i) = \left[ i \frac{\pi}{2} \right]_0 &lt;/math&gt;,  
&gt; &lt;math&gt; \log(i) + \log(i) = \left[ i \pi \right]_0 &lt;/math&gt;,  
&gt; &lt;math&gt; \log(-1) = \left[ i \pi \right]_0 &lt;/math&gt; → stimmt.

---

=== (3) Potenzen und Logarithmus ===

Für &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; a \in \mathbb{C} &lt;/math&gt;:


:&lt;math&gt;
\log(z^a) = a \cdot \log(z) + 2\pi i k \quad \text{für ein } k \in \mathbb{Z}
&lt;/math&gt;

&gt; '''Aber:''' In der Äquivalenzklassen-Sicht gilt:
&gt; 
:&lt;math&gt;
&gt; \log(z^a) = a \cdot \log(z)
&gt; &lt;/math&gt;
&gt; wobei die Multiplikation einer Äquivalenzklasse mit einer komplexen Zahl definiert ist als:
&gt; 
:&lt;math&gt;
&gt; a \cdot [w]_0 := [a w]_0
&gt; &lt;/math&gt;

&gt; '''Beispiel:'''  
&gt; &lt;math&gt; z = i &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; a = 2 &lt;/math&gt; → &lt;math&gt; z^a = -1 &lt;/math&gt;  
&gt; &lt;math&gt; \log(z^a) = \log(-1) = [i\pi]_0 &lt;/math&gt;  
&gt; &lt;math&gt; a \cdot \log(z) = 2 \cdot [i \pi/2]_0 = [i\pi]_0 &lt;/math&gt; → stimmt.

---

=== (4) Addition von Logarithmen ===


:&lt;math&gt;
\log(z_1) + \log(z_2) = \log(z_1 z_2)
&lt;/math&gt;

&gt; '''Achtung:''' Dies ist '''nicht''' immer wahr, wenn man '''nicht''' mit Äquivalenzklassen arbeitet!  
&gt; Aber '''in der Klassen-Sicht''' ist es '''richtig'''.

&gt; '''Warum?''' Weil die Addition von Klassen kommutativ und assoziativ ist.

---

== 7. Zusammenhang mit Logarithmenzweigen ==

Ein '''Logarithmenzweig''' ist eine '''stetige Auswahl''' von Werten aus &lt;math&gt; \log(z) &lt;/math&gt;, d. h. eine Funktion &lt;math&gt; L: G \to \mathbb{C} &lt;/math&gt;, sodass &lt;math&gt; \exp(L(z)) = z &lt;/math&gt; und &lt;math&gt; L &lt;/math&gt; stetig auf einem Gebiet &lt;math&gt; G \subseteq \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt;.

&gt; '''Beispiel:'''  
&gt; Der '''Hauptzweig''' &lt;math&gt; \text{Log}(z) &lt;/math&gt; ist ein Logarithmenzweig auf &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus (-\infty, 0] &lt;/math&gt;.

&gt; '''Jeder Logarithmenzweig''' &lt;math&gt; L &lt;/math&gt; wählt '''einen Repräsentanten''' aus jeder Äquivalenzklasse &lt;math&gt; [w]_0 &lt;/math&gt;, nämlich &lt;math&gt; L(z) \in [w]_0 &lt;/math&gt;.

&gt; '''Zusammenhang:'''  
&gt; Die Menge aller Logarithmenzweige entspricht '''der Wahl einer Schnittlinie''' (Branch Cut), die verhindert, dass man um den Ursprung herumwandert und die Klasse wechselt.

---

== 8. Zusammenfassung: Struktur der Logarithmen ==

| Konzept | Beschreibung |
|--------|--------------|
| '''Äquivalenzklasse''' &lt;math&gt; [w]_0 &lt;/math&gt; | Menge aller &lt;math&gt; w + 2\pi i k &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; k \in \mathbb{Z} &lt;/math&gt; |
| '''Logarithmus von &lt;math&gt; z &lt;/math&gt;''' | &lt;math&gt; \log(z) = [w]_0 &lt;/math&gt;, wobei &lt;math&gt; \exp(w) = z &lt;/math&gt; |
| '''Hauptzweig''' | &lt;math&gt; \text{Log}(z) \in \log(z) &lt;/math&gt;, mit &lt;math&gt; \text{Arg}(z) \in (-\pi, \pi] &lt;/math&gt; |
| '''Rechenregeln''' | &lt;math&gt; \log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2) &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; \log(z^a) = a \cdot \log(z) &lt;/math&gt; (in Klassen) |
| '''Exponentialfunktion''' | &lt;math&gt; \exp(\log(z)) = z &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; \log(\exp(w)) = [w]_0 &lt;/math&gt; |

