Wikiversity dewikiversity https://de.wikiversity.org/wiki/Hauptseite MediaWiki 1.47.0-wmf.24 first-letter Medium Spezial Diskussion Benutzer Benutzer Diskussion Wikiversity Wikiversity Diskussion Datei Datei Diskussion MediaWiki MediaWiki Diskussion Vorlage Vorlage Diskussion Hilfe Hilfe Diskussion Kategorie Kategorie Diskussion Kurs Kurs Diskussion Projekt Projekt Diskussion TimedText TimedText talk Modul Modul Diskussion Veranstaltung Veranstaltung Diskussion 106 12769 1116299 1116012 2026-10-16T06:05:12Z Bert Niehaus 20843 /* Polynomialer Nullstellensatz */ 1116299 wikitext text/x-wiki {{Fachbereich|Mathematik}} [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|146px|mini|Kurs enthält [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] Audio-Folien]] [[Datei:Mapping f z equal 1 over z.gif|mini|Bewegung von Bildpunkten einer Funktion <math>f</math>. Dabei ist <math>z</math> in blauer Farbe und <math>f(z)= \frac{1}{z}</math> in roter Farbe markiert. <math>z</math> bewegt sich auf der Spur von <math>\gamma(t)=t\cdot e^{it}</math>.]] [[File:Image of path 1 over z.webm|thumb|Bild einer Kurve in den komplexen Zahlen von der Funktion <math>f(z)=\frac{1}{z}</math>]] == Inhalte == In dem Kurs Funktionentheorie<ref>Fischer, W., & Lieb, I. (2013). Funktionentheorie. Springer-Verlag.</ref><ref>H. Leutwiler (1997) Skript zur Vorlesung Funktionentheorie, Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg - URL: https://www.math.fau.de/wp-content/uploads/2019/04/Leutwiler_funktionen.pdf</ref> werden folgende Themen behandelt. Die Themen sind jeweils mit Wikipediainhalten verlinkt und zusätzlich mit einem ''Wikibuch-Link'' versehen, mit dem man sich maßgeschneidert für das eigene Vorwissen ein Buch als PDF-Dateien zu dem Oberthema generieren kann. Als angemeldeter Benutzer kann man die Literaturzusammenstellung auch abspeichern und nach eigenem Lernfortschritt weiter anpassen. <math>(\ast)</math>-Kapitel sind optional. == Funktionentheorie - Teil 1 == === Grundlagen === * '''[[/Lernvoraussetzungen/|Lernvoraussetzungen aus der Analysis]]''' * [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe]] * '''[[Komplexe Zahl|Komplexe Zahlen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** Wikiversity: [[Komplexe_Zahlen/Definition|Definition]] - [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Spezial:Buch&bookcmd=book_creator&referer=Komplexe+Zahl Wikibuch] ** [[Komplexe Zahl#Orbitdarstellung|Orbitdarstellung von Operationen in komplexen Zahlen]] ** [[w:Satz von Heine-Borel|Kompaktheitssatz von Heine-Borel]] ** [[w:Komplexe_Zahl#Komplexe_Zahlenebene|geometrische Einführung]] ** [[w:de:Komplexe_Zahl#Rechenregeln|Operationen und Regeln]] ** [[w:Riemannsche_Zahlenkugel|Riemannsche Zahlenkugel]] - komplexe Zahlen <math>\mathbb{C}</math> auf einer Kugeloberfläche. ** [[w:Stereografische_Projektion|stereografische Projektion]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Komplexe Zahlen als Matrizen|Komplexe Zahlen als Matrizen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzen und Wurzeln|Potenzen und Wurzeln]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzen%20und%20Wurzeln&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzen%20und%20Wurzeln&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Graph einer Funktion|Graph einer Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Graph%20einer%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Graph%20einer%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Analysis I/Kapitel III: Die elementaren Funktionen|Elementare Funktionen]]''' auf den komplexen Zahlen * '''[[Weg-Zeit-Risikointegral|Weg-Zeit-Risikointegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg-Zeit-Risikointegral&author=%20%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie&coursetitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] andere Formen von Wegintegralen * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS - Rechnen mit komplexen Zahlen]] === Topologische Grundlagen === * '''[[/Folgen und Reihen/|Konvergenz von Folgen und Reihen in den komplexen Zahlen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&shorttitle=Konvergenz_von_Folgen_und_Reihen&title=Kurs:Funktionentheorie/Folgen_und_Reihen&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe|Potenzreihe]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzreihe&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologische Algebra|Topologische Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologische%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Topologische%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Normen, Metriken, Topologie]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Normen%2C+Metriken%2C+Topologie&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Normierter_Raum|Normierter Raum]] ** [[w:de:Metrischer_Raum|Metrischer Raum]] ** [[w:de:Topologischer_Raum|Topologischer Raum]] - Wikiversity: [[Topologie/Grundbegriffe/Topologie/Definition|Definition Topologie]] ** [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * '''[[/einfach zusammenhängend/]]''' * '''[[/Gebiet/]]''' === Komplexe Differenzierbarkeit === * '''[[Holomorphe Funktion|Holomorphe Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Holomorphe_Funktion|Komplexe Differenzierbarkeit und Holomorphie]] ** [[/Partielle Ableitungen/]] * '''[[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[/Anwendungen CR-DG/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Anwendungen_CR-DG&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalkül|Wirtinger-Kalkül]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalk%C3%BCl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wirtinger-Kalk%C3%BCl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Kurven und Wegintegrale === * '''[[Kurvenintegral|Kurvenintegral im <math> \mathbb{R}^n </math>]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurven|Kurven]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurven&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurven&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' * '''[[Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare Kurve|rektifizierbare Kurve]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare%20Kurve&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=rektifizierbare%20Kurve&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Integralrechnung|Wikipedia: Integralrechnung]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Weg, Spur, Gebiet|Weg, Gebiet, geschlossener Weg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Weg,_Spur,_Gebiet&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Weg,%20Spur,%20Gebiet&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Wegintegral|Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Kurvenintegral#Kurvenintegrale|Wikpedia:Kurvenintegral allgemein]] ** [[w:de:stetige Funktion|Stetigkeit]] und [[w:de:Grenzwert_(Folge)|Grenzwerte]], ** [[Kurs:Funktionentheorie/Integration durch Substitution|Integration durch Substitution]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integration%20durch%20Substitution&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integration%20durch%20Substitution&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/reelle Integrale als Spezialfall von Wegintegralen/]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral ohne Wegableitung|Wegintegral ohne Wegableitung]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral%20ohne%20Wegableitung&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegintegral%20ohne%20Wegableitung&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Weg-Zeit-Risikointegral]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Kurve|Spur, Graph]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Spur&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurve&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale|Mittelwertsatz für Wegintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Holomorphie === * '''[[Holomorphie|Holomorphie]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphie&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphie/Kriterien|Kriterien]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie/Kriterien&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kriterien&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Holomorphe_Funktion#.C3.84quivalente_Eigenschaften_holomorpher_Funktionen_einer_Variablen|Wikipedia: Holomorphiekriterien]] ** [[/Unterschiede zur reellen Differenzierbarkeit/]] ** [[w:Konforme_Abbildung|konforme Abbildungen]]<math>(\ast)</math>, * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen|Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral|Eigenschaften von Kurvenintegralen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg|Integrationsweg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integrationsweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Stammfunktionen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/sternförmig|sternförmig]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/sternf%C3%B6rmig&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=sternf%C3%B6rmig&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/stetige Funktion mit Stammfunktion|stetige Funktion mit Stammfunktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Wegunabhängigkeit|Wegunabhängigkeit]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Wegunabh%C3%A4ngigkeit&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegunabh%C3%A4ngigkeit&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion als Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20als%20Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20als%20Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma|Approximationslemma]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationslemma&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion - geschlossene Wege|Stammfunktion - geschlossene Wege]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] <span id="CIS-CIF"></span> === Cauchy-Integralsatz CIS === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat (Details)]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes#Korrollar_von_Goursat|Goursat mit Ausnahme eines Punkte - Umkreis des Dreiecks]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz|Cauchy-Integralsatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Integralsatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete/]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für sternförmige Gebiete/]] ** [[/einfach zusammenhängend/]] * '''[[Satz von Morera|Satz von Morera]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Morera&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Morera&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Holomorphie/Kriterien|Holomorphiekriterien]] === Cauchy-Integralformel CIF === * '''[[/Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben/]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Cauchy-Integralformel%20für%20Kreisscheiben&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lokale Entwicklung in Potenzreihen|Lokale Entwicklung in Potenzreihen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Abelsches Lemma/]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen|1/z und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiele%20f%C3%BCr%20Potenzreihenentwicklungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen/Cauchy-Dichte|Cauchy-Dichte und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] ** [[Fehlerfunktion|Fehlerfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fehlerfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fehlerfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Satz über lokale Stammfunktionen/]] * '''[[Kurs: Funktionentheorie/Identitätssatz|Identitätssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/Identit%C3%A4tssatz&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Differentialgleichung - Exponentialfunktion/|Differentialgleichung für Exponentialfunktion]] - Anwendung Identitätssatz ** [[Kurs:Stochastik/Normalverteilung#Funktionentheorie|Verteilungsfunktion der Normalverteilung]] - Anwendung Identitätssatz ** [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz von Liouville|Satz von Liouville]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20von%20Liouville&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Liouville&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatz der Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz%20der%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fundamentalsatz%20der%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Komplexe Nullstellen reeller Polynome/]] ** [[/Cauchy-Schranke für Nullstellen/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen|Cauchy-Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip|Maximumprinzip]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Maximumprinzip&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphiekriterien]]''' === Polynomialer Nullstellensatz === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus#negativ|negativer Hauptzweig des Logarithmus]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus#imaginaer|imaginärer Hauptzweig des Logarithmus]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/logmod|logmod-Funktion]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/rmod|rlog-Funktion]] * [[/Eulersche Nullstellen/]] * [[Identitätssatz für Logarithmen]] * [[Polynomialer Nullstellensatz]] == Funktionentheorie - Teil 2 == In diesem Teil der Lehrveranstaltung wird ein Zusammenhang zwischen Geometrie, Integrationstheorie mit messbaren Mengen hergestellt und die Verbindung zu Wegintegralen behandelt. <span id="Flaechenintegrale"></span> === Stammfunktionen und messbare Mengen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz über lokale Stammfunktionen|Satz über lokale Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz für Stammfunktionen|Differenzsatz für Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz%20f%C3%BCr%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale|Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Definition Flächenintegrale]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Complex%20Analysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Stammfunktionen höherer Ordnung]] ** [[orientierte Fläche]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktion und Unterschied zur Stammfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenstammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral%20%C3%BCber%20Real-%20und%20Imagin%C3%A4rteil&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral%20und%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Rechteckintegrale=== * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orientierung für Rechteckintegrale]] ** [[Lemma für Rechteckintegrale|Lemma - Rechteckintegrale über Flächenstammfunktionen]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale|Darstellungslemma für Rechteckintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Dreiecksintegrale=== Nach dem [[Lemma von Goursat]] ist Wegintegral über den Dreiecksrand 0. Bei Flächenintegralen werden Randintegrale für den Dreieckrand betrachtet, die nicht geschlossen sind. * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orientierung für Dreiecksintegrale]] ** [[Randwegintegral für Dreiecke]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz_für_Dreiecke#Korollar1|Korollar 1 - Invarianz Eckpunktwahl]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz_für_Dreiecke#Korollar2|Korollar 2 - Rechenregeln Randintegrale]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale|Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Dreiecksintegrale|Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Kette von orientierten Flächen/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz für Dreiecke|Approximationssatz für Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Integrale über Polygone === In diesem Abschnitt werden Randintegrale über Vielecke zusammen mit der Berechnung behandelt. * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Vierecke|Flächenintegrale über Vierecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Vierecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz für Polygone|Eckenreduktionssatz für Polygone]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/alternierender Randweg|alternierender Randweg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/alternierender%20Randweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=alternierender%20Randweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Vielecke|Flächenintegrale über Vielecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Vielecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Integrale über Kreisscheiben und Ellipsen === * [[/holomophe Integrationswege/]] * [[/Flächenintegrale über Kreisscheiben/]] * [[/Randwegtransformation für Kreisscheiben/]] * [[/Flächenintegrale über Ellipsen/]] * [[/Flächenintegrale - berandete Wegintegrale/]] * [[/Fubini und Cavalierisches Prinzip/]] == Funktionentheorie - Teil 3 == In diesem Teil der Lehrveranstaltung wird der Begriff der Taylorreihe zum Begriff der [[Laurent-Reihe]] verallgemeinert (analog zur Erweiterung der ganzen Zahlen in Stellenwertsystem um Nachkommastelle, die hier den Potenzen <math>(z-z_o)^{-n}</math> mit <math>n\in\mathbb{N}</math> entsprechen). Ferner werden Cauchy-Integralformel und Cauchy-Integralsatz von geschlossenen Weg auf Zyklen verallgemeinert. <span id="LaurentCISCIF"></span> === Von Taylorreihen zu Laurentreihen und Residuen === * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kette&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kette&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl|Umlaufzahl]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Umlaufzahl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Zyklus|Zyklus]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Zyklus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Zyklus&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Laurent-Reihe|Von Taylor-Reihen zu Laurent-Reihen]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Laurent-Reihe&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[b-adische Stellenwertsysteme|b-adische Stellenwertsysteme - Exkurs bzgl. Laurent-Reihen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=b-adische%20Stellenwertsystem&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispielrechnung mit Laurentreihen|Beispielrechnung mit Laurentreihen]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/kreisförmige Konvergenzbereiche|kreisförmige Konvergenzbereiche]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] - Abelsches Lemma === Cauchy-Integralformel und Cauchy-Integralsatz für Zyklen === <span id="CIS-CIF"></span> Die Aussagen des [[Cauchy-Integralsatz|CIS]] und [[Cauchy-Integralformel|CIF]] für konvexe bzw. sternförmige Gebiete werden auf [[nullhomolog|nullhomologe]] [[Zyklus|Zyklen]] verallgemeinert. Es wird CIS-NZ wird aus CIF-NZ gefolgert. * '''[[Integralformel von Cauchy|Cauchy Integralformel für Zyklen]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben/]] * '''[[Integralsatz von Cauchy#Zyklen|Cauchyscher Integralsatz für Zyklen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete|Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Satz von der Gebietstreue === Bilder von Gebieten sind unter holomorphen Funktionen wieder Gebiete. * '''[[Kurs: Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue|Satz von der Gebietstreue]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/Satz%20von%20der%20Gebietstreue&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20der%20Gebietstreue&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] (Open Mapping Theorem) * [[Kurs:Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue/Anwendungen|Anwendungen des Satzes von der Gebietstreue]] === Singularität und Residuen === * '''[[/Singularitäten/]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Singularitäten&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Riemannscher Hebbarkeitssatz|Riemannscher Hebbarkeitssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiel - wesentliche Singularität|Beispiel - exp(1/z) - wesentliche Singularität]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiel_-_wesentliche_Singularität/z)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuum|Residuum]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuum&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung|Entwicklung in Laurentreihen]], * [[Kurs:Funktionentheorie/isolierte Singularität|isolierte Singularitäten]], * [[Kurs:Funktionentheorie/Zerlegungssatz|Zerlegungssatz]], * '''[[Satz von Casorati-Weierstraß|Satz von Casorati-Weierstraß]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuensatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale|Beispielintegrale - Anwendung Residuensatz]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispielintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Reelle Integrale mit Residuensatz|Reelle Integrale mit Residuensatz]], ** [[/Flächenintegrale und Residuen/]] * '''[[/Null- und Polstellen zählendes Integral/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Null-%20und%20Polstellen%20z%C3%A4hlendes%20Integral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Satz von Rouché]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz+von+Rouché&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[meromorphe Funktion|meromorphe Funktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=meromorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=meromorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] <span id="Vektorfeld"></span> * '''[[Kurs: Funktionentheorie/holomorphe Funktionen als Vektorfelder|holomorphe Funktionen als Vektorfelder]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Wege in Vektorfeldern|holomorphe Wege in Vektorfeldern]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Wege als Lösungen von Differentialgleichungen/]] === Integralkorrespondenzsatz === Mit dem Integralkorrespondenzsatz wird ein Zusammenhang zwischen Standardintegralen mit Wegableitung <math>\gamma{\,}'</math> und [[Weg-Zeit-Risikointegral|Weg-Zeit-Integralen]] ohne Wegableitung hergestellt. * [[Kurs:Funktionentheorie/Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege|Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege]] * [[/Injektivitätslemma für Wege/]] * [[/Spurüberdeckungslemma/]] * [[/Integralkorrespondenzsatz/]] <span id="Hilbertraum"></span> == Holormorphe Funktionen als Hilbertraum == In diesem optionalen Teil der Lehrveranstaltung wird ein Wegintegral als [[Skalarprodukt]] auf einem Teilraum von [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktionen]] interpretiert und genauer untersucht. Dabei werden Anforderungen an den [[Integrationsweg]] <math>\gamma</math> definiert, damit das zugehörige Wegintegral ein [[Skalarprodukt]] auf einem [[Funktionenraum]] definiert. Damit erhalten diese holomorphen Funktionen eine geometrische Hilbertraumstruktur, in der der [[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras]] oder der [[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Thales|Satz des Thales[[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Thales|Funktionalanalysis/Satz des Thales]] gilt. * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Funktionenraum als Hilbertraum|Funktionenraum als Hilbertraum]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Funktionenraum%20als%20Hilbertraum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Funktionraum%20als%20Hilbertraum&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orthogonalprojektion]] ** [[Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches_Orthonormalisierungsverfahren|Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Hilbertraum&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20des%20Pythagoras&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Thales|Satz des Thales]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Thales&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20des%20Thales&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Semi-Skalarprodukt|Semi-Skalarprodukte für holomophe Funktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Semi-Skalarprodukt|Semi-Skalarprodukt]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Semi-Skalarprodukt#unvollstaendig|unvollständiger Semihilbertraum als Funktionenraum]] ** [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Semi-Skalarprodukt#Semihilbert-Stetigkeitssatz|Semihilbert-Stetigkeitssatz für Maße auf Funktionenräumen]] ** [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Semi-Skalarprodukt#Buchstabenerkennung|Buchstabenerkennung mit Semiskalarprodukten]] ** [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Semi-Skalarprodukt#Nachhaltigkeit|Nachhaltigkeit und Semiskalarprodukte]] === Riemannscher Abbildungssatz - Automorphismen === * '''[[Riemannscher Abbildungssatz|Riemannscher Abbildungssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Riemannscher%20Abbildungssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannscher%20Abbildungssatz&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Schwarz|Lemma von Schwarz]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Automorphismen_der_Einheitskreisscheibe|<math>\mathrm{Aut}(\mathbb D)</math>]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Harmonische_Funktion|analytische und harmonische Funktionen]] * Lösung durch konforme Verpflanzung, Beispiele (ebene stationäre Strömungen in Flüssigkeiten, ebene elektrostatische Felder) * [[Kurs:Analysis III/Kapitel IV: Verallgemeinerte analytische Funktionen|Verallgemeinerte analytische Funktionen]] == Übungen == * Übungen zur [[Kurs:Funktionentheorie/Übungen|Einführung in die Funktionentheorie]] * [[/Quiz/|Beispiel für ein Quiz in der Funktionentheorie]] * [[Videokonferenz/Gruppenarbeit|Gruppenarbeit in Breakouträumen mit Videokonferenzen]] == Softwarenutzung == Ferner wird in Anlehnung an den [[v:en:Open Community Approach|Open Community Approach]] folgende Open Source verwendet: * [[Maxima CAS]] - ComputerAlgebraSystem * [[Maxima CAS/Komplexe Zahlen|komplexe Zahlen in Maxima CAS]] == Vorlesungsfolien aus Wikiversity-Inhalten == Mit [[PanDocElectron-Presentation|PanDocElectron]] kann man direkt aus Wikiversity-Inhalten Vorlesungsfolien erstellen, die man mit man einem Tablet auch annotieren kann. == Handschriftliche Notitzen == * Im Ausbildungskontext haben die individuellen handschriftlichen Annotation eine wesentliche Bedeutung, da der individuelle Erkenntnisgewinn oder auch aktuelle Probleme beim Verständnis der Beweislogik für eine weitere Betrachtung der mathematischen Theorie gekennzeichnet werden kann. Auch in [[Videokonferenz|Videokonferenzen]] kann das Arbeiten an gemeinsam entwickelten Skizzen oder die gemeinsame Annotation von PDF-Dokumenten eine wichtig Rolle für einen kollaborativen Lernprozess sein. Tablets oder Convertible mit Stifteingabe erlauben ** eine digitale Annotation von PDF-Dokumenten z.B. PDF-Export aus Wikiversity für das eigene Dokumentenportfolio zu einer Lehrveranstaltung oder ** die kollaborative Entwicklung von Beweisideen in OpenSource-Videokonferenzsystemen. ** Mit der [https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases OpenSource-Software Xournal]<ref>Xournal (2020) OpenSource digitale Schreibumgebung und Annotationssoftware für PDF-Dokumente - Github: https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases (retrieverd 2020/04/20) </ref> können Sie diese Annotation von PDF-Dokumenten unter Linux, Windows und MacOSX nutzen ([https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases Download GitHub]) und ** für kollaboratives Arbeiten an Beweisideen kann z.B. auch in der [[w:de:BigBlueButton|Open-Source-Videokonferenzsoftware BigBlueButton]] einsetzen. == Siehe auch == * [[CAS4Wiki]] * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS]] * [[Hilfe:Quiz|Quiz für Vorlesungsinhalte]] * [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * [[Konvexkombination]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Videokonferenz/mündliche Prüfung]] === Kurse === * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)]] * [[Objektorientierte Mathematische Modellbildung]] * [[Kurs:Stochastik]] [[Kategorie:Mathematik]] == Literatur == [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis]]</noinclude> s2621k2v743apllaonfttlcjgv8l11h 0 82594 1116336 1103186 2026-10-16T07:44:56Z Bocardodarapti 2041 1116336 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputbild |Euro coins and banknotes|jpg| 230px {{!}} right {{!}} | |Zusname=Euro_coins_and_banknotes |Text= |Autor= |Benutzer=Avij |Domäne= |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} Wir betrachten die Euromünzen und Euroscheine {{ Zusatz/Klammer |text=Bargeldmittel| |ISZ=|ESZ=, }} die bekanntlich die Werte{{ Zusatz/zusatz1 |text={{math|term= 500 |SZ=-}}Scheine werden inzwischen nicht mehr ausgegeben, sind aber nach wei vor im Umlauf und gültig| |ISZ=.|ESZ= }} {{ Math/display|term= 1,2,5,10,20,50,100,200, 500 |SZ= }} haben {{ Zusatz/Klammer |text=um nicht immer von Münzen bzw. Scheinen sprechen zu müssen, nennen wir diese Zahlen schlicht Eurozahlen| |ISZ=|ESZ=. }} Einen zu zahlenden vollen Betrag, beispielsweise {{math|term= 37 |SZ=}} Euro, kann man auf viele verschiedene Weisen {{ Zusatz/Klammer |text=ohne Rückgeld| |ISZ=|ESZ= }} begleichen, etwa durch {{math|term= 37 |SZ=}} {{math|term= 1 |SZ=-}}Euro Münzen oder durch {{ Relationskette/display | 37 || 1 \cdot 10 + 4 \cdot 5 + 2 \cdot 2 +3 \cdot 1 || || || |SZ= }} oder durch {{ Relationskette/display | 37 || 20 +10+5+2 || || || |SZ=. }} Wir fragen uns, ob es stets eine {{Anführung|optimale}} Art gibt, einen gegebenen Betrag zu begleichen, ob sie eindeutig ist und wie man sie finden kann. Ein naheliegender Ansatz ist es, diejenige Bezahlung als optimal anzusehen, bei der die wenigsten Münzen bzw. Scheine verwendet werden. Im Beispiel kommt die zuletzt genannte Möglichkeit mit vier Münzen/Scheinen aus. Gibt es eine bessere Möglichkeit? Wie kann man an eine solche Frage herangehen? Wenn jemand eine Darstellung mit nur zwei oder drei Münzen/Scheinen finden würde, wäre die Frage direkt negativ entschieden, denn dann gäbe es eine bessere Möglichkeit. Wenn man ein bisschen rumprobiert und keine bessere Möglichkeit findet, so sagt das relativ wenig, wenn man sich nicht sicher sein kann, dass man alle Möglichkeiten systematisch überprüft hat. Ein solches systematisches und nachvollziehbares Überprüfen ist eine {{Stichwort|mathematische Argumentation|SZ=.}} Wenn die mathematische Argumentation eine präzise formulierte Aussage begründet, so spricht man von einem {{Stichwort|Beweis|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=für diese Aussage| |ISZ=|ESZ=. }} Unsere Aussage ist also {{Anführung|Die Zahl {{math|term= 37 |SZ=}} lässt sich nicht als eine Summe {{ Zusatz/Klammer |text=wobei Wiederholungen erlaubt sind| |ISZ=|ESZ= }} von weniger als vier Zahlen aus den Eurozahlen {{mathl|term= 1,2,5,10,20,50,100,200, 500 |SZ=}} darstellen|SZ=.}} Wie kann man das systematisch begründen? Grundsätzlich könnte man alle Summen mit einer Eurozahl, alle Summen mit zwei Eurozahlen und alle Summen mit drei Eurozahlen ausrechnen und dann feststellen, dass nie {{math|term= 37 |SZ=}} rauskommt. Das ist durchführbar, aber sehr aufwändig. Zu einer guten mathematischen Argumentation gehört auch, dass sie geschickt und ökonomisch ist, dass sie abwegige Situationen schnell ausschließt und sich auf wesentliche Gesichtspunkte konzentriert. Im Beispiel heißt das, dass man Summen, in denen ein Schein mit einem Wert von mindestens {{math|term= 50 |SZ=}} vorkommt, gar nicht betrachten muss, da eine solche Summe immer größergleich {{math|term= 50 |SZ=}} und somit größer als der Zielbetrag {{math|term= 37 |SZ=}} sein wird. Hier fällt sofort eine typische Eigenschaft einer mathematischen Argumentation auf: Sie nimmt Bezug auf schon etablierte oder bekannte oder allgemein anerkannte Eigenschaften, hier nämlich die Eigenschaft, dass eine Summe von natürlichen Zahlen größergleich jedem Summanden der Summe ist. In einer mathematischen Argumentation geht man nicht immer {{Anführung|zurück auf Los|SZ=,}} sondern man verwendet Bekanntes, das seinerseits irgendwann durch eine mathematische Argumentation begründet worden ist. Eine weitere Beobachtung, die das rechnerische Überprüfen von sehr vielen Summen erübrigt, geht folgendermaßen: Man betrachtet den {{math|term= 20 |SZ=-}}Euro-Schein. Das ist der größte Schein, von dem man noch nicht weiß, ob und wie oft er verwendet wird. Wie oft kann/könnte er verwendet werden? Zunächst darf er höchstens einmal verwendet werden, da ja {{ Relationskette/display | 2 \cdot 20 || 40 |>| 37 || || |SZ= }} schon zu groß ist. Muss er in einer minimalen Darstellung verwendet werden? Hier begegnen wir einer typischen Denkfigur im Rahmen einer mathematischen Argumentation: Wir zeigen, dass in einer minimalen Darstellung der {{math|term= 37 |SZ=}} mit Eurozahlen die {{math|term= 20 |SZ=}} vorkommen muss, indem wir zeigen, dass eine Darstellung ohne den {{math|term= 20 |SZ=-}}Schein nicht minimal sein kann. Man spricht von einem {{Stichwort|Beweis durch Widerspruch|SZ=.}} Dabei formuliert man eine Annahme, die dann durch die mathematische Argumentation als unhaltbar erwiesen wird, also als widersprüchlich zu den gegebenen Voraussetzungen der Aussage. Wir machen also die Annahme: Es ist möglich, die {{math|term= 37 |SZ=}} als eine Summe mit maximal drei Summanden aus den Zahlen {{mathl|term= 1,2,5,10 |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=also ohne die {{math|term= 20 |SZ=}}| |ISZ=!|ESZ= }} darzustellen. Durch die Abschätzung, die ihrerseits auf Rechengesetze der natürlichen Zahlen Bezug nimmt, {{ Relationskette/display |a \cdot 1 + b \cdot 2 + c \cdot 5 + d \cdot 10 | \leq| (a+b+c+d) 10 | \leq| 3 \cdot 10 || 30 |<| 37 |SZ= }} sieht man aber schnell, dass dies nicht möglich ist. Die Annahme ist also falsch und eine jede Darstellung der {{math|term= 37 |SZ=}} mit maximal drei Eurozahlen muss die {{math|term= 20 |SZ=}} verwenden, und zwar genau einmal. An dieser Stelle tritt eine weitere wichtige Strategie bei einer mathematischen Argumentation auf, die Vereinfachung der Situation unter Verwendung des schon Gezeigten. Wir wissen bereits, dass {{math|term= 20 |SZ=}} genau einmal vorkommt. Wir ziehen daher {{math|term= 20 |SZ=}} ab und gelangen zur Fragestellung, ob es möglich ist, die {{math|term= 17 |SZ=}} als Summe von maximal zwei der Zahlen {{mathl|term= 1,2,5,10 |SZ=}} darzustellen. In einem gewissen Sinn sind wir jetzt wieder in der Ausgangssituation, wobei allerdings die Zahlen einfacher {{ Zusatz/Klammer |text=geworden| |ISZ=|ESZ= }} sind. Mit der schon verwendeten Strategie kann man hier weiterargumentieren: Man zeigt, dass die {{math|term= 10 |SZ=}} genau einmal in einer solchen minimalen Darstellung vorkommen muss, zieht es wieder ab und gelangt zur Frage, ob man die {{math|term= 7 |SZ=}} als Summe von Eurozahlen mit nur einem Summanden{{ Zusatz/Fußnote |text=Eine Summe mit nur einem Summanden mag sich sonderbar anhören. In der Mathematik sind aber solche Grenzfälle wichtig und stets mitzubetrachten, da man bei einer Situationsvereinfachung häufig {{ Zusatz/Gs |text=wie hier| |ISZ=|ESZ= }} bei einer solchen Extremsituation ankommt| |ISZ=.|ESZ= }} darstellen kann, was offenbar nicht möglich ist. Hier, wie häufig in der Mathematik, hängt also die Gültigkeit einer mathematischen Aussage mit der Gültigkeit einer anderen mathematischen Aussage von gleichem oder ähnlichem Typ zusammen. Von daher ist es sinnvoll, eine möglichst allgemeine mathematische Aussage zu formulieren und diese zu beweisen, wobei man im Beweis zeigt, dass man kompliziertere {{ Zusatz/Klammer |text=größere Zahlen| |ISZ=|ESZ= }} auf einfachere Situationen {{ Zusatz/Klammer |text=kleinere Zahlen| |ISZ=|ESZ= }} zurückführen kann. Ein wichtiges Beweisprinzip entlang dieses Schemas ist der {{Stichwort|Beweis durch Induktion|SZ={{ Zusatz/Fußnote |text=Das Induktionsprinzip werden wir in der siebten Vorlesung genau besprechen, und gelegentlich schon verwenden| |ISZ=.|ESZ=. }}}} Wir haben also gezeigt {{ Zusatz/Klammer |text=bewiesen, durch eine mathematische Argumentation begründet| |ISZ=|ESZ=, }} dass man mindestens vier Eurozahlen braucht, um die {{math|term= 37 |SZ=}} als Summe darzustellen: Mit weniger als vier ist es nicht möglich, und die eingangs beschriebene Zerlegung {{ Relationskette/display | 37 || 20+10+5+2 || || || |SZ= }} zeigt, dass es mit vier Eurozahlen möglich ist. Die {{math|term= 37 |SZ=}} ist eine Zahl unter vielen, wir hätten gerne zu einer jeden natürlichen Zahl eine entsprechende Aussage. Zunächst gibt es zu jedem vollen Eurobetrag {{math|term= w |SZ=}} eine minimale Anzahl an Eurozahlen, mit der man den Betrag als Summe erhalten kann, aus den drei einfachen Gründen, dass (1) überhaupt jeder Betrag darstellbar ist {{ Zusatz/Klammer |text=beispielsweise als hinreichend große Summe der {{math|term= 1 |SZ=}} mit sich selbst| |ISZ=|ESZ=, }} dass (2) es zu jeder Anzahl an Summanden grundsätzlich die beiden Möglichkeiten gibt, dass der Betrag durch eine Summe aus Eurozahlen mit {{math|term= k |SZ=}} Summanden darstellbar ist oder nicht, und dass (3) das Minimum einer nichtleeren Menge aus natürlichen Zahlen existiert{{ Zusatz/Fußnote |text=Dies ist unmittelbar klar (?). Wir werden in {{ Faktlink |Faktseitenname= Natürliche Zahlen/Nichtleere Teilmengen/Hat Minimum/Fakt |Nr= |SZ= }} diese Aussage aus dem Induktionsprinzip herleiten |ISZ=.|ESZ=. }} Wenn wir den Betrag mit {{math|term= w |SZ=}} bezeichnen, so kann man die minimale Summandenanzahl als {{ Relationskette/display | m(w) || {{op:min|k \in \N|w \text{ lässt sich als eine Summe mit } k \text{ Summanden aus Eurozahlen darstellen} }} || || || |SZ= }} schreiben. Wir fragen uns: {{ Aufzählung3 |Ist die minimale Darstellung eines Betrages {{math|term= w |SZ=}} eindeutig? |Wie kann man sie charakterisieren? |Wie kann man sie finden? }} Dabei suchen wir nicht nur nach einer Antwort, sondern diese Fragen sind stets so zu verstehen, wie man mathematisch begründen kann, dass die Antwort auch richtig ist. Solche mathematischen Fragen können im Allgemeinen sehr schwierig sein, und es ist von vornherein nicht klar, ob man eine Lösung finden wird. Wir listen einige Herangehensweisen auf. {{ Aufzählung10 |Probieren. |Systematischer Probieren. |Extremfälle betrachten. |Hypothese formulieren. |Voraussetzungen leicht abändern, um mögliche Gründe und Schwierigkeiten zu erkennen. |Hypothese präziser formulieren. |Hypothese unter stärkeren zusätzlichen Voraussetzungen beweisen. |Die Perspektive ändern. |Reduktionsmöglichkeiten erkennen. |Hypothese beweisen. }} Wir erläutern dies an der ersten Frage, ob es eine eindeutig bestimmte minimale Darstellung gibt. {{ Aufzählung10 |Nehmen wir die {{math|term= 37 |SZ=.}} Es fällt uns keine weitere Darstellung mit vier Eurozahlen ein. Man kann die obige Argumentation, bei der wir gezeigt haben, dass es keine Darstellung mit drei Eurozahlen gibt, etwas abwandeln, und erhält so eine Begründung, dass die minimale Darstellung für die {{math|term= 37 |SZ=}} eindeutig ist. Welche Zahl probieren wir als nächstes? Die {{math|term= 146 |SZ=?}} |Es ist systematischer, erstmal die kleinsten Zahlen durchzugehen, die {{math|term= 1,2,3=1+2,4=2+2,5,6=5+1 |SZ=,}} bei denen man recht schnell erkennen kann, dass die optimalen Darstellungen eindeutig sind. |Extremfälle sind beispielsweise die einzelnen Eurozahlen selbst, diese sind offenbar durch sich selbst eindeutig minimal darstellbar. Wie sieht es mit der Summe von zwei Eurozahlen aus, kann es für sie eine weitere Darstellung als Summe von zwei Eurozahlen geben? Warum nicht? |Nach diesen Beobachtungen bzw. Überlegungen formulieren wir die optimistische Hypothese, dass die minimale Darstellung eindeutig ist. |Wie allgemein könnte eine solche Aussage stimmen? Betrachten wir die gleiche Fragestellung für eine Währung{{ Zusatz/Fußnote |text=Hier werden also die Voraussetzungen kurz abgeändert, um sie besser verstehen zu können| |ISZ=.|ESZ=, }} für die die Bargeldmittel gleich {{ Math/display|term= 1,3,5,10,30,50,100,300,500 |SZ= }} sind. Das sieht auf den ersten Blick nicht so anders aus. Allerdings gibt es hier die beiden verschiedenen Darstellungsmöglichkeiten {{ Relationskette/display | 6 || 5+1 || 3+3 || || |SZ=, }} die beide minimal sind, da man die {{math|term= 6 |SZ=}} sicher nicht mit einer Münze darstellen kann. Die Hypothese kann also nur stimmen aufgrund spezifischer Eigenschaften der Eurozahlen, eine grobe Argumentation wird man somit wohl nicht erwarten und eine Argumentation, die nicht direkt auf die Eurozahlen Bezug nimmt, kann nicht funktionieren. Auch wenn man die Rückgabe von Geld erlaubt, geht die Eindeutigkeit verloren, beispielsweise ist {{ Relationskette/display | 15 || 10+5 || 20-5 || || |SZ=, }} bei beiden Darstellung werden zwei Scheine bewegt. |Wir meinen natürlich bei eindeutig {{Anführung|eindeutig bis auf die Reihenfolge|SZ=,}} natürlich ist {{ Relationskette/display | 37 || 20+10+5+2 || 2+20+5+10 || || |SZ=. }} Es könnte sich als sinnvoll erweisen, immer mit einer bestimmten Reihenfolge der Summanden zu arbeiten, beispielsweise in absteigender Größe. |Wir beweisen die Aussage zuerst nur für alle Beträge {{math|term= \leq 10 |SZ=}} oder {{math|term= \leq 100 |SZ=}} oder nur für alle Beträge, die als Summe von drei Summanden darstellbar sind. |Wir wollen etwas über Zerlegungen {{ Relationskette/display | w || a \cdot 1 + b \cdot 2 + c \cdot 5 + d \cdot 10 + ... || || || |SZ= }} aussagen. Das kann man von links, also von {{math|term= w |SZ=}} aus betrachten, aber auch von der rechten Seite aus. Kann man einer Darstellung {{ Math/display|term= a \cdot 1 + b \cdot 2 + c \cdot 5 + d \cdot 10 + ... |SZ= }} ohne Bezug auf den dargestellten Wert ansehen, ob sie minimal ist? Hier gibt es viele Gesetzmäßigkeiten, z.B. kann {{math|term= a |SZ=}} nicht {{math|term= 2 |SZ=}} sein, da man andernfalls die beiden {{math|term= 1-|SZ=}}Euromünzen sofort durch eine {{math|term= 2 |SZ=-}}Euromünze ersetzen und so mit einer kleineren Anzahl von Eurozahlen auskommen würde. |Hängt die eindeutige Zerlegung für große Zahlen irgendwie mit der eindeutigen Zerlegung für kleinere Zahlen zusammen? Eine zweite Darstellung für {{math|term= w |SZ=}} führt zu einer Gleichheit {{ Relationskette/display | a \cdot 1 + b \cdot 2 + c \cdot 5 + d \cdot 10 + ... || a' \cdot 1 + b' \cdot 2 + c' \cdot 5 + d' \cdot 10 + ... || || || |SZ=. }} Hier kann man links und rechts, falls eine Eurozahl auf beiden Seiten positiv vorkommt, diese Eurozahl abziehen, und erhält so eine Gleichheit für einen kleineren Ausdruck. |Siehe unten. }} In einem mathematischen Buch {{ Zusatz/Klammer |text=bzw. in der Vorlesung| |ISZ=|ESZ= }} werden mathematische Aussagen häufig direkt bewiesen, ohne dass die Vorüberlegungen erläu{{drucktrenn}}tert werden, die zu dem Beweis geführt haben. Dies ist von der Ökonomie her begründet, man möchte einen Beweis haben, und nicht Überlegungen dokumentieren, die für sich allein genommen ziemlich aussagelos {{ Zusatz/Klammer |text=wie das Durchrechnen von einigen Beispielen| |ISZ=|ESZ= }} sind und von denen ein Großteil auch in eine falsche Richtung geht. Beim Auffinden von Beweisen und beim Lösen von Aufgaben {{ Zusatz/Klammer |text=zwischen diesen beiden Aspekten gibt es keinen grundsätzlichen Unterschied| |ISZ=|ESZ= }} ist der Weg dorthin sehr wichtig, und es sollte viel probiert, Strategien entwickelt und diskutiert werden, auch wenn sich das nicht in der Dokumentation der letztlich gefundenen überprüfbaren Argumentation niederschlägt{{ Zusatz/Fußnote |text=Das gilt auch für die abzugebenden Aufgaben. Geben Sie ein überzeugendes Endprodukt der Überlegungen ab, keine Dokumentation der Überlegungen| |ISZ=.|ESZ=. }} Nach all diesen Vorüberlegungen können wir den folgenden Satz beweisen. {{ inputfaktbeweis |Eurozahlen/Eindeutige Darstellung/Charakterisierung/Fakt|Satz||zusatz1=Fußnote|zusatz2=Fußnote }} Die {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Münzen/1,4,5,6/Maximale Auffüllung/Aufgabe |Nr= |SZ= }} zeigt, dass das Verfahren aus {{ Faktlink |Faktseitenname= Eurozahlen/Eindeutige Darstellung/Charakterisierung/Fakt |Nr=3 |SZ= }} nicht bei jeder Bargeldverteilung zur minimalen Darstellung führt. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der natürlichen Zahlen |Kategorie2=Prinzipien der Mathematik |Kategorie3= |Objektkategorie= |Fußnotenliste=x |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} qv0k74r6dl8wvil8lpfodhewsl5i9r6 1116338 1116336 2026-10-16T07:45:22Z Bocardodarapti 2041 1116338 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputbild |Euro coins and banknotes|jpg| 230px {{!}} right {{!}} | |Zusname=Euro_coins_and_banknotes |Text= |Autor= |Benutzer=Avij |Domäne= |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} Wir betrachten die Euromünzen und Euroscheine {{ Zusatz/Klammer |text=Bargeldmittel| |ISZ=|ESZ=, }} die bekanntlich die Werte{{ Zusatz/{{{zusatz1|}}} |text={{math|term= 500 |SZ=-}}Scheine werden inzwischen nicht mehr ausgegeben, sind aber nach wei vor im Umlauf und gültig| |ISZ=.|ESZ= }} {{ Math/display|term= 1,2,5,10,20,50,100,200, 500 |SZ= }} haben {{ Zusatz/Klammer |text=um nicht immer von Münzen bzw. Scheinen sprechen zu müssen, nennen wir diese Zahlen schlicht Eurozahlen| |ISZ=|ESZ=. }} Einen zu zahlenden vollen Betrag, beispielsweise {{math|term= 37 |SZ=}} Euro, kann man auf viele verschiedene Weisen {{ Zusatz/Klammer |text=ohne Rückgeld| |ISZ=|ESZ= }} begleichen, etwa durch {{math|term= 37 |SZ=}} {{math|term= 1 |SZ=-}}Euro Münzen oder durch {{ Relationskette/display | 37 || 1 \cdot 10 + 4 \cdot 5 + 2 \cdot 2 +3 \cdot 1 || || || |SZ= }} oder durch {{ Relationskette/display | 37 || 20 +10+5+2 || || || |SZ=. }} Wir fragen uns, ob es stets eine {{Anführung|optimale}} Art gibt, einen gegebenen Betrag zu begleichen, ob sie eindeutig ist und wie man sie finden kann. Ein naheliegender Ansatz ist es, diejenige Bezahlung als optimal anzusehen, bei der die wenigsten Münzen bzw. Scheine verwendet werden. Im Beispiel kommt die zuletzt genannte Möglichkeit mit vier Münzen/Scheinen aus. Gibt es eine bessere Möglichkeit? Wie kann man an eine solche Frage herangehen? Wenn jemand eine Darstellung mit nur zwei oder drei Münzen/Scheinen finden würde, wäre die Frage direkt negativ entschieden, denn dann gäbe es eine bessere Möglichkeit. Wenn man ein bisschen rumprobiert und keine bessere Möglichkeit findet, so sagt das relativ wenig, wenn man sich nicht sicher sein kann, dass man alle Möglichkeiten systematisch überprüft hat. Ein solches systematisches und nachvollziehbares Überprüfen ist eine {{Stichwort|mathematische Argumentation|SZ=.}} Wenn die mathematische Argumentation eine präzise formulierte Aussage begründet, so spricht man von einem {{Stichwort|Beweis|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=für diese Aussage| |ISZ=|ESZ=. }} Unsere Aussage ist also {{Anführung|Die Zahl {{math|term= 37 |SZ=}} lässt sich nicht als eine Summe {{ Zusatz/Klammer |text=wobei Wiederholungen erlaubt sind| |ISZ=|ESZ= }} von weniger als vier Zahlen aus den Eurozahlen {{mathl|term= 1,2,5,10,20,50,100,200, 500 |SZ=}} darstellen|SZ=.}} Wie kann man das systematisch begründen? Grundsätzlich könnte man alle Summen mit einer Eurozahl, alle Summen mit zwei Eurozahlen und alle Summen mit drei Eurozahlen ausrechnen und dann feststellen, dass nie {{math|term= 37 |SZ=}} rauskommt. Das ist durchführbar, aber sehr aufwändig. Zu einer guten mathematischen Argumentation gehört auch, dass sie geschickt und ökonomisch ist, dass sie abwegige Situationen schnell ausschließt und sich auf wesentliche Gesichtspunkte konzentriert. Im Beispiel heißt das, dass man Summen, in denen ein Schein mit einem Wert von mindestens {{math|term= 50 |SZ=}} vorkommt, gar nicht betrachten muss, da eine solche Summe immer größergleich {{math|term= 50 |SZ=}} und somit größer als der Zielbetrag {{math|term= 37 |SZ=}} sein wird. Hier fällt sofort eine typische Eigenschaft einer mathematischen Argumentation auf: Sie nimmt Bezug auf schon etablierte oder bekannte oder allgemein anerkannte Eigenschaften, hier nämlich die Eigenschaft, dass eine Summe von natürlichen Zahlen größergleich jedem Summanden der Summe ist. In einer mathematischen Argumentation geht man nicht immer {{Anführung|zurück auf Los|SZ=,}} sondern man verwendet Bekanntes, das seinerseits irgendwann durch eine mathematische Argumentation begründet worden ist. Eine weitere Beobachtung, die das rechnerische Überprüfen von sehr vielen Summen erübrigt, geht folgendermaßen: Man betrachtet den {{math|term= 20 |SZ=-}}Euro-Schein. Das ist der größte Schein, von dem man noch nicht weiß, ob und wie oft er verwendet wird. Wie oft kann/könnte er verwendet werden? Zunächst darf er höchstens einmal verwendet werden, da ja {{ Relationskette/display | 2 \cdot 20 || 40 |>| 37 || || |SZ= }} schon zu groß ist. Muss er in einer minimalen Darstellung verwendet werden? Hier begegnen wir einer typischen Denkfigur im Rahmen einer mathematischen Argumentation: Wir zeigen, dass in einer minimalen Darstellung der {{math|term= 37 |SZ=}} mit Eurozahlen die {{math|term= 20 |SZ=}} vorkommen muss, indem wir zeigen, dass eine Darstellung ohne den {{math|term= 20 |SZ=-}}Schein nicht minimal sein kann. Man spricht von einem {{Stichwort|Beweis durch Widerspruch|SZ=.}} Dabei formuliert man eine Annahme, die dann durch die mathematische Argumentation als unhaltbar erwiesen wird, also als widersprüchlich zu den gegebenen Voraussetzungen der Aussage. Wir machen also die Annahme: Es ist möglich, die {{math|term= 37 |SZ=}} als eine Summe mit maximal drei Summanden aus den Zahlen {{mathl|term= 1,2,5,10 |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=also ohne die {{math|term= 20 |SZ=}}| |ISZ=!|ESZ= }} darzustellen. Durch die Abschätzung, die ihrerseits auf Rechengesetze der natürlichen Zahlen Bezug nimmt, {{ Relationskette/display |a \cdot 1 + b \cdot 2 + c \cdot 5 + d \cdot 10 | \leq| (a+b+c+d) 10 | \leq| 3 \cdot 10 || 30 |<| 37 |SZ= }} sieht man aber schnell, dass dies nicht möglich ist. Die Annahme ist also falsch und eine jede Darstellung der {{math|term= 37 |SZ=}} mit maximal drei Eurozahlen muss die {{math|term= 20 |SZ=}} verwenden, und zwar genau einmal. An dieser Stelle tritt eine weitere wichtige Strategie bei einer mathematischen Argumentation auf, die Vereinfachung der Situation unter Verwendung des schon Gezeigten. Wir wissen bereits, dass {{math|term= 20 |SZ=}} genau einmal vorkommt. Wir ziehen daher {{math|term= 20 |SZ=}} ab und gelangen zur Fragestellung, ob es möglich ist, die {{math|term= 17 |SZ=}} als Summe von maximal zwei der Zahlen {{mathl|term= 1,2,5,10 |SZ=}} darzustellen. In einem gewissen Sinn sind wir jetzt wieder in der Ausgangssituation, wobei allerdings die Zahlen einfacher {{ Zusatz/Klammer |text=geworden| |ISZ=|ESZ= }} sind. Mit der schon verwendeten Strategie kann man hier weiterargumentieren: Man zeigt, dass die {{math|term= 10 |SZ=}} genau einmal in einer solchen minimalen Darstellung vorkommen muss, zieht es wieder ab und gelangt zur Frage, ob man die {{math|term= 7 |SZ=}} als Summe von Eurozahlen mit nur einem Summanden{{ Zusatz/Fußnote |text=Eine Summe mit nur einem Summanden mag sich sonderbar anhören. In der Mathematik sind aber solche Grenzfälle wichtig und stets mitzubetrachten, da man bei einer Situationsvereinfachung häufig {{ Zusatz/Gs |text=wie hier| |ISZ=|ESZ= }} bei einer solchen Extremsituation ankommt| |ISZ=.|ESZ= }} darstellen kann, was offenbar nicht möglich ist. Hier, wie häufig in der Mathematik, hängt also die Gültigkeit einer mathematischen Aussage mit der Gültigkeit einer anderen mathematischen Aussage von gleichem oder ähnlichem Typ zusammen. Von daher ist es sinnvoll, eine möglichst allgemeine mathematische Aussage zu formulieren und diese zu beweisen, wobei man im Beweis zeigt, dass man kompliziertere {{ Zusatz/Klammer |text=größere Zahlen| |ISZ=|ESZ= }} auf einfachere Situationen {{ Zusatz/Klammer |text=kleinere Zahlen| |ISZ=|ESZ= }} zurückführen kann. Ein wichtiges Beweisprinzip entlang dieses Schemas ist der {{Stichwort|Beweis durch Induktion|SZ={{ Zusatz/Fußnote |text=Das Induktionsprinzip werden wir in der siebten Vorlesung genau besprechen, und gelegentlich schon verwenden| |ISZ=.|ESZ=. }}}} Wir haben also gezeigt {{ Zusatz/Klammer |text=bewiesen, durch eine mathematische Argumentation begründet| |ISZ=|ESZ=, }} dass man mindestens vier Eurozahlen braucht, um die {{math|term= 37 |SZ=}} als Summe darzustellen: Mit weniger als vier ist es nicht möglich, und die eingangs beschriebene Zerlegung {{ Relationskette/display | 37 || 20+10+5+2 || || || |SZ= }} zeigt, dass es mit vier Eurozahlen möglich ist. Die {{math|term= 37 |SZ=}} ist eine Zahl unter vielen, wir hätten gerne zu einer jeden natürlichen Zahl eine entsprechende Aussage. Zunächst gibt es zu jedem vollen Eurobetrag {{math|term= w |SZ=}} eine minimale Anzahl an Eurozahlen, mit der man den Betrag als Summe erhalten kann, aus den drei einfachen Gründen, dass (1) überhaupt jeder Betrag darstellbar ist {{ Zusatz/Klammer |text=beispielsweise als hinreichend große Summe der {{math|term= 1 |SZ=}} mit sich selbst| |ISZ=|ESZ=, }} dass (2) es zu jeder Anzahl an Summanden grundsätzlich die beiden Möglichkeiten gibt, dass der Betrag durch eine Summe aus Eurozahlen mit {{math|term= k |SZ=}} Summanden darstellbar ist oder nicht, und dass (3) das Minimum einer nichtleeren Menge aus natürlichen Zahlen existiert{{ Zusatz/Fußnote |text=Dies ist unmittelbar klar (?). Wir werden in {{ Faktlink |Faktseitenname= Natürliche Zahlen/Nichtleere Teilmengen/Hat Minimum/Fakt |Nr= |SZ= }} diese Aussage aus dem Induktionsprinzip herleiten |ISZ=.|ESZ=. }} Wenn wir den Betrag mit {{math|term= w |SZ=}} bezeichnen, so kann man die minimale Summandenanzahl als {{ Relationskette/display | m(w) || {{op:min|k \in \N|w \text{ lässt sich als eine Summe mit } k \text{ Summanden aus Eurozahlen darstellen} }} || || || |SZ= }} schreiben. Wir fragen uns: {{ Aufzählung3 |Ist die minimale Darstellung eines Betrages {{math|term= w |SZ=}} eindeutig? |Wie kann man sie charakterisieren? |Wie kann man sie finden? }} Dabei suchen wir nicht nur nach einer Antwort, sondern diese Fragen sind stets so zu verstehen, wie man mathematisch begründen kann, dass die Antwort auch richtig ist. Solche mathematischen Fragen können im Allgemeinen sehr schwierig sein, und es ist von vornherein nicht klar, ob man eine Lösung finden wird. Wir listen einige Herangehensweisen auf. {{ Aufzählung10 |Probieren. |Systematischer Probieren. |Extremfälle betrachten. |Hypothese formulieren. |Voraussetzungen leicht abändern, um mögliche Gründe und Schwierigkeiten zu erkennen. |Hypothese präziser formulieren. |Hypothese unter stärkeren zusätzlichen Voraussetzungen beweisen. |Die Perspektive ändern. |Reduktionsmöglichkeiten erkennen. |Hypothese beweisen. }} Wir erläutern dies an der ersten Frage, ob es eine eindeutig bestimmte minimale Darstellung gibt. {{ Aufzählung10 |Nehmen wir die {{math|term= 37 |SZ=.}} Es fällt uns keine weitere Darstellung mit vier Eurozahlen ein. Man kann die obige Argumentation, bei der wir gezeigt haben, dass es keine Darstellung mit drei Eurozahlen gibt, etwas abwandeln, und erhält so eine Begründung, dass die minimale Darstellung für die {{math|term= 37 |SZ=}} eindeutig ist. Welche Zahl probieren wir als nächstes? Die {{math|term= 146 |SZ=?}} |Es ist systematischer, erstmal die kleinsten Zahlen durchzugehen, die {{math|term= 1,2,3=1+2,4=2+2,5,6=5+1 |SZ=,}} bei denen man recht schnell erkennen kann, dass die optimalen Darstellungen eindeutig sind. |Extremfälle sind beispielsweise die einzelnen Eurozahlen selbst, diese sind offenbar durch sich selbst eindeutig minimal darstellbar. Wie sieht es mit der Summe von zwei Eurozahlen aus, kann es für sie eine weitere Darstellung als Summe von zwei Eurozahlen geben? Warum nicht? |Nach diesen Beobachtungen bzw. Überlegungen formulieren wir die optimistische Hypothese, dass die minimale Darstellung eindeutig ist. |Wie allgemein könnte eine solche Aussage stimmen? Betrachten wir die gleiche Fragestellung für eine Währung{{ Zusatz/Fußnote |text=Hier werden also die Voraussetzungen kurz abgeändert, um sie besser verstehen zu können| |ISZ=.|ESZ=, }} für die die Bargeldmittel gleich {{ Math/display|term= 1,3,5,10,30,50,100,300,500 |SZ= }} sind. Das sieht auf den ersten Blick nicht so anders aus. Allerdings gibt es hier die beiden verschiedenen Darstellungsmöglichkeiten {{ Relationskette/display | 6 || 5+1 || 3+3 || || |SZ=, }} die beide minimal sind, da man die {{math|term= 6 |SZ=}} sicher nicht mit einer Münze darstellen kann. Die Hypothese kann also nur stimmen aufgrund spezifischer Eigenschaften der Eurozahlen, eine grobe Argumentation wird man somit wohl nicht erwarten und eine Argumentation, die nicht direkt auf die Eurozahlen Bezug nimmt, kann nicht funktionieren. Auch wenn man die Rückgabe von Geld erlaubt, geht die Eindeutigkeit verloren, beispielsweise ist {{ Relationskette/display | 15 || 10+5 || 20-5 || || |SZ=, }} bei beiden Darstellung werden zwei Scheine bewegt. |Wir meinen natürlich bei eindeutig {{Anführung|eindeutig bis auf die Reihenfolge|SZ=,}} natürlich ist {{ Relationskette/display | 37 || 20+10+5+2 || 2+20+5+10 || || |SZ=. }} Es könnte sich als sinnvoll erweisen, immer mit einer bestimmten Reihenfolge der Summanden zu arbeiten, beispielsweise in absteigender Größe. |Wir beweisen die Aussage zuerst nur für alle Beträge {{math|term= \leq 10 |SZ=}} oder {{math|term= \leq 100 |SZ=}} oder nur für alle Beträge, die als Summe von drei Summanden darstellbar sind. |Wir wollen etwas über Zerlegungen {{ Relationskette/display | w || a \cdot 1 + b \cdot 2 + c \cdot 5 + d \cdot 10 + ... || || || |SZ= }} aussagen. Das kann man von links, also von {{math|term= w |SZ=}} aus betrachten, aber auch von der rechten Seite aus. Kann man einer Darstellung {{ Math/display|term= a \cdot 1 + b \cdot 2 + c \cdot 5 + d \cdot 10 + ... |SZ= }} ohne Bezug auf den dargestellten Wert ansehen, ob sie minimal ist? Hier gibt es viele Gesetzmäßigkeiten, z.B. kann {{math|term= a |SZ=}} nicht {{math|term= 2 |SZ=}} sein, da man andernfalls die beiden {{math|term= 1-|SZ=}}Euromünzen sofort durch eine {{math|term= 2 |SZ=-}}Euromünze ersetzen und so mit einer kleineren Anzahl von Eurozahlen auskommen würde. |Hängt die eindeutige Zerlegung für große Zahlen irgendwie mit der eindeutigen Zerlegung für kleinere Zahlen zusammen? Eine zweite Darstellung für {{math|term= w |SZ=}} führt zu einer Gleichheit {{ Relationskette/display | a \cdot 1 + b \cdot 2 + c \cdot 5 + d \cdot 10 + ... || a' \cdot 1 + b' \cdot 2 + c' \cdot 5 + d' \cdot 10 + ... || || || |SZ=. }} Hier kann man links und rechts, falls eine Eurozahl auf beiden Seiten positiv vorkommt, diese Eurozahl abziehen, und erhält so eine Gleichheit für einen kleineren Ausdruck. |Siehe unten. }} In einem mathematischen Buch {{ Zusatz/Klammer |text=bzw. in der Vorlesung| |ISZ=|ESZ= }} werden mathematische Aussagen häufig direkt bewiesen, ohne dass die Vorüberlegungen erläu{{drucktrenn}}tert werden, die zu dem Beweis geführt haben. Dies ist von der Ökonomie her begründet, man möchte einen Beweis haben, und nicht Überlegungen dokumentieren, die für sich allein genommen ziemlich aussagelos {{ Zusatz/Klammer |text=wie das Durchrechnen von einigen Beispielen| |ISZ=|ESZ= }} sind und von denen ein Großteil auch in eine falsche Richtung geht. Beim Auffinden von Beweisen und beim Lösen von Aufgaben {{ Zusatz/Klammer |text=zwischen diesen beiden Aspekten gibt es keinen grundsätzlichen Unterschied| |ISZ=|ESZ= }} ist der Weg dorthin sehr wichtig, und es sollte viel probiert, Strategien entwickelt und diskutiert werden, auch wenn sich das nicht in der Dokumentation der letztlich gefundenen überprüfbaren Argumentation niederschlägt{{ Zusatz/Fußnote |text=Das gilt auch für die abzugebenden Aufgaben. Geben Sie ein überzeugendes Endprodukt der Überlegungen ab, keine Dokumentation der Überlegungen| |ISZ=.|ESZ=. }} Nach all diesen Vorüberlegungen können wir den folgenden Satz beweisen. {{ inputfaktbeweis |Eurozahlen/Eindeutige Darstellung/Charakterisierung/Fakt|Satz||zusatz1=Fußnote|zusatz2=Fußnote }} Die {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Münzen/1,4,5,6/Maximale Auffüllung/Aufgabe |Nr= |SZ= }} zeigt, dass das Verfahren aus {{ Faktlink |Faktseitenname= Eurozahlen/Eindeutige Darstellung/Charakterisierung/Fakt |Nr=3 |SZ= }} nicht bei jeder Bargeldverteilung zur minimalen Darstellung führt. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der natürlichen Zahlen |Kategorie2=Prinzipien der Mathematik |Kategorie3= |Objektkategorie= |Fußnotenliste=x |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} t7hmtnlaf72rhq0ywpnb45qb6tnx40f 1116341 1116338 2026-10-16T07:46:31Z Bocardodarapti 2041 1116341 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputbild |Euro coins and banknotes|jpg| 230px {{!}} right {{!}} | |Zusname=Euro_coins_and_banknotes |Text= |Autor= |Benutzer=Avij |Domäne= |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} Wir betrachten die Euromünzen und Euroscheine {{ Zusatz/Klammer |text=Bargeldmittel| |ISZ=|ESZ=, }} die bekanntlich die Werte{{ Zusatz/{{{zusatz1|}}} |text={{math|term= 500 |SZ=-}}Scheine werden inzwischen nicht mehr ausgegeben, sie sind aber nach wie vor im Umlauf und gültig| |ISZ=.|ESZ= }} {{ Math/display|term= 1,2,5,10,20,50,100,200, 500 |SZ= }} haben {{ Zusatz/Klammer |text=um nicht immer von Münzen bzw. Scheinen sprechen zu müssen, nennen wir diese Zahlen schlicht Eurozahlen| |ISZ=|ESZ=. }} Einen zu zahlenden vollen Betrag, beispielsweise {{math|term= 37 |SZ=}} Euro, kann man auf viele verschiedene Weisen {{ Zusatz/Klammer |text=ohne Rückgeld| |ISZ=|ESZ= }} begleichen, etwa durch {{math|term= 37 |SZ=}} {{math|term= 1 |SZ=-}}Euro Münzen oder durch {{ Relationskette/display | 37 || 1 \cdot 10 + 4 \cdot 5 + 2 \cdot 2 +3 \cdot 1 || || || |SZ= }} oder durch {{ Relationskette/display | 37 || 20 +10+5+2 || || || |SZ=. }} Wir fragen uns, ob es stets eine {{Anführung|optimale}} Art gibt, einen gegebenen Betrag zu begleichen, ob sie eindeutig ist und wie man sie finden kann. Ein naheliegender Ansatz ist es, diejenige Bezahlung als optimal anzusehen, bei der die wenigsten Münzen bzw. Scheine verwendet werden. Im Beispiel kommt die zuletzt genannte Möglichkeit mit vier Münzen/Scheinen aus. Gibt es eine bessere Möglichkeit? Wie kann man an eine solche Frage herangehen? Wenn jemand eine Darstellung mit nur zwei oder drei Münzen/Scheinen finden würde, wäre die Frage direkt negativ entschieden, denn dann gäbe es eine bessere Möglichkeit. Wenn man ein bisschen rumprobiert und keine bessere Möglichkeit findet, so sagt das relativ wenig, wenn man sich nicht sicher sein kann, dass man alle Möglichkeiten systematisch überprüft hat. Ein solches systematisches und nachvollziehbares Überprüfen ist eine {{Stichwort|mathematische Argumentation|SZ=.}} Wenn die mathematische Argumentation eine präzise formulierte Aussage begründet, so spricht man von einem {{Stichwort|Beweis|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=für diese Aussage| |ISZ=|ESZ=. }} Unsere Aussage ist also {{Anführung|Die Zahl {{math|term= 37 |SZ=}} lässt sich nicht als eine Summe {{ Zusatz/Klammer |text=wobei Wiederholungen erlaubt sind| |ISZ=|ESZ= }} von weniger als vier Zahlen aus den Eurozahlen {{mathl|term= 1,2,5,10,20,50,100,200, 500 |SZ=}} darstellen|SZ=.}} Wie kann man das systematisch begründen? Grundsätzlich könnte man alle Summen mit einer Eurozahl, alle Summen mit zwei Eurozahlen und alle Summen mit drei Eurozahlen ausrechnen und dann feststellen, dass nie {{math|term= 37 |SZ=}} rauskommt. Das ist durchführbar, aber sehr aufwändig. Zu einer guten mathematischen Argumentation gehört auch, dass sie geschickt und ökonomisch ist, dass sie abwegige Situationen schnell ausschließt und sich auf wesentliche Gesichtspunkte konzentriert. Im Beispiel heißt das, dass man Summen, in denen ein Schein mit einem Wert von mindestens {{math|term= 50 |SZ=}} vorkommt, gar nicht betrachten muss, da eine solche Summe immer größergleich {{math|term= 50 |SZ=}} und somit größer als der Zielbetrag {{math|term= 37 |SZ=}} sein wird. Hier fällt sofort eine typische Eigenschaft einer mathematischen Argumentation auf: Sie nimmt Bezug auf schon etablierte oder bekannte oder allgemein anerkannte Eigenschaften, hier nämlich die Eigenschaft, dass eine Summe von natürlichen Zahlen größergleich jedem Summanden der Summe ist. In einer mathematischen Argumentation geht man nicht immer {{Anführung|zurück auf Los|SZ=,}} sondern man verwendet Bekanntes, das seinerseits irgendwann durch eine mathematische Argumentation begründet worden ist. Eine weitere Beobachtung, die das rechnerische Überprüfen von sehr vielen Summen erübrigt, geht folgendermaßen: Man betrachtet den {{math|term= 20 |SZ=-}}Euro-Schein. Das ist der größte Schein, von dem man noch nicht weiß, ob und wie oft er verwendet wird. Wie oft kann/könnte er verwendet werden? Zunächst darf er höchstens einmal verwendet werden, da ja {{ Relationskette/display | 2 \cdot 20 || 40 |>| 37 || || |SZ= }} schon zu groß ist. Muss er in einer minimalen Darstellung verwendet werden? Hier begegnen wir einer typischen Denkfigur im Rahmen einer mathematischen Argumentation: Wir zeigen, dass in einer minimalen Darstellung der {{math|term= 37 |SZ=}} mit Eurozahlen die {{math|term= 20 |SZ=}} vorkommen muss, indem wir zeigen, dass eine Darstellung ohne den {{math|term= 20 |SZ=-}}Schein nicht minimal sein kann. Man spricht von einem {{Stichwort|Beweis durch Widerspruch|SZ=.}} Dabei formuliert man eine Annahme, die dann durch die mathematische Argumentation als unhaltbar erwiesen wird, also als widersprüchlich zu den gegebenen Voraussetzungen der Aussage. Wir machen also die Annahme: Es ist möglich, die {{math|term= 37 |SZ=}} als eine Summe mit maximal drei Summanden aus den Zahlen {{mathl|term= 1,2,5,10 |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=also ohne die {{math|term= 20 |SZ=}}| |ISZ=!|ESZ= }} darzustellen. Durch die Abschätzung, die ihrerseits auf Rechengesetze der natürlichen Zahlen Bezug nimmt, {{ Relationskette/display |a \cdot 1 + b \cdot 2 + c \cdot 5 + d \cdot 10 | \leq| (a+b+c+d) 10 | \leq| 3 \cdot 10 || 30 |<| 37 |SZ= }} sieht man aber schnell, dass dies nicht möglich ist. Die Annahme ist also falsch und eine jede Darstellung der {{math|term= 37 |SZ=}} mit maximal drei Eurozahlen muss die {{math|term= 20 |SZ=}} verwenden, und zwar genau einmal. An dieser Stelle tritt eine weitere wichtige Strategie bei einer mathematischen Argumentation auf, die Vereinfachung der Situation unter Verwendung des schon Gezeigten. Wir wissen bereits, dass {{math|term= 20 |SZ=}} genau einmal vorkommt. Wir ziehen daher {{math|term= 20 |SZ=}} ab und gelangen zur Fragestellung, ob es möglich ist, die {{math|term= 17 |SZ=}} als Summe von maximal zwei der Zahlen {{mathl|term= 1,2,5,10 |SZ=}} darzustellen. In einem gewissen Sinn sind wir jetzt wieder in der Ausgangssituation, wobei allerdings die Zahlen einfacher {{ Zusatz/Klammer |text=geworden| |ISZ=|ESZ= }} sind. Mit der schon verwendeten Strategie kann man hier weiterargumentieren: Man zeigt, dass die {{math|term= 10 |SZ=}} genau einmal in einer solchen minimalen Darstellung vorkommen muss, zieht es wieder ab und gelangt zur Frage, ob man die {{math|term= 7 |SZ=}} als Summe von Eurozahlen mit nur einem Summanden{{ Zusatz/Fußnote |text=Eine Summe mit nur einem Summanden mag sich sonderbar anhören. In der Mathematik sind aber solche Grenzfälle wichtig und stets mitzubetrachten, da man bei einer Situationsvereinfachung häufig {{ Zusatz/Gs |text=wie hier| |ISZ=|ESZ= }} bei einer solchen Extremsituation ankommt| |ISZ=.|ESZ= }} darstellen kann, was offenbar nicht möglich ist. Hier, wie häufig in der Mathematik, hängt also die Gültigkeit einer mathematischen Aussage mit der Gültigkeit einer anderen mathematischen Aussage von gleichem oder ähnlichem Typ zusammen. Von daher ist es sinnvoll, eine möglichst allgemeine mathematische Aussage zu formulieren und diese zu beweisen, wobei man im Beweis zeigt, dass man kompliziertere {{ Zusatz/Klammer |text=größere Zahlen| |ISZ=|ESZ= }} auf einfachere Situationen {{ Zusatz/Klammer |text=kleinere Zahlen| |ISZ=|ESZ= }} zurückführen kann. Ein wichtiges Beweisprinzip entlang dieses Schemas ist der {{Stichwort|Beweis durch Induktion|SZ={{ Zusatz/Fußnote |text=Das Induktionsprinzip werden wir in der siebten Vorlesung genau besprechen, und gelegentlich schon verwenden| |ISZ=.|ESZ=. }}}} Wir haben also gezeigt {{ Zusatz/Klammer |text=bewiesen, durch eine mathematische Argumentation begründet| |ISZ=|ESZ=, }} dass man mindestens vier Eurozahlen braucht, um die {{math|term= 37 |SZ=}} als Summe darzustellen: Mit weniger als vier ist es nicht möglich, und die eingangs beschriebene Zerlegung {{ Relationskette/display | 37 || 20+10+5+2 || || || |SZ= }} zeigt, dass es mit vier Eurozahlen möglich ist. Die {{math|term= 37 |SZ=}} ist eine Zahl unter vielen, wir hätten gerne zu einer jeden natürlichen Zahl eine entsprechende Aussage. Zunächst gibt es zu jedem vollen Eurobetrag {{math|term= w |SZ=}} eine minimale Anzahl an Eurozahlen, mit der man den Betrag als Summe erhalten kann, aus den drei einfachen Gründen, dass (1) überhaupt jeder Betrag darstellbar ist {{ Zusatz/Klammer |text=beispielsweise als hinreichend große Summe der {{math|term= 1 |SZ=}} mit sich selbst| |ISZ=|ESZ=, }} dass (2) es zu jeder Anzahl an Summanden grundsätzlich die beiden Möglichkeiten gibt, dass der Betrag durch eine Summe aus Eurozahlen mit {{math|term= k |SZ=}} Summanden darstellbar ist oder nicht, und dass (3) das Minimum einer nichtleeren Menge aus natürlichen Zahlen existiert{{ Zusatz/Fußnote |text=Dies ist unmittelbar klar (?). Wir werden in {{ Faktlink |Faktseitenname= Natürliche Zahlen/Nichtleere Teilmengen/Hat Minimum/Fakt |Nr= |SZ= }} diese Aussage aus dem Induktionsprinzip herleiten |ISZ=.|ESZ=. }} Wenn wir den Betrag mit {{math|term= w |SZ=}} bezeichnen, so kann man die minimale Summandenanzahl als {{ Relationskette/display | m(w) || {{op:min|k \in \N|w \text{ lässt sich als eine Summe mit } k \text{ Summanden aus Eurozahlen darstellen} }} || || || |SZ= }} schreiben. Wir fragen uns: {{ Aufzählung3 |Ist die minimale Darstellung eines Betrages {{math|term= w |SZ=}} eindeutig? |Wie kann man sie charakterisieren? |Wie kann man sie finden? }} Dabei suchen wir nicht nur nach einer Antwort, sondern diese Fragen sind stets so zu verstehen, wie man mathematisch begründen kann, dass die Antwort auch richtig ist. Solche mathematischen Fragen können im Allgemeinen sehr schwierig sein, und es ist von vornherein nicht klar, ob man eine Lösung finden wird. Wir listen einige Herangehensweisen auf. {{ Aufzählung10 |Probieren. |Systematischer Probieren. |Extremfälle betrachten. |Hypothese formulieren. |Voraussetzungen leicht abändern, um mögliche Gründe und Schwierigkeiten zu erkennen. |Hypothese präziser formulieren. |Hypothese unter stärkeren zusätzlichen Voraussetzungen beweisen. |Die Perspektive ändern. |Reduktionsmöglichkeiten erkennen. |Hypothese beweisen. }} Wir erläutern dies an der ersten Frage, ob es eine eindeutig bestimmte minimale Darstellung gibt. {{ Aufzählung10 |Nehmen wir die {{math|term= 37 |SZ=.}} Es fällt uns keine weitere Darstellung mit vier Eurozahlen ein. Man kann die obige Argumentation, bei der wir gezeigt haben, dass es keine Darstellung mit drei Eurozahlen gibt, etwas abwandeln, und erhält so eine Begründung, dass die minimale Darstellung für die {{math|term= 37 |SZ=}} eindeutig ist. Welche Zahl probieren wir als nächstes? Die {{math|term= 146 |SZ=?}} |Es ist systematischer, erstmal die kleinsten Zahlen durchzugehen, die {{math|term= 1,2,3=1+2,4=2+2,5,6=5+1 |SZ=,}} bei denen man recht schnell erkennen kann, dass die optimalen Darstellungen eindeutig sind. |Extremfälle sind beispielsweise die einzelnen Eurozahlen selbst, diese sind offenbar durch sich selbst eindeutig minimal darstellbar. Wie sieht es mit der Summe von zwei Eurozahlen aus, kann es für sie eine weitere Darstellung als Summe von zwei Eurozahlen geben? Warum nicht? |Nach diesen Beobachtungen bzw. Überlegungen formulieren wir die optimistische Hypothese, dass die minimale Darstellung eindeutig ist. |Wie allgemein könnte eine solche Aussage stimmen? Betrachten wir die gleiche Fragestellung für eine Währung{{ Zusatz/Fußnote |text=Hier werden also die Voraussetzungen kurz abgeändert, um sie besser verstehen zu können| |ISZ=.|ESZ=, }} für die die Bargeldmittel gleich {{ Math/display|term= 1,3,5,10,30,50,100,300,500 |SZ= }} sind. 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Beim Auffinden von Beweisen und beim Lösen von Aufgaben {{ Zusatz/Klammer |text=zwischen diesen beiden Aspekten gibt es keinen grundsätzlichen Unterschied| |ISZ=|ESZ= }} ist der Weg dorthin sehr wichtig, und es sollte viel probiert, Strategien entwickelt und diskutiert werden, auch wenn sich das nicht in der Dokumentation der letztlich gefundenen überprüfbaren Argumentation niederschlägt{{ Zusatz/Fußnote |text=Das gilt auch für die abzugebenden Aufgaben. 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Die Integration anderen Summanden aus der Laurentreihe liefern 0 als Beitrag zum Wegintegral. Um diesen Residuensatz beweisen zu können, müssen Singularität zunächst klassifiziert werden. == Einführung == '''Isolierte Singularitäten''' werden im [[w:de:Mathematisches Teilgebiet|mathematischen Teilgebiet]] der [[w:de:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] betrachtet. Isolierte Singularitäten sind besondere [[w:de:isolierter Punkt|isolierte Punkte]] in der [[w:de:Quellmenge|Quellmenge]] einer [[w:de:Holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]]. Man unterscheidet bei isolierten Singularitäten zwischen [[w:de:Stetig behebbare Definitionslücke|hebbaren Singularitäten]], [[w:de:Polstelle|Polstelle]]n und '''wesentlichen Singularitäten'''. == Definition == Es sei <math> U \subseteq \mathbb C</math> eine [[w:de:offene Teilmenge|offene Teilmenge]], <math>z_0 \in U</math>. Ferner sei <math>f\colon U \setminus \{z_0\} \to \mathbb{C} </math> eine holomorphe [[w:de:komplexwertige Funktion|komplexwertige Funktion]]. Dann heißt <math>z_0</math> ''isolierte Singularität'' von <math>f</math>. == Klassifizierung - Singularitäten== Jede isolierte Singularität gehört einer der folgenden drei Klassen an: * Der Punkt <math>z_0</math> heißt ''hebbare Singularität'', wenn <math>f : U \to \mathbb{C} </math> holomorph fortsetzbar ist. Nach dem [[Kurs:Funktionentheorie/Riemannscher Hebbarkeitssatz|Riemannschen Hebbarkeitssatz]] ist dies z.&nbsp;B. dann der Fall, wenn <math>f</math> in einer Umgebung von <math>z_0</math> beschränkt ist. <span id="Polstelle"></span> * Der Punkt <math>z_0</math> heißt ''[[w:de:Polstelle|Polstelle]]'' oder ''Pol'', wenn <math>z_0</math> keine hebbare Singularität ist und es eine natürliche Zahl <math>k</math> gibt, sodass <math>(z-z_0)^k\cdot f(z)</math> eine hebbare Singularität bei <math>z_0</math> hat. Ist das <math>k</math> minimal gewählt, dann sagt man, <math>f</math> habe in <math>z_0</math> einen Pol <math>k</math>-ter Ordnung. * Andernfalls heißt <math>z_0</math> eine ''wesentliche Singularität'' von <math>f</math>. == Isolierte Singularitäten und die Laurentreihe == Der Typ der Singularität lässt sich auch an der [[w:de:Laurentreihe|Laurentreihe]] : <math>f(z):=\sum_{n=-\infty}^\infty a_n\cdot (z-z_0)^n</math> von <math>f</math> in <math>z_0</math> ablesen. === Hebbare Singularitäten und die Laurentreihe === Eine hebbare Singularität liegt genau dann vor, wenn der Hauptteil verschwindet, d.&nbsp;h. <math>a_n=0</math> für alle negativen ganzen Zahlen <math>n</math> : <math>f(z):=\sum_{n=0}^\infty a_n\cdot (z-z_0)^n</math> === Polstelle und die Laurentreihe === Ein Pol <math>k</math>-ter Ordnung liegt genau dann vor, wenn der Hauptteil nach <math>k</math> Gliedern abbricht, d.&nbsp;h. <math> a_{-k} \neq 0</math> und <math>a_n=0</math> für alle <math>n<-k</math>. : <math>f(z):=\sum_{n=-k}^\infty a_n\cdot (z-z_0)^n</math> === Wesentliche Singularität und die Laurentreihe === Eine wesentliche Singularität liegt genau dann vor, wenn unendlich viele Glieder mit negativem Exponenten nicht verschwinden. : <math>f(z):=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} a_n\cdot (z-z_0)^n</math> Aussagen über die Eigenschaften holomorpher Funktionen an wesentlichen Singularitäten machen der [[w:de:Satz von Picard|Große Satz von Picard]] und als einfacherer Spezialfall davon der [[Satz von Casorati-Weierstraß|Satz von Casorati-Weierstraß]]. === Bemerkung - Isolierte Singularität === Haupt- und Nebenteil einer Laurent-Entwicklung werden jeweils durch eine holomorphe Funktion erzeugt. Die Konvergenzradien reichen für diese holomorphen Funktionen von dem Entwicklungspunkt maximal bis zur nächsten Singularität. Wenn die Singularität nicht isoliert ist, gibt es keinen positiven Konvergenzradius für die Entwicklung in eine Reihe. Dies ist aber im weiteren Verlauf der FT sowohl für den Hauptteil als auch für den Nebenteil notwendig. == Beispiele == [[Datei:Essential singularity.png|300px|Plot der Funktion <math>\exp(1/z)</math>. Sie hat im Nullpunkt eine wesentliche Singularität (Bildmitte). Der Farbton entspricht dem komplexen Argument des Funktionswertes, während die Helligkeit seinen Betrag darstellt. Hier sieht man, dass sich die wesentliche Singularität unterschiedlich verhält, je nachdem, wie man sich ihr nähert (im Gegensatz dazu wäre ein Pol gleichmäßig weiß).]] Plot der Funktion <math>\exp(1/z)</math>. Sie hat im Nullpunkt eine wesentliche Singularität (Bildmitte). Der Farbton entspricht dem komplexen Argument des Funktionswertes, während die Helligkeit seinen Betrag darstellt. Hier sieht man, dass sich die wesentliche Singularität unterschiedlich verhält, je nachdem, wie man sich ihr nähert (im Gegensatz dazu wäre ein Pol gleichmäßig weiß). === Eigenschaften === Es sei <math>\Omega=\mathbb C</math> und <math>z_0=0.</math> * <math>f\colon \Omega \setminus \{0\}\to\mathbb C,\,z\mapsto \tfrac{\sin(z)}{z}</math> kann durch <math>f(0)=1</math> stetig auf <math>\Omega</math> fortgesetzt werden, also hat <math>f</math> bei <math>0</math> eine ''hebbare'' Singularität. * <math>f\colon \Omega\setminus \{0\}\to\mathbb C,\,z\mapsto \tfrac{1}{z}</math> hat bei <math>0</math> einen Pol erster Ordnung, weil <math>g(z)=z^1\cdot f(z)</math> durch <math>g(0)=1</math> stetig auf <math>\Omega</math> fortgesetzt werden kann. * <math>f\colon \Omega\setminus \{0\}\to\mathbb C,\,z\mapsto\exp\left(\tfrac{1}{z}\right)</math> hat bei <math>0</math> eine ''wesentliche Singularität'', weil <math>z^k \exp\left(\tfrac{1}{z}\right)</math> für <math>z\to 0</math> für festes <math>k\in\mathbb N</math> stets unbeschränkt ist, beziehungsweise weil in der Laurentreihe um <math>z_0</math> unendlich viele Glieder des Hauptteils nicht verschwinden, denn es gilt ::<math>f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!\,z^n}</math>. == Quellen == * [[w:de:Eberhard Freitag|Eberhard Freitag]], Rolf Busam: ''Funktionentheorie 1.'' Springer-Verlag, Berlin, ISBN 3-540-67641-4. [[Kategorie:Funktionentheorie]] == Seiten-Information == Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Isolierte%20Singularit%C3%A4t Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Isolierte%20Singularit%C3%A4t Isolierte Singularität] https://de.wikipedia.org/wiki/Isolierte%20Singularit%C3%A4t * Datum: 20.4.2020 - [https://de.wikipedia.org/w/index.php?action=history&title=Isolierte%20Singularit%C3%A4t Versionsgeschichte Wikipedia] * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity?lang=de&domain=wikipedia&title=Isolierte%20Singularit%C3%A4t Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity <noinclude>[[en:Complex Analysis/Singularities]]</noinclude> 2r8dvs1c5d7o3opoc0tst3ao1dcwtc0 1116335 1116334 2026-10-16T07:43:17Z Bert Niehaus 20843 /* Quellen */ 1116335 wikitext text/x-wiki == Zur Lerneinheit == Diese Lerneinheit behandelt Singularitäten von komplexer Funktionen. Für Singularitäten in der reellen Analysis bezeichnet man als [[w:de:Definitionslücke|Definitionslücke]]. In der komplexen Analysis habe die Singularitäten eine besondere Bedeutung für den Wert von Wegintegralen. Beim Residuensatz werden wir feststellen, dass nur die Koeffizienten der Laurentreihen vor <math>(z-z_o)^{-1}</math> einen echten Beitrag zum Wegintegral liefern kann. Die Integration anderen Summanden aus der Laurentreihe liefern 0 als Beitrag zum Wegintegral. Um diesen Residuensatz beweisen zu können, müssen Singularität zunächst klassifiziert werden. == Einführung == '''Isolierte Singularitäten''' werden im [[w:de:Mathematisches Teilgebiet|mathematischen Teilgebiet]] der [[w:de:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] betrachtet. Isolierte Singularitäten sind besondere [[w:de:isolierter Punkt|isolierte Punkte]] in der [[w:de:Quellmenge|Quellmenge]] einer [[w:de:Holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]]. Man unterscheidet bei isolierten Singularitäten zwischen [[w:de:Stetig behebbare Definitionslücke|hebbaren Singularitäten]], [[w:de:Polstelle|Polstelle]]n und '''wesentlichen Singularitäten'''. == Definition == Es sei <math> U \subseteq \mathbb C</math> eine [[w:de:offene Teilmenge|offene Teilmenge]], <math>z_0 \in U</math>. Ferner sei <math>f\colon U \setminus \{z_0\} \to \mathbb{C} </math> eine holomorphe [[w:de:komplexwertige Funktion|komplexwertige Funktion]]. Dann heißt <math>z_0</math> ''isolierte Singularität'' von <math>f</math>. == Klassifizierung - Singularitäten== Jede isolierte Singularität gehört einer der folgenden drei Klassen an: * Der Punkt <math>z_0</math> heißt ''hebbare Singularität'', wenn <math>f : U \to \mathbb{C} </math> holomorph fortsetzbar ist. Nach dem [[Kurs:Funktionentheorie/Riemannscher Hebbarkeitssatz|Riemannschen Hebbarkeitssatz]] ist dies z.&nbsp;B. dann der Fall, wenn <math>f</math> in einer Umgebung von <math>z_0</math> beschränkt ist. <span id="Polstelle"></span> * Der Punkt <math>z_0</math> heißt ''[[w:de:Polstelle|Polstelle]]'' oder ''Pol'', wenn <math>z_0</math> keine hebbare Singularität ist und es eine natürliche Zahl <math>k</math> gibt, sodass <math>(z-z_0)^k\cdot f(z)</math> eine hebbare Singularität bei <math>z_0</math> hat. Ist das <math>k</math> minimal gewählt, dann sagt man, <math>f</math> habe in <math>z_0</math> einen Pol <math>k</math>-ter Ordnung. * Andernfalls heißt <math>z_0</math> eine ''wesentliche Singularität'' von <math>f</math>. == Isolierte Singularitäten und die Laurentreihe == Der Typ der Singularität lässt sich auch an der [[w:de:Laurentreihe|Laurentreihe]] : <math>f(z):=\sum_{n=-\infty}^\infty a_n\cdot (z-z_0)^n</math> von <math>f</math> in <math>z_0</math> ablesen. === Hebbare Singularitäten und die Laurentreihe === Eine hebbare Singularität liegt genau dann vor, wenn der Hauptteil verschwindet, d.&nbsp;h. <math>a_n=0</math> für alle negativen ganzen Zahlen <math>n</math> : <math>f(z):=\sum_{n=0}^\infty a_n\cdot (z-z_0)^n</math> === Polstelle und die Laurentreihe === Ein Pol <math>k</math>-ter Ordnung liegt genau dann vor, wenn der Hauptteil nach <math>k</math> Gliedern abbricht, d.&nbsp;h. <math> a_{-k} \neq 0</math> und <math>a_n=0</math> für alle <math>n<-k</math>. : <math>f(z):=\sum_{n=-k}^\infty a_n\cdot (z-z_0)^n</math> === Wesentliche Singularität und die Laurentreihe === Eine wesentliche Singularität liegt genau dann vor, wenn unendlich viele Glieder mit negativem Exponenten nicht verschwinden. : <math>f(z):=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} a_n\cdot (z-z_0)^n</math> Aussagen über die Eigenschaften holomorpher Funktionen an wesentlichen Singularitäten machen der [[w:de:Satz von Picard|Große Satz von Picard]] und als einfacherer Spezialfall davon der [[Satz von Casorati-Weierstraß|Satz von Casorati-Weierstraß]]. === Bemerkung - Isolierte Singularität === Haupt- und Nebenteil einer Laurent-Entwicklung werden jeweils durch eine holomorphe Funktion erzeugt. Die Konvergenzradien reichen für diese holomorphen Funktionen von dem Entwicklungspunkt maximal bis zur nächsten Singularität. Wenn die Singularität nicht isoliert ist, gibt es keinen positiven Konvergenzradius für die Entwicklung in eine Reihe. Dies ist aber im weiteren Verlauf der FT sowohl für den Hauptteil als auch für den Nebenteil notwendig. == Beispiele == [[Datei:Essential singularity.png|300px|Plot der Funktion <math>\exp(1/z)</math>. Sie hat im Nullpunkt eine wesentliche Singularität (Bildmitte). Der Farbton entspricht dem komplexen Argument des Funktionswertes, während die Helligkeit seinen Betrag darstellt. Hier sieht man, dass sich die wesentliche Singularität unterschiedlich verhält, je nachdem, wie man sich ihr nähert (im Gegensatz dazu wäre ein Pol gleichmäßig weiß).]] Plot der Funktion <math>\exp(1/z)</math>. Sie hat im Nullpunkt eine wesentliche Singularität (Bildmitte). Der Farbton entspricht dem komplexen Argument des Funktionswertes, während die Helligkeit seinen Betrag darstellt. Hier sieht man, dass sich die wesentliche Singularität unterschiedlich verhält, je nachdem, wie man sich ihr nähert (im Gegensatz dazu wäre ein Pol gleichmäßig weiß). === Eigenschaften === Es sei <math>\Omega=\mathbb C</math> und <math>z_0=0.</math> * <math>f\colon \Omega \setminus \{0\}\to\mathbb C,\,z\mapsto \tfrac{\sin(z)}{z}</math> kann durch <math>f(0)=1</math> stetig auf <math>\Omega</math> fortgesetzt werden, also hat <math>f</math> bei <math>0</math> eine ''hebbare'' Singularität. * <math>f\colon \Omega\setminus \{0\}\to\mathbb C,\,z\mapsto \tfrac{1}{z}</math> hat bei <math>0</math> einen Pol erster Ordnung, weil <math>g(z)=z^1\cdot f(z)</math> durch <math>g(0)=1</math> stetig auf <math>\Omega</math> fortgesetzt werden kann. * <math>f\colon \Omega\setminus \{0\}\to\mathbb C,\,z\mapsto\exp\left(\tfrac{1}{z}\right)</math> hat bei <math>0</math> eine ''wesentliche Singularität'', weil <math>z^k \exp\left(\tfrac{1}{z}\right)</math> für <math>z\to 0</math> für festes <math>k\in\mathbb N</math> stets unbeschränkt ist, beziehungsweise weil in der Laurentreihe um <math>z_0</math> unendlich viele Glieder des Hauptteils nicht verschwinden, denn es gilt ::<math>f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!\,z^n}</math>. == Quellen == * [[w:de:Eberhard Freitag|Eberhard Freitag]], Rolf Busam: ''Funktionentheorie 1.'' Springer-Verlag, Berlin, ISBN 3-540-67641-4. == Siehe auch == * [[Laurent-Reihe]] * [[Residuum]] * [[Residuensatz]] [[Kategorie:Funktionentheorie]] == Seiten-Information == Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Isolierte%20Singularit%C3%A4t Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Isolierte%20Singularit%C3%A4t Isolierte Singularität] https://de.wikipedia.org/wiki/Isolierte%20Singularit%C3%A4t * Datum: 20.4.2020 - [https://de.wikipedia.org/w/index.php?action=history&title=Isolierte%20Singularit%C3%A4t Versionsgeschichte Wikipedia] * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity?lang=de&domain=wikipedia&title=Isolierte%20Singularit%C3%A4t Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity <noinclude>[[en:Complex Analysis/Singularities]]</noinclude> iw4lx1swzszlqsa1ktry6usjvjk9r5v 1116337 1116335 2026-10-16T07:45:11Z Bert Niehaus 20843 /* Seiten-Information */ 1116337 wikitext text/x-wiki == Zur Lerneinheit == Diese Lerneinheit behandelt Singularitäten von komplexer Funktionen. Für Singularitäten in der reellen Analysis bezeichnet man als [[w:de:Definitionslücke|Definitionslücke]]. In der komplexen Analysis habe die Singularitäten eine besondere Bedeutung für den Wert von Wegintegralen. Beim Residuensatz werden wir feststellen, dass nur die Koeffizienten der Laurentreihen vor <math>(z-z_o)^{-1}</math> einen echten Beitrag zum Wegintegral liefern kann. Die Integration anderen Summanden aus der Laurentreihe liefern 0 als Beitrag zum Wegintegral. Um diesen Residuensatz beweisen zu können, müssen Singularität zunächst klassifiziert werden. == Einführung == '''Isolierte Singularitäten''' werden im [[w:de:Mathematisches Teilgebiet|mathematischen Teilgebiet]] der [[w:de:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] betrachtet. Isolierte Singularitäten sind besondere [[w:de:isolierter Punkt|isolierte Punkte]] in der [[w:de:Quellmenge|Quellmenge]] einer [[w:de:Holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]]. Man unterscheidet bei isolierten Singularitäten zwischen [[w:de:Stetig behebbare Definitionslücke|hebbaren Singularitäten]], [[w:de:Polstelle|Polstelle]]n und '''wesentlichen Singularitäten'''. == Definition == Es sei <math> U \subseteq \mathbb C</math> eine [[w:de:offene Teilmenge|offene Teilmenge]], <math>z_0 \in U</math>. Ferner sei <math>f\colon U \setminus \{z_0\} \to \mathbb{C} </math> eine holomorphe [[w:de:komplexwertige Funktion|komplexwertige Funktion]]. Dann heißt <math>z_0</math> ''isolierte Singularität'' von <math>f</math>. == Klassifizierung - Singularitäten== Jede isolierte Singularität gehört einer der folgenden drei Klassen an: * Der Punkt <math>z_0</math> heißt ''hebbare Singularität'', wenn <math>f : U \to \mathbb{C} </math> holomorph fortsetzbar ist. Nach dem [[Kurs:Funktionentheorie/Riemannscher Hebbarkeitssatz|Riemannschen Hebbarkeitssatz]] ist dies z.&nbsp;B. dann der Fall, wenn <math>f</math> in einer Umgebung von <math>z_0</math> beschränkt ist. <span id="Polstelle"></span> * Der Punkt <math>z_0</math> heißt ''[[w:de:Polstelle|Polstelle]]'' oder ''Pol'', wenn <math>z_0</math> keine hebbare Singularität ist und es eine natürliche Zahl <math>k</math> gibt, sodass <math>(z-z_0)^k\cdot f(z)</math> eine hebbare Singularität bei <math>z_0</math> hat. 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Die Konvergenzradien reichen für diese holomorphen Funktionen von dem Entwicklungspunkt maximal bis zur nächsten Singularität. Wenn die Singularität nicht isoliert ist, gibt es keinen positiven Konvergenzradius für die Entwicklung in eine Reihe. Dies ist aber im weiteren Verlauf der FT sowohl für den Hauptteil als auch für den Nebenteil notwendig. == Beispiele == [[Datei:Essential singularity.png|300px|Plot der Funktion <math>\exp(1/z)</math>. Sie hat im Nullpunkt eine wesentliche Singularität (Bildmitte). Der Farbton entspricht dem komplexen Argument des Funktionswertes, während die Helligkeit seinen Betrag darstellt. Hier sieht man, dass sich die wesentliche Singularität unterschiedlich verhält, je nachdem, wie man sich ihr nähert (im Gegensatz dazu wäre ein Pol gleichmäßig weiß).]] Plot der Funktion <math>\exp(1/z)</math>. Sie hat im Nullpunkt eine wesentliche Singularität (Bildmitte). Der Farbton entspricht dem komplexen Argument des Funktionswertes, während die Helligkeit seinen Betrag darstellt. Hier sieht man, dass sich die wesentliche Singularität unterschiedlich verhält, je nachdem, wie man sich ihr nähert (im Gegensatz dazu wäre ein Pol gleichmäßig weiß). === Eigenschaften === Es sei <math>\Omega=\mathbb C</math> und <math>z_0=0.</math> * <math>f\colon \Omega \setminus \{0\}\to\mathbb C,\,z\mapsto \tfrac{\sin(z)}{z}</math> kann durch <math>f(0)=1</math> stetig auf <math>\Omega</math> fortgesetzt werden, also hat <math>f</math> bei <math>0</math> eine ''hebbare'' Singularität. * <math>f\colon \Omega\setminus \{0\}\to\mathbb C,\,z\mapsto \tfrac{1}{z}</math> hat bei <math>0</math> einen Pol erster Ordnung, weil <math>g(z)=z^1\cdot f(z)</math> durch <math>g(0)=1</math> stetig auf <math>\Omega</math> fortgesetzt werden kann. * <math>f\colon \Omega\setminus \{0\}\to\mathbb C,\,z\mapsto\exp\left(\tfrac{1}{z}\right)</math> hat bei <math>0</math> eine ''wesentliche Singularität'', weil <math>z^k \exp\left(\tfrac{1}{z}\right)</math> für <math>z\to 0</math> für festes <math>k\in\mathbb N</math> stets unbeschränkt ist, beziehungsweise weil in der Laurentreihe um <math>z_0</math> unendlich viele Glieder des Hauptteils nicht verschwinden, denn es gilt ::<math>f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!\,z^n}</math>. == Quellen == * [[w:de:Eberhard Freitag|Eberhard Freitag]], Rolf Busam: ''Funktionentheorie 1.'' Springer-Verlag, Berlin, ISBN 3-540-67641-4. == Siehe auch == * [[Laurent-Reihe]] * [[Residuum]] * [[Residuensatz]] [[Kategorie:Funktionentheorie]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Singularit%C3%A4ten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Singularit%C3%A4ten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Singularit%C3%A4ten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Singularit%C3%A4ten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Singularit%C3%A4ten https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Singularit%C3%A4ten] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Singularit%C3%A4ten Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Singularit%C3%A4ten * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Singularit%C3%A4ten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Singularit%C3%A4ten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Isolierte%20Singularit%C3%A4t Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Isolierte%20Singularit%C3%A4t Isolierte Singularität] https://de.wikipedia.org/wiki/Isolierte%20Singularit%C3%A4t * Datum: 20.4.2020 - [https://de.wikipedia.org/w/index.php?action=history&title=Isolierte%20Singularit%C3%A4t Versionsgeschichte Wikipedia] * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity?lang=de&domain=wikipedia&title=Isolierte%20Singularit%C3%A4t Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] [[Category:Funktionentheorie]] <noinclude>[[en:Complex Analysis/Singularities]]</noinclude> 6xbv7ad85rn3lub2qadgtveqwxydmkx 1116339 1116337 2026-10-16T07:45:49Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1116339 wikitext text/x-wiki == Zur Lerneinheit == Diese Lerneinheit behandelt Singularitäten von komplexer Funktionen. Für Singularitäten in der reellen Analysis bezeichnet man als [[w:de:Definitionslücke|Definitionslücke]]. In der komplexen Analysis habe die Singularitäten eine besondere Bedeutung für den Wert von Wegintegralen. Beim Residuensatz werden wir feststellen, dass nur die Koeffizienten der Laurentreihen vor <math>(z-z_o)^{-1}</math> einen echten Beitrag zum Wegintegral liefern kann. Die Integration anderen Summanden aus der Laurentreihe liefern 0 als Beitrag zum Wegintegral. Um diesen Residuensatz beweisen zu können, müssen Singularität zunächst klassifiziert werden. == Einführung == '''Isolierte Singularitäten''' werden im [[w:de:Mathematisches Teilgebiet|mathematischen Teilgebiet]] der [[w:de:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] betrachtet. Isolierte Singularitäten sind besondere [[w:de:isolierter Punkt|isolierte Punkte]] in der [[w:de:Quellmenge|Quellmenge]] einer [[w:de:Holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]]. Man unterscheidet bei isolierten Singularitäten zwischen [[w:de:Stetig behebbare Definitionslücke|hebbaren Singularitäten]], [[w:de:Polstelle|Polstelle]]n und '''wesentlichen Singularitäten'''. == Definition == Es sei <math> U \subseteq \mathbb C</math> eine [[w:de:offene Teilmenge|offene Teilmenge]], <math>z_0 \in U</math>. Ferner sei <math>f\colon U \setminus \{z_0\} \to \mathbb{C} </math> eine holomorphe [[w:de:komplexwertige Funktion|komplexwertige Funktion]]. Dann heißt <math>z_0</math> ''isolierte Singularität'' von <math>f</math>. == Klassifizierung - Singularitäten== Jede isolierte Singularität gehört einer der folgenden drei Klassen an: * Der Punkt <math>z_0</math> heißt ''hebbare Singularität'', wenn <math>f : U \to \mathbb{C} </math> holomorph fortsetzbar ist. Nach dem [[Kurs:Funktionentheorie/Riemannscher Hebbarkeitssatz|Riemannschen Hebbarkeitssatz]] ist dies z.&nbsp;B. dann der Fall, wenn <math>f</math> in einer Umgebung von <math>z_0</math> beschränkt ist. <span id="Polstelle"></span> * Der Punkt <math>z_0</math> heißt ''[[w:de:Polstelle|Polstelle]]'' oder ''Pol'', wenn <math>z_0</math> keine hebbare Singularität ist und es eine natürliche Zahl <math>k</math> gibt, sodass <math>(z-z_0)^k\cdot f(z)</math> eine hebbare Singularität bei <math>z_0</math> hat. Ist das <math>k</math> minimal gewählt, dann sagt man, <math>f</math> habe in <math>z_0</math> einen Pol <math>k</math>-ter Ordnung. * Andernfalls heißt <math>z_0</math> eine ''wesentliche Singularität'' von <math>f</math>. == Isolierte Singularitäten und die Laurentreihe == Der Typ der Singularität lässt sich auch an der [[w:de:Laurentreihe|Laurentreihe]] : <math>f(z):=\sum_{n=-\infty}^\infty a_n\cdot (z-z_0)^n</math> von <math>f</math> in <math>z_0</math> ablesen. === Hebbare Singularitäten und die Laurentreihe === Eine hebbare Singularität liegt genau dann vor, wenn der Hauptteil verschwindet, d.&nbsp;h. <math>a_n=0</math> für alle negativen ganzen Zahlen <math>n</math> : <math>f(z):=\sum_{n=0}^\infty a_n\cdot (z-z_0)^n</math> === Polstelle und die Laurentreihe === Ein Pol <math>k</math>-ter Ordnung liegt genau dann vor, wenn der Hauptteil nach <math>k</math> Gliedern abbricht, d.&nbsp;h. <math> a_{-k} \neq 0</math> und <math>a_n=0</math> für alle <math>n<-k</math>. : <math>f(z):=\sum_{n=-k}^\infty a_n\cdot (z-z_0)^n</math> === Wesentliche Singularität und die Laurentreihe === Eine wesentliche Singularität liegt genau dann vor, wenn unendlich viele Glieder mit negativem Exponenten nicht verschwinden. : <math>f(z):=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} a_n\cdot (z-z_0)^n</math> Aussagen über die Eigenschaften holomorpher Funktionen an wesentlichen Singularitäten machen der [[w:de:Satz von Picard|Große Satz von Picard]] und als einfacherer Spezialfall davon der [[Satz von Casorati-Weierstraß|Satz von Casorati-Weierstraß]]. === Bemerkung - Isolierte Singularität === Haupt- und Nebenteil einer Laurent-Entwicklung werden jeweils durch eine holomorphe Funktion erzeugt. Die Konvergenzradien reichen für diese holomorphen Funktionen von dem Entwicklungspunkt maximal bis zur nächsten Singularität. Wenn die Singularität nicht isoliert ist, gibt es keinen positiven Konvergenzradius für die Entwicklung in eine Reihe. Dies ist aber im weiteren Verlauf der FT sowohl für den Hauptteil als auch für den Nebenteil notwendig. == Beispiele == [[Datei:Essential singularity.png|300px|Plot der Funktion <math>\exp(1/z)</math>. Sie hat im Nullpunkt eine wesentliche Singularität (Bildmitte). Der Farbton entspricht dem komplexen Argument des Funktionswertes, während die Helligkeit seinen Betrag darstellt. Hier sieht man, dass sich die wesentliche Singularität unterschiedlich verhält, je nachdem, wie man sich ihr nähert (im Gegensatz dazu wäre ein Pol gleichmäßig weiß).]] Plot der Funktion <math>\exp(1/z)</math>. Sie hat im Nullpunkt eine wesentliche Singularität (Bildmitte). Der Farbton entspricht dem komplexen Argument des Funktionswertes, während die Helligkeit seinen Betrag darstellt. Hier sieht man, dass sich die wesentliche Singularität unterschiedlich verhält, je nachdem, wie man sich ihr nähert (im Gegensatz dazu wäre ein Pol gleichmäßig weiß). === Eigenschaften === Es sei <math>\Omega=\mathbb C</math> und <math>z_0=0.</math> * <math>f\colon \Omega \setminus \{0\}\to\mathbb C,\,z\mapsto \tfrac{\sin(z)}{z}</math> kann durch <math>f(0)=1</math> stetig auf <math>\Omega</math> fortgesetzt werden, also hat <math>f</math> bei <math>0</math> eine ''hebbare'' Singularität. * <math>f\colon \Omega\setminus \{0\}\to\mathbb C,\,z\mapsto \tfrac{1}{z}</math> hat bei <math>0</math> einen Pol erster Ordnung, weil <math>g(z)=z^1\cdot f(z)</math> durch <math>g(0)=1</math> stetig auf <math>\Omega</math> fortgesetzt werden kann. * <math>f\colon \Omega\setminus \{0\}\to\mathbb C,\,z\mapsto\exp\left(\tfrac{1}{z}\right)</math> hat bei <math>0</math> eine ''wesentliche Singularität'', weil <math>z^k \exp\left(\tfrac{1}{z}\right)</math> für <math>z\to 0</math> für festes <math>k\in\mathbb N</math> stets unbeschränkt ist, beziehungsweise weil in der Laurentreihe um <math>z_0</math> unendlich viele Glieder des Hauptteils nicht verschwinden, denn es gilt ::<math>f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!\,z^n}</math>. == Quellen == * [[w:de:Eberhard Freitag|Eberhard Freitag]], Rolf Busam: ''Funktionentheorie 1.'' Springer-Verlag, Berlin, ISBN 3-540-67641-4. == Siehe auch == * [[Laurent-Reihe]] * [[Residuum]] * [[Residuensatz]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Singularit%C3%A4ten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Singularit%C3%A4ten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Singularit%C3%A4ten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Singularit%C3%A4ten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Singularit%C3%A4ten https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Singularit%C3%A4ten] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Singularit%C3%A4ten Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Singularit%C3%A4ten * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Singularit%C3%A4ten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Singularit%C3%A4ten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Isolierte%20Singularit%C3%A4t Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Isolierte%20Singularit%C3%A4t Isolierte Singularität] https://de.wikipedia.org/wiki/Isolierte%20Singularit%C3%A4t * Datum: 20.4.2020 - [https://de.wikipedia.org/w/index.php?action=history&title=Isolierte%20Singularit%C3%A4t Versionsgeschichte Wikipedia] * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity?lang=de&domain=wikipedia&title=Isolierte%20Singularit%C3%A4t Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] [[Category:Funktionentheorie]] <noinclude>[[en:Complex Analysis/Singularities]]</noinclude> a88wwgckj6vc69quwlgx0wx1yj3rejc 0 128943 1116388 1115729 2026-10-16T09:38:59Z Jeb 26942 20. Oktober 1116388 wikitext text/x-wiki '''DatenlaubeJam''', dienstags 2026, meist ab 8:30, BBB: https://bbb.tu-dresden.de/rooms/l3b-ikm-u3c-2rd/join == 20. Oktober == [[Datei:Tafellieder Verein für Erdkunde zu Dresden 1913.pdf|mini|Tafellieder des Vereins für Erdkunde zu Dresden, 14. März 1913]] == 13. Oktober == ; Neu aus Dresden [[s:Verein für Erdkunde zu Dresden]] == 6. Oktober == [[Datei:Dresdner Geschichtsblätter - Titel.jpg|mini|Dresdner Geschichtsblätter - Titel]] ; Fertig [[s:Dresdner Geschichtsblätter Band 6 (1913 bis 1916)]], bis auf die geschützten Texte ; Zweitkorrektur {{Wikisource|Mitteilungen des Vereins für Chemnitzer Geschichte Dritter und Vierter Band}} ; Wunschzettel [[d:Q4112660]], [[c:Category:Wish lists]] == 29. September == [[Datei:Exposición "El casco antiguo" escuela bella época dresde.jpg|mini|Exposición "El casco antiguo" escuela bella época dresde]] * Dundee City Archives: Burns Supper, Scotland-GDR Society, In The Red Flag, https://nearby.hypotheses.org/6524 * Mitteilungen des Vereins für Chemnitzer Geschichte Dritter und Vierter Band - mindestens einmal korrigiert: {{Wikisource|Index:Mitteilungen_des_Vereins_für_Chemnitzer_Geschichte_Dritter_und_Vierter_Band.pdf}} * Geschichtswettbwerb: [[w:Lotte Hahm]] ; Neu {{Wikisource|Zur Kipper- und Wipperzeit in Kursachsen}} ; Handwerker-Heft (Dresdner Hefte) {{Wikisource|Tafellied 400 Jahre Buchdruckerkunst in Dresden}} * [[c:Category:Ausstellung des sächsischen Kunstgewerbes und Handwerks Dresden 1896]] * Ausstellung des sächsischen Kunstgewerbes und Handwerks 1896 baute einen kleinen Event-Erlebnis-Park im Stile einer frühneuzeitlichen Stadt auf das Areal der Güntzwiese, heutige Cockerwiese. "Die Alte Stadt" zog mehr Besucher an als die Ausstellungen des Handwerks im Ausstellungspalast. Wer möchte kann per Georeferenzierung die Bilder des Leporellos der Cockerwiese zuordnen, hier ist der genaue Plan aus dem Ausstellungskatalog: https://digital.slub-dresden.de/werkansicht/dlf/124455/24 == 22. September == * Leseholz transkribiert und in der Wikisource: {{Wikisource|Leseholz-Zettel_No_33}} * Korrekturlesen erwünscht: {{Wikisource|Index:Goldenes_Buch_Hotel_Bellevue_Dresden.pdf}} == 15. September == [[Datei:Leseholz-Zettel.pdf|Leseholz-Zettel, 1861|mini]] ; Leseholz-Zettel Neu: [[s:Leseholz-Zettel No 33]] ; Sächsisches Gaffee-Lied!, circa 1909 <poem>Und nimmt der Deifel einst mich beim Schlaffiddchen, Und trägt im Flug mich nach der Helle fort, So trink ich schnell vom Gaffee noch ä Schniddchen, Denn keenen giebts an jenem dunklen Ort. Nur trinkt mer Schwefelbliemchen Nur mit des Deifels Miehmchen; Kee Gaffee dort, o welche Hellenpein, Ich bin ä Sachse, will ä Sachse sein. (...)</poem> Quelle: Stadtarchiv Leipzig: 0290 (Handwerkerinnungen), Schornsteinfegerinnung Nr. C 13, 200-jähriges Bestehen [Jubelfeier!] der Schornsteinfegerkreisinnung Leipzig, (Dokument 81), Transkript: https://nearby.hypotheses.org/6448. Vielleicht von Lene Voigt? Vgl. https://www.mdr.de/kultur/literatur/lene-voigt-gedichte,lene-voigt-leipzig-sachsen-mundart-dichtung-104.html == 8. September == [[Datei:Typographen-Lied 1846.jpg|mini|Typographen-Lied 1846]] ; SPRECHSAAL ; Handwerksheft {{Wikisource|Tafellied 400 Jahre Buchdruckerkunst in Dresden|Tafellied bei dem zur 400jährigen Jubelfeier der Erfindung der Buchdruckerkunst den 21. Juni 1840 in Dresden stattfindenden Festmahle im Saale der Harmonie}} == 1. September == ; Elektrische-Tafellied-Archiv-Bibliothek (ETAB) : Neu 1913 {{Wikisource|Eröffnung Bahn Hohenstein–Gersdorf–Lugau–Oelsnitz}} Gesucht: Tafellieder der Textilindustrie, vielleicht auch mit Damast? ; 3 x Leipzig 1866 {{Wikisource|Tafellieder der Bäcker und Müller 1866}} == 25. August == [[Datei:Kraftspeise zur Tafel in Liegnitz 1895.jpg|mini|Kraftspeise zur Tafel in Liegnitz 1895]] {{Wikisource|Tafellieder Eröffnungsfeier der Eisenbahn Wolkenstein-Jöhstadt 1892}} {{Wikisource|Kraftspeise zur Tafel in Liegnitz 1895}} ; Digitalladen Aschaffenburg CF berichtet: ''Bürgerbeteiligung und Digitalladen der Stadt Aschaffenburg'', https://digital.aschaffenburg.de/digitalladen/ : ''Kommen Sie vorbei! Wir freuen uns darauf, Sie kennenzulernen.'' ; ''Anschließend'' [[meta:Event:Global GLAM call 2026-08-25]] : https://etherpad.wikimedia.org/p/Global_GLAM_Calls_%E2%80%94_2026_Notes == 18. August == Wir sprachen über KI-Fotos auf Einladungen von Gesichtsvereinen, über das attraktive Ambiente für gelegentlichen DatenlabeJam in der Zebradiele nahe dem [[w:Universitätsarchiv der Technischen Universität Dresden]] ... ; Neu ist ... die [[s:Forsche Naturforscherei]] aus Chemnitz. == 11. August == [[Datei:In Memoriam Moreauschaenke Liedtext.JPG|mini|In Memoriam ''Moreauschaenke'', Liedtext]] ; [[w:Moreauschänke|Moreauschänke]] in Dresden : In memoriam Moreauschänke <poem> 1. Schänke wir Dich grüßen, o Gambrinus hilf, Bald wirst Du Dich schließen, o Gambrinus hilf, Gambrinus hilf uns allen aus der tiefen Not! 2. Quelle unsrer Freude, o Gambrinus hilf, Trösterin in Leiden, o Gambrinus hilf, Gambrinus hilf uns allen aus der tiefen Not! 3. Kneipe ohnegleichen, o Gambrinus hilf, Mußt vom Platze weichen, o Gambrinus hilf, Gambrinus hilf uns allen aus der tiefen Not! 4. Stoff tat'st Du uns spenden, o Gambrinus hilf, Traurig mußt Du enden, o Gambrinus hilf, Gambrinus hilf uns allen aus der tiefen Not! 5. Gedenkt es miteinander, o Gambrinus hilf, Man rieb hier Salamander, o Gambrinus hilf, Gambrinus hilf uns allen aus der tiefen Not! 6. Lieder hier erklangen, o Gambrinus hilf, Mützen wir hier schwangen, o Gambrinus hilf, Gambrinus hilf uns allen aus der tiefen Not! 7. Uns bleibt nur zu hoffen, o Gambrinus hilf, Du einst wieder offen, o Gambrinus hilf, Gambrinus hilf uns allen aus der tiefen Not! 8. Jetzt mit diesem Tranke, o Gambrinus hilf, Sagen wir Dir "Danke", o Gambrinus hilf, Gambrinus hilf uns allen aus der tiefen Not! 9. Altem Brauch gemäße, o Gambrinus hilf, Leert nun die Gefäße, o Gambrinus hilf, Gambrinus hilf uns allen aus der tiefen Not! </poem> : Worte: AH. Jürgen Modrzynski x S! xx O! zum 4. November 1988 : Melodie: altes fränkisches Wallfahrtslied ''Anmerkungen'' : "Man rieb hier Salamander", ein Ritus vor dem Ex-Trinken eines Glases Bieres, vgl. [[w:Salamander (Ritual)]]. : Parodie auf das katholische Marienlied "Meerstern, ich Dich grüße", [[w:Ave maris stella]] == 4. August == [[s:Dresdner Geschichtsblätter Band 6 (1913 bis 1916)]] {{Wikisource|Alt-Dresdner Gelegenheitsdichtung}} : "Ein fruchtbarer Boden für diese Erzeugnisse war unser Sachsen. In Dresden blühte die Gelegenheitsdichtung. Noch finden sich in alten Papieren wertvolle Reste. Das beste davon sollte gesammelt werden; ich bitte, mir solche Gedichte, ob gedruckt oder handschriftlich, zugänglich machen zu wollen." [[Datei:Menggunakan Wikipedia dalam Pembelajaran-Seri 1 (page 26-2 crop).jpg|mini|Menggunakan Wikipedia dalam Pembelajaran-Seri 1 (page 26-2 crop)]] {{Wikisource|Mitteilungen des Vereins für Chemnitzer Geschichte Dritter und Vierter Band}} : {{Wikisource|Gottlob Daniel Staberoh}} {{Wikisource|Tafellied der Abend-Zeitung 13.07.1842}} : "Dieses Zitat (''Die erste Strophe des Tafellieds'') stammt aus dem Gedicht „Die Kochkunst“ von Friedrich von Hagedorn (1708–1754), einem bekannten Dichter der deutschen Aufklärung", behauptet eine Suchmaschine. Stimmt das? Wer findet ggf.? : zur 2. Strophe: "Dieses Zitat stammt aus dem Gedicht „Der Küchengarten“ von Christian Fürchtegott Gellert (1715–1769), einem bedeutenden deutschen Dichter und Moralphilosophen der Aufklärungszeit." : zur 3. Strophe: "Ein wunderbarer Vierzeiler, der die perfekte Balance zwischen Trank und Schmaus beschreibt! Die Verse fangen das klassische Lebensgefühl von Genuss und Geselligkeit perfekt ein." : Tafellied gesamt mit Google: "Das ist ein wunderbares, historisches Gedicht, das die Kochkunst gegenüber dem Weinloben verteidigt! Es stammt aus dem Kochbuch-Klassiker „Praktisches Kochbuch“ von Henriette Davidis (erstmals erschienen 1844). Dort dient es traditionell als feierliches Entree (Einleitung) für das Kapitel über die Kochkunst." ; Notizen zur Methode ''DatenlaubeJam'' Was noch? * 2026: ''See the Unseen'': [[s:Chemnitzer Geschichtsverein|Verein für Chemnitzer Geschichte]] mit [[s:Kunsthütte Chemnitz]] :: Lern- und Lehrmittel (OER): [[s:Tafellieder#Sekundärliteratur]] :: Tafellieder und andere Gelegenheitsdichtung in sächsischen Sammlungen :: Neu: DatenlaubeJam [[d:Q140833912]] * 2024: [[DieDatenlaube/Notizen/Methode DatenlaubeJam|Methode DatenlaubeJam]] * 2023: [[DieDatenlaube/Lehre]] * 2022: [[DieDatenlaube/Notizen/GeNeMe Abstrakt|GeNeMe]] == 27. Juli == ; Tatort Dresden Läuft gut, [[d:Q140136012]], https://www.dresdner-geschichtsverein.de/hefte/aktuelles-heft. ; Tafellieder : [[s:Tafellied Jubelfeier Schnellpresse König und Bauer|Tafellied bei der Jubelfeier zur Erbauung der 1000. Schnellpresse im König und Bauer’schen Etablissement Kloster Oberzell am 23. März 1865]] : [[s:Orthographisches Tafellied 1876|Orthographisches Tafellied]] == 21. Juli == [[Datei:Menggunakan Wikipedia dalam Pembelajaran-Seri 1 (page 26-1 crop).jpg|thumb|Menggunakan Wikipedia dalam Pembelajaran-Seri 1 (page 26-1 crop)]] * [[s:Tafellied bei dem Hebeschmause Waldenburg 1878|Tafellied bei dem Hebeschmause des Seminar-Umbaues zu Waldenburg den 10. August 1878]] * feine Piktogramme [[c:Category:Menggunakan Wikipedia dalam Pembelajaran]] ; Sind Turmvasen = Turmknöpfe mit anderer Form? [[s:Der alte und neue urkundliche Inhalt der Turmvase des alten Rathauses zu Dresden]], in: [[s:Dresdner Geschichtsblätter Band 6 (1913 bis 1916)]], 1915 == 14. Juli == * [[s:Aus dem religiösen und kirchlichen Leben Dresdens mit besonderer Berücksichtigung früherer Kriegszeiten]], Dresdner Geschichtsblätter, 1916 * ''Ein Ausflug nach Waldenburg'' samt ''Volkslied, am Tauftage des erstgeborenen Durchlauchtigen Prinzen von Schönburg Waldenburg, gesungen den 5. November 1819'', 11. Juli 2026, https://www.museum-waldenburg.de/blog/detail/ein-ausflug-nach-waldenburg == 7. Juli == ; Mission Blüher 2.0 Janosch (SLUB) zeigt Kulinaria: https://www.slub-dresden.de/entdecken/deutsches-archiv-der-kulinarik/digitalisierung-und-erschliessung-kulinarischer-quellen/ocr-blueher * Blueher OCR Korrektur App https://blueher-korrektur.culinaria-online.de/ * Vokabulartdaten für https://skosmos.org/, https://demo.skosmos.org/euro/de/, Skosmos [[d:Q130281770]] ; Schon gewusst? [[w:Tafellied|Tafellied]] in der Wikipedia Dazu Saxorum: https://saxorum.hypotheses.org/15983, Zugriffsstatistik: https://pageviews.wmcloud.org/?project=de.wikipedia.org&platform=all-access&agent=user&redirects=0&range=latest-30&pages=Tafellied == 30. Juni == [[Datei:Merkblatt Reichsversicherungsanstalt Januar 1914.pdf|mini|Merkblatt der Reichsversicherungsanstalt, 1914]] ; [[v:de:Kurs:Wikisource ASpB 2026|Spezialbestände aus Spezialbibliotheken]] {{Wikisource|Merkblatt Reichsversicherungsanstalt Januar 1914|''Merkblatt der Reichsversicherungsanstalt für Angestellte für die Einleitung eines Heilverfahrens (§§ 36 bis 43 des Versicherungsgesetzes für Angestellte)''}} == 23. Juni == ; Stadtansichten Alexander Winkler entdeckt (in & für) Berlin ''Wikidata Bildpositionen'': https://wd-image-positions.toolforge.org/, vgl. [[c:User:Awinkler3/Annotating_the_City]]. Austausch willkommen! ; Geschichtsvereinsbibliotheken linked open JB: Poster-[[Projekt:Wikisource links SaxFDM 2026|Projekt]] mit Daniel F. == 16. Juni == [[Datei:Dresdner Geschichtsblätter 1915 Nr. 1 Seite 110 Grafik.jpg|mini|Dresdner Geschichtsblätter 1915, Nr. 1, [[s:Seite:Dresdner Geschichtsblätter Sechster Band.pdf/113|S. 110]]]] Neu ist der Artikel [[w:Tafellied]]. ; Lied der Töpfer Altstadtwaldenburg: https://nearby.hypotheses.org/6053 == 9. Juni == ; 180 Tage Zukunft [[Datei:Lepidoptera collection 01652.jpg|mini|Lepidoptera collection 01652]] * Naturalienkabinett Waldenburg: https://www.museum-waldenburg.de/forschen-bewahren/wunderkammer-digital, ... https://www.geschichtsverein-waldenburg.de * neu: [[s:Waldenburg (Sachsen)]], siehe auch: [[c:Category:Museum Waldenburg]] == 2. Juni == {{Wikisource|Ludwig Richter}} ; Sinnsprüche : CF: "Hier gibts soviel zu tun, da reichen meine Tanzkarten nicht!" : JB: "Marktforschung kann enttäuschend sein." ; [[c:Category:Graphical abstracts|Graphical abstracts]] für DD-Hefte-Titel!? ; Neu : [[c:Category:Elbhang-Kurier]] : Leipziger Ausstellungsdaten: [[c:Category:Strukturen der Macht (exhibition)]] == 26. Mai == [[Datei:Wikidata in Museen, Archiven und Bibliotheken.pdf|100px|Wikidata in Museen, Archiven und Bibliotheken|right]] == 19. Mai == ; Neu {{Wikisource|Mitteilungen des Vereins für Chemnitzer Geschichte Dritter und Vierter Band}} {{Wikisource|Dresdner Geschichtsblätter Band 6 (1913 bis 1916)}} == 12. Mai == * Bericht vom Besuch der Ehrenamtler der SLUB in Freiberg, dort interessantes Gebäude und Blick ins Magazin * Projekt Herrnhuter läuft weiter, große Datenmengen werden generiert auf Zenodo: https://zenodo.org/records/19130765 * Tipp: Universum Dresden-Schau von Ernst Hirsch, viele tolle Dresdenaufnahmen, viel Stadtgeschichte * Projekt der SäBiG und der SLUb zum Besucherbuch der Bibliothek: https://digital.slub-dresden.de/werkansicht/dlf/12236/1 zum Projekt: https://www.saxorum.de/mitmachen/bibliotheksgeschichte-zum-mitmachen bisschen unklar, wo das Projekt liegt, vielleicht mal in die Datenlaube einladen? * Stand Geschichtsbücher: Band 5 fertig (juhu!!!) {{Wikisource|Dresdner Geschichtsblätter Band 5 (1909 bis 1912)}} * bitte Band 6 vorbereiten [[Datei:Kesselsdorf und Maxen.Seite295.jpg|mini|Kesselsdorf und Maxen, S. 295]] * Cossefritz bearbeitet weiter: {{Wikisource|Kesselsdorf_und_Maxen_–_Zwei_Winterschlachten_bei_Dresden}} und möchte den Wanderweg gehen, wer geht mit? ==5. Mai== [[Datei:Goldenes Buch Seite 001 Signatur 05.jpg|mini|Unterschrift Friedrich Ebert]] * ''Wenn Kruzianer feiern'', https://www.musik-in-dresden.de/2026/05/03/wenn-kruzianer-feiern/ über Tafellieder ; Datenpflege Das [[s:Goldenes Buch zum 70. Geburtstag August Bebel 1910/Personenregister|Personenregister des Goldenen Buches zum 70. Geburtstag August Bebel 1910]] wurde komplett auf WD umgestellt == April == [[Datei:Ortskarte des Königreichs Sachson 1-250.000. Auf Veranlassung der königlichen Ministerien sowie des evangelisch-lutherischen Landes-Consistoriums, nach amtlichen Quellen bearbeitet - btv1b53258207z.jpg|mini|Schöne übersichtliche politische Karte des Kgr. Sachsen, gespendet von der Franz. Nationalbibliothek]] [[Datei:Dresden, Albertinum, Ludwig Richter, im Juni.JPG|mini|1859 in der Kunstakademie ausgestellt]] ;Frühjahrsputz beim Poenicke: {{Wikisource|Album der Rittergüter und Schlösser im Königreiche Sachsen}} <gallery caption="neue Bilder" perrow="5" showfilename> Posseck Vogtland 2017 xy11.jpg Rittergut Untermarxgrün, Herrenhaus.jpg Schloss Heinersgrün (1).jpg Kirche St. Nikolaus (Rodau).jpg Herrenhaus des Ritterguts Gutenfürst (2).jpg </gallery> ; Interessant und hilfreich: https://sachsens-schloesser.de/ ; Desiderat mit Hilfe [[w:Staatliche Kunstsammlungen Dresden|SKD-Kunstbibliothek]] erledigt {{Wikisource|Katalog zu der von der Kön. Sächs. Akademie der bildenden Künste alljährlich veranstalteten Kunst-Ausstellung in Dresden 1859}} ; Neues Projekt Marie Simon: [[s:Index:Die Krankenpflege 1876.pdf]] == 31. März == [[Datei:Kesselsdorf und Maxen.Seite71.jpg|mini|Kesselsdorf und Maxen, S. 71]] ; Projekte {{Wikisource|Kunstdenkmäler Amtshauptmannschaft Flöha}} {{Wikisource|Kesselsdorf und Maxen – Zwei Winterschlachten bei Dresden}} {{Wikisource|Im Verein (Kunsthütte)}} {{Wikisource|Tafellied zur Crucianer-Feier am 2. Mai 1891}} * [[c:Category:Beschreibende Darstellung der älteren Bau- und Kunstdenkmäler des Königreichs Sachsen (Heft 7, Chemnitz)]] == 24. März == [[File:Die Gartenlaube (1898) b 0196 a 5.jpg|mini|Osterei als Tischkartenhalter, Die Gartenlaube, 1898, S. 196]] ; Zeitgemäßes neues Projekt? ''Ostereier für Buchhändler : mit Salz, Pfeffer, Essig oder Senf zu verspeisen im Jahre 1864'', https://mdz-nbn-resolving.de/details:bsb11267173 <gallery> Die_Gartenlaube_(1898)_b_0185_1.jpg|Das „Ritzen“ der Ostereier Die_Gartenlaube_(1898)_b_0185_2.jpg|Mährische Ostereier Die_Gartenlaube_(1898)_b_0186_1.jpg|Galizische Ostereier Die_Gartenlaube_(1898)_b_0186_2.jpg|Bemaltes und beschriebenes Gänseei Eduard Unger (painter, 1853) eastereggs ChatGPT-Image.png Die Gartenlaube (1894) b 180 3.jpg|[[s:Ein Gruß vom Osterhasen|Ein Gruß vom Osterhasen, 1894]] </gallery> == 17. März == Neue Themenseite: [[s:Kunsthütte Chemnitz]] ; Edits * Deutsche Nationalbibliothek [[d:Q27302]] * Sammelauftrag [[d:Q2217225]] * Sondersammelgebiet [[d:Q1746046]] * élections municipales de 2026 à Paris [[d:Q124423240]] == 10. März == ; Save the date * Tagung „Lebendiges Netzwerk Industriekultur im Ehrenamt“, Tagung mit Markt der Akteure in Dresden, am 28. März 2026: [https://www.saechsischer-heimatschutz.de/files/heimatschutz/pdf/Denkmalnetz%20Sachsen/Lebendiges%20Netzwerk/Tagungsprogramm%20LNIK%2028.03.2026_Stand_15.01.2026.pdf Flyer] ; Lieder Kunsthütte in [[s:Chemnitz#Kunst]] {{Wikisource|1. Tafellied zum 20. Stiftungsfeste des Erzgebirgischen Gartenbauvereins}} {{Wikisource|2. Tafellied zum 20. Stiftungsfeste des Erzgebirgischen Gartenbauvereins}} {{Wikisource|Erstes Tafellied Erzgebirgischer Gartenbauverein 1884}} {{Wikisource|Zweites Tafellied Erzgebirgischer Gartenbauverein 1884}} ; Instabil {{Wikisource|Index:Kesselsdorf und Maxen.pdf}} Nach Leerspeicherung geht’s kurzfristig – Das Problem hat sich leider weiter manifestiert – Problem hat sich in Luft aufgelöst, da auf djvu umgestellt. Nichts zu danken. {{Wikisource|Index:Kesselsdorf und Maxen.djvu}} == 3. März == ; C. {{Wikisource|Kunsthütte oder Pechhütte|Kunsthütte oder – Pechhütte?}} {{Wikisource|Die Geschichte von der Kunsthütte}} {{Wikisource|Die Chemnitzer wollten e Kunstvereinl hamm}} ; Deutsche Digitale B. Dokumention: [[meta:WikiKult - Offene Kulturdaten/Virtuelle Ausstellungen|Virtuelle Ausstellungen]] der DDB == 24. Februar == [[Datei:Liddy Böttcher.pdf|thumb|Die hochverehrte Mitbegründerin des Gewerbschul-Damenkränzchens ihre aufrichtige Freundin und treue Beratherin Frau Geh. Regierungsrath Liddy Böttcher in Dresden begrüssen in dankbarer Anerkennung ihres verdienstlichen Wirkens hierdurch als ihr Ehrenmitglied die gegenwärtigen Mitglieder dieser Vereinigung. Chemnitz, den 21. Juni 1882.]] ; Dresden: Plauen * Altarverhüllung und Passionsandachten, https://jakobikirchgemeinde-dresden.de/aktuelles/altarverhuellung-und-passionsandachten ; Kunsthütte Chemnitz * [[c:Category:Kunsthütte Chemnitz]], Kunstsammlungen Chemnitz: [https://www.kunstsammlungen-chemnitz.de/bibliothek-archiv/ Bibliothek und Archiv] ; Archiverlebnisse ... ''13. Tag der Archive'' am 7./8. März 2026, https://www.staatsarchiv.sachsen.de/tag-der-archive-2026-8099.html : ''Ordnung muss sein. Extra-Touren mit historischen Tanzkarten – und mit GLAM'', https://osl.hypotheses.org/21052 : ''Unboxing: Tafellieder, Tanzkarten, Bücher, Dachböden'', https://nearby.hypotheses.org/5225 ; Datenpflege * automatische Rückverlinkung zu WD in Echtzeit -> super! siehe: https://personen.niedersaechsische-bibliographie.de/person/1786778084/ == 17. Februar == [[Datei:Trostworte DDB.jpg|mini|Konrad Dielitz, DDB: Trostworte]] ; Es wollt' die Kunsthütt' auch einmal auf eine Reise gehen [[c:Category:Kunsthütte Chemnitz]] ; DDBstudio Kennt Ihr die [https://www.deutsche-digitale-bibliothek.de/content/virtuelle-ausstellungen Virtuellen Ausstellungen] der [[c:Category:Deutsche Digitale Bibliothek|Deutschen Digitalen Bibliothek]]? ; Urheber gesucht: <gallery> Meyers Universum Band 01 06 7. Auflage.jpg|[[d:Q138292728]] nicht in Marienbad, sondern in Karlsbad </gallery> == 10. Februar == [[Datei:Bildnisse hervorragender Dresdner (1908) August Tiedge.jpg|mini|hochkant|Christoph August Tiedge]] ; WP-Artikel gesucht [[d:Q138029143]], Stadtwiki hat vorgelegt: https://www.stadtwikidd.de/wiki/Tiedge-Stiftung ; [[Projekt:Tanzkarten]] Wie können historische Tanzkarten heute als Lern- und Lehrmittel dienen? ; Volltext bei Wikisource [[d:Q138038625]] = https://swb.bsz-bw.de/DB=2.304/PPNSET?PPN=1124690913&INDEXSET=21 {{Wikisource|Verzeichniss der von Speck’schen Gemälde-Sammlung, Teil 1 (1827)}} ; "Grüne Liste" für die Recherche von Lehrerbiografien im Königreich Sachsen {{Wikisource|Sächsischer Gymnasiallehrerverein}} == 3. Februar == [[Datei:Bildnisse hervorragender Dresdner (1908) Ludwig Richter.jpg|mini|hochkant|[[w:Ludwig Richter|Ludwig Richter]] war Lehrer an der Zeichenschule Meißen]] ; Tafellieder Heute * {{Wikisource|Tafellied Hebammenverein Bautzen|Tafel-Lied zum 25jährigen Stiftungsfest des Hebammenvereins Bautzen und Umg. am 7. Oktober 1926}} ; Universitäts- und Stadtbibliothek Köln über Wikisource ''Schatz an Digitalisaten und Texten wurde an der Universitäts- und Stadtbibliothek Köln in einen lokalen Katalog überführt und so für alle Nutzer - innerhalb und ausserhalb der Universität zu Köln - in einem modernen Recherche-Portal erschlossen.'' https://wikisource.ub.uni-koeln.de/portal/home.html?l=de ; WP-Artikel gesucht [[d:Q137948126]], Stadtwiki hat vorgelegt: https://www.stadtwikidd.de/wiki/Zeichenschule_Meißen, mehrfach erwähnt in: {{Wikisource|Lebensläufe Meißner Künstler}} Mehrfache Erwähnung auch im Stadtwiki Meißen via https://stadtwiki-meissen.de/wiki/Lebensläufe_Meißner_Künstler_(1888). Eine Seite dort wäre relevant. : ''(...) wenn man einen Artikel zur Zeichenschule Meißen (1743-1893) anlegt, dann muss nach meiner Meinung auch gleichzeitig ein Artikel über die "Kunstschule Meißen" (ab 1906) angelegt werden. (...)'' [https://stadtwiki-meissen.de/wiki/Diskussion:Lebensl%C3%A4ufe_Mei%C3%9Fner_K%C3%BCnstler_(1888) Link] == 27. Januar == ; Lesenswert [[d:Q137877729]]: zentrale Themen: Wahlen in Baltimore am 2. November 1859, Nativisten, Rowdys, Know Nothing Party; dazu der Soundtrack: [https://www.youtube.com/watch?v=_TvDge63Iy8 Baltimore] Man beachte den Text: [[s:Das Washingtondenkmal zu Baltimore in Maryland]] : jetzt auch auf Archivalia: https://archivalia.hypotheses.org/249945 ; Augenweide [[d:Q137886412]]: [[c:Category:Souvenirs des eaux de Baden-Baden et des environs (ca. 1837)]] Hinweis: Baden-Baden ist Partnerstadt von Freital ; Citizen Science in Dresden [[w:Wohnungsenquête (Berlin)]] {{Wikisource|Gesundheit und Städteerweiterung}} {{Wikisource|Wohnung und Krankheit}} {{Wikisource|Wohnungsnot in den großen Städten}} {{Wikisource|Die Wohnungsnoth der ärmeren Klassen}} {{Wikisource|Wohnungsnoth der Arbeiterinnen}} ; Verein für die Geschichte Leipzigs {{Wikisource|Leipziger Geschichtsverein}} ; Capital of Culture Content {{Wikisource|Tafellied im ökonomischen Verein zu Chemnitz}} == 20. Januar == ; Rollout [[d:Q136696936|164. Heft auf WD nun komplett (bis auf bibliographische Einträge in diversen Katalogen)]] ; Thüringer Schulportal ''Tafellieder : Informationen, Digitalisate und Einsatzmöglichkeiten im Bildungsbereich'', https://www.schulportal-thueringen.de/media/detail?tspi=18946, siehe auch [[s:Wikisource:OER]] ; Thüringen dito {{Commonscat|Hennebergisch-Fränkischer Geschichtsverein}} == 13. Januar == ; Neues Projekt {{Wikisource|Die Sophienkirche in Dresden}} ; Altes Projekt, neuer Band {{Wikisource|Meyer’s Universum, oder Abbildung und Beschreibung des Sehenswerthesten und Merkwürdigsten der Natur und Kunst auf der ganzen Erde. Zwanzigster Band|Meyer’s Universum, 20. Band}} ; Neue Themenseite {{Wikisource|Hasel}} ; Neue Tafellieder <gallery> Tafellied gesucht 1897.jpg|Tafellied gesucht, 1897 Tafellieder Schillerfest 1853.jpg|Aufforderung Tafellieder einzusenden bis 1. November 1853 </gallery> {{Wikisource|Tafellied beim Stiftungsfeste des Kunst- und Handwerksvereins zu Altenburg}} {{Wikisource|Tafellied auf Schulze-Delitzsch 1883}} {{Wikisource|Tafellied von Wilhelm Müller}} {{Wikisource|Neu-orthographisches Tafellied 1876}} : {{Wikisource|Parteitag der Deutschen Volkspartei (Der Beobachter, 1895)}} Neue Themenseite für die OER-Entwicklung {{Wikisource|Tafellieder}} == 6. Januar == ; Meyer’s Universum {{Wikisource|Das neue Museum in Dresden}} <gallery> Meyers Universum Band 19 33.jpg|Gesundes neues Jahr! </gallery> ; Tafellieder {{Wikisource|Tafellied des Vereins für Geschichte Dresdens 1894|Tafellied des Vereins für Geschichte Dresdens, 1894}} {{Wikisource|Alles per Dampf (1863)}} {{Wikisource|Olympische Grüsse (1899)}} {{Wikisource|Tafellied Ehemaliger Werkmeisterschüler Chemnitz 1884}} ; Dresden historisch, frisch hochgeladen [[d:Q137675269]] <gallery> S. Prout Sketches in Flanders and Germany 1833 45.jpg S. Prout Sketches in Flanders and Germany 1833 46.jpg S. Prout Sketches in Flanders and Germany 1833 47.jpg S. Prout Sketches in Flanders and Germany 1833 48.jpg S. Prout Sketches in Flanders and Germany 1833 49.jpg </gallery> ; Ratsschulbibliothek Zwickau : https://www.ratsschulbibliothek.de, Projektidee {{Wikisource|Mitteilungen des Vereins für Geschichte Dresdens. Zehntes Heft}} == Bibliothek == === Leseecke === * [[DieDatenlaube/call4edits]] === DatenlaubeJam '21, '22, '23, '24, '25 === Archive: '''[[DieDatenlaube/Notizen/2021|2021]]''', '''[[DieDatenlaube/Notizen/2022|2022]]''', '''[[DieDatenlaube/Notizen/2023|2023]]''', '''[[DieDatenlaube/Notizen/2024|2024]]''', '''[[DieDatenlaube/Notizen/2025|2025]]''' siehe auch [[s:Wikisource:Wikisource-Informationsstand_SLUB/Archiv|''Archiv des Wikisource-Informationsstands'' in der SLUB Dresden]] == Werkzeug== <gallery> Logo des Dresdner Geschichtsverein e.V.jpg|Logo des Dresdner Geschichtsverein e.V. Dresdner Journal 1906 010 Tierschutzverein.jpg|Nachtrag zum 164. Dresdner Heft Cover of Wikipedia and Academic Libraries (page 1 crop).jpg|[[s:en:Wikipedia and Academic Libraries: A Global Project|Wikipedia and Academic Libraries: A Global Project, 2021]] Wir bilden aus.jpg|right|mini|Wir bilden aus. Wikisource-logo-green.svg|Wikisource DDB im Wikiversum q.jpg|[[meta:WikiKult - Offene Kulturdaten/Virtuelle Ausstellungen|Deutsche Digitale Bibliothek im Wikiversum]]]] </gallery> === Fußnoten === <references /> [[Kategorie:Bibliothek]] [[Kategorie:Dresden]] [[Kategorie:Citizen Science]] rux8l3qcgid1kv4pibn36zcj1vjcts1 106 134883 1116300 994782 2026-10-16T06:15:07Z Bocardodarapti 2041 1116300 wikitext text/x-wiki {{ Klausur20 |Elementare Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/27/Aufgabe|p||| |Elementare Mathematik 1/Gemischte Satzabfrage/27/Aufgabe|p||| |Schulklasse/4 Pizzen/Zerschneiden/Aufgabe|p||| |Abbildung/Variable/Identität/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Endliche Produkte von Mengen/Surjektivität von Produktabbildung/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Natürliche Zahlen/Ordnungsrelation/Total/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Weihnachtsferien/Dauer/Aufgabe|p||| |Vier natürliche Zahlen/Hintereinander/Produkt/Teilbar durch 8/Aufgabe|p||| |Körper/Potenzen/Multiplikationen/Anzahl/Aufgabe|p||| |Schokolade/Teilung/Brechungstiefe/Aufgabe|p||| |Binomialkoeffizient/28 über 5/Primfaktorzerlegung/Aufgabe|p||| |Zahlentheorie/Primfaktorzerlegung/Existenz/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Größter gemeinsamer Teiler/4369, 4131, 3383/Aufgabe|p||| |Angeordneter Körper/Bernoulli Ungleichung/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Bahn/Güterverkehr/Aufgabe|p||| |Argumentationskompetenzen/3/Szenario/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Elementare Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} noiqutfm8adv9cyk6yezt86i4q1ot3h 0 151286 1116311 1021488 2026-10-16T06:26:11Z Bocardodarapti 2041 1116311 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= {{ Aufzählung2 |Wir behaupten, dass die Abbildung injektiv ist. Seien {{ Relationskette | (a,b), (a',b') | \in | \Z^2 || || || |SZ= }} gegeben, die auf das gleiche Element abgebildet werden, also {{ Relationskette/display | (a+b,a-b) || (a'+b',a'-b') || || || |SZ=, }} was {{ Relationskette/display | a+b || a'+b' || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | a-b || a'-b' || || || |SZ= }} bedeutet. Durch Addition der beiden Gleichungen ergibt sich {{ Relationskette/display | 2a || 2a' || || || |SZ= }} und daraus durch Kürzen {{ Relationskette/display | a || a' || || || |SZ=. }} Aus der ersten Gleichung folgt dann auch {{ Relationskette/display | b || b' || || || |SZ=. }} |Die Abbildung ist nicht surjektiv, da das Element {{mathl|term= (1,0) |SZ=}} nicht getroffen wird. Aus {{ Relationskette/display | (a+b,a-b) || (1,0) || || || |SZ= }} folgt direkt {{ Relationskette/display | a || b || || || |SZ= }} und daher wird die erste Bedingung zu {{ Relationskette/display | 2a || 1 || || || |SZ=, }} was in {{math|term= \Z |SZ=}} nicht lösbar ist. }} |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} 6di76vaw42krm078dwynxg0j052uit6 106 164665 1116323 1116172 2026-10-16T06:46:30Z Bert Niehaus 20843 /* Lerneinheiten */ 1116323 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird der Zusammenhang zwischen der Funktion <math> \exp(z) </math> und <math> \frac{1}{z} </math> sowie die Definition eines Zweiges des Logarithmus und die Notwendigkeit der Einschränkung der Definitions- und Wertebereiche der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] betrachtet, um eine bijektive und holomorphe [[w:de:Umkehrfunktion|Umkehrfunktion]] der Exponentialfunktion zu erhalten. :<math> \exp(z) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{n!} </math> === Lerneinheiten === * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/algebraische Vollständigkeit|algebraische Vollständigkeit]] des Logarithmus * [[/Zweige/|Zweige des Logarithmus]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#Hauptzweig|Hauptzweig des Logarithmus]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#negativer_Hauptzweig|negativer Hauptzweig des Logarithmus]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#imaginaerer_Hauptzweig|imaginärer Hauptzweig des Logarithmus]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#negativer_imaginaerer_Hauptzweig|negativer imaginärer Hauptzweig des Logarithmus]] * [[/Argumentfunktion/|Argumentfunktion und Polarkoordinatendarstellung]] * [[/generalisiert/|generalisierter Logarithmus]] auf beliebigen [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] [[Gebiet (Mathematik)|Gebieten]], * [[/algebraische Vervollständigung/]] * [[/logmod/|logmod-Funktion]] und Periodizität der Exponentionalfunktion, * [[Identitätssatz für Logarithmen]] * [[/Äquivalenzklassen/]] des Logarithmus, * [[/rlog/|rlog-Funktion]], beschreibt wie oft kann man einen Logarithmus als Verkettung "rekursiv" anwenden kann. * [[/rekursiver Logarithmus/]] als Mehrfachverkettung des Logarithmus mit sich selbst. * [[/Eulersche Nullstellen/]] * [[/einfach zusammenhängende LOG-Gebiete/]] === Zusammenhang zwischen Exponentialfunktion und Logarithmus === Die Exponentialfunktion <math> \exp(z) </math> ist eine ganze Funktion, dessen Definitionsbereich <math>\mathbb{D} \subset \mathbb{C}</math> und Wertebereich <math>\mathbb{D} \subset \mathbb{C}</math> einschränken muss, um eine bijektive Abbildung und <math> \exp : \mathbb{D} \to \mathbb{W}</math> zu erhalten, für die man eine Umkehrfunktion definieren kann. === Situation in der reellen Zahlen - Umkehrfunktion von exp(z) === <math> \exp : \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> ist injektiv aber nicht surjektiv. Durch die Einschränkung des Wertebereiches von <math>\mathbb{R}</math> auf <math>\mathbb{R}^{+}</math> ist die Funktion <math> \exp : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^{+}</math> bijektiv und man kann nach einer Umkehrfunktion (den [[w:de:natürlicher Logarithmus|natürliche Logarithmus]]) suchen. Diese Konzept der Suche nach potentiellen Umgekehrfunktionen kann in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] nicht eindeutig beantwortet werden. In den komplexen Zahlen gibt unabhängig von der Wahl der Konstanten einer Stammfunktion von <math>\tfrac{1}{z}</math> unterschiedliche Möglichkeiten Logarithmen zu definieren. == Aufgaben == * '''(A1)''' [[Logarithmus#A1|Injektivität und Surjektivität]] * '''(A2)''' [[Logarithmus#A2|Stammfunktion als Wegintegrale]] <span id="aufgabe1"></span> === Aufgabe 1 - Umkehrbarkeit der komplexen Exponentialfunktion === Erläutern Sie, warum <math> \exp : \mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> weder injektiv noch surjektiv ist. Schränken Sie den Definitionsbereich und Wertebereich der komplexen Exponentialfunktion so ein, dass <math> \exp : \mathbb{D} \to \mathbb{W}</math> bijektiv ist und eine [[w:de:Umkehrfunktion|Umkehrfunktion]] besitzt! <span id="aufgabe2"></span> === Aufgabe 2 - Stammfunktion von 1/x in den reellen Zahlen === In den reellen Zahlen der Logarithmus z.B. auf den positiven reellen Zahlen die Stammfunktion von <math>\frac{1}{x} </math>. Welche Beziehung besteht zwischen eine Zweig des Logarithmus und einem Wegintegral über die Funktion <math>\frac{1}{x} </math>. === Eigenschaften 1/z im Komplexen === Die holomorphe Funktion <math> f(z)=\frac{1}{z} </math> ist eine rationale Funktion, die auf <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> definiert ist. Sie besitzt aber auf <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> keine Stammfunktion, denn sonst würde das Integral über den Kreis um 0 nicht den Wert <math>2\pi i</math> sondern 0 liefern. <math> f(z)=\frac{1}{z} </math> hat eine Polstelle bei <math> z = 0 </math>. === Einschränkung des Definitions- / Wertebereiches === * '''([[w:de:Injektivität|injektiv]])''' Um eine injektive Abbildung für Definition des Logarithmus zu erhalten, muss man den ''Definitionsbereich'' einschränken, damit die Element aus dem Definitionsbereich entfernt, die auf die gleichen Bildpunkt abgebildet werden. * '''([[w:de:Surjektivität|surjektiv]])''' Um eine surjektive Abbildung für Definition des Logarithmus zu erhalten, muss man den ''Wertebereich'' einschränken und "nicht getroffene" Elemente aus dem Wertebereich zu entfernen <span id="komplex"></span> == Definition des komplexen Logarithmus == Analog zur reellen Definition heißt jede komplexe Zahl <math>w</math> ein ''natürlicher Logarithmus'' von <math>z</math>, wenn <math>w</math> die folgende Gleichung bzgl. einem gegebenen <math>z</math> erfüllt: : <math>\mathrm{e}^w = z</math> === Existenz === Für jedes <math>z \in \mathbb{C} \setminus \{0\}</math> existiert ein solches <math>w</math>. Man stellt dazu das Element <math>z</math> in Polarkoordinaten mit <math>t\in [0,2\pi) </math> wie folgt dar: :<math> z= |z|\cdot e^{it} </math> Dann ist <math>w:=\underbrace{\ln(|z|)}_{\in \mathbb{R}} + i\cdot \underbrace{t}_{\in \mathbb{R}}</math> ein Logarithmus in <math>\mathbb{C}</math>, da mit [[w:de:Potenzgesetze|Potenzgesetzen]] folgende Gleichung gilt: :<math> e^w = e^{\ln(|z|) + i\cdot t} = e^{\ln(|z|)} \cdot e^{i\cdot t} = |z|\cdot e^{it} = z </math> === Eindeutigkeit === Im Unterschied zum reellen Logarithmus ist der komplexe Logarithmus wegen : <math>\mathrm{e}^{2k\pi \mathrm{i}} = 1, \quad k \in \mathbb{Z}</math>, nicht eindeutig bestimmt ist. Hat man also einen Logarithmus <math>w</math> von <math>z</math> gefunden, so ist damit auch : <math>w' =\,\! w + 2k\pi \mathrm{i}</math> mit jeder ganzen Zahl <math>k</math> ein Logarithmus von <math>z</math>, denn es gilt : <math>\mathrm{e}^{w'} = \mathrm{e}^{w + 2k\pi \mathrm{i}} = \mathrm{e}^w \cdot \mathrm{e}^{2k\pi \mathrm{i}} = \mathrm{e}^w \cdot 1 = \mathrm{e}^w = z</math>. === Komplexer Logarithmus als Abbildung === Für die Definition einer Abbildung muss man einen eindeutigen Funktionswerte <math>\ln(z):=w</math> definieren. Um Eindeutigkeit zu erreichen, wählt man aus den möglichen Werten für <math>w</math> solche Werte aus, die in einem geeigneten Streifen der komplexen Zahlenebene liegen. Man kann z.&nbsp;B. den Streifen : <math>\left\{w \in \mathbb{C}: -\pi < \mathfrak{Im}(w) < \pi \right\}</math> verwenden. Ein Wert <math>w</math> aus diesem Streifen heißt ''Hauptwert'' (engl. ''principal value'') des Logarithmus, und man schreibt <math>w = \ln(z)</math>. === Zweige des Logarithmus === Stellt man <math>z = |z| \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i} \arg(z)}</math> in [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|Polarform]] dar, so erhält man eine einfache Darstellung des ''k-ten Zweiges'' der Logarithmusfunktion: : <math>w = \ln |z| + \mathrm{i}\left(\arg(z) + 2k\pi\right), \quad k\in\mathbb{Z}</math> mit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] <math>\arg</math>. Im Summanden <math>\ln |z|</math> wird der bereits oben definierte reelle Logarithmus <math>\ln</math> verwendet. Für <math>k = 0</math> erhält man den ''Hauptzweig'' des komplexen Logarithmus zurück: : <math>\ln z = \ln|z| + \mathrm{i}\arg(z)</math>. === Stetigkeit von Zweigen des Logarithmus === <math>\ln: \mathbb{C}\setminus\{0\} \to \mathbb{C}</math> ist nicht stetig in den Punkten <math>\mathcal{N} := \{z \in \mathbb{C} \, \colon \, (z=x+i\cdot 0) \wedge (0 < x\in \mathbb{R}) \}</math>. Entfernt man jedoch die negative reelle Achse <math>\mathcal{N}</math>, so ist <math>\ln</math> auf dem Gebiet : <math>\mathbb{C}\setminus\{x \in \mathbb{R}: x\leq 0\}</math> stetig und sogar [[w:de:Holomorphe Funktion|holomorph]]. === Algebraisch vollständige Logarithmus === Für den [[Polynomialer Nullstellensatz|polynomialen Nullstellensatz]] === Vergleich - Rechenregeln reeller/komplexer Logarithmus === Für den Hauptzweig des komplexen Logarithmus <math>\ln</math> gelten nicht alle der weiter oben angeführten [[w:de:Logarithmus#Logarithmengesetze|Rechenregeln für die reelle Logarithmusfunktion]]. Sie gelten nur <math>\text{mod } 2\pi \mathrm{i}</math>. ==== Mehrdeutigkeit und Periodizität 1 ==== Diese Mehrdeutigkeit ist eine direkte Folge aus der Periodizität seiner Umkehrfunktion, der komplexen Exponentialfunktion. Es gilt: : <math>\ln(x) + \ln(y) = \ln(x \cdot y)+ 2\pi n \, \,\, n\in \mathbb{Z} </math> ==== Mehrdeutigkeit und Periodizität 2 ==== Der Vergleich von <math>\ln(x) + \ln(y)</math> und <math>\ln(x \cdot y)</math> zeigt: : <math> \begin{array}{rcl} \ln(\underbrace{-1+\mathrm{i}}_{=x}) + \ln(\underbrace{-1+\mathrm{i}}_{=y}) & = & \bigl(\ln\sqrt2+\frac{3\pi}4\mathrm{i}\bigr) + \bigl(\ln\sqrt2+\frac{3\pi}4\mathrm{i}\bigr) \\ & = & \ln2+\frac{3\pi}2\mathrm{i} \end{array} </math> und :<math> \ln\bigl(\underbrace{(-1+\mathrm{i}}_{=x})\cdot (\underbrace{-1+\mathrm{i}}_{=y})\bigr) = \ln(-2\mathrm{i})=\ln2-\frac\pi2\mathrm{i}</math> ==== Mehrdeutigkeit und Periodizität 3 ==== Dies liefert ein Beispiel, dass <math>\ln x + \ln y = \ln(x \cdot y)</math> nicht für beliebige <math>x,y\in \mathbb{C}</math> gilt. Der rechte und linke Term unterscheiden sich, um Vielfache von <math>2\pi</math>, d.h. : <math>\ln x + \ln y = \ln(x \cdot y) + 2\pi n</math> ==== Mehrdeutigkeit und Periodizität 4 ==== Auch die Gleichung : <math>y \cdot \ln (x) = \ln\left({x^y}\right)</math> ist nicht immer erfüllt, wie das Gegenbeispiel : <math>2\pi \mathrm{i} \ln (\mathrm{e}) = 2\pi \mathrm{i} \; \neq \; 0 = \ln 1 = \ln(\mathrm{e}^{2\pi \mathrm{i}})</math> beweist. === Graphen === <gallery widths="180" heights="120" perrow="3" caption="Grafische Darstellung des komplexen Logarithmus"> Ln abs.png|Betrag von <math>\ln z</math> Ln re.png|Realteil von <math>\ln z</math> Ln im.png|Imaginärteil von <math>\ln z</math> </gallery> ==== Hauptzweig ==== Mit dem oben definierten Hauptzweig des komplexen Logarithmus kann man den Logarithmus für negative reellen Zahlen erklären: : <math>\ln(-x) = \ln\left\vert-x\right\vert+ \mathrm{i}\arg(-x) = \ln x + \mathrm{i}\pi, \quad x\in\mathbb{R}^+\ .</math> Das setzt voraus, dass die [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] <math>\arg</math> negativen reellen Zahlen den Wert <math>\pi</math> zuweist. ==== Bemerkung - Argumentfunktion ==== Diese Betrachtungen zeigen, dass die Mehrdeutigkeit des komplexen Logarithmus letztlich auf die Mehrdeutigkeit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] zurückzuführen ist. == Entwicklung in Potenzreihen == Jede auf einem Gebiet <math>G</math> [[holomorphe Funktion]] lässt sich lokal in eine Potenzreihe entwickelt. Durch den Zusammenhang von <math>\tfrac{1}{z}</math> und dem Logarithmus erhält man auch eine Potenzreihendarstellung für beliebige [[w:de:Potenzreihe|Entwicklungspunkte]] <math>z_o=|z_o|\cdot e^{it} \not=0</math> über die [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] mit <math>q=\frac{z-z_o}{-z_o}</math> und <math>|z-z_0| < |z_0|</math>: :<math>f(z)= \frac{1}{z} = \frac{1}{z_o} \cdot \frac{1}{ 1- \underbrace{\frac{z-z_o}{-z_o} }_{=q} } = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1}} }_{=a_n} \cdot (z-z_o)^n </math> === Stammfunktion - Konstante der Taylorreihe === Für den [[w:de:Potenzreihe|Entwicklungspunkt]] <math>z_o=|z_o|\cdot e^{it} \not=0</math> erhält man für einen Zweig des Logarithmus als Stammfunktion von von <math>\tfrac{1}{z}</math> folgende Potenzreihendarstellung auf <math>\overline{D_r(z_0)}</math> mit <math>r< |z_0|</math> und <math>c= \ln(|z_o|) + i\cdot t</math> mit <math>t\in \mathbb{R}</math>: :<math>\log_{_G}(z)= c + \sum_{n=0}^\infty \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1} \cdot (n+1)} \cdot (z-z_o)^{n+1} </math> Ein zugehöriger Zweig von <math>\log_{_G}</math> ist dann z.B. auf dem Gebiet <math>G:= \mathbb{C} \setminus \{ z\in \mathbb{C} \, : \, z=\lambda \cdot z_0 \mbox{ mit } 0 \geq \lambda \in \R \}</math> definiert. === Bemerkung - Eindeutigkeitlemma für Logarithmuszweige === Das [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] zeigt, dass mit der Wahl eines [[einfach zusammenhängend]]en <math>G</math> mit <math>0\notin G</math> und der Festlegung des Imaginärteiles des Logarithmuszweige für ein <math>z_0\in G</math> der gesamte Zwei des Logarithmus eindeutig definiert ist. Ferner wird zwischen dem (reellen) Hauptzweig und dem imaginären Hauptzweig des Logarithmus unterschieden, wobei einmal der negative reelle Achse entfernt wurde und für imaginären Hauptzweig des Logarithmus negative reelle Achse in <math>G</math> fehlt. == Siehe auch == * [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * [[/generalisiert/|generalisierte Logarithmen]] * [[Logarithmus]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Lokale_Entwicklung_in_Potenzreihen|Lokale Entwicklung in Potenzreihen]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus Logarithmus] https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus * Datum: 31.7.2025 * [https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis/Logarithm]]</noinclude> [[Kategorie:Funktionentheorie]] 6d6e2hzk97g72c84bicejytecpe2489 1116357 1116323 2026-10-16T08:18:42Z Bert Niehaus 20843 /* Lerneinheiten */ 1116357 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird der Zusammenhang zwischen der Funktion <math> \exp(z) </math> und <math> \frac{1}{z} </math> sowie die Definition eines Zweiges des Logarithmus und die Notwendigkeit der Einschränkung der Definitions- und Wertebereiche der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] betrachtet, um eine bijektive und holomorphe [[w:de:Umkehrfunktion|Umkehrfunktion]] der Exponentialfunktion zu erhalten. :<math> \exp(z) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{n!} </math> === Lerneinheiten === * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/algebraische Vollständigkeit|algebraische Vollständigkeit]] des Logarithmus * [[/Zweige/|Zweige des Logarithmus]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#Hauptzweig|Hauptzweig des Logarithmus]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#negativer_Hauptzweig|negativer Hauptzweig des Logarithmus]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#imaginaerer_Hauptzweig|imaginärer Hauptzweig des Logarithmus]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#negativer_imaginaerer_Hauptzweig|negativer imaginärer Hauptzweig des Logarithmus]] * [[/Argumentfunktion/|Argumentfunktion und Polarkoordinatendarstellung]] * [[/generalisiert/|generalisierter Logarithmus]] auf beliebigen [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] [[Gebiet (Mathematik)|Gebieten]], * [[/algebraische Vervollständigung/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/logmod|logmod-Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/logmod&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=logmod&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] und Periodizität der Exponentionalfunktion, * [[Identitätssatz für Logarithmen]] * [[/Äquivalenzklassen/]] des Logarithmus, * [[/rlog/|rlog-Funktion]], beschreibt wie oft kann man einen Logarithmus als Verkettung "rekursiv" anwenden kann. * [[/rekursiver Logarithmus/]] als Mehrfachverkettung des Logarithmus mit sich selbst. * [[/Eulersche Nullstellen/]] * [[/einfach zusammenhängende LOG-Gebiete/]] === Zusammenhang zwischen Exponentialfunktion und Logarithmus === Die Exponentialfunktion <math> \exp(z) </math> ist eine ganze Funktion, dessen Definitionsbereich <math>\mathbb{D} \subset \mathbb{C}</math> und Wertebereich <math>\mathbb{D} \subset \mathbb{C}</math> einschränken muss, um eine bijektive Abbildung und <math> \exp : \mathbb{D} \to \mathbb{W}</math> zu erhalten, für die man eine Umkehrfunktion definieren kann. === Situation in der reellen Zahlen - Umkehrfunktion von exp(z) === <math> \exp : \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> ist injektiv aber nicht surjektiv. Durch die Einschränkung des Wertebereiches von <math>\mathbb{R}</math> auf <math>\mathbb{R}^{+}</math> ist die Funktion <math> \exp : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^{+}</math> bijektiv und man kann nach einer Umkehrfunktion (den [[w:de:natürlicher Logarithmus|natürliche Logarithmus]]) suchen. Diese Konzept der Suche nach potentiellen Umgekehrfunktionen kann in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] nicht eindeutig beantwortet werden. In den komplexen Zahlen gibt unabhängig von der Wahl der Konstanten einer Stammfunktion von <math>\tfrac{1}{z}</math> unterschiedliche Möglichkeiten Logarithmen zu definieren. == Aufgaben == * '''(A1)''' [[Logarithmus#A1|Injektivität und Surjektivität]] * '''(A2)''' [[Logarithmus#A2|Stammfunktion als Wegintegrale]] <span id="aufgabe1"></span> === Aufgabe 1 - Umkehrbarkeit der komplexen Exponentialfunktion === Erläutern Sie, warum <math> \exp : \mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> weder injektiv noch surjektiv ist. Schränken Sie den Definitionsbereich und Wertebereich der komplexen Exponentialfunktion so ein, dass <math> \exp : \mathbb{D} \to \mathbb{W}</math> bijektiv ist und eine [[w:de:Umkehrfunktion|Umkehrfunktion]] besitzt! <span id="aufgabe2"></span> === Aufgabe 2 - Stammfunktion von 1/x in den reellen Zahlen === In den reellen Zahlen der Logarithmus z.B. auf den positiven reellen Zahlen die Stammfunktion von <math>\frac{1}{x} </math>. Welche Beziehung besteht zwischen eine Zweig des Logarithmus und einem Wegintegral über die Funktion <math>\frac{1}{x} </math>. === Eigenschaften 1/z im Komplexen === Die holomorphe Funktion <math> f(z)=\frac{1}{z} </math> ist eine rationale Funktion, die auf <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> definiert ist. Sie besitzt aber auf <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> keine Stammfunktion, denn sonst würde das Integral über den Kreis um 0 nicht den Wert <math>2\pi i</math> sondern 0 liefern. <math> f(z)=\frac{1}{z} </math> hat eine Polstelle bei <math> z = 0 </math>. === Einschränkung des Definitions- / Wertebereiches === * '''([[w:de:Injektivität|injektiv]])''' Um eine injektive Abbildung für Definition des Logarithmus zu erhalten, muss man den ''Definitionsbereich'' einschränken, damit die Element aus dem Definitionsbereich entfernt, die auf die gleichen Bildpunkt abgebildet werden. * '''([[w:de:Surjektivität|surjektiv]])''' Um eine surjektive Abbildung für Definition des Logarithmus zu erhalten, muss man den ''Wertebereich'' einschränken und "nicht getroffene" Elemente aus dem Wertebereich zu entfernen <span id="komplex"></span> == Definition des komplexen Logarithmus == Analog zur reellen Definition heißt jede komplexe Zahl <math>w</math> ein ''natürlicher Logarithmus'' von <math>z</math>, wenn <math>w</math> die folgende Gleichung bzgl. einem gegebenen <math>z</math> erfüllt: : <math>\mathrm{e}^w = z</math> === Existenz === Für jedes <math>z \in \mathbb{C} \setminus \{0\}</math> existiert ein solches <math>w</math>. Man stellt dazu das Element <math>z</math> in Polarkoordinaten mit <math>t\in [0,2\pi) </math> wie folgt dar: :<math> z= |z|\cdot e^{it} </math> Dann ist <math>w:=\underbrace{\ln(|z|)}_{\in \mathbb{R}} + i\cdot \underbrace{t}_{\in \mathbb{R}}</math> ein Logarithmus in <math>\mathbb{C}</math>, da mit [[w:de:Potenzgesetze|Potenzgesetzen]] folgende Gleichung gilt: :<math> e^w = e^{\ln(|z|) + i\cdot t} = e^{\ln(|z|)} \cdot e^{i\cdot t} = |z|\cdot e^{it} = z </math> === Eindeutigkeit === Im Unterschied zum reellen Logarithmus ist der komplexe Logarithmus wegen : <math>\mathrm{e}^{2k\pi \mathrm{i}} = 1, \quad k \in \mathbb{Z}</math>, nicht eindeutig bestimmt ist. Hat man also einen Logarithmus <math>w</math> von <math>z</math> gefunden, so ist damit auch : <math>w' =\,\! w + 2k\pi \mathrm{i}</math> mit jeder ganzen Zahl <math>k</math> ein Logarithmus von <math>z</math>, denn es gilt : <math>\mathrm{e}^{w'} = \mathrm{e}^{w + 2k\pi \mathrm{i}} = \mathrm{e}^w \cdot \mathrm{e}^{2k\pi \mathrm{i}} = \mathrm{e}^w \cdot 1 = \mathrm{e}^w = z</math>. === Komplexer Logarithmus als Abbildung === Für die Definition einer Abbildung muss man einen eindeutigen Funktionswerte <math>\ln(z):=w</math> definieren. Um Eindeutigkeit zu erreichen, wählt man aus den möglichen Werten für <math>w</math> solche Werte aus, die in einem geeigneten Streifen der komplexen Zahlenebene liegen. Man kann z.&nbsp;B. den Streifen : <math>\left\{w \in \mathbb{C}: -\pi < \mathfrak{Im}(w) < \pi \right\}</math> verwenden. Ein Wert <math>w</math> aus diesem Streifen heißt ''Hauptwert'' (engl. ''principal value'') des Logarithmus, und man schreibt <math>w = \ln(z)</math>. === Zweige des Logarithmus === Stellt man <math>z = |z| \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i} \arg(z)}</math> in [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|Polarform]] dar, so erhält man eine einfache Darstellung des ''k-ten Zweiges'' der Logarithmusfunktion: : <math>w = \ln |z| + \mathrm{i}\left(\arg(z) + 2k\pi\right), \quad k\in\mathbb{Z}</math> mit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] <math>\arg</math>. Im Summanden <math>\ln |z|</math> wird der bereits oben definierte reelle Logarithmus <math>\ln</math> verwendet. Für <math>k = 0</math> erhält man den ''Hauptzweig'' des komplexen Logarithmus zurück: : <math>\ln z = \ln|z| + \mathrm{i}\arg(z)</math>. === Stetigkeit von Zweigen des Logarithmus === <math>\ln: \mathbb{C}\setminus\{0\} \to \mathbb{C}</math> ist nicht stetig in den Punkten <math>\mathcal{N} := \{z \in \mathbb{C} \, \colon \, (z=x+i\cdot 0) \wedge (0 < x\in \mathbb{R}) \}</math>. Entfernt man jedoch die negative reelle Achse <math>\mathcal{N}</math>, so ist <math>\ln</math> auf dem Gebiet : <math>\mathbb{C}\setminus\{x \in \mathbb{R}: x\leq 0\}</math> stetig und sogar [[w:de:Holomorphe Funktion|holomorph]]. === Algebraisch vollständige Logarithmus === Für den [[Polynomialer Nullstellensatz|polynomialen Nullstellensatz]] === Vergleich - Rechenregeln reeller/komplexer Logarithmus === Für den Hauptzweig des komplexen Logarithmus <math>\ln</math> gelten nicht alle der weiter oben angeführten [[w:de:Logarithmus#Logarithmengesetze|Rechenregeln für die reelle Logarithmusfunktion]]. Sie gelten nur <math>\text{mod } 2\pi \mathrm{i}</math>. ==== Mehrdeutigkeit und Periodizität 1 ==== Diese Mehrdeutigkeit ist eine direkte Folge aus der Periodizität seiner Umkehrfunktion, der komplexen Exponentialfunktion. Es gilt: : <math>\ln(x) + \ln(y) = \ln(x \cdot y)+ 2\pi n \, \,\, n\in \mathbb{Z} </math> ==== Mehrdeutigkeit und Periodizität 2 ==== Der Vergleich von <math>\ln(x) + \ln(y)</math> und <math>\ln(x \cdot y)</math> zeigt: : <math> \begin{array}{rcl} \ln(\underbrace{-1+\mathrm{i}}_{=x}) + \ln(\underbrace{-1+\mathrm{i}}_{=y}) & = & \bigl(\ln\sqrt2+\frac{3\pi}4\mathrm{i}\bigr) + \bigl(\ln\sqrt2+\frac{3\pi}4\mathrm{i}\bigr) \\ & = & \ln2+\frac{3\pi}2\mathrm{i} \end{array} </math> und :<math> \ln\bigl(\underbrace{(-1+\mathrm{i}}_{=x})\cdot (\underbrace{-1+\mathrm{i}}_{=y})\bigr) = \ln(-2\mathrm{i})=\ln2-\frac\pi2\mathrm{i}</math> ==== Mehrdeutigkeit und Periodizität 3 ==== Dies liefert ein Beispiel, dass <math>\ln x + \ln y = \ln(x \cdot y)</math> nicht für beliebige <math>x,y\in \mathbb{C}</math> gilt. Der rechte und linke Term unterscheiden sich, um Vielfache von <math>2\pi</math>, d.h. : <math>\ln x + \ln y = \ln(x \cdot y) + 2\pi n</math> ==== Mehrdeutigkeit und Periodizität 4 ==== Auch die Gleichung : <math>y \cdot \ln (x) = \ln\left({x^y}\right)</math> ist nicht immer erfüllt, wie das Gegenbeispiel : <math>2\pi \mathrm{i} \ln (\mathrm{e}) = 2\pi \mathrm{i} \; \neq \; 0 = \ln 1 = \ln(\mathrm{e}^{2\pi \mathrm{i}})</math> beweist. === Graphen === <gallery widths="180" heights="120" perrow="3" caption="Grafische Darstellung des komplexen Logarithmus"> Ln abs.png|Betrag von <math>\ln z</math> Ln re.png|Realteil von <math>\ln z</math> Ln im.png|Imaginärteil von <math>\ln z</math> </gallery> ==== Hauptzweig ==== Mit dem oben definierten Hauptzweig des komplexen Logarithmus kann man den Logarithmus für negative reellen Zahlen erklären: : <math>\ln(-x) = \ln\left\vert-x\right\vert+ \mathrm{i}\arg(-x) = \ln x + \mathrm{i}\pi, \quad x\in\mathbb{R}^+\ .</math> Das setzt voraus, dass die [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] <math>\arg</math> negativen reellen Zahlen den Wert <math>\pi</math> zuweist. ==== Bemerkung - Argumentfunktion ==== Diese Betrachtungen zeigen, dass die Mehrdeutigkeit des komplexen Logarithmus letztlich auf die Mehrdeutigkeit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] zurückzuführen ist. == Entwicklung in Potenzreihen == Jede auf einem Gebiet <math>G</math> [[holomorphe Funktion]] lässt sich lokal in eine Potenzreihe entwickelt. Durch den Zusammenhang von <math>\tfrac{1}{z}</math> und dem Logarithmus erhält man auch eine Potenzreihendarstellung für beliebige [[w:de:Potenzreihe|Entwicklungspunkte]] <math>z_o=|z_o|\cdot e^{it} \not=0</math> über die [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] mit <math>q=\frac{z-z_o}{-z_o}</math> und <math>|z-z_0| < |z_0|</math>: :<math>f(z)= \frac{1}{z} = \frac{1}{z_o} \cdot \frac{1}{ 1- \underbrace{\frac{z-z_o}{-z_o} }_{=q} } = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1}} }_{=a_n} \cdot (z-z_o)^n </math> === Stammfunktion - Konstante der Taylorreihe === Für den [[w:de:Potenzreihe|Entwicklungspunkt]] <math>z_o=|z_o|\cdot e^{it} \not=0</math> erhält man für einen Zweig des Logarithmus als Stammfunktion von von <math>\tfrac{1}{z}</math> folgende Potenzreihendarstellung auf <math>\overline{D_r(z_0)}</math> mit <math>r< |z_0|</math> und <math>c= \ln(|z_o|) + i\cdot t</math> mit <math>t\in \mathbb{R}</math>: :<math>\log_{_G}(z)= c + \sum_{n=0}^\infty \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1} \cdot (n+1)} \cdot (z-z_o)^{n+1} </math> Ein zugehöriger Zweig von <math>\log_{_G}</math> ist dann z.B. auf dem Gebiet <math>G:= \mathbb{C} \setminus \{ z\in \mathbb{C} \, : \, z=\lambda \cdot z_0 \mbox{ mit } 0 \geq \lambda \in \R \}</math> definiert. === Bemerkung - Eindeutigkeitlemma für Logarithmuszweige === Das [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] zeigt, dass mit der Wahl eines [[einfach zusammenhängend]]en <math>G</math> mit <math>0\notin G</math> und der Festlegung des Imaginärteiles des Logarithmuszweige für ein <math>z_0\in G</math> der gesamte Zwei des Logarithmus eindeutig definiert ist. Ferner wird zwischen dem (reellen) Hauptzweig und dem imaginären Hauptzweig des Logarithmus unterschieden, wobei einmal der negative reelle Achse entfernt wurde und für imaginären Hauptzweig des Logarithmus negative reelle Achse in <math>G</math> fehlt. == Siehe auch == * [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * [[/generalisiert/|generalisierte Logarithmen]] * [[Logarithmus]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Lokale_Entwicklung_in_Potenzreihen|Lokale Entwicklung in Potenzreihen]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus Logarithmus] https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus * Datum: 31.7.2025 * [https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis/Logarithm]]</noinclude> [[Kategorie:Funktionentheorie]] kqpjk3bkwvno8g1j9ibxp7qnzcdf9ol 1116358 1116357 2026-10-16T08:20:58Z Bert Niehaus 20843 /* Aufgaben */ 1116358 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird der Zusammenhang zwischen der Funktion <math> \exp(z) </math> und <math> \frac{1}{z} </math> sowie die Definition eines Zweiges des Logarithmus und die Notwendigkeit der Einschränkung der Definitions- und Wertebereiche der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] betrachtet, um eine bijektive und holomorphe [[w:de:Umkehrfunktion|Umkehrfunktion]] der Exponentialfunktion zu erhalten. :<math> \exp(z) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{n!} </math> === Lerneinheiten === * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/algebraische Vollständigkeit|algebraische Vollständigkeit]] des Logarithmus * [[/Zweige/|Zweige des Logarithmus]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#Hauptzweig|Hauptzweig des Logarithmus]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#negativer_Hauptzweig|negativer Hauptzweig des Logarithmus]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#imaginaerer_Hauptzweig|imaginärer Hauptzweig des Logarithmus]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#negativer_imaginaerer_Hauptzweig|negativer imaginärer Hauptzweig des Logarithmus]] * [[/Argumentfunktion/|Argumentfunktion und Polarkoordinatendarstellung]] * [[/generalisiert/|generalisierter Logarithmus]] auf beliebigen [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] [[Gebiet (Mathematik)|Gebieten]], * [[/algebraische Vervollständigung/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/logmod|logmod-Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/logmod&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=logmod&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] und Periodizität der Exponentionalfunktion, * [[Identitätssatz für Logarithmen]] * [[/Äquivalenzklassen/]] des Logarithmus, * [[/rlog/|rlog-Funktion]], beschreibt wie oft kann man einen Logarithmus als Verkettung "rekursiv" anwenden kann. * [[/rekursiver Logarithmus/]] als Mehrfachverkettung des Logarithmus mit sich selbst. * [[/Eulersche Nullstellen/]] * [[/einfach zusammenhängende LOG-Gebiete/]] === Zusammenhang zwischen Exponentialfunktion und Logarithmus === Die Exponentialfunktion <math> \exp(z) </math> ist eine ganze Funktion, dessen Definitionsbereich <math>\mathbb{D} \subset \mathbb{C}</math> und Wertebereich <math>\mathbb{D} \subset \mathbb{C}</math> einschränken muss, um eine bijektive Abbildung und <math> \exp : \mathbb{D} \to \mathbb{W}</math> zu erhalten, für die man eine Umkehrfunktion definieren kann. === Situation in der reellen Zahlen - Umkehrfunktion von exp(z) === <math> \exp : \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> ist injektiv aber nicht surjektiv. Durch die Einschränkung des Wertebereiches von <math>\mathbb{R}</math> auf <math>\mathbb{R}^{+}</math> ist die Funktion <math> \exp : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^{+}</math> bijektiv und man kann nach einer Umkehrfunktion (den [[w:de:natürlicher Logarithmus|natürliche Logarithmus]]) suchen. Diese Konzept der Suche nach potentiellen Umgekehrfunktionen kann in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] nicht eindeutig beantwortet werden. In den komplexen Zahlen gibt unabhängig von der Wahl der Konstanten einer Stammfunktion von <math>\tfrac{1}{z}</math> unterschiedliche Möglichkeiten Logarithmen zu definieren. == Aufgaben == * '''(A1)''' [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus#A1|Injektivität und Surjektivität]] * '''(A2)''' [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus#A2|Stammfunktion als Wegintegrale]] <span id="aufgabe1"></span> === Aufgabe 1 - Umkehrbarkeit der komplexen Exponentialfunktion === Erläutern Sie, warum <math> \exp : \mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> weder injektiv noch surjektiv ist. Schränken Sie den Definitionsbereich und Wertebereich der komplexen Exponentialfunktion so ein, dass <math> \exp : \mathbb{D} \to \mathbb{W}</math> bijektiv ist und eine [[w:de:Umkehrfunktion|Umkehrfunktion]] besitzt! <span id="aufgabe2"></span> === Aufgabe 2 - Stammfunktion von 1/x in den reellen Zahlen === In den reellen Zahlen der Logarithmus z.B. auf den positiven reellen Zahlen die Stammfunktion von <math>\frac{1}{x} </math>. Welche Beziehung besteht zwischen eine Zweig des Logarithmus und einem Wegintegral über die Funktion <math>\frac{1}{x} </math>. === Eigenschaften 1/z im Komplexen === Die holomorphe Funktion <math> f(z)=\frac{1}{z} </math> ist eine rationale Funktion, die auf <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> definiert ist. Sie besitzt aber auf <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> keine Stammfunktion, denn sonst würde das Integral über den Kreis um 0 nicht den Wert <math>2\pi i</math> sondern 0 liefern. <math> f(z)=\frac{1}{z} </math> hat eine Polstelle bei <math> z = 0 </math>. === Einschränkung des Definitions- / Wertebereiches === * '''([[w:de:Injektivität|injektiv]])''' Um eine injektive Abbildung für Definition des Logarithmus zu erhalten, muss man den ''Definitionsbereich'' einschränken, damit die Element aus dem Definitionsbereich entfernt, die auf die gleichen Bildpunkt abgebildet werden. * '''([[w:de:Surjektivität|surjektiv]])''' Um eine surjektive Abbildung für Definition des Logarithmus zu erhalten, muss man den ''Wertebereich'' einschränken und "nicht getroffene" Elemente aus dem Wertebereich zu entfernen <span id="komplex"></span> == Definition des komplexen Logarithmus == Analog zur reellen Definition heißt jede komplexe Zahl <math>w</math> ein ''natürlicher Logarithmus'' von <math>z</math>, wenn <math>w</math> die folgende Gleichung bzgl. einem gegebenen <math>z</math> erfüllt: : <math>\mathrm{e}^w = z</math> === Existenz === Für jedes <math>z \in \mathbb{C} \setminus \{0\}</math> existiert ein solches <math>w</math>. Man stellt dazu das Element <math>z</math> in Polarkoordinaten mit <math>t\in [0,2\pi) </math> wie folgt dar: :<math> z= |z|\cdot e^{it} </math> Dann ist <math>w:=\underbrace{\ln(|z|)}_{\in \mathbb{R}} + i\cdot \underbrace{t}_{\in \mathbb{R}}</math> ein Logarithmus in <math>\mathbb{C}</math>, da mit [[w:de:Potenzgesetze|Potenzgesetzen]] folgende Gleichung gilt: :<math> e^w = e^{\ln(|z|) + i\cdot t} = e^{\ln(|z|)} \cdot e^{i\cdot t} = |z|\cdot e^{it} = z </math> === Eindeutigkeit === Im Unterschied zum reellen Logarithmus ist der komplexe Logarithmus wegen : <math>\mathrm{e}^{2k\pi \mathrm{i}} = 1, \quad k \in \mathbb{Z}</math>, nicht eindeutig bestimmt ist. Hat man also einen Logarithmus <math>w</math> von <math>z</math> gefunden, so ist damit auch : <math>w' =\,\! w + 2k\pi \mathrm{i}</math> mit jeder ganzen Zahl <math>k</math> ein Logarithmus von <math>z</math>, denn es gilt : <math>\mathrm{e}^{w'} = \mathrm{e}^{w + 2k\pi \mathrm{i}} = \mathrm{e}^w \cdot \mathrm{e}^{2k\pi \mathrm{i}} = \mathrm{e}^w \cdot 1 = \mathrm{e}^w = z</math>. === Komplexer Logarithmus als Abbildung === Für die Definition einer Abbildung muss man einen eindeutigen Funktionswerte <math>\ln(z):=w</math> definieren. Um Eindeutigkeit zu erreichen, wählt man aus den möglichen Werten für <math>w</math> solche Werte aus, die in einem geeigneten Streifen der komplexen Zahlenebene liegen. Man kann z.&nbsp;B. den Streifen : <math>\left\{w \in \mathbb{C}: -\pi < \mathfrak{Im}(w) < \pi \right\}</math> verwenden. Ein Wert <math>w</math> aus diesem Streifen heißt ''Hauptwert'' (engl. ''principal value'') des Logarithmus, und man schreibt <math>w = \ln(z)</math>. === Zweige des Logarithmus === Stellt man <math>z = |z| \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i} \arg(z)}</math> in [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|Polarform]] dar, so erhält man eine einfache Darstellung des ''k-ten Zweiges'' der Logarithmusfunktion: : <math>w = \ln |z| + \mathrm{i}\left(\arg(z) + 2k\pi\right), \quad k\in\mathbb{Z}</math> mit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] <math>\arg</math>. Im Summanden <math>\ln |z|</math> wird der bereits oben definierte reelle Logarithmus <math>\ln</math> verwendet. Für <math>k = 0</math> erhält man den ''Hauptzweig'' des komplexen Logarithmus zurück: : <math>\ln z = \ln|z| + \mathrm{i}\arg(z)</math>. === Stetigkeit von Zweigen des Logarithmus === <math>\ln: \mathbb{C}\setminus\{0\} \to \mathbb{C}</math> ist nicht stetig in den Punkten <math>\mathcal{N} := \{z \in \mathbb{C} \, \colon \, (z=x+i\cdot 0) \wedge (0 < x\in \mathbb{R}) \}</math>. Entfernt man jedoch die negative reelle Achse <math>\mathcal{N}</math>, so ist <math>\ln</math> auf dem Gebiet : <math>\mathbb{C}\setminus\{x \in \mathbb{R}: x\leq 0\}</math> stetig und sogar [[w:de:Holomorphe Funktion|holomorph]]. === Algebraisch vollständige Logarithmus === Für den [[Polynomialer Nullstellensatz|polynomialen Nullstellensatz]] === Vergleich - Rechenregeln reeller/komplexer Logarithmus === Für den Hauptzweig des komplexen Logarithmus <math>\ln</math> gelten nicht alle der weiter oben angeführten [[w:de:Logarithmus#Logarithmengesetze|Rechenregeln für die reelle Logarithmusfunktion]]. Sie gelten nur <math>\text{mod } 2\pi \mathrm{i}</math>. ==== Mehrdeutigkeit und Periodizität 1 ==== Diese Mehrdeutigkeit ist eine direkte Folge aus der Periodizität seiner Umkehrfunktion, der komplexen Exponentialfunktion. Es gilt: : <math>\ln(x) + \ln(y) = \ln(x \cdot y)+ 2\pi n \, \,\, n\in \mathbb{Z} </math> ==== Mehrdeutigkeit und Periodizität 2 ==== Der Vergleich von <math>\ln(x) + \ln(y)</math> und <math>\ln(x \cdot y)</math> zeigt: : <math> \begin{array}{rcl} \ln(\underbrace{-1+\mathrm{i}}_{=x}) + \ln(\underbrace{-1+\mathrm{i}}_{=y}) & = & \bigl(\ln\sqrt2+\frac{3\pi}4\mathrm{i}\bigr) + \bigl(\ln\sqrt2+\frac{3\pi}4\mathrm{i}\bigr) \\ & = & \ln2+\frac{3\pi}2\mathrm{i} \end{array} </math> und :<math> \ln\bigl(\underbrace{(-1+\mathrm{i}}_{=x})\cdot (\underbrace{-1+\mathrm{i}}_{=y})\bigr) = \ln(-2\mathrm{i})=\ln2-\frac\pi2\mathrm{i}</math> ==== Mehrdeutigkeit und Periodizität 3 ==== Dies liefert ein Beispiel, dass <math>\ln x + \ln y = \ln(x \cdot y)</math> nicht für beliebige <math>x,y\in \mathbb{C}</math> gilt. Der rechte und linke Term unterscheiden sich, um Vielfache von <math>2\pi</math>, d.h. : <math>\ln x + \ln y = \ln(x \cdot y) + 2\pi n</math> ==== Mehrdeutigkeit und Periodizität 4 ==== Auch die Gleichung : <math>y \cdot \ln (x) = \ln\left({x^y}\right)</math> ist nicht immer erfüllt, wie das Gegenbeispiel : <math>2\pi \mathrm{i} \ln (\mathrm{e}) = 2\pi \mathrm{i} \; \neq \; 0 = \ln 1 = \ln(\mathrm{e}^{2\pi \mathrm{i}})</math> beweist. === Graphen === <gallery widths="180" heights="120" perrow="3" caption="Grafische Darstellung des komplexen Logarithmus"> Ln abs.png|Betrag von <math>\ln z</math> Ln re.png|Realteil von <math>\ln z</math> Ln im.png|Imaginärteil von <math>\ln z</math> </gallery> ==== Hauptzweig ==== Mit dem oben definierten Hauptzweig des komplexen Logarithmus kann man den Logarithmus für negative reellen Zahlen erklären: : <math>\ln(-x) = \ln\left\vert-x\right\vert+ \mathrm{i}\arg(-x) = \ln x + \mathrm{i}\pi, \quad x\in\mathbb{R}^+\ .</math> Das setzt voraus, dass die [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] <math>\arg</math> negativen reellen Zahlen den Wert <math>\pi</math> zuweist. ==== Bemerkung - Argumentfunktion ==== Diese Betrachtungen zeigen, dass die Mehrdeutigkeit des komplexen Logarithmus letztlich auf die Mehrdeutigkeit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] zurückzuführen ist. == Entwicklung in Potenzreihen == Jede auf einem Gebiet <math>G</math> [[holomorphe Funktion]] lässt sich lokal in eine Potenzreihe entwickelt. Durch den Zusammenhang von <math>\tfrac{1}{z}</math> und dem Logarithmus erhält man auch eine Potenzreihendarstellung für beliebige [[w:de:Potenzreihe|Entwicklungspunkte]] <math>z_o=|z_o|\cdot e^{it} \not=0</math> über die [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] mit <math>q=\frac{z-z_o}{-z_o}</math> und <math>|z-z_0| < |z_0|</math>: :<math>f(z)= \frac{1}{z} = \frac{1}{z_o} \cdot \frac{1}{ 1- \underbrace{\frac{z-z_o}{-z_o} }_{=q} } = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1}} }_{=a_n} \cdot (z-z_o)^n </math> === Stammfunktion - Konstante der Taylorreihe === Für den [[w:de:Potenzreihe|Entwicklungspunkt]] <math>z_o=|z_o|\cdot e^{it} \not=0</math> erhält man für einen Zweig des Logarithmus als Stammfunktion von von <math>\tfrac{1}{z}</math> folgende Potenzreihendarstellung auf <math>\overline{D_r(z_0)}</math> mit <math>r< |z_0|</math> und <math>c= \ln(|z_o|) + i\cdot t</math> mit <math>t\in \mathbb{R}</math>: :<math>\log_{_G}(z)= c + \sum_{n=0}^\infty \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1} \cdot (n+1)} \cdot (z-z_o)^{n+1} </math> Ein zugehöriger Zweig von <math>\log_{_G}</math> ist dann z.B. auf dem Gebiet <math>G:= \mathbb{C} \setminus \{ z\in \mathbb{C} \, : \, z=\lambda \cdot z_0 \mbox{ mit } 0 \geq \lambda \in \R \}</math> definiert. === Bemerkung - Eindeutigkeitlemma für Logarithmuszweige === Das [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] zeigt, dass mit der Wahl eines [[einfach zusammenhängend]]en <math>G</math> mit <math>0\notin G</math> und der Festlegung des Imaginärteiles des Logarithmuszweige für ein <math>z_0\in G</math> der gesamte Zwei des Logarithmus eindeutig definiert ist. Ferner wird zwischen dem (reellen) Hauptzweig und dem imaginären Hauptzweig des Logarithmus unterschieden, wobei einmal der negative reelle Achse entfernt wurde und für imaginären Hauptzweig des Logarithmus negative reelle Achse in <math>G</math> fehlt. == Siehe auch == * [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * [[/generalisiert/|generalisierte Logarithmen]] * [[Logarithmus]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Lokale_Entwicklung_in_Potenzreihen|Lokale Entwicklung in Potenzreihen]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus Logarithmus] https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus * Datum: 31.7.2025 * [https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis/Logarithm]]</noinclude> [[Kategorie:Funktionentheorie]] jek3hzq6isom667bjsna99qej411nd3 1116359 1116358 2026-10-16T08:21:26Z Bert Niehaus 20843 /* Aufgaben */ 1116359 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird der Zusammenhang zwischen der Funktion <math> \exp(z) </math> und <math> \frac{1}{z} </math> sowie die Definition eines Zweiges des Logarithmus und die Notwendigkeit der Einschränkung der Definitions- und Wertebereiche der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] betrachtet, um eine bijektive und holomorphe [[w:de:Umkehrfunktion|Umkehrfunktion]] der Exponentialfunktion zu erhalten. :<math> \exp(z) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{n!} </math> === Lerneinheiten === * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/algebraische Vollständigkeit|algebraische Vollständigkeit]] des Logarithmus * [[/Zweige/|Zweige des Logarithmus]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#Hauptzweig|Hauptzweig des Logarithmus]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#negativer_Hauptzweig|negativer Hauptzweig des Logarithmus]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#imaginaerer_Hauptzweig|imaginärer Hauptzweig des Logarithmus]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#negativer_imaginaerer_Hauptzweig|negativer imaginärer Hauptzweig des Logarithmus]] * [[/Argumentfunktion/|Argumentfunktion und Polarkoordinatendarstellung]] * [[/generalisiert/|generalisierter Logarithmus]] auf beliebigen [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] [[Gebiet (Mathematik)|Gebieten]], * [[/algebraische Vervollständigung/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/logmod|logmod-Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/logmod&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=logmod&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] und Periodizität der Exponentionalfunktion, * [[Identitätssatz für Logarithmen]] * [[/Äquivalenzklassen/]] des Logarithmus, * [[/rlog/|rlog-Funktion]], beschreibt wie oft kann man einen Logarithmus als Verkettung "rekursiv" anwenden kann. * [[/rekursiver Logarithmus/]] als Mehrfachverkettung des Logarithmus mit sich selbst. * [[/Eulersche Nullstellen/]] * [[/einfach zusammenhängende LOG-Gebiete/]] === Zusammenhang zwischen Exponentialfunktion und Logarithmus === Die Exponentialfunktion <math> \exp(z) </math> ist eine ganze Funktion, dessen Definitionsbereich <math>\mathbb{D} \subset \mathbb{C}</math> und Wertebereich <math>\mathbb{D} \subset \mathbb{C}</math> einschränken muss, um eine bijektive Abbildung und <math> \exp : \mathbb{D} \to \mathbb{W}</math> zu erhalten, für die man eine Umkehrfunktion definieren kann. === Situation in der reellen Zahlen - Umkehrfunktion von exp(z) === <math> \exp : \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> ist injektiv aber nicht surjektiv. Durch die Einschränkung des Wertebereiches von <math>\mathbb{R}</math> auf <math>\mathbb{R}^{+}</math> ist die Funktion <math> \exp : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^{+}</math> bijektiv und man kann nach einer Umkehrfunktion (den [[w:de:natürlicher Logarithmus|natürliche Logarithmus]]) suchen. Diese Konzept der Suche nach potentiellen Umgekehrfunktionen kann in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] nicht eindeutig beantwortet werden. In den komplexen Zahlen gibt unabhängig von der Wahl der Konstanten einer Stammfunktion von <math>\tfrac{1}{z}</math> unterschiedliche Möglichkeiten Logarithmen zu definieren. == Aufgaben == * '''(A1)''' [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus#aufgabe1|Injektivität und Surjektivität]] * '''(A2)''' [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus#aufgabe2|Stammfunktion als Wegintegrale]] <span id="aufgabe1"></span> === Aufgabe 1 - Umkehrbarkeit der komplexen Exponentialfunktion === Erläutern Sie, warum <math> \exp : \mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> weder injektiv noch surjektiv ist. Schränken Sie den Definitionsbereich und Wertebereich der komplexen Exponentialfunktion so ein, dass <math> \exp : \mathbb{D} \to \mathbb{W}</math> bijektiv ist und eine [[w:de:Umkehrfunktion|Umkehrfunktion]] besitzt! <span id="aufgabe2"></span> === Aufgabe 2 - Stammfunktion von 1/x in den reellen Zahlen === In den reellen Zahlen der Logarithmus z.B. auf den positiven reellen Zahlen die Stammfunktion von <math>\frac{1}{x} </math>. Welche Beziehung besteht zwischen eine Zweig des Logarithmus und einem Wegintegral über die Funktion <math>\frac{1}{x} </math>. === Eigenschaften 1/z im Komplexen === Die holomorphe Funktion <math> f(z)=\frac{1}{z} </math> ist eine rationale Funktion, die auf <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> definiert ist. Sie besitzt aber auf <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> keine Stammfunktion, denn sonst würde das Integral über den Kreis um 0 nicht den Wert <math>2\pi i</math> sondern 0 liefern. <math> f(z)=\frac{1}{z} </math> hat eine Polstelle bei <math> z = 0 </math>. === Einschränkung des Definitions- / Wertebereiches === * '''([[w:de:Injektivität|injektiv]])''' Um eine injektive Abbildung für Definition des Logarithmus zu erhalten, muss man den ''Definitionsbereich'' einschränken, damit die Element aus dem Definitionsbereich entfernt, die auf die gleichen Bildpunkt abgebildet werden. * '''([[w:de:Surjektivität|surjektiv]])''' Um eine surjektive Abbildung für Definition des Logarithmus zu erhalten, muss man den ''Wertebereich'' einschränken und "nicht getroffene" Elemente aus dem Wertebereich zu entfernen <span id="komplex"></span> == Definition des komplexen Logarithmus == Analog zur reellen Definition heißt jede komplexe Zahl <math>w</math> ein ''natürlicher Logarithmus'' von <math>z</math>, wenn <math>w</math> die folgende Gleichung bzgl. einem gegebenen <math>z</math> erfüllt: : <math>\mathrm{e}^w = z</math> === Existenz === Für jedes <math>z \in \mathbb{C} \setminus \{0\}</math> existiert ein solches <math>w</math>. Man stellt dazu das Element <math>z</math> in Polarkoordinaten mit <math>t\in [0,2\pi) </math> wie folgt dar: :<math> z= |z|\cdot e^{it} </math> Dann ist <math>w:=\underbrace{\ln(|z|)}_{\in \mathbb{R}} + i\cdot \underbrace{t}_{\in \mathbb{R}}</math> ein Logarithmus in <math>\mathbb{C}</math>, da mit [[w:de:Potenzgesetze|Potenzgesetzen]] folgende Gleichung gilt: :<math> e^w = e^{\ln(|z|) + i\cdot t} = e^{\ln(|z|)} \cdot e^{i\cdot t} = |z|\cdot e^{it} = z </math> === Eindeutigkeit === Im Unterschied zum reellen Logarithmus ist der komplexe Logarithmus wegen : <math>\mathrm{e}^{2k\pi \mathrm{i}} = 1, \quad k \in \mathbb{Z}</math>, nicht eindeutig bestimmt ist. Hat man also einen Logarithmus <math>w</math> von <math>z</math> gefunden, so ist damit auch : <math>w' =\,\! w + 2k\pi \mathrm{i}</math> mit jeder ganzen Zahl <math>k</math> ein Logarithmus von <math>z</math>, denn es gilt : <math>\mathrm{e}^{w'} = \mathrm{e}^{w + 2k\pi \mathrm{i}} = \mathrm{e}^w \cdot \mathrm{e}^{2k\pi \mathrm{i}} = \mathrm{e}^w \cdot 1 = \mathrm{e}^w = z</math>. === Komplexer Logarithmus als Abbildung === Für die Definition einer Abbildung muss man einen eindeutigen Funktionswerte <math>\ln(z):=w</math> definieren. Um Eindeutigkeit zu erreichen, wählt man aus den möglichen Werten für <math>w</math> solche Werte aus, die in einem geeigneten Streifen der komplexen Zahlenebene liegen. Man kann z.&nbsp;B. den Streifen : <math>\left\{w \in \mathbb{C}: -\pi < \mathfrak{Im}(w) < \pi \right\}</math> verwenden. Ein Wert <math>w</math> aus diesem Streifen heißt ''Hauptwert'' (engl. ''principal value'') des Logarithmus, und man schreibt <math>w = \ln(z)</math>. === Zweige des Logarithmus === Stellt man <math>z = |z| \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i} \arg(z)}</math> in [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|Polarform]] dar, so erhält man eine einfache Darstellung des ''k-ten Zweiges'' der Logarithmusfunktion: : <math>w = \ln |z| + \mathrm{i}\left(\arg(z) + 2k\pi\right), \quad k\in\mathbb{Z}</math> mit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] <math>\arg</math>. Im Summanden <math>\ln |z|</math> wird der bereits oben definierte reelle Logarithmus <math>\ln</math> verwendet. Für <math>k = 0</math> erhält man den ''Hauptzweig'' des komplexen Logarithmus zurück: : <math>\ln z = \ln|z| + \mathrm{i}\arg(z)</math>. === Stetigkeit von Zweigen des Logarithmus === <math>\ln: \mathbb{C}\setminus\{0\} \to \mathbb{C}</math> ist nicht stetig in den Punkten <math>\mathcal{N} := \{z \in \mathbb{C} \, \colon \, (z=x+i\cdot 0) \wedge (0 < x\in \mathbb{R}) \}</math>. Entfernt man jedoch die negative reelle Achse <math>\mathcal{N}</math>, so ist <math>\ln</math> auf dem Gebiet : <math>\mathbb{C}\setminus\{x \in \mathbb{R}: x\leq 0\}</math> stetig und sogar [[w:de:Holomorphe Funktion|holomorph]]. === Algebraisch vollständige Logarithmus === Für den [[Polynomialer Nullstellensatz|polynomialen Nullstellensatz]] === Vergleich - Rechenregeln reeller/komplexer Logarithmus === Für den Hauptzweig des komplexen Logarithmus <math>\ln</math> gelten nicht alle der weiter oben angeführten [[w:de:Logarithmus#Logarithmengesetze|Rechenregeln für die reelle Logarithmusfunktion]]. Sie gelten nur <math>\text{mod } 2\pi \mathrm{i}</math>. ==== Mehrdeutigkeit und Periodizität 1 ==== Diese Mehrdeutigkeit ist eine direkte Folge aus der Periodizität seiner Umkehrfunktion, der komplexen Exponentialfunktion. Es gilt: : <math>\ln(x) + \ln(y) = \ln(x \cdot y)+ 2\pi n \, \,\, n\in \mathbb{Z} </math> ==== Mehrdeutigkeit und Periodizität 2 ==== Der Vergleich von <math>\ln(x) + \ln(y)</math> und <math>\ln(x \cdot y)</math> zeigt: : <math> \begin{array}{rcl} \ln(\underbrace{-1+\mathrm{i}}_{=x}) + \ln(\underbrace{-1+\mathrm{i}}_{=y}) & = & \bigl(\ln\sqrt2+\frac{3\pi}4\mathrm{i}\bigr) + \bigl(\ln\sqrt2+\frac{3\pi}4\mathrm{i}\bigr) \\ & = & \ln2+\frac{3\pi}2\mathrm{i} \end{array} </math> und :<math> \ln\bigl(\underbrace{(-1+\mathrm{i}}_{=x})\cdot (\underbrace{-1+\mathrm{i}}_{=y})\bigr) = \ln(-2\mathrm{i})=\ln2-\frac\pi2\mathrm{i}</math> ==== Mehrdeutigkeit und Periodizität 3 ==== Dies liefert ein Beispiel, dass <math>\ln x + \ln y = \ln(x \cdot y)</math> nicht für beliebige <math>x,y\in \mathbb{C}</math> gilt. Der rechte und linke Term unterscheiden sich, um Vielfache von <math>2\pi</math>, d.h. : <math>\ln x + \ln y = \ln(x \cdot y) + 2\pi n</math> ==== Mehrdeutigkeit und Periodizität 4 ==== Auch die Gleichung : <math>y \cdot \ln (x) = \ln\left({x^y}\right)</math> ist nicht immer erfüllt, wie das Gegenbeispiel : <math>2\pi \mathrm{i} \ln (\mathrm{e}) = 2\pi \mathrm{i} \; \neq \; 0 = \ln 1 = \ln(\mathrm{e}^{2\pi \mathrm{i}})</math> beweist. === Graphen === <gallery widths="180" heights="120" perrow="3" caption="Grafische Darstellung des komplexen Logarithmus"> Ln abs.png|Betrag von <math>\ln z</math> Ln re.png|Realteil von <math>\ln z</math> Ln im.png|Imaginärteil von <math>\ln z</math> </gallery> ==== Hauptzweig ==== Mit dem oben definierten Hauptzweig des komplexen Logarithmus kann man den Logarithmus für negative reellen Zahlen erklären: : <math>\ln(-x) = \ln\left\vert-x\right\vert+ \mathrm{i}\arg(-x) = \ln x + \mathrm{i}\pi, \quad x\in\mathbb{R}^+\ .</math> Das setzt voraus, dass die [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] <math>\arg</math> negativen reellen Zahlen den Wert <math>\pi</math> zuweist. ==== Bemerkung - Argumentfunktion ==== Diese Betrachtungen zeigen, dass die Mehrdeutigkeit des komplexen Logarithmus letztlich auf die Mehrdeutigkeit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] zurückzuführen ist. == Entwicklung in Potenzreihen == Jede auf einem Gebiet <math>G</math> [[holomorphe Funktion]] lässt sich lokal in eine Potenzreihe entwickelt. Durch den Zusammenhang von <math>\tfrac{1}{z}</math> und dem Logarithmus erhält man auch eine Potenzreihendarstellung für beliebige [[w:de:Potenzreihe|Entwicklungspunkte]] <math>z_o=|z_o|\cdot e^{it} \not=0</math> über die [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] mit <math>q=\frac{z-z_o}{-z_o}</math> und <math>|z-z_0| < |z_0|</math>: :<math>f(z)= \frac{1}{z} = \frac{1}{z_o} \cdot \frac{1}{ 1- \underbrace{\frac{z-z_o}{-z_o} }_{=q} } = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1}} }_{=a_n} \cdot (z-z_o)^n </math> === Stammfunktion - Konstante der Taylorreihe === Für den [[w:de:Potenzreihe|Entwicklungspunkt]] <math>z_o=|z_o|\cdot e^{it} \not=0</math> erhält man für einen Zweig des Logarithmus als Stammfunktion von von <math>\tfrac{1}{z}</math> folgende Potenzreihendarstellung auf <math>\overline{D_r(z_0)}</math> mit <math>r< |z_0|</math> und <math>c= \ln(|z_o|) + i\cdot t</math> mit <math>t\in \mathbb{R}</math>: :<math>\log_{_G}(z)= c + \sum_{n=0}^\infty \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1} \cdot (n+1)} \cdot (z-z_o)^{n+1} </math> Ein zugehöriger Zweig von <math>\log_{_G}</math> ist dann z.B. auf dem Gebiet <math>G:= \mathbb{C} \setminus \{ z\in \mathbb{C} \, : \, z=\lambda \cdot z_0 \mbox{ mit } 0 \geq \lambda \in \R \}</math> definiert. === Bemerkung - Eindeutigkeitlemma für Logarithmuszweige === Das [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] zeigt, dass mit der Wahl eines [[einfach zusammenhängend]]en <math>G</math> mit <math>0\notin G</math> und der Festlegung des Imaginärteiles des Logarithmuszweige für ein <math>z_0\in G</math> der gesamte Zwei des Logarithmus eindeutig definiert ist. Ferner wird zwischen dem (reellen) Hauptzweig und dem imaginären Hauptzweig des Logarithmus unterschieden, wobei einmal der negative reelle Achse entfernt wurde und für imaginären Hauptzweig des Logarithmus negative reelle Achse in <math>G</math> fehlt. == Siehe auch == * [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * [[/generalisiert/|generalisierte Logarithmen]] * [[Logarithmus]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Lokale_Entwicklung_in_Potenzreihen|Lokale Entwicklung in Potenzreihen]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus Logarithmus] https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus * Datum: 31.7.2025 * [https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis/Logarithm]]</noinclude> [[Kategorie:Funktionentheorie]] 5jm50xegs03r50t403xnvz184aylghk 1116360 1116359 2026-10-16T08:22:10Z Bert Niehaus 20843 /* Aufgabe 1 - Umkehrbarkeit der komplexen Exponentialfunktion */ 1116360 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird der Zusammenhang zwischen der Funktion <math> \exp(z) </math> und <math> \frac{1}{z} </math> sowie die Definition eines Zweiges des Logarithmus und die Notwendigkeit der Einschränkung der Definitions- und Wertebereiche der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] betrachtet, um eine bijektive und holomorphe [[w:de:Umkehrfunktion|Umkehrfunktion]] der Exponentialfunktion zu erhalten. :<math> \exp(z) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{n!} </math> === Lerneinheiten === * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/algebraische Vollständigkeit|algebraische Vollständigkeit]] des Logarithmus * [[/Zweige/|Zweige des Logarithmus]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#Hauptzweig|Hauptzweig des Logarithmus]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#negativer_Hauptzweig|negativer Hauptzweig des Logarithmus]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#imaginaerer_Hauptzweig|imaginärer Hauptzweig des Logarithmus]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#negativer_imaginaerer_Hauptzweig|negativer imaginärer Hauptzweig des Logarithmus]] * [[/Argumentfunktion/|Argumentfunktion und Polarkoordinatendarstellung]] * [[/generalisiert/|generalisierter Logarithmus]] auf beliebigen [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] [[Gebiet (Mathematik)|Gebieten]], * [[/algebraische Vervollständigung/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/logmod|logmod-Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/logmod&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=logmod&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] und Periodizität der Exponentionalfunktion, * [[Identitätssatz für Logarithmen]] * [[/Äquivalenzklassen/]] des Logarithmus, * [[/rlog/|rlog-Funktion]], beschreibt wie oft kann man einen Logarithmus als Verkettung "rekursiv" anwenden kann. * [[/rekursiver Logarithmus/]] als Mehrfachverkettung des Logarithmus mit sich selbst. * [[/Eulersche Nullstellen/]] * [[/einfach zusammenhängende LOG-Gebiete/]] === Zusammenhang zwischen Exponentialfunktion und Logarithmus === Die Exponentialfunktion <math> \exp(z) </math> ist eine ganze Funktion, dessen Definitionsbereich <math>\mathbb{D} \subset \mathbb{C}</math> und Wertebereich <math>\mathbb{D} \subset \mathbb{C}</math> einschränken muss, um eine bijektive Abbildung und <math> \exp : \mathbb{D} \to \mathbb{W}</math> zu erhalten, für die man eine Umkehrfunktion definieren kann. === Situation in der reellen Zahlen - Umkehrfunktion von exp(z) === <math> \exp : \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> ist injektiv aber nicht surjektiv. Durch die Einschränkung des Wertebereiches von <math>\mathbb{R}</math> auf <math>\mathbb{R}^{+}</math> ist die Funktion <math> \exp : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^{+}</math> bijektiv und man kann nach einer Umkehrfunktion (den [[w:de:natürlicher Logarithmus|natürliche Logarithmus]]) suchen. Diese Konzept der Suche nach potentiellen Umgekehrfunktionen kann in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] nicht eindeutig beantwortet werden. In den komplexen Zahlen gibt unabhängig von der Wahl der Konstanten einer Stammfunktion von <math>\tfrac{1}{z}</math> unterschiedliche Möglichkeiten Logarithmen zu definieren. == Aufgaben == * '''(A1)''' [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus#aufgabe1|Injektivität und Surjektivität]] * '''(A2)''' [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus#aufgabe2|Stammfunktion als Wegintegrale]] <span id="aufgabe1"></span> === Aufgabe 1 - Umkehrbarkeit der komplexen Exponentialfunktion === Erläutern Sie, warum <math> \exp : \mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> weder [[w:de:injektiv|injektiv]] noch [[w:de:surjektiv|surjektiv]] ist. Schränken Sie den Definitionsbereich und Wertebereich der komplexen Exponentialfunktion so ein, dass <math> \exp : \mathbb{D} \to \mathbb{W}</math> bijektiv ist und eine [[w:de:Umkehrfunktion|Umkehrfunktion]] besitzt! <span id="aufgabe2"></span> === Aufgabe 2 - Stammfunktion von 1/x in den reellen Zahlen === In den reellen Zahlen der Logarithmus z.B. auf den positiven reellen Zahlen die Stammfunktion von <math>\frac{1}{x} </math>. Welche Beziehung besteht zwischen eine Zweig des Logarithmus und einem Wegintegral über die Funktion <math>\frac{1}{x} </math>. === Eigenschaften 1/z im Komplexen === Die holomorphe Funktion <math> f(z)=\frac{1}{z} </math> ist eine rationale Funktion, die auf <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> definiert ist. Sie besitzt aber auf <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> keine Stammfunktion, denn sonst würde das Integral über den Kreis um 0 nicht den Wert <math>2\pi i</math> sondern 0 liefern. <math> f(z)=\frac{1}{z} </math> hat eine Polstelle bei <math> z = 0 </math>. === Einschränkung des Definitions- / Wertebereiches === * '''([[w:de:Injektivität|injektiv]])''' Um eine injektive Abbildung für Definition des Logarithmus zu erhalten, muss man den ''Definitionsbereich'' einschränken, damit die Element aus dem Definitionsbereich entfernt, die auf die gleichen Bildpunkt abgebildet werden. * '''([[w:de:Surjektivität|surjektiv]])''' Um eine surjektive Abbildung für Definition des Logarithmus zu erhalten, muss man den ''Wertebereich'' einschränken und "nicht getroffene" Elemente aus dem Wertebereich zu entfernen <span id="komplex"></span> == Definition des komplexen Logarithmus == Analog zur reellen Definition heißt jede komplexe Zahl <math>w</math> ein ''natürlicher Logarithmus'' von <math>z</math>, wenn <math>w</math> die folgende Gleichung bzgl. einem gegebenen <math>z</math> erfüllt: : <math>\mathrm{e}^w = z</math> === Existenz === Für jedes <math>z \in \mathbb{C} \setminus \{0\}</math> existiert ein solches <math>w</math>. Man stellt dazu das Element <math>z</math> in Polarkoordinaten mit <math>t\in [0,2\pi) </math> wie folgt dar: :<math> z= |z|\cdot e^{it} </math> Dann ist <math>w:=\underbrace{\ln(|z|)}_{\in \mathbb{R}} + i\cdot \underbrace{t}_{\in \mathbb{R}}</math> ein Logarithmus in <math>\mathbb{C}</math>, da mit [[w:de:Potenzgesetze|Potenzgesetzen]] folgende Gleichung gilt: :<math> e^w = e^{\ln(|z|) + i\cdot t} = e^{\ln(|z|)} \cdot e^{i\cdot t} = |z|\cdot e^{it} = z </math> === Eindeutigkeit === Im Unterschied zum reellen Logarithmus ist der komplexe Logarithmus wegen : <math>\mathrm{e}^{2k\pi \mathrm{i}} = 1, \quad k \in \mathbb{Z}</math>, nicht eindeutig bestimmt ist. Hat man also einen Logarithmus <math>w</math> von <math>z</math> gefunden, so ist damit auch : <math>w' =\,\! w + 2k\pi \mathrm{i}</math> mit jeder ganzen Zahl <math>k</math> ein Logarithmus von <math>z</math>, denn es gilt : <math>\mathrm{e}^{w'} = \mathrm{e}^{w + 2k\pi \mathrm{i}} = \mathrm{e}^w \cdot \mathrm{e}^{2k\pi \mathrm{i}} = \mathrm{e}^w \cdot 1 = \mathrm{e}^w = z</math>. === Komplexer Logarithmus als Abbildung === Für die Definition einer Abbildung muss man einen eindeutigen Funktionswerte <math>\ln(z):=w</math> definieren. Um Eindeutigkeit zu erreichen, wählt man aus den möglichen Werten für <math>w</math> solche Werte aus, die in einem geeigneten Streifen der komplexen Zahlenebene liegen. Man kann z.&nbsp;B. den Streifen : <math>\left\{w \in \mathbb{C}: -\pi < \mathfrak{Im}(w) < \pi \right\}</math> verwenden. Ein Wert <math>w</math> aus diesem Streifen heißt ''Hauptwert'' (engl. ''principal value'') des Logarithmus, und man schreibt <math>w = \ln(z)</math>. === Zweige des Logarithmus === Stellt man <math>z = |z| \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i} \arg(z)}</math> in [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|Polarform]] dar, so erhält man eine einfache Darstellung des ''k-ten Zweiges'' der Logarithmusfunktion: : <math>w = \ln |z| + \mathrm{i}\left(\arg(z) + 2k\pi\right), \quad k\in\mathbb{Z}</math> mit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] <math>\arg</math>. Im Summanden <math>\ln |z|</math> wird der bereits oben definierte reelle Logarithmus <math>\ln</math> verwendet. Für <math>k = 0</math> erhält man den ''Hauptzweig'' des komplexen Logarithmus zurück: : <math>\ln z = \ln|z| + \mathrm{i}\arg(z)</math>. === Stetigkeit von Zweigen des Logarithmus === <math>\ln: \mathbb{C}\setminus\{0\} \to \mathbb{C}</math> ist nicht stetig in den Punkten <math>\mathcal{N} := \{z \in \mathbb{C} \, \colon \, (z=x+i\cdot 0) \wedge (0 < x\in \mathbb{R}) \}</math>. Entfernt man jedoch die negative reelle Achse <math>\mathcal{N}</math>, so ist <math>\ln</math> auf dem Gebiet : <math>\mathbb{C}\setminus\{x \in \mathbb{R}: x\leq 0\}</math> stetig und sogar [[w:de:Holomorphe Funktion|holomorph]]. === Algebraisch vollständige Logarithmus === Für den [[Polynomialer Nullstellensatz|polynomialen Nullstellensatz]] === Vergleich - Rechenregeln reeller/komplexer Logarithmus === Für den Hauptzweig des komplexen Logarithmus <math>\ln</math> gelten nicht alle der weiter oben angeführten [[w:de:Logarithmus#Logarithmengesetze|Rechenregeln für die reelle Logarithmusfunktion]]. Sie gelten nur <math>\text{mod } 2\pi \mathrm{i}</math>. ==== Mehrdeutigkeit und Periodizität 1 ==== Diese Mehrdeutigkeit ist eine direkte Folge aus der Periodizität seiner Umkehrfunktion, der komplexen Exponentialfunktion. Es gilt: : <math>\ln(x) + \ln(y) = \ln(x \cdot y)+ 2\pi n \, \,\, n\in \mathbb{Z} </math> ==== Mehrdeutigkeit und Periodizität 2 ==== Der Vergleich von <math>\ln(x) + \ln(y)</math> und <math>\ln(x \cdot y)</math> zeigt: : <math> \begin{array}{rcl} \ln(\underbrace{-1+\mathrm{i}}_{=x}) + \ln(\underbrace{-1+\mathrm{i}}_{=y}) & = & \bigl(\ln\sqrt2+\frac{3\pi}4\mathrm{i}\bigr) + \bigl(\ln\sqrt2+\frac{3\pi}4\mathrm{i}\bigr) \\ & = & \ln2+\frac{3\pi}2\mathrm{i} \end{array} </math> und :<math> \ln\bigl(\underbrace{(-1+\mathrm{i}}_{=x})\cdot (\underbrace{-1+\mathrm{i}}_{=y})\bigr) = \ln(-2\mathrm{i})=\ln2-\frac\pi2\mathrm{i}</math> ==== Mehrdeutigkeit und Periodizität 3 ==== Dies liefert ein Beispiel, dass <math>\ln x + \ln y = \ln(x \cdot y)</math> nicht für beliebige <math>x,y\in \mathbb{C}</math> gilt. Der rechte und linke Term unterscheiden sich, um Vielfache von <math>2\pi</math>, d.h. : <math>\ln x + \ln y = \ln(x \cdot y) + 2\pi n</math> ==== Mehrdeutigkeit und Periodizität 4 ==== Auch die Gleichung : <math>y \cdot \ln (x) = \ln\left({x^y}\right)</math> ist nicht immer erfüllt, wie das Gegenbeispiel : <math>2\pi \mathrm{i} \ln (\mathrm{e}) = 2\pi \mathrm{i} \; \neq \; 0 = \ln 1 = \ln(\mathrm{e}^{2\pi \mathrm{i}})</math> beweist. === Graphen === <gallery widths="180" heights="120" perrow="3" caption="Grafische Darstellung des komplexen Logarithmus"> Ln abs.png|Betrag von <math>\ln z</math> Ln re.png|Realteil von <math>\ln z</math> Ln im.png|Imaginärteil von <math>\ln z</math> </gallery> ==== Hauptzweig ==== Mit dem oben definierten Hauptzweig des komplexen Logarithmus kann man den Logarithmus für negative reellen Zahlen erklären: : <math>\ln(-x) = \ln\left\vert-x\right\vert+ \mathrm{i}\arg(-x) = \ln x + \mathrm{i}\pi, \quad x\in\mathbb{R}^+\ .</math> Das setzt voraus, dass die [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] <math>\arg</math> negativen reellen Zahlen den Wert <math>\pi</math> zuweist. ==== Bemerkung - Argumentfunktion ==== Diese Betrachtungen zeigen, dass die Mehrdeutigkeit des komplexen Logarithmus letztlich auf die Mehrdeutigkeit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] zurückzuführen ist. == Entwicklung in Potenzreihen == Jede auf einem Gebiet <math>G</math> [[holomorphe Funktion]] lässt sich lokal in eine Potenzreihe entwickelt. Durch den Zusammenhang von <math>\tfrac{1}{z}</math> und dem Logarithmus erhält man auch eine Potenzreihendarstellung für beliebige [[w:de:Potenzreihe|Entwicklungspunkte]] <math>z_o=|z_o|\cdot e^{it} \not=0</math> über die [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] mit <math>q=\frac{z-z_o}{-z_o}</math> und <math>|z-z_0| < |z_0|</math>: :<math>f(z)= \frac{1}{z} = \frac{1}{z_o} \cdot \frac{1}{ 1- \underbrace{\frac{z-z_o}{-z_o} }_{=q} } = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1}} }_{=a_n} \cdot (z-z_o)^n </math> === Stammfunktion - Konstante der Taylorreihe === Für den [[w:de:Potenzreihe|Entwicklungspunkt]] <math>z_o=|z_o|\cdot e^{it} \not=0</math> erhält man für einen Zweig des Logarithmus als Stammfunktion von von <math>\tfrac{1}{z}</math> folgende Potenzreihendarstellung auf <math>\overline{D_r(z_0)}</math> mit <math>r< |z_0|</math> und <math>c= \ln(|z_o|) + i\cdot t</math> mit <math>t\in \mathbb{R}</math>: :<math>\log_{_G}(z)= c + \sum_{n=0}^\infty \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1} \cdot (n+1)} \cdot (z-z_o)^{n+1} </math> Ein zugehöriger Zweig von <math>\log_{_G}</math> ist dann z.B. auf dem Gebiet <math>G:= \mathbb{C} \setminus \{ z\in \mathbb{C} \, : \, z=\lambda \cdot z_0 \mbox{ mit } 0 \geq \lambda \in \R \}</math> definiert. === Bemerkung - Eindeutigkeitlemma für Logarithmuszweige === Das [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] zeigt, dass mit der Wahl eines [[einfach zusammenhängend]]en <math>G</math> mit <math>0\notin G</math> und der Festlegung des Imaginärteiles des Logarithmuszweige für ein <math>z_0\in G</math> der gesamte Zwei des Logarithmus eindeutig definiert ist. Ferner wird zwischen dem (reellen) Hauptzweig und dem imaginären Hauptzweig des Logarithmus unterschieden, wobei einmal der negative reelle Achse entfernt wurde und für imaginären Hauptzweig des Logarithmus negative reelle Achse in <math>G</math> fehlt. == Siehe auch == * [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * [[/generalisiert/|generalisierte Logarithmen]] * [[Logarithmus]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Lokale_Entwicklung_in_Potenzreihen|Lokale Entwicklung in Potenzreihen]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus Logarithmus] https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus * Datum: 31.7.2025 * [https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis/Logarithm]]</noinclude> [[Kategorie:Funktionentheorie]] l3l7vvzvdrtpdqqawi17tait090z2xk 1116361 1116360 2026-10-16T08:22:56Z Bert Niehaus 20843 /* Aufgabe 1 - Umkehrbarkeit der komplexen Exponentialfunktion */ 1116361 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird der Zusammenhang zwischen der Funktion <math> \exp(z) </math> und <math> \frac{1}{z} </math> sowie die Definition eines Zweiges des Logarithmus und die Notwendigkeit der Einschränkung der Definitions- und Wertebereiche der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] betrachtet, um eine bijektive und holomorphe [[w:de:Umkehrfunktion|Umkehrfunktion]] der Exponentialfunktion zu erhalten. :<math> \exp(z) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{n!