Wikiversity dewikiversity https://de.wikiversity.org/wiki/Hauptseite MediaWiki 1.47.0-wmf.24 first-letter Medium Spezial Diskussion Benutzer Benutzer Diskussion Wikiversity Wikiversity Diskussion Datei Datei Diskussion MediaWiki MediaWiki Diskussion Vorlage Vorlage Diskussion Hilfe Hilfe Diskussion Kategorie Kategorie Diskussion Kurs Kurs Diskussion Projekt Projekt Diskussion TimedText TimedText talk Modul Modul Diskussion Veranstaltung Veranstaltung Diskussion 106 8871 1116499 64640 2026-10-16T20:46:22Z ~2026-55522-96 41996 /* Zahlen und Werte */ 1116499 wikitext text/x-wiki {{Navigation}} ==Klassen und Objekte== Die [[w:Objektorientierte Programmierung|objektorientierte Programmierung]] erzeugt sogenannte [[w:Objekt (Programmierung)|Objekte]] aus [[w:Klasse (objektorientierte Programmierung)|Klassen]]. Dieser Vorgang wird [[w:Instanz (Informatik)|Instanziierung]] genannt, was dem Anfänger keinesfalls weiterhilft. Auch Erklärungen über Reservierung von Speicherplatz durch Anlegen von Kopien der entsprechenden Klassen helfen wenig. Hier hilft nur reine Anschauung. Allerdings handelt es sich bei ''Objekt'' entweder um einen sehr abstrakten oder um einen sehr realen Begriff - je nach Vorstellung. Dieser Kurs beginnt mit der Annahme, dass die abstrakte Betrachtungsweise gewählt wurde. Andere Vorstellungen werden natürlich ebenfalls berücksichtigt, aber eben erst nach der Instanziierung. ===Objektsammlungen=== Um hier etwas Licht in die Sache zu bringen, wird der Instanziierungsvorgang umgekehrt; aus Objekten sollen erst einmal die Klassen hergeleitet werden. [[Bild:Baseobjjset01.gif|Ausgangsmenge]] Hier ist offensichtlich eine Ansammlung von Objekten geometrischer Art vorhanden. Eine [[w:Klassifizierung|Klassifizierung]] bedarf zunächst einmal einer Ordnung. Jedoch ist Ordnung ein relativer Begriff. Soll nun nach Größe geordnet werden oder ist es angebrachter, nach Formen zu unterscheiden? Soll die Hierarchie von links nach rechts oder von oben nach unten gerichtet sein? Am einfachsten ist es in diesem Fall, alle genannten Überlegungen gleichzeitig anzuwenden. Dabei muss aber peinlich genau darauf geachtet werden, die Grenzen nicht zu verletzen. Diese Grenzen sind hier durch die [[w:Konvexe Menge|konvexe]] Hülle gegeben. Auch darf bei der Einführung einer [[w:Ordnungsrelation|Ordnungsrelation]] kein Element (Objekt) fehlen oder hinzugefügt werden. [[Bild:Baseobjjset02.gif|Faserung der Ausgangsmenge]] Die jetzt eingeführte Ordnung der Objekte folgt in vertikaler Richtung den Formen und in horizontaler den Größen. Die vorhandenen Abgrenzungen seien durchgehende Linien. Die Objekte wurden innerhalb der umhüllenden Grenze in kleinere Ansammlungen zusammengefasst oder gekapselt. Es ergeben sich neun Teile. Alle Objekte zwischen zwei durchgehenden Grenzlinien bilden wiederum abgeschlossene Teile der Ansammlung (die horizontalen Linien seien ebenfalls durchgehend, auch wenn diese Vorstellung etwas Abstraktionsvermögen voraussetzt) mit jeweils drei Teilen. So lassen sich die Objekte entweder in einer umhüllenden, formgebenden Ordnung oder in einer umhüllenden größenbegrenzenden Ordnung zusammenfassen. ===Objektmenge=== Bis jetzt ist es gelungen, gleichartige Objekt in abgeschlossenen Bereichen unterzubringen. Jeder dieser Bereiche ist ein [[w:Element (Mathematik)|Element]] der [[w:Menge (Mathematik)|Menge]] eben dieser Bereiche. Es liegt deshalb eine Menge vor, weil die einzelnen Elemente wohlunterscheidbar sind. Diese Unterteilung hat natürlich einen eigenen Begriff und wird als [[w:Faserung|Faserung]] einer Menge bezeichnet. In jedem Fall ist jetzt alles Formbasierende in horizontalen Fasern, alles Größenbasierende in vertikalen Fasern untergebracht. So verläuft die Faser der großen Objekte ganz rechts von oben nach unten, die Faser der runden Objekte dagegen ganz unten von links nach rechts. Die Elemente innerhalb einer Faser werden Zellen genannt. Jetzt besteht das nächste Problem darin, die Objekte innerhalb der Zellen so umzugestalten, dass jede Zelle als Teilmenge der gesamten Objektmenge vorhanden ist. Hier kommt ein wesentlicher Gesichtspunkt der Mengentheorie ins Spiel - die Wohlunterscheidbarkeit. Eine Menge besteht nur aus unterscheidbaren Objekten. Es existiert keine Menge der Form M = {4,4}, denn die Elemente sind voneinander nicht zu unterscheiden. Jede Zelle hat aber mehr als ein Element in sich, was tun? [[Bild:Baseobjjset03.gif|Repräsentanten]] Nun sind Zahlen nichts anderes als Faktoren und damit prinzipell nichtssagend. Mit 15 kann niemand etwas anfangen; fünfzehn Was? Burger, Euros, Cents, Millimeter oder was? Von diesen nichtssagenden Gebilden sollte Abstand genommen werden. Die Elemente innerhalb der Fasern sollen nun in (Teil)mengen umgewandelt werden und enthalten damit nur noch ein einziges Objekt. ====Eine erste Klassifizierung==== Jetzt repräsentiert jede Zelle die Klasse des Elements das sie enthält und kann beliebig viele Objekte dieser Elemente bereitstellen. Aber noch mehr wurde erreicht; jede Faser ist nun eine übergeordnete Klasse der jeweiligen Fasern. So ist die linke Faser die Menge aller Klassen kleiner Objekte und die unterste Faser die Klasse aller runden Objekte Die jetzt vorhandene Menge ist einem Einkaufskatalog mit jeweils einem Abbild eines Produkts vergleichbar. Von jedem Element einer Zelle kann eine gewisse Anzahl bestellt werden. Jeder Zelle wird so die faktorisiernde Anzahl einfach als Eigenschaft zugeordnet. Zelle der kleinen Dreiecke: Anzahl 5; oder Zelle der großen Kreise: Anzahl 4. ====Menge der Klassen geometrischer Objekte==== Der letzte Schritt zur Klassifizierung besteht in der Konfektionierung. In Kaufhäusern werden oft T-Shirts in den Größen S, M und L angeboten. Diese amerikanischen Konfektionsgrößen (Small, Medium, Large) liegen auch hier vor. Jede horizontale Faser besitzt die gleiche Unterteilung seiner Zellen. Wer Analogien zur Schnäppchenjagd im Kaufhaus mag, kann die unterschiedlichen Formen durch T-, Polo- und Sweat-Shirts ersetzen. In jedem Fall kann die horizontale Unterteilung durch Einführung der Konfektionsgröße entfallen. [[Bild:Baseobjjset04.gif|Klassifizierung]] Jetzt ist die Klassifizierung der anfangs vorhandenen Objekte abgeschlossen. Für Freunde des realen Bezugs kann die hier dargestellt Klassenmenge als Hersteller von Shirts angesehen werden. Es existieren drei Klassen, die jeweils eine Hemdensorte erzeugen können. Damit die Erzeugung funktioniert, muss in diesem Fall die Anzahl und Größe der gewünschten Objekte angegeben werden. ==Zahlen und Werte== Eine Zahl repräsentiert gemeinhin einen Wert. Es existieren die unterschiedlichsten Möglichkeiten Zahlen in Werte umzuwandeln. So war die [[w:Römische Zahlen|Zeichenfolge "IV"]] vor geraumer Zeit eine durchaus übliche Repräsentation des Wertes "vier". Bis heute hat sich nichts an dem Unterscheidungszwang zwischen Zeichenfolge/Zahl/Wert geändert. So ist denn auch in Java dieses Problem vorhanden. Wenn irgendwo im Quelltext die Zeichenfolge <code>123</code> auftaucht, vermutet der Compiler immer den Wert einer ganzen Zahl dahinter. Wenn jedoch <code>"123"</code> gefunden wird, steht für den Compiler fest, dass es sich um einen Text handelt. Nun ist es sinnvoll, den verwendeten Dingen einen Namen zu geben und diesen Namen statt Zeichenfolge/Wert/Text zu verwenden. Diese Namen werden unter dem Begriff [[w:Variable (Programmierung)|Variablen]] zusammengefasst und spielen in der Programmierung die zentrale Rolle. Variablen informieren den Compiler über den Ort des Wertes (sie [[w:Referenz (Programmierung)|referenzieren]] einen Speicherbereich) und über den Aufbau des Wertes. Mag die Notwendigkeit einer Ortsangabe noch einzusehen sein, so treten doch bei "Art des Wertes" erste Verständnisprobleme auf. Zunächst sollen die Begriffe "Zeichenfolge", "Zahl" und "Wert" getrennt werden. Diese Unterscheidung bereitet am Anfang die größten Probleme. ;Zeichenfolge:Eingaben des Anwenders sind Zeichenfolgen. Unabhängig davon, ob nun ausschließlich Ziffern oder Buchstaben eingetippt werden, es handelt sich immer nur um eine Aneinanderreihung von Zeichen. ;Zahl:Der Anwender gibt eine Folge von Ziffern ein, also eine Zeichenfolge. Das Programm (nicht der Compiler) muss diese Folge in eine Zahl umwandeln. Wie diese Aufgabe bewältigt wird, zeigt ein anschließender Abschnitt. Hier genügt es, die Notwendigkeit der Umwandlung zu erkennen. Der Compiler wandelt diese Zahl nun in einen Wert. ;Wert:Mit Werten wird ein Anwender nicht konfrontiert. Werte sind systeminterne [[w:Bit|Bit]]<nowiki/>folgen, die nach bestimmten Regeln aufgebaut sind ([[w:IEEE 754|IEEE 754]] ist eine solche Regel). Auch Programmierer sind kaum mit diesen Interna konfrontiert, es sei denn, es sollen schnelle Programme geschrieben werden. Zu diesem Zeitpunkt ist nur wichtig, dass der Computer nur mit Werten umgehen kann, während der Anwender und auch der Programmierer nur an den Ergebnissen interessiert ist. Ergebnisse müssen aufbereitet werden, damit sie verständlich sind. Für die erste Überprüfung werden sie meist wieder in eine Zeichenfolge umgewandelt, damit diese angezeigt werden können. Der Umgang mit Zahlen auf einem Computer ist also eine Art Keislauf. Zunächst wird eine "Zeichenfolge" entgegengenommen und in eine Zahl umgewandelt. Der Compiler macht einen Wert daraus und eine Berechnung (z.B. diese Zahl +5) kann angewiesen werden. Der Wert wird nun dieser Berechnung unterzogen und liegt im systeminternen Format vor. Zur Überprüfung muss nun der Wert in eine Zahl und weiter in eine Zeichenfolge gewandelt werden. Letztere wird dann angezeigt. ===Detaillierte Beschreibung einer Addition=== Das Thema "Zahlen" ist derart wichtig, dass ein behutsames Herantasten an die Abläufe in Programmen sehr wichtig ist. Deshalb soll hier die Addition mit dem jetzt vorhandenen Wissen detailliert besprochen werden. Eine Zeichenfolge der Form "26" wird unter dem Namen "Zahl1" geführt. Natürlich ist es keine Zahl, sondern ein Text (String). Eine weitere Zeichfolge "74" wird unter dem Namen "Zahl2" geführt. Wenn es sich um Zahlen handelte müsste die Addition die Zahl 100 ergeben. Im Quelltext könnte nun etwas wie <pre> Zahl1 = 26 Zahl2 = 74 Zahl1 + Zahl2 </pre> stehen. Selbst wenn es sich um ausführbare Anweisungen handeln würde, wäre es sinnlos. Zwar stünde irgenwo im Speicher der Wert 100, aber er ist nicht erreichbar. Ihm fehlt eine Referenz. Sinnvoller, aber noch nicht ausführbar, ist folgende Schreibweise: <pre> Zahl1 = 26 Zahl2 = 74 Ergebnis = Zahl1 + Zahl2 </pre> Das Programm kann nun über die Referenz "Ergebnis" auf den errechneten Wert zugreifen. Aus dem bisher Erarbeiteten kann eine erste Konsequenz gezogen werden. {{Merke|Alle Werte müssen über eine Referenz verfügen.}} Ziel dieser detaillierten Auseinandersetzung mit Zahlen und Werten ist eine in Java ausführbare Programmsequenz. Java verlangt genaue Informationen über die Art der zu verarbeitenden Werte. Was ist also unter dem Begriff "Art des Wertes" zu verstehen? Ganz einfach, es ist der [[w:Datentyp|Typ]] gemeint. Tatsächlich kommt die zweite Bezeichnung der Sache bereits etwas näher. ===Typen=== Oft werden Geschäftsleute in zwei Kategorien unterteilt: Die [[w:Integrität|Integeren]], die lieber das Geschäft ablehnen, als unseriös zu wirken und die Realisten, die sich auch mal zu ihren eigenen Gunsten "verrechnen". Diese zwei Typen können mit viel Phantasie auf Werte übertragen werden. Die [[w:Integer (Datentyp)|Integer-Werte]] und die Real-Werte verhalten sich recht unterschiedlich wenn es ins Detail geht, sonst aber durchaus gleich. Integer-Werte können bedingt geteilt werden. Der Integer-Wert "fünf" teilt sich in zwei gleiche Hälften der jeweiligen Werte "zwei". Der Real-Typ würde jeweils "2,5"-wertige Hälften zulassen. Allerdings kann es vorkommen, dass eine Hälfte "2,500000001" wert ist und die andere "2,4999999997". Trotzdem würde der Real-Typ die Addition dieser beiden unterschiedlichen Werte wieder zur "5" vereinen. Richtig unangenehm wird es allerdings bei Werten um 1. Ein Integer-Wert ergibt bei eine Teilung durch 2 den Wert 0. Ein Real-Wert den 0.5 (mit der bereits erwähnten Möglichkeit zur Ungenauigkeit). Eine Überprüfung durch Addition beider Hälften wird bei Integer-Typen das fehlerhafte Ergebnis 0 und bei Real-Typen das korrekte Ergebnis 1 liefern. Offensichtlich können diese beiden Grundtypen unterteilt werden in die Merksätze: {{Merke| * Integers machen keine halben Sachen. * Reals sind flexibel aber nicht absolut genau. }} Um die Nomenklatur von Java bezüglich der Reals, sie werden als [[w:Gleitkommazahl|Floats]] typisiert, etwas zu verdeutlichen, kann vielleicht folgende Vorstellung herangezogen werden: Ein Getränk in einer Bar ist teuer, genau abgemessen aber es kann nicht gänzlich genossen werden. Ein paar Tropfen bleiben im Glas und entziehen sich dem Genuss. Beim nächsten Drink sollte das alte Glas benutzt werden, denn es wird um eben diese Tropfen voller sein. Der unweigerlich entstehende Fehler durch die Ungenauigkeit wurde halbiert. Java hat also die Wertetypen Integer und Float. Damit aber noch nicht genug, denn es gibt auch hier noch Abstufungen. Je nach Bedarf können lange oder kurze Zahlen bearbeitet werden, je nach erforderlicher Genauigkeit. Eine komplette Liste aller Wertetypen ist im Abschnitt Variablen enthalten. ====Rechnen mit typisierten Werten==== Zurück zum Aufbau einer lauffähigen Programmsequenz zur Addition zweier Zahlen. Die Werte verfügen bereits über Referenzen (Zahl1, Zahl2 und Ergebnis), es fehlten ihnen aber die Typen. Offensichtlich genügen Integer-Typen für alle Werte, denn es existieren keine Kommastellen und es soll auch nicht dividiert werden. Nun ist Java eine objektorientierte Programmiersprache und die Vermutung drängt sich auf, dass hinter all den Referenzen, Typen und Werten das eine oder andere Objekt versteckt ist. Nein, weit und breit kein Objekt. Noch nicht! Bei dem nun um die Typenangabe erweiterten Quellcode <pre> int Zahl1 = 26; int Zahl2 = 74; int Ergebnis = Zahl1 + Zahl2; </pre> handelt es sich um eine ausführbare Sequenz. Allerdings muss diese erst übersetzt werden, damit der Computer sie versteht. Dieser Übersetzungsvorgang soll nun prinzipiell erörtert werden (die tatsächlichen Abläufe eines Compilers werden hier natürlich nicht besprochen). Zunächst findet der Compiler die eine Typenbezeichnung und reserviert den benötigten Speicherplatz. Jetzt wird der Bezeichner (Name) "Zahl1" gefunden und mit dem Ort des reservierten Speicherplatzes in Verbindung gebracht. Der Wert wird über den Bezeichner referenziert. Das Gleichheitszeichen "=" wird erkannt, womit der Compiler angewiesen wird, alle bis zum Semikolon ";" folgenden Zeichen irgendwie als Zahl zu interpretieren und deren Wert dann an der referenzierten Stelle abzulegen. Dieses Vorhaben wird ihm zweifellos gelingen und er verfährt mit der nächsten Zeile wieder genauso. Nun die dritte Zeile. Zunächst findet der Compiler wieder eine Typen- und eine Referenzangabe. Hinter dem Gleichheitszeichen steht jetzt zwar wieder eine Zeichenfolge (Zahl1), aber sie lässt sich nicht in eine Zahl umwandeln. Vielleicht hat diese Zeichenfolge aber etwas mit Werten zu tun. Letztendlich entpuppt sie sich als Referenz und eine Überprüfung des Typs ergibt, dass es sich um einen brauchbaren (Integer) handelt. Das Pluszeichen wird erkannt und der Compiler wird versuchen die nächste Zeichenfolge wieder als Zahl zu interpretieren. War nichts, ist wieder eine Referenz. Typ überprüfen, Typ ok. und nun aus den Referenzen und dem Pluszeichen eine Zahl zusammenbauen. Über "Zahl1" referenzierten Wert holen und merken, über "Zahl2" referenzierten Wert holen und zum gemerkten addieren. Neuen Wert merken und unter der über "Ergebnis" referenzierten Speicherstelle ablegen. Soweit die prinzipielle Vorgehensweise des Compilers. Offensichtlich ein sehr komplexes Programm, dessen Prinzipien aber durchaus bei der täglichen Programmierarbeit hilfreich sind. Der nächste Abschnitt zeigt warum. {{Navigation|parm=footer}} rv4ldw6nbvydzgbwh3a5o4us5blh00h 1116500 1116499 2026-10-16T20:58:27Z ~2026-55522-96 41996 /* Detaillierte Beschreibung einer Addition */ 1116500 wikitext text/x-wiki {{Navigation}} ==Klassen und Objekte== Die [[w:Objektorientierte Programmierung|objektorientierte Programmierung]] erzeugt sogenannte [[w:Objekt (Programmierung)|Objekte]] aus [[w:Klasse (objektorientierte Programmierung)|Klassen]]. Dieser Vorgang wird [[w:Instanz (Informatik)|Instanziierung]] genannt, was dem Anfänger keinesfalls weiterhilft. Auch Erklärungen über Reservierung von Speicherplatz durch Anlegen von Kopien der entsprechenden Klassen helfen wenig. Hier hilft nur reine Anschauung. Allerdings handelt es sich bei ''Objekt'' entweder um einen sehr abstrakten oder um einen sehr realen Begriff - je nach Vorstellung. Dieser Kurs beginnt mit der Annahme, dass die abstrakte Betrachtungsweise gewählt wurde. Andere Vorstellungen werden natürlich ebenfalls berücksichtigt, aber eben erst nach der Instanziierung. ===Objektsammlungen=== Um hier etwas Licht in die Sache zu bringen, wird der Instanziierungsvorgang umgekehrt; aus Objekten sollen erst einmal die Klassen hergeleitet werden. [[Bild:Baseobjjset01.gif|Ausgangsmenge]] Hier ist offensichtlich eine Ansammlung von Objekten geometrischer Art vorhanden. Eine [[w:Klassifizierung|Klassifizierung]] bedarf zunächst einmal einer Ordnung. Jedoch ist Ordnung ein relativer Begriff. Soll nun nach Größe geordnet werden oder ist es angebrachter, nach Formen zu unterscheiden? Soll die Hierarchie von links nach rechts oder von oben nach unten gerichtet sein? Am einfachsten ist es in diesem Fall, alle genannten Überlegungen gleichzeitig anzuwenden. Dabei muss aber peinlich genau darauf geachtet werden, die Grenzen nicht zu verletzen. Diese Grenzen sind hier durch die [[w:Konvexe Menge|konvexe]] Hülle gegeben. 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Es existiert keine Menge der Form M = {4,4}, denn die Elemente sind voneinander nicht zu unterscheiden. Jede Zelle hat aber mehr als ein Element in sich, was tun? [[Bild:Baseobjjset03.gif|Repräsentanten]] Nun sind Zahlen nichts anderes als Faktoren und damit prinzipell nichtssagend. Mit 15 kann niemand etwas anfangen; fünfzehn Was? Burger, Euros, Cents, Millimeter oder was? Von diesen nichtssagenden Gebilden sollte Abstand genommen werden. Die Elemente innerhalb der Fasern sollen nun in (Teil)mengen umgewandelt werden und enthalten damit nur noch ein einziges Objekt. ====Eine erste Klassifizierung==== Jetzt repräsentiert jede Zelle die Klasse des Elements das sie enthält und kann beliebig viele Objekte dieser Elemente bereitstellen. Aber noch mehr wurde erreicht; jede Faser ist nun eine übergeordnete Klasse der jeweiligen Fasern. So ist die linke Faser die Menge aller Klassen kleiner Objekte und die unterste Faser die Klasse aller runden Objekte Die jetzt vorhandene Menge ist einem Einkaufskatalog mit jeweils einem Abbild eines Produkts vergleichbar. Von jedem Element einer Zelle kann eine gewisse Anzahl bestellt werden. Jeder Zelle wird so die faktorisiernde Anzahl einfach als Eigenschaft zugeordnet. Zelle der kleinen Dreiecke: Anzahl 5; oder Zelle der großen Kreise: Anzahl 4. ====Menge der Klassen geometrischer Objekte==== Der letzte Schritt zur Klassifizierung besteht in der Konfektionierung. In Kaufhäusern werden oft T-Shirts in den Größen S, M und L angeboten. Diese amerikanischen Konfektionsgrößen (Small, Medium, Large) liegen auch hier vor. Jede horizontale Faser besitzt die gleiche Unterteilung seiner Zellen. Wer Analogien zur Schnäppchenjagd im Kaufhaus mag, kann die unterschiedlichen Formen durch T-, Polo- und Sweat-Shirts ersetzen. In jedem Fall kann die horizontale Unterteilung durch Einführung der Konfektionsgröße entfallen. [[Bild:Baseobjjset04.gif|Klassifizierung]] Jetzt ist die Klassifizierung der anfangs vorhandenen Objekte abgeschlossen. Für Freunde des realen Bezugs kann die hier dargestellt Klassenmenge als Hersteller von Shirts angesehen werden. Es existieren drei Klassen, die jeweils eine Hemdensorte erzeugen können. Damit die Erzeugung funktioniert, muss in diesem Fall die Anzahl und Größe der gewünschten Objekte angegeben werden. ==Zahlen und Werte== Eine Zahl repräsentiert gemeinhin einen Wert. Es existieren die unterschiedlichsten Möglichkeiten Zahlen in Werte umzuwandeln. So war die [[w:Römische Zahlen|Zeichenfolge "IV"]] vor geraumer Zeit eine durchaus übliche Repräsentation des Wertes "vier". Bis heute hat sich nichts an dem Unterscheidungszwang zwischen Zeichenfolge/Zahl/Wert geändert. So ist denn auch in Java dieses Problem vorhanden. Wenn irgendwo im Quelltext die Zeichenfolge <code>123</code> auftaucht, vermutet der Compiler immer den Wert einer ganzen Zahl dahinter. Wenn jedoch <code>"123"</code> gefunden wird, steht für den Compiler fest, dass es sich um einen Text handelt. Nun ist es sinnvoll, den verwendeten Dingen einen Namen zu geben und diesen Namen statt Zeichenfolge/Wert/Text zu verwenden. Diese Namen werden unter dem Begriff [[w:Variable (Programmierung)|Variablen]] zusammengefasst und spielen in der Programmierung die zentrale Rolle. Variablen informieren den Compiler über den Ort des Wertes (sie [[w:Referenz (Programmierung)|referenzieren]] einen Speicherbereich) und über den Aufbau des Wertes. Mag die Notwendigkeit einer Ortsangabe noch einzusehen sein, so treten doch bei "Art des Wertes" erste Verständnisprobleme auf. Zunächst sollen die Begriffe "Zeichenfolge", "Zahl" und "Wert" getrennt werden. 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Zu diesem Zeitpunkt ist nur wichtig, dass der Computer nur mit Werten umgehen kann, während der Anwender und auch der Programmierer nur an den Ergebnissen interessiert ist. Ergebnisse müssen aufbereitet werden, damit sie verständlich sind. Für die erste Überprüfung werden sie meist wieder in eine Zeichenfolge umgewandelt, damit diese angezeigt werden können. Der Umgang mit Zahlen auf einem Computer ist also eine Art Keislauf. Zunächst wird eine "Zeichenfolge" entgegengenommen und in eine Zahl umgewandelt. Der Compiler macht einen Wert daraus und eine Berechnung (z.B. diese Zahl +5) kann angewiesen werden. Der Wert wird nun dieser Berechnung unterzogen und liegt im systeminternen Format vor. Zur Überprüfung muss nun der Wert in eine Zahl und weiter in eine Zeichenfolge gewandelt werden. Letztere wird dann angezeigt. ===Detaillierte Beschreibung einer Addition=== Das Thema "Zahlen" ist derart wichtig, dass ein behutsames Herantasten an die Abläufe in Programmen sehr wichtig ist. 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Aus dem bisher Erarbeiteten kann eine erste Konsequenz gezogen werden. {{Merke|Alle Werte müssen über eine Referenz verfügen.}} Ziel dieser detaillierten Auseinandersetzung mit Zahlen und Werten ist eine in Java ausführbare Programmsequenz. Java verlangt genaue Informationen über die Art der zu verarbeitenden Werte. Was ist also unter dem Begriff "Art des Wertes" zu verstehen? Ganz einfach, es ist der [[w:Datentyp|Typ]] gemeint. Tatsächlich kommt die zweite Bezeichnung der Sache bereits etwas näher. ===Typen=== Oft werden Geschäftsleute in zwei Kategorien unterteilt: Die [[w:Integrität|Integeren]], die lieber das Geschäft ablehnen, als unseriös zu wirken und die Realisten, die sich auch mal zu ihren eigenen Gunsten "verrechnen". Diese zwei Typen können mit viel Phantasie auf Werte übertragen werden. Die [[w:Integer (Datentyp)|Integer-Werte]] und die Real-Werte verhalten sich recht unterschiedlich wenn es ins Detail geht, sonst aber durchaus gleich. Integer-Werte können bedingt geteilt werden. Der Integer-Wert "fünf" teilt sich in zwei gleiche Hälften der jeweiligen Werte "zwei". Der Real-Typ würde jeweils "2,5"-wertige Hälften zulassen. Allerdings kann es vorkommen, dass eine Hälfte "2,500000001" wert ist und die andere "2,4999999997". Trotzdem würde der Real-Typ die Addition dieser beiden unterschiedlichen Werte wieder zur "5" vereinen. Richtig unangenehm wird es allerdings bei Werten um 1. Ein Integer-Wert ergibt bei eine Teilung durch 2 den Wert 0. Ein Real-Wert den 0.5 (mit der bereits erwähnten Möglichkeit zur Ungenauigkeit). Eine Überprüfung durch Addition beider Hälften wird bei Integer-Typen das fehlerhafte Ergebnis 0 und bei Real-Typen das korrekte Ergebnis 1 liefern. Offensichtlich können diese beiden Grundtypen unterteilt werden in die Merksätze: {{Merke| * Integers machen keine halben Sachen. * Reals sind flexibel aber nicht absolut genau. }} Um die Nomenklatur von Java bezüglich der Reals, sie werden als [[w:Gleitkommazahl|Floats]] typisiert, etwas zu verdeutlichen, kann vielleicht folgende Vorstellung herangezogen werden: Ein Getränk in einer Bar ist teuer, genau abgemessen aber es kann nicht gänzlich genossen werden. Ein paar Tropfen bleiben im Glas und entziehen sich dem Genuss. Beim nächsten Drink sollte das alte Glas benutzt werden, denn es wird um eben diese Tropfen voller sein. Der unweigerlich entstehende Fehler durch die Ungenauigkeit wurde halbiert. Java hat also die Wertetypen Integer und Float. Damit aber noch nicht genug, denn es gibt auch hier noch Abstufungen. Je nach Bedarf können lange oder kurze Zahlen bearbeitet werden, je nach erforderlicher Genauigkeit. 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Wenn jemand eine Darstellung mit nur zwei oder drei Münzen/Scheinen finden würde, wäre die Frage direkt negativ entschieden, denn dann gäbe es eine bessere Möglichkeit. Wenn man ein bisschen rumprobiert und keine bessere Möglichkeit findet, so sagt das relativ wenig, wenn man sich nicht sicher sein kann, dass man alle Möglichkeiten systematisch überprüft hat. Ein solches systematisches und nachvollziehbares Überprüfen ist eine {{Stichwort|mathematische Argumentation|SZ=.}} Wenn die mathematische Argumentation eine präzise formulierte Aussage begründet, so spricht man von einem {{Stichwort|Beweis|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=für diese Aussage| |ISZ=|ESZ=. }} Unsere Aussage ist also {{Anführung|Die Zahl {{math|term= 37 |SZ=}} lässt sich nicht als eine Summe {{ Zusatz/Klammer |text=wobei Wiederholungen erlaubt sind| |ISZ=|ESZ= }} von weniger als vier Zahlen aus den Eurozahlen {{mathl|term= 1,2,5,10,20,50,100,200, 500 |SZ=}} darstellen|SZ=.}} Wie kann man das systematisch begründen? Grundsätzlich könnte man alle Summen mit einer Eurozahl, alle Summen mit zwei Eurozahlen und alle Summen mit drei Eurozahlen ausrechnen und dann feststellen, dass dabei nie {{math|term= 37 |SZ=}} rauskommt. Das ist durchführbar, aber sehr aufwändig. Zu einer guten mathematischen Argumentation gehört auch, dass sie geschickt und ökonomisch ist, dass sie abwegige Situationen schnell ausschließt und sich auf wesentliche Gesichtspunkte konzentriert. Im Beispiel heißt das, dass man Summen, in denen ein Schein mit einem Wert von mindestens {{math|term= 50 |SZ=}} vorkommt, gar nicht betrachten muss, da eine solche Summe immer größergleich {{math|term= 50 |SZ=}} und somit größer als der Zielbetrag {{math|term= 37 |SZ=}} sein wird. Hier fällt sofort eine typische Eigenschaft einer mathematischen Argumentation auf: Sie nimmt Bezug auf schon etablierte oder bekannte oder allgemein anerkannte Eigenschaften, hier nämlich auf die Eigenschaft, dass eine Summe von natürlichen Zahlen größergleich jedem Summanden der Summe ist. In einer mathematischen Argumentation geht man nicht immer {{Anführung|zurück auf Los|SZ=,}} sondern man verwendet Bekanntes, das seinerseits irgendwann durch eine mathematische Argumentation begründet worden ist. Eine weitere Beobachtung, die das rechnerische Überprüfen von sehr vielen Summen erübrigt, geht folgendermaßen: Man betrachtet den {{math|term= 20 |SZ=-}}Euro-Schein. Das ist der größte Schein, von dem man noch nicht weiß, ob und wie oft er verwendet wird. Wie oft kann/könnte er verwendet werden? Zunächst darf er höchstens einmal verwendet werden, da ja {{ Relationskette/display | 2 \cdot 20 || 40 |>| 37 || || |SZ= }} schon zu groß ist. Muss er in einer minimalen Darstellung verwendet werden? Hier begegnen wir einer typischen Denkfigur im Rahmen einer mathematischen Argumentation: Wir zeigen, dass in einer minimalen Darstellung der {{math|term= 37 |SZ=}} mit Eurozahlen die {{math|term= 20 |SZ=}} vorkommen muss, indem wir zeigen, dass eine Darstellung ohne den {{math|term= 20 |SZ=-}}Euro-Schein nicht minimal sein kann. Man spricht von einem {{Stichwort|Beweis durch Widerspruch|SZ=.}} Dabei formuliert man eine Annahme, die dann durch die mathematische Argumentation als unhaltbar erwiesen wird, also als widersprüchlich zu den gegebenen Voraussetzungen der Aussage. Wir machen also die Annahme: Es ist möglich, die {{math|term= 37 |SZ=}} als eine Summe mit maximal drei Summanden aus den Zahlen {{mathl|term= 1,2,5,10 |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=also ohne die {{math|term= 20 |SZ=}}| |ISZ=!|ESZ= }} darzustellen. Durch die Abschätzung, die ihrerseits auf Rechengesetze der natürlichen Zahlen Bezug nimmt, {{ Relationskette/display |a \cdot 1 + b \cdot 2 + c \cdot 5 + d \cdot 10 | \leq| (a+b+c+d) 10 | \leq| 3 \cdot 10 || 30 |<| 37 |SZ= }} sieht man aber schnell, dass dies nicht möglich ist. Die Annahme ist also falsch und eine jede Darstellung der {{math|term= 37 |SZ=}} mit maximal drei Eurozahlen muss die {{math|term= 20 |SZ=}} verwenden, und zwar genau einmal. An dieser Stelle tritt eine weitere wichtige Strategie bei einer mathematischen Argumentation auf, die Vereinfachung der Situation unter Verwendung des schon Gezeigten. Wir wissen bereits, dass {{math|term= 20 |SZ=}} genau einmal vorkommt. Wir ziehen daher {{math|term= 20 |SZ=}} ab und gelangen zur Fragestellung, ob es möglich ist, die {{math|term= 17 |SZ=}} als Summe von maximal zwei der Zahlen {{mathl|term= 1,2,5,10 |SZ=}} darzustellen. In einem gewissen Sinn sind wir jetzt wieder in der Ausgangssituation, wobei allerdings die Zahlen einfacher {{ Zusatz/Klammer |text=geworden| |ISZ=|ESZ= }} sind. Mit der schon verwendeten Strategie kann man hier weiterargumentieren: Man zeigt, dass die {{math|term= 10 |SZ=}} genau einmal in einer solchen minimalen Darstellung vorkommen muss, zieht es wieder ab und gelangt zur Frage, ob man die {{math|term= 7 |SZ=}} als Summe von Eurozahlen mit nur einem Summanden{{ Zusatz/Fußnote |text=Eine Summe mit nur einem Summanden mag sich sonderbar anhören. In der Mathematik sind aber solche Grenzfälle wichtig und stets mitzubetrachten, da man bei einer Situationsvereinfachung häufig {{ Zusatz/Gs |text=wie hier| |ISZ=|ESZ= }} bei einer solchen Extremsituation ankommt| |ISZ=.|ESZ= }} darstellen kann, was offenbar nicht möglich ist. Hier, wie häufig in der Mathematik, hängt also die Gültigkeit einer mathematischen Aussage mit der Gültigkeit einer anderen mathematischen Aussage von gleichem oder ähnlichem Typ zusammen. Von daher ist es sinnvoll, eine möglichst allgemeine mathematische Aussage zu formulieren und diese zu beweisen, wobei man im Beweis zeigt, dass man kompliziertere {{ Zusatz/Klammer |text=größere Zahlen| |ISZ=|ESZ= }} auf einfachere Situationen {{ Zusatz/Klammer |text=kleinere Zahlen| |ISZ=|ESZ= }} zurückführen kann. Ein wichtiges Beweisprinzip entlang dieses Schemas ist der {{Stichwort|Beweis durch Induktion|SZ={{ Zusatz/Fußnote |text=Das Induktionsprinzip werden wir in der siebten Vorlesung genau besprechen, und gelegentlich schon verwenden| |ISZ=.|ESZ=. }}}} Wir haben also gezeigt {{ Zusatz/Klammer |text=bewiesen, durch eine mathematische Argumentation begründet| |ISZ=|ESZ=, }} dass man mindestens vier Eurozahlen braucht, um die {{math|term= 37 |SZ=}} als Summe darzustellen: Mit weniger als vier ist es nicht möglich, und die eingangs beschriebene Zerlegung {{ Relationskette/display | 37 || 20+10+5+2 || || || |SZ= }} zeigt, dass es mit vier Eurozahlen möglich ist. Die {{math|term= 37 |SZ=}} ist eine Zahl unter vielen, wir hätten gerne zu einer jeden natürlichen Zahl eine entsprechende Aussage. Zunächst gibt es zu jedem vollen Eurobetrag {{math|term= w |SZ=}} eine minimale Anzahl an Eurozahlen, mit der man den Betrag als Summe erhalten kann, aus den drei einfachen Gründen, dass (1) überhaupt jeder Betrag darstellbar ist {{ Zusatz/Klammer |text=beispielsweise als hinreichend große Summe der {{math|term= 1 |SZ=}} mit sich selbst| |ISZ=|ESZ=, }} dass (2) es zu jeder möglichen Anzahl {{math|term= k |SZ=}} an Summanden grundsätzlich die beiden Möglichkeiten gibt, dass der Betrag durch eine Summe aus Eurozahlen mit {{math|term= k |SZ=}} Summanden darstellbar ist oder nicht, und dass (3) das Minimum einer nichtleeren Menge aus natürlichen Zahlen existiert{{ Zusatz/Fußnote |text=Dies ist unmittelbar klar (?). Wir werden in {{ Faktlink |Faktseitenname= Natürliche Zahlen/Nichtleere Teilmengen/Hat Minimum/Fakt |Nr= |SZ= }} diese Aussage aus dem Induktionsprinzip herleiten |ISZ=.|ESZ=. }} Wenn wir den Betrag mit {{math|term= w |SZ=}} bezeichnen, so kann man die minimale Summandenanzahl als {{ Relationskette/display/handlinks | m(w) || {{op:min|k \in \N|w \text{ lässt sich als eine Summe mit } k \text{ Summanden aus Eurozahlen darstellen} }} || || || |SZ= }} schreiben. Wir fragen uns: {{ Aufzählung3 |Ist die minimale Darstellung eines Betrages {{math|term= w |SZ=}} eindeutig? |Wie kann man sie charakterisieren? |Wie kann man sie finden? }} Dabei suchen wir nicht nur nach einer Antwort, sondern diese Fragen sind stets so zu verstehen, wie man mathematisch begründen kann, dass die Antwort auch richtig ist. Solche mathematischen Fragen können im Allgemeinen sehr schwierig sein, und es ist von vornherein nicht klar, ob man eine Lösung finden wird. Wir listen einige Herangehensweisen auf. {{ Aufzählung10 |Probieren. |Systematischer Probieren. |Extremfälle betrachten. |Hypothese formulieren. |Voraussetzungen leicht abändern, um mögliche Gründe und Schwierigkeiten zu erkennen. |Hypothese präziser formulieren. |Hypothese unter stärkeren zusätzlichen Voraussetzungen beweisen. |Die Perspektive ändern. |Reduktionsmöglichkeiten erkennen. |Hypothese beweisen. }} Wir erläutern dies an der ersten Frage, ob es eine eindeutig bestimmte minimale Darstellung gibt. {{ Aufzählung10 |Nehmen wir die {{math|term= 37 |SZ=.}} Es fällt uns keine weitere Darstellung mit vier Eurozahlen ein. Man kann die obige Argumentation, bei der wir gezeigt haben, dass es keine Darstellung mit drei Eurozahlen gibt, etwas abwandeln, und erhält so eine Begründung, dass die minimale Darstellung für die {{math|term= 37 |SZ=}} eindeutig ist. Welche Zahl probieren wir als nächstes? Die {{math|term= 146 |SZ=?}} |Es ist systematischer, erstmal die kleinsten Zahlen durchzugehen, die {{math|term= 1,2,3=1+2,4=2+2,5,6=5+1 |SZ=,}} bei denen man recht schnell erkennen kann, dass die optimalen Darstellungen eindeutig sind. |Extremfälle sind beispielsweise die einzelnen Eurozahlen selbst, diese sind offenbar durch sich selbst eindeutig minimal darstellbar. Wie sieht es mit der Summe von zwei Eurozahlen aus, kann es für sie eine weitere Darstellung als Summe von zwei Eurozahlen geben? Warum nicht? |Nach diesen Beobachtungen bzw. Überlegungen formulieren wir die optimistische Hypothese, dass die minimale Darstellung eindeutig ist. |Wie allgemein könnte eine solche Aussage stimmen? Betrachten wir die gleiche Fragestellung für eine Währung{{ Zusatz/Fußnote |text=Hier werden also die Voraussetzungen kurz abgeändert, um sie besser verstehen zu können| |ISZ=.|ESZ=, }} für die die Bargeldmittel gleich {{ Math/display|term= 1,3,5,10,30,50,100,300,500 |SZ= }} sind. Das sieht auf den ersten Blick nicht so anders aus. Allerdings gibt es hier die beiden verschiedenen Darstellungsmöglichkeiten {{ Relationskette/display | 6 || 5+1 || 3+3 || || |SZ=, }} die beide minimal sind, da man die {{math|term= 6 |SZ=}} sicher nicht mit einer Münze darstellen kann. Die Hypothese kann also nur stimmen aufgrund spezifischer Eigenschaften der Eurozahlen, eine grobe Argumentation wird man somit wohl nicht erwarten und eine Argumentation, die nicht direkt auf die Eurozahlen Bezug nimmt, kann nicht funktionieren. Auch wenn man die Rückgabe von Geld erlaubt, geht die Eindeutigkeit verloren, beispielsweise ist {{ Relationskette/display | 15 || 10+5 || 20-5 || || |SZ=, }} bei beiden Darstellung werden zwei Scheine bewegt. |Wir meinen natürlich bei eindeutig {{Anführung|eindeutig bis auf die Reihenfolge|SZ=,}} natürlich ist {{ Relationskette/display | 37 || 20+10+5+2 || 2+20+5+10 || || |SZ=. }} Es könnte sich als sinnvoll erweisen, immer mit einer bestimmten Reihenfolge der Summanden zu arbeiten, beispielsweise in absteigender Größe. |Wir beweisen die Aussage zuerst nur für alle Beträge {{math|term= \leq 10 |SZ=}} oder {{math|term= \leq 100 |SZ=}} oder nur für alle Beträge, die als Summe von drei Summanden darstellbar sind. |Wir wollen etwas über Zerlegungen {{ Relationskette/display | w || a \cdot 1 + b \cdot 2 + c \cdot 5 + d \cdot 10 + ... || || || |SZ= }} aussagen. Das kann man von links, also von {{math|term= w |SZ=}} aus betrachten, aber auch von der rechten Seite aus. Kann man einer Darstellung {{ Math/display|term= a \cdot 1 + b \cdot 2 + c \cdot 5 + d \cdot 10 + ... |SZ= }} ohne Bezug auf den dargestellten Wert ansehen, ob sie minimal ist? Hier gibt es viele Gesetzmäßigkeiten, z.B. kann {{math|term= a |SZ=}} nicht {{math|term= 2 |SZ=}} sein, da man andernfalls die beiden {{math|term= 1-|SZ=}}Euromünzen sofort durch eine {{math|term= 2 |SZ=-}}Euromünze ersetzen und so mit einer kleineren Anzahl von Eurozahlen auskommen würde. |Hängt die eindeutige Zerlegung für große Zahlen irgendwie mit der eindeutigen Zerlegung für kleinere Zahlen zusammen? Eine zweite Darstellung für {{math|term= w |SZ=}} führt zu einer Gleichheit {{ Relationskette/display | a \cdot 1 + b \cdot 2 + c \cdot 5 + d \cdot 10 + ... || a' \cdot 1 + b' \cdot 2 + c' \cdot 5 + d' \cdot 10 + ... || || || |SZ=. }} Hier kann man links und rechts, falls eine Eurozahl auf beiden Seiten positiv vorkommt, diese Eurozahl abziehen, und erhält so eine Gleichheit für einen kleineren Ausdruck. |Siehe unten. }} In einem mathematischen Buch {{ Zusatz/Klammer |text=bzw. in der Vorlesung| |ISZ=|ESZ= }} werden mathematische Aussagen häufig direkt bewiesen, ohne dass die Vorüberlegungen erläu{{drucktrenn}}tert werden, die zu dem Beweis geführt haben. Dies ist von der Ökonomie her begründet, man möchte einen Beweis haben, und nicht Überlegungen dokumentieren, die für sich allein genommen ziemlich aussagelos {{ Zusatz/Klammer |text=wie das Durchrechnen von einigen Beispielen| |ISZ=|ESZ= }} sind und von denen ein Großteil auch in eine falsche Richtung geht. Beim Auffinden von Beweisen und beim Lösen von Aufgaben {{ Zusatz/Klammer |text=zwischen diesen beiden Aspekten gibt es keinen grundsätzlichen Unterschied| |ISZ=|ESZ= }} ist der Weg dorthin sehr wichtig, und es sollte viel probiert, Strategien entwickelt und diskutiert werden, auch wenn sich das nicht in der Dokumentation der letztlich gefundenen überprüfbaren Argumentation niederschlägt{{ Zusatz/Fußnote |text=Das gilt auch für die abzugebenden Aufgaben. Geben Sie ein überzeugendes Endprodukt der Überlegungen ab, keine Dokumentation der Überlegungen| |ISZ=.|ESZ=. }} Nach all diesen Vorüberlegungen können wir den folgenden Satz beweisen. {{ inputfaktbeweis |Eurozahlen/Eindeutige Darstellung/Charakterisierung/Fakt|Satz||zusatz1=Fußnote|zusatz2=Fußnote }} Die {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Münzen/1,4,5,6/Maximale Auffüllung/Aufgabe |Nr= |SZ= }} zeigt, dass das Verfahren aus {{ Faktlink |Faktseitenname= Eurozahlen/Eindeutige Darstellung/Charakterisierung/Fakt |Nr=3 |SZ= }} nicht bei jeder Bargeldverteilung zur minimalen Darstellung führt. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der natürlichen Zahlen |Kategorie2=Prinzipien der Mathematik |Kategorie3= |Objektkategorie= |Fußnotenliste=x |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} htw67d705ww31q5zkvf6h6mrggrv1m4 1116567 1116558 2026-10-17T11:43:04Z Bocardodarapti 2041 1116567 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputbild |Euro coins and banknotes|jpg| 230px {{!}} right {{!}} | |Zusname=Euro_coins_and_banknotes |Text= |Autor= |Benutzer=Avij |Domäne= |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} Wir betrachten die Euromünzen und Euroscheine {{ Zusatz/Klammer |text=Bargeldmittel| |ISZ=|ESZ=, }} die bekanntlich die Werte{{ Zusatz/{{{zusatz1|}}} |text={{math|term= 500 |SZ=-}}Euro-Scheine werden inzwischen nicht mehr ausgegeben, sie sind aber nach wie vor im Umlauf und gültig| |ISZ=.|ESZ= }} {{ Math/display|term= 1,2,5,10,20,50,100,200, 500 |SZ= }} haben {{ Zusatz/Klammer |text=um nicht immer von Münzen bzw. 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Grundsätzlich könnte man alle Summen mit einer Eurozahl, alle Summen mit zwei Eurozahlen und alle Summen mit drei Eurozahlen ausrechnen und dann feststellen, dass dabei nie {{math|term= 37 |SZ=}} rauskommt. Das ist durchführbar, aber sehr aufwändig. Zu einer guten mathematischen Argumentation gehört auch, dass sie geschickt und ökonomisch ist, dass sie abwegige Situationen schnell ausschließt und sich auf wesentliche Gesichtspunkte konzentriert. Im Beispiel heißt das, dass man Summen, in denen ein Schein mit einem Wert von mindestens {{math|term= 50 |SZ=}} vorkommt, gar nicht betrachten muss, da eine solche Summe immer größergleich {{math|term= 50 |SZ=}} und somit größer als der Zielbetrag {{math|term= 37 |SZ=}} sein wird. Hier fällt sofort eine typische Eigenschaft einer mathematischen Argumentation auf: Sie nimmt Bezug auf schon etablierte oder bekannte oder allgemein anerkannte Eigenschaften, hier nämlich auf die Eigenschaft, dass eine Summe von natürlichen Zahlen größergleich jedem Summanden der Summe ist. In einer mathematischen Argumentation geht man nicht immer {{Anführung|zurück auf Los|SZ=,}} sondern man verwendet Bekanntes, das seinerseits irgendwann durch eine mathematische Argumentation begründet worden ist. Eine weitere Beobachtung, die das rechnerische Überprüfen von sehr vielen Summen erübrigt, geht folgendermaßen: Man betrachtet den {{math|term= 20 |SZ=-}}Euro-Schein. Das ist der größte Schein, von dem man noch nicht weiß, ob und wie oft er verwendet wird. Wie oft kann/könnte er verwendet werden? Zunächst darf er höchstens einmal verwendet werden, da ja {{ Relationskette/display | 2 \cdot 20 || 40 |>| 37 || || |SZ= }} schon zu groß ist. 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In einem gewissen Sinn sind wir jetzt wieder in der Ausgangssituation, wobei allerdings die Zahlen einfacher {{ Zusatz/Klammer |text=geworden| |ISZ=|ESZ= }} sind. Mit der schon verwendeten Strategie kann man hier weiterargumentieren: Man zeigt, dass die {{math|term= 10 |SZ=}} genau einmal in einer solchen minimalen Darstellung vorkommen muss, zieht es wieder ab und gelangt zur Frage, ob man die {{math|term= 7 |SZ=}} als Summe von Eurozahlen mit nur einem Summanden{{ Zusatz/Fußnote |text=Eine Summe mit nur einem Summanden mag sich sonderbar anhören. In der Mathematik sind aber solche Grenzfälle wichtig und stets mitzubetrachten, da man bei einer Situationsvereinfachung häufig {{ Zusatz/Gs |text=wie hier| |ISZ=|ESZ= }} bei einer solchen Extremsituation ankommt| |ISZ=.|ESZ= }} darstellen kann, was offenbar nicht möglich ist. Hier, wie häufig in der Mathematik, hängt also die Gültigkeit einer mathematischen Aussage mit der Gültigkeit einer anderen mathematischen Aussage von gleichem oder ähnlichem Typ zusammen. Von daher ist es sinnvoll, eine möglichst allgemeine mathematische Aussage zu formulieren und diese zu beweisen, wobei man im Beweis zeigt, dass man kompliziertere {{ Zusatz/Klammer |text=größere Zahlen| |ISZ=|ESZ= }} auf einfachere Situationen {{ Zusatz/Klammer |text=kleinere Zahlen| |ISZ=|ESZ= }} zurückführen kann. Ein wichtiges Beweisprinzip entlang dieses Schemas ist der {{Stichwort|Beweis durch Induktion|SZ={{ Zusatz/Fußnote |text=Das Induktionsprinzip werden wir in der siebten Vorlesung genau besprechen, und gelegentlich schon verwenden| |ISZ=.|ESZ=. }}}} Wir haben also gezeigt {{ Zusatz/Klammer |text=bewiesen, durch eine mathematische Argumentation begründet| |ISZ=|ESZ=, }} dass man mindestens vier Eurozahlen braucht, um die {{math|term= 37 |SZ=}} als Summe darzustellen: Mit weniger als vier ist es nicht möglich, und die eingangs beschriebene Zerlegung {{ Relationskette/display | 37 || 20+10+5+2 || || || |SZ= }} zeigt, dass es mit vier Eurozahlen möglich ist. Die {{math|term= 37 |SZ=}} ist eine Zahl unter vielen, wir hätten gerne zu einer jeden natürlichen Zahl eine entsprechende Aussage. 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Die {{math|term= 146 |SZ=?}} |Es ist systematischer, erstmal die kleinsten Zahlen durchzugehen, die {{math|term= 1,2,3=1+2,4=2+2,5,6=5+1 |SZ=,}} bei denen man recht schnell erkennen kann, dass die optimalen Darstellungen eindeutig sind. |Extremfälle sind beispielsweise die einzelnen Eurozahlen selbst, diese sind offenbar durch sich selbst eindeutig minimal darstellbar. Wie sieht es mit der Summe von zwei Eurozahlen aus, kann es für sie eine weitere Darstellung als Summe von zwei Eurozahlen geben? Warum nicht? |Nach diesen Beobachtungen bzw. Überlegungen formulieren wir die optimistische Hypothese, dass die minimale Darstellung eindeutig ist. |Wie allgemein könnte eine solche Aussage stimmen? Betrachten wir die gleiche Fragestellung für eine Währung{{ Zusatz/Fußnote |text=Hier werden also die Voraussetzungen kurz abgeändert, um sie besser verstehen zu können| |ISZ=.|ESZ=, }} für die die Bargeldmittel gleich {{ Math/display|term= 1,3,5,10,30,50,100,300,500 |SZ= }} sind. Das sieht auf den ersten Blick nicht so anders aus. Allerdings gibt es hier die beiden verschiedenen Darstellungsmöglichkeiten {{ Relationskette/display | 6 || 5+1 || 3+3 || || |SZ=, }} die beide minimal sind, da man die {{math|term= 6 |SZ=}} sicher nicht mit einer Münze darstellen kann. Die Hypothese kann also nur stimmen aufgrund spezifischer Eigenschaften der Eurozahlen, eine grobe Argumentation wird man somit wohl nicht erwarten und eine Argumentation, die nicht direkt auf die Eurozahlen Bezug nimmt, kann nicht funktionieren. Auch wenn man die Rückgabe von Geld erlaubt, geht die Eindeutigkeit verloren, beispielsweise ist {{ Relationskette/display | 15 || 10+5 || 20-5 || || |SZ=, }} bei beiden Darstellung werden zwei Scheine bewegt. |Wir meinen natürlich bei eindeutig {{Anführung|eindeutig bis auf die Reihenfolge|SZ=,}} natürlich ist {{ Relationskette/display | 37 || 20+10+5+2 || 2+20+5+10 || || |SZ=. }} Es könnte sich als sinnvoll erweisen, immer mit einer bestimmten Reihenfolge der Summanden zu arbeiten, beispielsweise in absteigender Größe. |Wir beweisen die Aussage zuerst nur für alle Beträge {{math|term= \leq 10 |SZ=}} oder {{math|term= \leq 100 |SZ=}} oder nur für alle Beträge, die als Summe von drei Summanden darstellbar sind. |Wir wollen etwas über Zerlegungen {{ Relationskette/display | w || a \cdot 1 + b \cdot 2 + c \cdot 5 + d \cdot 10 + ... || || || |SZ= }} aussagen. Das kann man von links, also von {{math|term= w |SZ=}} aus betrachten, aber auch von der rechten Seite aus. Kann man einer Darstellung {{ Math/display|term= a \cdot 1 + b \cdot 2 + c \cdot 5 + d \cdot 10 + ... |SZ= }} ohne Bezug auf den dargestellten Wert ansehen, ob sie minimal ist? Hier gibt es viele Gesetzmäßigkeiten, z.B. kann {{math|term= a |SZ=}} nicht {{math|term= 2 |SZ=}} sein, da man andernfalls die beiden {{math|term= 1-|SZ=}}Euromünzen sofort durch eine {{math|term= 2 |SZ=-}}Euromünze ersetzen und so mit einer kleineren Anzahl von Eurozahlen auskommen würde. |Hängt die eindeutige Zerlegung für große Zahlen irgendwie mit der eindeutigen Zerlegung für kleinere Zahlen zusammen? Eine zweite Darstellung für {{math|term= w |SZ=}} führt zu einer Gleichheit {{ Relationskette/display | a \cdot 1 + b \cdot 2 + c \cdot 5 + d \cdot 10 + ... || a' \cdot 1 + b' \cdot 2 + c' \cdot 5 + d' \cdot 10 + ... || || || |SZ=. }} Hier kann man links und rechts, falls eine Eurozahl auf beiden Seiten positiv vorkommt, diese Eurozahl abziehen, und erhält so eine Gleichheit für einen kleineren Ausdruck. |Siehe unten. }} In einem mathematischen Buch {{ Zusatz/Klammer |text=bzw. in der Vorlesung| |ISZ=|ESZ= }} werden mathematische Aussagen häufig direkt bewiesen, ohne dass die Vorüberlegungen erläu{{drucktrenn}}tert werden, die zu dem Beweis geführt haben. Dies ist von der Ökonomie her begründet, man möchte einen Beweis haben, und nicht Überlegungen dokumentieren, die für sich allein genommen ziemlich aussagelos {{ Zusatz/Klammer |text=wie das Durchrechnen von einigen Beispielen| |ISZ=|ESZ= }} sind und von denen ein Großteil auch in eine falsche Richtung geht. Beim Auffinden von Beweisen und beim Lösen von Aufgaben {{ Zusatz/Klammer |text=zwischen diesen beiden Aspekten gibt es keinen grundsätzlichen Unterschied| |ISZ=|ESZ= }} ist der Weg dorthin sehr wichtig, und es sollte viel probiert, Strategien entwickelt und diskutiert werden, auch wenn sich das nicht in der Dokumentation der letztlich gefundenen überprüfbaren Argumentation niederschlägt{{ Zusatz/Fußnote |text=Das gilt auch für die abzugebenden Aufgaben. Geben Sie ein überzeugendes Endprodukt der Überlegungen ab, keine Dokumentation der Überlegungen| |ISZ=.|ESZ=. }} {{ inputfaktbeweis |Eurozahlen/Minimale Darstellung/Koeffizientenbedingung/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktbeweis |Eurozahlen/Koeffizientenbedingung/Eindeutigkeit/Fakt|Lemma|| }} Nach all diesen Vorüberlegungen können wir den folgenden umfassenden Satz beweisen. {{ inputfaktbeweis |Eurozahlen/Eindeutige Darstellung/Charakterisierung/Fakt|Satz||zusatz1=Fußnote|zusatz2=Fußnote }} Die {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Münzen/1,4,5,6/Maximale Auffüllung/Aufgabe |Nr= |SZ= }} zeigt, dass das Verfahren aus {{ Faktlink |Faktseitenname= Eurozahlen/Eindeutige Darstellung/Charakterisierung/Fakt |Nr=3 |SZ= }} nicht bei jeder Bargeldverteilung zur minimalen Darstellung führt. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der natürlichen Zahlen |Kategorie2=Prinzipien der Mathematik |Kategorie3= |Objektkategorie= |Fußnotenliste=x |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 553qu8dqg0inxldo6vzn5g8ydgvc4jp 0 82603 1116559 1087919 2026-10-17T11:20:08Z Bocardodarapti 2041 1116559 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung=Es gelten die folgenden Aussagen. {{ Aufzählung3 |Jede natürliche Zahl {{math|term= w |SZ=}} besitzt eine eindeutige Summendarstellung {{ Relationskette/display |w || a_1 \cdot 1 + a_2 \cdot 2 +a_3 \cdot 5 + a_4 \cdot 10 +a_5 \cdot 20 +a_6 \cdot 50 + a_7 \cdot 100+ a_8 \cdot 200 + a_9 \cdot 500 || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=mit {{ Relationskette | a_1 {{kommadots|}} a_9 | \in | \N || || || |SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} mit der Eigenschaft, dass die Gesamtanzahl der Summanden {{ Zusatz/Klammer |text=also {{mathlk|term= a_1 +a_2 {{plusdots}} a_9 |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} unter allen Darstellungen minimal ist. |Eine solche Darstellung ist genau dann minimal, wenn die folgenden Koeffizientenbedingungen erfüllt sind. {{ Aufzählung3/a |Die Koeffizienten {{math|term= a_i |SZ=,}} die sich auf {{math|term= 1,5,10,50,100 |SZ=}} beziehen, sind {{math|term= \leq 1 |SZ=.}} |Die Koeffizienten {{math|term= a_i |SZ=,}} die sich auf {{math|term= 2,20,200 |SZ=}} beziehen, sind {{math|term= \leq 2 |SZ=.}} |Falls der Koeffizient, der sich auf {{math|term= 2 |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=bzw. {{math|term= 20 |SZ=}} bzw. {{math|term= 200 |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} bezieht, gleich {{math|term= 2 |SZ=}} ist, so ist der vorhergehende Koeffizient {{ Zusatz/Klammer |text=der sich also auf {{math|term= 1 |SZ=}} bzw. {{math|term= 10 |SZ=}} bzw. {{math|term= 100 |SZ=}} bezieht| |ISZ=|ESZ= }} gleich {{math|term= 0 |SZ=.}} }} |Die eindeutige Darstellung findet man, indem man sukzessive absteigend {{mathl|term= a_9 {{kommadots|}} a_1 |SZ=}} bestimmt, wobei man folgendermaßen{{ Zusatz/{{{zusatz1|}}} |text=Dies ist ein sogenannter {{Anführung|gieriger Algorithmus|SZ=,}} da er sich bei jedem Einzelschritt daran orientiert, wie man möglichst viel von dem {{ Zusatz/Klammer |text=verbleibenden| |ISZ=|ESZ= }} Geldbetrag abzahlen kann| |ISZ=.|ESZ= }} vorgeht {{ Math/display|term= a_9 \text{ ist die maximale natürliche Zahl mit } a_9 \cdot 500 \leq w |SZ=, }} definiere {{ Relationskette/display |w_8 | {{defeq}} | w- a_9 \cdot 500 || || || |SZ=. }} {{ Math/display|term= a_8 \text{ ist die maximale natürliche Zahl mit } a_8 \cdot 200 \leq w_8 |SZ=, }} definiere {{ Relationskette/display |w_7 | {{defeq}} | w_8- a_8 \cdot 200 || || || |SZ=, }} etc. }} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der additiven Untermonoide von N |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname=Satz über die minimale Bargeld-Darstellung |Abfrage= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} a6ckdzo1kxabkrq75s85xt7dsw1w6wy 0 82604 1116560 1106383 2026-10-17T11:24:53Z Bocardodarapti 2041 1116560 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Wir zeigen zuerst, dass jede minimale Darstellung von {{math|term= w |SZ=}} die in (2) angegebenen Koeffizientenbedingungen erfüllt. Es sei also {{ Relationskette/display |w || a_1 \cdot 1 + a_2 \cdot 2 +a_3 \cdot 5 + a_4 \cdot 10 +a_5 \cdot 20 +a_6 \cdot 50 + a_7 \cdot 100+ a_8 \cdot 200 + a_9 \cdot 500 || || || |SZ= }} eine minimale Darstellung. WIr gehen die Koeffizientenbedingungen durch. {{ Aufzählung3/a |Wenn der Koeffizient vor {{math|term= 1 |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=also {{math|term= a_1 |SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} größer als {{math|term= 1 |SZ=}} wäre, also mindestens {{math|term= 2 |SZ=,}} so könnte man zwei {{math|term= 1 |SZ=-}}Euromünzen durch eine {{math|term= 2 |SZ=-}}Euromünze ersetzen und hätte eine Darstellung mit weniger Summanden im Widerspruch zur Minimalität {{ Zusatz/Klammer |text=ebenso für den Koeffizienten vor {{math|term= 10 |SZ=}} und vor {{math|term= 100 |SZ=}} | |ISZ=|ESZ=. }} Wenn der Koeffizient vor {{math|term= 5 |SZ=}} größer als {{math|term= 1 |SZ=}} wäre, also mindestens {{math|term= 2 |SZ=,}} so könnte man zwei {{math|term= 5 |SZ=-}}Euroscheine durch einen {{math|term= 10 |SZ=-}}Euroschein ersetzen und hätte eine Darstellung mit weniger Summanden im Widerspruch zur Minimalität {{ Zusatz/Klammer |text=ebenso für den Koeffizienten vor {{math|term= 50 |SZ=}}| |ISZ=|ESZ=. }} |Wenn der Koeffizient vor {{math|term= 2 |SZ=}} größer als {{math|term= 2 |SZ=}} wäre, also mindestens {{math|term= 3 |SZ=,}} so könnte man drei {{math|term= 2 |SZ=-}}Euromünzen durch eine {{math|term= 1 |SZ=-}}Euromünze und einen {{math|term= 5 |SZ=-}}Euroschein ersetzen und hätte eine Darstellung mit weniger Summanden im Widerspruch zur Minimalität {{ Zusatz/Klammer |text=ebenso für den Koeffizienten vor {{math|term= 20 |SZ=}} und vor {{math|term= 200 |SZ=}} | |ISZ=|ESZ=. }} |Wenn eine {{math|term= 2 |SZ=-}}Euromünze doppelt und eine {{math|term= 1 |SZ=-}}Euromünze einfach vorkommt, so kann man dies durch einen {{math|term= 5 |SZ=-}}Euroschein ersetzen im Widerspruch zur Minimalität der Darstellung, ebenso bei einem doppelten Vorkommen von {{math|term= 20 |SZ=}} oder {{math|term= 200 |SZ=.}} }} Wir zeigen nun die Eindeutigkeit der minimalen Darstellung und nehmen an, dass zwei Zerlegungen {{ Relationskette/align | w || a_1 \cdot 1 + a_2 \cdot 2 +a_3 \cdot 5 + a_4 \cdot 10 +a_5 \cdot 20 +a_6 \cdot 50 + a_7 \cdot 100+ a_8 \cdot 200 + a_9 \cdot 500 || b_1 \cdot 1 + b_2 \cdot 2 +b_3 \cdot 5 + b_4 \cdot 10 +b_5 \cdot 20 +b_6 \cdot 50 + b_7 \cdot 100+ b_8 \cdot 200 + b_9 \cdot 500 || || |SZ= }} vorliegen. Da beide Darstellungen minimal sind, müssen nach der bisherigen Überlegung die Koeffizienten jeweils die Koeffizientenbedingungen erfüllen. Wir werden zeigen, dass es überhaupt nur eine Darstellung gibt, die die Koeffizientenbedingungen erfüllt. Wir müssen also zeigen, dass {{ Relationskette/display | a_i || b_i || || || |SZ= }} für alle {{ Relationskette | i || 1 {{kommadots|}} 9 || || || |SZ= }} gilt. Wenn für ein bestimmtes {{math|term= i |SZ=}} die Koeffizienten {{ mathkor|term1= a_i |und|term2= b_i |SZ= }} beide {{mathl|term= \geq 1 |SZ=}} sind, so kann man beidseitig die zugehörige Eurozahl {{ Zusatz/Klammer |text=eventuell zweimal| |ISZ=|ESZ= }} abziehen und erhält dann eine kleinere Zahl {{math|term= w'|SZ=,}} für die zwei Darstellungen vorliegen, die ebenfalls die Koeffizientenbedingungen erfüllen. Da man diese Überlegung für jedes {{math|term= i |SZ=}} durchführen kann, gelangt man zu einer Gleichheit, bei der für jedes {{math|term= i |SZ=}} jeweils mindestens einer der Koeffizienten {{math|term= a_i, b_i |SZ=}} gleich {{math|term= 0 |SZ=}} ist. Es ist dann zu zeigen, dass auch der andere Koeffizient gleich {{math|term= 0 |SZ=}} ist. Dies zeigen wir absteigend, beginnend mit {{math|term= a_9 |SZ=}} bzw. {{math|term= b_9 |SZ=.}} Da die Situation symmetrisch{{ Zusatz/{{{zusatz2|}}} |text=Die Situation ist symmetrisch, da die beiden Darstellungen gleichberechtigt sind. In einer solchen Situation bedeutet es keine Einschränkung der Aussagekraft der Argumentation, wenn man eine Umbenennung vornimmt bzw. eine Eigenschaft, die eines der beteiligten Objekte hat, dem ersten zuweist. In einer solchen Situation finden sich häufig Formulierungen wie {{Anführung|wir können annehmen, dass ...|SZ=.}} | |ISZ=|ESZ= }} ist, können wir annehmen, dass {{ Relationskette |a_9 || 0 || || || |SZ= }} ist. Aufgrund der Koeffizientenbedingungen ist {{ Zusatz/Klammer |text=die Klammern sind suggestiv und sollen die verwendeten Abschätzungen verdeutlichen, die erste Abschätzung ist echt| |ISZ=|ESZ= }} {{ Relationskette/align/handlinks | {{makl| a_1 \cdot 1 + a_2 \cdot 2 +a_3 \cdot 5 |}} + {{makl| a_4 \cdot 10 +a_5 \cdot 20 +a_6 \cdot 50 |}} + {{makl| a_7 \cdot 100+ a_8 \cdot 200 |}} |< | 10 + 90+ 400 || 500 || || |SZ=. }} Daher kann {{math|term= b_9 |SZ=}} nicht größergleich {{math|term= 1 |SZ=}} sein und ist ebenfalls {{math|term= 0 |SZ=.}} So zeigt man absteigend, dass alle Koeffizienten {{math|term= 0 |SZ=}} sind und dass die Darstellung also eindeutig ist. Wir zeigen nun die andere Richtung aus Teil (2), dass eine Darstellung mit den gegebenen Koeffizientenbedingungen die eindeutige Darstellung sein muss. Mit der gleichen Argumentation wie eben, angewendet auf eine solche Darstellung und die minimale Darstellung, ergibt sich, dass die Darstellungen übereinstimmen. Der dritte Teil ergibt sich daraus, dass die entstehende Darstellung die in (2) formulierten Koeffizientenbedingungen erfüllen muss. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} slw5c0brwqk5zk9usjt26zc49zbwxyo 1116571 1116560 2026-10-17T11:54:22Z Bocardodarapti 2041 1116571 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Eurozahlen/Minimale Darstellung/Koeffizientenbedingung/Fakt |Nr= |SZ= }} erfüllt jede minimale Darstellung von {{math|term= w |SZ=}} die in (2) angegebenen Koeffizientenbedingungen. Wir zeigen nun die Eindeutigkeit der minimalen Darstellung und nehmen an, dass zwei Zerlegungen {{ Relationskette/align | w || a_1 \cdot 1 + a_2 \cdot 2 +a_3 \cdot 5 + a_4 \cdot 10 +a_5 \cdot 20 +a_6 \cdot 50 + a_7 \cdot 100+ a_8 \cdot 200 + a_9 \cdot 500 || b_1 \cdot 1 + b_2 \cdot 2 +b_3 \cdot 5 + b_4 \cdot 10 +b_5 \cdot 20 +b_6 \cdot 50 + b_7 \cdot 100+ b_8 \cdot 200 + b_9 \cdot 500 || || |SZ= }} vorliegen. Da beide Darstellungen minimal sind, müssen nach der bisherigen Überlegung die Koeffizienten jeweils die Koeffizientenbedingungen erfüllen. Wir werden zeigen, dass es überhaupt nur eine Darstellung gibt, die die Koeffizientenbedingungen erfüllt. Wir müssen also zeigen, dass {{ Relationskette/display | a_i || b_i || || || |SZ= }} für alle {{ Relationskette | i || 1 {{kommadots|}} 9 || || || |SZ= }} gilt. Wenn für ein bestimmtes {{math|term= i |SZ=}} die Koeffizienten {{ mathkor|term1= a_i |und|term2= b_i |SZ= }} beide {{mathl|term= \geq 1 |SZ=}} sind, so kann man beidseitig die zugehörige Eurozahl {{ Zusatz/Klammer |text=eventuell zweimal| |ISZ=|ESZ= }} abziehen und erhält dann eine kleinere Zahl {{math|term= w'|SZ=,}} für die zwei Darstellungen vorliegen, die ebenfalls die Koeffizientenbedingungen erfüllen. Da man diese Überlegung für jedes {{math|term= i |SZ=}} durchführen kann, gelangt man zu einer Gleichheit, bei der für jedes {{math|term= i |SZ=}} jeweils mindestens einer der Koeffizienten {{math|term= a_i, b_i |SZ=}} gleich {{math|term= 0 |SZ=}} ist. Es ist dann zu zeigen, dass auch der andere Koeffizient gleich {{math|term= 0 |SZ=}} ist. Dies zeigen wir absteigend, beginnend mit {{math|term= a_9 |SZ=}} bzw. {{math|term= b_9 |SZ=.}} Da die Situation symmetrisch{{ Zusatz/{{{zusatz2|}}} |text=Die Situation ist symmetrisch, da die beiden Darstellungen gleichberechtigt sind. In einer solchen Situation bedeutet es keine Einschränkung der Aussagekraft der Argumentation, wenn man eine Umbenennung vornimmt bzw. eine Eigenschaft, die eines der beteiligten Objekte hat, dem ersten zuweist. In einer solchen Situation finden sich häufig Formulierungen wie {{Anführung|wir können annehmen, dass ...|SZ=.}} | |ISZ=|ESZ= }} ist, können wir annehmen, dass {{ Relationskette |a_9 || 0 || || || |SZ= }} ist. Aufgrund der Koeffizientenbedingungen ist {{ Zusatz/Klammer |text=die Klammern sind suggestiv und sollen die verwendeten Abschätzungen verdeutlichen, die erste Abschätzung ist echt| |ISZ=|ESZ= }} {{ Relationskette/align/handlinks | {{makl| a_1 \cdot 1 + a_2 \cdot 2 +a_3 \cdot 5 |}} + {{makl| a_4 \cdot 10 +a_5 \cdot 20 +a_6 \cdot 50 |}} + {{makl| a_7 \cdot 100+ a_8 \cdot 200 |}} |< | 10 + 90+ 400 || 500 || || |SZ=. }} Daher kann {{math|term= b_9 |SZ=}} nicht größergleich {{math|term= 1 |SZ=}} sein und ist ebenfalls {{math|term= 0 |SZ=.}} So zeigt man absteigend, dass alle Koeffizienten {{math|term= 0 |SZ=}} sind und dass die Darstellung also eindeutig ist. Wir zeigen nun die andere Richtung aus Teil (2), dass eine Darstellung mit den gegebenen Koeffizientenbedingungen die eindeutige Darstellung sein muss. Mit der gleichen Argumentation wie eben, angewendet auf eine solche Darstellung und die minimale Darstellung, ergibt sich, dass die Darstellungen übereinstimmen. Der dritte Teil ergibt sich daraus, dass die entstehende Darstellung die in (2) formulierten Koeffizientenbedingungen erfüllen muss. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gmzy3tm4pe0z7yzh3j8i198thygvht0 106 82979 1116563 792233 2026-10-17T11:26:42Z Bocardodarapti 2041 1116563 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)/Teil I/Vorlesungsgestaltung|2| {{Mottomitauflistung |verwenden eingeführte mathematische Fachbegriffe sachgerecht. |beschreiben mathematische Sachverhalte mit eigenen Worten und finden dazu Fragestellungen. |stellen Vermutungen über mathematische Sachverhalte an, begründen und überprüfen sie. |entdecken und beschreiben mathematische Zusammenhänge. |beschreiben und begründen eigene Lösungswege und reflektieren darüber. |überprüfen mathematische Aussagen, kennzeichnen sie als richtig oder falsch und begründen dies.|Prätext=Die Schülerinnen und Schüler |Autor=Die erwarteten Kompetenzen am Ende des Schuljahrganges 4 im Kompetenzbereich Kommunizieren/Argumentieren aus dem niedersächsischen Kerncurriculum für die Grundschule (2006) }} {{Zwischenüberschrift|Mathematisches Argumentieren}} {{:Mathematische Argumentation/Kurzeinführung/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|Geldscheine und Münzen}} Wir möchten an einem alltäglichen Beispiel typische Argumentationsmuster der Mathematik vorstellen. Grundlegende Eigenschaften der natürlichen Zahlen setzen wir hierfür voraus. {{:Münzen/Mathematische Argumentation/Motivation/1/Textabschnitt|}} {{Fußnotenliste}} }} 9tjzun18hc6v1to47mupd56fa9qaosd 0 98625 1116454 1116032 2026-10-16T14:31:07Z PaFra 14559 /* 3.2.6. Rechtliche und soziale Reformen */ Wieder raus, kann später noch einmal eingefügt werden. 1116454 wikitext text/x-wiki {{Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI)/Navigation}} [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 02|2 <<<]] — [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 04|>>> 4]] {{TOC nonum}} = 3. Der Prophet von Yathrib und das neue Gemeinwesen (622-630) = Das Zentrum der neuen Religion verlagert sich in die Oase Yathrib, kriegerisches Handeln steht im Vordergrund. Muhammad und seine Anhänger kämpfen gegen das heidnische Mekka und geraten immer mehr in einen Konflikt mit den Juden von Yathrib, die schließlich aus der Oase vertrieben werden. Als Anführer des neuen Gemeinwesens führt Muhammad verschiedene rechtliche, soziale und kultische Reformen durch. == 3.1. Maghāzī – Die Kriegszüge Muhammads == === 3.1.1. Die Provokation der Quraisch === Die arabischen Quellen berichten übereinstimmend, dass Muhammad nach seiner Auswanderung aus Mekka am 24. September 622 die Oase von Yathrib erreichte. Da er aus Mekka vertrieben worden war, sah er es als gerechtfertigt an, gegen seine frühere Heimatstadt zu kämpfen. Das geht deutlich aus zwei Koranversen hervor, die nach allgemeiner Auffassung als älteste Offenbarung zum Thema des Kampfes gelten: {{Zitat|Denen, die kämpfen, ist das erlaubt, weil ihnen Unrecht angetan – siehe, Gott hat zu helfen ihnen die Macht! – Weil sie vertrieben wurden aus ihrer Heimat ohne Recht, nur weil sie sagten: Unser Herr ist Gott.|[https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/22/vers/39 Q 22:39f]}} Der Krieg mit Mekka, den Muhammad von seiner neuen Basis Yathrib aus führte, begann mit kleinen Nadelstichen. Nach der Chronologie [[w:al-Wāqidī|al-Wāqidīs]], der im frühen 9. Jahrhundert ein Werk über die Kriegszüge ([[w:Maghāzī|Maghāzī]]) Muhammads verfasste, schickte dieser schon sieben Monate nach seiner Ankunft seinen Onkel [[w:Hamza ibn ʿAbd al-Muttalib|Hamza]] mit einer Gruppe von Kriegern aus, um an der Küste eine aus Syrien heimkehrende mekkanische Handelskarawane unter Führung [[w:Abū Dschahl|Abū Dschahls]] abzufangen, doch kam es zu keiner Kampfhandlung, weil ein Mann aus dem Stamm der [[w:Qudāʿa|Dschuhaina]], der mit beiden Seiten verbündet war, dazwischentrat. Bei einer zweiten Unternehmung im April 623 wurde „der erste Pfeil im Islam“ abgeschossen. Der Kampf gegen die Mekkaner setzte sich bald auch über altarabische religiöse Normen hinweg, wie das Friedensgebot in den heiligen Monaten (vgl. oben [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 01#1.3.3. Das altarabische Heidentum und die Heiligtümer von Mekka|1.3.3.]]). So überfiel ein von Muhammad beauftragtes Kommando im heiligen Monat [[w:Radschab|Radschab]] bei [[w:Nakhla_(Saudi-Arabien)|Nachla]] südlich von Mekka eine mekkanische Karawane. Das war nach der Überlieferung Anlass für die folgende Offenbarung: {{Zitat|Sie fragen dich nach dem heiligen Monat, ob Kampf in ihm erlaubt sei. Sprich: Kampf in ihm wiegt schwer, aber jemanden abzuhalten vom Wege Gottes, darin liegt Unglaube. Und sie vom heiligen Gebetsplatz abzuhalten, und dessen Volk daraus zu vertreiben, – das wiegt schwerer vor Gott. Und Verführung (zum Abfall vom Islam) wiegt schwerer als Töten. Sie werden nicht aufhören, euch zu bekriegen, bis sie euch von eurer Religion abbringen, wenn sie können.|[https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/217 Q 2:217]}} Aus dem Koranwort geht hervor, dass das Weiterbestehen der alten Religion in Mekka für die Anhänger Muhammads eine ständige Versuchung war, von ihrem Glauben abzufallen. Da vielen von ihnen der militärische Kampf (''qitāl'') offenbar zuwider war, wurde er nun zur Pflicht erklärt (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/216 Q 2:216]) und durch die Bezeichnung ''ǧihād fī sabīl Allāh'' („Bemühung [[w:Fī sabīli Llāh|für die Sache Gottes]]“, so schon im folgenden Vers [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/218 Q 2:218]), auf eine religiöse Ebene gehoben. In der Form [[w:Dschihad|Dschihad]] hat dieser Begriff auch Eingang ins Deutsche gefunden. [[File:Balami - Tarikhnama - The Battle of Badr - The death of Abu Jahl, and the casting of the Meccan dead into dry wells (cropped).jpg|mini|Bildliche Darstellung der [[w:Schlacht von Badr|Schlacht von Badr]] in einer persischen Handschrift, frühes 14. Jahrhundert]] Die erste große Konfrontation zwischen Mekkanern und den Anhängern Muhammads ergab sich im März 624 bei dem Ort [[w:Badr_(Saudi-Arabien)|Badr]] ca. 130 km südwestlich von Yathrib. Muhammad hatte Informationen erhalten, dass eine reiche mekkanische Karawane aus Syrien zurückkehrte. Mit 300 Mann, unter denen sich auch Angehörige des mit den [[w:Aus (Stamm)|Aus]] verbündeten Stammes [[w:Muzaina|Muzaina]] befanden, zog er nach dem an der Küstenstraße liegenden Badr, um die Karawane abzufangen. Es kam zu einer Schlacht zwischen Muhammads Männern und einer etwa 950 Mann starken Armee der Mekkaner, die der Karawane zur Hilfe geeilt war und von Muhammads erbittertem Gegner Abū Dschahl befehligt wurde. Muhammads Lager siegte überraschend. Die Mekkaner verloren zwischen 45 und 70 Mann, und eine ähnliche Anzahl von ihnen wurde gefangengenommen. Zu den gefallenen Mekkanern gehörten mehrere ihrer führenden Persönlichkeiten, darunter auch Abū Dschahl. Die Anhänger Muhammads hatten dagegen nur 14 Gefallene zu beklagen und machten große Beute. Nach der Schlacht ließ Muhammad einige der Gefangenen enthaupten, darunter seinen früheren Gegner [[w:an-Nadr ibn al-Hārith|an-Nadr ibn al-Hārith]]. Der [[w:Schlacht von Badr|Sieg bei Badr]] war sowohl in militärischer als auch in religiöser Hinsicht von größter Bedeutung für die Anhänger Muhammads. Offenbar hatten aber nicht alle von ihnen an diesem Sieg mitgewirkt. Das geht aus Versen hervor, die aus der Zeit nach Badr stammen und klarstellen, dass diejenigen unter den Gläubigen, die ohne Entschuldigung zu Hause „sitzenbleiben“ bei Gott nicht auf der gleichen Stufe stehen wie die Mudschāhidūn, also diejenigen, die den Dschihad führen und dabei Vermögen und Leben aufs Spiel setzen (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/95 Q 4:95f]). === 3.1.2. Die Abwehr des mekkanischen Gegenschlags === Für die Quraisch von Mekka war die Niederlage bei Badr ein harter Schlag. Sie hatten in dem Ruf gestanden, ein besonders mächtiger Stamm in Arabien zu sein, und in gewissem Maße stützte sich auch der Erfolg ihrer Geschäfte auf diese Reputation, denn bei ihrem Handel waren sie auf die Zusammenarbeit mit vielen anderen Stämmen angewiesen, und von einigen von ihnen war nun Aufsässigkeit zu erwarten. Deshalb war es für die Quraisch von essentieller Bedeutung, zu beweisen, dass sie noch die Kraft hatten, für erlittenes Unrecht Rache zu nehmen. Zehn Wochen nach Badr unternahm [[w:Abū Sufyān ibn Harb|Abū Sufyān ibn Harb]], der nach der Schlacht von Badr die Führung von Mekka übernommen hatte, einen Blitzüberfall auf Yathrib, zog sich aber, nachdem er zwei Häuser in Brand gesteckt hatte, rasch zurück. [[File:The Prophet Muhammad and the Muslim Army at the Battle of Uhud, from the Siyer-i Nebi, 1595.jpg|mini|Darstellung der Schlacht von Uhud in einem [[w:Siyer-i Nebi|Siyer-i Nebi]] von 1594, heute David Collection, Kopenhagen]] In den Monaten danach gelang es Abū Sufyān, 3000 gut ausgerüstete Krieger zu rekrutieren. Im März 625 rückte er mit diesen nach Yathrib vor und drang von der Nordwestecke in die Oase ein. Beim Berg Uhud kam es zu einem Kampf, der lange hin und her wogte. Als sich das Kriegsglück zu Gunsten der Anhänger Muhammads zu wenden begann, fingen diese an, die Beute einzusammeln. Das veranlasste eine Gruppe von Muhammads Bogenschützen, ihren Platz zu verlassen, um sich ebenfalls der Beute zuzuwenden. Auf der Seite der Mekkaner nutzte diese Situation der prominente Kämpfer [[w:Chālid ibn al-Walīd|Chālid ibn al-Walīd]] aus, um Verwirrung in den Reihen von Muhammads Anhängern zu stiften und sie niederzuringen. Allerdings gelang es Muhammads Anhängern zum Schluss, wichtige Stellungen zurückzugewinnen, so dass die Mekkaner abziehen mussten, ohne sich ihres Widersachers Muhammad endgültig entledigt zu haben. Für die Anhänger Muhammads war die [[w:Schlacht von Uhud|Schlacht von Uhud]] dennoch eine herbe Enttäuschung, nicht nur deshalb, weil sie 50 bis 70 Mann verloren hatten, Muhammads Onkel [[w:Hamza ibn ʿAbd al-Muttalib|Hamza]] gefallen und Muhammad selbst verwundet worden war, sondern auch deshalb, weil sie merkten, dass sie sich der Unterstützung Gottes doch nicht immer so sicher sein konnten, wie es ihnen nach dem Sieg von Badr schien. In verschiedenen Koranworten aus dieser Zeit wird bekräftigt, dass diejenigen, die „für die Sache Gottes“ getötet wurden, nicht wirklich tot sind, sondern weiter leben ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/154 Q 2:154]), bei ihrem Herrn versorgt werden ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/3/vers/169 3:169]), ihnen die Sünden vergeben werden ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/3/vers/157 3:157]) und sie direkt ins Paradies eingehen ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/3/vers/195 3:195]). Der Konflikt zwischen Muhammad und den Mekkanern war mit der Schlacht von Uhud noch keineswegs beendet. Da Muhammad weiter den mekkanischen Handel störte und bei den arabischen Beduinen immer mehr Verbündete fand, sahen sich die Mekkaner genötigt, erneut gegen ihn vorzugehen. Dafür versuchten sie ihrerseits, eine Anzahl beduinischer Stämme auf ihre Seite zu ziehen. Diese Bündnisse zeigen, dass der Konflikt zwischen Mekka und Yathrib inzwischen das Umland der beiden Städte mit einschloss. Im Juli 625 massakrierten die [[w:Banū Sulaim|Banū Sulaim]], ein mit den Quraisch verbündeter Stamm, bei Biʾr Maʿūna zwischen Mekka und Yathrib eine größere Anzahl von Muslimen. Muhammad soll daraufhin einen Monat lang die Banū Sulaim verflucht haben. In veränderter Form hat sich dieser Ritus bis heute im sogenannten [[w:Qunūt|Qunūt]] erhalten, einem Bittgebet, das beim Morgengebet oder beim nächtlichen Witr-Gebet gesprochen wird. Zu Beginn des Jahres 627 erschienen die Mekkaner und ihre Verbündeten mit einer Truppe von 10.000 Mann vor Yathrib. Dort hatte Muhammad allerdings um die weniger befestigten Stellen der Oasensiedlung einen Graben (''ḫandaq'') ausheben lassen, der so breit war, dass ein Pferd ihn nicht überspringen konnte. Diese Aktion kam für die Mekkaner offensichtlich so unerwartet, dass sie ihr kein geeignetes strategisches Mittel entgegensetzen konnten. Aus dem geplanten Angriff wurde so eine Belagerung. Aufgrund von Intrigen brach die Allianz der Mekkaner jedoch schon nach 14 Tagen zusammen, und die [[w:Grabenschlacht|Belagerung von Yathrib]] musste beendet werden. Die Mekkaner zogen schließlich ab, ohne etwas erreicht zu haben. === 3.1.3. Der militärische und politische Durchbruch === [[File:Dinar, Khusro II, 590, 591-628 AD, year 31 - Bode-Museum - DSC02737.JPG|mini|Der Sassanidenherrscher [[w:Chosrau II.|Chosrau II.]] (reg. 590-628) auf einer Goldmünze, [[w:Bode-Museum|Bode-Museum]]]] Der Grabenkrieg war im Grunde genommen der letzte Defensivkrieg Muhammads. Hiernach begann die Offensivphase in seinem Leben, und gleichzeitig für das von ihm begründete Gemeinweisen die Zeit der Eroberungen. Zum Verständnis des folgenden militärischen Erfolgs von Muhammad ist es notwendig, sich die politische Situation im Vorderen Orient dieser Zeit zu vergegenwärtigen. Anfang des 7. Jahrhunderts hatte ein längerer Schlagabtausch zwischen dem [[w:Byzantinisches Reich|Byzantinischen Reich]] und den [[w:Sassanidenreich|Sassaniden]] begonnen. In den Jahren 603 bis 619 hatten zunächst die sassanidischen Truppen Syrien, Palästina und Ägypten erobert, 622 hatte der byzantinische Kaiser zum Gegenangriff ausgeholt. Es kam zu heftigen Auseinandersetzungen, bei denen die Sassaniden ebenfalls mehrere Niederlagen erlitten, und die 628 mit einem Friedensschluss endeten, der ihren Herrscher [[w:Chosrau II.|Chosrau II.]] dazu verpflichtete, die eroberten Gebiete vollständig zurückzugeben. Hieraufhin wurde Chosrau von seinen Offizieren gestürzt, und es begannen im Sassanidenreich Thronwirren, die bis 633 andauerten und während derer das sassanidische Bündnissystem auf der arabischen Halbinsel zusammenbrach. Es war genau diese fünfjährige Periode des Machtvakuums, innerhalb derer Muhammad seinen neu gegründeten Staat zum militärischen und politischen Erfolg führte. Im Jahr nach der [[w:Grabenschlacht|Grabenschlacht]] unternahm er noch einige weitere kleinere Kriegszüge, von denen die beiden bedeutendsten derjenige gegen die Oase Dūmat al-Dschandal und derjenige gegen den westlich von Yathrib lebenden Stamm der Mustaliq waren. Im März 628 zog er dann mit einer Schar von Gläubigen nach Mekka, um eine [[w:ʿUmra|ʿUmra]] zu vollziehen. Die Mekkaner, die annahmen, dass er kriegerische Absichten hegte, sorgten allerdings dafür, dass er der Stadt nicht zu nahe kam. Von seinem Lager in al-Hudaibiya am Rande des [[w:Haram (heiliger Bezirk)|Haram]] nahm Muhammad Verhandlungen mit den Mekkanern auf, die mit einem Vertrag endeten. Er selbst musste in diesem Vertrag rein äußerlich einige Demütigungen hinnehmen, die zu Spannungen unter seinen Anhängern führten. So wurde er von dem mekkanischen Abgesandten nicht als „Muhammad, der Gesandte Gottes“ anerkannt, sondern nur als „Muhammad ibn ʿAbdallāh“. Bedeutender waren aber die getroffenen Vereinbarungen. Dazu gehörten ein zehnjähriger Waffenstillstand und das Versprechen der Mekkaner, Muhammad und seinen Anhängern im nächsten Jahr die Stadt für drei Tage zum Vollzug der ʿUmra zu überlassen. Umgekehrt verzichtete Muhammad für dieses Jahr auf die ʿUmra und zog sich mit seinen Männern nach Yathrib zurück. Der Vertrag von Hudaibiya war ein Triumph für den Propheten und seine Anhänger. Der Koran berichtet, dass Gott seine [[w:Sakīna|Sakīna]] in die Herzen der Gläubigen hinabsandte, so dass sie im Glauben zunahmen ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/48/vers/4 Q 48:4], [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/48/vers/18 18]). Der Begriff ''sakīna'' geht eigentlich auf ein jüdisches Konzept, die [[w:Schechina|Schechina]], zurück, das die „Gegenwart“ Gottes bei seinem Volk bezeichnet. Hier bezeichnet er aber auch den psychischen Zustand der Gelassenheit und Ruhe. Nach dem Vertrag von Hudaibiya vollzogen mehrere Araber aus anderen Gebieten Arabiens, die sich schon früher Muhammad angeschlossen hatten, die [[w:Hidschra|Hidschra]], d.h. sie zogen nach Yathrib, um Muhammad militärisch zu unterstützen. Zu ihnen gehörten zum Beispiel auch die beiden Jemeniten [[w:Abū Huraira|Abū Huraira]] und [[w:Abū Mūsā al-Aschʿarī|Abū Mūsā al-Aschʿarī]]. Im folgenden Jahr, im März 629, zog Muhammad dann mit etwa 2.000 Mann nach Mekka, um wie geplant die ʿUmra zu vollziehen. Bei dieser Gelegenheit heiratete er Maimūna, die Schwägerin seines Onkels [[w:al-ʿAbbās ibn ʿAbd al-Muttalib|ʿAbbās]], der zu dieser Zeit in Mekka die Führung der [[w:Banū Hāschim|Banū Hāschim]] übernommen hatte. Immer mehr Mekkaner erkannten nun Muhammad als Propheten an und verließen die Stadt, um sich ihm anzuschließen, auch solche, die ihn kurz zuvor noch bekriegt hatten wie zum Beispiel der Kämpfer Chālid ibn al-Walīd, der bei der Schlacht von Uhud noch auf der gegnerischen Seite gestanden hatte (vgl. oben [[#3.1.2. Die Abwehr des mekkanischen Gegenschlags|3.1.2.]]). Im Laufe des Jahres 629 ließ Muhammad noch einige weitere kriegerische Unternehmungen durchführen. So schickte er im September seinen ehemaligen Sklaven und Adoptivsohn [[w:Zaid ibn Hāritha|Zaid ibn Hāritha]] mit einer Armee nach Mu'ta auf dem Gebiet des heutigen Jordanien, östlich der Südspitze des Toten Meeres. Dann ergab sich eine Kette von Ereignissen, die letztlich zur friedlichen Kapitulation Mekkas führten. Muhammad heiratete Umm Habība, eine schon viele Jahre früher zum Islam übergetreten Tochter [[w:Abū Sufyān ibn Harb|Abū Sufyāns]], deren muslimischer Ehemann gestorben war. Wenig später wurde ein Clan der [[w:Chuzāʿa|Chuzāʿa]], der in der Nähe von Mekka lebte und nach Hudaibiya einen Bund mit Muhammad geschlossen hatte, von einem Clan der [[w:Kināna|Kināna]], der mit den Mekkanern verbündet war, angegriffen. Der in Bedrängnis geratene Clan der Chuzāʿa wandte sich an Muhammad, der mit diesem Vorfall das Abkommen von Hudaibiya als gebrochen betrachtete. Zur Verhinderung einer militärischen Konfrontation reiste Abū Sufyan unter dem Vorwand, seine Tochter besuchen zu wollen, nach Yathrib und führte mit Muhammad Verhandlungen. Der genaue Hergang der nachfolgenden Ereignisse ist nicht klar, doch steht fest, dass es nach der Rückkehr Abū Sufyans nach Mekka zwischen ihm und Muhammad zum Austausch von Geschenken kam. In der Sache selbst war Muhammad allerdings zu keinen Zugeständnissen bereit. Er gab das Kommando zur Vorbereitung eines Feldzuges zur Einnahme von Mekka. Mit einer Armee von ca. 10.000 Mann, die neben seinen Anhängern aus Mekka und Yathrib auch Kämpfer von Stämmen der Umgebung wie den [[w:Banū Sulaim|Banū Sulaim]] und [[w:Muzaina|Muzaina]] einschloss, zog er von Yathrib in Richtung Mekka. Abū Sufyān zog ihm entgegen und führte die Kontaktgespräche. Im Gegenzug für seine Konversion zum Islam erhielt er eine Sicherheitsgarantie für all diejenigen Bewohner Mekkas, die keinen bewaffneten Widerstand leisteten. Die weitreichenden Garantien führten dazu, dass Muhammads Armee bei ihrem von verschiedenen Seiten erfolgendem Einrücken im Januar 630 auf nur sehr geringen Widerstand stieß. In den arabischen Quellen wird die Einnahme Mekkas als ''fatḥ'', „Öffnung“ bezeichnet. Sie steht damit gewissermaßen archetypisch für alle späteren muslimischen Eroberungen ([[w:Futūh|Futūh]]) von Städten und Ländern, die die Muslime unter Muhammads Nachfolgern machten. Über sie wurden später eigene Texte und Werke zusammengestellt. == 3.2. Die interne Entwicklung der Gemeinschaft von Yathrib == === 3.2.1. Die sogenannte „Gemeindeordnung von Medina“ === Die Anhängerschaft Muhammads bei seiner Ankunft in Yathrib setzte sich im Wesentlichen aus zwei Gruppen zusammen, den Angehörigen der Quraisch, die zusammen mit ihm die Hidschra aus Mekka vollzogen hatten, und den Clanen von [[w:Aus (Stamm)|Aus]] und [[w:Chazradsch|Chazradsch]], die diesen Auswanderern in Yathrib Aufnahme gewährt hatten. Um eine Gemeinschaft zwischen diesen beiden Gruppen herzustellen, war es dringend notwendig, ein Loyalitätsverhältnis zwischen ihnen zu begründen. Genau diesen Sachverhalt spricht ein Koranwort an, in dem es heißt: „Diejenigen, die den Glauben angenommen haben und ausgewandert sind und unter Einsatz ihres Vermögens und Lebens für die Sache Gottes gekämpft haben, und diejenigen, die Asyl und Hilfe gewährten, die sollen untereinander Freunde sein“ ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/8/vers/72 Q 8:72]). Offensichtlich wurden sogar praktische Maßnahmen ergriffen, um dieses Ziel zu verwirklichen, denn es gibt Berichte, denen zufolge zwischen verschiedenen Angehörigen der beiden Gruppen eine „Verbrüderung“ (''muʾāḫāh'') hergestellt wurde. Die übliche Form dieser Verbrüderung sah so aus, dass dem betreffenden Auswanderer (''muhāǧir'') einer von den „Helfern“ (''anṣār'') zur Seite gestellt wurde und die beiden sich gegenseitig zu Brüdern erklärten. Wenn einer der beiden im Kampf fiel, beerbte ihn der andere. Der wichtigste Zweck der Verbrüderung war es, größeren Zusammenhalt im Kampf zu erreichen. Die Zweiteilung der Anhängerschaft Muhammads wurde allerdings auch durch diese Maßnahme nicht völlig überwunden. Vielmehr scheint sich der Gegensatz zwischen den mekkanischen „Auswanderern“ ([[w:Muhādschirūn|Muhādschirūn]]) und den „Helfern“ ([[w:Ansār|Ansār]]) aus Yathrib im Laufe der Zeit noch verfestigt zu haben, wie sich zwei Koranstellen ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/100 Q 9:100], [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/117 117]) aus späterer Zeit entnehmen lässt, in denen die beiden Gruppen einander gegenübergestellt werden. Über die politischen Verhältnisse, die seit der Zeit von Muhammads Ankunft in Yathrib herrschten, gibt es ein historisches Dokument, das uns noch wesentlich genauer informiert als der Koran, nämlich die sogenannte [[w:Gemeindeordnung von Medina|Gemeindeordnung von Medina]]. In diesem Dokument, das bei [[w:Ibn Hischām|Ibn Hischām]] überliefert ist, erscheint auch zum ersten Mal die arabische Bezeichnung ''al-Madīna'' („die Stadt, der Gerichtsort“) für Yathrib. Sie wurde später als Name für diesen Ort allgemein üblich und erscheint auch in den letzten Suren des Korans (z.B. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/102 Q 9:102]; [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/63/vers/8 63:8]). Was nun die politische Ordnung anlangt, so wird am Anfang des Dokuments festgestellt, dass es sich um „einen Vertrag Muhammads des Propheten zwischen den Gläubigen und Muslimen der Quraisch und von Yathrib und jenen, die ihnen folgen, ihnen verbunden sind und zusammen mit ihnen kämpfen“ (§ 1), handelt. Sie sollen „eine einzige Umma“ bilden, „die sich von anderen unterscheidet“ (§&nbsp;2). Der Begriff [[w:Umma|Umma]] wird im Koran noch an vielen anderen Stellen verwendet und bezeichnet dort verschiedene von Propheten angeführte Gemeinschaften. Die Umma von Medina war allerdings eher an tribalen Konzepten orientiert. Die neun wichtigsten Vertragsparteien waren die „Auswanderer der Quraisch“, die offensichtlich als ein einziger Clan verstanden wurden, und acht Clane aus Yathrib. Jede Gruppe, so heißt es, sollte ihre tribale Organisation beibehalten und für die Zahlung von [[w:Diya (Islam)|Blutgeld]] und Lösegeld unter ihren Angehörigen verantwortlich sein. Allerdings wurde diese Solidaritätspflicht auf die Gläubigen (''muʾminūn'') unter ihnen eingeschränkt. Der zweite Teil des Dokuments befasst sich mit den Beziehungen zu den jüdischen Stämmen von Yathrib und ihren beduinischen Verbündeten. Das Dokument zeigt, dass die Umma zu jener Zeit als etwas verstanden wurde, das Beziehungen zu Angehörigen anderer Religionen einschloss. Im Wesentlichen handelte es sich um einen Bündnisvertrag, der den traditionellen arabischen Rechtsvorstellungen entsprach. Dadurch, dass im ersten Teil die Solidaritätsverpflichtungen auf die „Gläubigen“ beschränkt wurden, kam jedoch eine religiöse Komponente ins Spiel. Muhammad selbst wurde in der Gemeindeordnung eine richterliche Funktion zugesprochen. So wurde festgelegt, dass diejenigen, die über eine Sache im Streit sind, diese vor Gott und Muhammad bringen sollten (§§ 26, 52). Am Ende des Dokuments wird erklärt, dass das Tal von Yathrib für alle Vertragspartner geheiligt (''ḥarām'') sei (§ 49), womit es wie Mekka den Status eines [[w:Haram (heiliger Bezirk)|Heiligen Bezirks]] erhält. === 3.2.2. Die Auseinandersetzung mit den Juden === Muhammad hatte am Ende der mekkanischen Zeit dem Judentum äußerst positiv gegenübergestanden. Koranische Texte aus diesem Zeitabschnitt fordern dazu auf, nicht mit den „Leuten des Buches“ ([[w:Ahl al-kitāb|Ahl al-kitāb]]) – gemeint sind die Juden von Yathrib – zu disputieren, sondern die Gemeinsamkeiten zwischen den beiden offenbarten Religionen herauszustellen ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/29/vers/46 Q 29:46]). Der gute Kontakt mit den Juden in der frühen medinischen Zeit führte dazu, dass sich Muhammad und seine Anhänger noch stärker an die jüdischen Vorschriften annäherten. So wurde zu dieser Zeit nach jüdischem Vorbild ein drittes Tagesgebet eingeführt (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/238 Q 2:238f]), und der Verzehr von Schweinefleisch und der Beischlaf während der [[w:Menstruation|Menstruation]] wurden verboten (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/173 Q 2:173], [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/222 222]). Ebenfalls in frühmedinischer Zeit wurde für Muhammad der Titel ''nabī'' gebräuchlich, der in der Bibel und in der jüdischen Tradition für Propheten verwendet wird. Möglicherweise wurde dieser Titel deswegen jetzt für Muhammad eingeführt, um die Juden von Yathrib dazu zu bewegen, seine religiöse Führerschaft anzuerkennen. Besonders interessant ist das Adjektiv ''ummī'', mit dem der Begriff ''nabī'' an der ersten Stelle, an der er vorkommt ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/7/vers/157 Q 7:157f]), versehen ist. Wahrscheinlich handelt es sich um eine Ableitung des hebräischen Ausdrucks ''ummot ha-ʿolam'', mit dem im [[w:Talmud|Talmud]] die nicht-jüdischen Völker bezeichnet werden, in denen [[w:Gerechter unter den Völkern|Gerechte]] auftreten können. Die Bezugnahme auf diese heidenfreundliche Tradition war sehr wichtig, denn unter den Juden von Yathrib herrschte die Auffassung vor, dass es unter den Arabern keine Prophetie geben könne. Die Annäherung an das Judentum bedeutete allerdings nicht, dass Muhammad seine Religion darin aufgehen lassen wollte. Die Gemeindeordnung von Medina stellt ausdrücklich fest, „dass die Juden ihre Religion beibehalten und die Gläubigen die Ihrige.“ Eine gemeinsame religiöse Basis fand er im Monotheismus, wie sich dem folgenden Koranwort entnehmen lässt: {{Zitat|Sag: O Leute des Buches, kommt her zu einem Wort, das uns und euch gemeinsam ist. Ist es nicht so, dass wir Gott allein dienen, ihm nichts beigesellen und uns nicht untereinander anstelle Gottes zu Herren nehmen?|[https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/3/vers/64 Q 3:64]}} Offenbar hegte Muhammad die Vorstellung, die Juden würden in seiner Botschaft schließlich ihre eigene Religion wiedererkennen. Das brachte ihn letztendlich auch zu der Erwartung, dass sie seinen religiösen Anspruch anerkennen müssten. An mehreren Stellen im Koran werden die [[w:Israeliten|Israeliten]] aufgefordert, an das, was ihm offenbart wurde, als Bestätigung ihrer Schrift zu glauben ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/41 Q 2:41]) und ihn allgemein als Bestätiger der [[w:Tora|Tora]] zu verstehen ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/3/vers/50 Q 3:50]). Es geschah wahrscheinlich auch im Rahmen der Auseinandersetzung mit den Juden von Medina, dass sich Muhammad zum ersten Mal auf den [[w:Erzengel|Erzengel]] [[w:Gabriel (Erzengel)|Gabriel]] als Vermittler der koranischen Offenbarung berief. Gabriel spielte schon in vorislamischer Zeit eine große Rolle in den jüdischen Überlieferungen über Abraham und Mose. In Sure [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/97 2:97] wird ausgesagt, dass er es ist, der den Koran in Muhammads Herz hinabgesandt habe, „mit Erlaubnis Gottes, bestätigend, was vor ihm war, als rechte Leitung und als frohe Botschaft für die Gläubigen.“ Die Korankommentatoren erklären, dass diese Verse offenbart wurden, als die Juden von Medina Muhammad fragten, wer der Engel sei, der ihm die Offenbarungen brächte. Als er antwortete, dass dies Gabriel sei, der Freund eines jeden Propheten, sollen sie entgegnet haben, dass sie ihn dann nicht anerkennen könnten, weil ihr Freund der Engel [[w:Erzengel_Michael|Michael]] sei, Gabriel dagegen ihr Feind. In Sure 2:97-98 wird diese „Feindschaft“ zu Gabriel missbilligt. Koranstellen wie diese zeigen sehr deutlich, dass die Juden Medinas nicht bereit waren, Muhammad als Propheten in ihrer Tradition anzuerkennen. Andere Stellen erwähnen, dass es immer wieder zu Streitereien mit ihnen kam (z.B. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/139 Q 2:139]). Die historiographischen Quellen berichten, dass es damals in Medina nur einen einzigen namhaften Juden gab, der zum Islam übertrat: [[w:ʿAbdallāh ibn Salām|ʿAbdallāh ibn Salām]]. An seine Konversion knüpfen sich in der islamischen Tradition zahlreiche Legenden. Aus Enttäuschung darüber, dass ihn die Juden von Medina nicht unterstützen und ihm zunehmend feindlich gegenüberstanden, brach Muhammad nach der Badr-Schlacht mit dem Judentum. So forderte er die Juden auf, ihn nicht mehr als Schiedsrichter anzurufen, da sie sich nicht einmal an die Regeln ihrer Tora hielten ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/5/vers/43 Q 5:43-45]). Immer häufiger kam es nun auch zu verbalen Attacken gegen die Juden. So wird ihnen an verschiedenen Stellen Verstocktheit vorgeworfen (z.B. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/87 Q 2:87-90]) und ihre strengen Speiseverbote werden damit begründet, dass die Juden sich in der Vergangenheit schwerer Sünden schuldig gemacht hätten ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/160 Q 4:160]). An anderen Stellen werden sie beschuldigt, sie würden einen Teil ihrer Schriften zurückhalten (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/11/vers/18 Q 11:18]). Schließlich gibt es vier Passagen, die besagen, die Juden hätten die Schriften absichtlich „entstellt“ oder „verdorben“ (so [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/75 Q 2:75-79], [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/46 4:46], [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/5/vers/13 5:13], [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/5/vers/41 5:41]). Den verbalen Attacken folgten bald reelle Angriffe auf die Juden von Yathrib. Sie waren keine einheitliche Gemeinschaft, sondern gehörten drei verschiedenen Stämmen an, den [[w:Banū Qainuqāʿ|Banū Qainuqāʿ]], den [[w:Banū n-Nadīr|Banū n-Nadīr]] und den [[w:Banū Quraiza|Banū Quraiza]]. Der erste Angriff richtete sich gegen die Banū Qainuqāʿ, die in Yathrib einen eigenen Markt unterhielten. Als Anlass wird in der Überlieferung genannt, dass nach der Schlacht von Badr (624) auf ihrem Markt eine arabische Frau von einer Gruppe von Juden belästigt worden war. Ein Muslim, der die Begebenheit beobachtet hatte, tötete einen der Juden und wurde dann selbst umgebracht. Das war der Auslöser dafür, dass Muhammad die Banū Qainuqāʿ im April 624 in ihrem befestigten Stadtteil belagerte. Sie mussten ihre Habe zurücklassen und wanderten nach Adhriʿāt (dem heutigen [[w:Darʿā|Darʿā]] im [[w:Hauran|Hauran]], Syrien) aus. Die Vertreibung der Banū Qainuqāʿ hatte wahrscheinlich auch einen ökonomischen Hintergrund, denn Muhammad strebte in dieser Zeit danach, einen eigenen Markt aufzubauen, und der Markt der Qainuqāʿ war ihm dabei im Weg. [[File:Khaybar - deserted houses.jpg|mini|250px|Die Oase Chaibar heute]] Im August 625 ging Muhammad gegen den jüdischen Stamm der Banū n-Nadīr vor. Als Anlass für den Konflikt nennt die Überlieferung einerseits einen versuchten Mordanschlag auf Muhammad, andererseits den Vorwurf der Kollaboration mit den feindlichen Quraisch. Muhammad ließ sie in ihren befestigten Häusern belagern und außerdem ihre Palmenpflanzungen zerstören, womit er ein ungeschriebenes Gesetz der arabischen Kriegführung verletzte. Vers [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/59/vers/5 Q 59:5] liefert nach der islamischen Tradition eine Rechtfertigung für dieses Vorgehen. Wie die Banū Qainuqāʿ, so wurden auch die Banū Nadīr vertrieben; sie fanden mehrheitlich in der jüdischen Oase [[w:Chaibar|Chaibar]] Zuflucht, in der sie über Grundbesitz und eigene Festungen verfügten. Nach der Grabenschlacht 627 kam es zu einer Konfrontation der Muslime mit dem dritten und letzten noch in Medina verbliebenen jüdischen Stamm, den Banū Quraiza, denen auch verschiedene andere Oasen im Norden der Halbinsel gehörten. Ihnen wurden der Bruch ihres Abkommens mit Muhammad und die Zusammenarbeit mit den Quraisch während der Grabenschlacht vorgeworfen. Es erfolgte eine mehrwöchige Belagerung ihres befestigten Stadtteil. Da die Banū Aus mit den Banū Quraiza verbündet waren und sich für sie einsetzten, legte Muhammad die Entscheidung über ihr Leben in die Hand von [[w:Saʿd ibn Muʿādh|Saʿd ibn Muʿādh]], dem Anführer der Banū Aus, der in der Grabenschlacht schwere Verwundungen erlitten hatte und dem Tode nahe war. Dieser sprach sich dafür aus, alle Männer umzubringen, Frauen und Kinder in die Gefangenschaft zu führen und ihren Besitz aufzuteilen, was trotz Protesten von Seiten anderer Verbündeter unverzüglich umgesetzt wurde. Auch nach diesem Vorfall dauerte die Auseinandersetzung mit den Juden noch an. Die Banū n-Nadīr rüsteten nach ihrer Vertreibung aus Medina in Chaibar zum Krieg gegen Muhammad, wobei sie mit den arabischen Stämmen der Nachbarschaft zusammenarbeiteten. Muhammad kam ihnen im Frühjahr 628 mit einem eigenen [[w:Chaibar (Feldzug)|Kriegszug]] zuvor. Das Koranwort aus [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/5/vers/33 Sure 5:33], das denjenigen, die gegen Gott und seinen Gesandten Krieg führen, eine grausame Strafe (Tötung, Kreuzigung bzw. kreuzweise Amputation von Hand und Fuß) in Aussicht stellt, wird in diesen historischen Zusammenhang gestellt. Chaibar kapitulierte im Juni 628, und die Juden der Oase wurden verpflichtet, ihr Vermögen herauszugeben und jedes Jahr die Hälfte ihrer Ernte den muslimischen Eroberern zu übergeben. Zwei andere von Juden besiedelte Oasen, Fadak und [[w:Tayma|Taimāʾ]], unterstellten sich Muhammads Herrschaft kurze Zeit später freiwillig. === 3.2.3. Andere Gegner Muhammads === In den Koranversen, die in die Zeit nach der [[w:Schlacht von Uhud|Uhud-Schlacht]] eingeordnet werden, taucht noch eine weitere gegnerische Personengruppe auf, die [[w:Munāfiq|Munāfiqūn]]. Sie werden beschrieben als Personen, die zuerst den Glauben angenommen haben, sich dann aber wieder davon abwandten und nur noch so taten, als würden sie an den Gottesgesandten glauben (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/63/vers/1 Q 63:1-3]). Man kann insofern den arabischen Begriff ''munāfiqūn'' mit „Heuchler“ übersetzen. Der Koran bezeichnet diese Leute auch als „Menschen, die in ihrem Herzen eine Krankheit haben“ (''fī qulūbi-him maraḍ''; vgl. z.B. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/5/vers/52 5:52]; [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/8/vers/49 8:49]; [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/125 9:125]) und droht ihnen an, dass sie dereinst auf den untersten Grund des Höllenfeuers verbannt werden ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/145 Q 4:145]). Die Munāfiqūn stellten vor allem Muhammads richterliche Autorität in Frage. Der Koran spricht davon, dass einige von ihnen ihren Streit nicht durch Muhammad schlichten lassen wollten und sich von ihm abwandten ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/60 Q 4:60f]). Gegen diese Abfallsbewegung richtet sich die Aufforderung an die Gläubigen, ihre Dispute auf jeden Fall Muhammad zur Entscheidung vorzulegen ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/59 Q 4:59]). Nur diejenigen sollten fortan noch als Gläubige gelten, die sich an dieses Gebot hielten ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/65 Q 4:65]). Als Anführer der Munāfiqūn wird in den arabischen Quellen ʿAbdallāh ibn Ubaiy genannt. Von ihm wird berichtet, dass er ohne Muhammads Auftreten in Yathrib „König“ ([[w:Malik|Malik]]) der Stadt geworden wäre. Es ging also möglicherweise um konkurrierende Machtansprüche. Offenbar geriet in dieser Zeit aber auch die religiöse Autorität Muhammads in eine Krise. Die islamische Tradition hat den Bericht von einem Christen aus dem medinischen Clan der Banū n-Naddschār bewahrt, der zum Islam übergetreten war und dem Propheten während der Niederschrift der Suren [[w:Sure 2|2]] und [[w:Sure 3|3]] als Sekretär gedient hatte, nun aber zu seiner alten Religion zurückkehrte und sich bei seinen Glaubensbrüdern damit brüstete, Muhammad wisse nichts außer dem, was er für ihn niedergeschrieben habe. Auf skandalöse Weise fiel in dieser Zeit auch einer von Muhammads mekkanischen Schreibern ab, nämlich [[w:ʿAbdallāh ibn Saʿd|ʿAbdallāh ibn Abī Sarh]]. Er begab sich ins heidnische Mekka und brüstete sich dort, er habe Muhammad auf die Probe gestellt, indem er nachträglich an einer Stelle den Wortlaut der Offenbarung geändert habe, ohne dass Muhammad diese Abänderung bemerkte. Gegenstand der Änderung waren Reimwörter, die in ähnlicher Form an anderen Stellen des Korans vorkommen. Der Koran selbst scheint von diesem Vorfall Zeugnis abzulegen. So werden Leute erwähnt, in deren Herzen Verirrung ist, die sich nicht an den festgefügten Versen (''āyāt muḥkamāt'') des Korans orientieren, sondern „das suchen, was einander ähnlich ist, um Zwietracht zu stiften“ ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/3/vers/7 Q 3:7]). Nach der Überlieferung ist außerdem mit dem Mann, von dem der Koran berichtet, dass er den Unglauben ([[w:Kufr|Kufr]]) gegen den Glauben ([[w:Īmān|Īmān]]) eintauschte ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/108 Q 2:108]), ʿAbdallāh ibn Abī Sarh gemeint. Gegen einige seiner Gegner ging Muhammad sehr grausam vor. So ließ er zum Beispiel den mit den Banū n-Nadīr verbundenen Dichter [[w:Kaʿb ibn al-Aschraf|Kaʿb ibn al-Aschraf]], der in Mekka die Quraisch zum Kampf gegen die Muslime angestachelt und nach einigen Berichten mit ihnen sogar eine Allianz gegen Muhammad geschlossen hatte, nach seiner Rückkehr nach Medina im September 624 heimtückisch ermorden. Bei der Einnahme von Mekka im Januar 630 war er dagegen sehr viel gutmütiger. Mit Ausnahme weniger Personen, die Tötungsdelikte begangen hatten, begnadete der Prophet alle seine früheren Gegner, die er in der Stadt vorfand, darunter auch seinen ehemaligen Schreiber Ibn Abī Sarh, der in Mekka Stimmung gegen ihn gemacht hatte. Er profitierte davon, dass sich sein Milchbruder [[w:ʿUthmān ibn ʿAffān|ʿUthmān]] beim Propheten für ihn einsetzte. Muhammads Bereitschaft, früheren Gegnern zu verzeihen, spiegelt sich auch auf koranischer Ebene wieder. Wer die Umkehr ([[w:Tauba|Tauba]]) zu Gott vollzieht, so heißt es dort, kann damit rechnen, dass es ihm wohlergeht ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/24/vers/31 Q 24:31]). Gott selbst wird im Koran als derjenige beschrieben, der „die Umkehr von seinen Knechten annimmt“ ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/104 Q 9:104]). Wer umkehrt, dem wendet sich auch Gott wieder zu ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/5/vers/39 Q 5:39]). Heuchlern und Apostaten, die die Tauba nicht vollziehen, droht jedoch das Höllenfeuer ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/74 Q 9:74]; [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/3/vers/86 3:86-89]). === 3.2.4. Die Konstituierung als eigenständige Religionsgemeinschaft === Die Zusammenfügung der Gläubigen zu einem Loyalitätsverband und die Abgrenzung nach außen gegenüber anderen Gruppierungen gingen einher mit dem Bestreben, den Einfluss anderer Loyalitätsbeziehungen, die für den Zusammenhalt der Gläubigen eine Bedrohung darstellen könnten, zu beschränken. Dieses zeigt sich an verschiedenen Koranstellen der medinischen Periode, an denen die Gläubigen aufgefordert werden, sich keine Ungläubigen, sondern nur noch Gläubige zu Freunden zu nehmen ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/3/vers/28 Q 3:28]). Nur diejenigen sollten noch als „Gläubige“ und damit vollwertige Mitglieder dieser Gemeinschaft gelten, die die Beziehungen zu den Gegnern des Gottesgesandten komplett abbrechen und sich dabei auch über Verwandtschaftsbande hinwegsetzen. Denjenigen, die sich an diese Grundsätze halten, wird im Koran Erfolg und jenseitiges Heil verheißen (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/5/vers/56 Q 5:56]; [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/58/vers/22 58:22]). Für Frauen, die in das muslimische Lager überwechseln wollten, erwähnt der Koran ein eigenes Aufnahmeverfahren: man solle sie prüfen, und wenn sie als gläubige Frauen erkannt seien, solle man sie nicht zu den Ungläubigen zurückkehren lassen, diesen aber den für sie entrichteten Brautpreis ersetzen, dann sei es erlaubt, mit diesen Frauen eheliche Beziehungen einzugehen ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/60/vers/10 Q 60:10]). Der Abgrenzung nach außen auf sozialer Ebene lief eine Abgrenzung auf religiöser Ebene parallel. Die Abgrenzung von den Juden betraf dabei insbesondere die religiösen Riten (vgl. unten [[#3.3. Die Weiterentwicklung des islamischen Kultus|3.3.]]). Auf ideeller Ebene erfolgte gleichzeitig eine Rückbesinnung auf die Gestalt [[w:Abraham im Islam|Abrahams]]. Er wurde nun zum Prototypen der neuen Religionsgemeinschaft erhoben. An mehreren Koranstellen aus dieser Zeit findet sich die Aufforderung, der Religion der „Gemeinschaft Abrahams“ (''millat Ibrāhīm'') zu folgen (z.B. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/130 Q 2:130]; [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/125 4:125]). Es wird betont, dass Abraham kein Jude, Christ oder [[w:Muschrik|Muschrik]] war, sondern ein Muslim und [[w:Hanīf|Hanīf]] (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/3/vers/67 Q 3:67]; [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/3/vers/95 3:95]). Eine Weile war Hanīf wohl auch die übliche Bezeichnung für Muhammads Anhänger und Hanīfīya („Hanīfentum“) der Name für die von ihm gegründete Religion. Mit den auf Abraham bezogenen koranischen Passagen ließ sich auch die kultische Wiederausrichtung auf das arabische Heiligtum in Mekka gut rechtfertigen. Sie wurde damit erklärt, dass „das Haus“ (''bait'') in Mekka das Jerusalemer Heiligtum an Alter übertreffe, weil es das erste sei, das für die Menschen errichtet wurde ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/3/vers/96 Q 3:96]). Schon Abraham habe zusammen mit seinem Sohn [[w:Ismael|Ismāʿīl]] die Grundmauern dieses „Hauses“ aufgerichtet ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/127 Q 2:127]). Muhammad scheint hier auf hanīfische Konzepte (vgl. oben [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 01#1.3.6. Der religiöse Wandel und die Hanīfen|1.3.6.]]) zurückgegriffen zu haben. An zwei Stellen des Korans ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/125 2:125]; [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/3/vers/97 3:97]) wird das mekkanische Heiligtum zudem als der „[[w:maqām Ibrāhīm|Standplatz Abrahams]]“ (''maqām Ibrāhīm'') bezeichnet. === 3.2.5. Der allmähliche Machtzuwachs des Propheten === Muhammad war nach der Gemeindeordnung von Medina keineswegs der absolute Herrscher von Medina. Er wurde lediglich als Prophet (§ 1) und Schiedsrichter (§ 23, 42) anerkannt. In den Quellen werden mehrfach Vorfälle geschildert, die zeigen, dass er sich darum bemühen musste, die Unterstützung anderer Clanoberhäupter zu gewinnen. Im Zusammenhang mit den militärischen Aktivitäten veränderten sich jedoch die Machtstrukturen innerhalb der Gemeinschaft der Muslime. Eine Folge des Misserfolges von Uhud war die Aufforderung an die Gläubigen, zukünftig dem Gottesgesandten und „denjenigen, die zu befehlen haben“ (''ūlū l-amr''), unbedingt zu gehorchen ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/59 Q 4:59]) und vor Streuung von sicherheitsrelevanten Informationen erst diesen Personenkreis zu unterrichten, um eine Überprüfung dieser Informationen zu ermöglichen ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/83 Q 4:83]). Das militärische Nachrichtenwesen wurde auf diese Weise zentralisiert. Den Gläubigen wurde außerdem mitgeteilt, dass der Gottesgesandte das Vorrecht auf mindestens ein Fünftel (''ḫums'') der Beute habe, um es unter den Verwandten, Weisen, Armen und Wohnungslosen zu verteilen ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/8/vers/41 Q 8:41]). Von seinen Anhängern, den gläubigen Männern und Frauen, forderte der Prophet nach der Vertreibung der jüdischen Stämme uneingeschränkten Gehorsam bei all den Dingen, die er selbst entschieden hatte ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/33/vers/36 Q 33:36]). Seine militärischen und diplomatischen Erfolge brachten ihm offenbar so viel Prestige und Autorität ein, dass auch seine Macht immer weiter zunahm. Von nicht geringer Bedeutung für Muhammads Machtzuwachs war die Tatsache, dass sich in Medina auch mehrere Dichter auf seine Seite stellten. Der bekannteste von ihnen war [[w:Hassān ibn Thābit|Hassān ibn Thābit]], der schon für [[w:Ghassaniden|ghassānidische]] und [[w:Lachmiden|lachmidische]] Prinzen Lobgedichte verfasst hatte. Vor diesem Hintergrund wurde die im Koran formulierte allgemeine Ablehnung gegenüber den Dichtern (vgl. oben [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 02#2.2.5. Der Überbringer der Botschaft|2.2.5.]]) differenziert: Nur diejenigen von ihnen sollten der Verdammung anheimfallen, die Unrecht getan haben, nicht aber diejenigen, „die den Glauben angenommen haben, das Rechte tun und Partei ergreifen, nachdem ihnen Unrecht angetan worden ist“ ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/26/vers/227 Q 26:227]). Außerdem standen Muhammad jetzt auch mehr Schreiber zur Verfügung, die seine Korrespondenz führen und seinen Koranvortrag niederschreiben konnten. Zu nennen sind insbesondere [[w:Zaid ibn Thābit|Zaid ibn Thābit]], der vor der Hidschra auf einer jüdischen Schule die syrische oder hebräische Schrift erlernt hatte, und [[w:Ubaiy ibn Kaʿb|Ubaiy ibn Kaʿb]]. Beide gehörten sie dem chazradschitischen Clan der Banū n-Naddschār an, in deren Viertel sich Muhammad niedergelassen hatte. Wie für einen arabischen Stammesfürsten seiner Zeit üblich, hatte Muhammad eine ganze Anzahl von Frauen nebeneinander. Viele dieser Ehen dienten vor allem politischen Zwecken. Mit ihnen wollte er zum Beispiel wichtige Anhänger enger an sich binden oder die Freundschaft des tribalen Verbands der Ehefrau gewinnen. Allerdings gab es andere Ehen, die er rein aus Zuneigung geschlossen hat. Der bekannteste Fall ist [[w:Safīya bint Huyaiy|Safīya bint Huyaiy]]. Sie war die Tochter des Oberhaupts des jüdischen Clans der Banū n-Nadīr, der in Medina den Propheten bekämpft hatte und dann mit seinem Clan von dort vertrieben worden war. Nach dem Sieg über Chaibar war diese Safīya von den Muslimen gefangen genommen und bei der Beuteaufteilung einem anderen Kämpfer zugeteilt worden. Aufgrund ihrer Schönheit beanspruchte sie der Prophet aber für sich selbst. Unter der Bedingung, dass sie sich zum Islam bekehrte, kaufte er sie frei und nahm sie als reguläre Ehefrau. Die Eheschließung Muhammads mit Safīya war sehr konfliktgeladen, weil die anderen Gattinnen Muhammads auf die neue Nebenfrau eifersüchtig waren. Es wird angenommen, dass dies auch der Anlass für das seltsame Verbot war, das in [[w:Sure 33|Sure 33]] speziell für den Propheten ausgesprochen wird. Ihm wird dort verboten, weitere Frauen zu ehelichen, „auch wenn ihre Schönheit dir gefallen sollte“ ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/33/vers/52 Q 33:52]). Neben seinen Ehefrauen besaß Muhammad noch verschiedene Sklavinnen, die ihm als Konkubinen dienten. Eine von ihnen, [[w:Māriya al-Qibtīya|Maria, die Koptin]], der Muhammad besonders zugetan war, löste in Muhammads Harem einen derart großen Eifersuchtskonflikt aus, dass Muhammad gelobte, sich zukünftig von ihr fernzuhalten. Dieses Versprechen nahm er aufgrund der Indiskretion einer seiner Ehefrauen allerdings später wieder zurück, ein Vorfall, auf den auch im Koran ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/66/vers/1 Q 66:1-5]) Bezug genommen wird. [[Datei:Mohamed peace be upon him.svg|mini|Eine [[w:Tasliya|Tasliya]] in kalligraphischer Ausführung]] Wie sich an [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/33/vers/32 Sure 33:32] ablesen lässt, wurden Muhammads Ehefrauen auch von anderen Männnern begehrt. Damit sie sich auf Avancen von dieser Seite nicht einließen, wurde ihnen eine hohe Strafe für Ehebruch angedroht ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/33/vers/30 Q 33:30]). Des Weiteren wurden sie aufgefordert, in ihrem Haus zu bleiben und sich nicht „nach Art der früheren [[w:Dschāhilīya|Dschāhilīya]]“ herauszuputzen ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/33/vers/33 Q 33:33]). Außerdem wurden sie für die Zeit nach Muhammads Tod mit einem ewigen Heiratsverbot belegt ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/33/vers/53 Q 33:53]). Der Allgemeinheit der Gläubigen wurde um diese Zeit auferlegt, für den Propheten einen speziellen Segenswunsch zu sprechen, sobald er erwähnt wird ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/33/vers/56 Q 33:56]). Dadurch erhielt seine Person immer mehr einen sakrosankten Charakter. Der [[w:Tasliya|Tasliya]]-Segenswunsch bei Muhammads Erwähnung gilt bis heute im Islam als Pflicht. === 3.2.6. Rechtliche und soziale Reformen === Muhammad erfüllte, wie oben ([[#3.2.1. Die sogenannte „Gemeindeordnung von Medina“|3.2.1.]]) beschrieben, in Medina eine richterliche Funktion und entsprach damit in etwa dem Typ des altarabischen ''ḥakam''. Bei vielen Streitigkeiten, die vor ihn gebracht wurden, fällte er sein Urteil wahrscheinlich aufgrund früherer Rechtssetzung ([[w:Sunna|Sunna]]). Dort, wo sich das vorhandene System allerdings als unzulänglich erwies, lieferte er mit dem Koran neue Bestimmungen und Vorschriften. Die ersten Regelungen, die Muhammad nach der Hidschra traf, sind in [[w:al-Baqara|Sure 2]] festgehalten. Hier wird das altarabische [[w:Qisās|Qisās]]-System bestätigt, allerdings die Empfehlung ausgesprochen, die Wiedervergeltung durch Wergeld ([[w:Diya (Islam)|Diya]]) zu regeln ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/178 Q 2:178f]). Daneben wird Zinswucher ([[w:Ribā|Ribā]]) verboten (vgl. u.a. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/275 Q 2:275]). Auch der Bereich der Ehe wurde neu geordnet. Muhammad gab den Männern die Möglichkeit, ihre Frauen [[w:Talāq|zu verstoßen]], verbot ihnen aber für diesen Fall, etwas von ihrem Vermögen einzubehalten. Die Frau konnte selbst auch die Auflösung der Ehe verlangen, musste sich dann aber durch Rückgabe der [[w:Brautgabe|Brautgabe]] oder eines Teils davon loskaufen ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/229 Q 2:229]). Diese Form des Selbstloskaufs der Ehefrau, die bis heute existiert, wird im islamischen Recht [[w:Chulʿ|Chulʿ]] genannt. Nach Verstoßung seiner Frau kann der Mann diese erst dann wieder heiraten, wenn sie zwischenzeitlich einen anderen Mann geheiratet hat ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/230 Q 2:230]). Außerdem wurde die Vorschrift eingeführt, dass die Frau zwischen ihren Ehen eine drei- bzw. viermonatige Wartezeit (''ʿidda'') einhalten muss ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/228 Q 2:228], [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/234 2:234]). Auf diese Weise sollte die leibliche [[w:Vaterschaft|Vaterschaft]] sichergestellt werden. Des Weiteren führte Muhammad verschiedene strafrechtliche Regeln ein. So wurde bestimmt, dass männlichen und weiblichen Dieben „als Vergeltung für das, was sie begangen haben, und als Warnung vor Gott“ die Hand abgeschnitten werden sollte ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/5/vers/38 Q 5:38]). Verschiedene Überlieferungen verlegen auch das in [[w:Sure 5|Sure 5]] ausgesprochene allgemeine Weinverbot, das für den Islam [[w:Alkoholverbot im Islam|kennzeichnend]] geworden ist, in diese Zeit. An der Stelle selbst ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/5/vers/90 Q 5:90f]) wird das Verbot damit begründet, dass der Weingenuss genauso wie das Losspiel Feindschaft und Hass zwischen den Anhängern Muhammads säe und sie vom Gebet abhalte. Die Berichte zum Anlass der Verhängung dieses Verbots erklären, dass zuvor Streitereien unter betrunkenen Prophetengefährten vorgefallen waren, bei denen einzelne von ihnen sogar schwer verletzt worden waren. Nach Uhud führte Muhammad im Bereich der Geschlechter- und Eheregeln weitere wichtige Änderungen und Reformen durch, die hauptsächlich in [[w:an-Nisāʾ|Sure 4]] festgehalten sind. Den männlichen Muslimen wurde erlaubt, bis zu vier Frauen gleichzeitig zu heiraten ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/3 Q 4:3]), ihnen andererseits auferlegt, das Brautgeld den Ehefrauen selbst zu übergeben ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/4 Q 4:4]). Darüber hinaus legte der Koran genaue Erbschaftsregelungen fest, die auch weibliche Verwandte und Witwen berücksichtigten, Frauen allerdings immer nur die Hälfte dessen zugestanden, das Männer desselben Verwandtschaftsgrades erhielten ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/7 Q 4:7-14]). Ehefrauen gehörten fortan nicht mehr zum Erbgut des Verstorbenen ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/19 Q 4:19]) und durften auch nicht mehr von dessen Söhnen geheiratet werden ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/23 Q 4:23]). In Anbetracht ihrer Unterhaltspflicht gegenüber den Frauen wurde den Männern erlaubt, diese im Falle der Aufsässigkeit zu züchtigen ([[w:Sure 4:34|Q 4:34]]). Besuchsehen (vgl. oben [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 01#1.3.2._Geschlechterverhältnisse|1.3.2.]]) wurden weiter zugelassen, allerdings daran gebunden, dass der Mann die Frau entlohnte und die Frau keine Beziehungen zu mehreren Männern gleichzeitig unterhielt ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/24 Q 4:24f]). Damit wurde die altarabische Institution der [[w:Polyandrie|Polyandrie]], die Ehe einer Frau mit mehreren Männern, verboten. Frauen, denen durch vier Zeugen sexuelles Fehlverhalten nachgewiesen werden konnte, sollten lebenslang unter Arrest gestellt werden ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/15 Q 4:15]). Muhammads Haltung zum Institut der zeitlich begrenzten Besuchsehe scheint allerdings nicht ganz eindeutig gewesen zu sein. In verschiedenen islamischen Quellen wird überliefert, dass er solche Verhältnisse anlässlich der [[w:Chaibar_(Feldzug)|Schlacht von Chaibar]] verboten, später aber wieder erlaubt habe. Insgesamt lässt die neue Eheordnung den Willen erkennen, einen Ausgleich zwischen den beiden im alten Arabien existierenden Ehesystemen (vgl. oben [[#3.1.2. Die Abwehr des mekkanischen Gegenschlags|3.1.2.]]) zu schaffen. {{Anker|Halskettenskandal}} Ein Skandal um Muhammads junge Ehefrau [[w:Aischa bint Abi Bakr|ʿĀ'ischa]] führte zu einer Verschärfung des Sexualstrafrechts. Hintergrund war ein Vorfall auf einem Feldzug im Januar 627. Es wird erzählt, dass sich ʿĀ'ischa auf dem Rückweg von diesem Feldzug nach Medina auf der Suche nach einer verlorenen Halskette vom Rastplatz entfernte, bei ihrer Rückkehr das Lager abgebrochen fand und am nächsten Tag von einem jungen Mann namens Safwān ibn al-Muʿattal zurückgebracht wurde. Der durch diesen Vorfall hervorgerufene Skandal spaltete die Gemeinschaft, weil einige prominente Muslime ʿĀʾischa öffentlich der Untreue beschuldigten. Muhammad schickte ʿĀʾischa zunächst in ihr Elternhaus zurück und erwog wohl ihre Verstoßung, überzeugte sich dann aber durch eine Eingebung ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/24/vers/11 Q 24:11-20]) von der Grundlosigkeit dieser Verdächtigung und nahm sie wieder zu sich auf. Im Zusammenhang mit diesem Vorfall wurde die Regel eingeführt, dass diejenigen, die ehrbare Frauen in Verruf bringen, ohne vier Zeugen beizubringen, 80 Peitschenhiebe erhalten sollten ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/24/vers/4 Q 24:4]). Auf [[w:Zinā|außerehelichen Geschlechtsverkehr]] wurden als neue Strafe nun 100 Peitschenhiebe eingeführt ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/24/vers/2 Q 24:2]). Eine Neuregelung, die zunächst nur die Frauen Muhammads betraf, war das [[w:Hidschāb|Hidschāb]]-Gebot. Anlass für diese Neuregelung war wahrscheinlich Muhammads Hochzeit mit [[w:Zainab bint Dschahsch|Zainab bint Dschahsch]] im Frühjahr 627. Bei der Hochzeitsfeier kam es nämlich zu einem Zwischenfall. Der Prophet fühlte sich durch Männer belästigt, die offenbar ohne Erlaubnis sein Haus betreten und mit seinen Frauen Kontakt aufgenommen hatten. Als Folge dieses Vorfalls wurde bestimmt, dass sich die Frauen des Propheten künftig hinter einem Vorhang (''ḥiǧāb'') verbergen sollten, wenn sie mit Männern sprachen ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/33/vers/53 Q 33:53]). Das Hidschāb-Gebot galt allerdings nur für Muhammads freie Frauen. Im Zusammenhang mit der Eheschließung mit Safīya wird berichtet, dass Muhammad ihr zum Zeichen ihrer Freilassung den Hidschāb auferlegte. In einem anderen Vers derselben Sure wird der Prophet aufgefordert, die „Frauen der Gläubigen“ insgesamt dazu anzuhalten, sich in der Öffentlichkeit zu verhüllen ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/33/vers/59 Q 33:59]). Dieses Verhüllungsgebot wurde später zusammen mit dem Hidschāb zu einem festen Bestandteil der traditionellen islamischen Geschlechterordnung. Die Eheschließung mit Zainab brachte übrigens noch eine andere rechtliche Neuerung mit sich. Auch in diesem Fall war persönliche Zuneigung Muhammads mit im Spiel. Zainab war ursprünglich die Gattin von Muhammads Adoptivsohn Zaid ibn Hāritha gewesen. Es wird berichtet, dass Muhammad, als er einmal mit Zaid sprechen wollte, diesen nicht zu Hause antraf, sondern nur Zainab, die gerade leicht bekleidet war, und daraufhin in heißer Liebe zu ihr entbrannte. Zainab berichtete Zaid von dem Besuch und den Andeutungen, die Muhammad beim Weggehen gemacht hatte. Zaid verstand diese Andeutungen und trennte sich von Zainab, um sie ihm zu überlassen. Muhammads Plan, Zainab zu heiraten, löste allerdings in der Gesellschaft von Medina Empörung aus, da die Ehe mit der früheren Ehefrau des eigenen Sohns, auch wenn er nur ein „Nennsohn“ (''daʿī'') war, als inzestuös betrachtet wurde. Muhammad setzte sich jedoch über diese Einwände hinweg und heiratete Zainab. Durch eine Offenbarung wurde diese Ehe nachträglich gerechtfertigt ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/33/vers/37 Q 33:37]) und als von Gott verhängtes Geschick ([[w:Qadar|Qadar]]) abgesegnet ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/33/vers/38 Q 33.38]). Wahrscheinlich im Zusammenhang mit diesen Vorfällen wurde auch insgesamt das Rechtsinstitut der [[w:Adoption|Adoption]] verboten ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/33/vers/4 Q 33:4f]), ein Verbot, das bis heute die Rechtsordnung des Islams prägt. == 3.3. Die Weiterentwicklung des islamischen Kultus == === 3.3.1. Die Anfänge der Moschee und die Weiterentwicklung der Salāt === [[Bild:Oldquba.jpg|mini|Die [[w:Qubāʾ-Moschee|Moschee von Qubā']] zu Anfang des 20. Jahrhunderts]] Als Muhammad nach der Hidschra im September 622 in der Oase von Yathrib ankam, wohnte er die ersten Tage in Qubā', einem südlichen Vorort von Yathrib. Für die [[w:Salāt|Salāt]] nutzte er einen Masdschid, den Anhänger von ihm dort angelegt hatten. ''Masdschid'' hängt mit dem Wort [[w:Sudschūd|Sudschūd]] zusammen und bedeutet soviel wie „Ort der Prosternation“ (vgl. oben [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 01#1.3.3. Das altarabische Heidentum und die Heiligtümer von Mekka|1.3.3.]]). Es ist der gleiche Begriff, der auch für das Heiligtum in Mekka verwendet wurde, das für die Muslime nun nicht mehr erreichbar war (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/8/vers/34 Q 8:34]). Von ''Masdschid'' leitet sich auch das deutsche Wort „Moschee“ ab, das wahrscheinlich über das spanische ''mezquita'' und das italienische ''moschea'' aus dem Arabischen entlehnt wurde. Aufgrund ihrer besonderen Rolle in der islamischen Geschichte gilt die [[w:Qubāʾ-Moschee|Moschee von Qubā']] den Muslimen als besonders heilig. Sie soll auch mit dem im Koran genannten „Masdschid, der vom ersten Tag auf Gottesfurcht gegründet war“ ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/108 Q 9:108]) identisch sein. Bis heute wird sie bei der Wallfahrt von Scharen muslimischer Pilger zum Gebet aufgesucht. Neben dem Masdschid von Qubā' bestanden in Yathrib noch verschiedene andere private Gebetsplätze. Muhammad fasste nach kurzer Zeit den Entschluss, ebenfalls einen Masdschid zu errichten. Er wählte dafür einen Ort im Viertel der Banū n-Naddschār aus, in dem er Aufnahme gefunden hatte. Zusammen mit seinen Anhängern errichtete er dort einen Hof von etwa 35 x 30 m, der mit einer Ziegelmauer eingefasst war. Muhammad selbst schlief in einer der Kammern an der Außenmauer. Der Bau war also auch gewissermaßen Muhammads Haus. An der nördlichen Seite, wo zunächst gebetet wurde, schützte ein Schattendach (''ṣuffa'') aus Palmblättern und Lehm die Betenden vor der Sonne. Nach der Verlegung der Gebetsrichtung nach Mekka (siehe unten) nutzten mittellose Muhādschirūn und solche, die in Yathrib keine Unterkunft hatten, den Platz als Zufluchtsort und übernachteten hier. Aufgrund ihrer Armut und besonderen Nähe zum Propheten gelten diese „Leute des Schattendachs“ ([[w:Ahl as-Suffa|Ahl as-Suffa]]) bis heute vielen Muslimen als religiöses Vorbild. Die Moschee Muhammads entwickelte sich im Laufe der Zeit zum Zentrum des Gemeindelebens seiner Anhänger. Die Gebete wurden durch einen öffentlichen Ruf, [[w:Adhān|Adhān]] genannt, angekündigt. Als ersten Gebetsrufer (''muʾaḏḏin'', davon abgeleitet das deutsche Wort [[w:Muezzin|Muezzin]]) soll Muhammad den Äthiopier [[w:Bilāl ibn Rabāh|Bilāl ibn Rabāh]] eingesetzt haben, der deswegen gewissermaßen als Vorbild aller späteren Muezzine gilt. Man versammelte sich in Muhammads Moschee allerdings nicht nur zum Gebet, sondern hielt auch Beratungen ab, empfing Gesandtschaften und pflegte Verwundete. In den angrenzenden Räumlichkeiten wurden die Ehefrauen Muhammads untergebracht. Auf Grundlage des enormen ökonomischen Zugewinns, den die Gemeinschaft der Muslime nach der Schlacht von Chaibar erlebte, konnte der Bau 628 auf etwa 50 x 50 m erweitert werden. Auch im Gebetsritus erfolgten in den Jahren nach der Hidschra einige Änderungen. Parallel zur Einführung eines dritten Tagesgebets (vgl. oben [[#3.2.2. Die Auseinandersetzung mit den Juden|3.2.2.]]) wurde die Pflicht zur Abhaltung der Vigilien gelockert ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/73/vers/20 Q 73:20]). Nach dem Zerwürfnis mit den jüdischen Stämmen löste sich Muhammad von der Gebetsrichtung ([[w:Qibla|Qibla]]) nach Jerusalem, und es begann ein Prozess der schrittweisen Umorientierung. Zunächst wurde betont, wie gleichgültig es ist, nach welcher Richtung man betet, weil Gott überall ist ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/115 Q 2:115]). Schließlich wurde als neue Qibla die „Heilige Kultstätte“ ([[w:al-Masdschid al-Harām|al-Masdschid al-Harām]]) in Mekka festgelegt (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/144 Q 2:144]), wobei offensichtlich die frühere Gebetsrichtung noch als gleichberechtigt anerkannt wurde (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/148 Q 2:148]). In der Mitte von Muhammads medinischer Periode wurden außerdem einige Bestimmungen für den Zustand erlassen, in dem sich die Gläubigen befinden mussten, wenn sie sich dem Gebet näherten: Wenn sie unrein (''ǧunub'') waren, sollten sie vorher eine Waschung vornehmen, und wenn sie vom Abort kamen oder eine Frau berührt hatten, sich vorher mit Wasser oder ersatzweise Erde über Gesicht und Hände streichen ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/43 Q 4:43]; [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/5/vers/6 5:6]). Etwa um die gleiche Zeit wurde die Salāt für alle Muslime zu einer obligatorischen Pflicht. Das geht aus koranischen Passagen dieser Periode hervor, die beschreiben, dass die Munāfiqūn nur widerwillig an diesem Ritual teilnahmen (vgl. z.B. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/142 Q 4:142]). === 3.3.2. Ramadān-Fasten und Festgebet === Eines der größten [[w:Jamim_Noraim|Feste im Judentum]] ist das Fasten am [[w:Jom Kippur|Jom Kippur]], dem zehnten Tag des Monats [[w:Tischri|Tischri]]. Die Juden in Yathrib nannten diesen Tag wegen seiner Stellung im Monat einfach den Zehnten ([[w:Aschura|ʿĀschūrā']]), so wie er auch im Alten Testament (Lev 16:29) genannt wird. Als sich nach Muhammads Ankunft in Yathrib zum ersten Mal der zehnte Tag des Tischri näherte, befahl er seinen Anhängern, zusammen mit den Juden an diesem Tag zu fasten. Der Koran legt davon noch Zeugnis ab: „Ihr Gläubigen! Euch ist vorgeschrieben worden zu fasten, so wie es auch denjenigen, die vor euch lebten, vorgeschrieben worden ist“ ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/183 Q 2:183]). Die Juden fasteten an diesem Tag von einem Abend zum nächsten, und auch die Muslime übernahmen diese Gewohnheit. Im Zuge seiner Abwendung von den Juden im Jahre 624 löste sich Muhammad aber auch von den jüdischen Fastenvorschriften und führte das dreißigtägige Tagesfasten im Monat [[w:Ramadan|Ramadān]] ein. Der Ramadān hatte spätestens seit der Schlacht von Badr, die in diesem Monat stattgefunden hatte, eine besondere Bedeutung bei den Muslimen. Er galt nun auch als Monat der Herabsendung des Korans (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/185 Q 2:185]) und wurde mit einem speziellen Fastenritus geehrt, der das frühere ʿĀschūrā'-Fasten ablöste. Die ersten Regelungen für das Ramadānfasten finden sich in den beiden Koranversen 2:185 und [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/187 2:187]. Diese beiden Verse liefern die Grundlage für die ausführlichen Fastenvorschriften, die die muslimischen Rechtsgelehrten in späterer Zeit ausarbeiteten. Zum Fasten gehörte neben dem Verzicht auf Speisen und Getränke auch die Enthaltung vom Geschlechtsverkehr. Geschlechtsverkehr in den Nächten des Ramadān wurde dagegen ausdrücklich erlaubt, mit der Begründung, dass Mann und Frau einander wie Kleider seien. Nur für die Zeit des [[w:Iʿtikāf|Iʿtikāf]], eine besondere Andachtszeit am Ende des Ramadāns, wurde das nächtliche Sexualverbot aufrechterhalten (Q [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/187 2:187]). Die letzten Ramadān-Nächte hatten schon früh eine Sonderstellung im religiösen Leben der Muslime, weil die Auffassung bestand, dass der Koran in einer dieser Nächte herabgesandt worden war. Diese Nacht der Herabsendung des Korans wird entsprechend [[w:Sure 97|Sure 97]] als [[w:Lailat al-Qadr|Lailat al-Qadr]] („Nacht der Vorsehung“) bezeichnet und gilt als besonders heilige Zeit. [[Datei:Eid Gaah Mahoba - panoramio - Dr. Nizam.jpg|mini|ʿĪdgāh in [[w:Mahoba|Mahoba]], Indien]] Eingeführt wurde in dieser Zeit auch ein [[w:Fest des Fastenbrechens|Fest des Fastenbrechens]] (''ʿīd al-fiṭr'') am Anfang des nachfolgenden Monats [[w:Schawwāl|Schauwāl]]. Bei dieser Gelegenheit, so wird überliefert, begab sich Muhammad mit den Gläubigen in einem prozessionsartigen Zug zu einem Platz außerhalb der Stadt, wobei ihnen Bilāl mit einer Lanze (''ʿanaza'') – ursprünglich ein Geschenk des äthiopischen [[w:Negus|Negus]] – vorauslief. Während des Gebetes wurde dann die Lanze als Markierung für die Qibla an einer Stelle in den Boden gesteckt. An diesem Gebetsplatz ([[w:Musallā|Musallā]]) fanden jetzt auch die Regengebete und das Gebet zum [[w:Islamisches Opferfest|Opferfest]] (''ʿīd al-aḍḥā'') am 10. [[w:Dhū l-Hiddscha|Dhū l-Hiddscha]] statt. Das Opferfest wurde zu dieser Zeit wahrscheinlich neu eingeführt und knüpfte an die Opferzeremonien an, die beim [[w:Haddsch|Haddsch]] an diesem Tag in [[w:Minā|Minā]] vollzogen wurden (siehe oben [[Bamberger_Einführung_in_die_Geschichte_des_Islams_(BEGI)_01#1.3.3._Das_altarabische_Heidentum_und_die_Heiligtümer_von_Mekka|1.3.3.]]). Üblicherweise hielt der Prophet nach Abschluss dieser Gebete eine Ansprache ([[w:Chutba|Chutba]]), in der er die Gläubigen dazu aufforderte, sich an gemeinsamen (kriegerischen) Unternehmungen zu beteiligen. Bis heute hat sich das vormittägliche Festgebet als Sonderritus erhalten. Auch ist es in vielen islamischen Ländern bis heute üblich, Festgebete und Regengebete an einem speziellen Festplatz ([[w:ʿĪdgāh|ʿĪdgāh]]) außerhalb der Stadt zu vollziehen. == 3.4. Weiterführende Literatur == * Andreas Görke: “Between History and Exegesis: The Origins and Transformation of the Story of Muḥammad and Zaynab Bt Ǧaḥš” in ''Arabica'' 65/1-2 (2018) 31–63. * [[w:Meir Jacob Kister|Meir Jacob Kister]]: “The Market of the Prophet”. In: ''Journal of the Economic and Social History of the Orient''. 8 (1965) 272–276. [http://www.kister.huji.ac.il/content/market-prophet Digitalisat] * Michael Lecker: ''The 'Constitution of Medina'. Muḥammad’s First Legal Document''. Darwin Press, Princeton NJ 2004. [https://archive.org/details/the-constitution-of-medina-muhammads-first-legal-document-by-micheal-lecker-2004/page/n1/mode/2up Digitalisat] * Michael Lecker: ''Muslims, Jews and Pagans. Studies on early Islamic Medina.'' Leiden: Brill 1995. * David S. Powers: ''Muḥammad is not the father of any of your men. The making of the last prophet''. Philadelphia 2009. * Hannah Rahman: "The Conflicts Between the Prophet and the Opposition in Madina" in ''Der Islam'' 62/2 (1985) 260-297. [https://doi.org/10.1515/islm.1985.62.2.260 Digitalisat] * Uri Rubin: “The Assassination of Kaʿb b. al-Ashraf”, in ''Oriens'' 32 (1990) 65–71. * Richard B. Serjeant: The Sunna Jāmiʿah, „Pacts with the Yathrib Jews, and the Taḥrīm of Yathrib. Analysis and Translation of the Documents Comprised in the So-Called ‘Constitution of Medina’“ in ''Bulletin of the School of Oriental and African Studies'' 41 (1978) 1–42. * [[w:William Montgomery Watt|William Montgomery Watt]]: ''Muhammad at Medina.'' Oxford: Oxford University Press 1956. [https://archive.org/details/muhammadatmedina029655mbp/page/n9/mode/2up Digitalisat] * William Montgomery Watt: ''Muḥammad: Prophet and Statesman''. London: Oxford University Press 1961. * [[w:Julius Wellhausen|Julius Wellhausen]]: ''Mohammeds Gemeindeordnung von Medina. Skizzen und Vorarbeiten''. Bd. IV. Reimer, Berlin, 1889. S. 65–83. [http://archive.org/stream/medinavordemisl00sagoog#page/n74/mode/2up Digitalisat] == 3.5. Aufgaben/Fragen == 1. Wie ist das Konzept des Dschihad entstanden? 2. Was beinhaltete der Vertrag von Hudaibiya und inwiefern stellte er einen Triumph für Muhammad dar? 3. Welche Regeln beinhaltete die Gemeindeordnung von Medina? 4. Ab dem Ende der mekkanischen Zeit näherte sich Muhammad dem Judentum an. Wie äußerte sich das auf religiöser Ebene? 5. Geben Sie einen Überblick über die militärische Auseinandersetzung Muhammads mit den Juden von Medina und Umgebung. 6. Muhammad erlebte während seiner Zeit in Medina einen allmählichen Machtzuwachs. Worin zeigte sich dieser? 7. Nennen Sie rechtliche Regeln, die während der Zeit in Medina eingeführt wurden. 8. Erklären Sie, wie der Ramadān zum heiligen Monat der Muslime geworden ist und welche Vorstellungen und Praktiken mit ihm verbunden sind. {{Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI)/Navigation}} ncxidm5gcpf5w9jyqsxodoa7dj1w72b 0 98682 1116460 1113873 2026-10-16T14:55:15Z PaFra 14559 /* 4.2.1. Die Ereignisse der Saqīfa und die Anfänge des Kalifats */ 1116460 wikitext text/x-wiki {{Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI)/Navigation}} [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 03|3 <<<]] — [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 05|>>> 5]] {{TOC nonum}} = 4. Die Expansion des islamischen Staates und das frühe Kalifat (630-656) = Der Staat von Yathrib/Medina steigt zur wichtigsten Macht in Arabien auf. Muhammads Tod 632 stürzt ihn zwar in eine schwere Krise, doch kann sie schnell überwunden und mit Hilfe der arabischen Stämme eine Expansionsbewegung in Gang gesetzt werden, die zur Eroberung des gesamten Vorderen Orients führt. Wichtige religiöse Neuerungen: die Reform des Kalenders und die Kodifizierung des Korans. == 4.1. Die letzten Jahre des Propheten (630-632) == === 4.1.1. Aussöhnung mit den Quraisch und Anschluss der Araber === Wenige Tage nach der Einnahme von Mekka durch die Muslime zog vom Südosten her eine neue militärische Gefahr herauf. Die Stämme der Hawāzin und der Thaqīf hatten eine Armee von 20.000 Kämpfern aufgestellt und bedrohten damit Mekka. Da die Hawāzin nicht nur Muhammad und den Muslimen, sondern auch den heidnisch gebliebenen Quraisch feindlich gegenüber standen, ergab sich die Gelegenheit zu einem Ausgleich. Als Muhammad die heidnischen Mekkaner dazu aufforderte, zusammen gegen den gemeinsamen Feind zu ziehen, schlossen sich ihm etwa 2.000 Mann von ihnen an. In dem Tal [[w:Hunain|Hunain]] kam es zu einer Schlacht, bei der zeitweise der Ausgang unsicher schien (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/25 Q 9:25f]), doch am Ende siegten Muhammads Truppen und eroberten das feindliche Lager. Viele der früheren mekkanischen Gegner Muhammads, darunter auch die Söhne [[w:Abū Sufyān ibn Harb|Abū Sufyāns]], konnten bei dieser Gelegenheit durch eine großzügige Beuteverteilung für den Islam gewonnen werden. Diese mekkanischen „Spätkonvertiten“ werden in Anlehnung an einen Koranvers, der auf das Ereignis Bezug nimmt ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/60 Q 9:60]), als ''al-muʾallafa qulūbu-hum'' („die, deren Herzen gewonnen wurden“) bezeichnet. Zu einem raschen Interessenausgleich mit früheren Gegnern trug auch bei, dass Muhammad die Familien, die bisher die kultischen Ämter in Mekka ausgeübt hatten, in diesen Ämtern bestätigte. So übergab er einem Angehörigen der ʿAbd ad-Dār, die schon vorher das Türhüteramt der Kaaba versehen hatten, den Schlüssel des Heiligtums als Zeichen seiner erblichen Belehnung mit diesem Amt. Bis heute haben die Banū Schaiba, die Nachkommen von Schaiba ibn ʿUthmān aus dem Clan ʿAbd ad-Dār, dieses Türhüteramt der Kaaba inne. [[File:Jami Masjid, Mandu - minbar 01.jpg|mini|[[w:Minbar|Minbar]] in der Freitagsmoschee von [[w:Mandu (Stadt)|Mandu]], 14. Jh.]] Nach der Schlacht von Hunain im Frühjahr 630 war die Expansion der neuen Religion in das Innere der Arabischen Halbinsel überwältigend. Muhammad sandte Briefe an die in den verschiedenen Teilen der arabischen Halbinsel lebenden Stämme und forderte sie auf, den Islam anzunehmen. Verschiedene Stämme wie die [[w:Azd (Stamm)|Azd]], [[w:Kinda (Arabien)|Kinda]] und [[w:Bāhila|Bāhila]] schickten umgekehrt Gesandtschaften zu ihm und baten ihn um Aufnahme in sein Bündnis. Deshalb wird das Jahr nach der Einnahme Mekkas in der islamischen Geschichtsschreibung auch das „Jahr der Gesandtschaften“ (''ʿām al-wufūd'') genannt. Bei seinen Predigten und Verhandlungen mit den Delegationen verwendete der Prophet jetzt häufig den [[w:Minbar|Minbar]], einen kanzelartigen Thron aus Holz. Ursprünglich wohl ein Hoheitssymbol, wurde der Minbar später als Ort, von dem aus die Freitagspredigt gehalten wird, zu einem festen Bestandteil der Innenausstattung von Moscheen. Für offene Gegner des Propheten wurde das Leben auch außerhalb Mekkas nun immer schwieriger. Sicher waren sie nur, wenn sie sich dem Propheten unterwarfen und den Islam annahmen. So tat es beispielsweise [[w:ʿIkrima ibn Abī Dschahl|ʿIkrima]], der Sohn von [[w:Abū Dschahl|Abū Dschahl]], der bis zuletzt gegen Muhammad gekämpft hatte und zunächst in den Jemen geflohen war. Bekannt geworden ist auch der Dichter [[w:Kaʿb ibn Zuhair|Kaʿb ibn Zuhair]], der in satirischen Versen Muhammad angegriffen hatte und deshalb zur Tötung freigegeben worden war. Er tauchte in dieser Zeit überraschend in Medina auf und trug öffentlich ein Lobgedicht auf den Propheten und die Quraisch vor. Dieses mit den Worten ''Bānat Suʿād'' beginnende Gedicht wurde später zu einem der wichtigsten religiösen Gedichte des Islams und ist als solches immer wieder kommentiert und schmückend erweitert worden. Im Herbst 630 kam es noch einmal zu einer internen Krise, als Muhammad, offenbar gegen den Willen vieler seiner Anhänger (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/81 Q 9:81]), einen Feldzug gegen die Byzantiner und ihre arabischen Bundesgenossen an der syrischen Grenze unternahm. Zeitgleich mit diesem [[w:Feldzug nach Tabūk|Feldzug nach Tabūk]] setzten sich einige von Muhammads Anhängern ab, errichteten sich eine eigene Moschee (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/107 Q 9:107-11]) und heckten gegen den Propheten eine Intrige aus. Die Koranverse, die diese Situation verarbeiten, fordern den Propheten auf, hart gegen die als [[w:Munāfiq|Munāfiqūn]] und [[w:Kāfir|Kuffār]] bezeichnete Gruppe vorzugehen und drohen diesen als Apostaten die Höllenstrafe an (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/73 Q 9:73f]). Den Gläubigen wurde umgekehrt im Koran für ihren kämpferischen Einsatz großer jenseitiger Lohn in Aussicht gestellt. Das Verhältnis zwischen ihrem Einsatz und der jenseitigen Belohnung wird dabei nach Art eines Handelsgeschäfts mit Gott beschrieben: {{Zitat|Gott hat den Gläubigen ihr Leben und ihr Vermögen dafür abgekauft, dass sie das Paradies haben sollen. Sie sollen kämpfen für die Sache Gottes und töten und getötet werden. Das ist ein ihn bindendes Versprechen [...]. Und wer hält sein Versprechen getreuer als Gott? Freut euch also über das, was ihr erkauft habt. Denn das ist der große Gewinn.|[https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/111 Q 9:111]}} Mit diesem und ähnlich lautenden Versen (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/74 Q 4:74]; [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/61/vers/10 61:10]) wurde im Islam ein eigenes Konzept des Märtyrertums begründet: Derjenige, der sich im Kampf selbst aufopfert und den Tod auf dem Schlachtfeld findet, ist kein Verlierer, sondern in Wirklichkeit der „große Gewinner“. Diese Form der religiösen Mobilisierung der Gläubigen zum Kampf hat möglicherweise entscheidend zur schnellen Expansion des islamischen Staates beigetragen. === 4.1.2. Muslime und Nicht-Muslime === Die Annahme des Islams wurde jetzt zur strikten Vorbedingung einer Aufnahme in das Bündnis mit Mohammed. Das bedeutete zugleich, dass sich ihm immer mehr Menschen rein aus politischen und wirtschaftlichen Gründen anschlossen, der neuen Religion jedoch innerlich kaum zugetan waren. Das galt wohl vor allem für die Beduinen, wie aus einem in dieser Hinsicht vielsagenden Koranvers hervorgeht: {{Zitat|Die Wüstenaraber (''al-Aʿrāb'') sagen: Wir glauben! Sprich: Ihr glaubt nicht! Sagt vielmehr: Wir haben uns unterworfen. Denn der Glaube ist noch nicht in eure Herzen eingedrungen.|[https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/49/vers/14 Sure 49:14]}} Unterwerfung (''islām'') unter den Willen Gottes und seines Gesandten, so sagt es uns dieser Vers, bedeutete eben nicht immer auch innerliche Annahme des Glaubens ([[w:Īmān|Īmān]]). Um als „Brüder in der Religion“ anerkennt zu werden, war es allerdings nur notwendig, das Gebet ([[w:Salāt|Salāt]]) zu verrichten und die Läuterungsgabe ([[w:Zakāt|Zakāt]]) entrichten (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/11 Q 9:11]). Die in frühmekkanischer Zeit als fromme Übung eingeführte Zakāt hatte sich offenbar bis zu diesem Zeitpunkt zu einer Art Almosensteuer entwickelt. Als Synonym für ''zakāt'' erscheint in dieser Zeit im Koran auch das Wort [[w:Sadaqa|Sadaqa]] (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/103 Q 9:103]). Zum Einzug dieser Abgaben, aber auch zur Unterweisung der neu bekehrten Stämme in der Religion sandte Muhammad mehrere seiner Gefährten in die verschiedenen Gebiete der arabischen Halbinsel, so zum Beispiel [[w:Abū Huraira|Abū Huraira]] nach Bahrain in Ostarabien (nicht identisch mit dem heutigen Staat [[w:Bahrain|Bahrain]]), [[w:ʿAmr ibn al-ʿĀs|ʿAmr ibn al-ʿĀs]] nach [[w:Oman|Oman]] und Muʿādh ibn Dschabal in den [[w:Jemen|Jemen]]. Nachdem Muhammad mit den Heiden und Juden gebrochen hatte, scheint er noch lange eine positive Einstellung gegenüber dem Christentum gewahrt zu haben. Das zeigt eine Stelle im Koran, an der es heißt: {{Zitat|Du wirst sicher finden, dass diejenigen Menschen, die sich den Gläubigen gegenüber am meisten feindlich zeigen, die Juden und die Heiden sind. Und du wirst sicher finden, dass diejenigen, die den Gläubigen in Liebe am nächsten stehen, die sind, welche sagen: Wir sind Christen (''Naṣārā''). Dies deshalb, weil es unter ihnen Priester und Mönche gibt, und weil sie nicht hochmütig sind.|[https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/5/vers/82 Q 5:82]}} In den Korankommentaren wird bei diesem Vers auf die positiven Erfahrungen, die Muhammads Anhänger im christlichen Äthiopien gemacht hatten, verwiesen. Grundsätzlich war Muhammad allerdings der Auffassung, dass er von Jesus als Gesandter angekündigt worden war (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/61/vers/6 Q 61:6]) und der Koran nicht nur eine Bestätigung der Tora, sondern auch des Evangeliums ([[w:Indschīl|Indschīl]]) darstellt (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/3/vers/3 Q 3:3]), und die Christen von daher wie die Juden vor die Aufgabe gestellt waren, seinen religiösen Führungsanspruch anzuerkennen und zum Islam überzutreten. Bei Verhandlungen mit Abgesandten christlicher Gemeinschaften der arabischen Halbinsel machte der Prophet nun aber die Erfahrung, dass diese im Gegensatz zu den heidnischen Arabern eben nicht bereit waren, den Islam anzunehmen. Besonders bekannt geworden ist der Fall einer Delegation von Geistlichen aus [[w:Nadschran|Nadschrān]], dem Zentrum des südarabischen Christentums, die zum Ausdruck brachten, dass sie sich zwar der politischen Macht des Propheten fügen, aber nicht zum Islam übertreten wollten, weil sie sich selbst im Besitz der wahren Religion sahen. In diesen historischen Zusammenhang wird von der islamischen Tradition die koranische Aussage gestellt, dass Jesus vor Gott gleich Adam und wie er allein durch das Schöpferwort ''kun'' („Sei!“) erschaffen worden sei ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/3/vers/59 Q 3:59]). Muhammad soll dieses Koranwort den christlichen Geistlichen aus Nadschrān entgegengehalten haben, als es zu einem Streit über die von den Christen behauptete [[w:Sohn Gottes|Gottessohnschaft]] Jesu‘ kam. Anschließend, so berichten die arabischen Quellen, forderte er die Geistlichen zur Herbeiführung eines Gottesurteils über die Wahrheit der beiden religiösen Positionen durch gegenseitige Verfluchung ([[w:Mubāhala|Mubāhala]]) auf (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/3/vers/61 Q 3:61]), was diese jedoch ablehnten. Schließlich einigte man sich darauf, dass die Leute von Nadschrān dem Propheten einen jährlichen Tribut entrichten sollten, wofür umgekehrt der Prophet ihnen den Schutz für Leben und Religion zusicherte. Die Verschlechterung der Beziehungen zu den Christen lässt sich auch darauf zurückführen, dass der Prophet in dieser Zeit verstärktes Interesse an der Expansionsroute nach Syrien zeigte, wo in der Mehrzahl Christen lebten und nicht zum Islam konvertieren wollten. Bei ihnen kam nun ebenfalls das Modell der Tributzahlung zur Anwendung. Die arabischen Quellen berichten, dass sich als Folge des [[w:Feldzug nach Tabūk|Feldzuges nach Tabūk]] im Herbst 630 mehrere christliche Gemeinden am [[w:Golf von Akaba|Golf von Akaba]] in Nordwestarabien, darunter auch die Stadt [[w:Eilat|Aila]], dem Propheten unterwarfen und bereit erklärten, die sogenannte [[w:Dschizya|Dschizya]], an ihn zu entrichten. Der arabische Begriff ''Dschizya'' hat die Grundbedeutung von „Ausgleich, Kompensation“. Was die Dschizya-Zahlung ausgleichen sollte, lässt sich nicht mit Gewissheit sagen. Allerdings hat diese Abgabe eine koranische Grundlage in [[w:Sure 9|Sure 9]], wo die Muslime aufgefordert werden, gegen die [[w:Ahl al-kitāb|Ahl al-kitāb]] zu kämpfen, bis „sie kleinlaut aus der Hand die Dschizya entrichten“ ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/29 Q 9:29]). Die Pflicht zum Kampf gegen Juden und Christen wird an der betreffenden Stelle daraus abgeleitet, dass sich die beiden Religionsgemeinschaften fälschlicherweise neben Gott [[w:Rabbinen|Rabbinen]] und [[w:Mönch|Mönche]] zu Herren genommen hätten ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/31 Q 9:31]), von [[w:Esra (Person)|Esra]] bzw. Christus behaupteten, sie seien Gottes Sohn, und damit die Rede der früheren Ungläubigen nachahmten ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/30 Q 9:30]). Diese koranischen Aussagen legitimierten eine neue, aggressivere Haltung gegenüber den Christen, bedeuteten aber andererseits auch, dass Juden und Christen die Möglichkeit gegeben wurde, bei Unterwerfung ihre Religion weiter auszuüben. Auch gegenüber [[w:Zoroastrier|Zoroastriern]] zeigte Muhammad diese Haltung. Als ihm zu Ohren kam, dass sich die auf dem Gebiet von Bahrain lebenden Zoroastrier weigerten, den Islam anzunehmen, ließ er ihnen unter der Bedingung, dass sie die Dschizya entrichteten, diese Freiheit. Als Rechtfertigung dafür soll er das bekannte Koranwort: „[[w:Kein Zwang in der Religion|Es gibt keinen Zwang in der Religion]]“ ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/256 Q 2:256]) herangezogen haben. === 4.1.3. Neuordnung der Wallfahrt und Reform des Kalenders === Im Jahr der Einnahme Mekkas (630) hielten sich Muhammad und seine engsten Gefährten vom Haddsch, der für die muslimischen und nicht-muslimischen Pilger noch ganz nach den altgewohnten Riten ablief, fern. Im Jahre darauf (631) beauftragte Muhammad seinen Gefährten [[w:Abū Bakr|Abū Bakr]], den Haddsch anzuführen. Während dieser sich bereits in Mekka befand, schickte ihm der Prophet seinen Vetter ʿAlī nach, der in [[w:Minā|Minā]] die folgenden Worte öffentlich verkündete, die auch Teil des Korans sind: {{Zitat|Eine Ankündigung von Gott und seinem Gesandten an die Leute am Tag der großen Wallfahrt: Gott hat keine Verpflichtung mehr gegenüber den [[w:Muschrik|Beigesellern]], und sein Gesandter ebenfalls nicht. Wenn ihr bußfertig umkehrt, ist das besser für euch. Wenn ihr euch aber abwendet, dann wisset, dass ihr Gott nicht zuschanden machen könnte. Und verheiße den Ungläubigen schmerzliche Strafe.|[https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/3 Q 9:3]}} Kurz danach heißt es: {{Zitat|Sind aber die heiligen Monate verflossen, so erschlaget die Beigeseller, wo ihr sie findet, und packet sie und belagert sie und lauert ihnen in jedem Hinterhalt auf.|[https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/5 Q 9:5]}} {| class="wikitable floatright" |- ! colspan="2" | Die islamischen Monate |- ! Nr !! Name |- | 1 | [[w:Muharram|Muharram]] |- | 2 | [[w:Safar|Safar]] |- | 3 | [[w:Rabīʿ al-awwal|Rabīʿ I]] |- | 4 | [[w:Rabīʿ ath-thānī|Rabīʿ II]] |- | 5 | [[w:Dschumādā l-ūlā|Dschumādā I]] |- | 6 | [[w:Dschumādā th-thāniya|Dschumādā II]] |- | 7 | [[w:Radschab|Radschab]] |- | 8 | [[w:Schaʿbān|Schaʿbān]] |- | 9 | [[w:Ramadan|Ramadān]] |- | 10 | [[w:Schawwāl|Schauwāl]] |- | 11 | [[w:Dhu l-qaʿda|Dhū l-Qaʿda]] |- | 12 | [[w:Dhū l-Hiddscha|Dhū l-Hiddscha]] |} Diese Verse vom Anfang der Sure 9 zeigen sehr deutlich, wie sich die Machtverhältnisse verändert hatten. Indem Muhammad den Ungläubigen unter schärfsten Androhungen verbot, sich Mekka anzunähern, schloss er sie auch von allen wirtschaftlichen Aktivitäten in dieser Stadt aus. Erst im Jahre 632 nahm Muhammad selbst am Haddsch teil. Hierbei verhielt er sich bei einzelnen Wallfahrtstationen anders, als es die Heiden getan hatten. So verlegte er den Lauf von [[w:ʿArafāt|ʿArafāt]] nach [[w:Muzdalifa|Muzdalifa]] auf die Zeit nach Sonnenuntergang und den Lauf von Muzdalifa nach Minā auf die Zeit vor Sonnenaufgang, um diesen Riten den Charakter heidnischer Sonnenverehrung zu nehmen. Außerdem bezog er die Wallfahrtsriten, die während der [[w:ʿUmra|ʿUmra]] an der Kaaba in Mekka vollzogen wurden, in den Haddsch ein. Die Bezeichnung ''Haddsch'' ging nun auf das kombinierte Wallfahrtsritual über; die speziell dem mekkanischen Heiligtum geltende ʿUmra-Wallfahrt blieb aber als „kleine Wallfahrt“ weiter bestehen. Muhammads Haddsch im Jahre 632, aufgrund seines kurz danach eingetretenen Todes [[w:Abschiedswallfahrt|Abschiedswallfahrt]] genannt, wurde für alle Zeiten zum Vorbild für dieses Ritual. Die Kaaba erlebte durch die Neuordnung des Haddsch einen enormen Bedeutungszuwachs. Da andere Heiligtümer wie dasjenige von [[w:Dhū l-Chalasa|Dhū l-Chalasa]] in Tabāla von Muhammads Anhängern zerstört wurden, erhielt sie nun auf der arabischen Halbinsel eine Monopolstellung. Im Zuge der Neuordnung des Haddsch wurde auch der altarabische lunisolare Kalender mit seinem [[w:Einschaltung (Zeitrechnung)|Interkalationssystem]] des ''nasīʾ'' (vgl. oben [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 01 #1.3.3. Das altarabische Heidentum und die Heiligtümer von Mekka|1.3.3.]]) abgeschafft und ein reiner [[w:Lunarkalender|Lunarkalender]] mit einer unveränderlichen Zahl von zwölf Monaten eingeführt. Die Gründe für die Kalenderreform sind nicht ganz klar, die Koranverse, die davon handeln ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/36 Q 9:36f]), lassen aber erkennen, dass die Entscheidungen derjenigen, die für die Einschiebung von Schaltmonaten und Heiligerklärung von Monaten zuständig waren, als willkürlich empfunden wurden und dies relevant für die Kriegführung war. Um deutlich zu machen, dass der erste Safar nun immer als heiliger Monat galt, erhielt er den Namen [[w:Muharram|al-Muharram]] („der Geheiligte“). Das neue Mondjahr mit nur 354 Tagen wurde zur Grundlage für den islamischen Kalender und diente fortan zur Bestimmung der religiösen Feste. Da dieses Mondjahr, das sich gewissermaßen „rückwärts“ durch die Sonnenjahre bewegt, für Ackerbau treibende Bauern jedoch nicht praktikabel ist, wurde in fast allen Ländern, in denen der Islam Wurzeln geschlagen hat, daneben ein [[w:Solarkalender|Solarkalender]] weitergeführt. == 4.2. Abū Bakr (632-634) – „Stellvertreter des Gottesgesandten“ == === 4.2.1. Die Ereignisse der Saqīfa und die Anfänge des Kalifats === Als Muhammad nach Medina zurückkehrte, verschlechterte sich sein Gesundheitszustand erheblich. Am 8. Juni 632 starb er. Aus den arabischen Quellen geht hervor, dass für viele Muslime dieses Ereignis völlig überraschend kam. Muhammad hatte keinen männlichen Nachkommen hinterlassen. Seine erste Frau [[w:Chadīdscha bint Chuwailid|Chadīdscha]] hatte ihm vier Töchter und zwei oder drei Söhne geboren. Letztere waren allerdings schon als Kinder verstorben. Seinen Adoptivsohn [[w:Zaid ibn Hāritha|Zaid ibn Hāritha]] hatte er im Zusammenhang mit der Affäre um [[w:Zainab bint Dschahsch|Zainab bint Dschahsch]] verstoßen. Auf diesen Sachverhalt soll sich das Koranwort von [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/33/vers/40 Sure 33:40] beziehen, in dem klargestellt wird, dass Muhammad keine Söhne hat und auch sein Amt als Gottesgesandter nicht erblich ist, er vielmehr „Siegel der Propheten“ (''ḫātam an-nabīyīn'') ist. Es war also völlig unklar, wer die Führung der [[w:Umma|Umma]] nach Muhammads Tod übernehmen sollte. Es wird auch berichtet, dass [[w:ʿUmar ibn al-Chattāb|ʿUmar ibn al-Chattāb]], der in der medinischen Zeit zu einem der wichtigsten Berater Muhammads aufgestiegen war, verhindert haben soll, dass Muhammad die Nachfolge durch ein Testament regelt. In dieser Situation traten schwere Meinungsverschiedenheiten zwischen den mekkanischen [[w:Muhādschirūn|Muhādschirūn]] und den medinischen [[w:Ansār|Ansār]] hervor. Die Ansār zogen zu [[w:Saʿd ibn ʿUbāda|Saʿd ibn ʿUbāda]], dem Chef des medinischen Clans Banū Sāʿida, und versammelten sich in seiner Saqīfa („offener Versammlungsplatz“). Dort erhoben sie die Forderung, dass sich Ansār und Quraisch trennen sollten und eine jede Gruppe für sich einen Befehlshaber (''amīr'') wählen sollte. Damit drohte die islamische Gemeinschaft auseinanderzubrechen. Die Diskussion spitzte sich zu, als zu den Versammelten die drei Muhādschirūn Abū Bakr, ʿUmar und [[w:Abū ʿUbaida ibn al-Dscharrāh|Abū ʿUbaida]] hinzutraten. Vor allem ʿUmar trat strikt gegen jede Teilung der Gemeinschaft ein. Abū Bakr betonte den Vorranganspruch des Stammes Quraisch. In dieser Situation überraschte ʿUmar die Anwesenden, indem er plötzlich Abū Bakr die [[w:Baiʿa|Baiʿa]] leistete. Dieser hatte das Gebet der Gemeinde angeführt, als Muhammad bereits im Sterben lag. Daraus ergab sich für ihn ein gewisser Nimbus. Außerdem war er durch ʿĀ'ischa Schwiegervater des Propheten und darüber hinaus einer der frühesten Gläubigen überhaupt (vgl. oben [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 02#2.1.3. Die neue Gemeinde|2.1.3.]]). Bei allen wichtigen Kämpfen gegen die heidnischen Quraisch von Mekka war er dabei gewesen und hatte mit seinen finanziellen Mitteln andere Feldzüge unterstützt. Somit war Abū Bakr ein geeigneter Kompromisskandidat für Ansār und Muhādschirūn. Entscheidend für den weiteren Verlauf der Versammlung war die überraschende Ankunft der Banū Aslam, eines Clans aus der Umgebung von Medina, der für seine besondere Loyalität gegenüber dem Propheten bekannt war. Sie stießen in großen Zahlen zu der Versammlung und huldigten Abū Bakr. Viele Ansār weigerten sich zunächst, Abū Bakr zu huldigen. Auch die [[w:Banū Hāschim|Banū Hāschim]], der Clan des Propheten, protestierten dagegen, dass sie bei der Regelung der Nachfolge übergangen worden waren. Einige Ansār brachten in dieser Situation [[w:ʿAlī ibn Abī Tālib|ʿAlī ibn Abī Tālib]], der der nächste Verwandte des Propheten war, als Alternative für Abū Bakr ins Spiel. ʿAlī hatte offensichtlich auch die Unterstützung der Nachkommen von [[w:ʿAbd Schams ibn ʿAbd Manāf|ʿAbd Schams]]. Sie pochten in dieser Situation auf die politischen Vorrechte der Nachkommen [[w:ʿAbd Manāf ibn Qusaiy|ʿAbd Manāfs]], zu denen sowohl die ʿAbd Schams als auch die Banū Hāschim gehörten, und kritisierten, dass Abū Bakr nicht diesem Stammesadel angehörte. [[Datei:Abu bakr2.jpg|mini|Die Prophetengefährten schwören Abū Bakr den Treueid, während rechts neben ihm ʿUmar sitzt, Miniatur in einem [[w:Osmanisches Reich|osmanischen]] [[w:Siyer-i Nebi|Siyer-i-Nebi]]-Werk, 1596]] In der Folgezeit sorgte ʿUmar zusammen mit den Banū Aslam dafür, dass fast alle Bewohner Medinas Abū Bakr den Treueid leisteten, wobei sie möglicherweise auch Gewalt anwendeten. Abū Bakr selbst trat allerdings eher bescheiden auf. Er ließ erkennen, dass er sich als Fortsetzer der Linie des Propheten betrachtete, keinesfalls aber als Neuerer. In diesem Sinn war er darum bemüht, alle Verordnungen und Anweisungen des Propheten einzuhalten und weiterzuführen. Dieses Bestreben spiegelt sich auch in der Bezeichnung, die er für sein Amt gebrauchte. Er nannte sich ''ḫalīfat rasūl Allāh'', „Stellvertreter des Gesandten Gottes“. Stellvertreter des Gottesgesandten hatte es schon zu Lebzeiten des Propheten öfters gegeben: Für die Zeit seiner Abwesenheit von Medina, während eines kriegerischen Unternehmens vor allem, pflegte Muhammad solche Stellvertreter zu bestimmen, die für die Aufrechterhaltung der Ordnung zu sorgen hatten. Mit der Wahl dieses Titel, der im Deutschen üblicherweise mit ''Kalif'' wiedergegeben wird, machte Abū Bakr deutlich, dass er sich mit seinem Amt keine herrschaftliche Macht anmaßen, sondern lediglich den Status quo innerhalb der Umma aufrechterhalten wollte. Höhere Machtansprüche haben sich mit dem Kalifentitel erst in späterer Zeit entwickelt. Dass sich Abū Bakr gegen ʿAlī und die Banū Hāschim durchsetzte, hängt möglicherweise auch damit zusammen, dass man unter den Muhādschirūn aufgrund der Ehe ʿAlīs mit der Prophetentochter Fātima die Entstehung einer Dynastie befürchtete und deshalb lieber auf Abū Bakr setzte, bei dem diese Gefahr nicht bestand. Zu einer Konfrontation zwischen Abū Bakr, ʿUmar und der Prophetenfamilie führte wenig später der Streit um das von Juden bewirtschaftete Landgut des Propheten in Fadak im nördlichen [[w:Hedschas|Hedschas]]. Als Fātima Ansprüche auf dieses Landgut geltend machte, hielten die beiden ihr entgegen, dass der Prophet sein gesamtes Eigentum als Sadaqa der Gemeinschaft der Muslime vermacht habe. Da Fātima keinen ausreichenden Beweis dafür vorbringen konnte, dass der Prophet ihr das Landgut schon zu Lebzeiten geschenkt habe, zog Abū Bakr es ein. Fātima brach daraufhin den Kontakt zu Abū Bakr vollständig ab. Sechs Monate später starb sie. Erst nach ihrem Tod leistete auch ʿAlī dem Kalifen den Treueeid. Damit war die Nachfolgefrage endgültig geklärt. === 4.2.2. Abfallbewegung (''ridda'') und Wiederaufnahme des Dschihad === [[Datei:Mohammad_adil-Riddah_wars.PNG|mini|Schauplätze der Ridda-Kriege]] Nach dem Tode des Propheten setzte bei den Stämmen der Arabischen Halbinsel eine breite Absetzbewegung ein, die in den Quellen als [[w:Ridda|Ridda-Kriege]] bezeichnet wird. Der kurzzeitige Machtverlust der Quraisch führte dazu, dass in vielen Stämmen diejenigen Gruppen Oberwasser erhielten, die schon immer dem Anschluss an den Quraisch-Staat kritisch gegenüber gestanden hatten. In einigen Gegenden Arabiens traten Gegenpropheten auf, die auch auf dem religiösen Gebiet die Hegemonie des Islams in Frage stellten. Im Jemen etablierte sich der Gegenprophet al-Aswad, der in kurzer Zeit weite Gebiete Südarabiens unter seine Kontrolle bringen konnte. Er trat wie Muhammad im Namen Allāhs auf und verstand es, Ressentiments gegen die neue Abhängigkeit von Medina für seine Sache auszunutzen. Bei dem Stamm Hanīfa, der in der ostarabischen [[w:Al-Yamama|Yamāma]] lebte, tat sich ein Prophet namens [[w:Musailima|Musailima]] hervor, der in seinen Lehren gewisse monotheistische Anklänge zeigte, indem er im Namen [[w:Rahmanismus|Rahmāns]] predigte. Im zentralarabischen [[w:Nadschd|Nadschd]]-Gebiet traten sogar zwei Propheten auf, im Norden bei den Asad-Beduinen [[w:Tulayha|Tulaiha]] und im Süden bei den Tamīm die Prophetin Sadschāh. Unter Musailima wurde die härteste Gegnerschaft gezeigt, deren Wirksamkeit sich noch durch ein Bündnis mit der Prophetin Sadschāh erhöhte. Auf diese Weise entstand eine Allianz der Gegner, die eine gewaltige Armee mobilisieren konnte. Diejenigen Stämme, die sich der Ridda-Bewegung angschlossen, weigerten sich, weiterhin die Zakāt zu zahlen. Sie meinten, sie sei Teil eines Vertrages gewesen, den sie mit dem Propheten geschlossen hatten und der mit seinem Tod erloschen sei. Abū Bakr sandte von Mekka und Medina verschiedene Heere aus, um die abgefallenen Stämme mit Waffengewalt zurückzugewinnen. In den Feldzügen gegen die abgefallenen Stämme taten sich besonders zwei Mekkaner von den [[w:Machzūm|Machzūm]] hervor, die Muhammad lange heftig bekämpft hatten, [[w:Chālid ibn al-Walīd|Chālid ibn al-Walīd]] und [[w:ʿIkrima ibn Abī Dschahl|ʿIkrima ibn Abī Dschahl]]. Chālid konnte im Frühjahr 633 in der Ebene ʿAqrabā' den Truppen der Banū Hanīfa unter der Führung von Musailima eine vernichtende Niederlage beibringen. Weitere Kämpfe fanden in Bahrain, Oman und Jemen statt. Besonders erbitterten Widerstand leisteten die Kinda unter ihrem letzten Stammeskönig [[w:al-Aschʿath ibn Qais|al-Aschʿath ibn Qais]]. Mit der Einnahme ihrer Festung Nudschair im Hadramaut endete die Ridda-Bewegung. Al-Aschʿath wurde in Ketten nach Medina gebracht und dort durch Abū Bakr begnadigt. [[File:Mohammad adil-Muslims Invasion of Syria.PNG|mini|Die vier von Abū Bakr nach Syrien ausgesandten Truppenkontingente]] Die Ridda-Abwehrkämpfe gingen im Norden der Arabischen Halbinsel nun nahtlos in eine Eroberungsbewegung über. Noch im Jahre 633 unternahm Chālid mit seinen Kämpfern Überfälle auf Gebiete des Südirak, machte die dort lebenden Nomadenstämme botmäßig und eroberte [[w:al-Hīra|al-Hīra]], die Hauptstadt des [[w:Lachmiden|Lachmidenreiches]]. [[w:Al-Balādhurī|Al-Balādhurī]] (gest. 892), der Verfasser des wichtigsten arabischen Werkes über die [[w:Futūh|Futūh]], berichtet, dass Abū Bakr im Frühjahr 634 die Bewohner von Mekka, at-Tā'if, des Jemen und die Beduinen im Nadschd und Hedschas angeschrieben habe, „um sie für den Dschihad auszuheben und in ihnen die Lust daran und an der bei den [[w:Rhomäer|Rhomäern]] zu holenden Kriegsbeute zu entfachen.“ Sein Aufruf war offensichtlich ein voller Erfolg. Es wird berichtet, er habe in Medina drei Heere aufstellen können. Vier Truppenkontingente unter dem Oberbefehl von [[w:Abū ʿUbaida ibn al-Dscharrāh|Abū ʿUbaida ibn al-Dscharrāh]] zogen in Richtung Syrien. Als sich eine größere Konfrontation mit der byzantinischen Armee ankündigte, sandte Abū Bakr den noch im Irak weilenden Chālid ibn al-Walīd zu ihrer Verstärkung nach Syrien. Die beiden arabischen Heere trafen im Süden Syriens zusammen, und gemeinsam konnte man die Stadt [[w:Bosra|Bostra]] einnehmen. Unter Chālids Oberbefehl besiegten die Araber im Juli 634 ein byzantinisches Heer, das ihnen bei Adschnādain in Palästina entgegentrat. == 4.3. ʿUmar ibn al-Chattāb (634-644) - „Befehlshaber der Gläubigen“ == Noch vor seinem Tod im August 634 soll sich Abū Bakr mit wichtigen Prophetengefährten über seinen Nachfolger abgestimmt haben. Als potentieller Kandidat kam nur ʿUmar aus dem quraischitischen Clan der ʿAdī ibn Kaʿb in Frage. Wie Abū Bakr konnte er frühe Verdienste um den Islam vorweisen und stand auch in einem schwägerlichen Verhältnis zum Propheten. ʿUmar war der erste Kalif, der den Titel ''amīr al-muʾminīn'' („Befehlshaber der Gläubigen“) führte. Dieser Titel wird seither von allen Herrschern benutzt, die einen Führungsanspruch über die gesamte Gemeinschaft der Muslime erheben. === 4.3.1. Die Eroberung des Vorderen Orients === [[File:Mohammad adil-Muslim invasion of Syria-3.PNG|mini|Die muslimischen Vorstöße in Syrien, 634-36]] Unter ʿUmar setzte sich die unter Abū Bakr begonnene Eroberungsbewegung fort. Hier werden nur stichwortartig die wichtigsten Stationen der Eroberungsbewegung genannt: # Syrien und Palästina. Die Byzantiner, die sich nach der Schlacht von Adschnādain ins Jordantal zurückgezogen hatten, wurden im Januar 635 bei der Stadt [[w:Pella (Jordanien)|Pella]] erneut von den Arabern geschlagen und zogen nach Damaskus ab. Die Araber konnten daraufhin das gesamte Gebiet des heutigen Jordaniens einnehmen, darunter auch die prachtvoll ausgebaute Bischofsstadt [[w:Gerasa|Gerasa]]. Im Sommer 635 fiel bereits [[w:Damaskus|Damaskus]] und bald danach Emesa, das heutige [[w:Homs|Homs]]. Der byzantinische Versuch, Syrien zurückzuerobern, scheiterte. Im August 636 brachten die Araber den neu zusammengezogenen byzantinischen Truppen am [[w:Jarmuk|Yarmūk]], einem linken Nebenfluss des Jordan, der heute die Grenze zwischen Syrien und Jordanien bildet, erneut eine [[w:Schlacht am Jarmuk|Niederlage]] bei und zwangen sie so endgültig zum Rückzug aus Syrien. Als 638 [[w:Jerusalem|Jerusalem]] eingenommen wurde, reiste ʿUmar selber an, um die Stadt für die Muslime in Besitz zu nehmen. 640 folgte noch die Einnahme des Seehafens [[w:Caesarea Maritima|Caesarea]]. Damit endete die byzantinische Herrschaft auch in Palästina. # Irak. Im Herbst 634 sandte ʿUmar ein Heer zum Kampf gegen die Perser in den Irak aus. Im Süden nahm noch vor 635 der frühe Prophetengefährte ʿUtba ibn Ghazwān mit seinen Kämpfern das Mündungsgebiet von Euphrat und Tigris mit der bedeutenden Hafenstadt [[w:Apologos|al-Ubulla]] ein. Weiter nördlich erlitten die arabischen Kämpfer zunächst in der sogenannten [[w:Schlacht an der Brücke|Schlacht an der Brücke]] eine schwere Niederlage, konnten aber dann in der [[w:Schlacht von al-Qādisīya|Schlacht von al-Qādisīya]] (zwischen 635 und 638) über die persische Armee siegen. Der seit 632 herrschende Sassanide [[w:Yazdegerd III.|Yazdegerd III.]] überließ daraufhin den arabischen Truppen den Irak, gab seine Hauptstadt Ktesiphon auf und zog mit seinem Hofstaat nach Osten ab. Der Sieg von al-Qādisīya war für die Muslime ein ähnlich großer Triumpf wie der Sieg über die heidnischen Mekkaner bei der Schlacht von Badr im Jahre 624. Viele glaubten, dass sie den Sieg über die Perser nur der Hilfe Gottes verdankten. Einige von ihnen waren sogar der Meinung, dass [[w:al-Chidr|al-Chidr]], „der Grüne“, eine engelartige Gestalt, die aber nicht den Engeln zugerechnet wird, bei der Schlacht auf Seiten der Muslime mitgekämpft hatte. [[File:Mohammad adil-Muslim conquest of Egypt.PNG|mini|[[w:Arabische_Eroberung_%C3%84gyptens#Islamische_Eroberung_%C3%84gyptens|Die muslimische Eroberung Ägyptens]], 639-640.]] # <li value="3">Ägypten. ʿAmr ibn al-ʿĀs fiel 639 in einem fast privat zu nennenden Unternehmen in Ägypten ein. Nach Eroberung der in der Nähe des heutigen Kairo gelegenen byzantinischen Festung Babylon im April 641 konnte er das [[w:Nildelta|Nildelta]] mit seinem Heer nahezu ohne Widerstand einnehmen. 642 erfolgte die Eroberung Alexandriens, 643 die Einnahme von [[w:Barke (Libyen)|Barqa]] auf dem Gebiet des heutigen Libyen.</li> # Nordmesopotamien. Dieses Gebiet, das auch als die [[w:Dschazīra|Dschazīra]] (wörtl. „Insel“, nämlich zw. [[w:Euphrat|Euphrat]] und [[w:Tigris|Tigris]]) bekannt ist, wurde zwischen 639 und 641 von Nordsyrien aus durch ʿIyād ibn Ghanm erobert, wobei dieser auch schon Vorstöße nach Armenien unternahm. Zur Kontrolle der eroberten Gebiete und als Ausgangsbasis für weitere Eroberungen wurden an mehreren Orten arabische Garnisonen stationiert. In Syrien waren das bereits bestehende Orte, [[w:al-Dschābiya|al-Dschābiya]], die ehemalige Residenz der [[w:Ghassaniden|ghassānidischen]] Fürsten, und Homs. In den anderen Ländern wurden neue Lagerstädte gegründet, in denen die arabischen Krieger stammes- und clanweise auf verschiedene Parzellen verteilt und jeweils Moscheen nach dem Vorbild der Prophetenmoschee in Medina errichtet wurden. Die wichtigsten dieser [[w:Misr|Misr]] genannten Lagerstädte waren [[w:Basra|Basra]] und [[w:Kufa|Kufa]] im Irak, beide 638 gegründet, [[w:Mossul|Mossul]] in Nordmesopotamien, 641 gegründet, und [[w:Fustāt|al-Fustāt]] in Ägypten, das 643 direkt neben der alten byzantinischen Festung Babylon angelegt wurde. Diese Lagerstädte bildeten fortan die Zentren arabisch-islamischen Lebens in den eroberten Gebieten. Von Basra und Kufa aus unternahmen arabische Heerführer in den späten 630er Jahren Vorstöße nach Persien. Zwischen 637 und 640 unterwarfen sie [[w:Chusistan|Chusistan]] im Südwesten des heutigen Iran. Nach der [[w:Schlacht bei Nehawand|Schlacht bei Nihāwand]] im westiranischen [[w:Zāgros-Gebirge|Zagros-Gebirge]], bei der die Araber den sassanidischen Truppen eine weitere Niederlage bereiteten, stand ihnen das persische Hochland offen. Von Nihāwand aus zogen sie weiter nordwärts und machten das Gebiet von [[w:Aserbaidschan (Iran)|Aserbaidschan]] tributpflichtig. 644 konnten sie außerdem die Stadt [[w:Isfahan|Isfahan]] erobern. Der Sassanidenherrscher Yazdegird III. floh derweil weiter nach Osten. === 4.3.2. Faktoren, die die schnelle Expansion des islamischen Staates begünstigten === Mit seinen Eroberungen und Städtegründungen schuf ʿUmar wichtige Grundlagen für die sich später herausbildende islamische Zivilisation. Wie aber erklärt sich, dass die Eroberungen so schnell vorangetrieben werden konnten? Verschiedene Faktoren lassen sich als Gründe anführen: # Der der islamischen Eroberung vorausgehende Streit zwischen Oströmischem Reich und Sassanidischem Reich um die Vorherrschaft über den Vorderen Orient, der zu Lebzeiten Muhammads zu einem heftigen militärischen Schlagabtausch geführt hatte, hatte die beiden Reiche stark geschwächt. # Ein weiterer wichtiger Faktor in Syrien, Palästina und Ägypten war die fehlende Loyalität der Untertanen ihren ehemaligen Oberherren gegenüber. Diese Länder waren erst kurz vor der islamischen Eroberung wieder unter byzantinische Kontrolle gekommen. Weitaus die meisten Bewohner waren [[w:Monophysitismus|monophysitische]] Christen, für die die herrschende [[w:Konzil von Chalcedon|chalkedonische]] (griechisch-orthodoxe) byzantinische Reichskirche ein bedrückender Gegner war. Auch die syrischen Juden waren den neuen Herren freundlich gesinnt, denn die Byzantiner hatten sie jahrhundertelang verfolgt und ihnen den Zugang zur Stadt Jerusalem verwehrt. Im Zuge der islamischen Eroberung Jerusalems wurde der [[w:Tempelberg|Tempelberg]], der über Jahrhunderte nur eine Schutthalde war, als Heiligtum reaktiviert. Als ʿUmar ibn al-Chattāb 638 Jerusalem für die Muslime in Besitz nahm, wurde er von [[w:Kaʿb al-Ahbār|Kaʿb al-Ahbār]], einem zum Islam übergetretenen Juden aus dem Jemen begleitet. Er deutete dieses Ereignis propagandistisch als Erfüllung biblischer Prophetien. Diese Deutungen fielen bei den Juden Syriens offenbar auf fruchtbaren Boden. Sie betrachteten ʿUmar als einen messianischen Herrscher. Der in diesem Zusammenhang verwendete syrisch-aramäische Begriff ''pārōqā'' („Erlöser“) wurde in seiner arabischen Form ''fārūq'' zum allgemein üblichen Beinamen ʿUmars. # Die von den Arabern praktizierte vertragliche Regelung des Herrschaftswechsels brachte den Unterworfenen keine erheblichen Nachteile und führte zu einer „günstige(n) Konstellation konvergierender Interessen“ ([[w:Albrecht Noth|A. Noth]]), die als einer der Hauptgründe für den Erfolg der militärischen Anstrengungen der Araber gelten darf. Wie es im spätantiken Orient üblich war, gewährten die Araber den Bewohnern von Städten, die sich freiwillig ihrer Herrschaft unterwarfen, eine Sicherheitsgarantie. Sie wird in den arabischen Quellen als ''amān'' bezeichnet. Darüber hinaus wurde den Ahl al-kitāb, den Anhängern der monotheistischen Buchreligionen, neben dem Schutz ihres Lebens und Besitzes auch die freie Ausübung ihrer Religion und der Besitz ihrer Kultstätten und -gegenstände garantiert. Dieser Schutz hieß [[w:Dhimma|Dhimma]] und war eine einklagbare Verpflichtung des islamischen Staates gegenüber seinen nichtmuslimischen Untertanen; der einzelne Schutzbürger hieß Dhimmī. Seine Gegenleistung war die Dschizya, zur Zeit der Eroberung wohl als Pauschale der eroberten Stadt zu entrichten. Die in dieser Zeit mit unterworfenen Städten geschlossenen Verträge galten in der gesamten vormodernen Zeit als Modell für die Regelung des Verhältnisses zwischen islamischem Staat und nicht-muslimischen Untertanen. === 4.3.3. Organisation von Staat und Religion === [[File:Kabah Old Picture - panoramio.jpg|mini|Die Verhüllung der Kaaba mit einer neuen [[w:Kiswa|Kiswa]] ist seit ʿUmar ein bedeutendes Symbol islamischer Herrschaft.]] Zur Sicherung der Einkommen der Kämpfer und Gefährten Muhammads führte ʿUmar 641 ein Zentralregister ([[w:Diwan (Verwaltung)|Dīwān]]) ein, in dem die Zahlungen eingetragen wurden, die der Staat regelmäßig jedem zukommen ließ. Wichtigstes Kriterium für die Stellung in dem Register war die Position zum Islam. Deshalb stand an der Spitze mit den höchsten Zuwendungen der Clan, aus dem der Prophet hervorgegangen war, die [[w:Banū Hāschim|Banū Hāschim]]. Diesem Kreis schlossen sich die weiteren Verwandten an, dann kamen die Ansār aus Medina, die [[w:Schlacht von Badr|Badr]]-Kämpfer und die [[w:Schlacht von Uhud|Uhud]]-Überlebenden, schließlich die in Syrien und Irak eingesetzten Stammeskrieger. Auf diese Weise wurde eine feste Besoldung entwickelt, die ʿUmar aus den drei wichtigsten Staatseinnahmen finanzieren konnte. Dazu zählten die Dschizya, die Zakāt und die Bodensteuer (''ḫarāǧ''). Zur Verwaltung der Ausgaben und Einnahmen wurde eine Staatskasse (''bait al-māl'') eingerichtet. Die Heerführer, die in den verschiedenen Ländern auf Posten lagen, wie ʿAmr ibn al-ʿĀs im neueroberten Ägypten, wurden dazu aufgefordert, die Hälfte ihrer Einkünfte in diese Staatskasse einzuzahlen. ʿUmar setzte den Koranlesern (''qurrāʾ'') [[w:Dotation|Dotationen]] aus und setzte in verschiedenen Städten des Reiches Beamte mit dem Titel eines [[w:Qādī|Qādī]] ein. Der Begriff ''Qādī'' wird heute üblicherweise mit „Richter“ übersetzt, allerdings waren in dieser Zeit mit diesem Amt noch zahlreiche andere administrative und hoheitliche Aufgaben verbunden, wie zum Beispiel die Leitung des [[w:Freitagsgebet|Freitagsgebets]]. <div style="background: #fff; border-width: 1px 3px 3px 1px; text-align: center; padding-top:3px; float:{{{float|left}}}; font-size: smaller; line-height: 1.3; margin-left:1em; margin-right: 4px; width: 15em"> '''Heutiges Datum nach <br /> Hidschrī-Zeitrechnung''': ---- {{#timel:xmj.}} {{#switch:{{{1|{{#timel:xmn}}}}}|1=Muharram|2=Safar|3=Rabīʿ I|4=Rabīʿ II|5=Dschumādā I|6=Dschumādā II|7=Radschab|8=Schaʿbān|9=Ramadān|10=Schauwāl|11=Dhū l-Qaʿda|12=Dhū l-Hiddscha}} {{#timel:xmY}}<br /><small>(= {{#timel:j. F}} {{#timel:Y}}) <br /><nowiki>[</nowiki><span class="plainlinks">[{{fullurl:{{FULLPAGENAME}}|action=purge}} aktualisieren]</span><nowiki>]</nowiki></small> </div> Von großer Bedeutung war des Weiteren, dass ʿUmar im Jahre 638 eine neue Zeitrechnung einführte. Anlass dafür waren Streitigkeiten in Armeeteilen über Datierungsfragen. Als erstes Jahr der neuen Zeitrechnung wurde das Jahr der [[w:Hidschra|Hidschra]] des Propheten von Mekka nach Medina festgelegt, das am 16. Juli 622 begann. Damit wurde eine wichtige staatliche Maßnahme zur Vereinheitlichung getroffen. Diese [[w:Hidschrī-Jahreszählung|Hidschrī-Zeitrechnung]] hat sich im Laufe der Zeit im islamischen Herrschaftsbereich immer mehr durchgesetzt und gilt bis heute in vielen islamischen Ländern als eine der offiziellen Zeitrechnungen bzw. sogar die offizielle Zeitrechnung. Weiterhin ist bekannt, dass sich ʿUmar bei der Regierung sehr stark auf das koranische Prinzip der Konsultation ([[w:Schūrā|Schūrā]]) stützte. Zwar hörte er gelegentlich auch den Rat anderer Kreise, doch beschränkte er sich bei der Konsultation üblicherweise auf die verdienten mekkanischen Prophetengefährten. Zahlreiche Berichte beschreiben, wie er deren Meinung über wichtige politische und rechtliche Fragen einholte. Ein solches Gremium von verdienten mekkanischen Prophetengefährten trat auch nach ʿUmars Tod zusammen, um seinen Nachfolger zu wählen. [[File:Prière de Tarawih dans la Grande Mosquée de Kairouan. Ramadan 2012.jpg|mini|Die [[w:Tarāwīh|Tarāwīh]]-Gebete sind bis heute ein wichtiges Ritual im Bereich des [[w:Sunniten|sunnitischen]] Islams]] Auf religiöser Ebene war von wegweisender Bedeutung, dass ʿUmar während seiner Herrschaft die Stoff-Bekleidung ([[w:Kiswa|Kiswa]]) der Kaaba auf Kosten des Staatshaushalts erneuern ließ. Damit wurde dieses ursprünglich heidnische Ritual zu einem wichtigen Herrschaftssymbol im islamischen Staat. Der Ort für das Gebet an der Kaaba wurde durch einen Stein markiert, der entsprechend dem im Koran ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/125 Q 2:125]) genannten „Standplatz Abrahams“ als [[w:Maqām Ibrāhīm|Maqām Ibrāhīm]] bezeichnet wurde. Den Platz um die Kaaba ließ ʿUmar erweitern und mit einer Mauer versehen, womit er die Grundlage der [[w:al-Harām-Moschee|al-Harām-Moschee]] als eines selbständigen Gebäudes legte. Als neue gottesdienstliche Übung im Ramadān führte ʿUmar die nächtlichen [[w:Tarāwīh|Tarāwīh]]-Gebete ein, bei denen zwischen einer großen Zahl von Gebetszyklen immer wieder längere Pausen (''tarāwīḥ'') eingeschoben werden. Während ʿUmars Kalifat wurden auch im Bereich der Geschlechterordnung wichtige Veränderungen vorgenommen, die als Normen bis heute fortwirken. So führte ʿUmar als Bestrafung für außerehelichen Geschlechtsverkehr ([[w:Zinā|Zinā]]) bei bereits verheirateten Personen den Tod durch Steinigung ein. Der Koran sieht bei diesem Vergehen ohne Ansehen der Person als Strafe nur hundert Peitschenhiebe und Ausschluss aus dem Heiratssystem vor ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/24/vers/2 Q 24:2f]). ʿUmar berief sich bei dieser Maßnahme auf den sogenannten [[w:Steinigungsvers|Steinigungsvers]], der seiner Auffassung nach ursprünglich im Koran gestanden hatte, dann aber daraus gestrichen worden war. Das aus dem alten Arabien übernommene Rechtsinstitut der zeitlich begrenzten Genussehe ([[w:Mutʿa-Ehe|Mutʿa]]), auf das zu dieser Zeit noch viele Muslime zurückgriffen, wenn sie kurze sexuelle Beziehungen eingehen wollten, wurde von ʿUmar verboten. Außerdem verschärfte ʿUmar die Regeln für die [[w:Talāq|Verstoßung]] von Ehefrauen: Während nämlich vorher die Ehe erst dann beendet war, wenn der Ehemann die Verstoßungsformel in drei unterschiedlichen Monatsperioden ausgesprochen hatte, galt dies nun auch dann, wenn der Mann sie drei Mal direkt nacheinander ausgesprochen hatte. === 4.3.4. Die Vielgestaltigkeit des Korantextes === Ein bekannter Bericht besagt, dass ʿUmar noch während Abū Bakrs Kalifat von der Tatsache beunruhigt gewesen sei, dass in der Schlacht gegen Musailima viele ''qurrāʾ'' getötet worden waren. Die ''qurrāʾ'', d.h. Koranleser, waren jene, die den Koran auswendig kannten. Aus Furcht, dass infolge solcher Verluste schließlich auch die Kenntnis des heiligen Textes verloren gehen könnte, riet er Abū Bakr, eine Sammlung des Korans erstellen zu lassen. Mit diesem Unternehmen wurde [[w:Zaid ibn Thābit|Zaid ibn Thābit]], einer von Muhammads Sekretären (vgl. oben [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 03#3.2.5. Der allmähliche Machtzuwachs des Propheten|3.2.5.]]), beauftragt. Zaid schrieb nieder, was er auf Blättern (''ṣuḥuf'') gesammelt hatte, und übergab dies Abū Bakr. Es gibt allerdings keine Belege dafür, dass diese „Sammlung“ irgendwo als autoritativ akzeptiert wurde. ʿUmar befand sich aber wohl zu Beginn seines Kalifats im Besitz dieser Sammlung. Außer dieser Sammlung ʿUmars gab es zu seiner Zeit noch eine Anzahl anderer Kodizes, von denen die vier berühmtesten diejenigen von [[w:Ubaiy ibn Kaʿb|Ubaiy ibn Kaʿb]], [[w:ʿAbdallāh ibn Masʿūd|ʿAbdallāh ibn Masʿūd]], Miqdād ibn Aswad und [[w:Abū Mūsā al-Aschʿarī|Abū Mūsā al-Aschʿarī]] waren. Ubaiy war wie Zaid ibn Thābit Sekretär des Propheten gewesen und hatte schon zu seinen Lebzeiten Mitschriften seiner Verkündigungen angefertigt (vgl. oben [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 03#3.2.5. Der allmähliche Machtzuwachs des Propheten|3.2.5.]]). ʿAbdallāh ibn Masʿūd und Miqdād ibn Aswad, die Muslime der ersten Stunde waren, hatten den Koran dagegen nur mündlich memoriert. Miqdād war während der Zeit von ʿUmar in Syrien stationiert, ʿAbdallāh ibn Masʿūd wurde von ʿUmar 642 als Qādī nach Kufa geschickt. Der Jemenit Abū Mūsā al-Aschʿarī, der sich dem Propheten erst 628 angeschlossen hatte, wurde 638 von ʿUmar zum Statthalter von Basra ernannt. Was die Verbreitung der von diesen Männern erstellten Kodizes anlangt, so hielten sich die Dasmaszener an die Lesart des Ubaiy, die Kufier an die des Ibn Masʿūd, die Basrier an die des Abū Mūsā und die Bewohner von Homs an diejenige des Miqdād. Dass die Ausgaben des Ibn Masʿūd und Abū Mūsā in Kufa bzw. Basra solches Ansehen erreichten, hängt sicherlich damit zusammen, dass die beiden Männer dort als staatliche Funktionsträger tätig waren. Die Verwendung der Sammlung von Ubaiy, der sich selbst in Medina aufhielt, in Damaskus deutet dagegen darauf hin, dass diese Sammlung zu dieser Zeit eine überregionale Bedeutung erhalten hatte. Die Zulässigkeit all dieser verschiedenen Versionen des Korantextes wurde mit Berichten begründet, wonach der Prophet zu Lebzeiten Gefährten, die über die Unterschiedlichkeit der im Umlauf befindlichen Versionen des Korantexts besorgt, selbst damit beruhigt habe, dass der Koran in sieben Varianten (''ʿalā sabʿati aḥruf'') offenbart worden sei. Bei der Verbreitung dieser Berichte nahm Ubaiy eine Schlüsselrolle ein. Die textlichen Unterschiede zwischen den verschiedenen Versionen waren zum Teil beträchtlich. So war zum zum Beispiel in [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/3/vers/19 Sure 3:19] in der Sammlung Ibn Masʿūds als Name für die Religion nicht Islam, sondern ''Hanīfīya'' angegeben. == 4.4. ʿUthmān ibn ʿAffān (644-656) - „Stellvertreter Gottes“ == === 4.4.1. Nepotismus und Selbstbereicherung der Umaiyaden === Nach dem Tod von ʿUmar trat das von ihm gebildete Konsulativgremium verdienter Prophetengefährten zusammen, um seinen Nachfolger zu wählen. Ihm gehörten sechs Männer an: [[w:ʿUthmān ibn ʿAffān|ʿUthmān ibn ʿAffān]], ʿAlī ibn Abī Tālib, [[w:ʿAbd ar-Rahmān ibn ʿAuf|ʿAbd ar-Rahmān ibn ʿAuf]], [[w:Talha ibn ʿUbaidallāh|Talha ibn ʿUbaidallāh]], [[w:az-Zubair ibn al-ʿAuwām|az-Zubair ibn al-ʿAuwām]] und [[w:Saʿd ibn Abī Waqqās|Saʿd ibn Abī Waqqās]]. Von den genannten Personen hegten allein ʿAlī und ʿUthmān Ambitionen auf die Nachfolge. ʿAbd ar-Rahmān verzichtete auf die Kandidatur unter der Bedingung, dass ihm im Falle der Uneinigkeit die Aufgabe des Schiedsrichters übertragen würde. Da Saʿd für ʿAlī votierte und az-Zubair für ʿUthmān, Talha aber abwesend war, kam ʿAbd ar-Rahmān als Schiedsrichter zum Einsatz. Er entschied sich nach Beratungen mit den Häuptern der quraischitischen Clane für ʿUthmān, wodurch dieser zum neuen Kalifen wurde. ʿUthmān gehörte den [[w:Umayyaden|Umaiyaden]], einer Familie der ʿAbd Schams, an. Bei der endgültigen Einigung auf ʿUthmān war wahrscheinlich dieser ''nasab'' letztlich ausschlaggebend. In jedem Fall kündigt sich mit der Erhebung des Umaiyaden ʿUthmān die wenig später erfolgte Etablierung der ersten islamischen Dynastie, die sich eben aus der Umaiya-Familie rekrutierte, bereits an. {{Anker|Marwan}} Schon kurz nach seiner Amtseinführung setzte ʿUthmān Verwandte in zentrale Statthalterposten ein. Syrien befand sich ohnehin schon seit ʿUmar in der Hand des Umaiyaden [[w:Muʿāwiya_I.|Muʿāwiya ibn Abī Sufyān]]. Er war der Sohn von Muhammads ehemaligen Gegner [[w:Abū Sufyān ibn Harb|Abū Sufyān ibn Harb]]. Aber auch in Kufa und Ägypten wurden jetzt Umaiyaden als Gouverneure eingesetzt. Saʿd ibn Abī Waqqās, der Gründer von Kufa, musste ʿUthmāns Verwandten, Walīd ibn ʿUqba, weichen. ʿAmr ibn al-ʿĀs, der Eroberer Ägyptens, der noch im Jahre 645 einen byzantinischen Versuch, Ägypten wiederzuerobern, erfolgreich abwehren konnte, wurde als Gouverneur durch [[w:ʿAbdallāh ibn Saʿd|ʿAbdallāh ibn Abī Sarh]], einen Vetter ʿUthmāns mit zweifelhafter Vergangenheit (vgl. oben [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 03#3.2.3. Andere Gegner Muhammads|3.2.3.]]), ersetzt. Als es im Jahre 649/50 zu Beschwerden über den Statthalter von Basra, Abū Mūsā al-Aschʿarī, kam, wurde auch diese Posten noch mit einem Umaiyaden, nämlich ʿAbdallāh ibn ʿĀmir, besetzt. Zum engsten Berater des Kalifen stieg [[w:Marwan I.|Marwān ibn al-Hakam]] auf, ebenfalls ein Umaiyade. Diese [[w:Vetternwirtschaft|nepotistische]] Politik führte zu einer Entfremdung zwischen dem Kalifen und dem Gremium von Prophetengefährten, die ihn in dieses Amt gewählt hatten. [[File:Mohammad adil-Rashidun-empire-at-its-peak-close.PNG|mini|Die Ausdehnung des islamischen Reiches gegen Ende von ʿUthmāns Kalifat]] Dennoch konnten die Eroberungszüge unter ʿUthmān und seinen Gouverneuren erfolgreich fortgesetzt werden. Muʿāwiya hatte schon 642 von Damaskus aus den Heerführer Habīb ibn Maslama zum Kampf in den [[w:Kaukasus|Kaukasus]] entsandt. Er konnte 645 die georgische Hauptstadt [[w:Tiflis|Tiflis]] einnehmen und bis 652 Armenien unterwerfen. Außerdem baute Muʿāwiya in den syrischen Hafenstädten eine Flotte auf, besetzte 649 [[w:Zypern|Zypern]] und drängte Byzanz aus dem östlichen Mittelmeer zurück. ʿAbdallāh ibn Abī Sarh unternahm von [[w:Fustāt|al-Fustāt]] aus Expeditionen an der nordafrikanischen Küste entlang in Richtung Westen und eroberte 647 [[w:Tripolitanien|Tripolitanien]]. 652 unterwarf er außerdem [[w:Oberägypten|Oberägypten]] und brachte das Königreich [[w:Nubien|Nubien]] in ein Tributverhältnis zum islamischen Staat. Zur Kontrolle der nubischen Tributzahlungen wurde in der Stadt Syene (heute [[w:Assuan|Assuan]]) eine Militärgarnison stationiert. ʿAbdallāh ibn ʿĀmir vollendete 650 mit der Einnahme von [[w:Persepolis|Persepolis]] die Eroberung der [[w:Persis|Persis]] ([[w:Fars|Fārs]]) und besetzte 651/2 die sassanidische Nordostprovinz [[w:Chorasan|Chorasan]] mit den Städten [[w:Nischapur|Nischapur]], [[w:Merw|Merw]], [[w:Balch|Balch]] und [[w:Herat|Herat]]. Im gleichen Jahr fiel der Sassaniden-Herrscher [[w:Yazdegerd_III.|Yazdegerd III.]] in Merw einem Mordanschlag zum Opfer, womit die Sassaniden-Dynastie endgültig erlosch. ʿUthmān machte sich allerdings dadurch unbeliebt, dass er einen Teil der bei den Futūh eroberten Ländereien, die nach Vorstellung der Kämpfer der Gemeinschaft der Muslime insgesamt gehörten, unter Berufung auf den im Koran beschriebenen „Fünft“ (''ḫums'', vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/8/vers/41 Q 8:41]) zurückhielt und unter seinen Gouverneuren und Verwandten als Landgüter (''qaṭāʾiʿ'') verteilte. Auch verschiedene Prophetengefährten wie etwa Talha wurden großzügig mit Landschenkungen bedacht. Einer von ʿUthmāns Verwandten, der im Irak als Gouverneur eingesetzt war, verstieg sich zu der Aussage, dass das Fruchtland des Irak, der sogenannte ''sawād'', „Garten der Quraisch“ geworden sei, also gewissermaßen Eigentum dieses Stammes. Auch ʿAbdallāh ibn Abī Sarh, ʿUthmāns Gouverneur in Ägypten, tat sich durch gesteigerte Ausbeutungsmethoden negativ hervor. Mit den so erlangten Mitteln erbaute er sich in Ägypten einen prächtigen Palast. Allein diese Haltung bedeutete, wenn man ʿUmars Anweisungen hinsichtlich der Bauaktivität zum Vergleich heranzieht, eine bedenkliche Veränderung. Im Gegensatz zu seinen Vorgängern erhob ʿUthmān auch Anspruch auf göttliche Autorisierung. Er bezeichnete sich in seinen Urkunden nicht mehr als Stellvertreter des Gottesgesandten (''ḫalīfat rasūl Allāh''), sondern direkt als Stellvertreter Gottes (''ḫalīfat Allāh''). Damit stellte er sich in die Nachfolge des Königs [[w:David|David]], von dem Gott im Koran ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/38/vers/26 38:26]) sagt, dass Er ihn als Stellvertreter auf Erden eingesetzt habe, damit er zwischen den Menschen nach der Wahrheit richte. Dieses Modell des Kalifats übernahmen später fast alle anderen Herrscher, die diesen Titel für sich beanspruchten. === 4.4.2. Die Erstellung einer offiziellen Koranausgabe === [[File:The ‘Uthman Qur'an - Kufic.jpg|mini|links|Ausschnitt aus einem Korantext, der auf ʿUthmān zurückgeführt wird. [[w:Diakritisches Zeichen|Diakritische Zeichen]] fehlen.]] Unter dem Kalifat ʿUthmāns wurde eine erste offizielle Koranausgabe erstellt. Die islamische Tradition besagt, dass zu dieser Zeit, insbesondere während der Kriegszüge nach Armenien und Aserbaidschan, also im Jahre 652, Männer aus Syrien und dem Irak über die verschiedenen Lesarten des Korans in Streit gerieten. Als der General Hudhaifa von der Expedition zurückgekehrt war, trug er die Sache dem Kalifen vor, und der Kalif beschloss, eine Kommission einzusetzen, die einen offiziellen Korantext festlegen sollte. Mit dieser Aufgabe wurde erneut Zaid ibn Thābit betraut, wobei ihm jedoch drei Muslime aus Mekka zur Seite gestellt wurden. Die Kommissionsmitglieder wurden angewiesen, sich dort, wo es irgendeine sprachliche Schwierigkeit bei der Lesung gab, an den Dialekt der Quraisch von Mekka zu halten. Zaid und seinen Mitarbeiter händigte man für ihre Arbeit die Blätter (''ṣuḥuf'') ʿUmars aus, die bei seinem Tod an seine Tochter [[w:Hafsa bint ʿUmar|Hafsa]] gegangen war. Mit dieser Version verglichen sie alle Koranfragmente, die sie finden konnten, und fügten an passenden Stellen alle ausgelassenen Verse ein. Ziel ihrer Bemühungen war die Festlegung eines autoritativen Textes des Korans. Davon wurden dann Kopien angefertigt und in die wichtigsten Städte des islamischen Reiches (Damaskus, Kufa, Basra und wahrscheinlich auch Mekka) geschickt. Es heißt, dass ʿUthmān die anderen Korankodizes vernichten ließ. In Wirklichkeit wurde aber keine völlige Vertilgung der anderen Niederschriften erreicht. ʿAbdallāh ibn Masʿūd zum Beispiel weigerte sich erfolgreich, seinen Korankodex herauszugeben. Von den anderen Korankodizes wich die neu erstellte offizielle Koranausgabe in mehreren Punkten ab. So enthält sie am Anfang und Ende Gebete, die in anderen Korankodizes fehlten. Sie bilden die erste Sure, die [[w:al-Fātiha|Fātiha]], und die beiden letzten mit ''aʿūḏu bi-rabbi'' („Ich nehme Zuflucht beim Herrn...“) eingeleiteten Suren [[w:Sure 113|Sure 113]] und [[w:Sure 114|114]], die [[w:Apotropaion|apotropäische]] Funktion haben. Die Fātiha ist ein Eröffnungsgebet, das für den Gottesdienst der Muslime sehr große Bedeutung hat und deswegen auch mit dem christlichen [[w:Vaterunser|Vaterunser]] verglichen worden ist. Sein Text lautet: [[Datei:FirstSurahKoran.jpg|mini|hochkant|Kalligraphisch gestaltete Fātiha in arabischer Schrift, {{Audio|Surah Al fatiha104.ogg|Die Fātiha zum Anhören}}]] <poem lang="nl" style="margin-left:2em; float:left;"> ''Bi-smi Llāhi r-raḥmāni r-raḥīm'' ''al-ḥamdu li-Llāhi rabbi l-ʿālamīn'' ''ar-raḥmāni r-raḥīm'' ''māliki yaumi d-dīn'' ''īyāka naʿbudu wa-īyāka nastaʿīn'' ''ihdī-nā ṣ-ṣirāta l-mustaqīm'' ''ṣirāta llaḏīna anʿamta ʿalai-him'' ''ġairi l-maġḍūbi ʿalai-him wa-lā ḍ-ḍāllīn'' </poem> <poem style="margin-left:2em; float:left;"> Im Namen Gottes, des barmherzigen Erbarmers, Lob sei Gott, dem Herrn der Welten, dem barmherzigen Erbarmer, dem König des Gerichtstags. Dir dienen wir, dich rufen wir um Hilfe an. Führe uns den rechten Weg, den Weg derer, denen du Huld erwiesen hast, nicht derer, denen du zürnst und nicht derer, die irregehen. </poem> <div style="clear:left;"></div> Von großer Bedeutung war eine Differenz in [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/24 Sure 4:24]. In dem Passus, in dem den Männern erlaubt wird, sich mit ihrem Vermögen über ihre gewöhnlichen Ehefrauen hinaus sonstige Frauen zu verschaffen, wenn sie ihnen nach dem erfahrenen Genuss ihren Lohn geben, stand sowohl in dem Kodex von ʿAbdallāh ibn Masʿūd als auch in demjenigen von Ubaiy ibn Kaʿb der Ausdruck ''ilā aǧal musammā'' („bis zur genannten Zeit“). Daraus leiteten mehrere [[w:Sahāba|Prophetengefährten]] ab, dass zeitlich begrenzte Ehen zum Zweck des sexuellen Genusses ([[w:Mutʿa-Ehe|Mutʿa]]) trotz des Verbotes durch ʿUmar weiterhin erlaubt seien. In dem Korantext von ʿUthmān, der Grundlage aller späteren Koranausgaben ist, fehlt dieser Ausdruck. === 4.4.3. Die Entstehung einer religiös-politischen Opposition === Gegen die neu eingetretenen Umstände, Haltungen und Denkweisen in den aristokratischen Führungskreisen des Reiches bildete sich in Syrien und im Irak eine religiös-politische Oppositionsbewegung, die vor allem von Frommen, die zu Muhammads frühen Anhängern gehört hatten, getragen wurde. Einer der bekanntesten Vertreter dieser Bewegung war [[w:Abū Dharr al-Ghifārī|Abū Dharr al-Ghifārī]], der aufgrund seines frühen Beitritts zum Islam und seiner Meriten als Kämpfer eine hohe Stellung in der islamischen Gemeinde hatte. Als ʿUthmān nach den Eroberungszügen von 647 in Tripolitanien einen Großteil des erbeuteten Vermögens an Verwandte und seinen Sekretär Zaid ibn Thābit gab, predigte Abū Dharr gegen diejenigen, die „Geld anhäufen“, wobei er sich auf das Koranwort von Sure [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/34 9:34] bezog: „Wer aber Gold und Silber hortet und es nicht für die Sache Gottes ausgibt, denen verkünde schmerzhafte Strafe.“ ʿUthmān verbannte ihn daraufhin nach Syrien, wo Abū Dharr aber weitere Auseinandersetzungen mit dem dortigen umaiyadischen Statthalter Muʿāwiya hatte. Abū Dharr warf ihm vor, die ihm anvertrauten Gelder der Muslime zu veruntreuen, und forderte bei Predigten die Reichen dazu auf, die Armen zu unterstützen. Offensichtlich fand Abū Dharrs Bestreben ein beachtliches Echo unter den Armen in Syrien, denn diese versuchten daraufhin, die Reichen zu entsprechenden Handlungen zu zwingen. Als es zu Beschwerden bei Muʿāwiya kam, wandte sich dieser schriftlich an ʿUthmān und meldete ihm, dass Abū Dharr die Menschen in Syrien gegen ihn aufhetze. ʿUthmān ließ den angeblichen Aufrührer hierauf nach Medina kommen und zog seine Hinrichtung in Erwägung, nahm jedoch auf Anraten von ʿAlī ibn Abī Tālib davon Abstand. Der Kalif schickte ihn schließlich in eine Art Verbannung nach Rabdha, einem Dorf der Umgebung, wo er in Armut und Zurückgezogenheit um das Jahr 652 verstarb. Das harte Vorgehen gegen diesen populären Prophetengefährten schadete ʿUthmāns Ansehen stark. Auch in den Lagern Kufa und Basra, die durch Einwanderung von Stammesangehörigen der arabischen Halbinsel mittlerweile zu bedeutenden Siedlungen herangewachsen waren, regte sich Widerstand gegen ʿUthmān. In Kufa kritisierte ʿAbdallāh Ibn Masʿūd schon 650 den neuen Gouverneur, dessen heidnisches Gebaren ihn verstörte. 651 kam es zum Bruch mit ʿUthmān. Ibn Masʿūd fiel in Ungnade, unter Umständen, die nicht klar sind. Eine öffentliche Szene folgte, bei der er vom Kalifen misshandelt wurde. Ein Grund für diese Konfrontation mag die Auseinandersetzung um Ibn Masʿūds Korankodex (''muṣḥaf'') gewesen sein. Ibn Masʿūd zufolge war der [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/5/vers/67 Vers 5:67] zur Zeit des Propheten mit einem explizit auf ʿAlī bezogenen Zusatz versehen gewesen. Das deutet auf eine große Loyalität Ibn Masʿūds gegenüber ʿAlī und seiner Familie hin. === 4.4.4. ʿUthmāns Ermordung === [[File:Rebellions against Uthman & the Kharijite Origins.png|mini|Die Orte, von denen aus die Unzufriedenen nach Medina zogen.]] In den letzten Jahren des Kalifats von ʿUthmān wurden die Beschwerden gegen ihn immer lauter, und es entstand eine regelrechte Protestbewegung. Nach dem Bericht [[w:at-Tabarī|at-Tabarī]]s war es ein Mann namens [[w:ʿAbdallāh ibn Saba'|ʿAbdallāh ibn Saba']], der sie von Ägypten aus koordinierte. Er stellte ʿUthmān als Usurpator dar und propagierte, dass allein ʿAlī als Mohammeds Bevollmächtigter (''waṣī'') zur Herrschaft über die [[w:Umma|Umma]] befugt sei. Im Frühjahr 656 zogen große Gruppen Unzufriedener aus Ägypten, Basra und Kufa nach Medina, führten beim Kalifen über verschiedene Dinge Klage und verlangten seine Absetzung. ʿUthmān, der ihre Forderungen für unberechtigt hielt, bequemte sich schließlich zu Verhandlungen und sagte zu, ihre Beschwerden zu prüfen. Die Unzufriedenen wurden dadurch zunächst weitgehend beruhigt und traten den Heimweg an. Die Beschwerdeführer aus Ägypten fingen aber unterwegs einen Boten des Kalifen ab, der eine geheime Botschaft an den Statthalter in Ägypten bei sich hatte. Darin beauftragte der Kalif diesen, die Anführer hinzurichten und andere entsprechend zu bestrafen. Aufgebracht kehrten die Unzufriedenen nach Medina zurück, stellten den Kalifen zur Rede und forderten ihn ultimativ zum Rücktritt auf. Es kam zur Belagerung seines Hauses, wo ihn seine Knechte und Verwandten verteidigten und damit die Konfrontation verschärften. Das Gebäude wurde am 17. Juni 656 gestürmt, und ʿUthmān ermordet. Eine wichtige Folge der Ermordung ʿUthmāns war, dass die Stadt Medina fortan ihre Rolle als politisches Zentrum des islamischen Staates verlor. Noch wichtiger war allerdings, dass es über die Beurteilung von ʿUthmān und die Frage, ob seine Ermordung gerechtfertigt war, zu einer tiefgehenden Spaltung der Muslime kam, die bis heute noch nicht überwunden ist. In diesen Auseinandersetzungen um ʿUthmān tauchte zum ersten Mal eine wichtige Formel auf, die nämlich von dem „Buch Gottes und der [[w:Sunna|Sunna]] des Propheten“. Mit dem Buch Gottes war der Koran gemeint, mit der Sunna des Propheten die von diesem begründete Handlungspraxis, die man in der Gemeinschaft der Muslime als normativen Maßstab ansah. Während die Gegner ʿUthmāns überzeugt waren, dass ʿUthmān gegen die Prinzipien von Koran und Prophetensunna verstoßen hatte, verteidigten seine Parteigänger, insbesondere die Umaiyaden, seine Handlungsweise gegen diesen Vorwurf. == 4.5. Weiterführende Literatur == * Sean Anthony: ''The Caliph and the heretic: Ibn Saba' and the origins of Shīʿism.'' Leiden 2012. * [[w:Al-Balādhurī|Al-Balādhurī]]: ''Kitāb Futūḥ al-buldān.'' Deutsche Übersetzung von [[w:Oskar Rescher|Oskar Rescher]]. 2 Bde. Leipzig 1917, Stuttgart 1923. * Heribert Busse: „ʿOmar b. al-Ḫaṭṭāb in Jerusalem“ in ''Jerusalem Studies in Arabic and Islam'' 5 (1984) 73–119. * Patricia Crone und Michael Cook: ''Hagarism. The Making of the Islamic World.'' Cambridge 1977. * Patricia Crone und Martin Hinds: ''God’s Caliph. Religious authority in the first centuries of Islam.'' Cambridge 1986. * Paul Gerhard Dannhauer: ''Untersuchungen zur frühen Geschichte des Qadi-Amtes.'' Bonn 1975. * Fred Donner: ''The early Islamic conquests.'' Princeton, NJ 1981. * Taieb El-Hibri: ''Parable and Politics in Early Islamic History. The Rashidun Caliphs.'' New York-Chichester 2010. * [[w:Martin Hinds|Martin Hinds]]: “The Murder of the Caliph ʿUthmān” in ''International Journal of Middle East Studies'' 3 (1972) 450–469. * Wilferd Madelung: ''The Succession to Muhammad. A study of the early caliphate.'' Cambridge 1997. * Al Makin: ''Representing the enemy: Musaylima in Muslim literature''. Frankfurt/Main 2010. * Theodor Nöldeke: ''Geschichte des Qorāns. Zweiter Teil: Die Sammlung des Qorāns.'' 2. Aufl. völlig umgearbeitet von Fr. Schwally. Leipzig 1919. * Albrecht Noth: “Von der medinensischen 'Umma' zu einer muslimischen Ökumene“ in A. Noth u. J. Paul (Hrsg.): ''Der Islamische Orient. Grundzüge seiner Geschichte.'' Würzburg 1998. * David Stephan Powers: ''Muḥammad is not the father of any of your men: the making of the last prophet''. Philadelphia 2009. * Israel Wolfensohn: ''Kaʿb al-Aḥbār und seine Stellung im Ḥadīṯ und in der islamischen Legendenliteratur.'' Gelnhausen 1933. == 4.6. Fragen/Aufgaben == 1. Welche Umstände erleichterten die islamische Eroberung des Vorderen Orients? 2. Welche Veränderungen nahm Muhammad am Haddsch-Ritual vor? 3. Nach dem Tode Muhammads traten unter den Muslimen erhebliche Meinungsverschiedenheiten auf. Erklären Sie, um welches Problem es ging, und wie dieses gelöst wurde. 4. Welche Titel nahmen die ersten muslimischen Herrscher nach Muhammad an und welche Vorstellungen waren mit ihnen verbunden? 5. Nennen Sie politische und religiöse Reformen, die unter dem Kalifen ʿUmar ibn al-Chattāb vorgenommen wurden. 6. In welcher Weise lag der Koran nach dem Tode Muhammads vor und welche redaktionellen Prozesse fanden bis zum Kalifat ʿUmars statt? 7. Der Kalif ʿUthmān ließ die erste offizielle Koranausgabe erstellen. In welchen Punkten wich sie von anderen damals verwendeten Korankodizes ab? 8. Beschreiben Sie die Entwicklungen, die zur Ermordung des Kalifen ʿUthmān und damit auch zur Spaltung der Muslime führten. {{Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI)/Navigation}} prm4fz3oxqpea3858encz183fpzg24r 1116494 1116460 2026-10-16T18:38:19Z PaFra 14559 /* 4.2.1. Die Ereignisse der Saqīfa und die Anfänge des Kalifats */ 1116494 wikitext text/x-wiki {{Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI)/Navigation}} [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 03|3 <<<]] — [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 05|>>> 5]] {{TOC nonum}} = 4. Die Expansion des islamischen Staates und das frühe Kalifat (630-656) = Der Staat von Yathrib/Medina steigt zur wichtigsten Macht in Arabien auf. Muhammads Tod 632 stürzt ihn zwar in eine schwere Krise, doch kann sie schnell überwunden und mit Hilfe der arabischen Stämme eine Expansionsbewegung in Gang gesetzt werden, die zur Eroberung des gesamten Vorderen Orients führt. Wichtige religiöse Neuerungen: die Reform des Kalenders und die Kodifizierung des Korans. == 4.1. Die letzten Jahre des Propheten (630-632) == === 4.1.1. Aussöhnung mit den Quraisch und Anschluss der Araber === Wenige Tage nach der Einnahme von Mekka durch die Muslime zog vom Südosten her eine neue militärische Gefahr herauf. Die Stämme der Hawāzin und der Thaqīf hatten eine Armee von 20.000 Kämpfern aufgestellt und bedrohten damit Mekka. Da die Hawāzin nicht nur Muhammad und den Muslimen, sondern auch den heidnisch gebliebenen Quraisch feindlich gegenüber standen, ergab sich die Gelegenheit zu einem Ausgleich. Als Muhammad die heidnischen Mekkaner dazu aufforderte, zusammen gegen den gemeinsamen Feind zu ziehen, schlossen sich ihm etwa 2.000 Mann von ihnen an. In dem Tal [[w:Hunain|Hunain]] kam es zu einer Schlacht, bei der zeitweise der Ausgang unsicher schien (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/25 Q 9:25f]), doch am Ende siegten Muhammads Truppen und eroberten das feindliche Lager. Viele der früheren mekkanischen Gegner Muhammads, darunter auch die Söhne [[w:Abū Sufyān ibn Harb|Abū Sufyāns]], konnten bei dieser Gelegenheit durch eine großzügige Beuteverteilung für den Islam gewonnen werden. Diese mekkanischen „Spätkonvertiten“ werden in Anlehnung an einen Koranvers, der auf das Ereignis Bezug nimmt ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/60 Q 9:60]), als ''al-muʾallafa qulūbu-hum'' („die, deren Herzen gewonnen wurden“) bezeichnet. Zu einem raschen Interessenausgleich mit früheren Gegnern trug auch bei, dass Muhammad die Familien, die bisher die kultischen Ämter in Mekka ausgeübt hatten, in diesen Ämtern bestätigte. So übergab er einem Angehörigen der ʿAbd ad-Dār, die schon vorher das Türhüteramt der Kaaba versehen hatten, den Schlüssel des Heiligtums als Zeichen seiner erblichen Belehnung mit diesem Amt. Bis heute haben die Banū Schaiba, die Nachkommen von Schaiba ibn ʿUthmān aus dem Clan ʿAbd ad-Dār, dieses Türhüteramt der Kaaba inne. [[File:Jami Masjid, Mandu - minbar 01.jpg|mini|[[w:Minbar|Minbar]] in der Freitagsmoschee von [[w:Mandu (Stadt)|Mandu]], 14. Jh.]] Nach der Schlacht von Hunain im Frühjahr 630 war die Expansion der neuen Religion in das Innere der Arabischen Halbinsel überwältigend. Muhammad sandte Briefe an die in den verschiedenen Teilen der arabischen Halbinsel lebenden Stämme und forderte sie auf, den Islam anzunehmen. Verschiedene Stämme wie die [[w:Azd (Stamm)|Azd]], [[w:Kinda (Arabien)|Kinda]] und [[w:Bāhila|Bāhila]] schickten umgekehrt Gesandtschaften zu ihm und baten ihn um Aufnahme in sein Bündnis. Deshalb wird das Jahr nach der Einnahme Mekkas in der islamischen Geschichtsschreibung auch das „Jahr der Gesandtschaften“ (''ʿām al-wufūd'') genannt. Bei seinen Predigten und Verhandlungen mit den Delegationen verwendete der Prophet jetzt häufig den [[w:Minbar|Minbar]], einen kanzelartigen Thron aus Holz. Ursprünglich wohl ein Hoheitssymbol, wurde der Minbar später als Ort, von dem aus die Freitagspredigt gehalten wird, zu einem festen Bestandteil der Innenausstattung von Moscheen. Für offene Gegner des Propheten wurde das Leben auch außerhalb Mekkas nun immer schwieriger. Sicher waren sie nur, wenn sie sich dem Propheten unterwarfen und den Islam annahmen. So tat es beispielsweise [[w:ʿIkrima ibn Abī Dschahl|ʿIkrima]], der Sohn von [[w:Abū Dschahl|Abū Dschahl]], der bis zuletzt gegen Muhammad gekämpft hatte und zunächst in den Jemen geflohen war. Bekannt geworden ist auch der Dichter [[w:Kaʿb ibn Zuhair|Kaʿb ibn Zuhair]], der in satirischen Versen Muhammad angegriffen hatte und deshalb zur Tötung freigegeben worden war. Er tauchte in dieser Zeit überraschend in Medina auf und trug öffentlich ein Lobgedicht auf den Propheten und die Quraisch vor. Dieses mit den Worten ''Bānat Suʿād'' beginnende Gedicht wurde später zu einem der wichtigsten religiösen Gedichte des Islams und ist als solches immer wieder kommentiert und schmückend erweitert worden. Im Herbst 630 kam es noch einmal zu einer internen Krise, als Muhammad, offenbar gegen den Willen vieler seiner Anhänger (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/81 Q 9:81]), einen Feldzug gegen die Byzantiner und ihre arabischen Bundesgenossen an der syrischen Grenze unternahm. Zeitgleich mit diesem [[w:Feldzug nach Tabūk|Feldzug nach Tabūk]] setzten sich einige von Muhammads Anhängern ab, errichteten sich eine eigene Moschee (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/107 Q 9:107-11]) und heckten gegen den Propheten eine Intrige aus. Die Koranverse, die diese Situation verarbeiten, fordern den Propheten auf, hart gegen die als [[w:Munāfiq|Munāfiqūn]] und [[w:Kāfir|Kuffār]] bezeichnete Gruppe vorzugehen und drohen diesen als Apostaten die Höllenstrafe an (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/73 Q 9:73f]). Den Gläubigen wurde umgekehrt im Koran für ihren kämpferischen Einsatz großer jenseitiger Lohn in Aussicht gestellt. Das Verhältnis zwischen ihrem Einsatz und der jenseitigen Belohnung wird dabei nach Art eines Handelsgeschäfts mit Gott beschrieben: {{Zitat|Gott hat den Gläubigen ihr Leben und ihr Vermögen dafür abgekauft, dass sie das Paradies haben sollen. Sie sollen kämpfen für die Sache Gottes und töten und getötet werden. Das ist ein ihn bindendes Versprechen [...]. Und wer hält sein Versprechen getreuer als Gott? Freut euch also über das, was ihr erkauft habt. Denn das ist der große Gewinn.|[https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/111 Q 9:111]}} Mit diesem und ähnlich lautenden Versen (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/74 Q 4:74]; [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/61/vers/10 61:10]) wurde im Islam ein eigenes Konzept des Märtyrertums begründet: Derjenige, der sich im Kampf selbst aufopfert und den Tod auf dem Schlachtfeld findet, ist kein Verlierer, sondern in Wirklichkeit der „große Gewinner“. Diese Form der religiösen Mobilisierung der Gläubigen zum Kampf hat möglicherweise entscheidend zur schnellen Expansion des islamischen Staates beigetragen. === 4.1.2. Muslime und Nicht-Muslime === Die Annahme des Islams wurde jetzt zur strikten Vorbedingung einer Aufnahme in das Bündnis mit Mohammed. Das bedeutete zugleich, dass sich ihm immer mehr Menschen rein aus politischen und wirtschaftlichen Gründen anschlossen, der neuen Religion jedoch innerlich kaum zugetan waren. Das galt wohl vor allem für die Beduinen, wie aus einem in dieser Hinsicht vielsagenden Koranvers hervorgeht: {{Zitat|Die Wüstenaraber (''al-Aʿrāb'') sagen: Wir glauben! Sprich: Ihr glaubt nicht! Sagt vielmehr: Wir haben uns unterworfen. Denn der Glaube ist noch nicht in eure Herzen eingedrungen.|[https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/49/vers/14 Sure 49:14]}} Unterwerfung (''islām'') unter den Willen Gottes und seines Gesandten, so sagt es uns dieser Vers, bedeutete eben nicht immer auch innerliche Annahme des Glaubens ([[w:Īmān|Īmān]]). Um als „Brüder in der Religion“ anerkennt zu werden, war es allerdings nur notwendig, das Gebet ([[w:Salāt|Salāt]]) zu verrichten und die Läuterungsgabe ([[w:Zakāt|Zakāt]]) entrichten (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/11 Q 9:11]). Die in frühmekkanischer Zeit als fromme Übung eingeführte Zakāt hatte sich offenbar bis zu diesem Zeitpunkt zu einer Art Almosensteuer entwickelt. Als Synonym für ''zakāt'' erscheint in dieser Zeit im Koran auch das Wort [[w:Sadaqa|Sadaqa]] (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/103 Q 9:103]). Zum Einzug dieser Abgaben, aber auch zur Unterweisung der neu bekehrten Stämme in der Religion sandte Muhammad mehrere seiner Gefährten in die verschiedenen Gebiete der arabischen Halbinsel, so zum Beispiel [[w:Abū Huraira|Abū Huraira]] nach Bahrain in Ostarabien (nicht identisch mit dem heutigen Staat [[w:Bahrain|Bahrain]]), [[w:ʿAmr ibn al-ʿĀs|ʿAmr ibn al-ʿĀs]] nach [[w:Oman|Oman]] und Muʿādh ibn Dschabal in den [[w:Jemen|Jemen]]. Nachdem Muhammad mit den Heiden und Juden gebrochen hatte, scheint er noch lange eine positive Einstellung gegenüber dem Christentum gewahrt zu haben. Das zeigt eine Stelle im Koran, an der es heißt: {{Zitat|Du wirst sicher finden, dass diejenigen Menschen, die sich den Gläubigen gegenüber am meisten feindlich zeigen, die Juden und die Heiden sind. Und du wirst sicher finden, dass diejenigen, die den Gläubigen in Liebe am nächsten stehen, die sind, welche sagen: Wir sind Christen (''Naṣārā''). Dies deshalb, weil es unter ihnen Priester und Mönche gibt, und weil sie nicht hochmütig sind.|[https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/5/vers/82 Q 5:82]}} In den Korankommentaren wird bei diesem Vers auf die positiven Erfahrungen, die Muhammads Anhänger im christlichen Äthiopien gemacht hatten, verwiesen. Grundsätzlich war Muhammad allerdings der Auffassung, dass er von Jesus als Gesandter angekündigt worden war (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/61/vers/6 Q 61:6]) und der Koran nicht nur eine Bestätigung der Tora, sondern auch des Evangeliums ([[w:Indschīl|Indschīl]]) darstellt (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/3/vers/3 Q 3:3]), und die Christen von daher wie die Juden vor die Aufgabe gestellt waren, seinen religiösen Führungsanspruch anzuerkennen und zum Islam überzutreten. Bei Verhandlungen mit Abgesandten christlicher Gemeinschaften der arabischen Halbinsel machte der Prophet nun aber die Erfahrung, dass diese im Gegensatz zu den heidnischen Arabern eben nicht bereit waren, den Islam anzunehmen. Besonders bekannt geworden ist der Fall einer Delegation von Geistlichen aus [[w:Nadschran|Nadschrān]], dem Zentrum des südarabischen Christentums, die zum Ausdruck brachten, dass sie sich zwar der politischen Macht des Propheten fügen, aber nicht zum Islam übertreten wollten, weil sie sich selbst im Besitz der wahren Religion sahen. In diesen historischen Zusammenhang wird von der islamischen Tradition die koranische Aussage gestellt, dass Jesus vor Gott gleich Adam und wie er allein durch das Schöpferwort ''kun'' („Sei!“) erschaffen worden sei ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/3/vers/59 Q 3:59]). Muhammad soll dieses Koranwort den christlichen Geistlichen aus Nadschrān entgegengehalten haben, als es zu einem Streit über die von den Christen behauptete [[w:Sohn Gottes|Gottessohnschaft]] Jesu‘ kam. Anschließend, so berichten die arabischen Quellen, forderte er die Geistlichen zur Herbeiführung eines Gottesurteils über die Wahrheit der beiden religiösen Positionen durch gegenseitige Verfluchung ([[w:Mubāhala|Mubāhala]]) auf (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/3/vers/61 Q 3:61]), was diese jedoch ablehnten. Schließlich einigte man sich darauf, dass die Leute von Nadschrān dem Propheten einen jährlichen Tribut entrichten sollten, wofür umgekehrt der Prophet ihnen den Schutz für Leben und Religion zusicherte. Die Verschlechterung der Beziehungen zu den Christen lässt sich auch darauf zurückführen, dass der Prophet in dieser Zeit verstärktes Interesse an der Expansionsroute nach Syrien zeigte, wo in der Mehrzahl Christen lebten und nicht zum Islam konvertieren wollten. Bei ihnen kam nun ebenfalls das Modell der Tributzahlung zur Anwendung. Die arabischen Quellen berichten, dass sich als Folge des [[w:Feldzug nach Tabūk|Feldzuges nach Tabūk]] im Herbst 630 mehrere christliche Gemeinden am [[w:Golf von Akaba|Golf von Akaba]] in Nordwestarabien, darunter auch die Stadt [[w:Eilat|Aila]], dem Propheten unterwarfen und bereit erklärten, die sogenannte [[w:Dschizya|Dschizya]], an ihn zu entrichten. Der arabische Begriff ''Dschizya'' hat die Grundbedeutung von „Ausgleich, Kompensation“. Was die Dschizya-Zahlung ausgleichen sollte, lässt sich nicht mit Gewissheit sagen. Allerdings hat diese Abgabe eine koranische Grundlage in [[w:Sure 9|Sure 9]], wo die Muslime aufgefordert werden, gegen die [[w:Ahl al-kitāb|Ahl al-kitāb]] zu kämpfen, bis „sie kleinlaut aus der Hand die Dschizya entrichten“ ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/29 Q 9:29]). Die Pflicht zum Kampf gegen Juden und Christen wird an der betreffenden Stelle daraus abgeleitet, dass sich die beiden Religionsgemeinschaften fälschlicherweise neben Gott [[w:Rabbinen|Rabbinen]] und [[w:Mönch|Mönche]] zu Herren genommen hätten ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/31 Q 9:31]), von [[w:Esra (Person)|Esra]] bzw. Christus behaupteten, sie seien Gottes Sohn, und damit die Rede der früheren Ungläubigen nachahmten ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/30 Q 9:30]). Diese koranischen Aussagen legitimierten eine neue, aggressivere Haltung gegenüber den Christen, bedeuteten aber andererseits auch, dass Juden und Christen die Möglichkeit gegeben wurde, bei Unterwerfung ihre Religion weiter auszuüben. Auch gegenüber [[w:Zoroastrier|Zoroastriern]] zeigte Muhammad diese Haltung. Als ihm zu Ohren kam, dass sich die auf dem Gebiet von Bahrain lebenden Zoroastrier weigerten, den Islam anzunehmen, ließ er ihnen unter der Bedingung, dass sie die Dschizya entrichteten, diese Freiheit. Als Rechtfertigung dafür soll er das bekannte Koranwort: „[[w:Kein Zwang in der Religion|Es gibt keinen Zwang in der Religion]]“ ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/256 Q 2:256]) herangezogen haben. === 4.1.3. Neuordnung der Wallfahrt und Reform des Kalenders === Im Jahr der Einnahme Mekkas (630) hielten sich Muhammad und seine engsten Gefährten vom Haddsch, der für die muslimischen und nicht-muslimischen Pilger noch ganz nach den altgewohnten Riten ablief, fern. Im Jahre darauf (631) beauftragte Muhammad seinen Gefährten [[w:Abū Bakr|Abū Bakr]], den Haddsch anzuführen. Während dieser sich bereits in Mekka befand, schickte ihm der Prophet seinen Vetter ʿAlī nach, der in [[w:Minā|Minā]] die folgenden Worte öffentlich verkündete, die auch Teil des Korans sind: {{Zitat|Eine Ankündigung von Gott und seinem Gesandten an die Leute am Tag der großen Wallfahrt: Gott hat keine Verpflichtung mehr gegenüber den [[w:Muschrik|Beigesellern]], und sein Gesandter ebenfalls nicht. Wenn ihr bußfertig umkehrt, ist das besser für euch. Wenn ihr euch aber abwendet, dann wisset, dass ihr Gott nicht zuschanden machen könnte. Und verheiße den Ungläubigen schmerzliche Strafe.|[https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/3 Q 9:3]}} Kurz danach heißt es: {{Zitat|Sind aber die heiligen Monate verflossen, so erschlaget die Beigeseller, wo ihr sie findet, und packet sie und belagert sie und lauert ihnen in jedem Hinterhalt auf.|[https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/5 Q 9:5]}} {| class="wikitable floatright" |- ! colspan="2" | Die islamischen Monate |- ! Nr !! Name |- | 1 | [[w:Muharram|Muharram]] |- | 2 | [[w:Safar|Safar]] |- | 3 | [[w:Rabīʿ al-awwal|Rabīʿ I]] |- | 4 | [[w:Rabīʿ ath-thānī|Rabīʿ II]] |- | 5 | [[w:Dschumādā l-ūlā|Dschumādā I]] |- | 6 | [[w:Dschumādā th-thāniya|Dschumādā II]] |- | 7 | [[w:Radschab|Radschab]] |- | 8 | [[w:Schaʿbān|Schaʿbān]] |- | 9 | [[w:Ramadan|Ramadān]] |- | 10 | [[w:Schawwāl|Schauwāl]] |- | 11 | [[w:Dhu l-qaʿda|Dhū l-Qaʿda]] |- | 12 | [[w:Dhū l-Hiddscha|Dhū l-Hiddscha]] |} Diese Verse vom Anfang der Sure 9 zeigen sehr deutlich, wie sich die Machtverhältnisse verändert hatten. Indem Muhammad den Ungläubigen unter schärfsten Androhungen verbot, sich Mekka anzunähern, schloss er sie auch von allen wirtschaftlichen Aktivitäten in dieser Stadt aus. Erst im Jahre 632 nahm Muhammad selbst am Haddsch teil. Hierbei verhielt er sich bei einzelnen Wallfahrtstationen anders, als es die Heiden getan hatten. So verlegte er den Lauf von [[w:ʿArafāt|ʿArafāt]] nach [[w:Muzdalifa|Muzdalifa]] auf die Zeit nach Sonnenuntergang und den Lauf von Muzdalifa nach Minā auf die Zeit vor Sonnenaufgang, um diesen Riten den Charakter heidnischer Sonnenverehrung zu nehmen. Außerdem bezog er die Wallfahrtsriten, die während der [[w:ʿUmra|ʿUmra]] an der Kaaba in Mekka vollzogen wurden, in den Haddsch ein. Die Bezeichnung ''Haddsch'' ging nun auf das kombinierte Wallfahrtsritual über; die speziell dem mekkanischen Heiligtum geltende ʿUmra-Wallfahrt blieb aber als „kleine Wallfahrt“ weiter bestehen. Muhammads Haddsch im Jahre 632, aufgrund seines kurz danach eingetretenen Todes [[w:Abschiedswallfahrt|Abschiedswallfahrt]] genannt, wurde für alle Zeiten zum Vorbild für dieses Ritual. Die Kaaba erlebte durch die Neuordnung des Haddsch einen enormen Bedeutungszuwachs. Da andere Heiligtümer wie dasjenige von [[w:Dhū l-Chalasa|Dhū l-Chalasa]] in Tabāla von Muhammads Anhängern zerstört wurden, erhielt sie nun auf der arabischen Halbinsel eine Monopolstellung. Im Zuge der Neuordnung des Haddsch wurde auch der altarabische lunisolare Kalender mit seinem [[w:Einschaltung (Zeitrechnung)|Interkalationssystem]] des ''nasīʾ'' (vgl. oben [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 01 #1.3.3. Das altarabische Heidentum und die Heiligtümer von Mekka|1.3.3.]]) abgeschafft und ein reiner [[w:Lunarkalender|Lunarkalender]] mit einer unveränderlichen Zahl von zwölf Monaten eingeführt. Die Gründe für die Kalenderreform sind nicht ganz klar, die Koranverse, die davon handeln ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/36 Q 9:36f]), lassen aber erkennen, dass die Entscheidungen derjenigen, die für die Einschiebung von Schaltmonaten und Heiligerklärung von Monaten zuständig waren, als willkürlich empfunden wurden und dies relevant für die Kriegführung war. Um deutlich zu machen, dass der erste Safar nun immer als heiliger Monat galt, erhielt er den Namen [[w:Muharram|al-Muharram]] („der Geheiligte“). Das neue Mondjahr mit nur 354 Tagen wurde zur Grundlage für den islamischen Kalender und diente fortan zur Bestimmung der religiösen Feste. Da dieses Mondjahr, das sich gewissermaßen „rückwärts“ durch die Sonnenjahre bewegt, für Ackerbau treibende Bauern jedoch nicht praktikabel ist, wurde in fast allen Ländern, in denen der Islam Wurzeln geschlagen hat, daneben ein [[w:Solarkalender|Solarkalender]] weitergeführt. == 4.2. Abū Bakr (632-634) – „Stellvertreter des Gottesgesandten“ == === 4.2.1. Die Ereignisse der Saqīfa und die Anfänge des Kalifats === Als Muhammad nach Medina zurückkehrte, verschlechterte sich sein Gesundheitszustand erheblich. Am 8. Juni 632 starb er. Es wird auch berichtet, dass Muhammad vor seinem Tod seine Nachfolge durch ein Testament regeln wollte, [[w:ʿUmar ibn al-Chattāb|ʿUmar ibn al-Chattāb]], der in der medinischen Zeit zu einem seiner wichtigsten Berater aufgestiegen war, dies jedoch verhindert habe. Muhammad hatte keinen männlichen Nachkommen hinterlassen. Seine erste Frau [[w:Chadīdscha bint Chuwailid|Chadīdscha]] hatte ihm vier Töchter und zwei oder drei Söhne geboren. Letztere waren allerdings schon als Kinder verstorben. Seinen Adoptivsohn [[w:Zaid ibn Hāritha|Zaid ibn Hāritha]] hatte er im Zusammenhang mit der Affäre um [[w:Zainab bint Dschahsch|Zainab bint Dschahsch]] verstoßen. Auf diesen Sachverhalt soll sich das Koranwort von [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/33/vers/40 Sure 33:40] beziehen, in dem klargestellt wird, dass Muhammad keine Söhne hat und auch sein Amt als Gottesgesandter nicht erblich ist, er vielmehr „Siegel der Propheten“ (''ḫātam an-nabīyīn'') ist. Es war also völlig unklar, wer die Führung der [[w:Umma|Umma]] nach Muhammads Tod übernehmen sollte. In dieser Situation traten schwere Meinungsverschiedenheiten zwischen den mekkanischen [[w:Muhādschirūn|Muhādschirūn]] und den medinischen [[w:Ansār|Ansār]] hervor. Die Ansār zogen zu [[w:Saʿd ibn ʿUbāda|Saʿd ibn ʿUbāda]], dem Chef des medinischen Clans Banū Sāʿida, und versammelten sich in seiner Saqīfa („offener Versammlungsplatz“). Dort erhoben sie die Forderung, dass sich Ansār und Quraisch trennen sollten und eine jede Gruppe für sich einen Befehlshaber (''amīr'') wählen sollte. Damit drohte die islamische Gemeinschaft auseinanderzubrechen. Die Diskussion spitzte sich zu, als zu den Versammelten die drei Muhādschirūn Abū Bakr, ʿUmar und [[w:Abū ʿUbaida ibn al-Dscharrāh|Abū ʿUbaida]] hinzutraten. Vor allem ʿUmar trat strikt gegen jede Teilung der Gemeinschaft ein. Abū Bakr betonte den Vorranganspruch des Stammes Quraisch. In dieser Situation überraschte ʿUmar die Anwesenden, indem er plötzlich Abū Bakr die [[w:Baiʿa|Baiʿa]] leistete. Dieser hatte das Gebet der Gemeinde angeführt, als Muhammad bereits im Sterben lag. Daraus ergab sich für ihn ein gewisser Nimbus. Außerdem war er durch ʿĀ'ischa Schwiegervater des Propheten und darüber hinaus einer der frühesten Gläubigen überhaupt (vgl. oben [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 02#2.1.3. Die neue Gemeinde|2.1.3.]]). Bei allen wichtigen Kämpfen gegen die heidnischen Quraisch von Mekka war er dabei gewesen und hatte mit seinen finanziellen Mitteln andere Feldzüge unterstützt. Somit war Abū Bakr ein geeigneter Kompromisskandidat für Ansār und Muhādschirūn. Entscheidend für den weiteren Verlauf der Versammlung war die überraschende Ankunft der Banū Aslam, eines Clans aus der Umgebung von Medina, der für seine besondere Loyalität gegenüber dem Propheten bekannt war. Sie stießen in großen Zahlen zu der Versammlung und huldigten Abū Bakr. Viele Ansār weigerten sich zunächst, Abū Bakr zu huldigen. Auch die [[w:Banū Hāschim|Banū Hāschim]], der Clan des Propheten, protestierten dagegen, dass sie bei der Regelung der Nachfolge übergangen worden waren. Einige Ansār brachten in dieser Situation [[w:ʿAlī ibn Abī Tālib|ʿAlī ibn Abī Tālib]], der der nächste Verwandte des Propheten war, als Alternative für Abū Bakr ins Spiel. ʿAlī hatte offensichtlich auch die Unterstützung der Nachkommen von [[w:ʿAbd Schams ibn ʿAbd Manāf|ʿAbd Schams]]. Sie pochten in dieser Situation auf die politischen Vorrechte der Nachkommen [[w:ʿAbd Manāf ibn Qusaiy|ʿAbd Manāfs]], zu denen sowohl die ʿAbd Schams als auch die Banū Hāschim gehörten, und kritisierten, dass Abū Bakr nicht diesem Stammesadel angehörte. [[Datei:Abu bakr2.jpg|mini|Die Prophetengefährten schwören Abū Bakr den Treueid, während rechts neben ihm ʿUmar sitzt, Miniatur in einem [[w:Osmanisches Reich|osmanischen]] [[w:Siyer-i Nebi|Siyer-i-Nebi]]-Werk, 1596]] In der Folgezeit sorgte ʿUmar zusammen mit den Banū Aslam dafür, dass fast alle Bewohner Medinas Abū Bakr den Treueid leisteten, wobei sie möglicherweise auch Gewalt anwendeten. Abū Bakr selbst trat allerdings eher bescheiden auf. Er ließ erkennen, dass er sich als Fortsetzer der Linie des Propheten betrachtete, keinesfalls aber als Neuerer. In diesem Sinn war er darum bemüht, alle Verordnungen und Anweisungen des Propheten einzuhalten und weiterzuführen. Dieses Bestreben spiegelt sich auch in der Bezeichnung, die er für sein Amt gebrauchte. Er nannte sich ''ḫalīfat rasūl Allāh'', „Stellvertreter des Gesandten Gottes“. Stellvertreter des Gottesgesandten hatte es schon zu Lebzeiten des Propheten öfters gegeben: Für die Zeit seiner Abwesenheit von Medina, während eines kriegerischen Unternehmens vor allem, pflegte Muhammad solche Stellvertreter zu bestimmen, die für die Aufrechterhaltung der Ordnung zu sorgen hatten. Mit der Wahl dieses Titel, der im Deutschen üblicherweise mit ''Kalif'' wiedergegeben wird, machte Abū Bakr deutlich, dass er sich mit seinem Amt keine herrschaftliche Macht anmaßen, sondern lediglich den Status quo innerhalb der Umma aufrechterhalten wollte. Höhere Machtansprüche haben sich mit dem Kalifentitel erst in späterer Zeit entwickelt. Dass sich Abū Bakr gegen ʿAlī und die Banū Hāschim durchsetzte, hängt möglicherweise auch damit zusammen, dass man unter den Muhādschirūn aufgrund der Ehe ʿAlīs mit der Prophetentochter Fātima die Entstehung einer Dynastie befürchtete und deshalb lieber auf Abū Bakr setzte, bei dem diese Gefahr nicht bestand. Zu einer Konfrontation zwischen Abū Bakr, ʿUmar und der Prophetenfamilie führte wenig später der Streit um das von Juden bewirtschaftete Landgut des Propheten in Fadak im nördlichen [[w:Hedschas|Hedschas]]. Als Fātima Ansprüche auf dieses Landgut geltend machte, hielten die beiden ihr entgegen, dass der Prophet sein gesamtes Eigentum als Sadaqa der Gemeinschaft der Muslime vermacht habe. Da Fātima keinen ausreichenden Beweis dafür vorbringen konnte, dass der Prophet ihr das Landgut schon zu Lebzeiten geschenkt habe, zog Abū Bakr es ein. Fātima brach daraufhin den Kontakt zu Abū Bakr vollständig ab. Sechs Monate später starb sie. Erst nach ihrem Tod leistete auch ʿAlī dem Kalifen den Treueeid. Damit war die Nachfolgefrage endgültig geklärt. === 4.2.2. Abfallbewegung (''ridda'') und Wiederaufnahme des Dschihad === [[Datei:Mohammad_adil-Riddah_wars.PNG|mini|Schauplätze der Ridda-Kriege]] Nach dem Tode des Propheten setzte bei den Stämmen der Arabischen Halbinsel eine breite Absetzbewegung ein, die in den Quellen als [[w:Ridda|Ridda-Kriege]] bezeichnet wird. Der kurzzeitige Machtverlust der Quraisch führte dazu, dass in vielen Stämmen diejenigen Gruppen Oberwasser erhielten, die schon immer dem Anschluss an den Quraisch-Staat kritisch gegenüber gestanden hatten. In einigen Gegenden Arabiens traten Gegenpropheten auf, die auch auf dem religiösen Gebiet die Hegemonie des Islams in Frage stellten. Im Jemen etablierte sich der Gegenprophet al-Aswad, der in kurzer Zeit weite Gebiete Südarabiens unter seine Kontrolle bringen konnte. Er trat wie Muhammad im Namen Allāhs auf und verstand es, Ressentiments gegen die neue Abhängigkeit von Medina für seine Sache auszunutzen. Bei dem Stamm Hanīfa, der in der ostarabischen [[w:Al-Yamama|Yamāma]] lebte, tat sich ein Prophet namens [[w:Musailima|Musailima]] hervor, der in seinen Lehren gewisse monotheistische Anklänge zeigte, indem er im Namen [[w:Rahmanismus|Rahmāns]] predigte. Im zentralarabischen [[w:Nadschd|Nadschd]]-Gebiet traten sogar zwei Propheten auf, im Norden bei den Asad-Beduinen [[w:Tulayha|Tulaiha]] und im Süden bei den Tamīm die Prophetin Sadschāh. Unter Musailima wurde die härteste Gegnerschaft gezeigt, deren Wirksamkeit sich noch durch ein Bündnis mit der Prophetin Sadschāh erhöhte. Auf diese Weise entstand eine Allianz der Gegner, die eine gewaltige Armee mobilisieren konnte. Diejenigen Stämme, die sich der Ridda-Bewegung angschlossen, weigerten sich, weiterhin die Zakāt zu zahlen. Sie meinten, sie sei Teil eines Vertrages gewesen, den sie mit dem Propheten geschlossen hatten und der mit seinem Tod erloschen sei. Abū Bakr sandte von Mekka und Medina verschiedene Heere aus, um die abgefallenen Stämme mit Waffengewalt zurückzugewinnen. In den Feldzügen gegen die abgefallenen Stämme taten sich besonders zwei Mekkaner von den [[w:Machzūm|Machzūm]] hervor, die Muhammad lange heftig bekämpft hatten, [[w:Chālid ibn al-Walīd|Chālid ibn al-Walīd]] und [[w:ʿIkrima ibn Abī Dschahl|ʿIkrima ibn Abī Dschahl]]. Chālid konnte im Frühjahr 633 in der Ebene ʿAqrabā' den Truppen der Banū Hanīfa unter der Führung von Musailima eine vernichtende Niederlage beibringen. Weitere Kämpfe fanden in Bahrain, Oman und Jemen statt. Besonders erbitterten Widerstand leisteten die Kinda unter ihrem letzten Stammeskönig [[w:al-Aschʿath ibn Qais|al-Aschʿath ibn Qais]]. Mit der Einnahme ihrer Festung Nudschair im Hadramaut endete die Ridda-Bewegung. Al-Aschʿath wurde in Ketten nach Medina gebracht und dort durch Abū Bakr begnadigt. [[File:Mohammad adil-Muslims Invasion of Syria.PNG|mini|Die vier von Abū Bakr nach Syrien ausgesandten Truppenkontingente]] Die Ridda-Abwehrkämpfe gingen im Norden der Arabischen Halbinsel nun nahtlos in eine Eroberungsbewegung über. Noch im Jahre 633 unternahm Chālid mit seinen Kämpfern Überfälle auf Gebiete des Südirak, machte die dort lebenden Nomadenstämme botmäßig und eroberte [[w:al-Hīra|al-Hīra]], die Hauptstadt des [[w:Lachmiden|Lachmidenreiches]]. [[w:Al-Balādhurī|Al-Balādhurī]] (gest. 892), der Verfasser des wichtigsten arabischen Werkes über die [[w:Futūh|Futūh]], berichtet, dass Abū Bakr im Frühjahr 634 die Bewohner von Mekka, at-Tā'if, des Jemen und die Beduinen im Nadschd und Hedschas angeschrieben habe, „um sie für den Dschihad auszuheben und in ihnen die Lust daran und an der bei den [[w:Rhomäer|Rhomäern]] zu holenden Kriegsbeute zu entfachen.“ Sein Aufruf war offensichtlich ein voller Erfolg. Es wird berichtet, er habe in Medina drei Heere aufstellen können. Vier Truppenkontingente unter dem Oberbefehl von [[w:Abū ʿUbaida ibn al-Dscharrāh|Abū ʿUbaida ibn al-Dscharrāh]] zogen in Richtung Syrien. Als sich eine größere Konfrontation mit der byzantinischen Armee ankündigte, sandte Abū Bakr den noch im Irak weilenden Chālid ibn al-Walīd zu ihrer Verstärkung nach Syrien. Die beiden arabischen Heere trafen im Süden Syriens zusammen, und gemeinsam konnte man die Stadt [[w:Bosra|Bostra]] einnehmen. Unter Chālids Oberbefehl besiegten die Araber im Juli 634 ein byzantinisches Heer, das ihnen bei Adschnādain in Palästina entgegentrat. == 4.3. ʿUmar ibn al-Chattāb (634-644) - „Befehlshaber der Gläubigen“ == Noch vor seinem Tod im August 634 soll sich Abū Bakr mit wichtigen Prophetengefährten über seinen Nachfolger abgestimmt haben. Als potentieller Kandidat kam nur ʿUmar aus dem quraischitischen Clan der ʿAdī ibn Kaʿb in Frage. Wie Abū Bakr konnte er frühe Verdienste um den Islam vorweisen und stand auch in einem schwägerlichen Verhältnis zum Propheten. ʿUmar war der erste Kalif, der den Titel ''amīr al-muʾminīn'' („Befehlshaber der Gläubigen“) führte. Dieser Titel wird seither von allen Herrschern benutzt, die einen Führungsanspruch über die gesamte Gemeinschaft der Muslime erheben. === 4.3.1. Die Eroberung des Vorderen Orients === [[File:Mohammad adil-Muslim invasion of Syria-3.PNG|mini|Die muslimischen Vorstöße in Syrien, 634-36]] Unter ʿUmar setzte sich die unter Abū Bakr begonnene Eroberungsbewegung fort. Hier werden nur stichwortartig die wichtigsten Stationen der Eroberungsbewegung genannt: # Syrien und Palästina. Die Byzantiner, die sich nach der Schlacht von Adschnādain ins Jordantal zurückgezogen hatten, wurden im Januar 635 bei der Stadt [[w:Pella (Jordanien)|Pella]] erneut von den Arabern geschlagen und zogen nach Damaskus ab. Die Araber konnten daraufhin das gesamte Gebiet des heutigen Jordaniens einnehmen, darunter auch die prachtvoll ausgebaute Bischofsstadt [[w:Gerasa|Gerasa]]. Im Sommer 635 fiel bereits [[w:Damaskus|Damaskus]] und bald danach Emesa, das heutige [[w:Homs|Homs]]. Der byzantinische Versuch, Syrien zurückzuerobern, scheiterte. Im August 636 brachten die Araber den neu zusammengezogenen byzantinischen Truppen am [[w:Jarmuk|Yarmūk]], einem linken Nebenfluss des Jordan, der heute die Grenze zwischen Syrien und Jordanien bildet, erneut eine [[w:Schlacht am Jarmuk|Niederlage]] bei und zwangen sie so endgültig zum Rückzug aus Syrien. Als 638 [[w:Jerusalem|Jerusalem]] eingenommen wurde, reiste ʿUmar selber an, um die Stadt für die Muslime in Besitz zu nehmen. 