---

== 9. Übungsaufgaben ==

1. Zeige, dass &lt;math&gt; \log(-1) = [i\pi]_0 &lt;/math&gt;.
2. Berechne &lt;math&gt; \log(i) + \log(i) &lt;/math&gt; und vergleiche mit &lt;math&gt; \log(-1) &lt;/math&gt;.
3. Zeige, dass &lt;math&gt; \log(z^2) = 2 \log(z) &lt;/math&gt; in der Klassen-Sicht gilt.
4. Warum ist &lt;math&gt; \log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2) &lt;/math&gt; '''nicht''' immer wahr, wenn man nur Zahlen verwendet?
5. Definiere einen anderen Logarithmenzweig auf &lt;math&gt; \mathbb{C} \setminus [0, \infty) &lt;/math&gt;, der &lt;math&gt; \log(z) \in [i \cdot 0]_0 &lt;/math&gt; für &lt;math&gt; z = 1 &lt;/math&gt; wählt.

---

== Lernziel ==

Du kannst:
* den komplexen Logarithmus als '''Äquivalenzklasse''' verstehen,
* die '''Rechenregeln''' für Logarithmen in der Klassen-Sicht korrekt anwenden,
* den Zusammenhang zwischen '''Exponentialfunktion''', '''Logarithmenzweigen''' und '''Äquivalenzklassen''' erklären,
* die '''Mehrdeutigkeit''' des Logarithmus strukturiert darstellen.

---

'''Ende der Lerneinheit'''