} </math> === Lerneinheiten === * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/algebraische Vollständigkeit|algebraische Vollständigkeit]] des Logarithmus * [[/Zweige/|Zweige des Logarithmus]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#Hauptzweig|Hauptzweig des Logarithmus]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#negativer_Hauptzweig|negativer Hauptzweig des Logarithmus]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#imaginaerer_Hauptzweig|imaginärer Hauptzweig des Logarithmus]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#negativer_imaginaerer_Hauptzweig|negativer imaginärer Hauptzweig des Logarithmus]] * [[/Argumentfunktion/|Argumentfunktion und Polarkoordinatendarstellung]] * [[/generalisiert/|generalisierter Logarithmus]] auf beliebigen [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] [[Gebiet (Mathematik)|Gebieten]], * [[/algebraische Vervollständigung/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/logmod|logmod-Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/logmod&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=logmod&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] und Periodizität der Exponentionalfunktion, * [[Identitätssatz für Logarithmen]] * [[/Äquivalenzklassen/]] des Logarithmus, * [[/rlog/|rlog-Funktion]], beschreibt wie oft kann man einen Logarithmus als Verkettung "rekursiv" anwenden kann. * [[/rekursiver Logarithmus/]] als Mehrfachverkettung des Logarithmus mit sich selbst. * [[/Eulersche Nullstellen/]] * [[/einfach zusammenhängende LOG-Gebiete/]] === Zusammenhang zwischen Exponentialfunktion und Logarithmus === Die Exponentialfunktion <math> \exp(z) </math> ist eine ganze Funktion, dessen Definitionsbereich <math>\mathbb{D} \subset \mathbb{C}</math> und Wertebereich <math>\mathbb{D} \subset \mathbb{C}</math> einschränken muss, um eine bijektive Abbildung und <math> \exp : \mathbb{D} \to \mathbb{W}</math> zu erhalten, für die man eine Umkehrfunktion definieren kann. === Situation in der reellen Zahlen - Umkehrfunktion von exp(z) === <math> \exp : \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> ist injektiv aber nicht surjektiv. Durch die Einschränkung des Wertebereiches von <math>\mathbb{R}</math> auf <math>\mathbb{R}^{+}</math> ist die Funktion <math> \exp : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^{+}</math> bijektiv und man kann nach einer Umkehrfunktion (den [[w:de:natürlicher Logarithmus|natürliche Logarithmus]]) suchen. Diese Konzept der Suche nach potentiellen Umgekehrfunktionen kann in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] nicht eindeutig beantwortet werden. In den komplexen Zahlen gibt unabhängig von der Wahl der Konstanten einer Stammfunktion von <math>\tfrac{1}{z}</math> unterschiedliche Möglichkeiten Logarithmen zu definieren. == Aufgaben == * '''(A1)''' [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus#aufgabe1|Injektivität und Surjektivität]] * '''(A2)''' [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus#aufgabe2|Stammfunktion als Wegintegrale]] <span id="aufgabe1"></span> === Aufgabe 1 - Umkehrbarkeit der komplexen Exponentialfunktion === Erläutern Sie, warum <math> \exp : \mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> weder [[w:de:injektive Funktion|injektiv]] noch [[w:de:surjektive Funktion|surjektiv]] ist. Schränken Sie den Definitionsbereich und Wertebereich der komplexen [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] so ein, dass <math> \exp : \mathbb{D} \to \mathbb{W}</math> bijektiv ist und eine [[w:de:Umkehrfunktion|Umkehrfunktion]] besitzt! <span id="aufgabe2"></span> === Aufgabe 2 - Stammfunktion von 1/x in den reellen Zahlen === In den reellen Zahlen der Logarithmus z.B. auf den positiven reellen Zahlen die Stammfunktion von <math>\frac{1}{x} </math>. Welche Beziehung besteht zwischen eine Zweig des Logarithmus und einem Wegintegral über die Funktion <math>\frac{1}{x} </math>. === Eigenschaften 1/z im Komplexen === Die holomorphe Funktion <math> f(z)=\frac{1}{z} </math> ist eine rationale Funktion, die auf <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> definiert ist. Sie besitzt aber auf <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> keine Stammfunktion, denn sonst würde das Integral über den Kreis um 0 nicht den Wert <math>2\pi i</math> sondern 0 liefern. <math> f(z)=\frac{1}{z} </math> hat eine Polstelle bei <math> z = 0 </math>. === Einschränkung des Definitions- / Wertebereiches === * '''([[w:de:Injektivität|injektiv]])''' Um eine injektive Abbildung für Definition des Logarithmus zu erhalten, muss man den ''Definitionsbereich'' einschränken, damit die Element aus dem Definitionsbereich entfernt, die auf die gleichen Bildpunkt abgebildet werden. * '''([[w:de:Surjektivität|surjektiv]])''' Um eine surjektive Abbildung für Definition des Logarithmus zu erhalten, muss man den ''Wertebereich'' einschränken und "nicht getroffene" Elemente aus dem Wertebereich zu entfernen <span id="komplex"></span> == Definition des komplexen Logarithmus == Analog zur reellen Definition heißt jede komplexe Zahl <math>w</math> ein ''natürlicher Logarithmus'' von <math>z</math>, wenn <math>w</math> die folgende Gleichung bzgl. einem gegebenen <math>z</math> erfüllt: : <math>\mathrm{e}^w = z</math> === Existenz === Für jedes <math>z \in \mathbb{C} \setminus \{0\}</math> existiert ein solches <math>w</math>. Man stellt dazu das Element <math>z</math> in Polarkoordinaten mit <math>t\in [0,2\pi) </math> wie folgt dar: :<math> z= |z|\cdot e^{it} </math> Dann ist <math>w:=\underbrace{\ln(|z|)}_{\in \mathbb{R}} + i\cdot \underbrace{t}_{\in \mathbb{R}}</math> ein Logarithmus in <math>\mathbb{C}</math>, da mit [[w:de:Potenzgesetze|Potenzgesetzen]] folgende Gleichung gilt: :<math> e^w = e^{\ln(|z|) + i\cdot t} = e^{\ln(|z|)} \cdot e^{i\cdot t} = |z|\cdot e^{it} = z </math> === Eindeutigkeit === Im Unterschied zum reellen Logarithmus ist der komplexe Logarithmus wegen : <math>\mathrm{e}^{2k\pi \mathrm{i}} = 1, \quad k \in \mathbb{Z}</math>, nicht eindeutig bestimmt ist. Hat man also einen Logarithmus <math>w</math> von <math>z</math> gefunden, so ist damit auch : <math>w' =\,\! w + 2k\pi \mathrm{i}</math> mit jeder ganzen Zahl <math>k</math> ein Logarithmus von <math>z</math>, denn es gilt : <math>\mathrm{e}^{w'} = \mathrm{e}^{w + 2k\pi \mathrm{i}} = \mathrm{e}^w \cdot \mathrm{e}^{2k\pi \mathrm{i}} = \mathrm{e}^w \cdot 1 = \mathrm{e}^w = z</math>. === Komplexer Logarithmus als Abbildung === Für die Definition einer Abbildung muss man einen eindeutigen Funktionswerte <math>\ln(z):=w</math> definieren. Um Eindeutigkeit zu erreichen, wählt man aus den möglichen Werten für <math>w</math> solche Werte aus, die in einem geeigneten Streifen der komplexen Zahlenebene liegen. Man kann z.&nbsp;B. den Streifen : <math>\left\{w \in \mathbb{C}: -\pi < \mathfrak{Im}(w) < \pi \right\}</math> verwenden. Ein Wert <math>w</math> aus diesem Streifen heißt ''Hauptwert'' (engl. ''principal value'') des Logarithmus, und man schreibt <math>w = \ln(z)</math>. === Zweige des Logarithmus === Stellt man <math>z = |z| \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i} \arg(z)}</math> in [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|Polarform]] dar, so erhält man eine einfache Darstellung des ''k-ten Zweiges'' der Logarithmusfunktion: : <math>w = \ln |z| + \mathrm{i}\left(\arg(z) + 2k\pi\right), \quad k\in\mathbb{Z}</math> mit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] <math>\arg</math>. Im Summanden <math>\ln |z|</math> wird der bereits oben definierte reelle Logarithmus <math>\ln</math> verwendet. Für <math>k = 0</math> erhält man den ''Hauptzweig'' des komplexen Logarithmus zurück: : <math>\ln z = \ln|z| + \mathrm{i}\arg(z)</math>. === Stetigkeit von Zweigen des Logarithmus === <math>\ln: \mathbb{C}\setminus\{0\} \to \mathbb{C}</math> ist nicht stetig in den Punkten <math>\mathcal{N} := \{z \in \mathbb{C} \, \colon \, (z=x+i\cdot 0) \wedge (0 < x\in \mathbb{R}) \}</math>. Entfernt man jedoch die negative reelle Achse <math>\mathcal{N}</math>, so ist <math>\ln</math> auf dem Gebiet : <math>\mathbb{C}\setminus\{x \in \mathbb{R}: x\leq 0\}</math> stetig und sogar [[w:de:Holomorphe Funktion|holomorph]]. === Algebraisch vollständige Logarithmus === Für den [[Polynomialer Nullstellensatz|polynomialen Nullstellensatz]] === Vergleich - Rechenregeln reeller/komplexer Logarithmus === Für den Hauptzweig des komplexen Logarithmus <math>\ln</math> gelten nicht alle der weiter oben angeführten [[w:de:Logarithmus#Logarithmengesetze|Rechenregeln für die reelle Logarithmusfunktion]]. Sie gelten nur <math>\text{mod } 2\pi \mathrm{i}</math>. ==== Mehrdeutigkeit und Periodizität 1 ==== Diese Mehrdeutigkeit ist eine direkte Folge aus der Periodizität seiner Umkehrfunktion, der komplexen Exponentialfunktion. Es gilt: : <math>\ln(x) + \ln(y) = \ln(x \cdot y)+ 2\pi n \, \,\, n\in \mathbb{Z} </math> ==== Mehrdeutigkeit und Periodizität 2 ==== Der Vergleich von <math>\ln(x) + \ln(y)</math> und <math>\ln(x \cdot y)</math> zeigt: : <math> \begin{array}{rcl} \ln(\underbrace{-1+\mathrm{i}}_{=x}) + \ln(\underbrace{-1+\mathrm{i}}_{=y}) & = & \bigl(\ln\sqrt2+\frac{3\pi}4\mathrm{i}\bigr) + \bigl(\ln\sqrt2+\frac{3\pi}4\mathrm{i}\bigr) \\ & = & \ln2+\frac{3\pi}2\mathrm{i} \end{array} </math> und :<math> \ln\bigl(\underbrace{(-1+\mathrm{i}}_{=x})\cdot (\underbrace{-1+\mathrm{i}}_{=y})\bigr) = \ln(-2\mathrm{i})=\ln2-\frac\pi2\mathrm{i}</math> ==== Mehrdeutigkeit und Periodizität 3 ==== Dies liefert ein Beispiel, dass <math>\ln x + \ln y = \ln(x \cdot y)</math> nicht für beliebige <math>x,y\in \mathbb{C}</math> gilt. Der rechte und linke Term unterscheiden sich, um Vielfache von <math>2\pi</math>, d.h. : <math>\ln x + \ln y = \ln(x \cdot y) + 2\pi n</math> ==== Mehrdeutigkeit und Periodizität 4 ==== Auch die Gleichung : <math>y \cdot \ln (x) = \ln\left({x^y}\right)</math> ist nicht immer erfüllt, wie das Gegenbeispiel : <math>2\pi \mathrm{i} \ln (\mathrm{e}) = 2\pi \mathrm{i} \; \neq \; 0 = \ln 1 = \ln(\mathrm{e}^{2\pi \mathrm{i}})</math> beweist. === Graphen === <gallery widths="180" heights="120" perrow="3" caption="Grafische Darstellung des komplexen Logarithmus"> Ln abs.png|Betrag von <math>\ln z</math> Ln re.png|Realteil von <math>\ln z</math> Ln im.png|Imaginärteil von <math>\ln z</math> </gallery> ==== Hauptzweig ==== Mit dem oben definierten Hauptzweig des komplexen Logarithmus kann man den Logarithmus für negative reellen Zahlen erklären: : <math>\ln(-x) = \ln\left\vert-x\right\vert+ \mathrm{i}\arg(-x) = \ln x + \mathrm{i}\pi, \quad x\in\mathbb{R}^+\ .</math> Das setzt voraus, dass die [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] <math>\arg</math> negativen reellen Zahlen den Wert <math>\pi</math> zuweist. ==== Bemerkung - Argumentfunktion ==== Diese Betrachtungen zeigen, dass die Mehrdeutigkeit des komplexen Logarithmus letztlich auf die Mehrdeutigkeit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] zurückzuführen ist. == Entwicklung in Potenzreihen == Jede auf einem Gebiet <math>G</math> [[holomorphe Funktion]] lässt sich lokal in eine Potenzreihe entwickelt. Durch den Zusammenhang von <math>\tfrac{1}{z}</math> und dem Logarithmus erhält man auch eine Potenzreihendarstellung für beliebige [[w:de:Potenzreihe|Entwicklungspunkte]] <math>z_o=|z_o|\cdot e^{it} \not=0</math> über die [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] mit <math>q=\frac{z-z_o}{-z_o}</math> und <math>|z-z_0| < |z_0|</math>: :<math>f(z)= \frac{1}{z} = \frac{1}{z_o} \cdot \frac{1}{ 1- \underbrace{\frac{z-z_o}{-z_o} }_{=q} } = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1}} }_{=a_n} \cdot (z-z_o)^n </math> === Stammfunktion - Konstante der Taylorreihe === Für den [[w:de:Potenzreihe|Entwicklungspunkt]] <math>z_o=|z_o|\cdot e^{it} \not=0</math> erhält man für einen Zweig des Logarithmus als Stammfunktion von von <math>\tfrac{1}{z}</math> folgende Potenzreihendarstellung auf <math>\overline{D_r(z_0)}</math> mit <math>r< |z_0|</math> und <math>c= \ln(|z_o|) + i\cdot t</math> mit <math>t\in \mathbb{R}</math>: :<math>\log_{_G}(z)= c + \sum_{n=0}^\infty \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1} \cdot (n+1)} \cdot (z-z_o)^{n+1} </math> Ein zugehöriger Zweig von <math>\log_{_G}</math> ist dann z.B. auf dem Gebiet <math>G:= \mathbb{C} \setminus \{ z\in \mathbb{C} \, : \, z=\lambda \cdot z_0 \mbox{ mit } 0 \geq \lambda \in \R \}</math> definiert. === Bemerkung - Eindeutigkeitlemma für Logarithmuszweige === Das [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] zeigt, dass mit der Wahl eines [[einfach zusammenhängend]]en <math>G</math> mit <math>0\notin G</math> und der Festlegung des Imaginärteiles des Logarithmuszweige für ein <math>z_0\in G</math> der gesamte Zwei des Logarithmus eindeutig definiert ist. Ferner wird zwischen dem (reellen) Hauptzweig und dem imaginären Hauptzweig des Logarithmus unterschieden, wobei einmal der negative reelle Achse entfernt wurde und für imaginären Hauptzweig des Logarithmus negative reelle Achse in <math>G</math> fehlt. == Siehe auch == * [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * [[/generalisiert/|generalisierte Logarithmen]] * [[Logarithmus]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Lokale_Entwicklung_in_Potenzreihen|Lokale Entwicklung in Potenzreihen]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus Logarithmus] https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus * Datum: 31.7.2025 * [https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis/Logarithm]]</noinclude> [[Kategorie:Funktionentheorie]] ffhgyhagpdu25vq5nmciqjanflxgu00 1116362 1116361 2026-10-16T08:23:33Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1116362 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird der Zusammenhang zwischen der Funktion <math> \exp(z) </math> und <math> \frac{1}{z} </math> sowie die Definition eines Zweiges des Logarithmus und die Notwendigkeit der Einschränkung der Definitions- und Wertebereiche der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] betrachtet, um eine bijektive und holomorphe [[w:de:Umkehrfunktion|Umkehrfunktion]] der Exponentialfunktion zu erhalten. :<math> \exp(z) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{n!} </math> === Lerneinheiten === * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/algebraische Vollständigkeit|algebraische Vollständigkeit]] des Logarithmus * [[/Zweige/|Zweige des Logarithmus]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#Hauptzweig|Hauptzweig des Logarithmus]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#negativer_Hauptzweig|negativer Hauptzweig des Logarithmus]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#imaginaerer_Hauptzweig|imaginärer Hauptzweig des Logarithmus]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#negativer_imaginaerer_Hauptzweig|negativer imaginärer Hauptzweig des Logarithmus]] * [[/Argumentfunktion/|Argumentfunktion und Polarkoordinatendarstellung]] * [[/generalisiert/|generalisierter Logarithmus]] auf beliebigen [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] [[Gebiet (Mathematik)|Gebieten]], * [[/algebraische Vervollständigung/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/logmod|logmod-Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/logmod&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=logmod&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] und Periodizität der Exponentionalfunktion, * [[Identitätssatz für Logarithmen]] * [[/Äquivalenzklassen/]] des Logarithmus, * [[/rlog/|rlog-Funktion]], beschreibt wie oft kann man einen Logarithmus als Verkettung "rekursiv" anwenden kann. * [[/rekursiver Logarithmus/]] als Mehrfachverkettung des Logarithmus mit sich selbst. * [[/Eulersche Nullstellen/]] * [[/einfach zusammenhängende LOG-Gebiete/]] === Zusammenhang zwischen Exponentialfunktion und Logarithmus === Die Exponentialfunktion <math> \exp(z) </math> ist eine ganze Funktion, dessen Definitionsbereich <math>\mathbb{D} \subset \mathbb{C}</math> und Wertebereich <math>\mathbb{D} \subset \mathbb{C}</math> einschränken muss, um eine bijektive Abbildung und <math> \exp : \mathbb{D} \to \mathbb{W}</math> zu erhalten, für die man eine Umkehrfunktion definieren kann. === Situation in der reellen Zahlen - Umkehrfunktion von exp(z) === <math> \exp : \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> ist injektiv aber nicht surjektiv. Durch die Einschränkung des Wertebereiches von <math>\mathbb{R}</math> auf <math>\mathbb{R}^{+}</math> ist die Funktion <math> \exp : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^{+}</math> bijektiv und man kann nach einer Umkehrfunktion (den [[w:de:natürlicher Logarithmus|natürliche Logarithmus]]) suchen. Diese Konzept der Suche nach potentiellen Umgekehrfunktionen kann in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] nicht eindeutig beantwortet werden. In den komplexen Zahlen gibt unabhängig von der Wahl der Konstanten einer Stammfunktion von <math>\tfrac{1}{z}</math> unterschiedliche Möglichkeiten Logarithmen zu definieren. == Aufgaben == * '''(A1)''' [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus#aufgabe1|Injektivität und Surjektivität]] * '''(A2)''' [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus#aufgabe2|Stammfunktion als Wegintegrale]] <span id="aufgabe1"></span> === Aufgabe 1 - Umkehrbarkeit der komplexen Exponentialfunktion === Erläutern Sie, warum <math> \exp : \mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> weder [[w:de:injektive Funktion|injektiv]] noch [[w:de:surjektive Funktion|surjektiv]] ist. Schränken Sie den Definitionsbereich und Wertebereich der komplexen [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] so ein, dass <math> \exp : \mathbb{D} \to \mathbb{W}</math> bijektiv ist und eine [[w:de:Umkehrfunktion|Umkehrfunktion]] besitzt! <span id="aufgabe2"></span> === Aufgabe 2 - Stammfunktion von 1/x in den reellen Zahlen === In den reellen Zahlen der Logarithmus z.B. auf den positiven reellen Zahlen die Stammfunktion von <math>\frac{1}{x} </math>. Welche Beziehung besteht zwischen eine Zweig des Logarithmus und einem Wegintegral über die Funktion <math>\frac{1}{x} </math>. === Eigenschaften 1/z im Komplexen === Die holomorphe Funktion <math> f(z)=\frac{1}{z} </math> ist eine rationale Funktion, die auf <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> definiert ist. Sie besitzt aber auf <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> keine Stammfunktion, denn sonst würde das Integral über den Kreis um 0 nicht den Wert <math>2\pi i</math> sondern 0 liefern. <math> f(z)=\frac{1}{z} </math> hat eine Polstelle bei <math> z = 0 </math>. === Einschränkung des Definitions- / Wertebereiches === * '''([[w:de:Injektivität|injektiv]])''' Um eine injektive Abbildung für Definition des Logarithmus zu erhalten, muss man den ''Definitionsbereich'' einschränken, damit die Element aus dem Definitionsbereich entfernt, die auf die gleichen Bildpunkt abgebildet werden. * '''([[w:de:Surjektivität|surjektiv]])''' Um eine surjektive Abbildung für Definition des Logarithmus zu erhalten, muss man den ''Wertebereich'' einschränken und "nicht getroffene" Elemente aus dem Wertebereich zu entfernen <span id="komplex"></span> == Definition des komplexen Logarithmus == Analog zur reellen Definition heißt jede komplexe Zahl <math>w</math> ein ''natürlicher Logarithmus'' von <math>z</math>, wenn <math>w</math> die folgende Gleichung bzgl. einem gegebenen <math>z</math> erfüllt: : <math>\mathrm{e}^w = z</math> === Existenz === Für jedes <math>z \in \mathbb{C} \setminus \{0\}</math> existiert ein solches <math>w</math>. Man stellt dazu das Element <math>z</math> in Polarkoordinaten mit <math>t\in [0,2\pi) </math> wie folgt dar: :<math> z= |z|\cdot e^{it} </math> Dann ist <math>w:=\underbrace{\ln(|z|)}_{\in \mathbb{R}} + i\cdot \underbrace{t}_{\in \mathbb{R}}</math> ein Logarithmus in <math>\mathbb{C}</math>, da mit [[w:de:Potenzgesetze|Potenzgesetzen]] folgende Gleichung gilt: :<math> e^w = e^{\ln(|z|) + i\cdot t} = e^{\ln(|z|)} \cdot e^{i\cdot t} = |z|\cdot e^{it} = z </math> === Eindeutigkeit === Im Unterschied zum reellen Logarithmus ist der komplexe Logarithmus wegen : <math>\mathrm{e}^{2k\pi \mathrm{i}} = 1, \quad k \in \mathbb{Z}</math>, nicht eindeutig bestimmt ist. Hat man also einen Logarithmus <math>w</math> von <math>z</math> gefunden, so ist damit auch : <math>w' =\,\! w + 2k\pi \mathrm{i}</math> mit jeder ganzen Zahl <math>k</math> ein Logarithmus von <math>z</math>, denn es gilt : <math>\mathrm{e}^{w'} = \mathrm{e}^{w + 2k\pi \mathrm{i}} = \mathrm{e}^w \cdot \mathrm{e}^{2k\pi \mathrm{i}} = \mathrm{e}^w \cdot 1 = \mathrm{e}^w = z</math>. === Komplexer Logarithmus als Abbildung === Für die Definition einer Abbildung muss man einen eindeutigen Funktionswerte <math>\ln(z):=w</math> definieren. Um Eindeutigkeit zu erreichen, wählt man aus den möglichen Werten für <math>w</math> solche Werte aus, die in einem geeigneten Streifen der komplexen Zahlenebene liegen. Man kann z.&nbsp;B. den Streifen : <math>\left\{w \in \mathbb{C}: -\pi < \mathfrak{Im}(w) < \pi \right\}</math> verwenden. Ein Wert <math>w</math> aus diesem Streifen heißt ''Hauptwert'' (engl. ''principal value'') des Logarithmus, und man schreibt <math>w = \ln(z)</math>. === Zweige des Logarithmus === Stellt man <math>z = |z| \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i} \arg(z)}</math> in [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|Polarform]] dar, so erhält man eine einfache Darstellung des ''k-ten Zweiges'' der Logarithmusfunktion: : <math>w = \ln |z| + \mathrm{i}\left(\arg(z) + 2k\pi\right), \quad k\in\mathbb{Z}</math> mit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] <math>\arg</math>. Im Summanden <math>\ln |z|</math> wird der bereits oben definierte reelle Logarithmus <math>\ln</math> verwendet. Für <math>k = 0</math> erhält man den ''Hauptzweig'' des komplexen Logarithmus zurück: : <math>\ln z = \ln|z| + \mathrm{i}\arg(z)</math>. === Stetigkeit von Zweigen des Logarithmus === <math>\ln: \mathbb{C}\setminus\{0\} \to \mathbb{C}</math> ist nicht stetig in den Punkten <math>\mathcal{N} := \{z \in \mathbb{C} \, \colon \, (z=x+i\cdot 0) \wedge (0 < x\in \mathbb{R}) \}</math>. Entfernt man jedoch die negative reelle Achse <math>\mathcal{N}</math>, so ist <math>\ln</math> auf dem Gebiet : <math>\mathbb{C}\setminus\{x \in \mathbb{R}: x\leq 0\}</math> stetig und sogar [[w:de:Holomorphe Funktion|holomorph]]. === Algebraisch vollständige Logarithmus === Für den [[Polynomialer Nullstellensatz|polynomialen Nullstellensatz]] === Vergleich - Rechenregeln reeller/komplexer Logarithmus === Für den Hauptzweig des komplexen Logarithmus <math>\ln</math> gelten nicht alle der weiter oben angeführten [[w:de:Logarithmus#Logarithmengesetze|Rechenregeln für die reelle Logarithmusfunktion]]. Sie gelten nur <math>\text{mod } 2\pi \mathrm{i}</math>. ==== Mehrdeutigkeit und Periodizität 1 ==== Diese Mehrdeutigkeit ist eine direkte Folge aus der Periodizität seiner Umkehrfunktion, der komplexen Exponentialfunktion. Es gilt: : <math>\ln(x) + \ln(y) = \ln(x \cdot y)+ 2\pi n \, \,\, n\in \mathbb{Z} </math> ==== Mehrdeutigkeit und Periodizität 2 ==== Der Vergleich von <math>\ln(x) + \ln(y)</math> und <math>\ln(x \cdot y)</math> zeigt: : <math> \begin{array}{rcl} \ln(\underbrace{-1+\mathrm{i}}_{=x}) + \ln(\underbrace{-1+\mathrm{i}}_{=y}) & = & \bigl(\ln\sqrt2+\frac{3\pi}4\mathrm{i}\bigr) + \bigl(\ln\sqrt2+\frac{3\pi}4\mathrm{i}\bigr) \\ & = & \ln2+\frac{3\pi}2\mathrm{i} \end{array} </math> und :<math> \ln\bigl(\underbrace{(-1+\mathrm{i}}_{=x})\cdot (\underbrace{-1+\mathrm{i}}_{=y})\bigr) = \ln(-2\mathrm{i})=\ln2-\frac\pi2\mathrm{i}</math> ==== Mehrdeutigkeit und Periodizität 3 ==== Dies liefert ein Beispiel, dass <math>\ln x + \ln y = \ln(x \cdot y)</math> nicht für beliebige <math>x,y\in \mathbb{C}</math> gilt. Der rechte und linke Term unterscheiden sich, um Vielfache von <math>2\pi</math>, d.h. : <math>\ln x + \ln y = \ln(x \cdot y) + 2\pi n</math> ==== Mehrdeutigkeit und Periodizität 4 ==== Auch die Gleichung : <math>y \cdot \ln (x) = \ln\left({x^y}\right)</math> ist nicht immer erfüllt, wie das Gegenbeispiel : <math>2\pi \mathrm{i} \ln (\mathrm{e}) = 2\pi \mathrm{i} \; \neq \; 0 = \ln 1 = \ln(\mathrm{e}^{2\pi \mathrm{i}})</math> beweist. === Graphen === <gallery widths="180" heights="120" perrow="3" caption="Grafische Darstellung des komplexen Logarithmus"> Ln abs.png|Betrag von <math>\ln z</math> Ln re.png|Realteil von <math>\ln z</math> Ln im.png|Imaginärteil von <math>\ln z</math> </gallery> ==== Hauptzweig ==== Mit dem oben definierten Hauptzweig des komplexen Logarithmus kann man den Logarithmus für negative reellen Zahlen erklären: : <math>\ln(-x) = \ln\left\vert-x\right\vert+ \mathrm{i}\arg(-x) = \ln x + \mathrm{i}\pi, \quad x\in\mathbb{R}^+\ .</math> Das setzt voraus, dass die [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] <math>\arg</math> negativen reellen Zahlen den Wert <math>\pi</math> zuweist. ==== Bemerkung - Argumentfunktion ==== Diese Betrachtungen zeigen, dass die Mehrdeutigkeit des komplexen Logarithmus letztlich auf die Mehrdeutigkeit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] zurückzuführen ist. == Entwicklung in Potenzreihen == Jede auf einem Gebiet <math>G</math> [[holomorphe Funktion]] lässt sich lokal in eine Potenzreihe entwickelt. Durch den Zusammenhang von <math>\tfrac{1}{z}</math> und dem Logarithmus erhält man auch eine Potenzreihendarstellung für beliebige [[w:de:Potenzreihe|Entwicklungspunkte]] <math>z_o=|z_o|\cdot e^{it} \not=0</math> über die [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] mit <math>q=\frac{z-z_o}{-z_o}</math> und <math>|z-z_0| < |z_0|</math>: :<math>f(z)= \frac{1}{z} = \frac{1}{z_o} \cdot \frac{1}{ 1- \underbrace{\frac{z-z_o}{-z_o} }_{=q} } = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1}} }_{=a_n} \cdot (z-z_o)^n </math> === Stammfunktion - Konstante der Taylorreihe === Für den [[w:de:Potenzreihe|Entwicklungspunkt]] <math>z_o=|z_o|\cdot e^{it} \not=0</math> erhält man für einen Zweig des Logarithmus als Stammfunktion von von <math>\tfrac{1}{z}</math> folgende Potenzreihendarstellung auf <math>\overline{D_r(z_0)}</math> mit <math>r< |z_0|</math> und <math>c= \ln(|z_o|) + i\cdot t</math> mit <math>t\in \mathbb{R}</math>: :<math>\log_{_G}(z)= c + \sum_{n=0}^\infty \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1} \cdot (n+1)} \cdot (z-z_o)^{n+1} </math> Ein zugehöriger Zweig von <math>\log_{_G}</math> ist dann z.B. auf dem Gebiet <math>G:= \mathbb{C} \setminus \{ z\in \mathbb{C} \, : \, z=\lambda \cdot z_0 \mbox{ mit } 0 \geq \lambda \in \R \}</math> definiert. === Bemerkung - Eindeutigkeitlemma für Logarithmuszweige === Das [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] zeigt, dass mit der Wahl eines [[einfach zusammenhängend]]en <math>G</math> mit <math>0\notin G</math> und der Festlegung des Imaginärteiles des Logarithmuszweige für ein <math>z_0\in G</math> der gesamte Zwei des Logarithmus eindeutig definiert ist. Ferner wird zwischen dem (reellen) Hauptzweig und dem imaginären Hauptzweig des Logarithmus unterschieden, wobei einmal der negative reelle Achse entfernt wurde und für imaginären Hauptzweig des Logarithmus negative reelle Achse in <math>G</math> fehlt. == Siehe auch == * [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * [[/generalisiert/|generalisierte Logarithmen]] * [[w:de:injektive Funktion|injektive]] bzw. [[w:de:surjektive Funktion|surjektive]] Funktionen * [[Logarithmus]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Lokale_Entwicklung_in_Potenzreihen|Lokale Entwicklung in Potenzreihen]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus Logarithmus] https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus * Datum: 31.7.2025 * [https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis/Logarithm]]</noinclude> [[Kategorie:Funktionentheorie]] 6std80e2mrhfvflcfjgg7pm5k217n1p 1116363 1116362 2026-10-16T08:24:27Z Bert Niehaus 20843 /* Entwicklung in Potenzreihen */ 1116363 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird der Zusammenhang zwischen der Funktion <math> \exp(z) </math> und <math> \frac{1}{z} </math> sowie die Definition eines Zweiges des Logarithmus und die Notwendigkeit der Einschränkung der Definitions- und Wertebereiche der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] betrachtet, um eine bijektive und holomorphe [[w:de:Umkehrfunktion|Umkehrfunktion]] der Exponentialfunktion zu erhalten. :<math> \exp(z) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{n!} </math> === Lerneinheiten === * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/algebraische Vollständigkeit|algebraische Vollständigkeit]] des Logarithmus * [[/Zweige/|Zweige des Logarithmus]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#Hauptzweig|Hauptzweig des Logarithmus]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#negativer_Hauptzweig|negativer Hauptzweig des Logarithmus]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#imaginaerer_Hauptzweig|imaginärer Hauptzweig des Logarithmus]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#negativer_imaginaerer_Hauptzweig|negativer imaginärer Hauptzweig des Logarithmus]] * [[/Argumentfunktion/|Argumentfunktion und Polarkoordinatendarstellung]] * [[/generalisiert/|generalisierter Logarithmus]] auf beliebigen [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] [[Gebiet (Mathematik)|Gebieten]], * [[/algebraische Vervollständigung/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/logmod|logmod-Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/logmod&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=logmod&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] und Periodizität der Exponentionalfunktion, * [[Identitätssatz für Logarithmen]] * [[/Äquivalenzklassen/]] des Logarithmus, * [[/rlog/|rlog-Funktion]], beschreibt wie oft kann man einen Logarithmus als Verkettung "rekursiv" anwenden kann. * [[/rekursiver Logarithmus/]] als Mehrfachverkettung des Logarithmus mit sich selbst. * [[/Eulersche Nullstellen/]] * [[/einfach zusammenhängende LOG-Gebiete/]] === Zusammenhang zwischen Exponentialfunktion und Logarithmus === Die Exponentialfunktion <math> \exp(z) </math> ist eine ganze Funktion, dessen Definitionsbereich <math>\mathbb{D} \subset \mathbb{C}</math> und Wertebereich <math>\mathbb{D} \subset \mathbb{C}</math> einschränken muss, um eine bijektive Abbildung und <math> \exp : \mathbb{D} \to \mathbb{W}</math> zu erhalten, für die man eine Umkehrfunktion definieren kann. === Situation in der reellen Zahlen - Umkehrfunktion von exp(z) === <math> \exp : \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> ist injektiv aber nicht surjektiv. Durch die Einschränkung des Wertebereiches von <math>\mathbb{R}</math> auf <math>\mathbb{R}^{+}</math> ist die Funktion <math> \exp : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^{+}</math> bijektiv und man kann nach einer Umkehrfunktion (den [[w:de:natürlicher Logarithmus|natürliche Logarithmus]]) suchen. Diese Konzept der Suche nach potentiellen Umgekehrfunktionen kann in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] nicht eindeutig beantwortet werden. In den komplexen Zahlen gibt unabhängig von der Wahl der Konstanten einer Stammfunktion von <math>\tfrac{1}{z}</math> unterschiedliche Möglichkeiten Logarithmen zu definieren. == Aufgaben == * '''(A1)''' [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus#aufgabe1|Injektivität und Surjektivität]] * '''(A2)''' [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus#aufgabe2|Stammfunktion als Wegintegrale]] <span id="aufgabe1"></span> === Aufgabe 1 - Umkehrbarkeit der komplexen Exponentialfunktion === Erläutern Sie, warum <math> \exp : \mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> weder [[w:de:injektive Funktion|injektiv]] noch [[w:de:surjektive Funktion|surjektiv]] ist. Schränken Sie den Definitionsbereich und Wertebereich der komplexen [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] so ein, dass <math> \exp : \mathbb{D} \to \mathbb{W}</math> bijektiv ist und eine [[w:de:Umkehrfunktion|Umkehrfunktion]] besitzt! <span id="aufgabe2"></span> === Aufgabe 2 - Stammfunktion von 1/x in den reellen Zahlen === In den reellen Zahlen der Logarithmus z.B. auf den positiven reellen Zahlen die Stammfunktion von <math>\frac{1}{x} </math>. Welche Beziehung besteht zwischen eine Zweig des Logarithmus und einem Wegintegral über die Funktion <math>\frac{1}{x} </math>. === Eigenschaften 1/z im Komplexen === Die holomorphe Funktion <math> f(z)=\frac{1}{z} </math> ist eine rationale Funktion, die auf <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> definiert ist. Sie besitzt aber auf <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> keine Stammfunktion, denn sonst würde das Integral über den Kreis um 0 nicht den Wert <math>2\pi i</math> sondern 0 liefern. <math> f(z)=\frac{1}{z} </math> hat eine Polstelle bei <math> z = 0 </math>. === Einschränkung des Definitions- / Wertebereiches === * '''([[w:de:Injektivität|injektiv]])''' Um eine injektive Abbildung für Definition des Logarithmus zu erhalten, muss man den ''Definitionsbereich'' einschränken, damit die Element aus dem Definitionsbereich entfernt, die auf die gleichen Bildpunkt abgebildet werden. * '''([[w:de:Surjektivität|surjektiv]])''' Um eine surjektive Abbildung für Definition des Logarithmus zu erhalten, muss man den ''Wertebereich'' einschränken und "nicht getroffene" Elemente aus dem Wertebereich zu entfernen <span id="komplex"></span> == Definition des komplexen Logarithmus == Analog zur reellen Definition heißt jede komplexe Zahl <math>w</math> ein ''natürlicher Logarithmus'' von <math>z</math>, wenn <math>w</math> die folgende Gleichung bzgl. einem gegebenen <math>z</math> erfüllt: : <math>\mathrm{e}^w = z</math> === Existenz === Für jedes <math>z \in \mathbb{C} \setminus \{0\}</math> existiert ein solches <math>w</math>. Man stellt dazu das Element <math>z</math> in Polarkoordinaten mit <math>t\in [0,2\pi) </math> wie folgt dar: :<math> z= |z|\cdot e^{it} </math> Dann ist <math>w:=\underbrace{\ln(|z|)}_{\in \mathbb{R}} + i\cdot \underbrace{t}_{\in \mathbb{R}}</math> ein Logarithmus in <math>\mathbb{C}</math>, da mit [[w:de:Potenzgesetze|Potenzgesetzen]] folgende Gleichung gilt: :<math> e^w = e^{\ln(|z|) + i\cdot t} = e^{\ln(|z|)} \cdot e^{i\cdot t} = |z|\cdot e^{it} = z </math> === Eindeutigkeit === Im Unterschied zum reellen Logarithmus ist der komplexe Logarithmus wegen : <math>\mathrm{e}^{2k\pi \mathrm{i}} = 1, \quad k \in \mathbb{Z}</math>, nicht eindeutig bestimmt ist. Hat man also einen Logarithmus <math>w</math> von <math>z</math> gefunden, so ist damit auch : <math>w' =\,\! w + 2k\pi \mathrm{i}</math> mit jeder ganzen Zahl <math>k</math> ein Logarithmus von <math>z</math>, denn es gilt : <math>\mathrm{e}^{w'} = \mathrm{e}^{w + 2k\pi \mathrm{i}} = \mathrm{e}^w \cdot \mathrm{e}^{2k\pi \mathrm{i}} = \mathrm{e}^w \cdot 1 = \mathrm{e}^w = z</math>. === Komplexer Logarithmus als Abbildung === Für die Definition einer Abbildung muss man einen eindeutigen Funktionswerte <math>\ln(z):=w</math> definieren. Um Eindeutigkeit zu erreichen, wählt man aus den möglichen Werten für <math>w</math> solche Werte aus, die in einem geeigneten Streifen der komplexen Zahlenebene liegen. Man kann z.&nbsp;B. den Streifen : <math>\left\{w \in \mathbb{C}: -\pi < \mathfrak{Im}(w) < \pi \right\}</math> verwenden. Ein Wert <math>w</math> aus diesem Streifen heißt ''Hauptwert'' (engl. ''principal value'') des Logarithmus, und man schreibt <math>w = \ln(z)</math>. === Zweige des Logarithmus === Stellt man <math>z = |z| \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i} \arg(z)}</math> in [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|Polarform]] dar, so erhält man eine einfache Darstellung des ''k-ten Zweiges'' der Logarithmusfunktion: : <math>w = \ln |z| + \mathrm{i}\left(\arg(z) + 2k\pi\right), \quad k\in\mathbb{Z}</math> mit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] <math>\arg</math>. Im Summanden <math>\ln |z|</math> wird der bereits oben definierte reelle Logarithmus <math>\ln</math> verwendet. Für <math>k = 0</math> erhält man den ''Hauptzweig'' des komplexen Logarithmus zurück: : <math>\ln z = \ln|z| + \mathrm{i}\arg(z)</math>. === Stetigkeit von Zweigen des Logarithmus === <math>\ln: \mathbb{C}\setminus\{0\} \to \mathbb{C}</math> ist nicht stetig in den Punkten <math>\mathcal{N} := \{z \in \mathbb{C} \, \colon \, (z=x+i\cdot 0) \wedge (0 < x\in \mathbb{R}) \}</math>. Entfernt man jedoch die negative reelle Achse <math>\mathcal{N}</math>, so ist <math>\ln</math> auf dem Gebiet : <math>\mathbb{C}\setminus\{x \in \mathbb{R}: x\leq 0\}</math> stetig und sogar [[w:de:Holomorphe Funktion|holomorph]]. === Algebraisch vollständige Logarithmus === Für den [[Polynomialer Nullstellensatz|polynomialen Nullstellensatz]] === Vergleich - Rechenregeln reeller/komplexer Logarithmus === Für den Hauptzweig des komplexen Logarithmus <math>\ln</math> gelten nicht alle der weiter oben angeführten [[w:de:Logarithmus#Logarithmengesetze|Rechenregeln für die reelle Logarithmusfunktion]]. Sie gelten nur <math>\text{mod } 2\pi \mathrm{i}</math>. ==== Mehrdeutigkeit und Periodizität 1 ==== Diese Mehrdeutigkeit ist eine direkte Folge aus der Periodizität seiner Umkehrfunktion, der komplexen Exponentialfunktion. Es gilt: : <math>\ln(x) + \ln(y) = \ln(x \cdot y)+ 2\pi n \, \,\, n\in \mathbb{Z} </math> ==== Mehrdeutigkeit und Periodizität 2 ==== Der Vergleich von <math>\ln(x) + \ln(y)</math> und <math>\ln(x \cdot y)</math> zeigt: : <math> \begin{array}{rcl} \ln(\underbrace{-1+\mathrm{i}}_{=x}) + \ln(\underbrace{-1+\mathrm{i}}_{=y}) & = & \bigl(\ln\sqrt2+\frac{3\pi}4\mathrm{i}\bigr) + \bigl(\ln\sqrt2+\frac{3\pi}4\mathrm{i}\bigr) \\ & = & \ln2+\frac{3\pi}2\mathrm{i} \end{array} </math> und :<math> \ln\bigl(\underbrace{(-1+\mathrm{i}}_{=x})\cdot (\underbrace{-1+\mathrm{i}}_{=y})\bigr) = \ln(-2\mathrm{i})=\ln2-\frac\pi2\mathrm{i}</math> ==== Mehrdeutigkeit und Periodizität 3 ==== Dies liefert ein Beispiel, dass <math>\ln x + \ln y = \ln(x \cdot y)</math> nicht für beliebige <math>x,y\in \mathbb{C}</math> gilt. Der rechte und linke Term unterscheiden sich, um Vielfache von <math>2\pi</math>, d.h. : <math>\ln x + \ln y = \ln(x \cdot y) + 2\pi n</math> ==== Mehrdeutigkeit und Periodizität 4 ==== Auch die Gleichung : <math>y \cdot \ln (x) = \ln\left({x^y}\right)</math> ist nicht immer erfüllt, wie das Gegenbeispiel : <math>2\pi \mathrm{i} \ln (\mathrm{e}) = 2\pi \mathrm{i} \; \neq \; 0 = \ln 1 = \ln(\mathrm{e}^{2\pi \mathrm{i}})</math> beweist. === Graphen === <gallery widths="180" heights="120" perrow="3" caption="Grafische Darstellung des komplexen Logarithmus"> Ln abs.png|Betrag von <math>\ln z</math> Ln re.png|Realteil von <math>\ln z</math> Ln im.png|Imaginärteil von <math>\ln z</math> </gallery> ==== Hauptzweig ==== Mit dem oben definierten Hauptzweig des komplexen Logarithmus kann man den Logarithmus für negative reellen Zahlen erklären: : <math>\ln(-x) = \ln\left\vert-x\right\vert+ \mathrm{i}\arg(-x) = \ln x + \mathrm{i}\pi, \quad x\in\mathbb{R}^+\ .</math> Das setzt voraus, dass die [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] <math>\arg</math> negativen reellen Zahlen den Wert <math>\pi</math> zuweist. ==== Bemerkung - Argumentfunktion ==== Diese Betrachtungen zeigen, dass die Mehrdeutigkeit des komplexen Logarithmus letztlich auf die Mehrdeutigkeit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] zurückzuführen ist. <span id="Stammfunktion"></span> == Entwicklung in Potenzreihen == Jede auf einem Gebiet <math>G</math> [[holomorphe Funktion]] lässt sich lokal in eine Potenzreihe entwickelt. Durch den Zusammenhang von <math>\tfrac{1}{z}</math> und dem Logarithmus erhält man auch eine Potenzreihendarstellung für beliebige [[w:de:Potenzreihe|Entwicklungspunkte]] <math>z_o=|z_o|\cdot e^{it} \not=0</math> über die [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] mit <math>q=\frac{z-z_o}{-z_o}</math> und <math>|z-z_0| < |z_0|</math>: :<math>f(z)= \frac{1}{z} = \frac{1}{z_o} \cdot \frac{1}{ 1- \underbrace{\frac{z-z_o}{-z_o} }_{=q} } = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1}} }_{=a_n} \cdot (z-z_o)^n </math> === Stammfunktion - Konstante der Taylorreihe === Für den [[w:de:Potenzreihe|Entwicklungspunkt]] <math>z_o=|z_o|\cdot e^{it} \not=0</math> erhält man für einen Zweig des Logarithmus als Stammfunktion von von <math>\tfrac{1}{z}</math> folgende Potenzreihendarstellung auf <math>\overline{D_r(z_0)}</math> mit <math>r< |z_0|</math> und <math>c= \ln(|z_o|) + i\cdot t</math> mit <math>t\in \mathbb{R}</math>: :<math>\log_{_G}(z)= c + \sum_{n=0}^\infty \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1} \cdot (n+1)} \cdot (z-z_o)^{n+1} </math> Ein zugehöriger Zweig von <math>\log_{_G}</math> ist dann z.B. auf dem Gebiet <math>G:= \mathbb{C} \setminus \{ z\in \mathbb{C} \, : \, z=\lambda \cdot z_0 \mbox{ mit } 0 \geq \lambda \in \R \}</math> definiert. === Bemerkung - Eindeutigkeitlemma für Logarithmuszweige === Das [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] zeigt, dass mit der Wahl eines [[einfach zusammenhängend]]en <math>G</math> mit <math>0\notin G</math> und der Festlegung des Imaginärteiles des Logarithmuszweige für ein <math>z_0\in G</math> der gesamte Zwei des Logarithmus eindeutig definiert ist. Ferner wird zwischen dem (reellen) Hauptzweig und dem imaginären Hauptzweig des Logarithmus unterschieden, wobei einmal der negative reelle Achse entfernt wurde und für imaginären Hauptzweig des Logarithmus negative reelle Achse in <math>G</math> fehlt. == Siehe auch == * [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * [[/generalisiert/|generalisierte Logarithmen]] * [[w:de:injektive Funktion|injektive]] bzw. [[w:de:surjektive Funktion|surjektive]] Funktionen * [[Logarithmus]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Lokale_Entwicklung_in_Potenzreihen|Lokale Entwicklung in Potenzreihen]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus Logarithmus] https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus * Datum: 31.7.2025 * [https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis/Logarithm]]</noinclude> [[Kategorie:Funktionentheorie]] kz54p1gvnuxiuz3iew61b9jg0nwo0rl 1116405 1116363 2026-10-16T10:16:50Z Bert Niehaus 20843 /* Lerneinheiten */ 1116405 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird der Zusammenhang zwischen der Funktion <math> \exp(z) </math> und <math> \frac{1}{z} </math> sowie die Definition eines Zweiges des Logarithmus und die Notwendigkeit der Einschränkung der Definitions- und Wertebereiche der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] betrachtet, um eine bijektive und holomorphe [[w:de:Umkehrfunktion|Umkehrfunktion]] der Exponentialfunktion zu erhalten. :<math> \exp(z) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{n!} </math> === Lerneinheiten === * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/algebraische Vollständigkeit|algebraische Vollständigkeit]] des Logarithmus * [[/Zweige/|Zweige des Logarithmus]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#Hauptzweig|Hauptzweig des Logarithmus]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#negativer_Hauptzweig|negativer Hauptzweig des Logarithmus]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#imaginaerer_Hauptzweig|imaginärer Hauptzweig des Logarithmus]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#negativer_imaginaerer_Hauptzweig|negativer imaginärer Hauptzweig des Logarithmus]] * [[/Argumentfunktion/|Argumentfunktion und Polarkoordinatendarstellung]] * [[/generalisiert/|generalisierter Logarithmus]] auf beliebigen [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] [[Gebiet (Mathematik)|Gebieten]], * [[/algebraische Vervollständigung/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/logmod|logmod-Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/logmod&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=logmod&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) und Periodizität der Exponentionalfunktion, * [[Identitätssatz für Logarithmen]] * [[/Äquivalenzklassen/]] des Logarithmus, * [[/rlog/|rlog-Funktion]], beschreibt wie oft kann man einen Logarithmus als Verkettung "rekursiv" anwenden kann. * [[/rekursiver Logarithmus/]] als Mehrfachverkettung des Logarithmus mit sich selbst. * [[/Eulersche Nullstellen/]] * [[/einfach zusammenhängende LOG-Gebiete/]] === Zusammenhang zwischen Exponentialfunktion und Logarithmus === Die Exponentialfunktion <math> \exp(z) </math> ist eine ganze Funktion, dessen Definitionsbereich <math>\mathbb{D} \subset \mathbb{C}</math> und Wertebereich <math>\mathbb{D} \subset \mathbb{C}</math> einschränken muss, um eine bijektive Abbildung und <math> \exp : \mathbb{D} \to \mathbb{W}</math> zu erhalten, für die man eine Umkehrfunktion definieren kann. === Situation in der reellen Zahlen - Umkehrfunktion von exp(z) === <math> \exp : \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> ist injektiv aber nicht surjektiv. Durch die Einschränkung des Wertebereiches von <math>\mathbb{R}</math> auf <math>\mathbb{R}^{+}</math> ist die Funktion <math> \exp : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^{+}</math> bijektiv und man kann nach einer Umkehrfunktion (den [[w:de:natürlicher Logarithmus|natürliche Logarithmus]]) suchen. Diese Konzept der Suche nach potentiellen Umgekehrfunktionen kann in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] nicht eindeutig beantwortet werden. In den komplexen Zahlen gibt unabhängig von der Wahl der Konstanten einer Stammfunktion von <math>\tfrac{1}{z}</math> unterschiedliche Möglichkeiten Logarithmen zu definieren. == Aufgaben == * '''(A1)''' [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus#aufgabe1|Injektivität und Surjektivität]] * '''(A2)''' [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus#aufgabe2|Stammfunktion als Wegintegrale]] <span id="aufgabe1"></span> === Aufgabe 1 - Umkehrbarkeit der komplexen Exponentialfunktion === Erläutern Sie, warum <math> \exp : \mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> weder [[w:de:injektive Funktion|injektiv]] noch [[w:de:surjektive Funktion|surjektiv]] ist. Schränken Sie den Definitionsbereich und Wertebereich der komplexen [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] so ein, dass <math> \exp : \mathbb{D} \to \mathbb{W}</math> bijektiv ist und eine [[w:de:Umkehrfunktion|Umkehrfunktion]] besitzt! <span id="aufgabe2"></span> === Aufgabe 2 - Stammfunktion von 1/x in den reellen Zahlen === In den reellen Zahlen der Logarithmus z.B. auf den positiven reellen Zahlen die Stammfunktion von <math>\frac{1}{x} </math>. Welche Beziehung besteht zwischen eine Zweig des Logarithmus und einem Wegintegral über die Funktion <math>\frac{1}{x} </math>. === Eigenschaften 1/z im Komplexen === Die holomorphe Funktion <math> f(z)=\frac{1}{z} </math> ist eine rationale Funktion, die auf <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> definiert ist. Sie besitzt aber auf <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> keine Stammfunktion, denn sonst würde das Integral über den Kreis um 0 nicht den Wert <math>2\pi i</math> sondern 0 liefern. <math> f(z)=\frac{1}{z} </math> hat eine Polstelle bei <math> z = 0 </math>. === Einschränkung des Definitions- / Wertebereiches === * '''([[w:de:Injektivität|injektiv]])''' Um eine injektive Abbildung für Definition des Logarithmus zu erhalten, muss man den ''Definitionsbereich'' einschränken, damit die Element aus dem Definitionsbereich entfernt, die auf die gleichen Bildpunkt abgebildet werden. * '''([[w:de:Surjektivität|surjektiv]])''' Um eine surjektive Abbildung für Definition des Logarithmus zu erhalten, muss man den ''Wertebereich'' einschränken und "nicht getroffene" Elemente aus dem Wertebereich zu entfernen <span id="komplex"></span> == Definition des komplexen Logarithmus == Analog zur reellen Definition heißt jede komplexe Zahl <math>w</math> ein ''natürlicher Logarithmus'' von <math>z</math>, wenn <math>w</math> die folgende Gleichung bzgl. einem gegebenen <math>z</math> erfüllt: : <math>\mathrm{e}^w = z</math> === Existenz === Für jedes <math>z \in \mathbb{C} \setminus \{0\}</math> existiert ein solches <math>w</math>. Man stellt dazu das Element <math>z</math> in Polarkoordinaten mit <math>t\in [0,2\pi) </math> wie folgt dar: :<math> z= |z|\cdot e^{it} </math> Dann ist <math>w:=\underbrace{\ln(|z|)}_{\in \mathbb{R}} + i\cdot \underbrace{t}_{\in \mathbb{R}}</math> ein Logarithmus in <math>\mathbb{C}</math>, da mit [[w:de:Potenzgesetze|Potenzgesetzen]] folgende Gleichung gilt: :<math> e^w = e^{\ln(|z|) + i\cdot t} = e^{\ln(|z|)} \cdot e^{i\cdot t} = |z|\cdot e^{it} = z </math> === Eindeutigkeit === Im Unterschied zum reellen Logarithmus ist der komplexe Logarithmus wegen : <math>\mathrm{e}^{2k\pi \mathrm{i}} = 1, \quad k \in \mathbb{Z}</math>, nicht eindeutig bestimmt ist. Hat man also einen Logarithmus <math>w</math> von <math>z</math> gefunden, so ist damit auch : <math>w' =\,\! w + 2k\pi \mathrm{i}</math> mit jeder ganzen Zahl <math>k</math> ein Logarithmus von <math>z</math>, denn es gilt : <math>\mathrm{e}^{w'} = \mathrm{e}^{w + 2k\pi \mathrm{i}} = \mathrm{e}^w \cdot \mathrm{e}^{2k\pi \mathrm{i}} = \mathrm{e}^w \cdot 1 = \mathrm{e}^w = z</math>. === Komplexer Logarithmus als Abbildung === Für die Definition einer Abbildung muss man einen eindeutigen Funktionswerte <math>\ln(z):=w</math> definieren. Um Eindeutigkeit zu erreichen, wählt man aus den möglichen Werten für <math>w</math> solche Werte aus, die in einem geeigneten Streifen der komplexen Zahlenebene liegen. Man kann z.&nbsp;B. den Streifen : <math>\left\{w \in \mathbb{C}: -\pi < \mathfrak{Im}(w) < \pi \right\}</math> verwenden. Ein Wert <math>w</math> aus diesem Streifen heißt ''Hauptwert'' (engl. ''principal value'') des Logarithmus, und man schreibt <math>w = \ln(z)</math>. === Zweige des Logarithmus === Stellt man <math>z = |z| \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i} \arg(z)}</math> in [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|Polarform]] dar, so erhält man eine einfache Darstellung des ''k-ten Zweiges'' der Logarithmusfunktion: : <math>w = \ln |z| + \mathrm{i}\left(\arg(z) + 2k\pi\right), \quad k\in\mathbb{Z}</math> mit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] <math>\arg</math>. Im Summanden <math>\ln |z|</math> wird der bereits oben definierte reelle Logarithmus <math>\ln</math> verwendet. Für <math>k = 0</math> erhält man den ''Hauptzweig'' des komplexen Logarithmus zurück: : <math>\ln z = \ln|z| + \mathrm{i}\arg(z)</math>. === Stetigkeit von Zweigen des Logarithmus === <math>\ln: \mathbb{C}\setminus\{0\} \to \mathbb{C}</math> ist nicht stetig in den Punkten <math>\mathcal{N} := \{z \in \mathbb{C} \, \colon \, (z=x+i\cdot 0) \wedge (0 < x\in \mathbb{R}) \}</math>. Entfernt man jedoch die negative reelle Achse <math>\mathcal{N}</math>, so ist <math>\ln</math> auf dem Gebiet : <math>\mathbb{C}\setminus\{x \in \mathbb{R}: x\leq 0\}</math> stetig und sogar [[w:de:Holomorphe Funktion|holomorph]]. === Algebraisch vollständige Logarithmus === Für den [[Polynomialer Nullstellensatz|polynomialen Nullstellensatz]] === Vergleich - Rechenregeln reeller/komplexer Logarithmus === Für den Hauptzweig des komplexen Logarithmus <math>\ln</math> gelten nicht alle der weiter oben angeführten [[w:de:Logarithmus#Logarithmengesetze|Rechenregeln für die reelle Logarithmusfunktion]]. Sie gelten nur <math>\text{mod } 2\pi \mathrm{i}</math>. ==== Mehrdeutigkeit und Periodizität 1 ==== Diese Mehrdeutigkeit ist eine direkte Folge aus der Periodizität seiner Umkehrfunktion, der komplexen Exponentialfunktion. Es gilt: : <math>\ln(x) + \ln(y) = \ln(x \cdot y)+ 2\pi n \, \,\, n\in \mathbb{Z} </math> ==== Mehrdeutigkeit und Periodizität 2 ==== Der Vergleich von <math>\ln(x) + \ln(y)</math> und <math>\ln(x \cdot y)</math> zeigt: : <math> \begin{array}{rcl} \ln(\underbrace{-1+\mathrm{i}}_{=x}) + \ln(\underbrace{-1+\mathrm{i}}_{=y}) & = & \bigl(\ln\sqrt2+\frac{3\pi}4\mathrm{i}\bigr) + \bigl(\ln\sqrt2+\frac{3\pi}4\mathrm{i}\bigr) \\ & = & \ln2+\frac{3\pi}2\mathrm{i} \end{array} </math> und :<math> \ln\bigl(\underbrace{(-1+\mathrm{i}}_{=x})\cdot (\underbrace{-1+\mathrm{i}}_{=y})\bigr) = \ln(-2\mathrm{i})=\ln2-\frac\pi2\mathrm{i}</math> ==== Mehrdeutigkeit und Periodizität 3 ==== Dies liefert ein Beispiel, dass <math>\ln x + \ln y = \ln(x \cdot y)</math> nicht für beliebige <math>x,y\in \mathbb{C}</math> gilt. Der rechte und linke Term unterscheiden sich, um Vielfache von <math>2\pi</math>, d.h. : <math>\ln x + \ln y = \ln(x \cdot y) + 2\pi n</math> ==== Mehrdeutigkeit und Periodizität 4 ==== Auch die Gleichung : <math>y \cdot \ln (x) = \ln\left({x^y}\right)</math> ist nicht immer erfüllt, wie das Gegenbeispiel : <math>2\pi \mathrm{i} \ln (\mathrm{e}) = 2\pi \mathrm{i} \; \neq \; 0 = \ln 1 = \ln(\mathrm{e}^{2\pi \mathrm{i}})</math> beweist. === Graphen === <gallery widths="180" heights="120" perrow="3" caption="Grafische Darstellung des komplexen Logarithmus"> Ln abs.png|Betrag von <math>\ln z</math> Ln re.png|Realteil von <math>\ln z</math> Ln im.png|Imaginärteil von <math>\ln z</math> </gallery> ==== Hauptzweig ==== Mit dem oben definierten Hauptzweig des komplexen Logarithmus kann man den Logarithmus für negative reellen Zahlen erklären: : <math>\ln(-x) = \ln\left\vert-x\right\vert+ \mathrm{i}\arg(-x) = \ln x + \mathrm{i}\pi, \quad x\in\mathbb{R}^+\ .</math> Das setzt voraus, dass die [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] <math>\arg</math> negativen reellen Zahlen den Wert <math>\pi</math> zuweist. ==== Bemerkung - Argumentfunktion ==== Diese Betrachtungen zeigen, dass die Mehrdeutigkeit des komplexen Logarithmus letztlich auf die Mehrdeutigkeit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] zurückzuführen ist. <span id="Stammfunktion"></span> == Entwicklung in Potenzreihen == Jede auf einem Gebiet <math>G</math> [[holomorphe Funktion]] lässt sich lokal in eine Potenzreihe entwickelt. Durch den Zusammenhang von <math>\tfrac{1}{z}</math> und dem Logarithmus erhält man auch eine Potenzreihendarstellung für beliebige [[w:de:Potenzreihe|Entwicklungspunkte]] <math>z_o=|z_o|\cdot e^{it} \not=0</math> über die [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] mit <math>q=\frac{z-z_o}{-z_o}</math> und <math>|z-z_0| < |z_0|</math>: :<math>f(z)= \frac{1}{z} = \frac{1}{z_o} \cdot \frac{1}{ 1- \underbrace{\frac{z-z_o}{-z_o} }_{=q} } = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1}} }_{=a_n} \cdot (z-z_o)^n </math> === Stammfunktion - Konstante der Taylorreihe === Für den [[w:de:Potenzreihe|Entwicklungspunkt]] <math>z_o=|z_o|\cdot e^{it} \not=0</math> erhält man für einen Zweig des Logarithmus als Stammfunktion von von <math>\tfrac{1}{z}</math> folgende Potenzreihendarstellung auf <math>\overline{D_r(z_0)}</math> mit <math>r< |z_0|</math> und <math>c= \ln(|z_o|) + i\cdot t</math> mit <math>t\in \mathbb{R}</math>: :<math>\log_{_G}(z)= c + \sum_{n=0}^\infty \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1} \cdot (n+1)} \cdot (z-z_o)^{n+1} </math> Ein zugehöriger Zweig von <math>\log_{_G}</math> ist dann z.B. auf dem Gebiet <math>G:= \mathbb{C} \setminus \{ z\in \mathbb{C} \, : \, z=\lambda \cdot z_0 \mbox{ mit } 0 \geq \lambda \in \R \}</math> definiert. === Bemerkung - Eindeutigkeitlemma für Logarithmuszweige === Das [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] zeigt, dass mit der Wahl eines [[einfach zusammenhängend]]en <math>G</math> mit <math>0\notin G</math> und der Festlegung des Imaginärteiles des Logarithmuszweige für ein <math>z_0\in G</math> der gesamte Zwei des Logarithmus eindeutig definiert ist. Ferner wird zwischen dem (reellen) Hauptzweig und dem imaginären Hauptzweig des Logarithmus unterschieden, wobei einmal der negative reelle Achse entfernt wurde und für imaginären Hauptzweig des Logarithmus negative reelle Achse in <math>G</math> fehlt. == Siehe auch == * [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * [[/generalisiert/|generalisierte Logarithmen]] * [[w:de:injektive Funktion|injektive]] bzw. [[w:de:surjektive Funktion|surjektive]] Funktionen * [[Logarithmus]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Lokale_Entwicklung_in_Potenzreihen|Lokale Entwicklung in Potenzreihen]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus Logarithmus] https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus * Datum: 31.7.2025 * [https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis/Logarithm]]</noinclude> [[Kategorie:Funktionentheorie]] jt03f8yzha0qv40vfv8vakkkmdk3e4q 1116406 1116405 2026-10-16T10:18:02Z Bert Niehaus 20843 /* Lerneinheiten */ 1116406 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird der Zusammenhang zwischen der Funktion <math> \exp(z) </math> und <math> \frac{1}{z} </math> sowie die Definition eines Zweiges des Logarithmus und die Notwendigkeit der Einschränkung der Definitions- und Wertebereiche der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] betrachtet, um eine bijektive und holomorphe [[w:de:Umkehrfunktion|Umkehrfunktion]] der Exponentialfunktion zu erhalten. :<math> \exp(z) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{n!} </math> === Lerneinheiten === * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/algebraische Vollständigkeit|algebraische Vollständigkeit]] des Logarithmus * [[/Zweige/|Zweige des Logarithmus]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#Hauptzweig|Hauptzweig des Logarithmus]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#negativer_Hauptzweig|negativer Hauptzweig des Logarithmus]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#imaginaerer_Hauptzweig|imaginärer Hauptzweig des Logarithmus]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#negativer_imaginaerer_Hauptzweig|negativer imaginärer Hauptzweig des Logarithmus]] * [[/Argumentfunktion/|Argumentfunktion und Polarkoordinatendarstellung]] * [[/generalisiert/|generalisierter Logarithmus]] auf beliebigen [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] [[Gebiet (Mathematik)|Gebieten]], * [[/algebraische Vervollständigung/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/logmod|logmod-Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/logmod&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=logmod-Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus Foliensatz]) und Periodizität der Exponentionalfunktion, * [[Identitätssatz für Logarithmen]] * [[/Äquivalenzklassen/]] des Logarithmus, * [[/rlog/|rlog-Funktion]], beschreibt wie oft kann man einen Logarithmus als Verkettung "rekursiv" anwenden kann. * [[/rekursiver Logarithmus/]] als Mehrfachverkettung des Logarithmus mit sich selbst. * [[/Eulersche Nullstellen/]] * [[/einfach zusammenhängende LOG-Gebiete/]] === Zusammenhang zwischen Exponentialfunktion und Logarithmus === Die Exponentialfunktion <math> \exp(z) </math> ist eine ganze Funktion, dessen Definitionsbereich <math>\mathbb{D} \subset \mathbb{C}</math> und Wertebereich <math>\mathbb{D} \subset \mathbb{C}</math> einschränken muss, um eine bijektive Abbildung und <math> \exp : \mathbb{D} \to \mathbb{W}</math> zu erhalten, für die man eine Umkehrfunktion definieren kann. === Situation in der reellen Zahlen - Umkehrfunktion von exp(z) === <math> \exp : \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> ist injektiv aber nicht surjektiv. Durch die Einschränkung des Wertebereiches von <math>\mathbb{R}</math> auf <math>\mathbb{R}^{+}</math> ist die Funktion <math> \exp : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^{+}</math> bijektiv und man kann nach einer Umkehrfunktion (den [[w:de:natürlicher Logarithmus|natürliche Logarithmus]]) suchen. Diese Konzept der Suche nach potentiellen Umgekehrfunktionen kann in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] nicht eindeutig beantwortet werden. In den komplexen Zahlen gibt unabhängig von der Wahl der Konstanten einer Stammfunktion von <math>\tfrac{1}{z}</math> unterschiedliche Möglichkeiten Logarithmen zu definieren. == Aufgaben == * '''(A1)''' [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus#aufgabe1|Injektivität und Surjektivität]] * '''(A2)''' [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus#aufgabe2|Stammfunktion als Wegintegrale]] <span id="aufgabe1"></span> === Aufgabe 1 - Umkehrbarkeit der komplexen Exponentialfunktion === Erläutern Sie, warum <math> \exp : \mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> weder [[w:de:injektive Funktion|injektiv]] noch [[w:de:surjektive Funktion|surjektiv]] ist. Schränken Sie den Definitionsbereich und Wertebereich der komplexen [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] so ein, dass <math> \exp : \mathbb{D} \to \mathbb{W}</math> bijektiv ist und eine [[w:de:Umkehrfunktion|Umkehrfunktion]] besitzt! <span id="aufgabe2"></span> === Aufgabe 2 - Stammfunktion von 1/x in den reellen Zahlen === In den reellen Zahlen der Logarithmus z.B. auf den positiven reellen Zahlen die Stammfunktion von <math>\frac{1}{x} </math>. Welche Beziehung besteht zwischen eine Zweig des Logarithmus und einem Wegintegral über die Funktion <math>\frac{1}{x} </math>. === Eigenschaften 1/z im Komplexen === Die holomorphe Funktion <math> f(z)=\frac{1}{z} </math> ist eine rationale Funktion, die auf <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> definiert ist. Sie besitzt aber auf <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> keine Stammfunktion, denn sonst würde das Integral über den Kreis um 0 nicht den Wert <math>2\pi i</math> sondern 0 liefern. <math> f(z)=\frac{1}{z} </math> hat eine Polstelle bei <math> z = 0 </math>. === Einschränkung des Definitions- / Wertebereiches === * '''([[w:de:Injektivität|injektiv]])''' Um eine injektive Abbildung für Definition des Logarithmus zu erhalten, muss man den ''Definitionsbereich'' einschränken, damit die Element aus dem Definitionsbereich entfernt, die auf die gleichen Bildpunkt abgebildet werden. * '''([[w:de:Surjektivität|surjektiv]])''' Um eine surjektive Abbildung für Definition des Logarithmus zu erhalten, muss man den ''Wertebereich'' einschränken und "nicht getroffene" Elemente aus dem Wertebereich zu entfernen <span id="komplex"></span> == Definition des komplexen Logarithmus == Analog zur reellen Definition heißt jede komplexe Zahl <math>w</math> ein ''natürlicher Logarithmus'' von <math>z</math>, wenn <math>w</math> die folgende Gleichung bzgl. einem gegebenen <math>z</math> erfüllt: : <math>\mathrm{e}^w = z</math> === Existenz === Für jedes <math>z \in \mathbb{C} \setminus \{0\}</math> existiert ein solches <math>w</math>. Man stellt dazu das Element <math>z</math> in Polarkoordinaten mit <math>t\in [0,2\pi) </math> wie folgt dar: :<math> z= |z|\cdot e^{it} </math> Dann ist <math>w:=\underbrace{\ln(|z|)}_{\in \mathbb{R}} + i\cdot \underbrace{t}_{\in \mathbb{R}}</math> ein Logarithmus in <math>\mathbb{C}</math>, da mit [[w:de:Potenzgesetze|Potenzgesetzen]] folgende Gleichung gilt: :<math> e^w = e^{\ln(|z|) + i\cdot t} = e^{\ln(|z|)} \cdot e^{i\cdot t} = |z|\cdot e^{it} = z </math> === Eindeutigkeit === Im Unterschied zum reellen Logarithmus ist der komplexe Logarithmus wegen : <math>\mathrm{e}^{2k\pi \mathrm{i}} = 1, \quad k \in \mathbb{Z}</math>, nicht eindeutig bestimmt ist. Hat man also einen Logarithmus <math>w</math> von <math>z</math> gefunden, so ist damit auch : <math>w' =\,\! w + 2k\pi \mathrm{i}</math> mit jeder ganzen Zahl <math>k</math> ein Logarithmus von <math>z</math>, denn es gilt : <math>\mathrm{e}^{w'} = \mathrm{e}^{w + 2k\pi \mathrm{i}} = \mathrm{e}^w \cdot \mathrm{e}^{2k\pi \mathrm{i}} = \mathrm{e}^w \cdot 1 = \mathrm{e}^w = z</math>. === Komplexer Logarithmus als Abbildung === Für die Definition einer Abbildung muss man einen eindeutigen Funktionswerte <math>\ln(z):=w</math> definieren. Um Eindeutigkeit zu erreichen, wählt man aus den möglichen Werten für <math>w</math> solche Werte aus, die in einem geeigneten Streifen der komplexen Zahlenebene liegen. Man kann z.&nbsp;B. den Streifen : <math>\left\{w \in \mathbb{C}: -\pi < \mathfrak{Im}(w) < \pi \right\}</math> verwenden. Ein Wert <math>w</math> aus diesem Streifen heißt ''Hauptwert'' (engl. ''principal value'') des Logarithmus, und man schreibt <math>w = \ln(z)</math>. === Zweige des Logarithmus === Stellt man <math>z = |z| \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i} \arg(z)}</math> in [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|Polarform]] dar, so erhält man eine einfache Darstellung des ''k-ten Zweiges'' der Logarithmusfunktion: : <math>w = \ln |z| + \mathrm{i}\left(\arg(z) + 2k\pi\right), \quad k\in\mathbb{Z}</math> mit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] <math>\arg</math>. Im Summanden <math>\ln |z|</math> wird der bereits oben definierte reelle Logarithmus <math>\ln</math> verwendet. Für <math>k = 0</math> erhält man den ''Hauptzweig'' des komplexen Logarithmus zurück: : <math>\ln z = \ln|z| + \mathrm{i}\arg(z)</math>. === Stetigkeit von Zweigen des Logarithmus === <math>\ln: \mathbb{C}\setminus\{0\} \to \mathbb{C}</math> ist nicht stetig in den Punkten <math>\mathcal{N} := \{z \in \mathbb{C} \, \colon \, (z=x+i\cdot 0) \wedge (0 < x\in \mathbb{R}) \}</math>. Entfernt man jedoch die negative reelle Achse <math>\mathcal{N}</math>, so ist <math>\ln</math> auf dem Gebiet : <math>\mathbb{C}\setminus\{x \in \mathbb{R}: x\leq 0\}</math> stetig und sogar [[w:de:Holomorphe Funktion|holomorph]]. === Algebraisch vollständige Logarithmus === Für den [[Polynomialer Nullstellensatz|polynomialen Nullstellensatz]] === Vergleich - Rechenregeln reeller/komplexer Logarithmus === Für den Hauptzweig des komplexen Logarithmus <math>\ln</math> gelten nicht alle der weiter oben angeführten [[w:de:Logarithmus#Logarithmengesetze|Rechenregeln für die reelle Logarithmusfunktion]]. Sie gelten nur <math>\text{mod } 2\pi \mathrm{i}</math>. ==== Mehrdeutigkeit und Periodizität 1 ==== Diese Mehrdeutigkeit ist eine direkte Folge aus der Periodizität seiner Umkehrfunktion, der komplexen Exponentialfunktion. Es gilt: : <math>\ln(x) + \ln(y) = \ln(x \cdot y)+ 2\pi n \, \,\, n\in \mathbb{Z} </math> ==== Mehrdeutigkeit und Periodizität 2 ==== Der Vergleich von <math>\ln(x) + \ln(y)</math> und <math>\ln(x \cdot y)</math> zeigt: : <math> \begin{array}{rcl} \ln(\underbrace{-1+\mathrm{i}}_{=x}) + \ln(\underbrace{-1+\mathrm{i}}_{=y}) & = & \bigl(\ln\sqrt2+\frac{3\pi}4\mathrm{i}\bigr) + \bigl(\ln\sqrt2+\frac{3\pi}4\mathrm{i}\bigr) \\ & = & \ln2+\frac{3\pi}2\mathrm{i} \end{array} </math> und :<math> \ln\bigl(\underbrace{(-1+\mathrm{i}}_{=x})\cdot (\underbrace{-1+\mathrm{i}}_{=y})\bigr) = \ln(-2\mathrm{i})=\ln2-\frac\pi2\mathrm{i}</math> ==== Mehrdeutigkeit und Periodizität 3 ==== Dies liefert ein Beispiel, dass <math>\ln x + \ln y = \ln(x \cdot y)</math> nicht für beliebige <math>x,y\in \mathbb{C}</math> gilt. Der rechte und linke Term unterscheiden sich, um Vielfache von <math>2\pi</math>, d.h. : <math>\ln x + \ln y = \ln(x \cdot y) + 2\pi n</math> ==== Mehrdeutigkeit und Periodizität 4 ==== Auch die Gleichung : <math>y \cdot \ln (x) = \ln\left({x^y}\right)</math> ist nicht immer erfüllt, wie das Gegenbeispiel : <math>2\pi \mathrm{i} \ln (\mathrm{e}) = 2\pi \mathrm{i} \; \neq \; 0 = \ln 1 = \ln(\mathrm{e}^{2\pi \mathrm{i}})</math> beweist. === Graphen === <gallery widths="180" heights="120" perrow="3" caption="Grafische Darstellung des komplexen Logarithmus"> Ln abs.png|Betrag von <math>\ln z</math> Ln re.png|Realteil von <math>\ln z</math> Ln im.png|Imaginärteil von <math>\ln z</math> </gallery> ==== Hauptzweig ==== Mit dem oben definierten Hauptzweig des komplexen Logarithmus kann man den Logarithmus für negative reellen Zahlen erklären: : <math>\ln(-x) = \ln\left\vert-x\right\vert+ \mathrm{i}\arg(-x) = \ln x + \mathrm{i}\pi, \quad x\in\mathbb{R}^+\ .</math> Das setzt voraus, dass die [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] <math>\arg</math> negativen reellen Zahlen den Wert <math>\pi</math> zuweist. ==== Bemerkung - Argumentfunktion ==== Diese Betrachtungen zeigen, dass die Mehrdeutigkeit des komplexen Logarithmus letztlich auf die Mehrdeutigkeit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] zurückzuführen ist. <span id="Stammfunktion"></span> == Entwicklung in Potenzreihen == Jede auf einem Gebiet <math>G</math> [[holomorphe Funktion]] lässt sich lokal in eine Potenzreihe entwickelt. Durch den Zusammenhang von <math>\tfrac{1}{z}</math> und dem Logarithmus erhält man auch eine Potenzreihendarstellung für beliebige [[w:de:Potenzreihe|Entwicklungspunkte]] <math>z_o=|z_o|\cdot e^{it} \not=0</math> über die [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] mit <math>q=\frac{z-z_o}{-z_o}</math> und <math>|z-z_0| < |z_0|</math>: :<math>f(z)= \frac{1}{z} = \frac{1}{z_o} \cdot \frac{1}{ 1- \underbrace{\frac{z-z_o}{-z_o} }_{=q} } = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1}} }_{=a_n} \cdot (z-z_o)^n </math> === Stammfunktion - Konstante der Taylorreihe === Für den [[w:de:Potenzreihe|Entwicklungspunkt]] <math>z_o=|z_o|\cdot e^{it} \not=0</math> erhält man für einen Zweig des Logarithmus als Stammfunktion von von <math>\tfrac{1}{z}</math> folgende Potenzreihendarstellung auf <math>\overline{D_r(z_0)}</math> mit <math>r< |z_0|</math> und <math>c= \ln(|z_o|) + i\cdot t</math> mit <math>t\in \mathbb{R}</math>: :<math>\log_{_G}(z)= c + \sum_{n=0}^\infty \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1} \cdot (n+1)} \cdot (z-z_o)^{n+1} </math> Ein zugehöriger Zweig von <math>\log_{_G}</math> ist dann z.B. auf dem Gebiet <math>G:= \mathbb{C} \setminus \{ z\in \mathbb{C} \, : \, z=\lambda \cdot z_0 \mbox{ mit } 0 \geq \lambda \in \R \}</math> definiert. === Bemerkung - Eindeutigkeitlemma für Logarithmuszweige === Das [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] zeigt, dass mit der Wahl eines [[einfach zusammenhängend]]en <math>G</math> mit <math>0\notin G</math> und der Festlegung des Imaginärteiles des Logarithmuszweige für ein <math>z_0\in G</math> der gesamte Zwei des Logarithmus eindeutig definiert ist. Ferner wird zwischen dem (reellen) Hauptzweig und dem imaginären Hauptzweig des Logarithmus unterschieden, wobei einmal der negative reelle Achse entfernt wurde und für imaginären Hauptzweig des Logarithmus negative reelle Achse in <math>G</math> fehlt. == Siehe auch == * [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * [[/generalisiert/|generalisierte Logarithmen]] * [[w:de:injektive Funktion|injektive]] bzw. [[w:de:surjektive Funktion|surjektive]] Funktionen * [[Logarithmus]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Lokale_Entwicklung_in_Potenzreihen|Lokale Entwicklung in Potenzreihen]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus Logarithmus] https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus * Datum: 31.7.2025 * [https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis/Logarithm]]</noinclude> [[Kategorie:Funktionentheorie]] 6a839r3g4u78ke1rbhp53pcg4ruae9b 1116407 1116406 2026-10-16T10:18:49Z Bert Niehaus 20843 /* Lerneinheiten */ 1116407 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird der Zusammenhang zwischen der Funktion <math> \exp(z) </math> und <math> \frac{1}{z} </math> sowie die Definition eines Zweiges des Logarithmus und die Notwendigkeit der Einschränkung der Definitions- und Wertebereiche der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] betrachtet, um eine bijektive und holomorphe [[w:de:Umkehrfunktion|Umkehrfunktion]] der Exponentialfunktion zu erhalten. :<math> \exp(z) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{n!} </math> === Lerneinheiten === * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/algebraische Vollständigkeit|algebraische Vollständigkeit]] des Logarithmus * [[/Zweige/|Zweige des Logarithmus]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#Hauptzweig|Hauptzweig des Logarithmus]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#negativer_Hauptzweig|negativer Hauptzweig des Logarithmus]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#imaginaerer_Hauptzweig|imaginärer Hauptzweig des Logarithmus]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#negativer_imaginaerer_Hauptzweig|negativer imaginärer Hauptzweig des Logarithmus]] * [[/Argumentfunktion/|Argumentfunktion und Polarkoordinatendarstellung]] * [[/generalisiert/|generalisierter Logarithmus]] auf beliebigen [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] [[Gebiet (Mathematik)|Gebieten]], * [[/algebraische Vervollständigung/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/logmod|logmod-Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/logmod&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=logmod-Funktion&coursetitle=Logarithmus Foliensatz]) und Periodizität der Exponentionalfunktion, * [[Identitätssatz für Logarithmen]] * [[/Äquivalenzklassen/]] des Logarithmus, * [[/rlog/|rlog-Funktion]], beschreibt wie oft kann man einen Logarithmus als Verkettung "rekursiv" anwenden kann. * [[/rekursiver Logarithmus/]] als Mehrfachverkettung des Logarithmus mit sich selbst. * [[/Eulersche Nullstellen/]] * [[/einfach zusammenhängende LOG-Gebiete/]] === Zusammenhang zwischen Exponentialfunktion und Logarithmus === Die Exponentialfunktion <math> \exp(z) </math> ist eine ganze Funktion, dessen Definitionsbereich <math>\mathbb{D} \subset \mathbb{C}</math> und Wertebereich <math>\mathbb{D} \subset \mathbb{C}</math> einschränken muss, um eine bijektive Abbildung und <math> \exp : \mathbb{D} \to \mathbb{W}</math> zu erhalten, für die man eine Umkehrfunktion definieren kann. === Situation in der reellen Zahlen - Umkehrfunktion von exp(z) === <math> \exp : \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> ist injektiv aber nicht surjektiv. Durch die Einschränkung des Wertebereiches von <math>\mathbb{R}</math> auf <math>\mathbb{R}^{+}</math> ist die Funktion <math> \exp : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^{+}</math> bijektiv und man kann nach einer Umkehrfunktion (den [[w:de:natürlicher Logarithmus|natürliche Logarithmus]]) suchen. Diese Konzept der Suche nach potentiellen Umgekehrfunktionen kann in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] nicht eindeutig beantwortet werden. In den komplexen Zahlen gibt unabhängig von der Wahl der Konstanten einer Stammfunktion von <math>\tfrac{1}{z}</math> unterschiedliche Möglichkeiten Logarithmen zu definieren. == Aufgaben == * '''(A1)''' [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus#aufgabe1|Injektivität und Surjektivität]] * '''(A2)''' [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus#aufgabe2|Stammfunktion als Wegintegrale]] <span id="aufgabe1"></span> === Aufgabe 1 - Umkehrbarkeit der komplexen Exponentialfunktion === Erläutern Sie, warum <math> \exp : \mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> weder [[w:de:injektive Funktion|injektiv]] noch [[w:de:surjektive Funktion|surjektiv]] ist. Schränken Sie den Definitionsbereich und Wertebereich der komplexen [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] so ein, dass <math> \exp : \mathbb{D} \to \mathbb{W}</math> bijektiv ist und eine [[w:de:Umkehrfunktion|Umkehrfunktion]] besitzt! <span id="aufgabe2"></span> === Aufgabe 2 - Stammfunktion von 1/x in den reellen Zahlen === In den reellen Zahlen der Logarithmus z.B. auf den positiven reellen Zahlen die Stammfunktion von <math>\frac{1}{x} </math>. Welche Beziehung besteht zwischen eine Zweig des Logarithmus und einem Wegintegral über die Funktion <math>\frac{1}{x} </math>. === Eigenschaften 1/z im Komplexen === Die holomorphe Funktion <math> f(z)=\frac{1}{z} </math> ist eine rationale Funktion, die auf <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> definiert ist. Sie besitzt aber auf <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> keine Stammfunktion, denn sonst würde das Integral über den Kreis um 0 nicht den Wert <math>2\pi i</math> sondern 0 liefern. <math> f(z)=\frac{1}{z} </math> hat eine Polstelle bei <math> z = 0 </math>. === Einschränkung des Definitions- / Wertebereiches === * '''([[w:de:Injektivität|injektiv]])''' Um eine injektive Abbildung für Definition des Logarithmus zu erhalten, muss man den ''Definitionsbereich'' einschränken, damit die Element aus dem Definitionsbereich entfernt, die auf die gleichen Bildpunkt abgebildet werden. * '''([[w:de:Surjektivität|surjektiv]])''' Um eine surjektive Abbildung für Definition des Logarithmus zu erhalten, muss man den ''Wertebereich'' einschränken und "nicht getroffene" Elemente aus dem Wertebereich zu entfernen <span id="komplex"></span> == Definition des komplexen Logarithmus == Analog zur reellen Definition heißt jede komplexe Zahl <math>w</math> ein ''natürlicher Logarithmus'' von <math>z</math>, wenn <math>w</math> die folgende Gleichung bzgl. einem gegebenen <math>z</math> erfüllt: : <math>\mathrm{e}^w = z</math> === Existenz === Für jedes <math>z \in \mathbb{C} \setminus \{0\}</math> existiert ein solches <math>w</math>. Man stellt dazu das Element <math>z</math> in Polarkoordinaten mit <math>t\in [0,2\pi) </math> wie folgt dar: :<math> z= |z|\cdot e^{it} </math> Dann ist <math>w:=\underbrace{\ln(|z|)}_{\in \mathbb{R}} + i\cdot \underbrace{t}_{\in \mathbb{R}}</math> ein Logarithmus in <math>\mathbb{C}</math>, da mit [[w:de:Potenzgesetze|Potenzgesetzen]] folgende Gleichung gilt: :<math> e^w = e^{\ln(|z|) + i\cdot t} = e^{\ln(|z|)} \cdot e^{i\cdot t} = |z|\cdot e^{it} = z </math> === Eindeutigkeit === Im Unterschied zum reellen Logarithmus ist der komplexe Logarithmus wegen : <math>\mathrm{e}^{2k\pi \mathrm{i}} = 1, \quad k \in \mathbb{Z}</math>, nicht eindeutig bestimmt ist. Hat man also einen Logarithmus <math>w</math> von <math>z</math> gefunden, so ist damit auch : <math>w' =\,\! w + 2k\pi \mathrm{i}</math> mit jeder ganzen Zahl <math>k</math> ein Logarithmus von <math>z</math>, denn es gilt : <math>\mathrm{e}^{w'} = \mathrm{e}^{w + 2k\pi \mathrm{i}} = \mathrm{e}^w \cdot \mathrm{e}^{2k\pi \mathrm{i}} = \mathrm{e}^w \cdot 1 = \mathrm{e}^w = z</math>. === Komplexer Logarithmus als Abbildung === Für die Definition einer Abbildung muss man einen eindeutigen Funktionswerte <math>\ln(z):=w</math> definieren. Um Eindeutigkeit zu erreichen, wählt man aus den möglichen Werten für <math>w</math> solche Werte aus, die in einem geeigneten Streifen der komplexen Zahlenebene liegen. Man kann z.&nbsp;B. den Streifen : <math>\left\{w \in \mathbb{C}: -\pi < \mathfrak{Im}(w) < \pi \right\}</math> verwenden. Ein Wert <math>w</math> aus diesem Streifen heißt ''Hauptwert'' (engl. ''principal value'') des Logarithmus, und man schreibt <math>w = \ln(z)</math>. === Zweige des Logarithmus === Stellt man <math>z = |z| \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i} \arg(z)}</math> in [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|Polarform]] dar, so erhält man eine einfache Darstellung des ''k-ten Zweiges'' der Logarithmusfunktion: : <math>w = \ln |z| + \mathrm{i}\left(\arg(z) + 2k\pi\right), \quad k\in\mathbb{Z}</math> mit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] <math>\arg</math>. Im Summanden <math>\ln |z|</math> wird der bereits oben definierte reelle Logarithmus <math>\ln</math> verwendet. Für <math>k = 0</math> erhält man den ''Hauptzweig'' des komplexen Logarithmus zurück: : <math>\ln z = \ln|z| + \mathrm{i}\arg(z)</math>. === Stetigkeit von Zweigen des Logarithmus === <math>\ln: \mathbb{C}\setminus\{0\} \to \mathbb{C}</math> ist nicht stetig in den Punkten <math>\mathcal{N} := \{z \in \mathbb{C} \, \colon \, (z=x+i\cdot 0) \wedge (0 < x\in \mathbb{R}) \}</math>. Entfernt man jedoch die negative reelle Achse <math>\mathcal{N}</math>, so ist <math>\ln</math> auf dem Gebiet : <math>\mathbb{C}\setminus\{x \in \mathbb{R}: x\leq 0\}</math> stetig und sogar [[w:de:Holomorphe Funktion|holomorph]]. === Algebraisch vollständige Logarithmus === Für den [[Polynomialer Nullstellensatz|polynomialen Nullstellensatz]] === Vergleich - Rechenregeln reeller/komplexer Logarithmus === Für den Hauptzweig des komplexen Logarithmus <math>\ln</math> gelten nicht alle der weiter oben angeführten [[w:de:Logarithmus#Logarithmengesetze|Rechenregeln für die reelle Logarithmusfunktion]]. Sie gelten nur <math>\text{mod } 2\pi \mathrm{i}</math>. ==== Mehrdeutigkeit und Periodizität 1 ==== Diese Mehrdeutigkeit ist eine direkte Folge aus der Periodizität seiner Umkehrfunktion, der komplexen Exponentialfunktion. Es gilt: : <math>\ln(x) + \ln(y) = \ln(x \cdot y)+ 2\pi n \, \,\, n\in \mathbb{Z} </math> ==== Mehrdeutigkeit und Periodizität 2 ==== Der Vergleich von <math>\ln(x) + \ln(y)</math> und <math>\ln(x \cdot y)</math> zeigt: : <math> \begin{array}{rcl} \ln(\underbrace{-1+\mathrm{i}}_{=x}) + \ln(\underbrace{-1+\mathrm{i}}_{=y}) & = & \bigl(\ln\sqrt2+\frac{3\pi}4\mathrm{i}\bigr) + \bigl(\ln\sqrt2+\frac{3\pi}4\mathrm{i}\bigr) \\ & = & \ln2+\frac{3\pi}2\mathrm{i} \end{array} </math> und :<math> \ln\bigl(\underbrace{(-1+\mathrm{i}}_{=x})\cdot (\underbrace{-1+\mathrm{i}}_{=y})\bigr) = \ln(-2\mathrm{i})=\ln2-\frac\pi2\mathrm{i}</math> ==== Mehrdeutigkeit und Periodizität 3 ==== Dies liefert ein Beispiel, dass <math>\ln x + \ln y = \ln(x \cdot y)</math> nicht für beliebige <math>x,y\in \mathbb{C}</math> gilt. Der rechte und linke Term unterscheiden sich, um Vielfache von <math>2\pi</math>, d.h. : <math>\ln x + \ln y = \ln(x \cdot y) + 2\pi n</math> ==== Mehrdeutigkeit und Periodizität 4 ==== Auch die Gleichung : <math>y \cdot \ln (x) = \ln\left({x^y}\right)</math> ist nicht immer erfüllt, wie das Gegenbeispiel : <math>2\pi \mathrm{i} \ln (\mathrm{e}) = 2\pi \mathrm{i} \; \neq \; 0 = \ln 1 = \ln(\mathrm{e}^{2\pi \mathrm{i}})</math> beweist. === Graphen === <gallery widths="180" heights="120" perrow="3" caption="Grafische Darstellung des komplexen Logarithmus"> Ln abs.png|Betrag von <math>\ln z</math> Ln re.png|Realteil von <math>\ln z</math> Ln im.png|Imaginärteil von <math>\ln z</math> </gallery> ==== Hauptzweig ==== Mit dem oben definierten Hauptzweig des komplexen Logarithmus kann man den Logarithmus für negative reellen Zahlen erklären: : <math>\ln(-x) = \ln\left\vert-x\right\vert+ \mathrm{i}\arg(-x) = \ln x + \mathrm{i}\pi, \quad x\in\mathbb{R}^+\ .</math> Das setzt voraus, dass die [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] <math>\arg</math> negativen reellen Zahlen den Wert <math>\pi</math> zuweist. ==== Bemerkung - Argumentfunktion ==== Diese Betrachtungen zeigen, dass die Mehrdeutigkeit des komplexen Logarithmus letztlich auf die Mehrdeutigkeit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] zurückzuführen ist. <span id="Stammfunktion"></span> == Entwicklung in Potenzreihen == Jede auf einem Gebiet <math>G</math> [[holomorphe Funktion]] lässt sich lokal in eine Potenzreihe entwickelt. Durch den Zusammenhang von <math>\tfrac{1}{z}</math> und dem Logarithmus erhält man auch eine Potenzreihendarstellung für beliebige [[w:de:Potenzreihe|Entwicklungspunkte]] <math>z_o=|z_o|\cdot e^{it} \not=0</math> über die [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] mit <math>q=\frac{z-z_o}{-z_o}</math> und <math>|z-z_0| < |z_0|</math>: :<math>f(z)= \frac{1}{z} = \frac{1}{z_o} \cdot \frac{1}{ 1- \underbrace{\frac{z-z_o}{-z_o} }_{=q} } = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1}} }_{=a_n} \cdot (z-z_o)^n </math> === Stammfunktion - Konstante der Taylorreihe === Für den [[w:de:Potenzreihe|Entwicklungspunkt]] <math>z_o=|z_o|\cdot e^{it} \not=0</math> erhält man für einen Zweig des Logarithmus als Stammfunktion von von <math>\tfrac{1}{z}</math> folgende Potenzreihendarstellung auf <math>\overline{D_r(z_0)}</math> mit <math>r< |z_0|</math> und <math>c= \ln(|z_o|) + i\cdot t</math> mit <math>t\in \mathbb{R}</math>: :<math>\log_{_G}(z)= c + \sum_{n=0}^\infty \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1} \cdot (n+1)} \cdot (z-z_o)^{n+1} </math> Ein zugehöriger Zweig von <math>\log_{_G}</math> ist dann z.B. auf dem Gebiet <math>G:= \mathbb{C} \setminus \{ z\in \mathbb{C} \, : \, z=\lambda \cdot z_0 \mbox{ mit } 0 \geq \lambda \in \R \}</math> definiert. === Bemerkung - Eindeutigkeitlemma für Logarithmuszweige === Das [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] zeigt, dass mit der Wahl eines [[einfach zusammenhängend]]en <math>G</math> mit <math>0\notin G</math> und der Festlegung des Imaginärteiles des Logarithmuszweige für ein <math>z_0\in G</math> der gesamte Zwei des Logarithmus eindeutig definiert ist. Ferner wird zwischen dem (reellen) Hauptzweig und dem imaginären Hauptzweig des Logarithmus unterschieden, wobei einmal der negative reelle Achse entfernt wurde und für imaginären Hauptzweig des Logarithmus negative reelle Achse in <math>G</math> fehlt. == Siehe auch == * [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * [[/generalisiert/|generalisierte Logarithmen]] * [[w:de:injektive Funktion|injektive]] bzw. [[w:de:surjektive Funktion|surjektive]] Funktionen * [[Logarithmus]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Lokale_Entwicklung_in_Potenzreihen|Lokale Entwicklung in Potenzreihen]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus Logarithmus] https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus * Datum: 31.7.2025 * [https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis/Logarithm]]</noinclude> [[Kategorie:Funktionentheorie]] 1r2e574twgmf23dd9xxtkaamvb1rgt1 1116408 1116407 2026-10-16T10:19:30Z Bert Niehaus 20843 /* Lerneinheiten */ 1116408 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird der Zusammenhang zwischen der Funktion <math> \exp(z) </math> und <math> \frac{1}{z} </math> sowie die Definition eines Zweiges des Logarithmus und die Notwendigkeit der Einschränkung der Definitions- und Wertebereiche der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] betrachtet, um eine bijektive und holomorphe [[w:de:Umkehrfunktion|Umkehrfunktion]] der Exponentialfunktion zu erhalten. :<math> \exp(z) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{n!} </math> === Lerneinheiten === * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/algebraische Vollständigkeit|algebraische Vollständigkeit]] des Logarithmus * [[/Zweige/|Zweige des Logarithmus]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#Hauptzweig|Hauptzweig des Logarithmus]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#negativer_Hauptzweig|negativer Hauptzweig des Logarithmus]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#imaginaerer_Hauptzweig|imaginärer Hauptzweig des Logarithmus]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#negativer_imaginaerer_Hauptzweig|negativer imaginärer Hauptzweig des Logarithmus]] * [[/Argumentfunktion/|Argumentfunktion und Polarkoordinatendarstellung]] * [[/generalisiert/|generalisierter Logarithmus]] auf beliebigen [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] [[Gebiet (Mathematik)|Gebieten]], * [[/algebraische Vervollständigung/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/logmod|logmod-Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/logmod&author=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&language=de&audioslide=yes&shorttitle=logmod-Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) und Periodizität der Exponentionalfunktion, * [[Identitätssatz für Logarithmen]] * [[/Äquivalenzklassen/]] des Logarithmus, * [[/rlog/|rlog-Funktion]], beschreibt wie oft kann man einen Logarithmus als Verkettung "rekursiv" anwenden kann. * [[/rekursiver Logarithmus/]] als Mehrfachverkettung des Logarithmus mit sich selbst. * [[/Eulersche Nullstellen/]] * [[/einfach zusammenhängende LOG-Gebiete/]] === Zusammenhang zwischen Exponentialfunktion und Logarithmus === Die Exponentialfunktion <math> \exp(z) </math> ist eine ganze Funktion, dessen Definitionsbereich <math>\mathbb{D} \subset \mathbb{C}</math> und Wertebereich <math>\mathbb{D} \subset \mathbb{C}</math> einschränken muss, um eine bijektive Abbildung und <math> \exp : \mathbb{D} \to \mathbb{W}</math> zu erhalten, für die man eine Umkehrfunktion definieren kann. === Situation in der reellen Zahlen - Umkehrfunktion von exp(z) === <math> \exp : \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> ist injektiv aber nicht surjektiv. Durch die Einschränkung des Wertebereiches von <math>\mathbb{R}</math> auf <math>\mathbb{R}^{+}</math> ist die Funktion <math> \exp : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^{+}</math> bijektiv und man kann nach einer Umkehrfunktion (den [[w:de:natürlicher Logarithmus|natürliche Logarithmus]]) suchen. Diese Konzept der Suche nach potentiellen Umgekehrfunktionen kann in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] nicht eindeutig beantwortet werden. In den komplexen Zahlen gibt unabhängig von der Wahl der Konstanten einer Stammfunktion von <math>\tfrac{1}{z}</math> unterschiedliche Möglichkeiten Logarithmen zu definieren. == Aufgaben == * '''(A1)''' [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus#aufgabe1|Injektivität und Surjektivität]] * '''(A2)''' [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus#aufgabe2|Stammfunktion als Wegintegrale]] <span id="aufgabe1"></span> === Aufgabe 1 - Umkehrbarkeit der komplexen Exponentialfunktion === Erläutern Sie, warum <math> \exp : \mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> weder [[w:de:injektive Funktion|injektiv]] noch [[w:de:surjektive Funktion|surjektiv]] ist. Schränken Sie den Definitionsbereich und Wertebereich der komplexen [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] so ein, dass <math> \exp : \mathbb{D} \to \mathbb{W}</math> bijektiv ist und eine [[w:de:Umkehrfunktion|Umkehrfunktion]] besitzt! <span id="aufgabe2"></span> === Aufgabe 2 - Stammfunktion von 1/x in den reellen Zahlen === In den reellen Zahlen der Logarithmus z.B. auf den positiven reellen Zahlen die Stammfunktion von <math>\frac{1}{x} </math>. Welche Beziehung besteht zwischen eine Zweig des Logarithmus und einem Wegintegral über die Funktion <math>\frac{1}{x} </math>. === Eigenschaften 1/z im Komplexen === Die holomorphe Funktion <math> f(z)=\frac{1}{z} </math> ist eine rationale Funktion, die auf <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> definiert ist. Sie besitzt aber auf <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> keine Stammfunktion, denn sonst würde das Integral über den Kreis um 0 nicht den Wert <math>2\pi i</math> sondern 0 liefern. <math> f(z)=\frac{1}{z} </math> hat eine Polstelle bei <math> z = 0 </math>. === Einschränkung des Definitions- / Wertebereiches === * '''([[w:de:Injektivität|injektiv]])''' Um eine injektive Abbildung für Definition des Logarithmus zu erhalten, muss man den ''Definitionsbereich'' einschränken, damit die Element aus dem Definitionsbereich entfernt, die auf die gleichen Bildpunkt abgebildet werden. * '''([[w:de:Surjektivität|surjektiv]])''' Um eine surjektive Abbildung für Definition des Logarithmus zu erhalten, muss man den ''Wertebereich'' einschränken und "nicht getroffene" Elemente aus dem Wertebereich zu entfernen <span id="komplex"></span> == Definition des komplexen Logarithmus == Analog zur reellen Definition heißt jede komplexe Zahl <math>w</math> ein ''natürlicher Logarithmus'' von <math>z</math>, wenn <math>w</math> die folgende Gleichung bzgl. einem gegebenen <math>z</math> erfüllt: : <math>\mathrm{e}^w = z</math> === Existenz === Für jedes <math>z \in \mathbb{C} \setminus \{0\}</math> existiert ein solches <math>w</math>. Man stellt dazu das Element <math>z</math> in Polarkoordinaten mit <math>t\in [0,2\pi) </math> wie folgt dar: :<math> z= |z|\cdot e^{it} </math> Dann ist <math>w:=\underbrace{\ln(|z|)}_{\in \mathbb{R}} + i\cdot \underbrace{t}_{\in \mathbb{R}}</math> ein Logarithmus in <math>\mathbb{C}</math>, da mit [[w:de:Potenzgesetze|Potenzgesetzen]] folgende Gleichung gilt: :<math> e^w = e^{\ln(|z|) + i\cdot t} = e^{\ln(|z|)} \cdot e^{i\cdot t} = |z|\cdot e^{it} = z </math> === Eindeutigkeit === Im Unterschied zum reellen Logarithmus ist der komplexe Logarithmus wegen : <math>\mathrm{e}^{2k\pi \mathrm{i}} = 1, \quad k \in \mathbb{Z}</math>, nicht eindeutig bestimmt ist. Hat man also einen Logarithmus <math>w</math> von <math>z</math> gefunden, so ist damit auch : <math>w' =\,\! w + 2k\pi \mathrm{i}</math> mit jeder ganzen Zahl <math>k</math> ein Logarithmus von <math>z</math>, denn es gilt : <math>\mathrm{e}^{w'} = \mathrm{e}^{w + 2k\pi \mathrm{i}} = \mathrm{e}^w \cdot \mathrm{e}^{2k\pi \mathrm{i}} = \mathrm{e}^w \cdot 1 = \mathrm{e}^w = z</math>. === Komplexer Logarithmus als Abbildung === Für die Definition einer Abbildung muss man einen eindeutigen Funktionswerte <math>\ln(z):=w</math> definieren. Um Eindeutigkeit zu erreichen, wählt man aus den möglichen Werten für <math>w</math> solche Werte aus, die in einem geeigneten Streifen der komplexen Zahlenebene liegen. Man kann z.&nbsp;B. den Streifen : <math>\left\{w \in \mathbb{C}: -\pi < \mathfrak{Im}(w) < \pi \right\}</math> verwenden. Ein Wert <math>w</math> aus diesem Streifen heißt ''Hauptwert'' (engl. ''principal value'') des Logarithmus, und man schreibt <math>w = \ln(z)</math>. === Zweige des Logarithmus === Stellt man <math>z = |z| \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i} \arg(z)}</math> in [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|Polarform]] dar, so erhält man eine einfache Darstellung des ''k-ten Zweiges'' der Logarithmusfunktion: : <math>w = \ln |z| + \mathrm{i}\left(\arg(z) + 2k\pi\right), \quad k\in\mathbb{Z}</math> mit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] <math>\arg</math>. Im Summanden <math>\ln |z|</math> wird der bereits oben definierte reelle Logarithmus <math>\ln</math> verwendet. Für <math>k = 0</math> erhält man den ''Hauptzweig'' des komplexen Logarithmus zurück: : <math>\ln z = \ln|z| + \mathrm{i}\arg(z)</math>. === Stetigkeit von Zweigen des Logarithmus === <math>\ln: \mathbb{C}\setminus\{0\} \to \mathbb{C}</math> ist nicht stetig in den Punkten <math>\mathcal{N} := \{z \in \mathbb{C} \, \colon \, (z=x+i\cdot 0) \wedge (0 < x\in \mathbb{R}) \}</math>. Entfernt man jedoch die negative reelle Achse <math>\mathcal{N}</math>, so ist <math>\ln</math> auf dem Gebiet : <math>\mathbb{C}\setminus\{x \in \mathbb{R}: x\leq 0\}</math> stetig und sogar [[w:de:Holomorphe Funktion|holomorph]]. === Algebraisch vollständige Logarithmus === Für den [[Polynomialer Nullstellensatz|polynomialen Nullstellensatz]] === Vergleich - Rechenregeln reeller/komplexer Logarithmus === Für den Hauptzweig des komplexen Logarithmus <math>\ln</math> gelten nicht alle der weiter oben angeführten [[w:de:Logarithmus#Logarithmengesetze|Rechenregeln für die reelle Logarithmusfunktion]]. Sie gelten nur <math>\text{mod } 2\pi \mathrm{i}</math>. ==== Mehrdeutigkeit und Periodizität 1 ==== Diese Mehrdeutigkeit ist eine direkte Folge aus der Periodizität seiner Umkehrfunktion, der komplexen Exponentialfunktion. Es gilt: : <math>\ln(x) + \ln(y) = \ln(x \cdot y)+ 2\pi n \, \,\, n\in \mathbb{Z} </math> ==== Mehrdeutigkeit und Periodizität 2 ==== Der Vergleich von <math>\ln(x) + \ln(y)</math> und <math>\ln(x \cdot y)</math> zeigt: : <math> \begin{array}{rcl} \ln(\underbrace{-1+\mathrm{i}}_{=x}) + \ln(\underbrace{-1+\mathrm{i}}_{=y}) & = & \bigl(\ln\sqrt2+\frac{3\pi}4\mathrm{i}\bigr) + \bigl(\ln\sqrt2+\frac{3\pi}4\mathrm{i}\bigr) \\ & = & \ln2+\frac{3\pi}2\mathrm{i} \end{array} </math> und :<math> \ln\bigl(\underbrace{(-1+\mathrm{i}}_{=x})\cdot (\underbrace{-1+\mathrm{i}}_{=y})\bigr) = \ln(-2\mathrm{i})=\ln2-\frac\pi2\mathrm{i}</math> ==== Mehrdeutigkeit und Periodizität 3 ==== Dies liefert ein Beispiel, dass <math>\ln x + \ln y = \ln(x \cdot y)</math> nicht für beliebige <math>x,y\in \mathbb{C}</math> gilt. Der rechte und linke Term unterscheiden sich, um Vielfache von <math>2\pi</math>, d.h. : <math>\ln x + \ln y = \ln(x \cdot y) + 2\pi n</math> ==== Mehrdeutigkeit und Periodizität 4 ==== Auch die Gleichung : <math>y \cdot \ln (x) = \ln\left({x^y}\right)</math> ist nicht immer erfüllt, wie das Gegenbeispiel : <math>2\pi \mathrm{i} \ln (\mathrm{e}) = 2\pi \mathrm{i} \; \neq \; 0 = \ln 1 = \ln(\mathrm{e}^{2\pi \mathrm{i}})</math> beweist. === Graphen === <gallery widths="180" heights="120" perrow="3" caption="Grafische Darstellung des komplexen Logarithmus"> Ln abs.png|Betrag von <math>\ln z</math> Ln re.png|Realteil von <math>\ln z</math> Ln im.png|Imaginärteil von <math>\ln z</math> </gallery> ==== Hauptzweig ==== Mit dem oben definierten Hauptzweig des komplexen Logarithmus kann man den Logarithmus für negative reellen Zahlen erklären: : <math>\ln(-x) = \ln\left\vert-x\right\vert+ \mathrm{i}\arg(-x) = \ln x + \mathrm{i}\pi, \quad x\in\mathbb{R}^+\ .</math> Das setzt voraus, dass die [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] <math>\arg</math> negativen reellen Zahlen den Wert <math>\pi</math> zuweist. ==== Bemerkung - Argumentfunktion ==== Diese Betrachtungen zeigen, dass die Mehrdeutigkeit des komplexen Logarithmus letztlich auf die Mehrdeutigkeit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] zurückzuführen ist. <span id="Stammfunktion"></span> == Entwicklung in Potenzreihen == Jede auf einem Gebiet <math>G</math> [[holomorphe Funktion]] lässt sich lokal in eine Potenzreihe entwickelt. Durch den Zusammenhang von <math>\tfrac{1}{z}</math> und dem Logarithmus erhält man auch eine Potenzreihendarstellung für beliebige [[w:de:Potenzreihe|Entwicklungspunkte]] <math>z_o=|z_o|\cdot e^{it} \not=0</math> über die [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] mit <math>q=\frac{z-z_o}{-z_o}</math> und <math>|z-z_0| < |z_0|</math>: :<math>f(z)= \frac{1}{z} = \frac{1}{z_o} \cdot \frac{1}{ 1- \underbrace{\frac{z-z_o}{-z_o} }_{=q} } = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1}} }_{=a_n} \cdot (z-z_o)^n </math> === Stammfunktion - Konstante der Taylorreihe === Für den [[w:de:Potenzreihe|Entwicklungspunkt]] <math>z_o=|z_o|\cdot e^{it} \not=0</math> erhält man für einen Zweig des Logarithmus als Stammfunktion von von <math>\tfrac{1}{z}</math> folgende Potenzreihendarstellung auf <math>\overline{D_r(z_0)}</math> mit <math>r< |z_0|</math> und <math>c= \ln(|z_o|) + i\cdot t</math> mit <math>t\in \mathbb{R}</math>: :<math>\log_{_G}(z)= c + \sum_{n=0}^\infty \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1} \cdot (n+1)} \cdot (z-z_o)^{n+1} </math> Ein zugehöriger Zweig von <math>\log_{_G}</math> ist dann z.B. auf dem Gebiet <math>G:= \mathbb{C} \setminus \{ z\in \mathbb{C} \, : \, z=\lambda \cdot z_0 \mbox{ mit } 0 \geq \lambda \in \R \}</math> definiert. === Bemerkung - Eindeutigkeitlemma für Logarithmuszweige === Das [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] zeigt, dass mit der Wahl eines [[einfach zusammenhängend]]en <math>G</math> mit <math>0\notin G</math> und der Festlegung des Imaginärteiles des Logarithmuszweige für ein <math>z_0\in G</math> der gesamte Zwei des Logarithmus eindeutig definiert ist. Ferner wird zwischen dem (reellen) Hauptzweig und dem imaginären Hauptzweig des Logarithmus unterschieden, wobei einmal der negative reelle Achse entfernt wurde und für imaginären Hauptzweig des Logarithmus negative reelle Achse in <math>G</math> fehlt. == Siehe auch == * [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * [[/generalisiert/|generalisierte Logarithmen]] * [[w:de:injektive Funktion|injektive]] bzw. [[w:de:surjektive Funktion|surjektive]] Funktionen * [[Logarithmus]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Lokale_Entwicklung_in_Potenzreihen|Lokale Entwicklung in Potenzreihen]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus Logarithmus] https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus * Datum: 31.7.2025 * [https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis/Logarithm]]</noinclude> [[Kategorie:Funktionentheorie]] e7vuzabvpu4sp5wu22ny20fpw62vblh 1116409 1116408 2026-10-16T10:20:10Z Bert Niehaus 20843 /* Lerneinheiten */ 1116409 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird der Zusammenhang zwischen der Funktion <math> \exp(z) </math> und <math> \frac{1}{z} </math> sowie die Definition eines Zweiges des Logarithmus und die Notwendigkeit der Einschränkung der Definitions- und Wertebereiche der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] betrachtet, um eine bijektive und holomorphe [[w:de:Umkehrfunktion|Umkehrfunktion]] der Exponentialfunktion zu erhalten. :<math> \exp(z) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{n!} </math> === Lerneinheiten === * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/algebraische Vollständigkeit|algebraische Vollständigkeit]] des Logarithmus * [[/Zweige/|Zweige des Logarithmus]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#Hauptzweig|Hauptzweig des Logarithmus]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#negativer_Hauptzweig|negativer Hauptzweig des Logarithmus]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#imaginaerer_Hauptzweig|imaginärer Hauptzweig des Logarithmus]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#negativer_imaginaerer_Hauptzweig|negativer imaginärer Hauptzweig des Logarithmus]] * [[/Argumentfunktion/|Argumentfunktion und Polarkoordinatendarstellung]] * [[/generalisiert/|generalisierter Logarithmus]] auf beliebigen [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] [[Gebiet (Mathematik)|Gebieten]], * [[/algebraische Vervollständigung/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/logmod|logmod-Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/logmod&author=Logarithmus&language=de&audioslide=yes&shorttitle=logmod-Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) und Periodizität der Exponentionalfunktion, * [[Identitätssatz für Logarithmen]] * [[/Äquivalenzklassen/]] des Logarithmus, * [[/rlog/|rlog-Funktion]], beschreibt wie oft kann man einen Logarithmus als Verkettung "rekursiv" anwenden kann. * [[/rekursiver Logarithmus/]] als Mehrfachverkettung des Logarithmus mit sich selbst. * [[/Eulersche Nullstellen/]] * [[/einfach zusammenhängende LOG-Gebiete/]] === Zusammenhang zwischen Exponentialfunktion und Logarithmus === Die Exponentialfunktion <math> \exp(z) </math> ist eine ganze Funktion, dessen Definitionsbereich <math>\mathbb{D} \subset \mathbb{C}</math> und Wertebereich <math>\mathbb{D} \subset \mathbb{C}</math> einschränken muss, um eine bijektive Abbildung und <math> \exp : \mathbb{D} \to \mathbb{W}</math> zu erhalten, für die man eine Umkehrfunktion definieren kann. === Situation in der reellen Zahlen - Umkehrfunktion von exp(z) === <math> \exp : \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> ist injektiv aber nicht surjektiv. Durch die Einschränkung des Wertebereiches von <math>\mathbb{R}</math> auf <math>\mathbb{R}^{+}</math> ist die Funktion <math> \exp : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^{+}</math> bijektiv und man kann nach einer Umkehrfunktion (den [[w:de:natürlicher Logarithmus|natürliche Logarithmus]]) suchen. Diese Konzept der Suche nach potentiellen Umgekehrfunktionen kann in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] nicht eindeutig beantwortet werden. In den komplexen Zahlen gibt unabhängig von der Wahl der Konstanten einer Stammfunktion von <math>\tfrac{1}{z}</math> unterschiedliche Möglichkeiten Logarithmen zu definieren. == Aufgaben == * '''(A1)''' [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus#aufgabe1|Injektivität und Surjektivität]] * '''(A2)''' [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus#aufgabe2|Stammfunktion als Wegintegrale]] <span id="aufgabe1"></span> === Aufgabe 1 - Umkehrbarkeit der komplexen Exponentialfunktion === Erläutern Sie, warum <math> \exp : \mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> weder [[w:de:injektive Funktion|injektiv]] noch [[w:de:surjektive Funktion|surjektiv]] ist. Schränken Sie den Definitionsbereich und Wertebereich der komplexen [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] so ein, dass <math> \exp : \mathbb{D} \to \mathbb{W}</math> bijektiv ist und eine [[w:de:Umkehrfunktion|Umkehrfunktion]] besitzt! <span id="aufgabe2"></span> === Aufgabe 2 - Stammfunktion von 1/x in den reellen Zahlen === In den reellen Zahlen der Logarithmus z.B. auf den positiven reellen Zahlen die Stammfunktion von <math>\frac{1}{x} </math>. Welche Beziehung besteht zwischen eine Zweig des Logarithmus und einem Wegintegral über die Funktion <math>\frac{1}{x} </math>. === Eigenschaften 1/z im Komplexen === Die holomorphe Funktion <math> f(z)=\frac{1}{z} </math> ist eine rationale Funktion, die auf <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> definiert ist. Sie besitzt aber auf <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> keine Stammfunktion, denn sonst würde das Integral über den Kreis um 0 nicht den Wert <math>2\pi i</math> sondern 0 liefern. <math> f(z)=\frac{1}{z} </math> hat eine Polstelle bei <math> z = 0 </math>. === Einschränkung des Definitions- / Wertebereiches === * '''([[w:de:Injektivität|injektiv]])''' Um eine injektive Abbildung für Definition des Logarithmus zu erhalten, muss man den ''Definitionsbereich'' einschränken, damit die Element aus dem Definitionsbereich entfernt, die auf die gleichen Bildpunkt abgebildet werden. * '''([[w:de:Surjektivität|surjektiv]])''' Um eine surjektive Abbildung für Definition des Logarithmus zu erhalten, muss man den ''Wertebereich'' einschränken und "nicht getroffene" Elemente aus dem Wertebereich zu entfernen <span id="komplex"></span> == Definition des komplexen Logarithmus == Analog zur reellen Definition heißt jede komplexe Zahl <math>w</math> ein ''natürlicher Logarithmus'' von <math>z</math>, wenn <math>w</math> die folgende Gleichung bzgl. einem gegebenen <math>z</math> erfüllt: : <math>\mathrm{e}^w = z</math> === Existenz === Für jedes <math>z \in \mathbb{C} \setminus \{0\}</math> existiert ein solches <math>w</math>. Man stellt dazu das Element <math>z</math> in Polarkoordinaten mit <math>t\in [0,2\pi) </math> wie folgt dar: :<math> z= |z|\cdot e^{it} </math> Dann ist <math>w:=\underbrace{\ln(|z|)}_{\in \mathbb{R}} + i\cdot \underbrace{t}_{\in \mathbb{R}}</math> ein Logarithmus in <math>\mathbb{C}</math>, da mit [[w:de:Potenzgesetze|Potenzgesetzen]] folgende Gleichung gilt: :<math> e^w = e^{\ln(|z|) + i\cdot t} = e^{\ln(|z|)} \cdot e^{i\cdot t} = |z|\cdot e^{it} = z </math> === Eindeutigkeit === Im Unterschied zum reellen Logarithmus ist der komplexe Logarithmus wegen : <math>\mathrm{e}^{2k\pi \mathrm{i}} = 1, \quad k \in \mathbb{Z}</math>, nicht eindeutig bestimmt ist. Hat man also einen Logarithmus <math>w</math> von <math>z</math> gefunden, so ist damit auch : <math>w' =\,\! w + 2k\pi \mathrm{i}</math> mit jeder ganzen Zahl <math>k</math> ein Logarithmus von <math>z</math>, denn es gilt : <math>\mathrm{e}^{w'} = \mathrm{e}^{w + 2k\pi \mathrm{i}} = \mathrm{e}^w \cdot \mathrm{e}^{2k\pi \mathrm{i}} = \mathrm{e}^w \cdot 1 = \mathrm{e}^w = z</math>. === Komplexer Logarithmus als Abbildung === Für die Definition einer Abbildung muss man einen eindeutigen Funktionswerte <math>\ln(z):=w</math> definieren. Um Eindeutigkeit zu erreichen, wählt man aus den möglichen Werten für <math>w</math> solche Werte aus, die in einem geeigneten Streifen der komplexen Zahlenebene liegen. Man kann z.&nbsp;B. den Streifen : <math>\left\{w \in \mathbb{C}: -\pi < \mathfrak{Im}(w) < \pi \right\}</math> verwenden. Ein Wert <math>w</math> aus diesem Streifen heißt ''Hauptwert'' (engl. ''principal value'') des Logarithmus, und man schreibt <math>w = \ln(z)</math>. === Zweige des Logarithmus === Stellt man <math>z = |z| \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i} \arg(z)}</math> in [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|Polarform]] dar, so erhält man eine einfache Darstellung des ''k-ten Zweiges'' der Logarithmusfunktion: : <math>w = \ln |z| + \mathrm{i}\left(\arg(z) + 2k\pi\right), \quad k\in\mathbb{Z}</math> mit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] <math>\arg</math>. Im Summanden <math>\ln |z|</math> wird der bereits oben definierte reelle Logarithmus <math>\ln</math> verwendet. Für <math>k = 0</math> erhält man den ''Hauptzweig'' des komplexen Logarithmus zurück: : <math>\ln z = \ln|z| + \mathrm{i}\arg(z)</math>. === Stetigkeit von Zweigen des Logarithmus === <math>\ln: \mathbb{C}\setminus\{0\} \to \mathbb{C}</math> ist nicht stetig in den Punkten <math>\mathcal{N} := \{z \in \mathbb{C} \, \colon \, (z=x+i\cdot 0) \wedge (0 < x\in \mathbb{R}) \}</math>. Entfernt man jedoch die negative reelle Achse <math>\mathcal{N}</math>, so ist <math>\ln</math> auf dem Gebiet : <math>\mathbb{C}\setminus\{x \in \mathbb{R}: x\leq 0\}</math> stetig und sogar [[w:de:Holomorphe Funktion|holomorph]]. === Algebraisch vollständige Logarithmus === Für den [[Polynomialer Nullstellensatz|polynomialen Nullstellensatz]] === Vergleich - Rechenregeln reeller/komplexer Logarithmus === Für den Hauptzweig des komplexen Logarithmus <math>\ln</math> gelten nicht alle der weiter oben angeführten [[w:de:Logarithmus#Logarithmengesetze|Rechenregeln für die reelle Logarithmusfunktion]]. Sie gelten nur <math>\text{mod } 2\pi \mathrm{i}</math>. ==== Mehrdeutigkeit und Periodizität 1 ==== Diese Mehrdeutigkeit ist eine direkte Folge aus der Periodizität seiner Umkehrfunktion, der komplexen Exponentialfunktion. Es gilt: : <math>\ln(x) + \ln(y) = \ln(x \cdot y)+ 2\pi n \, \,\, n\in \mathbb{Z} </math> ==== Mehrdeutigkeit und Periodizität 2 ==== Der Vergleich von <math>\ln(x) + \ln(y)</math> und <math>\ln(x \cdot y)</math> zeigt: : <math> \begin{array}{rcl} \ln(\underbrace{-1+\mathrm{i}}_{=x}) + \ln(\underbrace{-1+\mathrm{i}}_{=y}) & = & \bigl(\ln\sqrt2+\frac{3\pi}4\mathrm{i}\bigr) + \bigl(\ln\sqrt2+\frac{3\pi}4\mathrm{i}\bigr) \\ & = & \ln2+\frac{3\pi}2\mathrm{i} \end{array} </math> und :<math> \ln\bigl(\underbrace{(-1+\mathrm{i}}_{=x})\cdot (\underbrace{-1+\mathrm{i}}_{=y})\bigr) = \ln(-2\mathrm{i})=\ln2-\frac\pi2\mathrm{i}</math> ==== Mehrdeutigkeit und Periodizität 3 ==== Dies liefert ein Beispiel, dass <math>\ln x + \ln y = \ln(x \cdot y)</math> nicht für beliebige <math>x,y\in \mathbb{C}</math> gilt. Der rechte und linke Term unterscheiden sich, um Vielfache von <math>2\pi</math>, d.h. : <math>\ln x + \ln y = \ln(x \cdot y) + 2\pi n</math> ==== Mehrdeutigkeit und Periodizität 4 ==== Auch die Gleichung : <math>y \cdot \ln (x) = \ln\left({x^y}\right)</math> ist nicht immer erfüllt, wie das Gegenbeispiel : <math>2\pi \mathrm{i} \ln (\mathrm{e}) = 2\pi \mathrm{i} \; \neq \; 0 = \ln 1 = \ln(\mathrm{e}^{2\pi \mathrm{i}})</math> beweist. === Graphen === <gallery widths="180" heights="120" perrow="3" caption="Grafische Darstellung des komplexen Logarithmus"> Ln abs.png|Betrag von <math>\ln z</math> Ln re.png|Realteil von <math>\ln z</math> Ln im.png|Imaginärteil von <math>\ln z</math> </gallery> ==== Hauptzweig ==== Mit dem oben definierten Hauptzweig des komplexen Logarithmus kann man den Logarithmus für negative reellen Zahlen erklären: : <math>\ln(-x) = \ln\left\vert-x\right\vert+ \mathrm{i}\arg(-x) = \ln x + \mathrm{i}\pi, \quad x\in\mathbb{R}^+\ .</math> Das setzt voraus, dass die [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] <math>\arg</math> negativen reellen Zahlen den Wert <math>\pi</math> zuweist. ==== Bemerkung - Argumentfunktion ==== Diese Betrachtungen zeigen, dass die Mehrdeutigkeit des komplexen Logarithmus letztlich auf die Mehrdeutigkeit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] zurückzuführen ist. <span id="Stammfunktion"></span> == Entwicklung in Potenzreihen == Jede auf einem Gebiet <math>G</math> [[holomorphe Funktion]] lässt sich lokal in eine Potenzreihe entwickelt. Durch den Zusammenhang von <math>\tfrac{1}{z}</math> und dem Logarithmus erhält man auch eine Potenzreihendarstellung für beliebige [[w:de:Potenzreihe|Entwicklungspunkte]] <math>z_o=|z_o|\cdot e^{it} \not=0</math> über die [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] mit <math>q=\frac{z-z_o}{-z_o}</math> und <math>|z-z_0| < |z_0|</math>: :<math>f(z)= \frac{1}{z} = \frac{1}{z_o} \cdot \frac{1}{ 1- \underbrace{\frac{z-z_o}{-z_o} }_{=q} } = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1}} }_{=a_n} \cdot (z-z_o)^n </math> === Stammfunktion - Konstante der Taylorreihe === Für den [[w:de:Potenzreihe|Entwicklungspunkt]] <math>z_o=|z_o|\cdot e^{it} \not=0</math> erhält man für einen Zweig des Logarithmus als Stammfunktion von von <math>\tfrac{1}{z}</math> folgende Potenzreihendarstellung auf <math>\overline{D_r(z_0)}</math> mit <math>r< |z_0|</math> und <math>c= \ln(|z_o|) + i\cdot t</math> mit <math>t\in \mathbb{R}</math>: :<math>\log_{_G}(z)= c + \sum_{n=0}^\infty \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1} \cdot (n+1)} \cdot (z-z_o)^{n+1} </math> Ein zugehöriger Zweig von <math>\log_{_G}</math> ist dann z.B. auf dem Gebiet <math>G:= \mathbb{C} \setminus \{ z\in \mathbb{C} \, : \, z=\lambda \cdot z_0 \mbox{ mit } 0 \geq \lambda \in \R \}</math> definiert. === Bemerkung - Eindeutigkeitlemma für Logarithmuszweige === Das [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] zeigt, dass mit der Wahl eines [[einfach zusammenhängend]]en <math>G</math> mit <math>0\notin G</math> und der Festlegung des Imaginärteiles des Logarithmuszweige für ein <math>z_0\in G</math> der gesamte Zwei des Logarithmus eindeutig definiert ist. Ferner wird zwischen dem (reellen) Hauptzweig und dem imaginären Hauptzweig des Logarithmus unterschieden, wobei einmal der negative reelle Achse entfernt wurde und für imaginären Hauptzweig des Logarithmus negative reelle Achse in <math>G</math> fehlt. == Siehe auch == * [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * [[/generalisiert/|generalisierte Logarithmen]] * [[w:de:injektive Funktion|injektive]] bzw. [[w:de:surjektive Funktion|surjektive]] Funktionen * [[Logarithmus]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Lokale_Entwicklung_in_Potenzreihen|Lokale Entwicklung in Potenzreihen]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus Logarithmus] https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus * Datum: 31.7.2025 * [https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis/Logarithm]]</noinclude> [[Kategorie:Funktionentheorie]] 213t62av86stmwmwcne8t32hof35552 1116410 1116409 2026-10-16T10:31:12Z Bert Niehaus 20843 /* Bemerkung - Eindeutigkeitlemma für Logarithmuszweige */ 1116410 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird der Zusammenhang zwischen der Funktion <math> \exp(z) </math> und <math> \frac{1}{z} </math> sowie die Definition eines Zweiges des Logarithmus und die Notwendigkeit der Einschränkung der Definitions- und Wertebereiche der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] betrachtet, um eine bijektive und holomorphe [[w:de:Umkehrfunktion|Umkehrfunktion]] der Exponentialfunktion zu erhalten. :<math> \exp(z) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{n!} </math> === Lerneinheiten === * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/algebraische Vollständigkeit|algebraische Vollständigkeit]] des Logarithmus * [[/Zweige/|Zweige des Logarithmus]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#Hauptzweig|Hauptzweig des Logarithmus]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#negativer_Hauptzweig|negativer Hauptzweig des Logarithmus]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#imaginaerer_Hauptzweig|imaginärer Hauptzweig des Logarithmus]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#negativer_imaginaerer_Hauptzweig|negativer imaginärer Hauptzweig des Logarithmus]] * [[/Argumentfunktion/|Argumentfunktion und Polarkoordinatendarstellung]] * [[/generalisiert/|generalisierter Logarithmus]] auf beliebigen [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] [[Gebiet (Mathematik)|Gebieten]], * [[/algebraische Vervollständigung/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/logmod|logmod-Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/logmod&author=Logarithmus&language=de&audioslide=yes&shorttitle=logmod-Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) und Periodizität der Exponentionalfunktion, * [[Identitätssatz für Logarithmen]] * [[/Äquivalenzklassen/]] des Logarithmus, * [[/rlog/|rlog-Funktion]], beschreibt wie oft kann man einen Logarithmus als Verkettung "rekursiv" anwenden kann. * [[/rekursiver Logarithmus/]] als Mehrfachverkettung des Logarithmus mit sich selbst. * [[/Eulersche Nullstellen/]] * [[/einfach zusammenhängende LOG-Gebiete/]] === Zusammenhang zwischen Exponentialfunktion und Logarithmus === Die Exponentialfunktion <math> \exp(z) </math> ist eine ganze Funktion, dessen Definitionsbereich <math>\mathbb{D} \subset \mathbb{C}</math> und Wertebereich <math>\mathbb{D} \subset \mathbb{C}</math> einschränken muss, um eine bijektive Abbildung und <math> \exp : \mathbb{D} \to \mathbb{W}</math> zu erhalten, für die man eine Umkehrfunktion definieren kann. === Situation in der reellen Zahlen - Umkehrfunktion von exp(z) === <math> \exp : \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> ist injektiv aber nicht surjektiv. Durch die Einschränkung des Wertebereiches von <math>\mathbb{R}</math> auf <math>\mathbb{R}^{+}</math> ist die Funktion <math> \exp : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^{+}</math> bijektiv und man kann nach einer Umkehrfunktion (den [[w:de:natürlicher Logarithmus|natürliche Logarithmus]]) suchen. Diese Konzept der Suche nach potentiellen Umgekehrfunktionen kann in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] nicht eindeutig beantwortet werden. In den komplexen Zahlen gibt unabhängig von der Wahl der Konstanten einer Stammfunktion von <math>\tfrac{1}{z}</math> unterschiedliche Möglichkeiten Logarithmen zu definieren. == Aufgaben == * '''(A1)''' [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus#aufgabe1|Injektivität und Surjektivität]] * '''(A2)''' [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus#aufgabe2|Stammfunktion als Wegintegrale]] <span id="aufgabe1"></span> === Aufgabe 1 - Umkehrbarkeit der komplexen Exponentialfunktion === Erläutern Sie, warum <math> \exp : \mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> weder [[w:de:injektive Funktion|injektiv]] noch [[w:de:surjektive Funktion|surjektiv]] ist. Schränken Sie den Definitionsbereich und Wertebereich der komplexen [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] so ein, dass <math> \exp : \mathbb{D} \to \mathbb{W}</math> bijektiv ist und eine [[w:de:Umkehrfunktion|Umkehrfunktion]] besitzt! <span id="aufgabe2"></span> === Aufgabe 2 - Stammfunktion von 1/x in den reellen Zahlen === In den reellen Zahlen der Logarithmus z.B. auf den positiven reellen Zahlen die Stammfunktion von <math>\frac{1}{x} </math>. Welche Beziehung besteht zwischen eine Zweig des Logarithmus und einem Wegintegral über die Funktion <math>\frac{1}{x} </math>. === Eigenschaften 1/z im Komplexen === Die holomorphe Funktion <math> f(z)=\frac{1}{z} </math> ist eine rationale Funktion, die auf <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> definiert ist. Sie besitzt aber auf <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> keine Stammfunktion, denn sonst würde das Integral über den Kreis um 0 nicht den Wert <math>2\pi i</math> sondern 0 liefern. <math> f(z)=\frac{1}{z} </math> hat eine Polstelle bei <math> z = 0 </math>. === Einschränkung des Definitions- / Wertebereiches === * '''([[w:de:Injektivität|injektiv]])''' Um eine injektive Abbildung für Definition des Logarithmus zu erhalten, muss man den ''Definitionsbereich'' einschränken, damit die Element aus dem Definitionsbereich entfernt, die auf die gleichen Bildpunkt abgebildet werden. * '''([[w:de:Surjektivität|surjektiv]])''' Um eine surjektive Abbildung für Definition des Logarithmus zu erhalten, muss man den ''Wertebereich'' einschränken und "nicht getroffene" Elemente aus dem Wertebereich zu entfernen <span id="komplex"></span> == Definition des komplexen Logarithmus == Analog zur reellen Definition heißt jede komplexe Zahl <math>w</math> ein ''natürlicher Logarithmus'' von <math>z</math>, wenn <math>w</math> die folgende Gleichung bzgl. einem gegebenen <math>z</math> erfüllt: : <math>\mathrm{e}^w = z</math> === Existenz === Für jedes <math>z \in \mathbb{C} \setminus \{0\}</math> existiert ein solches <math>w</math>. Man stellt dazu das Element <math>z</math> in Polarkoordinaten mit <math>t\in [0,2\pi) </math> wie folgt dar: :<math> z= |z|\cdot e^{it} </math> Dann ist <math>w:=\underbrace{\ln(|z|)}_{\in \mathbb{R}} + i\cdot \underbrace{t}_{\in \mathbb{R}}</math> ein Logarithmus in <math>\mathbb{C}</math>, da mit [[w:de:Potenzgesetze|Potenzgesetzen]] folgende Gleichung gilt: :<math> e^w = e^{\ln(|z|) + i\cdot t} = e^{\ln(|z|)} \cdot e^{i\cdot t} = |z|\cdot e^{it} = z </math> === Eindeutigkeit === Im Unterschied zum reellen Logarithmus ist der komplexe Logarithmus wegen : <math>\mathrm{e}^{2k\pi \mathrm{i}} = 1, \quad k \in \mathbb{Z}</math>, nicht eindeutig bestimmt ist. Hat man also einen Logarithmus <math>w</math> von <math>z</math> gefunden, so ist damit auch : <math>w' =\,\! w + 2k\pi \mathrm{i}</math> mit jeder ganzen Zahl <math>k</math> ein Logarithmus von <math>z</math>, denn es gilt : <math>\mathrm{e}^{w'} = \mathrm{e}^{w + 2k\pi \mathrm{i}} = \mathrm{e}^w \cdot \mathrm{e}^{2k\pi \mathrm{i}} = \mathrm{e}^w \cdot 1 = \mathrm{e}^w = z</math>. === Komplexer Logarithmus als Abbildung === Für die Definition einer Abbildung muss man einen eindeutigen Funktionswerte <math>\ln(z):=w</math> definieren. Um Eindeutigkeit zu erreichen, wählt man aus den möglichen Werten für <math>w</math> solche Werte aus, die in einem geeigneten Streifen der komplexen Zahlenebene liegen. Man kann z.&nbsp;B. den Streifen : <math>\left\{w \in \mathbb{C}: -\pi < \mathfrak{Im}(w) < \pi \right\}</math> verwenden. Ein Wert <math>w</math> aus diesem Streifen heißt ''Hauptwert'' (engl. ''principal value'') des Logarithmus, und man schreibt <math>w = \ln(z)</math>. === Zweige des Logarithmus === Stellt man <math>z = |z| \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i} \arg(z)}</math> in [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|Polarform]] dar, so erhält man eine einfache Darstellung des ''k-ten Zweiges'' der Logarithmusfunktion: : <math>w = \ln |z| + \mathrm{i}\left(\arg(z) + 2k\pi\right), \quad k\in\mathbb{Z}</math> mit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] <math>\arg</math>. Im Summanden <math>\ln |z|</math> wird der bereits oben definierte reelle Logarithmus <math>\ln</math> verwendet. Für <math>k = 0</math> erhält man den ''Hauptzweig'' des komplexen Logarithmus zurück: : <math>\ln z = \ln|z| + \mathrm{i}\arg(z)</math>. === Stetigkeit von Zweigen des Logarithmus === <math>\ln: \mathbb{C}\setminus\{0\} \to \mathbb{C}</math> ist nicht stetig in den Punkten <math>\mathcal{N} := \{z \in \mathbb{C} \, \colon \, (z=x+i\cdot 0) \wedge (0 < x\in \mathbb{R}) \}</math>. Entfernt man jedoch die negative reelle Achse <math>\mathcal{N}</math>, so ist <math>\ln</math> auf dem Gebiet : <math>\mathbb{C}\setminus\{x \in \mathbb{R}: x\leq 0\}</math> stetig und sogar [[w:de:Holomorphe Funktion|holomorph]]. === Algebraisch vollständige Logarithmus === Für den [[Polynomialer Nullstellensatz|polynomialen Nullstellensatz]] === Vergleich - Rechenregeln reeller/komplexer Logarithmus === Für den Hauptzweig des komplexen Logarithmus <math>\ln</math> gelten nicht alle der weiter oben angeführten [[w:de:Logarithmus#Logarithmengesetze|Rechenregeln für die reelle Logarithmusfunktion]]. Sie gelten nur <math>\text{mod } 2\pi \mathrm{i}</math>. ==== Mehrdeutigkeit und Periodizität 1 ==== Diese Mehrdeutigkeit ist eine direkte Folge aus der Periodizität seiner Umkehrfunktion, der komplexen Exponentialfunktion. Es gilt: : <math>\ln(x) + \ln(y) = \ln(x \cdot y)+ 2\pi n \, \,\, n\in \mathbb{Z} </math> ==== Mehrdeutigkeit und Periodizität 2 ==== Der Vergleich von <math>\ln(x) + \ln(y)</math> und <math>\ln(x \cdot y)</math> zeigt: : <math> \begin{array}{rcl} \ln(\underbrace{-1+\mathrm{i}}_{=x}) + \ln(\underbrace{-1+\mathrm{i}}_{=y}) & = & \bigl(\ln\sqrt2+\frac{3\pi}4\mathrm{i}\bigr) + \bigl(\ln\sqrt2+\frac{3\pi}4\mathrm{i}\bigr) \\ & = & \ln2+\frac{3\pi}2\mathrm{i} \end{array} </math> und :<math> \ln\bigl(\underbrace{(-1+\mathrm{i}}_{=x})\cdot (\underbrace{-1+\mathrm{i}}_{=y})\bigr) = \ln(-2\mathrm{i})=\ln2-\frac\pi2\mathrm{i}</math> ==== Mehrdeutigkeit und Periodizität 3 ==== Dies liefert ein Beispiel, dass <math>\ln x + \ln y = \ln(x \cdot y)</math> nicht für beliebige <math>x,y\in \mathbb{C}</math> gilt. Der rechte und linke Term unterscheiden sich, um Vielfache von <math>2\pi</math>, d.h. : <math>\ln x + \ln y = \ln(x \cdot y) + 2\pi n</math> ==== Mehrdeutigkeit und Periodizität 4 ==== Auch die Gleichung : <math>y \cdot \ln (x) = \ln\left({x^y}\right)</math> ist nicht immer erfüllt, wie das Gegenbeispiel : <math>2\pi \mathrm{i} \ln (\mathrm{e}) = 2\pi \mathrm{i} \; \neq \; 0 = \ln 1 = \ln(\mathrm{e}^{2\pi \mathrm{i}})</math> beweist. === Graphen === <gallery widths="180" heights="120" perrow="3" caption="Grafische Darstellung des komplexen Logarithmus"> Ln abs.png|Betrag von <math>\ln z</math> Ln re.png|Realteil von <math>\ln z</math> Ln im.png|Imaginärteil von <math>\ln z</math> </gallery> ==== Hauptzweig ==== Mit dem oben definierten Hauptzweig des komplexen Logarithmus kann man den Logarithmus für negative reellen Zahlen erklären: : <math>\ln(-x) = \ln\left\vert-x\right\vert+ \mathrm{i}\arg(-x) = \ln x + \mathrm{i}\pi, \quad x\in\mathbb{R}^+\ .</math> Das setzt voraus, dass die [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] <math>\arg</math> negativen reellen Zahlen den Wert <math>\pi</math> zuweist. ==== Bemerkung - Argumentfunktion ==== Diese Betrachtungen zeigen, dass die Mehrdeutigkeit des komplexen Logarithmus letztlich auf die Mehrdeutigkeit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] zurückzuführen ist. <span id="Stammfunktion"></span> == Entwicklung in Potenzreihen == Jede auf einem Gebiet <math>G</math> [[holomorphe Funktion]] lässt sich lokal in eine Potenzreihe entwickelt. Durch den Zusammenhang von <math>\tfrac{1}{z}</math> und dem Logarithmus erhält man auch eine Potenzreihendarstellung für beliebige [[w:de:Potenzreihe|Entwicklungspunkte]] <math>z_o=|z_o|\cdot e^{it} \not=0</math> über die [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] mit <math>q=\frac{z-z_o}{-z_o}</math> und <math>|z-z_0| < |z_0|</math>: :<math>f(z)= \frac{1}{z} = \frac{1}{z_o} \cdot \frac{1}{ 1- \underbrace{\frac{z-z_o}{-z_o} }_{=q} } = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1}} }_{=a_n} \cdot (z-z_o)^n </math> === Stammfunktion - Konstante der Taylorreihe === Für den [[w:de:Potenzreihe|Entwicklungspunkt]] <math>z_o=|z_o|\cdot e^{it} \not=0</math> erhält man für einen Zweig des Logarithmus als Stammfunktion von von <math>\tfrac{1}{z}</math> folgende Potenzreihendarstellung auf <math>\overline{D_r(z_0)}</math> mit <math>r< |z_0|</math> und <math>c= \ln(|z_o|) + i\cdot t</math> mit <math>t\in \mathbb{R}</math>: :<math>\log_{_G}(z)= c + \sum_{n=0}^\infty \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1} \cdot (n+1)} \cdot (z-z_o)^{n+1} </math> Ein zugehöriger Zweig von <math>\log_{_G}</math> ist dann z.B. auf dem Gebiet <math>G:= \mathbb{C} \setminus \{ z\in \mathbb{C} \, : \, z=\lambda \cdot z_0 \mbox{ mit } 0 \geq \lambda \in \R \}</math> definiert. === Bemerkung - Eindeutigkeitlemma für Logarithmuszweige === Das [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] zeigt, dass in einem Gebiet <math>G</math> mit <math>0\notin G</math> eine Teilmenge <math>G_0</math> finden kann, die die Spur eine konkreten gegebenen [[w:de:injektive Funktion|injektiven]] Weges <math>\gamma</math> überdecken, wobei <math>G_0</math> einfach zusammenhängend ist. Mit der Wahl eines [[einfach zusammenhängend]]en <math>G</math> als gegebenes Gebiet mit <math>0\notin G</math> und der Festlegung des Imaginärteiles des Logarithmuszweige für ein bestimmtes <math>z_0\in G</math> ist der gesamte [[Zweig des Logarithmus]] bereits eindeutig auf <math>G</math> definiert. [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma]] definiert damit auf Teilmengen <math>G_0</math> eines '''nicht notwendigerweise''' [[einfach zusammenhängend]]en <math>G</math> einen [[Zweig des Logarithmus]], während beim Identitätssatz das gegebene Gebiet bereits [[einfach zusammenhängend]] ist mit <math>0\notin G</math>. == Siehe auch == * [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * [[/generalisiert/|generalisierte Logarithmen]] * [[w:de:injektive Funktion|injektive]] bzw. [[w:de:surjektive Funktion|surjektive]] Funktionen * [[Logarithmus]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Lokale_Entwicklung_in_Potenzreihen|Lokale Entwicklung in Potenzreihen]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus Logarithmus] https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus * Datum: 31.7.2025 * [https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis/Logarithm]]</noinclude> [[Kategorie:Funktionentheorie]] m3rdk1bw2ecp8vohrgo9ga7q6r6mw1h 1116411 1116410 2026-10-16T10:33:45Z Bert Niehaus 20843 /* Hauptzweig */ 1116411 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird der Zusammenhang zwischen der Funktion <math> \exp(z) </math> und <math> \frac{1}{z} </math> sowie die Definition eines Zweiges des Logarithmus und die Notwendigkeit der Einschränkung der Definitions- und Wertebereiche der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] betrachtet, um eine bijektive und holomorphe [[w:de:Umkehrfunktion|Umkehrfunktion]] der Exponentialfunktion zu erhalten. :<math> \exp(z) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{n!} </math> === Lerneinheiten === * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/algebraische Vollständigkeit|algebraische Vollständigkeit]] des Logarithmus * [[/Zweige/|Zweige des Logarithmus]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#Hauptzweig|Hauptzweig des Logarithmus]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#negativer_Hauptzweig|negativer Hauptzweig des Logarithmus]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#imaginaerer_Hauptzweig|imaginärer Hauptzweig des Logarithmus]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#negativer_imaginaerer_Hauptzweig|negativer imaginärer Hauptzweig des Logarithmus]] * [[/Argumentfunktion/|Argumentfunktion und Polarkoordinatendarstellung]] * [[/generalisiert/|generalisierter Logarithmus]] auf beliebigen [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] [[Gebiet (Mathematik)|Gebieten]], * [[/algebraische Vervollständigung/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/logmod|logmod-Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/logmod&author=Logarithmus&language=de&audioslide=yes&shorttitle=logmod-Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) und Periodizität der Exponentionalfunktion, * [[Identitätssatz für Logarithmen]] * [[/Äquivalenzklassen/]] des Logarithmus, * [[/rlog/|rlog-Funktion]], beschreibt wie oft kann man einen Logarithmus als Verkettung "rekursiv" anwenden kann. * [[/rekursiver Logarithmus/]] als Mehrfachverkettung des Logarithmus mit sich selbst. * [[/Eulersche Nullstellen/]] * [[/einfach zusammenhängende LOG-Gebiete/]] === Zusammenhang zwischen Exponentialfunktion und Logarithmus === Die Exponentialfunktion <math> \exp(z) </math> ist eine ganze Funktion, dessen Definitionsbereich <math>\mathbb{D} \subset \mathbb{C}</math> und Wertebereich <math>\mathbb{D} \subset \mathbb{C}</math> einschränken muss, um eine bijektive Abbildung und <math> \exp : \mathbb{D} \to \mathbb{W}</math> zu erhalten, für die man eine Umkehrfunktion definieren kann. === Situation in der reellen Zahlen - Umkehrfunktion von exp(z) === <math> \exp : \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> ist injektiv aber nicht surjektiv. Durch die Einschränkung des Wertebereiches von <math>\mathbb{R}</math> auf <math>\mathbb{R}^{+}</math> ist die Funktion <math> \exp : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^{+}</math> bijektiv und man kann nach einer Umkehrfunktion (den [[w:de:natürlicher Logarithmus|natürliche Logarithmus]]) suchen. Diese Konzept der Suche nach potentiellen Umgekehrfunktionen kann in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] nicht eindeutig beantwortet werden. In den komplexen Zahlen gibt unabhängig von der Wahl der Konstanten einer Stammfunktion von <math>\tfrac{1}{z}</math> unterschiedliche Möglichkeiten Logarithmen zu definieren. == Aufgaben == * '''(A1)''' [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus#aufgabe1|Injektivität und Surjektivität]] * '''(A2)''' [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus#aufgabe2|Stammfunktion als Wegintegrale]] <span id="aufgabe1"></span> === Aufgabe 1 - Umkehrbarkeit der komplexen Exponentialfunktion === Erläutern Sie, warum <math> \exp : \mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> weder [[w:de:injektive Funktion|injektiv]] noch [[w:de:surjektive Funktion|surjektiv]] ist. Schränken Sie den Definitionsbereich und Wertebereich der komplexen [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] so ein, dass <math> \exp : \mathbb{D} \to \mathbb{W}</math> bijektiv ist und eine [[w:de:Umkehrfunktion|Umkehrfunktion]] besitzt! <span id="aufgabe2"></span> === Aufgabe 2 - Stammfunktion von 1/x in den reellen Zahlen === In den reellen Zahlen der Logarithmus z.B. auf den positiven reellen Zahlen die Stammfunktion von <math>\frac{1}{x} </math>. Welche Beziehung besteht zwischen eine Zweig des Logarithmus und einem Wegintegral über die Funktion <math>\frac{1}{x} </math>. === Eigenschaften 1/z im Komplexen === Die holomorphe Funktion <math> f(z)=\frac{1}{z} </math> ist eine rationale Funktion, die auf <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> definiert ist. Sie besitzt aber auf <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> keine Stammfunktion, denn sonst würde das Integral über den Kreis um 0 nicht den Wert <math>2\pi i</math> sondern 0 liefern. <math> f(z)=\frac{1}{z} </math> hat eine Polstelle bei <math> z = 0 </math>. === Einschränkung des Definitions- / Wertebereiches === * '''([[w:de:Injektivität|injektiv]])''' Um eine injektive Abbildung für Definition des Logarithmus zu erhalten, muss man den ''Definitionsbereich'' einschränken, damit die Element aus dem Definitionsbereich entfernt, die auf die gleichen Bildpunkt abgebildet werden. * '''([[w:de:Surjektivität|surjektiv]])''' Um eine surjektive Abbildung für Definition des Logarithmus zu erhalten, muss man den ''Wertebereich'' einschränken und "nicht getroffene" Elemente aus dem Wertebereich zu entfernen <span id="komplex"></span> == Definition des komplexen Logarithmus == Analog zur reellen Definition heißt jede komplexe Zahl <math>w</math> ein ''natürlicher Logarithmus'' von <math>z</math>, wenn <math>w</math> die folgende Gleichung bzgl. einem gegebenen <math>z</math> erfüllt: : <math>\mathrm{e}^w = z</math> === Existenz === Für jedes <math>z \in \mathbb{C} \setminus \{0\}</math> existiert ein solches <math>w</math>. Man stellt dazu das Element <math>z</math> in Polarkoordinaten mit <math>t\in [0,2\pi) </math> wie folgt dar: :<math> z= |z|\cdot e^{it} </math> Dann ist <math>w:=\underbrace{\ln(|z|)}_{\in \mathbb{R}} + i\cdot \underbrace{t}_{\in \mathbb{R}}</math> ein Logarithmus in <math>\mathbb{C}</math>, da mit [[w:de:Potenzgesetze|Potenzgesetzen]] folgende Gleichung gilt: :<math> e^w = e^{\ln(|z|) + i\cdot t} = e^{\ln(|z|)} \cdot e^{i\cdot t} = |z|\cdot e^{it} = z </math> === Eindeutigkeit === Im Unterschied zum reellen Logarithmus ist der komplexe Logarithmus wegen : <math>\mathrm{e}^{2k\pi \mathrm{i}} = 1, \quad k \in \mathbb{Z}</math>, nicht eindeutig bestimmt ist. Hat man also einen Logarithmus <math>w</math> von <math>z</math> gefunden, so ist damit auch : <math>w' =\,\! w + 2k\pi \mathrm{i}</math> mit jeder ganzen Zahl <math>k</math> ein Logarithmus von <math>z</math>, denn es gilt : <math>\mathrm{e}^{w'} = \mathrm{e}^{w + 2k\pi \mathrm{i}} = \mathrm{e}^w \cdot \mathrm{e}^{2k\pi \mathrm{i}} = \mathrm{e}^w \cdot 1 = \mathrm{e}^w = z</math>. === Komplexer Logarithmus als Abbildung === Für die Definition einer Abbildung muss man einen eindeutigen Funktionswerte <math>\ln(z):=w</math> definieren. Um Eindeutigkeit zu erreichen, wählt man aus den möglichen Werten für <math>w</math> solche Werte aus, die in einem geeigneten Streifen der komplexen Zahlenebene liegen. Man kann z.&nbsp;B. den Streifen : <math>\left\{w \in \mathbb{C}: -\pi < \mathfrak{Im}(w) < \pi \right\}</math> verwenden. Ein Wert <math>w</math> aus diesem Streifen heißt ''Hauptwert'' (engl. ''principal value'') des Logarithmus, und man schreibt <math>w = \ln(z)</math>. === Zweige des Logarithmus === Stellt man <math>z = |z| \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i} \arg(z)}</math> in [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|Polarform]] dar, so erhält man eine einfache Darstellung des ''k-ten Zweiges'' der Logarithmusfunktion: : <math>w = \ln |z| + \mathrm{i}\left(\arg(z) + 2k\pi\right), \quad k\in\mathbb{Z}</math> mit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] <math>\arg</math>. Im Summanden <math>\ln |z|</math> wird der bereits oben definierte reelle Logarithmus <math>\ln</math> verwendet. Für <math>k = 0</math> erhält man den ''Hauptzweig'' des komplexen Logarithmus zurück: : <math>\ln z = \ln|z| + \mathrm{i}\arg(z)</math>. === Stetigkeit von Zweigen des Logarithmus === <math>\ln: \mathbb{C}\setminus\{0\} \to \mathbb{C}</math> ist nicht stetig in den Punkten <math>\mathcal{N} := \{z \in \mathbb{C} \, \colon \, (z=x+i\cdot 0) \wedge (0 < x\in \mathbb{R}) \}</math>. Entfernt man jedoch die negative reelle Achse <math>\mathcal{N}</math>, so ist <math>\ln</math> auf dem Gebiet : <math>\mathbb{C}\setminus\{x \in \mathbb{R}: x\leq 0\}</math> stetig und sogar [[w:de:Holomorphe Funktion|holomorph]]. === Algebraisch vollständige Logarithmus === Für den [[Polynomialer Nullstellensatz|polynomialen Nullstellensatz]] === Vergleich - Rechenregeln reeller/komplexer Logarithmus === Für den Hauptzweig des komplexen Logarithmus <math>\ln</math> gelten nicht alle der weiter oben angeführten [[w:de:Logarithmus#Logarithmengesetze|Rechenregeln für die reelle Logarithmusfunktion]]. Sie gelten nur <math>\text{mod } 2\pi \mathrm{i}</math>. ==== Mehrdeutigkeit und Periodizität 1 ==== Diese Mehrdeutigkeit ist eine direkte Folge aus der Periodizität seiner Umkehrfunktion, der komplexen Exponentialfunktion. Es gilt: : <math>\ln(x) + \ln(y) = \ln(x \cdot y)+ 2\pi n \, \,\, n\in \mathbb{Z} </math> ==== Mehrdeutigkeit und Periodizität 2 ==== Der Vergleich von <math>\ln(x) + \ln(y)</math> und <math>\ln(x \cdot y)</math> zeigt: : <math> \begin{array}{rcl} \ln(\underbrace{-1+\mathrm{i}}_{=x}) + \ln(\underbrace{-1+\mathrm{i}}_{=y}) & = & \bigl(\ln\sqrt2+\frac{3\pi}4\mathrm{i}\bigr) + \bigl(\ln\sqrt2+\frac{3\pi}4\mathrm{i}\bigr) \\ & = & \ln2+\frac{3\pi}2\mathrm{i} \end{array} </math> und :<math> \ln\bigl(\underbrace{(-1+\mathrm{i}}_{=x})\cdot (\underbrace{-1+\mathrm{i}}_{=y})\bigr) = \ln(-2\mathrm{i})=\ln2-\frac\pi2\mathrm{i}</math> ==== Mehrdeutigkeit und Periodizität 3 ==== Dies liefert ein Beispiel, dass <math>\ln x + \ln y = \ln(x \cdot y)</math> nicht für beliebige <math>x,y\in \mathbb{C}</math> gilt. Der rechte und linke Term unterscheiden sich, um Vielfache von <math>2\pi</math>, d.h. : <math>\ln x + \ln y = \ln(x \cdot y) + 2\pi n</math> ==== Mehrdeutigkeit und Periodizität 4 ==== Auch die Gleichung : <math>y \cdot \ln (x) = \ln\left({x^y}\right)</math> ist nicht immer erfüllt, wie das Gegenbeispiel : <math>2\pi \mathrm{i} \ln (\mathrm{e}) = 2\pi \mathrm{i} \; \neq \; 0 = \ln 1 = \ln(\mathrm{e}^{2\pi \mathrm{i}})</math> beweist. === Graphen === <gallery widths="180" heights="120" perrow="3" caption="Grafische Darstellung des komplexen Logarithmus"> Ln abs.png|Betrag von <math>\ln z</math> Ln re.png|Realteil von <math>\ln z</math> Ln im.png|Imaginärteil von <math>\ln z</math> </gallery> ==== Hauptzweig - negative Zahlen ==== Mit dem oben definierten [[Hauptzweig des Logarithmus|Hauptzweig des komplexen Logarithmus]] kann man den Logarithmus für negative reellen Zahlen erklären: : <math>\log_{G_{1}}(-x) = \ln\left\vert-x\right\vert+ \mathrm{i}\arg(-x) = \ln x + \mathrm{i}\pi, \quad x\in\mathbb{R}^+\ .</math> Das setzt voraus, dass die [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] <math>\arg</math> negativen reellen Zahlen den Wert <math>\pi</math> zuweist. ==== Bemerkung - Argumentfunktion ==== Diese Betrachtungen zeigen, dass die Mehrdeutigkeit des komplexen Logarithmus letztlich auf die Mehrdeutigkeit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] zurückzuführen ist. <span id="Stammfunktion"></span> == Entwicklung in Potenzreihen == Jede auf einem Gebiet <math>G</math> [[holomorphe Funktion]] lässt sich lokal in eine Potenzreihe entwickelt. Durch den Zusammenhang von <math>\tfrac{1}{z}</math> und dem Logarithmus erhält man auch eine Potenzreihendarstellung für beliebige [[w:de:Potenzreihe|Entwicklungspunkte]] <math>z_o=|z_o|\cdot e^{it} \not=0</math> über die [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] mit <math>q=\frac{z-z_o}{-z_o}</math> und <math>|z-z_0| < |z_0|</math>: :<math>f(z)= \frac{1}{z} = \frac{1}{z_o} \cdot \frac{1}{ 1- \underbrace{\frac{z-z_o}{-z_o} }_{=q} } = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1}} }_{=a_n} \cdot (z-z_o)^n </math> === Stammfunktion - Konstante der Taylorreihe === Für den [[w:de:Potenzreihe|Entwicklungspunkt]] <math>z_o=|z_o|\cdot e^{it} \not=0</math> erhält man für einen Zweig des Logarithmus als Stammfunktion von von <math>\tfrac{1}{z}</math> folgende Potenzreihendarstellung auf <math>\overline{D_r(z_0)}</math> mit <math>r< |z_0|</math> und <math>c= \ln(|z_o|) + i\cdot t</math> mit <math>t\in \mathbb{R}</math>: :<math>\log_{_G}(z)= c + \sum_{n=0}^\infty \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1} \cdot (n+1)} \cdot (z-z_o)^{n+1} </math> Ein zugehöriger Zweig von <math>\log_{_G}</math> ist dann z.B. auf dem Gebiet <math>G:= \mathbb{C} \setminus \{ z\in \mathbb{C} \, : \, z=\lambda \cdot z_0 \mbox{ mit } 0 \geq \lambda \in \R \}</math> definiert. === Bemerkung - Eindeutigkeitlemma für Logarithmuszweige === Das [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] zeigt, dass in einem Gebiet <math>G</math> mit <math>0\notin G</math> eine Teilmenge <math>G_0</math> finden kann, die die Spur eine konkreten gegebenen [[w:de:injektive Funktion|injektiven]] Weges <math>\gamma</math> überdecken, wobei <math>G_0</math> einfach zusammenhängend ist. Mit der Wahl eines [[einfach zusammenhängend]]en <math>G</math> als gegebenes Gebiet mit <math>0\notin G</math> und der Festlegung des Imaginärteiles des Logarithmuszweige für ein bestimmtes <math>z_0\in G</math> ist der gesamte [[Zweig des Logarithmus]] bereits eindeutig auf <math>G</math> definiert. [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma]] definiert damit auf Teilmengen <math>G_0</math> eines '''nicht notwendigerweise''' [[einfach zusammenhängend]]en <math>G</math> einen [[Zweig des Logarithmus]], während beim Identitätssatz das gegebene Gebiet bereits [[einfach zusammenhängend]] ist mit <math>0\notin G</math>. == Siehe auch == * [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * [[/generalisiert/|generalisierte Logarithmen]] * [[w:de:injektive Funktion|injektive]] bzw. [[w:de:surjektive Funktion|surjektive]] Funktionen * [[Logarithmus]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Lokale_Entwicklung_in_Potenzreihen|Lokale Entwicklung in Potenzreihen]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus Logarithmus] https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus * Datum: 31.7.2025 * [https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis/Logarithm]]</noinclude> [[Kategorie:Funktionentheorie]] o76b99vx58q2xvmat97ljx0w7vllhd4 1116412 1116411 2026-10-16T10:37:37Z Bert Niehaus 20843 /* Mehrdeutigkeit und Periodizität 2 */ 1116412 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird der Zusammenhang zwischen der Funktion <math> \exp(z) </math> und <math> \frac{1}{z} </math> sowie die Definition eines Zweiges des Logarithmus und die Notwendigkeit der Einschränkung der Definitions- und Wertebereiche der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] betrachtet, um eine bijektive und holomorphe [[w:de:Umkehrfunktion|Umkehrfunktion]] der Exponentialfunktion zu erhalten. :<math> \exp(z) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{n!} </math> === Lerneinheiten === * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/algebraische Vollständigkeit|algebraische Vollständigkeit]] des Logarithmus * [[/Zweige/|Zweige des Logarithmus]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#Hauptzweig|Hauptzweig des Logarithmus]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#negativer_Hauptzweig|negativer Hauptzweig des Logarithmus]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#imaginaerer_Hauptzweig|imaginärer Hauptzweig des Logarithmus]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#negativer_imaginaerer_Hauptzweig|negativer imaginärer Hauptzweig des Logarithmus]] * [[/Argumentfunktion/|Argumentfunktion und Polarkoordinatendarstellung]] * [[/generalisiert/|generalisierter Logarithmus]] auf beliebigen [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] [[Gebiet (Mathematik)|Gebieten]], * [[/algebraische Vervollständigung/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/logmod|logmod-Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/logmod&author=Logarithmus&language=de&audioslide=yes&shorttitle=logmod-Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) und Periodizität der Exponentionalfunktion, * [[Identitätssatz für Logarithmen]] * [[/Äquivalenzklassen/]] des Logarithmus, * [[/rlog/|rlog-Funktion]], beschreibt wie oft kann man einen Logarithmus als Verkettung "rekursiv" anwenden kann. * [[/rekursiver Logarithmus/]] als Mehrfachverkettung des Logarithmus mit sich selbst. * [[/Eulersche Nullstellen/]] * [[/einfach zusammenhängende LOG-Gebiete/]] === Zusammenhang zwischen Exponentialfunktion und Logarithmus === Die Exponentialfunktion <math> \exp(z) </math> ist eine ganze Funktion, dessen Definitionsbereich <math>\mathbb{D} \subset \mathbb{C}</math> und Wertebereich <math>\mathbb{D} \subset \mathbb{C}</math> einschränken muss, um eine bijektive Abbildung und <math> \exp : \mathbb{D} \to \mathbb{W}</math> zu erhalten, für die man eine Umkehrfunktion definieren kann. === Situation in der reellen Zahlen - Umkehrfunktion von exp(z) === <math> \exp : \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> ist injektiv aber nicht surjektiv. Durch die Einschränkung des Wertebereiches von <math>\mathbb{R}</math> auf <math>\mathbb{R}^{+}</math> ist die Funktion <math> \exp : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^{+}</math> bijektiv und man kann nach einer Umkehrfunktion (den [[w:de:natürlicher Logarithmus|natürliche Logarithmus]]) suchen. Diese Konzept der Suche nach potentiellen Umgekehrfunktionen kann in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] nicht eindeutig beantwortet werden. In den komplexen Zahlen gibt unabhängig von der Wahl der Konstanten einer Stammfunktion von <math>\tfrac{1}{z}</math> unterschiedliche Möglichkeiten Logarithmen zu definieren. == Aufgaben == * '''(A1)''' [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus#aufgabe1|Injektivität und Surjektivität]] * '''(A2)''' [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus#aufgabe2|Stammfunktion als Wegintegrale]] <span id="aufgabe1"></span> === Aufgabe 1 - Umkehrbarkeit der komplexen Exponentialfunktion === Erläutern Sie, warum <math> \exp : \mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> weder [[w:de:injektive Funktion|injektiv]] noch [[w:de:surjektive Funktion|surjektiv]] ist. Schränken Sie den Definitionsbereich und Wertebereich der komplexen [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] so ein, dass <math> \exp : \mathbb{D} \to \mathbb{W}</math> bijektiv ist und eine [[w:de:Umkehrfunktion|Umkehrfunktion]] besitzt! <span id="aufgabe2"></span> === Aufgabe 2 - Stammfunktion von 1/x in den reellen Zahlen === In den reellen Zahlen der Logarithmus z.B. auf den positiven reellen Zahlen die Stammfunktion von <math>\frac{1}{x} </math>. Welche Beziehung besteht zwischen eine Zweig des Logarithmus und einem Wegintegral über die Funktion <math>\frac{1}{x} </math>. === Eigenschaften 1/z im Komplexen === Die holomorphe Funktion <math> f(z)=\frac{1}{z} </math> ist eine rationale Funktion, die auf <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> definiert ist. Sie besitzt aber auf <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> keine Stammfunktion, denn sonst würde das Integral über den Kreis um 0 nicht den Wert <math>2\pi i</math> sondern 0 liefern. <math> f(z)=\frac{1}{z} </math> hat eine Polstelle bei <math> z = 0 </math>. === Einschränkung des Definitions- / Wertebereiches === * '''([[w:de:Injektivität|injektiv]])''' Um eine injektive Abbildung für Definition des Logarithmus zu erhalten, muss man den ''Definitionsbereich'' einschränken, damit die Element aus dem Definitionsbereich entfernt, die auf die gleichen Bildpunkt abgebildet werden. * '''([[w:de:Surjektivität|surjektiv]])''' Um eine surjektive Abbildung für Definition des Logarithmus zu erhalten, muss man den ''Wertebereich'' einschränken und "nicht getroffene" Elemente aus dem Wertebereich zu entfernen <span id="komplex"></span> == Definition des komplexen Logarithmus == Analog zur reellen Definition heißt jede komplexe Zahl <math>w</math> ein ''natürlicher Logarithmus'' von <math>z</math>, wenn <math>w</math> die folgende Gleichung bzgl. einem gegebenen <math>z</math> erfüllt: : <math>\mathrm{e}^w = z</math> === Existenz === Für jedes <math>z \in \mathbb{C} \setminus \{0\}</math> existiert ein solches <math>w</math>. Man stellt dazu das Element <math>z</math> in Polarkoordinaten mit <math>t\in [0,2\pi) </math> wie folgt dar: :<math> z= |z|\cdot e^{it} </math> Dann ist <math>w:=\underbrace{\ln(|z|)}_{\in \mathbb{R}} + i\cdot \underbrace{t}_{\in \mathbb{R}}</math> ein Logarithmus in <math>\mathbb{C}</math>, da mit [[w:de:Potenzgesetze|Potenzgesetzen]] folgende Gleichung gilt: :<math> e^w = e^{\ln(|z|) + i\cdot t} = e^{\ln(|z|)} \cdot e^{i\cdot t} = |z|\cdot e^{it} = z </math> === Eindeutigkeit === Im Unterschied zum reellen Logarithmus ist der komplexe Logarithmus wegen : <math>\mathrm{e}^{2k\pi \mathrm{i}} = 1, \quad k \in \mathbb{Z}</math>, nicht eindeutig bestimmt ist. Hat man also einen Logarithmus <math>w</math> von <math>z</math> gefunden, so ist damit auch : <math>w' =\,\! w + 2k\pi \mathrm{i}</math> mit jeder ganzen Zahl <math>k</math> ein Logarithmus von <math>z</math>, denn es gilt : <math>\mathrm{e}^{w'} = \mathrm{e}^{w + 2k\pi \mathrm{i}} = \mathrm{e}^w \cdot \mathrm{e}^{2k\pi \mathrm{i}} = \mathrm{e}^w \cdot 1 = \mathrm{e}^w = z</math>. === Komplexer Logarithmus als Abbildung === Für die Definition einer Abbildung muss man einen eindeutigen Funktionswerte <math>\ln(z):=w</math> definieren. Um Eindeutigkeit zu erreichen, wählt man aus den möglichen Werten für <math>w</math> solche Werte aus, die in einem geeigneten Streifen der komplexen Zahlenebene liegen. Man kann z.&nbsp;B. den Streifen : <math>\left\{w \in \mathbb{C}: -\pi < \mathfrak{Im}(w) < \pi \right\}</math> verwenden. Ein Wert <math>w</math> aus diesem Streifen heißt ''Hauptwert'' (engl. ''principal value'') des Logarithmus, und man schreibt <math>w = \ln(z)</math>. === Zweige des Logarithmus === Stellt man <math>z = |z| \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i} \arg(z)}</math> in [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|Polarform]] dar, so erhält man eine einfache Darstellung des ''k-ten Zweiges'' der Logarithmusfunktion: : <math>w = \ln |z| + \mathrm{i}\left(\arg(z) + 2k\pi\right), \quad k\in\mathbb{Z}</math> mit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] <math>\arg</math>. Im Summanden <math>\ln |z|</math> wird der bereits oben definierte reelle Logarithmus <math>\ln</math> verwendet. Für <math>k = 0</math> erhält man den ''Hauptzweig'' des komplexen Logarithmus zurück: : <math>\ln z = \ln|z| + \mathrm{i}\arg(z)</math>. === Stetigkeit von Zweigen des Logarithmus === <math>\ln: \mathbb{C}\setminus\{0\} \to \mathbb{C}</math> ist nicht stetig in den Punkten <math>\mathcal{N} := \{z \in \mathbb{C} \, \colon \, (z=x+i\cdot 0) \wedge (0 < x\in \mathbb{R}) \}</math>. Entfernt man jedoch die negative reelle Achse <math>\mathcal{N}</math>, so ist <math>\ln</math> auf dem Gebiet : <math>\mathbb{C}\setminus\{x \in \mathbb{R}: x\leq 0\}</math> stetig und sogar [[w:de:Holomorphe Funktion|holomorph]]. === Algebraisch vollständige Logarithmus === Für den [[Polynomialer Nullstellensatz|polynomialen Nullstellensatz]] === Vergleich - Rechenregeln reeller/komplexer Logarithmus === Für den Hauptzweig des komplexen Logarithmus <math>\ln</math> gelten nicht alle der weiter oben angeführten [[w:de:Logarithmus#Logarithmengesetze|Rechenregeln für die reelle Logarithmusfunktion]]. Sie gelten nur <math>\text{mod } 2\pi \mathrm{i}</math>. ==== Mehrdeutigkeit und Periodizität 1 ==== Diese Mehrdeutigkeit ist eine direkte Folge aus der Periodizität seiner Umkehrfunktion, der komplexen Exponentialfunktion. Es gilt: : <math>\ln(x) + \ln(y) = \ln(x \cdot y)+ 2\pi n \, \,\, n\in \mathbb{Z} </math> ==== Mehrdeutigkeit und Periodizität 2 ==== Der Vergleich von <math>\ln(x) + \ln(y)</math> und <math>\ln(x \cdot y)</math> zeigt: : <math> \begin{array}{rcl} \ln(\underbrace{-1+\mathrm{i}}_{=x}) + \ln(\underbrace{-1+\mathrm{i}}_{=y}) & = & \left(\ln\big(\sqrt{2}\big)+\frac{3\pi}4\mathrm{i}\right) + \left(\ln\sqrt2+\frac{3\pi}4\mathrm{i}\right) \\ & = & \ln(2)+\frac{3\pi}2\mathrm{i} \end{array} </math> und :<math> \ln\bigl(\underbrace{(-1+\mathrm{i}}_{=x})\cdot (\underbrace{-1+\mathrm{i}}_{=y})\bigr) = \ln(-2\mathrm{i})=\ln(2)-\frac\pi2\mathrm{i}</math> ==== Mehrdeutigkeit und Periodizität 3 ==== Dies liefert ein Beispiel, dass <math>\ln x + \ln y = \ln(x \cdot y)</math> nicht für beliebige <math>x,y\in \mathbb{C}</math> gilt. Der rechte und linke Term unterscheiden sich, um Vielfache von <math>2\pi</math>, d.h. : <math>\ln x + \ln y = \ln(x \cdot y) + 2\pi n</math> ==== Mehrdeutigkeit und Periodizität 4 ==== Auch die Gleichung : <math>y \cdot \ln (x) = \ln\left({x^y}\right)</math> ist nicht immer erfüllt, wie das Gegenbeispiel : <math>2\pi \mathrm{i} \ln (\mathrm{e}) = 2\pi \mathrm{i} \; \neq \; 0 = \ln 1 = \ln(\mathrm{e}^{2\pi \mathrm{i}})</math> beweist. === Graphen === <gallery widths="180" heights="120" perrow="3" caption="Grafische Darstellung des komplexen Logarithmus"> Ln abs.png|Betrag von <math>\ln z</math> Ln re.png|Realteil von <math>\ln z</math> Ln im.png|Imaginärteil von <math>\ln z</math> </gallery> ==== Hauptzweig - negative Zahlen ==== Mit dem oben definierten [[Hauptzweig des Logarithmus|Hauptzweig des komplexen Logarithmus]] kann man den Logarithmus für negative reellen Zahlen erklären: : <math>\log_{G_{1}}(-x) = \ln\left\vert-x\right\vert+ \mathrm{i}\arg(-x) = \ln x + \mathrm{i}\pi, \quad x\in\mathbb{R}^+\ .</math> Das setzt voraus, dass die [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] <math>\arg</math> negativen reellen Zahlen den Wert <math>\pi</math> zuweist. ==== Bemerkung - Argumentfunktion ==== Diese Betrachtungen zeigen, dass die Mehrdeutigkeit des komplexen Logarithmus letztlich auf die Mehrdeutigkeit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] zurückzuführen ist. <span id="Stammfunktion"></span> == Entwicklung in Potenzreihen == Jede auf einem Gebiet <math>G</math> [[holomorphe Funktion]] lässt sich lokal in eine Potenzreihe entwickelt. Durch den Zusammenhang von <math>\tfrac{1}{z}</math> und dem Logarithmus erhält man auch eine Potenzreihendarstellung für beliebige [[w:de:Potenzreihe|Entwicklungspunkte]] <math>z_o=|z_o|\cdot e^{it} \not=0</math> über die [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] mit <math>q=\frac{z-z_o}{-z_o}</math> und <math>|z-z_0| < |z_0|</math>: :<math>f(z)= \frac{1}{z} = \frac{1}{z_o} \cdot \frac{1}{ 1- \underbrace{\frac{z-z_o}{-z_o} }_{=q} } = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1}} }_{=a_n} \cdot (z-z_o)^n </math> === Stammfunktion - Konstante der Taylorreihe === Für den [[w:de:Potenzreihe|Entwicklungspunkt]] <math>z_o=|z_o|\cdot e^{it} \not=0</math> erhält man für einen Zweig des Logarithmus als Stammfunktion von von <math>\tfrac{1}{z}</math> folgende Potenzreihendarstellung auf <math>\overline{D_r(z_0)}</math> mit <math>r< |z_0|</math> und <math>c= \ln(|z_o|) + i\cdot t</math> mit <math>t\in \mathbb{R}</math>: :<math>\log_{_G}(z)= c + \sum_{n=0}^\infty \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1} \cdot (n+1)} \cdot (z-z_o)^{n+1} </math> Ein zugehöriger Zweig von <math>\log_{_G}</math> ist dann z.B. auf dem Gebiet <math>G:= \mathbb{C} \setminus \{ z\in \mathbb{C} \, : \, z=\lambda \cdot z_0 \mbox{ mit } 0 \geq \lambda \in \R \}</math> definiert. === Bemerkung - Eindeutigkeitlemma für Logarithmuszweige === Das [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] zeigt, dass in einem Gebiet <math>G</math> mit <math>0\notin G</math> eine Teilmenge <math>G_0</math> finden kann, die die Spur eine konkreten gegebenen [[w:de:injektive Funktion|injektiven]] Weges <math>\gamma</math> überdecken, wobei <math>G_0</math> einfach zusammenhängend ist. Mit der Wahl eines [[einfach zusammenhängend]]en <math>G</math> als gegebenes Gebiet mit <math>0\notin G</math> und der Festlegung des Imaginärteiles des Logarithmuszweige für ein bestimmtes <math>z_0\in G</math> ist der gesamte [[Zweig des Logarithmus]] bereits eindeutig auf <math>G</math> definiert. [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma]] definiert damit auf Teilmengen <math>G_0</math> eines '''nicht notwendigerweise''' [[einfach zusammenhängend]]en <math>G</math> einen [[Zweig des Logarithmus]], während beim Identitätssatz das gegebene Gebiet bereits [[einfach zusammenhängend]] ist mit <math>0\notin G</math>. == Siehe auch == * [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * [[/generalisiert/|generalisierte Logarithmen]] * [[w:de:injektive Funktion|injektive]] bzw. [[w:de:surjektive Funktion|surjektive]] Funktionen * [[Logarithmus]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Lokale_Entwicklung_in_Potenzreihen|Lokale Entwicklung in Potenzreihen]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus Logarithmus] https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus * Datum: 31.7.2025 * [https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis/Logarithm]]</noinclude> [[Kategorie:Funktionentheorie]] 8smjawc1dsieev565dgqpi3gw6pgn2a 1116413 1116412 2026-10-16T10:37:51Z Bert Niehaus 20843 /* Mehrdeutigkeit und Periodizität 3 */ 1116413 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird der Zusammenhang zwischen der Funktion <math> \exp(z) </math> und <math> \frac{1}{z} </math> sowie die Definition eines Zweiges des Logarithmus und die Notwendigkeit der Einschränkung der Definitions- und Wertebereiche der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] betrachtet, um eine bijektive und holomorphe [[w:de:Umkehrfunktion|Umkehrfunktion]] der Exponentialfunktion zu erhalten. :<math> \exp(z) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{n!} </math> === Lerneinheiten === * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/algebraische Vollständigkeit|algebraische Vollständigkeit]] des Logarithmus * [[/Zweige/|Zweige des Logarithmus]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#Hauptzweig|Hauptzweig des Logarithmus]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#negativer_Hauptzweig|negativer Hauptzweig des Logarithmus]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#imaginaerer_Hauptzweig|imaginärer Hauptzweig des Logarithmus]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#negativer_imaginaerer_Hauptzweig|negativer imaginärer Hauptzweig des Logarithmus]] * [[/Argumentfunktion/|Argumentfunktion und Polarkoordinatendarstellung]] * [[/generalisiert/|generalisierter Logarithmus]] auf beliebigen [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] [[Gebiet (Mathematik)|Gebieten]], * [[/algebraische Vervollständigung/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/logmod|logmod-Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/logmod&author=Logarithmus&language=de&audioslide=yes&shorttitle=logmod-Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) und Periodizität der Exponentionalfunktion, * [[Identitätssatz für Logarithmen]] * [[/Äquivalenzklassen/]] des Logarithmus, * [[/rlog/|rlog-Funktion]], beschreibt wie oft kann man einen Logarithmus als Verkettung "rekursiv" anwenden kann. * [[/rekursiver Logarithmus/]] als Mehrfachverkettung des Logarithmus mit sich selbst. * [[/Eulersche Nullstellen/]] * [[/einfach zusammenhängende LOG-Gebiete/]] === Zusammenhang zwischen Exponentialfunktion und Logarithmus === Die Exponentialfunktion <math> \exp(z) </math> ist eine ganze Funktion, dessen Definitionsbereich <math>\mathbb{D} \subset \mathbb{C}</math> und Wertebereich <math>\mathbb{D} \subset \mathbb{C}</math> einschränken muss, um eine bijektive Abbildung und <math> \exp : \mathbb{D} \to \mathbb{W}</math> zu erhalten, für die man eine Umkehrfunktion definieren kann. === Situation in der reellen Zahlen - Umkehrfunktion von exp(z) === <math> \exp : \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> ist injektiv aber nicht surjektiv. Durch die Einschränkung des Wertebereiches von <math>\mathbb{R}</math> auf <math>\mathbb{R}^{+}</math> ist die Funktion <math> \exp : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^{+}</math> bijektiv und man kann nach einer Umkehrfunktion (den [[w:de:natürlicher Logarithmus|natürliche Logarithmus]]) suchen. Diese Konzept der Suche nach potentiellen Umgekehrfunktionen kann in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] nicht eindeutig beantwortet werden. In den komplexen Zahlen gibt unabhängig von der Wahl der Konstanten einer Stammfunktion von <math>\tfrac{1}{z}</math> unterschiedliche Möglichkeiten Logarithmen zu definieren. == Aufgaben == * '''(A1)''' [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus#aufgabe1|Injektivität und Surjektivität]] * '''(A2)''' [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus#aufgabe2|Stammfunktion als Wegintegrale]] <span id="aufgabe1"></span> === Aufgabe 1 - Umkehrbarkeit der komplexen Exponentialfunktion === Erläutern Sie, warum <math> \exp : \mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> weder [[w:de:injektive Funktion|injektiv]] noch [[w:de:surjektive Funktion|surjektiv]] ist. Schränken Sie den Definitionsbereich und Wertebereich der komplexen [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] so ein, dass <math> \exp : \mathbb{D} \to \mathbb{W}</math> bijektiv ist und eine [[w:de:Umkehrfunktion|Umkehrfunktion]] besitzt! <span id="aufgabe2"></span> === Aufgabe 2 - Stammfunktion von 1/x in den reellen Zahlen === In den reellen Zahlen der Logarithmus z.B. auf den positiven reellen Zahlen die Stammfunktion von <math>\frac{1}{x} </math>. Welche Beziehung besteht zwischen eine Zweig des Logarithmus und einem Wegintegral über die Funktion <math>\frac{1}{x} </math>. === Eigenschaften 1/z im Komplexen === Die holomorphe Funktion <math> f(z)=\frac{1}{z} </math> ist eine rationale Funktion, die auf <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> definiert ist. Sie besitzt aber auf <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> keine Stammfunktion, denn sonst würde das Integral über den Kreis um 0 nicht den Wert <math>2\pi i</math> sondern 0 liefern. <math> f(z)=\frac{1}{z} </math> hat eine Polstelle bei <math> z = 0 </math>. === Einschränkung des Definitions- / Wertebereiches === * '''([[w:de:Injektivität|injektiv]])''' Um eine injektive Abbildung für Definition des Logarithmus zu erhalten, muss man den ''Definitionsbereich'' einschränken, damit die Element aus dem Definitionsbereich entfernt, die auf die gleichen Bildpunkt abgebildet werden. * '''([[w:de:Surjektivität|surjektiv]])''' Um eine surjektive Abbildung für Definition des Logarithmus zu erhalten, muss man den ''Wertebereich'' einschränken und "nicht getroffene" Elemente aus dem Wertebereich zu entfernen <span id="komplex"></span> == Definition des komplexen Logarithmus == Analog zur reellen Definition heißt jede komplexe Zahl <math>w</math> ein ''natürlicher Logarithmus'' von <math>z</math>, wenn <math>w</math> die folgende Gleichung bzgl. einem gegebenen <math>z</math> erfüllt: : <math>\mathrm{e}^w = z</math> === Existenz === Für jedes <math>z \in \mathbb{C} \setminus \{0\}</math> existiert ein solches <math>w</math>. Man stellt dazu das Element <math>z</math> in Polarkoordinaten mit <math>t\in [0,2\pi) </math> wie folgt dar: :<math> z= |z|\cdot e^{it} </math> Dann ist <math>w:=\underbrace{\ln(|z|)}_{\in \mathbb{R}} + i\cdot \underbrace{t}_{\in \mathbb{R}}</math> ein Logarithmus in <math>\mathbb{C}</math>, da mit [[w:de:Potenzgesetze|Potenzgesetzen]] folgende Gleichung gilt: :<math> e^w = e^{\ln(|z|) + i\cdot t} = e^{\ln(|z|)} \cdot e^{i\cdot t} = |z|\cdot e^{it} = z </math> === Eindeutigkeit === Im Unterschied zum reellen Logarithmus ist der komplexe Logarithmus wegen : <math>\mathrm{e}^{2k\pi \mathrm{i}} = 1, \quad k \in \mathbb{Z}</math>, nicht eindeutig bestimmt ist. Hat man also einen Logarithmus <math>w</math> von <math>z</math> gefunden, so ist damit auch : <math>w' =\,\! w + 2k\pi \mathrm{i}</math> mit jeder ganzen Zahl <math>k</math> ein Logarithmus von <math>z</math>, denn es gilt : <math>\mathrm{e}^{w'} = \mathrm{e}^{w + 2k\pi \mathrm{i}} = \mathrm{e}^w \cdot \mathrm{e}^{2k\pi \mathrm{i}} = \mathrm{e}^w \cdot 1 = \mathrm{e}^w = z</math>. === Komplexer Logarithmus als Abbildung === Für die Definition einer Abbildung muss man einen eindeutigen Funktionswerte <math>\ln(z):=w</math> definieren. Um Eindeutigkeit zu erreichen, wählt man aus den möglichen Werten für <math>w</math> solche Werte aus, die in einem geeigneten Streifen der komplexen Zahlenebene liegen. Man kann z.&nbsp;B. den Streifen : <math>\left\{w \in \mathbb{C}: -\pi < \mathfrak{Im}(w) < \pi \right\}</math> verwenden. Ein Wert <math>w</math> aus diesem Streifen heißt ''Hauptwert'' (engl. ''principal value'') des Logarithmus, und man schreibt <math>w = \ln(z)</math>. === Zweige des Logarithmus === Stellt man <math>z = |z| \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i} \arg(z)}</math> in [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|Polarform]] dar, so erhält man eine einfache Darstellung des ''k-ten Zweiges'' der Logarithmusfunktion: : <math>w = \ln |z| + \mathrm{i}\left(\arg(z) + 2k\pi\right), \quad k\in\mathbb{Z}</math> mit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] <math>\arg</math>. Im Summanden <math>\ln |z|</math> wird der bereits oben definierte reelle Logarithmus <math>\ln</math> verwendet. Für <math>k = 0</math> erhält man den ''Hauptzweig'' des komplexen Logarithmus zurück: : <math>\ln z = \ln|z| + \mathrm{i}\arg(z)</math>. === Stetigkeit von Zweigen des Logarithmus === <math>\ln: \mathbb{C}\setminus\{0\} \to \mathbb{C}</math> ist nicht stetig in den Punkten <math>\mathcal{N} := \{z \in \mathbb{C} \, \colon \, (z=x+i\cdot 0) \wedge (0 < x\in \mathbb{R}) \}</math>. Entfernt man jedoch die negative reelle Achse <math>\mathcal{N}</math>, so ist <math>\ln</math> auf dem Gebiet : <math>\mathbb{C}\setminus\{x \in \mathbb{R}: x\leq 0\}</math> stetig und sogar [[w:de:Holomorphe Funktion|holomorph]]. === Algebraisch vollständige Logarithmus === Für den [[Polynomialer Nullstellensatz|polynomialen Nullstellensatz]] === Vergleich - Rechenregeln reeller/komplexer Logarithmus === Für den Hauptzweig des komplexen Logarithmus <math>\ln</math> gelten nicht alle der weiter oben angeführten [[w:de:Logarithmus#Logarithmengesetze|Rechenregeln für die reelle Logarithmusfunktion]]. Sie gelten nur <math>\text{mod } 2\pi \mathrm{i}</math>. ==== Mehrdeutigkeit und Periodizität 1 ==== Diese Mehrdeutigkeit ist eine direkte Folge aus der Periodizität seiner Umkehrfunktion, der komplexen Exponentialfunktion. Es gilt: : <math>\ln(x) + \ln(y) = \ln(x \cdot y)+ 2\pi n \, \,\, n\in \mathbb{Z} </math> ==== Mehrdeutigkeit und Periodizität 2 ==== Der Vergleich von <math>\ln(x) + \ln(y)</math> und <math>\ln(x \cdot y)</math> zeigt: : <math> \begin{array}{rcl} \ln(\underbrace{-1+\mathrm{i}}_{=x}) + \ln(\underbrace{-1+\mathrm{i}}_{=y}) & = & \left(\ln\big(\sqrt{2}\big)+\frac{3\pi}4\mathrm{i}\right) + \left(\ln\sqrt2+\frac{3\pi}4\mathrm{i}\right) \\ & = & \ln(2)+\frac{3\pi}2\mathrm{i} \end{array} </math> und :<math> \ln\bigl(\underbrace{(-1+\mathrm{i}}_{=x})\cdot (\underbrace{-1+\mathrm{i}}_{=y})\bigr) = \ln(-2\mathrm{i})=\ln(2)-\frac\pi2\mathrm{i}</math> ==== Mehrdeutigkeit und Periodizität 3 ==== Dies liefert ein Beispiel, dass <math>\ln x + \ln y = \ln(x \cdot y)</math> nicht für beliebige <math>x,y\in \mathbb{C}</math> gilt. Der rechte und linke Term unterscheiden sich, um Vielfache von <math>2\pi</math>, d.h. : <math>\ln (x) + \ln (y) = \ln(x \cdot y) + 2\pi n</math> ==== Mehrdeutigkeit und Periodizität 4 ==== Auch die Gleichung : <math>y \cdot \ln (x) = \ln\left({x^y}\right)</math> ist nicht immer erfüllt, wie das Gegenbeispiel : <math>2\pi \mathrm{i} \ln (\mathrm{e}) = 2\pi \mathrm{i} \; \neq \; 0 = \ln 1 = \ln(\mathrm{e}^{2\pi \mathrm{i}})</math> beweist. === Graphen === <gallery widths="180" heights="120" perrow="3" caption="Grafische Darstellung des komplexen Logarithmus"> Ln abs.png|Betrag von <math>\ln z</math> Ln re.png|Realteil von <math>\ln z</math> Ln im.png|Imaginärteil von <math>\ln z</math> </gallery> ==== Hauptzweig - negative Zahlen ==== Mit dem oben definierten [[Hauptzweig des Logarithmus|Hauptzweig des komplexen Logarithmus]] kann man den Logarithmus für negative reellen Zahlen erklären: : <math>\log_{G_{1}}(-x) = \ln\left\vert-x\right\vert+ \mathrm{i}\arg(-x) = \ln x + \mathrm{i}\pi, \quad x\in\mathbb{R}^+\ .</math> Das setzt voraus, dass die [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] <math>\arg</math> negativen reellen Zahlen den Wert <math>\pi</math> zuweist. ==== Bemerkung - Argumentfunktion ==== Diese Betrachtungen zeigen, dass die Mehrdeutigkeit des komplexen Logarithmus letztlich auf die Mehrdeutigkeit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] zurückzuführen ist. <span id="Stammfunktion"></span> == Entwicklung in Potenzreihen == Jede auf einem Gebiet <math>G</math> [[holomorphe Funktion]] lässt sich lokal in eine Potenzreihe entwickelt. Durch den Zusammenhang von <math>\tfrac{1}{z}</math> und dem Logarithmus erhält man auch eine Potenzreihendarstellung für beliebige [[w:de:Potenzreihe|Entwicklungspunkte]] <math>z_o=|z_o|\cdot e^{it} \not=0</math> über die [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] mit <math>q=\frac{z-z_o}{-z_o}</math> und <math>|z-z_0| < |z_0|</math>: :<math>f(z)= \frac{1}{z} = \frac{1}{z_o} \cdot \frac{1}{ 1- \underbrace{\frac{z-z_o}{-z_o} }_{=q} } = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1}} }_{=a_n} \cdot (z-z_o)^n </math> === Stammfunktion - Konstante der Taylorreihe === Für den [[w:de:Potenzreihe|Entwicklungspunkt]] <math>z_o=|z_o|\cdot e^{it} \not=0</math> erhält man für einen Zweig des Logarithmus als Stammfunktion von von <math>\tfrac{1}{z}</math> folgende Potenzreihendarstellung auf <math>\overline{D_r(z_0)}</math> mit <math>r< |z_0|</math> und <math>c= \ln(|z_o|) + i\cdot t</math> mit <math>t\in \mathbb{R}</math>: :<math>\log_{_G}(z)= c + \sum_{n=0}^\infty \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1} \cdot (n+1)} \cdot (z-z_o)^{n+1} </math> Ein zugehöriger Zweig von <math>\log_{_G}</math> ist dann z.B. auf dem Gebiet <math>G:= \mathbb{C} \setminus \{ z\in \mathbb{C} \, : \, z=\lambda \cdot z_0 \mbox{ mit } 0 \geq \lambda \in \R \}</math> definiert. === Bemerkung - Eindeutigkeitlemma für Logarithmuszweige === Das [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] zeigt, dass in einem Gebiet <math>G</math> mit <math>0\notin G</math> eine Teilmenge <math>G_0</math> finden kann, die die Spur eine konkreten gegebenen [[w:de:injektive Funktion|injektiven]] Weges <math>\gamma</math> überdecken, wobei <math>G_0</math> einfach zusammenhängend ist. Mit der Wahl eines [[einfach zusammenhängend]]en <math>G</math> als gegebenes Gebiet mit <math>0\notin G</math> und der Festlegung des Imaginärteiles des Logarithmuszweige für ein bestimmtes <math>z_0\in G</math> ist der gesamte [[Zweig des Logarithmus]] bereits eindeutig auf <math>G</math> definiert. [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma]] definiert damit auf Teilmengen <math>G_0</math> eines '''nicht notwendigerweise''' [[einfach zusammenhängend]]en <math>G</math> einen [[Zweig des Logarithmus]], während beim Identitätssatz das gegebene Gebiet bereits [[einfach zusammenhängend]] ist mit <math>0\notin G</math>. == Siehe auch == * [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * [[/generalisiert/|generalisierte Logarithmen]] * [[w:de:injektive Funktion|injektive]] bzw. [[w:de:surjektive Funktion|surjektive]] Funktionen * [[Logarithmus]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Lokale_Entwicklung_in_Potenzreihen|Lokale Entwicklung in Potenzreihen]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus Logarithmus] https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus * Datum: 31.7.2025 * [https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis/Logarithm]]</noinclude> [[Kategorie:Funktionentheorie]] a1kr35105m0xjmieseu49jtwpmdc59j 1116414 1116413 2026-10-16T10:39:15Z Bert Niehaus 20843 /* Mehrdeutigkeit und Periodizität 4 */ 1116414 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird der Zusammenhang zwischen der Funktion <math> \exp(z) </math> und <math> \frac{1}{z} </math> sowie die Definition eines Zweiges des Logarithmus und die Notwendigkeit der Einschränkung der Definitions- und Wertebereiche der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] betrachtet, um eine bijektive und holomorphe [[w:de:Umkehrfunktion|Umkehrfunktion]] der Exponentialfunktion zu erhalten. :<math> \exp(z) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{n!} </math> === Lerneinheiten === * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/algebraische Vollständigkeit|algebraische Vollständigkeit]] des Logarithmus * [[/Zweige/|Zweige des Logarithmus]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#Hauptzweig|Hauptzweig des Logarithmus]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#negativer_Hauptzweig|negativer Hauptzweig des Logarithmus]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#imaginaerer_Hauptzweig|imaginärer Hauptzweig des Logarithmus]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#negativer_imaginaerer_Hauptzweig|negativer imaginärer Hauptzweig des Logarithmus]] * [[/Argumentfunktion/|Argumentfunktion und Polarkoordinatendarstellung]] * [[/generalisiert/|generalisierter Logarithmus]] auf beliebigen [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] [[Gebiet (Mathematik)|Gebieten]], * [[/algebraische Vervollständigung/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/logmod|logmod-Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/logmod&author=Logarithmus&language=de&audioslide=yes&shorttitle=logmod-Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) und Periodizität der Exponentionalfunktion, * [[Identitätssatz für Logarithmen]] * [[/Äquivalenzklassen/]] des Logarithmus, * [[/rlog/|rlog-Funktion]], beschreibt wie oft kann man einen Logarithmus als Verkettung "rekursiv" anwenden kann. * [[/rekursiver Logarithmus/]] als Mehrfachverkettung des Logarithmus mit sich selbst. * [[/Eulersche Nullstellen/]] * [[/einfach zusammenhängende LOG-Gebiete/]] === Zusammenhang zwischen Exponentialfunktion und Logarithmus === Die Exponentialfunktion <math> \exp(z) </math> ist eine ganze Funktion, dessen Definitionsbereich <math>\mathbb{D} \subset \mathbb{C}</math> und Wertebereich <math>\mathbb{D} \subset \mathbb{C}</math> einschränken muss, um eine bijektive Abbildung und <math> \exp : \mathbb{D} \to \mathbb{W}</math> zu erhalten, für die man eine Umkehrfunktion definieren kann. === Situation in der reellen Zahlen - Umkehrfunktion von exp(z) === <math> \exp : \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> ist injektiv aber nicht surjektiv. Durch die Einschränkung des Wertebereiches von <math>\mathbb{R}</math> auf <math>\mathbb{R}^{+}</math> ist die Funktion <math> \exp : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^{+}</math> bijektiv und man kann nach einer Umkehrfunktion (den [[w:de:natürlicher Logarithmus|natürliche Logarithmus]]) suchen. Diese Konzept der Suche nach potentiellen Umgekehrfunktionen kann in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] nicht eindeutig beantwortet werden. In den komplexen Zahlen gibt unabhängig von der Wahl der Konstanten einer Stammfunktion von <math>\tfrac{1}{z}</math> unterschiedliche Möglichkeiten Logarithmen zu definieren. == Aufgaben == * '''(A1)''' [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus#aufgabe1|Injektivität und Surjektivität]] * '''(A2)''' [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus#aufgabe2|Stammfunktion als Wegintegrale]] <span id="aufgabe1"></span> === Aufgabe 1 - Umkehrbarkeit der komplexen Exponentialfunktion === Erläutern Sie, warum <math> \exp : \mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> weder [[w:de:injektive Funktion|injektiv]] noch [[w:de:surjektive Funktion|surjektiv]] ist. Schränken Sie den Definitionsbereich und Wertebereich der komplexen [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] so ein, dass <math> \exp : \mathbb{D} \to \mathbb{W}</math> bijektiv ist und eine [[w:de:Umkehrfunktion|Umkehrfunktion]] besitzt! <span id="aufgabe2"></span> === Aufgabe 2 - Stammfunktion von 1/x in den reellen Zahlen === In den reellen Zahlen der Logarithmus z.B. auf den positiven reellen Zahlen die Stammfunktion von <math>\frac{1}{x} </math>. Welche Beziehung besteht zwischen eine Zweig des Logarithmus und einem Wegintegral über die Funktion <math>\frac{1}{x} </math>. === Eigenschaften 1/z im Komplexen === Die holomorphe Funktion <math> f(z)=\frac{1}{z} </math> ist eine rationale Funktion, die auf <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> definiert ist. Sie besitzt aber auf <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> keine Stammfunktion, denn sonst würde das Integral über den Kreis um 0 nicht den Wert <math>2\pi i</math> sondern 0 liefern. <math> f(z)=\frac{1}{z} </math> hat eine Polstelle bei <math> z = 0 </math>. === Einschränkung des Definitions- / Wertebereiches === * '''([[w:de:Injektivität|injektiv]])''' Um eine injektive Abbildung für Definition des Logarithmus zu erhalten, muss man den ''Definitionsbereich'' einschränken, damit die Element aus dem Definitionsbereich entfernt, die auf die gleichen Bildpunkt abgebildet werden. * '''([[w:de:Surjektivität|surjektiv]])''' Um eine surjektive Abbildung für Definition des Logarithmus zu erhalten, muss man den ''Wertebereich'' einschränken und "nicht getroffene" Elemente aus dem Wertebereich zu entfernen <span id="komplex"></span> == Definition des komplexen Logarithmus == Analog zur reellen Definition heißt jede komplexe Zahl <math>w</math> ein ''natürlicher Logarithmus'' von <math>z</math>, wenn <math>w</math> die folgende Gleichung bzgl. einem gegebenen <math>z</math> erfüllt: : <math>\mathrm{e}^w = z</math> === Existenz === Für jedes <math>z \in \mathbb{C} \setminus \{0\}</math> existiert ein solches <math>w</math>. Man stellt dazu das Element <math>z</math> in Polarkoordinaten mit <math>t\in [0,2\pi) </math> wie folgt dar: :<math> z= |z|\cdot e^{it} </math> Dann ist <math>w:=\underbrace{\ln(|z|)}_{\in \mathbb{R}} + i\cdot \underbrace{t}_{\in \mathbb{R}}</math> ein Logarithmus in <math>\mathbb{C}</math>, da mit [[w:de:Potenzgesetze|Potenzgesetzen]] folgende Gleichung gilt: :<math> e^w = e^{\ln(|z|) + i\cdot t} = e^{\ln(|z|)} \cdot e^{i\cdot t} = |z|\cdot e^{it} = z </math> === Eindeutigkeit === Im Unterschied zum reellen Logarithmus ist der komplexe Logarithmus wegen : <math>\mathrm{e}^{2k\pi \mathrm{i}} = 1, \quad k \in \mathbb{Z}</math>, nicht eindeutig bestimmt ist. Hat man also einen Logarithmus <math>w</math> von <math>z</math> gefunden, so ist damit auch : <math>w' =\,\! w + 2k\pi \mathrm{i}</math> mit jeder ganzen Zahl <math>k</math> ein Logarithmus von <math>z</math>, denn es gilt : <math>\mathrm{e}^{w'} = \mathrm{e}^{w + 2k\pi \mathrm{i}} = \mathrm{e}^w \cdot \mathrm{e}^{2k\pi \mathrm{i}} = \mathrm{e}^w \cdot 1 = \mathrm{e}^w = z</math>. === Komplexer Logarithmus als Abbildung === Für die Definition einer Abbildung muss man einen eindeutigen Funktionswerte <math>\ln(z):=w</math> definieren. Um Eindeutigkeit zu erreichen, wählt man aus den möglichen Werten für <math>w</math> solche Werte aus, die in einem geeigneten Streifen der komplexen Zahlenebene liegen. Man kann z.&nbsp;B. den Streifen : <math>\left\{w \in \mathbb{C}: -\pi < \mathfrak{Im}(w) < \pi \right\}</math> verwenden. Ein Wert <math>w</math> aus diesem Streifen heißt ''Hauptwert'' (engl. ''principal value'') des Logarithmus, und man schreibt <math>w = \ln(z)</math>. === Zweige des Logarithmus === Stellt man <math>z = |z| \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i} \arg(z)}</math> in [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|Polarform]] dar, so erhält man eine einfache Darstellung des ''k-ten Zweiges'' der Logarithmusfunktion: : <math>w = \ln |z| + \mathrm{i}\left(\arg(z) + 2k\pi\right), \quad k\in\mathbb{Z}</math> mit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] <math>\arg</math>. Im Summanden <math>\ln |z|</math> wird der bereits oben definierte reelle Logarithmus <math>\ln</math> verwendet. Für <math>k = 0</math> erhält man den ''Hauptzweig'' des komplexen Logarithmus zurück: : <math>\ln z = \ln|z| + \mathrm{i}\arg(z)</math>. === Stetigkeit von Zweigen des Logarithmus === <math>\ln: \mathbb{C}\setminus\{0\} \to \mathbb{C}</math> ist nicht stetig in den Punkten <math>\mathcal{N} := \{z \in \mathbb{C} \, \colon \, (z=x+i\cdot 0) \wedge (0 < x\in \mathbb{R}) \}</math>. Entfernt man jedoch die negative reelle Achse <math>\mathcal{N}</math>, so ist <math>\ln</math> auf dem Gebiet : <math>\mathbb{C}\setminus\{x \in \mathbb{R}: x\leq 0\}</math> stetig und sogar [[w:de:Holomorphe Funktion|holomorph]]. === Algebraisch vollständige Logarithmus === Für den [[Polynomialer Nullstellensatz|polynomialen Nullstellensatz]] === Vergleich - Rechenregeln reeller/komplexer Logarithmus === Für den Hauptzweig des komplexen Logarithmus <math>\ln</math> gelten nicht alle der weiter oben angeführten [[w:de:Logarithmus#Logarithmengesetze|Rechenregeln für die reelle Logarithmusfunktion]]. Sie gelten nur <math>\text{mod } 2\pi \mathrm{i}</math>. ==== Mehrdeutigkeit und Periodizität 1 ==== Diese Mehrdeutigkeit ist eine direkte Folge aus der Periodizität seiner Umkehrfunktion, der komplexen Exponentialfunktion. Es gilt: : <math>\ln(x) + \ln(y) = \ln(x \cdot y)+ 2\pi n \, \,\, n\in \mathbb{Z} </math> ==== Mehrdeutigkeit und Periodizität 2 ==== Der Vergleich von <math>\ln(x) + \ln(y)</math> und <math>\ln(x \cdot y)</math> zeigt: : <math> \begin{array}{rcl} \ln(\underbrace{-1+\mathrm{i}}_{=x}) + \ln(\underbrace{-1+\mathrm{i}}_{=y}) & = & \left(\ln\big(\sqrt{2}\big)+\frac{3\pi}4\mathrm{i}\right) + \left(\ln\sqrt2+\frac{3\pi}4\mathrm{i}\right) \\ & = & \ln(2)+\frac{3\pi}2\mathrm{i} \end{array} </math> und :<math> \ln\bigl(\underbrace{(-1+\mathrm{i}}_{=x})\cdot (\underbrace{-1+\mathrm{i}}_{=y})\bigr) = \ln(-2\mathrm{i})=\ln(2)-\frac\pi2\mathrm{i}</math> ==== Mehrdeutigkeit und Periodizität 3 ==== Dies liefert ein Beispiel, dass <math>\ln x + \ln y = \ln(x \cdot y)</math> nicht für beliebige <math>x,y\in \mathbb{C}</math> gilt. Der rechte und linke Term unterscheiden sich, um Vielfache von <math>2\pi</math>, d.h. : <math>\ln (x) + \ln (y) = \ln(x \cdot y) + 2\pi n</math> ==== Mehrdeutigkeit und Periodizität 4 ==== Auch die Gleichung : <math>y \cdot \ln (x) = \ln\left({x^y}\right)</math> ist nicht immer erfüllt, wie das Gegenbeispiel : <math>2\pi \cdot \mathrm{i} \ln (\mathrm{e}) = 2\pi \mathrm{i} \; \neq \; 0 = \ln (1) = \ln(\mathrm{e}^{2\pi \mathrm{i}})</math> beweist. === Graphen === <gallery widths="180" heights="120" perrow="3" caption="Grafische Darstellung des komplexen Logarithmus"> Ln abs.png|Betrag von <math>\ln z</math> Ln re.png|Realteil von <math>\ln z</math> Ln im.png|Imaginärteil von <math>\ln z</math> </gallery> ==== Hauptzweig - negative Zahlen ==== Mit dem oben definierten [[Hauptzweig des Logarithmus|Hauptzweig des komplexen Logarithmus]] kann man den Logarithmus für negative reellen Zahlen erklären: : <math>\log_{G_{1}}(-x) = \ln\left\vert-x\right\vert+ \mathrm{i}\arg(-x) = \ln x + \mathrm{i}\pi, \quad x\in\mathbb{R}^+\ .</math> Das setzt voraus, dass die [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] <math>\arg</math> negativen reellen Zahlen den Wert <math>\pi</math> zuweist. ==== Bemerkung - Argumentfunktion ==== Diese Betrachtungen zeigen, dass die Mehrdeutigkeit des komplexen Logarithmus letztlich auf die Mehrdeutigkeit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] zurückzuführen ist. <span id="Stammfunktion"></span> == Entwicklung in Potenzreihen == Jede auf einem Gebiet <math>G</math> [[holomorphe Funktion]] lässt sich lokal in eine Potenzreihe entwickelt. Durch den Zusammenhang von <math>\tfrac{1}{z}</math> und dem Logarithmus erhält man auch eine Potenzreihendarstellung für beliebige [[w:de:Potenzreihe|Entwicklungspunkte]] <math>z_o=|z_o|\cdot e^{it} \not=0</math> über die [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] mit <math>q=\frac{z-z_o}{-z_o}</math> und <math>|z-z_0| < |z_0|</math>: :<math>f(z)= \frac{1}{z} = \frac{1}{z_o} \cdot \frac{1}{ 1- \underbrace{\frac{z-z_o}{-z_o} }_{=q} } = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1}} }_{=a_n} \cdot (z-z_o)^n </math> === Stammfunktion - Konstante der Taylorreihe === Für den [[w:de:Potenzreihe|Entwicklungspunkt]] <math>z_o=|z_o|\cdot e^{it} \not=0</math> erhält man für einen Zweig des Logarithmus als Stammfunktion von von <math>\tfrac{1}{z}</math> folgende Potenzreihendarstellung auf <math>\overline{D_r(z_0)}</math> mit <math>r< |z_0|</math> und <math>c= \ln(|z_o|) + i\cdot t</math> mit <math>t\in \mathbb{R}</math>: :<math>\log_{_G}(z)= c + \sum_{n=0}^\infty \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1} \cdot (n+1)} \cdot (z-z_o)^{n+1} </math> Ein zugehöriger Zweig von <math>\log_{_G}</math> ist dann z.B. auf dem Gebiet <math>G:= \mathbb{C} \setminus \{ z\in \mathbb{C} \, : \, z=\lambda \cdot z_0 \mbox{ mit } 0 \geq \lambda \in \R \}</math> definiert. === Bemerkung - Eindeutigkeitlemma für Logarithmuszweige === Das [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] zeigt, dass in einem Gebiet <math>G</math> mit <math>0\notin G</math> eine Teilmenge <math>G_0</math> finden kann, die die Spur eine konkreten gegebenen [[w:de:injektive Funktion|injektiven]] Weges <math>\gamma</math> überdecken, wobei <math>G_0</math> einfach zusammenhängend ist. Mit der Wahl eines [[einfach zusammenhängend]]en <math>G</math> als gegebenes Gebiet mit <math>0\notin G</math> und der Festlegung des Imaginärteiles des Logarithmuszweige für ein bestimmtes <math>z_0\in G</math> ist der gesamte [[Zweig des Logarithmus]] bereits eindeutig auf <math>G</math> definiert. [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma]] definiert damit auf Teilmengen <math>G_0</math> eines '''nicht notwendigerweise''' [[einfach zusammenhängend]]en <math>G</math> einen [[Zweig des Logarithmus]], während beim Identitätssatz das gegebene Gebiet bereits [[einfach zusammenhängend]] ist mit <math>0\notin G</math>. == Siehe auch == * [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * [[/generalisiert/|generalisierte Logarithmen]] * [[w:de:injektive Funktion|injektive]] bzw. [[w:de:surjektive Funktion|surjektive]] Funktionen * [[Logarithmus]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Lokale_Entwicklung_in_Potenzreihen|Lokale Entwicklung in Potenzreihen]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus Logarithmus] https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus * Datum: 31.7.2025 * [https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis/Logarithm]]</noinclude> [[Kategorie:Funktionentheorie]] hqjsqz7715jcc0zgfbgxzbqruyj9yen 106 167917 1116395 1076462 2026-10-16T10:02:17Z Bert Niehaus 20843 /* Zweig des Logarithmus - Stammfunktion */ 1116395 wikitext text/x-wiki == Entwicklung in Potenzreihe == Nun wird ein beliebiger Entwicklungspunkt <math>z_o \not= 0 </math> aus der komplexen Zahlenebene für die Darstellung von :<math>f(z)=\frac{1}{z}=\sum_{n=0}^\infty a_n\cdot (z-z_o)^n </math> in eine Potenzreihenentwicklung gewählt. Die Koeffizienten <math>a_n\in \mathbb{C} </math> werden über [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] berechnet. === Schritt 1 - geometrische Reihe === Der Grenzwert einer geometrischen Reihe lautet: :<math> \frac{1}{1-q} = \sum_{n=0}^\infty q^n </math> mit <math>q \in \mathbb{C} </math> und <math> |q|<1 </math>. Diese Reihendarstellung wird im Folgenden verwendet, um die Potenzreihe durch eine Umformung des Funktionsterms <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> in die Form <math> \frac{1}{1-q} </math> zu erhalten. === Schritt 2 - Konvergenzradius === Nun wird der Term <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> in einen Ausdruck der Form :<math>f(z)=\frac{1}{z}= a\cdot \frac{1}{1-q}</math> umgeformt, wobei <math>q:=\frac{z-z_o}{b}</math> als Quotient die Eigenschaft <math> |q| < 1 </math> bzw. <math> |z-z_o| < |b| </math> für die Konvergenz der geometrischen Reihe als Eigenschaft erfüllen muss. Der [[w:de:Konvergenzradius|Konvergenzradius]] ist damit <math>r=|b|</math>. === Schritt 3 - Vorzeichen von z=== Das Vorzeichen von <math>z</math> muss im Grenzwert der geometrischen Reihe <math> \frac{1}{1-q} = \sum_{n=0}^\infty q^n </math> negativ sein, da <math>q</math> als Quotient <math>q=\frac{z-z_o}{b}</math> mit <math>b \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> durch Umformungen erzeugt wird. Daher stellt man <math>\frac{1}{z}</math> in einem ersten Schritt als folgenden Bruch dar: :<math>f(z)=\frac{1}{z}= -\frac{1}{-z}</math> === Schritt 4 - Ergänzung der 0 === Für die Potenzreihe benötigt man den Term <math>z-z_o </math> für einen beliebigen Entwicklungspunkt <math>z_o\not= 0</math>. Daher ergänzt man im Nenner die <math>0 = z_o - z_o </math>. :<math>f(z)=\frac{1}{z}= -\frac{1}{-z} = -\frac{1}{(z_o-z_o)-z} = -\frac{1}{-z_o-(z-z_o)} </math> === Schritt 5 - Transformation Nenner in Grenzwert geometrischer Reihe === Für die Transformation des Nenners in der Grenzwert einer geometrischen Reihe <math> \frac{1}{1-q} = \sum_{n=0}^\infty q^n </math> ist es notwendig, den Faktor <math>-z_o</math> im Nenner auszuklammern, damit ein <math>1-q</math> im Nenner entsteht: :<math> \begin{array}{rcl} f(z) & = & -\frac{1}{-z_o-(z-z_o)} = -\frac{1}{(-z_o)\cdot \left( 1-\left( \frac{z-z_o}{-z_o} \right) \right)} \\ & = & \frac{1}{z_o} \cdot \frac{1}{ 1- \underbrace{\frac{z-z_o}{-z_o} }_{=q} } \\ \end{array} </math> === Schritt 6 - Darstellung als geometrische Reihe === Nun kann man den rechten Bruch als <math>\frac{1}{1-q}</math> interpretieren und als eine geometrische Reihe darstellen: :<math>f(z)= \frac{1}{z} = \frac{1}{z_o} \cdot \frac{1}{ 1- \underbrace{\frac{z-z_o}{-z_o} }_{=q} } = \frac{1}{z_o} \cdot \sum_{n=0}^\infty q^n </math> === Schritt 7 - Darstellung als geometrische Reihe === Die geometrische Reihe liefert nun die Potenzen <math>(z-z_o)^n</math>und der verbleibende Faktor bildet jeweils den Koeffizienten <math>a_n \in \mathbb{C}</math> der gesuchten Potenzreihe: :<math>f(z)= \frac{1}{z} = \frac{1}{z_o} \cdot \frac{1}{ 1- \underbrace{\frac{z-z_o}{-z_o} }_{=q} } = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1}} }_{=a_n} \cdot (z-z_o)^n </math> wobei <math>|q|:= \left|\frac{z-z_o}{-z_o} \right| < 1 </math> bzw. <math> \left|z-z_o \right| < |-z_o| = |z_o|</math> gilt. Dabei ist der Konvergenzradius der Abstand von <math> z_o\not= 0 </math> zur Singularität 0 von <math>f(z)</math>. === Bemerkung - Taylorreihe === Alternativ zu dem oben angegebenen Vorgehen kann man die Koeffizienten <math>a_n</math> auch über die [[w:de:Taylorreihe|Taylorreihenkoeffizienten]] mit <math> a_n= \frac{f^{(n)}(z_o)}{n!} </math> berechnen. <span id="Stammfunktion_Logarithmus"></span> == Zweig des Logarithmus - Stammfunktion == Mit der obigen Potenzreihendarstellung von <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> kann man <math>f</math> um jeden Punkt <math>z_o\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> die Funktion <math>f</math> in eine [[Potenzreihe]] entwickeln, wobei der Konvergenzradius der Reihe <math>r= |z_o| > 0 </math> ist. Ferner kann man damit auch die Potenzreihenentwicklung der lokalen Stammfunktion <math>F_{z_o}</math> von <math>f</math> angeben. :<math>F_{z_o}(z) = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1} \cdot (n+1)}}_{=a_n} \cdot (z-z_o)^{n+1} </math> === Aufgabe 1 - Stammfunktion als Logarithmuszweig === Für welches <math>z_0 \in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> ist <math>F_{z_0}</math> tatsächlich ein [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Zweig des Logarithmus]]? '''Hinweis:''' Nutzen Sie <math>\ln(1)=0</math> aus der reellen Analysis und die imaginäre Periodizität der Exponentialfunktion für Vielfache von <math>2\pi i </math>. === Aufgabe 2 - Unterschied Stammfunktion - Logarithmuszweig === Wie in Aufgabe 1 gesehen, ist <math>F_{z_0}</math> zwar immer eine Stammfunktion <math>f</math> aber nicht notwendigerweise auch ein [[Zweig des Logarithmus]]. Man erweitert in einem Fall die Integraldefinition aus Aufgabe 1 um eine Konstante <math>c\in \mathbb{C}</math> :<math>F_{z_o,c}(z) = c + \sum_{n=0}^\infty \underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1} \cdot (n+1)}}_{=a_n} \cdot (z-z_o)^{n+1} </math> Wie muss <math>c\in\mathbb{C}</math> für ein gegebenes <math>z_o\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> wählen, damit die Funktion <math>F_{z_o,c}</math> ein [[Zweig des Logarithmus]] ist? === Aufgabe 3 - Skizzieren des Gebietes === Skizzieren für ein festes <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> ein [[einfach zusammenhängend]]es Gebiet <math>G_{z_o}</math> auf denen die Funktion <math>F_{z_o,c}</math> ein [[Zweig des Logarithmus]] definiert wäre? == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele_für_Potenzreihenentwicklungen/Cauchy-Dichte|Cauchy-Dichte im Komplexen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiele%20f%C3%BCr%20Potenzreihenentwicklungen/Vorgehen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Vorgehen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiele%20f%C3%BCr%20Potenzreihenentwicklungen/Vorgehen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Vorgehen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Beispiele%20f%C3%BCr%20Potenzreihenentwicklungen/Vorgehen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Beispiele%20f%C3%BCr%20Potenzreihenentwicklungen/Vorgehen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Beispiele%20f%C3%BCr%20Potenzreihenentwicklungen/Vorgehen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Beispiele%20f%C3%BCr%20Potenzreihenentwicklungen/Vorgehen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiele%20f%C3%BCr%20Potenzreihenentwicklungen/Vorgehen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Vorgehen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis/Examples for Power Series/Approach]]</noinclude> c7auao0w6fqgdx56tstzbwhnt5kcmai 1116396 1116395 2026-10-16T10:06:58Z Bert Niehaus 20843 /* Entwicklung in Potenzreihe */ 1116396 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird <math>f(z)=\tfrac{1}{z}</math> in eine Potenzreihe entwickelt und die Potenzreihe summandenweise auf eine abgeschlossenen Kreisscheibe integriert. Die daraus entstandene Stammfunktion ist dabei nicht notwendigerweise ein [[Zweig des Logarithmus]], sondern erst durch Anpassung einer Konstanten wird aus der Stammfunktion von <math>f</math> ein [[Zweig des Logarithmus]]. Diese Lerneinheit fokussiert auf die Potenzreihenentwicklung im Zusammenhang mit der [[Cauchy-Integralformel]]. == Entwicklung in Potenzreihe == Nun wird ein beliebiger Entwicklungspunkt <math>z_o \not= 0 </math> aus der komplexen Zahlenebene für die Darstellung von :<math>f(z)=\frac{1}{z}=\sum_{n=0}^\infty a_n\cdot (z-z_o)^n </math> in eine Potenzreihenentwicklung gewählt. Die Koeffizienten <math>a_n\in \mathbb{C} </math> werden über [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] berechnet. === Schritt 1 - geometrische Reihe === Der Grenzwert einer geometrischen Reihe lautet: :<math> \frac{1}{1-q} = \sum_{n=0}^\infty q^n </math> mit <math>q \in \mathbb{C} </math> und <math> |q|<1 </math>. Diese Reihendarstellung wird im Folgenden verwendet, um die Potenzreihe durch eine Umformung des Funktionsterms <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> in die Form <math> \frac{1}{1-q} </math> zu erhalten. === Schritt 2 - Konvergenzradius === Nun wird der Term <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> in einen Ausdruck der Form :<math>f(z)=\frac{1}{z}= a\cdot \frac{1}{1-q}</math> umgeformt, wobei <math>q:=\frac{z-z_o}{b}</math> als Quotient die Eigenschaft <math> |q| < 1 </math> bzw. <math> |z-z_o| < |b| </math> für die Konvergenz der geometrischen Reihe als Eigenschaft erfüllen muss. Der [[w:de:Konvergenzradius|Konvergenzradius]] ist damit <math>r=|b|</math>. === Schritt 3 - Vorzeichen von z=== Das Vorzeichen von <math>z</math> muss im Grenzwert der geometrischen Reihe <math> \frac{1}{1-q} = \sum_{n=0}^\infty q^n </math> negativ sein, da <math>q</math> als Quotient <math>q=\frac{z-z_o}{b}</math> mit <math>b \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> durch Umformungen erzeugt wird. Daher stellt man <math>\frac{1}{z}</math> in einem ersten Schritt als folgenden Bruch dar: :<math>f(z)=\frac{1}{z}= -\frac{1}{-z}</math> === Schritt 4 - Ergänzung der 0 === Für die Potenzreihe benötigt man den Term <math>z-z_o </math> für einen beliebigen Entwicklungspunkt <math>z_o\not= 0</math>. Daher ergänzt man im Nenner die <math>0 = z_o - z_o </math>. :<math>f(z)=\frac{1}{z}= -\frac{1}{-z} = -\frac{1}{(z_o-z_o)-z} = -\frac{1}{-z_o-(z-z_o)} </math> === Schritt 5 - Transformation Nenner in Grenzwert geometrischer Reihe === Für die Transformation des Nenners in der Grenzwert einer geometrischen Reihe <math> \frac{1}{1-q} = \sum_{n=0}^\infty q^n </math> ist es notwendig, den Faktor <math>-z_o</math> im Nenner auszuklammern, damit ein <math>1-q</math> im Nenner entsteht: :<math> \begin{array}{rcl} f(z) & = & -\frac{1}{-z_o-(z-z_o)} = -\frac{1}{(-z_o)\cdot \left( 1-\left( \frac{z-z_o}{-z_o} \right) \right)} \\ & = & \frac{1}{z_o} \cdot \frac{1}{ 1- \underbrace{\frac{z-z_o}{-z_o} }_{=q} } \\ \end{array} </math> === Schritt 6 - Darstellung als geometrische Reihe === Nun kann man den rechten Bruch als <math>\frac{1}{1-q}</math> interpretieren und als eine geometrische Reihe darstellen: :<math>f(z)= \frac{1}{z} = \frac{1}{z_o} \cdot \frac{1}{ 1- \underbrace{\frac{z-z_o}{-z_o} }_{=q} } = \frac{1}{z_o} \cdot \sum_{n=0}^\infty q^n </math> === Schritt 7 - Darstellung als geometrische Reihe === Die geometrische Reihe liefert nun die Potenzen <math>(z-z_o)^n</math>und der verbleibende Faktor bildet jeweils den Koeffizienten <math>a_n \in \mathbb{C}</math> der gesuchten Potenzreihe: :<math>f(z)= \frac{1}{z} = \frac{1}{z_o} \cdot \frac{1}{ 1- \underbrace{\frac{z-z_o}{-z_o} }_{=q} } = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1}} }_{=a_n} \cdot (z-z_o)^n </math> wobei <math>|q|:= \left|\frac{z-z_o}{-z_o} \right| < 1 </math> bzw. <math> \left|z-z_o \right| < |-z_o| = |z_o|</math> gilt. Dabei ist der Konvergenzradius der Abstand von <math> z_o\not= 0 </math> zur Singularität 0 von <math>f(z)</math>. === Bemerkung - Taylorreihe === Alternativ zu dem oben angegebenen Vorgehen kann man die Koeffizienten <math>a_n</math> auch über die [[w:de:Taylorreihe|Taylorreihenkoeffizienten]] mit <math> a_n= \frac{f^{(n)}(z_o)}{n!