640 folgte noch die Einnahme des Seehafens [[w:Caesarea Maritima|Caesarea]]. Damit endete die byzantinische Herrschaft auch in Palästina. # Irak. Im Herbst 634 sandte ʿUmar ein Heer zum Kampf gegen die Perser in den Irak aus. Im Süden nahm noch vor 635 der frühe Prophetengefährte ʿUtba ibn Ghazwān mit seinen Kämpfern das Mündungsgebiet von Euphrat und Tigris mit der bedeutenden Hafenstadt [[w:Apologos|al-Ubulla]] ein. Weiter nördlich erlitten die arabischen Kämpfer zunächst in der sogenannten [[w:Schlacht an der Brücke|Schlacht an der Brücke]] eine schwere Niederlage, konnten aber dann in der [[w:Schlacht von al-Qādisīya|Schlacht von al-Qādisīya]] (zwischen 635 und 638) über die persische Armee siegen. Der seit 632 herrschende Sassanide [[w:Yazdegerd III.|Yazdegerd III.]] überließ daraufhin den arabischen Truppen den Irak, gab seine Hauptstadt Ktesiphon auf und zog mit seinem Hofstaat nach Osten ab. Der Sieg von al-Qādisīya war für die Muslime ein ähnlich großer Triumpf wie der Sieg über die heidnischen Mekkaner bei der Schlacht von Badr im Jahre 624. Viele glaubten, dass sie den Sieg über die Perser nur der Hilfe Gottes verdankten. Einige von ihnen waren sogar der Meinung, dass [[w:al-Chidr|al-Chidr]], „der Grüne“, eine engelartige Gestalt, die aber nicht den Engeln zugerechnet wird, bei der Schlacht auf Seiten der Muslime mitgekämpft hatte. [[File:Mohammad adil-Muslim conquest of Egypt.PNG|mini|[[w:Arabische_Eroberung_%C3%84gyptens#Islamische_Eroberung_%C3%84gyptens|Die muslimische Eroberung Ägyptens]], 639-640.]] # <li value="3">Ägypten. ʿAmr ibn al-ʿĀs fiel 639 in einem fast privat zu nennenden Unternehmen in Ägypten ein. Nach Eroberung der in der Nähe des heutigen Kairo gelegenen byzantinischen Festung Babylon im April 641 konnte er das [[w:Nildelta|Nildelta]] mit seinem Heer nahezu ohne Widerstand einnehmen. 642 erfolgte die Eroberung Alexandriens, 643 die Einnahme von [[w:Barke (Libyen)|Barqa]] auf dem Gebiet des heutigen Libyen.</li> # Nordmesopotamien. Dieses Gebiet, das auch als die [[w:Dschazīra|Dschazīra]] (wörtl. „Insel“, nämlich zw. [[w:Euphrat|Euphrat]] und [[w:Tigris|Tigris]]) bekannt ist, wurde zwischen 639 und 641 von Nordsyrien aus durch ʿIyād ibn Ghanm erobert, wobei dieser auch schon Vorstöße nach Armenien unternahm. Zur Kontrolle der eroberten Gebiete und als Ausgangsbasis für weitere Eroberungen wurden an mehreren Orten arabische Garnisonen stationiert. In Syrien waren das bereits bestehende Orte, [[w:al-Dschābiya|al-Dschābiya]], die ehemalige Residenz der [[w:Ghassaniden|ghassānidischen]] Fürsten, und Homs. In den anderen Ländern wurden neue Lagerstädte gegründet, in denen die arabischen Krieger stammes- und clanweise auf verschiedene Parzellen verteilt und jeweils Moscheen nach dem Vorbild der Prophetenmoschee in Medina errichtet wurden. Die wichtigsten dieser [[w:Misr|Misr]] genannten Lagerstädte waren [[w:Basra|Basra]] und [[w:Kufa|Kufa]] im Irak, beide 638 gegründet, [[w:Mossul|Mossul]] in Nordmesopotamien, 641 gegründet, und [[w:Fustāt|al-Fustāt]] in Ägypten, das 643 direkt neben der alten byzantinischen Festung Babylon angelegt wurde. Diese Lagerstädte bildeten fortan die Zentren arabisch-islamischen Lebens in den eroberten Gebieten. Von Basra und Kufa aus unternahmen arabische Heerführer in den späten 630er Jahren Vorstöße nach Persien. Zwischen 637 und 640 unterwarfen sie [[w:Chusistan|Chusistan]] im Südwesten des heutigen Iran. Nach der [[w:Schlacht bei Nehawand|Schlacht bei Nihāwand]] im westiranischen [[w:Zāgros-Gebirge|Zagros-Gebirge]], bei der die Araber den sassanidischen Truppen eine weitere Niederlage bereiteten, stand ihnen das persische Hochland offen. Von Nihāwand aus zogen sie weiter nordwärts und machten das Gebiet von [[w:Aserbaidschan (Iran)|Aserbaidschan]] tributpflichtig. 644 konnten sie außerdem die Stadt [[w:Isfahan|Isfahan]] erobern. Der Sassanidenherrscher Yazdegird III. floh derweil weiter nach Osten. === 4.3.2. Faktoren, die die schnelle Expansion des islamischen Staates begünstigten === Mit seinen Eroberungen und Städtegründungen schuf ʿUmar wichtige Grundlagen für die sich später herausbildende islamische Zivilisation. Wie aber erklärt sich, dass die Eroberungen so schnell vorangetrieben werden konnten? Verschiedene Faktoren lassen sich als Gründe anführen: # Der der islamischen Eroberung vorausgehende Streit zwischen Oströmischem Reich und Sassanidischem Reich um die Vorherrschaft über den Vorderen Orient, der zu Lebzeiten Muhammads zu einem heftigen militärischen Schlagabtausch geführt hatte, hatte die beiden Reiche stark geschwächt. # Ein weiterer wichtiger Faktor in Syrien, Palästina und Ägypten war die fehlende Loyalität der Untertanen ihren ehemaligen Oberherren gegenüber. Diese Länder waren erst kurz vor der islamischen Eroberung wieder unter byzantinische Kontrolle gekommen. Weitaus die meisten Bewohner waren [[w:Monophysitismus|monophysitische]] Christen, für die die herrschende [[w:Konzil von Chalcedon|chalkedonische]] (griechisch-orthodoxe) byzantinische Reichskirche ein bedrückender Gegner war. Auch die syrischen Juden waren den neuen Herren freundlich gesinnt, denn die Byzantiner hatten sie jahrhundertelang verfolgt und ihnen den Zugang zur Stadt Jerusalem verwehrt. Im Zuge der islamischen Eroberung Jerusalems wurde der [[w:Tempelberg|Tempelberg]], der über Jahrhunderte nur eine Schutthalde war, als Heiligtum reaktiviert. Als ʿUmar ibn al-Chattāb 638 Jerusalem für die Muslime in Besitz nahm, wurde er von [[w:Kaʿb al-Ahbār|Kaʿb al-Ahbār]], einem zum Islam übergetretenen Juden aus dem Jemen begleitet. Er deutete dieses Ereignis propagandistisch als Erfüllung biblischer Prophetien. Diese Deutungen fielen bei den Juden Syriens offenbar auf fruchtbaren Boden. Sie betrachteten ʿUmar als einen messianischen Herrscher. Der in diesem Zusammenhang verwendete syrisch-aramäische Begriff ''pārōqā'' („Erlöser“) wurde in seiner arabischen Form ''fārūq'' zum allgemein üblichen Beinamen ʿUmars. # Die von den Arabern praktizierte vertragliche Regelung des Herrschaftswechsels brachte den Unterworfenen keine erheblichen Nachteile und führte zu einer „günstige(n) Konstellation konvergierender Interessen“ ([[w:Albrecht Noth|A. Noth]]), die als einer der Hauptgründe für den Erfolg der militärischen Anstrengungen der Araber gelten darf. Wie es im spätantiken Orient üblich war, gewährten die Araber den Bewohnern von Städten, die sich freiwillig ihrer Herrschaft unterwarfen, eine Sicherheitsgarantie. Sie wird in den arabischen Quellen als ''amān'' bezeichnet. Darüber hinaus wurde den Ahl al-kitāb, den Anhängern der monotheistischen Buchreligionen, neben dem Schutz ihres Lebens und Besitzes auch die freie Ausübung ihrer Religion und der Besitz ihrer Kultstätten und -gegenstände garantiert. Dieser Schutz hieß [[w:Dhimma|Dhimma]] und war eine einklagbare Verpflichtung des islamischen Staates gegenüber seinen nichtmuslimischen Untertanen; der einzelne Schutzbürger hieß Dhimmī. Seine Gegenleistung war die Dschizya, zur Zeit der Eroberung wohl als Pauschale der eroberten Stadt zu entrichten. Die in dieser Zeit mit unterworfenen Städten geschlossenen Verträge galten in der gesamten vormodernen Zeit als Modell für die Regelung des Verhältnisses zwischen islamischem Staat und nicht-muslimischen Untertanen. === 4.3.3. Organisation von Staat und Religion === [[File:Kabah Old Picture - panoramio.jpg|mini|Die Verhüllung der Kaaba mit einer neuen [[w:Kiswa|Kiswa]] ist seit ʿUmar ein bedeutendes Symbol islamischer Herrschaft.]] Zur Sicherung der Einkommen der Kämpfer und Gefährten Muhammads führte ʿUmar 641 ein Zentralregister ([[w:Diwan (Verwaltung)|Dīwān]]) ein, in dem die Zahlungen eingetragen wurden, die der Staat regelmäßig jedem zukommen ließ. Wichtigstes Kriterium für die Stellung in dem Register war die Position zum Islam. Deshalb stand an der Spitze mit den höchsten Zuwendungen der Clan, aus dem der Prophet hervorgegangen war, die [[w:Banū Hāschim|Banū Hāschim]]. Diesem Kreis schlossen sich die weiteren Verwandten an, dann kamen die Ansār aus Medina, die [[w:Schlacht von Badr|Badr]]-Kämpfer und die [[w:Schlacht von Uhud|Uhud]]-Überlebenden, schließlich die in Syrien und Irak eingesetzten Stammeskrieger. Auf diese Weise wurde eine feste Besoldung entwickelt, die ʿUmar aus den drei wichtigsten Staatseinnahmen finanzieren konnte. Dazu zählten die Dschizya, die Zakāt und die Bodensteuer (''ḫarāǧ''). Zur Verwaltung der Ausgaben und Einnahmen wurde eine Staatskasse (''bait al-māl'') eingerichtet. Die Heerführer, die in den verschiedenen Ländern auf Posten lagen, wie ʿAmr ibn al-ʿĀs im neueroberten Ägypten, wurden dazu aufgefordert, die Hälfte ihrer Einkünfte in diese Staatskasse einzuzahlen. ʿUmar setzte den Koranlesern (''qurrāʾ'') [[w:Dotation|Dotationen]] aus und setzte in verschiedenen Städten des Reiches Beamte mit dem Titel eines [[w:Qādī|Qādī]] ein. Der Begriff ''Qādī'' wird heute üblicherweise mit „Richter“ übersetzt, allerdings waren in dieser Zeit mit diesem Amt noch zahlreiche andere administrative und hoheitliche Aufgaben verbunden, wie zum Beispiel die Leitung des [[w:Freitagsgebet|Freitagsgebets]]. <div style="background: #fff; border-width: 1px 3px 3px 1px; text-align: center; padding-top:3px; float:{{{float|left}}}; font-size: smaller; line-height: 1.3; margin-left:1em; margin-right: 4px; width: 15em"> '''Heutiges Datum nach <br /> Hidschrī-Zeitrechnung''': ---- {{#timel:xmj.}} {{#switch:{{{1|{{#timel:xmn}}}}}|1=Muharram|2=Safar|3=Rabīʿ I|4=Rabīʿ II|5=Dschumādā I|6=Dschumādā II|7=Radschab|8=Schaʿbān|9=Ramadān|10=Schauwāl|11=Dhū l-Qaʿda|12=Dhū l-Hiddscha}} {{#timel:xmY}}<br /><small>(= {{#timel:j. F}} {{#timel:Y}}) <br /><nowiki>[</nowiki><span class="plainlinks">[{{fullurl:{{FULLPAGENAME}}|action=purge}} aktualisieren]</span><nowiki>]</nowiki></small> </div> Von großer Bedeutung war des Weiteren, dass ʿUmar im Jahre 638 eine neue Zeitrechnung einführte. Anlass dafür waren Streitigkeiten in Armeeteilen über Datierungsfragen. Als erstes Jahr der neuen Zeitrechnung wurde das Jahr der [[w:Hidschra|Hidschra]] des Propheten von Mekka nach Medina festgelegt, das am 16. Juli 622 begann. Damit wurde eine wichtige staatliche Maßnahme zur Vereinheitlichung getroffen. Diese [[w:Hidschrī-Jahreszählung|Hidschrī-Zeitrechnung]] hat sich im Laufe der Zeit im islamischen Herrschaftsbereich immer mehr durchgesetzt und gilt bis heute in vielen islamischen Ländern als eine der offiziellen Zeitrechnungen bzw. sogar die offizielle Zeitrechnung. Weiterhin ist bekannt, dass sich ʿUmar bei der Regierung sehr stark auf das koranische Prinzip der Konsultation ([[w:Schūrā|Schūrā]]) stützte. Zwar hörte er gelegentlich auch den Rat anderer Kreise, doch beschränkte er sich bei der Konsultation üblicherweise auf die verdienten mekkanischen Prophetengefährten. Zahlreiche Berichte beschreiben, wie er deren Meinung über wichtige politische und rechtliche Fragen einholte. Ein solches Gremium von verdienten mekkanischen Prophetengefährten trat auch nach ʿUmars Tod zusammen, um seinen Nachfolger zu wählen. [[File:Prière de Tarawih dans la Grande Mosquée de Kairouan. Ramadan 2012.jpg|mini|Die [[w:Tarāwīh|Tarāwīh]]-Gebete sind bis heute ein wichtiges Ritual im Bereich des [[w:Sunniten|sunnitischen]] Islams]] Auf religiöser Ebene war von wegweisender Bedeutung, dass ʿUmar während seiner Herrschaft die Stoff-Bekleidung ([[w:Kiswa|Kiswa]]) der Kaaba auf Kosten des Staatshaushalts erneuern ließ. Damit wurde dieses ursprünglich heidnische Ritual zu einem wichtigen Herrschaftssymbol im islamischen Staat. Der Ort für das Gebet an der Kaaba wurde durch einen Stein markiert, der entsprechend dem im Koran ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/125 Q 2:125]) genannten „Standplatz Abrahams“ als [[w:Maqām Ibrāhīm|Maqām Ibrāhīm]] bezeichnet wurde. Den Platz um die Kaaba ließ ʿUmar erweitern und mit einer Mauer versehen, womit er die Grundlage der [[w:al-Harām-Moschee|al-Harām-Moschee]] als eines selbständigen Gebäudes legte. Als neue gottesdienstliche Übung im Ramadān führte ʿUmar die nächtlichen [[w:Tarāwīh|Tarāwīh]]-Gebete ein, bei denen zwischen einer großen Zahl von Gebetszyklen immer wieder längere Pausen (''tarāwīḥ'') eingeschoben werden. Während ʿUmars Kalifat wurden auch im Bereich der Geschlechterordnung wichtige Veränderungen vorgenommen, die als Normen bis heute fortwirken. So führte ʿUmar als Bestrafung für außerehelichen Geschlechtsverkehr ([[w:Zinā|Zinā]]) bei bereits verheirateten Personen den Tod durch Steinigung ein. Der Koran sieht bei diesem Vergehen ohne Ansehen der Person als Strafe nur hundert Peitschenhiebe und Ausschluss aus dem Heiratssystem vor ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/24/vers/2 Q 24:2f]). ʿUmar berief sich bei dieser Maßnahme auf den sogenannten [[w:Steinigungsvers|Steinigungsvers]], der seiner Auffassung nach ursprünglich im Koran gestanden hatte, dann aber daraus gestrichen worden war. Das aus dem alten Arabien übernommene Rechtsinstitut der zeitlich begrenzten Genussehe ([[w:Mutʿa-Ehe|Mutʿa]]), auf das zu dieser Zeit noch viele Muslime zurückgriffen, wenn sie kurze sexuelle Beziehungen eingehen wollten, wurde von ʿUmar verboten. Außerdem verschärfte ʿUmar die Regeln für die [[w:Talāq|Verstoßung]] von Ehefrauen: Während nämlich vorher die Ehe erst dann beendet war, wenn der Ehemann die Verstoßungsformel in drei unterschiedlichen Monatsperioden ausgesprochen hatte, galt dies nun auch dann, wenn der Mann sie drei Mal direkt nacheinander ausgesprochen hatte. === 4.3.4. Die Vielgestaltigkeit des Korantextes === Ein bekannter Bericht besagt, dass ʿUmar noch während Abū Bakrs Kalifat von der Tatsache beunruhigt gewesen sei, dass in der Schlacht gegen Musailima viele ''qurrāʾ'' getötet worden waren. Die ''qurrāʾ'', d.h. Koranleser, waren jene, die den Koran auswendig kannten. Aus Furcht, dass infolge solcher Verluste schließlich auch die Kenntnis des heiligen Textes verloren gehen könnte, riet er Abū Bakr, eine Sammlung des Korans erstellen zu lassen. Mit diesem Unternehmen wurde [[w:Zaid ibn Thābit|Zaid ibn Thābit]], einer von Muhammads Sekretären (vgl. oben [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 03#3.2.5. Der allmähliche Machtzuwachs des Propheten|3.2.5.]]), beauftragt. Zaid schrieb nieder, was er auf Blättern (''ṣuḥuf'') gesammelt hatte, und übergab dies Abū Bakr. Es gibt allerdings keine Belege dafür, dass diese „Sammlung“ irgendwo als autoritativ akzeptiert wurde. ʿUmar befand sich aber wohl zu Beginn seines Kalifats im Besitz dieser Sammlung. Außer dieser Sammlung ʿUmars gab es zu seiner Zeit noch eine Anzahl anderer Kodizes, von denen die vier berühmtesten diejenigen von [[w:Ubaiy ibn Kaʿb|Ubaiy ibn Kaʿb]], [[w:ʿAbdallāh ibn Masʿūd|ʿAbdallāh ibn Masʿūd]], Miqdād ibn Aswad und [[w:Abū Mūsā al-Aschʿarī|Abū Mūsā al-Aschʿarī]] waren. Ubaiy war wie Zaid ibn Thābit Sekretär des Propheten gewesen und hatte schon zu seinen Lebzeiten Mitschriften seiner Verkündigungen angefertigt (vgl. oben [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 03#3.2.5. Der allmähliche Machtzuwachs des Propheten|3.2.5.]]). ʿAbdallāh ibn Masʿūd und Miqdād ibn Aswad, die Muslime der ersten Stunde waren, hatten den Koran dagegen nur mündlich memoriert. Miqdād war während der Zeit von ʿUmar in Syrien stationiert, ʿAbdallāh ibn Masʿūd wurde von ʿUmar 642 als Qādī nach Kufa geschickt. Der Jemenit Abū Mūsā al-Aschʿarī, der sich dem Propheten erst 628 angeschlossen hatte, wurde 638 von ʿUmar zum Statthalter von Basra ernannt. Was die Verbreitung der von diesen Männern erstellten Kodizes anlangt, so hielten sich die Dasmaszener an die Lesart des Ubaiy, die Kufier an die des Ibn Masʿūd, die Basrier an die des Abū Mūsā und die Bewohner von Homs an diejenige des Miqdād. Dass die Ausgaben des Ibn Masʿūd und Abū Mūsā in Kufa bzw. Basra solches Ansehen erreichten, hängt sicherlich damit zusammen, dass die beiden Männer dort als staatliche Funktionsträger tätig waren. Die Verwendung der Sammlung von Ubaiy, der sich selbst in Medina aufhielt, in Damaskus deutet dagegen darauf hin, dass diese Sammlung zu dieser Zeit eine überregionale Bedeutung erhalten hatte. Die Zulässigkeit all dieser verschiedenen Versionen des Korantextes wurde mit Berichten begründet, wonach der Prophet zu Lebzeiten Gefährten, die über die Unterschiedlichkeit der im Umlauf befindlichen Versionen des Korantexts besorgt, selbst damit beruhigt habe, dass der Koran in sieben Varianten (''ʿalā sabʿati aḥruf'') offenbart worden sei. Bei der Verbreitung dieser Berichte nahm Ubaiy eine Schlüsselrolle ein. Die textlichen Unterschiede zwischen den verschiedenen Versionen waren zum Teil beträchtlich. So war zum zum Beispiel in [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/3/vers/19 Sure 3:19] in der Sammlung Ibn Masʿūds als Name für die Religion nicht Islam, sondern ''Hanīfīya'' angegeben. == 4.4. ʿUthmān ibn ʿAffān (644-656) - „Stellvertreter Gottes“ == === 4.4.1. Nepotismus und Selbstbereicherung der Umaiyaden === Nach dem Tod von ʿUmar trat das von ihm gebildete Konsulativgremium verdienter Prophetengefährten zusammen, um seinen Nachfolger zu wählen. Ihm gehörten sechs Männer an: [[w:ʿUthmān ibn ʿAffān|ʿUthmān ibn ʿAffān]], ʿAlī ibn Abī Tālib, [[w:ʿAbd ar-Rahmān ibn ʿAuf|ʿAbd ar-Rahmān ibn ʿAuf]], [[w:Talha ibn ʿUbaidallāh|Talha ibn ʿUbaidallāh]], [[w:az-Zubair ibn al-ʿAuwām|az-Zubair ibn al-ʿAuwām]] und [[w:Saʿd ibn Abī Waqqās|Saʿd ibn Abī Waqqās]]. Von den genannten Personen hegten allein ʿAlī und ʿUthmān Ambitionen auf die Nachfolge. ʿAbd ar-Rahmān verzichtete auf die Kandidatur unter der Bedingung, dass ihm im Falle der Uneinigkeit die Aufgabe des Schiedsrichters übertragen würde. Da Saʿd für ʿAlī votierte und az-Zubair für ʿUthmān, Talha aber abwesend war, kam ʿAbd ar-Rahmān als Schiedsrichter zum Einsatz. Er entschied sich nach Beratungen mit den Häuptern der quraischitischen Clane für ʿUthmān, wodurch dieser zum neuen Kalifen wurde. ʿUthmān gehörte den [[w:Umayyaden|Umaiyaden]], einer Familie der ʿAbd Schams, an. Bei der endgültigen Einigung auf ʿUthmān war wahrscheinlich dieser ''nasab'' letztlich ausschlaggebend. In jedem Fall kündigt sich mit der Erhebung des Umaiyaden ʿUthmān die wenig später erfolgte Etablierung der ersten islamischen Dynastie, die sich eben aus der Umaiya-Familie rekrutierte, bereits an. {{Anker|Marwan}} Schon kurz nach seiner Amtseinführung setzte ʿUthmān Verwandte in zentrale Statthalterposten ein. Syrien befand sich ohnehin schon seit ʿUmar in der Hand des Umaiyaden [[w:Muʿāwiya_I.|Muʿāwiya ibn Abī Sufyān]]. Er war der Sohn von Muhammads ehemaligen Gegner [[w:Abū Sufyān ibn Harb|Abū Sufyān ibn Harb]]. Aber auch in Kufa und Ägypten wurden jetzt Umaiyaden als Gouverneure eingesetzt. Saʿd ibn Abī Waqqās, der Gründer von Kufa, musste ʿUthmāns Verwandten, Walīd ibn ʿUqba, weichen. ʿAmr ibn al-ʿĀs, der Eroberer Ägyptens, der noch im Jahre 645 einen byzantinischen Versuch, Ägypten wiederzuerobern, erfolgreich abwehren konnte, wurde als Gouverneur durch [[w:ʿAbdallāh ibn Saʿd|ʿAbdallāh ibn Abī Sarh]], einen Vetter ʿUthmāns mit zweifelhafter Vergangenheit (vgl. oben [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 03#3.2.3. Andere Gegner Muhammads|3.2.3.]]), ersetzt. Als es im Jahre 649/50 zu Beschwerden über den Statthalter von Basra, Abū Mūsā al-Aschʿarī, kam, wurde auch diese Posten noch mit einem Umaiyaden, nämlich ʿAbdallāh ibn ʿĀmir, besetzt. Zum engsten Berater des Kalifen stieg [[w:Marwan I.|Marwān ibn al-Hakam]] auf, ebenfalls ein Umaiyade. Diese [[w:Vetternwirtschaft|nepotistische]] Politik führte zu einer Entfremdung zwischen dem Kalifen und dem Gremium von Prophetengefährten, die ihn in dieses Amt gewählt hatten. [[File:Mohammad adil-Rashidun-empire-at-its-peak-close.PNG|mini|Die Ausdehnung des islamischen Reiches gegen Ende von ʿUthmāns Kalifat]] Dennoch konnten die Eroberungszüge unter ʿUthmān und seinen Gouverneuren erfolgreich fortgesetzt werden. Muʿāwiya hatte schon 642 von Damaskus aus den Heerführer Habīb ibn Maslama zum Kampf in den [[w:Kaukasus|Kaukasus]] entsandt. Er konnte 645 die georgische Hauptstadt [[w:Tiflis|Tiflis]] einnehmen und bis 652 Armenien unterwerfen. Außerdem baute Muʿāwiya in den syrischen Hafenstädten eine Flotte auf, besetzte 649 [[w:Zypern|Zypern]] und drängte Byzanz aus dem östlichen Mittelmeer zurück. ʿAbdallāh ibn Abī Sarh unternahm von [[w:Fustāt|al-Fustāt]] aus Expeditionen an der nordafrikanischen Küste entlang in Richtung Westen und eroberte 647 [[w:Tripolitanien|Tripolitanien]]. 652 unterwarf er außerdem [[w:Oberägypten|Oberägypten]] und brachte das Königreich [[w:Nubien|Nubien]] in ein Tributverhältnis zum islamischen Staat. Zur Kontrolle der nubischen Tributzahlungen wurde in der Stadt Syene (heute [[w:Assuan|Assuan]]) eine Militärgarnison stationiert. ʿAbdallāh ibn ʿĀmir vollendete 650 mit der Einnahme von [[w:Persepolis|Persepolis]] die Eroberung der [[w:Persis|Persis]] ([[w:Fars|Fārs]]) und besetzte 651/2 die sassanidische Nordostprovinz [[w:Chorasan|Chorasan]] mit den Städten [[w:Nischapur|Nischapur]], [[w:Merw|Merw]], [[w:Balch|Balch]] und [[w:Herat|Herat]]. Im gleichen Jahr fiel der Sassaniden-Herrscher [[w:Yazdegerd_III.|Yazdegerd III.]] in Merw einem Mordanschlag zum Opfer, womit die Sassaniden-Dynastie endgültig erlosch. ʿUthmān machte sich allerdings dadurch unbeliebt, dass er einen Teil der bei den Futūh eroberten Ländereien, die nach Vorstellung der Kämpfer der Gemeinschaft der Muslime insgesamt gehörten, unter Berufung auf den im Koran beschriebenen „Fünft“ (''ḫums'', vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/8/vers/41 Q 8:41]) zurückhielt und unter seinen Gouverneuren und Verwandten als Landgüter (''qaṭāʾiʿ'') verteilte. Auch verschiedene Prophetengefährten wie etwa Talha wurden großzügig mit Landschenkungen bedacht. Einer von ʿUthmāns Verwandten, der im Irak als Gouverneur eingesetzt war, verstieg sich zu der Aussage, dass das Fruchtland des Irak, der sogenannte ''sawād'', „Garten der Quraisch“ geworden sei, also gewissermaßen Eigentum dieses Stammes. Auch ʿAbdallāh ibn Abī Sarh, ʿUthmāns Gouverneur in Ägypten, tat sich durch gesteigerte Ausbeutungsmethoden negativ hervor. Mit den so erlangten Mitteln erbaute er sich in Ägypten einen prächtigen Palast. Allein diese Haltung bedeutete, wenn man ʿUmars Anweisungen hinsichtlich der Bauaktivität zum Vergleich heranzieht, eine bedenkliche Veränderung. Im Gegensatz zu seinen Vorgängern erhob ʿUthmān auch Anspruch auf göttliche Autorisierung. Er bezeichnete sich in seinen Urkunden nicht mehr als Stellvertreter des Gottesgesandten (''ḫalīfat rasūl Allāh''), sondern direkt als Stellvertreter Gottes (''ḫalīfat Allāh''). Damit stellte er sich in die Nachfolge des Königs [[w:David|David]], von dem Gott im Koran ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/38/vers/26 38:26]) sagt, dass Er ihn als Stellvertreter auf Erden eingesetzt habe, damit er zwischen den Menschen nach der Wahrheit richte. Dieses Modell des Kalifats übernahmen später fast alle anderen Herrscher, die diesen Titel für sich beanspruchten. === 4.4.2. Die Erstellung einer offiziellen Koranausgabe === [[File:The ‘Uthman Qur'an - Kufic.jpg|mini|links|Ausschnitt aus einem Korantext, der auf ʿUthmān zurückgeführt wird. [[w:Diakritisches Zeichen|Diakritische Zeichen]] fehlen.]] Unter dem Kalifat ʿUthmāns wurde eine erste offizielle Koranausgabe erstellt. Die islamische Tradition besagt, dass zu dieser Zeit, insbesondere während der Kriegszüge nach Armenien und Aserbaidschan, also im Jahre 652, Männer aus Syrien und dem Irak über die verschiedenen Lesarten des Korans in Streit gerieten. Als der General Hudhaifa von der Expedition zurückgekehrt war, trug er die Sache dem Kalifen vor, und der Kalif beschloss, eine Kommission einzusetzen, die einen offiziellen Korantext festlegen sollte. Mit dieser Aufgabe wurde erneut Zaid ibn Thābit betraut, wobei ihm jedoch drei Muslime aus Mekka zur Seite gestellt wurden. Die Kommissionsmitglieder wurden angewiesen, sich dort, wo es irgendeine sprachliche Schwierigkeit bei der Lesung gab, an den Dialekt der Quraisch von Mekka zu halten. Zaid und seinen Mitarbeiter händigte man für ihre Arbeit die Blätter (''ṣuḥuf'') ʿUmars aus, die bei seinem Tod an seine Tochter [[w:Hafsa bint ʿUmar|Hafsa]] gegangen war. Mit dieser Version verglichen sie alle Koranfragmente, die sie finden konnten, und fügten an passenden Stellen alle ausgelassenen Verse ein. Ziel ihrer Bemühungen war die Festlegung eines autoritativen Textes des Korans. Davon wurden dann Kopien angefertigt und in die wichtigsten Städte des islamischen Reiches (Damaskus, Kufa, Basra und wahrscheinlich auch Mekka) geschickt. Es heißt, dass ʿUthmān die anderen Korankodizes vernichten ließ. In Wirklichkeit wurde aber keine völlige Vertilgung der anderen Niederschriften erreicht. ʿAbdallāh ibn Masʿūd zum Beispiel weigerte sich erfolgreich, seinen Korankodex herauszugeben. Von den anderen Korankodizes wich die neu erstellte offizielle Koranausgabe in mehreren Punkten ab. So enthält sie am Anfang und Ende Gebete, die in anderen Korankodizes fehlten. Sie bilden die erste Sure, die [[w:al-Fātiha|Fātiha]], und die beiden letzten mit ''aʿūḏu bi-rabbi'' („Ich nehme Zuflucht beim Herrn...“) eingeleiteten Suren [[w:Sure 113|Sure 113]] und [[w:Sure 114|114]], die [[w:Apotropaion|apotropäische]] Funktion haben. Die Fātiha ist ein Eröffnungsgebet, das für den Gottesdienst der Muslime sehr große Bedeutung hat und deswegen auch mit dem christlichen [[w:Vaterunser|Vaterunser]] verglichen worden ist. Sein Text lautet: [[Datei:FirstSurahKoran.jpg|mini|hochkant|Kalligraphisch gestaltete Fātiha in arabischer Schrift, {{Audio|Surah Al fatiha104.ogg|Die Fātiha zum Anhören}}]] <poem lang="nl" style="margin-left:2em; float:left;"> ''Bi-smi Llāhi r-raḥmāni r-raḥīm'' ''al-ḥamdu li-Llāhi rabbi l-ʿālamīn'' ''ar-raḥmāni r-raḥīm'' ''māliki yaumi d-dīn'' ''īyāka naʿbudu wa-īyāka nastaʿīn'' ''ihdī-nā ṣ-ṣirāta l-mustaqīm'' ''ṣirāta llaḏīna anʿamta ʿalai-him'' ''ġairi l-maġḍūbi ʿalai-him wa-lā ḍ-ḍāllīn'' </poem> <poem style="margin-left:2em; float:left;"> Im Namen Gottes, des barmherzigen Erbarmers, Lob sei Gott, dem Herrn der Welten, dem barmherzigen Erbarmer, dem König des Gerichtstags. Dir dienen wir, dich rufen wir um Hilfe an. Führe uns den rechten Weg, den Weg derer, denen du Huld erwiesen hast, nicht derer, denen du zürnst und nicht derer, die irregehen. </poem> <div style="clear:left;"></div> Von großer Bedeutung war eine Differenz in [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/24 Sure 4:24]. In dem Passus, in dem den Männern erlaubt wird, sich mit ihrem Vermögen über ihre gewöhnlichen Ehefrauen hinaus sonstige Frauen zu verschaffen, wenn sie ihnen nach dem erfahrenen Genuss ihren Lohn geben, stand sowohl in dem Kodex von ʿAbdallāh ibn Masʿūd als auch in demjenigen von Ubaiy ibn Kaʿb der Ausdruck ''ilā aǧal musammā'' („bis zur genannten Zeit“). Daraus leiteten mehrere [[w:Sahāba|Prophetengefährten]] ab, dass zeitlich begrenzte Ehen zum Zweck des sexuellen Genusses ([[w:Mutʿa-Ehe|Mutʿa]]) trotz des Verbotes durch ʿUmar weiterhin erlaubt seien. In dem Korantext von ʿUthmān, der Grundlage aller späteren Koranausgaben ist, fehlt dieser Ausdruck. === 4.4.3. Die Entstehung einer religiös-politischen Opposition === Gegen die neu eingetretenen Umstände, Haltungen und Denkweisen in den aristokratischen Führungskreisen des Reiches bildete sich in Syrien und im Irak eine religiös-politische Oppositionsbewegung, die vor allem von Frommen, die zu Muhammads frühen Anhängern gehört hatten, getragen wurde. Einer der bekanntesten Vertreter dieser Bewegung war [[w:Abū Dharr al-Ghifārī|Abū Dharr al-Ghifārī]], der aufgrund seines frühen Beitritts zum Islam und seiner Meriten als Kämpfer eine hohe Stellung in der islamischen Gemeinde hatte. Als ʿUthmān nach den Eroberungszügen von 647 in Tripolitanien einen Großteil des erbeuteten Vermögens an Verwandte und seinen Sekretär Zaid ibn Thābit gab, predigte Abū Dharr gegen diejenigen, die „Geld anhäufen“, wobei er sich auf das Koranwort von Sure [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/34 9:34] bezog: „Wer aber Gold und Silber hortet und es nicht für die Sache Gottes ausgibt, denen verkünde schmerzhafte Strafe.“ ʿUthmān verbannte ihn daraufhin nach Syrien, wo Abū Dharr aber weitere Auseinandersetzungen mit dem dortigen umaiyadischen Statthalter Muʿāwiya hatte. Abū Dharr warf ihm vor, die ihm anvertrauten Gelder der Muslime zu veruntreuen, und forderte bei Predigten die Reichen dazu auf, die Armen zu unterstützen. Offensichtlich fand Abū Dharrs Bestreben ein beachtliches Echo unter den Armen in Syrien, denn diese versuchten daraufhin, die Reichen zu entsprechenden Handlungen zu zwingen. Als es zu Beschwerden bei Muʿāwiya kam, wandte sich dieser schriftlich an ʿUthmān und meldete ihm, dass Abū Dharr die Menschen in Syrien gegen ihn aufhetze. ʿUthmān ließ den angeblichen Aufrührer hierauf nach Medina kommen und zog seine Hinrichtung in Erwägung, nahm jedoch auf Anraten von ʿAlī ibn Abī Tālib davon Abstand. Der Kalif schickte ihn schließlich in eine Art Verbannung nach Rabdha, einem Dorf der Umgebung, wo er in Armut und Zurückgezogenheit um das Jahr 652 verstarb. Das harte Vorgehen gegen diesen populären Prophetengefährten schadete ʿUthmāns Ansehen stark. Auch in den Lagern Kufa und Basra, die durch Einwanderung von Stammesangehörigen der arabischen Halbinsel mittlerweile zu bedeutenden Siedlungen herangewachsen waren, regte sich Widerstand gegen ʿUthmān. In Kufa kritisierte ʿAbdallāh Ibn Masʿūd schon 650 den neuen Gouverneur, dessen heidnisches Gebaren ihn verstörte. 651 kam es zum Bruch mit ʿUthmān. Ibn Masʿūd fiel in Ungnade, unter Umständen, die nicht klar sind. Eine öffentliche Szene folgte, bei der er vom Kalifen misshandelt wurde. Ein Grund für diese Konfrontation mag die Auseinandersetzung um Ibn Masʿūds Korankodex (''muṣḥaf'') gewesen sein. Ibn Masʿūd zufolge war der [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/5/vers/67 Vers 5:67] zur Zeit des Propheten mit einem explizit auf ʿAlī bezogenen Zusatz versehen gewesen. Das deutet auf eine große Loyalität Ibn Masʿūds gegenüber ʿAlī und seiner Familie hin. === 4.4.4. ʿUthmāns Ermordung === [[File:Rebellions against Uthman & the Kharijite Origins.png|mini|Die Orte, von denen aus die Unzufriedenen nach Medina zogen.]] In den letzten Jahren des Kalifats von ʿUthmān wurden die Beschwerden gegen ihn immer lauter, und es entstand eine regelrechte Protestbewegung. Nach dem Bericht [[w:at-Tabarī|at-Tabarī]]s war es ein Mann namens [[w:ʿAbdallāh ibn Saba'|ʿAbdallāh ibn Saba']], der sie von Ägypten aus koordinierte. Er stellte ʿUthmān als Usurpator dar und propagierte, dass allein ʿAlī als Mohammeds Bevollmächtigter (''waṣī'') zur Herrschaft über die [[w:Umma|Umma]] befugt sei. Im Frühjahr 656 zogen große Gruppen Unzufriedener aus Ägypten, Basra und Kufa nach Medina, führten beim Kalifen über verschiedene Dinge Klage und verlangten seine Absetzung. ʿUthmān, der ihre Forderungen für unberechtigt hielt, bequemte sich schließlich zu Verhandlungen und sagte zu, ihre Beschwerden zu prüfen. Die Unzufriedenen wurden dadurch zunächst weitgehend beruhigt und traten den Heimweg an. Die Beschwerdeführer aus Ägypten fingen aber unterwegs einen Boten des Kalifen ab, der eine geheime Botschaft an den Statthalter in Ägypten bei sich hatte. Darin beauftragte der Kalif diesen, die Anführer hinzurichten und andere entsprechend zu bestrafen. Aufgebracht kehrten die Unzufriedenen nach Medina zurück, stellten den Kalifen zur Rede und forderten ihn ultimativ zum Rücktritt auf. Es kam zur Belagerung seines Hauses, wo ihn seine Knechte und Verwandten verteidigten und damit die Konfrontation verschärften. Das Gebäude wurde am 17. Juni 656 gestürmt, und ʿUthmān ermordet. Eine wichtige Folge der Ermordung ʿUthmāns war, dass die Stadt Medina fortan ihre Rolle als politisches Zentrum des islamischen Staates verlor. Noch wichtiger war allerdings, dass es über die Beurteilung von ʿUthmān und die Frage, ob seine Ermordung gerechtfertigt war, zu einer tiefgehenden Spaltung der Muslime kam, die bis heute noch nicht überwunden ist. In diesen Auseinandersetzungen um ʿUthmān tauchte zum ersten Mal eine wichtige Formel auf, die nämlich von dem „Buch Gottes und der [[w:Sunna|Sunna]] des Propheten“. Mit dem Buch Gottes war der Koran gemeint, mit der Sunna des Propheten die von diesem begründete Handlungspraxis, die man in der Gemeinschaft der Muslime als normativen Maßstab ansah. Während die Gegner ʿUthmāns überzeugt waren, dass ʿUthmān gegen die Prinzipien von Koran und Prophetensunna verstoßen hatte, verteidigten seine Parteigänger, insbesondere die Umaiyaden, seine Handlungsweise gegen diesen Vorwurf. == 4.5. Weiterführende Literatur == * Sean Anthony: ''The Caliph and the heretic: Ibn Saba' and the origins of Shīʿism.'' Leiden 2012. * [[w:Al-Balādhurī|Al-Balādhurī]]: ''Kitāb Futūḥ al-buldān.'' Deutsche Übersetzung von [[w:Oskar Rescher|Oskar Rescher]]. 2 Bde. Leipzig 1917, Stuttgart 1923. * Heribert Busse: „ʿOmar b. al-Ḫaṭṭāb in Jerusalem“ in ''Jerusalem Studies in Arabic and Islam'' 5 (1984) 73–119. * Patricia Crone und Michael Cook: ''Hagarism. The Making of the Islamic World.'' Cambridge 1977. * Patricia Crone und Martin Hinds: ''God’s Caliph. Religious authority in the first centuries of Islam.'' Cambridge 1986. * Paul Gerhard Dannhauer: ''Untersuchungen zur frühen Geschichte des Qadi-Amtes.'' Bonn 1975. * Fred Donner: ''The early Islamic conquests.'' Princeton, NJ 1981. * Taieb El-Hibri: ''Parable and Politics in Early Islamic History. The Rashidun Caliphs.'' New York-Chichester 2010. * [[w:Martin Hinds|Martin Hinds]]: “The Murder of the Caliph ʿUthmān” in ''International Journal of Middle East Studies'' 3 (1972) 450–469. * Wilferd Madelung: ''The Succession to Muhammad. A study of the early caliphate.'' Cambridge 1997. * Al Makin: ''Representing the enemy: Musaylima in Muslim literature''. Frankfurt/Main 2010. * Theodor Nöldeke: ''Geschichte des Qorāns. Zweiter Teil: Die Sammlung des Qorāns.'' 2. Aufl. völlig umgearbeitet von Fr. Schwally. Leipzig 1919. * Albrecht Noth: “Von der medinensischen 'Umma' zu einer muslimischen Ökumene“ in A. Noth u. J. Paul (Hrsg.): ''Der Islamische Orient. Grundzüge seiner Geschichte.'' Würzburg 1998. * David Stephan Powers: ''Muḥammad is not the father of any of your men: the making of the last prophet''. Philadelphia 2009. * Israel Wolfensohn: ''Kaʿb al-Aḥbār und seine Stellung im Ḥadīṯ und in der islamischen Legendenliteratur.'' Gelnhausen 1933. == 4.6. Fragen/Aufgaben == 1. Welche Umstände erleichterten die islamische Eroberung des Vorderen Orients? 2. Welche Veränderungen nahm Muhammad am Haddsch-Ritual vor? 3. Nach dem Tode Muhammads traten unter den Muslimen erhebliche Meinungsverschiedenheiten auf. Erklären Sie, um welches Problem es ging, und wie dieses gelöst wurde. 4. Welche Titel nahmen die ersten muslimischen Herrscher nach Muhammad an und welche Vorstellungen waren mit ihnen verbunden? 5. Nennen Sie politische und religiöse Reformen, die unter dem Kalifen ʿUmar ibn al-Chattāb vorgenommen wurden. 6. In welcher Weise lag der Koran nach dem Tode Muhammads vor und welche redaktionellen Prozesse fanden bis zum Kalifat ʿUmars statt? 7. Der Kalif ʿUthmān ließ die erste offizielle Koranausgabe erstellen. In welchen Punkten wich sie von anderen damals verwendeten Korankodizes ab? 8. Beschreiben Sie die Entwicklungen, die zur Ermordung des Kalifen ʿUthmān und damit auch zur Spaltung der Muslime führten. {{Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI)/Navigation}} ojnxpxc6giwxt7ox4ilwd17l3qgkad2 1116495 1116494 2026-10-16T18:55:31Z PaFra 14559 /* 4.3. ʿUmar ibn al-Chattāb (634-644) - „Befehlshaber der Gläubigen“ */ 1116495 wikitext text/x-wiki {{Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI)/Navigation}} [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 03|3 <<<]] — [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 05|>>> 5]] {{TOC nonum}} = 4. Die Expansion des islamischen Staates und das frühe Kalifat (630-656) = Der Staat von Yathrib/Medina steigt zur wichtigsten Macht in Arabien auf. Muhammads Tod 632 stürzt ihn zwar in eine schwere Krise, doch kann sie schnell überwunden und mit Hilfe der arabischen Stämme eine Expansionsbewegung in Gang gesetzt werden, die zur Eroberung des gesamten Vorderen Orients führt. Wichtige religiöse Neuerungen: die Reform des Kalenders und die Kodifizierung des Korans. == 4.1. Die letzten Jahre des Propheten (630-632) == === 4.1.1. Aussöhnung mit den Quraisch und Anschluss der Araber === Wenige Tage nach der Einnahme von Mekka durch die Muslime zog vom Südosten her eine neue militärische Gefahr herauf. Die Stämme der Hawāzin und der Thaqīf hatten eine Armee von 20.000 Kämpfern aufgestellt und bedrohten damit Mekka. Da die Hawāzin nicht nur Muhammad und den Muslimen, sondern auch den heidnisch gebliebenen Quraisch feindlich gegenüber standen, ergab sich die Gelegenheit zu einem Ausgleich. Als Muhammad die heidnischen Mekkaner dazu aufforderte, zusammen gegen den gemeinsamen Feind zu ziehen, schlossen sich ihm etwa 2.000 Mann von ihnen an. In dem Tal [[w:Hunain|Hunain]] kam es zu einer Schlacht, bei der zeitweise der Ausgang unsicher schien (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/25 Q 9:25f]), doch am Ende siegten Muhammads Truppen und eroberten das feindliche Lager. Viele der früheren mekkanischen Gegner Muhammads, darunter auch die Söhne [[w:Abū Sufyān ibn Harb|Abū Sufyāns]], konnten bei dieser Gelegenheit durch eine großzügige Beuteverteilung für den Islam gewonnen werden. Diese mekkanischen „Spätkonvertiten“ werden in Anlehnung an einen Koranvers, der auf das Ereignis Bezug nimmt ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/60 Q 9:60]), als ''al-muʾallafa qulūbu-hum'' („die, deren Herzen gewonnen wurden“) bezeichnet. Zu einem raschen Interessenausgleich mit früheren Gegnern trug auch bei, dass Muhammad die Familien, die bisher die kultischen Ämter in Mekka ausgeübt hatten, in diesen Ämtern bestätigte. So übergab er einem Angehörigen der ʿAbd ad-Dār, die schon vorher das Türhüteramt der Kaaba versehen hatten, den Schlüssel des Heiligtums als Zeichen seiner erblichen Belehnung mit diesem Amt. Bis heute haben die Banū Schaiba, die Nachkommen von Schaiba ibn ʿUthmān aus dem Clan ʿAbd ad-Dār, dieses Türhüteramt der Kaaba inne. [[File:Jami Masjid, Mandu - minbar 01.jpg|mini|[[w:Minbar|Minbar]] in der Freitagsmoschee von [[w:Mandu (Stadt)|Mandu]], 14. Jh.]] Nach der Schlacht von Hunain im Frühjahr 630 war die Expansion der neuen Religion in das Innere der Arabischen Halbinsel überwältigend. Muhammad sandte Briefe an die in den verschiedenen Teilen der arabischen Halbinsel lebenden Stämme und forderte sie auf, den Islam anzunehmen. Verschiedene Stämme wie die [[w:Azd (Stamm)|Azd]], [[w:Kinda (Arabien)|Kinda]] und [[w:Bāhila|Bāhila]] schickten umgekehrt Gesandtschaften zu ihm und baten ihn um Aufnahme in sein Bündnis. Deshalb wird das Jahr nach der Einnahme Mekkas in der islamischen Geschichtsschreibung auch das „Jahr der Gesandtschaften“ (''ʿām al-wufūd'') genannt. Bei seinen Predigten und Verhandlungen mit den Delegationen verwendete der Prophet jetzt häufig den [[w:Minbar|Minbar]], einen kanzelartigen Thron aus Holz. Ursprünglich wohl ein Hoheitssymbol, wurde der Minbar später als Ort, von dem aus die Freitagspredigt gehalten wird, zu einem festen Bestandteil der Innenausstattung von Moscheen. Für offene Gegner des Propheten wurde das Leben auch außerhalb Mekkas nun immer schwieriger. Sicher waren sie nur, wenn sie sich dem Propheten unterwarfen und den Islam annahmen. So tat es beispielsweise [[w:ʿIkrima ibn Abī Dschahl|ʿIkrima]], der Sohn von [[w:Abū Dschahl|Abū Dschahl]], der bis zuletzt gegen Muhammad gekämpft hatte und zunächst in den Jemen geflohen war. Bekannt geworden ist auch der Dichter [[w:Kaʿb ibn Zuhair|Kaʿb ibn Zuhair]], der in satirischen Versen Muhammad angegriffen hatte und deshalb zur Tötung freigegeben worden war. Er tauchte in dieser Zeit überraschend in Medina auf und trug öffentlich ein Lobgedicht auf den Propheten und die Quraisch vor. Dieses mit den Worten ''Bānat Suʿād'' beginnende Gedicht wurde später zu einem der wichtigsten religiösen Gedichte des Islams und ist als solches immer wieder kommentiert und schmückend erweitert worden. Im Herbst 630 kam es noch einmal zu einer internen Krise, als Muhammad, offenbar gegen den Willen vieler seiner Anhänger (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/81 Q 9:81]), einen Feldzug gegen die Byzantiner und ihre arabischen Bundesgenossen an der syrischen Grenze unternahm. Zeitgleich mit diesem [[w:Feldzug nach Tabūk|Feldzug nach Tabūk]] setzten sich einige von Muhammads Anhängern ab, errichteten sich eine eigene Moschee (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/107 Q 9:107-11]) und heckten gegen den Propheten eine Intrige aus. Die Koranverse, die diese Situation verarbeiten, fordern den Propheten auf, hart gegen die als [[w:Munāfiq|Munāfiqūn]] und [[w:Kāfir|Kuffār]] bezeichnete Gruppe vorzugehen und drohen diesen als Apostaten die Höllenstrafe an (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/73 Q 9:73f]). Den Gläubigen wurde umgekehrt im Koran für ihren kämpferischen Einsatz großer jenseitiger Lohn in Aussicht gestellt. Das Verhältnis zwischen ihrem Einsatz und der jenseitigen Belohnung wird dabei nach Art eines Handelsgeschäfts mit Gott beschrieben: {{Zitat|Gott hat den Gläubigen ihr Leben und ihr Vermögen dafür abgekauft, dass sie das Paradies haben sollen. Sie sollen kämpfen für die Sache Gottes und töten und getötet werden. Das ist ein ihn bindendes Versprechen [...]. Und wer hält sein Versprechen getreuer als Gott? Freut euch also über das, was ihr erkauft habt. Denn das ist der große Gewinn.|[https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/111 Q 9:111]}} Mit diesem und ähnlich lautenden Versen (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/74 Q 4:74]; [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/61/vers/10 61:10]) wurde im Islam ein eigenes Konzept des Märtyrertums begründet: Derjenige, der sich im Kampf selbst aufopfert und den Tod auf dem Schlachtfeld findet, ist kein Verlierer, sondern in Wirklichkeit der „große Gewinner“. Diese Form der religiösen Mobilisierung der Gläubigen zum Kampf hat möglicherweise entscheidend zur schnellen Expansion des islamischen Staates beigetragen. === 4.1.2. Muslime und Nicht-Muslime === Die Annahme des Islams wurde jetzt zur strikten Vorbedingung einer Aufnahme in das Bündnis mit Mohammed. Das bedeutete zugleich, dass sich ihm immer mehr Menschen rein aus politischen und wirtschaftlichen Gründen anschlossen, der neuen Religion jedoch innerlich kaum zugetan waren. Das galt wohl vor allem für die Beduinen, wie aus einem in dieser Hinsicht vielsagenden Koranvers hervorgeht: {{Zitat|Die Wüstenaraber (''al-Aʿrāb'') sagen: Wir glauben! Sprich: Ihr glaubt nicht! Sagt vielmehr: Wir haben uns unterworfen. Denn der Glaube ist noch nicht in eure Herzen eingedrungen.|[https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/49/vers/14 Sure 49:14]}} Unterwerfung (''islām'') unter den Willen Gottes und seines Gesandten, so sagt es uns dieser Vers, bedeutete eben nicht immer auch innerliche Annahme des Glaubens ([[w:Īmān|Īmān]]). Um als „Brüder in der Religion“ anerkennt zu werden, war es allerdings nur notwendig, das Gebet ([[w:Salāt|Salāt]]) zu verrichten und die Läuterungsgabe ([[w:Zakāt|Zakāt]]) entrichten (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/11 Q 9:11]). Die in frühmekkanischer Zeit als fromme Übung eingeführte Zakāt hatte sich offenbar bis zu diesem Zeitpunkt zu einer Art Almosensteuer entwickelt. Als Synonym für ''zakāt'' erscheint in dieser Zeit im Koran auch das Wort [[w:Sadaqa|Sadaqa]] (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/103 Q 9:103]). Zum Einzug dieser Abgaben, aber auch zur Unterweisung der neu bekehrten Stämme in der Religion sandte Muhammad mehrere seiner Gefährten in die verschiedenen Gebiete der arabischen Halbinsel, so zum Beispiel [[w:Abū Huraira|Abū Huraira]] nach Bahrain in Ostarabien (nicht identisch mit dem heutigen Staat [[w:Bahrain|Bahrain]]), [[w:ʿAmr ibn al-ʿĀs|ʿAmr ibn al-ʿĀs]] nach [[w:Oman|Oman]] und Muʿādh ibn Dschabal in den [[w:Jemen|Jemen]]. Nachdem Muhammad mit den Heiden und Juden gebrochen hatte, scheint er noch lange eine positive Einstellung gegenüber dem Christentum gewahrt zu haben. Das zeigt eine Stelle im Koran, an der es heißt: {{Zitat|Du wirst sicher finden, dass diejenigen Menschen, die sich den Gläubigen gegenüber am meisten feindlich zeigen, die Juden und die Heiden sind. Und du wirst sicher finden, dass diejenigen, die den Gläubigen in Liebe am nächsten stehen, die sind, welche sagen: Wir sind Christen (''Naṣārā''). Dies deshalb, weil es unter ihnen Priester und Mönche gibt, und weil sie nicht hochmütig sind.|[https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/5/vers/82 Q 5:82]}} In den Korankommentaren wird bei diesem Vers auf die positiven Erfahrungen, die Muhammads Anhänger im christlichen Äthiopien gemacht hatten, verwiesen. Grundsätzlich war Muhammad allerdings der Auffassung, dass er von Jesus als Gesandter angekündigt worden war (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/61/vers/6 Q 61:6]) und der Koran nicht nur eine Bestätigung der Tora, sondern auch des Evangeliums ([[w:Indschīl|Indschīl]]) darstellt (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/3/vers/3 Q 3:3]), und die Christen von daher wie die Juden vor die Aufgabe gestellt waren, seinen religiösen Führungsanspruch anzuerkennen und zum Islam überzutreten. Bei Verhandlungen mit Abgesandten christlicher Gemeinschaften der arabischen Halbinsel machte der Prophet nun aber die Erfahrung, dass diese im Gegensatz zu den heidnischen Arabern eben nicht bereit waren, den Islam anzunehmen. Besonders bekannt geworden ist der Fall einer Delegation von Geistlichen aus [[w:Nadschran|Nadschrān]], dem Zentrum des südarabischen Christentums, die zum Ausdruck brachten, dass sie sich zwar der politischen Macht des Propheten fügen, aber nicht zum Islam übertreten wollten, weil sie sich selbst im Besitz der wahren Religion sahen. In diesen historischen Zusammenhang wird von der islamischen Tradition die koranische Aussage gestellt, dass Jesus vor Gott gleich Adam und wie er allein durch das Schöpferwort ''kun'' („Sei!“) erschaffen worden sei ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/3/vers/59 Q 3:59]). Muhammad soll dieses Koranwort den christlichen Geistlichen aus Nadschrān entgegengehalten haben, als es zu einem Streit über die von den Christen behauptete [[w:Sohn Gottes|Gottessohnschaft]] Jesu‘ kam. Anschließend, so berichten die arabischen Quellen, forderte er die Geistlichen zur Herbeiführung eines Gottesurteils über die Wahrheit der beiden religiösen Positionen durch gegenseitige Verfluchung ([[w:Mubāhala|Mubāhala]]) auf (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/3/vers/61 Q 3:61]), was diese jedoch ablehnten. Schließlich einigte man sich darauf, dass die Leute von Nadschrān dem Propheten einen jährlichen Tribut entrichten sollten, wofür umgekehrt der Prophet ihnen den Schutz für Leben und Religion zusicherte. Die Verschlechterung der Beziehungen zu den Christen lässt sich auch darauf zurückführen, dass der Prophet in dieser Zeit verstärktes Interesse an der Expansionsroute nach Syrien zeigte, wo in der Mehrzahl Christen lebten und nicht zum Islam konvertieren wollten. Bei ihnen kam nun ebenfalls das Modell der Tributzahlung zur Anwendung. Die arabischen Quellen berichten, dass sich als Folge des [[w:Feldzug nach Tabūk|Feldzuges nach Tabūk]] im Herbst 630 mehrere christliche Gemeinden am [[w:Golf von Akaba|Golf von Akaba]] in Nordwestarabien, darunter auch die Stadt [[w:Eilat|Aila]], dem Propheten unterwarfen und bereit erklärten, die sogenannte [[w:Dschizya|Dschizya]], an ihn zu entrichten. Der arabische Begriff ''Dschizya'' hat die Grundbedeutung von „Ausgleich, Kompensation“. Was die Dschizya-Zahlung ausgleichen sollte, lässt sich nicht mit Gewissheit sagen. Allerdings hat diese Abgabe eine koranische Grundlage in [[w:Sure 9|Sure 9]], wo die Muslime aufgefordert werden, gegen die [[w:Ahl al-kitāb|Ahl al-kitāb]] zu kämpfen, bis „sie kleinlaut aus der Hand die Dschizya entrichten“ ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/29 Q 9:29]). Die Pflicht zum Kampf gegen Juden und Christen wird an der betreffenden Stelle daraus abgeleitet, dass sich die beiden Religionsgemeinschaften fälschlicherweise neben Gott [[w:Rabbinen|Rabbinen]] und [[w:Mönch|Mönche]] zu Herren genommen hätten ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/31 Q 9:31]), von [[w:Esra (Person)|Esra]] bzw. Christus behaupteten, sie seien Gottes Sohn, und damit die Rede der früheren Ungläubigen nachahmten ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/30 Q 9:30]). Diese koranischen Aussagen legitimierten eine neue, aggressivere Haltung gegenüber den Christen, bedeuteten aber andererseits auch, dass Juden und Christen die Möglichkeit gegeben wurde, bei Unterwerfung ihre Religion weiter auszuüben. Auch gegenüber [[w:Zoroastrier|Zoroastriern]] zeigte Muhammad diese Haltung. Als ihm zu Ohren kam, dass sich die auf dem Gebiet von Bahrain lebenden Zoroastrier weigerten, den Islam anzunehmen, ließ er ihnen unter der Bedingung, dass sie die Dschizya entrichteten, diese Freiheit. Als Rechtfertigung dafür soll er das bekannte Koranwort: „[[w:Kein Zwang in der Religion|Es gibt keinen Zwang in der Religion]]“ ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/256 Q 2:256]) herangezogen haben. === 4.1.3. Neuordnung der Wallfahrt und Reform des Kalenders === Im Jahr der Einnahme Mekkas (630) hielten sich Muhammad und seine engsten Gefährten vom Haddsch, der für die muslimischen und nicht-muslimischen Pilger noch ganz nach den altgewohnten Riten ablief, fern. Im Jahre darauf (631) beauftragte Muhammad seinen Gefährten [[w:Abū Bakr|Abū Bakr]], den Haddsch anzuführen. Während dieser sich bereits in Mekka befand, schickte ihm der Prophet seinen Vetter ʿAlī nach, der in [[w:Minā|Minā]] die folgenden Worte öffentlich verkündete, die auch Teil des Korans sind: {{Zitat|Eine Ankündigung von Gott und seinem Gesandten an die Leute am Tag der großen Wallfahrt: Gott hat keine Verpflichtung mehr gegenüber den [[w:Muschrik|Beigesellern]], und sein Gesandter ebenfalls nicht. Wenn ihr bußfertig umkehrt, ist das besser für euch. Wenn ihr euch aber abwendet, dann wisset, dass ihr Gott nicht zuschanden machen könnte. Und verheiße den Ungläubigen schmerzliche Strafe.|[https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/3 Q 9:3]}} Kurz danach heißt es: {{Zitat|Sind aber die heiligen Monate verflossen, so erschlaget die Beigeseller, wo ihr sie findet, und packet sie und belagert sie und lauert ihnen in jedem Hinterhalt auf.|[https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/5 Q 9:5]}} {| class="wikitable floatright" |- ! colspan="2" | Die islamischen Monate |- ! Nr !! Name |- | 1 | [[w:Muharram|Muharram]] |- | 2 | [[w:Safar|Safar]] |- | 3 | [[w:Rabīʿ al-awwal|Rabīʿ I]] |- | 4 | [[w:Rabīʿ ath-thānī|Rabīʿ II]] |- | 5 | [[w:Dschumādā l-ūlā|Dschumādā I]] |- | 6 | [[w:Dschumādā th-thāniya|Dschumādā II]] |- | 7 | [[w:Radschab|Radschab]] |- | 8 | [[w:Schaʿbān|Schaʿbān]] |- | 9 | [[w:Ramadan|Ramadān]] |- | 10 | [[w:Schawwāl|Schauwāl]] |- | 11 | [[w:Dhu l-qaʿda|Dhū l-Qaʿda]] |- | 12 | [[w:Dhū l-Hiddscha|Dhū l-Hiddscha]] |} Diese Verse vom Anfang der Sure 9 zeigen sehr deutlich, wie sich die Machtverhältnisse verändert hatten. Indem Muhammad den Ungläubigen unter schärfsten Androhungen verbot, sich Mekka anzunähern, schloss er sie auch von allen wirtschaftlichen Aktivitäten in dieser Stadt aus. Erst im Jahre 632 nahm Muhammad selbst am Haddsch teil. Hierbei verhielt er sich bei einzelnen Wallfahrtstationen anders, als es die Heiden getan hatten. So verlegte er den Lauf von [[w:ʿArafāt|ʿArafāt]] nach [[w:Muzdalifa|Muzdalifa]] auf die Zeit nach Sonnenuntergang und den Lauf von Muzdalifa nach Minā auf die Zeit vor Sonnenaufgang, um diesen Riten den Charakter heidnischer Sonnenverehrung zu nehmen. Außerdem bezog er die Wallfahrtsriten, die während der [[w:ʿUmra|ʿUmra]] an der Kaaba in Mekka vollzogen wurden, in den Haddsch ein. Die Bezeichnung ''Haddsch'' ging nun auf das kombinierte Wallfahrtsritual über; die speziell dem mekkanischen Heiligtum geltende ʿUmra-Wallfahrt blieb aber als „kleine Wallfahrt“ weiter bestehen. Muhammads Haddsch im Jahre 632, aufgrund seines kurz danach eingetretenen Todes [[w:Abschiedswallfahrt|Abschiedswallfahrt]] genannt, wurde für alle Zeiten zum Vorbild für dieses Ritual. Die Kaaba erlebte durch die Neuordnung des Haddsch einen enormen Bedeutungszuwachs. Da andere Heiligtümer wie dasjenige von [[w:Dhū l-Chalasa|Dhū l-Chalasa]] in Tabāla von Muhammads Anhängern zerstört wurden, erhielt sie nun auf der arabischen Halbinsel eine Monopolstellung. Im Zuge der Neuordnung des Haddsch wurde auch der altarabische lunisolare Kalender mit seinem [[w:Einschaltung (Zeitrechnung)|Interkalationssystem]] des ''nasīʾ'' (vgl. oben [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 01 #1.3.3. Das altarabische Heidentum und die Heiligtümer von Mekka|1.3.3.]]) abgeschafft und ein reiner [[w:Lunarkalender|Lunarkalender]] mit einer unveränderlichen Zahl von zwölf Monaten eingeführt. Die Gründe für die Kalenderreform sind nicht ganz klar, die Koranverse, die davon handeln ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/36 Q 9:36f]), lassen aber erkennen, dass die Entscheidungen derjenigen, die für die Einschiebung von Schaltmonaten und Heiligerklärung von Monaten zuständig waren, als willkürlich empfunden wurden und dies relevant für die Kriegführung war. Um deutlich zu machen, dass der erste Safar nun immer als heiliger Monat galt, erhielt er den Namen [[w:Muharram|al-Muharram]] („der Geheiligte“). Das neue Mondjahr mit nur 354 Tagen wurde zur Grundlage für den islamischen Kalender und diente fortan zur Bestimmung der religiösen Feste. Da dieses Mondjahr, das sich gewissermaßen „rückwärts“ durch die Sonnenjahre bewegt, für Ackerbau treibende Bauern jedoch nicht praktikabel ist, wurde in fast allen Ländern, in denen der Islam Wurzeln geschlagen hat, daneben ein [[w:Solarkalender|Solarkalender]] weitergeführt. == 4.2. Abū Bakr (632-634) – „Stellvertreter des Gottesgesandten“ == === 4.2.1. Die Ereignisse der Saqīfa und die Anfänge des Kalifats === Als Muhammad nach Medina zurückkehrte, verschlechterte sich sein Gesundheitszustand erheblich. Am 8. Juni 632 starb er. Es wird auch berichtet, dass Muhammad vor seinem Tod seine Nachfolge durch ein Testament regeln wollte, [[w:ʿUmar ibn al-Chattāb|ʿUmar ibn al-Chattāb]], der in der medinischen Zeit zu einem seiner wichtigsten Berater aufgestiegen war, dies jedoch verhindert habe. Muhammad hatte keinen männlichen Nachkommen hinterlassen. Seine erste Frau [[w:Chadīdscha bint Chuwailid|Chadīdscha]] hatte ihm vier Töchter und zwei oder drei Söhne geboren. Letztere waren allerdings schon als Kinder verstorben. Seinen Adoptivsohn [[w:Zaid ibn Hāritha|Zaid ibn Hāritha]] hatte er im Zusammenhang mit der Affäre um [[w:Zainab bint Dschahsch|Zainab bint Dschahsch]] verstoßen. Auf diesen Sachverhalt soll sich das Koranwort von [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/33/vers/40 Sure 33:40] beziehen, in dem klargestellt wird, dass Muhammad keine Söhne hat und auch sein Amt als Gottesgesandter nicht erblich ist, er vielmehr „Siegel der Propheten“ (''ḫātam an-nabīyīn'') ist. Es war also völlig unklar, wer die Führung der [[w:Umma|Umma]] nach Muhammads Tod übernehmen sollte. In dieser Situation traten schwere Meinungsverschiedenheiten zwischen den mekkanischen [[w:Muhādschirūn|Muhādschirūn]] und den medinischen [[w:Ansār|Ansār]] hervor. Die Ansār zogen zu [[w:Saʿd ibn ʿUbāda|Saʿd ibn ʿUbāda]], dem Chef des medinischen Clans Banū Sāʿida, und versammelten sich in seiner Saqīfa („offener Versammlungsplatz“). Dort erhoben sie die Forderung, dass sich Ansār und Quraisch trennen sollten und eine jede Gruppe für sich einen Befehlshaber (''amīr'') wählen sollte. Damit drohte die islamische Gemeinschaft auseinanderzubrechen. Die Diskussion spitzte sich zu, als zu den Versammelten die drei Muhādschirūn Abū Bakr, ʿUmar und [[w:Abū ʿUbaida ibn al-Dscharrāh|Abū ʿUbaida]] hinzutraten. Vor allem ʿUmar trat strikt gegen jede Teilung der Gemeinschaft ein. Abū Bakr betonte den Vorranganspruch des Stammes Quraisch. In dieser Situation überraschte ʿUmar die Anwesenden, indem er plötzlich Abū Bakr die [[w:Baiʿa|Baiʿa]] leistete. Dieser hatte das Gebet der Gemeinde angeführt, als Muhammad bereits im Sterben lag. Daraus ergab sich für ihn ein gewisser Nimbus. Außerdem war er durch ʿĀ'ischa Schwiegervater des Propheten und darüber hinaus einer der frühesten Gläubigen überhaupt (vgl. oben [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 02#2.1.3. Die neue Gemeinde|2.1.3.]]). Bei allen wichtigen Kämpfen gegen die heidnischen Quraisch von Mekka war er dabei gewesen und hatte mit seinen finanziellen Mitteln andere Feldzüge unterstützt. Somit war Abū Bakr ein geeigneter Kompromisskandidat für Ansār und Muhādschirūn. Entscheidend für den weiteren Verlauf der Versammlung war die überraschende Ankunft der Banū Aslam, eines Clans aus der Umgebung von Medina, der für seine besondere Loyalität gegenüber dem Propheten bekannt war. Sie stießen in großen Zahlen zu der Versammlung und huldigten Abū Bakr. Viele Ansār weigerten sich zunächst, Abū Bakr zu huldigen. Auch die [[w:Banū Hāschim|Banū Hāschim]], der Clan des Propheten, protestierten dagegen, dass sie bei der Regelung der Nachfolge übergangen worden waren. Einige Ansār brachten in dieser Situation [[w:ʿAlī ibn Abī Tālib|ʿAlī ibn Abī Tālib]], der der nächste Verwandte des Propheten war, als Alternative für Abū Bakr ins Spiel. ʿAlī hatte offensichtlich auch die Unterstützung der Nachkommen von [[w:ʿAbd Schams ibn ʿAbd Manāf|ʿAbd Schams]]. Sie pochten in dieser Situation auf die politischen Vorrechte der Nachkommen [[w:ʿAbd Manāf ibn Qusaiy|ʿAbd Manāfs]], zu denen sowohl die ʿAbd Schams als auch die Banū Hāschim gehörten, und kritisierten, dass Abū Bakr nicht diesem Stammesadel angehörte. [[Datei:Abu bakr2.jpg|mini|Die Prophetengefährten schwören Abū Bakr den Treueid, während rechts neben ihm ʿUmar sitzt, Miniatur in einem [[w:Osmanisches Reich|osmanischen]] [[w:Siyer-i Nebi|Siyer-i-Nebi]]-Werk, 1596]] In der Folgezeit sorgte ʿUmar zusammen mit den Banū Aslam dafür, dass fast alle Bewohner Medinas Abū Bakr den Treueid leisteten, wobei sie möglicherweise auch Gewalt anwendeten. Abū Bakr selbst trat allerdings eher bescheiden auf. Er ließ erkennen, dass er sich als Fortsetzer der Linie des Propheten betrachtete, keinesfalls aber als Neuerer. In diesem Sinn war er darum bemüht, alle Verordnungen und Anweisungen des Propheten einzuhalten und weiterzuführen. Dieses Bestreben spiegelt sich auch in der Bezeichnung, die er für sein Amt gebrauchte. Er nannte sich ''ḫalīfat rasūl Allāh'', „Stellvertreter des Gesandten Gottes“. Stellvertreter des Gottesgesandten hatte es schon zu Lebzeiten des Propheten öfters gegeben: Für die Zeit seiner Abwesenheit von Medina, während eines kriegerischen Unternehmens vor allem, pflegte Muhammad solche Stellvertreter zu bestimmen, die für die Aufrechterhaltung der Ordnung zu sorgen hatten. Mit der Wahl dieses Titel, der im Deutschen üblicherweise mit ''Kalif'' wiedergegeben wird, machte Abū Bakr deutlich, dass er sich mit seinem Amt keine herrschaftliche Macht anmaßen, sondern lediglich den Status quo innerhalb der Umma aufrechterhalten wollte. Höhere Machtansprüche haben sich mit dem Kalifentitel erst in späterer Zeit entwickelt. Dass sich Abū Bakr gegen ʿAlī und die Banū Hāschim durchsetzte, hängt möglicherweise auch damit zusammen, dass man unter den Muhādschirūn aufgrund der Ehe ʿAlīs mit der Prophetentochter Fātima die Entstehung einer Dynastie befürchtete und deshalb lieber auf Abū Bakr setzte, bei dem diese Gefahr nicht bestand. Zu einer Konfrontation zwischen Abū Bakr, ʿUmar und der Prophetenfamilie führte wenig später der Streit um das von Juden bewirtschaftete Landgut des Propheten in Fadak im nördlichen [[w:Hedschas|Hedschas]]. Als Fātima Ansprüche auf dieses Landgut geltend machte, hielten die beiden ihr entgegen, dass der Prophet sein gesamtes Eigentum als Sadaqa der Gemeinschaft der Muslime vermacht habe. Da Fātima keinen ausreichenden Beweis dafür vorbringen konnte, dass der Prophet ihr das Landgut schon zu Lebzeiten geschenkt habe, zog Abū Bakr es ein. Fātima brach daraufhin den Kontakt zu Abū Bakr vollständig ab. Sechs Monate später starb sie. Erst nach ihrem Tod leistete auch ʿAlī dem Kalifen den Treueeid. Damit war die Nachfolgefrage endgültig geklärt. === 4.2.2. Abfallbewegung (''ridda'') und Wiederaufnahme des Dschihad === [[Datei:Mohammad_adil-Riddah_wars.PNG|mini|Schauplätze der Ridda-Kriege]] Nach dem Tode des Propheten setzte bei den Stämmen der Arabischen Halbinsel eine breite Absetzbewegung ein, die in den Quellen als [[w:Ridda|Ridda-Kriege]] bezeichnet wird. Der kurzzeitige Machtverlust der Quraisch führte dazu, dass in vielen Stämmen diejenigen Gruppen Oberwasser erhielten, die schon immer dem Anschluss an den Quraisch-Staat kritisch gegenüber gestanden hatten. In einigen Gegenden Arabiens traten Gegenpropheten auf, die auch auf dem religiösen Gebiet die Hegemonie des Islams in Frage stellten. Im Jemen etablierte sich der Gegenprophet al-Aswad, der in kurzer Zeit weite Gebiete Südarabiens unter seine Kontrolle bringen konnte. Er trat wie Muhammad im Namen Allāhs auf und verstand es, Ressentiments gegen die neue Abhängigkeit von Medina für seine Sache auszunutzen. Bei dem Stamm Hanīfa, der in der ostarabischen [[w:Al-Yamama|Yamāma]] lebte, tat sich ein Prophet namens [[w:Musailima|Musailima]] hervor, der in seinen Lehren gewisse monotheistische Anklänge zeigte, indem er im Namen [[w:Rahmanismus|Rahmāns]] predigte. Im zentralarabischen [[w:Nadschd|Nadschd]]-Gebiet traten sogar zwei Propheten auf, im Norden bei den Asad-Beduinen [[w:Tulayha|Tulaiha]] und im Süden bei den Tamīm die Prophetin Sadschāh. Unter Musailima wurde die härteste Gegnerschaft gezeigt, deren Wirksamkeit sich noch durch ein Bündnis mit der Prophetin Sadschāh erhöhte. Auf diese Weise entstand eine Allianz der Gegner, die eine gewaltige Armee mobilisieren konnte. Diejenigen Stämme, die sich der Ridda-Bewegung angschlossen, weigerten sich, weiterhin die Zakāt zu zahlen. Sie meinten, sie sei Teil eines Vertrages gewesen, den sie mit dem Propheten geschlossen hatten und der mit seinem Tod erloschen sei. Abū Bakr sandte von Mekka und Medina verschiedene Heere aus, um die abgefallenen Stämme mit Waffengewalt zurückzugewinnen. In den Feldzügen gegen die abgefallenen Stämme taten sich besonders zwei Mekkaner von den [[w:Machzūm|Machzūm]] hervor, die Muhammad lange heftig bekämpft hatten, [[w:Chālid ibn al-Walīd|Chālid ibn al-Walīd]] und [[w:ʿIkrima ibn Abī Dschahl|ʿIkrima ibn Abī Dschahl]]. Chālid konnte im Frühjahr 633 in der Ebene ʿAqrabā' den Truppen der Banū Hanīfa unter der Führung von Musailima eine vernichtende Niederlage beibringen. Weitere Kämpfe fanden in Bahrain, Oman und Jemen statt. Besonders erbitterten Widerstand leisteten die Kinda unter ihrem letzten Stammeskönig [[w:al-Aschʿath ibn Qais|al-Aschʿath ibn Qais]]. Mit der Einnahme ihrer Festung Nudschair im Hadramaut endete die Ridda-Bewegung. Al-Aschʿath wurde in Ketten nach Medina gebracht und dort durch Abū Bakr begnadigt. [[File:Mohammad adil-Muslims Invasion of Syria.PNG|mini|Die vier von Abū Bakr nach Syrien ausgesandten Truppenkontingente]] Die Ridda-Abwehrkämpfe gingen im Norden der Arabischen Halbinsel nun nahtlos in eine Eroberungsbewegung über. Noch im Jahre 633 unternahm Chālid mit seinen Kämpfern Überfälle auf Gebiete des Südirak, machte die dort lebenden Nomadenstämme botmäßig und eroberte [[w:al-Hīra|al-Hīra]], die Hauptstadt des [[w:Lachmiden|Lachmidenreiches]]. [[w:Al-Balādhurī|Al-Balādhurī]] (gest. 892), der Verfasser des wichtigsten arabischen Werkes über die [[w:Futūh|Futūh]], berichtet, dass Abū Bakr im Frühjahr 634 die Bewohner von Mekka, at-Tā'if, des Jemen und die Beduinen im Nadschd und Hedschas angeschrieben habe, „um sie für den Dschihad auszuheben und in ihnen die Lust daran und an der bei den [[w:Rhomäer|Rhomäern]] zu holenden Kriegsbeute zu entfachen.“ Sein Aufruf war offensichtlich ein voller Erfolg. Es wird berichtet, er habe in Medina drei Heere aufstellen können. Vier Truppenkontingente unter dem Oberbefehl von [[w:Abū ʿUbaida ibn al-Dscharrāh|Abū ʿUbaida ibn al-Dscharrāh]] zogen in Richtung Syrien. Als sich eine größere Konfrontation mit der byzantinischen Armee ankündigte, sandte Abū Bakr den noch im Irak weilenden Chālid ibn al-Walīd zu ihrer Verstärkung nach Syrien. Die beiden arabischen Heere trafen im Süden Syriens zusammen, und gemeinsam konnte man die Stadt [[w:Bosra|Bostra]] einnehmen. Unter Chālids Oberbefehl besiegten die Araber im Juli 634 ein byzantinisches Heer, das ihnen bei Adschnādain in Palästina entgegentrat. == 4.3. ʿUmar ibn al-Chattāb (634-644) - „Befehlshaber der Gläubigen“ == Abū Bakr starb im August 634. Er hatte in seinem Testament ʿUmar ibn al-Chattāb als Nachfolger eingesetzt, der bereits während seines Kalifats als eigentlicher Befehlshaber fungiert hatte. Zwar kam ʿUmar nur aus einem recht unbedeutenden quraischitischen Clan, doch konnte er frühe Verdienste um den Islam vorweisen und stand auch durch seine Tochter [[Hafsa bint ʿUmar|Hafsa]] in einem schwägerlichen Verhältnis zum Propheten. ʿUmar war der erste Kalif, der den Titel ''amīr al-muʾminīn'' („Befehlshaber der Gläubigen“) führte. Dieser Titel wird seither von allen Herrschern benutzt, die einen Führungsanspruch über die gesamte Gemeinschaft der Muslime erheben. === 4.3.1. Die Eroberung des Vorderen Orients === [[File:Mohammad adil-Muslim invasion of Syria-3.PNG|mini|Die muslimischen Vorstöße in Syrien, 634-36]] Unter ʿUmar setzte sich die unter Abū Bakr begonnene Eroberungsbewegung fort. Hier werden nur stichpunktartig die wichtigsten Stationen der Eroberungsbewegung genannt: # Syrien und Palästina. Die Byzantiner, die sich nach der Schlacht von Adschnādain ins Jordantal zurückgezogen hatten, wurden im Januar 635 bei der Stadt [[w:Pella (Jordanien)|Pella]] erneut von den Arabern geschlagen und zogen nach Damaskus ab. Die Araber konnten daraufhin das gesamte Gebiet des heutigen Jordaniens einnehmen, darunter auch die prachtvoll ausgebaute Bischofsstadt [[w:Gerasa|Gerasa]]. Im Sommer 635 fiel bereits [[w:Damaskus|Damaskus]] und bald danach Emesa, das heutige [[w:Homs|Homs]]. Der byzantinische Versuch, Syrien zurückzuerobern, scheiterte. Im August 636 brachten die Araber den neu zusammengezogenen byzantinischen Truppen am [[w:Jarmuk|Yarmūk]], einem linken Nebenfluss des Jordan, der heute die Grenze zwischen Syrien und Jordanien bildet, erneut eine [[w:Schlacht am Jarmuk|Niederlage]] bei und zwangen sie so endgültig zum Rückzug aus Syrien. Als 638 [[w:Jerusalem|Jerusalem]] eingenommen wurde, reiste ʿUmar selber an, um die Stadt für die Muslime in Besitz zu nehmen. 640 folgte noch die Einnahme des Seehafens [[w:Caesarea Maritima|Caesarea]]. Damit endete die byzantinische Herrschaft auch in Palästina. # Irak. Im Herbst 634 sandte ʿUmar ein Heer zum Kampf gegen die Perser in den Irak aus. Im Süden nahm noch vor 635 der frühe Prophetengefährte ʿUtba ibn Ghazwān mit seinen Kämpfern das Mündungsgebiet von Euphrat und Tigris mit der bedeutenden Hafenstadt [[w:Apologos|al-Ubulla]] ein. Weiter nördlich erlitten die arabischen Kämpfer zunächst in der sogenannten [[w:Schlacht an der Brücke|Schlacht an der Brücke]] eine schwere Niederlage, konnten aber dann in der [[w:Schlacht von al-Qādisīya|Schlacht von al-Qādisīya]] (zwischen 635 und 638) über die persische Armee siegen. Der seit 632 herrschende Sassanide [[w:Yazdegerd III.|Yazdegerd III.]] überließ daraufhin den arabischen Truppen den Irak, gab seine Hauptstadt Ktesiphon auf und zog mit seinem Hofstaat nach Osten ab. Der Sieg von al-Qādisīya war für die Muslime ein ähnlich großer Triumpf wie der Sieg über die heidnischen Mekkaner bei der Schlacht von Badr im Jahre 624. Viele glaubten, dass sie den Sieg über die Perser nur der Hilfe Gottes verdankten. Einige von ihnen waren sogar der Meinung, dass [[w:al-Chidr|al-Chidr]], „der Grüne“, eine engelartige Gestalt, die aber nicht den Engeln zugerechnet wird, bei der Schlacht auf Seiten der Muslime mitgekämpft hatte. [[File:Mohammad adil-Muslim conquest of Egypt.PNG|mini|[[w:Arabische_Eroberung_%C3%84gyptens#Islamische_Eroberung_%C3%84gyptens|Die muslimische Eroberung Ägyptens]], 639-640.]] # <li value="3">Ägypten. ʿAmr ibn al-ʿĀs fiel 639 in einem fast privat zu nennenden Unternehmen in Ägypten ein. Nach Eroberung der in der Nähe des heutigen Kairo gelegenen byzantinischen Festung Babylon im April 641 konnte er das [[w:Nildelta|Nildelta]] mit seinem Heer nahezu ohne Widerstand einnehmen. 642 erfolgte die Eroberung Alexandriens, 643 die Einnahme von [[w:Barke (Libyen)|Barqa]] auf dem Gebiet des heutigen Libyen.</li> # Nordmesopotamien. Dieses Gebiet, das auch als die [[w:Dschazīra|Dschazīra]] (wörtl. „Insel“, nämlich zw. [[w:Euphrat|Euphrat]] und [[w:Tigris|Tigris]]) bekannt ist, wurde zwischen 639 und 641 von Nordsyrien aus durch ʿIyād ibn Ghanm erobert, wobei dieser auch schon Vorstöße nach Armenien unternahm. Zur Kontrolle der eroberten Gebiete und als Ausgangsbasis für weitere Eroberungen wurden an mehreren Orten arabische Garnisonen stationiert. In Syrien waren das bereits bestehende Orte, [[w:al-Dschābiya|al-Dschābiya]], die ehemalige Residenz der [[w:Ghassaniden|ghassānidischen]] Fürsten, und Homs. In den anderen Ländern wurden neue Lagerstädte gegründet, in denen die arabischen Krieger stammes- und clanweise auf verschiedene Parzellen verteilt und jeweils Moscheen nach dem Vorbild der Prophetenmoschee in Medina errichtet wurden. Die wichtigsten dieser [[w:Misr|Misr]] genannten Lagerstädte waren [[w:Basra|Basra]] und [[w:Kufa|Kufa]] im Irak, beide 638 gegründet, [[w:Mossul|Mossul]] in Nordmesopotamien, 641 gegründet, und [[w:Fustāt|al-Fustāt]] in Ägypten, das 643 direkt neben der alten byzantinischen Festung Babylon angelegt wurde. Diese Lagerstädte bildeten fortan die Zentren arabisch-islamischen Lebens in den eroberten Gebieten. Von Basra und Kufa aus unternahmen arabische Heerführer in den späten 630er Jahren Vorstöße nach Persien. Zwischen 637 und 640 unterwarfen sie [[w:Chusistan|Chusistan]] im Südwesten des heutigen Iran. Nach der [[w:Schlacht bei Nehawand|Schlacht bei Nihāwand]] im westiranischen [[w:Zāgros-Gebirge|Zagros-Gebirge]], bei der die Araber den sassanidischen Truppen eine weitere Niederlage bereiteten, stand ihnen das persische Hochland offen. Von Nihāwand aus zogen sie weiter nordwärts und machten das Gebiet von [[w:Aserbaidschan (Iran)|Aserbaidschan]] tributpflichtig. 644 konnten sie außerdem die Stadt [[w:Isfahan|Isfahan]] erobern. Der Sassanidenherrscher Yazdegird III. floh derweil weiter nach Osten. === 4.3.2. Faktoren, die die schnelle Expansion des islamischen Staates begünstigten === Mit seinen Eroberungen und Städtegründungen schuf ʿUmar wichtige Grundlagen für die sich später herausbildende islamische Zivilisation. Wie aber erklärt sich, dass die Eroberungen so schnell vorangetrieben werden konnten? Verschiedene Faktoren lassen sich als Gründe anführen: # Der der islamischen Eroberung vorausgehende Streit zwischen Oströmischem Reich und Sassanidischem Reich um die Vorherrschaft über den Vorderen Orient, der zu Lebzeiten Muhammads zu einem heftigen militärischen Schlagabtausch geführt hatte, hatte die beiden Reiche stark geschwächt. # Ein weiterer wichtiger Faktor in Syrien, Palästina und Ägypten war die fehlende Loyalität der Untertanen ihren ehemaligen Oberherren gegenüber. Diese Länder waren erst kurz vor der islamischen Eroberung wieder unter byzantinische Kontrolle gekommen. Weitaus die meisten Bewohner waren [[w:Monophysitismus|monophysitische]] Christen, für die die herrschende [[w:Konzil von Chalcedon|chalkedonische]] (griechisch-orthodoxe) byzantinische Reichskirche ein bedrückender Gegner war. Auch die syrischen Juden waren den neuen Herren freundlich gesinnt, denn die Byzantiner hatten sie jahrhundertelang verfolgt und ihnen den Zugang zur Stadt Jerusalem verwehrt. Im Zuge der islamischen Eroberung Jerusalems wurde der [[w:Tempelberg|Tempelberg]], der über Jahrhunderte nur eine Schutthalde war, als Heiligtum reaktiviert. Als ʿUmar ibn al-Chattāb 638 Jerusalem für die Muslime in Besitz nahm, wurde er von [[w:Kaʿb al-Ahbār|Kaʿb al-Ahbār]], einem zum Islam übergetretenen Juden aus dem Jemen begleitet. Er deutete dieses Ereignis propagandistisch als Erfüllung biblischer Prophetien. Diese Deutungen fielen bei den Juden Syriens offenbar auf fruchtbaren Boden. Sie betrachteten ʿUmar als einen messianischen Herrscher. Der in diesem Zusammenhang verwendete syrisch-aramäische Begriff ''pārōqā'' („Erlöser“) wurde in seiner arabischen Form ''fārūq'' zum allgemein üblichen Beinamen ʿUmars. # Die von den Arabern praktizierte vertragliche Regelung des Herrschaftswechsels brachte den Unterworfenen keine erheblichen Nachteile und führte zu einer „günstige(n) Konstellation konvergierender Interessen“ ([[w:Albrecht Noth|A. Noth]]), die als einer der Hauptgründe für den Erfolg der militärischen Anstrengungen der Araber gelten darf. Wie es im spätantiken Orient üblich war, gewährten die Araber den Bewohnern von Städten, die sich freiwillig ihrer Herrschaft unterwarfen, eine Sicherheitsgarantie. Sie wird in den arabischen Quellen als ''amān'' bezeichnet. Darüber hinaus wurde den Ahl al-kitāb, den Anhängern der monotheistischen Buchreligionen, neben dem Schutz ihres Lebens und Besitzes auch die freie Ausübung ihrer Religion und der Besitz ihrer Kultstätten und -gegenstände garantiert. Dieser Schutz hieß [[w:Dhimma|Dhimma]] und war eine einklagbare Verpflichtung des islamischen Staates gegenüber seinen nichtmuslimischen Untertanen; der einzelne Schutzbürger hieß Dhimmī. Seine Gegenleistung war die Dschizya, zur Zeit der Eroberung wohl als Pauschale der eroberten Stadt zu entrichten. Die in dieser Zeit mit unterworfenen Städten geschlossenen Verträge galten in der gesamten vormodernen Zeit als Modell für die Regelung des Verhältnisses zwischen islamischem Staat und nicht-muslimischen Untertanen. === 4.3.3. Organisation von Staat und Religion === [[File:Kabah Old Picture - panoramio.jpg|mini|Die Verhüllung der Kaaba mit einer neuen [[w:Kiswa|Kiswa]] ist seit ʿUmar ein bedeutendes Symbol islamischer Herrschaft.]] Zur Sicherung der Einkommen der Kämpfer und Gefährten Muhammads führte ʿUmar 641 ein Zentralregister ([[w:Diwan (Verwaltung)|Dīwān]]) ein, in dem die Zahlungen eingetragen wurden, die der Staat regelmäßig jedem zukommen ließ. Wichtigstes Kriterium für die Stellung in dem Register war die Position zum Islam. Deshalb stand an der Spitze mit den höchsten Zuwendungen der Clan, aus dem der Prophet hervorgegangen war, die [[w:Banū Hāschim|Banū Hāschim]]. Diesem Kreis schlossen sich die weiteren Verwandten an, dann kamen die Ansār aus Medina, die [[w:Schlacht von Badr|Badr]]-Kämpfer und die [[w:Schlacht von Uhud|Uhud]]-Überlebenden, schließlich die in Syrien und Irak eingesetzten Stammeskrieger. Auf diese Weise wurde eine feste Besoldung entwickelt, die ʿUmar aus den drei wichtigsten Staatseinnahmen finanzieren konnte. Dazu zählten die Dschizya, die Zakāt und die Bodensteuer (''ḫarāǧ''). Zur Verwaltung der Ausgaben und Einnahmen wurde eine Staatskasse (''bait al-māl'') eingerichtet. Die Heerführer, die in den verschiedenen Ländern auf Posten lagen, wie ʿAmr ibn al-ʿĀs im neueroberten Ägypten, wurden dazu aufgefordert, die Hälfte ihrer Einkünfte in diese Staatskasse einzuzahlen. ʿUmar setzte den Koranlesern (''qurrāʾ'') [[w:Dotation|Dotationen]] aus und setzte in verschiedenen Städten des Reiches Beamte mit dem Titel eines [[w:Qādī|Qādī]] ein. Der Begriff ''Qādī'' wird heute üblicherweise mit „Richter“ übersetzt, allerdings waren in dieser Zeit mit diesem Amt noch zahlreiche andere administrative und hoheitliche Aufgaben verbunden, wie zum Beispiel die Leitung des [[w:Freitagsgebet|Freitagsgebets]]. <div style="background: #fff; border-width: 1px 3px 3px 1px; text-align: center; padding-top:3px; float:{{{float|left}}}; font-size: smaller; line-height: 1.3; margin-left:1em; margin-right: 4px; width: 15em"> '''Heutiges Datum nach <br /> Hidschrī-Zeitrechnung''': ---- {{#timel:xmj.}} {{#switch:{{{1|{{#timel:xmn}}}}}|1=Muharram|2=Safar|3=Rabīʿ I|4=Rabīʿ II|5=Dschumādā I|6=Dschumādā II|7=Radschab|8=Schaʿbān|9=Ramadān|10=Schauwāl|11=Dhū l-Qaʿda|12=Dhū l-Hiddscha}} {{#timel:xmY}}<br /><small>(= {{#timel:j. F}} {{#timel:Y}}) <br /><nowiki>[</nowiki><span class="plainlinks">[{{fullurl:{{FULLPAGENAME}}|action=purge}} aktualisieren]</span><nowiki>]</nowiki></small> </div> Von großer Bedeutung war des Weiteren, dass ʿUmar im Jahre 638 eine neue Zeitrechnung einführte. Anlass dafür waren Streitigkeiten in Armeeteilen über Datierungsfragen. Als erstes Jahr der neuen Zeitrechnung wurde das Jahr der [[w:Hidschra|Hidschra]] des Propheten von Mekka nach Medina festgelegt, das am 16. Juli 622 begann. Damit wurde eine wichtige staatliche Maßnahme zur Vereinheitlichung getroffen. Diese [[w:Hidschrī-Jahreszählung|Hidschrī-Zeitrechnung]] hat sich im Laufe der Zeit im islamischen Herrschaftsbereich immer mehr durchgesetzt und gilt bis heute in vielen islamischen Ländern als eine der offiziellen Zeitrechnungen bzw. sogar die offizielle Zeitrechnung. Weiterhin ist bekannt, dass sich ʿUmar bei der Regierung sehr stark auf das koranische Prinzip der Konsultation ([[w:Schūrā|Schūrā]]) stützte. Zwar hörte er gelegentlich auch den Rat anderer Kreise, doch beschränkte er sich bei der Konsultation üblicherweise auf die verdienten mekkanischen Prophetengefährten. Zahlreiche Berichte beschreiben, wie er deren Meinung über wichtige politische und rechtliche Fragen einholte. Ein solches Gremium von verdienten mekkanischen Prophetengefährten trat auch nach ʿUmars Tod zusammen, um seinen Nachfolger zu wählen. [[File:Prière de Tarawih dans la Grande Mosquée de Kairouan. Ramadan 2012.jpg|mini|Die [[w:Tarāwīh|Tarāwīh]]-Gebete sind bis heute ein wichtiges Ritual im Bereich des [[w:Sunniten|sunnitischen]] Islams]] Auf religiöser Ebene war von wegweisender Bedeutung, dass ʿUmar während seiner Herrschaft die Stoff-Bekleidung ([[w:Kiswa|Kiswa]]) der Kaaba auf Kosten des Staatshaushalts erneuern ließ. Damit wurde dieses ursprünglich heidnische Ritual zu einem wichtigen Herrschaftssymbol im islamischen Staat. Der Ort für das Gebet an der Kaaba wurde durch einen Stein markiert, der entsprechend dem im Koran ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/125 Q 2:125]) genannten „Standplatz Abrahams“ als [[w:Maqām Ibrāhīm|Maqām Ibrāhīm]] bezeichnet wurde. Den Platz um die Kaaba ließ ʿUmar erweitern und mit einer Mauer versehen, womit er die Grundlage der [[w:al-Harām-Moschee|al-Harām-Moschee]] als eines selbständigen Gebäudes legte. Als neue gottesdienstliche Übung im Ramadān führte ʿUmar die nächtlichen [[w:Tarāwīh|Tarāwīh]]-Gebete ein, bei denen zwischen einer großen Zahl von Gebetszyklen immer wieder längere Pausen (''tarāwīḥ'') eingeschoben werden. Während ʿUmars Kalifat wurden auch im Bereich der Geschlechterordnung wichtige Veränderungen vorgenommen, die als Normen bis heute fortwirken. So führte ʿUmar als Bestrafung für außerehelichen Geschlechtsverkehr ([[w:Zinā|Zinā]]) bei bereits verheirateten Personen den Tod durch Steinigung ein. Der Koran sieht bei diesem Vergehen ohne Ansehen der Person als Strafe nur hundert Peitschenhiebe und Ausschluss aus dem Heiratssystem vor ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/24/vers/2 Q 24:2f]). ʿUmar berief sich bei dieser Maßnahme auf den sogenannten [[w:Steinigungsvers|Steinigungsvers]], der seiner Auffassung nach ursprünglich im Koran gestanden hatte, dann aber daraus gestrichen worden war. Das aus dem alten Arabien übernommene Rechtsinstitut der zeitlich begrenzten Genussehe ([[w:Mutʿa-Ehe|Mutʿa]]), auf das zu dieser Zeit noch viele Muslime zurückgriffen, wenn sie kurze sexuelle Beziehungen eingehen wollten, wurde von ʿUmar verboten. Außerdem verschärfte ʿUmar die Regeln für die [[w:Talāq|Verstoßung]] von Ehefrauen: Während nämlich vorher die Ehe erst dann beendet war, wenn der Ehemann die Verstoßungsformel in drei unterschiedlichen Monatsperioden ausgesprochen hatte, galt dies nun auch dann, wenn der Mann sie drei Mal direkt nacheinander ausgesprochen hatte. === 4.3.4. Die Vielgestaltigkeit des Korantextes === Ein bekannter Bericht besagt, dass ʿUmar noch während Abū Bakrs Kalifat von der Tatsache beunruhigt gewesen sei, dass in der Schlacht gegen Musailima viele ''qurrāʾ'' getötet worden waren. Die ''qurrāʾ'', d.h. Koranleser, waren jene, die den Koran auswendig kannten. Aus Furcht, dass infolge solcher Verluste schließlich auch die Kenntnis des heiligen Textes verloren gehen könnte, riet er Abū Bakr, eine Sammlung des Korans erstellen zu lassen. Mit diesem Unternehmen wurde [[w:Zaid ibn Thābit|Zaid ibn Thābit]], einer von Muhammads Sekretären (vgl. oben [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 03#3.2.5. Der allmähliche Machtzuwachs des Propheten|3.2.5.]]), beauftragt. Zaid schrieb nieder, was er auf Blättern (''ṣuḥuf'') gesammelt hatte, und übergab dies Abū Bakr. Es gibt allerdings keine Belege dafür, dass diese „Sammlung“ irgendwo als autoritativ akzeptiert wurde. ʿUmar befand sich aber wohl zu Beginn seines Kalifats im Besitz dieser Sammlung. Außer dieser Sammlung ʿUmars gab es zu seiner Zeit noch eine Anzahl anderer Kodizes, von denen die vier berühmtesten diejenigen von [[w:Ubaiy ibn Kaʿb|Ubaiy ibn Kaʿb]], [[w:ʿAbdallāh ibn Masʿūd|ʿAbdallāh ibn Masʿūd]], Miqdād ibn Aswad und [[w:Abū Mūsā al-Aschʿarī|Abū Mūsā al-Aschʿarī]] waren. Ubaiy war wie Zaid ibn Thābit Sekretär des Propheten gewesen und hatte schon zu seinen Lebzeiten Mitschriften seiner Verkündigungen angefertigt (vgl. oben [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 03#3.2.5. Der allmähliche Machtzuwachs des Propheten|3.2.5.]]). ʿAbdallāh ibn Masʿūd und Miqdād ibn Aswad, die Muslime der ersten Stunde waren, hatten den Koran dagegen nur mündlich memoriert. Miqdād war während der Zeit von ʿUmar in Syrien stationiert, ʿAbdallāh ibn Masʿūd wurde von ʿUmar 642 als Qādī nach Kufa geschickt. Der Jemenit Abū Mūsā al-Aschʿarī, der sich dem Propheten erst 628 angeschlossen hatte, wurde 638 von ʿUmar zum Statthalter von Basra ernannt. Was die Verbreitung der von diesen Männern erstellten Kodizes anlangt, so hielten sich die Dasmaszener an die Lesart des Ubaiy, die Kufier an die des Ibn Masʿūd, die Basrier an die des Abū Mūsā und die Bewohner von Homs an diejenige des Miqdād. Dass die Ausgaben des Ibn Masʿūd und Abū Mūsā in Kufa bzw. Basra solches Ansehen erreichten, hängt sicherlich damit zusammen, dass die beiden Männer dort als staatliche Funktionsträger tätig waren. Die Verwendung der Sammlung von Ubaiy, der sich selbst in Medina aufhielt, in Damaskus deutet dagegen darauf hin, dass diese Sammlung zu dieser Zeit eine überregionale Bedeutung erhalten hatte. Die Zulässigkeit all dieser verschiedenen Versionen des Korantextes wurde mit Berichten begründet, wonach der Prophet zu Lebzeiten Gefährten, die über die Unterschiedlichkeit der im Umlauf befindlichen Versionen des Korantexts besorgt, selbst damit beruhigt habe, dass der Koran in sieben Varianten (''ʿalā sabʿati aḥruf'') offenbart worden sei. Bei der Verbreitung dieser Berichte nahm Ubaiy eine Schlüsselrolle ein. Die textlichen Unterschiede zwischen den verschiedenen Versionen waren zum Teil beträchtlich. So war zum zum Beispiel in [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/3/vers/19 Sure 3:19] in der Sammlung Ibn Masʿūds als Name für die Religion nicht Islam, sondern ''Hanīfīya'' angegeben. == 4.4. ʿUthmān ibn ʿAffān (644-656) - „Stellvertreter Gottes“ == === 4.4.1. Nepotismus und Selbstbereicherung der Umaiyaden === Nach dem Tod von ʿUmar trat das von ihm gebildete Konsulativgremium verdienter Prophetengefährten zusammen, um seinen Nachfolger zu wählen. Ihm gehörten sechs Männer an: [[w:ʿUthmān ibn ʿAffān|ʿUthmān ibn ʿAffān]], ʿAlī ibn Abī Tālib, [[w:ʿAbd ar-Rahmān ibn ʿAuf|ʿAbd ar-Rahmān ibn ʿAuf]], [[w:Talha ibn ʿUbaidallāh|Talha ibn ʿUbaidallāh]], [[w:az-Zubair ibn al-ʿAuwām|az-Zubair ibn al-ʿAuwām]] und [[w:Saʿd ibn Abī Waqqās|Saʿd ibn Abī Waqqās]]. Von den genannten Personen hegten allein ʿAlī und ʿUthmān Ambitionen auf die Nachfolge. ʿAbd ar-Rahmān verzichtete auf die Kandidatur unter der Bedingung, dass ihm im Falle der Uneinigkeit die Aufgabe des Schiedsrichters übertragen würde. Da Saʿd für ʿAlī votierte und az-Zubair für ʿUthmān, Talha aber abwesend war, kam ʿAbd ar-Rahmān als Schiedsrichter zum Einsatz. Er entschied sich nach Beratungen mit den Häuptern der quraischitischen Clane für ʿUthmān, wodurch dieser zum neuen Kalifen wurde. ʿUthmān gehörte den [[w:Umayyaden|Umaiyaden]], einer Familie der ʿAbd Schams, an. Bei der endgültigen Einigung auf ʿUthmān war wahrscheinlich dieser ''nasab'' letztlich ausschlaggebend. In jedem Fall kündigt sich mit der Erhebung des Umaiyaden ʿUthmān die wenig später erfolgte Etablierung der ersten islamischen Dynastie, die sich eben aus der Umaiya-Familie rekrutierte, bereits an. {{Anker|Marwan}} Schon kurz nach seiner Amtseinführung setzte ʿUthmān Verwandte in zentrale Statthalterposten ein. Syrien befand sich ohnehin schon seit ʿUmar in der Hand des Umaiyaden [[w:Muʿāwiya_I.|Muʿāwiya ibn Abī Sufyān]]. Er war der Sohn von Muhammads ehemaligen Gegner [[w:Abū Sufyān ibn Harb|Abū Sufyān ibn Harb]]. Aber auch in Kufa und Ägypten wurden jetzt Umaiyaden als Gouverneure eingesetzt. Saʿd ibn Abī Waqqās, der Gründer von Kufa, musste ʿUthmāns Verwandten, Walīd ibn ʿUqba, weichen. ʿAmr ibn al-ʿĀs, der Eroberer Ägyptens, der noch im Jahre 645 einen byzantinischen Versuch, Ägypten wiederzuerobern, erfolgreich abwehren konnte, wurde als Gouverneur durch [[w:ʿAbdallāh ibn Saʿd|ʿAbdallāh ibn Abī Sarh]], einen Vetter ʿUthmāns mit zweifelhafter Vergangenheit (vgl. oben [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 03#3.2.3. Andere Gegner Muhammads|3.2.3.]]), ersetzt. Als es im Jahre 649/50 zu Beschwerden über den Statthalter von Basra, Abū Mūsā al-Aschʿarī, kam, wurde auch diese Posten noch mit einem Umaiyaden, nämlich ʿAbdallāh ibn ʿĀmir, besetzt. Zum engsten Berater des Kalifen stieg [[w:Marwan I.|Marwān ibn al-Hakam]] auf, ebenfalls ein Umaiyade. Diese [[w:Vetternwirtschaft|nepotistische]] Politik führte zu einer Entfremdung zwischen dem Kalifen und dem Gremium von Prophetengefährten, die ihn in dieses Amt gewählt hatten. [[File:Mohammad adil-Rashidun-empire-at-its-peak-close.PNG|mini|Die Ausdehnung des islamischen Reiches gegen Ende von ʿUthmāns Kalifat]] Dennoch konnten die Eroberungszüge unter ʿUthmān und seinen Gouverneuren erfolgreich fortgesetzt werden. Muʿāwiya hatte schon 642 von Damaskus aus den Heerführer Habīb ibn Maslama zum Kampf in den [[w:Kaukasus|Kaukasus]] entsandt. Er konnte 645 die georgische Hauptstadt [[w:Tiflis|Tiflis]] einnehmen und bis 652 Armenien unterwerfen. Außerdem baute Muʿāwiya in den syrischen Hafenstädten eine Flotte auf, besetzte 649 [[w:Zypern|Zypern]] und drängte Byzanz aus dem östlichen Mittelmeer zurück. ʿAbdallāh ibn Abī Sarh unternahm von [[w:Fustāt|al-Fustāt]] aus Expeditionen an der nordafrikanischen Küste entlang in Richtung Westen und eroberte 647 [[w:Tripolitanien|Tripolitanien]]. 652 unterwarf er außerdem [[w:Oberägypten|Oberägypten]] und brachte das Königreich [[w:Nubien|Nubien]] in ein Tributverhältnis zum islamischen Staat. Zur Kontrolle der nubischen Tributzahlungen wurde in der Stadt Syene (heute [[w:Assuan|Assuan]]) eine Militärgarnison stationiert. ʿAbdallāh ibn ʿĀmir vollendete 650 mit der Einnahme von [[w:Persepolis|Persepolis]] die Eroberung der [[w:Persis|Persis]] ([[w:Fars|Fārs]]) und besetzte 651/2 die sassanidische Nordostprovinz [[w:Chorasan|Chorasan]] mit den Städten [[w:Nischapur|Nischapur]], [[w:Merw|Merw]], [[w:Balch|Balch]] und [[w:Herat|Herat]]. Im gleichen Jahr fiel der Sassaniden-Herrscher [[w:Yazdegerd_III.|Yazdegerd III.]] in Merw einem Mordanschlag zum Opfer, womit die Sassaniden-Dynastie endgültig erlosch. ʿUthmān machte sich allerdings dadurch unbeliebt, dass er einen Teil der bei den Futūh eroberten Ländereien, die nach Vorstellung der Kämpfer der Gemeinschaft der Muslime insgesamt gehörten, unter Berufung auf den im Koran beschriebenen „Fünft“ (''ḫums'', vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/8/vers/41 Q 8:41]) zurückhielt und unter seinen Gouverneuren und Verwandten als Landgüter (''qaṭāʾiʿ'') verteilte. Auch verschiedene Prophetengefährten wie etwa Talha wurden großzügig mit Landschenkungen bedacht. Einer von ʿUthmāns Verwandten, der im Irak als Gouverneur eingesetzt war, verstieg sich zu der Aussage, dass das Fruchtland des Irak, der sogenannte ''sawād'', „Garten der Quraisch“ geworden sei, also gewissermaßen Eigentum dieses Stammes. Auch ʿAbdallāh ibn Abī Sarh, ʿUthmāns Gouverneur in Ägypten, tat sich durch gesteigerte Ausbeutungsmethoden negativ hervor. Mit den so erlangten Mitteln erbaute er sich in Ägypten einen prächtigen Palast. Allein diese Haltung bedeutete, wenn man ʿUmars Anweisungen hinsichtlich der Bauaktivität zum Vergleich heranzieht, eine bedenkliche Veränderung. Im Gegensatz zu seinen Vorgängern erhob ʿUthmān auch Anspruch auf göttliche Autorisierung. Er bezeichnete sich in seinen Urkunden nicht mehr als Stellvertreter des Gottesgesandten (''ḫalīfat rasūl Allāh''), sondern direkt als Stellvertreter Gottes (''ḫalīfat Allāh''). Damit stellte er sich in die Nachfolge des Königs [[w:David|David]], von dem Gott im Koran ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/38/vers/26 38:26]) sagt, dass Er ihn als Stellvertreter auf Erden eingesetzt habe, damit er zwischen den Menschen nach der Wahrheit richte. Dieses Modell des Kalifats übernahmen später fast alle anderen Herrscher, die diesen Titel für sich beanspruchten. === 4.4.2. Die Erstellung einer offiziellen Koranausgabe === [[File:The ‘Uthman Qur'an - Kufic.jpg|mini|links|Ausschnitt aus einem Korantext, der auf ʿUthmān zurückgeführt wird. [[w:Diakritisches Zeichen|Diakritische Zeichen]] fehlen.]] Unter dem Kalifat ʿUthmāns wurde eine erste offizielle Koranausgabe erstellt. Die islamische Tradition besagt, dass zu dieser Zeit, insbesondere während der Kriegszüge nach Armenien und Aserbaidschan, also im Jahre 652, Männer aus Syrien und dem Irak über die verschiedenen Lesarten des Korans in Streit gerieten. Als der General Hudhaifa von der Expedition zurückgekehrt war, trug er die Sache dem Kalifen vor, und der Kalif beschloss, eine Kommission einzusetzen, die einen offiziellen Korantext festlegen sollte. Mit dieser Aufgabe wurde erneut Zaid ibn Thābit betraut, wobei ihm jedoch drei Muslime aus Mekka zur Seite gestellt wurden. Die Kommissionsmitglieder wurden angewiesen, sich dort, wo es irgendeine sprachliche Schwierigkeit bei der Lesung gab, an den Dialekt der Quraisch von Mekka zu halten. Zaid und seinen Mitarbeiter händigte man für ihre Arbeit die Blätter (''ṣuḥuf'') ʿUmars aus, die bei seinem Tod an seine Tochter [[w:Hafsa bint ʿUmar|Hafsa]] gegangen war. Mit dieser Version verglichen sie alle Koranfragmente, die sie finden konnten, und fügten an passenden Stellen alle ausgelassenen Verse ein. Ziel ihrer Bemühungen war die Festlegung eines autoritativen Textes des Korans. Davon wurden dann Kopien angefertigt und in die wichtigsten Städte des islamischen Reiches (Damaskus, Kufa, Basra und wahrscheinlich auch Mekka) geschickt. Es heißt, dass ʿUthmān die anderen Korankodizes vernichten ließ. In Wirklichkeit wurde aber keine völlige Vertilgung der anderen Niederschriften erreicht. ʿAbdallāh ibn Masʿūd zum Beispiel weigerte sich erfolgreich, seinen Korankodex herauszugeben. Von den anderen Korankodizes wich die neu erstellte offizielle Koranausgabe in mehreren Punkten ab. So enthält sie am Anfang und Ende Gebete, die in anderen Korankodizes fehlten. Sie bilden die erste Sure, die [[w:al-Fātiha|Fātiha]], und die beiden letzten mit ''aʿūḏu bi-rabbi'' („Ich nehme Zuflucht beim Herrn...“) eingeleiteten Suren [[w:Sure 113|Sure 113]] und [[w:Sure 114|114]], die [[w:Apotropaion|apotropäische]] Funktion haben. Die Fātiha ist ein Eröffnungsgebet, das für den Gottesdienst der Muslime sehr große Bedeutung hat und deswegen auch mit dem christlichen [[w:Vaterunser|Vaterunser]] verglichen worden ist. Sein Text lautet: [[Datei:FirstSurahKoran.jpg|mini|hochkant|Kalligraphisch gestaltete Fātiha in arabischer Schrift, {{Audio|Surah Al fatiha104.ogg|Die Fātiha zum Anhören}}]] <poem lang="nl" style="margin-left:2em; float:left;"> ''Bi-smi Llāhi r-raḥmāni r-raḥīm'' ''al-ḥamdu li-Llāhi rabbi l-ʿālamīn'' ''ar-raḥmāni r-raḥīm'' ''māliki yaumi d-dīn'' ''īyāka naʿbudu wa-īyāka nastaʿīn'' ''ihdī-nā ṣ-ṣirāta l-mustaqīm'' ''ṣirāta llaḏīna anʿamta ʿalai-him'' ''ġairi l-maġḍūbi ʿalai-him wa-lā ḍ-ḍāllīn'' </poem> <poem style="margin-left:2em; float:left;"> Im Namen Gottes, des barmherzigen Erbarmers, Lob sei Gott, dem Herrn der Welten, dem barmherzigen Erbarmer, dem König des Gerichtstags. Dir dienen wir, dich rufen wir um Hilfe an. Führe uns den rechten Weg, den Weg derer, denen du Huld erwiesen hast, nicht derer, denen du zürnst und nicht derer, die irregehen. </poem> <div style="clear:left;"></div> Von großer Bedeutung war eine Differenz in [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/24 Sure 4:24]. In dem Passus, in dem den Männern erlaubt wird, sich mit ihrem Vermögen über ihre gewöhnlichen Ehefrauen hinaus sonstige Frauen zu verschaffen, wenn sie ihnen nach dem erfahrenen Genuss ihren Lohn geben, stand sowohl in dem Kodex von ʿAbdallāh ibn Masʿūd als auch in demjenigen von Ubaiy ibn Kaʿb der Ausdruck ''ilā aǧal musammā'' („bis zur genannten Zeit“). Daraus leiteten mehrere [[w:Sahāba|Prophetengefährten]] ab, dass zeitlich begrenzte Ehen zum Zweck des sexuellen Genusses ([[w:Mutʿa-Ehe|Mutʿa]]) trotz des Verbotes durch ʿUmar weiterhin erlaubt seien. In dem Korantext von ʿUthmān, der Grundlage aller späteren Koranausgaben ist, fehlt dieser Ausdruck. === 4.4.3. Die Entstehung einer religiös-politischen Opposition === Gegen die neu eingetretenen Umstände, Haltungen und Denkweisen in den aristokratischen Führungskreisen des Reiches bildete sich in Syrien und im Irak eine religiös-politische Oppositionsbewegung, die vor allem von Frommen, die zu Muhammads frühen Anhängern gehört hatten, getragen wurde. Einer der bekanntesten Vertreter dieser Bewegung war [[w:Abū Dharr al-Ghifārī|Abū Dharr al-Ghifārī]], der aufgrund seines frühen Beitritts zum Islam und seiner Meriten als Kämpfer eine hohe Stellung in der islamischen Gemeinde hatte. Als ʿUthmān nach den Eroberungszügen von 647 in Tripolitanien einen Großteil des erbeuteten Vermögens an Verwandte und seinen Sekretär Zaid ibn Thābit gab, predigte Abū Dharr gegen diejenigen, die „Geld anhäufen“, wobei er sich auf das Koranwort von Sure [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/34 9:34] bezog: „Wer aber Gold und Silber hortet und es nicht für die Sache Gottes ausgibt, denen verkünde schmerzhafte Strafe.“ ʿUthmān verbannte ihn daraufhin nach Syrien, wo Abū Dharr aber weitere Auseinandersetzungen mit dem dortigen umaiyadischen Statthalter Muʿāwiya hatte. Abū Dharr warf ihm vor, die ihm anvertrauten Gelder der Muslime zu veruntreuen, und forderte bei Predigten die Reichen dazu auf, die Armen zu unterstützen. Offensichtlich fand Abū Dharrs Bestreben ein beachtliches Echo unter den Armen in Syrien, denn diese versuchten daraufhin, die Reichen zu entsprechenden Handlungen zu zwingen. Als es zu Beschwerden bei Muʿāwiya kam, wandte sich dieser schriftlich an ʿUthmān und meldete ihm, dass Abū Dharr die Menschen in Syrien gegen ihn aufhetze. ʿUthmān ließ den angeblichen Aufrührer hierauf nach Medina kommen und zog seine Hinrichtung in Erwägung, nahm jedoch auf Anraten von ʿAlī ibn Abī Tālib davon Abstand. Der Kalif schickte ihn schließlich in eine Art Verbannung nach Rabdha, einem Dorf der Umgebung, wo er in Armut und Zurückgezogenheit um das Jahr 652 verstarb. Das harte Vorgehen gegen diesen populären Prophetengefährten schadete ʿUthmāns Ansehen stark. Auch in den Lagern Kufa und Basra, die durch Einwanderung von Stammesangehörigen der arabischen Halbinsel mittlerweile zu bedeutenden Siedlungen herangewachsen waren, regte sich Widerstand gegen ʿUthmān. In Kufa kritisierte ʿAbdallāh Ibn Masʿūd schon 650 den neuen Gouverneur, dessen heidnisches Gebaren ihn verstörte. 651 kam es zum Bruch mit ʿUthmān. Ibn Masʿūd fiel in Ungnade, unter Umständen, die nicht klar sind. Eine öffentliche Szene folgte, bei der er vom Kalifen misshandelt wurde. Ein Grund für diese Konfrontation mag die Auseinandersetzung um Ibn Masʿūds Korankodex (''muṣḥaf'') gewesen sein. Ibn Masʿūd zufolge war der [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/5/vers/67 Vers 5:67] zur Zeit des Propheten mit einem explizit auf ʿAlī bezogenen Zusatz versehen gewesen. Das deutet auf eine große Loyalität Ibn Masʿūds gegenüber ʿAlī und seiner Familie hin. === 4.4.4. ʿUthmāns Ermordung === [[File:Rebellions against Uthman & the Kharijite Origins.png|mini|Die Orte, von denen aus die Unzufriedenen nach Medina zogen.]] In den letzten Jahren des Kalifats von ʿUthmān wurden die Beschwerden gegen ihn immer lauter, und es entstand eine regelrechte Protestbewegung. Nach dem Bericht [[w:at-Tabarī|at-Tabarī]]s war es ein Mann namens [[w:ʿAbdallāh ibn Saba'|ʿAbdallāh ibn Saba']], der sie von Ägypten aus koordinierte. Er stellte ʿUthmān als Usurpator dar und propagierte, dass allein ʿAlī als Mohammeds Bevollmächtigter (''waṣī'') zur Herrschaft über die [[w:Umma|Umma]] befugt sei. Im Frühjahr 656 zogen große Gruppen Unzufriedener aus Ägypten, Basra und Kufa nach Medina, führten beim Kalifen über verschiedene Dinge Klage und verlangten seine Absetzung. ʿUthmān, der ihre Forderungen für unberechtigt hielt, bequemte sich schließlich zu Verhandlungen und sagte zu, ihre Beschwerden zu prüfen. Die Unzufriedenen wurden dadurch zunächst weitgehend beruhigt und traten den Heimweg an. Die Beschwerdeführer aus Ägypten fingen aber unterwegs einen Boten des Kalifen ab, der eine geheime Botschaft an den Statthalter in Ägypten bei sich hatte. Darin beauftragte der Kalif diesen, die Anführer hinzurichten und andere entsprechend zu bestrafen. Aufgebracht kehrten die Unzufriedenen nach Medina zurück, stellten den Kalifen zur Rede und forderten ihn ultimativ zum Rücktritt auf. Es kam zur Belagerung seines Hauses, wo ihn seine Knechte und Verwandten verteidigten und damit die Konfrontation verschärften. Das Gebäude wurde am 17. Juni 656 gestürmt, und ʿUthmān ermordet. Eine wichtige Folge der Ermordung ʿUthmāns war, dass die Stadt Medina fortan ihre Rolle als politisches Zentrum des islamischen Staates verlor. Noch wichtiger war allerdings, dass es über die Beurteilung von ʿUthmān und die Frage, ob seine Ermordung gerechtfertigt war, zu einer tiefgehenden Spaltung der Muslime kam, die bis heute noch nicht überwunden ist. In diesen Auseinandersetzungen um ʿUthmān tauchte zum ersten Mal eine wichtige Formel auf, die nämlich von dem „Buch Gottes und der [[w:Sunna|Sunna]] des Propheten“. Mit dem Buch Gottes war der Koran gemeint, mit der Sunna des Propheten die von diesem begründete Handlungspraxis, die man in der Gemeinschaft der Muslime als normativen Maßstab ansah. Während die Gegner ʿUthmāns überzeugt waren, dass ʿUthmān gegen die Prinzipien von Koran und Prophetensunna verstoßen hatte, verteidigten seine Parteigänger, insbesondere die Umaiyaden, seine Handlungsweise gegen diesen Vorwurf. == 4.5. Weiterführende Literatur == * Sean Anthony: ''The Caliph and the heretic: Ibn Saba' and the origins of Shīʿism.'' Leiden 2012. * [[w:Al-Balādhurī|Al-Balādhurī]]: ''Kitāb Futūḥ al-buldān.'' Deutsche Übersetzung von [[w:Oskar Rescher|Oskar Rescher]]. 2 Bde. Leipzig 1917, Stuttgart 1923. * Heribert Busse: „ʿOmar b. al-Ḫaṭṭāb in Jerusalem“ in ''Jerusalem Studies in Arabic and Islam'' 5 (1984) 73–119. * Patricia Crone und Michael Cook: ''Hagarism. The Making of the Islamic World.'' Cambridge 1977. * Patricia Crone und Martin Hinds: ''God’s Caliph. Religious authority in the first centuries of Islam.'' Cambridge 1986. * Paul Gerhard Dannhauer: ''Untersuchungen zur frühen Geschichte des Qadi-Amtes.'' Bonn 1975. * Fred Donner: ''The early Islamic conquests.'' Princeton, NJ 1981. * Taieb El-Hibri: ''Parable and Politics in Early Islamic History. The Rashidun Caliphs.'' New York-Chichester 2010. * [[w:Martin Hinds|Martin Hinds]]: “The Murder of the Caliph ʿUthmān” in ''International Journal of Middle East Studies'' 3 (1972) 450–469. * Wilferd Madelung: ''The Succession to Muhammad. A study of the early caliphate.'' Cambridge 1997. * Al Makin: ''Representing the enemy: Musaylima in Muslim literature''. Frankfurt/Main 2010. * Theodor Nöldeke: ''Geschichte des Qorāns. Zweiter Teil: Die Sammlung des Qorāns.'' 2. Aufl. völlig umgearbeitet von Fr. Schwally. Leipzig 1919. * Albrecht Noth: “Von der medinensischen 'Umma' zu einer muslimischen Ökumene“ in A. Noth u. J. Paul (Hrsg.): ''Der Islamische Orient. Grundzüge seiner Geschichte.'' Würzburg 1998. * David Stephan Powers: ''Muḥammad is not the father of any of your men: the making of the last prophet''. Philadelphia 2009. * Israel Wolfensohn: ''Kaʿb al-Aḥbār und seine Stellung im Ḥadīṯ und in der islamischen Legendenliteratur.'' Gelnhausen 1933. == 4.6. Fragen/Aufgaben == 1. Welche Umstände erleichterten die islamische Eroberung des Vorderen Orients? 2. Welche Veränderungen nahm Muhammad am Haddsch-Ritual vor? 3. Nach dem Tode Muhammads traten unter den Muslimen erhebliche Meinungsverschiedenheiten auf. Erklären Sie, um welches Problem es ging, und wie dieses gelöst wurde. 4. Welche Titel nahmen die ersten muslimischen Herrscher nach Muhammad an und welche Vorstellungen waren mit ihnen verbunden? 5. Nennen Sie politische und religiöse Reformen, die unter dem Kalifen ʿUmar ibn al-Chattāb vorgenommen wurden. 6. In welcher Weise lag der Koran nach dem Tode Muhammads vor und welche redaktionellen Prozesse fanden bis zum Kalifat ʿUmars statt? 7. Der Kalif ʿUthmān ließ die erste offizielle Koranausgabe erstellen. In welchen Punkten wich sie von anderen damals verwendeten Korankodizes ab? 8. Beschreiben Sie die Entwicklungen, die zur Ermordung des Kalifen ʿUthmān und damit auch zur Spaltung der Muslime führten. {{Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI)/Navigation}} qrh8d2rijanz490kdnayx972utbgofg 1116496 1116495 2026-10-16T18:56:22Z PaFra 14559 /* 4.3. ʿUmar ibn al-Chattāb (634-644) - „Befehlshaber der Gläubigen“ */ 1116496 wikitext text/x-wiki {{Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI)/Navigation}} [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 03|3 <<<]] — [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 05|>>> 5]] {{TOC nonum}} = 4. Die Expansion des islamischen Staates und das frühe Kalifat (630-656) = Der Staat von Yathrib/Medina steigt zur wichtigsten Macht in Arabien auf. Muhammads Tod 632 stürzt ihn zwar in eine schwere Krise, doch kann sie schnell überwunden und mit Hilfe der arabischen Stämme eine Expansionsbewegung in Gang gesetzt werden, die zur Eroberung des gesamten Vorderen Orients führt. Wichtige religiöse Neuerungen: die Reform des Kalenders und die Kodifizierung des Korans. == 4.1. Die letzten Jahre des Propheten (630-632) == === 4.1.1. Aussöhnung mit den Quraisch und Anschluss der Araber === Wenige Tage nach der Einnahme von Mekka durch die Muslime zog vom Südosten her eine neue militärische Gefahr herauf. Die Stämme der Hawāzin und der Thaqīf hatten eine Armee von 20.000 Kämpfern aufgestellt und bedrohten damit Mekka. Da die Hawāzin nicht nur Muhammad und den Muslimen, sondern auch den heidnisch gebliebenen Quraisch feindlich gegenüber standen, ergab sich die Gelegenheit zu einem Ausgleich. Als Muhammad die heidnischen Mekkaner dazu aufforderte, zusammen gegen den gemeinsamen Feind zu ziehen, schlossen sich ihm etwa 2.000 Mann von ihnen an. In dem Tal [[w:Hunain|Hunain]] kam es zu einer Schlacht, bei der zeitweise der Ausgang unsicher schien (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/25 Q 9:25f]), doch am Ende siegten Muhammads Truppen und eroberten das feindliche Lager. Viele der früheren mekkanischen Gegner Muhammads, darunter auch die Söhne [[w:Abū Sufyān ibn Harb|Abū Sufyāns]], konnten bei dieser Gelegenheit durch eine großzügige Beuteverteilung für den Islam gewonnen werden. Diese mekkanischen „Spätkonvertiten“ werden in Anlehnung an einen Koranvers, der auf das Ereignis Bezug nimmt ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/60 Q 9:60]), als ''al-muʾallafa qulūbu-hum'' („die, deren Herzen gewonnen wurden“) bezeichnet. Zu einem raschen Interessenausgleich mit früheren Gegnern trug auch bei, dass Muhammad die Familien, die bisher die kultischen Ämter in Mekka ausgeübt hatten, in diesen Ämtern bestätigte. So übergab er einem Angehörigen der ʿAbd ad-Dār, die schon vorher das Türhüteramt der Kaaba versehen hatten, den Schlüssel des Heiligtums als Zeichen seiner erblichen Belehnung mit diesem Amt. Bis heute haben die Banū Schaiba, die Nachkommen von Schaiba ibn ʿUthmān aus dem Clan ʿAbd ad-Dār, dieses Türhüteramt der Kaaba inne. [[File:Jami Masjid, Mandu - minbar 01.jpg|mini|[[w:Minbar|Minbar]] in der Freitagsmoschee von [[w:Mandu (Stadt)|Mandu]], 14. Jh.]] Nach der Schlacht von Hunain im Frühjahr 630 war die Expansion der neuen Religion in das Innere der Arabischen Halbinsel überwältigend. Muhammad sandte Briefe an die in den verschiedenen Teilen der arabischen Halbinsel lebenden Stämme und forderte sie auf, den Islam anzunehmen. Verschiedene Stämme wie die [[w:Azd (Stamm)|Azd]], [[w:Kinda (Arabien)|Kinda]] und [[w:Bāhila|Bāhila]] schickten umgekehrt Gesandtschaften zu ihm und baten ihn um Aufnahme in sein Bündnis. Deshalb wird das Jahr nach der Einnahme Mekkas in der islamischen Geschichtsschreibung auch das „Jahr der Gesandtschaften“ (''ʿām al-wufūd'') genannt. Bei seinen Predigten und Verhandlungen mit den Delegationen verwendete der Prophet jetzt häufig den [[w:Minbar|Minbar]], einen kanzelartigen Thron aus Holz. Ursprünglich wohl ein Hoheitssymbol, wurde der Minbar später als Ort, von dem aus die Freitagspredigt gehalten wird, zu einem festen Bestandteil der Innenausstattung von Moscheen. Für offene Gegner des Propheten wurde das Leben auch außerhalb Mekkas nun immer schwieriger. Sicher waren sie nur, wenn sie sich dem Propheten unterwarfen und den Islam annahmen. So tat es beispielsweise [[w:ʿIkrima ibn Abī Dschahl|ʿIkrima]], der Sohn von [[w:Abū Dschahl|Abū Dschahl]], der bis zuletzt gegen Muhammad gekämpft hatte und zunächst in den Jemen geflohen war. Bekannt geworden ist auch der Dichter [[w:Kaʿb ibn Zuhair|Kaʿb ibn Zuhair]], der in satirischen Versen Muhammad angegriffen hatte und deshalb zur Tötung freigegeben worden war. Er tauchte in dieser Zeit überraschend in Medina auf und trug öffentlich ein Lobgedicht auf den Propheten und die Quraisch vor. Dieses mit den Worten ''Bānat Suʿād'' beginnende Gedicht wurde später zu einem der wichtigsten religiösen Gedichte des Islams und ist als solches immer wieder kommentiert und schmückend erweitert worden. Im Herbst 630 kam es noch einmal zu einer internen Krise, als Muhammad, offenbar gegen den Willen vieler seiner Anhänger (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/81 Q 9:81]), einen Feldzug gegen die Byzantiner und ihre arabischen Bundesgenossen an der syrischen Grenze unternahm. Zeitgleich mit diesem [[w:Feldzug nach Tabūk|Feldzug nach Tabūk]] setzten sich einige von Muhammads Anhängern ab, errichteten sich eine eigene Moschee (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/107 Q 9:107-11]) und heckten gegen den Propheten eine Intrige aus. Die Koranverse, die diese Situation verarbeiten, fordern den Propheten auf, hart gegen die als [[w:Munāfiq|Munāfiqūn]] und [[w:Kāfir|Kuffār]] bezeichnete Gruppe vorzugehen und drohen diesen als Apostaten die Höllenstrafe an (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/73 Q 9:73f]). Den Gläubigen wurde umgekehrt im Koran für ihren kämpferischen Einsatz großer jenseitiger Lohn in Aussicht gestellt. Das Verhältnis zwischen ihrem Einsatz und der jenseitigen Belohnung wird dabei nach Art eines Handelsgeschäfts mit Gott beschrieben: {{Zitat|Gott hat den Gläubigen ihr Leben und ihr Vermögen dafür abgekauft, dass sie das Paradies haben sollen. Sie sollen kämpfen für die Sache Gottes und töten und getötet werden. Das ist ein ihn bindendes Versprechen [...]. Und wer hält sein Versprechen getreuer als Gott? Freut euch also über das, was ihr erkauft habt. Denn das ist der große Gewinn.|[https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/111 Q 9:111]}} Mit diesem und ähnlich lautenden Versen (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/74 Q 4:74]; [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/61/vers/10 61:10]) wurde im Islam ein eigenes Konzept des Märtyrertums begründet: Derjenige, der sich im Kampf selbst aufopfert und den Tod auf dem Schlachtfeld findet, ist kein Verlierer, sondern in Wirklichkeit der „große Gewinner“. Diese Form der religiösen Mobilisierung der Gläubigen zum Kampf hat möglicherweise entscheidend zur schnellen Expansion des islamischen Staates beigetragen. === 4.1.2. Muslime und Nicht-Muslime === Die Annahme des Islams wurde jetzt zur strikten Vorbedingung einer Aufnahme in das Bündnis mit Mohammed. Das bedeutete zugleich, dass sich ihm immer mehr Menschen rein aus politischen und wirtschaftlichen Gründen anschlossen, der neuen Religion jedoch innerlich kaum zugetan waren. Das galt wohl vor allem für die Beduinen, wie aus einem in dieser Hinsicht vielsagenden Koranvers hervorgeht: {{Zitat|Die Wüstenaraber (''al-Aʿrāb'') sagen: Wir glauben! Sprich: Ihr glaubt nicht! Sagt vielmehr: Wir haben uns unterworfen. Denn der Glaube ist noch nicht in eure Herzen eingedrungen.|[https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/49/vers/14 Sure 49:14]}} Unterwerfung (''islām'') unter den Willen Gottes und seines Gesandten, so sagt es uns dieser Vers, bedeutete eben nicht immer auch innerliche Annahme des Glaubens ([[w:Īmān|Īmān]]). Um als „Brüder in der Religion“ anerkennt zu werden, war es allerdings nur notwendig, das Gebet ([[w:Salāt|Salāt]]) zu verrichten und die Läuterungsgabe ([[w:Zakāt|Zakāt]]) entrichten (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/11 Q 9:11]). Die in frühmekkanischer Zeit als fromme Übung eingeführte Zakāt hatte sich offenbar bis zu diesem Zeitpunkt zu einer Art Almosensteuer entwickelt. Als Synonym für ''zakāt'' erscheint in dieser Zeit im Koran auch das Wort [[w:Sadaqa|Sadaqa]] (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/103 Q 9:103]). Zum Einzug dieser Abgaben, aber auch zur Unterweisung der neu bekehrten Stämme in der Religion sandte Muhammad mehrere seiner Gefährten in die verschiedenen Gebiete der arabischen Halbinsel, so zum Beispiel [[w:Abū Huraira|Abū Huraira]] nach Bahrain in Ostarabien (nicht identisch mit dem heutigen Staat [[w:Bahrain|Bahrain]]), [[w:ʿAmr ibn al-ʿĀs|ʿAmr ibn al-ʿĀs]] nach [[w:Oman|Oman]] und Muʿādh ibn Dschabal in den [[w:Jemen|Jemen]]. Nachdem Muhammad mit den Heiden und Juden gebrochen hatte, scheint er noch lange eine positive Einstellung gegenüber dem Christentum gewahrt zu haben. Das zeigt eine Stelle im Koran, an der es heißt: {{Zitat|Du wirst sicher finden, dass diejenigen Menschen, die sich den Gläubigen gegenüber am meisten feindlich zeigen, die Juden und die Heiden sind. Und du wirst sicher finden, dass diejenigen, die den Gläubigen in Liebe am nächsten stehen, die sind, welche sagen: Wir sind Christen (''Naṣārā''). Dies deshalb, weil es unter ihnen Priester und Mönche gibt, und weil sie nicht hochmütig sind.|[https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/5/vers/82 Q 5:82]}} In den Korankommentaren wird bei diesem Vers auf die positiven Erfahrungen, die Muhammads Anhänger im christlichen Äthiopien gemacht hatten, verwiesen. Grundsätzlich war Muhammad allerdings der Auffassung, dass er von Jesus als Gesandter angekündigt worden war (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/61/vers/6 Q 61:6]) und der Koran nicht nur eine Bestätigung der Tora, sondern auch des Evangeliums ([[w:Indschīl|Indschīl]]) darstellt (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/3/vers/3 Q 3:3]), und die Christen von daher wie die Juden vor die Aufgabe gestellt waren, seinen religiösen Führungsanspruch anzuerkennen und zum Islam überzutreten. Bei Verhandlungen mit Abgesandten christlicher Gemeinschaften der arabischen Halbinsel machte der Prophet nun aber die Erfahrung, dass diese im Gegensatz zu den heidnischen Arabern eben nicht bereit waren, den Islam anzunehmen. Besonders bekannt geworden ist der Fall einer Delegation von Geistlichen aus [[w:Nadschran|Nadschrān]], dem Zentrum des südarabischen Christentums, die zum Ausdruck brachten, dass sie sich zwar der politischen Macht des Propheten fügen, aber nicht zum Islam übertreten wollten, weil sie sich selbst im Besitz der wahren Religion sahen. In diesen historischen Zusammenhang wird von der islamischen Tradition die koranische Aussage gestellt, dass Jesus vor Gott gleich Adam und wie er allein durch das Schöpferwort ''kun'' („Sei!“) erschaffen worden sei ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/3/vers/59 Q 3:59]). Muhammad soll dieses Koranwort den christlichen Geistlichen aus Nadschrān entgegengehalten haben, als es zu einem Streit über die von den Christen behauptete [[w:Sohn Gottes|Gottessohnschaft]] Jesu‘ kam. Anschließend, so berichten die arabischen Quellen, forderte er die Geistlichen zur Herbeiführung eines Gottesurteils über die Wahrheit der beiden religiösen Positionen durch gegenseitige Verfluchung ([[w:Mubāhala|Mubāhala]]) auf (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/3/vers/61 Q 3:61]), was diese jedoch ablehnten. Schließlich einigte man sich darauf, dass die Leute von Nadschrān dem Propheten einen jährlichen Tribut entrichten sollten, wofür umgekehrt der Prophet ihnen den Schutz für Leben und Religion zusicherte. Die Verschlechterung der Beziehungen zu den Christen lässt sich auch darauf zurückführen, dass der Prophet in dieser Zeit verstärktes Interesse an der Expansionsroute nach Syrien zeigte, wo in der Mehrzahl Christen lebten und nicht zum Islam konvertieren wollten. Bei ihnen kam nun ebenfalls das Modell der Tributzahlung zur Anwendung. Die arabischen Quellen berichten, dass sich als Folge des [[w:Feldzug nach Tabūk|Feldzuges nach Tabūk]] im Herbst 630 mehrere christliche Gemeinden am [[w:Golf von Akaba|Golf von Akaba]] in Nordwestarabien, darunter auch die Stadt [[w:Eilat|Aila]], dem Propheten unterwarfen und bereit erklärten, die sogenannte [[w:Dschizya|Dschizya]], an ihn zu entrichten. Der arabische Begriff ''Dschizya'' hat die Grundbedeutung von „Ausgleich, Kompensation“. Was die Dschizya-Zahlung ausgleichen sollte, lässt sich nicht mit Gewissheit sagen. Allerdings hat diese Abgabe eine koranische Grundlage in [[w:Sure 9|Sure 9]], wo die Muslime aufgefordert werden, gegen die [[w:Ahl al-kitāb|Ahl al-kitāb]] zu kämpfen, bis „sie kleinlaut aus der Hand die Dschizya entrichten“ ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/29 Q 9:29]). Die Pflicht zum Kampf gegen Juden und Christen wird an der betreffenden Stelle daraus abgeleitet, dass sich die beiden Religionsgemeinschaften fälschlicherweise neben Gott [[w:Rabbinen|Rabbinen]] und [[w:Mönch|Mönche]] zu Herren genommen hätten ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/31 Q 9:31]), von [[w:Esra (Person)|Esra]] bzw. Christus behaupteten, sie seien Gottes Sohn, und damit die Rede der früheren Ungläubigen nachahmten ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/30 Q 9:30]). Diese koranischen Aussagen legitimierten eine neue, aggressivere Haltung gegenüber den Christen, bedeuteten aber andererseits auch, dass Juden und Christen die Möglichkeit gegeben wurde, bei Unterwerfung ihre Religion weiter auszuüben. Auch gegenüber [[w:Zoroastrier|Zoroastriern]] zeigte Muhammad diese Haltung. Als ihm zu Ohren kam, dass sich die auf dem Gebiet von Bahrain lebenden Zoroastrier weigerten, den Islam anzunehmen, ließ er ihnen unter der Bedingung, dass sie die Dschizya entrichteten, diese Freiheit. Als Rechtfertigung dafür soll er das bekannte Koranwort: „[[w:Kein Zwang in der Religion|Es gibt keinen Zwang in der Religion]]“ ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/256 Q 2:256]) herangezogen haben. === 4.1.3. Neuordnung der Wallfahrt und Reform des Kalenders === Im Jahr der Einnahme Mekkas (630) hielten sich Muhammad und seine engsten Gefährten vom Haddsch, der für die muslimischen und nicht-muslimischen Pilger noch ganz nach den altgewohnten Riten ablief, fern. Im Jahre darauf (631) beauftragte Muhammad seinen Gefährten [[w:Abū Bakr|Abū Bakr]], den Haddsch anzuführen. Während dieser sich bereits in Mekka befand, schickte ihm der Prophet seinen Vetter ʿAlī nach, der in [[w:Minā|Minā]] die folgenden Worte öffentlich verkündete, die auch Teil des Korans sind: {{Zitat|Eine Ankündigung von Gott und seinem Gesandten an die Leute am Tag der großen Wallfahrt: Gott hat keine Verpflichtung mehr gegenüber den [[w:Muschrik|Beigesellern]], und sein Gesandter ebenfalls nicht. Wenn ihr bußfertig umkehrt, ist das besser für euch. Wenn ihr euch aber abwendet, dann wisset, dass ihr Gott nicht zuschanden machen könnte. Und verheiße den Ungläubigen schmerzliche Strafe.