&gt; '''Zusammenfassungssatz:'''  
&gt; *Der komplexe Logarithmus von &lt;math&gt; z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} &lt;/math&gt; ist die Äquivalenzklasse &lt;math&gt; [w]_0 &lt;/math&gt;, wobei &lt;math&gt; \exp(w) = z &lt;/math&gt;. Diese Klasse ist genau die Menge aller Lösungen von &lt;math&gt; \exp(w) = z &lt;/math&gt;. Alle Rechenregeln gelten in der Klassen-Sicht: &lt;math&gt; \log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2) &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; \log(z^a) = a \cdot \log(z) &lt;/math&gt;, und &lt;math&gt; \exp(\log(z)) = z &lt;/math&gt;.*
== Siehe auch ==
* [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexer Logarithmus]]
* [[logmod-Äquivalenzklassen]]
* [[logmod-Funktion]]
* [[negativer Hauptzweig des Logarithmus]]</text>
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    <title>Veronesering/Zweidimensional/Auflösung/Standardgraduierung/Beispiel</title>
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Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}}
|Text=
Wir arbeiten mit der Standardgraduierung auf dem zweidimensionalen Veronenering, und setzen
{{
Relationskette/display
| B_i(M)
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|| 
|| 
|| 
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}}
Damit ist
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Relationskette/display
| B_0 (M)
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und
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Relationskette/display
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Die Pseudoauflösungen sind
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|Textart=Beispiel 
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Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}}
|Text=
Wir arbeiten mit der Standardgraduierung auf dem zweidimensionalen Veronesering, und setzen
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und
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Die Pseudoauflösungen sind
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Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}}
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Im Kerncurriculum zu den erwarteten Kompetenzen im Bereich Kommunizieren/Argumentieren steht {{Anführung|Die Schülerinnen und Schüler verwenden eingeführte mathematische Fachbegriffe sachgerecht|SZ=.}} Beschreibe{{n Sie}} ein Szenaro, in dem die Kinder die erwarteten Kompentenzen erfüllen bzw. nicht erfüllen.
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Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}}
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Im Kerncurriculum zu den erwarteten Kompetenzen im Bereich Kommunizieren/Argumentieren steht {{Anführung|Die Schülerinnen und Schüler beschreiben mathematische Sachverhalte mit eigenen Worten und finden dazu Fragestellungen|SZ=.}} Beschreibe{{n Sie}} ein Szenaro, in dem die Kinder die erwarteten Kompentenzen erfüllen bzw. nicht erfüllen.
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Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}}
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Im Kerncurriculum zu den erwarteten Kompetenzen im Bereich Kommunizieren/Argumentieren steht {{Anführung|Die Schülerinnen und Schüler stellen Vermutungen über mathematische Sachverhalte an, begründen und überprüfen sie|SZ=.}} Beschreibe{{n Sie}} ein Szenaro, in dem die Kinder die erwarteten Kompentenzen erfüllen bzw. nicht erfüllen.
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Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}}
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Im Kerncurriculum zu den erwarteten Kompetenzen im Bereich Kommunizieren/Argumentieren steht {{Anführung|Die Schülerinnen und Schüler überprüfen mathematische Aussagen, kennzeichnen sie als richtig oder falsch und begründen dies|SZ=.}} Beschreibe{{n Sie}} ein Szenaro, in dem die Kinder die erwarteten Kompentenzen erfüllen bzw. nicht erfüllen.
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Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}}
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Im Kerncurriculum zu den erwarteten Kompetenzen im Bereich Kommunizieren/Argumentieren steht {{Anführung|Die Schülerinnen und Schüler beschreiben und begründen eigene Lösungswege und reflektieren darüber|SZ=.}} Beschreibe{{n Sie}} ein Szenaro, in dem die Kinder die erwarteten Kompentenzen erfüllen bzw. nicht erfüllen.
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Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}}
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Im Kerncurriculum zu den erwarteten Kompetenzen im Bereich Kommunizieren/Argumentieren steht {{Anführung|Die Schülerinnen und Schüler entdecken und beschreiben mathematische Zusammenhänge|SZ=.}} Beschreibe{{n Sie}} ein Szenaro, in dem die Kinder die erwarteten Kompentenzen erfüllen bzw. nicht erfüllen.
|Textart=Aufgabe 
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Klausur11
|Elementare Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/2. Drittel/1/Aufgabe|p|||
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|N/Summe 65/Produkt 1000/Aufgabe|p|||
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Klausur19
|Elementare Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/3. Drittel/1/Aufgabe|p|||
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Klausur19
|Elementare Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/3. Drittel/1/Aufgabe|p|||
|Elementare Mathematik 1/Gemischte Satzabfrage/3. Drittel/1/Aufgabe|p|||
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Klausur19
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|Schriftliches Multiplizieren/Zehnersystem/Jalousie-Verfahren/3/Aufgabe|p|||
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|Euklidischer Algorithmus (Z)/ggT/1085 und 806/Division/Aufgabe|p|||
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Klausur19
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    <title>Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/algebraische Vervollständigung</title>
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      <text bytes="403" sha1="teyblxqp24usp7qqh0y4qh72q06ae8b" xml:space="preserve">== Einleitung ==
Diese Lerneinheit behandelt die algebraische Vervollständigung von holomorphen [[Zweige des Logarithmus|Zweigen des Logarithmus]] &lt;math&gt;\log_{_G}:G\to \mathbb{C}&lt;/math&gt;, wobei &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; ein [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängendes]] Gebiet &lt;math&gt;G\subset \mathbb{C}\setminus \{0\}&lt;/math&gt; ist.

== Siehe auch ==
* [[einfach zusammenhängend]]
* [[Gebiet (Mathematik)]]</text>
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      </contributor>
      <comment>/* Siehe auch */</comment>
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      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="491" sha1="gqholxn2p7lvgjqywhwbwk6bfs4y9h9" xml:space="preserve">== Einleitung ==
Diese Lerneinheit behandelt die algebraische Vervollständigung von holomorphen [[Zweige des Logarithmus|Zweigen des Logarithmus]] &lt;math&gt;\log_{_G}:G\to \mathbb{C}&lt;/math&gt;, wobei &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; ein [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängendes]] Gebiet &lt;math&gt;G\subset \mathbb{C}\setminus \{0\}&lt;/math&gt; ist.

== Siehe auch ==
* [[einfach zusammenhängend]]
* [[Gebiet (Mathematik)]]
* [[generalisierter Logarithmus]]
* [[logmod-Funktion]]
* [[logmod-Äquivalenzklassen]]</text>
      <sha1>gqholxn2p7lvgjqywhwbwk6bfs4y9h9</sha1>
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    <title>Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/1. Drittel/2/Klausur</title>
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Klausur19
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