} </math> berechnen. <span id="Stammfunktion_Logarithmus"></span> == Zweig des Logarithmus - Stammfunktion == Mit der obigen Potenzreihendarstellung von <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> kann man <math>f</math> um jeden Punkt <math>z_o\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> die Funktion <math>f</math> in eine [[Potenzreihe]] entwickeln, wobei der Konvergenzradius der Reihe <math>r= |z_o| > 0 </math> ist. Ferner kann man damit auch die Potenzreihenentwicklung der lokalen Stammfunktion <math>F_{z_o}</math> von <math>f</math> angeben. :<math>F_{z_o}(z) = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1} \cdot (n+1)}}_{=a_n} \cdot (z-z_o)^{n+1} </math> === Aufgabe 1 - Stammfunktion als Logarithmuszweig === Für welches <math>z_0 \in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> ist <math>F_{z_0}</math> tatsächlich ein [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Zweig des Logarithmus]]? '''Hinweis:''' Nutzen Sie <math>\ln(1)=0</math> aus der reellen Analysis und die imaginäre Periodizität der Exponentialfunktion für Vielfache von <math>2\pi i </math>. === Aufgabe 2 - Unterschied Stammfunktion - Logarithmuszweig === Wie in Aufgabe 1 gesehen, ist <math>F_{z_0}</math> zwar immer eine Stammfunktion <math>f</math> aber nicht notwendigerweise auch ein [[Zweig des Logarithmus]]. Man erweitert in einem Fall die Integraldefinition aus Aufgabe 1 um eine Konstante <math>c\in \mathbb{C}</math> :<math>F_{z_o,c}(z) = c + \sum_{n=0}^\infty \underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1} \cdot (n+1)}}_{=a_n} \cdot (z-z_o)^{n+1} </math> Wie muss <math>c\in\mathbb{C}</math> für ein gegebenes <math>z_o\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> wählen, damit die Funktion <math>F_{z_o,c}</math> ein [[Zweig des Logarithmus]] ist? === Aufgabe 3 - Skizzieren des Gebietes === Skizzieren für ein festes <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> ein [[einfach zusammenhängend]]es Gebiet <math>G_{z_o}</math> auf denen die Funktion <math>F_{z_o,c}</math> ein [[Zweig des Logarithmus]] definiert wäre? == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele_für_Potenzreihenentwicklungen/Cauchy-Dichte|Cauchy-Dichte im Komplexen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiele%20f%C3%BCr%20Potenzreihenentwicklungen/Vorgehen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Vorgehen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiele%20f%C3%BCr%20Potenzreihenentwicklungen/Vorgehen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Vorgehen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Beispiele%20f%C3%BCr%20Potenzreihenentwicklungen/Vorgehen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Beispiele%20f%C3%BCr%20Potenzreihenentwicklungen/Vorgehen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Beispiele%20f%C3%BCr%20Potenzreihenentwicklungen/Vorgehen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Beispiele%20f%C3%BCr%20Potenzreihenentwicklungen/Vorgehen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiele%20f%C3%BCr%20Potenzreihenentwicklungen/Vorgehen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Vorgehen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis/Examples for Power Series/Approach]]</noinclude> oyfxg1k72yabspaedrgn2p7u9uspdel 1116397 1116396 2026-10-16T10:07:53Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1116397 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird <math>f(z)=\tfrac{1}{z}</math> in eine Potenzreihe entwickelt und die Potenzreihe summandenweise auf eine abgeschlossenen Kreisscheibe integriert. Die daraus entstandene Stammfunktion ist dabei nicht notwendigerweise ein [[Zweig des Logarithmus]], sondern erst durch Anpassung einer Konstanten wird aus der Stammfunktion von <math>f</math> ein [[Zweig des Logarithmus]]. Diese Lerneinheit fokussiert auf die Potenzreihenentwicklung im Zusammenhang mit der [[Cauchy-Integralformel]]. == Entwicklung in Potenzreihe == Nun wird ein beliebiger Entwicklungspunkt <math>z_o \not= 0 </math> aus der komplexen Zahlenebene für die Darstellung von :<math>f(z)=\frac{1}{z}=\sum_{n=0}^\infty a_n\cdot (z-z_o)^n </math> in eine Potenzreihenentwicklung gewählt. Die Koeffizienten <math>a_n\in \mathbb{C} </math> werden über [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] berechnet. === Schritt 1 - geometrische Reihe === Der Grenzwert einer geometrischen Reihe lautet: :<math> \frac{1}{1-q} = \sum_{n=0}^\infty q^n </math> mit <math>q \in \mathbb{C} </math> und <math> |q|<1 </math>. Diese Reihendarstellung wird im Folgenden verwendet, um die Potenzreihe durch eine Umformung des Funktionsterms <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> in die Form <math> \frac{1}{1-q} </math> zu erhalten. === Schritt 2 - Konvergenzradius === Nun wird der Term <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> in einen Ausdruck der Form :<math>f(z)=\frac{1}{z}= a\cdot \frac{1}{1-q}</math> umgeformt, wobei <math>q:=\frac{z-z_o}{b}</math> als Quotient die Eigenschaft <math> |q| < 1 </math> bzw. <math> |z-z_o| < |b| </math> für die Konvergenz der geometrischen Reihe als Eigenschaft erfüllen muss. Der [[w:de:Konvergenzradius|Konvergenzradius]] ist damit <math>r=|b|</math>. === Schritt 3 - Vorzeichen von z=== Das Vorzeichen von <math>z</math> muss im Grenzwert der geometrischen Reihe <math> \frac{1}{1-q} = \sum_{n=0}^\infty q^n </math> negativ sein, da <math>q</math> als Quotient <math>q=\frac{z-z_o}{b}</math> mit <math>b \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> durch Umformungen erzeugt wird. Daher stellt man <math>\frac{1}{z}</math> in einem ersten Schritt als folgenden Bruch dar: :<math>f(z)=\frac{1}{z}= -\frac{1}{-z}</math> === Schritt 4 - Ergänzung der 0 === Für die Potenzreihe benötigt man den Term <math>z-z_o </math> für einen beliebigen Entwicklungspunkt <math>z_o\not= 0</math>. Daher ergänzt man im Nenner die <math>0 = z_o - z_o </math>. :<math>f(z)=\frac{1}{z}= -\frac{1}{-z} = -\frac{1}{(z_o-z_o)-z} = -\frac{1}{-z_o-(z-z_o)} </math> === Schritt 5 - Transformation Nenner in Grenzwert geometrischer Reihe === Für die Transformation des Nenners in der Grenzwert einer geometrischen Reihe <math> \frac{1}{1-q} = \sum_{n=0}^\infty q^n </math> ist es notwendig, den Faktor <math>-z_o</math> im Nenner auszuklammern, damit ein <math>1-q</math> im Nenner entsteht: :<math> \begin{array}{rcl} f(z) & = & -\frac{1}{-z_o-(z-z_o)} = -\frac{1}{(-z_o)\cdot \left( 1-\left( \frac{z-z_o}{-z_o} \right) \right)} \\ & = & \frac{1}{z_o} \cdot \frac{1}{ 1- \underbrace{\frac{z-z_o}{-z_o} }_{=q} } \\ \end{array} </math> === Schritt 6 - Darstellung als geometrische Reihe === Nun kann man den rechten Bruch als <math>\frac{1}{1-q}</math> interpretieren und als eine geometrische Reihe darstellen: :<math>f(z)= \frac{1}{z} = \frac{1}{z_o} \cdot \frac{1}{ 1- \underbrace{\frac{z-z_o}{-z_o} }_{=q} } = \frac{1}{z_o} \cdot \sum_{n=0}^\infty q^n </math> === Schritt 7 - Darstellung als geometrische Reihe === Die geometrische Reihe liefert nun die Potenzen <math>(z-z_o)^n</math>und der verbleibende Faktor bildet jeweils den Koeffizienten <math>a_n \in \mathbb{C}</math> der gesuchten Potenzreihe: :<math>f(z)= \frac{1}{z} = \frac{1}{z_o} \cdot \frac{1}{ 1- \underbrace{\frac{z-z_o}{-z_o} }_{=q} } = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1}} }_{=a_n} \cdot (z-z_o)^n </math> wobei <math>|q|:= \left|\frac{z-z_o}{-z_o} \right| < 1 </math> bzw. <math> \left|z-z_o \right| < |-z_o| = |z_o|</math> gilt. Dabei ist der Konvergenzradius der Abstand von <math> z_o\not= 0 </math> zur Singularität 0 von <math>f(z)</math>. === Bemerkung - Taylorreihe === Alternativ zu dem oben angegebenen Vorgehen kann man die Koeffizienten <math>a_n</math> auch über die [[w:de:Taylorreihe|Taylorreihenkoeffizienten]] mit <math> a_n= \frac{f^{(n)}(z_o)}{n!} </math> berechnen. <span id="Stammfunktion_Logarithmus"></span> == Zweig des Logarithmus - Stammfunktion == Mit der obigen Potenzreihendarstellung von <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> kann man <math>f</math> um jeden Punkt <math>z_o\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> die Funktion <math>f</math> in eine [[Potenzreihe]] entwickeln, wobei der Konvergenzradius der Reihe <math>r= |z_o| > 0 </math> ist. Ferner kann man damit auch die Potenzreihenentwicklung der lokalen Stammfunktion <math>F_{z_o}</math> von <math>f</math> angeben. :<math>F_{z_o}(z) = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1} \cdot (n+1)}}_{=a_n} \cdot (z-z_o)^{n+1} </math> === Aufgabe 1 - Stammfunktion als Logarithmuszweig === Für welches <math>z_0 \in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> ist <math>F_{z_0}</math> tatsächlich ein [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Zweig des Logarithmus]]? '''Hinweis:''' Nutzen Sie <math>\ln(1)=0</math> aus der reellen Analysis und die imaginäre Periodizität der Exponentialfunktion für Vielfache von <math>2\pi i </math>. === Aufgabe 2 - Unterschied Stammfunktion - Logarithmuszweig === Wie in Aufgabe 1 gesehen, ist <math>F_{z_0}</math> zwar immer eine Stammfunktion <math>f</math> aber nicht notwendigerweise auch ein [[Zweig des Logarithmus]]. Man erweitert in einem Fall die Integraldefinition aus Aufgabe 1 um eine Konstante <math>c\in \mathbb{C}</math> :<math>F_{z_o,c}(z) = c + \sum_{n=0}^\infty \underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1} \cdot (n+1)}}_{=a_n} \cdot (z-z_o)^{n+1} </math> Wie muss <math>c\in\mathbb{C}</math> für ein gegebenes <math>z_o\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> wählen, damit die Funktion <math>F_{z_o,c}</math> ein [[Zweig des Logarithmus]] ist? === Aufgabe 3 - Skizzieren des Gebietes === Skizzieren für ein festes <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> ein [[einfach zusammenhängend]]es Gebiet <math>G_{z_o}</math> auf denen die Funktion <math>F_{z_o,c}</math> ein [[Zweig des Logarithmus]] definiert wäre? == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele_für_Potenzreihenentwicklungen/Cauchy-Dichte|Cauchy-Dichte im Komplexen]] * [[Cauchy-Integralformel]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] * [[Potenzreihenentwicklung für holomorphe Funktionen]] die == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiele%20f%C3%BCr%20Potenzreihenentwicklungen/Vorgehen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Vorgehen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiele%20f%C3%BCr%20Potenzreihenentwicklungen/Vorgehen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Vorgehen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Beispiele%20f%C3%BCr%20Potenzreihenentwicklungen/Vorgehen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Beispiele%20f%C3%BCr%20Potenzreihenentwicklungen/Vorgehen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Beispiele%20f%C3%BCr%20Potenzreihenentwicklungen/Vorgehen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Beispiele%20f%C3%BCr%20Potenzreihenentwicklungen/Vorgehen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiele%20f%C3%BCr%20Potenzreihenentwicklungen/Vorgehen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Vorgehen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis/Examples for Power Series/Approach]]</noinclude> gbg7wq6v8aoaxrmiha6q9qazvya5qe8 1116398 1116397 2026-10-16T10:08:10Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1116398 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird <math>f(z)=\tfrac{1}{z}</math> in eine Potenzreihe entwickelt und die Potenzreihe summandenweise auf eine abgeschlossenen Kreisscheibe integriert. Die daraus entstandene Stammfunktion ist dabei nicht notwendigerweise ein [[Zweig des Logarithmus]], sondern erst durch Anpassung einer Konstanten wird aus der Stammfunktion von <math>f</math> ein [[Zweig des Logarithmus]]. Diese Lerneinheit fokussiert auf die Potenzreihenentwicklung im Zusammenhang mit der [[Cauchy-Integralformel]]. == Entwicklung in Potenzreihe == Nun wird ein beliebiger Entwicklungspunkt <math>z_o \not= 0 </math> aus der komplexen Zahlenebene für die Darstellung von :<math>f(z)=\frac{1}{z}=\sum_{n=0}^\infty a_n\cdot (z-z_o)^n </math> in eine Potenzreihenentwicklung gewählt. Die Koeffizienten <math>a_n\in \mathbb{C} </math> werden über [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] berechnet. === Schritt 1 - geometrische Reihe === Der Grenzwert einer geometrischen Reihe lautet: :<math> \frac{1}{1-q} = \sum_{n=0}^\infty q^n </math> mit <math>q \in \mathbb{C} </math> und <math> |q|<1 </math>. Diese Reihendarstellung wird im Folgenden verwendet, um die Potenzreihe durch eine Umformung des Funktionsterms <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> in die Form <math> \frac{1}{1-q} </math> zu erhalten. === Schritt 2 - Konvergenzradius === Nun wird der Term <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> in einen Ausdruck der Form :<math>f(z)=\frac{1}{z}= a\cdot \frac{1}{1-q}</math> umgeformt, wobei <math>q:=\frac{z-z_o}{b}</math> als Quotient die Eigenschaft <math> |q| < 1 </math> bzw. <math> |z-z_o| < |b| </math> für die Konvergenz der geometrischen Reihe als Eigenschaft erfüllen muss. Der [[w:de:Konvergenzradius|Konvergenzradius]] ist damit <math>r=|b|</math>. === Schritt 3 - Vorzeichen von z=== Das Vorzeichen von <math>z</math> muss im Grenzwert der geometrischen Reihe <math> \frac{1}{1-q} = \sum_{n=0}^\infty q^n </math> negativ sein, da <math>q</math> als Quotient <math>q=\frac{z-z_o}{b}</math> mit <math>b \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> durch Umformungen erzeugt wird. Daher stellt man <math>\frac{1}{z}</math> in einem ersten Schritt als folgenden Bruch dar: :<math>f(z)=\frac{1}{z}= -\frac{1}{-z}</math> === Schritt 4 - Ergänzung der 0 === Für die Potenzreihe benötigt man den Term <math>z-z_o </math> für einen beliebigen Entwicklungspunkt <math>z_o\not= 0</math>. Daher ergänzt man im Nenner die <math>0 = z_o - z_o </math>. :<math>f(z)=\frac{1}{z}= -\frac{1}{-z} = -\frac{1}{(z_o-z_o)-z} = -\frac{1}{-z_o-(z-z_o)} </math> === Schritt 5 - Transformation Nenner in Grenzwert geometrischer Reihe === Für die Transformation des Nenners in der Grenzwert einer geometrischen Reihe <math> \frac{1}{1-q} = \sum_{n=0}^\infty q^n </math> ist es notwendig, den Faktor <math>-z_o</math> im Nenner auszuklammern, damit ein <math>1-q</math> im Nenner entsteht: :<math> \begin{array}{rcl} f(z) & = & -\frac{1}{-z_o-(z-z_o)} = -\frac{1}{(-z_o)\cdot \left( 1-\left( \frac{z-z_o}{-z_o} \right) \right)} \\ & = & \frac{1}{z_o} \cdot \frac{1}{ 1- \underbrace{\frac{z-z_o}{-z_o} }_{=q} } \\ \end{array} </math> === Schritt 6 - Darstellung als geometrische Reihe === Nun kann man den rechten Bruch als <math>\frac{1}{1-q}</math> interpretieren und als eine geometrische Reihe darstellen: :<math>f(z)= \frac{1}{z} = \frac{1}{z_o} \cdot \frac{1}{ 1- \underbrace{\frac{z-z_o}{-z_o} }_{=q} } = \frac{1}{z_o} \cdot \sum_{n=0}^\infty q^n </math> === Schritt 7 - Darstellung als geometrische Reihe === Die geometrische Reihe liefert nun die Potenzen <math>(z-z_o)^n</math>und der verbleibende Faktor bildet jeweils den Koeffizienten <math>a_n \in \mathbb{C}</math> der gesuchten Potenzreihe: :<math>f(z)= \frac{1}{z} = \frac{1}{z_o} \cdot \frac{1}{ 1- \underbrace{\frac{z-z_o}{-z_o} }_{=q} } = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1}} }_{=a_n} \cdot (z-z_o)^n </math> wobei <math>|q|:= \left|\frac{z-z_o}{-z_o} \right| < 1 </math> bzw. <math> \left|z-z_o \right| < |-z_o| = |z_o|</math> gilt. Dabei ist der Konvergenzradius der Abstand von <math> z_o\not= 0 </math> zur Singularität 0 von <math>f(z)</math>. === Bemerkung - Taylorreihe === Alternativ zu dem oben angegebenen Vorgehen kann man die Koeffizienten <math>a_n</math> auch über die [[w:de:Taylorreihe|Taylorreihenkoeffizienten]] mit <math> a_n= \frac{f^{(n)}(z_o)}{n!} </math> berechnen. <span id="Stammfunktion_Logarithmus"></span> == Zweig des Logarithmus - Stammfunktion == Mit der obigen Potenzreihendarstellung von <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> kann man <math>f</math> um jeden Punkt <math>z_o\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> die Funktion <math>f</math> in eine [[Potenzreihe]] entwickeln, wobei der Konvergenzradius der Reihe <math>r= |z_o| > 0 </math> ist. Ferner kann man damit auch die Potenzreihenentwicklung der lokalen Stammfunktion <math>F_{z_o}</math> von <math>f</math> angeben. :<math>F_{z_o}(z) = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1} \cdot (n+1)}}_{=a_n} \cdot (z-z_o)^{n+1} </math> === Aufgabe 1 - Stammfunktion als Logarithmuszweig === Für welches <math>z_0 \in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> ist <math>F_{z_0}</math> tatsächlich ein [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Zweig des Logarithmus]]? '''Hinweis:''' Nutzen Sie <math>\ln(1)=0</math> aus der reellen Analysis und die imaginäre Periodizität der Exponentialfunktion für Vielfache von <math>2\pi i </math>. === Aufgabe 2 - Unterschied Stammfunktion - Logarithmuszweig === Wie in Aufgabe 1 gesehen, ist <math>F_{z_0}</math> zwar immer eine Stammfunktion <math>f</math> aber nicht notwendigerweise auch ein [[Zweig des Logarithmus]]. Man erweitert in einem Fall die Integraldefinition aus Aufgabe 1 um eine Konstante <math>c\in \mathbb{C}</math> :<math>F_{z_o,c}(z) = c + \sum_{n=0}^\infty \underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1} \cdot (n+1)}}_{=a_n} \cdot (z-z_o)^{n+1} </math> Wie muss <math>c\in\mathbb{C}</math> für ein gegebenes <math>z_o\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> wählen, damit die Funktion <math>F_{z_o,c}</math> ein [[Zweig des Logarithmus]] ist? === Aufgabe 3 - Skizzieren des Gebietes === Skizzieren für ein festes <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> ein [[einfach zusammenhängend]]es Gebiet <math>G_{z_o}</math> auf denen die Funktion <math>F_{z_o,c}</math> ein [[Zweig des Logarithmus]] definiert wäre? == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele_für_Potenzreihenentwicklungen/Cauchy-Dichte|Cauchy-Dichte im Komplexen]] * [[Cauchy-Integralformel]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] * [[Potenzreihenentwicklung für holomorphe Funktionen]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiele%20f%C3%BCr%20Potenzreihenentwicklungen/Vorgehen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Vorgehen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiele%20f%C3%BCr%20Potenzreihenentwicklungen/Vorgehen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Vorgehen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Beispiele%20f%C3%BCr%20Potenzreihenentwicklungen/Vorgehen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Beispiele%20f%C3%BCr%20Potenzreihenentwicklungen/Vorgehen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Beispiele%20f%C3%BCr%20Potenzreihenentwicklungen/Vorgehen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Beispiele%20f%C3%BCr%20Potenzreihenentwicklungen/Vorgehen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiele%20f%C3%BCr%20Potenzreihenentwicklungen/Vorgehen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Vorgehen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis/Examples for Power Series/Approach]]</noinclude> g2lm444y9n68w1mr1k4qeljeoptjehg 0 168221 1116400 1115137 2026-10-16T10:10:22Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1116400 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Aus der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] sind Wege <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C} </math> stetige Abbildungen von einem Intervall <math>[a,b]\subset \mathbb{R}</math> in die komplexen Zahlen. Diese Grundidee existiert in der mehrdimensionalen reellen Analysis unter dem Begriff "Kurven im <math>\mathbb{R}^n</math>. In dieser Lerneinheit wird diese Grundidee auf Wertbereiche von Wegen ausgedehnt, die [[topologischer Vektorraum|topologische Vektorräume]] sind. Ferner wird in dieser Lerneinheit auch die klassische Wegdefinition auf einem Intervall <math>[a,b]</math> [[parametrisch unendlicher Weg|parametrisch unendliche Wege]] ausgedehnt, um das Grenzwertverhalten für <math>t\to +\infty </math> bzw. <math>t\to -\infty </math> untersuchen zu können. == Definition - Weg im topologischen Vektorraum == Sei <math display="inline">(V,\mathcal{T})</math> ein [[topologischer Vektorraum]] über dem Körper <math>\mathbb{K}</math>. Ein Weg <math>\gamma : [a,b]\to V</math> in ein Vektorraum ist eine [[Stetigkeit|stetige Abbildung]] bzgl. der Vektorraumtopologie <math>\mathcal{T}</math>. <span id="Spur"></span> == Definition - Spur eines Weges == Sei <math display="inline">(V,\mathcal{T})</math> ein [[topologischer Vektorraum]] über dem Körper <math>\mathbb{K}</math>. Die Spur eines Weges <math>\gamma : [a,b]\to V</math> in einem Vektorraum ist als Bildmenge von <math>\gamma</math> in <math>V</math> wie folgt definiert: :<math> Spur(\gamma) := \{\gamma(t) \in V \ : \ t \in [a,b]\} </math> <span id="Graph"></span> == Definition - Graph eines Weges == Sei <math display="inline">(V,\mathcal{T})</math> ein [[topologischer Vektorraum]] über dem Körper <math>\mathbb{K}</math>. Der Graph eines Weges <math>\gamma : [a,b]\to V</math> in einem Vektorraum ist als Teilmenge des Kreuzproduktes von <math>[a,b] \times V</math> wie folgt definiert: :<math> Graph(\gamma) := \{(t,\gamma(t)) \in [a,b]\times V \ : \ t \in [a,b]\} </math> == Definition - Anfangs- Endpunkt eines Weges == Sei <math>\gamma : [a,b] \to V</math> ein Weg in einem [[topologischer Vektorraum|topologischen Vektorraum]] <math>G\subseteq \mathbb{C}</math>. Der Anfangspunkt/Startpunkt des [[Weg (Mathematik)|Weges]] ist <math>v_{_A} := \gamma(a)\in G </math> und der Endpunktist <math>v_{_E} := \gamma(b)\in G </math>. Ohne Angabe der Parametrisierung bezeichnet <math>\mathfrak{A}(\gamma):=v_{_A}</math> und <math>\mathfrak{E}(\gamma):=v_{_E}</math>. == Beispiel - Weg in Funktionenräumen == Einen Weg <math>\gamma : [\alpha,\beta] \to V</math>in einem Funktionenraum kann man z.B. als [[Konvexkombination]] von zwei Funktionen auffassen. Das Intervall des Definitionsbereiches vom Weg <math>[\alpha,\beta] \subset \mathbb{R}</math> anders bezeichnet werden, da <math>[a,b]</math> hier als Definitionsbereich der Funktionen im Funktionenraum aufgefasst wird. === Definition der Funktionen === Z.B. seien <math>f,g \in V:=\mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math>, so entsteht mit <math>\lambda_1, \lambda_2 \in [0,1]</math> und <math>\lambda_1 + \lambda_2=1</math> eine neue Funktion <math>h_t \in V</math> mit: :<math> h_t:= (1-t)\cdot f + t \cdot g </math> Der Index <math>t</math> in <math>h_t</math> wird verwendet, da in Abhängigkeit von <math>t</math> eine andere Funktion <math>h_t</math> definiert wird. === Beispiel für Konvexkombinationen von Funktionen === Sei <math>[a,b]=[4,7]</math> und als erste Funktion <math>f:[a,b]\to \mathbb{R}</math> wird ein Polynom definiert. :<math> f(x):= \frac{3}{10} \cdot x^2 - 2 </math> Als zweite Funktion wird eine trigonometrische Funktion <math>g:[a,b]\to \mathbb{R}</math> gewählt. :<math> g(x):= 2 \cdot cos(x) + 1 </math> Die folgende Abbildung veranschaulicht die Konvexkombination <math>K(t):= (1-t)\cdot f + t \cdot g </math> === Animation für Konvexkomobinationen von Funktionen === Die folgende Animation zeigt mehrere Konvexkombinationen von zwei gegebenen Funktionen<ref>Bert Niehaus (2022) Konvexkombination von zwei Funktionen in einem Vektorraum von Funktionen - URL: https://www.geogebra.org/m/kkuufrck (Aufgerufen 14.01.2022 - 15:20 )</ref> in einem [[Funktionenraum]]. [[Datei:Convex combination 1 ord functions with geogebra.gif|450px|gerahmt|zentriert|[https://www.geogebra.org/m/kkuufrck Konvexkombination von zwei Funktionen] in Geogebra]] '''Geogebra:''' [https://www.geogebra.org/m/kkuufrck Interaktives Applet] - '''Download:''' [https://niebert.github.io/wikiversity_files/de/Konvexkombination/Convex_combination_of_functions_sin_xsquare.ggb Geogebra-File] === Bemerkung - Deformation === Wenn die erste Funktion <math>f</math> die Ausgangsform beschreibt und <math>g</math> die Zielform, kann man Konvexkombinationen z.B. in der Computer-Graphik für die Deformation einer Ausgangsform in eine Zielform beschreiben. == Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Funktionenraum]] * [[holomorphe Funktion als Vektorfeld]] * [[Injektivitätslemma für Weg]] * [[Konvexkombination]] * [[Weg (Mathematik)/parametrisch unendlich|parametrisch unendliche Wege]] * [[topologischer Vektorraum]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Wegintegral]] === Folien === * '''[[Weg (Mathematik)/parametrisch unendlich|parametrisch unendliche Wege]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg%20(Mathematik)/parametrisch%20unendlich&author=Weg%20(Mathematik)&language=de&audioslide=yes&shorttitle=parametrisch%20unendlich&coursetitle=Weg%20(Mathematik) Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] 7yh82yxlqjaf1f3nvu2l6ne8umdhgwu 1116401 1116400 2026-10-16T10:10:34Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1116401 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Aus der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] sind Wege <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C} </math> stetige Abbildungen von einem Intervall <math>[a,b]\subset \mathbb{R}</math> in die komplexen Zahlen. Diese Grundidee existiert in der mehrdimensionalen reellen Analysis unter dem Begriff "Kurven im <math>\mathbb{R}^n</math>. In dieser Lerneinheit wird diese Grundidee auf Wertbereiche von Wegen ausgedehnt, die [[topologischer Vektorraum|topologische Vektorräume]] sind. Ferner wird in dieser Lerneinheit auch die klassische Wegdefinition auf einem Intervall <math>[a,b]</math> [[parametrisch unendlicher Weg|parametrisch unendliche Wege]] ausgedehnt, um das Grenzwertverhalten für <math>t\to +\infty </math> bzw. <math>t\to -\infty </math> untersuchen zu können. == Definition - Weg im topologischen Vektorraum == Sei <math display="inline">(V,\mathcal{T})</math> ein [[topologischer Vektorraum]] über dem Körper <math>\mathbb{K}</math>. Ein Weg <math>\gamma : [a,b]\to V</math> in ein Vektorraum ist eine [[Stetigkeit|stetige Abbildung]] bzgl. der Vektorraumtopologie <math>\mathcal{T}</math>. <span id="Spur"></span> == Definition - Spur eines Weges == Sei <math display="inline">(V,\mathcal{T})</math> ein [[topologischer Vektorraum]] über dem Körper <math>\mathbb{K}</math>. Die Spur eines Weges <math>\gamma : [a,b]\to V</math> in einem Vektorraum ist als Bildmenge von <math>\gamma</math> in <math>V</math> wie folgt definiert: :<math> Spur(\gamma) := \{\gamma(t) \in V \ : \ t \in [a,b]\} </math> <span id="Graph"></span> == Definition - Graph eines Weges == Sei <math display="inline">(V,\mathcal{T})</math> ein [[topologischer Vektorraum]] über dem Körper <math>\mathbb{K}</math>. Der Graph eines Weges <math>\gamma : [a,b]\to V</math> in einem Vektorraum ist als Teilmenge des Kreuzproduktes von <math>[a,b] \times V</math> wie folgt definiert: :<math> Graph(\gamma) := \{(t,\gamma(t)) \in [a,b]\times V \ : \ t \in [a,b]\} </math> == Definition - Anfangs- Endpunkt eines Weges == Sei <math>\gamma : [a,b] \to V</math> ein Weg in einem [[topologischer Vektorraum|topologischen Vektorraum]] <math>G\subseteq \mathbb{C}</math>. Der Anfangspunkt/Startpunkt des [[Weg (Mathematik)|Weges]] ist <math>v_{_A} := \gamma(a)\in G </math> und der Endpunktist <math>v_{_E} := \gamma(b)\in G </math>. Ohne Angabe der Parametrisierung bezeichnet <math>\mathfrak{A}(\gamma):=v_{_A}</math> und <math>\mathfrak{E}(\gamma):=v_{_E}</math>. == Beispiel - Weg in Funktionenräumen == Einen Weg <math>\gamma : [\alpha,\beta] \to V</math>in einem Funktionenraum kann man z.B. als [[Konvexkombination]] von zwei Funktionen auffassen. Das Intervall des Definitionsbereiches vom Weg <math>[\alpha,\beta] \subset \mathbb{R}</math> anders bezeichnet werden, da <math>[a,b]</math> hier als Definitionsbereich der Funktionen im Funktionenraum aufgefasst wird. === Definition der Funktionen === Z.B. seien <math>f,g \in V:=\mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math>, so entsteht mit <math>\lambda_1, \lambda_2 \in [0,1]</math> und <math>\lambda_1 + \lambda_2=1</math> eine neue Funktion <math>h_t \in V</math> mit: :<math> h_t:= (1-t)\cdot f + t \cdot g </math> Der Index <math>t</math> in <math>h_t</math> wird verwendet, da in Abhängigkeit von <math>t</math> eine andere Funktion <math>h_t</math> definiert wird. === Beispiel für Konvexkombinationen von Funktionen === Sei <math>[a,b]=[4,7]</math> und als erste Funktion <math>f:[a,b]\to \mathbb{R}</math> wird ein Polynom definiert. :<math> f(x):= \frac{3}{10} \cdot x^2 - 2 </math> Als zweite Funktion wird eine trigonometrische Funktion <math>g:[a,b]\to \mathbb{R}</math> gewählt. :<math> g(x):= 2 \cdot cos(x) + 1 </math> Die folgende Abbildung veranschaulicht die Konvexkombination <math>K(t):= (1-t)\cdot f + t \cdot g </math> === Animation für Konvexkomobinationen von Funktionen === Die folgende Animation zeigt mehrere Konvexkombinationen von zwei gegebenen Funktionen<ref>Bert Niehaus (2022) Konvexkombination von zwei Funktionen in einem Vektorraum von Funktionen - URL: https://www.geogebra.org/m/kkuufrck (Aufgerufen 14.01.2022 - 15:20 )</ref> in einem [[Funktionenraum]]. [[Datei:Convex combination 1 ord functions with geogebra.gif|450px|gerahmt|zentriert|[https://www.geogebra.org/m/kkuufrck Konvexkombination von zwei Funktionen] in Geogebra]] '''Geogebra:''' [https://www.geogebra.org/m/kkuufrck Interaktives Applet] - '''Download:''' [https://niebert.github.io/wikiversity_files/de/Konvexkombination/Convex_combination_of_functions_sin_xsquare.ggb Geogebra-File] === Bemerkung - Deformation === Wenn die erste Funktion <math>f</math> die Ausgangsform beschreibt und <math>g</math> die Zielform, kann man Konvexkombinationen z.B. in der Computer-Graphik für die Deformation einer Ausgangsform in eine Zielform beschreiben. == Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Funktionenraum]] * [[holomorphe Funktion als Vektorfeld]] * [[Injektivitätslemma für Wege]] * [[Konvexkombination]] * [[Weg (Mathematik)/parametrisch unendlich|parametrisch unendliche Wege]] * [[topologischer Vektorraum]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Wegintegral]] === Folien === * '''[[Weg (Mathematik)/parametrisch unendlich|parametrisch unendliche Wege]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg%20(Mathematik)/parametrisch%20unendlich&author=Weg%20(Mathematik)&language=de&audioslide=yes&shorttitle=parametrisch%20unendlich&coursetitle=Weg%20(Mathematik) Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] sogvogpntdmx402ji2vqi4v0ilbchg6 106 170045 1116352 1076245 2026-10-16T08:13:57Z Bert Niehaus 20843 /* Zweige des Logarithmus als Potenzreihen */ 1116352 wikitext text/x-wiki == Komplexer Logarithmus {{Anker|Komplexer Log}} == [[Datei:Riemann surface log.svg|mini|[[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] der komplexen Logarithmus-Funktion: Die Blätter spiegeln die Mehrdeutigkeit des Logarithmus wider, die aus der Periodizität seiner Umkehrfunktion, der Exponentialfunktion, folgt.]] [[Datei:Complex log.jpg|mini|Hauptwert <math>\ln z</math> des Logarithmus]] Analog zur [[w:de:Logarithmus|reellen Definition]] heißt jede komplexe Zahl <math>w</math>, welche die Gleichung : <math>\mathrm{e}^w = z</math> erfüllt, ein ''natürlicher Logarithmus'' von <math>z</math>. === Existenz === Für jedes <math>z \in \mathbb{C} \setminus \{0\}</math> existiert ein solches <math>w</math>. Dies wird deutlich, wenn man dieses <math>z\not= 0</math> in [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinaten]] mit <math> t\in [0,2\pi)</math> darstellt (siehe auch [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]]). :<math> z = |z| \cdot e^{it} = e^{\ln(|z|)} \cdot e^{it} = e^{\ln(|z|) +i\cdot t} </math> Damit ist <math>w:= \ln(|z|) +i\cdot t</math> ein möglicher [[Logarithmus]] von <math>z\not=0</math>. === Keine Eindeutigkeit === Im Unterschied zum reellen Logarithmus ist dieser wegen der Periodizität von <math>e^{it}</math> und : <math>\mathrm{e}^{2k\pi \mathrm{i}} = 1, \quad k \in \mathbb{Z}</math>, ''nicht eindeutig'' bestimmt ist. Hat man also einen Logarithmus <math>w</math> von <math>z</math> gefunden, so ist damit auch : <math>w' =\,\! w + 2k\pi \mathrm{i}</math> mit jeder ganzen Zahl <math>k</math> ein Logarithmus von <math>z</math>, denn es gilt : <math>\mathrm{e}^{w'} = \mathrm{e}^{w + 2k\pi \mathrm{i}} = \mathrm{e}^w \cdot \mathrm{e}^{2k\pi \mathrm{i}} = \mathrm{e}^w \cdot 1 = \mathrm{e}^w = z</math>. Um Eindeutigkeit zu erreichen, wählt man aus den möglichen Werten für <math>w</math> solche Werte aus, die in einem geeigneten Streifen der komplexen Zahlenebene liegen. Man kann z.&nbsp;B. den Streifen : <math>\left\{w \in \mathbb C: -\pi < \operatorname{Im}\,w \leq \pi \right\}</math> verwenden. Ein Wert <math>w</math> aus diesem Streifen heißt ''Hauptwert'' ({{enS|principal value}}) des Logarithmus, und man schreibt <math>w = \ln z</math>. Stellt man <math>z = |z| \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i} \arg z}</math> in [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|Polarform]] dar, so erhält man eine einfache Darstellung des ''k-ten Zweiges'' der Logarithmusfunktion: : <math>w = \ln |z| + \mathrm{i}\left(\arg z + 2k\pi\right), \quad k\in\Z</math> mit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] <math>\arg</math>. Im Summanden <math>\ln |z|</math> wird der bereits oben definierte reelle Logarithmus <math>\ln</math> verwendet. Für <math>k = 0</math> erhält man den ''Hauptzweig'' des komplexen Logarithmus zurück: : <math>\ln z = \ln|z| + \mathrm{i}\arg z</math> . <math>\ln</math> ist nicht stetig auf <math>\mathbb C\setminus\{0\}</math>. Entfernt man jedoch die negative reelle Achse, so ist <math>\ln</math> auf dem Gebiet : <math>\mathbb C\setminus\{x \in \R: x\leq 0\}</math> stetig und sogar [[w:de:Holomorphe Funktion|holomorph]]. === Zweige des Logarithmus als Potenzreihen === Jede auf einem Gebiet <math>G</math> [[w:de:holomorphe Funktion|holomorphe Funktion]] lässt sich [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen|lokal in eine Potenzreihe]] entwickelt. Durch den Zusammenhang von <math>\frac{1}{z}</math> und dem Logarithmus erhält man auch eine Potenzreihendarstellung für beliebige [[w:de:Potenzreihe|Entwicklungspunkte]] <math>z_o=|z_o|\cdot e^{it} \not=0</math> über die [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] mit <math>q=\frac{z-z_o}{-z_o}</math> und <math>|z-z_0| < |z_0|</math>: :<math>f(z)= \frac{1}{z} = \frac{1}{z_o} \cdot \frac{1}{ 1- \underbrace{\frac{z-z_o}{-z_o} }_{=q} } = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1}} }_{=a_n} \cdot (z-z_o)^n </math> Für den [[Zweig des Logarithmus]] erhält man daher folgende Potenzreihendarstellung auf <math>\overline{D_r(z_0)}</math> mit <math>r< |z_0|</math> und <math>c= \ln(|z_o|) + i\cdot t</math>: :<math>F(z)= c + \sum_{n=0}^\infty \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1} \cdot (n+1)} \cdot (z-z_o)^{n+1} </math> Der zugehörige [[Zweig des Logarithmus|Zweig]] von <math>F</math> ist insgesamt auf dem Gebiet <math>G:= \C \setminus \{ z\in \C \, : \, z=\lambda \cdot z_0 \mbox{ mit } 0 \geq \lambda \in \R \}</math> definiert. ==== Bemerkung - ==== Für den [[Hauptzweig des Logarithmus]] <math>\log_G</math> mit <math>G:=\mathbb{C}\setminus \mathbb{R}_0^{+}</math> gelten nicht alle der weiter oben angeführten [[w:de:Logarithmus#Logarithmengesetze|Rechenregeln für die reelle Logarithmusfunktion]]. Sie gelten nur <math>\text{mod } 2\pi \mathrm{i}</math>. Diese Mehrdeutigkeit ist eine direkte Folge aus der Periodizität seiner Umkehrfunktion, der komplexen Exponentialfunktion. Der Vergleich von : <math>\ln(-1+\mathrm{i}) + \ln(-1+\mathrm{i}) = \left(\ln\sqrt2+\frac{3\pi}4\mathrm{i}\right) + \left(\ln\sqrt2+\frac{3\pi}4\mathrm{i}\right) = \ln2 + \frac{3\pi}2\mathrm{i}</math> mit :<math> \ln\bigl((-1+\mathrm{i})(-1+\mathrm{i})\bigr) = \ln(-2\mathrm{i})=\ln2-\frac\pi2\mathrm{i}</math> zeigt, dass : <math>\ln x + \ln y = \ln(x \cdot y)</math> nicht für alle von <math>0</math> verschiedenen komplexen Zahlen <math>x</math> und <math>y</math> richtig ist. Auch die Gleichung : <math>y \cdot \ln x = \ln{x^y}</math> ist nicht immer erfüllt, wie das Gegenbeispiel : <math>2\pi \mathrm{i} \ln \mathrm{e} = 2\pi \mathrm{i} \; \neq \; 0 = \ln 1 = \ln(\mathrm{e}^{2\pi \mathrm{i}})</math> beweist. <gallery widths="180" heights="120" perrow="3" caption="Grafische Darstellung des komplexen Logarithmus"> Ln abs.png|Betrag von <math>\ln z</math> Ln re.png|Realteil von <math>\ln z</math> Ln im.png|Imaginärteil von <math>\ln z</math> </gallery> Mit dem oben definierten Hauptzweig des komplexen Logarithmus kann man den Logarithmus für negative reellen Zahlen erklären: : <math>\ln(-x) = \ln\left\vert-x\right\vert+ \mathrm{i}\arg(-x) = \ln x + \mathrm{i}\pi, \quad x\in\R^+\ .</math> Das setzt voraus, dass die [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] <math>\arg</math> negativen reellen Zahlen den Wert <math>\pi</math> zuweist. Diese Betrachtungen zeigen, dass die Mehrdeutigkeit des komplexen Logarithmus letztlich auf die Mehrdeutigkeit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] zurückzuführen ist. == Siehe auch == * [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] == Seiten-Information == Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus Logarithmus] https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus * Datum: 30.3.2026 * [https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity b2teandz3f3remi1fvri3k7xb2lyr3k 1116353 1116352 2026-10-16T08:16:05Z Bert Niehaus 20843 /* Zweige des Logarithmus als Potenzreihen */ 1116353 wikitext text/x-wiki == Komplexer Logarithmus {{Anker|Komplexer Log}} == [[Datei:Riemann surface log.svg|mini|[[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] der komplexen Logarithmus-Funktion: Die Blätter spiegeln die Mehrdeutigkeit des Logarithmus wider, die aus der Periodizität seiner Umkehrfunktion, der Exponentialfunktion, folgt.]] [[Datei:Complex log.jpg|mini|Hauptwert <math>\ln z</math> des Logarithmus]] Analog zur [[w:de:Logarithmus|reellen Definition]] heißt jede komplexe Zahl <math>w</math>, welche die Gleichung : <math>\mathrm{e}^w = z</math> erfüllt, ein ''natürlicher Logarithmus'' von <math>z</math>. === Existenz === Für jedes <math>z \in \mathbb{C} \setminus \{0\}</math> existiert ein solches <math>w</math>. Dies wird deutlich, wenn man dieses <math>z\not= 0</math> in [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinaten]] mit <math> t\in [0,2\pi)</math> darstellt (siehe auch [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]]). :<math> z = |z| \cdot e^{it} = e^{\ln(|z|)} \cdot e^{it} = e^{\ln(|z|) +i\cdot t} </math> Damit ist <math>w:= \ln(|z|) +i\cdot t</math> ein möglicher [[Logarithmus]] von <math>z\not=0</math>. === Keine Eindeutigkeit === Im Unterschied zum reellen Logarithmus ist dieser wegen der Periodizität von <math>e^{it}</math> und : <math>\mathrm{e}^{2k\pi \mathrm{i}} = 1, \quad k \in \mathbb{Z}</math>, ''nicht eindeutig'' bestimmt ist. Hat man also einen Logarithmus <math>w</math> von <math>z</math> gefunden, so ist damit auch : <math>w' =\,\! w + 2k\pi \mathrm{i}</math> mit jeder ganzen Zahl <math>k</math> ein Logarithmus von <math>z</math>, denn es gilt : <math>\mathrm{e}^{w'} = \mathrm{e}^{w + 2k\pi \mathrm{i}} = \mathrm{e}^w \cdot \mathrm{e}^{2k\pi \mathrm{i}} = \mathrm{e}^w \cdot 1 = \mathrm{e}^w = z</math>. Um Eindeutigkeit zu erreichen, wählt man aus den möglichen Werten für <math>w</math> solche Werte aus, die in einem geeigneten Streifen der komplexen Zahlenebene liegen. Man kann z.&nbsp;B. den Streifen : <math>\left\{w \in \mathbb C: -\pi < \operatorname{Im}\,w \leq \pi \right\}</math> verwenden. Ein Wert <math>w</math> aus diesem Streifen heißt ''Hauptwert'' ({{enS|principal value}}) des Logarithmus, und man schreibt <math>w = \ln z</math>. Stellt man <math>z = |z| \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i} \arg z}</math> in [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|Polarform]] dar, so erhält man eine einfache Darstellung des ''k-ten Zweiges'' der Logarithmusfunktion: : <math>w = \ln |z| + \mathrm{i}\left(\arg z + 2k\pi\right), \quad k\in\Z</math> mit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] <math>\arg</math>. Im Summanden <math>\ln |z|</math> wird der bereits oben definierte reelle Logarithmus <math>\ln</math> verwendet. Für <math>k = 0</math> erhält man den ''Hauptzweig'' des komplexen Logarithmus zurück: : <math>\ln z = \ln|z| + \mathrm{i}\arg z</math> . <math>\ln</math> ist nicht stetig auf <math>\mathbb C\setminus\{0\}</math>. Entfernt man jedoch die negative reelle Achse, so ist <math>\ln</math> auf dem Gebiet : <math>\mathbb C\setminus\{x \in \R: x\leq 0\}</math> stetig und sogar [[w:de:Holomorphe Funktion|holomorph]]. === Zweige des Logarithmus als Potenzreihen === Jede auf einem Gebiet <math>G</math> [[w:de:holomorphe Funktion|holomorphe Funktion]] lässt sich [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen|lokal in eine Potenzreihe]] entwickelt. Durch den Zusammenhang von <math>\frac{1}{z}</math> und dem Logarithmus erhält man auch eine Potenzreihendarstellung für beliebige [[w:de:Potenzreihe|Entwicklungspunkte]] <math>z_o=|z_o|\cdot e^{it} \not=0</math> über die [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] mit <math>q=\frac{z-z_o}{-z_o}</math> und <math>|z-z_0| < |z_0|</math>: :<math>f(z)= \frac{1}{z} = \frac{1}{z_o} \cdot \frac{1}{ 1- \underbrace{\frac{z-z_o}{-z_o} }_{=q} } = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1}} }_{=a_n} \cdot (z-z_o)^n </math> <span id="Stammfunktion_des_Logarithmus"></span> ==== Stammfunktion des Logarithmus ==== Für den [[Zweig des Logarithmus]] erhält man daher folgende Potenzreihendarstellung auf <math>\overline{D_r(z_0)}</math> mit <math>r< |z_0|</math> und <math>c= \ln(|z_o|) + i\cdot t</math>: :<math>F(z)= c + \sum_{n=0}^\infty \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1} \cdot (n+1)} \cdot (z-z_o)^{n+1} </math> Der zugehörige [[Zweig des Logarithmus|Zweig]] von <math>F</math> ist insgesamt auf dem Gebiet <math>G:= \C \setminus \{ z\in \C \, : \, z=\lambda \cdot z_0 \mbox{ mit } 0 \geq \lambda \in \R \}</math> definiert. ==== Bemerkung - ==== Für den [[Hauptzweig des Logarithmus]] <math>\log_G</math> mit <math>G:=\mathbb{C}\setminus \mathbb{R}_0^{+}</math> gelten nicht alle der weiter oben angeführten [[w:de:Logarithmus#Logarithmengesetze|Rechenregeln für die reelle Logarithmusfunktion]]. Sie gelten nur <math>\text{mod } 2\pi \mathrm{i}</math>. Diese Mehrdeutigkeit ist eine direkte Folge aus der Periodizität seiner Umkehrfunktion, der komplexen Exponentialfunktion. Der Vergleich von : <math>\ln(-1+\mathrm{i}) + \ln(-1+\mathrm{i}) = \left(\ln\sqrt2+\frac{3\pi}4\mathrm{i}\right) + \left(\ln\sqrt2+\frac{3\pi}4\mathrm{i}\right) = \ln2 + \frac{3\pi}2\mathrm{i}</math> mit :<math> \ln\bigl((-1+\mathrm{i})(-1+\mathrm{i})\bigr) = \ln(-2\mathrm{i})=\ln2-\frac\pi2\mathrm{i}</math> zeigt, dass : <math>\ln x + \ln y = \ln(x \cdot y)</math> nicht für alle von <math>0</math> verschiedenen komplexen Zahlen <math>x</math> und <math>y</math> richtig ist. Auch die Gleichung : <math>y \cdot \ln x = \ln{x^y}</math> ist nicht immer erfüllt, wie das Gegenbeispiel : <math>2\pi \mathrm{i} \ln \mathrm{e} = 2\pi \mathrm{i} \; \neq \; 0 = \ln 1 = \ln(\mathrm{e}^{2\pi \mathrm{i}})</math> beweist. <gallery widths="180" heights="120" perrow="3" caption="Grafische Darstellung des komplexen Logarithmus"> Ln abs.png|Betrag von <math>\ln z</math> Ln re.png|Realteil von <math>\ln z</math> Ln im.png|Imaginärteil von <math>\ln z</math> </gallery> Mit dem oben definierten Hauptzweig des komplexen Logarithmus kann man den Logarithmus für negative reellen Zahlen erklären: : <math>\ln(-x) = \ln\left\vert-x\right\vert+ \mathrm{i}\arg(-x) = \ln x + \mathrm{i}\pi, \quad x\in\R^+\ .</math> Das setzt voraus, dass die [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] <math>\arg</math> negativen reellen Zahlen den Wert <math>\pi</math> zuweist. Diese Betrachtungen zeigen, dass die Mehrdeutigkeit des komplexen Logarithmus letztlich auf die Mehrdeutigkeit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] zurückzuführen ist. == Siehe auch == * [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] == Seiten-Information == Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus Logarithmus] https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus * Datum: 30.3.2026 * [https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity ezri3mpqnrwfe2nd95kkw4iaxuxdyic 1116354 1116353 2026-10-16T08:16:38Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1116354 wikitext text/x-wiki == Komplexer Logarithmus {{Anker|Komplexer Log}} == [[Datei:Riemann surface log.svg|mini|[[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] der komplexen Logarithmus-Funktion: Die Blätter spiegeln die Mehrdeutigkeit des Logarithmus wider, die aus der Periodizität seiner Umkehrfunktion, der Exponentialfunktion, folgt.]] [[Datei:Complex log.jpg|mini|Hauptwert <math>\ln z</math> des Logarithmus]] Analog zur [[w:de:Logarithmus|reellen Definition]] heißt jede komplexe Zahl <math>w</math>, welche die Gleichung : <math>\mathrm{e}^w = z</math> erfüllt, ein ''natürlicher Logarithmus'' von <math>z</math>. === Existenz === Für jedes <math>z \in \mathbb{C} \setminus \{0\}</math> existiert ein solches <math>w</math>. Dies wird deutlich, wenn man dieses <math>z\not= 0</math> in [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinaten]] mit <math> t\in [0,2\pi)</math> darstellt (siehe auch [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]]). :<math> z = |z| \cdot e^{it} = e^{\ln(|z|)} \cdot e^{it} = e^{\ln(|z|) +i\cdot t} </math> Damit ist <math>w:= \ln(|z|) +i\cdot t</math> ein möglicher [[Logarithmus]] von <math>z\not=0</math>. === Keine Eindeutigkeit === Im Unterschied zum reellen Logarithmus ist dieser wegen der Periodizität von <math>e^{it}</math> und : <math>\mathrm{e}^{2k\pi \mathrm{i}} = 1, \quad k \in \mathbb{Z}</math>, ''nicht eindeutig'' bestimmt ist. Hat man also einen Logarithmus <math>w</math> von <math>z</math> gefunden, so ist damit auch : <math>w' =\,\! w + 2k\pi \mathrm{i}</math> mit jeder ganzen Zahl <math>k</math> ein Logarithmus von <math>z</math>, denn es gilt : <math>\mathrm{e}^{w'} = \mathrm{e}^{w + 2k\pi \mathrm{i}} = \mathrm{e}^w \cdot \mathrm{e}^{2k\pi \mathrm{i}} = \mathrm{e}^w \cdot 1 = \mathrm{e}^w = z</math>. Um Eindeutigkeit zu erreichen, wählt man aus den möglichen Werten für <math>w</math> solche Werte aus, die in einem geeigneten Streifen der komplexen Zahlenebene liegen. Man kann z.&nbsp;B. den Streifen : <math>\left\{w \in \mathbb C: -\pi < \operatorname{Im}\,w \leq \pi \right\}</math> verwenden. Ein Wert <math>w</math> aus diesem Streifen heißt ''Hauptwert'' ({{enS|principal value}}) des Logarithmus, und man schreibt <math>w = \ln z</math>. Stellt man <math>z = |z| \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i} \arg z}</math> in [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|Polarform]] dar, so erhält man eine einfache Darstellung des ''k-ten Zweiges'' der Logarithmusfunktion: : <math>w = \ln |z| + \mathrm{i}\left(\arg z + 2k\pi\right), \quad k\in\Z</math> mit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] <math>\arg</math>. Im Summanden <math>\ln |z|</math> wird der bereits oben definierte reelle Logarithmus <math>\ln</math> verwendet. Für <math>k = 0</math> erhält man den ''Hauptzweig'' des komplexen Logarithmus zurück: : <math>\ln z = \ln|z| + \mathrm{i}\arg z</math> . <math>\ln</math> ist nicht stetig auf <math>\mathbb C\setminus\{0\}</math>. Entfernt man jedoch die negative reelle Achse, so ist <math>\ln</math> auf dem Gebiet : <math>\mathbb C\setminus\{x \in \R: x\leq 0\}</math> stetig und sogar [[w:de:Holomorphe Funktion|holomorph]]. === Zweige des Logarithmus als Potenzreihen === Jede auf einem Gebiet <math>G</math> [[w:de:holomorphe Funktion|holomorphe Funktion]] lässt sich [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen|lokal in eine Potenzreihe]] entwickelt. Durch den Zusammenhang von <math>\frac{1}{z}</math> und dem Logarithmus erhält man auch eine Potenzreihendarstellung für beliebige [[w:de:Potenzreihe|Entwicklungspunkte]] <math>z_o=|z_o|\cdot e^{it} \not=0</math> über die [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] mit <math>q=\frac{z-z_o}{-z_o}</math> und <math>|z-z_0| < |z_0|</math>: :<math>f(z)= \frac{1}{z} = \frac{1}{z_o} \cdot \frac{1}{ 1- \underbrace{\frac{z-z_o}{-z_o} }_{=q} } = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1}} }_{=a_n} \cdot (z-z_o)^n </math> <span id="Stammfunktion_des_Logarithmus"></span> ==== Stammfunktion des Logarithmus ==== Für den [[Zweig des Logarithmus]] erhält man daher folgende Potenzreihendarstellung auf <math>\overline{D_r(z_0)}</math> mit <math>r< |z_0|</math> und <math>c= \ln(|z_o|) + i\cdot t</math>: :<math>F(z)= c + \sum_{n=0}^\infty \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1} \cdot (n+1)} \cdot (z-z_o)^{n+1} </math> Der zugehörige [[Zweig des Logarithmus|Zweig]] von <math>F</math> ist insgesamt auf dem Gebiet <math>G:= \C \setminus \{ z\in \C \, : \, z=\lambda \cdot z_0 \mbox{ mit } 0 \geq \lambda \in \R \}</math> definiert. ==== Bemerkung - ==== Für den [[Hauptzweig des Logarithmus]] <math>\log_G</math> mit <math>G:=\mathbb{C}\setminus \mathbb{R}_0^{+}</math> gelten nicht alle der weiter oben angeführten [[w:de:Logarithmus#Logarithmengesetze|Rechenregeln für die reelle Logarithmusfunktion]]. Sie gelten nur <math>\text{mod } 2\pi \mathrm{i}</math>. Diese Mehrdeutigkeit ist eine direkte Folge aus der Periodizität seiner Umkehrfunktion, der komplexen Exponentialfunktion. Der Vergleich von : <math>\ln(-1+\mathrm{i}) + \ln(-1+\mathrm{i}) = \left(\ln\sqrt2+\frac{3\pi}4\mathrm{i}\right) + \left(\ln\sqrt2+\frac{3\pi}4\mathrm{i}\right) = \ln2 + \frac{3\pi}2\mathrm{i}</math> mit :<math> \ln\bigl((-1+\mathrm{i})(-1+\mathrm{i})\bigr) = \ln(-2\mathrm{i})=\ln2-\frac\pi2\mathrm{i}</math> zeigt, dass : <math>\ln x + \ln y = \ln(x \cdot y)</math> nicht für alle von <math>0</math> verschiedenen komplexen Zahlen <math>x</math> und <math>y</math> richtig ist. Auch die Gleichung : <math>y \cdot \ln x = \ln{x^y}</math> ist nicht immer erfüllt, wie das Gegenbeispiel : <math>2\pi \mathrm{i} \ln \mathrm{e} = 2\pi \mathrm{i} \; \neq \; 0 = \ln 1 = \ln(\mathrm{e}^{2\pi \mathrm{i}})</math> beweist. <gallery widths="180" heights="120" perrow="3" caption="Grafische Darstellung des komplexen Logarithmus"> Ln abs.png|Betrag von <math>\ln z</math> Ln re.png|Realteil von <math>\ln z</math> Ln im.png|Imaginärteil von <math>\ln z</math> </gallery> Mit dem oben definierten Hauptzweig des komplexen Logarithmus kann man den Logarithmus für negative reellen Zahlen erklären: : <math>\ln(-x) = \ln\left\vert-x\right\vert+ \mathrm{i}\arg(-x) = \ln x + \mathrm{i}\pi, \quad x\in\R^+\ .</math> Das setzt voraus, dass die [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] <math>\arg</math> negativen reellen Zahlen den Wert <math>\pi</math> zuweist. Diese Betrachtungen zeigen, dass die Mehrdeutigkeit des komplexen Logarithmus letztlich auf die Mehrdeutigkeit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] zurückzuführen ist. == Siehe auch == * [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * [[logmod-Funktion]] * [[Zweige des Logarithmus]] == Seiten-Information == Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus Logarithmus] https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus * Datum: 30.3.2026 * [https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity grdefxi7tpnsh900wun6n5dcf4xup5v 106 170112 1116369 1115053 2026-10-16T08:43:36Z Bert Niehaus 20843 /* Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige */ 1116369 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Das Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige behandelt die Eindeutigkeit eines Zweiges des Logarithmus. Dabei ist mit der Wahl eines [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebietes <math>G</math> mit <math>0\notin G</math> und der Festlegung des Imaginärteiles des Logarithmuszweige für ein einziges <math>z_0\in G</math> der gesamte Zweig des [[Logarithmus]] bereits eindeutig definiert. Ferner wird zwischen dem (reellen) Hauptzweig <math>\ln(z)</math> und dem imaginären Hauptzweig des Logarithmus <math>\ln_{\,i}(z)</math> unterschieden, wobei einmal der negative reelle Achse für <math>\ln(z)</math> entfernt wurde und für imaginären Hauptzweig des Logarithmus negative imaginäre Achse für <math>\ln_{\,i}(z)</math> in <math>G</math> fehlt. == Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige == Sei <math>G</math> ein [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> mit <math>0\notin G</math>. Ferner sei <math>\gamma: [a,b]\to G</math> ein [[w:de:injektive Funktion|injektiver]] [[Integrationsweg]] von <math>z_0=\gamma(a) \in G</math> nach <math>z_1=\gamma(b) \in G</math>. Wählt man für <math>z_o\in G</math> mit <math>z_o = |z_0|\cdot e^{it_0}</math> mit <math>t_0\in \mathbb{R}</math>, so gibt es ein [[einfach zusammenhängend]]es Gebiet <math>G_0</math> als Teilmenge <math>G_0 \subseteq G</math>, sodass der Zweig des Logarithmus auf <math>G_0</math> eindeutig durch folgendes Integral definiert ist: :<math> \log_{_{(G_o,z_o,t_o)}}(z) = \int_{\gamma_z} \frac{1}{\xi}\, d\xi </math> Dabei kann <math>\gamma_z : [a,b]\to G</math> als stetig differenzierbarer Weg von <math>z_o</math> nach <math>z\in G</math>. == Beweis - Eindeutigkeitslemma == Wegen <math>z_0 \not= 0</math> kann man mit <math>r:= |z_o|</math> und einem beliebigen <math>z\in G</math> mit <math> |z-z_o| < r </math> kann man <math>\tfrac{1}{z}</math> lokal auf Kreisscheiben in eine Potenzreihe um <math>z_o</math> entwickeln (siehe lokale Entwicklung in Potenzreihen). :<math>f(z)= \frac{1}{z} = \frac{1}{z_o} \cdot \frac{1}{ 1- \underbrace{\frac{z-z_o}{-z_o} }_{=q} } = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1}} }_{=a_n} \cdot (z-z_o)^n </math> === Beweisschritt 1 - lokale Stammfunktionen === Nach den [[Holomorphiekriterien]] besitzt jede holomorphe Funktion <math>f:G \to \mathbb{C}</math> [[lokale Stammfunktionen]]. Wegen gleichmäßiger Konvergenz der Partialsumme der Potenzreihe für <math>\tfrac{1}{z}</math> mit Entwicklungspunkt <math>z_o\in G</math> kann man summandenweise integrieren (siehe auch [[Normalverteilung]]). Dies liefert die folgende Potenzreihe für den Zweig des Logarithmus auf <math>D_r(z_o)</math>: :<math>F_{z_o}(z) = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1} \cdot (n+1)}}_{=a_n} \cdot (z-z_o)^{n+1} </math> === Beweisschritt 2 - Kompakte Spur des Integrationsweges === Für die Definition des Zweiges des [[Logarithmus]] ist <math>\gamma_z : [a,b]\to G</math> ein stetig differenzierbarer Weg von <math>z_o</math> nach <math>z\in G</math>. :<math> \ln_{_{(G,z_o,t_o)}}(z) = \int_{\gamma_z} \frac{1}{\xi}\, d\xi </math> Die Spur des Wege <math>Spur(\gamma_z)</math> eine kompakte Menge. === Beweisschritt 3 - Offene Überdeckung einer kompakten === Man überdeckt nun <math>Spur(\gamma_z)</math> mit beliebigen Kreisscheiben <math>D_z</math> um <math>z\in G</math>, wobei die Kreischeiben <math>D_z\subset G</math> ganz in der offenen Menge <math> G</math>. Da die Spur kompakt ist, gibt es eine endliche Teilüberdeckung der Spur mit <math>D_{z_o}:= D_r(z_o)</math>: :<math> Spur(\gamma_z) \subseteq \bigcup_{k=1}^n D_{z_k} \subseteq \bigcup_{k=0}^n D_{z_k} </math> === Beweisschritt 4 - Potenzreihenentwicklung für Kreisscheiben === Für alle <math>k\in \{1,\ldots , n\}</math> gibt es analog zur Potenzreihenentwicklung um <math>z_o</math> auch jeweils die folgenden Potenzreihenreihenentwicklungen für den Zweig des Logarithmus auf <math>D_{r_k}(z_k)</math>: :<math>F_{z_k}(z) = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_k^{n+1} \cdot (n+1)}}_{=a_{(n,k)}} \cdot (z-z_k)^{n+1} </math> === Beweisschritt 5 - Kreisscheibe für Startpunkt des Weges === Man startet mit der offenen Kreisscheibe <math>D_{z_o}= D_r(z_o)</math>, die <math>z_o</math> als Startpunkt des Weges <math>\gamma_z</math> in der Spur von <math>\gamma_z</math> enthalten ist. Wenn <math>D_{z_o}</math> bereits die ganze Spur <math>Spur(\gamma_z)</math> abdeckt, hat man mit eine eindeutige Darstellung des Zweiges des Logarithmus mit <math>F_{z_o}</math> erhalten, dessen Potenzreihendarstellung mit dem [[Identitätssatz]] eindeutig auf der Kreissscheibe <math>D_r(z_o)</math> ist. === Beweisschritt 6 - Schnitte von Kreisscheiben === Falls offene Kreisscheibe <math>D_o := D_{z_o}</math> die Menge <math>Spur(\gamma_z)</math> nicht vollständig abdeckt, gibt es einen Randpunkt <math>w_1 \in \partial(D_{z_o})</math> der Kreissscheibe liegt, der zugleich auch in der Spur liegt (d.h. <math>w_1 \in \partial(D_{z_o})\cap Spur(\gamma_z)</math>. Mit der Überdeckung der Spur gilt dann: :<math> w_1\in Spur(\gamma_z) \subseteq \bigcup_{k=1}^n D_{z_k} \subseteq \bigcup_{k=0}^n D_{z_k} </math> Also muss es ein <math>k_1\in \{1,\ldots , n\}</math> mit <math>w_1 \in D_{z_{k_1}}</math>. Bezeichne <math>D_1 := D_{z_{k_1}}</math>, damit an der Bezeichnung deutlich wird, welche Kreisscheibe der offenen Überdeckung zu <math>w_1\in D_1</math> gewählt wurde. === Beweisschritt 7 - Randpunkt und Schnitte von Kreisscheiben === Da <math>w_1 \in D_1 </math> nach Auswahl aus der Überdeckung gilt, liegt <math>w_1 \in D_0 \cup D_1 </math> auch in der Vereinigung der beiden Kreisscheiben. Ferner ist <math>w_1</math> auch ein Randpunkt von <math>D_0</math>. Damit ist der Schnitt von jeder Umgebung <math>U</math> von <math>w_1</math> mit <math>D_0</math> nicht leer. Dies gilt damit insbesondere für die offene Menge <math>D_1 </math>. Da der Schnitt <math>D_0 \cap D_1 \not= \emptyset</math> eine nicht diskrete Menge ist, gilt mit dem [[Identitätssatz]], dass der Zweig des Logarithmus auch auf <math>D_0 \cup D_1 </math> eindeutig definiert ist. === Beweisschritt 8 - Überdeckung der Spur === Falls <math>D_0 \cup D_1</math> die <math>Spur(\gamma_z)</math> vollständig überdecken, hat man bereits eine eindeutige Darstellung des Zweiges des Logarithmus auf <math>Spur(\gamma_z)</math> erhalten. Falls die Spur noch nicht vollständig abdeckt wurde, gibt es wieder einen Randpunkt <math>w_2 \in \partial(D_0\cup D_1)</math>, der zugleich auch in der Spur liegt (d.h. <math>w_2 \in \partial(D_0\cup D_1)\cap Spur(\gamma_z)</math>). Mit der Überdeckung der Spur gilt dann: :<math> w_2\in Spur(\gamma_z) \subseteq \bigcup_{k=1}^n D_{z_k} \subseteq \bigcup_{k=0}^n D_{z_k} </math> Also muss es ein <math>k_2\in \{1,\ldots , n\}</math> mit <math>w \in D_{z_{k_2}}</math> geben. Bezeichne <math>D_2 := D_{z_{k_2}}</math> wieder als Kreisscheibe der offenen Überdeckung mit <math>w_2\in D_2</math>. === Beweisschritt 9 - Schnitte von Kreisscheiben === Da der Schnitt <math>(D_0 \cup D_1) \cap D_2 \not= \emptyset</math> wieder nicht diskret ist (d.h. besitzt Häufungspunkte), gibt es analog zu Schritt 6 mit dem [[Identitätssatz]] wieder eine eindeutige Darstellung für den Zweig des Logarithmus auch auf <math>D_0 \cup D_1 \cup D_2 </math>. Nach maximal <math>n</math> Schritten für die offene Überdeckung hat man eine eindeutig des Logarithmus auf der Vereinigung <math>U_z := D_0 \cup D_1 \cup \ldots D_m</math> erhalten wobei <math>m\leq n</math> gilt. === Beweisschritt 10 - beliebige Integrationsweg === Man hat nur für ein beliebiges <math>z\in G</math> eine Vereinigung von offenen Menge gefunden, auf der der Zweig des Logarithmus eindeutig definiert ist. Für <math>U_z</math> gilt: <math> z_o, z\in U_z \quad \mbox{ und } \quad D_0 \subseteq U_z \subseteq G </math> Betrachtet man nun zwei beliebige Integrationwege <math>\gamma_{z_1}</math> mit <math>z_1, z_2\in G</math>, so gilt <math>D_0 \subseteq U_{z_1} \cap U_{z_2} </math>. Damit ist der Zweig des Logarithmus auch auf <math> U_{z_1} \cup U_{z_2} </math> mit dem [[Identitätssatz]] wieder eindeutig definiert. === Beweisschritt 11 - Eindeutigkeit des Zweiges === Da <math>U_z \subseteq G</math> gilt und man <math>G</math> als Vereinigung der <math>U_z</math> wegen <math>z\in U_z</math> darstellen kann, erhält man einen eindeutigen Logarithmus auf <math>G</math>. <math> \quad \Box</math> == Bemerkung - geschlitzte Ebene == Eine geschlitzte Ebene <math>G_{z_o}</math> für <math>z_o\not=0</math> definiert man wie folgt: :<math> G_{z_o} := \mathbb{C} \setminus \{z \in \mathbb{C} \, : \, z = - \lambda \cdot z_o \mbox{ mit } 0 \leq \lambda \in \mathbb{R} \} </math> Mit dem obigen Satz kann also nicht nur geschlitzte Ebenen <math>G_{z_o}</math> wählen, sondern man erhält Zweige des Logarithmus für beliebige einfach zusammenhängende Gebiete <math>G</math>, die 0 nicht enthalten. == Imaginärer Hauptzweig des Logarithmus == Wählt man die geschlitzte Ebene <math>G_{i}</math> für die imaginäre Einheit <math>i\not=0</math>, so erhält man mit dem obigen Satz den imaginären Hauptzweig des Logarithmus <math>\ln_i</math>, der sowohl für die positiven als für die negativen reellen Zahlen definiert ist. Für negative Zahlen <math>z=|z|\cdot e^{i\pi} \in \mathbb{R}^- </math> ist der Logarithmus dann wie folgt eindeutig festgelegt: :<math> \ln_i(z) = \ln(|z|) + i \cdot \pi </math> == Siehe auch == * [[Logarithmus]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen/Vorgehen|Potenzreihenentwicklungen für 1/z]] * [[Weg (Mathematik)/parametrisch unendlich|parametrisch unendliche Wege]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] k6qu8t4fcalazx3xeoonqsv95r3mpms 1116370 1116369 2026-10-16T08:44:05Z Bert Niehaus 20843 /* Beweis - Eindeutigkeitslemma */ 1116370 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Das Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige behandelt die Eindeutigkeit eines Zweiges des Logarithmus. Dabei ist mit der Wahl eines [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebietes <math>G</math> mit <math>0\notin G</math> und der Festlegung des Imaginärteiles des Logarithmuszweige für ein einziges <math>z_0\in G</math> der gesamte Zweig des [[Logarithmus]] bereits eindeutig definiert. Ferner wird zwischen dem (reellen) Hauptzweig <math>\ln(z)</math> und dem imaginären Hauptzweig des Logarithmus <math>\ln_{\,i}(z)</math> unterschieden, wobei einmal der negative reelle Achse für <math>\ln(z)</math> entfernt wurde und für imaginären Hauptzweig des Logarithmus negative imaginäre Achse für <math>\ln_{\,i}(z)</math> in <math>G</math> fehlt. == Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige == Sei <math>G</math> ein [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> mit <math>0\notin G</math>. Ferner sei <math>\gamma: [a,b]\to G</math> ein [[w:de:injektive Funktion|injektiver]] [[Integrationsweg]] von <math>z_0=\gamma(a) \in G</math> nach <math>z_1=\gamma(b) \in G</math>. Wählt man für <math>z_o\in G</math> mit <math>z_o = |z_0|\cdot e^{it_0}</math> mit <math>t_0\in \mathbb{R}</math>, so gibt es ein [[einfach zusammenhängend]]es Gebiet <math>G_0</math> als Teilmenge <math>G_0 \subseteq G</math>, sodass der Zweig des Logarithmus auf <math>G_0</math> eindeutig durch folgendes Integral definiert ist: :<math> \log_{_{(G_o,z_o,t_o)}}(z) = \int_{\gamma_z} \frac{1}{\xi}\, d\xi </math> Dabei kann <math>\gamma_z : [a,b]\to G</math> als stetig differenzierbarer Weg von <math>z_o</math> nach <math>z\in G</math>. == Beweis - Eindeutigkeitslemma == Wegen <math>z_0 \not= 0</math> kann man mit <math>r:= |z_o|</math> und einem beliebigen <math>z\in G</math> mit <math> |z-z_o| < r </math> kann man <math>\tfrac{1}{z}</math> lokal auf Kreisscheiben in eine Potenzreihe um <math>z_o</math> entwickeln (siehe [[lokale Entwicklung in Potenzreihen]]). :<math>f(z)= \frac{1}{z} = \frac{1}{z_o} \cdot \frac{1}{ 1- \underbrace{\frac{z-z_o}{-z_o} }_{=q} } = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1}} }_{=a_n} \cdot (z-z_o)^n </math> === Beweisschritt 1 - lokale Stammfunktionen === Nach den [[Holomorphiekriterien]] besitzt jede holomorphe Funktion <math>f:G \to \mathbb{C}</math> [[lokale Stammfunktionen]]. Wegen gleichmäßiger Konvergenz der Partialsumme der Potenzreihe für <math>\tfrac{1}{z}</math> mit Entwicklungspunkt <math>z_o\in G</math> kann man summandenweise integrieren (siehe auch [[Normalverteilung]]). Dies liefert die folgende Potenzreihe für den Zweig des Logarithmus auf <math>D_r(z_o)</math>: :<math>F_{z_o}(z) = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1} \cdot (n+1)}}_{=a_n} \cdot (z-z_o)^{n+1} </math> === Beweisschritt 2 - Kompakte Spur des Integrationsweges === Für die Definition des Zweiges des [[Logarithmus]] ist <math>\gamma_z : [a,b]\to G</math> ein stetig differenzierbarer Weg von <math>z_o</math> nach <math>z\in G</math>. :<math> \ln_{_{(G,z_o,t_o)}}(z) = \int_{\gamma_z} \frac{1}{\xi}\, d\xi </math> Die Spur des Wege <math>Spur(\gamma_z)</math> eine kompakte Menge. === Beweisschritt 3 - Offene Überdeckung einer kompakten === Man überdeckt nun <math>Spur(\gamma_z)</math> mit beliebigen Kreisscheiben <math>D_z</math> um <math>z\in G</math>, wobei die Kreischeiben <math>D_z\subset G</math> ganz in der offenen Menge <math> G</math>. Da die Spur kompakt ist, gibt es eine endliche Teilüberdeckung der Spur mit <math>D_{z_o}:= D_r(z_o)</math>: :<math> Spur(\gamma_z) \subseteq \bigcup_{k=1}^n D_{z_k} \subseteq \bigcup_{k=0}^n D_{z_k} </math> === Beweisschritt 4 - Potenzreihenentwicklung für Kreisscheiben === Für alle <math>k\in \{1,\ldots , n\}</math> gibt es analog zur Potenzreihenentwicklung um <math>z_o</math> auch jeweils die folgenden Potenzreihenreihenentwicklungen für den Zweig des Logarithmus auf <math>D_{r_k}(z_k)</math>: :<math>F_{z_k}(z) = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_k^{n+1} \cdot (n+1)}}_{=a_{(n,k)}} \cdot (z-z_k)^{n+1} </math> === Beweisschritt 5 - Kreisscheibe für Startpunkt des Weges === Man startet mit der offenen Kreisscheibe <math>D_{z_o}= D_r(z_o)</math>, die <math>z_o</math> als Startpunkt des Weges <math>\gamma_z</math> in der Spur von <math>\gamma_z</math> enthalten ist. Wenn <math>D_{z_o}</math> bereits die ganze Spur <math>Spur(\gamma_z)</math> abdeckt, hat man mit eine eindeutige Darstellung des Zweiges des Logarithmus mit <math>F_{z_o}</math> erhalten, dessen Potenzreihendarstellung mit dem [[Identitätssatz]] eindeutig auf der Kreissscheibe <math>D_r(z_o)</math> ist. === Beweisschritt 6 - Schnitte von Kreisscheiben === Falls offene Kreisscheibe <math>D_o := D_{z_o}</math> die Menge <math>Spur(\gamma_z)</math> nicht vollständig abdeckt, gibt es einen Randpunkt <math>w_1 \in \partial(D_{z_o})</math> der Kreissscheibe liegt, der zugleich auch in der Spur liegt (d.h. <math>w_1 \in \partial(D_{z_o})\cap Spur(\gamma_z)</math>. Mit der Überdeckung der Spur gilt dann: :<math> w_1\in Spur(\gamma_z) \subseteq \bigcup_{k=1}^n D_{z_k} \subseteq \bigcup_{k=0}^n D_{z_k} </math> Also muss es ein <math>k_1\in \{1,\ldots , n\}</math> mit <math>w_1 \in D_{z_{k_1}}</math>. Bezeichne <math>D_1 := D_{z_{k_1}}</math>, damit an der Bezeichnung deutlich wird, welche Kreisscheibe der offenen Überdeckung zu <math>w_1\in D_1</math> gewählt wurde. === Beweisschritt 7 - Randpunkt und Schnitte von Kreisscheiben === Da <math>w_1 \in D_1 </math> nach Auswahl aus der Überdeckung gilt, liegt <math>w_1 \in D_0 \cup D_1 </math> auch in der Vereinigung der beiden Kreisscheiben. Ferner ist <math>w_1</math> auch ein Randpunkt von <math>D_0</math>. Damit ist der Schnitt von jeder Umgebung <math>U</math> von <math>w_1</math> mit <math>D_0</math> nicht leer. Dies gilt damit insbesondere für die offene Menge <math>D_1 </math>. Da der Schnitt <math>D_0 \cap D_1 \not= \emptyset</math> eine nicht diskrete Menge ist, gilt mit dem [[Identitätssatz]], dass der Zweig des Logarithmus auch auf <math>D_0 \cup D_1 </math> eindeutig definiert ist. === Beweisschritt 8 - Überdeckung der Spur === Falls <math>D_0 \cup D_1</math> die <math>Spur(\gamma_z)</math> vollständig überdecken, hat man bereits eine eindeutige Darstellung des Zweiges des Logarithmus auf <math>Spur(\gamma_z)</math> erhalten. Falls die Spur noch nicht vollständig abdeckt wurde, gibt es wieder einen Randpunkt <math>w_2 \in \partial(D_0\cup D_1)</math>, der zugleich auch in der Spur liegt (d.h. <math>w_2 \in \partial(D_0\cup D_1)\cap Spur(\gamma_z)</math>). Mit der Überdeckung der Spur gilt dann: :<math> w_2\in Spur(\gamma_z) \subseteq \bigcup_{k=1}^n D_{z_k} \subseteq \bigcup_{k=0}^n D_{z_k} </math> Also muss es ein <math>k_2\in \{1,\ldots , n\}</math> mit <math>w \in D_{z_{k_2}}</math> geben. Bezeichne <math>D_2 := D_{z_{k_2}}</math> wieder als Kreisscheibe der offenen Überdeckung mit <math>w_2\in D_2</math>. === Beweisschritt 9 - Schnitte von Kreisscheiben === Da der Schnitt <math>(D_0 \cup D_1) \cap D_2 \not= \emptyset</math> wieder nicht diskret ist (d.h. besitzt Häufungspunkte), gibt es analog zu Schritt 6 mit dem [[Identitätssatz]] wieder eine eindeutige Darstellung für den Zweig des Logarithmus auch auf <math>D_0 \cup D_1 \cup D_2 </math>. Nach maximal <math>n</math> Schritten für die offene Überdeckung hat man eine eindeutig des Logarithmus auf der Vereinigung <math>U_z := D_0 \cup D_1 \cup \ldots D_m</math> erhalten wobei <math>m\leq n</math> gilt. === Beweisschritt 10 - beliebige Integrationsweg === Man hat nur für ein beliebiges <math>z\in G</math> eine Vereinigung von offenen Menge gefunden, auf der der Zweig des Logarithmus eindeutig definiert ist. Für <math>U_z</math> gilt: <math> z_o, z\in U_z \quad \mbox{ und } \quad D_0 \subseteq U_z \subseteq G </math> Betrachtet man nun zwei beliebige Integrationwege <math>\gamma_{z_1}</math> mit <math>z_1, z_2\in G</math>, so gilt <math>D_0 \subseteq U_{z_1} \cap U_{z_2} </math>. Damit ist der Zweig des Logarithmus auch auf <math> U_{z_1} \cup U_{z_2} </math> mit dem [[Identitätssatz]] wieder eindeutig definiert. === Beweisschritt 11 - Eindeutigkeit des Zweiges === Da <math>U_z \subseteq G</math> gilt und man <math>G</math> als Vereinigung der <math>U_z</math> wegen <math>z\in U_z</math> darstellen kann, erhält man einen eindeutigen Logarithmus auf <math>G</math>. <math> \quad \Box</math> == Bemerkung - geschlitzte Ebene == Eine geschlitzte Ebene <math>G_{z_o}</math> für <math>z_o\not=0</math> definiert man wie folgt: :<math> G_{z_o} := \mathbb{C} \setminus \{z \in \mathbb{C} \, : \, z = - \lambda \cdot z_o \mbox{ mit } 0 \leq \lambda \in \mathbb{R} \} </math> Mit dem obigen Satz kann also nicht nur geschlitzte Ebenen <math>G_{z_o}</math> wählen, sondern man erhält Zweige des Logarithmus für beliebige einfach zusammenhängende Gebiete <math>G</math>, die 0 nicht enthalten. == Imaginärer Hauptzweig des Logarithmus == Wählt man die geschlitzte Ebene <math>G_{i}</math> für die imaginäre Einheit <math>i\not=0</math>, so erhält man mit dem obigen Satz den imaginären Hauptzweig des Logarithmus <math>\ln_i</math>, der sowohl für die positiven als für die negativen reellen Zahlen definiert ist. Für negative Zahlen <math>z=|z|\cdot e^{i\pi} \in \mathbb{R}^- </math> ist der Logarithmus dann wie folgt eindeutig festgelegt: :<math> \ln_i(z) = \ln(|z|) + i \cdot \pi </math> == Siehe auch == * [[Logarithmus]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen/Vorgehen|Potenzreihenentwicklungen für 1/z]] * [[Weg (Mathematik)/parametrisch unendlich|parametrisch unendliche Wege]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] m88qy9sl7vnrxctq6xnj1urg29cnbgv 1116371 1116370 2026-10-16T08:47:37Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 2 - Kompakte Spur des Integrationsweges */ 1116371 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Das Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige behandelt die Eindeutigkeit eines Zweiges des Logarithmus. Dabei ist mit der Wahl eines [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebietes <math>G</math> mit <math>0\notin G</math> und der Festlegung des Imaginärteiles des Logarithmuszweige für ein einziges <math>z_0\in G</math> der gesamte Zweig des [[Logarithmus]] bereits eindeutig definiert. Ferner wird zwischen dem (reellen) Hauptzweig <math>\ln(z)</math> und dem imaginären Hauptzweig des Logarithmus <math>\ln_{\,i}(z)</math> unterschieden, wobei einmal der negative reelle Achse für <math>\ln(z)</math> entfernt wurde und für imaginären Hauptzweig des Logarithmus negative imaginäre Achse für <math>\ln_{\,i}(z)</math> in <math>G</math> fehlt. == Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige == Sei <math>G</math> ein [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> mit <math>0\notin G</math>. Ferner sei <math>\gamma: [a,b]\to G</math> ein [[w:de:injektive Funktion|injektiver]] [[Integrationsweg]] von <math>z_0=\gamma(a) \in G</math> nach <math>z_1=\gamma(b) \in G</math>. Wählt man für <math>z_o\in G</math> mit <math>z_o = |z_0|\cdot e^{it_0}</math> mit <math>t_0\in \mathbb{R}</math>, so gibt es ein [[einfach zusammenhängend]]es Gebiet <math>G_0</math> als Teilmenge <math>G_0 \subseteq G</math>, sodass der Zweig des Logarithmus auf <math>G_0</math> eindeutig durch folgendes Integral definiert ist: :<math> \log_{_{(G_o,z_o,t_o)}}(z) = \int_{\gamma_z} \frac{1}{\xi}\, d\xi </math> Dabei kann <math>\gamma_z : [a,b]\to G</math> als stetig differenzierbarer Weg von <math>z_o</math> nach <math>z\in G</math>. == Beweis - Eindeutigkeitslemma == Wegen <math>z_0 \not= 0</math> kann man mit <math>r:= |z_o|</math> und einem beliebigen <math>z\in G</math> mit <math> |z-z_o| < r </math> kann man <math>\tfrac{1}{z}</math> lokal auf Kreisscheiben in eine Potenzreihe um <math>z_o</math> entwickeln (siehe [[lokale Entwicklung in Potenzreihen]]). :<math>f(z)= \frac{1}{z} = \frac{1}{z_o} \cdot \frac{1}{ 1- \underbrace{\frac{z-z_o}{-z_o} }_{=q} } = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1}} }_{=a_n} \cdot (z-z_o)^n </math> === Beweisschritt 1 - lokale Stammfunktionen === Nach den [[Holomorphiekriterien]] besitzt jede holomorphe Funktion <math>f:G \to \mathbb{C}</math> [[lokale Stammfunktionen]]. Wegen gleichmäßiger Konvergenz der Partialsumme der Potenzreihe für <math>\tfrac{1}{z}</math> mit Entwicklungspunkt <math>z_o\in G</math> kann man summandenweise integrieren (siehe auch [[Normalverteilung]]). Dies liefert die folgende Potenzreihe für den Zweig des Logarithmus auf <math>D_r(z_o)</math>: :<math>F_{z_o}(z) = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1} \cdot (n+1)}}_{=a_n} \cdot (z-z_o)^{n+1} </math> === Beweisschritt 2 - Kompakte Spur des Integrationsweges === Für die Definition des Zweiges des [[Logarithmus]] ist <math>\gamma_z : [a,b]\to G</math> ein stetig differenzierbarer Weg von <math>z_o</math> nach <math>z\in G</math>. :<math> \log_{_{(G,z_o,t_o)}}(z) = \int_{\gamma_z} \frac{1}{\xi}\, d\xi </math> Die Spur des Wege <math>Spur(\gamma_z)</math> eine kompakte Menge. === Beweisschritt 3 - Offene Überdeckung einer kompakten === Man überdeckt nun <math>Spur(\gamma_z)</math> mit beliebigen Kreisscheiben <math>D_z</math> um <math>z\in G</math>, wobei die Kreischeiben <math>D_z\subset G</math> ganz in der offenen Menge <math> G</math>. Da die Spur kompakt ist, gibt es eine endliche Teilüberdeckung der Spur mit <math>D_{z_o}:= D_r(z_o)</math>: :<math> Spur(\gamma_z) \subseteq \bigcup_{k=1}^n D_{z_k} \subseteq \bigcup_{k=0}^n D_{z_k} </math> === Beweisschritt 4 - Potenzreihenentwicklung für Kreisscheiben === Für alle <math>k\in \{1,\ldots , n\}</math> gibt es analog zur Potenzreihenentwicklung um <math>z_o</math> auch jeweils die folgenden Potenzreihenreihenentwicklungen für den Zweig des Logarithmus auf <math>D_{r_k}(z_k)</math>: :<math>F_{z_k}(z) = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_k^{n+1} \cdot (n+1)}}_{=a_{(n,k)}} \cdot (z-z_k)^{n+1} </math> === Beweisschritt 5 - Kreisscheibe für Startpunkt des Weges === Man startet mit der offenen Kreisscheibe <math>D_{z_o}= D_r(z_o)</math>, die <math>z_o</math> als Startpunkt des Weges <math>\gamma_z</math> in der Spur von <math>\gamma_z</math> enthalten ist. Wenn <math>D_{z_o}</math> bereits die ganze Spur <math>Spur(\gamma_z)</math> abdeckt, hat man mit eine eindeutige Darstellung des Zweiges des Logarithmus mit <math>F_{z_o}</math> erhalten, dessen Potenzreihendarstellung mit dem [[Identitätssatz]] eindeutig auf der Kreissscheibe <math>D_r(z_o)</math> ist. === Beweisschritt 6 - Schnitte von Kreisscheiben === Falls offene Kreisscheibe <math>D_o := D_{z_o}</math> die Menge <math>Spur(\gamma_z)</math> nicht vollständig abdeckt, gibt es einen Randpunkt <math>w_1 \in \partial(D_{z_o})</math> der Kreissscheibe liegt, der zugleich auch in der Spur liegt (d.h. <math>w_1 \in \partial(D_{z_o})\cap Spur(\gamma_z)</math>. Mit der Überdeckung der Spur gilt dann: :<math> w_1\in Spur(\gamma_z) \subseteq \bigcup_{k=1}^n D_{z_k} \subseteq \bigcup_{k=0}^n D_{z_k} </math> Also muss es ein <math>k_1\in \{1,\ldots , n\}</math> mit <math>w_1 \in D_{z_{k_1}}</math>. Bezeichne <math>D_1 := D_{z_{k_1}}</math>, damit an der Bezeichnung deutlich wird, welche Kreisscheibe der offenen Überdeckung zu <math>w_1\in D_1</math> gewählt wurde. === Beweisschritt 7 - Randpunkt und Schnitte von Kreisscheiben === Da <math>w_1 \in D_1 </math> nach Auswahl aus der Überdeckung gilt, liegt <math>w_1 \in D_0 \cup D_1 </math> auch in der Vereinigung der beiden Kreisscheiben. Ferner ist <math>w_1</math> auch ein Randpunkt von <math>D_0</math>. Damit ist der Schnitt von jeder Umgebung <math>U</math> von <math>w_1</math> mit <math>D_0</math> nicht leer. Dies gilt damit insbesondere für die offene Menge <math>D_1 </math>. Da der Schnitt <math>D_0 \cap D_1 \not= \emptyset</math> eine nicht diskrete Menge ist, gilt mit dem [[Identitätssatz]], dass der Zweig des Logarithmus auch auf <math>D_0 \cup D_1 </math> eindeutig definiert ist. === Beweisschritt 8 - Überdeckung der Spur === Falls <math>D_0 \cup D_1</math> die <math>Spur(\gamma_z)</math> vollständig überdecken, hat man bereits eine eindeutige Darstellung des Zweiges des Logarithmus auf <math>Spur(\gamma_z)</math> erhalten. Falls die Spur noch nicht vollständig abdeckt wurde, gibt es wieder einen Randpunkt <math>w_2 \in \partial(D_0\cup D_1)</math>, der zugleich auch in der Spur liegt (d.h. <math>w_2 \in \partial(D_0\cup D_1)\cap Spur(\gamma_z)</math>). Mit der Überdeckung der Spur gilt dann: :<math> w_2\in Spur(\gamma_z) \subseteq \bigcup_{k=1}^n D_{z_k} \subseteq \bigcup_{k=0}^n D_{z_k} </math> Also muss es ein <math>k_2\in \{1,\ldots , n\}</math> mit <math>w \in D_{z_{k_2}}</math> geben. Bezeichne <math>D_2 := D_{z_{k_2}}</math> wieder als Kreisscheibe der offenen Überdeckung mit <math>w_2\in D_2</math>. === Beweisschritt 9 - Schnitte von Kreisscheiben === Da der Schnitt <math>(D_0 \cup D_1) \cap D_2 \not= \emptyset</math> wieder nicht diskret ist (d.h. besitzt Häufungspunkte), gibt es analog zu Schritt 6 mit dem [[Identitätssatz]] wieder eine eindeutige Darstellung für den Zweig des Logarithmus auch auf <math>D_0 \cup D_1 \cup D_2 </math>. Nach maximal <math>n</math> Schritten für die offene Überdeckung hat man eine eindeutig des Logarithmus auf der Vereinigung <math>U_z := D_0 \cup D_1 \cup \ldots D_m</math> erhalten wobei <math>m\leq n</math> gilt. === Beweisschritt 10 - beliebige Integrationsweg === Man hat nur für ein beliebiges <math>z\in G</math> eine Vereinigung von offenen Menge gefunden, auf der der Zweig des Logarithmus eindeutig definiert ist. Für <math>U_z</math> gilt: <math> z_o, z\in U_z \quad \mbox{ und } \quad D_0 \subseteq U_z \subseteq G </math> Betrachtet man nun zwei beliebige Integrationwege <math>\gamma_{z_1}</math> mit <math>z_1, z_2\in G</math>, so gilt <math>D_0 \subseteq U_{z_1} \cap U_{z_2} </math>. Damit ist der Zweig des Logarithmus auch auf <math> U_{z_1} \cup U_{z_2} </math> mit dem [[Identitätssatz]] wieder eindeutig definiert. === Beweisschritt 11 - Eindeutigkeit des Zweiges === Da <math>U_z \subseteq G</math> gilt und man <math>G</math> als Vereinigung der <math>U_z</math> wegen <math>z\in U_z</math> darstellen kann, erhält man einen eindeutigen Logarithmus auf <math>G</math>. <math> \quad \Box</math> == Bemerkung - geschlitzte Ebene == Eine geschlitzte Ebene <math>G_{z_o}</math> für <math>z_o\not=0</math> definiert man wie folgt: :<math> G_{z_o} := \mathbb{C} \setminus \{z \in \mathbb{C} \, : \, z = - \lambda \cdot z_o \mbox{ mit } 0 \leq \lambda \in \mathbb{R} \} </math> Mit dem obigen Satz kann also nicht nur geschlitzte Ebenen <math>G_{z_o}</math> wählen, sondern man erhält Zweige des Logarithmus für beliebige einfach zusammenhängende Gebiete <math>G</math>, die 0 nicht enthalten. == Imaginärer Hauptzweig des Logarithmus == Wählt man die geschlitzte Ebene <math>G_{i}</math> für die imaginäre Einheit <math>i\not=0</math>, so erhält man mit dem obigen Satz den imaginären Hauptzweig des Logarithmus <math>\ln_i</math>, der sowohl für die positiven als für die negativen reellen Zahlen definiert ist. Für negative Zahlen <math>z=|z|\cdot e^{i\pi} \in \mathbb{R}^- </math> ist der Logarithmus dann wie folgt eindeutig festgelegt: :<math> \ln_i(z) = \ln(|z|) + i \cdot \pi </math> == Siehe auch == * [[Logarithmus]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen/Vorgehen|Potenzreihenentwicklungen für 1/z]] * [[Weg (Mathematik)/parametrisch unendlich|parametrisch unendliche Wege]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] j4e0os9qj5adis23ih1ven07ei5e41n 1116372 1116371 2026-10-16T08:50:45Z Bert Niehaus 20843 /* Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige */ 1116372 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Das Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige behandelt die Eindeutigkeit eines Zweiges des Logarithmus. Dabei ist mit der Wahl eines [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebietes <math>G</math> mit <math>0\notin G</math> und der Festlegung des Imaginärteiles des Logarithmuszweige für ein einziges <math>z_0\in G</math> der gesamte Zweig des [[Logarithmus]] bereits eindeutig definiert. Ferner wird zwischen dem (reellen) Hauptzweig <math>\ln(z)</math> und dem imaginären Hauptzweig des Logarithmus <math>\ln_{\,i}(z)</math> unterschieden, wobei einmal der negative reelle Achse für <math>\ln(z)</math> entfernt wurde und für imaginären Hauptzweig des Logarithmus negative imaginäre Achse für <math>\ln_{\,i}(z)</math> in <math>G</math> fehlt. == Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige == Sei <math>G</math> ein [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] mit <math>0\notin G</math>. Ferner sei <math>\gamma: [a,b]\to G</math> ein [[w:de:injektive Funktion|injektiver]] [[Integrationsweg]] von <math>z_0=\gamma(a) \in G</math> nach <math>z_1=\gamma(b) \in G</math>. Wählt man für <math>z_o\in G</math> mit <math>z_o = |z_0|\cdot e^{it_0}</math> mit <math>t_0\in \mathbb{R}</math>, so gibt es ein [[einfach zusammenhängend]]es Gebiet <math>G_0</math> als Teilmenge <math>G_0 \subseteq G</math>, sodass der [[Zweig des Logarithmus]] auf <math>G_0</math> eindeutig durch folgendes Integral definiert ist: :<math> \log_{_{(G_o,z_o,t_o)}}(z) = \underbrace{\ln(|z_0|)+it_0}_{=c} + \int_{\gamma_z} \frac{1}{\xi}\, d\xi </math> Dabei kann <math>\gamma_z : [a,b]\to G_0</math> als stetig differenzierbarer Weg von <math>z_o</math> nach <math>z\in G_0</math>. == Beweis - Eindeutigkeitslemma == Wegen <math>z_0 \not= 0</math> kann man mit <math>r:= |z_o|</math> und einem beliebigen <math>z\in G</math> mit <math> |z-z_o| < r </math> kann man <math>\tfrac{1}{z}</math> lokal auf Kreisscheiben in eine Potenzreihe um <math>z_o</math> entwickeln (siehe [[lokale Entwicklung in Potenzreihen]]). :<math>f(z)= \frac{1}{z} = \frac{1}{z_o} \cdot \frac{1}{ 1- \underbrace{\frac{z-z_o}{-z_o} }_{=q} } = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1}} }_{=a_n} \cdot (z-z_o)^n </math> === Beweisschritt 1 - lokale Stammfunktionen === Nach den [[Holomorphiekriterien]] besitzt jede holomorphe Funktion <math>f:G \to \mathbb{C}</math> [[lokale Stammfunktionen]]. Wegen gleichmäßiger Konvergenz der Partialsumme der Potenzreihe für <math>\tfrac{1}{z}</math> mit Entwicklungspunkt <math>z_o\in G</math> kann man summandenweise integrieren (siehe auch [[Normalverteilung]]). Dies liefert die folgende Potenzreihe für den Zweig des Logarithmus auf <math>D_r(z_o)</math>: :<math>F_{z_o}(z) = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1} \cdot (n+1)}}_{=a_n} \cdot (z-z_o)^{n+1} </math> === Beweisschritt 2 - Kompakte Spur des Integrationsweges === Für die Definition des Zweiges des [[Logarithmus]] ist <math>\gamma_z : [a,b]\to G</math> ein stetig differenzierbarer Weg von <math>z_o</math> nach <math>z\in G</math>. :<math> \log_{_{(G,z_o,t_o)}}(z) = \int_{\gamma_z} \frac{1}{\xi}\, d\xi </math> Die Spur des Wege <math>Spur(\gamma_z)</math> eine kompakte Menge. === Beweisschritt 3 - Offene Überdeckung einer kompakten === Man überdeckt nun <math>Spur(\gamma_z)</math> mit beliebigen Kreisscheiben <math>D_z</math> um <math>z\in G</math>, wobei die Kreischeiben <math>D_z\subset G</math> ganz in der offenen Menge <math> G</math>. Da die Spur kompakt ist, gibt es eine endliche Teilüberdeckung der Spur mit <math>D_{z_o}:= D_r(z_o)</math>: :<math> Spur(\gamma_z) \subseteq \bigcup_{k=1}^n D_{z_k} \subseteq \bigcup_{k=0}^n D_{z_k} </math> === Beweisschritt 4 - Potenzreihenentwicklung für Kreisscheiben === Für alle <math>k\in \{1,\ldots , n\}</math> gibt es analog zur Potenzreihenentwicklung um <math>z_o</math> auch jeweils die folgenden Potenzreihenreihenentwicklungen für den Zweig des Logarithmus auf <math>D_{r_k}(z_k)</math>: :<math>F_{z_k}(z) = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_k^{n+1} \cdot (n+1)}}_{=a_{(n,k)}} \cdot (z-z_k)^{n+1} </math> === Beweisschritt 5 - Kreisscheibe für Startpunkt des Weges === Man startet mit der offenen Kreisscheibe <math>D_{z_o}= D_r(z_o)</math>, die <math>z_o</math> als Startpunkt des Weges <math>\gamma_z</math> in der Spur von <math>\gamma_z</math> enthalten ist. Wenn <math>D_{z_o}</math> bereits die ganze Spur <math>Spur(\gamma_z)</math> abdeckt, hat man mit eine eindeutige Darstellung des Zweiges des Logarithmus mit <math>F_{z_o}</math> erhalten, dessen Potenzreihendarstellung mit dem [[Identitätssatz]] eindeutig auf der Kreissscheibe <math>D_r(z_o)</math> ist. === Beweisschritt 6 - Schnitte von Kreisscheiben === Falls offene Kreisscheibe <math>D_o := D_{z_o}</math> die Menge <math>Spur(\gamma_z)</math> nicht vollständig abdeckt, gibt es einen Randpunkt <math>w_1 \in \partial(D_{z_o})</math> der Kreissscheibe liegt, der zugleich auch in der Spur liegt (d.h. <math>w_1 \in \partial(D_{z_o})\cap Spur(\gamma_z)</math>. Mit der Überdeckung der Spur gilt dann: :<math> w_1\in Spur(\gamma_z) \subseteq \bigcup_{k=1}^n D_{z_k} \subseteq \bigcup_{k=0}^n D_{z_k} </math> Also muss es ein <math>k_1\in \{1,\ldots , n\}</math> mit <math>w_1 \in D_{z_{k_1}}</math>. Bezeichne <math>D_1 := D_{z_{k_1}}</math>, damit an der Bezeichnung deutlich wird, welche Kreisscheibe der offenen Überdeckung zu <math>w_1\in D_1</math> gewählt wurde. === Beweisschritt 7 - Randpunkt und Schnitte von Kreisscheiben === Da <math>w_1 \in D_1 </math> nach Auswahl aus der Überdeckung gilt, liegt <math>w_1 \in D_0 \cup D_1 </math> auch in der Vereinigung der beiden Kreisscheiben. Ferner ist <math>w_1</math> auch ein Randpunkt von <math>D_0</math>. Damit ist der Schnitt von jeder Umgebung <math>U</math> von <math>w_1</math> mit <math>D_0</math> nicht leer. Dies gilt damit insbesondere für die offene Menge <math>D_1 </math>. Da der Schnitt <math>D_0 \cap D_1 \not= \emptyset</math> eine nicht diskrete Menge ist, gilt mit dem [[Identitätssatz]], dass der Zweig des Logarithmus auch auf <math>D_0 \cup D_1 </math> eindeutig definiert ist. === Beweisschritt 8 - Überdeckung der Spur === Falls <math>D_0 \cup D_1</math> die <math>Spur(\gamma_z)</math> vollständig überdecken, hat man bereits eine eindeutige Darstellung des Zweiges des Logarithmus auf <math>Spur(\gamma_z)</math> erhalten. Falls die Spur noch nicht vollständig abdeckt wurde, gibt es wieder einen Randpunkt <math>w_2 \in \partial(D_0\cup D_1)</math>, der zugleich auch in der Spur liegt (d.h. <math>w_2 \in \partial(D_0\cup D_1)\cap Spur(\gamma_z)</math>). Mit der Überdeckung der Spur gilt dann: :<math> w_2\in Spur(\gamma_z) \subseteq \bigcup_{k=1}^n D_{z_k} \subseteq \bigcup_{k=0}^n D_{z_k} </math> Also muss es ein <math>k_2\in \{1,\ldots , n\}</math> mit <math>w \in D_{z_{k_2}}</math> geben. Bezeichne <math>D_2 := D_{z_{k_2}}</math> wieder als Kreisscheibe der offenen Überdeckung mit <math>w_2\in D_2</math>. === Beweisschritt 9 - Schnitte von Kreisscheiben === Da der Schnitt <math>(D_0 \cup D_1) \cap D_2 \not= \emptyset</math> wieder nicht diskret ist (d.h. besitzt Häufungspunkte), gibt es analog zu Schritt 6 mit dem [[Identitätssatz]] wieder eine eindeutige Darstellung für den Zweig des Logarithmus auch auf <math>D_0 \cup D_1 \cup D_2 </math>. Nach maximal <math>n</math> Schritten für die offene Überdeckung hat man eine eindeutig des Logarithmus auf der Vereinigung <math>U_z := D_0 \cup D_1 \cup \ldots D_m</math> erhalten wobei <math>m\leq n</math> gilt. === Beweisschritt 10 - beliebige Integrationsweg === Man hat nur für ein beliebiges <math>z\in G</math> eine Vereinigung von offenen Menge gefunden, auf der der Zweig des Logarithmus eindeutig definiert ist. Für <math>U_z</math> gilt: <math> z_o, z\in U_z \quad \mbox{ und } \quad D_0 \subseteq U_z \subseteq G </math> Betrachtet man nun zwei beliebige Integrationwege <math>\gamma_{z_1}</math> mit <math>z_1, z_2\in G</math>, so gilt <math>D_0 \subseteq U_{z_1} \cap U_{z_2} </math>. Damit ist der Zweig des Logarithmus auch auf <math> U_{z_1} \cup U_{z_2} </math> mit dem [[Identitätssatz]] wieder eindeutig definiert. === Beweisschritt 11 - Eindeutigkeit des Zweiges === Da <math>U_z \subseteq G</math> gilt und man <math>G</math> als Vereinigung der <math>U_z</math> wegen <math>z\in U_z</math> darstellen kann, erhält man einen eindeutigen Logarithmus auf <math>G</math>. <math> \quad \Box</math> == Bemerkung - geschlitzte Ebene == Eine geschlitzte Ebene <math>G_{z_o}</math> für <math>z_o\not=0</math> definiert man wie folgt: :<math> G_{z_o} := \mathbb{C} \setminus \{z \in \mathbb{C} \, : \, z = - \lambda \cdot z_o \mbox{ mit } 0 \leq \lambda \in \mathbb{R} \} </math> Mit dem obigen Satz kann also nicht nur geschlitzte Ebenen <math>G_{z_o}</math> wählen, sondern man erhält Zweige des Logarithmus für beliebige einfach zusammenhängende Gebiete <math>G</math>, die 0 nicht enthalten. == Imaginärer Hauptzweig des Logarithmus == Wählt man die geschlitzte Ebene <math>G_{i}</math> für die imaginäre Einheit <math>i\not=0</math>, so erhält man mit dem obigen Satz den imaginären Hauptzweig des Logarithmus <math>\ln_i</math>, der sowohl für die positiven als für die negativen reellen Zahlen definiert ist. Für negative Zahlen <math>z=|z|\cdot e^{i\pi} \in \mathbb{R}^- </math> ist der Logarithmus dann wie folgt eindeutig festgelegt: :<math> \ln_i(z) = \ln(|z|) + i \cdot \pi </math> == Siehe auch == * [[Logarithmus]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen/Vorgehen|Potenzreihenentwicklungen für 1/z]] * [[Weg (Mathematik)/parametrisch unendlich|parametrisch unendliche Wege]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] r75auzqni9ia6ndajhg5trpa54yibiv 1116373 1116372 2026-10-16T08:53:24Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 2 - Kompakte Spur des Integrationsweges */ 1116373 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Das Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige behandelt die Eindeutigkeit eines Zweiges des Logarithmus. Dabei ist mit der Wahl eines [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebietes <math>G</math> mit <math>0\notin G</math> und der Festlegung des Imaginärteiles des Logarithmuszweige für ein einziges <math>z_0\in G</math> der gesamte Zweig des [[Logarithmus]] bereits eindeutig definiert. Ferner wird zwischen dem (reellen) Hauptzweig <math>\ln(z)</math> und dem imaginären Hauptzweig des Logarithmus <math>\ln_{\,i}(z)</math> unterschieden, wobei einmal der negative reelle Achse für <math>\ln(z)</math> entfernt wurde und für imaginären Hauptzweig des Logarithmus negative imaginäre Achse für <math>\ln_{\,i}(z)</math> in <math>G</math> fehlt. == Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige == Sei <math>G</math> ein [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] mit <math>0\notin G</math>. Ferner sei <math>\gamma: [a,b]\to G</math> ein [[w:de:injektive Funktion|injektiver]] [[Integrationsweg]] von <math>z_0=\gamma(a) \in G</math> nach <math>z_1=\gamma(b) \in G</math>. Wählt man für <math>z_o\in G</math> mit <math>z_o = |z_0|\cdot e^{it_0}</math> mit <math>t_0\in \mathbb{R}</math>, so gibt es ein [[einfach zusammenhängend]]es Gebiet <math>G_0</math> als Teilmenge <math>G_0 \subseteq G</math>, sodass der [[Zweig des Logarithmus]] auf <math>G_0</math> eindeutig durch folgendes Integral definiert ist: :<math> \log_{_{(G_o,z_o,t_o)}}(z) = \underbrace{\ln(|z_0|)+it_0}_{=c} + \int_{\gamma_z} \frac{1}{\xi}\, d\xi </math> Dabei kann <math>\gamma_z : [a,b]\to G_0</math> als stetig differenzierbarer Weg von <math>z_o</math> nach <math>z\in G_0</math>. == Beweis - Eindeutigkeitslemma == Wegen <math>z_0 \not= 0</math> kann man mit <math>r:= |z_o|</math> und einem beliebigen <math>z\in G</math> mit <math> |z-z_o| < r </math> kann man <math>\tfrac{1}{z}</math> lokal auf Kreisscheiben in eine Potenzreihe um <math>z_o</math> entwickeln (siehe [[lokale Entwicklung in Potenzreihen]]). :<math>f(z)= \frac{1}{z} = \frac{1}{z_o} \cdot \frac{1}{ 1- \underbrace{\frac{z-z_o}{-z_o} }_{=q} } = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1}} }_{=a_n} \cdot (z-z_o)^n </math> === Beweisschritt 1 - lokale Stammfunktionen === Nach den [[Holomorphiekriterien]] besitzt jede holomorphe Funktion <math>f:G \to \mathbb{C}</math> [[lokale Stammfunktionen]]. Wegen gleichmäßiger Konvergenz der Partialsumme der Potenzreihe für <math>\tfrac{1}{z}</math> mit Entwicklungspunkt <math>z_o\in G</math> kann man summandenweise integrieren (siehe auch [[Normalverteilung]]). Dies liefert die folgende Potenzreihe für den Zweig des Logarithmus auf <math>D_r(z_o)</math>: :<math>F_{z_o}(z) = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1} \cdot (n+1)}}_{=a_n} \cdot (z-z_o)^{n+1} </math> === Beweisschritt 2 - Kompakte Spur des Integrationsweges === Für die Definition des Zweiges des [[Logarithmus]] ist <math>\gamma : [a,b]\to G</math> ein stetig differenzierbarer [[w:de:injektive Funktion|injektiver]] [[Integrationsweg|Weg]] von <math>z_o</math> nach <math>z_1\in G</math> gegeben. Das folgende Integral ist wohldefiniert, da <math>0\notin G</math> gilt, :<math> \int_{\gamma_z} \frac{1}{\xi}\, d\xi </math> Die Spur des Wege <math>Spur(\gamma_z)</math> eine kompakte Menge. === Beweisschritt 3 - Offene Überdeckung einer kompakten === Man überdeckt nun <math>Spur(\gamma_z)</math> mit beliebigen Kreisscheiben <math>D_z</math> um <math>z\in G</math>, wobei die Kreischeiben <math>D_z\subset G</math> ganz in der offenen Menge <math> G</math>. Da die Spur kompakt ist, gibt es eine endliche Teilüberdeckung der Spur mit <math>D_{z_o}:= D_r(z_o)</math>: :<math> Spur(\gamma_z) \subseteq \bigcup_{k=1}^n D_{z_k} \subseteq \bigcup_{k=0}^n D_{z_k} </math> === Beweisschritt 4 - Potenzreihenentwicklung für Kreisscheiben === Für alle <math>k\in \{1,\ldots , n\}</math> gibt es analog zur Potenzreihenentwicklung um <math>z_o</math> auch jeweils die folgenden Potenzreihenreihenentwicklungen für den Zweig des Logarithmus auf <math>D_{r_k}(z_k)</math>: :<math>F_{z_k}(z) = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_k^{n+1} \cdot (n+1)}}_{=a_{(n,k)}} \cdot (z-z_k)^{n+1} </math> === Beweisschritt 5 - Kreisscheibe für Startpunkt des Weges === Man startet mit der offenen Kreisscheibe <math>D_{z_o}= D_r(z_o)</math>, die <math>z_o</math> als Startpunkt des Weges <math>\gamma_z</math> in der Spur von <math>\gamma_z</math> enthalten ist. Wenn <math>D_{z_o}</math> bereits die ganze Spur <math>Spur(\gamma_z)</math> abdeckt, hat man mit eine eindeutige Darstellung des Zweiges des Logarithmus mit <math>F_{z_o}</math> erhalten, dessen Potenzreihendarstellung mit dem [[Identitätssatz]] eindeutig auf der Kreissscheibe <math>D_r(z_o)</math> ist. === Beweisschritt 6 - Schnitte von Kreisscheiben === Falls offene Kreisscheibe <math>D_o := D_{z_o}</math> die Menge <math>Spur(\gamma_z)</math> nicht vollständig abdeckt, gibt es einen Randpunkt <math>w_1 \in \partial(D_{z_o})</math> der Kreissscheibe liegt, der zugleich auch in der Spur liegt (d.h. <math>w_1 \in \partial(D_{z_o})\cap Spur(\gamma_z)</math>. Mit der Überdeckung der Spur gilt dann: :<math> w_1\in Spur(\gamma_z) \subseteq \bigcup_{k=1}^n D_{z_k} \subseteq \bigcup_{k=0}^n D_{z_k} </math> Also muss es ein <math>k_1\in \{1,\ldots , n\}</math> mit <math>w_1 \in D_{z_{k_1}}</math>. Bezeichne <math>D_1 := D_{z_{k_1}}</math>, damit an der Bezeichnung deutlich wird, welche Kreisscheibe der offenen Überdeckung zu <math>w_1\in D_1</math> gewählt wurde. === Beweisschritt 7 - Randpunkt und Schnitte von Kreisscheiben === Da <math>w_1 \in D_1 </math> nach Auswahl aus der Überdeckung gilt, liegt <math>w_1 \in D_0 \cup D_1 </math> auch in der Vereinigung der beiden Kreisscheiben. Ferner ist <math>w_1</math> auch ein Randpunkt von <math>D_0</math>. Damit ist der Schnitt von jeder Umgebung <math>U</math> von <math>w_1</math> mit <math>D_0</math> nicht leer. Dies gilt damit insbesondere für die offene Menge <math>D_1 </math>. Da der Schnitt <math>D_0 \cap D_1 \not= \emptyset</math> eine nicht diskrete Menge ist, gilt mit dem [[Identitätssatz]], dass der Zweig des Logarithmus auch auf <math>D_0 \cup D_1 </math> eindeutig definiert ist. === Beweisschritt 8 - Überdeckung der Spur === Falls <math>D_0 \cup D_1</math> die <math>Spur(\gamma_z)</math> vollständig überdecken, hat man bereits eine eindeutige Darstellung des Zweiges des Logarithmus auf <math>Spur(\gamma_z)</math> erhalten. Falls die Spur noch nicht vollständig abdeckt wurde, gibt es wieder einen Randpunkt <math>w_2 \in \partial(D_0\cup D_1)</math>, der zugleich auch in der Spur liegt (d.h. <math>w_2 \in \partial(D_0\cup D_1)\cap Spur(\gamma_z)</math>). Mit der Überdeckung der Spur gilt dann: :<math> w_2\in Spur(\gamma_z) \subseteq \bigcup_{k=1}^n D_{z_k} \subseteq \bigcup_{k=0}^n D_{z_k} </math> Also muss es ein <math>k_2\in \{1,\ldots , n\}</math> mit <math>w \in D_{z_{k_2}}</math> geben. Bezeichne <math>D_2 := D_{z_{k_2}}</math> wieder als Kreisscheibe der offenen Überdeckung mit <math>w_2\in D_2</math>. === Beweisschritt 9 - Schnitte von Kreisscheiben === Da der Schnitt <math>(D_0 \cup D_1) \cap D_2 \not= \emptyset</math> wieder nicht diskret ist (d.h. besitzt Häufungspunkte), gibt es analog zu Schritt 6 mit dem [[Identitätssatz]] wieder eine eindeutige Darstellung für den Zweig des Logarithmus auch auf <math>D_0 \cup D_1 \cup D_2 </math>. Nach maximal <math>n</math> Schritten für die offene Überdeckung hat man eine eindeutig des Logarithmus auf der Vereinigung <math>U_z := D_0 \cup D_1 \cup \ldots D_m</math> erhalten wobei <math>m\leq n</math> gilt. === Beweisschritt 10 - beliebige Integrationsweg === Man hat nur für ein beliebiges <math>z\in G</math> eine Vereinigung von offenen Menge gefunden, auf der der Zweig des Logarithmus eindeutig definiert ist. Für <math>U_z</math> gilt: <math> z_o, z\in U_z \quad \mbox{ und } \quad D_0 \subseteq U_z \subseteq G </math> Betrachtet man nun zwei beliebige Integrationwege <math>\gamma_{z_1}</math> mit <math>z_1, z_2\in G</math>, so gilt <math>D_0 \subseteq U_{z_1} \cap U_{z_2} </math>. Damit ist der Zweig des Logarithmus auch auf <math> U_{z_1} \cup U_{z_2} </math> mit dem [[Identitätssatz]] wieder eindeutig definiert. === Beweisschritt 11 - Eindeutigkeit des Zweiges === Da <math>U_z \subseteq G</math> gilt und man <math>G</math> als Vereinigung der <math>U_z</math> wegen <math>z\in U_z</math> darstellen kann, erhält man einen eindeutigen Logarithmus auf <math>G</math>. <math> \quad \Box</math> == Bemerkung - geschlitzte Ebene == Eine geschlitzte Ebene <math>G_{z_o}</math> für <math>z_o\not=0</math> definiert man wie folgt: :<math> G_{z_o} := \mathbb{C} \setminus \{z \in \mathbb{C} \, : \, z = - \lambda \cdot z_o \mbox{ mit } 0 \leq \lambda \in \mathbb{R} \} </math> Mit dem obigen Satz kann also nicht nur geschlitzte Ebenen <math>G_{z_o}</math> wählen, sondern man erhält Zweige des Logarithmus für beliebige einfach zusammenhängende Gebiete <math>G</math>, die 0 nicht enthalten. == Imaginärer Hauptzweig des Logarithmus == Wählt man die geschlitzte Ebene <math>G_{i}</math> für die imaginäre Einheit <math>i\not=0</math>, so erhält man mit dem obigen Satz den imaginären Hauptzweig des Logarithmus <math>\ln_i</math>, der sowohl für die positiven als für die negativen reellen Zahlen definiert ist. Für negative Zahlen <math>z=|z|\cdot e^{i\pi} \in \mathbb{R}^- </math> ist der Logarithmus dann wie folgt eindeutig festgelegt: :<math> \ln_i(z) = \ln(|z|) + i \cdot \pi </math> == Siehe auch == * [[Logarithmus]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen/Vorgehen|Potenzreihenentwicklungen für 1/z]] * [[Weg (Mathematik)/parametrisch unendlich|parametrisch unendliche Wege]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 6ugwwpo6cub26y08a07nn8761g3cuml 1116375 1116373 2026-10-16T08:55:27Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 2 - Kompakte Spur des Integrationsweges */ 1116375 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Das Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige behandelt die Eindeutigkeit eines Zweiges des Logarithmus. Dabei ist mit der Wahl eines [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebietes <math>G</math> mit <math>0\notin G</math> und der Festlegung des Imaginärteiles des Logarithmuszweige für ein einziges <math>z_0\in G</math> der gesamte Zweig des [[Logarithmus]] bereits eindeutig definiert. Ferner wird zwischen dem (reellen) Hauptzweig <math>\ln(z)</math> und dem imaginären Hauptzweig des Logarithmus <math>\ln_{\,i}(z)</math> unterschieden, wobei einmal der negative reelle Achse für <math>\ln(z)</math> entfernt wurde und für imaginären Hauptzweig des Logarithmus negative imaginäre Achse für <math>\ln_{\,i}(z)</math> in <math>G</math> fehlt. == Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige == Sei <math>G</math> ein [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] mit <math>0\notin G</math>. Ferner sei <math>\gamma: [a,b]\to G</math> ein [[w:de:injektive Funktion|injektiver]] [[Integrationsweg]] von <math>z_0=\gamma(a) \in G</math> nach <math>z_1=\gamma(b) \in G</math>. Wählt man für <math>z_o\in G</math> mit <math>z_o = |z_0|\cdot e^{it_0}</math> mit <math>t_0\in \mathbb{R}</math>, so gibt es ein [[einfach zusammenhängend]]es Gebiet <math>G_0</math> als Teilmenge <math>G_0 \subseteq G</math>, sodass der [[Zweig des Logarithmus]] auf <math>G_0</math> eindeutig durch folgendes Integral definiert ist: :<math> \log_{_{(G_o,z_o,t_o)}}(z) = \underbrace{\ln(|z_0|)+it_0}_{=c} + \int_{\gamma_z} \frac{1}{\xi}\, d\xi </math> Dabei kann <math>\gamma_z : [a,b]\to G_0</math> als stetig differenzierbarer Weg von <math>z_o</math> nach <math>z\in G_0</math>. == Beweis - Eindeutigkeitslemma == Wegen <math>z_0 \not= 0</math> kann man mit <math>r:= |z_o|</math> und einem beliebigen <math>z\in G</math> mit <math> |z-z_o| < r </math> kann man <math>\tfrac{1}{z}</math> lokal auf Kreisscheiben in eine Potenzreihe um <math>z_o</math> entwickeln (siehe [[lokale Entwicklung in Potenzreihen]]). :<math>f(z)= \frac{1}{z} = \frac{1}{z_o} \cdot \frac{1}{ 1- \underbrace{\frac{z-z_o}{-z_o} }_{=q} } = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1}} }_{=a_n} \cdot (z-z_o)^n </math> === Beweisschritt 1 - lokale Stammfunktionen === Nach den [[Holomorphiekriterien]] besitzt jede holomorphe Funktion <math>f:G \to \mathbb{C}</math> [[lokale Stammfunktionen]]. Wegen gleichmäßiger Konvergenz der Partialsumme der Potenzreihe für <math>\tfrac{1}{z}</math> mit Entwicklungspunkt <math>z_o\in G</math> kann man summandenweise integrieren (siehe auch [[Normalverteilung]]). Dies liefert die folgende Potenzreihe für den Zweig des Logarithmus auf <math>D_r(z_o)</math>: :<math>F_{z_o}(z) = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1} \cdot (n+1)}}_{=a_n} \cdot (z-z_o)^{n+1} </math> === Beweisschritt 2 - Kompakte Spur des Integrationsweges === Für die Definition des Zweiges des [[Logarithmus]] ist <math>\gamma : [a,b]\to G</math> ein stetig differenzierbarer [[w:de:injektive Funktion|injektiver]] [[Integrationsweg|Weg]] von <math>z_o</math> nach <math>z_1\in G</math> gegeben. Das folgende Integral ist wohldefiniert, da <math>0\notin G</math> gilt, :<math> \int_{\gamma_{z_1}} \frac{1}{\xi}\, d\xi </math> Die Spur des Wege <math>Spur(\gamma_{z_1})</math> eine [[kompakte Menge]]. === Beweisschritt 3 - Offene Überdeckung einer kompakten === Man überdeckt nun <math>Spur(\gamma_z)</math> mit beliebigen Kreisscheiben <math>D_z</math> um <math>z\in G</math>, wobei die Kreischeiben <math>D_z\subset G</math> ganz in der offenen Menge <math> G</math>. Da die Spur kompakt ist, gibt es eine endliche Teilüberdeckung der Spur mit <math>D_{z_o}:= D_r(z_o)</math>: :<math> Spur(\gamma_z) \subseteq \bigcup_{k=1}^n D_{z_k} \subseteq \bigcup_{k=0}^n D_{z_k} </math> === Beweisschritt 4 - Potenzreihenentwicklung für Kreisscheiben === Für alle <math>k\in \{1,\ldots , n\}</math> gibt es analog zur Potenzreihenentwicklung um <math>z_o</math> auch jeweils die folgenden Potenzreihenreihenentwicklungen für den Zweig des Logarithmus auf <math>D_{r_k}(z_k)</math>: :<math>F_{z_k}(z) = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_k^{n+1} \cdot (n+1)}}_{=a_{(n,k)}} \cdot (z-z_k)^{n+1} </math> === Beweisschritt 5 - Kreisscheibe für Startpunkt des Weges === Man startet mit der offenen Kreisscheibe <math>D_{z_o}= D_r(z_o)</math>, die <math>z_o</math> als Startpunkt des Weges <math>\gamma_z</math> in der Spur von <math>\gamma_z</math> enthalten ist. Wenn <math>D_{z_o}</math> bereits die ganze Spur <math>Spur(\gamma_z)</math> abdeckt, hat man mit eine eindeutige Darstellung des Zweiges des Logarithmus mit <math>F_{z_o}</math> erhalten, dessen Potenzreihendarstellung mit dem [[Identitätssatz]] eindeutig auf der Kreissscheibe <math>D_r(z_o)</math> ist. === Beweisschritt 6 - Schnitte von Kreisscheiben === Falls offene Kreisscheibe <math>D_o := D_{z_o}</math> die Menge <math>Spur(\gamma_z)</math> nicht vollständig abdeckt, gibt es einen Randpunkt <math>w_1 \in \partial(D_{z_o})</math> der Kreissscheibe liegt, der zugleich auch in der Spur liegt (d.h. <math>w_1 \in \partial(D_{z_o})\cap Spur(\gamma_z)</math>. Mit der Überdeckung der Spur gilt dann: :<math> w_1\in Spur(\gamma_z) \subseteq \bigcup_{k=1}^n D_{z_k} \subseteq \bigcup_{k=0}^n D_{z_k} </math> Also muss es ein <math>k_1\in \{1,\ldots , n\}</math> mit <math>w_1 \in D_{z_{k_1}}</math>. Bezeichne <math>D_1 := D_{z_{k_1}}</math>, damit an der Bezeichnung deutlich wird, welche Kreisscheibe der offenen Überdeckung zu <math>w_1\in D_1</math> gewählt wurde. === Beweisschritt 7 - Randpunkt und Schnitte von Kreisscheiben === Da <math>w_1 \in D_1 </math> nach Auswahl aus der Überdeckung gilt, liegt <math>w_1 \in D_0 \cup D_1 </math> auch in der Vereinigung der beiden Kreisscheiben. Ferner ist <math>w_1</math> auch ein Randpunkt von <math>D_0</math>. Damit ist der Schnitt von jeder Umgebung <math>U</math> von <math>w_1</math> mit <math>D_0</math> nicht leer. Dies gilt damit insbesondere für die offene Menge <math>D_1 </math>. Da der Schnitt <math>D_0 \cap D_1 \not= \emptyset</math> eine nicht diskrete Menge ist, gilt mit dem [[Identitätssatz]], dass der Zweig des Logarithmus auch auf <math>D_0 \cup D_1 </math> eindeutig definiert ist. === Beweisschritt 8 - Überdeckung der Spur === Falls <math>D_0 \cup D_1</math> die <math>Spur(\gamma_z)</math> vollständig überdecken, hat man bereits eine eindeutige Darstellung des Zweiges des Logarithmus auf <math>Spur(\gamma_z)</math> erhalten. Falls die Spur noch nicht vollständig abdeckt wurde, gibt es wieder einen Randpunkt <math>w_2 \in \partial(D_0\cup D_1)</math>, der zugleich auch in der Spur liegt (d.h. <math>w_2 \in \partial(D_0\cup D_1)\cap Spur(\gamma_z)</math>). Mit der Überdeckung der Spur gilt dann: :<math> w_2\in Spur(\gamma_z) \subseteq \bigcup_{k=1}^n D_{z_k} \subseteq \bigcup_{k=0}^n D_{z_k} </math> Also muss es ein <math>k_2\in \{1,\ldots , n\}</math> mit <math>w \in D_{z_{k_2}}</math> geben. Bezeichne <math>D_2 := D_{z_{k_2}}</math> wieder als Kreisscheibe der offenen Überdeckung mit <math>w_2\in D_2</math>. === Beweisschritt 9 - Schnitte von Kreisscheiben === Da der Schnitt <math>(D_0 \cup D_1) \cap D_2 \not= \emptyset</math> wieder nicht diskret ist (d.h. besitzt Häufungspunkte), gibt es analog zu Schritt 6 mit dem [[Identitätssatz]] wieder eine eindeutige Darstellung für den Zweig des Logarithmus auch auf <math>D_0 \cup D_1 \cup D_2 </math>. Nach maximal <math>n</math> Schritten für die offene Überdeckung hat man eine eindeutig des Logarithmus auf der Vereinigung <math>U_z := D_0 \cup D_1 \cup \ldots D_m</math> erhalten wobei <math>m\leq n</math> gilt. === Beweisschritt 10 - beliebige Integrationsweg === Man hat nur für ein beliebiges <math>z\in G</math> eine Vereinigung von offenen Menge gefunden, auf der der Zweig des Logarithmus eindeutig definiert ist. Für <math>U_z</math> gilt: <math> z_o, z\in U_z \quad \mbox{ und } \quad D_0 \subseteq U_z \subseteq G </math> Betrachtet man nun zwei beliebige Integrationwege <math>\gamma_{z_1}</math> mit <math>z_1, z_2\in G</math>, so gilt <math>D_0 \subseteq U_{z_1} \cap U_{z_2} </math>. Damit ist der Zweig des Logarithmus auch auf <math> U_{z_1} \cup U_{z_2} </math> mit dem [[Identitätssatz]] wieder eindeutig definiert. === Beweisschritt 11 - Eindeutigkeit des Zweiges === Da <math>U_z \subseteq G</math> gilt und man <math>G</math> als Vereinigung der <math>U_z</math> wegen <math>z\in U_z</math> darstellen kann, erhält man einen eindeutigen Logarithmus auf <math>G</math>. <math> \quad \Box</math> == Bemerkung - geschlitzte Ebene == Eine geschlitzte Ebene <math>G_{z_o}</math> für <math>z_o\not=0</math> definiert man wie folgt: :<math> G_{z_o} := \mathbb{C} \setminus \{z \in \mathbb{C} \, : \, z = - \lambda \cdot z_o \mbox{ mit } 0 \leq \lambda \in \mathbb{R} \} </math> Mit dem obigen Satz kann also nicht nur geschlitzte Ebenen <math>G_{z_o}</math> wählen, sondern man erhält Zweige des Logarithmus für beliebige einfach zusammenhängende Gebiete <math>G</math>, die 0 nicht enthalten. == Imaginärer Hauptzweig des Logarithmus == Wählt man die geschlitzte Ebene <math>G_{i}</math> für die imaginäre Einheit <math>i\not=0</math>, so erhält man mit dem obigen Satz den imaginären Hauptzweig des Logarithmus <math>\ln_i</math>, der sowohl für die positiven als für die negativen reellen Zahlen definiert ist. Für negative Zahlen <math>z=|z|\cdot e^{i\pi} \in \mathbb{R}^- </math> ist der Logarithmus dann wie folgt eindeutig festgelegt: :<math> \ln_i(z) = \ln(|z|) + i \cdot \pi </math> == Siehe auch == * [[Logarithmus]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen/Vorgehen|Potenzreihenentwicklungen für 1/z]] * [[Weg (Mathematik)/parametrisch unendlich|parametrisch unendliche Wege]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] kl2zcokohvgxr2nakp0pzgtr4zy9yxi 1116378 1116375 2026-10-16T09:03:53Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1116378 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Das Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige behandelt die Eindeutigkeit eines Zweiges des Logarithmus. Dabei ist mit der Wahl eines [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebietes <math>G</math> mit <math>0\notin G</math> und der Festlegung des Imaginärteiles des Logarithmuszweige für ein einziges <math>z_0\in G</math> der gesamte Zweig des [[Logarithmus]] bereits eindeutig definiert. Ferner wird zwischen dem (reellen) Hauptzweig <math>\ln(z)</math> und dem imaginären Hauptzweig des Logarithmus <math>\ln_{\,i}(z)</math> unterschieden, wobei einmal der negative reelle Achse für <math>\ln(z)</math> entfernt wurde und für imaginären Hauptzweig des Logarithmus negative imaginäre Achse für <math>\ln_{\,i}(z)</math> in <math>G</math> fehlt. == Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige == Sei <math>G</math> ein [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] mit <math>0\notin G</math>. Ferner sei <math>\gamma: [a,b]\to G</math> ein [[w:de:injektive Funktion|injektiver]] [[Integrationsweg]] von <math>z_0=\gamma(a) \in G</math> nach <math>z_1=\gamma(b) \in G</math>. Wählt man für <math>z_o\in G</math> mit <math>z_o = |z_0|\cdot e^{it_0}</math> mit <math>t_0\in \mathbb{R}</math>, so gibt es ein [[einfach zusammenhängend]]es Gebiet <math>G_0</math> als Teilmenge <math>G_0 \subseteq G</math>, sodass der [[Zweig des Logarithmus]] auf <math>G_0</math> eindeutig durch folgendes Integral definiert ist: :<math> \log_{_{(G_o,z_o,t_o)}}(z) = \underbrace{\ln(|z_0|)+it_0}_{=c} + \int_{\gamma_z} \frac{1}{\xi}\, d\xi </math> Dabei kann <math>\gamma_z : [a,b]\to G_0</math> als stetig differenzierbarer Weg von <math>z_o</math> nach <math>z\in G_0</math>. == Beweis - Eindeutigkeitslemma == Wegen <math>z_0 \not= 0</math> kann man mit <math>r:= |z_o|</math> und einem beliebigen <math>z\in G</math> mit <math> |z-z_o| < r </math> kann man <math>\tfrac{1}{z}</math> lokal auf Kreisscheiben in eine Potenzreihe um <math>z_o</math> entwickeln (siehe [[lokale Entwicklung in Potenzreihen]]). :<math>f(z)= \frac{1}{z} = \frac{1}{z_o} \cdot \frac{1}{ 1- \underbrace{\frac{z-z_o}{-z_o} }_{=q} } = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1}} }_{=a_n} \cdot (z-z_o)^n </math> === Beweisschritt 1 - lokale Stammfunktionen === Nach den [[Holomorphiekriterien]] besitzt jede holomorphe Funktion <math>f:G \to \mathbb{C}</math> [[lokale Stammfunktionen]]. Wegen gleichmäßiger Konvergenz der Partialsumme der Potenzreihe für <math>\tfrac{1}{z}</math> mit Entwicklungspunkt <math>z_o\in G</math> kann man summandenweise integrieren (siehe auch [[Normalverteilung]]). Dies liefert die folgende Potenzreihe für den Zweig des Logarithmus auf <math>D_r(z_o)</math>: :<math>F_{z_o}(z) = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1} \cdot (n+1)}}_{=a_n} \cdot (z-z_o)^{n+1} </math> === Beweisschritt 2 - Kompakte Spur des Integrationsweges === Für die Definition des Zweiges des [[Logarithmus]] ist <math>\gamma : [a,b]\to G</math> ein stetig differenzierbarer [[w:de:injektive Funktion|injektiver]] [[Integrationsweg|Weg]] von <math>z_o</math> nach <math>z_1\in G</math> gegeben. Das folgende Integral ist wohldefiniert, da <math>0\notin G</math> gilt, :<math> \int_{\gamma_{z_1}} \frac{1}{\xi}\, d\xi </math> Die Spur des Wege <math>Spur(\gamma_{z_1})</math> eine [[kompakte Menge]]. === Beweisschritt 3 - Offene Überdeckung einer kompakten === Man überdeckt nun <math>Spur(\gamma_z)</math> mit beliebigen Kreisscheiben <math>D_z</math> um <math>z\in G</math>, wobei die Kreischeiben <math>D_z\subset G</math> ganz in der offenen Menge <math> G</math>. Da die Spur kompakt ist, gibt es eine endliche Teilüberdeckung der Spur mit <math>D_{z_o}:= D_r(z_o)</math>: :<math> Spur(\gamma_z) \subseteq \bigcup_{k=1}^n D_{z_k} \subseteq \bigcup_{k=0}^n D_{z_k} </math> === Beweisschritt 4 - Potenzreihenentwicklung für Kreisscheiben === Für alle <math>k\in \{1,\ldots , n\}</math> gibt es analog zur Potenzreihenentwicklung um <math>z_o</math> auch jeweils die folgenden Potenzreihenreihenentwicklungen für den Zweig des Logarithmus auf <math>D_{r_k}(z_k)</math>: :<math>F_{z_k}(z) = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_k^{n+1} \cdot (n+1)}}_{=a_{(n,k)}} \cdot (z-z_k)^{n+1} </math> === Beweisschritt 5 - Kreisscheibe für Startpunkt des Weges === Man startet mit der offenen Kreisscheibe <math>D_{z_o}= D_r(z_o)</math>, die <math>z_o</math> als Startpunkt des Weges <math>\gamma_z</math> in der Spur von <math>\gamma_z</math> enthalten ist. Wenn <math>D_{z_o}</math> bereits die ganze Spur <math>Spur(\gamma_z)</math> abdeckt, hat man mit eine eindeutige Darstellung des Zweiges des Logarithmus mit <math>F_{z_o}</math> erhalten, dessen Potenzreihendarstellung mit dem [[Identitätssatz]] eindeutig auf der Kreissscheibe <math>D_r(z_o)</math> ist. === Beweisschritt 6 - Schnitte von Kreisscheiben === Falls offene Kreisscheibe <math>D_o := D_{z_o}</math> die Menge <math>Spur(\gamma_z)</math> nicht vollständig abdeckt, gibt es einen Randpunkt <math>w_1 \in \partial(D_{z_o})</math> der Kreissscheibe liegt, der zugleich auch in der Spur liegt (d.h. <math>w_1 \in \partial(D_{z_o})\cap Spur(\gamma_z)</math>. Mit der Überdeckung der Spur gilt dann: :<math> w_1\in Spur(\gamma_z) \subseteq \bigcup_{k=1}^n D_{z_k} \subseteq \bigcup_{k=0}^n D_{z_k} </math> Also muss es ein <math>k_1\in \{1,\ldots , n\}</math> mit <math>w_1 \in D_{z_{k_1}}</math>. Bezeichne <math>D_1 := D_{z_{k_1}}</math>, damit an der Bezeichnung deutlich wird, welche Kreisscheibe der offenen Überdeckung zu <math>w_1\in D_1</math> gewählt wurde. === Beweisschritt 7 - Randpunkt und Schnitte von Kreisscheiben === Da <math>w_1 \in D_1 </math> nach Auswahl aus der Überdeckung gilt, liegt <math>w_1 \in D_0 \cup D_1 </math> auch in der Vereinigung der beiden Kreisscheiben. Ferner ist <math>w_1</math> auch ein Randpunkt von <math>D_0</math>. Damit ist der Schnitt von jeder Umgebung <math>U</math> von <math>w_1</math> mit <math>D_0</math> nicht leer. Dies gilt damit insbesondere für die offene Menge <math>D_1 </math>. Da der Schnitt <math>D_0 \cap D_1 \not= \emptyset</math> eine nicht diskrete Menge ist, gilt mit dem [[Identitätssatz]], dass der Zweig des Logarithmus auch auf <math>D_0 \cup D_1 </math> eindeutig definiert ist. === Beweisschritt 8 - Überdeckung der Spur === Falls <math>D_0 \cup D_1</math> die <math>Spur(\gamma_z)</math> vollständig überdecken, hat man bereits eine eindeutige Darstellung des Zweiges des Logarithmus auf <math>Spur(\gamma_z)</math> erhalten. Falls die Spur noch nicht vollständig abdeckt wurde, gibt es wieder einen Randpunkt <math>w_2 \in \partial(D_0\cup D_1)</math>, der zugleich auch in der Spur liegt (d.h. <math>w_2 \in \partial(D_0\cup D_1)\cap Spur(\gamma_z)</math>). Mit der Überdeckung der Spur gilt dann: :<math> w_2\in Spur(\gamma_z) \subseteq \bigcup_{k=1}^n D_{z_k} \subseteq \bigcup_{k=0}^n D_{z_k} </math> Also muss es ein <math>k_2\in \{1,\ldots , n\}</math> mit <math>w \in D_{z_{k_2}}</math> geben. Bezeichne <math>D_2 := D_{z_{k_2}}</math> wieder als Kreisscheibe der offenen Überdeckung mit <math>w_2\in D_2</math>. === Beweisschritt 9 - Schnitte von Kreisscheiben === Da der Schnitt <math>(D_0 \cup D_1) \cap D_2 \not= \emptyset</math> wieder nicht diskret ist (d.h. besitzt Häufungspunkte), gibt es analog zu Schritt 6 mit dem [[Identitätssatz]] wieder eine eindeutige Darstellung für den Zweig des Logarithmus auch auf <math>D_0 \cup D_1 \cup D_2 </math>. Nach maximal <math>n</math> Schritten für die offene Überdeckung hat man eine eindeutig des Logarithmus auf der Vereinigung <math>U_z := D_0 \cup D_1 \cup \ldots D_m</math> erhalten wobei <math>m\leq n</math> gilt. === Beweisschritt 10 - beliebige Integrationsweg === Man hat nur für ein beliebiges <math>z\in G</math> eine Vereinigung von offenen Menge gefunden, auf der der Zweig des Logarithmus eindeutig definiert ist. Für <math>U_z</math> gilt: <math> z_o, z\in U_z \quad \mbox{ und } \quad D_0 \subseteq U_z \subseteq G </math> Betrachtet man nun zwei beliebige Integrationwege <math>\gamma_{z_1}</math> mit <math>z_1, z_2\in G</math>, so gilt <math>D_0 \subseteq U_{z_1} \cap U_{z_2} </math>. Damit ist der Zweig des Logarithmus auch auf <math> U_{z_1} \cup U_{z_2} </math> mit dem [[Identitätssatz]] wieder eindeutig definiert. === Beweisschritt 11 - Eindeutigkeit des Zweiges === Da <math>U_z \subseteq G</math> gilt und man <math>G</math> als Vereinigung der <math>U_z</math> wegen <math>z\in U_z</math> darstellen kann, erhält man einen eindeutigen Logarithmus auf <math>G</math>. <math> \quad \Box</math> == Bemerkung - geschlitzte Ebene == Eine geschlitzte Ebene <math>G_{z_o}</math> für <math>z_o\not=0</math> definiert man wie folgt: :<math> G_{z_o} := \mathbb{C} \setminus \{z \in \mathbb{C} \, : \, z = - \lambda \cdot z_o \mbox{ mit } 0 \leq \lambda \in \mathbb{R} \} </math> Mit dem obigen Satz kann also nicht nur geschlitzte Ebenen <math>G_{z_o}</math> wählen, sondern man erhält Zweige des Logarithmus für beliebige einfach zusammenhängende Gebiete <math>G</math>, die 0 nicht enthalten. == Imaginärer Hauptzweig des Logarithmus == Wählt man die geschlitzte Ebene <math>G_{i}</math> für die imaginäre Einheit <math>i\not=0</math>, so erhält man mit dem obigen Satz den imaginären Hauptzweig des Logarithmus <math>\ln_i</math>, der sowohl für die positiven als für die negativen reellen Zahlen definiert ist. Für negative Zahlen <math>z=|z|\cdot e^{i\pi} \in \mathbb{R}^- </math> ist der Logarithmus dann wie folgt eindeutig festgelegt: :<math> \ln_i(z) = \ln(|z|) + i \cdot \pi </math> == Siehe auch == * [[Identitätssatz für Logarithmen]] * [[Logarithmus]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen/Vorgehen|Potenzreihenentwicklungen für 1/z]] * [[Weg (Mathematik)/parametrisch unendlich|parametrisch unendliche Wege]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] goodzigzr34mjm4tm9nqsw3oyaebna4 1116380 1116378 2026-10-16T09:09:22Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 3 - Offene Überdeckung einer kompakten */ 1116380 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Das Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige behandelt die Eindeutigkeit eines Zweiges des Logarithmus. Dabei ist mit der Wahl eines [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebietes <math>G</math> mit <math>0\notin G</math> und der Festlegung des Imaginärteiles des Logarithmuszweige für ein einziges <math>z_0\in G</math> der gesamte Zweig des [[Logarithmus]] bereits eindeutig definiert. Ferner wird zwischen dem (reellen) Hauptzweig <math>\ln(z)</math> und dem imaginären Hauptzweig des Logarithmus <math>\ln_{\,i}(z)</math> unterschieden, wobei einmal der negative reelle Achse für <math>\ln(z)</math> entfernt wurde und für imaginären Hauptzweig des Logarithmus negative imaginäre Achse für <math>\ln_{\,i}(z)</math> in <math>G</math> fehlt. == Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige == Sei <math>G</math> ein [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] mit <math>0\notin G</math>. Ferner sei <math>\gamma: [a,b]\to G</math> ein [[w:de:injektive Funktion|injektiver]] [[Integrationsweg]] von <math>z_0=\gamma(a) \in G</math> nach <math>z_1=\gamma(b) \in G</math>. Wählt man für <math>z_o\in G</math> mit <math>z_o = |z_0|\cdot e^{it_0}</math> mit <math>t_0\in \mathbb{R}</math>, so gibt es ein [[einfach zusammenhängend]]es Gebiet <math>G_0</math> als Teilmenge <math>G_0 \subseteq G</math>, sodass der [[Zweig des Logarithmus]] auf <math>G_0</math> eindeutig durch folgendes Integral definiert ist: :<math> \log_{_{(G_o,z_o,t_o)}}(z) = \underbrace{\ln(|z_0|)+it_0}_{=c} + \int_{\gamma_z} \frac{1}{\xi}\, d\xi </math> Dabei kann <math>\gamma_z : [a,b]\to G_0</math> als stetig differenzierbarer Weg von <math>z_o</math> nach <math>z\in G_0</math>. == Beweis - Eindeutigkeitslemma == Wegen <math>z_0 \not= 0</math> kann man mit <math>r:= |z_o|</math> und einem beliebigen <math>z\in G</math> mit <math> |z-z_o| < r </math> kann man <math>\tfrac{1}{z}</math> lokal auf Kreisscheiben in eine Potenzreihe um <math>z_o</math> entwickeln (siehe [[lokale Entwicklung in Potenzreihen]]). :<math>f(z)= \frac{1}{z} = \frac{1}{z_o} \cdot \frac{1}{ 1- \underbrace{\frac{z-z_o}{-z_o} }_{=q} } = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1}} }_{=a_n} \cdot (z-z_o)^n </math> === Beweisschritt 1 - lokale Stammfunktionen === Nach den [[Holomorphiekriterien]] besitzt jede holomorphe Funktion <math>f:G \to \mathbb{C}</math> [[lokale Stammfunktionen]]. Wegen gleichmäßiger Konvergenz der Partialsumme der Potenzreihe für <math>\tfrac{1}{z}</math> mit Entwicklungspunkt <math>z_o\in G</math> kann man summandenweise integrieren (siehe auch [[Normalverteilung]]). Dies liefert die folgende Potenzreihe für den Zweig des Logarithmus auf <math>D_r(z_o)</math>: :<math>F_{z_o}(z) = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1} \cdot (n+1)}}_{=a_n} \cdot (z-z_o)^{n+1} </math> === Beweisschritt 2 - Kompakte Spur des Integrationsweges === Für die Definition des Zweiges des [[Logarithmus]] ist <math>\gamma : [a,b]\to G</math> ein stetig differenzierbarer [[w:de:injektive Funktion|injektiver]] [[Integrationsweg|Weg]] von <math>z_o</math> nach <math>z_1\in G</math> gegeben. Das folgende Integral ist wohldefiniert, da <math>0\notin G</math> gilt, :<math> \int_{\gamma_{z_1}} \frac{1}{\xi}\, d\xi </math> Die Spur des Wege <math>Spur(\gamma_{z_1})</math> eine [[kompakte Menge]]. === Beweisschritt 3 - Offene Überdeckung einer kompakten === Man überdeckt nun <math>Spur(\gamma_{z_1})</math> mit Kreisscheiben <math>D_z</math> um <math>z\in G</math>, wobei die Kreischeiben <math>D_z\subset G</math> ganz in der offenen Menge <math> G</math> und die Eigenschaft des [[Injektivitätslemmas für Integrationswege]] erfüllen und nur aus einer [[w:de:Zusammenhangskomponente|Zusammenhangskomponente]] bestehen. Da die Spur kompakt ist, gibt es eine endliche Teilüberdeckung der Spur mit <math>D_{z_o}:= D_r(z_o)</math>: :<math> Spur(\gamma_z) \subseteq \bigcup_{k=1}^n D_{z_k} \subseteq \bigcup_{k=0}^n D_{z_k} </math> === Beweisschritt 4 - Potenzreihenentwicklung für Kreisscheiben === Für alle <math>k\in \{1,\ldots , n\}</math> gibt es analog zur Potenzreihenentwicklung um <math>z_o</math> auch jeweils die folgenden Potenzreihenreihenentwicklungen für den Zweig des Logarithmus auf <math>D_{r_k}(z_k)</math>: :<math>F_{z_k}(z) = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_k^{n+1} \cdot (n+1)}}_{=a_{(n,k)}} \cdot (z-z_k)^{n+1} </math> === Beweisschritt 5 - Kreisscheibe für Startpunkt des Weges === Man startet mit der offenen Kreisscheibe <math>D_{z_o}= D_r(z_o)</math>, die <math>z_o</math> als Startpunkt des Weges <math>\gamma_z</math> in der Spur von <math>\gamma_z</math> enthalten ist. Wenn <math>D_{z_o}</math> bereits die ganze Spur <math>Spur(\gamma_z)</math> abdeckt, hat man mit eine eindeutige Darstellung des Zweiges des Logarithmus mit <math>F_{z_o}</math> erhalten, dessen Potenzreihendarstellung mit dem [[Identitätssatz]] eindeutig auf der Kreissscheibe <math>D_r(z_o)</math> ist. === Beweisschritt 6 - Schnitte von Kreisscheiben === Falls offene Kreisscheibe <math>D_o := D_{z_o}</math> die Menge <math>Spur(\gamma_z)</math> nicht vollständig abdeckt, gibt es einen Randpunkt <math>w_1 \in \partial(D_{z_o})</math> der Kreissscheibe liegt, der zugleich auch in der Spur liegt (d.h. <math>w_1 \in \partial(D_{z_o})\cap Spur(\gamma_z)</math>. Mit der Überdeckung der Spur gilt dann: :<math> w_1\in Spur(\gamma_z) \subseteq \bigcup_{k=1}^n D_{z_k} \subseteq \bigcup_{k=0}^n D_{z_k} </math> Also muss es ein <math>k_1\in \{1,\ldots , n\}</math> mit <math>w_1 \in D_{z_{k_1}}</math>. Bezeichne <math>D_1 := D_{z_{k_1}}</math>, damit an der Bezeichnung deutlich wird, welche Kreisscheibe der offenen Überdeckung zu <math>w_1\in D_1</math> gewählt wurde. === Beweisschritt 7 - Randpunkt und Schnitte von Kreisscheiben === Da <math>w_1 \in D_1 </math> nach Auswahl aus der Überdeckung gilt, liegt <math>w_1 \in D_0 \cup D_1 </math> auch in der Vereinigung der beiden Kreisscheiben. Ferner ist <math>w_1</math> auch ein Randpunkt von <math>D_0</math>. Damit ist der Schnitt von jeder Umgebung <math>U</math> von <math>w_1</math> mit <math>D_0</math> nicht leer. Dies gilt damit insbesondere für die offene Menge <math>D_1 </math>. Da der Schnitt <math>D_0 \cap D_1 \not= \emptyset</math> eine nicht diskrete Menge ist, gilt mit dem [[Identitätssatz]], dass der Zweig des Logarithmus auch auf <math>D_0 \cup D_1 </math> eindeutig definiert ist. === Beweisschritt 8 - Überdeckung der Spur === Falls <math>D_0 \cup D_1</math> die <math>Spur(\gamma_z)</math> vollständig überdecken, hat man bereits eine eindeutige Darstellung des Zweiges des Logarithmus auf <math>Spur(\gamma_z)</math> erhalten. Falls die Spur noch nicht vollständig abdeckt wurde, gibt es wieder einen Randpunkt <math>w_2 \in \partial(D_0\cup D_1)</math>, der zugleich auch in der Spur liegt (d.h. <math>w_2 \in \partial(D_0\cup D_1)\cap Spur(\gamma_z)</math>). Mit der Überdeckung der Spur gilt dann: :<math> w_2\in Spur(\gamma_z) \subseteq \bigcup_{k=1}^n D_{z_k} \subseteq \bigcup_{k=0}^n D_{z_k} </math> Also muss es ein <math>k_2\in \{1,\ldots , n\}</math> mit <math>w \in D_{z_{k_2}}</math> geben. Bezeichne <math>D_2 := D_{z_{k_2}}</math> wieder als Kreisscheibe der offenen Überdeckung mit <math>w_2\in D_2</math>. === Beweisschritt 9 - Schnitte von Kreisscheiben === Da der Schnitt <math>(D_0 \cup D_1) \cap D_2 \not= \emptyset</math> wieder nicht diskret ist (d.h. besitzt Häufungspunkte), gibt es analog zu Schritt 6 mit dem [[Identitätssatz]] wieder eine eindeutige Darstellung für den Zweig des Logarithmus auch auf <math>D_0 \cup D_1 \cup D_2 </math>. Nach maximal <math>n</math> Schritten für die offene Überdeckung hat man eine eindeutig des Logarithmus auf der Vereinigung <math>U_z := D_0 \cup D_1 \cup \ldots D_m</math> erhalten wobei <math>m\leq n</math> gilt. === Beweisschritt 10 - beliebige Integrationsweg === Man hat nur für ein beliebiges <math>z\in G</math> eine Vereinigung von offenen Menge gefunden, auf der der Zweig des Logarithmus eindeutig definiert ist. Für <math>U_z</math> gilt: <math> z_o, z\in U_z \quad \mbox{ und } \quad D_0 \subseteq U_z \subseteq G </math> Betrachtet man nun zwei beliebige Integrationwege <math>\gamma_{z_1}</math> mit <math>z_1, z_2\in G</math>, so gilt <math>D_0 \subseteq U_{z_1} \cap U_{z_2} </math>. Damit ist der Zweig des Logarithmus auch auf <math> U_{z_1} \cup U_{z_2} </math> mit dem [[Identitätssatz]] wieder eindeutig definiert. === Beweisschritt 11 - Eindeutigkeit des Zweiges === Da <math>U_z \subseteq G</math> gilt und man <math>G</math> als Vereinigung der <math>U_z</math> wegen <math>z\in U_z</math> darstellen kann, erhält man einen eindeutigen Logarithmus auf <math>G</math>. <math> \quad \Box</math> == Bemerkung - geschlitzte Ebene == Eine geschlitzte Ebene <math>G_{z_o}</math> für <math>z_o\not=0</math> definiert man wie folgt: :<math> G_{z_o} := \mathbb{C} \setminus \{z \in \mathbb{C} \, : \, z = - \lambda \cdot z_o \mbox{ mit } 0 \leq \lambda \in \mathbb{R} \} </math> Mit dem obigen Satz kann also nicht nur geschlitzte Ebenen <math>G_{z_o}</math> wählen, sondern man erhält Zweige des Logarithmus für beliebige einfach zusammenhängende Gebiete <math>G</math>, die 0 nicht enthalten. == Imaginärer Hauptzweig des Logarithmus == Wählt man die geschlitzte Ebene <math>G_{i}</math> für die imaginäre Einheit <math>i\not=0</math>, so erhält man mit dem obigen Satz den imaginären Hauptzweig des Logarithmus <math>\ln_i</math>, der sowohl für die positiven als für die negativen reellen Zahlen definiert ist. Für negative Zahlen <math>z=|z|\cdot e^{i\pi} \in \mathbb{R}^- </math> ist der Logarithmus dann wie folgt eindeutig festgelegt: :<math> \ln_i(z) = \ln(|z|) + i \cdot \pi </math> == Siehe auch == * [[Identitätssatz für Logarithmen]] * [[Logarithmus]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen/Vorgehen|Potenzreihenentwicklungen für 1/z]] * [[Weg (Mathematik)/parametrisch unendlich|parametrisch unendliche Wege]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] e1yaeeqpmiiac77otb6plnmhqnkeruo 1116382 1116380 2026-10-16T09:16:18Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 3 - Offene Überdeckung einer kompakten */ 1116382 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Das Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige behandelt die Eindeutigkeit eines Zweiges des Logarithmus. Dabei ist mit der Wahl eines [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebietes <math>G</math> mit <math>0\notin G</math> und der Festlegung des Imaginärteiles des Logarithmuszweige für ein einziges <math>z_0\in G</math> der gesamte Zweig des [[Logarithmus]] bereits eindeutig definiert. Ferner wird zwischen dem (reellen) Hauptzweig <math>\ln(z)</math> und dem imaginären Hauptzweig des Logarithmus <math>\ln_{\,i}(z)</math> unterschieden, wobei einmal der negative reelle Achse für <math>\ln(z)</math> entfernt wurde und für imaginären Hauptzweig des Logarithmus negative imaginäre Achse für <math>\ln_{\,i}(z)</math> in <math>G</math> fehlt. == Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige == Sei <math>G</math> ein [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] mit <math>0\notin G</math>. Ferner sei <math>\gamma: [a,b]\to G</math> ein [[w:de:injektive Funktion|injektiver]] [[Integrationsweg]] von <math>z_0=\gamma(a) \in G</math> nach <math>z_1=\gamma(b) \in G</math>. Wählt man für <math>z_o\in G</math> mit <math>z_o = |z_0|\cdot e^{it_0}</math> mit <math>t_0\in \mathbb{R}</math>, so gibt es ein [[einfach zusammenhängend]]es Gebiet <math>G_0</math> als Teilmenge <math>G_0 \subseteq G</math>, sodass der [[Zweig des Logarithmus]] auf <math>G_0</math> eindeutig durch folgendes Integral definiert ist: :<math> \log_{_{(G_o,z_o,t_o)}}(z) = \underbrace{\ln(|z_0|)+it_0}_{=c} + \int_{\gamma_z} \frac{1}{\xi}\, d\xi </math> Dabei kann <math>\gamma_z : [a,b]\to G_0</math> als stetig differenzierbarer Weg von <math>z_o</math> nach <math>z\in G_0</math>. == Beweis - Eindeutigkeitslemma == Wegen <math>z_0 \not= 0</math> kann man mit <math>r:= |z_o|</math> und einem beliebigen <math>z\in G</math> mit <math> |z-z_o| < r </math> kann man <math>\tfrac{1}{z}</math> lokal auf Kreisscheiben in eine Potenzreihe um <math>z_o</math> entwickeln (siehe [[lokale Entwicklung in Potenzreihen]]). :<math>f(z)= \frac{1}{z} = \frac{1}{z_o} \cdot \frac{1}{ 1- \underbrace{\frac{z-z_o}{-z_o} }_{=q} } = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1}} }_{=a_n} \cdot (z-z_o)^n </math> === Beweisschritt 1 - lokale Stammfunktionen === Nach den [[Holomorphiekriterien]] besitzt jede holomorphe Funktion <math>f:G \to \mathbb{C}</math> [[lokale Stammfunktionen]]. Wegen gleichmäßiger Konvergenz der Partialsumme der Potenzreihe für <math>\tfrac{1}{z}</math> mit Entwicklungspunkt <math>z_o\in G</math> kann man summandenweise integrieren (siehe auch [[Normalverteilung]]). Dies liefert die folgende Potenzreihe für den Zweig des Logarithmus auf <math>D_r(z_o)</math>: :<math>F_{z_o}(z) = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1} \cdot (n+1)}}_{=a_n} \cdot (z-z_o)^{n+1} </math> === Beweisschritt 2 - Kompakte Spur des Integrationsweges === Für die Definition des Zweiges des [[Logarithmus]] ist <math>\gamma : [a,b]\to G</math> ein stetig differenzierbarer [[w:de:injektive Funktion|injektiver]] [[Integrationsweg|Weg]] von <math>z_o</math> nach <math>z_1\in G</math> gegeben. Das folgende Integral ist wohldefiniert, da <math>0\notin G</math> gilt, :<math> \int_{\gamma_{z_1}} \frac{1}{\xi}\, d\xi </math> Die Spur des Wege <math>Spur(\gamma_{z_1})</math> eine [[kompakte Menge]]. === Beweisschritt 3 - Offene Überdeckung einer kompakten === Man überdeckt nun <math>Spur(\gamma_{z_1})</math> mit Kreisscheiben <math>D_z</math> um <math>z\in G</math>, wobei die Kreischeiben <math>D_z\subset G</math> ganz in der offenen Menge <math> G</math> und die Eigenschaft des [[Injektivitätslemma für Wege]] erfüllen und nur aus einer [[w:de:Zusammenhangskomponente|Zusammenhangskomponente]] bestehen. Da die Spur kompakt ist, gibt es eine endliche Teilüberdeckung der Spur mit <math>D_{z_o}:= D_r(z_o)</math>: :<math> Spur(\gamma_z) \subseteq \bigcup_{k=1}^n D_{z_k} \subseteq \bigcup_{k=0}^n D_{z_k} </math> === Beweisschritt 4 - Potenzreihenentwicklung für Kreisscheiben === Für alle <math>k\in \{1,\ldots , n\}</math> gibt es analog zur Potenzreihenentwicklung um <math>z_o</math> auch jeweils die folgenden Potenzreihenreihenentwicklungen für den Zweig des Logarithmus auf <math>D_{r_k}(z_k)</math>: :<math>F_{z_k}(z) = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_k^{n+1} \cdot (n+1)}}_{=a_{(n,k)}} \cdot (z-z_k)^{n+1} </math> === Beweisschritt 5 - Kreisscheibe für Startpunkt des Weges === Man startet mit der offenen Kreisscheibe <math>D_{z_o}= D_r(z_o)</math>, die <math>z_o</math> als Startpunkt des Weges <math>\gamma_z</math> in der Spur von <math>\gamma_z</math> enthalten ist. Wenn <math>D_{z_o}</math> bereits die ganze Spur <math>Spur(\gamma_z)</math> abdeckt, hat man mit eine eindeutige Darstellung des Zweiges des Logarithmus mit <math>F_{z_o}</math> erhalten, dessen Potenzreihendarstellung mit dem [[Identitätssatz]] eindeutig auf der Kreissscheibe <math>D_r(z_o)</math> ist. === Beweisschritt 6 - Schnitte von Kreisscheiben === Falls offene Kreisscheibe <math>D_o := D_{z_o}</math> die Menge <math>Spur(\gamma_z)</math> nicht vollständig abdeckt, gibt es einen Randpunkt <math>w_1 \in \partial(D_{z_o})</math> der Kreissscheibe liegt, der zugleich auch in der Spur liegt (d.h. <math>w_1 \in \partial(D_{z_o})\cap Spur(\gamma_z)</math>. Mit der Überdeckung der Spur gilt dann: :<math> w_1\in Spur(\gamma_z) \subseteq \bigcup_{k=1}^n D_{z_k} \subseteq \bigcup_{k=0}^n D_{z_k} </math> Also muss es ein <math>k_1\in \{1,\ldots , n\}</math> mit <math>w_1 \in D_{z_{k_1}}</math>. Bezeichne <math>D_1 := D_{z_{k_1}}</math>, damit an der Bezeichnung deutlich wird, welche Kreisscheibe der offenen Überdeckung zu <math>w_1\in D_1</math> gewählt wurde. === Beweisschritt 7 - Randpunkt und Schnitte von Kreisscheiben === Da <math>w_1 \in D_1 </math> nach Auswahl aus der Überdeckung gilt, liegt <math>w_1 \in D_0 \cup D_1 </math> auch in der Vereinigung der beiden Kreisscheiben. Ferner ist <math>w_1</math> auch ein Randpunkt von <math>D_0</math>. Damit ist der Schnitt von jeder Umgebung <math>U</math> von <math>w_1</math> mit <math>D_0</math> nicht leer. Dies gilt damit insbesondere für die offene Menge <math>D_1 </math>. Da der Schnitt <math>D_0 \cap D_1 \not= \emptyset</math> eine nicht diskrete Menge ist, gilt mit dem [[Identitätssatz]], dass der Zweig des Logarithmus auch auf <math>D_0 \cup D_1 </math> eindeutig definiert ist. === Beweisschritt 8 - Überdeckung der Spur === Falls <math>D_0 \cup D_1</math> die <math>Spur(\gamma_z)</math> vollständig überdecken, hat man bereits eine eindeutige Darstellung des Zweiges des Logarithmus auf <math>Spur(\gamma_z)</math> erhalten. Falls die Spur noch nicht vollständig abdeckt wurde, gibt es wieder einen Randpunkt <math>w_2 \in \partial(D_0\cup D_1)</math>, der zugleich auch in der Spur liegt (d.h. <math>w_2 \in \partial(D_0\cup D_1)\cap Spur(\gamma_z)</math>). Mit der Überdeckung der Spur gilt dann: :<math> w_2\in Spur(\gamma_z) \subseteq \bigcup_{k=1}^n D_{z_k} \subseteq \bigcup_{k=0}^n D_{z_k} </math> Also muss es ein <math>k_2\in \{1,\ldots , n\}</math> mit <math>w \in D_{z_{k_2}}</math> geben. Bezeichne <math>D_2 := D_{z_{k_2}}</math> wieder als Kreisscheibe der offenen Überdeckung mit <math>w_2\in D_2</math>. === Beweisschritt 9 - Schnitte von Kreisscheiben === Da der Schnitt <math>(D_0 \cup D_1) \cap D_2 \not= \emptyset</math> wieder nicht diskret ist (d.h. besitzt Häufungspunkte), gibt es analog zu Schritt 6 mit dem [[Identitätssatz]] wieder eine eindeutige Darstellung für den Zweig des Logarithmus auch auf <math>D_0 \cup D_1 \cup D_2 </math>. Nach maximal <math>n</math> Schritten für die offene Überdeckung hat man eine eindeutig des Logarithmus auf der Vereinigung <math>U_z := D_0 \cup D_1 \cup \ldots D_m</math> erhalten wobei <math>m\leq n</math> gilt. === Beweisschritt 10 - beliebige Integrationsweg === Man hat nur für ein beliebiges <math>z\in G</math> eine Vereinigung von offenen Menge gefunden, auf der der Zweig des Logarithmus eindeutig definiert ist. Für <math>U_z</math> gilt: <math> z_o, z\in U_z \quad \mbox{ und } \quad D_0 \subseteq U_z \subseteq G </math> Betrachtet man nun zwei beliebige Integrationwege <math>\gamma_{z_1}</math> mit <math>z_1, z_2\in G</math>, so gilt <math>D_0 \subseteq U_{z_1} \cap U_{z_2} </math>. Damit ist der Zweig des Logarithmus auch auf <math> U_{z_1} \cup U_{z_2} </math> mit dem [[Identitätssatz]] wieder eindeutig definiert. === Beweisschritt 11 - Eindeutigkeit des Zweiges === Da <math>U_z \subseteq G</math> gilt und man <math>G</math> als Vereinigung der <math>U_z</math> wegen <math>z\in U_z</math> darstellen kann, erhält man einen eindeutigen Logarithmus auf <math>G</math>. <math> \quad \Box</math> == Bemerkung - geschlitzte Ebene == Eine geschlitzte Ebene <math>G_{z_o}</math> für <math>z_o\not=0</math> definiert man wie folgt: :<math> G_{z_o} := \mathbb{C} \setminus \{z \in \mathbb{C} \, : \, z = - \lambda \cdot z_o \mbox{ mit } 0 \leq \lambda \in \mathbb{R} \} </math> Mit dem obigen Satz kann also nicht nur geschlitzte Ebenen <math>G_{z_o}</math> wählen, sondern man erhält Zweige des Logarithmus für beliebige einfach zusammenhängende Gebiete <math>G</math>, die 0 nicht enthalten. == Imaginärer Hauptzweig des Logarithmus == Wählt man die geschlitzte Ebene <math>G_{i}</math> für die imaginäre Einheit <math>i\not=0</math>, so erhält man mit dem obigen Satz den imaginären Hauptzweig des Logarithmus <math>\ln_i</math>, der sowohl für die positiven als für die negativen reellen Zahlen definiert ist. Für negative Zahlen <math>z=|z|\cdot e^{i\pi} \in \mathbb{R}^- </math> ist der Logarithmus dann wie folgt eindeutig festgelegt: :<math> \ln_i(z) = \ln(|z|) + i \cdot \pi </math> == Siehe auch == * [[Identitätssatz für Logarithmen]] * [[Logarithmus]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen/Vorgehen|Potenzreihenentwicklungen für 1/z]] * [[Weg (Mathematik)/parametrisch unendlich|parametrisch unendliche Wege]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] nm77wfipdmj6fpeop6e30pl1kt82qoa 1116383 1116382 2026-10-16T09:16:43Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1116383 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Das Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige behandelt die Eindeutigkeit eines Zweiges des Logarithmus. Dabei ist mit der Wahl eines [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebietes <math>G</math> mit <math>0\notin G</math> und der Festlegung des Imaginärteiles des Logarithmuszweige für ein einziges <math>z_0\in G</math> der gesamte Zweig des [[Logarithmus]] bereits eindeutig definiert. Ferner wird zwischen dem (reellen) Hauptzweig <math>\ln(z)</math> und dem imaginären Hauptzweig des Logarithmus <math>\ln_{\,i}(z)</math> unterschieden, wobei einmal der negative reelle Achse für <math>\ln(z)</math> entfernt wurde und für imaginären Hauptzweig des Logarithmus negative imaginäre Achse für <math>\ln_{\,i}(z)</math> in <math>G</math> fehlt. == Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige == Sei <math>G</math> ein [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] mit <math>0\notin G</math>. Ferner sei <math>\gamma: [a,b]\to G</math> ein [[w:de:injektive Funktion|injektiver]] [[Integrationsweg]] von <math>z_0=\gamma(a) \in G</math> nach <math>z_1=\gamma(b) \in G</math>. Wählt man für <math>z_o\in G</math> mit <math>z_o = |z_0|\cdot e^{it_0}</math> mit <math>t_0\in \mathbb{R}</math>, so gibt es ein [[einfach zusammenhängend]]es Gebiet <math>G_0</math> als Teilmenge <math>G_0 \subseteq G</math>, sodass der [[Zweig des Logarithmus]] auf <math>G_0</math> eindeutig durch folgendes Integral definiert ist: :<math> \log_{_{(G_o,z_o,t_o)}}(z) = \underbrace{\ln(|z_0|)+it_0}_{=c} + \int_{\gamma_z} \frac{1}{\xi}\, d\xi </math> Dabei kann <math>\gamma_z : [a,b]\to G_0</math> als stetig differenzierbarer Weg von <math>z_o</math> nach <math>z\in G_0</math>. == Beweis - Eindeutigkeitslemma == Wegen <math>z_0 \not= 0</math> kann man mit <math>r:= |z_o|</math> und einem beliebigen <math>z\in G</math> mit <math> |z-z_o| < r </math> kann man <math>\tfrac{1}{z}</math> lokal auf Kreisscheiben in eine Potenzreihe um <math>z_o</math> entwickeln (siehe [[lokale Entwicklung in Potenzreihen]]). :<math>f(z)= \frac{1}{z} = \frac{1}{z_o} \cdot \frac{1}{ 1- \underbrace{\frac{z-z_o}{-z_o} }_{=q} } = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1}} }_{=a_n} \cdot (z-z_o)^n </math> === Beweisschritt 1 - lokale Stammfunktionen === Nach den [[Holomorphiekriterien]] besitzt jede holomorphe Funktion <math>f:G \to \mathbb{C}</math> [[lokale Stammfunktionen]]. Wegen gleichmäßiger Konvergenz der Partialsumme der Potenzreihe für <math>\tfrac{1}{z}</math> mit Entwicklungspunkt <math>z_o\in G</math> kann man summandenweise integrieren (siehe auch [[Normalverteilung]]). Dies liefert die folgende Potenzreihe für den Zweig des Logarithmus auf <math>D_r(z_o)</math>: :<math>F_{z_o}(z) = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1} \cdot (n+1)}}_{=a_n} \cdot (z-z_o)^{n+1} </math> === Beweisschritt 2 - Kompakte Spur des Integrationsweges === Für die Definition des Zweiges des [[Logarithmus]] ist <math>\gamma : [a,b]\to G</math> ein stetig differenzierbarer [[w:de:injektive Funktion|injektiver]] [[Integrationsweg|Weg]] von <math>z_o</math> nach <math>z_1\in G</math> gegeben. Das folgende Integral ist wohldefiniert, da <math>0\notin G</math> gilt, :<math> \int_{\gamma_{z_1}} \frac{1}{\xi}\, d\xi </math> Die Spur des Wege <math>Spur(\gamma_{z_1})</math> eine [[kompakte Menge]]. === Beweisschritt 3 - Offene Überdeckung einer kompakten === Man überdeckt nun <math>Spur(\gamma_{z_1})</math> mit Kreisscheiben <math>D_z</math> um <math>z\in G</math>, wobei die Kreischeiben <math>D_z\subset G</math> ganz in der offenen Menge <math> G</math> und die Eigenschaft des [[Injektivitätslemma für Wege]] erfüllen und nur aus einer [[w:de:Zusammenhangskomponente|Zusammenhangskomponente]] bestehen. Da die Spur kompakt ist, gibt es eine endliche Teilüberdeckung der Spur mit <math>D_{z_o}:= D_r(z_o)</math>: :<math> Spur(\gamma_z) \subseteq \bigcup_{k=1}^n D_{z_k} \subseteq \bigcup_{k=0}^n D_{z_k} </math> === Beweisschritt 4 - Potenzreihenentwicklung für Kreisscheiben === Für alle <math>k\in \{1,\ldots , n\}</math> gibt es analog zur Potenzreihenentwicklung um <math>z_o</math> auch jeweils die folgenden Potenzreihenreihenentwicklungen für den Zweig des Logarithmus auf <math>D_{r_k}(z_k)</math>: :<math>F_{z_k}(z) = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_k^{n+1} \cdot (n+1)}}_{=a_{(n,k)}} \cdot (z-z_k)^{n+1} </math> === Beweisschritt 5 - Kreisscheibe für Startpunkt des Weges === Man startet mit der offenen Kreisscheibe <math>D_{z_o}= D_r(z_o)</math>, die <math>z_o</math> als Startpunkt des Weges <math>\gamma_z</math> in der Spur von <math>\gamma_z</math> enthalten ist. Wenn <math>D_{z_o}</math> bereits die ganze Spur <math>Spur(\gamma_z)</math> abdeckt, hat man mit eine eindeutige Darstellung des Zweiges des Logarithmus mit <math>F_{z_o}</math> erhalten, dessen Potenzreihendarstellung mit dem [[Identitätssatz]] eindeutig auf der Kreissscheibe <math>D_r(z_o)</math> ist. === Beweisschritt 6 - Schnitte von Kreisscheiben === Falls offene Kreisscheibe <math>D_o := D_{z_o}</math> die Menge <math>Spur(\gamma_z)</math> nicht vollständig abdeckt, gibt es einen Randpunkt <math>w_1 \in \partial(D_{z_o})</math> der Kreissscheibe liegt, der zugleich auch in der Spur liegt (d.h. <math>w_1 \in \partial(D_{z_o})\cap Spur(\gamma_z)</math>. Mit der Überdeckung der Spur gilt dann: :<math> w_1\in Spur(\gamma_z) \subseteq \bigcup_{k=1}^n D_{z_k} \subseteq \bigcup_{k=0}^n D_{z_k} </math> Also muss es ein <math>k_1\in \{1,\ldots , n\}</math> mit <math>w_1 \in D_{z_{k_1}}</math>. Bezeichne <math>D_1 := D_{z_{k_1}}</math>, damit an der Bezeichnung deutlich wird, welche Kreisscheibe der offenen Überdeckung zu <math>w_1\in D_1</math> gewählt wurde. === Beweisschritt 7 - Randpunkt und Schnitte von Kreisscheiben === Da <math>w_1 \in D_1 </math> nach Auswahl aus der Überdeckung gilt, liegt <math>w_1 \in D_0 \cup D_1 </math> auch in der Vereinigung der beiden Kreisscheiben. Ferner ist <math>w_1</math> auch ein Randpunkt von <math>D_0</math>. Damit ist der Schnitt von jeder Umgebung <math>U</math> von <math>w_1</math> mit <math>D_0</math> nicht leer. Dies gilt damit insbesondere für die offene Menge <math>D_1 </math>. Da der Schnitt <math>D_0 \cap D_1 \not= \emptyset</math> eine nicht diskrete Menge ist, gilt mit dem [[Identitätssatz]], dass der Zweig des Logarithmus auch auf <math>D_0 \cup D_1 </math> eindeutig definiert ist. === Beweisschritt 8 - Überdeckung der Spur === Falls <math>D_0 \cup D_1</math> die <math>Spur(\gamma_z)</math> vollständig überdecken, hat man bereits eine eindeutige Darstellung des Zweiges des Logarithmus auf <math>Spur(\gamma_z)</math> erhalten. Falls die Spur noch nicht vollständig abdeckt wurde, gibt es wieder einen Randpunkt <math>w_2 \in \partial(D_0\cup D_1)</math>, der zugleich auch in der Spur liegt (d.h. <math>w_2 \in \partial(D_0\cup D_1)\cap Spur(\gamma_z)</math>). Mit der Überdeckung der Spur gilt dann: :<math> w_2\in Spur(\gamma_z) \subseteq \bigcup_{k=1}^n D_{z_k} \subseteq \bigcup_{k=0}^n D_{z_k} </math> Also muss es ein <math>k_2\in \{1,\ldots , n\}</math> mit <math>w \in D_{z_{k_2}}</math> geben. Bezeichne <math>D_2 := D_{z_{k_2}}</math> wieder als Kreisscheibe der offenen Überdeckung mit <math>w_2\in D_2</math>. === Beweisschritt 9 - Schnitte von Kreisscheiben === Da der Schnitt <math>(D_0 \cup D_1) \cap D_2 \not= \emptyset</math> wieder nicht diskret ist (d.h. besitzt Häufungspunkte), gibt es analog zu Schritt 6 mit dem [[Identitätssatz]] wieder eine eindeutige Darstellung für den Zweig des Logarithmus auch auf <math>D_0 \cup D_1 \cup D_2 </math>. Nach maximal <math>n</math> Schritten für die offene Überdeckung hat man eine eindeutig des Logarithmus auf der Vereinigung <math>U_z := D_0 \cup D_1 \cup \ldots D_m</math> erhalten wobei <math>m\leq n</math> gilt. === Beweisschritt 10 - beliebige Integrationsweg === Man hat nur für ein beliebiges <math>z\in G</math> eine Vereinigung von offenen Menge gefunden, auf der der Zweig des Logarithmus eindeutig definiert ist. Für <math>U_z</math> gilt: <math> z_o, z\in U_z \quad \mbox{ und } \quad D_0 \subseteq U_z \subseteq G </math> Betrachtet man nun zwei beliebige Integrationwege <math>\gamma_{z_1}</math> mit <math>z_1, z_2\in G</math>, so gilt <math>D_0 \subseteq U_{z_1} \cap U_{z_2} </math>. Damit ist der Zweig des Logarithmus auch auf <math> U_{z_1} \cup U_{z_2} </math> mit dem [[Identitätssatz]] wieder eindeutig definiert. === Beweisschritt 11 - Eindeutigkeit des Zweiges === Da <math>U_z \subseteq G</math> gilt und man <math>G</math> als Vereinigung der <math>U_z</math> wegen <math>z\in U_z</math> darstellen kann, erhält man einen eindeutigen Logarithmus auf <math>G</math>. <math> \quad \Box</math> == Bemerkung - geschlitzte Ebene == Eine geschlitzte Ebene <math>G_{z_o}</math> für <math>z_o\not=0</math> definiert man wie folgt: :<math> G_{z_o} := \mathbb{C} \setminus \{z \in \mathbb{C} \, : \, z = - \lambda \cdot z_o \mbox{ mit } 0 \leq \lambda \in \mathbb{R} \} </math> Mit dem obigen Satz kann also nicht nur geschlitzte Ebenen <math>G_{z_o}</math> wählen, sondern man erhält Zweige des Logarithmus für beliebige einfach zusammenhängende Gebiete <math>G</math>, die 0 nicht enthalten. == Imaginärer Hauptzweig des Logarithmus == Wählt man die geschlitzte Ebene <math>G_{i}</math> für die imaginäre Einheit <math>i\not=0</math>, so erhält man mit dem obigen Satz den imaginären Hauptzweig des Logarithmus <math>\ln_i</math>, der sowohl für die positiven als für die negativen reellen Zahlen definiert ist. Für negative Zahlen <math>z=|z|\cdot e^{i\pi} \in \mathbb{R}^- </math> ist der Logarithmus dann wie folgt eindeutig festgelegt: :<math> \ln_i(z) = \ln(|z|) + i \cdot \pi </math> == Siehe auch == * [[Identitätssatz für Logarithmen]] * [[Injektivitätslemma für Wege]] * [[Logarithmus]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen/Vorgehen|Potenzreihenentwicklungen für 1/z]] * [[Weg (Mathematik)/parametrisch unendlich|parametrisch unendliche Wege]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] kyq7r5gvk7zdolshf1wr8l01qcyegs9 1116385 1116383 2026-10-16T09:23:10Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 3 - Offene Überdeckung einer kompakten */ 1116385 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Das Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige behandelt die Eindeutigkeit eines Zweiges des Logarithmus. Dabei ist mit der Wahl eines [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebietes <math>G</math> mit <math>0\notin G</math> und der Festlegung des Imaginärteiles des Logarithmuszweige für ein einziges <math>z_0\in G</math> der gesamte Zweig des [[Logarithmus]] bereits eindeutig definiert. Ferner wird zwischen dem (reellen) Hauptzweig <math>\ln(z)</math> und dem imaginären Hauptzweig des Logarithmus <math>\ln_{\,i}(z)</math> unterschieden, wobei einmal der negative reelle Achse für <math>\ln(z)</math> entfernt wurde und für imaginären Hauptzweig des Logarithmus negative imaginäre Achse für <math>\ln_{\,i}(z)</math> in <math>G</math> fehlt. == Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige == Sei <math>G</math> ein [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] mit <math>0\notin G</math>. Ferner sei <math>\gamma: [a,b]\to G</math> ein [[w:de:injektive Funktion|injektiver]] [[Integrationsweg]] von <math>z_0=\gamma(a) \in G</math> nach <math>z_1=\gamma(b) \in G</math>. Wählt man für <math>z_o\in G</math> mit <math>z_o = |z_0|\cdot e^{it_0}</math> mit <math>t_0\in \mathbb{R}</math>, so gibt es ein [[einfach zusammenhängend]]es Gebiet <math>G_0</math> als Teilmenge <math>G_0 \subseteq G</math>, sodass der [[Zweig des Logarithmus]] auf <math>G_0</math> eindeutig durch folgendes Integral definiert ist: :<math> \log_{_{(G_o,z_o,t_o)}}(z) = \underbrace{\ln(|z_0|)+it_0}_{=c} + \int_{\gamma_z} \frac{1}{\xi}\, d\xi </math> Dabei kann <math>\gamma_z : [a,b]\to G_0</math> als stetig differenzierbarer Weg von <math>z_o</math> nach <math>z\in G_0</math>. == Beweis - Eindeutigkeitslemma == Wegen <math>z_0 \not= 0</math> kann man mit <math>r:= |z_o|</math> und einem beliebigen <math>z\in G</math> mit <math> |z-z_o| < r </math> kann man <math>\tfrac{1}{z}</math> lokal auf Kreisscheiben in eine Potenzreihe um <math>z_o</math> entwickeln (siehe [[lokale Entwicklung in Potenzreihen]]). :<math>f(z)= \frac{1}{z} = \frac{1}{z_o} \cdot \frac{1}{ 1- \underbrace{\frac{z-z_o}{-z_o} }_{=q} } = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1}} }_{=a_n} \cdot (z-z_o)^n </math> === Beweisschritt 1 - lokale Stammfunktionen === Nach den [[Holomorphiekriterien]] besitzt jede holomorphe Funktion <math>f:G \to \mathbb{C}</math> [[lokale Stammfunktionen]]. Wegen gleichmäßiger Konvergenz der Partialsumme der Potenzreihe für <math>\tfrac{1}{z}</math> mit Entwicklungspunkt <math>z_o\in G</math> kann man summandenweise integrieren (siehe auch [[Normalverteilung]]). Dies liefert die folgende Potenzreihe für den Zweig des Logarithmus auf <math>D_r(z_o)</math>: :<math>F_{z_o}(z) = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1} \cdot (n+1)}}_{=a_n} \cdot (z-z_o)^{n+1} </math> === Beweisschritt 2 - Kompakte Spur des Integrationsweges === Für die Definition des Zweiges des [[Logarithmus]] ist <math>\gamma : [a,b]\to G</math> ein stetig differenzierbarer [[w:de:injektive Funktion|injektiver]] [[Integrationsweg|Weg]] von <math>z_o</math> nach <math>z_1\in G</math> gegeben. Das folgende Integral ist wohldefiniert, da <math>0\notin G</math> gilt, :<math> \int_{\gamma_{z_1}} \frac{1}{\xi}\, d\xi </math> Die Spur des Wege <math>Spur(\gamma_{z_1})</math> eine [[kompakte Menge]]. === Beweisschritt 3 - Offene Überdeckung einer kompakten === Man überdeckt nun <math>Spur(\gamma_{z_1})</math> mit Kreisscheiben <math>D_z</math> um <math>z\in G</math>, wobei die Kreischeiben <math>D_z\subset G</math> ganz in der offenen Menge <math> G</math> und die Eigenschaft des [[Injektivitätslemma für Wege]] erfüllen und nur aus einer [[w:de:Zusammenhangskomponente|Zusammenhangskomponente]] bestehen. Der durch das [[Injektivitätslemma für Wege]] gegeben Radius <math>r</math> für <math>\overline{D_r(z_0)} \subset G</math> wird durch eine Radius <math>\widehat{r\,}:=\tfrac{r}{3}</math> ersetzt. Die Kreisscheibe <math>D_{z_o}:= D_{\widehat{r\,}}(z_o)</math> überdeckt dann immer noch <math>z_0</math> liefert aber später die Eigenschaft, das die endliche Teilüberdeckung [[einfach zusammenhängend]] ist. Da die Spur [[kompakte Menge|kompakt]] ist, gibt es eine endliche Teilüberdeckung der Spur mit <math>D_{z_o}= D_{\widehat{r\,}}(z_o)</math>: :<math> Spur(\gamma_z) \subseteq \bigcup_{k=1}^n D_{z_k} \subseteq \bigcup_{k=0}^n D_{z_k} </math> === Beweisschritt 4 - Potenzreihenentwicklung für Kreisscheiben === Für alle <math>k\in \{1,\ldots , n\}</math> gibt es analog zur Potenzreihenentwicklung um <math>z_o</math> auch jeweils die folgenden Potenzreihenreihenentwicklungen für den Zweig des Logarithmus auf <math>D_{r_k}(z_k)</math>: :<math>F_{z_k}(z) = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_k^{n+1} \cdot (n+1)}}_{=a_{(n,k)}} \cdot (z-z_k)^{n+1} </math> === Beweisschritt 5 - Kreisscheibe für Startpunkt des Weges === Man startet mit der offenen Kreisscheibe <math>D_{z_o}= D_r(z_o)</math>, die <math>z_o</math> als Startpunkt des Weges <math>\gamma_z</math> in der Spur von <math>\gamma_z</math> enthalten ist. Wenn <math>D_{z_o}</math> bereits die ganze Spur <math>Spur(\gamma_z)</math> abdeckt, hat man mit eine eindeutige Darstellung des Zweiges des Logarithmus mit <math>F_{z_o}</math> erhalten, dessen Potenzreihendarstellung mit dem [[Identitätssatz]] eindeutig auf der Kreissscheibe <math>D_r(z_o)</math> ist. === Beweisschritt 6 - Schnitte von Kreisscheiben === Falls offene Kreisscheibe <math>D_o := D_{z_o}</math> die Menge <math>Spur(\gamma_z)</math> nicht vollständig abdeckt, gibt es einen Randpunkt <math>w_1 \in \partial(D_{z_o})</math> der Kreissscheibe liegt, der zugleich auch in der Spur liegt (d.h. <math>w_1 \in \partial(D_{z_o})\cap Spur(\gamma_z)</math>. Mit der Überdeckung der Spur gilt dann: :<math> w_1\in Spur(\gamma_z) \subseteq \bigcup_{k=1}^n D_{z_k} \subseteq \bigcup_{k=0}^n D_{z_k} </math> Also muss es ein <math>k_1\in \{1,\ldots , n\}</math> mit <math>w_1 \in D_{z_{k_1}}</math>. Bezeichne <math>D_1 := D_{z_{k_1}}</math>, damit an der Bezeichnung deutlich wird, welche Kreisscheibe der offenen Überdeckung zu <math>w_1\in D_1</math> gewählt wurde. === Beweisschritt 7 - Randpunkt und Schnitte von Kreisscheiben === Da <math>w_1 \in D_1 </math> nach Auswahl aus der Überdeckung gilt, liegt <math>w_1 \in D_0 \cup D_1 </math> auch in der Vereinigung der beiden Kreisscheiben. Ferner ist <math>w_1</math> auch ein Randpunkt von <math>D_0</math>. Damit ist der Schnitt von jeder Umgebung <math>U</math> von <math>w_1</math> mit <math>D_0</math> nicht leer. Dies gilt damit insbesondere für die offene Menge <math>D_1 </math>. Da der Schnitt <math>D_0 \cap D_1 \not= \emptyset</math> eine nicht diskrete Menge ist, gilt mit dem [[Identitätssatz]], dass der Zweig des Logarithmus auch auf <math>D_0 \cup D_1 </math> eindeutig definiert ist. === Beweisschritt 8 - Überdeckung der Spur === Falls <math>D_0 \cup D_1</math> die <math>Spur(\gamma_z)</math> vollständig überdecken, hat man bereits eine eindeutige Darstellung des Zweiges des Logarithmus auf <math>Spur(\gamma_z)</math> erhalten. Falls die Spur noch nicht vollständig abdeckt wurde, gibt es wieder einen Randpunkt <math>w_2 \in \partial(D_0\cup D_1)</math>, der zugleich auch in der Spur liegt (d.h. <math>w_2 \in \partial(D_0\cup D_1)\cap Spur(\gamma_z)</math>). Mit der Überdeckung der Spur gilt dann: :<math> w_2\in Spur(\gamma_z) \subseteq \bigcup_{k=1}^n D_{z_k} \subseteq \bigcup_{k=0}^n D_{z_k} </math> Also muss es ein <math>k_2\in \{1,\ldots , n\}</math> mit <math>w \in D_{z_{k_2}}</math> geben. Bezeichne <math>D_2 := D_{z_{k_2}}</math> wieder als Kreisscheibe der offenen Überdeckung mit <math>w_2\in D_2</math>. === Beweisschritt 9 - Schnitte von Kreisscheiben === Da der Schnitt <math>(D_0 \cup D_1) \cap D_2 \not= \emptyset</math> wieder nicht diskret ist (d.h. besitzt Häufungspunkte), gibt es analog zu Schritt 6 mit dem [[Identitätssatz]] wieder eine eindeutige Darstellung für den Zweig des Logarithmus auch auf <math>D_0 \cup D_1 \cup D_2 </math>. Nach maximal <math>n</math> Schritten für die offene Überdeckung hat man eine eindeutig des Logarithmus auf der Vereinigung <math>U_z := D_0 \cup D_1 \cup \ldots D_m</math> erhalten wobei <math>m\leq n</math> gilt. === Beweisschritt 10 - beliebige Integrationsweg === Man hat nur für ein beliebiges <math>z\in G</math> eine Vereinigung von offenen Menge gefunden, auf der der Zweig des Logarithmus eindeutig definiert ist. Für <math>U_z</math> gilt: <math> z_o, z\in U_z \quad \mbox{ und } \quad D_0 \subseteq U_z \subseteq G </math> Betrachtet man nun zwei beliebige Integrationwege <math>\gamma_{z_1}</math> mit <math>z_1, z_2\in G</math>, so gilt <math>D_0 \subseteq U_{z_1} \cap U_{z_2} </math>. Damit ist der Zweig des Logarithmus auch auf <math> U_{z_1} \cup U_{z_2} </math> mit dem [[Identitätssatz]] wieder eindeutig definiert. === Beweisschritt 11 - Eindeutigkeit des Zweiges === Da <math>U_z \subseteq G</math> gilt und man <math>G</math> als Vereinigung der <math>U_z</math> wegen <math>z\in U_z</math> darstellen kann, erhält man einen eindeutigen Logarithmus auf <math>G</math>. <math> \quad \Box</math> == Bemerkung - geschlitzte Ebene == Eine geschlitzte Ebene <math>G_{z_o}</math> für <math>z_o\not=0</math> definiert man wie folgt: :<math> G_{z_o} := \mathbb{C} \setminus \{z \in \mathbb{C} \, : \, z = - \lambda \cdot z_o \mbox{ mit } 0 \leq \lambda \in \mathbb{R} \} </math> Mit dem obigen Satz kann also nicht nur geschlitzte Ebenen <math>G_{z_o}</math> wählen, sondern man erhält Zweige des Logarithmus für beliebige einfach zusammenhängende Gebiete <math>G</math>, die 0 nicht enthalten. == Imaginärer Hauptzweig des Logarithmus == Wählt man die geschlitzte Ebene <math>G_{i}</math> für die imaginäre Einheit <math>i\not=0</math>, so erhält man mit dem obigen Satz den imaginären Hauptzweig des Logarithmus <math>\ln_i</math>, der sowohl für die positiven als für die negativen reellen Zahlen definiert ist. Für negative Zahlen <math>z=|z|\cdot e^{i\pi} \in \mathbb{R}^- </math> ist der Logarithmus dann wie folgt eindeutig festgelegt: :<math> \ln_i(z) = \ln(|z|) + i \cdot \pi </math> == Siehe auch == * [[Identitätssatz für Logarithmen]] * [[Injektivitätslemma für Wege]] * [[Logarithmus]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen/Vorgehen|Potenzreihenentwicklungen für 1/z]] * [[Weg (Mathematik)/parametrisch unendlich|parametrisch unendliche Wege]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] jq3tvc0rt7un9giilq4f14l6u3frr4h 1116386 1116385 2026-10-16T09:26:57Z Bert Niehaus 20843 /* Bemerkung - geschlitzte Ebene */ 1116386 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Das Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige behandelt die Eindeutigkeit eines Zweiges des Logarithmus. Dabei ist mit der Wahl eines [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebietes <math>G</math> mit <math>0\notin G</math> und der Festlegung des Imaginärteiles des Logarithmuszweige für ein einziges <math>z_0\in G</math> der gesamte Zweig des [[Logarithmus]] bereits eindeutig definiert. Ferner wird zwischen dem (reellen) Hauptzweig <math>\ln(z)</math> und dem imaginären Hauptzweig des Logarithmus <math>\ln_{\,i}(z)</math> unterschieden, wobei einmal der negative reelle Achse für <math>\ln(z)</math> entfernt wurde und für imaginären Hauptzweig des Logarithmus negative imaginäre Achse für <math>\ln_{\,i}(z)</math> in <math>G</math> fehlt. == Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige == Sei <math>G</math> ein [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] mit <math>0\notin G</math>. Ferner sei <math>\gamma: [a,b]\to G</math> ein [[w:de:injektive Funktion|injektiver]] [[Integrationsweg]] von <math>z_0=\gamma(a) \in G</math> nach <math>z_1=\gamma(b) \in G</math>. Wählt man für <math>z_o\in G</math> mit <math>z_o = |z_0|\cdot e^{it_0}</math> mit <math>t_0\in \mathbb{R}</math>, so gibt es ein [[einfach zusammenhängend]]es Gebiet <math>G_0</math> als Teilmenge <math>G_0 \subseteq G</math>, sodass der [[Zweig des Logarithmus]] auf <math>G_0</math> eindeutig durch folgendes Integral definiert ist: :<math> \log_{_{(G_o,z_o,t_o)}}(z) = \underbrace{\ln(|z_0|)+it_0}_{=c} + \int_{\gamma_z} \frac{1}{\xi}\, d\xi </math> Dabei kann <math>\gamma_z : [a,b]\to G_0</math> als stetig differenzierbarer Weg von <math>z_o</math> nach <math>z\in G_0</math>. == Beweis - Eindeutigkeitslemma == Wegen <math>z_0 \not= 0</math> kann man mit <math>r:= |z_o|</math> und einem beliebigen <math>z\in G</math> mit <math> |z-z_o| < r </math> kann man <math>\tfrac{1}{z}</math> lokal auf Kreisscheiben in eine Potenzreihe um <math>z_o</math> entwickeln (siehe [[lokale Entwicklung in Potenzreihen]]). :<math>f(z)= \frac{1}{z} = \frac{1}{z_o} \cdot \frac{1}{ 1- \underbrace{\frac{z-z_o}{-z_o} }_{=q} } = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1}} }_{=a_n} \cdot (z-z_o)^n </math> === Beweisschritt 1 - lokale Stammfunktionen === Nach den [[Holomorphiekriterien]] besitzt jede holomorphe Funktion <math>f:G \to \mathbb{C}</math> [[lokale Stammfunktionen]]. Wegen gleichmäßiger Konvergenz der Partialsumme der Potenzreihe für <math>\tfrac{1}{z}</math> mit Entwicklungspunkt <math>z_o\in G</math> kann man summandenweise integrieren (siehe auch [[Normalverteilung]]). Dies liefert die folgende Potenzreihe für den Zweig des Logarithmus auf <math>D_r(z_o)</math>: :<math>F_{z_o}(z) = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1} \cdot (n+1)}}_{=a_n} \cdot (z-z_o)^{n+1} </math> === Beweisschritt 2 - Kompakte Spur des Integrationsweges === Für die Definition des Zweiges des [[Logarithmus]] ist <math>\gamma : [a,b]\to G</math> ein stetig differenzierbarer [[w:de:injektive Funktion|injektiver]] [[Integrationsweg|Weg]] von <math>z_o</math> nach <math>z_1\in G</math> gegeben. Das folgende Integral ist wohldefiniert, da <math>0\notin G</math> gilt, :<math> \int_{\gamma_{z_1}} \frac{1}{\xi}\, d\xi </math> Die Spur des Wege <math>Spur(\gamma_{z_1})</math> eine [[kompakte Menge]]. === Beweisschritt 3 - Offene Überdeckung einer kompakten === Man überdeckt nun <math>Spur(\gamma_{z_1})</math> mit Kreisscheiben <math>D_z</math> um <math>z\in G</math>, wobei die Kreischeiben <math>D_z\subset G</math> ganz in der offenen Menge <math> G</math> und die Eigenschaft des [[Injektivitätslemma für Wege]] erfüllen und nur aus einer [[w:de:Zusammenhangskomponente|Zusammenhangskomponente]] bestehen. Der durch das [[Injektivitätslemma für Wege]] gegeben Radius <math>r</math> für <math>\overline{D_r(z_0)} \subset G</math> wird durch eine Radius <math>\widehat{r\,}:=\tfrac{r}{3}</math> ersetzt. Die Kreisscheibe <math>D_{z_o}:= D_{\widehat{r\,}}(z_o)</math> überdeckt dann immer noch <math>z_0</math> liefert aber später die Eigenschaft, das die endliche Teilüberdeckung [[einfach zusammenhängend]] ist. Da die Spur [[kompakte Menge|kompakt]] ist, gibt es eine endliche Teilüberdeckung der Spur mit <math>D_{z_o}= D_{\widehat{r\,}}(z_o)</math>: :<math> Spur(\gamma_z) \subseteq \bigcup_{k=1}^n D_{z_k} \subseteq \bigcup_{k=0}^n D_{z_k} </math> === Beweisschritt 4 - Potenzreihenentwicklung für Kreisscheiben === Für alle <math>k\in \{1,\ldots , n\}</math> gibt es analog zur Potenzreihenentwicklung um <math>z_o</math> auch jeweils die folgenden Potenzreihenreihenentwicklungen für den Zweig des Logarithmus auf <math>D_{r_k}(z_k)</math>: :<math>F_{z_k}(z) = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_k^{n+1} \cdot (n+1)}}_{=a_{(n,k)}} \cdot (z-z_k)^{n+1} </math> === Beweisschritt 5 - Kreisscheibe für Startpunkt des Weges === Man startet mit der offenen Kreisscheibe <math>D_{z_o}= D_r(z_o)</math>, die <math>z_o</math> als Startpunkt des Weges <math>\gamma_z</math> in der Spur von <math>\gamma_z</math> enthalten ist. Wenn <math>D_{z_o}</math> bereits die ganze Spur <math>Spur(\gamma_z)</math> abdeckt, hat man mit eine eindeutige Darstellung des Zweiges des Logarithmus mit <math>F_{z_o}</math> erhalten, dessen Potenzreihendarstellung mit dem [[Identitätssatz]] eindeutig auf der Kreissscheibe <math>D_r(z_o)</math> ist. === Beweisschritt 6 - Schnitte von Kreisscheiben === Falls offene Kreisscheibe <math>D_o := D_{z_o}</math> die Menge <math>Spur(\gamma_z)</math> nicht vollständig abdeckt, gibt es einen Randpunkt <math>w_1 \in \partial(D_{z_o})</math> der Kreissscheibe liegt, der zugleich auch in der Spur liegt (d.h. <math>w_1 \in \partial(D_{z_o})\cap Spur(\gamma_z)</math>. Mit der Überdeckung der Spur gilt dann: :<math> w_1\in Spur(\gamma_z) \subseteq \bigcup_{k=1}^n D_{z_k} \subseteq \bigcup_{k=0}^n D_{z_k} </math> Also muss es ein <math>k_1\in \{1,\ldots , n\}</math> mit <math>w_1 \in D_{z_{k_1}}</math>. Bezeichne <math>D_1 := D_{z_{k_1}}</math>, damit an der Bezeichnung deutlich wird, welche Kreisscheibe der offenen Überdeckung zu <math>w_1\in D_1</math> gewählt wurde. === Beweisschritt 7 - Randpunkt und Schnitte von Kreisscheiben === Da <math>w_1 \in D_1 </math> nach Auswahl aus der Überdeckung gilt, liegt <math>w_1 \in D_0 \cup D_1 </math> auch in der Vereinigung der beiden Kreisscheiben. Ferner ist <math>w_1</math> auch ein Randpunkt von <math>D_0</math>. Damit ist der Schnitt von jeder Umgebung <math>U</math> von <math>w_1</math> mit <math>D_0</math> nicht leer. Dies gilt damit insbesondere für die offene Menge <math>D_1 </math>. Da der Schnitt <math>D_0 \cap D_1 \not= \emptyset</math> eine nicht diskrete Menge ist, gilt mit dem [[Identitätssatz]], dass der Zweig des Logarithmus auch auf <math>D_0 \cup D_1 </math> eindeutig definiert ist. === Beweisschritt 8 - Überdeckung der Spur === Falls <math>D_0 \cup D_1</math> die <math>Spur(\gamma_z)</math> vollständig überdecken, hat man bereits eine eindeutige Darstellung des Zweiges des Logarithmus auf <math>Spur(\gamma_z)</math> erhalten. Falls die Spur noch nicht vollständig abdeckt wurde, gibt es wieder einen Randpunkt <math>w_2 \in \partial(D_0\cup D_1)</math>, der zugleich auch in der Spur liegt (d.h. <math>w_2 \in \partial(D_0\cup D_1)\cap Spur(\gamma_z)</math>). Mit der Überdeckung der Spur gilt dann: :<math> w_2\in Spur(\gamma_z) \subseteq \bigcup_{k=1}^n D_{z_k} \subseteq \bigcup_{k=0}^n D_{z_k} </math> Also muss es ein <math>k_2\in \{1,\ldots , n\}</math> mit <math>w \in D_{z_{k_2}}</math> geben. Bezeichne <math>D_2 := D_{z_{k_2}}</math> wieder als Kreisscheibe der offenen Überdeckung mit <math>w_2\in D_2</math>. === Beweisschritt 9 - Schnitte von Kreisscheiben === Da der Schnitt <math>(D_0 \cup D_1) \cap D_2 \not= \emptyset</math> wieder nicht diskret ist (d.h. besitzt Häufungspunkte), gibt es analog zu Schritt 6 mit dem [[Identitätssatz]] wieder eine eindeutige Darstellung für den Zweig des Logarithmus auch auf <math>D_0 \cup D_1 \cup D_2 </math>. Nach maximal <math>n</math> Schritten für die offene Überdeckung hat man eine eindeutig des Logarithmus auf der Vereinigung <math>U_z := D_0 \cup D_1 \cup \ldots D_m</math> erhalten wobei <math>m\leq n</math> gilt. === Beweisschritt 10 - beliebige Integrationsweg === Man hat nur für ein beliebiges <math>z\in G</math> eine Vereinigung von offenen Menge gefunden, auf der der Zweig des Logarithmus eindeutig definiert ist. Für <math>U_z</math> gilt: <math> z_o, z\in U_z \quad \mbox{ und } \quad D_0 \subseteq U_z \subseteq G </math> Betrachtet man nun zwei beliebige Integrationwege <math>\gamma_{z_1}</math> mit <math>z_1, z_2\in G</math>, so gilt <math>D_0 \subseteq U_{z_1} \cap U_{z_2} </math>. Damit ist der Zweig des Logarithmus auch auf <math> U_{z_1} \cup U_{z_2} </math> mit dem [[Identitätssatz]] wieder eindeutig definiert. === Beweisschritt 11 - Eindeutigkeit des Zweiges === Da <math>U_z \subseteq G</math> gilt und man <math>G</math> als Vereinigung der <math>U_z</math> wegen <math>z\in U_z</math> darstellen kann, erhält man einen eindeutigen Logarithmus auf <math>G</math>. <math> \quad \Box</math> == Bemerkung - geschlitzte Ebene == Eine geschlitzte Ebene <math>G_{z_o}</math> für <math>z_o\not=0</math> definiert man wie folgt: :<math> G_{z_o} := \mathbb{C} \setminus \{z \in \mathbb{C} \, : \, z = - \lambda \cdot z_o \mbox{ mit } 0 \leq \lambda \in \mathbb{R} \} </math> Mit dem obigen Satz kann man also nicht nur geschlitzte Ebenen <math>G_{z_o}</math> als Definitionsbereich von [[Zweige des Logarithmus|Zweigen des Logarithmus]] wählen, sondern man erhält Zweige des Logarithmus für beliebige [[einfach zusammenhängend]]e Gebiete <math>G</math>, die 0 nicht enthalten (siehe [[Identitätssatz für Logarithmen]]). == Imaginärer Hauptzweig des Logarithmus == Wählt man die geschlitzte Ebene <math>G_{i}</math> für die imaginäre Einheit <math>i\not=0</math>, so erhält man mit dem obigen Satz den imaginären Hauptzweig des Logarithmus <math>\ln_i</math>, der sowohl für die positiven als für die negativen reellen Zahlen definiert ist. Für negative Zahlen <math>z=|z|\cdot e^{i\pi} \in \mathbb{R}^- </math> ist der Logarithmus dann wie folgt eindeutig festgelegt: :<math> \ln_i(z) = \ln(|z|) + i \cdot \pi </math> == Siehe auch == * [[Identitätssatz für Logarithmen]] * [[Injektivitätslemma für Wege]] * [[Logarithmus]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen/Vorgehen|Potenzreihenentwicklungen für 1/z]] * [[Weg (Mathematik)/parametrisch unendlich|parametrisch unendliche Wege]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] dh81k75tqj85scgvdgmnvda8xw7rmyb 1116387 1116386 2026-10-16T09:31:10Z Bert Niehaus 20843 /* Einleitung */ 1116387 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Das Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige behandelt die Eindeutigkeit eines Zweiges des Logarithmus. Dabei ist mit der Wahl eines [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebietes <math>G_0 \subset G</math> mit <math>0\notin G</math> und der Festlegung des Imaginärteiles des Logarithmuszweige für ein einziges <math>z_0\in G</math> der gesamte Zweig des [[Logarithmus]] bereits eindeutig auf <math>G_0</math> definiert. Ferner wird es notwendig sein zwischen dem [[Logarithmus]] <math>\ln(x)</math> auf den reellen Zahlen und einem [[generalisierter Logarithmus|generalisierten Logarithmus]] <math>\log_{G_0}(z)</math> auf [[einfach zusammenhängend]]en Gebieten zu unterschieden. == Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige == Sei <math>G</math> ein [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] mit <math>0\notin G</math>. Ferner sei <math>\gamma: [a,b]\to G</math> ein [[w:de:injektive Funktion|injektiver]] [[Integrationsweg]] von <math>z_0=\gamma(a) \in G</math> nach <math>z_1=\gamma(b) \in G</math>. Wählt man für <math>z_o\in G</math> mit <math>z_o = |z_0|\cdot e^{it_0}</math> mit <math>t_0\in \mathbb{R}</math>, so gibt es ein [[einfach zusammenhängend]]es Gebiet <math>G_0</math> als Teilmenge <math>G_0 \subseteq G</math>, sodass der [[Zweig des Logarithmus]] auf <math>G_0</math> eindeutig durch folgendes Integral definiert ist: :<math> \log_{_{(G_o,z_o,t_o)}}(z) = \underbrace{\ln(|z_0|)+it_0}_{=c} + \int_{\gamma_z} \frac{1}{\xi}\, d\xi </math> Dabei kann <math>\gamma_z : [a,b]\to G_0</math> als stetig differenzierbarer Weg von <math>z_o</math> nach <math>z\in G_0</math>. == Beweis - Eindeutigkeitslemma == Wegen <math>z_0 \not= 0</math> kann man mit <math>r:= |z_o|</math> und einem beliebigen <math>z\in G</math> mit <math> |z-z_o| < r </math> kann man <math>\tfrac{1}{z}</math> lokal auf Kreisscheiben in eine Potenzreihe um <math>z_o</math> entwickeln (siehe [[lokale Entwicklung in Potenzreihen]]). :<math>f(z)= \frac{1}{z} = \frac{1}{z_o} \cdot \frac{1}{ 1- \underbrace{\frac{z-z_o}{-z_o} }_{=q} } = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1}} }_{=a_n} \cdot (z-z_o)^n </math> === Beweisschritt 1 - lokale Stammfunktionen === Nach den [[Holomorphiekriterien]] besitzt jede holomorphe Funktion <math>f:G \to \mathbb{C}</math> [[lokale Stammfunktionen]]. Wegen gleichmäßiger Konvergenz der Partialsumme der Potenzreihe für <math>\tfrac{1}{z}</math> mit Entwicklungspunkt <math>z_o\in G</math> kann man summandenweise integrieren (siehe auch [[Normalverteilung]]). Dies liefert die folgende Potenzreihe für den Zweig des Logarithmus auf <math>D_r(z_o)</math>: :<math>F_{z_o}(z) = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1} \cdot (n+1)}}_{=a_n} \cdot (z-z_o)^{n+1} </math> === Beweisschritt 2 - Kompakte Spur des Integrationsweges === Für die Definition des Zweiges des [[Logarithmus]] ist <math>\gamma : [a,b]\to G</math> ein stetig differenzierbarer [[w:de:injektive Funktion|injektiver]] [[Integrationsweg|Weg]] von <math>z_o</math> nach <math>z_1\in G</math> gegeben. Das folgende Integral ist wohldefiniert, da <math>0\notin G</math> gilt, :<math> \int_{\gamma_{z_1}} \frac{1}{\xi}\, d\xi </math> Die Spur des Wege <math>Spur(\gamma_{z_1})</math> eine [[kompakte Menge]]. === Beweisschritt 3 - Offene Überdeckung einer kompakten === Man überdeckt nun <math>Spur(\gamma_{z_1})</math> mit Kreisscheiben <math>D_z</math> um <math>z\in G</math>, wobei die Kreischeiben <math>D_z\subset G</math> ganz in der offenen Menge <math> G</math> und die Eigenschaft des [[Injektivitätslemma für Wege]] erfüllen und nur aus einer [[w:de:Zusammenhangskomponente|Zusammenhangskomponente]] bestehen. Der durch das [[Injektivitätslemma für Wege]] gegeben Radius <math>r</math> für <math>\overline{D_r(z_0)} \subset G</math> wird durch eine Radius <math>\widehat{r\,}:=\tfrac{r}{3}</math> ersetzt. Die Kreisscheibe <math>D_{z_o}:= D_{\widehat{r\,}}(z_o)</math> überdeckt dann immer noch <math>z_0</math> liefert aber später die Eigenschaft, das die endliche Teilüberdeckung [[einfach zusammenhängend]] ist. Da die Spur [[kompakte Menge|kompakt]] ist, gibt es eine endliche Teilüberdeckung der Spur mit <math>D_{z_o}= D_{\widehat{r\,}}(z_o)</math>: :<math> Spur(\gamma_z) \subseteq \bigcup_{k=1}^n D_{z_k} \subseteq \bigcup_{k=0}^n D_{z_k} </math> === Beweisschritt 4 - Potenzreihenentwicklung für Kreisscheiben === Für alle <math>k\in \{1,\ldots , n\}</math> gibt es analog zur Potenzreihenentwicklung um <math>z_o</math> auch jeweils die folgenden Potenzreihenreihenentwicklungen für den Zweig des Logarithmus auf <math>D_{r_k}(z_k)</math>: :<math>F_{z_k}(z) = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_k^{n+1} \cdot (n+1)}}_{=a_{(n,k)}} \cdot (z-z_k)^{n+1} </math> === Beweisschritt 5 - Kreisscheibe für Startpunkt des Weges === Man startet mit der offenen Kreisscheibe <math>D_{z_o}= D_r(z_o)</math>, die <math>z_o</math> als Startpunkt des Weges <math>\gamma_z</math> in der Spur von <math>\gamma_z</math> enthalten ist. Wenn <math>D_{z_o}</math> bereits die ganze Spur <math>Spur(\gamma_z)</math> abdeckt, hat man mit eine eindeutige Darstellung des Zweiges des Logarithmus mit <math>F_{z_o}</math> erhalten, dessen Potenzreihendarstellung mit dem [[Identitätssatz]] eindeutig auf der Kreissscheibe <math>D_r(z_o)</math> ist. === Beweisschritt 6 - Schnitte von Kreisscheiben === Falls offene Kreisscheibe <math>D_o := D_{z_o}</math> die Menge <math>Spur(\gamma_z)</math> nicht vollständig abdeckt, gibt es einen Randpunkt <math>w_1 \in \partial(D_{z_o})</math> der Kreissscheibe liegt, der zugleich auch in der Spur liegt (d.h. <math>w_1 \in \partial(D_{z_o})\cap Spur(\gamma_z)</math>. Mit der Überdeckung der Spur gilt dann: :<math> w_1\in Spur(\gamma_z) \subseteq \bigcup_{k=1}^n D_{z_k} \subseteq \bigcup_{k=0}^n D_{z_k} </math> Also muss es ein <math>k_1\in \{1,\ldots , n\}</math> mit <math>w_1 \in D_{z_{k_1}}</math>. Bezeichne <math>D_1 := D_{z_{k_1}}</math>, damit an der Bezeichnung deutlich wird, welche Kreisscheibe der offenen Überdeckung zu <math>w_1\in D_1</math> gewählt wurde. === Beweisschritt 7 - Randpunkt und Schnitte von Kreisscheiben === Da <math>w_1 \in D_1 </math> nach Auswahl aus der Überdeckung gilt, liegt <math>w_1 \in D_0 \cup D_1 </math> auch in der Vereinigung der beiden Kreisscheiben. Ferner ist <math>w_1</math> auch ein Randpunkt von <math>D_0</math>. Damit ist der Schnitt von jeder Umgebung <math>U</math> von <math>w_1</math> mit <math>D_0</math> nicht leer. Dies gilt damit insbesondere für die offene Menge <math>D_1 </math>. Da der Schnitt <math>D_0 \cap D_1 \not= \emptyset</math> eine nicht diskrete Menge ist, gilt mit dem [[Identitätssatz]], dass der Zweig des Logarithmus auch auf <math>D_0 \cup D_1 </math> eindeutig definiert ist. === Beweisschritt 8 - Überdeckung der Spur === Falls <math>D_0 \cup D_1</math> die <math>Spur(\gamma_z)</math> vollständig überdecken, hat man bereits eine eindeutige Darstellung des Zweiges des Logarithmus auf <math>Spur(\gamma_z)</math> erhalten. Falls die Spur noch nicht vollständig abdeckt wurde, gibt es wieder einen Randpunkt <math>w_2 \in \partial(D_0\cup D_1)</math>, der zugleich auch in der Spur liegt (d.h. <math>w_2 \in \partial(D_0\cup D_1)\cap Spur(\gamma_z)</math>). Mit der Überdeckung der Spur gilt dann: :<math> w_2\in Spur(\gamma_z) \subseteq \bigcup_{k=1}^n D_{z_k} \subseteq \bigcup_{k=0}^n D_{z_k} </math> Also muss es ein <math>k_2\in \{1,\ldots , n\}</math> mit <math>w \in D_{z_{k_2}}</math> geben. Bezeichne <math>D_2 := D_{z_{k_2}}</math> wieder als Kreisscheibe der offenen Überdeckung mit <math>w_2\in D_2</math>. === Beweisschritt 9 - Schnitte von Kreisscheiben === Da der Schnitt <math>(D_0 \cup D_1) \cap D_2 \not= \emptyset</math> wieder nicht diskret ist (d.h. besitzt Häufungspunkte), gibt es analog zu Schritt 6 mit dem [[Identitätssatz]] wieder eine eindeutige Darstellung für den Zweig des Logarithmus auch auf <math>D_0 \cup D_1 \cup D_2 </math>. Nach maximal <math>n</math> Schritten für die offene Überdeckung hat man eine eindeutig des Logarithmus auf der Vereinigung <math>U_z := D_0 \cup D_1 \cup \ldots D_m</math> erhalten wobei <math>m\leq n</math> gilt. === Beweisschritt 10 - beliebige Integrationsweg === Man hat nur für ein beliebiges <math>z\in G</math> eine Vereinigung von offenen Menge gefunden, auf der der Zweig des Logarithmus eindeutig definiert ist. Für <math>U_z</math> gilt: <math> z_o, z\in U_z \quad \mbox{ und } \quad D_0 \subseteq U_z \subseteq G </math> Betrachtet man nun zwei beliebige Integrationwege <math>\gamma_{z_1}</math> mit <math>z_1, z_2\in G</math>, so gilt <math>D_0 \subseteq U_{z_1} \cap U_{z_2} </math>. Damit ist der Zweig des Logarithmus auch auf <math> U_{z_1} \cup U_{z_2} </math> mit dem [[Identitätssatz]] wieder eindeutig definiert. === Beweisschritt 11 - Eindeutigkeit des Zweiges === Da <math>U_z \subseteq G</math> gilt und man <math>G</math> als Vereinigung der <math>U_z</math> wegen <math>z\in U_z</math> darstellen kann, erhält man einen eindeutigen Logarithmus auf <math>G</math>. <math> \quad \Box</math> == Bemerkung - geschlitzte Ebene == Eine geschlitzte Ebene <math>G_{z_o}</math> für <math>z_o\not=0</math> definiert man wie folgt: :<math> G_{z_o} := \mathbb{C} \setminus \{z \in \mathbb{C} \, : \, z = - \lambda \cdot z_o \mbox{ mit } 0 \leq \lambda \in \mathbb{R} \} </math> Mit dem obigen Satz kann man also nicht nur geschlitzte Ebenen <math>G_{z_o}</math> als Definitionsbereich von [[Zweige des Logarithmus|Zweigen des Logarithmus]] wählen, sondern man erhält Zweige des Logarithmus für beliebige [[einfach zusammenhängend]]e Gebiete <math>G</math>, die 0 nicht enthalten (siehe [[Identitätssatz für Logarithmen]]). == Imaginärer Hauptzweig des Logarithmus == Wählt man die geschlitzte Ebene <math>G_{i}</math> für die imaginäre Einheit <math>i\not=0</math>, so erhält man mit dem obigen Satz den imaginären Hauptzweig des Logarithmus <math>\ln_i</math>, der sowohl für die positiven als für die negativen reellen Zahlen definiert ist. Für negative Zahlen <math>z=|z|\cdot e^{i\pi} \in \mathbb{R}^- </math> ist der Logarithmus dann wie folgt eindeutig festgelegt: :<math> \ln_i(z) = \ln(|z|) + i \cdot \pi </math> == Siehe auch == * [[Identitätssatz für Logarithmen]] * [[Injektivitätslemma für Wege]] * [[Logarithmus]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen/Vorgehen|Potenzreihenentwicklungen für 1/z]] * [[Weg (Mathematik)/parametrisch unendlich|parametrisch unendliche Wege]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] mku2jl02op464dvmcylagc5ajmolacr 1116389 1116387 2026-10-16T09:40:45Z Bert Niehaus 20843 /* Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige */ 1116389 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Das Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige behandelt die Eindeutigkeit eines Zweiges des Logarithmus. Dabei ist mit der Wahl eines [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebietes <math>G_0 \subset G</math> mit <math>0\notin G</math> und der Festlegung des Imaginärteiles des Logarithmuszweige für ein einziges <math>z_0\in G</math> der gesamte Zweig des [[Logarithmus]] bereits eindeutig auf <math>G_0</math> definiert. Ferner wird es notwendig sein zwischen dem [[Logarithmus]] <math>\ln(x)</math> auf den reellen Zahlen und einem [[generalisierter Logarithmus|generalisierten Logarithmus]] <math>\log_{G_0}(z)</math> auf [[einfach zusammenhängend]]en Gebieten zu unterschieden. == Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige == Sei <math>G</math> ein [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] mit <math>0\notin G</math>. Ferner sei <math>\gamma: [a,b]\to G</math> ein [[w:de:injektive Funktion|injektiver]] [[Integrationsweg]] von <math>z_0=\gamma(a) \in G</math> nach <math>z_1=\gamma(b) \in G</math>. Wählt man für <math>z_o\in G</math> mit <math>z_o = |z_0|\cdot e^{it_0}</math> mit <math>t_0\in \mathbb{R}</math>, so gibt es ein [[einfach zusammenhängend]]es Gebiet <math>G_0</math> als Teilmenge <math>G_0 \subseteq G</math>, sodass der [[Zweig des Logarithmus]] auf <math>G_0</math> eindeutig durch folgendes Integral definiert ist: :<math> \log_{_{(G_o,z_o,t_o)}}(z) = \underbrace{\ln(|z_0|)+it_0}_{=c} + \int_{\gamma_z} \frac{1}{\xi}\, d\xi </math> Dabei kann <math>\gamma_z : [a,b]\to G_0</math> als stetig differenzierbarer Weg von <math>z_o</math> nach <math>z\in G_0</math>. === Beweisidee === Man betrachtet für den Beweis eine [[w:de:injektive Funktion|injektiven]] [[Weg (Mathematik)|Weg]] in <math>G</math>. Die [[w:de:injektive Funktion|Injektivität]] des [[Integrationsweg|Integrationsweges]] <math>\gamma</math> ist wesentlich, damit keine Schleifen entstehen können, die ggf. die [[Polstelle]] von <math>\tfrac{1}{z}</math> mit <math>z=0</math> umrundet. Das [[Injektivitätslemma für Wege]] liefert Kreisscheiben mit nur einer [[w:de:Zusammenhangskomponente|Zusammenhangskomponente]] aus dem Definitionsbereich <math>[a,b]</math> des Weges. Die Wahl des Radius für die offene Überdeckung der Spur wird dabei so gewählt, dass die offene Überdeckung [[einfach zusammenhängend]] ist. === Bemerkung zu Beweisidee === Die Grundideen der Beweisidee führen im weiteren Verlauf der Lehrveranstaltung auch zu einer Integraldefinition der [[Umlaufzahl]] und zum [[Residuensatz]]. == Beweis - Eindeutigkeitslemma == Wegen <math>z_0 \not= 0</math> kann man mit <math>r:= |z_o|</math> und einem beliebigen <math>z\in G</math> mit <math> |z-z_o| < r </math> kann man <math>\tfrac{1}{z}</math> lokal auf Kreisscheiben in eine Potenzreihe um <math>z_o</math> entwickeln (siehe [[lokale Entwicklung in Potenzreihen]]). :<math>f(z)= \frac{1}{z} = \frac{1}{z_o} \cdot \frac{1}{ 1- \underbrace{\frac{z-z_o}{-z_o} }_{=q} } = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1}} }_{=a_n} \cdot (z-z_o)^n </math> === Beweisschritt 1 - lokale Stammfunktionen === Nach den [[Holomorphiekriterien]] besitzt jede holomorphe Funktion <math>f:G \to \mathbb{C}</math> [[lokale Stammfunktionen]]. Wegen gleichmäßiger Konvergenz der Partialsumme der Potenzreihe für <math>\tfrac{1}{z}</math> mit Entwicklungspunkt <math>z_o\in G</math> kann man summandenweise integrieren (siehe auch [[Normalverteilung]]). Dies liefert die folgende Potenzreihe für den Zweig des Logarithmus auf <math>D_r(z_o)</math>: :<math>F_{z_o}(z) = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1} \cdot (n+1)}}_{=a_n} \cdot (z-z_o)^{n+1} </math> === Beweisschritt 2 - Kompakte Spur des Integrationsweges === Für die Definition des Zweiges des [[Logarithmus]] ist <math>\gamma : [a,b]\to G</math> ein stetig differenzierbarer [[w:de:injektive Funktion|injektiver]] [[Integrationsweg|Weg]] von <math>z_o</math> nach <math>z_1\in G</math> gegeben. Das folgende Integral ist wohldefiniert, da <math>0\notin G</math> gilt, :<math> \int_{\gamma_{z_1}} \frac{1}{\xi}\, d\xi </math> Die Spur des Wege <math>Spur(\gamma_{z_1})</math> eine [[kompakte Menge]]. === Beweisschritt 3 - Offene Überdeckung einer kompakten === Man überdeckt nun <math>Spur(\gamma_{z_1})</math> mit Kreisscheiben <math>D_z</math> um <math>z\in G</math>, wobei die Kreischeiben <math>D_z\subset G</math> ganz in der offenen Menge <math> G</math> und die Eigenschaft des [[Injektivitätslemma für Wege]] erfüllen und nur aus einer [[w:de:Zusammenhangskomponente|Zusammenhangskomponente]] bestehen. Der durch das [[Injektivitätslemma für Wege]] gegeben Radius <math>r</math> für <math>\overline{D_r(z_0)} \subset G</math> wird durch eine Radius <math>\widehat{r\,}:=\tfrac{r}{3}</math> ersetzt. Die Kreisscheibe <math>D_{z_o}:= D_{\widehat{r\,}}(z_o)</math> überdeckt dann immer noch <math>z_0</math> liefert aber später die Eigenschaft, das die endliche Teilüberdeckung [[einfach zusammenhängend]] ist. Da die Spur [[kompakte Menge|kompakt]] ist, gibt es eine endliche Teilüberdeckung der Spur mit <math>D_{z_o}= D_{\widehat{r\,}}(z_o)</math>: :<math> Spur(\gamma_z) \subseteq \bigcup_{k=1}^n D_{z_k} \subseteq \bigcup_{k=0}^n D_{z_k} </math> === Beweisschritt 4 - Potenzreihenentwicklung für Kreisscheiben === Für alle <math>k\in \{1,\ldots , n\}</math> gibt es analog zur Potenzreihenentwicklung um <math>z_o</math> auch jeweils die folgenden Potenzreihenreihenentwicklungen für den Zweig des Logarithmus auf <math>D_{r_k}(z_k)</math>: :<math>F_{z_k}(z) = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_k^{n+1} \cdot (n+1)}}_{=a_{(n,k)}} \cdot (z-z_k)^{n+1} </math> === Beweisschritt 5 - Kreisscheibe für Startpunkt des Weges === Man startet mit der offenen Kreisscheibe <math>D_{z_o}= D_r(z_o)</math>, die <math>z_o</math> als Startpunkt des Weges <math>\gamma_z</math> in der Spur von <math>\gamma_z</math> enthalten ist. Wenn <math>D_{z_o}</math> bereits die ganze Spur <math>Spur(\gamma_z)</math> abdeckt, hat man mit eine eindeutige Darstellung des Zweiges des Logarithmus mit <math>F_{z_o}</math> erhalten, dessen Potenzreihendarstellung mit dem [[Identitätssatz]] eindeutig auf der Kreissscheibe <math>D_r(z_o)</math> ist. === Beweisschritt 6 - Schnitte von Kreisscheiben === Falls offene Kreisscheibe <math>D_o := D_{z_o}</math> die Menge <math>Spur(\gamma_z)</math> nicht vollständig abdeckt, gibt es einen Randpunkt <math>w_1 \in \partial(D_{z_o})</math> der Kreissscheibe liegt, der zugleich auch in der Spur liegt (d.h. <math>w_1 \in \partial(D_{z_o})\cap Spur(\gamma_z)</math>. Mit der Überdeckung der Spur gilt dann: :<math> w_1\in Spur(\gamma_z) \subseteq \bigcup_{k=1}^n D_{z_k} \subseteq \bigcup_{k=0}^n D_{z_k} </math> Also muss es ein <math>k_1\in \{1,\ldots , n\}</math> mit <math>w_1 \in D_{z_{k_1}}</math>. Bezeichne <math>D_1 := D_{z_{k_1}}</math>, damit an der Bezeichnung deutlich wird, welche Kreisscheibe der offenen Überdeckung zu <math>w_1\in D_1</math> gewählt wurde. === Beweisschritt 7 - Randpunkt und Schnitte von Kreisscheiben === Da <math>w_1 \in D_1 </math> nach Auswahl aus der Überdeckung gilt, liegt <math>w_1 \in D_0 \cup D_1 </math> auch in der Vereinigung der beiden Kreisscheiben. Ferner ist <math>w_1</math> auch ein Randpunkt von <math>D_0</math>. Damit ist der Schnitt von jeder Umgebung <math>U</math> von <math>w_1</math> mit <math>D_0</math> nicht leer. Dies gilt damit insbesondere für die offene Menge <math>D_1 </math>. Da der Schnitt <math>D_0 \cap D_1 \not= \emptyset</math> eine nicht diskrete Menge ist, gilt mit dem [[Identitätssatz]], dass der Zweig des Logarithmus auch auf <math>D_0 \cup D_1 </math> eindeutig definiert ist. === Beweisschritt 8 - Überdeckung der Spur === Falls <math>D_0 \cup D_1</math> die <math>Spur(\gamma_z)</math> vollständig überdecken, hat man bereits eine eindeutige Darstellung des Zweiges des Logarithmus auf <math>Spur(\gamma_z)</math> erhalten. Falls die Spur noch nicht vollständig abdeckt wurde, gibt es wieder einen Randpunkt <math>w_2 \in \partial(D_0\cup D_1)</math>, der zugleich auch in der Spur liegt (d.h. <math>w_2 \in \partial(D_0\cup D_1)\cap Spur(\gamma_z)</math>). Mit der Überdeckung der Spur gilt dann: :<math> w_2\in Spur(\gamma_z) \subseteq \bigcup_{k=1}^n D_{z_k} \subseteq \bigcup_{k=0}^n D_{z_k} </math> Also muss es ein <math>k_2\in \{1,\ldots , n\}</math> mit <math>w \in D_{z_{k_2}}</math> geben. Bezeichne <math>D_2 := D_{z_{k_2}}</math> wieder als Kreisscheibe der offenen Überdeckung mit <math>w_2\in D_2</math>. === Beweisschritt 9 - Schnitte von Kreisscheiben === Da der Schnitt <math>(D_0 \cup D_1) \cap D_2 \not= \emptyset</math> wieder nicht diskret ist (d.h. besitzt Häufungspunkte), gibt es analog zu Schritt 6 mit dem [[Identitätssatz]] wieder eine eindeutige Darstellung für den Zweig des Logarithmus auch auf <math>D_0 \cup D_1 \cup D_2 </math>. Nach maximal <math>n</math> Schritten für die offene Überdeckung hat man eine eindeutig des Logarithmus auf der Vereinigung <math>U_z := D_0 \cup D_1 \cup \ldots D_m</math> erhalten wobei <math>m\leq n</math> gilt. === Beweisschritt 10 - beliebige Integrationsweg === Man hat nur für ein beliebiges <math>z\in G</math> eine Vereinigung von offenen Menge gefunden, auf der der Zweig des Logarithmus eindeutig definiert ist. Für <math>U_z</math> gilt: <math> z_o, z\in U_z \quad \mbox{ und } \quad D_0 \subseteq U_z \subseteq G </math> Betrachtet man nun zwei beliebige Integrationwege <math>\gamma_{z_1}</math> mit <math>z_1, z_2\in G</math>, so gilt <math>D_0 \subseteq U_{z_1} \cap U_{z_2} </math>. Damit ist der Zweig des Logarithmus auch auf <math> U_{z_1} \cup U_{z_2} </math> mit dem [[Identitätssatz]] wieder eindeutig definiert. === Beweisschritt 11 - Eindeutigkeit des Zweiges === Da <math>U_z \subseteq G</math> gilt und man <math>G</math> als Vereinigung der <math>U_z</math> wegen <math>z\in U_z</math> darstellen kann, erhält man einen eindeutigen Logarithmus auf <math>G</math>. <math> \quad \Box</math> == Bemerkung - geschlitzte Ebene == Eine geschlitzte Ebene <math>G_{z_o}</math> für <math>z_o\not=0</math> definiert man wie folgt: :<math> G_{z_o} := \mathbb{C} \setminus \{z \in \mathbb{C} \, : \, z = - \lambda \cdot z_o \mbox{ mit } 0 \leq \lambda \in \mathbb{R} \} </math> Mit dem obigen Satz kann man also nicht nur geschlitzte Ebenen <math>G_{z_o}</math> als Definitionsbereich von [[Zweige des Logarithmus|Zweigen des Logarithmus]] wählen, sondern man erhält Zweige des Logarithmus für beliebige [[einfach zusammenhängend]]e Gebiete <math>G</math>, die 0 nicht enthalten (siehe [[Identitätssatz für Logarithmen]]). == Imaginärer Hauptzweig des Logarithmus == Wählt man die geschlitzte Ebene <math>G_{i}</math> für die imaginäre Einheit <math>i\not=0</math>, so erhält man mit dem obigen Satz den imaginären Hauptzweig des Logarithmus <math>\ln_i</math>, der sowohl für die positiven als für die negativen reellen Zahlen definiert ist. Für negative Zahlen <math>z=|z|\cdot e^{i\pi} \in \mathbb{R}^- </math> ist der Logarithmus dann wie folgt eindeutig festgelegt: :<math> \ln_i(z) = \ln(|z|) + i \cdot \pi </math> == Siehe auch == * [[Identitätssatz für Logarithmen]] * [[Injektivitätslemma für Wege]] * [[Logarithmus]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen/Vorgehen|Potenzreihenentwicklungen für 1/z]] * [[Weg (Mathematik)/parametrisch unendlich|parametrisch unendliche Wege]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] lwnmv3i17ckymq6b0ez4fui9qnql5vp 1116390 1116389 2026-10-16T09:43:36Z Bert Niehaus 20843 /* Imaginärer Hauptzweig des Logarithmus */ 1116390 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Das Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige behandelt die Eindeutigkeit eines Zweiges des Logarithmus. Dabei ist mit der Wahl eines [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebietes <math>G_0 \subset G</math> mit <math>0\notin G</math> und der Festlegung des Imaginärteiles des Logarithmuszweige für ein einziges <math>z_0\in G</math> der gesamte Zweig des [[Logarithmus]] bereits eindeutig auf <math>G_0</math> definiert. Ferner wird es notwendig sein zwischen dem [[Logarithmus]] <math>\ln(x)</math> auf den reellen Zahlen und einem [[generalisierter Logarithmus|generalisierten Logarithmus]] <math>\log_{G_0}(z)</math> auf [[einfach zusammenhängend]]en Gebieten zu unterschieden. == Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige == Sei <math>G</math> ein [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] mit <math>0\notin G</math>. Ferner sei <math>\gamma: [a,b]\to G</math> ein [[w:de:injektive Funktion|injektiver]] [[Integrationsweg]] von <math>z_0=\gamma(a) \in G</math> nach <math>z_1=\gamma(b) \in G</math>. Wählt man für <math>z_o\in G</math> mit <math>z_o = |z_0|\cdot e^{it_0}</math> mit <math>t_0\in \mathbb{R}</math>, so gibt es ein [[einfach zusammenhängend]]es Gebiet <math>G_0</math> als Teilmenge <math>G_0 \subseteq G</math>, sodass der [[Zweig des Logarithmus]] auf <math>G_0</math> eindeutig durch folgendes Integral definiert ist: :<math> \log_{_{(G_o,z_o,t_o)}}(z) = \underbrace{\ln(|z_0|)+it_0}_{=c} + \int_{\gamma_z} \frac{1}{\xi}\, d\xi </math> Dabei kann <math>\gamma_z : [a,b]\to G_0</math> als stetig differenzierbarer Weg von <math>z_o</math> nach <math>z\in G_0</math>. === Beweisidee === Man betrachtet für den Beweis eine [[w:de:injektive Funktion|injektiven]] [[Weg (Mathematik)|Weg]] in <math>G</math>. Die [[w:de:injektive Funktion|Injektivität]] des [[Integrationsweg|Integrationsweges]] <math>\gamma</math> ist wesentlich, damit keine Schleifen entstehen können, die ggf. die [[Polstelle]] von <math>\tfrac{1}{z}</math> mit <math>z=0</math> umrundet. Das [[Injektivitätslemma für Wege]] liefert Kreisscheiben mit nur einer [[w:de:Zusammenhangskomponente|Zusammenhangskomponente]] aus dem Definitionsbereich <math>[a,b]</math> des Weges. Die Wahl des Radius für die offene Überdeckung der Spur wird dabei so gewählt, dass die offene Überdeckung [[einfach zusammenhängend]] ist. === Bemerkung zu Beweisidee === Die Grundideen der Beweisidee führen im weiteren Verlauf der Lehrveranstaltung auch zu einer Integraldefinition der [[Umlaufzahl]] und zum [[Residuensatz]]. == Beweis - Eindeutigkeitslemma == Wegen <math>z_0 \not= 0</math> kann man mit <math>r:= |z_o|</math> und einem beliebigen <math>z\in G</math> mit <math> |z-z_o| < r </math> kann man <math>\tfrac{1}{z}</math> lokal auf Kreisscheiben in eine Potenzreihe um <math>z_o</math> entwickeln (siehe [[lokale Entwicklung in Potenzreihen]]). :<math>f(z)= \frac{1}{z} = \frac{1}{z_o} \cdot \frac{1}{ 1- \underbrace{\frac{z-z_o}{-z_o} }_{=q} } = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1}} }_{=a_n} \cdot (z-z_o)^n </math> === Beweisschritt 1 - lokale Stammfunktionen === Nach den [[Holomorphiekriterien]] besitzt jede holomorphe Funktion <math>f:G \to \mathbb{C}</math> [[lokale Stammfunktionen]]. Wegen gleichmäßiger Konvergenz der Partialsumme der Potenzreihe für <math>\tfrac{1}{z}</math> mit Entwicklungspunkt <math>z_o\in G</math> kann man summandenweise integrieren (siehe auch [[Normalverteilung]]). Dies liefert die folgende Potenzreihe für den Zweig des Logarithmus auf <math>D_r(z_o)</math>: :<math>F_{z_o}(z) = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1} \cdot (n+1)}}_{=a_n} \cdot (z-z_o)^{n+1} </math> === Beweisschritt 2 - Kompakte Spur des Integrationsweges === Für die Definition des Zweiges des [[Logarithmus]] ist <math>\gamma : [a,b]\to G</math> ein stetig differenzierbarer [[w:de:injektive Funktion|injektiver]] [[Integrationsweg|Weg]] von <math>z_o</math> nach <math>z_1\in G</math> gegeben. Das folgende Integral ist wohldefiniert, da <math>0\notin G</math> gilt, :<math> \int_{\gamma_{z_1}} \frac{1}{\xi}\, d\xi </math> Die Spur des Wege <math>Spur(\gamma_{z_1})</math> eine [[kompakte Menge]]. === Beweisschritt 3 - Offene Überdeckung einer kompakten === Man überdeckt nun <math>Spur(\gamma_{z_1})</math> mit Kreisscheiben <math>D_z</math> um <math>z\in G</math>, wobei die Kreischeiben <math>D_z\subset G</math> ganz in der offenen Menge <math> G</math> und die Eigenschaft des [[Injektivitätslemma für Wege]] erfüllen und nur aus einer [[w:de:Zusammenhangskomponente|Zusammenhangskomponente]] bestehen. Der durch das [[Injektivitätslemma für Wege]] gegeben Radius <math>r</math> für <math>\overline{D_r(z_0)} \subset G</math> wird durch eine Radius <math>\widehat{r\,}:=\tfrac{r}{3}</math> ersetzt. Die Kreisscheibe <math>D_{z_o}:= D_{\widehat{r\,}}(z_o)</math> überdeckt dann immer noch <math>z_0</math> liefert aber später die Eigenschaft, das die endliche Teilüberdeckung [[einfach zusammenhängend]] ist. Da die Spur [[kompakte Menge|kompakt]] ist, gibt es eine endliche