|[https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/3 Q 9:3]}} Kurz danach heißt es: {{Zitat|Sind aber die heiligen Monate verflossen, so erschlaget die Beigeseller, wo ihr sie findet, und packet sie und belagert sie und lauert ihnen in jedem Hinterhalt auf.|[https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/5 Q 9:5]}} {| class="wikitable floatright" |- ! colspan="2" | Die islamischen Monate |- ! Nr !! Name |- | 1 | [[w:Muharram|Muharram]] |- | 2 | [[w:Safar|Safar]] |- | 3 | [[w:Rabīʿ al-awwal|Rabīʿ I]] |- | 4 | [[w:Rabīʿ ath-thānī|Rabīʿ II]] |- | 5 | [[w:Dschumādā l-ūlā|Dschumādā I]] |- | 6 | [[w:Dschumādā th-thāniya|Dschumādā II]] |- | 7 | [[w:Radschab|Radschab]] |- | 8 | [[w:Schaʿbān|Schaʿbān]] |- | 9 | [[w:Ramadan|Ramadān]] |- | 10 | [[w:Schawwāl|Schauwāl]] |- | 11 | [[w:Dhu l-qaʿda|Dhū l-Qaʿda]] |- | 12 | [[w:Dhū l-Hiddscha|Dhū l-Hiddscha]] |} Diese Verse vom Anfang der Sure 9 zeigen sehr deutlich, wie sich die Machtverhältnisse verändert hatten. Indem Muhammad den Ungläubigen unter schärfsten Androhungen verbot, sich Mekka anzunähern, schloss er sie auch von allen wirtschaftlichen Aktivitäten in dieser Stadt aus. Erst im Jahre 632 nahm Muhammad selbst am Haddsch teil. Hierbei verhielt er sich bei einzelnen Wallfahrtstationen anders, als es die Heiden getan hatten. So verlegte er den Lauf von [[w:ʿArafāt|ʿArafāt]] nach [[w:Muzdalifa|Muzdalifa]] auf die Zeit nach Sonnenuntergang und den Lauf von Muzdalifa nach Minā auf die Zeit vor Sonnenaufgang, um diesen Riten den Charakter heidnischer Sonnenverehrung zu nehmen. Außerdem bezog er die Wallfahrtsriten, die während der [[w:ʿUmra|ʿUmra]] an der Kaaba in Mekka vollzogen wurden, in den Haddsch ein. Die Bezeichnung ''Haddsch'' ging nun auf das kombinierte Wallfahrtsritual über; die speziell dem mekkanischen Heiligtum geltende ʿUmra-Wallfahrt blieb aber als „kleine Wallfahrt“ weiter bestehen. Muhammads Haddsch im Jahre 632, aufgrund seines kurz danach eingetretenen Todes [[w:Abschiedswallfahrt|Abschiedswallfahrt]] genannt, wurde für alle Zeiten zum Vorbild für dieses Ritual. Die Kaaba erlebte durch die Neuordnung des Haddsch einen enormen Bedeutungszuwachs. Da andere Heiligtümer wie dasjenige von [[w:Dhū l-Chalasa|Dhū l-Chalasa]] in Tabāla von Muhammads Anhängern zerstört wurden, erhielt sie nun auf der arabischen Halbinsel eine Monopolstellung. Im Zuge der Neuordnung des Haddsch wurde auch der altarabische lunisolare Kalender mit seinem [[w:Einschaltung (Zeitrechnung)|Interkalationssystem]] des ''nasīʾ'' (vgl. oben [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 01 #1.3.3. Das altarabische Heidentum und die Heiligtümer von Mekka|1.3.3.]]) abgeschafft und ein reiner [[w:Lunarkalender|Lunarkalender]] mit einer unveränderlichen Zahl von zwölf Monaten eingeführt. Die Gründe für die Kalenderreform sind nicht ganz klar, die Koranverse, die davon handeln ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/36 Q 9:36f]), lassen aber erkennen, dass die Entscheidungen derjenigen, die für die Einschiebung von Schaltmonaten und Heiligerklärung von Monaten zuständig waren, als willkürlich empfunden wurden und dies relevant für die Kriegführung war. Um deutlich zu machen, dass der erste Safar nun immer als heiliger Monat galt, erhielt er den Namen [[w:Muharram|al-Muharram]] („der Geheiligte“). Das neue Mondjahr mit nur 354 Tagen wurde zur Grundlage für den islamischen Kalender und diente fortan zur Bestimmung der religiösen Feste. Da dieses Mondjahr, das sich gewissermaßen „rückwärts“ durch die Sonnenjahre bewegt, für Ackerbau treibende Bauern jedoch nicht praktikabel ist, wurde in fast allen Ländern, in denen der Islam Wurzeln geschlagen hat, daneben ein [[w:Solarkalender|Solarkalender]] weitergeführt. == 4.2. Abū Bakr (632-634) – „Stellvertreter des Gottesgesandten“ == === 4.2.1. Die Ereignisse der Saqīfa und die Anfänge des Kalifats === Als Muhammad nach Medina zurückkehrte, verschlechterte sich sein Gesundheitszustand erheblich. Am 8. Juni 632 starb er. Es wird auch berichtet, dass Muhammad vor seinem Tod seine Nachfolge durch ein Testament regeln wollte, [[w:ʿUmar ibn al-Chattāb|ʿUmar ibn al-Chattāb]], der in der medinischen Zeit zu einem seiner wichtigsten Berater aufgestiegen war, dies jedoch verhindert habe. Muhammad hatte keinen männlichen Nachkommen hinterlassen. Seine erste Frau [[w:Chadīdscha bint Chuwailid|Chadīdscha]] hatte ihm vier Töchter und zwei oder drei Söhne geboren. Letztere waren allerdings schon als Kinder verstorben. Seinen Adoptivsohn [[w:Zaid ibn Hāritha|Zaid ibn Hāritha]] hatte er im Zusammenhang mit der Affäre um [[w:Zainab bint Dschahsch|Zainab bint Dschahsch]] verstoßen. Auf diesen Sachverhalt soll sich das Koranwort von [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/33/vers/40 Sure 33:40] beziehen, in dem klargestellt wird, dass Muhammad keine Söhne hat und auch sein Amt als Gottesgesandter nicht erblich ist, er vielmehr „Siegel der Propheten“ (''ḫātam an-nabīyīn'') ist. Es war also völlig unklar, wer die Führung der [[w:Umma|Umma]] nach Muhammads Tod übernehmen sollte. In dieser Situation traten schwere Meinungsverschiedenheiten zwischen den mekkanischen [[w:Muhādschirūn|Muhādschirūn]] und den medinischen [[w:Ansār|Ansār]] hervor. Die Ansār zogen zu [[w:Saʿd ibn ʿUbāda|Saʿd ibn ʿUbāda]], dem Chef des medinischen Clans Banū Sāʿida, und versammelten sich in seiner Saqīfa („offener Versammlungsplatz“). Dort erhoben sie die Forderung, dass sich Ansār und Quraisch trennen sollten und eine jede Gruppe für sich einen Befehlshaber (''amīr'') wählen sollte. Damit drohte die islamische Gemeinschaft auseinanderzubrechen. Die Diskussion spitzte sich zu, als zu den Versammelten die drei Muhādschirūn Abū Bakr, ʿUmar und [[w:Abū ʿUbaida ibn al-Dscharrāh|Abū ʿUbaida]] hinzutraten. Vor allem ʿUmar trat strikt gegen jede Teilung der Gemeinschaft ein. Abū Bakr betonte den Vorranganspruch des Stammes Quraisch. In dieser Situation überraschte ʿUmar die Anwesenden, indem er plötzlich Abū Bakr die [[w:Baiʿa|Baiʿa]] leistete. Dieser hatte das Gebet der Gemeinde angeführt, als Muhammad bereits im Sterben lag. Daraus ergab sich für ihn ein gewisser Nimbus. Außerdem war er durch ʿĀ'ischa Schwiegervater des Propheten und darüber hinaus einer der frühesten Gläubigen überhaupt (vgl. oben [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 02#2.1.3. Die neue Gemeinde|2.1.3.]]). Bei allen wichtigen Kämpfen gegen die heidnischen Quraisch von Mekka war er dabei gewesen und hatte mit seinen finanziellen Mitteln andere Feldzüge unterstützt. Somit war Abū Bakr ein geeigneter Kompromisskandidat für Ansār und Muhādschirūn. Entscheidend für den weiteren Verlauf der Versammlung war die überraschende Ankunft der Banū Aslam, eines Clans aus der Umgebung von Medina, der für seine besondere Loyalität gegenüber dem Propheten bekannt war. Sie stießen in großen Zahlen zu der Versammlung und huldigten Abū Bakr. Viele Ansār weigerten sich zunächst, Abū Bakr zu huldigen. Auch die [[w:Banū Hāschim|Banū Hāschim]], der Clan des Propheten, protestierten dagegen, dass sie bei der Regelung der Nachfolge übergangen worden waren. Einige Ansār brachten in dieser Situation [[w:ʿAlī ibn Abī Tālib|ʿAlī ibn Abī Tālib]], der der nächste Verwandte des Propheten war, als Alternative für Abū Bakr ins Spiel. ʿAlī hatte offensichtlich auch die Unterstützung der Nachkommen von [[w:ʿAbd Schams ibn ʿAbd Manāf|ʿAbd Schams]]. Sie pochten in dieser Situation auf die politischen Vorrechte der Nachkommen [[w:ʿAbd Manāf ibn Qusaiy|ʿAbd Manāfs]], zu denen sowohl die ʿAbd Schams als auch die Banū Hāschim gehörten, und kritisierten, dass Abū Bakr nicht diesem Stammesadel angehörte. [[Datei:Abu bakr2.jpg|mini|Die Prophetengefährten schwören Abū Bakr den Treueid, während rechts neben ihm ʿUmar sitzt, Miniatur in einem [[w:Osmanisches Reich|osmanischen]] [[w:Siyer-i Nebi|Siyer-i-Nebi]]-Werk, 1596]] In der Folgezeit sorgte ʿUmar zusammen mit den Banū Aslam dafür, dass fast alle Bewohner Medinas Abū Bakr den Treueid leisteten, wobei sie möglicherweise auch Gewalt anwendeten. Abū Bakr selbst trat allerdings eher bescheiden auf. Er ließ erkennen, dass er sich als Fortsetzer der Linie des Propheten betrachtete, keinesfalls aber als Neuerer. In diesem Sinn war er darum bemüht, alle Verordnungen und Anweisungen des Propheten einzuhalten und weiterzuführen. Dieses Bestreben spiegelt sich auch in der Bezeichnung, die er für sein Amt gebrauchte. Er nannte sich ''ḫalīfat rasūl Allāh'', „Stellvertreter des Gesandten Gottes“. Stellvertreter des Gottesgesandten hatte es schon zu Lebzeiten des Propheten öfters gegeben: Für die Zeit seiner Abwesenheit von Medina, während eines kriegerischen Unternehmens vor allem, pflegte Muhammad solche Stellvertreter zu bestimmen, die für die Aufrechterhaltung der Ordnung zu sorgen hatten. Mit der Wahl dieses Titel, der im Deutschen üblicherweise mit ''Kalif'' wiedergegeben wird, machte Abū Bakr deutlich, dass er sich mit seinem Amt keine herrschaftliche Macht anmaßen, sondern lediglich den Status quo innerhalb der Umma aufrechterhalten wollte. Höhere Machtansprüche haben sich mit dem Kalifentitel erst in späterer Zeit entwickelt. Dass sich Abū Bakr gegen ʿAlī und die Banū Hāschim durchsetzte, hängt möglicherweise auch damit zusammen, dass man unter den Muhādschirūn aufgrund der Ehe ʿAlīs mit der Prophetentochter Fātima die Entstehung einer Dynastie befürchtete und deshalb lieber auf Abū Bakr setzte, bei dem diese Gefahr nicht bestand. Zu einer Konfrontation zwischen Abū Bakr, ʿUmar und der Prophetenfamilie führte wenig später der Streit um das von Juden bewirtschaftete Landgut des Propheten in Fadak im nördlichen [[w:Hedschas|Hedschas]]. Als Fātima Ansprüche auf dieses Landgut geltend machte, hielten die beiden ihr entgegen, dass der Prophet sein gesamtes Eigentum als Sadaqa der Gemeinschaft der Muslime vermacht habe. Da Fātima keinen ausreichenden Beweis dafür vorbringen konnte, dass der Prophet ihr das Landgut schon zu Lebzeiten geschenkt habe, zog Abū Bakr es ein. Fātima brach daraufhin den Kontakt zu Abū Bakr vollständig ab. Sechs Monate später starb sie. Erst nach ihrem Tod leistete auch ʿAlī dem Kalifen den Treueeid. Damit war die Nachfolgefrage endgültig geklärt. === 4.2.2. Abfallbewegung (''ridda'') und Wiederaufnahme des Dschihad === [[Datei:Mohammad_adil-Riddah_wars.PNG|mini|Schauplätze der Ridda-Kriege]] Nach dem Tode des Propheten setzte bei den Stämmen der Arabischen Halbinsel eine breite Absetzbewegung ein, die in den Quellen als [[w:Ridda|Ridda-Kriege]] bezeichnet wird. Der kurzzeitige Machtverlust der Quraisch führte dazu, dass in vielen Stämmen diejenigen Gruppen Oberwasser erhielten, die schon immer dem Anschluss an den Quraisch-Staat kritisch gegenüber gestanden hatten. In einigen Gegenden Arabiens traten Gegenpropheten auf, die auch auf dem religiösen Gebiet die Hegemonie des Islams in Frage stellten. Im Jemen etablierte sich der Gegenprophet al-Aswad, der in kurzer Zeit weite Gebiete Südarabiens unter seine Kontrolle bringen konnte. Er trat wie Muhammad im Namen Allāhs auf und verstand es, Ressentiments gegen die neue Abhängigkeit von Medina für seine Sache auszunutzen. Bei dem Stamm Hanīfa, der in der ostarabischen [[w:Al-Yamama|Yamāma]] lebte, tat sich ein Prophet namens [[w:Musailima|Musailima]] hervor, der in seinen Lehren gewisse monotheistische Anklänge zeigte, indem er im Namen [[w:Rahmanismus|Rahmāns]] predigte. Im zentralarabischen [[w:Nadschd|Nadschd]]-Gebiet traten sogar zwei Propheten auf, im Norden bei den Asad-Beduinen [[w:Tulayha|Tulaiha]] und im Süden bei den Tamīm die Prophetin Sadschāh. Unter Musailima wurde die härteste Gegnerschaft gezeigt, deren Wirksamkeit sich noch durch ein Bündnis mit der Prophetin Sadschāh erhöhte. Auf diese Weise entstand eine Allianz der Gegner, die eine gewaltige Armee mobilisieren konnte. Diejenigen Stämme, die sich der Ridda-Bewegung angschlossen, weigerten sich, weiterhin die Zakāt zu zahlen. Sie meinten, sie sei Teil eines Vertrages gewesen, den sie mit dem Propheten geschlossen hatten und der mit seinem Tod erloschen sei. Abū Bakr sandte von Mekka und Medina verschiedene Heere aus, um die abgefallenen Stämme mit Waffengewalt zurückzugewinnen. In den Feldzügen gegen die abgefallenen Stämme taten sich besonders zwei Mekkaner von den [[w:Machzūm|Machzūm]] hervor, die Muhammad lange heftig bekämpft hatten, [[w:Chālid ibn al-Walīd|Chālid ibn al-Walīd]] und [[w:ʿIkrima ibn Abī Dschahl|ʿIkrima ibn Abī Dschahl]]. Chālid konnte im Frühjahr 633 in der Ebene ʿAqrabā' den Truppen der Banū Hanīfa unter der Führung von Musailima eine vernichtende Niederlage beibringen. Weitere Kämpfe fanden in Bahrain, Oman und Jemen statt. Besonders erbitterten Widerstand leisteten die Kinda unter ihrem letzten Stammeskönig [[w:al-Aschʿath ibn Qais|al-Aschʿath ibn Qais]]. Mit der Einnahme ihrer Festung Nudschair im Hadramaut endete die Ridda-Bewegung. Al-Aschʿath wurde in Ketten nach Medina gebracht und dort durch Abū Bakr begnadigt. [[File:Mohammad adil-Muslims Invasion of Syria.PNG|mini|Die vier von Abū Bakr nach Syrien ausgesandten Truppenkontingente]] Die Ridda-Abwehrkämpfe gingen im Norden der Arabischen Halbinsel nun nahtlos in eine Eroberungsbewegung über. Noch im Jahre 633 unternahm Chālid mit seinen Kämpfern Überfälle auf Gebiete des Südirak, machte die dort lebenden Nomadenstämme botmäßig und eroberte [[w:al-Hīra|al-Hīra]], die Hauptstadt des [[w:Lachmiden|Lachmidenreiches]]. [[w:Al-Balādhurī|Al-Balādhurī]] (gest. 892), der Verfasser des wichtigsten arabischen Werkes über die [[w:Futūh|Futūh]], berichtet, dass Abū Bakr im Frühjahr 634 die Bewohner von Mekka, at-Tā'if, des Jemen und die Beduinen im Nadschd und Hedschas angeschrieben habe, „um sie für den Dschihad auszuheben und in ihnen die Lust daran und an der bei den [[w:Rhomäer|Rhomäern]] zu holenden Kriegsbeute zu entfachen.“ Sein Aufruf war offensichtlich ein voller Erfolg. Es wird berichtet, er habe in Medina drei Heere aufstellen können. Vier Truppenkontingente unter dem Oberbefehl von [[w:Abū ʿUbaida ibn al-Dscharrāh|Abū ʿUbaida ibn al-Dscharrāh]] zogen in Richtung Syrien. Als sich eine größere Konfrontation mit der byzantinischen Armee ankündigte, sandte Abū Bakr den noch im Irak weilenden Chālid ibn al-Walīd zu ihrer Verstärkung nach Syrien. Die beiden arabischen Heere trafen im Süden Syriens zusammen, und gemeinsam konnte man die Stadt [[w:Bosra|Bostra]] einnehmen. Unter Chālids Oberbefehl besiegten die Araber im Juli 634 ein byzantinisches Heer, das ihnen bei Adschnādain in Palästina entgegentrat. == 4.3. ʿUmar ibn al-Chattāb (634-644) - „Befehlshaber der Gläubigen“ == Abū Bakr starb im August 634. Er hatte in seinem Testament ʿUmar ibn al-Chattāb als Nachfolger eingesetzt, der bereits während seines Kalifats als eigentlicher Befehlshaber fungiert hatte. Zwar kam ʿUmar nur aus einem recht unbedeutenden quraischitischen Clan, doch konnte er frühe Verdienste um den Islam vorweisen und stand auch durch seine Tochter [[w:Hafsa bint ʿUmar|Hafsa]] in einem schwägerlichen Verhältnis zum Propheten. ʿUmar war der erste Kalif, der den Titel ''amīr al-muʾminīn'' („Befehlshaber der Gläubigen“) führte. Dieser Titel wird seither von allen Herrschern benutzt, die einen Führungsanspruch über die gesamte Gemeinschaft der Muslime erheben. === 4.3.1. Die Eroberung des Vorderen Orients === [[File:Mohammad adil-Muslim invasion of Syria-3.PNG|mini|Die muslimischen Vorstöße in Syrien, 634-36]] Unter ʿUmar setzte sich die unter Abū Bakr begonnene Eroberungsbewegung fort. Hier werden nur stichpunktartig die wichtigsten Stationen der Eroberungsbewegung genannt: # Syrien und Palästina. Die Byzantiner, die sich nach der Schlacht von Adschnādain ins Jordantal zurückgezogen hatten, wurden im Januar 635 bei der Stadt [[w:Pella (Jordanien)|Pella]] erneut von den Arabern geschlagen und zogen nach Damaskus ab. Die Araber konnten daraufhin das gesamte Gebiet des heutigen Jordaniens einnehmen, darunter auch die prachtvoll ausgebaute Bischofsstadt [[w:Gerasa|Gerasa]]. Im Sommer 635 fiel bereits [[w:Damaskus|Damaskus]] und bald danach Emesa, das heutige [[w:Homs|Homs]]. Der byzantinische Versuch, Syrien zurückzuerobern, scheiterte. Im August 636 brachten die Araber den neu zusammengezogenen byzantinischen Truppen am [[w:Jarmuk|Yarmūk]], einem linken Nebenfluss des Jordan, der heute die Grenze zwischen Syrien und Jordanien bildet, erneut eine [[w:Schlacht am Jarmuk|Niederlage]] bei und zwangen sie so endgültig zum Rückzug aus Syrien. Als 638 [[w:Jerusalem|Jerusalem]] eingenommen wurde, reiste ʿUmar selber an, um die Stadt für die Muslime in Besitz zu nehmen. 640 folgte noch die Einnahme des Seehafens [[w:Caesarea Maritima|Caesarea]]. Damit endete die byzantinische Herrschaft auch in Palästina. # Irak. Im Herbst 634 sandte ʿUmar ein Heer zum Kampf gegen die Perser in den Irak aus. Im Süden nahm noch vor 635 der frühe Prophetengefährte ʿUtba ibn Ghazwān mit seinen Kämpfern das Mündungsgebiet von Euphrat und Tigris mit der bedeutenden Hafenstadt [[w:Apologos|al-Ubulla]] ein. Weiter nördlich erlitten die arabischen Kämpfer zunächst in der sogenannten [[w:Schlacht an der Brücke|Schlacht an der Brücke]] eine schwere Niederlage, konnten aber dann in der [[w:Schlacht von al-Qādisīya|Schlacht von al-Qādisīya]] (zwischen 635 und 638) über die persische Armee siegen. Der seit 632 herrschende Sassanide [[w:Yazdegerd III.|Yazdegerd III.]] überließ daraufhin den arabischen Truppen den Irak, gab seine Hauptstadt Ktesiphon auf und zog mit seinem Hofstaat nach Osten ab. Der Sieg von al-Qādisīya war für die Muslime ein ähnlich großer Triumpf wie der Sieg über die heidnischen Mekkaner bei der Schlacht von Badr im Jahre 624. Viele glaubten, dass sie den Sieg über die Perser nur der Hilfe Gottes verdankten. Einige von ihnen waren sogar der Meinung, dass [[w:al-Chidr|al-Chidr]], „der Grüne“, eine engelartige Gestalt, die aber nicht den Engeln zugerechnet wird, bei der Schlacht auf Seiten der Muslime mitgekämpft hatte. [[File:Mohammad adil-Muslim conquest of Egypt.PNG|mini|[[w:Arabische_Eroberung_%C3%84gyptens#Islamische_Eroberung_%C3%84gyptens|Die muslimische Eroberung Ägyptens]], 639-640.]] # <li value="3">Ägypten. ʿAmr ibn al-ʿĀs fiel 639 in einem fast privat zu nennenden Unternehmen in Ägypten ein. Nach Eroberung der in der Nähe des heutigen Kairo gelegenen byzantinischen Festung Babylon im April 641 konnte er das [[w:Nildelta|Nildelta]] mit seinem Heer nahezu ohne Widerstand einnehmen. 642 erfolgte die Eroberung Alexandriens, 643 die Einnahme von [[w:Barke (Libyen)|Barqa]] auf dem Gebiet des heutigen Libyen.</li> # Nordmesopotamien. Dieses Gebiet, das auch als die [[w:Dschazīra|Dschazīra]] (wörtl. „Insel“, nämlich zw. [[w:Euphrat|Euphrat]] und [[w:Tigris|Tigris]]) bekannt ist, wurde zwischen 639 und 641 von Nordsyrien aus durch ʿIyād ibn Ghanm erobert, wobei dieser auch schon Vorstöße nach Armenien unternahm. Zur Kontrolle der eroberten Gebiete und als Ausgangsbasis für weitere Eroberungen wurden an mehreren Orten arabische Garnisonen stationiert. In Syrien waren das bereits bestehende Orte, [[w:al-Dschābiya|al-Dschābiya]], die ehemalige Residenz der [[w:Ghassaniden|ghassānidischen]] Fürsten, und Homs. In den anderen Ländern wurden neue Lagerstädte gegründet, in denen die arabischen Krieger stammes- und clanweise auf verschiedene Parzellen verteilt und jeweils Moscheen nach dem Vorbild der Prophetenmoschee in Medina errichtet wurden. Die wichtigsten dieser [[w:Misr|Misr]] genannten Lagerstädte waren [[w:Basra|Basra]] und [[w:Kufa|Kufa]] im Irak, beide 638 gegründet, [[w:Mossul|Mossul]] in Nordmesopotamien, 641 gegründet, und [[w:Fustāt|al-Fustāt]] in Ägypten, das 643 direkt neben der alten byzantinischen Festung Babylon angelegt wurde. Diese Lagerstädte bildeten fortan die Zentren arabisch-islamischen Lebens in den eroberten Gebieten. Von Basra und Kufa aus unternahmen arabische Heerführer in den späten 630er Jahren Vorstöße nach Persien. Zwischen 637 und 640 unterwarfen sie [[w:Chusistan|Chusistan]] im Südwesten des heutigen Iran. Nach der [[w:Schlacht bei Nehawand|Schlacht bei Nihāwand]] im westiranischen [[w:Zāgros-Gebirge|Zagros-Gebirge]], bei der die Araber den sassanidischen Truppen eine weitere Niederlage bereiteten, stand ihnen das persische Hochland offen. Von Nihāwand aus zogen sie weiter nordwärts und machten das Gebiet von [[w:Aserbaidschan (Iran)|Aserbaidschan]] tributpflichtig. 644 konnten sie außerdem die Stadt [[w:Isfahan|Isfahan]] erobern. Der Sassanidenherrscher Yazdegird III. floh derweil weiter nach Osten. === 4.3.2. Faktoren, die die schnelle Expansion des islamischen Staates begünstigten === Mit seinen Eroberungen und Städtegründungen schuf ʿUmar wichtige Grundlagen für die sich später herausbildende islamische Zivilisation. Wie aber erklärt sich, dass die Eroberungen so schnell vorangetrieben werden konnten? Verschiedene Faktoren lassen sich als Gründe anführen: # Der der islamischen Eroberung vorausgehende Streit zwischen Oströmischem Reich und Sassanidischem Reich um die Vorherrschaft über den Vorderen Orient, der zu Lebzeiten Muhammads zu einem heftigen militärischen Schlagabtausch geführt hatte, hatte die beiden Reiche stark geschwächt. # Ein weiterer wichtiger Faktor in Syrien, Palästina und Ägypten war die fehlende Loyalität der Untertanen ihren ehemaligen Oberherren gegenüber. Diese Länder waren erst kurz vor der islamischen Eroberung wieder unter byzantinische Kontrolle gekommen. Weitaus die meisten Bewohner waren [[w:Monophysitismus|monophysitische]] Christen, für die die herrschende [[w:Konzil von Chalcedon|chalkedonische]] (griechisch-orthodoxe) byzantinische Reichskirche ein bedrückender Gegner war. Auch die syrischen Juden waren den neuen Herren freundlich gesinnt, denn die Byzantiner hatten sie jahrhundertelang verfolgt und ihnen den Zugang zur Stadt Jerusalem verwehrt. Im Zuge der islamischen Eroberung Jerusalems wurde der [[w:Tempelberg|Tempelberg]], der über Jahrhunderte nur eine Schutthalde war, als Heiligtum reaktiviert. Als ʿUmar ibn al-Chattāb 638 Jerusalem für die Muslime in Besitz nahm, wurde er von [[w:Kaʿb al-Ahbār|Kaʿb al-Ahbār]], einem zum Islam übergetretenen Juden aus dem Jemen begleitet. Er deutete dieses Ereignis propagandistisch als Erfüllung biblischer Prophetien. Diese Deutungen fielen bei den Juden Syriens offenbar auf fruchtbaren Boden. Sie betrachteten ʿUmar als einen messianischen Herrscher. Der in diesem Zusammenhang verwendete syrisch-aramäische Begriff ''pārōqā'' („Erlöser“) wurde in seiner arabischen Form ''fārūq'' zum allgemein üblichen Beinamen ʿUmars. # Die von den Arabern praktizierte vertragliche Regelung des Herrschaftswechsels brachte den Unterworfenen keine erheblichen Nachteile und führte zu einer „günstige(n) Konstellation konvergierender Interessen“ ([[w:Albrecht Noth|A. Noth]]), die als einer der Hauptgründe für den Erfolg der militärischen Anstrengungen der Araber gelten darf. Wie es im spätantiken Orient üblich war, gewährten die Araber den Bewohnern von Städten, die sich freiwillig ihrer Herrschaft unterwarfen, eine Sicherheitsgarantie. Sie wird in den arabischen Quellen als ''amān'' bezeichnet. Darüber hinaus wurde den Ahl al-kitāb, den Anhängern der monotheistischen Buchreligionen, neben dem Schutz ihres Lebens und Besitzes auch die freie Ausübung ihrer Religion und der Besitz ihrer Kultstätten und -gegenstände garantiert. Dieser Schutz hieß [[w:Dhimma|Dhimma]] und war eine einklagbare Verpflichtung des islamischen Staates gegenüber seinen nichtmuslimischen Untertanen; der einzelne Schutzbürger hieß Dhimmī. Seine Gegenleistung war die Dschizya, zur Zeit der Eroberung wohl als Pauschale der eroberten Stadt zu entrichten. Die in dieser Zeit mit unterworfenen Städten geschlossenen Verträge galten in der gesamten vormodernen Zeit als Modell für die Regelung des Verhältnisses zwischen islamischem Staat und nicht-muslimischen Untertanen. === 4.3.3. Organisation von Staat und Religion === [[File:Kabah Old Picture - panoramio.jpg|mini|Die Verhüllung der Kaaba mit einer neuen [[w:Kiswa|Kiswa]] ist seit ʿUmar ein bedeutendes Symbol islamischer Herrschaft.]] Zur Sicherung der Einkommen der Kämpfer und Gefährten Muhammads führte ʿUmar 641 ein Zentralregister ([[w:Diwan (Verwaltung)|Dīwān]]) ein, in dem die Zahlungen eingetragen wurden, die der Staat regelmäßig jedem zukommen ließ. Wichtigstes Kriterium für die Stellung in dem Register war die Position zum Islam. Deshalb stand an der Spitze mit den höchsten Zuwendungen der Clan, aus dem der Prophet hervorgegangen war, die [[w:Banū Hāschim|Banū Hāschim]]. Diesem Kreis schlossen sich die weiteren Verwandten an, dann kamen die Ansār aus Medina, die [[w:Schlacht von Badr|Badr]]-Kämpfer und die [[w:Schlacht von Uhud|Uhud]]-Überlebenden, schließlich die in Syrien und Irak eingesetzten Stammeskrieger. Auf diese Weise wurde eine feste Besoldung entwickelt, die ʿUmar aus den drei wichtigsten Staatseinnahmen finanzieren konnte. Dazu zählten die Dschizya, die Zakāt und die Bodensteuer (''ḫarāǧ''). Zur Verwaltung der Ausgaben und Einnahmen wurde eine Staatskasse (''bait al-māl'') eingerichtet. Die Heerführer, die in den verschiedenen Ländern auf Posten lagen, wie ʿAmr ibn al-ʿĀs im neueroberten Ägypten, wurden dazu aufgefordert, die Hälfte ihrer Einkünfte in diese Staatskasse einzuzahlen. ʿUmar setzte den Koranlesern (''qurrāʾ'') [[w:Dotation|Dotationen]] aus und setzte in verschiedenen Städten des Reiches Beamte mit dem Titel eines [[w:Qādī|Qādī]] ein. Der Begriff ''Qādī'' wird heute üblicherweise mit „Richter“ übersetzt, allerdings waren in dieser Zeit mit diesem Amt noch zahlreiche andere administrative und hoheitliche Aufgaben verbunden, wie zum Beispiel die Leitung des [[w:Freitagsgebet|Freitagsgebets]]. <div style="background: #fff; border-width: 1px 3px 3px 1px; text-align: center; padding-top:3px; float:{{{float|left}}}; font-size: smaller; line-height: 1.3; margin-left:1em; margin-right: 4px; width: 15em"> '''Heutiges Datum nach <br /> Hidschrī-Zeitrechnung''': ---- {{#timel:xmj.}} {{#switch:{{{1|{{#timel:xmn}}}}}|1=Muharram|2=Safar|3=Rabīʿ I|4=Rabīʿ II|5=Dschumādā I|6=Dschumādā II|7=Radschab|8=Schaʿbān|9=Ramadān|10=Schauwāl|11=Dhū l-Qaʿda|12=Dhū l-Hiddscha}} {{#timel:xmY}}<br /><small>(= {{#timel:j. F}} {{#timel:Y}}) <br /><nowiki>[</nowiki><span class="plainlinks">[{{fullurl:{{FULLPAGENAME}}|action=purge}} aktualisieren]</span><nowiki>]</nowiki></small> </div> Von großer Bedeutung war des Weiteren, dass ʿUmar im Jahre 638 eine neue Zeitrechnung einführte. Anlass dafür waren Streitigkeiten in Armeeteilen über Datierungsfragen. Als erstes Jahr der neuen Zeitrechnung wurde das Jahr der [[w:Hidschra|Hidschra]] des Propheten von Mekka nach Medina festgelegt, das am 16. Juli 622 begann. Damit wurde eine wichtige staatliche Maßnahme zur Vereinheitlichung getroffen. Diese [[w:Hidschrī-Jahreszählung|Hidschrī-Zeitrechnung]] hat sich im Laufe der Zeit im islamischen Herrschaftsbereich immer mehr durchgesetzt und gilt bis heute in vielen islamischen Ländern als eine der offiziellen Zeitrechnungen bzw. sogar die offizielle Zeitrechnung. Weiterhin ist bekannt, dass sich ʿUmar bei der Regierung sehr stark auf das koranische Prinzip der Konsultation ([[w:Schūrā|Schūrā]]) stützte. Zwar hörte er gelegentlich auch den Rat anderer Kreise, doch beschränkte er sich bei der Konsultation üblicherweise auf die verdienten mekkanischen Prophetengefährten. Zahlreiche Berichte beschreiben, wie er deren Meinung über wichtige politische und rechtliche Fragen einholte. Ein solches Gremium von verdienten mekkanischen Prophetengefährten trat auch nach ʿUmars Tod zusammen, um seinen Nachfolger zu wählen. [[File:Prière de Tarawih dans la Grande Mosquée de Kairouan. Ramadan 2012.jpg|mini|Die [[w:Tarāwīh|Tarāwīh]]-Gebete sind bis heute ein wichtiges Ritual im Bereich des [[w:Sunniten|sunnitischen]] Islams]] Auf religiöser Ebene war von wegweisender Bedeutung, dass ʿUmar während seiner Herrschaft die Stoff-Bekleidung ([[w:Kiswa|Kiswa]]) der Kaaba auf Kosten des Staatshaushalts erneuern ließ. Damit wurde dieses ursprünglich heidnische Ritual zu einem wichtigen Herrschaftssymbol im islamischen Staat. Der Ort für das Gebet an der Kaaba wurde durch einen Stein markiert, der entsprechend dem im Koran ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/125 Q 2:125]) genannten „Standplatz Abrahams“ als [[w:Maqām Ibrāhīm|Maqām Ibrāhīm]] bezeichnet wurde. Den Platz um die Kaaba ließ ʿUmar erweitern und mit einer Mauer versehen, womit er die Grundlage der [[w:al-Harām-Moschee|al-Harām-Moschee]] als eines selbständigen Gebäudes legte. Als neue gottesdienstliche Übung im Ramadān führte ʿUmar die nächtlichen [[w:Tarāwīh|Tarāwīh]]-Gebete ein, bei denen zwischen einer großen Zahl von Gebetszyklen immer wieder längere Pausen (''tarāwīḥ'') eingeschoben werden. Während ʿUmars Kalifat wurden auch im Bereich der Geschlechterordnung wichtige Veränderungen vorgenommen, die als Normen bis heute fortwirken. So führte ʿUmar als Bestrafung für außerehelichen Geschlechtsverkehr ([[w:Zinā|Zinā]]) bei bereits verheirateten Personen den Tod durch Steinigung ein. Der Koran sieht bei diesem Vergehen ohne Ansehen der Person als Strafe nur hundert Peitschenhiebe und Ausschluss aus dem Heiratssystem vor ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/24/vers/2 Q 24:2f]). ʿUmar berief sich bei dieser Maßnahme auf den sogenannten [[w:Steinigungsvers|Steinigungsvers]], der seiner Auffassung nach ursprünglich im Koran gestanden hatte, dann aber daraus gestrichen worden war. Das aus dem alten Arabien übernommene Rechtsinstitut der zeitlich begrenzten Genussehe ([[w:Mutʿa-Ehe|Mutʿa]]), auf das zu dieser Zeit noch viele Muslime zurückgriffen, wenn sie kurze sexuelle Beziehungen eingehen wollten, wurde von ʿUmar verboten. Außerdem verschärfte ʿUmar die Regeln für die [[w:Talāq|Verstoßung]] von Ehefrauen: Während nämlich vorher die Ehe erst dann beendet war, wenn der Ehemann die Verstoßungsformel in drei unterschiedlichen Monatsperioden ausgesprochen hatte, galt dies nun auch dann, wenn der Mann sie drei Mal direkt nacheinander ausgesprochen hatte. === 4.3.4. Die Vielgestaltigkeit des Korantextes === Ein bekannter Bericht besagt, dass ʿUmar noch während Abū Bakrs Kalifat von der Tatsache beunruhigt gewesen sei, dass in der Schlacht gegen Musailima viele ''qurrāʾ'' getötet worden waren. Die ''qurrāʾ'', d.h. Koranleser, waren jene, die den Koran auswendig kannten. Aus Furcht, dass infolge solcher Verluste schließlich auch die Kenntnis des heiligen Textes verloren gehen könnte, riet er Abū Bakr, eine Sammlung des Korans erstellen zu lassen. Mit diesem Unternehmen wurde [[w:Zaid ibn Thābit|Zaid ibn Thābit]], einer von Muhammads Sekretären (vgl. oben [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 03#3.2.5. Der allmähliche Machtzuwachs des Propheten|3.2.5.]]), beauftragt. Zaid schrieb nieder, was er auf Blättern (''ṣuḥuf'') gesammelt hatte, und übergab dies Abū Bakr. Es gibt allerdings keine Belege dafür, dass diese „Sammlung“ irgendwo als autoritativ akzeptiert wurde. ʿUmar befand sich aber wohl zu Beginn seines Kalifats im Besitz dieser Sammlung. Außer dieser Sammlung ʿUmars gab es zu seiner Zeit noch eine Anzahl anderer Kodizes, von denen die vier berühmtesten diejenigen von [[w:Ubaiy ibn Kaʿb|Ubaiy ibn Kaʿb]], [[w:ʿAbdallāh ibn Masʿūd|ʿAbdallāh ibn Masʿūd]], Miqdād ibn Aswad und [[w:Abū Mūsā al-Aschʿarī|Abū Mūsā al-Aschʿarī]] waren. Ubaiy war wie Zaid ibn Thābit Sekretär des Propheten gewesen und hatte schon zu seinen Lebzeiten Mitschriften seiner Verkündigungen angefertigt (vgl. oben [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 03#3.2.5. Der allmähliche Machtzuwachs des Propheten|3.2.5.]]). ʿAbdallāh ibn Masʿūd und Miqdād ibn Aswad, die Muslime der ersten Stunde waren, hatten den Koran dagegen nur mündlich memoriert. Miqdād war während der Zeit von ʿUmar in Syrien stationiert, ʿAbdallāh ibn Masʿūd wurde von ʿUmar 642 als Qādī nach Kufa geschickt. Der Jemenit Abū Mūsā al-Aschʿarī, der sich dem Propheten erst 628 angeschlossen hatte, wurde 638 von ʿUmar zum Statthalter von Basra ernannt. Was die Verbreitung der von diesen Männern erstellten Kodizes anlangt, so hielten sich die Dasmaszener an die Lesart des Ubaiy, die Kufier an die des Ibn Masʿūd, die Basrier an die des Abū Mūsā und die Bewohner von Homs an diejenige des Miqdād. Dass die Ausgaben des Ibn Masʿūd und Abū Mūsā in Kufa bzw. Basra solches Ansehen erreichten, hängt sicherlich damit zusammen, dass die beiden Männer dort als staatliche Funktionsträger tätig waren. Die Verwendung der Sammlung von Ubaiy, der sich selbst in Medina aufhielt, in Damaskus deutet dagegen darauf hin, dass diese Sammlung zu dieser Zeit eine überregionale Bedeutung erhalten hatte. Die Zulässigkeit all dieser verschiedenen Versionen des Korantextes wurde mit Berichten begründet, wonach der Prophet zu Lebzeiten Gefährten, die über die Unterschiedlichkeit der im Umlauf befindlichen Versionen des Korantexts besorgt, selbst damit beruhigt habe, dass der Koran in sieben Varianten (''ʿalā sabʿati aḥruf'') offenbart worden sei. Bei der Verbreitung dieser Berichte nahm Ubaiy eine Schlüsselrolle ein. Die textlichen Unterschiede zwischen den verschiedenen Versionen waren zum Teil beträchtlich. So war zum zum Beispiel in [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/3/vers/19 Sure 3:19] in der Sammlung Ibn Masʿūds als Name für die Religion nicht Islam, sondern ''Hanīfīya'' angegeben. == 4.4. ʿUthmān ibn ʿAffān (644-656) - „Stellvertreter Gottes“ == === 4.4.1. Nepotismus und Selbstbereicherung der Umaiyaden === Nach dem Tod von ʿUmar trat das von ihm gebildete Konsulativgremium verdienter Prophetengefährten zusammen, um seinen Nachfolger zu wählen. Ihm gehörten sechs Männer an: [[w:ʿUthmān ibn ʿAffān|ʿUthmān ibn ʿAffān]], ʿAlī ibn Abī Tālib, [[w:ʿAbd ar-Rahmān ibn ʿAuf|ʿAbd ar-Rahmān ibn ʿAuf]], [[w:Talha ibn ʿUbaidallāh|Talha ibn ʿUbaidallāh]], [[w:az-Zubair ibn al-ʿAuwām|az-Zubair ibn al-ʿAuwām]] und [[w:Saʿd ibn Abī Waqqās|Saʿd ibn Abī Waqqās]]. Von den genannten Personen hegten allein ʿAlī und ʿUthmān Ambitionen auf die Nachfolge. ʿAbd ar-Rahmān verzichtete auf die Kandidatur unter der Bedingung, dass ihm im Falle der Uneinigkeit die Aufgabe des Schiedsrichters übertragen würde. Da Saʿd für ʿAlī votierte und az-Zubair für ʿUthmān, Talha aber abwesend war, kam ʿAbd ar-Rahmān als Schiedsrichter zum Einsatz. Er entschied sich nach Beratungen mit den Häuptern der quraischitischen Clane für ʿUthmān, wodurch dieser zum neuen Kalifen wurde. ʿUthmān gehörte den [[w:Umayyaden|Umaiyaden]], einer Familie der ʿAbd Schams, an. Bei der endgültigen Einigung auf ʿUthmān war wahrscheinlich dieser ''nasab'' letztlich ausschlaggebend. In jedem Fall kündigt sich mit der Erhebung des Umaiyaden ʿUthmān die wenig später erfolgte Etablierung der ersten islamischen Dynastie, die sich eben aus der Umaiya-Familie rekrutierte, bereits an. {{Anker|Marwan}} Schon kurz nach seiner Amtseinführung setzte ʿUthmān Verwandte in zentrale Statthalterposten ein. Syrien befand sich ohnehin schon seit ʿUmar in der Hand des Umaiyaden [[w:Muʿāwiya_I.|Muʿāwiya ibn Abī Sufyān]]. Er war der Sohn von Muhammads ehemaligen Gegner [[w:Abū Sufyān ibn Harb|Abū Sufyān ibn Harb]]. Aber auch in Kufa und Ägypten wurden jetzt Umaiyaden als Gouverneure eingesetzt. Saʿd ibn Abī Waqqās, der Gründer von Kufa, musste ʿUthmāns Verwandten, Walīd ibn ʿUqba, weichen. ʿAmr ibn al-ʿĀs, der Eroberer Ägyptens, der noch im Jahre 645 einen byzantinischen Versuch, Ägypten wiederzuerobern, erfolgreich abwehren konnte, wurde als Gouverneur durch [[w:ʿAbdallāh ibn Saʿd|ʿAbdallāh ibn Abī Sarh]], einen Vetter ʿUthmāns mit zweifelhafter Vergangenheit (vgl. oben [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 03#3.2.3. Andere Gegner Muhammads|3.2.3.]]), ersetzt. Als es im Jahre 649/50 zu Beschwerden über den Statthalter von Basra, Abū Mūsā al-Aschʿarī, kam, wurde auch diese Posten noch mit einem Umaiyaden, nämlich ʿAbdallāh ibn ʿĀmir, besetzt. Zum engsten Berater des Kalifen stieg [[w:Marwan I.|Marwān ibn al-Hakam]] auf, ebenfalls ein Umaiyade. Diese [[w:Vetternwirtschaft|nepotistische]] Politik führte zu einer Entfremdung zwischen dem Kalifen und dem Gremium von Prophetengefährten, die ihn in dieses Amt gewählt hatten. [[File:Mohammad adil-Rashidun-empire-at-its-peak-close.PNG|mini|Die Ausdehnung des islamischen Reiches gegen Ende von ʿUthmāns Kalifat]] Dennoch konnten die Eroberungszüge unter ʿUthmān und seinen Gouverneuren erfolgreich fortgesetzt werden. Muʿāwiya hatte schon 642 von Damaskus aus den Heerführer Habīb ibn Maslama zum Kampf in den [[w:Kaukasus|Kaukasus]] entsandt. Er konnte 645 die georgische Hauptstadt [[w:Tiflis|Tiflis]] einnehmen und bis 652 Armenien unterwerfen. Außerdem baute Muʿāwiya in den syrischen Hafenstädten eine Flotte auf, besetzte 649 [[w:Zypern|Zypern]] und drängte Byzanz aus dem östlichen Mittelmeer zurück. ʿAbdallāh ibn Abī Sarh unternahm von [[w:Fustāt|al-Fustāt]] aus Expeditionen an der nordafrikanischen Küste entlang in Richtung Westen und eroberte 647 [[w:Tripolitanien|Tripolitanien]]. 652 unterwarf er außerdem [[w:Oberägypten|Oberägypten]] und brachte das Königreich [[w:Nubien|Nubien]] in ein Tributverhältnis zum islamischen Staat. Zur Kontrolle der nubischen Tributzahlungen wurde in der Stadt Syene (heute [[w:Assuan|Assuan]]) eine Militärgarnison stationiert. ʿAbdallāh ibn ʿĀmir vollendete 650 mit der Einnahme von [[w:Persepolis|Persepolis]] die Eroberung der [[w:Persis|Persis]] ([[w:Fars|Fārs]]) und besetzte 651/2 die sassanidische Nordostprovinz [[w:Chorasan|Chorasan]] mit den Städten [[w:Nischapur|Nischapur]], [[w:Merw|Merw]], [[w:Balch|Balch]] und [[w:Herat|Herat]]. Im gleichen Jahr fiel der Sassaniden-Herrscher [[w:Yazdegerd_III.|Yazdegerd III.]] in Merw einem Mordanschlag zum Opfer, womit die Sassaniden-Dynastie endgültig erlosch. ʿUthmān machte sich allerdings dadurch unbeliebt, dass er einen Teil der bei den Futūh eroberten Ländereien, die nach Vorstellung der Kämpfer der Gemeinschaft der Muslime insgesamt gehörten, unter Berufung auf den im Koran beschriebenen „Fünft“ (''ḫums'', vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/8/vers/41 Q 8:41]) zurückhielt und unter seinen Gouverneuren und Verwandten als Landgüter (''qaṭāʾiʿ'') verteilte. Auch verschiedene Prophetengefährten wie etwa Talha wurden großzügig mit Landschenkungen bedacht. Einer von ʿUthmāns Verwandten, der im Irak als Gouverneur eingesetzt war, verstieg sich zu der Aussage, dass das Fruchtland des Irak, der sogenannte ''sawād'', „Garten der Quraisch“ geworden sei, also gewissermaßen Eigentum dieses Stammes. Auch ʿAbdallāh ibn Abī Sarh, ʿUthmāns Gouverneur in Ägypten, tat sich durch gesteigerte Ausbeutungsmethoden negativ hervor. Mit den so erlangten Mitteln erbaute er sich in Ägypten einen prächtigen Palast. Allein diese Haltung bedeutete, wenn man ʿUmars Anweisungen hinsichtlich der Bauaktivität zum Vergleich heranzieht, eine bedenkliche Veränderung. Im Gegensatz zu seinen Vorgängern erhob ʿUthmān auch Anspruch auf göttliche Autorisierung. Er bezeichnete sich in seinen Urkunden nicht mehr als Stellvertreter des Gottesgesandten (''ḫalīfat rasūl Allāh''), sondern direkt als Stellvertreter Gottes (''ḫalīfat Allāh''). Damit stellte er sich in die Nachfolge des Königs [[w:David|David]], von dem Gott im Koran ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/38/vers/26 38:26]) sagt, dass Er ihn als Stellvertreter auf Erden eingesetzt habe, damit er zwischen den Menschen nach der Wahrheit richte. Dieses Modell des Kalifats übernahmen später fast alle anderen Herrscher, die diesen Titel für sich beanspruchten. === 4.4.2. Die Erstellung einer offiziellen Koranausgabe === [[File:The ‘Uthman Qur'an - Kufic.jpg|mini|links|Ausschnitt aus einem Korantext, der auf ʿUthmān zurückgeführt wird. [[w:Diakritisches Zeichen|Diakritische Zeichen]] fehlen.]] Unter dem Kalifat ʿUthmāns wurde eine erste offizielle Koranausgabe erstellt. Die islamische Tradition besagt, dass zu dieser Zeit, insbesondere während der Kriegszüge nach Armenien und Aserbaidschan, also im Jahre 652, Männer aus Syrien und dem Irak über die verschiedenen Lesarten des Korans in Streit gerieten. Als der General Hudhaifa von der Expedition zurückgekehrt war, trug er die Sache dem Kalifen vor, und der Kalif beschloss, eine Kommission einzusetzen, die einen offiziellen Korantext festlegen sollte. Mit dieser Aufgabe wurde erneut Zaid ibn Thābit betraut, wobei ihm jedoch drei Muslime aus Mekka zur Seite gestellt wurden. Die Kommissionsmitglieder wurden angewiesen, sich dort, wo es irgendeine sprachliche Schwierigkeit bei der Lesung gab, an den Dialekt der Quraisch von Mekka zu halten. Zaid und seinen Mitarbeiter händigte man für ihre Arbeit die Blätter (''ṣuḥuf'') ʿUmars aus, die bei seinem Tod an seine Tochter [[w:Hafsa bint ʿUmar|Hafsa]] gegangen war. Mit dieser Version verglichen sie alle Koranfragmente, die sie finden konnten, und fügten an passenden Stellen alle ausgelassenen Verse ein. Ziel ihrer Bemühungen war die Festlegung eines autoritativen Textes des Korans. Davon wurden dann Kopien angefertigt und in die wichtigsten Städte des islamischen Reiches (Damaskus, Kufa, Basra und wahrscheinlich auch Mekka) geschickt. Es heißt, dass ʿUthmān die anderen Korankodizes vernichten ließ. In Wirklichkeit wurde aber keine völlige Vertilgung der anderen Niederschriften erreicht. ʿAbdallāh ibn Masʿūd zum Beispiel weigerte sich erfolgreich, seinen Korankodex herauszugeben. Von den anderen Korankodizes wich die neu erstellte offizielle Koranausgabe in mehreren Punkten ab. So enthält sie am Anfang und Ende Gebete, die in anderen Korankodizes fehlten. Sie bilden die erste Sure, die [[w:al-Fātiha|Fātiha]], und die beiden letzten mit ''aʿūḏu bi-rabbi'' („Ich nehme Zuflucht beim Herrn...“) eingeleiteten Suren [[w:Sure 113|Sure 113]] und [[w:Sure 114|114]], die [[w:Apotropaion|apotropäische]] Funktion haben. Die Fātiha ist ein Eröffnungsgebet, das für den Gottesdienst der Muslime sehr große Bedeutung hat und deswegen auch mit dem christlichen [[w:Vaterunser|Vaterunser]] verglichen worden ist. Sein Text lautet: [[Datei:FirstSurahKoran.jpg|mini|hochkant|Kalligraphisch gestaltete Fātiha in arabischer Schrift, {{Audio|Surah Al fatiha104.ogg|Die Fātiha zum Anhören}}]] <poem lang="nl" style="margin-left:2em; float:left;"> ''Bi-smi Llāhi r-raḥmāni r-raḥīm'' ''al-ḥamdu li-Llāhi rabbi l-ʿālamīn'' ''ar-raḥmāni r-raḥīm'' ''māliki yaumi d-dīn'' ''īyāka naʿbudu wa-īyāka nastaʿīn'' ''ihdī-nā ṣ-ṣirāta l-mustaqīm'' ''ṣirāta llaḏīna anʿamta ʿalai-him'' ''ġairi l-maġḍūbi ʿalai-him wa-lā ḍ-ḍāllīn'' </poem> <poem style="margin-left:2em; float:left;"> Im Namen Gottes, des barmherzigen Erbarmers, Lob sei Gott, dem Herrn der Welten, dem barmherzigen Erbarmer, dem König des Gerichtstags. Dir dienen wir, dich rufen wir um Hilfe an. Führe uns den rechten Weg, den Weg derer, denen du Huld erwiesen hast, nicht derer, denen du zürnst und nicht derer, die irregehen. </poem> <div style="clear:left;"></div> Von großer Bedeutung war eine Differenz in [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/24 Sure 4:24]. In dem Passus, in dem den Männern erlaubt wird, sich mit ihrem Vermögen über ihre gewöhnlichen Ehefrauen hinaus sonstige Frauen zu verschaffen, wenn sie ihnen nach dem erfahrenen Genuss ihren Lohn geben, stand sowohl in dem Kodex von ʿAbdallāh ibn Masʿūd als auch in demjenigen von Ubaiy ibn Kaʿb der Ausdruck ''ilā aǧal musammā'' („bis zur genannten Zeit“). Daraus leiteten mehrere [[w:Sahāba|Prophetengefährten]] ab, dass zeitlich begrenzte Ehen zum Zweck des sexuellen Genusses ([[w:Mutʿa-Ehe|Mutʿa]]) trotz des Verbotes durch ʿUmar weiterhin erlaubt seien. In dem Korantext von ʿUthmān, der Grundlage aller späteren Koranausgaben ist, fehlt dieser Ausdruck. === 4.4.3. Die Entstehung einer religiös-politischen Opposition === Gegen die neu eingetretenen Umstände, Haltungen und Denkweisen in den aristokratischen Führungskreisen des Reiches bildete sich in Syrien und im Irak eine religiös-politische Oppositionsbewegung, die vor allem von Frommen, die zu Muhammads frühen Anhängern gehört hatten, getragen wurde. Einer der bekanntesten Vertreter dieser Bewegung war [[w:Abū Dharr al-Ghifārī|Abū Dharr al-Ghifārī]], der aufgrund seines frühen Beitritts zum Islam und seiner Meriten als Kämpfer eine hohe Stellung in der islamischen Gemeinde hatte. Als ʿUthmān nach den Eroberungszügen von 647 in Tripolitanien einen Großteil des erbeuteten Vermögens an Verwandte und seinen Sekretär Zaid ibn Thābit gab, predigte Abū Dharr gegen diejenigen, die „Geld anhäufen“, wobei er sich auf das Koranwort von Sure [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/34 9:34] bezog: „Wer aber Gold und Silber hortet und es nicht für die Sache Gottes ausgibt, denen verkünde schmerzhafte Strafe.“ ʿUthmān verbannte ihn daraufhin nach Syrien, wo Abū Dharr aber weitere Auseinandersetzungen mit dem dortigen umaiyadischen Statthalter Muʿāwiya hatte. Abū Dharr warf ihm vor, die ihm anvertrauten Gelder der Muslime zu veruntreuen, und forderte bei Predigten die Reichen dazu auf, die Armen zu unterstützen. Offensichtlich fand Abū Dharrs Bestreben ein beachtliches Echo unter den Armen in Syrien, denn diese versuchten daraufhin, die Reichen zu entsprechenden Handlungen zu zwingen. Als es zu Beschwerden bei Muʿāwiya kam, wandte sich dieser schriftlich an ʿUthmān und meldete ihm, dass Abū Dharr die Menschen in Syrien gegen ihn aufhetze. ʿUthmān ließ den angeblichen Aufrührer hierauf nach Medina kommen und zog seine Hinrichtung in Erwägung, nahm jedoch auf Anraten von ʿAlī ibn Abī Tālib davon Abstand. Der Kalif schickte ihn schließlich in eine Art Verbannung nach Rabdha, einem Dorf der Umgebung, wo er in Armut und Zurückgezogenheit um das Jahr 652 verstarb. Das harte Vorgehen gegen diesen populären Prophetengefährten schadete ʿUthmāns Ansehen stark. Auch in den Lagern Kufa und Basra, die durch Einwanderung von Stammesangehörigen der arabischen Halbinsel mittlerweile zu bedeutenden Siedlungen herangewachsen waren, regte sich Widerstand gegen ʿUthmān. In Kufa kritisierte ʿAbdallāh Ibn Masʿūd schon 650 den neuen Gouverneur, dessen heidnisches Gebaren ihn verstörte. 651 kam es zum Bruch mit ʿUthmān. Ibn Masʿūd fiel in Ungnade, unter Umständen, die nicht klar sind. Eine öffentliche Szene folgte, bei der er vom Kalifen misshandelt wurde. Ein Grund für diese Konfrontation mag die Auseinandersetzung um Ibn Masʿūds Korankodex (''muṣḥaf'') gewesen sein. Ibn Masʿūd zufolge war der [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/5/vers/67 Vers 5:67] zur Zeit des Propheten mit einem explizit auf ʿAlī bezogenen Zusatz versehen gewesen. Das deutet auf eine große Loyalität Ibn Masʿūds gegenüber ʿAlī und seiner Familie hin. === 4.4.4. ʿUthmāns Ermordung === [[File:Rebellions against Uthman & the Kharijite Origins.png|mini|Die Orte, von denen aus die Unzufriedenen nach Medina zogen.]] In den letzten Jahren des Kalifats von ʿUthmān wurden die Beschwerden gegen ihn immer lauter, und es entstand eine regelrechte Protestbewegung. Nach dem Bericht [[w:at-Tabarī|at-Tabarī]]s war es ein Mann namens [[w:ʿAbdallāh ibn Saba'|ʿAbdallāh ibn Saba']], der sie von Ägypten aus koordinierte. Er stellte ʿUthmān als Usurpator dar und propagierte, dass allein ʿAlī als Mohammeds Bevollmächtigter (''waṣī'') zur Herrschaft über die [[w:Umma|Umma]] befugt sei. Im Frühjahr 656 zogen große Gruppen Unzufriedener aus Ägypten, Basra und Kufa nach Medina, führten beim Kalifen über verschiedene Dinge Klage und verlangten seine Absetzung. ʿUthmān, der ihre Forderungen für unberechtigt hielt, bequemte sich schließlich zu Verhandlungen und sagte zu, ihre Beschwerden zu prüfen. Die Unzufriedenen wurden dadurch zunächst weitgehend beruhigt und traten den Heimweg an. Die Beschwerdeführer aus Ägypten fingen aber unterwegs einen Boten des Kalifen ab, der eine geheime Botschaft an den Statthalter in Ägypten bei sich hatte. Darin beauftragte der Kalif diesen, die Anführer hinzurichten und andere entsprechend zu bestrafen. Aufgebracht kehrten die Unzufriedenen nach Medina zurück, stellten den Kalifen zur Rede und forderten ihn ultimativ zum Rücktritt auf. Es kam zur Belagerung seines Hauses, wo ihn seine Knechte und Verwandten verteidigten und damit die Konfrontation verschärften. Das Gebäude wurde am 17. Juni 656 gestürmt, und ʿUthmān ermordet. Eine wichtige Folge der Ermordung ʿUthmāns war, dass die Stadt Medina fortan ihre Rolle als politisches Zentrum des islamischen Staates verlor. Noch wichtiger war allerdings, dass es über die Beurteilung von ʿUthmān und die Frage, ob seine Ermordung gerechtfertigt war, zu einer tiefgehenden Spaltung der Muslime kam, die bis heute noch nicht überwunden ist. In diesen Auseinandersetzungen um ʿUthmān tauchte zum ersten Mal eine wichtige Formel auf, die nämlich von dem „Buch Gottes und der [[w:Sunna|Sunna]] des Propheten“. Mit dem Buch Gottes war der Koran gemeint, mit der Sunna des Propheten die von diesem begründete Handlungspraxis, die man in der Gemeinschaft der Muslime als normativen Maßstab ansah. Während die Gegner ʿUthmāns überzeugt waren, dass ʿUthmān gegen die Prinzipien von Koran und Prophetensunna verstoßen hatte, verteidigten seine Parteigänger, insbesondere die Umaiyaden, seine Handlungsweise gegen diesen Vorwurf. == 4.5. Weiterführende Literatur == * Sean Anthony: ''The Caliph and the heretic: Ibn Saba' and the origins of Shīʿism.'' Leiden 2012. * [[w:Al-Balādhurī|Al-Balādhurī]]: ''Kitāb Futūḥ al-buldān.'' Deutsche Übersetzung von [[w:Oskar Rescher|Oskar Rescher]]. 2 Bde. Leipzig 1917, Stuttgart 1923. * Heribert Busse: „ʿOmar b. al-Ḫaṭṭāb in Jerusalem“ in ''Jerusalem Studies in Arabic and Islam'' 5 (1984) 73–119. * Patricia Crone und Michael Cook: ''Hagarism. The Making of the Islamic World.'' Cambridge 1977. * Patricia Crone und Martin Hinds: ''God’s Caliph. Religious authority in the first centuries of Islam.'' Cambridge 1986. * Paul Gerhard Dannhauer: ''Untersuchungen zur frühen Geschichte des Qadi-Amtes.'' Bonn 1975. * Fred Donner: ''The early Islamic conquests.'' Princeton, NJ 1981. * Taieb El-Hibri: ''Parable and Politics in Early Islamic History. The Rashidun Caliphs.'' New York-Chichester 2010. * [[w:Martin Hinds|Martin Hinds]]: “The Murder of the Caliph ʿUthmān” in ''International Journal of Middle East Studies'' 3 (1972) 450–469. * Wilferd Madelung: ''The Succession to Muhammad. A study of the early caliphate.'' Cambridge 1997. * Al Makin: ''Representing the enemy: Musaylima in Muslim literature''. Frankfurt/Main 2010. * Theodor Nöldeke: ''Geschichte des Qorāns. Zweiter Teil: Die Sammlung des Qorāns.'' 2. Aufl. völlig umgearbeitet von Fr. Schwally. Leipzig 1919. * Albrecht Noth: “Von der medinensischen 'Umma' zu einer muslimischen Ökumene“ in A. Noth u. J. Paul (Hrsg.): ''Der Islamische Orient. Grundzüge seiner Geschichte.'' Würzburg 1998. * David Stephan Powers: ''Muḥammad is not the father of any of your men: the making of the last prophet''. Philadelphia 2009. * Israel Wolfensohn: ''Kaʿb al-Aḥbār und seine Stellung im Ḥadīṯ und in der islamischen Legendenliteratur.'' Gelnhausen 1933. == 4.6. Fragen/Aufgaben == 1. Welche Umstände erleichterten die islamische Eroberung des Vorderen Orients? 2. Welche Veränderungen nahm Muhammad am Haddsch-Ritual vor? 3. Nach dem Tode Muhammads traten unter den Muslimen erhebliche Meinungsverschiedenheiten auf. Erklären Sie, um welches Problem es ging, und wie dieses gelöst wurde. 4. Welche Titel nahmen die ersten muslimischen Herrscher nach Muhammad an und welche Vorstellungen waren mit ihnen verbunden? 5. Nennen Sie politische und religiöse Reformen, die unter dem Kalifen ʿUmar ibn al-Chattāb vorgenommen wurden. 6. In welcher Weise lag der Koran nach dem Tode Muhammads vor und welche redaktionellen Prozesse fanden bis zum Kalifat ʿUmars statt? 7. Der Kalif ʿUthmān ließ die erste offizielle Koranausgabe erstellen. In welchen Punkten wich sie von anderen damals verwendeten Korankodizes ab? 8. Beschreiben Sie die Entwicklungen, die zur Ermordung des Kalifen ʿUthmān und damit auch zur Spaltung der Muslime führten. {{Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI)/Navigation}} qdqmwte5jngjq90qgoq8cbp10wg8p0n 1116497 1116496 2026-10-16T18:57:44Z PaFra 14559 /* 4.3. ʿUmar ibn al-Chattāb (634-644) - „Befehlshaber der Gläubigen“ */ 1116497 wikitext text/x-wiki {{Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI)/Navigation}} [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 03|3 <<<]] — [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 05|>>> 5]] {{TOC nonum}} = 4. Die Expansion des islamischen Staates und das frühe Kalifat (630-656) = Der Staat von Yathrib/Medina steigt zur wichtigsten Macht in Arabien auf. Muhammads Tod 632 stürzt ihn zwar in eine schwere Krise, doch kann sie schnell überwunden und mit Hilfe der arabischen Stämme eine Expansionsbewegung in Gang gesetzt werden, die zur Eroberung des gesamten Vorderen Orients führt. Wichtige religiöse Neuerungen: die Reform des Kalenders und die Kodifizierung des Korans. == 4.1. Die letzten Jahre des Propheten (630-632) == === 4.1.1. Aussöhnung mit den Quraisch und Anschluss der Araber === Wenige Tage nach der Einnahme von Mekka durch die Muslime zog vom Südosten her eine neue militärische Gefahr herauf. Die Stämme der Hawāzin und der Thaqīf hatten eine Armee von 20.000 Kämpfern aufgestellt und bedrohten damit Mekka. Da die Hawāzin nicht nur Muhammad und den Muslimen, sondern auch den heidnisch gebliebenen Quraisch feindlich gegenüber standen, ergab sich die Gelegenheit zu einem Ausgleich. Als Muhammad die heidnischen Mekkaner dazu aufforderte, zusammen gegen den gemeinsamen Feind zu ziehen, schlossen sich ihm etwa 2.000 Mann von ihnen an. In dem Tal [[w:Hunain|Hunain]] kam es zu einer Schlacht, bei der zeitweise der Ausgang unsicher schien (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/25 Q 9:25f]), doch am Ende siegten Muhammads Truppen und eroberten das feindliche Lager. Viele der früheren mekkanischen Gegner Muhammads, darunter auch die Söhne [[w:Abū Sufyān ibn Harb|Abū Sufyāns]], konnten bei dieser Gelegenheit durch eine großzügige Beuteverteilung für den Islam gewonnen werden. Diese mekkanischen „Spätkonvertiten“ werden in Anlehnung an einen Koranvers, der auf das Ereignis Bezug nimmt ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/60 Q 9:60]), als ''al-muʾallafa qulūbu-hum'' („die, deren Herzen gewonnen wurden“) bezeichnet. Zu einem raschen Interessenausgleich mit früheren Gegnern trug auch bei, dass Muhammad die Familien, die bisher die kultischen Ämter in Mekka ausgeübt hatten, in diesen Ämtern bestätigte. So übergab er einem Angehörigen der ʿAbd ad-Dār, die schon vorher das Türhüteramt der Kaaba versehen hatten, den Schlüssel des Heiligtums als Zeichen seiner erblichen Belehnung mit diesem Amt. Bis heute haben die Banū Schaiba, die Nachkommen von Schaiba ibn ʿUthmān aus dem Clan ʿAbd ad-Dār, dieses Türhüteramt der Kaaba inne. [[File:Jami Masjid, Mandu - minbar 01.jpg|mini|[[w:Minbar|Minbar]] in der Freitagsmoschee von [[w:Mandu (Stadt)|Mandu]], 14. Jh.]] Nach der Schlacht von Hunain im Frühjahr 630 war die Expansion der neuen Religion in das Innere der Arabischen Halbinsel überwältigend. Muhammad sandte Briefe an die in den verschiedenen Teilen der arabischen Halbinsel lebenden Stämme und forderte sie auf, den Islam anzunehmen. Verschiedene Stämme wie die [[w:Azd (Stamm)|Azd]], [[w:Kinda (Arabien)|Kinda]] und [[w:Bāhila|Bāhila]] schickten umgekehrt Gesandtschaften zu ihm und baten ihn um Aufnahme in sein Bündnis. Deshalb wird das Jahr nach der Einnahme Mekkas in der islamischen Geschichtsschreibung auch das „Jahr der Gesandtschaften“ (''ʿām al-wufūd'') genannt. Bei seinen Predigten und Verhandlungen mit den Delegationen verwendete der Prophet jetzt häufig den [[w:Minbar|Minbar]], einen kanzelartigen Thron aus Holz. Ursprünglich wohl ein Hoheitssymbol, wurde der Minbar später als Ort, von dem aus die Freitagspredigt gehalten wird, zu einem festen Bestandteil der Innenausstattung von Moscheen. Für offene Gegner des Propheten wurde das Leben auch außerhalb Mekkas nun immer schwieriger. Sicher waren sie nur, wenn sie sich dem Propheten unterwarfen und den Islam annahmen. So tat es beispielsweise [[w:ʿIkrima ibn Abī Dschahl|ʿIkrima]], der Sohn von [[w:Abū Dschahl|Abū Dschahl]], der bis zuletzt gegen Muhammad gekämpft hatte und zunächst in den Jemen geflohen war. Bekannt geworden ist auch der Dichter [[w:Kaʿb ibn Zuhair|Kaʿb ibn Zuhair]], der in satirischen Versen Muhammad angegriffen hatte und deshalb zur Tötung freigegeben worden war. Er tauchte in dieser Zeit überraschend in Medina auf und trug öffentlich ein Lobgedicht auf den Propheten und die Quraisch vor. Dieses mit den Worten ''Bānat Suʿād'' beginnende Gedicht wurde später zu einem der wichtigsten religiösen Gedichte des Islams und ist als solches immer wieder kommentiert und schmückend erweitert worden. Im Herbst 630 kam es noch einmal zu einer internen Krise, als Muhammad, offenbar gegen den Willen vieler seiner Anhänger (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/81 Q 9:81]), einen Feldzug gegen die Byzantiner und ihre arabischen Bundesgenossen an der syrischen Grenze unternahm. Zeitgleich mit diesem [[w:Feldzug nach Tabūk|Feldzug nach Tabūk]] setzten sich einige von Muhammads Anhängern ab, errichteten sich eine eigene Moschee (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/107 Q 9:107-11]) und heckten gegen den Propheten eine Intrige aus. Die Koranverse, die diese Situation verarbeiten, fordern den Propheten auf, hart gegen die als [[w:Munāfiq|Munāfiqūn]] und [[w:Kāfir|Kuffār]] bezeichnete Gruppe vorzugehen und drohen diesen als Apostaten die Höllenstrafe an (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/73 Q 9:73f]). Den Gläubigen wurde umgekehrt im Koran für ihren kämpferischen Einsatz großer jenseitiger Lohn in Aussicht gestellt. Das Verhältnis zwischen ihrem Einsatz und der jenseitigen Belohnung wird dabei nach Art eines Handelsgeschäfts mit Gott beschrieben: {{Zitat|Gott hat den Gläubigen ihr Leben und ihr Vermögen dafür abgekauft, dass sie das Paradies haben sollen. Sie sollen kämpfen für die Sache Gottes und töten und getötet werden. Das ist ein ihn bindendes Versprechen [...]. Und wer hält sein Versprechen getreuer als Gott? Freut euch also über das, was ihr erkauft habt. Denn das ist der große Gewinn.|[https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/111 Q 9:111]}} Mit diesem und ähnlich lautenden Versen (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/74 Q 4:74]; [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/61/vers/10 61:10]) wurde im Islam ein eigenes Konzept des Märtyrertums begründet: Derjenige, der sich im Kampf selbst aufopfert und den Tod auf dem Schlachtfeld findet, ist kein Verlierer, sondern in Wirklichkeit der „große Gewinner“. Diese Form der religiösen Mobilisierung der Gläubigen zum Kampf hat möglicherweise entscheidend zur schnellen Expansion des islamischen Staates beigetragen. === 4.1.2. Muslime und Nicht-Muslime === Die Annahme des Islams wurde jetzt zur strikten Vorbedingung einer Aufnahme in das Bündnis mit Mohammed. Das bedeutete zugleich, dass sich ihm immer mehr Menschen rein aus politischen und wirtschaftlichen Gründen anschlossen, der neuen Religion jedoch innerlich kaum zugetan waren. Das galt wohl vor allem für die Beduinen, wie aus einem in dieser Hinsicht vielsagenden Koranvers hervorgeht: {{Zitat|Die Wüstenaraber (''al-Aʿrāb'') sagen: Wir glauben! Sprich: Ihr glaubt nicht! Sagt vielmehr: Wir haben uns unterworfen. Denn der Glaube ist noch nicht in eure Herzen eingedrungen.|[https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/49/vers/14 Sure 49:14]}} Unterwerfung (''islām'') unter den Willen Gottes und seines Gesandten, so sagt es uns dieser Vers, bedeutete eben nicht immer auch innerliche Annahme des Glaubens ([[w:Īmān|Īmān]]). Um als „Brüder in der Religion“ anerkennt zu werden, war es allerdings nur notwendig, das Gebet ([[w:Salāt|Salāt]]) zu verrichten und die Läuterungsgabe ([[w:Zakāt|Zakāt]]) entrichten (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/11 Q 9:11]). Die in frühmekkanischer Zeit als fromme Übung eingeführte Zakāt hatte sich offenbar bis zu diesem Zeitpunkt zu einer Art Almosensteuer entwickelt. Als Synonym für ''zakāt'' erscheint in dieser Zeit im Koran auch das Wort [[w:Sadaqa|Sadaqa]] (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/103 Q 9:103]). Zum Einzug dieser Abgaben, aber auch zur Unterweisung der neu bekehrten Stämme in der Religion sandte Muhammad mehrere seiner Gefährten in die verschiedenen Gebiete der arabischen Halbinsel, so zum Beispiel [[w:Abū Huraira|Abū Huraira]] nach Bahrain in Ostarabien (nicht identisch mit dem heutigen Staat [[w:Bahrain|Bahrain]]), [[w:ʿAmr ibn al-ʿĀs|ʿAmr ibn al-ʿĀs]] nach [[w:Oman|Oman]] und Muʿādh ibn Dschabal in den [[w:Jemen|Jemen]]. Nachdem Muhammad mit den Heiden und Juden gebrochen hatte, scheint er noch lange eine positive Einstellung gegenüber dem Christentum gewahrt zu haben. Das zeigt eine Stelle im Koran, an der es heißt: {{Zitat|Du wirst sicher finden, dass diejenigen Menschen, die sich den Gläubigen gegenüber am meisten feindlich zeigen, die Juden und die Heiden sind. Und du wirst sicher finden, dass diejenigen, die den Gläubigen in Liebe am nächsten stehen, die sind, welche sagen: Wir sind Christen (''Naṣārā''). Dies deshalb, weil es unter ihnen Priester und Mönche gibt, und weil sie nicht hochmütig sind.|[https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/5/vers/82 Q 5:82]}} In den Korankommentaren wird bei diesem Vers auf die positiven Erfahrungen, die Muhammads Anhänger im christlichen Äthiopien gemacht hatten, verwiesen. Grundsätzlich war Muhammad allerdings der Auffassung, dass er von Jesus als Gesandter angekündigt worden war (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/61/vers/6 Q 61:6]) und der Koran nicht nur eine Bestätigung der Tora, sondern auch des Evangeliums ([[w:Indschīl|Indschīl]]) darstellt (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/3/vers/3 Q 3:3]), und die Christen von daher wie die Juden vor die Aufgabe gestellt waren, seinen religiösen Führungsanspruch anzuerkennen und zum Islam überzutreten. Bei Verhandlungen mit Abgesandten christlicher Gemeinschaften der arabischen Halbinsel machte der Prophet nun aber die Erfahrung, dass diese im Gegensatz zu den heidnischen Arabern eben nicht bereit waren, den Islam anzunehmen. Besonders bekannt geworden ist der Fall einer Delegation von Geistlichen aus [[w:Nadschran|Nadschrān]], dem Zentrum des südarabischen Christentums, die zum Ausdruck brachten, dass sie sich zwar der politischen Macht des Propheten fügen, aber nicht zum Islam übertreten wollten, weil sie sich selbst im Besitz der wahren Religion sahen. In diesen historischen Zusammenhang wird von der islamischen Tradition die koranische Aussage gestellt, dass Jesus vor Gott gleich Adam und wie er allein durch das Schöpferwort ''kun'' („Sei!“) erschaffen worden sei ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/3/vers/59 Q 3:59]). Muhammad soll dieses Koranwort den christlichen Geistlichen aus Nadschrān entgegengehalten haben, als es zu einem Streit über die von den Christen behauptete [[w:Sohn Gottes|Gottessohnschaft]] Jesu‘ kam. Anschließend, so berichten die arabischen Quellen, forderte er die Geistlichen zur Herbeiführung eines Gottesurteils über die Wahrheit der beiden religiösen Positionen durch gegenseitige Verfluchung ([[w:Mubāhala|Mubāhala]]) auf (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/3/vers/61 Q 3:61]), was diese jedoch ablehnten. Schließlich einigte man sich darauf, dass die Leute von Nadschrān dem Propheten einen jährlichen Tribut entrichten sollten, wofür umgekehrt der Prophet ihnen den Schutz für Leben und Religion zusicherte. Die Verschlechterung der Beziehungen zu den Christen lässt sich auch darauf zurückführen, dass der Prophet in dieser Zeit verstärktes Interesse an der Expansionsroute nach Syrien zeigte, wo in der Mehrzahl Christen lebten und nicht zum Islam konvertieren wollten. Bei ihnen kam nun ebenfalls das Modell der Tributzahlung zur Anwendung. Die arabischen Quellen berichten, dass sich als Folge des [[w:Feldzug nach Tabūk|Feldzuges nach Tabūk]] im Herbst 630 mehrere christliche Gemeinden am [[w:Golf von Akaba|Golf von Akaba]] in Nordwestarabien, darunter auch die Stadt [[w:Eilat|Aila]], dem Propheten unterwarfen und bereit erklärten, die sogenannte [[w:Dschizya|Dschizya]], an ihn zu entrichten. Der arabische Begriff ''Dschizya'' hat die Grundbedeutung von „Ausgleich, Kompensation“. Was die Dschizya-Zahlung ausgleichen sollte, lässt sich nicht mit Gewissheit sagen. Allerdings hat diese Abgabe eine koranische Grundlage in [[w:Sure 9|Sure 9]], wo die Muslime aufgefordert werden, gegen die [[w:Ahl al-kitāb|Ahl al-kitāb]] zu kämpfen, bis „sie kleinlaut aus der Hand die Dschizya entrichten“ ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/29 Q 9:29]). Die Pflicht zum Kampf gegen Juden und Christen wird an der betreffenden Stelle daraus abgeleitet, dass sich die beiden Religionsgemeinschaften fälschlicherweise neben Gott [[w:Rabbinen|Rabbinen]] und [[w:Mönch|Mönche]] zu Herren genommen hätten ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/31 Q 9:31]), von [[w:Esra (Person)|Esra]] bzw. Christus behaupteten, sie seien Gottes Sohn, und damit die Rede der früheren Ungläubigen nachahmten ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/30 Q 9:30]). Diese koranischen Aussagen legitimierten eine neue, aggressivere Haltung gegenüber den Christen, bedeuteten aber andererseits auch, dass Juden und Christen die Möglichkeit gegeben wurde, bei Unterwerfung ihre Religion weiter auszuüben. Auch gegenüber [[w:Zoroastrier|Zoroastriern]] zeigte Muhammad diese Haltung. Als ihm zu Ohren kam, dass sich die auf dem Gebiet von Bahrain lebenden Zoroastrier weigerten, den Islam anzunehmen, ließ er ihnen unter der Bedingung, dass sie die Dschizya entrichteten, diese Freiheit. Als Rechtfertigung dafür soll er das bekannte Koranwort: „[[w:Kein Zwang in der Religion|Es gibt keinen Zwang in der Religion]]“ ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/256 Q 2:256]) herangezogen haben. === 4.1.3. Neuordnung der Wallfahrt und Reform des Kalenders === Im Jahr der Einnahme Mekkas (630) hielten sich Muhammad und seine engsten Gefährten vom Haddsch, der für die muslimischen und nicht-muslimischen Pilger noch ganz nach den altgewohnten Riten ablief, fern. Im Jahre darauf (631) beauftragte Muhammad seinen Gefährten [[w:Abū Bakr|Abū Bakr]], den Haddsch anzuführen. Während dieser sich bereits in Mekka befand, schickte ihm der Prophet seinen Vetter ʿAlī nach, der in [[w:Minā|Minā]] die folgenden Worte öffentlich verkündete, die auch Teil des Korans sind: {{Zitat|Eine Ankündigung von Gott und seinem Gesandten an die Leute am Tag der großen Wallfahrt: Gott hat keine Verpflichtung mehr gegenüber den [[w:Muschrik|Beigesellern]], und sein Gesandter ebenfalls nicht. Wenn ihr bußfertig umkehrt, ist das besser für euch. Wenn ihr euch aber abwendet, dann wisset, dass ihr Gott nicht zuschanden machen könnte. Und verheiße den Ungläubigen schmerzliche Strafe.|[https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/3 Q 9:3]}} Kurz danach heißt es: {{Zitat|Sind aber die heiligen Monate verflossen, so erschlaget die Beigeseller, wo ihr sie findet, und packet sie und belagert sie und lauert ihnen in jedem Hinterhalt auf.|[https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/5 Q 9:5]}} {| class="wikitable floatright" |- ! colspan="2" | Die islamischen Monate |- ! Nr !! Name |- | 1 | [[w:Muharram|Muharram]] |- | 2 | [[w:Safar|Safar]] |- | 3 | [[w:Rabīʿ al-awwal|Rabīʿ I]] |- | 4 | [[w:Rabīʿ ath-thānī|Rabīʿ II]] |- | 5 | [[w:Dschumādā l-ūlā|Dschumādā I]] |- | 6 | [[w:Dschumādā th-thāniya|Dschumādā II]] |- | 7 | [[w:Radschab|Radschab]] |- | 8 | [[w:Schaʿbān|Schaʿbān]] |- | 9 | [[w:Ramadan|Ramadān]] |- | 10 | [[w:Schawwāl|Schauwāl]] |- | 11 | [[w:Dhu l-qaʿda|Dhū l-Qaʿda]] |- | 12 | [[w:Dhū l-Hiddscha|Dhū l-Hiddscha]] |} Diese Verse vom Anfang der Sure 9 zeigen sehr deutlich, wie sich die Machtverhältnisse verändert hatten. Indem Muhammad den Ungläubigen unter schärfsten Androhungen verbot, sich Mekka anzunähern, schloss er sie auch von allen wirtschaftlichen Aktivitäten in dieser Stadt aus. Erst im Jahre 632 nahm Muhammad selbst am Haddsch teil. Hierbei verhielt er sich bei einzelnen Wallfahrtstationen anders, als es die Heiden getan hatten. So verlegte er den Lauf von [[w:ʿArafāt|ʿArafāt]] nach [[w:Muzdalifa|Muzdalifa]] auf die Zeit nach Sonnenuntergang und den Lauf von Muzdalifa nach Minā auf die Zeit vor Sonnenaufgang, um diesen Riten den Charakter heidnischer Sonnenverehrung zu nehmen. Außerdem bezog er die Wallfahrtsriten, die während der [[w:ʿUmra|ʿUmra]] an der Kaaba in Mekka vollzogen wurden, in den Haddsch ein. Die Bezeichnung ''Haddsch'' ging nun auf das kombinierte Wallfahrtsritual über; die speziell dem mekkanischen Heiligtum geltende ʿUmra-Wallfahrt blieb aber als „kleine Wallfahrt“ weiter bestehen. Muhammads Haddsch im Jahre 632, aufgrund seines kurz danach eingetretenen Todes [[w:Abschiedswallfahrt|Abschiedswallfahrt]] genannt, wurde für alle Zeiten zum Vorbild für dieses Ritual. Die Kaaba erlebte durch die Neuordnung des Haddsch einen enormen Bedeutungszuwachs. Da andere Heiligtümer wie dasjenige von [[w:Dhū l-Chalasa|Dhū l-Chalasa]] in Tabāla von Muhammads Anhängern zerstört wurden, erhielt sie nun auf der arabischen Halbinsel eine Monopolstellung. Im Zuge der Neuordnung des Haddsch wurde auch der altarabische lunisolare Kalender mit seinem [[w:Einschaltung (Zeitrechnung)|Interkalationssystem]] des ''nasīʾ'' (vgl. oben [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 01 #1.3.3. Das altarabische Heidentum und die Heiligtümer von Mekka|1.3.3.]]) abgeschafft und ein reiner [[w:Lunarkalender|Lunarkalender]] mit einer unveränderlichen Zahl von zwölf Monaten eingeführt. Die Gründe für die Kalenderreform sind nicht ganz klar, die Koranverse, die davon handeln ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/36 Q 9:36f]), lassen aber erkennen, dass die Entscheidungen derjenigen, die für die Einschiebung von Schaltmonaten und Heiligerklärung von Monaten zuständig waren, als willkürlich empfunden wurden und dies relevant für die Kriegführung war. Um deutlich zu machen, dass der erste Safar nun immer als heiliger Monat galt, erhielt er den Namen [[w:Muharram|al-Muharram]] („der Geheiligte“). Das neue Mondjahr mit nur 354 Tagen wurde zur Grundlage für den islamischen Kalender und diente fortan zur Bestimmung der religiösen Feste. Da dieses Mondjahr, das sich gewissermaßen „rückwärts“ durch die Sonnenjahre bewegt, für Ackerbau treibende Bauern jedoch nicht praktikabel ist, wurde in fast allen Ländern, in denen der Islam Wurzeln geschlagen hat, daneben ein [[w:Solarkalender|Solarkalender]] weitergeführt. == 4.2. Abū Bakr (632-634) – „Stellvertreter des Gottesgesandten“ == === 4.2.1. Die Ereignisse der Saqīfa und die Anfänge des Kalifats === Als Muhammad nach Medina zurückkehrte, verschlechterte sich sein Gesundheitszustand erheblich. Am 8. Juni 632 starb er. Es wird auch berichtet, dass Muhammad vor seinem Tod seine Nachfolge durch ein Testament regeln wollte, [[w:ʿUmar ibn al-Chattāb|ʿUmar ibn al-Chattāb]], der in der medinischen Zeit zu einem seiner wichtigsten Berater aufgestiegen war, dies jedoch verhindert habe. Muhammad hatte keinen männlichen Nachkommen hinterlassen. Seine erste Frau [[w:Chadīdscha bint Chuwailid|Chadīdscha]] hatte ihm vier Töchter und zwei oder drei Söhne geboren. Letztere waren allerdings schon als Kinder verstorben. Seinen Adoptivsohn [[w:Zaid ibn Hāritha|Zaid ibn Hāritha]] hatte er im Zusammenhang mit der Affäre um [[w:Zainab bint Dschahsch|Zainab bint Dschahsch]] verstoßen. Auf diesen Sachverhalt soll sich das Koranwort von [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/33/vers/40 Sure 33:40] beziehen, in dem klargestellt wird, dass Muhammad keine Söhne hat und auch sein Amt als Gottesgesandter nicht erblich ist, er vielmehr „Siegel der Propheten“ (''ḫātam an-nabīyīn'') ist. Es war also völlig unklar, wer die Führung der [[w:Umma|Umma]] nach Muhammads Tod übernehmen sollte. In dieser Situation traten schwere Meinungsverschiedenheiten zwischen den mekkanischen [[w:Muhādschirūn|Muhādschirūn]] und den medinischen [[w:Ansār|Ansār]] hervor. Die Ansār zogen zu [[w:Saʿd ibn ʿUbāda|Saʿd ibn ʿUbāda]], dem Chef des medinischen Clans Banū Sāʿida, und versammelten sich in seiner Saqīfa („offener Versammlungsplatz“). Dort erhoben sie die Forderung, dass sich Ansār und Quraisch trennen sollten und eine jede Gruppe für sich einen Befehlshaber (''amīr'') wählen sollte. Damit drohte die islamische Gemeinschaft auseinanderzubrechen. Die Diskussion spitzte sich zu, als zu den Versammelten die drei Muhādschirūn Abū Bakr, ʿUmar und [[w:Abū ʿUbaida ibn al-Dscharrāh|Abū ʿUbaida]] hinzutraten. Vor allem ʿUmar trat strikt gegen jede Teilung der Gemeinschaft ein. Abū Bakr betonte den Vorranganspruch des Stammes Quraisch. In dieser Situation überraschte ʿUmar die Anwesenden, indem er plötzlich Abū Bakr die [[w:Baiʿa|Baiʿa]] leistete. Dieser hatte das Gebet der Gemeinde angeführt, als Muhammad bereits im Sterben lag. Daraus ergab sich für ihn ein gewisser Nimbus. Außerdem war er durch ʿĀ'ischa Schwiegervater des Propheten und darüber hinaus einer der frühesten Gläubigen überhaupt (vgl. oben [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 02#2.1.3. Die neue Gemeinde|2.1.3.]]). Bei allen wichtigen Kämpfen gegen die heidnischen Quraisch von Mekka war er dabei gewesen und hatte mit seinen finanziellen Mitteln andere Feldzüge unterstützt. Somit war Abū Bakr ein geeigneter Kompromisskandidat für Ansār und Muhādschirūn. Entscheidend für den weiteren Verlauf der Versammlung war die überraschende Ankunft der Banū Aslam, eines Clans aus der Umgebung von Medina, der für seine besondere Loyalität gegenüber dem Propheten bekannt war. Sie stießen in großen Zahlen zu der Versammlung und huldigten Abū Bakr. Viele Ansār weigerten sich zunächst, Abū Bakr zu huldigen. Auch die [[w:Banū Hāschim|Banū Hāschim]], der Clan des Propheten, protestierten dagegen, dass sie bei der Regelung der Nachfolge übergangen worden waren. Einige Ansār brachten in dieser Situation [[w:ʿAlī ibn Abī Tālib|ʿAlī ibn Abī Tālib]], der der nächste Verwandte des Propheten war, als Alternative für Abū Bakr ins Spiel. ʿAlī hatte offensichtlich auch die Unterstützung der Nachkommen von [[w:ʿAbd Schams ibn ʿAbd Manāf|ʿAbd Schams]]. Sie pochten in dieser Situation auf die politischen Vorrechte der Nachkommen [[w:ʿAbd Manāf ibn Qusaiy|ʿAbd Manāfs]], zu denen sowohl die ʿAbd Schams als auch die Banū Hāschim gehörten, und kritisierten, dass Abū Bakr nicht diesem Stammesadel angehörte. [[Datei:Abu bakr2.jpg|mini|Die Prophetengefährten schwören Abū Bakr den Treueid, während rechts neben ihm ʿUmar sitzt, Miniatur in einem [[w:Osmanisches Reich|osmanischen]] [[w:Siyer-i Nebi|Siyer-i-Nebi]]-Werk, 1596]] In der Folgezeit sorgte ʿUmar zusammen mit den Banū Aslam dafür, dass fast alle Bewohner Medinas Abū Bakr den Treueid leisteten, wobei sie möglicherweise auch Gewalt anwendeten. Abū Bakr selbst trat allerdings eher bescheiden auf. Er ließ erkennen, dass er sich als Fortsetzer der Linie des Propheten betrachtete, keinesfalls aber als Neuerer. In diesem Sinn war er darum bemüht, alle Verordnungen und Anweisungen des Propheten einzuhalten und weiterzuführen. Dieses Bestreben spiegelt sich auch in der Bezeichnung, die er für sein Amt gebrauchte. Er nannte sich ''ḫalīfat rasūl Allāh'', „Stellvertreter des Gesandten Gottes“. Stellvertreter des Gottesgesandten hatte es schon zu Lebzeiten des Propheten öfters gegeben: Für die Zeit seiner Abwesenheit von Medina, während eines kriegerischen Unternehmens vor allem, pflegte Muhammad solche Stellvertreter zu bestimmen, die für die Aufrechterhaltung der Ordnung zu sorgen hatten. Mit der Wahl dieses Titel, der im Deutschen üblicherweise mit ''Kalif'' wiedergegeben wird, machte Abū Bakr deutlich, dass er sich mit seinem Amt keine herrschaftliche Macht anmaßen, sondern lediglich den Status quo innerhalb der Umma aufrechterhalten wollte. Höhere Machtansprüche haben sich mit dem Kalifentitel erst in späterer Zeit entwickelt. Dass sich Abū Bakr gegen ʿAlī und die Banū Hāschim durchsetzte, hängt möglicherweise auch damit zusammen, dass man unter den Muhādschirūn aufgrund der Ehe ʿAlīs mit der Prophetentochter Fātima die Entstehung einer Dynastie befürchtete und deshalb lieber auf Abū Bakr setzte, bei dem diese Gefahr nicht bestand. Zu einer Konfrontation zwischen Abū Bakr, ʿUmar und der Prophetenfamilie führte wenig später der Streit um das von Juden bewirtschaftete Landgut des Propheten in Fadak im nördlichen [[w:Hedschas|Hedschas]]. Als Fātima Ansprüche auf dieses Landgut geltend machte, hielten die beiden ihr entgegen, dass der Prophet sein gesamtes Eigentum als Sadaqa der Gemeinschaft der Muslime vermacht habe. Da Fātima keinen ausreichenden Beweis dafür vorbringen konnte, dass der Prophet ihr das Landgut schon zu Lebzeiten geschenkt habe, zog Abū Bakr es ein. Fātima brach daraufhin den Kontakt zu Abū Bakr vollständig ab. Sechs Monate später starb sie. Erst nach ihrem Tod leistete auch ʿAlī dem Kalifen den Treueeid. Damit war die Nachfolgefrage endgültig geklärt. === 4.2.2. Abfallbewegung (''ridda'') und Wiederaufnahme des Dschihad === [[Datei:Mohammad_adil-Riddah_wars.PNG|mini|Schauplätze der Ridda-Kriege]] Nach dem Tode des Propheten setzte bei den Stämmen der Arabischen Halbinsel eine breite Absetzbewegung ein, die in den Quellen als [[w:Ridda|Ridda-Kriege]] bezeichnet wird. Der kurzzeitige Machtverlust der Quraisch führte dazu, dass in vielen Stämmen diejenigen Gruppen Oberwasser erhielten, die schon immer dem Anschluss an den Quraisch-Staat kritisch gegenüber gestanden hatten. In einigen Gegenden Arabiens traten Gegenpropheten auf, die auch auf dem religiösen Gebiet die Hegemonie des Islams in Frage stellten. Im Jemen etablierte sich der Gegenprophet al-Aswad, der in kurzer Zeit weite Gebiete Südarabiens unter seine Kontrolle bringen konnte. Er trat wie Muhammad im Namen Allāhs auf und verstand es, Ressentiments gegen die neue Abhängigkeit von Medina für seine Sache auszunutzen. Bei dem Stamm Hanīfa, der in der ostarabischen [[w:Al-Yamama|Yamāma]] lebte, tat sich ein Prophet namens [[w:Musailima|Musailima]] hervor, der in seinen Lehren gewisse monotheistische Anklänge zeigte, indem er im Namen [[w:Rahmanismus|Rahmāns]] predigte. Im zentralarabischen [[w:Nadschd|Nadschd]]-Gebiet traten sogar zwei Propheten auf, im Norden bei den Asad-Beduinen [[w:Tulayha|Tulaiha]] und im Süden bei den Tamīm die Prophetin Sadschāh. Unter Musailima wurde die härteste Gegnerschaft gezeigt, deren Wirksamkeit sich noch durch ein Bündnis mit der Prophetin Sadschāh erhöhte. Auf diese Weise entstand eine Allianz der Gegner, die eine gewaltige Armee mobilisieren konnte. Diejenigen Stämme, die sich der Ridda-Bewegung angschlossen, weigerten sich, weiterhin die Zakāt zu zahlen. Sie meinten, sie sei Teil eines Vertrages gewesen, den sie mit dem Propheten geschlossen hatten und der mit seinem Tod erloschen sei. Abū Bakr sandte von Mekka und Medina verschiedene Heere aus, um die abgefallenen Stämme mit Waffengewalt zurückzugewinnen. In den Feldzügen gegen die abgefallenen Stämme taten sich besonders zwei Mekkaner von den [[w:Machzūm|Machzūm]] hervor, die Muhammad lange heftig bekämpft hatten, [[w:Chālid ibn al-Walīd|Chālid ibn al-Walīd]] und [[w:ʿIkrima ibn Abī Dschahl|ʿIkrima ibn Abī Dschahl]]. Chālid konnte im Frühjahr 633 in der Ebene ʿAqrabā' den Truppen der Banū Hanīfa unter der Führung von Musailima eine vernichtende Niederlage beibringen. Weitere Kämpfe fanden in Bahrain, Oman und Jemen statt. Besonders erbitterten Widerstand leisteten die Kinda unter ihrem letzten Stammeskönig [[w:al-Aschʿath ibn Qais|al-Aschʿath ibn Qais]]. Mit der Einnahme ihrer Festung Nudschair im Hadramaut endete die Ridda-Bewegung. Al-Aschʿath wurde in Ketten nach Medina gebracht und dort durch Abū Bakr begnadigt. [[File:Mohammad adil-Muslims Invasion of Syria.PNG|mini|Die vier von Abū Bakr nach Syrien ausgesandten Truppenkontingente]] Die Ridda-Abwehrkämpfe gingen im Norden der Arabischen Halbinsel nun nahtlos in eine Eroberungsbewegung über. Noch im Jahre 633 unternahm Chālid mit seinen Kämpfern Überfälle auf Gebiete des Südirak, machte die dort lebenden Nomadenstämme botmäßig und eroberte [[w:al-Hīra|al-Hīra]], die Hauptstadt des [[w:Lachmiden|Lachmidenreiches]]. [[w:Al-Balādhurī|Al-Balādhurī]] (gest. 892), der Verfasser des wichtigsten arabischen Werkes über die [[w:Futūh|Futūh]], berichtet, dass Abū Bakr im Frühjahr 634 die Bewohner von Mekka, at-Tā'if, des Jemen und die Beduinen im Nadschd und Hedschas angeschrieben habe, „um sie für den Dschihad auszuheben und in ihnen die Lust daran und an der bei den [[w:Rhomäer|Rhomäern]] zu holenden Kriegsbeute zu entfachen.“ Sein Aufruf war offensichtlich ein voller Erfolg. Es wird berichtet, er habe in Medina drei Heere aufstellen können. Vier Truppenkontingente unter dem Oberbefehl von [[w:Abū ʿUbaida ibn al-Dscharrāh|Abū ʿUbaida ibn al-Dscharrāh]] zogen in Richtung Syrien. Als sich eine größere Konfrontation mit der byzantinischen Armee ankündigte, sandte Abū Bakr den noch im Irak weilenden Chālid ibn al-Walīd zu ihrer Verstärkung nach Syrien. Die beiden arabischen Heere trafen im Süden Syriens zusammen, und gemeinsam konnte man die Stadt [[w:Bosra|Bostra]] einnehmen. Unter Chālids Oberbefehl besiegten die Araber im Juli 634 ein byzantinisches Heer, das ihnen bei Adschnādain in Palästina entgegentrat. == 4.3. ʿUmar ibn al-Chattāb (634-644) - „Befehlshaber der Gläubigen“ == Abū Bakr starb im August 634. Er hatte in seinem Testament ʿUmar ibn al-Chattāb als Nachfolger eingesetzt, der bereits während seines Kalifats als eigentlicher Befehlshaber fungiert hatte. Zwar kam ʿUmar nur aus einem recht unbedeutenden quraischitischen Clan, doch konnte er frühe Verdienste um den Islam vorweisen und stand auch durch seine Tochter [[w:Hafsa bint ʿUmar|Hafsa]] in einem schwägerlichen Verhältnis zum Propheten. Er war der erste Kalif, der den Titel ''amīr al-muʾminīn'' („Befehlshaber der Gläubigen“) annahm. Dieser Titel wird seither von allen Herrschern benutzt, die einen Führungsanspruch über die gesamte Gemeinschaft der Muslime erheben. === 4.3.1. Die Eroberung des Vorderen Orients === [[File:Mohammad adil-Muslim invasion of Syria-3.PNG|mini|Die muslimischen Vorstöße in Syrien, 634-36]] Unter ʿUmar setzte sich die unter Abū Bakr begonnene Eroberungsbewegung fort. Hier werden nur stichpunktartig die wichtigsten Stationen der Eroberungsbewegung genannt: # Syrien und Palästina. Die Byzantiner, die sich nach der Schlacht von Adschnādain ins Jordantal zurückgezogen hatten, wurden im Januar 635 bei der Stadt [[w:Pella (Jordanien)|Pella]] erneut von den Arabern geschlagen und zogen nach Damaskus ab. Die Araber konnten daraufhin das gesamte Gebiet des heutigen Jordaniens einnehmen, darunter auch die prachtvoll ausgebaute Bischofsstadt [[w:Gerasa|Gerasa]]. Im Sommer 635 fiel bereits [[w:Damaskus|Damaskus]] und bald danach Emesa, das heutige [[w:Homs|Homs]]. Der byzantinische Versuch, Syrien zurückzuerobern, scheiterte. Im August 636 brachten die Araber den neu zusammengezogenen byzantinischen Truppen am [[w:Jarmuk|Yarmūk]], einem linken Nebenfluss des Jordan, der heute die Grenze zwischen Syrien und Jordanien bildet, erneut eine [[w:Schlacht am Jarmuk|Niederlage]] bei und zwangen sie so endgültig zum Rückzug aus Syrien. Als 638 [[w:Jerusalem|Jerusalem]] eingenommen wurde, reiste ʿUmar selber an, um die Stadt für die Muslime in Besitz zu nehmen. 640 folgte noch die Einnahme des Seehafens [[w:Caesarea Maritima|Caesarea]]. Damit endete die byzantinische Herrschaft auch in Palästina. # Irak. Im Herbst 634 sandte ʿUmar ein Heer zum Kampf gegen die Perser in den Irak aus. Im Süden nahm noch vor 635 der frühe Prophetengefährte ʿUtba ibn Ghazwān mit seinen Kämpfern das Mündungsgebiet von Euphrat und Tigris mit der bedeutenden Hafenstadt [[w:Apologos|al-Ubulla]] ein. Weiter nördlich erlitten die arabischen Kämpfer zunächst in der sogenannten [[w:Schlacht an der Brücke|Schlacht an der Brücke]] eine schwere Niederlage, konnten aber dann in der [[w:Schlacht von al-Qādisīya|Schlacht von al-Qādisīya]] (zwischen 635 und 638) über die persische Armee siegen. Der seit 632 herrschende Sassanide [[w:Yazdegerd III.|Yazdegerd III.]] überließ daraufhin den arabischen Truppen den Irak, gab seine Hauptstadt Ktesiphon auf und zog mit seinem Hofstaat nach Osten ab. Der Sieg von al-Qādisīya war für die Muslime ein ähnlich großer Triumpf wie der Sieg über die heidnischen Mekkaner bei der Schlacht von Badr im Jahre 624. Viele glaubten, dass sie den Sieg über die Perser nur der Hilfe Gottes verdankten. Einige von ihnen waren sogar der Meinung, dass [[w:al-Chidr|al-Chidr]], „der Grüne“, eine engelartige Gestalt, die aber nicht den Engeln zugerechnet wird, bei der Schlacht auf Seiten der Muslime mitgekämpft hatte. [[File:Mohammad adil-Muslim conquest of Egypt.PNG|mini|[[w:Arabische_Eroberung_%C3%84gyptens#Islamische_Eroberung_%C3%84gyptens|Die muslimische Eroberung Ägyptens]], 639-640.]] # <li value="3">Ägypten. ʿAmr ibn al-ʿĀs fiel 639 in einem fast privat zu nennenden Unternehmen in Ägypten ein. Nach Eroberung der in der Nähe des heutigen Kairo gelegenen byzantinischen Festung Babylon im April 641 konnte er das [[w:Nildelta|Nildelta]] mit seinem Heer nahezu ohne Widerstand einnehmen. 642 erfolgte die Eroberung Alexandriens, 643 die Einnahme von [[w:Barke (Libyen)|Barqa]] auf dem Gebiet des heutigen Libyen.</li> # Nordmesopotamien. Dieses Gebiet, das auch als die [[w:Dschazīra|Dschazīra]] (wörtl. „Insel“, nämlich zw. [[w:Euphrat|Euphrat]] und [[w:Tigris|Tigris]]) bekannt ist, wurde zwischen 639 und 641 von Nordsyrien aus durch ʿIyād ibn Ghanm erobert, wobei dieser auch schon Vorstöße nach Armenien unternahm. Zur Kontrolle der eroberten Gebiete und als Ausgangsbasis für weitere Eroberungen wurden an mehreren Orten arabische Garnisonen stationiert. In Syrien waren das bereits bestehende Orte, [[w:al-Dschābiya|al-Dschābiya]], die ehemalige Residenz der [[w:Ghassaniden|ghassānidischen]] Fürsten, und Homs. In den anderen Ländern wurden neue Lagerstädte gegründet, in denen die arabischen Krieger stammes- und clanweise auf verschiedene Parzellen verteilt und jeweils Moscheen nach dem Vorbild der Prophetenmoschee in Medina errichtet wurden. Die wichtigsten dieser [[w:Misr|Misr]] genannten Lagerstädte waren [[w:Basra|Basra]] und [[w:Kufa|Kufa]] im Irak, beide 638 gegründet, [[w:Mossul|Mossul]] in Nordmesopotamien, 641 gegründet, und [[w:Fustāt|al-Fustāt]] in Ägypten, das 643 direkt neben der alten byzantinischen Festung Babylon angelegt wurde. Diese Lagerstädte bildeten fortan die Zentren arabisch-islamischen Lebens in den eroberten Gebieten. Von Basra und Kufa aus unternahmen arabische Heerführer in den späten 630er Jahren Vorstöße nach Persien. Zwischen 637 und 640 unterwarfen sie [[w:Chusistan|Chusistan]] im Südwesten des heutigen Iran. Nach der [[w:Schlacht bei Nehawand|Schlacht bei Nihāwand]] im westiranischen [[w:Zāgros-Gebirge|Zagros-Gebirge]], bei der die Araber den sassanidischen Truppen eine weitere Niederlage bereiteten, stand ihnen das persische Hochland offen. Von Nihāwand aus zogen sie weiter nordwärts und machten das Gebiet von [[w:Aserbaidschan (Iran)|Aserbaidschan]] tributpflichtig. 644 konnten sie außerdem die Stadt [[w:Isfahan|Isfahan]] erobern. Der Sassanidenherrscher Yazdegird III. floh derweil weiter nach Osten. === 4.3.2. Faktoren, die die schnelle Expansion des islamischen Staates begünstigten === Mit seinen Eroberungen und Städtegründungen schuf ʿUmar wichtige Grundlagen für die sich später herausbildende islamische Zivilisation. Wie aber erklärt sich, dass die Eroberungen so schnell vorangetrieben werden konnten? Verschiedene Faktoren lassen sich als Gründe anführen: # Der der islamischen Eroberung vorausgehende Streit zwischen Oströmischem Reich und Sassanidischem Reich um die Vorherrschaft über den Vorderen Orient, der zu Lebzeiten Muhammads zu einem heftigen militärischen Schlagabtausch geführt hatte, hatte die beiden Reiche stark geschwächt. # Ein weiterer wichtiger Faktor in Syrien, Palästina und Ägypten war die fehlende Loyalität der Untertanen ihren ehemaligen Oberherren gegenüber. Diese Länder waren erst kurz vor der islamischen Eroberung wieder unter byzantinische Kontrolle gekommen. Weitaus die meisten Bewohner waren [[w:Monophysitismus|monophysitische]] Christen, für die die herrschende [[w:Konzil von Chalcedon|chalkedonische]] (griechisch-orthodoxe) byzantinische Reichskirche ein bedrückender Gegner war. Auch die syrischen Juden waren den neuen Herren freundlich gesinnt, denn die Byzantiner hatten sie jahrhundertelang verfolgt und ihnen den Zugang zur Stadt Jerusalem verwehrt. Im Zuge der islamischen Eroberung Jerusalems wurde der [[w:Tempelberg|Tempelberg]], der über Jahrhunderte nur eine Schutthalde war, als Heiligtum reaktiviert. Als ʿUmar ibn al-Chattāb 638 Jerusalem für die Muslime in Besitz nahm, wurde er von [[w:Kaʿb al-Ahbār|Kaʿb al-Ahbār]], einem zum Islam übergetretenen Juden aus dem Jemen begleitet. Er deutete dieses Ereignis propagandistisch als Erfüllung biblischer Prophetien. Diese Deutungen fielen bei den Juden Syriens offenbar auf fruchtbaren Boden. Sie betrachteten ʿUmar als einen messianischen Herrscher. Der in diesem Zusammenhang verwendete syrisch-aramäische Begriff ''pārōqā'' („Erlöser“) wurde in seiner arabischen Form ''fārūq'' zum allgemein üblichen Beinamen ʿUmars. # Die von den Arabern praktizierte vertragliche Regelung des Herrschaftswechsels brachte den Unterworfenen keine erheblichen Nachteile und führte zu einer „günstige(n) Konstellation konvergierender Interessen“ ([[w:Albrecht Noth|A. Noth]]), die als einer der Hauptgründe für den Erfolg der militärischen Anstrengungen der Araber gelten darf. Wie es im spätantiken Orient üblich war, gewährten die Araber den Bewohnern von Städten, die sich freiwillig ihrer Herrschaft unterwarfen, eine Sicherheitsgarantie. Sie wird in den arabischen Quellen als ''amān'' bezeichnet. Darüber hinaus wurde den Ahl al-kitāb, den Anhängern der monotheistischen Buchreligionen, neben dem Schutz ihres Lebens und Besitzes auch die freie Ausübung ihrer Religion und der Besitz ihrer Kultstätten und -gegenstände garantiert. Dieser Schutz hieß [[w:Dhimma|Dhimma]] und war eine einklagbare Verpflichtung des islamischen Staates gegenüber seinen nichtmuslimischen Untertanen; der einzelne Schutzbürger hieß Dhimmī. Seine Gegenleistung war die Dschizya, zur Zeit der Eroberung wohl als Pauschale der eroberten Stadt zu entrichten. Die in dieser Zeit mit unterworfenen Städten geschlossenen Verträge galten in der gesamten vormodernen Zeit als Modell für die Regelung des Verhältnisses zwischen islamischem Staat und nicht-muslimischen Untertanen. === 4.3.3. Organisation von Staat und Religion === [[File:Kabah Old Picture - panoramio.jpg|mini|Die Verhüllung der Kaaba mit einer neuen [[w:Kiswa|Kiswa]] ist seit ʿUmar ein bedeutendes Symbol islamischer Herrschaft.]] Zur Sicherung der Einkommen der Kämpfer und Gefährten Muhammads führte ʿUmar 641 ein Zentralregister ([[w:Diwan (Verwaltung)|Dīwān]]) ein, in dem die Zahlungen eingetragen wurden, die der Staat regelmäßig jedem zukommen ließ. Wichtigstes Kriterium für die Stellung in dem Register war die Position zum Islam. Deshalb stand an der Spitze mit den höchsten Zuwendungen der Clan, aus dem der Prophet hervorgegangen war, die [[w:Banū Hāschim|Banū Hāschim]]. Diesem Kreis schlossen sich die weiteren Verwandten an, dann kamen die Ansār aus Medina, die [[w:Schlacht von Badr|Badr]]-Kämpfer und die [[w:Schlacht von Uhud|Uhud]]-Überlebenden, schließlich die in Syrien und Irak eingesetzten Stammeskrieger. Auf diese Weise wurde eine feste Besoldung entwickelt, die ʿUmar aus den drei wichtigsten Staatseinnahmen finanzieren konnte. Dazu zählten die Dschizya, die Zakāt und die Bodensteuer (''ḫarāǧ''). Zur Verwaltung der Ausgaben und Einnahmen wurde eine Staatskasse (''bait al-māl'') eingerichtet. Die Heerführer, die in den verschiedenen Ländern auf Posten lagen, wie ʿAmr ibn al-ʿĀs im neueroberten Ägypten, wurden dazu aufgefordert, die Hälfte ihrer Einkünfte in diese Staatskasse einzuzahlen. ʿUmar setzte den Koranlesern (''qurrāʾ'') [[w:Dotation|Dotationen]] aus und setzte in verschiedenen Städten des Reiches Beamte mit dem Titel eines [[w:Qādī|Qādī]] ein. Der Begriff ''Qādī'' wird heute üblicherweise mit „Richter“ übersetzt, allerdings waren in dieser Zeit mit diesem Amt noch zahlreiche andere administrative und hoheitliche Aufgaben verbunden, wie zum Beispiel die Leitung des [[w:Freitagsgebet|Freitagsgebets]]. <div style="background: #fff; border-width: 1px 3px 3px 1px; text-align: center; padding-top:3px; float:{{{float|left}}}; font-size: smaller; line-height: 1.3; margin-left:1em; margin-right: 4px; width: 15em"> '''Heutiges Datum nach <br /> Hidschrī-Zeitrechnung''': ---- {{#timel:xmj.}} {{#switch:{{{1|{{#timel:xmn}}}}}|1=Muharram|2=Safar|3=Rabīʿ I|4=Rabīʿ II|5=Dschumādā I|6=Dschumādā II|7=Radschab|8=Schaʿbān|9=Ramadān|10=Schauwāl|11=Dhū l-Qaʿda|12=Dhū l-Hiddscha}} {{#timel:xmY}}<br /><small>(= {{#timel:j. F}} {{#timel:Y}}) <br /><nowiki>[</nowiki><span class="plainlinks">[{{fullurl:{{FULLPAGENAME}}|action=purge}} aktualisieren]</span><nowiki>]</nowiki></small> </div> Von großer Bedeutung war des Weiteren, dass ʿUmar im Jahre 638 eine neue Zeitrechnung einführte. Anlass dafür waren Streitigkeiten in Armeeteilen über Datierungsfragen. Als erstes Jahr der neuen Zeitrechnung wurde das Jahr der [[w:Hidschra|Hidschra]] des Propheten von Mekka nach Medina festgelegt, das am 16. Juli 622 begann. Damit wurde eine wichtige staatliche Maßnahme zur Vereinheitlichung getroffen. Diese [[w:Hidschrī-Jahreszählung|Hidschrī-Zeitrechnung]] hat sich im Laufe der Zeit im islamischen Herrschaftsbereich immer mehr durchgesetzt und gilt bis heute in vielen islamischen Ländern als eine der offiziellen Zeitrechnungen bzw. sogar die offizielle Zeitrechnung. Weiterhin ist bekannt, dass sich ʿUmar bei der Regierung sehr stark auf das koranische Prinzip der Konsultation ([[w:Schūrā|Schūrā]]) stützte. Zwar hörte er gelegentlich auch den Rat anderer Kreise, doch beschränkte er sich bei der Konsultation üblicherweise auf die verdienten mekkanischen Prophetengefährten. Zahlreiche Berichte beschreiben, wie er deren Meinung über wichtige politische und rechtliche Fragen einholte. Ein solches Gremium von verdienten mekkanischen Prophetengefährten trat auch nach ʿUmars Tod zusammen, um seinen Nachfolger zu wählen. [[File:Prière de Tarawih dans la Grande Mosquée de Kairouan. Ramadan 2012.jpg|mini|Die [[w:Tarāwīh|Tarāwīh]]-Gebete sind bis heute ein wichtiges Ritual im Bereich des [[w:Sunniten|sunnitischen]] Islams]] Auf religiöser Ebene war von wegweisender Bedeutung, dass ʿUmar während seiner Herrschaft die Stoff-Bekleidung ([[w:Kiswa|Kiswa]]) der Kaaba auf Kosten des Staatshaushalts erneuern ließ. Damit wurde dieses ursprünglich heidnische Ritual zu einem wichtigen Herrschaftssymbol im islamischen Staat. Der Ort für das Gebet an der Kaaba wurde durch einen Stein markiert, der entsprechend dem im Koran ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/125 Q 2:125]) genannten „Standplatz Abrahams“ als [[w:Maqām Ibrāhīm|Maqām Ibrāhīm]] bezeichnet wurde. Den Platz um die Kaaba ließ ʿUmar erweitern und mit einer Mauer versehen, womit er die Grundlage der [[w:al-Harām-Moschee|al-Harām-Moschee]] als eines selbständigen Gebäudes legte. Als neue gottesdienstliche Übung im Ramadān führte ʿUmar die nächtlichen [[w:Tarāwīh|Tarāwīh]]-Gebete ein, bei denen zwischen einer großen Zahl von Gebetszyklen immer wieder längere Pausen (''tarāwīḥ'') eingeschoben werden. Während ʿUmars Kalifat wurden auch im Bereich der Geschlechterordnung wichtige Veränderungen vorgenommen, die als Normen bis heute fortwirken. So führte ʿUmar als Bestrafung für außerehelichen Geschlechtsverkehr ([[w:Zinā|Zinā]]) bei bereits verheirateten Personen den Tod durch Steinigung ein. Der Koran sieht bei diesem Vergehen ohne Ansehen der Person als Strafe nur hundert Peitschenhiebe und Ausschluss aus dem Heiratssystem vor ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/24/vers/2 Q 24:2f]). ʿUmar berief sich bei dieser Maßnahme auf den sogenannten [[w:Steinigungsvers|Steinigungsvers]], der seiner Auffassung nach ursprünglich im Koran gestanden hatte, dann aber daraus gestrichen worden war. Das aus dem alten Arabien übernommene Rechtsinstitut der zeitlich begrenzten Genussehe ([[w:Mutʿa-Ehe|Mutʿa]]), auf das zu dieser Zeit noch viele Muslime zurückgriffen, wenn sie kurze sexuelle Beziehungen eingehen wollten, wurde von ʿUmar verboten. Außerdem verschärfte ʿUmar die Regeln für die [[w:Talāq|Verstoßung]] von Ehefrauen: Während nämlich vorher die Ehe erst dann beendet war, wenn der Ehemann die Verstoßungsformel in drei unterschiedlichen Monatsperioden ausgesprochen hatte, galt dies nun auch dann, wenn der Mann sie drei Mal direkt nacheinander ausgesprochen hatte. === 4.3.4. Die Vielgestaltigkeit des Korantextes === Ein bekannter Bericht besagt, dass ʿUmar noch während Abū Bakrs Kalifat von der Tatsache beunruhigt gewesen sei, dass in der Schlacht gegen Musailima viele ''qurrāʾ'' getötet worden waren. Die ''qurrāʾ'', d.h. Koranleser, waren jene, die den Koran auswendig kannten. Aus Furcht, dass infolge solcher Verluste schließlich auch die Kenntnis des heiligen Textes verloren gehen könnte, riet er Abū Bakr, eine Sammlung des Korans erstellen zu lassen. Mit diesem Unternehmen wurde [[w:Zaid ibn Thābit|Zaid ibn Thābit]], einer von Muhammads Sekretären (vgl. oben [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 03#3.2.5. Der allmähliche Machtzuwachs des Propheten|3.2.5.]]), beauftragt. Zaid schrieb nieder, was er auf Blättern (''ṣuḥuf'') gesammelt hatte, und übergab dies Abū Bakr. Es gibt allerdings keine Belege dafür, dass diese „Sammlung“ irgendwo als autoritativ akzeptiert wurde. ʿUmar befand sich aber wohl zu Beginn seines Kalifats im Besitz dieser Sammlung. Außer dieser Sammlung ʿUmars gab es zu seiner Zeit noch eine Anzahl anderer Kodizes, von denen die vier berühmtesten diejenigen von [[w:Ubaiy ibn Kaʿb|Ubaiy ibn Kaʿb]], [[w:ʿAbdallāh ibn Masʿūd|ʿAbdallāh ibn Masʿūd]], Miqdād ibn Aswad und [[w:Abū Mūsā al-Aschʿarī|Abū Mūsā al-Aschʿarī]] waren. Ubaiy war wie Zaid ibn Thābit Sekretär des Propheten gewesen und hatte schon zu seinen Lebzeiten Mitschriften seiner Verkündigungen angefertigt (vgl. oben [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 03#3.2.5. Der allmähliche Machtzuwachs des Propheten|3.2.5.]]). ʿAbdallāh ibn Masʿūd und Miqdād ibn Aswad, die Muslime der ersten Stunde waren, hatten den Koran dagegen nur mündlich memoriert. Miqdād war während der Zeit von ʿUmar in Syrien stationiert, ʿAbdallāh ibn Masʿūd wurde von ʿUmar 642 als Qādī nach Kufa geschickt. Der Jemenit Abū Mūsā al-Aschʿarī, der sich dem Propheten erst 628 angeschlossen hatte, wurde 638 von ʿUmar zum Statthalter von Basra ernannt. Was die Verbreitung der von diesen Männern erstellten Kodizes anlangt, so hielten sich die Dasmaszener an die Lesart des Ubaiy, die Kufier an die des Ibn Masʿūd, die Basrier an die des Abū Mūsā und die Bewohner von Homs an diejenige des Miqdād. Dass die Ausgaben des Ibn Masʿūd und Abū Mūsā in Kufa bzw. Basra solches Ansehen erreichten, hängt sicherlich damit zusammen, dass die beiden Männer dort als staatliche Funktionsträger tätig waren. Die Verwendung der Sammlung von Ubaiy, der sich selbst in Medina aufhielt, in Damaskus deutet dagegen darauf hin, dass diese Sammlung zu dieser Zeit eine überregionale Bedeutung erhalten hatte. Die Zulässigkeit all dieser verschiedenen Versionen des Korantextes wurde mit Berichten begründet, wonach der Prophet zu Lebzeiten Gefährten, die über die Unterschiedlichkeit der im Umlauf befindlichen Versionen des Korantexts besorgt, selbst damit beruhigt habe, dass der Koran in sieben Varianten (''ʿalā sabʿati aḥruf'') offenbart worden sei. Bei der Verbreitung dieser Berichte nahm Ubaiy eine Schlüsselrolle ein. Die textlichen Unterschiede zwischen den verschiedenen Versionen waren zum Teil beträchtlich. So war zum zum Beispiel in [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/3/vers/19 Sure 3:19] in der Sammlung Ibn Masʿūds als Name für die Religion nicht Islam, sondern ''Hanīfīya'' angegeben. == 4.4. ʿUthmān ibn ʿAffān (644-656) - „Stellvertreter Gottes“ == === 4.4.1. Nepotismus und Selbstbereicherung der Umaiyaden === Nach dem Tod von ʿUmar trat das von ihm gebildete Konsulativgremium verdienter Prophetengefährten zusammen, um seinen Nachfolger zu wählen. Ihm gehörten sechs Männer an: [[w:ʿUthmān ibn ʿAffān|ʿUthmān ibn ʿAffān]], ʿAlī ibn Abī Tālib, [[w:ʿAbd ar-Rahmān ibn ʿAuf|ʿAbd ar-Rahmān ibn ʿAuf]], [[w:Talha ibn ʿUbaidallāh|Talha ibn ʿUbaidallāh]], [[w:az-Zubair ibn al-ʿAuwām|az-Zubair ibn al-ʿAuwām]] und [[w:Saʿd ibn Abī Waqqās|Saʿd ibn Abī Waqqās]]. Von den genannten Personen hegten allein ʿAlī und ʿUthmān Ambitionen auf die Nachfolge. ʿAbd ar-Rahmān verzichtete auf die Kandidatur unter der Bedingung, dass ihm im Falle der Uneinigkeit die Aufgabe des Schiedsrichters übertragen würde. Da Saʿd für ʿAlī votierte und az-Zubair für ʿUthmān, Talha aber abwesend war, kam ʿAbd ar-Rahmān als Schiedsrichter zum Einsatz. Er entschied sich nach Beratungen mit den Häuptern der quraischitischen Clane für ʿUthmān, wodurch dieser zum neuen Kalifen wurde. ʿUthmān gehörte den [[w:Umayyaden|Umaiyaden]], einer Familie der ʿAbd Schams, an. Bei der endgültigen Einigung auf ʿUthmān war wahrscheinlich dieser ''nasab'' letztlich ausschlaggebend. In jedem Fall kündigt sich mit der Erhebung des Umaiyaden ʿUthmān die wenig später erfolgte Etablierung der ersten islamischen Dynastie, die sich eben aus der Umaiya-Familie rekrutierte, bereits an. {{Anker|Marwan}} Schon kurz nach seiner Amtseinführung setzte ʿUthmān Verwandte in zentrale Statthalterposten ein. Syrien befand sich ohnehin schon seit ʿUmar in der Hand des Umaiyaden [[w:Muʿāwiya_I.|Muʿāwiya ibn Abī Sufyān]]. Er war der Sohn von Muhammads ehemaligen Gegner [[w:Abū Sufyān ibn Harb|Abū Sufyān ibn Harb]]. Aber auch in Kufa und Ägypten wurden jetzt Umaiyaden als Gouverneure eingesetzt. Saʿd ibn Abī Waqqās, der Gründer von Kufa, musste ʿUthmāns Verwandten, Walīd ibn ʿUqba, weichen. ʿAmr ibn al-ʿĀs, der Eroberer Ägyptens, der noch im Jahre 645 einen byzantinischen Versuch, Ägypten wiederzuerobern, erfolgreich abwehren konnte, wurde als Gouverneur durch [[w:ʿAbdallāh ibn Saʿd|ʿAbdallāh ibn Abī Sarh]], einen Vetter ʿUthmāns mit zweifelhafter Vergangenheit (vgl. oben [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 03#3.2.3. Andere Gegner Muhammads|3.2.3.]]), ersetzt. Als es im Jahre 649/50 zu Beschwerden über den Statthalter von Basra, Abū Mūsā al-Aschʿarī, kam, wurde auch diese Posten noch mit einem Umaiyaden, nämlich ʿAbdallāh ibn ʿĀmir, besetzt. Zum engsten Berater des Kalifen stieg [[w:Marwan I.|Marwān ibn al-Hakam]] auf, ebenfalls ein Umaiyade. Diese [[w:Vetternwirtschaft|nepotistische]] Politik führte zu einer Entfremdung zwischen dem Kalifen und dem Gremium von Prophetengefährten, die ihn in dieses Amt gewählt hatten. [[File:Mohammad adil-Rashidun-empire-at-its-peak-close.PNG|mini|Die Ausdehnung des islamischen Reiches gegen Ende von ʿUthmāns Kalifat]] Dennoch konnten die Eroberungszüge unter ʿUthmān und seinen Gouverneuren erfolgreich fortgesetzt werden. Muʿāwiya hatte schon 642 von Damaskus aus den Heerführer Habīb ibn Maslama zum Kampf in den [[w:Kaukasus|Kaukasus]] entsandt. Er konnte 645 die georgische Hauptstadt [[w:Tiflis|Tiflis]] einnehmen und bis 652 Armenien unterwerfen. Außerdem baute Muʿāwiya in den syrischen Hafenstädten eine Flotte auf, besetzte 649 [[w:Zypern|Zypern]] und drängte Byzanz aus dem östlichen Mittelmeer zurück. ʿAbdallāh ibn Abī Sarh unternahm von [[w:Fustāt|al-Fustāt]] aus Expeditionen an der nordafrikanischen Küste entlang in Richtung Westen und eroberte 647 [[w:Tripolitanien|Tripolitanien]]. 652 unterwarf er außerdem [[w:Oberägypten|Oberägypten]] und brachte das Königreich [[w:Nubien|Nubien]] in ein Tributverhältnis zum islamischen Staat. Zur Kontrolle der nubischen Tributzahlungen wurde in der Stadt Syene (heute [[w:Assuan|Assuan]]) eine Militärgarnison stationiert. ʿAbdallāh ibn ʿĀmir vollendete 650 mit der Einnahme von [[w:Persepolis|Persepolis]] die Eroberung der [[w:Persis|Persis]] ([[w:Fars|Fārs]]) und besetzte 651/2 die sassanidische Nordostprovinz [[w:Chorasan|Chorasan]] mit den Städten [[w:Nischapur|Nischapur]], [[w:Merw|Merw]], [[w:Balch|Balch]] und [[w:Herat|Herat]]. Im gleichen Jahr fiel der Sassaniden-Herrscher [[w:Yazdegerd_III.|Yazdegerd III.]] in Merw einem Mordanschlag zum Opfer, womit die Sassaniden-Dynastie endgültig erlosch. ʿUthmān machte sich allerdings dadurch unbeliebt, dass er einen Teil der bei den Futūh eroberten Ländereien, die nach Vorstellung der Kämpfer der Gemeinschaft der Muslime insgesamt gehörten, unter Berufung auf den im Koran beschriebenen „Fünft“ (''ḫums'', vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/8/vers/41 Q 8:41]) zurückhielt und unter seinen Gouverneuren und Verwandten als Landgüter (''qaṭāʾiʿ'') verteilte. Auch verschiedene Prophetengefährten wie etwa Talha wurden großzügig mit Landschenkungen bedacht. Einer von ʿUthmāns Verwandten, der im Irak als Gouverneur eingesetzt war, verstieg sich zu der Aussage, dass das Fruchtland des Irak, der sogenannte ''sawād'', „Garten der Quraisch“ geworden sei, also gewissermaßen Eigentum dieses Stammes. Auch ʿAbdallāh ibn Abī Sarh, ʿUthmāns Gouverneur in Ägypten, tat sich durch gesteigerte Ausbeutungsmethoden negativ hervor. Mit den so erlangten Mitteln erbaute er sich in Ägypten einen prächtigen Palast. Allein diese Haltung bedeutete, wenn man ʿUmars Anweisungen hinsichtlich der Bauaktivität zum Vergleich heranzieht, eine bedenkliche Veränderung. Im Gegensatz zu seinen Vorgängern erhob ʿUthmān auch Anspruch auf göttliche Autorisierung. Er bezeichnete sich in seinen Urkunden nicht mehr als Stellvertreter des Gottesgesandten (''ḫalīfat rasūl Allāh''), sondern direkt als Stellvertreter Gottes (''ḫalīfat Allāh''). Damit stellte er sich in die Nachfolge des Königs [[w:David|David]], von dem Gott im Koran ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/38/vers/26 38:26]) sagt, dass Er ihn als Stellvertreter auf Erden eingesetzt habe, damit er zwischen den Menschen nach der Wahrheit richte. Dieses Modell des Kalifats übernahmen später fast alle anderen Herrscher, die diesen Titel für sich beanspruchten. === 4.4.2. Die Erstellung einer offiziellen Koranausgabe === [[File:The ‘Uthman Qur'an - Kufic.jpg|mini|links|Ausschnitt aus einem Korantext, der auf ʿUthmān zurückgeführt wird. [[w:Diakritisches Zeichen|Diakritische Zeichen]] fehlen.]] Unter dem Kalifat ʿUthmāns wurde eine erste offizielle Koranausgabe erstellt. Die islamische Tradition besagt, dass zu dieser Zeit, insbesondere während der Kriegszüge nach Armenien und Aserbaidschan, also im Jahre 652, Männer aus Syrien und dem Irak über die verschiedenen Lesarten des Korans in Streit gerieten. Als der General Hudhaifa von der Expedition zurückgekehrt war, trug er die Sache dem Kalifen vor, und der Kalif beschloss, eine Kommission einzusetzen, die einen offiziellen Korantext festlegen sollte. Mit dieser Aufgabe wurde erneut Zaid ibn Thābit betraut, wobei ihm jedoch drei Muslime aus Mekka zur Seite gestellt wurden. Die Kommissionsmitglieder wurden angewiesen, sich dort, wo es irgendeine sprachliche Schwierigkeit bei der Lesung gab, an den Dialekt der Quraisch von Mekka zu halten. Zaid und seinen Mitarbeiter händigte man für ihre Arbeit die Blätter (''ṣuḥuf'') ʿUmars aus, die bei seinem Tod an seine Tochter [[w:Hafsa bint ʿUmar|Hafsa]] gegangen war. Mit dieser Version verglichen sie alle Koranfragmente, die sie finden konnten, und fügten an passenden Stellen alle ausgelassenen Verse ein. Ziel ihrer Bemühungen war die Festlegung eines autoritativen Textes des Korans. Davon wurden dann Kopien angefertigt und in die wichtigsten Städte des islamischen Reiches (Damaskus, Kufa, Basra und wahrscheinlich auch Mekka) geschickt. Es heißt, dass ʿUthmān die anderen Korankodizes vernichten ließ. In Wirklichkeit wurde aber keine völlige Vertilgung der anderen Niederschriften erreicht. ʿAbdallāh ibn Masʿūd zum Beispiel weigerte sich erfolgreich, seinen Korankodex herauszugeben. Von den anderen Korankodizes wich die neu erstellte offizielle Koranausgabe in mehreren Punkten ab. So enthält sie am Anfang und Ende Gebete, die in anderen Korankodizes fehlten. Sie bilden die erste Sure, die [[w:al-Fātiha|Fātiha]], und die beiden letzten mit ''aʿūḏu bi-rabbi'' („Ich nehme Zuflucht beim Herrn...“) eingeleiteten Suren [[w:Sure 113|Sure 113]] und [[w:Sure 114|114]], die [[w:Apotropaion|apotropäische]] Funktion haben. Die Fātiha ist ein Eröffnungsgebet, das für den Gottesdienst der Muslime sehr große Bedeutung hat und deswegen auch mit dem christlichen [[w:Vaterunser|Vaterunser]] verglichen worden ist. Sein Text lautet: [[Datei:FirstSurahKoran.jpg|mini|hochkant|Kalligraphisch gestaltete Fātiha in arabischer Schrift, {{Audio|Surah Al fatiha104.ogg|Die Fātiha zum Anhören}}]] <poem lang="nl" style="margin-left:2em; float:left;"> ''Bi-smi Llāhi r-raḥmāni r-raḥīm'' ''al-ḥamdu li-Llāhi rabbi l-ʿālamīn'' ''ar-raḥmāni r-raḥīm'' ''māliki yaumi d-dīn'' ''īyāka naʿbudu wa-īyāka nastaʿīn'' ''ihdī-nā ṣ-ṣirāta l-mustaqīm'' ''ṣirāta llaḏīna anʿamta ʿalai-him'' ''ġairi l-maġḍūbi ʿalai-him wa-lā ḍ-ḍāllīn'' </poem> <poem style="margin-left:2em; float:left;"> Im Namen Gottes, des barmherzigen Erbarmers, Lob sei Gott, dem Herrn der Welten, dem barmherzigen Erbarmer, dem König des Gerichtstags. Dir dienen wir, dich rufen wir um Hilfe an. Führe uns den rechten Weg, den Weg derer, denen du Huld erwiesen hast, nicht derer, denen du zürnst und nicht derer, die irregehen. </poem> <div style="clear:left;"></div> Von großer Bedeutung war eine Differenz in [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/24 Sure 4:24]. In dem Passus, in dem den Männern erlaubt wird, sich mit ihrem Vermögen über ihre gewöhnlichen Ehefrauen hinaus sonstige Frauen zu verschaffen, wenn sie ihnen nach dem erfahrenen Genuss ihren Lohn geben, stand sowohl in dem Kodex von ʿAbdallāh ibn Masʿūd als auch in demjenigen von Ubaiy ibn Kaʿb der Ausdruck ''ilā aǧal musammā'' („bis zur genannten Zeit“). Daraus leiteten mehrere [[w:Sahāba|Prophetengefährten]] ab, dass zeitlich begrenzte Ehen zum Zweck des sexuellen Genusses ([[w:Mutʿa-Ehe|Mutʿa]]) trotz des Verbotes durch ʿUmar weiterhin erlaubt seien. In dem Korantext von ʿUthmān, der Grundlage aller späteren Koranausgaben ist, fehlt dieser Ausdruck. === 4.4.3. Die Entstehung einer religiös-politischen Opposition === Gegen die neu eingetretenen Umstände, Haltungen und Denkweisen in den aristokratischen Führungskreisen des Reiches bildete sich in Syrien und im Irak eine religiös-politische Oppositionsbewegung, die vor allem von Frommen, die zu Muhammads frühen Anhängern gehört hatten, getragen wurde. Einer der bekanntesten Vertreter dieser Bewegung war [[w:Abū Dharr al-Ghifārī|Abū Dharr al-Ghifārī]], der aufgrund seines frühen Beitritts zum Islam und seiner Meriten als Kämpfer eine hohe Stellung in der islamischen Gemeinde hatte. Als ʿUthmān nach den Eroberungszügen von 647 in Tripolitanien einen Großteil des erbeuteten Vermögens an Verwandte und seinen Sekretär Zaid ibn Thābit gab, predigte Abū Dharr gegen diejenigen, die „Geld anhäufen“, wobei er sich auf das Koranwort von Sure [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/34 9:34] bezog: „Wer aber Gold und Silber hortet und es nicht für die Sache Gottes ausgibt, denen verkünde schmerzhafte Strafe.“ ʿUthmān verbannte ihn daraufhin nach Syrien, wo Abū Dharr aber weitere Auseinandersetzungen mit dem dortigen umaiyadischen Statthalter Muʿāwiya hatte. Abū Dharr warf ihm vor, die ihm anvertrauten Gelder der Muslime zu veruntreuen, und forderte bei Predigten die Reichen dazu auf, die Armen zu unterstützen. Offensichtlich fand Abū Dharrs Bestreben ein beachtliches Echo unter den Armen in Syrien, denn diese versuchten daraufhin, die Reichen zu entsprechenden Handlungen zu zwingen. Als es zu Beschwerden bei Muʿāwiya kam, wandte sich dieser schriftlich an ʿUthmān und meldete ihm, dass Abū Dharr die Menschen in Syrien gegen ihn aufhetze. ʿUthmān ließ den angeblichen Aufrührer hierauf nach Medina kommen und zog seine Hinrichtung in Erwägung, nahm jedoch auf Anraten von ʿAlī ibn Abī Tālib davon Abstand. Der Kalif schickte ihn schließlich in eine Art Verbannung nach Rabdha, einem Dorf der Umgebung, wo er in Armut und Zurückgezogenheit um das Jahr 652 verstarb. Das harte Vorgehen gegen diesen populären Prophetengefährten schadete ʿUthmāns Ansehen stark. Auch in den Lagern Kufa und Basra, die durch Einwanderung von Stammesangehörigen der arabischen Halbinsel mittlerweile zu bedeutenden Siedlungen herangewachsen waren, regte sich Widerstand gegen ʿUthmān. In Kufa kritisierte ʿAbdallāh Ibn Masʿūd schon 650 den neuen Gouverneur, dessen heidnisches Gebaren ihn verstörte. 651 kam es zum Bruch mit ʿUthmān. Ibn Masʿūd fiel in Ungnade, unter Umständen, die nicht klar sind. Eine öffentliche Szene folgte, bei der er vom Kalifen misshandelt wurde. Ein Grund für diese Konfrontation mag die Auseinandersetzung um Ibn Masʿūds Korankodex (''muṣḥaf'') gewesen sein. Ibn Masʿūd zufolge war der [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/5/vers/67 Vers 5:67] zur Zeit des Propheten mit einem explizit auf ʿAlī bezogenen Zusatz versehen gewesen. Das deutet auf eine große Loyalität Ibn Masʿūds gegenüber ʿAlī und seiner Familie hin. === 4.4.4. ʿUthmāns Ermordung === [[File:Rebellions against Uthman & the Kharijite Origins.png|mini|Die Orte, von denen aus die Unzufriedenen nach Medina zogen.]] In den letzten Jahren des Kalifats von ʿUthmān wurden die Beschwerden gegen ihn immer lauter, und es entstand eine regelrechte Protestbewegung. Nach dem Bericht [[w:at-Tabarī|at-Tabarī]]s war es ein Mann namens [[w:ʿAbdallāh ibn Saba'|ʿAbdallāh ibn Saba']], der sie von Ägypten aus koordinierte. Er stellte ʿUthmān als Usurpator dar und propagierte, dass allein ʿAlī als Mohammeds Bevollmächtigter (''waṣī'') zur Herrschaft über die [[w:Umma|Umma]] befugt sei. Im Frühjahr 656 zogen große Gruppen Unzufriedener aus Ägypten, Basra und Kufa nach Medina, führten beim Kalifen über verschiedene Dinge Klage und verlangten seine Absetzung. ʿUthmān, der ihre Forderungen für unberechtigt hielt, bequemte sich schließlich zu Verhandlungen und sagte zu, ihre Beschwerden zu prüfen. Die Unzufriedenen wurden dadurch zunächst weitgehend beruhigt und traten den Heimweg an. Die Beschwerdeführer aus Ägypten fingen aber unterwegs einen Boten des Kalifen ab, der eine geheime Botschaft an den Statthalter in Ägypten bei sich hatte. Darin beauftragte der Kalif diesen, die Anführer hinzurichten und andere entsprechend zu bestrafen. Aufgebracht kehrten die Unzufriedenen nach Medina zurück, stellten den Kalifen zur Rede und forderten ihn ultimativ zum Rücktritt auf. Es kam zur Belagerung seines Hauses, wo ihn seine Knechte und Verwandten verteidigten und damit die Konfrontation verschärften. Das Gebäude wurde am 17. Juni 656 gestürmt, und ʿUthmān ermordet. Eine wichtige Folge der Ermordung ʿUthmāns war, dass die Stadt Medina fortan ihre Rolle als politisches Zentrum des islamischen Staates verlor. Noch wichtiger war allerdings, dass es über die Beurteilung von ʿUthmān und die Frage, ob seine Ermordung gerechtfertigt war, zu einer tiefgehenden Spaltung der Muslime kam, die bis heute noch nicht überwunden ist. In diesen Auseinandersetzungen um ʿUthmān tauchte zum ersten Mal eine wichtige Formel auf, die nämlich von dem „Buch Gottes und der [[w:Sunna|Sunna]] des Propheten“. Mit dem Buch Gottes war der Koran gemeint, mit der Sunna des Propheten die von diesem begründete Handlungspraxis, die man in der Gemeinschaft der Muslime als normativen Maßstab ansah. Während die Gegner ʿUthmāns überzeugt waren, dass ʿUthmān gegen die Prinzipien von Koran und Prophetensunna verstoßen hatte, verteidigten seine Parteigänger, insbesondere die Umaiyaden, seine Handlungsweise gegen diesen Vorwurf. == 4.5. Weiterführende Literatur == * Sean Anthony: ''The Caliph and the heretic: Ibn Saba' and the origins of Shīʿism.'' Leiden 2012. * [[w:Al-Balādhurī|Al-Balādhurī]]: ''Kitāb Futūḥ al-buldān.'' Deutsche Übersetzung von [[w:Oskar Rescher|Oskar Rescher]]. 2 Bde. Leipzig 1917, Stuttgart 1923. * Heribert Busse: „ʿOmar b. al-Ḫaṭṭāb in Jerusalem“ in ''Jerusalem Studies in Arabic and Islam'' 5 (1984) 73–119. * Patricia Crone und Michael Cook: ''Hagarism. The Making of the Islamic World.'' Cambridge 1977. * Patricia Crone und Martin Hinds: ''God’s Caliph. Religious authority in the first centuries of Islam.'' Cambridge 1986. * Paul Gerhard Dannhauer: ''Untersuchungen zur frühen Geschichte des Qadi-Amtes.'' Bonn 1975. * Fred Donner: ''The early Islamic conquests.'' Princeton, NJ 1981. * Taieb El-Hibri: ''Parable and Politics in Early Islamic History. The Rashidun Caliphs.'' New York-Chichester 2010. * [[w:Martin Hinds|Martin Hinds]]: “The Murder of the Caliph ʿUthmān” in ''International Journal of Middle East Studies'' 3 (1972) 450–469. * Wilferd Madelung: ''The Succession to Muhammad. A study of the early caliphate.'' Cambridge 1997. * Al Makin: ''Representing the enemy: Musaylima in Muslim literature''. Frankfurt/Main 2010. * Theodor Nöldeke: ''Geschichte des Qorāns. Zweiter Teil: Die Sammlung des Qorāns.'' 2. Aufl. völlig umgearbeitet von Fr. Schwally. Leipzig 1919. * Albrecht Noth: “Von der medinensischen 'Umma' zu einer muslimischen Ökumene“ in A. Noth u. J. Paul (Hrsg.): ''Der Islamische Orient. Grundzüge seiner Geschichte.'' Würzburg 1998. * David Stephan Powers: ''Muḥammad is not the father of any of your men: the making of the last prophet''. Philadelphia 2009. * Israel Wolfensohn: ''Kaʿb al-Aḥbār und seine Stellung im Ḥadīṯ und in der islamischen Legendenliteratur.'' Gelnhausen 1933. == 4.6. Fragen/Aufgaben == 1. Welche Umstände erleichterten die islamische Eroberung des Vorderen Orients? 2. Welche Veränderungen nahm Muhammad am Haddsch-Ritual vor? 3. Nach dem Tode Muhammads traten unter den Muslimen erhebliche Meinungsverschiedenheiten auf. Erklären Sie, um welches Problem es ging, und wie dieses gelöst wurde. 4. Welche Titel nahmen die ersten muslimischen Herrscher nach Muhammad an und welche Vorstellungen waren mit ihnen verbunden? 5. Nennen Sie politische und religiöse Reformen, die unter dem Kalifen ʿUmar ibn al-Chattāb vorgenommen wurden. 6. In welcher Weise lag der Koran nach dem Tode Muhammads vor und welche redaktionellen Prozesse fanden bis zum Kalifat ʿUmars statt? 7. Der Kalif ʿUthmān ließ die erste offizielle Koranausgabe erstellen. In welchen Punkten wich sie von anderen damals verwendeten Korankodizes ab? 8. Beschreiben Sie die Entwicklungen, die zur Ermordung des Kalifen ʿUthmān und damit auch zur Spaltung der Muslime führten. {{Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI)/Navigation}} jlpixfm9h8gfv7h25vmuds8b8qy1ms4 1116501 1116497 2026-10-16T21:48:08Z PaFra 14559 /* 4.2.1. Die Ereignisse der Saqīfa und die Anfänge des Kalifats */ 1116501 wikitext text/x-wiki {{Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI)/Navigation}} [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 03|3 <<<]] — [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 05|>>> 5]] {{TOC nonum}} = 4. Die Expansion des islamischen Staates und das frühe Kalifat (630-656) = Der Staat von Yathrib/Medina steigt zur wichtigsten Macht in Arabien auf. Muhammads Tod 632 stürzt ihn zwar in eine schwere Krise, doch kann sie schnell überwunden und mit Hilfe der arabischen Stämme eine Expansionsbewegung in Gang gesetzt werden, die zur Eroberung des gesamten Vorderen Orients führt. Wichtige religiöse Neuerungen: die Reform des Kalenders und die Kodifizierung des Korans. == 4.1. Die letzten Jahre des Propheten (630-632) == === 4.1.1. Aussöhnung mit den Quraisch und Anschluss der Araber === Wenige Tage nach der Einnahme von Mekka durch die Muslime zog vom Südosten her eine neue militärische Gefahr herauf. Die Stämme der Hawāzin und der Thaqīf hatten eine Armee von 20.000 Kämpfern aufgestellt und bedrohten damit Mekka. Da die Hawāzin nicht nur Muhammad und den Muslimen, sondern auch den heidnisch gebliebenen Quraisch feindlich gegenüber standen, ergab sich die Gelegenheit zu einem Ausgleich. Als Muhammad die heidnischen Mekkaner dazu aufforderte, zusammen gegen den gemeinsamen Feind zu ziehen, schlossen sich ihm etwa 2.000 Mann von ihnen an. In dem Tal [[w:Hunain|Hunain]] kam es zu einer Schlacht, bei der zeitweise der Ausgang unsicher schien (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/25 Q 9:25f]), doch am Ende siegten Muhammads Truppen und eroberten das feindliche Lager. Viele der früheren mekkanischen Gegner Muhammads, darunter auch die Söhne [[w:Abū Sufyān ibn Harb|Abū Sufyāns]], konnten bei dieser Gelegenheit durch eine großzügige Beuteverteilung für den Islam gewonnen werden. Diese mekkanischen „Spätkonvertiten“ werden in Anlehnung an einen Koranvers, der auf das Ereignis Bezug nimmt ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/60 Q 9:60]), als ''al-muʾallafa qulūbu-hum'' („die, deren Herzen gewonnen wurden“) bezeichnet. Zu einem raschen Interessenausgleich mit früheren Gegnern trug auch bei, dass Muhammad die Familien, die bisher die kultischen Ämter in Mekka ausgeübt hatten, in diesen Ämtern bestätigte. So übergab er einem Angehörigen der ʿAbd ad-Dār, die schon vorher das Türhüteramt der Kaaba versehen hatten, den Schlüssel des Heiligtums als Zeichen seiner erblichen Belehnung mit diesem Amt. Bis heute haben die Banū Schaiba, die Nachkommen von Schaiba ibn ʿUthmān aus dem Clan ʿAbd ad-Dār, dieses Türhüteramt der Kaaba inne. [[File:Jami Masjid, Mandu - minbar 01.jpg|mini|[[w:Minbar|Minbar]] in der Freitagsmoschee von [[w:Mandu (Stadt)|Mandu]], 14. Jh.]] Nach der Schlacht von Hunain im Frühjahr 630 war die Expansion der neuen Religion in das Innere der Arabischen Halbinsel überwältigend. Muhammad sandte Briefe an die in den verschiedenen Teilen der arabischen Halbinsel lebenden Stämme und forderte sie auf, den Islam anzunehmen. Verschiedene Stämme wie die [[w:Azd (Stamm)|Azd]], [[w:Kinda (Arabien)|Kinda]] und [[w:Bāhila|Bāhila]] schickten umgekehrt Gesandtschaften zu ihm und baten ihn um Aufnahme in sein Bündnis. Deshalb wird das Jahr nach der Einnahme Mekkas in der islamischen Geschichtsschreibung auch das „Jahr der Gesandtschaften“ (''ʿām al-wufūd'') genannt. Bei seinen Predigten und Verhandlungen mit den Delegationen verwendete der Prophet jetzt häufig den [[w:Minbar|Minbar]], einen kanzelartigen Thron aus Holz. Ursprünglich wohl ein Hoheitssymbol, wurde der Minbar später als Ort, von dem aus die Freitagspredigt gehalten wird, zu einem festen Bestandteil der Innenausstattung von Moscheen. Für offene Gegner des Propheten wurde das Leben auch außerhalb Mekkas nun immer schwieriger. Sicher waren sie nur, wenn sie sich dem Propheten unterwarfen und den Islam annahmen. So tat es beispielsweise [[w:ʿIkrima ibn Abī Dschahl|ʿIkrima]], der Sohn von [[w:Abū Dschahl|Abū Dschahl]], der bis zuletzt gegen Muhammad gekämpft hatte und zunächst in den Jemen geflohen war. Bekannt geworden ist auch der Dichter [[w:Kaʿb ibn Zuhair|Kaʿb ibn Zuhair]], der in satirischen Versen Muhammad angegriffen hatte und deshalb zur Tötung freigegeben worden war. Er tauchte in dieser Zeit überraschend in Medina auf und trug öffentlich ein Lobgedicht auf den Propheten und die Quraisch vor. Dieses mit den Worten ''Bānat Suʿād'' beginnende Gedicht wurde später zu einem der wichtigsten religiösen Gedichte des Islams und ist als solches immer wieder kommentiert und schmückend erweitert worden. Im Herbst 630 kam es noch einmal zu einer internen Krise, als Muhammad, offenbar gegen den Willen vieler seiner Anhänger (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/81 Q 9:81]), einen Feldzug gegen die Byzantiner und ihre arabischen Bundesgenossen an der syrischen Grenze unternahm. Zeitgleich mit diesem [[w:Feldzug nach Tabūk|Feldzug nach Tabūk]] setzten sich einige von Muhammads Anhängern ab, errichteten sich eine eigene Moschee (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/107 Q 9:107-11]) und heckten gegen den Propheten eine Intrige aus. Die Koranverse, die diese Situation verarbeiten, fordern den Propheten auf, hart gegen die als [[w:Munāfiq|Munāfiqūn]] und [[w:Kāfir|Kuffār]] bezeichnete Gruppe vorzugehen und drohen diesen als Apostaten die Höllenstrafe an (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/73 Q 9:73f]). Den Gläubigen wurde umgekehrt im Koran für ihren kämpferischen Einsatz großer jenseitiger Lohn in Aussicht gestellt. Das Verhältnis zwischen ihrem Einsatz und der jenseitigen Belohnung wird dabei nach Art eines Handelsgeschäfts mit Gott beschrieben: {{Zitat|Gott hat den Gläubigen ihr Leben und ihr Vermögen dafür abgekauft, dass sie das Paradies haben sollen. Sie sollen kämpfen für die Sache Gottes und töten und getötet werden. Das ist ein ihn bindendes Versprechen [...]. Und wer hält sein Versprechen getreuer als Gott? Freut euch also über das, was ihr erkauft habt. Denn das ist der große Gewinn.|[https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/111 Q 9:111]}} Mit diesem und ähnlich lautenden Versen (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/74 Q 4:74]; [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/61/vers/10 61:10]) wurde im Islam ein eigenes Konzept des Märtyrertums begründet: Derjenige, der sich im Kampf selbst aufopfert und den Tod auf dem Schlachtfeld findet, ist kein Verlierer, sondern in Wirklichkeit der „große Gewinner“. Diese Form der religiösen Mobilisierung der Gläubigen zum Kampf hat möglicherweise entscheidend zur schnellen Expansion des islamischen Staates beigetragen. === 4.1.2. Muslime und Nicht-Muslime === Die Annahme des Islams wurde jetzt zur strikten Vorbedingung einer Aufnahme in das Bündnis mit Mohammed. Das bedeutete zugleich, dass sich ihm immer mehr Menschen rein aus politischen und wirtschaftlichen Gründen anschlossen, der neuen Religion jedoch innerlich kaum zugetan waren. Das galt wohl vor allem für die Beduinen, wie aus einem in dieser Hinsicht vielsagenden Koranvers hervorgeht: {{Zitat|Die Wüstenaraber (''al-Aʿrāb'') sagen: Wir glauben! Sprich: Ihr glaubt nicht! Sagt vielmehr: Wir haben uns unterworfen. Denn der Glaube ist noch nicht in eure Herzen eingedrungen.|[https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/49/vers/14 Sure 49:14]}} Unterwerfung (''islām'') unter den Willen Gottes und seines Gesandten, so sagt es uns dieser Vers, bedeutete eben nicht immer auch innerliche Annahme des Glaubens ([[w:Īmān|Īmān]]). Um als „Brüder in der Religion“ anerkennt zu werden, war es allerdings nur notwendig, das Gebet ([[w:Salāt|Salāt]]) zu verrichten und die Läuterungsgabe ([[w:Zakāt|Zakāt]]) entrichten (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/11 Q 9:11]). Die in frühmekkanischer Zeit als fromme Übung eingeführte Zakāt hatte sich offenbar bis zu diesem Zeitpunkt zu einer Art Almosensteuer entwickelt. Als Synonym für ''zakāt'' erscheint in dieser Zeit im Koran auch das Wort [[w:Sadaqa|Sadaqa]] (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/103 Q 9:103]). Zum Einzug dieser Abgaben, aber auch zur Unterweisung der neu bekehrten Stämme in der Religion sandte Muhammad mehrere seiner Gefährten in die verschiedenen Gebiete der arabischen Halbinsel, so zum Beispiel [[w:Abū Huraira|Abū Huraira]] nach Bahrain in Ostarabien (nicht identisch mit dem heutigen Staat [[w:Bahrain|Bahrain]]), [[w:ʿAmr ibn al-ʿĀs|ʿAmr ibn al-ʿĀs]] nach [[w:Oman|Oman]] und Muʿādh ibn Dschabal in den [[w:Jemen|Jemen]]. Nachdem Muhammad mit den Heiden und Juden gebrochen hatte, scheint er noch lange eine positive Einstellung gegenüber dem Christentum gewahrt zu haben. Das zeigt eine Stelle im Koran, an der es heißt: {{Zitat|Du wirst sicher finden, dass diejenigen Menschen, die sich den Gläubigen gegenüber am meisten feindlich zeigen, die Juden und die Heiden sind. Und du wirst sicher finden, dass diejenigen, die den Gläubigen in Liebe am nächsten stehen, die sind, welche sagen: Wir sind Christen (''Naṣārā''). Dies deshalb, weil es unter ihnen Priester und Mönche gibt, und weil sie nicht hochmütig sind.|[https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/5/vers/82 Q 5:82]}} In den Korankommentaren wird bei diesem Vers auf die positiven Erfahrungen, die Muhammads Anhänger im christlichen Äthiopien gemacht hatten, verwiesen. Grundsätzlich war Muhammad allerdings der Auffassung, dass er von Jesus als Gesandter angekündigt worden war (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/61/vers/6 Q 61:6]) und der Koran nicht nur eine Bestätigung der Tora, sondern auch des Evangeliums ([[w:Indschīl|Indschīl]]) darstellt (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/3/vers/3 Q 3:3]), und die Christen von daher wie die Juden vor die Aufgabe gestellt waren, seinen religiösen Führungsanspruch anzuerkennen und zum Islam überzutreten. Bei Verhandlungen mit Abgesandten christlicher Gemeinschaften der arabischen Halbinsel machte der Prophet nun aber die Erfahrung, dass diese im Gegensatz zu den heidnischen Arabern eben nicht bereit waren, den Islam anzunehmen. Besonders bekannt geworden ist der Fall einer Delegation von Geistlichen aus [[w:Nadschran|Nadschrān]], dem Zentrum des südarabischen Christentums, die zum Ausdruck brachten, dass sie sich zwar der politischen Macht des Propheten fügen, aber nicht zum Islam übertreten wollten, weil sie sich selbst im Besitz der wahren Religion sahen. In diesen historischen Zusammenhang wird von der islamischen Tradition die koranische Aussage gestellt, dass Jesus vor Gott gleich Adam und wie er allein durch das Schöpferwort ''kun'' („Sei!“) erschaffen worden sei ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/3/vers/59 Q 3:59]). Muhammad soll dieses Koranwort den christlichen Geistlichen aus Nadschrān entgegengehalten haben, als es zu einem Streit über die von den Christen behauptete [[w:Sohn Gottes|Gottessohnschaft]] Jesu‘ kam. Anschließend, so berichten die arabischen Quellen, forderte er die Geistlichen zur Herbeiführung eines Gottesurteils über die Wahrheit der beiden religiösen Positionen durch gegenseitige Verfluchung ([[w:Mubāhala|Mubāhala]]) auf (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/3/vers/61 Q 3:61]), was diese jedoch ablehnten. Schließlich einigte man sich darauf, dass die Leute von Nadschrān dem Propheten einen jährlichen Tribut entrichten sollten, wofür umgekehrt der Prophet ihnen den Schutz für Leben und Religion zusicherte. Die Verschlechterung der Beziehungen zu den Christen lässt sich auch darauf zurückführen, dass der Prophet in dieser Zeit verstärktes Interesse an der Expansionsroute nach Syrien zeigte, wo in der Mehrzahl Christen lebten und nicht zum Islam konvertieren wollten. Bei ihnen kam nun ebenfalls das Modell der Tributzahlung zur Anwendung. Die arabischen Quellen berichten, dass sich als Folge des [[w:Feldzug nach Tabūk|Feldzuges nach Tabūk]] im Herbst 630 mehrere christliche Gemeinden am [[w:Golf von Akaba|Golf von Akaba]] in Nordwestarabien, darunter auch die Stadt [[w:Eilat|Aila]], dem Propheten unterwarfen und bereit erklärten, die sogenannte [[w:Dschizya|Dschizya]], an ihn zu entrichten. Der arabische Begriff ''Dschizya'' hat die Grundbedeutung von „Ausgleich, Kompensation“. Was die Dschizya-Zahlung ausgleichen sollte, lässt sich nicht mit Gewissheit sagen. Allerdings hat diese Abgabe eine koranische Grundlage in [[w:Sure 9|Sure 9]], wo die Muslime aufgefordert werden, gegen die [[w:Ahl al-kitāb|Ahl al-kitāb]] zu kämpfen, bis „sie kleinlaut aus der Hand die Dschizya entrichten“ ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/29 Q 9:29]). Die Pflicht zum Kampf gegen Juden und Christen wird an der betreffenden Stelle daraus abgeleitet, dass sich die beiden Religionsgemeinschaften fälschlicherweise neben Gott [[w:Rabbinen|Rabbinen]] und [[w:Mönch|Mönche]] zu Herren genommen hätten ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/31 Q 9:31]), von [[w:Esra (Person)|Esra]] bzw. Christus behaupteten, sie seien Gottes Sohn, und damit die Rede der früheren Ungläubigen nachahmten ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/30 Q 9:30]). Diese koranischen Aussagen legitimierten eine neue, aggressivere Haltung gegenüber den Christen, bedeuteten aber andererseits auch, dass Juden und Christen die Möglichkeit gegeben wurde, bei Unterwerfung ihre Religion weiter auszuüben. Auch gegenüber [[w:Zoroastrier|Zoroastriern]] zeigte Muhammad diese Haltung. Als ihm zu Ohren kam, dass sich die auf dem Gebiet von Bahrain lebenden Zoroastrier weigerten, den Islam anzunehmen, ließ er ihnen unter der Bedingung, dass sie die Dschizya entrichteten, diese Freiheit. Als Rechtfertigung dafür soll er das bekannte Koranwort: „[[w:Kein Zwang in der Religion|Es gibt keinen Zwang in der Religion]]“ ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/256 Q 2:256]) herangezogen haben. === 4.1.3. Neuordnung der Wallfahrt und Reform des Kalenders === Im Jahr der Einnahme Mekkas (630) hielten sich Muhammad und seine engsten Gefährten vom Haddsch, der für die muslimischen und nicht-muslimischen Pilger noch ganz nach den altgewohnten Riten ablief, fern. Im Jahre darauf (631) beauftragte Muhammad seinen Gefährten [[w:Abū Bakr|Abū Bakr]], den Haddsch anzuführen. Während dieser sich bereits in Mekka befand, schickte ihm der Prophet seinen Vetter ʿAlī nach, der in [[w:Minā|Minā]] die folgenden Worte öffentlich verkündete, die auch Teil des Korans sind: {{Zitat|Eine Ankündigung von Gott und seinem Gesandten an die Leute am Tag der großen Wallfahrt: Gott hat keine Verpflichtung mehr gegenüber den [[w:Muschrik|Beigesellern]], und sein Gesandter ebenfalls nicht. Wenn ihr bußfertig umkehrt, ist das besser für euch. Wenn ihr euch aber abwendet, dann wisset, dass ihr Gott nicht zuschanden machen könnte. Und verheiße den Ungläubigen schmerzliche Strafe.|[https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/3 Q 9:3]}} Kurz danach heißt es: {{Zitat|Sind aber die heiligen Monate verflossen, so erschlaget die Beigeseller, wo ihr sie findet, und packet sie und belagert sie und lauert ihnen in jedem Hinterhalt auf.|[https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/5 Q 9:5]}} {| class="wikitable floatright" |- ! colspan="2" | Die islamischen Monate |- ! Nr !! Name |- | 1 | [[w:Muharram|Muharram]] |- | 2 | [[w:Safar|Safar]] |- | 3 | [[w:Rabīʿ al-awwal|Rabīʿ I]] |- | 4 | [[w:Rabīʿ ath-thānī|Rabīʿ II]] |- | 5 | [[w:Dschumādā l-ūlā|Dschumādā I]] |- | 6 | [[w:Dschumādā th-thāniya|Dschumādā II]] |- | 7 | [[w:Radschab|Radschab]] |- | 8 | [[w:Schaʿbān|Schaʿbān]] |- | 9 | [[w:Ramadan|Ramadān]] |- | 10 | [[w:Schawwāl|Schauwāl]] |- | 11 | [[w:Dhu l-qaʿda|Dhū l-Qaʿda]] |- | 12 | [[w:Dhū l-Hiddscha|Dhū l-Hiddscha]] |} Diese Verse vom Anfang der Sure 9 zeigen sehr deutlich, wie sich die Machtverhältnisse verändert hatten. Indem Muhammad den Ungläubigen unter schärfsten Androhungen verbot, sich Mekka anzunähern, schloss er sie auch von allen wirtschaftlichen Aktivitäten in dieser Stadt aus. Erst im Jahre 632 nahm Muhammad selbst am Haddsch teil. Hierbei verhielt er sich bei einzelnen Wallfahrtstationen anders, als es die Heiden getan hatten. So verlegte er den Lauf von [[w:ʿArafāt|ʿArafāt]] nach [[w:Muzdalifa|Muzdalifa]] auf die Zeit nach Sonnenuntergang und den Lauf von Muzdalifa nach Minā auf die Zeit vor Sonnenaufgang, um diesen Riten den Charakter heidnischer Sonnenverehrung zu nehmen. Außerdem bezog er die Wallfahrtsriten, die während der [[w:ʿUmra|ʿUmra]] an der Kaaba in Mekka vollzogen wurden, in den Haddsch ein. Die Bezeichnung ''Haddsch'' ging nun auf das kombinierte Wallfahrtsritual über; die speziell dem mekkanischen Heiligtum geltende ʿUmra-Wallfahrt blieb aber als „kleine Wallfahrt“ weiter bestehen. Muhammads Haddsch im Jahre 632, aufgrund seines kurz danach eingetretenen Todes [[w:Abschiedswallfahrt|Abschiedswallfahrt]] genannt, wurde für alle Zeiten zum Vorbild für dieses Ritual. Die Kaaba erlebte durch die Neuordnung des Haddsch einen enormen Bedeutungszuwachs. Da andere Heiligtümer wie dasjenige von [[w:Dhū l-Chalasa|Dhū l-Chalasa]] in Tabāla von Muhammads Anhängern zerstört wurden, erhielt sie nun auf der arabischen Halbinsel eine Monopolstellung. Im Zuge der Neuordnung des Haddsch wurde auch der altarabische lunisolare Kalender mit seinem [[w:Einschaltung (Zeitrechnung)|Interkalationssystem]] des ''nasīʾ'' (vgl. oben [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 01 #1.3.3. Das altarabische Heidentum und die Heiligtümer von Mekka|1.3.3.]]) abgeschafft und ein reiner [[w:Lunarkalender|Lunarkalender]] mit einer unveränderlichen Zahl von zwölf Monaten eingeführt. Die Gründe für die Kalenderreform sind nicht ganz klar, die Koranverse, die davon handeln ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/36 Q 9:36f]), lassen aber erkennen, dass die Entscheidungen derjenigen, die für die Einschiebung von Schaltmonaten und Heiligerklärung von Monaten zuständig waren, als willkürlich empfunden wurden und dies relevant für die Kriegführung war. Um deutlich zu machen, dass der erste Safar nun immer als heiliger Monat galt, erhielt er den Namen [[w:Muharram|al-Muharram]] („der Geheiligte“). Das neue Mondjahr mit nur 354 Tagen wurde zur Grundlage für den islamischen Kalender und diente fortan zur Bestimmung der religiösen Feste. Da dieses Mondjahr, das sich gewissermaßen „rückwärts“ durch die Sonnenjahre bewegt, für Ackerbau treibende Bauern jedoch nicht praktikabel ist, wurde in fast allen Ländern, in denen der Islam Wurzeln geschlagen hat, daneben ein [[w:Solarkalender|Solarkalender]] weitergeführt. == 4.2. Abū Bakr (632-634) – „Stellvertreter des Gottesgesandten“ == === 4.2.1. Die Ereignisse der Saqīfa und die Anfänge des Kalifats === Als Muhammad nach Medina zurückkehrte, verschlechterte sich sein Gesundheitszustand erheblich. Am 8. Juni 632 starb er. Es wird berichtet, dass er vor seinem Tod seine Nachfolge durch ein Testament regeln wollte, [[w:ʿUmar ibn al-Chattāb|ʿUmar ibn al-Chattāb]], der in der medinischen Zeit zu einem seiner wichtigsten Berater aufgestiegen war, dies jedoch verhindert habe. Muhammad hinterließ keinen männlichen Nachkommen. Mit seiner ersten Frau [[w:Chadīdscha bint Chuwailid|Chadīdscha]] hatte er vier Töchter und zwei oder drei Söhne. Letztere waren allerdings schon als Kinder verstorben. Seinen Adoptivsohn [[w:Zaid ibn Hāritha|Zaid ibn Hāritha]] hatte er im Zusammenhang mit der Affäre um [[w:Zainab bint Dschahsch|Zainab bint Dschahsch]] verstoßen. Auf diesen Sachverhalt soll sich das Koranwort von [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/33/vers/40 Sure 33:40] beziehen, in dem klargestellt wird, dass Muhammad keine Söhne hat und auch sein Amt als Gottesgesandter nicht erblich ist, er vielmehr „Siegel der Propheten“ (''ḫātam an-nabīyīn'') ist. Es war also völlig unklar, wer die Führung der [[w:Umma|Umma]] nach seinem Tod übernehmen sollte. In dieser Situation traten schwere Meinungsverschiedenheiten zwischen den mekkanischen [[w:Muhādschirūn|Muhādschirūn]] und den medinischen [[w:Ansār|Ansār]] hervor. Die Ansār zogen zu [[w:Saʿd ibn ʿUbāda|Saʿd ibn ʿUbāda]], dem Chef des medinischen Clans Banū Sāʿida, und versammelten sich in seiner Saqīfa („offener Versammlungsplatz“). Dort erhoben sie die Forderung, dass sich Ansār und Quraisch trennen sollten und eine jede Gruppe für sich einen Befehlshaber (''amīr'') wählen sollte. Damit drohte die islamische Gemeinschaft auseinanderzubrechen. Die Diskussion spitzte sich zu, als zu den Versammelten die drei Muhādschirūn Abū Bakr, ʿUmar und [[w:Abū ʿUbaida ibn al-Dscharrāh|Abū ʿUbaida]] hinzutraten. Vor allem ʿUmar trat strikt gegen jede Teilung der Gemeinschaft ein. Abū Bakr betonte den Vorranganspruch des Stammes Quraisch. In dieser Situation überraschte ʿUmar die Anwesenden, indem er plötzlich Abū Bakr die [[w:Baiʿa|Baiʿa]] leistete. Dieser hatte das Gebet der Gemeinde angeführt, als Muhammad bereits im Sterben lag. Daraus ergab sich für ihn ein gewisser Nimbus. Außerdem war er durch ʿĀ'ischa Schwiegervater des Propheten und darüber hinaus einer der frühesten Gläubigen überhaupt (vgl. oben [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 02#2.1.3. Die neue Gemeinde|2.1.3.]]). Bei allen wichtigen Kämpfen gegen die heidnischen Quraisch von Mekka war er dabei gewesen und hatte mit seinen finanziellen Mitteln andere Feldzüge unterstützt. Somit war Abū Bakr ein geeigneter Kompromisskandidat für Ansār und Muhādschirūn. Entscheidend für den weiteren Verlauf der Versammlung war die überraschende Ankunft der Banū Aslam, eines Clans aus der Umgebung von Medina, der für seine besondere Loyalität gegenüber dem Propheten bekannt war. Sie stießen in großen Zahlen zu der Versammlung und huldigten Abū Bakr. Viele Ansār weigerten sich zunächst, Abū Bakr zu huldigen. Auch die [[w:Banū Hāschim|Banū Hāschim]], der Clan des Propheten, protestierten dagegen, dass sie bei der Regelung der Nachfolge übergangen worden waren. Einige Ansār brachten in dieser Situation [[w:ʿAlī ibn Abī Tālib|ʿAlī ibn Abī Tālib]], der der nächste Verwandte des Propheten war, als Alternative für Abū Bakr ins Spiel. ʿAlī hatte offensichtlich auch die Unterstützung der Nachkommen von [[w:ʿAbd Schams ibn ʿAbd Manāf|ʿAbd Schams]]. Sie pochten in dieser Situation auf die politischen Vorrechte der Nachkommen [[w:ʿAbd Manāf ibn Qusaiy|ʿAbd Manāfs]], zu denen sowohl die ʿAbd Schams als auch die Banū Hāschim gehörten, und kritisierten, dass Abū Bakr nicht diesem Stammesadel angehörte. [[Datei:Abu bakr2.jpg|mini|Die Prophetengefährten schwören Abū Bakr den Treueid, während rechts neben ihm ʿUmar sitzt, Miniatur in einem [[w:Osmanisches Reich|osmanischen]] [[w:Siyer-i Nebi|Siyer-i-Nebi]]-Werk, 1596]] In der Folgezeit sorgte ʿUmar zusammen mit den Banū Aslam dafür, dass fast alle Bewohner Medinas Abū Bakr den Treueid leisteten, wobei sie möglicherweise auch Gewalt anwendeten. Abū Bakr selbst trat allerdings eher bescheiden auf. Er ließ erkennen, dass er sich als Fortsetzer der Linie des Propheten betrachtete, keinesfalls aber als Neuerer. In diesem Sinn war er darum bemüht, alle Verordnungen und Anweisungen des Propheten einzuhalten und weiterzuführen. Dieses Bestreben spiegelt sich auch in der Bezeichnung, die er für sein Amt gebrauchte. Er nannte sich ''ḫalīfat rasūl Allāh'', „Stellvertreter des Gesandten Gottes“. Stellvertreter des Gottesgesandten hatte es schon zu Lebzeiten des Propheten öfters gegeben: Für die Zeit seiner Abwesenheit von Medina, während eines kriegerischen Unternehmens vor allem, pflegte Muhammad solche Stellvertreter zu bestimmen, die für die Aufrechterhaltung der Ordnung zu sorgen hatten. Mit der Wahl dieses Titel, der im Deutschen üblicherweise mit ''Kalif'' wiedergegeben wird, machte Abū Bakr deutlich, dass er sich mit seinem Amt keine herrschaftliche Macht anmaßen, sondern lediglich den Status quo innerhalb der Umma aufrechterhalten wollte. Höhere Machtansprüche haben sich mit dem Kalifentitel erst in späterer Zeit entwickelt. Dass sich Abū Bakr gegen ʿAlī und die Banū Hāschim durchsetzte, hängt möglicherweise auch damit zusammen, dass man unter den Muhādschirūn aufgrund der Ehe ʿAlīs mit der Prophetentochter Fātima die Entstehung einer Dynastie befürchtete und deshalb lieber auf Abū Bakr setzte, bei dem diese Gefahr nicht bestand. Zu einer Konfrontation zwischen Abū Bakr, ʿUmar und der Prophetenfamilie führte wenig später der Streit um das von Juden bewirtschaftete Landgut des Propheten in Fadak im nördlichen [[w:Hedschas|Hedschas]]. Als Fātima Ansprüche auf dieses Landgut geltend machte, hielten die beiden ihr entgegen, dass der Prophet sein gesamtes Eigentum als Sadaqa der Gemeinschaft der Muslime vermacht habe. Da Fātima keinen ausreichenden Beweis dafür vorbringen konnte, dass der Prophet ihr das Landgut schon zu Lebzeiten geschenkt habe, zog Abū Bakr es ein. Fātima brach daraufhin den Kontakt zu Abū Bakr vollständig ab. Sechs Monate später starb sie. Erst nach ihrem Tod leistete auch ʿAlī dem Kalifen den Treueeid. Damit war die Nachfolgefrage endgültig geklärt. === 4.2.2. Abfallbewegung (''ridda'') und Wiederaufnahme des Dschihad === [[Datei:Mohammad_adil-Riddah_wars.PNG|mini|Schauplätze der Ridda-Kriege]] Nach dem Tode des Propheten setzte bei den Stämmen der Arabischen Halbinsel eine breite Absetzbewegung ein, die in den Quellen als [[w:Ridda|Ridda-Kriege]] bezeichnet wird. Der kurzzeitige Machtverlust der Quraisch führte dazu, dass in vielen Stämmen diejenigen Gruppen Oberwasser erhielten, die schon immer dem Anschluss an den Quraisch-Staat kritisch gegenüber gestanden hatten. In einigen Gegenden Arabiens traten Gegenpropheten auf, die auch auf dem religiösen Gebiet die Hegemonie des Islams in Frage stellten. Im Jemen etablierte sich der Gegenprophet al-Aswad, der in kurzer Zeit weite Gebiete Südarabiens unter seine Kontrolle bringen konnte. Er trat wie Muhammad im Namen Allāhs auf und verstand es, Ressentiments gegen die neue Abhängigkeit von Medina für seine Sache auszunutzen. Bei dem Stamm Hanīfa, der in der ostarabischen [[w:Al-Yamama|Yamāma]] lebte, tat sich ein Prophet namens [[w:Musailima|Musailima]] hervor, der in seinen Lehren gewisse monotheistische Anklänge zeigte, indem er im Namen [[w:Rahmanismus|Rahmāns]] predigte. Im zentralarabischen [[w:Nadschd|Nadschd]]-Gebiet traten sogar zwei Propheten auf, im Norden bei den Asad-Beduinen [[w:Tulayha|Tulaiha]] und im Süden bei den Tamīm die Prophetin Sadschāh. Unter Musailima wurde die härteste Gegnerschaft gezeigt, deren Wirksamkeit sich noch durch ein Bündnis mit der Prophetin Sadschāh erhöhte. Auf diese Weise entstand eine Allianz der Gegner, die eine gewaltige Armee mobilisieren konnte. Diejenigen Stämme, die sich der Ridda-Bewegung angschlossen, weigerten sich, weiterhin die Zakāt zu zahlen. Sie meinten, sie sei Teil eines Vertrages gewesen, den sie mit dem Propheten geschlossen hatten und der mit seinem Tod erloschen sei. Abū Bakr sandte von Mekka und Medina verschiedene Heere aus, um die abgefallenen Stämme mit Waffengewalt zurückzugewinnen. In den Feldzügen gegen die abgefallenen Stämme taten sich besonders zwei Mekkaner von den [[w:Machzūm|Machzūm]] hervor, die Muhammad lange heftig bekämpft hatten, [[w:Chālid ibn al-Walīd|Chālid ibn al-Walīd]] und [[w:ʿIkrima ibn Abī Dschahl|ʿIkrima ibn Abī Dschahl]]. Chālid konnte im Frühjahr 633 in der Ebene ʿAqrabā' den Truppen der Banū Hanīfa unter der Führung von Musailima eine vernichtende Niederlage beibringen. Weitere Kämpfe fanden in Bahrain, Oman und Jemen statt. Besonders erbitterten Widerstand leisteten die Kinda unter ihrem letzten Stammeskönig [[w:al-Aschʿath ibn Qais|al-Aschʿath ibn Qais]]. Mit der Einnahme ihrer Festung Nudschair im Hadramaut endete die Ridda-Bewegung. Al-Aschʿath wurde in Ketten nach Medina gebracht und dort durch Abū Bakr begnadigt. [[File:Mohammad adil-Muslims Invasion of Syria.PNG|mini|Die vier von Abū Bakr nach Syrien ausgesandten Truppenkontingente]] Die Ridda-Abwehrkämpfe gingen im Norden der Arabischen Halbinsel nun nahtlos in eine Eroberungsbewegung über. Noch im Jahre 633 unternahm Chālid mit seinen Kämpfern Überfälle auf Gebiete des Südirak, machte die dort lebenden Nomadenstämme botmäßig und eroberte [[w:al-Hīra|al-Hīra]], die Hauptstadt des [[w:Lachmiden|Lachmidenreiches]]. [[w:Al-Balādhurī|Al-Balādhurī]] (gest. 892), der Verfasser des wichtigsten arabischen Werkes über die [[w:Futūh|Futūh]], berichtet, dass Abū Bakr im Frühjahr 634 die Bewohner von Mekka, at-Tā'if, des Jemen und die Beduinen im Nadschd und Hedschas angeschrieben habe, „um sie für den Dschihad auszuheben und in ihnen die Lust daran und an der bei den [[w:Rhomäer|Rhomäern]] zu holenden Kriegsbeute zu entfachen.“ Sein Aufruf war offensichtlich ein voller Erfolg. Es wird berichtet, er habe in Medina drei Heere aufstellen können. Vier Truppenkontingente unter dem Oberbefehl von [[w:Abū ʿUbaida ibn al-Dscharrāh|Abū ʿUbaida ibn al-Dscharrāh]] zogen in Richtung Syrien. Als sich eine größere Konfrontation mit der byzantinischen Armee ankündigte, sandte Abū Bakr den noch im Irak weilenden Chālid ibn al-Walīd zu ihrer Verstärkung nach Syrien. Die beiden arabischen Heere trafen im Süden Syriens zusammen, und gemeinsam konnte man die Stadt [[w:Bosra|Bostra]] einnehmen. Unter Chālids Oberbefehl besiegten die Araber im Juli 634 ein byzantinisches Heer, das ihnen bei Adschnādain in Palästina entgegentrat. == 4.3. ʿUmar ibn al-Chattāb (634-644) - „Befehlshaber der Gläubigen“ == Abū Bakr starb im August 634. Er hatte in seinem Testament ʿUmar ibn al-Chattāb als Nachfolger eingesetzt, der bereits während seines Kalifats als eigentlicher Befehlshaber fungiert hatte. Zwar kam ʿUmar nur aus einem recht unbedeutenden quraischitischen Clan, doch konnte er frühe Verdienste um den Islam vorweisen und stand auch durch seine Tochter [[w:Hafsa bint ʿUmar|Hafsa]] in einem schwägerlichen Verhältnis zum Propheten. Er war der erste Kalif, der den Titel ''amīr al-muʾminīn'' („Befehlshaber der Gläubigen“) annahm. Dieser Titel wird seither von allen Herrschern benutzt, die einen Führungsanspruch über die gesamte Gemeinschaft der Muslime erheben. === 4.3.1. Die Eroberung des Vorderen Orients === [[File:Mohammad adil-Muslim invasion of Syria-3.PNG|mini|Die muslimischen Vorstöße in Syrien, 634-36]] Unter ʿUmar setzte sich die unter Abū Bakr begonnene Eroberungsbewegung fort. Hier werden nur stichpunktartig die wichtigsten Stationen der Eroberungsbewegung genannt: # Syrien und Palästina. Die Byzantiner, die sich nach der Schlacht von Adschnādain ins Jordantal zurückgezogen hatten, wurden im Januar 635 bei der Stadt [[w:Pella (Jordanien)|Pella]] erneut von den Arabern geschlagen und zogen nach Damaskus ab. Die Araber konnten daraufhin das gesamte Gebiet des heutigen Jordaniens einnehmen, darunter auch die prachtvoll ausgebaute Bischofsstadt [[w:Gerasa|Gerasa]]. Im Sommer 635 fiel bereits [[w:Damaskus|Damaskus]] und bald danach Emesa, das heutige [[w:Homs|Homs]]. Der byzantinische Versuch, Syrien zurückzuerobern, scheiterte. Im August 636 brachten die Araber den neu zusammengezogenen byzantinischen Truppen am [[w:Jarmuk|Yarmūk]], einem linken Nebenfluss des Jordan, der heute die Grenze zwischen Syrien und Jordanien bildet, erneut eine [[w:Schlacht am Jarmuk|Niederlage]] bei und zwangen sie so endgültig zum Rückzug aus Syrien. Als 638 [[w:Jerusalem|Jerusalem]] eingenommen wurde, reiste ʿUmar selber an, um die Stadt für die Muslime in Besitz zu nehmen. 640 folgte noch die Einnahme des Seehafens [[w:Caesarea Maritima|Caesarea]]. Damit endete die byzantinische Herrschaft auch in Palästina. # Irak. Im Herbst 634 sandte ʿUmar ein Heer zum Kampf gegen die Perser in den Irak aus. Im Süden nahm noch vor 635 der frühe Prophetengefährte ʿUtba ibn Ghazwān mit seinen Kämpfern das Mündungsgebiet von Euphrat und Tigris mit der bedeutenden Hafenstadt [[w:Apologos|al-Ubulla]] ein. Weiter nördlich erlitten die arabischen Kämpfer zunächst in der sogenannten [[w:Schlacht an der Brücke|Schlacht an der Brücke]] eine schwere Niederlage, konnten aber dann in der [[w:Schlacht von al-Qādisīya|Schlacht von al-Qādisīya]] (zwischen 635 und 638) über die persische Armee siegen. Der seit 632 herrschende Sassanide [[w:Yazdegerd III.|Yazdegerd III.]] überließ daraufhin den arabischen Truppen den Irak, gab seine Hauptstadt Ktesiphon auf und zog mit seinem Hofstaat nach Osten ab. Der Sieg von al-Qādisīya war für die Muslime ein ähnlich großer Triumpf wie der Sieg über die heidnischen Mekkaner bei der Schlacht von Badr im Jahre 624. Viele glaubten, dass sie den Sieg über die Perser nur der Hilfe Gottes verdankten. Einige von ihnen waren sogar der Meinung, dass [[w:al-Chidr|al-Chidr]], „der Grüne“, eine engelartige Gestalt, die aber nicht den Engeln zugerechnet wird, bei der Schlacht auf Seiten der Muslime mitgekämpft hatte. [[File:Mohammad adil-Muslim conquest of Egypt.PNG|mini|[[w:Arabische_Eroberung_%C3%84gyptens#Islamische_Eroberung_%C3%84gyptens|Die muslimische Eroberung Ägyptens]], 639-640.]] # <li value="3">Ägypten. ʿAmr ibn al-ʿĀs fiel 639 in einem fast privat zu nennenden Unternehmen in Ägypten ein. Nach Eroberung der in der Nähe des heutigen Kairo gelegenen byzantinischen Festung Babylon im April 641 konnte er das [[w:Nildelta|Nildelta]] mit seinem Heer nahezu ohne Widerstand einnehmen. 642 erfolgte die Eroberung Alexandriens, 643 die Einnahme von [[w:Barke (Libyen)|Barqa]] auf dem Gebiet des heutigen Libyen.</li> # Nordmesopotamien. Dieses Gebiet, das auch als die [[w:Dschazīra|Dschazīra]] (wörtl. „Insel“, nämlich zw. [[w:Euphrat|Euphrat]] und [[w:Tigris|Tigris]]) bekannt ist, wurde zwischen 639 und 641 von Nordsyrien aus durch ʿIyād ibn Ghanm erobert, wobei dieser auch schon Vorstöße nach Armenien unternahm. Zur Kontrolle der eroberten Gebiete und als Ausgangsbasis für weitere Eroberungen wurden an mehreren Orten arabische Garnisonen stationiert. In Syrien waren das bereits bestehende Orte, [[w:al-Dschābiya|al-Dschābiya]], die ehemalige Residenz der [[w:Ghassaniden|ghassānidischen]] Fürsten, und Homs. In den anderen Ländern wurden neue Lagerstädte gegründet, in denen die arabischen Krieger stammes- und clanweise auf verschiedene Parzellen verteilt und jeweils Moscheen nach dem Vorbild der Prophetenmoschee in Medina errichtet wurden. Die wichtigsten dieser [[w:Misr|Misr]] genannten Lagerstädte waren [[w:Basra|Basra]] und [[w:Kufa|Kufa]] im Irak, beide 638 gegründet, [[w:Mossul|Mossul]] in Nordmesopotamien, 641 gegründet, und [[w:Fustāt|al-Fustāt]] in Ägypten, das 643 direkt neben der alten byzantinischen Festung Babylon angelegt wurde. Diese Lagerstädte bildeten fortan die Zentren arabisch-islamischen Lebens in den eroberten Gebieten. Von Basra und Kufa aus unternahmen arabische Heerführer in den späten 630er Jahren Vorstöße nach Persien. Zwischen 637 und 640 unterwarfen sie [[w:Chusistan|Chusistan]] im Südwesten des heutigen Iran. Nach der [[w:Schlacht bei Nehawand|Schlacht bei Nihāwand]] im westiranischen [[w:Zāgros-Gebirge|Zagros-Gebirge]], bei der die Araber den sassanidischen Truppen eine weitere Niederlage bereiteten, stand ihnen das persische Hochland offen. Von Nihāwand aus zogen sie weiter nordwärts und machten das Gebiet von [[w:Aserbaidschan (Iran)|Aserbaidschan]] tributpflichtig. 644 konnten sie außerdem die Stadt [[w:Isfahan|Isfahan]] erobern. Der Sassanidenherrscher Yazdegird III. floh derweil weiter nach Osten. === 4.3.2. Faktoren, die die schnelle Expansion des islamischen Staates begünstigten === Mit seinen Eroberungen und Städtegründungen schuf ʿUmar wichtige Grundlagen für die sich später herausbildende islamische Zivilisation. Wie aber erklärt sich, dass die Eroberungen so schnell vorangetrieben werden konnten? Verschiedene Faktoren lassen sich als Gründe anführen: # Der der islamischen Eroberung vorausgehende Streit zwischen Oströmischem Reich und Sassanidischem Reich um die Vorherrschaft über den Vorderen Orient, der zu Lebzeiten Muhammads zu einem heftigen militärischen Schlagabtausch geführt hatte, hatte die beiden Reiche stark geschwächt. # Ein weiterer wichtiger Faktor in Syrien, Palästina und Ägypten war die fehlende Loyalität der Untertanen ihren ehemaligen Oberherren gegenüber. Diese Länder waren erst kurz vor der islamischen Eroberung wieder unter byzantinische Kontrolle gekommen. Weitaus die meisten Bewohner waren [[w:Monophysitismus|monophysitische]] Christen, für die die herrschende [[w:Konzil von Chalcedon|chalkedonische]] (griechisch-orthodoxe) byzantinische Reichskirche ein bedrückender Gegner war. Auch die syrischen Juden waren den neuen Herren freundlich gesinnt, denn die Byzantiner hatten sie jahrhundertelang verfolgt und ihnen den Zugang zur Stadt Jerusalem verwehrt. Im Zuge der islamischen Eroberung Jerusalems wurde der [[w:Tempelberg|Tempelberg]], der über Jahrhunderte nur eine Schutthalde war, als Heiligtum reaktiviert. Als ʿUmar ibn al-Chattāb 638 Jerusalem für die Muslime in Besitz nahm, wurde er von [[w:Kaʿb al-Ahbār|Kaʿb al-Ahbār]], einem zum Islam übergetretenen Juden aus dem Jemen begleitet. Er deutete dieses Ereignis propagandistisch als Erfüllung biblischer Prophetien. Diese Deutungen fielen bei den Juden Syriens offenbar auf fruchtbaren Boden. Sie betrachteten ʿUmar als einen messianischen Herrscher. Der in diesem Zusammenhang verwendete syrisch-aramäische Begriff ''pārōqā'' („Erlöser“) wurde in seiner arabischen Form ''fārūq'' zum allgemein üblichen Beinamen ʿUmars. # Die von den Arabern praktizierte vertragliche Regelung des Herrschaftswechsels brachte den Unterworfenen keine erheblichen Nachteile und führte zu einer „günstige(n) Konstellation konvergierender Interessen“ ([[w:Albrecht Noth|A. Noth]]), die als einer der Hauptgründe für den Erfolg der militärischen Anstrengungen der Araber gelten darf. Wie es im spätantiken Orient üblich war, gewährten die Araber den Bewohnern von Städten, die sich freiwillig ihrer Herrschaft unterwarfen, eine Sicherheitsgarantie. Sie wird in den arabischen Quellen als ''amān'' bezeichnet. Darüber hinaus wurde den Ahl al-kitāb, den Anhängern der monotheistischen Buchreligionen, neben dem Schutz ihres Lebens und Besitzes auch die freie Ausübung ihrer Religion und der Besitz ihrer Kultstätten und -gegenstände garantiert. Dieser Schutz hieß [[w:Dhimma|Dhimma]] und war eine einklagbare Verpflichtung des islamischen Staates gegenüber seinen nichtmuslimischen Untertanen; der einzelne Schutzbürger hieß Dhimmī. Seine Gegenleistung war die Dschizya, zur Zeit der Eroberung wohl als Pauschale der eroberten Stadt zu entrichten. Die in dieser Zeit mit unterworfenen Städten geschlossenen Verträge galten in der gesamten vormodernen Zeit als Modell für die Regelung des Verhältnisses zwischen islamischem Staat und nicht-muslimischen Untertanen. === 4.3.3. Organisation von Staat und Religion === [[File:Kabah Old Picture - panoramio.jpg|mini|Die Verhüllung der Kaaba mit einer neuen [[w:Kiswa|Kiswa]] ist seit ʿUmar ein bedeutendes Symbol islamischer Herrschaft.]] Zur Sicherung der Einkommen der Kämpfer und Gefährten Muhammads führte ʿUmar 641 ein Zentralregister ([[w:Diwan (Verwaltung)|Dīwān]]) ein, in dem die Zahlungen eingetragen wurden, die der Staat regelmäßig jedem zukommen ließ. Wichtigstes Kriterium für die Stellung in dem Register war die Position zum Islam. Deshalb stand an der Spitze mit den höchsten Zuwendungen der Clan, aus dem der Prophet hervorgegangen war, die [[w:Banū Hāschim|Banū Hāschim]]. Diesem Kreis schlossen sich die weiteren Verwandten an, dann kamen die Ansār aus Medina, die [[w:Schlacht von Badr|Badr]]-Kämpfer und die [[w:Schlacht von Uhud|Uhud]]-Überlebenden, schließlich die in Syrien und Irak eingesetzten Stammeskrieger. Auf diese Weise wurde eine feste Besoldung entwickelt, die ʿUmar aus den drei wichtigsten Staatseinnahmen finanzieren konnte. Dazu zählten die Dschizya, die Zakāt und die Bodensteuer (''ḫarāǧ''). Zur Verwaltung der Ausgaben und Einnahmen wurde eine Staatskasse (''bait al-māl'') eingerichtet. Die Heerführer, die in den verschiedenen Ländern auf Posten lagen, wie ʿAmr ibn al-ʿĀs im neueroberten Ägypten, wurden dazu aufgefordert, die Hälfte ihrer Einkünfte in diese Staatskasse einzuzahlen. ʿUmar setzte den Koranlesern (''qurrāʾ'') [[w:Dotation|Dotationen]] aus und setzte in verschiedenen Städten des Reiches Beamte mit dem Titel eines [[w:Qādī|Qādī]] ein. Der Begriff ''Qādī'' wird heute üblicherweise mit „Richter“ übersetzt, allerdings waren in dieser Zeit mit diesem Amt noch zahlreiche andere administrative und hoheitliche Aufgaben verbunden, wie zum Beispiel die Leitung des [[w:Freitagsgebet|Freitagsgebets]]. <div style="background: #fff; border-width: 1px 3px 3px 1px; text-align: center; padding-top:3px; float:{{{float|left}}}; font-size: smaller; line-height: 1.3; margin-left:1em; margin-right: 4px; width: 15em"> '''Heutiges Datum nach <br /> Hidschrī-Zeitrechnung''': ---- {{#timel:xmj.}} {{#switch:{{{1|{{#timel:xmn}}}}}|1=Muharram|2=Safar|3=Rabīʿ I|4=Rabīʿ II|5=Dschumādā I|6=Dschumādā II|7=Radschab|8=Schaʿbān|9=Ramadān|10=Schauwāl|11=Dhū l-Qaʿda|12=Dhū l-Hiddscha}} {{#timel:xmY}}<br /><small>(= {{#timel:j. F}} {{#timel:Y}}) <br /><nowiki>[</nowiki><span class="plainlinks">[{{fullurl:{{FULLPAGENAME}}|action=purge}} aktualisieren]</span><nowiki>]</nowiki></small> </div> Von großer Bedeutung war des Weiteren, dass ʿUmar im Jahre 638 eine neue Zeitrechnung einführte. Anlass dafür waren Streitigkeiten in Armeeteilen über Datierungsfragen. Als erstes Jahr der neuen Zeitrechnung wurde das Jahr der [[w:Hidschra|Hidschra]] des Propheten von Mekka nach Medina festgelegt, das am 16. Juli 622 begann. Damit wurde eine wichtige staatliche Maßnahme zur Vereinheitlichung getroffen. Diese [[w:Hidschrī-Jahreszählung|Hidschrī-Zeitrechnung]] hat sich im Laufe der Zeit im islamischen Herrschaftsbereich immer mehr durchgesetzt und gilt bis heute in vielen islamischen Ländern als eine der offiziellen Zeitrechnungen bzw. sogar die offizielle Zeitrechnung. Weiterhin ist bekannt, dass sich ʿUmar bei der Regierung sehr stark auf das koranische Prinzip der Konsultation ([[w:Schūrā|Schūrā]]) stützte. Zwar hörte er gelegentlich auch den Rat anderer Kreise, doch beschränkte er sich bei der Konsultation üblicherweise auf die verdienten mekkanischen Prophetengefährten. Zahlreiche Berichte beschreiben, wie er deren Meinung über wichtige politische und rechtliche Fragen einholte. Ein solches Gremium von verdienten mekkanischen Prophetengefährten trat auch nach ʿUmars Tod zusammen, um seinen Nachfolger zu wählen. [[File:Prière de Tarawih dans la Grande Mosquée de Kairouan. Ramadan 2012.jpg|mini|Die [[w:Tarāwīh|Tarāwīh]]-Gebete sind bis heute ein wichtiges Ritual im Bereich des [[w:Sunniten|sunnitischen]] Islams]] Auf religiöser Ebene war von wegweisender Bedeutung, dass ʿUmar während seiner Herrschaft die Stoff-Bekleidung ([[w:Kiswa|Kiswa]]) der Kaaba auf Kosten des Staatshaushalts erneuern ließ. Damit wurde dieses ursprünglich heidnische Ritual zu einem wichtigen Herrschaftssymbol im islamischen Staat. Der Ort für das Gebet an der Kaaba wurde durch einen Stein markiert, der entsprechend dem im Koran ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/125 Q 2:125]) genannten „Standplatz Abrahams“ als [[w:Maqām Ibrāhīm|Maqām Ibrāhīm]] bezeichnet wurde. Den Platz um die Kaaba ließ ʿUmar erweitern und mit einer Mauer versehen, womit er die Grundlage der [[w:al-Harām-Moschee|al-Harām-Moschee]] als eines selbständigen Gebäudes legte. Als neue gottesdienstliche Übung im Ramadān führte ʿUmar die nächtlichen [[w:Tarāwīh|Tarāwīh]]-Gebete ein, bei denen zwischen einer großen Zahl von Gebetszyklen immer wieder längere Pausen (''tarāwīḥ'') eingeschoben werden. Während ʿUmars Kalifat wurden auch im Bereich der Geschlechterordnung wichtige Veränderungen vorgenommen, die als Normen bis heute fortwirken. So führte ʿUmar als Bestrafung für außerehelichen Geschlechtsverkehr ([[w:Zinā|Zinā]]) bei bereits verheirateten Personen den Tod durch Steinigung ein. Der Koran sieht bei diesem Vergehen ohne Ansehen der Person als Strafe nur hundert Peitschenhiebe und Ausschluss aus dem Heiratssystem vor ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/24/vers/2 Q 24:2f]). ʿUmar berief sich bei dieser Maßnahme auf den sogenannten [[w:Steinigungsvers|Steinigungsvers]], der seiner Auffassung nach ursprünglich im Koran gestanden hatte, dann aber daraus gestrichen worden war. Das aus dem alten Arabien übernommene Rechtsinstitut der zeitlich begrenzten Genussehe ([[w:Mutʿa-Ehe|Mutʿa]]), auf das zu dieser Zeit noch viele Muslime zurückgriffen, wenn sie kurze sexuelle Beziehungen eingehen wollten, wurde von ʿUmar verboten. Außerdem verschärfte ʿUmar die Regeln für die [[w:Talāq|Verstoßung]] von Ehefrauen: Während nämlich vorher die Ehe erst dann beendet war, wenn der Ehemann die Verstoßungsformel in drei unterschiedlichen Monatsperioden ausgesprochen hatte, galt dies nun auch dann, wenn der Mann sie drei Mal direkt nacheinander ausgesprochen hatte. === 4.3.4. Die Vielgestaltigkeit des Korantextes === Ein bekannter Bericht besagt, dass ʿUmar noch während Abū Bakrs Kalifat von der Tatsache beunruhigt gewesen sei, dass in der Schlacht gegen Musailima viele ''qurrāʾ'' getötet worden waren. Die ''qurrāʾ'', d.h. Koranleser, waren jene, die den Koran auswendig kannten. Aus Furcht, dass infolge solcher Verluste schließlich auch die Kenntnis des heiligen Textes verloren gehen könnte, riet er Abū Bakr, eine Sammlung des Korans erstellen zu lassen. Mit diesem Unternehmen wurde [[w:Zaid ibn Thābit|Zaid ibn Thābit]], einer von Muhammads Sekretären (vgl. oben [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 03#3.2.5. Der allmähliche Machtzuwachs des Propheten|3.2.5.]]), beauftragt. Zaid schrieb nieder, was er auf Blättern (''ṣuḥuf'') gesammelt hatte, und übergab dies Abū Bakr. Es gibt allerdings keine Belege dafür, dass diese „Sammlung“ irgendwo als autoritativ akzeptiert wurde. ʿUmar befand sich aber wohl zu Beginn seines Kalifats im Besitz dieser Sammlung. Außer dieser Sammlung ʿUmars gab es zu seiner Zeit noch eine Anzahl anderer Kodizes, von denen die vier berühmtesten diejenigen von [[w:Ubaiy ibn Kaʿb|Ubaiy ibn Kaʿb]], [[w:ʿAbdallāh ibn Masʿūd|ʿAbdallāh ibn Masʿūd]], Miqdād ibn Aswad und [[w:Abū Mūsā al-Aschʿarī|Abū Mūsā al-Aschʿarī]] waren. Ubaiy war wie Zaid ibn Thābit Sekretär des Propheten gewesen und hatte schon zu seinen Lebzeiten Mitschriften seiner Verkündigungen angefertigt (vgl. oben [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 03#3.2.5. Der allmähliche Machtzuwachs des Propheten|3.2.5.]]). ʿAbdallāh ibn Masʿūd und Miqdād ibn Aswad, die Muslime der ersten Stunde waren, hatten den Koran dagegen nur mündlich memoriert. Miqdād war während der Zeit von ʿUmar in Syrien stationiert, ʿAbdallāh ibn Masʿūd wurde von ʿUmar 642 als Qādī nach Kufa geschickt. Der Jemenit Abū Mūsā al-Aschʿarī, der sich dem Propheten erst 628 angeschlossen hatte, wurde 638 von ʿUmar zum Statthalter von Basra ernannt. Was die Verbreitung der von diesen Männern erstellten Kodizes anlangt, so hielten sich die Dasmaszener an die Lesart des Ubaiy, die Kufier an die des Ibn Masʿūd, die Basrier an die des Abū Mūsā und die Bewohner von Homs an diejenige des Miqdād. Dass die Ausgaben des Ibn Masʿūd und Abū Mūsā in Kufa bzw. Basra solches Ansehen erreichten, hängt sicherlich damit zusammen, dass die beiden Männer dort als staatliche Funktionsträger tätig waren. Die Verwendung der Sammlung von Ubaiy, der sich selbst in Medina aufhielt, in Damaskus deutet dagegen darauf hin, dass diese Sammlung zu dieser Zeit eine überregionale Bedeutung erhalten hatte. Die Zulässigkeit all dieser verschiedenen Versionen des Korantextes wurde mit Berichten begründet, wonach der Prophet zu Lebzeiten Gefährten, die über die Unterschiedlichkeit der im Umlauf befindlichen Versionen des Korantexts besorgt, selbst damit beruhigt habe, dass der Koran in sieben Varianten (''ʿalā sabʿati aḥruf'') offenbart worden sei. Bei der Verbreitung dieser Berichte nahm Ubaiy eine Schlüsselrolle ein. Die textlichen Unterschiede zwischen den verschiedenen Versionen waren zum Teil beträchtlich. So war zum zum Beispiel in [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/3/vers/19 Sure 3:19] in der Sammlung Ibn Masʿūds als Name für die Religion nicht Islam, sondern ''Hanīfīya'' angegeben. == 4.4. ʿUthmān ibn ʿAffān (644-656) - „Stellvertreter Gottes“ == === 4.4.1. Nepotismus und Selbstbereicherung der Umaiyaden === Nach dem Tod von ʿUmar trat das von ihm gebildete Konsulativgremium verdienter Prophetengefährten zusammen, um seinen Nachfolger zu wählen. Ihm gehörten sechs Männer an: [[w:ʿUthmān ibn ʿAffān|ʿUthmān ibn ʿAffān]], ʿAlī ibn Abī Tālib, [[w:ʿAbd ar-Rahmān ibn ʿAuf|ʿAbd ar-Rahmān ibn ʿAuf]], [[w:Talha ibn ʿUbaidallāh|Talha ibn ʿUbaidallāh]], [[w:az-Zubair ibn al-ʿAuwām|az-Zubair ibn al-ʿAuwām]] und [[w:Saʿd ibn Abī Waqqās|Saʿd ibn Abī Waqqās]]. Von den genannten Personen hegten allein ʿAlī und ʿUthmān Ambitionen auf die Nachfolge. ʿAbd ar-Rahmān verzichtete auf die Kandidatur unter der Bedingung, dass ihm im Falle der Uneinigkeit die Aufgabe des Schiedsrichters übertragen würde. Da Saʿd für ʿAlī votierte und az-Zubair für ʿUthmān, Talha aber abwesend war, kam ʿAbd ar-Rahmān als Schiedsrichter zum Einsatz. Er entschied sich nach Beratungen mit den Häuptern der quraischitischen Clane für ʿUthmān, wodurch dieser zum neuen Kalifen wurde. ʿUthmān gehörte den [[w:Umayyaden|Umaiyaden]], einer Familie der ʿAbd Schams, an. Bei der endgültigen Einigung auf ʿUthmān war wahrscheinlich dieser ''nasab'' letztlich ausschlaggebend. In jedem Fall kündigt sich mit der Erhebung des Umaiyaden ʿUthmān die wenig später erfolgte Etablierung der ersten islamischen Dynastie, die sich eben aus der Umaiya-Familie rekrutierte, bereits an. {{Anker|Marwan}} Schon kurz nach seiner Amtseinführung setzte ʿUthmān Verwandte in zentrale Statthalterposten ein. Syrien befand sich ohnehin schon seit ʿUmar in der Hand des Umaiyaden [[w:Muʿāwiya_I.|Muʿāwiya ibn Abī Sufyān]]. Er war der Sohn von Muhammads ehemaligen Gegner [[w:Abū Sufyān ibn Harb|Abū Sufyān ibn Harb]]. Aber auch in Kufa und Ägypten wurden jetzt Umaiyaden als Gouverneure eingesetzt. Saʿd ibn Abī Waqqās, der Gründer von Kufa, musste ʿUthmāns Verwandten, Walīd ibn ʿUqba, weichen. ʿAmr ibn al-ʿĀs, der Eroberer Ägyptens, der noch im Jahre 645 einen byzantinischen Versuch, Ägypten wiederzuerobern, erfolgreich abwehren konnte, wurde als Gouverneur durch [[w:ʿAbdallāh ibn Saʿd|ʿAbdallāh ibn Abī Sarh]], einen Vetter ʿUthmāns mit zweifelhafter Vergangenheit (vgl. oben [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 03#3.2.3. Andere Gegner Muhammads|3.2.3.]]), ersetzt. Als es im Jahre 649/50 zu Beschwerden über den Statthalter von Basra, Abū Mūsā al-Aschʿarī, kam, wurde auch diese Posten noch mit einem Umaiyaden, nämlich ʿAbdallāh ibn ʿĀmir, besetzt. Zum engsten Berater des Kalifen stieg [[w:Marwan I.|Marwān ibn al-Hakam]] auf, ebenfalls ein Umaiyade. Diese [[w:Vetternwirtschaft|nepotistische]] Politik führte zu einer Entfremdung zwischen dem Kalifen und dem Gremium von Prophetengefährten, die ihn in dieses Amt gewählt hatten. [[File:Mohammad adil-Rashidun-empire-at-its-peak-close.PNG|mini|Die Ausdehnung des islamischen Reiches gegen Ende von ʿUthmāns Kalifat]] Dennoch konnten die Eroberungszüge unter ʿUthmān und seinen Gouverneuren erfolgreich fortgesetzt werden. Muʿāwiya hatte schon 642 von Damaskus aus den Heerführer Habīb ibn Maslama zum Kampf in den [[w:Kaukasus|Kaukasus]] entsandt. Er konnte 645 die georgische Hauptstadt [[w:Tiflis|Tiflis]] einnehmen und bis 652 Armenien unterwerfen. Außerdem baute Muʿāwiya in den syrischen Hafenstädten eine Flotte auf, besetzte 649 [[w:Zypern|Zypern]] und drängte Byzanz aus dem östlichen Mittelmeer zurück. ʿAbdallāh ibn Abī Sarh unternahm von [[w:Fustāt|al-Fustāt]] aus Expeditionen an der nordafrikanischen Küste entlang in Richtung Westen und eroberte 647 [[w:Tripolitanien|Tripolitanien]]. 652 unterwarf er außerdem [[w:Oberägypten|Oberägypten]] und brachte das Königreich [[w:Nubien|Nubien]] in ein Tributverhältnis zum islamischen Staat. Zur Kontrolle der nubischen Tributzahlungen wurde in der Stadt Syene (heute [[w:Assuan|Assuan]]) eine Militärgarnison stationiert. ʿAbdallāh ibn ʿĀmir vollendete 650 mit der Einnahme von [[w:Persepolis|Persepolis]] die Eroberung der [[w:Persis|Persis]] ([[w:Fars|Fārs]]) und besetzte 651/2 die sassanidische Nordostprovinz [[w:Chorasan|Chorasan]] mit den Städten [[w:Nischapur|Nischapur]], [[w:Merw|Merw]], [[w:Balch|Balch]] und [[w:Herat|Herat]]. Im gleichen Jahr fiel der Sassaniden-Herrscher [[w:Yazdegerd_III.|Yazdegerd III.]] in Merw einem Mordanschlag zum Opfer, womit die Sassaniden-Dynastie endgültig erlosch. ʿUthmān machte sich allerdings dadurch unbeliebt, dass er einen Teil der bei den Futūh eroberten Ländereien, die nach Vorstellung der Kämpfer der Gemeinschaft der Muslime insgesamt gehörten, unter Berufung auf den im Koran beschriebenen „Fünft“ (''ḫums'', vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/8/vers/41 Q 8:41]) zurückhielt und unter seinen Gouverneuren und Verwandten als Landgüter (''qaṭāʾiʿ'') verteilte. Auch verschiedene Prophetengefährten wie etwa Talha wurden großzügig mit Landschenkungen bedacht. Einer von ʿUthmāns Verwandten, der im Irak als Gouverneur eingesetzt war, verstieg sich zu der Aussage, dass das Fruchtland des Irak, der sogenannte ''sawād'', „Garten der Quraisch“ geworden sei, also gewissermaßen Eigentum dieses Stammes. Auch ʿAbdallāh ibn Abī Sarh, ʿUthmāns Gouverneur in Ägypten, tat sich durch gesteigerte Ausbeutungsmethoden negativ hervor. Mit den so erlangten Mitteln erbaute er sich in Ägypten einen prächtigen Palast. Allein diese Haltung bedeutete, wenn man ʿUmars Anweisungen hinsichtlich der Bauaktivität zum Vergleich heranzieht, eine bedenkliche Veränderung. Im Gegensatz zu seinen Vorgängern erhob ʿUthmān auch Anspruch auf göttliche Autorisierung. Er bezeichnete sich in seinen Urkunden nicht mehr als Stellvertreter des Gottesgesandten (''ḫalīfat rasūl Allāh''), sondern direkt als Stellvertreter Gottes (''ḫalīfat Allāh''). Damit stellte er sich in die Nachfolge des Königs [[w:David|David]], von dem Gott im Koran ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/38/vers/26 38:26]) sagt, dass Er ihn als Stellvertreter auf Erden eingesetzt habe, damit er zwischen den Menschen nach der Wahrheit richte. Dieses Modell des Kalifats übernahmen später fast alle anderen Herrscher, die diesen Titel für sich beanspruchten. === 4.4.2. Die Erstellung einer offiziellen Koranausgabe === [[File:The ‘Uthman Qur'an - Kufic.jpg|mini|links|Ausschnitt aus einem Korantext, der auf ʿUthmān zurückgeführt wird. [[w:Diakritisches Zeichen|Diakritische Zeichen]] fehlen.]] Unter dem Kalifat ʿUthmāns wurde eine erste offizielle Koranausgabe erstellt. Die islamische Tradition besagt, dass zu dieser Zeit, insbesondere während der Kriegszüge nach Armenien und Aserbaidschan, also im Jahre 652, Männer aus Syrien und dem Irak über die verschiedenen Lesarten des Korans in Streit gerieten. Als der General Hudhaifa von der Expedition zurückgekehrt war, trug er die Sache dem Kalifen vor, und der Kalif beschloss, eine Kommission einzusetzen, die einen offiziellen Korantext festlegen sollte. Mit dieser Aufgabe wurde erneut Zaid ibn Thābit betraut, wobei ihm jedoch drei Muslime aus Mekka zur Seite gestellt wurden. Die Kommissionsmitglieder wurden angewiesen, sich dort, wo es irgendeine sprachliche Schwierigkeit bei der Lesung gab, an den Dialekt der Quraisch von Mekka zu halten. Zaid und seinen Mitarbeiter händigte man für ihre Arbeit die Blätter (''ṣuḥuf'') ʿUmars aus, die bei seinem Tod an seine Tochter [[w:Hafsa bint ʿUmar|Hafsa]] gegangen war. Mit dieser Version verglichen sie alle Koranfragmente, die sie finden konnten, und fügten an passenden Stellen alle ausgelassenen Verse ein. Ziel ihrer Bemühungen war die Festlegung eines autoritativen Textes des Korans. Davon wurden dann Kopien angefertigt und in die wichtigsten Städte des islamischen Reiches (Damaskus, Kufa, Basra und wahrscheinlich auch Mekka) geschickt. Es heißt, dass ʿUthmān die anderen Korankodizes vernichten ließ. In Wirklichkeit wurde aber keine völlige Vertilgung der anderen Niederschriften erreicht. ʿAbdallāh ibn Masʿūd zum Beispiel weigerte sich erfolgreich, seinen Korankodex herauszugeben. Von den anderen Korankodizes wich die neu erstellte offizielle Koranausgabe in mehreren Punkten ab. So enthält sie am Anfang und Ende Gebete, die in anderen Korankodizes fehlten. Sie bilden die erste Sure, die [[w:al-Fātiha|Fātiha]], und die beiden letzten mit ''aʿūḏu bi-rabbi'' („Ich nehme Zuflucht beim Herrn...“) eingeleiteten Suren [[w:Sure 113|Sure 113]] und [[w:Sure 114|114]], die [[w:Apotropaion|apotropäische]] Funktion haben. Die Fātiha ist ein Eröffnungsgebet, das für den Gottesdienst der Muslime sehr große Bedeutung hat und deswegen auch mit dem christlichen [[w:Vaterunser|Vaterunser]] verglichen worden ist. Sein Text lautet: [[Datei:FirstSurahKoran.jpg|mini|hochkant|Kalligraphisch gestaltete Fātiha in arabischer Schrift, {{Audio|Surah Al fatiha104.ogg|Die Fātiha zum Anhören}}]] <poem lang="nl" style="margin-left:2em; float:left;"> ''Bi-smi Llāhi r-raḥmāni r-raḥīm'' ''al-ḥamdu li-Llāhi rabbi l-ʿālamīn'' ''ar-raḥmāni r-raḥīm'' ''māliki yaumi d-dīn'' ''īyāka naʿbudu wa-īyāka nastaʿīn'' ''ihdī-nā ṣ-ṣirāta l-mustaqīm'' ''ṣirāta llaḏīna anʿamta ʿalai-him'' ''ġairi l-maġḍūbi ʿalai-him wa-lā ḍ-ḍāllīn'' </poem> <poem style="margin-left:2em; float:left;"> Im Namen Gottes, des barmherzigen Erbarmers, Lob sei Gott, dem Herrn der Welten, dem barmherzigen Erbarmer, dem König des Gerichtstags. Dir dienen wir, dich rufen wir um Hilfe an. Führe uns den rechten Weg, den Weg derer, denen du Huld erwiesen hast, nicht derer, denen du zürnst und nicht derer, die irregehen. </poem> <div style="clear:left;"></div> Von großer Bedeutung war eine Differenz in [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/24 Sure 4:24]. In dem Passus, in dem den Männern erlaubt wird, sich mit ihrem Vermögen über ihre gewöhnlichen Ehefrauen hinaus sonstige Frauen zu verschaffen, wenn sie ihnen nach dem erfahrenen Genuss ihren Lohn geben, stand sowohl in dem Kodex von ʿAbdallāh ibn Masʿūd als auch in demjenigen von Ubaiy ibn Kaʿb der Ausdruck ''ilā aǧal musammā'' („bis zur genannten Zeit“). Daraus leiteten mehrere [[w:Sahāba|Prophetengefährten]] ab, dass zeitlich begrenzte Ehen zum Zweck des sexuellen Genusses ([[w:Mutʿa-Ehe|Mutʿa]]) trotz des Verbotes durch ʿUmar weiterhin erlaubt seien. In dem Korantext von ʿUthmān, der Grundlage aller späteren Koranausgaben ist, fehlt dieser Ausdruck. === 4.4.3. Die Entstehung einer religiös-politischen Opposition === Gegen die neu eingetretenen Umstände, Haltungen und Denkweisen in den aristokratischen Führungskreisen des Reiches bildete sich in Syrien und im Irak eine religiös-politische Oppositionsbewegung, die vor allem von Frommen, die zu Muhammads frühen Anhängern gehört hatten, getragen wurde. Einer der bekanntesten Vertreter dieser Bewegung war [[w:Abū Dharr al-Ghifārī|Abū Dharr al-Ghifārī]], der aufgrund seines frühen Beitritts zum Islam und seiner Meriten als Kämpfer eine hohe Stellung in der islamischen Gemeinde hatte. Als ʿUthmān nach den Eroberungszügen von 647 in Tripolitanien einen Großteil des erbeuteten Vermögens an Verwandte und seinen Sekretär Zaid ibn Thābit gab, predigte Abū Dharr gegen diejenigen, die „Geld anhäufen“, wobei er sich auf das Koranwort von Sure [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/34 9:34] bezog: „Wer aber Gold und Silber hortet und es nicht für die Sache Gottes ausgibt, denen verkünde schmerzhafte Strafe.“ ʿUthmān verbannte ihn daraufhin nach Syrien, wo Abū Dharr aber weitere Auseinandersetzungen mit dem dortigen umaiyadischen Statthalter Muʿāwiya hatte. Abū Dharr warf ihm vor, die ihm anvertrauten Gelder der Muslime zu veruntreuen, und forderte bei Predigten die Reichen dazu auf, die Armen zu unterstützen. Offensichtlich fand Abū Dharrs Bestreben ein beachtliches Echo unter den Armen in Syrien, denn diese versuchten daraufhin, die Reichen zu entsprechenden Handlungen zu zwingen. Als es zu Beschwerden bei Muʿāwiya kam, wandte sich dieser schriftlich an ʿUthmān und meldete ihm, dass Abū Dharr die Menschen in Syrien gegen ihn aufhetze. ʿUthmān ließ den angeblichen Aufrührer hierauf nach Medina kommen und zog seine Hinrichtung in Erwägung, nahm jedoch auf Anraten von ʿAlī ibn Abī Tālib davon Abstand. Der Kalif schickte ihn schließlich in eine Art Verbannung nach Rabdha, einem Dorf der Umgebung, wo er in Armut und Zurückgezogenheit um das Jahr 652 verstarb. Das harte Vorgehen gegen diesen populären Prophetengefährten schadete ʿUthmāns Ansehen stark. Auch in den Lagern Kufa und Basra, die durch Einwanderung von Stammesangehörigen der arabischen Halbinsel mittlerweile zu bedeutenden Siedlungen herangewachsen waren, regte sich Widerstand gegen ʿUthmān. In Kufa kritisierte ʿAbdallāh Ibn Masʿūd schon 650 den neuen Gouverneur, dessen heidnisches Gebaren ihn verstörte. 651 kam es zum Bruch mit ʿUthmān. Ibn Masʿūd fiel in Ungnade, unter Umständen, die nicht klar sind. Eine öffentliche Szene folgte, bei der er vom Kalifen misshandelt wurde. Ein Grund für diese Konfrontation mag die Auseinandersetzung um Ibn Masʿūds Korankodex (''muṣḥaf'') gewesen sein. Ibn Masʿūd zufolge war der [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/5/vers/67 Vers 5:67] zur Zeit des Propheten mit einem explizit auf ʿAlī bezogenen Zusatz versehen gewesen. Das deutet auf eine große Loyalität Ibn Masʿūds gegenüber ʿAlī und seiner Familie hin. === 4.4.4. ʿUthmāns Ermordung === [[File:Rebellions against Uthman & the Kharijite Origins.png|mini|Die Orte, von denen aus die Unzufriedenen nach Medina zogen.]] In den letzten Jahren des Kalifats von ʿUthmān wurden die Beschwerden gegen ihn immer lauter, und es entstand eine regelrechte Protestbewegung. Nach dem Bericht [[w:at-Tabarī|at-Tabarī]]s war es ein Mann namens [[w:ʿAbdallāh ibn Saba'|ʿAbdallāh ibn Saba']], der sie von Ägypten aus koordinierte. Er stellte ʿUthmān als Usurpator dar und propagierte, dass allein ʿAlī als Mohammeds Bevollmächtigter (''waṣī'') zur Herrschaft über die [[w:Umma|Umma]] befugt sei. Im Frühjahr 656 zogen große Gruppen Unzufriedener aus Ägypten, Basra und Kufa nach Medina, führten beim Kalifen über verschiedene Dinge Klage und verlangten seine Absetzung. ʿUthmān, der ihre Forderungen für unberechtigt hielt, bequemte sich schließlich zu Verhandlungen und sagte zu, ihre Beschwerden zu prüfen. Die Unzufriedenen wurden dadurch zunächst weitgehend beruhigt und traten den Heimweg an. Die Beschwerdeführer aus Ägypten fingen aber unterwegs einen Boten des Kalifen ab, der eine geheime Botschaft an den Statthalter in Ägypten bei sich hatte. Darin beauftragte der Kalif diesen, die Anführer hinzurichten und andere entsprechend zu bestrafen. Aufgebracht kehrten die Unzufriedenen nach Medina zurück, stellten den Kalifen zur Rede und forderten ihn ultimativ zum Rücktritt auf. Es kam zur Belagerung seines Hauses, wo ihn seine Knechte und Verwandten verteidigten und damit die Konfrontation verschärften. Das Gebäude wurde am 17. Juni 656 gestürmt, und ʿUthmān ermordet. Eine wichtige Folge der Ermordung ʿUthmāns war, dass die Stadt Medina fortan ihre Rolle als politisches Zentrum des islamischen Staates verlor. Noch wichtiger war allerdings, dass es über die Beurteilung von ʿUthmān und die Frage, ob seine Ermordung gerechtfertigt war, zu einer tiefgehenden Spaltung der Muslime kam, die bis heute noch nicht überwunden ist. In diesen Auseinandersetzungen um ʿUthmān tauchte zum ersten Mal eine wichtige Formel auf, die nämlich von dem „Buch Gottes und der [[w:Sunna|Sunna]] des Propheten“. Mit dem Buch Gottes war der Koran gemeint, mit der Sunna des Propheten die von diesem begründete Handlungspraxis, die man in der Gemeinschaft der Muslime als normativen Maßstab ansah. Während die Gegner ʿUthmāns überzeugt waren, dass ʿUthmān gegen die Prinzipien von Koran und Prophetensunna verstoßen hatte, verteidigten seine Parteigänger, insbesondere die Umaiyaden, seine Handlungsweise gegen diesen Vorwurf. == 4.5. Weiterführende Literatur == * Sean Anthony: ''The Caliph and the heretic: Ibn Saba' and the origins of Shīʿism.'' Leiden 2012. * [[w:Al-Balādhurī|Al-Balādhurī]]: ''Kitāb Futūḥ al-buldān.'' Deutsche Übersetzung von [[w:Oskar Rescher|Oskar Rescher]]. 2 Bde. Leipzig 1917, Stuttgart 1923. * Heribert Busse: „ʿOmar b. al-Ḫaṭṭāb in Jerusalem“ in ''Jerusalem Studies in Arabic and Islam'' 5 (1984) 73–119. * Patricia Crone und Michael Cook: ''Hagarism. The Making of the Islamic World.'' Cambridge 1977. * Patricia Crone und Martin Hinds: ''God’s Caliph. Religious authority in the first centuries of Islam.'' Cambridge 1986. * Paul Gerhard Dannhauer: ''Untersuchungen zur frühen Geschichte des Qadi-Amtes.'' Bonn 1975. * Fred Donner: ''The early Islamic conquests.'' Princeton, NJ 1981. * Taieb El-Hibri: ''Parable and Politics in Early Islamic History. The Rashidun Caliphs.'' New York-Chichester 2010. * [[w:Martin Hinds|Martin Hinds]]: “The Murder of the Caliph ʿUthmān” in ''International Journal of Middle East Studies'' 3 (1972) 450–469. * Wilferd Madelung: ''The Succession to Muhammad. A study of the early caliphate.'' Cambridge 1997. * Al Makin: ''Representing the enemy: Musaylima in Muslim literature''. Frankfurt/Main 2010. * Theodor Nöldeke: ''Geschichte des Qorāns. Zweiter Teil: Die Sammlung des Qorāns.'' 2. Aufl. völlig umgearbeitet von Fr. Schwally. Leipzig 1919. * Albrecht Noth: “Von der medinensischen 'Umma' zu einer muslimischen Ökumene“ in A. Noth u. J. Paul (Hrsg.): ''Der Islamische Orient. Grundzüge seiner Geschichte.'' Würzburg 1998. * David Stephan Powers: ''Muḥammad is not the father of any of your men: the making of the last prophet''. Philadelphia 2009. * Israel Wolfensohn: ''Kaʿb al-Aḥbār und seine Stellung im Ḥadīṯ und in der islamischen Legendenliteratur.'' Gelnhausen 1933. == 4.6. Fragen/Aufgaben == 1. Welche Umstände erleichterten die islamische Eroberung des Vorderen Orients? 2. Welche Veränderungen nahm Muhammad am Haddsch-Ritual vor? 3. Nach dem Tode Muhammads traten unter den Muslimen erhebliche Meinungsverschiedenheiten auf. Erklären Sie, um welches Problem es ging, und wie dieses gelöst wurde. 4. Welche Titel nahmen die ersten muslimischen Herrscher nach Muhammad an und welche Vorstellungen waren mit ihnen verbunden? 5. Nennen Sie politische und religiöse Reformen, die unter dem Kalifen ʿUmar ibn al-Chattāb vorgenommen wurden. 6. In welcher Weise lag der Koran nach dem Tode Muhammads vor und welche redaktionellen Prozesse fanden bis zum Kalifat ʿUmars statt? 7. Der Kalif ʿUthmān ließ die erste offizielle Koranausgabe erstellen. In welchen Punkten wich sie von anderen damals verwendeten Korankodizes ab? 8. Beschreiben Sie die Entwicklungen, die zur Ermordung des Kalifen ʿUthmān und damit auch zur Spaltung der Muslime führten. {{Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI)/Navigation}} ea0vthxzjg6tedoomyn5tj0j35iyzba 106 99348 1116564 792356 2026-10-17T11:26:56Z Bocardodarapti 2041 1116564 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Grundkurs Mathematik_(Osnabrück_2018-2019)/Teil_I/Vorlesungsgestaltung|2| {{Mottomitauflistung |verwenden eingeführte mathematische Fachbegriffe sachgerecht. |beschreiben mathematische Sachverhalte mit eigenen Worten und finden dazu Fragestellungen. |stellen Vermutungen über mathematische Sachverhalte an, begründen und überprüfen sie. |entdecken und beschreiben mathematische Zusammenhänge. |beschreiben und begründen eigene Lösungswege und reflektieren darüber. |überprüfen mathematische Aussagen, kennzeichnen sie als richtig oder falsch und begründen dies.|Prätext=Die Schülerinnen und Schüler |Autor=Die erwarteten Kompetenzen am Ende des Schuljahrganges 4 im Kompetenzbereich Kommunizieren/Argumentieren aus dem niedersächsischen Kerncurriculum für die Grundschule (2006) }} {{Zwischenüberschrift|Mathematisches Argumentieren}} {{:Mathematische Argumentation/Kurzeinführung/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|Geldscheine und Münzen}} Wir möchten an einem alltäglichen Beispiel typische Argumentationsmuster der Mathematik vorstellen. Grundlegende Eigenschaften der natürlichen Zahlen setzen wir hierfür voraus. {{:Münzen/Mathematische Argumentation/Motivation/1/Textabschnitt|}} {{Fußnotenliste}} }} itytwc4o99g9o13kza7nondgk422mjk 106 135399 1116484 714775 2026-10-16T16:24:48Z ~2026-55567-94 41995 /* */ fixed typo 1116484 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Kompaktheit ist ein zentraler Begriff der mathematischen [[w:de:Topologie (Mathematik)|Topologie]], und zwar eine Eigenschaft, die einem [[w:de:Topologischer Raum|topologischen Raum]] zukommt oder nicht. Sie wird in vielen mathematischen Aussagen vorausgesetzt, z.B. bei stetigen Funktionen, die auf einem kompakten topologischen Raum als Definitionsbereich definiert sind. === Abschgewächte Formen der Kompaktheit === Kompaktheit tritt oft auch in abgeschwächter Form als [[w:de:Lindelöf-Raum|Lindelöf-Eigenschaft]] oder [[w:de:Parakompakter Raum|Parakompaktheit]] auf. Auch die [[w:de:Lokalkompakter Raum|Lokalkompaktheit]] ist im Falle von [[w:de:Hausdorff-Raum|Hausdorff-Räumen]] ebenfalls eine abgeschwächte Bedingung. Eine kompakte Menge nennt man je nach Kontext auch ''Kompaktum'' oder ''kompakter Raum''; dabei ist unerheblich, ob sie Teilmenge eines Oberraums ist. === Beispiele === Einfache Beispiele für kompakte Mengen sind [[w:de:Abgeschlossene Menge|abgeschlossene]] und [[w:de:Beschränktheit|beschränkte]] Teilmengen des [[w:de:Euklidischer Raum|Euklidischen Raums]] <math>\mathbb{R}^n</math>. * Für <math>n=1</math> ist ein Kompaktum z.B. das [[w:de:Intervall (Mathematik)|Intervall]] <math>[0,1]\subset\mathbb{R}</math>. * Für <math>n=2</math> z.B. die abgeschlossene Einheitskreisscheibe <math>B_1^{\|\cdot\|} ((0,0))</math> um den Nullvektor <math>(0,0)\in \mathbb{R}^2</math>. === Gegenbeispiele === Einfache Gegenbeispiele bilden die nicht kompakten Mengen * <math>\mathbb{N}\subset\mathbb{R}</math> (nicht beschränkt) oder * <math>\left[0,1\right[\subset\mathbb{R}</math> (nicht abgeschlossen). == Definition == Der [[Kompaktheitssatz von Riesz]] zeigt, dass Folgen in einer abgeschlossenen und bzgl. der Norm beschränkten Menge nicht notwendigerweise konvergente Teilfolgen besitzt. Dagegen besitzt eine Folge in einer abgeschlossenen und beschränkten Teilmenge des [[w:de:Euklidischer Raum|euklidischen Raums]] <math>\mathbb{R}^n</math> immer konvergente Teilfolgen. Daher können im endlichdimensionalen Fall kompakte Menge als [[w:de:Abgeschlossene Menge|abgeschlossen]] und [[w:de:Beschränktheit|beschränkt]] charakterisiert werden. === Kompaktheit im endlich dimensionalen Euklidischen Raum === Eine Teilmenge des [[w:de:Euklidischer Raum|euklidischen Raums]] <math>\mathbb{R}^n</math> heißt ''kompakt'', wenn sie [[w:de:Abgeschlossene Menge|abgeschlossen]] und [[w:de:Beschränktheit|beschränkt]] ist. Für diese spezielle Definition gilt der [[w:de:Satz von Heine-Borel|Satz von Heine-Borel]]: :Eine Teilmenge des <math>\mathbb{R}^n</math> ist genau dann kompakt, wenn jede [[w:de:offene Überdeckung|offene Überdeckung]] der Teilmenge eine endliche Teilüberdeckung enthält. Der Satz von Heine-Borel motiviert die folgende Verallgemeinerung der Definition der Kompaktheit auf topologische Räume. === Kompaktheit in topologischen Räumen === Ein [[w:de:topologischer Raum|topologischer Raum]] <math>(X,\mathcal{T})</math> heißt ''kompakt'', wenn jede [[w:de:offene Überdeckung|offene Überdeckung]] : <math>X=\bigcup_{i\in I}U_i\quad\textrm{mit}\quad U_i\in\mathcal{T}</math> eine [[w:de:endliche Teilüberdeckung|endliche Teilüberdeckung]] : <math>X=U_{i_1}\cup U_{i_2}\cup\dotsb\cup U_{i_n} \text{ mit } i_1,\dotsc,i_n\in I</math> besitzt.<ref name="Querenburg">[[w:de:Boto von Querenburg|Boto von Querenburg]]: ''Mengentheoretische Topologie.'' 3., neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2001, ISBN 3-540-67790-9</ref> === Kompaktheit von Teilmengen in topologischen Räumen === Eine Teilmenge <math>M</math> eines topologischen Raums <math>(X,\mathcal{T})</math> heißt ''kompakt'', wenn jede offene Überdeckung : <math>M\subseteq\bigcup_{i\in I}U_i\quad\textrm{mit}\quad U_i\in\mathcal{T}</math> eine endliche Teilüberdeckung : <math>M\subseteq U_{i_1}\cup U_{i_2}\cup\dotsb\cup U_{i_n} \text{ mit } i_1,\dotsc,i_n\in I</math> besitzt. Die beiden Begriffe sind kompatibel. Eine Teilmenge eines topologischen Raumes ist genau dann kompakt, wenn sie als topologischer Raum mit der [[w:de:Teilraumtopologie|Teilraumtopologie]] kompakt ist.<ref name="Querenburg" /> === Verwendung des Kompaktheitsbegriffes === Einige Autoren, wie beispielsweise [[w:de:Nicolas Bourbaki|Nicolas Bourbaki]]<ref name="Querenburg" />, verwenden für die hier definierte Eigenschaft den Begriff ''quasikompakt'' und reservieren den Begriff ''kompakt'' für kompakte [[w:de:Hausdorff-Raum|Hausdorff-Räume]]. Manche Autoren nennen die Kompaktheit zur klareren Abgrenzung von der [[w:de:Folgenkompaktheit|Folgenkompaktheit]] auch '''Überdeckungskompaktheit'''.<ref>{{Literatur |Autor=[[w:de:Winfried Kaballo|Winfried Kaballo]] |Titel=Grundkurs Funktionalanalysis |Auflage=1. |Verlag=Spektrum Akademischer Verlag |Ort=Heidelberg |Datum=2011 |ISBN=978-3-8274-2149-4 |Seiten=26}}</ref> == Aufgaben == Zeigen Sie mit der Definition der Überdeckungskompaktheit, dass die folgenden Mengen <math>M_k</math> nicht kompakt bzw. kompakt sind. Geben Sie dazu eine offene Überdeckung der Mengen <math>M_k</math> an und begründen Sie, warum es dazu keine endliche Teilüberdeckung geben kann: * <math>M_1 := \mathbb{R}^+ := \{x \in \mathbb{R} \, :\, x > 0\} </math> * <math>M_2 := \left\{ \frac{1}{n} \, : \, n \in \mathbb{N} \right\} </math> * <math>M_3 := (1,2):= \{x \in \mathbb{R} \, :\, 1 < x < 2\}</math> * Warum ist die <math>M_4:= M_2 \cap \{0\}</math> kompakt, obwohl <math>M_2</math> nicht kompakt ist? == Beweisaufgabe == Zeigen Sie, dass in einem normierten Raum <math>(X,\|\cdot\|)</math> eine kompakte Menge <math>K</math> * beschränkt und * abgeschlossen ist. '''Hinweis:''' Für die Beschränktheit bzgl. der Norm überdecken Sie die Menge mit offenen Mengen der Form <math>U_n := B_n^{\|\cdot\|}(0_X)</math> und für die Abschlossenheit nehmen Sie an, dass eine kompakte Menge <math>K</math> eine Randpunkt <math>z_o\in X</math> besitzt, der nicht zur Menge <math>K</math> gehört. Überdecken Sie <math>K</math> dann mit Komplementen von abgeschlossenen <math>\varepsilon</math>-Kugeln um den den Punkt <math>z_o\notin K</math>, d.h. mit Mengen der Form <math>U_n := X \setminus \overline{B_{\frac{1}{n}}^{\|\cdot\|} (0_X)}</math>. == Geschichte == Um das Jahr 1900 waren die folgenden Charakterisierungen kompakter Teilmengen <math>A</math> des <math>\mathbb{R}^n</math> bekannt: * (K1) Die Teilrmenge <math>A</math> ist beschränkt und abgeschlossen. * (K2) Jede Teilmenge von <math>A</math> mit unendlich vielen Elementen hat wenigstens einen [[w:de:Häufungspunkt|Häufungspunkt]]. ([[w:de:Satz von Bolzano-Weierstraß|Satz von Bolzano-Weierstraß]]) * (K3) Jede Folge in <math>A</math> besitzt eine in <math>A</math> konvergente Teilfolge. ([[w:de:Satz von Bolzano-Weierstraß|Satz von Bolzano-Weierstraß]]) * (K4) Jede offene Überdeckung von <math>A</math> hat eine endliche Teilüberdeckung. ([[w:de:Satz von Heine-Borel|Satz von Heine-Borel]]) === Metrische Räume === Die erste Charakterisierung (K1) ist durch den Begriff der Beschränktheit abhängig von der gewählten [[w:de:Metrischer Raum|Metrik]] <math>d: X\times X \to \mathbb{R}</math>. Die anderen drei Charakterisierungen hingegen lassen sich aubeliebige topologische Räume übertragen und bieten somit eine Möglichkeit einen Kompaktheitsbegriff für topologische Räume zu definieren. === Kompaktheit nach Frechet === [[w:de:Maurice René Fréchet|Maurice René Fréchet]] nannte 1906 Teilmengen metrischer Räume kompakt, die die zweite Eigenschaft erfüllten. Diese Definition wurde später auf topologische Räume übertragen. Man nannte also die im heutigen Sinne abzählbar kompakten Räume damals kompakt. === Heutige Kompaktheitsdefinition=== [[w:de:Pawel Sergejewitsch Alexandrow|Pawel Sergejewitsch Alexandrow]] und [[w:de:Pawel Samuilowitsch Urysohn|Pawel Samuilowitsch Urysohn]] führten 1924 den heutigen Kompaktheitsbegriff im Sinne der vierten Eigenschaft ein. Räume, die diese Eigenschaft erfüllten, nannten sie bikompakt. Diese Kompaktheitsdefinition setzte sich allerdings erst um 1930 durch, als [[w:de:Andrei Nikolajewitsch Tichonow|Andrei Nikolajewitsch Tichonow]] bewies, dass beliebige [[w:de:Produkttopologie|Produkte]] bikompakter Räume wieder bikompakte Räume ergeben. Dieses Resultat ist heute als [[w:de:Satz von Tychonoff|Satz von Tychonoff]] bekannt. Für abzählbar kompakte und [[w:de:Folgenkompaktheit|folgenkompakte]] Räume (Eigenschaft drei) gilt dies nicht.<ref name="Querenburg" /> == Von Endlichkeit zu Kompaktheit == Ein wichtiger Grund für die Betrachtung kompakter Räume ist, dass sie in mancher Hinsicht als Verallgemeinerung von endlichen topologischen Räumen gesehen werden können, insbesondere sind auch alle endlichen Räume kompakt. Es gibt viele Ergebnisse, die sich leicht für endliche Mengen beweisen lassen, deren Beweise dann mit kleinen Änderungen auf kompakte Räume zu übertragen sind. Hier ein Beispiel: === Trennung von Punkt und endlicher Menge === Wir setzen voraus, dass <math>X</math> ein [[w:de:Hausdorff-Raum|Hausdorff-Raum]] ist, <math>x</math> ein Punkt aus <math>X</math> und <math>A</math> eine endliche Teilmenge von <math>X</math>, die <math>x</math> nicht enthält. Dann können wir <math>x</math> und <math>A</math> durch [[w:de:Umgebung (Mathematik)|Umgebungen]] trennen: für jedes <math>a</math> aus <math>A</math> seien <math>U_a(x)</math> und <math>V(a)</math> disjunkte Umgebungen, die jeweils <math>x</math> bzw. <math>a</math> enthalten. Dann sind die Schnittmenge aller <math>U_a(x)</math> und die Vereinigung aller <math>V(a)</math> die benötigten Umgebungen von <math>x</math> und <math>A</math>. ==== Abbildung ==== Der Punkt <math>x</math> wird von <math>A=\{a,b,c\}</math> getrennt. Dabei wird verwendet, dass endliche Schnitte von offenen Mengen wieder offen sind. [[File:VonEndlichkeitZuKompaktheit.png|450px|Punkt und endliche Menge trennen]] === Trennung von Punkt und nicht endlicher Menge === Ist <math>A</math> nicht endlich, gilt der Beweis nicht mehr, da der Durchschnitt von unendlich vielen Umgebungen keine Umgebung mehr sein muss. Für den Fall, dass <math>A</math> kompakt ist, lässt sich die Beweisidee aber wie folgt übertragen: === Trennung von Punkt und kompakter Menge === Wir setzen wieder voraus, dass <math>X</math> ein [[w:de:Hausdorff-Raum|Hausdorff-Raum]] ist, <math>x</math> ein Punkt aus <math>X</math> und <math>A</math> eine kompakte Teilmenge von <math>X</math>, die <math>x</math> nicht enthält. Dann können wir <math>x</math> und <math>A</math> durch [[w:de:Umgebung (Mathematik)|Umgebungen]] trennen: für jedes <math>a</math> aus <math>A</math> seien <math>U_a(x)</math> und <math>V(a)</math> disjunkte offene Umgebungen, die jeweils <math>x</math> bzw. <math>a</math> enthalten. Da <math>A</math> kompakt ist und von den offenen Mengen <math>V(a)</math> überdeckt wird, gibt es endlich viele Punkte <math>a_1,\ldots,a_n \in A</math> mit <math>A\subseteq V(a_1)\cup\ldots\cup V(a_n)</math>. Dann sind die Schnittmenge aller <math>U_{a_i}(x)</math> und die Vereinigung aller <math>V(a_i)</math>, <math>i=1,\ldots, n</math>, die benötigten Umgebungen von <math>x</math> und <math>A</math>. === Bemerkung === Man sieht an diesem Beispiel, wie die Kompaktheit verwendet wird, um von möglicherweise unendlich vielen Umgebungen auf endlich viele zu kommen, mit denen dann der bekannte Beweis für endliche Mengen fortgeführt werden kann. Viele Beweise und Sätze über kompakte Mengen folgen diesem Muster. == Beispiele == Im Folgenden werden Beispiele für kompakte und nicht kompakte Räume genannt. === Kompakte Räume 1 === Betrachtet man das geschlossene Einheits-[[w:de:Intervall (Mathematik)|Intervall]] <math>[0, 1]</math> als Teilmenge von <math>\mathbb{R}</math> versehen mit der [[w:de:Standardtopologie|Standardtopologie]], so ist das Intervall ein kompakter, topologischer Raum. Ebenfalls kompakt sind die <math>n</math>-[[w:de:Kugel|Kugel]]n und <math>n-1</math>-[[w:de:Sphäre (Mathematik)|Sphären]] betrachtet als Teilmengen der <math>\mathbb{R}^n</math> versehen mit der Standardtopologie für beliebige natürliche Zahlen <math>n</math>. === Kompakte Räume 2 === Alle [[w:de:Topologischer Raum|topologischen Räume]] mit endlicher Topologie, z.B. endliche Räume, sind kompakt, da man mit einer endlichen Topologie ohnehin endliche Überdeckungen erzeugen kann. === Kompakte Räume 3 === Für eine natürliche Zahl <math>p>1</math> betrachte die Menge <math>p^\mathbb{N}</math> aller [[w:de:Folge (Mathematik)|Folgen]] mit Werten aus <math>\{0,\dotsc,p-1\}</math>. Auf dieser Menge kann man eine Metrik <math>d</math> definieren, indem man <math>d((x_k),(y_k)):=p^{-m}</math> setzt, wobei <math>m:=\inf\{k\in\mathbb{N}:x_k\neq y_k\}</math>. Ist <math>(x_k)=(y_k)</math>, so sei <math>d((x_k),(y_x)):=0</math>. Aus dem Satz von Tychonoff (siehe unten) folgt, dass der durch diese Metrik induzierte topologische Raum kompakt ist. Diese Konstruktion kann für jede endliche Menge durchgeführt werden, nicht nur für <math>\{0,\dotsc,p-1\}</math>. Der entstehende metrische Raum ist dabei sogar [[w:de:Ultrametrik|ultrametrisch]]. Es gilt folgendes: * Ist <math>p=2</math>, dann ist die Abbildung <math>(x_1, x_2,\dotsc) \mapsto 2 (x_1 3^{-1} + x_2 3^{-2} + x_3 3^{-3} +\dotsb)</math> ein Homöomorphismus von <math>2^\mathbb{N}</math> in die [[w:de:Cantor-Menge|Cantor-Menge]]. * Ist <math>p</math> eine Primzahl, dann ist die Abbildung <math>(x_1, x_2,\dotsc) \mapsto (x_1 p^{0} + x_2 p^{1} + x_3 p^{2} + \dotsb)</math> ein Homöomorphismus von <math>p^\mathbb{N}</math> in die <math>p</math>-adischen ganzen Zahlen. === Kompakte Räume 4 - Spektrum === * Das [[Kurs:Funktionalanalysis/Spektrum|Spektrum]] eines beliebigen [[w:de:Stetige Funktion|stetigen]] [[w:de:Linearer Operator|linearen Operators]] auf einem [[w:de:Hilbertraum|Hilbertraum]] ist eine kompakte Teilmenge der [[w:de:Komplexe Zahlen|Komplexen Zahlen]]. * Das [[Kurs:Funktionalanalysis/Spektrum|Spektrum]] eines beliebigen [[w:de:Kommutativer Ring|kommutativen Ringes]] oder einer [[w:de:Boolesche Algebra|booleschen Algebra]] ist ein kompakter Raum mit der [[w:de:Zariski-Topologie|Zariski-Topologie]]. === Kompakte Räume 5 === Weitere Beispiele kompakter Mengen aus der [[w:de:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]] erhält man durch den [[w:de:Satz von Banach-Alaoglu|Satz von Banach-Alaoglu]], den [[w:de:Satz von Kolmogorow-Riesz|Satz von Kolmogorow-Riesz]], den [[w:de:Satz von Arzelà-Ascoli|Satz von Arzelà-Ascoli]] oder das [[w:de:Kompaktheitskriterium von James|Kompaktheitskriterium von James]]. === Nicht kompakte Räume 1 === Die [[w:de:Reelle Zahl|reellen Zahlen]] <math>\mathbb{R}</math> versehen mit der Standardtopologie sind nicht kompakt. Ebenfalls nicht kompakt sind das halboffene Intervall <math>[0,1[</math>, die ganzen Zahlen <math>\mathbb{Z}</math> oder die natürlichen Zahlen <math>\mathbb{N}</math> betrachtet als Teilmengen von <math>\mathbb{R}</math>. Versieht man jedoch beispielsweise <math>\mathbb{N}</math> mit der trivialen Topologie <math>\mathcal{T}:=\{\emptyset,\mathbb{N}\}</math>, so ist <math>(\mathbb{N},\mathcal{T})</math> kompakt. Ob eine Menge kompakt ist, hängt daher im Allgemeinen von der gewählten Topologie ab. * Die abgeschlossene Einheitskugel des Raumes <math>\ell^\infty = L^\infty(\mathbb{N};\mathbb{R})</math> der beschränkten reellen Zahlenfolgen (siehe [[w:de:Lp-Raum|''L^p''-Raum]]) ist nicht kompakt, obwohl sie abgeschlossen und beschränkt ist. Es gilt allgemein, dass die abgeschlossene Einheitskugel in einem [[Normen, Metriken, Topologie|normierten Raum]] genau dann kompakt ist, wenn die Dimension des Raums endlich ist ([[Kompaktheitssatz von Riesz]]. == Eigenschaften == * Das [[w:de:Bildmenge|Bild]] einer kompakten Menge unter einer [[w:de:Stetige Funktion|stetigen]] Funktion ist kompakt. Folglich nimmt eine reellwertige stetige Funktion auf einem nichtleeren Kompaktum ein globales [[w:de:Extremwert|Minimum]] und ein globales [[w:de:Extremwert|Maximum]] an. * Eine stetige Funktion auf einem kompakten [[w:de:Metrischer Raum|metrischen Raum]] ist [[w:de:gleichmäßig stetig|gleichmäßig stetig]]. Diese Aussage ist auch als [[w:de:Satz von Heine|Satz von Heine]] bekannt. * Jede [[w:de:Umgebung (Mathematik)|Umgebung]] eines Kompaktums in einem [[w:de:Uniformer Raum|uniformen Raum]] ist [[w:de:gleichmäßige Umgebung|gleichmäßige Umgebung]]. Das heißt, es liegt mit einer ''Nachbarschaft'' in der Umgebung. Im metrischen Falle heißt dies, dass alle Punkte mit gleich großen Kugeln einer gewählten Größe innerhalb der Umgebung liegen. Die Nachbarschaft kann sogar so gewählt werden, dass das Komplement der Umgebung mit der Nachbarschaft außerhalb des Kompaktums mit der Nachbarschaft liegt.<ref>[[w:de:Nicolas Bourbaki|Nicolas Bourbaki]]: ''Elements of Mathematics. General Topology.'' Band 1. Springer, Berlin u. a. 1966, Kapitel II, § 4.3, Proposition 4.</ref> * Jede unendliche [[w:de:Folge (Mathematik)|Folge]] <math>(a_n)_{n \in \mathbb N}</math> von Elementen einer kompakten Menge <math>K \subset E</math> besitzt einen [[w:de:Häufungspunkt|Häufungspunkt]] in <math>K</math>. Erfüllt <math>K</math> das erste [[w:de:Abzählbarkeitsaxiom|Abzählbarkeitsaxiom]], so existiert sogar eine in <math>K</math> konvergente Teilfolge <math>(a_{n_i})_{i \in \mathbb N}</math>.<br /> Die Umkehrung gilt jedoch nicht in jedem topologischen Raum, das heißt eine Teilmenge, in der jede Folge eine (in der Teilmenge) konvergente Teilfolge hat (eine solche Teilmenge heißt folgenkompakt, siehe unten), muss nicht kompakt sein. (Ein Beispiel bildet die Menge der abzählbaren [[w:de:Ordinalzahlen|Ordinalzahlen]] <math>[0,\omega_1[</math> mit der Ordnungstopologie.) * Eine abgeschlossene Teilmenge eines kompakten Raumes ist kompakt. * Eine kompakte Teilmenge eines [[w:de:Hausdorff-Raum|Hausdorff-Raum]]es ist abgeschlossen (jeder metrische Raum ist ein Hausdorff-Raum). * Eine nicht-leere kompakte Teilmenge der [[w:de:Reelle Zahlen|reellen Zahlen]] hat ein größtes und ein kleinstes Element (siehe auch [[w:de:Supremum|Supremum]], [[w:de:Infimum|Infimum]]). * Für jede [[w:de:Teilmenge|Teilmenge]] <math>M</math> des euklidischen Raumes <math>\mathbb{R}^n</math> sind die folgenden drei Aussagen äquivalent (vergleiche [[w:de:Satz von Heine-Borel|Satz von Heine-Borel]]): ** <math>M</math> ist kompakt, das heißt jede offene Überdeckung von <math>M</math> hat eine endliche Teilüberdeckung. ** Jede [[w:de:Folge (Mathematik)|Folge]] in der Menge <math>M</math> hat eine in <math>M</math> [[w:de:Konvergenz (Mathematik)|konvergente]] Teilfolge (also mindestens einen Häufungspunkt). ** Die Menge <math>M</math> ist [[w:de:Abgeschlossene Menge|abgeschlossen]] und [[w:de:Beschränktheit|beschränkt]]. * Ein [[w:de:metrischer Raum|metrischer Raum]] ist genau dann kompakt, wenn er [[w:de:Vollständiger Raum|vollständig]] und [[w:de:Totalbeschränkt|total beschränkt]] ist. * Ein [[w:de:diskreter Raum|diskreter Raum]] ist genau dann kompakt, wenn er endlich ist. * Das [[w:de:Produkttopologie|Produkt]] einer beliebigen Klasse von kompakten Räumen ist kompakt in der [[w:de:Produkttopologie|Produkttopologie]]. ([[w:de:Satz von Tychonoff|Satz von Tychonoff]] – dies ist äquivalent zum [[w:de:Auswahlaxiom|Auswahlaxiom]]) * Ein kompakter Hausdorff-Raum ist [[w:de:Normaler Raum|normal]]. * Jede stetige [[w:de:bijektiv|bijektiv]]e Abbildung von einem kompakten Raum auf einen Hausdorff-Raum ist ein [[w:de:Homöomorphismus|Homöomorphismus]]. * Ein metrischer Raum ist genau dann kompakt, wenn jede [[w:de:Folge (Mathematik)|Folge]] in dem Raum eine konvergente Teilfolge mit ihrem [[w:de:Grenzwert (Folge)|Grenzwert]] in dem Raum hat. * Ein topologischer Raum ist genau dann kompakt, wenn jedes [[w:de:Netz (Topologie)|Netz]] auf dem Raum ein Teilnetz hat, das einen Grenzwert in dem Raum hat. * Ein topologischer Raum ist genau dann kompakt, wenn jeder [[w:de:Filter (Mathematik)|Filter]] auf dem Raum eine konvergente Verfeinerung besitzt. * Ein topologischer Raum ist genau dann kompakt, wenn jeder [[w:de:Ultrafilter|Ultrafilter]] auf dem Raum [[w:de:Filterkonvergenz|konvergiert]]. * Ein topologischer Raum kann genau dann in einen kompakten Hausdorff-Raum eingebettet werden, wenn er ein [[w:de:Tychonoff-Raum|Tychonoff-Raum]] ist. * Jeder topologische Raum <math>X</math> ist ein [[w:de:Dichte Teilmenge|dichter]] [[w:de:Teilraumtopologie|Unterraum]] eines kompakten Raumes, der höchstens einen Punkt mehr besitzt als <math>X</math>. (Siehe auch [[w:de:Alexandroff-Kompaktifizierung|Alexandroff-Kompaktifizierung]].) * Ein metrisierbarer Raum <math>X</math> ist genau dann kompakt, wenn jeder zu <math>X</math> [[w:de:Homöomorphismus|homöomorphe]] metrische Raum vollständig ist. * Falls der metrische Raum <math>X</math> kompakt ist und eine offene Überdeckung von <math>X</math> gegeben ist, dann existiert eine Zahl <math>\delta > 0</math>, so dass jede Teilmenge von <math>X</math> mit Durchmesser <math>{}< \delta</math> in einem Element der Überdeckung enthalten ist. ([[w:de:Lemma von Lebesgue|Lemma von Lebesgue]]) * Jeder kompakte Hausdorffraum lässt genau eine [[w:de:uniforme Struktur|uniforme Struktur]] zu, die die Topologie induziert. Die Umkehrung gilt nicht.<ref>{{Literatur |Autor=[[w:de:Steven Gaal|István Sándor Gál]] |Titel=Uniformizable Spaces with a Unique Structure |Sammelwerk=Pacific Journal of Mathematics |Band=9 |Nummer=4 |Datum=1959-08 |ISSN=0030-8730 |Seiten=1053–1060 |Online=[https://msp.org/pjm/1959/9-4/pjm-v9-n4-p06-s.pdf online] |Format=PDF |KBytes=1200}}</ref> * Falls ein topologischer Raum eine [[w:de:Subbasis|Subbasis]] hat, so dass jede Überdeckung des Raumes durch Elemente der Subbasis eine endliche Teilüberdeckung hat, so ist der Raum kompakt. ([[w:de:Satz von Alexander (Mengentheoretische Topologie)|Alexanders Subbasis-Satz]]) * Zwei kompakte Hausdorff-Räume <math>X_1</math> und <math>X_2</math> sind genau dann [[w:de:Homöomorphismus|homöomorph]], wenn ihre [[w:de:Ring (Algebra)|Ringe]] von stetigen reell-wertigen Funktionen <math>C(X_1)</math> und <math>C(X_2)</math> [[w:de:Isomorphismus|isomorph]] sind. == Andere Formen von Kompaktheit == Es gibt einige topologische Eigenschaften, die äquivalent zur Kompaktheit in [[w:de:Metrischer Raum|metrischen Räumen]] sind, aber nicht äquivalent in allgemeinen topologischen Räumen: * Folgenkompakt: Jede [[w:de:Folge (Mathematik)|Folge]] hat eine konvergente Teilfolge. * [[w:de:Omega-beschränkter Raum|ω-beschränkt]]: Jede abzählbare Teilmenge ist in einer kompakten Teilmenge enthalten. * [[w:de:Abzählbar kompakt|Abzählbar kompakt]]: Jede abzählbare offene Überdeckung hat eine endliche Teilüberdeckung. (Oder, äquivalent, jede unendliche Teilmenge hat einen <math>\omega</math>-Häufungspunkt.) * Pseudokompakt: Jede reell-wertige stetige Funktion auf dem Raum ist beschränkt. * Schwach abzählbar kompakt: Jede unendliche Teilmenge hat einen [[w:de:Häufungspunkt|Häufungspunkt]]. * [[w:de:Eberlein-kompakter Raum|Eberlein-kompakt]]: Der Raum ist homöomorph zu einer [[w:de:Schwache Topologie|schwach]]-kompakten Teilmenge eines [[w:de:Banachraum|Banachraum]]s. Während diese Konzepte für metrische Räume äquivalent sind, gibt es im Allgemeinen folgende Beziehungen: * Kompakte Räume sind <math>\omega</math>-beschränkt. * <math>\omega</math>-beschränkte Räume sind abzählbar kompakt. * Folgenkompakte Räume sind abzählbar kompakt. * Abzählbar kompakte Räume sind pseudokompakt und schwach abzählbar kompakt. * Eberlein-kompakte Räume sind folgenkompakt. == Siehe auch == * [[Kompaktheitssatz von Riesz]] * [[w:de:Relativ kompakte Teilmenge|Relativ kompakte Teilmenge]] (Kompaktheit des Abschlusses) * [[w:de:Kompaktifizierung|Kompaktifizierung]] (Einbettung topologischer Räume in kompakte Räume) * [[w:de:Schwach folgenkompakte Menge|Schwach folgenkompakte Menge]] * [[w:de:Vollständige algebraische Varietät|Vollständige algebraische Varietät]] (analoge Begriffsbildung für algebraische Varietäten) == Literatur == * [[w:de:Boto von Querenburg|Boto von Querenburg]]: ''Mengentheoretische Topologie'' (= ''Springer-Lehrbuch''). 3., neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2001, ISBN 3-540-67790-9. == Weblinks == * {{Webarchiv |url=http://www.math.uni-rostock.de/~evers/Topologie/top.pdf |wayback=20070611160146 |text=Skript zur Mengentheoretische Topologie}} (PDF; 1,72 MB). == Einzelnachweise == <references /> == Seiten-Information == Diese Lernressource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Kompaktheit&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Kompaktheit&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionalanalysis Kurs:Funktionalanalysis]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Kompaktheit https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Kompaktheit] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Kompaktheit Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Kompaktheit * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Kompaktheit&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Kompakter%20Raum Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Kompakter%20Raum Kompakter Raum] https://de.wikipedia.org/wiki/Kompakter%20Raum * Datum: 9.12.2021 - [https://de.wikipedia.org/w/index.php?action=history&title=Kompakter%20Raum Versionsgeschichte Wikipedia] * [https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity?lang=de&domain=wikipedia&title=Kompakter%20Raum Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] [[Kategorie:Topologischer Raum]] oslv6zbxeng5ni589g3nphn8c0ugu5q 106 142108 1116562 792487 2026-10-17T11:26:27Z Bocardodarapti 2041 1116562 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)/Teil I/Vorlesungsgestaltung|2| {{Mottomitauflistung |verwenden eingeführte mathematische Fachbegriffe sachgerecht. |beschreiben mathematische Sachverhalte mit eigenen Worten und finden dazu Fragestellungen. |stellen Vermutungen über mathematische Sachverhalte an, begründen und überprüfen sie. |entdecken und beschreiben mathematische Zusammenhänge. |beschreiben und begründen eigene Lösungswege und reflektieren darüber. |überprüfen mathematische Aussagen, kennzeichnen sie als richtig oder falsch und begründen dies.|Prätext=Die Schülerinnen und Schüler |Autor=Die erwarteten Kompetenzen am Ende des Schuljahrganges 4 im Kompetenzbereich Kommunizieren/Argumentieren aus dem niedersächsischen Kerncurriculum für die Grundschule (2006) }} {{Zwischenüberschrift|Mathematisches Argumentieren}} {{:Mathematische Argumentation/Kurzeinführung/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|Geldscheine und Münzen}} Wir möchten an einem alltäglichen Beispiel typische Argumentationsmuster der Mathematik vorstellen. Grundlegende Eigenschaften der natürlichen Zahlen setzen wir hierfür voraus. {{:Münzen/Mathematische Argumentation/Motivation/1/Textabschnitt|}} {{Fußnotenliste}} }} sw15tlphxrehsglotts3sze79ge6xvj 0 147486 1116477 1103905 2026-10-16T15:47:44Z Bocardodarapti 2041 1116477 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die durch die Tabelle {{:Benutzer:Bocardodarapti/Klausurbewertung/Linear}} gegebene Abbildung {{math|term= \varphi |SZ=}} zwischen der Menge {{math|term= P |SZ=}} der möglichen Punkte {{ Zusatz/Klammer |text=von {{math|term= 0 |SZ=}} bis {{math|term= 64 |SZ=}} in Halbpunkteschritten| |ISZ=|ESZ= }} in die Menge {{math|term= N |SZ=}} der möglichen Noten {{ Zusatz/Klammer |text=von {{math|term= 1 |SZ=}} bis {{math|term= 4 |SZ=}} in Drittelschritten und {{Anführung|nicht bestanden}} | |ISZ=|ESZ=. }} {{ Aufzählung8 |Bestimme{{n Sie}} die Anzahl von {{math|term= P |SZ=.}} |Bestimme{{n Sie}} die Anzahl von {{math|term= N |SZ=.}} |Ist die Abbildung {{ Abbildung/display |name= \varphi | P | N || |SZ= }} surjektiv? |Ist die Abbildung {{ Abbildung/display |name= \varphi | P | N || |SZ= }} injektiv? |Es sei nun {{math|term= L |SZ=}} die Menge der Leute, die in einer Klausur teilnehmen und {{ Abbildung/display |name= \psi | L | P || |SZ= }} sei die Abbildung, die jeder Person ihre erzielte Punkteanzahl zuordnet. Was bedeutet die Hintereinanderschaltung {{math|term= \varphi \circ \psi |SZ=?}} |Es sei nun spezieller {{ Relationskette/display | L || \{ \text{An}, \text{Besi}, \text{Cu},\text{Do},\text{Elf},\text{Fi},\text{Go},\text{Ha},\text{Jod}, \text{Ka}, \text{Mimi}, \text{No}, \text{Ulf} \} || || || |SZ= }} die Menge der Personen, die die Klausur schrieben. Ihre erzielten Punkte werden durch die folgende Tabelle beschrieben.{{Wertetabelle13|text1= {{math|term= x|SZ=}} |text2= {{math|term= \psi(x)|SZ=}} |\text{An}| \text{Besi}| \text{Cu}|\text{Do}|\text{Elf} | \text{Fi}|\text{Go}|\text{Ha}|\text{Jod}| \text{Ka}| \text{Mimi}| \text{No}| \text{Ulf} | 21| 23| 12| 19,5| 32,5| 25| 28| 18| 20| 31,5| 32| 17| 29|||}} Ist die Abbildung {{mathl|term= \psi |SZ=}} injektiv? |In der soeben beschriebenen Situation, ist die Abbildung {{mathl|term= \varphi \circ \psi |SZ=}} surjektiv? |In der soeben beschriebenen Situation, ist die Abbildung {{mathl|term= \varphi \circ \psi |SZ=}} injektiv? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Abbildungen |Kategorie2=Theorie der Anzahl von endlichen Mengen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |p1=0.5 |p2=0.5 |p3=0.5 |p4=0.5 |p5=0.5 |p6=0.5 |p7=0.5 |p8=0.5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} 44dmag58ko49d5d73bgghsqfsj10trl 106 167873 1116468 1114088 2026-10-16T15:34:42Z Bert Niehaus 20843 /* Einleitung */ 1116468 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben liefert, dass eine [[Holomorphie|holomorphe Funktion]] unendlich oft differenzierbar ist. Damit wird es möglich, die Taylorkoeffizienten <math>a_n:=\frac{f^{(n)}(z_o)}{n!}</math> berechnen. Zentrale Idee dabei ist die Verwendung von geometrischen Reihen, um den [[Cauchy-Kern]] in eine Potenzreihen mit Entwicklungspunkt <math>z_0</math> zu entwickelt. == Lokale Entwickelbarkeit in Potenzreihen == Jede holomorphe Funktion ist lokal in eine [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihe]] entwickelbar für <math>|z-z_o|<r</math>. :<math>f(z) = \sum\limits_{n=0}^\infty\left(\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{\partial U}\frac{f(\zeta)}{\left(\zeta-z_o\right)^{n+1}}\mathrm{d}\zeta\right)(z-z_o)^n= \sum\limits_{n=0}^\infty a_{n}\cdot (z-z_o)^n.</math> Mit der Integralformel für <math>f^{(n)}</math> folgt sofort, dass die Koeffizienten <math>a_n</math> genau die [[w:de:Taylorreihe|Taylor-Koeffizienten]] sind. == Beweis - Lokale Entwickelbarkeit in Potenzreihen == Die Cauchy-Integralformel wird partiell nach <math>z</math> differenziert, wobei man Differentiation und Integration vertauschen darf. Die <math>n</math>-te Ableitung wird in der folgenden Notation als Differentialoperator <math> \frac{\partial^{n}}{\partial z^{n}}</math> notiert. === Beiweisschritt 1 === Sei <math>U:= D_r(z_o)</math>, dann gilt: :<math> \begin{align} f^{(n)}|_{U}(z) & = \frac{\partial^{n}f}{\partial z^{n}}|_{U}(z) = \frac{1}{2\pi\mathrm{i}} \cdot \frac{\partial^{n}}{\partial z^{n}}\oint_{\partial U}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta \\ & =\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{\partial U}f(\zeta)\underbrace{\frac{\partial^{n}}{\partial z^{n}}\frac{1}{\zeta-z}}_{n!/(\zeta-z)^{1+n}}\mathrm{d}\zeta \\ & =\frac{n!}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{\partial U}\frac{f(\zeta)}{(\zeta-z)^{1+n}}\mathrm{d}\zeta\end{align} </math> === Beweisschritt 2 - Cauchy-Kern === Entwicklung von <math>\frac{1}{\zeta-z}</math> in der Cauchy-Integralformel mit Hilfe der geometrischen Reihe ergibt ([[Cauchy-Kern]]) :<math> \frac{1}{1-\underbrace{\frac{z-z_o}{\zeta-z_o}}_{=:q}} = \sum_{n=0}^{\infty} {\bigg(\underbrace{\frac{z-z_o}{\zeta-z_o}}_{=q} \bigg)}^{n} </math> Dabei gilt <math>|q| = \left| \frac{z-z_o}{\zeta-z_o} \right|< 1 </math> wegen <math>r= |\zeta-z_o| > |z-z_o| </math>, da <math> \zeta</math> auf dem Kreisrand liegt und <math>z</math> im Inneren des Kreisrandes. === Beweisschritt 3 - Cauchy-Kern - Taylorreihe === :<math>\begin{align} f|_{U}(z) & =\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{\partial D_{r}(z_o)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{\partial D_{r}(z_o)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z_o-(z-z_o)}\mathrm{d}\zeta \\ & {=} \frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{\partial D_{r}(z_o)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z_o}\cdot \frac{1}{1-\frac{z-z_o}{\zeta-z_o}}\mathrm{d}\zeta\, \\ &\overset{|\frac{z-z_o}{\zeta-z_o}|<1}{=} \frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{\partial D_{r}(z_o)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z_o}\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{z-z_o}{\zeta-z_o}\right)^{n}\mathrm{d}\zeta\\ & =\sum_{n=0}^{\infty}\underbrace{\left(\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{\partial D_{r}(z_o)}\frac{f(\zeta)}{(\zeta-z_o)^{n+1}}\mathrm{d}\zeta\right)}_{a_{n}}(z-z_o)^{n}\end{align}</math> === Beweisschritt 4 - Koeffizientenberechnung - Taylorreihe === Da für <math>|z-z_o|<|\zeta-z_o|=r</math> die geometrische Reihe gleichmäßig konvergiert, darf man gliedweise integrieren, d.h. Summe und Integral vertauschen. Die Taylorkoeffizienten im Entwicklungspunkt <math>z_o</math> sind damit: :<math>\begin{align} a_{n} & =\frac{1}{n!}f^{(n)}|_{U}(z_o)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{\partial D_{r}(z_o)}\frac{f(\zeta)}{(\zeta-z_o)^{n+1}}\mathrm{d}\zeta \\ & =\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\int_{0}^{2\pi}\frac{f(z_o+re^{\mathrm{i}t})}{(re^{\mathrm{i}t})^{n+1}} \cdot \mathrm{i}re^{\mathrm{i}t}\, \mathrm{d}t \\ &= \frac{1}{2\pi r^{n}}\int_{0}^{2\pi}f(z_o+re^{\mathrm{i}t}) \cdot e^{-\mathrm{i}nt}\,\mathrm{d}t \end{align} </math> <math>\Box</math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen|Beispiele für die lokale Entwicklung in Potenzreihen]] * [[Cauchy-Integralformel]] * [[Cauchy-Kern]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben|Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben]] * [[Satz über lokale Stammfunktionen]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; <noinclude>[[en:Complex Analysis/Representation with Taylor Series]]</noinclude> [[Category:Wiki2Reveal]] hvdgapa6inetdxabcysa6482s6jhfqp 1116470 1116468 2026-10-16T15:36:01Z Bert Niehaus 20843 /* Einleitung */ 1116470 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben liefert, dass eine [[Holomorphie|holomorphe Funktion]] unendlich oft differenzierbar ist. Damit wird es möglich, die Taylorkoeffizienten <math>a_n:=\tfrac{f^{(n)}(z_o)}{n!}</math> berechnen. Zentrale Idee dabei ist die Verwendung von geometrischen Reihen, um <math>\tfrac{1}{\zeta-z}</math> über den [[Cauchy-Kern]] in eine Potenzreihen mit Entwicklungspunkt <math>z_0</math> zu entwickelt. == Lokale Entwickelbarkeit in Potenzreihen == Jede holomorphe Funktion ist lokal in eine [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihe]] entwickelbar für <math>|z-z_o|<r</math>. :<math>f(z) = \sum\limits_{n=0}^\infty\left(\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{\partial U}\frac{f(\zeta)}{\left(\zeta-z_o\right)^{n+1}}\mathrm{d}\zeta\right)(z-z_o)^n= \sum\limits_{n=0}^\infty a_{n}\cdot (z-z_o)^n.</math> Mit der Integralformel für <math>f^{(n)}</math> folgt sofort, dass die Koeffizienten <math>a_n</math> genau die [[w:de:Taylorreihe|Taylor-Koeffizienten]] sind. == Beweis - Lokale Entwickelbarkeit in Potenzreihen == Die Cauchy-Integralformel wird partiell nach <math>z</math> differenziert, wobei man Differentiation und Integration vertauschen darf. Die <math>n</math>-te Ableitung wird in der folgenden Notation als Differentialoperator <math> \frac{\partial^{n}}{\partial z^{n}}</math> notiert. === Beiweisschritt 1 === Sei <math>U:= D_r(z_o)</math>, dann gilt: :<math> \begin{align} f^{(n)}|_{U}(z) & = \frac{\partial^{n}f}{\partial z^{n}}|_{U}(z) = \frac{1}{2\pi\mathrm{i}} \cdot \frac{\partial^{n}}{\partial z^{n}}\oint_{\partial U}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta \\ & =\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{\partial U}f(\zeta)\underbrace{\frac{\partial^{n}}{\partial z^{n}}\frac{1}{\zeta-z}}_{n!/(\zeta-z)^{1+n}}\mathrm{d}\zeta \\ & =\frac{n!}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{\partial U}\frac{f(\zeta)}{(\zeta-z)^{1+n}}\mathrm{d}\zeta\end{align} </math> === Beweisschritt 2 - Cauchy-Kern === Entwicklung von <math>\frac{1}{\zeta-z}</math> in der Cauchy-Integralformel mit Hilfe der geometrischen Reihe ergibt ([[Cauchy-Kern]]) :<math> \frac{1}{1-\underbrace{\frac{z-z_o}{\zeta-z_o}}_{=:q}} = \sum_{n=0}^{\infty} {\bigg(\underbrace{\frac{z-z_o}{\zeta-z_o}}_{=q} \bigg)}^{n} </math> Dabei gilt <math>|q| = \left| \frac{z-z_o}{\zeta-z_o} \right|< 1 </math> wegen <math>r= |\zeta-z_o| > |z-z_o| </math>, da <math> \zeta</math> auf dem Kreisrand liegt und <math>z</math> im Inneren des Kreisrandes. === Beweisschritt 3 - Cauchy-Kern - Taylorreihe === :<math>\begin{align} f|_{U}(z) & =\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{\partial D_{r}(z_o)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{\partial D_{r}(z_o)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z_o-(z-z_o)}\mathrm{d}\zeta \\ & {=} \frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{\partial D_{r}(z_o)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z_o}\cdot \frac{1}{1-\frac{z-z_o}{\zeta-z_o}}\mathrm{d}\zeta\, \\ &\overset{|\frac{z-z_o}{\zeta-z_o}|<1}{=} \frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{\partial D_{r}(z_o)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z_o}\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{z-z_o}{\zeta-z_o}\right)^{n}\mathrm{d}\zeta\\ & =\sum_{n=0}^{\infty}\underbrace{\left(\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{\partial D_{r}(z_o)}\frac{f(\zeta)}{(\zeta-z_o)^{n+1}}\mathrm{d}\zeta\right)}_{a_{n}}(z-z_o)^{n}\end{align}</math> === Beweisschritt 4 - Koeffizientenberechnung - Taylorreihe === Da für <math>|z-z_o|<|\zeta-z_o|=r</math> die geometrische Reihe gleichmäßig konvergiert, darf man gliedweise integrieren, d.h. Summe und Integral vertauschen. Die Taylorkoeffizienten im Entwicklungspunkt <math>z_o</math> sind damit: :<math>\begin{align} a_{n} & =\frac{1}{n!