Teilüberdeckung der Spur mit <math>D_{z_o}= D_{\widehat{r\,}}(z_o)</math>: :<math> Spur(\gamma_z) \subseteq \bigcup_{k=1}^n D_{z_k} \subseteq \bigcup_{k=0}^n D_{z_k} </math> === Beweisschritt 4 - Potenzreihenentwicklung für Kreisscheiben === Für alle <math>k\in \{1,\ldots , n\}</math> gibt es analog zur Potenzreihenentwicklung um <math>z_o</math> auch jeweils die folgenden Potenzreihenreihenentwicklungen für den Zweig des Logarithmus auf <math>D_{r_k}(z_k)</math>: :<math>F_{z_k}(z) = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_k^{n+1} \cdot (n+1)}}_{=a_{(n,k)}} \cdot (z-z_k)^{n+1} </math> === Beweisschritt 5 - Kreisscheibe für Startpunkt des Weges === Man startet mit der offenen Kreisscheibe <math>D_{z_o}= D_r(z_o)</math>, die <math>z_o</math> als Startpunkt des Weges <math>\gamma_z</math> in der Spur von <math>\gamma_z</math> enthalten ist. Wenn <math>D_{z_o}</math> bereits die ganze Spur <math>Spur(\gamma_z)</math> abdeckt, hat man mit eine eindeutige Darstellung des Zweiges des Logarithmus mit <math>F_{z_o}</math> erhalten, dessen Potenzreihendarstellung mit dem [[Identitätssatz]] eindeutig auf der Kreissscheibe <math>D_r(z_o)</math> ist. === Beweisschritt 6 - Schnitte von Kreisscheiben === Falls offene Kreisscheibe <math>D_o := D_{z_o}</math> die Menge <math>Spur(\gamma_z)</math> nicht vollständig abdeckt, gibt es einen Randpunkt <math>w_1 \in \partial(D_{z_o})</math> der Kreissscheibe liegt, der zugleich auch in der Spur liegt (d.h. <math>w_1 \in \partial(D_{z_o})\cap Spur(\gamma_z)</math>. Mit der Überdeckung der Spur gilt dann: :<math> w_1\in Spur(\gamma_z) \subseteq \bigcup_{k=1}^n D_{z_k} \subseteq \bigcup_{k=0}^n D_{z_k} </math> Also muss es ein <math>k_1\in \{1,\ldots , n\}</math> mit <math>w_1 \in D_{z_{k_1}}</math>. Bezeichne <math>D_1 := D_{z_{k_1}}</math>, damit an der Bezeichnung deutlich wird, welche Kreisscheibe der offenen Überdeckung zu <math>w_1\in D_1</math> gewählt wurde. === Beweisschritt 7 - Randpunkt und Schnitte von Kreisscheiben === Da <math>w_1 \in D_1 </math> nach Auswahl aus der Überdeckung gilt, liegt <math>w_1 \in D_0 \cup D_1 </math> auch in der Vereinigung der beiden Kreisscheiben. Ferner ist <math>w_1</math> auch ein Randpunkt von <math>D_0</math>. Damit ist der Schnitt von jeder Umgebung <math>U</math> von <math>w_1</math> mit <math>D_0</math> nicht leer. Dies gilt damit insbesondere für die offene Menge <math>D_1 </math>. Da der Schnitt <math>D_0 \cap D_1 \not= \emptyset</math> eine nicht diskrete Menge ist, gilt mit dem [[Identitätssatz]], dass der Zweig des Logarithmus auch auf <math>D_0 \cup D_1 </math> eindeutig definiert ist. === Beweisschritt 8 - Überdeckung der Spur === Falls <math>D_0 \cup D_1</math> die <math>Spur(\gamma_z)</math> vollständig überdecken, hat man bereits eine eindeutige Darstellung des Zweiges des Logarithmus auf <math>Spur(\gamma_z)</math> erhalten. Falls die Spur noch nicht vollständig abdeckt wurde, gibt es wieder einen Randpunkt <math>w_2 \in \partial(D_0\cup D_1)</math>, der zugleich auch in der Spur liegt (d.h. <math>w_2 \in \partial(D_0\cup D_1)\cap Spur(\gamma_z)</math>). Mit der Überdeckung der Spur gilt dann: :<math> w_2\in Spur(\gamma_z) \subseteq \bigcup_{k=1}^n D_{z_k} \subseteq \bigcup_{k=0}^n D_{z_k} </math> Also muss es ein <math>k_2\in \{1,\ldots , n\}</math> mit <math>w \in D_{z_{k_2}}</math> geben. Bezeichne <math>D_2 := D_{z_{k_2}}</math> wieder als Kreisscheibe der offenen Überdeckung mit <math>w_2\in D_2</math>. === Beweisschritt 9 - Schnitte von Kreisscheiben === Da der Schnitt <math>(D_0 \cup D_1) \cap D_2 \not= \emptyset</math> wieder nicht diskret ist (d.h. besitzt Häufungspunkte), gibt es analog zu Schritt 6 mit dem [[Identitätssatz]] wieder eine eindeutige Darstellung für den Zweig des Logarithmus auch auf <math>D_0 \cup D_1 \cup D_2 </math>. Nach maximal <math>n</math> Schritten für die offene Überdeckung hat man eine eindeutig des Logarithmus auf der Vereinigung <math>U_z := D_0 \cup D_1 \cup \ldots D_m</math> erhalten wobei <math>m\leq n</math> gilt. === Beweisschritt 10 - beliebige Integrationsweg === Man hat nur für ein beliebiges <math>z\in G</math> eine Vereinigung von offenen Menge gefunden, auf der der Zweig des Logarithmus eindeutig definiert ist. Für <math>U_z</math> gilt: <math> z_o, z\in U_z \quad \mbox{ und } \quad D_0 \subseteq U_z \subseteq G </math> Betrachtet man nun zwei beliebige Integrationwege <math>\gamma_{z_1}</math> mit <math>z_1, z_2\in G</math>, so gilt <math>D_0 \subseteq U_{z_1} \cap U_{z_2} </math>. Damit ist der Zweig des Logarithmus auch auf <math> U_{z_1} \cup U_{z_2} </math> mit dem [[Identitätssatz]] wieder eindeutig definiert. === Beweisschritt 11 - Eindeutigkeit des Zweiges === Da <math>U_z \subseteq G</math> gilt und man <math>G</math> als Vereinigung der <math>U_z</math> wegen <math>z\in U_z</math> darstellen kann, erhält man einen eindeutigen Logarithmus auf <math>G</math>. <math> \quad \Box</math> == Bemerkung - geschlitzte Ebene == Eine geschlitzte Ebene <math>G_{z_o}</math> für <math>z_o\not=0</math> definiert man wie folgt: :<math> G_{z_o} := \mathbb{C} \setminus \{z \in \mathbb{C} \, : \, z = - \lambda \cdot z_o \mbox{ mit } 0 \leq \lambda \in \mathbb{R} \} </math> Mit dem obigen Satz kann man also nicht nur geschlitzte Ebenen <math>G_{z_o}</math> als Definitionsbereich von [[Zweige des Logarithmus|Zweigen des Logarithmus]] wählen, sondern man erhält Zweige des Logarithmus für beliebige [[einfach zusammenhängend]]e Gebiete <math>G</math>, die 0 nicht enthalten (siehe [[Identitätssatz für Logarithmen]]). == Imaginärer Hauptzweig des Logarithmus == Wählt man die geschlitzte Ebene <math>G_{i}</math> für die imaginäre Einheit <math>i\not= 0</math>, so erhält man mit dem obigen Lemma den [[imaginärer Hauptzweig des Logarithmus|imaginären Hauptzweig des Logarithmus]] <math>\log_{G_i}</math>, der sowohl für die positiven als für die negativen reellen Zahlen definiert ist. Für negative Zahlen <math>z=|z|\cdot e^{i\pi} \in \mathbb{R}^- </math> ist der Logarithmus dann wie folgt eindeutig festgelegt: :<math> \log_{G_i}(z) = \ln(|z|) + i \cdot \pi </math> == Siehe auch == * [[Identitätssatz für Logarithmen]] * [[Injektivitätslemma für Wege]] * [[Logarithmus]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen/Vorgehen|Potenzreihenentwicklungen für 1/z]] * [[Weg (Mathematik)/parametrisch unendlich|parametrisch unendliche Wege]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 25c5hrrl5zztw2svw13xcrzuccqhnur 1116404 1116390 2026-10-16T10:14:54Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1116404 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Das Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige behandelt die Eindeutigkeit eines Zweiges des Logarithmus. Dabei ist mit der Wahl eines [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebietes <math>G_0 \subset G</math> mit <math>0\notin G</math> und der Festlegung des Imaginärteiles des Logarithmuszweige für ein einziges <math>z_0\in G</math> der gesamte Zweig des [[Logarithmus]] bereits eindeutig auf <math>G_0</math> definiert. Ferner wird es notwendig sein zwischen dem [[Logarithmus]] <math>\ln(x)</math> auf den reellen Zahlen und einem [[generalisierter Logarithmus|generalisierten Logarithmus]] <math>\log_{G_0}(z)</math> auf [[einfach zusammenhängend]]en Gebieten zu unterschieden. == Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige == Sei <math>G</math> ein [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] mit <math>0\notin G</math>. Ferner sei <math>\gamma: [a,b]\to G</math> ein [[w:de:injektive Funktion|injektiver]] [[Integrationsweg]] von <math>z_0=\gamma(a) \in G</math> nach <math>z_1=\gamma(b) \in G</math>. Wählt man für <math>z_o\in G</math> mit <math>z_o = |z_0|\cdot e^{it_0}</math> mit <math>t_0\in \mathbb{R}</math>, so gibt es ein [[einfach zusammenhängend]]es Gebiet <math>G_0</math> als Teilmenge <math>G_0 \subseteq G</math>, sodass der [[Zweig des Logarithmus]] auf <math>G_0</math> eindeutig durch folgendes Integral definiert ist: :<math> \log_{_{(G_o,z_o,t_o)}}(z) = \underbrace{\ln(|z_0|)+it_0}_{=c} + \int_{\gamma_z} \frac{1}{\xi}\, d\xi </math> Dabei kann <math>\gamma_z : [a,b]\to G_0</math> als stetig differenzierbarer Weg von <math>z_o</math> nach <math>z\in G_0</math>. === Beweisidee === Man betrachtet für den Beweis eine [[w:de:injektive Funktion|injektiven]] [[Weg (Mathematik)|Weg]] in <math>G</math>. Die [[w:de:injektive Funktion|Injektivität]] des [[Integrationsweg|Integrationsweges]] <math>\gamma</math> ist wesentlich, damit keine Schleifen entstehen können, die ggf. die [[Polstelle]] von <math>\tfrac{1}{z}</math> mit <math>z=0</math> umrundet. Das [[Injektivitätslemma für Wege]] liefert Kreisscheiben mit nur einer [[w:de:Zusammenhangskomponente|Zusammenhangskomponente]] aus dem Definitionsbereich <math>[a,b]</math> des Weges. Die Wahl des Radius für die offene Überdeckung der Spur wird dabei so gewählt, dass die offene Überdeckung [[einfach zusammenhängend]] ist. === Bemerkung zu Beweisidee === Die Grundideen der Beweisidee führen im weiteren Verlauf der Lehrveranstaltung auch zu einer Integraldefinition der [[Umlaufzahl]] und zum [[Residuensatz]]. == Beweis - Eindeutigkeitslemma == Wegen <math>z_0 \not= 0</math> kann man mit <math>r:= |z_o|</math> und einem beliebigen <math>z\in G</math> mit <math> |z-z_o| < r </math> kann man <math>\tfrac{1}{z}</math> lokal auf Kreisscheiben in eine Potenzreihe um <math>z_o</math> entwickeln (siehe [[lokale Entwicklung in Potenzreihen]]). :<math>f(z)= \frac{1}{z} = \frac{1}{z_o} \cdot \frac{1}{ 1- \underbrace{\frac{z-z_o}{-z_o} }_{=q} } = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1}} }_{=a_n} \cdot (z-z_o)^n </math> === Beweisschritt 1 - lokale Stammfunktionen === Nach den [[Holomorphiekriterien]] besitzt jede holomorphe Funktion <math>f:G \to \mathbb{C}</math> [[lokale Stammfunktionen]]. Wegen gleichmäßiger Konvergenz der Partialsumme der Potenzreihe für <math>\tfrac{1}{z}</math> mit Entwicklungspunkt <math>z_o\in G</math> kann man summandenweise integrieren (siehe auch [[Normalverteilung]]). Dies liefert die folgende Potenzreihe für den Zweig des Logarithmus auf <math>D_r(z_o)</math>: :<math>F_{z_o}(z) = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1} \cdot (n+1)}}_{=a_n} \cdot (z-z_o)^{n+1} </math> === Beweisschritt 2 - Kompakte Spur des Integrationsweges === Für die Definition des Zweiges des [[Logarithmus]] ist <math>\gamma : [a,b]\to G</math> ein stetig differenzierbarer [[w:de:injektive Funktion|injektiver]] [[Integrationsweg|Weg]] von <math>z_o</math> nach <math>z_1\in G</math> gegeben. Das folgende Integral ist wohldefiniert, da <math>0\notin G</math> gilt, :<math> \int_{\gamma_{z_1}} \frac{1}{\xi}\, d\xi </math> Die Spur des Wege <math>Spur(\gamma_{z_1})</math> eine [[kompakte Menge]]. === Beweisschritt 3 - Offene Überdeckung einer kompakten === Man überdeckt nun <math>Spur(\gamma_{z_1})</math> mit Kreisscheiben <math>D_z</math> um <math>z\in G</math>, wobei die Kreischeiben <math>D_z\subset G</math> ganz in der offenen Menge <math> G</math> und die Eigenschaft des [[Injektivitätslemma für Wege]] erfüllen und nur aus einer [[w:de:Zusammenhangskomponente|Zusammenhangskomponente]] bestehen. Der durch das [[Injektivitätslemma für Wege]] gegeben Radius <math>r</math> für <math>\overline{D_r(z_0)} \subset G</math> wird durch eine Radius <math>\widehat{r\,}:=\tfrac{r}{3}</math> ersetzt. Die Kreisscheibe <math>D_{z_o}:= D_{\widehat{r\,}}(z_o)</math> überdeckt dann immer noch <math>z_0</math> liefert aber später die Eigenschaft, das die endliche Teilüberdeckung [[einfach zusammenhängend]] ist. Da die Spur [[kompakte Menge|kompakt]] ist, gibt es eine endliche Teilüberdeckung der Spur mit <math>D_{z_o}= D_{\widehat{r\,}}(z_o)</math>: :<math> Spur(\gamma_z) \subseteq \bigcup_{k=1}^n D_{z_k} \subseteq \bigcup_{k=0}^n D_{z_k} </math> === Beweisschritt 4 - Potenzreihenentwicklung für Kreisscheiben === Für alle <math>k\in \{1,\ldots , n\}</math> gibt es analog zur Potenzreihenentwicklung um <math>z_o</math> auch jeweils die folgenden Potenzreihenreihenentwicklungen für den Zweig des Logarithmus auf <math>D_{r_k}(z_k)</math>: :<math>F_{z_k}(z) = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_k^{n+1} \cdot (n+1)}}_{=a_{(n,k)}} \cdot (z-z_k)^{n+1} </math> === Beweisschritt 5 - Kreisscheibe für Startpunkt des Weges === Man startet mit der offenen Kreisscheibe <math>D_{z_o}= D_r(z_o)</math>, die <math>z_o</math> als Startpunkt des Weges <math>\gamma_z</math> in der Spur von <math>\gamma_z</math> enthalten ist. Wenn <math>D_{z_o}</math> bereits die ganze Spur <math>Spur(\gamma_z)</math> abdeckt, hat man mit eine eindeutige Darstellung des Zweiges des Logarithmus mit <math>F_{z_o}</math> erhalten, dessen Potenzreihendarstellung mit dem [[Identitätssatz]] eindeutig auf der Kreissscheibe <math>D_r(z_o)</math> ist. === Beweisschritt 6 - Schnitte von Kreisscheiben === Falls offene Kreisscheibe <math>D_o := D_{z_o}</math> die Menge <math>Spur(\gamma_z)</math> nicht vollständig abdeckt, gibt es einen Randpunkt <math>w_1 \in \partial(D_{z_o})</math> der Kreissscheibe liegt, der zugleich auch in der Spur liegt (d.h. <math>w_1 \in \partial(D_{z_o})\cap Spur(\gamma_z)</math>. Mit der Überdeckung der Spur gilt dann: :<math> w_1\in Spur(\gamma_z) \subseteq \bigcup_{k=1}^n D_{z_k} \subseteq \bigcup_{k=0}^n D_{z_k} </math> Also muss es ein <math>k_1\in \{1,\ldots , n\}</math> mit <math>w_1 \in D_{z_{k_1}}</math>. Bezeichne <math>D_1 := D_{z_{k_1}}</math>, damit an der Bezeichnung deutlich wird, welche Kreisscheibe der offenen Überdeckung zu <math>w_1\in D_1</math> gewählt wurde. === Beweisschritt 7 - Randpunkt und Schnitte von Kreisscheiben === Da <math>w_1 \in D_1 </math> nach Auswahl aus der Überdeckung gilt, liegt <math>w_1 \in D_0 \cup D_1 </math> auch in der Vereinigung der beiden Kreisscheiben. Ferner ist <math>w_1</math> auch ein Randpunkt von <math>D_0</math>. Damit ist der Schnitt von jeder Umgebung <math>U</math> von <math>w_1</math> mit <math>D_0</math> nicht leer. Dies gilt damit insbesondere für die offene Menge <math>D_1 </math>. Da der Schnitt <math>D_0 \cap D_1 \not= \emptyset</math> eine nicht diskrete Menge ist, gilt mit dem [[Identitätssatz]], dass der Zweig des Logarithmus auch auf <math>D_0 \cup D_1 </math> eindeutig definiert ist. === Beweisschritt 8 - Überdeckung der Spur === Falls <math>D_0 \cup D_1</math> die <math>Spur(\gamma_z)</math> vollständig überdecken, hat man bereits eine eindeutige Darstellung des Zweiges des Logarithmus auf <math>Spur(\gamma_z)</math> erhalten. Falls die Spur noch nicht vollständig abdeckt wurde, gibt es wieder einen Randpunkt <math>w_2 \in \partial(D_0\cup D_1)</math>, der zugleich auch in der Spur liegt (d.h. <math>w_2 \in \partial(D_0\cup D_1)\cap Spur(\gamma_z)</math>). Mit der Überdeckung der Spur gilt dann: :<math> w_2\in Spur(\gamma_z) \subseteq \bigcup_{k=1}^n D_{z_k} \subseteq \bigcup_{k=0}^n D_{z_k} </math> Also muss es ein <math>k_2\in \{1,\ldots , n\}</math> mit <math>w \in D_{z_{k_2}}</math> geben. Bezeichne <math>D_2 := D_{z_{k_2}}</math> wieder als Kreisscheibe der offenen Überdeckung mit <math>w_2\in D_2</math>. === Beweisschritt 9 - Schnitte von Kreisscheiben === Da der Schnitt <math>(D_0 \cup D_1) \cap D_2 \not= \emptyset</math> wieder nicht diskret ist (d.h. besitzt Häufungspunkte), gibt es analog zu Schritt 6 mit dem [[Identitätssatz]] wieder eine eindeutige Darstellung für den Zweig des Logarithmus auch auf <math>D_0 \cup D_1 \cup D_2 </math>. Nach maximal <math>n</math> Schritten für die offene Überdeckung hat man eine eindeutig des Logarithmus auf der Vereinigung <math>U_z := D_0 \cup D_1 \cup \ldots D_m</math> erhalten wobei <math>m\leq n</math> gilt. === Beweisschritt 10 - beliebige Integrationsweg === Man hat nur für ein beliebiges <math>z\in G</math> eine Vereinigung von offenen Menge gefunden, auf der der Zweig des Logarithmus eindeutig definiert ist. Für <math>U_z</math> gilt: <math> z_o, z\in U_z \quad \mbox{ und } \quad D_0 \subseteq U_z \subseteq G </math> Betrachtet man nun zwei beliebige Integrationwege <math>\gamma_{z_1}</math> mit <math>z_1, z_2\in G</math>, so gilt <math>D_0 \subseteq U_{z_1} \cap U_{z_2} </math>. Damit ist der Zweig des Logarithmus auch auf <math> U_{z_1} \cup U_{z_2} </math> mit dem [[Identitätssatz]] wieder eindeutig definiert. === Beweisschritt 11 - Eindeutigkeit des Zweiges === Da <math>U_z \subseteq G</math> gilt und man <math>G</math> als Vereinigung der <math>U_z</math> wegen <math>z\in U_z</math> darstellen kann, erhält man einen eindeutigen Logarithmus auf <math>G</math>. <math> \quad \Box</math> == Bemerkung - geschlitzte Ebene == Eine geschlitzte Ebene <math>G_{z_o}</math> für <math>z_o\not=0</math> definiert man wie folgt: :<math> G_{z_o} := \mathbb{C} \setminus \{z \in \mathbb{C} \, : \, z = - \lambda \cdot z_o \mbox{ mit } 0 \leq \lambda \in \mathbb{R} \} </math> Mit dem obigen Satz kann man also nicht nur geschlitzte Ebenen <math>G_{z_o}</math> als Definitionsbereich von [[Zweige des Logarithmus|Zweigen des Logarithmus]] wählen, sondern man erhält Zweige des Logarithmus für beliebige [[einfach zusammenhängend]]e Gebiete <math>G</math>, die 0 nicht enthalten (siehe [[Identitätssatz für Logarithmen]]). == Imaginärer Hauptzweig des Logarithmus == Wählt man die geschlitzte Ebene <math>G_{i}</math> für die imaginäre Einheit <math>i\not= 0</math>, so erhält man mit dem obigen Lemma den [[imaginärer Hauptzweig des Logarithmus|imaginären Hauptzweig des Logarithmus]] <math>\log_{G_i}</math>, der sowohl für die positiven als für die negativen reellen Zahlen definiert ist. Für negative Zahlen <math>z=|z|\cdot e^{i\pi} \in \mathbb{R}^- </math> ist der Logarithmus dann wie folgt eindeutig festgelegt: :<math> \log_{G_i}(z) = \ln(|z|) + i \cdot \pi </math> == Siehe auch == * [[Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] * [[Identitätssatz für Logarithmen]] * [[Injektivitätslemma für Wege]] * [[Logarithmus]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen/Vorgehen|Potenzreihenentwicklungen für 1/z]] * [[Weg (Mathematik)/parametrisch unendlich|parametrisch unendliche Wege]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] jhfifcdr7pugv7xo0kn6jq17o1xvsb9 106 170571 1116340 1108527 2026-10-16T07:46:06Z Bocardodarapti 2041 1116340 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2026-2027)/Teil I/Vorlesungsgestaltung|3| {{Zwischenüberschrift|Geldscheine und Münzen}} Wir möchten an einem alltäglichen Beispiel typische Argumentationsmuster der Mathematik vorstellen. Grundlegende Eigenschaften der natürlichen Zahlen setzen wir hierfür voraus. {{:Münzen/Mathematische Argumentation/Motivation/Textabschnitt|zusatz1=Fußnote}} {{Fußnotenliste}} }} hkit9nj5arfj1c0vnfq6bkhyvs9tjvi 106 170614 1116310 1109186 2026-10-16T06:24:41Z Bocardodarapti 2041 1116310 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2026-2027)/Teil I/Arbeitsblattgestaltung|15| {{Zwischenüberschrift|Die Pausenaufgabe}} {{ inputaufgabe |Oma Müller/Viele Kekse/Division mit Rest/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|Übungsaufgaben}} {{ inputaufgabe |Division mit Rest/Rechenbeispiel/1/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Division mit Rest/Rechenbeispiel/3/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Division mit Rest/N/Konfiguration/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Division mit Rest/Teilbarkeit/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Division mit Rest/N/qd+s/Rest/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Division mit Rest/Hundert/Durch d/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Division mit Rest/Durch Zehnerpotenzen/1/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Division mit Rest/N/Addition und Multiplikation/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Für die folgenden Aufgaben vergleiche man {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Division mit Rest/N/Addition und Multiplikation/Aufgabe |Nr= |SZ= }} und {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Kommutativer Halbring/Körper/Zwei Elemente/Beispiel |Nr= |SZ=. }} {{ inputaufgabe |Division mit Rest/3/Verknüpfungstabellen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Division mit Rest/4/Verknüpfungstabellen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Division mit Rest/Verknüpfungstabellen/Kleine Einsmaleins/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Division mit Rest/Z/Potenz/Periodizität/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Division mit Rest/Z/Potenz/Teilerfremd/Periodizität/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Gerade Zahl/Letzte Ziffer/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Externer Algorithmus/Division mit Rest/Z/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ziffernentwicklung/Eindeutigkeit/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Dezimalsystem/Nullen/Zehnerpotenz/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Tageseinnahmen/Umrechnung/1/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Währung/Zehnerpotenzen/Minimale Darstellung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Palindromische Zahl/Potenz von 1001/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{inputaufgabe |Primzahlen/Rest 3 mod 4/Unendlich/Aufgabe||zusatz1=&nbsp;{{ Zusatz/Klammer |text=also bei Division durch {{math|term=4|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }}|}} {{ inputaufgabe |Primfaktorzerlegung/111/usw/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ziffernentwicklung/473 dual/Umrechnung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ziffernentwicklung/300/Dreiersystem/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ziffernentwicklung/5E6BB dezimal/Umrechnung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Externer Algorithmus/Visualisierung/Fünfersystem/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Zählen/Einsilbensystem/Umrechnungen/1/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Strichfolge/Zifferndarstellung/Bis einstellig/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Natürliche Zahl/Zifferndarstellung/Fast immer einstellig/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Strichfolge/Einersystem/Inwiefern/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Haseigel-Schule/Gabi/Tadel/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|Aufgaben zum Abgeben}} {{ inputaufgabe |Division mit Rest/5/Verknüpfungstabellen/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Division mit Rest/Summe der Reste/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Tageseinnahmen/Umrechnung/2/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ziffernentwicklung/626/Fünfersystem/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ziffernentwicklung/321002 im Vierersystem/Zehnersystem/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} }} t3rsy110bsy574j6eg7g4e4m9levvix 106 172635 1116381 1114665 2026-10-16T09:11:27Z Bert Niehaus 20843 /* Injektivitätslemma für Wege */ 1116381 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Das Injektivitätslemmas für Wege mit Kreisscheiben wird für den [[Kurs:Funktionentheorie/Spurüberdeckungslemma|Spurüberdeckungslemma]] von Wegen benötigt. Die geometrische Grundidee besteht darin, zu jedem Spurpunkt <math>\gamma(t_o)</math> eine abgeschlossene Kreisscheibe <math>D_r(\gamma(t_o))</math> als Umgebung <math>\gamma(t_o)</math> mit passendem Radius <math>r > 0</math> zu finden, dessen Urbild <math>\gamma^{-1}\big( D_r(\gamma(t_o))\big)</math> nur aus ''einer'' Zusammenhangskomponente besteht <math>[t_o-\delta_1 , t_o+\delta_2 ] </math> mit <math>\delta_1, \delta_2 > 0</math> besteht. === Animation === Bei großem Radius <math>r \geq 1.2 </math> enthält die grüne Kreisscheibe noch zwei [[w:de:Zusammenhangskomponente|Zusammenhangskomponenten]]. Für <math>r \leq 1.1</math> enthält die Kreisscheibe <math>D_r(\gamma_o))</math> nur noch eine [[w:de:Zusammenhangskomponente|Zusammenhangskomponente]]. [[File:Umgebung injektiver weg.gif|350px|center|Injective Path and intersection with a disk with radius r - GIF Animaiton created Geogebra 4 on Linux]] === Bemerkung zur Animation === Die folgende Animation zeigt mit einem schrumpfenden Radius <math>r > 0 </math>, dass die abgeschlossene Kreisscheibe <math>\overline{D_r(\gamma(t_o))}</math> mit größeren Radius zwei disjunkte abgeschlossene Teilmengen der <math>Spur(\gamma)</math> enthält. Damit besteht das Urbild <math>\gamma^{-1}\big( \overline{D_r(\gamma(t_o))} \big)</math> der Kreisscheibe in dem Beispiel aus zwei disjunkten abgeschlossenen Teilmengen <math>[a_0,b_0]</math> und <math>[a_1,b_1]</math> aus <math>[a,b]</math> (Abgeschlossenheit wegen Stetigkeit von <math>\gamma</math>). Im Allgemeinen kann das Urbild <math>\gamma^{-1}\big( D_r(\gamma(t_o))\big)</math> also notwendig [[w:de:wegzusammenhängend|zusammenhängend]] und besteht aus mehr als einer [[w:de:Zusammenhangskomponente|Zusammenhangskomponente]]. === Bemerkung zu Zusammenhangskomponenten === Das Urbild <math>\gamma^{-1}\big( \overline{D_r(\gamma(t_o))} \big)</math> ist nie leer, da es zumindest <math>t_o</math> enthält. Damit enthält das Urbild zumindest eine Zusammenhangskomponente <math>[a_0,b_0]</math> mit <math>t_0\in [a_0,b_0]\subseteq [a,b] </math>. Für den Beweis durch Widerspruch nimmt an, dass es für beliebige Radien <math>r > 0 </math> mindestens zwei Zusammenhangskomponenten im Urbild <math>\gamma^{-1}\big( \overline{D_r(\gamma(t_o))} \big)</math> gibt und führt das zum Widerspruch zur Injektivität von <math>\gamma</math>. === Bemerkung - nicht-injektive Wege === Bei Wegen <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math>, die nicht injektiv sind, gibt es mindestens zwei Argumente <math>t_1,t_2\in [a,b]</math> mit <math>t_1\not= t_2</math> und <math>\gamma(t_1)=\gamma(t_2)</math>. In <math>t_2</math> schneidet der Weg erneut die eigene Spur in <math>\gamma(t_1)</math>. In diesem Fall kann man kein <math>r_o > 0 </math> finden, sodass für alle <math>0 \leq r \leq r_o</math> immer aus mindestens zwei Zusammenhangskomponenten besteht. Die Injektivität ist also eine wesentliche Voraussetzung für das Injektivitätslemma. == Injektivitätslemma für Wege == Sei <math> \gamma: [a, b] \to G </math> ein '''injektiver Weg''' in einem Gebiet <math>G</math>. Dann gibt es für jeden Spurpunkt <math> \gamma(t_o) </math> einer Radius <math>r_0 > 0 </math>, sodass jede abgeschlossen Kreisscheibe <math> \overline{D_r(\gamma(t_o))} </math> um <math> \gamma(t_o) </math> mit Radius <math> r \leq r_0 </math> nur eine [[w:de:Zusammenhangskomponente|Zusammenhangskomponente]] der [[Weg (Mathematik)#Spur|Spur]] enthält und somit <math>\delta_1,\delta_2\geq 0</math> existieren, mit: :<math> [t_o-\delta_1,t_o+\delta_2] = \gamma^{-1}\big(\overline{D_r(\gamma(t_o))}\big) </math> == Beweis == Sei <math> D_t := D_{r_t}(\gamma(t)) </math> offene Kreisscheibe um <math> \gamma(t) </math> mit Radius <math> r_t > 0 </math> und <math> \overline{D_t} </math> die abgeschlossen Kreisscheibe um <math> \gamma(t) </math> mit Radius <math> r_t > 0</math>. === Schritt 1 - Voraussetzungen === Sei <math> \gamma </math> ein injektiver Weg, d. h.: * <math> \gamma </math> ist injektiv, * <math> \gamma </math> ist [[Stetigkeit|stetig]] (d.h. Urbilder <math> \gamma^{-1}(U) </math> von offenen Menge <math>U\subseteq \mathbb{C}</math> sind offen). === Schritt 2 - Definition der Kreisscheibe === Sei <math> \gamma(t_0) = z_0 </math> ein Spurpunkt. In dem Beweis muss man zu jedem <math>t_0\in [a,b]</math> einer Radius <math>r_0 > 0</math> finden, sodass das Urbild von abgeschlossenen Kreisscheiben <math> \overline{D_r\big(\gamma(t_0)\big)}</math> um <math> z_0 </math> mit beliebigen Radius <math> r_t > 0 </math> wählen. Diese Kreischeiben sind wie folgt definiert: :<math> D_r(z_0) := \{ z \in \mathbb{C} \mid | z - z_0 | < r \} \quad \quad \overline{D_r(z_0)} = \{ z \in \mathbb{C} \mid | z - z_0 | \leq r \} </math> === Schritt 3 - Urbilder abgeschlossener Mengen === Bei stetigen Funktionen <math>\gamma</math> sind die [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Stetigkeit von Abbildungen in topologischen Räumen#KorrolarStetigkeit|Urbilder abgeschlossener Mengen]] wieder abgeschlossen. Damit sind * <math>\gamma^{-1}(D_r(z_0))</math> für beliebige offene Kreisscheiben offene Mengen und * <math>\gamma^{-1}(\overline{D_r(z_0)}) </math> für beliebige abgeschlossene Kreisscheiben abgeschlossene Mengen in <math>[a,b]</math>. Dabei wird die [[Normen, Metriken, Topologie#Relativtopologie|Relativtopologie]] von <math>\mathbb{R}</math> eingeschränkt auf <math>[a,b]</math> verwendet (z.B. ist dann <math>[a,\varepsilon)</math> eine offene Menge in <math>[a,b]</math>). === Schritt 4 - Schnitte von abgeschlossenen Mengen === Beliebige Vereinigungen <math>\bigcup_{i\in I} U_i</math> von offenen Mengen <math>U_i</math> sind wieder offen (siehe (T3) der [[topologischer Raum|Definition von topologischen Räumen]]). Damit sind auch beliebige Schnitte <math>\bigcap_{i\in I} A_i</math> von abgeschlossenen Mengen <math>A_i</math> mit <math>i\in I</math> sind wieder abgeschlossen. Angewendet auf Kreisschreiben <math>D_r\big(\gamma(t)\big)\subset G \subseteq \mathbb{C}</math> mit <math>I:= \{ r > 0 \, : \, r \leq r_o \}</math> gilt: :<math> \{\gamma(t_o)\} = \bigcap_{r \in I} A_r = \bigcap_{r \in I } \overline{D_r\big(\gamma(t_o)\big)} = \bigcap_{n\in \mathbb{N}, \, \tfrac{1}{n} \leq r_0 } \overline{D_{\tfrac{1}{n}}\big(\gamma(t_o)\big)} </math> === Schritt 5 - Urbilder von abgeschlossenen Kreisschreiben === Die Urbilder <math>\gamma^{-1}\big(\overline{D_r(t_o)}\big)</math> von abgeschlossenen Kreisschreiben <math>\overline{D_r(t_o)}</math> sind auch bei injektiven Wegen [[w:de:wegzusammenhängend|nicht notwendig zusammenhängend]] in <math>[a,b]</math> (wenn z.B. der Weg <math>\gamma</math> ab einer Parameterschranke <math> t_1 > t_0</math> die abgeschlossene Kreisscheibe "verlässt" (d.h. <math>\gamma(\widehat{t_1})\notin \overline{D_t(\varepsilon)}</math> für bestimmte <math> \widehat{t_1} > t_1 </math> - siehe Animation oben) und dann ab einer weiteren Parameterschranke <math> t_2 > t_1</math> für bestimmte <math> \widehat{t_2} \geq t_2 </math> die Bildpunkte <math>\gamma(\widehat{t_2})</math> wieder in der Kreisscheibe <math>\overline{D_r(t_o)}</math> liegt. Analog kann Weg <math>\gamma(t)</math> auch für <math>t < t_1 < t_0</math> die abgeschlossenen Kreissscheibe <math>\overline{D_r(t_o)}</math> verlassen und für <math> t\leq t_2 < t_1 </math> kann <math>\gamma(t)</math> wieder in <math>\overline{D_r(t_o)}</math> liegen. === Schritt 6 - Urbilder und Zusammenhangskomponenten === Man nimmt nun an, dass das Urbild <math>\gamma^{-1}\big(\overline{D_r(t_o)}\big)</math> aus mehr als einer [[w:de:Zusammenhangskomponente|Zusammenhangskomponenten]] besteht, wobei es für alle <math>r \leq r_0</math> mindestens zwei Zusammenhangskomponenten <math>[a_0(r),b_0(r)], [a_1(r),b_1(r)] \subseteq [a,b]</math> mit <math>[a_0(r),b_0(r)] \cap [a_1(r),b_1(r)] = \emptyset </math>, die im <math>i\not=j</math>, wobei beide Intervalle für beliebige <math>0 < r \leq r_0 </math> nicht leer sind und ohne Einschränkung liegt <math>t_0</math> in <math>[a_0(r),b_0(r)]</math>. === Schritt 7 - Injektivität des Weges === Wegen der Injektivität von <math>\gamma</math> kann <math>\gamma(t_0)</math> nun in einer Zusammenhangskomponente liegen. Nach Schritt 6 gilt <math>t_0 \in [a_0(r),b_0(r)]</math> und man erhält mit <math>\gamma(t_0) \in \gamma([a_0(r),b_0(r)])</math> auch <math>t_0\notin [a_1(r),b_1(r)]</math> bzw. <math>\gamma([a_0(r),b_0(r)])\cap \gamma( [a_1(r),b_1(r)]) =\emptyset</math> nach Definition der Intervalle. Für <math>0 < r < R \leq r_0 </math> gilt ferner: :<math> \emptyset \not= [a_0(r),b_0(r)] \subseteq [a_0(R),b_0(R)] \quad \quad \emptyset \not= [a_1(r),b_1(r)] \subseteq [a_1(R),b_1(R)] </math> === Schritt 8 - Durchschnitt abgeschlossener Mengen === Nach Schritt 4 ist der Durchschnitt von abgeschlossenen Mengen wieder abgeschlossen und damit gilt: :<math> t_0 \in \bigcap_{r \in I } \, [a_0(r),b_0(r)] \quad t_1 \in \bigcap_{r \in I } \, [a_1(r),b_1(r)] </math> Wegen der Disjunktheit von <math>[a_0(r),b_0(r)]</math> und <math>[a_1(r),b_1(r)]</math> gilt auch <math>t_0\not= t_1</math>. === Schritt 9 - Widerspruch zur Injektivität === Der Widerspruch zur Injektivität von <math>\gamma</math> entsteht durch Schritt 4 mit: :<math> \{\gamma(t_o)\} = \bigcap_{r \in I} A_r = \bigcap_{r \in I } \overline{D_r\big(\gamma(t_o)\big)} </math> und der Urbildfunktion :<math> \gamma^{-1}\big(\{\gamma(t_o)\}\big) = \gamma^{-1}\left( \bigcap_{r \in I} \overline{D_r\big(\gamma(t_o)\big)}\right) = \bigcap_{r \in I } \gamma^{-1}\left(\overline{D_r\big(\gamma(t_o)\big)}\right) \supseteq \{t_0,t_1\} </math> Damit wäre die Injektivität veretzt, da <math>t_0\not= t_1</math> gilt, aber <math>\gamma(t_0) = \gamma(t_1)</math>. === Schritt 10 - Radiusschranke === Damit besteht das Urbild von <math>\overline{D_r(\gamma(t_o))}</math> aber einer Indexschranke <math> r \leq r_o</math> nur noch aus einer Zusammenhangskomponente in <math>[a,b]</math> und ist mit der Stetigkeit von <math>\gamma</math> ein abgeschossenes Intervall <math>[t_o-\delta_1,t_o+\delta_2]</math>, dass man mit <math>\delta_1,\delta_2\geq 0</math> wie folgt darstellen kann: :<math> [t_o-\delta_1,t_o+\delta_2] = \gamma^{-1}\big(\overline{D_r(\gamma(t_o))}\big) \quad \Box </math> == Bemerkung - Umgebung einer Spur == Mit dem Injektivitätslemma kann eine <math>\varepsilon -</math>-Umgebung einer Spur eines Weges <math>\gamma</math> bestimmen. Sei <math>\gamma : [a,b] \to G</math> ein Weg in dem Gebiet <math>G</math>, dann gibt es ein <math>\varepsilon > 0 </math>: :<math> U_\varepsilon (\gamma) = \{ z_0 \in \mathbb{C} \, : \, \inf_{z\in Spur(\gamma)} |z-z_0| < \varepsilon \} \subseteq G </math> Wichtig bei der Aussage ist, dass es ein globales <math>\varepsilon > 0</math> gibt, dass den Abtand von beliebigen Spurpunkten <math>\gamma(t)</math> zum Rand beschreibt. D.h. ein Weg als stetige Abbildung <math>[a,b]</math> in <math>G</math> kann sich mit der Spur nicht beliebig nah an den Rand des Gebietes annähern. === Aufgabe für Studierende === Beweisen Sie die obige Bemerkung für die Umgebung der Spur und nutzen Sie dazu die Kompaktheit der Spur aus. === Hinweis zur Beweisidee === Beliebige offene Überdeckungen der Spur besitzen endliche Teilüberdeckungen. Bei den diesen Überdeckungen schaut man sich den Kreisschnittdurchmesser an und verwendet das Minimum der endlichen nicht-leeren [[Kreisschnittdurchmesser]] als <math>\varepsilon</math>. == Siehe auch == * [[Kreisschnittdurchmesser]] * [[Relativtopologie]] * [[Stetigkeit]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Stetigkeit von Abbildungen in topologischen Räumen#KorrolarStetigkeit|Stetigkeit - Urbilder abgeschlossener Mengen]] * [[Topologischer Raum]] * [[Weg (Mathematik)]] * [[w:de:wegzusammenhängend|wegzusammenhängend]] h7k6b5qmribv1j0n3no8kf9btd6if7w 1116402 1116381 2026-10-16T10:12:52Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1116402 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Das Injektivitätslemmas für Wege mit Kreisscheiben wird für den [[Kurs:Funktionentheorie/Spurüberdeckungslemma|Spurüberdeckungslemma]] von Wegen benötigt. Die geometrische Grundidee besteht darin, zu jedem Spurpunkt <math>\gamma(t_o)</math> eine abgeschlossene Kreisscheibe <math>D_r(\gamma(t_o))</math> als Umgebung <math>\gamma(t_o)</math> mit passendem Radius <math>r > 0</math> zu finden, dessen Urbild <math>\gamma^{-1}\big( D_r(\gamma(t_o))\big)</math> nur aus ''einer'' Zusammenhangskomponente besteht <math>[t_o-\delta_1 , t_o+\delta_2 ] </math> mit <math>\delta_1, \delta_2 > 0</math> besteht. === Animation === Bei großem Radius <math>r \geq 1.2 </math> enthält die grüne Kreisscheibe noch zwei [[w:de:Zusammenhangskomponente|Zusammenhangskomponenten]]. Für <math>r \leq 1.1</math> enthält die Kreisscheibe <math>D_r(\gamma_o))</math> nur noch eine [[w:de:Zusammenhangskomponente|Zusammenhangskomponente]]. [[File:Umgebung injektiver weg.gif|350px|center|Injective Path and intersection with a disk with radius r - GIF Animaiton created Geogebra 4 on Linux]] === Bemerkung zur Animation === Die folgende Animation zeigt mit einem schrumpfenden Radius <math>r > 0 </math>, dass die abgeschlossene Kreisscheibe <math>\overline{D_r(\gamma(t_o))}</math> mit größeren Radius zwei disjunkte abgeschlossene Teilmengen der <math>Spur(\gamma)</math> enthält. Damit besteht das Urbild <math>\gamma^{-1}\big( \overline{D_r(\gamma(t_o))} \big)</math> der Kreisscheibe in dem Beispiel aus zwei disjunkten abgeschlossenen Teilmengen <math>[a_0,b_0]</math> und <math>[a_1,b_1]</math> aus <math>[a,b]</math> (Abgeschlossenheit wegen Stetigkeit von <math>\gamma</math>). Im Allgemeinen kann das Urbild <math>\gamma^{-1}\big( D_r(\gamma(t_o))\big)</math> also notwendig [[w:de:wegzusammenhängend|zusammenhängend]] und besteht aus mehr als einer [[w:de:Zusammenhangskomponente|Zusammenhangskomponente]]. === Bemerkung zu Zusammenhangskomponenten === Das Urbild <math>\gamma^{-1}\big( \overline{D_r(\gamma(t_o))} \big)</math> ist nie leer, da es zumindest <math>t_o</math> enthält. Damit enthält das Urbild zumindest eine Zusammenhangskomponente <math>[a_0,b_0]</math> mit <math>t_0\in [a_0,b_0]\subseteq [a,b] </math>. Für den Beweis durch Widerspruch nimmt an, dass es für beliebige Radien <math>r > 0 </math> mindestens zwei Zusammenhangskomponenten im Urbild <math>\gamma^{-1}\big( \overline{D_r(\gamma(t_o))} \big)</math> gibt und führt das zum Widerspruch zur Injektivität von <math>\gamma</math>. === Bemerkung - nicht-injektive Wege === Bei Wegen <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math>, die nicht injektiv sind, gibt es mindestens zwei Argumente <math>t_1,t_2\in [a,b]</math> mit <math>t_1\not= t_2</math> und <math>\gamma(t_1)=\gamma(t_2)</math>. In <math>t_2</math> schneidet der Weg erneut die eigene Spur in <math>\gamma(t_1)</math>. In diesem Fall kann man kein <math>r_o > 0 </math> finden, sodass für alle <math>0 \leq r \leq r_o</math> immer aus mindestens zwei Zusammenhangskomponenten besteht. Die Injektivität ist also eine wesentliche Voraussetzung für das Injektivitätslemma. == Injektivitätslemma für Wege == Sei <math> \gamma: [a, b] \to G </math> ein '''injektiver Weg''' in einem Gebiet <math>G</math>. Dann gibt es für jeden Spurpunkt <math> \gamma(t_o) </math> einer Radius <math>r_0 > 0 </math>, sodass jede abgeschlossen Kreisscheibe <math> \overline{D_r(\gamma(t_o))} </math> um <math> \gamma(t_o) </math> mit Radius <math> r \leq r_0 </math> nur eine [[w:de:Zusammenhangskomponente|Zusammenhangskomponente]] der [[Weg (Mathematik)#Spur|Spur]] enthält und somit <math>\delta_1,\delta_2\geq 0</math> existieren, mit: :<math> [t_o-\delta_1,t_o+\delta_2] = \gamma^{-1}\big(\overline{D_r(\gamma(t_o))}\big) </math> == Beweis == Sei <math> D_t := D_{r_t}(\gamma(t)) </math> offene Kreisscheibe um <math> \gamma(t) </math> mit Radius <math> r_t > 0 </math> und <math> \overline{D_t} </math> die abgeschlossen Kreisscheibe um <math> \gamma(t) </math> mit Radius <math> r_t > 0</math>. === Schritt 1 - Voraussetzungen === Sei <math> \gamma </math> ein injektiver Weg, d. h.: * <math> \gamma </math> ist injektiv, * <math> \gamma </math> ist [[Stetigkeit|stetig]] (d.h. Urbilder <math> \gamma^{-1}(U) </math> von offenen Menge <math>U\subseteq \mathbb{C}</math> sind offen). === Schritt 2 - Definition der Kreisscheibe === Sei <math> \gamma(t_0) = z_0 </math> ein Spurpunkt. In dem Beweis muss man zu jedem <math>t_0\in [a,b]</math> einer Radius <math>r_0 > 0</math> finden, sodass das Urbild von abgeschlossenen Kreisscheiben <math> \overline{D_r\big(\gamma(t_0)\big)}</math> um <math> z_0 </math> mit beliebigen Radius <math> r_t > 0 </math> wählen. Diese Kreischeiben sind wie folgt definiert: :<math> D_r(z_0) := \{ z \in \mathbb{C} \mid | z - z_0 | < r \} \quad \quad \overline{D_r(z_0)} = \{ z \in \mathbb{C} \mid | z - z_0 | \leq r \} </math> === Schritt 3 - Urbilder abgeschlossener Mengen === Bei stetigen Funktionen <math>\gamma</math> sind die [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Stetigkeit von Abbildungen in topologischen Räumen#KorrolarStetigkeit|Urbilder abgeschlossener Mengen]] wieder abgeschlossen. Damit sind * <math>\gamma^{-1}(D_r(z_0))</math> für beliebige offene Kreisscheiben offene Mengen und * <math>\gamma^{-1}(\overline{D_r(z_0)}) </math> für beliebige abgeschlossene Kreisscheiben abgeschlossene Mengen in <math>[a,b]</math>. Dabei wird die [[Normen, Metriken, Topologie#Relativtopologie|Relativtopologie]] von <math>\mathbb{R}</math> eingeschränkt auf <math>[a,b]</math> verwendet (z.B. ist dann <math>[a,\varepsilon)</math> eine offene Menge in <math>[a,b]</math>). === Schritt 4 - Schnitte von abgeschlossenen Mengen === Beliebige Vereinigungen <math>\bigcup_{i\in I} U_i</math> von offenen Mengen <math>U_i</math> sind wieder offen (siehe (T3) der [[topologischer Raum|Definition von topologischen Räumen]]). Damit sind auch beliebige Schnitte <math>\bigcap_{i\in I} A_i</math> von abgeschlossenen Mengen <math>A_i</math> mit <math>i\in I</math> sind wieder abgeschlossen. Angewendet auf Kreisschreiben <math>D_r\big(\gamma(t)\big)\subset G \subseteq \mathbb{C}</math> mit <math>I:= \{ r > 0 \, : \, r \leq r_o \}</math> gilt: :<math> \{\gamma(t_o)\} = \bigcap_{r \in I} A_r = \bigcap_{r \in I } \overline{D_r\big(\gamma(t_o)\big)} = \bigcap_{n\in \mathbb{N}, \, \tfrac{1}{n} \leq r_0 } \overline{D_{\tfrac{1}{n}}\big(\gamma(t_o)\big)} </math> === Schritt 5 - Urbilder von abgeschlossenen Kreisschreiben === Die Urbilder <math>\gamma^{-1}\big(\overline{D_r(t_o)}\big)</math> von abgeschlossenen Kreisschreiben <math>\overline{D_r(t_o)}</math> sind auch bei injektiven Wegen [[w:de:wegzusammenhängend|nicht notwendig zusammenhängend]] in <math>[a,b]</math> (wenn z.B. der Weg <math>\gamma</math> ab einer Parameterschranke <math> t_1 > t_0</math> die abgeschlossene Kreisscheibe "verlässt" (d.h. <math>\gamma(\widehat{t_1})\notin \overline{D_t(\varepsilon)}</math> für bestimmte <math> \widehat{t_1} > t_1 </math> - siehe Animation oben) und dann ab einer weiteren Parameterschranke <math> t_2 > t_1</math> für bestimmte <math> \widehat{t_2} \geq t_2 </math> die Bildpunkte <math>\gamma(\widehat{t_2})</math> wieder in der Kreisscheibe <math>\overline{D_r(t_o)}</math> liegt. Analog kann Weg <math>\gamma(t)</math> auch für <math>t < t_1 < t_0</math> die abgeschlossenen Kreissscheibe <math>\overline{D_r(t_o)}</math> verlassen und für <math> t\leq t_2 < t_1 </math> kann <math>\gamma(t)</math> wieder in <math>\overline{D_r(t_o)}</math> liegen. === Schritt 6 - Urbilder und Zusammenhangskomponenten === Man nimmt nun an, dass das Urbild <math>\gamma^{-1}\big(\overline{D_r(t_o)}\big)</math> aus mehr als einer [[w:de:Zusammenhangskomponente|Zusammenhangskomponenten]] besteht, wobei es für alle <math>r \leq r_0</math> mindestens zwei Zusammenhangskomponenten <math>[a_0(r),b_0(r)], [a_1(r),b_1(r)] \subseteq [a,b]</math> mit <math>[a_0(r),b_0(r)] \cap [a_1(r),b_1(r)] = \emptyset </math>, die im <math>i\not=j</math>, wobei beide Intervalle für beliebige <math>0 < r \leq r_0 </math> nicht leer sind und ohne Einschränkung liegt <math>t_0</math> in <math>[a_0(r),b_0(r)]</math>. === Schritt 7 - Injektivität des Weges === Wegen der Injektivität von <math>\gamma</math> kann <math>\gamma(t_0)</math> nun in einer Zusammenhangskomponente liegen. Nach Schritt 6 gilt <math>t_0 \in [a_0(r),b_0(r)]</math> und man erhält mit <math>\gamma(t_0) \in \gamma([a_0(r),b_0(r)])</math> auch <math>t_0\notin [a_1(r),b_1(r)]</math> bzw. <math>\gamma([a_0(r),b_0(r)])\cap \gamma( [a_1(r),b_1(r)]) =\emptyset</math> nach Definition der Intervalle. Für <math>0 < r < R \leq r_0 </math> gilt ferner: :<math> \emptyset \not= [a_0(r),b_0(r)] \subseteq [a_0(R),b_0(R)] \quad \quad \emptyset \not= [a_1(r),b_1(r)] \subseteq [a_1(R),b_1(R)] </math> === Schritt 8 - Durchschnitt abgeschlossener Mengen === Nach Schritt 4 ist der Durchschnitt von abgeschlossenen Mengen wieder abgeschlossen und damit gilt: :<math> t_0 \in \bigcap_{r \in I } \, [a_0(r),b_0(r)] \quad t_1 \in \bigcap_{r \in I } \, [a_1(r),b_1(r)] </math> Wegen der Disjunktheit von <math>[a_0(r),b_0(r)]</math> und <math>[a_1(r),b_1(r)]</math> gilt auch <math>t_0\not= t_1</math>. === Schritt 9 - Widerspruch zur Injektivität === Der Widerspruch zur Injektivität von <math>\gamma</math> entsteht durch Schritt 4 mit: :<math> \{\gamma(t_o)\} = \bigcap_{r \in I} A_r = \bigcap_{r \in I } \overline{D_r\big(\gamma(t_o)\big)} </math> und der Urbildfunktion :<math> \gamma^{-1}\big(\{\gamma(t_o)\}\big) = \gamma^{-1}\left( \bigcap_{r \in I} \overline{D_r\big(\gamma(t_o)\big)}\right) = \bigcap_{r \in I } \gamma^{-1}\left(\overline{D_r\big(\gamma(t_o)\big)}\right) \supseteq \{t_0,t_1\} </math> Damit wäre die Injektivität veretzt, da <math>t_0\not= t_1</math> gilt, aber <math>\gamma(t_0) = \gamma(t_1)</math>. === Schritt 10 - Radiusschranke === Damit besteht das Urbild von <math>\overline{D_r(\gamma(t_o))}</math> aber einer Indexschranke <math> r \leq r_o</math> nur noch aus einer Zusammenhangskomponente in <math>[a,b]</math> und ist mit der Stetigkeit von <math>\gamma</math> ein abgeschossenes Intervall <math>[t_o-\delta_1,t_o+\delta_2]</math>, dass man mit <math>\delta_1,\delta_2\geq 0</math> wie folgt darstellen kann: :<math> [t_o-\delta_1,t_o+\delta_2] = \gamma^{-1}\big(\overline{D_r(\gamma(t_o))}\big) \quad \Box </math> == Bemerkung - Umgebung einer Spur == Mit dem Injektivitätslemma kann eine <math>\varepsilon -</math>-Umgebung einer Spur eines Weges <math>\gamma</math> bestimmen. Sei <math>\gamma : [a,b] \to G</math> ein Weg in dem Gebiet <math>G</math>, dann gibt es ein <math>\varepsilon > 0 </math>: :<math> U_\varepsilon (\gamma) = \{ z_0 \in \mathbb{C} \, : \, \inf_{z\in Spur(\gamma)} |z-z_0| < \varepsilon \} \subseteq G </math> Wichtig bei der Aussage ist, dass es ein globales <math>\varepsilon > 0</math> gibt, dass den Abtand von beliebigen Spurpunkten <math>\gamma(t)</math> zum Rand beschreibt. D.h. ein Weg als stetige Abbildung <math>[a,b]</math> in <math>G</math> kann sich mit der Spur nicht beliebig nah an den Rand des Gebietes annähern. === Aufgabe für Studierende === Beweisen Sie die obige Bemerkung für die Umgebung der Spur und nutzen Sie dazu die Kompaktheit der Spur aus. === Hinweis zur Beweisidee === Beliebige offene Überdeckungen der Spur besitzen endliche Teilüberdeckungen. Bei den diesen Überdeckungen schaut man sich den Kreisschnittdurchmesser an und verwendet das Minimum der endlichen nicht-leeren [[Kreisschnittdurchmesser]] als <math>\varepsilon</math>. == Siehe auch == * [[Identitätssatz für Logarithmen]] * [[Kreisschnittdurchmesser]] * [[Relativtopologie]] * [[Stetigkeit]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Stetigkeit von Abbildungen in topologischen Räumen#KorrolarStetigkeit|Stetigkeit - Urbilder abgeschlossener Mengen]] * [[Topologischer Raum]] * [[Weg (Mathematik)]] * [[w:de:wegzusammenhängend|wegzusammenhängend]] 8fxjsppxeax1j5u53pmcy1hvsmujk8c 106 172700 1116355 1116137 2026-10-16T08:17:11Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1116355 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Für die Definition eines rekursiven Logarithmus auf <math>\mathbb{C}\setminus \{0\}</math> benötigt man die <math>logmod</math>-Funktion. Ähnlich wie bei der Periodizität Addition <math>+1</math> in Restklasse modulo <math>m</math> hat die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] über die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] die Periodizität <math>2\pi i</math>. Insgesamt wird diese Funktion verwendet, um algebraische Eigenschaften auf [[logmod-Äquivalenzklassen]] zu untersuchen, die als Repräsentantensystem <math>\mathbb{D}_1 := \mathbb{R} + i \cdot [0,2\pi) </math> verwenden. == Definition - logmod-Funktion == Sei eine komplexe Zahl <math>z=z_1+iz_2\in \mathbb{C}</math> beliebig gewählt. Dann definiert man: :<math> \mathrm{logmod}(z)=k\in\mathbb{Z} \mbox{ mit } z_2 - k\cdot 2\pi i \in [0,2\pi i ) </math> === Erläuterung - logmod === Die <math>logmod</math>-Funktion gibt die Vielfachheit <math>k</math> von <math>2\pi i</math>, die man von dem Imaginärteil <math>z_2=\mathfrak{Im}(z)\in \mathbb{R}</math> von <math>z</math> abziehen muss, damit der Imaginärteil von <math>z-k\cdot 2\pi i</math> in dem halboffenen Intervall <math>[0,2\pi i ) </math> liegt. === Beispiele === * für reelle Zahlen <math>z\in\mathbb{R}</math> gilt <math>\mathrm{logmod}_{2\pi i}(z) = 0</math>. * für <math>z_1\in\mathbb{R}</math> und <math>z_2\in [0,2\pi)</math> gilt ebenfalls <math>\mathrm{logmod}_{2\pi i}(z) = 0</math>, z.B. <math>7+2i\in \mathbb{R}\times [0,2\pi)\cdot i</math> daher gilt <math>\mathrm{logmod}_{2\pi i}(7+2i) = 0</math>. * für <math>7+7i\in \mathbb{R}\times [0,2\pi)\cdot i</math> gilt <math>\mathrm{logmod}_{2\pi i}(7+7i) = 1</math> und <math>\mathrm{logmod}_{2\pi i}(7-21i) = -3</math>. === Bezug zur Restklassen und modulo-Rechnung === Wenn <math>14</math> liegt in der Restklasse <math>[2]_5</math> modulo <math>5</math> mit: :<math> [2]_5 := \{z\in \mathbb{Z} \, : \, \exist_{k\in \mathbb{Z}}\ 5\cdot k + 2 = z\} </math> Wenn man die Restklasse <math>r\in\{0,1,2,3,4\}</math> einer beliebigen ganzen Zahl <math>z\in \mathbb{Z}</math> modulo 5 sucht, bestimmen man die Vielfachheit <math>k\in\mathbb{Z}</math>, sodass <math>z-k\cdot \in \{0,1,2,3,4\}</math> in der Repräsentantenmenge der Restklasse liegt. == Bezug zur Exponentialfunktion == Die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] besitzt eine Periodizität von <math>2\pi i</math> (siehe [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]]). Wenn man den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige|negativen Hauptzweig]] algebraisch auf <math>\mathbb{D}_1</math> vervollständigt, kann man <math>\mathbb{C}\setminus \{0\}</math> bijektiv mit der Exponentialfunktion auf <math>\mathbb{D}_1</math> abbilden. Dabei definiert man: :<math>\mathbb{D}_1 := \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi i) = \{z_1+i\cdot z_2 \in \mathbb{C} \, :\, z_2\in [0,2\pi i)\,\, \}</math> und definert den zugehörigen Logarithmus wie folgt: :<math> \begin{array}{rrcl} \ln_1 : & \mathbb{C}\setminus \{0\} & \rightarrow & \mathbb{D}_1 \\ & z & \mapsto & \ln_1(z) = w \in \mathbb{D}_1 \mbox{ mit } e^w = z \end{array} </math> === Bemerkung - Stetigkeit und Differenzierbarkeit === Der [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#algebraischvollstaendig|algebraisch vervollständigte Logarithmus]] ist für alle Zahlen <math>z\in \mathbb{R}\setminus \{0\} \subset \mathbb{C} </math> nicht stetig und damit auch nicht komplex differenzierbar. Den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] als [[holomorphe Funktion]] erhält als eine holomorphe Funktion als Stammfunktion <math>f(z)=\tfrac{1}{z}</math> nur dann, wenn der Definitionbereich [[einfach zusammenhängend]] ist. == Gaußklammer-Definition von logmod == Die <math>logmod</math>-Funktion kann man über die [[w:de:Gaußklammer|Gaußklammer]] wie folgt ausdrücken: :<math>\mathrm{logmod}(z):=\left\lfloor \frac{\mathfrak{Im}(z)}{2\pi} \right\rfloor</math> === Bemerkung zur Definition === Die Gaußklammer wird in der obigen Definition auf einen Quotienten aus dem Imaginärteil <math>\mathfrak{Im}(z)\in\mathbb{R}</math> und <math>2\pi</math> als [[w:de:Reelle Zahlen|reelle Zahl]] angewendet, wobei <math>\left\lfloor \tfrac{\mathfrak{Im}(z)}{2\pi} \right\rfloor</math> die größte [[w:de:ganze Zahl|ganze Zahl]] ist, die kleiner oder gleich der reellen Zahl <math>\tfrac{\mathfrak{Im}(z)}{2\pi}</math> ist: :<math>\left\lfloor \tfrac{\mathfrak{Im}(z)}{2\pi} \right\rfloor := \max \left\{k\in\mathbb{Z} \mid k \leq \tfrac{\mathfrak{Im}(z)}{2\pi} \right\}\in \mathbb{Z}</math> == LogMod-Lemma == Sei <math>z\in \mathbb{C}</math> eine beliebige komplexe Zahl, dann die folgende Eigenschaft gilt: :<math> \mathfrak{Im}\left(z - \left\lfloor \frac{\mathfrak{Im}(z)}{2\pi} \right\rfloor \cdot 2\pi i \right) \in [0,2\pi) </math> == Beweis - LogMod-Lemma == In dem Beweis ist zu zeigen, dass der Imaginärteil <math>\mathfrak{Im}(z)</math> von einer komplexen Zahl <math>z\in \mathbb{C}</math> in dem halboffenen Intervall <math>[0,2\pi)</math> liegt, wenn man ein <math>logmod(z)</math>-Vielfaches von <math>2\pi i</math> von <math>z</math> subtrahiert. === Schritt 1 - Definition des Argumentes === Zunächst definiert man zur Vereinfachung der Notation das Argument des äußeren Imaginärteiles als <math>w\in \mathbb{C}</math>: :<math> w := z - \left\lfloor \frac{\mathfrak{Im}(z)}{2\pi} \right\rfloor \cdot 2\pi i </math> Zu zeigen ist nun die Eigenschaft: :<math> \mathfrak{Im}(w) \in [0, 2\pi) </math> === Schritt 2 - Real-Imaginärteilzerlegung === Man zerlegt nun <math> z </math> in seinen Real- und Imaginärteil. :<math> z = x + i y, \quad \text{mit } x, y \in \mathbb{R} </math> Dann gilt <math> \mathfrak{Re}(z) = x \in \mathbb{R} </math> und <math> \mathfrak{Im}(z) = y \in \mathbb{R} </math>. === Schritt 3 - Imaginärteilsubstitution im Ausdruck === Durch Ersetzen <math> \mathfrak{Im}(z) = y \in \mathbb{R} </math> in dem Ausdruck betrachtet man nun folgende Gleichung: :<math> w = z - \left\lfloor \frac{y}{2\pi} \right\rfloor \cdot 2\pi i </math> Setzt man ferner für <math> z </math> den Term <math> x + i y </math> ein, erhält man <math> \mathfrak{Im}(w) = y - 2\pi \cdot \left\lfloor \tfrac{y}{2\pi} \right\rfloor </math> durch folgende Umformung: :<math> w = x + i y - \left\lfloor \frac{y}{2\pi} \right\rfloor \cdot 2\pi i = \underbrace{x}_{=\mathfrak{Re}(w)} + i \underbrace{\left( y - 2\pi \cdot \left\lfloor \frac{y}{2\pi} \right\rfloor \right)}_{=\mathfrak{Im}(w)} </math> === Schritt 4 -Gaußklammereigenschaft anwenden === Wendet man nun die Definition der Gaußklammer Quotionenten <math>\frac{y}{2\pi} </math> für eine beliebige reelle Zahl <math> y \in \mathbb{R} </math> an, so gilt folgende Ungleichungskette: :<math> \left\lfloor \frac{y}{2\pi} \right\rfloor \leq \frac{y}{2\pi} < \left\lfloor \frac{y}{2\pi} \right\rfloor + 1 </math> Multipliziert man die Ungleichung mit einer positiven Zahl <math> 2\pi > 0 </math>, so bleibt die einzelnen Ungleichungen erhalten: :<math> 2\pi \cdot \left\lfloor \frac{y}{2\pi} \right\rfloor \leq y < 2\pi \cdot \left( \left\lfloor \frac{y}{2\pi} \right\rfloor + 1 \right) </math> === Schritt 5 - Subtraktion des Gaußklammerterms === Subtrahiert man nun eine reelle Zahl <math> 2\pi\cdot \left\lfloor \frac{y}{2\pi} \right\rfloor </math> von allen Termen der Ungleichungskette, so bleibt auch durch diese Operation die Ungleichungskette erhalten und es gilt: :<math> 0 \leq \underbrace{y - 2\pi \cdot \left\lfloor \frac{y}{2\pi} \right\rfloor}_{=\mathfrak{Im}(w)} < 2\pi </math> === Schritt 6 - Intervall und Imaginärteil === Das liefert nach Schritt 3 genau die gesuchte Ungleichung ist genau die gesuchte Eigenschaft aus der Behauptung, denn mit <math> 0 \leq \mathfrak{Im}(w) < 2\pi </math> gilt auch :<math> \mathfrak{Im}(w) = y - 2\pi \left\lfloor \frac{y}{2\pi} \right\rfloor \in [0, 2\pi) </math> bzw. durch Rückersetzung der Definition von <math>w</math> aus Schritt 1 folgt: :<math> \mathfrak{Im}\left(z - \left\lfloor \frac{\mathfrak{Im}(z)}{2\pi} \right\rfloor \cdot 2\pi i \right) \in [0, 2\pi) </math> == Interpretation und Anwendung == Die Verwendung der <math>logmod</math>-Funktion erlaubt es in der komplexen Analysis, insbesondere bei der Definition des [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#negativer_Hauptzweig|negativen Hauptzweigs]] des komplexen Logarithmus und der damit Verbundenen Periodizität der Exponentialfunktion Äquivalenzklassen :<math>[w]_0 =\{ \widehat{w}\in \mathbb{C} \, :\, \exist_{k\in \mathbb{Z}}\ : w-\widehat{w}=k\cdot 2\pi i \}</math> zu bilden, für dessen Elemente <math>e^w = e^{\widehat{w}}</math> gilt. === Beispiel - Anwendung logmod-Funktion === Sei <math> z = 5\pi i </math>, so gilt <math>\mathrm{logmod}(z)=2</math> und <math>z-\mathrm{logmod}(z)\cdot 2\pi = \pi i </math>. Die zugehörige Äquivalenzklasse <math>[z]_0</math> enthält die folgenden Elemente: :<math>[z]_0 = \{\ldots , -5\pi i, -3\pi i, -1\pi i , +1\pi i , +3\pi i, +5\pi i,+7\pi i, \ldots\}</math> Ferner gilt für alle <math>w\in [z]_0</math>, dass <math>e^w = e^{\pi i} = -1</math>. Im Hauptzweig als holomorphe Funktion ist der Logorithmus von <math>-1</math> nicht definiert. Allerdings ist der Logarithmus im der [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#allgebraischvollstaendig|algebraisch vervollständigten]] Funktionsdefinition definiert <math>\log(\pi i)=-1</math>. ==== Analogie zu Restklassen ==== Betrachtet man die Zahl <math>5</math>, so liegt diese in der Restklasse <math>[1]_2</math> modulo <math>2</math> mit: :<math> [1]_2 := \{z\in \mathbb{Z} \, : \, \exist_{k\in \mathbb{Z}}\ 2\cdot k + 1 = z\} </math> Modulo 2 gibt es nur zwei Restklassen <math>[1]_2</math> und <math>[0]_2</math>, da bei der Division durch 2 nur die Reste <math>r\in\{0,1\}</math> auftreten. In aufzählender Form kann man die Restklasse <math>[1]_2</math> wie folgt notieren: :<math>[1]_2 = \{\ldots , -5, -3, -1 , +1 , +3, +5,+7, \ldots\}</math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#algebraischvollstaendig|algebraisch vervollständigte Logarithmus]] * [[einfach zusammenhängend]] * [[w:de:Gaußklammer|Gaußklammer]] * [[holomorphe Funktion]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] * [[logmod-Äquivalenzklassen]] * [[Zweige des Logarithmus]] 38se2i3j8u6dvks7i21w7n76fa1t722 1116356 1116355 2026-10-16T08:17:43Z Bert Niehaus 20843 1116356 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Für die Definition eines rekursiven Logarithmus auf <math>\mathbb{C}\setminus \{0\}</math> benötigt man die <math>logmod</math>-Funktion. Ähnlich wie bei der Periodizität Addition <math>+1</math> in Restklasse modulo <math>m</math> hat die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] über die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] die Periodizität <math>2\pi i</math>. Insgesamt wird diese Funktion verwendet, um algebraische Eigenschaften auf [[logmod-Äquivalenzklassen]] zu untersuchen, die als Repräsentantensystem <math>\mathbb{D}_1 := \mathbb{R} + i \cdot [0,2\pi) </math> verwenden. == Definition - logmod-Funktion == Sei eine komplexe Zahl <math>z=z_1+iz_2\in \mathbb{C}</math> beliebig gewählt. Dann definiert man: :<math> \mathrm{logmod}(z)=k\in\mathbb{Z} \mbox{ mit } z_2 - k\cdot 2\pi i \in [0,2\pi i ) </math> === Erläuterung - logmod === Die <math>logmod</math>-Funktion gibt die Vielfachheit <math>k</math> von <math>2\pi i</math>, die man von dem Imaginärteil <math>z_2=\mathfrak{Im}(z)\in \mathbb{R}</math> von <math>z</math> abziehen muss, damit der Imaginärteil von <math>z-k\cdot 2\pi i</math> in dem halboffenen Intervall <math>[0,2\pi i ) </math> liegt. === Beispiele === * für reelle Zahlen <math>z\in\mathbb{R}</math> gilt <math>\mathrm{logmod}_{2\pi i}(z) = 0</math>. * für <math>z_1\in\mathbb{R}</math> und <math>z_2\in [0,2\pi)</math> gilt ebenfalls <math>\mathrm{logmod}_{2\pi i}(z) = 0</math>, z.B. <math>7+2i\in \mathbb{R}\times [0,2\pi)\cdot i</math> daher gilt <math>\mathrm{logmod}_{2\pi i}(7+2i) = 0</math>. * für <math>7+7i\in \mathbb{R}\times [0,2\pi)\cdot i</math> gilt <math>\mathrm{logmod}_{2\pi i}(7+7i) = 1</math> und <math>\mathrm{logmod}_{2\pi i}(7-21i) = -3</math>. === Bezug zur Restklassen und modulo-Rechnung === Wenn <math>14</math> liegt in der Restklasse <math>[2]_5</math> modulo <math>5</math> mit: :<math> [2]_5 := \{z\in \mathbb{Z} \, : \, \exist_{k\in \mathbb{Z}}\ 5\cdot k + 2 = z\} </math> Wenn man die Restklasse <math>r\in\{0,1,2,3,4\}</math> einer beliebigen ganzen Zahl <math>z\in \mathbb{Z}</math> modulo 5 sucht, bestimmen man die Vielfachheit <math>k\in\mathbb{Z}</math>, sodass <math>z-k\cdot \in \{0,1,2,3,4\}</math> in der Repräsentantenmenge der Restklasse liegt. == Bezug zur Exponentialfunktion == Die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] besitzt eine Periodizität von <math>2\pi i</math> (siehe [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]]). Wenn man den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige|negativen Hauptzweig]] algebraisch auf <math>\mathbb{D}_1</math> vervollständigt, kann man <math>\mathbb{C}\setminus \{0\}</math> bijektiv mit der Exponentialfunktion auf <math>\mathbb{D}_1</math> abbilden. Dabei definiert man: :<math>\mathbb{D}_1 := \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi i) = \{z_1+i\cdot z_2 \in \mathbb{C} \, :\, z_2\in [0,2\pi i)\,\, \}</math> und definert den zugehörigen Logarithmus wie folgt: :<math> \begin{array}{rrcl} \ln_1 : & \mathbb{C}\setminus \{0\} & \rightarrow & \mathbb{D}_1 \\ & z & \mapsto & \ln_1(z) = w \in \mathbb{D}_1 \mbox{ mit } e^w = z \end{array} </math> === Bemerkung - Stetigkeit und Differenzierbarkeit === Der [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#algebraischvollstaendig|algebraisch vervollständigte Logarithmus]] ist für alle Zahlen <math>z\in \mathbb{R}\setminus \{0\} \subset \mathbb{C} </math> nicht stetig und damit auch nicht komplex differenzierbar. Den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] als [[holomorphe Funktion]] erhält als eine holomorphe Funktion als Stammfunktion <math>f(z)=\tfrac{1}{z}</math> nur dann, wenn der Definitionbereich [[einfach zusammenhängend]] ist. == Gaußklammer-Definition von logmod == Die <math>logmod</math>-Funktion kann man über die [[w:de:Gaußklammer|Gaußklammer]] wie folgt ausdrücken: :<math>\mathrm{logmod}(z):=\left\lfloor \frac{\mathfrak{Im}(z)}{2\pi} \right\rfloor</math> === Bemerkung zur Definition === Die Gaußklammer wird in der obigen Definition auf einen Quotienten aus dem Imaginärteil <math>\mathfrak{Im}(z)\in\mathbb{R}</math> und <math>2\pi</math> als [[w:de:Reelle Zahlen|reelle Zahl]] angewendet, wobei <math>\left\lfloor \tfrac{\mathfrak{Im}(z)}{2\pi} \right\rfloor</math> die größte [[w:de:ganze Zahl|ganze Zahl]] ist, die kleiner oder gleich der reellen Zahl <math>\tfrac{\mathfrak{Im}(z)}{2\pi}</math> ist: :<math>\left\lfloor \tfrac{\mathfrak{Im}(z)}{2\pi} \right\rfloor := \max \left\{k\in\mathbb{Z} \mid k \leq \tfrac{\mathfrak{Im}(z)}{2\pi} \right\}\in \mathbb{Z}</math> == LogMod-Lemma == Sei <math>z\in \mathbb{C}</math> eine beliebige komplexe Zahl, dann die folgende Eigenschaft gilt: :<math> \mathfrak{Im}\left(z - \left\lfloor \frac{\mathfrak{Im}(z)}{2\pi} \right\rfloor \cdot 2\pi i \right) \in [0,2\pi) </math> == Beweis - LogMod-Lemma == In dem Beweis ist zu zeigen, dass der Imaginärteil <math>\mathfrak{Im}(z)</math> von einer komplexen Zahl <math>z\in \mathbb{C}</math> in dem halboffenen Intervall <math>[0,2\pi)</math> liegt, wenn man ein <math>logmod(z)</math>-Vielfaches von <math>2\pi i</math> von <math>z</math> subtrahiert. === Schritt 1 - Definition des Argumentes === Zunächst definiert man zur Vereinfachung der Notation das Argument des äußeren Imaginärteiles als <math>w\in \mathbb{C}</math>: :<math> w := z - \left\lfloor \frac{\mathfrak{Im}(z)}{2\pi} \right\rfloor \cdot 2\pi i </math> Zu zeigen ist nun die Eigenschaft: :<math> \mathfrak{Im}(w) \in [0, 2\pi) </math> === Schritt 2 - Real-Imaginärteilzerlegung === Man zerlegt nun <math> z </math> in seinen Real- und Imaginärteil. :<math> z = x + i y, \quad \text{mit } x, y \in \mathbb{R} </math> Dann gilt <math> \mathfrak{Re}(z) = x \in \mathbb{R} </math> und <math> \mathfrak{Im}(z) = y \in \mathbb{R} </math>. === Schritt 3 - Imaginärteilsubstitution im Ausdruck === Durch Ersetzen <math> \mathfrak{Im}(z) = y \in \mathbb{R} </math> in dem Ausdruck betrachtet man nun folgende Gleichung: :<math> w = z - \left\lfloor \frac{y}{2\pi} \right\rfloor \cdot 2\pi i </math> Setzt man ferner für <math> z </math> den Term <math> x + i y </math> ein, erhält man <math> \mathfrak{Im}(w) = y - 2\pi \cdot \left\lfloor \tfrac{y}{2\pi} \right\rfloor </math> durch folgende Umformung: :<math> w = x + i y - \left\lfloor \frac{y}{2\pi} \right\rfloor \cdot 2\pi i = \underbrace{x}_{=\mathfrak{Re}(w)} + i \underbrace{\left( y - 2\pi \cdot \left\lfloor \frac{y}{2\pi} \right\rfloor \right)}_{=\mathfrak{Im}(w)} </math> === Schritt 4 -Gaußklammereigenschaft anwenden === Wendet man nun die Definition der Gaußklammer Quotionenten <math>\frac{y}{2\pi} </math> für eine beliebige reelle Zahl <math> y \in \mathbb{R} </math> an, so gilt folgende Ungleichungskette: :<math> \left\lfloor \frac{y}{2\pi} \right\rfloor \leq \frac{y}{2\pi} < \left\lfloor \frac{y}{2\pi} \right\rfloor + 1 </math> Multipliziert man die Ungleichung mit einer positiven Zahl <math> 2\pi > 0 </math>, so bleibt die einzelnen Ungleichungen erhalten: :<math> 2\pi \cdot \left\lfloor \frac{y}{2\pi} \right\rfloor \leq y < 2\pi \cdot \left( \left\lfloor \frac{y}{2\pi} \right\rfloor + 1 \right) </math> === Schritt 5 - Subtraktion des Gaußklammerterms === Subtrahiert man nun eine reelle Zahl <math> 2\pi\cdot \left\lfloor \frac{y}{2\pi} \right\rfloor </math> von allen Termen der Ungleichungskette, so bleibt auch durch diese Operation die Ungleichungskette erhalten und es gilt: :<math> 0 \leq \underbrace{y - 2\pi \cdot \left\lfloor \frac{y}{2\pi} \right\rfloor}_{=\mathfrak{Im}(w)} < 2\pi </math> === Schritt 6 - Intervall und Imaginärteil === Das liefert nach Schritt 3 genau die gesuchte Ungleichung ist genau die gesuchte Eigenschaft aus der Behauptung, denn mit <math> 0 \leq \mathfrak{Im}(w) < 2\pi </math> gilt auch :<math> \mathfrak{Im}(w) = y - 2\pi \left\lfloor \frac{y}{2\pi} \right\rfloor \in [0, 2\pi) </math> bzw. durch Rückersetzung der Definition von <math>w</math> aus Schritt 1 folgt: :<math> \mathfrak{Im}\left(z - \left\lfloor \frac{\mathfrak{Im}(z)}{2\pi} \right\rfloor \cdot 2\pi i \right) \in [0, 2\pi) </math> == Interpretation und Anwendung == Die Verwendung der <math>logmod</math>-Funktion erlaubt es in der komplexen Analysis, insbesondere bei der Definition des [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#negativer_Hauptzweig|negativen Hauptzweigs]] des komplexen Logarithmus und der damit Verbundenen Periodizität der Exponentialfunktion Äquivalenzklassen :<math>[w]_0 =\{ \widehat{w}\in \mathbb{C} \, :\, \exist_{k\in \mathbb{Z}}\ : w-\widehat{w}=k\cdot 2\pi i \}</math> zu bilden, für dessen Elemente <math>e^w = e^{\widehat{w}}</math> gilt. === Beispiel - Anwendung logmod-Funktion === Sei <math> z = 5\pi i </math>, so gilt <math>\mathrm{logmod}(z)=2</math> und <math>z-\mathrm{logmod}(z)\cdot 2\pi = \pi i </math>. Die zugehörige Äquivalenzklasse <math>[z]_0</math> enthält die folgenden Elemente: :<math>[z]_0 = \{\ldots , -5\pi i, -3\pi i, -1\pi i , +1\pi i , +3\pi i, +5\pi i,+7\pi i, \ldots\}</math> Ferner gilt für alle <math>w\in [z]_0</math>, dass <math>e^w = e^{\pi i} = -1</math>. Im Hauptzweig als holomorphe Funktion ist der Logorithmus von <math>-1</math> nicht definiert. Allerdings ist der Logarithmus im der [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#allgebraischvollstaendig|algebraisch vervollständigten]] Funktionsdefinition definiert <math>\log(\pi i)=-1</math>. ==== Analogie zu Restklassen ==== Betrachtet man die Zahl <math>5</math>, so liegt diese in der Restklasse <math>[1]_2</math> modulo <math>2</math> mit: :<math> [1]_2 := \{z\in \mathbb{Z} \, : \, \exist_{k\in \mathbb{Z}}\ 2\cdot k + 1 = z\} </math> Modulo 2 gibt es nur zwei Restklassen <math>[1]_2</math> und <math>[0]_2</math>, da bei der Division durch 2 nur die Reste <math>r\in\{0,1\}</math> auftreten. In aufzählender Form kann man die Restklasse <math>[1]_2</math> wie folgt notieren: :<math>[1]_2 = \{\ldots , -5, -3, -1 , +1 , +3, +5,+7, \ldots\}</math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#algebraischvollstaendig|algebraisch vervollständigte Logarithmus]] * [[einfach zusammenhängend]] * [[w:de:Gaußklammer|Gaußklammer]] * [[holomorphe Funktion]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] * [[logmod-Äquivalenzklassen]] * [[Zweige des Logarithmus]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/logmod&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=logmod&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/logmod&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=logmod&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/logmod https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/logmod] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/logmod Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/logmod * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/logmod&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=logmod&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] bs7rt63tvexjo5eplc2c1i2oc4ui07j 106 172715 1116298 1115986 2026-10-15T18:46:14Z Nicole.pander 39567 /* Zielsetzung des zweidimensionalen Modells */ 1116298 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Joey Becker * Marie-Thérèse Heitele * Nicole Pander = Thema und Fragestellung = Gegenstand dieses Projekts ist die numerische Simulation der Blutströmung in einer verzweigten Halsschlagader ('''Carotis-Bifurkation''') unter dem Einfluss einer lokalen Gefäßverengung ('''Stenose'''). Im Vergleich zu einfachen Rohrströmungen wird hier die realitätsnahe Gefäßanatomie betrachtet: Die '''Arteria carotis communis (ACC)''' teilt sich in die '''Arteria carotis externa (ACE)''' und die '''Arteria carotis interna (ACI)''' auf. Während die '''ACE''' als gesunder, stenosefreier Ast dient, wird in der '''ACI''' eine geglättete, kosinusförmige Gefäßverengung modelliert. Um scharfe Kanten und unphysiologische Druckspitzen zu vermeiden, werden alle Wandübergänge und die Gabelungsspitze (Apex) anatomisch verrundet. Als Referenz dient ein gesundes, unverengtes Gefäß, in dem sich die Poiseuille-Strömung mit ihrem charakteristischen parabolischen Geschwindigkeitsprofil ausbildet. Diese Strömung ist aus zwei Gründen der natürliche Ausgangspunkt. Sie beschreibt den physiologischen Normalfall, mit dem jeder Stenosegrad verglichen wird, und sie ist exakt lösbar, sodass sich an ihr jede numerische Rechnung prüfen lässt, bevor die Verengung hinzukommt. == Fragestellung == Die Hauptfragestellung dieses Projektes lautet: Wie verändert eine symmetrische bzw. rotationssymmetrische Stenose in der '''Arteria carotis interna (ACI)''' die stationäre Strömung eines inkompressiblen Newton’schen Fluids in einer 2D-Carotis-Bifurkation hinsichtlich Geschwindigkeitsverteilung, Druckabfall, Wandschubspannung und Wirbelbildung im Vergleich zu den gesunden Gefäßabschnitten? Aus dieser Fragestellung ergeben sich drei Teilfragen, an denen sich der Aufbau der Seite orientiert: # Welche Strömungsgrößen reagieren empfindlich auf den Stenosegrad und welche nur träge? # Ab welchem Stenosegrad ändert sich das Strömungsmuster qualitativ, das heißt, ab wann löst die Strömung hinter der Engstelle von der Wand ab und bildet ein Rückströmgebiet? # Wie weit tragen die vereinfachenden Modellannahmen, insbesondere die Annahme einer stationären und laminaren Strömung, über den untersuchten Bereich der Stenosegrade? == Modellannahmen == Im Hinblick darauf werden für dieses Projekt einige Annahmen getroffen, um das Projekt möglichst isoliert zu untersuchen und zu simplifizieren: * '''Idealisierte Gefäßgeometrie''': Betrachtet wird ein Teilabbschnitt der ''Arteria carotis communis'', die sog. ''ACI''. Zudem werden Gefäßverkrümmungen, weitere Verzweigungen und patientenspezifische Strukturen nicht berücksichtigt. * '''Starre Gefäßwand''': Die Gefäßwand wird als unbeweglich und nicht verformbar angenommen. Eine Wechselwirkung zwischen elastischer Gefäßwand und Blutströmung wird nicht modelliert. * '''Stationäre Strömung''': Die Strömungsgrößen werden als zeitlich konstant angenommen. Die im realen Blutkreislauf vorhandene Pulsation durch den Herzschlag wird daher vernachlässigt: <math>\frac{\partial u}{\partial t}=0</math>. * '''Inkompressibles Fluid''': Die Dichte des Fluids wird als konstant angenommen. Damit gilt für die Geschwindigkeit <math>\nabla \cdot u=0</math>. Dies entspricht der in der Vorlesung behandelten Massenerhaltung für inkompressible Fluide: Was in das Gefäß einströmt, muss auch wieder ausströmen. * '''Newton'sche Näherung für Blut''': Reales Blut beseitzt ein nicht newton'sches Fließverhalten. Hier wird Blut als Newton'sches Fluid behandelt. * '''Konstante Stoffeigenschaften''': Dichte <math>\rho</math> und dynamische Viskosität μ werden als räumlich und zeitlich konstant angenommen. Temperaturabhängigkeiten werden nicht berücksichtigt. * '''Laminare Strömung''': Die Strömung wird mit dem COMSOL-Modul ''Laminar Flow'' beschrieben. Ein zusätzliches Turbulenzmodell wird nicht verwendet. * '''No-Slip-Bedingung an Gefäßwand''': Aufgrund der Viskosität wird angenommen, dass das Fluid direkt an der Gefäßwand haftet. Somit gilt <math>u=0</math>. * '''Vernachlässigung der Gravitation''': Gravitation wird nicht berücksichtigt. Die Strömung wird ausschließlich durch die gewählten Ein- und Auslassbedingungen bestimmt. = Relevanz = Die Untersuchung von Gefäßverengungen besitzt sowohl eine medizinische als auch eine methodische Bedeutung. Aus medizinischer Sicht sind arterielle Stenosen – etwa in der Halsschlagader, lat. ''arteria carotis communis'', – kritisch, da sie die Durchblutung beeinträchtigen und durch veränderte Wandschubspannungen sowie die Bildung von Wirbeln weitere Gefäßablagerungen begünstigen. Stenosen im Bereich der Karotisgabelung sind klinisch hochrelevant, da sie das Gehirn direkt versorgen und das Risiko für embolische Schlaganfälle erhöhen. Fachlich überträgt das Projekt damit die Prinzipien der Strömungsmechanik direkt auf eine biomedizinische Anwendung. Das Projekt verknüpft somit theoretische Grundlagen der Strömungsmechanik (Hagen-Poiseuille-Gleichung, Navier-Stokes-Gleichungen) mit der numerischen Simulation in COMSOL Multiphysics. Durch den Vergleich der '''gesunden Externa (ACE)''' mit der '''stenoisierten Interna (ACI)''' innerhalb desselben Rechengebiets wird die isolierte Wirkung der Stenose unter identischen Randbedingungen direkt sichtbar gemacht. == Medizinische Relevanz == Arterielle Stenosen entstehen überwiegend durch Atherosklerose, also durch Ablagerungen aus Lipiden, Bindegewebe und Kalk in der Gefäßwand. In der Halsschlagader sind sie klinisch besonders bedeutsam, weil sie die Durchblutung des Gehirns beeinträchtigen und weil sich an ihnen Thromben bilden können, die als Embolie einen Schlaganfall auslösen. Dass die operative Entfernung einer hochgradigen Karotisstenose das Schlaganfallrisiko symptomatischer Patienten deutlich senkt, hat die NASCET-Studie gezeigt, deren Einteilung der Stenosegrade dieses Projekt übernimmt.<ref name="nascet">North American Symptomatic Carotid Endarterectomy Trial Collaborators: ''Beneficial effect of carotid endarterectomy in symptomatic patients with high-grade carotid stenosis.'' New England Journal of Medicine 325 (1991), Nr. 7, S. 445-453.</ref> Strömungsmechanisch ist an einer Stenose vor allem die Wandschubspannung von Interesse, also die tangentiale Kraft je Fläche, die das strömende Blut auf die innerste Zellschicht der Gefäßwand ausübt. Gesunde Halsschlagadern weisen zeitlich gemittelte Werte von etwa 1,1 bis 1,5 Pa auf.<ref name="samijo">Samijo, S. K.; Willigers, J. M.; Barkhuysen, R.; Kitslaar, P. J. E. H. M.; Reneman, R. S.; Brands, P. J.; Hoeks, A. P. G.: ''Wall shear stress in the human common carotid artery as function of age and gender.'' Cardiovascular Research 39 (1998), Nr. 2, S. 515-522.</ref> In einer Engstelle steigt sie stark an, unmittelbar dahinter fällt sie im Ablösegebiet auf nahezu null und wechselt dort sogar das Vorzeichen. Niedrige und im Vorzeichen wechselnde Wandschubspannungen gelten als Bedingungen, unter denen sich weitere Ablagerungen bevorzugt bilden. Eine bestehende Stenose schafft also stromabwärts die Voraussetzungen für ihr eigenes Wachstum. Genau diese Verteilung lässt sich im Körper nur schwer messen, in einer Simulation dagegen unmittelbar auswerten. == Methodische Relevanz == Fachlich überträgt das Projekt die Prinzipien der Strömungsmechanik aus der Vorlesung auf eine biomedizinische Anwendung.<ref name="hundertmark">Hundertmark, A.: ''Fluiddynamik.'' Vorlesungsunterlagen zum Modul Räumliche Modellbildung, RPTU Kaiserslautern-Landau, Sommersemester 2026.</ref> Der methodische Mehrwert liegt in der Verknüpfung mehrerer Zugänge, die sich gegenseitig kontrollieren. Die analytische Poiseuille-Lösung liefert exakte Sollwerte für das gesunde Gefäß. Ein reduziertes Graphenmodell liefert für jeden Stenosegrad eine schnelle Abschätzung, die analytisch nachrechenbar ist. Die Simulationen in COMSOL Multiphysics lösen schließlich die vollständigen Navier-Stokes-Gleichungen in zwei und drei Raumdimensionen. Weil jede Stufe die Sollwerte der nächsten liefert, zeigt das Projekt nicht nur Ergebnisse, sondern auch, wie numerische Modelle aufgebaut, verifiziert und an ihren Grenzen bewertet werden. == Auswahl der Stenosegrade == Um die untersuchten Gefäßverengungen nicht willkürlich festzulegen, orientiert sich die Auswahl der Stenosegrade an der klinisch gebräuchlichen NASCET-Klassifikation von Karotisstenosen.<ref name="nascet" /> Zur klinischen Einordnung werden Karotisstenosen anhand der nach NASCET bestimmten Durchmesserreduktion in leichtgradige, mittelgradige und hochgradige Stenosen eingeteilt. Die angegebenen Prozentgrenzen dienen in diesem Projekt als Orientierung für die Auswahl der untersuchten Stenosegrade. Ein vollständiger Gefäßverschluss wird als Okklusion bezeichnet. {| class="wikitable" |+ Klinische Einteilung nach NASCET-gemessener Durchmesserreduktion und untersuchte Stenosegrade ! Schweregrad !! Durchmesserreduktion !! im Projekt gerechnete Stenosegrade !! hervorgehobener Vertreter |- | gesundes Gefäß || 0 % || 0 || 0 |- | leichtgradige Stenose || unter 50 % || 0,1 bis 0,4 || 0,3 |- | mittelgradige Stenose || 50 bis 69 % || 0,5 und 0,6 || 0,6 |- | hochgradige Stenose || 70 bis 99 % || 0,7 und 0,8 || 0,8 |- | Okklusion || 100 % || nicht gerechnet || entfällt |} '''Anmerkung''': Die Klassengrenzen dienen der Einordnung der Modellvarianten. Die in der Tabelle genannten Stenosegrade sind dimensionslose Werte, beispielsweise entspricht '''<math>s=0{,}6</math>''' einer Durchmesserreduktion von '''60 %'''. Für die numerische Untersuchung wird aus jeder Kategorie ein repräsentativer Stenosegrad hervorgehoben. Neben dem gesunden Gefäß mit '''0 %''' Stenose sind das eine '''30 %''' Stenose als Beispiel für eine leichtgradige, eine '''60 %''' Stenose als Beispiel für eine mittelgradige und eine '''80 %''' Stenose als Beispiel für eine hochgradige Verengung. Zusätzlich werden für das Graphenmodell und das achsensymmetrische Flächenmodell Stenosegrade von 0 bis 80 % in Schritten von zehn Prozentpunkten vorgesehen. Dadurch kann die Abhängigkeit der Strömungsgrößen vom Stenosegrad systematisch untersucht und grafisch dargestellt werden. Ob alle Modellvarianten tatsächlich berechnet wurden und wie hoch der Rechenaufwand war, wird anhand der durchgeführten Simulationen dokumentiert. Ein vollständiger Gefäßverschluss wird nicht simuliert, da in diesem Fall keine durchgängige Strömung mehr vorliegt. Der Stenosegrad wird in diesem Projekt wie bei NASCET über die Verringerung des Gefäßdurchmessers beschrieben, <math>s = 1 - \frac{d_{\min}}{d_{\mathrm{ref}}},</math>wobei <math>d_{\min}</math> der kleinste Durchmesser in der Engstelle und <math>d_{\mathrm{ref}}</math> ein Referenzdurchmesser ist. NASCET verwendet als Referenz den Durchmesser des gesunden Gefäßes stromabwärts der Stenose. Für das idealisierte gerade Gefäßmodell wird ein konstanter Referenzdurchmesser von <math>D_0=6\,\mathrm{mm}</math> angenommen. Da das Gefäß außerhalb der Stenose denselben Durchmesser besitzt, gilt in diesem Modell<math>d_{\mathrm{ref}}=D_0</math>. Bei der zusätzlich betrachteten Gefäßaufzweigung muss der Referenzdurchmesser dagegen gesondert festgelegt werden, da die Gefäßäste unterschiedliche Durchmesser besitzen. Wichtig für das Verständnis aller weiteren Ergebnisse ist der Unterschied zwischen Durchmesser- und Flächenreduktion. Da die Querschnittsfläche quadratisch vom Durchmesser abhängt, gilt für die Flächenreduktion <math>1-(1-s)^2</math>. Eine im klinischen Sinn nur mittelgradige Stenose von 60 % verschließt damit bereits 84 % der Querschnittsfläche. {| class="wikitable" |+ Durchmesser- und Flächenreduktion der gerechneten Stenosegrade ! Stenosegrad s !! 0 !! 0,1 !! 0,2 !! 0,3 !! 0,4 !! 0,5 !! 0,6 !! 0,7 !! 0,8 |- | engster Durchmesser in mm || 6,0 || 5,4 || 4,8 || 4,2 || 3,6 || 3,0 || 2,4 || 1,8 || 1,2 |- | Flächenreduktion || 0 % || 19 % || 36 % || 51 % || 64 % || 75 % || 84 % || 91 % || 96 % |} Eine Einschränkungen gehört zur ehrlichen Einordnung: # Mit zunehmendem Stenosegrad, insbesondere bei ausgeprägten Verengungen, können lokale Beschleunigungen, Strömungsablösungen und zeitabhängige Strömungsstrukturen auftreten. Daher muss bei den hochgradigen Stenosen geprüft werden, inwieweit die Annahme einer stationären, laminaren Strömung geeignet ist. Eine feste Grenze bei <math>s=0{,}6</math> lässt sich ohne entsprechende Simulationsergebnisse oder Literaturbelege nicht allgemein festlegen. Die hochgradigen Fälle werden deshalb unter besonderer Berücksichtigung der Modellannahmen diskutiert. Unter Modellierung wird in diesem Projekt die Übertragung der Blutströmung in einer verengten Arterie auf ein mathematisches und numerisch lösbares Strömungsproblem verstanden. Dazu werden die Gefäßgeometrie, die zugrunde liegenden Gleichungen, die physikalischen Materialparameter sowie die Anfangs- und Randbedingungen festgelegt. Jeder dieser Bestandteile beruht auf vereinfachenden Annahmen, die begründet und bei der Interpretation der Ergebnisse berücksichtigt werden müssen. Ziel ist es, den Einfluss unterschiedlicher Stenosegrade auf die Strömungsgeschwindigkeit, den Druckverlust und gegebenenfalls die Wandschubspannung systematisch zu untersuchen. Die Modellierung erfolgt anhand mehrerer Modellvarianten mit unterschiedlicher räumlicher Auflösung. Dadurch können zunächst grundlegende Zusammenhänge analytisch abgeschätzt und anschließend mit numerischen Strömungsberechnungen verglichen werden. Die verwendeten Parameter orientieren sich an den bereitgestellten Referenzdaten und werden in den folgenden Abschnitten erläutert. == Modellierung == Ziel der Modellierung ist es, die Blutströmung innerhalb einer Y-förmigen Aufzweigung der Halsschlagader mathematisch und numerisch zu untersuchen. Im Mittelpunkt steht eine Gefäßverengung (Stenose) in der Arteria carotis interna. Das betrachtete Gefäßmodell besteht aus der Arteria carotis communis, die sich in die Arteria carotis interna und die Arteria carotis externa aufteilt. Die Stenose befindet sich ausschließlich in der Arteria carotis interna. Durch die Verengung verändert sich der verfügbare Strömungsquerschnitt. Dies kann zu einer Erhöhung der lokalen Strömungsgeschwindigkeit, zu zusätzlichen Druckverlusten und zu einer Veränderung der Strömungsverteilung zwischen den beiden Gefäßästen führen. Ziel ist es, den Einfluss unterschiedlicher Stenosegrade auf die Strömungsgeschwindigkeit, die Druckverteilung und die Wandschubspannung zu untersuchen. Zusätzlich soll betrachtet werden, wie sich die Strömung innerhalb der Y-förmigen Gefäßaufzweigung verhält. Die numerische Modellierung erfolgt mit COMSOL Multiphysics. Dazu werden die Gefäßgeometrie, die Materialeigenschaften des Blutes, die Strömungsgleichungen und die Randbedingungen festgelegt. Zur Vereinfachung wird Blut zunächst als inkompressibles, Newtonsches Fluid betrachtet. Die Gefäßwände werden als starr angenommen. Diese Annahmen ermöglichen eine systematische Untersuchung der Stenose, schränken jedoch die Übertragbarkeit auf reale physiologische Bedingungen ein. === Modellhierarchie === Für die Untersuchung der Blutströmung innerhalb der Y-förmigen Karotisaufzweigung werden drei Modellvarianten betrachtet. Diese unterscheiden sich hinsichtlich ihrer räumlichen Dimension, ihrer mathematischen Beschreibung und der Genauigkeit, mit der die Strömungsverhältnisse dargestellt werden können. Das untersuchte Gefäß besteht aus der Arteria carotis communis, die sich in die Arteria carotis interna und die Arteria carotis externa aufteilt. Die Stenose befindet sich ausschließlich in der Arteria carotis interna. Alle drei Modellvarianten werden mit COMSOL Multiphysics umgesetzt. {| class="wikitable" style="width:100%;" |+ '''Die drei Modellvarianten des Projekts''' |- ! Modell ! Raumdimension ! Mathematische Grundlage ! Zweck ! Werkzeug |- | '''Graphenmodell''' | 1D, Gefäßnetzwerk mit einer Verzweigung | Massenerhaltung an der Verzweigung und vereinfachte Beschreibung der Strömungswiderstände | Abschätzung der Volumenstromverteilung und der Druckverluste in den Gefäßästen | COMSOL Multiphysics |- | '''Ebenes Flächenmodell''' | 2D, Y-förmige Gefäßgeometrie in kartesischen Koordinaten | Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen | Untersuchung der Geschwindigkeits- und Druckverteilung sowie der Auswirkungen der Stenose in der Arteria carotis interna | COMSOL Multiphysics, Laminare Strömung |- | '''Volumenmodell''' | 3D, räumliche Y-förmige Gefäßgeometrie | Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen | Räumliche Untersuchung des Geschwindigkeitsfeldes, des Druckverlustes und der Wandschubspannung | COMSOL Multiphysics, Laminare Strömung |} ==== Vergleich und Überprüfung der Modellvarianten ==== Die drei Modellvarianten bauen hinsichtlich ihrer räumlichen Beschreibung aufeinander auf. Das Graphenmodell ermöglicht zunächst eine vereinfachte Betrachtung der Volumenströme und Druckverluste. Die zwei- und dreidimensionalen Modelle erlauben anschließend eine detailliertere Untersuchung der Strömung innerhalb der Gefäßaufzweigung. Das '''Graphenmodell''' beschreibt die Arteria carotis communis sowie die beiden abzweigenden Gefäße als miteinander verbundenes Netzwerk. Dabei wird die Massenerhaltung an der Verzweigung berücksichtigt: :<math>Q_{\mathrm{CCA}}=Q_{\mathrm{ICA}}+Q_{\mathrm{ECA}}</math> Das Modell liefert vereinfachte Abschätzungen der Volumenstromverteilung. Lokale Strömungsablösungen und räumliche Geschwindigkeitsverteilungen können damit nicht detailliert dargestellt werden. Das '''ebene Flächenmodell''' bildet die Y-förmige Gefäßaufzweigung in zwei Raumdimensionen ab. Die Stenose wird innerhalb der Arteria carotis interna berücksichtigt. Dadurch können die Geschwindigkeits- und Druckverteilung sowie mögliche Rückströmungsbereiche untersucht werden. Das '''Volumenmodell''' erweitert die Untersuchung auf drei Raumdimensionen. Es ermöglicht eine räumliche Darstellung der Strömung und eine detailliertere Berechnung der Wandschubspannung. Die Ergebnisse des ebenen Flächenmodells und des Volumenmodells werden miteinander verglichen. Da das ebene Modell die räumliche Querschnittsgeometrie nur vereinfacht darstellt, müssen Unterschiede zwischen den beiden Modellen bei der Interpretation berücksichtigt werden. Ziel der Modellhierarchie ist es, die Aussagekraft der einzelnen Modellvarianten zu bewerten und den Einfluss des Stenosegrades auf die Strömung innerhalb der Y-förmigen Karotisaufzweigung zu untersuchen. === Simulationsgebiet und Geometrie === Das Simulationsgebiet besteht aus einer idealisierten Y-förmigen Aufzweigung der Arteria carotis. Die Arteria carotis communis teilt sich in die Arteria carotis interna und die Arteria carotis externa. Die Stenose befindet sich in der Arteria carotis interna. Die Arteria carotis externa wird ohne zusätzliche Verengung modelliert. Die Geometrie orientiert sich an den bereitgestellten Referenzdaten. Die Gefäßdurchmesser werden innerhalb der jeweiligen unverengten Abschnitte als konstant angenommen. {| class="wikitable" style="width:100%;" |+ '''Geometrische Referenzparameter der Y-förmigen Gefäßaufzweigung''' |- ! Gefäßabschnitt ! Durchmesser ! Länge |- | Arteria carotis communis | 6 mm | 60 mm |- | Arteria carotis interna | 5 mm | 60 mm |- | Arteria carotis externa | 4 mm | 60 mm |- | Stenose in der Arteria carotis interna | Abhängig vom Stenosegrad | 10 mm |} Die Verengung wird über den Stenosegrad <math>s</math> beschrieben. Dieser gibt die relative Verringerung des Gefäßdurchmessers an: :<math>s=1-\frac{d_{\min}}{D_{\mathrm{ICA}}}</math> Dabei bezeichnet <math>d_{\min}</math> den minimalen Durchmesser innerhalb der Stenose und <math>D_{\mathrm{ICA}}</math> den unverengten Referenzdurchmesser der Arteria carotis interna. Für das Modell gilt: :<math>D_{\mathrm{ICA}}=5\,\mathrm{mm}</math> Der minimale Durchmesser ergibt sich damit zu: :<math>d_{\min}=D_{\mathrm{ICA}}(1-s)</math> {| class="wikitable" |+ '''Minimaler Durchmesser der Stenose in der Arteria carotis interna''' |- ! Stenosegrad ! Minimaler Durchmesser |- | 0 % | 5,0 mm |- | 10 % | 4,5 mm |- | 20 % | 4,0 mm |- | 30 % | 3,5 mm |- | 40 % | 3,0 mm |- | 50 % | 2,5 mm |- | 60 % | 2,0 mm |- | 70 % | 1,5 mm |- | 80 % | 1,0 mm |} Die angegebenen Stenosegrade beziehen sich ausschließlich auf den Durchmesser der Arteria carotis interna. Der Durchmesser der Arteria carotis communis wird nicht zur Berechnung des Stenosegrades verwendet. Die Y-förmige Geometrie ermöglicht es, die Auswirkungen der Verengung sowohl auf die lokale Strömung in der Arteria carotis interna als auch auf die Strömungsverteilung innerhalb der gesamten Gefäßaufzweigung zu untersuchen. Die genaue Form der Stenose, der Verzweigungswinkel und die Übergänge zwischen den Gefäßabschnitten müssen entsprechend der tatsächlich in COMSOL verwendeten Geometrie dokumentiert werden. == Stoff- und Strömungsparameter == Die Stoffwerte des Blutes und der Volumenstrom sind die einzigen Eingangsgrößen, die nicht aus der Geometrie folgen. Aus ihnen werden alle weiteren Strömungskennwerte berechnet. Die folgenden Schritte zeigen jede Rechnung einzeln, damit sich jeder Wert nachprüfen lässt. # Die '''Dichte''' wird mit <math>\rho = 1060\ \mathrm{kg/m^3}</math> angesetzt. Der Wert lässt sich als Mischungsregel plausibel machen. Plasma hat eine Dichte von etwa 1025 kg/m³, rote Blutkörperchen von etwa 1100 kg/m³. Bei einem Zellanteil von 45 % ergibt sich <math>0{,}55 \cdot 1025 + 0{,}45 \cdot 1100 \approx 1059\ \mathrm{kg/m^3}</math>. Die Dichte geht nur über die Reynoldszahl in die Rechnung ein, eine Abweichung von einem Prozent ändert die Ergebnisse daher kaum. <!-- FIXME Lehrbuchquelle fuer Plasma- und Erythrozytendichte ergaenzen --> # Die '''dynamische Viskosität''' wird mit <math>\mu = 3{,}5\ \mathrm{mPa\,s}</math> angesetzt. Das ist der Grenzwert der Blutviskosität bei hohen Scherraten, also genau der Wert, der zur Newtonschen Näherung gehört. Derselbe Wert von 0,035 Poise wird auch im Standardwerk zur Modellierung des Herz-Kreislauf-Systems verwendet.<ref name="quarteroni">Quarteroni, A.; Formaggia, L.: ''Mathematical Modelling and Numerical Simulation of the Cardiovascular System.'' In: Ayache, N. (Hrsg.): ''Computational Models for the Human Body.'' Handbook of Numerical Analysis, Bd. XII, Elsevier, Amsterdam 2004, S. 3-127. DOI 10.1016/S1570-8659(03)12001-7. Zur Newtonschen Näherung in großen Gefäßen siehe S. 30, zur Viskosität von 0,035 Poise die Parametertabelle auf S. 116.</ref> # Der '''mittlere Volumenstrom''' wird mit <math>Q_0 = 6\ \mathrm{ml/s}</math> angesetzt. Das ist der zeitlich gemittelte Volumenstrom, der in der gemeinsamen Halsschlagader gesunder Probanden gemessen wurde.<ref name="holdsworth" /> # Die '''mittlere Geschwindigkeit''' folgt aus Volumenstrom und Querschnittsfläche, <math>U_0 = \frac{Q_0}{\pi R_0^2} = \frac{6 \cdot 10^{-6}\ \mathrm{m^3/s}}{\pi \cdot (0{,}003\ \mathrm{m})^2} = 0{,}2122\ \mathrm{m/s}</math>. # Die '''Reynoldszahl''' des gesunden Gefäßes ist <math>Re_0 = \frac{\rho\, U_0\, D_0}{\mu} = \frac{1060 \cdot 0{,}2122 \cdot 0{,}006}{0{,}0035} = 385{,}6</math>. Sie wird im Folgenden auf 386 gerundet. # Die '''Einlauflänge''', die eine anfangs gleichförmige Strömung bis zum voll entwickelten Parabelprofil bräuchte, beträgt nach der gebräuchlichen Abschätzung für laminare Rohrströmungen <math>L_e \approx 0{,}06\, Re_0\, D_0 \approx 0{,}06 \cdot 386 \cdot 6\ \mathrm{mm} \approx 139\ \mathrm{mm}</math>.<ref name="durst">Durst, F.; Ray, S.; Ünsal, B.; Bayoumi, O. A.: ''The development lengths of laminar pipe and channel flows.'' Journal of Fluids Engineering 127 (2005), Nr. 6, S. 1154-1160. Für große Reynoldszahlen nähert sich die dort angegebene Korrelation dem Wert 0,057·Re·D.</ref> Das ist fast die gesamte Länge des Rechengebiets. Ein konstantes Einlassprofil würde die Strömung an der Stenose also verfälschen, weshalb am Einlass das voll entwickelte Profil vorgegeben wird. Damit liegen alle globalen Parameter fest. Die folgende Tabelle enthält sie mit genau den Namen, unter denen sie in COMSOL und in den Octave-Skripten verwendet werden. {| class="wikitable" |+ Globale Parameter des Modells ! Name !! Ausdruck in COMSOL !! Wert !! Bedeutung !! Herkunft |- | R0 || 3[mm] || 3 mm || Gefäßradius || Messwerte nach Krejza u. a. 2006, gerundet |- | D0 || 2*R0 || 6 mm || Gefäßdurchmesser || abgeleitet |- | Ls || 2*D0 || 12 mm || Länge der Störstelle || Standardgeometrie nach Varghese u. a. 2007 |- | Lu || 5*D0 || 30 mm || Vorlaufstrecke vor der Stenosemitte || Abstand der Einlassbedingung von der Stenose |- | Ld || 20*D0 || 120 mm || Nachlaufstrecke hinter der Stenosemitte || Platz für das Rückströmgebiet |- | Lf || Ls/2+10*D0 || 66 mm || Ende des fein vernetzten Nachlaufs || erwartete Länge des Rückströmgebiets |- | s || 0 bis 0.8 || 0 bis 0,8 || Stenosegrad bezogen auf den Durchmesser || NASCET-Einteilung |- | rho_b || 1060[kg/m^3] || 1060 kg/m³ || Dichte des Blutes || Mischungsregel, Literaturwert |- | mu_b || 3.5[mPa*s] || 3,5 mPa·s || dynamische Viskosität des Blutes || Hochscherwert, Quarteroni und Formaggia 2004 |- | Q0 || 6[ml/s] || 6 ml/s || mittlerer Volumenstrom || Messwerte nach Holdsworth u. a. 1999 |- | U0 || Q0/(pi*R0^2) || 0,2122 m/s || mittlere Einströmgeschwindigkeit || abgeleitet |- | Re0 || rho_b*U0*D0/mu_b || 385,6 || Reynoldszahl des gesunden Gefäßes || abgeleitet |- | dp_ref || 8*mu_b*U0*(Lu+Ld)/R0^2 || 99,03 Pa || Poiseuille-Druckabfall des gesunden Gefäßes || abgeleitet, Hagen-Poiseuille |} = Implementierung des 2D-Modells in COMSOL Multiphysics = == Zielsetzung des zweidimensionalen Modells == Im Rahmen des Projekts wurde mit COMSOL Multiphysics ein zweidimensionales Modell der menschlichen Halsschlagader erstellt. Ziel ist es, die Blutströmung innerhalb einer Gefäßverzweigung zu untersuchen und insbesondere die Auswirkungen einer lokalen Gefäßverengung (Stenose) auf das Strömungsverhalten zu analysieren. Das Modell bildet die Aufzweigung der Arteria carotis communis (ACC) in die Arteria carotis interna (ACI) und die Arteria carotis externa (ACE) ab. Während die ACE als gesunder Gefäßabschnitt betrachtet wird, befindet sich in der ACI eine lokale Verengung. Dadurch können die Strömungsverhältnisse in beiden Ästen miteinander verglichen werden. Die zweidimensionale Modellierung dient dazu, die Geschwindigkeitsverteilung, den Druckabfall und die Wandschubspannung zu untersuchen. Zusätzlich soll festgestellt werden, ob sich hinter der Stenose Bereiche mit Strömungsablösungen oder Rückströmungen ausbilden. == Ergebnisse der 2D-Strömungssimulation == === Geschwindigkeitsverteilung und Stromlinien === Zur Untersuchung der Blutströmung innerhalb der ''Carotis-Bifurkation'' wurde in COMSOL eine zweidimensionale Geschwindigkeitsdarstellung erstellt. Hierfür wird der Geschwindigkeitsbetrag ''spf.U'' verwendet. Zusätzlich wurden Stromlinien eingerichtet, um den Verlauf der Strömung innerhalb der Gefäßverzweigung zu veranschaulichen. Die Darstellung des Geschwindigkeitsbetrags erfolgt mithilfe einer Farbskala. Dadurch lassen sich Bereiche unterschiedlicher Strömungsgeschwindigkeiten voneinander unterscheiden. Die Stromlinien verdeutlichen zusätzlich, wie das Blut vom gemeinsamen Zuflussgefäß in die beiden Gefäßäste umgelenkt wird. Von besonderem Interesse ist der Bereich der Stenose. Durch die Verringerung des verfügbaren Strömungsquerschnitts ist dort bei entsprechendem Durchfluss eine Beschleunigung des Blutes zu erwarten. Hinter der Engstelle erweitert sich der Querschnitt wieder, wodurch sich das Strömungsprofil erneut verändern kann. Mithilfe der Stromlinien lässt sich außerdem untersuchen, ob die Strömung nach der Verengung weiterhin gleichmäßig verläuft oder ob sich lokale Ablösungen und Rückströmungsgebiete ausbilden. FEHLEND: BILD UND BESCHREIBUNG DAZU === Druckverteilung === Neben der Geschwindigkeitsverteilung wurde in COMSOL eine Darstellung der Druckverteilung angelegt. Diese erfolgt über Isolinien des Drucks p. Isolinien verbinden Punkte, an denen derselbe Druck herrscht. Die Druckverteilung ist insbesondere im Bereich der Gefäßverzweigung und der Stenose von Bedeutung. Beim Durchströmen der Verengung verändert sich die Geschwindigkeit des Blutes, wodurch auch der lokale statische Druck beeinflusst wird. Zusätzlich entstehen aufgrund der Viskosität des Blutes und der geometrischen Veränderungen Druckverluste. Diese sind für die Beurteilung des Strömungswiderstands relevant. Mit der Druckdarstellung kann untersucht werden, wie sich der Druck entlang des Gefäßes verändert und welche Unterschiede zwischen dem gemeinsamen Zufluss und den beiden Auslaufästen auftreten. = Grenzen des Modells = * Die untersuchte Gefäßgeometrie ist eine idealisierte Darstellung der Karotisaufzweigung. Individuelle anatomische Unterschiede werden nicht berücksichtigt. * Darüber hinaus werden die Gefäßwände als starr angenommen und Blut wird durch ein inkompressibles Newtonsches Fluid mit konstanter Viskosität beschrieben. * Die Strömung wird stationär berechnet. Die natürliche Pulsation des Blutflusses und zeitabhängige Effekte bleiben damit unberücksichtigt. * Insbesondere bei hochgradigen Stenosen können zeitabhängige Strömungsablösungen auftreten, die durch eine stationäre Modellierung nicht vollständig beschrieben werden. * Das Graphenmodell kann lokale Strömungsphänomene nicht detailliert erfassen. Das ebene Flächenmodell vereinfacht die räumliche Gefäßgeometrie. Auch das dreidimensionale Modell bleibt aufgrund der idealisierten Geometrie und der vereinfachten Materialannahmen eine Annäherung an die reale Blutströmung. * Die Ergebnisse sind daher als strömungsmechanische Untersuchung eines idealisierten Modells zu interpretieren und nicht als patientenspezifische medizinische Vorhersage. AB HIER ALT== Modellhierarchie == Für die Untersuchung werden vier Modellvarianten betrachtet, die sich hinsichtlich ihrer mathematischen Beschreibung, ihrer räumlichen Dimension und ihres Rechenaufwands unterscheiden. Die Modelle sind bewusst von einer vereinfachten analytischen Beschreibung bis zu einer dreidimensionalen numerischen Simulation angeordnet. Diese Vorgehensweise ermöglicht es, die Ergebnisse der komplexeren Modelle anhand grundlegender physikalischer Zusammenhänge und geeigneter Referenzfälle zu überprüfen. Dabei ist zu beachten, dass nicht jede Modellvariante dieselben Strömungseigenschaften vollständig abbilden kann. {| class="wikitable" style="width:100%;" |+ '''Die vier Modellvarianten des Projekts''' |- ! Modell ! Raumdimension ! Mathematische Grundlage ! Zweck ! Werkzeug |- | '''Graphenmodell''' | 1D, Beschreibung entlang der Gefäßachse | Hagen-Poiseuille-Gesetz für vereinfachte Rohrabschnitte und Massenerhaltung an Verzweigungsknoten | Analytische Abschätzung von Volumenströmen und Druckverlusten; Referenz für die numerischen Modelle | COMSOL mit geeigneter eindimensionaler Formulierung |- | '''Achsensymmetrisches Flächenmodell''' | 2D, rotationssymmetrischer Längsschnitt in den Koordinaten <math>r</math> und <math>z</math> | Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen in achsensymmetrischer Form | Detaillierte Untersuchung von Geschwindigkeits- und Druckfeldern sowie der Wandschubspannung in einem idealisierten rotationssymmetrischen Gefäß | COMSOL Multiphysics, Laminar Flow |- | '''Ebenes Flächenmodell''' | 2D, ebene Geometrie in den Koordinaten <math>x</math> und <math>y</math> | Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen in kartesischen Koordinaten | Untersuchung der Strömung in einer vereinfachten ebenen Geometrie und Vergleich mit dem achsensymmetrischen Modell | COMSOL Multiphysics, Laminar Flow |- | '''Volumenmodell''' | 3D, räumliche Gefäßgeometrie | Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen in drei Raumdimensionen | Räumliche Darstellung der Strömung und Überprüfung der Ergebnisse des achsensymmetrischen Modells bei vergleichbarer Geometrie | COMSOL Multiphysics, Laminar Flow |} == Stoff- und Strömungsparameter == Die Stoffwerte des Blutes und der Volumenstrom sind die einzigen Eingangsgrößen, die nicht aus der Geometrie folgen. Aus ihnen werden alle weiteren Strömungskennwerte berechnet. Die folgenden Schritte zeigen jede Rechnung einzeln, damit sich jeder Wert nachprüfen lässt. # Die '''Dichte''' wird mit <math>\rho = 1060\ \mathrm{kg/m^3}</math> angesetzt. Der Wert lässt sich als Mischungsregel plausibel machen. Plasma hat eine Dichte von etwa 1025 kg/m³, rote Blutkörperchen von etwa 1100 kg/m³. Bei einem Zellanteil von 45 % ergibt sich <math>0{,}55 \cdot 1025 + 0{,}45 \cdot 1100 \approx 1059\ \mathrm{kg/m^3}</math>. Die Dichte geht nur über die Reynoldszahl in die Rechnung ein, eine Abweichung von einem Prozent ändert die Ergebnisse daher kaum. <!-- FIXME Lehrbuchquelle fuer Plasma- und Erythrozytendichte ergaenzen --> # Die '''dynamische Viskosität''' wird mit <math>\mu = 3{,}5\ \mathrm{mPa\,s}</math> angesetzt. Das ist der Grenzwert der Blutviskosität bei hohen Scherraten, also genau der Wert, der zur Newtonschen Näherung gehört. Derselbe Wert von 0,035 Poise wird auch im Standardwerk zur Modellierung des Herz-Kreislauf-Systems verwendet.<ref name="quarteroni">Quarteroni, A.; Formaggia, L.: ''Mathematical Modelling and Numerical Simulation of the Cardiovascular System.'' In: Ayache, N. (Hrsg.): ''Computational Models for the Human Body.'' Handbook of Numerical Analysis, Bd. XII, Elsevier, Amsterdam 2004, S. 3-127. DOI 10.1016/S1570-8659(03)12001-7. Zur Newtonschen Näherung in großen Gefäßen siehe S. 30, zur Viskosität von 0,035 Poise die Parametertabelle auf S. 116.</ref> # Der '''mittlere Volumenstrom''' wird mit <math>Q_0 = 6\ \mathrm{ml/s}</math> angesetzt. Das ist der zeitlich gemittelte Volumenstrom, der in der gemeinsamen Halsschlagader gesunder Probanden gemessen wurde.<ref name="holdsworth" /> # Die '''mittlere Geschwindigkeit''' folgt aus Volumenstrom und Querschnittsfläche, <math>U_0 = \frac{Q_0}{\pi R_0^2} = \frac{6 \cdot 10^{-6}\ \mathrm{m^3/s}}{\pi \cdot (0{,}003\ \mathrm{m})^2} = 0{,}2122\ \mathrm{m/s}</math>. # Die '''Reynoldszahl''' des gesunden Gefäßes ist <math>Re_0 = \frac{\rho\, U_0\, D_0}{\mu} = \frac{1060 \cdot 0{,}2122 \cdot 0{,}006}{0{,}0035} = 385{,}6</math>. Sie wird im Folgenden auf 386 gerundet. # Die '''Einlauflänge''', die eine anfangs gleichförmige Strömung bis zum voll entwickelten Parabelprofil bräuchte, beträgt nach der gebräuchlichen Abschätzung für laminare Rohrströmungen <math>L_e \approx 0{,}06\, Re_0\, D_0 \approx 0{,}06 \cdot 386 \cdot 6\ \mathrm{mm} \approx 139\ \mathrm{mm}</math>.<ref name="durst">Durst, F.; Ray, S.; Ünsal, B.; Bayoumi, O. A.: ''The development lengths of laminar pipe and channel flows.'' Journal of Fluids Engineering 127 (2005), Nr. 6, S. 1154-1160. Für große Reynoldszahlen nähert sich die dort angegebene Korrelation dem Wert 0,057·Re·D.</ref> Das ist fast die gesamte Länge des Rechengebiets. Ein konstantes Einlassprofil würde die Strömung an der Stenose also verfälschen, weshalb am Einlass das voll entwickelte Profil vorgegeben wird. Damit liegen alle globalen Parameter fest. Die folgende Tabelle enthält sie mit genau den Namen, unter denen sie in COMSOL und in den Octave-Skripten verwendet werden. {| class="wikitable" |+ Globale Parameter des Modells ! Name !! Ausdruck in COMSOL !! Wert !! Bedeutung !! Herkunft |- | R0 || 3[mm] || 3 mm || Gefäßradius || Messwerte nach Krejza u. a. 2006, gerundet |- | D0 || 2*R0 || 6 mm || Gefäßdurchmesser || abgeleitet |- | Ls || 2*D0 || 12 mm || Länge der Störstelle || Standardgeometrie nach Varghese u. a. 2007 |- | Lu || 5*D0 || 30 mm || Vorlaufstrecke vor der Stenosemitte || Abstand der Einlassbedingung von der Stenose |- | Ld || 20*D0 || 120 mm || Nachlaufstrecke hinter der Stenosemitte || Platz für das Rückströmgebiet |- | Lf || Ls/2+10*D0 || 66 mm || Ende des fein vernetzten Nachlaufs || erwartete Länge des Rückströmgebiets |- | s || 0 bis 0.8 || 0 bis 0,8 || Stenosegrad bezogen auf den Durchmesser || NASCET-Einteilung |- | rho_b || 1060[kg/m^3] || 1060 kg/m³ || Dichte des Blutes || Mischungsregel, Literaturwert |- | mu_b || 3.5[mPa*s] || 3,5 mPa·s || dynamische Viskosität des Blutes || Hochscherwert, Quarteroni und Formaggia 2004 |- | Q0 || 6[ml/s] || 6 ml/s || mittlerer Volumenstrom || Messwerte nach Holdsworth u. a. 1999 |- | U0 || Q0/(pi*R0^2) || 0,2122 m/s || mittlere Einströmgeschwindigkeit || abgeleitet |- | Re0 || rho_b*U0*D0/mu_b || 385,6 || Reynoldszahl des gesunden Gefäßes || abgeleitet |- | dp_ref || 8*mu_b*U0*(Lu+Ld)/R0^2 || 99,03 Pa || Poiseuille-Druckabfall des gesunden Gefäßes || abgeleitet, Hagen-Poiseuille |} === Vergleich und Überprüfung der Modellvarianten === Die Modellhierarchie folgt dem Prinzip, dass zunächst vereinfachte Zusammenhänge untersucht und anschließend mit detaillierteren numerischen Modellen verglichen werden. Das '''Graphenmodell''' bildet die einfachste Modellvariante. Es verwendet das Hagen-Poiseuille-Gesetz zur Abschätzung des Druckverlustes in geraden Rohrabschnitten mit konstantem Durchmesser. Für den unverengten Referenzfall kann damit eine analytische Vergleichsgröße bestimmt werden. Im Bereich einer Stenose ist die Anwendung jedoch nur als vereinfachte Näherung geeignet, da dort zusätzliche Strömungseffekte auftreten können. Das '''achsensymmetrische Flächenmodell''' ermöglicht eine detailliertere Untersuchung des Geschwindigkeits- und Druckfeldes innerhalb einer idealisierten rotationssymmetrischen Gefäßverengung. Im unverengten Referenzfall können die numerischen Ergebnisse mit der analytischen Poiseuille-Lösung verglichen werden. Bei zunehmendem Stenosegrad werden insbesondere die Beschleunigung im Bereich der Engstelle, der Druckverlust und die Wandschubspannung betrachtet. Das '''ebene Flächenmodell''' beschreibt die Strömung in einer zweidimensionalen kartesischen Geometrie. Im Unterschied zum achsensymmetrischen Modell wird dabei keine Rotationssymmetrie vorausgesetzt. Da sich die geometrische Beschreibung des Strömungsquerschnitts unterscheidet, sind die Ergebnisse nicht ohne Weiteres quantitativ gleichzusetzen. Der Vergleich dient insbesondere dazu, den Einfluss der Modellvereinfachung auf die berechneten Strömungsgrößen zu untersuchen. Das '''Volumenmodell''' erweitert die Untersuchung auf drei Raumdimensionen. Bei einer rotationssymmetrischen Geometrie und entsprechend übereinstimmenden Randbedingungen wird eine weitgehende Übereinstimmung mit dem achsensymmetrischen Modell erwartet. Diese Übereinstimmung muss jedoch anhand der numerischen Ergebnisse überprüft werden. Bei einer Gefäßaufzweigung oder einer asymmetrischen Stenose können zusätzliche räumliche Strömungseffekte auftreten, die durch ein achsensymmetrisches Modell nicht vollständig beschrieben werden. === Referenzfall und Vergleichsgrößen === Als Ausgangspunkt dient ein unverengtes Gefäß mit dem Referenzdurchmesser <math>D_0=6\,\mathrm{mm}</math>. Für das Blut werden eine Dichte von <math>\rho_b=1060\,\mathrm{kg/m^3}</math> und eine dynamische Viskosität von <math>\mu_b=3{,}5\,\mathrm{mPa\,s}</math> angenommen. Der vorgegebene mittlere Volumenstrom beträgt <math>Q_0=6\,\mathrm{ml/s}</math>. Daraus ergibt sich für den unverengten kreisförmigen Querschnitt eine mittlere Strömungsgeschwindigkeit von ungefähr <math>U_0=0{,}2122\,\mathrm{m/s}</math>. Die Referenz-Reynolds-Zahl beträgt <math>\mathrm{Re}_0=385{,}6</math>. Für den in den Referenzdaten definierten Vergleichsfall ist außerdem ein analytischer Druckverlust von <math>\Delta p_{\mathrm{ref}}=99{,}03\,\mathrm{Pa}</math> angegeben. Diese Größen dienen als Ausgangspunkt für die Überprüfung der numerischen Modelle. Ein direkter Vergleich ist jedoch nur zulässig, wenn die jeweils verwendete Geometrie, die Auswertelänge und die Randbedingungen übereinstimmen. === Grenzen der Modellhierarchie === Die vier Modellvarianten unterscheiden sich nicht nur im Rechenaufwand, sondern auch in den physikalischen Effekten, die sie darstellen können. Insbesondere bei hochgradigen Stenosen können starke lokale Geschwindigkeitsänderungen, Strömungsablösungen und zeitabhängige Strömungsstrukturen auftreten. Deshalb muss überprüft werden, ob die Annahme einer stationären laminaren Strömung für die betrachteten Fälle ausreichend ist. Außerdem muss zwischen dem idealisierten geraden Gefäßmodell und einer Gefäßaufzweigung unterschieden werden. Das achsensymmetrische Modell eignet sich für eine rotationssymmetrische Stenose in einem geraden Gefäß, während eine realistische Gefäßaufzweigung eine andere geometrische Beschreibung erfordert. Die Modellvarianten werden daher nicht als vollständig gleichwertig betrachtet. Vielmehr soll der Vergleich zeigen, welche Aussagen bereits durch vereinfachte Modelle möglich sind und für welche Strömungseigenschaften eine detailliertere numerische Beschreibung erforderlich ist. = Modellierung = Modellierung bedeutet hier, die reale Situation in eine mathematische Aufgabe zu übersetzen, die sich lösen lässt. Dazu gehören vier Bausteine, nämlich das Rechengebiet, die Gleichungen, die Zahlenwerte der Parameter und die Bedingungen an den Rändern. Jeder dieser Bausteine beruht auf Annahmen, und jede Annahme muss begründet werden. Dieser Abschnitt geht die Bausteine deshalb der Reihe nach durch und nennt bei jedem Zahlenwert, woher er stammt und warum er sinnvoll ist. == Modellhierarchie == Das Projekt rechnet nicht ein einziges Modell, sondern vier aufeinander aufbauende Modellvarianten. Sie entsprechen der Kursanforderung, eine Strömung als Graph, in zwei und in drei Raumdimensionen darzustellen, und sie sind bewusst von einfach nach aufwendig geordnet. {| class="wikitable" |+ Die vier Modellvarianten des Projekts ! Modell !! Raumdimension !! gelöste Gleichung !! Zweck !! Werkzeug |- | Graphenmodell || 1D, Gefäßachse || Hagen-Poiseuille je Rohrstück und Massenerhaltung in jedem Knoten || schnelle, analytisch nachrechenbare Abschätzung für jeden Stenosegrad || Octave und COMSOL (Koeffizientenform-PDGL) |- | achsensymmetrisches Flächenmodell || 2D, Halbschnitt in r und z || vollständige stationäre Navier-Stokes-Gleichungen in Zylinderkoordinaten || Hauptmodell, liefert alle Feldgrößen des rotationssymmetrischen Rohres || COMSOL, Laminare Strömung |- | ebenes Flächenmodell || 2D, Halbschnitt in x und y || vollständige stationäre Navier-Stokes-Gleichungen in kartesischen Koordinaten || Vergleich, zeigt den Einfluss der zweiten Querschnittsrichtung || COMSOL, Laminare Strömung |- | Volumenmodell || 3D || vollständige stationäre Navier-Stokes-Gleichungen || Kontrolle des Hauptmodells und räumliche Darstellung || COMSOL, Laminare Strömung |} Die Reihenfolge folgt einem einfachen Prinzip. Jede Stufe liefert die Sollwerte, an denen die nächste, komplexere Stufe geprüft wird. Das Graphenmodell muss im gesunden Fall exakt die Poiseuille-Lösung ergeben. Das achsensymmetrische Modell muss im gesunden Fall dieselben Werte liefern und bei Stenose für Geschwindigkeit und Wandschubspannung in der Nähe des Graphenmodells liegen. Das Volumenmodell muss, weil die Geometrie rotationssymmetrisch ist, mit dem achsensymmetrischen Modell übereinstimmen. == Modellannahmen == Um den Einfluss des Stenosegrades möglichst isoliert zu untersuchen, werden die folgenden Modellannahmen getroffen. Die Tabelle nennt zu jeder Annahme ihre mathematische Form, die Begründung und die Stelle, an der sie im Projekt überprüft wird. {| class="wikitable" |+ Modellannahmen, ihre Begründung und ihre Überprüfung ! Annahme !! mathematische Form !! Begründung !! Überprüfung |- | Idealisierte Gefäßgeometrie || gerades Rohr mit kosinusförmiger, rotationssymmetrischer Verengung || isoliert die Wirkung des Stenosegrades von Krümmung, Verzweigung und Plaqueform || Diskussion in den Schlussfolgerungen |- | Starre Gefäßwand || Wand ortsfest, keine Fluid-Struktur-Kopplung || im stationären Fall gibt es keine Druckschwankung, die die Wand periodisch aufweiten könnte || Abschätzung über die gemessene Durchmesseränderung im Herzzyklus |- | Stationäre Strömung || <math>\partial \mathbf{u}/\partial t = \mathbf{0}</math> || der Einfluss des Stenosegrades soll ohne Überlagerung durch die Pulsation sichtbar werden || Abschätzung über die Womersley-Zahl |- | Inkompressibles Fluid || <math>\rho = \mathrm{const}</math>, damit <math>\nabla\cdot\mathbf{u} = 0</math> || Blut ist eine Flüssigkeit, Druckänderungen von wenigen hundert Pascal ändern die Dichte nicht messbar || Massenerhaltung in fünf Querschnitten |- | Newtonsche Näherung || konstante Viskosität <math>\mu</math> || die Scherraten an der Wand und im größten Teil des Querschnitts liegen über dem Bereich, in dem Blut deutlich scherverdünnend wirkt || Scherrate an der Wand, Diskussion des Rückströmgebiets |- | Konstante Stoffeigenschaften || <math>\rho</math> und <math>\mu</math> räumlich und zeitlich konstant || Körpertemperatur ist im betrachteten Abschnitt konstant || entfällt |- | Laminare Strömung || kein Turbulenzmodell, Schnittstelle Laminare Strömung || Reynoldszahl des gesunden Gefäßes von 386 liegt weit unter dem Umschlagbereich || Reynoldszahl in der Engstelle, Literaturvergleich |- | Haftbedingung an der Wand || <math>\mathbf{u} = \mathbf{0}</math> auf der Wand || Folge der Viskosität, das Fluid haftet an der Wand || Grundlage jeder Wandschubspannung |- | Vernachlässigung der Gravitation || keine Volumenkraft || bei konstanter Dichte lässt sich die Schwerkraft vollständig in einen hydrostatischen Druckanteil verschieben und beeinflusst die Geschwindigkeit nicht || Begründung in den Mathematischen Hintergründen |- | Voll entwickelte Einströmung || parabolisches Profil am Einlass || die natürliche Einlaufstrecke wäre mit rund 139 mm fast so lang wie das ganze Rechengebiet || Scheitelgeschwindigkeit im gesunden Fall |- | Eingeprägter Volumenstrom || <math>Q = Q_0</math> am Einlass || der Strömungswiderstand des Abschnitts ist klein gegenüber dem des nachgeschalteten Gefäßbetts || Abschätzung mit einem Reihenwiderstand |} Einige dieser Annahmen sind unmittelbar einsichtig, andere verdienen eine genauere Begründung, weil von ihnen die Aussagekraft der Ergebnisse abhängt. Die '''Newtonsche Näherung''' ist die Annahme, die bei Blut am häufigsten hinterfragt wird. Reales Blut ist eine Suspension aus Plasma und Blutzellen und verhält sich scherverdünnend. Bei kleinen Scherraten lagern sich die roten Blutkörperchen zu geldrollenartigen Stapeln zusammen, und die Viskosität steigt auf ein Vielfaches an. Bei großen Scherraten lösen sich diese Stapel auf, und die Viskosität strebt gegen einen Grenzwert von etwa 3,5 mPa·s. Entscheidend ist also die Scherrate. An der Wand des gesunden Modellgefäßes beträgt sie nach der Poiseuille-Lösung <math>\dot\gamma_w = \frac{4\,U_0}{R_0} = \frac{4 \cdot 0{,}2122\ \mathrm{m/s}}{0{,}003\ \mathrm{m}} \approx 283\ \mathrm{s^{-1}}</math> und liegt damit oberhalb von etwa 100 pro Sekunde, wo sich Newtonsches und nicht Newtonsches Modell nach der Literatur nur noch wenig unterscheiden.<ref name="boyd">Die Grenze von etwa 100 s^-1 wird in vergleichenden Studien zur Blutrheologie verwendet, etwa bei Bernabeu, M. O. u. a.: ''Impact of blood rheology on wall shear stress in a model of the middle cerebral artery.'' Interface Focus 3 (2013), 20120094. <!-- FIXME Zitat und Seitenangabe am Original pruefen --></ref> In der Engstelle steigt die Scherrate weiter an, beim Stenosegrad 0,5 auf rund 2260 pro Sekunde. Schwach ist die Näherung dort, wo die Scherrate klein wird, also in der Mitte des Gefäßes und vor allem im Rückströmgebiet hinter der Stenose. Dort ist reales Blut zäher als angenommen. Dieser Punkt wird in den Schlussfolgerungen wieder aufgegriffen. Die '''stationäre Strömung''' ist die stärkste Vereinfachung. Wie wichtig die Pulsation ist, misst die Womersley-Zahl, die das Verhältnis von instationärer Trägheit zu Reibung angibt. Mit einer Herzfrequenz von 60 Schlägen je Minute, also einer Kreisfrequenz <math>\omega = 2\pi\ \mathrm{s^{-1}}</math>, ergibt sich <math>\alpha = R_0 \sqrt{\frac{\omega \rho}{\mu}} = 0{,}003\ \mathrm{m} \cdot \sqrt{\frac{2\pi\ \mathrm{s^{-1}} \cdot 1060\ \mathrm{kg/m^3}}{0{,}0035\ \mathrm{Pa\,s}}} \approx 4{,}1 .</math> Ein Wert in dieser Größenordnung bedeutet, dass das reale Geschwindigkeitsprofil im Herzzyklus merklich von der Parabel abweicht.<ref name="womersley">Womersley, J. R.: ''Method for the calculation of velocity, rate of flow and viscous drag in arteries when the pressure gradient is known.'' Journal of Physiology 127 (1955), S. 553-563.</ref> Hinzu kommt, dass der Volumenstrom in der Systole kurzzeitig auf rund das Vierfache des Mittelwerts steigt.<ref name="holdsworth">Holdsworth, D. W.; Norley, C. J. D.; Frayne, R.; Steinman, D. A.; Rutt, B. K.: ''Characterization of common carotid artery blood-flow waveforms in normal human subjects.'' Physiological Measurement 20 (1999), Nr. 3, S. 219-240. DOI 10.1088/0967-3334/20/3/301. Angegeben werden ein mittlerer Volumenstrom von 6,0 ± 1,4 ml/s und ein systolischer Spitzenwert von 23,5 ± 3,8 ml/s. <!-- FIXME Zahlenwerte und Probandenzahl am Original pruefen --></ref> Die stationäre Rechnung mit dem Mittelwert beschreibt deshalb nicht den zeitlichen Verlauf, wohl aber den zeitlich gemittelten Zustand, an dem sich der Einfluss des Stenosegrades sauber vergleichen lässt. Die '''laminare Strömung''' wird über die Reynoldszahl begründet. Sie beträgt im gesunden Gefäß 386 und liegt damit weit unter dem Wert von etwa 2300, ab dem die Strömung in einem geraden Rohr in den Übergangsbereich gelangen kann. In der Engstelle steigt sie bei festem Volumenstrom auf <math>Re_0/(1-s)</math>, also auf 551 beim Stenosegrad 0,3, auf 964 beim Grad 0,6 und auf 1928 beim Grad 0,8. Für den Strahl hinter einer Engstelle ist der Umschlagbereich allerdings deutlich niedriger als im geraden Rohr. Direkte numerische Simulationen an genau der in diesem Projekt verwendeten Stenosegeometrie zeigen, dass die Strömung bei einer Einström-Reynoldszahl von 500 auch bei leichter Unsymmetrie laminar bleibt, bei 1000 dagegen schon eine Exzentrizität von fünf Prozent des Durchmessers genügt, um den Strahl in lokal turbulente Strömung umschlagen zu lassen.<ref name="varghese">Varghese, S. S.; Frankel, S. H.; Fischer, P. F.: ''Direct numerical simulation of stenotic flows. Part 1. Steady flow.'' Journal of Fluid Mechanics 582 (2007), S. 253-280. Untersucht wird eine kosinusförmige Stenose der Länge 2D mit 75 % Flächenreduktion, die mit der Geometrie dieses Projekts beim Stenosegrad 0,5 übereinstimmt. <!-- FIXME Band und Seiten am Original pruefen --></ref> Mit einer Einström-Reynoldszahl von 386 liegt das Projekt für die leicht- und mittelgradigen Stenosen sicher im laminaren Bereich. Für die hochgradigen Stenosen ab 0,7 ist ein laminares, stationäres Modell dagegen nur noch eine Näherung, die eine Obergrenze der geordneten Strömung beschreibt. Diese Fälle werden deshalb als Grenzfall des Modells gekennzeichnet. Die '''starre Wand''' lässt sich über Messungen abschätzen. Der Durchmesser der gemeinsamen Halsschlagader ändert sich im Herzzyklus bei jungen Menschen um etwa 12 bis 14 Prozent und bei älteren Menschen um etwa 5 Prozent.<ref name="hansen">Hansen, F.; Mangell, P.; Sonesson, B.; Länne, T.: ''Diameter and compliance in the human common carotid artery: variations with age and sex.'' Ultrasound in Medicine and Biology 21 (1995), Nr. 1, S. 1-9. DOI 10.1016/0301-5629(94)00090-5.</ref> Diese Bewegung ist eine Folge der Pulsation. In einer stationären Rechnung gibt es keine Druckschwankung, die die Wand periodisch aufweiten könnte, sodass die starre Wand zur stationären Annahme konsistent ist. Eine verkalkte Plaque ist ohnehin deutlich steifer als die gesunde Wand. Die Annahme des '''eingeprägten Volumenstroms''' wird im Abschnitt zu den Randbedingungen begründet, weil sie sich nur im Zusammenhang mit dem Kreislauf beurteilen lässt. == Simulationsgebiet und Geometrie == Die Gefäßachse ist die z-Achse, der Ursprung liegt in der Mitte der Stenose, und <math>r</math> bezeichnet den Abstand von der Achse. Das Rechengebiet reicht von <math>z = -L_u</math> bis <math>z = L_d</math> und wird radial von der Wandkontur <math>R(z)</math> begrenzt. Die Verengung wird über eine einzige glatte Funktion beschrieben, <math>R(z) = R_0 \left[ 1 - \frac{s}{2}\left(1 + \cos\frac{2\pi z}{L_s}\right)\right] \quad \text{falls } |z| \le \frac{L_s}{2}, \qquad R(z) = R_0 \ \text{sonst.}</math> Die Funktion hat drei Eigenschaften, die ihre Wahl begründen. Sie wird erstens über einen einzigen Parameter gesteuert, den Stenosegrad <math>s</math>. Der engste Radius in der Mitte beträgt <math>R(0) = R_0(1-s)</math>, und der Fall ohne Verengung ist einfach der Fall <math>s = 0</math>. Die gesamte Vergleichsreihe entsteht damit aus einem einzigen parametrischen Sweep. Sie geht zweitens an beiden Enden der Störstelle ohne Knick in das gerade Rohr über. Bei <math>z = \pm L_s/2</math> ist der Kosinus gleich minus eins, die Klammer also null, und seine Ableitung verschwindet dort ebenfalls. Das ist nicht nur ästhetisch, sondern numerisch notwendig, denn ein Knick in der Wand erzeugt eine Singularität der Wandschubspannung, deren berechneter Wert mit jeder Netzverfeinerung weiter wüchse. Eine Netzstudie wäre dann sinnlos. Sie ist drittens die in der Literatur gebräuchliche Standardgeometrie für Stenosen, sodass sich die Ergebnisse unmittelbar mit veröffentlichten Rechnungen vergleichen lassen.<ref name="varghese" /> [[Datei:Stenose Gruppe5 Wandkontur.svg|mini|zentriert|800px|Wandkontur <math>R(z)</math> für die untersuchten Stenosegrade. Die Darstellung ist in radialer Richtung gestreckt, das Rechengebiet ist in Wirklichkeit fünfundzwanzigmal länger als breit.]] <!-- FIXME Abbildung mit abbildungen_graph_1d.m fuer s = 0 bis 0,8 neu erzeugen, bisher nur bis 0,5 --> Die Abmessungen des Rechengebiets werden alle aus dem Gefäßradius abgeleitet. Das hat den Vorteil, dass sich das gesamte Modell durch Ändern eines einzigen Wertes auf ein anderes Gefäß übertragen lässt. Die einzelnen Längen werden im Folgenden Schritt für Schritt begründet. # Der '''Gefäßradius''' <math>R_0 = 3\ \mathrm{mm}</math> folgt aus Ultraschallmessungen an gesunden Erwachsenen. Dort wurden für die gemeinsame Halsschlagader mittlere Durchmesser von 6,10 ± 0,80 mm bei Frauen und 6,52 ± 0,98 mm bei Männern gemessen.<ref name="krejza">Krejza, J.; Arkuszewski, M.; Kasner, S. E.; Weigele, J.; Ustymowicz, A.; Hurst, R. W.; Cucchiara, B. L.; Messe, S. R.: ''Carotid artery diameter in men and women and the relation to body and neck size.'' Stroke 37 (2006), Nr. 4, S. 1103-1105. DOI 10.1161/01.STR.0000206440.48756.f7.</ref> Der gewählte Durchmesser von <math>D_0 = 6\ \mathrm{mm}</math> liegt damit innerhalb einer Standardabweichung beider Gruppen und ist bewusst auf einen runden Wert gesetzt, damit alle abgeleiteten Längen glatte Zahlen ergeben. # Die '''Länge der Störstelle''' <math>L_s = 2 D_0 = 12\ \mathrm{mm}</math> entspricht der Standardgeometrie aus der Literatur, die eine Stenosenlänge von zwei Durchmessern verwendet.<ref name="varghese" /> Damit ist beim Stenosegrad 0,5 ein direkter Vergleich mit veröffentlichten Ergebnissen möglich. # Die '''Vorlaufstrecke''' <math>L_u = 5 D_0 = 30\ \mathrm{mm}</math> trennt den Einlass von der Stenose. Da am Einlass bereits das voll entwickelte Profil vorgegeben wird, muss sie nicht die Einlaufstrecke abdecken, sondern nur verhindern, dass die Einströmrandbedingung die Strömung an der Engstelle beeinflusst. Bei Reynoldszahlen in dieser Größenordnung reicht der Einfluss einer Verengung nur wenige Durchmesser stromaufwärts, die Literatur kommt für dieselbe Geometrie mit drei Durchmessern Vorlauf aus.<ref name="varghese" /> Fünf Durchmesser lassen also eine Reserve. Überprüft wird das im Ergebnis, indem die Geschwindigkeit auf der Achse in der Mitte der Vorlaufstrecke mit dem Sollwert <math>2U_0</math> verglichen wird. # Die '''Nachlaufstrecke''' <math>L_d = 20 D_0 = 120\ \mathrm{mm}</math> ist deutlich länger, weil sich hinter der Engstelle ein Rückströmgebiet bildet, das nicht auf den Auslass treffen darf. Für die Geometrie mit dem Stenosegrad 0,5 legt die Strömung bei einer Einström-Reynoldszahl von 500 erst etwa zehn Durchmesser hinter der Engstelle wieder an, die Literatur rechnet mit sechzehn Durchmessern Nachlauf.<ref name="varghese" /> Zwanzig Durchmesser bieten damit für alle Stenosegrade bis 0,5 einen Sicherheitsabstand. Für die Grade ab 0,6 ist ein längeres Rückströmgebiet zu erwarten, dort wird die Lage des Wiederanlegepunktes ausdrücklich kontrolliert. # Das '''Ende des fein vernetzten Nachlaufs''' <math>L_f = L_s/2 + 10 D_0 = 66\ \mathrm{mm}</math> legt fest, bis wohin das Netz verfeinert wird. Der Wert ist so gewählt, dass das erwartete Rückströmgebiet von etwa zehn Durchmessern vollständig im feinen Bereich liegt. Damit hat das Rechengebiet eine Gesamtlänge von <math>L = L_u + L_d = 150\ \mathrm{mm}</math>, also das Fünfundzwanzigfache des Durchmessers. Es ist ein Modellgebiet und kein maßstäbliches Abbild eines bestimmten anatomischen Abschnitts. == Stoff- und Strömungsparameter == Die Stoffwerte des Blutes und der Volumenstrom sind die einzigen Eingangsgrößen, die nicht aus der Geometrie folgen. Aus ihnen werden alle weiteren Strömungskennwerte berechnet. Die folgenden Schritte zeigen jede Rechnung einzeln, damit sich jeder Wert nachprüfen lässt. # Die '''Dichte''' wird mit <math>\rho = 1060\ \mathrm{kg/m^3}</math> angesetzt. Der Wert lässt sich als Mischungsregel plausibel machen. Plasma hat eine Dichte von etwa 1025 kg/m³, rote Blutkörperchen von etwa 1100 kg/m³. Bei einem Zellanteil von 45 % ergibt sich <math>0{,}55 \cdot 1025 + 0{,}45 \cdot 1100 \approx 1059\ \mathrm{kg/m^3}</math>. Die Dichte geht nur über die Reynoldszahl in die Rechnung ein, eine Abweichung von einem Prozent ändert die Ergebnisse daher kaum. <!-- FIXME Lehrbuchquelle fuer Plasma- und Erythrozytendichte ergaenzen --> # Die '''dynamische Viskosität''' wird mit <math>\mu = 3{,}5\ \mathrm{mPa\,s}</math> angesetzt. Das ist der Grenzwert der Blutviskosität bei hohen Scherraten, also genau der Wert, der zur Newtonschen Näherung gehört. Derselbe Wert von 0,035 Poise wird auch im Standardwerk zur Modellierung des Herz-Kreislauf-Systems verwendet.<ref name="quarteroni">Quarteroni, A.; Formaggia, L.: ''Mathematical Modelling and Numerical Simulation of the Cardiovascular System.'' In: Ayache, N. (Hrsg.): ''Computational Models for the Human Body.'' Handbook of Numerical Analysis, Bd. XII, Elsevier, Amsterdam 2004, S. 3-127. DOI 10.1016/S1570-8659(03)12001-7. Zur Newtonschen Näherung in großen Gefäßen siehe S. 30, zur Viskosität von 0,035 Poise die Parametertabelle auf S. 116.</ref> # Der '''mittlere Volumenstrom''' wird mit <math>Q_0 = 6\ \mathrm{ml/s}</math> angesetzt. Das ist der zeitlich gemittelte Volumenstrom, der in der gemeinsamen Halsschlagader gesunder Probanden gemessen wurde.<ref name="holdsworth" /> # Die '''mittlere Geschwindigkeit''' folgt aus Volumenstrom und Querschnittsfläche, <math>U_0 = \frac{Q_0}{\pi R_0^2} = \frac{6 \cdot 10^{-6}\ \mathrm{m^3/s}}{\pi \cdot (0{,}003\ \mathrm{m})^2} = 0{,}2122\ \mathrm{m/s}</math>. # Die '''Reynoldszahl''' des gesunden Gefäßes ist <math>Re_0 = \frac{\rho\, U_0\, D_0}{\mu} = \frac{1060 \cdot 0{,}2122 \cdot 0{,}006}{0{,}0035} = 385{,}6</math>. Sie wird im Folgenden auf 386 gerundet. # Die '''Einlauflänge''', die eine anfangs gleichförmige Strömung bis zum voll entwickelten Parabelprofil bräuchte, beträgt nach der gebräuchlichen Abschätzung für laminare Rohrströmungen <math>L_e \approx 0{,}06\, Re_0\, D_0 \approx 0{,}06 \cdot 386 \cdot 6\ \mathrm{mm} \approx 139\ \mathrm{mm}</math>.<ref name="durst">Durst, F.; Ray, S.; Ünsal, B.; Bayoumi, O. A.: ''The development lengths of laminar pipe and channel flows.'' Journal of Fluids Engineering 127 (2005), Nr. 6, S. 1154-1160. Für große Reynoldszahlen nähert sich die dort angegebene Korrelation dem Wert 0,057·Re·D.</ref> Das ist fast die gesamte Länge des Rechengebiets. Ein konstantes Einlassprofil würde die Strömung an der Stenose also verfälschen, weshalb am Einlass das voll entwickelte Profil vorgegeben wird. Damit liegen alle globalen Parameter fest. Die folgende Tabelle enthält sie mit genau den Namen, unter denen sie in COMSOL und in den Octave-Skripten verwendet werden. {| class="wikitable" |+ Globale Parameter des Modells ! Name !! Ausdruck in COMSOL !! Wert !! Bedeutung !! Herkunft |- | R0 || 3[mm] || 3 mm || Gefäßradius || Messwerte nach Krejza u. a. 2006, gerundet |- | D0 || 2*R0 || 6 mm || Gefäßdurchmesser || abgeleitet |- | Ls || 2*D0 || 12 mm || Länge der Störstelle || Standardgeometrie nach Varghese u. a. 2007 |- | Lu || 5*D0 || 30 mm || Vorlaufstrecke vor der Stenosemitte || Abstand der Einlassbedingung von der Stenose |- | Ld || 20*D0 || 120 mm || Nachlaufstrecke hinter der Stenosemitte || Platz für das Rückströmgebiet |- | Lf || Ls/2+10*D0 || 66 mm || Ende des fein vernetzten Nachlaufs || erwartete Länge des Rückströmgebiets |- | s || 0 bis 0.8 || 0 bis 0,8 || Stenosegrad bezogen auf den Durchmesser || NASCET-Einteilung |- | rho_b || 1060[kg/m^3] || 1060 kg/m³ || Dichte des Blutes || Mischungsregel, Literaturwert |- | mu_b || 3.5[mPa*s] || 3,5 mPa·s || dynamische Viskosität des Blutes || Hochscherwert, Quarteroni und Formaggia 2004 |- | Q0 || 6[ml/s] || 6 ml/s || mittlerer Volumenstrom || Messwerte nach Holdsworth u. a. 1999 |- | U0 || Q0/(pi*R0^2) || 0,2122 m/s || mittlere Einströmgeschwindigkeit || abgeleitet |- | Re0 || rho_b*U0*D0/mu_b || 385,6 || Reynoldszahl des gesunden Gefäßes || abgeleitet |- | dp_ref || 8*mu_b*U0*(Lu+Ld)/R0^2 || 99,03 Pa || Poiseuille-Druckabfall des gesunden Gefäßes || abgeleitet, Hagen-Poiseuille |} = Literaturverzeichnis = Alle Quellen sind an den Stellen im Text angegeben, an denen die zugehörigen Werte oder Aussagen verwendet werden. Die Liste wird aus diesen Angaben automatisch erzeugt. <references /> qeckiqmef8ryfbjpxc6b5a93m92ufbq 1116328 1116298 2026-10-16T07:25:36Z Nicole.pander 39567 /* Fragestellung */ 1116328 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Joey Becker * Marie-Thérèse Heitele * Nicole Pander = Thema und Fragestellung = Gegenstand dieses Projekts ist die numerische Simulation der Blutströmung in einer verzweigten Halsschlagader ('''Carotis-Bifurkation''') unter dem Einfluss einer lokalen Gefäßverengung ('''Stenose'''). Im Vergleich zu einfachen Rohrströmungen wird hier die realitätsnahe Gefäßanatomie betrachtet: Die '''Arteria carotis communis (ACC)''' teilt sich in die '''Arteria carotis externa (ACE)''' und die '''Arteria carotis interna (ACI)''' auf. Während die '''ACE''' als gesunder, stenosefreier Ast dient, wird in der '''ACI''' eine geglättete, kosinusförmige Gefäßverengung modelliert. Um scharfe Kanten und unphysiologische Druckspitzen zu vermeiden, werden alle Wandübergänge und die Gabelungsspitze (Apex) anatomisch verrundet. Als Referenz dient ein gesundes, unverengtes Gefäß, in dem sich die Poiseuille-Strömung mit ihrem charakteristischen parabolischen Geschwindigkeitsprofil ausbildet. Diese Strömung ist aus zwei Gründen der natürliche Ausgangspunkt. Sie beschreibt den physiologischen Normalfall, mit dem jeder Stenosegrad verglichen wird, und sie ist exakt lösbar, sodass sich an ihr jede numerische Rechnung prüfen lässt, bevor die Verengung hinzukommt. == Fragestellung == Die Hauptfragestellung dieses Projektes lautet: Wie verändert eine symmetrische bzw. rotationssymmetrische Stenose in der '''Arteria carotis interna (ACI)''' die stationäre Strömung eines inkompressiblen Newton’schen Fluids in einer 2D und 3D-Carotis-Bifurkation hinsichtlich Geschwindigkeitsverteilung, Druckabfall, Wandschubspannung und Wirbelbildung im Vergleich zu den gesunden Gefäßabschnitten? Aus dieser Fragestellung ergeben sich drei Teilfragen, an denen sich der Aufbau der Seite orientiert: # Welche Strömungsgrößen reagieren empfindlich auf den Stenosegrad und welche nur träge? # Ab welchem Stenosegrad ändert sich das Strömungsmuster qualitativ, das heißt, ab wann löst die Strömung hinter der Engstelle von der Wand ab und bildet ein Rückströmgebiet? # Wie weit tragen die vereinfachenden Modellannahmen, insbesondere die Annahme einer stationären und laminaren Strömung, über den untersuchten Bereich der Stenosegrade? == Modellannahmen == Im Hinblick darauf werden für dieses Projekt einige Annahmen getroffen, um das Projekt möglichst isoliert zu untersuchen und zu simplifizieren: * '''Idealisierte Gefäßgeometrie''': Betrachtet wird ein Teilabbschnitt der ''Arteria carotis communis'', die sog. ''ACI''. Zudem werden Gefäßverkrümmungen, weitere Verzweigungen und patientenspezifische Strukturen nicht berücksichtigt. * '''Starre Gefäßwand''': Die Gefäßwand wird als unbeweglich und nicht verformbar angenommen. Eine Wechselwirkung zwischen elastischer Gefäßwand und Blutströmung wird nicht modelliert. * '''Stationäre Strömung''': Die Strömungsgrößen werden als zeitlich konstant angenommen. Die im realen Blutkreislauf vorhandene Pulsation durch den Herzschlag wird daher vernachlässigt: <math>\frac{\partial u}{\partial t}=0</math>. * '''Inkompressibles Fluid''': Die Dichte des Fluids wird als konstant angenommen. Damit gilt für die Geschwindigkeit <math>\nabla \cdot u=0</math>. Dies entspricht der in der Vorlesung behandelten Massenerhaltung für inkompressible Fluide: Was in das Gefäß einströmt, muss auch wieder ausströmen. * '''Newton'sche Näherung für Blut''': Reales Blut beseitzt ein nicht newton'sches Fließverhalten. Hier wird Blut als Newton'sches Fluid behandelt. * '''Konstante Stoffeigenschaften''': Dichte <math>\rho</math> und dynamische Viskosität μ werden als räumlich und zeitlich konstant angenommen. Temperaturabhängigkeiten werden nicht berücksichtigt. * '''Laminare Strömung''': Die Strömung wird mit dem COMSOL-Modul ''Laminar Flow'' beschrieben. Ein zusätzliches Turbulenzmodell wird nicht verwendet. * '''No-Slip-Bedingung an Gefäßwand''': Aufgrund der Viskosität wird angenommen, dass das Fluid direkt an der Gefäßwand haftet. Somit gilt <math>u=0</math>. * '''Vernachlässigung der Gravitation''': Gravitation wird nicht berücksichtigt. Die Strömung wird ausschließlich durch die gewählten Ein- und Auslassbedingungen bestimmt. = Relevanz = Die Untersuchung von Gefäßverengungen besitzt sowohl eine medizinische als auch eine methodische Bedeutung. Aus medizinischer Sicht sind arterielle Stenosen – etwa in der Halsschlagader, lat. ''arteria carotis communis'', – kritisch, da sie die Durchblutung beeinträchtigen und durch veränderte Wandschubspannungen sowie die Bildung von Wirbeln weitere Gefäßablagerungen begünstigen. Stenosen im Bereich der Karotisgabelung sind klinisch hochrelevant, da sie das Gehirn direkt versorgen und das Risiko für embolische Schlaganfälle erhöhen. Fachlich überträgt das Projekt damit die Prinzipien der Strömungsmechanik direkt auf eine biomedizinische Anwendung. Das Projekt verknüpft somit theoretische Grundlagen der Strömungsmechanik (Hagen-Poiseuille-Gleichung, Navier-Stokes-Gleichungen) mit der numerischen Simulation in COMSOL Multiphysics. Durch den Vergleich der '''gesunden Externa (ACE)''' mit der '''stenoisierten Interna (ACI)''' innerhalb desselben Rechengebiets wird die isolierte Wirkung der Stenose unter identischen Randbedingungen direkt sichtbar gemacht. == Medizinische Relevanz == Arterielle Stenosen entstehen überwiegend durch Atherosklerose, also durch Ablagerungen aus Lipiden, Bindegewebe und Kalk in der Gefäßwand. In der Halsschlagader sind sie klinisch besonders bedeutsam, weil sie die Durchblutung des Gehirns beeinträchtigen und weil sich an ihnen Thromben bilden können, die als Embolie einen Schlaganfall auslösen. Dass die operative Entfernung einer hochgradigen Karotisstenose das Schlaganfallrisiko symptomatischer Patienten deutlich senkt, hat die NASCET-Studie gezeigt, deren Einteilung der Stenosegrade dieses Projekt übernimmt.<ref name="nascet">North American Symptomatic Carotid Endarterectomy Trial Collaborators: ''Beneficial effect of carotid endarterectomy in symptomatic patients with high-grade carotid stenosis.'' New England Journal of Medicine 325 (1991), Nr. 7, S. 445-453.</ref> Strömungsmechanisch ist an einer Stenose vor allem die Wandschubspannung von Interesse, also die tangentiale Kraft je Fläche, die das strömende Blut auf die innerste Zellschicht der Gefäßwand ausübt. Gesunde Halsschlagadern weisen zeitlich gemittelte Werte von etwa 1,1 bis 1,5 Pa auf.<ref name="samijo">Samijo, S. K.; Willigers, J. M.; Barkhuysen, R.; Kitslaar, P. J. E. H. M.; Reneman, R. S.; Brands, P. J.; Hoeks, A. P. G.: ''Wall shear stress in the human common carotid artery as function of age and gender.'' Cardiovascular Research 39 (1998), Nr. 2, S. 515-522.</ref> In einer Engstelle steigt sie stark an, unmittelbar dahinter fällt sie im Ablösegebiet auf nahezu null und wechselt dort sogar das Vorzeichen. Niedrige und im Vorzeichen wechselnde Wandschubspannungen gelten als Bedingungen, unter denen sich weitere Ablagerungen bevorzugt bilden. Eine bestehende Stenose schafft also stromabwärts die Voraussetzungen für ihr eigenes Wachstum. Genau diese Verteilung lässt sich im Körper nur schwer messen, in einer Simulation dagegen unmittelbar auswerten. == Methodische Relevanz == Fachlich überträgt das Projekt die Prinzipien der Strömungsmechanik aus der Vorlesung auf eine biomedizinische Anwendung.<ref name="hundertmark">Hundertmark, A.: ''Fluiddynamik.'' Vorlesungsunterlagen zum Modul Räumliche Modellbildung, RPTU Kaiserslautern-Landau, Sommersemester 2026.</ref> Der methodische Mehrwert liegt in der Verknüpfung mehrerer Zugänge, die sich gegenseitig kontrollieren. Die analytische Poiseuille-Lösung liefert exakte Sollwerte für das gesunde Gefäß. Ein reduziertes Graphenmodell liefert für jeden Stenosegrad eine schnelle Abschätzung, die analytisch nachrechenbar ist. Die Simulationen in COMSOL Multiphysics lösen schließlich die vollständigen Navier-Stokes-Gleichungen in zwei und drei Raumdimensionen. Weil jede Stufe die Sollwerte der nächsten liefert, zeigt das Projekt nicht nur Ergebnisse, sondern auch, wie numerische Modelle aufgebaut, verifiziert und an ihren Grenzen bewertet werden. == Auswahl der Stenosegrade == Um die untersuchten Gefäßverengungen nicht willkürlich festzulegen, orientiert sich die Auswahl der Stenosegrade an der klinisch gebräuchlichen NASCET-Klassifikation von Karotisstenosen.<ref name="nascet" /> Zur klinischen Einordnung werden Karotisstenosen anhand der nach NASCET bestimmten Durchmesserreduktion in leichtgradige, mittelgradige und hochgradige Stenosen eingeteilt. Die angegebenen Prozentgrenzen dienen in diesem Projekt als Orientierung für die Auswahl der untersuchten Stenosegrade. Ein vollständiger Gefäßverschluss wird als Okklusion bezeichnet. {| class="wikitable" |+ Klinische Einteilung nach NASCET-gemessener Durchmesserreduktion und untersuchte Stenosegrade ! Schweregrad !! Durchmesserreduktion !! im Projekt gerechnete Stenosegrade !! hervorgehobener Vertreter |- | gesundes Gefäß || 0 % || 0 || 0 |- | leichtgradige Stenose || unter 50 % || 0,1 bis 0,4 || 0,3 |- | mittelgradige Stenose || 50 bis 69 % || 0,5 und 0,6 || 0,6 |- | hochgradige Stenose || 70 bis 99 % || 0,7 und 0,8 || 0,8 |- | Okklusion || 100 % || nicht gerechnet || entfällt |} '''Anmerkung''': Die Klassengrenzen dienen der Einordnung der Modellvarianten. Die in der Tabelle genannten Stenosegrade sind dimensionslose Werte, beispielsweise entspricht '''<math>s=0{,}6</math>''' einer Durchmesserreduktion von '''60 %'''. Für die numerische Untersuchung wird aus jeder Kategorie ein repräsentativer Stenosegrad hervorgehoben. Neben dem gesunden Gefäß mit '''0 %''' Stenose sind das eine '''30 %''' Stenose als Beispiel für eine leichtgradige, eine '''60 %''' Stenose als Beispiel für eine mittelgradige und eine '''80 %''' Stenose als Beispiel für eine hochgradige Verengung. Zusätzlich werden für das Graphenmodell und das achsensymmetrische Flächenmodell Stenosegrade von 0 bis 80 % in Schritten von zehn Prozentpunkten vorgesehen. Dadurch kann die Abhängigkeit der Strömungsgrößen vom Stenosegrad systematisch untersucht und grafisch dargestellt werden. Ob alle Modellvarianten tatsächlich berechnet wurden und wie hoch der Rechenaufwand war, wird anhand der durchgeführten Simulationen dokumentiert. Ein vollständiger Gefäßverschluss wird nicht simuliert, da in diesem Fall keine durchgängige Strömung mehr vorliegt. Der Stenosegrad wird in diesem Projekt wie bei NASCET über die Verringerung des Gefäßdurchmessers beschrieben, <math>s = 1 - \frac{d_{\min}}{d_{\mathrm{ref}}},</math>wobei <math>d_{\min}</math> der kleinste Durchmesser in der Engstelle und <math>d_{\mathrm{ref}}</math> ein Referenzdurchmesser ist. NASCET verwendet als Referenz den Durchmesser des gesunden Gefäßes stromabwärts der Stenose. Für das idealisierte gerade Gefäßmodell wird ein konstanter Referenzdurchmesser von <math>D_0=6\,\mathrm{mm}</math> angenommen. Da das Gefäß außerhalb der Stenose denselben Durchmesser besitzt, gilt in diesem Modell<math>d_{\mathrm{ref}}=D_0</math>. Bei der zusätzlich betrachteten Gefäßaufzweigung muss der Referenzdurchmesser dagegen gesondert festgelegt werden, da die Gefäßäste unterschiedliche Durchmesser besitzen. Wichtig für das Verständnis aller weiteren Ergebnisse ist der Unterschied zwischen Durchmesser- und Flächenreduktion. Da die Querschnittsfläche quadratisch vom Durchmesser abhängt, gilt für die Flächenreduktion <math>1-(1-s)^2</math>. Eine im klinischen Sinn nur mittelgradige Stenose von 60 % verschließt damit bereits 84 % der Querschnittsfläche. {| class="wikitable" |+ Durchmesser- und Flächenreduktion der gerechneten Stenosegrade ! Stenosegrad s !! 0 !! 0,1 !! 0,2 !! 0,3 !! 0,4 !! 0,5 !! 0,6 !! 0,7 !! 0,8 |- | engster Durchmesser in mm || 6,0 || 5,4 || 4,8 || 4,2 || 3,6 || 3,0 || 2,4 || 1,8 || 1,2 |- | Flächenreduktion || 0 % || 19 % || 36 % || 51 % || 64 % || 75 % || 84 % || 91 % || 96 % |} Eine Einschränkungen gehört zur ehrlichen Einordnung: # Mit zunehmendem Stenosegrad, insbesondere bei ausgeprägten Verengungen, können lokale Beschleunigungen, Strömungsablösungen und zeitabhängige Strömungsstrukturen auftreten. Daher muss bei den hochgradigen Stenosen geprüft werden, inwieweit die Annahme einer stationären, laminaren Strömung geeignet ist. Eine feste Grenze bei <math>s=0{,}6</math> lässt sich ohne entsprechende Simulationsergebnisse oder Literaturbelege nicht allgemein festlegen. Die hochgradigen Fälle werden deshalb unter besonderer Berücksichtigung der Modellannahmen diskutiert. Unter Modellierung wird in diesem Projekt die Übertragung der Blutströmung in einer verengten Arterie auf ein mathematisches und numerisch lösbares Strömungsproblem verstanden. Dazu werden die Gefäßgeometrie, die zugrunde liegenden Gleichungen, die physikalischen Materialparameter sowie die Anfangs- und Randbedingungen festgelegt. Jeder dieser Bestandteile beruht auf vereinfachenden Annahmen, die begründet und bei der Interpretation der Ergebnisse berücksichtigt werden müssen. Ziel ist es, den Einfluss unterschiedlicher Stenosegrade auf die Strömungsgeschwindigkeit, den Druckverlust und gegebenenfalls die Wandschubspannung systematisch zu untersuchen. Die Modellierung erfolgt anhand mehrerer Modellvarianten mit unterschiedlicher räumlicher Auflösung. Dadurch können zunächst grundlegende Zusammenhänge analytisch abgeschätzt und anschließend mit numerischen Strömungsberechnungen verglichen werden. Die verwendeten Parameter orientieren sich an den bereitgestellten Referenzdaten und werden in den folgenden Abschnitten erläutert. == Modellierung == Ziel der Modellierung ist es, die Blutströmung innerhalb einer Y-förmigen Aufzweigung der Halsschlagader mathematisch und numerisch zu untersuchen. Im Mittelpunkt steht eine Gefäßverengung (Stenose) in der Arteria carotis interna. Das betrachtete Gefäßmodell besteht aus der Arteria carotis communis, die sich in die Arteria carotis interna und die Arteria carotis externa aufteilt. Die Stenose befindet sich ausschließlich in der Arteria carotis interna. Durch die Verengung verändert sich der verfügbare Strömungsquerschnitt. Dies kann zu einer Erhöhung der lokalen Strömungsgeschwindigkeit, zu zusätzlichen Druckverlusten und zu einer Veränderung der Strömungsverteilung zwischen den beiden Gefäßästen führen. Ziel ist es, den Einfluss unterschiedlicher Stenosegrade auf die Strömungsgeschwindigkeit, die Druckverteilung und die Wandschubspannung zu untersuchen. Zusätzlich soll betrachtet werden, wie sich die Strömung innerhalb der Y-förmigen Gefäßaufzweigung verhält. Die numerische Modellierung erfolgt mit COMSOL Multiphysics. Dazu werden die Gefäßgeometrie, die Materialeigenschaften des Blutes, die Strömungsgleichungen und die Randbedingungen festgelegt. Zur Vereinfachung wird Blut zunächst als inkompressibles, Newtonsches Fluid betrachtet. Die Gefäßwände werden als starr angenommen. Diese Annahmen ermöglichen eine systematische Untersuchung der Stenose, schränken jedoch die Übertragbarkeit auf reale physiologische Bedingungen ein. === Modellhierarchie === Für die Untersuchung der Blutströmung innerhalb der Y-förmigen Karotisaufzweigung werden drei Modellvarianten betrachtet. Diese unterscheiden sich hinsichtlich ihrer räumlichen Dimension, ihrer mathematischen Beschreibung und der Genauigkeit, mit der die Strömungsverhältnisse dargestellt werden können. Das untersuchte Gefäß besteht aus der Arteria carotis communis, die sich in die Arteria carotis interna und die Arteria carotis externa aufteilt. Die Stenose befindet sich ausschließlich in der Arteria carotis interna. Alle drei Modellvarianten werden mit COMSOL Multiphysics umgesetzt. {| class="wikitable" style="width:100%;" |+ '''Die drei Modellvarianten des Projekts''' |- ! Modell ! Raumdimension ! Mathematische Grundlage ! Zweck ! Werkzeug |- | '''Graphenmodell''' | 1D, Gefäßnetzwerk mit einer Verzweigung | Massenerhaltung an der Verzweigung und vereinfachte Beschreibung der Strömungswiderstände | Abschätzung der Volumenstromverteilung und der Druckverluste in den Gefäßästen | COMSOL Multiphysics |- | '''Ebenes Flächenmodell''' | 2D, Y-förmige Gefäßgeometrie in kartesischen Koordinaten | Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen | Untersuchung der Geschwindigkeits- und Druckverteilung sowie der Auswirkungen der Stenose in der Arteria carotis interna | COMSOL Multiphysics, Laminare Strömung |- | '''Volumenmodell''' | 3D, räumliche Y-förmige Gefäßgeometrie | Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen | Räumliche Untersuchung des Geschwindigkeitsfeldes, des Druckverlustes und der Wandschubspannung | COMSOL Multiphysics, Laminare Strömung |} ==== Vergleich und Überprüfung der Modellvarianten ==== Die drei Modellvarianten bauen hinsichtlich ihrer räumlichen Beschreibung aufeinander auf. Das Graphenmodell ermöglicht zunächst eine vereinfachte Betrachtung der Volumenströme und Druckverluste. Die zwei- und dreidimensionalen Modelle erlauben anschließend eine detailliertere Untersuchung der Strömung innerhalb der Gefäßaufzweigung. Das '''Graphenmodell''' beschreibt die Arteria carotis communis sowie die beiden abzweigenden Gefäße als miteinander verbundenes Netzwerk. Dabei wird die Massenerhaltung an der Verzweigung berücksichtigt: :<math>Q_{\mathrm{CCA}}=Q_{\mathrm{ICA}}+Q_{\mathrm{ECA}}</math> Das Modell liefert vereinfachte Abschätzungen der Volumenstromverteilung. Lokale Strömungsablösungen und räumliche Geschwindigkeitsverteilungen können damit nicht detailliert dargestellt werden. Das '''ebene Flächenmodell''' bildet die Y-förmige Gefäßaufzweigung in zwei Raumdimensionen ab. Die Stenose wird innerhalb der Arteria carotis interna berücksichtigt. Dadurch können die Geschwindigkeits- und Druckverteilung sowie mögliche Rückströmungsbereiche untersucht werden. Das '''Volumenmodell''' erweitert die Untersuchung auf drei Raumdimensionen. Es ermöglicht eine räumliche Darstellung der Strömung und eine detailliertere Berechnung der Wandschubspannung. Die Ergebnisse des ebenen Flächenmodells und des Volumenmodells werden miteinander verglichen. Da das ebene Modell die räumliche Querschnittsgeometrie nur vereinfacht darstellt, müssen Unterschiede zwischen den beiden Modellen bei der Interpretation berücksichtigt werden. Ziel der Modellhierarchie ist es, die Aussagekraft der einzelnen Modellvarianten zu bewerten und den Einfluss des Stenosegrades auf die Strömung innerhalb der Y-förmigen Karotisaufzweigung zu untersuchen. === Simulationsgebiet und Geometrie === Das Simulationsgebiet besteht aus einer idealisierten Y-förmigen Aufzweigung der Arteria carotis. Die Arteria carotis communis teilt sich in die Arteria carotis interna und die Arteria carotis externa. Die Stenose befindet sich in der Arteria carotis interna. Die Arteria carotis externa wird ohne zusätzliche Verengung modelliert. Die Geometrie orientiert sich an den bereitgestellten Referenzdaten. Die Gefäßdurchmesser werden innerhalb der jeweiligen unverengten Abschnitte als konstant angenommen. {| class="wikitable" style="width:100%;" |+ '''Geometrische Referenzparameter der Y-förmigen Gefäßaufzweigung''' |- ! Gefäßabschnitt ! Durchmesser ! Länge |- | Arteria carotis communis | 6 mm | 60 mm |- | Arteria carotis interna | 5 mm | 60 mm |- | Arteria carotis externa | 4 mm | 60 mm |- | Stenose in der Arteria carotis interna | Abhängig vom Stenosegrad | 10 mm |} Die Verengung wird über den Stenosegrad <math>s</math> beschrieben. Dieser gibt die relative Verringerung des Gefäßdurchmessers an: :<math>s=1-\frac{d_{\min}}{D_{\mathrm{ICA}}}</math> Dabei bezeichnet <math>d_{\min}</math> den minimalen Durchmesser innerhalb der Stenose und <math>D_{\mathrm{ICA}}</math> den unverengten Referenzdurchmesser der Arteria carotis interna. Für das Modell gilt: :<math>D_{\mathrm{ICA}}=5\,\mathrm{mm}</math> Der minimale Durchmesser ergibt sich damit zu: :<math>d_{\min}=D_{\mathrm{ICA}}(1-s)</math> {| class="wikitable" |+ '''Minimaler Durchmesser der Stenose in der Arteria carotis interna''' |- ! Stenosegrad ! Minimaler Durchmesser |- | 0 % | 5,0 mm |- | 10 % | 4,5 mm |- | 20 % | 4,0 mm |- | 30 % | 3,5 mm |- | 40 % | 3,0 mm |- | 50 % | 2,5 mm |- | 60 % | 2,0 mm |- | 70 % | 1,5 mm |- | 80 % | 1,0 mm |} Die angegebenen Stenosegrade beziehen sich ausschließlich auf den Durchmesser der Arteria carotis interna. Der Durchmesser der Arteria carotis communis wird nicht zur Berechnung des Stenosegrades verwendet. Die Y-förmige Geometrie ermöglicht es, die Auswirkungen der Verengung sowohl auf die lokale Strömung in der Arteria carotis interna als auch auf die Strömungsverteilung innerhalb der gesamten Gefäßaufzweigung zu untersuchen. Die genaue Form der Stenose, der Verzweigungswinkel und die Übergänge zwischen den Gefäßabschnitten müssen entsprechend der tatsächlich in COMSOL verwendeten Geometrie dokumentiert werden. == Stoff- und Strömungsparameter == Die Stoffwerte des Blutes und der Volumenstrom sind die einzigen Eingangsgrößen, die nicht aus der Geometrie folgen. Aus ihnen werden alle weiteren Strömungskennwerte berechnet. Die folgenden Schritte zeigen jede Rechnung einzeln, damit sich jeder Wert nachprüfen lässt. # Die '''Dichte''' wird mit <math>\rho = 1060\ \mathrm{kg/m^3}</math> angesetzt. Der Wert lässt sich als Mischungsregel plausibel machen. Plasma hat eine Dichte von etwa 1025 kg/m³, rote Blutkörperchen von etwa 1100 kg/m³. Bei einem Zellanteil von 45 % ergibt sich <math>0{,}55 \cdot 1025 + 0{,}45 \cdot 1100 \approx 1059\ \mathrm{kg/m^3}</math>. Die Dichte geht nur über die Reynoldszahl in die Rechnung ein, eine Abweichung von einem Prozent ändert die Ergebnisse daher kaum. <!-- FIXME Lehrbuchquelle fuer Plasma- und Erythrozytendichte ergaenzen --> # Die '''dynamische Viskosität''' wird mit <math>\mu = 3{,}5\ \mathrm{mPa\,s}</math> angesetzt. Das ist der Grenzwert der Blutviskosität bei hohen Scherraten, also genau der Wert, der zur Newtonschen Näherung gehört. Derselbe Wert von 0,035 Poise wird auch im Standardwerk zur Modellierung des Herz-Kreislauf-Systems verwendet.<ref name="quarteroni">Quarteroni, A.; Formaggia, L.: ''Mathematical Modelling and Numerical Simulation of the Cardiovascular System.'' In: Ayache, N. (Hrsg.): ''Computational Models for the Human Body.'' Handbook of Numerical Analysis, Bd. XII, Elsevier, Amsterdam 2004, S. 3-127. DOI 10.1016/S1570-8659(03)12001-7. Zur Newtonschen Näherung in großen Gefäßen siehe S. 30, zur Viskosität von 0,035 Poise die Parametertabelle auf S. 116.</ref> # Der '''mittlere Volumenstrom''' wird mit <math>Q_0 = 6\ \mathrm{ml/s}</math> angesetzt. Das ist der zeitlich gemittelte Volumenstrom, der in der gemeinsamen Halsschlagader gesunder Probanden gemessen wurde.<ref name="holdsworth" /> # Die '''mittlere Geschwindigkeit''' folgt aus Volumenstrom und Querschnittsfläche, <math>U_0 = \frac{Q_0}{\pi R_0^2} = \frac{6 \cdot 10^{-6}\ \mathrm{m^3/s}}{\pi \cdot (0{,}003\ \mathrm{m})^2} = 0{,}2122\ \mathrm{m/s}</math>. # Die '''Reynoldszahl''' des gesunden Gefäßes ist <math>Re_0 = \frac{\rho\, U_0\, D_0}{\mu} = \frac{1060 \cdot 0{,}2122 \cdot 0{,}006}{0{,}0035} = 385{,}6</math>. Sie wird im Folgenden auf 386 gerundet. # Die '''Einlauflänge''', die eine anfangs gleichförmige Strömung bis zum voll entwickelten Parabelprofil bräuchte, beträgt nach der gebräuchlichen Abschätzung für laminare Rohrströmungen <math>L_e \approx 0{,}06\, Re_0\, D_0 \approx 0{,}06 \cdot 386 \cdot 6\ \mathrm{mm} \approx 139\ \mathrm{mm}</math>.<ref name="durst">Durst, F.; Ray, S.; Ünsal, B.; Bayoumi, O. A.: ''The development lengths of laminar pipe and channel flows.'' Journal of Fluids Engineering 127 (2005), Nr. 6, S. 1154-1160. Für große Reynoldszahlen nähert sich die dort angegebene Korrelation dem Wert 0,057·Re·D.</ref> Das ist fast die gesamte Länge des Rechengebiets. Ein konstantes Einlassprofil würde die Strömung an der Stenose also verfälschen, weshalb am Einlass das voll entwickelte Profil vorgegeben wird. Damit liegen alle globalen Parameter fest. Die folgende Tabelle enthält sie mit genau den Namen, unter denen sie in COMSOL und in den Octave-Skripten verwendet werden. {| class="wikitable" |+ Globale Parameter des Modells ! Name !! Ausdruck in COMSOL !! Wert !! Bedeutung !! Herkunft |- | R0 || 3[mm] || 3 mm || Gefäßradius || Messwerte nach Krejza u. a. 2006, gerundet |- | D0 || 2*R0 || 6 mm || Gefäßdurchmesser || abgeleitet |- | Ls || 2*D0 || 12 mm || Länge der Störstelle || Standardgeometrie nach Varghese u. a. 2007 |- | Lu || 5*D0 || 30 mm || Vorlaufstrecke vor der Stenosemitte || Abstand der Einlassbedingung von der Stenose |- | Ld || 20*D0 || 120 mm || Nachlaufstrecke hinter der Stenosemitte || Platz für das Rückströmgebiet |- | Lf || Ls/2+10*D0 || 66 mm || Ende des fein vernetzten Nachlaufs || erwartete Länge des Rückströmgebiets |- | s || 0 bis 0.8 || 0 bis 0,8 || Stenosegrad bezogen auf den Durchmesser || NASCET-Einteilung |- | rho_b || 1060[kg/m^3] || 1060 kg/m³ || Dichte des Blutes || Mischungsregel, Literaturwert |- | mu_b || 3.5[mPa*s] || 3,5 mPa·s || dynamische Viskosität des Blutes || Hochscherwert, Quarteroni und Formaggia 2004 |- | Q0 || 6[ml/s] || 6 ml/s || mittlerer Volumenstrom || Messwerte nach Holdsworth u. a. 1999 |- | U0 || Q0/(pi*R0^2) || 0,2122 m/s || mittlere Einströmgeschwindigkeit || abgeleitet |- | Re0 || rho_b*U0*D0/mu_b || 385,6 || Reynoldszahl des gesunden Gefäßes || abgeleitet |- | dp_ref || 8*mu_b*U0*(Lu+Ld)/R0^2 || 99,03 Pa || Poiseuille-Druckabfall des gesunden Gefäßes || abgeleitet, Hagen-Poiseuille |} = Implementierung des 2D-Modells in COMSOL Multiphysics = == Zielsetzung des zweidimensionalen Modells == Im Rahmen des Projekts wurde mit COMSOL Multiphysics ein zweidimensionales Modell der menschlichen Halsschlagader erstellt. Ziel ist es, die Blutströmung innerhalb einer Gefäßverzweigung zu untersuchen und insbesondere die Auswirkungen einer lokalen Gefäßverengung (Stenose) auf das Strömungsverhalten zu analysieren. Das Modell bildet die Aufzweigung der Arteria carotis communis (ACC) in die Arteria carotis interna (ACI) und die Arteria carotis externa (ACE) ab. Während die ACE als gesunder Gefäßabschnitt betrachtet wird, befindet sich in der ACI eine lokale Verengung. Dadurch können die Strömungsverhältnisse in beiden Ästen miteinander verglichen werden. Die zweidimensionale Modellierung dient dazu, die Geschwindigkeitsverteilung, den Druckabfall und die Wandschubspannung zu untersuchen. Zusätzlich soll festgestellt werden, ob sich hinter der Stenose Bereiche mit Strömungsablösungen oder Rückströmungen ausbilden. == Ergebnisse der 2D-Strömungssimulation == === Geschwindigkeitsverteilung und Stromlinien === Zur Untersuchung der Blutströmung innerhalb der ''Carotis-Bifurkation'' wurde in COMSOL eine zweidimensionale Geschwindigkeitsdarstellung erstellt. Hierfür wird der Geschwindigkeitsbetrag ''spf.U'' verwendet. Zusätzlich wurden Stromlinien eingerichtet, um den Verlauf der Strömung innerhalb der Gefäßverzweigung zu veranschaulichen. Die Darstellung des Geschwindigkeitsbetrags erfolgt mithilfe einer Farbskala. Dadurch lassen sich Bereiche unterschiedlicher Strömungsgeschwindigkeiten voneinander unterscheiden. Die Stromlinien verdeutlichen zusätzlich, wie das Blut vom gemeinsamen Zuflussgefäß in die beiden Gefäßäste umgelenkt wird. Von besonderem Interesse ist der Bereich der Stenose. Durch die Verringerung des verfügbaren Strömungsquerschnitts ist dort bei entsprechendem Durchfluss eine Beschleunigung des Blutes zu erwarten. Hinter der Engstelle erweitert sich der Querschnitt wieder, wodurch sich das Strömungsprofil erneut verändern kann. Mithilfe der Stromlinien lässt sich außerdem untersuchen, ob die Strömung nach der Verengung weiterhin gleichmäßig verläuft oder ob sich lokale Ablösungen und Rückströmungsgebiete ausbilden. FEHLEND: BILD UND BESCHREIBUNG DAZU === Druckverteilung === Neben der Geschwindigkeitsverteilung wurde in COMSOL eine Darstellung der Druckverteilung angelegt. Diese erfolgt über Isolinien des Drucks p. Isolinien verbinden Punkte, an denen derselbe Druck herrscht. Die Druckverteilung ist insbesondere im Bereich der Gefäßverzweigung und der Stenose von Bedeutung. Beim Durchströmen der Verengung verändert sich die Geschwindigkeit des Blutes, wodurch auch der lokale statische Druck beeinflusst wird. Zusätzlich entstehen aufgrund der Viskosität des Blutes und der geometrischen Veränderungen Druckverluste. Diese sind für die Beurteilung des Strömungswiderstands relevant. Mit der Druckdarstellung kann untersucht werden, wie sich der Druck entlang des Gefäßes verändert und welche Unterschiede zwischen dem gemeinsamen Zufluss und den beiden Auslaufästen auftreten. = Grenzen des Modells = * Die untersuchte Gefäßgeometrie ist eine idealisierte Darstellung der Karotisaufzweigung. Individuelle anatomische Unterschiede werden nicht berücksichtigt. * Darüber hinaus werden die Gefäßwände als starr angenommen und Blut wird durch ein inkompressibles Newtonsches Fluid mit konstanter Viskosität beschrieben. * Die Strömung wird stationär berechnet. Die natürliche Pulsation des Blutflusses und zeitabhängige Effekte bleiben damit unberücksichtigt. * Insbesondere bei hochgradigen Stenosen können zeitabhängige Strömungsablösungen auftreten, die durch eine stationäre Modellierung nicht vollständig beschrieben werden. * Das Graphenmodell kann lokale Strömungsphänomene nicht detailliert erfassen. Das ebene Flächenmodell vereinfacht die räumliche Gefäßgeometrie. Auch das dreidimensionale Modell bleibt aufgrund der idealisierten Geometrie und der vereinfachten Materialannahmen eine Annäherung an die reale Blutströmung. * Die Ergebnisse sind daher als strömungsmechanische Untersuchung eines idealisierten Modells zu interpretieren und nicht als patientenspezifische medizinische Vorhersage. AB HIER ALT== Modellhierarchie == Für die Untersuchung werden vier Modellvarianten betrachtet, die sich hinsichtlich ihrer mathematischen Beschreibung, ihrer räumlichen Dimension und ihres Rechenaufwands unterscheiden. Die Modelle sind bewusst von einer vereinfachten analytischen Beschreibung bis zu einer dreidimensionalen numerischen Simulation angeordnet. Diese Vorgehensweise ermöglicht es, die Ergebnisse der komplexeren Modelle anhand grundlegender physikalischer Zusammenhänge und geeigneter Referenzfälle zu überprüfen. Dabei ist zu beachten, dass nicht jede Modellvariante dieselben Strömungseigenschaften vollständig abbilden kann. {| class="wikitable" style="width:100%;" |+ '''Die vier Modellvarianten des Projekts''' |- ! Modell ! Raumdimension ! Mathematische Grundlage ! Zweck ! Werkzeug |- | '''Graphenmodell''' | 1D, Beschreibung entlang der Gefäßachse | Hagen-Poiseuille-Gesetz für vereinfachte Rohrabschnitte und Massenerhaltung an Verzweigungsknoten | Analytische Abschätzung von Volumenströmen und Druckverlusten; Referenz für die numerischen Modelle | COMSOL mit geeigneter eindimensionaler Formulierung |- | '''Achsensymmetrisches Flächenmodell''' | 2D, rotationssymmetrischer Längsschnitt in den Koordinaten <math>r</math> und <math>z</math> | Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen in achsensymmetrischer Form | Detaillierte Untersuchung von Geschwindigkeits- und Druckfeldern sowie der Wandschubspannung in einem idealisierten rotationssymmetrischen Gefäß | COMSOL Multiphysics, Laminar Flow |- | '''Ebenes Flächenmodell''' | 2D, ebene Geometrie in den Koordinaten <math>x</math> und <math>y</math> | Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen in kartesischen Koordinaten | Untersuchung der Strömung in einer vereinfachten ebenen Geometrie und Vergleich mit dem achsensymmetrischen Modell | COMSOL Multiphysics, Laminar Flow |- | '''Volumenmodell''' | 3D, räumliche Gefäßgeometrie | Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen in drei Raumdimensionen | Räumliche Darstellung der Strömung und Überprüfung der Ergebnisse des achsensymmetrischen Modells bei vergleichbarer Geometrie | COMSOL Multiphysics, Laminar Flow |} == Stoff- und Strömungsparameter == Die Stoffwerte des Blutes und der Volumenstrom sind die einzigen Eingangsgrößen, die nicht aus der Geometrie folgen. Aus ihnen werden alle weiteren Strömungskennwerte berechnet. Die folgenden Schritte zeigen jede Rechnung einzeln, damit sich jeder Wert nachprüfen lässt. # Die '''Dichte''' wird mit <math>\rho = 1060\ \mathrm{kg/m^3}</math> angesetzt. Der Wert lässt sich als Mischungsregel plausibel machen. Plasma hat eine Dichte von etwa 1025 kg/m³, rote Blutkörperchen von etwa 1100 kg/m³. Bei einem Zellanteil von 45 % ergibt sich <math>0{,}55 \cdot 1025 + 0{,}45 \cdot 1100 \approx 1059\ \mathrm{kg/m^3}</math>. Die Dichte geht nur über die Reynoldszahl in die Rechnung ein, eine Abweichung von einem Prozent ändert die Ergebnisse daher kaum. <!-- FIXME Lehrbuchquelle fuer Plasma- und Erythrozytendichte ergaenzen --> # Die '''dynamische Viskosität''' wird mit <math>\mu = 3{,}5\ \mathrm{mPa\,s}</math> angesetzt. Das ist der Grenzwert der Blutviskosität bei hohen Scherraten, also genau der Wert, der zur Newtonschen Näherung gehört. Derselbe Wert von 0,035 Poise wird auch im Standardwerk zur Modellierung des Herz-Kreislauf-Systems verwendet.<ref name="quarteroni">Quarteroni, A.; Formaggia, L.: ''Mathematical Modelling and Numerical Simulation of the Cardiovascular System.'' In: Ayache, N. (Hrsg.): ''Computational Models for the Human Body.'' Handbook of Numerical Analysis, Bd. XII, Elsevier, Amsterdam 2004, S. 3-127. DOI 10.1016/S1570-8659(03)12001-7. Zur Newtonschen Näherung in großen Gefäßen siehe S. 30, zur Viskosität von 0,035 Poise die Parametertabelle auf S. 116.</ref> # Der '''mittlere Volumenstrom''' wird mit <math>Q_0 = 6\ \mathrm{ml/s}</math> angesetzt. Das ist der zeitlich gemittelte Volumenstrom, der in der gemeinsamen Halsschlagader gesunder Probanden gemessen wurde.<ref name="holdsworth" /> # Die '''mittlere Geschwindigkeit''' folgt aus Volumenstrom und Querschnittsfläche, <math>U_0 = \frac{Q_0}{\pi R_0^2} = \frac{6 \cdot 10^{-6}\ \mathrm{m^3/s}}{\pi \cdot (0{,}003\ \mathrm{m})^2} = 0{,}2122\ \mathrm{m/s}</math>. # Die '''Reynoldszahl''' des gesunden Gefäßes ist <math>Re_0 = \frac{\rho\, U_0\, D_0}{\mu} = \frac{1060 \cdot 0{,}2122 \cdot 0{,}006}{0{,}0035} = 385{,}6</math>. Sie wird im Folgenden auf 386 gerundet. # Die '''Einlauflänge''', die eine anfangs gleichförmige Strömung bis zum voll entwickelten Parabelprofil bräuchte, beträgt nach der gebräuchlichen Abschätzung für laminare Rohrströmungen <math>L_e \approx 0{,}06\, Re_0\, D_0 \approx 0{,}06 \cdot 386 \cdot 6\ \mathrm{mm} \approx 139\ \mathrm{mm}</math>.<ref name="durst">Durst, F.; Ray, S.; Ünsal, B.; Bayoumi, O. A.: ''The development lengths of laminar pipe and channel flows.'' Journal of Fluids Engineering 127 (2005), Nr. 6, S. 1154-1160. Für große Reynoldszahlen nähert sich die dort angegebene Korrelation dem Wert 0,057·Re·D.</ref> Das ist fast die gesamte Länge des Rechengebiets. Ein konstantes Einlassprofil würde die Strömung an der Stenose also verfälschen, weshalb am Einlass das voll entwickelte Profil vorgegeben wird. Damit liegen alle globalen Parameter fest. Die folgende Tabelle enthält sie mit genau den Namen, unter denen sie in COMSOL und in den Octave-Skripten verwendet werden. {| class="wikitable" |+ Globale Parameter des Modells ! Name !! Ausdruck in COMSOL !! Wert !! Bedeutung !! Herkunft |- | R0 || 3[mm] || 3 mm || Gefäßradius || Messwerte nach Krejza u. a. 2006, gerundet |- | D0 || 2*R0 || 6 mm || Gefäßdurchmesser || abgeleitet |- | Ls || 2*D0 || 12 mm || Länge der Störstelle || Standardgeometrie nach Varghese u. a. 2007 |- | Lu || 5*D0 || 30 mm || Vorlaufstrecke vor der Stenosemitte || Abstand der Einlassbedingung von der Stenose |- | Ld || 20*D0 || 120 mm || Nachlaufstrecke hinter der Stenosemitte || Platz für das Rückströmgebiet |- | Lf || Ls/2+10*D0 || 66 mm || Ende des fein vernetzten Nachlaufs || erwartete Länge des Rückströmgebiets |- | s || 0 bis 0.8 || 0 bis 0,8 || Stenosegrad bezogen auf den Durchmesser || NASCET-Einteilung |- | rho_b || 1060[kg/m^3] || 1060 kg/m³ || Dichte des Blutes || Mischungsregel, Literaturwert |- | mu_b || 3.5[mPa*s] || 3,5 mPa·s || dynamische Viskosität des Blutes || Hochscherwert, Quarteroni und Formaggia 2004 |- | Q0 || 6[ml/s] || 6 ml/s || mittlerer Volumenstrom || Messwerte nach Holdsworth u. a. 1999 |- | U0 || Q0/(pi*R0^2) || 0,2122 m/s || mittlere Einströmgeschwindigkeit || abgeleitet |- | Re0 || rho_b*U0*D0/mu_b || 385,6 || Reynoldszahl des gesunden Gefäßes || abgeleitet |- | dp_ref || 8*mu_b*U0*(Lu+Ld)/R0^2 || 99,03 Pa || Poiseuille-Druckabfall des gesunden Gefäßes || abgeleitet, Hagen-Poiseuille |} === Vergleich und Überprüfung der Modellvarianten === Die Modellhierarchie folgt dem Prinzip, dass zunächst vereinfachte Zusammenhänge untersucht und anschließend mit detaillierteren numerischen Modellen verglichen werden. Das '''Graphenmodell''' bildet die einfachste Modellvariante. Es verwendet das Hagen-Poiseuille-Gesetz zur Abschätzung des Druckverlustes in geraden Rohrabschnitten mit konstantem Durchmesser. Für den unverengten Referenzfall kann damit eine analytische Vergleichsgröße bestimmt werden. Im Bereich einer Stenose ist die Anwendung jedoch nur als vereinfachte Näherung geeignet, da dort zusätzliche Strömungseffekte auftreten können. Das '''achsensymmetrische Flächenmodell''' ermöglicht eine detailliertere Untersuchung des Geschwindigkeits- und Druckfeldes innerhalb einer idealisierten rotationssymmetrischen Gefäßverengung. Im unverengten Referenzfall können die numerischen Ergebnisse mit der analytischen Poiseuille-Lösung verglichen werden. Bei zunehmendem Stenosegrad werden insbesondere die Beschleunigung im Bereich der Engstelle, der Druckverlust und die Wandschubspannung betrachtet. Das '''ebene Flächenmodell''' beschreibt die Strömung in einer zweidimensionalen kartesischen Geometrie. Im Unterschied zum achsensymmetrischen Modell wird dabei keine Rotationssymmetrie vorausgesetzt. Da sich die geometrische Beschreibung des Strömungsquerschnitts unterscheidet, sind die Ergebnisse nicht ohne Weiteres quantitativ gleichzusetzen. Der Vergleich dient insbesondere dazu, den Einfluss der Modellvereinfachung auf die berechneten Strömungsgrößen zu untersuchen. Das '''Volumenmodell''' erweitert die Untersuchung auf drei Raumdimensionen. Bei einer rotationssymmetrischen Geometrie und entsprechend übereinstimmenden Randbedingungen wird eine weitgehende Übereinstimmung mit dem achsensymmetrischen Modell erwartet. Diese Übereinstimmung muss jedoch anhand der numerischen Ergebnisse überprüft werden. Bei einer Gefäßaufzweigung oder einer asymmetrischen Stenose können zusätzliche räumliche Strömungseffekte auftreten, die durch ein achsensymmetrisches Modell nicht vollständig beschrieben werden. === Referenzfall und Vergleichsgrößen === Als Ausgangspunkt dient ein unverengtes Gefäß mit dem Referenzdurchmesser <math>D_0=6\,\mathrm{mm}</math>. Für das Blut werden eine Dichte von <math>\rho_b=1060\,\mathrm{kg/m^3}</math> und eine dynamische Viskosität von <math>\mu_b=3{,}5\,\mathrm{mPa\,s}</math> angenommen. Der vorgegebene mittlere Volumenstrom beträgt <math>Q_0=6\,\mathrm{ml/s}</math>. Daraus ergibt sich für den unverengten kreisförmigen Querschnitt eine mittlere Strömungsgeschwindigkeit von ungefähr <math>U_0=0{,}2122\,\mathrm{m/s}</math>. Die Referenz-Reynolds-Zahl beträgt <math>\mathrm{Re}_0=385{,}6</math>. Für den in den Referenzdaten definierten Vergleichsfall ist außerdem ein analytischer Druckverlust von <math>\Delta p_{\mathrm{ref}}=99{,}03\,\mathrm{Pa}</math> angegeben. Diese Größen dienen als Ausgangspunkt für die Überprüfung der numerischen Modelle. Ein direkter Vergleich ist jedoch nur zulässig, wenn die jeweils verwendete Geometrie, die Auswertelänge und die Randbedingungen übereinstimmen. === Grenzen der Modellhierarchie === Die vier Modellvarianten unterscheiden sich nicht nur im Rechenaufwand, sondern auch in den physikalischen Effekten, die sie darstellen können. Insbesondere bei hochgradigen Stenosen können starke lokale Geschwindigkeitsänderungen, Strömungsablösungen und zeitabhängige Strömungsstrukturen auftreten. Deshalb muss überprüft werden, ob die Annahme einer stationären laminaren Strömung für die betrachteten Fälle ausreichend ist. Außerdem muss zwischen dem idealisierten geraden Gefäßmodell und einer Gefäßaufzweigung unterschieden werden. Das achsensymmetrische Modell eignet sich für eine rotationssymmetrische Stenose in einem geraden Gefäß, während eine realistische Gefäßaufzweigung eine andere geometrische Beschreibung erfordert. Die Modellvarianten werden daher nicht als vollständig gleichwertig betrachtet. Vielmehr soll der Vergleich zeigen, welche Aussagen bereits durch vereinfachte Modelle möglich sind und für welche Strömungseigenschaften eine detailliertere numerische Beschreibung erforderlich ist. = Modellierung = Modellierung bedeutet hier, die reale Situation in eine mathematische Aufgabe zu übersetzen, die sich lösen lässt. Dazu gehören vier Bausteine, nämlich das Rechengebiet, die Gleichungen, die Zahlenwerte der Parameter und die Bedingungen an den Rändern. Jeder dieser Bausteine beruht auf Annahmen, und jede Annahme muss begründet werden. Dieser Abschnitt geht die Bausteine deshalb der Reihe nach durch und nennt bei jedem Zahlenwert, woher er stammt und warum er sinnvoll ist. == Modellhierarchie == Das Projekt rechnet nicht ein einziges Modell, sondern vier aufeinander aufbauende Modellvarianten. Sie entsprechen der Kursanforderung, eine Strömung als Graph, in zwei und in drei Raumdimensionen darzustellen, und sie sind bewusst von einfach nach aufwendig geordnet. {| class="wikitable" |+ Die vier Modellvarianten des Projekts ! Modell !! Raumdimension !! gelöste Gleichung !! Zweck !! Werkzeug |- | Graphenmodell || 1D, Gefäßachse || Hagen-Poiseuille je Rohrstück und Massenerhaltung in jedem Knoten || schnelle, analytisch nachrechenbare Abschätzung für jeden Stenosegrad || Octave und COMSOL (Koeffizientenform-PDGL) |- | achsensymmetrisches Flächenmodell || 2D, Halbschnitt in r und z || vollständige stationäre Navier-Stokes-Gleichungen in Zylinderkoordinaten || Hauptmodell, liefert alle Feldgrößen des rotationssymmetrischen Rohres || COMSOL, Laminare Strömung |- | ebenes Flächenmodell || 2D, Halbschnitt in x und y || vollständige stationäre Navier-Stokes-Gleichungen in kartesischen Koordinaten || Vergleich, zeigt den Einfluss der zweiten Querschnittsrichtung || COMSOL, Laminare Strömung |- | Volumenmodell || 3D || vollständige stationäre Navier-Stokes-Gleichungen || Kontrolle des Hauptmodells und räumliche Darstellung || COMSOL, Laminare Strömung |} Die Reihenfolge folgt einem einfachen Prinzip. Jede Stufe liefert die Sollwerte, an denen die nächste, komplexere Stufe geprüft wird. Das Graphenmodell muss im gesunden Fall exakt die Poiseuille-Lösung ergeben. Das achsensymmetrische Modell muss im gesunden Fall dieselben Werte liefern und bei Stenose für Geschwindigkeit und Wandschubspannung in der Nähe des Graphenmodells liegen. Das Volumenmodell muss, weil die Geometrie rotationssymmetrisch ist, mit dem achsensymmetrischen Modell übereinstimmen. == Modellannahmen == Um den Einfluss des Stenosegrades möglichst isoliert zu untersuchen, werden die folgenden Modellannahmen getroffen. Die Tabelle nennt zu jeder Annahme ihre mathematische Form, die Begründung und die Stelle, an der sie im Projekt überprüft wird. {| class="wikitable" |+ Modellannahmen, ihre Begründung und ihre Überprüfung ! Annahme !! mathematische Form !! Begründung !! Überprüfung |- | Idealisierte Gefäßgeometrie || gerades Rohr mit kosinusförmiger, rotationssymmetrischer Verengung || isoliert die Wirkung des Stenosegrades von Krümmung, Verzweigung und Plaqueform || Diskussion in den Schlussfolgerungen |- | Starre Gefäßwand || Wand ortsfest, keine Fluid-Struktur-Kopplung || im stationären Fall gibt es keine Druckschwankung, die die Wand periodisch aufweiten könnte || Abschätzung über die gemessene Durchmesseränderung im Herzzyklus |- | Stationäre Strömung || <math>\partial \mathbf{u}/\partial t = \mathbf{0}</math> || der Einfluss des Stenosegrades soll ohne Überlagerung durch die Pulsation sichtbar werden || Abschätzung über die Womersley-Zahl |- | Inkompressibles Fluid || <math>\rho = \mathrm{const}</math>, damit <math>\nabla\cdot\mathbf{u} = 0</math> || Blut ist eine Flüssigkeit, Druckänderungen von wenigen hundert Pascal ändern die Dichte nicht messbar || Massenerhaltung in fünf Querschnitten |- | Newtonsche Näherung || konstante Viskosität <math>\mu</math> || die Scherraten an der Wand und im größten Teil des Querschnitts liegen über dem Bereich, in dem Blut deutlich scherverdünnend wirkt || Scherrate an der Wand, Diskussion des Rückströmgebiets |- | Konstante Stoffeigenschaften || <math>\rho</math> und <math>\mu</math> räumlich und zeitlich konstant || Körpertemperatur ist im betrachteten Abschnitt konstant || entfällt |- | Laminare Strömung || kein Turbulenzmodell, Schnittstelle Laminare Strömung || Reynoldszahl des gesunden Gefäßes von 386 liegt weit unter dem Umschlagbereich || Reynoldszahl in der Engstelle, Literaturvergleich |- | Haftbedingung an der Wand || <math>\mathbf{u} = \mathbf{0}</math> auf der Wand || Folge der Viskosität, das Fluid haftet an der Wand || Grundlage jeder Wandschubspannung |- | Vernachlässigung der Gravitation || keine Volumenkraft || bei konstanter Dichte lässt sich die Schwerkraft vollständig in einen hydrostatischen Druckanteil verschieben und beeinflusst die Geschwindigkeit nicht || Begründung in den Mathematischen Hintergründen |- | Voll entwickelte Einströmung || parabolisches Profil am Einlass || die natürliche Einlaufstrecke wäre mit rund 139 mm fast so lang wie das ganze Rechengebiet || Scheitelgeschwindigkeit im gesunden Fall |- | Eingeprägter Volumenstrom || <math>Q = Q_0</math> am Einlass || der Strömungswiderstand des Abschnitts ist klein gegenüber dem des nachgeschalteten Gefäßbetts || Abschätzung mit einem Reihenwiderstand |} Einige dieser Annahmen sind unmittelbar einsichtig, andere verdienen eine genauere Begründung, weil von ihnen die Aussagekraft der Ergebnisse abhängt. Die '''Newtonsche Näherung''' ist die Annahme, die bei Blut am häufigsten hinterfragt wird. Reales Blut ist eine Suspension aus Plasma und Blutzellen und verhält sich scherverdünnend. Bei kleinen Scherraten lagern sich die roten Blutkörperchen zu geldrollenartigen Stapeln zusammen, und die Viskosität steigt auf ein Vielfaches an. Bei großen Scherraten lösen sich diese Stapel auf, und die Viskosität strebt gegen einen Grenzwert von etwa 3,5 mPa·s. Entscheidend ist also die Scherrate. An der Wand des gesunden Modellgefäßes beträgt sie nach der Poiseuille-Lösung <math>\dot\gamma_w = \frac{4\,U_0}{R_0} = \frac{4 \cdot 0{,}2122\ \mathrm{m/s}}{0{,}003\ \mathrm{m}} \approx 283\ \mathrm{s^{-1}}</math> und liegt damit oberhalb von etwa 100 pro Sekunde, wo sich Newtonsches und nicht Newtonsches Modell nach der Literatur nur noch wenig unterscheiden.<ref name="boyd">Die Grenze von etwa 100 s^-1 wird in vergleichenden Studien zur Blutrheologie verwendet, etwa bei Bernabeu, M. O. u. a.: ''Impact of blood rheology on wall shear stress in a model of the middle cerebral artery.'' Interface Focus 3 (2013), 20120094. <!-- FIXME Zitat und Seitenangabe am Original pruefen --></ref> In der Engstelle steigt die Scherrate weiter an, beim Stenosegrad 0,5 auf rund 2260 pro Sekunde. Schwach ist die Näherung dort, wo die Scherrate klein wird, also in der Mitte des Gefäßes und vor allem im Rückströmgebiet hinter der Stenose. Dort ist reales Blut zäher als angenommen. Dieser Punkt wird in den Schlussfolgerungen wieder aufgegriffen. Die '''stationäre Strömung''' ist die stärkste Vereinfachung. Wie wichtig die Pulsation ist, misst die Womersley-Zahl, die das Verhältnis von instationärer Trägheit zu Reibung angibt. Mit einer Herzfrequenz von 60 Schlägen je Minute, also einer Kreisfrequenz <math>\omega = 2\pi\ \mathrm{s^{-1}}</math>, ergibt sich <math>\alpha = R_0 \sqrt{\frac{\omega \rho}{\mu}} = 0{,}003\ \mathrm{m} \cdot \sqrt{\frac{2\pi\ \mathrm{s^{-1}} \cdot 1060\ \mathrm{kg/m^3}}{0{,}0035\ \mathrm{Pa\,s}}} \approx 4{,}1 .</math> Ein Wert in dieser Größenordnung bedeutet, dass das reale Geschwindigkeitsprofil im Herzzyklus merklich von der Parabel abweicht.<ref name="womersley">Womersley, J. R.: ''Method for the calculation of velocity, rate of flow and viscous drag in arteries when the pressure gradient is known.'' Journal of Physiology 127 (1955), S. 553-563.</ref> Hinzu kommt, dass der Volumenstrom in der Systole kurzzeitig auf rund das Vierfache des Mittelwerts steigt.<ref name="holdsworth">Holdsworth, D. W.; Norley, C. J. D.; Frayne, R.; Steinman, D. A.; Rutt, B. K.: ''Characterization of common carotid artery blood-flow waveforms in normal human subjects.'' Physiological Measurement 20 (1999), Nr. 3, S. 219-240. DOI 10.1088/0967-3334/20/3/301. Angegeben werden ein mittlerer Volumenstrom von 6,0 ± 1,4 ml/s und ein systolischer Spitzenwert von 23,5 ± 3,8 ml/s. <!-- FIXME Zahlenwerte und Probandenzahl am Original pruefen --></ref> Die stationäre Rechnung mit dem Mittelwert beschreibt deshalb nicht den zeitlichen Verlauf, wohl aber den zeitlich gemittelten Zustand, an dem sich der Einfluss des Stenosegrades sauber vergleichen lässt. Die '''laminare Strömung''' wird über die Reynoldszahl begründet. Sie beträgt im gesunden Gefäß 386 und liegt damit weit unter dem Wert von etwa 2300, ab dem die Strömung in einem geraden Rohr in den Übergangsbereich gelangen kann. In der Engstelle steigt sie bei festem Volumenstrom auf <math>Re_0/(1-s)</math>, also auf 551 beim Stenosegrad 0,3, auf 964 beim Grad 0,6 und auf 1928 beim Grad 0,8. Für den Strahl hinter einer Engstelle ist der Umschlagbereich allerdings deutlich niedriger als im geraden Rohr. Direkte numerische Simulationen an genau der in diesem Projekt verwendeten Stenosegeometrie zeigen, dass die Strömung bei einer Einström-Reynoldszahl von 500 auch bei leichter Unsymmetrie laminar bleibt, bei 1000 dagegen schon eine Exzentrizität von fünf Prozent des Durchmessers genügt, um den Strahl in lokal turbulente Strömung umschlagen zu lassen.<ref name="varghese">Varghese, S. S.; Frankel, S. H.; Fischer, P. F.: ''Direct numerical simulation of stenotic flows. Part 1. Steady flow.'' Journal of Fluid Mechanics 582 (2007), S. 253-280. Untersucht wird eine kosinusförmige Stenose der Länge 2D mit 75 % Flächenreduktion, die mit der Geometrie dieses Projekts beim Stenosegrad 0,5 übereinstimmt. <!-- FIXME Band und Seiten am Original pruefen --></ref> Mit einer Einström-Reynoldszahl von 386 liegt das Projekt für die leicht- und mittelgradigen Stenosen sicher im laminaren Bereich. Für die hochgradigen Stenosen ab 0,7 ist ein laminares, stationäres Modell dagegen nur noch eine Näherung, die eine Obergrenze der geordneten Strömung beschreibt. Diese Fälle werden deshalb als Grenzfall des Modells gekennzeichnet. Die '''starre Wand''' lässt sich über Messungen abschätzen. Der Durchmesser der gemeinsamen Halsschlagader ändert sich im Herzzyklus bei jungen Menschen um etwa 12 bis 14 Prozent und bei älteren Menschen um etwa 5 Prozent.<ref name="hansen">Hansen, F.; Mangell, P.; Sonesson, B.; Länne, T.: ''Diameter and compliance in the human common carotid artery: variations with age and sex.'' Ultrasound in Medicine and Biology 21 (1995), Nr. 1, S. 1-9. DOI 10.1016/0301-5629(94)00090-5.</ref> Diese Bewegung ist eine Folge der Pulsation. In einer stationären Rechnung gibt es keine Druckschwankung, die die Wand periodisch aufweiten könnte, sodass die starre Wand zur stationären Annahme konsistent ist. Eine verkalkte Plaque ist ohnehin deutlich steifer als die gesunde Wand. Die Annahme des '''eingeprägten Volumenstroms''' wird im Abschnitt zu den Randbedingungen begründet, weil sie sich nur im Zusammenhang mit dem Kreislauf beurteilen lässt. == Simulationsgebiet und Geometrie == Die Gefäßachse ist die z-Achse, der Ursprung liegt in der Mitte der Stenose, und <math>r</math> bezeichnet den Abstand von der Achse. Das Rechengebiet reicht von <math>z = -L_u</math> bis <math>z = L_d</math> und wird radial von der Wandkontur <math>R(z)</math> begrenzt. Die Verengung wird über eine einzige glatte Funktion beschrieben, <math>R(z) = R_0 \left[ 1 - \frac{s}{2}\left(1 + \cos\frac{2\pi z}{L_s}\right)\right] \quad \text{falls } |z| \le \frac{L_s}{2}, \qquad R(z) = R_0 \ \text{sonst.}</math> Die Funktion hat drei Eigenschaften, die ihre Wahl begründen. Sie wird erstens über einen einzigen Parameter gesteuert, den Stenosegrad <math>s</math>. Der engste Radius in der Mitte beträgt <math>R(0) = R_0(1-s)</math>, und der Fall ohne Verengung ist einfach der Fall <math>s = 0</math>. Die gesamte Vergleichsreihe entsteht damit aus einem einzigen parametrischen Sweep. Sie geht zweitens an beiden Enden der Störstelle ohne Knick in das gerade Rohr über. Bei <math>z = \pm L_s/2</math> ist der Kosinus gleich minus eins, die Klammer also null, und seine Ableitung verschwindet dort ebenfalls. Das ist nicht nur ästhetisch, sondern numerisch notwendig, denn ein Knick in der Wand erzeugt eine Singularität der Wandschubspannung, deren berechneter Wert mit jeder Netzverfeinerung weiter wüchse. Eine Netzstudie wäre dann sinnlos. Sie ist drittens die in der Literatur gebräuchliche Standardgeometrie für Stenosen, sodass sich die Ergebnisse unmittelbar mit veröffentlichten Rechnungen vergleichen lassen.<ref name="varghese" /> [[Datei:Stenose Gruppe5 Wandkontur.svg|mini|zentriert|800px|Wandkontur <math>R(z)</math> für die untersuchten Stenosegrade. Die Darstellung ist in radialer Richtung gestreckt, das Rechengebiet ist in Wirklichkeit fünfundzwanzigmal länger als breit.]] <!-- FIXME Abbildung mit abbildungen_graph_1d.m fuer s = 0 bis 0,8 neu erzeugen, bisher nur bis 0,5 --> Die Abmessungen des Rechengebiets werden alle aus dem Gefäßradius abgeleitet. Das hat den Vorteil, dass sich das gesamte Modell durch Ändern eines einzigen Wertes auf ein anderes Gefäß übertragen lässt. Die einzelnen Längen werden im Folgenden Schritt für Schritt begründet. # Der '''Gefäßradius''' <math>R_0 = 3\ \mathrm{mm}</math> folgt aus Ultraschallmessungen an gesunden Erwachsenen. Dort wurden für die gemeinsame Halsschlagader mittlere Durchmesser von 6,10 ± 0,80 mm bei Frauen und 6,52 ± 0,98 mm bei Männern gemessen.<ref name="krejza">Krejza, J.; Arkuszewski, M.; Kasner, S. E.; Weigele, J.; Ustymowicz, A.; Hurst, R. W.; Cucchiara, B. L.; Messe, S. R.: ''Carotid artery diameter in men and women and the relation to body and neck size.'' Stroke 37 (2006), Nr. 4, S. 1103-1105. DOI 10.1161/01.STR.0000206440.48756.f7.</ref> Der gewählte Durchmesser von <math>D_0 = 6\ \mathrm{mm}</math> liegt damit innerhalb einer Standardabweichung beider Gruppen und ist bewusst auf einen runden Wert gesetzt, damit alle abgeleiteten Längen glatte Zahlen ergeben. # Die '''Länge der Störstelle''' <math>L_s = 2 D_0 = 12\ \mathrm{mm}</math> entspricht der Standardgeometrie aus der Literatur, die eine Stenosenlänge von zwei Durchmessern verwendet.<ref name="varghese" /> Damit ist beim Stenosegrad 0,5 ein direkter Vergleich mit veröffentlichten Ergebnissen möglich. # Die '''Vorlaufstrecke''' <math>L_u = 5 D_0 = 30\ \mathrm{mm}</math> trennt den Einlass von der Stenose. Da am Einlass bereits das voll entwickelte Profil vorgegeben wird, muss sie nicht die Einlaufstrecke abdecken, sondern nur verhindern, dass die Einströmrandbedingung die Strömung an der Engstelle beeinflusst. Bei Reynoldszahlen in dieser Größenordnung reicht der Einfluss einer Verengung nur wenige Durchmesser stromaufwärts, die Literatur kommt für dieselbe Geometrie mit drei Durchmessern Vorlauf aus.<ref name="varghese" /> Fünf Durchmesser lassen also eine Reserve. Überprüft wird das im Ergebnis, indem die Geschwindigkeit auf der Achse in der Mitte der Vorlaufstrecke mit dem Sollwert <math>2U_0</math> verglichen wird. # Die '''Nachlaufstrecke''' <math>L_d = 20 D_0 = 120\ \mathrm{mm}</math> ist deutlich länger, weil sich hinter der Engstelle ein Rückströmgebiet bildet, das nicht auf den Auslass treffen darf. Für die Geometrie mit dem Stenosegrad 0,5 legt die Strömung bei einer Einström-Reynoldszahl von 500 erst etwa zehn Durchmesser hinter der Engstelle wieder an, die Literatur rechnet mit sechzehn Durchmessern Nachlauf.<ref name="varghese" /> Zwanzig Durchmesser bieten damit für alle Stenosegrade bis 0,5 einen Sicherheitsabstand. Für die Grade ab 0,6 ist ein längeres Rückströmgebiet zu erwarten, dort wird die Lage des Wiederanlegepunktes ausdrücklich kontrolliert. # Das '''Ende des fein vernetzten Nachlaufs''' <math>L_f = L_s/2 + 10 D_0 = 66\ \mathrm{mm}</math> legt fest, bis wohin das Netz verfeinert wird. Der Wert ist so gewählt, dass das erwartete Rückströmgebiet von etwa zehn Durchmessern vollständig im feinen Bereich liegt. Damit hat das Rechengebiet eine Gesamtlänge von <math>L = L_u + L_d = 150\ \mathrm{mm}</math>, also das Fünfundzwanzigfache des Durchmessers. Es ist ein Modellgebiet und kein maßstäbliches Abbild eines bestimmten anatomischen Abschnitts. == Stoff- und Strömungsparameter == Die Stoffwerte des Blutes und der Volumenstrom sind die einzigen Eingangsgrößen, die nicht aus der Geometrie folgen. Aus ihnen werden alle weiteren Strömungskennwerte berechnet. Die folgenden Schritte zeigen jede Rechnung einzeln, damit sich jeder Wert nachprüfen lässt. # Die '''Dichte''' wird mit <math>\rho = 1060\ \mathrm{kg/m^3}</math> angesetzt. Der Wert lässt sich als Mischungsregel plausibel machen. Plasma hat eine Dichte von etwa 1025 kg/m³, rote Blutkörperchen von etwa 1100 kg/m³. Bei einem Zellanteil von 45 % ergibt sich <math>0{,}55 \cdot 1025 + 0{,}45 \cdot 1100 \approx 1059\ \mathrm{kg/m^3}</math>. Die Dichte geht nur über die Reynoldszahl in die Rechnung ein, eine Abweichung von einem Prozent ändert die Ergebnisse daher kaum. <!-- FIXME Lehrbuchquelle fuer Plasma- und Erythrozytendichte ergaenzen --> # Die '''dynamische Viskosität''' wird mit <math>\mu = 3{,}5\ \mathrm{mPa\,s}</math> angesetzt. Das ist der Grenzwert der Blutviskosität bei hohen Scherraten, also genau der Wert, der zur Newtonschen Näherung gehört. Derselbe Wert von 0,035 Poise wird auch im Standardwerk zur Modellierung des Herz-Kreislauf-Systems verwendet.<ref name="quarteroni">Quarteroni, A.; Formaggia, L.: ''Mathematical Modelling and Numerical Simulation of the Cardiovascular System.'' In: Ayache, N. (Hrsg.): ''Computational Models for the Human Body.'' Handbook of Numerical Analysis, Bd. XII, Elsevier, Amsterdam 2004, S. 3-127. DOI 10.1016/S1570-8659(03)12001-7. Zur Newtonschen Näherung in großen Gefäßen siehe S. 30, zur Viskosität von 0,035 Poise die Parametertabelle auf S. 116.</ref> # Der '''mittlere Volumenstrom''' wird mit <math>Q_0 = 6\ \mathrm{ml/s}</math> angesetzt. Das ist der zeitlich gemittelte Volumenstrom, der in der gemeinsamen Halsschlagader gesunder Probanden gemessen wurde.<ref name="holdsworth" /> # Die '''mittlere Geschwindigkeit''' folgt aus Volumenstrom und Querschnittsfläche, <math>U_0 = \frac{Q_0}{\pi R_0^2} = \frac{6 \cdot 10^{-6}\ \mathrm{m^3/s}}{\pi \cdot (0{,}003\ \mathrm{m})^2} = 0{,}2122\ \mathrm{m/s}</math>. # Die '''Reynoldszahl''' des gesunden Gefäßes ist <math>Re_0 = \frac{\rho\, U_0\, D_0}{\mu} = \frac{1060 \cdot 0{,}2122 \cdot 0{,}006}{0{,}0035} = 385{,}6</math>. Sie wird im Folgenden auf 386 gerundet. # Die '''Einlauflänge''', die eine anfangs gleichförmige Strömung bis zum voll entwickelten Parabelprofil bräuchte, beträgt nach der gebräuchlichen Abschätzung für laminare Rohrströmungen <math>L_e \approx 0{,}06\, Re_0\, D_0 \approx 0{,}06 \cdot 386 \cdot 6\ \mathrm{mm} \approx 139\ \mathrm{mm}</math>.<ref name="durst">Durst, F.; Ray, S.; Ünsal, B.; Bayoumi, O. A.: ''The development lengths of laminar pipe and channel flows.'' Journal of Fluids Engineering 127 (2005), Nr. 6, S. 1154-1160. Für große Reynoldszahlen nähert sich die dort angegebene Korrelation dem Wert 0,057·Re·D.</ref> Das ist fast die gesamte Länge des Rechengebiets. Ein konstantes Einlassprofil würde die Strömung an der Stenose also verfälschen, weshalb am Einlass das voll entwickelte Profil vorgegeben wird. Damit liegen alle globalen Parameter fest. Die folgende Tabelle enthält sie mit genau den Namen, unter denen sie in COMSOL und in den Octave-Skripten verwendet werden. {| class="wikitable" |+ Globale Parameter des Modells ! Name !! Ausdruck in COMSOL !! Wert !! Bedeutung !! Herkunft |- | R0 || 3[mm] || 3 mm || Gefäßradius || Messwerte nach Krejza u. a. 2006, gerundet |- | D0 || 2*R0 || 6 mm || Gefäßdurchmesser || abgeleitet |- | Ls || 2*D0 || 12 mm || Länge der Störstelle || Standardgeometrie nach Varghese u. a. 2007 |- | Lu || 5*D0 || 30 mm || Vorlaufstrecke vor der Stenosemitte || Abstand der Einlassbedingung von der Stenose |- | Ld || 20*D0 || 120 mm || Nachlaufstrecke hinter der Stenosemitte || Platz für das Rückströmgebiet |- | Lf || Ls/2+10*D0 || 66 mm || Ende des fein vernetzten Nachlaufs || erwartete Länge des Rückströmgebiets |- | s || 0 bis 0.8 || 0 bis 0,8 || Stenosegrad bezogen auf den Durchmesser || NASCET-Einteilung |- | rho_b || 1060[kg/m^3] || 1060 kg/m³ || Dichte des Blutes || Mischungsregel, Literaturwert |- | mu_b || 3.5[mPa*s] || 3,5 mPa·s || dynamische Viskosität des Blutes || Hochscherwert, Quarteroni und Formaggia 2004 |- | Q0 || 6[ml/s] || 6 ml/s || mittlerer Volumenstrom || Messwerte nach Holdsworth u. a. 1999 |- | U0 || Q0/(pi*R0^2) || 0,2122 m/s || mittlere Einströmgeschwindigkeit || abgeleitet |- | Re0 || rho_b*U0*D0/mu_b || 385,6 || Reynoldszahl des gesunden Gefäßes || abgeleitet |- | dp_ref || 8*mu_b*U0*(Lu+Ld)/R0^2 || 99,03 Pa || Poiseuille-Druckabfall des gesunden Gefäßes || abgeleitet, Hagen-Poiseuille |} = Literaturverzeichnis = Alle Quellen sind an den Stellen im Text angegeben, an denen die zugehörigen Werte oder Aussagen verwendet werden. Die Liste wird aus diesen Angaben automatisch erzeugt. <references /> cqrdubfx84jdrwv1074bcm939yd6okm 1116329 1116328 2026-10-16T07:26:13Z Nicole.pander 39567 /* Fragestellung */ 1116329 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Joey Becker * Marie-Thérèse Heitele * Nicole Pander = Thema und Fragestellung = Gegenstand dieses Projekts ist die numerische Simulation der Blutströmung in einer verzweigten Halsschlagader ('''Carotis-Bifurkation''') unter dem Einfluss einer lokalen Gefäßverengung ('''Stenose'''). Im Vergleich zu einfachen Rohrströmungen wird hier die realitätsnahe Gefäßanatomie betrachtet: Die '''Arteria carotis communis (ACC)''' teilt sich in die '''Arteria carotis externa (ACE)''' und die '''Arteria carotis interna (ACI)''' auf. Während die '''ACE''' als gesunder, stenosefreier Ast dient, wird in der '''ACI''' eine geglättete, kosinusförmige Gefäßverengung modelliert. Um scharfe Kanten und unphysiologische Druckspitzen zu vermeiden, werden alle Wandübergänge und die Gabelungsspitze (Apex) anatomisch verrundet. Als Referenz dient ein gesundes, unverengtes Gefäß, in dem sich die Poiseuille-Strömung mit ihrem charakteristischen parabolischen Geschwindigkeitsprofil ausbildet. Diese Strömung ist aus zwei Gründen der natürliche Ausgangspunkt. Sie beschreibt den physiologischen Normalfall, mit dem jeder Stenosegrad verglichen wird, und sie ist exakt lösbar, sodass sich an ihr jede numerische Rechnung prüfen lässt, bevor die Verengung hinzukommt. == Fragestellung == Die Hauptfragestellung dieses Projektes lautet: Wie verändert eine symmetrische bzw. rotationssymmetrische Stenose in der '''Arteria carotis interna (ACI)''' die stationäre Strömung eines inkompressiblen Newton’schen Fluids in einer 2D-Carotis-Bifurkation hinsichtlich Geschwindigkeitsverteilung, Druckabfall, Wandschubspannung und Wirbelbildung im Vergleich zu den gesunden Gefäßabschnitten? Aus dieser Fragestellung ergeben sich drei Teilfragen, an denen sich der Aufbau der Seite orientiert: # Welche Strömungsgrößen reagieren empfindlich auf den Stenosegrad und welche nur träge? # Ab welchem Stenosegrad ändert sich das Strömungsmuster qualitativ, das heißt, ab wann löst die Strömung hinter der Engstelle von der Wand ab und bildet ein Rückströmgebiet? # Wie weit tragen die vereinfachenden Modellannahmen, insbesondere die Annahme einer stationären und laminaren Strömung, über den untersuchten Bereich der Stenosegrade? == Modellannahmen == Im Hinblick darauf werden für dieses Projekt einige Annahmen getroffen, um das Projekt möglichst isoliert zu untersuchen und zu simplifizieren: * '''Idealisierte Gefäßgeometrie''': Betrachtet wird ein Teilabbschnitt der ''Arteria carotis communis'', die sog. ''ACI''. Zudem werden Gefäßverkrümmungen, weitere Verzweigungen und patientenspezifische Strukturen nicht berücksichtigt. * '''Starre Gefäßwand''': Die Gefäßwand wird als unbeweglich und nicht verformbar angenommen. Eine Wechselwirkung zwischen elastischer Gefäßwand und Blutströmung wird nicht modelliert. * '''Stationäre Strömung''': Die Strömungsgrößen werden als zeitlich konstant angenommen. Die im realen Blutkreislauf vorhandene Pulsation durch den Herzschlag wird daher vernachlässigt: <math>\frac{\partial u}{\partial t}=0</math>. * '''Inkompressibles Fluid''': Die Dichte des Fluids wird als konstant angenommen. Damit gilt für die Geschwindigkeit <math>\nabla \cdot u=0</math>. Dies entspricht der in der Vorlesung behandelten Massenerhaltung für inkompressible Fluide: Was in das Gefäß einströmt, muss auch wieder ausströmen. * '''Newton'sche Näherung für Blut''': Reales Blut beseitzt ein nicht newton'sches Fließverhalten. Hier wird Blut als Newton'sches Fluid behandelt. * '''Konstante Stoffeigenschaften''': Dichte <math>\rho</math> und dynamische Viskosität μ werden als räumlich und zeitlich konstant angenommen. Temperaturabhängigkeiten werden nicht berücksichtigt. * '''Laminare Strömung''': Die Strömung wird mit dem COMSOL-Modul ''Laminar Flow'' beschrieben. Ein zusätzliches Turbulenzmodell wird nicht verwendet. * '''No-Slip-Bedingung an Gefäßwand''': Aufgrund der Viskosität wird angenommen, dass das Fluid direkt an der Gefäßwand haftet. Somit gilt <math>u=0</math>. * '''Vernachlässigung der Gravitation''': Gravitation wird nicht berücksichtigt. Die Strömung wird ausschließlich durch die gewählten Ein- und Auslassbedingungen bestimmt. = Relevanz = Die Untersuchung von Gefäßverengungen besitzt sowohl eine medizinische als auch eine methodische Bedeutung. Aus medizinischer Sicht sind arterielle Stenosen – etwa in der Halsschlagader, lat. ''arteria carotis communis'', – kritisch, da sie die Durchblutung beeinträchtigen und durch veränderte Wandschubspannungen sowie die Bildung von Wirbeln weitere Gefäßablagerungen begünstigen. Stenosen im Bereich der Karotisgabelung sind klinisch hochrelevant, da sie das Gehirn direkt versorgen und das Risiko für embolische Schlaganfälle erhöhen. Fachlich überträgt das Projekt damit die Prinzipien der Strömungsmechanik direkt auf eine biomedizinische Anwendung. Das Projekt verknüpft somit theoretische Grundlagen der Strömungsmechanik (Hagen-Poiseuille-Gleichung, Navier-Stokes-Gleichungen) mit der numerischen Simulation in COMSOL Multiphysics. Durch den Vergleich der '''gesunden Externa (ACE)''' mit der '''stenoisierten Interna (ACI)''' innerhalb desselben Rechengebiets wird die isolierte Wirkung der Stenose unter identischen Randbedingungen direkt sichtbar gemacht. == Medizinische Relevanz == Arterielle Stenosen entstehen überwiegend durch Atherosklerose, also durch Ablagerungen aus Lipiden, Bindegewebe und Kalk in der Gefäßwand. In der Halsschlagader sind sie klinisch besonders bedeutsam, weil sie die Durchblutung des Gehirns beeinträchtigen und weil sich an ihnen Thromben bilden können, die als Embolie einen Schlaganfall auslösen. Dass die operative Entfernung einer hochgradigen Karotisstenose das Schlaganfallrisiko symptomatischer Patienten deutlich senkt, hat die NASCET-Studie gezeigt, deren Einteilung der Stenosegrade dieses Projekt übernimmt.<ref name="nascet">North American Symptomatic Carotid Endarterectomy Trial Collaborators: ''Beneficial effect of carotid endarterectomy in symptomatic patients with high-grade carotid stenosis.'' New England Journal of Medicine 325 (1991), Nr. 7, S. 445-453.</ref> Strömungsmechanisch ist an einer Stenose vor allem die Wandschubspannung von Interesse, also die tangentiale Kraft je Fläche, die das strömende Blut auf die innerste Zellschicht der Gefäßwand ausübt. Gesunde Halsschlagadern weisen zeitlich gemittelte Werte von etwa 1,1 bis 1,5 Pa auf.<ref name="samijo">Samijo, S. K.; Willigers, J. M.; Barkhuysen, R.; Kitslaar, P. J. E. H. M.; Reneman, R. S.; Brands, P. J.; Hoeks, A. P. G.: ''Wall shear stress in the human common carotid artery as function of age and gender.'' Cardiovascular Research 39 (1998), Nr. 2, S. 515-522.</ref> In einer Engstelle steigt sie stark an, unmittelbar dahinter fällt sie im Ablösegebiet auf nahezu null und wechselt dort sogar das Vorzeichen. Niedrige und im Vorzeichen wechselnde Wandschubspannungen gelten als Bedingungen, unter denen sich weitere Ablagerungen bevorzugt bilden. Eine bestehende Stenose schafft also stromabwärts die Voraussetzungen für ihr eigenes Wachstum. Genau diese Verteilung lässt sich im Körper nur schwer messen, in einer Simulation dagegen unmittelbar auswerten. == Methodische Relevanz == Fachlich überträgt das Projekt die Prinzipien der Strömungsmechanik aus der Vorlesung auf eine biomedizinische Anwendung.<ref name="hundertmark">Hundertmark, A.: ''Fluiddynamik.'' Vorlesungsunterlagen zum Modul Räumliche Modellbildung, RPTU Kaiserslautern-Landau, Sommersemester 2026.</ref> Der methodische Mehrwert liegt in der Verknüpfung mehrerer Zugänge, die sich gegenseitig kontrollieren. Die analytische Poiseuille-Lösung liefert exakte Sollwerte für das gesunde Gefäß. Ein reduziertes Graphenmodell liefert für jeden Stenosegrad eine schnelle Abschätzung, die analytisch nachrechenbar ist. Die Simulationen in COMSOL Multiphysics lösen schließlich die vollständigen Navier-Stokes-Gleichungen in zwei und drei Raumdimensionen. Weil jede Stufe die Sollwerte der nächsten liefert, zeigt das Projekt nicht nur Ergebnisse, sondern auch, wie numerische Modelle aufgebaut, verifiziert und an ihren Grenzen bewertet werden. == Auswahl der Stenosegrade == Um die untersuchten Gefäßverengungen nicht willkürlich festzulegen, orientiert sich die Auswahl der Stenosegrade an der klinisch gebräuchlichen NASCET-Klassifikation von Karotisstenosen.