}f^{(n)}|_{U}(z_o)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{\partial D_{r}(z_o)}\frac{f(\zeta)}{(\zeta-z_o)^{n+1}}\mathrm{d}\zeta \\ & =\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\int_{0}^{2\pi}\frac{f(z_o+re^{\mathrm{i}t})}{(re^{\mathrm{i}t})^{n+1}} \cdot \mathrm{i}re^{\mathrm{i}t}\, \mathrm{d}t \\ &= \frac{1}{2\pi r^{n}}\int_{0}^{2\pi}f(z_o+re^{\mathrm{i}t}) \cdot e^{-\mathrm{i}nt}\,\mathrm{d}t \end{align} </math> <math>\Box</math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen|Beispiele für die lokale Entwicklung in Potenzreihen]] * [[Cauchy-Integralformel]] * [[Cauchy-Kern]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben|Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben]] * [[Satz über lokale Stammfunktionen]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; <noinclude>[[en:Complex Analysis/Representation with Taylor Series]]</noinclude> [[Category:Wiki2Reveal]] 90kdiupoz670ztpvqvyosmi5hzh3391 106 170112 1116436 1116404 2026-10-16T12:55:15Z Bert Niehaus 20843 /* Einleitung */ 1116436 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Das Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige behandelt die Eindeutigkeit eines Zweiges des Logarithmus. Dabei ist mit der Wahl eines [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebietes <math>G_0 \subset G</math> mit <math>0\notin G</math> und der Festlegung des Imaginärteiles des Logarithmuszweige für ein einziges <math>z_0\in G</math> der gesamte Zweig des [[Logarithmus]] bereits eindeutig auf <math>G_0</math> definiert. Ferner wird es notwendig sein zwischen dem [[Logarithmus]] <math>\ln(x)</math> auf den reellen Zahlen und einem [[generalisierter Logarithmus|generalisierten Logarithmus]] <math>\log_{G_0}(z)</math> auf [[einfach zusammenhängend]]en Gebieten zu unterschieden. === Einführendes Beispiel === In dem Eindeutigkeitslemma für Logarithmenzweige ist eine Weg <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> gegeben. In dem einführenden Beispiel ist die Spur des Weges <math>\gamma: \left[\frac{\pi}{4},6\pi\right]\to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t)=t\cdot e^{it}</math> ein Ausschnitt aus der archimedische Spirale (siehe folgende Abbildung. Der Weg <math>\gamma</math> ist [[w:de:injektive Funktion|injektiv]] und erfüllt die Voraussetzungen des Eindeutigkeitslemmas. === Abbildung - Archimedische Spirale === [[Datei:Archimedean spiral.svg|350px|zentriert|Archimedische Spirale]] === Zielsetzung des Lemmas === Für die archimedische Spirale soll man nun ein [[einfach zusammenhängend]]es Gebiet <math>G_0\subset G:= \mathbb{C}\setminus \{0\} </math> bestimmt werden, das die <math>Spur(\gamma)</math> enthält und auf dem ein [[Zweig des Logarithmus]] definiert ist, mit <math>\log_{G_0}(\gamma(a)) = \ln\left(\tfrac{\pi}{4}\right) + i\cdot \tfrac{\pi}{4} </math> mit :<math> \gamma\left(\tfrac{\pi}{4}\right) = \tfrac{\pi}{4} \cdot e^{i\tfrac{\pi}{4}}. </math> Berechnen Sie zunächst den nach dem Eindeutigskeitslemma bestimmbaren Wert für <math>\log_{G_0}(\gamma(b))</math>. == Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige == Sei <math>G</math> ein [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] mit <math>0\notin G</math>. Ferner sei <math>\gamma: [a,b]\to G</math> ein [[w:de:injektive Funktion|injektiver]] [[Integrationsweg]] von <math>z_0=\gamma(a) \in G</math> nach <math>z_1=\gamma(b) \in G</math>. Wählt man für <math>z_o\in G</math> mit <math>z_o = |z_0|\cdot e^{it_0}</math> mit <math>t_0\in \mathbb{R}</math>, so gibt es ein [[einfach zusammenhängend]]es Gebiet <math>G_0</math> als Teilmenge <math>G_0 \subseteq G</math>, sodass der [[Zweig des Logarithmus]] auf <math>G_0</math> eindeutig durch folgendes Integral definiert ist: :<math> \log_{_{(G_o,z_o,t_o)}}(z) = \underbrace{\ln(|z_0|)+it_0}_{=c} + \int_{\gamma_z} \frac{1}{\xi}\, d\xi </math> Dabei kann <math>\gamma_z : [a,b]\to G_0</math> als stetig differenzierbarer Weg von <math>z_o</math> nach <math>z\in G_0</math>. === Beweisidee === Man betrachtet für den Beweis eine [[w:de:injektive Funktion|injektiven]] [[Weg (Mathematik)|Weg]] in <math>G</math>. Die [[w:de:injektive Funktion|Injektivität]] des [[Integrationsweg|Integrationsweges]] <math>\gamma</math> ist wesentlich, damit keine Schleifen entstehen können, die ggf. die [[Polstelle]] von <math>\tfrac{1}{z}</math> mit <math>z=0</math> umrundet. Das [[Injektivitätslemma für Wege]] liefert Kreisscheiben mit nur einer [[w:de:Zusammenhangskomponente|Zusammenhangskomponente]] aus dem Definitionsbereich <math>[a,b]</math> des Weges. Die Wahl des Radius für die offene Überdeckung der Spur wird dabei so gewählt, dass die offene Überdeckung [[einfach zusammenhängend]] ist. === Bemerkung zu Beweisidee === Die Grundideen der Beweisidee führen im weiteren Verlauf der Lehrveranstaltung auch zu einer Integraldefinition der [[Umlaufzahl]] und zum [[Residuensatz]]. == Beweis - Eindeutigkeitslemma == Wegen <math>z_0 \not= 0</math> kann man mit <math>r:= |z_o|</math> und einem beliebigen <math>z\in G</math> mit <math> |z-z_o| < r </math> kann man <math>\tfrac{1}{z}</math> lokal auf Kreisscheiben in eine Potenzreihe um <math>z_o</math> entwickeln (siehe [[lokale Entwicklung in Potenzreihen]]). :<math>f(z)= \frac{1}{z} = \frac{1}{z_o} \cdot \frac{1}{ 1- \underbrace{\frac{z-z_o}{-z_o} }_{=q} } = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1}} }_{=a_n} \cdot (z-z_o)^n </math> === Beweisschritt 1 - lokale Stammfunktionen === Nach den [[Holomorphiekriterien]] besitzt jede holomorphe Funktion <math>f:G \to \mathbb{C}</math> [[lokale Stammfunktionen]]. Wegen gleichmäßiger Konvergenz der Partialsumme der Potenzreihe für <math>\tfrac{1}{z}</math> mit Entwicklungspunkt <math>z_o\in G</math> kann man summandenweise integrieren (siehe auch [[Normalverteilung]]). Dies liefert die folgende Potenzreihe für den Zweig des Logarithmus auf <math>D_r(z_o)</math>: :<math>F_{z_o}(z) = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1} \cdot (n+1)}}_{=a_n} \cdot (z-z_o)^{n+1} </math> === Beweisschritt 2 - Kompakte Spur des Integrationsweges === Für die Definition des Zweiges des [[Logarithmus]] ist <math>\gamma : [a,b]\to G</math> ein stetig differenzierbarer [[w:de:injektive Funktion|injektiver]] [[Integrationsweg|Weg]] von <math>z_o</math> nach <math>z_1\in G</math> gegeben. Das folgende Integral ist wohldefiniert, da <math>0\notin G</math> gilt, :<math> \int_{\gamma_{z_1}} \frac{1}{\xi}\, d\xi </math> Die Spur des Wege <math>Spur(\gamma_{z_1})</math> eine [[kompakte Menge]]. === Beweisschritt 3 - Offene Überdeckung einer kompakten === Man überdeckt nun <math>Spur(\gamma_{z_1})</math> mit Kreisscheiben <math>D_z</math> um <math>z\in G</math>, wobei die Kreischeiben <math>D_z\subset G</math> ganz in der offenen Menge <math> G</math> und die Eigenschaft des [[Injektivitätslemma für Wege]] erfüllen und nur aus einer [[w:de:Zusammenhangskomponente|Zusammenhangskomponente]] bestehen. Der durch das [[Injektivitätslemma für Wege]] gegeben Radius <math>r</math> für <math>\overline{D_r(z_0)} \subset G</math> wird durch eine Radius <math>\widehat{r\,}:=\tfrac{r}{3}</math> ersetzt. Die Kreisscheibe <math>D_{z_o}:= D_{\widehat{r\,}}(z_o)</math> überdeckt dann immer noch <math>z_0</math> liefert aber später die Eigenschaft, das die endliche Teilüberdeckung [[einfach zusammenhängend]] ist. Da die Spur [[kompakte Menge|kompakt]] ist, gibt es eine endliche Teilüberdeckung der Spur mit <math>D_{z_o}= D_{\widehat{r\,}}(z_o)</math>: :<math> Spur(\gamma_z) \subseteq \bigcup_{k=1}^n D_{z_k} \subseteq \bigcup_{k=0}^n D_{z_k} </math> === Beweisschritt 4 - Potenzreihenentwicklung für Kreisscheiben === Für alle <math>k\in \{1,\ldots , n\}</math> gibt es analog zur Potenzreihenentwicklung um <math>z_o</math> auch jeweils die folgenden Potenzreihenreihenentwicklungen für den Zweig des Logarithmus auf <math>D_{r_k}(z_k)</math>: :<math>F_{z_k}(z) = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_k^{n+1} \cdot (n+1)}}_{=a_{(n,k)}} \cdot (z-z_k)^{n+1} </math> === Beweisschritt 5 - Kreisscheibe für Startpunkt des Weges === Man startet mit der offenen Kreisscheibe <math>D_{z_o}= D_r(z_o)</math>, die <math>z_o</math> als Startpunkt des Weges <math>\gamma_z</math> in der Spur von <math>\gamma_z</math> enthalten ist. Wenn <math>D_{z_o}</math> bereits die ganze Spur <math>Spur(\gamma_z)</math> abdeckt, hat man mit eine eindeutige Darstellung des Zweiges des Logarithmus mit <math>F_{z_o}</math> erhalten, dessen Potenzreihendarstellung mit dem [[Identitätssatz]] eindeutig auf der Kreissscheibe <math>D_r(z_o)</math> ist. === Beweisschritt 6 - Schnitte von Kreisscheiben === Falls offene Kreisscheibe <math>D_o := D_{z_o}</math> die Menge <math>Spur(\gamma_z)</math> nicht vollständig abdeckt, gibt es einen Randpunkt <math>w_1 \in \partial(D_{z_o})</math> der Kreissscheibe liegt, der zugleich auch in der Spur liegt (d.h. <math>w_1 \in \partial(D_{z_o})\cap Spur(\gamma_z)</math>. Mit der Überdeckung der Spur gilt dann: :<math> w_1\in Spur(\gamma_z) \subseteq \bigcup_{k=1}^n D_{z_k} \subseteq \bigcup_{k=0}^n D_{z_k} </math> Also muss es ein <math>k_1\in \{1,\ldots , n\}</math> mit <math>w_1 \in D_{z_{k_1}}</math>. Bezeichne <math>D_1 := D_{z_{k_1}}</math>, damit an der Bezeichnung deutlich wird, welche Kreisscheibe der offenen Überdeckung zu <math>w_1\in D_1</math> gewählt wurde. === Beweisschritt 7 - Randpunkt und Schnitte von Kreisscheiben === Da <math>w_1 \in D_1 </math> nach Auswahl aus der Überdeckung gilt, liegt <math>w_1 \in D_0 \cup D_1 </math> auch in der Vereinigung der beiden Kreisscheiben. Ferner ist <math>w_1</math> auch ein Randpunkt von <math>D_0</math>. Damit ist der Schnitt von jeder Umgebung <math>U</math> von <math>w_1</math> mit <math>D_0</math> nicht leer. Dies gilt damit insbesondere für die offene Menge <math>D_1 </math>. Da der Schnitt <math>D_0 \cap D_1 \not= \emptyset</math> eine nicht diskrete Menge ist, gilt mit dem [[Identitätssatz]], dass der Zweig des Logarithmus auch auf <math>D_0 \cup D_1 </math> eindeutig definiert ist. === Beweisschritt 8 - Überdeckung der Spur === Falls <math>D_0 \cup D_1</math> die <math>Spur(\gamma_z)</math> vollständig überdecken, hat man bereits eine eindeutige Darstellung des Zweiges des Logarithmus auf <math>Spur(\gamma_z)</math> erhalten. Falls die Spur noch nicht vollständig abdeckt wurde, gibt es wieder einen Randpunkt <math>w_2 \in \partial(D_0\cup D_1)</math>, der zugleich auch in der Spur liegt (d.h. <math>w_2 \in \partial(D_0\cup D_1)\cap Spur(\gamma_z)</math>). Mit der Überdeckung der Spur gilt dann: :<math> w_2\in Spur(\gamma_z) \subseteq \bigcup_{k=1}^n D_{z_k} \subseteq \bigcup_{k=0}^n D_{z_k} </math> Also muss es ein <math>k_2\in \{1,\ldots , n\}</math> mit <math>w \in D_{z_{k_2}}</math> geben. Bezeichne <math>D_2 := D_{z_{k_2}}</math> wieder als Kreisscheibe der offenen Überdeckung mit <math>w_2\in D_2</math>. === Beweisschritt 9 - Schnitte von Kreisscheiben === Da der Schnitt <math>(D_0 \cup D_1) \cap D_2 \not= \emptyset</math> wieder nicht diskret ist (d.h. besitzt Häufungspunkte), gibt es analog zu Schritt 6 mit dem [[Identitätssatz]] wieder eine eindeutige Darstellung für den Zweig des Logarithmus auch auf <math>D_0 \cup D_1 \cup D_2 </math>. Nach maximal <math>n</math> Schritten für die offene Überdeckung hat man eine eindeutig des Logarithmus auf der Vereinigung <math>U_z := D_0 \cup D_1 \cup \ldots D_m</math> erhalten wobei <math>m\leq n</math> gilt. === Beweisschritt 10 - beliebige Integrationsweg === Man hat nur für ein beliebiges <math>z\in G</math> eine Vereinigung von offenen Menge gefunden, auf der der Zweig des Logarithmus eindeutig definiert ist. Für <math>U_z</math> gilt: <math> z_o, z\in U_z \quad \mbox{ und } \quad D_0 \subseteq U_z \subseteq G </math> Betrachtet man nun zwei beliebige Integrationwege <math>\gamma_{z_1}</math> mit <math>z_1, z_2\in G</math>, so gilt <math>D_0 \subseteq U_{z_1} \cap U_{z_2} </math>. Damit ist der Zweig des Logarithmus auch auf <math> U_{z_1} \cup U_{z_2} </math> mit dem [[Identitätssatz]] wieder eindeutig definiert. === Beweisschritt 11 - Eindeutigkeit des Zweiges === Da <math>U_z \subseteq G</math> gilt und man <math>G</math> als Vereinigung der <math>U_z</math> wegen <math>z\in U_z</math> darstellen kann, erhält man einen eindeutigen Logarithmus auf <math>G</math>. <math> \quad \Box</math> == Bemerkung - geschlitzte Ebene == Eine geschlitzte Ebene <math>G_{z_o}</math> für <math>z_o\not=0</math> definiert man wie folgt: :<math> G_{z_o} := \mathbb{C} \setminus \{z \in \mathbb{C} \, : \, z = - \lambda \cdot z_o \mbox{ mit } 0 \leq \lambda \in \mathbb{R} \} </math> Mit dem obigen Satz kann man also nicht nur geschlitzte Ebenen <math>G_{z_o}</math> als Definitionsbereich von [[Zweige des Logarithmus|Zweigen des Logarithmus]] wählen, sondern man erhält Zweige des Logarithmus für beliebige [[einfach zusammenhängend]]e Gebiete <math>G</math>, die 0 nicht enthalten (siehe [[Identitätssatz für Logarithmen]]). == Imaginärer Hauptzweig des Logarithmus == Wählt man die geschlitzte Ebene <math>G_{i}</math> für die imaginäre Einheit <math>i\not= 0</math>, so erhält man mit dem obigen Lemma den [[imaginärer Hauptzweig des Logarithmus|imaginären Hauptzweig des Logarithmus]] <math>\log_{G_i}</math>, der sowohl für die positiven als für die negativen reellen Zahlen definiert ist. Für negative Zahlen <math>z=|z|\cdot e^{i\pi} \in \mathbb{R}^- </math> ist der Logarithmus dann wie folgt eindeutig festgelegt: :<math> \log_{G_i}(z) = \ln(|z|) + i \cdot \pi </math> == Siehe auch == * [[Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] * [[Identitätssatz für Logarithmen]] * [[Injektivitätslemma für Wege]] * [[Logarithmus]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen/Vorgehen|Potenzreihenentwicklungen für 1/z]] * [[Weg (Mathematik)/parametrisch unendlich|parametrisch unendliche Wege]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 74zhyubbca4hvjwm6d91xzk7v9tdob4 1116437 1116436 2026-10-16T12:57:03Z Bert Niehaus 20843 /* Zielsetzung des Lemmas */ 1116437 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Das Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige behandelt die Eindeutigkeit eines Zweiges des Logarithmus. Dabei ist mit der Wahl eines [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebietes <math>G_0 \subset G</math> mit <math>0\notin G</math> und der Festlegung des Imaginärteiles des Logarithmuszweige für ein einziges <math>z_0\in G</math> der gesamte Zweig des [[Logarithmus]] bereits eindeutig auf <math>G_0</math> definiert. Ferner wird es notwendig sein zwischen dem [[Logarithmus]] <math>\ln(x)</math> auf den reellen Zahlen und einem [[generalisierter Logarithmus|generalisierten Logarithmus]] <math>\log_{G_0}(z)</math> auf [[einfach zusammenhängend]]en Gebieten zu unterschieden. === Einführendes Beispiel === In dem Eindeutigkeitslemma für Logarithmenzweige ist eine Weg <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> gegeben. In dem einführenden Beispiel ist die Spur des Weges <math>\gamma: \left[\frac{\pi}{4},6\pi\right]\to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t)=t\cdot e^{it}</math> ein Ausschnitt aus der archimedische Spirale (siehe folgende Abbildung. Der Weg <math>\gamma</math> ist [[w:de:injektive Funktion|injektiv]] und erfüllt die Voraussetzungen des Eindeutigkeitslemmas. === Abbildung - Archimedische Spirale === [[Datei:Archimedean spiral.svg|350px|zentriert|Archimedische Spirale]] === Zielsetzung des Lemmas - Aufgabe für Studierende === Für die archimedische Spirale soll man nun ein [[einfach zusammenhängend]]es Gebiet <math>G_0\subset G:= \mathbb{C}\setminus \{0\} </math> bestimmen (Skizze nach Plot der Spur z.B. mit [[Geogebra]]), das die <math>Spur(\gamma)</math> enthält und auf dem ein [[Zweig des Logarithmus]] definiert ist, mit <math>\log_{G_0}(\gamma(a)) = \ln\left(\tfrac{\pi}{4}\right) + i\cdot \tfrac{\pi}{4} </math> mit :<math> \gamma\left(\tfrac{\pi}{4}\right) = \tfrac{\pi}{4} \cdot e^{i\tfrac{\pi}{4}}. </math> Berechnen Sie zunächst den nach dem Eindeutigskeitslemma bestimmbaren Wert für <math>\log_{G_0}(\gamma(b))</math>. == Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige == Sei <math>G</math> ein [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] mit <math>0\notin G</math>. Ferner sei <math>\gamma: [a,b]\to G</math> ein [[w:de:injektive Funktion|injektiver]] [[Integrationsweg]] von <math>z_0=\gamma(a) \in G</math> nach <math>z_1=\gamma(b) \in G</math>. Wählt man für <math>z_o\in G</math> mit <math>z_o = |z_0|\cdot e^{it_0}</math> mit <math>t_0\in \mathbb{R}</math>, so gibt es ein [[einfach zusammenhängend]]es Gebiet <math>G_0</math> als Teilmenge <math>G_0 \subseteq G</math>, sodass der [[Zweig des Logarithmus]] auf <math>G_0</math> eindeutig durch folgendes Integral definiert ist: :<math> \log_{_{(G_o,z_o,t_o)}}(z) = \underbrace{\ln(|z_0|)+it_0}_{=c} + \int_{\gamma_z} \frac{1}{\xi}\, d\xi </math> Dabei kann <math>\gamma_z : [a,b]\to G_0</math> als stetig differenzierbarer Weg von <math>z_o</math> nach <math>z\in G_0</math>. === Beweisidee === Man betrachtet für den Beweis eine [[w:de:injektive Funktion|injektiven]] [[Weg (Mathematik)|Weg]] in <math>G</math>. Die [[w:de:injektive Funktion|Injektivität]] des [[Integrationsweg|Integrationsweges]] <math>\gamma</math> ist wesentlich, damit keine Schleifen entstehen können, die ggf. die [[Polstelle]] von <math>\tfrac{1}{z}</math> mit <math>z=0</math> umrundet. Das [[Injektivitätslemma für Wege]] liefert Kreisscheiben mit nur einer [[w:de:Zusammenhangskomponente|Zusammenhangskomponente]] aus dem Definitionsbereich <math>[a,b]</math> des Weges. Die Wahl des Radius für die offene Überdeckung der Spur wird dabei so gewählt, dass die offene Überdeckung [[einfach zusammenhängend]] ist. === Bemerkung zu Beweisidee === Die Grundideen der Beweisidee führen im weiteren Verlauf der Lehrveranstaltung auch zu einer Integraldefinition der [[Umlaufzahl]] und zum [[Residuensatz]]. == Beweis - Eindeutigkeitslemma == Wegen <math>z_0 \not= 0</math> kann man mit <math>r:= |z_o|</math> und einem beliebigen <math>z\in G</math> mit <math> |z-z_o| < r </math> kann man <math>\tfrac{1}{z}</math> lokal auf Kreisscheiben in eine Potenzreihe um <math>z_o</math> entwickeln (siehe [[lokale Entwicklung in Potenzreihen]]). :<math>f(z)= \frac{1}{z} = \frac{1}{z_o} \cdot \frac{1}{ 1- \underbrace{\frac{z-z_o}{-z_o} }_{=q} } = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1}} }_{=a_n} \cdot (z-z_o)^n </math> === Beweisschritt 1 - lokale Stammfunktionen === Nach den [[Holomorphiekriterien]] besitzt jede holomorphe Funktion <math>f:G \to \mathbb{C}</math> [[lokale Stammfunktionen]]. Wegen gleichmäßiger Konvergenz der Partialsumme der Potenzreihe für <math>\tfrac{1}{z}</math> mit Entwicklungspunkt <math>z_o\in G</math> kann man summandenweise integrieren (siehe auch [[Normalverteilung]]). Dies liefert die folgende Potenzreihe für den Zweig des Logarithmus auf <math>D_r(z_o)</math>: :<math>F_{z_o}(z) = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1} \cdot (n+1)}}_{=a_n} \cdot (z-z_o)^{n+1} </math> === Beweisschritt 2 - Kompakte Spur des Integrationsweges === Für die Definition des Zweiges des [[Logarithmus]] ist <math>\gamma : [a,b]\to G</math> ein stetig differenzierbarer [[w:de:injektive Funktion|injektiver]] [[Integrationsweg|Weg]] von <math>z_o</math> nach <math>z_1\in G</math> gegeben. Das folgende Integral ist wohldefiniert, da <math>0\notin G</math> gilt, :<math> \int_{\gamma_{z_1}} \frac{1}{\xi}\, d\xi </math> Die Spur des Wege <math>Spur(\gamma_{z_1})</math> eine [[kompakte Menge]]. === Beweisschritt 3 - Offene Überdeckung einer kompakten === Man überdeckt nun <math>Spur(\gamma_{z_1})</math> mit Kreisscheiben <math>D_z</math> um <math>z\in G</math>, wobei die Kreischeiben <math>D_z\subset G</math> ganz in der offenen Menge <math> G</math> und die Eigenschaft des [[Injektivitätslemma für Wege]] erfüllen und nur aus einer [[w:de:Zusammenhangskomponente|Zusammenhangskomponente]] bestehen. Der durch das [[Injektivitätslemma für Wege]] gegeben Radius <math>r</math> für <math>\overline{D_r(z_0)} \subset G</math> wird durch eine Radius <math>\widehat{r\,}:=\tfrac{r}{3}</math> ersetzt. Die Kreisscheibe <math>D_{z_o}:= D_{\widehat{r\,}}(z_o)</math> überdeckt dann immer noch <math>z_0</math> liefert aber später die Eigenschaft, das die endliche Teilüberdeckung [[einfach zusammenhängend]] ist. Da die Spur [[kompakte Menge|kompakt]] ist, gibt es eine endliche Teilüberdeckung der Spur mit <math>D_{z_o}= D_{\widehat{r\,}}(z_o)</math>: :<math> Spur(\gamma_z) \subseteq \bigcup_{k=1}^n D_{z_k} \subseteq \bigcup_{k=0}^n D_{z_k} </math> === Beweisschritt 4 - Potenzreihenentwicklung für Kreisscheiben === Für alle <math>k\in \{1,\ldots , n\}</math> gibt es analog zur Potenzreihenentwicklung um <math>z_o</math> auch jeweils die folgenden Potenzreihenreihenentwicklungen für den Zweig des Logarithmus auf <math>D_{r_k}(z_k)</math>: :<math>F_{z_k}(z) = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_k^{n+1} \cdot (n+1)}}_{=a_{(n,k)}} \cdot (z-z_k)^{n+1} </math> === Beweisschritt 5 - Kreisscheibe für Startpunkt des Weges === Man startet mit der offenen Kreisscheibe <math>D_{z_o}= D_r(z_o)</math>, die <math>z_o</math> als Startpunkt des Weges <math>\gamma_z</math> in der Spur von <math>\gamma_z</math> enthalten ist. Wenn <math>D_{z_o}</math> bereits die ganze Spur <math>Spur(\gamma_z)</math> abdeckt, hat man mit eine eindeutige Darstellung des Zweiges des Logarithmus mit <math>F_{z_o}</math> erhalten, dessen Potenzreihendarstellung mit dem [[Identitätssatz]] eindeutig auf der Kreissscheibe <math>D_r(z_o)</math> ist. === Beweisschritt 6 - Schnitte von Kreisscheiben === Falls offene Kreisscheibe <math>D_o := D_{z_o}</math> die Menge <math>Spur(\gamma_z)</math> nicht vollständig abdeckt, gibt es einen Randpunkt <math>w_1 \in \partial(D_{z_o})</math> der Kreissscheibe liegt, der zugleich auch in der Spur liegt (d.h. <math>w_1 \in \partial(D_{z_o})\cap Spur(\gamma_z)</math>. Mit der Überdeckung der Spur gilt dann: :<math> w_1\in Spur(\gamma_z) \subseteq \bigcup_{k=1}^n D_{z_k} \subseteq \bigcup_{k=0}^n D_{z_k} </math> Also muss es ein <math>k_1\in \{1,\ldots , n\}</math> mit <math>w_1 \in D_{z_{k_1}}</math>. Bezeichne <math>D_1 := D_{z_{k_1}}</math>, damit an der Bezeichnung deutlich wird, welche Kreisscheibe der offenen Überdeckung zu <math>w_1\in D_1</math> gewählt wurde. === Beweisschritt 7 - Randpunkt und Schnitte von Kreisscheiben === Da <math>w_1 \in D_1 </math> nach Auswahl aus der Überdeckung gilt, liegt <math>w_1 \in D_0 \cup D_1 </math> auch in der Vereinigung der beiden Kreisscheiben. Ferner ist <math>w_1</math> auch ein Randpunkt von <math>D_0</math>. Damit ist der Schnitt von jeder Umgebung <math>U</math> von <math>w_1</math> mit <math>D_0</math> nicht leer. Dies gilt damit insbesondere für die offene Menge <math>D_1 </math>. Da der Schnitt <math>D_0 \cap D_1 \not= \emptyset</math> eine nicht diskrete Menge ist, gilt mit dem [[Identitätssatz]], dass der Zweig des Logarithmus auch auf <math>D_0 \cup D_1 </math> eindeutig definiert ist. === Beweisschritt 8 - Überdeckung der Spur === Falls <math>D_0 \cup D_1</math> die <math>Spur(\gamma_z)</math> vollständig überdecken, hat man bereits eine eindeutige Darstellung des Zweiges des Logarithmus auf <math>Spur(\gamma_z)</math> erhalten. Falls die Spur noch nicht vollständig abdeckt wurde, gibt es wieder einen Randpunkt <math>w_2 \in \partial(D_0\cup D_1)</math>, der zugleich auch in der Spur liegt (d.h. <math>w_2 \in \partial(D_0\cup D_1)\cap Spur(\gamma_z)</math>). Mit der Überdeckung der Spur gilt dann: :<math> w_2\in Spur(\gamma_z) \subseteq \bigcup_{k=1}^n D_{z_k} \subseteq \bigcup_{k=0}^n D_{z_k} </math> Also muss es ein <math>k_2\in \{1,\ldots , n\}</math> mit <math>w \in D_{z_{k_2}}</math> geben. Bezeichne <math>D_2 := D_{z_{k_2}}</math> wieder als Kreisscheibe der offenen Überdeckung mit <math>w_2\in D_2</math>. === Beweisschritt 9 - Schnitte von Kreisscheiben === Da der Schnitt <math>(D_0 \cup D_1) \cap D_2 \not= \emptyset</math> wieder nicht diskret ist (d.h. besitzt Häufungspunkte), gibt es analog zu Schritt 6 mit dem [[Identitätssatz]] wieder eine eindeutige Darstellung für den Zweig des Logarithmus auch auf <math>D_0 \cup D_1 \cup D_2 </math>. Nach maximal <math>n</math> Schritten für die offene Überdeckung hat man eine eindeutig des Logarithmus auf der Vereinigung <math>U_z := D_0 \cup D_1 \cup \ldots D_m</math> erhalten wobei <math>m\leq n</math> gilt. === Beweisschritt 10 - beliebige Integrationsweg === Man hat nur für ein beliebiges <math>z\in G</math> eine Vereinigung von offenen Menge gefunden, auf der der Zweig des Logarithmus eindeutig definiert ist. Für <math>U_z</math> gilt: <math> z_o, z\in U_z \quad \mbox{ und } \quad D_0 \subseteq U_z \subseteq G </math> Betrachtet man nun zwei beliebige Integrationwege <math>\gamma_{z_1}</math> mit <math>z_1, z_2\in G</math>, so gilt <math>D_0 \subseteq U_{z_1} \cap U_{z_2} </math>. Damit ist der Zweig des Logarithmus auch auf <math> U_{z_1} \cup U_{z_2} </math> mit dem [[Identitätssatz]] wieder eindeutig definiert. === Beweisschritt 11 - Eindeutigkeit des Zweiges === Da <math>U_z \subseteq G</math> gilt und man <math>G</math> als Vereinigung der <math>U_z</math> wegen <math>z\in U_z</math> darstellen kann, erhält man einen eindeutigen Logarithmus auf <math>G</math>. <math> \quad \Box</math> == Bemerkung - geschlitzte Ebene == Eine geschlitzte Ebene <math>G_{z_o}</math> für <math>z_o\not=0</math> definiert man wie folgt: :<math> G_{z_o} := \mathbb{C} \setminus \{z \in \mathbb{C} \, : \, z = - \lambda \cdot z_o \mbox{ mit } 0 \leq \lambda \in \mathbb{R} \} </math> Mit dem obigen Satz kann man also nicht nur geschlitzte Ebenen <math>G_{z_o}</math> als Definitionsbereich von [[Zweige des Logarithmus|Zweigen des Logarithmus]] wählen, sondern man erhält Zweige des Logarithmus für beliebige [[einfach zusammenhängend]]e Gebiete <math>G</math>, die 0 nicht enthalten (siehe [[Identitätssatz für Logarithmen]]). == Imaginärer Hauptzweig des Logarithmus == Wählt man die geschlitzte Ebene <math>G_{i}</math> für die imaginäre Einheit <math>i\not= 0</math>, so erhält man mit dem obigen Lemma den [[imaginärer Hauptzweig des Logarithmus|imaginären Hauptzweig des Logarithmus]] <math>\log_{G_i}</math>, der sowohl für die positiven als für die negativen reellen Zahlen definiert ist. Für negative Zahlen <math>z=|z|\cdot e^{i\pi} \in \mathbb{R}^- </math> ist der Logarithmus dann wie folgt eindeutig festgelegt: :<math> \log_{G_i}(z) = \ln(|z|) + i \cdot \pi </math> == Siehe auch == * [[Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] * [[Identitätssatz für Logarithmen]] * [[Injektivitätslemma für Wege]] * [[Logarithmus]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen/Vorgehen|Potenzreihenentwicklungen für 1/z]] * [[Weg (Mathematik)/parametrisch unendlich|parametrisch unendliche Wege]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] kls7d9p6zjlqfmxk15j7712q70v2uw0 106 170545 1116421 1080161 2026-10-16T12:07:48Z Bocardodarapti 2041 1116421 wikitext text/x-wiki {{Textmitschalter/{{{opt|}}} |An=x |Text=Tutorium am Di fängt 8:30 an. }} <noinclude>[[Kategorie:Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2026-2027)/Teil I/Information]]</noinclude> gpsz00v52rrcnjwmugwuf43jt32eemt 106 170570 1116432 1115601 2026-10-16T12:35:17Z Bocardodarapti 2041 1116432 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2026-2027)/Teil I/Vorlesungsgestaltung|2| {{Mottomitauflistung |verwenden eingeführte mathematische Fachbegriffe sachgerecht. |beschreiben mathematische Sachverhalte mit eigenen Worten und finden dazu Fragestellungen. |stellen Vermutungen über mathematische Sachverhalte an, begründen und überprüfen sie. |entdecken und beschreiben mathematische Zusammenhänge. |beschreiben und begründen eigene Lösungswege und reflektieren darüber. |überprüfen mathematische Aussagen, kennzeichnen sie als richtig oder falsch und begründen dies.|Prätext=Die Schülerinnen und Schüler |Autor=Die erwarteten Kompetenzen am Ende des Schuljahrganges 4 im Kompetenzbereich Kommunizieren/Argumentieren aus dem niedersächsischen Kerncurriculum für die Grundschule (2006) }} {{Zwischenüberschrift|Mathematisches Argumentieren}} {{:Mathematische Argumentation/Kurzeinführung/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|Definitionen}} {{:Mathematische Argumentation/Definitionen/Einführung/Textabschnitt|zusatz1=Fußnote}} {{Zwischenüberschrift|Gerade und und ungerade Zahlen}} {{:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2026-2027)/Teil I/Gerade und ungerade Zahlen/Publikumsbeiträge/Textabschnitt}} {{Fußnotenliste}} }} mqo2ly4qn5tth3kbd3laa81docal3rn 1116450 1116432 2026-10-16T13:24:16Z Bocardodarapti 2041 1116450 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2026-2027)/Teil I/Vorlesungsgestaltung|2| {{Mottomitauflistung |verwenden eingeführte mathematische Fachbegriffe sachgerecht. |beschreiben mathematische Sachverhalte mit eigenen Worten und finden dazu Fragestellungen. |stellen Vermutungen über mathematische Sachverhalte an, begründen und überprüfen sie. |entdecken und beschreiben mathematische Zusammenhänge. |beschreiben und begründen eigene Lösungswege und reflektieren darüber. |überprüfen mathematische Aussagen, kennzeichnen sie als richtig oder falsch und begründen dies.|Prätext=Die Schülerinnen und Schüler |Autor=Die erwarteten Kompetenzen am Ende des Schuljahrganges 4 im Kompetenzbereich Kommunizieren/Argumentieren aus dem niedersächsischen Kerncurriculum für die Grundschule (2006) }} {{Zwischenüberschrift|Mathematisches Argumentieren}} {{:Mathematische Argumentation/Kurzeinführung/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|Definitionen}} {{:Mathematische Argumentation/Definitionen/Einführung/Textabschnitt|zusatz1=Fußnote}} {{Zwischenüberschrift|Gerade und und ungerade Zahlen}} {{:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2026-2027)/Teil I/Gerade und ungerade Zahlen/Publikumsbeiträge/Textabschnitt}} {{Fußnotenliste}} }} ccft3xbun41vuyikg6qu5kju7k7j5d3 106 172153 1116506 1116058 2026-10-17T07:57:26Z ~2026-55076-31 41992 /* Begriffsklärung */ 1116506 wikitext text/x-wiki ==Begriffsklärung== === Was ist mathematische Modellbildung? === Ganz grob gesagt besteht Mathematische Modellierung oder auch Mathematische Modellbildung darin, reale Fragestellungen mit mathematischen Mitteln zu bearbeiten und sie auf diesem Wege zumindest teilweise zu beantworten<ref> Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., & Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. </ref>. === Was ist ein Modell? === Ein Modell ist dabei gegeben durch innere Scheinbilder oder Repräsentatonen, die nicht zum Bereich der äußeren Gegenstände, sondern zu Vorstellungen von einem solchen realen Gegenstand gehören und ihnen daher auch in gewissen Grenzen etwas Willkürliches anhaftet (Sinngemäß nach Hertz, zitiert von Ortlieb<ref> Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., & Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. </ref>). ==== Eigenschaften von Modellen ==== Somit lassen sich vereinfacht und verkürzt folgende Eigenschaften ableiten (Stachowiak, zitiert nach Saam <ref> Saam, N. J. (2009). Modellbildung. In Handbuch Methoden der Organisationsforschung: Quantitative und Qualitative Methoden (pp. 517-532). Wiesbaden: VS Verlag für Sozialwissenschaften. </ref>): * '''Abbildungsmerkmal:''' Modelle repräsentieren die Realität, existieren jedoch nicht in der Realität * '''Verkürzungsmerkmal:''' Modelle beschreiben das Objekt nicht exakt, sondern stets vereinfacht * '''Pragmatisches Merkmal:''' Modelle verfolgen einen gewissen Zweck: Sie ersetzen eine nicht abbildbare Realität um Fragestellungen zu beantwortbar zu machen ==== Typisches Beispiele ==== * Betrachtungen in der Physik (Federpendel, Bewegungsgesetze,...) - Physik und Mathematische Modellbildung sind sehr eng miteinander verwoben * Populationsdynamiken und Ausbreitugnsschemata in der Biologie (vgl. Lotka-Volterra Modell) * Bewegungsanalysen und Optimierungen in den Sportwissenschaften * Untersuchungen von Transport- und Umweltprozessen in Biologie, Chemie, Physik, Technik,... * Bedarfs- und Verbrauchs- und Verhaltensanalysen in Geisteswissenschaften === Mathematische Modelle === Mathematische Modelle werden gemessen und bewertet anhand <ref> Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., & Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. </ref>: * '''Zulässigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte in sich widerspruchsfrei sein. * '''Richtigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte im Vergleich mit der Realität keine Widersprüche zu offensichtlich richtigen Tatsachen aufweisen. * '''Zweckmäßigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte genau den Detailgrad beinhalten, den es zum Erfüllen des Zwecks benötigt, nicht mehr und nicht weniger. ==== Gegenbeispiele für mathematische Modelle ==== Gegenbeispiele wären: * Ein nicht zulässiges Modell könnte bei einer Betrachtung einer Punktmasse im Raum dennoch Luftwiederstände berücksichtigen (Punkte haben kein Volumen) * Ein nicht richtiges Modell könnte bei der Modellierung von Transportprozessen von Schadstoffen die Massenerhaltung vernachlässigen. * Ein nicht zweckmäßiges Modell könnte bei dem Versuch den perfekten Abwurfwinkel beim Speerwurf die Krümmung der Erdpberfläche berücksichtigen. ==== Bemerkung - Kriterien ==== Die Kriterien, insbesondere Richtigkeit und Zweckmäßigkeit, sind nicht 100% operational. Einerseits fordert die Richtigkeit, keine bekannten Tatsachen auszulassen, andererseits dürfen hinsichtlich einer passenden Zweckmäßigkeit auch nur ausreichend viele Details integriert werden). ==Der Modellbildungszyklus== Wie kommt man nun von einer Realen Situation, die ein Problem aufwirft zu einem adäquaten mathematischen Modell? Dazu hat sich als (möglichst allgemeine Vorgehensweise) der Modellbildungszyklus ergeben: [[Datei:Modellbildungszyklus Mod6.png|miniatur|Modellbildungszyklus]] ===Verlauf des MBZ === Der Modellbildugnszyklus beschreibt schematisch die iterative Erstellung einer mathematischen Modellbildung: * Ausgangspunkt ist eine reale Situation, die ein Problem aufwirft, die von dem mathematischen Modell adressiert werden soll * Dieses Problem wird inhaltlich erfasst, anschliessend mathematisch Übersetzt (Betrachten von Gleichungen, Funktionen, Geometrischen Objekten,...) * Durch das Betrachten von mathematischen Objekten können über passende Operationen deduktiv Resultate geschlussfolgert werden * Diese Resultate werden mit der Realsituation abgeglichen * Aus dem Vergleich werden mögliche Optimierungen und Limitationen des Modells abgeleitet * Durch die Limitationen werden kann das Modell weiterentwickelt werden Diese Schritte können/müssen dabei mehrfach durchlaufen werden. Die Integration von computergestützter Software ist in der mathematischen Modellbildung definitionsgemäss nicht zwigend erforderlich, für die meisten anwendungsbezogenen Modellierungen jedoch unumgänglich. ==Konkretes Beispiel einer Mathematischen Modellbildung== [[Kurs:Mathematische_Modellbildung/Themen/Radioaktivit%C3%A4t_und_Risikoliteralit%C3%A4t]] [[Datei:Screenshot 2D Ansicht Resultate.png|miniatur|alternativtext=Ansicht der möglichen Auftreffpunkte des radioaktiven Niederschlags|Ansicht der möglichen Auftreffpunkte des radioaktiven Niederschlags]] [[File:Zeitliche Abhängigkeit der Risikofunktion.gif|thumb|Das GIF zeigt die Zeitliche Abhängigkeit der Risikofunktion]] === Ziel der Modellierung === Ziel in dieser Modellierung war es, ein Modell zur räumlichen und zeitlichen Ausbreitung einer radioaktiv belasteten Wolke, sowie dessen Rain-Out, infolge einer Reaktorkatastrophe am (mittlerweile abgeschalteten) Kernkraftwerk in Philippsburg zu beschreiben. Unter zu Hilfenahme von Messwerten von dem Reaktorunglück in Tschernobyl und den Halbwertszeiten des radioaktiven Materials wurde der zeitliche Zerfall erfasst. Der Transport von radioaktiven Material wurde durch eine Kugel im <math> \mathbb{R}^3 </math> modelliert. Diese bewegt sich gemäss einer variablen Windrichtung (gegeben durch Winkel <math> \alpha </math>) und regnet sich nach einer gewissen Durchschnittsdauer ab. === Endresultat === Es wurde in drei Modellbildungszyklen eine Funktion zur Beschreibung der radioaktiven Belastung (repräsentativ für das Risiko) abgeleitet: <math>u(x,y,t,\alpha)=\frac{1480\cdot e^{-\frac{ln(2)}{30a} \cdot t}}{1+\frac{7}{10.000}\cdot (x^2+y^2)}+\frac{40\cdot e^{-\frac{ln(2)}{30a} \cdot t}}{1+\frac{1}{7.500}\cdot ((x-1080cos(\alpha))^2+(y-1080sin(\alpha))^2)}</math> Letztlich erhält man also eine Funktion die in ihrem Ausgabewert <math>z=u(x,y,t,\alpha)</math> abhängig von 4 Eingabewerten <math>x, y, t, \alpha </math> ist. ==Modellbildung in der Schule== ===Einbindung in den Lehrplan=== Die mathematische Modellbildung ist stark in den Mathematik-Lehrplan für Schulen in Rheinland-Pfalz integriert (hier wird sich an dem Lehrplan für Sekundarstufe II orientiert <ref> Ministerium für Bildung, Wissensachft, Weiterbildung und Kultur (2015), Lehrplan Mathematik. Grund- und Leistungsfach in der gymnasialen Oberstufe (Mainzer Studienstufe) </ref>). Im Bezug zu Problemlösen im Mathematikunterricht und Mathematik im fachübergreifenden Kontext, sollen Anwendungsbeispiele Einzug halten, die Schülerinnen und Schülern aus anderen Fächern bekannt sind. In diesem Zusammenhang wird mathematische Modellbildung als Methode zur Lösung von solchen Anwendungsproblemen genannt. ===Konkreter Themenbezug=== Zu folgenden mathematischen Themengebieten wird explizit Mathematischen Modellbildung zur unterrichtlichen Umsetzung erwähnt: *Exponentialfunktionen (Wachstums- und Zerfallsprozesse *Matrizenrechnung (Input-Output-Analysen, Zustandsübergangsprozesse, Populationsentwicklung,...) *Differential- und Integralrechnung (lineare oder logistische Wachstumsprozesse) Auch der Einsatz von computergestützten Hilfs- und Lösungsmitteln im Zuge der Modellbildung wird betont. (Bemerke: Auch im Lehrplan wird ein vergleichbarer Modellbildungszyklus vorgestellt und beschrieben. Bei Bedarf kann dieser auf Seite 15-16 <ref> Ministerium für Bildung, Wissensachft, Weiterbildung und Kultur (2015), Lehrplan Mathematik. Grund- und Leistungsfach in der gymnasialen Oberstufe (Mainzer Studienstufe) </ref> nachgelesen werden) ===Zugang zur Bildung für Nachhaltigen Entwicklung=== Durch die Möglichkeit fachübergreifende Fragestellungen zu behandeln und Prozesse der Realität in den Blick zu nehmen, kann mathematische Modellbildung die Brücke zur Bildung für Nachhaltigen Entwicklung (BNE) schlagen. "Die BNE zielt grundsätzlich darauf ab, es jedem und jeder Einzelnen zu ermöglichen, die Folgen des eigenen Handelns auf die Welt sowie intra- und intergenerationell zu verstehen, verantwortungsvolle Entscheidungen zu treffen und aktiv zu werden." <ref> Ministerium für Bildung. Bildung für nachhaltige Entwicklung. Online abrufbar unter: https://bm.rlp.de/unsere-schwerpunkte/bildung-fuer-nachhaltige-entwicklung </ref> Mathematische Modellbildung kann unter praktischer Anwendung von gelernten Inhalten im Schulunterricht zu BNE beitragen, indem eben gezielt Probleme adressiert werden und von Schülerinnen und Schülern eigenständig untersucht werden. ==Ziel und Organisation des Seminars== ===Ziel und Aufgabe=== In Kleingruppen (3-4 Personen) sollen aussermathematische Fragestellungen mit einer eigenen mathematischen Modellbildung behandelt werden. Dazu sollen drei Modellbildungszyklen mit unterschiedlichem Grad an Vereinfachung und unterschiedlicher Mathematischen Grundlage erstellt werden: * Zyklus: Mathematik der Sekundarstufe 1 (Mittelstufe) * Zyklus: Mathematik der Sekundarstufe 2 (Oberstufe) * Zyklus: Universitätsmathematik In jedem Zyklus sollen computergestützte Untersuchungen und Betrachtungen Einzug erhalten. Somit bietet es sich an in insgesamt auch drei verschiedene Programme (Tabellenkalkulation, GeoGebra, RStudio, Maxima,...) zu integrieren - an manchen stellen lässt sich dies gar nicht vermeiden. ===Themenwahl=== Das Thema sollte einen weltlichen Bezug haben. Am besten eigenen sich Themen aus dem jeweiligen Zweitfach (s. Verbindung zu anderen Schulfächern im Lehrplan). Das Thema sollte nachhaltige Entwicklung im Rahmen der Sustainable Development Goals adressieren. Siehe dazu: https://www.bundesumweltministerium.de/themen/nachhaltigkeit/nachhaltigkeitsziele-sdgs Vorzugsweise: Räumliche Risikobetrachtungen in Desaster- und Katastrophenszenarien. Das Thema sollte sich nicht mit denen der vergangenen Semestern doppeln. Zur Orientierung und Inspiration finden sich hier die Projekte der vergangenen Semester: :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2026 Sommersemester|2026 Sommersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2025-26 Wintersemester|2025/26 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2024-25 Wintersemester|2024/25 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2023-24 Wintersemester|2023/24 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2022-23 Winteresemester|2022/23 Wintersemester]]''' ===Portfolio=== Während des Semesters soll in Gruppenarbeit die Modellbildung durchgeführt werden. Diese wird schriftlich in einem Portfolio festgehalten. Dies Portfolio wird, genau wie dieser Artikel auch, in einem Wikiversity Artikel dokumentiert. Dieser sollte folgendes enthalten: * Einleitung: Beschreibung und Einordnung des Themas & welche(s) SDG wird adressiert und warum? * Ziel der Modellierung: Welches Problem wird in der Modellierung / den einzelnen Zyklen konkret angegangen? * Zyklus 1-3 ** Mathematisches Modell (welche Mathematischen Objekte werden betrachtet, wie ergeben die sich,...) ** Ergebnisse (Ableiten von Resultaten aus dem Modell) ** Bewertung der Ergebnisse ** Grenzen und Limitationen ** Ausblick für nächsten Zyklus (welche Limitationen und Probleme aus dem Zyklus werden im folgenden adressiert?) In allen Punkten der Modellzyklen können Programme computergestützte Tools verwendet werden. Zur Erstellung von Wiki-Seiten ist folgende Seite hilfreich: https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:Textgestaltung ===Prüfung=== Die Prüfung gliedert sich in zwei Aspekte: * '''Vorstellung von ausgewählten Teilen aus dem eigenen Portfolio''' - diese werden von den Prüfer:innen aus dem Portfolio der Studierenden ausgewählt. * '''Diskussion und Fragen''' der Prüfer:innen zu dem Portfolio, z.B. zu Teilen des Portfolios, die in der Vorstellung nicht behandelt werden können. Ein Portfolio kann aus Zeitgründen nie vollständig in der Prüfung dargestellt werden. In der mündlichen Portfolio-Prüfung wird geprüft, ob *das eigene Modell verstanden ist, *das eigene Modell kritisch hinterfragt werden kann, *die Limitationen des Modells begründet und nachvollziehbar wiedergegeben werden können, *die Übergänge zwischen den Zyklen beschrieben und begründet werden können, *die technische Umsetzung reproduziert und erklärt werden kann, *... . Es ist also wichtig zu wissen, was wie an welcher Stelle und mit welchem Zweck in der Modellierung gemacht wurde! Das Portfolio (Wiki-Seite) wird somit konkret vorgestellt. Eine Präsentation des Portfolio kann automatisch mit Wiki2Reveal erstellt werden. === Unterstützungsangebot === * Das Unterstützungsangebot erfolgt in der Lehrveranstaltung zur "Mathematischen Modellbildung". * Eine individuelle Sonderbehandlung für einzelne Studierende, die das Angebot der Vorlesung nicht nutzen und kurz vor Prüfungsbeginn noch "schnell" ein Portfolio zusammenstellen wollen, ist aus zeitlichen Gründen kurz vor der Prüfung nicht möglich. * Portfolioprüfungen der Lehrveranstaltung beziehen sich immer auf das erstellte Portfolio im laufende Semester und bei Wiederholungsprüfungen auf das Semester, in dem Portfolio erstellt wurde. * Eine Prüfung kann nur zu dem eigenen erstellten Portfolio in der Lehrveranstaltung abgelegt werden, an dessen Erstellung man aktiv mitgearbeitet hat. ===Ablauf des Seminars=== Der Seminarablauf über das Semester gestaltet sich grob wie folgt: * 1. Woche (19.10.): Einführungsveranstaltung + Gruppenfindung * 2. Woche (26.10.): Themenfindung * 3. Woche (02.11.): Themenfindung + Zyklen festlegen * 4. Woche (09.11.): Zyklen festlegen * 5. Woche (16.11.): Kurzvorstellung der Themen und Zyklen (5 Minuten pro Gruppe) Ab Woche 6 (23.11.) bis Ende des Semesters wird gemeinsam an den Modellen und dem Portfolio gearbeitet. Empfehlenswert wäre es, die letzten 2-3 Wochen für Finalisierungsarbeiten zu nutzen und entsprechend frühzeitig zu planen! Ausschliesslich während der Seminarzeiten an dem Modell und Portfolio zu arbeiten wird nicht ausreichen! Die Kurzpräsentationen am 16.11. umfassen den aktuellen Stand der Überlegungen und sind noch unter keinen Umständen verbindlich. Stattdessen dient es einfach zur Grundlage von gemeinsamer Diskussion und zur Einbringung von weiteren Ideen. =Hilfreiche Links= ===Fachmathematische Aspekte === Wenn man das Modellierungsproblem in den Mittelpunkt stellt und die Fragestellung den Nachhaltigkeitszielen der UN zuordnet, kommen z.T. fachmathematische Aspekte erforderlich, die nicht in der jeweiligen Schulstufe bzw. in den Vorlesungen behandelt wurden. Dies Kapitel erhält Hinweise zu fachmathematischen Bereichen, die für die mathematische Modellbildung ggf. als Werkzeug verwendet werden können * '''[[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]''' dienen dazu, Datenpunkte im <math>\R^2</math> oder allgemein im <math>\R^n</math> zu [[w:Interpolation_(Mathematik)|interpolieren]]. * '''[https://en.wikiversity.org/wiki/3D_Modelling 3D Modellierung für Projektinhalte]''' und [[w:Projektive_Geometrie|projektive Geometrie]] zur Visualisierung * '''[[Gradientenabstiegsverfahren]]''': Wird verwendet, um sich in der mathematischen Modellbildung iterativ einem Minimum einer Kosten- oder Fehlerfunktion anzunähern. * [[w:Lineare_Optimierung|'''Lineare Optimierung''']] wird in Optimierungshaufgaben wie beispielsweise bei der Suche nach Minimum der Produktionskosten verwendet. Hierbei wird in allgemeinem nach einem Minimium/Maximum einer linearer Zielfunktion über einer Menge gesucht. [https://www.geogebra.org/m/kr727992 '''Ein Beispiel in Geogebra'''] *[[Räumliche Diffusion|'''Räumliche Diffusion''']] *[[Modelle_der_Populationsdynamik|'''Modelle der Populationsdynamik''']] - [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Modelle%20der%20Populationsdynamik&author=Kurs:R%C3%A4umliche%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes (Wiki2Reveal-Folien)] - [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Stochastik/Wahrscheinlichkeitsdichte|Wahrscheinlichkeitsdichte]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Wahrscheinlichkeitsdichte&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wahrscheinlichkeitsdichte&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ===Softwarenutzung === Im PC-Praktikum wurden grundlegende Kenntnisse im Umgang mit Software erlangt, die für die Berechnung von mathematischen Modellen vorwendig sind. Diese Kenntnisse müssen ggf. auf das spezielle Modellierungsthema angepasst und erweitert werden. * '''[[CSV2Chart]]''' Aus CSV-Dateien mathematische Graphen in Wikiversity erstellen. * '''[[Maxima CAS]]''' enthält die verwendeten Werkzeuge und Kommandos eines Computeralgebrasystems (CAS), die die einzelnen Projekte in dem Modellbildungszyklus verwendet haben. * '''[https://sagecell.sagemath.org/ SageCell]''' Online-Umgebung zur Ausführung und Demonstration von Befehlen in R, Octave, Maxima, ... (Auswahl des Befehlssatzes auf der https://sagecell.sagemath.org/ SageCell-Seite] unten rechts auf dem Eingabefeld) * '''[[Statistikprogramm R]]''' enthält die verwendeten Werkzeuge und Kommandos, die für Berechnungen und Veranschaulichungen in den Projekten verwendet haben. * '''[[Tabellenkalkulation]]''' werden in Portfolios in der Regel verwendet, um Daten in den Portfolios aufzubereiten. * '''[[Octave]]''' wird in der Regel verwendet, um numerische Berechnung in der Mathematischen Modellbildung durchzuführen. * '''[[Geogebra]]''' ist eine Dynamische Geometriesoftware, die zur vektoriellen Veranschaulichung von räumlichen Modellierungsproblemen oder auch zur parametrisierten Darstellung von Funktionen verwendet wird (Beispiel: [https://www.geogebra.org/m/e9b349k9 Parkplatzlösung in Geogebra von Shrey T (2017)]). * '''[[w:Screencast|Screencast]]''': Ein Screencast ist eine Bildschirmaufnahme mit Audiokommentaren, die zeigt, wie man z.B. Software bedient. Ein Screencast ist eine Hilfestellung für Lernende, die sich noch nicht so gut mit einer bestimmten Software auskennen. :* [https://obsproject.com/ '''Open Broadcast Software (OBS)''' - Linux, Windows, MacOSX ] - [[Konvexkombination|Beispielvideo in Wikiversity]] * [[v:en:3D_Modelling|'''3D-Modellbildung''' (englisch)]] * '''[http://niebert.github.io/imgmap/ Online-ImageMap-Editor]''' - Anklickbare Bereiche in Wikiversity-Bildern erstellen. * '''[https://openlayers.org/en/latest/examples/heatmap-earthquakes.html HeatMaps]:''' Erstellung von [https://niebert.github.io/openlayer_heatmap HeatMaps mit einem Online-Editor] (Download [https://github.com/niebert/openlayer_heatmap/archive/master.zip Heatmap-Editor und Beispieldaten in Ordner <tt>/HeatMap</tt> in ZIP-Datei]) * '''[[Wiki2Reveal]]:''' Portfolio-Präsentationen direkt im Wikiversity erstellen. ===Editierungshilfen=== * [https://latexeditor.lagrida.com/ Online-Formel-Editor für LaTeX-Formeln]<ref>Lagrida Web-Portal (2021) Online-Latex-Formel-Editor mit Vorschau - URL: https://latexeditor.lagrida.com/ (accessed 2021/11/21))</ref> - die erzeugten Formeln müssen in einen MATH-Tag mit <kbd><math> ...</math></kbd> eingeschlossen werden bei der Seiteneditierung. * [https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:TeX Mathematische Formeln in Wikiversity] * Textgestaltung in Wikis: https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:Textgestaltung ==Wiki2Reveal== * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung2627|Kurs:Mathematische Modellbildung2627]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung2627&author=&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung2627&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] == Verweise == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2026-27%20Wintersemester&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2026-27%20Wintersemester&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung Kurs:Mathematische Modellbildung]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2026-27%20Wintersemester&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] djh6lq4bq6bh7guatyzchz8p0mf465z 1116509 1116506 2026-10-17T08:01:23Z ~2026-55076-31 41992 /* Gegenbeispiele für mathematische Modelle */ 1116509 wikitext text/x-wiki ==Begriffsklärung== === Was ist mathematische Modellbildung? === Ganz grob gesagt besteht Mathematische Modellierung oder auch Mathematische Modellbildung darin, reale Fragestellungen mit mathematischen Mitteln zu bearbeiten und sie auf diesem Wege zumindest teilweise zu beantworten<ref> Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., & Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. </ref>. === Was ist ein Modell? === Ein Modell ist dabei gegeben durch innere Scheinbilder oder Repräsentatonen, die nicht zum Bereich der äußeren Gegenstände, sondern zu Vorstellungen von einem solchen realen Gegenstand gehören und ihnen daher auch in gewissen Grenzen etwas Willkürliches anhaftet (Sinngemäß nach Hertz, zitiert von Ortlieb<ref> Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., & Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. </ref>). ==== Eigenschaften von Modellen ==== Somit lassen sich vereinfacht und verkürzt folgende Eigenschaften ableiten (Stachowiak, zitiert nach Saam <ref> Saam, N. J. (2009). Modellbildung. In Handbuch Methoden der Organisationsforschung: Quantitative und Qualitative Methoden (pp. 517-532). Wiesbaden: VS Verlag für Sozialwissenschaften. </ref>): * '''Abbildungsmerkmal:''' Modelle repräsentieren die Realität, existieren jedoch nicht in der Realität * '''Verkürzungsmerkmal:''' Modelle beschreiben das Objekt nicht exakt, sondern stets vereinfacht * '''Pragmatisches Merkmal:''' Modelle verfolgen einen gewissen Zweck: Sie ersetzen eine nicht abbildbare Realität um Fragestellungen zu beantwortbar zu machen ==== Typisches Beispiele ==== * Betrachtungen in der Physik (Federpendel, Bewegungsgesetze,...) - Physik und Mathematische Modellbildung sind sehr eng miteinander verwoben * Populationsdynamiken und Ausbreitugnsschemata in der Biologie (vgl. Lotka-Volterra Modell) * Bewegungsanalysen und Optimierungen in den Sportwissenschaften * Untersuchungen von Transport- und Umweltprozessen in Biologie, Chemie, Physik, Technik,... * Bedarfs- und Verbrauchs- und Verhaltensanalysen in Geisteswissenschaften === Mathematische Modelle === Mathematische Modelle werden gemessen und bewertet anhand <ref> Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., & Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. </ref>: * '''Zulässigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte in sich widerspruchsfrei sein. * '''Richtigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte im Vergleich mit der Realität keine Widersprüche zu offensichtlich richtigen Tatsachen aufweisen. * '''Zweckmäßigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte genau den Detailgrad beinhalten, den es zum Erfüllen des Zwecks benötigt, nicht mehr und nicht weniger. ==== Gegenbeispiele für mathematische Modelle ==== Gegenbeispiele wären: * Ein nicht zulässiges Modell könnte bei einer Betrachtung einer Punktmasse im Raum dennoch Luftwiederstände berücksichtigen (Punkte haben kein Volumen) * Ein nicht richtiges Modell könnte bei der Modellierung von Transportprozessen von Schadstoffen die Massenerhaltung vernachlässigen. * Ein nicht zweckmäßiges Modell könnte bei dem Versuch den perfekten Abwurfwinkel beim Speerwurf die Krümmung der Erdoberfläche berücksichtigen. ==== Bemerkung - Kriterien ==== Die Kriterien, insbesondere Richtigkeit und Zweckmäßigkeit, sind nicht 100% operational. Einerseits fordert die Richtigkeit, keine bekannten Tatsachen auszulassen, andererseits dürfen hinsichtlich einer passenden Zweckmäßigkeit auch nur ausreichend viele Details integriert werden). ==Der Modellbildungszyklus== Wie kommt man nun von einer Realen Situation, die ein Problem aufwirft zu einem adäquaten mathematischen Modell? Dazu hat sich als (möglichst allgemeine Vorgehensweise) der Modellbildungszyklus ergeben: [[Datei:Modellbildungszyklus Mod6.png|miniatur|Modellbildungszyklus]] ===Verlauf des MBZ === Der Modellbildugnszyklus beschreibt schematisch die iterative Erstellung einer mathematischen Modellbildung: * Ausgangspunkt ist eine reale Situation, die ein Problem aufwirft, die von dem mathematischen Modell adressiert werden soll * Dieses Problem wird inhaltlich erfasst, anschliessend mathematisch Übersetzt (Betrachten von Gleichungen, Funktionen, Geometrischen Objekten,...) * Durch das Betrachten von mathematischen Objekten können über passende Operationen deduktiv Resultate geschlussfolgert werden * Diese Resultate werden mit der Realsituation abgeglichen * Aus dem Vergleich werden mögliche Optimierungen und Limitationen des Modells abgeleitet * Durch die Limitationen werden kann das Modell weiterentwickelt werden Diese Schritte können/müssen dabei mehrfach durchlaufen werden. Die Integration von computergestützter Software ist in der mathematischen Modellbildung definitionsgemäss nicht zwigend erforderlich, für die meisten anwendungsbezogenen Modellierungen jedoch unumgänglich. ==Konkretes Beispiel einer Mathematischen Modellbildung== [[Kurs:Mathematische_Modellbildung/Themen/Radioaktivit%C3%A4t_und_Risikoliteralit%C3%A4t]] [[Datei:Screenshot 2D Ansicht Resultate.png|miniatur|alternativtext=Ansicht der möglichen Auftreffpunkte des radioaktiven Niederschlags|Ansicht der möglichen Auftreffpunkte des radioaktiven Niederschlags]] [[File:Zeitliche Abhängigkeit der Risikofunktion.gif|thumb|Das GIF zeigt die Zeitliche Abhängigkeit der Risikofunktion]] === Ziel der Modellierung === Ziel in dieser Modellierung war es, ein Modell zur räumlichen und zeitlichen Ausbreitung einer radioaktiv belasteten Wolke, sowie dessen Rain-Out, infolge einer Reaktorkatastrophe am (mittlerweile abgeschalteten) Kernkraftwerk in Philippsburg zu beschreiben. Unter zu Hilfenahme von Messwerten von dem Reaktorunglück in Tschernobyl und den Halbwertszeiten des radioaktiven Materials wurde der zeitliche Zerfall erfasst. Der Transport von radioaktiven Material wurde durch eine Kugel im <math> \mathbb{R}^3 </math> modelliert. Diese bewegt sich gemäss einer variablen Windrichtung (gegeben durch Winkel <math> \alpha </math>) und regnet sich nach einer gewissen Durchschnittsdauer ab. === Endresultat === Es wurde in drei Modellbildungszyklen eine Funktion zur Beschreibung der radioaktiven Belastung (repräsentativ für das Risiko) abgeleitet: <math>u(x,y,t,\alpha)=\frac{1480\cdot e^{-\frac{ln(2)}{30a} \cdot t}}{1+\frac{7}{10.000}\cdot (x^2+y^2)}+\frac{40\cdot e^{-\frac{ln(2)}{30a} \cdot t}}{1+\frac{1}{7.500}\cdot ((x-1080cos(\alpha))^2+(y-1080sin(\alpha))^2)}</math> Letztlich erhält man also eine Funktion die in ihrem Ausgabewert <math>z=u(x,y,t,\alpha)</math> abhängig von 4 Eingabewerten <math>x, y, t, \alpha </math> ist. ==Modellbildung in der Schule== ===Einbindung in den Lehrplan=== Die mathematische Modellbildung ist stark in den Mathematik-Lehrplan für Schulen in Rheinland-Pfalz integriert (hier wird sich an dem Lehrplan für Sekundarstufe II orientiert <ref> Ministerium für Bildung, Wissensachft, Weiterbildung und Kultur (2015), Lehrplan Mathematik. Grund- und Leistungsfach in der gymnasialen Oberstufe (Mainzer Studienstufe) </ref>). Im Bezug zu Problemlösen im Mathematikunterricht und Mathematik im fachübergreifenden Kontext, sollen Anwendungsbeispiele Einzug halten, die Schülerinnen und Schülern aus anderen Fächern bekannt sind. In diesem Zusammenhang wird mathematische Modellbildung als Methode zur Lösung von solchen Anwendungsproblemen genannt. ===Konkreter Themenbezug=== Zu folgenden mathematischen Themengebieten wird explizit Mathematischen Modellbildung zur unterrichtlichen Umsetzung erwähnt: *Exponentialfunktionen (Wachstums- und Zerfallsprozesse *Matrizenrechnung (Input-Output-Analysen, Zustandsübergangsprozesse, Populationsentwicklung,...) *Differential- und Integralrechnung (lineare oder logistische Wachstumsprozesse) Auch der Einsatz von computergestützten Hilfs- und Lösungsmitteln im Zuge der Modellbildung wird betont. (Bemerke: Auch im Lehrplan wird ein vergleichbarer Modellbildungszyklus vorgestellt und beschrieben. Bei Bedarf kann dieser auf Seite 15-16 <ref> Ministerium für Bildung, Wissensachft, Weiterbildung und Kultur (2015), Lehrplan Mathematik. Grund- und Leistungsfach in der gymnasialen Oberstufe (Mainzer Studienstufe) </ref> nachgelesen werden) ===Zugang zur Bildung für Nachhaltigen Entwicklung=== Durch die Möglichkeit fachübergreifende Fragestellungen zu behandeln und Prozesse der Realität in den Blick zu nehmen, kann mathematische Modellbildung die Brücke zur Bildung für Nachhaltigen Entwicklung (BNE) schlagen. "Die BNE zielt grundsätzlich darauf ab, es jedem und jeder Einzelnen zu ermöglichen, die Folgen des eigenen Handelns auf die Welt sowie intra- und intergenerationell zu verstehen, verantwortungsvolle Entscheidungen zu treffen und aktiv zu werden." <ref> Ministerium für Bildung. Bildung für nachhaltige Entwicklung. Online abrufbar unter: https://bm.rlp.de/unsere-schwerpunkte/bildung-fuer-nachhaltige-entwicklung </ref> Mathematische Modellbildung kann unter praktischer Anwendung von gelernten Inhalten im Schulunterricht zu BNE beitragen, indem eben gezielt Probleme adressiert werden und von Schülerinnen und Schülern eigenständig untersucht werden. ==Ziel und Organisation des Seminars== ===Ziel und Aufgabe=== In Kleingruppen (3-4 Personen) sollen aussermathematische Fragestellungen mit einer eigenen mathematischen Modellbildung behandelt werden. Dazu sollen drei Modellbildungszyklen mit unterschiedlichem Grad an Vereinfachung und unterschiedlicher Mathematischen Grundlage erstellt werden: * Zyklus: Mathematik der Sekundarstufe 1 (Mittelstufe) * Zyklus: Mathematik der Sekundarstufe 2 (Oberstufe) * Zyklus: Universitätsmathematik In jedem Zyklus sollen computergestützte Untersuchungen und Betrachtungen Einzug erhalten. Somit bietet es sich an in insgesamt auch drei verschiedene Programme (Tabellenkalkulation, GeoGebra, RStudio, Maxima,...) zu integrieren - an manchen stellen lässt sich dies gar nicht vermeiden. ===Themenwahl=== Das Thema sollte einen weltlichen Bezug haben. Am besten eigenen sich Themen aus dem jeweiligen Zweitfach (s. Verbindung zu anderen Schulfächern im Lehrplan). Das Thema sollte nachhaltige Entwicklung im Rahmen der Sustainable Development Goals adressieren. Siehe dazu: https://www.bundesumweltministerium.de/themen/nachhaltigkeit/nachhaltigkeitsziele-sdgs Vorzugsweise: Räumliche Risikobetrachtungen in Desaster- und Katastrophenszenarien. Das Thema sollte sich nicht mit denen der vergangenen Semestern doppeln. Zur Orientierung und Inspiration finden sich hier die Projekte der vergangenen Semester: :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2026 Sommersemester|2026 Sommersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2025-26 Wintersemester|2025/26 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2024-25 Wintersemester|2024/25 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2023-24 Wintersemester|2023/24 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2022-23 Winteresemester|2022/23 Wintersemester]]''' ===Portfolio=== Während des Semesters soll in Gruppenarbeit die Modellbildung durchgeführt werden. Diese wird schriftlich in einem Portfolio festgehalten. Dies Portfolio wird, genau wie dieser Artikel auch, in einem Wikiversity Artikel dokumentiert. Dieser sollte folgendes enthalten: * Einleitung: Beschreibung und Einordnung des Themas & welche(s) SDG wird adressiert und warum? * Ziel der Modellierung: Welches Problem wird in der Modellierung / den einzelnen Zyklen konkret angegangen? * Zyklus 1-3 ** Mathematisches Modell (welche Mathematischen Objekte werden betrachtet, wie ergeben die sich,...) ** Ergebnisse (Ableiten von Resultaten aus dem Modell) ** Bewertung der Ergebnisse ** Grenzen und Limitationen ** Ausblick für nächsten Zyklus (welche Limitationen und Probleme aus dem Zyklus werden im folgenden adressiert?) In allen Punkten der Modellzyklen können Programme computergestützte Tools verwendet werden. Zur Erstellung von Wiki-Seiten ist folgende Seite hilfreich: https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:Textgestaltung ===Prüfung=== Die Prüfung gliedert sich in zwei Aspekte: * '''Vorstellung von ausgewählten Teilen aus dem eigenen Portfolio''' - diese werden von den Prüfer:innen aus dem Portfolio der Studierenden ausgewählt. * '''Diskussion und Fragen''' der Prüfer:innen zu dem Portfolio, z.B. zu Teilen des Portfolios, die in der Vorstellung nicht behandelt werden können. Ein Portfolio kann aus Zeitgründen nie vollständig in der Prüfung dargestellt werden. In der mündlichen Portfolio-Prüfung wird geprüft, ob *das eigene Modell verstanden ist, *das eigene Modell kritisch hinterfragt werden kann, *die Limitationen des Modells begründet und nachvollziehbar wiedergegeben werden können, *die Übergänge zwischen den Zyklen beschrieben und begründet werden können, *die technische Umsetzung reproduziert und erklärt werden kann, *... . Es ist also wichtig zu wissen, was wie an welcher Stelle und mit welchem Zweck in der Modellierung gemacht wurde! Das Portfolio (Wiki-Seite) wird somit konkret vorgestellt. Eine Präsentation des Portfolio kann automatisch mit Wiki2Reveal erstellt werden. === Unterstützungsangebot === * Das Unterstützungsangebot erfolgt in der Lehrveranstaltung zur "Mathematischen Modellbildung". * Eine individuelle Sonderbehandlung für einzelne Studierende, die das Angebot der Vorlesung nicht nutzen und kurz vor Prüfungsbeginn noch "schnell" ein Portfolio zusammenstellen wollen, ist aus zeitlichen Gründen kurz vor der Prüfung nicht möglich. * Portfolioprüfungen der Lehrveranstaltung beziehen sich immer auf das erstellte Portfolio im laufende Semester und bei Wiederholungsprüfungen auf das Semester, in dem Portfolio erstellt wurde. * Eine Prüfung kann nur zu dem eigenen erstellten Portfolio in der Lehrveranstaltung abgelegt werden, an dessen Erstellung man aktiv mitgearbeitet hat. ===Ablauf des Seminars=== Der Seminarablauf über das Semester gestaltet sich grob wie folgt: * 1. Woche (19.10.): Einführungsveranstaltung + Gruppenfindung * 2. Woche (26.10.): Themenfindung * 3. Woche (02.11.): Themenfindung + Zyklen festlegen * 4. Woche (09.11.): Zyklen festlegen * 5. Woche (16.11.): Kurzvorstellung der Themen und Zyklen (5 Minuten pro Gruppe) Ab Woche 6 (23.11.) bis Ende des Semesters wird gemeinsam an den Modellen und dem Portfolio gearbeitet. Empfehlenswert wäre es, die letzten 2-3 Wochen für Finalisierungsarbeiten zu nutzen und entsprechend frühzeitig zu planen! Ausschliesslich während der Seminarzeiten an dem Modell und Portfolio zu arbeiten wird nicht ausreichen! Die Kurzpräsentationen am 16.11. umfassen den aktuellen Stand der Überlegungen und sind noch unter keinen Umständen verbindlich. Stattdessen dient es einfach zur Grundlage von gemeinsamer Diskussion und zur Einbringung von weiteren Ideen. =Hilfreiche Links= ===Fachmathematische Aspekte === Wenn man das Modellierungsproblem in den Mittelpunkt stellt und die Fragestellung den Nachhaltigkeitszielen der UN zuordnet, kommen z.T. fachmathematische Aspekte erforderlich, die nicht in der jeweiligen Schulstufe bzw. in den Vorlesungen behandelt wurden. Dies Kapitel erhält Hinweise zu fachmathematischen Bereichen, die für die mathematische Modellbildung ggf. als Werkzeug verwendet werden können * '''[[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]''' dienen dazu, Datenpunkte im <math>\R^2</math> oder allgemein im <math>\R^n</math> zu [[w:Interpolation_(Mathematik)|interpolieren]]. * '''[https://en.wikiversity.org/wiki/3D_Modelling 3D Modellierung für Projektinhalte]''' und [[w:Projektive_Geometrie|projektive Geometrie]] zur Visualisierung * '''[[Gradientenabstiegsverfahren]]''': Wird verwendet, um sich in der mathematischen Modellbildung iterativ einem Minimum einer Kosten- oder Fehlerfunktion anzunähern. * [[w:Lineare_Optimierung|'''Lineare Optimierung''']] wird in Optimierungshaufgaben wie beispielsweise bei der Suche nach Minimum der Produktionskosten verwendet. Hierbei wird in allgemeinem nach einem Minimium/Maximum einer linearer Zielfunktion über einer Menge gesucht. [https://www.geogebra.org/m/kr727992 '''Ein Beispiel in Geogebra'''] *[[Räumliche Diffusion|'''Räumliche Diffusion''']] *[[Modelle_der_Populationsdynamik|'''Modelle der Populationsdynamik''']] - [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Modelle%20der%20Populationsdynamik&author=Kurs:R%C3%A4umliche%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes (Wiki2Reveal-Folien)] - [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Stochastik/Wahrscheinlichkeitsdichte|Wahrscheinlichkeitsdichte]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Wahrscheinlichkeitsdichte&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wahrscheinlichkeitsdichte&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ===Softwarenutzung === Im PC-Praktikum wurden grundlegende Kenntnisse im Umgang mit Software erlangt, die für die Berechnung von mathematischen Modellen vorwendig sind. Diese Kenntnisse müssen ggf. auf das spezielle Modellierungsthema angepasst und erweitert werden. * '''[[CSV2Chart]]''' Aus CSV-Dateien mathematische Graphen in Wikiversity erstellen. * '''[[Maxima CAS]]''' enthält die verwendeten Werkzeuge und Kommandos eines Computeralgebrasystems (CAS), die die einzelnen Projekte in dem Modellbildungszyklus verwendet haben. * '''[https://sagecell.sagemath.org/ SageCell]''' Online-Umgebung zur Ausführung und Demonstration von Befehlen in R, Octave, Maxima, ... (Auswahl des Befehlssatzes auf der https://sagecell.sagemath.org/ SageCell-Seite] unten rechts auf dem Eingabefeld) * '''[[Statistikprogramm R]]''' enthält die verwendeten Werkzeuge und Kommandos, die für Berechnungen und Veranschaulichungen in den Projekten verwendet haben. * '''[[Tabellenkalkulation]]''' werden in Portfolios in der Regel verwendet, um Daten in den Portfolios aufzubereiten. * '''[[Octave]]''' wird in der Regel verwendet, um numerische Berechnung in der Mathematischen Modellbildung durchzuführen. * '''[[Geogebra]]''' ist eine Dynamische Geometriesoftware, die zur vektoriellen Veranschaulichung von räumlichen Modellierungsproblemen oder auch zur parametrisierten Darstellung von Funktionen verwendet wird (Beispiel: [https://www.geogebra.org/m/e9b349k9 Parkplatzlösung in Geogebra von Shrey T (2017)]). * '''[[w:Screencast|Screencast]]''': Ein Screencast ist eine Bildschirmaufnahme mit Audiokommentaren, die zeigt, wie man z.B. Software bedient. Ein Screencast ist eine Hilfestellung für Lernende, die sich noch nicht so gut mit einer bestimmten Software auskennen. :* [https://obsproject.com/ '''Open Broadcast Software (OBS)''' - Linux, Windows, MacOSX ] - [[Konvexkombination|Beispielvideo in Wikiversity]] * [[v:en:3D_Modelling|'''3D-Modellbildung''' (englisch)]] * '''[http://niebert.github.io/imgmap/ Online-ImageMap-Editor]''' - Anklickbare Bereiche in Wikiversity-Bildern erstellen. * '''[https://openlayers.org/en/latest/examples/heatmap-earthquakes.html HeatMaps]:''' Erstellung von [https://niebert.github.io/openlayer_heatmap HeatMaps mit einem Online-Editor] (Download [https://github.com/niebert/openlayer_heatmap/archive/master.zip Heatmap-Editor und Beispieldaten in Ordner <tt>/HeatMap</tt> in ZIP-Datei]) * '''[[Wiki2Reveal]]:''' Portfolio-Präsentationen direkt im Wikiversity erstellen. ===Editierungshilfen=== * [https://latexeditor.lagrida.com/ Online-Formel-Editor für LaTeX-Formeln]<ref>Lagrida Web-Portal (2021) Online-Latex-Formel-Editor mit Vorschau - URL: https://latexeditor.lagrida.com/ (accessed 2021/11/21))</ref> - die erzeugten Formeln müssen in einen MATH-Tag mit <kbd><math> ...</math></kbd> eingeschlossen werden bei der Seiteneditierung. * [https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:TeX Mathematische Formeln in Wikiversity] * Textgestaltung in Wikis: https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:Textgestaltung ==Wiki2Reveal== * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung2627|Kurs:Mathematische Modellbildung2627]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung2627&author=&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung2627&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] == Verweise == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2026-27%20Wintersemester&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2026-27%20Wintersemester&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung Kurs:Mathematische Modellbildung]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2026-27%20Wintersemester&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 51613p9rahqpkb7zydkmau59va5iwfr 1116510 1116509 2026-10-17T08:02:05Z ~2026-55076-31 41992 /* Bemerkung - Kriterien */ 1116510 wikitext text/x-wiki ==Begriffsklärung== === Was ist mathematische Modellbildung? === Ganz grob gesagt besteht Mathematische Modellierung oder auch Mathematische Modellbildung darin, reale Fragestellungen mit mathematischen Mitteln zu bearbeiten und sie auf diesem Wege zumindest teilweise zu beantworten<ref> Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., & Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. </ref>. === Was ist ein Modell? === Ein Modell ist dabei gegeben durch innere Scheinbilder oder Repräsentatonen, die nicht zum Bereich der äußeren Gegenstände, sondern zu Vorstellungen von einem solchen realen Gegenstand gehören und ihnen daher auch in gewissen Grenzen etwas Willkürliches anhaftet (Sinngemäß nach Hertz, zitiert von Ortlieb<ref> Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., & Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. </ref>). ==== Eigenschaften von Modellen ==== Somit lassen sich vereinfacht und verkürzt folgende Eigenschaften ableiten (Stachowiak, zitiert nach Saam <ref> Saam, N. J. (2009). Modellbildung. In Handbuch Methoden der Organisationsforschung: Quantitative und Qualitative Methoden (pp. 517-532). Wiesbaden: VS Verlag für Sozialwissenschaften. </ref>): * '''Abbildungsmerkmal:''' Modelle repräsentieren die Realität, existieren jedoch nicht in der Realität * '''Verkürzungsmerkmal:''' Modelle beschreiben das Objekt nicht exakt, sondern stets vereinfacht * '''Pragmatisches Merkmal:''' Modelle verfolgen einen gewissen Zweck: Sie ersetzen eine nicht abbildbare Realität um Fragestellungen zu beantwortbar zu machen ==== Typisches Beispiele ==== * Betrachtungen in der Physik (Federpendel, Bewegungsgesetze,...) - Physik und Mathematische Modellbildung sind sehr eng miteinander verwoben * Populationsdynamiken und Ausbreitugnsschemata in der Biologie (vgl. Lotka-Volterra Modell) * Bewegungsanalysen und Optimierungen in den Sportwissenschaften * Untersuchungen von Transport- und Umweltprozessen in Biologie, Chemie, Physik, Technik,... * Bedarfs- und Verbrauchs- und Verhaltensanalysen in Geisteswissenschaften === Mathematische Modelle === Mathematische Modelle werden gemessen und bewertet anhand <ref> Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., & Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. </ref>: * '''Zulässigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte in sich widerspruchsfrei sein. * '''Richtigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte im Vergleich mit der Realität keine Widersprüche zu offensichtlich richtigen Tatsachen aufweisen. * '''Zweckmäßigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte genau den Detailgrad beinhalten, den es zum Erfüllen des Zwecks benötigt, nicht mehr und nicht weniger. ==== Gegenbeispiele für mathematische Modelle ==== Gegenbeispiele wären: * Ein nicht zulässiges Modell könnte bei einer Betrachtung einer Punktmasse im Raum dennoch Luftwiederstände berücksichtigen (Punkte haben kein Volumen) * Ein nicht richtiges Modell könnte bei der Modellierung von Transportprozessen von Schadstoffen die Massenerhaltung vernachlässigen. * Ein nicht zweckmäßiges Modell könnte bei dem Versuch den perfekten Abwurfwinkel beim Speerwurf die Krümmung der Erdoberfläche berücksichtigen. ==== Bemerkung - Kriterien ==== Die Kriterien, insbesondere Richtigkeit und Zweckmäßigkeit, sind nicht 100% operational. Einerseits fordert die Richtigkeit, keine bekannten Tatsachen auszulassen, andererseits dürfen hinsichtlich einer passenden Zweckmäßigkeit auch nur ausreichend viele Details integriert werden. ==Der Modellbildungszyklus== Wie kommt man nun von einer Realen Situation, die ein Problem aufwirft zu einem adäquaten mathematischen Modell? Dazu hat sich als (möglichst allgemeine Vorgehensweise) der Modellbildungszyklus ergeben: [[Datei:Modellbildungszyklus Mod6.png|miniatur|Modellbildungszyklus]] ===Verlauf des MBZ === Der Modellbildugnszyklus beschreibt schematisch die iterative Erstellung einer mathematischen Modellbildung: * Ausgangspunkt ist eine reale Situation, die ein Problem aufwirft, die von dem mathematischen Modell adressiert werden soll * Dieses Problem wird inhaltlich erfasst, anschliessend mathematisch Übersetzt (Betrachten von Gleichungen, Funktionen, Geometrischen Objekten,...) * Durch das Betrachten von mathematischen Objekten können über passende Operationen deduktiv Resultate geschlussfolgert werden * Diese Resultate werden mit der Realsituation abgeglichen * Aus dem Vergleich werden mögliche Optimierungen und Limitationen des Modells abgeleitet * Durch die Limitationen werden kann das Modell weiterentwickelt werden Diese Schritte können/müssen dabei mehrfach durchlaufen werden. Die Integration von computergestützter Software ist in der mathematischen Modellbildung definitionsgemäss nicht zwigend erforderlich, für die meisten anwendungsbezogenen Modellierungen jedoch unumgänglich. ==Konkretes Beispiel einer Mathematischen Modellbildung== [[Kurs:Mathematische_Modellbildung/Themen/Radioaktivit%C3%A4t_und_Risikoliteralit%C3%A4t]] [[Datei:Screenshot 2D Ansicht Resultate.png|miniatur|alternativtext=Ansicht der möglichen Auftreffpunkte des radioaktiven Niederschlags|Ansicht der möglichen Auftreffpunkte des radioaktiven Niederschlags]] [[File:Zeitliche Abhängigkeit der Risikofunktion.gif|thumb|Das GIF zeigt die Zeitliche Abhängigkeit der Risikofunktion]] === Ziel der Modellierung === Ziel in dieser Modellierung war es, ein Modell zur räumlichen und zeitlichen Ausbreitung einer radioaktiv belasteten Wolke, sowie dessen Rain-Out, infolge einer Reaktorkatastrophe am (mittlerweile abgeschalteten) Kernkraftwerk in Philippsburg zu beschreiben. Unter zu Hilfenahme von Messwerten von dem Reaktorunglück in Tschernobyl und den Halbwertszeiten des radioaktiven Materials wurde der zeitliche Zerfall erfasst. Der Transport von radioaktiven Material wurde durch eine Kugel im <math> \mathbb{R}^3 </math> modelliert. Diese bewegt sich gemäss einer variablen Windrichtung (gegeben durch Winkel <math> \alpha </math>) und regnet sich nach einer gewissen Durchschnittsdauer ab. === Endresultat === Es wurde in drei Modellbildungszyklen eine Funktion zur Beschreibung der radioaktiven Belastung (repräsentativ für das Risiko) abgeleitet: <math>u(x,y,t,\alpha)=\frac{1480\cdot e^{-\frac{ln(2)}{30a} \cdot t}}{1+\frac{7}{10.000}\cdot (x^2+y^2)}+\frac{40\cdot e^{-\frac{ln(2)}{30a} \cdot t}}{1+\frac{1}{7.500}\cdot ((x-1080cos(\alpha))^2+(y-1080sin(\alpha))^2)}</math> Letztlich erhält man also eine Funktion die in ihrem Ausgabewert <math>z=u(x,y,t,\alpha)</math> abhängig von 4 Eingabewerten <math>x, y, t, \alpha </math> ist. ==Modellbildung in der Schule== ===Einbindung in den Lehrplan=== Die mathematische Modellbildung ist stark in den Mathematik-Lehrplan für Schulen in Rheinland-Pfalz integriert (hier wird sich an dem Lehrplan für Sekundarstufe II orientiert <ref> Ministerium für Bildung, Wissensachft, Weiterbildung und Kultur (2015), Lehrplan Mathematik. Grund- und Leistungsfach in der gymnasialen Oberstufe (Mainzer Studienstufe) </ref>). Im Bezug zu Problemlösen im Mathematikunterricht und Mathematik im fachübergreifenden Kontext, sollen Anwendungsbeispiele Einzug halten, die Schülerinnen und Schülern aus anderen Fächern bekannt sind. In diesem Zusammenhang wird mathematische Modellbildung als Methode zur Lösung von solchen Anwendungsproblemen genannt. ===Konkreter Themenbezug=== Zu folgenden mathematischen Themengebieten wird explizit Mathematischen Modellbildung zur unterrichtlichen Umsetzung erwähnt: *Exponentialfunktionen (Wachstums- und Zerfallsprozesse *Matrizenrechnung (Input-Output-Analysen, Zustandsübergangsprozesse, Populationsentwicklung,...) *Differential- und Integralrechnung (lineare oder logistische Wachstumsprozesse) Auch der Einsatz von computergestützten Hilfs- und Lösungsmitteln im Zuge der Modellbildung wird betont. (Bemerke: Auch im Lehrplan wird ein vergleichbarer Modellbildungszyklus vorgestellt und beschrieben. Bei Bedarf kann dieser auf Seite 15-16 <ref> Ministerium für Bildung, Wissensachft, Weiterbildung und Kultur (2015), Lehrplan Mathematik. Grund- und Leistungsfach in der gymnasialen Oberstufe (Mainzer Studienstufe) </ref> nachgelesen werden) ===Zugang zur Bildung für Nachhaltigen Entwicklung=== Durch die Möglichkeit fachübergreifende Fragestellungen zu behandeln und Prozesse der Realität in den Blick zu nehmen, kann mathematische Modellbildung die Brücke zur Bildung für Nachhaltigen Entwicklung (BNE) schlagen. "Die BNE zielt grundsätzlich darauf ab, es jedem und jeder Einzelnen zu ermöglichen, die Folgen des eigenen Handelns auf die Welt sowie intra- und intergenerationell zu verstehen, verantwortungsvolle Entscheidungen zu treffen und aktiv zu werden." <ref> Ministerium für Bildung. Bildung für nachhaltige Entwicklung. Online abrufbar unter: https://bm.rlp.de/unsere-schwerpunkte/bildung-fuer-nachhaltige-entwicklung </ref> Mathematische Modellbildung kann unter praktischer Anwendung von gelernten Inhalten im Schulunterricht zu BNE beitragen, indem eben gezielt Probleme adressiert werden und von Schülerinnen und Schülern eigenständig untersucht werden. ==Ziel und Organisation des Seminars== ===Ziel und Aufgabe=== In Kleingruppen (3-4 Personen) sollen aussermathematische Fragestellungen mit einer eigenen mathematischen Modellbildung behandelt werden. Dazu sollen drei Modellbildungszyklen mit unterschiedlichem Grad an Vereinfachung und unterschiedlicher Mathematischen Grundlage erstellt werden: * Zyklus: Mathematik der Sekundarstufe 1 (Mittelstufe) * Zyklus: Mathematik der Sekundarstufe 2 (Oberstufe) * Zyklus: Universitätsmathematik In jedem Zyklus sollen computergestützte Untersuchungen und Betrachtungen Einzug erhalten. Somit bietet es sich an in insgesamt auch drei verschiedene Programme (Tabellenkalkulation, GeoGebra, RStudio, Maxima,...) zu integrieren - an manchen stellen lässt sich dies gar nicht vermeiden. ===Themenwahl=== Das Thema sollte einen weltlichen Bezug haben. Am besten eigenen sich Themen aus dem jeweiligen Zweitfach (s. Verbindung zu anderen Schulfächern im Lehrplan). Das Thema sollte nachhaltige Entwicklung im Rahmen der Sustainable Development Goals adressieren. Siehe dazu: https://www.bundesumweltministerium.de/themen/nachhaltigkeit/nachhaltigkeitsziele-sdgs Vorzugsweise: Räumliche Risikobetrachtungen in Desaster- und Katastrophenszenarien. Das Thema sollte sich nicht mit denen der vergangenen Semestern doppeln. Zur Orientierung und Inspiration finden sich hier die Projekte der vergangenen Semester: :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2026 Sommersemester|2026 Sommersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2025-26 Wintersemester|2025/26 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2024-25 Wintersemester|2024/25 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2023-24 Wintersemester|2023/24 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2022-23 Winteresemester|2022/23 Wintersemester]]''' ===Portfolio=== Während des Semesters soll in Gruppenarbeit die Modellbildung durchgeführt werden. Diese wird schriftlich in einem Portfolio festgehalten. Dies Portfolio wird, genau wie dieser Artikel auch, in einem Wikiversity Artikel dokumentiert. Dieser sollte folgendes enthalten: * Einleitung: Beschreibung und Einordnung des Themas & welche(s) SDG wird adressiert und warum? * Ziel der Modellierung: Welches Problem wird in der Modellierung / den einzelnen Zyklen konkret angegangen? * Zyklus 1-3 ** Mathematisches Modell (welche Mathematischen Objekte werden betrachtet, wie ergeben die sich,...) ** Ergebnisse (Ableiten von Resultaten aus dem Modell) ** Bewertung der Ergebnisse ** Grenzen und Limitationen ** Ausblick für nächsten Zyklus (welche Limitationen und Probleme aus dem Zyklus werden im folgenden adressiert?) In allen Punkten der Modellzyklen können Programme computergestützte Tools verwendet werden. Zur Erstellung von Wiki-Seiten ist folgende Seite hilfreich: https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:Textgestaltung ===Prüfung=== Die Prüfung gliedert sich in zwei Aspekte: * '''Vorstellung von ausgewählten Teilen aus dem eigenen Portfolio''' - diese werden von den Prüfer:innen aus dem Portfolio der Studierenden ausgewählt. * '''Diskussion und Fragen''' der Prüfer:innen zu dem Portfolio, z.B. zu Teilen des Portfolios, die in der Vorstellung nicht behandelt werden können. Ein Portfolio kann aus Zeitgründen nie vollständig in der Prüfung dargestellt werden. In der mündlichen Portfolio-Prüfung wird geprüft, ob *das eigene Modell verstanden ist, *das eigene Modell kritisch hinterfragt werden kann, *die Limitationen des Modells begründet und nachvollziehbar wiedergegeben werden können, *die Übergänge zwischen den Zyklen beschrieben und begründet werden können, *die technische Umsetzung reproduziert und erklärt werden kann, *... . Es ist also wichtig zu wissen, was wie an welcher Stelle und mit welchem Zweck in der Modellierung gemacht wurde! Das Portfolio (Wiki-Seite) wird somit konkret vorgestellt. Eine Präsentation des Portfolio kann automatisch mit Wiki2Reveal erstellt werden. === Unterstützungsangebot === * Das Unterstützungsangebot erfolgt in der Lehrveranstaltung zur "Mathematischen Modellbildung". * Eine individuelle Sonderbehandlung für einzelne Studierende, die das Angebot der Vorlesung nicht nutzen und kurz vor Prüfungsbeginn noch "schnell" ein Portfolio zusammenstellen wollen, ist aus zeitlichen Gründen kurz vor der Prüfung nicht möglich. * Portfolioprüfungen der Lehrveranstaltung beziehen sich immer auf das erstellte Portfolio im laufende Semester und bei Wiederholungsprüfungen auf das Semester, in dem Portfolio erstellt wurde. * Eine Prüfung kann nur zu dem eigenen erstellten Portfolio in der Lehrveranstaltung abgelegt werden, an dessen Erstellung man aktiv mitgearbeitet hat. ===Ablauf des Seminars=== Der Seminarablauf über das Semester gestaltet sich grob wie folgt: * 1. Woche (19.10.): Einführungsveranstaltung + Gruppenfindung * 2. Woche (26.10.): Themenfindung * 3. Woche (02.11.): Themenfindung + Zyklen festlegen * 4. Woche (09.11.): Zyklen festlegen * 5. Woche (16.11.): Kurzvorstellung der Themen und Zyklen (5 Minuten pro Gruppe) Ab Woche 6 (23.11.) bis Ende des Semesters wird gemeinsam an den Modellen und dem Portfolio gearbeitet. Empfehlenswert wäre es, die letzten 2-3 Wochen für Finalisierungsarbeiten zu nutzen und entsprechend frühzeitig zu planen! Ausschliesslich während der Seminarzeiten an dem Modell und Portfolio zu arbeiten wird nicht ausreichen! Die Kurzpräsentationen am 16.11. umfassen den aktuellen Stand der Überlegungen und sind noch unter keinen Umständen verbindlich. Stattdessen dient es einfach zur Grundlage von gemeinsamer Diskussion und zur Einbringung von weiteren Ideen. =Hilfreiche Links= ===Fachmathematische Aspekte === Wenn man das Modellierungsproblem in den Mittelpunkt stellt und die Fragestellung den Nachhaltigkeitszielen der UN zuordnet, kommen z.T. fachmathematische Aspekte erforderlich, die nicht in der jeweiligen Schulstufe bzw. in den Vorlesungen behandelt wurden. Dies Kapitel erhält Hinweise zu fachmathematischen Bereichen, die für die mathematische Modellbildung ggf. als Werkzeug verwendet werden können * '''[[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]''' dienen dazu, Datenpunkte im <math>\R^2</math> oder allgemein im <math>\R^n</math> zu [[w:Interpolation_(Mathematik)|interpolieren]]. * '''[https://en.wikiversity.org/wiki/3D_Modelling 3D Modellierung für Projektinhalte]''' und [[w:Projektive_Geometrie|projektive Geometrie]] zur Visualisierung * '''[[Gradientenabstiegsverfahren]]''': Wird verwendet, um sich in der mathematischen Modellbildung iterativ einem Minimum einer Kosten- oder Fehlerfunktion anzunähern. * [[w:Lineare_Optimierung|'''Lineare Optimierung''']] wird in Optimierungshaufgaben wie beispielsweise bei der Suche nach Minimum der Produktionskosten verwendet. Hierbei wird in allgemeinem nach einem Minimium/Maximum einer linearer Zielfunktion über einer Menge gesucht. [https://www.geogebra.org/m/kr727992 '''Ein Beispiel in Geogebra'''] *[[Räumliche Diffusion|'''Räumliche Diffusion''']] *[[Modelle_der_Populationsdynamik|'''Modelle der Populationsdynamik''']] - [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Modelle%20der%20Populationsdynamik&author=Kurs:R%C3%A4umliche%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes (Wiki2Reveal-Folien)] - [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Stochastik/Wahrscheinlichkeitsdichte|Wahrscheinlichkeitsdichte]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Wahrscheinlichkeitsdichte&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wahrscheinlichkeitsdichte&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ===Softwarenutzung === Im PC-Praktikum wurden grundlegende Kenntnisse im Umgang mit Software erlangt, die für die Berechnung von mathematischen Modellen vorwendig sind. Diese Kenntnisse müssen ggf. auf das spezielle Modellierungsthema angepasst und erweitert werden. * '''[[CSV2Chart]]''' Aus CSV-Dateien mathematische Graphen in Wikiversity erstellen. * '''[[Maxima CAS]]''' enthält die verwendeten Werkzeuge und Kommandos eines Computeralgebrasystems (CAS), die die einzelnen Projekte in dem Modellbildungszyklus verwendet haben. * '''[https://sagecell.sagemath.org/ SageCell]''' Online-Umgebung zur Ausführung und Demonstration von Befehlen in R, Octave, Maxima, ... (Auswahl des Befehlssatzes auf der https://sagecell.sagemath.org/ SageCell-Seite] unten rechts auf dem Eingabefeld) * '''[[Statistikprogramm R]]''' enthält die verwendeten Werkzeuge und Kommandos, die für Berechnungen und Veranschaulichungen in den Projekten verwendet haben. * '''[[Tabellenkalkulation]]''' werden in Portfolios in der Regel verwendet, um Daten in den Portfolios aufzubereiten. * '''[[Octave]]''' wird in der Regel verwendet, um numerische Berechnung in der Mathematischen Modellbildung durchzuführen. * '''[[Geogebra]]''' ist eine Dynamische Geometriesoftware, die zur vektoriellen Veranschaulichung von räumlichen Modellierungsproblemen oder auch zur parametrisierten Darstellung von Funktionen verwendet wird (Beispiel: [https://www.geogebra.org/m/e9b349k9 Parkplatzlösung in Geogebra von Shrey T (2017)]). * '''[[w:Screencast|Screencast]]''': Ein Screencast ist eine Bildschirmaufnahme mit Audiokommentaren, die zeigt, wie man z.B. Software bedient. Ein Screencast ist eine Hilfestellung für Lernende, die sich noch nicht so gut mit einer bestimmten Software auskennen. :* [https://obsproject.com/ '''Open Broadcast Software (OBS)''' - Linux, Windows, MacOSX ] - [[Konvexkombination|Beispielvideo in Wikiversity]] * [[v:en:3D_Modelling|'''3D-Modellbildung''' (englisch)]] * '''[http://niebert.github.io/imgmap/ Online-ImageMap-Editor]''' - Anklickbare Bereiche in Wikiversity-Bildern erstellen. * '''[https://openlayers.org/en/latest/examples/heatmap-earthquakes.html HeatMaps]:''' Erstellung von [https://niebert.github.io/openlayer_heatmap HeatMaps mit einem Online-Editor] (Download [https://github.com/niebert/openlayer_heatmap/archive/master.zip Heatmap-Editor und Beispieldaten in Ordner <tt>/HeatMap</tt> in ZIP-Datei]) * '''[[Wiki2Reveal]]:''' Portfolio-Präsentationen direkt im Wikiversity erstellen. ===Editierungshilfen=== * [https://latexeditor.lagrida.com/ Online-Formel-Editor für LaTeX-Formeln]<ref>Lagrida Web-Portal (2021) Online-Latex-Formel-Editor mit Vorschau - URL: https://latexeditor.lagrida.com/ (accessed 2021/11/21))</ref> - die erzeugten Formeln müssen in einen MATH-Tag mit <kbd><math> ...</math></kbd> eingeschlossen werden bei der Seiteneditierung. * [https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:TeX Mathematische Formeln in Wikiversity] * Textgestaltung in Wikis: https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:Textgestaltung ==Wiki2Reveal== * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung2627|Kurs:Mathematische Modellbildung2627]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung2627&author=&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung2627&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] == Verweise == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2026-27%20Wintersemester&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2026-27%20Wintersemester&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung Kurs:Mathematische Modellbildung]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2026-27%20Wintersemester&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] h58gi6bmga4qgu8510ra0o0uutamu16 1116512 1116510 2026-10-17T08:02:57Z ~2026-55076-31 41992 /* Der Modellbildungszyklus */ 1116512 wikitext text/x-wiki ==Begriffsklärung== === Was ist mathematische Modellbildung? === Ganz grob gesagt besteht Mathematische Modellierung oder auch Mathematische Modellbildung darin, reale Fragestellungen mit mathematischen Mitteln zu bearbeiten und sie auf diesem Wege zumindest teilweise zu beantworten<ref> Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., & Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. </ref>. === Was ist ein Modell? === Ein Modell ist dabei gegeben durch innere Scheinbilder oder Repräsentatonen, die nicht zum Bereich der äußeren Gegenstände, sondern zu Vorstellungen von einem solchen realen Gegenstand gehören und ihnen daher auch in gewissen Grenzen etwas Willkürliches anhaftet (Sinngemäß nach Hertz, zitiert von Ortlieb<ref> Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., & Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. </ref>). ==== Eigenschaften von Modellen ==== Somit lassen sich vereinfacht und verkürzt folgende Eigenschaften ableiten (Stachowiak, zitiert nach Saam <ref> Saam, N. J. (2009). Modellbildung. In Handbuch Methoden der Organisationsforschung: Quantitative und Qualitative Methoden (pp. 517-532). Wiesbaden: VS Verlag für Sozialwissenschaften. </ref>): * '''Abbildungsmerkmal:''' Modelle repräsentieren die Realität, existieren jedoch nicht in der Realität * '''Verkürzungsmerkmal:''' Modelle beschreiben das Objekt nicht exakt, sondern stets vereinfacht * '''Pragmatisches Merkmal:''' Modelle verfolgen einen gewissen Zweck: Sie ersetzen eine nicht abbildbare Realität um Fragestellungen zu beantwortbar zu machen ==== Typisches Beispiele ==== * Betrachtungen in der Physik (Federpendel, Bewegungsgesetze,...) - Physik und Mathematische Modellbildung sind sehr eng miteinander verwoben * Populationsdynamiken und Ausbreitugnsschemata in der Biologie (vgl. Lotka-Volterra Modell) * Bewegungsanalysen und Optimierungen in den Sportwissenschaften * Untersuchungen von Transport- und Umweltprozessen in Biologie, Chemie, Physik, Technik,... * Bedarfs- und Verbrauchs- und Verhaltensanalysen in Geisteswissenschaften === Mathematische Modelle === Mathematische Modelle werden gemessen und bewertet anhand <ref> Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., & Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. </ref>: * '''Zulässigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte in sich widerspruchsfrei sein. * '''Richtigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte im Vergleich mit der Realität keine Widersprüche zu offensichtlich richtigen Tatsachen aufweisen. * '''Zweckmäßigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte genau den Detailgrad beinhalten, den es zum Erfüllen des Zwecks benötigt, nicht mehr und nicht weniger. ==== Gegenbeispiele für mathematische Modelle ==== Gegenbeispiele wären: * Ein nicht zulässiges Modell könnte bei einer Betrachtung einer Punktmasse im Raum dennoch Luftwiederstände berücksichtigen (Punkte haben kein Volumen) * Ein nicht richtiges Modell könnte bei der Modellierung von Transportprozessen von Schadstoffen die Massenerhaltung vernachlässigen. * Ein nicht zweckmäßiges Modell könnte bei dem Versuch den perfekten Abwurfwinkel beim Speerwurf die Krümmung der Erdoberfläche berücksichtigen. ==== Bemerkung - Kriterien ==== Die Kriterien, insbesondere Richtigkeit und Zweckmäßigkeit, sind nicht 100% operational. Einerseits fordert die Richtigkeit, keine bekannten Tatsachen auszulassen, andererseits dürfen hinsichtlich einer passenden Zweckmäßigkeit auch nur ausreichend viele Details integriert werden. ==Der Modellbildungszyklus== Wie kommt man nun von einer Realen Situation, die ein Problem aufwirft zu einem adäquaten mathematischen Modell? Dazu hat sich als möglichst allgemeine Vorgehensweise der Modellbildungszyklus ergeben: [[Datei:Modellbildungszyklus Mod6.png|miniatur|Modellbildungszyklus]] ===Verlauf des MBZ === Der Modellbildugnszyklus beschreibt schematisch die iterative Erstellung einer mathematischen Modellbildung: * Ausgangspunkt ist eine reale Situation, die ein Problem aufwirft, die von dem mathematischen Modell adressiert werden soll * Dieses Problem wird inhaltlich erfasst, anschliessend mathematisch Übersetzt (Betrachten von Gleichungen, Funktionen, Geometrischen Objekten,...) * Durch das Betrachten von mathematischen Objekten können über passende Operationen deduktiv Resultate geschlussfolgert werden * Diese Resultate werden mit der Realsituation abgeglichen * Aus dem Vergleich werden mögliche Optimierungen und Limitationen des Modells abgeleitet * Durch die Limitationen werden kann das Modell weiterentwickelt werden Diese Schritte können/müssen dabei mehrfach durchlaufen werden. Die Integration von computergestützter Software ist in der mathematischen Modellbildung definitionsgemäss nicht zwigend erforderlich, für die meisten anwendungsbezogenen Modellierungen jedoch unumgänglich. ==Konkretes Beispiel einer Mathematischen Modellbildung== [[Kurs:Mathematische_Modellbildung/Themen/Radioaktivit%C3%A4t_und_Risikoliteralit%C3%A4t]] [[Datei:Screenshot 2D Ansicht Resultate.png|miniatur|alternativtext=Ansicht der möglichen Auftreffpunkte des radioaktiven Niederschlags|Ansicht der möglichen Auftreffpunkte des radioaktiven Niederschlags]] [[File:Zeitliche Abhängigkeit der Risikofunktion.gif|thumb|Das GIF zeigt die Zeitliche Abhängigkeit der Risikofunktion]] === Ziel der Modellierung === Ziel in dieser Modellierung war es, ein Modell zur räumlichen und zeitlichen Ausbreitung einer radioaktiv belasteten Wolke, sowie dessen Rain-Out, infolge einer Reaktorkatastrophe am (mittlerweile abgeschalteten) Kernkraftwerk in Philippsburg zu beschreiben. Unter zu Hilfenahme von Messwerten von dem Reaktorunglück in Tschernobyl und den Halbwertszeiten des radioaktiven Materials wurde der zeitliche Zerfall erfasst. Der Transport von radioaktiven Material wurde durch eine Kugel im <math> \mathbb{R}^3 </math> modelliert. Diese bewegt sich gemäss einer variablen Windrichtung (gegeben durch Winkel <math> \alpha </math>) und regnet sich nach einer gewissen Durchschnittsdauer ab. === Endresultat === Es wurde in drei Modellbildungszyklen eine Funktion zur Beschreibung der radioaktiven Belastung (repräsentativ für das Risiko) abgeleitet: <math>u(x,y,t,\alpha)=\frac{1480\cdot e^{-\frac{ln(2)}{30a} \cdot t}}{1+\frac{7}{10.000}\cdot (x^2+y^2)}+\frac{40\cdot e^{-\frac{ln(2)}{30a} \cdot t}}{1+\frac{1}{7.500}\cdot ((x-1080cos(\alpha))^2+(y-1080sin(\alpha))^2)}</math> Letztlich erhält man also eine Funktion die in ihrem Ausgabewert <math>z=u(x,y,t,\alpha)</math> abhängig von 4 Eingabewerten <math>x, y, t, \alpha </math> ist. ==Modellbildung in der Schule== ===Einbindung in den Lehrplan=== Die mathematische Modellbildung ist stark in den Mathematik-Lehrplan für Schulen in Rheinland-Pfalz integriert (hier wird sich an dem Lehrplan für Sekundarstufe II orientiert <ref> Ministerium für Bildung, Wissensachft, Weiterbildung und Kultur (2015), Lehrplan Mathematik. Grund- und Leistungsfach in der gymnasialen Oberstufe (Mainzer Studienstufe) </ref>). Im Bezug zu Problemlösen im Mathematikunterricht und Mathematik im fachübergreifenden Kontext, sollen Anwendungsbeispiele Einzug halten, die Schülerinnen und Schülern aus anderen Fächern bekannt sind. In diesem Zusammenhang wird mathematische Modellbildung als Methode zur Lösung von solchen Anwendungsproblemen genannt. ===Konkreter Themenbezug=== Zu folgenden mathematischen Themengebieten wird explizit Mathematischen Modellbildung zur unterrichtlichen Umsetzung erwähnt: *Exponentialfunktionen (Wachstums- und Zerfallsprozesse *Matrizenrechnung (Input-Output-Analysen, Zustandsübergangsprozesse, Populationsentwicklung,...) *Differential- und Integralrechnung (lineare oder logistische Wachstumsprozesse) Auch der Einsatz von computergestützten Hilfs- und Lösungsmitteln im Zuge der Modellbildung wird betont. (Bemerke: Auch im Lehrplan wird ein vergleichbarer Modellbildungszyklus vorgestellt und beschrieben. Bei Bedarf kann dieser auf Seite 15-16 <ref> Ministerium für Bildung, Wissensachft, Weiterbildung und Kultur (2015), Lehrplan Mathematik. Grund- und Leistungsfach in der gymnasialen Oberstufe (Mainzer Studienstufe) </ref> nachgelesen werden) ===Zugang zur Bildung für Nachhaltigen Entwicklung=== Durch die Möglichkeit fachübergreifende Fragestellungen zu behandeln und Prozesse der Realität in den Blick zu nehmen, kann mathematische Modellbildung die Brücke zur Bildung für Nachhaltigen Entwicklung (BNE) schlagen. "Die BNE zielt grundsätzlich darauf ab, es jedem und jeder Einzelnen zu ermöglichen, die Folgen des eigenen Handelns auf die Welt sowie intra- und intergenerationell zu verstehen, verantwortungsvolle Entscheidungen zu treffen und aktiv zu werden." <ref> Ministerium für Bildung. Bildung für nachhaltige Entwicklung. Online abrufbar unter: https://bm.rlp.de/unsere-schwerpunkte/bildung-fuer-nachhaltige-entwicklung </ref> Mathematische Modellbildung kann unter praktischer Anwendung von gelernten Inhalten im Schulunterricht zu BNE beitragen, indem eben gezielt Probleme adressiert werden und von Schülerinnen und Schülern eigenständig untersucht werden. ==Ziel und Organisation des Seminars== ===Ziel und Aufgabe=== In Kleingruppen (3-4 Personen) sollen aussermathematische Fragestellungen mit einer eigenen mathematischen Modellbildung behandelt werden. Dazu sollen drei Modellbildungszyklen mit unterschiedlichem Grad an Vereinfachung und unterschiedlicher Mathematischen Grundlage erstellt werden: * Zyklus: Mathematik der Sekundarstufe 1 (Mittelstufe) * Zyklus: Mathematik der Sekundarstufe 2 (Oberstufe) * Zyklus: Universitätsmathematik In jedem Zyklus sollen computergestützte Untersuchungen und Betrachtungen Einzug erhalten. Somit bietet es sich an in insgesamt auch drei verschiedene Programme (Tabellenkalkulation, GeoGebra, RStudio, Maxima,...) zu integrieren - an manchen stellen lässt sich dies gar nicht vermeiden. ===Themenwahl=== Das Thema sollte einen weltlichen Bezug haben. Am besten eigenen sich Themen aus dem jeweiligen Zweitfach (s. Verbindung zu anderen Schulfächern im Lehrplan). Das Thema sollte nachhaltige Entwicklung im Rahmen der Sustainable Development Goals adressieren. Siehe dazu: https://www.bundesumweltministerium.de/themen/nachhaltigkeit/nachhaltigkeitsziele-sdgs Vorzugsweise: Räumliche Risikobetrachtungen in Desaster- und Katastrophenszenarien. Das Thema sollte sich nicht mit denen der vergangenen Semestern doppeln. Zur Orientierung und Inspiration finden sich hier die Projekte der vergangenen Semester: :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2026 Sommersemester|2026 Sommersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2025-26 Wintersemester|2025/26 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2024-25 Wintersemester|2024/25 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2023-24 Wintersemester|2023/24 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2022-23 Winteresemester|2022/23 Wintersemester]]''' ===Portfolio=== Während des Semesters soll in Gruppenarbeit die Modellbildung durchgeführt werden. Diese wird schriftlich in einem Portfolio festgehalten. Dies Portfolio wird, genau wie dieser Artikel auch, in einem Wikiversity Artikel dokumentiert. Dieser sollte folgendes enthalten: * Einleitung: Beschreibung und Einordnung des Themas & welche(s) SDG wird adressiert und warum? * Ziel der Modellierung: Welches Problem wird in der Modellierung / den einzelnen Zyklen konkret angegangen? * Zyklus 1-3 ** Mathematisches Modell (welche Mathematischen Objekte werden betrachtet, wie ergeben die sich,...) ** Ergebnisse (Ableiten von Resultaten aus dem Modell) ** Bewertung der Ergebnisse ** Grenzen und Limitationen ** Ausblick für nächsten Zyklus (welche Limitationen und Probleme aus dem Zyklus werden im folgenden adressiert?) In allen Punkten der Modellzyklen können Programme computergestützte Tools verwendet werden. Zur Erstellung von Wiki-Seiten ist folgende Seite hilfreich: https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:Textgestaltung ===Prüfung=== Die Prüfung gliedert sich in zwei Aspekte: * '''Vorstellung von ausgewählten Teilen aus dem eigenen Portfolio''' - diese werden von den Prüfer:innen aus dem Portfolio der Studierenden ausgewählt. * '''Diskussion und Fragen''' der Prüfer:innen zu dem Portfolio, z.B. zu Teilen des Portfolios, die in der Vorstellung nicht behandelt werden können. Ein Portfolio kann aus Zeitgründen nie vollständig in der Prüfung dargestellt werden. In der mündlichen Portfolio-Prüfung wird geprüft, ob *das eigene Modell verstanden ist, *das eigene Modell kritisch hinterfragt werden kann, *die Limitationen des Modells begründet und nachvollziehbar wiedergegeben werden können, *die Übergänge zwischen den Zyklen beschrieben und begründet werden können, *die technische Umsetzung reproduziert und erklärt werden kann, *... . Es ist also wichtig zu wissen, was wie an welcher Stelle und mit welchem Zweck in der Modellierung gemacht wurde! Das Portfolio (Wiki-Seite) wird somit konkret vorgestellt. Eine Präsentation des Portfolio kann automatisch mit Wiki2Reveal erstellt werden. === Unterstützungsangebot === * Das Unterstützungsangebot erfolgt in der Lehrveranstaltung zur "Mathematischen Modellbildung". * Eine individuelle Sonderbehandlung für einzelne Studierende, die das Angebot der Vorlesung nicht nutzen und kurz vor Prüfungsbeginn noch "schnell" ein Portfolio zusammenstellen wollen, ist aus zeitlichen Gründen kurz vor der Prüfung nicht möglich. * Portfolioprüfungen der Lehrveranstaltung beziehen sich immer auf das erstellte Portfolio im laufende Semester und bei Wiederholungsprüfungen auf das Semester, in dem Portfolio erstellt wurde. * Eine Prüfung kann nur zu dem eigenen erstellten Portfolio in der Lehrveranstaltung abgelegt werden, an dessen Erstellung man aktiv mitgearbeitet hat. ===Ablauf des Seminars=== Der Seminarablauf über das Semester gestaltet sich grob wie folgt: * 1. Woche (19.10.): Einführungsveranstaltung + Gruppenfindung * 2. Woche (26.10.): Themenfindung * 3. Woche (02.11.): Themenfindung + Zyklen festlegen * 4. Woche (09.11.): Zyklen festlegen * 5. Woche (16.11.): Kurzvorstellung der Themen und Zyklen (5 Minuten pro Gruppe) Ab Woche 6 (23.11.) bis Ende des Semesters wird gemeinsam an den Modellen und dem Portfolio gearbeitet. Empfehlenswert wäre es, die letzten 2-3 Wochen für Finalisierungsarbeiten zu nutzen und entsprechend frühzeitig zu planen! Ausschliesslich während der Seminarzeiten an dem Modell und Portfolio zu arbeiten wird nicht ausreichen! Die Kurzpräsentationen am 16.11. umfassen den aktuellen Stand der Überlegungen und sind noch unter keinen Umständen verbindlich. Stattdessen dient es einfach zur Grundlage von gemeinsamer Diskussion und zur Einbringung von weiteren Ideen. =Hilfreiche Links= ===Fachmathematische Aspekte === Wenn man das Modellierungsproblem in den Mittelpunkt stellt und die Fragestellung den Nachhaltigkeitszielen der UN zuordnet, kommen z.T. fachmathematische Aspekte erforderlich, die nicht in der jeweiligen Schulstufe bzw. in den Vorlesungen behandelt wurden. Dies Kapitel erhält Hinweise zu fachmathematischen Bereichen, die für die mathematische Modellbildung ggf. als Werkzeug verwendet werden können * '''[[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]''' dienen dazu, Datenpunkte im <math>\R^2</math> oder allgemein im <math>\R^n</math> zu [[w:Interpolation_(Mathematik)|interpolieren]]. * '''[https://en.wikiversity.org/wiki/3D_Modelling 3D Modellierung für Projektinhalte]''' und [[w:Projektive_Geometrie|projektive Geometrie]] zur Visualisierung * '''[[Gradientenabstiegsverfahren]]''': Wird verwendet, um sich in der mathematischen Modellbildung iterativ einem Minimum einer Kosten- oder Fehlerfunktion anzunähern. * [[w:Lineare_Optimierung|'''Lineare Optimierung''']] wird in Optimierungshaufgaben wie beispielsweise bei der Suche nach Minimum der Produktionskosten verwendet. Hierbei wird in allgemeinem nach einem Minimium/Maximum einer linearer Zielfunktion über einer Menge gesucht. [https://www.geogebra.org/m/kr727992 '''Ein Beispiel in Geogebra'''] *[[Räumliche Diffusion|'''Räumliche Diffusion''']] *[[Modelle_der_Populationsdynamik|'''Modelle der Populationsdynamik''']] - [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Modelle%20der%20Populationsdynamik&author=Kurs:R%C3%A4umliche%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes (Wiki2Reveal-Folien)] - [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Stochastik/Wahrscheinlichkeitsdichte|Wahrscheinlichkeitsdichte]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Wahrscheinlichkeitsdichte&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wahrscheinlichkeitsdichte&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ===Softwarenutzung === Im PC-Praktikum wurden grundlegende Kenntnisse im Umgang mit Software erlangt, die für die Berechnung von mathematischen Modellen vorwendig sind. Diese Kenntnisse müssen ggf. auf das spezielle Modellierungsthema angepasst und erweitert werden. * '''[[CSV2Chart]]''' Aus CSV-Dateien mathematische Graphen in Wikiversity erstellen. * '''[[Maxima CAS]]''' enthält die verwendeten Werkzeuge und Kommandos eines Computeralgebrasystems (CAS), die die einzelnen Projekte in dem Modellbildungszyklus verwendet haben. * '''[https://sagecell.sagemath.org/ SageCell]''' Online-Umgebung zur Ausführung und Demonstration von Befehlen in R, Octave, Maxima, ... (Auswahl des Befehlssatzes auf der https://sagecell.sagemath.org/ SageCell-Seite] unten rechts auf dem Eingabefeld) * '''[[Statistikprogramm R]]''' enthält die verwendeten Werkzeuge und Kommandos, die für Berechnungen und Veranschaulichungen in den Projekten verwendet haben. * '''[[Tabellenkalkulation]]''' werden in Portfolios in der Regel verwendet, um Daten in den Portfolios aufzubereiten. * '''[[Octave]]''' wird in der Regel verwendet, um numerische Berechnung in der Mathematischen Modellbildung durchzuführen. * '''[[Geogebra]]''' ist eine Dynamische Geometriesoftware, die zur vektoriellen Veranschaulichung von räumlichen Modellierungsproblemen oder auch zur parametrisierten Darstellung von Funktionen verwendet wird (Beispiel: [https://www.geogebra.org/m/e9b349k9 Parkplatzlösung in Geogebra von Shrey T (2017)]). * '''[[w:Screencast|Screencast]]''': Ein Screencast ist eine Bildschirmaufnahme mit Audiokommentaren, die zeigt, wie man z.B. Software bedient. Ein Screencast ist eine Hilfestellung für Lernende, die sich noch nicht so gut mit einer bestimmten Software auskennen. :* [https://obsproject.com/ '''Open Broadcast Software (OBS)''' - Linux, Windows, MacOSX ] - [[Konvexkombination|Beispielvideo in Wikiversity]] * [[v:en:3D_Modelling|'''3D-Modellbildung''' (englisch)]] * '''[http://niebert.github.io/imgmap/ Online-ImageMap-Editor]''' - Anklickbare Bereiche in Wikiversity-Bildern erstellen. * '''[https://openlayers.org/en/latest/examples/heatmap-earthquakes.html HeatMaps]:''' Erstellung von [https://niebert.github.io/openlayer_heatmap HeatMaps mit einem Online-Editor] (Download [https://github.com/niebert/openlayer_heatmap/archive/master.zip Heatmap-Editor und Beispieldaten in Ordner <tt>/HeatMap</tt> in ZIP-Datei]) * '''[[Wiki2Reveal]]:''' Portfolio-Präsentationen direkt im Wikiversity erstellen. ===Editierungshilfen=== * [https://latexeditor.lagrida.com/ Online-Formel-Editor für LaTeX-Formeln]<ref>Lagrida Web-Portal (2021) Online-Latex-Formel-Editor mit Vorschau - URL: https://latexeditor.lagrida.com/ (accessed 2021/11/21))</ref> - die erzeugten Formeln müssen in einen MATH-Tag mit <kbd><math> ...</math></kbd> eingeschlossen werden bei der Seiteneditierung. * [https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:TeX Mathematische Formeln in Wikiversity] * Textgestaltung in Wikis: https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:Textgestaltung ==Wiki2Reveal== * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung2627|Kurs:Mathematische Modellbildung2627]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung2627&author=&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung2627&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] == Verweise == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2026-27%20Wintersemester&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2026-27%20Wintersemester&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung Kurs:Mathematische Modellbildung]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2026-27%20Wintersemester&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] f8ul32m78i65at7ozr1zluwkdy43a4y 1116514 1116512 2026-10-17T08:05:19Z ~2026-55076-31 41992 /* Der Modellbildungszyklus */ 1116514 wikitext text/x-wiki ==Begriffsklärung== === Was ist mathematische Modellbildung? === Ganz grob gesagt besteht Mathematische Modellierung oder auch Mathematische Modellbildung darin, reale Fragestellungen mit mathematischen Mitteln zu bearbeiten und sie auf diesem Wege zumindest teilweise zu beantworten<ref> Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., & Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. </ref>. === Was ist ein Modell? === Ein Modell ist dabei gegeben durch innere Scheinbilder oder Repräsentatonen, die nicht zum Bereich der äußeren Gegenstände, sondern zu Vorstellungen von einem solchen realen Gegenstand gehören und ihnen daher auch in gewissen Grenzen etwas Willkürliches anhaftet (Sinngemäß nach Hertz, zitiert von Ortlieb<ref> Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., & Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. </ref>). ==== Eigenschaften von Modellen ==== Somit lassen sich vereinfacht und verkürzt folgende Eigenschaften ableiten (Stachowiak, zitiert nach Saam <ref> Saam, N. J. (2009). Modellbildung. In Handbuch Methoden der Organisationsforschung: Quantitative und Qualitative Methoden (pp. 517-532). Wiesbaden: VS Verlag für Sozialwissenschaften. </ref>): * '''Abbildungsmerkmal:''' Modelle repräsentieren die Realität, existieren jedoch nicht in der Realität * '''Verkürzungsmerkmal:''' Modelle beschreiben das Objekt nicht exakt, sondern stets vereinfacht * '''Pragmatisches Merkmal:''' Modelle verfolgen einen gewissen Zweck: Sie ersetzen eine nicht abbildbare Realität um Fragestellungen zu beantwortbar zu machen ==== Typisches Beispiele ==== * Betrachtungen in der Physik (Federpendel, Bewegungsgesetze,...) - Physik und Mathematische Modellbildung sind sehr eng miteinander verwoben * Populationsdynamiken und Ausbreitugnsschemata in der Biologie (vgl. Lotka-Volterra Modell) * Bewegungsanalysen und Optimierungen in den Sportwissenschaften * Untersuchungen von Transport- und Umweltprozessen in Biologie, Chemie, Physik, Technik,... * Bedarfs- und Verbrauchs- und Verhaltensanalysen in Geisteswissenschaften === Mathematische Modelle === Mathematische Modelle werden gemessen und bewertet anhand <ref> Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., & Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. </ref>: * '''Zulässigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte in sich widerspruchsfrei sein. * '''Richtigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte im Vergleich mit der Realität keine Widersprüche zu offensichtlich richtigen Tatsachen aufweisen. * '''Zweckmäßigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte genau den Detailgrad beinhalten, den es zum Erfüllen des Zwecks benötigt, nicht mehr und nicht weniger. ==== Gegenbeispiele für mathematische Modelle ==== Gegenbeispiele wären: * Ein nicht zulässiges Modell könnte bei einer Betrachtung einer Punktmasse im Raum dennoch Luftwiederstände berücksichtigen (Punkte haben kein Volumen) * Ein nicht richtiges Modell könnte bei der Modellierung von Transportprozessen von Schadstoffen die Massenerhaltung vernachlässigen. * Ein nicht zweckmäßiges Modell könnte bei dem Versuch den perfekten Abwurfwinkel beim Speerwurf die Krümmung der Erdoberfläche berücksichtigen. ==== Bemerkung - Kriterien ==== Die Kriterien, insbesondere Richtigkeit und Zweckmäßigkeit, sind nicht 100% operational. Einerseits fordert die Richtigkeit, keine bekannten Tatsachen auszulassen, andererseits dürfen hinsichtlich einer passenden Zweckmäßigkeit auch nur ausreichend viele Details integriert werden. ==Der Modellbildungszyklus== Wie kommt man nun von einer Realen Situation, die ein Problem aufwirft zu einem adäquaten mathematischen Modell? Dazu hat sich als möglichst allgemeine Vorgehensweise der Modellbildungszyklus ergeben: [[Datei:Modellbildungszyklus Mod6.png|miniatur|Modellbildungszyklus]] ===Verlauf des MBZ === Der Modellbildungszyklus beschreibt schematisch die iterative Erstellung einer mathematischen Modellbildung: * Ausgangspunkt ist eine reale Situation, die ein Problem aufwirft, die von dem mathematischen Modell adressiert werden soll * Dieses Problem wird inhaltlich erfasst, anschließend mathematisch Übersetzt (Betrachten von Gleichungen, Funktionen, Geometrischen Objekten,...) ====Modellbildungsschleife * Durch das Betrachten von mathematischen Objekten können über passende Operationen deduktiv Resultate geschlussfolgert werden * Diese Resultate werden mit der Realsituation abgeglichen * Aus dem Vergleich werden mögliche Optimierungen und Limitationen des Modells abgeleitet * Durch die Limitationen werden kann das Modell weiterentwickelt werden Diese Schritte können/müssen dabei mehrfach durchlaufen werden. ====Integration von Software==== Die Integration von computergestützter Software ist in der mathematischen Modellbildung definitionsgemäss nicht zwigend erforderlich, für die meisten anwendungsbezogenen Modellierungen jedoch unumgänglich. ==Konkretes Beispiel einer Mathematischen Modellbildung== [[Kurs:Mathematische_Modellbildung/Themen/Radioaktivit%C3%A4t_und_Risikoliteralit%C3%A4t]] [[Datei:Screenshot 2D Ansicht Resultate.png|miniatur|alternativtext=Ansicht der möglichen Auftreffpunkte des radioaktiven Niederschlags|Ansicht der möglichen Auftreffpunkte des radioaktiven Niederschlags]] [[File:Zeitliche Abhängigkeit der Risikofunktion.gif|thumb|Das GIF zeigt die Zeitliche Abhängigkeit der Risikofunktion]] === Ziel der Modellierung === Ziel in dieser Modellierung war es, ein Modell zur räumlichen und zeitlichen Ausbreitung einer radioaktiv belasteten Wolke, sowie dessen Rain-Out, infolge einer Reaktorkatastrophe am (mittlerweile abgeschalteten) Kernkraftwerk in Philippsburg zu beschreiben. Unter zu Hilfenahme von Messwerten von dem Reaktorunglück in Tschernobyl und den Halbwertszeiten des radioaktiven Materials wurde der zeitliche Zerfall erfasst. Der Transport von radioaktiven Material wurde durch eine Kugel im <math> \mathbb{R}^3 </math> modelliert. Diese bewegt sich gemäss einer variablen Windrichtung (gegeben durch Winkel <math> \alpha </math>) und regnet sich nach einer gewissen Durchschnittsdauer ab. === Endresultat === Es wurde in drei Modellbildungszyklen eine Funktion zur Beschreibung der radioaktiven Belastung (repräsentativ für das Risiko) abgeleitet: <math>u(x,y,t,\alpha)=\frac{1480\cdot e^{-\frac{ln(2)}{30a} \cdot t}}{1+\frac{7}{10.000}\cdot (x^2+y^2)}+\frac{40\cdot e^{-\frac{ln(2)}{30a} \cdot t}}{1+\frac{1}{7.500}\cdot ((x-1080cos(\alpha))^2+(y-1080sin(\alpha))^2)}</math> Letztlich erhält man also eine Funktion die in ihrem Ausgabewert <math>z=u(x,y,t,\alpha)</math> abhängig von 4 Eingabewerten <math>x, y, t, \alpha </math> ist. ==Modellbildung in der Schule== ===Einbindung in den Lehrplan=== Die mathematische Modellbildung ist stark in den Mathematik-Lehrplan für Schulen in Rheinland-Pfalz integriert (hier wird sich an dem Lehrplan für Sekundarstufe II orientiert <ref> Ministerium für Bildung, Wissensachft, Weiterbildung und Kultur (2015), Lehrplan Mathematik. Grund- und Leistungsfach in der gymnasialen Oberstufe (Mainzer Studienstufe) </ref>). Im Bezug zu Problemlösen im Mathematikunterricht und Mathematik im fachübergreifenden Kontext, sollen Anwendungsbeispiele Einzug halten, die Schülerinnen und Schülern aus anderen Fächern bekannt sind. In diesem Zusammenhang wird mathematische Modellbildung als Methode zur Lösung von solchen Anwendungsproblemen genannt. ===Konkreter Themenbezug=== Zu folgenden mathematischen Themengebieten wird explizit Mathematischen Modellbildung zur unterrichtlichen Umsetzung erwähnt: *Exponentialfunktionen (Wachstums- und Zerfallsprozesse *Matrizenrechnung (Input-Output-Analysen, Zustandsübergangsprozesse, Populationsentwicklung,...) *Differential- und Integralrechnung (lineare oder logistische Wachstumsprozesse) Auch der Einsatz von computergestützten Hilfs- und Lösungsmitteln im Zuge der Modellbildung wird betont. (Bemerke: Auch im Lehrplan wird ein vergleichbarer Modellbildungszyklus vorgestellt und beschrieben. Bei Bedarf kann dieser auf Seite 15-16 <ref> Ministerium für Bildung, Wissensachft, Weiterbildung und Kultur (2015), Lehrplan Mathematik. Grund- und Leistungsfach in der gymnasialen Oberstufe (Mainzer Studienstufe) </ref> nachgelesen werden) ===Zugang zur Bildung für Nachhaltigen Entwicklung=== Durch die Möglichkeit fachübergreifende Fragestellungen zu behandeln und Prozesse der Realität in den Blick zu nehmen, kann mathematische Modellbildung die Brücke zur Bildung für Nachhaltigen Entwicklung (BNE) schlagen. "Die BNE zielt grundsätzlich darauf ab, es jedem und jeder Einzelnen zu ermöglichen, die Folgen des eigenen Handelns auf die Welt sowie intra- und intergenerationell zu verstehen, verantwortungsvolle Entscheidungen zu treffen und aktiv zu werden." <ref> Ministerium für Bildung. Bildung für nachhaltige Entwicklung. Online abrufbar unter: https://bm.rlp.de/unsere-schwerpunkte/bildung-fuer-nachhaltige-entwicklung </ref> Mathematische Modellbildung kann unter praktischer Anwendung von gelernten Inhalten im Schulunterricht zu BNE beitragen, indem eben gezielt Probleme adressiert werden und von Schülerinnen und Schülern eigenständig untersucht werden. ==Ziel und Organisation des Seminars== ===Ziel und Aufgabe=== In Kleingruppen (3-4 Personen) sollen aussermathematische Fragestellungen mit einer eigenen mathematischen Modellbildung behandelt werden. Dazu sollen drei Modellbildungszyklen mit unterschiedlichem Grad an Vereinfachung und unterschiedlicher Mathematischen Grundlage erstellt werden: * Zyklus: Mathematik der Sekundarstufe 1 (Mittelstufe) * Zyklus: Mathematik der Sekundarstufe 2 (Oberstufe) * Zyklus: Universitätsmathematik In jedem Zyklus sollen computergestützte Untersuchungen und Betrachtungen Einzug erhalten. Somit bietet es sich an in insgesamt auch drei verschiedene Programme (Tabellenkalkulation, GeoGebra, RStudio, Maxima,...) zu integrieren - an manchen stellen lässt sich dies gar nicht vermeiden. ===Themenwahl=== Das Thema sollte einen weltlichen Bezug haben. Am besten eigenen sich Themen aus dem jeweiligen Zweitfach (s. Verbindung zu anderen Schulfächern im Lehrplan). Das Thema sollte nachhaltige Entwicklung im Rahmen der Sustainable Development Goals adressieren. Siehe dazu: https://www.bundesumweltministerium.de/themen/nachhaltigkeit/nachhaltigkeitsziele-sdgs Vorzugsweise: Räumliche Risikobetrachtungen in Desaster- und Katastrophenszenarien. Das Thema sollte sich nicht mit denen der vergangenen Semestern doppeln. Zur Orientierung und Inspiration finden sich hier die Projekte der vergangenen Semester: :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2026 Sommersemester|2026 Sommersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2025-26 Wintersemester|2025/26 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2024-25 Wintersemester|2024/25 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2023-24 Wintersemester|2023/24 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2022-23 Winteresemester|2022/23 Wintersemester]]''' ===Portfolio=== Während des Semesters soll in Gruppenarbeit die Modellbildung durchgeführt werden. Diese wird schriftlich in einem Portfolio festgehalten. Dies Portfolio wird, genau wie dieser Artikel auch, in einem Wikiversity Artikel dokumentiert. Dieser sollte folgendes enthalten: * Einleitung: Beschreibung und Einordnung des Themas & welche(s) SDG wird adressiert und warum? * Ziel der Modellierung: Welches Problem wird in der Modellierung / den einzelnen Zyklen konkret angegangen? * Zyklus 1-3 ** Mathematisches Modell (welche Mathematischen Objekte werden betrachtet, wie ergeben die sich,...) ** Ergebnisse (Ableiten von Resultaten aus dem Modell) ** Bewertung der Ergebnisse ** Grenzen und Limitationen ** Ausblick für nächsten Zyklus (welche Limitationen und Probleme aus dem Zyklus werden im folgenden adressiert?) In allen Punkten der Modellzyklen können Programme computergestützte Tools verwendet werden. Zur Erstellung von Wiki-Seiten ist folgende Seite hilfreich: https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:Textgestaltung ===Prüfung=== Die Prüfung gliedert sich in zwei Aspekte: * '''Vorstellung von ausgewählten Teilen aus dem eigenen Portfolio''' - diese werden von den Prüfer:innen aus dem Portfolio der Studierenden ausgewählt. * '''Diskussion und Fragen''' der Prüfer:innen zu dem Portfolio, z.B. zu Teilen des Portfolios, die in der Vorstellung nicht behandelt werden können. Ein Portfolio kann aus Zeitgründen nie vollständig in der Prüfung dargestellt werden. In der mündlichen Portfolio-Prüfung wird geprüft, ob *das eigene Modell verstanden ist, *das eigene Modell kritisch hinterfragt werden kann, *die Limitationen des Modells begründet und nachvollziehbar wiedergegeben werden können, *die Übergänge zwischen den Zyklen beschrieben und begründet werden können, *die technische Umsetzung reproduziert und erklärt werden kann, *... . Es ist also wichtig zu wissen, was wie an welcher Stelle und mit welchem Zweck in der Modellierung gemacht wurde! Das Portfolio (Wiki-Seite) wird somit konkret vorgestellt. Eine Präsentation des Portfolio kann automatisch mit Wiki2Reveal erstellt werden. === Unterstützungsangebot === * Das Unterstützungsangebot erfolgt in der Lehrveranstaltung zur "Mathematischen Modellbildung". * Eine individuelle Sonderbehandlung für einzelne Studierende, die das Angebot der Vorlesung nicht nutzen und kurz vor Prüfungsbeginn noch "schnell" ein Portfolio zusammenstellen wollen, ist aus zeitlichen Gründen kurz vor der Prüfung nicht möglich. * Portfolioprüfungen der Lehrveranstaltung beziehen sich immer auf das erstellte Portfolio im laufende Semester und bei Wiederholungsprüfungen auf das Semester, in dem Portfolio erstellt wurde. * Eine Prüfung kann nur zu dem eigenen erstellten Portfolio in der Lehrveranstaltung abgelegt werden, an dessen Erstellung man aktiv mitgearbeitet hat. ===Ablauf des Seminars=== Der Seminarablauf über das Semester gestaltet sich grob wie folgt: * 1. Woche (19.10.): Einführungsveranstaltung + Gruppenfindung * 2. Woche (26.10.): Themenfindung * 3. Woche (02.11.): Themenfindung + Zyklen festlegen * 4. Woche (09.11.): Zyklen festlegen * 5. Woche (16.11.): Kurzvorstellung der Themen und Zyklen (5 Minuten pro Gruppe) Ab Woche 6 (23.11.) bis Ende des Semesters wird gemeinsam an den Modellen und dem Portfolio gearbeitet. Empfehlenswert wäre es, die letzten 2-3 Wochen für Finalisierungsarbeiten zu nutzen und entsprechend frühzeitig zu planen! Ausschliesslich während der Seminarzeiten an dem Modell und Portfolio zu arbeiten wird nicht ausreichen! Die Kurzpräsentationen am 16.11. umfassen den aktuellen Stand der Überlegungen und sind noch unter keinen Umständen verbindlich. Stattdessen dient es einfach zur Grundlage von gemeinsamer Diskussion und zur Einbringung von weiteren Ideen. =Hilfreiche Links= ===Fachmathematische Aspekte === Wenn man das Modellierungsproblem in den Mittelpunkt stellt und die Fragestellung den Nachhaltigkeitszielen der UN zuordnet, kommen z.T. fachmathematische Aspekte erforderlich, die nicht in der jeweiligen Schulstufe bzw. in den Vorlesungen behandelt wurden. Dies Kapitel erhält Hinweise zu fachmathematischen Bereichen, die für die mathematische Modellbildung ggf. als Werkzeug verwendet werden können * '''[[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]''' dienen dazu, Datenpunkte im <math>\R^2</math> oder allgemein im <math>\R^n</math> zu [[w:Interpolation_(Mathematik)|interpolieren]]. * '''[https://en.wikiversity.org/wiki/3D_Modelling 3D Modellierung für Projektinhalte]''' und [[w:Projektive_Geometrie|projektive Geometrie]] zur Visualisierung * '''[[Gradientenabstiegsverfahren]]''': Wird verwendet, um sich in der mathematischen Modellbildung iterativ einem Minimum einer Kosten- oder Fehlerfunktion anzunähern. * [[w:Lineare_Optimierung|'''Lineare Optimierung''']] wird in Optimierungshaufgaben wie beispielsweise bei der Suche nach Minimum der Produktionskosten verwendet. Hierbei wird in allgemeinem nach einem Minimium/Maximum einer linearer Zielfunktion über einer Menge gesucht. [https://www.geogebra.org/m/kr727992 '''Ein Beispiel in Geogebra'''] *[[Räumliche Diffusion|'''Räumliche Diffusion''']] *[[Modelle_der_Populationsdynamik|'''Modelle der Populationsdynamik''']] - [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Modelle%20der%20Populationsdynamik&author=Kurs:R%C3%A4umliche%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes (Wiki2Reveal-Folien)] - [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Stochastik/Wahrscheinlichkeitsdichte|Wahrscheinlichkeitsdichte]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Wahrscheinlichkeitsdichte&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wahrscheinlichkeitsdichte&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ===Softwarenutzung === Im PC-Praktikum wurden grundlegende Kenntnisse im Umgang mit Software erlangt, die für die Berechnung von mathematischen Modellen vorwendig sind. Diese Kenntnisse müssen ggf. auf das spezielle Modellierungsthema angepasst und erweitert werden. * '''[[CSV2Chart]]''' Aus CSV-Dateien mathematische Graphen in Wikiversity erstellen. * '''[[Maxima CAS]]''' enthält die verwendeten Werkzeuge und Kommandos eines Computeralgebrasystems (CAS), die die einzelnen Projekte in dem Modellbildungszyklus verwendet haben. * '''[https://sagecell.sagemath.org/ SageCell]''' Online-Umgebung zur Ausführung und Demonstration von Befehlen in R, Octave, Maxima, ... (Auswahl des Befehlssatzes auf der https://sagecell.sagemath.org/ SageCell-Seite] unten rechts auf dem Eingabefeld) * '''[[Statistikprogramm R]]''' enthält die verwendeten Werkzeuge und Kommandos, die für Berechnungen und Veranschaulichungen in den Projekten verwendet haben. * '''[[Tabellenkalkulation]]''' werden in Portfolios in der Regel verwendet, um Daten in den Portfolios aufzubereiten. * '''[[Octave]]''' wird in der Regel verwendet, um numerische Berechnung in der Mathematischen Modellbildung durchzuführen. * '''[[Geogebra]]''' ist eine Dynamische Geometriesoftware, die zur vektoriellen Veranschaulichung von räumlichen Modellierungsproblemen oder auch zur parametrisierten Darstellung von Funktionen verwendet wird (Beispiel: [https://www.geogebra.org/m/e9b349k9 Parkplatzlösung in Geogebra von Shrey T (2017)]). * '''[[w:Screencast|Screencast]]''': Ein Screencast ist eine Bildschirmaufnahme mit Audiokommentaren, die zeigt, wie man z.B. Software bedient. Ein Screencast ist eine Hilfestellung für Lernende, die sich noch nicht so gut mit einer bestimmten Software auskennen. :* [https://obsproject.com/ '''Open Broadcast Software (OBS)''' - Linux, Windows, MacOSX ] - [[Konvexkombination|Beispielvideo in Wikiversity]] * [[v:en:3D_Modelling|'''3D-Modellbildung''' (englisch)]] * '''[http://niebert.github.io/imgmap/ Online-ImageMap-Editor]''' - Anklickbare Bereiche in Wikiversity-Bildern erstellen. * '''[https://openlayers.org/en/latest/examples/heatmap-earthquakes.html HeatMaps]:''' Erstellung von [https://niebert.github.io/openlayer_heatmap HeatMaps mit einem Online-Editor] (Download [https://github.com/niebert/openlayer_heatmap/archive/master.zip Heatmap-Editor und Beispieldaten in Ordner <tt>/HeatMap</tt> in ZIP-Datei]) * '''[[Wiki2Reveal]]:''' Portfolio-Präsentationen direkt im Wikiversity erstellen. ===Editierungshilfen=== * [https://latexeditor.lagrida.com/ Online-Formel-Editor für LaTeX-Formeln]<ref>Lagrida Web-Portal (2021) Online-Latex-Formel-Editor mit Vorschau - URL: https://latexeditor.lagrida.com/ (accessed 2021/11/21))</ref> - die erzeugten Formeln müssen in einen MATH-Tag mit <kbd><math> ...