<ref name="nascet" /> Zur klinischen Einordnung werden Karotisstenosen anhand der nach NASCET bestimmten Durchmesserreduktion in leichtgradige, mittelgradige und hochgradige Stenosen eingeteilt. Die angegebenen Prozentgrenzen dienen in diesem Projekt als Orientierung für die Auswahl der untersuchten Stenosegrade. Ein vollständiger Gefäßverschluss wird als Okklusion bezeichnet. {| class="wikitable" |+ Klinische Einteilung nach NASCET-gemessener Durchmesserreduktion und untersuchte Stenosegrade ! Schweregrad !! Durchmesserreduktion !! im Projekt gerechnete Stenosegrade !! hervorgehobener Vertreter |- | gesundes Gefäß || 0 % || 0 || 0 |- | leichtgradige Stenose || unter 50 % || 0,1 bis 0,4 || 0,3 |- | mittelgradige Stenose || 50 bis 69 % || 0,5 und 0,6 || 0,6 |- | hochgradige Stenose || 70 bis 99 % || 0,7 und 0,8 || 0,8 |- | Okklusion || 100 % || nicht gerechnet || entfällt |} '''Anmerkung''': Die Klassengrenzen dienen der Einordnung der Modellvarianten. Die in der Tabelle genannten Stenosegrade sind dimensionslose Werte, beispielsweise entspricht '''<math>s=0{,}6</math>''' einer Durchmesserreduktion von '''60 %'''. Für die numerische Untersuchung wird aus jeder Kategorie ein repräsentativer Stenosegrad hervorgehoben. Neben dem gesunden Gefäß mit '''0 %''' Stenose sind das eine '''30 %''' Stenose als Beispiel für eine leichtgradige, eine '''60 %''' Stenose als Beispiel für eine mittelgradige und eine '''80 %''' Stenose als Beispiel für eine hochgradige Verengung. Zusätzlich werden für das Graphenmodell und das achsensymmetrische Flächenmodell Stenosegrade von 0 bis 80 % in Schritten von zehn Prozentpunkten vorgesehen. Dadurch kann die Abhängigkeit der Strömungsgrößen vom Stenosegrad systematisch untersucht und grafisch dargestellt werden. Ob alle Modellvarianten tatsächlich berechnet wurden und wie hoch der Rechenaufwand war, wird anhand der durchgeführten Simulationen dokumentiert. Ein vollständiger Gefäßverschluss wird nicht simuliert, da in diesem Fall keine durchgängige Strömung mehr vorliegt. Der Stenosegrad wird in diesem Projekt wie bei NASCET über die Verringerung des Gefäßdurchmessers beschrieben, <math>s = 1 - \frac{d_{\min}}{d_{\mathrm{ref}}},</math>wobei <math>d_{\min}</math> der kleinste Durchmesser in der Engstelle und <math>d_{\mathrm{ref}}</math> ein Referenzdurchmesser ist. NASCET verwendet als Referenz den Durchmesser des gesunden Gefäßes stromabwärts der Stenose. Für das idealisierte gerade Gefäßmodell wird ein konstanter Referenzdurchmesser von <math>D_0=6\,\mathrm{mm}</math> angenommen. Da das Gefäß außerhalb der Stenose denselben Durchmesser besitzt, gilt in diesem Modell<math>d_{\mathrm{ref}}=D_0</math>. Bei der zusätzlich betrachteten Gefäßaufzweigung muss der Referenzdurchmesser dagegen gesondert festgelegt werden, da die Gefäßäste unterschiedliche Durchmesser besitzen. Wichtig für das Verständnis aller weiteren Ergebnisse ist der Unterschied zwischen Durchmesser- und Flächenreduktion. Da die Querschnittsfläche quadratisch vom Durchmesser abhängt, gilt für die Flächenreduktion <math>1-(1-s)^2</math>. Eine im klinischen Sinn nur mittelgradige Stenose von 60 % verschließt damit bereits 84 % der Querschnittsfläche. {| class="wikitable" |+ Durchmesser- und Flächenreduktion der gerechneten Stenosegrade ! Stenosegrad s !! 0 !! 0,1 !! 0,2 !! 0,3 !! 0,4 !! 0,5 !! 0,6 !! 0,7 !! 0,8 |- | engster Durchmesser in mm || 6,0 || 5,4 || 4,8 || 4,2 || 3,6 || 3,0 || 2,4 || 1,8 || 1,2 |- | Flächenreduktion || 0 % || 19 % || 36 % || 51 % || 64 % || 75 % || 84 % || 91 % || 96 % |} Eine Einschränkungen gehört zur ehrlichen Einordnung: # Mit zunehmendem Stenosegrad, insbesondere bei ausgeprägten Verengungen, können lokale Beschleunigungen, Strömungsablösungen und zeitabhängige Strömungsstrukturen auftreten. Daher muss bei den hochgradigen Stenosen geprüft werden, inwieweit die Annahme einer stationären, laminaren Strömung geeignet ist. Eine feste Grenze bei <math>s=0{,}6</math> lässt sich ohne entsprechende Simulationsergebnisse oder Literaturbelege nicht allgemein festlegen. Die hochgradigen Fälle werden deshalb unter besonderer Berücksichtigung der Modellannahmen diskutiert. Unter Modellierung wird in diesem Projekt die Übertragung der Blutströmung in einer verengten Arterie auf ein mathematisches und numerisch lösbares Strömungsproblem verstanden. Dazu werden die Gefäßgeometrie, die zugrunde liegenden Gleichungen, die physikalischen Materialparameter sowie die Anfangs- und Randbedingungen festgelegt. Jeder dieser Bestandteile beruht auf vereinfachenden Annahmen, die begründet und bei der Interpretation der Ergebnisse berücksichtigt werden müssen. Ziel ist es, den Einfluss unterschiedlicher Stenosegrade auf die Strömungsgeschwindigkeit, den Druckverlust und gegebenenfalls die Wandschubspannung systematisch zu untersuchen. Die Modellierung erfolgt anhand mehrerer Modellvarianten mit unterschiedlicher räumlicher Auflösung. Dadurch können zunächst grundlegende Zusammenhänge analytisch abgeschätzt und anschließend mit numerischen Strömungsberechnungen verglichen werden. Die verwendeten Parameter orientieren sich an den bereitgestellten Referenzdaten und werden in den folgenden Abschnitten erläutert. == Modellierung == Ziel der Modellierung ist es, die Blutströmung innerhalb einer Y-förmigen Aufzweigung der Halsschlagader mathematisch und numerisch zu untersuchen. Im Mittelpunkt steht eine Gefäßverengung (Stenose) in der Arteria carotis interna. Das betrachtete Gefäßmodell besteht aus der Arteria carotis communis, die sich in die Arteria carotis interna und die Arteria carotis externa aufteilt. Die Stenose befindet sich ausschließlich in der Arteria carotis interna. Durch die Verengung verändert sich der verfügbare Strömungsquerschnitt. Dies kann zu einer Erhöhung der lokalen Strömungsgeschwindigkeit, zu zusätzlichen Druckverlusten und zu einer Veränderung der Strömungsverteilung zwischen den beiden Gefäßästen führen. Ziel ist es, den Einfluss unterschiedlicher Stenosegrade auf die Strömungsgeschwindigkeit, die Druckverteilung und die Wandschubspannung zu untersuchen. Zusätzlich soll betrachtet werden, wie sich die Strömung innerhalb der Y-förmigen Gefäßaufzweigung verhält. Die numerische Modellierung erfolgt mit COMSOL Multiphysics. Dazu werden die Gefäßgeometrie, die Materialeigenschaften des Blutes, die Strömungsgleichungen und die Randbedingungen festgelegt. Zur Vereinfachung wird Blut zunächst als inkompressibles, Newtonsches Fluid betrachtet. Die Gefäßwände werden als starr angenommen. Diese Annahmen ermöglichen eine systematische Untersuchung der Stenose, schränken jedoch die Übertragbarkeit auf reale physiologische Bedingungen ein. === Modellhierarchie === Für die Untersuchung der Blutströmung innerhalb der Y-förmigen Karotisaufzweigung werden drei Modellvarianten betrachtet. Diese unterscheiden sich hinsichtlich ihrer räumlichen Dimension, ihrer mathematischen Beschreibung und der Genauigkeit, mit der die Strömungsverhältnisse dargestellt werden können. Das untersuchte Gefäß besteht aus der Arteria carotis communis, die sich in die Arteria carotis interna und die Arteria carotis externa aufteilt. Die Stenose befindet sich ausschließlich in der Arteria carotis interna. Alle drei Modellvarianten werden mit COMSOL Multiphysics umgesetzt. {| class="wikitable" style="width:100%;" |+ '''Die drei Modellvarianten des Projekts''' |- ! Modell ! Raumdimension ! Mathematische Grundlage ! Zweck ! Werkzeug |- | '''Graphenmodell''' | 1D, Gefäßnetzwerk mit einer Verzweigung | Massenerhaltung an der Verzweigung und vereinfachte Beschreibung der Strömungswiderstände | Abschätzung der Volumenstromverteilung und der Druckverluste in den Gefäßästen | COMSOL Multiphysics |- | '''Ebenes Flächenmodell''' | 2D, Y-förmige Gefäßgeometrie in kartesischen Koordinaten | Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen | Untersuchung der Geschwindigkeits- und Druckverteilung sowie der Auswirkungen der Stenose in der Arteria carotis interna | COMSOL Multiphysics, Laminare Strömung |- | '''Volumenmodell''' | 3D, räumliche Y-förmige Gefäßgeometrie | Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen | Räumliche Untersuchung des Geschwindigkeitsfeldes, des Druckverlustes und der Wandschubspannung | COMSOL Multiphysics, Laminare Strömung |} ==== Vergleich und Überprüfung der Modellvarianten ==== Die drei Modellvarianten bauen hinsichtlich ihrer räumlichen Beschreibung aufeinander auf. Das Graphenmodell ermöglicht zunächst eine vereinfachte Betrachtung der Volumenströme und Druckverluste. Die zwei- und dreidimensionalen Modelle erlauben anschließend eine detailliertere Untersuchung der Strömung innerhalb der Gefäßaufzweigung. Das '''Graphenmodell''' beschreibt die Arteria carotis communis sowie die beiden abzweigenden Gefäße als miteinander verbundenes Netzwerk. Dabei wird die Massenerhaltung an der Verzweigung berücksichtigt: :<math>Q_{\mathrm{CCA}}=Q_{\mathrm{ICA}}+Q_{\mathrm{ECA}}</math> Das Modell liefert vereinfachte Abschätzungen der Volumenstromverteilung. Lokale Strömungsablösungen und räumliche Geschwindigkeitsverteilungen können damit nicht detailliert dargestellt werden. Das '''ebene Flächenmodell''' bildet die Y-förmige Gefäßaufzweigung in zwei Raumdimensionen ab. Die Stenose wird innerhalb der Arteria carotis interna berücksichtigt. Dadurch können die Geschwindigkeits- und Druckverteilung sowie mögliche Rückströmungsbereiche untersucht werden. Das '''Volumenmodell''' erweitert die Untersuchung auf drei Raumdimensionen. Es ermöglicht eine räumliche Darstellung der Strömung und eine detailliertere Berechnung der Wandschubspannung. Die Ergebnisse des ebenen Flächenmodells und des Volumenmodells werden miteinander verglichen. Da das ebene Modell die räumliche Querschnittsgeometrie nur vereinfacht darstellt, müssen Unterschiede zwischen den beiden Modellen bei der Interpretation berücksichtigt werden. Ziel der Modellhierarchie ist es, die Aussagekraft der einzelnen Modellvarianten zu bewerten und den Einfluss des Stenosegrades auf die Strömung innerhalb der Y-förmigen Karotisaufzweigung zu untersuchen. === Simulationsgebiet und Geometrie === Das Simulationsgebiet besteht aus einer idealisierten Y-förmigen Aufzweigung der Arteria carotis. Die Arteria carotis communis teilt sich in die Arteria carotis interna und die Arteria carotis externa. Die Stenose befindet sich in der Arteria carotis interna. Die Arteria carotis externa wird ohne zusätzliche Verengung modelliert. Die Geometrie orientiert sich an den bereitgestellten Referenzdaten. Die Gefäßdurchmesser werden innerhalb der jeweiligen unverengten Abschnitte als konstant angenommen. {| class="wikitable" style="width:100%;" |+ '''Geometrische Referenzparameter der Y-förmigen Gefäßaufzweigung''' |- ! Gefäßabschnitt ! Durchmesser ! Länge |- | Arteria carotis communis | 6 mm | 60 mm |- | Arteria carotis interna | 5 mm | 60 mm |- | Arteria carotis externa | 4 mm | 60 mm |- | Stenose in der Arteria carotis interna | Abhängig vom Stenosegrad | 10 mm |} Die Verengung wird über den Stenosegrad <math>s</math> beschrieben. Dieser gibt die relative Verringerung des Gefäßdurchmessers an: :<math>s=1-\frac{d_{\min}}{D_{\mathrm{ICA}}}</math> Dabei bezeichnet <math>d_{\min}</math> den minimalen Durchmesser innerhalb der Stenose und <math>D_{\mathrm{ICA}}</math> den unverengten Referenzdurchmesser der Arteria carotis interna. Für das Modell gilt: :<math>D_{\mathrm{ICA}}=5\,\mathrm{mm}</math> Der minimale Durchmesser ergibt sich damit zu: :<math>d_{\min}=D_{\mathrm{ICA}}(1-s)</math> {| class="wikitable" |+ '''Minimaler Durchmesser der Stenose in der Arteria carotis interna''' |- ! Stenosegrad ! Minimaler Durchmesser |- | 0 % | 5,0 mm |- | 10 % | 4,5 mm |- | 20 % | 4,0 mm |- | 30 % | 3,5 mm |- | 40 % | 3,0 mm |- | 50 % | 2,5 mm |- | 60 % | 2,0 mm |- | 70 % | 1,5 mm |- | 80 % | 1,0 mm |} Die angegebenen Stenosegrade beziehen sich ausschließlich auf den Durchmesser der Arteria carotis interna. Der Durchmesser der Arteria carotis communis wird nicht zur Berechnung des Stenosegrades verwendet. Die Y-förmige Geometrie ermöglicht es, die Auswirkungen der Verengung sowohl auf die lokale Strömung in der Arteria carotis interna als auch auf die Strömungsverteilung innerhalb der gesamten Gefäßaufzweigung zu untersuchen. Die genaue Form der Stenose, der Verzweigungswinkel und die Übergänge zwischen den Gefäßabschnitten müssen entsprechend der tatsächlich in COMSOL verwendeten Geometrie dokumentiert werden. == Stoff- und Strömungsparameter == Die Stoffwerte des Blutes und der Volumenstrom sind die einzigen Eingangsgrößen, die nicht aus der Geometrie folgen. Aus ihnen werden alle weiteren Strömungskennwerte berechnet. Die folgenden Schritte zeigen jede Rechnung einzeln, damit sich jeder Wert nachprüfen lässt. # Die '''Dichte''' wird mit <math>\rho = 1060\ \mathrm{kg/m^3}</math> angesetzt. Der Wert lässt sich als Mischungsregel plausibel machen. Plasma hat eine Dichte von etwa 1025 kg/m³, rote Blutkörperchen von etwa 1100 kg/m³. Bei einem Zellanteil von 45 % ergibt sich <math>0{,}55 \cdot 1025 + 0{,}45 \cdot 1100 \approx 1059\ \mathrm{kg/m^3}</math>. Die Dichte geht nur über die Reynoldszahl in die Rechnung ein, eine Abweichung von einem Prozent ändert die Ergebnisse daher kaum. <!-- FIXME Lehrbuchquelle fuer Plasma- und Erythrozytendichte ergaenzen --> # Die '''dynamische Viskosität''' wird mit <math>\mu = 3{,}5\ \mathrm{mPa\,s}</math> angesetzt. Das ist der Grenzwert der Blutviskosität bei hohen Scherraten, also genau der Wert, der zur Newtonschen Näherung gehört. Derselbe Wert von 0,035 Poise wird auch im Standardwerk zur Modellierung des Herz-Kreislauf-Systems verwendet.<ref name="quarteroni">Quarteroni, A.; Formaggia, L.: ''Mathematical Modelling and Numerical Simulation of the Cardiovascular System.'' In: Ayache, N. (Hrsg.): ''Computational Models for the Human Body.'' Handbook of Numerical Analysis, Bd. XII, Elsevier, Amsterdam 2004, S. 3-127. DOI 10.1016/S1570-8659(03)12001-7. Zur Newtonschen Näherung in großen Gefäßen siehe S. 30, zur Viskosität von 0,035 Poise die Parametertabelle auf S. 116.</ref> # Der '''mittlere Volumenstrom''' wird mit <math>Q_0 = 6\ \mathrm{ml/s}</math> angesetzt. Das ist der zeitlich gemittelte Volumenstrom, der in der gemeinsamen Halsschlagader gesunder Probanden gemessen wurde.<ref name="holdsworth" /> # Die '''mittlere Geschwindigkeit''' folgt aus Volumenstrom und Querschnittsfläche, <math>U_0 = \frac{Q_0}{\pi R_0^2} = \frac{6 \cdot 10^{-6}\ \mathrm{m^3/s}}{\pi \cdot (0{,}003\ \mathrm{m})^2} = 0{,}2122\ \mathrm{m/s}</math>. # Die '''Reynoldszahl''' des gesunden Gefäßes ist <math>Re_0 = \frac{\rho\, U_0\, D_0}{\mu} = \frac{1060 \cdot 0{,}2122 \cdot 0{,}006}{0{,}0035} = 385{,}6</math>. Sie wird im Folgenden auf 386 gerundet. # Die '''Einlauflänge''', die eine anfangs gleichförmige Strömung bis zum voll entwickelten Parabelprofil bräuchte, beträgt nach der gebräuchlichen Abschätzung für laminare Rohrströmungen <math>L_e \approx 0{,}06\, Re_0\, D_0 \approx 0{,}06 \cdot 386 \cdot 6\ \mathrm{mm} \approx 139\ \mathrm{mm}</math>.<ref name="durst">Durst, F.; Ray, S.; Ünsal, B.; Bayoumi, O. A.: ''The development lengths of laminar pipe and channel flows.'' Journal of Fluids Engineering 127 (2005), Nr. 6, S. 1154-1160. Für große Reynoldszahlen nähert sich die dort angegebene Korrelation dem Wert 0,057·Re·D.</ref> Das ist fast die gesamte Länge des Rechengebiets. Ein konstantes Einlassprofil würde die Strömung an der Stenose also verfälschen, weshalb am Einlass das voll entwickelte Profil vorgegeben wird. Damit liegen alle globalen Parameter fest. Die folgende Tabelle enthält sie mit genau den Namen, unter denen sie in COMSOL und in den Octave-Skripten verwendet werden. {| class="wikitable" |+ Globale Parameter des Modells ! Name !! Ausdruck in COMSOL !! Wert !! Bedeutung !! Herkunft |- | R0 || 3[mm] || 3 mm || Gefäßradius || Messwerte nach Krejza u. a. 2006, gerundet |- | D0 || 2*R0 || 6 mm || Gefäßdurchmesser || abgeleitet |- | Ls || 2*D0 || 12 mm || Länge der Störstelle || Standardgeometrie nach Varghese u. a. 2007 |- | Lu || 5*D0 || 30 mm || Vorlaufstrecke vor der Stenosemitte || Abstand der Einlassbedingung von der Stenose |- | Ld || 20*D0 || 120 mm || Nachlaufstrecke hinter der Stenosemitte || Platz für das Rückströmgebiet |- | Lf || Ls/2+10*D0 || 66 mm || Ende des fein vernetzten Nachlaufs || erwartete Länge des Rückströmgebiets |- | s || 0 bis 0.8 || 0 bis 0,8 || Stenosegrad bezogen auf den Durchmesser || NASCET-Einteilung |- | rho_b || 1060[kg/m^3] || 1060 kg/m³ || Dichte des Blutes || Mischungsregel, Literaturwert |- | mu_b || 3.5[mPa*s] || 3,5 mPa·s || dynamische Viskosität des Blutes || Hochscherwert, Quarteroni und Formaggia 2004 |- | Q0 || 6[ml/s] || 6 ml/s || mittlerer Volumenstrom || Messwerte nach Holdsworth u. a. 1999 |- | U0 || Q0/(pi*R0^2) || 0,2122 m/s || mittlere Einströmgeschwindigkeit || abgeleitet |- | Re0 || rho_b*U0*D0/mu_b || 385,6 || Reynoldszahl des gesunden Gefäßes || abgeleitet |- | dp_ref || 8*mu_b*U0*(Lu+Ld)/R0^2 || 99,03 Pa || Poiseuille-Druckabfall des gesunden Gefäßes || abgeleitet, Hagen-Poiseuille |} = Implementierung des 2D-Modells in COMSOL Multiphysics = == Zielsetzung des zweidimensionalen Modells == Im Rahmen des Projekts wurde mit COMSOL Multiphysics ein zweidimensionales Modell der menschlichen Halsschlagader erstellt. Ziel ist es, die Blutströmung innerhalb einer Gefäßverzweigung zu untersuchen und insbesondere die Auswirkungen einer lokalen Gefäßverengung (Stenose) auf das Strömungsverhalten zu analysieren. Das Modell bildet die Aufzweigung der Arteria carotis communis (ACC) in die Arteria carotis interna (ACI) und die Arteria carotis externa (ACE) ab. Während die ACE als gesunder Gefäßabschnitt betrachtet wird, befindet sich in der ACI eine lokale Verengung. Dadurch können die Strömungsverhältnisse in beiden Ästen miteinander verglichen werden. Die zweidimensionale Modellierung dient dazu, die Geschwindigkeitsverteilung, den Druckabfall und die Wandschubspannung zu untersuchen. Zusätzlich soll festgestellt werden, ob sich hinter der Stenose Bereiche mit Strömungsablösungen oder Rückströmungen ausbilden. == Ergebnisse der 2D-Strömungssimulation == === Geschwindigkeitsverteilung und Stromlinien === Zur Untersuchung der Blutströmung innerhalb der ''Carotis-Bifurkation'' wurde in COMSOL eine zweidimensionale Geschwindigkeitsdarstellung erstellt. Hierfür wird der Geschwindigkeitsbetrag ''spf.U'' verwendet. Zusätzlich wurden Stromlinien eingerichtet, um den Verlauf der Strömung innerhalb der Gefäßverzweigung zu veranschaulichen. Die Darstellung des Geschwindigkeitsbetrags erfolgt mithilfe einer Farbskala. Dadurch lassen sich Bereiche unterschiedlicher Strömungsgeschwindigkeiten voneinander unterscheiden. Die Stromlinien verdeutlichen zusätzlich, wie das Blut vom gemeinsamen Zuflussgefäß in die beiden Gefäßäste umgelenkt wird. Von besonderem Interesse ist der Bereich der Stenose. Durch die Verringerung des verfügbaren Strömungsquerschnitts ist dort bei entsprechendem Durchfluss eine Beschleunigung des Blutes zu erwarten. Hinter der Engstelle erweitert sich der Querschnitt wieder, wodurch sich das Strömungsprofil erneut verändern kann. Mithilfe der Stromlinien lässt sich außerdem untersuchen, ob die Strömung nach der Verengung weiterhin gleichmäßig verläuft oder ob sich lokale Ablösungen und Rückströmungsgebiete ausbilden. FEHLEND: BILD UND BESCHREIBUNG DAZU === Druckverteilung === Neben der Geschwindigkeitsverteilung wurde in COMSOL eine Darstellung der Druckverteilung angelegt. Diese erfolgt über Isolinien des Drucks p. Isolinien verbinden Punkte, an denen derselbe Druck herrscht. Die Druckverteilung ist insbesondere im Bereich der Gefäßverzweigung und der Stenose von Bedeutung. Beim Durchströmen der Verengung verändert sich die Geschwindigkeit des Blutes, wodurch auch der lokale statische Druck beeinflusst wird. Zusätzlich entstehen aufgrund der Viskosität des Blutes und der geometrischen Veränderungen Druckverluste. Diese sind für die Beurteilung des Strömungswiderstands relevant. Mit der Druckdarstellung kann untersucht werden, wie sich der Druck entlang des Gefäßes verändert und welche Unterschiede zwischen dem gemeinsamen Zufluss und den beiden Auslaufästen auftreten. = Grenzen des Modells = * Die untersuchte Gefäßgeometrie ist eine idealisierte Darstellung der Karotisaufzweigung. Individuelle anatomische Unterschiede werden nicht berücksichtigt. * Darüber hinaus werden die Gefäßwände als starr angenommen und Blut wird durch ein inkompressibles Newtonsches Fluid mit konstanter Viskosität beschrieben. * Die Strömung wird stationär berechnet. Die natürliche Pulsation des Blutflusses und zeitabhängige Effekte bleiben damit unberücksichtigt. * Insbesondere bei hochgradigen Stenosen können zeitabhängige Strömungsablösungen auftreten, die durch eine stationäre Modellierung nicht vollständig beschrieben werden. * Das Graphenmodell kann lokale Strömungsphänomene nicht detailliert erfassen. Das ebene Flächenmodell vereinfacht die räumliche Gefäßgeometrie. Auch das dreidimensionale Modell bleibt aufgrund der idealisierten Geometrie und der vereinfachten Materialannahmen eine Annäherung an die reale Blutströmung. * Die Ergebnisse sind daher als strömungsmechanische Untersuchung eines idealisierten Modells zu interpretieren und nicht als patientenspezifische medizinische Vorhersage. AB HIER ALT== Modellhierarchie == Für die Untersuchung werden vier Modellvarianten betrachtet, die sich hinsichtlich ihrer mathematischen Beschreibung, ihrer räumlichen Dimension und ihres Rechenaufwands unterscheiden. Die Modelle sind bewusst von einer vereinfachten analytischen Beschreibung bis zu einer dreidimensionalen numerischen Simulation angeordnet. Diese Vorgehensweise ermöglicht es, die Ergebnisse der komplexeren Modelle anhand grundlegender physikalischer Zusammenhänge und geeigneter Referenzfälle zu überprüfen. Dabei ist zu beachten, dass nicht jede Modellvariante dieselben Strömungseigenschaften vollständig abbilden kann. {| class="wikitable" style="width:100%;" |+ '''Die vier Modellvarianten des Projekts''' |- ! Modell ! Raumdimension ! Mathematische Grundlage ! Zweck ! Werkzeug |- | '''Graphenmodell''' | 1D, Beschreibung entlang der Gefäßachse | Hagen-Poiseuille-Gesetz für vereinfachte Rohrabschnitte und Massenerhaltung an Verzweigungsknoten | Analytische Abschätzung von Volumenströmen und Druckverlusten; Referenz für die numerischen Modelle | COMSOL mit geeigneter eindimensionaler Formulierung |- | '''Achsensymmetrisches Flächenmodell''' | 2D, rotationssymmetrischer Längsschnitt in den Koordinaten <math>r</math> und <math>z</math> | Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen in achsensymmetrischer Form | Detaillierte Untersuchung von Geschwindigkeits- und Druckfeldern sowie der Wandschubspannung in einem idealisierten rotationssymmetrischen Gefäß | COMSOL Multiphysics, Laminar Flow |- | '''Ebenes Flächenmodell''' | 2D, ebene Geometrie in den Koordinaten <math>x</math> und <math>y</math> | Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen in kartesischen Koordinaten | Untersuchung der Strömung in einer vereinfachten ebenen Geometrie und Vergleich mit dem achsensymmetrischen Modell | COMSOL Multiphysics, Laminar Flow |- | '''Volumenmodell''' | 3D, räumliche Gefäßgeometrie | Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen in drei Raumdimensionen | Räumliche Darstellung der Strömung und Überprüfung der Ergebnisse des achsensymmetrischen Modells bei vergleichbarer Geometrie | COMSOL Multiphysics, Laminar Flow |} == Stoff- und Strömungsparameter == Die Stoffwerte des Blutes und der Volumenstrom sind die einzigen Eingangsgrößen, die nicht aus der Geometrie folgen. Aus ihnen werden alle weiteren Strömungskennwerte berechnet. Die folgenden Schritte zeigen jede Rechnung einzeln, damit sich jeder Wert nachprüfen lässt. # Die '''Dichte''' wird mit <math>\rho = 1060\ \mathrm{kg/m^3}</math> angesetzt. Der Wert lässt sich als Mischungsregel plausibel machen. Plasma hat eine Dichte von etwa 1025 kg/m³, rote Blutkörperchen von etwa 1100 kg/m³. Bei einem Zellanteil von 45 % ergibt sich <math>0{,}55 \cdot 1025 + 0{,}45 \cdot 1100 \approx 1059\ \mathrm{kg/m^3}</math>. Die Dichte geht nur über die Reynoldszahl in die Rechnung ein, eine Abweichung von einem Prozent ändert die Ergebnisse daher kaum. <!-- FIXME Lehrbuchquelle fuer Plasma- und Erythrozytendichte ergaenzen --> # Die '''dynamische Viskosität''' wird mit <math>\mu = 3{,}5\ \mathrm{mPa\,s}</math> angesetzt. Das ist der Grenzwert der Blutviskosität bei hohen Scherraten, also genau der Wert, der zur Newtonschen Näherung gehört. Derselbe Wert von 0,035 Poise wird auch im Standardwerk zur Modellierung des Herz-Kreislauf-Systems verwendet.<ref name="quarteroni">Quarteroni, A.; Formaggia, L.: ''Mathematical Modelling and Numerical Simulation of the Cardiovascular System.'' In: Ayache, N. (Hrsg.): ''Computational Models for the Human Body.'' Handbook of Numerical Analysis, Bd. XII, Elsevier, Amsterdam 2004, S. 3-127. DOI 10.1016/S1570-8659(03)12001-7. Zur Newtonschen Näherung in großen Gefäßen siehe S. 30, zur Viskosität von 0,035 Poise die Parametertabelle auf S. 116.</ref> # Der '''mittlere Volumenstrom''' wird mit <math>Q_0 = 6\ \mathrm{ml/s}</math> angesetzt. Das ist der zeitlich gemittelte Volumenstrom, der in der gemeinsamen Halsschlagader gesunder Probanden gemessen wurde.<ref name="holdsworth" /> # Die '''mittlere Geschwindigkeit''' folgt aus Volumenstrom und Querschnittsfläche, <math>U_0 = \frac{Q_0}{\pi R_0^2} = \frac{6 \cdot 10^{-6}\ \mathrm{m^3/s}}{\pi \cdot (0{,}003\ \mathrm{m})^2} = 0{,}2122\ \mathrm{m/s}</math>. # Die '''Reynoldszahl''' des gesunden Gefäßes ist <math>Re_0 = \frac{\rho\, U_0\, D_0}{\mu} = \frac{1060 \cdot 0{,}2122 \cdot 0{,}006}{0{,}0035} = 385{,}6</math>. Sie wird im Folgenden auf 386 gerundet. # Die '''Einlauflänge''', die eine anfangs gleichförmige Strömung bis zum voll entwickelten Parabelprofil bräuchte, beträgt nach der gebräuchlichen Abschätzung für laminare Rohrströmungen <math>L_e \approx 0{,}06\, Re_0\, D_0 \approx 0{,}06 \cdot 386 \cdot 6\ \mathrm{mm} \approx 139\ \mathrm{mm}</math>.<ref name="durst">Durst, F.; Ray, S.; Ünsal, B.; Bayoumi, O. A.: ''The development lengths of laminar pipe and channel flows.'' Journal of Fluids Engineering 127 (2005), Nr. 6, S. 1154-1160. Für große Reynoldszahlen nähert sich die dort angegebene Korrelation dem Wert 0,057·Re·D.</ref> Das ist fast die gesamte Länge des Rechengebiets. Ein konstantes Einlassprofil würde die Strömung an der Stenose also verfälschen, weshalb am Einlass das voll entwickelte Profil vorgegeben wird. Damit liegen alle globalen Parameter fest. Die folgende Tabelle enthält sie mit genau den Namen, unter denen sie in COMSOL und in den Octave-Skripten verwendet werden. {| class="wikitable" |+ Globale Parameter des Modells ! Name !! Ausdruck in COMSOL !! Wert !! Bedeutung !! Herkunft |- | R0 || 3[mm] || 3 mm || Gefäßradius || Messwerte nach Krejza u. a. 2006, gerundet |- | D0 || 2*R0 || 6 mm || Gefäßdurchmesser || abgeleitet |- | Ls || 2*D0 || 12 mm || Länge der Störstelle || Standardgeometrie nach Varghese u. a. 2007 |- | Lu || 5*D0 || 30 mm || Vorlaufstrecke vor der Stenosemitte || Abstand der Einlassbedingung von der Stenose |- | Ld || 20*D0 || 120 mm || Nachlaufstrecke hinter der Stenosemitte || Platz für das Rückströmgebiet |- | Lf || Ls/2+10*D0 || 66 mm || Ende des fein vernetzten Nachlaufs || erwartete Länge des Rückströmgebiets |- | s || 0 bis 0.8 || 0 bis 0,8 || Stenosegrad bezogen auf den Durchmesser || NASCET-Einteilung |- | rho_b || 1060[kg/m^3] || 1060 kg/m³ || Dichte des Blutes || Mischungsregel, Literaturwert |- | mu_b || 3.5[mPa*s] || 3,5 mPa·s || dynamische Viskosität des Blutes || Hochscherwert, Quarteroni und Formaggia 2004 |- | Q0 || 6[ml/s] || 6 ml/s || mittlerer Volumenstrom || Messwerte nach Holdsworth u. a. 1999 |- | U0 || Q0/(pi*R0^2) || 0,2122 m/s || mittlere Einströmgeschwindigkeit || abgeleitet |- | Re0 || rho_b*U0*D0/mu_b || 385,6 || Reynoldszahl des gesunden Gefäßes || abgeleitet |- | dp_ref || 8*mu_b*U0*(Lu+Ld)/R0^2 || 99,03 Pa || Poiseuille-Druckabfall des gesunden Gefäßes || abgeleitet, Hagen-Poiseuille |} === Vergleich und Überprüfung der Modellvarianten === Die Modellhierarchie folgt dem Prinzip, dass zunächst vereinfachte Zusammenhänge untersucht und anschließend mit detaillierteren numerischen Modellen verglichen werden. Das '''Graphenmodell''' bildet die einfachste Modellvariante. Es verwendet das Hagen-Poiseuille-Gesetz zur Abschätzung des Druckverlustes in geraden Rohrabschnitten mit konstantem Durchmesser. Für den unverengten Referenzfall kann damit eine analytische Vergleichsgröße bestimmt werden. Im Bereich einer Stenose ist die Anwendung jedoch nur als vereinfachte Näherung geeignet, da dort zusätzliche Strömungseffekte auftreten können. Das '''achsensymmetrische Flächenmodell''' ermöglicht eine detailliertere Untersuchung des Geschwindigkeits- und Druckfeldes innerhalb einer idealisierten rotationssymmetrischen Gefäßverengung. Im unverengten Referenzfall können die numerischen Ergebnisse mit der analytischen Poiseuille-Lösung verglichen werden. Bei zunehmendem Stenosegrad werden insbesondere die Beschleunigung im Bereich der Engstelle, der Druckverlust und die Wandschubspannung betrachtet. Das '''ebene Flächenmodell''' beschreibt die Strömung in einer zweidimensionalen kartesischen Geometrie. Im Unterschied zum achsensymmetrischen Modell wird dabei keine Rotationssymmetrie vorausgesetzt. Da sich die geometrische Beschreibung des Strömungsquerschnitts unterscheidet, sind die Ergebnisse nicht ohne Weiteres quantitativ gleichzusetzen. Der Vergleich dient insbesondere dazu, den Einfluss der Modellvereinfachung auf die berechneten Strömungsgrößen zu untersuchen. Das '''Volumenmodell''' erweitert die Untersuchung auf drei Raumdimensionen. Bei einer rotationssymmetrischen Geometrie und entsprechend übereinstimmenden Randbedingungen wird eine weitgehende Übereinstimmung mit dem achsensymmetrischen Modell erwartet. Diese Übereinstimmung muss jedoch anhand der numerischen Ergebnisse überprüft werden. Bei einer Gefäßaufzweigung oder einer asymmetrischen Stenose können zusätzliche räumliche Strömungseffekte auftreten, die durch ein achsensymmetrisches Modell nicht vollständig beschrieben werden. === Referenzfall und Vergleichsgrößen === Als Ausgangspunkt dient ein unverengtes Gefäß mit dem Referenzdurchmesser <math>D_0=6\,\mathrm{mm}</math>. Für das Blut werden eine Dichte von <math>\rho_b=1060\,\mathrm{kg/m^3}</math> und eine dynamische Viskosität von <math>\mu_b=3{,}5\,\mathrm{mPa\,s}</math> angenommen. Der vorgegebene mittlere Volumenstrom beträgt <math>Q_0=6\,\mathrm{ml/s}</math>. Daraus ergibt sich für den unverengten kreisförmigen Querschnitt eine mittlere Strömungsgeschwindigkeit von ungefähr <math>U_0=0{,}2122\,\mathrm{m/s}</math>. Die Referenz-Reynolds-Zahl beträgt <math>\mathrm{Re}_0=385{,}6</math>. Für den in den Referenzdaten definierten Vergleichsfall ist außerdem ein analytischer Druckverlust von <math>\Delta p_{\mathrm{ref}}=99{,}03\,\mathrm{Pa}</math> angegeben. Diese Größen dienen als Ausgangspunkt für die Überprüfung der numerischen Modelle. Ein direkter Vergleich ist jedoch nur zulässig, wenn die jeweils verwendete Geometrie, die Auswertelänge und die Randbedingungen übereinstimmen. === Grenzen der Modellhierarchie === Die vier Modellvarianten unterscheiden sich nicht nur im Rechenaufwand, sondern auch in den physikalischen Effekten, die sie darstellen können. Insbesondere bei hochgradigen Stenosen können starke lokale Geschwindigkeitsänderungen, Strömungsablösungen und zeitabhängige Strömungsstrukturen auftreten. Deshalb muss überprüft werden, ob die Annahme einer stationären laminaren Strömung für die betrachteten Fälle ausreichend ist. Außerdem muss zwischen dem idealisierten geraden Gefäßmodell und einer Gefäßaufzweigung unterschieden werden. Das achsensymmetrische Modell eignet sich für eine rotationssymmetrische Stenose in einem geraden Gefäß, während eine realistische Gefäßaufzweigung eine andere geometrische Beschreibung erfordert. Die Modellvarianten werden daher nicht als vollständig gleichwertig betrachtet. Vielmehr soll der Vergleich zeigen, welche Aussagen bereits durch vereinfachte Modelle möglich sind und für welche Strömungseigenschaften eine detailliertere numerische Beschreibung erforderlich ist. = Modellierung = Modellierung bedeutet hier, die reale Situation in eine mathematische Aufgabe zu übersetzen, die sich lösen lässt. Dazu gehören vier Bausteine, nämlich das Rechengebiet, die Gleichungen, die Zahlenwerte der Parameter und die Bedingungen an den Rändern. Jeder dieser Bausteine beruht auf Annahmen, und jede Annahme muss begründet werden. Dieser Abschnitt geht die Bausteine deshalb der Reihe nach durch und nennt bei jedem Zahlenwert, woher er stammt und warum er sinnvoll ist. == Modellhierarchie == Das Projekt rechnet nicht ein einziges Modell, sondern vier aufeinander aufbauende Modellvarianten. Sie entsprechen der Kursanforderung, eine Strömung als Graph, in zwei und in drei Raumdimensionen darzustellen, und sie sind bewusst von einfach nach aufwendig geordnet. {| class="wikitable" |+ Die vier Modellvarianten des Projekts ! Modell !! Raumdimension !! gelöste Gleichung !! Zweck !! Werkzeug |- | Graphenmodell || 1D, Gefäßachse || Hagen-Poiseuille je Rohrstück und Massenerhaltung in jedem Knoten || schnelle, analytisch nachrechenbare Abschätzung für jeden Stenosegrad || Octave und COMSOL (Koeffizientenform-PDGL) |- | achsensymmetrisches Flächenmodell || 2D, Halbschnitt in r und z || vollständige stationäre Navier-Stokes-Gleichungen in Zylinderkoordinaten || Hauptmodell, liefert alle Feldgrößen des rotationssymmetrischen Rohres || COMSOL, Laminare Strömung |- | ebenes Flächenmodell || 2D, Halbschnitt in x und y || vollständige stationäre Navier-Stokes-Gleichungen in kartesischen Koordinaten || Vergleich, zeigt den Einfluss der zweiten Querschnittsrichtung || COMSOL, Laminare Strömung |- | Volumenmodell || 3D || vollständige stationäre Navier-Stokes-Gleichungen || Kontrolle des Hauptmodells und räumliche Darstellung || COMSOL, Laminare Strömung |} Die Reihenfolge folgt einem einfachen Prinzip. Jede Stufe liefert die Sollwerte, an denen die nächste, komplexere Stufe geprüft wird. Das Graphenmodell muss im gesunden Fall exakt die Poiseuille-Lösung ergeben. Das achsensymmetrische Modell muss im gesunden Fall dieselben Werte liefern und bei Stenose für Geschwindigkeit und Wandschubspannung in der Nähe des Graphenmodells liegen. Das Volumenmodell muss, weil die Geometrie rotationssymmetrisch ist, mit dem achsensymmetrischen Modell übereinstimmen. == Modellannahmen == Um den Einfluss des Stenosegrades möglichst isoliert zu untersuchen, werden die folgenden Modellannahmen getroffen. Die Tabelle nennt zu jeder Annahme ihre mathematische Form, die Begründung und die Stelle, an der sie im Projekt überprüft wird. {| class="wikitable" |+ Modellannahmen, ihre Begründung und ihre Überprüfung ! Annahme !! mathematische Form !! Begründung !! Überprüfung |- | Idealisierte Gefäßgeometrie || gerades Rohr mit kosinusförmiger, rotationssymmetrischer Verengung || isoliert die Wirkung des Stenosegrades von Krümmung, Verzweigung und Plaqueform || Diskussion in den Schlussfolgerungen |- | Starre Gefäßwand || Wand ortsfest, keine Fluid-Struktur-Kopplung || im stationären Fall gibt es keine Druckschwankung, die die Wand periodisch aufweiten könnte || Abschätzung über die gemessene Durchmesseränderung im Herzzyklus |- | Stationäre Strömung || <math>\partial \mathbf{u}/\partial t = \mathbf{0}</math> || der Einfluss des Stenosegrades soll ohne Überlagerung durch die Pulsation sichtbar werden || Abschätzung über die Womersley-Zahl |- | Inkompressibles Fluid || <math>\rho = \mathrm{const}</math>, damit <math>\nabla\cdot\mathbf{u} = 0</math> || Blut ist eine Flüssigkeit, Druckänderungen von wenigen hundert Pascal ändern die Dichte nicht messbar || Massenerhaltung in fünf Querschnitten |- | Newtonsche Näherung || konstante Viskosität <math>\mu</math> || die Scherraten an der Wand und im größten Teil des Querschnitts liegen über dem Bereich, in dem Blut deutlich scherverdünnend wirkt || Scherrate an der Wand, Diskussion des Rückströmgebiets |- | Konstante Stoffeigenschaften || <math>\rho</math> und <math>\mu</math> räumlich und zeitlich konstant || Körpertemperatur ist im betrachteten Abschnitt konstant || entfällt |- | Laminare Strömung || kein Turbulenzmodell, Schnittstelle Laminare Strömung || Reynoldszahl des gesunden Gefäßes von 386 liegt weit unter dem Umschlagbereich || Reynoldszahl in der Engstelle, Literaturvergleich |- | Haftbedingung an der Wand || <math>\mathbf{u} = \mathbf{0}</math> auf der Wand || Folge der Viskosität, das Fluid haftet an der Wand || Grundlage jeder Wandschubspannung |- | Vernachlässigung der Gravitation || keine Volumenkraft || bei konstanter Dichte lässt sich die Schwerkraft vollständig in einen hydrostatischen Druckanteil verschieben und beeinflusst die Geschwindigkeit nicht || Begründung in den Mathematischen Hintergründen |- | Voll entwickelte Einströmung || parabolisches Profil am Einlass || die natürliche Einlaufstrecke wäre mit rund 139 mm fast so lang wie das ganze Rechengebiet || Scheitelgeschwindigkeit im gesunden Fall |- | Eingeprägter Volumenstrom || <math>Q = Q_0</math> am Einlass || der Strömungswiderstand des Abschnitts ist klein gegenüber dem des nachgeschalteten Gefäßbetts || Abschätzung mit einem Reihenwiderstand |} Einige dieser Annahmen sind unmittelbar einsichtig, andere verdienen eine genauere Begründung, weil von ihnen die Aussagekraft der Ergebnisse abhängt. Die '''Newtonsche Näherung''' ist die Annahme, die bei Blut am häufigsten hinterfragt wird. Reales Blut ist eine Suspension aus Plasma und Blutzellen und verhält sich scherverdünnend. Bei kleinen Scherraten lagern sich die roten Blutkörperchen zu geldrollenartigen Stapeln zusammen, und die Viskosität steigt auf ein Vielfaches an. Bei großen Scherraten lösen sich diese Stapel auf, und die Viskosität strebt gegen einen Grenzwert von etwa 3,5 mPa·s. Entscheidend ist also die Scherrate. An der Wand des gesunden Modellgefäßes beträgt sie nach der Poiseuille-Lösung <math>\dot\gamma_w = \frac{4\,U_0}{R_0} = \frac{4 \cdot 0{,}2122\ \mathrm{m/s}}{0{,}003\ \mathrm{m}} \approx 283\ \mathrm{s^{-1}}</math> und liegt damit oberhalb von etwa 100 pro Sekunde, wo sich Newtonsches und nicht Newtonsches Modell nach der Literatur nur noch wenig unterscheiden.<ref name="boyd">Die Grenze von etwa 100 s^-1 wird in vergleichenden Studien zur Blutrheologie verwendet, etwa bei Bernabeu, M. O. u. a.: ''Impact of blood rheology on wall shear stress in a model of the middle cerebral artery.'' Interface Focus 3 (2013), 20120094. <!-- FIXME Zitat und Seitenangabe am Original pruefen --></ref> In der Engstelle steigt die Scherrate weiter an, beim Stenosegrad 0,5 auf rund 2260 pro Sekunde. Schwach ist die Näherung dort, wo die Scherrate klein wird, also in der Mitte des Gefäßes und vor allem im Rückströmgebiet hinter der Stenose. Dort ist reales Blut zäher als angenommen. Dieser Punkt wird in den Schlussfolgerungen wieder aufgegriffen. Die '''stationäre Strömung''' ist die stärkste Vereinfachung. Wie wichtig die Pulsation ist, misst die Womersley-Zahl, die das Verhältnis von instationärer Trägheit zu Reibung angibt. Mit einer Herzfrequenz von 60 Schlägen je Minute, also einer Kreisfrequenz <math>\omega = 2\pi\ \mathrm{s^{-1}}</math>, ergibt sich <math>\alpha = R_0 \sqrt{\frac{\omega \rho}{\mu}} = 0{,}003\ \mathrm{m} \cdot \sqrt{\frac{2\pi\ \mathrm{s^{-1}} \cdot 1060\ \mathrm{kg/m^3}}{0{,}0035\ \mathrm{Pa\,s}}} \approx 4{,}1 .</math> Ein Wert in dieser Größenordnung bedeutet, dass das reale Geschwindigkeitsprofil im Herzzyklus merklich von der Parabel abweicht.<ref name="womersley">Womersley, J. R.: ''Method for the calculation of velocity, rate of flow and viscous drag in arteries when the pressure gradient is known.'' Journal of Physiology 127 (1955), S. 553-563.</ref> Hinzu kommt, dass der Volumenstrom in der Systole kurzzeitig auf rund das Vierfache des Mittelwerts steigt.<ref name="holdsworth">Holdsworth, D. W.; Norley, C. J. D.; Frayne, R.; Steinman, D. A.; Rutt, B. K.: ''Characterization of common carotid artery blood-flow waveforms in normal human subjects.'' Physiological Measurement 20 (1999), Nr. 3, S. 219-240. DOI 10.1088/0967-3334/20/3/301. Angegeben werden ein mittlerer Volumenstrom von 6,0 ± 1,4 ml/s und ein systolischer Spitzenwert von 23,5 ± 3,8 ml/s. <!-- FIXME Zahlenwerte und Probandenzahl am Original pruefen --></ref> Die stationäre Rechnung mit dem Mittelwert beschreibt deshalb nicht den zeitlichen Verlauf, wohl aber den zeitlich gemittelten Zustand, an dem sich der Einfluss des Stenosegrades sauber vergleichen lässt. Die '''laminare Strömung''' wird über die Reynoldszahl begründet. Sie beträgt im gesunden Gefäß 386 und liegt damit weit unter dem Wert von etwa 2300, ab dem die Strömung in einem geraden Rohr in den Übergangsbereich gelangen kann. In der Engstelle steigt sie bei festem Volumenstrom auf <math>Re_0/(1-s)</math>, also auf 551 beim Stenosegrad 0,3, auf 964 beim Grad 0,6 und auf 1928 beim Grad 0,8. Für den Strahl hinter einer Engstelle ist der Umschlagbereich allerdings deutlich niedriger als im geraden Rohr. Direkte numerische Simulationen an genau der in diesem Projekt verwendeten Stenosegeometrie zeigen, dass die Strömung bei einer Einström-Reynoldszahl von 500 auch bei leichter Unsymmetrie laminar bleibt, bei 1000 dagegen schon eine Exzentrizität von fünf Prozent des Durchmessers genügt, um den Strahl in lokal turbulente Strömung umschlagen zu lassen.<ref name="varghese">Varghese, S. S.; Frankel, S. H.; Fischer, P. F.: ''Direct numerical simulation of stenotic flows. Part 1. Steady flow.'' Journal of Fluid Mechanics 582 (2007), S. 253-280. Untersucht wird eine kosinusförmige Stenose der Länge 2D mit 75 % Flächenreduktion, die mit der Geometrie dieses Projekts beim Stenosegrad 0,5 übereinstimmt. <!-- FIXME Band und Seiten am Original pruefen --></ref> Mit einer Einström-Reynoldszahl von 386 liegt das Projekt für die leicht- und mittelgradigen Stenosen sicher im laminaren Bereich. Für die hochgradigen Stenosen ab 0,7 ist ein laminares, stationäres Modell dagegen nur noch eine Näherung, die eine Obergrenze der geordneten Strömung beschreibt. Diese Fälle werden deshalb als Grenzfall des Modells gekennzeichnet. Die '''starre Wand''' lässt sich über Messungen abschätzen. Der Durchmesser der gemeinsamen Halsschlagader ändert sich im Herzzyklus bei jungen Menschen um etwa 12 bis 14 Prozent und bei älteren Menschen um etwa 5 Prozent.<ref name="hansen">Hansen, F.; Mangell, P.; Sonesson, B.; Länne, T.: ''Diameter and compliance in the human common carotid artery: variations with age and sex.'' Ultrasound in Medicine and Biology 21 (1995), Nr. 1, S. 1-9. DOI 10.1016/0301-5629(94)00090-5.</ref> Diese Bewegung ist eine Folge der Pulsation. In einer stationären Rechnung gibt es keine Druckschwankung, die die Wand periodisch aufweiten könnte, sodass die starre Wand zur stationären Annahme konsistent ist. Eine verkalkte Plaque ist ohnehin deutlich steifer als die gesunde Wand. Die Annahme des '''eingeprägten Volumenstroms''' wird im Abschnitt zu den Randbedingungen begründet, weil sie sich nur im Zusammenhang mit dem Kreislauf beurteilen lässt. == Simulationsgebiet und Geometrie == Die Gefäßachse ist die z-Achse, der Ursprung liegt in der Mitte der Stenose, und <math>r</math> bezeichnet den Abstand von der Achse. Das Rechengebiet reicht von <math>z = -L_u</math> bis <math>z = L_d</math> und wird radial von der Wandkontur <math>R(z)</math> begrenzt. Die Verengung wird über eine einzige glatte Funktion beschrieben, <math>R(z) = R_0 \left[ 1 - \frac{s}{2}\left(1 + \cos\frac{2\pi z}{L_s}\right)\right] \quad \text{falls } |z| \le \frac{L_s}{2}, \qquad R(z) = R_0 \ \text{sonst.}</math> Die Funktion hat drei Eigenschaften, die ihre Wahl begründen. Sie wird erstens über einen einzigen Parameter gesteuert, den Stenosegrad <math>s</math>. Der engste Radius in der Mitte beträgt <math>R(0) = R_0(1-s)</math>, und der Fall ohne Verengung ist einfach der Fall <math>s = 0</math>. Die gesamte Vergleichsreihe entsteht damit aus einem einzigen parametrischen Sweep. Sie geht zweitens an beiden Enden der Störstelle ohne Knick in das gerade Rohr über. Bei <math>z = \pm L_s/2</math> ist der Kosinus gleich minus eins, die Klammer also null, und seine Ableitung verschwindet dort ebenfalls. Das ist nicht nur ästhetisch, sondern numerisch notwendig, denn ein Knick in der Wand erzeugt eine Singularität der Wandschubspannung, deren berechneter Wert mit jeder Netzverfeinerung weiter wüchse. Eine Netzstudie wäre dann sinnlos. Sie ist drittens die in der Literatur gebräuchliche Standardgeometrie für Stenosen, sodass sich die Ergebnisse unmittelbar mit veröffentlichten Rechnungen vergleichen lassen.<ref name="varghese" /> [[Datei:Stenose Gruppe5 Wandkontur.svg|mini|zentriert|800px|Wandkontur <math>R(z)</math> für die untersuchten Stenosegrade. Die Darstellung ist in radialer Richtung gestreckt, das Rechengebiet ist in Wirklichkeit fünfundzwanzigmal länger als breit.]] <!-- FIXME Abbildung mit abbildungen_graph_1d.m fuer s = 0 bis 0,8 neu erzeugen, bisher nur bis 0,5 --> Die Abmessungen des Rechengebiets werden alle aus dem Gefäßradius abgeleitet. Das hat den Vorteil, dass sich das gesamte Modell durch Ändern eines einzigen Wertes auf ein anderes Gefäß übertragen lässt. Die einzelnen Längen werden im Folgenden Schritt für Schritt begründet. # Der '''Gefäßradius''' <math>R_0 = 3\ \mathrm{mm}</math> folgt aus Ultraschallmessungen an gesunden Erwachsenen. Dort wurden für die gemeinsame Halsschlagader mittlere Durchmesser von 6,10 ± 0,80 mm bei Frauen und 6,52 ± 0,98 mm bei Männern gemessen.<ref name="krejza">Krejza, J.; Arkuszewski, M.; Kasner, S. E.; Weigele, J.; Ustymowicz, A.; Hurst, R. W.; Cucchiara, B. L.; Messe, S. R.: ''Carotid artery diameter in men and women and the relation to body and neck size.'' Stroke 37 (2006), Nr. 4, S. 1103-1105. DOI 10.1161/01.STR.0000206440.48756.f7.</ref> Der gewählte Durchmesser von <math>D_0 = 6\ \mathrm{mm}</math> liegt damit innerhalb einer Standardabweichung beider Gruppen und ist bewusst auf einen runden Wert gesetzt, damit alle abgeleiteten Längen glatte Zahlen ergeben. # Die '''Länge der Störstelle''' <math>L_s = 2 D_0 = 12\ \mathrm{mm}</math> entspricht der Standardgeometrie aus der Literatur, die eine Stenosenlänge von zwei Durchmessern verwendet.<ref name="varghese" /> Damit ist beim Stenosegrad 0,5 ein direkter Vergleich mit veröffentlichten Ergebnissen möglich. # Die '''Vorlaufstrecke''' <math>L_u = 5 D_0 = 30\ \mathrm{mm}</math> trennt den Einlass von der Stenose. Da am Einlass bereits das voll entwickelte Profil vorgegeben wird, muss sie nicht die Einlaufstrecke abdecken, sondern nur verhindern, dass die Einströmrandbedingung die Strömung an der Engstelle beeinflusst. Bei Reynoldszahlen in dieser Größenordnung reicht der Einfluss einer Verengung nur wenige Durchmesser stromaufwärts, die Literatur kommt für dieselbe Geometrie mit drei Durchmessern Vorlauf aus.<ref name="varghese" /> Fünf Durchmesser lassen also eine Reserve. Überprüft wird das im Ergebnis, indem die Geschwindigkeit auf der Achse in der Mitte der Vorlaufstrecke mit dem Sollwert <math>2U_0</math> verglichen wird. # Die '''Nachlaufstrecke''' <math>L_d = 20 D_0 = 120\ \mathrm{mm}</math> ist deutlich länger, weil sich hinter der Engstelle ein Rückströmgebiet bildet, das nicht auf den Auslass treffen darf. Für die Geometrie mit dem Stenosegrad 0,5 legt die Strömung bei einer Einström-Reynoldszahl von 500 erst etwa zehn Durchmesser hinter der Engstelle wieder an, die Literatur rechnet mit sechzehn Durchmessern Nachlauf.<ref name="varghese" /> Zwanzig Durchmesser bieten damit für alle Stenosegrade bis 0,5 einen Sicherheitsabstand. Für die Grade ab 0,6 ist ein längeres Rückströmgebiet zu erwarten, dort wird die Lage des Wiederanlegepunktes ausdrücklich kontrolliert. # Das '''Ende des fein vernetzten Nachlaufs''' <math>L_f = L_s/2 + 10 D_0 = 66\ \mathrm{mm}</math> legt fest, bis wohin das Netz verfeinert wird. Der Wert ist so gewählt, dass das erwartete Rückströmgebiet von etwa zehn Durchmessern vollständig im feinen Bereich liegt. Damit hat das Rechengebiet eine Gesamtlänge von <math>L = L_u + L_d = 150\ \mathrm{mm}</math>, also das Fünfundzwanzigfache des Durchmessers. Es ist ein Modellgebiet und kein maßstäbliches Abbild eines bestimmten anatomischen Abschnitts. == Stoff- und Strömungsparameter == Die Stoffwerte des Blutes und der Volumenstrom sind die einzigen Eingangsgrößen, die nicht aus der Geometrie folgen. Aus ihnen werden alle weiteren Strömungskennwerte berechnet. Die folgenden Schritte zeigen jede Rechnung einzeln, damit sich jeder Wert nachprüfen lässt. # Die '''Dichte''' wird mit <math>\rho = 1060\ \mathrm{kg/m^3}</math> angesetzt. Der Wert lässt sich als Mischungsregel plausibel machen. Plasma hat eine Dichte von etwa 1025 kg/m³, rote Blutkörperchen von etwa 1100 kg/m³. Bei einem Zellanteil von 45 % ergibt sich <math>0{,}55 \cdot 1025 + 0{,}45 \cdot 1100 \approx 1059\ \mathrm{kg/m^3}</math>. Die Dichte geht nur über die Reynoldszahl in die Rechnung ein, eine Abweichung von einem Prozent ändert die Ergebnisse daher kaum. <!-- FIXME Lehrbuchquelle fuer Plasma- und Erythrozytendichte ergaenzen --> # Die '''dynamische Viskosität''' wird mit <math>\mu = 3{,}5\ \mathrm{mPa\,s}</math> angesetzt. Das ist der Grenzwert der Blutviskosität bei hohen Scherraten, also genau der Wert, der zur Newtonschen Näherung gehört. Derselbe Wert von 0,035 Poise wird auch im Standardwerk zur Modellierung des Herz-Kreislauf-Systems verwendet.<ref name="quarteroni">Quarteroni, A.; Formaggia, L.: ''Mathematical Modelling and Numerical Simulation of the Cardiovascular System.'' In: Ayache, N. (Hrsg.): ''Computational Models for the Human Body.'' Handbook of Numerical Analysis, Bd. XII, Elsevier, Amsterdam 2004, S. 3-127. DOI 10.1016/S1570-8659(03)12001-7. Zur Newtonschen Näherung in großen Gefäßen siehe S. 30, zur Viskosität von 0,035 Poise die Parametertabelle auf S. 116.</ref> # Der '''mittlere Volumenstrom''' wird mit <math>Q_0 = 6\ \mathrm{ml/s}</math> angesetzt. Das ist der zeitlich gemittelte Volumenstrom, der in der gemeinsamen Halsschlagader gesunder Probanden gemessen wurde.<ref name="holdsworth" /> # Die '''mittlere Geschwindigkeit''' folgt aus Volumenstrom und Querschnittsfläche, <math>U_0 = \frac{Q_0}{\pi R_0^2} = \frac{6 \cdot 10^{-6}\ \mathrm{m^3/s}}{\pi \cdot (0{,}003\ \mathrm{m})^2} = 0{,}2122\ \mathrm{m/s}</math>. # Die '''Reynoldszahl''' des gesunden Gefäßes ist <math>Re_0 = \frac{\rho\, U_0\, D_0}{\mu} = \frac{1060 \cdot 0{,}2122 \cdot 0{,}006}{0{,}0035} = 385{,}6</math>. Sie wird im Folgenden auf 386 gerundet. # Die '''Einlauflänge''', die eine anfangs gleichförmige Strömung bis zum voll entwickelten Parabelprofil bräuchte, beträgt nach der gebräuchlichen Abschätzung für laminare Rohrströmungen <math>L_e \approx 0{,}06\, Re_0\, D_0 \approx 0{,}06 \cdot 386 \cdot 6\ \mathrm{mm} \approx 139\ \mathrm{mm}</math>.<ref name="durst">Durst, F.; Ray, S.; Ünsal, B.; Bayoumi, O. A.: ''The development lengths of laminar pipe and channel flows.'' Journal of Fluids Engineering 127 (2005), Nr. 6, S. 1154-1160. Für große Reynoldszahlen nähert sich die dort angegebene Korrelation dem Wert 0,057·Re·D.</ref> Das ist fast die gesamte Länge des Rechengebiets. Ein konstantes Einlassprofil würde die Strömung an der Stenose also verfälschen, weshalb am Einlass das voll entwickelte Profil vorgegeben wird. Damit liegen alle globalen Parameter fest. Die folgende Tabelle enthält sie mit genau den Namen, unter denen sie in COMSOL und in den Octave-Skripten verwendet werden. {| class="wikitable" |+ Globale Parameter des Modells ! Name !! Ausdruck in COMSOL !! Wert !! Bedeutung !! Herkunft |- | R0 || 3[mm] || 3 mm || Gefäßradius || Messwerte nach Krejza u. a. 2006, gerundet |- | D0 || 2*R0 || 6 mm || Gefäßdurchmesser || abgeleitet |- | Ls || 2*D0 || 12 mm || Länge der Störstelle || Standardgeometrie nach Varghese u. a. 2007 |- | Lu || 5*D0 || 30 mm || Vorlaufstrecke vor der Stenosemitte || Abstand der Einlassbedingung von der Stenose |- | Ld || 20*D0 || 120 mm || Nachlaufstrecke hinter der Stenosemitte || Platz für das Rückströmgebiet |- | Lf || Ls/2+10*D0 || 66 mm || Ende des fein vernetzten Nachlaufs || erwartete Länge des Rückströmgebiets |- | s || 0 bis 0.8 || 0 bis 0,8 || Stenosegrad bezogen auf den Durchmesser || NASCET-Einteilung |- | rho_b || 1060[kg/m^3] || 1060 kg/m³ || Dichte des Blutes || Mischungsregel, Literaturwert |- | mu_b || 3.5[mPa*s] || 3,5 mPa·s || dynamische Viskosität des Blutes || Hochscherwert, Quarteroni und Formaggia 2004 |- | Q0 || 6[ml/s] || 6 ml/s || mittlerer Volumenstrom || Messwerte nach Holdsworth u. a. 1999 |- | U0 || Q0/(pi*R0^2) || 0,2122 m/s || mittlere Einströmgeschwindigkeit || abgeleitet |- | Re0 || rho_b*U0*D0/mu_b || 385,6 || Reynoldszahl des gesunden Gefäßes || abgeleitet |- | dp_ref || 8*mu_b*U0*(Lu+Ld)/R0^2 || 99,03 Pa || Poiseuille-Druckabfall des gesunden Gefäßes || abgeleitet, Hagen-Poiseuille |} = Literaturverzeichnis = Alle Quellen sind an den Stellen im Text angegeben, an denen die zugehörigen Werte oder Aussagen verwendet werden. Die Liste wird aus diesen Angaben automatisch erzeugt. <references /> qeckiqmef8ryfbjpxc6b5a93m92ufbq 1116331 1116329 2026-10-16T07:38:15Z Nicole.pander 39567 /* Auswahl der Stenosegrade */ 1116331 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Joey Becker * Marie-Thérèse Heitele * Nicole Pander = Thema und Fragestellung = Gegenstand dieses Projekts ist die numerische Simulation der Blutströmung in einer verzweigten Halsschlagader ('''Carotis-Bifurkation''') unter dem Einfluss einer lokalen Gefäßverengung ('''Stenose'''). Im Vergleich zu einfachen Rohrströmungen wird hier die realitätsnahe Gefäßanatomie betrachtet: Die '''Arteria carotis communis (ACC)''' teilt sich in die '''Arteria carotis externa (ACE)''' und die '''Arteria carotis interna (ACI)''' auf. Während die '''ACE''' als gesunder, stenosefreier Ast dient, wird in der '''ACI''' eine geglättete, kosinusförmige Gefäßverengung modelliert. Um scharfe Kanten und unphysiologische Druckspitzen zu vermeiden, werden alle Wandübergänge und die Gabelungsspitze (Apex) anatomisch verrundet. Als Referenz dient ein gesundes, unverengtes Gefäß, in dem sich die Poiseuille-Strömung mit ihrem charakteristischen parabolischen Geschwindigkeitsprofil ausbildet. Diese Strömung ist aus zwei Gründen der natürliche Ausgangspunkt. Sie beschreibt den physiologischen Normalfall, mit dem jeder Stenosegrad verglichen wird, und sie ist exakt lösbar, sodass sich an ihr jede numerische Rechnung prüfen lässt, bevor die Verengung hinzukommt. == Fragestellung == Die Hauptfragestellung dieses Projektes lautet: Wie verändert eine symmetrische bzw. rotationssymmetrische Stenose in der '''Arteria carotis interna (ACI)''' die stationäre Strömung eines inkompressiblen Newton’schen Fluids in einer 2D-Carotis-Bifurkation hinsichtlich Geschwindigkeitsverteilung, Druckabfall, Wandschubspannung und Wirbelbildung im Vergleich zu den gesunden Gefäßabschnitten? Aus dieser Fragestellung ergeben sich drei Teilfragen, an denen sich der Aufbau der Seite orientiert: # Welche Strömungsgrößen reagieren empfindlich auf den Stenosegrad und welche nur träge? # Ab welchem Stenosegrad ändert sich das Strömungsmuster qualitativ, das heißt, ab wann löst die Strömung hinter der Engstelle von der Wand ab und bildet ein Rückströmgebiet? # Wie weit tragen die vereinfachenden Modellannahmen, insbesondere die Annahme einer stationären und laminaren Strömung, über den untersuchten Bereich der Stenosegrade? == Modellannahmen == Im Hinblick darauf werden für dieses Projekt einige Annahmen getroffen, um das Projekt möglichst isoliert zu untersuchen und zu simplifizieren: * '''Idealisierte Gefäßgeometrie''': Betrachtet wird ein Teilabbschnitt der ''Arteria carotis communis'', die sog. ''ACI''. Zudem werden Gefäßverkrümmungen, weitere Verzweigungen und patientenspezifische Strukturen nicht berücksichtigt. * '''Starre Gefäßwand''': Die Gefäßwand wird als unbeweglich und nicht verformbar angenommen. Eine Wechselwirkung zwischen elastischer Gefäßwand und Blutströmung wird nicht modelliert. * '''Stationäre Strömung''': Die Strömungsgrößen werden als zeitlich konstant angenommen. Die im realen Blutkreislauf vorhandene Pulsation durch den Herzschlag wird daher vernachlässigt: <math>\frac{\partial u}{\partial t}=0</math>. * '''Inkompressibles Fluid''': Die Dichte des Fluids wird als konstant angenommen. Damit gilt für die Geschwindigkeit <math>\nabla \cdot u=0</math>. Dies entspricht der in der Vorlesung behandelten Massenerhaltung für inkompressible Fluide: Was in das Gefäß einströmt, muss auch wieder ausströmen. * '''Newton'sche Näherung für Blut''': Reales Blut beseitzt ein nicht newton'sches Fließverhalten. Hier wird Blut als Newton'sches Fluid behandelt. * '''Konstante Stoffeigenschaften''': Dichte <math>\rho</math> und dynamische Viskosität μ werden als räumlich und zeitlich konstant angenommen. Temperaturabhängigkeiten werden nicht berücksichtigt. * '''Laminare Strömung''': Die Strömung wird mit dem COMSOL-Modul ''Laminar Flow'' beschrieben. Ein zusätzliches Turbulenzmodell wird nicht verwendet. * '''No-Slip-Bedingung an Gefäßwand''': Aufgrund der Viskosität wird angenommen, dass das Fluid direkt an der Gefäßwand haftet. Somit gilt <math>u=0</math>. * '''Vernachlässigung der Gravitation''': Gravitation wird nicht berücksichtigt. Die Strömung wird ausschließlich durch die gewählten Ein- und Auslassbedingungen bestimmt. = Relevanz = Die Untersuchung von Gefäßverengungen besitzt sowohl eine medizinische als auch eine methodische Bedeutung. Aus medizinischer Sicht sind arterielle Stenosen – etwa in der Halsschlagader, lat. ''arteria carotis communis'', – kritisch, da sie die Durchblutung beeinträchtigen und durch veränderte Wandschubspannungen sowie die Bildung von Wirbeln weitere Gefäßablagerungen begünstigen. Stenosen im Bereich der Karotisgabelung sind klinisch hochrelevant, da sie das Gehirn direkt versorgen und das Risiko für embolische Schlaganfälle erhöhen. Fachlich überträgt das Projekt damit die Prinzipien der Strömungsmechanik direkt auf eine biomedizinische Anwendung. Das Projekt verknüpft somit theoretische Grundlagen der Strömungsmechanik (Hagen-Poiseuille-Gleichung, Navier-Stokes-Gleichungen) mit der numerischen Simulation in COMSOL Multiphysics. Durch den Vergleich der '''gesunden Externa (ACE)''' mit der '''stenoisierten Interna (ACI)''' innerhalb desselben Rechengebiets wird die isolierte Wirkung der Stenose unter identischen Randbedingungen direkt sichtbar gemacht. == Medizinische Relevanz == Arterielle Stenosen entstehen überwiegend durch Atherosklerose, also durch Ablagerungen aus Lipiden, Bindegewebe und Kalk in der Gefäßwand. In der Halsschlagader sind sie klinisch besonders bedeutsam, weil sie die Durchblutung des Gehirns beeinträchtigen und weil sich an ihnen Thromben bilden können, die als Embolie einen Schlaganfall auslösen. Dass die operative Entfernung einer hochgradigen Karotisstenose das Schlaganfallrisiko symptomatischer Patienten deutlich senkt, hat die NASCET-Studie gezeigt, deren Einteilung der Stenosegrade dieses Projekt übernimmt.<ref name="nascet">North American Symptomatic Carotid Endarterectomy Trial Collaborators: ''Beneficial effect of carotid endarterectomy in symptomatic patients with high-grade carotid stenosis.'' New England Journal of Medicine 325 (1991), Nr. 7, S. 445-453.</ref> Strömungsmechanisch ist an einer Stenose vor allem die Wandschubspannung von Interesse, also die tangentiale Kraft je Fläche, die das strömende Blut auf die innerste Zellschicht der Gefäßwand ausübt. Gesunde Halsschlagadern weisen zeitlich gemittelte Werte von etwa 1,1 bis 1,5 Pa auf.<ref name="samijo">Samijo, S. K.; Willigers, J. M.; Barkhuysen, R.; Kitslaar, P. J. E. H. M.; Reneman, R. S.; Brands, P. J.; Hoeks, A. P. G.: ''Wall shear stress in the human common carotid artery as function of age and gender.'' Cardiovascular Research 39 (1998), Nr. 2, S. 515-522.</ref> In einer Engstelle steigt sie stark an, unmittelbar dahinter fällt sie im Ablösegebiet auf nahezu null und wechselt dort sogar das Vorzeichen. Niedrige und im Vorzeichen wechselnde Wandschubspannungen gelten als Bedingungen, unter denen sich weitere Ablagerungen bevorzugt bilden. Eine bestehende Stenose schafft also stromabwärts die Voraussetzungen für ihr eigenes Wachstum. Genau diese Verteilung lässt sich im Körper nur schwer messen, in einer Simulation dagegen unmittelbar auswerten. == Methodische Relevanz == Fachlich überträgt das Projekt die Prinzipien der Strömungsmechanik aus der Vorlesung auf eine biomedizinische Anwendung.<ref name="hundertmark">Hundertmark, A.: ''Fluiddynamik.'' Vorlesungsunterlagen zum Modul Räumliche Modellbildung, RPTU Kaiserslautern-Landau, Sommersemester 2026.</ref> Der methodische Mehrwert liegt in der Verknüpfung mehrerer Zugänge, die sich gegenseitig kontrollieren. Die analytische Poiseuille-Lösung liefert exakte Sollwerte für das gesunde Gefäß. Ein reduziertes Graphenmodell liefert für jeden Stenosegrad eine schnelle Abschätzung, die analytisch nachrechenbar ist. Die Simulationen in COMSOL Multiphysics lösen schließlich die vollständigen Navier-Stokes-Gleichungen in zwei und drei Raumdimensionen. Weil jede Stufe die Sollwerte der nächsten liefert, zeigt das Projekt nicht nur Ergebnisse, sondern auch, wie numerische Modelle aufgebaut, verifiziert und an ihren Grenzen bewertet werden. == Auswahl der Stenosegrade == Um die untersuchten Gefäßverengungen nicht willkürlich festzulegen, orientiert sich die Auswahl der Stenosegrade an der klinisch gebräuchlichen NASCET-Klassifikation von Karotisstenosen.<ref name="nascet" /> Zur klinischen Einordnung werden Karotisstenosen anhand der nach NASCET bestimmten Durchmesserreduktion in leichtgradige, mittelgradige und hochgradige Stenosen eingeteilt. Die angegebenen Prozentgrenzen dienen in diesem Projekt als Orientierung für die Auswahl der untersuchten Stenosegrade. Ein vollständiger Gefäßverschluss wird als Okklusion bezeichnet. {| class="wikitable" |+ Klinische Einteilung nach NASCET-gemessener Durchmesserreduktion und untersuchte Stenosegrade ! Schweregrad !! Durchmesserreduktion !! im Projekt gerechnete Stenosegrade !! hervorgehobener Vertreter |- | gesundes Gefäß || 0 % || 0 || 0 |- | leichtgradige Stenose || unter 50 % || 0,1 bis 0,4 || 0,3 |- | mittelgradige Stenose || 50 bis 69 % || 0,5 und 0,6 || 0,6 |- | hochgradige Stenose || 70 bis 99 % || 0,7 und 0,8 || 0,8 |- | Okklusion || 100 % || nicht gerechnet || entfällt |} '''Anmerkung''': Die Klassengrenzen dienen der Einordnung der Modellvarianten. Die in der Tabelle genannten Stenosegrade sind dimensionslose Werte, beispielsweise entspricht '''<math>s=0{,}6</math>''' einer Durchmesserreduktion von '''60 %'''. Für die numerische Untersuchung wird aus jeder Kategorie ein repräsentativer Stenosegrad hervorgehoben. Neben dem gesunden Gefäß mit '''0 %''' Stenose sind das eine '''30 %''' Stenose als Beispiel für eine leichtgradige, eine '''60 %''' Stenose als Beispiel für eine mittelgradige und eine '''80 %''' Stenose als Beispiel für eine hochgradige Verengung. Zusätzlich werden für das Graphenmodell und das achsensymmetrische Flächenmodell Stenosegrade von 0 bis 80 % in Schritten von zehn Prozentpunkten vorgesehen. Dadurch kann die Abhängigkeit der Strömungsgrößen vom Stenosegrad systematisch untersucht und grafisch dargestellt werden. Ob alle Modellvarianten tatsächlich berechnet wurden und wie hoch der Rechenaufwand war, wird anhand der durchgeführten Simulationen dokumentiert. Ein vollständiger Gefäßverschluss wird nicht simuliert, da in diesem Fall keine durchgängige Strömung mehr vorliegt. Der Stenosegrad wird in diesem Projekt wie bei NASCET über die Verringerung des Gefäßdurchmessers beschrieben, <math>s = 1 - \frac{d_{\min}}{d_{\mathrm{ref}}},</math> wobei <math>d_{\min}</math> der kleinste Durchmesser in der Engstelle und <math>d_{\mathrm{ref}}</math> ein Referenzdurchmesser ist. NASCET verwendet als Referenz den Durchmesser des gesunden Gefäßes stromabwärts der Stenose. Für das idealisierte gerade Gefäßmodell wird ein konstanter Referenzdurchmesser von <math>D_0=6\,\mathrm{mm}</math> angenommen. Da das Gefäß außerhalb der Stenose denselben Durchmesser besitzt, gilt in diesem Modell<math>d_{\mathrm{ref}}=D_0</math>. Bei der zusätzlich betrachteten Gefäßaufzweigung muss der Referenzdurchmesser dagegen gesondert festgelegt werden, da die Gefäßäste unterschiedliche Durchmesser besitzen. Wichtig für das Verständnis aller weiteren Ergebnisse ist der Unterschied zwischen Durchmesser- und Flächenreduktion. Da die Querschnittsfläche quadratisch vom Durchmesser abhängt, gilt für die Flächenreduktion <math>1-(1-s)^2</math>. Eine im klinischen Sinn nur mittelgradige Stenose von 60 % verschließt damit bereits 84 % der Querschnittsfläche. {| class="wikitable" |+ Durchmesser- und Flächenreduktion der gerechneten Stenosegrade ! Stenosegrad s !! 0 !! 0,1 !! 0,2 !! 0,3 !! 0,4 !! 0,5 !! 0,6 !! 0,7 !! 0,8 |- | engster Durchmesser in mm || 6,0 || 5,4 || 4,8 || 4,2 || 3,6 || 3,0 || 2,4 || 1,8 || 1,2 |- | Flächenreduktion || 0 % || 19 % || 36 % || 51 % || 64 % || 75 % || 84 % || 91 % || 96 % |} Eine Einschränkungen gehört zur ehrlichen Einordnung: # Mit zunehmendem Stenosegrad, insbesondere bei ausgeprägten Verengungen, können lokale Beschleunigungen, Strömungsablösungen und zeitabhängige Strömungsstrukturen auftreten. Daher muss bei den hochgradigen Stenosen geprüft werden, inwieweit die Annahme einer stationären, laminaren Strömung geeignet ist. Eine feste Grenze bei <math>s=0{,}6</math> lässt sich ohne entsprechende Simulationsergebnisse oder Literaturbelege nicht allgemein festlegen. Die hochgradigen Fälle werden deshalb unter besonderer Berücksichtigung der Modellannahmen diskutiert. Unter Modellierung wird in diesem Projekt die Übertragung der Blutströmung in einer verengten Arterie auf ein mathematisches und numerisch lösbares Strömungsproblem verstanden. Dazu werden die Gefäßgeometrie, die zugrunde liegenden Gleichungen, die physikalischen Materialparameter sowie die Anfangs- und Randbedingungen festgelegt. Jeder dieser Bestandteile beruht auf vereinfachenden Annahmen, die begründet und bei der Interpretation der Ergebnisse berücksichtigt werden müssen. Ziel ist es, den Einfluss unterschiedlicher Stenosegrade auf die Strömungsgeschwindigkeit, den Druckverlust und gegebenenfalls die Wandschubspannung systematisch zu untersuchen. Die Modellierung erfolgt anhand mehrerer Modellvarianten mit unterschiedlicher räumlicher Auflösung. Dadurch können zunächst grundlegende Zusammenhänge analytisch abgeschätzt und anschließend mit numerischen Strömungsberechnungen verglichen werden. Die verwendeten Parameter orientieren sich an den bereitgestellten Referenzdaten und werden in den folgenden Abschnitten erläutert. == Modellierung == Ziel der Modellierung ist es, die Blutströmung innerhalb einer Y-förmigen Aufzweigung der Halsschlagader mathematisch und numerisch zu untersuchen. Im Mittelpunkt steht eine Gefäßverengung (Stenose) in der Arteria carotis interna. Das betrachtete Gefäßmodell besteht aus der Arteria carotis communis, die sich in die Arteria carotis interna und die Arteria carotis externa aufteilt. Die Stenose befindet sich ausschließlich in der Arteria carotis interna. Durch die Verengung verändert sich der verfügbare Strömungsquerschnitt. Dies kann zu einer Erhöhung der lokalen Strömungsgeschwindigkeit, zu zusätzlichen Druckverlusten und zu einer Veränderung der Strömungsverteilung zwischen den beiden Gefäßästen führen. Ziel ist es, den Einfluss unterschiedlicher Stenosegrade auf die Strömungsgeschwindigkeit, die Druckverteilung und die Wandschubspannung zu untersuchen. Zusätzlich soll betrachtet werden, wie sich die Strömung innerhalb der Y-förmigen Gefäßaufzweigung verhält. Die numerische Modellierung erfolgt mit COMSOL Multiphysics. Dazu werden die Gefäßgeometrie, die Materialeigenschaften des Blutes, die Strömungsgleichungen und die Randbedingungen festgelegt. Zur Vereinfachung wird Blut zunächst als inkompressibles, Newtonsches Fluid betrachtet. Die Gefäßwände werden als starr angenommen. Diese Annahmen ermöglichen eine systematische Untersuchung der Stenose, schränken jedoch die Übertragbarkeit auf reale physiologische Bedingungen ein. === Modellhierarchie === Für die Untersuchung der Blutströmung innerhalb der Y-förmigen Karotisaufzweigung werden drei Modellvarianten betrachtet. Diese unterscheiden sich hinsichtlich ihrer räumlichen Dimension, ihrer mathematischen Beschreibung und der Genauigkeit, mit der die Strömungsverhältnisse dargestellt werden können. Das untersuchte Gefäß besteht aus der Arteria carotis communis, die sich in die Arteria carotis interna und die Arteria carotis externa aufteilt. Die Stenose befindet sich ausschließlich in der Arteria carotis interna. Alle drei Modellvarianten werden mit COMSOL Multiphysics umgesetzt. {| class="wikitable" style="width:100%;" |+ '''Die drei Modellvarianten des Projekts''' |- ! Modell ! Raumdimension ! Mathematische Grundlage ! Zweck ! Werkzeug |- | '''Graphenmodell''' | 1D, Gefäßnetzwerk mit einer Verzweigung | Massenerhaltung an der Verzweigung und vereinfachte Beschreibung der Strömungswiderstände | Abschätzung der Volumenstromverteilung und der Druckverluste in den Gefäßästen | COMSOL Multiphysics |- | '''Ebenes Flächenmodell''' | 2D, Y-förmige Gefäßgeometrie in kartesischen Koordinaten | Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen | Untersuchung der Geschwindigkeits- und Druckverteilung sowie der Auswirkungen der Stenose in der Arteria carotis interna | COMSOL Multiphysics, Laminare Strömung |- | '''Volumenmodell''' | 3D, räumliche Y-förmige Gefäßgeometrie | Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen | Räumliche Untersuchung des Geschwindigkeitsfeldes, des Druckverlustes und der Wandschubspannung | COMSOL Multiphysics, Laminare Strömung |} ==== Vergleich und Überprüfung der Modellvarianten ==== Die drei Modellvarianten bauen hinsichtlich ihrer räumlichen Beschreibung aufeinander auf. Das Graphenmodell ermöglicht zunächst eine vereinfachte Betrachtung der Volumenströme und Druckverluste. Die zwei- und dreidimensionalen Modelle erlauben anschließend eine detailliertere Untersuchung der Strömung innerhalb der Gefäßaufzweigung. Das '''Graphenmodell''' beschreibt die Arteria carotis communis sowie die beiden abzweigenden Gefäße als miteinander verbundenes Netzwerk. Dabei wird die Massenerhaltung an der Verzweigung berücksichtigt: :<math>Q_{\mathrm{CCA}}=Q_{\mathrm{ICA}}+Q_{\mathrm{ECA}}</math> Das Modell liefert vereinfachte Abschätzungen der Volumenstromverteilung. Lokale Strömungsablösungen und räumliche Geschwindigkeitsverteilungen können damit nicht detailliert dargestellt werden. Das '''ebene Flächenmodell''' bildet die Y-förmige Gefäßaufzweigung in zwei Raumdimensionen ab. Die Stenose wird innerhalb der Arteria carotis interna berücksichtigt. Dadurch können die Geschwindigkeits- und Druckverteilung sowie mögliche Rückströmungsbereiche untersucht werden. Das '''Volumenmodell''' erweitert die Untersuchung auf drei Raumdimensionen. Es ermöglicht eine räumliche Darstellung der Strömung und eine detailliertere Berechnung der Wandschubspannung. Die Ergebnisse des ebenen Flächenmodells und des Volumenmodells werden miteinander verglichen. Da das ebene Modell die räumliche Querschnittsgeometrie nur vereinfacht darstellt, müssen Unterschiede zwischen den beiden Modellen bei der Interpretation berücksichtigt werden. Ziel der Modellhierarchie ist es, die Aussagekraft der einzelnen Modellvarianten zu bewerten und den Einfluss des Stenosegrades auf die Strömung innerhalb der Y-förmigen Karotisaufzweigung zu untersuchen. === Simulationsgebiet und Geometrie === Das Simulationsgebiet besteht aus einer idealisierten Y-förmigen Aufzweigung der Arteria carotis. Die Arteria carotis communis teilt sich in die Arteria carotis interna und die Arteria carotis externa. Die Stenose befindet sich in der Arteria carotis interna. Die Arteria carotis externa wird ohne zusätzliche Verengung modelliert. Die Geometrie orientiert sich an den bereitgestellten Referenzdaten. Die Gefäßdurchmesser werden innerhalb der jeweiligen unverengten Abschnitte als konstant angenommen. {| class="wikitable" style="width:100%;" |+ '''Geometrische Referenzparameter der Y-förmigen Gefäßaufzweigung''' |- ! Gefäßabschnitt ! Durchmesser ! Länge |- | Arteria carotis communis | 6 mm | 60 mm |- | Arteria carotis interna | 5 mm | 60 mm |- | Arteria carotis externa | 4 mm | 60 mm |- | Stenose in der Arteria carotis interna | Abhängig vom Stenosegrad | 10 mm |} Die Verengung wird über den Stenosegrad <math>s</math> beschrieben. Dieser gibt die relative Verringerung des Gefäßdurchmessers an: :<math>s=1-\frac{d_{\min}}{D_{\mathrm{ICA}}}</math> Dabei bezeichnet <math>d_{\min}</math> den minimalen Durchmesser innerhalb der Stenose und <math>D_{\mathrm{ICA}}</math> den unverengten Referenzdurchmesser der Arteria carotis interna. Für das Modell gilt: :<math>D_{\mathrm{ICA}}=5\,\mathrm{mm}</math> Der minimale Durchmesser ergibt sich damit zu: :<math>d_{\min}=D_{\mathrm{ICA}}(1-s)</math> {| class="wikitable" |+ '''Minimaler Durchmesser der Stenose in der Arteria carotis interna''' |- ! Stenosegrad ! Minimaler Durchmesser |- | 0 % | 5,0 mm |- | 10 % | 4,5 mm |- | 20 % | 4,0 mm |- | 30 % | 3,5 mm |- | 40 % | 3,0 mm |- | 50 % | 2,5 mm |- | 60 % | 2,0 mm |- | 70 % | 1,5 mm |- | 80 % | 1,0 mm |} Die angegebenen Stenosegrade beziehen sich ausschließlich auf den Durchmesser der Arteria carotis interna. Der Durchmesser der Arteria carotis communis wird nicht zur Berechnung des Stenosegrades verwendet. Die Y-förmige Geometrie ermöglicht es, die Auswirkungen der Verengung sowohl auf die lokale Strömung in der Arteria carotis interna als auch auf die Strömungsverteilung innerhalb der gesamten Gefäßaufzweigung zu untersuchen. Die genaue Form der Stenose, der Verzweigungswinkel und die Übergänge zwischen den Gefäßabschnitten müssen entsprechend der tatsächlich in COMSOL verwendeten Geometrie dokumentiert werden. == Stoff- und Strömungsparameter == Die Stoffwerte des Blutes und der Volumenstrom sind die einzigen Eingangsgrößen, die nicht aus der Geometrie folgen. Aus ihnen werden alle weiteren Strömungskennwerte berechnet. Die folgenden Schritte zeigen jede Rechnung einzeln, damit sich jeder Wert nachprüfen lässt. # Die '''Dichte''' wird mit <math>\rho = 1060\ \mathrm{kg/m^3}</math> angesetzt. Der Wert lässt sich als Mischungsregel plausibel machen. Plasma hat eine Dichte von etwa 1025 kg/m³, rote Blutkörperchen von etwa 1100 kg/m³. Bei einem Zellanteil von 45 % ergibt sich <math>0{,}55 \cdot 1025 + 0{,}45 \cdot 1100 \approx 1059\ \mathrm{kg/m^3}</math>. Die Dichte geht nur über die Reynoldszahl in die Rechnung ein, eine Abweichung von einem Prozent ändert die Ergebnisse daher kaum. <!-- FIXME Lehrbuchquelle fuer Plasma- und Erythrozytendichte ergaenzen --> # Die '''dynamische Viskosität''' wird mit <math>\mu = 3{,}5\ \mathrm{mPa\,s}</math> angesetzt. Das ist der Grenzwert der Blutviskosität bei hohen Scherraten, also genau der Wert, der zur Newtonschen Näherung gehört. Derselbe Wert von 0,035 Poise wird auch im Standardwerk zur Modellierung des Herz-Kreislauf-Systems verwendet.<ref name="quarteroni">Quarteroni, A.; Formaggia, L.: ''Mathematical Modelling and Numerical Simulation of the Cardiovascular System.'' In: Ayache, N. (Hrsg.): ''Computational Models for the Human Body.'' Handbook of Numerical Analysis, Bd. XII, Elsevier, Amsterdam 2004, S. 3-127. DOI 10.1016/S1570-8659(03)12001-7. Zur Newtonschen Näherung in großen Gefäßen siehe S. 30, zur Viskosität von 0,035 Poise die Parametertabelle auf S. 116.</ref> # Der '''mittlere Volumenstrom''' wird mit <math>Q_0 = 6\ \mathrm{ml/s}</math> angesetzt. Das ist der zeitlich gemittelte Volumenstrom, der in der gemeinsamen Halsschlagader gesunder Probanden gemessen wurde.<ref name="holdsworth" /> # Die '''mittlere Geschwindigkeit''' folgt aus Volumenstrom und Querschnittsfläche, <math>U_0 = \frac{Q_0}{\pi R_0^2} = \frac{6 \cdot 10^{-6}\ \mathrm{m^3/s}}{\pi \cdot (0{,}003\ \mathrm{m})^2} = 0{,}2122\ \mathrm{m/s}</math>. # Die '''Reynoldszahl''' des gesunden Gefäßes ist <math>Re_0 = \frac{\rho\, U_0\, D_0}{\mu} = \frac{1060 \cdot 0{,}2122 \cdot 0{,}006}{0{,}0035} = 385{,}6</math>. Sie wird im Folgenden auf 386 gerundet. # Die '''Einlauflänge''', die eine anfangs gleichförmige Strömung bis zum voll entwickelten Parabelprofil bräuchte, beträgt nach der gebräuchlichen Abschätzung für laminare Rohrströmungen <math>L_e \approx 0{,}06\, Re_0\, D_0 \approx 0{,}06 \cdot 386 \cdot 6\ \mathrm{mm} \approx 139\ \mathrm{mm}</math>.<ref name="durst">Durst, F.; Ray, S.; Ünsal, B.; Bayoumi, O. A.: ''The development lengths of laminar pipe and channel flows.'' Journal of Fluids Engineering 127 (2005), Nr. 6, S. 1154-1160. Für große Reynoldszahlen nähert sich die dort angegebene Korrelation dem Wert 0,057·Re·D.</ref> Das ist fast die gesamte Länge des Rechengebiets. Ein konstantes Einlassprofil würde die Strömung an der Stenose also verfälschen, weshalb am Einlass das voll entwickelte Profil vorgegeben wird. Damit liegen alle globalen Parameter fest. Die folgende Tabelle enthält sie mit genau den Namen, unter denen sie in COMSOL und in den Octave-Skripten verwendet werden. {| class="wikitable" |+ Globale Parameter des Modells ! Name !! Ausdruck in COMSOL !! Wert !! Bedeutung !! Herkunft |- | R0 || 3[mm] || 3 mm || Gefäßradius || Messwerte nach Krejza u. a. 2006, gerundet |- | D0 || 2*R0 || 6 mm || Gefäßdurchmesser || abgeleitet |- | Ls || 2*D0 || 12 mm || Länge der Störstelle || Standardgeometrie nach Varghese u. a. 2007 |- | Lu || 5*D0 || 30 mm || Vorlaufstrecke vor der Stenosemitte || Abstand der Einlassbedingung von der Stenose |- | Ld || 20*D0 || 120 mm || Nachlaufstrecke hinter der Stenosemitte || Platz für das Rückströmgebiet |- | Lf || Ls/2+10*D0 || 66 mm || Ende des fein vernetzten Nachlaufs || erwartete Länge des Rückströmgebiets |- | s || 0 bis 0.8 || 0 bis 0,8 || Stenosegrad bezogen auf den Durchmesser || NASCET-Einteilung |- | rho_b || 1060[kg/m^3] || 1060 kg/m³ || Dichte des Blutes || Mischungsregel, Literaturwert |- | mu_b || 3.5[mPa*s] || 3,5 mPa·s || dynamische Viskosität des Blutes || Hochscherwert, Quarteroni und Formaggia 2004 |- | Q0 || 6[ml/s] || 6 ml/s || mittlerer Volumenstrom || Messwerte nach Holdsworth u. a. 1999 |- | U0 || Q0/(pi*R0^2) || 0,2122 m/s || mittlere Einströmgeschwindigkeit || abgeleitet |- | Re0 || rho_b*U0*D0/mu_b || 385,6 || Reynoldszahl des gesunden Gefäßes || abgeleitet |- | dp_ref || 8*mu_b*U0*(Lu+Ld)/R0^2 || 99,03 Pa || Poiseuille-Druckabfall des gesunden Gefäßes || abgeleitet, Hagen-Poiseuille |} = Implementierung des 2D-Modells in COMSOL Multiphysics = == Zielsetzung des zweidimensionalen Modells == Im Rahmen des Projekts wurde mit COMSOL Multiphysics ein zweidimensionales Modell der menschlichen Halsschlagader erstellt. Ziel ist es, die Blutströmung innerhalb einer Gefäßverzweigung zu untersuchen und insbesondere die Auswirkungen einer lokalen Gefäßverengung (Stenose) auf das Strömungsverhalten zu analysieren. Das Modell bildet die Aufzweigung der Arteria carotis communis (ACC) in die Arteria carotis interna (ACI) und die Arteria carotis externa (ACE) ab. Während die ACE als gesunder Gefäßabschnitt betrachtet wird, befindet sich in der ACI eine lokale Verengung. Dadurch können die Strömungsverhältnisse in beiden Ästen miteinander verglichen werden. Die zweidimensionale Modellierung dient dazu, die Geschwindigkeitsverteilung, den Druckabfall und die Wandschubspannung zu untersuchen. Zusätzlich soll festgestellt werden, ob sich hinter der Stenose Bereiche mit Strömungsablösungen oder Rückströmungen ausbilden. == Ergebnisse der 2D-Strömungssimulation == === Geschwindigkeitsverteilung und Stromlinien === Zur Untersuchung der Blutströmung innerhalb der ''Carotis-Bifurkation'' wurde in COMSOL eine zweidimensionale Geschwindigkeitsdarstellung erstellt. Hierfür wird der Geschwindigkeitsbetrag ''spf.U'' verwendet. Zusätzlich wurden Stromlinien eingerichtet, um den Verlauf der Strömung innerhalb der Gefäßverzweigung zu veranschaulichen. Die Darstellung des Geschwindigkeitsbetrags erfolgt mithilfe einer Farbskala. Dadurch lassen sich Bereiche unterschiedlicher Strömungsgeschwindigkeiten voneinander unterscheiden. Die Stromlinien verdeutlichen zusätzlich, wie das Blut vom gemeinsamen Zuflussgefäß in die beiden Gefäßäste umgelenkt wird. Von besonderem Interesse ist der Bereich der Stenose. Durch die Verringerung des verfügbaren Strömungsquerschnitts ist dort bei entsprechendem Durchfluss eine Beschleunigung des Blutes zu erwarten. Hinter der Engstelle erweitert sich der Querschnitt wieder, wodurch sich das Strömungsprofil erneut verändern kann. Mithilfe der Stromlinien lässt sich außerdem untersuchen, ob die Strömung nach der Verengung weiterhin gleichmäßig verläuft oder ob sich lokale Ablösungen und Rückströmungsgebiete ausbilden. FEHLEND: BILD UND BESCHREIBUNG DAZU === Druckverteilung === Neben der Geschwindigkeitsverteilung wurde in COMSOL eine Darstellung der Druckverteilung angelegt. Diese erfolgt über Isolinien des Drucks p. Isolinien verbinden Punkte, an denen derselbe Druck herrscht. Die Druckverteilung ist insbesondere im Bereich der Gefäßverzweigung und der Stenose von Bedeutung. Beim Durchströmen der Verengung verändert sich die Geschwindigkeit des Blutes, wodurch auch der lokale statische Druck beeinflusst wird. Zusätzlich entstehen aufgrund der Viskosität des Blutes und der geometrischen Veränderungen Druckverluste. Diese sind für die Beurteilung des Strömungswiderstands relevant. Mit der Druckdarstellung kann untersucht werden, wie sich der Druck entlang des Gefäßes verändert und welche Unterschiede zwischen dem gemeinsamen Zufluss und den beiden Auslaufästen auftreten. = Grenzen des Modells = * Die untersuchte Gefäßgeometrie ist eine idealisierte Darstellung der Karotisaufzweigung. Individuelle anatomische Unterschiede werden nicht berücksichtigt. * Darüber hinaus werden die Gefäßwände als starr angenommen und Blut wird durch ein inkompressibles Newtonsches Fluid mit konstanter Viskosität beschrieben. * Die Strömung wird stationär berechnet. Die natürliche Pulsation des Blutflusses und zeitabhängige Effekte bleiben damit unberücksichtigt. * Insbesondere bei hochgradigen Stenosen können zeitabhängige Strömungsablösungen auftreten, die durch eine stationäre Modellierung nicht vollständig beschrieben werden. * Das Graphenmodell kann lokale Strömungsphänomene nicht detailliert erfassen. Das ebene Flächenmodell vereinfacht die räumliche Gefäßgeometrie. Auch das dreidimensionale Modell bleibt aufgrund der idealisierten Geometrie und der vereinfachten Materialannahmen eine Annäherung an die reale Blutströmung. * Die Ergebnisse sind daher als strömungsmechanische Untersuchung eines idealisierten Modells zu interpretieren und nicht als patientenspezifische medizinische Vorhersage. AB HIER ALT== Modellhierarchie == Für die Untersuchung werden vier Modellvarianten betrachtet, die sich hinsichtlich ihrer mathematischen Beschreibung, ihrer räumlichen Dimension und ihres Rechenaufwands unterscheiden. Die Modelle sind bewusst von einer vereinfachten analytischen Beschreibung bis zu einer dreidimensionalen numerischen Simulation angeordnet. Diese Vorgehensweise ermöglicht es, die Ergebnisse der komplexeren Modelle anhand grundlegender physikalischer Zusammenhänge und geeigneter Referenzfälle zu überprüfen. Dabei ist zu beachten, dass nicht jede Modellvariante dieselben Strömungseigenschaften vollständig abbilden kann. {| class="wikitable" style="width:100%;" |+ '''Die vier Modellvarianten des Projekts''' |- ! Modell ! Raumdimension ! Mathematische Grundlage ! Zweck ! Werkzeug |- | '''Graphenmodell''' | 1D, Beschreibung entlang der Gefäßachse | Hagen-Poiseuille-Gesetz für vereinfachte Rohrabschnitte und Massenerhaltung an Verzweigungsknoten | Analytische Abschätzung von Volumenströmen und Druckverlusten; Referenz für die numerischen Modelle | COMSOL mit geeigneter eindimensionaler Formulierung |- | '''Achsensymmetrisches Flächenmodell''' | 2D, rotationssymmetrischer Längsschnitt in den Koordinaten <math>r</math> und <math>z</math> | Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen in achsensymmetrischer Form | Detaillierte Untersuchung von Geschwindigkeits- und Druckfeldern sowie der Wandschubspannung in einem idealisierten rotationssymmetrischen Gefäß | COMSOL Multiphysics, Laminar Flow |- | '''Ebenes Flächenmodell''' | 2D, ebene Geometrie in den Koordinaten <math>x</math> und <math>y</math> | Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen in kartesischen Koordinaten | Untersuchung der Strömung in einer vereinfachten ebenen Geometrie und Vergleich mit dem achsensymmetrischen Modell | COMSOL Multiphysics, Laminar Flow |- | '''Volumenmodell''' | 3D, räumliche Gefäßgeometrie | Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen in drei Raumdimensionen | Räumliche Darstellung der Strömung und Überprüfung der Ergebnisse des achsensymmetrischen Modells bei vergleichbarer Geometrie | COMSOL Multiphysics, Laminar Flow |} == Stoff- und Strömungsparameter == Die Stoffwerte des Blutes und der Volumenstrom sind die einzigen Eingangsgrößen, die nicht aus der Geometrie folgen. Aus ihnen werden alle weiteren Strömungskennwerte berechnet. Die folgenden Schritte zeigen jede Rechnung einzeln, damit sich jeder Wert nachprüfen lässt. # Die '''Dichte''' wird mit <math>\rho = 1060\ \mathrm{kg/m^3}</math> angesetzt. Der Wert lässt sich als Mischungsregel plausibel machen. Plasma hat eine Dichte von etwa 1025 kg/m³, rote Blutkörperchen von etwa 1100 kg/m³. Bei einem Zellanteil von 45 % ergibt sich <math>0{,}55 \cdot 1025 + 0{,}45 \cdot 1100 \approx 1059\ \mathrm{kg/m^3}</math>. Die Dichte geht nur über die Reynoldszahl in die Rechnung ein, eine Abweichung von einem Prozent ändert die Ergebnisse daher kaum. <!-- FIXME Lehrbuchquelle fuer Plasma- und Erythrozytendichte ergaenzen --> # Die '''dynamische Viskosität''' wird mit <math>\mu = 3{,}5\ \mathrm{mPa\,s}</math> angesetzt. Das ist der Grenzwert der Blutviskosität bei hohen Scherraten, also genau der Wert, der zur Newtonschen Näherung gehört. Derselbe Wert von 0,035 Poise wird auch im Standardwerk zur Modellierung des Herz-Kreislauf-Systems verwendet.<ref name="quarteroni">Quarteroni, A.; Formaggia, L.: ''Mathematical Modelling and Numerical Simulation of the Cardiovascular System.'' In: Ayache, N. (Hrsg.): ''Computational Models for the Human Body.'' Handbook of Numerical Analysis, Bd. XII, Elsevier, Amsterdam 2004, S. 3-127. DOI 10.1016/S1570-8659(03)12001-7. Zur Newtonschen Näherung in großen Gefäßen siehe S. 30, zur Viskosität von 0,035 Poise die Parametertabelle auf S. 116.</ref> # Der '''mittlere Volumenstrom''' wird mit <math>Q_0 = 6\ \mathrm{ml/s}</math> angesetzt. Das ist der zeitlich gemittelte Volumenstrom, der in der gemeinsamen Halsschlagader gesunder Probanden gemessen wurde.<ref name="holdsworth" /> # Die '''mittlere Geschwindigkeit''' folgt aus Volumenstrom und Querschnittsfläche, <math>U_0 = \frac{Q_0}{\pi R_0^2} = \frac{6 \cdot 10^{-6}\ \mathrm{m^3/s}}{\pi \cdot (0{,}003\ \mathrm{m})^2} = 0{,}2122\ \mathrm{m/s}</math>. # Die '''Reynoldszahl''' des gesunden Gefäßes ist <math>Re_0 = \frac{\rho\, U_0\, D_0}{\mu} = \frac{1060 \cdot 0{,}2122 \cdot 0{,}006}{0{,}0035} = 385{,}6</math>. Sie wird im Folgenden auf 386 gerundet. # Die '''Einlauflänge''', die eine anfangs gleichförmige Strömung bis zum voll entwickelten Parabelprofil bräuchte, beträgt nach der gebräuchlichen Abschätzung für laminare Rohrströmungen <math>L_e \approx 0{,}06\, Re_0\, D_0 \approx 0{,}06 \cdot 386 \cdot 6\ \mathrm{mm} \approx 139\ \mathrm{mm}</math>.<ref name="durst">Durst, F.; Ray, S.; Ünsal, B.; Bayoumi, O. A.: ''The development lengths of laminar pipe and channel flows.'' Journal of Fluids Engineering 127 (2005), Nr. 6, S. 1154-1160. Für große Reynoldszahlen nähert sich die dort angegebene Korrelation dem Wert 0,057·Re·D.</ref> Das ist fast die gesamte Länge des Rechengebiets. Ein konstantes Einlassprofil würde die Strömung an der Stenose also verfälschen, weshalb am Einlass das voll entwickelte Profil vorgegeben wird. Damit liegen alle globalen Parameter fest. Die folgende Tabelle enthält sie mit genau den Namen, unter denen sie in COMSOL und in den Octave-Skripten verwendet werden. {| class="wikitable" |+ Globale Parameter des Modells ! Name !! Ausdruck in COMSOL !! Wert !! Bedeutung !! Herkunft |- | R0 || 3[mm] || 3 mm || Gefäßradius || Messwerte nach Krejza u. a. 2006, gerundet |- | D0 || 2*R0 || 6 mm || Gefäßdurchmesser || abgeleitet |- | Ls || 2*D0 || 12 mm || Länge der Störstelle || Standardgeometrie nach Varghese u. a. 2007 |- | Lu || 5*D0 || 30 mm || Vorlaufstrecke vor der Stenosemitte || Abstand der Einlassbedingung von der Stenose |- | Ld || 20*D0 || 120 mm || Nachlaufstrecke hinter der Stenosemitte || Platz für das Rückströmgebiet |- | Lf || Ls/2+10*D0 || 66 mm || Ende des fein vernetzten Nachlaufs || erwartete Länge des Rückströmgebiets |- | s || 0 bis 0.8 || 0 bis 0,8 || Stenosegrad bezogen auf den Durchmesser || NASCET-Einteilung |- | rho_b || 1060[kg/m^3] || 1060 kg/m³ || Dichte des Blutes || Mischungsregel, Literaturwert |- | mu_b || 3.5[mPa*s] || 3,5 mPa·s || dynamische Viskosität des Blutes || Hochscherwert, Quarteroni und Formaggia 2004 |- | Q0 || 6[ml/s] || 6 ml/s || mittlerer Volumenstrom || Messwerte nach Holdsworth u. a. 1999 |- | U0 || Q0/(pi*R0^2) || 0,2122 m/s || mittlere Einströmgeschwindigkeit || abgeleitet |- | Re0 || rho_b*U0*D0/mu_b || 385,6 || Reynoldszahl des gesunden Gefäßes || abgeleitet |- | dp_ref || 8*mu_b*U0*(Lu+Ld)/R0^2 || 99,03 Pa || Poiseuille-Druckabfall des gesunden Gefäßes || abgeleitet, Hagen-Poiseuille |} === Vergleich und Überprüfung der Modellvarianten === Die Modellhierarchie folgt dem Prinzip, dass zunächst vereinfachte Zusammenhänge untersucht und anschließend mit detaillierteren numerischen Modellen verglichen werden. Das '''Graphenmodell''' bildet die einfachste Modellvariante. Es verwendet das Hagen-Poiseuille-Gesetz zur Abschätzung des Druckverlustes in geraden Rohrabschnitten mit konstantem Durchmesser. Für den unverengten Referenzfall kann damit eine analytische Vergleichsgröße bestimmt werden. Im Bereich einer Stenose ist die Anwendung jedoch nur als vereinfachte Näherung geeignet, da dort zusätzliche Strömungseffekte auftreten können. Das '''achsensymmetrische Flächenmodell''' ermöglicht eine detailliertere Untersuchung des Geschwindigkeits- und Druckfeldes innerhalb einer idealisierten rotationssymmetrischen Gefäßverengung. Im unverengten Referenzfall können die numerischen Ergebnisse mit der analytischen Poiseuille-Lösung verglichen werden. Bei zunehmendem Stenosegrad werden insbesondere die Beschleunigung im Bereich der Engstelle, der Druckverlust und die Wandschubspannung betrachtet. Das '''ebene Flächenmodell''' beschreibt die Strömung in einer zweidimensionalen kartesischen Geometrie. Im Unterschied zum achsensymmetrischen Modell wird dabei keine Rotationssymmetrie vorausgesetzt. Da sich die geometrische Beschreibung des Strömungsquerschnitts unterscheidet, sind die Ergebnisse nicht ohne Weiteres quantitativ gleichzusetzen. Der Vergleich dient insbesondere dazu, den Einfluss der Modellvereinfachung auf die berechneten Strömungsgrößen zu untersuchen. Das '''Volumenmodell''' erweitert die Untersuchung auf drei Raumdimensionen. Bei einer rotationssymmetrischen Geometrie und entsprechend übereinstimmenden Randbedingungen wird eine weitgehende Übereinstimmung mit dem achsensymmetrischen Modell erwartet. Diese Übereinstimmung muss jedoch anhand der numerischen Ergebnisse überprüft werden. Bei einer Gefäßaufzweigung oder einer asymmetrischen Stenose können zusätzliche räumliche Strömungseffekte auftreten, die durch ein achsensymmetrisches Modell nicht vollständig beschrieben werden. === Referenzfall und Vergleichsgrößen === Als Ausgangspunkt dient ein unverengtes Gefäß mit dem Referenzdurchmesser <math>D_0=6\,\mathrm{mm}</math>. Für das Blut werden eine Dichte von <math>\rho_b=1060\,\mathrm{kg/m^3}</math> und eine dynamische Viskosität von <math>\mu_b=3{,}5\,\mathrm{mPa\,s}</math> angenommen. Der vorgegebene mittlere Volumenstrom beträgt <math>Q_0=6\,\mathrm{ml/s}</math>. Daraus ergibt sich für den unverengten kreisförmigen Querschnitt eine mittlere Strömungsgeschwindigkeit von ungefähr <math>U_0=0{,}2122\,\mathrm{m/s}</math>. Die Referenz-Reynolds-Zahl beträgt <math>\mathrm{Re}_0=385{,}6</math>. Für den in den Referenzdaten definierten Vergleichsfall ist außerdem ein analytischer Druckverlust von <math>\Delta p_{\mathrm{ref}}=99{,}03\,\mathrm{Pa}</math> angegeben. Diese Größen dienen als Ausgangspunkt für die Überprüfung der numerischen Modelle. Ein direkter Vergleich ist jedoch nur zulässig, wenn die jeweils verwendete Geometrie, die Auswertelänge und die Randbedingungen übereinstimmen. === Grenzen der Modellhierarchie === Die vier Modellvarianten unterscheiden sich nicht nur im Rechenaufwand, sondern auch in den physikalischen Effekten, die sie darstellen können. Insbesondere bei hochgradigen Stenosen können starke lokale Geschwindigkeitsänderungen, Strömungsablösungen und zeitabhängige Strömungsstrukturen auftreten. Deshalb muss überprüft werden, ob die Annahme einer stationären laminaren Strömung für die betrachteten Fälle ausreichend ist. Außerdem muss zwischen dem idealisierten geraden Gefäßmodell und einer Gefäßaufzweigung unterschieden werden. Das achsensymmetrische Modell eignet sich für eine rotationssymmetrische Stenose in einem geraden Gefäß, während eine realistische Gefäßaufzweigung eine andere geometrische Beschreibung erfordert. Die Modellvarianten werden daher nicht als vollständig gleichwertig betrachtet. Vielmehr soll der Vergleich zeigen, welche Aussagen bereits durch vereinfachte Modelle möglich sind und für welche Strömungseigenschaften eine detailliertere numerische Beschreibung erforderlich ist. = Modellierung = Modellierung bedeutet hier, die reale Situation in eine mathematische Aufgabe zu übersetzen, die sich lösen lässt. Dazu gehören vier Bausteine, nämlich das Rechengebiet, die Gleichungen, die Zahlenwerte der Parameter und die Bedingungen an den Rändern. Jeder dieser Bausteine beruht auf Annahmen, und jede Annahme muss begründet werden. Dieser Abschnitt geht die Bausteine deshalb der Reihe nach durch und nennt bei jedem Zahlenwert, woher er stammt und warum er sinnvoll ist. == Modellhierarchie == Das Projekt rechnet nicht ein einziges Modell, sondern vier aufeinander aufbauende Modellvarianten. Sie entsprechen der Kursanforderung, eine Strömung als Graph, in zwei und in drei Raumdimensionen darzustellen, und sie sind bewusst von einfach nach aufwendig geordnet. {| class="wikitable" |+ Die vier Modellvarianten des Projekts ! Modell !! Raumdimension !! gelöste Gleichung !! Zweck !! Werkzeug |- | Graphenmodell || 1D, Gefäßachse || Hagen-Poiseuille je Rohrstück und Massenerhaltung in jedem Knoten || schnelle, analytisch nachrechenbare Abschätzung für jeden Stenosegrad || Octave und COMSOL (Koeffizientenform-PDGL) |- | achsensymmetrisches Flächenmodell || 2D, Halbschnitt in r und z || vollständige stationäre Navier-Stokes-Gleichungen in Zylinderkoordinaten || Hauptmodell, liefert alle Feldgrößen des rotationssymmetrischen Rohres || COMSOL, Laminare Strömung |- | ebenes Flächenmodell || 2D, Halbschnitt in x und y || vollständige stationäre Navier-Stokes-Gleichungen in kartesischen Koordinaten || Vergleich, zeigt den Einfluss der zweiten Querschnittsrichtung || COMSOL, Laminare Strömung |- | Volumenmodell || 3D || vollständige stationäre Navier-Stokes-Gleichungen || Kontrolle des Hauptmodells und räumliche Darstellung || COMSOL, Laminare Strömung |} Die Reihenfolge folgt einem einfachen Prinzip. Jede Stufe liefert die Sollwerte, an denen die nächste, komplexere Stufe geprüft wird. Das Graphenmodell muss im gesunden Fall exakt die Poiseuille-Lösung ergeben. Das achsensymmetrische Modell muss im gesunden Fall dieselben Werte liefern und bei Stenose für Geschwindigkeit und Wandschubspannung in der Nähe des Graphenmodells liegen. Das Volumenmodell muss, weil die Geometrie rotationssymmetrisch ist, mit dem achsensymmetrischen Modell übereinstimmen. == Modellannahmen == Um den Einfluss des Stenosegrades möglichst isoliert zu untersuchen, werden die folgenden Modellannahmen getroffen. Die Tabelle nennt zu jeder Annahme ihre mathematische Form, die Begründung und die Stelle, an der sie im Projekt überprüft wird. {| class="wikitable" |+ Modellannahmen, ihre Begründung und ihre Überprüfung ! Annahme !! mathematische Form !! Begründung !! Überprüfung |- | Idealisierte Gefäßgeometrie || gerades Rohr mit kosinusförmiger, rotationssymmetrischer Verengung || isoliert die Wirkung des Stenosegrades von Krümmung, Verzweigung und Plaqueform || Diskussion in den Schlussfolgerungen |- | Starre Gefäßwand || Wand ortsfest, keine Fluid-Struktur-Kopplung || im stationären Fall gibt es keine Druckschwankung, die die Wand periodisch aufweiten könnte || Abschätzung über die gemessene Durchmesseränderung im Herzzyklus |- | Stationäre Strömung || <math>\partial \mathbf{u}/\partial t = \mathbf{0}</math> || der Einfluss des Stenosegrades soll ohne Überlagerung durch die Pulsation sichtbar werden || Abschätzung über die Womersley-Zahl |- | Inkompressibles Fluid || <math>\rho = \mathrm{const}</math>, damit <math>\nabla\cdot\mathbf{u} = 0</math> || Blut ist eine Flüssigkeit, Druckänderungen von wenigen hundert Pascal ändern die Dichte nicht messbar || Massenerhaltung in fünf Querschnitten |- | Newtonsche Näherung || konstante Viskosität <math>\mu</math> || die Scherraten an der Wand und im größten Teil des Querschnitts liegen über dem Bereich, in dem Blut deutlich scherverdünnend wirkt || Scherrate an der Wand, Diskussion des Rückströmgebiets |- | Konstante Stoffeigenschaften || <math>\rho</math> und <math>\mu</math> räumlich und zeitlich konstant || Körpertemperatur ist im betrachteten Abschnitt konstant || entfällt |- | Laminare Strömung || kein Turbulenzmodell, Schnittstelle Laminare Strömung || Reynoldszahl des gesunden Gefäßes von 386 liegt weit unter dem Umschlagbereich || Reynoldszahl in der Engstelle, Literaturvergleich |- | Haftbedingung an der Wand || <math>\mathbf{u} = \mathbf{0}</math> auf der Wand || Folge der Viskosität, das Fluid haftet an der Wand || Grundlage jeder Wandschubspannung |- | Vernachlässigung der Gravitation || keine Volumenkraft || bei konstanter Dichte lässt sich die Schwerkraft vollständig in einen hydrostatischen Druckanteil verschieben und beeinflusst die Geschwindigkeit nicht || Begründung in den Mathematischen Hintergründen |- | Voll entwickelte Einströmung || parabolisches Profil am Einlass || die natürliche Einlaufstrecke wäre mit rund 139 mm fast so lang wie das ganze Rechengebiet || Scheitelgeschwindigkeit im gesunden Fall |- | Eingeprägter Volumenstrom || <math>Q = Q_0</math> am Einlass || der Strömungswiderstand des Abschnitts ist klein gegenüber dem des nachgeschalteten Gefäßbetts || Abschätzung mit einem Reihenwiderstand |} Einige dieser Annahmen sind unmittelbar einsichtig, andere verdienen eine genauere Begründung, weil von ihnen die Aussagekraft der Ergebnisse abhängt. Die '''Newtonsche Näherung''' ist die Annahme, die bei Blut am häufigsten hinterfragt wird. Reales Blut ist eine Suspension aus Plasma und Blutzellen und verhält sich scherverdünnend. Bei kleinen Scherraten lagern sich die roten Blutkörperchen zu geldrollenartigen Stapeln zusammen, und die Viskosität steigt auf ein Vielfaches an. Bei großen Scherraten lösen sich diese Stapel auf, und die Viskosität strebt gegen einen Grenzwert von etwa 3,5 mPa·s. Entscheidend ist also die Scherrate. An der Wand des gesunden Modellgefäßes beträgt sie nach der Poiseuille-Lösung <math>\dot\gamma_w = \frac{4\,U_0}{R_0} = \frac{4 \cdot 0{,}2122\ \mathrm{m/s}}{0{,}003\ \mathrm{m}} \approx 283\ \mathrm{s^{-1}}</math> und liegt damit oberhalb von etwa 100 pro Sekunde, wo sich Newtonsches und nicht Newtonsches Modell nach der Literatur nur noch wenig unterscheiden.<ref name="boyd">Die Grenze von etwa 100 s^-1 wird in vergleichenden Studien zur Blutrheologie verwendet, etwa bei Bernabeu, M. O. u. a.: ''Impact of blood rheology on wall shear stress in a model of the middle cerebral artery.'' Interface Focus 3 (2013), 20120094. <!-- FIXME Zitat und Seitenangabe am Original pruefen --></ref> In der Engstelle steigt die Scherrate weiter an, beim Stenosegrad 0,5 auf rund 2260 pro Sekunde. Schwach ist die Näherung dort, wo die Scherrate klein wird, also in der Mitte des Gefäßes und vor allem im Rückströmgebiet hinter der Stenose. Dort ist reales Blut zäher als angenommen. Dieser Punkt wird in den Schlussfolgerungen wieder aufgegriffen. Die '''stationäre Strömung''' ist die stärkste Vereinfachung. Wie wichtig die Pulsation ist, misst die Womersley-Zahl, die das Verhältnis von instationärer Trägheit zu Reibung angibt. Mit einer Herzfrequenz von 60 Schlägen je Minute, also einer Kreisfrequenz <math>\omega = 2\pi\ \mathrm{s^{-1}}</math>, ergibt sich <math>\alpha = R_0 \sqrt{\frac{\omega \rho}{\mu}} = 0{,}003\ \mathrm{m} \cdot \sqrt{\frac{2\pi\ \mathrm{s^{-1}} \cdot 1060\ \mathrm{kg/m^3}}{0{,}0035\ \mathrm{Pa\,s}}} \approx 4{,}1 .</math> Ein Wert in dieser Größenordnung bedeutet, dass das reale Geschwindigkeitsprofil im Herzzyklus merklich von der Parabel abweicht.<ref name="womersley">Womersley, J. R.: ''Method for the calculation of velocity, rate of flow and viscous drag in arteries when the pressure gradient is known.'' Journal of Physiology 127 (1955), S. 553-563.</ref> Hinzu kommt, dass der Volumenstrom in der Systole kurzzeitig auf rund das Vierfache des Mittelwerts steigt.<ref name="holdsworth">Holdsworth, D. W.; Norley, C. J. D.; Frayne, R.; Steinman, D. A.; Rutt, B. K.: ''Characterization of common carotid artery blood-flow waveforms in normal human subjects.'' Physiological Measurement 20 (1999), Nr. 3, S. 219-240. DOI 10.1088/0967-3334/20/3/301. Angegeben werden ein mittlerer Volumenstrom von 6,0 ± 1,4 ml/s und ein systolischer Spitzenwert von 23,5 ± 3,8 ml/s. <!-- FIXME Zahlenwerte und Probandenzahl am Original pruefen --></ref> Die stationäre Rechnung mit dem Mittelwert beschreibt deshalb nicht den zeitlichen Verlauf, wohl aber den zeitlich gemittelten Zustand, an dem sich der Einfluss des Stenosegrades sauber vergleichen lässt. Die '''laminare Strömung''' wird über die Reynoldszahl begründet. Sie beträgt im gesunden Gefäß 386 und liegt damit weit unter dem Wert von etwa 2300, ab dem die Strömung in einem geraden Rohr in den Übergangsbereich gelangen kann. In der Engstelle steigt sie bei festem Volumenstrom auf <math>Re_0/(1-s)</math>, also auf 551 beim Stenosegrad 0,3, auf 964 beim Grad 0,6 und auf 1928 beim Grad 0,8. Für den Strahl hinter einer Engstelle ist der Umschlagbereich allerdings deutlich niedriger als im geraden Rohr. Direkte numerische Simulationen an genau der in diesem Projekt verwendeten Stenosegeometrie zeigen, dass die Strömung bei einer Einström-Reynoldszahl von 500 auch bei leichter Unsymmetrie laminar bleibt, bei 1000 dagegen schon eine Exzentrizität von fünf Prozent des Durchmessers genügt, um den Strahl in lokal turbulente Strömung umschlagen zu lassen.<ref name="varghese">Varghese, S. S.; Frankel, S. H.; Fischer, P. F.: ''Direct numerical simulation of stenotic flows. Part 1. Steady flow.'' Journal of Fluid Mechanics 582 (2007), S. 253-280. Untersucht wird eine kosinusförmige Stenose der Länge 2D mit 75 % Flächenreduktion, die mit der Geometrie dieses Projekts beim Stenosegrad 0,5 übereinstimmt. <!-- FIXME Band und Seiten am Original pruefen --></ref> Mit einer Einström-Reynoldszahl von 386 liegt das Projekt für die leicht- und mittelgradigen Stenosen sicher im laminaren Bereich. Für die hochgradigen Stenosen ab 0,7 ist ein laminares, stationäres Modell dagegen nur noch eine Näherung, die eine Obergrenze der geordneten Strömung beschreibt. Diese Fälle werden deshalb als Grenzfall des Modells gekennzeichnet. Die '''starre Wand''' lässt sich über Messungen abschätzen. Der Durchmesser der gemeinsamen Halsschlagader ändert sich im Herzzyklus bei jungen Menschen um etwa 12 bis 14 Prozent und bei älteren Menschen um etwa 5 Prozent.<ref name="hansen">Hansen, F.; Mangell, P.; Sonesson, B.; Länne, T.: ''Diameter and compliance in the human common carotid artery: variations with age and sex.'' Ultrasound in Medicine and Biology 21 (1995), Nr. 1, S. 1-9. DOI 10.1016/0301-5629(94)00090-5.</ref> Diese Bewegung ist eine Folge der Pulsation. In einer stationären Rechnung gibt es keine Druckschwankung, die die Wand periodisch aufweiten könnte, sodass die starre Wand zur stationären Annahme konsistent ist. Eine verkalkte Plaque ist ohnehin deutlich steifer als die gesunde Wand. Die Annahme des '''eingeprägten Volumenstroms''' wird im Abschnitt zu den Randbedingungen begründet, weil sie sich nur im Zusammenhang mit dem Kreislauf beurteilen lässt. == Simulationsgebiet und Geometrie == Die Gefäßachse ist die z-Achse, der Ursprung liegt in der Mitte der Stenose, und <math>r</math> bezeichnet den Abstand von der Achse. Das Rechengebiet reicht von <math>z = -L_u</math> bis <math>z = L_d</math> und wird radial von der Wandkontur <math>R(z)</math> begrenzt. Die Verengung wird über eine einzige glatte Funktion beschrieben, <math>R(z) = R_0 \left[ 1 - \frac{s}{2}\left(1 + \cos\frac{2\pi z}{L_s}\right)\right] \quad \text{falls } |z| \le \frac{L_s}{2}, \qquad R(z) = R_0 \ \text{sonst.}</math> Die Funktion hat drei Eigenschaften, die ihre Wahl begründen. Sie wird erstens über einen einzigen Parameter gesteuert, den Stenosegrad <math>s</math>. Der engste Radius in der Mitte beträgt <math>R(0) = R_0(1-s)</math>, und der Fall ohne Verengung ist einfach der Fall <math>s = 0</math>. Die gesamte Vergleichsreihe entsteht damit aus einem einzigen parametrischen Sweep. Sie geht zweitens an beiden Enden der Störstelle ohne Knick in das gerade Rohr über. Bei <math>z = \pm L_s/2</math> ist der Kosinus gleich minus eins, die Klammer also null, und seine Ableitung verschwindet dort ebenfalls. Das ist nicht nur ästhetisch, sondern numerisch notwendig, denn ein Knick in der Wand erzeugt eine Singularität der Wandschubspannung, deren berechneter Wert mit jeder Netzverfeinerung weiter wüchse. Eine Netzstudie wäre dann sinnlos. Sie ist drittens die in der Literatur gebräuchliche Standardgeometrie für Stenosen, sodass sich die Ergebnisse unmittelbar mit veröffentlichten Rechnungen vergleichen lassen.<ref name="varghese" /> [[Datei:Stenose Gruppe5 Wandkontur.svg|mini|zentriert|800px|Wandkontur <math>R(z)</math> für die untersuchten Stenosegrade. Die Darstellung ist in radialer Richtung gestreckt, das Rechengebiet ist in Wirklichkeit fünfundzwanzigmal länger als breit.]] <!-- FIXME Abbildung mit abbildungen_graph_1d.m fuer s = 0 bis 0,8 neu erzeugen, bisher nur bis 0,5 --> Die Abmessungen des Rechengebiets werden alle aus dem Gefäßradius abgeleitet. Das hat den Vorteil, dass sich das gesamte Modell durch Ändern eines einzigen Wertes auf ein anderes Gefäß übertragen lässt. Die einzelnen Längen werden im Folgenden Schritt für Schritt begründet. # Der '''Gefäßradius''' <math>R_0 = 3\ \mathrm{mm}</math> folgt aus Ultraschallmessungen an gesunden Erwachsenen. Dort wurden für die gemeinsame Halsschlagader mittlere Durchmesser von 6,10 ± 0,80 mm bei Frauen und 6,52 ± 0,98 mm bei Männern gemessen.<ref name="krejza">Krejza, J.; Arkuszewski, M.; Kasner, S. E.; Weigele, J.; Ustymowicz, A.; Hurst, R. W.; Cucchiara, B. L.; Messe, S. R.: ''Carotid artery diameter in men and women and the relation to body and neck size.'' Stroke 37 (2006), Nr. 4, S. 1103-1105. DOI 10.1161/01.STR.0000206440.48756.f7.</ref> Der gewählte Durchmesser von <math>D_0 = 6\ \mathrm{mm}</math> liegt damit innerhalb einer Standardabweichung beider Gruppen und ist bewusst auf einen runden Wert gesetzt, damit alle abgeleiteten Längen glatte Zahlen ergeben. # Die '''Länge der Störstelle''' <math>L_s = 2 D_0 = 12\ \mathrm{mm}</math> entspricht der Standardgeometrie aus der Literatur, die eine Stenosenlänge von zwei Durchmessern verwendet.<ref name="varghese" /> Damit ist beim Stenosegrad 0,5 ein direkter Vergleich mit veröffentlichten Ergebnissen möglich. # Die '''Vorlaufstrecke''' <math>L_u = 5 D_0 = 30\ \mathrm{mm}</math> trennt den Einlass von der Stenose. Da am Einlass bereits das voll entwickelte Profil vorgegeben wird, muss sie nicht die Einlaufstrecke abdecken, sondern nur verhindern, dass die Einströmrandbedingung die Strömung an der Engstelle beeinflusst. Bei Reynoldszahlen in dieser Größenordnung reicht der Einfluss einer Verengung nur wenige Durchmesser stromaufwärts, die Literatur kommt für dieselbe Geometrie mit drei Durchmessern Vorlauf aus.<ref name="varghese" /> Fünf Durchmesser lassen also eine Reserve. Überprüft wird das im Ergebnis, indem die Geschwindigkeit auf der Achse in der Mitte der Vorlaufstrecke mit dem Sollwert <math>2U_0</math> verglichen wird. # Die '''Nachlaufstrecke''' <math>L_d = 20 D_0 = 120\ \mathrm{mm}</math> ist deutlich länger, weil sich hinter der Engstelle ein Rückströmgebiet bildet, das nicht auf den Auslass treffen darf. Für die Geometrie mit dem Stenosegrad 0,5 legt die Strömung bei einer Einström-Reynoldszahl von 500 erst etwa zehn Durchmesser hinter der Engstelle wieder an, die Literatur rechnet mit sechzehn Durchmessern Nachlauf.<ref name="varghese" /> Zwanzig Durchmesser bieten damit für alle Stenosegrade bis 0,5 einen Sicherheitsabstand. Für die Grade ab 0,6 ist ein längeres Rückströmgebiet zu erwarten, dort wird die Lage des Wiederanlegepunktes ausdrücklich kontrolliert. # Das '''Ende des fein vernetzten Nachlaufs''' <math>L_f = L_s/2 + 10 D_0 = 66\ \mathrm{mm}</math> legt fest, bis wohin das Netz verfeinert wird. Der Wert ist so gewählt, dass das erwartete Rückströmgebiet von etwa zehn Durchmessern vollständig im feinen Bereich liegt. Damit hat das Rechengebiet eine Gesamtlänge von <math>L = L_u + L_d = 150\ \mathrm{mm}</math>, also das Fünfundzwanzigfache des Durchmessers. Es ist ein Modellgebiet und kein maßstäbliches Abbild eines bestimmten anatomischen Abschnitts. == Stoff- und Strömungsparameter == Die Stoffwerte des Blutes und der Volumenstrom sind die einzigen Eingangsgrößen, die nicht aus der Geometrie folgen. Aus ihnen werden alle weiteren Strömungskennwerte berechnet. Die folgenden Schritte zeigen jede Rechnung einzeln, damit sich jeder Wert nachprüfen lässt. # Die '''Dichte''' wird mit <math>\rho = 1060\ \mathrm{kg/m^3}</math> angesetzt. Der Wert lässt sich als Mischungsregel plausibel machen. Plasma hat eine Dichte von etwa 1025 kg/m³, rote Blutkörperchen von etwa 1100 kg/m³. Bei einem Zellanteil von 45 % ergibt sich <math>0{,}55 \cdot 1025 + 0{,}45 \cdot 1100 \approx 1059\ \mathrm{kg/m^3}</math>. Die Dichte geht nur über die Reynoldszahl in die Rechnung ein, eine Abweichung von einem Prozent ändert die Ergebnisse daher kaum. <!-- FIXME Lehrbuchquelle fuer Plasma- und Erythrozytendichte ergaenzen --> # Die '''dynamische Viskosität''' wird mit <math>\mu = 3{,}5\ \mathrm{mPa\,s}</math> angesetzt. Das ist der Grenzwert der Blutviskosität bei hohen Scherraten, also genau der Wert, der zur Newtonschen Näherung gehört. Derselbe Wert von 0,035 Poise wird auch im Standardwerk zur Modellierung des Herz-Kreislauf-Systems verwendet.<ref name="quarteroni">Quarteroni, A.; Formaggia, L.: ''Mathematical Modelling and Numerical Simulation of the Cardiovascular System.'' In: Ayache, N. (Hrsg.): ''Computational Models for the Human Body.'' Handbook of Numerical Analysis, Bd. XII, Elsevier, Amsterdam 2004, S. 3-127. DOI 10.1016/S1570-8659(03)12001-7. Zur Newtonschen Näherung in großen Gefäßen siehe S. 30, zur Viskosität von 0,035 Poise die Parametertabelle auf S. 116.</ref> # Der '''mittlere Volumenstrom''' wird mit <math>Q_0 = 6\ \mathrm{ml/s}</math> angesetzt. Das ist der zeitlich gemittelte Volumenstrom, der in der gemeinsamen Halsschlagader gesunder Probanden gemessen wurde.<ref name="holdsworth" /> # Die '''mittlere Geschwindigkeit''' folgt aus Volumenstrom und Querschnittsfläche, <math>U_0 = \frac{Q_0}{\pi R_0^2} = \frac{6 \cdot 10^{-6}\ \mathrm{m^3/s}}{\pi \cdot (0{,}003\ \mathrm{m})^2} = 0{,}2122\ \mathrm{m/s}</math>. # Die '''Reynoldszahl''' des gesunden Gefäßes ist <math>Re_0 = \frac{\rho\, U_0\, D_0}{\mu} = \frac{1060 \cdot 0{,}2122 \cdot 0{,}006}{0{,}0035} = 385{,}6</math>. Sie wird im Folgenden auf 386 gerundet. # Die '''Einlauflänge''', die eine anfangs gleichförmige Strömung bis zum voll entwickelten Parabelprofil bräuchte, beträgt nach der gebräuchlichen Abschätzung für laminare Rohrströmungen <math>L_e \approx 0{,}06\, Re_0\, D_0 \approx 0{,}06 \cdot 386 \cdot 6\ \mathrm{mm} \approx 139\ \mathrm{mm}</math>.<ref name="durst">Durst, F.; Ray, S.; Ünsal, B.; Bayoumi, O. A.: ''The development lengths of laminar pipe and channel flows.'' Journal of Fluids Engineering 127 (2005), Nr. 6, S. 1154-1160. Für große Reynoldszahlen nähert sich die dort angegebene Korrelation dem Wert 0,057·Re·D.</ref> Das ist fast die gesamte Länge des Rechengebiets. Ein konstantes Einlassprofil würde die Strömung an der Stenose also verfälschen, weshalb am Einlass das voll entwickelte Profil vorgegeben wird. Damit liegen alle globalen Parameter fest. Die folgende Tabelle enthält sie mit genau den Namen, unter denen sie in COMSOL und in den Octave-Skripten verwendet werden. {| class="wikitable" |+ Globale Parameter des Modells ! Name !! Ausdruck in COMSOL !! Wert !! Bedeutung !! Herkunft |- | R0 || 3[mm] || 3 mm || Gefäßradius || Messwerte nach Krejza u. a. 2006, gerundet |- | D0 || 2*R0 || 6 mm || Gefäßdurchmesser || abgeleitet |- | Ls || 2*D0 || 12 mm || Länge der Störstelle || Standardgeometrie nach Varghese u. a. 2007 |- | Lu || 5*D0 || 30 mm || Vorlaufstrecke vor der Stenosemitte || Abstand der Einlassbedingung von der Stenose |- | Ld || 20*D0 || 120 mm || Nachlaufstrecke hinter der Stenosemitte || Platz für das Rückströmgebiet |- | Lf || Ls/2+10*D0 || 66 mm || Ende des fein vernetzten Nachlaufs || erwartete Länge des Rückströmgebiets |- | s || 0 bis 0.8 || 0 bis 0,8 || Stenosegrad bezogen auf den Durchmesser || NASCET-Einteilung |- | rho_b || 1060[kg/m^3] || 1060 kg/m³ || Dichte des Blutes || Mischungsregel, Literaturwert |- | mu_b || 3.5[mPa*s] || 3,5 mPa·s || dynamische Viskosität des Blutes || Hochscherwert, Quarteroni und Formaggia 2004 |- | Q0 || 6[ml/s] || 6 ml/s || mittlerer Volumenstrom || Messwerte nach Holdsworth u. a. 1999 |- | U0 || Q0/(pi*R0^2) || 0,2122 m/s || mittlere Einströmgeschwindigkeit || abgeleitet |- | Re0 || rho_b*U0*D0/mu_b || 385,6 || Reynoldszahl des gesunden Gefäßes || abgeleitet |- | dp_ref || 8*mu_b*U0*(Lu+Ld)/R0^2 || 99,03 Pa || Poiseuille-Druckabfall des gesunden Gefäßes || abgeleitet, Hagen-Poiseuille |} = Literaturverzeichnis = Alle Quellen sind an den Stellen im Text angegeben, an denen die zugehörigen Werte oder Aussagen verwendet werden. Die Liste wird aus diesen Angaben automatisch erzeugt. <references /> g1zpma3hgoxnntianejkbexbpknkt57 1116346 1116331 2026-10-16T07:53:26Z Nicole.pander 39567 /* Simulationsgebiet und Geometrie */ 1116346 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Joey Becker * Marie-Thérèse Heitele * Nicole Pander = Thema und Fragestellung = Gegenstand dieses Projekts ist die numerische Simulation der Blutströmung in einer verzweigten Halsschlagader ('''Carotis-Bifurkation''') unter dem Einfluss einer lokalen Gefäßverengung ('''Stenose'''). Im Vergleich zu einfachen Rohrströmungen wird hier die realitätsnahe Gefäßanatomie betrachtet: Die '''Arteria carotis communis (ACC)''' teilt sich in die '''Arteria carotis externa (ACE)''' und die '''Arteria carotis interna (ACI)''' auf. Während die '''ACE''' als gesunder, stenosefreier Ast dient, wird in der '''ACI''' eine geglättete, kosinusförmige Gefäßverengung modelliert. Um scharfe Kanten und unphysiologische Druckspitzen zu vermeiden, werden alle Wandübergänge und die Gabelungsspitze (Apex) anatomisch verrundet. Als Referenz dient ein gesundes, unverengtes Gefäß, in dem sich die Poiseuille-Strömung mit ihrem charakteristischen parabolischen Geschwindigkeitsprofil ausbildet. Diese Strömung ist aus zwei Gründen der natürliche Ausgangspunkt. Sie beschreibt den physiologischen Normalfall, mit dem jeder Stenosegrad verglichen wird, und sie ist exakt lösbar, sodass sich an ihr jede numerische Rechnung prüfen lässt, bevor die Verengung hinzukommt. == Fragestellung == Die Hauptfragestellung dieses Projektes lautet: Wie verändert eine symmetrische bzw. rotationssymmetrische Stenose in der '''Arteria carotis interna (ACI)''' die stationäre Strömung eines inkompressiblen Newton’schen Fluids in einer 2D-Carotis-Bifurkation hinsichtlich Geschwindigkeitsverteilung, Druckabfall, Wandschubspannung und Wirbelbildung im Vergleich zu den gesunden Gefäßabschnitten? Aus dieser Fragestellung ergeben sich drei Teilfragen, an denen sich der Aufbau der Seite orientiert: # Welche Strömungsgrößen reagieren empfindlich auf den Stenosegrad und welche nur träge? # Ab welchem Stenosegrad ändert sich das Strömungsmuster qualitativ, das heißt, ab wann löst die Strömung hinter der Engstelle von der Wand ab und bildet ein Rückströmgebiet? # Wie weit tragen die vereinfachenden Modellannahmen, insbesondere die Annahme einer stationären und laminaren Strömung, über den untersuchten Bereich der Stenosegrade? == Modellannahmen == Im Hinblick darauf werden für dieses Projekt einige Annahmen getroffen, um das Projekt möglichst isoliert zu untersuchen und zu simplifizieren: * '''Idealisierte Gefäßgeometrie''': Betrachtet wird ein Teilabbschnitt der ''Arteria carotis communis'', die sog. ''ACI''. Zudem werden Gefäßverkrümmungen, weitere Verzweigungen und patientenspezifische Strukturen nicht berücksichtigt. * '''Starre Gefäßwand''': Die Gefäßwand wird als unbeweglich und nicht verformbar angenommen. Eine Wechselwirkung zwischen elastischer Gefäßwand und Blutströmung wird nicht modelliert. * '''Stationäre Strömung''': Die Strömungsgrößen werden als zeitlich konstant angenommen. Die im realen Blutkreislauf vorhandene Pulsation durch den Herzschlag wird daher vernachlässigt: <math>\frac{\partial u}{\partial t}=0</math>. * '''Inkompressibles Fluid''': Die Dichte des Fluids wird als konstant angenommen. Damit gilt für die Geschwindigkeit <math>\nabla \cdot u=0</math>. Dies entspricht der in der Vorlesung behandelten Massenerhaltung für inkompressible Fluide: Was in das Gefäß einströmt, muss auch wieder ausströmen. * '''Newton'sche Näherung für Blut''': Reales Blut beseitzt ein nicht newton'sches Fließverhalten. Hier wird Blut als Newton'sches Fluid behandelt. * '''Konstante Stoffeigenschaften''': Dichte <math>\rho</math> und dynamische Viskosität μ werden als räumlich und zeitlich konstant angenommen. Temperaturabhängigkeiten werden nicht berücksichtigt. * '''Laminare Strömung''': Die Strömung wird mit dem COMSOL-Modul ''Laminar Flow'' beschrieben. Ein zusätzliches Turbulenzmodell wird nicht verwendet. * '''No-Slip-Bedingung an Gefäßwand''': Aufgrund der Viskosität wird angenommen, dass das Fluid direkt an der Gefäßwand haftet. Somit gilt <math>u=0</math>. * '''Vernachlässigung der Gravitation''': Gravitation wird nicht berücksichtigt. Die Strömung wird ausschließlich durch die gewählten Ein- und Auslassbedingungen bestimmt. = Relevanz = Die Untersuchung von Gefäßverengungen besitzt sowohl eine medizinische als auch eine methodische Bedeutung. Aus medizinischer Sicht sind arterielle Stenosen – etwa in der Halsschlagader, lat. ''arteria carotis communis'', – kritisch, da sie die Durchblutung beeinträchtigen und durch veränderte Wandschubspannungen sowie die Bildung von Wirbeln weitere Gefäßablagerungen begünstigen. Stenosen im Bereich der Karotisgabelung sind klinisch hochrelevant, da sie das Gehirn direkt versorgen und das Risiko für embolische Schlaganfälle erhöhen. Fachlich überträgt das Projekt damit die Prinzipien der Strömungsmechanik direkt auf eine biomedizinische Anwendung. Das Projekt verknüpft somit theoretische Grundlagen der Strömungsmechanik (Hagen-Poiseuille-Gleichung, Navier-Stokes-Gleichungen) mit der numerischen Simulation in COMSOL Multiphysics. Durch den Vergleich der '''gesunden Externa (ACE)''' mit der '''stenoisierten Interna (ACI)''' innerhalb desselben Rechengebiets wird die isolierte Wirkung der Stenose unter identischen Randbedingungen direkt sichtbar gemacht. == Medizinische Relevanz == Arterielle Stenosen entstehen überwiegend durch Atherosklerose, also durch Ablagerungen aus Lipiden, Bindegewebe und Kalk in der Gefäßwand. In der Halsschlagader sind sie klinisch besonders bedeutsam, weil sie die Durchblutung des Gehirns beeinträchtigen und weil sich an ihnen Thromben bilden können, die als Embolie einen Schlaganfall auslösen. Dass die operative Entfernung einer hochgradigen Karotisstenose das Schlaganfallrisiko symptomatischer Patienten deutlich senkt, hat die NASCET-Studie gezeigt, deren Einteilung der Stenosegrade dieses Projekt übernimmt.<ref name="nascet">North American Symptomatic Carotid Endarterectomy Trial Collaborators: ''Beneficial effect of carotid endarterectomy in symptomatic patients with high-grade carotid stenosis.'' New England Journal of Medicine 325 (1991), Nr. 7, S. 445-453.</ref> Strömungsmechanisch ist an einer Stenose vor allem die Wandschubspannung von Interesse, also die tangentiale Kraft je Fläche, die das strömende Blut auf die innerste Zellschicht der Gefäßwand ausübt. Gesunde Halsschlagadern weisen zeitlich gemittelte Werte von etwa 1,1 bis 1,5 Pa auf.<ref name="samijo">Samijo, S. K.; Willigers, J. M.; Barkhuysen, R.; Kitslaar, P. J. E. H. M.; Reneman, R. S.; Brands, P. J.; Hoeks, A. P. G.: ''Wall shear stress in the human common carotid artery as function of age and gender.'' Cardiovascular Research 39 (1998), Nr. 2, S. 515-522.</ref> In einer Engstelle steigt sie stark an, unmittelbar dahinter fällt sie im Ablösegebiet auf nahezu null und wechselt dort sogar das Vorzeichen. Niedrige und im Vorzeichen wechselnde Wandschubspannungen gelten als Bedingungen, unter denen sich weitere Ablagerungen bevorzugt bilden. Eine bestehende Stenose schafft also stromabwärts die Voraussetzungen für ihr eigenes Wachstum. Genau diese Verteilung lässt sich im Körper nur schwer messen, in einer Simulation dagegen unmittelbar auswerten. == Methodische Relevanz == Fachlich überträgt das Projekt die Prinzipien der Strömungsmechanik aus der Vorlesung auf eine biomedizinische Anwendung.<ref name="hundertmark">Hundertmark, A.: ''Fluiddynamik.'' Vorlesungsunterlagen zum Modul Räumliche Modellbildung, RPTU Kaiserslautern-Landau, Sommersemester 2026.</ref> Der methodische Mehrwert liegt in der Verknüpfung mehrerer Zugänge, die sich gegenseitig kontrollieren. Die analytische Poiseuille-Lösung liefert exakte Sollwerte für das gesunde Gefäß. Ein reduziertes Graphenmodell liefert für jeden Stenosegrad eine schnelle Abschätzung, die analytisch nachrechenbar ist. Die Simulationen in COMSOL Multiphysics lösen schließlich die vollständigen Navier-Stokes-Gleichungen in zwei und drei Raumdimensionen. Weil jede Stufe die Sollwerte der nächsten liefert, zeigt das Projekt nicht nur Ergebnisse, sondern auch, wie numerische Modelle aufgebaut, verifiziert und an ihren Grenzen bewertet werden. == Auswahl der Stenosegrade == Um die untersuchten Gefäßverengungen nicht willkürlich festzulegen, orientiert sich die Auswahl der Stenosegrade an der klinisch gebräuchlichen NASCET-Klassifikation von Karotisstenosen.<ref name="nascet" /> Zur klinischen Einordnung werden Karotisstenosen anhand der nach NASCET bestimmten Durchmesserreduktion in leichtgradige, mittelgradige und hochgradige Stenosen eingeteilt. Die angegebenen Prozentgrenzen dienen in diesem Projekt als Orientierung für die Auswahl der untersuchten Stenosegrade. Ein vollständiger Gefäßverschluss wird als Okklusion bezeichnet. {| class="wikitable" |+ Klinische Einteilung nach NASCET-gemessener Durchmesserreduktion und untersuchte Stenosegrade ! Schweregrad !! Durchmesserreduktion !! im Projekt gerechnete Stenosegrade !! hervorgehobener Vertreter |- | gesundes Gefäß || 0 % || 0 || 0 |- | leichtgradige Stenose || unter 50 % || 0,1 bis 0,4 || 0,3 |- | mittelgradige Stenose || 50 bis 69 % || 0,5 und 0,6 || 0,6 |- | hochgradige Stenose || 70 bis 99 % || 0,7 und 0,8 || 0,8 |- | Okklusion || 100 % || nicht gerechnet || entfällt |} '''Anmerkung''': Die Klassengrenzen dienen der Einordnung der Modellvarianten. Die in der Tabelle genannten Stenosegrade sind dimensionslose Werte, beispielsweise entspricht '''<math>s=0{,}6</math>''' einer Durchmesserreduktion von '''60 %'''. Für die numerische Untersuchung wird aus jeder Kategorie ein repräsentativer Stenosegrad hervorgehoben. Neben dem gesunden Gefäß mit '''0 %''' Stenose sind das eine '''30 %''' Stenose als Beispiel für eine leichtgradige, eine '''60 %''' Stenose als Beispiel für eine mittelgradige und eine '''80 %''' Stenose als Beispiel für eine hochgradige Verengung. Zusätzlich werden für das Graphenmodell und das achsensymmetrische Flächenmodell Stenosegrade von 0 bis 80 % in Schritten von zehn Prozentpunkten vorgesehen. Dadurch kann die Abhängigkeit der Strömungsgrößen vom Stenosegrad systematisch untersucht und grafisch dargestellt werden. Ob alle Modellvarianten tatsächlich berechnet wurden und wie hoch der Rechenaufwand war, wird anhand der durchgeführten Simulationen dokumentiert. Ein vollständiger Gefäßverschluss wird nicht simuliert, da in diesem Fall keine durchgängige Strömung mehr vorliegt. Der Stenosegrad wird in diesem Projekt wie bei NASCET über die Verringerung des Gefäßdurchmessers beschrieben, <math>s = 1 - \frac{d_{\min}}{d_{\mathrm{ref}}},</math> wobei <math>d_{\min}</math> der kleinste Durchmesser in der Engstelle und <math>d_{\mathrm{ref}}</math> ein Referenzdurchmesser ist. NASCET verwendet als Referenz den Durchmesser des gesunden Gefäßes stromabwärts der Stenose. Für das idealisierte gerade Gefäßmodell wird ein konstanter Referenzdurchmesser von <math>D_0=6\,\mathrm{mm}</math> angenommen. Da das Gefäß außerhalb der Stenose denselben Durchmesser besitzt, gilt in diesem Modell<math>d_{\mathrm{ref}}=D_0</math>. Bei der zusätzlich betrachteten Gefäßaufzweigung muss der Referenzdurchmesser dagegen gesondert festgelegt werden, da die Gefäßäste unterschiedliche Durchmesser besitzen. Wichtig für das Verständnis aller weiteren Ergebnisse ist der Unterschied zwischen Durchmesser- und Flächenreduktion. Da die Querschnittsfläche quadratisch vom Durchmesser abhängt, gilt für die Flächenreduktion <math>1-(1-s)^2</math>. Eine im klinischen Sinn nur mittelgradige Stenose von 60 % verschließt damit bereits 84 % der Querschnittsfläche. {| class="wikitable" |+ Durchmesser- und Flächenreduktion der gerechneten Stenosegrade ! Stenosegrad s !! 0 !! 0,1 !! 0,2 !! 0,3 !! 0,4 !! 0,5 !! 0,6 !! 0,7 !! 0,8 |- | engster Durchmesser in mm || 6,0 || 5,4 || 4,8 || 4,2 || 3,6 || 3,0 || 2,4 || 1,8 || 1,2 |- | Flächenreduktion || 0 % || 19 % || 36 % || 51 % || 64 % || 75 % || 84 % || 91 % || 96 % |} Eine Einschränkungen gehört zur ehrlichen Einordnung: # Mit zunehmendem Stenosegrad, insbesondere bei ausgeprägten Verengungen, können lokale Beschleunigungen, Strömungsablösungen und zeitabhängige Strömungsstrukturen auftreten. Daher muss bei den hochgradigen Stenosen geprüft werden, inwieweit die Annahme einer stationären, laminaren Strömung geeignet ist. Eine feste Grenze bei <math>s=0{,}6</math> lässt sich ohne entsprechende Simulationsergebnisse oder Literaturbelege nicht allgemein festlegen. Die hochgradigen Fälle werden deshalb unter besonderer Berücksichtigung der Modellannahmen diskutiert. Unter Modellierung wird in diesem Projekt die Übertragung der Blutströmung in einer verengten Arterie auf ein mathematisches und numerisch lösbares Strömungsproblem verstanden. Dazu werden die Gefäßgeometrie, die zugrunde liegenden Gleichungen, die physikalischen Materialparameter sowie die Anfangs- und Randbedingungen festgelegt. Jeder dieser Bestandteile beruht auf vereinfachenden Annahmen, die begründet und bei der Interpretation der Ergebnisse berücksichtigt werden müssen. Ziel ist es, den Einfluss unterschiedlicher Stenosegrade auf die Strömungsgeschwindigkeit, den Druckverlust und gegebenenfalls die Wandschubspannung systematisch zu untersuchen. Die Modellierung erfolgt anhand mehrerer Modellvarianten mit unterschiedlicher räumlicher Auflösung. Dadurch können zunächst grundlegende Zusammenhänge analytisch abgeschätzt und anschließend mit numerischen Strömungsberechnungen verglichen werden. Die verwendeten Parameter orientieren sich an den bereitgestellten Referenzdaten und werden in den folgenden Abschnitten erläutert. == Modellierung == Ziel der Modellierung ist es, die Blutströmung innerhalb einer Y-förmigen Aufzweigung der Halsschlagader mathematisch und numerisch zu untersuchen. Im Mittelpunkt steht eine Gefäßverengung (Stenose) in der Arteria carotis interna. Das betrachtete Gefäßmodell besteht aus der Arteria carotis communis, die sich in die Arteria carotis interna und die Arteria carotis externa aufteilt. Die Stenose befindet sich ausschließlich in der Arteria carotis interna. Durch die Verengung verändert sich der verfügbare Strömungsquerschnitt. Dies kann zu einer Erhöhung der lokalen Strömungsgeschwindigkeit, zu zusätzlichen Druckverlusten und zu einer Veränderung der Strömungsverteilung zwischen den beiden Gefäßästen führen. Ziel ist es, den Einfluss unterschiedlicher Stenosegrade auf die Strömungsgeschwindigkeit, die Druckverteilung und die Wandschubspannung zu untersuchen. Zusätzlich soll betrachtet werden, wie sich die Strömung innerhalb der Y-förmigen Gefäßaufzweigung verhält. Die numerische Modellierung erfolgt mit COMSOL Multiphysics. Dazu werden die Gefäßgeometrie, die Materialeigenschaften des Blutes, die Strömungsgleichungen und die Randbedingungen festgelegt. Zur Vereinfachung wird Blut zunächst als inkompressibles, Newtonsches Fluid betrachtet. Die Gefäßwände werden als starr angenommen. Diese Annahmen ermöglichen eine systematische Untersuchung der Stenose, schränken jedoch die Übertragbarkeit auf reale physiologische Bedingungen ein. === Modellhierarchie === Für die Untersuchung der Blutströmung innerhalb der Y-förmigen Karotisaufzweigung werden drei Modellvarianten betrachtet. Diese unterscheiden sich hinsichtlich ihrer räumlichen Dimension, ihrer mathematischen Beschreibung und der Genauigkeit, mit der die Strömungsverhältnisse dargestellt werden können. Das untersuchte Gefäß besteht aus der Arteria carotis communis, die sich in die Arteria carotis interna und die Arteria carotis externa aufteilt. Die Stenose befindet sich ausschließlich in der Arteria carotis interna. Alle drei Modellvarianten werden mit COMSOL Multiphysics umgesetzt. {| class="wikitable" style="width:100%;" |+ '''Die drei Modellvarianten des Projekts''' |- ! Modell ! Raumdimension ! Mathematische Grundlage ! Zweck ! Werkzeug |- | '''Graphenmodell''' | 1D, Gefäßnetzwerk mit einer Verzweigung | Massenerhaltung an der Verzweigung und vereinfachte Beschreibung der Strömungswiderstände | Abschätzung der Volumenstromverteilung und der Druckverluste in den Gefäßästen | COMSOL Multiphysics |- | '''Ebenes Flächenmodell''' | 2D, Y-förmige Gefäßgeometrie in kartesischen Koordinaten | Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen | Untersuchung der Geschwindigkeits- und Druckverteilung sowie der Auswirkungen der Stenose in der Arteria carotis interna | COMSOL Multiphysics, Laminare Strömung |- | '''Volumenmodell''' | 3D, räumliche Y-förmige Gefäßgeometrie | Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen | Räumliche Untersuchung des Geschwindigkeitsfeldes, des Druckverlustes und der Wandschubspannung | COMSOL Multiphysics, Laminare Strömung |} ==== Vergleich und Überprüfung der Modellvarianten ==== Die drei Modellvarianten bauen hinsichtlich ihrer räumlichen Beschreibung aufeinander auf. Das Graphenmodell ermöglicht zunächst eine vereinfachte Betrachtung der Volumenströme und Druckverluste. Die zwei- und dreidimensionalen Modelle erlauben anschließend eine detailliertere Untersuchung der Strömung innerhalb der Gefäßaufzweigung. Das '''Graphenmodell''' beschreibt die Arteria carotis communis sowie die beiden abzweigenden Gefäße als miteinander verbundenes Netzwerk. Dabei wird die Massenerhaltung an der Verzweigung berücksichtigt: :<math>Q_{\mathrm{CCA}}=Q_{\mathrm{ICA}}+Q_{\mathrm{ECA}}</math> Das Modell liefert vereinfachte Abschätzungen der Volumenstromverteilung. Lokale Strömungsablösungen und räumliche Geschwindigkeitsverteilungen können damit nicht detailliert dargestellt werden. Das '''ebene Flächenmodell''' bildet die Y-förmige Gefäßaufzweigung in zwei Raumdimensionen ab. Die Stenose wird innerhalb der Arteria carotis interna berücksichtigt. Dadurch können die Geschwindigkeits- und Druckverteilung sowie mögliche Rückströmungsbereiche untersucht werden. Das '''Volumenmodell''' erweitert die Untersuchung auf drei Raumdimensionen. Es ermöglicht eine räumliche Darstellung der Strömung und eine detailliertere Berechnung der Wandschubspannung. Die Ergebnisse des ebenen Flächenmodells und des Volumenmodells werden miteinander verglichen. Da das ebene Modell die räumliche Querschnittsgeometrie nur vereinfacht darstellt, müssen Unterschiede zwischen den beiden Modellen bei der Interpretation berücksichtigt werden. Ziel der Modellhierarchie ist es, die Aussagekraft der einzelnen Modellvarianten zu bewerten und den Einfluss des Stenosegrades auf die Strömung innerhalb der Y-förmigen Karotisaufzweigung zu untersuchen. === Simulationsgebiet und Geometrie === Das Simulationsgebiet besteht aus einer idealisierten Y-förmigen Aufzweigung der Arteria carotis. Die Arteria carotis communis teilt sich in die Arteria carotis interna und die Arteria carotis externa. Die Stenose befindet sich in der Arteria carotis interna. Die Arteria carotis externa wird ohne zusätzliche Verengung modelliert. Die Geometrie orientiert sich an den bereitgestellten Referenzdaten. Die Gefäßdurchmesser werden innerhalb der jeweiligen unverengten Abschnitte als konstant angenommen. {| class="wikitable" style="width:100%;" |+ '''Geometrische Referenzparameter der Y-förmigen Gefäßaufzweigung''' |- ! Gefäßabschnitt ! Durchmesser ! Länge |- | Arteria carotis communis | 6 mm | 60 mm |- | Arteria carotis interna | 5 mm | 60 mm |- | Arteria carotis externa | 4 mm | 60 mm |- | Stenose in der Arteria carotis interna | Abhängig vom Stenosegrad | 10 bzw. 20 mm |} Die Verengung wird über den Stenosegrad <math>s</math> beschrieben. Dieser gibt die relative Verringerung des Gefäßdurchmessers an: :<math>s=1-\frac{d_{\min}}{D_{\mathrm{ICA}}}</math> Dabei bezeichnet <math>d_{\min}</math> den minimalen Durchmesser innerhalb der Stenose und <math>D_{\mathrm{ICA}}</math> den unverengten Referenzdurchmesser der Arteria carotis interna. Für das Modell gilt: :<math>D_{\mathrm{ICA}}=5\,\mathrm{mm}</math> Der minimale Durchmesser ergibt sich damit zu: :<math>d_{\min}=D_{\mathrm{ICA}}(1-s)</math> {| class="wikitable" |+ '''Minimaler Durchmesser der Stenose in der Arteria carotis interna''' |- ! Stenosegrad ! Minimaler Durchmesser |- | 0 % | 5,0 mm |- | 10 % | 4,5 mm |- | 20 % | 4,0 mm |- | 30 % | 3,5 mm |- | 40 % | 3,0 mm |- | 50 % | 2,5 mm |- | 60 % | 2,0 mm |- | 70 % | 1,5 mm |- | 80 % | 1,0 mm |} Die angegebenen Stenosegrade beziehen sich ausschließlich auf den Durchmesser der Arteria carotis interna. Der Durchmesser der Arteria carotis communis wird nicht zur Berechnung des Stenosegrades verwendet. Die Y-förmige Geometrie ermöglicht es, die Auswirkungen der Verengung sowohl auf die lokale Strömung in der Arteria carotis interna als auch auf die Strömungsverteilung innerhalb der gesamten Gefäßaufzweigung zu untersuchen. Die genaue Form der Stenose, der Verzweigungswinkel und die Übergänge zwischen den Gefäßabschnitten müssen entsprechend der tatsächlich in COMSOL verwendeten Geometrie dokumentiert werden. == Stoff- und Strömungsparameter == Die Stoffwerte des Blutes und der Volumenstrom sind die einzigen Eingangsgrößen, die nicht aus der Geometrie folgen. Aus ihnen werden alle weiteren Strömungskennwerte berechnet. Die folgenden Schritte zeigen jede Rechnung einzeln, damit sich jeder Wert nachprüfen lässt. # Die '''Dichte''' wird mit <math>\rho = 1060\ \mathrm{kg/m^3}</math> angesetzt. Der Wert lässt sich als Mischungsregel plausibel machen. Plasma hat eine Dichte von etwa 1025 kg/m³, rote Blutkörperchen von etwa 1100 kg/m³. Bei einem Zellanteil von 45 % ergibt sich <math>0{,}55 \cdot 1025 + 0{,}45 \cdot 1100 \approx 1059\ \mathrm{kg/m^3}</math>. Die Dichte geht nur über die Reynoldszahl in die Rechnung ein, eine Abweichung von einem Prozent ändert die Ergebnisse daher kaum. <!-- FIXME Lehrbuchquelle fuer Plasma- und Erythrozytendichte ergaenzen --> # Die '''dynamische Viskosität''' wird mit <math>\mu = 3{,}5\ \mathrm{mPa\,s}</math> angesetzt. Das ist der Grenzwert der Blutviskosität bei hohen Scherraten, also genau der Wert, der zur Newtonschen Näherung gehört. Derselbe Wert von 0,035 Poise wird auch im Standardwerk zur Modellierung des Herz-Kreislauf-Systems verwendet.<ref name="quarteroni">Quarteroni, A.; Formaggia, L.: ''Mathematical Modelling and Numerical Simulation of the Cardiovascular System.'' In: Ayache, N. (Hrsg.): ''Computational Models for the Human Body.'' Handbook of Numerical Analysis, Bd. XII, Elsevier, Amsterdam 2004, S. 3-127. DOI 10.1016/S1570-8659(03)12001-7. Zur Newtonschen Näherung in großen Gefäßen siehe S. 30, zur Viskosität von 0,035 Poise die Parametertabelle auf S. 116.</ref> # Der '''mittlere Volumenstrom''' wird mit <math>Q_0 = 6\ \mathrm{ml/s}</math> angesetzt. Das ist der zeitlich gemittelte Volumenstrom, der in der gemeinsamen Halsschlagader gesunder Probanden gemessen wurde.<ref name="holdsworth" /> # Die '''mittlere Geschwindigkeit''' folgt aus Volumenstrom und Querschnittsfläche, <math>U_0 = \frac{Q_0}{\pi R_0^2} = \frac{6 \cdot 10^{-6}\ \mathrm{m^3/s}}{\pi \cdot (0{,}003\ \mathrm{m})^2} = 0{,}2122\ \mathrm{m/s}</math>. # Die '''Reynoldszahl''' des gesunden Gefäßes ist <math>Re_0 = \frac{\rho\, U_0\, D_0}{\mu} = \frac{1060 \cdot 0{,}2122 \cdot 0{,}006}{0{,}0035} = 385{,}6</math>. Sie wird im Folgenden auf 386 gerundet. # Die '''Einlauflänge''', die eine anfangs gleichförmige Strömung bis zum voll entwickelten Parabelprofil bräuchte, beträgt nach der gebräuchlichen Abschätzung für laminare Rohrströmungen <math>L_e \approx 0{,}06\, Re_0\, D_0 \approx 0{,}06 \cdot 386 \cdot 6\ \mathrm{mm} \approx 139\ \mathrm{mm}</math>.<ref name="durst">Durst, F.; Ray, S.; Ünsal, B.; Bayoumi, O. A.: ''The development lengths of laminar pipe and channel flows.'' Journal of Fluids Engineering 127 (2005), Nr. 6, S. 1154-1160. Für große Reynoldszahlen nähert sich die dort angegebene Korrelation dem Wert 0,057·Re·D.</ref> Das ist fast die gesamte Länge des Rechengebiets. Ein konstantes Einlassprofil würde die Strömung an der Stenose also verfälschen, weshalb am Einlass das voll entwickelte Profil vorgegeben wird. Damit liegen alle globalen Parameter fest. Die folgende Tabelle enthält sie mit genau den Namen, unter denen sie in COMSOL und in den Octave-Skripten verwendet werden. {| class="wikitable" |+ Globale Parameter des Modells ! Name !! Ausdruck in COMSOL !! Wert !! Bedeutung !! Herkunft |- | R0 || 3[mm] || 3 mm || Gefäßradius || Messwerte nach Krejza u. a. 2006, gerundet |- | D0 || 2*R0 || 6 mm || Gefäßdurchmesser || abgeleitet |- | Ls || 2*D0 || 12 mm || Länge der Störstelle || Standardgeometrie nach Varghese u. a. 2007 |- | Lu || 5*D0 || 30 mm || Vorlaufstrecke vor der Stenosemitte || Abstand der Einlassbedingung von der Stenose |- | Ld || 20*D0 || 120 mm || Nachlaufstrecke hinter der Stenosemitte || Platz für das Rückströmgebiet |- | Lf || Ls/2+10*D0 || 66 mm || Ende des fein vernetzten Nachlaufs || erwartete Länge des Rückströmgebiets |- | s || 0 bis 0.8 || 0 bis 0,8 || Stenosegrad bezogen auf den Durchmesser || NASCET-Einteilung |- | rho_b || 1060[kg/m^3] || 1060 kg/m³ || Dichte des Blutes || Mischungsregel, Literaturwert |- | mu_b || 3.5[mPa*s] || 3,5 mPa·s || dynamische Viskosität des Blutes || Hochscherwert, Quarteroni und Formaggia 2004 |- | Q0 || 6[ml/s] || 6 ml/s || mittlerer Volumenstrom || Messwerte nach Holdsworth u. a. 1999 |- | U0 || Q0/(pi*R0^2) || 0,2122 m/s || mittlere Einströmgeschwindigkeit || abgeleitet |- | Re0 || rho_b*U0*D0/mu_b || 385,6 || Reynoldszahl des gesunden Gefäßes || abgeleitet |- | dp_ref || 8*mu_b*U0*(Lu+Ld)/R0^2 || 99,03 Pa || Poiseuille-Druckabfall des gesunden Gefäßes || abgeleitet, Hagen-Poiseuille |} = Implementierung des 2D-Modells in COMSOL Multiphysics = == Zielsetzung des zweidimensionalen Modells == Im Rahmen des Projekts wurde mit COMSOL Multiphysics ein zweidimensionales Modell der menschlichen Halsschlagader erstellt. Ziel ist es, die Blutströmung innerhalb einer Gefäßverzweigung zu untersuchen und insbesondere die Auswirkungen einer lokalen Gefäßverengung (Stenose) auf das Strömungsverhalten zu analysieren. Das Modell bildet die Aufzweigung der Arteria carotis communis (ACC) in die Arteria carotis interna (ACI) und die Arteria carotis externa (ACE) ab. Während die ACE als gesunder Gefäßabschnitt betrachtet wird, befindet sich in der ACI eine lokale Verengung. Dadurch können die Strömungsverhältnisse in beiden Ästen miteinander verglichen werden. Die zweidimensionale Modellierung dient dazu, die Geschwindigkeitsverteilung, den Druckabfall und die Wandschubspannung zu untersuchen. Zusätzlich soll festgestellt werden, ob sich hinter der Stenose Bereiche mit Strömungsablösungen oder Rückströmungen ausbilden. == Ergebnisse der 2D-Strömungssimulation == === Geschwindigkeitsverteilung und Stromlinien === Zur Untersuchung der Blutströmung innerhalb der ''Carotis-Bifurkation'' wurde in COMSOL eine zweidimensionale Geschwindigkeitsdarstellung erstellt. Hierfür wird der Geschwindigkeitsbetrag ''spf.U'' verwendet. Zusätzlich wurden Stromlinien eingerichtet, um den Verlauf der Strömung innerhalb der Gefäßverzweigung zu veranschaulichen. Die Darstellung des Geschwindigkeitsbetrags erfolgt mithilfe einer Farbskala. Dadurch lassen sich Bereiche unterschiedlicher Strömungsgeschwindigkeiten voneinander unterscheiden. Die Stromlinien verdeutlichen zusätzlich, wie das Blut vom gemeinsamen Zuflussgefäß in die beiden Gefäßäste umgelenkt wird. Von besonderem Interesse ist der Bereich der Stenose. Durch die Verringerung des verfügbaren Strömungsquerschnitts ist dort bei entsprechendem Durchfluss eine Beschleunigung des Blutes zu erwarten. Hinter der Engstelle erweitert sich der Querschnitt wieder, wodurch sich das Strömungsprofil erneut verändern kann. Mithilfe der Stromlinien lässt sich außerdem untersuchen, ob die Strömung nach der Verengung weiterhin gleichmäßig verläuft oder ob sich lokale Ablösungen und Rückströmungsgebiete ausbilden. FEHLEND: BILD UND BESCHREIBUNG DAZU === Druckverteilung === Neben der Geschwindigkeitsverteilung wurde in COMSOL eine Darstellung der Druckverteilung angelegt. Diese erfolgt über Isolinien des Drucks p. Isolinien verbinden Punkte, an denen derselbe Druck herrscht. Die Druckverteilung ist insbesondere im Bereich der Gefäßverzweigung und der Stenose von Bedeutung. Beim Durchströmen der Verengung verändert sich die Geschwindigkeit des Blutes, wodurch auch der lokale statische Druck beeinflusst wird. Zusätzlich entstehen aufgrund der Viskosität des Blutes und der geometrischen Veränderungen Druckverluste. Diese sind für die Beurteilung des Strömungswiderstands relevant. Mit der Druckdarstellung kann untersucht werden, wie sich der Druck entlang des Gefäßes verändert und welche Unterschiede zwischen dem gemeinsamen Zufluss und den beiden Auslaufästen auftreten. = Grenzen des Modells = * Die untersuchte Gefäßgeometrie ist eine idealisierte Darstellung der Karotisaufzweigung. Individuelle anatomische Unterschiede werden nicht berücksichtigt. * Darüber hinaus werden die Gefäßwände als starr angenommen und Blut wird durch ein inkompressibles Newtonsches Fluid mit konstanter Viskosität beschrieben. * Die Strömung wird stationär berechnet. Die natürliche Pulsation des Blutflusses und zeitabhängige Effekte bleiben damit unberücksichtigt. * Insbesondere bei hochgradigen Stenosen können zeitabhängige Strömungsablösungen auftreten, die durch eine stationäre Modellierung nicht vollständig beschrieben werden. * Das Graphenmodell kann lokale Strömungsphänomene nicht detailliert erfassen. Das ebene Flächenmodell vereinfacht die räumliche Gefäßgeometrie. Auch das dreidimensionale Modell bleibt aufgrund der idealisierten Geometrie und der vereinfachten Materialannahmen eine Annäherung an die reale Blutströmung. * Die Ergebnisse sind daher als strömungsmechanische Untersuchung eines idealisierten Modells zu interpretieren und nicht als patientenspezifische medizinische Vorhersage. AB HIER ALT== Modellhierarchie == Für die Untersuchung werden vier Modellvarianten betrachtet, die sich hinsichtlich ihrer mathematischen Beschreibung, ihrer räumlichen Dimension und ihres Rechenaufwands unterscheiden. Die Modelle sind bewusst von einer vereinfachten analytischen Beschreibung bis zu einer dreidimensionalen numerischen Simulation angeordnet. Diese Vorgehensweise ermöglicht es, die Ergebnisse der komplexeren Modelle anhand grundlegender physikalischer Zusammenhänge und geeigneter Referenzfälle zu überprüfen. Dabei ist zu beachten, dass nicht jede Modellvariante dieselben Strömungseigenschaften vollständig abbilden kann. {| class="wikitable" style="width:100%;" |+ '''Die vier Modellvarianten des Projekts''' |- ! Modell ! Raumdimension ! Mathematische Grundlage ! Zweck ! Werkzeug |- | '''Graphenmodell''' | 1D, Beschreibung entlang der Gefäßachse | Hagen-Poiseuille-Gesetz für vereinfachte Rohrabschnitte und Massenerhaltung an Verzweigungsknoten | Analytische Abschätzung von Volumenströmen und Druckverlusten; Referenz für die numerischen Modelle | COMSOL mit geeigneter eindimensionaler Formulierung |- | '''Achsensymmetrisches Flächenmodell''' | 2D, rotationssymmetrischer Längsschnitt in den Koordinaten <math>r</math> und <math>z</math> | Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen in achsensymmetrischer Form | Detaillierte Untersuchung von Geschwindigkeits- und Druckfeldern sowie der Wandschubspannung in einem idealisierten rotationssymmetrischen Gefäß | COMSOL Multiphysics, Laminar Flow |- | '''Ebenes Flächenmodell''' | 2D, ebene Geometrie in den Koordinaten <math>x</math> und <math>y</math> | Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen in kartesischen Koordinaten | Untersuchung der Strömung in einer vereinfachten ebenen Geometrie und Vergleich mit dem achsensymmetrischen Modell | COMSOL Multiphysics, Laminar Flow |- | '''Volumenmodell''' | 3D, räumliche Gefäßgeometrie | Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen in drei Raumdimensionen | Räumliche Darstellung der Strömung und Überprüfung der Ergebnisse des achsensymmetrischen Modells bei vergleichbarer Geometrie | COMSOL Multiphysics, Laminar Flow |} == Stoff- und Strömungsparameter == Die Stoffwerte des Blutes und der Volumenstrom sind die einzigen Eingangsgrößen, die nicht aus der Geometrie folgen. Aus ihnen werden alle weiteren Strömungskennwerte berechnet. Die folgenden Schritte zeigen jede Rechnung einzeln, damit sich jeder Wert nachprüfen lässt. # Die '''Dichte''' wird mit <math>\rho = 1060\ \mathrm{kg/m^3}</math> angesetzt. Der Wert lässt sich als Mischungsregel plausibel machen. Plasma hat eine Dichte von etwa 1025 kg/m³, rote Blutkörperchen von etwa 1100 kg/m³. Bei einem Zellanteil von 45 % ergibt sich <math>0{,}55 \cdot 1025 + 0{,}45 \cdot 1100 \approx 1059\ \mathrm{kg/m^3}</math>. Die Dichte geht nur über die Reynoldszahl in die Rechnung ein, eine Abweichung von einem Prozent ändert die Ergebnisse daher kaum. <!-- FIXME Lehrbuchquelle fuer Plasma- und Erythrozytendichte ergaenzen --> # Die '''dynamische Viskosität''' wird mit <math>\mu = 3{,}5\ \mathrm{mPa\,s}</math> angesetzt. Das ist der Grenzwert der Blutviskosität bei hohen Scherraten, also genau der Wert, der zur Newtonschen Näherung gehört. Derselbe Wert von 0,035 Poise wird auch im Standardwerk zur Modellierung des Herz-Kreislauf-Systems verwendet.<ref name="quarteroni">Quarteroni, A.; Formaggia, L.: ''Mathematical Modelling and Numerical Simulation of the Cardiovascular System.'' In: Ayache, N. (Hrsg.): ''Computational Models for the Human Body.'' Handbook of Numerical Analysis, Bd. XII, Elsevier, Amsterdam 2004, S. 3-127. DOI 10.1016/S1570-8659(03)12001-7. Zur Newtonschen Näherung in großen Gefäßen siehe S. 30, zur Viskosität von 0,035 Poise die Parametertabelle auf S. 116.</ref> # Der '''mittlere Volumenstrom''' wird mit <math>Q_0 = 6\ \mathrm{ml/s}</math> angesetzt. Das ist der zeitlich gemittelte Volumenstrom, der in der gemeinsamen Halsschlagader gesunder Probanden gemessen wurde.<ref name="holdsworth" /> # Die '''mittlere Geschwindigkeit''' folgt aus Volumenstrom und Querschnittsfläche, <math>U_0 = \frac{Q_0}{\pi R_0^2} = \frac{6 \cdot 10^{-6}\ \mathrm{m^3/s}}{\pi \cdot (0{,}003\ \mathrm{m})^2} = 0{,}2122\ \mathrm{m/s}</math>. # Die '''Reynoldszahl''' des gesunden Gefäßes ist <math>Re_0 = \frac{\rho\, U_0\, D_0}{\mu} = \frac{1060 \cdot 0{,}2122 \cdot 0{,}006}{0{,}0035} = 385{,}6</math>. Sie wird im Folgenden auf 386 gerundet. # Die '''Einlauflänge''', die eine anfangs gleichförmige Strömung bis zum voll entwickelten Parabelprofil bräuchte, beträgt nach der gebräuchlichen Abschätzung für laminare Rohrströmungen <math>L_e \approx 0{,}06\, Re_0\, D_0 \approx 0{,}06 \cdot 386 \cdot 6\ \mathrm{mm} \approx 139\ \mathrm{mm}</math>.<ref name="durst">Durst, F.; Ray, S.; Ünsal, B.; Bayoumi, O. A.: ''The development lengths of laminar pipe and channel flows.'' Journal of Fluids Engineering 127 (2005), Nr. 6, S. 1154-1160. Für große Reynoldszahlen nähert sich die dort angegebene Korrelation dem Wert 0,057·Re·D.</ref> Das ist fast die gesamte Länge des Rechengebiets. Ein konstantes Einlassprofil würde die Strömung an der Stenose also verfälschen, weshalb am Einlass das voll entwickelte Profil vorgegeben wird. Damit liegen alle globalen Parameter fest. Die folgende Tabelle enthält sie mit genau den Namen, unter denen sie in COMSOL und in den Octave-Skripten verwendet werden. {| class="wikitable" |+ Globale Parameter des Modells ! Name !! Ausdruck in COMSOL !! Wert !! Bedeutung !! Herkunft |- | R0 || 3[mm] || 3 mm || Gefäßradius || Messwerte nach Krejza u. a. 2006, gerundet |- | D0 || 2*R0 || 6 mm || Gefäßdurchmesser || abgeleitet |- | Ls || 2*D0 || 12 mm || Länge der Störstelle || Standardgeometrie nach Varghese u. a. 2007 |- | Lu || 5*D0 || 30 mm || Vorlaufstrecke vor der Stenosemitte || Abstand der Einlassbedingung von der Stenose |- | Ld || 20*D0 || 120 mm || Nachlaufstrecke hinter der Stenosemitte || Platz für das Rückströmgebiet |- | Lf || Ls/2+10*D0 || 66 mm || Ende des fein vernetzten Nachlaufs || erwartete Länge des Rückströmgebiets |- | s || 0 bis 0.8 || 0 bis 0,8 || Stenosegrad bezogen auf den Durchmesser || NASCET-Einteilung |- | rho_b || 1060[kg/m^3] || 1060 kg/m³ || Dichte des Blutes || Mischungsregel, Literaturwert |- | mu_b || 3.5[mPa*s] || 3,5 mPa·s || dynamische Viskosität des Blutes || Hochscherwert, Quarteroni und Formaggia 2004 |- | Q0 || 6[ml/s] || 6 ml/s || mittlerer Volumenstrom || Messwerte nach Holdsworth u. a. 1999 |- | U0 || Q0/(pi*R0^2) || 0,2122 m/s || mittlere Einströmgeschwindigkeit || abgeleitet |- | Re0 || rho_b*U0*D0/mu_b || 385,6 || Reynoldszahl des gesunden Gefäßes || abgeleitet |- | dp_ref || 8*mu_b*U0*(Lu+Ld)/R0^2 || 99,03 Pa || Poiseuille-Druckabfall des gesunden Gefäßes || abgeleitet, Hagen-Poiseuille |} === Vergleich und Überprüfung der Modellvarianten === Die Modellhierarchie folgt dem Prinzip, dass zunächst vereinfachte Zusammenhänge untersucht und anschließend mit detaillierteren numerischen Modellen verglichen werden. Das '''Graphenmodell''' bildet die einfachste Modellvariante. Es verwendet das Hagen-Poiseuille-Gesetz zur Abschätzung des Druckverlustes in geraden Rohrabschnitten mit konstantem Durchmesser. Für den unverengten Referenzfall kann damit eine analytische Vergleichsgröße bestimmt werden. Im Bereich einer Stenose ist die Anwendung jedoch nur als vereinfachte Näherung geeignet, da dort zusätzliche Strömungseffekte auftreten können. Das '''achsensymmetrische Flächenmodell''' ermöglicht eine detailliertere Untersuchung des Geschwindigkeits- und Druckfeldes innerhalb einer idealisierten rotationssymmetrischen Gefäßverengung. Im unverengten Referenzfall können die numerischen Ergebnisse mit der analytischen Poiseuille-Lösung verglichen werden. Bei zunehmendem Stenosegrad werden insbesondere die Beschleunigung im Bereich der Engstelle, der Druckverlust und die Wandschubspannung betrachtet. Das '''ebene Flächenmodell''' beschreibt die Strömung in einer zweidimensionalen kartesischen Geometrie. Im Unterschied zum achsensymmetrischen Modell wird dabei keine Rotationssymmetrie vorausgesetzt. Da sich die geometrische Beschreibung des Strömungsquerschnitts unterscheidet, sind die Ergebnisse nicht ohne Weiteres quantitativ gleichzusetzen. Der Vergleich dient insbesondere dazu, den Einfluss der Modellvereinfachung auf die berechneten Strömungsgrößen zu untersuchen. Das '''Volumenmodell''' erweitert die Untersuchung auf drei Raumdimensionen. Bei einer rotationssymmetrischen Geometrie und entsprechend übereinstimmenden Randbedingungen wird eine weitgehende Übereinstimmung mit dem achsensymmetrischen Modell erwartet. Diese Übereinstimmung muss jedoch anhand der numerischen Ergebnisse überprüft werden. Bei einer Gefäßaufzweigung oder einer asymmetrischen Stenose können zusätzliche räumliche Strömungseffekte auftreten, die durch ein achsensymmetrisches Modell nicht vollständig beschrieben werden. === Referenzfall und Vergleichsgrößen === Als Ausgangspunkt dient ein unverengtes Gefäß mit dem Referenzdurchmesser <math>D_0=6\,\mathrm{mm}</math>. Für das Blut werden eine Dichte von <math>\rho_b=1060\,\mathrm{kg/m^3}</math> und eine dynamische Viskosität von <math>\mu_b=3{,}5\,\mathrm{mPa\,s}</math> angenommen. Der vorgegebene mittlere Volumenstrom beträgt <math>Q_0=6\,\mathrm{ml/s}</math>. Daraus ergibt sich für den unverengten kreisförmigen Querschnitt eine mittlere Strömungsgeschwindigkeit von ungefähr <math>U_0=0{,}2122\,\mathrm{m/s}</math>. Die Referenz-Reynolds-Zahl beträgt <math>\mathrm{Re}_0=385{,}6</math>. Für den in den Referenzdaten definierten Vergleichsfall ist außerdem ein analytischer Druckverlust von <math>\Delta p_{\mathrm{ref}}=99{,}03\,\mathrm{Pa}</math> angegeben. Diese Größen dienen als Ausgangspunkt für die Überprüfung der numerischen Modelle. Ein direkter Vergleich ist jedoch nur zulässig, wenn die jeweils verwendete Geometrie, die Auswertelänge und die Randbedingungen übereinstimmen. === Grenzen der Modellhierarchie === Die vier Modellvarianten unterscheiden sich nicht nur im Rechenaufwand, sondern auch in den physikalischen Effekten, die sie darstellen können. Insbesondere bei hochgradigen Stenosen können starke lokale Geschwindigkeitsänderungen, Strömungsablösungen und zeitabhängige Strömungsstrukturen auftreten. Deshalb muss überprüft werden, ob die Annahme einer stationären laminaren Strömung für die betrachteten Fälle ausreichend ist. Außerdem muss zwischen dem idealisierten geraden Gefäßmodell und einer Gefäßaufzweigung unterschieden werden. Das achsensymmetrische Modell eignet sich für eine rotationssymmetrische Stenose in einem geraden Gefäß, während eine realistische Gefäßaufzweigung eine andere geometrische Beschreibung erfordert. Die Modellvarianten werden daher nicht als vollständig gleichwertig betrachtet. Vielmehr soll der Vergleich zeigen, welche Aussagen bereits durch vereinfachte Modelle möglich sind und für welche Strömungseigenschaften eine detailliertere numerische Beschreibung erforderlich ist. = Modellierung = Modellierung bedeutet hier, die reale Situation in eine mathematische Aufgabe zu übersetzen, die sich lösen lässt. Dazu gehören vier Bausteine, nämlich das Rechengebiet, die Gleichungen, die Zahlenwerte der Parameter und die Bedingungen an den Rändern. Jeder dieser Bausteine beruht auf Annahmen, und jede Annahme muss begründet werden. Dieser Abschnitt geht die Bausteine deshalb der Reihe nach durch und nennt bei jedem Zahlenwert, woher er stammt und warum er sinnvoll ist. == Modellhierarchie == Das Projekt rechnet nicht ein einziges Modell, sondern vier aufeinander aufbauende Modellvarianten. Sie entsprechen der Kursanforderung, eine Strömung als Graph, in zwei und in drei Raumdimensionen darzustellen, und sie sind bewusst von einfach nach aufwendig geordnet. {| class="wikitable" |+ Die vier Modellvarianten des Projekts ! Modell !! Raumdimension !! gelöste Gleichung !! Zweck !! Werkzeug |- | Graphenmodell || 1D, Gefäßachse || Hagen-Poiseuille je Rohrstück und Massenerhaltung in jedem Knoten || schnelle, analytisch nachrechenbare Abschätzung für jeden Stenosegrad || Octave und COMSOL (Koeffizientenform-PDGL) |- | achsensymmetrisches Flächenmodell || 2D, Halbschnitt in r und z || vollständige stationäre Navier-Stokes-Gleichungen in Zylinderkoordinaten || Hauptmodell, liefert alle Feldgrößen des rotationssymmetrischen Rohres || COMSOL, Laminare Strömung |- | ebenes Flächenmodell || 2D, Halbschnitt in x und y || vollständige stationäre Navier-Stokes-Gleichungen in kartesischen Koordinaten || Vergleich, zeigt den Einfluss der zweiten Querschnittsrichtung || COMSOL, Laminare Strömung |- | Volumenmodell || 3D || vollständige stationäre Navier-Stokes-Gleichungen || Kontrolle des Hauptmodells und räumliche Darstellung || COMSOL, Laminare Strömung |} Die Reihenfolge folgt einem einfachen Prinzip. Jede Stufe liefert die Sollwerte, an denen die nächste, komplexere Stufe geprüft wird. Das Graphenmodell muss im gesunden Fall exakt die Poiseuille-Lösung ergeben. Das achsensymmetrische Modell muss im gesunden Fall dieselben Werte liefern und bei Stenose für Geschwindigkeit und Wandschubspannung in der Nähe des Graphenmodells liegen. Das Volumenmodell muss, weil die Geometrie rotationssymmetrisch ist, mit dem achsensymmetrischen Modell übereinstimmen. == Modellannahmen == Um den Einfluss des Stenosegrades möglichst isoliert zu untersuchen, werden die folgenden Modellannahmen getroffen. Die Tabelle nennt zu jeder Annahme ihre mathematische Form, die Begründung und die Stelle, an der sie im Projekt überprüft wird. {| class="wikitable" |+ Modellannahmen, ihre Begründung und ihre Überprüfung ! Annahme !! mathematische Form !! Begründung !! Überprüfung |- | Idealisierte Gefäßgeometrie || gerades Rohr mit kosinusförmiger, rotationssymmetrischer Verengung || isoliert die Wirkung des Stenosegrades von Krümmung, Verzweigung und Plaqueform || Diskussion in den Schlussfolgerungen |- | Starre Gefäßwand || Wand ortsfest, keine Fluid-Struktur-Kopplung || im stationären Fall gibt es keine Druckschwankung, die die Wand periodisch aufweiten könnte || Abschätzung über die gemessene Durchmesseränderung im Herzzyklus |- | Stationäre Strömung || <math>\partial \mathbf{u}/\partial t = \mathbf{0}</math> || der Einfluss des Stenosegrades soll ohne Überlagerung durch die Pulsation sichtbar werden || Abschätzung über die Womersley-Zahl |- | Inkompressibles Fluid || <math>\rho = \mathrm{const}</math>, damit <math>\nabla\cdot\mathbf{u} = 0</math> || Blut ist eine Flüssigkeit, Druckänderungen von wenigen hundert Pascal ändern die Dichte nicht messbar || Massenerhaltung in fünf Querschnitten |- | Newtonsche Näherung || konstante Viskosität <math>\mu</math> || die Scherraten an der Wand und im größten Teil des Querschnitts liegen über dem Bereich, in dem Blut deutlich scherverdünnend wirkt || Scherrate an der Wand, Diskussion des Rückströmgebiets |- | Konstante Stoffeigenschaften || <math>\rho</math> und <math>\mu</math> räumlich und zeitlich konstant || Körpertemperatur ist im betrachteten Abschnitt konstant || entfällt |- | Laminare Strömung || kein Turbulenzmodell, Schnittstelle Laminare Strömung || Reynoldszahl des gesunden Gefäßes von 386 liegt weit unter dem Umschlagbereich || Reynoldszahl in der Engstelle, Literaturvergleich |- | Haftbedingung an der Wand || <math>\mathbf{u} = \mathbf{0}</math> auf der Wand || Folge der Viskosität, das Fluid haftet an der Wand || Grundlage jeder Wandschubspannung |- | Vernachlässigung der Gravitation || keine Volumenkraft || bei konstanter Dichte lässt sich die Schwerkraft vollständig in einen hydrostatischen Druckanteil verschieben und beeinflusst die Geschwindigkeit nicht || Begründung in den Mathematischen Hintergründen |- | Voll entwickelte Einströmung || parabolisches Profil am Einlass || die natürliche Einlaufstrecke wäre mit rund 139 mm fast so lang wie das ganze Rechengebiet || Scheitelgeschwindigkeit im gesunden Fall |- | Eingeprägter Volumenstrom || <math>Q = Q_0</math> am Einlass || der Strömungswiderstand des Abschnitts ist klein gegenüber dem des nachgeschalteten Gefäßbetts || Abschätzung mit einem Reihenwiderstand |} Einige dieser Annahmen sind unmittelbar einsichtig, andere verdienen eine genauere Begründung, weil von ihnen die Aussagekraft der Ergebnisse abhängt. Die '''Newtonsche Näherung''' ist die Annahme, die bei Blut am häufigsten hinterfragt wird. Reales Blut ist eine Suspension aus Plasma und Blutzellen und verhält sich scherverdünnend. Bei kleinen Scherraten lagern sich die roten Blutkörperchen zu geldrollenartigen Stapeln zusammen, und die Viskosität steigt auf ein Vielfaches an. Bei großen Scherraten lösen sich diese Stapel auf, und die Viskosität strebt gegen einen Grenzwert von etwa 3,5 mPa·s. Entscheidend ist also die Scherrate. An der Wand des gesunden Modellgefäßes beträgt sie nach der Poiseuille-Lösung <math>\dot\gamma_w = \frac{4\,U_0}{R_0} = \frac{4 \cdot 0{,}2122\ \mathrm{m/s}}{0{,}003\ \mathrm{m}} \approx 283\ \mathrm{s^{-1}}</math> und liegt damit oberhalb von etwa 100 pro Sekunde, wo sich Newtonsches und nicht Newtonsches Modell nach der Literatur nur noch wenig unterscheiden.<ref name="boyd">Die Grenze von etwa 100 s^-1 wird in vergleichenden Studien zur Blutrheologie verwendet, etwa bei Bernabeu, M. O. u. a.: ''Impact of blood rheology on wall shear stress in a model of the middle cerebral artery.'' Interface Focus 3 (2013), 20120094. <!-- FIXME Zitat und Seitenangabe am Original pruefen --></ref> In der Engstelle steigt die Scherrate weiter an, beim Stenosegrad 0,5 auf rund 2260 pro Sekunde. Schwach ist die Näherung dort, wo die Scherrate klein wird, also in der Mitte des Gefäßes und vor allem im Rückströmgebiet hinter der Stenose. Dort ist reales Blut zäher als angenommen. Dieser Punkt wird in den Schlussfolgerungen wieder aufgegriffen. Die '''stationäre Strömung''' ist die stärkste Vereinfachung. Wie wichtig die Pulsation ist, misst die Womersley-Zahl, die das Verhältnis von instationärer Trägheit zu Reibung angibt. Mit einer Herzfrequenz von 60 Schlägen je Minute, also einer Kreisfrequenz <math>\omega = 2\pi\ \mathrm{s^{-1}}</math>, ergibt sich <math>\alpha = R_0 \sqrt{\frac{\omega \rho}{\mu}} = 0{,}003\ \mathrm{m} \cdot \sqrt{\frac{2\pi\ \mathrm{s^{-1}} \cdot 1060\ \mathrm{kg/m^3}}{0{,}0035\ \mathrm{Pa\,s}}} \approx 4{,}1 .</math> Ein Wert in dieser Größenordnung bedeutet, dass das reale Geschwindigkeitsprofil im Herzzyklus merklich von der Parabel abweicht.<ref name="womersley">Womersley, J. R.: ''Method for the calculation of velocity, rate of flow and viscous drag in arteries when the pressure gradient is known.'' Journal of Physiology 127 (1955), S. 553-563.</ref> Hinzu kommt, dass der Volumenstrom in der Systole kurzzeitig auf rund das Vierfache des Mittelwerts steigt.<ref name="holdsworth">Holdsworth, D. W.; Norley, C. J. D.; Frayne, R.; Steinman, D. A.; Rutt, B. K.: ''Characterization of common carotid artery blood-flow waveforms in normal human subjects.'' Physiological Measurement 20 (1999), Nr. 3, S. 219-240. DOI 10.1088/0967-3334/20/3/301. Angegeben werden ein mittlerer Volumenstrom von 6,0 ± 1,4 ml/s und ein systolischer Spitzenwert von 23,5 ± 3,8 ml/s. <!-- FIXME Zahlenwerte und Probandenzahl am Original pruefen --></ref> Die stationäre Rechnung mit dem Mittelwert beschreibt deshalb nicht den zeitlichen Verlauf, wohl aber den zeitlich gemittelten Zustand, an dem sich der Einfluss des Stenosegrades sauber vergleichen lässt. Die '''laminare Strömung''' wird über die Reynoldszahl begründet. Sie beträgt im gesunden Gefäß 386 und liegt damit weit unter dem Wert von etwa 2300, ab dem die Strömung in einem geraden Rohr in den Übergangsbereich gelangen kann. In der Engstelle steigt sie bei festem Volumenstrom auf <math>Re_0/(1-s)</math>, also auf 551 beim Stenosegrad 0,3, auf 964 beim Grad 0,6 und auf 1928 beim Grad 0,8. Für den Strahl hinter einer Engstelle ist der Umschlagbereich allerdings deutlich niedriger als im geraden Rohr. Direkte numerische Simulationen an genau der in diesem Projekt verwendeten Stenosegeometrie zeigen, dass die Strömung bei einer Einström-Reynoldszahl von 500 auch bei leichter Unsymmetrie laminar bleibt, bei 1000 dagegen schon eine Exzentrizität von fünf Prozent des Durchmessers genügt, um den Strahl in lokal turbulente Strömung umschlagen zu lassen.<ref name="varghese">Varghese, S. S.; Frankel, S. H.; Fischer, P. F.: ''Direct numerical simulation of stenotic flows. Part 1. Steady flow.'' Journal of Fluid Mechanics 582 (2007), S. 253-280. Untersucht wird eine kosinusförmige Stenose der Länge 2D mit 75 % Flächenreduktion, die mit der Geometrie dieses Projekts beim Stenosegrad 0,5 übereinstimmt. <!-- FIXME Band und Seiten am Original pruefen --></ref> Mit einer Einström-Reynoldszahl von 386 liegt das Projekt für die leicht- und mittelgradigen Stenosen sicher im laminaren Bereich. Für die hochgradigen Stenosen ab 0,7 ist ein laminares, stationäres Modell dagegen nur noch eine Näherung, die eine Obergrenze der geordneten Strömung beschreibt. Diese Fälle werden deshalb als Grenzfall des Modells gekennzeichnet. Die '''starre Wand''' lässt sich über Messungen abschätzen. Der Durchmesser der gemeinsamen Halsschlagader ändert sich im Herzzyklus bei jungen Menschen um etwa 12 bis 14 Prozent und bei älteren Menschen um etwa 5 Prozent.<ref name="hansen">Hansen, F.; Mangell, P.; Sonesson, B.; Länne, T.: ''Diameter and compliance in the human common carotid artery: variations with age and sex.'' Ultrasound in Medicine and Biology 21 (1995), Nr. 1, S. 1-9. DOI 10.1016/0301-5629(94)00090-5.</ref> Diese Bewegung ist eine Folge der Pulsation. In einer stationären Rechnung gibt es keine Druckschwankung, die die Wand periodisch aufweiten könnte, sodass die starre Wand zur stationären Annahme konsistent ist. Eine verkalkte Plaque ist ohnehin deutlich steifer als die gesunde Wand. Die Annahme des '''eingeprägten Volumenstroms''' wird im Abschnitt zu den Randbedingungen begründet, weil sie sich nur im Zusammenhang mit dem Kreislauf beurteilen lässt. == Simulationsgebiet und Geometrie == Die Gefäßachse ist die z-Achse, der Ursprung liegt in der Mitte der Stenose, und <math>r</math> bezeichnet den Abstand von der Achse. Das Rechengebiet reicht von <math>z = -L_u</math> bis <math>z = L_d</math> und wird radial von der Wandkontur <math>R(z)</math> begrenzt. Die Verengung wird über eine einzige glatte Funktion beschrieben, <math>R(z) = R_0 \left[ 1 - \frac{s}{2}\left(1 + \cos\frac{2\pi z}{L_s}\right)\right] \quad \text{falls } |z| \le \frac{L_s}{2}, \qquad R(z) = R_0 \ \text{sonst.}</math> Die Funktion hat drei Eigenschaften, die ihre Wahl begründen. Sie wird erstens über einen einzigen Parameter gesteuert, den Stenosegrad <math>s</math>. Der engste Radius in der Mitte beträgt <math>R(0) = R_0(1-s)</math>, und der Fall ohne Verengung ist einfach der Fall <math>s = 0</math>. Die gesamte Vergleichsreihe entsteht damit aus einem einzigen parametrischen Sweep. Sie geht zweitens an beiden Enden der Störstelle ohne Knick in das gerade Rohr über. Bei <math>z = \pm L_s/2</math> ist der Kosinus gleich minus eins, die Klammer also null, und seine Ableitung verschwindet dort ebenfalls. Das ist nicht nur ästhetisch, sondern numerisch notwendig, denn ein Knick in der Wand erzeugt eine Singularität der Wandschubspannung, deren berechneter Wert mit jeder Netzverfeinerung weiter wüchse. Eine Netzstudie wäre dann sinnlos. Sie ist drittens die in der Literatur gebräuchliche Standardgeometrie für Stenosen, sodass sich die Ergebnisse unmittelbar mit veröffentlichten Rechnungen vergleichen lassen.<ref name="varghese" /> [[Datei:Stenose Gruppe5 Wandkontur.svg|mini|zentriert|800px|Wandkontur <math>R(z)</math> für die untersuchten Stenosegrade. Die Darstellung ist in radialer Richtung gestreckt, das Rechengebiet ist in Wirklichkeit fünfundzwanzigmal länger als breit.]] <!-- FIXME Abbildung mit abbildungen_graph_1d.m fuer s = 0 bis 0,8 neu erzeugen, bisher nur bis 0,5 --> Die Abmessungen des Rechengebiets werden alle aus dem Gefäßradius abgeleitet. Das hat den Vorteil, dass sich das gesamte Modell durch Ändern eines einzigen Wertes auf ein anderes Gefäß übertragen lässt. Die einzelnen Längen werden im Folgenden Schritt für Schritt begründet. # Der '''Gefäßradius''' <math>R_0 = 3\ \mathrm{mm}</math> folgt aus Ultraschallmessungen an gesunden Erwachsenen. Dort wurden für die gemeinsame Halsschlagader mittlere Durchmesser von 6,10 ± 0,80 mm bei Frauen und 6,52 ± 0,98 mm bei Männern gemessen.<ref name="krejza">Krejza, J.; Arkuszewski, M.; Kasner, S. E.; Weigele, J.; Ustymowicz, A.; Hurst, R. W.; Cucchiara, B. L.; Messe, S. R.: ''Carotid artery diameter in men and women and the relation to body and neck size.'' Stroke 37 (2006), Nr. 4, S. 1103-1105. DOI 10.1161/01.STR.0000206440.48756.f7.</ref> Der gewählte Durchmesser von <math>D_0 = 6\ \mathrm{mm}</math> liegt damit innerhalb einer Standardabweichung beider Gruppen und ist bewusst auf einen runden Wert gesetzt, damit alle abgeleiteten Längen glatte Zahlen ergeben. # Die '''Länge der Störstelle''' <math>L_s = 2 D_0 = 12\ \mathrm{mm}</math> entspricht der Standardgeometrie aus der Literatur, die eine Stenosenlänge von zwei Durchmessern verwendet.<ref name="varghese" /> Damit ist beim Stenosegrad 0,5 ein direkter Vergleich mit veröffentlichten Ergebnissen möglich. # Die '''Vorlaufstrecke''' <math>L_u = 5 D_0 = 30\ \mathrm{mm}</math> trennt den Einlass von der Stenose. Da am Einlass bereits das voll entwickelte Profil vorgegeben wird, muss sie nicht die Einlaufstrecke abdecken, sondern nur verhindern, dass die Einströmrandbedingung die Strömung an der Engstelle beeinflusst. Bei Reynoldszahlen in dieser Größenordnung reicht der Einfluss einer Verengung nur wenige Durchmesser stromaufwärts, die Literatur kommt für dieselbe Geometrie mit drei Durchmessern Vorlauf aus.<ref name="varghese" /> Fünf Durchmesser lassen also eine Reserve. Überprüft wird das im Ergebnis, indem die Geschwindigkeit auf der Achse in der Mitte der Vorlaufstrecke mit dem Sollwert <math>2U_0</math> verglichen wird. # Die '''Nachlaufstrecke''' <math>L_d = 20 D_0 = 120\ \mathrm{mm}</math> ist deutlich länger, weil sich hinter der Engstelle ein Rückströmgebiet bildet, das nicht auf den Auslass treffen darf. Für die Geometrie mit dem Stenosegrad 0,5 legt die Strömung bei einer Einström-Reynoldszahl von 500 erst etwa zehn Durchmesser hinter der Engstelle wieder an, die Literatur rechnet mit sechzehn Durchmessern Nachlauf.<ref name="varghese" /> Zwanzig Durchmesser bieten damit für alle Stenosegrade bis 0,5 einen Sicherheitsabstand. Für die Grade ab 0,6 ist ein längeres Rückströmgebiet zu erwarten, dort wird die Lage des Wiederanlegepunktes ausdrücklich kontrolliert. # Das '''Ende des fein vernetzten Nachlaufs''' <math>L_f = L_s/2 + 10 D_0 = 66\ \mathrm{mm}</math> legt fest, bis wohin das Netz verfeinert wird. Der Wert ist so gewählt, dass das erwartete Rückströmgebiet von etwa zehn Durchmessern vollständig im feinen Bereich liegt. Damit hat das Rechengebiet eine Gesamtlänge von <math>L = L_u + L_d = 150\ \mathrm{mm}</math>, also das Fünfundzwanzigfache des Durchmessers. Es ist ein Modellgebiet und kein maßstäbliches Abbild eines bestimmten anatomischen Abschnitts. == Stoff- und Strömungsparameter == Die Stoffwerte des Blutes und der Volumenstrom sind die einzigen Eingangsgrößen, die nicht aus der Geometrie folgen. Aus ihnen werden alle weiteren Strömungskennwerte berechnet. Die folgenden Schritte zeigen jede Rechnung einzeln, damit sich jeder Wert nachprüfen lässt. # Die '''Dichte''' wird mit <math>\rho = 1060\ \mathrm{kg/m^3}</math> angesetzt. Der Wert lässt sich als Mischungsregel plausibel machen. Plasma hat eine Dichte von etwa 1025 kg/m³, rote Blutkörperchen von etwa 1100 kg/m³. Bei einem Zellanteil von 45 % ergibt sich <math>0{,}55 \cdot 1025 + 0{,}45 \cdot 1100 \approx 1059\ \mathrm{kg/m^3}</math>. Die Dichte geht nur über die Reynoldszahl in die Rechnung ein, eine Abweichung von einem Prozent ändert die Ergebnisse daher kaum. <!-- FIXME Lehrbuchquelle fuer Plasma- und Erythrozytendichte ergaenzen --> # Die '''dynamische Viskosität''' wird mit <math>\mu = 3{,}5\ \mathrm{mPa\,s}</math> angesetzt. Das ist der Grenzwert der Blutviskosität bei hohen Scherraten, also genau der Wert, der zur Newtonschen Näherung gehört. Derselbe Wert von 0,035 Poise wird auch im Standardwerk zur Modellierung des Herz-Kreislauf-Systems verwendet.<ref name="quarteroni">Quarteroni, A.; Formaggia, L.: ''Mathematical Modelling and Numerical Simulation of the Cardiovascular System.'' In: Ayache, N. (Hrsg.): ''Computational Models for the Human Body.'' Handbook of Numerical Analysis, Bd. XII, Elsevier, Amsterdam 2004, S. 3-127. DOI 10.1016/S1570-8659(03)12001-7. Zur Newtonschen Näherung in großen Gefäßen siehe S. 30, zur Viskosität von 0,035 Poise die Parametertabelle auf S. 116.</ref> # Der '''mittlere Volumenstrom''' wird mit <math>Q_0 = 6\ \mathrm{ml/s}</math> angesetzt. Das ist der zeitlich gemittelte Volumenstrom, der in der gemeinsamen Halsschlagader gesunder Probanden gemessen wurde.<ref name="holdsworth" /> # Die '''mittlere Geschwindigkeit''' folgt aus Volumenstrom und Querschnittsfläche, <math>U_0 = \frac{Q_0}{\pi R_0^2} = \frac{6 \cdot 10^{-6}\ \mathrm{m^3/s}}{\pi \cdot (0{,}003\ \mathrm{m})^2} = 0{,}2122\ \mathrm{m/s}</math>. # Die '''Reynoldszahl''' des gesunden Gefäßes ist <math>Re_0 = \frac{\rho\, U_0\, D_0}{\mu} = \frac{1060 \cdot 0{,}2122 \cdot 0{,}006}{0{,}0035} = 385{,}6</math>. Sie wird im Folgenden auf 386 gerundet. # Die '''Einlauflänge''', die eine anfangs gleichförmige Strömung bis zum voll entwickelten Parabelprofil bräuchte, beträgt nach der gebräuchlichen Abschätzung für laminare Rohrströmungen <math>L_e \approx 0{,}06\, Re_0\, D_0 \approx 0{,}06 \cdot 386 \cdot 6\ \mathrm{mm} \approx 139\ \mathrm{mm}</math>.<ref name="durst">Durst, F.; Ray, S.; Ünsal, B.; Bayoumi, O. A.: ''The development lengths of laminar pipe and channel flows.'' Journal of Fluids Engineering 127 (2005), Nr. 6, S. 1154-1160. Für große Reynoldszahlen nähert sich die dort angegebene Korrelation dem Wert 0,057·Re·D.</ref> Das ist fast die gesamte Länge des Rechengebiets. Ein konstantes Einlassprofil würde die Strömung an der Stenose also verfälschen, weshalb am Einlass das voll entwickelte Profil vorgegeben wird. Damit liegen alle globalen Parameter fest. Die folgende Tabelle enthält sie mit genau den Namen, unter denen sie in COMSOL und in den Octave-Skripten verwendet werden. {| class="wikitable" |+ Globale Parameter des Modells ! Name !! Ausdruck in COMSOL !! Wert !! Bedeutung !! Herkunft |- | R0 || 3[mm] || 3 mm || Gefäßradius || Messwerte nach Krejza u. a. 2006, gerundet |- | D0 || 2*R0 || 6 mm || Gefäßdurchmesser || abgeleitet |- | Ls || 2*D0 || 12 mm || Länge der Störstelle || Standardgeometrie nach Varghese u. a. 2007 |- | Lu || 5*D0 || 30 mm || Vorlaufstrecke vor der Stenosemitte || Abstand der Einlassbedingung von der Stenose |- | Ld || 20*D0 || 120 mm || Nachlaufstrecke hinter der Stenosemitte || Platz für das Rückströmgebiet |- | Lf || Ls/2+10*D0 || 66 mm || Ende des fein vernetzten Nachlaufs || erwartete Länge des Rückströmgebiets |- | s || 0 bis 0.8 || 0 bis 0,8 || Stenosegrad bezogen auf den Durchmesser || NASCET-Einteilung |- | rho_b || 1060[kg/m^3] || 1060 kg/m³ || Dichte des Blutes || Mischungsregel, Literaturwert |- | mu_b || 3.5[mPa*s] || 3,5 mPa·s || dynamische Viskosität des Blutes || Hochscherwert, Quarteroni und Formaggia 2004 |- | Q0 || 6[ml/s] || 6 ml/s || mittlerer Volumenstrom || Messwerte nach Holdsworth u. a. 1999 |- | U0 || Q0/(pi*R0^2) || 0,2122 m/s || mittlere Einströmgeschwindigkeit || abgeleitet |- | Re0 || rho_b*U0*D0/mu_b || 385,6 || Reynoldszahl des gesunden Gefäßes || abgeleitet |- | dp_ref || 8*mu_b*U0*(Lu+Ld)/R0^2 || 99,03 Pa || Poiseuille-Druckabfall des gesunden Gefäßes || abgeleitet, Hagen-Poiseuille |} = Literaturverzeichnis = Alle Quellen sind an den Stellen im Text angegeben, an denen die zugehörigen Werte oder Aussagen verwendet werden. Die Liste wird aus diesen Angaben automatisch erzeugt. <references /> 1y01fmdpomb561vz7q1mzenldb8ybi5 1116349 1116346 2026-10-16T07:59:23Z Nicole.pander 39567 /* Zielsetzung des zweidimensionalen Modells */ 1116349 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Joey Becker * Marie-Thérèse Heitele * Nicole Pander = Thema und Fragestellung = Gegenstand dieses Projekts ist die numerische Simulation der Blutströmung in einer verzweigten Halsschlagader ('''Carotis-Bifurkation''') unter dem Einfluss einer lokalen Gefäßverengung ('''Stenose'''). Im Vergleich zu einfachen Rohrströmungen wird hier die realitätsnahe Gefäßanatomie betrachtet: Die '''Arteria carotis communis (ACC)''' teilt sich in die '''Arteria carotis externa (ACE)''' und die '''Arteria carotis interna (ACI)''' auf. Während die '''ACE''' als gesunder, stenosefreier Ast dient, wird in der '''ACI''' eine geglättete, kosinusförmige Gefäßverengung modelliert. Um scharfe Kanten und unphysiologische Druckspitzen zu vermeiden, werden alle Wandübergänge und die Gabelungsspitze (Apex) anatomisch verrundet. Als Referenz dient ein gesundes, unverengtes Gefäß, in dem sich die Poiseuille-Strömung mit ihrem charakteristischen parabolischen Geschwindigkeitsprofil ausbildet. Diese Strömung ist aus zwei Gründen der natürliche Ausgangspunkt. Sie beschreibt den physiologischen Normalfall, mit dem jeder Stenosegrad verglichen wird, und sie ist exakt lösbar, sodass sich an ihr jede numerische Rechnung prüfen lässt, bevor die Verengung hinzukommt. == Fragestellung == Die Hauptfragestellung dieses Projektes lautet: Wie verändert eine symmetrische bzw. rotationssymmetrische Stenose in der '''Arteria carotis interna (ACI)''' die stationäre Strömung eines inkompressiblen Newton’schen Fluids in einer 2D-Carotis-Bifurkation hinsichtlich Geschwindigkeitsverteilung, Druckabfall, Wandschubspannung und Wirbelbildung im Vergleich zu den gesunden Gefäßabschnitten? Aus dieser Fragestellung ergeben sich drei Teilfragen, an denen sich der Aufbau der Seite orientiert: # Welche Strömungsgrößen reagieren empfindlich auf den Stenosegrad und welche nur träge? # Ab welchem Stenosegrad ändert sich das Strömungsmuster qualitativ, das heißt, ab wann löst die Strömung hinter der Engstelle von der Wand ab und bildet ein Rückströmgebiet? # Wie weit tragen die vereinfachenden Modellannahmen, insbesondere die Annahme einer stationären und laminaren Strömung, über den untersuchten Bereich der Stenosegrade? == Modellannahmen == Im Hinblick darauf werden für dieses Projekt einige Annahmen getroffen, um das Projekt möglichst isoliert zu untersuchen und zu simplifizieren: * '''Idealisierte Gefäßgeometrie''': Betrachtet wird ein Teilabbschnitt der ''Arteria carotis communis'', die sog. ''ACI''. Zudem werden Gefäßverkrümmungen, weitere Verzweigungen und patientenspezifische Strukturen nicht berücksichtigt. * '''Starre Gefäßwand''': Die Gefäßwand wird als unbeweglich und nicht verformbar angenommen. Eine Wechselwirkung zwischen elastischer Gefäßwand und Blutströmung wird nicht modelliert. * '''Stationäre Strömung''': Die Strömungsgrößen werden als zeitlich konstant angenommen. Die im realen Blutkreislauf vorhandene Pulsation durch den Herzschlag wird daher vernachlässigt: <math>\frac{\partial u}{\partial t}=0</math>. * '''Inkompressibles Fluid''': Die Dichte des Fluids wird als konstant angenommen. Damit gilt für die Geschwindigkeit <math>\nabla \cdot u=0</math>. Dies entspricht der in der Vorlesung behandelten Massenerhaltung für inkompressible Fluide: Was in das Gefäß einströmt, muss auch wieder ausströmen. * '''Newton'sche Näherung für Blut''': Reales Blut beseitzt ein nicht newton'sches Fließverhalten. Hier wird Blut als Newton'sches Fluid behandelt. * '''Konstante Stoffeigenschaften''': Dichte <math>\rho</math> und dynamische Viskosität μ werden als räumlich und zeitlich konstant angenommen. Temperaturabhängigkeiten werden nicht berücksichtigt. * '''Laminare Strömung''': Die Strömung wird mit dem COMSOL-Modul ''Laminar Flow'' beschrieben. Ein zusätzliches Turbulenzmodell wird nicht verwendet. * '''No-Slip-Bedingung an Gefäßwand''': Aufgrund der Viskosität wird angenommen, dass das Fluid direkt an der Gefäßwand haftet. Somit gilt <math>u=0</math>. * '''Vernachlässigung der Gravitation''': Gravitation wird nicht berücksichtigt. Die Strömung wird ausschließlich durch die gewählten Ein- und Auslassbedingungen bestimmt. = Relevanz = Die Untersuchung von Gefäßverengungen besitzt sowohl eine medizinische als auch eine methodische Bedeutung. Aus medizinischer Sicht sind arterielle Stenosen – etwa in der Halsschlagader, lat. ''arteria carotis communis'', – kritisch, da sie die Durchblutung beeinträchtigen und durch veränderte Wandschubspannungen sowie die Bildung von Wirbeln weitere Gefäßablagerungen begünstigen. Stenosen im Bereich der Karotisgabelung sind klinisch hochrelevant, da sie das Gehirn direkt versorgen und das Risiko für embolische Schlaganfälle erhöhen. Fachlich überträgt das Projekt damit die Prinzipien der Strömungsmechanik direkt auf eine biomedizinische Anwendung. Das Projekt verknüpft somit theoretische Grundlagen der Strömungsmechanik (Hagen-Poiseuille-Gleichung, Navier-Stokes-Gleichungen) mit der numerischen Simulation in COMSOL Multiphysics. Durch den Vergleich der '''gesunden Externa (ACE)''' mit der '''stenoisierten Interna (ACI)''' innerhalb desselben Rechengebiets wird die isolierte Wirkung der Stenose unter identischen Randbedingungen direkt sichtbar gemacht. == Medizinische Relevanz == Arterielle Stenosen entstehen überwiegend durch Atherosklerose, also durch Ablagerungen aus Lipiden, Bindegewebe und Kalk in der Gefäßwand. In der Halsschlagader sind sie klinisch besonders bedeutsam, weil sie die Durchblutung des Gehirns beeinträchtigen und weil sich an ihnen Thromben bilden können, die als Embolie einen Schlaganfall auslösen. Dass die operative Entfernung einer hochgradigen Karotisstenose das Schlaganfallrisiko symptomatischer Patienten deutlich senkt, hat die NASCET-Studie gezeigt, deren Einteilung der Stenosegrade dieses Projekt übernimmt.<ref name="nascet">North American Symptomatic Carotid Endarterectomy Trial Collaborators: ''Beneficial effect of carotid endarterectomy in symptomatic patients with high-grade carotid stenosis.'' New England Journal of Medicine 325 (1991), Nr. 7, S. 445-453.</ref> Strömungsmechanisch ist an einer Stenose vor allem die Wandschubspannung von Interesse, also die tangentiale Kraft je Fläche, die das strömende Blut auf die innerste Zellschicht der Gefäßwand ausübt. Gesunde Halsschlagadern weisen zeitlich gemittelte Werte von etwa 1,1 bis 1,5 Pa auf.<ref name="samijo">Samijo, S. K.; Willigers, J. M.; Barkhuysen, R.; Kitslaar, P. J. E. H. M.; Reneman, R. S.; Brands, P. J.; Hoeks, A. P. G.: ''Wall shear stress in the human common carotid artery as function of age and gender.'' Cardiovascular Research 39 (1998), Nr. 2, S. 515-522.</ref> In einer Engstelle steigt sie stark an, unmittelbar dahinter fällt sie im Ablösegebiet auf nahezu null und wechselt dort sogar das Vorzeichen. Niedrige und im Vorzeichen wechselnde Wandschubspannungen gelten als Bedingungen, unter denen sich weitere Ablagerungen bevorzugt bilden. Eine bestehende Stenose schafft also stromabwärts die Voraussetzungen für ihr eigenes Wachstum. Genau diese Verteilung lässt sich im Körper nur schwer messen, in einer Simulation dagegen unmittelbar auswerten. == Methodische Relevanz == Fachlich überträgt das Projekt die Prinzipien der Strömungsmechanik aus der Vorlesung auf eine biomedizinische Anwendung.<ref name="hundertmark">Hundertmark, A.: ''Fluiddynamik.'' Vorlesungsunterlagen zum Modul Räumliche Modellbildung, RPTU Kaiserslautern-Landau, Sommersemester 2026.</ref> Der methodische Mehrwert liegt in der Verknüpfung mehrerer Zugänge, die sich gegenseitig kontrollieren. Die analytische Poiseuille-Lösung liefert exakte Sollwerte für das gesunde Gefäß. Ein reduziertes Graphenmodell liefert für jeden Stenosegrad eine schnelle Abschätzung, die analytisch nachrechenbar ist. Die Simulationen in COMSOL Multiphysics lösen schließlich die vollständigen Navier-Stokes-Gleichungen in zwei und drei Raumdimensionen. Weil jede Stufe die Sollwerte der nächsten liefert, zeigt das Projekt nicht nur Ergebnisse, sondern auch, wie numerische Modelle aufgebaut, verifiziert und an ihren Grenzen bewertet werden. == Auswahl der Stenosegrade == Um die untersuchten Gefäßverengungen nicht willkürlich festzulegen, orientiert sich die Auswahl der Stenosegrade an der klinisch gebräuchlichen NASCET-Klassifikation von Karotisstenosen.<ref name="nascet" /> Zur klinischen Einordnung werden Karotisstenosen anhand der nach NASCET bestimmten Durchmesserreduktion in leichtgradige, mittelgradige und hochgradige Stenosen eingeteilt. Die angegebenen Prozentgrenzen dienen in diesem Projekt als Orientierung für die Auswahl der untersuchten Stenosegrade. Ein vollständiger Gefäßverschluss wird als Okklusion bezeichnet. {| class="wikitable" |+ Klinische Einteilung nach NASCET-gemessener Durchmesserreduktion und untersuchte Stenosegrade ! Schweregrad !! Durchmesserreduktion !! im Projekt gerechnete Stenosegrade !! hervorgehobener Vertreter |- | gesundes Gefäß || 0 % || 0 || 0 |- | leichtgradige Stenose || unter 50 % || 0,1 bis 0,4 || 0,3 |- | mittelgradige Stenose || 50 bis 69 % || 0,5 und 0,6 || 0,6 |- | hochgradige Stenose || 70 bis 99 % || 0,7 und 0,8 || 0,8 |- | Okklusion || 100 % || nicht gerechnet || entfällt |} '''Anmerkung''': Die Klassengrenzen dienen der Einordnung der Modellvarianten. Die in der Tabelle genannten Stenosegrade sind dimensionslose Werte, beispielsweise entspricht '''<math>s=0{,}6</math>''' einer Durchmesserreduktion von '''60 %'''. Für die numerische Untersuchung wird aus jeder Kategorie ein repräsentativer Stenosegrad hervorgehoben. Neben dem gesunden Gefäß mit '''0 %''' Stenose sind das eine '''30 %''' Stenose als Beispiel für eine leichtgradige, eine '''60 %''' Stenose als Beispiel für eine mittelgradige und eine '''80 %''' Stenose als Beispiel für eine hochgradige Verengung. Zusätzlich werden für das Graphenmodell und das achsensymmetrische Flächenmodell Stenosegrade von 0 bis 80 % in Schritten von zehn Prozentpunkten vorgesehen. Dadurch kann die Abhängigkeit der Strömungsgrößen vom Stenosegrad systematisch untersucht und grafisch dargestellt werden. Ob alle Modellvarianten tatsächlich berechnet wurden und wie hoch der Rechenaufwand war, wird anhand der durchgeführten Simulationen dokumentiert. Ein vollständiger Gefäßverschluss wird nicht simuliert, da in diesem Fall keine durchgängige Strömung mehr vorliegt. Der Stenosegrad wird in diesem Projekt wie bei NASCET über die Verringerung des Gefäßdurchmessers beschrieben, <math>s = 1 - \frac{d_{\min}}{d_{\mathrm{ref}}},</math> wobei <math>d_{\min}</math> der kleinste Durchmesser in der Engstelle und <math>d_{\mathrm{ref}}</math> ein Referenzdurchmesser ist. NASCET verwendet als Referenz den Durchmesser des gesunden Gefäßes stromabwärts der Stenose. Für das idealisierte gerade Gefäßmodell wird ein konstanter Referenzdurchmesser von <math>D_0=6\,\mathrm{mm}</math> angenommen. Da das Gefäß außerhalb der Stenose denselben Durchmesser besitzt, gilt in diesem Modell<math>d_{\mathrm{ref}}=D_0</math>. Bei der zusätzlich betrachteten Gefäßaufzweigung muss der Referenzdurchmesser dagegen gesondert festgelegt werden, da die Gefäßäste unterschiedliche Durchmesser besitzen. Wichtig für das Verständnis aller weiteren Ergebnisse ist der Unterschied zwischen Durchmesser- und Flächenreduktion. Da die Querschnittsfläche quadratisch vom Durchmesser abhängt, gilt für die Flächenreduktion <math>1-(1-s)^2</math>. Eine im klinischen Sinn nur mittelgradige Stenose von 60 % verschließt damit bereits 84 % der Querschnittsfläche. {| class="wikitable" |+ Durchmesser- und Flächenreduktion der gerechneten Stenosegrade ! Stenosegrad s !! 0 !! 0,1 !! 0,2 !! 0,3 !! 0,4 !! 0,5 !! 0,6 !! 0,7 !! 0,8 |- | engster Durchmesser in mm || 6,0 || 5,4 || 4,8 || 4,2 || 3,6 || 3,0 || 2,4 || 1,8 || 1,2 |- | Flächenreduktion || 0 % || 19 % || 36 % || 51 % || 64 % || 75 % || 84 % || 91 % || 96 % |} Eine Einschränkungen gehört zur ehrlichen Einordnung: # Mit zunehmendem Stenosegrad, insbesondere bei ausgeprägten Verengungen, können lokale Beschleunigungen, Strömungsablösungen und zeitabhängige Strömungsstrukturen auftreten. Daher muss bei den hochgradigen Stenosen geprüft werden, inwieweit die Annahme einer stationären, laminaren Strömung geeignet ist. Eine feste Grenze bei <math>s=0{,}6</math> lässt sich ohne entsprechende Simulationsergebnisse oder Literaturbelege nicht allgemein festlegen. Die hochgradigen Fälle werden deshalb unter besonderer Berücksichtigung der Modellannahmen diskutiert. Unter Modellierung wird in diesem Projekt die Übertragung der Blutströmung in einer verengten Arterie auf ein mathematisches und numerisch lösbares Strömungsproblem verstanden. Dazu werden die Gefäßgeometrie, die zugrunde liegenden Gleichungen, die physikalischen Materialparameter sowie die Anfangs- und Randbedingungen festgelegt. Jeder dieser Bestandteile beruht auf vereinfachenden Annahmen, die begründet und bei der Interpretation der Ergebnisse berücksichtigt werden müssen. Ziel ist es, den Einfluss unterschiedlicher Stenosegrade auf die Strömungsgeschwindigkeit, den Druckverlust und gegebenenfalls die Wandschubspannung systematisch zu untersuchen. Die Modellierung erfolgt anhand mehrerer Modellvarianten mit unterschiedlicher räumlicher Auflösung. Dadurch können zunächst grundlegende Zusammenhänge analytisch abgeschätzt und anschließend mit numerischen Strömungsberechnungen verglichen werden. Die verwendeten Parameter orientieren sich an den bereitgestellten Referenzdaten und werden in den folgenden Abschnitten erläutert. == Modellierung == Ziel der Modellierung ist es, die Blutströmung innerhalb einer Y-förmigen Aufzweigung der Halsschlagader mathematisch und numerisch zu untersuchen. Im Mittelpunkt steht eine Gefäßverengung (Stenose) in der Arteria carotis interna. Das betrachtete Gefäßmodell besteht aus der Arteria carotis communis, die sich in die Arteria carotis interna und die Arteria carotis externa aufteilt. Die Stenose befindet sich ausschließlich in der Arteria carotis interna. Durch die Verengung verändert sich der verfügbare Strömungsquerschnitt. Dies kann zu einer Erhöhung der lokalen Strömungsgeschwindigkeit, zu zusätzlichen Druckverlusten und zu einer Veränderung der Strömungsverteilung zwischen den beiden Gefäßästen führen. Ziel ist es, den Einfluss unterschiedlicher Stenosegrade auf die Strömungsgeschwindigkeit, die Druckverteilung und die Wandschubspannung zu untersuchen. Zusätzlich soll betrachtet werden, wie sich die Strömung innerhalb der Y-förmigen Gefäßaufzweigung verhält. Die numerische Modellierung erfolgt mit COMSOL Multiphysics. Dazu werden die Gefäßgeometrie, die Materialeigenschaften des Blutes, die Strömungsgleichungen und die Randbedingungen festgelegt. Zur Vereinfachung wird Blut zunächst als inkompressibles, Newtonsches Fluid betrachtet. Die Gefäßwände werden als starr angenommen. Diese Annahmen ermöglichen eine systematische Untersuchung der Stenose, schränken jedoch die Übertragbarkeit auf reale physiologische Bedingungen ein. === Modellhierarchie === Für die Untersuchung der Blutströmung innerhalb der Y-förmigen Karotisaufzweigung werden drei Modellvarianten betrachtet. Diese unterscheiden sich hinsichtlich ihrer räumlichen Dimension, ihrer mathematischen Beschreibung und der Genauigkeit, mit der die Strömungsverhältnisse dargestellt werden können. Das untersuchte Gefäß besteht aus der Arteria carotis communis, die sich in die Arteria carotis interna und die Arteria carotis externa aufteilt. Die Stenose befindet sich ausschließlich in der Arteria carotis interna. Alle drei Modellvarianten werden mit COMSOL Multiphysics umgesetzt. {| class="wikitable" style="width:100%;" |+ '''Die drei Modellvarianten des Projekts''' |- ! Modell ! Raumdimension ! Mathematische Grundlage ! Zweck ! Werkzeug |- | '''Graphenmodell''' | 1D, Gefäßnetzwerk mit einer Verzweigung | Massenerhaltung an der Verzweigung und vereinfachte Beschreibung der Strömungswiderstände | Abschätzung der Volumenstromverteilung und der Druckverluste in den Gefäßästen | COMSOL Multiphysics |- | '''Ebenes Flächenmodell''' | 2D, Y-förmige Gefäßgeometrie in kartesischen Koordinaten | Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen | Untersuchung der Geschwindigkeits- und Druckverteilung sowie der Auswirkungen der Stenose in der Arteria carotis interna | COMSOL Multiphysics, Laminare Strömung |- | '''Volumenmodell''' | 3D, räumliche Y-förmige Gefäßgeometrie | Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen | Räumliche Untersuchung des Geschwindigkeitsfeldes, des Druckverlustes und der Wandschubspannung | COMSOL Multiphysics, Laminare Strömung |} ==== Vergleich und Überprüfung der Modellvarianten ==== Die drei Modellvarianten bauen hinsichtlich ihrer räumlichen Beschreibung aufeinander auf. Das Graphenmodell ermöglicht zunächst eine vereinfachte Betrachtung der Volumenströme und Druckverluste. Die zwei- und dreidimensionalen Modelle erlauben anschließend eine detailliertere Untersuchung der Strömung innerhalb der Gefäßaufzweigung. Das '''Graphenmodell''' beschreibt die Arteria carotis communis sowie die beiden abzweigenden Gefäße als miteinander verbundenes Netzwerk. Dabei wird die Massenerhaltung an der Verzweigung berücksichtigt: :<math>Q_{\mathrm{CCA}}=Q_{\mathrm{ICA}}+Q_{\mathrm{ECA}}</math> Das Modell liefert vereinfachte Abschätzungen der Volumenstromverteilung. Lokale Strömungsablösungen und räumliche Geschwindigkeitsverteilungen können damit nicht detailliert dargestellt werden. Das '''ebene Flächenmodell''' bildet die Y-förmige Gefäßaufzweigung in zwei Raumdimensionen ab. Die Stenose wird innerhalb der Arteria carotis interna berücksichtigt. Dadurch können die Geschwindigkeits- und Druckverteilung sowie mögliche Rückströmungsbereiche untersucht werden. Das '''Volumenmodell''' erweitert die Untersuchung auf drei Raumdimensionen. Es ermöglicht eine räumliche Darstellung der Strömung und eine detailliertere Berechnung der Wandschubspannung. Die Ergebnisse des ebenen Flächenmodells und des Volumenmodells werden miteinander verglichen. Da das ebene Modell die räumliche Querschnittsgeometrie nur vereinfacht darstellt, müssen Unterschiede zwischen den beiden Modellen bei der Interpretation berücksichtigt werden. Ziel der Modellhierarchie ist es, die Aussagekraft der einzelnen Modellvarianten zu bewerten und den Einfluss des Stenosegrades auf die Strömung innerhalb der Y-förmigen Karotisaufzweigung zu untersuchen. === Simulationsgebiet und Geometrie === Das Simulationsgebiet besteht aus einer idealisierten Y-förmigen Aufzweigung der Arteria carotis. Die Arteria carotis communis teilt sich in die Arteria carotis interna und die Arteria carotis externa. Die Stenose befindet sich in der Arteria carotis interna. Die Arteria carotis externa wird ohne zusätzliche Verengung modelliert. Die Geometrie orientiert sich an den bereitgestellten Referenzdaten. Die Gefäßdurchmesser werden innerhalb der jeweiligen unverengten Abschnitte als konstant angenommen. {| class="wikitable" style="width:100%;" |+ '''Geometrische Referenzparameter der Y-förmigen Gefäßaufzweigung''' |- ! Gefäßabschnitt ! Durchmesser ! Länge |- | Arteria carotis communis | 6 mm | 60 mm |- | Arteria carotis interna | 5 mm | 60 mm |- | Arteria carotis externa | 4 mm | 60 mm |- | Stenose in der Arteria carotis interna | Abhängig vom Stenosegrad | 10 bzw. 20 mm |} Die Verengung wird über den Stenosegrad <math>s</math> beschrieben. Dieser gibt die relative Verringerung des Gefäßdurchmessers an: :<math>s=1-\frac{d_{\min}}{D_{\mathrm{ICA}}}</math> Dabei bezeichnet <math>d_{\min}</math> den minimalen Durchmesser innerhalb der Stenose und <math>D_{\mathrm{ICA}}</math> den unverengten Referenzdurchmesser der Arteria carotis interna. Für das Modell gilt: :<math>D_{\mathrm{ICA}}=5\,\mathrm{mm}</math> Der minimale Durchmesser ergibt sich damit zu: :<math>d_{\min}=D_{\mathrm{ICA}}(1-s)</math> {| class="wikitable" |+ '''Minimaler Durchmesser der Stenose in der Arteria carotis interna''' |- ! Stenosegrad ! Minimaler Durchmesser |- | 0 % | 5,0 mm |- | 10 % | 4,5 mm |- | 20 % | 4,0 mm |- | 30 % | 3,5 mm |- | 40 % | 3,0 mm |- | 50 % | 2,5 mm |- | 60 % | 2,0 mm |- | 70 % | 1,5 mm |- | 80 % | 1,0 mm |} Die angegebenen Stenosegrade beziehen sich ausschließlich auf den Durchmesser der Arteria carotis interna. Der Durchmesser der Arteria carotis communis wird nicht zur Berechnung des Stenosegrades verwendet. Die Y-förmige Geometrie ermöglicht es, die Auswirkungen der Verengung sowohl auf die lokale Strömung in der Arteria carotis interna als auch auf die Strömungsverteilung innerhalb der gesamten Gefäßaufzweigung zu untersuchen. Die genaue Form der Stenose, der Verzweigungswinkel und die Übergänge zwischen den Gefäßabschnitten müssen entsprechend der tatsächlich in COMSOL verwendeten Geometrie dokumentiert werden. == Stoff- und Strömungsparameter == Die Stoffwerte des Blutes und der Volumenstrom sind die einzigen Eingangsgrößen, die nicht aus der Geometrie folgen. Aus ihnen werden alle weiteren Strömungskennwerte berechnet. Die folgenden Schritte zeigen jede Rechnung einzeln, damit sich jeder Wert nachprüfen lässt. # Die '''Dichte''' wird mit <math>\rho = 1060\ \mathrm{kg/m^3}</math> angesetzt. Der Wert lässt sich als Mischungsregel plausibel machen. Plasma hat eine Dichte von etwa 1025 kg/m³, rote Blutkörperchen von etwa 1100 kg/m³. Bei einem Zellanteil von 45 % ergibt sich <math>0{,}55 \cdot 1025 + 0{,}45 \cdot 1100 \approx 1059\ \mathrm{kg/m^3}</math>. Die Dichte geht nur über die Reynoldszahl in die Rechnung ein, eine Abweichung von einem Prozent ändert die Ergebnisse daher kaum. <!-- FIXME Lehrbuchquelle fuer Plasma- und Erythrozytendichte ergaenzen --> # Die '''dynamische Viskosität''' wird mit <math>\mu = 3{,}5\ \mathrm{mPa\,s}</math> angesetzt. Das ist der Grenzwert der Blutviskosität bei hohen Scherraten, also genau der Wert, der zur Newtonschen Näherung gehört. Derselbe Wert von 0,035 Poise wird auch im Standardwerk zur Modellierung des Herz-Kreislauf-Systems verwendet.<ref name="quarteroni">Quarteroni, A.; Formaggia, L.: ''Mathematical Modelling and Numerical Simulation of the Cardiovascular System.'' In: Ayache, N. (Hrsg.): ''Computational Models for the Human Body.'' Handbook of Numerical Analysis, Bd. XII, Elsevier, Amsterdam 2004, S. 3-127. DOI 10.1016/S1570-8659(03)12001-7. Zur Newtonschen Näherung in großen Gefäßen siehe S. 30, zur Viskosität von 0,035 Poise die Parametertabelle auf S. 116.</ref> # Der '''mittlere Volumenstrom''' wird mit <math>Q_0 = 6\ \mathrm{ml/s}</math> angesetzt. Das ist der zeitlich gemittelte Volumenstrom, der in der gemeinsamen Halsschlagader gesunder Probanden gemessen wurde.<ref name="holdsworth" /> # Die '''mittlere Geschwindigkeit''' folgt aus Volumenstrom und Querschnittsfläche, <math>U_0 = \frac{Q_0}{\pi R_0^2} = \frac{6 \cdot 10^{-6}\ \mathrm{m^3/s}}{\pi \cdot (0{,}003\ \mathrm{m})^2} = 0{,}2122\ \mathrm{m/s}</math>. # Die '''Reynoldszahl''' des gesunden Gefäßes ist <math>Re_0 = \frac{\rho\, U_0\, D_0}{\mu} = \frac{1060 \cdot 0{,}2122 \cdot 0{,}006}{0{,}0035} = 385{,}6</math>. Sie wird im Folgenden auf 386 gerundet. # Die '''Einlauflänge''', die eine anfangs gleichförmige Strömung bis zum voll entwickelten Parabelprofil bräuchte, beträgt nach der gebräuchlichen Abschätzung für laminare Rohrströmungen <math>L_e \approx 0{,}06\, Re_0\, D_0 \approx 0{,}06 \cdot 386 \cdot 6\ \mathrm{mm} \approx 139\ \mathrm{mm}</math>.<ref name="durst">Durst, F.; Ray, S.; Ünsal, B.; Bayoumi, O. A.: ''The development lengths of laminar pipe and channel flows.'' Journal of Fluids Engineering 127 (2005), Nr. 6, S. 1154-1160. Für große Reynoldszahlen nähert sich die dort angegebene Korrelation dem Wert 0,057·Re·D.</ref> Das ist fast die gesamte Länge des Rechengebiets. Ein konstantes Einlassprofil würde die Strömung an der Stenose also verfälschen, weshalb am Einlass das voll entwickelte Profil vorgegeben wird. Damit liegen alle globalen Parameter fest. Die folgende Tabelle enthält sie mit genau den Namen, unter denen sie in COMSOL und in den Octave-Skripten verwendet werden. {| class="wikitable" |+ Globale Parameter des Modells ! Name !! Ausdruck in COMSOL !! Wert !! Bedeutung !! Herkunft |- | R0 || 3[mm] || 3 mm || Gefäßradius || Messwerte nach Krejza u. a. 2006, gerundet |- | D0 || 2*R0 || 6 mm || Gefäßdurchmesser || abgeleitet |- | Ls || 2*D0 || 12 mm || Länge der Störstelle || Standardgeometrie nach Varghese u. a. 2007 |- | Lu || 5*D0 || 30 mm || Vorlaufstrecke vor der Stenosemitte || Abstand der Einlassbedingung von der Stenose |- | Ld || 20*D0 || 120 mm || Nachlaufstrecke hinter der Stenosemitte || Platz für das Rückströmgebiet |- | Lf || Ls/2+10*D0 || 66 mm || Ende des fein vernetzten Nachlaufs || erwartete Länge des Rückströmgebiets |- | s || 0 bis 0.8 || 0 bis 0,8 || Stenosegrad bezogen auf den Durchmesser || NASCET-Einteilung |- | rho_b || 1060[kg/m^3] || 1060 kg/m³ || Dichte des Blutes || Mischungsregel, Literaturwert |- | mu_b || 3.5[mPa*s] || 3,5 mPa·s || dynamische Viskosität des Blutes || Hochscherwert, Quarteroni und Formaggia 2004 |- | Q0 || 6[ml/s] || 6 ml/s || mittlerer Volumenstrom || Messwerte nach Holdsworth u. a. 1999 |- | U0 || Q0/(pi*R0^2) || 0,2122 m/s || mittlere Einströmgeschwindigkeit || abgeleitet |- | Re0 || rho_b*U0*D0/mu_b || 385,6 || Reynoldszahl des gesunden Gefäßes || abgeleitet |- | dp_ref || 8*mu_b*U0*(Lu+Ld)/R0^2 || 99,03 Pa || Poiseuille-Druckabfall des gesunden Gefäßes || abgeleitet, Hagen-Poiseuille |} = Implementierung des 2D-Modells in COMSOL Multiphysics = == Zielsetzung des zweidimensionalen Modells == Im Rahmen des Projekts wurde mit COMSOL Multiphysics ein zweidimensionales Modell der menschlichen Halsschlagader erstellt. Ziel ist es, die Blutströmung innerhalb einer Gefäßverzweigung zu untersuchen und insbesondere die Auswirkungen einer lokalen Gefäßverengung (Stenose) auf das Strömungsverhalten zu analysieren. Das Modell bildet die Aufzweigung der Arteria carotis communis (ACC) in die Arteria carotis interna (ACI) und die Arteria carotis externa (ACE) ab. Während die ACE als gesunder Gefäßabschnitt betrachtet wird, befindet sich in der ACI eine lokale Verengung. Dadurch können die Strömungsverhältnisse in beiden Ästen miteinander verglichen werden. Die zweidimensionale Modellierung dient dazu, die Geschwindigkeitsverteilung, den Druckabfall und die Wandschubspannung zu untersuchen. Zusätzlich soll festgestellt werden, ob sich hinter der Stenose Bereiche mit Strömungsablösungen oder Rückströmungen ausbilden. ==Vorgehen== == Ergebnisse der 2D-Strömungssimulation == === Geschwindigkeitsverteilung und Stromlinien === Zur Untersuchung der Blutströmung innerhalb der ''Carotis-Bifurkation'' wurde in COMSOL eine zweidimensionale Geschwindigkeitsdarstellung erstellt. Hierfür wird der Geschwindigkeitsbetrag ''spf.U'' verwendet. Zusätzlich wurden Stromlinien eingerichtet, um den Verlauf der Strömung innerhalb der Gefäßverzweigung zu veranschaulichen. Die Darstellung des Geschwindigkeitsbetrags erfolgt mithilfe einer Farbskala. Dadurch lassen sich Bereiche unterschiedlicher Strömungsgeschwindigkeiten voneinander unterscheiden. Die Stromlinien verdeutlichen zusätzlich, wie das Blut vom gemeinsamen Zuflussgefäß in die beiden Gefäßäste umgelenkt wird. Von besonderem Interesse ist der Bereich der Stenose. Durch die Verringerung des verfügbaren Strömungsquerschnitts ist dort bei entsprechendem Durchfluss eine Beschleunigung des Blutes zu erwarten. Hinter der Engstelle erweitert sich der Querschnitt wieder, wodurch sich das Strömungsprofil erneut verändern kann. Mithilfe der Stromlinien lässt sich außerdem untersuchen, ob die Strömung nach der Verengung weiterhin gleichmäßig verläuft oder ob sich lokale Ablösungen und Rückströmungsgebiete ausbilden. FEHLEND: BILD UND BESCHREIBUNG DAZU === Druckverteilung === Neben der Geschwindigkeitsverteilung wurde in COMSOL eine Darstellung der Druckverteilung angelegt. Diese erfolgt über Isolinien des Drucks p. Isolinien verbinden Punkte, an denen derselbe Druck herrscht. Die Druckverteilung ist insbesondere im Bereich der Gefäßverzweigung und der Stenose von Bedeutung. Beim Durchströmen der Verengung verändert sich die Geschwindigkeit des Blutes, wodurch auch der lokale statische Druck beeinflusst wird. Zusätzlich entstehen aufgrund der Viskosität des Blutes und der geometrischen Veränderungen Druckverluste. Diese sind für die Beurteilung des Strömungswiderstands relevant. Mit der Druckdarstellung kann untersucht werden, wie sich der Druck entlang des Gefäßes verändert und welche Unterschiede zwischen dem gemeinsamen Zufluss und den beiden Auslaufästen auftreten. = Grenzen des Modells = * Die untersuchte Gefäßgeometrie ist eine idealisierte Darstellung der Karotisaufzweigung. Individuelle anatomische Unterschiede werden nicht berücksichtigt. * Darüber hinaus werden die Gefäßwände als starr angenommen und Blut wird durch ein inkompressibles Newtonsches Fluid mit konstanter Viskosität beschrieben. * Die Strömung wird stationär berechnet. Die natürliche Pulsation des Blutflusses und zeitabhängige Effekte bleiben damit unberücksichtigt. * Insbesondere bei hochgradigen Stenosen können zeitabhängige Strömungsablösungen auftreten, die durch eine stationäre Modellierung nicht vollständig beschrieben werden. * Das Graphenmodell kann lokale Strömungsphänomene nicht detailliert erfassen. Das ebene Flächenmodell vereinfacht die räumliche Gefäßgeometrie. Auch das dreidimensionale Modell bleibt aufgrund der idealisierten Geometrie und der vereinfachten Materialannahmen eine Annäherung an die reale Blutströmung. * Die Ergebnisse sind daher als strömungsmechanische Untersuchung eines idealisierten Modells zu interpretieren und nicht als patientenspezifische medizinische Vorhersage. AB HIER ALT== Modellhierarchie == Für die Untersuchung werden vier Modellvarianten betrachtet, die sich hinsichtlich ihrer mathematischen Beschreibung, ihrer räumlichen Dimension und ihres Rechenaufwands unterscheiden. Die Modelle sind bewusst von einer vereinfachten analytischen Beschreibung bis zu einer dreidimensionalen numerischen Simulation angeordnet. Diese Vorgehensweise ermöglicht es, die Ergebnisse der komplexeren Modelle anhand grundlegender physikalischer Zusammenhänge und geeigneter Referenzfälle zu überprüfen. Dabei ist zu beachten, dass nicht jede Modellvariante dieselben Strömungseigenschaften vollständig abbilden kann. {| class="wikitable" style="width:100%;" |+ '''Die vier Modellvarianten des Projekts''' |- ! Modell ! Raumdimension ! Mathematische Grundlage ! Zweck ! Werkzeug |- | '''Graphenmodell''' | 1D, Beschreibung entlang der Gefäßachse | Hagen-Poiseuille-Gesetz für vereinfachte Rohrabschnitte und Massenerhaltung an Verzweigungsknoten | Analytische Abschätzung von Volumenströmen und Druckverlusten; Referenz für die numerischen Modelle | COMSOL mit geeigneter eindimensionaler Formulierung |- | '''Achsensymmetrisches Flächenmodell''' | 2D, rotationssymmetrischer Längsschnitt in den Koordinaten <math>r</math> und <math>z</math> | Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen in achsensymmetrischer Form | Detaillierte Untersuchung von Geschwindigkeits- und Druckfeldern sowie der Wandschubspannung in einem idealisierten rotationssymmetrischen Gefäß | COMSOL Multiphysics, Laminar Flow |- | '''Ebenes Flächenmodell''' | 2D, ebene Geometrie in den Koordinaten <math>x</math> und <math>y</math> | Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen in kartesischen Koordinaten | Untersuchung der Strömung in einer vereinfachten ebenen Geometrie und Vergleich mit dem achsensymmetrischen Modell | COMSOL Multiphysics, Laminar Flow |- | '''Volumenmodell''' | 3D, räumliche Gefäßgeometrie | Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen in drei Raumdimensionen | Räumliche Darstellung der Strömung und Überprüfung der Ergebnisse des achsensymmetrischen Modells bei vergleichbarer Geometrie | COMSOL Multiphysics, Laminar Flow |} == Stoff- und Strömungsparameter == Die Stoffwerte des Blutes und der Volumenstrom sind die einzigen Eingangsgrößen, die nicht aus der Geometrie folgen. Aus ihnen werden alle weiteren Strömungskennwerte berechnet. Die folgenden Schritte zeigen jede Rechnung einzeln, damit sich jeder Wert nachprüfen lässt. # Die '''Dichte''' wird mit <math>\rho = 1060\ \mathrm{kg/m^3}</math> angesetzt. Der Wert lässt sich als Mischungsregel plausibel machen. Plasma hat eine Dichte von etwa 1025 kg/m³, rote Blutkörperchen von etwa 1100 kg/m³. Bei einem Zellanteil von 45 % ergibt sich <math>0{,}55 \cdot 1025 + 0{,}45 \cdot 1100 \approx 1059\ \mathrm{kg/m^3}</math>. Die Dichte geht nur über die Reynoldszahl in die Rechnung ein, eine Abweichung von einem Prozent ändert die Ergebnisse daher kaum. <!-- FIXME Lehrbuchquelle fuer Plasma- und Erythrozytendichte ergaenzen --> # Die '''dynamische Viskosität''' wird mit <math>\mu = 3{,}5\ \mathrm{mPa\,s}</math> angesetzt. Das ist der Grenzwert der Blutviskosität bei hohen Scherraten, also genau der Wert, der zur Newtonschen Näherung gehört. Derselbe Wert von 0,035 Poise wird auch im Standardwerk zur Modellierung des Herz-Kreislauf-Systems verwendet.<ref name="quarteroni">Quarteroni, A.; Formaggia, L.: ''Mathematical Modelling and Numerical Simulation of the Cardiovascular System.'' In: Ayache, N. (Hrsg.): ''Computational Models for the Human Body.'' Handbook of Numerical Analysis, Bd. XII, Elsevier, Amsterdam 2004, S. 3-127. DOI 10.1016/S1570-8659(03)12001-7. Zur Newtonschen Näherung in großen Gefäßen siehe S. 30, zur Viskosität von 0,035 Poise die Parametertabelle auf S. 116.</ref> # Der '''mittlere Volumenstrom''' wird mit <math>Q_0 = 6\ \mathrm{ml/s}</math> angesetzt. Das ist der zeitlich gemittelte Volumenstrom, der in der gemeinsamen Halsschlagader gesunder Probanden gemessen wurde.<ref name="holdsworth" /> # Die '''mittlere Geschwindigkeit''' folgt aus Volumenstrom und Querschnittsfläche, <math>U_0 = \frac{Q_0}{\pi R_0^2} = \frac{6 \cdot 10^{-6}\ \mathrm{m^3/s}}{\pi \cdot (0{,}003\ \mathrm{m})^2} = 0{,}2122\ \mathrm{m/s}</math>. # Die '''Reynoldszahl''' des gesunden Gefäßes ist <math>Re_0 = \frac{\rho\, U_0\, D_0}{\mu} = \frac{1060 \cdot 0{,}2122 \cdot 0{,}006}{0{,}0035} = 385{,}6</math>. Sie wird im Folgenden auf 386 gerundet. # Die '''Einlauflänge''', die eine anfangs gleichförmige Strömung bis zum voll entwickelten Parabelprofil bräuchte, beträgt nach der gebräuchlichen Abschätzung für laminare Rohrströmungen <math>L_e \approx 0{,}06\, Re_0\, D_0 \approx 0{,}06 \cdot 386 \cdot 6\ \mathrm{mm} \approx 139\ \mathrm{mm}</math>.<ref name="durst">Durst, F.; Ray, S.; Ünsal, B.; Bayoumi, O. A.: ''The development lengths of laminar pipe and channel flows.'' Journal of Fluids Engineering 127 (2005), Nr. 6, S. 1154-1160. Für große Reynoldszahlen nähert sich die dort angegebene Korrelation dem Wert 0,057·Re·D.</ref> Das ist fast die gesamte Länge des Rechengebiets. Ein konstantes Einlassprofil würde die Strömung an der Stenose also verfälschen, weshalb am Einlass das voll entwickelte Profil vorgegeben wird. Damit liegen alle globalen Parameter fest. Die folgende Tabelle enthält sie mit genau den Namen, unter denen sie in COMSOL und in den Octave-Skripten verwendet werden. {| class="wikitable" |+ Globale Parameter des Modells ! Name !! Ausdruck in COMSOL !! Wert !! Bedeutung !! Herkunft |- | R0 || 3[mm] || 3 mm || Gefäßradius || Messwerte nach Krejza u. a. 2006, gerundet |- | D0 || 2*R0 || 6 mm || Gefäßdurchmesser || abgeleitet |- | Ls || 2*D0 || 12 mm || Länge der Störstelle || Standardgeometrie nach Varghese u. a. 2007 |- | Lu || 5*D0 || 30 mm || Vorlaufstrecke vor der Stenosemitte || Abstand der Einlassbedingung von der Stenose |- | Ld || 20*D0 || 120 mm || Nachlaufstrecke hinter der Stenosemitte || Platz für das Rückströmgebiet |- | Lf || Ls/2+10*D0 || 66 mm || Ende des fein vernetzten Nachlaufs || erwartete Länge des Rückströmgebiets |- | s || 0 bis 0.8 || 0 bis 0,8 || Stenosegrad bezogen auf den Durchmesser || NASCET-Einteilung |- | rho_b || 1060[kg/m^3] || 1060 kg/m³ || Dichte des Blutes || Mischungsregel, Literaturwert |- | mu_b || 3.5[mPa*s] || 3,5 mPa·s || dynamische Viskosität des Blutes || Hochscherwert, Quarteroni und Formaggia 2004 |- | Q0 || 6[ml/s] || 6 ml/s || mittlerer Volumenstrom || Messwerte nach Holdsworth u. a. 1999 |- | U0 || Q0/(pi*R0^2) || 0,2122 m/s || mittlere Einströmgeschwindigkeit || abgeleitet |- | Re0 || rho_b*U0*D0/mu_b || 385,6 || Reynoldszahl des gesunden Gefäßes || abgeleitet |- | dp_ref || 8*mu_b*U0*(Lu+Ld)/R0^2 || 99,03 Pa || Poiseuille-Druckabfall des gesunden Gefäßes || abgeleitet, Hagen-Poiseuille |} === Vergleich und Überprüfung der Modellvarianten === Die Modellhierarchie folgt dem Prinzip, dass zunächst vereinfachte Zusammenhänge untersucht und anschließend mit detaillierteren numerischen Modellen verglichen werden. Das '''Graphenmodell''' bildet die einfachste Modellvariante. Es verwendet das Hagen-Poiseuille-Gesetz zur Abschätzung des Druckverlustes in geraden Rohrabschnitten mit konstantem Durchmesser. Für den unverengten Referenzfall kann damit eine analytische Vergleichsgröße bestimmt werden. Im Bereich einer Stenose ist die Anwendung jedoch nur als vereinfachte Näherung geeignet, da dort zusätzliche Strömungseffekte auftreten können. Das '''achsensymmetrische Flächenmodell''' ermöglicht eine detailliertere Untersuchung des Geschwindigkeits- und Druckfeldes innerhalb einer idealisierten rotationssymmetrischen Gefäßverengung. Im unverengten Referenzfall können die numerischen Ergebnisse mit der analytischen Poiseuille-Lösung verglichen werden. Bei zunehmendem Stenosegrad werden insbesondere die Beschleunigung im Bereich der Engstelle, der Druckverlust und die Wandschubspannung betrachtet. Das '''ebene Flächenmodell''' beschreibt die Strömung in einer zweidimensionalen kartesischen Geometrie. Im Unterschied zum achsensymmetrischen Modell wird dabei keine Rotationssymmetrie vorausgesetzt. Da sich die geometrische Beschreibung des Strömungsquerschnitts unterscheidet, sind die Ergebnisse nicht ohne Weiteres quantitativ gleichzusetzen. Der Vergleich dient insbesondere dazu, den Einfluss der Modellvereinfachung auf die berechneten Strömungsgrößen zu untersuchen. Das '''Volumenmodell''' erweitert die Untersuchung auf drei Raumdimensionen. Bei einer rotationssymmetrischen Geometrie und entsprechend übereinstimmenden Randbedingungen wird eine weitgehende Übereinstimmung mit dem achsensymmetrischen Modell erwartet. Diese Übereinstimmung muss jedoch anhand der numerischen Ergebnisse überprüft werden. Bei einer Gefäßaufzweigung oder einer asymmetrischen Stenose können zusätzliche räumliche Strömungseffekte auftreten, die durch ein achsensymmetrisches Modell nicht vollständig beschrieben werden. === Referenzfall und Vergleichsgrößen === Als Ausgangspunkt dient ein unverengtes Gefäß mit dem Referenzdurchmesser <math>D_0=6\,\mathrm{mm}</math>. Für das Blut werden eine Dichte von <math>\rho_b=1060\,\mathrm{kg/m^3}</math> und eine dynamische Viskosität von <math>\mu_b=3{,}5\,\mathrm{mPa\,s}</math> angenommen. Der vorgegebene mittlere Volumenstrom beträgt <math>Q_0=6\,\mathrm{ml/s}</math>. Daraus ergibt sich für den unverengten kreisförmigen Querschnitt eine mittlere Strömungsgeschwindigkeit von ungefähr <math>U_0=0{,}2122\,\mathrm{m/s}</math>. Die Referenz-Reynolds-Zahl beträgt <math>\mathrm{Re}_0=385{,}6</math>. Für den in den Referenzdaten definierten Vergleichsfall ist außerdem ein analytischer Druckverlust von <math>\Delta p_{\mathrm{ref}}=99{,}03\,\mathrm{Pa}</math> angegeben. Diese Größen dienen als Ausgangspunkt für die Überprüfung der numerischen Modelle. Ein direkter Vergleich ist jedoch nur zulässig, wenn die jeweils verwendete Geometrie, die Auswertelänge und die Randbedingungen übereinstimmen. === Grenzen der Modellhierarchie === Die vier Modellvarianten unterscheiden sich nicht nur im Rechenaufwand, sondern auch in den physikalischen Effekten, die sie darstellen können. Insbesondere bei hochgradigen Stenosen können starke lokale Geschwindigkeitsänderungen, Strömungsablösungen und zeitabhängige Strömungsstrukturen auftreten. Deshalb muss überprüft werden, ob die Annahme einer stationären laminaren Strömung für die betrachteten Fälle ausreichend ist. Außerdem muss zwischen dem idealisierten geraden Gefäßmodell und einer Gefäßaufzweigung unterschieden werden. Das achsensymmetrische Modell eignet sich für eine rotationssymmetrische Stenose in einem geraden Gefäß, während eine realistische Gefäßaufzweigung eine andere geometrische Beschreibung erfordert. Die Modellvarianten werden daher nicht als vollständig gleichwertig betrachtet. Vielmehr soll der Vergleich zeigen, welche Aussagen bereits durch vereinfachte Modelle möglich sind und für welche Strömungseigenschaften eine detailliertere numerische Beschreibung erforderlich ist. = Modellierung = Modellierung bedeutet hier, die reale Situation in eine mathematische Aufgabe zu übersetzen, die sich lösen lässt. Dazu gehören vier Bausteine, nämlich das Rechengebiet, die Gleichungen, die Zahlenwerte der Parameter und die Bedingungen an den Rändern. Jeder dieser Bausteine beruht auf Annahmen, und jede Annahme muss begründet werden. Dieser Abschnitt geht die Bausteine deshalb der Reihe nach durch und nennt bei jedem Zahlenwert, woher er stammt und warum er sinnvoll ist. == Modellhierarchie == Das Projekt rechnet nicht ein einziges Modell, sondern vier aufeinander aufbauende Modellvarianten. Sie entsprechen der Kursanforderung, eine Strömung als Graph, in zwei und in drei Raumdimensionen darzustellen, und sie sind bewusst von einfach nach aufwendig geordnet. {| class="wikitable" |+ Die vier Modellvarianten des Projekts ! Modell !! Raumdimension !! gelöste Gleichung !! Zweck !! Werkzeug |- | Graphenmodell || 1D, Gefäßachse || Hagen-Poiseuille je Rohrstück und Massenerhaltung in jedem Knoten || schnelle, analytisch nachrechenbare Abschätzung für jeden Stenosegrad || Octave und COMSOL (Koeffizientenform-PDGL) |- | achsensymmetrisches Flächenmodell || 2D, Halbschnitt in r und z || vollständige stationäre Navier-Stokes-Gleichungen in Zylinderkoordinaten || Hauptmodell, liefert alle Feldgrößen des rotationssymmetrischen Rohres || COMSOL, Laminare Strömung |- | ebenes Flächenmodell || 2D, Halbschnitt in x und y || vollständige stationäre Navier-Stokes-Gleichungen in kartesischen Koordinaten || Vergleich, zeigt den Einfluss der zweiten Querschnittsrichtung || COMSOL, Laminare Strömung |- | Volumenmodell || 3D || vollständige stationäre Navier-Stokes-Gleichungen || Kontrolle des Hauptmodells und räumliche Darstellung || COMSOL, Laminare Strömung |} Die Reihenfolge folgt einem einfachen Prinzip. Jede Stufe liefert die Sollwerte, an denen die nächste, komplexere Stufe geprüft wird. Das Graphenmodell muss im gesunden Fall exakt die Poiseuille-Lösung ergeben. Das achsensymmetrische Modell muss im gesunden Fall dieselben Werte liefern und bei Stenose für Geschwindigkeit und Wandschubspannung in der Nähe des Graphenmodells liegen. Das Volumenmodell muss, weil die Geometrie rotationssymmetrisch ist, mit dem achsensymmetrischen Modell übereinstimmen. == Modellannahmen == Um den Einfluss des Stenosegrades möglichst isoliert zu untersuchen, werden die folgenden Modellannahmen getroffen. Die Tabelle nennt zu jeder Annahme ihre mathematische Form, die Begründung und die Stelle, an der sie im Projekt überprüft wird. {| class="wikitable" |+ Modellannahmen, ihre Begründung und ihre Überprüfung ! Annahme !! mathematische Form !! Begründung !! Überprüfung |- | Idealisierte Gefäßgeometrie || gerades Rohr mit kosinusförmiger, rotationssymmetrischer Verengung || isoliert die Wirkung des Stenosegrades von Krümmung, Verzweigung und Plaqueform || Diskussion in den Schlussfolgerungen |- | Starre Gefäßwand || Wand ortsfest, keine Fluid-Struktur-Kopplung || im stationären Fall gibt es keine Druckschwankung, die die Wand periodisch aufweiten könnte || Abschätzung über die gemessene Durchmesseränderung im Herzzyklus |- | Stationäre Strömung || <math>\partial \mathbf{u}/\partial t = \mathbf{0}</math> || der Einfluss des Stenosegrades soll ohne Überlagerung durch die Pulsation sichtbar werden || Abschätzung über die Womersley-Zahl |- | Inkompressibles Fluid || <math>\rho = \mathrm{const}</math>, damit <math>\nabla\cdot\mathbf{u} = 0</math> || Blut ist eine Flüssigkeit, Druckänderungen von wenigen hundert Pascal ändern die Dichte nicht messbar || Massenerhaltung in fünf Querschnitten |- | Newtonsche Näherung || konstante Viskosität <math>\mu</math> || die Scherraten an der Wand und im größten Teil des Querschnitts liegen über dem Bereich, in dem Blut deutlich scherverdünnend wirkt || Scherrate an der Wand, Diskussion des Rückströmgebiets |- | Konstante Stoffeigenschaften || <math>\rho</math> und <math>\mu</math> räumlich und zeitlich konstant || Körpertemperatur ist im betrachteten Abschnitt konstant || entfällt |- | Laminare Strömung || kein Turbulenzmodell, Schnittstelle Laminare Strömung || Reynoldszahl des gesunden Gefäßes von 386 liegt weit unter dem Umschlagbereich || Reynoldszahl in der Engstelle, Literaturvergleich |- | Haftbedingung an der Wand || <math>\mathbf{u} = \mathbf{0}</math> auf der Wand || Folge der Viskosität, das Fluid haftet an der Wand || Grundlage jeder Wandschubspannung |- | Vernachlässigung der Gravitation || keine Volumenkraft || bei konstanter Dichte lässt sich die Schwerkraft vollständig in einen hydrostatischen Druckanteil verschieben und beeinflusst die Geschwindigkeit nicht || Begründung in den Mathematischen Hintergründen |- | Voll entwickelte Einströmung || parabolisches Profil am Einlass || die natürliche Einlaufstrecke wäre mit rund 139 mm fast so lang wie das ganze Rechengebiet || Scheitelgeschwindigkeit im gesunden Fall |- | Eingeprägter Volumenstrom || <math>Q = Q_0</math> am Einlass || der Strömungswiderstand des Abschnitts ist klein gegenüber dem des nachgeschalteten Gefäßbetts || Abschätzung mit einem Reihenwiderstand |} Einige dieser Annahmen sind unmittelbar einsichtig, andere verdienen eine genauere Begründung, weil von ihnen die Aussagekraft der Ergebnisse abhängt. Die '''Newtonsche Näherung''' ist die Annahme, die bei Blut am häufigsten hinterfragt wird. Reales Blut ist eine Suspension aus Plasma und Blutzellen und verhält sich scherverdünnend. Bei kleinen Scherraten lagern sich die roten Blutkörperchen zu geldrollenartigen Stapeln zusammen, und die Viskosität steigt auf ein Vielfaches an. Bei großen Scherraten lösen sich diese Stapel auf, und die Viskosität strebt gegen einen Grenzwert von etwa 3,5 mPa·s. Entscheidend ist also die Scherrate. An der Wand des gesunden Modellgefäßes beträgt sie nach der Poiseuille-Lösung <math>\dot\gamma_w = \frac{4\,U_0}{R_0} = \frac{4 \cdot 0{,}2122\ \mathrm{m/s}}{0{,}003\ \mathrm{m}} \approx 283\ \mathrm{s^{-1}}</math> und liegt damit oberhalb von etwa 100 pro Sekunde, wo sich Newtonsches und nicht Newtonsches Modell nach der Literatur nur noch wenig unterscheiden.<ref name="boyd">Die Grenze von etwa 100 s^-1 wird in vergleichenden Studien zur Blutrheologie verwendet, etwa bei Bernabeu, M. O. u. a.: ''Impact of blood rheology on wall shear stress in a model of the middle cerebral artery.'' Interface Focus 3 (2013), 20120094. <!-- FIXME Zitat und Seitenangabe am Original pruefen --></ref> In der Engstelle steigt die Scherrate weiter an, beim Stenosegrad 0,5 auf rund 2260 pro Sekunde. Schwach ist die Näherung dort, wo die Scherrate klein wird, also in der Mitte des Gefäßes und vor allem im Rückströmgebiet hinter der Stenose. Dort ist reales Blut zäher als angenommen. Dieser Punkt wird in den Schlussfolgerungen wieder aufgegriffen. Die '''stationäre Strömung''' ist die stärkste Vereinfachung. Wie wichtig die Pulsation ist, misst die Womersley-Zahl, die das Verhältnis von instationärer Trägheit zu Reibung angibt. Mit einer Herzfrequenz von 60 Schlägen je Minute, also einer Kreisfrequenz <math>\omega = 2\pi\ \mathrm{s^{-1}}</math>, ergibt sich <math>\alpha = R_0 \sqrt{\frac{\omega \rho}{\mu}} = 0{,}003\ \mathrm{m} \cdot \sqrt{\frac{2\pi\ \mathrm{s^{-1}} \cdot 1060\ \mathrm{kg/m^3}}{0{,}0035\ \mathrm{Pa\,s}}} \approx 4{,}1 .</math> Ein Wert in dieser Größenordnung bedeutet, dass das reale Geschwindigkeitsprofil im Herzzyklus merklich von der Parabel abweicht.<ref name="womersley">Womersley, J. R.: ''Method for the calculation of velocity, rate of flow and viscous drag in arteries when the pressure gradient is known.'' Journal of Physiology 127 (1955), S. 553-563.</ref> Hinzu kommt, dass der Volumenstrom in der Systole kurzzeitig auf rund das Vierfache des Mittelwerts steigt.<ref name="holdsworth">Holdsworth, D. W.; Norley, C. J. D.; Frayne, R.; Steinman, D. A.; Rutt, B. K.: ''Characterization of common carotid artery blood-flow waveforms in normal human subjects.'' Physiological Measurement 20 (1999), Nr. 3, S. 219-240. DOI 10.1088/0967-3334/20/3/301. Angegeben werden ein mittlerer Volumenstrom von 6,0 ± 1,4 ml/s und ein systolischer Spitzenwert von 23,5 ± 3,8 ml/s. <!-- FIXME Zahlenwerte und Probandenzahl am Original pruefen --></ref> Die stationäre Rechnung mit dem Mittelwert beschreibt deshalb nicht den zeitlichen Verlauf, wohl aber den zeitlich gemittelten Zustand, an dem sich der Einfluss des Stenosegrades sauber vergleichen lässt. Die '''laminare Strömung''' wird über die Reynoldszahl begründet. Sie beträgt im gesunden Gefäß 386 und liegt damit weit unter dem Wert von etwa 2300, ab dem die Strömung in einem geraden Rohr in den Übergangsbereich gelangen kann. In der Engstelle steigt sie bei festem Volumenstrom auf <math>Re_0/(1-s)</math>, also auf 551 beim Stenosegrad 0,3, auf 964 beim Grad 0,6 und auf 1928 beim Grad 0,8. Für den Strahl hinter einer Engstelle ist der Umschlagbereich allerdings deutlich niedriger als im geraden Rohr. Direkte numerische Simulationen an genau der in diesem Projekt verwendeten Stenosegeometrie zeigen, dass die Strömung bei einer Einström-Reynoldszahl von 500 auch bei leichter Unsymmetrie laminar bleibt, bei 1000 dagegen schon eine Exzentrizität von fünf Prozent des Durchmessers genügt, um den Strahl in lokal turbulente Strömung umschlagen zu lassen.<ref name="varghese">Varghese, S. S.; Frankel, S. H.; Fischer, P. F.: ''Direct numerical simulation of stenotic flows. Part 1. Steady flow.'' Journal of Fluid Mechanics 582 (2007), S. 253-280. Untersucht wird eine kosinusförmige Stenose der Länge 2D mit 75 % Flächenreduktion, die mit der Geometrie dieses Projekts beim Stenosegrad 0,5 übereinstimmt. <!-- FIXME Band und Seiten am Original pruefen --></ref> Mit einer Einström-Reynoldszahl von 386 liegt das Projekt für die leicht- und mittelgradigen Stenosen sicher im laminaren Bereich. Für die hochgradigen Stenosen ab 0,7 ist ein laminares, stationäres Modell dagegen nur noch eine Näherung, die eine Obergrenze der geordneten Strömung beschreibt. Diese Fälle werden deshalb als Grenzfall des Modells gekennzeichnet. Die '''starre Wand''' lässt sich über Messungen abschätzen. Der Durchmesser der gemeinsamen Halsschlagader ändert sich im Herzzyklus bei jungen Menschen um etwa 12 bis 14 Prozent und bei älteren Menschen um etwa 5 Prozent.<ref name="hansen">Hansen, F.; Mangell, P.; Sonesson, B.; Länne, T.: ''Diameter and compliance in the human common carotid artery: variations with age and sex.'' Ultrasound in Medicine and Biology 21 (1995), Nr. 1, S. 1-9. DOI 10.1016/0301-5629(94)00090-5.</ref> Diese Bewegung ist eine Folge der Pulsation. In einer stationären Rechnung gibt es keine Druckschwankung, die die Wand periodisch aufweiten könnte, sodass die starre Wand zur stationären Annahme konsistent ist. Eine verkalkte Plaque ist ohnehin deutlich steifer als die gesunde Wand. Die Annahme des '''eingeprägten Volumenstroms''' wird im Abschnitt zu den Randbedingungen begründet, weil sie sich nur im Zusammenhang mit dem Kreislauf beurteilen lässt. == Simulationsgebiet und Geometrie == Die Gefäßachse ist die z-Achse, der Ursprung liegt in der Mitte der Stenose, und <math>r</math> bezeichnet den Abstand von der Achse. Das Rechengebiet reicht von <math>z = -L_u</math> bis <math>z = L_d</math> und wird radial von der Wandkontur <math>R(z)</math> begrenzt. Die Verengung wird über eine einzige glatte Funktion beschrieben, <math>R(z) = R_0 \left[ 1 - \frac{s}{2}\left(1 + \cos\frac{2\pi z}{L_s}\right)\right] \quad \text{falls } |z| \le \frac{L_s}{2}, \qquad R(z) = R_0 \ \text{sonst.}</math> Die Funktion hat drei Eigenschaften, die ihre Wahl begründen. Sie wird erstens über einen einzigen Parameter gesteuert, den Stenosegrad <math>s</math>. Der engste Radius in der Mitte beträgt <math>R(0) = R_0(1-s)</math>, und der Fall ohne Verengung ist einfach der Fall <math>s = 0</math>. Die gesamte Vergleichsreihe entsteht damit aus einem einzigen parametrischen Sweep. Sie geht zweitens an beiden Enden der Störstelle ohne Knick in das gerade Rohr über. Bei <math>z = \pm L_s/2</math> ist der Kosinus gleich minus eins, die Klammer also null, und seine Ableitung verschwindet dort ebenfalls. Das ist nicht nur ästhetisch, sondern numerisch notwendig, denn ein Knick in der Wand erzeugt eine Singularität der Wandschubspannung, deren berechneter Wert mit jeder Netzverfeinerung weiter wüchse. Eine Netzstudie wäre dann sinnlos. Sie ist drittens die in der Literatur gebräuchliche Standardgeometrie für Stenosen, sodass sich die Ergebnisse unmittelbar mit veröffentlichten Rechnungen vergleichen lassen.<ref name="varghese" /> [[Datei:Stenose Gruppe5 Wandkontur.svg|mini|zentriert|800px|Wandkontur <math>R(z)</math> für die untersuchten Stenosegrade. Die Darstellung ist in radialer Richtung gestreckt, das Rechengebiet ist in Wirklichkeit fünfundzwanzigmal länger als breit.]] <!-- FIXME Abbildung mit abbildungen_graph_1d.m fuer s = 0 bis 0,8 neu erzeugen, bisher nur bis 0,5 --> Die Abmessungen des Rechengebiets werden alle aus dem Gefäßradius abgeleitet. Das hat den Vorteil, dass sich das gesamte Modell durch Ändern eines einzigen Wertes auf ein anderes Gefäß übertragen lässt. Die einzelnen Längen werden im Folgenden Schritt für Schritt begründet. # Der '''Gefäßradius''' <math>R_0 = 3\ \mathrm{mm}</math> folgt aus Ultraschallmessungen an gesunden Erwachsenen. Dort wurden für die gemeinsame Halsschlagader mittlere Durchmesser von 6,10 ± 0,80 mm bei Frauen und 6,52 ± 0,98 mm bei Männern gemessen.<ref name="krejza">Krejza, J.; Arkuszewski, M.; Kasner, S. E.; Weigele, J.; Ustymowicz, A.; Hurst, R. W.; Cucchiara, B. L.; Messe, S. R.: ''Carotid artery diameter in men and women and the relation to body and neck size.'' Stroke 37 (2006), Nr. 4, S. 1103-1105. DOI 10.1161/01.STR.0000206440.48756.f7.</ref> Der gewählte Durchmesser von <math>D_0 = 6\ \mathrm{mm}</math> liegt damit innerhalb einer Standardabweichung beider Gruppen und ist bewusst auf einen runden Wert gesetzt, damit alle abgeleiteten Längen glatte Zahlen ergeben. # Die '''Länge der Störstelle''' <math>L_s = 2 D_0 = 12\ \mathrm{mm}</math> entspricht der Standardgeometrie aus der Literatur, die eine Stenosenlänge von zwei Durchmessern verwendet.<ref name="varghese" /> Damit ist beim Stenosegrad 0,5 ein direkter Vergleich mit veröffentlichten Ergebnissen möglich. # Die '''Vorlaufstrecke''' <math>L_u = 5 D_0 = 30\ \mathrm{mm}</math> trennt den Einlass von der Stenose. Da am Einlass bereits das voll entwickelte Profil vorgegeben wird, muss sie nicht die Einlaufstrecke abdecken, sondern nur verhindern, dass die Einströmrandbedingung die Strömung an der Engstelle beeinflusst. Bei Reynoldszahlen in dieser Größenordnung reicht der Einfluss einer Verengung nur wenige Durchmesser stromaufwärts, die Literatur kommt für dieselbe Geometrie mit drei Durchmessern Vorlauf aus.<ref name="varghese" /> Fünf Durchmesser lassen also eine Reserve. Überprüft wird das im Ergebnis, indem die Geschwindigkeit auf der Achse in der Mitte der Vorlaufstrecke mit dem Sollwert <math>2U_0</math> verglichen wird. # Die '''Nachlaufstrecke''' <math>L_d = 20 D_0 = 120\ \mathrm{mm}</math> ist deutlich länger, weil sich hinter der Engstelle ein Rückströmgebiet bildet, das nicht auf den Auslass treffen darf. Für die Geometrie mit dem Stenosegrad 0,5 legt die Strömung bei einer Einström-Reynoldszahl von 500 erst etwa zehn Durchmesser hinter der Engstelle wieder an, die Literatur rechnet mit sechzehn Durchmessern Nachlauf.<ref name="varghese" /> Zwanzig Durchmesser bieten damit für alle Stenosegrade bis 0,5 einen Sicherheitsabstand. Für die Grade ab 0,6 ist ein längeres Rückströmgebiet zu erwarten, dort wird die Lage des Wiederanlegepunktes ausdrücklich kontrolliert. # Das '''Ende des fein vernetzten Nachlaufs''' <math>L_f = L_s/2 + 10 D_0 = 66\ \mathrm{mm}</math> legt fest, bis wohin das Netz verfeinert wird. Der Wert ist so gewählt, dass das erwartete Rückströmgebiet von etwa zehn Durchmessern vollständig im feinen Bereich liegt. Damit hat das Rechengebiet eine Gesamtlänge von <math>L = L_u + L_d = 150\ \mathrm{mm}</math>, also das Fünfundzwanzigfache des Durchmessers. Es ist ein Modellgebiet und kein maßstäbliches Abbild eines bestimmten anatomischen Abschnitts. == Stoff- und Strömungsparameter == Die Stoffwerte des Blutes und der Volumenstrom sind die einzigen Eingangsgrößen, die nicht aus der Geometrie folgen. Aus ihnen werden alle weiteren Strömungskennwerte berechnet. Die folgenden Schritte zeigen jede Rechnung einzeln, damit sich jeder Wert nachprüfen lässt. # Die '''Dichte''' wird mit <math>\rho = 1060\ \mathrm{kg/m^3}</math> angesetzt. Der Wert lässt sich als Mischungsregel plausibel machen. Plasma hat eine Dichte von etwa 1025 kg/m³, rote Blutkörperchen von etwa 1100 kg/m³. Bei einem Zellanteil von 45 % ergibt sich <math>0{,}55 \cdot 1025 + 0{,}45 \cdot 1100 \approx 1059\ \mathrm{kg/m^3}</math>. Die Dichte geht nur über die Reynoldszahl in die Rechnung ein, eine Abweichung von einem Prozent ändert die Ergebnisse daher kaum. <!-- FIXME Lehrbuchquelle fuer Plasma- und Erythrozytendichte ergaenzen --> # Die '''dynamische Viskosität''' wird mit <math>\mu = 3{,}5\ \mathrm{mPa\,s}</math> angesetzt. Das ist der Grenzwert der Blutviskosität bei hohen Scherraten, also genau der Wert, der zur Newtonschen Näherung gehört. Derselbe Wert von 0,035 Poise wird auch im Standardwerk zur Modellierung des Herz-Kreislauf-Systems verwendet.<ref name="quarteroni">Quarteroni, A.; Formaggia, L.: ''Mathematical Modelling and Numerical Simulation of the Cardiovascular System.'' In: Ayache, N. (Hrsg.): ''Computational Models for the Human Body.'' Handbook of Numerical Analysis, Bd. XII, Elsevier, Amsterdam 2004, S. 3-127. DOI 10.1016/S1570-8659(03)12001-7. Zur Newtonschen Näherung in großen Gefäßen siehe S. 30, zur Viskosität von 0,035 Poise die Parametertabelle auf S. 116.</ref> # Der '''mittlere Volumenstrom''' wird mit <math>Q_0 = 6\ \mathrm{ml/s}</math> angesetzt. Das ist der zeitlich gemittelte Volumenstrom, der in der gemeinsamen Halsschlagader gesunder Probanden gemessen wurde.<ref name="holdsworth" /> # Die '''mittlere Geschwindigkeit''' folgt aus Volumenstrom und Querschnittsfläche, <math>U_0 = \frac{Q_0}{\pi R_0^2} = \frac{6 \cdot 10^{-6}\ \mathrm{m^3/s}}{\pi \cdot (0{,}003\ \mathrm{m})^2} = 0{,}2122\ \mathrm{m/s}</math>. # Die '''Reynoldszahl''' des gesunden Gefäßes ist <math>Re_0 = \frac{\rho\, U_0\, D_0}{\mu} = \frac{1060 \cdot 0{,}2122 \cdot 0{,}006}{0{,}0035} = 385{,}6</math>. Sie wird im Folgenden auf 386 gerundet. # Die '''Einlauflänge''', die eine anfangs gleichförmige Strömung bis zum voll entwickelten Parabelprofil bräuchte, beträgt nach der gebräuchlichen Abschätzung für laminare Rohrströmungen <math>L_e \approx 0{,}06\, Re_0\, D_0 \approx 0{,}06 \cdot 386 \cdot 6\ \mathrm{mm} \approx 139\ \mathrm{mm}</math>.<ref name="durst">Durst, F.; Ray, S.; Ünsal, B.; Bayoumi, O. A.: ''The development lengths of laminar pipe and channel flows.'' Journal of Fluids Engineering 127 (2005), Nr. 6, S. 1154-1160. Für große Reynoldszahlen nähert sich die dort angegebene Korrelation dem Wert 0,057·Re·D.</ref> Das ist fast die gesamte Länge des Rechengebiets. Ein konstantes Einlassprofil würde die Strömung an der Stenose also verfälschen, weshalb am Einlass das voll entwickelte Profil vorgegeben wird. Damit liegen alle globalen Parameter fest. Die folgende Tabelle enthält sie mit genau den Namen, unter denen sie in COMSOL und in den Octave-Skripten verwendet werden. {| class="wikitable" |+ Globale Parameter des Modells ! Name !! Ausdruck in COMSOL !! Wert !! Bedeutung !! Herkunft |- | R0 || 3[mm] || 3 mm || Gefäßradius || Messwerte nach Krejza u. a. 2006, gerundet |- | D0 || 2*R0 || 6 mm || Gefäßdurchmesser || abgeleitet |- | Ls || 2*D0 || 12 mm || Länge der Störstelle || Standardgeometrie nach Varghese u. a. 2007 |- | Lu || 5*D0 || 30 mm || Vorlaufstrecke vor der Stenosemitte || Abstand der Einlassbedingung von der Stenose |- | Ld || 20*D0 || 120 mm || Nachlaufstrecke hinter der Stenosemitte || Platz für das Rückströmgebiet |- | Lf || Ls/2+10*D0 || 66 mm || Ende des fein vernetzten Nachlaufs || erwartete Länge des Rückströmgebiets |- | s || 0 bis 0.8 || 0 bis 0,8 || Stenosegrad bezogen auf den Durchmesser || NASCET-Einteilung |- | rho_b || 1060[kg/m^3] || 1060 kg/m³ || Dichte des Blutes || Mischungsregel, Literaturwert |- | mu_b || 3.5[mPa*s] || 3,5 mPa·s || dynamische Viskosität des Blutes || Hochscherwert, Quarteroni und Formaggia 2004 |- | Q0 || 6[ml/s] || 6 ml/s || mittlerer Volumenstrom || Messwerte nach Holdsworth u. a. 1999 |- | U0 || Q0/(pi*R0^2) || 0,2122 m/s || mittlere Einströmgeschwindigkeit || abgeleitet |- | Re0 || rho_b*U0*D0/mu_b || 385,6 || Reynoldszahl des gesunden Gefäßes || abgeleitet |- | dp_ref || 8*mu_b*U0*(Lu+Ld)/R0^2 || 99,03 Pa || Poiseuille-Druckabfall des gesunden Gefäßes || abgeleitet, Hagen-Poiseuille |} = Literaturverzeichnis = Alle Quellen sind an den Stellen im Text angegeben, an denen die zugehörigen Werte oder Aussagen verwendet werden. Die Liste wird aus diesen Angaben automatisch erzeugt. <references /> cwxcot0jvh36zefsm9u8y2f1rms051s 1116368 1116349 2026-10-16T08:33:50Z Nicole.pander 39567 /* Vorgehen */ 1116368 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Joey Becker * Marie-Thérèse Heitele * Nicole Pander = Thema und Fragestellung = Gegenstand dieses Projekts ist die numerische Simulation der Blutströmung in einer verzweigten Halsschlagader ('''Carotis-Bifurkation''') unter dem Einfluss einer lokalen Gefäßverengung ('''Stenose'''). Im Vergleich zu einfachen Rohrströmungen wird hier die realitätsnahe Gefäßanatomie betrachtet: Die '''Arteria carotis communis (ACC)''' teilt sich in die '''Arteria carotis externa (ACE)''' und die '''Arteria carotis interna (ACI)''' auf. Während die '''ACE''' als gesunder, stenosefreier Ast dient, wird in der '''ACI''' eine geglättete, kosinusförmige Gefäßverengung modelliert. Um scharfe Kanten und unphysiologische Druckspitzen zu vermeiden, werden alle Wandübergänge und die Gabelungsspitze (Apex) anatomisch verrundet. Als Referenz dient ein gesundes, unverengtes Gefäß, in dem sich die Poiseuille-Strömung mit ihrem charakteristischen parabolischen Geschwindigkeitsprofil ausbildet. Diese Strömung ist aus zwei Gründen der natürliche Ausgangspunkt. Sie beschreibt den physiologischen Normalfall, mit dem jeder Stenosegrad verglichen wird, und sie ist exakt lösbar, sodass sich an ihr jede numerische Rechnung prüfen lässt, bevor die Verengung hinzukommt. == Fragestellung == Die Hauptfragestellung dieses Projektes lautet: Wie verändert eine symmetrische bzw. rotationssymmetrische Stenose in der '''Arteria carotis interna (ACI)''' die stationäre Strömung eines inkompressiblen Newton’schen Fluids in einer 2D-Carotis-Bifurkation hinsichtlich Geschwindigkeitsverteilung, Druckabfall, Wandschubspannung und Wirbelbildung im Vergleich zu den gesunden Gefäßabschnitten? Aus dieser Fragestellung ergeben sich drei Teilfragen, an denen sich der Aufbau der Seite orientiert: # Welche Strömungsgrößen reagieren empfindlich auf den Stenosegrad und welche nur träge? # Ab welchem Stenosegrad ändert sich das Strömungsmuster qualitativ, das heißt, ab wann löst die Strömung hinter der Engstelle von der Wand ab und bildet ein Rückströmgebiet? # Wie weit tragen die vereinfachenden Modellannahmen, insbesondere die Annahme einer stationären und laminaren Strömung, über den untersuchten Bereich der Stenosegrade? == Modellannahmen == Im Hinblick darauf werden für dieses Projekt einige Annahmen getroffen, um das Projekt möglichst isoliert zu untersuchen und zu simplifizieren: * '''Idealisierte Gefäßgeometrie''': Betrachtet wird ein Teilabbschnitt der ''Arteria carotis communis'', die sog. ''ACI''. Zudem werden Gefäßverkrümmungen, weitere Verzweigungen und patientenspezifische Strukturen nicht berücksichtigt. * '''Starre Gefäßwand''': Die Gefäßwand wird als unbeweglich und nicht verformbar angenommen. Eine Wechselwirkung zwischen elastischer Gefäßwand und Blutströmung wird nicht modelliert. * '''Stationäre Strömung''': Die Strömungsgrößen werden als zeitlich konstant angenommen. Die im realen Blutkreislauf vorhandene Pulsation durch den Herzschlag wird daher vernachlässigt: <math>\frac{\partial u}{\partial t}=0</math>. * '''Inkompressibles Fluid''': Die Dichte des Fluids wird als konstant angenommen. Damit gilt für die Geschwindigkeit <math>\nabla \cdot u=0</math>. Dies entspricht der in der Vorlesung behandelten Massenerhaltung für inkompressible Fluide: Was in das Gefäß einströmt, muss auch wieder ausströmen. * '''Newton'sche Näherung für Blut''': Reales Blut beseitzt ein nicht newton'sches Fließverhalten. Hier wird Blut als Newton'sches Fluid behandelt. * '''Konstante Stoffeigenschaften''': Dichte <math>\rho</math> und dynamische Viskosität μ werden als räumlich und zeitlich konstant angenommen. Temperaturabhängigkeiten werden nicht berücksichtigt. * '''Laminare Strömung''': Die Strömung wird mit dem COMSOL-Modul ''Laminar Flow'' beschrieben. Ein zusätzliches Turbulenzmodell wird nicht verwendet. * '''No-Slip-Bedingung an Gefäßwand''': Aufgrund der Viskosität wird angenommen, dass das Fluid direkt an der Gefäßwand haftet. Somit gilt <math>u=0</math>. * '''Vernachlässigung der Gravitation''': Gravitation wird nicht berücksichtigt. Die Strömung wird ausschließlich durch die gewählten Ein- und Auslassbedingungen bestimmt. = Relevanz = Die Untersuchung von Gefäßverengungen besitzt sowohl eine medizinische als auch eine methodische Bedeutung. Aus medizinischer Sicht sind arterielle Stenosen – etwa in der Halsschlagader, lat. ''arteria carotis communis'', – kritisch, da sie die Durchblutung beeinträchtigen und durch veränderte Wandschubspannungen sowie die Bildung von Wirbeln weitere Gefäßablagerungen begünstigen. Stenosen im Bereich der Karotisgabelung sind klinisch hochrelevant, da sie das Gehirn direkt versorgen und das Risiko für embolische Schlaganfälle erhöhen. Fachlich überträgt das Projekt damit die Prinzipien der Strömungsmechanik direkt auf eine biomedizinische Anwendung. Das Projekt verknüpft somit theoretische Grundlagen der Strömungsmechanik (Hagen-Poiseuille-Gleichung, Navier-Stokes-Gleichungen) mit der numerischen Simulation in COMSOL Multiphysics. Durch den Vergleich der '''gesunden Externa (ACE)''' mit der '''stenoisierten Interna (ACI)''' innerhalb desselben Rechengebiets wird die isolierte Wirkung der Stenose unter identischen Randbedingungen direkt sichtbar gemacht. == Medizinische Relevanz == Arterielle Stenosen entstehen überwiegend durch Atherosklerose, also durch Ablagerungen aus Lipiden, Bindegewebe und Kalk in der Gefäßwand. In der Halsschlagader sind sie klinisch besonders bedeutsam, weil sie die Durchblutung des Gehirns beeinträchtigen und weil sich an ihnen Thromben bilden können, die als Embolie einen Schlaganfall auslösen. Dass die operative Entfernung einer hochgradigen Karotisstenose das Schlaganfallrisiko symptomatischer Patienten deutlich senkt, hat die NASCET-Studie gezeigt, deren Einteilung der Stenosegrade dieses Projekt übernimmt.<ref name="nascet">North American Symptomatic Carotid Endarterectomy Trial Collaborators: ''Beneficial effect of carotid endarterectomy in symptomatic patients with high-grade carotid stenosis.'' New England Journal of Medicine 325 (1991), Nr. 7, S. 445-453.</ref> Strömungsmechanisch ist an einer Stenose vor allem die Wandschubspannung von Interesse, also die tangentiale Kraft je Fläche, die das strömende Blut auf die innerste Zellschicht der Gefäßwand ausübt. Gesunde Halsschlagadern weisen zeitlich gemittelte Werte von etwa 1,1 bis 1,5 Pa auf.<ref name="samijo">Samijo, S. K.; Willigers, J. M.; Barkhuysen, R.; Kitslaar, P. J. E. H. M.; Reneman, R. S.; Brands, P. J.; Hoeks, A. P. G.: ''Wall shear stress in the human common carotid artery as function of age and gender.'' Cardiovascular Research 39 (1998), Nr. 2, S. 515-522.</ref> In einer Engstelle steigt sie stark an, unmittelbar dahinter fällt sie im Ablösegebiet auf nahezu null und wechselt dort sogar das Vorzeichen. Niedrige und im Vorzeichen wechselnde Wandschubspannungen gelten als Bedingungen, unter denen sich weitere Ablagerungen bevorzugt bilden. Eine bestehende Stenose schafft also stromabwärts die Voraussetzungen für ihr eigenes Wachstum. Genau diese Verteilung lässt sich im Körper nur schwer messen, in einer Simulation dagegen unmittelbar auswerten. == Methodische Relevanz == Fachlich überträgt das Projekt die Prinzipien der Strömungsmechanik aus der Vorlesung auf eine biomedizinische Anwendung.<ref name="hundertmark">Hundertmark, A.: ''Fluiddynamik.'' Vorlesungsunterlagen zum Modul Räumliche Modellbildung, RPTU Kaiserslautern-Landau, Sommersemester 2026.</ref> Der methodische Mehrwert liegt in der Verknüpfung mehrerer Zugänge, die sich gegenseitig kontrollieren. Die analytische Poiseuille-Lösung liefert exakte Sollwerte für das gesunde Gefäß. Ein reduziertes Graphenmodell liefert für jeden Stenosegrad eine schnelle Abschätzung, die analytisch nachrechenbar ist. Die Simulationen in COMSOL Multiphysics lösen schließlich die vollständigen Navier-Stokes-Gleichungen in zwei und drei Raumdimensionen. Weil jede Stufe die Sollwerte der nächsten liefert, zeigt das Projekt nicht nur Ergebnisse, sondern auch, wie numerische Modelle aufgebaut, verifiziert und an ihren Grenzen bewertet werden. == Auswahl der Stenosegrade == Um die untersuchten Gefäßverengungen nicht willkürlich festzulegen, orientiert sich die Auswahl der Stenosegrade an der klinisch gebräuchlichen NASCET-Klassifikation von Karotisstenosen.<ref name="nascet" /> Zur klinischen Einordnung werden Karotisstenosen anhand der nach NASCET bestimmten Durchmesserreduktion in leichtgradige, mittelgradige und hochgradige Stenosen eingeteilt. Die angegebenen Prozentgrenzen dienen in diesem Projekt als Orientierung für die Auswahl der untersuchten Stenosegrade. Ein vollständiger Gefäßverschluss wird als Okklusion bezeichnet. {| class="wikitable" |+ Klinische Einteilung nach NASCET-gemessener Durchmesserreduktion und untersuchte Stenosegrade ! Schweregrad !! Durchmesserreduktion !! im Projekt gerechnete Stenosegrade !! hervorgehobener Vertreter |- | gesundes Gefäß || 0 % || 0 || 0 |- | leichtgradige Stenose || unter 50 % || 0,1 bis 0,4 || 0,3 |- | mittelgradige Stenose || 50 bis 69 % || 0,5 und 0,6 || 0,6 |- | hochgradige Stenose || 70 bis 99 % || 0,7 und 0,8 || 0,8 |- | Okklusion || 100 % || nicht gerechnet || entfällt |} '''Anmerkung''': Die Klassengrenzen dienen der Einordnung der Modellvarianten. Die in der Tabelle genannten Stenosegrade sind dimensionslose Werte, beispielsweise entspricht '''<math>s=0{,}6</math>''' einer Durchmesserreduktion von '''60 %'''. Für die numerische Untersuchung wird aus jeder Kategorie ein repräsentativer Stenosegrad hervorgehoben. Neben dem gesunden Gefäß mit '''0 %''' Stenose sind das eine '''30 %''' Stenose als Beispiel für eine leichtgradige, eine '''60 %''' Stenose als Beispiel für eine mittelgradige und eine '''80 %''' Stenose als Beispiel für eine hochgradige Verengung. Zusätzlich werden für das Graphenmodell und das achsensymmetrische Flächenmodell Stenosegrade von 0 bis 80 % in Schritten von zehn Prozentpunkten vorgesehen. Dadurch kann die Abhängigkeit der Strömungsgrößen vom Stenosegrad systematisch untersucht und grafisch dargestellt werden. Ob alle Modellvarianten tatsächlich berechnet wurden und wie hoch der Rechenaufwand war, wird anhand der durchgeführten Simulationen dokumentiert. Ein vollständiger Gefäßverschluss wird nicht simuliert, da in diesem Fall keine durchgängige Strömung mehr vorliegt. Der Stenosegrad wird in diesem Projekt wie bei NASCET über die Verringerung des Gefäßdurchmessers beschrieben, <math>s = 1 - \frac{d_{\min}}{d_{\mathrm{ref}}},</math> wobei <math>d_{\min}</math> der kleinste Durchmesser in der Engstelle und <math>d_{\mathrm{ref}}</math> ein Referenzdurchmesser ist. NASCET verwendet als Referenz den Durchmesser des gesunden Gefäßes stromabwärts der Stenose. Für das idealisierte gerade Gefäßmodell wird ein konstanter Referenzdurchmesser von <math>D_0=6\,\mathrm{mm}</math> angenommen. Da das Gefäß außerhalb der Stenose denselben Durchmesser besitzt, gilt in diesem Modell<math>d_{\mathrm{ref}}=D_0</math>. Bei der zusätzlich betrachteten Gefäßaufzweigung muss der Referenzdurchmesser dagegen gesondert festgelegt werden, da die Gefäßäste unterschiedliche Durchmesser besitzen. Wichtig für das Verständnis aller weiteren Ergebnisse ist der Unterschied zwischen Durchmesser- und Flächenreduktion. Da die Querschnittsfläche quadratisch vom Durchmesser abhängt, gilt für die Flächenreduktion <math>1-(1-s)^2</math>. Eine im klinischen Sinn nur mittelgradige Stenose von 60 % verschließt damit bereits 84 % der Querschnittsfläche. {| class="wikitable" |+ Durchmesser- und Flächenreduktion der gerechneten Stenosegrade ! Stenosegrad s !! 0 !! 0,1 !! 0,2 !! 0,3 !! 0,4 !! 0,5 !! 0,6 !! 0,7 !! 0,8 |- | engster Durchmesser in mm || 6,0 || 5,4 || 4,8 || 4,2 || 3,6 || 3,0 || 2,4 || 1,8 || 1,2 |- | Flächenreduktion || 0 % || 19 % || 36 % || 51 % || 64 % || 75 % || 84 % || 91 % || 96 % |} Eine Einschränkungen gehört zur ehrlichen Einordnung: # Mit zunehmendem Stenosegrad, insbesondere bei ausgeprägten Verengungen, können lokale Beschleunigungen, Strömungsablösungen und zeitabhängige Strömungsstrukturen auftreten. Daher muss bei den hochgradigen Stenosen geprüft werden, inwieweit die Annahme einer stationären, laminaren Strömung geeignet ist. Eine feste Grenze bei <math>s=0{,}6</math> lässt sich ohne entsprechende Simulationsergebnisse oder Literaturbelege nicht allgemein festlegen. Die hochgradigen Fälle werden deshalb unter besonderer Berücksichtigung der Modellannahmen diskutiert. Unter Modellierung wird in diesem Projekt die Übertragung der Blutströmung in einer verengten Arterie auf ein mathematisches und numerisch lösbares Strömungsproblem verstanden. Dazu werden die Gefäßgeometrie, die zugrunde liegenden Gleichungen, die physikalischen Materialparameter sowie die Anfangs- und Randbedingungen festgelegt. Jeder dieser Bestandteile beruht auf vereinfachenden Annahmen, die begründet und bei der Interpretation der Ergebnisse berücksichtigt werden müssen. Ziel ist es, den Einfluss unterschiedlicher Stenosegrade auf die Strömungsgeschwindigkeit, den Druckverlust und gegebenenfalls die Wandschubspannung systematisch zu untersuchen. Die Modellierung erfolgt anhand mehrerer Modellvarianten mit unterschiedlicher räumlicher Auflösung. Dadurch können zunächst grundlegende Zusammenhänge analytisch abgeschätzt und anschließend mit numerischen Strömungsberechnungen verglichen werden. Die verwendeten Parameter orientieren sich an den bereitgestellten Referenzdaten und werden in den folgenden Abschnitten erläutert. == Modellierung == Ziel der Modellierung ist es, die Blutströmung innerhalb einer Y-förmigen Aufzweigung der Halsschlagader mathematisch und numerisch zu untersuchen. Im Mittelpunkt steht eine Gefäßverengung (Stenose) in der Arteria carotis interna. Das betrachtete Gefäßmodell besteht aus der Arteria carotis communis, die sich in die Arteria carotis interna und die Arteria carotis externa aufteilt. Die Stenose befindet sich ausschließlich in der Arteria carotis interna. Durch die Verengung verändert sich der verfügbare Strömungsquerschnitt. Dies kann zu einer Erhöhung der lokalen Strömungsgeschwindigkeit, zu zusätzlichen Druckverlusten und zu einer Veränderung der Strömungsverteilung zwischen den beiden Gefäßästen führen. Ziel ist es, den Einfluss unterschiedlicher Stenosegrade auf die Strömungsgeschwindigkeit, die Druckverteilung und die Wandschubspannung zu untersuchen. Zusätzlich soll betrachtet werden, wie sich die Strömung innerhalb der Y-förmigen Gefäßaufzweigung verhält. Die numerische Modellierung erfolgt mit COMSOL Multiphysics. Dazu werden die Gefäßgeometrie, die Materialeigenschaften des Blutes, die Strömungsgleichungen und die Randbedingungen festgelegt. Zur Vereinfachung wird Blut zunächst als inkompressibles, Newtonsches Fluid betrachtet. Die Gefäßwände werden als starr angenommen. Diese Annahmen ermöglichen eine systematische Untersuchung der Stenose, schränken jedoch die Übertragbarkeit auf reale physiologische Bedingungen ein. === Modellhierarchie === Für die Untersuchung der Blutströmung innerhalb der Y-förmigen Karotisaufzweigung werden drei Modellvarianten betrachtet. Diese unterscheiden sich hinsichtlich ihrer räumlichen Dimension, ihrer mathematischen Beschreibung und der Genauigkeit, mit der die Strömungsverhältnisse dargestellt werden können. Das untersuchte Gefäß besteht aus der Arteria carotis communis, die sich in die Arteria carotis interna und die Arteria carotis externa aufteilt. Die Stenose befindet sich ausschließlich in der Arteria carotis interna. Alle drei Modellvarianten werden mit COMSOL Multiphysics umgesetzt. {| class="wikitable" style="width:100%;" |+ '''Die drei Modellvarianten des Projekts''' |- ! Modell ! Raumdimension ! Mathematische Grundlage ! Zweck ! Werkzeug |- | '''Graphenmodell''' | 1D, Gefäßnetzwerk mit einer Verzweigung | Massenerhaltung an der Verzweigung und vereinfachte Beschreibung der Strömungswiderstände | Abschätzung der Volumenstromverteilung und der Druckverluste in den Gefäßästen | COMSOL Multiphysics |- | '''Ebenes Flächenmodell''' | 2D, Y-förmige Gefäßgeometrie in kartesischen Koordinaten | Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen | Untersuchung der Geschwindigkeits- und Druckverteilung sowie der Auswirkungen der Stenose in der Arteria carotis interna | COMSOL Multiphysics, Laminare Strömung |- | '''Volumenmodell''' | 3D, räumliche Y-förmige Gefäßgeometrie | Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen | Räumliche Untersuchung des Geschwindigkeitsfeldes, des Druckverlustes und der Wandschubspannung | COMSOL Multiphysics, Laminare Strömung |} ==== Vergleich und Überprüfung der Modellvarianten ==== Die drei Modellvarianten bauen hinsichtlich ihrer räumlichen Beschreibung aufeinander auf. Das Graphenmodell ermöglicht zunächst eine vereinfachte Betrachtung der Volumenströme und Druckverluste. Die zwei- und dreidimensionalen Modelle erlauben anschließend eine detailliertere Untersuchung der Strömung innerhalb der Gefäßaufzweigung. Das '''Graphenmodell''' beschreibt die Arteria carotis communis sowie die beiden abzweigenden Gefäße als miteinander verbundenes Netzwerk. Dabei wird die Massenerhaltung an der Verzweigung berücksichtigt: :<math>Q_{\mathrm{CCA}}=Q_{\mathrm{ICA}}+Q_{\mathrm{ECA}}</math> Das Modell liefert vereinfachte Abschätzungen der Volumenstromverteilung. Lokale Strömungsablösungen und räumliche Geschwindigkeitsverteilungen können damit nicht detailliert dargestellt werden. Das '''ebene Flächenmodell''' bildet die Y-förmige Gefäßaufzweigung in zwei Raumdimensionen ab. Die Stenose wird innerhalb der Arteria carotis interna berücksichtigt. Dadurch können die Geschwindigkeits- und Druckverteilung sowie mögliche Rückströmungsbereiche untersucht werden. Das '''Volumenmodell''' erweitert die Untersuchung auf drei Raumdimensionen. Es ermöglicht eine räumliche Darstellung der Strömung und eine detailliertere Berechnung der Wandschubspannung. Die Ergebnisse des ebenen Flächenmodells und des Volumenmodells werden miteinander verglichen. Da das ebene Modell die räumliche Querschnittsgeometrie nur vereinfacht darstellt, müssen Unterschiede zwischen den beiden Modellen bei der Interpretation berücksichtigt werden. Ziel der Modellhierarchie ist es, die Aussagekraft der einzelnen Modellvarianten zu bewerten und den Einfluss des Stenosegrades auf die Strömung innerhalb der Y-förmigen Karotisaufzweigung zu untersuchen. === Simulationsgebiet und Geometrie === Das Simulationsgebiet besteht aus einer idealisierten Y-förmigen Aufzweigung der Arteria carotis. Die Arteria carotis communis teilt sich in die Arteria carotis interna und die Arteria carotis externa. Die Stenose befindet sich in der Arteria carotis interna. Die Arteria carotis externa wird ohne zusätzliche Verengung modelliert. Die Geometrie orientiert sich an den bereitgestellten Referenzdaten. Die Gefäßdurchmesser werden innerhalb der jeweiligen unverengten Abschnitte als konstant angenommen. {| class="wikitable" style="width:100%;" |+ '''Geometrische Referenzparameter der Y-förmigen Gefäßaufzweigung''' |- ! Gefäßabschnitt ! Durchmesser ! Länge |- | Arteria carotis communis | 6 mm | 60 mm |- | Arteria carotis interna | 5 mm | 60 mm |- | Arteria carotis externa | 4 mm | 60 mm |- | Stenose in der Arteria carotis interna | Abhängig vom Stenosegrad | 10 bzw. 20 mm |} Die Verengung wird über den Stenosegrad <math>s</math> beschrieben. Dieser gibt die relative Verringerung des Gefäßdurchmessers an: :<math>s=1-\frac{d_{\min}}{D_{\mathrm{ICA}}}</math> Dabei bezeichnet <math>d_{\min}</math> den minimalen Durchmesser innerhalb der Stenose und <math>D_{\mathrm{ICA}}</math> den unverengten Referenzdurchmesser der Arteria carotis interna. Für das Modell gilt: :<math>D_{\mathrm{ICA}}=5\,\mathrm{mm}</math> Der minimale Durchmesser ergibt sich damit zu: :<math>d_{\min}=D_{\mathrm{ICA}}(1-s)</math> {| class="wikitable" |+ '''Minimaler Durchmesser der Stenose in der Arteria carotis interna''' |- ! Stenosegrad ! Minimaler Durchmesser |- | 0 % | 5,0 mm |- | 10 % | 4,5 mm |- | 20 % | 4,0 mm |- | 30 % | 3,5 mm |- | 40 % | 3,0 mm |- | 50 % | 2,5 mm |- | 60 % | 2,0 mm |- | 70 % | 1,5 mm |- | 80 % | 1,0 mm |} Die angegebenen Stenosegrade beziehen sich ausschließlich auf den Durchmesser der Arteria carotis interna. Der Durchmesser der Arteria carotis communis wird nicht zur Berechnung des Stenosegrades verwendet. Die Y-förmige Geometrie ermöglicht es, die Auswirkungen der Verengung sowohl auf die lokale Strömung in der Arteria carotis interna als auch auf die Strömungsverteilung innerhalb der gesamten Gefäßaufzweigung zu untersuchen. Die genaue Form der Stenose, der Verzweigungswinkel und die Übergänge zwischen den Gefäßabschnitten müssen entsprechend der tatsächlich in COMSOL verwendeten Geometrie dokumentiert werden. == Stoff- und Strömungsparameter == Die Stoffwerte des Blutes und der Volumenstrom sind die einzigen Eingangsgrößen, die nicht aus der Geometrie folgen. Aus ihnen werden alle weiteren Strömungskennwerte berechnet. Die folgenden Schritte zeigen jede Rechnung einzeln, damit sich jeder Wert nachprüfen lässt. # Die '''Dichte''' wird mit <math>\rho = 1060\ \mathrm{kg/m^3}</math> angesetzt. Der Wert lässt sich als Mischungsregel plausibel machen. Plasma hat eine Dichte von etwa 1025 kg/m³, rote Blutkörperchen von etwa 1100 kg/m³. Bei einem Zellanteil von 45 % ergibt sich <math>0{,}55 \cdot 1025 + 0{,}45 \cdot 1100 \approx 1059\ \mathrm{kg/m^3}</math>. Die Dichte geht nur über die Reynoldszahl in die Rechnung ein, eine Abweichung von einem Prozent ändert die Ergebnisse daher kaum. <!-- FIXME Lehrbuchquelle fuer Plasma- und Erythrozytendichte ergaenzen --> # Die '''dynamische Viskosität''' wird mit <math>\mu = 3{,}5\ \mathrm{mPa\,s}</math> angesetzt. Das ist der Grenzwert der Blutviskosität bei hohen Scherraten, also genau der Wert, der zur Newtonschen Näherung gehört. Derselbe Wert von 0,035 Poise wird auch im Standardwerk zur Modellierung des Herz-Kreislauf-Systems verwendet.<ref name="quarteroni">Quarteroni, A.; Formaggia, L.: ''Mathematical Modelling and Numerical Simulation of the Cardiovascular System.'' In: Ayache, N. (Hrsg.): ''Computational Models for the Human Body.'' Handbook of Numerical Analysis, Bd. XII, Elsevier, Amsterdam 2004, S. 3-127. DOI 10.1016/S1570-8659(03)12001-7. Zur Newtonschen Näherung in großen Gefäßen siehe S. 30, zur Viskosität von 0,035 Poise die Parametertabelle auf S. 116.</ref> # Der '''mittlere Volumenstrom''' wird mit <math>Q_0 = 6\ \mathrm{ml/s}</math> angesetzt. Das ist der zeitlich gemittelte Volumenstrom, der in der gemeinsamen Halsschlagader gesunder Probanden gemessen wurde.<ref name="holdsworth" /> # Die '''mittlere Geschwindigkeit''' folgt aus Volumenstrom und Querschnittsfläche, <math>U_0 = \frac{Q_0}{\pi R_0^2} = \frac{6 \cdot 10^{-6}\ \mathrm{m^3/s}}{\pi \cdot (0{,}003\ \mathrm{m})^2} = 0{,}2122\ \mathrm{m/s}</math>. # Die '''Reynoldszahl''' des gesunden Gefäßes ist <math>Re_0 = \frac{\rho\, U_0\, D_0}{\mu} = \frac{1060 \cdot 0{,}2122 \cdot 0{,}006}{0{,}0035} = 385{,}6</math>. Sie wird im Folgenden auf 386 gerundet. # Die '''Einlauflänge''', die eine anfangs gleichförmige Strömung bis zum voll entwickelten Parabelprofil bräuchte, beträgt nach der gebräuchlichen Abschätzung für laminare Rohrströmungen <math>L_e \approx 0{,}06\, Re_0\, D_0 \approx 0{,}06 \cdot 386 \cdot 6\ \mathrm{mm} \approx 139\ \mathrm{mm}</math>.<ref name="durst">Durst, F.; Ray, S.; Ünsal, B.; Bayoumi, O. A.: ''The development lengths of laminar pipe and channel flows.'' Journal of Fluids Engineering 127 (2005), Nr. 6, S. 1154-1160. Für große Reynoldszahlen nähert sich die dort angegebene Korrelation dem Wert 0,057·Re·D.</ref> Das ist fast die gesamte Länge des Rechengebiets. Ein konstantes Einlassprofil würde die Strömung an der Stenose also verfälschen, weshalb am Einlass das voll entwickelte Profil vorgegeben wird. Damit liegen alle globalen Parameter fest. Die folgende Tabelle enthält sie mit genau den Namen, unter denen sie in COMSOL und in den Octave-Skripten verwendet werden. {| class="wikitable" |+ Globale Parameter des Modells ! Name !! Ausdruck in COMSOL !! Wert !! Bedeutung !! Herkunft |- | R0 || 3[mm] || 3 mm || Gefäßradius || Messwerte nach Krejza u. a. 2006, gerundet |- | D0 || 2*R0 || 6 mm || Gefäßdurchmesser || abgeleitet |- | Ls || 2*D0 || 12 mm || Länge der Störstelle || Standardgeometrie nach Varghese u. a. 2007 |- | Lu || 5*D0 || 30 mm || Vorlaufstrecke vor der Stenosemitte || Abstand der Einlassbedingung von der Stenose |- | Ld || 20*D0 || 120 mm || Nachlaufstrecke hinter der Stenosemitte || Platz für das Rückströmgebiet |- | Lf || Ls/2+10*D0 || 66 mm || Ende des fein vernetzten Nachlaufs || erwartete Länge des Rückströmgebiets |- | s || 0 bis 0.8 || 0 bis 0,8 || Stenosegrad bezogen auf den Durchmesser || NASCET-Einteilung |- | rho_b || 1060[kg/m^3] || 1060 kg/m³ || Dichte des Blutes || Mischungsregel, Literaturwert |- | mu_b || 3.5[mPa*s] || 3,5 mPa·s || dynamische Viskosität des Blutes || Hochscherwert, Quarteroni und Formaggia 2004 |- | Q0 || 6[ml/s] || 6 ml/s || mittlerer Volumenstrom || Messwerte nach Holdsworth u. a. 1999 |- | U0 || Q0/(pi*R0^2) || 0,2122 m/s || mittlere Einströmgeschwindigkeit || abgeleitet |- | Re0 || rho_b*U0*D0/mu_b || 385,6 || Reynoldszahl des gesunden Gefäßes || abgeleitet |- | dp_ref || 8*mu_b*U0*(Lu+Ld)/R0^2 || 99,03 Pa || Poiseuille-Druckabfall des gesunden Gefäßes || abgeleitet, Hagen-Poiseuille |} = Implementierung des 2D-Modells in COMSOL Multiphysics = == Zielsetzung des zweidimensionalen Modells == Im Rahmen des Projekts wurde mit COMSOL Multiphysics ein zweidimensionales Modell der menschlichen Halsschlagader erstellt. Ziel ist es, die Blutströmung innerhalb einer Gefäßverzweigung zu untersuchen und insbesondere die Auswirkungen einer lokalen Gefäßverengung (Stenose) auf das Strömungsverhalten zu analysieren. Das Modell bildet die Aufzweigung der Arteria carotis communis (ACC) in die Arteria carotis interna (ACI) und die Arteria carotis externa (ACE) ab. Während die ACE als gesunder Gefäßabschnitt betrachtet wird, befindet sich in der ACI eine lokale Verengung. Dadurch können die Strömungsverhältnisse in beiden Ästen miteinander verglichen werden. Die zweidimensionale Modellierung dient dazu, die Geschwindigkeitsverteilung, den Druckabfall und die Wandschubspannung zu untersuchen. Zusätzlich soll festgestellt werden, ob sich hinter der Stenose Bereiche mit Strömungsablösungen oder Rückströmungen ausbilden. ==Vorgehen== Für die numerische Untersuchung in COMSOL Multiphysics 6.2 zunächst ein zweidimensionales Modell mit der Physik ''Laminare Strömung'' und einer ''stationären Studie'' angelegt. Die Gefäßgeometrie wurde vollständig parametrisiert, damit Durchmesser, Gefäßlängen, Verzweigungswinkel, Stenosegrad sowie die Stenoselänge veränderbar sind, ohne das Modell jeweils neu zu zeichnen. Das gemeinsame Zuflussgefäß stellt die Arteria carotis communis mit einem Durchmesser von <math>6\,\mathrm{mm}</math> dar. Nach einem geraden Einlaufabschnitt von <math>60\,\mathrm{mm}</math> teilt es sich V-förmig in die beiden Tochtergefäße auf. Die Arteria carotis interna wird mit einem Durchmesser von <math>5\,\mathrm{mm}</math>, die Arteria carotis externa mit <math>4\,\mathrm{mm}</math> modelliert. Beide Tochtergefäße sind jeweils <math>60\,\mathrm{mm}</math> lang. Die Grundgeometrie wurde als zusammenhängender zweidimensionaler Volumenkörper aufgebaut. Die beiden Tochtergefäße verlaufen nach der Bifurkation unter einem Winkel auseinander, sodass eine idealisierte Y-förmige Karotisgabel entsteht. Die Übergänge zwischen dem gemeinsamen Gefäß und den beiden Ästen wurden bewusst vereinfacht, aber ohne abrupte Querschnittssprünge gestaltet. Auf diese Weise bleibt die Geometrie ausreichend einfach für einen systematischen Vergleich verschiedener Modellvarianten, bildet die typische Aufzweigung einer Karotis. Die Stenose befindet sich ausschließlich in der Arteria carotis interna. Um die Verengung nicht durch gerade Polygonsegmente mit scharfen Knicken darzustellen, wurde ihre Kontur mithilfe von zwei parametrischen Kosinuskurven erzeugt. == Ergebnisse der 2D-Strömungssimulation == === Geschwindigkeitsverteilung und Stromlinien === Zur Untersuchung der Blutströmung innerhalb der ''Carotis-Bifurkation'' wurde in COMSOL eine zweidimensionale Geschwindigkeitsdarstellung erstellt. Hierfür wird der Geschwindigkeitsbetrag ''spf.U'' verwendet. Zusätzlich wurden Stromlinien eingerichtet, um den Verlauf der Strömung innerhalb der Gefäßverzweigung zu veranschaulichen. Die Darstellung des Geschwindigkeitsbetrags erfolgt mithilfe einer Farbskala. Dadurch lassen sich Bereiche unterschiedlicher Strömungsgeschwindigkeiten voneinander unterscheiden. Die Stromlinien verdeutlichen zusätzlich, wie das Blut vom gemeinsamen Zuflussgefäß in die beiden Gefäßäste umgelenkt wird. Von besonderem Interesse ist der Bereich der Stenose. Durch die Verringerung des verfügbaren Strömungsquerschnitts ist dort bei entsprechendem Durchfluss eine Beschleunigung des Blutes zu erwarten. Hinter der Engstelle erweitert sich der Querschnitt wieder, wodurch sich das Strömungsprofil erneut verändern kann. Mithilfe der Stromlinien lässt sich außerdem untersuchen, ob die Strömung nach der Verengung weiterhin gleichmäßig verläuft oder ob sich lokale Ablösungen und Rückströmungsgebiete ausbilden. FEHLEND: BILD UND BESCHREIBUNG DAZU === Druckverteilung === Neben der Geschwindigkeitsverteilung wurde in COMSOL eine Darstellung der Druckverteilung angelegt. Diese erfolgt über Isolinien des Drucks p. Isolinien verbinden Punkte, an denen derselbe Druck herrscht. Die Druckverteilung ist insbesondere im Bereich der Gefäßverzweigung und der Stenose von Bedeutung. Beim Durchströmen der Verengung verändert sich die Geschwindigkeit des Blutes, wodurch auch der lokale statische Druck beeinflusst wird. Zusätzlich entstehen aufgrund der Viskosität des Blutes und der geometrischen Veränderungen Druckverluste. Diese sind für die Beurteilung des Strömungswiderstands relevant. Mit der Druckdarstellung kann untersucht werden, wie sich der Druck entlang des Gefäßes verändert und welche Unterschiede zwischen dem gemeinsamen Zufluss und den beiden Auslaufästen auftreten. = Grenzen des Modells = * Die untersuchte Gefäßgeometrie ist eine idealisierte Darstellung der Karotisaufzweigung. Individuelle anatomische Unterschiede werden nicht berücksichtigt. * Darüber hinaus werden die Gefäßwände als starr angenommen und Blut wird durch ein inkompressibles Newtonsches Fluid mit konstanter Viskosität beschrieben. * Die Strömung wird stationär berechnet. Die natürliche Pulsation des Blutflusses und zeitabhängige Effekte bleiben damit unberücksichtigt. * Insbesondere bei hochgradigen Stenosen können zeitabhängige Strömungsablösungen auftreten, die durch eine stationäre Modellierung nicht vollständig beschrieben werden. * Das Graphenmodell kann lokale Strömungsphänomene nicht detailliert erfassen. Das ebene Flächenmodell vereinfacht die räumliche Gefäßgeometrie. Auch das dreidimensionale Modell bleibt aufgrund der idealisierten Geometrie und der vereinfachten Materialannahmen eine Annäherung an die reale Blutströmung. * Die Ergebnisse sind daher als strömungsmechanische Untersuchung eines idealisierten Modells zu interpretieren und nicht als patientenspezifische medizinische Vorhersage. AB HIER ALT== Modellhierarchie == Für die Untersuchung werden vier Modellvarianten betrachtet, die sich hinsichtlich ihrer mathematischen Beschreibung, ihrer räumlichen Dimension und ihres Rechenaufwands unterscheiden. Die Modelle sind bewusst von einer vereinfachten analytischen Beschreibung bis zu einer dreidimensionalen numerischen Simulation angeordnet. Diese Vorgehensweise ermöglicht es, die Ergebnisse der komplexeren Modelle anhand grundlegender physikalischer Zusammenhänge und geeigneter Referenzfälle zu überprüfen. Dabei ist zu beachten, dass nicht jede Modellvariante dieselben Strömungseigenschaften vollständig abbilden kann. {| class="wikitable" style="width:100%;" |+ '''Die vier Modellvarianten des Projekts''' |- ! Modell ! Raumdimension ! Mathematische Grundlage ! Zweck ! Werkzeug |- | '''Graphenmodell''' | 1D, Beschreibung entlang der Gefäßachse | Hagen-Poiseuille-Gesetz für vereinfachte Rohrabschnitte und Massenerhaltung an Verzweigungsknoten | Analytische Abschätzung von Volumenströmen und Druckverlusten; Referenz für die numerischen Modelle | COMSOL mit geeigneter eindimensionaler Formulierung |- | '''Achsensymmetrisches Flächenmodell''' | 2D, rotationssymmetrischer Längsschnitt in den Koordinaten <math>r</math> und <math>z</math> | Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen in achsensymmetrischer Form | Detaillierte Untersuchung von Geschwindigkeits- und Druckfeldern sowie der Wandschubspannung in einem idealisierten rotationssymmetrischen Gefäß | COMSOL Multiphysics, Laminar Flow |- | '''Ebenes Flächenmodell''' | 2D, ebene Geometrie in den Koordinaten <math>x</math> und <math>y</math> | Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen in kartesischen Koordinaten | Untersuchung der Strömung in einer vereinfachten ebenen Geometrie und Vergleich mit dem achsensymmetrischen Modell | COMSOL Multiphysics, Laminar Flow |- | '''Volumenmodell''' | 3D, räumliche Gefäßgeometrie | Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen in drei Raumdimensionen | Räumliche Darstellung der Strömung und Überprüfung der Ergebnisse des achsensymmetrischen Modells bei vergleichbarer Geometrie | COMSOL Multiphysics, Laminar Flow |} == Stoff- und Strömungsparameter == Die Stoffwerte des Blutes und der Volumenstrom sind die einzigen Eingangsgrößen, die nicht aus der Geometrie folgen. Aus ihnen werden alle weiteren Strömungskennwerte berechnet. Die folgenden Schritte zeigen jede Rechnung einzeln, damit sich jeder Wert nachprüfen lässt. # Die '''Dichte''' wird mit <math>\rho = 1060\ \mathrm{kg/m^3}</math> angesetzt. Der Wert lässt sich als Mischungsregel plausibel machen. Plasma hat eine Dichte von etwa 1025 kg/m³, rote Blutkörperchen von etwa 1100 kg/m³. Bei einem Zellanteil von 45 % ergibt sich <math>0{,}55 \cdot 1025 + 0{,}45 \cdot 1100 \approx 1059\ \mathrm{kg/m^3}</math>. Die Dichte geht nur über die Reynoldszahl in die Rechnung ein, eine Abweichung von einem Prozent ändert die Ergebnisse daher kaum. <!-- FIXME Lehrbuchquelle fuer Plasma- und Erythrozytendichte ergaenzen --> # Die '''dynamische Viskosität''' wird mit <math>\mu = 3{,}5\ \mathrm{mPa\,s}</math> angesetzt. Das ist der Grenzwert der Blutviskosität bei hohen Scherraten, also genau der Wert, der zur Newtonschen Näherung gehört. Derselbe Wert von 0,035 Poise wird auch im Standardwerk zur Modellierung des Herz-Kreislauf-Systems verwendet.<ref name="quarteroni">Quarteroni, A.; Formaggia, L.: ''Mathematical Modelling and Numerical Simulation of the Cardiovascular System.'' In: Ayache, N. (Hrsg.): ''Computational Models for the Human Body.'' Handbook of Numerical Analysis, Bd. XII, Elsevier, Amsterdam 2004, S. 3-127. DOI 10.1016/S1570-8659(03)12001-7. Zur Newtonschen Näherung in großen Gefäßen siehe S. 30, zur Viskosität von 0,035 Poise die Parametertabelle auf S. 116.</ref> # Der '''mittlere Volumenstrom''' wird mit <math>Q_0 = 6\ \mathrm{ml/s}</math> angesetzt. Das ist der zeitlich gemittelte Volumenstrom, der in der gemeinsamen Halsschlagader gesunder Probanden gemessen wurde.<ref name="holdsworth" /> # Die '''mittlere Geschwindigkeit''' folgt aus Volumenstrom und Querschnittsfläche, <math>U_0 = \frac{Q_0}{\pi R_0^2} = \frac{6 \cdot 10^{-6}\ \mathrm{m^3/s}}{\pi \cdot (0{,}003\ \mathrm{m})^2} = 0{,}2122\ \mathrm{m/s}</math>. # Die '''Reynoldszahl''' des gesunden Gefäßes ist <math>Re_0 = \frac{\rho\, U_0\, D_0}{\mu} = \frac{1060 \cdot 0{,}2122 \cdot 0{,}006}{0{,}0035} = 385{,}6</math>. Sie wird im Folgenden auf 386 gerundet. # Die '''Einlauflänge''', die eine anfangs gleichförmige Strömung bis zum voll entwickelten Parabelprofil bräuchte, beträgt nach der gebräuchlichen Abschätzung für laminare Rohrströmungen <math>L_e \approx 0{,}06\, Re_0\, D_0 \approx 0{,}06 \cdot 386 \cdot 6\ \mathrm{mm} \approx 139\ \mathrm{mm}</math>.<ref name="durst">Durst, F.; Ray, S.; Ünsal, B.; Bayoumi, O. A.: ''The development lengths of laminar pipe and channel flows.'' Journal of Fluids Engineering 127 (2005), Nr. 6, S. 1154-1160. Für große Reynoldszahlen nähert sich die dort angegebene Korrelation dem Wert 0,057·Re·D.</ref> Das ist fast die gesamte Länge des Rechengebiets. Ein konstantes Einlassprofil würde die Strömung an der Stenose also verfälschen, weshalb am Einlass das voll entwickelte Profil vorgegeben wird. Damit liegen alle globalen Parameter fest. Die folgende Tabelle enthält sie mit genau den Namen, unter denen sie in COMSOL und in den Octave-Skripten verwendet werden. {| class="wikitable" |+ Globale Parameter des Modells ! Name !! Ausdruck in COMSOL !! Wert !! Bedeutung !! Herkunft |- | R0 || 3[mm] || 3 mm || Gefäßradius || Messwerte nach Krejza u. a. 2006, gerundet |- | D0 || 2*R0 || 6 mm || Gefäßdurchmesser || abgeleitet |- | Ls || 2*D0 || 12 mm || Länge der Störstelle || Standardgeometrie nach Varghese u. a. 2007 |- | Lu || 5*D0 || 30 mm || Vorlaufstrecke vor der Stenosemitte || Abstand der Einlassbedingung von der Stenose |- | Ld || 20*D0 || 120 mm || Nachlaufstrecke hinter der Stenosemitte || Platz für das Rückströmgebiet |- | Lf || Ls/2+10*D0 || 66 mm || Ende des fein vernetzten Nachlaufs || erwartete Länge des Rückströmgebiets |- | s || 0 bis 0.8 || 0 bis 0,8 || Stenosegrad bezogen auf den Durchmesser || NASCET-Einteilung |- | rho_b || 1060[kg/m^3] || 1060 kg/m³ || Dichte des Blutes || Mischungsregel, Literaturwert |- | mu_b || 3.5[mPa*s] || 3,5 mPa·s || dynamische Viskosität des Blutes || Hochscherwert, Quarteroni und Formaggia 2004 |- | Q0 || 6[ml/s] || 6 ml/s || mittlerer Volumenstrom || Messwerte nach Holdsworth u. a. 1999 |- | U0 || Q0/(pi*R0^2) || 0,2122 m/s || mittlere Einströmgeschwindigkeit || abgeleitet |- | Re0 || rho_b*U0*D0/mu_b || 385,6 || Reynoldszahl des gesunden Gefäßes || abgeleitet |- | dp_ref || 8*mu_b*U0*(Lu+Ld)/R0^2 || 99,03 Pa || Poiseuille-Druckabfall des gesunden Gefäßes || abgeleitet, Hagen-Poiseuille |} === Vergleich und Überprüfung der Modellvarianten === Die Modellhierarchie folgt dem Prinzip, dass zunächst vereinfachte Zusammenhänge untersucht und anschließend mit detaillierteren numerischen Modellen verglichen werden. Das '''Graphenmodell''' bildet die einfachste Modellvariante. Es verwendet das Hagen-Poiseuille-Gesetz zur Abschätzung des Druckverlustes in geraden Rohrabschnitten mit konstantem Durchmesser. Für den unverengten Referenzfall kann damit eine analytische Vergleichsgröße bestimmt werden. Im Bereich einer Stenose ist die Anwendung jedoch nur als vereinfachte Näherung geeignet, da dort zusätzliche Strömungseffekte auftreten können. Das '''achsensymmetrische Flächenmodell''' ermöglicht eine detailliertere Untersuchung des Geschwindigkeits- und Druckfeldes innerhalb einer idealisierten rotationssymmetrischen Gefäßverengung. Im unverengten Referenzfall können die numerischen Ergebnisse mit der analytischen Poiseuille-Lösung verglichen werden. Bei zunehmendem Stenosegrad werden insbesondere die Beschleunigung im Bereich der Engstelle, der Druckverlust und die Wandschubspannung betrachtet. Das '''ebene Flächenmodell''' beschreibt die Strömung in einer zweidimensionalen kartesischen Geometrie. Im Unterschied zum achsensymmetrischen Modell wird dabei keine Rotationssymmetrie vorausgesetzt. Da sich die geometrische Beschreibung des Strömungsquerschnitts unterscheidet, sind die Ergebnisse nicht ohne Weiteres quantitativ gleichzusetzen. Der Vergleich dient insbesondere dazu, den Einfluss der Modellvereinfachung auf die berechneten Strömungsgrößen zu untersuchen. Das '''Volumenmodell''' erweitert die Untersuchung auf drei Raumdimensionen. Bei einer rotationssymmetrischen Geometrie und entsprechend übereinstimmenden Randbedingungen wird eine weitgehende Übereinstimmung mit dem achsensymmetrischen Modell erwartet. Diese Übereinstimmung muss jedoch anhand der numerischen Ergebnisse überprüft werden. Bei einer Gefäßaufzweigung oder einer asymmetrischen Stenose können zusätzliche räumliche Strömungseffekte auftreten, die durch ein achsensymmetrisches Modell nicht vollständig beschrieben werden. === Referenzfall und Vergleichsgrößen === Als Ausgangspunkt dient ein unverengtes Gefäß mit dem Referenzdurchmesser <math>D_0=6\,\mathrm{mm}</math>. Für das Blut werden eine Dichte von <math>\rho_b=1060\,\mathrm{kg/m^3}</math> und eine dynamische Viskosität von <math>\mu_b=3{,}5\,\mathrm{mPa\,s}</math> angenommen. Der vorgegebene mittlere Volumenstrom beträgt <math>Q_0=6\,\mathrm{ml/s}</math>. Daraus ergibt sich für den unverengten kreisförmigen Querschnitt eine mittlere Strömungsgeschwindigkeit von ungefähr <math>U_0=0{,}2122\,\mathrm{m/s}</math>. Die Referenz-Reynolds-Zahl beträgt <math>\mathrm{Re}_0=385{,}6</math>. Für den in den Referenzdaten definierten Vergleichsfall ist außerdem ein analytischer Druckverlust von <math>\Delta p_{\mathrm{ref}}=99{,}03\,\mathrm{Pa}</math> angegeben. Diese Größen dienen als Ausgangspunkt für die Überprüfung der numerischen Modelle. Ein direkter Vergleich ist jedoch nur zulässig, wenn die jeweils verwendete Geometrie, die Auswertelänge und die Randbedingungen übereinstimmen. === Grenzen der Modellhierarchie === Die vier Modellvarianten unterscheiden sich nicht nur im Rechenaufwand, sondern auch in den physikalischen Effekten, die sie darstellen können. Insbesondere bei hochgradigen Stenosen können starke lokale Geschwindigkeitsänderungen, Strömungsablösungen und zeitabhängige Strömungsstrukturen auftreten. Deshalb muss überprüft werden, ob die Annahme einer stationären laminaren Strömung für die betrachteten Fälle ausreichend ist. Außerdem muss zwischen dem idealisierten geraden Gefäßmodell und einer Gefäßaufzweigung unterschieden werden. Das achsensymmetrische Modell eignet sich für eine rotationssymmetrische Stenose in einem geraden Gefäß, während eine realistische Gefäßaufzweigung eine andere geometrische Beschreibung erfordert. Die Modellvarianten werden daher nicht als vollständig gleichwertig betrachtet. Vielmehr soll der Vergleich zeigen, welche Aussagen bereits durch vereinfachte Modelle möglich sind und für welche Strömungseigenschaften eine detailliertere numerische Beschreibung erforderlich ist. = Modellierung = Modellierung bedeutet hier, die reale Situation in eine mathematische Aufgabe zu übersetzen, die sich lösen lässt. Dazu gehören vier Bausteine, nämlich das Rechengebiet, die Gleichungen, die Zahlenwerte der Parameter und die Bedingungen an den Rändern. Jeder dieser Bausteine beruht auf Annahmen, und jede Annahme muss begründet werden. Dieser Abschnitt geht die Bausteine deshalb der Reihe nach durch und nennt bei jedem Zahlenwert, woher er stammt und warum er sinnvoll ist. == Modellhierarchie == Das Projekt rechnet nicht ein einziges Modell, sondern vier aufeinander aufbauende Modellvarianten. Sie entsprechen der Kursanforderung, eine Strömung als Graph, in zwei und in drei Raumdimensionen darzustellen, und sie sind bewusst von einfach nach aufwendig geordnet. {| class="wikitable" |+ Die vier Modellvarianten des Projekts ! Modell !! Raumdimension !! gelöste Gleichung !! Zweck !! Werkzeug |- | Graphenmodell || 1D, Gefäßachse || Hagen-Poiseuille je Rohrstück und Massenerhaltung in jedem Knoten || schnelle, analytisch nachrechenbare Abschätzung für jeden Stenosegrad || Octave und COMSOL (Koeffizientenform-PDGL) |- | achsensymmetrisches Flächenmodell || 2D, Halbschnitt in r und z || vollständige stationäre Navier-Stokes-Gleichungen in Zylinderkoordinaten || Hauptmodell, liefert alle Feldgrößen des rotationssymmetrischen Rohres || COMSOL, Laminare Strömung |- | ebenes Flächenmodell || 2D, Halbschnitt in x und y || vollständige stationäre Navier-Stokes-Gleichungen in kartesischen Koordinaten || Vergleich, zeigt den Einfluss der zweiten Querschnittsrichtung || COMSOL, Laminare Strömung |- | Volumenmodell || 3D || vollständige stationäre Navier-Stokes-Gleichungen || Kontrolle des Hauptmodells und räumliche Darstellung || COMSOL, Laminare Strömung |} Die Reihenfolge folgt einem einfachen Prinzip. Jede Stufe liefert die Sollwerte, an denen die nächste, komplexere Stufe geprüft wird. Das Graphenmodell muss im gesunden Fall exakt die Poiseuille-Lösung ergeben. Das achsensymmetrische Modell muss im gesunden Fall dieselben Werte liefern und bei Stenose für Geschwindigkeit und Wandschubspannung in der Nähe des Graphenmodells liegen. Das Volumenmodell muss, weil die Geometrie rotationssymmetrisch ist, mit dem achsensymmetrischen Modell übereinstimmen. == Modellannahmen == Um den Einfluss des Stenosegrades möglichst isoliert zu untersuchen, werden die folgenden Modellannahmen getroffen. Die Tabelle nennt zu jeder Annahme ihre mathematische Form, die Begründung und die Stelle, an der sie im Projekt überprüft wird. {| class="wikitable" |+ Modellannahmen, ihre Begründung und ihre Überprüfung ! Annahme !! mathematische Form !! Begründung !! Überprüfung |- | Idealisierte Gefäßgeometrie || gerades Rohr mit kosinusförmiger, rotationssymmetrischer Verengung || isoliert die Wirkung des Stenosegrades von Krümmung, Verzweigung und Plaqueform || Diskussion in den Schlussfolgerungen |- | Starre Gefäßwand || Wand ortsfest, keine Fluid-Struktur-Kopplung || im stationären Fall gibt es keine Druckschwankung, die die Wand periodisch aufweiten könnte || Abschätzung über die gemessene Durchmesseränderung im Herzzyklus |- | Stationäre Strömung || <math>\partial \mathbf{u}/\partial t = \mathbf{0}</math> || der Einfluss des Stenosegrades soll ohne Überlagerung durch die Pulsation sichtbar werden || Abschätzung über die Womersley-Zahl |- | Inkompressibles Fluid || <math>\rho = \mathrm{const}</math>, damit <math>\nabla\cdot\mathbf{u} = 0</math> || Blut ist eine Flüssigkeit, Druckänderungen von wenigen hundert Pascal ändern die Dichte nicht messbar || Massenerhaltung in fünf Querschnitten |- | Newtonsche Näherung || konstante Viskosität <math>\mu</math> || die Scherraten an der Wand und im größten Teil des Querschnitts liegen über dem Bereich, in dem Blut deutlich scherverdünnend wirkt || Scherrate an der Wand, Diskussion des Rückströmgebiets |- | Konstante Stoffeigenschaften || <math>\rho</math> und <math>\mu</math> räumlich und zeitlich konstant || Körpertemperatur ist im betrachteten Abschnitt konstant || entfällt |- | Laminare Strömung || kein Turbulenzmodell, Schnittstelle Laminare Strömung || Reynoldszahl des gesunden Gefäßes von 386 liegt weit unter dem Umschlagbereich || Reynoldszahl in der Engstelle, Literaturvergleich |- | Haftbedingung an der Wand || <math>\mathbf{u} = \mathbf{0}</math> auf der Wand || Folge der Viskosität, das Fluid haftet an der Wand || Grundlage jeder Wandschubspannung |- | Vernachlässigung der Gravitation || keine Volumenkraft || bei konstanter Dichte lässt sich die Schwerkraft vollständig in einen hydrostatischen Druckanteil verschieben und beeinflusst die Geschwindigkeit nicht || Begründung in den Mathematischen Hintergründen |- | Voll entwickelte Einströmung || parabolisches Profil am Einlass || die natürliche Einlaufstrecke wäre mit rund 139 mm fast so lang wie das ganze Rechengebiet || Scheitelgeschwindigkeit im gesunden Fall |- | Eingeprägter Volumenstrom || <math>Q = Q_0</math> am Einlass || der Strömungswiderstand des Abschnitts ist klein gegenüber dem des nachgeschalteten Gefäßbetts || Abschätzung mit einem Reihenwiderstand |} Einige dieser Annahmen sind unmittelbar einsichtig, andere verdienen eine genauere Begründung, weil von ihnen die Aussagekraft der Ergebnisse abhängt. Die '''Newtonsche Näherung''' ist die Annahme, die bei Blut am häufigsten hinterfragt wird. Reales Blut ist eine Suspension aus Plasma und Blutzellen und verhält sich scherverdünnend. Bei kleinen Scherraten lagern sich die roten Blutkörperchen zu geldrollenartigen Stapeln zusammen, und die Viskosität steigt auf ein Vielfaches an. Bei großen Scherraten lösen sich diese Stapel auf, und die Viskosität strebt gegen einen Grenzwert von etwa 3,5 mPa·s. Entscheidend ist also die Scherrate. An der Wand des gesunden Modellgefäßes beträgt sie nach der Poiseuille-Lösung <math>\dot\gamma_w = \frac{4\,U_0}{R_0} = \frac{4 \cdot 0{,}2122\ \mathrm{m/s}}{0{,}003\ \mathrm{m}} \approx 283\ \mathrm{s^{-1}}</math> und liegt damit oberhalb von etwa 100 pro Sekunde, wo sich Newtonsches und nicht Newtonsches Modell nach der Literatur nur noch wenig unterscheiden.<ref name="boyd">Die Grenze von etwa 100 s^-1 wird in vergleichenden Studien zur Blutrheologie verwendet, etwa bei Bernabeu, M. O. u. a.: ''Impact of blood rheology on wall shear stress in a model of the middle cerebral artery.'' Interface Focus 3 (2013), 20120094. <!-- FIXME Zitat und Seitenangabe am Original pruefen --></ref> In der Engstelle steigt die Scherrate weiter an, beim Stenosegrad 0,5 auf rund 2260 pro Sekunde. Schwach ist die Näherung dort, wo die Scherrate klein wird, also in der Mitte des Gefäßes und vor allem im Rückströmgebiet hinter der Stenose. Dort ist reales Blut zäher als angenommen. Dieser Punkt wird in den Schlussfolgerungen wieder aufgegriffen. Die '''stationäre Strömung''' ist die stärkste Vereinfachung. Wie wichtig die Pulsation ist, misst die Womersley-Zahl, die das Verhältnis von instationärer Trägheit zu Reibung angibt. Mit einer Herzfrequenz von 60 Schlägen je Minute, also einer Kreisfrequenz <math>\omega = 2\pi\ \mathrm{s^{-1}}</math>, ergibt sich <math>\alpha = R_0 \sqrt{\frac{\omega \rho}{\mu}} = 0{,}003\ \mathrm{m} \cdot \sqrt{\frac{2\pi\ \mathrm{s^{-1}} \cdot 1060\ \mathrm{kg/m^3}}{0{,}0035\ \mathrm{Pa\,s}}} \approx 4{,}1 .</math> Ein Wert in dieser Größenordnung bedeutet, dass das reale Geschwindigkeitsprofil im Herzzyklus merklich von der Parabel abweicht.<ref name="womersley">Womersley, J. R.: ''Method for the calculation of velocity, rate of flow and viscous drag in arteries when the pressure gradient is known.'' Journal of Physiology 127 (1955), S. 553-563.</ref> Hinzu kommt, dass der Volumenstrom in der Systole kurzzeitig auf rund das Vierfache des Mittelwerts steigt.<ref name="holdsworth">Holdsworth, D. W.; Norley, C. J. D.; Frayne, R.; Steinman, D. A.; Rutt, B. K.: ''Characterization of common carotid artery blood-flow waveforms in normal human subjects.'' Physiological Measurement 20 (1999), Nr. 3, S. 219-240. DOI 10.1088/0967-3334/20/3/301. Angegeben werden ein mittlerer Volumenstrom von 6,0 ± 1,4 ml/s und ein systolischer Spitzenwert von 23,5 ± 3,8 ml/s. <!-- FIXME Zahlenwerte und Probandenzahl am Original pruefen --></ref> Die stationäre Rechnung mit dem Mittelwert beschreibt deshalb nicht den zeitlichen Verlauf, wohl aber den zeitlich gemittelten Zustand, an dem sich der Einfluss des Stenosegrades sauber vergleichen lässt. Die '''laminare Strömung''' wird über die Reynoldszahl begründet. Sie beträgt im gesunden Gefäß 386 und liegt damit weit unter dem Wert von etwa 2300, ab dem die Strömung in einem geraden Rohr in den Übergangsbereich gelangen kann. In der Engstelle steigt sie bei festem Volumenstrom auf <math>Re_0/(1-s)</math>, also auf 551 beim Stenosegrad 0,3, auf 964 beim Grad 0,6 und auf 1928 beim Grad 0,8. Für den Strahl hinter einer Engstelle ist der Umschlagbereich allerdings deutlich niedriger als im geraden Rohr. Direkte numerische Simulationen an genau der in diesem Projekt verwendeten Stenosegeometrie zeigen, dass die Strömung bei einer Einström-Reynoldszahl von 500 auch bei leichter Unsymmetrie laminar bleibt, bei 1000 dagegen schon eine Exzentrizität von fünf Prozent des Durchmessers genügt, um den Strahl in lokal turbulente Strömung umschlagen zu lassen.<ref name="varghese">Varghese, S. S.; Frankel, S. H.; Fischer, P. F.: ''Direct numerical simulation of stenotic flows. Part 1. Steady flow.'' Journal of Fluid Mechanics 582 (2007), S. 253-280. Untersucht wird eine kosinusförmige Stenose der Länge 2D mit 75 % Flächenreduktion, die mit der Geometrie dieses Projekts beim Stenosegrad 0,5 übereinstimmt. <!-- FIXME Band und Seiten am Original pruefen --></ref> Mit einer Einström-Reynoldszahl von 386 liegt das Projekt für die leicht- und mittelgradigen Stenosen sicher im laminaren Bereich. Für die hochgradigen Stenosen ab 0,7 ist ein laminares, stationäres Modell dagegen nur noch eine Näherung, die eine Obergrenze der geordneten Strömung beschreibt. Diese Fälle werden deshalb als Grenzfall des Modells gekennzeichnet. Die '''starre Wand''' lässt sich über Messungen abschätzen. Der Durchmesser der gemeinsamen Halsschlagader ändert sich im Herzzyklus bei jungen Menschen um etwa 12 bis 14 Prozent und bei älteren Menschen um etwa 5 Prozent.<ref name="hansen">Hansen, F.; Mangell, P.; Sonesson, B.; Länne, T.: ''Diameter and compliance in the human common carotid artery: variations with age and sex.'' Ultrasound in Medicine and Biology 21 (1995), Nr. 1, S. 1-9. DOI 10.1016/0301-5629(94)00090-5.</ref> Diese Bewegung ist eine Folge der Pulsation. In einer stationären Rechnung gibt es keine Druckschwankung, die die Wand periodisch aufweiten könnte, sodass die starre Wand zur stationären Annahme konsistent ist. Eine verkalkte Plaque ist ohnehin deutlich steifer als die gesunde Wand. Die Annahme des '''eingeprägten Volumenstroms''' wird im Abschnitt zu den Randbedingungen begründet, weil sie sich nur im Zusammenhang mit dem Kreislauf beurteilen lässt. == Simulationsgebiet und Geometrie == Die Gefäßachse ist die z-Achse, der Ursprung liegt in der Mitte der Stenose, und <math>r</math> bezeichnet den Abstand von der Achse. Das Rechengebiet reicht von <math>z = -L_u</math> bis <math>z = L_d</math> und wird radial von der Wandkontur <math>R(z)</math> begrenzt. Die Verengung wird über eine einzige glatte Funktion beschrieben, <math>R(z) = R_0 \left[ 1 - \frac{s}{2}\left(1 + \cos\frac{2\pi z}{L_s}\right)\right] \quad \text{falls } |z| \le \frac{L_s}{2}, \qquad R(z) = R_0 \ \text{sonst.}</math> Die Funktion hat drei Eigenschaften, die ihre Wahl begründen. Sie wird erstens über einen einzigen Parameter gesteuert, den Stenosegrad <math>s</math>. Der engste Radius in der Mitte beträgt <math>R(0) = R_0(1-s)</math>, und der Fall ohne Verengung ist einfach der Fall <math>s = 0</math>. Die gesamte Vergleichsreihe entsteht damit aus einem einzigen parametrischen Sweep. Sie geht zweitens an beiden Enden der Störstelle ohne Knick in das gerade Rohr über. Bei <math>z = \pm L_s/2</math> ist der Kosinus gleich minus eins, die Klammer also null, und seine Ableitung verschwindet dort ebenfalls. Das ist nicht nur ästhetisch, sondern numerisch notwendig, denn ein Knick in der Wand erzeugt eine Singularität der Wandschubspannung, deren berechneter Wert mit jeder Netzverfeinerung weiter wüchse. Eine Netzstudie wäre dann sinnlos. Sie ist drittens die in der Literatur gebräuchliche Standardgeometrie für Stenosen, sodass sich die Ergebnisse unmittelbar mit veröffentlichten Rechnungen vergleichen lassen.<ref name="varghese" /> [[Datei:Stenose Gruppe5 Wandkontur.svg|mini|zentriert|800px|Wandkontur <math>R(z)</math> für die untersuchten Stenosegrade. Die Darstellung ist in radialer Richtung gestreckt, das Rechengebiet ist in Wirklichkeit fünfundzwanzigmal länger als breit.]] <!-- FIXME Abbildung mit abbildungen_graph_1d.m fuer s = 0 bis 0,8 neu erzeugen, bisher nur bis 0,5 --> Die Abmessungen des Rechengebiets werden alle aus dem Gefäßradius abgeleitet. Das hat den Vorteil, dass sich das gesamte Modell durch Ändern eines einzigen Wertes auf ein anderes Gefäß übertragen lässt. Die einzelnen Längen werden im Folgenden Schritt für Schritt begründet. # Der '''Gefäßradius''' <math>R_0 = 3\ \mathrm{mm}</math> folgt aus Ultraschallmessungen an gesunden Erwachsenen. Dort wurden für die gemeinsame Halsschlagader mittlere Durchmesser von 6,10 ± 0,80 mm bei Frauen und 6,52 ± 0,98 mm bei Männern gemessen.<ref name="krejza">Krejza, J.; Arkuszewski, M.; Kasner, S. E.; Weigele, J.; Ustymowicz, A.; Hurst, R. W.; Cucchiara, B. L.; Messe, S. R.: ''Carotid artery diameter in men and women and the relation to body and neck size.'' Stroke 37 (2006), Nr. 4, S. 1103-1105. DOI 10.1161/01.STR.0000206440.48756.f7.</ref> Der gewählte Durchmesser von <math>D_0 = 6\ \mathrm{mm}</math> liegt damit innerhalb einer Standardabweichung beider Gruppen und ist bewusst auf einen runden Wert gesetzt, damit alle abgeleiteten Längen glatte Zahlen ergeben. # Die '''Länge der Störstelle''' <math>L_s = 2 D_0 = 12\ \mathrm{mm}</math> entspricht der Standardgeometrie aus der Literatur, die eine Stenosenlänge von zwei Durchmessern verwendet.<ref name="varghese" /> Damit ist beim Stenosegrad 0,5 ein direkter Vergleich mit veröffentlichten Ergebnissen möglich. # Die '''Vorlaufstrecke''' <math>L_u = 5 D_0 = 30\ \mathrm{mm}</math> trennt den Einlass von der Stenose. Da am Einlass bereits das voll entwickelte Profil vorgegeben wird, muss sie nicht die Einlaufstrecke abdecken, sondern nur verhindern, dass die Einströmrandbedingung die Strömung an der Engstelle beeinflusst. Bei Reynoldszahlen in dieser Größenordnung reicht der Einfluss einer Verengung nur wenige Durchmesser stromaufwärts, die Literatur kommt für dieselbe Geometrie mit drei Durchmessern Vorlauf aus.<ref name="varghese" /> Fünf Durchmesser lassen also eine Reserve. Überprüft wird das im Ergebnis, indem die Geschwindigkeit auf der Achse in der Mitte der Vorlaufstrecke mit dem Sollwert <math>2U_0</math> verglichen wird. # Die '''Nachlaufstrecke''' <math>L_d = 20 D_0 = 120\ \mathrm{mm}</math> ist deutlich länger, weil sich hinter der Engstelle ein Rückströmgebiet bildet, das nicht auf den Auslass treffen darf. Für die Geometrie mit dem Stenosegrad 0,5 legt die Strömung bei einer Einström-Reynoldszahl von 500 erst etwa zehn Durchmesser hinter der Engstelle wieder an, die Literatur rechnet mit sechzehn Durchmessern Nachlauf.<ref name="varghese" /> Zwanzig Durchmesser bieten damit für alle Stenosegrade bis 0,5 einen Sicherheitsabstand. Für die Grade ab 0,6 ist ein längeres Rückströmgebiet zu erwarten, dort wird die Lage des Wiederanlegepunktes ausdrücklich kontrolliert. # Das '''Ende des fein vernetzten Nachlaufs''' <math>L_f = L_s/2 + 10 D_0 = 66\ \mathrm{mm}</math> legt fest, bis wohin das Netz verfeinert wird. Der Wert ist so gewählt, dass das erwartete Rückströmgebiet von etwa zehn Durchmessern vollständig im feinen Bereich liegt. Damit hat das Rechengebiet eine Gesamtlänge von <math>L = L_u + L_d = 150\ \mathrm{mm}</math>, also das Fünfundzwanzigfache des Durchmessers. Es ist ein Modellgebiet und kein maßstäbliches Abbild eines bestimmten anatomischen Abschnitts. == Stoff- und Strömungsparameter == Die Stoffwerte des Blutes und der Volumenstrom sind die einzigen Eingangsgrößen, die nicht aus der Geometrie folgen. Aus ihnen werden alle weiteren Strömungskennwerte berechnet. Die folgenden Schritte zeigen jede Rechnung einzeln, damit sich jeder Wert nachprüfen lässt. # Die '''Dichte''' wird mit <math>\rho = 1060\ \mathrm{kg/m^3}</math> angesetzt. Der Wert lässt sich als Mischungsregel plausibel machen. Plasma hat eine Dichte von etwa 1025 kg/m³, rote Blutkörperchen von etwa 1100 kg/m³. Bei einem Zellanteil von 45 % ergibt sich <math>0{,}55 \cdot 1025 + 0{,}45 \cdot 1100 \approx 1059\ \mathrm{kg/m^3}</math>. Die Dichte geht nur über die Reynoldszahl in die Rechnung ein, eine Abweichung von einem Prozent ändert die Ergebnisse daher kaum. <!-- FIXME Lehrbuchquelle fuer Plasma- und Erythrozytendichte ergaenzen --> # Die '''dynamische Viskosität''' wird mit <math>\mu = 3{,}5\ \mathrm{mPa\,s}</math> angesetzt. Das ist der Grenzwert der Blutviskosität bei hohen Scherraten, also genau der Wert, der zur Newtonschen Näherung gehört. Derselbe Wert von 0,035 Poise wird auch im Standardwerk zur Modellierung des Herz-Kreislauf-Systems verwendet.<ref name="quarteroni">Quarteroni, A.; Formaggia, L.: ''Mathematical Modelling and Numerical Simulation of the Cardiovascular System.'' In: Ayache, N. (Hrsg.): ''Computational Models for the Human Body.'' Handbook of Numerical Analysis, Bd. XII, Elsevier, Amsterdam 2004, S. 3-127. DOI 10.1016/S1570-8659(03)12001-7. Zur Newtonschen Näherung in großen Gefäßen siehe S. 30, zur Viskosität von 0,035 Poise die Parametertabelle auf S. 116.</ref> # Der '''mittlere Volumenstrom''' wird mit <math>Q_0 = 6\ \mathrm{ml/s}</math> angesetzt. Das ist der zeitlich gemittelte Volumenstrom, der in der gemeinsamen Halsschlagader gesunder Probanden gemessen wurde.<ref name="holdsworth" /> # Die '''mittlere Geschwindigkeit''' folgt aus Volumenstrom und Querschnittsfläche, <math>U_0 = \frac{Q_0}{\pi R_0^2} = \frac{6 \cdot 10^{-6}\ \mathrm{m^3/s}}{\pi \cdot (0{,}003\ \mathrm{m})^2} = 0{,}2122\ \mathrm{m/s}</math>. # Die '''Reynoldszahl''' des gesunden Gefäßes ist <math>Re_0 = \frac{\rho\, U_0\, D_0}{\mu} = \frac{1060 \cdot 0{,}2122 \cdot 0{,}006}{0{,}0035} = 385{,}6</math>. Sie wird im Folgenden auf 386 gerundet. # Die '''Einlauflänge''', die eine anfangs gleichförmige Strömung bis zum voll entwickelten Parabelprofil bräuchte, beträgt nach der gebräuchlichen Abschätzung für laminare Rohrströmungen <math>L_e \approx 0{,}06\, Re_0\, D_0 \approx 0{,}06 \cdot 386 \cdot 6\ \mathrm{mm} \approx 139\ \mathrm{mm}</math>.<ref name="durst">Durst, F.; Ray, S.; Ünsal, B.; Bayoumi, O. A.: ''The development lengths of laminar pipe and channel flows.'' Journal of Fluids Engineering 127 (2005), Nr. 6, S. 1154-1160. Für große Reynoldszahlen nähert sich die dort angegebene Korrelation dem Wert 0,057·Re·D.</ref> Das ist fast die gesamte Länge des Rechengebiets. Ein konstantes Einlassprofil würde die Strömung an der Stenose also verfälschen, weshalb am Einlass das voll entwickelte Profil vorgegeben wird. Damit liegen alle globalen Parameter fest. Die folgende Tabelle enthält sie mit genau den Namen, unter denen sie in COMSOL und in den Octave-Skripten verwendet werden. {| class="wikitable" |+ Globale Parameter des Modells ! Name !! Ausdruck in COMSOL !! Wert !! Bedeutung !! Herkunft |- | R0 || 3[mm] || 3 mm || Gefäßradius || Messwerte nach Krejza u. a. 2006, gerundet |- | D0 || 2*R0 || 6 mm || Gefäßdurchmesser || abgeleitet |- | Ls || 2*D0 || 12 mm || Länge der Störstelle || Standardgeometrie nach Varghese u. a. 2007 |- | Lu || 5*D0 || 30 mm || Vorlaufstrecke vor der Stenosemitte || Abstand der Einlassbedingung von der Stenose |- | Ld || 20*D0 || 120 mm || Nachlaufstrecke hinter der Stenosemitte || Platz für das Rückströmgebiet |- | Lf || Ls/2+10*D0 || 66 mm || Ende des fein vernetzten Nachlaufs || erwartete Länge des Rückströmgebiets |- | s || 0 bis 0.8 || 0 bis 0,8 || Stenosegrad bezogen auf den Durchmesser || NASCET-Einteilung |- | rho_b || 1060[kg/m^3] || 1060 kg/m³ || Dichte des Blutes || Mischungsregel, Literaturwert |- | mu_b || 3.5[mPa*s] || 3,5 mPa·s || dynamische Viskosität des Blutes || Hochscherwert, Quarteroni und Formaggia 2004 |- | Q0 || 6[ml/s] || 6 ml/s || mittlerer Volumenstrom || Messwerte nach Holdsworth u. a. 1999 |- | U0 || Q0/(pi*R0^2) || 0,2122 m/s || mittlere Einströmgeschwindigkeit || abgeleitet |- | Re0 || rho_b*U0*D0/mu_b || 385,6 || Reynoldszahl des gesunden Gefäßes || abgeleitet |- | dp_ref || 8*mu_b*U0*(Lu+Ld)/R0^2 || 99,03 Pa || Poiseuille-Druckabfall des gesunden Gefäßes || abgeleitet, Hagen-Poiseuille |} = Literaturverzeichnis = Alle Quellen sind an den Stellen im Text angegeben, an denen die zugehörigen Werte oder Aussagen verwendet werden. Die Liste wird aus diesen Angaben automatisch erzeugt. <references /> qf2z4brbggq4r6j504zmxbd2puhgv0c 1116374 1116368 2026-10-16T08:54:04Z Nicole.pander 39567 /* Vorgehen */ 1116374 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Joey Becker * Marie-Thérèse Heitele * Nicole Pander = Thema und Fragestellung = Gegenstand dieses Projekts ist die numerische Simulation der Blutströmung in einer verzweigten Halsschlagader ('''Carotis-Bifurkation''') unter dem Einfluss einer lokalen Gefäßverengung ('''Stenose'''). Im Vergleich zu einfachen Rohrströmungen wird hier die realitätsnahe Gefäßanatomie betrachtet: Die '''Arteria carotis communis (ACC)''' teilt sich in die '''Arteria carotis externa (ACE)''' und die '''Arteria carotis interna (ACI)''' auf. Während die '''ACE''' als gesunder, stenosefreier Ast dient, wird in der '''ACI''' eine geglättete, kosinusförmige Gefäßverengung modelliert. Um scharfe Kanten und unphysiologische Druckspitzen zu vermeiden, werden alle Wandübergänge und die Gabelungsspitze (Apex) anatomisch verrundet. Als Referenz dient ein gesundes, unverengtes Gefäß, in dem sich die Poiseuille-Strömung mit ihrem charakteristischen parabolischen Geschwindigkeitsprofil ausbildet. Diese Strömung ist aus zwei Gründen der natürliche Ausgangspunkt. Sie beschreibt den physiologischen Normalfall, mit dem jeder Stenosegrad verglichen wird, und sie ist exakt lösbar, sodass sich an ihr jede numerische Rechnung prüfen lässt, bevor die Verengung hinzukommt. == Fragestellung == Die Hauptfragestellung dieses Projektes lautet: Wie verändert eine symmetrische bzw. rotationssymmetrische Stenose in der '''Arteria carotis interna (ACI)''' die stationäre Strömung eines inkompressiblen Newton’schen Fluids in einer 2D-Carotis-Bifurkation hinsichtlich Geschwindigkeitsverteilung, Druckabfall, Wandschubspannung und Wirbelbildung im Vergleich zu den gesunden Gefäßabschnitten? Aus dieser Fragestellung ergeben sich drei Teilfragen, an denen sich der Aufbau der Seite orientiert: # Welche Strömungsgrößen reagieren empfindlich auf den Stenosegrad und welche nur träge? # Ab welchem Stenosegrad ändert sich das Strömungsmuster qualitativ, das heißt, ab wann löst die Strömung hinter der Engstelle von der Wand ab und bildet ein Rückströmgebiet? # Wie weit tragen die vereinfachenden Modellannahmen, insbesondere die Annahme einer stationären und laminaren Strömung, über den untersuchten Bereich der Stenosegrade? == Modellannahmen == Im Hinblick darauf werden für dieses Projekt einige Annahmen getroffen, um das Projekt möglichst isoliert zu untersuchen und zu simplifizieren: * '''Idealisierte Gefäßgeometrie''': Betrachtet wird ein Teilabbschnitt der ''Arteria carotis communis'', die sog. ''ACI''. Zudem werden Gefäßverkrümmungen, weitere Verzweigungen und patientenspezifische Strukturen nicht berücksichtigt. * '''Starre Gefäßwand''': Die Gefäßwand wird als unbeweglich und nicht verformbar angenommen. Eine Wechselwirkung zwischen elastischer Gefäßwand und Blutströmung wird nicht modelliert. * '''Stationäre Strömung''': Die Strömungsgrößen werden als zeitlich konstant angenommen. Die im realen Blutkreislauf vorhandene Pulsation durch den Herzschlag wird daher vernachlässigt: <math>\frac{\partial u}{\partial t}=0</math>. * '''Inkompressibles Fluid''': Die Dichte des Fluids wird als konstant angenommen. Damit gilt für die Geschwindigkeit <math>\nabla \cdot u=0</math>. Dies entspricht der in der Vorlesung behandelten Massenerhaltung für inkompressible Fluide: Was in das Gefäß einströmt, muss auch wieder ausströmen. * '''Newton'sche Näherung für Blut''': Reales Blut beseitzt ein nicht newton'sches Fließverhalten. Hier wird Blut als Newton'sches Fluid behandelt. * '''Konstante Stoffeigenschaften''': Dichte <math>\rho</math> und dynamische Viskosität μ werden als räumlich und zeitlich konstant angenommen. Temperaturabhängigkeiten werden nicht berücksichtigt. * '''Laminare Strömung''': Die Strömung wird mit dem COMSOL-Modul ''Laminar Flow'' beschrieben. Ein zusätzliches Turbulenzmodell wird nicht verwendet. * '''No-Slip-Bedingung an Gefäßwand''': Aufgrund der Viskosität wird angenommen, dass das Fluid direkt an der Gefäßwand haftet. Somit gilt <math>u=0</math>. * '''Vernachlässigung der Gravitation''': Gravitation wird nicht berücksichtigt. Die Strömung wird ausschließlich durch die gewählten Ein- und Auslassbedingungen bestimmt. = Relevanz = Die Untersuchung von Gefäßverengungen besitzt sowohl eine medizinische als auch eine methodische Bedeutung. Aus medizinischer Sicht sind arterielle Stenosen – etwa in der Halsschlagader, lat. ''arteria carotis communis'', – kritisch, da sie die Durchblutung beeinträchtigen und durch veränderte Wandschubspannungen sowie die Bildung von Wirbeln weitere Gefäßablagerungen begünstigen. Stenosen im Bereich der Karotisgabelung sind klinisch hochrelevant, da sie das Gehirn direkt versorgen und das Risiko für embolische Schlaganfälle erhöhen. Fachlich überträgt das Projekt damit die Prinzipien der Strömungsmechanik direkt auf eine biomedizinische Anwendung. Das Projekt verknüpft somit theoretische Grundlagen der Strömungsmechanik (Hagen-Poiseuille-Gleichung, Navier-Stokes-Gleichungen) mit der numerischen Simulation in COMSOL Multiphysics. Durch den Vergleich der '''gesunden Externa (ACE)''' mit der '''stenoisierten Interna (ACI)''' innerhalb desselben Rechengebiets wird die isolierte Wirkung der Stenose unter identischen Randbedingungen direkt sichtbar gemacht. == Medizinische Relevanz == Arterielle Stenosen entstehen überwiegend durch Atherosklerose, also durch Ablagerungen aus Lipiden, Bindegewebe und Kalk in der Gefäßwand. In der Halsschlagader sind sie klinisch besonders bedeutsam, weil sie die Durchblutung des Gehirns beeinträchtigen und weil sich an ihnen Thromben bilden können, die als Embolie einen Schlaganfall auslösen. Dass die operative Entfernung einer hochgradigen Karotisstenose das Schlaganfallrisiko symptomatischer Patienten deutlich senkt, hat die NASCET-Studie gezeigt, deren Einteilung der Stenosegrade dieses Projekt übernimmt.<ref name="nascet">North American Symptomatic Carotid Endarterectomy Trial Collaborators: ''Beneficial effect of carotid endarterectomy in symptomatic patients with high-grade carotid stenosis.'' New England Journal of Medicine 325 (1991), Nr. 7, S. 445-453.</ref> Strömungsmechanisch ist an einer Stenose vor allem die Wandschubspannung von Interesse, also die tangentiale Kraft je Fläche, die das strömende Blut auf die innerste Zellschicht der Gefäßwand ausübt. Gesunde Halsschlagadern weisen zeitlich gemittelte Werte von etwa 1,1 bis 1,5 Pa auf.<ref name="samijo">Samijo, S. K.; Willigers, J. M.; Barkhuysen, R.; Kitslaar, P. J. E. H. M.; Reneman, R. S.; Brands, P. J.; Hoeks, A. P. G.: ''Wall shear stress in the human common carotid artery as function of age and gender.'' Cardiovascular Research 39 (1998), Nr. 2, S. 515-522.</ref> In einer Engstelle steigt sie stark an, unmittelbar dahinter fällt sie im Ablösegebiet auf nahezu null und wechselt dort sogar das Vorzeichen. Niedrige und im Vorzeichen wechselnde Wandschubspannungen gelten als Bedingungen, unter denen sich weitere Ablagerungen bevorzugt bilden. Eine bestehende Stenose schafft also stromabwärts die Voraussetzungen für ihr eigenes Wachstum. Genau diese Verteilung lässt sich im Körper nur schwer messen, in einer Simulation dagegen unmittelbar auswerten. == Methodische Relevanz == Fachlich überträgt das Projekt die Prinzipien der Strömungsmechanik aus der Vorlesung auf eine biomedizinische Anwendung.<ref name="hundertmark">Hundertmark, A.: ''Fluiddynamik.'' Vorlesungsunterlagen zum Modul Räumliche Modellbildung, RPTU Kaiserslautern-Landau, Sommersemester 2026.</ref> Der methodische Mehrwert liegt in der Verknüpfung mehrerer Zugänge, die sich gegenseitig kontrollieren. Die analytische Poiseuille-Lösung liefert exakte Sollwerte für das gesunde Gefäß. Ein reduziertes Graphenmodell liefert für jeden Stenosegrad eine schnelle Abschätzung, die analytisch nachrechenbar ist. Die Simulationen in COMSOL Multiphysics lösen schließlich die vollständigen Navier-Stokes-Gleichungen in zwei und drei Raumdimensionen. Weil jede Stufe die Sollwerte der nächsten liefert, zeigt das Projekt nicht nur Ergebnisse, sondern auch, wie numerische Modelle aufgebaut, verifiziert und an ihren Grenzen bewertet werden. == Auswahl der Stenosegrade == Um die untersuchten Gefäßverengungen nicht willkürlich festzulegen, orientiert sich die Auswahl der Stenosegrade an der klinisch gebräuchlichen NASCET-Klassifikation von Karotisstenosen.<ref name="nascet" /> Zur klinischen Einordnung werden Karotisstenosen anhand der nach NASCET bestimmten Durchmesserreduktion in leichtgradige, mittelgradige und hochgradige Stenosen eingeteilt. Die angegebenen Prozentgrenzen dienen in diesem Projekt als Orientierung für die Auswahl der untersuchten Stenosegrade. Ein vollständiger Gefäßverschluss wird als Okklusion bezeichnet. {| class="wikitable" |+ Klinische Einteilung nach NASCET-gemessener Durchmesserreduktion und untersuchte Stenosegrade ! Schweregrad !! Durchmesserreduktion !! im Projekt gerechnete Stenosegrade !! hervorgehobener Vertreter |- | gesundes Gefäß || 0 % || 0 || 0 |- | leichtgradige Stenose || unter 50 % || 0,1 bis 0,4 || 0,3 |- | mittelgradige Stenose || 50 bis 69 % || 0,5 und 0,6 || 0,6 |- | hochgradige Stenose || 70 bis 99 % || 0,7 und 0,8 || 0,8 |- | Okklusion || 100 % || nicht gerechnet || entfällt |} '''Anmerkung''': Die Klassengrenzen dienen der Einordnung der Modellvarianten. Die in der Tabelle genannten Stenosegrade sind dimensionslose Werte, beispielsweise entspricht '''<math>s=0{,}6</math>''' einer Durchmesserreduktion von '''60 %'''. Für die numerische Untersuchung wird aus jeder Kategorie ein repräsentativer Stenosegrad hervorgehoben. Neben dem gesunden Gefäß mit '''0 %''' Stenose sind das eine '''30 %''' Stenose als Beispiel für eine leichtgradige, eine '''60 %''' Stenose als Beispiel für eine mittelgradige und eine '''80 %''' Stenose als Beispiel für eine hochgradige Verengung. Zusätzlich werden für das Graphenmodell und das achsensymmetrische Flächenmodell Stenosegrade von 0 bis 80 % in Schritten von zehn Prozentpunkten vorgesehen. Dadurch kann die Abhängigkeit der Strömungsgrößen vom Stenosegrad systematisch untersucht und grafisch dargestellt werden. Ob alle Modellvarianten tatsächlich berechnet wurden und wie hoch der Rechenaufwand war, wird anhand der durchgeführten Simulationen dokumentiert. Ein vollständiger Gefäßverschluss wird nicht simuliert, da in diesem Fall keine durchgängige Strömung mehr vorliegt. Der Stenosegrad wird in diesem Projekt wie bei NASCET über die Verringerung des Gefäßdurchmessers beschrieben, <math>s = 1 - \frac{d_{\min}}{d_{\mathrm{ref}}},</math> wobei <math>d_{\min}</math> der kleinste Durchmesser in der Engstelle und <math>d_{\mathrm{ref}}</math> ein Referenzdurchmesser ist. NASCET verwendet als Referenz den Durchmesser des gesunden Gefäßes stromabwärts der Stenose. Für das idealisierte gerade Gefäßmodell wird ein konstanter Referenzdurchmesser von <math>D_0=6\,\mathrm{mm}</math> angenommen. Da das Gefäß außerhalb der Stenose denselben Durchmesser besitzt, gilt in diesem Modell<math>d_{\mathrm{ref}}=D_0</math>. Bei der zusätzlich betrachteten Gefäßaufzweigung muss der Referenzdurchmesser dagegen gesondert festgelegt werden, da die Gefäßäste unterschiedliche Durchmesser besitzen. Wichtig für das Verständnis aller weiteren Ergebnisse ist der Unterschied zwischen Durchmesser- und Flächenreduktion. Da die Querschnittsfläche quadratisch vom Durchmesser abhängt, gilt für die Flächenreduktion <math>1-(1-s)^2</math>. Eine im klinischen Sinn nur mittelgradige Stenose von 60 % verschließt damit bereits 84 % der Querschnittsfläche. {| class="wikitable" |+ Durchmesser- und Flächenreduktion der gerechneten Stenosegrade ! Stenosegrad s !! 0 !! 0,1 !! 0,2 !! 0,3 !! 0,4 !! 0,5 !! 0,6 !! 0,7 !! 0,8 |- | engster Durchmesser in mm || 6,0 || 5,4 || 4,8 || 4,2 || 3,6 || 3,0 || 2,4 || 1,8 || 1,2 |- | Flächenreduktion || 0 % || 19 % || 36 % || 51 % || 64 % || 75 % || 84 % || 91 % || 96 % |} Eine Einschränkungen gehört zur ehrlichen Einordnung: # Mit zunehmendem Stenosegrad, insbesondere bei ausgeprägten Verengungen, können lokale Beschleunigungen, Strömungsablösungen und zeitabhängige Strömungsstrukturen auftreten. Daher muss bei den hochgradigen Stenosen geprüft werden, inwieweit die Annahme einer stationären, laminaren Strömung geeignet ist. Eine feste Grenze bei <math>s=0{,}6</math> lässt sich ohne entsprechende Simulationsergebnisse oder Literaturbelege nicht allgemein festlegen. Die hochgradigen Fälle werden deshalb unter besonderer Berücksichtigung der Modellannahmen diskutiert. Unter Modellierung wird in diesem Projekt die Übertragung der Blutströmung in einer verengten Arterie auf ein mathematisches und numerisch lösbares Strömungsproblem verstanden. Dazu werden die Gefäßgeometrie, die zugrunde liegenden Gleichungen, die physikalischen Materialparameter sowie die Anfangs- und Randbedingungen festgelegt. Jeder dieser Bestandteile beruht auf vereinfachenden Annahmen, die begründet und bei der Interpretation der Ergebnisse berücksichtigt werden müssen. Ziel ist es, den Einfluss unterschiedlicher Stenosegrade auf die Strömungsgeschwindigkeit, den Druckverlust und gegebenenfalls die Wandschubspannung systematisch zu untersuchen. Die Modellierung erfolgt anhand mehrerer Modellvarianten mit unterschiedlicher räumlicher Auflösung. Dadurch können zunächst grundlegende Zusammenhänge analytisch abgeschätzt und anschließend mit numerischen Strömungsberechnungen verglichen werden. Die verwendeten Parameter orientieren sich an den bereitgestellten Referenzdaten und werden in den folgenden Abschnitten erläutert. == Modellierung == Ziel der Modellierung ist es, die Blutströmung innerhalb einer Y-förmigen Aufzweigung der Halsschlagader mathematisch und numerisch zu untersuchen. Im Mittelpunkt steht eine Gefäßverengung (Stenose) in der Arteria carotis interna. Das betrachtete Gefäßmodell besteht aus der Arteria carotis communis, die sich in die Arteria carotis interna und die Arteria carotis externa aufteilt. Die Stenose befindet sich ausschließlich in der Arteria carotis interna. Durch die Verengung verändert sich der verfügbare Strömungsquerschnitt. Dies kann zu einer Erhöhung der lokalen Strömungsgeschwindigkeit, zu zusätzlichen Druckverlusten und zu einer Veränderung der Strömungsverteilung zwischen den beiden Gefäßästen führen. Ziel ist es, den Einfluss unterschiedlicher Stenosegrade auf die Strömungsgeschwindigkeit, die Druckverteilung und die Wandschubspannung zu untersuchen. Zusätzlich soll betrachtet werden, wie sich die Strömung innerhalb der Y-förmigen Gefäßaufzweigung verhält. Die numerische Modellierung erfolgt mit COMSOL Multiphysics. Dazu werden die Gefäßgeometrie, die Materialeigenschaften des Blutes, die Strömungsgleichungen und die Randbedingungen festgelegt. Zur Vereinfachung wird Blut zunächst als inkompressibles, Newtonsches Fluid betrachtet. Die Gefäßwände werden als starr angenommen. Diese Annahmen ermöglichen eine systematische Untersuchung der Stenose, schränken jedoch die Übertragbarkeit auf reale physiologische Bedingungen ein. === Modellhierarchie === Für die Untersuchung der Blutströmung innerhalb der Y-förmigen Karotisaufzweigung werden drei Modellvarianten betrachtet. Diese unterscheiden sich hinsichtlich ihrer räumlichen Dimension, ihrer mathematischen Beschreibung und der Genauigkeit, mit der die Strömungsverhältnisse dargestellt werden können. Das untersuchte Gefäß besteht aus der Arteria carotis communis, die sich in die Arteria carotis interna und die Arteria carotis externa aufteilt. Die Stenose befindet sich ausschließlich in der Arteria carotis interna. Alle drei Modellvarianten werden mit COMSOL Multiphysics umgesetzt. {| class="wikitable" style="width:100%;" |+ '''Die drei Modellvarianten des Projekts''' |- ! Modell ! Raumdimension ! Mathematische Grundlage ! Zweck ! Werkzeug |- | '''Graphenmodell''' | 1D, Gefäßnetzwerk mit einer Verzweigung | Massenerhaltung an der Verzweigung und vereinfachte Beschreibung der Strömungswiderstände | Abschätzung der Volumenstromverteilung und der Druckverluste in den Gefäßästen | COMSOL Multiphysics |- | '''Ebenes Flächenmodell''' | 2D, Y-förmige Gefäßgeometrie in kartesischen Koordinaten | Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen | Untersuchung der Geschwindigkeits- und Druckverteilung sowie der Auswirkungen der Stenose in der Arteria carotis interna | COMSOL Multiphysics, Laminare Strömung |- | '''Volumenmodell''' | 3D, räumliche Y-förmige Gefäßgeometrie | Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen | Räumliche Untersuchung des Geschwindigkeitsfeldes, des Druckverlustes und der Wandschubspannung | COMSOL Multiphysics, Laminare Strömung |} ==== Vergleich und Überprüfung der Modellvarianten ==== Die drei Modellvarianten bauen hinsichtlich ihrer räumlichen Beschreibung aufeinander auf. Das Graphenmodell ermöglicht zunächst eine vereinfachte Betrachtung der Volumenströme und Druckverluste. Die zwei- und dreidimensionalen Modelle erlauben anschließend eine detailliertere Untersuchung der Strömung innerhalb der Gefäßaufzweigung. Das '''Graphenmodell''' beschreibt die Arteria carotis communis sowie die beiden abzweigenden Gefäße als miteinander verbundenes Netzwerk. Dabei wird die Massenerhaltung an der Verzweigung berücksichtigt: :<math>Q_{\mathrm{CCA}}=Q_{\mathrm{ICA}}+Q_{\mathrm{ECA}}</math> Das Modell liefert vereinfachte Abschätzungen der Volumenstromverteilung. Lokale Strömungsablösungen und räumliche Geschwindigkeitsverteilungen können damit nicht detailliert dargestellt werden. Das '''ebene Flächenmodell''' bildet die Y-förmige Gefäßaufzweigung in zwei Raumdimensionen ab. Die Stenose wird innerhalb der Arteria carotis interna berücksichtigt. Dadurch können die Geschwindigkeits- und Druckverteilung sowie mögliche Rückströmungsbereiche untersucht werden. Das '''Volumenmodell''' erweitert die Untersuchung auf drei Raumdimensionen. Es ermöglicht eine räumliche Darstellung der Strömung und eine detailliertere Berechnung der Wandschubspannung. Die Ergebnisse des ebenen Flächenmodells und des Volumenmodells werden miteinander verglichen. Da das ebene Modell die räumliche Querschnittsgeometrie nur vereinfacht darstellt, müssen Unterschiede zwischen den beiden Modellen bei der Interpretation berücksichtigt werden. Ziel der Modellhierarchie ist es, die Aussagekraft der einzelnen Modellvarianten zu bewerten und den Einfluss des Stenosegrades auf die Strömung innerhalb der Y-förmigen Karotisaufzweigung zu untersuchen. === Simulationsgebiet und Geometrie === Das Simulationsgebiet besteht aus einer idealisierten Y-förmigen Aufzweigung der Arteria carotis. Die Arteria carotis communis teilt sich in die Arteria carotis interna und die Arteria carotis externa. Die Stenose befindet sich in der Arteria carotis interna. Die Arteria carotis externa wird ohne zusätzliche Verengung modelliert. Die Geometrie orientiert sich an den bereitgestellten Referenzdaten. Die Gefäßdurchmesser werden innerhalb der jeweiligen unverengten Abschnitte als konstant angenommen. {| class="wikitable" style="width:100%;" |+ '''Geometrische Referenzparameter der Y-förmigen Gefäßaufzweigung''' |- ! Gefäßabschnitt ! Durchmesser ! Länge |- | Arteria carotis communis | 6 mm | 60 mm |- | Arteria carotis interna | 5 mm | 60 mm |- | Arteria carotis externa | 4 mm | 60 mm |- | Stenose in der Arteria carotis interna | Abhängig vom Stenosegrad | 10 bzw. 20 mm |} Die Verengung wird über den Stenosegrad <math>s</math> beschrieben. Dieser gibt die relative Verringerung des Gefäßdurchmessers an: :<math>s=1-\frac{d_{\min}}{D_{\mathrm{ICA}}}</math> Dabei bezeichnet <math>d_{\min}</math> den minimalen Durchmesser innerhalb der Stenose und <math>D_{\mathrm{ICA}}</math> den unverengten Referenzdurchmesser der Arteria carotis interna. Für das Modell gilt: :<math>D_{\mathrm{ICA}}=5\,\mathrm{mm}</math> Der minimale Durchmesser ergibt sich damit zu: :<math>d_{\min}=D_{\mathrm{ICA}}(1-s)</math> {| class="wikitable" |+ '''Minimaler Durchmesser der Stenose in der Arteria carotis interna''' |- ! Stenosegrad ! Minimaler Durchmesser |- | 0 % | 5,0 mm |- | 10 % | 4,5 mm |- | 20 % | 4,0 mm |- | 30 % | 3,5 mm |- | 40 % | 3,0 mm |- | 50 % | 2,5 mm |- | 60 % | 2,0 mm |- | 70 % | 1,5 mm |- | 80 % | 1,0 mm |} Die angegebenen Stenosegrade beziehen sich ausschließlich auf den Durchmesser der Arteria carotis interna. Der Durchmesser der Arteria carotis communis wird nicht zur Berechnung des Stenosegrades verwendet. Die Y-förmige Geometrie ermöglicht es, die Auswirkungen der Verengung sowohl auf die lokale Strömung in der Arteria carotis interna als auch auf die Strömungsverteilung innerhalb der gesamten Gefäßaufzweigung zu untersuchen. Die genaue Form der Stenose, der Verzweigungswinkel und die Übergänge zwischen den Gefäßabschnitten müssen entsprechend der tatsächlich in COMSOL verwendeten Geometrie dokumentiert werden. == Stoff- und Strömungsparameter == Die Stoffwerte des Blutes und der Volumenstrom sind die einzigen Eingangsgrößen, die nicht aus der Geometrie folgen. Aus ihnen werden alle weiteren Strömungskennwerte berechnet. Die folgenden Schritte zeigen jede Rechnung einzeln, damit sich jeder Wert nachprüfen lässt. # Die '''Dichte''' wird mit <math>\rho = 1060\ \mathrm{kg/m^3}</math> angesetzt. Der Wert lässt sich als Mischungsregel plausibel machen. Plasma hat eine Dichte von etwa 1025 kg/m³, rote Blutkörperchen von etwa 1100 kg/m³. Bei einem Zellanteil von 45 % ergibt sich <math>0{,}55 \cdot 1025 + 0{,}45 \cdot 1100 \approx 1059\ \mathrm{kg/m^3}</math>. Die Dichte geht nur über die Reynoldszahl in die Rechnung ein, eine Abweichung von einem Prozent ändert die Ergebnisse daher kaum. <!-- FIXME Lehrbuchquelle fuer Plasma- und Erythrozytendichte ergaenzen --> # Die '''dynamische Viskosität''' wird mit <math>\mu = 3{,}5\ \mathrm{mPa\,s}</math> angesetzt. Das ist der Grenzwert der Blutviskosität bei hohen Scherraten, also genau der Wert, der zur Newtonschen Näherung gehört. Derselbe Wert von 0,035 Poise wird auch im Standardwerk zur Modellierung des Herz-Kreislauf-Systems verwendet.<ref name="quarteroni">Quarteroni, A.; Formaggia, L.: ''Mathematical Modelling and Numerical Simulation of the Cardiovascular System.'' In: Ayache, N. (Hrsg.): ''Computational Models for the Human Body.'' Handbook of Numerical Analysis, Bd. XII, Elsevier, Amsterdam 2004, S. 3-127. DOI 10.1016/S1570-8659(03)12001-7. Zur Newtonschen Näherung in großen Gefäßen siehe S. 30, zur Viskosität von 0,035 Poise die Parametertabelle auf S. 116.</ref> # Der '''mittlere Volumenstrom''' wird mit <math>Q_0 = 6\ \mathrm{ml/s}</math> angesetzt. Das ist der zeitlich gemittelte Volumenstrom, der in der gemeinsamen Halsschlagader gesunder Probanden gemessen wurde.<ref name="holdsworth" /> # Die '''mittlere Geschwindigkeit''' folgt aus Volumenstrom und Querschnittsfläche, <math>U_0 = \frac{Q_0}{\pi R_0^2} = \frac{6 \cdot 10^{-6}\ \mathrm{m^3/s}}{\pi \cdot (0{,}003\ \mathrm{m})^2} = 0{,}2122\ \mathrm{m/s}</math>. # Die '''Reynoldszahl''' des gesunden Gefäßes ist <math>Re_0 = \frac{\rho\, U_0\, D_0}{\mu} = \frac{1060 \cdot 0{,}2122 \cdot 0{,}006}{0{,}0035} = 385{,}6</math>. Sie wird im Folgenden auf 386 gerundet. # Die '''Einlauflänge''', die eine anfangs gleichförmige Strömung bis zum voll entwickelten Parabelprofil bräuchte, beträgt nach der gebräuchlichen Abschätzung für laminare Rohrströmungen <math>L_e \approx 0{,}06\, Re_0\, D_0 \approx 0{,}06 \cdot 386 \cdot 6\ \mathrm{mm} \approx 139\ \mathrm{mm}</math>.<ref name="durst">Durst, F.; Ray, S.; Ünsal, B.; Bayoumi, O. A.: ''The development lengths of laminar pipe and channel flows.'' Journal of Fluids Engineering 127 (2005), Nr. 6, S. 1154-1160. Für große Reynoldszahlen nähert sich die dort angegebene Korrelation dem Wert 0,057·Re·D.</ref> Das ist fast die gesamte Länge des Rechengebiets. Ein konstantes Einlassprofil würde die Strömung an der Stenose also verfälschen, weshalb am Einlass das voll entwickelte Profil vorgegeben wird. Damit liegen alle globalen Parameter fest. Die folgende Tabelle enthält sie mit genau den Namen, unter denen sie in COMSOL und in den Octave-Skripten verwendet werden. {| class="wikitable" |+ Globale Parameter des Modells ! Name !! Ausdruck in COMSOL !! Wert !! Bedeutung !! Herkunft |- | R0 || 3[mm] || 3 mm || Gefäßradius || Messwerte nach Krejza u. a. 2006, gerundet |- | D0 || 2*R0 || 6 mm || Gefäßdurchmesser || abgeleitet |- | Ls || 2*D0 || 12 mm || Länge der Störstelle || Standardgeometrie nach Varghese u. a. 2007 |- | Lu || 5*D0 || 30 mm || Vorlaufstrecke vor der Stenosemitte || Abstand der Einlassbedingung von der Stenose |- | Ld || 20*D0 || 120 mm || Nachlaufstrecke hinter der Stenosemitte || Platz für das Rückströmgebiet |- | Lf || Ls/2+10*D0 || 66 mm || Ende des fein vernetzten Nachlaufs || erwartete Länge des Rückströmgebiets |- | s || 0 bis 0.8 || 0 bis 0,8 || Stenosegrad bezogen auf den Durchmesser || NASCET-Einteilung |- | rho_b || 1060[kg/m^3] || 1060 kg/m³ || Dichte des Blutes || Mischungsregel, Literaturwert |- | mu_b || 3.5[mPa*s] || 3,5 mPa·s || dynamische Viskosität des Blutes || Hochscherwert, Quarteroni und Formaggia 2004 |- | Q0 || 6[ml/s] || 6 ml/s || mittlerer Volumenstrom || Messwerte nach Holdsworth u. a. 1999 |- | U0 || Q0/(pi*R0^2) || 0,2122 m/s || mittlere Einströmgeschwindigkeit || abgeleitet |- | Re0 || rho_b*U0*D0/mu_b || 385,6 || Reynoldszahl des gesunden Gefäßes || abgeleitet |- | dp_ref || 8*mu_b*U0*(Lu+Ld)/R0^2 || 99,03 Pa || Poiseuille-Druckabfall des gesunden Gefäßes || abgeleitet, Hagen-Poiseuille |} = Implementierung des 2D-Modells in COMSOL Multiphysics = == Zielsetzung des zweidimensionalen Modells == Im Rahmen des Projekts wurde mit COMSOL Multiphysics ein zweidimensionales Modell der menschlichen Halsschlagader erstellt. Ziel ist es, die Blutströmung innerhalb einer Gefäßverzweigung zu untersuchen und insbesondere die Auswirkungen einer lokalen Gefäßverengung (Stenose) auf das Strömungsverhalten zu analysieren. Das Modell bildet die Aufzweigung der Arteria carotis communis (ACC) in die Arteria carotis interna (ACI) und die Arteria carotis externa (ACE) ab. Während die ACE als gesunder Gefäßabschnitt betrachtet wird, befindet sich in der ACI eine lokale Verengung. Dadurch können die Strömungsverhältnisse in beiden Ästen miteinander verglichen werden. Die zweidimensionale Modellierung dient dazu, die Geschwindigkeitsverteilung, den Druckabfall und die Wandschubspannung zu untersuchen. Zusätzlich soll festgestellt werden, ob sich hinter der Stenose Bereiche mit Strömungsablösungen oder Rückströmungen ausbilden. ==Vorgehen== Für die numerische Untersuchung in COMSOL Multiphysics 6.2 zunächst ein zweidimensionales Modell mit der Physik ''Laminare Strömung'' und einer ''stationären Studie'' angelegt. Die Gefäßgeometrie wurde vollständig parametrisiert, damit Durchmesser, Gefäßlängen, Verzweigungswinkel, Stenosegrad sowie die Stenoselänge veränderbar sind, ohne das Modell jeweils neu zu zeichnen. Das gemeinsame Zuflussgefäß stellt die Arteria carotis communis mit einem Durchmesser von <math>6\,\mathrm{mm}</math> dar. Nach einem geraden Einlaufabschnitt von <math>60\,\mathrm{mm}</math> teilt es sich V-förmig in die beiden Tochtergefäße auf. Die Arteria carotis interna wird mit einem Durchmesser von <math>5\,\mathrm{mm}</math>, die Arteria carotis externa mit <math>4\,\mathrm{mm}</math> modelliert. Beide Tochtergefäße sind jeweils <math>60\,\mathrm{mm}</math> lang. Die Grundgeometrie wurde als zusammenhängender zweidimensionaler Volumenkörper aufgebaut. Die beiden Tochtergefäße verlaufen nach der Bifurkation unter einem Winkel auseinander, sodass eine idealisierte Y-förmige Karotisgabel entsteht. Die Übergänge zwischen dem gemeinsamen Gefäß und den beiden Ästen wurden bewusst vereinfacht, aber ohne abrupte Querschnittssprünge gestaltet. Auf diese Weise bleibt die Geometrie ausreichend einfach für einen systematischen Vergleich verschiedener Modellvarianten, bildet die typische Aufzweigung einer Karotis. Die Stenose befindet sich ausschließlich in der Arteria carotis interna. Um die Verengung nicht durch gerade Polygonsegmente mit scharfen Knicken darzustellen, wurde ihre Kontur mithilfe von zwei parametrischen Kosinuskurven erzeugt. Zur Beschreibung der Stenose wird eine parametrische Kurve mit dem Hilfsparameter <math>t</math> verwendet. Dieser nimmt Werte zwischen <math>-1</math> und <math>1</math> an. Über die Beziehung <math>x(t)=x_\mathrm{st}+\frac{L_\mathrm{st}}{2}t</math> wird der Parameter auf die räumliche Position entlang des Gefäßes übertragen. Für <math>t=-1</math> liegt der Beginn der Stenose bei <math>x_\mathrm{st}-L_\mathrm{st}/2</math>, für <math>t=0</math> befindet sich die Kurve in der Stenosenmitte und für <math>t=1</math> am Ende bei <math>x_\mathrm{st}+L_\mathrm{st}/2</math>. Dadurch kann die Länge der Stenose über den Parameter <math>L_\mathrm{st}</math> verändert werden, ohne ihre Mittelpunktposition <math>x_\mathrm{st}</math> zu verschieben. Die Einengung wächst vom Beginn der Stenose kontinuierlich bis zur Engstelle an und nimmt danach ebenso kontinuierlich wieder ab. Dadurch entstehen glatte Wandübergänge. Die Stärke der Einengung wird über den dimensionslosen Stenosegrad <math>s</math> gesteuert. Für einen unverengten Durchmesser der Arteria carotis interna von <math>D_\mathrm{ACI}=5\,\mathrm{mm}</math> ergibt sich bei einem Stenosegrad von <math>s=0{,}3</math> eine minimale Gefäßweite von <math>3{,}5\,\mathrm{mm}</math>, bei <math>s=0{,}6</math> von <math>2{,}0\,\mathrm{mm}</math> und bei <math>s=0{,}8</math> von <math>1{,}0\,\mathrm{mm}</math>. Die minimale Gefäßweite ergibt sich allgemein aus <math>d_\mathrm{min}=D_\mathrm{ACI}(1-s)</math>. Die beiden parametrischen Kurven wurden mit Hilfslinien zu geschlossenen Flächen ergänzt und anschließend über „Umwandeln in Volumenkörper“ in Flächenobjekte überführt. Mithilfe einer Differenzoperation wurden diese Flächen aus dem Gefäßgebiet ausgeschnitten. Auf diese Weise bleibt die Grundgeometrie des Gefäßes unverändert, während Stenosegrad und Stenosenlänge allein über globale Parameter variiert werden können. Für die Strömung wurde Blut als inkompressibles Newtonsches Fluid mit konstanter Dichte und Viskosität angenähert. Verwendet werden eine Dichte von <math>\rho=1060\,\mathrm{kg/m^3}</math> und eine dynamische Viskosität von <math>\mu=3,5\,\mathrm{mPa s}</math>. Am Einlass wird ein voll entwickeltes Geschwindigkeitsprofil vorgegeben. Aus dem auf der Projektseite angesetzten mittleren Volumenstrom von <math>6\,\mathrm{ml/s}</math> ergibt sich für das <math>6\,\mathrm{mm}</math> breite Zuflussgefäß eine mittlere Geschwindigkeit von rund <math>0{,}21\,\mathrm{m/s}</math>. An beiden Auslässen wird derselbe Referenzdruck vorgegeben, während an sämtlichen Gefäßwänden die Haftbedingung (No Slip) gilt. Nach Fertigstellung der Geometrie wurde ein physikgesteuertes Finite-Elemente-Netz erzeugt und die stationäre Navier-Stokes-Strömung berechnet. Anschließend wurden insbesondere der Geschwindigkeitsbetrag, die Druckverteilung und die Stromlinien ausgewertet. Die Stromlinien dienen dabei nicht nur der Visualisierung der Aufteilung des Blutstroms an der Bifurkation, sondern auch zur Erkennung möglicher Ablöse- und Rückströmungsgebiete hinter der Stenose. Zusätzlich kann die Wandschubspannung entlang der Gefäßwand ausgewertet werden. Die verschiedenen Stenosegrade werden jeweils bei ansonsten identischen Randbedingungen miteinander und mit dem gesunden Referenzfall verglichen. == Ergebnisse der 2D-Strömungssimulation == === Geschwindigkeitsverteilung und Stromlinien === Zur Untersuchung der Blutströmung innerhalb der ''Carotis-Bifurkation'' wurde in COMSOL eine zweidimensionale Geschwindigkeitsdarstellung erstellt. Hierfür wird der Geschwindigkeitsbetrag ''spf.U'' verwendet. Zusätzlich wurden Stromlinien eingerichtet, um den Verlauf der Strömung innerhalb der Gefäßverzweigung zu veranschaulichen. Die Darstellung des Geschwindigkeitsbetrags erfolgt mithilfe einer Farbskala. Dadurch lassen sich Bereiche unterschiedlicher Strömungsgeschwindigkeiten voneinander unterscheiden. Die Stromlinien verdeutlichen zusätzlich, wie das Blut vom gemeinsamen Zuflussgefäß in die beiden Gefäßäste umgelenkt wird. Von besonderem Interesse ist der Bereich der Stenose. Durch die Verringerung des verfügbaren Strömungsquerschnitts ist dort bei entsprechendem Durchfluss eine Beschleunigung des Blutes zu erwarten. Hinter der Engstelle erweitert sich der Querschnitt wieder, wodurch sich das Strömungsprofil erneut verändern kann. Mithilfe der Stromlinien lässt sich außerdem untersuchen, ob die Strömung nach der Verengung weiterhin gleichmäßig verläuft oder ob sich lokale Ablösungen und Rückströmungsgebiete ausbilden. FEHLEND: BILD UND BESCHREIBUNG DAZU === Druckverteilung === Neben der Geschwindigkeitsverteilung wurde in COMSOL eine Darstellung der Druckverteilung angelegt. Diese erfolgt über Isolinien des Drucks p. Isolinien verbinden Punkte, an denen derselbe Druck herrscht. Die Druckverteilung ist insbesondere im Bereich der Gefäßverzweigung und der Stenose von Bedeutung. Beim Durchströmen der Verengung verändert sich die Geschwindigkeit des Blutes, wodurch auch der lokale statische Druck beeinflusst wird. Zusätzlich entstehen aufgrund der Viskosität des Blutes und der geometrischen Veränderungen Druckverluste. Diese sind für die Beurteilung des Strömungswiderstands relevant. Mit der Druckdarstellung kann untersucht werden, wie sich der Druck entlang des Gefäßes verändert und welche Unterschiede zwischen dem gemeinsamen Zufluss und den beiden Auslaufästen auftreten. = Grenzen des Modells = * Die untersuchte Gefäßgeometrie ist eine idealisierte Darstellung der Karotisaufzweigung. Individuelle anatomische Unterschiede werden nicht berücksichtigt. * Darüber hinaus werden die Gefäßwände als starr angenommen und Blut wird durch ein inkompressibles Newtonsches Fluid mit konstanter Viskosität beschrieben. * Die Strömung wird stationär berechnet. Die natürliche Pulsation des Blutflusses und zeitabhängige Effekte bleiben damit unberücksichtigt. * Insbesondere bei hochgradigen Stenosen können zeitabhängige Strömungsablösungen auftreten, die durch eine stationäre Modellierung nicht vollständig beschrieben werden. * Das Graphenmodell kann lokale Strömungsphänomene nicht detailliert erfassen. Das ebene Flächenmodell vereinfacht die räumliche Gefäßgeometrie. Auch das dreidimensionale Modell bleibt aufgrund der idealisierten Geometrie und der vereinfachten Materialannahmen eine Annäherung an die reale Blutströmung. * Die Ergebnisse sind daher als strömungsmechanische Untersuchung eines idealisierten Modells zu interpretieren und nicht als patientenspezifische medizinische Vorhersage. AB HIER ALT== Modellhierarchie == Für die Untersuchung werden vier Modellvarianten betrachtet, die sich hinsichtlich ihrer mathematischen Beschreibung, ihrer räumlichen Dimension und ihres Rechenaufwands unterscheiden. Die Modelle sind bewusst von einer vereinfachten analytischen Beschreibung bis zu einer dreidimensionalen numerischen Simulation angeordnet. Diese Vorgehensweise ermöglicht es, die Ergebnisse der komplexeren Modelle anhand grundlegender physikalischer Zusammenhänge und geeigneter Referenzfälle zu überprüfen. Dabei ist zu beachten, dass nicht jede Modellvariante dieselben Strömungseigenschaften vollständig abbilden kann. {| class="wikitable" style="width:100%;" |+ '''Die vier Modellvarianten des Projekts''' |- ! Modell ! Raumdimension ! Mathematische Grundlage ! Zweck ! Werkzeug |- | '''Graphenmodell''' | 1D, Beschreibung entlang der Gefäßachse | Hagen-Poiseuille-Gesetz für vereinfachte Rohrabschnitte und Massenerhaltung an Verzweigungsknoten | Analytische Abschätzung von Volumenströmen und Druckverlusten; Referenz für die numerischen Modelle | COMSOL mit geeigneter eindimensionaler Formulierung |- | '''Achsensymmetrisches Flächenmodell''' | 2D, rotationssymmetrischer Längsschnitt in den Koordinaten <math>r</math> und <math>z</math> | Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen in achsensymmetrischer Form | Detaillierte Untersuchung von Geschwindigkeits- und Druckfeldern sowie der Wandschubspannung in einem idealisierten rotationssymmetrischen Gefäß | COMSOL Multiphysics, Laminar Flow |- | '''Ebenes Flächenmodell''' | 2D, ebene Geometrie in den Koordinaten <math>x</math> und <math>y</math> | Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen in kartesischen Koordinaten | Untersuchung der Strömung in einer vereinfachten ebenen Geometrie und Vergleich mit dem achsensymmetrischen Modell | COMSOL Multiphysics, Laminar Flow |- | '''Volumenmodell''' | 3D, räumliche Gefäßgeometrie | Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen in drei Raumdimensionen | Räumliche Darstellung der Strömung und Überprüfung der Ergebnisse des achsensymmetrischen Modells bei vergleichbarer Geometrie | COMSOL Multiphysics, Laminar Flow |} == Stoff- und Strömungsparameter == Die Stoffwerte des Blutes und der Volumenstrom sind die einzigen Eingangsgrößen, die nicht aus der Geometrie folgen. Aus ihnen werden alle weiteren Strömungskennwerte berechnet. Die folgenden Schritte zeigen jede Rechnung einzeln, damit sich jeder Wert nachprüfen lässt. # Die '''Dichte''' wird mit <math>\rho = 1060\ \mathrm{kg/m^3}</math> angesetzt. Der Wert lässt sich als Mischungsregel plausibel machen. Plasma hat eine Dichte von etwa 1025 kg/m³, rote Blutkörperchen von etwa 1100 kg/m³. Bei einem Zellanteil von 45 % ergibt sich <math>0{,}55 \cdot 1025 + 0{,}45 \cdot 1100 \approx 1059\ \mathrm{kg/m^3}</math>. Die Dichte geht nur über die Reynoldszahl in die Rechnung ein, eine Abweichung von einem Prozent ändert die Ergebnisse daher kaum. <!-- FIXME Lehrbuchquelle fuer Plasma- und Erythrozytendichte ergaenzen --> # Die '''dynamische Viskosität''' wird mit <math>\mu = 3{,}5\ \mathrm{mPa\,s}</math> angesetzt. Das ist der Grenzwert der Blutviskosität bei hohen Scherraten, also genau der Wert, der zur Newtonschen Näherung gehört. Derselbe Wert von 0,035 Poise wird auch im Standardwerk zur Modellierung des Herz-Kreislauf-Systems verwendet.<ref name="quarteroni">Quarteroni, A.; Formaggia, L.: ''Mathematical Modelling and Numerical Simulation of the Cardiovascular System.'' In: Ayache, N. (Hrsg.): ''Computational Models for the Human Body.'' Handbook of Numerical Analysis, Bd. XII, Elsevier, Amsterdam 2004, S. 3-127. DOI 10.1016/S1570-8659(03)12001-7. Zur Newtonschen Näherung in großen Gefäßen siehe S. 30, zur Viskosität von 0,035 Poise die Parametertabelle auf S. 116.</ref> # Der '''mittlere Volumenstrom''' wird mit <math>Q_0 = 6\ \mathrm{ml/s}</math> angesetzt. Das ist der zeitlich gemittelte Volumenstrom, der in der gemeinsamen Halsschlagader gesunder Probanden gemessen wurde.<ref name="holdsworth" /> # Die '''mittlere Geschwindigkeit''' folgt aus Volumenstrom und Querschnittsfläche, <math>U_0 = \frac{Q_0}{\pi R_0^2} = \frac{6 \cdot 10^{-6}\ \mathrm{m^3/s}}{\pi \cdot (0{,}003\ \mathrm{m})^2} = 0{,}2122\ \mathrm{m/s}</math>. # Die '''Reynoldszahl''' des gesunden Gefäßes ist <math>Re_0 = \frac{\rho\, U_0\, D_0}{\mu} = \frac{1060 \cdot 0{,}2122 \cdot 0{,}006}{0{,}0035} = 385{,}6</math>. Sie wird im Folgenden auf 386 gerundet. # Die '''Einlauflänge''', die eine anfangs gleichförmige Strömung bis zum voll entwickelten Parabelprofil bräuchte, beträgt nach der gebräuchlichen Abschätzung für laminare Rohrströmungen <math>L_e \approx 0{,}06\, Re_0\, D_0 \approx 0{,}06 \cdot 386 \cdot 6\ \mathrm{mm} \approx 139\ \mathrm{mm}</math>.<ref name="durst">Durst, F.; Ray, S.; Ünsal, B.; Bayoumi, O. A.: ''The development lengths of laminar pipe and channel flows.'' Journal of Fluids Engineering 127 (2005), Nr. 6, S. 1154-1160. Für große Reynoldszahlen nähert sich die dort angegebene Korrelation dem Wert 0,057·Re·D.</ref> Das ist fast die gesamte Länge des Rechengebiets. Ein konstantes Einlassprofil würde die Strömung an der Stenose also verfälschen, weshalb am Einlass das voll entwickelte Profil vorgegeben wird. Damit liegen alle globalen Parameter fest. Die folgende Tabelle enthält sie mit genau den Namen, unter denen sie in COMSOL und in den Octave-Skripten verwendet werden. {| class="wikitable" |+ Globale Parameter des Modells ! Name !! Ausdruck in COMSOL !! Wert !! Bedeutung !! Herkunft |- | R0 || 3[mm] || 3 mm || Gefäßradius || Messwerte nach Krejza u. a. 2006, gerundet |- | D0 || 2*R0 || 6 mm || Gefäßdurchmesser || abgeleitet |- | Ls || 2*D0 || 12 mm || Länge der Störstelle || Standardgeometrie nach Varghese u. a. 2007 |- | Lu || 5*D0 || 30 mm || Vorlaufstrecke vor der Stenosemitte || Abstand der Einlassbedingung von der Stenose |- | Ld || 20*D0 || 120 mm || Nachlaufstrecke hinter der Stenosemitte || Platz für das Rückströmgebiet |- | Lf || Ls/2+10*D0 || 66 mm || Ende des fein vernetzten Nachlaufs || erwartete Länge des Rückströmgebiets |- | s || 0 bis 0.8 || 0 bis 0,8 || Stenosegrad bezogen auf den Durchmesser || NASCET-Einteilung |- | rho_b || 1060[kg/m^3] || 1060 kg/m³ || Dichte des Blutes || Mischungsregel, Literaturwert |- | mu_b || 3.5[mPa*s] || 3,5 mPa·s || dynamische Viskosität des Blutes || Hochscherwert, Quarteroni und Formaggia 2004 |- | Q0 || 6[ml/s] || 6 ml/s || mittlerer Volumenstrom || Messwerte nach Holdsworth u. a. 1999 |- | U0 || Q0/(pi*R0^2) || 0,2122 m/s || mittlere Einströmgeschwindigkeit || abgeleitet |- | Re0 || rho_b*U0*D0/mu_b || 385,6 || Reynoldszahl des gesunden Gefäßes || abgeleitet |- | dp_ref || 8*mu_b*U0*(Lu+Ld)/R0^2 || 99,03 Pa || Poiseuille-Druckabfall des gesunden Gefäßes || abgeleitet, Hagen-Poiseuille |} === Vergleich und Überprüfung der Modellvarianten === Die Modellhierarchie folgt dem Prinzip, dass zunächst vereinfachte Zusammenhänge untersucht und anschließend mit detaillierteren numerischen Modellen verglichen werden. Das '''Graphenmodell''' bildet die einfachste Modellvariante. Es verwendet das Hagen-Poiseuille-Gesetz zur Abschätzung des Druckverlustes in geraden Rohrabschnitten mit konstantem Durchmesser. Für den unverengten Referenzfall kann damit eine analytische Vergleichsgröße bestimmt werden. Im Bereich einer Stenose ist die Anwendung jedoch nur als vereinfachte Näherung geeignet, da dort zusätzliche Strömungseffekte auftreten können. Das '''achsensymmetrische Flächenmodell''' ermöglicht eine detailliertere Untersuchung des Geschwindigkeits- und Druckfeldes innerhalb einer idealisierten rotationssymmetrischen Gefäßverengung. Im unverengten Referenzfall können die numerischen Ergebnisse mit der analytischen Poiseuille-Lösung verglichen werden. Bei zunehmendem Stenosegrad werden insbesondere die Beschleunigung im Bereich der Engstelle, der Druckverlust und die Wandschubspannung betrachtet. Das '''ebene Flächenmodell''' beschreibt die Strömung in einer zweidimensionalen kartesischen Geometrie. Im Unterschied zum achsensymmetrischen Modell wird dabei keine Rotationssymmetrie vorausgesetzt. Da sich die geometrische Beschreibung des Strömungsquerschnitts unterscheidet, sind die Ergebnisse nicht ohne Weiteres quantitativ gleichzusetzen. Der Vergleich dient insbesondere dazu, den Einfluss der Modellvereinfachung auf die berechneten Strömungsgrößen zu untersuchen. Das '''Volumenmodell''' erweitert die Untersuchung auf drei Raumdimensionen. Bei einer rotationssymmetrischen Geometrie und entsprechend übereinstimmenden Randbedingungen wird eine weitgehende Übereinstimmung mit dem achsensymmetrischen Modell erwartet. Diese Übereinstimmung muss jedoch anhand der numerischen Ergebnisse überprüft werden. Bei einer Gefäßaufzweigung oder einer asymmetrischen Stenose können zusätzliche räumliche Strömungseffekte auftreten, die durch ein achsensymmetrisches Modell nicht vollständig beschrieben werden. === Referenzfall und Vergleichsgrößen === Als Ausgangspunkt dient ein unverengtes Gefäß mit dem Referenzdurchmesser <math>D_0=6\,\mathrm{mm}</math>. Für das Blut werden eine Dichte von <math>\rho_b=1060\,\mathrm{kg/m^3}</math> und eine dynamische Viskosität von <math>\mu_b=3{,}5\,\mathrm{mPa\,s}</math> angenommen. Der vorgegebene mittlere Volumenstrom beträgt <math>Q_0=6\,\mathrm{ml/s}</math>. Daraus ergibt sich für den unverengten kreisförmigen Querschnitt eine mittlere Strömungsgeschwindigkeit von ungefähr <math>U_0=0{,}2122\,\mathrm{m/s}</math>. Die Referenz-Reynolds-Zahl beträgt <math>\mathrm{Re}_0=385{,}6</math>. Für den in den Referenzdaten definierten Vergleichsfall ist außerdem ein analytischer Druckverlust von <math>\Delta p_{\mathrm{ref}}=99{,}03\,\mathrm{Pa}</math> angegeben. Diese Größen dienen als Ausgangspunkt für die Überprüfung der numerischen Modelle. Ein direkter Vergleich ist jedoch nur zulässig, wenn die jeweils verwendete Geometrie, die Auswertelänge und die Randbedingungen übereinstimmen. === Grenzen der Modellhierarchie === Die vier Modellvarianten unterscheiden sich nicht nur im Rechenaufwand, sondern auch in den physikalischen Effekten, die sie darstellen können. Insbesondere bei hochgradigen Stenosen können starke lokale Geschwindigkeitsänderungen, Strömungsablösungen und zeitabhängige Strömungsstrukturen auftreten. Deshalb muss überprüft werden, ob die Annahme einer stationären laminaren Strömung für die betrachteten Fälle ausreichend ist. Außerdem muss zwischen dem idealisierten geraden Gefäßmodell und einer Gefäßaufzweigung unterschieden werden. Das achsensymmetrische Modell eignet sich für eine rotationssymmetrische Stenose in einem geraden Gefäß, während eine realistische Gefäßaufzweigung eine andere geometrische Beschreibung erfordert. Die Modellvarianten werden daher nicht als vollständig gleichwertig betrachtet. Vielmehr soll der Vergleich zeigen, welche Aussagen bereits durch vereinfachte Modelle möglich sind und für welche Strömungseigenschaften eine detailliertere numerische Beschreibung erforderlich ist. = Modellierung = Modellierung bedeutet hier, die reale Situation in eine mathematische Aufgabe zu übersetzen, die sich lösen lässt. Dazu gehören vier Bausteine, nämlich das Rechengebiet, die Gleichungen, die Zahlenwerte der Parameter und die Bedingungen an den Rändern. Jeder dieser Bausteine beruht auf Annahmen, und jede Annahme muss begründet werden. Dieser Abschnitt geht die Bausteine deshalb der Reihe nach durch und nennt bei jedem Zahlenwert, woher er stammt und warum er sinnvoll ist. == Modellhierarchie == Das Projekt rechnet nicht ein einziges Modell, sondern vier aufeinander aufbauende Modellvarianten. Sie entsprechen der Kursanforderung, eine Strömung als Graph, in zwei und in drei Raumdimensionen darzustellen, und sie sind bewusst von einfach nach aufwendig geordnet. {| class="wikitable" |+ Die vier Modellvarianten des Projekts ! Modell !! Raumdimension !! gelöste Gleichung !! Zweck !! Werkzeug |- | Graphenmodell || 1D, Gefäßachse || Hagen-Poiseuille je Rohrstück und Massenerhaltung in jedem Knoten || schnelle, analytisch nachrechenbare Abschätzung für jeden Stenosegrad || Octave und COMSOL (Koeffizientenform-PDGL) |- | achsensymmetrisches Flächenmodell || 2D, Halbschnitt in r und z || vollständige stationäre Navier-Stokes-Gleichungen in Zylinderkoordinaten || Hauptmodell, liefert alle Feldgrößen des rotationssymmetrischen Rohres || COMSOL, Laminare Strömung |- | ebenes Flächenmodell || 2D, Halbschnitt in x und y || vollständige stationäre Navier-Stokes-Gleichungen in kartesischen Koordinaten || Vergleich, zeigt den Einfluss der zweiten Querschnittsrichtung || COMSOL, Laminare Strömung |- | Volumenmodell || 3D || vollständige stationäre Navier-Stokes-Gleichungen || Kontrolle des Hauptmodells und räumliche Darstellung || COMSOL, Laminare Strömung |} Die Reihenfolge folgt einem einfachen Prinzip. Jede Stufe liefert die Sollwerte, an denen die nächste, komplexere Stufe geprüft wird. Das Graphenmodell muss im gesunden Fall exakt die Poiseuille-Lösung ergeben. Das achsensymmetrische Modell muss im gesunden Fall dieselben Werte liefern und bei Stenose für Geschwindigkeit und Wandschubspannung in der Nähe des Graphenmodells liegen. Das Volumenmodell muss, weil die Geometrie rotationssymmetrisch ist, mit dem achsensymmetrischen Modell übereinstimmen. == Modellannahmen == Um den Einfluss des Stenosegrades möglichst isoliert zu untersuchen, werden die folgenden Modellannahmen getroffen. Die Tabelle nennt zu jeder Annahme ihre mathematische Form, die Begründung und die Stelle, an der sie im Projekt überprüft wird. {| class="wikitable" |+ Modellannahmen, ihre Begründung und ihre Überprüfung ! Annahme !! mathematische Form !! Begründung !! Überprüfung |- | Idealisierte Gefäßgeometrie || gerades Rohr mit kosinusförmiger, rotationssymmetrischer Verengung || isoliert die Wirkung des Stenosegrades von Krümmung, Verzweigung und Plaqueform || Diskussion in den Schlussfolgerungen |- | Starre Gefäßwand || Wand ortsfest, keine Fluid-Struktur-Kopplung || im stationären Fall gibt es keine Druckschwankung, die die Wand periodisch aufweiten könnte || Abschätzung über die gemessene Durchmesseränderung im Herzzyklus |- | Stationäre Strömung || <math>\partial \mathbf{u}/\partial t = \mathbf{0}</math> || der Einfluss des Stenosegrades soll ohne Überlagerung durch die Pulsation sichtbar werden || Abschätzung über die Womersley-Zahl |- | Inkompressibles Fluid || <math>\rho = \mathrm{const}</math>, damit <math>\nabla\cdot\mathbf{u} = 0</math> || Blut ist eine Flüssigkeit, Druckänderungen von wenigen hundert Pascal ändern die Dichte nicht messbar || Massenerhaltung in fünf Querschnitten |- | Newtonsche Näherung || konstante Viskosität <math>\mu</math> || die Scherraten an der Wand und im größten Teil des Querschnitts liegen über dem Bereich, in dem Blut deutlich scherverdünnend wirkt || Scherrate an der Wand, Diskussion des Rückströmgebiets |- | Konstante Stoffeigenschaften || <math>\rho</math> und <math>\mu</math> räumlich und zeitlich konstant || Körpertemperatur ist im betrachteten Abschnitt konstant || entfällt |- | Laminare Strömung || kein Turbulenzmodell, Schnittstelle Laminare Strömung || Reynoldszahl des gesunden Gefäßes von 386 liegt weit unter dem Umschlagbereich || Reynoldszahl in der Engstelle, Literaturvergleich |- | Haftbedingung an der Wand || <math>\mathbf{u} = \mathbf{0}</math> auf der Wand || Folge der Viskosität, das Fluid haftet an der Wand || Grundlage jeder Wandschubspannung |- | Vernachlässigung der Gravitation || keine Volumenkraft || bei konstanter Dichte lässt sich die Schwerkraft vollständig in einen hydrostatischen Druckanteil verschieben und beeinflusst die Geschwindigkeit nicht || Begründung in den Mathematischen Hintergründen |- | Voll entwickelte Einströmung || parabolisches Profil am Einlass || die natürliche Einlaufstrecke wäre mit rund 139 mm fast so lang wie das ganze Rechengebiet || Scheitelgeschwindigkeit im gesunden Fall |- | Eingeprägter Volumenstrom || <math>Q = Q_0</math> am Einlass || der Strömungswiderstand des Abschnitts ist klein gegenüber dem des nachgeschalteten Gefäßbetts || Abschätzung mit einem Reihenwiderstand |} Einige dieser Annahmen sind unmittelbar einsichtig, andere verdienen eine genauere Begründung, weil von ihnen die Aussagekraft der Ergebnisse abhängt. Die '''Newtonsche Näherung''' ist die Annahme, die bei Blut am häufigsten hinterfragt wird. Reales Blut ist eine Suspension aus Plasma und Blutzellen und verhält sich scherverdünnend. Bei kleinen Scherraten lagern sich die roten Blutkörperchen zu geldrollenartigen Stapeln zusammen, und die Viskosität steigt auf ein Vielfaches an. Bei großen Scherraten lösen sich diese Stapel auf, und die Viskosität strebt gegen einen Grenzwert von etwa 3,5 mPa·s. Entscheidend ist also die Scherrate. An der Wand des gesunden Modellgefäßes beträgt sie nach der Poiseuille-Lösung <math>\dot\gamma_w = \frac{4\,U_0}{R_0} = \frac{4 \cdot 0{,}2122\ \mathrm{m/s}}{0{,}003\ \mathrm{m}} \approx 283\ \mathrm{s^{-1}}</math> und liegt damit oberhalb von etwa 100 pro Sekunde, wo sich Newtonsches und nicht Newtonsches Modell nach der Literatur nur noch wenig unterscheiden.<ref name="boyd">Die Grenze von etwa 100 s^-1 wird in vergleichenden Studien zur Blutrheologie verwendet, etwa bei Bernabeu, M. O. u. a.: ''Impact of blood rheology on wall shear stress in a model of the middle cerebral artery.'' Interface Focus 3 (2013), 20120094. <!-- FIXME Zitat und Seitenangabe am Original pruefen --></ref> In der Engstelle steigt die Scherrate weiter an, beim Stenosegrad 0,5 auf rund 2260 pro Sekunde. Schwach ist die Näherung dort, wo die Scherrate klein wird, also in der Mitte des Gefäßes und vor allem im Rückströmgebiet hinter der Stenose. Dort ist reales Blut zäher als angenommen. Dieser Punkt wird in den Schlussfolgerungen wieder aufgegriffen. Die '''stationäre Strömung''' ist die stärkste Vereinfachung. Wie wichtig die Pulsation ist, misst die Womersley-Zahl, die das Verhältnis von instationärer Trägheit zu Reibung angibt. Mit einer Herzfrequenz von 60 Schlägen je Minute, also einer Kreisfrequenz <math>\omega = 2\pi\ \mathrm{s^{-1}}</math>, ergibt sich <math>\alpha = R_0 \sqrt{\frac{\omega \rho}{\mu}} = 0{,}003\ \mathrm{m} \cdot \sqrt{\frac{2\pi\ \mathrm{s^{-1}} \cdot 1060\ \mathrm{kg/m^3}}{0{,}0035\ \mathrm{Pa\,s}}} \approx 4{,}1 .</math> Ein Wert in dieser Größenordnung bedeutet, dass das reale Geschwindigkeitsprofil im Herzzyklus merklich von der Parabel abweicht.<ref name="womersley">Womersley, J. R.: ''Method for the calculation of velocity, rate of flow and viscous drag in arteries when the pressure gradient is known.'' Journal of Physiology 127 (1955), S. 553-563.</ref> Hinzu kommt, dass der Volumenstrom in der Systole kurzzeitig auf rund das Vierfache des Mittelwerts steigt.<ref name="holdsworth">Holdsworth, D. W.; Norley, C. J. D.; Frayne, R.; Steinman, D. A.; Rutt, B. K.: ''Characterization of common carotid artery blood-flow waveforms in normal human subjects.'' Physiological Measurement 20 (1999), Nr. 3, S. 219-240. DOI 10.1088/0967-3334/20/3/301. Angegeben werden ein mittlerer Volumenstrom von 6,0 ± 1,4 ml/s und ein systolischer Spitzenwert von 23,5 ± 3,8 ml/s. <!-- FIXME Zahlenwerte und Probandenzahl am Original pruefen --></ref> Die stationäre Rechnung mit dem Mittelwert beschreibt deshalb nicht den zeitlichen Verlauf, wohl aber den zeitlich gemittelten Zustand, an dem sich der Einfluss des Stenosegrades sauber vergleichen lässt. Die '''laminare Strömung''' wird über die Reynoldszahl begründet. Sie beträgt im gesunden Gefäß 386 und liegt damit weit unter dem Wert von etwa 2300, ab dem die Strömung in einem geraden Rohr in den Übergangsbereich gelangen kann. In der Engstelle steigt sie bei festem Volumenstrom auf <math>Re_0/(1-s)</math>, also auf 551 beim Stenosegrad 0,3, auf 964 beim Grad 0,6 und auf 1928 beim Grad 0,8. Für den Strahl hinter einer Engstelle ist der Umschlagbereich allerdings deutlich niedriger als im geraden Rohr. Direkte numerische Simulationen an genau der in diesem Projekt verwendeten Stenosegeometrie zeigen, dass die Strömung bei einer Einström-Reynoldszahl von 500 auch bei leichter Unsymmetrie laminar bleibt, bei 1000 dagegen schon eine Exzentrizität von fünf Prozent des Durchmessers genügt, um den Strahl in lokal turbulente Strömung umschlagen zu lassen.<ref name="varghese">Varghese, S. S.; Frankel, S. H.; Fischer, P. F.: ''Direct numerical simulation of stenotic flows. Part 1. Steady flow.'' Journal of Fluid Mechanics 582 (2007), S. 253-280. Untersucht wird eine kosinusförmige Stenose der Länge 2D mit 75 % Flächenreduktion, die mit der Geometrie dieses Projekts beim Stenosegrad 0,5 übereinstimmt. <!-- FIXME Band und Seiten am Original pruefen --></ref> Mit einer Einström-Reynoldszahl von 386 liegt das Projekt für die leicht- und mittelgradigen Stenosen sicher im laminaren Bereich. Für die hochgradigen Stenosen ab 0,7 ist ein laminares, stationäres Modell dagegen nur noch eine Näherung, die eine Obergrenze der geordneten Strömung beschreibt. Diese Fälle werden deshalb als Grenzfall des Modells gekennzeichnet. Die '''starre Wand''' lässt sich über Messungen abschätzen. Der Durchmesser der gemeinsamen Halsschlagader ändert sich im Herzzyklus bei jungen Menschen um etwa 12 bis 14 Prozent und bei älteren Menschen um etwa 5 Prozent.<ref name="hansen">Hansen, F.; Mangell, P.; Sonesson, B.; Länne, T.: ''Diameter and compliance in the human common carotid artery: variations with age and sex.'' Ultrasound in Medicine and Biology 21 (1995), Nr. 1, S. 1-9. DOI 10.1016/0301-5629(94)00090-5.</ref> Diese Bewegung ist eine Folge der Pulsation. In einer stationären Rechnung gibt es keine Druckschwankung, die die Wand periodisch aufweiten könnte, sodass die starre Wand zur stationären Annahme konsistent ist. Eine verkalkte Plaque ist ohnehin deutlich steifer als die gesunde Wand. Die Annahme des '''eingeprägten Volumenstroms''' wird im Abschnitt zu den Randbedingungen begründet, weil sie sich nur im Zusammenhang mit dem Kreislauf beurteilen lässt. == Simulationsgebiet und Geometrie == Die Gefäßachse ist die z-Achse, der Ursprung liegt in der Mitte der Stenose, und <math>r</math> bezeichnet den Abstand von der Achse. Das Rechengebiet reicht von <math>z = -L_u</math> bis <math>z = L_d</math> und wird radial von der Wandkontur <math>R(z)</math> begrenzt. Die Verengung wird über eine einzige glatte Funktion beschrieben, <math>R(z) = R_0 \left[ 1 - \frac{s}{2}\left(1 + \cos\frac{2\pi z}{L_s}\right)\right] \quad \text{falls } |z| \le \frac{L_s}{2}, \qquad R(z) = R_0 \ \text{sonst.}</math> Die Funktion hat drei Eigenschaften, die ihre Wahl begründen. Sie wird erstens über einen einzigen Parameter gesteuert, den Stenosegrad <math>s</math>. Der engste Radius in der Mitte beträgt <math>R(0) = R_0(1-s)</math>, und der Fall ohne Verengung ist einfach der Fall <math>s = 0</math>. Die gesamte Vergleichsreihe entsteht damit aus einem einzigen parametrischen Sweep. Sie geht zweitens an beiden Enden der Störstelle ohne Knick in das gerade Rohr über. Bei <math>z = \pm L_s/2</math> ist der Kosinus gleich minus eins, die Klammer also null, und seine Ableitung verschwindet dort ebenfalls. Das ist nicht nur ästhetisch, sondern numerisch notwendig, denn ein Knick in der Wand erzeugt eine Singularität der Wandschubspannung, deren berechneter Wert mit jeder Netzverfeinerung weiter wüchse. Eine Netzstudie wäre dann sinnlos. Sie ist drittens die in der Literatur gebräuchliche Standardgeometrie für Stenosen, sodass sich die Ergebnisse unmittelbar mit veröffentlichten Rechnungen vergleichen lassen.<ref name="varghese" /> [[Datei:Stenose Gruppe5 Wandkontur.svg|mini|zentriert|800px|Wandkontur <math>R(z)</math> für die untersuchten Stenosegrade. Die Darstellung ist in radialer Richtung gestreckt, das Rechengebiet ist in Wirklichkeit fünfundzwanzigmal länger als breit.]] <!-- FIXME Abbildung mit abbildungen_graph_1d.m fuer s = 0 bis 0,8 neu erzeugen, bisher nur bis 0,5 --> Die Abmessungen des Rechengebiets werden alle aus dem Gefäßradius abgeleitet. Das hat den Vorteil, dass sich das gesamte Modell durch Ändern eines einzigen Wertes auf ein anderes Gefäß übertragen lässt. Die einzelnen Längen werden im Folgenden Schritt für Schritt begründet. # Der '''Gefäßradius''' <math>R_0 = 3\ \mathrm{mm}</math> folgt aus Ultraschallmessungen an gesunden Erwachsenen. Dort wurden für die gemeinsame Halsschlagader mittlere Durchmesser von 6,10 ± 0,80 mm bei Frauen und 6,52 ± 0,98 mm bei Männern gemessen.<ref name="krejza">Krejza, J.; Arkuszewski, M.; Kasner, S. E.; Weigele, J.; Ustymowicz, A.; Hurst, R. W.; Cucchiara, B. L.; Messe, S. R.: ''Carotid artery diameter in men and women and the relation to body and neck size.'' Stroke 37 (2006), Nr. 4, S. 1103-1105. DOI 10.1161/01.STR.0000206440.48756.f7.</ref> Der gewählte Durchmesser von <math>D_0 = 6\ \mathrm{mm}</math> liegt damit innerhalb einer Standardabweichung beider Gruppen und ist bewusst auf einen runden Wert gesetzt, damit alle abgeleiteten Längen glatte Zahlen ergeben. # Die '''Länge der Störstelle''' <math>L_s = 2 D_0 = 12\ \mathrm{mm}</math> entspricht der Standardgeometrie aus der Literatur, die eine Stenosenlänge von zwei Durchmessern verwendet.<ref name="varghese" /> Damit ist beim Stenosegrad 0,5 ein direkter Vergleich mit veröffentlichten Ergebnissen möglich. # Die '''Vorlaufstrecke''' <math>L_u = 5 D_0 = 30\ \mathrm{mm}</math> trennt den Einlass von der Stenose. Da am Einlass bereits das voll entwickelte Profil vorgegeben wird, muss sie nicht die Einlaufstrecke abdecken, sondern nur verhindern, dass die Einströmrandbedingung die Strömung an der Engstelle beeinflusst. Bei Reynoldszahlen in dieser Größenordnung reicht der Einfluss einer Verengung nur wenige Durchmesser stromaufwärts, die Literatur kommt für dieselbe Geometrie mit drei Durchmessern Vorlauf aus.<ref name="varghese" /> Fünf Durchmesser lassen also eine Reserve. Überprüft wird das im Ergebnis, indem die Geschwindigkeit auf der Achse in der Mitte der Vorlaufstrecke mit dem Sollwert <math>2U_0</math> verglichen wird. # Die '''Nachlaufstrecke''' <math>L_d = 20 D_0 = 120\ \mathrm{mm}</math> ist deutlich länger, weil sich hinter der Engstelle ein Rückströmgebiet bildet, das nicht auf den Auslass treffen darf. Für die Geometrie mit dem Stenosegrad 0,5 legt die Strömung bei einer Einström-Reynoldszahl von 500 erst etwa zehn Durchmesser hinter der Engstelle wieder an, die Literatur rechnet mit sechzehn Durchmessern Nachlauf.<ref name="varghese" /> Zwanzig Durchmesser bieten damit für alle Stenosegrade bis 0,5 einen Sicherheitsabstand. Für die Grade ab 0,6 ist ein längeres Rückströmgebiet zu erwarten, dort wird die Lage des Wiederanlegepunktes ausdrücklich kontrolliert. # Das '''Ende des fein vernetzten Nachlaufs''' <math>L_f = L_s/2 + 10 D_0 = 66\ \mathrm{mm}</math> legt fest, bis wohin das Netz verfeinert wird. Der Wert ist so gewählt, dass das erwartete Rückströmgebiet von etwa zehn Durchmessern vollständig im feinen Bereich liegt. Damit hat das Rechengebiet eine Gesamtlänge von <math>L = L_u + L_d = 150\ \mathrm{mm}</math>, also das Fünfundzwanzigfache des Durchmessers. Es ist ein Modellgebiet und kein maßstäbliches Abbild eines bestimmten anatomischen Abschnitts. == Stoff- und Strömungsparameter == Die Stoffwerte des Blutes und der Volumenstrom sind die einzigen Eingangsgrößen, die nicht aus der Geometrie folgen. Aus ihnen werden alle weiteren Strömungskennwerte berechnet. Die folgenden Schritte zeigen jede Rechnung einzeln, damit sich jeder Wert nachprüfen lässt. # Die '''Dichte''' wird mit <math>\rho = 1060\ \mathrm{kg/m^3}</math> angesetzt. Der Wert lässt sich als Mischungsregel plausibel machen. Plasma hat eine Dichte von etwa 1025 kg/m³, rote Blutkörperchen von etwa 1100 kg/m³. Bei einem Zellanteil von 45 % ergibt sich <math>0{,}55 \cdot 1025 + 0{,}45 \cdot 1100 \approx 1059\ \mathrm{kg/m^3}</math>. Die Dichte geht nur über die Reynoldszahl in die Rechnung ein, eine Abweichung von einem Prozent ändert die Ergebnisse daher kaum. <!-- FIXME Lehrbuchquelle fuer Plasma- und Erythrozytendichte ergaenzen --> # Die '''dynamische Viskosität''' wird mit <math>\mu = 3{,}5\ \mathrm{mPa\,s}</math> angesetzt. Das ist der Grenzwert der Blutviskosität bei hohen Scherraten, also genau der Wert, der zur Newtonschen Näherung gehört. Derselbe Wert von 0,035 Poise wird auch im Standardwerk zur Modellierung des Herz-Kreislauf-Systems verwendet.<ref name="quarteroni">Quarteroni, A.; Formaggia, L.: ''Mathematical Modelling and Numerical Simulation of the Cardiovascular System.'' In: Ayache, N. (Hrsg.): ''Computational Models for the Human Body.'' Handbook of Numerical Analysis, Bd. XII, Elsevier, Amsterdam 2004, S. 3-127. DOI 10.1016/S1570-8659(03)12001-7. Zur Newtonschen Näherung in großen Gefäßen siehe S. 30, zur Viskosität von 0,035 Poise die Parametertabelle auf S. 116.</ref> # Der '''mittlere Volumenstrom''' wird mit <math>Q_0 = 6\ \mathrm{ml/s}</math> angesetzt. Das ist der zeitlich gemittelte Volumenstrom, der in der gemeinsamen Halsschlagader gesunder Probanden gemessen wurde.<ref name="holdsworth" /> # Die '''mittlere Geschwindigkeit''' folgt aus Volumenstrom und Querschnittsfläche, <math>U_0 = \frac{Q_0}{\pi R_0^2} = \frac{6 \cdot 10^{-6}\ \mathrm{m^3/s}}{\pi \cdot (0{,}003\ \mathrm{m})^2} = 0{,}2122\ \mathrm{m/s}</math>. # Die '''Reynoldszahl''' des gesunden Gefäßes ist <math>Re_0 = \frac{\rho\, U_0\, D_0}{\mu} = \frac{1060 \cdot 0{,}2122 \cdot 0{,}006}{0{,}0035} = 385{,}6</math>. Sie wird im Folgenden auf 386 gerundet. # Die '''Einlauflänge''', die eine anfangs gleichförmige Strömung bis zum voll entwickelten Parabelprofil bräuchte, beträgt nach der gebräuchlichen Abschätzung für laminare Rohrströmungen <math>L_e \approx 0{,}06\, Re_0\, D_0 \approx 0{,}06 \cdot 386 \cdot 6\ \mathrm{mm} \approx 139\ \mathrm{mm}</math>.<ref name="durst">Durst, F.; Ray, S.; Ünsal, B.; Bayoumi, O. A.: ''The development lengths of laminar pipe and channel flows.'' Journal of Fluids Engineering 127 (2005), Nr. 6, S. 1154-1160. Für große Reynoldszahlen nähert sich die dort angegebene Korrelation dem Wert 0,057·Re·D.</ref> Das ist fast die gesamte Länge des Rechengebiets. Ein konstantes Einlassprofil würde die Strömung an der Stenose also verfälschen, weshalb am Einlass das voll entwickelte Profil vorgegeben wird. Damit liegen alle globalen Parameter fest. Die folgende Tabelle enthält sie mit genau den Namen, unter denen sie in COMSOL und in den Octave-Skripten verwendet werden. {| class="wikitable" |+ Globale Parameter des Modells ! Name !! Ausdruck in COMSOL !! Wert !! Bedeutung !! Herkunft |- | R0 || 3[mm] || 3 mm || Gefäßradius || Messwerte nach Krejza u. a. 2006, gerundet |- | D0 || 2*R0 || 6 mm || Gefäßdurchmesser || abgeleitet |- | Ls || 2*D0 || 12 mm || Länge der Störstelle || Standardgeometrie nach Varghese u. a. 2007 |- | Lu || 5*D0 || 30 mm || Vorlaufstrecke vor der Stenosemitte || Abstand der Einlassbedingung von der Stenose |- | Ld || 20*D0 || 120 mm || Nachlaufstrecke hinter der Stenosemitte || Platz für das Rückströmgebiet |- | Lf || Ls/2+10*D0 || 66 mm || Ende des fein vernetzten Nachlaufs || erwartete Länge des Rückströmgebiets |- | s || 0 bis 0.8 || 0 bis 0,8 || Stenosegrad bezogen auf den Durchmesser || NASCET-Einteilung |- | rho_b || 1060[kg/m^3] || 1060 kg/m³ || Dichte des Blutes || Mischungsregel, Literaturwert |- | mu_b || 3.5[mPa*s] || 3,5 mPa·s || dynamische Viskosität des Blutes || Hochscherwert, Quarteroni und Formaggia 2004 |- | Q0 || 6[ml/s] || 6 ml/s || mittlerer Volumenstrom || Messwerte nach Holdsworth u. a. 1999 |- | U0 || Q0/(pi*R0^2) || 0,2122 m/s || mittlere Einströmgeschwindigkeit || abgeleitet |- | Re0 || rho_b*U0*D0/mu_b || 385,6 || Reynoldszahl des gesunden Gefäßes || abgeleitet |- | dp_ref || 8*mu_b*U0*(Lu+Ld)/R0^2 || 99,03 Pa || Poiseuille-Druckabfall des gesunden Gefäßes || abgeleitet, Hagen-Poiseuille |} = Literaturverzeichnis = Alle Quellen sind an den Stellen im Text angegeben, an denen die zugehörigen Werte oder Aussagen verwendet werden. Die Liste wird aus diesen Angaben automatisch erzeugt. <references /> rd5dctin6z8928xeqr0ib4oo0xnkgau 106 172948 1116393 1116038 2026-10-16T09:46:06Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1116393 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Es gibt unterschiedliche Möglichkeiten (''"Zweige"''), einen Logarithmus als [[w:de:Umkehrfunktion|Umkehrfunktion]] zu definieren. Dies liegt einerseits an folgdenden mathematischen Eigenschaften und andererseits auch an der Zielsetzung, was man mit dem Logarithmus als Funktion erreichen möchte. * '''([[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#Peridodizitaet|Periodizität]] und [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen|Äquivalenzklassen]])''' Durch die Periodizität der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] im [[komplexe Zahl|Imaginärteil]] mit der Periode <math>2\pi i</math> gibt es unterschiedliche Zweige. * '''([[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/generalisiert|Wahl des Gebietes]])''' Durch die Wahl des [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden Gebietes]] entstehen unterschiedliche Zweige (siehe [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/generalisiert|verallgemeinerter Logarithmus]]). * '''([[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#algebraischvollstaendig|Algebraische Vollständigkeit]])''' Ein Zweig des Logaritmus ist algebraisch vollständig, wenn dieser auf <math>\mathbb{C}\setminus \{0\}</math> definiert ist. Dadurch verliert man aber die [[Stetigkeit]] und [[Holomorphie]] als Eigenschaft. == Zweige des Logarithmus == Ein Zweig des Logarithmus ist eine Funktion <math> \log_G(z) </math>, die auf einer Teilmenge <math> G </math> von <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> definiert ist und die Eigenschaft hat, dass <math> \exp(\log_G(z)) = z </math> für alle <math> z \in G </math>. <span id="Hauptzweig"></span> === Hauptzweig des Logarithmus === Eine übliche Wahl für <math> G </math> ist die Menge <math> \mathbb{C} \setminus (-\infty, 0] </math>, die die negative reelle Achse ausschließt. In diesem Fall kann der Hauptzweig des Logarithmus definiert werden als: :<math> \log(z) = \ln\big( |z|\big) + i \arg(z) </math> wobei <math> \arg(z) </math> der Winkel von <math> z </math> in der komplexen Ebene ist und für den Hauptzweig erfüllt dieser <math> -\pi < \arg(z) < +\pi </math>. === Integraldarstellung des Hauptzweiges === Wählt man <math>z_o = 1\in \mathbb{C} \setminus \{0\}</math>, so gilt muss die Stammfunktion <math>log</math> von <math>f(\xi)=\tfrac{1}{\xi}</math> die Eigenschaft <math>log(1)=0</math> erfüllen. Die folgende Integraldarstellung des Hauptzweiges mit [[Konvexkombination]] <math>\gamma_z</math> als Integrationsweg erfüllt diese Eigenschaft: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_z : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_z(t) = (1-t)\cdot z_0 + t\cdot z = (t-1) + t\cdot z \end{array} </math> :<math> log(z) := \int_{\gamma_z} \frac{1}{\xi} \, d\xi = \pi i + \int_{0}^1 \frac{1}{\gamma_z(t)} \cdot \gamma_z{\!\!}'(t) \,\, dt </math> <span id="Periodizitaet"></span> === Zweige des Logarithmus - Peridoizität === Durch die imaginäre Periodizität bzgl. Vielfache von <math>2\pi i</math> Stellt man <math>z = |z| \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i} \cdot\arg(z)}</math> in [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|Polarform]] dar, so erhält man eine einfache Darstellung des ''k-ten Zweiges'' der Logarithmusfunktion: : <math>w = \ln \big(|z|\big) + \mathrm{i}\left(\arg(z) + 2\pi\cdot k\right), \quad k\in\mathbb{Z}</math> mit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] <math>\arg</math>. Im Summanden <math>\ln \big(|z|\big)</math> wird der bereits oben definierte reelle Logarithmus <math>\ln</math> auf <math>\mathbb{R}^+</math> verwendet. Für <math>k = 0</math> erhält man den ''Hauptzweig'' des komplexen Logarithmus zurück: : <math>\log(z) = \ln\big(|z|\big) + \mathrm{i}\arg(z)</math>. <span id="negativer_Hauptzweig"></span> === Negativer Hauptzweige des Logarithmus === Beim negativen Hauptzweig verwendet man für den Startwert der Integraldarstellung <math>-1</math> statt <math>1</math> (wie beim Hauptzweig). Als holomorphe Funktion verwendet man für den negativen Hauptzweig die Funktion <math>\log_{_-}(z)</math>, die auf den geschlitzten Ebene definiert ist, wobei die positive reelle Achse mit 0 aus dem Definitionsbereich entfernt wird. Wenn man einen Logarithmus auf diesem [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebiet definieren möchte, setzt man <math>z_o = -1\in \mathbb{C} \setminus \{0\}</math> und erhält als Integraldarstellung des ''negativen Hauptzweiges'' folgende Definition: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_z : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_z(t) = (1-t)\cdot z_0 + t\cdot z = (t-1) + t\cdot z \end{array} </math> :<math> \log_{_-}(z) := \pi i + \int_{\gamma_z} \frac{1}{\xi} \, d\xi = \pi i + \int_{0}^1 \frac{1}{\gamma_z(t)} \cdot \gamma_z{\!\!}'(t) \,\, dt </math> ==== Bemerkung - Anwendung des negativen Hauptzweiges ==== Der negative Hauptzweig findet Verwendung für die [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus|algebraische Vervollständigung]] des Gebietes zusammen mit Äquivalenzklassen <math>[z]_n</math> bzgl. der [[logmod-Funktion]] und dem [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarithmus]]. Dabei werden Rechenoperationen analog zu den Äquivalenzklassen betrachtet, um Rechenregeln für den Logarithmus aus der reellen Analysis auf die komplexe Analysis zu übertragen. Die algebraische Vervollständigung führt zu eine Repräsentatensystem <math>\mathbb{D}_1 := \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi)</math> <span id="imaginaerer_Hauptzweig"></span> === Imaginärer Hauptzweige des Logarithmus === Beim imaginären Hauptzweig verwendet man für den Startwert der Integraldarstellung <math>i</math> statt <math>1</math> (wie beim Hauptzweig). Als holomorphe Funktion verwendet man für den imaginären Hauptzweig die Funktion <math>\log_{_i}(z)</math>, die auf den geschlitzten Ebene definiert ist, wobei die negative imaginäre Achse mit 0 aus dem Definitionsbereich entfernt wird. Wenn man einen Logarithmus auf diesem [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebiet definieren möchte, setzt man <math>z_o = i\in \mathbb{C} \setminus \{0\}</math> und erhält als Integraldarstellung des ''imaginären Hauptzweiges'' folgende Definition: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_z : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_z(t) = (1-t)\cdot z_0 + t\cdot z = (t-1) + t\cdot z \end{array} </math> :<math> \log_{_i}(z) := \frac{\pi}{2} i + \int_{\gamma_z} \frac{1}{\xi} \, d\xi = \frac{\pi}{2} i + \int_{0}^1 \frac{1}{\gamma_z(t)} \cdot \gamma_z{\!\!}'(t) \,\, dt </math> <span id="negativer_imaginaerer_Hauptzweig"></span> === Negativer imaginärer Hauptzweige des Logarithmus === Beim negativen Hauptzweig verwendet man für den Startwert der Integraldarstellung <math>-1</math> statt <math>1</math> (wie beim Hauptzweig). Als holomorphe Funktion verwendet man für den negativen Hauptzweig die Funktion <math>\log_{_-}(z)</math>, die auf den geschlitzten Ebene definiert ist, wobei die positive reelle Achse mit 0 aus dem Definitionsbereich entfernt wird. Wenn man einen Logarithmus auf diesem [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebiet definieren möchte, setzt man <math>z_o = -i\in \mathbb{C} \setminus \{0\}</math> und erhält als Integraldarstellung des ''negativen imaginären Hauptzweiges'' folgende Definition: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_z : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_z(t) = (1-t)\cdot z_0 + t\cdot z = (t-1) + t\cdot z \end{array} </math> :<math> \log_{_{-i}}(z) := -\frac{\pi}{2} i + \int_{\gamma_z} \frac{1}{\xi} \, d\xi = -\frac{\pi}{2} i + \int_{0}^1 \frac{1}{\gamma_z(t)} \cdot \gamma_z{\!\!}'(t) \,\, dt </math> <span id="algebraischvollstaendig"></span> == Definition - algebraisch vollständig == Ein Zweig des Logarithmus als Funktion <math> \log: G\to \mathbb{C} </math> heißt algebraisch vollständig, wenn dieser den Definitionsbereich <math> G := \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> besitzt und <math> \exp(\log(z)) = z </math> für alle <math> z \in G </math> gilt. === Bemerkung - algebraische Vollständigkeit === Der Definitionsbereich <math> G := \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> ist als [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] eine offene und zusammenhängende Menge in <math>\mathbb{C}</math>. Für holomorphe Funktionen gilt der [[Kurs:Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue|Satz von der Gebietstreue]]. Damit muss für einen Zweig des Logarithmus als holomorphe Funktion auch das Bild offenen sein. Definiert man den Hauptzweig ''algebraisch vollständig'', ist das Bild z.B. <math>\mathbb{R}+i\cdot (-\pi,+\pi]</math>. Dies ist keine offene Teilmenge von <math>\mathbb{C}</math>. Eine auf diese Weise definierter Logarithmus kann also nicht mehr [[holomorphe Funktion|holomorph]] sein. Man verliert sogar die Eigenschaft der Stetigkeit. Vorteil von algebarisch vollständigen Logarithmen ist, dass die Abblildung für alle <math> z \not= 0 </math> (bzw. <math> z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math>) definiert ist. == Aufgabe - Integraldarstellung des Logarithmus == Sei <math>z_o \in \mathbb{C} \setminus \{0\}</math> beliebig gewählt und :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_z : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_z(t) = (1-t)\cdot z_0 + t\cdot z \end{array} </math> * Skizzieren Sie die Menge <math>\mathbb{C}_{z_0} := \mathbb{C} \setminus \{ -\lambda \cdot z_0 \, :\, \lambda \in \mathbb{R}_0^+ \} </math> * Ist die folgende Funktion <math>F: \mathbb{C}_{z_0} \to \mathbb{C} </math> eine wohldefinierte Funktion und für welche <math>z_0</math> ist die folgende [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion]] <math>F</math> als Wegintegral auch ein Zweig des Logarithmus? Wie muss man dann die Konstante <math>c_0</math> zu dem gegebenen <math>z_0</math> wählen? ::<math> F(z) := c_0 + \int_{\gamma_z} \frac{1}{\xi} \, d\xi = c_0 + \int_{0}^1 \frac{1}{\gamma_z(t)} \cdot \gamma{\,}_z'(t) dt </math> === Notwendigkeit der Einschränkung der Definitions- und Wertebereiche der Exponentialfunktion === Um eine bijektive Abbildung zu erhalten, müssen wir sowohl den Definitionsbereich als auch den Wertebereich der Exponentialfunktion einschränken. Die Exponentialfunktion <math> \exp(z) </math> ist periodisch mit der Periode <math> 2\pi i </math>, das heißt, <math> \exp(z + 2\pi i k) = \exp(z) </math> für alle <math> k \in \mathbb{Z} </math>. === Surjektivität und Injektivität === Die Periodizität führt dazu, dass die Exponentialfunktion nicht injektiv auf der gesamten komplexen Ebene ist. Die Exponentialfunktion ist auch nicht surjektiv, da mit <math>z=x+i\cdot y \in \mathbb{C}</math> die 0 als Bildpunkt auftritt, denn es gilt: :<math> e^z = e^{x+iy} = \underbrace{e^x}_{\not=0} \cdot \underbrace{e^{iy}}_{\not=0} \not= 0 </math> === Eulersche Formel === Mit der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] kann die Exponentialfunktion mit <math>z=x+i\cdot y \in \mathbb{C}</math> wie folgt zerlegen: :<math> e^z = e^{x+iy} = \underbrace{e^x}_{\not=0} \cdot e^{iy} = e^x\cdot (\cos(y) + i \cdot \sin(y) ) </math> === Bijektive Abbildung === Um eine bijektive und holomorphe Abbildung zu erhalten, kann man den Definitionsbereich der Exponentialfunktion auf ein horizontales Streifen der Höhe <math>2\pi i</math> einschränken, zum Beispiel: :<math> G := \mathbb{R} + i\cdot (-\pi,+\pi) := \{ z \in \mathbb{C} \mid -\pi < \operatorname{Im}(z) \leq \pi \} \subset \mathbb{C} </math> In diesem Fall ist die Exponentialfunktion <math>\exp : G \to \mathbb{C}\setminus \{0\} </math> den "Streifen" <math>G </math> der Höhe <math>2\pi i</math> bijektiv auf auf den Wertebereich <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> ab. Die Bildmenge wird nun zum Definitionsbereich des Hauptzweiges vom Logarithmus. == Zusammenfassung == * Die Exponentialfunktion <math> \exp(z) </math> ist nicht injektiv und nicht surjektiv (wegen <math> \exp(z) \not= 0)</math> auf der gesamten komplexen Ebene. * Um eine bijektive [[holomorphe Funktion]] zu erhalten, muss man den Definitionsbereich <math>\mathbb{D}</math> und den Wertebereich <math>\mathbb{W}</math> der Logarithmusfunktion <math>\log_G : G \to \mathbb{W} </math> so einschränken, dass eine bijektive Abbildung entsteht. * für die offene Menge <math>\mathbb{D}</math> muss im Allgemeinen nur [[einfach zusammenhängend]] mit <math>0\notin \mathbb{D}</math> sein (siehe auch [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/generalisiert|generalisierte Logarithmen]]). * Ein Zweig des Logarithmus kann definiert werden, indem der Definitionsbereich des Logarithmus eingeschränkt wird, zum Beispiel auf <math> \mathbb{C} \setminus (-\infty, 0] </math>. === Algebraische Vervollständigung === Wenn man den Definitionsbereich von einer geschlitzten Ebene <math> \mathbb{W} := \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}_{0}^{-}</math> auf <math>\mathbb{C}\setminus \{0\}</math> erweitert und gleichzeitig den Definitionsbereich <math>G:=\mathbb{R}+(-\pi,+\pi) \cdot i </math> zu <math>G_+ := \mathbb{R} + (-\pi,+\pi]\cdot i</math> für den Hauptzweig erweitert, bleibt die algebraisch die Bijektivität erhalten, aber man verliert die Eigenschaft der Stetigkeit auf dem ganzen Definitionsbereich. Alternativ kann man für den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#negativer_Hauptzweig|negativen Hauptzweig]] den Definitionsbereich <math>G_1 := \mathbb{R} + (0,2\pi)\cdot i</math> auch diesen Definitionsbereich auf <math>\mathbb{D}_1 := \mathbb{R} + [0,2\pi)\cdot i</math> erweitern und man verliert analog die Eigenschaft der Stetigkeit und komplexen Differenzierbarkeit auf ganz <math>\mathbb{D}_1</math>. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/algebraische Vollständigkeit|algebraische Vollständigkeit]] des Logarithmus * [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden Gebietes]] für Logarithmen * [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] *[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/generalisiert|generalisierter Logarithmus]] * [[holomorphe Funktion]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexer Logarithmus]] * [[Logarithmus|reeller Logarithmus]] * [[Potenzreihenentwicklung für Logarithmen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion als Wegintegral]] * [[Stetigkeit]] inlf7tp3jh1ce7vhyiuxf99xmn2b6gq 106 173022 1116198 1116184 2026-10-15T12:17:55Z Bert Niehaus 20843 /* Multiplikation und Exponentialfunktion */ 1116198 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Lerneinheit zu [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmen]] beschäftigt sich Äquivalenzklassen, deren Struktur und Rechenregeln, die durch den Zusammenhang mit der Exponentialfunktion und deren imaginärer <math>2\pi i</math>-Periodizität entsteht. Die Äquivalenzklassen helfen dabei, [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen#Rechenregeln|Rechenregeln]] aus den reellen Zahl für den [[Logarithmus]] auf den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexen Logarithmus]] bzw. deren Zweige zu übertragen. Die [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus]] spielt dabei bijektive Abbildungen eine besondere Rolle. === Periodizität der Exponentialfunktion === Der komplexe Logarithmus kann nicht eindeutig als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion <math> \exp: \mathbb{C} \to \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> festgelegt werden, da u.a. die Exponentialfunktion nicht injektiv ist und ein [[Zweig des Logarithmus]] von der Wahl des [[einfach zusammenhängend]]en Gebietes abhängt, auf dem der Logarithmus definiert ist. Es gilt für [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]]: :<math> \exp(w + 2\pi i) = \exp(w) = z\quad \text{für alle } w \in \mathbb{C} </math> Daher gibt es unendlich viele komplexe Zahlen <math> w </math>, die auf dieselbe Zahl <math> z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> abgebildet werden. Diese Mehrdeutigkeit ist die Motivation, um Äquivalenzklassen zu bilden. === Behandelt Aspekte in der Lerneinheit === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen#logmod_Aequivalenzlemma|LogMod-Äquivalenzklassenlemma]]:''' Beziehung Exponentialfunktion und Zweigen des Logarithmus * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen#Repraesentantenunabhaengigkeit|Repräsentantenunabhängigkeit]]''' für die Addition von [[logmod-Äquivalenzklassen]] == Äquivalenzklassen des Logarithmus == Um Äquivalenzklassen zu bilden, benötigt man eine Äquivalenzrelation als Teilmenge von <math>\mathbb{C}\times \mathbb{C} </math>, die zwei Elemente <math> w_1, w_2 \in \mathbb{C} </math>, wenn deren Differenz ein ganzzahliges Vielfaches von <math>2\pi i</math> ist. === Definition - logmod-Äquivalenzrelation === Zwei komplexe Zahlen <math> w_1, w_2 \in \mathbb{C} </math> heißen logmod-äquivalent modulo <math> 2\pi i </math>, wenn gilt: :<math> w_1 - w_2 \in 2\pi i \cdot \mathbb{Z} := \{w\in \mathbb{C} \, : \, w=2\pi i \cdot k \mbox{ und } k\in \mathbb{Z} \} </math> Formal notiert man diese Äquivalenz wie folgt: :<math> w_1 \equiv w_2 \ \mathrm{logmod}\ {2\pi i} </math> ==== Aufgabe für Studierende ==== Zeigen Sie, dass diese Relation eine ''Äquivalenzrelation'' ist, d.h. die [[logmod-Funktion|logmod-Relation]] ist [[w:de:Äquivalenzrelation|reflexiv, symmetrisch und transitiv]]. === Definition - logmod-Äquivalenzklasse === Für eine komplexe Zahl <math> w \in \mathbb{C} </math> ist die Äquivalenzklasse definiert als: :<math> [w]_0 := \{ w + 2\pi i k \mid k \in \mathbb{Z} \} </math> ==== Bezeichnung - Äquivalenzklassenindex==== Die Indexierung mit <math> _0 </math> deutet an, dass dies diese Äquivalenzklasse ohne Logarithmierung in <math>\mathbb{C}</math> gebildet wurde. Bildet man rekursiv höhere Logarithmen als Verkettung entstehen Äquivalenzklassen <math>[w]_n</math>, wobei <math>n</math>-fach rekursiv der Logarithmus verkettet wird, falls dieser existiert. == Verbindung mit der Exponentialfunktion == Da die Exponentialfunktion im Imaginärteil des Arguments eine Periodizität von <math>2\pi i</math> besitzt, entsprechen Äquivalenzklassen <math>[w]_0</math> entsprechen einem Bildpunkt <math>z=e^w</math>. Dieser Verbindung zwischen Exponentialfunktion und Logarithmus wird durch das LogMod-Äquivalenzklassenlemma festgehalten. <span id="logmod_Aequivalenzlemma"></span> === LogMod-Äquivalenzklassenlemma === Sei <math>w\in\mathbb{C} \setminus \{0\} </math> mit <math>\mathrm{logmod}(w) = 0</math> gegeben. Für eine feste komplexe Zahl <math> z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> gilt folgende Äquivalenzaussage: :<math> \exp(\widehat{w}) = z \quad \text{für alle } \widehat{w} \in [w]_0 </math> genau dann, wenn <math> \exp(w) = z </math>. === Beweis - LogMod-Äquivalenzlemma === Für <math> w\in \mathbb{D}_1 := \mathbb{R}\times i\cdot [0,2\pi)</math> gelte <math>\exp(w)=z</math>. Das LogMod-Äquivalenzlemma ist eine Äquivalenzaussage. Daher werden zwei Beweisrichtungen gezeigt: \mbox{} <math display="block"> \begin{array}{llcl} \mbox{ (LML1) } & \exp(\widehat{w}) = z & \quad \Longrightarrow \quad & \widehat{w} \in [w]_0 \\ \mbox{ (LML2) } & \widehat{w} \in [w]_0 & \quad \Longrightarrow \quad & \exp(\widehat{w}) = z \\ \end{array} </math> ==== Schritt 1 - Beweisrichtung LML1 ==== Sei <math> \widehat{w} \in \mathbb{C} </math> mit <math> \exp(\widehat{w}) = z </math> beliebig gewählt. Dann gilt mit der Voraussetzung <math> \exp(w) = z \not= 0</math> und Potenzgesetzen: :<math> 1 = \frac{z}{z} = \frac{\widehat{w}}{\exp(\exp(w))} = \exp(\widehat{w}-w) </math> Die Gleichung <math>1 = \exp(\widehat{w}-w)</math> gilt genau dann, wenn <math> w-\widehat{w} = 2\pi i \cdot k</math> mit <math>k \in \mathbb{Z}</math>. ==== Schritt 2 - Beweisrichtung LML1 ==== Damit gilt auch <math> w = \widehat{w} + 2\pi i \cdot k </math>. Die ganze Zahl <math> k\in \mathbb{Z} </math> ist durch die [[logmod-Funktion]] und es gilt <math>k= \mathrm{logmod}(\widehat{w})</math>, da <math> w\in \mathbb{D}_1 = \mathbb{R} + i\cdot [0,2\pi) </math> nach Voraussetzung gilt und man erhält <math>\widehat{w} \in [w]_0</math>. ==== Schritt 3 - Äquivalenzklasse gegeben LML2 ==== Sei umgekehrt <math>\widehat{w} \in [w]_0</math> gegeben. Dann gibt es nach Definition der Äquivalenzklasse ein <math> k := logmod(\widehat{w})\in \mathbb{Z} </math> mit der Eigenschaft <math>\widehat{w}:= w + 2\pi i k</math>. Nun wen man diese Darstellung von <math>\widehat{w}</math> auf die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] an und verwendet Periodizität <math>\exp</math> bzgl. <math>2\pi i</math> und erhält: :<math> \exp(\widehat{w}) = \exp(w + 2\pi i k) = \exp(w) \cdot \exp(2\pi i k) = z \cdot 1 = z </math> ==== Schritt 4 - LML2 ==== Da <math>\widehat{w} \in [w]_0</math> beliebig gewählt wurde, gilt für alle <math> \widehat{w} \in [w]_0 </math> die Eigenschaft <math> \exp(\widehat{w}) = z </math> und zusammen mit LML1 gilt die Äquivalenzaussage aus dem Lemma <math>\quad \Box</math>. === Folgerung - LogMod-Äquivalenzklassenlemma ==== Fasst man zu einem gegebenen <math>z\in \mathbb{C}\setminus\{0\}</math> die Menge alle komplexen Zahlen <math> \widehat{w} \in \mathbb{C} </math> zu einer Menge zusammen, die die Eigenschaft <math> \exp(\widehat{w}) = z </math> erfüllen, so erhält man die Äquivalenzklasse <math> [w]_0 </math>, wobei <math> w </math> eine beliebige Lösung von <math> \exp(w) = z </math> ist. ==== Bemerkung - LogMod-Äquivalenzklassenlemma ==== Für die Äquivalenzklassenanalyse spielt das Repräsentatensystem <math>\mathbb{D}_1= \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi)</math> eine besondere Rolle. DasRepräsentatensystem <math>\mathbb{D}_1</math> entsteht durch [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus|algebraische Vervollständigkeit]] des [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweiges]] des [[Logarithmus]]. == Äquivalenzklassenaddition == Um die aus der reellen Analysis bekannten Rechenregeln auf Logarithmen in den komplexen Zahlen verwenden zu können werden Äquivalenzklassen verwendet. Die Struktur und Gültigkeit der Rechenregeln wird in diesem Teil der Lerneinheit genauer untersucht. === komplexe Logarithmus als Lösungsmenge === Der komplexe Äquivalenzklassen-Logarithmus von <math> z </math> bildet nicht auf ein Element in <math>\mathbb{C}</math> ab, sondern auf ein Teilmenge von <math>\mathbb{C}</math>. Dies führt im weiteren Verlauf der Lehrveranstaltung zum Begriff des [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarithmus]]. Sei <math>w \in \mathbb{C}</math> beliebig gewählt, dann definiert man <math>w_0 := w - \mathrm{logmod}(w)\cdot 2\pi i \in \mathbb{D}_1</math> als Repräsentant der [[logmod-Äquivalenzklassen|Äquivalenzklasse]] <math> [w]_0</math>. :<math> \mathrm{lnr}_1(z) := \{ w \in \mathbb{C} \mid \exp(w) = z \} = [w]_0 </math> für ein beliebiges <math> w_0 \in \mathbb{D}_1 := \mathbb{R}+ i\cdot [0,2\pi)</math> mit <math> \exp(w_0) = z </math>. ==== Beispiel 1 - Neutrales Element für Äquivalenklassenaddition ==== Algebraisch wird später <math>\mathbb{D}_1</math> mit einer inneren Verknüpfung <math>\oplus</math> zu einer kommunitative Gruppe. Daher wird das [[w:de:neutrales Element|neutrale Element]] von <math>\oplus</math> als Beispieläquivalenzklasse genannt und in Beziehung zum Logarithmus gesetzt. Für <math> z = 1 </math> ist der komplexe rekursive Logarithmus :<math> \mathrm{lnr}_1(1) = \{ 2\pi i k \, : \, k \in \mathbb{Z} \} = [0]_0 </math> ==== Beispiel 2 - Logarithmus der imaginären Einheit ==== Da zunächst die [[rekursiver Logarithmus|rekursive komplexe Logarithmen]] von elementaren komplexen Zahlen genannt. Wählt man <math> z = i </math> so gilt <math> \exp\left(i \tfrac{\pi}{2}\right) = i </math> und <math>i\tfrac{\pi}{2} \in \mathbb{D}_1</math>. Bildet man nun den von [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarithmus]] von <math> z = i </math> erhält man: :<math> \mathrm{lnr}_1(i) = \left\{ i \left( \frac{\pi}{2} + 2\pi k \right) \mid k \in \mathbb{Z} \right\} = \left[ i \frac{\pi}{2} \right]_0 </math> ==== Beispiel 3 - rekursiver Logarithmus von -1 ==== Ablschießend wird auch noch der [[rekursiver Logarithmus|rekursive komplexe Logarithmen]] von <math> z = -1 </math> genannt. Wegen <math> \exp\left(i \pi \right) = -1 </math> und <math>i \pi \in \mathbb{D}_1=\mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi) </math> erhält man: :<math> \mathrm{lnr}_1(-1) = \left\{ i \left( \pi + 2\pi k \right) \mid k \in \mathbb{Z} \right\} = \left[ i \pi \right]_0 </math> === Repräsentantensystem === Um einen eindeutigen Funktionswert als Äquivalenzklasse zu erhalten, wählt man eine spezielles Repräsentantensystem <math>\mathbb{D}_1:= \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi) \subset \mathbb{C}</math> um alle Äquivalenzklassen darstellen zu können. Dabei wird die [[logmod-Funktion]] verwendet, um für eine beliebige komplexe Zahl <math>w\in \mathbb{C}</math> die zugehörigen Repräsentanten <math>w_0 \in\mathbb{D}_1</math> über <math> w_0 = w - 2\pi i \cdot \mathrm{logmod}(w)</math> zu bestimmen. <span id="Definition"> === Definition - logmod-Äquivalenzklassenaddition === Für <math> z_1,z_2 \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> und <math>w_1,w_2 \in\mathbb{D}_1</math> gelte <math>\exp(z_1)=w_1</math> und <math>\exp(z_2)=w_2</math>. Man definiert nun die Äquivalenzklassenaddition <math>(\mathbb{D}_1,\oplus)</math> wie folgt. :<math> [w_1]_0 \oplus [w_2]_0 := [w_1 + w_2]_0 </math> ==== Bemerkung - Repräsentant der Äquivalenzklasse ==== Der Repräsentant <math>w_1 + w_2 </math> der Äquivalenzklasse wobei <math>[w_1 + w_2]_0 </math> liegt nicht notwendigerweise auch in <math>\mathbb{D}_1</math>, was das folgende Beispiel zeigt. ==== Beispiel - Repräsentant bei additiver Verknüpfung ==== Wählt man <math> z_1 = z_2 = -i </math>, so erhält man <math> w_1 = w_2 = \tfrac{3}{2}\pi i \in \mathbb{D}_1 </math> und es gilt <math> w_1 + w_2 = 3\pi i \notin \mathbb{D}_1 </math>. Möchte man den zugehörigen Repräsentanten aus <math>\mathbb{D}_1 </math> bestimmen, verwendet man wieder die [[logmod-Funktion]]: :<math> [w_1]_0 \oplus [w_2]_0 = [w_1 + w_2]_0 = [w]_0 </math> mit <math> w = w_1+w_2 - 2\pi i \cdot \mathrm{logmod}(w_1+w_2)</math> ==== Bemerkung - Notation ==== Für die Addition <math>\oplus</math> der [[logmod-Äquivalenzklassen]] wird zur Abgrenzung zu additiven Verknüpfung in <math>+</math> in <math>\mathbb{C}</math> das Symbol <math>\oplus</math> verwendet. :<math> \left[ 1+\frac{3}{2}\pi i \right]_0 \oplus \left[5+\frac{1}{2}\pi i \right]_0 = \left[ \left(1+\frac{3}{2}\pi i\right) + \left(5+\frac{1}{2}\pi i\right) \right]_0 = [6+2\pi i]_0 = [6]_0 </math> Im linken Term werden zwei Äquivalenzklassen addiert (daher <math>\oplus</math>) und in den beiden rechten Termen ist das Standardaddition in den komplexen Zahlen. == Rechenregeln für Äquivalenzklassen == Zunächst einmal muss man kurz die Repräsentantenunabhängigkeit der Äquivalenzklassenaddition auf <math>[\mathbb{D}_1]_0</math> überprüfen. Dabei ist <math>\oplus</math> eine innere Verknüpfung auf <math>[\mathbb{D}_1]_0</math> der Form: :<math> \begin{array}{rrcl} f: & [\mathbb{D}_1]_0 \times [\mathbb{D}_1]_0 & \rightarrow & [\mathbb{D}_1]_0\\ & \left( [w_1]_0,[w_2]_0 \right) & \mapsto & [w_1]_0 \oplus [w_2]_0 = [w_1+w_2]_0 = \\ & & & \bigg[\, \underbrace{w_1+w_2 - \mathrm{logmod}(w_1+w_2) \cdot 2\pi i}_{\in \mathbb{D}_1}\,\bigg]_0 \end{array} </math> Dabei beschreibt <math>[\mathbb{D}_1]_0 = \{ [w]_0 \, \colon \, w\in \mathbb{D}_1 \}</math> die Menge aller [[logmod-Äquivalenzklassen]] mit dem Repräsentantensystem <math>\mathbb{D}_1</math>. <hr> <span id="Repraesentantenunabhaengigkeit"></span> === Lemma zur Repräsentantenunabhängigkeit === Die innere additive Verknüpfung <math> ([\mathbb{D}_1]_0 , \oplus)</math> auf den [[logmod-Äquivalenzklassen]] ist repräsentantenunabhängig. === Beweis - Lemma zur Repräsentantenunabhängigkeit === Die Beweisidee der Repräsentantenunabhängigkeit beruht auf der Auswahl von zwei beliebigen unterschiedlichen Repräsentanten <math>w_1</math> und <math>\widehat{w_1}</math> bzw. <math>w_2</math> und <math>\widehat{w_2}</math> und man zeigt dann die Addition mit <math>\oplus</math> für die [[logmod-Äquivalenzklassen]] die gleiche Äquivalenzklasse <math>[w_1+w_2]_0=[\widehat{w_1}+\widehat{w_2}]_0</math> liefert. ==== Beweisschritt 1 - Wahl der Repräsentanten ==== Seien <math>w_1,w_2 \in \mathbb{D}_1</math> und <math>k_1, k_2 \in \mathbb{Z}</math> beliebig gewählt, dann sind <math>\widehat{w_1}=2\pi i\cdot k_1 </math> und <math>\widehat{w_2}=2\pi i\cdot k_2 </math> weitere Repräsentanten der [[logmod-Äquivalenzklassen]] <math>[w_1]_0,[w_2]_0 \in [\mathbb{D}_1]_0</math> und es gilt: :<math> [w_1]_0 = [\widehat{w_1}]_0 \quad [w_2]_0 = [\widehat{w_2}]_0 </math> ==== Beweisschritt 2 - Definition der Addition anwenden ==== Nach Definition der Addition von [[logmod-Äquivalenzklassen]] gilt: :<math> \begin{array}{rcl} [\widehat{w_1}]_0 \oplus [\widehat{w_1}]_0 & = & [\widehat{w_1} + \widehat{w_1}]_0 \\ & = & [w_1+w_2+ (k_1+k_2)\cdot 2\pi i]_0 = [w_1+w_2]_0 \\ \end{array} </math> Damit ist die Addition von [[logmod-Äquivalenzklassen]] repräsentantenunabhängig. <math>\quad \Box</math> ==== Bemerkung - Exponentialfunktion und Zweige des Logarithmus ==== Sei <math>G\subset \mathbb{C}</math> ein [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängendes]] [[Gebiet (Mathematik)| Gebiet]] mit <math>0\notin G</math> und <math>w_0\in \mathbb{D}_1</math> und <math> \exp(w_0)=z_0</math> für ein mit <math>z_0 \in G \subset \mathbb{C}\setminus \{0\}</math>. Durch die Festlegung von <math>\log_G(z_0)=w_0</math> ist der Zweig <math>\log_{G}</math> als [[generalisierter Logarithmus]] bereits auf ganz <math>G</math> definiert (siehe [[Identitätssatz]] und <math>\exp(\log_G(z)) = z</math>). Bei der [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus|algebraischen Vervollständigung des Zweiges eines Logarithmus]] verliert man die Eigenschaft der [[holomorphe Funktion|Holomorphie]] und sogar der [[Stetigkeit]]. Sei Man muss daher [[Zweige des Logarithmus]] von der Definition eine [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarthmus]] trennen. * <math> \exp(\log_G(z)) = z </math> für alle <math> z \in G \subset \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> * <math> \log_G(\exp(w)) = z+2\pi i \cdot k </math> für <math> w \in \mathbb{C} </math> und ein existierendes <math>k\in \mathbb{Z} </math> für <math>w</math>. ==== Äquivalenzklassen als Wertebereich ==== Der rekursive Logarithmus <math> \mathrm{lnr}_1(z) = [w]_0</math> liefert als Funktionswert '''keine Zahl''', sondern eine '''Äquivalenzklasse'''. Diese ist selbst ein Element der [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelschen Sigma-Algebra]] <math>\mathcal{B}(\mathbb{C})</math> als abzählbare Vereingigung von Einpunktmenge der Form <math>w+k\cdot 2\pi i</math> mit <math>k\in \mathbb{Z} </math> . === Multiplikation von Äquivalenzklassen === Für <math> z_1, z_2 \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> und <math>w_1,w_2 \in \mathbb{D}_1</math> gelte <math>\exp(w_1)=z_1</math> und <math>\exp(w_2)=z_2</math>. Ferner werden zwei beliebige weitere Repräsentanten <math>\widehat{w_1}=w_1 + 2\pi i\cdot k_1 </math> und <math>\widehat{w_2}=w_2 + 2\pi i\cdot k_2 </math> mit <math>k_1, k_2 \in \mathbb{Z}</math> der [[logmod-Äquivalenzklassen]] <math>[w_1]_0,[w_2]_0 \in [\mathbb{D}_1]_0</math> gewählt. Es gilt damit: :<math> [w_1]_0 = [\widehat{w_1}]_0 \quad [w_2]_0 = [\widehat{w_2}]_0 </math>: Man untersucht nun die Multiplikation bzgl. der [[logmod-Äquivalenzklassen]]. === Multiplikation und Exponentialfunktion === Es gilt nach Voraussetzung <math>\exp(w_1)= \exp(\widehat{w_1})</math> und <math>\exp(w_2)= \exp(\widehat{w_2})</math> wegen imaginäre Periodizität bzgl. <math>2\pi i</math>. Man erhält daher folgende Gleichung: :<math> \exp(w_1+w_2) = \underbrace{\exp(w_1)}_{=z_1} \cdot \underbrace{\exp(w_2)}_{=z_2}= \underbrace{\exp(\widehat{w_1})}_{=z_1} \cdot \underbrace{\exp(\widehat{w_2})}_{=z_2} = \exp(\widehat{w_1}+\widehat{w_2}) </math> Dabei wurde <math>w_1 = \log_G(z_1)</math> und <math>w_2 = \log_G(z_2)</math> über einen [[generalisierter Logarithmus|generalisierten Logarithmus]] <math>\log_G</math> auf einem [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebiet <math>G</math> mit <math>0\notin G</math> bestimmt. ==== Anwendung auf den generalisierte Logarithmus ==== :<math> \log_G(z_1 \cdot z_2) = \log_G(z_1) + \log_G(z_2) </math> > '''Interpretation:''' > Die Summe zweier Äquivalenzklassen ist definiert als: > :<math> > [w_1]_0 + [w_2]_0 := [w_1 + w_2]_0 > </math> > und es gilt: > :<math> > \log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2) > </math> > '''Beispiel:''' > <math> z_1 = i </math>, <math> z_2 = i </math> → <math> z_1 z_2 = -1 </math> > <math> \log(i) = \left[ i \frac{\pi}{2} \right]_0 </math>, > <math> \log(i) + \log(i) = \left[ i \pi \right]_0 </math>, > <math> \log(-1) = \left[ i \pi \right]_0 </math> → stimmt. --- === (3) Potenzen und Logarithmus === Für <math> z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math>, <math> a \in \mathbb{C} </math>: :<math> \log(z^a) = a \cdot \log(z) + 2\pi i k \quad \text{für ein } k \in \mathbb{Z} </math> > '''Aber:''' In der Äquivalenzklassen-Sicht gilt: > :<math> > \log(z^a) = a \cdot \log(z) > </math> > wobei die Multiplikation einer Äquivalenzklasse mit einer komplexen Zahl definiert ist als: > :<math> > a \cdot [w]_0 := [a w]_0 > </math> > '''Beispiel:''' > <math> z = i </math>, <math> a = 2 </math> → <math> z^a = -1 </math> > <math> \log(z^a) = \log(-1) = [i\pi]_0 </math> > <math> a \cdot \log(z) = 2 \cdot [i \pi/2]_0 = [i\pi]_0 </math> → stimmt. --- === (4) Addition von Logarithmen === :<math> \log(z_1) + \log(z_2) = \log(z_1 z_2) </math> > '''Achtung:''' Dies ist '''nicht''' immer wahr, wenn man '''nicht''' mit Äquivalenzklassen arbeitet! > Aber '''in der Klassen-Sicht''' ist es '''richtig'''. > '''Warum?''' Weil die Addition von Klassen kommutativ und assoziativ ist. --- == 7. Zusammenhang mit Logarithmenzweigen == Ein '''Logarithmenzweig''' ist eine '''stetige Auswahl''' von Werten aus <math> \log(z) </math>, d. h. eine Funktion <math> L: G \to \mathbb{C} </math>, sodass <math> \exp(L(z)) = z </math> und <math> L </math> stetig auf einem Gebiet <math> G \subseteq \mathbb{C} \setminus \{0\} </math>. > '''Beispiel:''' > Der '''Hauptzweig''' <math> \text{Log}(z) </math> ist ein Logarithmenzweig auf <math> \mathbb{C} \setminus (-\infty, 0] </math>. > '''Jeder Logarithmenzweig''' <math> L </math> wählt '''einen Repräsentanten''' aus jeder Äquivalenzklasse <math> [w]_0 </math>, nämlich <math> L(z) \in [w]_0 </math>. > '''Zusammenhang:''' > Die Menge aller Logarithmenzweige entspricht '''der Wahl einer Schnittlinie''' (Branch Cut), die verhindert, dass man um den Ursprung herumwandert und die Klasse wechselt. --- == 8. Zusammenfassung: Struktur der Logarithmen == | Konzept | Beschreibung | |--------|--------------| | '''Äquivalenzklasse''' <math> [w]_0 </math> | Menge aller <math> w + 2\pi i k </math>, <math> k \in \mathbb{Z} </math> | | '''Logarithmus von <math> z </math>''' | <math> \log(z) = [w]_0 </math>, wobei <math> \exp(w) = z </math> | | '''Hauptzweig''' | <math> \text{Log}(z) \in \log(z) </math>, mit <math> \text{Arg}(z) \in (-\pi, \pi] </math> | | '''Rechenregeln''' | <math> \log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2) </math>, <math> \log(z^a) = a \cdot \log(z) </math> (in Klassen) | | '''Exponentialfunktion''' | <math> \exp(\log(z)) = z </math>, <math> \log(\exp(w)) = [w]_0 </math> | --- == 9. Übungsaufgaben == 1. Zeige, dass <math> \log(-1) = [i\pi]_0 </math>. 