</math></kbd> eingeschlossen werden bei der Seiteneditierung. * [https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:TeX Mathematische Formeln in Wikiversity] * Textgestaltung in Wikis: https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:Textgestaltung ==Wiki2Reveal== * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung2627|Kurs:Mathematische Modellbildung2627]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung2627&author=&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung2627&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] == Verweise == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2026-27%20Wintersemester&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2026-27%20Wintersemester&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung Kurs:Mathematische Modellbildung]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2026-27%20Wintersemester&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] hzoszrgt0ywd9n05pp6x5trz873djwn 1116515 1116514 2026-10-17T08:05:30Z ~2026-55076-31 41992 /* Verlauf des MBZ */ 1116515 wikitext text/x-wiki ==Begriffsklärung== === Was ist mathematische Modellbildung? === Ganz grob gesagt besteht Mathematische Modellierung oder auch Mathematische Modellbildung darin, reale Fragestellungen mit mathematischen Mitteln zu bearbeiten und sie auf diesem Wege zumindest teilweise zu beantworten<ref> Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., & Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. </ref>. === Was ist ein Modell? === Ein Modell ist dabei gegeben durch innere Scheinbilder oder Repräsentatonen, die nicht zum Bereich der äußeren Gegenstände, sondern zu Vorstellungen von einem solchen realen Gegenstand gehören und ihnen daher auch in gewissen Grenzen etwas Willkürliches anhaftet (Sinngemäß nach Hertz, zitiert von Ortlieb<ref> Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., & Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. </ref>). ==== Eigenschaften von Modellen ==== Somit lassen sich vereinfacht und verkürzt folgende Eigenschaften ableiten (Stachowiak, zitiert nach Saam <ref> Saam, N. J. (2009). Modellbildung. In Handbuch Methoden der Organisationsforschung: Quantitative und Qualitative Methoden (pp. 517-532). Wiesbaden: VS Verlag für Sozialwissenschaften. </ref>): * '''Abbildungsmerkmal:''' Modelle repräsentieren die Realität, existieren jedoch nicht in der Realität * '''Verkürzungsmerkmal:''' Modelle beschreiben das Objekt nicht exakt, sondern stets vereinfacht * '''Pragmatisches Merkmal:''' Modelle verfolgen einen gewissen Zweck: Sie ersetzen eine nicht abbildbare Realität um Fragestellungen zu beantwortbar zu machen ==== Typisches Beispiele ==== * Betrachtungen in der Physik (Federpendel, Bewegungsgesetze,...) - Physik und Mathematische Modellbildung sind sehr eng miteinander verwoben * Populationsdynamiken und Ausbreitugnsschemata in der Biologie (vgl. Lotka-Volterra Modell) * Bewegungsanalysen und Optimierungen in den Sportwissenschaften * Untersuchungen von Transport- und Umweltprozessen in Biologie, Chemie, Physik, Technik,... * Bedarfs- und Verbrauchs- und Verhaltensanalysen in Geisteswissenschaften === Mathematische Modelle === Mathematische Modelle werden gemessen und bewertet anhand <ref> Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., & Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. </ref>: * '''Zulässigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte in sich widerspruchsfrei sein. * '''Richtigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte im Vergleich mit der Realität keine Widersprüche zu offensichtlich richtigen Tatsachen aufweisen. * '''Zweckmäßigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte genau den Detailgrad beinhalten, den es zum Erfüllen des Zwecks benötigt, nicht mehr und nicht weniger. ==== Gegenbeispiele für mathematische Modelle ==== Gegenbeispiele wären: * Ein nicht zulässiges Modell könnte bei einer Betrachtung einer Punktmasse im Raum dennoch Luftwiederstände berücksichtigen (Punkte haben kein Volumen) * Ein nicht richtiges Modell könnte bei der Modellierung von Transportprozessen von Schadstoffen die Massenerhaltung vernachlässigen. * Ein nicht zweckmäßiges Modell könnte bei dem Versuch den perfekten Abwurfwinkel beim Speerwurf die Krümmung der Erdoberfläche berücksichtigen. ==== Bemerkung - Kriterien ==== Die Kriterien, insbesondere Richtigkeit und Zweckmäßigkeit, sind nicht 100% operational. Einerseits fordert die Richtigkeit, keine bekannten Tatsachen auszulassen, andererseits dürfen hinsichtlich einer passenden Zweckmäßigkeit auch nur ausreichend viele Details integriert werden. ==Der Modellbildungszyklus== Wie kommt man nun von einer Realen Situation, die ein Problem aufwirft zu einem adäquaten mathematischen Modell? Dazu hat sich als möglichst allgemeine Vorgehensweise der Modellbildungszyklus ergeben: [[Datei:Modellbildungszyklus Mod6.png|miniatur|Modellbildungszyklus]] ===Verlauf des MBZ === Der Modellbildungszyklus beschreibt schematisch die iterative Erstellung einer mathematischen Modellbildung: * Ausgangspunkt ist eine reale Situation, die ein Problem aufwirft, die von dem mathematischen Modell adressiert werden soll * Dieses Problem wird inhaltlich erfasst, anschließend mathematisch Übersetzt (Betrachten von Gleichungen, Funktionen, Geometrischen Objekten,...) ====Modellbildungsschleife==== * Durch das Betrachten von mathematischen Objekten können über passende Operationen deduktiv Resultate geschlussfolgert werden * Diese Resultate werden mit der Realsituation abgeglichen * Aus dem Vergleich werden mögliche Optimierungen und Limitationen des Modells abgeleitet * Durch die Limitationen werden kann das Modell weiterentwickelt werden Diese Schritte können/müssen dabei mehrfach durchlaufen werden. ====Integration von Software==== Die Integration von computergestützter Software ist in der mathematischen Modellbildung definitionsgemäss nicht zwigend erforderlich, für die meisten anwendungsbezogenen Modellierungen jedoch unumgänglich. ==Konkretes Beispiel einer Mathematischen Modellbildung== [[Kurs:Mathematische_Modellbildung/Themen/Radioaktivit%C3%A4t_und_Risikoliteralit%C3%A4t]] [[Datei:Screenshot 2D Ansicht Resultate.png|miniatur|alternativtext=Ansicht der möglichen Auftreffpunkte des radioaktiven Niederschlags|Ansicht der möglichen Auftreffpunkte des radioaktiven Niederschlags]] [[File:Zeitliche Abhängigkeit der Risikofunktion.gif|thumb|Das GIF zeigt die Zeitliche Abhängigkeit der Risikofunktion]] === Ziel der Modellierung === Ziel in dieser Modellierung war es, ein Modell zur räumlichen und zeitlichen Ausbreitung einer radioaktiv belasteten Wolke, sowie dessen Rain-Out, infolge einer Reaktorkatastrophe am (mittlerweile abgeschalteten) Kernkraftwerk in Philippsburg zu beschreiben. Unter zu Hilfenahme von Messwerten von dem Reaktorunglück in Tschernobyl und den Halbwertszeiten des radioaktiven Materials wurde der zeitliche Zerfall erfasst. Der Transport von radioaktiven Material wurde durch eine Kugel im <math> \mathbb{R}^3 </math> modelliert. Diese bewegt sich gemäss einer variablen Windrichtung (gegeben durch Winkel <math> \alpha </math>) und regnet sich nach einer gewissen Durchschnittsdauer ab. === Endresultat === Es wurde in drei Modellbildungszyklen eine Funktion zur Beschreibung der radioaktiven Belastung (repräsentativ für das Risiko) abgeleitet: <math>u(x,y,t,\alpha)=\frac{1480\cdot e^{-\frac{ln(2)}{30a} \cdot t}}{1+\frac{7}{10.000}\cdot (x^2+y^2)}+\frac{40\cdot e^{-\frac{ln(2)}{30a} \cdot t}}{1+\frac{1}{7.500}\cdot ((x-1080cos(\alpha))^2+(y-1080sin(\alpha))^2)}</math> Letztlich erhält man also eine Funktion die in ihrem Ausgabewert <math>z=u(x,y,t,\alpha)</math> abhängig von 4 Eingabewerten <math>x, y, t, \alpha </math> ist. ==Modellbildung in der Schule== ===Einbindung in den Lehrplan=== Die mathematische Modellbildung ist stark in den Mathematik-Lehrplan für Schulen in Rheinland-Pfalz integriert (hier wird sich an dem Lehrplan für Sekundarstufe II orientiert <ref> Ministerium für Bildung, Wissensachft, Weiterbildung und Kultur (2015), Lehrplan Mathematik. Grund- und Leistungsfach in der gymnasialen Oberstufe (Mainzer Studienstufe) </ref>). Im Bezug zu Problemlösen im Mathematikunterricht und Mathematik im fachübergreifenden Kontext, sollen Anwendungsbeispiele Einzug halten, die Schülerinnen und Schülern aus anderen Fächern bekannt sind. In diesem Zusammenhang wird mathematische Modellbildung als Methode zur Lösung von solchen Anwendungsproblemen genannt. ===Konkreter Themenbezug=== Zu folgenden mathematischen Themengebieten wird explizit Mathematischen Modellbildung zur unterrichtlichen Umsetzung erwähnt: *Exponentialfunktionen (Wachstums- und Zerfallsprozesse *Matrizenrechnung (Input-Output-Analysen, Zustandsübergangsprozesse, Populationsentwicklung,...) *Differential- und Integralrechnung (lineare oder logistische Wachstumsprozesse) Auch der Einsatz von computergestützten Hilfs- und Lösungsmitteln im Zuge der Modellbildung wird betont. (Bemerke: Auch im Lehrplan wird ein vergleichbarer Modellbildungszyklus vorgestellt und beschrieben. Bei Bedarf kann dieser auf Seite 15-16 <ref> Ministerium für Bildung, Wissensachft, Weiterbildung und Kultur (2015), Lehrplan Mathematik. Grund- und Leistungsfach in der gymnasialen Oberstufe (Mainzer Studienstufe) </ref> nachgelesen werden) ===Zugang zur Bildung für Nachhaltigen Entwicklung=== Durch die Möglichkeit fachübergreifende Fragestellungen zu behandeln und Prozesse der Realität in den Blick zu nehmen, kann mathematische Modellbildung die Brücke zur Bildung für Nachhaltigen Entwicklung (BNE) schlagen. "Die BNE zielt grundsätzlich darauf ab, es jedem und jeder Einzelnen zu ermöglichen, die Folgen des eigenen Handelns auf die Welt sowie intra- und intergenerationell zu verstehen, verantwortungsvolle Entscheidungen zu treffen und aktiv zu werden." <ref> Ministerium für Bildung. Bildung für nachhaltige Entwicklung. Online abrufbar unter: https://bm.rlp.de/unsere-schwerpunkte/bildung-fuer-nachhaltige-entwicklung </ref> Mathematische Modellbildung kann unter praktischer Anwendung von gelernten Inhalten im Schulunterricht zu BNE beitragen, indem eben gezielt Probleme adressiert werden und von Schülerinnen und Schülern eigenständig untersucht werden. ==Ziel und Organisation des Seminars== ===Ziel und Aufgabe=== In Kleingruppen (3-4 Personen) sollen aussermathematische Fragestellungen mit einer eigenen mathematischen Modellbildung behandelt werden. Dazu sollen drei Modellbildungszyklen mit unterschiedlichem Grad an Vereinfachung und unterschiedlicher Mathematischen Grundlage erstellt werden: * Zyklus: Mathematik der Sekundarstufe 1 (Mittelstufe) * Zyklus: Mathematik der Sekundarstufe 2 (Oberstufe) * Zyklus: Universitätsmathematik In jedem Zyklus sollen computergestützte Untersuchungen und Betrachtungen Einzug erhalten. Somit bietet es sich an in insgesamt auch drei verschiedene Programme (Tabellenkalkulation, GeoGebra, RStudio, Maxima,...) zu integrieren - an manchen stellen lässt sich dies gar nicht vermeiden. ===Themenwahl=== Das Thema sollte einen weltlichen Bezug haben. Am besten eigenen sich Themen aus dem jeweiligen Zweitfach (s. Verbindung zu anderen Schulfächern im Lehrplan). Das Thema sollte nachhaltige Entwicklung im Rahmen der Sustainable Development Goals adressieren. Siehe dazu: https://www.bundesumweltministerium.de/themen/nachhaltigkeit/nachhaltigkeitsziele-sdgs Vorzugsweise: Räumliche Risikobetrachtungen in Desaster- und Katastrophenszenarien. Das Thema sollte sich nicht mit denen der vergangenen Semestern doppeln. Zur Orientierung und Inspiration finden sich hier die Projekte der vergangenen Semester: :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2026 Sommersemester|2026 Sommersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2025-26 Wintersemester|2025/26 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2024-25 Wintersemester|2024/25 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2023-24 Wintersemester|2023/24 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2022-23 Winteresemester|2022/23 Wintersemester]]''' ===Portfolio=== Während des Semesters soll in Gruppenarbeit die Modellbildung durchgeführt werden. Diese wird schriftlich in einem Portfolio festgehalten. Dies Portfolio wird, genau wie dieser Artikel auch, in einem Wikiversity Artikel dokumentiert. Dieser sollte folgendes enthalten: * Einleitung: Beschreibung und Einordnung des Themas & welche(s) SDG wird adressiert und warum? * Ziel der Modellierung: Welches Problem wird in der Modellierung / den einzelnen Zyklen konkret angegangen? * Zyklus 1-3 ** Mathematisches Modell (welche Mathematischen Objekte werden betrachtet, wie ergeben die sich,...) ** Ergebnisse (Ableiten von Resultaten aus dem Modell) ** Bewertung der Ergebnisse ** Grenzen und Limitationen ** Ausblick für nächsten Zyklus (welche Limitationen und Probleme aus dem Zyklus werden im folgenden adressiert?) In allen Punkten der Modellzyklen können Programme computergestützte Tools verwendet werden. Zur Erstellung von Wiki-Seiten ist folgende Seite hilfreich: https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:Textgestaltung ===Prüfung=== Die Prüfung gliedert sich in zwei Aspekte: * '''Vorstellung von ausgewählten Teilen aus dem eigenen Portfolio''' - diese werden von den Prüfer:innen aus dem Portfolio der Studierenden ausgewählt. * '''Diskussion und Fragen''' der Prüfer:innen zu dem Portfolio, z.B. zu Teilen des Portfolios, die in der Vorstellung nicht behandelt werden können. Ein Portfolio kann aus Zeitgründen nie vollständig in der Prüfung dargestellt werden. In der mündlichen Portfolio-Prüfung wird geprüft, ob *das eigene Modell verstanden ist, *das eigene Modell kritisch hinterfragt werden kann, *die Limitationen des Modells begründet und nachvollziehbar wiedergegeben werden können, *die Übergänge zwischen den Zyklen beschrieben und begründet werden können, *die technische Umsetzung reproduziert und erklärt werden kann, *... . Es ist also wichtig zu wissen, was wie an welcher Stelle und mit welchem Zweck in der Modellierung gemacht wurde! Das Portfolio (Wiki-Seite) wird somit konkret vorgestellt. Eine Präsentation des Portfolio kann automatisch mit Wiki2Reveal erstellt werden. === Unterstützungsangebot === * Das Unterstützungsangebot erfolgt in der Lehrveranstaltung zur "Mathematischen Modellbildung". * Eine individuelle Sonderbehandlung für einzelne Studierende, die das Angebot der Vorlesung nicht nutzen und kurz vor Prüfungsbeginn noch "schnell" ein Portfolio zusammenstellen wollen, ist aus zeitlichen Gründen kurz vor der Prüfung nicht möglich. * Portfolioprüfungen der Lehrveranstaltung beziehen sich immer auf das erstellte Portfolio im laufende Semester und bei Wiederholungsprüfungen auf das Semester, in dem Portfolio erstellt wurde. * Eine Prüfung kann nur zu dem eigenen erstellten Portfolio in der Lehrveranstaltung abgelegt werden, an dessen Erstellung man aktiv mitgearbeitet hat. ===Ablauf des Seminars=== Der Seminarablauf über das Semester gestaltet sich grob wie folgt: * 1. Woche (19.10.): Einführungsveranstaltung + Gruppenfindung * 2. Woche (26.10.): Themenfindung * 3. Woche (02.11.): Themenfindung + Zyklen festlegen * 4. Woche (09.11.): Zyklen festlegen * 5. Woche (16.11.): Kurzvorstellung der Themen und Zyklen (5 Minuten pro Gruppe) Ab Woche 6 (23.11.) bis Ende des Semesters wird gemeinsam an den Modellen und dem Portfolio gearbeitet. Empfehlenswert wäre es, die letzten 2-3 Wochen für Finalisierungsarbeiten zu nutzen und entsprechend frühzeitig zu planen! Ausschliesslich während der Seminarzeiten an dem Modell und Portfolio zu arbeiten wird nicht ausreichen! Die Kurzpräsentationen am 16.11. umfassen den aktuellen Stand der Überlegungen und sind noch unter keinen Umständen verbindlich. Stattdessen dient es einfach zur Grundlage von gemeinsamer Diskussion und zur Einbringung von weiteren Ideen. =Hilfreiche Links= ===Fachmathematische Aspekte === Wenn man das Modellierungsproblem in den Mittelpunkt stellt und die Fragestellung den Nachhaltigkeitszielen der UN zuordnet, kommen z.T. fachmathematische Aspekte erforderlich, die nicht in der jeweiligen Schulstufe bzw. in den Vorlesungen behandelt wurden. Dies Kapitel erhält Hinweise zu fachmathematischen Bereichen, die für die mathematische Modellbildung ggf. als Werkzeug verwendet werden können * '''[[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]''' dienen dazu, Datenpunkte im <math>\R^2</math> oder allgemein im <math>\R^n</math> zu [[w:Interpolation_(Mathematik)|interpolieren]]. * '''[https://en.wikiversity.org/wiki/3D_Modelling 3D Modellierung für Projektinhalte]''' und [[w:Projektive_Geometrie|projektive Geometrie]] zur Visualisierung * '''[[Gradientenabstiegsverfahren]]''': Wird verwendet, um sich in der mathematischen Modellbildung iterativ einem Minimum einer Kosten- oder Fehlerfunktion anzunähern. * [[w:Lineare_Optimierung|'''Lineare Optimierung''']] wird in Optimierungshaufgaben wie beispielsweise bei der Suche nach Minimum der Produktionskosten verwendet. Hierbei wird in allgemeinem nach einem Minimium/Maximum einer linearer Zielfunktion über einer Menge gesucht. [https://www.geogebra.org/m/kr727992 '''Ein Beispiel in Geogebra'''] *[[Räumliche Diffusion|'''Räumliche Diffusion''']] *[[Modelle_der_Populationsdynamik|'''Modelle der Populationsdynamik''']] - [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Modelle%20der%20Populationsdynamik&author=Kurs:R%C3%A4umliche%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes (Wiki2Reveal-Folien)] - [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Stochastik/Wahrscheinlichkeitsdichte|Wahrscheinlichkeitsdichte]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Wahrscheinlichkeitsdichte&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wahrscheinlichkeitsdichte&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ===Softwarenutzung === Im PC-Praktikum wurden grundlegende Kenntnisse im Umgang mit Software erlangt, die für die Berechnung von mathematischen Modellen vorwendig sind. Diese Kenntnisse müssen ggf. auf das spezielle Modellierungsthema angepasst und erweitert werden. * '''[[CSV2Chart]]''' Aus CSV-Dateien mathematische Graphen in Wikiversity erstellen. * '''[[Maxima CAS]]''' enthält die verwendeten Werkzeuge und Kommandos eines Computeralgebrasystems (CAS), die die einzelnen Projekte in dem Modellbildungszyklus verwendet haben. * '''[https://sagecell.sagemath.org/ SageCell]''' Online-Umgebung zur Ausführung und Demonstration von Befehlen in R, Octave, Maxima, ... (Auswahl des Befehlssatzes auf der https://sagecell.sagemath.org/ SageCell-Seite] unten rechts auf dem Eingabefeld) * '''[[Statistikprogramm R]]''' enthält die verwendeten Werkzeuge und Kommandos, die für Berechnungen und Veranschaulichungen in den Projekten verwendet haben. * '''[[Tabellenkalkulation]]''' werden in Portfolios in der Regel verwendet, um Daten in den Portfolios aufzubereiten. * '''[[Octave]]''' wird in der Regel verwendet, um numerische Berechnung in der Mathematischen Modellbildung durchzuführen. * '''[[Geogebra]]''' ist eine Dynamische Geometriesoftware, die zur vektoriellen Veranschaulichung von räumlichen Modellierungsproblemen oder auch zur parametrisierten Darstellung von Funktionen verwendet wird (Beispiel: [https://www.geogebra.org/m/e9b349k9 Parkplatzlösung in Geogebra von Shrey T (2017)]). * '''[[w:Screencast|Screencast]]''': Ein Screencast ist eine Bildschirmaufnahme mit Audiokommentaren, die zeigt, wie man z.B. Software bedient. Ein Screencast ist eine Hilfestellung für Lernende, die sich noch nicht so gut mit einer bestimmten Software auskennen. :* [https://obsproject.com/ '''Open Broadcast Software (OBS)''' - Linux, Windows, MacOSX ] - [[Konvexkombination|Beispielvideo in Wikiversity]] * [[v:en:3D_Modelling|'''3D-Modellbildung''' (englisch)]] * '''[http://niebert.github.io/imgmap/ Online-ImageMap-Editor]''' - Anklickbare Bereiche in Wikiversity-Bildern erstellen. * '''[https://openlayers.org/en/latest/examples/heatmap-earthquakes.html HeatMaps]:''' Erstellung von [https://niebert.github.io/openlayer_heatmap HeatMaps mit einem Online-Editor] (Download [https://github.com/niebert/openlayer_heatmap/archive/master.zip Heatmap-Editor und Beispieldaten in Ordner <tt>/HeatMap</tt> in ZIP-Datei]) * '''[[Wiki2Reveal]]:''' Portfolio-Präsentationen direkt im Wikiversity erstellen. ===Editierungshilfen=== * [https://latexeditor.lagrida.com/ Online-Formel-Editor für LaTeX-Formeln]<ref>Lagrida Web-Portal (2021) Online-Latex-Formel-Editor mit Vorschau - URL: https://latexeditor.lagrida.com/ (accessed 2021/11/21))</ref> - die erzeugten Formeln müssen in einen MATH-Tag mit <kbd><math> ...</math></kbd> eingeschlossen werden bei der Seiteneditierung. * [https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:TeX Mathematische Formeln in Wikiversity] * Textgestaltung in Wikis: https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:Textgestaltung ==Wiki2Reveal== * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung2627|Kurs:Mathematische Modellbildung2627]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung2627&author=&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung2627&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] == Verweise == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2026-27%20Wintersemester&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2026-27%20Wintersemester&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung Kurs:Mathematische Modellbildung]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2026-27%20Wintersemester&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 1ohdkx59a0ntw6gft4jb6wg9w9fwnc2 1116518 1116515 2026-10-17T08:10:02Z ~2026-55076-31 41992 /* Konkreter Themenbezug */ 1116518 wikitext text/x-wiki ==Begriffsklärung== === Was ist mathematische Modellbildung? === Ganz grob gesagt besteht Mathematische Modellierung oder auch Mathematische Modellbildung darin, reale Fragestellungen mit mathematischen Mitteln zu bearbeiten und sie auf diesem Wege zumindest teilweise zu beantworten<ref> Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., & Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. </ref>. === Was ist ein Modell? === Ein Modell ist dabei gegeben durch innere Scheinbilder oder Repräsentatonen, die nicht zum Bereich der äußeren Gegenstände, sondern zu Vorstellungen von einem solchen realen Gegenstand gehören und ihnen daher auch in gewissen Grenzen etwas Willkürliches anhaftet (Sinngemäß nach Hertz, zitiert von Ortlieb<ref> Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., & Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. </ref>). ==== Eigenschaften von Modellen ==== Somit lassen sich vereinfacht und verkürzt folgende Eigenschaften ableiten (Stachowiak, zitiert nach Saam <ref> Saam, N. J. (2009). Modellbildung. In Handbuch Methoden der Organisationsforschung: Quantitative und Qualitative Methoden (pp. 517-532). Wiesbaden: VS Verlag für Sozialwissenschaften. </ref>): * '''Abbildungsmerkmal:''' Modelle repräsentieren die Realität, existieren jedoch nicht in der Realität * '''Verkürzungsmerkmal:''' Modelle beschreiben das Objekt nicht exakt, sondern stets vereinfacht * '''Pragmatisches Merkmal:''' Modelle verfolgen einen gewissen Zweck: Sie ersetzen eine nicht abbildbare Realität um Fragestellungen zu beantwortbar zu machen ==== Typisches Beispiele ==== * Betrachtungen in der Physik (Federpendel, Bewegungsgesetze,...) - Physik und Mathematische Modellbildung sind sehr eng miteinander verwoben * Populationsdynamiken und Ausbreitugnsschemata in der Biologie (vgl. Lotka-Volterra Modell) * Bewegungsanalysen und Optimierungen in den Sportwissenschaften * Untersuchungen von Transport- und Umweltprozessen in Biologie, Chemie, Physik, Technik,... * Bedarfs- und Verbrauchs- und Verhaltensanalysen in Geisteswissenschaften === Mathematische Modelle === Mathematische Modelle werden gemessen und bewertet anhand <ref> Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., & Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. </ref>: * '''Zulässigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte in sich widerspruchsfrei sein. * '''Richtigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte im Vergleich mit der Realität keine Widersprüche zu offensichtlich richtigen Tatsachen aufweisen. * '''Zweckmäßigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte genau den Detailgrad beinhalten, den es zum Erfüllen des Zwecks benötigt, nicht mehr und nicht weniger. ==== Gegenbeispiele für mathematische Modelle ==== Gegenbeispiele wären: * Ein nicht zulässiges Modell könnte bei einer Betrachtung einer Punktmasse im Raum dennoch Luftwiederstände berücksichtigen (Punkte haben kein Volumen) * Ein nicht richtiges Modell könnte bei der Modellierung von Transportprozessen von Schadstoffen die Massenerhaltung vernachlässigen. * Ein nicht zweckmäßiges Modell könnte bei dem Versuch den perfekten Abwurfwinkel beim Speerwurf die Krümmung der Erdoberfläche berücksichtigen. ==== Bemerkung - Kriterien ==== Die Kriterien, insbesondere Richtigkeit und Zweckmäßigkeit, sind nicht 100% operational. Einerseits fordert die Richtigkeit, keine bekannten Tatsachen auszulassen, andererseits dürfen hinsichtlich einer passenden Zweckmäßigkeit auch nur ausreichend viele Details integriert werden. ==Der Modellbildungszyklus== Wie kommt man nun von einer Realen Situation, die ein Problem aufwirft zu einem adäquaten mathematischen Modell? Dazu hat sich als möglichst allgemeine Vorgehensweise der Modellbildungszyklus ergeben: [[Datei:Modellbildungszyklus Mod6.png|miniatur|Modellbildungszyklus]] ===Verlauf des MBZ === Der Modellbildungszyklus beschreibt schematisch die iterative Erstellung einer mathematischen Modellbildung: * Ausgangspunkt ist eine reale Situation, die ein Problem aufwirft, die von dem mathematischen Modell adressiert werden soll * Dieses Problem wird inhaltlich erfasst, anschließend mathematisch Übersetzt (Betrachten von Gleichungen, Funktionen, Geometrischen Objekten,...) ====Modellbildungsschleife==== * Durch das Betrachten von mathematischen Objekten können über passende Operationen deduktiv Resultate geschlussfolgert werden * Diese Resultate werden mit der Realsituation abgeglichen * Aus dem Vergleich werden mögliche Optimierungen und Limitationen des Modells abgeleitet * Durch die Limitationen werden kann das Modell weiterentwickelt werden Diese Schritte können/müssen dabei mehrfach durchlaufen werden. ====Integration von Software==== Die Integration von computergestützter Software ist in der mathematischen Modellbildung definitionsgemäss nicht zwigend erforderlich, für die meisten anwendungsbezogenen Modellierungen jedoch unumgänglich. ==Konkretes Beispiel einer Mathematischen Modellbildung== [[Kurs:Mathematische_Modellbildung/Themen/Radioaktivit%C3%A4t_und_Risikoliteralit%C3%A4t]] [[Datei:Screenshot 2D Ansicht Resultate.png|miniatur|alternativtext=Ansicht der möglichen Auftreffpunkte des radioaktiven Niederschlags|Ansicht der möglichen Auftreffpunkte des radioaktiven Niederschlags]] [[File:Zeitliche Abhängigkeit der Risikofunktion.gif|thumb|Das GIF zeigt die Zeitliche Abhängigkeit der Risikofunktion]] === Ziel der Modellierung === Ziel in dieser Modellierung war es, ein Modell zur räumlichen und zeitlichen Ausbreitung einer radioaktiv belasteten Wolke, sowie dessen Rain-Out, infolge einer Reaktorkatastrophe am (mittlerweile abgeschalteten) Kernkraftwerk in Philippsburg zu beschreiben. Unter zu Hilfenahme von Messwerten von dem Reaktorunglück in Tschernobyl und den Halbwertszeiten des radioaktiven Materials wurde der zeitliche Zerfall erfasst. Der Transport von radioaktiven Material wurde durch eine Kugel im <math> \mathbb{R}^3 </math> modelliert. Diese bewegt sich gemäss einer variablen Windrichtung (gegeben durch Winkel <math> \alpha </math>) und regnet sich nach einer gewissen Durchschnittsdauer ab. === Endresultat === Es wurde in drei Modellbildungszyklen eine Funktion zur Beschreibung der radioaktiven Belastung (repräsentativ für das Risiko) abgeleitet: <math>u(x,y,t,\alpha)=\frac{1480\cdot e^{-\frac{ln(2)}{30a} \cdot t}}{1+\frac{7}{10.000}\cdot (x^2+y^2)}+\frac{40\cdot e^{-\frac{ln(2)}{30a} \cdot t}}{1+\frac{1}{7.500}\cdot ((x-1080cos(\alpha))^2+(y-1080sin(\alpha))^2)}</math> Letztlich erhält man also eine Funktion die in ihrem Ausgabewert <math>z=u(x,y,t,\alpha)</math> abhängig von 4 Eingabewerten <math>x, y, t, \alpha </math> ist. ==Modellbildung in der Schule== ===Einbindung in den Lehrplan=== Die mathematische Modellbildung ist stark in den Mathematik-Lehrplan für Schulen in Rheinland-Pfalz integriert (hier wird sich an dem Lehrplan für Sekundarstufe II orientiert <ref> Ministerium für Bildung, Wissensachft, Weiterbildung und Kultur (2015), Lehrplan Mathematik. Grund- und Leistungsfach in der gymnasialen Oberstufe (Mainzer Studienstufe) </ref>). Im Bezug zu Problemlösen im Mathematikunterricht und Mathematik im fachübergreifenden Kontext, sollen Anwendungsbeispiele Einzug halten, die Schülerinnen und Schülern aus anderen Fächern bekannt sind. In diesem Zusammenhang wird mathematische Modellbildung als Methode zur Lösung von solchen Anwendungsproblemen genannt. ===Konkreter Themenbezug=== Zu folgenden mathematischen Themengebieten wird explizit Mathematischen Modellbildung zur unterrichtlichen Umsetzung erwähnt: *Exponentialfunktionen (Wachstums- und Zerfallsprozesse *Matrizenrechnung (Input-Output-Analysen, Zustandsübergangsprozesse, Populationsentwicklung,...) *Differential- und Integralrechnung (lineare oder logistische Wachstumsprozesse) Auch der Einsatz von computergestützten Hilfs- und Lösungsmitteln im Zuge der Modellbildung wird betont. (Bemerke: Auch im Lehrplan wird ein vergleichbarer Modellbildungszyklus vorgestellt und beschrieben. Bei Bedarf kann dieser auf Seite 15-16<ref> Ministerium für Bildung, Wissensachft, Weiterbildung und Kultur (2015), Lehrplan Mathematik. Grund- und Leistungsfach in der gymnasialen Oberstufe (Mainzer Studienstufe). </ref> nachgelesen werden) ===Zugang zur Bildung für Nachhaltigen Entwicklung=== Durch die Möglichkeit fachübergreifende Fragestellungen zu behandeln und Prozesse der Realität in den Blick zu nehmen, kann mathematische Modellbildung die Brücke zur Bildung für Nachhaltigen Entwicklung (BNE) schlagen. "Die BNE zielt grundsätzlich darauf ab, es jedem und jeder Einzelnen zu ermöglichen, die Folgen des eigenen Handelns auf die Welt sowie intra- und intergenerationell zu verstehen, verantwortungsvolle Entscheidungen zu treffen und aktiv zu werden." <ref> Ministerium für Bildung. Bildung für nachhaltige Entwicklung. Online abrufbar unter: https://bm.rlp.de/unsere-schwerpunkte/bildung-fuer-nachhaltige-entwicklung </ref> Mathematische Modellbildung kann unter praktischer Anwendung von gelernten Inhalten im Schulunterricht zu BNE beitragen, indem eben gezielt Probleme adressiert werden und von Schülerinnen und Schülern eigenständig untersucht werden. ==Ziel und Organisation des Seminars== ===Ziel und Aufgabe=== In Kleingruppen (3-4 Personen) sollen aussermathematische Fragestellungen mit einer eigenen mathematischen Modellbildung behandelt werden. Dazu sollen drei Modellbildungszyklen mit unterschiedlichem Grad an Vereinfachung und unterschiedlicher Mathematischen Grundlage erstellt werden: * Zyklus: Mathematik der Sekundarstufe 1 (Mittelstufe) * Zyklus: Mathematik der Sekundarstufe 2 (Oberstufe) * Zyklus: Universitätsmathematik In jedem Zyklus sollen computergestützte Untersuchungen und Betrachtungen Einzug erhalten. Somit bietet es sich an in insgesamt auch drei verschiedene Programme (Tabellenkalkulation, GeoGebra, RStudio, Maxima,...) zu integrieren - an manchen stellen lässt sich dies gar nicht vermeiden. ===Themenwahl=== Das Thema sollte einen weltlichen Bezug haben. Am besten eigenen sich Themen aus dem jeweiligen Zweitfach (s. Verbindung zu anderen Schulfächern im Lehrplan). Das Thema sollte nachhaltige Entwicklung im Rahmen der Sustainable Development Goals adressieren. Siehe dazu: https://www.bundesumweltministerium.de/themen/nachhaltigkeit/nachhaltigkeitsziele-sdgs Vorzugsweise: Räumliche Risikobetrachtungen in Desaster- und Katastrophenszenarien. Das Thema sollte sich nicht mit denen der vergangenen Semestern doppeln. Zur Orientierung und Inspiration finden sich hier die Projekte der vergangenen Semester: :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2026 Sommersemester|2026 Sommersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2025-26 Wintersemester|2025/26 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2024-25 Wintersemester|2024/25 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2023-24 Wintersemester|2023/24 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2022-23 Winteresemester|2022/23 Wintersemester]]''' ===Portfolio=== Während des Semesters soll in Gruppenarbeit die Modellbildung durchgeführt werden. Diese wird schriftlich in einem Portfolio festgehalten. Dies Portfolio wird, genau wie dieser Artikel auch, in einem Wikiversity Artikel dokumentiert. Dieser sollte folgendes enthalten: * Einleitung: Beschreibung und Einordnung des Themas & welche(s) SDG wird adressiert und warum? * Ziel der Modellierung: Welches Problem wird in der Modellierung / den einzelnen Zyklen konkret angegangen? * Zyklus 1-3 ** Mathematisches Modell (welche Mathematischen Objekte werden betrachtet, wie ergeben die sich,...) ** Ergebnisse (Ableiten von Resultaten aus dem Modell) ** Bewertung der Ergebnisse ** Grenzen und Limitationen ** Ausblick für nächsten Zyklus (welche Limitationen und Probleme aus dem Zyklus werden im folgenden adressiert?) In allen Punkten der Modellzyklen können Programme computergestützte Tools verwendet werden. Zur Erstellung von Wiki-Seiten ist folgende Seite hilfreich: https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:Textgestaltung ===Prüfung=== Die Prüfung gliedert sich in zwei Aspekte: * '''Vorstellung von ausgewählten Teilen aus dem eigenen Portfolio''' - diese werden von den Prüfer:innen aus dem Portfolio der Studierenden ausgewählt. * '''Diskussion und Fragen''' der Prüfer:innen zu dem Portfolio, z.B. zu Teilen des Portfolios, die in der Vorstellung nicht behandelt werden können. Ein Portfolio kann aus Zeitgründen nie vollständig in der Prüfung dargestellt werden. In der mündlichen Portfolio-Prüfung wird geprüft, ob *das eigene Modell verstanden ist, *das eigene Modell kritisch hinterfragt werden kann, *die Limitationen des Modells begründet und nachvollziehbar wiedergegeben werden können, *die Übergänge zwischen den Zyklen beschrieben und begründet werden können, *die technische Umsetzung reproduziert und erklärt werden kann, *... . Es ist also wichtig zu wissen, was wie an welcher Stelle und mit welchem Zweck in der Modellierung gemacht wurde! Das Portfolio (Wiki-Seite) wird somit konkret vorgestellt. Eine Präsentation des Portfolio kann automatisch mit Wiki2Reveal erstellt werden. === Unterstützungsangebot === * Das Unterstützungsangebot erfolgt in der Lehrveranstaltung zur "Mathematischen Modellbildung". * Eine individuelle Sonderbehandlung für einzelne Studierende, die das Angebot der Vorlesung nicht nutzen und kurz vor Prüfungsbeginn noch "schnell" ein Portfolio zusammenstellen wollen, ist aus zeitlichen Gründen kurz vor der Prüfung nicht möglich. * Portfolioprüfungen der Lehrveranstaltung beziehen sich immer auf das erstellte Portfolio im laufende Semester und bei Wiederholungsprüfungen auf das Semester, in dem Portfolio erstellt wurde. * Eine Prüfung kann nur zu dem eigenen erstellten Portfolio in der Lehrveranstaltung abgelegt werden, an dessen Erstellung man aktiv mitgearbeitet hat. ===Ablauf des Seminars=== Der Seminarablauf über das Semester gestaltet sich grob wie folgt: * 1. Woche (19.10.): Einführungsveranstaltung + Gruppenfindung * 2. Woche (26.10.): Themenfindung * 3. Woche (02.11.): Themenfindung + Zyklen festlegen * 4. Woche (09.11.): Zyklen festlegen * 5. Woche (16.11.): Kurzvorstellung der Themen und Zyklen (5 Minuten pro Gruppe) Ab Woche 6 (23.11.) bis Ende des Semesters wird gemeinsam an den Modellen und dem Portfolio gearbeitet. Empfehlenswert wäre es, die letzten 2-3 Wochen für Finalisierungsarbeiten zu nutzen und entsprechend frühzeitig zu planen! Ausschliesslich während der Seminarzeiten an dem Modell und Portfolio zu arbeiten wird nicht ausreichen! Die Kurzpräsentationen am 16.11. umfassen den aktuellen Stand der Überlegungen und sind noch unter keinen Umständen verbindlich. Stattdessen dient es einfach zur Grundlage von gemeinsamer Diskussion und zur Einbringung von weiteren Ideen. =Hilfreiche Links= ===Fachmathematische Aspekte === Wenn man das Modellierungsproblem in den Mittelpunkt stellt und die Fragestellung den Nachhaltigkeitszielen der UN zuordnet, kommen z.T. fachmathematische Aspekte erforderlich, die nicht in der jeweiligen Schulstufe bzw. in den Vorlesungen behandelt wurden. Dies Kapitel erhält Hinweise zu fachmathematischen Bereichen, die für die mathematische Modellbildung ggf. als Werkzeug verwendet werden können * '''[[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]''' dienen dazu, Datenpunkte im <math>\R^2</math> oder allgemein im <math>\R^n</math> zu [[w:Interpolation_(Mathematik)|interpolieren]]. * '''[https://en.wikiversity.org/wiki/3D_Modelling 3D Modellierung für Projektinhalte]''' und [[w:Projektive_Geometrie|projektive Geometrie]] zur Visualisierung * '''[[Gradientenabstiegsverfahren]]''': Wird verwendet, um sich in der mathematischen Modellbildung iterativ einem Minimum einer Kosten- oder Fehlerfunktion anzunähern. * [[w:Lineare_Optimierung|'''Lineare Optimierung''']] wird in Optimierungshaufgaben wie beispielsweise bei der Suche nach Minimum der Produktionskosten verwendet. Hierbei wird in allgemeinem nach einem Minimium/Maximum einer linearer Zielfunktion über einer Menge gesucht. [https://www.geogebra.org/m/kr727992 '''Ein Beispiel in Geogebra'''] *[[Räumliche Diffusion|'''Räumliche Diffusion''']] *[[Modelle_der_Populationsdynamik|'''Modelle der Populationsdynamik''']] - [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Modelle%20der%20Populationsdynamik&author=Kurs:R%C3%A4umliche%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes (Wiki2Reveal-Folien)] - [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Stochastik/Wahrscheinlichkeitsdichte|Wahrscheinlichkeitsdichte]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Wahrscheinlichkeitsdichte&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wahrscheinlichkeitsdichte&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ===Softwarenutzung === Im PC-Praktikum wurden grundlegende Kenntnisse im Umgang mit Software erlangt, die für die Berechnung von mathematischen Modellen vorwendig sind. Diese Kenntnisse müssen ggf. auf das spezielle Modellierungsthema angepasst und erweitert werden. * '''[[CSV2Chart]]''' Aus CSV-Dateien mathematische Graphen in Wikiversity erstellen. * '''[[Maxima CAS]]''' enthält die verwendeten Werkzeuge und Kommandos eines Computeralgebrasystems (CAS), die die einzelnen Projekte in dem Modellbildungszyklus verwendet haben. * '''[https://sagecell.sagemath.org/ SageCell]''' Online-Umgebung zur Ausführung und Demonstration von Befehlen in R, Octave, Maxima, ... (Auswahl des Befehlssatzes auf der https://sagecell.sagemath.org/ SageCell-Seite] unten rechts auf dem Eingabefeld) * '''[[Statistikprogramm R]]''' enthält die verwendeten Werkzeuge und Kommandos, die für Berechnungen und Veranschaulichungen in den Projekten verwendet haben. * '''[[Tabellenkalkulation]]''' werden in Portfolios in der Regel verwendet, um Daten in den Portfolios aufzubereiten. * '''[[Octave]]''' wird in der Regel verwendet, um numerische Berechnung in der Mathematischen Modellbildung durchzuführen. * '''[[Geogebra]]''' ist eine Dynamische Geometriesoftware, die zur vektoriellen Veranschaulichung von räumlichen Modellierungsproblemen oder auch zur parametrisierten Darstellung von Funktionen verwendet wird (Beispiel: [https://www.geogebra.org/m/e9b349k9 Parkplatzlösung in Geogebra von Shrey T (2017)]). * '''[[w:Screencast|Screencast]]''': Ein Screencast ist eine Bildschirmaufnahme mit Audiokommentaren, die zeigt, wie man z.B. Software bedient. Ein Screencast ist eine Hilfestellung für Lernende, die sich noch nicht so gut mit einer bestimmten Software auskennen. :* [https://obsproject.com/ '''Open Broadcast Software (OBS)''' - Linux, Windows, MacOSX ] - [[Konvexkombination|Beispielvideo in Wikiversity]] * [[v:en:3D_Modelling|'''3D-Modellbildung''' (englisch)]] * '''[http://niebert.github.io/imgmap/ Online-ImageMap-Editor]''' - Anklickbare Bereiche in Wikiversity-Bildern erstellen. * '''[https://openlayers.org/en/latest/examples/heatmap-earthquakes.html HeatMaps]:''' Erstellung von [https://niebert.github.io/openlayer_heatmap HeatMaps mit einem Online-Editor] (Download [https://github.com/niebert/openlayer_heatmap/archive/master.zip Heatmap-Editor und Beispieldaten in Ordner <tt>/HeatMap</tt> in ZIP-Datei]) * '''[[Wiki2Reveal]]:''' Portfolio-Präsentationen direkt im Wikiversity erstellen. ===Editierungshilfen=== * [https://latexeditor.lagrida.com/ Online-Formel-Editor für LaTeX-Formeln]<ref>Lagrida Web-Portal (2021) Online-Latex-Formel-Editor mit Vorschau - URL: https://latexeditor.lagrida.com/ (accessed 2021/11/21))</ref> - die erzeugten Formeln müssen in einen MATH-Tag mit <kbd><math> ...</math></kbd> eingeschlossen werden bei der Seiteneditierung. * [https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:TeX Mathematische Formeln in Wikiversity] * Textgestaltung in Wikis: https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:Textgestaltung ==Wiki2Reveal== * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung2627|Kurs:Mathematische Modellbildung2627]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung2627&author=&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung2627&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] == Verweise == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2026-27%20Wintersemester&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2026-27%20Wintersemester&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung Kurs:Mathematische Modellbildung]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2026-27%20Wintersemester&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 0yul1ufvjwf9lqvav7crvwicffrl2fa 1116519 1116518 2026-10-17T08:11:18Z ~2026-55076-31 41992 /* Ziel und Organisation des Seminars */ 1116519 wikitext text/x-wiki ==Begriffsklärung== === Was ist mathematische Modellbildung? === Ganz grob gesagt besteht Mathematische Modellierung oder auch Mathematische Modellbildung darin, reale Fragestellungen mit mathematischen Mitteln zu bearbeiten und sie auf diesem Wege zumindest teilweise zu beantworten<ref> Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., & Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. </ref>. === Was ist ein Modell? === Ein Modell ist dabei gegeben durch innere Scheinbilder oder Repräsentatonen, die nicht zum Bereich der äußeren Gegenstände, sondern zu Vorstellungen von einem solchen realen Gegenstand gehören und ihnen daher auch in gewissen Grenzen etwas Willkürliches anhaftet (Sinngemäß nach Hertz, zitiert von Ortlieb<ref> Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., & Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. </ref>). ==== Eigenschaften von Modellen ==== Somit lassen sich vereinfacht und verkürzt folgende Eigenschaften ableiten (Stachowiak, zitiert nach Saam <ref> Saam, N. J. (2009). Modellbildung. In Handbuch Methoden der Organisationsforschung: Quantitative und Qualitative Methoden (pp. 517-532). Wiesbaden: VS Verlag für Sozialwissenschaften. </ref>): * '''Abbildungsmerkmal:''' Modelle repräsentieren die Realität, existieren jedoch nicht in der Realität * '''Verkürzungsmerkmal:''' Modelle beschreiben das Objekt nicht exakt, sondern stets vereinfacht * '''Pragmatisches Merkmal:''' Modelle verfolgen einen gewissen Zweck: Sie ersetzen eine nicht abbildbare Realität um Fragestellungen zu beantwortbar zu machen ==== Typisches Beispiele ==== * Betrachtungen in der Physik (Federpendel, Bewegungsgesetze,...) - Physik und Mathematische Modellbildung sind sehr eng miteinander verwoben * Populationsdynamiken und Ausbreitugnsschemata in der Biologie (vgl. Lotka-Volterra Modell) * Bewegungsanalysen und Optimierungen in den Sportwissenschaften * Untersuchungen von Transport- und Umweltprozessen in Biologie, Chemie, Physik, Technik,... * Bedarfs- und Verbrauchs- und Verhaltensanalysen in Geisteswissenschaften === Mathematische Modelle === Mathematische Modelle werden gemessen und bewertet anhand <ref> Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., & Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. </ref>: * '''Zulässigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte in sich widerspruchsfrei sein. * '''Richtigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte im Vergleich mit der Realität keine Widersprüche zu offensichtlich richtigen Tatsachen aufweisen. * '''Zweckmäßigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte genau den Detailgrad beinhalten, den es zum Erfüllen des Zwecks benötigt, nicht mehr und nicht weniger. ==== Gegenbeispiele für mathematische Modelle ==== Gegenbeispiele wären: * Ein nicht zulässiges Modell könnte bei einer Betrachtung einer Punktmasse im Raum dennoch Luftwiederstände berücksichtigen (Punkte haben kein Volumen) * Ein nicht richtiges Modell könnte bei der Modellierung von Transportprozessen von Schadstoffen die Massenerhaltung vernachlässigen. * Ein nicht zweckmäßiges Modell könnte bei dem Versuch den perfekten Abwurfwinkel beim Speerwurf die Krümmung der Erdoberfläche berücksichtigen. ==== Bemerkung - Kriterien ==== Die Kriterien, insbesondere Richtigkeit und Zweckmäßigkeit, sind nicht 100% operational. Einerseits fordert die Richtigkeit, keine bekannten Tatsachen auszulassen, andererseits dürfen hinsichtlich einer passenden Zweckmäßigkeit auch nur ausreichend viele Details integriert werden. ==Der Modellbildungszyklus== Wie kommt man nun von einer Realen Situation, die ein Problem aufwirft zu einem adäquaten mathematischen Modell? Dazu hat sich als möglichst allgemeine Vorgehensweise der Modellbildungszyklus ergeben: [[Datei:Modellbildungszyklus Mod6.png|miniatur|Modellbildungszyklus]] ===Verlauf des MBZ === Der Modellbildungszyklus beschreibt schematisch die iterative Erstellung einer mathematischen Modellbildung: * Ausgangspunkt ist eine reale Situation, die ein Problem aufwirft, die von dem mathematischen Modell adressiert werden soll * Dieses Problem wird inhaltlich erfasst, anschließend mathematisch Übersetzt (Betrachten von Gleichungen, Funktionen, Geometrischen Objekten,...) ====Modellbildungsschleife==== * Durch das Betrachten von mathematischen Objekten können über passende Operationen deduktiv Resultate geschlussfolgert werden * Diese Resultate werden mit der Realsituation abgeglichen * Aus dem Vergleich werden mögliche Optimierungen und Limitationen des Modells abgeleitet * Durch die Limitationen werden kann das Modell weiterentwickelt werden Diese Schritte können/müssen dabei mehrfach durchlaufen werden. ====Integration von Software==== Die Integration von computergestützter Software ist in der mathematischen Modellbildung definitionsgemäss nicht zwigend erforderlich, für die meisten anwendungsbezogenen Modellierungen jedoch unumgänglich. ==Konkretes Beispiel einer Mathematischen Modellbildung== [[Kurs:Mathematische_Modellbildung/Themen/Radioaktivit%C3%A4t_und_Risikoliteralit%C3%A4t]] [[Datei:Screenshot 2D Ansicht Resultate.png|miniatur|alternativtext=Ansicht der möglichen Auftreffpunkte des radioaktiven Niederschlags|Ansicht der möglichen Auftreffpunkte des radioaktiven Niederschlags]] [[File:Zeitliche Abhängigkeit der Risikofunktion.gif|thumb|Das GIF zeigt die Zeitliche Abhängigkeit der Risikofunktion]] === Ziel der Modellierung === Ziel in dieser Modellierung war es, ein Modell zur räumlichen und zeitlichen Ausbreitung einer radioaktiv belasteten Wolke, sowie dessen Rain-Out, infolge einer Reaktorkatastrophe am (mittlerweile abgeschalteten) Kernkraftwerk in Philippsburg zu beschreiben. Unter zu Hilfenahme von Messwerten von dem Reaktorunglück in Tschernobyl und den Halbwertszeiten des radioaktiven Materials wurde der zeitliche Zerfall erfasst. Der Transport von radioaktiven Material wurde durch eine Kugel im <math> \mathbb{R}^3 </math> modelliert. Diese bewegt sich gemäss einer variablen Windrichtung (gegeben durch Winkel <math> \alpha </math>) und regnet sich nach einer gewissen Durchschnittsdauer ab. === Endresultat === Es wurde in drei Modellbildungszyklen eine Funktion zur Beschreibung der radioaktiven Belastung (repräsentativ für das Risiko) abgeleitet: <math>u(x,y,t,\alpha)=\frac{1480\cdot e^{-\frac{ln(2)}{30a} \cdot t}}{1+\frac{7}{10.000}\cdot (x^2+y^2)}+\frac{40\cdot e^{-\frac{ln(2)}{30a} \cdot t}}{1+\frac{1}{7.500}\cdot ((x-1080cos(\alpha))^2+(y-1080sin(\alpha))^2)}</math> Letztlich erhält man also eine Funktion die in ihrem Ausgabewert <math>z=u(x,y,t,\alpha)</math> abhängig von 4 Eingabewerten <math>x, y, t, \alpha </math> ist. ==Modellbildung in der Schule== ===Einbindung in den Lehrplan=== Die mathematische Modellbildung ist stark in den Mathematik-Lehrplan für Schulen in Rheinland-Pfalz integriert (hier wird sich an dem Lehrplan für Sekundarstufe II orientiert <ref> Ministerium für Bildung, Wissensachft, Weiterbildung und Kultur (2015), Lehrplan Mathematik. Grund- und Leistungsfach in der gymnasialen Oberstufe (Mainzer Studienstufe) </ref>). Im Bezug zu Problemlösen im Mathematikunterricht und Mathematik im fachübergreifenden Kontext, sollen Anwendungsbeispiele Einzug halten, die Schülerinnen und Schülern aus anderen Fächern bekannt sind. In diesem Zusammenhang wird mathematische Modellbildung als Methode zur Lösung von solchen Anwendungsproblemen genannt. ===Konkreter Themenbezug=== Zu folgenden mathematischen Themengebieten wird explizit Mathematischen Modellbildung zur unterrichtlichen Umsetzung erwähnt: *Exponentialfunktionen (Wachstums- und Zerfallsprozesse *Matrizenrechnung (Input-Output-Analysen, Zustandsübergangsprozesse, Populationsentwicklung,...) *Differential- und Integralrechnung (lineare oder logistische Wachstumsprozesse) Auch der Einsatz von computergestützten Hilfs- und Lösungsmitteln im Zuge der Modellbildung wird betont. (Bemerke: Auch im Lehrplan wird ein vergleichbarer Modellbildungszyklus vorgestellt und beschrieben. Bei Bedarf kann dieser auf Seite 15-16<ref> Ministerium für Bildung, Wissensachft, Weiterbildung und Kultur (2015), Lehrplan Mathematik. Grund- und Leistungsfach in der gymnasialen Oberstufe (Mainzer Studienstufe). </ref> nachgelesen werden) ===Zugang zur Bildung für Nachhaltigen Entwicklung=== Durch die Möglichkeit fachübergreifende Fragestellungen zu behandeln und Prozesse der Realität in den Blick zu nehmen, kann mathematische Modellbildung die Brücke zur Bildung für Nachhaltigen Entwicklung (BNE) schlagen. "Die BNE zielt grundsätzlich darauf ab, es jedem und jeder Einzelnen zu ermöglichen, die Folgen des eigenen Handelns auf die Welt sowie intra- und intergenerationell zu verstehen, verantwortungsvolle Entscheidungen zu treffen und aktiv zu werden." <ref> Ministerium für Bildung. Bildung für nachhaltige Entwicklung. Online abrufbar unter: https://bm.rlp.de/unsere-schwerpunkte/bildung-fuer-nachhaltige-entwicklung </ref> Mathematische Modellbildung kann unter praktischer Anwendung von gelernten Inhalten im Schulunterricht zu BNE beitragen, indem eben gezielt Probleme adressiert werden und von Schülerinnen und Schülern eigenständig untersucht werden. ==Ziel und Organisation des Seminars== ===Ziel und Aufgabe=== In Kleingruppen (3-4 Personen) sollen aussermathematische Fragestellungen mit einer eigenen mathematischen Modellbildung behandelt werden. Dazu sollen drei Modellbildungszyklen mit unterschiedlichem Grad an Vereinfachung und unterschiedlicher Mathematischen Grundlage erstellt werden: * Zyklus: Mathematik der Sekundarstufe 1 (Mittelstufe) * Zyklus: Mathematik der Sekundarstufe 2 (Oberstufe) * Zyklus: Universitätsmathematik ====Integration von Software==== In jedem Zyklus sollen computergestützte Untersuchungen und Betrachtungen Einzug erhalten. Somit bietet es sich an in insgesamt auch drei verschiedene Programme (Tabellenkalkulation, GeoGebra, RStudio, Maxima,...) zu integrieren - an manchen stellen lässt sich dies gar nicht vermeiden. ===Themenwahl=== Das Thema sollte einen weltlichen Bezug haben. Am besten eigenen sich Themen aus dem jeweiligen Zweitfach (s. Verbindung zu anderen Schulfächern im Lehrplan). Das Thema sollte nachhaltige Entwicklung im Rahmen der Sustainable Development Goals adressieren. Siehe dazu: https://www.bundesumweltministerium.de/themen/nachhaltigkeit/nachhaltigkeitsziele-sdgs Vorzugsweise: Räumliche Risikobetrachtungen in Desaster- und Katastrophenszenarien. Das Thema sollte sich nicht mit denen der vergangenen Semestern doppeln. Zur Orientierung und Inspiration finden sich hier die Projekte der vergangenen Semester: :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2026 Sommersemester|2026 Sommersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2025-26 Wintersemester|2025/26 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2024-25 Wintersemester|2024/25 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2023-24 Wintersemester|2023/24 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2022-23 Winteresemester|2022/23 Wintersemester]]''' ===Portfolio=== Während des Semesters soll in Gruppenarbeit die Modellbildung durchgeführt werden. Diese wird schriftlich in einem Portfolio festgehalten. Dies Portfolio wird, genau wie dieser Artikel auch, in einem Wikiversity Artikel dokumentiert. Dieser sollte folgendes enthalten: * Einleitung: Beschreibung und Einordnung des Themas & welche(s) SDG wird adressiert und warum? * Ziel der Modellierung: Welches Problem wird in der Modellierung / den einzelnen Zyklen konkret angegangen? * Zyklus 1-3 ** Mathematisches Modell (welche Mathematischen Objekte werden betrachtet, wie ergeben die sich,...) ** Ergebnisse (Ableiten von Resultaten aus dem Modell) ** Bewertung der Ergebnisse ** Grenzen und Limitationen ** Ausblick für nächsten Zyklus (welche Limitationen und Probleme aus dem Zyklus werden im folgenden adressiert?) In allen Punkten der Modellzyklen können Programme computergestützte Tools verwendet werden. Zur Erstellung von Wiki-Seiten ist folgende Seite hilfreich: https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:Textgestaltung ===Prüfung=== Die Prüfung gliedert sich in zwei Aspekte: * '''Vorstellung von ausgewählten Teilen aus dem eigenen Portfolio''' - diese werden von den Prüfer:innen aus dem Portfolio der Studierenden ausgewählt. * '''Diskussion und Fragen''' der Prüfer:innen zu dem Portfolio, z.B. zu Teilen des Portfolios, die in der Vorstellung nicht behandelt werden können. Ein Portfolio kann aus Zeitgründen nie vollständig in der Prüfung dargestellt werden. In der mündlichen Portfolio-Prüfung wird geprüft, ob *das eigene Modell verstanden ist, *das eigene Modell kritisch hinterfragt werden kann, *die Limitationen des Modells begründet und nachvollziehbar wiedergegeben werden können, *die Übergänge zwischen den Zyklen beschrieben und begründet werden können, *die technische Umsetzung reproduziert und erklärt werden kann, *... . Es ist also wichtig zu wissen, was wie an welcher Stelle und mit welchem Zweck in der Modellierung gemacht wurde! Das Portfolio (Wiki-Seite) wird somit konkret vorgestellt. Eine Präsentation des Portfolio kann automatisch mit Wiki2Reveal erstellt werden. === Unterstützungsangebot === * Das Unterstützungsangebot erfolgt in der Lehrveranstaltung zur "Mathematischen Modellbildung". * Eine individuelle Sonderbehandlung für einzelne Studierende, die das Angebot der Vorlesung nicht nutzen und kurz vor Prüfungsbeginn noch "schnell" ein Portfolio zusammenstellen wollen, ist aus zeitlichen Gründen kurz vor der Prüfung nicht möglich. * Portfolioprüfungen der Lehrveranstaltung beziehen sich immer auf das erstellte Portfolio im laufende Semester und bei Wiederholungsprüfungen auf das Semester, in dem Portfolio erstellt wurde. * Eine Prüfung kann nur zu dem eigenen erstellten Portfolio in der Lehrveranstaltung abgelegt werden, an dessen Erstellung man aktiv mitgearbeitet hat. ===Ablauf des Seminars=== Der Seminarablauf über das Semester gestaltet sich grob wie folgt: * 1. Woche (19.10.): Einführungsveranstaltung + Gruppenfindung * 2. Woche (26.10.): Themenfindung * 3. Woche (02.11.): Themenfindung + Zyklen festlegen * 4. Woche (09.11.): Zyklen festlegen * 5. Woche (16.11.): Kurzvorstellung der Themen und Zyklen (5 Minuten pro Gruppe) Ab Woche 6 (23.11.) bis Ende des Semesters wird gemeinsam an den Modellen und dem Portfolio gearbeitet. Empfehlenswert wäre es, die letzten 2-3 Wochen für Finalisierungsarbeiten zu nutzen und entsprechend frühzeitig zu planen! Ausschliesslich während der Seminarzeiten an dem Modell und Portfolio zu arbeiten wird nicht ausreichen! Die Kurzpräsentationen am 16.11. umfassen den aktuellen Stand der Überlegungen und sind noch unter keinen Umständen verbindlich. Stattdessen dient es einfach zur Grundlage von gemeinsamer Diskussion und zur Einbringung von weiteren Ideen. =Hilfreiche Links= ===Fachmathematische Aspekte === Wenn man das Modellierungsproblem in den Mittelpunkt stellt und die Fragestellung den Nachhaltigkeitszielen der UN zuordnet, kommen z.T. fachmathematische Aspekte erforderlich, die nicht in der jeweiligen Schulstufe bzw. in den Vorlesungen behandelt wurden. Dies Kapitel erhält Hinweise zu fachmathematischen Bereichen, die für die mathematische Modellbildung ggf. als Werkzeug verwendet werden können * '''[[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]''' dienen dazu, Datenpunkte im <math>\R^2</math> oder allgemein im <math>\R^n</math> zu [[w:Interpolation_(Mathematik)|interpolieren]]. * '''[https://en.wikiversity.org/wiki/3D_Modelling 3D Modellierung für Projektinhalte]''' und [[w:Projektive_Geometrie|projektive Geometrie]] zur Visualisierung * '''[[Gradientenabstiegsverfahren]]''': Wird verwendet, um sich in der mathematischen Modellbildung iterativ einem Minimum einer Kosten- oder Fehlerfunktion anzunähern. * [[w:Lineare_Optimierung|'''Lineare Optimierung''']] wird in Optimierungshaufgaben wie beispielsweise bei der Suche nach Minimum der Produktionskosten verwendet. Hierbei wird in allgemeinem nach einem Minimium/Maximum einer linearer Zielfunktion über einer Menge gesucht. [https://www.geogebra.org/m/kr727992 '''Ein Beispiel in Geogebra'''] *[[Räumliche Diffusion|'''Räumliche Diffusion''']] *[[Modelle_der_Populationsdynamik|'''Modelle der Populationsdynamik''']] - [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Modelle%20der%20Populationsdynamik&author=Kurs:R%C3%A4umliche%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes (Wiki2Reveal-Folien)] - [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Stochastik/Wahrscheinlichkeitsdichte|Wahrscheinlichkeitsdichte]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Wahrscheinlichkeitsdichte&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wahrscheinlichkeitsdichte&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ===Softwarenutzung === Im PC-Praktikum wurden grundlegende Kenntnisse im Umgang mit Software erlangt, die für die Berechnung von mathematischen Modellen vorwendig sind. Diese Kenntnisse müssen ggf. auf das spezielle Modellierungsthema angepasst und erweitert werden. * '''[[CSV2Chart]]''' Aus CSV-Dateien mathematische Graphen in Wikiversity erstellen. * '''[[Maxima CAS]]''' enthält die verwendeten Werkzeuge und Kommandos eines Computeralgebrasystems (CAS), die die einzelnen Projekte in dem Modellbildungszyklus verwendet haben. * '''[https://sagecell.sagemath.org/ SageCell]''' Online-Umgebung zur Ausführung und Demonstration von Befehlen in R, Octave, Maxima, ... (Auswahl des Befehlssatzes auf der https://sagecell.sagemath.org/ SageCell-Seite] unten rechts auf dem Eingabefeld) * '''[[Statistikprogramm R]]''' enthält die verwendeten Werkzeuge und Kommandos, die für Berechnungen und Veranschaulichungen in den Projekten verwendet haben. * '''[[Tabellenkalkulation]]''' werden in Portfolios in der Regel verwendet, um Daten in den Portfolios aufzubereiten. * '''[[Octave]]''' wird in der Regel verwendet, um numerische Berechnung in der Mathematischen Modellbildung durchzuführen. * '''[[Geogebra]]''' ist eine Dynamische Geometriesoftware, die zur vektoriellen Veranschaulichung von räumlichen Modellierungsproblemen oder auch zur parametrisierten Darstellung von Funktionen verwendet wird (Beispiel: [https://www.geogebra.org/m/e9b349k9 Parkplatzlösung in Geogebra von Shrey T (2017)]). * '''[[w:Screencast|Screencast]]''': Ein Screencast ist eine Bildschirmaufnahme mit Audiokommentaren, die zeigt, wie man z.B. Software bedient. Ein Screencast ist eine Hilfestellung für Lernende, die sich noch nicht so gut mit einer bestimmten Software auskennen. :* [https://obsproject.com/ '''Open Broadcast Software (OBS)''' - Linux, Windows, MacOSX ] - [[Konvexkombination|Beispielvideo in Wikiversity]] * [[v:en:3D_Modelling|'''3D-Modellbildung''' (englisch)]] * '''[http://niebert.github.io/imgmap/ Online-ImageMap-Editor]''' - Anklickbare Bereiche in Wikiversity-Bildern erstellen. * '''[https://openlayers.org/en/latest/examples/heatmap-earthquakes.html HeatMaps]:''' Erstellung von [https://niebert.github.io/openlayer_heatmap HeatMaps mit einem Online-Editor] (Download [https://github.com/niebert/openlayer_heatmap/archive/master.zip Heatmap-Editor und Beispieldaten in Ordner <tt>/HeatMap</tt> in ZIP-Datei]) * '''[[Wiki2Reveal]]:''' Portfolio-Präsentationen direkt im Wikiversity erstellen. ===Editierungshilfen=== * [https://latexeditor.lagrida.com/ Online-Formel-Editor für LaTeX-Formeln]<ref>Lagrida Web-Portal (2021) Online-Latex-Formel-Editor mit Vorschau - URL: https://latexeditor.lagrida.com/ (accessed 2021/11/21))</ref> - die erzeugten Formeln müssen in einen MATH-Tag mit <kbd><math> ...</math></kbd> eingeschlossen werden bei der Seiteneditierung. * [https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:TeX Mathematische Formeln in Wikiversity] * Textgestaltung in Wikis: https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:Textgestaltung ==Wiki2Reveal== * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung2627|Kurs:Mathematische Modellbildung2627]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung2627&author=&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung2627&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] == Verweise == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2026-27%20Wintersemester&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2026-27%20Wintersemester&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung Kurs:Mathematische Modellbildung]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2026-27%20Wintersemester&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] poxiohd1zha8uiqhyww7xcsyp066vij 1116520 1116519 2026-10-17T08:11:43Z ~2026-55076-31 41992 /* Zugang zur Bildung für Nachhaltigen Entwicklung */ 1116520 wikitext text/x-wiki ==Begriffsklärung== === Was ist mathematische Modellbildung? === Ganz grob gesagt besteht Mathematische Modellierung oder auch Mathematische Modellbildung darin, reale Fragestellungen mit mathematischen Mitteln zu bearbeiten und sie auf diesem Wege zumindest teilweise zu beantworten<ref> Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., & Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. </ref>. === Was ist ein Modell? === Ein Modell ist dabei gegeben durch innere Scheinbilder oder Repräsentatonen, die nicht zum Bereich der äußeren Gegenstände, sondern zu Vorstellungen von einem solchen realen Gegenstand gehören und ihnen daher auch in gewissen Grenzen etwas Willkürliches anhaftet (Sinngemäß nach Hertz, zitiert von Ortlieb<ref> Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., & Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. </ref>). ==== Eigenschaften von Modellen ==== Somit lassen sich vereinfacht und verkürzt folgende Eigenschaften ableiten (Stachowiak, zitiert nach Saam <ref> Saam, N. J. (2009). Modellbildung. In Handbuch Methoden der Organisationsforschung: Quantitative und Qualitative Methoden (pp. 517-532). Wiesbaden: VS Verlag für Sozialwissenschaften. </ref>): * '''Abbildungsmerkmal:''' Modelle repräsentieren die Realität, existieren jedoch nicht in der Realität * '''Verkürzungsmerkmal:''' Modelle beschreiben das Objekt nicht exakt, sondern stets vereinfacht * '''Pragmatisches Merkmal:''' Modelle verfolgen einen gewissen Zweck: Sie ersetzen eine nicht abbildbare Realität um Fragestellungen zu beantwortbar zu machen ==== Typisches Beispiele ==== * Betrachtungen in der Physik (Federpendel, Bewegungsgesetze,...) - Physik und Mathematische Modellbildung sind sehr eng miteinander verwoben * Populationsdynamiken und Ausbreitugnsschemata in der Biologie (vgl. Lotka-Volterra Modell) * Bewegungsanalysen und Optimierungen in den Sportwissenschaften * Untersuchungen von Transport- und Umweltprozessen in Biologie, Chemie, Physik, Technik,... * Bedarfs- und Verbrauchs- und Verhaltensanalysen in Geisteswissenschaften === Mathematische Modelle === Mathematische Modelle werden gemessen und bewertet anhand <ref> Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., & Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. </ref>: * '''Zulässigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte in sich widerspruchsfrei sein. * '''Richtigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte im Vergleich mit der Realität keine Widersprüche zu offensichtlich richtigen Tatsachen aufweisen. * '''Zweckmäßigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte genau den Detailgrad beinhalten, den es zum Erfüllen des Zwecks benötigt, nicht mehr und nicht weniger. ==== Gegenbeispiele für mathematische Modelle ==== Gegenbeispiele wären: * Ein nicht zulässiges Modell könnte bei einer Betrachtung einer Punktmasse im Raum dennoch Luftwiederstände berücksichtigen (Punkte haben kein Volumen) * Ein nicht richtiges Modell könnte bei der Modellierung von Transportprozessen von Schadstoffen die Massenerhaltung vernachlässigen. * Ein nicht zweckmäßiges Modell könnte bei dem Versuch den perfekten Abwurfwinkel beim Speerwurf die Krümmung der Erdoberfläche berücksichtigen. ==== Bemerkung - Kriterien ==== Die Kriterien, insbesondere Richtigkeit und Zweckmäßigkeit, sind nicht 100% operational. Einerseits fordert die Richtigkeit, keine bekannten Tatsachen auszulassen, andererseits dürfen hinsichtlich einer passenden Zweckmäßigkeit auch nur ausreichend viele Details integriert werden. ==Der Modellbildungszyklus== Wie kommt man nun von einer Realen Situation, die ein Problem aufwirft zu einem adäquaten mathematischen Modell? Dazu hat sich als möglichst allgemeine Vorgehensweise der Modellbildungszyklus ergeben: [[Datei:Modellbildungszyklus Mod6.png|miniatur|Modellbildungszyklus]] ===Verlauf des MBZ === Der Modellbildungszyklus beschreibt schematisch die iterative Erstellung einer mathematischen Modellbildung: * Ausgangspunkt ist eine reale Situation, die ein Problem aufwirft, die von dem mathematischen Modell adressiert werden soll * Dieses Problem wird inhaltlich erfasst, anschließend mathematisch Übersetzt (Betrachten von Gleichungen, Funktionen, Geometrischen Objekten,...) ====Modellbildungsschleife==== * Durch das Betrachten von mathematischen Objekten können über passende Operationen deduktiv Resultate geschlussfolgert werden * Diese Resultate werden mit der Realsituation abgeglichen * Aus dem Vergleich werden mögliche Optimierungen und Limitationen des Modells abgeleitet * Durch die Limitationen werden kann das Modell weiterentwickelt werden Diese Schritte können/müssen dabei mehrfach durchlaufen werden. ====Integration von Software==== Die Integration von computergestützter Software ist in der mathematischen Modellbildung definitionsgemäss nicht zwigend erforderlich, für die meisten anwendungsbezogenen Modellierungen jedoch unumgänglich. ==Konkretes Beispiel einer Mathematischen Modellbildung== [[Kurs:Mathematische_Modellbildung/Themen/Radioaktivit%C3%A4t_und_Risikoliteralit%C3%A4t]] [[Datei:Screenshot 2D Ansicht Resultate.png|miniatur|alternativtext=Ansicht der möglichen Auftreffpunkte des radioaktiven Niederschlags|Ansicht der möglichen Auftreffpunkte des radioaktiven Niederschlags]] [[File:Zeitliche Abhängigkeit der Risikofunktion.gif|thumb|Das GIF zeigt die Zeitliche Abhängigkeit der Risikofunktion]] === Ziel der Modellierung === Ziel in dieser Modellierung war es, ein Modell zur räumlichen und zeitlichen Ausbreitung einer radioaktiv belasteten Wolke, sowie dessen Rain-Out, infolge einer Reaktorkatastrophe am (mittlerweile abgeschalteten) Kernkraftwerk in Philippsburg zu beschreiben. Unter zu Hilfenahme von Messwerten von dem Reaktorunglück in Tschernobyl und den Halbwertszeiten des radioaktiven Materials wurde der zeitliche Zerfall erfasst. Der Transport von radioaktiven Material wurde durch eine Kugel im <math> \mathbb{R}^3 </math> modelliert. Diese bewegt sich gemäss einer variablen Windrichtung (gegeben durch Winkel <math> \alpha </math>) und regnet sich nach einer gewissen Durchschnittsdauer ab. === Endresultat === Es wurde in drei Modellbildungszyklen eine Funktion zur Beschreibung der radioaktiven Belastung (repräsentativ für das Risiko) abgeleitet: <math>u(x,y,t,\alpha)=\frac{1480\cdot e^{-\frac{ln(2)}{30a} \cdot t}}{1+\frac{7}{10.000}\cdot (x^2+y^2)}+\frac{40\cdot e^{-\frac{ln(2)}{30a} \cdot t}}{1+\frac{1}{7.500}\cdot ((x-1080cos(\alpha))^2+(y-1080sin(\alpha))^2)}</math> Letztlich erhält man also eine Funktion die in ihrem Ausgabewert <math>z=u(x,y,t,\alpha)</math> abhängig von 4 Eingabewerten <math>x, y, t, \alpha </math> ist. ==Modellbildung in der Schule== ===Einbindung in den Lehrplan=== Die mathematische Modellbildung ist stark in den Mathematik-Lehrplan für Schulen in Rheinland-Pfalz integriert (hier wird sich an dem Lehrplan für Sekundarstufe II orientiert <ref> Ministerium für Bildung, Wissensachft, Weiterbildung und Kultur (2015), Lehrplan Mathematik. Grund- und Leistungsfach in der gymnasialen Oberstufe (Mainzer Studienstufe) </ref>). Im Bezug zu Problemlösen im Mathematikunterricht und Mathematik im fachübergreifenden Kontext, sollen Anwendungsbeispiele Einzug halten, die Schülerinnen und Schülern aus anderen Fächern bekannt sind. In diesem Zusammenhang wird mathematische Modellbildung als Methode zur Lösung von solchen Anwendungsproblemen genannt. ===Konkreter Themenbezug=== Zu folgenden mathematischen Themengebieten wird explizit Mathematischen Modellbildung zur unterrichtlichen Umsetzung erwähnt: *Exponentialfunktionen (Wachstums- und Zerfallsprozesse *Matrizenrechnung (Input-Output-Analysen, Zustandsübergangsprozesse, Populationsentwicklung,...) *Differential- und Integralrechnung (lineare oder logistische Wachstumsprozesse) Auch der Einsatz von computergestützten Hilfs- und Lösungsmitteln im Zuge der Modellbildung wird betont. (Bemerke: Auch im Lehrplan wird ein vergleichbarer Modellbildungszyklus vorgestellt und beschrieben. Bei Bedarf kann dieser auf Seite 15-16<ref> Ministerium für Bildung, Wissensachft, Weiterbildung und Kultur (2015), Lehrplan Mathematik. Grund- und Leistungsfach in der gymnasialen Oberstufe (Mainzer Studienstufe). </ref> nachgelesen werden) ===Zugang zur Bildung für Nachhaltigen Entwicklung=== Durch die Möglichkeit fachübergreifende Fragestellungen zu behandeln und Prozesse der Realität in den Blick zu nehmen, kann mathematische Modellbildung die Brücke zur Bildung für Nachhaltigen Entwicklung (BNE) schlagen. "Die BNE zielt grundsätzlich darauf ab, es jedem und jeder Einzelnen zu ermöglichen, die Folgen des eigenen Handelns auf die Welt sowie intra- und intergenerationell zu verstehen, verantwortungsvolle Entscheidungen zu treffen und aktiv zu werden." Mathematische Modellbildung kann unter praktischer Anwendung von gelernten Inhalten im Schulunterricht zu BNE beitragen, indem eben gezielt Probleme adressiert werden und von Schülerinnen und Schülern eigenständig untersucht werden. ==Ziel und Organisation des Seminars== ===Ziel und Aufgabe=== In Kleingruppen (3-4 Personen) sollen aussermathematische Fragestellungen mit einer eigenen mathematischen Modellbildung behandelt werden. Dazu sollen drei Modellbildungszyklen mit unterschiedlichem Grad an Vereinfachung und unterschiedlicher Mathematischen Grundlage erstellt werden: * Zyklus: Mathematik der Sekundarstufe 1 (Mittelstufe) * Zyklus: Mathematik der Sekundarstufe 2 (Oberstufe) * Zyklus: Universitätsmathematik ====Integration von Software==== In jedem Zyklus sollen computergestützte Untersuchungen und Betrachtungen Einzug erhalten. Somit bietet es sich an in insgesamt auch drei verschiedene Programme (Tabellenkalkulation, GeoGebra, RStudio, Maxima,...) zu integrieren - an manchen stellen lässt sich dies gar nicht vermeiden. ===Themenwahl=== Das Thema sollte einen weltlichen Bezug haben. Am besten eigenen sich Themen aus dem jeweiligen Zweitfach (s. Verbindung zu anderen Schulfächern im Lehrplan). Das Thema sollte nachhaltige Entwicklung im Rahmen der Sustainable Development Goals adressieren. Siehe dazu: https://www.bundesumweltministerium.de/themen/nachhaltigkeit/nachhaltigkeitsziele-sdgs Vorzugsweise: Räumliche Risikobetrachtungen in Desaster- und Katastrophenszenarien. Das Thema sollte sich nicht mit denen der vergangenen Semestern doppeln. Zur Orientierung und Inspiration finden sich hier die Projekte der vergangenen Semester: :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2026 Sommersemester|2026 Sommersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2025-26 Wintersemester|2025/26 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2024-25 Wintersemester|2024/25 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2023-24 Wintersemester|2023/24 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2022-23 Winteresemester|2022/23 Wintersemester]]''' ===Portfolio=== Während des Semesters soll in Gruppenarbeit die Modellbildung durchgeführt werden. Diese wird schriftlich in einem Portfolio festgehalten. Dies Portfolio wird, genau wie dieser Artikel auch, in einem Wikiversity Artikel dokumentiert. Dieser sollte folgendes enthalten: * Einleitung: Beschreibung und Einordnung des Themas & welche(s) SDG wird adressiert und warum? * Ziel der Modellierung: Welches Problem wird in der Modellierung / den einzelnen Zyklen konkret angegangen? * Zyklus 1-3 ** Mathematisches Modell (welche Mathematischen Objekte werden betrachtet, wie ergeben die sich,...) ** Ergebnisse (Ableiten von Resultaten aus dem Modell) ** Bewertung der Ergebnisse ** Grenzen und Limitationen ** Ausblick für nächsten Zyklus (welche Limitationen und Probleme aus dem Zyklus werden im folgenden adressiert?) In allen Punkten der Modellzyklen können Programme computergestützte Tools verwendet werden. Zur Erstellung von Wiki-Seiten ist folgende Seite hilfreich: https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:Textgestaltung ===Prüfung=== Die Prüfung gliedert sich in zwei Aspekte: * '''Vorstellung von ausgewählten Teilen aus dem eigenen Portfolio''' - diese werden von den Prüfer:innen aus dem Portfolio der Studierenden ausgewählt. * '''Diskussion und Fragen''' der Prüfer:innen zu dem Portfolio, z.B. zu Teilen des Portfolios, die in der Vorstellung nicht behandelt werden können. Ein Portfolio kann aus Zeitgründen nie vollständig in der Prüfung dargestellt werden. In der mündlichen Portfolio-Prüfung wird geprüft, ob *das eigene Modell verstanden ist, *das eigene Modell kritisch hinterfragt werden kann, *die Limitationen des Modells begründet und nachvollziehbar wiedergegeben werden können, *die Übergänge zwischen den Zyklen beschrieben und begründet werden können, *die technische Umsetzung reproduziert und erklärt werden kann, *... . Es ist also wichtig zu wissen, was wie an welcher Stelle und mit welchem Zweck in der Modellierung gemacht wurde! Das Portfolio (Wiki-Seite) wird somit konkret vorgestellt. Eine Präsentation des Portfolio kann automatisch mit Wiki2Reveal erstellt werden. === Unterstützungsangebot === * Das Unterstützungsangebot erfolgt in der Lehrveranstaltung zur "Mathematischen Modellbildung". * Eine individuelle Sonderbehandlung für einzelne Studierende, die das Angebot der Vorlesung nicht nutzen und kurz vor Prüfungsbeginn noch "schnell" ein Portfolio zusammenstellen wollen, ist aus zeitlichen Gründen kurz vor der Prüfung nicht möglich. * Portfolioprüfungen der Lehrveranstaltung beziehen sich immer auf das erstellte Portfolio im laufende Semester und bei Wiederholungsprüfungen auf das Semester, in dem Portfolio erstellt wurde. * Eine Prüfung kann nur zu dem eigenen erstellten Portfolio in der Lehrveranstaltung abgelegt werden, an dessen Erstellung man aktiv mitgearbeitet hat. ===Ablauf des Seminars=== Der Seminarablauf über das Semester gestaltet sich grob wie folgt: * 1. Woche (19.10.): Einführungsveranstaltung + Gruppenfindung * 2. Woche (26.10.): Themenfindung * 3. Woche (02.11.): Themenfindung + Zyklen festlegen * 4. Woche (09.11.): Zyklen festlegen * 5. Woche (16.11.): Kurzvorstellung der Themen und Zyklen (5 Minuten pro Gruppe) Ab Woche 6 (23.11.) bis Ende des Semesters wird gemeinsam an den Modellen und dem Portfolio gearbeitet. Empfehlenswert wäre es, die letzten 2-3 Wochen für Finalisierungsarbeiten zu nutzen und entsprechend frühzeitig zu planen! Ausschliesslich während der Seminarzeiten an dem Modell und Portfolio zu arbeiten wird nicht ausreichen! Die Kurzpräsentationen am 16.11. umfassen den aktuellen Stand der Überlegungen und sind noch unter keinen Umständen verbindlich. Stattdessen dient es einfach zur Grundlage von gemeinsamer Diskussion und zur Einbringung von weiteren Ideen. =Hilfreiche Links= ===Fachmathematische Aspekte === Wenn man das Modellierungsproblem in den Mittelpunkt stellt und die Fragestellung den Nachhaltigkeitszielen der UN zuordnet, kommen z.T. fachmathematische Aspekte erforderlich, die nicht in der jeweiligen Schulstufe bzw. in den Vorlesungen behandelt wurden. Dies Kapitel erhält Hinweise zu fachmathematischen Bereichen, die für die mathematische Modellbildung ggf. als Werkzeug verwendet werden können * '''[[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]''' dienen dazu, Datenpunkte im <math>\R^2</math> oder allgemein im <math>\R^n</math> zu [[w:Interpolation_(Mathematik)|interpolieren]]. * '''[https://en.wikiversity.org/wiki/3D_Modelling 3D Modellierung für Projektinhalte]''' und [[w:Projektive_Geometrie|projektive Geometrie]] zur Visualisierung * '''[[Gradientenabstiegsverfahren]]''': Wird verwendet, um sich in der mathematischen Modellbildung iterativ einem Minimum einer Kosten- oder Fehlerfunktion anzunähern. * [[w:Lineare_Optimierung|'''Lineare Optimierung''']] wird in Optimierungshaufgaben wie beispielsweise bei der Suche nach Minimum der Produktionskosten verwendet. Hierbei wird in allgemeinem nach einem Minimium/Maximum einer linearer Zielfunktion über einer Menge gesucht. [https://www.geogebra.org/m/kr727992 '''Ein Beispiel in Geogebra'''] *[[Räumliche Diffusion|'''Räumliche Diffusion''']] *[[Modelle_der_Populationsdynamik|'''Modelle der Populationsdynamik''']] - [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Modelle%20der%20Populationsdynamik&author=Kurs:R%C3%A4umliche%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes (Wiki2Reveal-Folien)] - [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Stochastik/Wahrscheinlichkeitsdichte|Wahrscheinlichkeitsdichte]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Wahrscheinlichkeitsdichte&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wahrscheinlichkeitsdichte&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ===Softwarenutzung === Im PC-Praktikum wurden grundlegende Kenntnisse im Umgang mit Software erlangt, die für die Berechnung von mathematischen Modellen vorwendig sind. Diese Kenntnisse müssen ggf. auf das spezielle Modellierungsthema angepasst und erweitert werden. * '''[[CSV2Chart]]''' Aus CSV-Dateien mathematische Graphen in Wikiversity erstellen. * '''[[Maxima CAS]]''' enthält die verwendeten Werkzeuge und Kommandos eines Computeralgebrasystems (CAS), die die einzelnen Projekte in dem Modellbildungszyklus verwendet haben. * '''[https://sagecell.sagemath.org/ SageCell]''' Online-Umgebung zur Ausführung und Demonstration von Befehlen in R, Octave, Maxima, ... (Auswahl des Befehlssatzes auf der https://sagecell.sagemath.org/ SageCell-Seite] unten rechts auf dem Eingabefeld) * '''[[Statistikprogramm R]]''' enthält die verwendeten Werkzeuge und Kommandos, die für Berechnungen und Veranschaulichungen in den Projekten verwendet haben. * '''[[Tabellenkalkulation]]''' werden in Portfolios in der Regel verwendet, um Daten in den Portfolios aufzubereiten. * '''[[Octave]]''' wird in der Regel verwendet, um numerische Berechnung in der Mathematischen Modellbildung durchzuführen. * '''[[Geogebra]]''' ist eine Dynamische Geometriesoftware, die zur vektoriellen Veranschaulichung von räumlichen Modellierungsproblemen oder auch zur parametrisierten Darstellung von Funktionen verwendet wird (Beispiel: [https://www.geogebra.org/m/e9b349k9 Parkplatzlösung in Geogebra von Shrey T (2017)]). * '''[[w:Screencast|Screencast]]''': Ein Screencast ist eine Bildschirmaufnahme mit Audiokommentaren, die zeigt, wie man z.B. Software bedient. Ein Screencast ist eine Hilfestellung für Lernende, die sich noch nicht so gut mit einer bestimmten Software auskennen. :* [https://obsproject.com/ '''Open Broadcast Software (OBS)''' - Linux, Windows, MacOSX ] - [[Konvexkombination|Beispielvideo in Wikiversity]] * [[v:en:3D_Modelling|'''3D-Modellbildung''' (englisch)]] * '''[http://niebert.github.io/imgmap/ Online-ImageMap-Editor]''' - Anklickbare Bereiche in Wikiversity-Bildern erstellen. * '''[https://openlayers.org/en/latest/examples/heatmap-earthquakes.html HeatMaps]:''' Erstellung von [https://niebert.github.io/openlayer_heatmap HeatMaps mit einem Online-Editor] (Download [https://github.com/niebert/openlayer_heatmap/archive/master.zip Heatmap-Editor und Beispieldaten in Ordner <tt>/HeatMap</tt> in ZIP-Datei]) * '''[[Wiki2Reveal]]:''' Portfolio-Präsentationen direkt im Wikiversity erstellen. ===Editierungshilfen=== * [https://latexeditor.lagrida.com/ Online-Formel-Editor für LaTeX-Formeln]<ref>Lagrida Web-Portal (2021) Online-Latex-Formel-Editor mit Vorschau - URL: https://latexeditor.lagrida.com/ (accessed 2021/11/21))</ref> - die erzeugten Formeln müssen in einen MATH-Tag mit <kbd><math> ...</math></kbd> eingeschlossen werden bei der Seiteneditierung. * [https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:TeX Mathematische Formeln in Wikiversity] * Textgestaltung in Wikis: https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:Textgestaltung ==Wiki2Reveal== * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung2627|Kurs:Mathematische Modellbildung2627]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung2627&author=&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung2627&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] == Verweise == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2026-27%20Wintersemester&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2026-27%20Wintersemester&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung Kurs:Mathematische Modellbildung]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2026-27%20Wintersemester&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] tvyovbrpfima8az4muuyxcvgzspn0ac 1116521 1116520 2026-10-17T08:13:37Z ~2026-55076-31 41992 /* Zugang zur Bildung für Nachhaltigen Entwicklung */ 1116521 wikitext text/x-wiki ==Begriffsklärung== === Was ist mathematische Modellbildung? === Ganz grob gesagt besteht Mathematische Modellierung oder auch Mathematische Modellbildung darin, reale Fragestellungen mit mathematischen Mitteln zu bearbeiten und sie auf diesem Wege zumindest teilweise zu beantworten<ref> Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., & Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. </ref>. === Was ist ein Modell? === Ein Modell ist dabei gegeben durch innere Scheinbilder oder Repräsentatonen, die nicht zum Bereich der äußeren Gegenstände, sondern zu Vorstellungen von einem solchen realen Gegenstand gehören und ihnen daher auch in gewissen Grenzen etwas Willkürliches anhaftet (Sinngemäß nach Hertz, zitiert von Ortlieb<ref> Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., & Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. </ref>). ==== Eigenschaften von Modellen ==== Somit lassen sich vereinfacht und verkürzt folgende Eigenschaften ableiten (Stachowiak, zitiert nach Saam <ref> Saam, N. J. (2009). Modellbildung. In Handbuch Methoden der Organisationsforschung: Quantitative und Qualitative Methoden (pp. 517-532). Wiesbaden: VS Verlag für Sozialwissenschaften. </ref>): * '''Abbildungsmerkmal:''' Modelle repräsentieren die Realität, existieren jedoch nicht in der Realität * '''Verkürzungsmerkmal:''' Modelle beschreiben das Objekt nicht exakt, sondern stets vereinfacht * '''Pragmatisches Merkmal:''' Modelle verfolgen einen gewissen Zweck: Sie ersetzen eine nicht abbildbare Realität um Fragestellungen zu beantwortbar zu machen ==== Typisches Beispiele ==== * Betrachtungen in der Physik (Federpendel, Bewegungsgesetze,...) - Physik und Mathematische Modellbildung sind sehr eng miteinander verwoben * Populationsdynamiken und Ausbreitugnsschemata in der Biologie (vgl. Lotka-Volterra Modell) * Bewegungsanalysen und Optimierungen in den Sportwissenschaften * Untersuchungen von Transport- und Umweltprozessen in Biologie, Chemie, Physik, Technik,... * Bedarfs- und Verbrauchs- und Verhaltensanalysen in Geisteswissenschaften === Mathematische Modelle === Mathematische Modelle werden gemessen und bewertet anhand <ref> Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., & Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. </ref>: * '''Zulässigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte in sich widerspruchsfrei sein. * '''Richtigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte im Vergleich mit der Realität keine Widersprüche zu offensichtlich richtigen Tatsachen aufweisen. * '''Zweckmäßigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte genau den Detailgrad beinhalten, den es zum Erfüllen des Zwecks benötigt, nicht mehr und nicht weniger. ==== Gegenbeispiele für mathematische Modelle ==== Gegenbeispiele wären: * Ein nicht zulässiges Modell könnte bei einer Betrachtung einer Punktmasse im Raum dennoch Luftwiederstände berücksichtigen (Punkte haben kein Volumen) * Ein nicht richtiges Modell könnte bei der Modellierung von Transportprozessen von Schadstoffen die Massenerhaltung vernachlässigen. * Ein nicht zweckmäßiges Modell könnte bei dem Versuch den perfekten Abwurfwinkel beim Speerwurf die Krümmung der Erdoberfläche berücksichtigen. ==== Bemerkung - Kriterien ==== Die Kriterien, insbesondere Richtigkeit und Zweckmäßigkeit, sind nicht 100% operational. Einerseits fordert die Richtigkeit, keine bekannten Tatsachen auszulassen, andererseits dürfen hinsichtlich einer passenden Zweckmäßigkeit auch nur ausreichend viele Details integriert werden. ==Der Modellbildungszyklus== Wie kommt man nun von einer Realen Situation, die ein Problem aufwirft zu einem adäquaten mathematischen Modell? Dazu hat sich als möglichst allgemeine Vorgehensweise der Modellbildungszyklus ergeben: [[Datei:Modellbildungszyklus Mod6.png|miniatur|Modellbildungszyklus]] ===Verlauf des MBZ === Der Modellbildungszyklus beschreibt schematisch die iterative Erstellung einer mathematischen Modellbildung: * Ausgangspunkt ist eine reale Situation, die ein Problem aufwirft, die von dem mathematischen Modell adressiert werden soll * Dieses Problem wird inhaltlich erfasst, anschließend mathematisch Übersetzt (Betrachten von Gleichungen, Funktionen, Geometrischen Objekten,...) ====Modellbildungsschleife==== * Durch das Betrachten von mathematischen Objekten können über passende Operationen deduktiv Resultate geschlussfolgert werden * Diese Resultate werden mit der Realsituation abgeglichen * Aus dem Vergleich werden mögliche Optimierungen und Limitationen des Modells abgeleitet * Durch die Limitationen werden kann das Modell weiterentwickelt werden Diese Schritte können/müssen dabei mehrfach durchlaufen werden. ====Integration von Software==== Die Integration von computergestützter Software ist in der mathematischen Modellbildung definitionsgemäss nicht zwigend erforderlich, für die meisten anwendungsbezogenen Modellierungen jedoch unumgänglich. ==Konkretes Beispiel einer Mathematischen Modellbildung== [[Kurs:Mathematische_Modellbildung/Themen/Radioaktivit%C3%A4t_und_Risikoliteralit%C3%A4t]] [[Datei:Screenshot 2D Ansicht Resultate.png|miniatur|alternativtext=Ansicht der möglichen Auftreffpunkte des radioaktiven Niederschlags|Ansicht der möglichen Auftreffpunkte des radioaktiven Niederschlags]] [[File:Zeitliche Abhängigkeit der Risikofunktion.gif|thumb|Das GIF zeigt die Zeitliche Abhängigkeit der Risikofunktion]] === Ziel der Modellierung === Ziel in dieser Modellierung war es, ein Modell zur räumlichen und zeitlichen Ausbreitung einer radioaktiv belasteten Wolke, sowie dessen Rain-Out, infolge einer Reaktorkatastrophe am (mittlerweile abgeschalteten) Kernkraftwerk in Philippsburg zu beschreiben. Unter zu Hilfenahme von Messwerten von dem Reaktorunglück in Tschernobyl und den Halbwertszeiten des radioaktiven Materials wurde der zeitliche Zerfall erfasst. Der Transport von radioaktiven Material wurde durch eine Kugel im <math> \mathbb{R}^3 </math> modelliert. Diese bewegt sich gemäss einer variablen Windrichtung (gegeben durch Winkel <math> \alpha </math>) und regnet sich nach einer gewissen Durchschnittsdauer ab. === Endresultat === Es wurde in drei Modellbildungszyklen eine Funktion zur Beschreibung der radioaktiven Belastung (repräsentativ für das Risiko) abgeleitet: <math>u(x,y,t,\alpha)=\frac{1480\cdot e^{-\frac{ln(2)}{30a} \cdot t}}{1+\frac{7}{10.000}\cdot (x^2+y^2)}+\frac{40\cdot e^{-\frac{ln(2)}{30a} \cdot t}}{1+\frac{1}{7.500}\cdot ((x-1080cos(\alpha))^2+(y-1080sin(\alpha))^2)}</math> Letztlich erhält man also eine Funktion die in ihrem Ausgabewert <math>z=u(x,y,t,\alpha)</math> abhängig von 4 Eingabewerten <math>x, y, t, \alpha </math> ist. ==Modellbildung in der Schule== ===Einbindung in den Lehrplan=== Die mathematische Modellbildung ist stark in den Mathematik-Lehrplan für Schulen in Rheinland-Pfalz integriert (hier wird sich an dem Lehrplan für Sekundarstufe II orientiert <ref> Ministerium für Bildung, Wissensachft, Weiterbildung und Kultur (2015), Lehrplan Mathematik. Grund- und Leistungsfach in der gymnasialen Oberstufe (Mainzer Studienstufe) </ref>). Im Bezug zu Problemlösen im Mathematikunterricht und Mathematik im fachübergreifenden Kontext, sollen Anwendungsbeispiele Einzug halten, die Schülerinnen und Schülern aus anderen Fächern bekannt sind. In diesem Zusammenhang wird mathematische Modellbildung als Methode zur Lösung von solchen Anwendungsproblemen genannt. ===Konkreter Themenbezug=== Zu folgenden mathematischen Themengebieten wird explizit Mathematischen Modellbildung zur unterrichtlichen Umsetzung erwähnt: *Exponentialfunktionen (Wachstums- und Zerfallsprozesse *Matrizenrechnung (Input-Output-Analysen, Zustandsübergangsprozesse, Populationsentwicklung,...) *Differential- und Integralrechnung (lineare oder logistische Wachstumsprozesse) Auch der Einsatz von computergestützten Hilfs- und Lösungsmitteln im Zuge der Modellbildung wird betont. (Bemerke: Auch im Lehrplan wird ein vergleichbarer Modellbildungszyklus vorgestellt und beschrieben. Bei Bedarf kann dieser auf Seite 15-16<ref> Ministerium für Bildung, Wissensachft, Weiterbildung und Kultur (2015), Lehrplan Mathematik. Grund- und Leistungsfach in der gymnasialen Oberstufe (Mainzer Studienstufe). </ref> nachgelesen werden) ===Zugang zur Bildung für Nachhaltigen Entwicklung=== Durch die Möglichkeit fachübergreifende Fragestellungen zu behandeln und Prozesse der Realität in den Blick zu nehmen, kann mathematische Modellbildung die Brücke zur Bildung für Nachhaltigen Entwicklung (BNE) schlagen. ===Bildung für Nachhaltige Entwicklung=== "Die BNE zielt grundsätzlich darauf ab, es jedem und jeder Einzelnen zu ermöglichen, die Folgen des eigenen Handelns auf die Welt sowie intra- und intergenerationell zu verstehen, verantwortungsvolle Entscheidungen zu treffen und aktiv zu werden." <ref> Ministerium für Bildung. Bildung für nachhaltige Entwicklung. Online abrufbar unter: https://bm.rlp.de/unsere-schwerpunkte/bildung-fuer-nachhaltige-entwicklung </ref> ===BNE und Modellbildung==== Mathematische Modellbildung kann unter praktischer Anwendung von gelernten Inhalten im Schulunterricht zu BNE beitragen, indem eben gezielt Probleme adressiert werden und von Schülerinnen und Schülern eigenständig untersucht werden. ==Ziel und Organisation des Seminars== ===Ziel und Aufgabe=== In Kleingruppen (3-4 Personen) sollen aussermathematische Fragestellungen mit einer eigenen mathematischen Modellbildung behandelt werden. Dazu sollen drei Modellbildungszyklen mit unterschiedlichem Grad an Vereinfachung und unterschiedlicher Mathematischen Grundlage erstellt werden: * Zyklus: Mathematik der Sekundarstufe 1 (Mittelstufe) * Zyklus: Mathematik der Sekundarstufe 2 (Oberstufe) * Zyklus: Universitätsmathematik ====Integration von Software==== In jedem Zyklus sollen computergestützte Untersuchungen und Betrachtungen Einzug erhalten. Somit bietet es sich an in insgesamt auch drei verschiedene Programme (Tabellenkalkulation, GeoGebra, RStudio, Maxima,...) zu integrieren - an manchen stellen lässt sich dies gar nicht vermeiden. ===Themenwahl=== Das Thema sollte einen weltlichen Bezug haben. Am besten eigenen sich Themen aus dem jeweiligen Zweitfach (s. Verbindung zu anderen Schulfächern im Lehrplan). Das Thema sollte nachhaltige Entwicklung im Rahmen der Sustainable Development Goals adressieren. Siehe dazu: https://www.bundesumweltministerium.de/themen/nachhaltigkeit/nachhaltigkeitsziele-sdgs Vorzugsweise: Räumliche Risikobetrachtungen in Desaster- und Katastrophenszenarien. Das Thema sollte sich nicht mit denen der vergangenen Semestern doppeln. Zur Orientierung und Inspiration finden sich hier die Projekte der vergangenen Semester: :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2026 Sommersemester|2026 Sommersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2025-26 Wintersemester|2025/26 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2024-25 Wintersemester|2024/25 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2023-24 Wintersemester|2023/24 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2022-23 Winteresemester|2022/23 Wintersemester]]''' ===Portfolio=== Während des Semesters soll in Gruppenarbeit die Modellbildung durchgeführt werden. Diese wird schriftlich in einem Portfolio festgehalten. Dies Portfolio wird, genau wie dieser Artikel auch, in einem Wikiversity Artikel dokumentiert. Dieser sollte folgendes enthalten: * Einleitung: Beschreibung und Einordnung des Themas & welche(s) SDG wird adressiert und warum? * Ziel der Modellierung: Welches Problem wird in der Modellierung / den einzelnen Zyklen konkret angegangen? * Zyklus 1-3 ** Mathematisches Modell (welche Mathematischen Objekte werden betrachtet, wie ergeben die sich,...) ** Ergebnisse (Ableiten von Resultaten aus dem Modell) ** Bewertung der Ergebnisse ** Grenzen und Limitationen ** Ausblick für nächsten Zyklus (welche Limitationen und Probleme aus dem Zyklus werden im folgenden adressiert?) In allen Punkten der Modellzyklen können Programme computergestützte Tools verwendet werden. Zur Erstellung von Wiki-Seiten ist folgende Seite hilfreich: https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:Textgestaltung ===Prüfung=== Die Prüfung gliedert sich in zwei Aspekte: * '''Vorstellung von ausgewählten Teilen aus dem eigenen Portfolio''' - diese werden von den Prüfer:innen aus dem Portfolio der Studierenden ausgewählt. * '''Diskussion und Fragen''' der Prüfer:innen zu dem Portfolio, z.B. zu Teilen des Portfolios, die in der Vorstellung nicht behandelt werden können. Ein Portfolio kann aus Zeitgründen nie vollständig in der Prüfung dargestellt werden. In der mündlichen Portfolio-Prüfung wird geprüft, ob *das eigene Modell verstanden ist, *das eigene Modell kritisch hinterfragt werden kann, *die Limitationen des Modells begründet und nachvollziehbar wiedergegeben werden können, *die Übergänge zwischen den Zyklen beschrieben und begründet werden können, *die technische Umsetzung reproduziert und erklärt werden kann, *... . Es ist also wichtig zu wissen, was wie an welcher Stelle und mit welchem Zweck in der Modellierung gemacht wurde! Das Portfolio (Wiki-Seite) wird somit konkret vorgestellt. Eine Präsentation des Portfolio kann automatisch mit Wiki2Reveal erstellt werden. === Unterstützungsangebot === * Das Unterstützungsangebot erfolgt in der Lehrveranstaltung zur "Mathematischen Modellbildung". * Eine individuelle Sonderbehandlung für einzelne Studierende, die das Angebot der Vorlesung nicht nutzen und kurz vor Prüfungsbeginn noch "schnell" ein Portfolio zusammenstellen wollen, ist aus zeitlichen Gründen kurz vor der Prüfung nicht möglich. * Portfolioprüfungen der Lehrveranstaltung beziehen sich immer auf das erstellte Portfolio im laufende Semester und bei Wiederholungsprüfungen auf das Semester, in dem Portfolio erstellt wurde. * Eine Prüfung kann nur zu dem eigenen erstellten Portfolio in der Lehrveranstaltung abgelegt werden, an dessen Erstellung man aktiv mitgearbeitet hat. ===Ablauf des Seminars=== Der Seminarablauf über das Semester gestaltet sich grob wie folgt: * 1. Woche (19.10.): Einführungsveranstaltung + Gruppenfindung * 2. Woche (26.10.): Themenfindung * 3. Woche (02.11.): Themenfindung + Zyklen festlegen * 4. Woche (09.11.): Zyklen festlegen * 5. Woche (16.11.): Kurzvorstellung der Themen und Zyklen (5 Minuten pro Gruppe) Ab Woche 6 (23.11.) bis Ende des Semesters wird gemeinsam an den Modellen und dem Portfolio gearbeitet. Empfehlenswert wäre es, die letzten 2-3 Wochen für Finalisierungsarbeiten zu nutzen und entsprechend frühzeitig zu planen! Ausschliesslich während der Seminarzeiten an dem Modell und Portfolio zu arbeiten wird nicht ausreichen! Die Kurzpräsentationen am 16.11. umfassen den aktuellen Stand der Überlegungen und sind noch unter keinen Umständen verbindlich. Stattdessen dient es einfach zur Grundlage von gemeinsamer Diskussion und zur Einbringung von weiteren Ideen. =Hilfreiche Links= ===Fachmathematische Aspekte === Wenn man das Modellierungsproblem in den Mittelpunkt stellt und die Fragestellung den Nachhaltigkeitszielen der UN zuordnet, kommen z.T. fachmathematische Aspekte erforderlich, die nicht in der jeweiligen Schulstufe bzw. in den Vorlesungen behandelt wurden. Dies Kapitel erhält Hinweise zu fachmathematischen Bereichen, die für die mathematische Modellbildung ggf. als Werkzeug verwendet werden können * '''[[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]''' dienen dazu, Datenpunkte im <math>\R^2</math> oder allgemein im <math>\R^n</math> zu [[w:Interpolation_(Mathematik)|interpolieren]]. * '''[https://en.wikiversity.org/wiki/3D_Modelling 3D Modellierung für Projektinhalte]''' und [[w:Projektive_Geometrie|projektive Geometrie]] zur Visualisierung * '''[[Gradientenabstiegsverfahren]]''': Wird verwendet, um sich in der mathematischen Modellbildung iterativ einem Minimum einer Kosten- oder Fehlerfunktion anzunähern. * [[w:Lineare_Optimierung|'''Lineare Optimierung''']] wird in Optimierungshaufgaben wie beispielsweise bei der Suche nach Minimum der Produktionskosten verwendet. Hierbei wird in allgemeinem nach einem Minimium/Maximum einer linearer Zielfunktion über einer Menge gesucht. [https://www.geogebra.org/m/kr727992 '''Ein Beispiel in Geogebra'''] *[[Räumliche Diffusion|'''Räumliche Diffusion''']] *[[Modelle_der_Populationsdynamik|'''Modelle der Populationsdynamik''']] - [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Modelle%20der%20Populationsdynamik&author=Kurs:R%C3%A4umliche%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes (Wiki2Reveal-Folien)] - [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Stochastik/Wahrscheinlichkeitsdichte|Wahrscheinlichkeitsdichte]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Wahrscheinlichkeitsdichte&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wahrscheinlichkeitsdichte&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ===Softwarenutzung === Im PC-Praktikum wurden grundlegende Kenntnisse im Umgang mit Software erlangt, die für die Berechnung von mathematischen Modellen vorwendig sind. Diese Kenntnisse müssen ggf. auf das spezielle Modellierungsthema angepasst und erweitert werden. * '''[[CSV2Chart]]''' Aus CSV-Dateien mathematische Graphen in Wikiversity erstellen. * '''[[Maxima CAS]]''' enthält die verwendeten Werkzeuge und Kommandos eines Computeralgebrasystems (CAS), die die einzelnen Projekte in dem Modellbildungszyklus verwendet haben. * '''[https://sagecell.sagemath.org/ SageCell]''' Online-Umgebung zur Ausführung und Demonstration von Befehlen in R, Octave, Maxima, ... (Auswahl des Befehlssatzes auf der https://sagecell.sagemath.org/ SageCell-Seite] unten rechts auf dem Eingabefeld) * '''[[Statistikprogramm R]]''' enthält die verwendeten Werkzeuge und Kommandos, die für Berechnungen und Veranschaulichungen in den Projekten verwendet haben. * '''[[Tabellenkalkulation]]''' werden in Portfolios in der Regel verwendet, um Daten in den Portfolios aufzubereiten. * '''[[Octave]]''' wird in der Regel verwendet, um numerische Berechnung in der Mathematischen Modellbildung durchzuführen. * '''[[Geogebra]]''' ist eine Dynamische Geometriesoftware, die zur vektoriellen Veranschaulichung von räumlichen Modellierungsproblemen oder auch zur parametrisierten Darstellung von Funktionen verwendet wird (Beispiel: [https://www.geogebra.org/m/e9b349k9 Parkplatzlösung in Geogebra von Shrey T (2017)]). * '''[[w:Screencast|Screencast]]''': Ein Screencast ist eine Bildschirmaufnahme mit Audiokommentaren, die zeigt, wie man z.B. Software bedient. Ein Screencast ist eine Hilfestellung für Lernende, die sich noch nicht so gut mit einer bestimmten Software auskennen. :* [https://obsproject.com/ '''Open Broadcast Software (OBS)''' - Linux, Windows, MacOSX ] - [[Konvexkombination|Beispielvideo in Wikiversity]] * [[v:en:3D_Modelling|'''3D-Modellbildung''' (englisch)]] * '''[http://niebert.github.io/imgmap/ Online-ImageMap-Editor]''' - Anklickbare Bereiche in Wikiversity-Bildern erstellen. * '''[https://openlayers.org/en/latest/examples/heatmap-earthquakes.html HeatMaps]:''' Erstellung von [https://niebert.github.io/openlayer_heatmap HeatMaps mit einem Online-Editor] (Download [https://github.com/niebert/openlayer_heatmap/archive/master.zip Heatmap-Editor und Beispieldaten in Ordner <tt>/HeatMap</tt> in ZIP-Datei]) * '''[[Wiki2Reveal]]:''' Portfolio-Präsentationen direkt im Wikiversity erstellen. ===Editierungshilfen=== * [https://latexeditor.lagrida.com/ Online-Formel-Editor für LaTeX-Formeln]<ref>Lagrida Web-Portal (2021) Online-Latex-Formel-Editor mit Vorschau - URL: https://latexeditor.lagrida.com/ (accessed 2021/11/21))</ref> - die erzeugten Formeln müssen in einen MATH-Tag mit <kbd><math> ...