2. Berechne <math> \log(i) + \log(i) </math> und vergleiche mit <math> \log(-1) </math>. 3. Zeige, dass <math> \log(z^2) = 2 \log(z) </math> in der Klassen-Sicht gilt. 4. Warum ist <math> \log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2) </math> '''nicht''' immer wahr, wenn man nur Zahlen verwendet? 5. Definiere einen anderen Logarithmenzweig auf <math> \mathbb{C} \setminus [0, \infty) </math>, der <math> \log(z) \in [i \cdot 0]_0 </math> für <math> z = 1 </math> wählt. --- == Lernziel == Du kannst: * den komplexen Logarithmus als '''Äquivalenzklasse''' verstehen, * die '''Rechenregeln''' für Logarithmen in der Klassen-Sicht korrekt anwenden, * den Zusammenhang zwischen '''Exponentialfunktion''', '''Logarithmenzweigen''' und '''Äquivalenzklassen''' erklären, * die '''Mehrdeutigkeit''' des Logarithmus strukturiert darstellen. --- '''Ende der Lerneinheit''' > '''Zusammenfassungssatz:''' > *Der komplexe Logarithmus von <math> z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> ist die Äquivalenzklasse <math> [w]_0 </math>, wobei <math> \exp(w) = z </math>. Diese Klasse ist genau die Menge aller Lösungen von <math> \exp(w) = z </math>. Alle Rechenregeln gelten in der Klassen-Sicht: <math> \log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2) </math>, <math> \log(z^a) = a \cdot \log(z) </math>, und <math> \exp(\log(z)) = z </math>.* == Siehe auch == * [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexer Logarithmus]] * [[logmod-Äquivalenzklassen]] * [[logmod-Funktion]] * [[negativer Hauptzweig des Logarithmus]] g9brhn1t61jufg56137ug5f4ajptt9c 1116206 1116198 2026-10-15T12:47:34Z Bert Niehaus 20843 /* Multiplikation und Exponentialfunktion */ 1116206 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Lerneinheit zu [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmen]] beschäftigt sich Äquivalenzklassen, deren Struktur und Rechenregeln, die durch den Zusammenhang mit der Exponentialfunktion und deren imaginärer <math>2\pi i</math>-Periodizität entsteht. Die Äquivalenzklassen helfen dabei, [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen#Rechenregeln|Rechenregeln]] aus den reellen Zahl für den [[Logarithmus]] auf den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexen Logarithmus]] bzw. deren Zweige zu übertragen. Die [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus]] spielt dabei bijektive Abbildungen eine besondere Rolle. === Periodizität der Exponentialfunktion === Der komplexe Logarithmus kann nicht eindeutig als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion <math> \exp: \mathbb{C} \to \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> festgelegt werden, da u.a. die Exponentialfunktion nicht injektiv ist und ein [[Zweig des Logarithmus]] von der Wahl des [[einfach zusammenhängend]]en Gebietes abhängt, auf dem der Logarithmus definiert ist. Es gilt für [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]]: :<math> \exp(w + 2\pi i) = \exp(w) = z\quad \text{für alle } w \in \mathbb{C} </math> Daher gibt es unendlich viele komplexe Zahlen <math> w </math>, die auf dieselbe Zahl <math> z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> abgebildet werden. Diese Mehrdeutigkeit ist die Motivation, um Äquivalenzklassen zu bilden. === Behandelt Aspekte in der Lerneinheit === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen#logmod_Aequivalenzlemma|LogMod-Äquivalenzklassenlemma]]:''' Beziehung Exponentialfunktion und Zweigen des Logarithmus * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen#Repraesentantenunabhaengigkeit|Repräsentantenunabhängigkeit]]''' für die Addition von [[logmod-Äquivalenzklassen]] == Äquivalenzklassen des Logarithmus == Um Äquivalenzklassen zu bilden, benötigt man eine Äquivalenzrelation als Teilmenge von <math>\mathbb{C}\times \mathbb{C} </math>, die zwei Elemente <math> w_1, w_2 \in \mathbb{C} </math>, wenn deren Differenz ein ganzzahliges Vielfaches von <math>2\pi i</math> ist. === Definition - logmod-Äquivalenzrelation === Zwei komplexe Zahlen <math> w_1, w_2 \in \mathbb{C} </math> heißen logmod-äquivalent modulo <math> 2\pi i </math>, wenn gilt: :<math> w_1 - w_2 \in 2\pi i \cdot \mathbb{Z} := \{w\in \mathbb{C} \, : \, w=2\pi i \cdot k \mbox{ und } k\in \mathbb{Z} \} </math> Formal notiert man diese Äquivalenz wie folgt: :<math> w_1 \equiv w_2 \ \mathrm{logmod}\ {2\pi i} </math> ==== Aufgabe für Studierende ==== Zeigen Sie, dass diese Relation eine ''Äquivalenzrelation'' ist, d.h. die [[logmod-Funktion|logmod-Relation]] ist [[w:de:Äquivalenzrelation|reflexiv, symmetrisch und transitiv]]. === Definition - logmod-Äquivalenzklasse === Für eine komplexe Zahl <math> w \in \mathbb{C} </math> ist die Äquivalenzklasse definiert als: :<math> [w]_0 := \{ w + 2\pi i k \mid k \in \mathbb{Z} \} </math> ==== Bezeichnung - Äquivalenzklassenindex==== Die Indexierung mit <math> _0 </math> deutet an, dass dies diese Äquivalenzklasse ohne Logarithmierung in <math>\mathbb{C}</math> gebildet wurde. Bildet man rekursiv höhere Logarithmen als Verkettung entstehen Äquivalenzklassen <math>[w]_n</math>, wobei <math>n</math>-fach rekursiv der Logarithmus verkettet wird, falls dieser existiert. == Verbindung mit der Exponentialfunktion == Da die Exponentialfunktion im Imaginärteil des Arguments eine Periodizität von <math>2\pi i</math> besitzt, entsprechen Äquivalenzklassen <math>[w]_0</math> entsprechen einem Bildpunkt <math>z=e^w</math>. Dieser Verbindung zwischen Exponentialfunktion und Logarithmus wird durch das LogMod-Äquivalenzklassenlemma festgehalten. <span id="logmod_Aequivalenzlemma"></span> === LogMod-Äquivalenzklassenlemma === Sei <math>w\in\mathbb{C} \setminus \{0\} </math> mit <math>\mathrm{logmod}(w) = 0</math> gegeben. Für eine feste komplexe Zahl <math> z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> gilt folgende Äquivalenzaussage: :<math> \exp(\widehat{w}) = z \quad \text{für alle } \widehat{w} \in [w]_0 </math> genau dann, wenn <math> \exp(w) = z </math>. === Beweis - LogMod-Äquivalenzlemma === Für <math> w\in \mathbb{D}_1 := \mathbb{R}\times i\cdot [0,2\pi)</math> gelte <math>\exp(w)=z</math>. Das LogMod-Äquivalenzlemma ist eine Äquivalenzaussage. Daher werden zwei Beweisrichtungen gezeigt: \mbox{} <math display="block"> \begin{array}{llcl} \mbox{ (LML1) } & \exp(\widehat{w}) = z & \quad \Longrightarrow \quad & \widehat{w} \in [w]_0 \\ \mbox{ (LML2) } & \widehat{w} \in [w]_0 & \quad \Longrightarrow \quad & \exp(\widehat{w}) = z \\ \end{array} </math> ==== Schritt 1 - Beweisrichtung LML1 ==== Sei <math> \widehat{w} \in \mathbb{C} </math> mit <math> \exp(\widehat{w}) = z </math> beliebig gewählt. Dann gilt mit der Voraussetzung <math> \exp(w) = z \not= 0</math> und Potenzgesetzen: :<math> 1 = \frac{z}{z} = \frac{\widehat{w}}{\exp(\exp(w))} = \exp(\widehat{w}-w) </math> Die Gleichung <math>1 = \exp(\widehat{w}-w)</math> gilt genau dann, wenn <math> w-\widehat{w} = 2\pi i \cdot k</math> mit <math>k \in \mathbb{Z}</math>. ==== Schritt 2 - Beweisrichtung LML1 ==== Damit gilt auch <math> w = \widehat{w} + 2\pi i \cdot k </math>. Die ganze Zahl <math> k\in \mathbb{Z} </math> ist durch die [[logmod-Funktion]] und es gilt <math>k= \mathrm{logmod}(\widehat{w})</math>, da <math> w\in \mathbb{D}_1 = \mathbb{R} + i\cdot [0,2\pi) </math> nach Voraussetzung gilt und man erhält <math>\widehat{w} \in [w]_0</math>. ==== Schritt 3 - Äquivalenzklasse gegeben LML2 ==== Sei umgekehrt <math>\widehat{w} \in [w]_0</math> gegeben. Dann gibt es nach Definition der Äquivalenzklasse ein <math> k := logmod(\widehat{w})\in \mathbb{Z} </math> mit der Eigenschaft <math>\widehat{w}:= w + 2\pi i k</math>. Nun wen man diese Darstellung von <math>\widehat{w}</math> auf die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] an und verwendet Periodizität <math>\exp</math> bzgl. <math>2\pi i</math> und erhält: :<math> \exp(\widehat{w}) = \exp(w + 2\pi i k) = \exp(w) \cdot \exp(2\pi i k) = z \cdot 1 = z </math> ==== Schritt 4 - LML2 ==== Da <math>\widehat{w} \in [w]_0</math> beliebig gewählt wurde, gilt für alle <math> \widehat{w} \in [w]_0 </math> die Eigenschaft <math> \exp(\widehat{w}) = z </math> und zusammen mit LML1 gilt die Äquivalenzaussage aus dem Lemma <math>\quad \Box</math>. === Folgerung - LogMod-Äquivalenzklassenlemma ==== Fasst man zu einem gegebenen <math>z\in \mathbb{C}\setminus\{0\}</math> die Menge alle komplexen Zahlen <math> \widehat{w} \in \mathbb{C} </math> zu einer Menge zusammen, die die Eigenschaft <math> \exp(\widehat{w}) = z </math> erfüllen, so erhält man die Äquivalenzklasse <math> [w]_0 </math>, wobei <math> w </math> eine beliebige Lösung von <math> \exp(w) = z </math> ist. ==== Bemerkung - LogMod-Äquivalenzklassenlemma ==== Für die Äquivalenzklassenanalyse spielt das Repräsentatensystem <math>\mathbb{D}_1= \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi)</math> eine besondere Rolle. DasRepräsentatensystem <math>\mathbb{D}_1</math> entsteht durch [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus|algebraische Vervollständigkeit]] des [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweiges]] des [[Logarithmus]]. == Äquivalenzklassenaddition == Um die aus der reellen Analysis bekannten Rechenregeln auf Logarithmen in den komplexen Zahlen verwenden zu können werden Äquivalenzklassen verwendet. Die Struktur und Gültigkeit der Rechenregeln wird in diesem Teil der Lerneinheit genauer untersucht. === komplexe Logarithmus als Lösungsmenge === Der komplexe Äquivalenzklassen-Logarithmus von <math> z </math> bildet nicht auf ein Element in <math>\mathbb{C}</math> ab, sondern auf ein Teilmenge von <math>\mathbb{C}</math>. Dies führt im weiteren Verlauf der Lehrveranstaltung zum Begriff des [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarithmus]]. Sei <math>w \in \mathbb{C}</math> beliebig gewählt, dann definiert man <math>w_0 := w - \mathrm{logmod}(w)\cdot 2\pi i \in \mathbb{D}_1</math> als Repräsentant der [[logmod-Äquivalenzklassen|Äquivalenzklasse]] <math> [w]_0</math>. :<math> \mathrm{lnr}_1(z) := \{ w \in \mathbb{C} \mid \exp(w) = z \} = [w]_0 </math> für ein beliebiges <math> w_0 \in \mathbb{D}_1 := \mathbb{R}+ i\cdot [0,2\pi)</math> mit <math> \exp(w_0) = z </math>. ==== Beispiel 1 - Neutrales Element für Äquivalenklassenaddition ==== Algebraisch wird später <math>\mathbb{D}_1</math> mit einer inneren Verknüpfung <math>\oplus</math> zu einer kommunitative Gruppe. Daher wird das [[w:de:neutrales Element|neutrale Element]] von <math>\oplus</math> als Beispieläquivalenzklasse genannt und in Beziehung zum Logarithmus gesetzt. Für <math> z = 1 </math> ist der komplexe rekursive Logarithmus :<math> \mathrm{lnr}_1(1) = \{ 2\pi i k \, : \, k \in \mathbb{Z} \} = [0]_0 </math> ==== Beispiel 2 - Logarithmus der imaginären Einheit ==== Da zunächst die [[rekursiver Logarithmus|rekursive komplexe Logarithmen]] von elementaren komplexen Zahlen genannt. Wählt man <math> z = i </math> so gilt <math> \exp\left(i \tfrac{\pi}{2}\right) = i </math> und <math>i\tfrac{\pi}{2} \in \mathbb{D}_1</math>. Bildet man nun den von [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarithmus]] von <math> z = i </math> erhält man: :<math> \mathrm{lnr}_1(i) = \left\{ i \left( \frac{\pi}{2} + 2\pi k \right) \mid k \in \mathbb{Z} \right\} = \left[ i \frac{\pi}{2} \right]_0 </math> ==== Beispiel 3 - rekursiver Logarithmus von -1 ==== Ablschießend wird auch noch der [[rekursiver Logarithmus|rekursive komplexe Logarithmen]] von <math> z = -1 </math> genannt. Wegen <math> \exp\left(i \pi \right) = -1 </math> und <math>i \pi \in \mathbb{D}_1=\mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi) </math> erhält man: :<math> \mathrm{lnr}_1(-1) = \left\{ i \left( \pi + 2\pi k \right) \mid k \in \mathbb{Z} \right\} = \left[ i \pi \right]_0 </math> === Repräsentantensystem === Um einen eindeutigen Funktionswert als Äquivalenzklasse zu erhalten, wählt man eine spezielles Repräsentantensystem <math>\mathbb{D}_1:= \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi) \subset \mathbb{C}</math> um alle Äquivalenzklassen darstellen zu können. Dabei wird die [[logmod-Funktion]] verwendet, um für eine beliebige komplexe Zahl <math>w\in \mathbb{C}</math> die zugehörigen Repräsentanten <math>w_0 \in\mathbb{D}_1</math> über <math> w_0 = w - 2\pi i \cdot \mathrm{logmod}(w)</math> zu bestimmen. <span id="Definition"> === Definition - logmod-Äquivalenzklassenaddition === Für <math> z_1,z_2 \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> und <math>w_1,w_2 \in\mathbb{D}_1</math> gelte <math>\exp(z_1)=w_1</math> und <math>\exp(z_2)=w_2</math>. Man definiert nun die Äquivalenzklassenaddition <math>(\mathbb{D}_1,\oplus)</math> wie folgt. :<math> [w_1]_0 \oplus [w_2]_0 := [w_1 + w_2]_0 </math> ==== Bemerkung - Repräsentant der Äquivalenzklasse ==== Der Repräsentant <math>w_1 + w_2 </math> der Äquivalenzklasse wobei <math>[w_1 + w_2]_0 </math> liegt nicht notwendigerweise auch in <math>\mathbb{D}_1</math>, was das folgende Beispiel zeigt. ==== Beispiel - Repräsentant bei additiver Verknüpfung ==== Wählt man <math> z_1 = z_2 = -i </math>, so erhält man <math> w_1 = w_2 = \tfrac{3}{2}\pi i \in \mathbb{D}_1 </math> und es gilt <math> w_1 + w_2 = 3\pi i \notin \mathbb{D}_1 </math>. Möchte man den zugehörigen Repräsentanten aus <math>\mathbb{D}_1 </math> bestimmen, verwendet man wieder die [[logmod-Funktion]]: :<math> [w_1]_0 \oplus [w_2]_0 = [w_1 + w_2]_0 = [w]_0 </math> mit <math> w = w_1+w_2 - 2\pi i \cdot \mathrm{logmod}(w_1+w_2)</math> ==== Bemerkung - Notation ==== Für die Addition <math>\oplus</math> der [[logmod-Äquivalenzklassen]] wird zur Abgrenzung zu additiven Verknüpfung in <math>+</math> in <math>\mathbb{C}</math> das Symbol <math>\oplus</math> verwendet. :<math> \left[ 1+\frac{3}{2}\pi i \right]_0 \oplus \left[5+\frac{1}{2}\pi i \right]_0 = \left[ \left(1+\frac{3}{2}\pi i\right) + \left(5+\frac{1}{2}\pi i\right) \right]_0 = [6+2\pi i]_0 = [6]_0 </math> Im linken Term werden zwei Äquivalenzklassen addiert (daher <math>\oplus</math>) und in den beiden rechten Termen ist das Standardaddition in den komplexen Zahlen. == Rechenregeln für Äquivalenzklassen == Zunächst einmal muss man kurz die Repräsentantenunabhängigkeit der Äquivalenzklassenaddition auf <math>[\mathbb{D}_1]_0</math> überprüfen. Dabei ist <math>\oplus</math> eine innere Verknüpfung auf <math>[\mathbb{D}_1]_0</math> der Form: :<math> \begin{array}{rrcl} f: & [\mathbb{D}_1]_0 \times [\mathbb{D}_1]_0 & \rightarrow & [\mathbb{D}_1]_0\\ & \left( [w_1]_0,[w_2]_0 \right) & \mapsto & [w_1]_0 \oplus [w_2]_0 = [w_1+w_2]_0 = \\ & & & \bigg[\, \underbrace{w_1+w_2 - \mathrm{logmod}(w_1+w_2) \cdot 2\pi i}_{\in \mathbb{D}_1}\,\bigg]_0 \end{array} </math> Dabei beschreibt <math>[\mathbb{D}_1]_0 = \{ [w]_0 \, \colon \, w\in \mathbb{D}_1 \}</math> die Menge aller [[logmod-Äquivalenzklassen]] mit dem Repräsentantensystem <math>\mathbb{D}_1</math>. <hr> <span id="Repraesentantenunabhaengigkeit"></span> === Lemma zur Repräsentantenunabhängigkeit === Die innere additive Verknüpfung <math> ([\mathbb{D}_1]_0 , \oplus)</math> auf den [[logmod-Äquivalenzklassen]] ist repräsentantenunabhängig. === Beweis - Lemma zur Repräsentantenunabhängigkeit === Die Beweisidee der Repräsentantenunabhängigkeit beruht auf der Auswahl von zwei beliebigen unterschiedlichen Repräsentanten <math>w_1</math> und <math>\widehat{w_1}</math> bzw. <math>w_2</math> und <math>\widehat{w_2}</math> und man zeigt dann die Addition mit <math>\oplus</math> für die [[logmod-Äquivalenzklassen]] die gleiche Äquivalenzklasse <math>[w_1+w_2]_0=[\widehat{w_1}+\widehat{w_2}]_0</math> liefert. ==== Beweisschritt 1 - Wahl der Repräsentanten ==== Seien <math>w_1,w_2 \in \mathbb{D}_1</math> und <math>k_1, k_2 \in \mathbb{Z}</math> beliebig gewählt, dann sind <math>\widehat{w_1}=2\pi i\cdot k_1 </math> und <math>\widehat{w_2}=2\pi i\cdot k_2 </math> weitere Repräsentanten der [[logmod-Äquivalenzklassen]] <math>[w_1]_0,[w_2]_0 \in [\mathbb{D}_1]_0</math> und es gilt: :<math> [w_1]_0 = [\widehat{w_1}]_0 \quad [w_2]_0 = [\widehat{w_2}]_0 </math> ==== Beweisschritt 2 - Definition der Addition anwenden ==== Nach Definition der Addition von [[logmod-Äquivalenzklassen]] gilt: :<math> \begin{array}{rcl} [\widehat{w_1}]_0 \oplus [\widehat{w_1}]_0 & = & [\widehat{w_1} + \widehat{w_1}]_0 \\ & = & [w_1+w_2+ (k_1+k_2)\cdot 2\pi i]_0 = [w_1+w_2]_0 \\ \end{array} </math> Damit ist die Addition von [[logmod-Äquivalenzklassen]] repräsentantenunabhängig. <math>\quad \Box</math> ==== Bemerkung - Exponentialfunktion und Zweige des Logarithmus ==== Sei <math>G\subset \mathbb{C}</math> ein [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängendes]] [[Gebiet (Mathematik)| Gebiet]] mit <math>0\notin G</math> und <math>w_0\in \mathbb{D}_1</math> und <math> \exp(w_0)=z_0</math> für ein mit <math>z_0 \in G \subset \mathbb{C}\setminus \{0\}</math>. Durch die Festlegung von <math>\log_G(z_0)=w_0</math> ist der Zweig <math>\log_{G}</math> als [[generalisierter Logarithmus]] bereits auf ganz <math>G</math> definiert (siehe [[Identitätssatz]] und <math>\exp(\log_G(z)) = z</math>). Bei der [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus|algebraischen Vervollständigung des Zweiges eines Logarithmus]] verliert man die Eigenschaft der [[holomorphe Funktion|Holomorphie]] und sogar der [[Stetigkeit]]. Sei Man muss daher [[Zweige des Logarithmus]] von der Definition eine [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarthmus]] trennen. * <math> \exp(\log_G(z)) = z </math> für alle <math> z \in G \subset \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> * <math> \log_G(\exp(w)) = z+2\pi i \cdot k </math> für <math> w \in \mathbb{C} </math> und ein existierendes <math>k\in \mathbb{Z} </math> für <math>w</math>. ==== Äquivalenzklassen als Wertebereich ==== Der rekursive Logarithmus <math> \mathrm{lnr}_1(z) = [w]_0</math> liefert als Funktionswert '''keine Zahl''', sondern eine '''Äquivalenzklasse'''. Diese ist selbst ein Element der [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelschen Sigma-Algebra]] <math>\mathcal{B}(\mathbb{C})</math> als abzählbare Vereingigung von Einpunktmenge der Form <math>w+k\cdot 2\pi i</math> mit <math>k\in \mathbb{Z} </math> . === Multiplikation von Äquivalenzklassen === Für <math> z_1, z_2 \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> und <math>w_1,w_2 \in \mathbb{D}_1</math> gelte <math>\exp(w_1)=z_1</math> und <math>\exp(w_2)=z_2</math>. Ferner werden zwei beliebige weitere Repräsentanten <math>\widehat{w_1}=w_1 + 2\pi i\cdot k_1 </math> und <math>\widehat{w_2}=w_2 + 2\pi i\cdot k_2 </math> mit <math>k_1, k_2 \in \mathbb{Z}</math> der [[logmod-Äquivalenzklassen]] <math>[w_1]_0,[w_2]_0 \in [\mathbb{D}_1]_0</math> gewählt. Es gilt damit: :<math> [w_1]_0 = [\widehat{w_1}]_0 \quad [w_2]_0 = [\widehat{w_2}]_0 </math>: Man untersucht nun die Multiplikation bzgl. der [[logmod-Äquivalenzklassen]]. === Multiplikation und Exponentialfunktion === Es gilt nach Voraussetzung <math>\exp(w_1)= \exp(\widehat{w_1})</math> und <math>\exp(w_2)= \exp(\widehat{w_2})</math> wegen imaginäre Periodizität bzgl. <math>2\pi i</math>. Man erhält daher folgende Gleichung: :<math> \exp(w_1+w_2) = \underbrace{\exp(w_1)}_{=z_1} \cdot \underbrace{\exp(w_2)}_{=z_2}= \underbrace{\exp(\widehat{w_1})}_{=z_1} \cdot \underbrace{\exp(\widehat{w_2})}_{=z_2} = \exp(\widehat{w_1}+\widehat{w_2}) </math> Dabei wurde <math>w_1 = \log_G(z_1)</math> und <math>w_2 = \log_G(z_2)</math> über einen [[generalisierter Logarithmus|generalisierten Logarithmus]] <math>\log_G</math> auf einem [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebiet <math>G</math> mit <math>0\notin G</math> bestimmt. ==== Anwendung auf den generalisierte Logarithmus ==== Mit den Vorüberlegungen bzgl. Exponentialfunktion gilt für den [[generalisierter Logarithmus|generalisierten Logarithmus]] <math>\log_G</math> folgende Eigenschaft mit geeignet gewähltem <math>k\in \mathbb{Z}</math>: :<math> \log_G(z_1 \cdot z_2) = \log_G(z_1) + \log_G(z_2) + k\cdot 2\pi i </math> Dabei kann <math>k\in \mathbb{Z}</math> über die [[logmod-Funktion]] mit <math>k=\mathrm{logmod}(z_1 \cdot z_2)</math> bestimmt werden. ==== Anwendung auf logmod-Äquivalenklassen ==== Da für die Summe zweier Äquivalenzklassen folgende Eigenschaft gilt, erhält man für <math>\exp(w) = z_1\cdot z_2</math> die [[logmod-Äquivalenzklassen]]gleichung: :<math> [w_1]_0 + [w_2]_0 = [w_1 + w_2]_0 = [w]_0 </math> ==== Beispiel - Multiplikation der Log-Argumente==== Wählt man <math> z_1 = i = z_2 </math> so gilt <math> z_1 \cdot z_2 = -1 </math>. Für den rekursiven Logarithmus gilt dann: :<math> \mathrm{lnr_1}(i) = \left[ i \frac{\pi}{2} \right]_0 \quad \mathrm{lnr_1}(-1)=\mathrm{lnr_1}(i\cdot i) = \underbrace{\mathrm{lnr_1}(i)}_{=\left[ i \frac{\pi}{2} \right]_0} + \underbrace{\mathrm{lnr_1}(i)}_{=\left[ i \frac{\pi}{2} \right]_0} = [i\pi]_0 </math> === (3) Potenzen und Logarithmus === Für <math> z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math>, <math> a \in \mathbb{C} </math>: :<math> \log(z^a) = a \cdot \log(z) + 2\pi i k \quad \text{für ein } k \in \mathbb{Z} </math> > '''Aber:''' In der Äquivalenzklassen-Sicht gilt: > :<math> > \log(z^a) = a \cdot \log(z) > </math> > wobei die Multiplikation einer Äquivalenzklasse mit einer komplexen Zahl definiert ist als: > :<math> > a \cdot [w]_0 := [a w]_0 > </math> > '''Beispiel:''' > <math> z = i </math>, <math> a = 2 </math> → <math> z^a = -1 </math> > <math> \log(z^a) = \log(-1) = [i\pi]_0 </math> > <math> a \cdot \log(z) = 2 \cdot [i \pi/2]_0 = [i\pi]_0 </math> → stimmt. --- === (4) Addition von Logarithmen === :<math> \log(z_1) + \log(z_2) = \log(z_1 z_2) </math> > '''Achtung:''' Dies ist '''nicht''' immer wahr, wenn man '''nicht''' mit Äquivalenzklassen arbeitet! > Aber '''in der Klassen-Sicht''' ist es '''richtig'''. > '''Warum?''' Weil die Addition von Klassen kommutativ und assoziativ ist. --- == 7. Zusammenhang mit Logarithmenzweigen == Ein '''Logarithmenzweig''' ist eine '''stetige Auswahl''' von Werten aus <math> \log(z) </math>, d. h. eine Funktion <math> L: G \to \mathbb{C} </math>, sodass <math> \exp(L(z)) = z </math> und <math> L </math> stetig auf einem Gebiet <math> G \subseteq \mathbb{C} \setminus \{0\} </math>. > '''Beispiel:''' > Der '''Hauptzweig''' <math> \text{Log}(z) </math> ist ein Logarithmenzweig auf <math> \mathbb{C} \setminus (-\infty, 0] </math>. > '''Jeder Logarithmenzweig''' <math> L </math> wählt '''einen Repräsentanten''' aus jeder Äquivalenzklasse <math> [w]_0 </math>, nämlich <math> L(z) \in [w]_0 </math>. > '''Zusammenhang:''' > Die Menge aller Logarithmenzweige entspricht '''der Wahl einer Schnittlinie''' (Branch Cut), die verhindert, dass man um den Ursprung herumwandert und die Klasse wechselt. --- == 8. Zusammenfassung: Struktur der Logarithmen == | Konzept | Beschreibung | |--------|--------------| | '''Äquivalenzklasse''' <math> [w]_0 </math> | Menge aller <math> w + 2\pi i k </math>, <math> k \in \mathbb{Z} </math> | | '''Logarithmus von <math> z </math>''' | <math> \log(z) = [w]_0 </math>, wobei <math> \exp(w) = z </math> | | '''Hauptzweig''' | <math> \text{Log}(z) \in \log(z) </math>, mit <math> \text{Arg}(z) \in (-\pi, \pi] </math> | | '''Rechenregeln''' | <math> \log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2) </math>, <math> \log(z^a) = a \cdot \log(z) </math> (in Klassen) | | '''Exponentialfunktion''' | <math> \exp(\log(z)) = z </math>, <math> \log(\exp(w)) = [w]_0 </math> | --- == 9. Übungsaufgaben == 1. Zeige, dass <math> \log(-1) = [i\pi]_0 </math>. 2. Berechne <math> \log(i) + \log(i) </math> und vergleiche mit <math> \log(-1) </math>. 3. Zeige, dass <math> \log(z^2) = 2 \log(z) </math> in der Klassen-Sicht gilt. 4. Warum ist <math> \log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2) </math> '''nicht''' immer wahr, wenn man nur Zahlen verwendet? 5. Definiere einen anderen Logarithmenzweig auf <math> \mathbb{C} \setminus [0, \infty) </math>, der <math> \log(z) \in [i \cdot 0]_0 </math> für <math> z = 1 </math> wählt. --- == Lernziel == Du kannst: * den komplexen Logarithmus als '''Äquivalenzklasse''' verstehen, * die '''Rechenregeln''' für Logarithmen in der Klassen-Sicht korrekt anwenden, * den Zusammenhang zwischen '''Exponentialfunktion''', '''Logarithmenzweigen''' und '''Äquivalenzklassen''' erklären, * die '''Mehrdeutigkeit''' des Logarithmus strukturiert darstellen. --- '''Ende der Lerneinheit''' > '''Zusammenfassungssatz:''' > *Der komplexe Logarithmus von <math> z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> ist die Äquivalenzklasse <math> [w]_0 </math>, wobei <math> \exp(w) = z </math>. Diese Klasse ist genau die Menge aller Lösungen von <math> \exp(w) = z </math>. Alle Rechenregeln gelten in der Klassen-Sicht: <math> \log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2) </math>, <math> \log(z^a) = a \cdot \log(z) </math>, und <math> \exp(\log(z)) = z </math>.* == Siehe auch == * [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexer Logarithmus]] * [[logmod-Äquivalenzklassen]] * [[logmod-Funktion]] * [[negativer Hauptzweig des Logarithmus]] cgu4o2bgbkfe0e6x5hec9ad2sgrc0el 1116207 1116206 2026-10-15T12:52:50Z Bert Niehaus 20843 /* Anwendung auf logmod-Äquivalenklassen */ 1116207 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Lerneinheit zu [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmen]] beschäftigt sich Äquivalenzklassen, deren Struktur und Rechenregeln, die durch den Zusammenhang mit der Exponentialfunktion und deren imaginärer <math>2\pi i</math>-Periodizität entsteht. Die Äquivalenzklassen helfen dabei, [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen#Rechenregeln|Rechenregeln]] aus den reellen Zahl für den [[Logarithmus]] auf den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexen Logarithmus]] bzw. deren Zweige zu übertragen. Die [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus]] spielt dabei bijektive Abbildungen eine besondere Rolle. === Periodizität der Exponentialfunktion === Der komplexe Logarithmus kann nicht eindeutig als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion <math> \exp: \mathbb{C} \to \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> festgelegt werden, da u.a. die Exponentialfunktion nicht injektiv ist und ein [[Zweig des Logarithmus]] von der Wahl des [[einfach zusammenhängend]]en Gebietes abhängt, auf dem der Logarithmus definiert ist. Es gilt für [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]]: :<math> \exp(w + 2\pi i) = \exp(w) = z\quad \text{für alle } w \in \mathbb{C} </math> Daher gibt es unendlich viele komplexe Zahlen <math> w </math>, die auf dieselbe Zahl <math> z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> abgebildet werden. Diese Mehrdeutigkeit ist die Motivation, um Äquivalenzklassen zu bilden. === Behandelt Aspekte in der Lerneinheit === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen#logmod_Aequivalenzlemma|LogMod-Äquivalenzklassenlemma]]:''' Beziehung Exponentialfunktion und Zweigen des Logarithmus * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen#Repraesentantenunabhaengigkeit|Repräsentantenunabhängigkeit]]''' für die Addition von [[logmod-Äquivalenzklassen]] == Äquivalenzklassen des Logarithmus == Um Äquivalenzklassen zu bilden, benötigt man eine Äquivalenzrelation als Teilmenge von <math>\mathbb{C}\times \mathbb{C} </math>, die zwei Elemente <math> w_1, w_2 \in \mathbb{C} </math>, wenn deren Differenz ein ganzzahliges Vielfaches von <math>2\pi i</math> ist. === Definition - logmod-Äquivalenzrelation === Zwei komplexe Zahlen <math> w_1, w_2 \in \mathbb{C} </math> heißen logmod-äquivalent modulo <math> 2\pi i </math>, wenn gilt: :<math> w_1 - w_2 \in 2\pi i \cdot \mathbb{Z} := \{w\in \mathbb{C} \, : \, w=2\pi i \cdot k \mbox{ und } k\in \mathbb{Z} \} </math> Formal notiert man diese Äquivalenz wie folgt: :<math> w_1 \equiv w_2 \ \mathrm{logmod}\ {2\pi i} </math> ==== Aufgabe für Studierende ==== Zeigen Sie, dass diese Relation eine ''Äquivalenzrelation'' ist, d.h. die [[logmod-Funktion|logmod-Relation]] ist [[w:de:Äquivalenzrelation|reflexiv, symmetrisch und transitiv]]. === Definition - logmod-Äquivalenzklasse === Für eine komplexe Zahl <math> w \in \mathbb{C} </math> ist die Äquivalenzklasse definiert als: :<math> [w]_0 := \{ w + 2\pi i k \mid k \in \mathbb{Z} \} </math> ==== Bezeichnung - Äquivalenzklassenindex==== Die Indexierung mit <math> _0 </math> deutet an, dass dies diese Äquivalenzklasse ohne Logarithmierung in <math>\mathbb{C}</math> gebildet wurde. Bildet man rekursiv höhere Logarithmen als Verkettung entstehen Äquivalenzklassen <math>[w]_n</math>, wobei <math>n</math>-fach rekursiv der Logarithmus verkettet wird, falls dieser existiert. == Verbindung mit der Exponentialfunktion == Da die Exponentialfunktion im Imaginärteil des Arguments eine Periodizität von <math>2\pi i</math> besitzt, entsprechen Äquivalenzklassen <math>[w]_0</math> entsprechen einem Bildpunkt <math>z=e^w</math>. Dieser Verbindung zwischen Exponentialfunktion und Logarithmus wird durch das LogMod-Äquivalenzklassenlemma festgehalten. <span id="logmod_Aequivalenzlemma"></span> === LogMod-Äquivalenzklassenlemma === Sei <math>w\in\mathbb{C} \setminus \{0\} </math> mit <math>\mathrm{logmod}(w) = 0</math> gegeben. Für eine feste komplexe Zahl <math> z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> gilt folgende Äquivalenzaussage: :<math> \exp(\widehat{w}) = z \quad \text{für alle } \widehat{w} \in [w]_0 </math> genau dann, wenn <math> \exp(w) = z </math>. === Beweis - LogMod-Äquivalenzlemma === Für <math> w\in \mathbb{D}_1 := \mathbb{R}\times i\cdot [0,2\pi)</math> gelte <math>\exp(w)=z</math>. Das LogMod-Äquivalenzlemma ist eine Äquivalenzaussage. Daher werden zwei Beweisrichtungen gezeigt: \mbox{} <math display="block"> \begin{array}{llcl} \mbox{ (LML1) } & \exp(\widehat{w}) = z & \quad \Longrightarrow \quad & \widehat{w} \in [w]_0 \\ \mbox{ (LML2) } & \widehat{w} \in [w]_0 & \quad \Longrightarrow \quad & \exp(\widehat{w}) = z \\ \end{array} </math> ==== Schritt 1 - Beweisrichtung LML1 ==== Sei <math> \widehat{w} \in \mathbb{C} </math> mit <math> \exp(\widehat{w}) = z </math> beliebig gewählt. Dann gilt mit der Voraussetzung <math> \exp(w) = z \not= 0</math> und Potenzgesetzen: :<math> 1 = \frac{z}{z} = \frac{\widehat{w}}{\exp(\exp(w))} = \exp(\widehat{w}-w) </math> Die Gleichung <math>1 = \exp(\widehat{w}-w)</math> gilt genau dann, wenn <math> w-\widehat{w} = 2\pi i \cdot k</math> mit <math>k \in \mathbb{Z}</math>. ==== Schritt 2 - Beweisrichtung LML1 ==== Damit gilt auch <math> w = \widehat{w} + 2\pi i \cdot k </math>. Die ganze Zahl <math> k\in \mathbb{Z} </math> ist durch die [[logmod-Funktion]] und es gilt <math>k= \mathrm{logmod}(\widehat{w})</math>, da <math> w\in \mathbb{D}_1 = \mathbb{R} + i\cdot [0,2\pi) </math> nach Voraussetzung gilt und man erhält <math>\widehat{w} \in [w]_0</math>. ==== Schritt 3 - Äquivalenzklasse gegeben LML2 ==== Sei umgekehrt <math>\widehat{w} \in [w]_0</math> gegeben. Dann gibt es nach Definition der Äquivalenzklasse ein <math> k := logmod(\widehat{w})\in \mathbb{Z} </math> mit der Eigenschaft <math>\widehat{w}:= w + 2\pi i k</math>. Nun wen man diese Darstellung von <math>\widehat{w}</math> auf die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] an und verwendet Periodizität <math>\exp</math> bzgl. <math>2\pi i</math> und erhält: :<math> \exp(\widehat{w}) = \exp(w + 2\pi i k) = \exp(w) \cdot \exp(2\pi i k) = z \cdot 1 = z </math> ==== Schritt 4 - LML2 ==== Da <math>\widehat{w} \in [w]_0</math> beliebig gewählt wurde, gilt für alle <math> \widehat{w} \in [w]_0 </math> die Eigenschaft <math> \exp(\widehat{w}) = z </math> und zusammen mit LML1 gilt die Äquivalenzaussage aus dem Lemma <math>\quad \Box</math>. === Folgerung - LogMod-Äquivalenzklassenlemma ==== Fasst man zu einem gegebenen <math>z\in \mathbb{C}\setminus\{0\}</math> die Menge alle komplexen Zahlen <math> \widehat{w} \in \mathbb{C} </math> zu einer Menge zusammen, die die Eigenschaft <math> \exp(\widehat{w}) = z </math> erfüllen, so erhält man die Äquivalenzklasse <math> [w]_0 </math>, wobei <math> w </math> eine beliebige Lösung von <math> \exp(w) = z </math> ist. ==== Bemerkung - LogMod-Äquivalenzklassenlemma ==== Für die Äquivalenzklassenanalyse spielt das Repräsentatensystem <math>\mathbb{D}_1= \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi)</math> eine besondere Rolle. DasRepräsentatensystem <math>\mathbb{D}_1</math> entsteht durch [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus|algebraische Vervollständigkeit]] des [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweiges]] des [[Logarithmus]]. == Äquivalenzklassenaddition == Um die aus der reellen Analysis bekannten Rechenregeln auf Logarithmen in den komplexen Zahlen verwenden zu können werden Äquivalenzklassen verwendet. Die Struktur und Gültigkeit der Rechenregeln wird in diesem Teil der Lerneinheit genauer untersucht. === komplexe Logarithmus als Lösungsmenge === Der komplexe Äquivalenzklassen-Logarithmus von <math> z </math> bildet nicht auf ein Element in <math>\mathbb{C}</math> ab, sondern auf ein Teilmenge von <math>\mathbb{C}</math>. Dies führt im weiteren Verlauf der Lehrveranstaltung zum Begriff des [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarithmus]]. Sei <math>w \in \mathbb{C}</math> beliebig gewählt, dann definiert man <math>w_0 := w - \mathrm{logmod}(w)\cdot 2\pi i \in \mathbb{D}_1</math> als Repräsentant der [[logmod-Äquivalenzklassen|Äquivalenzklasse]] <math> [w]_0</math>. :<math> \mathrm{lnr}_1(z) := \{ w \in \mathbb{C} \mid \exp(w) = z \} = [w]_0 </math> für ein beliebiges <math> w_0 \in \mathbb{D}_1 := \mathbb{R}+ i\cdot [0,2\pi)</math> mit <math> \exp(w_0) = z </math>. ==== Beispiel 1 - Neutrales Element für Äquivalenklassenaddition ==== Algebraisch wird später <math>\mathbb{D}_1</math> mit einer inneren Verknüpfung <math>\oplus</math> zu einer kommunitative Gruppe. Daher wird das [[w:de:neutrales Element|neutrale Element]] von <math>\oplus</math> als Beispieläquivalenzklasse genannt und in Beziehung zum Logarithmus gesetzt. Für <math> z = 1 </math> ist der komplexe rekursive Logarithmus :<math> \mathrm{lnr}_1(1) = \{ 2\pi i k \, : \, k \in \mathbb{Z} \} = [0]_0 </math> ==== Beispiel 2 - Logarithmus der imaginären Einheit ==== Da zunächst die [[rekursiver Logarithmus|rekursive komplexe Logarithmen]] von elementaren komplexen Zahlen genannt. Wählt man <math> z = i </math> so gilt <math> \exp\left(i \tfrac{\pi}{2}\right) = i </math> und <math>i\tfrac{\pi}{2} \in \mathbb{D}_1</math>. Bildet man nun den von [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarithmus]] von <math> z = i </math> erhält man: :<math> \mathrm{lnr}_1(i) = \left\{ i \left( \frac{\pi}{2} + 2\pi k \right) \mid k \in \mathbb{Z} \right\} = \left[ i \frac{\pi}{2} \right]_0 </math> ==== Beispiel 3 - rekursiver Logarithmus von -1 ==== Ablschießend wird auch noch der [[rekursiver Logarithmus|rekursive komplexe Logarithmen]] von <math> z = -1 </math> genannt. Wegen <math> \exp\left(i \pi \right) = -1 </math> und <math>i \pi \in \mathbb{D}_1=\mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi) </math> erhält man: :<math> \mathrm{lnr}_1(-1) = \left\{ i \left( \pi + 2\pi k \right) \mid k \in \mathbb{Z} \right\} = \left[ i \pi \right]_0 </math> === Repräsentantensystem === Um einen eindeutigen Funktionswert als Äquivalenzklasse zu erhalten, wählt man eine spezielles Repräsentantensystem <math>\mathbb{D}_1:= \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi) \subset \mathbb{C}</math> um alle Äquivalenzklassen darstellen zu können. Dabei wird die [[logmod-Funktion]] verwendet, um für eine beliebige komplexe Zahl <math>w\in \mathbb{C}</math> die zugehörigen Repräsentanten <math>w_0 \in\mathbb{D}_1</math> über <math> w_0 = w - 2\pi i \cdot \mathrm{logmod}(w)</math> zu bestimmen. <span id="Definition"> === Definition - logmod-Äquivalenzklassenaddition === Für <math> z_1,z_2 \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> und <math>w_1,w_2 \in\mathbb{D}_1</math> gelte <math>\exp(z_1)=w_1</math> und <math>\exp(z_2)=w_2</math>. Man definiert nun die Äquivalenzklassenaddition <math>(\mathbb{D}_1,\oplus)</math> wie folgt. :<math> [w_1]_0 \oplus [w_2]_0 := [w_1 + w_2]_0 </math> ==== Bemerkung - Repräsentant der Äquivalenzklasse ==== Der Repräsentant <math>w_1 + w_2 </math> der Äquivalenzklasse wobei <math>[w_1 + w_2]_0 </math> liegt nicht notwendigerweise auch in <math>\mathbb{D}_1</math>, was das folgende Beispiel zeigt. ==== Beispiel - Repräsentant bei additiver Verknüpfung ==== Wählt man <math> z_1 = z_2 = -i </math>, so erhält man <math> w_1 = w_2 = \tfrac{3}{2}\pi i \in \mathbb{D}_1 </math> und es gilt <math> w_1 + w_2 = 3\pi i \notin \mathbb{D}_1 </math>. Möchte man den zugehörigen Repräsentanten aus <math>\mathbb{D}_1 </math> bestimmen, verwendet man wieder die [[logmod-Funktion]]: :<math> [w_1]_0 \oplus [w_2]_0 = [w_1 + w_2]_0 = [w]_0 </math> mit <math> w = w_1+w_2 - 2\pi i \cdot \mathrm{logmod}(w_1+w_2)</math> ==== Bemerkung - Notation ==== Für die Addition <math>\oplus</math> der [[logmod-Äquivalenzklassen]] wird zur Abgrenzung zu additiven Verknüpfung in <math>+</math> in <math>\mathbb{C}</math> das Symbol <math>\oplus</math> verwendet. :<math> \left[ 1+\frac{3}{2}\pi i \right]_0 \oplus \left[5+\frac{1}{2}\pi i \right]_0 = \left[ \left(1+\frac{3}{2}\pi i\right) + \left(5+\frac{1}{2}\pi i\right) \right]_0 = [6+2\pi i]_0 = [6]_0 </math> Im linken Term werden zwei Äquivalenzklassen addiert (daher <math>\oplus</math>) und in den beiden rechten Termen ist das Standardaddition in den komplexen Zahlen. == Rechenregeln für Äquivalenzklassen == Zunächst einmal muss man kurz die Repräsentantenunabhängigkeit der Äquivalenzklassenaddition auf <math>[\mathbb{D}_1]_0</math> überprüfen. Dabei ist <math>\oplus</math> eine innere Verknüpfung auf <math>[\mathbb{D}_1]_0</math> der Form: :<math> \begin{array}{rrcl} f: & [\mathbb{D}_1]_0 \times [\mathbb{D}_1]_0 & \rightarrow & [\mathbb{D}_1]_0\\ & \left( [w_1]_0,[w_2]_0 \right) & \mapsto & [w_1]_0 \oplus [w_2]_0 = [w_1+w_2]_0 = \\ & & & \bigg[\, \underbrace{w_1+w_2 - \mathrm{logmod}(w_1+w_2) \cdot 2\pi i}_{\in \mathbb{D}_1}\,\bigg]_0 \end{array} </math> Dabei beschreibt <math>[\mathbb{D}_1]_0 = \{ [w]_0 \, \colon \, w\in \mathbb{D}_1 \}</math> die Menge aller [[logmod-Äquivalenzklassen]] mit dem Repräsentantensystem <math>\mathbb{D}_1</math>. <hr> <span id="Repraesentantenunabhaengigkeit"></span> === Lemma zur Repräsentantenunabhängigkeit === Die innere additive Verknüpfung <math> ([\mathbb{D}_1]_0 , \oplus)</math> auf den [[logmod-Äquivalenzklassen]] ist repräsentantenunabhängig. === Beweis - Lemma zur Repräsentantenunabhängigkeit === Die Beweisidee der Repräsentantenunabhängigkeit beruht auf der Auswahl von zwei beliebigen unterschiedlichen Repräsentanten <math>w_1</math> und <math>\widehat{w_1}</math> bzw. <math>w_2</math> und <math>\widehat{w_2}</math> und man zeigt dann die Addition mit <math>\oplus</math> für die [[logmod-Äquivalenzklassen]] die gleiche Äquivalenzklasse <math>[w_1+w_2]_0=[\widehat{w_1}+\widehat{w_2}]_0</math> liefert. ==== Beweisschritt 1 - Wahl der Repräsentanten ==== Seien <math>w_1,w_2 \in \mathbb{D}_1</math> und <math>k_1, k_2 \in \mathbb{Z}</math> beliebig gewählt, dann sind <math>\widehat{w_1}=2\pi i\cdot k_1 </math> und <math>\widehat{w_2}=2\pi i\cdot k_2 </math> weitere Repräsentanten der [[logmod-Äquivalenzklassen]] <math>[w_1]_0,[w_2]_0 \in [\mathbb{D}_1]_0</math> und es gilt: :<math> [w_1]_0 = [\widehat{w_1}]_0 \quad [w_2]_0 = [\widehat{w_2}]_0 </math> ==== Beweisschritt 2 - Definition der Addition anwenden ==== Nach Definition der Addition von [[logmod-Äquivalenzklassen]] gilt: :<math> \begin{array}{rcl} [\widehat{w_1}]_0 \oplus [\widehat{w_1}]_0 & = & [\widehat{w_1} + \widehat{w_1}]_0 \\ & = & [w_1+w_2+ (k_1+k_2)\cdot 2\pi i]_0 = [w_1+w_2]_0 \\ \end{array} </math> Damit ist die Addition von [[logmod-Äquivalenzklassen]] repräsentantenunabhängig. <math>\quad \Box</math> ==== Bemerkung - Exponentialfunktion und Zweige des Logarithmus ==== Sei <math>G\subset \mathbb{C}</math> ein [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängendes]] [[Gebiet (Mathematik)| Gebiet]] mit <math>0\notin G</math> und <math>w_0\in \mathbb{D}_1</math> und <math> \exp(w_0)=z_0</math> für ein mit <math>z_0 \in G \subset \mathbb{C}\setminus \{0\}</math>. Durch die Festlegung von <math>\log_G(z_0)=w_0</math> ist der Zweig <math>\log_{G}</math> als [[generalisierter Logarithmus]] bereits auf ganz <math>G</math> definiert (siehe [[Identitätssatz]] und <math>\exp(\log_G(z)) = z</math>). Bei der [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus|algebraischen Vervollständigung des Zweiges eines Logarithmus]] verliert man die Eigenschaft der [[holomorphe Funktion|Holomorphie]] und sogar der [[Stetigkeit]]. Sei Man muss daher [[Zweige des Logarithmus]] von der Definition eine [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarthmus]] trennen. * <math> \exp(\log_G(z)) = z </math> für alle <math> z \in G \subset \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> * <math> \log_G(\exp(w)) = z+2\pi i \cdot k </math> für <math> w \in \mathbb{C} </math> und ein existierendes <math>k\in \mathbb{Z} </math> für <math>w</math>. ==== Äquivalenzklassen als Wertebereich ==== Der rekursive Logarithmus <math> \mathrm{lnr}_1(z) = [w]_0</math> liefert als Funktionswert '''keine Zahl''', sondern eine '''Äquivalenzklasse'''. Diese ist selbst ein Element der [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelschen Sigma-Algebra]] <math>\mathcal{B}(\mathbb{C})</math> als abzählbare Vereingigung von Einpunktmenge der Form <math>w+k\cdot 2\pi i</math> mit <math>k\in \mathbb{Z} </math> . === Multiplikation von Äquivalenzklassen === Für <math> z_1, z_2 \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> und <math>w_1,w_2 \in \mathbb{D}_1</math> gelte <math>\exp(w_1)=z_1</math> und <math>\exp(w_2)=z_2</math>. Ferner werden zwei beliebige weitere Repräsentanten <math>\widehat{w_1}=w_1 + 2\pi i\cdot k_1 </math> und <math>\widehat{w_2}=w_2 + 2\pi i\cdot k_2 </math> mit <math>k_1, k_2 \in \mathbb{Z}</math> der [[logmod-Äquivalenzklassen]] <math>[w_1]_0,[w_2]_0 \in [\mathbb{D}_1]_0</math> gewählt. Es gilt damit: :<math> [w_1]_0 = [\widehat{w_1}]_0 \quad [w_2]_0 = [\widehat{w_2}]_0 </math>: Man untersucht nun die Multiplikation bzgl. der [[logmod-Äquivalenzklassen]]. === Multiplikation und Exponentialfunktion === Es gilt nach Voraussetzung <math>\exp(w_1)= \exp(\widehat{w_1})</math> und <math>\exp(w_2)= \exp(\widehat{w_2})</math> wegen imaginäre Periodizität bzgl. <math>2\pi i</math>. Man erhält daher folgende Gleichung: :<math> \exp(w_1+w_2) = \underbrace{\exp(w_1)}_{=z_1} \cdot \underbrace{\exp(w_2)}_{=z_2}= \underbrace{\exp(\widehat{w_1})}_{=z_1} \cdot \underbrace{\exp(\widehat{w_2})}_{=z_2} = \exp(\widehat{w_1}+\widehat{w_2}) </math> Dabei wurde <math>w_1 = \log_G(z_1)</math> und <math>w_2 = \log_G(z_2)</math> über einen [[generalisierter Logarithmus|generalisierten Logarithmus]] <math>\log_G</math> auf einem [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebiet <math>G</math> mit <math>0\notin G</math> bestimmt. ==== Anwendung auf den generalisierte Logarithmus ==== Mit den Vorüberlegungen bzgl. Exponentialfunktion gilt für den [[generalisierter Logarithmus|generalisierten Logarithmus]] <math>\log_G</math> folgende Eigenschaft mit geeignet gewähltem <math>k\in \mathbb{Z}</math>: :<math> \log_G(z_1 \cdot z_2) = \log_G(z_1) + \log_G(z_2) + k\cdot 2\pi i </math> Dabei kann <math>k\in \mathbb{Z}</math> über die [[logmod-Funktion]] mit <math>k=\mathrm{logmod}(z_1 \cdot z_2)</math> bestimmt werden. ==== Anwendung auf logmod-Äquivalenklassen ==== Da für die Summe zweier Äquivalenzklassen folgende Eigenschaft gilt, erhält man für <math>\exp(w) = z_1\cdot z_2</math> die [[logmod-Äquivalenzklassen]]gleichung: :<math> [w_1]_0 + [w_2]_0 = [w_1 + w_2]_0 = [w]_0 </math> Der [[rekursiver Logarithmus|rekursive Logarithmus]] erfüllt die Rechengesetze analog zu den [[Logarithmus|Logarithmusgesetzen]] in <math>\mathbb{R}</math>. :<math> \underbrace{\mathrm{lnr}_1(z_1\cdot z_2)}_{=[w]_0} = \underbrace{\mathrm{lnr}_1(z_1)}_{=[w_1]_0} + \underbrace{\mathrm{lnr}_1(z_2)}_{=[w_2]_0} = [w_1 + w_2]_0 </math> ==== Beispiel - Multiplikation der Log-Argumente==== Wählt man <math> z_1 = i = z_2 </math> so gilt <math> z_1 \cdot z_2 = -1 </math>. Für den rekursiven Logarithmus gilt dann: :<math> \mathrm{lnr_1}(i) = \left[ i \frac{\pi}{2} \right]_0 \quad \mathrm{lnr_1}(-1)=\mathrm{lnr_1}(i\cdot i) = \underbrace{\mathrm{lnr_1}(i)}_{=\left[ i \frac{\pi}{2} \right]_0} + \underbrace{\mathrm{lnr_1}(i)}_{=\left[ i \frac{\pi}{2} \right]_0} = [i\pi]_0 </math> === (3) Potenzen und Logarithmus === Für <math> z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math>, <math> a \in \mathbb{C} </math>: :<math> \log(z^a) = a \cdot \log(z) + 2\pi i k \quad \text{für ein } k \in \mathbb{Z} </math> > '''Aber:''' In der Äquivalenzklassen-Sicht gilt: > :<math> > \log(z^a) = a \cdot \log(z) > </math> > wobei die Multiplikation einer Äquivalenzklasse mit einer komplexen Zahl definiert ist als: > :<math> > a \cdot [w]_0 := [a w]_0 > </math> > '''Beispiel:''' > <math> z = i </math>, <math> a = 2 </math> → <math> z^a = -1 </math> > <math> \log(z^a) = \log(-1) = [i\pi]_0 </math> > <math> a \cdot \log(z) = 2 \cdot [i \pi/2]_0 = [i\pi]_0 </math> → stimmt. --- === (4) Addition von Logarithmen === :<math> \log(z_1) + \log(z_2) = \log(z_1 z_2) </math> > '''Achtung:''' Dies ist '''nicht''' immer wahr, wenn man '''nicht''' mit Äquivalenzklassen arbeitet! > Aber '''in der Klassen-Sicht''' ist es '''richtig'''. > '''Warum?''' Weil die Addition von Klassen kommutativ und assoziativ ist. --- == 7. Zusammenhang mit Logarithmenzweigen == Ein '''Logarithmenzweig''' ist eine '''stetige Auswahl''' von Werten aus <math> \log(z) </math>, d. h. eine Funktion <math> L: G \to \mathbb{C} </math>, sodass <math> \exp(L(z)) = z </math> und <math> L </math> stetig auf einem Gebiet <math> G \subseteq \mathbb{C} \setminus \{0\} </math>. > '''Beispiel:''' > Der '''Hauptzweig''' <math> \text{Log}(z) </math> ist ein Logarithmenzweig auf <math> \mathbb{C} \setminus (-\infty, 0] </math>. > '''Jeder Logarithmenzweig''' <math> L </math> wählt '''einen Repräsentanten''' aus jeder Äquivalenzklasse <math> [w]_0 </math>, nämlich <math> L(z) \in [w]_0 </math>. > '''Zusammenhang:''' > Die Menge aller Logarithmenzweige entspricht '''der Wahl einer Schnittlinie''' (Branch Cut), die verhindert, dass man um den Ursprung herumwandert und die Klasse wechselt. --- == 8. Zusammenfassung: Struktur der Logarithmen == | Konzept | Beschreibung | |--------|--------------| | '''Äquivalenzklasse''' <math> [w]_0 </math> | Menge aller <math> w + 2\pi i k </math>, <math> k \in \mathbb{Z} </math> | | '''Logarithmus von <math> z </math>''' | <math> \log(z) = [w]_0 </math>, wobei <math> \exp(w) = z </math> | | '''Hauptzweig''' | <math> \text{Log}(z) \in \log(z) </math>, mit <math> \text{Arg}(z) \in (-\pi, \pi] </math> | | '''Rechenregeln''' | <math> \log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2) </math>, <math> \log(z^a) = a \cdot \log(z) </math> (in Klassen) | | '''Exponentialfunktion''' | <math> \exp(\log(z)) = z </math>, <math> \log(\exp(w)) = [w]_0 </math> | --- == 9. Übungsaufgaben == 1. Zeige, dass <math> \log(-1) = [i\pi]_0 </math>. 2. Berechne <math> \log(i) + \log(i) </math> und vergleiche mit <math> \log(-1) </math>. 3. Zeige, dass <math> \log(z^2) = 2 \log(z) </math> in der Klassen-Sicht gilt. 4. Warum ist <math> \log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2) </math> '''nicht''' immer wahr, wenn man nur Zahlen verwendet? 5. Definiere einen anderen Logarithmenzweig auf <math> \mathbb{C} \setminus [0, \infty) </math>, der <math> \log(z) \in [i \cdot 0]_0 </math> für <math> z = 1 </math> wählt. --- == Lernziel == Du kannst: * den komplexen Logarithmus als '''Äquivalenzklasse''' verstehen, * die '''Rechenregeln''' für Logarithmen in der Klassen-Sicht korrekt anwenden, * den Zusammenhang zwischen '''Exponentialfunktion''', '''Logarithmenzweigen''' und '''Äquivalenzklassen''' erklären, * die '''Mehrdeutigkeit''' des Logarithmus strukturiert darstellen. --- '''Ende der Lerneinheit''' > '''Zusammenfassungssatz:''' > *Der komplexe Logarithmus von <math> z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> ist die Äquivalenzklasse <math> [w]_0 </math>, wobei <math> \exp(w) = z </math>. Diese Klasse ist genau die Menge aller Lösungen von <math> \exp(w) = z </math>. Alle Rechenregeln gelten in der Klassen-Sicht: <math> \log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2) </math>, <math> \log(z^a) = a \cdot \log(z) </math>, und <math> \exp(\log(z)) = z </math>.* == Siehe auch == * [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexer Logarithmus]] * [[logmod-Äquivalenzklassen]] * [[logmod-Funktion]] * [[negativer Hauptzweig des Logarithmus]] 12jsxczwsj2gctpa2o7n8xkbo3senqx 1116208 1116207 2026-10-15T13:06:56Z Bert Niehaus 20843 /* (3) Potenzen und Logarithmus */ 1116208 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Lerneinheit zu [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmen]] beschäftigt sich Äquivalenzklassen, deren Struktur und Rechenregeln, die durch den Zusammenhang mit der Exponentialfunktion und deren imaginärer <math>2\pi i</math>-Periodizität entsteht. Die Äquivalenzklassen helfen dabei, [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen#Rechenregeln|Rechenregeln]] aus den reellen Zahl für den [[Logarithmus]] auf den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexen Logarithmus]] bzw. deren Zweige zu übertragen. Die [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus]] spielt dabei bijektive Abbildungen eine besondere Rolle. === Periodizität der Exponentialfunktion === Der komplexe Logarithmus kann nicht eindeutig als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion <math> \exp: \mathbb{C} \to \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> festgelegt werden, da u.a. die Exponentialfunktion nicht injektiv ist und ein [[Zweig des Logarithmus]] von der Wahl des [[einfach zusammenhängend]]en Gebietes abhängt, auf dem der Logarithmus definiert ist. Es gilt für [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]]: :<math> \exp(w + 2\pi i) = \exp(w) = z\quad \text{für alle } w \in \mathbb{C} </math> Daher gibt es unendlich viele komplexe Zahlen <math> w </math>, die auf dieselbe Zahl <math> z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> abgebildet werden. Diese Mehrdeutigkeit ist die Motivation, um Äquivalenzklassen zu bilden. === Behandelt Aspekte in der Lerneinheit === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen#logmod_Aequivalenzlemma|LogMod-Äquivalenzklassenlemma]]:''' Beziehung Exponentialfunktion und Zweigen des Logarithmus * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen#Repraesentantenunabhaengigkeit|Repräsentantenunabhängigkeit]]''' für die Addition von [[logmod-Äquivalenzklassen]] == Äquivalenzklassen des Logarithmus == Um Äquivalenzklassen zu bilden, benötigt man eine Äquivalenzrelation als Teilmenge von <math>\mathbb{C}\times \mathbb{C} </math>, die zwei Elemente <math> w_1, w_2 \in \mathbb{C} </math>, wenn deren Differenz ein ganzzahliges Vielfaches von <math>2\pi i</math> ist. === Definition - logmod-Äquivalenzrelation === Zwei komplexe Zahlen <math> w_1, w_2 \in \mathbb{C} </math> heißen logmod-äquivalent modulo <math> 2\pi i </math>, wenn gilt: :<math> w_1 - w_2 \in 2\pi i \cdot \mathbb{Z} := \{w\in \mathbb{C} \, : \, w=2\pi i \cdot k \mbox{ und } k\in \mathbb{Z} \} </math> Formal notiert man diese Äquivalenz wie folgt: :<math> w_1 \equiv w_2 \ \mathrm{logmod}\ {2\pi i} </math> ==== Aufgabe für Studierende ==== Zeigen Sie, dass diese Relation eine ''Äquivalenzrelation'' ist, d.h. die [[logmod-Funktion|logmod-Relation]] ist [[w:de:Äquivalenzrelation|reflexiv, symmetrisch und transitiv]]. === Definition - logmod-Äquivalenzklasse === Für eine komplexe Zahl <math> w \in \mathbb{C} </math> ist die Äquivalenzklasse definiert als: :<math> [w]_0 := \{ w + 2\pi i k \mid k \in \mathbb{Z} \} </math> ==== Bezeichnung - Äquivalenzklassenindex==== Die Indexierung mit <math> _0 </math> deutet an, dass dies diese Äquivalenzklasse ohne Logarithmierung in <math>\mathbb{C}</math> gebildet wurde. Bildet man rekursiv höhere Logarithmen als Verkettung entstehen Äquivalenzklassen <math>[w]_n</math>, wobei <math>n</math>-fach rekursiv der Logarithmus verkettet wird, falls dieser existiert. == Verbindung mit der Exponentialfunktion == Da die Exponentialfunktion im Imaginärteil des Arguments eine Periodizität von <math>2\pi i</math> besitzt, entsprechen Äquivalenzklassen <math>[w]_0</math> entsprechen einem Bildpunkt <math>z=e^w</math>. Dieser Verbindung zwischen Exponentialfunktion und Logarithmus wird durch das LogMod-Äquivalenzklassenlemma festgehalten. <span id="logmod_Aequivalenzlemma"></span> === LogMod-Äquivalenzklassenlemma === Sei <math>w\in\mathbb{C} \setminus \{0\} </math> mit <math>\mathrm{logmod}(w) = 0</math> gegeben. Für eine feste komplexe Zahl <math> z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> gilt folgende Äquivalenzaussage: :<math> \exp(\widehat{w}) = z \quad \text{für alle } \widehat{w} \in [w]_0 </math> genau dann, wenn <math> \exp(w) = z </math>. === Beweis - LogMod-Äquivalenzlemma === Für <math> w\in \mathbb{D}_1 := \mathbb{R}\times i\cdot [0,2\pi)</math> gelte <math>\exp(w)=z</math>. Das LogMod-Äquivalenzlemma ist eine Äquivalenzaussage. Daher werden zwei Beweisrichtungen gezeigt: \mbox{} <math display="block"> \begin{array}{llcl} \mbox{ (LML1) } & \exp(\widehat{w}) = z & \quad \Longrightarrow \quad & \widehat{w} \in [w]_0 \\ \mbox{ (LML2) } & \widehat{w} \in [w]_0 & \quad \Longrightarrow \quad & \exp(\widehat{w}) = z \\ \end{array} </math> ==== Schritt 1 - Beweisrichtung LML1 ==== Sei <math> \widehat{w} \in \mathbb{C} </math> mit <math> \exp(\widehat{w}) = z </math> beliebig gewählt. Dann gilt mit der Voraussetzung <math> \exp(w) = z \not= 0</math> und Potenzgesetzen: :<math> 1 = \frac{z}{z} = \frac{\widehat{w}}{\exp(\exp(w))} = \exp(\widehat{w}-w) </math> Die Gleichung <math>1 = \exp(\widehat{w}-w)</math> gilt genau dann, wenn <math> w-\widehat{w} = 2\pi i \cdot k</math> mit <math>k \in \mathbb{Z}</math>. ==== Schritt 2 - Beweisrichtung LML1 ==== Damit gilt auch <math> w = \widehat{w} + 2\pi i \cdot k </math>. Die ganze Zahl <math> k\in \mathbb{Z} </math> ist durch die [[logmod-Funktion]] und es gilt <math>k= \mathrm{logmod}(\widehat{w})</math>, da <math> w\in \mathbb{D}_1 = \mathbb{R} + i\cdot [0,2\pi) </math> nach Voraussetzung gilt und man erhält <math>\widehat{w} \in [w]_0</math>. ==== Schritt 3 - Äquivalenzklasse gegeben LML2 ==== Sei umgekehrt <math>\widehat{w} \in [w]_0</math> gegeben. Dann gibt es nach Definition der Äquivalenzklasse ein <math> k := logmod(\widehat{w})\in \mathbb{Z} </math> mit der Eigenschaft <math>\widehat{w}:= w + 2\pi i k</math>. Nun wen man diese Darstellung von <math>\widehat{w}</math> auf die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] an und verwendet Periodizität <math>\exp</math> bzgl. <math>2\pi i</math> und erhält: :<math> \exp(\widehat{w}) = \exp(w + 2\pi i k) = \exp(w) \cdot \exp(2\pi i k) = z \cdot 1 = z </math> ==== Schritt 4 - LML2 ==== Da <math>\widehat{w} \in [w]_0</math> beliebig gewählt wurde, gilt für alle <math> \widehat{w} \in [w]_0 </math> die Eigenschaft <math> \exp(\widehat{w}) = z </math> und zusammen mit LML1 gilt die Äquivalenzaussage aus dem Lemma <math>\quad \Box</math>. === Folgerung - LogMod-Äquivalenzklassenlemma ==== Fasst man zu einem gegebenen <math>z\in \mathbb{C}\setminus\{0\}</math> die Menge alle komplexen Zahlen <math> \widehat{w} \in \mathbb{C} </math> zu einer Menge zusammen, die die Eigenschaft <math> \exp(\widehat{w}) = z </math> erfüllen, so erhält man die Äquivalenzklasse <math> [w]_0 </math>, wobei <math> w </math> eine beliebige Lösung von <math> \exp(w) = z </math> ist. ==== Bemerkung - LogMod-Äquivalenzklassenlemma ==== Für die Äquivalenzklassenanalyse spielt das Repräsentatensystem <math>\mathbb{D}_1= \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi)</math> eine besondere Rolle. DasRepräsentatensystem <math>\mathbb{D}_1</math> entsteht durch [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus|algebraische Vervollständigkeit]] des [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweiges]] des [[Logarithmus]]. == Äquivalenzklassenaddition == Um die aus der reellen Analysis bekannten Rechenregeln auf Logarithmen in den komplexen Zahlen verwenden zu können werden Äquivalenzklassen verwendet. Die Struktur und Gültigkeit der Rechenregeln wird in diesem Teil der Lerneinheit genauer untersucht. === komplexe Logarithmus als Lösungsmenge === Der komplexe Äquivalenzklassen-Logarithmus von <math> z </math> bildet nicht auf ein Element in <math>\mathbb{C}</math> ab, sondern auf ein Teilmenge von <math>\mathbb{C}</math>. Dies führt im weiteren Verlauf der Lehrveranstaltung zum Begriff des [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarithmus]]. Sei <math>w \in \mathbb{C}</math> beliebig gewählt, dann definiert man <math>w_0 := w - \mathrm{logmod}(w)\cdot 2\pi i \in \mathbb{D}_1</math> als Repräsentant der [[logmod-Äquivalenzklassen|Äquivalenzklasse]] <math> [w]_0</math>. :<math> \mathrm{lnr}_1(z) := \{ w \in \mathbb{C} \mid \exp(w) = z \} = [w]_0 </math> für ein beliebiges <math> w_0 \in \mathbb{D}_1 := \mathbb{R}+ i\cdot [0,2\pi)</math> mit <math> \exp(w_0) = z </math>. ==== Beispiel 1 - Neutrales Element für Äquivalenklassenaddition ==== Algebraisch wird später <math>\mathbb{D}_1</math> mit einer inneren Verknüpfung <math>\oplus</math> zu einer kommunitative Gruppe. Daher wird das [[w:de:neutrales Element|neutrale Element]] von <math>\oplus</math> als Beispieläquivalenzklasse genannt und in Beziehung zum Logarithmus gesetzt. Für <math> z = 1 </math> ist der komplexe rekursive Logarithmus :<math> \mathrm{lnr}_1(1) = \{ 2\pi i k \, : \, k \in \mathbb{Z} \} = [0]_0 </math> ==== Beispiel 2 - Logarithmus der imaginären Einheit ==== Da zunächst die [[rekursiver Logarithmus|rekursive komplexe Logarithmen]] von elementaren komplexen Zahlen genannt. Wählt man <math> z = i </math> so gilt <math> \exp\left(i \tfrac{\pi}{2}\right) = i </math> und <math>i\tfrac{\pi}{2} \in \mathbb{D}_1</math>. Bildet man nun den von [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarithmus]] von <math> z = i </math> erhält man: :<math> \mathrm{lnr}_1(i) = \left\{ i \left( \frac{\pi}{2} + 2\pi k \right) \mid k \in \mathbb{Z} \right\} = \left[ i \frac{\pi}{2} \right]_0 </math> ==== Beispiel 3 - rekursiver Logarithmus von -1 ==== Ablschießend wird auch noch der [[rekursiver Logarithmus|rekursive komplexe Logarithmen]] von <math> z = -1 </math> genannt. Wegen <math> \exp\left(i \pi \right) = -1 </math> und <math>i \pi \in \mathbb{D}_1=\mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi) </math> erhält man: :<math> \mathrm{lnr}_1(-1) = \left\{ i \left( \pi + 2\pi k \right) \mid k \in \mathbb{Z} \right\} = \left[ i \pi \right]_0 </math> === Repräsentantensystem === Um einen eindeutigen Funktionswert als Äquivalenzklasse zu erhalten, wählt man eine spezielles Repräsentantensystem <math>\mathbb{D}_1:= \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi) \subset \mathbb{C}</math> um alle Äquivalenzklassen darstellen zu können. Dabei wird die [[logmod-Funktion]] verwendet, um für eine beliebige komplexe Zahl <math>w\in \mathbb{C}</math> die zugehörigen Repräsentanten <math>w_0 \in\mathbb{D}_1</math> über <math> w_0 = w - 2\pi i \cdot \mathrm{logmod}(w)</math> zu bestimmen. <span id="Definition"> === Definition - logmod-Äquivalenzklassenaddition === Für <math> z_1,z_2 \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> und <math>w_1,w_2 \in\mathbb{D}_1</math> gelte <math>\exp(z_1)=w_1</math> und <math>\exp(z_2)=w_2</math>. Man definiert nun die Äquivalenzklassenaddition <math>(\mathbb{D}_1,\oplus)</math> wie folgt. :<math> [w_1]_0 \oplus [w_2]_0 := [w_1 + w_2]_0 </math> ==== Bemerkung - Repräsentant der Äquivalenzklasse ==== Der Repräsentant <math>w_1 + w_2 </math> der Äquivalenzklasse wobei <math>[w_1 + w_2]_0 </math> liegt nicht notwendigerweise auch in <math>\mathbb{D}_1</math>, was das folgende Beispiel zeigt. ==== Beispiel - Repräsentant bei additiver Verknüpfung ==== Wählt man <math> z_1 = z_2 = -i </math>, so erhält man <math> w_1 = w_2 = \tfrac{3}{2}\pi i \in \mathbb{D}_1 </math> und es gilt <math> w_1 + w_2 = 3\pi i \notin \mathbb{D}_1 </math>. Möchte man den zugehörigen Repräsentanten aus <math>\mathbb{D}_1 </math> bestimmen, verwendet man wieder die [[logmod-Funktion]]: :<math> [w_1]_0 \oplus [w_2]_0 = [w_1 + w_2]_0 = [w]_0 </math> mit <math> w = w_1+w_2 - 2\pi i \cdot \mathrm{logmod}(w_1+w_2)</math> ==== Bemerkung - Notation ==== Für die Addition <math>\oplus</math> der [[logmod-Äquivalenzklassen]] wird zur Abgrenzung zu additiven Verknüpfung in <math>+</math> in <math>\mathbb{C}</math> das Symbol <math>\oplus</math> verwendet. :<math> \left[ 1+\frac{3}{2}\pi i \right]_0 \oplus \left[5+\frac{1}{2}\pi i \right]_0 = \left[ \left(1+\frac{3}{2}\pi i\right) + \left(5+\frac{1}{2}\pi i\right) \right]_0 = [6+2\pi i]_0 = [6]_0 </math> Im linken Term werden zwei Äquivalenzklassen addiert (daher <math>\oplus</math>) und in den beiden rechten Termen ist das Standardaddition in den komplexen Zahlen. == Rechenregeln für Äquivalenzklassen == Zunächst einmal muss man kurz die Repräsentantenunabhängigkeit der Äquivalenzklassenaddition auf <math>[\mathbb{D}_1]_0</math> überprüfen. Dabei ist <math>\oplus</math> eine innere Verknüpfung auf <math>[\mathbb{D}_1]_0</math> der Form: :<math> \begin{array}{rrcl} f: & [\mathbb{D}_1]_0 \times [\mathbb{D}_1]_0 & \rightarrow & [\mathbb{D}_1]_0\\ & \left( [w_1]_0,[w_2]_0 \right) & \mapsto & [w_1]_0 \oplus [w_2]_0 = [w_1+w_2]_0 = \\ & & & \bigg[\, \underbrace{w_1+w_2 - \mathrm{logmod}(w_1+w_2) \cdot 2\pi i}_{\in \mathbb{D}_1}\,\bigg]_0 \end{array} </math> Dabei beschreibt <math>[\mathbb{D}_1]_0 = \{ [w]_0 \, \colon \, w\in \mathbb{D}_1 \}</math> die Menge aller [[logmod-Äquivalenzklassen]] mit dem Repräsentantensystem <math>\mathbb{D}_1</math>. <hr> <span id="Repraesentantenunabhaengigkeit"></span> === Lemma zur Repräsentantenunabhängigkeit === Die innere additive Verknüpfung <math> ([\mathbb{D}_1]_0 , \oplus)</math> auf den [[logmod-Äquivalenzklassen]] ist repräsentantenunabhängig. === Beweis - Lemma zur Repräsentantenunabhängigkeit === Die Beweisidee der Repräsentantenunabhängigkeit beruht auf der Auswahl von zwei beliebigen unterschiedlichen Repräsentanten <math>w_1</math> und <math>\widehat{w_1}</math> bzw. <math>w_2</math> und <math>\widehat{w_2}</math> und man zeigt dann die Addition mit <math>\oplus</math> für die [[logmod-Äquivalenzklassen]] die gleiche Äquivalenzklasse <math>[w_1+w_2]_0=[\widehat{w_1}+\widehat{w_2}]_0</math> liefert. ==== Beweisschritt 1 - Wahl der Repräsentanten ==== Seien <math>w_1,w_2 \in \mathbb{D}_1</math> und <math>k_1, k_2 \in \mathbb{Z}</math> beliebig gewählt, dann sind <math>\widehat{w_1}=2\pi i\cdot k_1 </math> und <math>\widehat{w_2}=2\pi i\cdot k_2 </math> weitere Repräsentanten der [[logmod-Äquivalenzklassen]] <math>[w_1]_0,[w_2]_0 \in [\mathbb{D}_1]_0</math> und es gilt: :<math> [w_1]_0 = [\widehat{w_1}]_0 \quad [w_2]_0 = [\widehat{w_2}]_0 </math> ==== Beweisschritt 2 - Definition der Addition anwenden ==== Nach Definition der Addition von [[logmod-Äquivalenzklassen]] gilt: :<math> \begin{array}{rcl} [\widehat{w_1}]_0 \oplus [\widehat{w_1}]_0 & = & [\widehat{w_1} + \widehat{w_1}]_0 \\ & = & [w_1+w_2+ (k_1+k_2)\cdot 2\pi i]_0 = [w_1+w_2]_0 \\ \end{array} </math> Damit ist die Addition von [[logmod-Äquivalenzklassen]] repräsentantenunabhängig. <math>\quad \Box</math> ==== Bemerkung - Exponentialfunktion und Zweige des Logarithmus ==== Sei <math>G\subset \mathbb{C}</math> ein [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängendes]] [[Gebiet (Mathematik)| Gebiet]] mit <math>0\notin G</math> und <math>w_0\in \mathbb{D}_1</math> und <math> \exp(w_0)=z_0</math> für ein mit <math>z_0 \in G \subset \mathbb{C}\setminus \{0\}</math>. Durch die Festlegung von <math>\log_G(z_0)=w_0</math> ist der Zweig <math>\log_{G}</math> als [[generalisierter Logarithmus]] bereits auf ganz <math>G</math> definiert (siehe [[Identitätssatz]] und <math>\exp(\log_G(z)) = z</math>). Bei der [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus|algebraischen Vervollständigung des Zweiges eines Logarithmus]] verliert man die Eigenschaft der [[holomorphe Funktion|Holomorphie]] und sogar der [[Stetigkeit]]. Sei Man muss daher [[Zweige des Logarithmus]] von der Definition eine [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarthmus]] trennen. * <math> \exp(\log_G(z)) = z </math> für alle <math> z \in G \subset \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> * <math> \log_G(\exp(w)) = z+2\pi i \cdot k </math> für <math> w \in \mathbb{C} </math> und ein existierendes <math>k\in \mathbb{Z} </math> für <math>w</math>. ==== Äquivalenzklassen als Wertebereich ==== Der rekursive Logarithmus <math> \mathrm{lnr}_1(z) = [w]_0</math> liefert als Funktionswert '''keine Zahl''', sondern eine '''Äquivalenzklasse'''. Diese ist selbst ein Element der [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelschen Sigma-Algebra]] <math>\mathcal{B}(\mathbb{C})</math> als abzählbare Vereingigung von Einpunktmenge der Form <math>w+k\cdot 2\pi i</math> mit <math>k\in \mathbb{Z} </math> . === Multiplikation von Äquivalenzklassen === Für <math> z_1, z_2 \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> und <math>w_1,w_2 \in \mathbb{D}_1</math> gelte <math>\exp(w_1)=z_1</math> und <math>\exp(w_2)=z_2</math>. Ferner werden zwei beliebige weitere Repräsentanten <math>\widehat{w_1}=w_1 + 2\pi i\cdot k_1 </math> und <math>\widehat{w_2}=w_2 + 2\pi i\cdot k_2 </math> mit <math>k_1, k_2 \in \mathbb{Z}</math> der [[logmod-Äquivalenzklassen]] <math>[w_1]_0,[w_2]_0 \in [\mathbb{D}_1]_0</math> gewählt. Es gilt damit: :<math> [w_1]_0 = [\widehat{w_1}]_0 \quad [w_2]_0 = [\widehat{w_2}]_0 </math>: Man untersucht nun die Multiplikation bzgl. der [[logmod-Äquivalenzklassen]]. === Multiplikation und Exponentialfunktion === Es gilt nach Voraussetzung <math>\exp(w_1)= \exp(\widehat{w_1})</math> und <math>\exp(w_2)= \exp(\widehat{w_2})</math> wegen imaginäre Periodizität bzgl. <math>2\pi i</math>. Man erhält daher folgende Gleichung: :<math> \exp(w_1+w_2) = \underbrace{\exp(w_1)}_{=z_1} \cdot \underbrace{\exp(w_2)}_{=z_2}= \underbrace{\exp(\widehat{w_1})}_{=z_1} \cdot \underbrace{\exp(\widehat{w_2})}_{=z_2} = \exp(\widehat{w_1}+\widehat{w_2}) </math> Dabei wurde <math>w_1 = \log_G(z_1)</math> und <math>w_2 = \log_G(z_2)</math> über einen [[generalisierter Logarithmus|generalisierten Logarithmus]] <math>\log_G</math> auf einem [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebiet <math>G</math> mit <math>0\notin G</math> bestimmt. ==== Anwendung auf den generalisierte Logarithmus ==== Mit den Vorüberlegungen bzgl. Exponentialfunktion gilt für den [[generalisierter Logarithmus|generalisierten Logarithmus]] <math>\log_G</math> folgende Eigenschaft mit geeignet gewähltem <math>k\in \mathbb{Z}</math>: :<math> \log_G(z_1 \cdot z_2) = \log_G(z_1) + \log_G(z_2) + k\cdot 2\pi i </math> Dabei kann <math>k\in \mathbb{Z}</math> über die [[logmod-Funktion]] mit <math>k=\mathrm{logmod}(z_1 \cdot z_2)</math> bestimmt werden. ==== Anwendung auf logmod-Äquivalenklassen ==== Da für die Summe zweier Äquivalenzklassen folgende Eigenschaft gilt, erhält man für <math>\exp(w) = z_1\cdot z_2</math> die [[logmod-Äquivalenzklassen]]gleichung: :<math> [w_1]_0 + [w_2]_0 = [w_1 + w_2]_0 = [w]_0 </math> Der [[rekursiver Logarithmus|rekursive Logarithmus]] erfüllt die Rechengesetze analog zu den [[Logarithmus|Logarithmusgesetzen]] in <math>\mathbb{R}</math>. :<math> \underbrace{\mathrm{lnr}_1(z_1\cdot z_2)}_{=[w]_0} = \underbrace{\mathrm{lnr}_1(z_1)}_{=[w_1]_0} + \underbrace{\mathrm{lnr}_1(z_2)}_{=[w_2]_0} = [w_1 + w_2]_0 </math> ==== Beispiel - Multiplikation der Log-Argumente==== Wählt man <math> z_1 = i = z_2 </math> so gilt <math> z_1 \cdot z_2 = -1 </math>. Für den rekursiven Logarithmus gilt dann: :<math> \mathrm{lnr_1}(i) = \left[ i \frac{\pi}{2} \right]_0 \quad \mathrm{lnr_1}(-1)=\mathrm{lnr_1}(i\cdot i) = \underbrace{\mathrm{lnr_1}(i)}_{=\left[ i \frac{\pi}{2} \right]_0} + \underbrace{\mathrm{lnr_1}(i)}_{=\left[ i \frac{\pi}{2} \right]_0} = [i\pi]_0 </math> === Potenzen und Logarithmus === Für <math> z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math>, <math>a\in \mathbb{C}</math> und <math>w, w_a \in \mathbb{D}_1</math> mit der Eigenschaft <math>\exp(w)=z</math> und <math>\exp(w_a)=z^a = \exp(w)^a</math>. Ferner werden zwei beliebige weitere Repräsentanten <math>\widehat{w}=w + 2\pi i\cdot k </math> und <math>\widehat{w_a}=w_a + 2\pi i\cdot k_a </math> mit <math>k, k_a \in \mathbb{Z}</math> der [[logmod-Äquivalenzklassen]] <math>[w]_0,[w_a]_0 \in [\mathbb{D}_1]_0</math> gewählt. Es gilt damit: :<math> \log_G(z^a) = a \cdot \log_G(z) + 2\pi i \cdot k \quad \text{für ein } k \in \mathbb{Z} </math> ==== Exponentialfunktion und Eulersche Formel ==== Stell man <math>a=a_1+ia_2\in \mathbb{C}</math> dar und wendet die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] an ==== Darstellung als Äquivalenzklassen ==== In der Äquivalenzklassen-Sicht gilt: :<math> a \cdot [w]_0 := [a \cdot w]_0 > \log(z^a) = a \cdot \log(z) > </math> > wobei die Multiplikation einer Äquivalenzklasse mit einer komplexen Zahl definiert ist als: > :<math> > a \cdot [w]_0 := [a w]_0 > </math> > '''Beispiel:''' > <math> z = i </math>, <math> a = 2 </math> → <math> z^a = -1 </math> > <math> \log(z^a) = \log(-1) = [i\pi]_0 </math> > <math> a \cdot \log(z) = 2 \cdot [i \pi/2]_0 = [i\pi]_0 </math> → stimmt. --- === (4) Addition von Logarithmen === :<math> \log(z_1) + \log(z_2) = \log(z_1 z_2) </math> > '''Achtung:''' Dies ist '''nicht''' immer wahr, wenn man '''nicht''' mit Äquivalenzklassen arbeitet! > Aber '''in der Klassen-Sicht''' ist es '''richtig'''. > '''Warum?''' Weil die Addition von Klassen kommutativ und assoziativ ist. --- == 7. Zusammenhang mit Logarithmenzweigen == Ein '''Logarithmenzweig''' ist eine '''stetige Auswahl''' von Werten aus <math> \log(z) </math>, d. h. eine Funktion <math> L: G \to \mathbb{C} </math>, sodass <math> \exp(L(z)) = z </math> und <math> L </math> stetig auf einem Gebiet <math> G \subseteq \mathbb{C} \setminus \{0\} </math>. > '''Beispiel:''' > Der '''Hauptzweig''' <math> \text{Log}(z) </math> ist ein Logarithmenzweig auf <math> \mathbb{C} \setminus (-\infty, 0] </math>. > '''Jeder Logarithmenzweig''' <math> L </math> wählt '''einen Repräsentanten''' aus jeder Äquivalenzklasse <math> [w]_0 </math>, nämlich <math> L(z) \in [w]_0 </math>. > '''Zusammenhang:''' > Die Menge aller Logarithmenzweige entspricht '''der Wahl einer Schnittlinie''' (Branch Cut), die verhindert, dass man um den Ursprung herumwandert und die Klasse wechselt. --- == 8. Zusammenfassung: Struktur der Logarithmen == | Konzept | Beschreibung | |--------|--------------| | '''Äquivalenzklasse''' <math> [w]_0 </math> | Menge aller <math> w + 2\pi i k </math>, <math> k \in \mathbb{Z} </math> | | '''Logarithmus von <math> z </math>''' | <math> \log(z) = [w]_0 </math>, wobei <math> \exp(w) = z </math> | | '''Hauptzweig''' | <math> \text{Log}(z) \in \log(z) </math>, mit <math> \text{Arg}(z) \in (-\pi, \pi] </math> | | '''Rechenregeln''' | <math> \log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2) </math>, <math> \log(z^a) = a \cdot \log(z) </math> (in Klassen) | | '''Exponentialfunktion''' | <math> \exp(\log(z)) = z </math>, <math> \log(\exp(w)) = [w]_0 </math> | --- == 9. Übungsaufgaben == 1. Zeige, dass <math> \log(-1) = [i\pi]_0 </math>. 2. Berechne <math> \log(i) + \log(i) </math> und vergleiche mit <math> \log(-1) </math>. 3. Zeige, dass <math> \log(z^2) = 2 \log(z) </math> in der Klassen-Sicht gilt. 4. Warum ist <math> \log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2) </math> '''nicht''' immer wahr, wenn man nur Zahlen verwendet? 5. Definiere einen anderen Logarithmenzweig auf <math> \mathbb{C} \setminus [0, \infty) </math>, der <math> \log(z) \in [i \cdot 0]_0 </math> für <math> z = 1 </math> wählt. --- == Lernziel == Du kannst: * den komplexen Logarithmus als '''Äquivalenzklasse''' verstehen, * die '''Rechenregeln''' für Logarithmen in der Klassen-Sicht korrekt anwenden, * den Zusammenhang zwischen '''Exponentialfunktion''', '''Logarithmenzweigen''' und '''Äquivalenzklassen''' erklären, * die '''Mehrdeutigkeit''' des Logarithmus strukturiert darstellen. --- '''Ende der Lerneinheit''' > '''Zusammenfassungssatz:''' > *Der komplexe Logarithmus von <math> z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> ist die Äquivalenzklasse <math> [w]_0 </math>, wobei <math> \exp(w) = z </math>. Diese Klasse ist genau die Menge aller Lösungen von <math> \exp(w) = z </math>. Alle Rechenregeln gelten in der Klassen-Sicht: <math> \log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2) </math>, <math> \log(z^a) = a \cdot \log(z) </math>, und <math> \exp(\log(z)) = z </math>.* == Siehe auch == * [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexer Logarithmus]] * [[logmod-Äquivalenzklassen]] * [[logmod-Funktion]] * [[negativer Hauptzweig des Logarithmus]] mhh315pma03ijrm14dadoyyjs9rvce3 1116209 1116208 2026-10-15T13:07:10Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1116209 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Lerneinheit zu [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmen]] beschäftigt sich Äquivalenzklassen, deren Struktur und Rechenregeln, die durch den Zusammenhang mit der Exponentialfunktion und deren imaginärer <math>2\pi i</math>-Periodizität entsteht. Die Äquivalenzklassen helfen dabei, [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen#Rechenregeln|Rechenregeln]] aus den reellen Zahl für den [[Logarithmus]] auf den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexen Logarithmus]] bzw. deren Zweige zu übertragen. Die [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus]] spielt dabei bijektive Abbildungen eine besondere Rolle. === Periodizität der Exponentialfunktion === Der komplexe Logarithmus kann nicht eindeutig als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion <math> \exp: \mathbb{C} \to \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> festgelegt werden, da u.a. die Exponentialfunktion nicht injektiv ist und ein [[Zweig des Logarithmus]] von der Wahl des [[einfach zusammenhängend]]en Gebietes abhängt, auf dem der Logarithmus definiert ist. Es gilt für [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]]: :<math> \exp(w + 2\pi i) = \exp(w) = z\quad \text{für alle } w \in \mathbb{C} </math> Daher gibt es unendlich viele komplexe Zahlen <math> w </math>, die auf dieselbe Zahl <math> z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> abgebildet werden. Diese Mehrdeutigkeit ist die Motivation, um Äquivalenzklassen zu bilden. === Behandelt Aspekte in der Lerneinheit === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen#logmod_Aequivalenzlemma|LogMod-Äquivalenzklassenlemma]]:''' Beziehung Exponentialfunktion und Zweigen des Logarithmus * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen#Repraesentantenunabhaengigkeit|Repräsentantenunabhängigkeit]]''' für die Addition von [[logmod-Äquivalenzklassen]] == Äquivalenzklassen des Logarithmus == Um Äquivalenzklassen zu bilden, benötigt man eine Äquivalenzrelation als Teilmenge von <math>\mathbb{C}\times \mathbb{C} </math>, die zwei Elemente <math> w_1, w_2 \in \mathbb{C} </math>, wenn deren Differenz ein ganzzahliges Vielfaches von <math>2\pi i</math> ist. === Definition - logmod-Äquivalenzrelation === Zwei komplexe Zahlen <math> w_1, w_2 \in \mathbb{C} </math> heißen logmod-äquivalent modulo <math> 2\pi i </math>, wenn gilt: :<math> w_1 - w_2 \in 2\pi i \cdot \mathbb{Z} := \{w\in \mathbb{C} \, : \, w=2\pi i \cdot k \mbox{ und } k\in \mathbb{Z} \} </math> Formal notiert man diese Äquivalenz wie folgt: :<math> w_1 \equiv w_2 \ \mathrm{logmod}\ {2\pi i} </math> ==== Aufgabe für Studierende ==== Zeigen Sie, dass diese Relation eine ''Äquivalenzrelation'' ist, d.h. die [[logmod-Funktion|logmod-Relation]] ist [[w:de:Äquivalenzrelation|reflexiv, symmetrisch und transitiv]]. === Definition - logmod-Äquivalenzklasse === Für eine komplexe Zahl <math> w \in \mathbb{C} </math> ist die Äquivalenzklasse definiert als: :<math> [w]_0 := \{ w + 2\pi i k \mid k \in \mathbb{Z} \} </math> ==== Bezeichnung - Äquivalenzklassenindex==== Die Indexierung mit <math> _0 </math> deutet an, dass dies diese Äquivalenzklasse ohne Logarithmierung in <math>\mathbb{C}</math> gebildet wurde. Bildet man rekursiv höhere Logarithmen als Verkettung entstehen Äquivalenzklassen <math>[w]_n</math>, wobei <math>n</math>-fach rekursiv der Logarithmus verkettet wird, falls dieser existiert. == Verbindung mit der Exponentialfunktion == Da die Exponentialfunktion im Imaginärteil des Arguments eine Periodizität von <math>2\pi i</math> besitzt, entsprechen Äquivalenzklassen <math>[w]_0</math> entsprechen einem Bildpunkt <math>z=e^w</math>. Dieser Verbindung zwischen Exponentialfunktion und Logarithmus wird durch das LogMod-Äquivalenzklassenlemma festgehalten. <span id="logmod_Aequivalenzlemma"></span> === LogMod-Äquivalenzklassenlemma === Sei <math>w\in\mathbb{C} \setminus \{0\} </math> mit <math>\mathrm{logmod}(w) = 0</math> gegeben. Für eine feste komplexe Zahl <math> z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> gilt folgende Äquivalenzaussage: :<math> \exp(\widehat{w}) = z \quad \text{für alle } \widehat{w} \in [w]_0 </math> genau dann, wenn <math> \exp(w) = z </math>. === Beweis - LogMod-Äquivalenzlemma === Für <math> w\in \mathbb{D}_1 := \mathbb{R}\times i\cdot [0,2\pi)</math> gelte <math>\exp(w)=z</math>. Das LogMod-Äquivalenzlemma ist eine Äquivalenzaussage. Daher werden zwei Beweisrichtungen gezeigt: \mbox{} <math display="block"> \begin{array}{llcl} \mbox{ (LML1) } & \exp(\widehat{w}) = z & \quad \Longrightarrow \quad & \widehat{w} \in [w]_0 \\ \mbox{ (LML2) } & \widehat{w} \in [w]_0 & \quad \Longrightarrow \quad & \exp(\widehat{w}) = z \\ \end{array} </math> ==== Schritt 1 - Beweisrichtung LML1 ==== Sei <math> \widehat{w} \in \mathbb{C} </math> mit <math> \exp(\widehat{w}) = z </math> beliebig gewählt. Dann gilt mit der Voraussetzung <math> \exp(w) = z \not= 0</math> und Potenzgesetzen: :<math> 1 = \frac{z}{z} = \frac{\widehat{w}}{\exp(\exp(w))} = \exp(\widehat{w}-w) </math> Die Gleichung <math>1 = \exp(\widehat{w}-w)</math> gilt genau dann, wenn <math> w-\widehat{w} = 2\pi i \cdot k</math> mit <math>k \in \mathbb{Z}</math>. ==== Schritt 2 - Beweisrichtung LML1 ==== Damit gilt auch <math> w = \widehat{w} + 2\pi i \cdot k </math>. Die ganze Zahl <math> k\in \mathbb{Z} </math> ist durch die [[logmod-Funktion]] und es gilt <math>k= \mathrm{logmod}(\widehat{w})</math>, da <math> w\in \mathbb{D}_1 = \mathbb{R} + i\cdot [0,2\pi) </math> nach Voraussetzung gilt und man erhält <math>\widehat{w} \in [w]_0</math>. ==== Schritt 3 - Äquivalenzklasse gegeben LML2 ==== Sei umgekehrt <math>\widehat{w} \in [w]_0</math> gegeben. Dann gibt es nach Definition der Äquivalenzklasse ein <math> k := logmod(\widehat{w})\in \mathbb{Z} </math> mit der Eigenschaft <math>\widehat{w}:= w + 2\pi i k</math>. Nun wen man diese Darstellung von <math>\widehat{w}</math> auf die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] an und verwendet Periodizität <math>\exp</math> bzgl. <math>2\pi i</math> und erhält: :<math> \exp(\widehat{w}) = \exp(w + 2\pi i k) = \exp(w) \cdot \exp(2\pi i k) = z \cdot 1 = z </math> ==== Schritt 4 - LML2 ==== Da <math>\widehat{w} \in [w]_0</math> beliebig gewählt wurde, gilt für alle <math> \widehat{w} \in [w]_0 </math> die Eigenschaft <math> \exp(\widehat{w}) = z </math> und zusammen mit LML1 gilt die Äquivalenzaussage aus dem Lemma <math>\quad \Box</math>. === Folgerung - LogMod-Äquivalenzklassenlemma ==== Fasst man zu einem gegebenen <math>z\in \mathbb{C}\setminus\{0\}</math> die Menge alle komplexen Zahlen <math> \widehat{w} \in \mathbb{C} </math> zu einer Menge zusammen, die die Eigenschaft <math> \exp(\widehat{w}) = z </math> erfüllen, so erhält man die Äquivalenzklasse <math> [w]_0 </math>, wobei <math> w </math> eine beliebige Lösung von <math> \exp(w) = z </math> ist. ==== Bemerkung - LogMod-Äquivalenzklassenlemma ==== Für die Äquivalenzklassenanalyse spielt das Repräsentatensystem <math>\mathbb{D}_1= \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi)</math> eine besondere Rolle. DasRepräsentatensystem <math>\mathbb{D}_1</math> entsteht durch [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus|algebraische Vervollständigkeit]] des [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweiges]] des [[Logarithmus]]. == Äquivalenzklassenaddition == Um die aus der reellen Analysis bekannten Rechenregeln auf Logarithmen in den komplexen Zahlen verwenden zu können werden Äquivalenzklassen verwendet. Die Struktur und Gültigkeit der Rechenregeln wird in diesem Teil der Lerneinheit genauer untersucht. === komplexe Logarithmus als Lösungsmenge === Der komplexe Äquivalenzklassen-Logarithmus von <math> z </math> bildet nicht auf ein Element in <math>\mathbb{C}</math> ab, sondern auf ein Teilmenge von <math>\mathbb{C}</math>. Dies führt im weiteren Verlauf der Lehrveranstaltung zum Begriff des [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarithmus]]. Sei <math>w \in \mathbb{C}</math> beliebig gewählt, dann definiert man <math>w_0 := w - \mathrm{logmod}(w)\cdot 2\pi i \in \mathbb{D}_1</math> als Repräsentant der [[logmod-Äquivalenzklassen|Äquivalenzklasse]] <math> [w]_0</math>. :<math> \mathrm{lnr}_1(z) := \{ w \in \mathbb{C} \mid \exp(w) = z \} = [w]_0 </math> für ein beliebiges <math> w_0 \in \mathbb{D}_1 := \mathbb{R}+ i\cdot [0,2\pi)</math> mit <math> \exp(w_0) = z </math>. ==== Beispiel 1 - Neutrales Element für Äquivalenklassenaddition ==== Algebraisch wird später <math>\mathbb{D}_1</math> mit einer inneren Verknüpfung <math>\oplus</math> zu einer kommunitative Gruppe. Daher wird das [[w:de:neutrales Element|neutrale Element]] von <math>\oplus</math> als Beispieläquivalenzklasse genannt und in Beziehung zum Logarithmus gesetzt. Für <math> z = 1 </math> ist der komplexe rekursive Logarithmus :<math> \mathrm{lnr}_1(1) = \{ 2\pi i k \, : \, k \in \mathbb{Z} \} = [0]_0 </math> ==== Beispiel 2 - Logarithmus der imaginären Einheit ==== Da zunächst die [[rekursiver Logarithmus|rekursive komplexe Logarithmen]] von elementaren komplexen Zahlen genannt. Wählt man <math> z = i </math> so gilt <math> \exp\left(i \tfrac{\pi}{2}\right) = i </math> und <math>i\tfrac{\pi}{2} \in \mathbb{D}_1</math>. Bildet man nun den von [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarithmus]] von <math> z = i </math> erhält man: :<math> \mathrm{lnr}_1(i) = \left\{ i \left( \frac{\pi}{2} + 2\pi k \right) \mid k \in \mathbb{Z} \right\} = \left[ i \frac{\pi}{2} \right]_0 </math> ==== Beispiel 3 - rekursiver Logarithmus von -1 ==== Ablschießend wird auch noch der [[rekursiver Logarithmus|rekursive komplexe Logarithmen]] von <math> z = -1 </math> genannt. Wegen <math> \exp\left(i \pi \right) = -1 </math> und <math>i \pi \in \mathbb{D}_1=\mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi) </math> erhält man: :<math> \mathrm{lnr}_1(-1) = \left\{ i \left( \pi + 2\pi k \right) \mid k \in \mathbb{Z} \right\} = \left[ i \pi \right]_0 </math> === Repräsentantensystem === Um einen eindeutigen Funktionswert als Äquivalenzklasse zu erhalten, wählt man eine spezielles Repräsentantensystem <math>\mathbb{D}_1:= \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi) \subset \mathbb{C}</math> um alle Äquivalenzklassen darstellen zu können. Dabei wird die [[logmod-Funktion]] verwendet, um für eine beliebige komplexe Zahl <math>w\in \mathbb{C}</math> die zugehörigen Repräsentanten <math>w_0 \in\mathbb{D}_1</math> über <math> w_0 = w - 2\pi i \cdot \mathrm{logmod}(w)</math> zu bestimmen. <span id="Definition"> === Definition - logmod-Äquivalenzklassenaddition === Für <math> z_1,z_2 \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> und <math>w_1,w_2 \in\mathbb{D}_1</math> gelte <math>\exp(z_1)=w_1</math> und <math>\exp(z_2)=w_2</math>. Man definiert nun die Äquivalenzklassenaddition <math>(\mathbb{D}_1,\oplus)</math> wie folgt. :<math> [w_1]_0 \oplus [w_2]_0 := [w_1 + w_2]_0 </math> ==== Bemerkung - Repräsentant der Äquivalenzklasse ==== Der Repräsentant <math>w_1 + w_2 </math> der Äquivalenzklasse wobei <math>[w_1 + w_2]_0 </math> liegt nicht notwendigerweise auch in <math>\mathbb{D}_1</math>, was das folgende Beispiel zeigt. ==== Beispiel - Repräsentant bei additiver Verknüpfung ==== Wählt man <math> z_1 = z_2 = -i </math>, so erhält man <math> w_1 = w_2 = \tfrac{3}{2}\pi i \in \mathbb{D}_1 </math> und es gilt <math> w_1 + w_2 = 3\pi i \notin \mathbb{D}_1 </math>. Möchte man den zugehörigen Repräsentanten aus <math>\mathbb{D}_1 </math> bestimmen, verwendet man wieder die [[logmod-Funktion]]: :<math> [w_1]_0 \oplus [w_2]_0 = [w_1 + w_2]_0 = [w]_0 </math> mit <math> w = w_1+w_2 - 2\pi i \cdot \mathrm{logmod}(w_1+w_2)</math> ==== Bemerkung - Notation ==== Für die Addition <math>\oplus</math> der [[logmod-Äquivalenzklassen]] wird zur Abgrenzung zu additiven Verknüpfung in <math>+</math> in <math>\mathbb{C}</math> das Symbol <math>\oplus</math> verwendet. :<math> \left[ 1+\frac{3}{2}\pi i \right]_0 \oplus \left[5+\frac{1}{2}\pi i \right]_0 = \left[ \left(1+\frac{3}{2}\pi i\right) + \left(5+\frac{1}{2}\pi i\right) \right]_0 = [6+2\pi i]_0 = [6]_0 </math> Im linken Term werden zwei Äquivalenzklassen addiert (daher <math>\oplus</math>) und in den beiden rechten Termen ist das Standardaddition in den komplexen Zahlen. == Rechenregeln für Äquivalenzklassen == Zunächst einmal muss man kurz die Repräsentantenunabhängigkeit der Äquivalenzklassenaddition auf <math>[\mathbb{D}_1]_0</math> überprüfen. Dabei ist <math>\oplus</math> eine innere Verknüpfung auf <math>[\mathbb{D}_1]_0</math> der Form: :<math> \begin{array}{rrcl} f: & [\mathbb{D}_1]_0 \times [\mathbb{D}_1]_0 & \rightarrow & [\mathbb{D}_1]_0\\ & \left( [w_1]_0,[w_2]_0 \right) & \mapsto & [w_1]_0 \oplus [w_2]_0 = [w_1+w_2]_0 = \\ & & & \bigg[\, \underbrace{w_1+w_2 - \mathrm{logmod}(w_1+w_2) \cdot 2\pi i}_{\in \mathbb{D}_1}\,\bigg]_0 \end{array} </math> Dabei beschreibt <math>[\mathbb{D}_1]_0 = \{ [w]_0 \, \colon \, w\in \mathbb{D}_1 \}</math> die Menge aller [[logmod-Äquivalenzklassen]] mit dem Repräsentantensystem <math>\mathbb{D}_1</math>. <hr> <span id="Repraesentantenunabhaengigkeit"></span> === Lemma zur Repräsentantenunabhängigkeit === Die innere additive Verknüpfung <math> ([\mathbb{D}_1]_0 , \oplus)</math> auf den [[logmod-Äquivalenzklassen]] ist repräsentantenunabhängig. === Beweis - Lemma zur Repräsentantenunabhängigkeit === Die Beweisidee der Repräsentantenunabhängigkeit beruht auf der Auswahl von zwei beliebigen unterschiedlichen Repräsentanten <math>w_1</math> und <math>\widehat{w_1}</math> bzw. <math>w_2</math> und <math>\widehat{w_2}</math> und man zeigt dann die Addition mit <math>\oplus</math> für die [[logmod-Äquivalenzklassen]] die gleiche Äquivalenzklasse <math>[w_1+w_2]_0=[\widehat{w_1}+\widehat{w_2}]_0</math> liefert. ==== Beweisschritt 1 - Wahl der Repräsentanten ==== Seien <math>w_1,w_2 \in \mathbb{D}_1</math> und <math>k_1, k_2 \in \mathbb{Z}</math> beliebig gewählt, dann sind <math>\widehat{w_1}=2\pi i\cdot k_1 </math> und <math>\widehat{w_2}=2\pi i\cdot k_2 </math> weitere Repräsentanten der [[logmod-Äquivalenzklassen]] <math>[w_1]_0,[w_2]_0 \in [\mathbb{D}_1]_0</math> und es gilt: :<math> [w_1]_0 = [\widehat{w_1}]_0 \quad [w_2]_0 = [\widehat{w_2}]_0 </math> ==== Beweisschritt 2 - Definition der Addition anwenden ==== Nach Definition der Addition von [[logmod-Äquivalenzklassen]] gilt: :<math> \begin{array}{rcl} [\widehat{w_1}]_0 \oplus [\widehat{w_1}]_0 & = & [\widehat{w_1} + \widehat{w_1}]_0 \\ & = & [w_1+w_2+ (k_1+k_2)\cdot 2\pi i]_0 = [w_1+w_2]_0 \\ \end{array} </math> Damit ist die Addition von [[logmod-Äquivalenzklassen]] repräsentantenunabhängig. <math>\quad \Box</math> ==== Bemerkung - Exponentialfunktion und Zweige des Logarithmus ==== Sei <math>G\subset \mathbb{C}</math> ein [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängendes]] [[Gebiet (Mathematik)| Gebiet]] mit <math>0\notin G</math> und <math>w_0\in \mathbb{D}_1</math> und <math> \exp(w_0)=z_0</math> für ein mit <math>z_0 \in G \subset \mathbb{C}\setminus \{0\}</math>. Durch die Festlegung von <math>\log_G(z_0)=w_0</math> ist der Zweig <math>\log_{G}</math> als [[generalisierter Logarithmus]] bereits auf ganz <math>G</math> definiert (siehe [[Identitätssatz]] und <math>\exp(\log_G(z)) = z</math>). Bei der [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus|algebraischen Vervollständigung des Zweiges eines Logarithmus]] verliert man die Eigenschaft der [[holomorphe Funktion|Holomorphie]] und sogar der [[Stetigkeit]]. Sei Man muss daher [[Zweige des Logarithmus]] von der Definition eine [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarthmus]] trennen. * <math> \exp(\log_G(z)) = z </math> für alle <math> z \in G \subset \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> * <math> \log_G(\exp(w)) = z+2\pi i \cdot k </math> für <math> w \in \mathbb{C} </math> und ein existierendes <math>k\in \mathbb{Z} </math> für <math>w</math>. ==== Äquivalenzklassen als Wertebereich ==== Der rekursive Logarithmus <math> \mathrm{lnr}_1(z) = [w]_0</math> liefert als Funktionswert '''keine Zahl''', sondern eine '''Äquivalenzklasse'''. Diese ist selbst ein Element der [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelschen Sigma-Algebra]] <math>\mathcal{B}(\mathbb{C})</math> als abzählbare Vereingigung von Einpunktmenge der Form <math>w+k\cdot 2\pi i</math> mit <math>k\in \mathbb{Z} </math> . === Multiplikation von Äquivalenzklassen === Für <math> z_1, z_2 \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> und <math>w_1,w_2 \in \mathbb{D}_1</math> gelte <math>\exp(w_1)=z_1</math> und <math>\exp(w_2)=z_2</math>. Ferner werden zwei beliebige weitere Repräsentanten <math>\widehat{w_1}=w_1 + 2\pi i\cdot k_1 </math> und <math>\widehat{w_2}=w_2 + 2\pi i\cdot k_2 </math> mit <math>k_1, k_2 \in \mathbb{Z}</math> der [[logmod-Äquivalenzklassen]] <math>[w_1]_0,[w_2]_0 \in [\mathbb{D}_1]_0</math> gewählt. Es gilt damit: :<math> [w_1]_0 = [\widehat{w_1}]_0 \quad [w_2]_0 = [\widehat{w_2}]_0 </math>: Man untersucht nun die Multiplikation bzgl. der [[logmod-Äquivalenzklassen]]. === Multiplikation und Exponentialfunktion === Es gilt nach Voraussetzung <math>\exp(w_1)= \exp(\widehat{w_1})</math> und <math>\exp(w_2)= \exp(\widehat{w_2})</math> wegen imaginäre Periodizität bzgl. <math>2\pi i</math>. Man erhält daher folgende Gleichung: :<math> \exp(w_1+w_2) = \underbrace{\exp(w_1)}_{=z_1} \cdot \underbrace{\exp(w_2)}_{=z_2}= \underbrace{\exp(\widehat{w_1})}_{=z_1} \cdot \underbrace{\exp(\widehat{w_2})}_{=z_2} = \exp(\widehat{w_1}+\widehat{w_2}) </math> Dabei wurde <math>w_1 = \log_G(z_1)</math> und <math>w_2 = \log_G(z_2)</math> über einen [[generalisierter Logarithmus|generalisierten Logarithmus]] <math>\log_G</math> auf einem [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebiet <math>G</math> mit <math>0\notin G</math> bestimmt. ==== Anwendung auf den generalisierte Logarithmus ==== Mit den Vorüberlegungen bzgl. Exponentialfunktion gilt für den [[generalisierter Logarithmus|generalisierten Logarithmus]] <math>\log_G</math> folgende Eigenschaft mit geeignet gewähltem <math>k\in \mathbb{Z}</math>: :<math> \log_G(z_1 \cdot z_2) = \log_G(z_1) + \log_G(z_2) + k\cdot 2\pi i </math> Dabei kann <math>k\in \mathbb{Z}</math> über die [[logmod-Funktion]] mit <math>k=\mathrm{logmod}(z_1 \cdot z_2)</math> bestimmt werden. ==== Anwendung auf logmod-Äquivalenklassen ==== Da für die Summe zweier Äquivalenzklassen folgende Eigenschaft gilt, erhält man für <math>\exp(w) = z_1\cdot z_2</math> die [[logmod-Äquivalenzklassen]]gleichung: :<math> [w_1]_0 + [w_2]_0 = [w_1 + w_2]_0 = [w]_0 </math> Der [[rekursiver Logarithmus|rekursive Logarithmus]] erfüllt die Rechengesetze analog zu den [[Logarithmus|Logarithmusgesetzen]] in <math>\mathbb{R}</math>. :<math> \underbrace{\mathrm{lnr}_1(z_1\cdot z_2)}_{=[w]_0} = \underbrace{\mathrm{lnr}_1(z_1)}_{=[w_1]_0} + \underbrace{\mathrm{lnr}_1(z_2)}_{=[w_2]_0} = [w_1 + w_2]_0 </math> ==== Beispiel - Multiplikation der Log-Argumente==== Wählt man <math> z_1 = i = z_2 </math> so gilt <math> z_1 \cdot z_2 = -1 </math>. Für den rekursiven Logarithmus gilt dann: :<math> \mathrm{lnr_1}(i) = \left[ i \frac{\pi}{2} \right]_0 \quad \mathrm{lnr_1}(-1)=\mathrm{lnr_1}(i\cdot i) = \underbrace{\mathrm{lnr_1}(i)}_{=\left[ i \frac{\pi}{2} \right]_0} + \underbrace{\mathrm{lnr_1}(i)}_{=\left[ i \frac{\pi}{2} \right]_0} = [i\pi]_0 </math> === Potenzen und Logarithmus === Für <math> z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math>, <math>a\in \mathbb{C}</math> und <math>w, w_a \in \mathbb{D}_1</math> mit der Eigenschaft <math>\exp(w)=z</math> und <math>\exp(w_a)=z^a = \exp(w)^a</math>. Ferner werden zwei beliebige weitere Repräsentanten <math>\widehat{w}=w + 2\pi i\cdot k </math> und <math>\widehat{w_a}=w_a + 2\pi i\cdot k_a </math> mit <math>k, k_a \in \mathbb{Z}</math> der [[logmod-Äquivalenzklassen]] <math>[w]_0,[w_a]_0 \in [\mathbb{D}_1]_0</math> gewählt. Es gilt damit: :<math> \log_G(z^a) = a \cdot \log_G(z) + 2\pi i \cdot k \quad \text{für ein } k \in \mathbb{Z} </math> ==== Exponentialfunktion und Eulersche Formel ==== Stell man <math>a=a_1+ia_2\in \mathbb{C}</math> dar und wendet die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] an ==== Darstellung als Äquivalenzklassen ==== In der Äquivalenzklassen-Sicht gilt: :<math> a \cdot [w]_0 := [a \cdot w]_0 > \log(z^a) = a \cdot \log(z) > </math> > wobei die Multiplikation einer Äquivalenzklasse mit einer komplexen Zahl definiert ist als: > :<math> > a \cdot [w]_0 := [a w]_0 > </math> > '''Beispiel:''' > <math> z = i </math>, <math> a = 2 </math> → <math> z^a = -1 </math> > <math> \log(z^a) = \log(-1) = [i\pi]_0 </math> > <math> a \cdot \log(z) = 2 \cdot [i \pi/2]_0 = [i\pi]_0 </math> → stimmt. --- === (4) Addition von Logarithmen === :<math> \log(z_1) + \log(z_2) = \log(z_1 z_2) </math> > '''Achtung:''' Dies ist '''nicht''' immer wahr, wenn man '''nicht''' mit Äquivalenzklassen arbeitet! > Aber '''in der Klassen-Sicht''' ist es '''richtig'''. > '''Warum?''' Weil die Addition von Klassen kommutativ und assoziativ ist. --- == 7. Zusammenhang mit Logarithmenzweigen == Ein '''Logarithmenzweig''' ist eine '''stetige Auswahl''' von Werten aus <math> \log(z) </math>, d. h. eine Funktion <math> L: G \to \mathbb{C} </math>, sodass <math> \exp(L(z)) = z </math> und <math> L </math> stetig auf einem Gebiet <math> G \subseteq \mathbb{C} \setminus \{0\} </math>. > '''Beispiel:''' > Der '''Hauptzweig''' <math> \text{Log}(z) </math> ist ein Logarithmenzweig auf <math> \mathbb{C} \setminus (-\infty, 0] </math>. > '''Jeder Logarithmenzweig''' <math> L </math> wählt '''einen Repräsentanten''' aus jeder Äquivalenzklasse <math> [w]_0 </math>, nämlich <math> L(z) \in [w]_0 </math>. > '''Zusammenhang:''' > Die Menge aller Logarithmenzweige entspricht '''der Wahl einer Schnittlinie''' (Branch Cut), die verhindert, dass man um den Ursprung herumwandert und die Klasse wechselt. --- == 8. Zusammenfassung: Struktur der Logarithmen == | Konzept | Beschreibung | |--------|--------------| | '''Äquivalenzklasse''' <math> [w]_0 </math> | Menge aller <math> w + 2\pi i k </math>, <math> k \in \mathbb{Z} </math> | | '''Logarithmus von <math> z </math>''' | <math> \log(z) = [w]_0 </math>, wobei <math> \exp(w) = z </math> | | '''Hauptzweig''' | <math> \text{Log}(z) \in \log(z) </math>, mit <math> \text{Arg}(z) \in (-\pi, \pi] </math> | | '''Rechenregeln''' | <math> \log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2) </math>, <math> \log(z^a) = a \cdot \log(z) </math> (in Klassen) | | '''Exponentialfunktion''' | <math> \exp(\log(z)) = z </math>, <math> \log(\exp(w)) = [w]_0 </math> | --- == 9. Übungsaufgaben == 1. Zeige, dass <math> \log(-1) = [i\pi]_0 </math>. 2. Berechne <math> \log(i) + \log(i) </math> und vergleiche mit <math> \log(-1) </math>. 3. Zeige, dass <math> \log(z^2) = 2 \log(z) </math> in der Klassen-Sicht gilt. 4. Warum ist <math> \log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2) </math> '''nicht''' immer wahr, wenn man nur Zahlen verwendet? 5. Definiere einen anderen Logarithmenzweig auf <math> \mathbb{C} \setminus [0, \infty) </math>, der <math> \log(z) \in [i \cdot 0]_0 </math> für <math> z = 1 </math> wählt. --- == Lernziel == Du kannst: * den komplexen Logarithmus als '''Äquivalenzklasse''' verstehen, * die '''Rechenregeln''' für Logarithmen in der Klassen-Sicht korrekt anwenden, * den Zusammenhang zwischen '''Exponentialfunktion''', '''Logarithmenzweigen''' und '''Äquivalenzklassen''' erklären, * die '''Mehrdeutigkeit''' des Logarithmus strukturiert darstellen. --- '''Ende der Lerneinheit''' > '''Zusammenfassungssatz:''' > *Der komplexe Logarithmus von <math> z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> ist die Äquivalenzklasse <math> [w]_0 </math>, wobei <math> \exp(w) = z </math>. Diese Klasse ist genau die Menge aller Lösungen von <math> \exp(w) = z </math>. Alle Rechenregeln gelten in der Klassen-Sicht: <math> \log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2) </math>, <math> \log(z^a) = a \cdot \log(z) </math>, und <math> \exp(\log(z)) = z </math>.* == Siehe auch == * [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus]] * [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexer Logarithmus]] * [[logmod-Äquivalenzklassen]] * [[logmod-Funktion]] * [[negativer Hauptzweig des Logarithmus]] rf6qigupxdkfkh2bdji40lh0pmz4i38 1116210 1116209 2026-10-15T13:22:04Z Bert Niehaus 20843 /* Exponentialfunktion und Eulersche Formel */ 1116210 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Lerneinheit zu [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmen]] beschäftigt sich Äquivalenzklassen, deren Struktur und Rechenregeln, die durch den Zusammenhang mit der Exponentialfunktion und deren imaginärer <math>2\pi i</math>-Periodizität entsteht. Die Äquivalenzklassen helfen dabei, [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen#Rechenregeln|Rechenregeln]] aus den reellen Zahl für den [[Logarithmus]] auf den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexen Logarithmus]] bzw. deren Zweige zu übertragen. Die [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus]] spielt dabei bijektive Abbildungen eine besondere Rolle. === Periodizität der Exponentialfunktion === Der komplexe Logarithmus kann nicht eindeutig als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion <math> \exp: \mathbb{C} \to \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> festgelegt werden, da u.a. die Exponentialfunktion nicht injektiv ist und ein [[Zweig des Logarithmus]] von der Wahl des [[einfach zusammenhängend]]en Gebietes abhängt, auf dem der Logarithmus definiert ist. Es gilt für [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]]: :<math> \exp(w + 2\pi i) = \exp(w) = z\quad \text{für alle } w \in \mathbb{C} </math> Daher gibt es unendlich viele komplexe Zahlen <math> w </math>, die auf dieselbe Zahl <math> z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> abgebildet werden. Diese Mehrdeutigkeit ist die Motivation, um Äquivalenzklassen zu bilden. === Behandelt Aspekte in der Lerneinheit === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen#logmod_Aequivalenzlemma|LogMod-Äquivalenzklassenlemma]]:''' Beziehung Exponentialfunktion und Zweigen des Logarithmus * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen#Repraesentantenunabhaengigkeit|Repräsentantenunabhängigkeit]]''' für die Addition von [[logmod-Äquivalenzklassen]] == Äquivalenzklassen des Logarithmus == Um Äquivalenzklassen zu bilden, benötigt man eine Äquivalenzrelation als Teilmenge von <math>\mathbb{C}\times \mathbb{C} </math>, die zwei Elemente <math> w_1, w_2 \in \mathbb{C} </math>, wenn deren Differenz ein ganzzahliges Vielfaches von <math>2\pi i</math> ist. === Definition - logmod-Äquivalenzrelation === Zwei komplexe Zahlen <math> w_1, w_2 \in \mathbb{C} </math> heißen logmod-äquivalent modulo <math> 2\pi i </math>, wenn gilt: :<math> w_1 - w_2 \in 2\pi i \cdot \mathbb{Z} := \{w\in \mathbb{C} \, : \, w=2\pi i \cdot k \mbox{ und } k\in \mathbb{Z} \} </math> Formal notiert man diese Äquivalenz wie folgt: :<math> w_1 \equiv w_2 \ \mathrm{logmod}\ {2\pi i} </math> ==== Aufgabe für Studierende ==== Zeigen Sie, dass diese Relation eine ''Äquivalenzrelation'' ist, d.h. die [[logmod-Funktion|logmod-Relation]] ist [[w:de:Äquivalenzrelation|reflexiv, symmetrisch und transitiv]]. === Definition - logmod-Äquivalenzklasse === Für eine komplexe Zahl <math> w \in \mathbb{C} </math> ist die Äquivalenzklasse definiert als: :<math> [w]_0 := \{ w + 2\pi i k \mid k \in \mathbb{Z} \} </math> ==== Bezeichnung - Äquivalenzklassenindex==== Die Indexierung mit <math> _0 </math> deutet an, dass dies diese Äquivalenzklasse ohne Logarithmierung in <math>\mathbb{C}</math> gebildet wurde. Bildet man rekursiv höhere Logarithmen als Verkettung entstehen Äquivalenzklassen <math>[w]_n</math>, wobei <math>n</math>-fach rekursiv der Logarithmus verkettet wird, falls dieser existiert. == Verbindung mit der Exponentialfunktion == Da die Exponentialfunktion im Imaginärteil des Arguments eine Periodizität von <math>2\pi i</math> besitzt, entsprechen Äquivalenzklassen <math>[w]_0</math> entsprechen einem Bildpunkt <math>z=e^w</math>. Dieser Verbindung zwischen Exponentialfunktion und Logarithmus wird durch das LogMod-Äquivalenzklassenlemma festgehalten. <span id="logmod_Aequivalenzlemma"></span> === LogMod-Äquivalenzklassenlemma === Sei <math>w\in\mathbb{C} \setminus \{0\} </math> mit <math>\mathrm{logmod}(w) = 0</math> gegeben. Für eine feste komplexe Zahl <math> z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> gilt folgende Äquivalenzaussage: :<math> \exp(\widehat{w}) = z \quad \text{für alle } \widehat{w} \in [w]_0 </math> genau dann, wenn <math> \exp(w) = z </math>. === Beweis - LogMod-Äquivalenzlemma === Für <math> w\in \mathbb{D}_1 := \mathbb{R}\times i\cdot [0,2\pi)</math> gelte <math>\exp(w)=z</math>. Das LogMod-Äquivalenzlemma ist eine Äquivalenzaussage. Daher werden zwei Beweisrichtungen gezeigt: \mbox{} <math display="block"> \begin{array}{llcl} \mbox{ (LML1) } & \exp(\widehat{w}) = z & \quad \Longrightarrow \quad & \widehat{w} \in [w]_0 \\ \mbox{ (LML2) } & \widehat{w} \in [w]_0 & \quad \Longrightarrow \quad & \exp(\widehat{w}) = z \\ \end{array} </math> ==== Schritt 1 - Beweisrichtung LML1 ==== Sei <math> \widehat{w} \in \mathbb{C} </math> mit <math> \exp(\widehat{w}) = z </math> beliebig gewählt. Dann gilt mit der Voraussetzung <math> \exp(w) = z \not= 0</math> und Potenzgesetzen: :<math> 1 = \frac{z}{z} = \frac{\widehat{w}}{\exp(\exp(w))} = \exp(\widehat{w}-w) </math> Die Gleichung <math>1 = \exp(\widehat{w}-w)</math> gilt genau dann, wenn <math> w-\widehat{w} = 2\pi i \cdot k</math> mit <math>k \in \mathbb{Z}</math>. ==== Schritt 2 - Beweisrichtung LML1 ==== Damit gilt auch <math> w = \widehat{w} + 2\pi i \cdot k </math>. Die ganze Zahl <math> k\in \mathbb{Z} </math> ist durch die [[logmod-Funktion]] und es gilt <math>k= \mathrm{logmod}(\widehat{w})</math>, da <math> w\in \mathbb{D}_1 = \mathbb{R} + i\cdot [0,2\pi) </math> nach Voraussetzung gilt und man erhält <math>\widehat{w} \in [w]_0</math>. ==== Schritt 3 - Äquivalenzklasse gegeben LML2 ==== Sei umgekehrt <math>\widehat{w} \in [w]_0</math> gegeben. Dann gibt es nach Definition der Äquivalenzklasse ein <math> k := logmod(\widehat{w})\in \mathbb{Z} </math> mit der Eigenschaft <math>\widehat{w}:= w + 2\pi i k</math>. Nun wen man diese Darstellung von <math>\widehat{w}</math> auf die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] an und verwendet Periodizität <math>\exp</math> bzgl. <math>2\pi i</math> und erhält: :<math> \exp(\widehat{w}) = \exp(w + 2\pi i k) = \exp(w) \cdot \exp(2\pi i k) = z \cdot 1 = z </math> ==== Schritt 4 - LML2 ==== Da <math>\widehat{w} \in [w]_0</math> beliebig gewählt wurde, gilt für alle <math> \widehat{w} \in [w]_0 </math> die Eigenschaft <math> \exp(\widehat{w}) = z </math> und zusammen mit LML1 gilt die Äquivalenzaussage aus dem Lemma <math>\quad \Box</math>. === Folgerung - LogMod-Äquivalenzklassenlemma ==== Fasst man zu einem gegebenen <math>z\in \mathbb{C}\setminus\{0\}</math> die Menge alle komplexen Zahlen <math> \widehat{w} \in \mathbb{C} </math> zu einer Menge zusammen, die die Eigenschaft <math> \exp(\widehat{w}) = z </math> erfüllen, so erhält man die Äquivalenzklasse <math> [w]_0 </math>, wobei <math> w </math> eine beliebige Lösung von <math> \exp(w) = z </math> ist. ==== Bemerkung - LogMod-Äquivalenzklassenlemma ==== Für die Äquivalenzklassenanalyse spielt das Repräsentatensystem <math>\mathbb{D}_1= \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi)</math> eine besondere Rolle. DasRepräsentatensystem <math>\mathbb{D}_1</math> entsteht durch [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus|algebraische Vervollständigkeit]] des [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweiges]] des [[Logarithmus]]. == Äquivalenzklassenaddition == Um die aus der reellen Analysis bekannten Rechenregeln auf Logarithmen in den komplexen Zahlen verwenden zu können werden Äquivalenzklassen verwendet. Die Struktur und Gültigkeit der Rechenregeln wird in diesem Teil der Lerneinheit genauer untersucht. === komplexe Logarithmus als Lösungsmenge === Der komplexe Äquivalenzklassen-Logarithmus von <math> z </math> bildet nicht auf ein Element in <math>\mathbb{C}</math> ab, sondern auf ein Teilmenge von <math>\mathbb{C}</math>. Dies führt im weiteren Verlauf der Lehrveranstaltung zum Begriff des [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarithmus]]. Sei <math>w \in \mathbb{C}</math> beliebig gewählt, dann definiert man <math>w_0 := w - \mathrm{logmod}(w)\cdot 2\pi i \in \mathbb{D}_1</math> als Repräsentant der [[logmod-Äquivalenzklassen|Äquivalenzklasse]] <math> [w]_0</math>. :<math> \mathrm{lnr}_1(z) := \{ w \in \mathbb{C} \mid \exp(w) = z \} = [w]_0 </math> für ein beliebiges <math> w_0 \in \mathbb{D}_1 := \mathbb{R}+ i\cdot [0,2\pi)</math> mit <math> \exp(w_0) = z </math>. ==== Beispiel 1 - Neutrales Element für Äquivalenklassenaddition ==== Algebraisch wird später <math>\mathbb{D}_1</math> mit einer inneren Verknüpfung <math>\oplus</math> zu einer kommunitative Gruppe. Daher wird das [[w:de:neutrales Element|neutrale Element]] von <math>\oplus</math> als Beispieläquivalenzklasse genannt und in Beziehung zum Logarithmus gesetzt. Für <math> z = 1 </math> ist der komplexe rekursive Logarithmus :<math> \mathrm{lnr}_1(1) = \{ 2\pi i k \, : \, k \in \mathbb{Z} \} = [0]_0 </math> ==== Beispiel 2 - Logarithmus der imaginären Einheit ==== Da zunächst die [[rekursiver Logarithmus|rekursive komplexe Logarithmen]] von elementaren komplexen Zahlen genannt. Wählt man <math> z = i </math> so gilt <math> \exp\left(i \tfrac{\pi}{2}\right) = i </math> und <math>i\tfrac{\pi}{2} \in \mathbb{D}_1</math>. Bildet man nun den von [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarithmus]] von <math> z = i </math> erhält man: :<math> \mathrm{lnr}_1(i) = \left\{ i \left( \frac{\pi}{2} + 2\pi k \right) \mid k \in \mathbb{Z} \right\} = \left[ i \frac{\pi}{2} \right]_0 </math> ==== Beispiel 3 - rekursiver Logarithmus von -1 ==== Ablschießend wird auch noch der [[rekursiver Logarithmus|rekursive komplexe Logarithmen]] von <math> z = -1 </math> genannt. Wegen <math> \exp\left(i \pi \right) = -1 </math> und <math>i \pi \in \mathbb{D}_1=\mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi) </math> erhält man: :<math> \mathrm{lnr}_1(-1) = \left\{ i \left( \pi + 2\pi k \right) \mid k \in \mathbb{Z} \right\} = \left[ i \pi \right]_0 </math> === Repräsentantensystem === Um einen eindeutigen Funktionswert als Äquivalenzklasse zu erhalten, wählt man eine spezielles Repräsentantensystem <math>\mathbb{D}_1:= \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi) \subset \mathbb{C}</math> um alle Äquivalenzklassen darstellen zu können. Dabei wird die [[logmod-Funktion]] verwendet, um für eine beliebige komplexe Zahl <math>w\in \mathbb{C}</math> die zugehörigen Repräsentanten <math>w_0 \in\mathbb{D}_1</math> über <math> w_0 = w - 2\pi i \cdot \mathrm{logmod}(w)</math> zu bestimmen. <span id="Definition"> === Definition - logmod-Äquivalenzklassenaddition === Für <math> z_1,z_2 \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> und <math>w_1,w_2 \in\mathbb{D}_1</math> gelte <math>\exp(z_1)=w_1</math> und <math>\exp(z_2)=w_2</math>. Man definiert nun die Äquivalenzklassenaddition <math>(\mathbb{D}_1,\oplus)</math> wie folgt. :<math> [w_1]_0 \oplus [w_2]_0 := [w_1 + w_2]_0 </math> ==== Bemerkung - Repräsentant der Äquivalenzklasse ==== Der Repräsentant <math>w_1 + w_2 </math> der Äquivalenzklasse wobei <math>[w_1 + w_2]_0 </math> liegt nicht notwendigerweise auch in <math>\mathbb{D}_1</math>, was das folgende Beispiel zeigt. ==== Beispiel - Repräsentant bei additiver Verknüpfung ==== Wählt man <math> z_1 = z_2 = -i </math>, so erhält man <math> w_1 = w_2 = \tfrac{3}{2}\pi i \in \mathbb{D}_1 </math> und es gilt <math> w_1 + w_2 = 3\pi i \notin \mathbb{D}_1 </math>. Möchte man den zugehörigen Repräsentanten aus <math>\mathbb{D}_1 </math> bestimmen, verwendet man wieder die [[logmod-Funktion]]: :<math> [w_1]_0 \oplus [w_2]_0 = [w_1 + w_2]_0 = [w]_0 </math> mit <math> w = w_1+w_2 - 2\pi i \cdot \mathrm{logmod}(w_1+w_2)</math> ==== Bemerkung - Notation ==== Für die Addition <math>\oplus</math> der [[logmod-Äquivalenzklassen]] wird zur Abgrenzung zu additiven Verknüpfung in <math>+</math> in <math>\mathbb{C}</math> das Symbol <math>\oplus</math> verwendet. :<math> \left[ 1+\frac{3}{2}\pi i \right]_0 \oplus \left[5+\frac{1}{2}\pi i \right]_0 = \left[ \left(1+\frac{3}{2}\pi i\right) + \left(5+\frac{1}{2}\pi i\right) \right]_0 = [6+2\pi i]_0 = [6]_0 </math> Im linken Term werden zwei Äquivalenzklassen addiert (daher <math>\oplus</math>) und in den beiden rechten Termen ist das Standardaddition in den komplexen Zahlen. == Rechenregeln für Äquivalenzklassen == Zunächst einmal muss man kurz die Repräsentantenunabhängigkeit der Äquivalenzklassenaddition auf <math>[\mathbb{D}_1]_0</math> überprüfen. Dabei ist <math>\oplus</math> eine innere Verknüpfung auf <math>[\mathbb{D}_1]_0</math> der Form: :<math> \begin{array}{rrcl} f: & [\mathbb{D}_1]_0 \times [\mathbb{D}_1]_0 & \rightarrow & [\mathbb{D}_1]_0\\ & \left( [w_1]_0,[w_2]_0 \right) & \mapsto & [w_1]_0 \oplus [w_2]_0 = [w_1+w_2]_0 = \\ & & & \bigg[\, \underbrace{w_1+w_2 - \mathrm{logmod}(w_1+w_2) \cdot 2\pi i}_{\in \mathbb{D}_1}\,\bigg]_0 \end{array} </math> Dabei beschreibt <math>[\mathbb{D}_1]_0 = \{ [w]_0 \, \colon \, w\in \mathbb{D}_1 \}</math> die Menge aller [[logmod-Äquivalenzklassen]] mit dem Repräsentantensystem <math>\mathbb{D}_1</math>. <hr> <span id="Repraesentantenunabhaengigkeit"></span> === Lemma zur Repräsentantenunabhängigkeit === Die innere additive Verknüpfung <math> ([\mathbb{D}_1]_0 , \oplus)</math> auf den [[logmod-Äquivalenzklassen]] ist repräsentantenunabhängig. === Beweis - Lemma zur Repräsentantenunabhängigkeit === Die Beweisidee der Repräsentantenunabhängigkeit beruht auf der Auswahl von zwei beliebigen unterschiedlichen Repräsentanten <math>w_1</math> und <math>\widehat{w_1}</math> bzw. <math>w_2</math> und <math>\widehat{w_2}</math> und man zeigt dann die Addition mit <math>\oplus</math> für die [[logmod-Äquivalenzklassen]] die gleiche Äquivalenzklasse <math>[w_1+w_2]_0=[\widehat{w_1}+\widehat{w_2}]_0</math> liefert. ==== Beweisschritt 1 - Wahl der Repräsentanten ==== Seien <math>w_1,w_2 \in \mathbb{D}_1</math> und <math>k_1, k_2 \in \mathbb{Z}</math> beliebig gewählt, dann sind <math>\widehat{w_1}=2\pi i\cdot k_1 </math> und <math>\widehat{w_2}=2\pi i\cdot k_2 </math> weitere Repräsentanten der [[logmod-Äquivalenzklassen]] <math>[w_1]_0,[w_2]_0 \in [\mathbb{D}_1]_0</math> und es gilt: :<math> [w_1]_0 = [\widehat{w_1}]_0 \quad [w_2]_0 = [\widehat{w_2}]_0 </math> ==== Beweisschritt 2 - Definition der Addition anwenden ==== Nach Definition der Addition von [[logmod-Äquivalenzklassen]] gilt: :<math> \begin{array}{rcl} [\widehat{w_1}]_0 \oplus [\widehat{w_1}]_0 & = & [\widehat{w_1} + \widehat{w_1}]_0 \\ & = & [w_1+w_2+ (k_1+k_2)\cdot 2\pi i]_0 = [w_1+w_2]_0 \\ \end{array} </math> Damit ist die Addition von [[logmod-Äquivalenzklassen]] repräsentantenunabhängig. <math>\quad \Box</math> ==== Bemerkung - Exponentialfunktion und Zweige des Logarithmus ==== Sei <math>G\subset \mathbb{C}</math> ein [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängendes]] [[Gebiet (Mathematik)| Gebiet]] mit <math>0\notin G</math> und <math>w_0\in \mathbb{D}_1</math> und <math> \exp(w_0)=z_0</math> für ein mit <math>z_0 \in G \subset \mathbb{C}\setminus \{0\}</math>. Durch die Festlegung von <math>\log_G(z_0)=w_0</math> ist der Zweig <math>\log_{G}</math> als [[generalisierter Logarithmus]] bereits auf ganz <math>G</math> definiert (siehe [[Identitätssatz]] und <math>\exp(\log_G(z)) = z</math>). Bei der [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus|algebraischen Vervollständigung des Zweiges eines Logarithmus]] verliert man die Eigenschaft der [[holomorphe Funktion|Holomorphie]] und sogar der [[Stetigkeit]]. Sei Man muss daher [[Zweige des Logarithmus]] von der Definition eine [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarthmus]] trennen. * <math> \exp(\log_G(z)) = z </math> für alle <math> z \in G \subset \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> * <math> \log_G(\exp(w)) = z+2\pi i \cdot k </math> für <math> w \in \mathbb{C} </math> und ein existierendes <math>k\in \mathbb{Z} </math> für <math>w</math>. ==== Äquivalenzklassen als Wertebereich ==== Der rekursive Logarithmus <math> \mathrm{lnr}_1(z) = [w]_0</math> liefert als Funktionswert '''keine Zahl''', sondern eine '''Äquivalenzklasse'''. Diese ist selbst ein Element der [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelschen Sigma-Algebra]] <math>\mathcal{B}(\mathbb{C})</math> als abzählbare Vereingigung von Einpunktmenge der Form <math>w+k\cdot 2\pi i</math> mit <math>k\in \mathbb{Z} </math> . === Multiplikation von Äquivalenzklassen === Für <math> z_1, z_2 \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> und <math>w_1,w_2 \in \mathbb{D}_1</math> gelte <math>\exp(w_1)=z_1</math> und <math>\exp(w_2)=z_2</math>. Ferner werden zwei beliebige weitere Repräsentanten <math>\widehat{w_1}=w_1 + 2\pi i\cdot k_1 </math> und <math>\widehat{w_2}=w_2 + 2\pi i\cdot k_2 </math> mit <math>k_1, k_2 \in \mathbb{Z}</math> der [[logmod-Äquivalenzklassen]] <math>[w_1]_0,[w_2]_0 \in [\mathbb{D}_1]_0</math> gewählt. Es gilt damit: :<math> [w_1]_0 = [\widehat{w_1}]_0 \quad [w_2]_0 = [\widehat{w_2}]_0 </math>: Man untersucht nun die Multiplikation bzgl. der [[logmod-Äquivalenzklassen]]. === Multiplikation und Exponentialfunktion === Es gilt nach Voraussetzung <math>\exp(w_1)= \exp(\widehat{w_1})</math> und <math>\exp(w_2)= \exp(\widehat{w_2})</math> wegen imaginäre Periodizität bzgl. <math>2\pi i</math>. Man erhält daher folgende Gleichung: :<math> \exp(w_1+w_2) = \underbrace{\exp(w_1)}_{=z_1} \cdot \underbrace{\exp(w_2)}_{=z_2}= \underbrace{\exp(\widehat{w_1})}_{=z_1} \cdot \underbrace{\exp(\widehat{w_2})}_{=z_2} = \exp(\widehat{w_1}+\widehat{w_2}) </math> Dabei wurde <math>w_1 = \log_G(z_1)</math> und <math>w_2 = \log_G(z_2)</math> über einen [[generalisierter Logarithmus|generalisierten Logarithmus]] <math>\log_G</math> auf einem [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebiet <math>G</math> mit <math>0\notin G</math> bestimmt. ==== Anwendung auf den generalisierte Logarithmus ==== Mit den Vorüberlegungen bzgl. Exponentialfunktion gilt für den [[generalisierter Logarithmus|generalisierten Logarithmus]] <math>\log_G</math> folgende Eigenschaft mit geeignet gewähltem <math>k\in \mathbb{Z}</math>: :<math> \log_G(z_1 \cdot z_2) = \log_G(z_1) + \log_G(z_2) + k\cdot 2\pi i </math> Dabei kann <math>k\in \mathbb{Z}</math> über die [[logmod-Funktion]] mit <math>k=\mathrm{logmod}(z_1 \cdot z_2)</math> bestimmt werden. ==== Anwendung auf logmod-Äquivalenklassen ==== Da für die Summe zweier Äquivalenzklassen folgende Eigenschaft gilt, erhält man für <math>\exp(w) = z_1\cdot z_2</math> die [[logmod-Äquivalenzklassen]]gleichung: :<math> [w_1]_0 + [w_2]_0 = [w_1 + w_2]_0 = [w]_0 </math> Der [[rekursiver Logarithmus|rekursive Logarithmus]] erfüllt die Rechengesetze analog zu den [[Logarithmus|Logarithmusgesetzen]] in <math>\mathbb{R}</math>. :<math> \underbrace{\mathrm{lnr}_1(z_1\cdot z_2)}_{=[w]_0} = \underbrace{\mathrm{lnr}_1(z_1)}_{=[w_1]_0} + \underbrace{\mathrm{lnr}_1(z_2)}_{=[w_2]_0} = [w_1 + w_2]_0 </math> ==== Beispiel - Multiplikation der Log-Argumente==== Wählt man <math> z_1 = i = z_2 </math> so gilt <math> z_1 \cdot z_2 = -1 </math>. Für den rekursiven Logarithmus gilt dann: :<math> \mathrm{lnr_1}(i) = \left[ i \frac{\pi}{2} \right]_0 \quad \mathrm{lnr_1}(-1)=\mathrm{lnr_1}(i\cdot i) = \underbrace{\mathrm{lnr_1}(i)}_{=\left[ i \frac{\pi}{2} \right]_0} + \underbrace{\mathrm{lnr_1}(i)}_{=\left[ i \frac{\pi}{2} \right]_0} = [i\pi]_0 </math> === Potenzen und Logarithmus === Für <math> z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math>, <math>a\in \mathbb{C}</math> und <math>w, w_a \in \mathbb{D}_1</math> mit der Eigenschaft <math>\exp(w)=z</math> und <math>\exp(w_a)=z^a = \exp(w)^a</math>. Ferner werden zwei beliebige weitere Repräsentanten <math>\widehat{w}=w + 2\pi i\cdot k </math> und <math>\widehat{w_a}=w_a + 2\pi i\cdot k_a </math> mit <math>k, k_a \in \mathbb{Z}</math> der [[logmod-Äquivalenzklassen]] <math>[w]_0,[w_a]_0 \in [\mathbb{D}_1]_0</math> gewählt. Es gilt damit: :<math> \log_G(z^a) = a \cdot \log_G(z) + 2\pi i \cdot k \quad \text{für ein } k \in \mathbb{Z} </math> ==== Exponentialfunktion und Eulersche Formel ==== Stell man <math>a=a_1+ia_2\in \mathbb{C}</math> dar und wendet man die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] an, gilt die folgende Eigenschaft mit <math>w=w_1+iw_2\in \mathbb{C}</math>: :<math> z = e^{\log_G(z)} \quad z^a := e^{\log_G(z)\cdot a} = e^{\overbrace{(w_1+iw_2)}^{=w}\cdot \overbrace{(a_1+i\cdot a_2)}^{=a}} = e^{(w_1a_1-w_2a_2) + i\cdot (w_2a_1+w_1a_2)} </math> Durch Anwendung der [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] auf den rechten Term erhält man: :<math> z^a = \underbrace{e^{w_1a_1-w_2a_2}}_{=|z^a|} \cdot \big( \cos(w_2a_1+w_1a_2)+ i\cdot \sin(w_2a_1+w_1a_2) \big) </math> ==== Darstellung als Äquivalenzklassen ==== In der Äquivalenzklassen-Sicht gilt: :<math> a \cdot [w]_0 := [a \cdot w]_0 > \log(z^a) = a \cdot \log(z) > </math> > wobei die Multiplikation einer Äquivalenzklasse mit einer komplexen Zahl definiert ist als: > :<math> > a \cdot [w]_0 := [a w]_0 > </math> > '''Beispiel:''' > <math> z = i </math>, <math> a = 2 </math> → <math> z^a = -1 </math> > <math> \log(z^a) = \log(-1) = [i\pi]_0 </math> > <math> a \cdot \log(z) = 2 \cdot [i \pi/2]_0 = [i\pi]_0 </math> → stimmt. --- === (4) Addition von Logarithmen === :<math> \log(z_1) + \log(z_2) = \log(z_1 z_2) </math> > '''Achtung:''' Dies ist '''nicht''' immer wahr, wenn man '''nicht''' mit Äquivalenzklassen arbeitet! > Aber '''in der Klassen-Sicht''' ist es '''richtig'''. > '''Warum?''' Weil die Addition von Klassen kommutativ und assoziativ ist. --- == 7. Zusammenhang mit Logarithmenzweigen == Ein '''Logarithmenzweig''' ist eine '''stetige Auswahl''' von Werten aus <math> \log(z) </math>, d. h. eine Funktion <math> L: G \to \mathbb{C} </math>, sodass <math> \exp(L(z)) = z </math> und <math> L </math> stetig auf einem Gebiet <math> G \subseteq \mathbb{C} \setminus \{0\} </math>. > '''Beispiel:''' > Der '''Hauptzweig''' <math> \text{Log}(z) </math> ist ein Logarithmenzweig auf <math> \mathbb{C} \setminus (-\infty, 0] </math>. > '''Jeder Logarithmenzweig''' <math> L </math> wählt '''einen Repräsentanten''' aus jeder Äquivalenzklasse <math> [w]_0 </math>, nämlich <math> L(z) \in [w]_0 </math>. > '''Zusammenhang:''' > Die Menge aller Logarithmenzweige entspricht '''der Wahl einer Schnittlinie''' (Branch Cut), die verhindert, dass man um den Ursprung herumwandert und die Klasse wechselt. --- == 8. Zusammenfassung: Struktur der Logarithmen == | Konzept | Beschreibung | |--------|--------------| | '''Äquivalenzklasse''' <math> [w]_0 </math> | Menge aller <math> w + 2\pi i k </math>, <math> k \in \mathbb{Z} </math> | | '''Logarithmus von <math> z </math>''' | <math> \log(z) = [w]_0 </math>, wobei <math> \exp(w) = z </math> | | '''Hauptzweig''' | <math> \text{Log}(z) \in \log(z) </math>, mit <math> \text{Arg}(z) \in (-\pi, \pi] </math> | | '''Rechenregeln''' | <math> \log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2) </math>, <math> \log(z^a) = a \cdot \log(z) </math> (in Klassen) | | '''Exponentialfunktion''' | <math> \exp(\log(z)) = z </math>, <math> \log(\exp(w)) = [w]_0 </math> | --- == 9. Übungsaufgaben == 1. Zeige, dass <math> \log(-1) = [i\pi]_0 </math>. 2. Berechne <math> \log(i) + \log(i) </math> und vergleiche mit <math> \log(-1) </math>. 3. Zeige, dass <math> \log(z^2) = 2 \log(z) </math> in der Klassen-Sicht gilt. 4. Warum ist <math> \log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2) </math> '''nicht''' immer wahr, wenn man nur Zahlen verwendet? 5. Definiere einen anderen Logarithmenzweig auf <math> \mathbb{C} \setminus [0, \infty) </math>, der <math> \log(z) \in [i \cdot 0]_0 </math> für <math> z = 1 </math> wählt. --- == Lernziel == Du kannst: * den komplexen Logarithmus als '''Äquivalenzklasse''' verstehen, * die '''Rechenregeln''' für Logarithmen in der Klassen-Sicht korrekt anwenden, * den Zusammenhang zwischen '''Exponentialfunktion''', '''Logarithmenzweigen''' und '''Äquivalenzklassen''' erklären, * die '''Mehrdeutigkeit''' des Logarithmus strukturiert darstellen. --- '''Ende der Lerneinheit''' > '''Zusammenfassungssatz:''' > *Der komplexe Logarithmus von <math> z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> ist die Äquivalenzklasse <math> [w]_0 </math>, wobei <math> \exp(w) = z </math>. Diese Klasse ist genau die Menge aller Lösungen von <math> \exp(w) = z </math>. Alle Rechenregeln gelten in der Klassen-Sicht: <math> \log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2) </math>, <math> \log(z^a) = a \cdot \log(z) </math>, und <math> \exp(\log(z)) = z </math>.* == Siehe auch == * [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus]] * [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexer Logarithmus]] * [[logmod-Äquivalenzklassen]] * [[logmod-Funktion]] * [[negativer Hauptzweig des Logarithmus]] 73xzfbcrep22l8uczpy1lhwz8oz1j52 1116211 1116210 2026-10-15T14:15:05Z Bert Niehaus 20843 /* Potenzen und Logarithmus */ 1116211 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Lerneinheit zu [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmen]] beschäftigt sich Äquivalenzklassen, deren Struktur und Rechenregeln, die durch den Zusammenhang mit der Exponentialfunktion und deren imaginärer <math>2\pi i</math>-Periodizität entsteht. Die Äquivalenzklassen helfen dabei, [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen#Rechenregeln|Rechenregeln]] aus den reellen Zahl für den [[Logarithmus]] auf den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexen Logarithmus]] bzw. deren Zweige zu übertragen. Die [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus]] spielt dabei bijektive Abbildungen eine besondere Rolle. === Periodizität der Exponentialfunktion === Der komplexe Logarithmus kann nicht eindeutig als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion <math> \exp: \mathbb{C} \to \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> festgelegt werden, da u.a. die Exponentialfunktion nicht injektiv ist und ein [[Zweig des Logarithmus]] von der Wahl des [[einfach zusammenhängend]]en Gebietes abhängt, auf dem der Logarithmus definiert ist. Es gilt für [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]]: :<math> \exp(w + 2\pi i) = \exp(w) = z\quad \text{für alle } w \in \mathbb{C} </math> Daher gibt es unendlich viele komplexe Zahlen <math> w </math>, die auf dieselbe Zahl <math> z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> abgebildet werden. Diese Mehrdeutigkeit ist die Motivation, um Äquivalenzklassen zu bilden. === Behandelt Aspekte in der Lerneinheit === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen#logmod_Aequivalenzlemma|LogMod-Äquivalenzklassenlemma]]:''' Beziehung Exponentialfunktion und Zweigen des Logarithmus * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen#Repraesentantenunabhaengigkeit|Repräsentantenunabhängigkeit]]''' für die Addition von [[logmod-Äquivalenzklassen]] == Äquivalenzklassen des Logarithmus == Um Äquivalenzklassen zu bilden, benötigt man eine Äquivalenzrelation als Teilmenge von <math>\mathbb{C}\times \mathbb{C} </math>, die zwei Elemente <math> w_1, w_2 \in \mathbb{C} </math>, wenn deren Differenz ein ganzzahliges Vielfaches von <math>2\pi i</math> ist. === Definition - logmod-Äquivalenzrelation === Zwei komplexe Zahlen <math> w_1, w_2 \in \mathbb{C} </math> heißen logmod-äquivalent modulo <math> 2\pi i </math>, wenn gilt: :<math> w_1 - w_2 \in 2\pi i \cdot \mathbb{Z} := \{w\in \mathbb{C} \, : \, w=2\pi i \cdot k \mbox{ und } k\in \mathbb{Z} \} </math> Formal notiert man diese Äquivalenz wie folgt: :<math> w_1 \equiv w_2 \ \mathrm{logmod}\ {2\pi i} </math> ==== Aufgabe für Studierende ==== Zeigen Sie, dass diese Relation eine ''Äquivalenzrelation'' ist, d.h. die [[logmod-Funktion|logmod-Relation]] ist [[w:de:Äquivalenzrelation|reflexiv, symmetrisch und transitiv]]. === Definition - logmod-Äquivalenzklasse === Für eine komplexe Zahl <math> w \in \mathbb{C} </math> ist die Äquivalenzklasse definiert als: :<math> [w]_0 := \{ w + 2\pi i k \mid k \in \mathbb{Z} \} </math> ==== Bezeichnung - Äquivalenzklassenindex==== Die Indexierung mit <math> _0 </math> deutet an, dass dies diese Äquivalenzklasse ohne Logarithmierung in <math>\mathbb{C}</math> gebildet wurde. Bildet man rekursiv höhere Logarithmen als Verkettung entstehen Äquivalenzklassen <math>[w]_n</math>, wobei <math>n</math>-fach rekursiv der Logarithmus verkettet wird, falls dieser existiert. == Verbindung mit der Exponentialfunktion == Da die Exponentialfunktion im Imaginärteil des Arguments eine Periodizität von <math>2\pi i</math> besitzt, entsprechen Äquivalenzklassen <math>[w]_0</math> entsprechen einem Bildpunkt <math>z=e^w</math>. Dieser Verbindung zwischen Exponentialfunktion und Logarithmus wird durch das LogMod-Äquivalenzklassenlemma festgehalten. <span id="logmod_Aequivalenzlemma"></span> === LogMod-Äquivalenzklassenlemma === Sei <math>w\in\mathbb{C} \setminus \{0\} </math> mit <math>\mathrm{logmod}(w) = 0</math> gegeben. Für eine feste komplexe Zahl <math> z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> gilt folgende Äquivalenzaussage: :<math> \exp(\widehat{w}) = z \quad \text{für alle } \widehat{w} \in [w]_0 </math> genau dann, wenn <math> \exp(w) = z </math>. === Beweis - LogMod-Äquivalenzlemma === Für <math> w\in \mathbb{D}_1 := \mathbb{R}\times i\cdot [0,2\pi)</math> gelte <math>\exp(w)=z</math>. Das LogMod-Äquivalenzlemma ist eine Äquivalenzaussage. Daher werden zwei Beweisrichtungen gezeigt: \mbox{} <math display="block"> \begin{array}{llcl} \mbox{ (LML1) } & \exp(\widehat{w}) = z & \quad \Longrightarrow \quad & \widehat{w} \in [w]_0 \\ \mbox{ (LML2) } & \widehat{w} \in [w]_0 & \quad \Longrightarrow \quad & \exp(\widehat{w}) = z \\ \end{array} </math> ==== Schritt 1 - Beweisrichtung LML1 ==== Sei <math> \widehat{w} \in \mathbb{C} </math> mit <math> \exp(\widehat{w}) = z </math> beliebig gewählt. Dann gilt mit der Voraussetzung <math> \exp(w) = z \not= 0</math> und Potenzgesetzen: :<math> 1 = \frac{z}{z} = \frac{\widehat{w}}{\exp(\exp(w))} = \exp(\widehat{w}-w) </math> Die Gleichung <math>1 = \exp(\widehat{w}-w)</math> gilt genau dann, wenn <math> w-\widehat{w} = 2\pi i \cdot k</math> mit <math>k \in \mathbb{Z}</math>. ==== Schritt 2 - Beweisrichtung LML1 ==== Damit gilt auch <math> w = \widehat{w} + 2\pi i \cdot k </math>. Die ganze Zahl <math> k\in \mathbb{Z} </math> ist durch die [[logmod-Funktion]] und es gilt <math>k= \mathrm{logmod}(\widehat{w})</math>, da <math> w\in \mathbb{D}_1 = \mathbb{R} + i\cdot [0,2\pi) </math> nach Voraussetzung gilt und man erhält <math>\widehat{w} \in [w]_0</math>. ==== Schritt 3 - Äquivalenzklasse gegeben LML2 ==== Sei umgekehrt <math>\widehat{w} \in [w]_0</math> gegeben. Dann gibt es nach Definition der Äquivalenzklasse ein <math> k := logmod(\widehat{w})\in \mathbb{Z} </math> mit der Eigenschaft <math>\widehat{w}:= w + 2\pi i k</math>. Nun wen man diese Darstellung von <math>\widehat{w}</math> auf die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] an und verwendet Periodizität <math>\exp</math> bzgl. <math>2\pi i</math> und erhält: :<math> \exp(\widehat{w}) = \exp(w + 2\pi i k) = \exp(w) \cdot \exp(2\pi i k) = z \cdot 1 = z </math> ==== Schritt 4 - LML2 ==== Da <math>\widehat{w} \in [w]_0</math> beliebig gewählt wurde, gilt für alle <math> \widehat{w} \in [w]_0 </math> die Eigenschaft <math> \exp(\widehat{w}) = z </math> und zusammen mit LML1 gilt die Äquivalenzaussage aus dem Lemma <math>\quad \Box</math>. === Folgerung - LogMod-Äquivalenzklassenlemma ==== Fasst man zu einem gegebenen <math>z\in \mathbb{C}\setminus\{0\}</math> die Menge alle komplexen Zahlen <math> \widehat{w} \in \mathbb{C} </math> zu einer Menge zusammen, die die Eigenschaft <math> \exp(\widehat{w}) = z </math> erfüllen, so erhält man die Äquivalenzklasse <math> [w]_0 </math>, wobei <math> w </math> eine beliebige Lösung von <math> \exp(w) = z </math> ist. ==== Bemerkung - LogMod-Äquivalenzklassenlemma ==== Für die Äquivalenzklassenanalyse spielt das Repräsentatensystem <math>\mathbb{D}_1= \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi)</math> eine besondere Rolle. DasRepräsentatensystem <math>\mathbb{D}_1</math> entsteht durch [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus|algebraische Vervollständigkeit]] des [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweiges]] des [[Logarithmus]]. == Äquivalenzklassenaddition == Um die aus der reellen Analysis bekannten Rechenregeln auf Logarithmen in den komplexen Zahlen verwenden zu können werden Äquivalenzklassen verwendet. Die Struktur und Gültigkeit der Rechenregeln wird in diesem Teil der Lerneinheit genauer untersucht. === komplexe Logarithmus als Lösungsmenge === Der komplexe Äquivalenzklassen-Logarithmus von <math> z </math> bildet nicht auf ein Element in <math>\mathbb{C}</math> ab, sondern auf ein Teilmenge von <math>\mathbb{C}</math>. Dies führt im weiteren Verlauf der Lehrveranstaltung zum Begriff des [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarithmus]]. Sei <math>w \in \mathbb{C}</math> beliebig gewählt, dann definiert man <math>w_0 := w - \mathrm{logmod}(w)\cdot 2\pi i \in \mathbb{D}_1</math> als Repräsentant der [[logmod-Äquivalenzklassen|Äquivalenzklasse]] <math> [w]_0</math>. :<math> \mathrm{lnr}_1(z) := \{ w \in \mathbb{C} \mid \exp(w) = z \} = [w]_0 </math> für ein beliebiges <math> w_0 \in \mathbb{D}_1 := \mathbb{R}+ i\cdot [0,2\pi)</math> mit <math> \exp(w_0) = z </math>. ==== Beispiel 1 - Neutrales Element für Äquivalenklassenaddition ==== Algebraisch wird später <math>\mathbb{D}_1</math> mit einer inneren Verknüpfung <math>\oplus</math> zu einer kommunitative Gruppe. Daher wird das [[w:de:neutrales Element|neutrale Element]] von <math>\oplus</math> als Beispieläquivalenzklasse genannt und in Beziehung zum Logarithmus gesetzt. Für <math> z = 1 </math> ist der komplexe rekursive Logarithmus :<math> \mathrm{lnr}_1(1) = \{ 2\pi i k \, : \, k \in \mathbb{Z} \} = [0]_0 </math> ==== Beispiel 2 - Logarithmus der imaginären Einheit ==== Da zunächst die [[rekursiver Logarithmus|rekursive komplexe Logarithmen]] von elementaren komplexen Zahlen genannt. Wählt man <math> z = i </math> so gilt <math> \exp\left(i \tfrac{\pi}{2}\right) = i </math> und <math>i\tfrac{\pi}{2} \in \mathbb{D}_1</math>. Bildet man nun den von [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarithmus]] von <math> z = i </math> erhält man: :<math> \mathrm{lnr}_1(i) = \left\{ i \left( \frac{\pi}{2} + 2\pi k \right) \mid k \in \mathbb{Z} \right\} = \left[ i \frac{\pi}{2} \right]_0 </math> ==== Beispiel 3 - rekursiver Logarithmus von -1 ==== Ablschießend wird auch noch der [[rekursiver Logarithmus|rekursive komplexe Logarithmen]] von <math> z = -1 </math> genannt. Wegen <math> \exp\left(i \pi \right) = -1 </math> und <math>i \pi \in \mathbb{D}_1=\mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi) </math> erhält man: :<math> \mathrm{lnr}_1(-1) = \left\{ i \left( \pi + 2\pi k \right) \mid k \in \mathbb{Z} \right\} = \left[ i \pi \right]_0 </math> === Repräsentantensystem === Um einen eindeutigen Funktionswert als Äquivalenzklasse zu erhalten, wählt man eine spezielles Repräsentantensystem <math>\mathbb{D}_1:= \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi) \subset \mathbb{C}</math> um alle Äquivalenzklassen darstellen zu können. Dabei wird die [[logmod-Funktion]] verwendet, um für eine beliebige komplexe Zahl <math>w\in \mathbb{C}</math> die zugehörigen Repräsentanten <math>w_0 \in\mathbb{D}_1</math> über <math> w_0 = w - 2\pi i \cdot \mathrm{logmod}(w)</math> zu bestimmen. <span id="Definition"> === Definition - logmod-Äquivalenzklassenaddition === Für <math> z_1,z_2 \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> und <math>w_1,w_2 \in\mathbb{D}_1</math> gelte <math>\exp(z_1)=w_1</math> und <math>\exp(z_2)=w_2</math>. Man definiert nun die Äquivalenzklassenaddition <math>(\mathbb{D}_1,\oplus)</math> wie folgt. :<math> [w_1]_0 \oplus [w_2]_0 := [w_1 + w_2]_0 </math> ==== Bemerkung - Repräsentant der Äquivalenzklasse ==== Der Repräsentant <math>w_1 + w_2 </math> der Äquivalenzklasse wobei <math>[w_1 + w_2]_0 </math> liegt nicht notwendigerweise auch in <math>\mathbb{D}_1</math>, was das folgende Beispiel zeigt. ==== Beispiel - Repräsentant bei additiver Verknüpfung ==== Wählt man <math> z_1 = z_2 = -i </math>, so erhält man <math> w_1 = w_2 = \tfrac{3}{2}\pi i \in \mathbb{D}_1 </math> und es gilt <math> w_1 + w_2 = 3\pi i \notin \mathbb{D}_1 </math>. Möchte man den zugehörigen Repräsentanten aus <math>\mathbb{D}_1 </math> bestimmen, verwendet man wieder die [[logmod-Funktion]]: :<math> [w_1]_0 \oplus [w_2]_0 = [w_1 + w_2]_0 = [w]_0 </math> mit <math> w = w_1+w_2 - 2\pi i \cdot \mathrm{logmod}(w_1+w_2)</math> ==== Bemerkung - Notation ==== Für die Addition <math>\oplus</math> der [[logmod-Äquivalenzklassen]] wird zur Abgrenzung zu additiven Verknüpfung in <math>+</math> in <math>\mathbb{C}</math> das Symbol <math>\oplus</math> verwendet. :<math> \left[ 1+\frac{3}{2}\pi i \right]_0 \oplus \left[5+\frac{1}{2}\pi i \right]_0 = \left[ \left(1+\frac{3}{2}\pi i\right) + \left(5+\frac{1}{2}\pi i\right) \right]_0 = [6+2\pi i]_0 = [6]_0 </math> Im linken Term werden zwei Äquivalenzklassen addiert (daher <math>\oplus</math>) und in den beiden rechten Termen ist das Standardaddition in den komplexen Zahlen. == Rechenregeln für Äquivalenzklassen == Zunächst einmal muss man kurz die Repräsentantenunabhängigkeit der Äquivalenzklassenaddition auf <math>[\mathbb{D}_1]_0</math> überprüfen. Dabei ist <math>\oplus</math> eine innere Verknüpfung auf <math>[\mathbb{D}_1]_0</math> der Form: :<math> \begin{array}{rrcl} f: & [\mathbb{D}_1]_0 \times [\mathbb{D}_1]_0 & \rightarrow & [\mathbb{D}_1]_0\\ & \left( [w_1]_0,[w_2]_0 \right) & \mapsto & [w_1]_0 \oplus [w_2]_0 = [w_1+w_2]_0 = \\ & & & \bigg[\, \underbrace{w_1+w_2 - \mathrm{logmod}(w_1+w_2) \cdot 2\pi i}_{\in \mathbb{D}_1}\,\bigg]_0 \end{array} </math> Dabei beschreibt <math>[\mathbb{D}_1]_0 = \{ [w]_0 \, \colon \, w\in \mathbb{D}_1 \}</math> die Menge aller [[logmod-Äquivalenzklassen]] mit dem Repräsentantensystem <math>\mathbb{D}_1</math>. <hr> <span id="Repraesentantenunabhaengigkeit"></span> === Lemma zur Repräsentantenunabhängigkeit === Die innere additive Verknüpfung <math> ([\mathbb{D}_1]_0 , \oplus)</math> auf den [[logmod-Äquivalenzklassen]] ist repräsentantenunabhängig. === Beweis - Lemma zur Repräsentantenunabhängigkeit === Die Beweisidee der Repräsentantenunabhängigkeit beruht auf der Auswahl von zwei beliebigen unterschiedlichen Repräsentanten <math>w_1</math> und <math>\widehat{w_1}</math> bzw. <math>w_2</math> und <math>\widehat{w_2}</math> und man zeigt dann die Addition mit <math>\oplus</math> für die [[logmod-Äquivalenzklassen]] die gleiche Äquivalenzklasse <math>[w_1+w_2]_0=[\widehat{w_1}+\widehat{w_2}]_0</math> liefert. ==== Beweisschritt 1 - Wahl der Repräsentanten ==== Seien <math>w_1,w_2 \in \mathbb{D}_1</math> und <math>k_1, k_2 \in \mathbb{Z}</math> beliebig gewählt, dann sind <math>\widehat{w_1}=2\pi i\cdot k_1 </math> und <math>\widehat{w_2}=2\pi i\cdot k_2 </math> weitere Repräsentanten der [[logmod-Äquivalenzklassen]] <math>[w_1]_0,[w_2]_0 \in [\mathbb{D}_1]_0</math> und es gilt: :<math> [w_1]_0 = [\widehat{w_1}]_0 \quad [w_2]_0 = [\widehat{w_2}]_0 </math> ==== Beweisschritt 2 - Definition der Addition anwenden ==== Nach Definition der Addition von [[logmod-Äquivalenzklassen]] gilt: :<math> \begin{array}{rcl} [\widehat{w_1}]_0 \oplus [\widehat{w_1}]_0 & = & [\widehat{w_1} + \widehat{w_1}]_0 \\ & = & [w_1+w_2+ (k_1+k_2)\cdot 2\pi i]_0 = [w_1+w_2]_0 \\ \end{array} </math> Damit ist die Addition von [[logmod-Äquivalenzklassen]] repräsentantenunabhängig. <math>\quad \Box</math> ==== Bemerkung - Exponentialfunktion und Zweige des Logarithmus ==== Sei <math>G\subset \mathbb{C}</math> ein [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängendes]] [[Gebiet (Mathematik)| Gebiet]] mit <math>0\notin G</math> und <math>w_0\in \mathbb{D}_1</math> und <math> \exp(w_0)=z_0</math> für ein mit <math>z_0 \in G \subset \mathbb{C}\setminus \{0\}</math>. Durch die Festlegung von <math>\log_G(z_0)=w_0</math> ist der Zweig <math>\log_{G}</math> als [[generalisierter Logarithmus]] bereits auf ganz <math>G</math> definiert (siehe [[Identitätssatz]] und <math>\exp(\log_G(z)) = z</math>). Bei der [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus|algebraischen Vervollständigung des Zweiges eines Logarithmus]] verliert man die Eigenschaft der [[holomorphe Funktion|Holomorphie]] und sogar der [[Stetigkeit]]. Sei Man muss daher [[Zweige des Logarithmus]] von der Definition eine [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarthmus]] trennen. * <math> \exp(\log_G(z)) = z </math> für alle <math> z \in G \subset \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> * <math> \log_G(\exp(w)) = z+2\pi i \cdot k </math> für <math> w \in \mathbb{C} </math> und ein existierendes <math>k\in \mathbb{Z} </math> für <math>w</math>. ==== Äquivalenzklassen als Wertebereich ==== Der rekursive Logarithmus <math> \mathrm{lnr}_1(z) = [w]_0</math> liefert als Funktionswert '''keine Zahl''', sondern eine '''Äquivalenzklasse'''. Diese ist selbst ein Element der [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelschen Sigma-Algebra]] <math>\mathcal{B}(\mathbb{C})</math> als abzählbare Vereingigung von Einpunktmenge der Form <math>w+k\cdot 2\pi i</math> mit <math>k\in \mathbb{Z} </math> . === Multiplikation von Äquivalenzklassen === Für <math> z_1, z_2 \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> und <math>w_1,w_2 \in \mathbb{D}_1</math> gelte <math>\exp(w_1)=z_1</math> und <math>\exp(w_2)=z_2</math>. Ferner werden zwei beliebige weitere Repräsentanten <math>\widehat{w_1}=w_1 + 2\pi i\cdot k_1 </math> und <math>\widehat{w_2}=w_2 + 2\pi i\cdot k_2 </math> mit <math>k_1, k_2 \in \mathbb{Z}</math> der [[logmod-Äquivalenzklassen]] <math>[w_1]_0,[w_2]_0 \in [\mathbb{D}_1]_0</math> gewählt. Es gilt damit: :<math> [w_1]_0 = [\widehat{w_1}]_0 \quad [w_2]_0 = [\widehat{w_2}]_0 </math>: Man untersucht nun die Multiplikation bzgl. der [[logmod-Äquivalenzklassen]]. === Multiplikation und Exponentialfunktion === Es gilt nach Voraussetzung <math>\exp(w_1)= \exp(\widehat{w_1})</math> und <math>\exp(w_2)= \exp(\widehat{w_2})</math> wegen imaginäre Periodizität bzgl. <math>2\pi i</math>. Man erhält daher folgende Gleichung: :<math> \exp(w_1+w_2) = \underbrace{\exp(w_1)}_{=z_1} \cdot \underbrace{\exp(w_2)}_{=z_2}= \underbrace{\exp(\widehat{w_1})}_{=z_1} \cdot \underbrace{\exp(\widehat{w_2})}_{=z_2} = \exp(\widehat{w_1}+\widehat{w_2}) </math> Dabei wurde <math>w_1 = \log_G(z_1)</math> und <math>w_2 = \log_G(z_2)</math> über einen [[generalisierter Logarithmus|generalisierten Logarithmus]] <math>\log_G</math> auf einem [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebiet <math>G</math> mit <math>0\notin G</math> bestimmt. ==== Anwendung auf den generalisierte Logarithmus ==== Mit den Vorüberlegungen bzgl. Exponentialfunktion gilt für den [[generalisierter Logarithmus|generalisierten Logarithmus]] <math>\log_G</math> folgende Eigenschaft mit geeignet gewähltem <math>k\in \mathbb{Z}</math>: :<math> \log_G(z_1 \cdot z_2) = \log_G(z_1) + \log_G(z_2) + k\cdot 2\pi i </math> Dabei kann <math>k\in \mathbb{Z}</math> über die [[logmod-Funktion]] mit <math>k=\mathrm{logmod}(z_1 \cdot z_2)</math> bestimmt werden. ==== Anwendung auf logmod-Äquivalenklassen ==== Da für die Summe zweier Äquivalenzklassen folgende Eigenschaft gilt, erhält man für <math>\exp(w) = z_1\cdot z_2</math> die [[logmod-Äquivalenzklassen]]gleichung: :<math> [w_1]_0 + [w_2]_0 = [w_1 + w_2]_0 = [w]_0 </math> Der [[rekursiver Logarithmus|rekursive Logarithmus]] erfüllt die Rechengesetze analog zu den [[Logarithmus|Logarithmusgesetzen]] in <math>\mathbb{R}</math>. :<math> \underbrace{\mathrm{lnr}_1(z_1\cdot z_2)}_{=[w]_0} = \underbrace{\mathrm{lnr}_1(z_1)}_{=[w_1]_0} + \underbrace{\mathrm{lnr}_1(z_2)}_{=[w_2]_0} = [w_1 + w_2]_0 </math> ==== Beispiel - Multiplikation der Log-Argumente==== Wählt man <math> z_1 = i = z_2 </math> so gilt <math> z_1 \cdot z_2 = -1 </math>. Für den rekursiven Logarithmus gilt dann: :<math> \mathrm{lnr_1}(i) = \left[ i \frac{\pi}{2} \right]_0 \quad \mathrm{lnr_1}(-1)=\mathrm{lnr_1}(i\cdot i) = \underbrace{\mathrm{lnr_1}(i)}_{=\left[ i \frac{\pi}{2} \right]_0} + \underbrace{\mathrm{lnr_1}(i)}_{=\left[ i \frac{\pi}{2} \right]_0} = [i\pi]_0 </math> === Potenzen und Logarithmus === Um Potenzen mit komplexen Exponenten definieren zu können, verwendet man Vorüberlegungen aus den reellen Zahlen. In <math>\mathbb{R}^+</math> gilt für <math>w=\ln(z)</math> für <math>z > 0 </math> und <math>a\in \mathbb{R}</math> die Gleichung: :<math> z^a = \exp(w\cdot a) = \exp(\ln(z) \cdot a) </math> [[Zweige des Logarithmus]] von einer <math> z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> unterscheiden sich um Vielfache von <math>2\pi i</math>. ==== Zweig des Logarithmus und Potenzen ==== Ist ein [[Zweig des Logarithmus]] <math>\log_G</math> auf einem [[einfach zusammenhängend]]em Gebiet gegeben, so definiert man für <math>z\in G</math> und <math>\log_G(z)=w</math>: :<math> z^a := \exp(w\cdot a) = \exp(\log_G(z) \cdot a) </math> Für andere [[Zweige des Logarithmus]] <math>\log_{\widehat{G}}</math> gibt es für <math>z\in \widehat{G}</math> ein ganze Zahl <math>k_z\in \mathbb{Z} </math> mit: :<math> \log_G(z) = w = \log_{\widehat{G}}(z) +2\pi i \cdot k_z </math> ==== Vergleich von Zweigen des Logarithmus ==== Wählt man für <math>G</math> den [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweig des Logarithmus]] mit <math> z \in G:= \mathbb{C} \setminus \mathbb{R}_0^{+} </math> und <math>a\in \mathbb{C}</math>. Werden <math>w, w_a \in \mathbb{D}_1 = \mathbb{R}+i\cdot[0,2\pi)</math> mit der Eigenschaft <math>\exp(w)=z</math> und <math>\exp(w_a)=z^a = \exp(w\cdot a)</math> zusammen mit zwei beliebigen weitere Repräsentanten <math>\widehat{w}=w + 2\pi i\cdot k </math> und <math>\widehat{w_a}=w_a + 2\pi i\cdot k_a </math> gewählt, so kann man mit <math>k, k_a \in \mathbb{Z}</math> die Beziehung zwischen den [[logmod-Äquivalenzklassen]] <math>[w]_0,[w_a]_0 \in [\mathbb{D}_1]_0</math> darstellen: :<math> \mathrm{lnr_1}(z^a) = w_a = w\cdot a + 2\pi i \cdot k \quad \text{für ein } k \in \mathbb{Z} </math> ==== Darstellung als Äquivalenzklassen ==== Gilt <math>\log_G(z)=w</math> und <math>z^a:= \exp\big(\, \underbrace{\log_G(z)\cdot a}_{=w_a}\, \big) = \exp(w\cdot a)</math>, so erhält man in der Äquivalenzklassen-Sicht folgende Gleichung: :<math> a \cdot [w]_0 = [w_a]_0 </math> > wobei die Multiplikation einer Äquivalenzklasse mit einer komplexen Zahl definiert ist als: > :<math> > a \cdot [w]_0 := [a w]_0 > </math> > '''Beispiel:''' > <math> z = i </math>, <math> a = 2 </math> → <math> z^a = -1 </math> > <math> \log(z^a) = \log(-1) = [i\pi]_0 </math> > <math> a \cdot \log(z) = 2 \cdot [i \pi/2]_0 = [i\pi]_0 </math> → stimmt. --- ==== Exponentialfunktion und Eulersche Formel ==== Stell man <math>a=a_1+ia_2\in \mathbb{C}</math> dar und wendet man die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] an, gilt die folgende Eigenschaft mit <math>w=w_1+iw_2\in \mathbb{C}</math> und <math> z = e^{\log_G(z)}</math>: :<math> z^a := e^{\log_G(z)\cdot a} = e^{\overbrace{(w_1+iw_2)}^{=w}\cdot \overbrace{(a_1+i\cdot a_2)}^{=a}} = e^{(w_1a_1-w_2a_2) + i\cdot (w_2a_1+w_1a_2)} </math> Durch Anwendung der [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] auf den rechten Term erhält man: :<math> z^a = \underbrace{e^{w_1a_1-w_2a_2}}_{=|z^a|} \cdot \big( \cos(w_2a_1+w_1a_2)+ i\cdot \sin(w_2a_1+w_1a_2) \big) </math> === (4) Addition von Logarithmen === :<math> \log(z_1) + \log(z_2) = \log(z_1 z_2) </math> > '''Achtung:''' Dies ist '''nicht''' immer wahr, wenn man '''nicht''' mit Äquivalenzklassen arbeitet! > Aber '''in der Klassen-Sicht''' ist es '''richtig'''. > '''Warum?''' Weil die Addition von Klassen kommutativ und assoziativ ist. --- == 7. Zusammenhang mit Logarithmenzweigen == Ein '''Logarithmenzweig''' ist eine '''stetige Auswahl''' von Werten aus <math> \log(z) </math>, d. h. eine Funktion <math> L: G \to \mathbb{C} </math>, sodass <math> \exp(L(z)) = z </math> und <math> L </math> stetig auf einem Gebiet <math> G \subseteq \mathbb{C} \setminus \{0\} </math>. > '''Beispiel:''' > Der '''Hauptzweig''' <math> \text{Log}(z) </math> ist ein Logarithmenzweig auf <math> \mathbb{C} \setminus (-\infty, 0] </math>. > '''Jeder Logarithmenzweig''' <math> L </math> wählt '''einen Repräsentanten''' aus jeder Äquivalenzklasse <math> [w]_0 </math>, nämlich <math> L(z) \in [w]_0 </math>. > '''Zusammenhang:''' > Die Menge aller Logarithmenzweige entspricht '''der Wahl einer Schnittlinie''' (Branch Cut), die verhindert, dass man um den Ursprung herumwandert und die Klasse wechselt. --- == 8. Zusammenfassung: Struktur der Logarithmen == | Konzept | Beschreibung | |--------|--------------| | '''Äquivalenzklasse''' <math> [w]_0 </math> | Menge aller <math> w + 2\pi i k </math>, <math> k \in \mathbb{Z} </math> | | '''Logarithmus von <math> z </math>''' | <math> \log(z) = [w]_0 </math>, wobei <math> \exp(w) = z </math> | | '''Hauptzweig''' | <math> \text{Log}(z) \in \log(z) </math>, mit <math> \text{Arg}(z) \in (-\pi, \pi] </math> | | '''Rechenregeln''' | <math> \log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2) </math>, <math> \log(z^a) = a \cdot \log(z) </math> (in Klassen) | | '''Exponentialfunktion''' | <math> \exp(\log(z)) = z </math>, <math> \log(\exp(w)) = [w]_0 </math> | --- == 9. Übungsaufgaben == 1. Zeige, dass <math> \log(-1) = [i\pi]_0 </math>. 2. Berechne <math> \log(i) + \log(i) </math> und vergleiche mit <math> \log(-1) </math>. 3. Zeige, dass <math> \log(z^2) = 2 \log(z) </math> in der Klassen-Sicht gilt. 4. Warum ist <math> \log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2) </math> '''nicht''' immer wahr, wenn man nur Zahlen verwendet? 5. Definiere einen anderen Logarithmenzweig auf <math> \mathbb{C} \setminus [0, \infty) </math>, der <math> \log(z) \in [i \cdot 0]_0 </math> für <math> z = 1 </math> wählt. --- == Lernziel == Du kannst: * den komplexen Logarithmus als '''Äquivalenzklasse''' verstehen, * die '''Rechenregeln''' für Logarithmen in der Klassen-Sicht korrekt anwenden, * den Zusammenhang zwischen '''Exponentialfunktion''', '''Logarithmenzweigen''' und '''Äquivalenzklassen''' erklären, * die '''Mehrdeutigkeit''' des Logarithmus strukturiert darstellen. --- '''Ende der Lerneinheit''' > '''Zusammenfassungssatz:''' > *Der komplexe Logarithmus von <math> z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> ist die Äquivalenzklasse <math> [w]_0 </math>, wobei <math> \exp(w) = z </math>. Diese Klasse ist genau die Menge aller Lösungen von <math> \exp(w) = z </math>. Alle Rechenregeln gelten in der Klassen-Sicht: <math> \log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2) </math>, <math> \log(z^a) = a \cdot \log(z) </math>, und <math> \exp(\log(z)) = z </math>.* == Siehe auch == * [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus]] * [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexer Logarithmus]] * [[logmod-Äquivalenzklassen]] * [[logmod-Funktion]] * [[negativer Hauptzweig des Logarithmus]] 1pvh1ghc0amzrv07ouahor38dqvxkkn 1116212 1116211 2026-10-15T14:20:42Z Bert Niehaus 20843 /* Vergleich von Zweigen des Logarithmus */ 1116212 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Lerneinheit zu [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmen]] beschäftigt sich Äquivalenzklassen, deren Struktur und Rechenregeln, die durch den Zusammenhang mit der Exponentialfunktion und deren imaginärer <math>2\pi i</math>-Periodizität entsteht. Die Äquivalenzklassen helfen dabei, [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen#Rechenregeln|Rechenregeln]] aus den reellen Zahl für den [[Logarithmus]] auf den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexen Logarithmus]] bzw. deren Zweige zu übertragen. Die [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus]] spielt dabei bijektive Abbildungen eine besondere Rolle. === Periodizität der Exponentialfunktion === Der komplexe Logarithmus kann nicht eindeutig als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion <math> \exp: \mathbb{C} \to \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> festgelegt werden, da u.a. die Exponentialfunktion nicht injektiv ist und ein [[Zweig des Logarithmus]] von der Wahl des [[einfach zusammenhängend]]en Gebietes abhängt, auf dem der Logarithmus definiert ist. Es gilt für [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]]: :<math> \exp(w + 2\pi i) = \exp(w) = z\quad \text{für alle } w \in \mathbb{C} </math> Daher gibt es unendlich viele komplexe Zahlen <math> w </math>, die auf dieselbe Zahl <math> z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> abgebildet werden. Diese Mehrdeutigkeit ist die Motivation, um Äquivalenzklassen zu bilden. === Behandelt Aspekte in der Lerneinheit === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen#logmod_Aequivalenzlemma|LogMod-Äquivalenzklassenlemma]]:''' Beziehung Exponentialfunktion und Zweigen des Logarithmus * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen#Repraesentantenunabhaengigkeit|Repräsentantenunabhängigkeit]]''' für die Addition von [[logmod-Äquivalenzklassen]] == Äquivalenzklassen des Logarithmus == Um Äquivalenzklassen zu bilden, benötigt man eine Äquivalenzrelation als Teilmenge von <math>\mathbb{C}\times \mathbb{C} </math>, die zwei Elemente <math> w_1, w_2 \in \mathbb{C} </math>, wenn deren Differenz ein ganzzahliges Vielfaches von <math>2\pi i</math> ist. === Definition - logmod-Äquivalenzrelation === Zwei komplexe Zahlen <math> w_1, w_2 \in \mathbb{C} </math> heißen logmod-äquivalent modulo <math> 2\pi i </math>, wenn gilt: :<math> w_1 - w_2 \in 2\pi i \cdot \mathbb{Z} := \{w\in \mathbb{C} \, : \, w=2\pi i \cdot k \mbox{ und } k\in \mathbb{Z} \} </math> Formal notiert man diese Äquivalenz wie folgt: :<math> w_1 \equiv w_2 \ \mathrm{logmod}\ {2\pi i} </math> ==== Aufgabe für Studierende ==== Zeigen Sie, dass diese Relation eine ''Äquivalenzrelation'' ist, d.h. die [[logmod-Funktion|logmod-Relation]] ist [[w:de:Äquivalenzrelation|reflexiv, symmetrisch und transitiv]]. === Definition - logmod-Äquivalenzklasse === Für eine komplexe Zahl <math> w \in \mathbb{C} </math> ist die Äquivalenzklasse definiert als: :<math> [w]_0 := \{ w + 2\pi i k \mid k \in \mathbb{Z} \} </math> ==== Bezeichnung - Äquivalenzklassenindex==== Die Indexierung mit <math> _0 </math> deutet an, dass dies diese Äquivalenzklasse ohne Logarithmierung in <math>\mathbb{C}</math> gebildet wurde. Bildet man rekursiv höhere Logarithmen als Verkettung entstehen Äquivalenzklassen <math>[w]_n</math>, wobei <math>n</math>-fach rekursiv der Logarithmus verkettet wird, falls dieser existiert. == Verbindung mit der Exponentialfunktion == Da die Exponentialfunktion im Imaginärteil des Arguments eine Periodizität von <math>2\pi i</math> besitzt, entsprechen Äquivalenzklassen <math>[w]_0</math> entsprechen einem Bildpunkt <math>z=e^w</math>. Dieser Verbindung zwischen Exponentialfunktion und Logarithmus wird durch das LogMod-Äquivalenzklassenlemma festgehalten. <span id="logmod_Aequivalenzlemma"></span> === LogMod-Äquivalenzklassenlemma === Sei <math>w\in\mathbb{C} \setminus \{0\} </math> mit <math>\mathrm{logmod}(w) = 0</math> gegeben. Für eine feste komplexe Zahl <math> z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> gilt folgende Äquivalenzaussage: :<math> \exp(\widehat{w}) = z \quad \text{für alle } \widehat{w} \in [w]_0 </math> genau dann, wenn <math> \exp(w) = z </math>. === Beweis - LogMod-Äquivalenzlemma === Für <math> w\in \mathbb{D}_1 := \mathbb{R}\times i\cdot [0,2\pi)</math> gelte <math>\exp(w)=z</math>. Das LogMod-Äquivalenzlemma ist eine Äquivalenzaussage. Daher werden zwei Beweisrichtungen gezeigt: \mbox{} <math display="block"> \begin{array}{llcl} \mbox{ (LML1) } & \exp(\widehat{w}) = z & \quad \Longrightarrow \quad & \widehat{w} \in [w]_0 \\ \mbox{ (LML2) } & \widehat{w} \in [w]_0 & \quad \Longrightarrow \quad & \exp(\widehat{w}) = z \\ \end{array} </math> ==== Schritt 1 - Beweisrichtung LML1 ==== Sei <math> \widehat{w} \in \mathbb{C} </math> mit <math> \exp(\widehat{w}) = z </math> beliebig gewählt. Dann gilt mit der Voraussetzung <math> \exp(w) = z \not= 0</math> und Potenzgesetzen: :<math> 1 = \frac{z}{z} = \frac{\widehat{w}}{\exp(\exp(w))} = \exp(\widehat{w}-w) </math> Die Gleichung <math>1 = \exp(\widehat{w}-w)</math> gilt genau dann, wenn <math> w-\widehat{w} = 2\pi i \cdot k</math> mit <math>k \in \mathbb{Z}</math>. ==== Schritt 2 - Beweisrichtung LML1 ==== Damit gilt auch <math> w = \widehat{w} + 2\pi i \cdot k </math>. Die ganze Zahl <math> k\in \mathbb{Z} </math> ist durch die [[logmod-Funktion]] und es gilt <math>k= \mathrm{logmod}(\widehat{w})</math>, da <math> w\in \mathbb{D}_1 = \mathbb{R} + i\cdot [0,2\pi) </math> nach Voraussetzung gilt und man erhält <math>\widehat{w} \in [w]_0</math>. ==== Schritt 3 - Äquivalenzklasse gegeben LML2 ==== Sei umgekehrt <math>\widehat{w} \in [w]_0</math> gegeben. Dann gibt es nach Definition der Äquivalenzklasse ein <math> k := logmod(\widehat{w})\in \mathbb{Z} </math> mit der Eigenschaft <math>\widehat{w}:= w + 2\pi i k</math>. Nun wen man diese Darstellung von <math>\widehat{w}</math> auf die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] an und verwendet Periodizität <math>\exp</math> bzgl. <math>2\pi i</math> und erhält: :<math> \exp(\widehat{w}) = \exp(w + 2\pi i k) = \exp(w) \cdot \exp(2\pi i k) = z \cdot 1 = z </math> ==== Schritt 4 - LML2 ==== Da <math>\widehat{w} \in [w]_0</math> beliebig gewählt wurde, gilt für alle <math> \widehat{w} \in [w]_0 </math> die Eigenschaft <math> \exp(\widehat{w}) = z </math> und zusammen mit LML1 gilt die Äquivalenzaussage aus dem Lemma <math>\quad \Box</math>. === Folgerung - LogMod-Äquivalenzklassenlemma ==== Fasst man zu einem gegebenen <math>z\in \mathbb{C}\setminus\{0\}</math> die Menge alle komplexen Zahlen <math> \widehat{w} \in \mathbb{C} </math> zu einer Menge zusammen, die die Eigenschaft <math> \exp(\widehat{w}) = z </math> erfüllen, so erhält man die Äquivalenzklasse <math> [w]_0 </math>, wobei <math> w </math> eine beliebige Lösung von <math> \exp(w) = z </math> ist. ==== Bemerkung - LogMod-Äquivalenzklassenlemma ==== Für die Äquivalenzklassenanalyse spielt das Repräsentatensystem <math>\mathbb{D}_1= \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi)</math> eine besondere Rolle. DasRepräsentatensystem <math>\mathbb{D}_1</math> entsteht durch [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus|algebraische Vervollständigkeit]] des [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweiges]] des [[Logarithmus]]. == Äquivalenzklassenaddition == Um die aus der reellen Analysis bekannten Rechenregeln auf Logarithmen in den komplexen Zahlen verwenden zu können werden Äquivalenzklassen verwendet. Die Struktur und Gültigkeit der Rechenregeln wird in diesem Teil der Lerneinheit genauer untersucht. === komplexe Logarithmus als Lösungsmenge === Der komplexe Äquivalenzklassen-Logarithmus von <math> z </math> bildet nicht auf ein Element in <math>\mathbb{C}</math> ab, sondern auf ein Teilmenge von <math>\mathbb{C}</math>. Dies führt im weiteren Verlauf der Lehrveranstaltung zum Begriff des [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarithmus]]. Sei <math>w \in \mathbb{C}</math> beliebig gewählt, dann definiert man <math>w_0 := w - \mathrm{logmod}(w)\cdot 2\pi i \in \mathbb{D}_1</math> als Repräsentant der [[logmod-Äquivalenzklassen|Äquivalenzklasse]] <math> [w]_0</math>. :<math> \mathrm{lnr}_1(z) := \{ w \in \mathbb{C} \mid \exp(w) = z \} = [w]_0 </math> für ein beliebiges <math> w_0 \in \mathbb{D}_1 := \mathbb{R}+ i\cdot [0,2\pi)</math> mit <math> \exp(w_0) = z </math>. ==== Beispiel 1 - Neutrales Element für Äquivalenklassenaddition ==== Algebraisch wird später <math>\mathbb{D}_1</math> mit einer inneren Verknüpfung <math>\oplus</math> zu einer kommunitative Gruppe. Daher wird das [[w:de:neutrales Element|neutrale Element]] von <math>\oplus</math> als Beispieläquivalenzklasse genannt und in Beziehung zum Logarithmus gesetzt. Für <math> z = 1 </math> ist der komplexe rekursive Logarithmus :<math> \mathrm{lnr}_1(1) = \{ 2\pi i k \, : \, k \in \mathbb{Z} \} = [0]_0 </math> ==== Beispiel 2 - Logarithmus der imaginären Einheit ==== Da zunächst die [[rekursiver Logarithmus|rekursive komplexe Logarithmen]] von elementaren komplexen Zahlen genannt. Wählt man <math> z = i </math> so gilt <math> \exp\left(i \tfrac{\pi}{2}\right) = i </math> und <math>i\tfrac{\pi}{2} \in \mathbb{D}_1</math>. Bildet man nun den von [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarithmus]] von <math> z = i </math> erhält man: :<math> \mathrm{lnr}_1(i) = \left\{ i \left( \frac{\pi}{2} + 2\pi k \right) \mid k \in \mathbb{Z} \right\} = \left[ i \frac{\pi}{2} \right]_0 </math> ==== Beispiel 3 - rekursiver Logarithmus von -1 ==== Ablschießend wird auch noch der [[rekursiver Logarithmus|rekursive komplexe Logarithmen]] von <math> z = -1 </math> genannt. Wegen <math> \exp\left(i \pi \right) = -1 </math> und <math>i \pi \in \mathbb{D}_1=\mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi) </math> erhält man: :<math> \mathrm{lnr}_1(-1) = \left\{ i \left( \pi + 2\pi k \right) \mid k \in \mathbb{Z} \right\} = \left[ i \pi \right]_0 </math> === Repräsentantensystem === Um einen eindeutigen Funktionswert als Äquivalenzklasse zu erhalten, wählt man eine spezielles Repräsentantensystem <math>\mathbb{D}_1:= \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi) \subset \mathbb{C}</math> um alle Äquivalenzklassen darstellen zu können. Dabei wird die [[logmod-Funktion]] verwendet, um für eine beliebige komplexe Zahl <math>w\in \mathbb{C}</math> die zugehörigen Repräsentanten <math>w_0 \in\mathbb{D}_1</math> über <math> w_0 = w - 2\pi i \cdot \mathrm{logmod}(w)</math> zu bestimmen. <span id="Definition"> === Definition - logmod-Äquivalenzklassenaddition === Für <math> z_1,z_2 \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> und <math>w_1,w_2 \in\mathbb{D}_1</math> gelte <math>\exp(z_1)=w_1</math> und <math>\exp(z_2)=w_2</math>. Man definiert nun die Äquivalenzklassenaddition <math>(\mathbb{D}_1,\oplus)</math> wie folgt. :<math> [w_1]_0 \oplus [w_2]_0 := [w_1 + w_2]_0 </math> ==== Bemerkung - Repräsentant der Äquivalenzklasse ==== Der Repräsentant <math>w_1 + w_2 </math> der Äquivalenzklasse wobei <math>[w_1 + w_2]_0 </math> liegt nicht notwendigerweise auch in <math>\mathbb{D}_1</math>, was das folgende Beispiel zeigt. ==== Beispiel - Repräsentant bei additiver Verknüpfung ==== Wählt man <math> z_1 = z_2 = -i </math>, so erhält man <math> w_1 = w_2 = \tfrac{3}{2}\pi i \in \mathbb{D}_1 </math> und es gilt <math> w_1 + w_2 = 3\pi i \notin \mathbb{D}_1 </math>. Möchte man den zugehörigen Repräsentanten aus <math>\mathbb{D}_1 </math> bestimmen, verwendet man wieder die [[logmod-Funktion]]: :<math> [w_1]_0 \oplus [w_2]_0 = [w_1 + w_2]_0 = [w]_0 </math> mit <math> w = w_1+w_2 - 2\pi i \cdot \mathrm{logmod}(w_1+w_2)</math> ==== Bemerkung - Notation ==== Für die Addition <math>\oplus</math> der [[logmod-Äquivalenzklassen]] wird zur Abgrenzung zu additiven Verknüpfung in <math>+</math> in <math>\mathbb{C}</math> das Symbol <math>\oplus</math> verwendet. :<math> \left[ 1+\frac{3}{2}\pi i \right]_0 \oplus \left[5+\frac{1}{2}\pi i \right]_0 = \left[ \left(1+\frac{3}{2}\pi i\right) + \left(5+\frac{1}{2}\pi i\right) \right]_0 = [6+2\pi i]_0 = [6]_0 </math> Im linken Term werden zwei Äquivalenzklassen addiert (daher <math>\oplus</math>) und in den beiden rechten Termen ist das Standardaddition in den komplexen Zahlen. == Rechenregeln für Äquivalenzklassen == Zunächst einmal muss man kurz die Repräsentantenunabhängigkeit der Äquivalenzklassenaddition auf <math>[\mathbb{D}_1]_0</math> überprüfen. Dabei ist <math>\oplus</math> eine innere Verknüpfung auf <math>[\mathbb{D}_1]_0</math> der Form: :<math> \begin{array}{rrcl} f: & [\mathbb{D}_1]_0 \times [\mathbb{D}_1]_0 & \rightarrow & [\mathbb{D}_1]_0\\ & \left( [w_1]_0,[w_2]_0 \right) & \mapsto & [w_1]_0 \oplus [w_2]_0 = [w_1+w_2]_0 = \\ & & & \bigg[\, \underbrace{w_1+w_2 - \mathrm{logmod}(w_1+w_2) \cdot 2\pi i}_{\in \mathbb{D}_1}\,\bigg]_0 \end{array} </math> Dabei beschreibt <math>[\mathbb{D}_1]_0 = \{ [w]_0 \, \colon \, w\in \mathbb{D}_1 \}</math> die Menge aller [[logmod-Äquivalenzklassen]] mit dem Repräsentantensystem <math>\mathbb{D}_1</math>. <hr> <span id="Repraesentantenunabhaengigkeit"></span> === Lemma zur Repräsentantenunabhängigkeit === Die innere additive Verknüpfung <math> ([\mathbb{D}_1]_0 , \oplus)</math> auf den [[logmod-Äquivalenzklassen]] ist repräsentantenunabhängig. === Beweis - Lemma zur Repräsentantenunabhängigkeit === Die Beweisidee der Repräsentantenunabhängigkeit beruht auf der Auswahl von zwei beliebigen unterschiedlichen Repräsentanten <math>w_1</math> und <math>\widehat{w_1}</math> bzw. <math>w_2</math> und <math>\widehat{w_2}</math> und man zeigt dann die Addition mit <math>\oplus</math> für die [[logmod-Äquivalenzklassen]] die gleiche Äquivalenzklasse <math>[w_1+w_2]_0=[\widehat{w_1}+\widehat{w_2}]_0</math> liefert. ==== Beweisschritt 1 - Wahl der Repräsentanten ==== Seien <math>w_1,w_2 \in \mathbb{D}_1</math> und <math>k_1, k_2 \in \mathbb{Z}</math> beliebig gewählt, dann sind <math>\widehat{w_1}=2\pi i\cdot k_1 </math> und <math>\widehat{w_2}=2\pi i\cdot k_2 </math> weitere Repräsentanten der [[logmod-Äquivalenzklassen]] <math>[w_1]_0,[w_2]_0 \in [\mathbb{D}_1]_0</math> und es gilt: :<math> [w_1]_0 = [\widehat{w_1}]_0 \quad [w_2]_0 = [\widehat{w_2}]_0 </math> ==== Beweisschritt 2 - Definition der Addition anwenden ==== Nach Definition der Addition von [[logmod-Äquivalenzklassen]] gilt: :<math> \begin{array}{rcl} [\widehat{w_1}]_0 \oplus [\widehat{w_1}]_0 & = & [\widehat{w_1} + \widehat{w_1}]_0 \\ & = & [w_1+w_2+ (k_1+k_2)\cdot 2\pi i]_0 = [w_1+w_2]_0 \\ \end{array} </math> Damit ist die Addition von [[logmod-Äquivalenzklassen]] repräsentantenunabhängig. <math>\quad \Box</math> ==== Bemerkung - Exponentialfunktion und Zweige des Logarithmus ==== Sei <math>G\subset \mathbb{C}</math> ein [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängendes]] [[Gebiet (Mathematik)| Gebiet]] mit <math>0\notin G</math> und <math>w_0\in \mathbb{D}_1</math> und <math> \exp(w_0)=z_0</math> für ein mit <math>z_0 \in G \subset \mathbb{C}\setminus \{0\}</math>. Durch die Festlegung von <math>\log_G(z_0)=w_0</math> ist der Zweig <math>\log_{G}</math> als [[generalisierter Logarithmus]] bereits auf ganz <math>G</math> definiert (siehe [[Identitätssatz]] und <math>\exp(\log_G(z)) = z</math>). Bei der [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus|algebraischen Vervollständigung des Zweiges eines Logarithmus]] verliert man die Eigenschaft der [[holomorphe Funktion|Holomorphie]] und sogar der [[Stetigkeit]]. Sei Man muss daher [[Zweige des Logarithmus]] von der Definition eine [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarthmus]] trennen. * <math> \exp(\log_G(z)) = z </math> für alle <math> z \in G \subset \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> * <math> \log_G(\exp(w)) = z+2\pi i \cdot k </math> für <math> w \in \mathbb{C} </math> und ein existierendes <math>k\in \mathbb{Z} </math> für <math>w</math>. ==== Äquivalenzklassen als Wertebereich ==== Der rekursive Logarithmus <math> \mathrm{lnr}_1(z) = [w]_0</math> liefert als Funktionswert '''keine Zahl''', sondern eine '''Äquivalenzklasse'''. Diese ist selbst ein Element der [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelschen Sigma-Algebra]] <math>\mathcal{B}(\mathbb{C})</math> als abzählbare Vereingigung von Einpunktmenge der Form <math>w+k\cdot 2\pi i</math> mit <math>k\in \mathbb{Z} </math> . === Multiplikation von Äquivalenzklassen === Für <math> z_1, z_2 \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> und <math>w_1,w_2 \in \mathbb{D}_1</math> gelte <math>\exp(w_1)=z_1</math> und <math>\exp(w_2)=z_2</math>. Ferner werden zwei beliebige weitere Repräsentanten <math>\widehat{w_1}=w_1 + 2\pi i\cdot k_1 </math> und <math>\widehat{w_2}=w_2 + 2\pi i\cdot k_2 </math> mit <math>k_1, k_2 \in \mathbb{Z}</math> der [[logmod-Äquivalenzklassen]] <math>[w_1]_0,[w_2]_0 \in [\mathbb{D}_1]_0</math> gewählt. Es gilt damit: :<math> [w_1]_0 = [\widehat{w_1}]_0 \quad [w_2]_0 = [\widehat{w_2}]_0 </math>: Man untersucht nun die Multiplikation bzgl. der [[logmod-Äquivalenzklassen]]. === Multiplikation und Exponentialfunktion === Es gilt nach Voraussetzung <math>\exp(w_1)= \exp(\widehat{w_1})</math> und <math>\exp(w_2)= \exp(\widehat{w_2})</math> wegen imaginäre Periodizität bzgl. <math>2\pi i</math>. Man erhält daher folgende Gleichung: :<math> \exp(w_1+w_2) = \underbrace{\exp(w_1)}_{=z_1} \cdot \underbrace{\exp(w_2)}_{=z_2}= \underbrace{\exp(\widehat{w_1})}_{=z_1} \cdot \underbrace{\exp(\widehat{w_2})}_{=z_2} = \exp(\widehat{w_1}+\widehat{w_2}) </math> Dabei wurde <math>w_1 = \log_G(z_1)</math> und <math>w_2 = \log_G(z_2)</math> über einen [[generalisierter Logarithmus|generalisierten Logarithmus]] <math>\log_G</math> auf einem [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebiet <math>G</math> mit <math>0\notin G</math> bestimmt. ==== Anwendung auf den generalisierte Logarithmus ==== Mit den Vorüberlegungen bzgl. Exponentialfunktion gilt für den [[generalisierter Logarithmus|generalisierten Logarithmus]] <math>\log_G</math> folgende Eigenschaft mit geeignet gewähltem <math>k\in \mathbb{Z}</math>: :<math> \log_G(z_1 \cdot z_2) = \log_G(z_1) + \log_G(z_2) + k\cdot 2\pi i </math> Dabei kann <math>k\in \mathbb{Z}</math> über die [[logmod-Funktion]] mit <math>k=\mathrm{logmod}(z_1 \cdot z_2)</math> bestimmt werden. ==== Anwendung auf logmod-Äquivalenklassen ==== Da für die Summe zweier Äquivalenzklassen folgende Eigenschaft gilt, erhält man für <math>\exp(w) = z_1\cdot z_2</math> die [[logmod-Äquivalenzklassen]]gleichung: :<math> [w_1]_0 + [w_2]_0 = [w_1 + w_2]_0 = [w]_0 </math> Der [[rekursiver Logarithmus|rekursive Logarithmus]] erfüllt die Rechengesetze analog zu den [[Logarithmus|Logarithmusgesetzen]] in <math>\mathbb{R}</math>. :<math> \underbrace{\mathrm{lnr}_1(z_1\cdot z_2)}_{=[w]_0} = \underbrace{\mathrm{lnr}_1(z_1)}_{=[w_1]_0} + \underbrace{\mathrm{lnr}_1(z_2)}_{=[w_2]_0} = [w_1 + w_2]_0 </math> ==== Beispiel - Multiplikation der Log-Argumente==== Wählt man <math> z_1 = i = z_2 </math> so gilt <math> z_1 \cdot z_2 = -1 </math>. Für den rekursiven Logarithmus gilt dann: :<math> \mathrm{lnr_1}(i) = \left[ i \frac{\pi}{2} \right]_0 \quad \mathrm{lnr_1}(-1)=\mathrm{lnr_1}(i\cdot i) = \underbrace{\mathrm{lnr_1}(i)}_{=\left[ i \frac{\pi}{2} \right]_0} + \underbrace{\mathrm{lnr_1}(i)}_{=\left[ i \frac{\pi}{2} \right]_0} = [i\pi]_0 </math> === Potenzen und Logarithmus === Um Potenzen mit komplexen Exponenten definieren zu können, verwendet man Vorüberlegungen aus den reellen Zahlen. In <math>\mathbb{R}^+</math> gilt für <math>w=\ln(z)</math> für <math>z > 0 </math> und <math>a\in \mathbb{R}</math> die Gleichung: :<math> z^a = \exp(w\cdot a) = \exp(\ln(z) \cdot a) </math> [[Zweige des Logarithmus]] von einer <math> z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> unterscheiden sich um Vielfache von <math>2\pi i</math>. ==== Zweig des Logarithmus und Potenzen ==== Ist ein [[Zweig des Logarithmus]] <math>\log_G</math> auf einem [[einfach zusammenhängend]]em Gebiet gegeben, so definiert man für <math>z\in G</math> und <math>\log_G(z)=w</math>: :<math> z^a := \exp(w\cdot a) = \exp(\log_G(z) \cdot a) </math> Für andere [[Zweige des Logarithmus]] <math>\log_{\widehat{G}}</math> gibt es für <math>z\in \widehat{G}</math> ein ganze Zahl <math>k_z\in \mathbb{Z} </math> mit: :<math> \log_G(z) = w = \log_{\widehat{G}}(z) +2\pi i \cdot k_z </math> ==== Vergleich von Zweigen des Logarithmus ==== Wählt man für <math>G</math> den [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweig des Logarithmus]] mit <math> z \in G:= \mathbb{C} \setminus \mathbb{R}_0^{+} </math> und <math>a\in \mathbb{C}</math>. Werden <math>w, w_a \in \mathbb{D}_1 = \mathbb{R}+i\cdot[0,2\pi)</math> mit der Eigenschaft <math>\exp(w)=z</math> und <math>\exp(w_a)=z^a = \exp(w\cdot a)</math> zusammen mit zwei beliebigen weitere Repräsentanten <math>\widehat{w}=w + 2\pi i\cdot k </math> und <math>\widehat{w_a}=w_a + 2\pi i\cdot k_a </math> gewählt, so kann man mit <math>k, k_a \in \mathbb{Z}</math> die Beziehung zwischen den [[logmod-Äquivalenzklassen]] <math>[w]_0,[w_a]_0 \in [\mathbb{D}_1]_0</math> darstellen: :<math> \mathrm{lnr_1}(z^a) = [w_a]_0 = [w\cdot a]_0 =[w\cdot a + 2\pi i \cdot k ]_0 = [\widehat{w_a}]_0 </math> ==== Darstellung als Äquivalenzklassen ==== Gilt <math>\log_G(z)=w</math> und <math>z^a:= \exp\big(\, \underbrace{\log_G(z)\cdot a}_{=w_a}\, \big) = \exp(w\cdot a)</math>, so erhält man in der Äquivalenzklassen-Sicht folgende Gleichung: :<math> a \cdot [w]_0 = [w_a]_0 </math> > wobei die Multiplikation einer Äquivalenzklasse mit einer komplexen Zahl definiert ist als: > :<math> > a \cdot [w]_0 := [a w]_0 > </math> > '''Beispiel:''' > <math> z = i </math>, <math> a = 2 </math> → <math> z^a = -1 </math> > <math> \log(z^a) = \log(-1) = [i\pi]_0 </math> > <math> a \cdot \log(z) = 2 \cdot [i \pi/2]_0 = [i\pi]_0 </math> → stimmt. --- ==== Exponentialfunktion und Eulersche Formel ==== Stell man <math>a=a_1+ia_2\in \mathbb{C}</math> dar und wendet man die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] an, gilt die folgende Eigenschaft mit <math>w=w_1+iw_2\in \mathbb{C}</math> und <math> z = e^{\log_G(z)}</math>: :<math> z^a := e^{\log_G(z)\cdot a} = e^{\overbrace{(w_1+iw_2)}^{=w}\cdot \overbrace{(a_1+i\cdot a_2)}^{=a}} = e^{(w_1a_1-w_2a_2) + i\cdot (w_2a_1+w_1a_2)} </math> Durch Anwendung der [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] auf den rechten Term erhält man: :<math> z^a = \underbrace{e^{w_1a_1-w_2a_2}}_{=|z^a|} \cdot \big( \cos(w_2a_1+w_1a_2)+ i\cdot \sin(w_2a_1+w_1a_2) \big) </math> === (4) Addition von Logarithmen === :<math> \log(z_1) + \log(z_2) = \log(z_1 z_2) </math> > '''Achtung:''' Dies ist '''nicht''' immer wahr, wenn man '''nicht''' mit Äquivalenzklassen arbeitet! > Aber '''in der Klassen-Sicht''' ist es '''richtig'''. > '''Warum?''' Weil die Addition von Klassen kommutativ und assoziativ ist. --- == 7. Zusammenhang mit Logarithmenzweigen == Ein '''Logarithmenzweig''' ist eine '''stetige Auswahl''' von Werten aus <math> \log(z) </math>, d. h. eine Funktion <math> L: G \to \mathbb{C} </math>, sodass <math> \exp(L(z)) = z </math> und <math> L </math> stetig auf einem Gebiet <math> G \subseteq \mathbb{C} \setminus \{0\} </math>. > '''Beispiel:''' > Der '''Hauptzweig''' <math> \text{Log}(z) </math> ist ein Logarithmenzweig auf <math> \mathbb{C} \setminus (-\infty, 0] </math>. > '''Jeder Logarithmenzweig''' <math> L </math> wählt '''einen Repräsentanten''' aus jeder Äquivalenzklasse <math> [w]_0 </math>, nämlich <math> L(z) \in [w]_0 </math>. > '''Zusammenhang:''' > Die Menge aller Logarithmenzweige entspricht '''der Wahl einer Schnittlinie''' (Branch Cut), die verhindert, dass man um den Ursprung herumwandert und die Klasse wechselt. --- == 8. Zusammenfassung: Struktur der Logarithmen == | Konzept | Beschreibung | |--------|--------------| | '''Äquivalenzklasse''' <math> [w]_0 </math> | Menge aller <math> w + 2\pi i k </math>, <math> k \in \mathbb{Z} </math> | | '''Logarithmus von <math> z </math>''' | <math> \log(z) = [w]_0 </math>, wobei <math> \exp(w) = z </math> | | '''Hauptzweig''' | <math> \text{Log}(z) \in \log(z) </math>, mit <math> \text{Arg}(z) \in (-\pi, \pi] </math> | | '''Rechenregeln''' | <math> \log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2) </math>, <math> \log(z^a) = a \cdot \log(z) </math> (in Klassen) | | '''Exponentialfunktion''' | <math> \exp(\log(z)) = z </math>, <math> \log(\exp(w)) = [w]_0 </math> | --- == 9. Übungsaufgaben == 1. Zeige, dass <math> \log(-1) = [i\pi]_0 </math>. 2. Berechne <math> \log(i) + \log(i) </math> und vergleiche mit <math> \log(-1) </math>. 3. Zeige, dass <math> \log(z^2) = 2 \log(z) </math> in der Klassen-Sicht gilt. 4. Warum ist <math> \log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2) </math> '''nicht''' immer wahr, wenn man nur Zahlen verwendet? 5. Definiere einen anderen Logarithmenzweig auf <math> \mathbb{C} \setminus [0, \infty) </math>, der <math> \log(z) \in [i \cdot 0]_0 </math> für <math> z = 1 </math> wählt. --- == Lernziel == Du kannst: * den komplexen Logarithmus als '''Äquivalenzklasse''' verstehen, * die '''Rechenregeln''' für Logarithmen in der Klassen-Sicht korrekt anwenden, * den Zusammenhang zwischen '''Exponentialfunktion''', '''Logarithmenzweigen''' und '''Äquivalenzklassen''' erklären, * die '''Mehrdeutigkeit''' des Logarithmus strukturiert darstellen. --- '''Ende der Lerneinheit''' > '''Zusammenfassungssatz:''' > *Der komplexe Logarithmus von <math> z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> ist die Äquivalenzklasse <math> [w]_0 </math>, wobei <math> \exp(w) = z </math>. Diese Klasse ist genau die Menge aller Lösungen von <math> \exp(w) = z </math>. Alle Rechenregeln gelten in der Klassen-Sicht: <math> \log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2) </math>, <math> \log(z^a) = a \cdot \log(z) </math>, und <math> \exp(\log(z)) = z </math>.* == Siehe auch == * [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus]] * [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexer Logarithmus]] * [[logmod-Äquivalenzklassen]] * [[logmod-Funktion]] * [[negativer Hauptzweig des Logarithmus]] msdw3cwswjgtm045w9jodb77nxgslzm 1116214 1116212 2026-10-15T14:23:25Z Bert Niehaus 20843 /* Vergleich von Zweigen des Logarithmus */ 1116214 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Lerneinheit zu [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmen]] beschäftigt sich Äquivalenzklassen, deren Struktur und Rechenregeln, die durch den Zusammenhang mit der Exponentialfunktion und deren imaginärer <math>2\pi i</math>-Periodizität entsteht. Die Äquivalenzklassen helfen dabei, [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen#Rechenregeln|Rechenregeln]] aus den reellen Zahl für den [[Logarithmus]] auf den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexen Logarithmus]] bzw. deren Zweige zu übertragen. Die [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus]] spielt dabei bijektive Abbildungen eine besondere Rolle. === Periodizität der Exponentialfunktion === Der komplexe Logarithmus kann nicht eindeutig als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion <math> \exp: \mathbb{C} \to \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> festgelegt werden, da u.a. die Exponentialfunktion nicht injektiv ist und ein [[Zweig des Logarithmus]] von der Wahl des [[einfach zusammenhängend]]en Gebietes abhängt, auf dem der Logarithmus definiert ist. Es gilt für [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]]: :<math> \exp(w + 2\pi i) = \exp(w) = z\quad \text{für alle } w \in \mathbb{C} </math> Daher gibt es unendlich viele komplexe Zahlen <math> w </math>, die auf dieselbe Zahl <math> z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> abgebildet werden. Diese Mehrdeutigkeit ist die Motivation, um Äquivalenzklassen zu bilden. === Behandelt Aspekte in der Lerneinheit === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen#logmod_Aequivalenzlemma|LogMod-Äquivalenzklassenlemma]]:''' Beziehung Exponentialfunktion und Zweigen des Logarithmus * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen#Repraesentantenunabhaengigkeit|Repräsentantenunabhängigkeit]]''' für die Addition von [[logmod-Äquivalenzklassen]] == Äquivalenzklassen des Logarithmus == Um Äquivalenzklassen zu bilden, benötigt man eine Äquivalenzrelation als Teilmenge von <math>\mathbb{C}\times \mathbb{C} </math>, die zwei Elemente <math> w_1, w_2 \in \mathbb{C} </math>, wenn deren Differenz ein ganzzahliges Vielfaches von <math>2\pi i</math> ist. === Definition - logmod-Äquivalenzrelation === Zwei komplexe Zahlen <math> w_1, w_2 \in \mathbb{C} </math> heißen logmod-äquivalent modulo <math> 2\pi i </math>, wenn gilt: :<math> w_1 - w_2 \in 2\pi i \cdot \mathbb{Z} := \{w\in \mathbb{C} \, : \, w=2\pi i \cdot k \mbox{ und } k\in \mathbb{Z} \} </math> Formal notiert man diese Äquivalenz wie folgt: :<math> w_1 \equiv w_2 \ \mathrm{logmod}\ {2\pi i} </math> ==== Aufgabe für Studierende ==== Zeigen Sie, dass diese Relation eine ''Äquivalenzrelation'' ist, d.h. die [[logmod-Funktion|logmod-Relation]] ist [[w:de:Äquivalenzrelation|reflexiv, symmetrisch und transitiv]]. === Definition - logmod-Äquivalenzklasse === Für eine komplexe Zahl <math> w \in \mathbb{C} </math> ist die Äquivalenzklasse definiert als: :<math> [w]_0 := \{ w + 2\pi i k \mid k \in \mathbb{Z} \} </math> ==== Bezeichnung - Äquivalenzklassenindex==== Die Indexierung mit <math> _0 </math> deutet an, dass dies diese Äquivalenzklasse ohne Logarithmierung in <math>\mathbb{C}</math> gebildet wurde. Bildet man rekursiv höhere Logarithmen als Verkettung entstehen Äquivalenzklassen <math>[w]_n</math>, wobei <math>n</math>-fach rekursiv der Logarithmus verkettet wird, falls dieser existiert. == Verbindung mit der Exponentialfunktion == Da die Exponentialfunktion im Imaginärteil des Arguments eine Periodizität von <math>2\pi i</math> besitzt, entsprechen Äquivalenzklassen <math>[w]_0</math> entsprechen einem Bildpunkt <math>z=e^w</math>. Dieser Verbindung zwischen Exponentialfunktion und Logarithmus wird durch das LogMod-Äquivalenzklassenlemma festgehalten. <span id="logmod_Aequivalenzlemma"></span> === LogMod-Äquivalenzklassenlemma === Sei <math>w\in\mathbb{C} \setminus \{0\} </math> mit <math>\mathrm{logmod}(w) = 0</math> gegeben. Für eine feste komplexe Zahl <math> z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> gilt folgende Äquivalenzaussage: :<math> \exp(\widehat{w}) = z \quad \text{für alle } \widehat{w} \in [w]_0 </math> genau dann, wenn <math> \exp(w) = z </math>. === Beweis - LogMod-Äquivalenzlemma === Für <math> w\in \mathbb{D}_1 := \mathbb{R}\times i\cdot [0,2\pi)</math> gelte <math>\exp(w)=z</math>. Das LogMod-Äquivalenzlemma ist eine Äquivalenzaussage. Daher werden zwei Beweisrichtungen gezeigt: \mbox{} <math display="block"> \begin{array}{llcl} \mbox{ (LML1) } & \exp(\widehat{w}) = z & \quad \Longrightarrow \quad & \widehat{w} \in [w]_0 \\ \mbox{ (LML2) } & \widehat{w} \in [w]_0 & \quad \Longrightarrow \quad & \exp(\widehat{w}) = z \\ \end{array} </math> ==== Schritt 1 - Beweisrichtung LML1 ==== Sei <math> \widehat{w} \in \mathbb{C} </math> mit <math> \exp(\widehat{w}) = z </math> beliebig gewählt. Dann gilt mit der Voraussetzung <math> \exp(w) = z \not= 0</math> und Potenzgesetzen: :<math> 1 = \frac{z}{z} = \frac{\widehat{w}}{\exp(\exp(w))} = \exp(\widehat{w}-w) </math> Die Gleichung <math>1 = \exp(\widehat{w}-w)</math> gilt genau dann, wenn <math> w-\widehat{w} = 2\pi i \cdot k</math> mit <math>k \in \mathbb{Z}</math>. ==== Schritt 2 - Beweisrichtung LML1 ==== Damit gilt auch <math> w = \widehat{w} + 2\pi i \cdot k </math>. Die ganze Zahl <math> k\in \mathbb{Z} </math> ist durch die [[logmod-Funktion]] und es gilt <math>k= \mathrm{logmod}(\widehat{w})</math>, da <math> w\in \mathbb{D}_1 = \mathbb{R} + i\cdot [0,2\pi) </math> nach Voraussetzung gilt und man erhält <math>\widehat{w} \in [w]_0</math>. ==== Schritt 3 - Äquivalenzklasse gegeben LML2 ==== Sei umgekehrt <math>\widehat{w} \in [w]_0</math> gegeben. Dann gibt es nach Definition der Äquivalenzklasse ein <math> k := logmod(\widehat{w})\in \mathbb{Z} </math> mit der Eigenschaft <math>\widehat{w}:= w + 2\pi i k</math>. Nun wen man diese Darstellung von <math>\widehat{w}</math> auf die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] an und verwendet Periodizität <math>\exp</math> bzgl. <math>2\pi i</math> und erhält: :<math> \exp(\widehat{w}) = \exp(w + 2\pi i k) = \exp(w) \cdot \exp(2\pi i k) = z \cdot 1 = z </math> ==== Schritt 4 - LML2 ==== Da <math>\widehat{w} \in [w]_0</math> beliebig gewählt wurde, gilt für alle <math> \widehat{w} \in [w]_0 </math> die Eigenschaft <math> \exp(\widehat{w}) = z </math> und zusammen mit LML1 gilt die Äquivalenzaussage aus dem Lemma <math>\quad \Box</math>. === Folgerung - LogMod-Äquivalenzklassenlemma ==== Fasst man zu einem gegebenen <math>z\in \mathbb{C}\setminus\{0\}</math> die Menge alle komplexen Zahlen <math> \widehat{w} \in \mathbb{C} </math> zu einer Menge zusammen, die die Eigenschaft <math> \exp(\widehat{w}) = z </math> erfüllen, so erhält man die Äquivalenzklasse <math> [w]_0 </math>, wobei <math> w </math> eine beliebige Lösung von <math> \exp(w) = z </math> ist. ==== Bemerkung - LogMod-Äquivalenzklassenlemma ==== Für die Äquivalenzklassenanalyse spielt das Repräsentatensystem <math>\mathbb{D}_1= \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi)</math> eine besondere Rolle. DasRepräsentatensystem <math>\mathbb{D}_1</math> entsteht durch [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus|algebraische Vervollständigkeit]] des [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweiges]] des [[Logarithmus]]. == Äquivalenzklassenaddition == Um die aus der reellen Analysis bekannten Rechenregeln auf Logarithmen in den komplexen Zahlen verwenden zu können werden Äquivalenzklassen verwendet. Die Struktur und Gültigkeit der Rechenregeln wird in diesem Teil der Lerneinheit genauer untersucht. === komplexe Logarithmus als Lösungsmenge === Der komplexe Äquivalenzklassen-Logarithmus von <math> z </math> bildet nicht auf ein Element in <math>\mathbb{C}</math> ab, sondern auf ein Teilmenge von <math>\mathbb{C}</math>. Dies führt im weiteren Verlauf der Lehrveranstaltung zum Begriff des [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarithmus]]. Sei <math>w \in \mathbb{C}</math> beliebig gewählt, dann definiert man <math>w_0 := w - \mathrm{logmod}(w)\cdot 2\pi i \in \mathbb{D}_1</math> als Repräsentant der [[logmod-Äquivalenzklassen|Äquivalenzklasse]] <math> [w]_0</math>. :<math> \mathrm{lnr}_1(z) := \{ w \in \mathbb{C} \mid \exp(w) = z \} = [w]_0 </math> für ein beliebiges <math> w_0 \in \mathbb{D}_1 := \mathbb{R}+ i\cdot [0,2\pi)</math> mit <math> \exp(w_0) = z </math>. ==== Beispiel 1 - Neutrales Element für Äquivalenklassenaddition ==== Algebraisch wird später <math>\mathbb{D}_1</math> mit einer inneren Verknüpfung <math>\oplus</math> zu einer kommunitative Gruppe. Daher wird das [[w:de:neutrales Element|neutrale Element]] von <math>\oplus</math> als Beispieläquivalenzklasse genannt und in Beziehung zum Logarithmus gesetzt. Für <math> z = 1 </math> ist der komplexe rekursive Logarithmus :<math> \mathrm{lnr}_1(1) = \{ 2\pi i k \, : \, k \in \mathbb{Z} \} = [0]_0 </math> ==== Beispiel 2 - Logarithmus der imaginären Einheit ==== Da zunächst die [[rekursiver Logarithmus|rekursive komplexe Logarithmen]] von elementaren komplexen Zahlen genannt. Wählt man <math> z = i </math> so gilt <math> \exp\left(i \tfrac{\pi}{2}\right) = i </math> und <math>i\tfrac{\pi}{2} \in \mathbb{D}_1</math>. Bildet man nun den von [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarithmus]] von <math> z = i </math> erhält man: :<math> \mathrm{lnr}_1(i) = \left\{ i \left( \frac{\pi}{2} + 2\pi k \right) \mid k \in \mathbb{Z} \right\} = \left[ i \frac{\pi}{2} \right]_0 </math> ==== Beispiel 3 - rekursiver Logarithmus von -1 ==== Ablschießend wird auch noch der [[rekursiver Logarithmus|rekursive komplexe Logarithmen]] von <math> z = -1 </math> genannt. Wegen <math> \exp\left(i \pi \right) = -1 </math> und <math>i \pi \in \mathbb{D}_1=\mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi) </math> erhält man: :<math> \mathrm{lnr}_1(-1) = \left\{ i \left( \pi + 2\pi k \right) \mid k \in \mathbb{Z} \right\} = \left[ i \pi \right]_0 </math> === Repräsentantensystem === Um einen eindeutigen Funktionswert als Äquivalenzklasse zu erhalten, wählt man eine spezielles Repräsentantensystem <math>\mathbb{D}_1:= \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi) \subset \mathbb{C}</math> um alle Äquivalenzklassen darstellen zu können. Dabei wird die [[logmod-Funktion]] verwendet, um für eine beliebige komplexe Zahl <math>w\in \mathbb{C}</math> die zugehörigen Repräsentanten <math>w_0 \in\mathbb{D}_1</math> über <math> w_0 = w - 2\pi i \cdot \mathrm{logmod}(w)</math> zu bestimmen. <span id="Definition"> === Definition - logmod-Äquivalenzklassenaddition === Für <math> z_1,z_2 \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> und <math>w_1,w_2 \in\mathbb{D}_1</math> gelte <math>\exp(z_1)=w_1</math> und <math>\exp(z_2)=w_2</math>. Man definiert nun die Äquivalenzklassenaddition <math>(\mathbb{D}_1,\oplus)</math> wie folgt. :<math> [w_1]_0 \oplus [w_2]_0 := [w_1 + w_2]_0 </math> ==== Bemerkung - Repräsentant der Äquivalenzklasse ==== Der Repräsentant <math>w_1 + w_2 </math> der Äquivalenzklasse wobei <math>[w_1 + w_2]_0 </math> liegt nicht notwendigerweise auch in <math>\mathbb{D}_1</math>, was das folgende Beispiel zeigt. ==== Beispiel - Repräsentant bei additiver Verknüpfung ==== Wählt man <math> z_1 = z_2 = -i </math>, so erhält man <math> w_1 = w_2 = \tfrac{3}{2}\pi i \in \mathbb{D}_1 </math> und es gilt <math> w_1 + w_2 = 3\pi i \notin \mathbb{D}_1 </math>. Möchte man den zugehörigen Repräsentanten aus <math>\mathbb{D}_1 </math> bestimmen, verwendet man wieder die [[logmod-Funktion]]: :<math> [w_1]_0 \oplus [w_2]_0 = [w_1 + w_2]_0 = [w]_0 </math> mit <math> w = w_1+w_2 - 2\pi i \cdot \mathrm{logmod}(w_1+w_2)</math> ==== Bemerkung - Notation ==== Für die Addition <math>\oplus</math> der [[logmod-Äquivalenzklassen]] wird zur Abgrenzung zu additiven Verknüpfung in <math>+</math> in <math>\mathbb{C}</math> das Symbol <math>\oplus</math> verwendet. :<math> \left[ 1+\frac{3}{2}\pi i \right]_0 \oplus \left[5+\frac{1}{2}\pi i \right]_0 = \left[ \left(1+\frac{3}{2}\pi i\right) + \left(5+\frac{1}{2}\pi i\right) \right]_0 = [6+2\pi i]_0 = [6]_0 </math> Im linken Term werden zwei Äquivalenzklassen addiert (daher <math>\oplus</math>) und in den beiden rechten Termen ist das Standardaddition in den komplexen Zahlen. == Rechenregeln für Äquivalenzklassen == Zunächst einmal muss man kurz die Repräsentantenunabhängigkeit der Äquivalenzklassenaddition auf <math>[\mathbb{D}_1]_0</math> überprüfen. Dabei ist <math>\oplus</math> eine innere Verknüpfung auf <math>[\mathbb{D}_1]_0</math> der Form: :<math> \begin{array}{rrcl} f: & [\mathbb{D}_1]_0 \times [\mathbb{D}_1]_0 & \rightarrow & [\mathbb{D}_1]_0\\ & \left( [w_1]_0,[w_2]_0 \right) & \mapsto & [w_1]_0 \oplus [w_2]_0 = [w_1+w_2]_0 = \\ & & & \bigg[\, \underbrace{w_1+w_2 - \mathrm{logmod}(w_1+w_2) \cdot 2\pi i}_{\in \mathbb{D}_1}\,\bigg]_0 \end{array} </math> Dabei beschreibt <math>[\mathbb{D}_1]_0 = \{ [w]_0 \, \colon \, w\in \mathbb{D}_1 \}</math> die Menge aller [[logmod-Äquivalenzklassen]] mit dem Repräsentantensystem <math>\mathbb{D}_1</math>. <hr> <span id="Repraesentantenunabhaengigkeit"></span> === Lemma zur Repräsentantenunabhängigkeit === Die innere additive Verknüpfung <math> ([\mathbb{D}_1]_0 , \oplus)</math> auf den [[logmod-Äquivalenzklassen]] ist repräsentantenunabhängig. === Beweis - Lemma zur Repräsentantenunabhängigkeit === Die Beweisidee der Repräsentantenunabhängigkeit beruht auf der Auswahl von zwei beliebigen unterschiedlichen Repräsentanten <math>w_1</math> und <math>\widehat{w_1}</math> bzw. <math>w_2</math> und <math>\widehat{w_2}</math> und man zeigt dann die Addition mit <math>\oplus</math> für die [[logmod-Äquivalenzklassen]] die gleiche Äquivalenzklasse <math>[w_1+w_2]_0=[\widehat{w_1}+\widehat{w_2}]_0</math> liefert. ==== Beweisschritt 1 - Wahl der Repräsentanten ==== Seien <math>w_1,w_2 \in \mathbb{D}_1</math> und <math>k_1, k_2 \in \mathbb{Z}</math> beliebig gewählt, dann sind <math>\widehat{w_1}=2\pi i\cdot k_1 </math> und <math>\widehat{w_2}=2\pi i\cdot k_2 </math> weitere Repräsentanten der [[logmod-Äquivalenzklassen]] <math>[w_1]_0,[w_2]_0 \in [\mathbb{D}_1]_0</math> und es gilt: :<math> [w_1]_0 = [\widehat{w_1}]_0 \quad [w_2]_0 = [\widehat{w_2}]_0 </math> ==== Beweisschritt 2 - Definition der Addition anwenden ==== Nach Definition der Addition von [[logmod-Äquivalenzklassen]] gilt: :<math> \begin{array}{rcl} [\widehat{w_1}]_0 \oplus [\widehat{w_1}]_0 & = & [\widehat{w_1} + \widehat{w_1}]_0 \\ & = & [w_1+w_2+ (k_1+k_2)\cdot 2\pi i]_0 = [w_1+w_2]_0 \\ \end{array} </math> Damit ist die Addition von [[logmod-Äquivalenzklassen]] repräsentantenunabhängig. <math>\quad \Box</math> ==== Bemerkung - Exponentialfunktion und Zweige des Logarithmus ==== Sei <math>G\subset \mathbb{C}</math> ein [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängendes]] [[Gebiet (Mathematik)| Gebiet]] mit <math>0\notin G</math> und <math>w_0\in \mathbb{D}_1</math> und <math> \exp(w_0)=z_0</math> für ein mit <math>z_0 \in G \subset \mathbb{C}\setminus \{0\}</math>. Durch die Festlegung von <math>\log_G(z_0)=w_0</math> ist der Zweig <math>\log_{G}</math> als [[generalisierter Logarithmus]] bereits auf ganz <math>G</math> definiert (siehe [[Identitätssatz]] und <math>\exp(\log_G(z)) = z</math>). Bei der [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus|algebraischen Vervollständigung des Zweiges eines Logarithmus]] verliert man die Eigenschaft der [[holomorphe Funktion|Holomorphie]] und sogar der [[Stetigkeit]]. Sei Man muss daher [[Zweige des Logarithmus]] von der Definition eine [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarthmus]] trennen. * <math> \exp(\log_G(z)) = z </math> für alle <math> z \in G \subset \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> * <math> \log_G(\exp(w)) = z+2\pi i \cdot k </math> für <math> w \in \mathbb{C} </math> und ein existierendes <math>k\in \mathbb{Z} </math> für <math>w</math>. ==== Äquivalenzklassen als Wertebereich ==== Der rekursive Logarithmus <math> \mathrm{lnr}_1(z) = [w]_0</math> liefert als Funktionswert '''keine Zahl''', sondern eine '''Äquivalenzklasse'''. Diese ist selbst ein Element der [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelschen Sigma-Algebra]] <math>\mathcal{B}(\mathbb{C})</math> als abzählbare Vereingigung von Einpunktmenge der Form <math>w+k\cdot 2\pi i</math> mit <math>k\in \mathbb{Z} </math> . === Multiplikation von Äquivalenzklassen === Für <math> z_1, z_2 \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> und <math>w_1,w_2 \in \mathbb{D}_1</math> gelte <math>\exp(w_1)=z_1</math> und <math>\exp(w_2)=z_2</math>. Ferner werden zwei beliebige weitere Repräsentanten <math>\widehat{w_1}=w_1 + 2\pi i\cdot k_1 </math> und <math>\widehat{w_2}=w_2 + 2\pi i\cdot k_2 </math> mit <math>k_1, k_2 \in \mathbb{Z}</math> der [[logmod-Äquivalenzklassen]] <math>[w_1]_0,[w_2]_0 \in [\mathbb{D}_1]_0</math> gewählt. Es gilt damit: :<math> [w_1]_0 = [\widehat{w_1}]_0 \quad [w_2]_0 = [\widehat{w_2}]_0 </math>: Man untersucht nun die Multiplikation bzgl. der [[logmod-Äquivalenzklassen]]. === Multiplikation und Exponentialfunktion === Es gilt nach Voraussetzung <math>\exp(w_1)= \exp(\widehat{w_1})</math> und <math>\exp(w_2)= \exp(\widehat{w_2})</math> wegen imaginäre Periodizität bzgl. <math>2\pi i</math>. Man erhält daher folgende Gleichung: :<math> \exp(w_1+w_2) = \underbrace{\exp(w_1)}_{=z_1} \cdot \underbrace{\exp(w_2)}_{=z_2}= \underbrace{\exp(\widehat{w_1})}_{=z_1} \cdot \underbrace{\exp(\widehat{w_2})}_{=z_2} = \exp(\widehat{w_1}+\widehat{w_2}) </math> Dabei wurde <math>w_1 = \log_G(z_1)</math> und <math>w_2 = \log_G(z_2)</math> über einen [[generalisierter Logarithmus|generalisierten Logarithmus]] <math>\log_G</math> auf einem [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebiet <math>G</math> mit <math>0\notin G</math> bestimmt. ==== Anwendung auf den generalisierte Logarithmus ==== Mit den Vorüberlegungen bzgl. Exponentialfunktion gilt für den [[generalisierter Logarithmus|generalisierten Logarithmus]] <math>\log_G</math> folgende Eigenschaft mit geeignet gewähltem <math>k\in \mathbb{Z}</math>: :<math> \log_G(z_1 \cdot z_2) = \log_G(z_1) + \log_G(z_2) + k\cdot 2\pi i </math> Dabei kann <math>k\in \mathbb{Z}</math> über die [[logmod-Funktion]] mit <math>k=\mathrm{logmod}(z_1 \cdot z_2)</math> bestimmt werden. ==== Anwendung auf logmod-Äquivalenklassen ==== Da für die Summe zweier Äquivalenzklassen folgende Eigenschaft gilt, erhält man für <math>\exp(w) = z_1\cdot z_2</math> die [[logmod-Äquivalenzklassen]]gleichung: :<math> [w_1]_0 + [w_2]_0 = [w_1 + w_2]_0 = [w]_0 </math> Der [[rekursiver Logarithmus|rekursive Logarithmus]] erfüllt die Rechengesetze analog zu den [[Logarithmus|Logarithmusgesetzen]] in <math>\mathbb{R}</math>. :<math> \underbrace{\mathrm{lnr}_1(z_1\cdot z_2)}_{=[w]_0} = \underbrace{\mathrm{lnr}_1(z_1)}_{=[w_1]_0} + \underbrace{\mathrm{lnr}_1(z_2)}_{=[w_2]_0} = [w_1 + w_2]_0 </math> ==== Beispiel - Multiplikation der Log-Argumente==== Wählt man <math> z_1 = i = z_2 </math> so gilt <math> z_1 \cdot z_2 = -1 </math>. Für den rekursiven Logarithmus gilt dann: :<math> \mathrm{lnr_1}(i) = \left[ i \frac{\pi}{2} \right]_0 \quad \mathrm{lnr_1}(-1)=\mathrm{lnr_1}(i\cdot i) = \underbrace{\mathrm{lnr_1}(i)}_{=\left[ i \frac{\pi}{2} \right]_0} + \underbrace{\mathrm{lnr_1}(i)}_{=\left[ i \frac{\pi}{2} \right]_0} = [i\pi]_0 </math> === Potenzen und Logarithmus === Um Potenzen mit komplexen Exponenten definieren zu können, verwendet man Vorüberlegungen aus den reellen Zahlen. In <math>\mathbb{R}^+</math> gilt für <math>w=\ln(z)</math> für <math>z > 0 </math> und <math>a\in \mathbb{R}</math> die Gleichung: :<math> z^a = \exp(w\cdot a) = \exp(\ln(z) \cdot a) </math> [[Zweige des Logarithmus]] von einer <math> z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> unterscheiden sich um Vielfache von <math>2\pi i</math>. ==== Zweig des Logarithmus und Potenzen ==== Ist ein [[Zweig des Logarithmus]] <math>\log_G</math> auf einem [[einfach zusammenhängend]]em Gebiet gegeben, so definiert man für <math>z\in G</math> und <math>\log_G(z)=w</math>: :<math> z^a := \exp(w\cdot a) = \exp(\log_G(z) \cdot a) </math> Für andere [[Zweige des Logarithmus]] <math>\log_{\widehat{G}}</math> gibt es für <math>z\in \widehat{G}</math> ein ganze Zahl <math>k_z\in \mathbb{Z} </math> mit: :<math> \log_G(z) = w = \log_{\widehat{G}}(z) +2\pi i \cdot k_z </math> ==== Vergleich von Zweigen des Logarithmus ==== Wählt man für <math>G</math> den [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweig des Logarithmus]] mit <math> z \in G:= \mathbb{C} \setminus \mathbb{R}_0^{+} </math> und <math>a\in \mathbb{C}</math>. Werden <math>w, w_a \in \mathbb{D}_1 = \mathbb{R}+i\cdot[0,2\pi)</math> mit der Eigenschaft <math>\exp(w)=z</math> und <math>\exp(w_a)=z^a = \exp(w\cdot a)</math> zusammen mit zwei beliebigen weitere Repräsentanten <math>\widehat{w}=w + 2\pi i\cdot k </math> und <math>\widehat{w_a}=w_a + 2\pi i\cdot k_a </math> gewählt, so kann man mit <math>k, k_a \in \mathbb{Z}</math> die Beziehung zwischen den [[logmod-Äquivalenzklassen]] <math>[w]_0,[w_a]_0 \in [\mathbb{D}_1]_0</math> darstellen: :<math> \mathrm{lnr_1}(z^a) = [w_a]_0 = [w\cdot a]_0 =[w\cdot a + 2\pi i \cdot k ]_0 = [\widehat{w_a}]_0 </math> Dabei liefert der [[rekursiver Logarithmus|rekursive Logarithmus]] im Wertebereich eine [[logmod-Äquivalenzklassen|logmod-Äquivalenzklasse]] und keine Zahl aus <math>\mathbb{C}</math>. ==== Darstellung als Äquivalenzklassen ==== Gilt <math>\log_G(z)=w</math> und <math>z^a:= \exp\big(\, \underbrace{\log_G(z)\cdot a}_{=w_a}\, \big) = \exp(w\cdot a)</math>, so erhält man in der Äquivalenzklassen-Sicht folgende Gleichung: :<math> a \cdot [w]_0 = [w_a]_0 </math> > wobei die Multiplikation einer Äquivalenzklasse mit einer komplexen Zahl definiert ist als: > :<math> > a \cdot [w]_0 := [a w]_0 > </math> > '''Beispiel:''' > <math> z = i </math>, <math> a = 2 </math> → <math> z^a = -1 </math> > <math> \log(z^a) = \log(-1) = [i\pi]_0 </math> > <math> a \cdot \log(z) = 2 \cdot [i \pi/2]_0 = [i\pi]_0 </math> → stimmt. --- ==== Exponentialfunktion und Eulersche Formel ==== Stell man <math>a=a_1+ia_2\in \mathbb{C}</math> dar und wendet man die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] an, gilt die folgende Eigenschaft mit <math>w=w_1+iw_2\in \mathbb{C}</math> und <math> z = e^{\log_G(z)}</math>: :<math> z^a := e^{\log_G(z)\cdot a} = e^{\overbrace{(w_1+iw_2)}^{=w}\cdot \overbrace{(a_1+i\cdot a_2)}^{=a}} = e^{(w_1a_1-w_2a_2) + i\cdot (w_2a_1+w_1a_2)} </math> Durch Anwendung der [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] auf den rechten Term erhält man: :<math> z^a = \underbrace{e^{w_1a_1-w_2a_2}}_{=|z^a|} \cdot \big( \cos(w_2a_1+w_1a_2)+ i\cdot \sin(w_2a_1+w_1a_2) \big) </math> === (4) Addition von Logarithmen === :<math> \log(z_1) + \log(z_2) = \log(z_1 z_2) </math> > '''Achtung:''' Dies ist '''nicht''' immer wahr, wenn man '''nicht''' mit Äquivalenzklassen arbeitet! > Aber '''in der Klassen-Sicht''' ist es '''richtig'''. > '''Warum?''' Weil die Addition von Klassen kommutativ und assoziativ ist. --- == 7. Zusammenhang mit Logarithmenzweigen == Ein '''Logarithmenzweig''' ist eine '''stetige Auswahl''' von Werten aus <math> \log(z) </math>, d. h. eine Funktion <math> L: G \to \mathbb{C} </math>, sodass <math> \exp(L(z)) = z </math> und <math> L </math> stetig auf einem Gebiet <math> G \subseteq \mathbb{C} \setminus \{0\} </math>. > '''Beispiel:''' > Der '''Hauptzweig''' <math> \text{Log}(z) </math> ist ein Logarithmenzweig auf <math> \mathbb{C} \setminus (-\infty, 0] </math>. > '''Jeder Logarithmenzweig''' <math> L </math> wählt '''einen Repräsentanten''' aus jeder Äquivalenzklasse <math> [w]_0 </math>, nämlich <math> L(z) \in [w]_0 </math>. > '''Zusammenhang:''' > Die Menge aller Logarithmenzweige entspricht '''der Wahl einer Schnittlinie''' (Branch Cut), die verhindert, dass man um den Ursprung herumwandert und die Klasse wechselt. --- == 8. Zusammenfassung: Struktur der Logarithmen == | Konzept | Beschreibung | |--------|--------------| | '''Äquivalenzklasse''' <math> [w]_0 </math> | Menge aller <math> w + 2\pi i k </math>, <math> k \in \mathbb{Z} </math> | | '''Logarithmus von <math> z </math>''' | <math> \log(z) = [w]_0 </math>, wobei <math> \exp(w) = z </math> | | '''Hauptzweig''' | <math> \text{Log}(z) \in \log(z) </math>, mit <math> \text{Arg}(z) \in (-\pi, \pi] </math> | | '''Rechenregeln''' | <math> \log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2) </math>, <math> \log(z^a) = a \cdot \log(z) </math> (in Klassen) | | '''Exponentialfunktion''' | <math> \exp(\log(z)) = z </math>, <math> \log(\exp(w)) = [w]_0 </math> | --- == 9. Übungsaufgaben == 1. Zeige, dass <math> \log(-1) = [i\pi]_0 </math>. 2. Berechne <math> \log(i) + \log(i) </math> und vergleiche mit <math> \log(-1) </math>. 3. Zeige, dass <math> \log(z^2) = 2 \log(z) </math> in der Klassen-Sicht gilt. 4. Warum ist <math> \log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2) </math> '''nicht''' immer wahr, wenn man nur Zahlen verwendet? 5. Definiere einen anderen Logarithmenzweig auf <math> \mathbb{C} \setminus [0, \infty) </math>, der <math> \log(z) \in [i \cdot 0]_0 </math> für <math> z = 1 </math> wählt. --- == Lernziel == Du kannst: * den komplexen Logarithmus als '''Äquivalenzklasse''' verstehen, * die '''Rechenregeln''' für Logarithmen in der Klassen-Sicht korrekt anwenden, * den Zusammenhang zwischen '''Exponentialfunktion''', '''Logarithmenzweigen''' und '''Äquivalenzklassen''' erklären, * die '''Mehrdeutigkeit''' des Logarithmus strukturiert darstellen. --- '''Ende der Lerneinheit''' > '''Zusammenfassungssatz:''' > *Der komplexe Logarithmus von <math> z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> ist die Äquivalenzklasse <math> [w]_0 </math>, wobei <math> \exp(w) = z </math>. Diese Klasse ist genau die Menge aller Lösungen von <math> \exp(w) = z </math>. Alle Rechenregeln gelten in der Klassen-Sicht: <math> \log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2) </math>, <math> \log(z^a) = a \cdot \log(z) </math>, und <math> \exp(\log(z)) = z </math>.* == Siehe auch == * [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus]] * [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexer Logarithmus]] * [[logmod-Äquivalenzklassen]] * [[logmod-Funktion]] * [[negativer Hauptzweig des Logarithmus]] 2jaowa5w0eh2uzl993lejc2kpnnkjcg 1116225 1116214 2026-10-15T14:35:42Z Bert Niehaus 20843 /* Darstellung als Äquivalenzklassen */ 1116225 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Lerneinheit zu [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmen]] beschäftigt sich Äquivalenzklassen, deren Struktur und Rechenregeln, die durch den Zusammenhang mit der Exponentialfunktion und deren imaginärer <math>2\pi i</math>-Periodizität entsteht. Die Äquivalenzklassen helfen dabei, [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen#Rechenregeln|Rechenregeln]] aus den reellen Zahl für den [[Logarithmus]] auf den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexen Logarithmus]] bzw. deren Zweige zu übertragen. Die [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus]] spielt dabei bijektive Abbildungen eine besondere Rolle. === Periodizität der Exponentialfunktion === Der komplexe Logarithmus kann nicht eindeutig als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion <math> \exp: \mathbb{C} \to \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> festgelegt werden, da u.a. die Exponentialfunktion nicht injektiv ist und ein [[Zweig des Logarithmus]] von der Wahl des [[einfach zusammenhängend]]en Gebietes abhängt, auf dem der Logarithmus definiert ist. Es gilt für [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]]: :<math> \exp(w + 2\pi i) = \exp(w) = z\quad \text{für alle } w \in \mathbb{C} </math> Daher gibt es unendlich viele komplexe Zahlen <math> w </math>, die auf dieselbe Zahl <math> z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> abgebildet werden. Diese Mehrdeutigkeit ist die Motivation, um Äquivalenzklassen zu bilden. === Behandelt Aspekte in der Lerneinheit === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen#logmod_Aequivalenzlemma|LogMod-Äquivalenzklassenlemma]]:''' Beziehung Exponentialfunktion und Zweigen des Logarithmus * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen#Repraesentantenunabhaengigkeit|Repräsentantenunabhängigkeit]]''' für die Addition von [[logmod-Äquivalenzklassen]] == Äquivalenzklassen des Logarithmus == Um Äquivalenzklassen zu bilden, benötigt man eine Äquivalenzrelation als Teilmenge von <math>\mathbb{C}\times \mathbb{C} </math>, die zwei Elemente <math> w_1, w_2 \in \mathbb{C} </math>, wenn deren Differenz ein ganzzahliges Vielfaches von <math>2\pi i</math> ist. === Definition - logmod-Äquivalenzrelation === Zwei komplexe Zahlen <math> w_1, w_2 \in \mathbb{C} </math> heißen logmod-äquivalent modulo <math> 2\pi i </math>, wenn gilt: :<math> w_1 - w_2 \in 2\pi i \cdot \mathbb{Z} := \{w\in \mathbb{C} \, : \, w=2\pi i \cdot k \mbox{ und } k\in \mathbb{Z} \} </math> Formal notiert man diese Äquivalenz wie folgt: :<math> w_1 \equiv w_2 \ \mathrm{logmod}\ {2\pi i} </math> ==== Aufgabe für Studierende ==== Zeigen Sie, dass diese Relation eine ''Äquivalenzrelation'' ist, d.h. die [[logmod-Funktion|logmod-Relation]] ist [[w:de:Äquivalenzrelation|reflexiv, symmetrisch und transitiv]]. === Definition - logmod-Äquivalenzklasse === Für eine komplexe Zahl <math> w \in \mathbb{C} </math> ist die Äquivalenzklasse definiert als: :<math> [w]_0 := \{ w + 2\pi i k \mid k \in \mathbb{Z} \} </math> ==== Bezeichnung - Äquivalenzklassenindex==== Die Indexierung mit <math> _0 </math> deutet an, dass dies diese Äquivalenzklasse ohne Logarithmierung in <math>\mathbb{C}</math> gebildet wurde. Bildet man rekursiv höhere Logarithmen als Verkettung entstehen Äquivalenzklassen <math>[w]_n</math>, wobei <math>n</math>-fach rekursiv der Logarithmus verkettet wird, falls dieser existiert. == Verbindung mit der Exponentialfunktion == Da die Exponentialfunktion im Imaginärteil des Arguments eine Periodizität von <math>2\pi i</math> besitzt, entsprechen Äquivalenzklassen <math>[w]_0</math> entsprechen einem Bildpunkt <math>z=e^w</math>. Dieser Verbindung zwischen Exponentialfunktion und Logarithmus wird durch das LogMod-Äquivalenzklassenlemma festgehalten. <span id="logmod_Aequivalenzlemma"></span> === LogMod-Äquivalenzklassenlemma === Sei <math>w\in\mathbb{C} \setminus \{0\} </math> mit <math>\mathrm{logmod}(w) = 0</math> gegeben. Für eine feste komplexe Zahl <math> z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> gilt folgende Äquivalenzaussage: :<math> \exp(\widehat{w}) = z \quad \text{für alle } \widehat{w} \in [w]_0 </math> genau dann, wenn <math> \exp(w) = z </math>. === Beweis - LogMod-Äquivalenzlemma === Für <math> w\in \mathbb{D}_1 := \mathbb{R}\times i\cdot [0,2\pi)</math> gelte <math>\exp(w)=z</math>. Das LogMod-Äquivalenzlemma ist eine Äquivalenzaussage. Daher werden zwei Beweisrichtungen gezeigt: \mbox{} <math display="block"> \begin{array}{llcl} \mbox{ (LML1) } & \exp(\widehat{w}) = z & \quad \Longrightarrow \quad & \widehat{w} \in [w]_0 \\ \mbox{ (LML2) } & \widehat{w} \in [w]_0 & \quad \Longrightarrow \quad & \exp(\widehat{w}) = z \\ \end{array} </math> ==== Schritt 1 - Beweisrichtung LML1 ==== Sei <math> \widehat{w} \in \mathbb{C} </math> mit <math> \exp(\widehat{w}) = z </math> beliebig gewählt. Dann gilt mit der Voraussetzung <math> \exp(w) = z \not= 0</math> und Potenzgesetzen: :<math> 1 = \frac{z}{z} = \frac{\widehat{w}}{\exp(\exp(w))} = \exp(\widehat{w}-w) </math> Die Gleichung <math>1 = \exp(\widehat{w}-w)</math> gilt genau dann, wenn <math> w-\widehat{w} = 2\pi i \cdot k</math> mit <math>k \in \mathbb{Z}</math>. ==== Schritt 2 - Beweisrichtung LML1 ==== Damit gilt auch <math> w = \widehat{w} + 2\pi i \cdot k </math>. Die ganze Zahl <math> k\in \mathbb{Z} </math> ist durch die [[logmod-Funktion]] und es gilt <math>k= \mathrm{logmod}(\widehat{w})</math>, da <math> w\in \mathbb{D}_1 = \mathbb{R} + i\cdot [0,2\pi) </math> nach Voraussetzung gilt und man erhält <math>\widehat{w} \in [w]_0</math>. ==== Schritt 3 - Äquivalenzklasse gegeben LML2 ==== Sei umgekehrt <math>\widehat{w} \in [w]_0</math> gegeben. Dann gibt es nach Definition der Äquivalenzklasse ein <math> k := logmod(\widehat{w})\in \mathbb{Z} </math> mit der Eigenschaft <math>\widehat{w}:= w + 2\pi i k</math>. Nun wen man diese Darstellung von <math>\widehat{w}</math> auf die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] an und verwendet Periodizität <math>\exp</math> bzgl. <math>2\pi i</math> und erhält: :<math> \exp(\widehat{w}) = \exp(w + 2\pi i k) = \exp(w) \cdot \exp(2\pi i k) = z \cdot 1 = z </math> ==== Schritt 4 - LML2 ==== Da <math>\widehat{w} \in [w]_0</math> beliebig gewählt wurde, gilt für alle <math> \widehat{w} \in [w]_0 </math> die Eigenschaft <math> \exp(\widehat{w}) = z </math> und zusammen mit LML1 gilt die Äquivalenzaussage aus dem Lemma <math>\quad \Box</math>. === Folgerung - LogMod-Äquivalenzklassenlemma ==== Fasst man zu einem gegebenen <math>z\in \mathbb{C}\setminus\{0\}</math> die Menge alle komplexen Zahlen <math> \widehat{w} \in \mathbb{C} </math> zu einer Menge zusammen, die die Eigenschaft <math> \exp(\widehat{w}) = z </math> erfüllen, so erhält man die Äquivalenzklasse <math> [w]_0 </math>, wobei <math> w </math> eine beliebige Lösung von <math> \exp(w) = z </math> ist. ==== Bemerkung - LogMod-Äquivalenzklassenlemma ==== Für die Äquivalenzklassenanalyse spielt das Repräsentatensystem <math>\mathbb{D}_1= \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi)</math> eine besondere Rolle. DasRepräsentatensystem <math>\mathbb{D}_1</math> entsteht durch [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus|algebraische Vervollständigkeit]] des [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweiges]] des [[Logarithmus]]. == Äquivalenzklassenaddition == Um die aus der reellen Analysis bekannten Rechenregeln auf Logarithmen in den komplexen Zahlen verwenden zu können werden Äquivalenzklassen verwendet. Die Struktur und Gültigkeit der Rechenregeln wird in diesem Teil der Lerneinheit genauer untersucht. === komplexe Logarithmus als Lösungsmenge === Der komplexe Äquivalenzklassen-Logarithmus von <math> z </math> bildet nicht auf ein Element in <math>\mathbb{C}</math> ab, sondern auf ein Teilmenge von <math>\mathbb{C}</math>. Dies führt im weiteren Verlauf der Lehrveranstaltung zum Begriff des [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarithmus]]. Sei <math>w \in \mathbb{C}</math> beliebig gewählt, dann definiert man <math>w_0 := w - \mathrm{logmod}(w)\cdot 2\pi i \in \mathbb{D}_1</math> als Repräsentant der [[logmod-Äquivalenzklassen|Äquivalenzklasse]] <math> [w]_0</math>. :<math> \mathrm{lnr}_1(z) := \{ w \in \mathbb{C} \mid \exp(w) = z \} = [w]_0 </math> für ein beliebiges <math> w_0 \in \mathbb{D}_1 := \mathbb{R}+ i\cdot [0,2\pi)</math> mit <math> \exp(w_0) = z </math>. ==== Beispiel 1 - Neutrales Element für Äquivalenklassenaddition ==== Algebraisch wird später <math>\mathbb{D}_1</math> mit einer inneren Verknüpfung <math>\oplus</math> zu einer kommunitative Gruppe. Daher wird das [[w:de:neutrales Element|neutrale Element]] von <math>\oplus</math> als Beispieläquivalenzklasse genannt und in Beziehung zum Logarithmus gesetzt. Für <math> z = 1 </math> ist der komplexe rekursive Logarithmus :<math> \mathrm{lnr}_1(1) = \{ 2\pi i k \, : \, k \in \mathbb{Z} \} = [0]_0 </math> ==== Beispiel 2 - Logarithmus der imaginären Einheit ==== Da zunächst die [[rekursiver Logarithmus|rekursive komplexe Logarithmen]] von elementaren komplexen Zahlen genannt. Wählt man <math> z = i </math> so gilt <math> \exp\left(i \tfrac{\pi}{2}\right) = i </math> und <math>i\tfrac{\pi}{2} \in \mathbb{D}_1</math>. Bildet man nun den von [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarithmus]] von <math> z = i </math> erhält man: :<math> \mathrm{lnr}_1(i) = \left\{ i \left( \frac{\pi}{2} + 2\pi k \right) \mid k \in \mathbb{Z} \right\} = \left[ i \frac{\pi}{2} \right]_0 </math> ==== Beispiel 3 - rekursiver Logarithmus von -1 ==== Ablschießend wird auch noch der [[rekursiver Logarithmus|rekursive komplexe Logarithmen]] von <math> z = -1 </math> genannt. Wegen <math> \exp\left(i \pi \right) = -1 </math> und <math>i \pi \in \mathbb{D}_1=\mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi) </math> erhält man: :<math> \mathrm{lnr}_1(-1) = \left\{ i \left( \pi + 2\pi k \right) \mid k \in \mathbb{Z} \right\} = \left[ i \pi \right]_0 </math> === Repräsentantensystem === Um einen eindeutigen Funktionswert als Äquivalenzklasse zu erhalten, wählt man eine spezielles Repräsentantensystem <math>\mathbb{D}_1:= \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi) \subset \mathbb{C}</math> um alle Äquivalenzklassen darstellen zu können. Dabei wird die [[logmod-Funktion]] verwendet, um für eine beliebige komplexe Zahl <math>w\in \mathbb{C}</math> die zugehörigen Repräsentanten <math>w_0 \in\mathbb{D}_1</math> über <math> w_0 = w - 2\pi i \cdot \mathrm{logmod}(w)</math> zu bestimmen. <span id="Definition"> === Definition - logmod-Äquivalenzklassenaddition === Für <math> z_1,z_2 \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> und <math>w_1,w_2 \in\mathbb{D}_1</math> gelte <math>\exp(z_1)=w_1</math> und <math>\exp(z_2)=w_2</math>. Man definiert nun die Äquivalenzklassenaddition <math>(\mathbb{D}_1,\oplus)</math> wie folgt. :<math> [w_1]_0 \oplus [w_2]_0 := [w_1 + w_2]_0 </math> ==== Bemerkung - Repräsentant der Äquivalenzklasse ==== Der Repräsentant <math>w_1 + w_2 </math> der Äquivalenzklasse wobei <math>[w_1 + w_2]_0 </math> liegt nicht notwendigerweise auch in <math>\mathbb{D}_1</math>, was das folgende Beispiel zeigt. ==== Beispiel - Repräsentant bei additiver Verknüpfung ==== Wählt man <math> z_1 = z_2 = -i </math>, so erhält man <math> w_1 = w_2 = \tfrac{3}{2}\pi i \in \mathbb{D}_1 </math> und es gilt <math> w_1 + w_2 = 3\pi i \notin \mathbb{D}_1 </math>. Möchte man den zugehörigen Repräsentanten aus <math>\mathbb{D}_1 </math> bestimmen, verwendet man wieder die [[logmod-Funktion]]: :<math> [w_1]_0 \oplus [w_2]_0 = [w_1 + w_2]_0 = [w]_0 </math> mit <math> w = w_1+w_2 - 2\pi i \cdot \mathrm{logmod}(w_1+w_2)</math> ==== Bemerkung - Notation ==== Für die Addition <math>\oplus</math> der [[logmod-Äquivalenzklassen]] wird zur Abgrenzung zu additiven Verknüpfung in <math>+</math> in <math>\mathbb{C}</math> das Symbol <math>\oplus</math> verwendet. :<math> \left[ 1+\frac{3}{2}\pi i \right]_0 \oplus \left[5+\frac{1}{2}\pi i \right]_0 = \left[ \left(1+\frac{3}{2}\pi i\right) + \left(5+\frac{1}{2}\pi i\right) \right]_0 = [6+2\pi i]_0 = [6]_0 </math> Im linken Term werden zwei Äquivalenzklassen addiert (daher <math>\oplus</math>) und in den beiden rechten Termen ist das Standardaddition in den komplexen Zahlen. == Rechenregeln für Äquivalenzklassen == Zunächst einmal muss man kurz die Repräsentantenunabhängigkeit der Äquivalenzklassenaddition auf <math>[\mathbb{D}_1]_0</math> überprüfen. Dabei ist <math>\oplus</math> eine innere Verknüpfung auf <math>[\mathbb{D}_1]_0</math> der Form: :<math> \begin{array}{rrcl} f: & [\mathbb{D}_1]_0 \times [\mathbb{D}_1]_0 & \rightarrow & [\mathbb{D}_1]_0\\ & \left( [w_1]_0,[w_2]_0 \right) & \mapsto & [w_1]_0 \oplus [w_2]_0 = [w_1+w_2]_0 = \\ & & & \bigg[\, \underbrace{w_1+w_2 - \mathrm{logmod}(w_1+w_2) \cdot 2\pi i}_{\in \mathbb{D}_1}\,\bigg]_0 \end{array} </math> Dabei beschreibt <math>[\mathbb{D}_1]_0 = \{ [w]_0 \, \colon \, w\in \mathbb{D}_1 \}</math> die Menge aller [[logmod-Äquivalenzklassen]] mit dem Repräsentantensystem <math>\mathbb{D}_1</math>. <hr> <span id="Repraesentantenunabhaengigkeit"></span> === Lemma zur Repräsentantenunabhängigkeit === Die innere additive Verknüpfung <math> ([\mathbb{D}_1]_0 , \oplus)</math> auf den [[logmod-Äquivalenzklassen]] ist repräsentantenunabhängig. === Beweis - Lemma zur Repräsentantenunabhängigkeit === Die Beweisidee der Repräsentantenunabhängigkeit beruht auf der Auswahl von zwei beliebigen unterschiedlichen Repräsentanten <math>w_1</math> und <math>\widehat{w_1}</math> bzw. <math>w_2</math> und <math>\widehat{w_2}</math> und man zeigt dann die Addition mit <math>\oplus</math> für die [[logmod-Äquivalenzklassen]] die gleiche Äquivalenzklasse <math>[w_1+w_2]_0=[\widehat{w_1}+\widehat{w_2}]_0</math> liefert. ==== Beweisschritt 1 - Wahl der Repräsentanten ==== Seien <math>w_1,w_2 \in \mathbb{D}_1</math> und <math>k_1, k_2 \in \mathbb{Z}</math> beliebig gewählt, dann sind <math>\widehat{w_1}=2\pi i\cdot k_1 </math> und <math>\widehat{w_2}=2\pi i\cdot k_2 </math> weitere Repräsentanten der [[logmod-Äquivalenzklassen]] <math>[w_1]_0,[w_2]_0 \in [\mathbb{D}_1]_0</math> und es gilt: :<math> [w_1]_0 = [\widehat{w_1}]_0 \quad [w_2]_0 = [\widehat{w_2}]_0 </math> ==== Beweisschritt 2 - Definition der Addition anwenden ==== Nach Definition der Addition von [[logmod-Äquivalenzklassen]] gilt: :<math> \begin{array}{rcl} [\widehat{w_1}]_0 \oplus [\widehat{w_1}]_0 & = & [\widehat{w_1} + \widehat{w_1}]_0 \\ & = & [w_1+w_2+ (k_1+k_2)\cdot 2\pi i]_0 = [w_1+w_2]_0 \\ \end{array} </math> Damit ist die Addition von [[logmod-Äquivalenzklassen]] repräsentantenunabhängig. <math>\quad \Box</math> ==== Bemerkung - Exponentialfunktion und Zweige des Logarithmus ==== Sei <math>G\subset \mathbb{C}</math> ein [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängendes]] [[Gebiet (Mathematik)| Gebiet]] mit <math>0\notin G</math> und <math>w_0\in \mathbb{D}_1</math> und <math> \exp(w_0)=z_0</math> für ein mit <math>z_0 \in G \subset \mathbb{C}\setminus \{0\}</math>. Durch die Festlegung von <math>\log_G(z_0)=w_0</math> ist der Zweig <math>\log_{G}</math> als [[generalisierter Logarithmus]] bereits auf ganz <math>G</math> definiert (siehe [[Identitätssatz]] und <math>\exp(\log_G(z)) = z</math>). Bei der [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus|algebraischen Vervollständigung des Zweiges eines Logarithmus]] verliert man die Eigenschaft der [[holomorphe Funktion|Holomorphie]] und sogar der [[Stetigkeit]]. Sei Man muss daher [[Zweige des Logarithmus]] von der Definition eine [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarthmus]] trennen. * <math> \exp(\log_G(z)) = z </math> für alle <math> z \in G \subset \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> * <math> \log_G(\exp(w)) = z+2\pi i \cdot k </math> für <math> w \in \mathbb{C} </math> und ein existierendes <math>k\in \mathbb{Z} </math> für <math>w</math>. ==== Äquivalenzklassen als Wertebereich ==== Der rekursive Logarithmus <math> \mathrm{lnr}_1(z) = [w]_0</math> liefert als Funktionswert '''keine Zahl''', sondern eine '''Äquivalenzklasse'''. Diese ist selbst ein Element der [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelschen Sigma-Algebra]] <math>\mathcal{B}(\mathbb{C})</math> als abzählbare Vereingigung von Einpunktmenge der Form <math>w+k\cdot 2\pi i</math> mit <math>k\in \mathbb{Z} </math> . === Multiplikation von Äquivalenzklassen === Für <math> z_1, z_2 \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> und <math>w_1,w_2 \in \mathbb{D}_1</math> gelte <math>\exp(w_1)=z_1</math> und <math>\exp(w_2)=z_2</math>. Ferner werden zwei beliebige weitere Repräsentanten <math>\widehat{w_1}=w_1 + 2\pi i\cdot k_1 </math> und <math>\widehat{w_2}=w_2 + 2\pi i\cdot k_2 </math> mit <math>k_1, k_2 \in \mathbb{Z}</math> der [[logmod-Äquivalenzklassen]] <math>[w_1]_0,[w_2]_0 \in [\mathbb{D}_1]_0</math> gewählt. Es gilt damit: :<math> [w_1]_0 = [\widehat{w_1}]_0 \quad [w_2]_0 = [\widehat{w_2}]_0 </math>: Man untersucht nun die Multiplikation bzgl. der [[logmod-Äquivalenzklassen]]. === Multiplikation und Exponentialfunktion === Es gilt nach Voraussetzung <math>\exp(w_1)= \exp(\widehat{w_1})</math> und <math>\exp(w_2)= \exp(\widehat{w_2})</math> wegen imaginäre Periodizität bzgl. <math>2\pi i</math>. Man erhält daher folgende Gleichung: :<math> \exp(w_1+w_2) = \underbrace{\exp(w_1)}_{=z_1} \cdot \underbrace{\exp(w_2)}_{=z_2}= \underbrace{\exp(\widehat{w_1})}_{=z_1} \cdot \underbrace{\exp(\widehat{w_2})}_{=z_2} = \exp(\widehat{w_1}+\widehat{w_2}) </math> Dabei wurde <math>w_1 = \log_G(z_1)</math> und <math>w_2 = \log_G(z_2)</math> über einen [[generalisierter Logarithmus|generalisierten Logarithmus]] <math>\log_G</math> auf einem [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebiet <math>G</math> mit <math>0\notin G</math> bestimmt. ==== Anwendung auf den generalisierte Logarithmus ==== Mit den Vorüberlegungen bzgl. Exponentialfunktion gilt für den [[generalisierter Logarithmus|generalisierten Logarithmus]] <math>\log_G</math> folgende Eigenschaft mit geeignet gewähltem <math>k\in \mathbb{Z}</math>: :<math> \log_G(z_1 \cdot z_2) = \log_G(z_1) + \log_G(z_2) + k\cdot 2\pi i </math> Dabei kann <math>k\in \mathbb{Z}</math> über die [[logmod-Funktion]] mit <math>k=\mathrm{logmod}(z_1 \cdot z_2)</math> bestimmt werden. ==== Anwendung auf logmod-Äquivalenklassen ==== Da für die Summe zweier Äquivalenzklassen folgende Eigenschaft gilt, erhält man für <math>\exp(w) = z_1\cdot z_2</math> die [[logmod-Äquivalenzklassen]]gleichung: :<math> [w_1]_0 + [w_2]_0 = [w_1 + w_2]_0 = [w]_0 </math> Der [[rekursiver Logarithmus|rekursive Logarithmus]] erfüllt die Rechengesetze analog zu den [[Logarithmus|Logarithmusgesetzen]] in <math>\mathbb{R}</math>. :<math> \underbrace{\mathrm{lnr}_1(z_1\cdot z_2)}_{=[w]_0} = \underbrace{\mathrm{lnr}_1(z_1)}_{=[w_1]_0} + \underbrace{\mathrm{lnr}_1(z_2)}_{=[w_2]_0} = [w_1 + w_2]_0 </math> ==== Beispiel - Multiplikation der Log-Argumente==== Wählt man <math> z_1 = i = z_2 </math> so gilt <math> z_1 \cdot z_2 = -1 </math>. Für den rekursiven Logarithmus gilt dann: :<math> \mathrm{lnr_1}(i) = \left[ i \frac{\pi}{2} \right]_0 \quad \mathrm{lnr_1}(-1)=\mathrm{lnr_1}(i\cdot i) = \underbrace{\mathrm{lnr_1}(i)}_{=\left[ i \frac{\pi}{2} \right]_0} + \underbrace{\mathrm{lnr_1}(i)}_{=\left[ i \frac{\pi}{2} \right]_0} = [i\pi]_0 </math> === Potenzen und Logarithmus === Um Potenzen mit komplexen Exponenten definieren zu können, verwendet man Vorüberlegungen aus den reellen Zahlen. In <math>\mathbb{R}^+</math> gilt für <math>w=\ln(z)</math> für <math>z > 0 </math> und <math>a\in \mathbb{R}</math> die Gleichung: :<math> z^a = \exp(w\cdot a) = \exp(\ln(z) \cdot a) </math> [[Zweige des Logarithmus]] von einer <math> z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> unterscheiden sich um Vielfache von <math>2\pi i</math>. ==== Zweig des Logarithmus und Potenzen ==== Ist ein [[Zweig des Logarithmus]] <math>\log_G</math> auf einem [[einfach zusammenhängend]]em Gebiet gegeben, so definiert man für <math>z\in G</math> und <math>\log_G(z)=w</math>: :<math> z^a := \exp(w\cdot a) = \exp(\log_G(z) \cdot a) </math> Für andere [[Zweige des Logarithmus]] <math>\log_{\widehat{G}}</math> gibt es für <math>z\in \widehat{G}</math> ein ganze Zahl <math>k_z\in \mathbb{Z} </math> mit: :<math> \log_G(z) = w = \log_{\widehat{G}}(z) +2\pi i \cdot k_z </math> ==== Vergleich von Zweigen des Logarithmus ==== Wählt man für <math>G</math> den [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweig des Logarithmus]] mit <math> z \in G:= \mathbb{C} \setminus \mathbb{R}_0^{+} </math> und <math>a\in \mathbb{C}</math>. Werden <math>w, w_a \in \mathbb{D}_1 = \mathbb{R}+i\cdot[0,2\pi)</math> mit der Eigenschaft <math>\exp(w)=z</math> und <math>\exp(w_a)=z^a = \exp(w\cdot a)</math> zusammen mit zwei beliebigen weitere Repräsentanten <math>\widehat{w}=w + 2\pi i\cdot k </math> und <math>\widehat{w_a}=w_a + 2\pi i\cdot k_a </math> gewählt, so kann man mit <math>k, k_a \in \mathbb{Z}</math> die Beziehung zwischen den [[logmod-Äquivalenzklassen]] <math>[w]_0,[w_a]_0 \in [\mathbb{D}_1]_0</math> darstellen: :<math> \mathrm{lnr_1}(z^a) = [w_a]_0 = [w\cdot a]_0 =[w\cdot a + 2\pi i \cdot k ]_0 = [\widehat{w_a}]_0 </math> Dabei liefert der [[rekursiver Logarithmus|rekursive Logarithmus]] im Wertebereich eine [[logmod-Äquivalenzklassen|logmod-Äquivalenzklasse]] und keine Zahl aus <math>\mathbb{C}</math>. ==== Darstellung als Äquivalenzklassen ==== Gilt <math>\log_\widehat{G}(z)=w</math> und <math>z^a:= \exp\big(\, \underbrace{\log_\widehat{G}(z)\cdot a}_{=w_a}\, \big) = \exp(w\cdot a)</math> für andere [[Zweige des Logarithmus]], so erhält unterscheiden sich die [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmen]] auch wieder nur um Vielfach von <math>2\pi i</math> und man kann in der Äquivalenzklassen-Sicht folgende Definition der Multiplikation eine [[logmod-Äquivalenzklassen|logmod-Äquivalenzklasse]] mit einer Zahl definieren: :<math> a \cdot [w]_0 := [a\cdot w]_0 </math> ==== Beispiel - Produkt von Äquivalenzklassen mit komplexer Zahl ==== Als Beispiel wird dazu <math> z = i </math>, <math> a = 2 </math> gewählt und man bestimmt die Logarithmen für den algebraisch vervollständigten negativen Hauptteil mit Werten in <math> \mathbb{D}_1 = \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi)</math>. Die zugehörigen Logarithmen sind dann <math> log_G(i) = i\pi</math> z^a = -1 </math> und <math> z^a = -1 </math> so :<math> > a \cdot [w]_0 := [a w]_0 > </math> > '''Beispiel:''' > > <math> \log(z^a) = \log(-1) = [i\pi]_0 </math> > <math> a \cdot \log(z) = 2 \cdot [i \pi/2]_0 = [i\pi]_0 </math> → stimmt. --- ==== Exponentialfunktion und Eulersche Formel ==== Stell man <math>a=a_1+ia_2\in \mathbb{C}</math> dar und wendet man die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] an, gilt die folgende Eigenschaft mit <math>w=w_1+iw_2\in \mathbb{C}</math> und <math> z = e^{\log_G(z)}</math>: :<math> z^a := e^{\log_G(z)\cdot a} = e^{\overbrace{(w_1+iw_2)}^{=w}\cdot \overbrace{(a_1+i\cdot a_2)}^{=a}} = e^{(w_1a_1-w_2a_2) + i\cdot (w_2a_1+w_1a_2)} </math> Durch Anwendung der [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] auf den rechten Term erhält man: :<math> z^a = \underbrace{e^{w_1a_1-w_2a_2}}_{=|z^a|} \cdot \big( \cos(w_2a_1+w_1a_2)+ i\cdot \sin(w_2a_1+w_1a_2) \big) </math> === (4) Addition von Logarithmen === :<math> \log(z_1) + \log(z_2) = \log(z_1 z_2) </math> > '''Achtung:''' Dies ist '''nicht''' immer wahr, wenn man '''nicht''' mit Äquivalenzklassen arbeitet! > Aber '''in der Klassen-Sicht''' ist es '''richtig'''. > '''Warum?''' Weil die Addition von Klassen kommutativ und assoziativ ist. --- == 7. Zusammenhang mit Logarithmenzweigen == Ein '''Logarithmenzweig''' ist eine '''stetige Auswahl''' von Werten aus <math> \log(z) </math>, d. h. eine Funktion <math> L: G \to \mathbb{C} </math>, sodass <math> \exp(L(z)) = z </math> und <math> L </math> stetig auf einem Gebiet <math> G \subseteq \mathbb{C} \setminus \{0\} </math>. > '''Beispiel:''' > Der '''Hauptzweig''' <math> \text{Log}(z) </math> ist ein Logarithmenzweig auf <math> \mathbb{C} \setminus (-\infty, 0] </math>. > '''Jeder Logarithmenzweig''' <math> L </math> wählt '''einen Repräsentanten''' aus jeder Äquivalenzklasse <math> [w]_0 </math>, nämlich <math> L(z) \in [w]_0 </math>. > '''Zusammenhang:''' > Die Menge aller Logarithmenzweige entspricht '''der Wahl einer Schnittlinie''' (Branch Cut), die verhindert, dass man um den Ursprung herumwandert und die Klasse wechselt. --- == 8. Zusammenfassung: Struktur der Logarithmen == | Konzept | Beschreibung | |--------|--------------| | '''Äquivalenzklasse''' <math> [w]_0 </math> | Menge aller <math> w + 2\pi i k </math>, <math> k \in \mathbb{Z} </math> | | '''Logarithmus von <math> z </math>''' | <math> \log(z) = [w]_0 </math>, wobei <math> \exp(w) = z </math> | | '''Hauptzweig''' | <math> \text{Log}(z) \in \log(z) </math>, mit <math> \text{Arg}(z) \in (-\pi, \pi] </math> | | '''Rechenregeln''' | <math> \log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2) </math>, <math> \log(z^a) = a \cdot \log(z) </math> (in Klassen) | | '''Exponentialfunktion''' | <math> \exp(\log(z)) = z </math>, <math> \log(\exp(w)) = [w]_0 </math> | --- == 9. Übungsaufgaben == 1. Zeige, dass <math> \log(-1) = [i\pi]_0 </math>. 2. Berechne <math> \log(i) + \log(i) </math> und vergleiche mit <math> \log(-1) </math>. 3. Zeige, dass <math> \log(z^2) = 2 \log(z) </math> in der Klassen-Sicht gilt. 4. Warum ist <math> \log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2) </math> '''nicht''' immer wahr, wenn man nur Zahlen verwendet? 5. Definiere einen anderen Logarithmenzweig auf <math> \mathbb{C} \setminus [0, \infty) </math>, der <math> \log(z) \in [i \cdot 0]_0 </math> für <math> z = 1 </math> wählt. --- == Lernziel == Du kannst: * den komplexen Logarithmus als '''Äquivalenzklasse''' verstehen, * die '''Rechenregeln''' für Logarithmen in der Klassen-Sicht korrekt anwenden, * den Zusammenhang zwischen '''Exponentialfunktion''', '''Logarithmenzweigen''' und '''Äquivalenzklassen''' erklären, * die '''Mehrdeutigkeit''' des Logarithmus strukturiert darstellen. --- '''Ende der Lerneinheit''' > '''Zusammenfassungssatz:''' > *Der komplexe Logarithmus von <math> z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> ist die Äquivalenzklasse <math> [w]_0 </math>, wobei <math> \exp(w) = z </math>. Diese Klasse ist genau die Menge aller Lösungen von <math> \exp(w) = z </math>. Alle Rechenregeln gelten in der Klassen-Sicht: <math> \log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2) </math>, <math> \log(z^a) = a \cdot \log(z) </math>, und <math> \exp(\log(z)) = z </math>.* == Siehe auch == * [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus]] * [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexer Logarithmus]] * [[logmod-Äquivalenzklassen]] * [[logmod-Funktion]] * [[negativer Hauptzweig des Logarithmus]] rzirdmockhdtv5b7gxdh31y7er7mrt8 1116253 1116225 2026-10-15T14:51:55Z Bert Niehaus 20843 /* Beispiel - Produkt von Äquivalenzklassen mit komplexer Zahl */ 1116253 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Lerneinheit zu [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmen]] beschäftigt sich Äquivalenzklassen, deren Struktur und Rechenregeln, die durch den Zusammenhang mit der Exponentialfunktion und deren imaginärer <math>2\pi i</math>-Periodizität entsteht. Die Äquivalenzklassen helfen dabei, [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen#Rechenregeln|Rechenregeln]] aus den reellen Zahl für den [[Logarithmus]] auf den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexen Logarithmus]] bzw. deren Zweige zu übertragen. Die [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus]] spielt dabei bijektive Abbildungen eine besondere Rolle. === Periodizität der Exponentialfunktion === Der komplexe Logarithmus kann nicht eindeutig als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion <math> \exp: \mathbb{C} \to \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> festgelegt werden, da u.a. die Exponentialfunktion nicht injektiv ist und ein [[Zweig des Logarithmus]] von der Wahl des [[einfach zusammenhängend]]en Gebietes abhängt, auf dem der Logarithmus definiert ist. Es gilt für [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]]: :<math> \exp(w + 2\pi i) = \exp(w) = z\quad \text{für alle } w \in \mathbb{C} </math> Daher gibt es unendlich viele komplexe Zahlen <math> w </math>, die auf dieselbe Zahl <math> z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> abgebildet werden. Diese Mehrdeutigkeit ist die Motivation, um Äquivalenzklassen zu bilden. === Behandelt Aspekte in der Lerneinheit === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen#logmod_Aequivalenzlemma|LogMod-Äquivalenzklassenlemma]]:''' Beziehung Exponentialfunktion und Zweigen des Logarithmus * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen#Repraesentantenunabhaengigkeit|Repräsentantenunabhängigkeit]]''' für die Addition von [[logmod-Äquivalenzklassen]] == Äquivalenzklassen des Logarithmus == Um Äquivalenzklassen zu bilden, benötigt man eine Äquivalenzrelation als Teilmenge von <math>\mathbb{C}\times \mathbb{C} </math>, die zwei Elemente <math> w_1, w_2 \in \mathbb{C} </math>, wenn deren Differenz ein ganzzahliges Vielfaches von <math>2\pi i</math> ist. === Definition - logmod-Äquivalenzrelation === Zwei komplexe Zahlen <math> w_1, w_2 \in \mathbb{C} </math> heißen logmod-äquivalent modulo <math> 2\pi i </math>, wenn gilt: :<math> w_1 - w_2 \in 2\pi i \cdot \mathbb{Z} := \{w\in \mathbb{C} \, : \, w=2\pi i \cdot k \mbox{ und } k\in \mathbb{Z} \} </math> Formal notiert man diese Äquivalenz wie folgt: :<math> w_1 \equiv w_2 \ \mathrm{logmod}\ {2\pi i} </math> ==== Aufgabe für Studierende ==== Zeigen Sie, dass diese Relation eine ''Äquivalenzrelation'' ist, d.h. die [[logmod-Funktion|logmod-Relation]] ist [[w:de:Äquivalenzrelation|reflexiv, symmetrisch und transitiv]]. === Definition - logmod-Äquivalenzklasse === Für eine komplexe Zahl <math> w \in \mathbb{C} </math> ist die Äquivalenzklasse definiert als: :<math> [w]_0 := \{ w + 2\pi i k \mid k \in \mathbb{Z} \} </math> ==== Bezeichnung - Äquivalenzklassenindex==== Die Indexierung mit <math> _0 </math> deutet an, dass dies diese Äquivalenzklasse ohne Logarithmierung in <math>\mathbb{C}</math> gebildet wurde. Bildet man rekursiv höhere Logarithmen als Verkettung entstehen Äquivalenzklassen <math>[w]_n</math>, wobei <math>n</math>-fach rekursiv der Logarithmus verkettet wird, falls dieser existiert. == Verbindung mit der Exponentialfunktion == Da die Exponentialfunktion im Imaginärteil des Arguments eine Periodizität von <math>2\pi i</math> besitzt, entsprechen Äquivalenzklassen <math>[w]_0</math> entsprechen einem Bildpunkt <math>z=e^w</math>. Dieser Verbindung zwischen Exponentialfunktion und Logarithmus wird durch das LogMod-Äquivalenzklassenlemma festgehalten. <span id="logmod_Aequivalenzlemma"></span> === LogMod-Äquivalenzklassenlemma === Sei <math>w\in\mathbb{C} \setminus \{0\} </math> mit <math>\mathrm{logmod}(w) = 0</math> gegeben. Für eine feste komplexe Zahl <math> z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> gilt folgende Äquivalenzaussage: :<math> \exp(\widehat{w}) = z \quad \text{für alle } \widehat{w} \in [w]_0 </math> genau dann, wenn <math> \exp(w) = z </math>. === Beweis - LogMod-Äquivalenzlemma === Für <math> w\in \mathbb{D}_1 := \mathbb{R}\times i\cdot [0,2\pi)</math> gelte <math>\exp(w)=z</math>. Das LogMod-Äquivalenzlemma ist eine Äquivalenzaussage. Daher werden zwei Beweisrichtungen gezeigt: \mbox{} <math display="block"> \begin{array}{llcl} \mbox{ (LML1) } & \exp(\widehat{w}) = z & \quad \Longrightarrow \quad & \widehat{w} \in [w]_0 \\ \mbox{ (LML2) } & \widehat{w} \in [w]_0 & \quad \Longrightarrow \quad & \exp(\widehat{w}) = z \\ \end{array} </math> ==== Schritt 1 - Beweisrichtung LML1 ==== Sei <math> \widehat{w} \in \mathbb{C} </math> mit <math> \exp(\widehat{w}) = z </math> beliebig gewählt. Dann gilt mit der Voraussetzung <math> \exp(w) = z \not= 0</math> und Potenzgesetzen: :<math> 1 = \frac{z}{z} = \frac{\widehat{w}}{\exp(\exp(w))} = \exp(\widehat{w}-w) </math> Die Gleichung <math>1 = \exp(\widehat{w}-w)</math> gilt genau dann, wenn <math> w-\widehat{w} = 2\pi i \cdot k</math> mit <math>k \in \mathbb{Z}</math>. ==== Schritt 2 - Beweisrichtung LML1 ==== Damit gilt auch <math> w = \widehat{w} + 2\pi i \cdot k </math>. Die ganze Zahl <math> k\in \mathbb{Z} </math> ist durch die [[logmod-Funktion]] und es gilt <math>k= \mathrm{logmod}(\widehat{w})</math>, da <math> w\in \mathbb{D}_1 = \mathbb{R} + i\cdot [0,2\pi) </math> nach Voraussetzung gilt und man erhält <math>\widehat{w} \in [w]_0</math>. ==== Schritt 3 - Äquivalenzklasse gegeben LML2 ==== Sei umgekehrt <math>\widehat{w} \in [w]_0</math> gegeben. Dann gibt es nach Definition der Äquivalenzklasse ein <math> k := logmod(\widehat{w})\in \mathbb{Z} </math> mit der Eigenschaft <math>\widehat{w}:= w + 2\pi i k</math>. Nun wen man diese Darstellung von <math>\widehat{w}</math> auf die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] an und verwendet Periodizität <math>\exp</math> bzgl. <math>2\pi i</math> und erhält: :<math> \exp(\widehat{w}) = \exp(w + 2\pi i k) = \exp(w) \cdot \exp(2\pi i k) = z \cdot 1 = z </math> ==== Schritt 4 - LML2 ==== Da <math>\widehat{w} \in [w]_0</math> beliebig gewählt wurde, gilt für alle <math> \widehat{w} \in [w]_0 </math> die Eigenschaft <math> \exp(\widehat{w}) = z </math> und zusammen mit LML1 gilt die Äquivalenzaussage aus dem Lemma <math>\quad \Box</math>. === Folgerung - LogMod-Äquivalenzklassenlemma ==== Fasst man zu einem gegebenen <math>z\in \mathbb{C}\setminus\{0\}</math> die Menge alle komplexen Zahlen <math> \widehat{w} \in \mathbb{C} </math> zu einer Menge zusammen, die die Eigenschaft <math> \exp(\widehat{w}) = z </math> erfüllen, so erhält man die Äquivalenzklasse <math> [w]_0 </math>, wobei <math> w </math> eine beliebige Lösung von <math> \exp(w) = z </math> ist. ==== Bemerkung - LogMod-Äquivalenzklassenlemma ==== Für die Äquivalenzklassenanalyse spielt das Repräsentatensystem <math>\mathbb{D}_1= \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi)</math> eine besondere Rolle. DasRepräsentatensystem <math>\mathbb{D}_1</math> entsteht durch [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus|algebraische Vervollständigkeit]] des [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweiges]] des [[Logarithmus]]. == Äquivalenzklassenaddition == Um die aus der reellen Analysis bekannten Rechenregeln auf Logarithmen in den komplexen Zahlen verwenden zu können werden Äquivalenzklassen verwendet. Die Struktur und Gültigkeit der Rechenregeln wird in diesem Teil der Lerneinheit genauer untersucht. === komplexe Logarithmus als Lösungsmenge === Der komplexe Äquivalenzklassen-Logarithmus von <math> z </math> bildet nicht auf ein Element in <math>\mathbb{C}</math> ab, sondern auf ein Teilmenge von <math>\mathbb{C}</math>. Dies führt im weiteren Verlauf der Lehrveranstaltung zum Begriff des [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarithmus]]. Sei <math>w \in \mathbb{C}</math> beliebig gewählt, dann definiert man <math>w_0 := w - \mathrm{logmod}(w)\cdot 2\pi i \in \mathbb{D}_1</math> als Repräsentant der [[logmod-Äquivalenzklassen|Äquivalenzklasse]] <math> [w]_0</math>. :<math> \mathrm{lnr}_1(z) := \{ w \in \mathbb{C} \mid \exp(w) = z \} = [w]_0 </math> für ein beliebiges <math> w_0 \in \mathbb{D}_1 := \mathbb{R}+ i\cdot [0,2\pi)</math> mit <math> \exp(w_0) = z </math>. ==== Beispiel 1 - Neutrales Element für Äquivalenklassenaddition ==== Algebraisch wird später <math>\mathbb{D}_1</math> mit einer inneren Verknüpfung <math>\oplus</math> zu einer kommunitative Gruppe. Daher wird das [[w:de:neutrales Element|neutrale Element]] von <math>\oplus</math> als Beispieläquivalenzklasse genannt und in Beziehung zum Logarithmus gesetzt. Für <math> z = 1 </math> ist der komplexe rekursive Logarithmus :<math> \mathrm{lnr}_1(1) = \{ 2\pi i k \, : \, k \in \mathbb{Z} \} = [0]_0 </math> ==== Beispiel 2 - Logarithmus der imaginären Einheit ==== Da zunächst die [[rekursiver Logarithmus|rekursive komplexe Logarithmen]] von elementaren komplexen Zahlen genannt. Wählt man <math> z = i </math> so gilt <math> \exp\left(i \tfrac{\pi}{2}\right) = i </math> und <math>i\tfrac{\pi}{2} \in \mathbb{D}_1</math>. Bildet man nun den von [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarithmus]] von <math> z = i </math> erhält man: :<math> \mathrm{lnr}_1(i) = \left\{ i \left( \frac{\pi}{2} + 2\pi k \right) \mid k \in \mathbb{Z} \right\} = \left[ i \frac{\pi}{2} \right]_0 </math> ==== Beispiel 3 - rekursiver Logarithmus von -1 ==== Ablschießend wird auch noch der [[rekursiver Logarithmus|rekursive komplexe Logarithmen]] von <math> z = -1 </math> genannt. Wegen <math> \exp\left(i \pi \right) = -1 </math> und <math>i \pi \in \mathbb{D}_1=\mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi) </math> erhält man: :<math> \mathrm{lnr}_1(-1) = \left\{ i \left( \pi + 2\pi k \right) \mid k \in \mathbb{Z} \right\} = \left[ i \pi \right]_0 </math> === Repräsentantensystem === Um einen eindeutigen Funktionswert als Äquivalenzklasse zu erhalten, wählt man eine spezielles Repräsentantensystem <math>\mathbb{D}_1:= \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi) \subset \mathbb{C}</math> um alle Äquivalenzklassen darstellen zu können. Dabei wird die [[logmod-Funktion]] verwendet, um für eine beliebige komplexe Zahl <math>w\in \mathbb{C}</math> die zugehörigen Repräsentanten <math>w_0 \in\mathbb{D}_1</math> über <math> w_0 = w - 2\pi i \cdot \mathrm{logmod}(w)</math> zu bestimmen. <span id="Definition"> === Definition - logmod-Äquivalenzklassenaddition === Für <math> z_1,z_2 \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> und <math>w_1,w_2 \in\mathbb{D}_1</math> gelte <math>\exp(z_1)=w_1</math> und <math>\exp(z_2)=w_2</math>. Man definiert nun die Äquivalenzklassenaddition <math>(\mathbb{D}_1,\oplus)</math> wie folgt. :<math> [w_1]_0 \oplus [w_2]_0 := [w_1 + w_2]_0 </math> ==== Bemerkung - Repräsentant der Äquivalenzklasse ==== Der Repräsentant <math>w_1 + w_2 </math> der Äquivalenzklasse wobei <math>[w_1 + w_2]_0 </math> liegt nicht notwendigerweise auch in <math>\mathbb{D}_1</math>, was das folgende Beispiel zeigt. ==== Beispiel - Repräsentant bei additiver Verknüpfung ==== Wählt man <math> z_1 = z_2 = -i </math>, so erhält man <math> w_1 = w_2 = \tfrac{3}{2}\pi i \in \mathbb{D}_1 </math> und es gilt <math> w_1 + w_2 = 3\pi i \notin \mathbb{D}_1 </math>. Möchte man den zugehörigen Repräsentanten aus <math>\mathbb{D}_1 </math> bestimmen, verwendet man wieder die [[logmod-Funktion]]: :<math> [w_1]_0 \oplus [w_2]_0 = [w_1 + w_2]_0 = [w]_0 </math> mit <math> w = w_1+w_2 - 2\pi i \cdot \mathrm{logmod}(w_1+w_2)</math> ==== Bemerkung - Notation ==== Für die Addition <math>\oplus</math> der [[logmod-Äquivalenzklassen]] wird zur Abgrenzung zu additiven Verknüpfung in <math>+</math> in <math>\mathbb{C}</math> das Symbol <math>\oplus</math> verwendet. :<math> \left[ 1+\frac{3}{2}\pi i \right]_0 \oplus \left[5+\frac{1}{2}\pi i \right]_0 = \left[ \left(1+\frac{3}{2}\pi i\right) + \left(5+\frac{1}{2}\pi i\right) \right]_0 = [6+2\pi i]_0 = [6]_0 </math> Im linken Term werden zwei Äquivalenzklassen addiert (daher <math>\oplus</math>) und in den beiden rechten Termen ist das Standardaddition in den komplexen Zahlen. == Rechenregeln für Äquivalenzklassen == Zunächst einmal muss man kurz die Repräsentantenunabhängigkeit der Äquivalenzklassenaddition auf <math>[\mathbb{D}_1]_0</math> überprüfen. Dabei ist <math>\oplus</math> eine innere Verknüpfung auf <math>[\mathbb{D}_1]_0</math> der Form: :<math> \begin{array}{rrcl} f: & [\mathbb{D}_1]_0 \times [\mathbb{D}_1]_0 & \rightarrow & [\mathbb{D}_1]_0\\ & \left( [w_1]_0,[w_2]_0 \right) & \mapsto & [w_1]_0 \oplus [w_2]_0 = [w_1+w_2]_0 = \\ & & & \bigg[\, \underbrace{w_1+w_2 - \mathrm{logmod}(w_1+w_2) \cdot 2\pi i}_{\in \mathbb{D}_1}\,\bigg]_0 \end{array} </math> Dabei beschreibt <math>[\mathbb{D}_1]_0 = \{ [w]_0 \, \colon \, w\in \mathbb{D}_1 \}</math> die Menge aller [[logmod-Äquivalenzklassen]] mit dem Repräsentantensystem <math>\mathbb{D}_1</math>. <hr> <span id="Repraesentantenunabhaengigkeit"></span> === Lemma zur Repräsentantenunabhängigkeit === Die innere additive Verknüpfung <math> ([\mathbb{D}_1]_0 , \oplus)</math> auf den [[logmod-Äquivalenzklassen]] ist repräsentantenunabhängig. === Beweis - Lemma zur Repräsentantenunabhängigkeit === Die Beweisidee der Repräsentantenunabhängigkeit beruht auf der Auswahl von zwei beliebigen unterschiedlichen Repräsentanten <math>w_1</math> und <math>\widehat{w_1}</math> bzw. <math>w_2</math> und <math>\widehat{w_2}</math> und man zeigt dann die Addition mit <math>\oplus</math> für die [[logmod-Äquivalenzklassen]] die gleiche Äquivalenzklasse <math>[w_1+w_2]_0=[\widehat{w_1}+\widehat{w_2}]_0</math> liefert. ==== Beweisschritt 1 - Wahl der Repräsentanten ==== Seien <math>w_1,w_2 \in \mathbb{D}_1</math> und <math>k_1, k_2 \in \mathbb{Z}</math> beliebig gewählt, dann sind <math>\widehat{w_1}=2\pi i\cdot k_1 </math> und <math>\widehat{w_2}=2\pi i\cdot k_2 </math> weitere Repräsentanten der [[logmod-Äquivalenzklassen]] <math>[w_1]_0,[w_2]_0 \in [\mathbb{D}_1]_0</math> und es gilt: :<math> [w_1]_0 = [\widehat{w_1}]_0 \quad [w_2]_0 = [\widehat{w_2}]_0 </math> ==== Beweisschritt 2 - Definition der Addition anwenden ==== Nach Definition der Addition von [[logmod-Äquivalenzklassen]] gilt: :<math> \begin{array}{rcl} [\widehat{w_1}]_0 \oplus [\widehat{w_1}]_0 & = & [\widehat{w_1} + \widehat{w_1}]_0 \\ & = & [w_1+w_2+ (k_1+k_2)\cdot 2\pi i]_0 = [w_1+w_2]_0 \\ \end{array} </math> Damit ist die Addition von [[logmod-Äquivalenzklassen]] repräsentantenunabhängig. <math>\quad \Box</math> ==== Bemerkung - Exponentialfunktion und Zweige des Logarithmus ==== Sei <math>G\subset \mathbb{C}</math> ein [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängendes]] [[Gebiet (Mathematik)| Gebiet]] mit <math>0\notin G</math> und <math>w_0\in \mathbb{D}_1</math> und <math> \exp(w_0)=z_0</math> für ein mit <math>z_0 \in G \subset \mathbb{C}\setminus \{0\}</math>. Durch die Festlegung von <math>\log_G(z_0)=w_0</math> ist der Zweig <math>\log_{G}</math> als [[generalisierter Logarithmus]] bereits auf ganz <math>G</math> definiert (siehe [[Identitätssatz]] und <math>\exp(\log_G(z)) = z</math>). Bei der [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus|algebraischen Vervollständigung des Zweiges eines Logarithmus]] verliert man die Eigenschaft der [[holomorphe Funktion|Holomorphie]] und sogar der [[Stetigkeit]]. Sei Man muss daher [[Zweige des Logarithmus]] von der Definition eine [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarthmus]] trennen. * <math> \exp(\log_G(z)) = z </math> für alle <math> z \in G \subset \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> * <math> \log_G(\exp(w)) = z+2\pi i \cdot k </math> für <math> w \in \mathbb{C} </math> und ein existierendes <math>k\in \mathbb{Z} </math> für <math>w</math>. ==== Äquivalenzklassen als Wertebereich ==== Der rekursive Logarithmus <math> \mathrm{lnr}_1(z) = [w]_0</math> liefert als Funktionswert '''keine Zahl''', sondern eine '''Äquivalenzklasse'''. Diese ist selbst ein Element der [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelschen Sigma-Algebra]] <math>\mathcal{B}(\mathbb{C})</math> als abzählbare Vereingigung von Einpunktmenge der Form <math>w+k\cdot 2\pi i</math> mit <math>k\in \mathbb{Z} </math> . === Multiplikation von Äquivalenzklassen === Für <math> z_1, z_2 \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> und <math>w_1,w_2 \in \mathbb{D}_1</math> gelte <math>\exp(w_1)=z_1</math> und <math>\exp(w_2)=z_2</math>. Ferner werden zwei beliebige weitere Repräsentanten <math>\widehat{w_1}=w_1 + 2\pi i\cdot k_1 </math> und <math>\widehat{w_2}=w_2 + 2\pi i\cdot k_2 </math> mit <math>k_1, k_2 \in \mathbb{Z}</math> der [[logmod-Äquivalenzklassen]] <math>[w_1]_0,[w_2]_0 \in [\mathbb{D}_1]_0</math> gewählt. Es gilt damit: :<math> [w_1]_0 = [\widehat{w_1}]_0 \quad [w_2]_0 = [\widehat{w_2}]_0 </math>: Man untersucht nun die Multiplikation bzgl. der [[logmod-Äquivalenzklassen]]. === Multiplikation und Exponentialfunktion === Es gilt nach Voraussetzung <math>\exp(w_1)= \exp(\widehat{w_1})</math> und <math>\exp(w_2)= \exp(\widehat{w_2})</math> wegen imaginäre Periodizität bzgl. <math>2\pi i</math>. Man erhält daher folgende Gleichung: :<math> \exp(w_1+w_2) = \underbrace{\exp(w_1)}_{=z_1} \cdot \underbrace{\exp(w_2)}_{=z_2}= \underbrace{\exp(\widehat{w_1})}_{=z_1} \cdot \underbrace{\exp(\widehat{w_2})}_{=z_2} = \exp(\widehat{w_1}+\widehat{w_2}) </math> Dabei wurde <math>w_1 = \log_G(z_1)</math> und <math>w_2 = \log_G(z_2)</math> über einen [[generalisierter Logarithmus|generalisierten Logarithmus]] <math>\log_G</math> auf einem [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebiet <math>G</math> mit <math>0\notin G</math> bestimmt. ==== Anwendung auf den generalisierte Logarithmus ==== Mit den Vorüberlegungen bzgl. Exponentialfunktion gilt für den [[generalisierter Logarithmus|generalisierten Logarithmus]] <math>\log_G</math> folgende Eigenschaft mit geeignet gewähltem <math>k\in \mathbb{Z}</math>: :<math> \log_G(z_1 \cdot z_2) = \log_G(z_1) + \log_G(z_2) + k\cdot 2\pi i </math> Dabei kann <math>k\in \mathbb{Z}</math> über die [[logmod-Funktion]] mit <math>k=\mathrm{logmod}(z_1 \cdot z_2)</math> bestimmt werden. ==== Anwendung auf logmod-Äquivalenklassen ==== Da für die Summe zweier Äquivalenzklassen folgende Eigenschaft gilt, erhält man für <math>\exp(w) = z_1\cdot z_2</math> die [[logmod-Äquivalenzklassen]]gleichung: :<math> [w_1]_0 + [w_2]_0 = [w_1 + w_2]_0 = [w]_0 </math> Der [[rekursiver Logarithmus|rekursive Logarithmus]] erfüllt die Rechengesetze analog zu den [[Logarithmus|Logarithmusgesetzen]] in <math>\mathbb{R}</math>. :<math> \underbrace{\mathrm{lnr}_1(z_1\cdot z_2)}_{=[w]_0} = \underbrace{\mathrm{lnr}_1(z_1)}_{=[w_1]_0} + \underbrace{\mathrm{lnr}_1(z_2)}_{=[w_2]_0} = [w_1 + w_2]_0 </math> ==== Beispiel - Multiplikation der Log-Argumente==== Wählt man <math> z_1 = i = z_2 </math> so gilt <math> z_1 \cdot z_2 = -1 </math>. Für den rekursiven Logarithmus gilt dann: :<math> \mathrm{lnr_1}(i) = \left[ i \frac{\pi}{2} \right]_0 \quad \mathrm{lnr_1}(-1)=\mathrm{lnr_1}(i\cdot i) = \underbrace{\mathrm{lnr_1}(i)}_{=\left[ i \frac{\pi}{2} \right]_0} + \underbrace{\mathrm{lnr_1}(i)}_{=\left[ i \frac{\pi}{2} \right]_0} = [i\pi]_0 </math> === Potenzen und Logarithmus === Um Potenzen mit komplexen Exponenten definieren zu können, verwendet man Vorüberlegungen aus den reellen Zahlen. In <math>\mathbb{R}^+</math> gilt für <math>w=\ln(z)</math> für <math>z > 0 </math> und <math>a\in \mathbb{R}</math> die Gleichung: :<math> z^a = \exp(w\cdot a) = \exp(\ln(z) \cdot a) </math> [[Zweige des Logarithmus]] von einer <math> z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> unterscheiden sich um Vielfache von <math>2\pi i</math>. ==== Zweig des Logarithmus und Potenzen ==== Ist ein [[Zweig des Logarithmus]] <math>\log_G</math> auf einem [[einfach zusammenhängend]]em Gebiet gegeben, so definiert man für <math>z\in G</math> und <math>\log_G(z)=w</math>: :<math> z^a := \exp(w\cdot a) = \exp(\log_G(z) \cdot a) </math> Für andere [[Zweige des Logarithmus]] <math>\log_{\widehat{G}}</math> gibt es für <math>z\in \widehat{G}</math> ein ganze Zahl <math>k_z\in \mathbb{Z} </math> mit: :<math> \log_G(z) = w = \log_{\widehat{G}}(z) +2\pi i \cdot k_z </math> ==== Vergleich von Zweigen des Logarithmus ==== Wählt man für <math>G</math> den [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweig des Logarithmus]] mit <math> z \in G:= \mathbb{C} \setminus \mathbb{R}_0^{+} </math> und <math>a\in \mathbb{C}</math>. Werden <math>w, w_a \in \mathbb{D}_1 = \mathbb{R}+i\cdot[0,2\pi)</math> mit der Eigenschaft <math>\exp(w)=z</math> und <math>\exp(w_a)=z^a = \exp(w\cdot a)</math> zusammen mit zwei beliebigen weitere Repräsentanten <math>\widehat{w}=w + 2\pi i\cdot k </math> und <math>\widehat{w_a}=w_a + 2\pi i\cdot k_a </math> gewählt, so kann man mit <math>k, k_a \in \mathbb{Z}</math> die Beziehung zwischen den [[logmod-Äquivalenzklassen]] <math>[w]_0,[w_a]_0 \in [\mathbb{D}_1]_0</math> darstellen: :<math> \mathrm{lnr_1}(z^a) = [w_a]_0 = [w\cdot a]_0 =[w\cdot a + 2\pi i \cdot k ]_0 = [\widehat{w_a}]_0 </math> Dabei liefert der [[rekursiver Logarithmus|rekursive Logarithmus]] im Wertebereich eine [[logmod-Äquivalenzklassen|logmod-Äquivalenzklasse]] und keine Zahl aus <math>\mathbb{C}</math>. ==== Darstellung als Äquivalenzklassen ==== Gilt <math>\log_\widehat{G}(z)=w</math> und <math>z^a:= \exp\big(\, \underbrace{\log_\widehat{G}(z)\cdot a}_{=w_a}\, \big) = \exp(w\cdot a)</math> für andere [[Zweige des Logarithmus]], so erhält unterscheiden sich die [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmen]] auch wieder nur um Vielfach von <math>2\pi i</math> und man kann in der Äquivalenzklassen-Sicht folgende Definition der Multiplikation eine [[logmod-Äquivalenzklassen|logmod-Äquivalenzklasse]] mit einer Zahl definieren: :<math> a \cdot [w]_0 := [a\cdot w]_0 </math> ==== Beispiel - Produkt von Äquivalenzklassen mit komplexer Zahl ==== Als Beispiel wird dazu <math> z = i </math>, <math> a = 2 </math> gewählt und man bestimmt die Logarithmen für den [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus|algebraisch vervollständigten]] [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptteil]] <math>\log_G^\ast</math> von <math>\log_G</math> mit Werten in <math> \mathbb{D}_1 = \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi)</math>. Die zugehörigen Logarithmen sind dann :<math> log_G(i) = \log_G^\ast(i) = i \tfrac{\pi}{2} \quad \log_G^\ast(z^a) = \log_G^\ast(-1) = \log_G(-1) = \pi i </math> und es gilt <math> z^a = e^{\log_G^*(i)\cdot 2} = e^{i \tfrac{\pi}{2} \cdot 2} = e^{i\pi} = -1 </math> und <math> z^a = -1 </math> so :<math> > a \cdot [w]_0 := [a w]_0 > </math> > '''Beispiel:''' > > <math> \log(z^a) = \log(-1) = [i\pi]_0 </math> > <math> a \cdot \log(z) = 2 \cdot [i \pi/2]_0 = [i\pi]_0 </math> → stimmt. --- ==== Exponentialfunktion und Eulersche Formel ==== Stell man <math>a=a_1+ia_2\in \mathbb{C}</math> dar und wendet man die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] an, gilt die folgende Eigenschaft mit <math>w=w_1+iw_2\in \mathbb{C}</math> und <math> z = e^{\log_G(z)}</math>: :<math> z^a := e^{\log_G(z)\cdot a} = e^{\overbrace{(w_1+iw_2)}^{=w}\cdot \overbrace{(a_1+i\cdot a_2)}^{=a}} = e^{(w_1a_1-w_2a_2) + i\cdot (w_2a_1+w_1a_2)} </math> Durch Anwendung der [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] auf den rechten Term erhält man: :<math> z^a = \underbrace{e^{w_1a_1-w_2a_2}}_{=|z^a|} \cdot \big( \cos(w_2a_1+w_1a_2)+ i\cdot \sin(w_2a_1+w_1a_2) \big) </math> === (4) Addition von Logarithmen === :<math> \log(z_1) + \log(z_2) = \log(z_1 z_2) </math> > '''Achtung:''' Dies ist '''nicht''' immer wahr, wenn man '''nicht''' mit Äquivalenzklassen arbeitet! > Aber '''in der Klassen-Sicht''' ist es '''richtig'''. > '''Warum?''' Weil die Addition von Klassen kommutativ und assoziativ ist. --- == 7. Zusammenhang mit Logarithmenzweigen == Ein '''Logarithmenzweig''' ist eine '''stetige Auswahl''' von Werten aus <math> \log(z) </math>, d. h. eine Funktion <math> L: G \to \mathbb{C} </math>, sodass <math> \exp(L(z)) = z </math> und <math> L </math> stetig auf einem Gebiet <math> G \subseteq \mathbb{C} \setminus \{0\} </math>. > '''Beispiel:''' > Der '''Hauptzweig''' <math> \text{Log}(z) </math> ist ein Logarithmenzweig auf <math> \mathbb{C} \setminus (-\infty, 0] </math>. > '''Jeder Logarithmenzweig''' <math> L </math> wählt '''einen Repräsentanten''' aus jeder Äquivalenzklasse <math> [w]_0 </math>, nämlich <math> L(z) \in [w]_0 </math>. > '''Zusammenhang:''' > Die Menge aller Logarithmenzweige entspricht '''der Wahl einer Schnittlinie''' (Branch Cut), die verhindert, dass man um den Ursprung herumwandert und die Klasse wechselt. --- == 8. Zusammenfassung: Struktur der Logarithmen == | Konzept | Beschreibung | |--------|--------------| | '''Äquivalenzklasse''' <math> [w]_0 </math> | Menge aller <math> w + 2\pi i k </math>, <math> k \in \mathbb{Z} </math> | | '''Logarithmus von <math> z </math>''' | <math> \log(z) = [w]_0 </math>, wobei <math> \exp(w) = z </math> | | '''Hauptzweig''' | <math> \text{Log}(z) \in \log(z) </math>, mit <math> \text{Arg}(z) \in (-\pi, \pi] </math> | | '''Rechenregeln''' | <math> \log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2) </math>, <math> \log(z^a) = a \cdot \log(z) </math> (in Klassen) | | '''Exponentialfunktion''' | <math> \exp(\log(z)) = z </math>, <math> \log(\exp(w)) = [w]_0 </math> | --- == 9. Übungsaufgaben == 1. Zeige, dass <math> \log(-1) = [i\pi]_0 </math>. 2. Berechne <math> \log(i) + \log(i) </math> und vergleiche mit <math> \log(-1) </math>. 3. Zeige, dass <math> \log(z^2) = 2 \log(z) </math> in der Klassen-Sicht gilt. 4. Warum ist <math> \log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2) </math> '''nicht''' immer wahr, wenn man nur Zahlen verwendet? 5. Definiere einen anderen Logarithmenzweig auf <math> \mathbb{C} \setminus [0, \infty) </math>, der <math> \log(z) \in [i \cdot 0]_0 </math> für <math> z = 1 </math> wählt. --- == Lernziel == Du kannst: * den komplexen Logarithmus als '''Äquivalenzklasse''' verstehen, * die '''Rechenregeln''' für Logarithmen in der Klassen-Sicht korrekt anwenden, * den Zusammenhang zwischen '''Exponentialfunktion''', '''Logarithmenzweigen''' und '''Äquivalenzklassen''' erklären, * die '''Mehrdeutigkeit''' des Logarithmus strukturiert darstellen. --- '''Ende der Lerneinheit''' > '''Zusammenfassungssatz:''' > *Der komplexe Logarithmus von <math> z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> ist die Äquivalenzklasse <math> [w]_0 </math>, wobei <math> \exp(w) = z </math>. Diese Klasse ist genau die Menge aller Lösungen von <math> \exp(w) = z </math>. Alle Rechenregeln gelten in der Klassen-Sicht: <math> \log(z_1 z_2) = \log(z_1) + \log(z_2) </math>, <math> \log(z^a) = a \cdot \log(z) </math>, und <math> \exp(\log(z)) = z </math>.* == Siehe auch == * [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus]] * [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexer Logarithmus]] * [[logmod-Äquivalenzklassen]] * [[logmod-Funktion]] * [[negativer Hauptzweig des Logarithmus]] higdlshqfq7q0ogfny9l3vwk73lmjgd 0 173051 1116220 1116079 2026-10-15T14:32:57Z Bocardodarapti 2041 1116220 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Im Kerncurriculum zu den erwarteten Kompetenzen im Bereich Kommunizieren/Argumentieren steht {{Anführung|Die Schülerinnen und Schüler verwenden eingeführte mathematische Fachbegriffe sachgerecht|SZ=.}} Beschreibe{{n Sie}} ein Szenaro, in dem die Kinder die erwarteten Kompetenzen erfüllen bzw. nicht erfüllen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Didaktik der Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} oec7d7kr6q4708qhgn7fn7hup4h8ozu 0 173052 1116219 1116080 2026-10-15T14:32:26Z Bocardodarapti 2041 1116219 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Im Kerncurriculum zu den erwarteten Kompetenzen im Bereich Kommunizieren/Argumentieren steht {{Anführung|Die Schülerinnen und Schüler beschreiben mathematische Sachverhalte mit eigenen Worten und finden dazu Fragestellungen|SZ=.}} Beschreibe{{n Sie}} ein Szenaro, in dem die Kinder die erwarteten Kompetenzen erfüllen bzw. nicht erfüllen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Didaktik der Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} q9w63v4pva9hlfgu0sgc4f69b4yd3b7 0 173053 1116221 1116081 2026-10-15T14:33:10Z Bocardodarapti 2041 1116221 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Im Kerncurriculum zu den erwarteten Kompetenzen im Bereich Kommunizieren/Argumentieren steht {{Anführung|Die Schülerinnen und Schüler stellen Vermutungen über mathematische Sachverhalte an, begründen und überprüfen sie|SZ=.}} Beschreibe{{n Sie}} ein Szenaro, in dem die Kinder die erwarteten Kompetenzen erfüllen bzw. nicht erfüllen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Didaktik der Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} jzkxv9sl8a7ypnam90rin8qx1kbuu58 0 173054 1116224 1116082 2026-10-15T14:34:36Z Bocardodarapti 2041 1116224 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Im Kerncurriculum zu den erwarteten Kompetenzen im Bereich Kommunizieren/Argumentieren steht {{Anführung|Die Schülerinnen und Schüler überprüfen mathematische Aussagen, kennzeichnen sie als richtig oder falsch und begründen dies|SZ=.}} Beschreibe{{n Sie}} ein Szenaro, in dem die Kinder die erwarteten Kompetenzen erfüllen bzw. nicht erfüllen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Didaktik der Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} 2juxw7goegvq2im2jfsymv5z7izxjvd 0 173055 1116223 1116083 2026-10-15T14:34:15Z Bocardodarapti 2041 1116223 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Im Kerncurriculum zu den erwarteten Kompetenzen im Bereich Kommunizieren/Argumentieren steht {{Anführung|Die Schülerinnen und Schüler beschreiben und begründen eigene Lösungswege und reflektieren darüber|SZ=.}} Beschreibe{{n Sie}} ein Szenaro, in dem die Kinder die erwarteten Kompetenzen erfüllen bzw. nicht erfüllen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Didaktik der Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} as302m4854iiah5st4hbae960msar70 0 173056 1116222 1116084 2026-10-15T14:33:36Z Bocardodarapti 2041 1116222 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Im Kerncurriculum zu den erwarteten Kompetenzen im Bereich Kommunizieren/Argumentieren steht {{Anführung|Die Schülerinnen und Schüler entdecken und beschreiben mathematische Zusammenhänge|SZ=.}} Beschreibe{{n Sie}} ein Szenaro, in dem die Kinder die erwarteten Kompetenzen erfüllen bzw. nicht erfüllen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Didaktik der Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} 4l6j1gq8p8l6qovqi6flpbsaoe6t9sw 106 173057 1116203 1116128 2026-10-15T12:30:13Z Bocardodarapti 2041 1116203 wikitext text/x-wiki {{ Klausur18 |Elementare Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/2. 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Die Aussage ist eine direkte Anwendung des klassischen [[Identitätssatz|Identitätssatzes]] aus der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]]. == Siehe auch == * [[einfach zusammenhängend]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus]] * [[Zweige des Logarithmus]] 2kkdhuab4ylkkgt81kb2sgzs689gd26 1116319 1116318 2026-10-16T06:44:18Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1116319 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Identitäts für [[Zweige des Logarithmus]] zeigt, dass durch die Festlegung eine beliebigen [[einfach zusammenhängend]]en Gebietes <math>G</math> mit <math>0\notin G</math> allein durch die [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinatendarstellung]] eines Punktes <math>z_0=|z_0|\cdot e^{it_o}</math> und <math>w_0: =\ln(|z|) + i\cdot t_0</math> für den zugehörigen Logarithmus der Zweig des Logarithmus eindeutig festgelegt ist. Die Aussage ist eine direkte Anwendung des klassischen [[Identitätssatz|Identitätssatzes]] aus der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]]. == Siehe auch == * [[einfach zusammenhängend]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus]] * [[Zweige des Logarithmus]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] g6h2cjjeufyqf3ht2yxim0gnmlvam8q 1116320 1116319 2026-10-16T06:44:49Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1116320 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Identitäts für [[Zweige des Logarithmus]] zeigt, dass durch die Festlegung eine beliebigen [[einfach zusammenhängend]]en Gebietes <math>G</math> mit <math>0\notin G</math> allein durch die [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinatendarstellung]] eines Punktes <math>z_0=|z_0|\cdot e^{it_o}</math> und <math>w_0: =\ln(|z|) + i\cdot t_0</math> für den zugehörigen Logarithmus der Zweig des Logarithmus eindeutig festgelegt ist. Die Aussage ist eine direkte Anwendung des klassischen [[Identitätssatz|Identitätssatzes]] aus der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]]. == Siehe auch == * [[einfach zusammenhängend]] * [[komplexer Logarithmus]] * [[Zweige des Logarithmus]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] dz90uk21hxe36s9ht0f8vfdvw0mhles 1116324 1116320 2026-10-16T07:07:49Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1116324 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Identitäts für [[Zweige des Logarithmus]] zeigt, dass durch die Festlegung eine beliebigen [[einfach zusammenhängend]]en Gebietes <math>G</math> mit <math>0\notin G</math> allein durch die [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinatendarstellung]] eines Punktes <math>z_0=|z_0|\cdot e^{it_o}</math> und <math>w_0: =\ln(|z|) + i\cdot t_0</math> für den zugehörigen Logarithmus der Zweig des Logarithmus eindeutig festgelegt ist. Die Aussage ist eine direkte Anwendung des klassischen [[Identitätssatz|Identitätssatzes]] aus der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]]. == Identitätssatz für den Logarithmus == Sei <math> G \subseteq \mathbb{C} </math> ein [[einfach zusammenhängend]]es Gebiet mit <math> 0 \notin G </math>. Dann ist der [[Zweig des Logarithmus]] auf <math> G </math> '''eindeutig festgelegt''', sobald man einen Punkt <math> z_0 \in G </math> und einen Wert <math> w_0 \in \mathbb{C} </math> mit <math> \exp(w_0) = z_0 </math> vorgibt. === Bemerkung - Eindeutigkeit === Für die [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen|Äquivalenzklassen für Logarithmen]] wird der [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negative Hauptzweig]] verwendet. Die im Satz genannt Festlegung kann dann durch die Eigenschaft erfolgen, dass <math>w_0\in \mathbb{D}_1 := \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi)</math> gilt. == Siehe auch == * [[einfach zusammenhängend]] * [[komplexer Logarithmus]] * [[Zweige des Logarithmus]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] c9gzf5rvaxzafrqctlzs4ae8waff2uv 1116325 1116324 2026-10-16T07:18:37Z Bert Niehaus 20843 /* Bemerkung - Eindeutigkeit */ 1116325 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Identitäts für [[Zweige des Logarithmus]] zeigt, dass durch die Festlegung eine beliebigen [[einfach zusammenhängend]]en Gebietes <math>G</math> mit <math>0\notin G</math> allein durch die [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinatendarstellung]] eines Punktes <math>z_0=|z_0|\cdot e^{it_o}</math> und <math>w_0: =\ln(|z|) + i\cdot t_0</math> für den zugehörigen Logarithmus der Zweig des Logarithmus eindeutig festgelegt ist. Die Aussage ist eine direkte Anwendung des klassischen [[Identitätssatz|Identitätssatzes]] aus der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]]. == Identitätssatz für den Logarithmus == Sei <math> G \subseteq \mathbb{C} </math> ein [[einfach zusammenhängend]]es Gebiet mit <math> 0 \notin G </math>. Dann ist der [[Zweig des Logarithmus]] auf <math> G </math> '''eindeutig festgelegt''', sobald man einen Punkt <math> z_0 \in G </math> und einen Wert <math> w_0 \in \mathbb{C} </math> mit <math> \exp(w_0) = z_0 </math> vorgibt. === Bemerkung - Eindeutigkeit === Für die [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen|Äquivalenzklassen für Logarithmen]] wird der [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negative Hauptzweig]] verwendet. Die im Satz genannt Festlegung kann dann durch die Eigenschaft erfolgen, dass <math>w_0\in \mathbb{D}_1 := \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi)</math> gilt. === Beweisidee === * <math> \frac{1}{z} </math> ist holomorph auf <math> G </math>, also hat sie eine Potenzreihe um <math> z_0 </math> (siehe auch [[Cauchy-Integralformel]]) * Eine [[Potenzreihe]] konvergiert gleichmäßig auf <math> \overline{D_r(z_0)} </math> und erlaubt somit eine summandenweise Integration, wobei die Stammfunktion die folgende Integraldarstellung besitzt <math> F(z) = \int_{z_0}^z \frac{1}{\zeta} d\zeta </math> mit <math>F(z_0)=0</math> * Stammfunktionen sind bis auf Konstante eindeutig bestimmt und die Festlegung in einem Punkt definiert den Zweig des Logarithmus <math> \log_G(z) = F(z) + w_0 </math> auf der Kreisscheibe und [[Identitätssatz]] <math> \log_G </math> eindeutig auf ganz <math> G </math> festgelegt. === Bemerkung - Beweisidee === Für mündliche Prüfungen ist es sinnvoll, die Beweisstruktur zu kennen, da man in der Regel längere Beweise in der Prüfung durch den Zeitrahmen der Prüfung nicht vollständig ausführen kann und nur einzelen Teilaspekte aus dem gesamten Beweis auf Anfrage ausführen kann. Ferner gliedert die Beweisidee den Beweis und hilft dabei, die Logik in der Argumentation zu rekonstruieren. == Siehe auch == * [[einfach zusammenhängend]] * [[komplexer Logarithmus]] * [[Zweige des Logarithmus]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] ozzv2a09wmiaue01f50sahmhfr3m0w9 1116326 1116325 2026-10-16T07:18:58Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1116326 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Identitäts für [[Zweige des Logarithmus]] zeigt, dass durch die Festlegung eine beliebigen [[einfach zusammenhängend]]en Gebietes <math>G</math> mit <math>0\notin G</math> allein durch die [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinatendarstellung]] eines Punktes <math>z_0=|z_0|\cdot e^{it_o}</math> und <math>w_0: =\ln(|z|) + i\cdot t_0</math> für den zugehörigen Logarithmus der Zweig des Logarithmus eindeutig festgelegt ist. Die Aussage ist eine direkte Anwendung des klassischen [[Identitätssatz|Identitätssatzes]] aus der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]]. == Identitätssatz für den Logarithmus == Sei <math> G \subseteq \mathbb{C} </math> ein [[einfach zusammenhängend]]es Gebiet mit <math> 0 \notin G </math>. Dann ist der [[Zweig des Logarithmus]] auf <math> G </math> '''eindeutig festgelegt''', sobald man einen Punkt <math> z_0 \in G </math> und einen Wert <math> w_0 \in \mathbb{C} </math> mit <math> \exp(w_0) = z_0 </math> vorgibt. === Bemerkung - Eindeutigkeit === Für die [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen|Äquivalenzklassen für Logarithmen]] wird der [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negative Hauptzweig]] verwendet. Die im Satz genannt Festlegung kann dann durch die Eigenschaft erfolgen, dass <math>w_0\in \mathbb{D}_1 := \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi)</math> gilt. === Beweisidee === * <math> \frac{1}{z} </math> ist holomorph auf <math> G </math>, also hat sie eine Potenzreihe um <math> z_0 </math> (siehe auch [[Cauchy-Integralformel]]) * Eine [[Potenzreihe]] konvergiert gleichmäßig auf <math> \overline{D_r(z_0)} </math> und erlaubt somit eine summandenweise Integration, wobei die Stammfunktion die folgende Integraldarstellung besitzt <math> F(z) = \int_{z_0}^z \frac{1}{\zeta} d\zeta </math> mit <math>F(z_0)=0</math> * Stammfunktionen sind bis auf Konstante eindeutig bestimmt und die Festlegung in einem Punkt definiert den Zweig des Logarithmus <math> \log_G(z) = F(z) + w_0 </math> auf der Kreisscheibe und [[Identitätssatz]] <math> \log_G </math> eindeutig auf ganz <math> G </math> festgelegt. === Bemerkung - Beweisidee === Für mündliche Prüfungen ist es sinnvoll, die Beweisstruktur zu kennen, da man in der Regel längere Beweise in der Prüfung durch den Zeitrahmen der Prüfung nicht vollständig ausführen kann und nur einzelen Teilaspekte aus dem gesamten Beweis auf Anfrage ausführen kann. Ferner gliedert die Beweisidee den Beweis und hilft dabei, die Logik in der Argumentation zu rekonstruieren. == Beweis - Identitätssatz für den Logarithmus == == Siehe auch == * [[einfach zusammenhängend]] * [[komplexer Logarithmus]] * [[Zweige des Logarithmus]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] 60ocvsv3jtovevgypod7m47fwlryda1 1116327 1116326 2026-10-16T07:19:15Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisidee */ 1116327 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Identitäts für [[Zweige des Logarithmus]] zeigt, dass durch die Festlegung eine beliebigen [[einfach zusammenhängend]]en Gebietes <math>G</math> mit <math>0\notin G</math> allein durch die [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinatendarstellung]] eines Punktes <math>z_0=|z_0|\cdot e^{it_o}</math> und <math>w_0: =\ln(|z|) + i\cdot t_0</math> für den zugehörigen Logarithmus der Zweig des Logarithmus eindeutig festgelegt ist. Die Aussage ist eine direkte Anwendung des klassischen [[Identitätssatz|Identitätssatzes]] aus der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]]. == Identitätssatz für den Logarithmus == Sei <math> G \subseteq \mathbb{C} </math> ein [[einfach zusammenhängend]]es Gebiet mit <math> 0 \notin G </math>. Dann ist der [[Zweig des Logarithmus]] auf <math> G </math> '''eindeutig festgelegt''', sobald man einen Punkt <math> z_0 \in G </math> und einen Wert <math> w_0 \in \mathbb{C} </math> mit <math> \exp(w_0) = z_0 </math> vorgibt. === Bemerkung - Eindeutigkeit === Für die [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen|Äquivalenzklassen für Logarithmen]] wird der [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negative Hauptzweig]] verwendet. Die im Satz genannt Festlegung kann dann durch die Eigenschaft erfolgen, dass <math>w_0\in \mathbb{D}_1 := \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi)</math> gilt. === Beweisidee === * <math> \frac{1}{z} </math> ist holomorph auf <math> G </math>, also hat sie eine Potenzreihe um <math> z_0 </math> (siehe auch [[Cauchy-Integralformel]]). * Eine [[Potenzreihe]] konvergiert gleichmäßig auf <math> \overline{D_r(z_0)} </math> und erlaubt somit eine summandenweise Integration, wobei die Stammfunktion die folgende Integraldarstellung besitzt <math> F(z) = \int_{z_0}^z \frac{1}{\zeta} d\zeta </math> mit <math>F(z_0)=0</math>. * Stammfunktionen sind bis auf Konstante eindeutig bestimmt und die Festlegung in einem Punkt definiert den Zweig des Logarithmus <math> \log_G(z) = F(z) + w_0 </math> auf der Kreisscheibe und [[Identitätssatz]] <math> \log_G </math> eindeutig auf ganz <math> G </math> festgelegt. === Bemerkung - Beweisidee === Für mündliche Prüfungen ist es sinnvoll, die Beweisstruktur zu kennen, da man in der Regel längere Beweise in der Prüfung durch den Zeitrahmen der Prüfung nicht vollständig ausführen kann und nur einzelen Teilaspekte aus dem gesamten Beweis auf Anfrage ausführen kann. Ferner gliedert die Beweisidee den Beweis und hilft dabei, die Logik in der Argumentation zu rekonstruieren. == Beweis - Identitätssatz für den Logarithmus == == Siehe auch == * [[einfach zusammenhängend]] * [[komplexer Logarithmus]] * [[Zweige des Logarithmus]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] cx4e9g2fpovv7jqdtuttz1x6lucjyxk 1116330 1116327 2026-10-16T07:32:35Z Bert Niehaus 20843 /* Beweis - Identitätssatz für den Logarithmus */ 1116330 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Identitäts für [[Zweige des Logarithmus]] zeigt, dass durch die Festlegung eine beliebigen [[einfach zusammenhängend]]en Gebietes <math>G</math> mit <math>0\notin G</math> allein durch die [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinatendarstellung]] eines Punktes <math>z_0=|z_0|\cdot e^{it_o}</math> und <math>w_0: =\ln(|z|) + i\cdot t_0</math> für den zugehörigen Logarithmus der Zweig des Logarithmus eindeutig festgelegt ist. Die Aussage ist eine direkte Anwendung des klassischen [[Identitätssatz|Identitätssatzes]] aus der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]]. == Identitätssatz für den Logarithmus == Sei <math> G \subseteq \mathbb{C} </math> ein [[einfach zusammenhängend]]es Gebiet mit <math> 0 \notin G </math>. Dann ist der [[Zweig des Logarithmus]] auf <math> G </math> '''eindeutig festgelegt''', sobald man einen Punkt <math> z_0 \in G </math> und einen Wert <math> w_0 \in \mathbb{C} </math> mit <math> \exp(w_0) = z_0 </math> vorgibt. === Bemerkung - Eindeutigkeit === Für die [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen|Äquivalenzklassen für Logarithmen]] wird der [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negative Hauptzweig]] verwendet. Die im Satz genannt Festlegung kann dann durch die Eigenschaft erfolgen, dass <math>w_0\in \mathbb{D}_1 := \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi)</math> gilt. === Beweisidee === * <math> \frac{1}{z} </math> ist holomorph auf <math> G </math>, also hat sie eine Potenzreihe um <math> z_0 </math> (siehe auch [[Cauchy-Integralformel]]). * Eine [[Potenzreihe]] konvergiert gleichmäßig auf <math> \overline{D_r(z_0)} </math> und erlaubt somit eine summandenweise Integration, wobei die Stammfunktion die folgende Integraldarstellung besitzt <math> F(z) = \int_{z_0}^z \frac{1}{\zeta} d\zeta </math> mit <math>F(z_0)=0</math>. * Stammfunktionen sind bis auf Konstante eindeutig bestimmt und die Festlegung in einem Punkt definiert den Zweig des Logarithmus <math> \log_G(z) = F(z) + w_0 </math> auf der Kreisscheibe und [[Identitätssatz]] <math> \log_G </math> eindeutig auf ganz <math> G </math> festgelegt. === Bemerkung - Beweisidee === Für mündliche Prüfungen ist es sinnvoll, die Beweisstruktur zu kennen, da man in der Regel längere Beweise in der Prüfung durch den Zeitrahmen der Prüfung nicht vollständig ausführen kann und nur einzelen Teilaspekte aus dem gesamten Beweis auf Anfrage ausführen kann. Ferner gliedert die Beweisidee den Beweis und hilft dabei, die Logik in der Argumentation zu rekonstruieren. == Beweis - Identitätssatz für den Logarithmus == Um den Identitätssatz für den Logarithmus zu beweisen, wird zunächst ein beliebiger Punkt <math>z_0\in G</math> in dem gegebenen [[einfach zusammenhängend]]en Gebiet <math> G \subseteq \mathbb{C} </math> mit <math> 0 \notin G </math> in [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinaten]] <math>z_0 = |z_0|\cdot e^{it_o}</math> dargestellt und man definiert <math>w_0 := \ln(|z_0|)+i\cdot t_0</math>. Durch die Anwendung der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] zeigt man dann, dass folgende Gleichung gilt: :<math> e^{w_0} = e^{\ln(|z_0|)+i\cdot t_0} = e^{\ln(|z_0|)} \cdot e^{it_0} = |z_0| \cdot e^{it_0} z_0 \quad (\ast) </math> === Ziel des Beweises === Nun ist zu zeigen, dass es genau eine holomorphe Funktion <math> \log_G: G \to \mathbb{C} </math> gibt, sodass die folgenden beiden Eigenschaften erfüllt sind: * '''(ISL1)''' <math>\log_G(z_0) = w_0 </math>. * '''(ISL2)''' <math> \exp(\log_G(z)) = z </math> für alle <math> z \in G </math>, Durch die Festlegung von <math>w_0</math> in <math>(\ast)</math> ist (ISL1) bereits erfüllt. Es bleibt (ISL2) zu zeigen. == Siehe auch == * [[einfach zusammenhängend]] * [[komplexer Logarithmus]] * [[Zweige des Logarithmus]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] 4pl0dpyomeoglz7vdla4kg0wbr30b56 1116332 1116330 2026-10-16T07:38:43Z Bert Niehaus 20843 /* Ziel des Beweises */ 1116332 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Identitäts für [[Zweige des Logarithmus]] zeigt, dass durch die Festlegung eine beliebigen [[einfach zusammenhängend]]en Gebietes <math>G</math> mit <math>0\notin G</math> allein durch die [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinatendarstellung]] eines Punktes <math>z_0=|z_0|\cdot e^{it_o}</math> und <math>w_0: =\ln(|z|) + i\cdot t_0</math> für den zugehörigen Logarithmus der Zweig des Logarithmus eindeutig festgelegt ist. Die Aussage ist eine direkte Anwendung des klassischen [[Identitätssatz|Identitätssatzes]] aus der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]]. == Identitätssatz für den Logarithmus == Sei <math> G \subseteq \mathbb{C} </math> ein [[einfach zusammenhängend]]es Gebiet mit <math> 0 \notin G </math>. Dann ist der [[Zweig des Logarithmus]] auf <math> G </math> '''eindeutig festgelegt''', sobald man einen Punkt <math> z_0 \in G </math> und einen Wert <math> w_0 \in \mathbb{C} </math> mit <math> \exp(w_0) = z_0 </math> vorgibt. === Bemerkung - Eindeutigkeit === Für die [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen|Äquivalenzklassen für Logarithmen]] wird der [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negative Hauptzweig]] verwendet. Die im Satz genannt Festlegung kann dann durch die Eigenschaft erfolgen, dass <math>w_0\in \mathbb{D}_1 := \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi)</math> gilt. === Beweisidee === * <math> \frac{1}{z} </math> ist holomorph auf <math> G </math>, also hat sie eine Potenzreihe um <math> z_0 </math> (siehe auch [[Cauchy-Integralformel]]). * Eine [[Potenzreihe]] konvergiert gleichmäßig auf <math> \overline{D_r(z_0)} </math> und erlaubt somit eine summandenweise Integration, wobei die Stammfunktion die folgende Integraldarstellung besitzt <math> F(z) = \int_{z_0}^z \frac{1}{\zeta} d\zeta </math> mit <math>F(z_0)=0</math>. * Stammfunktionen sind bis auf Konstante eindeutig bestimmt und die Festlegung in einem Punkt definiert den Zweig des Logarithmus <math> \log_G(z) = F(z) + w_0 </math> auf der Kreisscheibe und [[Identitätssatz]] <math> \log_G </math> eindeutig auf ganz <math> G </math> festgelegt. === Bemerkung - Beweisidee === Für mündliche Prüfungen ist es sinnvoll, die Beweisstruktur zu kennen, da man in der Regel längere Beweise in der Prüfung durch den Zeitrahmen der Prüfung nicht vollständig ausführen kann und nur einzelen Teilaspekte aus dem gesamten Beweis auf Anfrage ausführen kann. Ferner gliedert die Beweisidee den Beweis und hilft dabei, die Logik in der Argumentation zu rekonstruieren. == Beweis - Identitätssatz für den Logarithmus == Um den Identitätssatz für den Logarithmus zu beweisen, wird zunächst ein beliebiger Punkt <math>z_0\in G</math> in dem gegebenen [[einfach zusammenhängend]]en Gebiet <math> G \subseteq \mathbb{C} </math> mit <math> 0 \notin G </math> in [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinaten]] <math>z_0 = |z_0|\cdot e^{it_o}</math> dargestellt und man definiert <math>w_0 := \ln(|z_0|)+i\cdot t_0</math>. Durch die Anwendung der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] zeigt man dann, dass folgende Gleichung gilt: :<math> e^{w_0} = e^{\ln(|z_0|)+i\cdot t_0} = e^{\ln(|z_0|)} \cdot e^{it_0} = |z_0| \cdot e^{it_0} z_0 \quad (\ast) </math> === Ziel des Beweises === Nun ist zu zeigen, dass es genau eine holomorphe Funktion <math> \log_G: G \to \mathbb{C} </math> gibt, sodass die folgenden beiden Eigenschaften erfüllt sind: * '''(ISL1)''' <math>\log_G(z_0) = w_0 </math>. * '''(ISL2)''' <math> \exp(\log_G(z)) = z </math> für alle <math> z \in G </math>, Durch die Festlegung von <math>w_0</math> in <math>(\ast)</math> ist (ISL1) bereits erfüllt. Es bleibt (ISL2) zu zeigen. === Schritt 1 - Logarithmenzweige als Stammfunktion === Auf [[einfach zusammenhängend]]en Gebieten <math>G</math> existieren immer Stammfunktionen und <math>f(z)=\tfrac{1}{z}</math> ist eine [[holomorphe Funktion]]: * <math> G </math> ist [[einfach zusammenhängend]] und enthält nicht die [[Polstelle]] (Singularität) <math> 0</math>, da <math> G \subseteq \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> gilt. * Die Funktion <math> f(z) = \frac{1}{z} </math> ist '''holomorph''' auf <math> G </math>, da <math> 0 \notin G </math>. * Wir wollen eine '''Stammfunktion''' von <math> \frac{1}{z} </math> auf <math> G </math> konstruieren, die den Logarithmus darstellt. == Siehe auch == * [[einfach zusammenhängend]] * [[komplexer Logarithmus]] * [[Zweige des Logarithmus]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] chsn8zww9pmlxolp2ea09fhqvfhkmk8 1116342 1116332 2026-10-16T07:48:37Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1116342 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Identitäts für [[Zweige des Logarithmus]] zeigt, dass durch die Festlegung eine beliebigen [[einfach zusammenhängend]]en Gebietes <math>G</math> mit <math>0\notin G</math> allein durch die [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinatendarstellung]] eines Punktes <math>z_0=|z_0|\cdot e^{it_o}</math> und <math>w_0: =\ln(|z|) + i\cdot t_0</math> für den zugehörigen Logarithmus der Zweig des Logarithmus eindeutig festgelegt ist. Die Aussage ist eine direkte Anwendung des klassischen [[Identitätssatz|Identitätssatzes]] aus der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]]. == Identitätssatz für den Logarithmus == Sei <math> G \subseteq \mathbb{C} </math> ein [[einfach zusammenhängend]]es Gebiet mit <math> 0 \notin G </math>. Dann ist der [[Zweig des Logarithmus]] auf <math> G </math> '''eindeutig festgelegt''', sobald man einen Punkt <math> z_0 \in G </math> und einen Wert <math> w_0 \in \mathbb{C} </math> mit <math> \exp(w_0) = z_0 </math> vorgibt. === Bemerkung - Eindeutigkeit === Für die [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen|Äquivalenzklassen für Logarithmen]] wird der [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negative Hauptzweig]] verwendet. Die im Satz genannt Festlegung kann dann durch die Eigenschaft erfolgen, dass <math>w_0\in \mathbb{D}_1 := \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi)</math> gilt. === Beweisidee === * <math> \frac{1}{z} </math> ist holomorph auf <math> G </math>, also hat sie eine Potenzreihe um <math> z_0 </math> (siehe auch [[Cauchy-Integralformel]]). * Eine [[Potenzreihe]] konvergiert gleichmäßig auf <math> \overline{D_r(z_0)} </math> und erlaubt somit eine summandenweise Integration, wobei die Stammfunktion die folgende Integraldarstellung besitzt <math> F(z) = \int_{z_0}^z \frac{1}{\zeta} d\zeta </math> mit <math>F(z_0)=0</math>. * Stammfunktionen sind bis auf Konstante eindeutig bestimmt und die Festlegung in einem Punkt definiert den Zweig des Logarithmus <math> \log_G(z) = F(z) + w_0 </math> auf der Kreisscheibe und [[Identitätssatz]] <math> \log_G </math> eindeutig auf ganz <math> G </math> festgelegt. === Bemerkung - Beweisidee === Für mündliche Prüfungen ist es sinnvoll, die Beweisstruktur zu kennen, da man in der Regel längere Beweise in der Prüfung durch den Zeitrahmen der Prüfung nicht vollständig ausführen kann und nur einzelen Teilaspekte aus dem gesamten Beweis auf Anfrage ausführen kann. Ferner gliedert die Beweisidee den Beweis und hilft dabei, die Logik in der Argumentation zu rekonstruieren. == Beweis - Identitätssatz für den Logarithmus == Um den Identitätssatz für den Logarithmus zu beweisen, wird zunächst ein beliebiger Punkt <math>z_0\in G</math> in dem gegebenen [[einfach zusammenhängend]]en Gebiet <math> G \subseteq \mathbb{C} </math> mit <math> 0 \notin G </math> in [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinaten]] <math>z_0 = |z_0|\cdot e^{it_o}</math> dargestellt und man definiert <math>w_0 := \ln(|z_0|)+i\cdot t_0</math>. Durch die Anwendung der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] zeigt man dann, dass folgende Gleichung gilt: :<math> e^{w_0} = e^{\ln(|z_0|)+i\cdot t_0} = e^{\ln(|z_0|)} \cdot e^{it_0} = |z_0| \cdot e^{it_0} z_0 \quad (\ast) </math> === Ziel des Beweises === Nun ist zu zeigen, dass es genau eine holomorphe Funktion <math> \log_G: G \to \mathbb{C} </math> gibt, sodass die folgenden beiden Eigenschaften erfüllt sind: * '''(ISL1)''' <math>\log_G(z_0) = w_0 </math>. * '''(ISL2)''' <math> \exp(\log_G(z)) = z </math> für alle <math> z \in G </math>, Durch die Festlegung von <math>w_0</math> in <math>(\ast)</math> ist (ISL1) bereits erfüllt. Es bleibt (ISL2) zu zeigen. === Schritt 1 - Logarithmenzweige als Stammfunktion === Auf [[einfach zusammenhängend]]en Gebieten <math>G</math> existieren immer Stammfunktionen und <math>f(z)=\tfrac{1}{z}</math> ist eine [[holomorphe Funktion]]: * <math> G </math> ist [[einfach zusammenhängend]] und enthält nicht die [[Polstelle]] (Singularität) <math> 0</math>, da <math> G \subseteq \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> gilt. * Die Funktion <math> f(z) = \frac{1}{z} </math> ist '''holomorph''' auf <math> G </math>, da <math> 0 \notin G </math>. * Wir wollen eine '''Stammfunktion''' von <math> \frac{1}{z} </math> auf <math> G </math> konstruieren, die den Logarithmus darstellt. == Siehe auch == * [[einfach zusammenhängend]] * [[komplexer Logarithmus]] * [[Zweige des Logarithmus]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen https://de.wikiversity.org/wiki/Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] f4q9hvgni7tfsu8fanvawtdmvto0lcx 1116343 1116342 2026-10-16T07:49:10Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1116343 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Identitäts für [[Zweige des Logarithmus]] zeigt, dass durch die Festlegung eine beliebigen [[einfach zusammenhängend]]en Gebietes <math>G</math> mit <math>0\notin G</math> allein durch die [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinatendarstellung]] eines Punktes <math>z_0=|z_0|\cdot e^{it_o}</math> und <math>w_0: =\ln(|z|) + i\cdot t_0</math> für den zugehörigen Logarithmus der Zweig des Logarithmus eindeutig festgelegt ist. Die Aussage ist eine direkte Anwendung des klassischen [[Identitätssatz|Identitätssatzes]] aus der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]]. == Identitätssatz für den Logarithmus == Sei <math> G \subseteq \mathbb{C} </math> ein [[einfach zusammenhängend]]es Gebiet mit <math> 0 \notin G </math>. Dann ist der [[Zweig des Logarithmus]] auf <math> G </math> '''eindeutig festgelegt''', sobald man einen Punkt <math> z_0 \in G </math> und einen Wert <math> w_0 \in \mathbb{C} </math> mit <math> \exp(w_0) = z_0 </math> vorgibt. === Bemerkung - Eindeutigkeit === Für die [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen|Äquivalenzklassen für Logarithmen]] wird der [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negative Hauptzweig]] verwendet. Die im Satz genannt Festlegung kann dann durch die Eigenschaft erfolgen, dass <math>w_0\in \mathbb{D}_1 := \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi)</math> gilt. === Beweisidee === * <math> \frac{1}{z} </math> ist holomorph auf <math> G </math>, also hat sie eine Potenzreihe um <math> z_0 </math> (siehe auch [[Cauchy-Integralformel]]). * Eine [[Potenzreihe]] konvergiert gleichmäßig auf <math> \overline{D_r(z_0)} </math> und erlaubt somit eine summandenweise Integration, wobei die Stammfunktion die folgende Integraldarstellung besitzt <math> F(z) = \int_{z_0}^z \frac{1}{\zeta} d\zeta </math> mit <math>F(z_0)=0</math>. * Stammfunktionen sind bis auf Konstante eindeutig bestimmt und die Festlegung in einem Punkt definiert den Zweig des Logarithmus <math> \log_G(z) = F(z) + w_0 </math> auf der Kreisscheibe und [[Identitätssatz]] <math> \log_G </math> eindeutig auf ganz <math> G </math> festgelegt. === Bemerkung - Beweisidee === Für mündliche Prüfungen ist es sinnvoll, die Beweisstruktur zu kennen, da man in der Regel längere Beweise in der Prüfung durch den Zeitrahmen der Prüfung nicht vollständig ausführen kann und nur einzelen Teilaspekte aus dem gesamten Beweis auf Anfrage ausführen kann. Ferner gliedert die Beweisidee den Beweis und hilft dabei, die Logik in der Argumentation zu rekonstruieren. == Beweis - Identitätssatz für den Logarithmus == Um den Identitätssatz für den Logarithmus zu beweisen, wird zunächst ein beliebiger Punkt <math>z_0\in G</math> in dem gegebenen [[einfach zusammenhängend]]en Gebiet <math> G \subseteq \mathbb{C} </math> mit <math> 0 \notin G </math> in [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinaten]] <math>z_0 = |z_0|\cdot e^{it_o}</math> dargestellt und man definiert <math>w_0 := \ln(|z_0|)+i\cdot t_0</math>. Durch die Anwendung der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] zeigt man dann, dass folgende Gleichung gilt: :<math> e^{w_0} = e^{\ln(|z_0|)+i\cdot t_0} = e^{\ln(|z_0|)} \cdot e^{it_0} = |z_0| \cdot e^{it_0} z_0 \quad (\ast) </math> === Ziel des Beweises === Nun ist zu zeigen, dass es genau eine holomorphe Funktion <math> \log_G: G \to \mathbb{C} </math> gibt, sodass die folgenden beiden Eigenschaften erfüllt sind: * '''(ISL1)''' <math>\log_G(z_0) = w_0 </math>. * '''(ISL2)''' <math> \exp(\log_G(z)) = z </math> für alle <math> z \in G </math>, Durch die Festlegung von <math>w_0</math> in <math>(\ast)</math> ist (ISL1) bereits erfüllt. Es bleibt (ISL2) zu zeigen. === Schritt 1 - Logarithmenzweige als Stammfunktion === Auf [[einfach zusammenhängend]]en Gebieten <math>G</math> existieren immer Stammfunktionen und <math>f(z)=\tfrac{1}{z}</math> ist eine [[holomorphe Funktion]]: * <math> G </math> ist [[einfach zusammenhängend]] und enthält nicht die [[Polstelle]] (Singularität) <math> 0</math>, da <math> G \subseteq \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> gilt. * Die Funktion <math> f(z) = \frac{1}{z} </math> ist '''holomorph''' auf <math> G </math>, da <math> 0 \notin G </math>. * Wir wollen eine '''Stammfunktion''' von <math> \frac{1}{z} </math> auf <math> G </math> konstruieren, die den Logarithmus darstellt. == Siehe auch == * [[einfach zusammenhängend]] * [[komplexer Logarithmus]] * [[Zweige des Logarithmus]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen https://de.wikiversity.org/wiki/Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] pcxgc485ajcrrx4ewnc0vf7p4brkvg9 1116344 1116343 2026-10-16T07:50:44Z Bert Niehaus 20843 /* Schritt 1 - Logarithmenzweige als Stammfunktion */ 1116344 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Identitäts für [[Zweige des Logarithmus]] zeigt, dass durch die Festlegung eine beliebigen [[einfach zusammenhängend]]en Gebietes <math>G</math> mit <math>0\notin G</math> allein durch die [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinatendarstellung]] eines Punktes <math>z_0=|z_0|\cdot e^{it_o}</math> und <math>w_0: =\ln(|z|) + i\cdot t_0</math> für den zugehörigen Logarithmus der Zweig des Logarithmus eindeutig festgelegt ist. Die Aussage ist eine direkte Anwendung des klassischen [[Identitätssatz|Identitätssatzes]] aus der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]]. == Identitätssatz für den Logarithmus == Sei <math> G \subseteq \mathbb{C} </math> ein [[einfach zusammenhängend]]es Gebiet mit <math> 0 \notin G </math>. Dann ist der [[Zweig des Logarithmus]] auf <math> G </math> '''eindeutig festgelegt''', sobald man einen Punkt <math> z_0 \in G </math> und einen Wert <math> w_0 \in \mathbb{C} </math> mit <math> \exp(w_0) = z_0 </math> vorgibt. === Bemerkung - Eindeutigkeit === Für die [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen|Äquivalenzklassen für Logarithmen]] wird der [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negative Hauptzweig]] verwendet. Die im Satz genannt Festlegung kann dann durch die Eigenschaft erfolgen, dass <math>w_0\in \mathbb{D}_1 := \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi)</math> gilt. === Beweisidee === * <math> \frac{1}{z} </math> ist holomorph auf <math> G </math>, also hat sie eine Potenzreihe um <math> z_0 </math> (siehe auch [[Cauchy-Integralformel]]). * Eine [[Potenzreihe]] konvergiert gleichmäßig auf <math> \overline{D_r(z_0)} </math> und erlaubt somit eine summandenweise Integration, wobei die Stammfunktion die folgende Integraldarstellung besitzt <math> F(z) = \int_{z_0}^z \frac{1}{\zeta} d\zeta </math> mit <math>F(z_0)=0</math>. * Stammfunktionen sind bis auf Konstante eindeutig bestimmt und die Festlegung in einem Punkt definiert den Zweig des Logarithmus <math> \log_G(z) = F(z) + w_0 </math> auf der Kreisscheibe und [[Identitätssatz]] <math> \log_G </math> eindeutig auf ganz <math> G </math> festgelegt. === Bemerkung - Beweisidee === Für mündliche Prüfungen ist es sinnvoll, die Beweisstruktur zu kennen, da man in der Regel längere Beweise in der Prüfung durch den Zeitrahmen der Prüfung nicht vollständig ausführen kann und nur einzelen Teilaspekte aus dem gesamten Beweis auf Anfrage ausführen kann. Ferner gliedert die Beweisidee den Beweis und hilft dabei, die Logik in der Argumentation zu rekonstruieren. == Beweis - Identitätssatz für den Logarithmus == Um den Identitätssatz für den Logarithmus zu beweisen, wird zunächst ein beliebiger Punkt <math>z_0\in G</math> in dem gegebenen [[einfach zusammenhängend]]en Gebiet <math> G \subseteq \mathbb{C} </math> mit <math> 0 \notin G </math> in [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinaten]] <math>z_0 = |z_0|\cdot e^{it_o}</math> dargestellt und man definiert <math>w_0 := \ln(|z_0|)+i\cdot t_0</math>. Durch die Anwendung der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] zeigt man dann, dass folgende Gleichung gilt: :<math> e^{w_0} = e^{\ln(|z_0|)+i\cdot t_0} = e^{\ln(|z_0|)} \cdot e^{it_0} = |z_0| \cdot e^{it_0} z_0 \quad (\ast) </math> === Ziel des Beweises === Nun ist zu zeigen, dass es genau eine holomorphe Funktion <math> \log_G: G \to \mathbb{C} </math> gibt, sodass die folgenden beiden Eigenschaften erfüllt sind: * '''(ISL1)''' <math>\log_G(z_0) = w_0 </math>. * '''(ISL2)''' <math> \exp(\log_G(z)) = z </math> für alle <math> z \in G </math>, Durch die Festlegung von <math>w_0</math> in <math>(\ast)</math> ist (ISL1) bereits erfüllt. Es bleibt (ISL2) zu zeigen. === Schritt 1 - Logarithmenzweige als Stammfunktion === Auf [[einfach zusammenhängend]]en Gebieten <math>G</math> existieren immer Stammfunktionen und <math>f(z)=\tfrac{1}{z}</math> ist eine [[holomorphe Funktion]]: * <math> G </math> ist [[einfach zusammenhängend]] und enthält nicht die [[Polstelle]] (Singularität) <math> 0</math>, da <math> G \subseteq \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> gilt. * Die Funktion <math> f(z) = \frac{1}{z} </math> ist ''holomorph'' auf <math> G </math>, da <math> 0 \notin G </math>. * Die ''Stammfunktion'' von <math> \frac{1}{z} </math> auf <math> G </math> konstruieren, die den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] darstellt. == Siehe auch == * [[einfach zusammenhängend]] * [[komplexer Logarithmus]] * [[Zweige des Logarithmus]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen https://de.wikiversity.org/wiki/Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] imm0n9bml7wm81crg19oem3zhnor3rj 1116345 1116344 2026-10-16T07:51:42Z Bert Niehaus 20843 /* Schritt 1 - Logarithmenzweige als Stammfunktion */ 1116345 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Identitäts für [[Zweige des Logarithmus]] zeigt, dass durch die Festlegung eine beliebigen [[einfach zusammenhängend]]en Gebietes <math>G</math> mit <math>0\notin G</math> allein durch die [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinatendarstellung]] eines Punktes <math>z_0=|z_0|\cdot e^{it_o}</math> und <math>w_0: =\ln(|z|) + i\cdot t_0</math> für den zugehörigen Logarithmus der Zweig des Logarithmus eindeutig festgelegt ist. Die Aussage ist eine direkte Anwendung des klassischen [[Identitätssatz|Identitätssatzes]] aus der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]]. == Identitätssatz für den Logarithmus == Sei <math> G \subseteq \mathbb{C} </math> ein [[einfach zusammenhängend]]es Gebiet mit <math> 0 \notin G </math>. Dann ist der [[Zweig des Logarithmus]] auf <math> G </math> '''eindeutig festgelegt''', sobald man einen Punkt <math> z_0 \in G </math> und einen Wert <math> w_0 \in \mathbb{C} </math> mit <math> \exp(w_0) = z_0 </math> vorgibt. === Bemerkung - Eindeutigkeit === Für die [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen|Äquivalenzklassen für Logarithmen]] wird der [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negative Hauptzweig]] verwendet. Die im Satz genannt Festlegung kann dann durch die Eigenschaft erfolgen, dass <math>w_0\in \mathbb{D}_1 := \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi)</math> gilt. === Beweisidee === * <math> \frac{1}{z} </math> ist holomorph auf <math> G </math>, also hat sie eine Potenzreihe um <math> z_0 </math> (siehe auch [[Cauchy-Integralformel]]). * Eine [[Potenzreihe]] konvergiert gleichmäßig auf <math> \overline{D_r(z_0)} </math> und erlaubt somit eine summandenweise Integration, wobei die Stammfunktion die folgende Integraldarstellung besitzt <math> F(z) = \int_{z_0}^z \frac{1}{\zeta} d\zeta </math> mit <math>F(z_0)=0</math>. * Stammfunktionen sind bis auf Konstante eindeutig bestimmt und die Festlegung in einem Punkt definiert den Zweig des Logarithmus <math> \log_G(z) = F(z) + w_0 </math> auf der Kreisscheibe und [[Identitätssatz]] <math> \log_G </math> eindeutig auf ganz <math> G </math> festgelegt. === Bemerkung - Beweisidee === Für mündliche Prüfungen ist es sinnvoll, die Beweisstruktur zu kennen, da man in der Regel längere Beweise in der Prüfung durch den Zeitrahmen der Prüfung nicht vollständig ausführen kann und nur einzelen Teilaspekte aus dem gesamten Beweis auf Anfrage ausführen kann. Ferner gliedert die Beweisidee den Beweis und hilft dabei, die Logik in der Argumentation zu rekonstruieren. == Beweis - Identitätssatz für den Logarithmus == Um den Identitätssatz für den Logarithmus zu beweisen, wird zunächst ein beliebiger Punkt <math>z_0\in G</math> in dem gegebenen [[einfach zusammenhängend]]en Gebiet <math> G \subseteq \mathbb{C} </math> mit <math> 0 \notin G </math> in [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinaten]] <math>z_0 = |z_0|\cdot e^{it_o}</math> dargestellt und man definiert <math>w_0 := \ln(|z_0|)+i\cdot t_0</math>. Durch die Anwendung der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] zeigt man dann, dass folgende Gleichung gilt: :<math> e^{w_0} = e^{\ln(|z_0|)+i\cdot t_0} = e^{\ln(|z_0|)} \cdot e^{it_0} = |z_0| \cdot e^{it_0} z_0 \quad (\ast) </math> === Ziel des Beweises === Nun ist zu zeigen, dass es genau eine holomorphe Funktion <math> \log_G: G \to \mathbb{C} </math> gibt, sodass die folgenden beiden Eigenschaften erfüllt sind: * '''(ISL1)''' <math>\log_G(z_0) = w_0 </math>. * '''(ISL2)''' <math> \exp(\log_G(z)) = z </math> für alle <math> z \in G </math>, Durch die Festlegung von <math>w_0</math> in <math>(\ast)</math> ist (ISL1) bereits erfüllt. Es bleibt (ISL2) zu zeigen. === Schritt 1 - Logarithmenzweige als Stammfunktion === Auf [[einfach zusammenhängend]]en Gebieten <math>G</math> existieren immer Stammfunktionen und <math>f(z)=\tfrac{1}{z}</math> ist eine [[holomorphe Funktion]]: * <math> G </math> ist [[einfach zusammenhängend]] und enthält nicht die [[Polstelle]] (Singularität) <math> 0</math>, da <math> G \subseteq \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> gilt. * Die Funktion <math> f(z) = \frac{1}{z} </math> ist [[holomorphe Funktion|holomorph]] auf <math> G </math>, da <math> 0 \notin G </math>. * Die [[Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion]] von <math> \frac{1}{z} </math> auf <math> G </math> konstruieren, die den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] darstellt. == Siehe auch == * [[einfach zusammenhängend]] * [[komplexer Logarithmus]] * [[Zweige des Logarithmus]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen https://de.wikiversity.org/wiki/Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 6cu8y3k240ljnvd4rjyyap7i211vrei 1116347 1116345 2026-10-16T07:54:46Z Bert Niehaus 20843 /* Beweis - Identitätssatz für den Logarithmus */ 1116347 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Identitäts für [[Zweige des Logarithmus]] zeigt, dass durch die Festlegung eine beliebigen [[einfach zusammenhängend]]en Gebietes <math>G</math> mit <math>0\notin G</math> allein durch die [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinatendarstellung]] eines Punktes <math>z_0=|z_0|\cdot e^{it_o}</math> und <math>w_0: =\ln(|z|) + i\cdot t_0</math> für den zugehörigen Logarithmus der Zweig des Logarithmus eindeutig festgelegt ist. Die Aussage ist eine direkte Anwendung des klassischen [[Identitätssatz|Identitätssatzes]] aus der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]]. == Identitätssatz für den Logarithmus == Sei <math> G \subseteq \mathbb{C} </math> ein [[einfach zusammenhängend]]es Gebiet mit <math> 0 \notin G </math>. Dann ist der [[Zweig des Logarithmus]] auf <math> G </math> '''eindeutig festgelegt''', sobald man einen Punkt <math> z_0 \in G </math> und einen Wert <math> w_0 \in \mathbb{C} </math> mit <math> \exp(w_0) = z_0 </math> vorgibt. === Bemerkung - Eindeutigkeit === Für die [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen|Äquivalenzklassen für Logarithmen]] wird der [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negative Hauptzweig]] verwendet. Die im Satz genannt Festlegung kann dann durch die Eigenschaft erfolgen, dass <math>w_0\in \mathbb{D}_1 := \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi)</math> gilt. === Beweisidee === * <math> \frac{1}{z} </math> ist holomorph auf <math> G </math>, also hat sie eine Potenzreihe um <math> z_0 </math> (siehe auch [[Cauchy-Integralformel]]). * Eine [[Potenzreihe]] konvergiert gleichmäßig auf <math> \overline{D_r(z_0)} </math> und erlaubt somit eine summandenweise Integration, wobei die Stammfunktion die folgende Integraldarstellung besitzt <math> F(z) = \int_{z_0}^z \frac{1}{\zeta} d\zeta </math> mit <math>F(z_0)=0</math>. * Stammfunktionen sind bis auf Konstante eindeutig bestimmt und die Festlegung in einem Punkt definiert den Zweig des Logarithmus <math> \log_G(z) = F(z) + w_0 </math> auf der Kreisscheibe und [[Identitätssatz]] <math> \log_G </math> eindeutig auf ganz <math> G </math> festgelegt. === Bemerkung - Beweisidee === Für mündliche Prüfungen ist es sinnvoll, die Beweisstruktur zu kennen, da man in der Regel längere Beweise in der Prüfung durch den Zeitrahmen der Prüfung nicht vollständig ausführen kann und nur einzelen Teilaspekte aus dem gesamten Beweis auf Anfrage ausführen kann. Ferner gliedert die Beweisidee den Beweis und hilft dabei, die Logik in der Argumentation zu rekonstruieren. == Beweis - Identitätssatz für den Logarithmus == Um den Identitätssatz für den Logarithmus zu beweisen, wird zunächst ein beliebiger Punkt <math>z_0\in G</math> in dem gegebenen [[einfach zusammenhängend]]en Gebiet <math> G \subseteq \mathbb{C} </math> mit <math> 0 \notin G </math> in [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinaten]] <math>z_0 = |z_0|\cdot e^{it_o}</math> dargestellt und man definiert <math>w_0 := \ln(|z_0|)+i\cdot t_0</math>. Durch die Anwendung der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] zeigt man dann, dass folgende Gleichung gilt: :<math> e^{w_0} = e^{\ln(|z_0|)+i\cdot t_0} = e^{\ln(|z_0|)} \cdot e^{it_0} = |z_0| \cdot e^{it_0} z_0 \quad (\ast) </math> === Ziel des Beweises === Nun ist zu zeigen, dass es genau eine holomorphe Funktion <math> \log_G: G \to \mathbb{C} </math> gibt, sodass die folgenden beiden Eigenschaften erfüllt sind: * '''(ISL1)''' <math>\log_G(z_0) = w_0 </math>. * '''(ISL2)''' <math> \exp(\log_G(z)) = z </math> für alle <math> z \in G </math>, Durch die Festlegung von <math>w_0</math> in <math>(\ast)</math> ist (ISL1) bereits erfüllt. Es bleibt (ISL2) zu zeigen. === Schritt 1 - Logarithmenzweige als Stammfunktion === Auf [[einfach zusammenhängend]]en Gebieten <math>G</math> existieren immer Stammfunktionen und <math>f(z)=\tfrac{1}{z}</math> ist eine [[holomorphe Funktion]]: * <math> G </math> ist [[einfach zusammenhängend]] und enthält nicht die [[Polstelle]] (Singularität) <math> 0</math>, da <math> G \subseteq \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> gilt. * Die Funktion <math> f(z) = \frac{1}{z} </math> ist [[holomorphe Funktion|holomorph]] auf <math> G </math>, da <math> 0 \notin G </math>. * Die [[Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion]] von <math> \frac{1}{z} </math> auf <math> G </math> konstruieren, die den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] darstellt. === Schritt 2 - Entwicklung in Potenzreihe === Jede holomorphe Funktion lässt sich lokal in eine [[Potenzreihe]] entwickeln (siehe [[Holomorphiekriterien]]) == Siehe auch == * [[einfach zusammenhängend]] * [[komplexer Logarithmus]] * [[Zweige des Logarithmus]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen https://de.wikiversity.org/wiki/Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] dm0v9f3wcqam9teqy5wfn61gbpksgu5 1116348 1116347 2026-10-16T07:54:55Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1116348 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Identitäts für [[Zweige des Logarithmus]] zeigt, dass durch die Festlegung eine beliebigen [[einfach zusammenhängend]]en Gebietes <math>G</math> mit <math>0\notin G</math> allein durch die [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinatendarstellung]] eines Punktes <math>z_0=|z_0|\cdot e^{it_o}</math> und <math>w_0: =\ln(|z|) + i\cdot t_0</math> für den zugehörigen Logarithmus der Zweig des Logarithmus eindeutig festgelegt ist. Die Aussage ist eine direkte Anwendung des klassischen [[Identitätssatz|Identitätssatzes]] aus der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]]. == Identitätssatz für den Logarithmus == Sei <math> G \subseteq \mathbb{C} </math> ein [[einfach zusammenhängend]]es Gebiet mit <math> 0 \notin G </math>. Dann ist der [[Zweig des Logarithmus]] auf <math> G </math> '''eindeutig festgelegt''', sobald man einen Punkt <math> z_0 \in G </math> und einen Wert <math> w_0 \in \mathbb{C} </math> mit <math> \exp(w_0) = z_0 </math> vorgibt. === Bemerkung - Eindeutigkeit === Für die [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen|Äquivalenzklassen für Logarithmen]] wird der [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negative Hauptzweig]] verwendet. Die im Satz genannt Festlegung kann dann durch die Eigenschaft erfolgen, dass <math>w_0\in \mathbb{D}_1 := \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi)</math> gilt. === Beweisidee === * <math> \frac{1}{z} </math> ist holomorph auf <math> G </math>, also hat sie eine Potenzreihe um <math> z_0 </math> (siehe auch [[Cauchy-Integralformel]]). * Eine [[Potenzreihe]] konvergiert gleichmäßig auf <math> \overline{D_r(z_0)} </math> und erlaubt somit eine summandenweise Integration, wobei die Stammfunktion die folgende Integraldarstellung besitzt <math> F(z) = \int_{z_0}^z \frac{1}{\zeta} d\zeta </math> mit <math>F(z_0)=0</math>. * Stammfunktionen sind bis auf Konstante eindeutig bestimmt und die Festlegung in einem Punkt definiert den Zweig des Logarithmus <math> \log_G(z) = F(z) + w_0 </math> auf der Kreisscheibe und [[Identitätssatz]] <math> \log_G </math> eindeutig auf ganz <math> G </math> festgelegt. === Bemerkung - Beweisidee === Für mündliche Prüfungen ist es sinnvoll, die Beweisstruktur zu kennen, da man in der Regel längere Beweise in der Prüfung durch den Zeitrahmen der Prüfung nicht vollständig ausführen kann und nur einzelen Teilaspekte aus dem gesamten Beweis auf Anfrage ausführen kann. Ferner gliedert die Beweisidee den Beweis und hilft dabei, die Logik in der Argumentation zu rekonstruieren. == Beweis - Identitätssatz für den Logarithmus == Um den Identitätssatz für den Logarithmus zu beweisen, wird zunächst ein beliebiger Punkt <math>z_0\in G</math> in dem gegebenen [[einfach zusammenhängend]]en Gebiet <math> G \subseteq \mathbb{C} </math> mit <math> 0 \notin G </math> in [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinaten]] <math>z_0 = |z_0|\cdot e^{it_o}</math> dargestellt und man definiert <math>w_0 := \ln(|z_0|)+i\cdot t_0</math>. Durch die Anwendung der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] zeigt man dann, dass folgende Gleichung gilt: :<math> e^{w_0} = e^{\ln(|z_0|)+i\cdot t_0} = e^{\ln(|z_0|)} \cdot e^{it_0} = |z_0| \cdot e^{it_0} z_0 \quad (\ast) </math> === Ziel des Beweises === Nun ist zu zeigen, dass es genau eine holomorphe Funktion <math> \log_G: G \to \mathbb{C} </math> gibt, sodass die folgenden beiden Eigenschaften erfüllt sind: * '''(ISL1)''' <math>\log_G(z_0) = w_0 </math>. * '''(ISL2)''' <math> \exp(\log_G(z)) = z </math> für alle <math> z \in G </math>, Durch die Festlegung von <math>w_0</math> in <math>(\ast)</math> ist (ISL1) bereits erfüllt. Es bleibt (ISL2) zu zeigen. === Schritt 1 - Logarithmenzweige als Stammfunktion === Auf [[einfach zusammenhängend]]en Gebieten <math>G</math> existieren immer Stammfunktionen und <math>f(z)=\tfrac{1}{z}</math> ist eine [[holomorphe Funktion]]: * <math> G </math> ist [[einfach zusammenhängend]] und enthält nicht die [[Polstelle]] (Singularität) <math> 0</math>, da <math> G \subseteq \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> gilt. * Die Funktion <math> f(z) = \frac{1}{z} </math> ist [[holomorphe Funktion|holomorph]] auf <math> G </math>, da <math> 0 \notin G </math>. * Die [[Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion]] von <math> \frac{1}{z} </math> auf <math> G </math> konstruieren, die den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] darstellt. === Schritt 2 - Entwicklung in Potenzreihe === Jede holomorphe Funktion lässt sich lokal in eine [[Potenzreihe]] entwickeln (siehe [[Holomorphiekriterien]]) == Siehe auch == * [[einfach zusammenhängend]] * [[Holomorphiekriterien]] * [[komplexer Logarithmus]] * [[Zweige des Logarithmus]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen https://de.wikiversity.org/wiki/Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 9xak2z4qrg31wgr4r1i15jbu3hckmpa 1116350 1116348 2026-10-16T08:06:26Z Bert Niehaus 20843 /* Schritt 2 - Entwicklung in Potenzreihe */ 1116350 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Identitäts für [[Zweige des Logarithmus]] zeigt, dass durch die Festlegung eine beliebigen [[einfach zusammenhängend]]en Gebietes <math>G</math> mit <math>0\notin G</math> allein durch die [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinatendarstellung]] eines Punktes <math>z_0=|z_0|\cdot e^{it_o}</math> und <math>w_0: =\ln(|z|) + i\cdot t_0</math> für den zugehörigen Logarithmus der Zweig des Logarithmus eindeutig festgelegt ist. Die Aussage ist eine direkte Anwendung des klassischen [[Identitätssatz|Identitätssatzes]] aus der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]]. == Identitätssatz für den Logarithmus == Sei <math> G \subseteq \mathbb{C} </math> ein [[einfach zusammenhängend]]es Gebiet mit <math> 0 \notin G </math>. Dann ist der [[Zweig des Logarithmus]] auf <math> G </math> '''eindeutig festgelegt''', sobald man einen Punkt <math> z_0 \in G </math> und einen Wert <math> w_0 \in \mathbb{C} </math> mit <math> \exp(w_0) = z_0 </math> vorgibt. === Bemerkung - Eindeutigkeit === Für die [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen|Äquivalenzklassen für Logarithmen]] wird der [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negative Hauptzweig]] verwendet. Die im Satz genannt Festlegung kann dann durch die Eigenschaft erfolgen, dass <math>w_0\in \mathbb{D}_1 := \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi)</math> gilt. === Beweisidee === * <math> \frac{1}{z} </math> ist holomorph auf <math> G </math>, also hat sie eine Potenzreihe um <math> z_0 </math> (siehe auch [[Cauchy-Integralformel]]). * Eine [[Potenzreihe]] konvergiert gleichmäßig auf <math> \overline{D_r(z_0)} </math> und erlaubt somit eine summandenweise Integration, wobei die Stammfunktion die folgende Integraldarstellung besitzt <math> F(z) = \int_{z_0}^z \frac{1}{\zeta} d\zeta </math> mit <math>F(z_0)=0</math>. * Stammfunktionen sind bis auf Konstante eindeutig bestimmt und die Festlegung in einem Punkt definiert den Zweig des Logarithmus <math> \log_G(z) = F(z) + w_0 </math> auf der Kreisscheibe und [[Identitätssatz]] <math> \log_G </math> eindeutig auf ganz <math> G </math> festgelegt. === Bemerkung - Beweisidee === Für mündliche Prüfungen ist es sinnvoll, die Beweisstruktur zu kennen, da man in der Regel längere Beweise in der Prüfung durch den Zeitrahmen der Prüfung nicht vollständig ausführen kann und nur einzelen Teilaspekte aus dem gesamten Beweis auf Anfrage ausführen kann. Ferner gliedert die Beweisidee den Beweis und hilft dabei, die Logik in der Argumentation zu rekonstruieren. == Beweis - Identitätssatz für den Logarithmus == Um den Identitätssatz für den Logarithmus zu beweisen, wird zunächst ein beliebiger Punkt <math>z_0\in G</math> in dem gegebenen [[einfach zusammenhängend]]en Gebiet <math> G \subseteq \mathbb{C} </math> mit <math> 0 \notin G </math> in [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinaten]] <math>z_0 = |z_0|\cdot e^{it_o}</math> dargestellt und man definiert <math>w_0 := \ln(|z_0|)+i\cdot t_0</math>. Durch die Anwendung der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] zeigt man dann, dass folgende Gleichung gilt: :<math> e^{w_0} = e^{\ln(|z_0|)+i\cdot t_0} = e^{\ln(|z_0|)} \cdot e^{it_0} = |z_0| \cdot e^{it_0} z_0 \quad (\ast) </math> === Ziel des Beweises === Nun ist zu zeigen, dass es genau eine holomorphe Funktion <math> \log_G: G \to \mathbb{C} </math> gibt, sodass die folgenden beiden Eigenschaften erfüllt sind: * '''(ISL1)''' <math>\log_G(z_0) = w_0 </math>. * '''(ISL2)''' <math> \exp(\log_G(z)) = z </math> für alle <math> z \in G </math>, Durch die Festlegung von <math>w_0</math> in <math>(\ast)</math> ist (ISL1) bereits erfüllt. Es bleibt (ISL2) zu zeigen. === Schritt 1 - Logarithmenzweige als Stammfunktion === Auf [[einfach zusammenhängend]]en Gebieten <math>G</math> existieren immer Stammfunktionen und <math>f(z)=\tfrac{1}{z}</math> ist eine [[holomorphe Funktion]]: * <math> G </math> ist [[einfach zusammenhängend]] und enthält nicht die [[Polstelle]] (Singularität) <math> 0</math>, da <math> G \subseteq \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> gilt. * Die Funktion <math> f(z) = \frac{1}{z} </math> ist [[holomorphe Funktion|holomorph]] auf <math> G </math>, da <math> 0 \notin G </math>. * Die [[Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion]] von <math> \frac{1}{z} </math> auf <math> G </math> konstruieren, die den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] darstellt. === Schritt 2 - Entwicklung in Potenzreihe === Jede holomorphe Funktion lässt sich lokal in eine [[Potenzreihe]] entwickeln (siehe [[Holomorphiekriterien]]). Da <math> f(z)=\tfrac{1}{z} </math> holomorph auf <math> G </math> ist, existiert insbesondere für das gewählte <math> z_0 = |z_0| \cdot e^{it_0} \in G </math> eine [[Potenzreihenalgebra|Potenzreihenentwicklung]] um <math> z_0 </math>: :<math> \frac{1}{z} = \sum_{n=0}^\infty a_n (z - z_0)^n </math> mit Konvergenzradius <math> r_0 > 0 </math>, wobei <math> r_0 =|z_0|</math> in <math>\mathbb{C}\setminus \{0\}</math> ist, als Entfernung vom <math> z_0 </math> zur [[Singularität]] <math> z=0 </math> von <math> \frac{1}{z} </math>. === Bemerkung zu Schritt 2 - Konvergenzradius === Da zwar <math> 0 \notin G </math> und die Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}\subseteq G</math>gelten muss, ist der tatsächliche Konvergenzradius <math> r_0\leq |z_0|</math> in <math>G</math> ggf. echt kleiner als <math> |z_0| > 0 </math>, und es gibt ein <math> r_0 > 0 </math>. Ferner muss <math>r < r_0</math> tatsächlich echt kleiner als <math>r_0</math> gewählt werden, sodass die Potenzreihe auf der abgeschlossenen Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_0)} </math> gleichmäßig für alle <math>z\in \overline{D_r(z_0)} </math> konvergiert. Dies ist als Eigenschaft wesentlich, damit die [[Potenzreihe]] summandenweise integriert werden kann. == Siehe auch == * [[einfach zusammenhängend]] * [[Holomorphiekriterien]] * [[komplexer Logarithmus]] * [[Zweige des Logarithmus]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen https://de.wikiversity.org/wiki/Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 63c42k3qv2ife9drw9kgwxhrf6sr9aw 1116364 1116350 2026-10-16T08:25:06Z Bert Niehaus 20843 /* Schritt 2 - Entwicklung in Potenzreihe */ 1116364 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Identitäts für [[Zweige des Logarithmus]] zeigt, dass durch die Festlegung eine beliebigen [[einfach zusammenhängend]]en Gebietes <math>G</math> mit <math>0\notin G</math> allein durch die [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinatendarstellung]] eines Punktes <math>z_0=|z_0|\cdot e^{it_o}</math> und <math>w_0: =\ln(|z|) + i\cdot t_0</math> für den zugehörigen Logarithmus der Zweig des Logarithmus eindeutig festgelegt ist. Die Aussage ist eine direkte Anwendung des klassischen [[Identitätssatz|Identitätssatzes]] aus der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]]. == Identitätssatz für den Logarithmus == Sei <math> G \subseteq \mathbb{C} </math> ein [[einfach zusammenhängend]]es Gebiet mit <math> 0 \notin G </math>. Dann ist der [[Zweig des Logarithmus]] auf <math> G </math> '''eindeutig festgelegt''', sobald man einen Punkt <math> z_0 \in G </math> und einen Wert <math> w_0 \in \mathbb{C} </math> mit <math> \exp(w_0) = z_0 </math> vorgibt. === Bemerkung - Eindeutigkeit === Für die [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen|Äquivalenzklassen für Logarithmen]] wird der [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negative Hauptzweig]] verwendet. Die im Satz genannt Festlegung kann dann durch die Eigenschaft erfolgen, dass <math>w_0\in \mathbb{D}_1 := \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi)</math> gilt. === Beweisidee === * <math> \frac{1}{z} </math> ist holomorph auf <math> G </math>, also hat sie eine Potenzreihe um <math> z_0 </math> (siehe auch [[Cauchy-Integralformel]]). * Eine [[Potenzreihe]] konvergiert gleichmäßig auf <math> \overline{D_r(z_0)} </math> und erlaubt somit eine summandenweise Integration, wobei die Stammfunktion die folgende Integraldarstellung besitzt <math> F(z) = \int_{z_0}^z \frac{1}{\zeta} d\zeta </math> mit <math>F(z_0)=0</math>. * Stammfunktionen sind bis auf Konstante eindeutig bestimmt und die Festlegung in einem Punkt definiert den Zweig des Logarithmus <math> \log_G(z) = F(z) + w_0 </math> auf der Kreisscheibe und [[Identitätssatz]] <math> \log_G </math> eindeutig auf ganz <math> G </math> festgelegt. === Bemerkung - Beweisidee === Für mündliche Prüfungen ist es sinnvoll, die Beweisstruktur zu kennen, da man in der Regel längere Beweise in der Prüfung durch den Zeitrahmen der Prüfung nicht vollständig ausführen kann und nur einzelen Teilaspekte aus dem gesamten Beweis auf Anfrage ausführen kann. Ferner gliedert die Beweisidee den Beweis und hilft dabei, die Logik in der Argumentation zu rekonstruieren. == Beweis - Identitätssatz für den Logarithmus == Um den Identitätssatz für den Logarithmus zu beweisen, wird zunächst ein beliebiger Punkt <math>z_0\in G</math> in dem gegebenen [[einfach zusammenhängend]]en Gebiet <math> G \subseteq \mathbb{C} </math> mit <math> 0 \notin G </math> in [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinaten]] <math>z_0 = |z_0|\cdot e^{it_o}</math> dargestellt und man definiert <math>w_0 := \ln(|z_0|)+i\cdot t_0</math>. Durch die Anwendung der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] zeigt man dann, dass folgende Gleichung gilt: :<math> e^{w_0} = e^{\ln(|z_0|)+i\cdot t_0} = e^{\ln(|z_0|)} \cdot e^{it_0} = |z_0| \cdot e^{it_0} z_0 \quad (\ast) </math> === Ziel des Beweises === Nun ist zu zeigen, dass es genau eine holomorphe Funktion <math> \log_G: G \to \mathbb{C} </math> gibt, sodass die folgenden beiden Eigenschaften erfüllt sind: * '''(ISL1)''' <math>\log_G(z_0) = w_0 </math>. * '''(ISL2)''' <math> \exp(\log_G(z)) = z </math> für alle <math> z \in G </math>, Durch die Festlegung von <math>w_0</math> in <math>(\ast)</math> ist (ISL1) bereits erfüllt. Es bleibt (ISL2) zu zeigen. === Schritt 1 - Logarithmenzweige als Stammfunktion === Auf [[einfach zusammenhängend]]en Gebieten <math>G</math> existieren immer Stammfunktionen und <math>f(z)=\tfrac{1}{z}</math> ist eine [[holomorphe Funktion]]: * <math> G </math> ist [[einfach zusammenhängend]] und enthält nicht die [[Polstelle]] (Singularität) <math> 0</math>, da <math> G \subseteq \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> gilt. * Die Funktion <math> f(z) = \frac{1}{z} </math> ist [[holomorphe Funktion|holomorph]] auf <math> G </math>, da <math> 0 \notin G </math>. * Die [[Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion]] von <math> \frac{1}{z} </math> auf <math> G </math> konstruieren, die den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] darstellt. === Schritt 2 - Entwicklung in Potenzreihe === Jede holomorphe Funktion lässt sich lokal in eine [[Potenzreihe]] entwickeln (siehe [[Holomorphiekriterien]]). Da <math> f(z)=\tfrac{1}{z} </math> holomorph auf <math> G </math> ist, existiert insbesondere für das gewählte <math> z_0 = |z_0| \cdot e^{it_0} \in G </math> eine [[Potenzreihenalgebra|Potenzreihenentwicklung]] um <math> z_0 </math>: :<math> \frac{1}{z} = \sum_{n=0}^\infty a_n \cdot (z - z_0)^n </math> mit Konvergenzradius <math> r_0 > 0 </math>, wobei <math> r_0 =|z_0|</math> in <math>\mathbb{C}\setminus \{0\}</math> ist, als Entfernung vom <math> z_0 </math> zur [[Singularität]] <math> z=0 </math> von <math> \frac{1}{z} </math>. === Bemerkung zu Schritt 2 - Konvergenzradius === Da zwar <math> 0 \notin G </math> und die Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}\subseteq G</math>gelten muss, ist der tatsächliche Konvergenzradius <math> r_0\leq |z_0|</math> in <math>G</math> ggf. echt kleiner als <math> |z_0| > 0 </math>, und es gibt ein <math> r_0 > 0 </math>. Ferner muss <math>r < r_0</math> tatsächlich echt kleiner als <math>r_0</math> gewählt werden, sodass die Potenzreihe auf der abgeschlossenen Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_0)} </math> gleichmäßig für alle <math>z\in \overline{D_r(z_0)} </math> konvergiert. Dies ist als Eigenschaft wesentlich, damit die [[Potenzreihe]] summandenweise integriert werden kann. == Siehe auch == * [[einfach zusammenhängend]] * [[Holomorphiekriterien]] * [[komplexer Logarithmus]] * [[Zweige des Logarithmus]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen https://de.wikiversity.org/wiki/Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] jongvtez6wv9d9m8i0b13k3n2l46rva 1116365 1116364 2026-10-16T08:28:21Z Bert Niehaus 20843 /* Bemerkung zu Schritt 2 - Konvergenzradius */ 1116365 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Identitäts für [[Zweige des Logarithmus]] zeigt, dass durch die Festlegung eine beliebigen [[einfach zusammenhängend]]en Gebietes <math>G</math> mit <math>0\notin G</math> allein durch die [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinatendarstellung]] eines Punktes <math>z_0=|z_0|\cdot e^{it_o}</math> und <math>w_0: =\ln(|z|) + i\cdot t_0</math> für den zugehörigen Logarithmus der Zweig des Logarithmus eindeutig festgelegt ist. Die Aussage ist eine direkte Anwendung des klassischen [[Identitätssatz|Identitätssatzes]] aus der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]]. == Identitätssatz für den Logarithmus == Sei <math> G \subseteq \mathbb{C} </math> ein [[einfach zusammenhängend]]es Gebiet mit <math> 0 \notin G </math>. Dann ist der [[Zweig des Logarithmus]] auf <math> G </math> '''eindeutig festgelegt''', sobald man einen Punkt <math> z_0 \in G </math> und einen Wert <math> w_0 \in \mathbb{C} </math> mit <math> \exp(w_0) = z_0 </math> vorgibt. === Bemerkung - Eindeutigkeit === Für die [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen|Äquivalenzklassen für Logarithmen]] wird der [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negative Hauptzweig]] verwendet. Die im Satz genannt Festlegung kann dann durch die Eigenschaft erfolgen, dass <math>w_0\in \mathbb{D}_1 := \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi)</math> gilt. === Beweisidee === * <math> \frac{1}{z} </math> ist holomorph auf <math> G </math>, also hat sie eine Potenzreihe um <math> z_0 </math> (siehe auch [[Cauchy-Integralformel]]). * Eine [[Potenzreihe]] konvergiert gleichmäßig auf <math> \overline{D_r(z_0)} </math> und erlaubt somit eine summandenweise Integration, wobei die Stammfunktion die folgende Integraldarstellung besitzt <math> F(z) = \int_{z_0}^z \frac{1}{\zeta} d\zeta </math> mit <math>F(z_0)=0</math>. * Stammfunktionen sind bis auf Konstante eindeutig bestimmt und die Festlegung in einem Punkt definiert den Zweig des Logarithmus <math> \log_G(z) = F(z) + w_0 </math> auf der Kreisscheibe und [[Identitätssatz]] <math> \log_G </math> eindeutig auf ganz <math> G </math> festgelegt. === Bemerkung - Beweisidee === Für mündliche Prüfungen ist es sinnvoll, die Beweisstruktur zu kennen, da man in der Regel längere Beweise in der Prüfung durch den Zeitrahmen der Prüfung nicht vollständig ausführen kann und nur einzelen Teilaspekte aus dem gesamten Beweis auf Anfrage ausführen kann. Ferner gliedert die Beweisidee den Beweis und hilft dabei, die Logik in der Argumentation zu rekonstruieren. == Beweis - Identitätssatz für den Logarithmus == Um den Identitätssatz für den Logarithmus zu beweisen, wird zunächst ein beliebiger Punkt <math>z_0\in G</math> in dem gegebenen [[einfach zusammenhängend]]en Gebiet <math> G \subseteq \mathbb{C} </math> mit <math> 0 \notin G </math> in [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinaten]] <math>z_0 = |z_0|\cdot e^{it_o}</math> dargestellt und man definiert <math>w_0 := \ln(|z_0|)+i\cdot t_0</math>. Durch die Anwendung der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] zeigt man dann, dass folgende Gleichung gilt: :<math> e^{w_0} = e^{\ln(|z_0|)+i\cdot t_0} = e^{\ln(|z_0|)} \cdot e^{it_0} = |z_0| \cdot e^{it_0} z_0 \quad (\ast) </math> === Ziel des Beweises === Nun ist zu zeigen, dass es genau eine holomorphe Funktion <math> \log_G: G \to \mathbb{C} </math> gibt, sodass die folgenden beiden Eigenschaften erfüllt sind: * '''(ISL1)''' <math>\log_G(z_0) = w_0 </math>. * '''(ISL2)''' <math> \exp(\log_G(z)) = z </math> für alle <math> z \in G </math>, Durch die Festlegung von <math>w_0</math> in <math>(\ast)</math> ist (ISL1) bereits erfüllt. Es bleibt (ISL2) zu zeigen. === Schritt 1 - Logarithmenzweige als Stammfunktion === Auf [[einfach zusammenhängend]]en Gebieten <math>G</math> existieren immer Stammfunktionen und <math>f(z)=\tfrac{1}{z}</math> ist eine [[holomorphe Funktion]]: * <math> G </math> ist [[einfach zusammenhängend]] und enthält nicht die [[Polstelle]] (Singularität) <math> 0</math>, da <math> G \subseteq \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> gilt. * Die Funktion <math> f(z) = \frac{1}{z} </math> ist [[holomorphe Funktion|holomorph]] auf <math> G </math>, da <math> 0 \notin G </math>. * Die [[Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion]] von <math> \frac{1}{z} </math> auf <math> G </math> konstruieren, die den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] darstellt. === Schritt 2 - Entwicklung in Potenzreihe === Jede holomorphe Funktion lässt sich lokal in eine [[Potenzreihe]] entwickeln (siehe [[Holomorphiekriterien]]). Da <math> f(z)=\tfrac{1}{z} </math> holomorph auf <math> G </math> ist, existiert insbesondere für das gewählte <math> z_0 = |z_0| \cdot e^{it_0} \in G </math> eine [[Potenzreihenalgebra|Potenzreihenentwicklung]] um <math> z_0 </math>: :<math> \frac{1}{z} = \sum_{n=0}^\infty a_n \cdot (z - z_0)^n </math> mit Konvergenzradius <math> r_0 > 0 </math>, wobei <math> r_0 =|z_0|</math> in <math>\mathbb{C}\setminus \{0\}</math> ist, als Entfernung vom <math> z_0 </math> zur [[Singularität]] <math> z=0 </math> von <math> \frac{1}{z} </math>. === Bemerkung zu Schritt 2 - Konvergenzradius === Da zwar <math> 0 \notin G </math> und die Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}\subseteq G</math>gelten muss, ist der tatsächliche Konvergenzradius <math> r_0\leq |z_0|</math> in <math>G</math> ggf. echt kleiner als <math> |z_0| > 0 </math>, und es gibt ein <math> r_0 > 0 </math>. Ferner muss <math>r < r_0</math> tatsächlich echt kleiner als <math>r_0</math> gewählt werden, sodass die Potenzreihe auf der abgeschlossenen Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_0)} </math> gleichmäßig für alle <math>z\in \overline{D_r(z_0)} </math> konvergiert. Dies ist als Eigenschaft wesentlich, damit die [[Potenzreihe]] summandenweise integriert werden kann. === Schritt 3 - Koeffizienten der Potenzreihe - Stammfunktion === Die Koeffizienten der darstellenden Potenzreihe lassen sich explizit über eine geometrische Reihe berechnen (siehe [[Stammfunktion des Logarithmus als Potenzreihe|Stammfunktion des 1/z als Potenzreihe]]) == Siehe auch == * [[einfach zusammenhängend]] * [[Holomorphiekriterien]] * [[komplexer Logarithmus]] * [[Zweige des Logarithmus]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen https://de.wikiversity.org/wiki/Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] oyj8uhrapw0cyoerko8762pskn065kd 1116366 1116365 2026-10-16T08:28:40Z Bert Niehaus 20843 /* Schritt 3 - Koeffizienten der Potenzreihe - Stammfunktion */ 1116366 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Identitäts für [[Zweige des Logarithmus]] zeigt, dass durch die Festlegung eine beliebigen [[einfach zusammenhängend]]en Gebietes <math>G</math> mit <math>0\notin G</math> allein durch die [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinatendarstellung]] eines Punktes <math>z_0=|z_0|\cdot e^{it_o}</math> und <math>w_0: =\ln(|z|) + i\cdot t_0</math> für den zugehörigen Logarithmus der Zweig des Logarithmus eindeutig festgelegt ist. Die Aussage ist eine direkte Anwendung des klassischen [[Identitätssatz|Identitätssatzes]] aus der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]]. == Identitätssatz für den Logarithmus == Sei <math> G \subseteq \mathbb{C} </math> ein [[einfach zusammenhängend]]es Gebiet mit <math> 0 \notin G </math>. Dann ist der [[Zweig des Logarithmus]] auf <math> G </math> '''eindeutig festgelegt''', sobald man einen Punkt <math> z_0 \in G </math> und einen Wert <math> w_0 \in \mathbb{C} </math> mit <math> \exp(w_0) = z_0 </math> vorgibt. === Bemerkung - Eindeutigkeit === Für die [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen|Äquivalenzklassen für Logarithmen]] wird der [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negative Hauptzweig]] verwendet. Die im Satz genannt Festlegung kann dann durch die Eigenschaft erfolgen, dass <math>w_0\in \mathbb{D}_1 := \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi)</math> gilt. === Beweisidee === * <math> \frac{1}{z} </math> ist holomorph auf <math> G </math>, also hat sie eine Potenzreihe um <math> z_0 </math> (siehe auch [[Cauchy-Integralformel]]). * Eine [[Potenzreihe]] konvergiert gleichmäßig auf <math> \overline{D_r(z_0)} </math> und erlaubt somit eine summandenweise Integration, wobei die Stammfunktion die folgende Integraldarstellung besitzt <math> F(z) = \int_{z_0}^z \frac{1}{\zeta} d\zeta </math> mit <math>F(z_0)=0</math>. * Stammfunktionen sind bis auf Konstante eindeutig bestimmt und die Festlegung in einem Punkt definiert den Zweig des Logarithmus <math> \log_G(z) = F(z) + w_0 </math> auf der Kreisscheibe und [[Identitätssatz]] <math> \log_G </math> eindeutig auf ganz <math> G </math> festgelegt. === Bemerkung - Beweisidee === Für mündliche Prüfungen ist es sinnvoll, die Beweisstruktur zu kennen, da man in der Regel längere Beweise in der Prüfung durch den Zeitrahmen der Prüfung nicht vollständig ausführen kann und nur einzelen Teilaspekte aus dem gesamten Beweis auf Anfrage ausführen kann. Ferner gliedert die Beweisidee den Beweis und hilft dabei, die Logik in der Argumentation zu rekonstruieren. == Beweis - Identitätssatz für den Logarithmus == Um den Identitätssatz für den Logarithmus zu beweisen, wird zunächst ein beliebiger Punkt <math>z_0\in G</math> in dem gegebenen [[einfach zusammenhängend]]en Gebiet <math> G \subseteq \mathbb{C} </math> mit <math> 0 \notin G </math> in [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinaten]] <math>z_0 = |z_0|\cdot e^{it_o}</math> dargestellt und man definiert <math>w_0 := \ln(|z_0|)+i\cdot t_0</math>. Durch die Anwendung der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] zeigt man dann, dass folgende Gleichung gilt: :<math> e^{w_0} = e^{\ln(|z_0|)+i\cdot t_0} = e^{\ln(|z_0|)} \cdot e^{it_0} = |z_0| \cdot e^{it_0} z_0 \quad (\ast) </math> === Ziel des Beweises === Nun ist zu zeigen, dass es genau eine holomorphe Funktion <math> \log_G: G \to \mathbb{C} </math> gibt, sodass die folgenden beiden Eigenschaften erfüllt sind: * '''(ISL1)''' <math>\log_G(z_0) = w_0 </math>. * '''(ISL2)''' <math> \exp(\log_G(z)) = z </math> für alle <math> z \in G </math>, Durch die Festlegung von <math>w_0</math> in <math>(\ast)</math> ist (ISL1) bereits erfüllt. Es bleibt (ISL2) zu zeigen. === Schritt 1 - Logarithmenzweige als Stammfunktion === Auf [[einfach zusammenhängend]]en Gebieten <math>G</math> existieren immer Stammfunktionen und <math>f(z)=\tfrac{1}{z}</math> ist eine [[holomorphe Funktion]]: * <math> G </math> ist [[einfach zusammenhängend]] und enthält nicht die [[Polstelle]] (Singularität) <math> 0</math>, da <math> G \subseteq \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> gilt. * Die Funktion <math> f(z) = \frac{1}{z} </math> ist [[holomorphe Funktion|holomorph]] auf <math> G </math>, da <math> 0 \notin G </math>. * Die [[Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion]] von <math> \frac{1}{z} </math> auf <math> G </math> konstruieren, die den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] darstellt. === Schritt 2 - Entwicklung in Potenzreihe === Jede holomorphe Funktion lässt sich lokal in eine [[Potenzreihe]] entwickeln (siehe [[Holomorphiekriterien]]). Da <math> f(z)=\tfrac{1}{z} </math> holomorph auf <math> G </math> ist, existiert insbesondere für das gewählte <math> z_0 = |z_0| \cdot e^{it_0} \in G </math> eine [[Potenzreihenalgebra|Potenzreihenentwicklung]] um <math> z_0 </math>: :<math> \frac{1}{z} = \sum_{n=0}^\infty a_n \cdot (z - z_0)^n </math> mit Konvergenzradius <math> r_0 > 0 </math>, wobei <math> r_0 =|z_0|</math> in <math>\mathbb{C}\setminus \{0\}</math> ist, als Entfernung vom <math> z_0 </math> zur [[Singularität]] <math> z=0 </math> von <math> \frac{1}{z} </math>. === Bemerkung zu Schritt 2 - Konvergenzradius === Da zwar <math> 0 \notin G </math> und die Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}\subseteq G</math>gelten muss, ist der tatsächliche Konvergenzradius <math> r_0\leq |z_0|</math> in <math>G</math> ggf. echt kleiner als <math> |z_0| > 0 </math>, und es gibt ein <math> r_0 > 0 </math>. Ferner muss <math>r < r_0</math> tatsächlich echt kleiner als <math>r_0</math> gewählt werden, sodass die Potenzreihe auf der abgeschlossenen Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_0)} </math> gleichmäßig für alle <math>z\in \overline{D_r(z_0)} </math> konvergiert. Dies ist als Eigenschaft wesentlich, damit die [[Potenzreihe]] summandenweise integriert werden kann. === Schritt 3 - Koeffizienten der Potenzreihe - Stammfunktion === Die Koeffizienten der darstellenden Potenzreihe lassen sich explizit über eine geometrische Reihe berechnen (siehe [[Stammfunktion des Logarithmus als Potenzreihe|Stammfunktion von 1/z als Potenzreihe]]) == Siehe auch == * [[einfach zusammenhängend]] * [[Holomorphiekriterien]] * [[komplexer Logarithmus]] * [[Zweige des Logarithmus]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen https://de.wikiversity.org/wiki/Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 3ktccqotaxw5ekisvj2qyp2ub4m1k5y 1116377 1116366 2026-10-16T09:03:33Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1116377 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Identitäts für [[Zweige des Logarithmus]] zeigt, dass durch die Festlegung eine beliebigen [[einfach zusammenhängend]]en Gebietes <math>G</math> mit <math>0\notin G</math> allein durch die [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinatendarstellung]] eines Punktes <math>z_0=|z_0|\cdot e^{it_o}</math> und <math>w_0: =\ln(|z|) + i\cdot t_0</math> für den zugehörigen Logarithmus der Zweig des Logarithmus eindeutig festgelegt ist. Die Aussage ist eine direkte Anwendung des klassischen [[Identitätssatz|Identitätssatzes]] aus der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]]. == Identitätssatz für den Logarithmus == Sei <math> G \subseteq \mathbb{C} </math> ein [[einfach zusammenhängend]]es Gebiet mit <math> 0 \notin G </math>. Dann ist der [[Zweig des Logarithmus]] auf <math> G </math> '''eindeutig festgelegt''', sobald man einen Punkt <math> z_0 \in G </math> und einen Wert <math> w_0 \in \mathbb{C} </math> mit <math> \exp(w_0) = z_0 </math> vorgibt. === Bemerkung - Eindeutigkeit === Für die [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen|Äquivalenzklassen für Logarithmen]] wird der [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negative Hauptzweig]] verwendet. Die im Satz genannt Festlegung kann dann durch die Eigenschaft erfolgen, dass <math>w_0\in \mathbb{D}_1 := \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi)</math> gilt. === Beweisidee === * <math> \frac{1}{z} </math> ist holomorph auf <math> G </math>, also hat sie eine Potenzreihe um <math> z_0 </math> (siehe auch [[Cauchy-Integralformel]]). * Eine [[Potenzreihe]] konvergiert gleichmäßig auf <math> \overline{D_r(z_0)} </math> und erlaubt somit eine summandenweise Integration, wobei die Stammfunktion die folgende Integraldarstellung besitzt <math> F(z) = \int_{z_0}^z \frac{1}{\zeta} d\zeta </math> mit <math>F(z_0)=0</math>. * Stammfunktionen sind bis auf Konstante eindeutig bestimmt und die Festlegung in einem Punkt definiert den Zweig des Logarithmus <math> \log_G(z) = F(z) + w_0 </math> auf der Kreisscheibe und [[Identitätssatz]] <math> \log_G </math> eindeutig auf ganz <math> G </math> festgelegt. === Bemerkung - Beweisidee === Für mündliche Prüfungen ist es sinnvoll, die Beweisstruktur zu kennen, da man in der Regel längere Beweise in der Prüfung durch den Zeitrahmen der Prüfung nicht vollständig ausführen kann und nur einzelen Teilaspekte aus dem gesamten Beweis auf Anfrage ausführen kann. Ferner gliedert die Beweisidee den Beweis und hilft dabei, die Logik in der Argumentation zu rekonstruieren. == Beweis - Identitätssatz für den Logarithmus == Um den Identitätssatz für den Logarithmus zu beweisen, wird zunächst ein beliebiger Punkt <math>z_0\in G</math> in dem gegebenen [[einfach zusammenhängend]]en Gebiet <math> G \subseteq \mathbb{C} </math> mit <math> 0 \notin G </math> in [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinaten]] <math>z_0 = |z_0|\cdot e^{it_o}</math> dargestellt und man definiert <math>w_0 := \ln(|z_0|)+i\cdot t_0</math>. Durch die Anwendung der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] zeigt man dann, dass folgende Gleichung gilt: :<math> e^{w_0} = e^{\ln(|z_0|)+i\cdot t_0} = e^{\ln(|z_0|)} \cdot e^{it_0} = |z_0| \cdot e^{it_0} z_0 \quad (\ast) </math> === Ziel des Beweises === Nun ist zu zeigen, dass es genau eine holomorphe Funktion <math> \log_G: G \to \mathbb{C} </math> gibt, sodass die folgenden beiden Eigenschaften erfüllt sind: * '''(ISL1)''' <math>\log_G(z_0) = w_0 </math>. * '''(ISL2)''' <math> \exp(\log_G(z)) = z </math> für alle <math> z \in G </math>, Durch die Festlegung von <math>w_0</math> in <math>(\ast)</math> ist (ISL1) bereits erfüllt. Es bleibt (ISL2) zu zeigen. === Schritt 1 - Logarithmenzweige als Stammfunktion === Auf [[einfach zusammenhängend]]en Gebieten <math>G</math> existieren immer Stammfunktionen und <math>f(z)=\tfrac{1}{z}</math> ist eine [[holomorphe Funktion]]: * <math> G </math> ist [[einfach zusammenhängend]] und enthält nicht die [[Polstelle]] (Singularität) <math> 0</math>, da <math> G \subseteq \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> gilt. * Die Funktion <math> f(z) = \frac{1}{z} </math> ist [[holomorphe Funktion|holomorph]] auf <math> G </math>, da <math> 0 \notin G </math>. * Die [[Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion]] von <math> \frac{1}{z} </math> auf <math> G </math> konstruieren, die den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] darstellt. === Schritt 2 - Entwicklung in Potenzreihe === Jede holomorphe Funktion lässt sich lokal in eine [[Potenzreihe]] entwickeln (siehe [[Holomorphiekriterien]]). Da <math> f(z)=\tfrac{1}{z} </math> holomorph auf <math> G </math> ist, existiert insbesondere für das gewählte <math> z_0 = |z_0| \cdot e^{it_0} \in G </math> eine [[Potenzreihenalgebra|Potenzreihenentwicklung]] um <math> z_0 </math>: :<math> \frac{1}{z} = \sum_{n=0}^\infty a_n \cdot (z - z_0)^n </math> mit Konvergenzradius <math> r_0 > 0 </math>, wobei <math> r_0 =|z_0|</math> in <math>\mathbb{C}\setminus \{0\}</math> ist, als Entfernung vom <math> z_0 </math> zur [[Singularität]] <math> z=0 </math> von <math> \frac{1}{z} </math>. === Bemerkung zu Schritt 2 - Konvergenzradius === Da zwar <math> 0 \notin G </math> und die Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}\subseteq G</math>gelten muss, ist der tatsächliche Konvergenzradius <math> r_0\leq |z_0|</math> in <math>G</math> ggf. echt kleiner als <math> |z_0| > 0 </math>, und es gibt ein <math> r_0 > 0 </math>. Ferner muss <math>r < r_0</math> tatsächlich echt kleiner als <math>r_0</math> gewählt werden, sodass die Potenzreihe auf der abgeschlossenen Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_0)} </math> gleichmäßig für alle <math>z\in \overline{D_r(z_0)} </math> konvergiert. Dies ist als Eigenschaft wesentlich, damit die [[Potenzreihe]] summandenweise integriert werden kann. === Schritt 3 - Koeffizienten der Potenzreihe - Stammfunktion === Die Koeffizienten der darstellenden Potenzreihe lassen sich explizit über eine geometrische Reihe berechnen (siehe [[Stammfunktion des Logarithmus als Potenzreihe|Stammfunktion von 1/z als Potenzreihe]]) == Siehe auch == * [[einfach zusammenhängend]] * [[Holomorphiekriterien]] * [[Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] * [[komplexer Logarithmus]] * [[Zweige des Logarithmus]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen https://de.wikiversity.org/wiki/Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 8482tisarde61q743jwsagdifxra941 1116399 1116377 2026-10-16T10:09:43Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1116399 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Identitäts für [[Zweige des Logarithmus]] zeigt, dass durch die Festlegung eine beliebigen [[einfach zusammenhängend]]en Gebietes <math>G</math> mit <math>0\notin G</math> allein durch die [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinatendarstellung]] eines Punktes <math>z_0=|z_0|\cdot e^{it_o}</math> und <math>w_0: =\ln(|z|) + i\cdot t_0</math> für den zugehörigen Logarithmus der Zweig des Logarithmus eindeutig festgelegt ist. Die Aussage ist eine direkte Anwendung des klassischen [[Identitätssatz|Identitätssatzes]] aus der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]]. == Identitätssatz für den Logarithmus == Sei <math> G \subseteq \mathbb{C} </math> ein [[einfach zusammenhängend]]es Gebiet mit <math> 0 \notin G </math>. Dann ist der [[Zweig des Logarithmus]] auf <math> G </math> '''eindeutig festgelegt''', sobald man einen Punkt <math> z_0 \in G </math> und einen Wert <math> w_0 \in \mathbb{C} </math> mit <math> \exp(w_0) = z_0 </math> vorgibt. === Bemerkung - Eindeutigkeit === Für die [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen|Äquivalenzklassen für Logarithmen]] wird der [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negative Hauptzweig]] verwendet. Die im Satz genannt Festlegung kann dann durch die Eigenschaft erfolgen, dass <math>w_0\in \mathbb{D}_1 := \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi)</math> gilt. === Beweisidee === * <math> \frac{1}{z} </math> ist holomorph auf <math> G </math>, also hat sie eine Potenzreihe um <math> z_0 </math> (siehe auch [[Cauchy-Integralformel]]). * Eine [[Potenzreihe]] konvergiert gleichmäßig auf <math> \overline{D_r(z_0)} </math> und erlaubt somit eine summandenweise Integration, wobei die Stammfunktion die folgende Integraldarstellung besitzt <math> F(z) = \int_{z_0}^z \frac{1}{\zeta} d\zeta </math> mit <math>F(z_0)=0</math>. * Stammfunktionen sind bis auf Konstante eindeutig bestimmt und die Festlegung in einem Punkt definiert den Zweig des Logarithmus <math> \log_G(z) = F(z) + w_0 </math> auf der Kreisscheibe und [[Identitätssatz]] <math> \log_G </math> eindeutig auf ganz <math> G </math> festgelegt. === Bemerkung - Beweisidee === Für mündliche Prüfungen ist es sinnvoll, die Beweisstruktur zu kennen, da man in der Regel längere Beweise in der Prüfung durch den Zeitrahmen der Prüfung nicht vollständig ausführen kann und nur einzelen Teilaspekte aus dem gesamten Beweis auf Anfrage ausführen kann. Ferner gliedert die Beweisidee den Beweis und hilft dabei, die Logik in der Argumentation zu rekonstruieren. == Beweis - Identitätssatz für den Logarithmus == Um den Identitätssatz für den Logarithmus zu beweisen, wird zunächst ein beliebiger Punkt <math>z_0\in G</math> in dem gegebenen [[einfach zusammenhängend]]en Gebiet <math> G \subseteq \mathbb{C} </math> mit <math> 0 \notin G </math> in [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinaten]] <math>z_0 = |z_0|\cdot e^{it_o}</math> dargestellt und man definiert <math>w_0 := \ln(|z_0|)+i\cdot t_0</math>. Durch die Anwendung der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] zeigt man dann, dass folgende Gleichung gilt: :<math> e^{w_0} = e^{\ln(|z_0|)+i\cdot t_0} = e^{\ln(|z_0|)} \cdot e^{it_0} = |z_0| \cdot e^{it_0} z_0 \quad (\ast) </math> === Ziel des Beweises === Nun ist zu zeigen, dass es genau eine holomorphe Funktion <math> \log_G: G \to \mathbb{C} </math> gibt, sodass die folgenden beiden Eigenschaften erfüllt sind: * '''(ISL1)''' <math>\log_G(z_0) = w_0 </math>. * '''(ISL2)''' <math> \exp(\log_G(z)) = z </math> für alle <math> z \in G </math>, Durch die Festlegung von <math>w_0</math> in <math>(\ast)</math> ist (ISL1) bereits erfüllt. Es bleibt (ISL2) zu zeigen. === Schritt 1 - Logarithmenzweige als Stammfunktion === Auf [[einfach zusammenhängend]]en Gebieten <math>G</math> existieren immer Stammfunktionen und <math>f(z)=\tfrac{1}{z}</math> ist eine [[holomorphe Funktion]]: * <math> G </math> ist [[einfach zusammenhängend]] und enthält nicht die [[Polstelle]] (Singularität) <math> 0</math>, da <math> G \subseteq \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> gilt. * Die Funktion <math> f(z) = \frac{1}{z} </math> ist [[holomorphe Funktion|holomorph]] auf <math> G </math>, da <math> 0 \notin G </math>. * Die [[Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion]] von <math> \frac{1}{z} </math> auf <math> G </math> konstruieren, die den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] darstellt. === Schritt 2 - Entwicklung in Potenzreihe === Jede holomorphe Funktion lässt sich lokal in eine [[Potenzreihe]] entwickeln (siehe [[Holomorphiekriterien]]). Da <math> f(z)=\tfrac{1}{z} </math> holomorph auf <math> G </math> ist, existiert insbesondere für das gewählte <math> z_0 = |z_0| \cdot e^{it_0} \in G </math> eine [[Potenzreihenalgebra|Potenzreihenentwicklung]] um <math> z_0 </math>: :<math> \frac{1}{z} = \sum_{n=0}^\infty a_n \cdot (z - z_0)^n </math> mit Konvergenzradius <math> r_0 > 0 </math>, wobei <math> r_0 =|z_0|</math> in <math>\mathbb{C}\setminus \{0\}</math> ist, als Entfernung vom <math> z_0 </math> zur [[Singularität]] <math> z=0 </math> von <math> \frac{1}{z} </math>. === Bemerkung zu Schritt 2 - Konvergenzradius === Da zwar <math> 0 \notin G </math> und die Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}\subseteq G</math>gelten muss, ist der tatsächliche Konvergenzradius <math> r_0\leq |z_0|</math> in <math>G</math> ggf. echt kleiner als <math> |z_0| > 0 </math>, und es gibt ein <math> r_0 > 0 </math>. Ferner muss <math>r < r_0</math> tatsächlich echt kleiner als <math>r_0</math> gewählt werden, sodass die Potenzreihe auf der abgeschlossenen Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_0)} </math> gleichmäßig für alle <math>z\in \overline{D_r(z_0)} </math> konvergiert. Dies ist als Eigenschaft wesentlich, damit die [[Potenzreihe]] summandenweise integriert werden kann. === Schritt 3 - Koeffizienten der Potenzreihe - Stammfunktion === Die Koeffizienten der darstellenden Potenzreihe lassen sich explizit über eine geometrische Reihe berechnen (siehe [[Stammfunktion des Logarithmus als Potenzreihe|Stammfunktion von 1/z als Potenzreihe]]) == Siehe auch == * [[einfach zusammenhängend]] * [[Holomorphiekriterien]] * [[Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] * [[komplexer Logarithmus]] * [[Potenzreihenentwicklung für holomorphe Funktionen]] * [[Zweige des Logarithmus]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen https://de.wikiversity.org/wiki/Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] hg90sh80elsc5cx5xgjwivdif9nvu94 1116415 1116399 2026-10-16T10:41:11Z Bert Niehaus 20843 /* Schritt 3 - Koeffizienten der Potenzreihe - Stammfunktion */ 1116415 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Identitäts für [[Zweige des Logarithmus]] zeigt, dass durch die Festlegung eine beliebigen [[einfach zusammenhängend]]en Gebietes <math>G</math> mit <math>0\notin G</math> allein durch die [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinatendarstellung]] eines Punktes <math>z_0=|z_0|\cdot e^{it_o}</math> und <math>w_0: =\ln(|z|) + i\cdot t_0</math> für den zugehörigen Logarithmus der Zweig des Logarithmus eindeutig festgelegt ist. Die Aussage ist eine direkte Anwendung des klassischen [[Identitätssatz|Identitätssatzes]] aus der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]]. == Identitätssatz für den Logarithmus == Sei <math> G \subseteq \mathbb{C} </math> ein [[einfach zusammenhängend]]es Gebiet mit <math> 0 \notin G </math>. Dann ist der [[Zweig des Logarithmus]] auf <math> G </math> '''eindeutig festgelegt''', sobald man einen Punkt <math> z_0 \in G </math> und einen Wert <math> w_0 \in \mathbb{C} </math> mit <math> \exp(w_0) = z_0 </math> vorgibt. === Bemerkung - Eindeutigkeit === Für die [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen|Äquivalenzklassen für Logarithmen]] wird der [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negative Hauptzweig]] verwendet. Die im Satz genannt Festlegung kann dann durch die Eigenschaft erfolgen, dass <math>w_0\in \mathbb{D}_1 := \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi)</math> gilt. === Beweisidee === * <math> \frac{1}{z} </math> ist holomorph auf <math> G </math>, also hat sie eine Potenzreihe um <math> z_0 </math> (siehe auch [[Cauchy-Integralformel]]). * Eine [[Potenzreihe]] konvergiert gleichmäßig auf <math> \overline{D_r(z_0)} </math> und erlaubt somit eine summandenweise Integration, wobei die Stammfunktion die folgende Integraldarstellung besitzt <math> F(z) = \int_{z_0}^z \frac{1}{\zeta} d\zeta </math> mit <math>F(z_0)=0</math>. * Stammfunktionen sind bis auf Konstante eindeutig bestimmt und die Festlegung in einem Punkt definiert den Zweig des Logarithmus <math> \log_G(z) = F(z) + w_0 </math> auf der Kreisscheibe und [[Identitätssatz]] <math> \log_G </math> eindeutig auf ganz <math> G </math> festgelegt. === Bemerkung - Beweisidee === Für mündliche Prüfungen ist es sinnvoll, die Beweisstruktur zu kennen, da man in der Regel längere Beweise in der Prüfung durch den Zeitrahmen der Prüfung nicht vollständig ausführen kann und nur einzelen Teilaspekte aus dem gesamten Beweis auf Anfrage ausführen kann. Ferner gliedert die Beweisidee den Beweis und hilft dabei, die Logik in der Argumentation zu rekonstruieren. == Beweis - Identitätssatz für den Logarithmus == Um den Identitätssatz für den Logarithmus zu beweisen, wird zunächst ein beliebiger Punkt <math>z_0\in G</math> in dem gegebenen [[einfach zusammenhängend]]en Gebiet <math> G \subseteq \mathbb{C} </math> mit <math> 0 \notin G </math> in [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinaten]] <math>z_0 = |z_0|\cdot e^{it_o}</math> dargestellt und man definiert <math>w_0 := \ln(|z_0|)+i\cdot t_0</math>. Durch die Anwendung der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] zeigt man dann, dass folgende Gleichung gilt: :<math> e^{w_0} = e^{\ln(|z_0|)+i\cdot t_0} = e^{\ln(|z_0|)} \cdot e^{it_0} = |z_0| \cdot e^{it_0} z_0 \quad (\ast) </math> === Ziel des Beweises === Nun ist zu zeigen, dass es genau eine holomorphe Funktion <math> \log_G: G \to \mathbb{C} </math> gibt, sodass die folgenden beiden Eigenschaften erfüllt sind: * '''(ISL1)''' <math>\log_G(z_0) = w_0 </math>. * '''(ISL2)''' <math> \exp(\log_G(z)) = z </math> für alle <math> z \in G </math>, Durch die Festlegung von <math>w_0</math> in <math>(\ast)</math> ist (ISL1) bereits erfüllt. Es bleibt (ISL2) zu zeigen. === Schritt 1 - Logarithmenzweige als Stammfunktion === Auf [[einfach zusammenhängend]]en Gebieten <math>G</math> existieren immer Stammfunktionen und <math>f(z)=\tfrac{1}{z}</math> ist eine [[holomorphe Funktion]]: * <math> G </math> ist [[einfach zusammenhängend]] und enthält nicht die [[Polstelle]] (Singularität) <math> 0</math>, da <math> G \subseteq \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> gilt. * Die Funktion <math> f(z) = \frac{1}{z} </math> ist [[holomorphe Funktion|holomorph]] auf <math> G </math>, da <math> 0 \notin G </math>. * Die [[Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion]] von <math> \frac{1}{z} </math> auf <math> G </math> konstruieren, die den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] darstellt. === Schritt 2 - Entwicklung in Potenzreihe === Jede holomorphe Funktion lässt sich lokal in eine [[Potenzreihe]] entwickeln (siehe [[Holomorphiekriterien]]). Da <math> f(z)=\tfrac{1}{z} </math> holomorph auf <math> G </math> ist, existiert insbesondere für das gewählte <math> z_0 = |z_0| \cdot e^{it_0} \in G </math> eine [[Potenzreihenalgebra|Potenzreihenentwicklung]] um <math> z_0 </math>: :<math> \frac{1}{z} = \sum_{n=0}^\infty a_n \cdot (z - z_0)^n </math> mit Konvergenzradius <math> r_0 > 0 </math>, wobei <math> r_0 =|z_0|</math> in <math>\mathbb{C}\setminus \{0\}</math> ist, als Entfernung vom <math> z_0 </math> zur [[Singularität]] <math> z=0 </math> von <math> \frac{1}{z} </math>. === Bemerkung zu Schritt 2 - Konvergenzradius === Da zwar <math> 0 \notin G </math> und die Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}\subseteq G</math>gelten muss, ist der tatsächliche Konvergenzradius <math> r_0\leq |z_0|</math> in <math>G</math> ggf. echt kleiner als <math> |z_0| > 0 </math>, und es gibt ein <math> r_0 > 0 </math>. Ferner muss <math>r < r_0</math> tatsächlich echt kleiner als <math>r_0</math> gewählt werden, sodass die Potenzreihe auf der abgeschlossenen Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_0)} </math> gleichmäßig für alle <math>z\in \overline{D_r(z_0)} </math> konvergiert. Dies ist als Eigenschaft wesentlich, damit die [[Potenzreihe]] summandenweise integriert werden kann. === Schritt 3 - Koeffizienten der Potenzreihe - Stammfunktion === Die Koeffizienten der darstellenden Potenzreihe lassen sich explizit über eine [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] berechnen (siehe [[Stammfunktion des Logarithmus als Potenzreihe|Stammfunktion von 1/z als Potenzreihe]]). Die Potenzreihe lautet dann: == Siehe auch == * [[einfach zusammenhängend]] * [[Holomorphiekriterien]] * [[Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] * [[komplexer Logarithmus]] * [[Potenzreihenentwicklung für holomorphe Funktionen]] * [[Zweige des Logarithmus]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen https://de.wikiversity.org/wiki/Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] hwwzog7orc5h153kho134bqulg2qgyq 1116416 1116415 2026-10-16T11:08:55Z Bert Niehaus 20843 /* Schritt 3 - Koeffizienten der Potenzreihe - Stammfunktion */ 1116416 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Identitäts für [[Zweige des Logarithmus]] zeigt, dass durch die Festlegung eine beliebigen [[einfach zusammenhängend]]en Gebietes <math>G</math> mit <math>0\notin G</math> allein durch die [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinatendarstellung]] eines Punktes <math>z_0=|z_0|\cdot e^{it_o}</math> und <math>w_0: =\ln(|z|) + i\cdot t_0</math> für den zugehörigen Logarithmus der Zweig des Logarithmus eindeutig festgelegt ist. Die Aussage ist eine direkte Anwendung des klassischen [[Identitätssatz|Identitätssatzes]] aus der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]]. == Identitätssatz für den Logarithmus == Sei <math> G \subseteq \mathbb{C} </math> ein [[einfach zusammenhängend]]es Gebiet mit <math> 0 \notin G </math>. Dann ist der [[Zweig des Logarithmus]] auf <math> G </math> '''eindeutig festgelegt''', sobald man einen Punkt <math> z_0 \in G </math> und einen Wert <math> w_0 \in \mathbb{C} </math> mit <math> \exp(w_0) = z_0 </math> vorgibt. === Bemerkung - Eindeutigkeit === Für die [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen|Äquivalenzklassen für Logarithmen]] wird der [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negative Hauptzweig]] verwendet. Die im Satz genannt Festlegung kann dann durch die Eigenschaft erfolgen, dass <math>w_0\in \mathbb{D}_1 := \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi)</math> gilt. === Beweisidee === * <math> \frac{1}{z} </math> ist holomorph auf <math> G </math>, also hat sie eine Potenzreihe um <math> z_0 </math> (siehe auch [[Cauchy-Integralformel]]). * Eine [[Potenzreihe]] konvergiert gleichmäßig auf <math> \overline{D_r(z_0)} </math> und erlaubt somit eine summandenweise Integration, wobei die Stammfunktion die folgende Integraldarstellung besitzt <math> F(z) = \int_{z_0}^z \frac{1}{\zeta} d\zeta </math> mit <math>F(z_0)=0</math>. * Stammfunktionen sind bis auf Konstante eindeutig bestimmt und die Festlegung in einem Punkt definiert den Zweig des Logarithmus <math> \log_G(z) = F(z) + w_0 </math> auf der Kreisscheibe und [[Identitätssatz]] <math> \log_G </math> eindeutig auf ganz <math> G </math> festgelegt. === Bemerkung - Beweisidee === Für mündliche Prüfungen ist es sinnvoll, die Beweisstruktur zu kennen, da man in der Regel längere Beweise in der Prüfung durch den Zeitrahmen der Prüfung nicht vollständig ausführen kann und nur einzelen Teilaspekte aus dem gesamten Beweis auf Anfrage ausführen kann. Ferner gliedert die Beweisidee den Beweis und hilft dabei, die Logik in der Argumentation zu rekonstruieren. == Beweis - Identitätssatz für den Logarithmus == Um den Identitätssatz für den Logarithmus zu beweisen, wird zunächst ein beliebiger Punkt <math>z_0\in G</math> in dem gegebenen [[einfach zusammenhängend]]en Gebiet <math> G \subseteq \mathbb{C} </math> mit <math> 0 \notin G </math> in [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinaten]] <math>z_0 = |z_0|\cdot e^{it_o}</math> dargestellt und man definiert <math>w_0 := \ln(|z_0|)+i\cdot t_0</math>. Durch die Anwendung der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] zeigt man dann, dass folgende Gleichung gilt: :<math> e^{w_0} = e^{\ln(|z_0|)+i\cdot t_0} = e^{\ln(|z_0|)} \cdot e^{it_0} = |z_0| \cdot e^{it_0} z_0 \quad (\ast) </math> === Ziel des Beweises === Nun ist zu zeigen, dass es genau eine holomorphe Funktion <math> \log_G: G \to \mathbb{C} </math> gibt, sodass die folgenden beiden Eigenschaften erfüllt sind: * '''(ISL1)''' <math>\log_G(z_0) = w_0 </math>. * '''(ISL2)''' <math> \exp(\log_G(z)) = z </math> für alle <math> z \in G </math>, Durch die Festlegung von <math>w_0</math> in <math>(\ast)</math> ist (ISL1) bereits erfüllt. Es bleibt (ISL2) zu zeigen. === Schritt 1 - Logarithmenzweige als Stammfunktion === Auf [[einfach zusammenhängend]]en Gebieten <math>G</math> existieren immer Stammfunktionen und <math>f(z)=\tfrac{1}{z}</math> ist eine [[holomorphe Funktion]]: * <math> G </math> ist [[einfach zusammenhängend]] und enthält nicht die [[Polstelle]] (Singularität) <math> 0</math>, da <math> G \subseteq \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> gilt. * Die Funktion <math> f(z) = \frac{1}{z} </math> ist [[holomorphe Funktion|holomorph]] auf <math> G </math>, da <math> 0 \notin G </math>. * Die [[Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion]] von <math> \frac{1}{z} </math> auf <math> G </math> konstruieren, die den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] darstellt. === Schritt 2 - Entwicklung in Potenzreihe === Jede holomorphe Funktion lässt sich lokal in eine [[Potenzreihe]] entwickeln (siehe [[Holomorphiekriterien]]). Da <math> f(z)=\tfrac{1}{z} </math> holomorph auf <math> G </math> ist, existiert insbesondere für das gewählte <math> z_0 = |z_0| \cdot e^{it_0} \in G </math> eine [[Potenzreihenalgebra|Potenzreihenentwicklung]] um <math> z_0 </math>: :<math> \frac{1}{z} = \sum_{n=0}^\infty a_n \cdot (z - z_0)^n </math> mit Konvergenzradius <math> r_0 > 0 </math>, wobei <math> r_0 =|z_0|</math> in <math>\mathbb{C}\setminus \{0\}</math> ist, als Entfernung vom <math> z_0 </math> zur [[Singularität]] <math> z=0 </math> von <math> \frac{1}{z} </math>. === Bemerkung zu Schritt 2 - Konvergenzradius === Da zwar <math> 0 \notin G </math> und die Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}\subseteq G</math>gelten muss, ist der tatsächliche Konvergenzradius <math> r_0\leq |z_0|</math> in <math>G</math> ggf. echt kleiner als <math> |z_0| > 0 </math>, und es gibt ein <math> r_0 > 0 </math>. Ferner muss <math>r < r_0</math> tatsächlich echt kleiner als <math>r_0</math> gewählt werden, sodass die Potenzreihe auf der abgeschlossenen Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_0)} </math> gleichmäßig für alle <math>z\in \overline{D_r(z_0)} </math> konvergiert. Dies ist als Eigenschaft wesentlich, damit die [[Potenzreihe]] summandenweise integriert werden kann. === Schritt 3 - Koeffizienten der Potenzreihe - Stammfunktion === Die Koeffizienten der darstellenden Potenzreihe lassen sich explizit über eine [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] berechnen (siehe [[Stammfunktion des Logarithmus als Potenzreihe|Stammfunktion von 1/z als Potenzreihe]]). Die Potenzreihe lautet dann für <math>z\in \overline{D_r(z_0)} \subseteq G</math> mit <math>r < |z_0|</math> und <math>z_0=|z_0|\cdot e^{i\cdot t_0}</math> : :<math>\log_{_G}(z)= (\ln(|z_o|) + i\cdot t_0) + \sum_{n=0}^\infty \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1} \cdot (n+1)} \cdot (z-z_o)^{n+1} </math> === Schritt 4 - Stammfunktion und Identitätsatz === Die Stammfunktion ist eine [[holomorphe Funktion]] und dem gesamten Definitionsbereich <math>G</math> und man kann man daher auch für anderen Punkte <math>z_1\in G</math> die Funktion <math>f(z)=\tfrac{1}{z}</math> um <math>z_1</math> nun mit offenen Kreisscheiben<math>z\in {D_{r_1}(z_1)} \subseteq G</math> in eine Potenzreihe entwickeln und eine Stammfunktion mit eine beliebig gewählten Konstante festlegen, wobei <math>\overline{D_{r_1}(z_1)} \subseteq G</math> wieder ganz in <math>G</math> liegt. :<math> F_{z_1}(z) := c_{z_1} + \sum_{n=0}^\infty \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1} \cdot (n+1)} \cdot (z-z_1)^{n+1} </math> Die Funktion <math>F_{z_1}</math> ist dann zunächst einmal nur eine Stammfunktion von <math>f(z)=\tfrac{1}{z}</math> aber nicht notwendig ein [[Zweig des Logarithmus]]. === Schritt 5 - Holomorphiekriterium === Da das Gebiet <math>G</math> sich mit Kreisscheiben überdecken lässt und jeweils Schnitte von Kreisscheiben ist für zwei sich schneidende Kreisscheiben damit die Konstante <math>c_{z_1}</math> sukzessive für alle Kreisscheiben eindeutig festgelegt. Dies ist möglich, da <math>G</math> zusammenhängend. Insgesamt entsteht ein Funktion <math>F:G\to \mathbb{C}</math>. Ferner lässt die auf <math>G</math> entstandene Funktion <math>F</math> in jedem Punkt <math>z_1\in G</math> in eine Potenzreihe entwickeln. Damit ist <math>F</math> auch eine [[holomorphe Funktion]]. === Schritt 6 - Stammfunktionen und Identitätsatz === Da die Kreisscheibe <math>D_r(z_0)\subset G</math> eine nicht-diskreten Mengen ist, ist nach dem [[Identitätssatz]] für [[holomorphe Funktion]]en die Funktion <math>z</math> der [[Zweig des Logarithmus]] eindeutig bestimmt. <math>\quad \Box</math> == Siehe auch == * [[einfach zusammenhängend]] * [[Holomorphiekriterien]] * [[Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] * [[komplexer Logarithmus]] * [[Potenzreihenentwicklung für holomorphe Funktionen]] * [[Zweige des Logarithmus]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen https://de.wikiversity.org/wiki/Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 5smdr4zl6evw92hy54zz5oy4oo8l0u5 1116417 1116416 2026-10-16T11:22:58Z Bert Niehaus 20843 /* Schritt 6 - Stammfunktionen und Identitätsatz */ 1116417 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Identitäts für [[Zweige des Logarithmus]] zeigt, dass durch die Festlegung eine beliebigen [[einfach zusammenhängend]]en Gebietes <math>G</math> mit <math>0\notin G</math> allein durch die [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinatendarstellung]] eines Punktes <math>z_0=|z_0|\cdot e^{it_o}</math> und <math>w_0: =\ln(|z|) + i\cdot t_0</math> für den zugehörigen Logarithmus der Zweig des Logarithmus eindeutig festgelegt ist. Die Aussage ist eine direkte Anwendung des klassischen [[Identitätssatz|Identitätssatzes]] aus der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]]. == Identitätssatz für den Logarithmus == Sei <math> G \subseteq \mathbb{C} </math> ein [[einfach zusammenhängend]]es Gebiet mit <math> 0 \notin G </math>. Dann ist der [[Zweig des Logarithmus]] auf <math> G </math> '''eindeutig festgelegt''', sobald man einen Punkt <math> z_0 \in G </math> und einen Wert <math> w_0 \in \mathbb{C} </math> mit <math> \exp(w_0) = z_0 </math> vorgibt. === Bemerkung - Eindeutigkeit === Für die [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen|Äquivalenzklassen für Logarithmen]] wird der [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negative Hauptzweig]] verwendet. Die im Satz genannt Festlegung kann dann durch die Eigenschaft erfolgen, dass <math>w_0\in \mathbb{D}_1 := \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi)</math> gilt. === Beweisidee === * <math> \frac{1}{z} </math> ist holomorph auf <math> G </math>, also hat sie eine Potenzreihe um <math> z_0 </math> (siehe auch [[Cauchy-Integralformel]]). * Eine [[Potenzreihe]] konvergiert gleichmäßig auf <math> \overline{D_r(z_0)} </math> und erlaubt somit eine summandenweise Integration, wobei die Stammfunktion die folgende Integraldarstellung besitzt <math> F(z) = \int_{z_0}^z \frac{1}{\zeta} d\zeta </math> mit <math>F(z_0)=0</math>. * Stammfunktionen sind bis auf Konstante eindeutig bestimmt und die Festlegung in einem Punkt definiert den Zweig des Logarithmus <math> \log_G(z) = F(z) + w_0 </math> auf der Kreisscheibe und [[Identitätssatz]] <math> \log_G </math> eindeutig auf ganz <math> G </math> festgelegt. === Bemerkung - Beweisidee === Für mündliche Prüfungen ist es sinnvoll, die Beweisstruktur zu kennen, da man in der Regel längere Beweise in der Prüfung durch den Zeitrahmen der Prüfung nicht vollständig ausführen kann und nur einzelen Teilaspekte aus dem gesamten Beweis auf Anfrage ausführen kann. Ferner gliedert die Beweisidee den Beweis und hilft dabei, die Logik in der Argumentation zu rekonstruieren. == Beweis - Identitätssatz für den Logarithmus == Um den Identitätssatz für den Logarithmus zu beweisen, wird zunächst ein beliebiger Punkt <math>z_0\in G</math> in dem gegebenen [[einfach zusammenhängend]]en Gebiet <math> G \subseteq \mathbb{C} </math> mit <math> 0 \notin G </math> in [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinaten]] <math>z_0 = |z_0|\cdot e^{it_o}</math> dargestellt und man definiert <math>w_0 := \ln(|z_0|)+i\cdot t_0</math>. Durch die Anwendung der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] zeigt man dann, dass folgende Gleichung gilt: :<math> e^{w_0} = e^{\ln(|z_0|)+i\cdot t_0} = e^{\ln(|z_0|)} \cdot e^{it_0} = |z_0| \cdot e^{it_0} z_0 \quad (\ast) </math> === Ziel des Beweises === Nun ist zu zeigen, dass es genau eine holomorphe Funktion <math> \log_G: G \to \mathbb{C} </math> gibt, sodass die folgenden beiden Eigenschaften erfüllt sind: * '''(ISL1)''' <math>\log_G(z_0) = w_0 </math>. * '''(ISL2)''' <math> \exp(\log_G(z)) = z </math> für alle <math> z \in G </math>, Durch die Festlegung von <math>w_0</math> in <math>(\ast)</math> ist (ISL1) bereits erfüllt. Es bleibt (ISL2) zu zeigen. === Schritt 1 - Logarithmenzweige als Stammfunktion === Auf [[einfach zusammenhängend]]en Gebieten <math>G</math> existieren immer Stammfunktionen und <math>f(z)=\tfrac{1}{z}</math> ist eine [[holomorphe Funktion]]: * <math> G </math> ist [[einfach zusammenhängend]] und enthält nicht die [[Polstelle]] (Singularität) <math> 0</math>, da <math> G \subseteq \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> gilt. * Die Funktion <math> f(z) = \frac{1}{z} </math> ist [[holomorphe Funktion|holomorph]] auf <math> G </math>, da <math> 0 \notin G </math>. * Die [[Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion]] von <math> \frac{1}{z} </math> auf <math> G </math> konstruieren, die den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] darstellt. === Schritt 2 - Entwicklung in Potenzreihe === Jede holomorphe Funktion lässt sich lokal in eine [[Potenzreihe]] entwickeln (siehe [[Holomorphiekriterien]]). Da <math> f(z)=\tfrac{1}{z} </math> holomorph auf <math> G </math> ist, existiert insbesondere für das gewählte <math> z_0 = |z_0| \cdot e^{it_0} \in G </math> eine [[Potenzreihenalgebra|Potenzreihenentwicklung]] um <math> z_0 </math>: :<math> \frac{1}{z} = \sum_{n=0}^\infty a_n \cdot (z - z_0)^n </math> mit Konvergenzradius <math> r_0 > 0 </math>, wobei <math> r_0 =|z_0|</math> in <math>\mathbb{C}\setminus \{0\}</math> ist, als Entfernung vom <math> z_0 </math> zur [[Singularität]] <math> z=0 </math> von <math> \frac{1}{z} </math>. === Bemerkung zu Schritt 2 - Konvergenzradius === Da zwar <math> 0 \notin G </math> und die Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}\subseteq G</math>gelten muss, ist der tatsächliche Konvergenzradius <math> r_0\leq |z_0|</math> in <math>G</math> ggf. echt kleiner als <math> |z_0| > 0 </math>, und es gibt ein <math> r_0 > 0 </math>. Ferner muss <math>r < r_0</math> tatsächlich echt kleiner als <math>r_0</math> gewählt werden, sodass die Potenzreihe auf der abgeschlossenen Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_0)} </math> gleichmäßig für alle <math>z\in \overline{D_r(z_0)} </math> konvergiert. Dies ist als Eigenschaft wesentlich, damit die [[Potenzreihe]] summandenweise integriert werden kann. === Schritt 3 - Koeffizienten der Potenzreihe - Stammfunktion === Die Koeffizienten der darstellenden Potenzreihe lassen sich explizit über eine [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] berechnen (siehe [[Stammfunktion des Logarithmus als Potenzreihe|Stammfunktion von 1/z als Potenzreihe]]). Die Potenzreihe lautet dann für <math>z\in \overline{D_r(z_0)} \subseteq G</math> mit <math>r < |z_0|</math> und <math>z_0=|z_0|\cdot e^{i\cdot t_0}</math> : :<math>\log_{_G}(z)= (\ln(|z_o|) + i\cdot t_0) + \sum_{n=0}^\infty \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1} \cdot (n+1)} \cdot (z-z_o)^{n+1} </math> === Schritt 4 - Stammfunktion und Identitätsatz === Die Stammfunktion ist eine [[holomorphe Funktion]] und dem gesamten Definitionsbereich <math>G</math> und man kann man daher auch für anderen Punkte <math>z_1\in G</math> die Funktion <math>f(z)=\tfrac{1}{z}</math> um <math>z_1</math> nun mit offenen Kreisscheiben<math>z\in {D_{r_1}(z_1)} \subseteq G</math> in eine Potenzreihe entwickeln und eine Stammfunktion mit eine beliebig gewählten Konstante festlegen, wobei <math>\overline{D_{r_1}(z_1)} \subseteq G</math> wieder ganz in <math>G</math> liegt. :<math> F_{z_1}(z) := c_{z_1} + \sum_{n=0}^\infty \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1} \cdot (n+1)} \cdot (z-z_1)^{n+1} </math> Die Funktion <math>F_{z_1}</math> ist dann zunächst einmal nur eine Stammfunktion von <math>f(z)=\tfrac{1}{z}</math> aber nicht notwendig ein [[Zweig des Logarithmus]]. === Schritt 5 - Holomorphiekriterium === Da das Gebiet <math>G</math> sich mit Kreisscheiben überdecken lässt und jeweils Schnitte von Kreisscheiben ist für zwei sich schneidende Kreisscheiben damit die Konstante <math>c_{z_1}</math> sukzessive für alle Kreisscheiben eindeutig festgelegt. Dies ist möglich, da <math>G</math> zusammenhängend. Insgesamt entsteht ein Funktion <math>F:G\to \mathbb{C}</math>. Ferner lässt die auf <math>G</math> entstandene Funktion <math>F</math> in jedem Punkt <math>z_1\in G</math> in eine Potenzreihe entwickeln. Damit ist <math>F</math> auch eine [[holomorphe Funktion]]. === Schritt 6 - Stammfunktionen und Identitätsatz === Da die Kreisscheibe <math>D_r(z_0)\subset G</math> eine nicht-diskreten Mengen ist, ist nach dem [[Identitätssatz]] für [[holomorphe Funktion]]en die Funktion <math>z</math> der [[Zweig des Logarithmus]] eindeutig bestimmt. Nun bleibt zu zeigen, dass mit der generierten Funktion <math>F</math> auf ein Zweig des Logarithmus entstanden ist. === Schritt 7 - ISL2 nachweisen === <math>\quad \Box</math> == Siehe auch == * [[einfach zusammenhängend]] * [[Holomorphiekriterien]] * [[Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] * [[komplexer Logarithmus]] * [[Potenzreihenentwicklung für holomorphe Funktionen]] * [[Zweige des Logarithmus]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen https://de.wikiversity.org/wiki/Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] rmp2ohfea8ye4hfen33yyq6cjrsgvje 1116418 1116417 2026-10-16T11:55:32Z Bert Niehaus 20843 /* Schritt 7 - ISL2 nachweisen */ 1116418 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Identitäts für [[Zweige des Logarithmus]] zeigt, dass durch die Festlegung eine beliebigen [[einfach zusammenhängend]]en Gebietes <math>G</math> mit <math>0\notin G</math> allein durch die [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinatendarstellung]] eines Punktes <math>z_0=|z_0|\cdot e^{it_o}</math> und <math>w_0: =\ln(|z|) + i\cdot t_0</math> für den zugehörigen Logarithmus der Zweig des Logarithmus eindeutig festgelegt ist. Die Aussage ist eine direkte Anwendung des klassischen [[Identitätssatz|Identitätssatzes]] aus der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]]. == Identitätssatz für den Logarithmus == Sei <math> G \subseteq \mathbb{C} </math> ein [[einfach zusammenhängend]]es Gebiet mit <math> 0 \notin G </math>. Dann ist der [[Zweig des Logarithmus]] auf <math> G </math> '''eindeutig festgelegt''', sobald man einen Punkt <math> z_0 \in G </math> und einen Wert <math> w_0 \in \mathbb{C} </math> mit <math> \exp(w_0) = z_0 </math> vorgibt. === Bemerkung - Eindeutigkeit === Für die [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen|Äquivalenzklassen für Logarithmen]] wird der [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negative Hauptzweig]] verwendet. Die im Satz genannt Festlegung kann dann durch die Eigenschaft erfolgen, dass <math>w_0\in \mathbb{D}_1 := \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi)</math> gilt. === Beweisidee === * <math> \frac{1}{z} </math> ist holomorph auf <math> G </math>, also hat sie eine Potenzreihe um <math> z_0 </math> (siehe auch [[Cauchy-Integralformel]]). * Eine [[Potenzreihe]] konvergiert gleichmäßig auf <math> \overline{D_r(z_0)} </math> und erlaubt somit eine summandenweise Integration, wobei die Stammfunktion die folgende Integraldarstellung besitzt <math> F(z) = \int_{z_0}^z \frac{1}{\zeta} d\zeta </math> mit <math>F(z_0)=0</math>. * Stammfunktionen sind bis auf Konstante eindeutig bestimmt und die Festlegung in einem Punkt definiert den Zweig des Logarithmus <math> \log_G(z) = F(z) + w_0 </math> auf der Kreisscheibe und [[Identitätssatz]] <math> \log_G </math> eindeutig auf ganz <math> G </math> festgelegt. === Bemerkung - Beweisidee === Für mündliche Prüfungen ist es sinnvoll, die Beweisstruktur zu kennen, da man in der Regel längere Beweise in der Prüfung durch den Zeitrahmen der Prüfung nicht vollständig ausführen kann und nur einzelen Teilaspekte aus dem gesamten Beweis auf Anfrage ausführen kann. Ferner gliedert die Beweisidee den Beweis und hilft dabei, die Logik in der Argumentation zu rekonstruieren. == Beweis - Identitätssatz für den Logarithmus == Um den Identitätssatz für den Logarithmus zu beweisen, wird zunächst ein beliebiger Punkt <math>z_0\in G</math> in dem gegebenen [[einfach zusammenhängend]]en Gebiet <math> G \subseteq \mathbb{C} </math> mit <math> 0 \notin G </math> in [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinaten]] <math>z_0 = |z_0|\cdot e^{it_o}</math> dargestellt und man definiert <math>w_0 := \ln(|z_0|)+i\cdot t_0</math>. Durch die Anwendung der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] zeigt man dann, dass folgende Gleichung gilt: :<math> e^{w_0} = e^{\ln(|z_0|)+i\cdot t_0} = e^{\ln(|z_0|)} \cdot e^{it_0} = |z_0| \cdot e^{it_0} z_0 \quad (\ast) </math> === Ziel des Beweises === Nun ist zu zeigen, dass es genau eine holomorphe Funktion <math> \log_G: G \to \mathbb{C} </math> gibt, sodass die folgenden beiden Eigenschaften erfüllt sind: * '''(ISL1)''' <math>\log_G(z_0) = w_0 </math>. * '''(ISL2)''' <math> \exp(\log_G(z)) = z </math> für alle <math> z \in G </math>, Durch die Festlegung von <math>w_0</math> in <math>(\ast)</math> ist (ISL1) bereits erfüllt. Es bleibt (ISL2) zu zeigen. === Schritt 1 - Logarithmenzweige als Stammfunktion === Auf [[einfach zusammenhängend]]en Gebieten <math>G</math> existieren immer Stammfunktionen und <math>f(z)=\tfrac{1}{z}</math> ist eine [[holomorphe Funktion]]: * <math> G </math> ist [[einfach zusammenhängend]] und enthält nicht die [[Polstelle]] (Singularität) <math> 0</math>, da <math> G \subseteq \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> gilt. * Die Funktion <math> f(z) = \frac{1}{z} </math> ist [[holomorphe Funktion|holomorph]] auf <math> G </math>, da <math> 0 \notin G </math>. * Die [[Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion]] von <math> \frac{1}{z} </math> auf <math> G </math> konstruieren, die den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] darstellt. === Schritt 2 - Entwicklung in Potenzreihe === Jede holomorphe Funktion lässt sich lokal in eine [[Potenzreihe]] entwickeln (siehe [[Holomorphiekriterien]]). Da <math> f(z)=\tfrac{1}{z} </math> holomorph auf <math> G </math> ist, existiert insbesondere für das gewählte <math> z_0 = |z_0| \cdot e^{it_0} \in G </math> eine [[Potenzreihenalgebra|Potenzreihenentwicklung]] um <math> z_0 </math>: :<math> \frac{1}{z} = \sum_{n=0}^\infty a_n \cdot (z - z_0)^n </math> mit Konvergenzradius <math> r_0 > 0 </math>, wobei <math> r_0 =|z_0|</math> in <math>\mathbb{C}\setminus \{0\}</math> ist, als Entfernung vom <math> z_0 </math> zur [[Singularität]] <math> z=0 </math> von <math> \frac{1}{z} </math>. === Bemerkung zu Schritt 2 - Konvergenzradius === Da zwar <math> 0 \notin G </math> und die Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}\subseteq G</math>gelten muss, ist der tatsächliche Konvergenzradius <math> r_0\leq |z_0|</math> in <math>G</math> ggf. echt kleiner als <math> |z_0| > 0 </math>, und es gibt ein <math> r_0 > 0 </math>. Ferner muss <math>r < r_0</math> tatsächlich echt kleiner als <math>r_0</math> gewählt werden, sodass die Potenzreihe auf der abgeschlossenen Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_0)} </math> gleichmäßig für alle <math>z\in \overline{D_r(z_0)} </math> konvergiert. Dies ist als Eigenschaft wesentlich, damit die [[Potenzreihe]] summandenweise integriert werden kann. === Schritt 3 - Koeffizienten der Potenzreihe - Stammfunktion === Die Koeffizienten der darstellenden Potenzreihe lassen sich explizit über eine [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] berechnen (siehe [[Stammfunktion des Logarithmus als Potenzreihe|Stammfunktion von 1/z als Potenzreihe]]). Die Potenzreihe lautet dann für <math>z\in \overline{D_r(z_0)} \subseteq G</math> mit <math>r < |z_0|</math> und <math>z_0=|z_0|\cdot e^{i\cdot t_0}</math> : :<math>\log_{_G}(z)= (\ln(|z_o|) + i\cdot t_0) + \sum_{n=0}^\infty \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1} \cdot (n+1)} \cdot (z-z_o)^{n+1} </math> === Schritt 4 - Stammfunktion und Identitätsatz === Die Stammfunktion ist eine [[holomorphe Funktion]] und dem gesamten Definitionsbereich <math>G</math> und man kann man daher auch für anderen Punkte <math>z_1\in G</math> die Funktion <math>f(z)=\tfrac{1}{z}</math> um <math>z_1</math> nun mit offenen Kreisscheiben<math>z\in {D_{r_1}(z_1)} \subseteq G</math> in eine Potenzreihe entwickeln und eine Stammfunktion mit eine beliebig gewählten Konstante festlegen, wobei <math>\overline{D_{r_1}(z_1)} \subseteq G</math> wieder ganz in <math>G</math> liegt. :<math> F_{z_1}(z) := c_{z_1} + \sum_{n=0}^\infty \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1} \cdot (n+1)} \cdot (z-z_1)^{n+1} </math> Die Funktion <math>F_{z_1}</math> ist dann zunächst einmal nur eine Stammfunktion von <math>f(z)=\tfrac{1}{z}</math> aber nicht notwendig ein [[Zweig des Logarithmus]]. === Schritt 5 - Holomorphiekriterium === Da das Gebiet <math>G</math> sich mit Kreisscheiben überdecken lässt und jeweils Schnitte von Kreisscheiben ist für zwei sich schneidende Kreisscheiben damit die Konstante <math>c_{z_1}</math> sukzessive für alle Kreisscheiben eindeutig festgelegt. Dies ist möglich, da <math>G</math> zusammenhängend. Insgesamt entsteht ein Funktion <math>F:G\to \mathbb{C}</math>. Ferner lässt die auf <math>G</math> entstandene Funktion <math>F</math> in jedem Punkt <math>z_1\in G</math> in eine Potenzreihe entwickeln. Damit ist <math>F</math> auch eine [[holomorphe Funktion]]. === Schritt 6 - Stammfunktionen und Identitätsatz === Da die Kreisscheibe <math>D_r(z_0)\subset G</math> eine nicht-diskreten Mengen ist, ist nach dem [[Identitätssatz]] für [[holomorphe Funktion]]en die Funktion <math>z</math> der [[Zweig des Logarithmus]] eindeutig bestimmt. Nun bleibt zu zeigen, dass mit der generierten Funktion <math>F</math> auf ein Zweig des Logarithmus entstanden ist. === Schritt 7 - ISL2 nachweisen === Man bezeichnet nun die Funktion <math>F=\log</math>, wobei erst zu zeigen ist, dass die Funktion <math>\log</math> die Eigenschaft <math> \exp(\log(z)) = z </math> erfüllt. Diese Eigenschaft wird durch Differenzieren der Funktion <math>\exp \circ \log </math> erreicht. ==== Schritt 7.1 - Vorgehen mit Differentialgleichung ==== Man betrachtet die folgende Funktion <math>G=\exp \circ \log</math> und leitet diese ab :<math> G(z) := (exp \circ \log)(z) = \exp(\log(z)) </math> Man wird dann <math> G(z) = z </math> nachweisen, wobei man die Eindeutigkeit der Lösung einer Differentialgleichung nutzt. ==== Schritt 7.2 - Ableitung bilden ==== Bei der Ableitung der Funktion <math>G</math> wird die Kettenregel angewendet, wobei <math> \log'(z) = \frac{1}{z} </math> bei Rückersetzung der Potenzreihendarstellung von <math>f</math> um ein beliebiges <math>z_1\in G</math>. Die Stammfunktionen unterscheiden sich lediglich um eine Konstante für unterschiedliche Entwicklungspunkte und diese fällt bei der Differentiation weg. Damit gilt für Ableitung der Verkettung: :<math> G'(z) := (exp \circ \log)'(z) = \underbrace{\exp(\log(z))}_{=G(z)}\cdot \underbrace{\log'(z)}_{=\tfrac{1}{z}} = G(z) \cdot \frac{1}{z} </math> Die Ableitung von <math>G</math> kann gebildet werden, da <math>\log = F</math> nach Schritt 6 eine [[holomorphe Funktion]] und <math>G</math> als Verkettung von zwei holomorphen Funktionen wieder holomorph ist. ==== Schritt 7.3 - Differentialgleichung ==== Durch Schritt 7.2 erhält man die Differentialgleichung :<math> G'(z) = G(z) \cdot \frac{1}{z} </math> die nun als lineare Differentialgleichung erster Ordnung gelöst wird. ==== Schritt 7.4 - Differentialgleichung ==== Die allgemeine Lösung dieser Gleichung ist: :<math> G(z) = C \cdot z </math> für eine Konstante <math> C \in \mathbb{C} </math>, denn es gilt mit <math>G'(z)=C</math> die Eigenschaft: :<math> C = G'(z) = G(z) \cdot \frac{1}{z} = \underbrace{(C\cdot z)}_{=G(z)} \cdot \frac{1}{z} = C\cdot \underbrace{(z \cdot \frac{1}{z})}_{=1} = C </math> ==== Schritt 7-5 - Bestimmung der Konstanten C ==== Setze nun den Punkt <math> z_0 \in G </math> aus der Behauptung ein. Für diesen Funktionswert ist der Funktionswert <math> F(z_0) = \log(z_0) = \ln(|z_0|) + e^{it_0} </math> als Konstante der Potenzreihe bekannt und es gilt: :<math> \log(z_0) = w_0 \quad \text{mit} \quad \exp(w_0) = z_0 </math> == Siehe auch == * [[einfach zusammenhängend]] * [[Holomorphiekriterien]] * [[Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] * [[komplexer Logarithmus]] * [[Potenzreihenentwicklung für holomorphe Funktionen]] * [[Zweige des Logarithmus]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen https://de.wikiversity.org/wiki/Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 093u81vavitki6khzwbffohlalxnsuw 1116419 1116418 2026-10-16T11:58:46Z Bert Niehaus 20843 /* Schritt 7 - ISL2 nachweisen */ 1116419 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Identitäts für [[Zweige des Logarithmus]] zeigt, dass durch die Festlegung eine beliebigen [[einfach zusammenhängend]]en Gebietes <math>G</math> mit <math>0\notin G</math> allein durch die [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinatendarstellung]] eines Punktes <math>z_0=|z_0|\cdot e^{it_o}</math> und <math>w_0: =\ln(|z|) + i\cdot t_0</math> für den zugehörigen Logarithmus der Zweig des Logarithmus eindeutig festgelegt ist. Die Aussage ist eine direkte Anwendung des klassischen [[Identitätssatz|Identitätssatzes]] aus der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]]. == Identitätssatz für den Logarithmus == Sei <math> G \subseteq \mathbb{C} </math> ein [[einfach zusammenhängend]]es Gebiet mit <math> 0 \notin G </math>. Dann ist der [[Zweig des Logarithmus]] auf <math> G </math> '''eindeutig festgelegt''', sobald man einen Punkt <math> z_0 \in G </math> und einen Wert <math> w_0 \in \mathbb{C} </math> mit <math> \exp(w_0) = z_0 </math> vorgibt. === Bemerkung - Eindeutigkeit === Für die [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen|Äquivalenzklassen für Logarithmen]] wird der [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negative Hauptzweig]] verwendet. Die im Satz genannt Festlegung kann dann durch die Eigenschaft erfolgen, dass <math>w_0\in \mathbb{D}_1 := \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi)</math> gilt. === Beweisidee === * <math> \frac{1}{z} </math> ist holomorph auf <math> G </math>, also hat sie eine Potenzreihe um <math> z_0 </math> (siehe auch [[Cauchy-Integralformel]]). * Eine [[Potenzreihe]] konvergiert gleichmäßig auf <math> \overline{D_r(z_0)} </math> und erlaubt somit eine summandenweise Integration, wobei die Stammfunktion die folgende Integraldarstellung besitzt <math> F(z) = \int_{z_0}^z \frac{1}{\zeta} d\zeta </math> mit <math>F(z_0)=0</math>. * Stammfunktionen sind bis auf Konstante eindeutig bestimmt und die Festlegung in einem Punkt definiert den Zweig des Logarithmus <math> \log_G(z) = F(z) + w_0 </math> auf der Kreisscheibe und [[Identitätssatz]] <math> \log_G </math> eindeutig auf ganz <math> G </math> festgelegt. === Bemerkung - Beweisidee === Für mündliche Prüfungen ist es sinnvoll, die Beweisstruktur zu kennen, da man in der Regel längere Beweise in der Prüfung durch den Zeitrahmen der Prüfung nicht vollständig ausführen kann und nur einzelen Teilaspekte aus dem gesamten Beweis auf Anfrage ausführen kann. Ferner gliedert die Beweisidee den Beweis und hilft dabei, die Logik in der Argumentation zu rekonstruieren. == Beweis - Identitätssatz für den Logarithmus == Um den Identitätssatz für den Logarithmus zu beweisen, wird zunächst ein beliebiger Punkt <math>z_0\in G</math> in dem gegebenen [[einfach zusammenhängend]]en Gebiet <math> G \subseteq \mathbb{C} </math> mit <math> 0 \notin G </math> in [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinaten]] <math>z_0 = |z_0|\cdot e^{it_o}</math> dargestellt und man definiert <math>w_0 := \ln(|z_0|)+i\cdot t_0</math>. Durch die Anwendung der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] zeigt man dann, dass folgende Gleichung gilt: :<math> e^{w_0} = e^{\ln(|z_0|)+i\cdot t_0} = e^{\ln(|z_0|)} \cdot e^{it_0} = |z_0| \cdot e^{it_0} z_0 \quad (\ast) </math> === Ziel des Beweises === Nun ist zu zeigen, dass es genau eine holomorphe Funktion <math> \log_G: G \to \mathbb{C} </math> gibt, sodass die folgenden beiden Eigenschaften erfüllt sind: * '''(ISL1)''' <math>\log_G(z_0) = w_0 </math>. * '''(ISL2)''' <math> \exp(\log_G(z)) = z </math> für alle <math> z \in G </math>, Durch die Festlegung von <math>w_0</math> in <math>(\ast)</math> ist (ISL1) bereits erfüllt. Es bleibt (ISL2) zu zeigen. === Schritt 1 - Logarithmenzweige als Stammfunktion === Auf [[einfach zusammenhängend]]en Gebieten <math>G</math> existieren immer Stammfunktionen und <math>f(z)=\tfrac{1}{z}</math> ist eine [[holomorphe Funktion]]: * <math> G </math> ist [[einfach zusammenhängend]] und enthält nicht die [[Polstelle]] (Singularität) <math> 0</math>, da <math> G \subseteq \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> gilt. * Die Funktion <math> f(z) = \frac{1}{z} </math> ist [[holomorphe Funktion|holomorph]] auf <math> G </math>, da <math> 0 \notin G </math>. * Die [[Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion]] von <math> \frac{1}{z} </math> auf <math> G </math> konstruieren, die den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] darstellt. === Schritt 2 - Entwicklung in Potenzreihe === Jede holomorphe Funktion lässt sich lokal in eine [[Potenzreihe]] entwickeln (siehe [[Holomorphiekriterien]]). Da <math> f(z)=\tfrac{1}{z} </math> holomorph auf <math> G </math> ist, existiert insbesondere für das gewählte <math> z_0 = |z_0| \cdot e^{it_0} \in G </math> eine [[Potenzreihenalgebra|Potenzreihenentwicklung]] um <math> z_0 </math>: :<math> \frac{1}{z} = \sum_{n=0}^\infty a_n \cdot (z - z_0)^n </math> mit Konvergenzradius <math> r_0 > 0 </math>, wobei <math> r_0 =|z_0|</math> in <math>\mathbb{C}\setminus \{0\}</math> ist, als Entfernung vom <math> z_0 </math> zur [[Singularität]] <math> z=0 </math> von <math> \frac{1}{z} </math>. === Bemerkung zu Schritt 2 - Konvergenzradius === Da zwar <math> 0 \notin G </math> und die Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}\subseteq G</math>gelten muss, ist der tatsächliche Konvergenzradius <math> r_0\leq |z_0|</math> in <math>G</math> ggf. echt kleiner als <math> |z_0| > 0 </math>, und es gibt ein <math> r_0 > 0 </math>. Ferner muss <math>r < r_0</math> tatsächlich echt kleiner als <math>r_0</math> gewählt werden, sodass die Potenzreihe auf der abgeschlossenen Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_0)} </math> gleichmäßig für alle <math>z\in \overline{D_r(z_0)} </math> konvergiert. Dies ist als Eigenschaft wesentlich, damit die [[Potenzreihe]] summandenweise integriert werden kann. === Schritt 3 - Koeffizienten der Potenzreihe - Stammfunktion === Die Koeffizienten der darstellenden Potenzreihe lassen sich explizit über eine [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] berechnen (siehe [[Stammfunktion des Logarithmus als Potenzreihe|Stammfunktion von 1/z als Potenzreihe]]). Die Potenzreihe lautet dann für <math>z\in \overline{D_r(z_0)} \subseteq G</math> mit <math>r < |z_0|</math> und <math>z_0=|z_0|\cdot e^{i\cdot t_0}</math> : :<math>\log_{_G}(z)= (\ln(|z_o|) + i\cdot t_0) + \sum_{n=0}^\infty \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1} \cdot (n+1)} \cdot (z-z_o)^{n+1} </math> === Schritt 4 - Stammfunktion und Identitätsatz === Die Stammfunktion ist eine [[holomorphe Funktion]] und dem gesamten Definitionsbereich <math>G</math> und man kann man daher auch für anderen Punkte <math>z_1\in G</math> die Funktion <math>f(z)=\tfrac{1}{z}</math> um <math>z_1</math> nun mit offenen Kreisscheiben<math>z\in {D_{r_1}(z_1)} \subseteq G</math> in eine Potenzreihe entwickeln und eine Stammfunktion mit eine beliebig gewählten Konstante festlegen, wobei <math>\overline{D_{r_1}(z_1)} \subseteq G</math> wieder ganz in <math>G</math> liegt. :<math> F_{z_1}(z) := c_{z_1} + \sum_{n=0}^\infty \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1} \cdot (n+1)} \cdot (z-z_1)^{n+1} </math> Die Funktion <math>F_{z_1}</math> ist dann zunächst einmal nur eine Stammfunktion von <math>f(z)=\tfrac{1}{z}</math> aber nicht notwendig ein [[Zweig des Logarithmus]]. === Schritt 5 - Holomorphiekriterium === Da das Gebiet <math>G</math> sich mit Kreisscheiben überdecken lässt und jeweils Schnitte von Kreisscheiben ist für zwei sich schneidende Kreisscheiben damit die Konstante <math>c_{z_1}</math> sukzessive für alle Kreisscheiben eindeutig festgelegt. Dies ist möglich, da <math>G</math> zusammenhängend. Insgesamt entsteht ein Funktion <math>F:G\to \mathbb{C}</math>. Ferner lässt die auf <math>G</math> entstandene Funktion <math>F</math> in jedem Punkt <math>z_1\in G</math> in eine Potenzreihe entwickeln. Damit ist <math>F</math> auch eine [[holomorphe Funktion]]. === Schritt 6 - Stammfunktionen und Identitätsatz === Da die Kreisscheibe <math>D_r(z_0)\subset G</math> eine nicht-diskreten Mengen ist, ist nach dem [[Identitätssatz]] für [[holomorphe Funktion]]en die Funktion <math>z</math> der [[Zweig des Logarithmus]] eindeutig bestimmt. Nun bleibt zu zeigen, dass mit der generierten Funktion <math>F</math> auf ein Zweig des Logarithmus entstanden ist. === Schritt 7 - ISL2 nachweisen === Man bezeichnet nun die Funktion <math>F=\log_G</math>, wobei erst zu zeigen ist, dass die Funktion <math>\log_G</math> die Eigenschaft <math> \exp(\log_G(z)) = z </math> erfüllt. Diese Eigenschaft wird durch Differenzieren der Funktion <math>\exp \circ \log_G </math> erreicht. ==== Schritt 7.1 - Vorgehen mit Differentialgleichung ==== Man betrachtet die folgende Funktion <math>H=\exp \circ \log_G</math> und leitet diese ab :<math> H(z) := (exp \circ \log)(z) = \exp(\log(z)) </math> Man wird dann <math> H(z) = z </math> nachweisen, wobei man die Eindeutigkeit der Lösung einer Differentialgleichung nutzt. ==== Schritt 7.2 - Ableitung bilden ==== Bei der Ableitung der Funktion <math>G</math> wird die Kettenregel angewendet, wobei <math> \log'(z) = \frac{1}{z} </math> bei Rückersetzung der Potenzreihendarstellung von <math>f</math> um ein beliebiges <math>z_1\in G</math>. Die Stammfunktionen unterscheiden sich lediglich um eine Konstante für unterschiedliche Entwicklungspunkte und diese fällt bei der Differentiation weg. Damit gilt für Ableitung der Verkettung: :<math> H'(z) := (exp \circ \log)'(z) = \underbrace{\exp(\log(z))}_{=H(z)}\cdot \underbrace{\log'(z)}_{=\tfrac{1}{z}} = H(z) \cdot \frac{1}{z} </math> Die Ableitung der Funktion <math>H</math> kann gebildet werden, da <math>\log = F</math> nach Schritt 6 eine [[holomorphe Funktion]] und <math>G</math> als Verkettung von zwei holomorphen Funktionen wieder holomorph ist. ==== Schritt 7.3 - Differentialgleichung ==== Durch Schritt 7.2 erhält man die Differentialgleichung :<math> H'(z) = H(z) \cdot \frac{1}{z} </math> die nun als lineare Differentialgleichung erster Ordnung gelöst wird. ==== Schritt 7.4 - Differentialgleichung ==== Die allgemeine Lösung dieser Gleichung ist: :<math> H(z) = C \cdot z </math> für eine Konstante <math> C \in \mathbb{C} </math>, denn es gilt mit <math>H'(z)=C</math> die Eigenschaft: :<math> C = H'(z) = H(z) \cdot \frac{1}{z} = \underbrace{(C\cdot z)}_{=H(z)} \cdot \frac{1}{z} = C\cdot \underbrace{(z \cdot \frac{1}{z})}_{=1} = C </math> ==== Schritt 7-5 - Bestimmung der Konstanten C ==== Setze nun den Punkt <math> z_0 \in G </math> aus der Behauptung ein. Für diesen Funktionswert ist der Funktionswert <math> F(z_0) = \log(z_0) = \ln(|z_0|) + e^{it_0} </math> als Konstante der Potenzreihe bekannt und es gilt: :<math> \log_G(z_0) = w_0 \quad \text{mit} \quad \exp(w_0) = z_0 </math> == Siehe auch == * [[einfach zusammenhängend]] * [[Holomorphiekriterien]] * [[Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] * [[komplexer Logarithmus]] * [[Potenzreihenentwicklung für holomorphe Funktionen]] * [[Zweige des Logarithmus]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen https://de.wikiversity.org/wiki/Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; 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