</math></kbd> eingeschlossen werden bei der Seiteneditierung. * [https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:TeX Mathematische Formeln in Wikiversity] * Textgestaltung in Wikis: https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:Textgestaltung ==Wiki2Reveal== * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung2627|Kurs:Mathematische Modellbildung2627]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung2627&author=&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung2627&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] == Verweise == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2026-27%20Wintersemester&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2026-27%20Wintersemester&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung Kurs:Mathematische Modellbildung]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2026-27%20Wintersemester&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] ppzu684ly4s3rfd2j60bitdusbymbx2 1116522 1116521 2026-10-17T08:14:03Z ~2026-55076-31 41992 /* Modellbildung in der Schule */ 1116522 wikitext text/x-wiki ==Begriffsklärung== === Was ist mathematische Modellbildung? === Ganz grob gesagt besteht Mathematische Modellierung oder auch Mathematische Modellbildung darin, reale Fragestellungen mit mathematischen Mitteln zu bearbeiten und sie auf diesem Wege zumindest teilweise zu beantworten<ref> Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., & Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. </ref>. === Was ist ein Modell? === Ein Modell ist dabei gegeben durch innere Scheinbilder oder Repräsentatonen, die nicht zum Bereich der äußeren Gegenstände, sondern zu Vorstellungen von einem solchen realen Gegenstand gehören und ihnen daher auch in gewissen Grenzen etwas Willkürliches anhaftet (Sinngemäß nach Hertz, zitiert von Ortlieb<ref> Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., & Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. </ref>). ==== Eigenschaften von Modellen ==== Somit lassen sich vereinfacht und verkürzt folgende Eigenschaften ableiten (Stachowiak, zitiert nach Saam <ref> Saam, N. J. (2009). Modellbildung. In Handbuch Methoden der Organisationsforschung: Quantitative und Qualitative Methoden (pp. 517-532). Wiesbaden: VS Verlag für Sozialwissenschaften. </ref>): * '''Abbildungsmerkmal:''' Modelle repräsentieren die Realität, existieren jedoch nicht in der Realität * '''Verkürzungsmerkmal:''' Modelle beschreiben das Objekt nicht exakt, sondern stets vereinfacht * '''Pragmatisches Merkmal:''' Modelle verfolgen einen gewissen Zweck: Sie ersetzen eine nicht abbildbare Realität um Fragestellungen zu beantwortbar zu machen ==== Typisches Beispiele ==== * Betrachtungen in der Physik (Federpendel, Bewegungsgesetze,...) - Physik und Mathematische Modellbildung sind sehr eng miteinander verwoben * Populationsdynamiken und Ausbreitugnsschemata in der Biologie (vgl. Lotka-Volterra Modell) * Bewegungsanalysen und Optimierungen in den Sportwissenschaften * Untersuchungen von Transport- und Umweltprozessen in Biologie, Chemie, Physik, Technik,... * Bedarfs- und Verbrauchs- und Verhaltensanalysen in Geisteswissenschaften === Mathematische Modelle === Mathematische Modelle werden gemessen und bewertet anhand <ref> Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., & Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. </ref>: * '''Zulässigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte in sich widerspruchsfrei sein. * '''Richtigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte im Vergleich mit der Realität keine Widersprüche zu offensichtlich richtigen Tatsachen aufweisen. * '''Zweckmäßigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte genau den Detailgrad beinhalten, den es zum Erfüllen des Zwecks benötigt, nicht mehr und nicht weniger. ==== Gegenbeispiele für mathematische Modelle ==== Gegenbeispiele wären: * Ein nicht zulässiges Modell könnte bei einer Betrachtung einer Punktmasse im Raum dennoch Luftwiederstände berücksichtigen (Punkte haben kein Volumen) * Ein nicht richtiges Modell könnte bei der Modellierung von Transportprozessen von Schadstoffen die Massenerhaltung vernachlässigen. * Ein nicht zweckmäßiges Modell könnte bei dem Versuch den perfekten Abwurfwinkel beim Speerwurf die Krümmung der Erdoberfläche berücksichtigen. ==== Bemerkung - Kriterien ==== Die Kriterien, insbesondere Richtigkeit und Zweckmäßigkeit, sind nicht 100% operational. Einerseits fordert die Richtigkeit, keine bekannten Tatsachen auszulassen, andererseits dürfen hinsichtlich einer passenden Zweckmäßigkeit auch nur ausreichend viele Details integriert werden. ==Der Modellbildungszyklus== Wie kommt man nun von einer Realen Situation, die ein Problem aufwirft zu einem adäquaten mathematischen Modell? Dazu hat sich als möglichst allgemeine Vorgehensweise der Modellbildungszyklus ergeben: [[Datei:Modellbildungszyklus Mod6.png|miniatur|Modellbildungszyklus]] ===Verlauf des MBZ === Der Modellbildungszyklus beschreibt schematisch die iterative Erstellung einer mathematischen Modellbildung: * Ausgangspunkt ist eine reale Situation, die ein Problem aufwirft, die von dem mathematischen Modell adressiert werden soll * Dieses Problem wird inhaltlich erfasst, anschließend mathematisch Übersetzt (Betrachten von Gleichungen, Funktionen, Geometrischen Objekten,...) ====Modellbildungsschleife==== * Durch das Betrachten von mathematischen Objekten können über passende Operationen deduktiv Resultate geschlussfolgert werden * Diese Resultate werden mit der Realsituation abgeglichen * Aus dem Vergleich werden mögliche Optimierungen und Limitationen des Modells abgeleitet * Durch die Limitationen werden kann das Modell weiterentwickelt werden Diese Schritte können/müssen dabei mehrfach durchlaufen werden. ====Integration von Software==== Die Integration von computergestützter Software ist in der mathematischen Modellbildung definitionsgemäss nicht zwigend erforderlich, für die meisten anwendungsbezogenen Modellierungen jedoch unumgänglich. ==Konkretes Beispiel einer Mathematischen Modellbildung== [[Kurs:Mathematische_Modellbildung/Themen/Radioaktivit%C3%A4t_und_Risikoliteralit%C3%A4t]] [[Datei:Screenshot 2D Ansicht Resultate.png|miniatur|alternativtext=Ansicht der möglichen Auftreffpunkte des radioaktiven Niederschlags|Ansicht der möglichen Auftreffpunkte des radioaktiven Niederschlags]] [[File:Zeitliche Abhängigkeit der Risikofunktion.gif|thumb|Das GIF zeigt die Zeitliche Abhängigkeit der Risikofunktion]] === Ziel der Modellierung === Ziel in dieser Modellierung war es, ein Modell zur räumlichen und zeitlichen Ausbreitung einer radioaktiv belasteten Wolke, sowie dessen Rain-Out, infolge einer Reaktorkatastrophe am (mittlerweile abgeschalteten) Kernkraftwerk in Philippsburg zu beschreiben. Unter zu Hilfenahme von Messwerten von dem Reaktorunglück in Tschernobyl und den Halbwertszeiten des radioaktiven Materials wurde der zeitliche Zerfall erfasst. Der Transport von radioaktiven Material wurde durch eine Kugel im <math> \mathbb{R}^3 </math> modelliert. Diese bewegt sich gemäss einer variablen Windrichtung (gegeben durch Winkel <math> \alpha </math>) und regnet sich nach einer gewissen Durchschnittsdauer ab. === Endresultat === Es wurde in drei Modellbildungszyklen eine Funktion zur Beschreibung der radioaktiven Belastung (repräsentativ für das Risiko) abgeleitet: <math>u(x,y,t,\alpha)=\frac{1480\cdot e^{-\frac{ln(2)}{30a} \cdot t}}{1+\frac{7}{10.000}\cdot (x^2+y^2)}+\frac{40\cdot e^{-\frac{ln(2)}{30a} \cdot t}}{1+\frac{1}{7.500}\cdot ((x-1080cos(\alpha))^2+(y-1080sin(\alpha))^2)}</math> Letztlich erhält man also eine Funktion die in ihrem Ausgabewert <math>z=u(x,y,t,\alpha)</math> abhängig von 4 Eingabewerten <math>x, y, t, \alpha </math> ist. ==Modellbildung in der Schule== ===Einbindung in den Lehrplan=== Die mathematische Modellbildung ist stark in den Mathematik-Lehrplan für Schulen in Rheinland-Pfalz integriert (hier wird sich an dem Lehrplan für Sekundarstufe II orientiert <ref> Ministerium für Bildung, Wissensachft, Weiterbildung und Kultur (2015), Lehrplan Mathematik. Grund- und Leistungsfach in der gymnasialen Oberstufe (Mainzer Studienstufe) </ref>). Im Bezug zu Problemlösen im Mathematikunterricht und Mathematik im fachübergreifenden Kontext, sollen Anwendungsbeispiele Einzug halten, die Schülerinnen und Schülern aus anderen Fächern bekannt sind. In diesem Zusammenhang wird mathematische Modellbildung als Methode zur Lösung von solchen Anwendungsproblemen genannt. ===Konkreter Themenbezug=== Zu folgenden mathematischen Themengebieten wird explizit Mathematischen Modellbildung zur unterrichtlichen Umsetzung erwähnt: *Exponentialfunktionen (Wachstums- und Zerfallsprozesse *Matrizenrechnung (Input-Output-Analysen, Zustandsübergangsprozesse, Populationsentwicklung,...) *Differential- und Integralrechnung (lineare oder logistische Wachstumsprozesse) Auch der Einsatz von computergestützten Hilfs- und Lösungsmitteln im Zuge der Modellbildung wird betont. (Bemerke: Auch im Lehrplan wird ein vergleichbarer Modellbildungszyklus vorgestellt und beschrieben. Bei Bedarf kann dieser auf Seite 15-16<ref> Ministerium für Bildung, Wissensachft, Weiterbildung und Kultur (2015), Lehrplan Mathematik. Grund- und Leistungsfach in der gymnasialen Oberstufe (Mainzer Studienstufe). </ref> nachgelesen werden) ===Zugang zur Bildung für Nachhaltigen Entwicklung=== Durch die Möglichkeit fachübergreifende Fragestellungen zu behandeln und Prozesse der Realität in den Blick zu nehmen, kann mathematische Modellbildung die Brücke zur Bildung für Nachhaltigen Entwicklung (BNE) schlagen. ====Bildung für Nachhaltige Entwicklung==== "Die BNE zielt grundsätzlich darauf ab, es jedem und jeder Einzelnen zu ermöglichen, die Folgen des eigenen Handelns auf die Welt sowie intra- und intergenerationell zu verstehen, verantwortungsvolle Entscheidungen zu treffen und aktiv zu werden." <ref> Ministerium für Bildung. Bildung für nachhaltige Entwicklung. Online abrufbar unter: https://bm.rlp.de/unsere-schwerpunkte/bildung-fuer-nachhaltige-entwicklung </ref> ====BNE und Modellbildung===== Mathematische Modellbildung kann unter praktischer Anwendung von gelernten Inhalten im Schulunterricht zu BNE beitragen, indem eben gezielt Probleme adressiert werden und von Schülerinnen und Schülern eigenständig untersucht werden. ==Ziel und Organisation des Seminars== ===Ziel und Aufgabe=== In Kleingruppen (3-4 Personen) sollen aussermathematische Fragestellungen mit einer eigenen mathematischen Modellbildung behandelt werden. Dazu sollen drei Modellbildungszyklen mit unterschiedlichem Grad an Vereinfachung und unterschiedlicher Mathematischen Grundlage erstellt werden: * Zyklus: Mathematik der Sekundarstufe 1 (Mittelstufe) * Zyklus: Mathematik der Sekundarstufe 2 (Oberstufe) * Zyklus: Universitätsmathematik ====Integration von Software==== In jedem Zyklus sollen computergestützte Untersuchungen und Betrachtungen Einzug erhalten. Somit bietet es sich an in insgesamt auch drei verschiedene Programme (Tabellenkalkulation, GeoGebra, RStudio, Maxima,...) zu integrieren - an manchen stellen lässt sich dies gar nicht vermeiden. ===Themenwahl=== Das Thema sollte einen weltlichen Bezug haben. Am besten eigenen sich Themen aus dem jeweiligen Zweitfach (s. Verbindung zu anderen Schulfächern im Lehrplan). Das Thema sollte nachhaltige Entwicklung im Rahmen der Sustainable Development Goals adressieren. Siehe dazu: https://www.bundesumweltministerium.de/themen/nachhaltigkeit/nachhaltigkeitsziele-sdgs Vorzugsweise: Räumliche Risikobetrachtungen in Desaster- und Katastrophenszenarien. Das Thema sollte sich nicht mit denen der vergangenen Semestern doppeln. Zur Orientierung und Inspiration finden sich hier die Projekte der vergangenen Semester: :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2026 Sommersemester|2026 Sommersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2025-26 Wintersemester|2025/26 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2024-25 Wintersemester|2024/25 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2023-24 Wintersemester|2023/24 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2022-23 Winteresemester|2022/23 Wintersemester]]''' ===Portfolio=== Während des Semesters soll in Gruppenarbeit die Modellbildung durchgeführt werden. Diese wird schriftlich in einem Portfolio festgehalten. Dies Portfolio wird, genau wie dieser Artikel auch, in einem Wikiversity Artikel dokumentiert. Dieser sollte folgendes enthalten: * Einleitung: Beschreibung und Einordnung des Themas & welche(s) SDG wird adressiert und warum? * Ziel der Modellierung: Welches Problem wird in der Modellierung / den einzelnen Zyklen konkret angegangen? * Zyklus 1-3 ** Mathematisches Modell (welche Mathematischen Objekte werden betrachtet, wie ergeben die sich,...) ** Ergebnisse (Ableiten von Resultaten aus dem Modell) ** Bewertung der Ergebnisse ** Grenzen und Limitationen ** Ausblick für nächsten Zyklus (welche Limitationen und Probleme aus dem Zyklus werden im folgenden adressiert?) In allen Punkten der Modellzyklen können Programme computergestützte Tools verwendet werden. Zur Erstellung von Wiki-Seiten ist folgende Seite hilfreich: https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:Textgestaltung ===Prüfung=== Die Prüfung gliedert sich in zwei Aspekte: * '''Vorstellung von ausgewählten Teilen aus dem eigenen Portfolio''' - diese werden von den Prüfer:innen aus dem Portfolio der Studierenden ausgewählt. * '''Diskussion und Fragen''' der Prüfer:innen zu dem Portfolio, z.B. zu Teilen des Portfolios, die in der Vorstellung nicht behandelt werden können. Ein Portfolio kann aus Zeitgründen nie vollständig in der Prüfung dargestellt werden. In der mündlichen Portfolio-Prüfung wird geprüft, ob *das eigene Modell verstanden ist, *das eigene Modell kritisch hinterfragt werden kann, *die Limitationen des Modells begründet und nachvollziehbar wiedergegeben werden können, *die Übergänge zwischen den Zyklen beschrieben und begründet werden können, *die technische Umsetzung reproduziert und erklärt werden kann, *... . Es ist also wichtig zu wissen, was wie an welcher Stelle und mit welchem Zweck in der Modellierung gemacht wurde! Das Portfolio (Wiki-Seite) wird somit konkret vorgestellt. Eine Präsentation des Portfolio kann automatisch mit Wiki2Reveal erstellt werden. === Unterstützungsangebot === * Das Unterstützungsangebot erfolgt in der Lehrveranstaltung zur "Mathematischen Modellbildung". * Eine individuelle Sonderbehandlung für einzelne Studierende, die das Angebot der Vorlesung nicht nutzen und kurz vor Prüfungsbeginn noch "schnell" ein Portfolio zusammenstellen wollen, ist aus zeitlichen Gründen kurz vor der Prüfung nicht möglich. * Portfolioprüfungen der Lehrveranstaltung beziehen sich immer auf das erstellte Portfolio im laufende Semester und bei Wiederholungsprüfungen auf das Semester, in dem Portfolio erstellt wurde. * Eine Prüfung kann nur zu dem eigenen erstellten Portfolio in der Lehrveranstaltung abgelegt werden, an dessen Erstellung man aktiv mitgearbeitet hat. ===Ablauf des Seminars=== Der Seminarablauf über das Semester gestaltet sich grob wie folgt: * 1. Woche (19.10.): Einführungsveranstaltung + Gruppenfindung * 2. Woche (26.10.): Themenfindung * 3. Woche (02.11.): Themenfindung + Zyklen festlegen * 4. Woche (09.11.): Zyklen festlegen * 5. Woche (16.11.): Kurzvorstellung der Themen und Zyklen (5 Minuten pro Gruppe) Ab Woche 6 (23.11.) bis Ende des Semesters wird gemeinsam an den Modellen und dem Portfolio gearbeitet. Empfehlenswert wäre es, die letzten 2-3 Wochen für Finalisierungsarbeiten zu nutzen und entsprechend frühzeitig zu planen! Ausschliesslich während der Seminarzeiten an dem Modell und Portfolio zu arbeiten wird nicht ausreichen! Die Kurzpräsentationen am 16.11. umfassen den aktuellen Stand der Überlegungen und sind noch unter keinen Umständen verbindlich. Stattdessen dient es einfach zur Grundlage von gemeinsamer Diskussion und zur Einbringung von weiteren Ideen. =Hilfreiche Links= ===Fachmathematische Aspekte === Wenn man das Modellierungsproblem in den Mittelpunkt stellt und die Fragestellung den Nachhaltigkeitszielen der UN zuordnet, kommen z.T. fachmathematische Aspekte erforderlich, die nicht in der jeweiligen Schulstufe bzw. in den Vorlesungen behandelt wurden. Dies Kapitel erhält Hinweise zu fachmathematischen Bereichen, die für die mathematische Modellbildung ggf. als Werkzeug verwendet werden können * '''[[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]''' dienen dazu, Datenpunkte im <math>\R^2</math> oder allgemein im <math>\R^n</math> zu [[w:Interpolation_(Mathematik)|interpolieren]]. * '''[https://en.wikiversity.org/wiki/3D_Modelling 3D Modellierung für Projektinhalte]''' und [[w:Projektive_Geometrie|projektive Geometrie]] zur Visualisierung * '''[[Gradientenabstiegsverfahren]]''': Wird verwendet, um sich in der mathematischen Modellbildung iterativ einem Minimum einer Kosten- oder Fehlerfunktion anzunähern. * [[w:Lineare_Optimierung|'''Lineare Optimierung''']] wird in Optimierungshaufgaben wie beispielsweise bei der Suche nach Minimum der Produktionskosten verwendet. Hierbei wird in allgemeinem nach einem Minimium/Maximum einer linearer Zielfunktion über einer Menge gesucht. [https://www.geogebra.org/m/kr727992 '''Ein Beispiel in Geogebra'''] *[[Räumliche Diffusion|'''Räumliche Diffusion''']] *[[Modelle_der_Populationsdynamik|'''Modelle der Populationsdynamik''']] - [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Modelle%20der%20Populationsdynamik&author=Kurs:R%C3%A4umliche%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes (Wiki2Reveal-Folien)] - [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Stochastik/Wahrscheinlichkeitsdichte|Wahrscheinlichkeitsdichte]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Wahrscheinlichkeitsdichte&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wahrscheinlichkeitsdichte&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ===Softwarenutzung === Im PC-Praktikum wurden grundlegende Kenntnisse im Umgang mit Software erlangt, die für die Berechnung von mathematischen Modellen vorwendig sind. Diese Kenntnisse müssen ggf. auf das spezielle Modellierungsthema angepasst und erweitert werden. * '''[[CSV2Chart]]''' Aus CSV-Dateien mathematische Graphen in Wikiversity erstellen. * '''[[Maxima CAS]]''' enthält die verwendeten Werkzeuge und Kommandos eines Computeralgebrasystems (CAS), die die einzelnen Projekte in dem Modellbildungszyklus verwendet haben. * '''[https://sagecell.sagemath.org/ SageCell]''' Online-Umgebung zur Ausführung und Demonstration von Befehlen in R, Octave, Maxima, ... (Auswahl des Befehlssatzes auf der https://sagecell.sagemath.org/ SageCell-Seite] unten rechts auf dem Eingabefeld) * '''[[Statistikprogramm R]]''' enthält die verwendeten Werkzeuge und Kommandos, die für Berechnungen und Veranschaulichungen in den Projekten verwendet haben. * '''[[Tabellenkalkulation]]''' werden in Portfolios in der Regel verwendet, um Daten in den Portfolios aufzubereiten. * '''[[Octave]]''' wird in der Regel verwendet, um numerische Berechnung in der Mathematischen Modellbildung durchzuführen. * '''[[Geogebra]]''' ist eine Dynamische Geometriesoftware, die zur vektoriellen Veranschaulichung von räumlichen Modellierungsproblemen oder auch zur parametrisierten Darstellung von Funktionen verwendet wird (Beispiel: [https://www.geogebra.org/m/e9b349k9 Parkplatzlösung in Geogebra von Shrey T (2017)]). * '''[[w:Screencast|Screencast]]''': Ein Screencast ist eine Bildschirmaufnahme mit Audiokommentaren, die zeigt, wie man z.B. Software bedient. Ein Screencast ist eine Hilfestellung für Lernende, die sich noch nicht so gut mit einer bestimmten Software auskennen. :* [https://obsproject.com/ '''Open Broadcast Software (OBS)''' - Linux, Windows, MacOSX ] - [[Konvexkombination|Beispielvideo in Wikiversity]] * [[v:en:3D_Modelling|'''3D-Modellbildung''' (englisch)]] * '''[http://niebert.github.io/imgmap/ Online-ImageMap-Editor]''' - Anklickbare Bereiche in Wikiversity-Bildern erstellen. * '''[https://openlayers.org/en/latest/examples/heatmap-earthquakes.html HeatMaps]:''' Erstellung von [https://niebert.github.io/openlayer_heatmap HeatMaps mit einem Online-Editor] (Download [https://github.com/niebert/openlayer_heatmap/archive/master.zip Heatmap-Editor und Beispieldaten in Ordner <tt>/HeatMap</tt> in ZIP-Datei]) * '''[[Wiki2Reveal]]:''' Portfolio-Präsentationen direkt im Wikiversity erstellen. ===Editierungshilfen=== * [https://latexeditor.lagrida.com/ Online-Formel-Editor für LaTeX-Formeln]<ref>Lagrida Web-Portal (2021) Online-Latex-Formel-Editor mit Vorschau - URL: https://latexeditor.lagrida.com/ (accessed 2021/11/21))</ref> - die erzeugten Formeln müssen in einen MATH-Tag mit <kbd><math> ...</math></kbd> eingeschlossen werden bei der Seiteneditierung. * [https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:TeX Mathematische Formeln in Wikiversity] * Textgestaltung in Wikis: https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:Textgestaltung ==Wiki2Reveal== * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung2627|Kurs:Mathematische Modellbildung2627]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung2627&author=&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung2627&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] == Verweise == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2026-27%20Wintersemester&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2026-27%20Wintersemester&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung Kurs:Mathematische Modellbildung]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2026-27%20Wintersemester&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] haddhe637tmpdd1ijdm1nu2u6v1gm0y 1116524 1116522 2026-10-17T08:14:30Z ~2026-55076-31 41992 /* Konkreter Themenbezug */ 1116524 wikitext text/x-wiki ==Begriffsklärung== === Was ist mathematische Modellbildung? === Ganz grob gesagt besteht Mathematische Modellierung oder auch Mathematische Modellbildung darin, reale Fragestellungen mit mathematischen Mitteln zu bearbeiten und sie auf diesem Wege zumindest teilweise zu beantworten<ref> Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., & Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. </ref>. === Was ist ein Modell? === Ein Modell ist dabei gegeben durch innere Scheinbilder oder Repräsentatonen, die nicht zum Bereich der äußeren Gegenstände, sondern zu Vorstellungen von einem solchen realen Gegenstand gehören und ihnen daher auch in gewissen Grenzen etwas Willkürliches anhaftet (Sinngemäß nach Hertz, zitiert von Ortlieb<ref> Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., & Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. </ref>). ==== Eigenschaften von Modellen ==== Somit lassen sich vereinfacht und verkürzt folgende Eigenschaften ableiten (Stachowiak, zitiert nach Saam <ref> Saam, N. J. (2009). Modellbildung. In Handbuch Methoden der Organisationsforschung: Quantitative und Qualitative Methoden (pp. 517-532). Wiesbaden: VS Verlag für Sozialwissenschaften. </ref>): * '''Abbildungsmerkmal:''' Modelle repräsentieren die Realität, existieren jedoch nicht in der Realität * '''Verkürzungsmerkmal:''' Modelle beschreiben das Objekt nicht exakt, sondern stets vereinfacht * '''Pragmatisches Merkmal:''' Modelle verfolgen einen gewissen Zweck: Sie ersetzen eine nicht abbildbare Realität um Fragestellungen zu beantwortbar zu machen ==== Typisches Beispiele ==== * Betrachtungen in der Physik (Federpendel, Bewegungsgesetze,...) - Physik und Mathematische Modellbildung sind sehr eng miteinander verwoben * Populationsdynamiken und Ausbreitugnsschemata in der Biologie (vgl. Lotka-Volterra Modell) * Bewegungsanalysen und Optimierungen in den Sportwissenschaften * Untersuchungen von Transport- und Umweltprozessen in Biologie, Chemie, Physik, Technik,... * Bedarfs- und Verbrauchs- und Verhaltensanalysen in Geisteswissenschaften === Mathematische Modelle === Mathematische Modelle werden gemessen und bewertet anhand <ref> Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., & Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. </ref>: * '''Zulässigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte in sich widerspruchsfrei sein. * '''Richtigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte im Vergleich mit der Realität keine Widersprüche zu offensichtlich richtigen Tatsachen aufweisen. * '''Zweckmäßigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte genau den Detailgrad beinhalten, den es zum Erfüllen des Zwecks benötigt, nicht mehr und nicht weniger. ==== Gegenbeispiele für mathematische Modelle ==== Gegenbeispiele wären: * Ein nicht zulässiges Modell könnte bei einer Betrachtung einer Punktmasse im Raum dennoch Luftwiederstände berücksichtigen (Punkte haben kein Volumen) * Ein nicht richtiges Modell könnte bei der Modellierung von Transportprozessen von Schadstoffen die Massenerhaltung vernachlässigen. * Ein nicht zweckmäßiges Modell könnte bei dem Versuch den perfekten Abwurfwinkel beim Speerwurf die Krümmung der Erdoberfläche berücksichtigen. ==== Bemerkung - Kriterien ==== Die Kriterien, insbesondere Richtigkeit und Zweckmäßigkeit, sind nicht 100% operational. Einerseits fordert die Richtigkeit, keine bekannten Tatsachen auszulassen, andererseits dürfen hinsichtlich einer passenden Zweckmäßigkeit auch nur ausreichend viele Details integriert werden. ==Der Modellbildungszyklus== Wie kommt man nun von einer Realen Situation, die ein Problem aufwirft zu einem adäquaten mathematischen Modell? Dazu hat sich als möglichst allgemeine Vorgehensweise der Modellbildungszyklus ergeben: [[Datei:Modellbildungszyklus Mod6.png|miniatur|Modellbildungszyklus]] ===Verlauf des MBZ === Der Modellbildungszyklus beschreibt schematisch die iterative Erstellung einer mathematischen Modellbildung: * Ausgangspunkt ist eine reale Situation, die ein Problem aufwirft, die von dem mathematischen Modell adressiert werden soll * Dieses Problem wird inhaltlich erfasst, anschließend mathematisch Übersetzt (Betrachten von Gleichungen, Funktionen, Geometrischen Objekten,...) ====Modellbildungsschleife==== * Durch das Betrachten von mathematischen Objekten können über passende Operationen deduktiv Resultate geschlussfolgert werden * Diese Resultate werden mit der Realsituation abgeglichen * Aus dem Vergleich werden mögliche Optimierungen und Limitationen des Modells abgeleitet * Durch die Limitationen werden kann das Modell weiterentwickelt werden Diese Schritte können/müssen dabei mehrfach durchlaufen werden. ====Integration von Software==== Die Integration von computergestützter Software ist in der mathematischen Modellbildung definitionsgemäss nicht zwigend erforderlich, für die meisten anwendungsbezogenen Modellierungen jedoch unumgänglich. ==Konkretes Beispiel einer Mathematischen Modellbildung== [[Kurs:Mathematische_Modellbildung/Themen/Radioaktivit%C3%A4t_und_Risikoliteralit%C3%A4t]] [[Datei:Screenshot 2D Ansicht Resultate.png|miniatur|alternativtext=Ansicht der möglichen Auftreffpunkte des radioaktiven Niederschlags|Ansicht der möglichen Auftreffpunkte des radioaktiven Niederschlags]] [[File:Zeitliche Abhängigkeit der Risikofunktion.gif|thumb|Das GIF zeigt die Zeitliche Abhängigkeit der Risikofunktion]] === Ziel der Modellierung === Ziel in dieser Modellierung war es, ein Modell zur räumlichen und zeitlichen Ausbreitung einer radioaktiv belasteten Wolke, sowie dessen Rain-Out, infolge einer Reaktorkatastrophe am (mittlerweile abgeschalteten) Kernkraftwerk in Philippsburg zu beschreiben. Unter zu Hilfenahme von Messwerten von dem Reaktorunglück in Tschernobyl und den Halbwertszeiten des radioaktiven Materials wurde der zeitliche Zerfall erfasst. Der Transport von radioaktiven Material wurde durch eine Kugel im <math> \mathbb{R}^3 </math> modelliert. Diese bewegt sich gemäss einer variablen Windrichtung (gegeben durch Winkel <math> \alpha </math>) und regnet sich nach einer gewissen Durchschnittsdauer ab. === Endresultat === Es wurde in drei Modellbildungszyklen eine Funktion zur Beschreibung der radioaktiven Belastung (repräsentativ für das Risiko) abgeleitet: <math>u(x,y,t,\alpha)=\frac{1480\cdot e^{-\frac{ln(2)}{30a} \cdot t}}{1+\frac{7}{10.000}\cdot (x^2+y^2)}+\frac{40\cdot e^{-\frac{ln(2)}{30a} \cdot t}}{1+\frac{1}{7.500}\cdot ((x-1080cos(\alpha))^2+(y-1080sin(\alpha))^2)}</math> Letztlich erhält man also eine Funktion die in ihrem Ausgabewert <math>z=u(x,y,t,\alpha)</math> abhängig von 4 Eingabewerten <math>x, y, t, \alpha </math> ist. ==Modellbildung in der Schule== ===Einbindung in den Lehrplan=== Die mathematische Modellbildung ist stark in den Mathematik-Lehrplan für Schulen in Rheinland-Pfalz integriert (hier wird sich an dem Lehrplan für Sekundarstufe II orientiert <ref> Ministerium für Bildung, Wissensachft, Weiterbildung und Kultur (2015), Lehrplan Mathematik. Grund- und Leistungsfach in der gymnasialen Oberstufe (Mainzer Studienstufe) </ref>). Im Bezug zu Problemlösen im Mathematikunterricht und Mathematik im fachübergreifenden Kontext, sollen Anwendungsbeispiele Einzug halten, die Schülerinnen und Schülern aus anderen Fächern bekannt sind. In diesem Zusammenhang wird mathematische Modellbildung als Methode zur Lösung von solchen Anwendungsproblemen genannt. ===Konkreter Themenbezug=== Zu folgenden mathematischen Themengebieten wird explizit Mathematischen Modellbildung zur unterrichtlichen Umsetzung erwähnt: *Exponentialfunktionen (Wachstums- und Zerfallsprozesse *Matrizenrechnung (Input-Output-Analysen, Zustandsübergangsprozesse, Populationsentwicklung,...) *Differential- und Integralrechnung (lineare oder logistische Wachstumsprozesse) Auch der Einsatz von computergestützten Hilfs- und Lösungsmitteln im Zuge der Modellbildung wird betont. (Bemerke: Auch im Lehrplan wird ein vergleichbarer Modellbildungszyklus vorgestellt und beschrieben. Bei Bedarf kann dieser auf Seite 15-16<ref> Ministerium für Bildung, Wissensachft, Weiterbildung und Kultur (2015), Lehrplan Mathematik. Grund- und Leistungsfach in der gymnasialen Oberstufe (Mainzer Studienstufe). </ref> nachgelesen werden) ===Zugang zur Bildung für Nachhaltigen Entwicklung=== Durch die Möglichkeit fachübergreifende Fragestellungen zu behandeln und Prozesse der Realität in den Blick zu nehmen, kann mathematische Modellbildung die Brücke zur Bildung für Nachhaltigen Entwicklung (BNE) schlagen. ====Bildung für Nachhaltige Entwicklung==== "Die BNE zielt grundsätzlich darauf ab, es jedem und jeder Einzelnen zu ermöglichen, die Folgen des eigenen Handelns auf die Welt sowie intra- und intergenerationell zu verstehen, verantwortungsvolle Entscheidungen zu treffen und aktiv zu werden." <ref> Ministerium für Bildung. Bildung für nachhaltige Entwicklung. Online abrufbar unter: https://bm.rlp.de/unsere-schwerpunkte/bildung-fuer-nachhaltige-entwicklung </ref> ====BNE und Modellbildung===== Mathematische Modellbildung kann unter praktischer Anwendung von gelernten Inhalten im Schulunterricht zu BNE beitragen, indem eben gezielt Probleme adressiert werden und von Schülerinnen und Schülern eigenständig untersucht werden. ==Ziel und Organisation des Seminars== ===Ziel und Aufgabe=== In Kleingruppen (3-4 Personen) sollen aussermathematische Fragestellungen mit einer eigenen mathematischen Modellbildung behandelt werden. Dazu sollen drei Modellbildungszyklen mit unterschiedlichem Grad an Vereinfachung und unterschiedlicher Mathematischen Grundlage erstellt werden: * Zyklus: Mathematik der Sekundarstufe 1 (Mittelstufe) * Zyklus: Mathematik der Sekundarstufe 2 (Oberstufe) * Zyklus: Universitätsmathematik ====Integration von Software==== In jedem Zyklus sollen computergestützte Untersuchungen und Betrachtungen Einzug erhalten. Somit bietet es sich an in insgesamt auch drei verschiedene Programme (Tabellenkalkulation, GeoGebra, RStudio, Maxima,...) zu integrieren - an manchen stellen lässt sich dies gar nicht vermeiden. ===Themenwahl=== Das Thema sollte einen weltlichen Bezug haben. Am besten eigenen sich Themen aus dem jeweiligen Zweitfach (s. Verbindung zu anderen Schulfächern im Lehrplan). Das Thema sollte nachhaltige Entwicklung im Rahmen der Sustainable Development Goals adressieren. Siehe dazu: https://www.bundesumweltministerium.de/themen/nachhaltigkeit/nachhaltigkeitsziele-sdgs Vorzugsweise: Räumliche Risikobetrachtungen in Desaster- und Katastrophenszenarien. Das Thema sollte sich nicht mit denen der vergangenen Semestern doppeln. Zur Orientierung und Inspiration finden sich hier die Projekte der vergangenen Semester: :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2026 Sommersemester|2026 Sommersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2025-26 Wintersemester|2025/26 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2024-25 Wintersemester|2024/25 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2023-24 Wintersemester|2023/24 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2022-23 Winteresemester|2022/23 Wintersemester]]''' ===Portfolio=== Während des Semesters soll in Gruppenarbeit die Modellbildung durchgeführt werden. Diese wird schriftlich in einem Portfolio festgehalten. Dies Portfolio wird, genau wie dieser Artikel auch, in einem Wikiversity Artikel dokumentiert. Dieser sollte folgendes enthalten: * Einleitung: Beschreibung und Einordnung des Themas & welche(s) SDG wird adressiert und warum? * Ziel der Modellierung: Welches Problem wird in der Modellierung / den einzelnen Zyklen konkret angegangen? * Zyklus 1-3 ** Mathematisches Modell (welche Mathematischen Objekte werden betrachtet, wie ergeben die sich,...) ** Ergebnisse (Ableiten von Resultaten aus dem Modell) ** Bewertung der Ergebnisse ** Grenzen und Limitationen ** Ausblick für nächsten Zyklus (welche Limitationen und Probleme aus dem Zyklus werden im folgenden adressiert?) In allen Punkten der Modellzyklen können Programme computergestützte Tools verwendet werden. Zur Erstellung von Wiki-Seiten ist folgende Seite hilfreich: https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:Textgestaltung ===Prüfung=== Die Prüfung gliedert sich in zwei Aspekte: * '''Vorstellung von ausgewählten Teilen aus dem eigenen Portfolio''' - diese werden von den Prüfer:innen aus dem Portfolio der Studierenden ausgewählt. * '''Diskussion und Fragen''' der Prüfer:innen zu dem Portfolio, z.B. zu Teilen des Portfolios, die in der Vorstellung nicht behandelt werden können. Ein Portfolio kann aus Zeitgründen nie vollständig in der Prüfung dargestellt werden. In der mündlichen Portfolio-Prüfung wird geprüft, ob *das eigene Modell verstanden ist, *das eigene Modell kritisch hinterfragt werden kann, *die Limitationen des Modells begründet und nachvollziehbar wiedergegeben werden können, *die Übergänge zwischen den Zyklen beschrieben und begründet werden können, *die technische Umsetzung reproduziert und erklärt werden kann, *... . Es ist also wichtig zu wissen, was wie an welcher Stelle und mit welchem Zweck in der Modellierung gemacht wurde! Das Portfolio (Wiki-Seite) wird somit konkret vorgestellt. Eine Präsentation des Portfolio kann automatisch mit Wiki2Reveal erstellt werden. === Unterstützungsangebot === * Das Unterstützungsangebot erfolgt in der Lehrveranstaltung zur "Mathematischen Modellbildung". * Eine individuelle Sonderbehandlung für einzelne Studierende, die das Angebot der Vorlesung nicht nutzen und kurz vor Prüfungsbeginn noch "schnell" ein Portfolio zusammenstellen wollen, ist aus zeitlichen Gründen kurz vor der Prüfung nicht möglich. * Portfolioprüfungen der Lehrveranstaltung beziehen sich immer auf das erstellte Portfolio im laufende Semester und bei Wiederholungsprüfungen auf das Semester, in dem Portfolio erstellt wurde. * Eine Prüfung kann nur zu dem eigenen erstellten Portfolio in der Lehrveranstaltung abgelegt werden, an dessen Erstellung man aktiv mitgearbeitet hat. ===Ablauf des Seminars=== Der Seminarablauf über das Semester gestaltet sich grob wie folgt: * 1. Woche (19.10.): Einführungsveranstaltung + Gruppenfindung * 2. Woche (26.10.): Themenfindung * 3. Woche (02.11.): Themenfindung + Zyklen festlegen * 4. Woche (09.11.): Zyklen festlegen * 5. Woche (16.11.): Kurzvorstellung der Themen und Zyklen (5 Minuten pro Gruppe) Ab Woche 6 (23.11.) bis Ende des Semesters wird gemeinsam an den Modellen und dem Portfolio gearbeitet. Empfehlenswert wäre es, die letzten 2-3 Wochen für Finalisierungsarbeiten zu nutzen und entsprechend frühzeitig zu planen! Ausschliesslich während der Seminarzeiten an dem Modell und Portfolio zu arbeiten wird nicht ausreichen! Die Kurzpräsentationen am 16.11. umfassen den aktuellen Stand der Überlegungen und sind noch unter keinen Umständen verbindlich. Stattdessen dient es einfach zur Grundlage von gemeinsamer Diskussion und zur Einbringung von weiteren Ideen. =Hilfreiche Links= ===Fachmathematische Aspekte === Wenn man das Modellierungsproblem in den Mittelpunkt stellt und die Fragestellung den Nachhaltigkeitszielen der UN zuordnet, kommen z.T. fachmathematische Aspekte erforderlich, die nicht in der jeweiligen Schulstufe bzw. in den Vorlesungen behandelt wurden. Dies Kapitel erhält Hinweise zu fachmathematischen Bereichen, die für die mathematische Modellbildung ggf. als Werkzeug verwendet werden können * '''[[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]''' dienen dazu, Datenpunkte im <math>\R^2</math> oder allgemein im <math>\R^n</math> zu [[w:Interpolation_(Mathematik)|interpolieren]]. * '''[https://en.wikiversity.org/wiki/3D_Modelling 3D Modellierung für Projektinhalte]''' und [[w:Projektive_Geometrie|projektive Geometrie]] zur Visualisierung * '''[[Gradientenabstiegsverfahren]]''': Wird verwendet, um sich in der mathematischen Modellbildung iterativ einem Minimum einer Kosten- oder Fehlerfunktion anzunähern. * [[w:Lineare_Optimierung|'''Lineare Optimierung''']] wird in Optimierungshaufgaben wie beispielsweise bei der Suche nach Minimum der Produktionskosten verwendet. Hierbei wird in allgemeinem nach einem Minimium/Maximum einer linearer Zielfunktion über einer Menge gesucht. [https://www.geogebra.org/m/kr727992 '''Ein Beispiel in Geogebra'''] *[[Räumliche Diffusion|'''Räumliche Diffusion''']] *[[Modelle_der_Populationsdynamik|'''Modelle der Populationsdynamik''']] - [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Modelle%20der%20Populationsdynamik&author=Kurs:R%C3%A4umliche%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes (Wiki2Reveal-Folien)] - [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Stochastik/Wahrscheinlichkeitsdichte|Wahrscheinlichkeitsdichte]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Wahrscheinlichkeitsdichte&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wahrscheinlichkeitsdichte&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ===Softwarenutzung === Im PC-Praktikum wurden grundlegende Kenntnisse im Umgang mit Software erlangt, die für die Berechnung von mathematischen Modellen vorwendig sind. Diese Kenntnisse müssen ggf. auf das spezielle Modellierungsthema angepasst und erweitert werden. * '''[[CSV2Chart]]''' Aus CSV-Dateien mathematische Graphen in Wikiversity erstellen. * '''[[Maxima CAS]]''' enthält die verwendeten Werkzeuge und Kommandos eines Computeralgebrasystems (CAS), die die einzelnen Projekte in dem Modellbildungszyklus verwendet haben. * '''[https://sagecell.sagemath.org/ SageCell]''' Online-Umgebung zur Ausführung und Demonstration von Befehlen in R, Octave, Maxima, ... (Auswahl des Befehlssatzes auf der https://sagecell.sagemath.org/ SageCell-Seite] unten rechts auf dem Eingabefeld) * '''[[Statistikprogramm R]]''' enthält die verwendeten Werkzeuge und Kommandos, die für Berechnungen und Veranschaulichungen in den Projekten verwendet haben. * '''[[Tabellenkalkulation]]''' werden in Portfolios in der Regel verwendet, um Daten in den Portfolios aufzubereiten. * '''[[Octave]]''' wird in der Regel verwendet, um numerische Berechnung in der Mathematischen Modellbildung durchzuführen. * '''[[Geogebra]]''' ist eine Dynamische Geometriesoftware, die zur vektoriellen Veranschaulichung von räumlichen Modellierungsproblemen oder auch zur parametrisierten Darstellung von Funktionen verwendet wird (Beispiel: [https://www.geogebra.org/m/e9b349k9 Parkplatzlösung in Geogebra von Shrey T (2017)]). * '''[[w:Screencast|Screencast]]''': Ein Screencast ist eine Bildschirmaufnahme mit Audiokommentaren, die zeigt, wie man z.B. Software bedient. Ein Screencast ist eine Hilfestellung für Lernende, die sich noch nicht so gut mit einer bestimmten Software auskennen. :* [https://obsproject.com/ '''Open Broadcast Software (OBS)''' - Linux, Windows, MacOSX ] - [[Konvexkombination|Beispielvideo in Wikiversity]] * [[v:en:3D_Modelling|'''3D-Modellbildung''' (englisch)]] * '''[http://niebert.github.io/imgmap/ Online-ImageMap-Editor]''' - Anklickbare Bereiche in Wikiversity-Bildern erstellen. * '''[https://openlayers.org/en/latest/examples/heatmap-earthquakes.html HeatMaps]:''' Erstellung von [https://niebert.github.io/openlayer_heatmap HeatMaps mit einem Online-Editor] (Download [https://github.com/niebert/openlayer_heatmap/archive/master.zip Heatmap-Editor und Beispieldaten in Ordner <tt>/HeatMap</tt> in ZIP-Datei]) * '''[[Wiki2Reveal]]:''' Portfolio-Präsentationen direkt im Wikiversity erstellen. ===Editierungshilfen=== * [https://latexeditor.lagrida.com/ Online-Formel-Editor für LaTeX-Formeln]<ref>Lagrida Web-Portal (2021) Online-Latex-Formel-Editor mit Vorschau - URL: https://latexeditor.lagrida.com/ (accessed 2021/11/21))</ref> - die erzeugten Formeln müssen in einen MATH-Tag mit <kbd><math> ...</math></kbd> eingeschlossen werden bei der Seiteneditierung. * [https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:TeX Mathematische Formeln in Wikiversity] * Textgestaltung in Wikis: https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:Textgestaltung ==Wiki2Reveal== * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung2627|Kurs:Mathematische Modellbildung2627]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung2627&author=&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung2627&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] == Verweise == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2026-27%20Wintersemester&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2026-27%20Wintersemester&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung Kurs:Mathematische Modellbildung]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2026-27%20Wintersemester&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 61ct7pe2hnkgh68rcm90xue2x5zksds 1116526 1116524 2026-10-17T08:15:28Z ~2026-55076-31 41992 /* Zugang zur Bildung für Nachhaltigen Entwicklung */ 1116526 wikitext text/x-wiki ==Begriffsklärung== === Was ist mathematische Modellbildung? === Ganz grob gesagt besteht Mathematische Modellierung oder auch Mathematische Modellbildung darin, reale Fragestellungen mit mathematischen Mitteln zu bearbeiten und sie auf diesem Wege zumindest teilweise zu beantworten<ref> Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., & Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. </ref>. === Was ist ein Modell? === Ein Modell ist dabei gegeben durch innere Scheinbilder oder Repräsentatonen, die nicht zum Bereich der äußeren Gegenstände, sondern zu Vorstellungen von einem solchen realen Gegenstand gehören und ihnen daher auch in gewissen Grenzen etwas Willkürliches anhaftet (Sinngemäß nach Hertz, zitiert von Ortlieb<ref> Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., & Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. </ref>). ==== Eigenschaften von Modellen ==== Somit lassen sich vereinfacht und verkürzt folgende Eigenschaften ableiten (Stachowiak, zitiert nach Saam <ref> Saam, N. J. (2009). Modellbildung. In Handbuch Methoden der Organisationsforschung: Quantitative und Qualitative Methoden (pp. 517-532). Wiesbaden: VS Verlag für Sozialwissenschaften. </ref>): * '''Abbildungsmerkmal:''' Modelle repräsentieren die Realität, existieren jedoch nicht in der Realität * '''Verkürzungsmerkmal:''' Modelle beschreiben das Objekt nicht exakt, sondern stets vereinfacht * '''Pragmatisches Merkmal:''' Modelle verfolgen einen gewissen Zweck: Sie ersetzen eine nicht abbildbare Realität um Fragestellungen zu beantwortbar zu machen ==== Typisches Beispiele ==== * Betrachtungen in der Physik (Federpendel, Bewegungsgesetze,...) - Physik und Mathematische Modellbildung sind sehr eng miteinander verwoben * Populationsdynamiken und Ausbreitugnsschemata in der Biologie (vgl. Lotka-Volterra Modell) * Bewegungsanalysen und Optimierungen in den Sportwissenschaften * Untersuchungen von Transport- und Umweltprozessen in Biologie, Chemie, Physik, Technik,... * Bedarfs- und Verbrauchs- und Verhaltensanalysen in Geisteswissenschaften === Mathematische Modelle === Mathematische Modelle werden gemessen und bewertet anhand <ref> Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., & Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. </ref>: * '''Zulässigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte in sich widerspruchsfrei sein. * '''Richtigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte im Vergleich mit der Realität keine Widersprüche zu offensichtlich richtigen Tatsachen aufweisen. * '''Zweckmäßigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte genau den Detailgrad beinhalten, den es zum Erfüllen des Zwecks benötigt, nicht mehr und nicht weniger. ==== Gegenbeispiele für mathematische Modelle ==== Gegenbeispiele wären: * Ein nicht zulässiges Modell könnte bei einer Betrachtung einer Punktmasse im Raum dennoch Luftwiederstände berücksichtigen (Punkte haben kein Volumen) * Ein nicht richtiges Modell könnte bei der Modellierung von Transportprozessen von Schadstoffen die Massenerhaltung vernachlässigen. * Ein nicht zweckmäßiges Modell könnte bei dem Versuch den perfekten Abwurfwinkel beim Speerwurf die Krümmung der Erdoberfläche berücksichtigen. ==== Bemerkung - Kriterien ==== Die Kriterien, insbesondere Richtigkeit und Zweckmäßigkeit, sind nicht 100% operational. Einerseits fordert die Richtigkeit, keine bekannten Tatsachen auszulassen, andererseits dürfen hinsichtlich einer passenden Zweckmäßigkeit auch nur ausreichend viele Details integriert werden. ==Der Modellbildungszyklus== Wie kommt man nun von einer Realen Situation, die ein Problem aufwirft zu einem adäquaten mathematischen Modell? Dazu hat sich als möglichst allgemeine Vorgehensweise der Modellbildungszyklus ergeben: [[Datei:Modellbildungszyklus Mod6.png|miniatur|Modellbildungszyklus]] ===Verlauf des MBZ === Der Modellbildungszyklus beschreibt schematisch die iterative Erstellung einer mathematischen Modellbildung: * Ausgangspunkt ist eine reale Situation, die ein Problem aufwirft, die von dem mathematischen Modell adressiert werden soll * Dieses Problem wird inhaltlich erfasst, anschließend mathematisch Übersetzt (Betrachten von Gleichungen, Funktionen, Geometrischen Objekten,...) ====Modellbildungsschleife==== * Durch das Betrachten von mathematischen Objekten können über passende Operationen deduktiv Resultate geschlussfolgert werden * Diese Resultate werden mit der Realsituation abgeglichen * Aus dem Vergleich werden mögliche Optimierungen und Limitationen des Modells abgeleitet * Durch die Limitationen werden kann das Modell weiterentwickelt werden Diese Schritte können/müssen dabei mehrfach durchlaufen werden. ====Integration von Software==== Die Integration von computergestützter Software ist in der mathematischen Modellbildung definitionsgemäss nicht zwigend erforderlich, für die meisten anwendungsbezogenen Modellierungen jedoch unumgänglich. ==Konkretes Beispiel einer Mathematischen Modellbildung== [[Kurs:Mathematische_Modellbildung/Themen/Radioaktivit%C3%A4t_und_Risikoliteralit%C3%A4t]] [[Datei:Screenshot 2D Ansicht Resultate.png|miniatur|alternativtext=Ansicht der möglichen Auftreffpunkte des radioaktiven Niederschlags|Ansicht der möglichen Auftreffpunkte des radioaktiven Niederschlags]] [[File:Zeitliche Abhängigkeit der Risikofunktion.gif|thumb|Das GIF zeigt die Zeitliche Abhängigkeit der Risikofunktion]] === Ziel der Modellierung === Ziel in dieser Modellierung war es, ein Modell zur räumlichen und zeitlichen Ausbreitung einer radioaktiv belasteten Wolke, sowie dessen Rain-Out, infolge einer Reaktorkatastrophe am (mittlerweile abgeschalteten) Kernkraftwerk in Philippsburg zu beschreiben. Unter zu Hilfenahme von Messwerten von dem Reaktorunglück in Tschernobyl und den Halbwertszeiten des radioaktiven Materials wurde der zeitliche Zerfall erfasst. Der Transport von radioaktiven Material wurde durch eine Kugel im <math> \mathbb{R}^3 </math> modelliert. Diese bewegt sich gemäss einer variablen Windrichtung (gegeben durch Winkel <math> \alpha </math>) und regnet sich nach einer gewissen Durchschnittsdauer ab. === Endresultat === Es wurde in drei Modellbildungszyklen eine Funktion zur Beschreibung der radioaktiven Belastung (repräsentativ für das Risiko) abgeleitet: <math>u(x,y,t,\alpha)=\frac{1480\cdot e^{-\frac{ln(2)}{30a} \cdot t}}{1+\frac{7}{10.000}\cdot (x^2+y^2)}+\frac{40\cdot e^{-\frac{ln(2)}{30a} \cdot t}}{1+\frac{1}{7.500}\cdot ((x-1080cos(\alpha))^2+(y-1080sin(\alpha))^2)}</math> Letztlich erhält man also eine Funktion die in ihrem Ausgabewert <math>z=u(x,y,t,\alpha)</math> abhängig von 4 Eingabewerten <math>x, y, t, \alpha </math> ist. ==Modellbildung in der Schule== ===Einbindung in den Lehrplan=== Die mathematische Modellbildung ist stark in den Mathematik-Lehrplan für Schulen in Rheinland-Pfalz integriert (hier wird sich an dem Lehrplan für Sekundarstufe II orientiert <ref> Ministerium für Bildung, Wissensachft, Weiterbildung und Kultur (2015), Lehrplan Mathematik. Grund- und Leistungsfach in der gymnasialen Oberstufe (Mainzer Studienstufe) </ref>). Im Bezug zu Problemlösen im Mathematikunterricht und Mathematik im fachübergreifenden Kontext, sollen Anwendungsbeispiele Einzug halten, die Schülerinnen und Schülern aus anderen Fächern bekannt sind. In diesem Zusammenhang wird mathematische Modellbildung als Methode zur Lösung von solchen Anwendungsproblemen genannt. ===Konkreter Themenbezug=== Zu folgenden mathematischen Themengebieten wird explizit Mathematischen Modellbildung zur unterrichtlichen Umsetzung erwähnt: *Exponentialfunktionen (Wachstums- und Zerfallsprozesse *Matrizenrechnung (Input-Output-Analysen, Zustandsübergangsprozesse, Populationsentwicklung,...) *Differential- und Integralrechnung (lineare oder logistische Wachstumsprozesse) Auch der Einsatz von computergestützten Hilfs- und Lösungsmitteln im Zuge der Modellbildung wird betont. (Bemerke: Auch im Lehrplan wird ein vergleichbarer Modellbildungszyklus vorgestellt und beschrieben. Bei Bedarf kann dieser auf Seite 15-16<ref> Ministerium für Bildung, Wissensachft, Weiterbildung und Kultur (2015), Lehrplan Mathematik. Grund- und Leistungsfach in der gymnasialen Oberstufe (Mainzer Studienstufe). </ref> nachgelesen werden) ===Zugang zur Bildung für Nachhaltigen Entwicklung=== Durch die Möglichkeit fachübergreifende Fragestellungen zu behandeln und Prozesse der Realität in den Blick zu nehmen, kann mathematische Modellbildung die Brücke zur Bildung für Nachhaltigen Entwicklung (BNE) schlagen. ====Bildung für Nachhaltige Entwicklung==== "Die BNE zielt grundsätzlich darauf ab, es jedem und jeder Einzelnen zu ermöglichen, die Folgen des eigenen Handelns auf die Welt sowie intra- und intergenerationell zu verstehen, verantwortungsvolle Entscheidungen zu treffen und aktiv zu werden." <ref> Ministerium für Bildung. Bildung für nachhaltige Entwicklung. Online abrufbar unter: https://bm.rlp.de/unsere-schwerpunkte/bildung-fuer-nachhaltige-entwicklung </ref> ====BNE und Modellbildung==== Mathematische Modellbildung kann unter praktischer Anwendung von gelernten Inhalten im Schulunterricht zu BNE beitragen, indem eben gezielt Probleme adressiert werden und von Schülerinnen und Schülern eigenständig untersucht werden. ==Ziel und Organisation des Seminars== ===Ziel und Aufgabe=== In Kleingruppen (3-4 Personen) sollen aussermathematische Fragestellungen mit einer eigenen mathematischen Modellbildung behandelt werden. Dazu sollen drei Modellbildungszyklen mit unterschiedlichem Grad an Vereinfachung und unterschiedlicher Mathematischen Grundlage erstellt werden: * Zyklus: Mathematik der Sekundarstufe 1 (Mittelstufe) * Zyklus: Mathematik der Sekundarstufe 2 (Oberstufe) * Zyklus: Universitätsmathematik ====Integration von Software==== In jedem Zyklus sollen computergestützte Untersuchungen und Betrachtungen Einzug erhalten. Somit bietet es sich an in insgesamt auch drei verschiedene Programme (Tabellenkalkulation, GeoGebra, RStudio, Maxima,...) zu integrieren - an manchen stellen lässt sich dies gar nicht vermeiden. ===Themenwahl=== Das Thema sollte einen weltlichen Bezug haben. Am besten eigenen sich Themen aus dem jeweiligen Zweitfach (s. Verbindung zu anderen Schulfächern im Lehrplan). Das Thema sollte nachhaltige Entwicklung im Rahmen der Sustainable Development Goals adressieren. Siehe dazu: https://www.bundesumweltministerium.de/themen/nachhaltigkeit/nachhaltigkeitsziele-sdgs Vorzugsweise: Räumliche Risikobetrachtungen in Desaster- und Katastrophenszenarien. Das Thema sollte sich nicht mit denen der vergangenen Semestern doppeln. Zur Orientierung und Inspiration finden sich hier die Projekte der vergangenen Semester: :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2026 Sommersemester|2026 Sommersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2025-26 Wintersemester|2025/26 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2024-25 Wintersemester|2024/25 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2023-24 Wintersemester|2023/24 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2022-23 Winteresemester|2022/23 Wintersemester]]''' ===Portfolio=== Während des Semesters soll in Gruppenarbeit die Modellbildung durchgeführt werden. Diese wird schriftlich in einem Portfolio festgehalten. Dies Portfolio wird, genau wie dieser Artikel auch, in einem Wikiversity Artikel dokumentiert. Dieser sollte folgendes enthalten: * Einleitung: Beschreibung und Einordnung des Themas & welche(s) SDG wird adressiert und warum? * Ziel der Modellierung: Welches Problem wird in der Modellierung / den einzelnen Zyklen konkret angegangen? * Zyklus 1-3 ** Mathematisches Modell (welche Mathematischen Objekte werden betrachtet, wie ergeben die sich,...) ** Ergebnisse (Ableiten von Resultaten aus dem Modell) ** Bewertung der Ergebnisse ** Grenzen und Limitationen ** Ausblick für nächsten Zyklus (welche Limitationen und Probleme aus dem Zyklus werden im folgenden adressiert?) In allen Punkten der Modellzyklen können Programme computergestützte Tools verwendet werden. Zur Erstellung von Wiki-Seiten ist folgende Seite hilfreich: https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:Textgestaltung ===Prüfung=== Die Prüfung gliedert sich in zwei Aspekte: * '''Vorstellung von ausgewählten Teilen aus dem eigenen Portfolio''' - diese werden von den Prüfer:innen aus dem Portfolio der Studierenden ausgewählt. * '''Diskussion und Fragen''' der Prüfer:innen zu dem Portfolio, z.B. zu Teilen des Portfolios, die in der Vorstellung nicht behandelt werden können. Ein Portfolio kann aus Zeitgründen nie vollständig in der Prüfung dargestellt werden. In der mündlichen Portfolio-Prüfung wird geprüft, ob *das eigene Modell verstanden ist, *das eigene Modell kritisch hinterfragt werden kann, *die Limitationen des Modells begründet und nachvollziehbar wiedergegeben werden können, *die Übergänge zwischen den Zyklen beschrieben und begründet werden können, *die technische Umsetzung reproduziert und erklärt werden kann, *... . Es ist also wichtig zu wissen, was wie an welcher Stelle und mit welchem Zweck in der Modellierung gemacht wurde! Das Portfolio (Wiki-Seite) wird somit konkret vorgestellt. Eine Präsentation des Portfolio kann automatisch mit Wiki2Reveal erstellt werden. === Unterstützungsangebot === * Das Unterstützungsangebot erfolgt in der Lehrveranstaltung zur "Mathematischen Modellbildung". * Eine individuelle Sonderbehandlung für einzelne Studierende, die das Angebot der Vorlesung nicht nutzen und kurz vor Prüfungsbeginn noch "schnell" ein Portfolio zusammenstellen wollen, ist aus zeitlichen Gründen kurz vor der Prüfung nicht möglich. * Portfolioprüfungen der Lehrveranstaltung beziehen sich immer auf das erstellte Portfolio im laufende Semester und bei Wiederholungsprüfungen auf das Semester, in dem Portfolio erstellt wurde. * Eine Prüfung kann nur zu dem eigenen erstellten Portfolio in der Lehrveranstaltung abgelegt werden, an dessen Erstellung man aktiv mitgearbeitet hat. ===Ablauf des Seminars=== Der Seminarablauf über das Semester gestaltet sich grob wie folgt: * 1. Woche (19.10.): Einführungsveranstaltung + Gruppenfindung * 2. Woche (26.10.): Themenfindung * 3. Woche (02.11.): Themenfindung + Zyklen festlegen * 4. Woche (09.11.): Zyklen festlegen * 5. Woche (16.11.): Kurzvorstellung der Themen und Zyklen (5 Minuten pro Gruppe) Ab Woche 6 (23.11.) bis Ende des Semesters wird gemeinsam an den Modellen und dem Portfolio gearbeitet. Empfehlenswert wäre es, die letzten 2-3 Wochen für Finalisierungsarbeiten zu nutzen und entsprechend frühzeitig zu planen! Ausschliesslich während der Seminarzeiten an dem Modell und Portfolio zu arbeiten wird nicht ausreichen! Die Kurzpräsentationen am 16.11. umfassen den aktuellen Stand der Überlegungen und sind noch unter keinen Umständen verbindlich. Stattdessen dient es einfach zur Grundlage von gemeinsamer Diskussion und zur Einbringung von weiteren Ideen. =Hilfreiche Links= ===Fachmathematische Aspekte === Wenn man das Modellierungsproblem in den Mittelpunkt stellt und die Fragestellung den Nachhaltigkeitszielen der UN zuordnet, kommen z.T. fachmathematische Aspekte erforderlich, die nicht in der jeweiligen Schulstufe bzw. in den Vorlesungen behandelt wurden. Dies Kapitel erhält Hinweise zu fachmathematischen Bereichen, die für die mathematische Modellbildung ggf. als Werkzeug verwendet werden können * '''[[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]''' dienen dazu, Datenpunkte im <math>\R^2</math> oder allgemein im <math>\R^n</math> zu [[w:Interpolation_(Mathematik)|interpolieren]]. * '''[https://en.wikiversity.org/wiki/3D_Modelling 3D Modellierung für Projektinhalte]''' und [[w:Projektive_Geometrie|projektive Geometrie]] zur Visualisierung * '''[[Gradientenabstiegsverfahren]]''': Wird verwendet, um sich in der mathematischen Modellbildung iterativ einem Minimum einer Kosten- oder Fehlerfunktion anzunähern. * [[w:Lineare_Optimierung|'''Lineare Optimierung''']] wird in Optimierungshaufgaben wie beispielsweise bei der Suche nach Minimum der Produktionskosten verwendet. Hierbei wird in allgemeinem nach einem Minimium/Maximum einer linearer Zielfunktion über einer Menge gesucht. [https://www.geogebra.org/m/kr727992 '''Ein Beispiel in Geogebra'''] *[[Räumliche Diffusion|'''Räumliche Diffusion''']] *[[Modelle_der_Populationsdynamik|'''Modelle der Populationsdynamik''']] - [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Modelle%20der%20Populationsdynamik&author=Kurs:R%C3%A4umliche%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes (Wiki2Reveal-Folien)] - [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Stochastik/Wahrscheinlichkeitsdichte|Wahrscheinlichkeitsdichte]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Wahrscheinlichkeitsdichte&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wahrscheinlichkeitsdichte&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ===Softwarenutzung === Im PC-Praktikum wurden grundlegende Kenntnisse im Umgang mit Software erlangt, die für die Berechnung von mathematischen Modellen vorwendig sind. Diese Kenntnisse müssen ggf. auf das spezielle Modellierungsthema angepasst und erweitert werden. * '''[[CSV2Chart]]''' Aus CSV-Dateien mathematische Graphen in Wikiversity erstellen. * '''[[Maxima CAS]]''' enthält die verwendeten Werkzeuge und Kommandos eines Computeralgebrasystems (CAS), die die einzelnen Projekte in dem Modellbildungszyklus verwendet haben. * '''[https://sagecell.sagemath.org/ SageCell]''' Online-Umgebung zur Ausführung und Demonstration von Befehlen in R, Octave, Maxima, ... (Auswahl des Befehlssatzes auf der https://sagecell.sagemath.org/ SageCell-Seite] unten rechts auf dem Eingabefeld) * '''[[Statistikprogramm R]]''' enthält die verwendeten Werkzeuge und Kommandos, die für Berechnungen und Veranschaulichungen in den Projekten verwendet haben. * '''[[Tabellenkalkulation]]''' werden in Portfolios in der Regel verwendet, um Daten in den Portfolios aufzubereiten. * '''[[Octave]]''' wird in der Regel verwendet, um numerische Berechnung in der Mathematischen Modellbildung durchzuführen. * '''[[Geogebra]]''' ist eine Dynamische Geometriesoftware, die zur vektoriellen Veranschaulichung von räumlichen Modellierungsproblemen oder auch zur parametrisierten Darstellung von Funktionen verwendet wird (Beispiel: [https://www.geogebra.org/m/e9b349k9 Parkplatzlösung in Geogebra von Shrey T (2017)]). * '''[[w:Screencast|Screencast]]''': Ein Screencast ist eine Bildschirmaufnahme mit Audiokommentaren, die zeigt, wie man z.B. Software bedient. Ein Screencast ist eine Hilfestellung für Lernende, die sich noch nicht so gut mit einer bestimmten Software auskennen. :* [https://obsproject.com/ '''Open Broadcast Software (OBS)''' - Linux, Windows, MacOSX ] - [[Konvexkombination|Beispielvideo in Wikiversity]] * [[v:en:3D_Modelling|'''3D-Modellbildung''' (englisch)]] * '''[http://niebert.github.io/imgmap/ Online-ImageMap-Editor]''' - Anklickbare Bereiche in Wikiversity-Bildern erstellen. * '''[https://openlayers.org/en/latest/examples/heatmap-earthquakes.html HeatMaps]:''' Erstellung von [https://niebert.github.io/openlayer_heatmap HeatMaps mit einem Online-Editor] (Download [https://github.com/niebert/openlayer_heatmap/archive/master.zip Heatmap-Editor und Beispieldaten in Ordner <tt>/HeatMap</tt> in ZIP-Datei]) * '''[[Wiki2Reveal]]:''' Portfolio-Präsentationen direkt im Wikiversity erstellen. ===Editierungshilfen=== * [https://latexeditor.lagrida.com/ Online-Formel-Editor für LaTeX-Formeln]<ref>Lagrida Web-Portal (2021) Online-Latex-Formel-Editor mit Vorschau - URL: https://latexeditor.lagrida.com/ (accessed 2021/11/21))</ref> - die erzeugten Formeln müssen in einen MATH-Tag mit <kbd><math> ...</math></kbd> eingeschlossen werden bei der Seiteneditierung. * [https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:TeX Mathematische Formeln in Wikiversity] * Textgestaltung in Wikis: https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:Textgestaltung ==Wiki2Reveal== * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung2627|Kurs:Mathematische Modellbildung2627]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung2627&author=&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung2627&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] == Verweise == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2026-27%20Wintersemester&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2026-27%20Wintersemester&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung Kurs:Mathematische Modellbildung]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2026-27%20Wintersemester&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] ol9qcmwywdql6of5z20m09y4w0k4ywk 1116527 1116526 2026-10-17T08:16:02Z ~2026-55076-31 41992 /* Der Modellbildungszyklus */ 1116527 wikitext text/x-wiki ==Begriffsklärung== === Was ist mathematische Modellbildung? === Ganz grob gesagt besteht Mathematische Modellierung oder auch Mathematische Modellbildung darin, reale Fragestellungen mit mathematischen Mitteln zu bearbeiten und sie auf diesem Wege zumindest teilweise zu beantworten<ref> Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., & Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. </ref>. === Was ist ein Modell? === Ein Modell ist dabei gegeben durch innere Scheinbilder oder Repräsentatonen, die nicht zum Bereich der äußeren Gegenstände, sondern zu Vorstellungen von einem solchen realen Gegenstand gehören und ihnen daher auch in gewissen Grenzen etwas Willkürliches anhaftet (Sinngemäß nach Hertz, zitiert von Ortlieb<ref> Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., & Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. </ref>). ==== Eigenschaften von Modellen ==== Somit lassen sich vereinfacht und verkürzt folgende Eigenschaften ableiten (Stachowiak, zitiert nach Saam <ref> Saam, N. J. (2009). Modellbildung. In Handbuch Methoden der Organisationsforschung: Quantitative und Qualitative Methoden (pp. 517-532). Wiesbaden: VS Verlag für Sozialwissenschaften. </ref>): * '''Abbildungsmerkmal:''' Modelle repräsentieren die Realität, existieren jedoch nicht in der Realität * '''Verkürzungsmerkmal:''' Modelle beschreiben das Objekt nicht exakt, sondern stets vereinfacht * '''Pragmatisches Merkmal:''' Modelle verfolgen einen gewissen Zweck: Sie ersetzen eine nicht abbildbare Realität um Fragestellungen zu beantwortbar zu machen ==== Typisches Beispiele ==== * Betrachtungen in der Physik (Federpendel, Bewegungsgesetze,...) - Physik und Mathematische Modellbildung sind sehr eng miteinander verwoben * Populationsdynamiken und Ausbreitugnsschemata in der Biologie (vgl. Lotka-Volterra Modell) * Bewegungsanalysen und Optimierungen in den Sportwissenschaften * Untersuchungen von Transport- und Umweltprozessen in Biologie, Chemie, Physik, Technik,... * Bedarfs- und Verbrauchs- und Verhaltensanalysen in Geisteswissenschaften === Mathematische Modelle === Mathematische Modelle werden gemessen und bewertet anhand <ref> Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., & Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. </ref>: * '''Zulässigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte in sich widerspruchsfrei sein. * '''Richtigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte im Vergleich mit der Realität keine Widersprüche zu offensichtlich richtigen Tatsachen aufweisen. * '''Zweckmäßigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte genau den Detailgrad beinhalten, den es zum Erfüllen des Zwecks benötigt, nicht mehr und nicht weniger. ==== Gegenbeispiele für mathematische Modelle ==== Gegenbeispiele wären: * Ein nicht zulässiges Modell könnte bei einer Betrachtung einer Punktmasse im Raum dennoch Luftwiederstände berücksichtigen (Punkte haben kein Volumen) * Ein nicht richtiges Modell könnte bei der Modellierung von Transportprozessen von Schadstoffen die Massenerhaltung vernachlässigen. * Ein nicht zweckmäßiges Modell könnte bei dem Versuch den perfekten Abwurfwinkel beim Speerwurf die Krümmung der Erdoberfläche berücksichtigen. ==== Bemerkung - Kriterien ==== Die Kriterien, insbesondere Richtigkeit und Zweckmäßigkeit, sind nicht 100% operational. Einerseits fordert die Richtigkeit, keine bekannten Tatsachen auszulassen, andererseits dürfen hinsichtlich einer passenden Zweckmäßigkeit auch nur ausreichend viele Details integriert werden. ==Der Modellbildungszyklus== Wie kommt man nun von einer Realen Situation, die ein Problem aufwirft zu einem adäquaten mathematischen Modell? Dazu hat sich als möglichst allgemeine Vorgehensweise der Modellbildungszyklus ergeben: [[Datei:Modellbildungszyklus Mod6.png|miniatur|Modellbildungszyklus]] ===Verlauf des MBZ === Der Modellbildungszyklus beschreibt schematisch die iterative Erstellung einer mathematischen Modellbildung: * Ausgangspunkt ist eine reale Situation, die ein Problem aufwirft, die von dem mathematischen Modell adressiert werden soll * Dieses Problem wird inhaltlich erfasst, anschließend mathematisch Übersetzt (Betrachten von Gleichungen, Funktionen, Geometrischen Objekten,...) =====Modellbildungsschleife===== * Durch das Betrachten von mathematischen Objekten können über passende Operationen deduktiv Resultate geschlussfolgert werden * Diese Resultate werden mit der Realsituation abgeglichen * Aus dem Vergleich werden mögliche Optimierungen und Limitationen des Modells abgeleitet * Durch die Limitationen werden kann das Modell weiterentwickelt werden Diese Schritte können/müssen dabei mehrfach durchlaufen werden. =====Integration von Software===== Die Integration von computergestützter Software ist in der mathematischen Modellbildung definitionsgemäss nicht zwigend erforderlich, für die meisten anwendungsbezogenen Modellierungen jedoch unumgänglich. ==Konkretes Beispiel einer Mathematischen Modellbildung== [[Kurs:Mathematische_Modellbildung/Themen/Radioaktivit%C3%A4t_und_Risikoliteralit%C3%A4t]] [[Datei:Screenshot 2D Ansicht Resultate.png|miniatur|alternativtext=Ansicht der möglichen Auftreffpunkte des radioaktiven Niederschlags|Ansicht der möglichen Auftreffpunkte des radioaktiven Niederschlags]] [[File:Zeitliche Abhängigkeit der Risikofunktion.gif|thumb|Das GIF zeigt die Zeitliche Abhängigkeit der Risikofunktion]] === Ziel der Modellierung === Ziel in dieser Modellierung war es, ein Modell zur räumlichen und zeitlichen Ausbreitung einer radioaktiv belasteten Wolke, sowie dessen Rain-Out, infolge einer Reaktorkatastrophe am (mittlerweile abgeschalteten) Kernkraftwerk in Philippsburg zu beschreiben. Unter zu Hilfenahme von Messwerten von dem Reaktorunglück in Tschernobyl und den Halbwertszeiten des radioaktiven Materials wurde der zeitliche Zerfall erfasst. Der Transport von radioaktiven Material wurde durch eine Kugel im <math> \mathbb{R}^3 </math> modelliert. Diese bewegt sich gemäss einer variablen Windrichtung (gegeben durch Winkel <math> \alpha </math>) und regnet sich nach einer gewissen Durchschnittsdauer ab. === Endresultat === Es wurde in drei Modellbildungszyklen eine Funktion zur Beschreibung der radioaktiven Belastung (repräsentativ für das Risiko) abgeleitet: <math>u(x,y,t,\alpha)=\frac{1480\cdot e^{-\frac{ln(2)}{30a} \cdot t}}{1+\frac{7}{10.000}\cdot (x^2+y^2)}+\frac{40\cdot e^{-\frac{ln(2)}{30a} \cdot t}}{1+\frac{1}{7.500}\cdot ((x-1080cos(\alpha))^2+(y-1080sin(\alpha))^2)}</math> Letztlich erhält man also eine Funktion die in ihrem Ausgabewert <math>z=u(x,y,t,\alpha)</math> abhängig von 4 Eingabewerten <math>x, y, t, \alpha </math> ist. ==Modellbildung in der Schule== ===Einbindung in den Lehrplan=== Die mathematische Modellbildung ist stark in den Mathematik-Lehrplan für Schulen in Rheinland-Pfalz integriert (hier wird sich an dem Lehrplan für Sekundarstufe II orientiert <ref> Ministerium für Bildung, Wissensachft, Weiterbildung und Kultur (2015), Lehrplan Mathematik. Grund- und Leistungsfach in der gymnasialen Oberstufe (Mainzer Studienstufe) </ref>). Im Bezug zu Problemlösen im Mathematikunterricht und Mathematik im fachübergreifenden Kontext, sollen Anwendungsbeispiele Einzug halten, die Schülerinnen und Schülern aus anderen Fächern bekannt sind. In diesem Zusammenhang wird mathematische Modellbildung als Methode zur Lösung von solchen Anwendungsproblemen genannt. ===Konkreter Themenbezug=== Zu folgenden mathematischen Themengebieten wird explizit Mathematischen Modellbildung zur unterrichtlichen Umsetzung erwähnt: *Exponentialfunktionen (Wachstums- und Zerfallsprozesse *Matrizenrechnung (Input-Output-Analysen, Zustandsübergangsprozesse, Populationsentwicklung,...) *Differential- und Integralrechnung (lineare oder logistische Wachstumsprozesse) Auch der Einsatz von computergestützten Hilfs- und Lösungsmitteln im Zuge der Modellbildung wird betont. (Bemerke: Auch im Lehrplan wird ein vergleichbarer Modellbildungszyklus vorgestellt und beschrieben. Bei Bedarf kann dieser auf Seite 15-16<ref> Ministerium für Bildung, Wissensachft, Weiterbildung und Kultur (2015), Lehrplan Mathematik. Grund- und Leistungsfach in der gymnasialen Oberstufe (Mainzer Studienstufe). </ref> nachgelesen werden) ===Zugang zur Bildung für Nachhaltigen Entwicklung=== Durch die Möglichkeit fachübergreifende Fragestellungen zu behandeln und Prozesse der Realität in den Blick zu nehmen, kann mathematische Modellbildung die Brücke zur Bildung für Nachhaltigen Entwicklung (BNE) schlagen. ====Bildung für Nachhaltige Entwicklung==== "Die BNE zielt grundsätzlich darauf ab, es jedem und jeder Einzelnen zu ermöglichen, die Folgen des eigenen Handelns auf die Welt sowie intra- und intergenerationell zu verstehen, verantwortungsvolle Entscheidungen zu treffen und aktiv zu werden." <ref> Ministerium für Bildung. Bildung für nachhaltige Entwicklung. Online abrufbar unter: https://bm.rlp.de/unsere-schwerpunkte/bildung-fuer-nachhaltige-entwicklung </ref> ====BNE und Modellbildung==== Mathematische Modellbildung kann unter praktischer Anwendung von gelernten Inhalten im Schulunterricht zu BNE beitragen, indem eben gezielt Probleme adressiert werden und von Schülerinnen und Schülern eigenständig untersucht werden. ==Ziel und Organisation des Seminars== ===Ziel und Aufgabe=== In Kleingruppen (3-4 Personen) sollen aussermathematische Fragestellungen mit einer eigenen mathematischen Modellbildung behandelt werden. Dazu sollen drei Modellbildungszyklen mit unterschiedlichem Grad an Vereinfachung und unterschiedlicher Mathematischen Grundlage erstellt werden: * Zyklus: Mathematik der Sekundarstufe 1 (Mittelstufe) * Zyklus: Mathematik der Sekundarstufe 2 (Oberstufe) * Zyklus: Universitätsmathematik ====Integration von Software==== In jedem Zyklus sollen computergestützte Untersuchungen und Betrachtungen Einzug erhalten. Somit bietet es sich an in insgesamt auch drei verschiedene Programme (Tabellenkalkulation, GeoGebra, RStudio, Maxima,...) zu integrieren - an manchen stellen lässt sich dies gar nicht vermeiden. ===Themenwahl=== Das Thema sollte einen weltlichen Bezug haben. Am besten eigenen sich Themen aus dem jeweiligen Zweitfach (s. Verbindung zu anderen Schulfächern im Lehrplan). Das Thema sollte nachhaltige Entwicklung im Rahmen der Sustainable Development Goals adressieren. Siehe dazu: https://www.bundesumweltministerium.de/themen/nachhaltigkeit/nachhaltigkeitsziele-sdgs Vorzugsweise: Räumliche Risikobetrachtungen in Desaster- und Katastrophenszenarien. Das Thema sollte sich nicht mit denen der vergangenen Semestern doppeln. Zur Orientierung und Inspiration finden sich hier die Projekte der vergangenen Semester: :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2026 Sommersemester|2026 Sommersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2025-26 Wintersemester|2025/26 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2024-25 Wintersemester|2024/25 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2023-24 Wintersemester|2023/24 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2022-23 Winteresemester|2022/23 Wintersemester]]''' ===Portfolio=== Während des Semesters soll in Gruppenarbeit die Modellbildung durchgeführt werden. Diese wird schriftlich in einem Portfolio festgehalten. Dies Portfolio wird, genau wie dieser Artikel auch, in einem Wikiversity Artikel dokumentiert. Dieser sollte folgendes enthalten: * Einleitung: Beschreibung und Einordnung des Themas & welche(s) SDG wird adressiert und warum? * Ziel der Modellierung: Welches Problem wird in der Modellierung / den einzelnen Zyklen konkret angegangen? * Zyklus 1-3 ** Mathematisches Modell (welche Mathematischen Objekte werden betrachtet, wie ergeben die sich,...) ** Ergebnisse (Ableiten von Resultaten aus dem Modell) ** Bewertung der Ergebnisse ** Grenzen und Limitationen ** Ausblick für nächsten Zyklus (welche Limitationen und Probleme aus dem Zyklus werden im folgenden adressiert?) In allen Punkten der Modellzyklen können Programme computergestützte Tools verwendet werden. Zur Erstellung von Wiki-Seiten ist folgende Seite hilfreich: https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:Textgestaltung ===Prüfung=== Die Prüfung gliedert sich in zwei Aspekte: * '''Vorstellung von ausgewählten Teilen aus dem eigenen Portfolio''' - diese werden von den Prüfer:innen aus dem Portfolio der Studierenden ausgewählt. * '''Diskussion und Fragen''' der Prüfer:innen zu dem Portfolio, z.B. zu Teilen des Portfolios, die in der Vorstellung nicht behandelt werden können. Ein Portfolio kann aus Zeitgründen nie vollständig in der Prüfung dargestellt werden. In der mündlichen Portfolio-Prüfung wird geprüft, ob *das eigene Modell verstanden ist, *das eigene Modell kritisch hinterfragt werden kann, *die Limitationen des Modells begründet und nachvollziehbar wiedergegeben werden können, *die Übergänge zwischen den Zyklen beschrieben und begründet werden können, *die technische Umsetzung reproduziert und erklärt werden kann, *... . Es ist also wichtig zu wissen, was wie an welcher Stelle und mit welchem Zweck in der Modellierung gemacht wurde! Das Portfolio (Wiki-Seite) wird somit konkret vorgestellt. Eine Präsentation des Portfolio kann automatisch mit Wiki2Reveal erstellt werden. === Unterstützungsangebot === * Das Unterstützungsangebot erfolgt in der Lehrveranstaltung zur "Mathematischen Modellbildung". * Eine individuelle Sonderbehandlung für einzelne Studierende, die das Angebot der Vorlesung nicht nutzen und kurz vor Prüfungsbeginn noch "schnell" ein Portfolio zusammenstellen wollen, ist aus zeitlichen Gründen kurz vor der Prüfung nicht möglich. * Portfolioprüfungen der Lehrveranstaltung beziehen sich immer auf das erstellte Portfolio im laufende Semester und bei Wiederholungsprüfungen auf das Semester, in dem Portfolio erstellt wurde. * Eine Prüfung kann nur zu dem eigenen erstellten Portfolio in der Lehrveranstaltung abgelegt werden, an dessen Erstellung man aktiv mitgearbeitet hat. ===Ablauf des Seminars=== Der Seminarablauf über das Semester gestaltet sich grob wie folgt: * 1. Woche (19.10.): Einführungsveranstaltung + Gruppenfindung * 2. Woche (26.10.): Themenfindung * 3. Woche (02.11.): Themenfindung + Zyklen festlegen * 4. Woche (09.11.): Zyklen festlegen * 5. Woche (16.11.): Kurzvorstellung der Themen und Zyklen (5 Minuten pro Gruppe) Ab Woche 6 (23.11.) bis Ende des Semesters wird gemeinsam an den Modellen und dem Portfolio gearbeitet. Empfehlenswert wäre es, die letzten 2-3 Wochen für Finalisierungsarbeiten zu nutzen und entsprechend frühzeitig zu planen! Ausschliesslich während der Seminarzeiten an dem Modell und Portfolio zu arbeiten wird nicht ausreichen! Die Kurzpräsentationen am 16.11. umfassen den aktuellen Stand der Überlegungen und sind noch unter keinen Umständen verbindlich. Stattdessen dient es einfach zur Grundlage von gemeinsamer Diskussion und zur Einbringung von weiteren Ideen. =Hilfreiche Links= ===Fachmathematische Aspekte === Wenn man das Modellierungsproblem in den Mittelpunkt stellt und die Fragestellung den Nachhaltigkeitszielen der UN zuordnet, kommen z.T. fachmathematische Aspekte erforderlich, die nicht in der jeweiligen Schulstufe bzw. in den Vorlesungen behandelt wurden. Dies Kapitel erhält Hinweise zu fachmathematischen Bereichen, die für die mathematische Modellbildung ggf. als Werkzeug verwendet werden können * '''[[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]''' dienen dazu, Datenpunkte im <math>\R^2</math> oder allgemein im <math>\R^n</math> zu [[w:Interpolation_(Mathematik)|interpolieren]]. * '''[https://en.wikiversity.org/wiki/3D_Modelling 3D Modellierung für Projektinhalte]''' und [[w:Projektive_Geometrie|projektive Geometrie]] zur Visualisierung * '''[[Gradientenabstiegsverfahren]]''': Wird verwendet, um sich in der mathematischen Modellbildung iterativ einem Minimum einer Kosten- oder Fehlerfunktion anzunähern. * [[w:Lineare_Optimierung|'''Lineare Optimierung''']] wird in Optimierungshaufgaben wie beispielsweise bei der Suche nach Minimum der Produktionskosten verwendet. Hierbei wird in allgemeinem nach einem Minimium/Maximum einer linearer Zielfunktion über einer Menge gesucht. [https://www.geogebra.org/m/kr727992 '''Ein Beispiel in Geogebra'''] *[[Räumliche Diffusion|'''Räumliche Diffusion''']] *[[Modelle_der_Populationsdynamik|'''Modelle der Populationsdynamik''']] - [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Modelle%20der%20Populationsdynamik&author=Kurs:R%C3%A4umliche%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes (Wiki2Reveal-Folien)] - [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Stochastik/Wahrscheinlichkeitsdichte|Wahrscheinlichkeitsdichte]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Wahrscheinlichkeitsdichte&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wahrscheinlichkeitsdichte&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ===Softwarenutzung === Im PC-Praktikum wurden grundlegende Kenntnisse im Umgang mit Software erlangt, die für die Berechnung von mathematischen Modellen vorwendig sind. Diese Kenntnisse müssen ggf. auf das spezielle Modellierungsthema angepasst und erweitert werden. * '''[[CSV2Chart]]''' Aus CSV-Dateien mathematische Graphen in Wikiversity erstellen. * '''[[Maxima CAS]]''' enthält die verwendeten Werkzeuge und Kommandos eines Computeralgebrasystems (CAS), die die einzelnen Projekte in dem Modellbildungszyklus verwendet haben. * '''[https://sagecell.sagemath.org/ SageCell]''' Online-Umgebung zur Ausführung und Demonstration von Befehlen in R, Octave, Maxima, ... (Auswahl des Befehlssatzes auf der https://sagecell.sagemath.org/ SageCell-Seite] unten rechts auf dem Eingabefeld) * '''[[Statistikprogramm R]]''' enthält die verwendeten Werkzeuge und Kommandos, die für Berechnungen und Veranschaulichungen in den Projekten verwendet haben. * '''[[Tabellenkalkulation]]''' werden in Portfolios in der Regel verwendet, um Daten in den Portfolios aufzubereiten. * '''[[Octave]]''' wird in der Regel verwendet, um numerische Berechnung in der Mathematischen Modellbildung durchzuführen. * '''[[Geogebra]]''' ist eine Dynamische Geometriesoftware, die zur vektoriellen Veranschaulichung von räumlichen Modellierungsproblemen oder auch zur parametrisierten Darstellung von Funktionen verwendet wird (Beispiel: [https://www.geogebra.org/m/e9b349k9 Parkplatzlösung in Geogebra von Shrey T (2017)]). * '''[[w:Screencast|Screencast]]''': Ein Screencast ist eine Bildschirmaufnahme mit Audiokommentaren, die zeigt, wie man z.B. Software bedient. Ein Screencast ist eine Hilfestellung für Lernende, die sich noch nicht so gut mit einer bestimmten Software auskennen. :* [https://obsproject.com/ '''Open Broadcast Software (OBS)''' - Linux, Windows, MacOSX ] - [[Konvexkombination|Beispielvideo in Wikiversity]] * [[v:en:3D_Modelling|'''3D-Modellbildung''' (englisch)]] * '''[http://niebert.github.io/imgmap/ Online-ImageMap-Editor]''' - Anklickbare Bereiche in Wikiversity-Bildern erstellen. * '''[https://openlayers.org/en/latest/examples/heatmap-earthquakes.html HeatMaps]:''' Erstellung von [https://niebert.github.io/openlayer_heatmap HeatMaps mit einem Online-Editor] (Download [https://github.com/niebert/openlayer_heatmap/archive/master.zip Heatmap-Editor und Beispieldaten in Ordner <tt>/HeatMap</tt> in ZIP-Datei]) * '''[[Wiki2Reveal]]:''' Portfolio-Präsentationen direkt im Wikiversity erstellen. ===Editierungshilfen=== * [https://latexeditor.lagrida.com/ Online-Formel-Editor für LaTeX-Formeln]<ref>Lagrida Web-Portal (2021) Online-Latex-Formel-Editor mit Vorschau - URL: https://latexeditor.lagrida.com/ (accessed 2021/11/21))</ref> - die erzeugten Formeln müssen in einen MATH-Tag mit <kbd><math> ...</math></kbd> eingeschlossen werden bei der Seiteneditierung. * [https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:TeX Mathematische Formeln in Wikiversity] * Textgestaltung in Wikis: https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:Textgestaltung ==Wiki2Reveal== * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung2627|Kurs:Mathematische Modellbildung2627]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung2627&author=&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung2627&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] == Verweise == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2026-27%20Wintersemester&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2026-27%20Wintersemester&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung Kurs:Mathematische Modellbildung]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2026-27%20Wintersemester&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] rnwb3j8segi3r595s808qww853ebkr1 1116528 1116527 2026-10-17T08:16:15Z ~2026-55076-31 41992 /* Integration von Software */ 1116528 wikitext text/x-wiki ==Begriffsklärung== === Was ist mathematische Modellbildung? === Ganz grob gesagt besteht Mathematische Modellierung oder auch Mathematische Modellbildung darin, reale Fragestellungen mit mathematischen Mitteln zu bearbeiten und sie auf diesem Wege zumindest teilweise zu beantworten<ref> Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., & Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. </ref>. === Was ist ein Modell? === Ein Modell ist dabei gegeben durch innere Scheinbilder oder Repräsentatonen, die nicht zum Bereich der äußeren Gegenstände, sondern zu Vorstellungen von einem solchen realen Gegenstand gehören und ihnen daher auch in gewissen Grenzen etwas Willkürliches anhaftet (Sinngemäß nach Hertz, zitiert von Ortlieb<ref> Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., & Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. </ref>). ==== Eigenschaften von Modellen ==== Somit lassen sich vereinfacht und verkürzt folgende Eigenschaften ableiten (Stachowiak, zitiert nach Saam <ref> Saam, N. J. (2009). Modellbildung. In Handbuch Methoden der Organisationsforschung: Quantitative und Qualitative Methoden (pp. 517-532). Wiesbaden: VS Verlag für Sozialwissenschaften. </ref>): * '''Abbildungsmerkmal:''' Modelle repräsentieren die Realität, existieren jedoch nicht in der Realität * '''Verkürzungsmerkmal:''' Modelle beschreiben das Objekt nicht exakt, sondern stets vereinfacht * '''Pragmatisches Merkmal:''' Modelle verfolgen einen gewissen Zweck: Sie ersetzen eine nicht abbildbare Realität um Fragestellungen zu beantwortbar zu machen ==== Typisches Beispiele ==== * Betrachtungen in der Physik (Federpendel, Bewegungsgesetze,...) - Physik und Mathematische Modellbildung sind sehr eng miteinander verwoben * Populationsdynamiken und Ausbreitugnsschemata in der Biologie (vgl. Lotka-Volterra Modell) * Bewegungsanalysen und Optimierungen in den Sportwissenschaften * Untersuchungen von Transport- und Umweltprozessen in Biologie, Chemie, Physik, Technik,... * Bedarfs- und Verbrauchs- und Verhaltensanalysen in Geisteswissenschaften === Mathematische Modelle === Mathematische Modelle werden gemessen und bewertet anhand <ref> Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., & Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. </ref>: * '''Zulässigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte in sich widerspruchsfrei sein. * '''Richtigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte im Vergleich mit der Realität keine Widersprüche zu offensichtlich richtigen Tatsachen aufweisen. * '''Zweckmäßigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte genau den Detailgrad beinhalten, den es zum Erfüllen des Zwecks benötigt, nicht mehr und nicht weniger. ==== Gegenbeispiele für mathematische Modelle ==== Gegenbeispiele wären: * Ein nicht zulässiges Modell könnte bei einer Betrachtung einer Punktmasse im Raum dennoch Luftwiederstände berücksichtigen (Punkte haben kein Volumen) * Ein nicht richtiges Modell könnte bei der Modellierung von Transportprozessen von Schadstoffen die Massenerhaltung vernachlässigen. * Ein nicht zweckmäßiges Modell könnte bei dem Versuch den perfekten Abwurfwinkel beim Speerwurf die Krümmung der Erdoberfläche berücksichtigen. ==== Bemerkung - Kriterien ==== Die Kriterien, insbesondere Richtigkeit und Zweckmäßigkeit, sind nicht 100% operational. Einerseits fordert die Richtigkeit, keine bekannten Tatsachen auszulassen, andererseits dürfen hinsichtlich einer passenden Zweckmäßigkeit auch nur ausreichend viele Details integriert werden. ==Der Modellbildungszyklus== Wie kommt man nun von einer Realen Situation, die ein Problem aufwirft zu einem adäquaten mathematischen Modell? Dazu hat sich als möglichst allgemeine Vorgehensweise der Modellbildungszyklus ergeben: [[Datei:Modellbildungszyklus Mod6.png|miniatur|Modellbildungszyklus]] ===Verlauf des MBZ === Der Modellbildungszyklus beschreibt schematisch die iterative Erstellung einer mathematischen Modellbildung: * Ausgangspunkt ist eine reale Situation, die ein Problem aufwirft, die von dem mathematischen Modell adressiert werden soll * Dieses Problem wird inhaltlich erfasst, anschließend mathematisch Übersetzt (Betrachten von Gleichungen, Funktionen, Geometrischen Objekten,...) =====Modellbildungsschleife===== * Durch das Betrachten von mathematischen Objekten können über passende Operationen deduktiv Resultate geschlussfolgert werden * Diese Resultate werden mit der Realsituation abgeglichen * Aus dem Vergleich werden mögliche Optimierungen und Limitationen des Modells abgeleitet * Durch die Limitationen werden kann das Modell weiterentwickelt werden Diese Schritte können/müssen dabei mehrfach durchlaufen werden. =====Integration von Software===== Die Integration von computergestützter Software ist in der mathematischen Modellbildung definitionsgemäss nicht zwingend erforderlich, für die meisten anwendungsbezogenen Modellierungen jedoch unumgänglich. ==Konkretes Beispiel einer Mathematischen Modellbildung== [[Kurs:Mathematische_Modellbildung/Themen/Radioaktivit%C3%A4t_und_Risikoliteralit%C3%A4t]] [[Datei:Screenshot 2D Ansicht Resultate.png|miniatur|alternativtext=Ansicht der möglichen Auftreffpunkte des radioaktiven Niederschlags|Ansicht der möglichen Auftreffpunkte des radioaktiven Niederschlags]] [[File:Zeitliche Abhängigkeit der Risikofunktion.gif|thumb|Das GIF zeigt die Zeitliche Abhängigkeit der Risikofunktion]] === Ziel der Modellierung === Ziel in dieser Modellierung war es, ein Modell zur räumlichen und zeitlichen Ausbreitung einer radioaktiv belasteten Wolke, sowie dessen Rain-Out, infolge einer Reaktorkatastrophe am (mittlerweile abgeschalteten) Kernkraftwerk in Philippsburg zu beschreiben. Unter zu Hilfenahme von Messwerten von dem Reaktorunglück in Tschernobyl und den Halbwertszeiten des radioaktiven Materials wurde der zeitliche Zerfall erfasst. Der Transport von radioaktiven Material wurde durch eine Kugel im <math> \mathbb{R}^3 </math> modelliert. Diese bewegt sich gemäss einer variablen Windrichtung (gegeben durch Winkel <math> \alpha </math>) und regnet sich nach einer gewissen Durchschnittsdauer ab. === Endresultat === Es wurde in drei Modellbildungszyklen eine Funktion zur Beschreibung der radioaktiven Belastung (repräsentativ für das Risiko) abgeleitet: <math>u(x,y,t,\alpha)=\frac{1480\cdot e^{-\frac{ln(2)}{30a} \cdot t}}{1+\frac{7}{10.000}\cdot (x^2+y^2)}+\frac{40\cdot e^{-\frac{ln(2)}{30a} \cdot t}}{1+\frac{1}{7.500}\cdot ((x-1080cos(\alpha))^2+(y-1080sin(\alpha))^2)}</math> Letztlich erhält man also eine Funktion die in ihrem Ausgabewert <math>z=u(x,y,t,\alpha)</math> abhängig von 4 Eingabewerten <math>x, y, t, \alpha </math> ist. ==Modellbildung in der Schule== ===Einbindung in den Lehrplan=== Die mathematische Modellbildung ist stark in den Mathematik-Lehrplan für Schulen in Rheinland-Pfalz integriert (hier wird sich an dem Lehrplan für Sekundarstufe II orientiert <ref> Ministerium für Bildung, Wissensachft, Weiterbildung und Kultur (2015), Lehrplan Mathematik. Grund- und Leistungsfach in der gymnasialen Oberstufe (Mainzer Studienstufe) </ref>). Im Bezug zu Problemlösen im Mathematikunterricht und Mathematik im fachübergreifenden Kontext, sollen Anwendungsbeispiele Einzug halten, die Schülerinnen und Schülern aus anderen Fächern bekannt sind. In diesem Zusammenhang wird mathematische Modellbildung als Methode zur Lösung von solchen Anwendungsproblemen genannt. ===Konkreter Themenbezug=== Zu folgenden mathematischen Themengebieten wird explizit Mathematischen Modellbildung zur unterrichtlichen Umsetzung erwähnt: *Exponentialfunktionen (Wachstums- und Zerfallsprozesse *Matrizenrechnung (Input-Output-Analysen, Zustandsübergangsprozesse, Populationsentwicklung,...) *Differential- und Integralrechnung (lineare oder logistische Wachstumsprozesse) Auch der Einsatz von computergestützten Hilfs- und Lösungsmitteln im Zuge der Modellbildung wird betont. (Bemerke: Auch im Lehrplan wird ein vergleichbarer Modellbildungszyklus vorgestellt und beschrieben. Bei Bedarf kann dieser auf Seite 15-16<ref> Ministerium für Bildung, Wissensachft, Weiterbildung und Kultur (2015), Lehrplan Mathematik. Grund- und Leistungsfach in der gymnasialen Oberstufe (Mainzer Studienstufe). </ref> nachgelesen werden) ===Zugang zur Bildung für Nachhaltigen Entwicklung=== Durch die Möglichkeit fachübergreifende Fragestellungen zu behandeln und Prozesse der Realität in den Blick zu nehmen, kann mathematische Modellbildung die Brücke zur Bildung für Nachhaltigen Entwicklung (BNE) schlagen. ====Bildung für Nachhaltige Entwicklung==== "Die BNE zielt grundsätzlich darauf ab, es jedem und jeder Einzelnen zu ermöglichen, die Folgen des eigenen Handelns auf die Welt sowie intra- und intergenerationell zu verstehen, verantwortungsvolle Entscheidungen zu treffen und aktiv zu werden." <ref> Ministerium für Bildung. Bildung für nachhaltige Entwicklung. Online abrufbar unter: https://bm.rlp.de/unsere-schwerpunkte/bildung-fuer-nachhaltige-entwicklung </ref> ====BNE und Modellbildung==== Mathematische Modellbildung kann unter praktischer Anwendung von gelernten Inhalten im Schulunterricht zu BNE beitragen, indem eben gezielt Probleme adressiert werden und von Schülerinnen und Schülern eigenständig untersucht werden. ==Ziel und Organisation des Seminars== ===Ziel und Aufgabe=== In Kleingruppen (3-4 Personen) sollen aussermathematische Fragestellungen mit einer eigenen mathematischen Modellbildung behandelt werden. Dazu sollen drei Modellbildungszyklen mit unterschiedlichem Grad an Vereinfachung und unterschiedlicher Mathematischen Grundlage erstellt werden: * Zyklus: Mathematik der Sekundarstufe 1 (Mittelstufe) * Zyklus: Mathematik der Sekundarstufe 2 (Oberstufe) * Zyklus: Universitätsmathematik ====Integration von Software==== In jedem Zyklus sollen computergestützte Untersuchungen und Betrachtungen Einzug erhalten. Somit bietet es sich an in insgesamt auch drei verschiedene Programme (Tabellenkalkulation, GeoGebra, RStudio, Maxima,...) zu integrieren - an manchen stellen lässt sich dies gar nicht vermeiden. ===Themenwahl=== Das Thema sollte einen weltlichen Bezug haben. Am besten eigenen sich Themen aus dem jeweiligen Zweitfach (s. Verbindung zu anderen Schulfächern im Lehrplan). Das Thema sollte nachhaltige Entwicklung im Rahmen der Sustainable Development Goals adressieren. Siehe dazu: https://www.bundesumweltministerium.de/themen/nachhaltigkeit/nachhaltigkeitsziele-sdgs Vorzugsweise: Räumliche Risikobetrachtungen in Desaster- und Katastrophenszenarien. Das Thema sollte sich nicht mit denen der vergangenen Semestern doppeln. Zur Orientierung und Inspiration finden sich hier die Projekte der vergangenen Semester: :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2026 Sommersemester|2026 Sommersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2025-26 Wintersemester|2025/26 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2024-25 Wintersemester|2024/25 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2023-24 Wintersemester|2023/24 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2022-23 Winteresemester|2022/23 Wintersemester]]''' ===Portfolio=== Während des Semesters soll in Gruppenarbeit die Modellbildung durchgeführt werden. Diese wird schriftlich in einem Portfolio festgehalten. Dies Portfolio wird, genau wie dieser Artikel auch, in einem Wikiversity Artikel dokumentiert. Dieser sollte folgendes enthalten: * Einleitung: Beschreibung und Einordnung des Themas & welche(s) SDG wird adressiert und warum? * Ziel der Modellierung: Welches Problem wird in der Modellierung / den einzelnen Zyklen konkret angegangen? * Zyklus 1-3 ** Mathematisches Modell (welche Mathematischen Objekte werden betrachtet, wie ergeben die sich,...) ** Ergebnisse (Ableiten von Resultaten aus dem Modell) ** Bewertung der Ergebnisse ** Grenzen und Limitationen ** Ausblick für nächsten Zyklus (welche Limitationen und Probleme aus dem Zyklus werden im folgenden adressiert?) In allen Punkten der Modellzyklen können Programme computergestützte Tools verwendet werden. Zur Erstellung von Wiki-Seiten ist folgende Seite hilfreich: https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:Textgestaltung ===Prüfung=== Die Prüfung gliedert sich in zwei Aspekte: * '''Vorstellung von ausgewählten Teilen aus dem eigenen Portfolio''' - diese werden von den Prüfer:innen aus dem Portfolio der Studierenden ausgewählt. * '''Diskussion und Fragen''' der Prüfer:innen zu dem Portfolio, z.B. zu Teilen des Portfolios, die in der Vorstellung nicht behandelt werden können. Ein Portfolio kann aus Zeitgründen nie vollständig in der Prüfung dargestellt werden. In der mündlichen Portfolio-Prüfung wird geprüft, ob *das eigene Modell verstanden ist, *das eigene Modell kritisch hinterfragt werden kann, *die Limitationen des Modells begründet und nachvollziehbar wiedergegeben werden können, *die Übergänge zwischen den Zyklen beschrieben und begründet werden können, *die technische Umsetzung reproduziert und erklärt werden kann, *... . Es ist also wichtig zu wissen, was wie an welcher Stelle und mit welchem Zweck in der Modellierung gemacht wurde! Das Portfolio (Wiki-Seite) wird somit konkret vorgestellt. Eine Präsentation des Portfolio kann automatisch mit Wiki2Reveal erstellt werden. === Unterstützungsangebot === * Das Unterstützungsangebot erfolgt in der Lehrveranstaltung zur "Mathematischen Modellbildung". * Eine individuelle Sonderbehandlung für einzelne Studierende, die das Angebot der Vorlesung nicht nutzen und kurz vor Prüfungsbeginn noch "schnell" ein Portfolio zusammenstellen wollen, ist aus zeitlichen Gründen kurz vor der Prüfung nicht möglich. * Portfolioprüfungen der Lehrveranstaltung beziehen sich immer auf das erstellte Portfolio im laufende Semester und bei Wiederholungsprüfungen auf das Semester, in dem Portfolio erstellt wurde. * Eine Prüfung kann nur zu dem eigenen erstellten Portfolio in der Lehrveranstaltung abgelegt werden, an dessen Erstellung man aktiv mitgearbeitet hat. ===Ablauf des Seminars=== Der Seminarablauf über das Semester gestaltet sich grob wie folgt: * 1. Woche (19.10.): Einführungsveranstaltung + Gruppenfindung * 2. Woche (26.10.): Themenfindung * 3. Woche (02.11.): Themenfindung + Zyklen festlegen * 4. Woche (09.11.): Zyklen festlegen * 5. Woche (16.11.): Kurzvorstellung der Themen und Zyklen (5 Minuten pro Gruppe) Ab Woche 6 (23.11.) bis Ende des Semesters wird gemeinsam an den Modellen und dem Portfolio gearbeitet. Empfehlenswert wäre es, die letzten 2-3 Wochen für Finalisierungsarbeiten zu nutzen und entsprechend frühzeitig zu planen! Ausschliesslich während der Seminarzeiten an dem Modell und Portfolio zu arbeiten wird nicht ausreichen! Die Kurzpräsentationen am 16.11. umfassen den aktuellen Stand der Überlegungen und sind noch unter keinen Umständen verbindlich. Stattdessen dient es einfach zur Grundlage von gemeinsamer Diskussion und zur Einbringung von weiteren Ideen. =Hilfreiche Links= ===Fachmathematische Aspekte === Wenn man das Modellierungsproblem in den Mittelpunkt stellt und die Fragestellung den Nachhaltigkeitszielen der UN zuordnet, kommen z.T. fachmathematische Aspekte erforderlich, die nicht in der jeweiligen Schulstufe bzw. in den Vorlesungen behandelt wurden. Dies Kapitel erhält Hinweise zu fachmathematischen Bereichen, die für die mathematische Modellbildung ggf. als Werkzeug verwendet werden können * '''[[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]''' dienen dazu, Datenpunkte im <math>\R^2</math> oder allgemein im <math>\R^n</math> zu [[w:Interpolation_(Mathematik)|interpolieren]]. * '''[https://en.wikiversity.org/wiki/3D_Modelling 3D Modellierung für Projektinhalte]''' und [[w:Projektive_Geometrie|projektive Geometrie]] zur Visualisierung * '''[[Gradientenabstiegsverfahren]]''': Wird verwendet, um sich in der mathematischen Modellbildung iterativ einem Minimum einer Kosten- oder Fehlerfunktion anzunähern. * [[w:Lineare_Optimierung|'''Lineare Optimierung''']] wird in Optimierungshaufgaben wie beispielsweise bei der Suche nach Minimum der Produktionskosten verwendet. Hierbei wird in allgemeinem nach einem Minimium/Maximum einer linearer Zielfunktion über einer Menge gesucht. [https://www.geogebra.org/m/kr727992 '''Ein Beispiel in Geogebra'''] *[[Räumliche Diffusion|'''Räumliche Diffusion''']] *[[Modelle_der_Populationsdynamik|'''Modelle der Populationsdynamik''']] - [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Modelle%20der%20Populationsdynamik&author=Kurs:R%C3%A4umliche%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes (Wiki2Reveal-Folien)] - [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Stochastik/Wahrscheinlichkeitsdichte|Wahrscheinlichkeitsdichte]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Wahrscheinlichkeitsdichte&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wahrscheinlichkeitsdichte&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ===Softwarenutzung === Im PC-Praktikum wurden grundlegende Kenntnisse im Umgang mit Software erlangt, die für die Berechnung von mathematischen Modellen vorwendig sind. Diese Kenntnisse müssen ggf. auf das spezielle Modellierungsthema angepasst und erweitert werden. * '''[[CSV2Chart]]''' Aus CSV-Dateien mathematische Graphen in Wikiversity erstellen. * '''[[Maxima CAS]]''' enthält die verwendeten Werkzeuge und Kommandos eines Computeralgebrasystems (CAS), die die einzelnen Projekte in dem Modellbildungszyklus verwendet haben. * '''[https://sagecell.sagemath.org/ SageCell]''' Online-Umgebung zur Ausführung und Demonstration von Befehlen in R, Octave, Maxima, ... (Auswahl des Befehlssatzes auf der https://sagecell.sagemath.org/ SageCell-Seite] unten rechts auf dem Eingabefeld) * '''[[Statistikprogramm R]]''' enthält die verwendeten Werkzeuge und Kommandos, die für Berechnungen und Veranschaulichungen in den Projekten verwendet haben. * '''[[Tabellenkalkulation]]''' werden in Portfolios in der Regel verwendet, um Daten in den Portfolios aufzubereiten. * '''[[Octave]]''' wird in der Regel verwendet, um numerische Berechnung in der Mathematischen Modellbildung durchzuführen. * '''[[Geogebra]]''' ist eine Dynamische Geometriesoftware, die zur vektoriellen Veranschaulichung von räumlichen Modellierungsproblemen oder auch zur parametrisierten Darstellung von Funktionen verwendet wird (Beispiel: [https://www.geogebra.org/m/e9b349k9 Parkplatzlösung in Geogebra von Shrey T (2017)]). * '''[[w:Screencast|Screencast]]''': Ein Screencast ist eine Bildschirmaufnahme mit Audiokommentaren, die zeigt, wie man z.B. Software bedient. Ein Screencast ist eine Hilfestellung für Lernende, die sich noch nicht so gut mit einer bestimmten Software auskennen. :* [https://obsproject.com/ '''Open Broadcast Software (OBS)''' - Linux, Windows, MacOSX ] - [[Konvexkombination|Beispielvideo in Wikiversity]] * [[v:en:3D_Modelling|'''3D-Modellbildung''' (englisch)]] * '''[http://niebert.github.io/imgmap/ Online-ImageMap-Editor]''' - Anklickbare Bereiche in Wikiversity-Bildern erstellen. * '''[https://openlayers.org/en/latest/examples/heatmap-earthquakes.html HeatMaps]:''' Erstellung von [https://niebert.github.io/openlayer_heatmap HeatMaps mit einem Online-Editor] (Download [https://github.com/niebert/openlayer_heatmap/archive/master.zip Heatmap-Editor und Beispieldaten in Ordner <tt>/HeatMap</tt> in ZIP-Datei]) * '''[[Wiki2Reveal]]:''' Portfolio-Präsentationen direkt im Wikiversity erstellen. ===Editierungshilfen=== * [https://latexeditor.lagrida.com/ Online-Formel-Editor für LaTeX-Formeln]<ref>Lagrida Web-Portal (2021) Online-Latex-Formel-Editor mit Vorschau - URL: https://latexeditor.lagrida.com/ (accessed 2021/11/21))</ref> - die erzeugten Formeln müssen in einen MATH-Tag mit <kbd><math> ...</math></kbd> eingeschlossen werden bei der Seiteneditierung. * [https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:TeX Mathematische Formeln in Wikiversity] * Textgestaltung in Wikis: https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:Textgestaltung ==Wiki2Reveal== * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung2627|Kurs:Mathematische Modellbildung2627]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung2627&author=&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung2627&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] == Verweise == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2026-27%20Wintersemester&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2026-27%20Wintersemester&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung Kurs:Mathematische Modellbildung]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2026-27%20Wintersemester&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] an2w30vmwzr2nwngpzsor0ogrl0ypv1 1116529 1116528 2026-10-17T08:17:31Z ~2026-55076-31 41992 /* Konkreter Themenbezug */ 1116529 wikitext text/x-wiki ==Begriffsklärung== === Was ist mathematische Modellbildung? === Ganz grob gesagt besteht Mathematische Modellierung oder auch Mathematische Modellbildung darin, reale Fragestellungen mit mathematischen Mitteln zu bearbeiten und sie auf diesem Wege zumindest teilweise zu beantworten<ref> Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., & Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. </ref>. === Was ist ein Modell? === Ein Modell ist dabei gegeben durch innere Scheinbilder oder Repräsentatonen, die nicht zum Bereich der äußeren Gegenstände, sondern zu Vorstellungen von einem solchen realen Gegenstand gehören und ihnen daher auch in gewissen Grenzen etwas Willkürliches anhaftet (Sinngemäß nach Hertz, zitiert von Ortlieb<ref> Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., & Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. </ref>). ==== Eigenschaften von Modellen ==== Somit lassen sich vereinfacht und verkürzt folgende Eigenschaften ableiten (Stachowiak, zitiert nach Saam <ref> Saam, N. J. (2009). Modellbildung. In Handbuch Methoden der Organisationsforschung: Quantitative und Qualitative Methoden (pp. 517-532). Wiesbaden: VS Verlag für Sozialwissenschaften. </ref>): * '''Abbildungsmerkmal:''' Modelle repräsentieren die Realität, existieren jedoch nicht in der Realität * '''Verkürzungsmerkmal:''' Modelle beschreiben das Objekt nicht exakt, sondern stets vereinfacht * '''Pragmatisches Merkmal:''' Modelle verfolgen einen gewissen Zweck: Sie ersetzen eine nicht abbildbare Realität um Fragestellungen zu beantwortbar zu machen ==== Typisches Beispiele ==== * Betrachtungen in der Physik (Federpendel, Bewegungsgesetze,...) - Physik und Mathematische Modellbildung sind sehr eng miteinander verwoben * Populationsdynamiken und Ausbreitugnsschemata in der Biologie (vgl. Lotka-Volterra Modell) * Bewegungsanalysen und Optimierungen in den Sportwissenschaften * Untersuchungen von Transport- und Umweltprozessen in Biologie, Chemie, Physik, Technik,... * Bedarfs- und Verbrauchs- und Verhaltensanalysen in Geisteswissenschaften === Mathematische Modelle === Mathematische Modelle werden gemessen und bewertet anhand <ref> Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., & Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. </ref>: * '''Zulässigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte in sich widerspruchsfrei sein. * '''Richtigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte im Vergleich mit der Realität keine Widersprüche zu offensichtlich richtigen Tatsachen aufweisen. * '''Zweckmäßigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte genau den Detailgrad beinhalten, den es zum Erfüllen des Zwecks benötigt, nicht mehr und nicht weniger. ==== Gegenbeispiele für mathematische Modelle ==== Gegenbeispiele wären: * Ein nicht zulässiges Modell könnte bei einer Betrachtung einer Punktmasse im Raum dennoch Luftwiederstände berücksichtigen (Punkte haben kein Volumen) * Ein nicht richtiges Modell könnte bei der Modellierung von Transportprozessen von Schadstoffen die Massenerhaltung vernachlässigen. * Ein nicht zweckmäßiges Modell könnte bei dem Versuch den perfekten Abwurfwinkel beim Speerwurf die Krümmung der Erdoberfläche berücksichtigen. ==== Bemerkung - Kriterien ==== Die Kriterien, insbesondere Richtigkeit und Zweckmäßigkeit, sind nicht 100% operational. Einerseits fordert die Richtigkeit, keine bekannten Tatsachen auszulassen, andererseits dürfen hinsichtlich einer passenden Zweckmäßigkeit auch nur ausreichend viele Details integriert werden. ==Der Modellbildungszyklus== Wie kommt man nun von einer Realen Situation, die ein Problem aufwirft zu einem adäquaten mathematischen Modell? Dazu hat sich als möglichst allgemeine Vorgehensweise der Modellbildungszyklus ergeben: [[Datei:Modellbildungszyklus Mod6.png|miniatur|Modellbildungszyklus]] ===Verlauf des MBZ === Der Modellbildungszyklus beschreibt schematisch die iterative Erstellung einer mathematischen Modellbildung: * Ausgangspunkt ist eine reale Situation, die ein Problem aufwirft, die von dem mathematischen Modell adressiert werden soll * Dieses Problem wird inhaltlich erfasst, anschließend mathematisch Übersetzt (Betrachten von Gleichungen, Funktionen, Geometrischen Objekten,...) =====Modellbildungsschleife===== * Durch das Betrachten von mathematischen Objekten können über passende Operationen deduktiv Resultate geschlussfolgert werden * Diese Resultate werden mit der Realsituation abgeglichen * Aus dem Vergleich werden mögliche Optimierungen und Limitationen des Modells abgeleitet * Durch die Limitationen werden kann das Modell weiterentwickelt werden Diese Schritte können/müssen dabei mehrfach durchlaufen werden. =====Integration von Software===== Die Integration von computergestützter Software ist in der mathematischen Modellbildung definitionsgemäss nicht zwingend erforderlich, für die meisten anwendungsbezogenen Modellierungen jedoch unumgänglich. ==Konkretes Beispiel einer Mathematischen Modellbildung== [[Kurs:Mathematische_Modellbildung/Themen/Radioaktivit%C3%A4t_und_Risikoliteralit%C3%A4t]] [[Datei:Screenshot 2D Ansicht Resultate.png|miniatur|alternativtext=Ansicht der möglichen Auftreffpunkte des radioaktiven Niederschlags|Ansicht der möglichen Auftreffpunkte des radioaktiven Niederschlags]] [[File:Zeitliche Abhängigkeit der Risikofunktion.gif|thumb|Das GIF zeigt die Zeitliche Abhängigkeit der Risikofunktion]] === Ziel der Modellierung === Ziel in dieser Modellierung war es, ein Modell zur räumlichen und zeitlichen Ausbreitung einer radioaktiv belasteten Wolke, sowie dessen Rain-Out, infolge einer Reaktorkatastrophe am (mittlerweile abgeschalteten) Kernkraftwerk in Philippsburg zu beschreiben. Unter zu Hilfenahme von Messwerten von dem Reaktorunglück in Tschernobyl und den Halbwertszeiten des radioaktiven Materials wurde der zeitliche Zerfall erfasst. Der Transport von radioaktiven Material wurde durch eine Kugel im <math> \mathbb{R}^3 </math> modelliert. Diese bewegt sich gemäss einer variablen Windrichtung (gegeben durch Winkel <math> \alpha </math>) und regnet sich nach einer gewissen Durchschnittsdauer ab. === Endresultat === Es wurde in drei Modellbildungszyklen eine Funktion zur Beschreibung der radioaktiven Belastung (repräsentativ für das Risiko) abgeleitet: <math>u(x,y,t,\alpha)=\frac{1480\cdot e^{-\frac{ln(2)}{30a} \cdot t}}{1+\frac{7}{10.000}\cdot (x^2+y^2)}+\frac{40\cdot e^{-\frac{ln(2)}{30a} \cdot t}}{1+\frac{1}{7.500}\cdot ((x-1080cos(\alpha))^2+(y-1080sin(\alpha))^2)}</math> Letztlich erhält man also eine Funktion die in ihrem Ausgabewert <math>z=u(x,y,t,\alpha)</math> abhängig von 4 Eingabewerten <math>x, y, t, \alpha </math> ist. ==Modellbildung in der Schule== ===Einbindung in den Lehrplan=== Die mathematische Modellbildung ist stark in den Mathematik-Lehrplan für Schulen in Rheinland-Pfalz integriert (hier wird sich an dem Lehrplan für Sekundarstufe II orientiert <ref> Ministerium für Bildung, Wissensachft, Weiterbildung und Kultur (2015), Lehrplan Mathematik. Grund- und Leistungsfach in der gymnasialen Oberstufe (Mainzer Studienstufe) </ref>). Im Bezug zu Problemlösen im Mathematikunterricht und Mathematik im fachübergreifenden Kontext, sollen Anwendungsbeispiele Einzug halten, die Schülerinnen und Schülern aus anderen Fächern bekannt sind. In diesem Zusammenhang wird mathematische Modellbildung als Methode zur Lösung von solchen Anwendungsproblemen genannt. ===Konkreter Themenbezug=== Zu folgenden mathematischen Themengebieten wird explizit Mathematischen Modellbildung zur unterrichtlichen Umsetzung erwähnt: *Exponentialfunktionen (Wachstums- und Zerfallsprozesse *Matrizenrechnung (Input-Output-Analysen, Zustandsübergangsprozesse, Populationsentwicklung,...) *Differential- und Integralrechnung (lineare oder logistische Wachstumsprozesse) ====Computereinsatz im Lehrplan==== Auch der Einsatz von computergestützten Hilfs- und Lösungsmitteln im Zuge der Modellbildung wird betont. (Bemerke: Auch im Lehrplan wird ein vergleichbarer Modellbildungszyklus vorgestellt und beschrieben. Bei Bedarf kann dieser auf Seite 15-16<ref> Ministerium für Bildung, Wissensachft, Weiterbildung und Kultur (2015), Lehrplan Mathematik. Grund- und Leistungsfach in der gymnasialen Oberstufe (Mainzer Studienstufe). </ref> nachgelesen werden) ===Zugang zur Bildung für Nachhaltigen Entwicklung=== Durch die Möglichkeit fachübergreifende Fragestellungen zu behandeln und Prozesse der Realität in den Blick zu nehmen, kann mathematische Modellbildung die Brücke zur Bildung für Nachhaltigen Entwicklung (BNE) schlagen. ====Bildung für Nachhaltige Entwicklung==== "Die BNE zielt grundsätzlich darauf ab, es jedem und jeder Einzelnen zu ermöglichen, die Folgen des eigenen Handelns auf die Welt sowie intra- und intergenerationell zu verstehen, verantwortungsvolle Entscheidungen zu treffen und aktiv zu werden." <ref> Ministerium für Bildung. Bildung für nachhaltige Entwicklung. Online abrufbar unter: https://bm.rlp.de/unsere-schwerpunkte/bildung-fuer-nachhaltige-entwicklung </ref> ====BNE und Modellbildung==== Mathematische Modellbildung kann unter praktischer Anwendung von gelernten Inhalten im Schulunterricht zu BNE beitragen, indem eben gezielt Probleme adressiert werden und von Schülerinnen und Schülern eigenständig untersucht werden. ==Ziel und Organisation des Seminars== ===Ziel und Aufgabe=== In Kleingruppen (3-4 Personen) sollen aussermathematische Fragestellungen mit einer eigenen mathematischen Modellbildung behandelt werden. Dazu sollen drei Modellbildungszyklen mit unterschiedlichem Grad an Vereinfachung und unterschiedlicher Mathematischen Grundlage erstellt werden: * Zyklus: Mathematik der Sekundarstufe 1 (Mittelstufe) * Zyklus: Mathematik der Sekundarstufe 2 (Oberstufe) * Zyklus: Universitätsmathematik ====Integration von Software==== In jedem Zyklus sollen computergestützte Untersuchungen und Betrachtungen Einzug erhalten. Somit bietet es sich an in insgesamt auch drei verschiedene Programme (Tabellenkalkulation, GeoGebra, RStudio, Maxima,...) zu integrieren - an manchen stellen lässt sich dies gar nicht vermeiden. ===Themenwahl=== Das Thema sollte einen weltlichen Bezug haben. Am besten eigenen sich Themen aus dem jeweiligen Zweitfach (s. Verbindung zu anderen Schulfächern im Lehrplan). Das Thema sollte nachhaltige Entwicklung im Rahmen der Sustainable Development Goals adressieren. Siehe dazu: https://www.bundesumweltministerium.de/themen/nachhaltigkeit/nachhaltigkeitsziele-sdgs Vorzugsweise: Räumliche Risikobetrachtungen in Desaster- und Katastrophenszenarien. Das Thema sollte sich nicht mit denen der vergangenen Semestern doppeln. Zur Orientierung und Inspiration finden sich hier die Projekte der vergangenen Semester: :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2026 Sommersemester|2026 Sommersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2025-26 Wintersemester|2025/26 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2024-25 Wintersemester|2024/25 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2023-24 Wintersemester|2023/24 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2022-23 Winteresemester|2022/23 Wintersemester]]''' ===Portfolio=== Während des Semesters soll in Gruppenarbeit die Modellbildung durchgeführt werden. Diese wird schriftlich in einem Portfolio festgehalten. Dies Portfolio wird, genau wie dieser Artikel auch, in einem Wikiversity Artikel dokumentiert. Dieser sollte folgendes enthalten: * Einleitung: Beschreibung und Einordnung des Themas & welche(s) SDG wird adressiert und warum? * Ziel der Modellierung: Welches Problem wird in der Modellierung / den einzelnen Zyklen konkret angegangen? * Zyklus 1-3 ** Mathematisches Modell (welche Mathematischen Objekte werden betrachtet, wie ergeben die sich,...) ** Ergebnisse (Ableiten von Resultaten aus dem Modell) ** Bewertung der Ergebnisse ** Grenzen und Limitationen ** Ausblick für nächsten Zyklus (welche Limitationen und Probleme aus dem Zyklus werden im folgenden adressiert?) In allen Punkten der Modellzyklen können Programme computergestützte Tools verwendet werden. Zur Erstellung von Wiki-Seiten ist folgende Seite hilfreich: https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:Textgestaltung ===Prüfung=== Die Prüfung gliedert sich in zwei Aspekte: * '''Vorstellung von ausgewählten Teilen aus dem eigenen Portfolio''' - diese werden von den Prüfer:innen aus dem Portfolio der Studierenden ausgewählt. * '''Diskussion und Fragen''' der Prüfer:innen zu dem Portfolio, z.B. zu Teilen des Portfolios, die in der Vorstellung nicht behandelt werden können. Ein Portfolio kann aus Zeitgründen nie vollständig in der Prüfung dargestellt werden. In der mündlichen Portfolio-Prüfung wird geprüft, ob *das eigene Modell verstanden ist, *das eigene Modell kritisch hinterfragt werden kann, *die Limitationen des Modells begründet und nachvollziehbar wiedergegeben werden können, *die Übergänge zwischen den Zyklen beschrieben und begründet werden können, *die technische Umsetzung reproduziert und erklärt werden kann, *... . Es ist also wichtig zu wissen, was wie an welcher Stelle und mit welchem Zweck in der Modellierung gemacht wurde! Das Portfolio (Wiki-Seite) wird somit konkret vorgestellt. Eine Präsentation des Portfolio kann automatisch mit Wiki2Reveal erstellt werden. === Unterstützungsangebot === * Das Unterstützungsangebot erfolgt in der Lehrveranstaltung zur "Mathematischen Modellbildung". * Eine individuelle Sonderbehandlung für einzelne Studierende, die das Angebot der Vorlesung nicht nutzen und kurz vor Prüfungsbeginn noch "schnell" ein Portfolio zusammenstellen wollen, ist aus zeitlichen Gründen kurz vor der Prüfung nicht möglich. * Portfolioprüfungen der Lehrveranstaltung beziehen sich immer auf das erstellte Portfolio im laufende Semester und bei Wiederholungsprüfungen auf das Semester, in dem Portfolio erstellt wurde. * Eine Prüfung kann nur zu dem eigenen erstellten Portfolio in der Lehrveranstaltung abgelegt werden, an dessen Erstellung man aktiv mitgearbeitet hat. ===Ablauf des Seminars=== Der Seminarablauf über das Semester gestaltet sich grob wie folgt: * 1. Woche (19.10.): Einführungsveranstaltung + Gruppenfindung * 2. Woche (26.10.): Themenfindung * 3. Woche (02.11.): Themenfindung + Zyklen festlegen * 4. Woche (09.11.): Zyklen festlegen * 5. Woche (16.11.): Kurzvorstellung der Themen und Zyklen (5 Minuten pro Gruppe) Ab Woche 6 (23.11.) bis Ende des Semesters wird gemeinsam an den Modellen und dem Portfolio gearbeitet. Empfehlenswert wäre es, die letzten 2-3 Wochen für Finalisierungsarbeiten zu nutzen und entsprechend frühzeitig zu planen! Ausschliesslich während der Seminarzeiten an dem Modell und Portfolio zu arbeiten wird nicht ausreichen! Die Kurzpräsentationen am 16.11. umfassen den aktuellen Stand der Überlegungen und sind noch unter keinen Umständen verbindlich. Stattdessen dient es einfach zur Grundlage von gemeinsamer Diskussion und zur Einbringung von weiteren Ideen. =Hilfreiche Links= ===Fachmathematische Aspekte === Wenn man das Modellierungsproblem in den Mittelpunkt stellt und die Fragestellung den Nachhaltigkeitszielen der UN zuordnet, kommen z.T. fachmathematische Aspekte erforderlich, die nicht in der jeweiligen Schulstufe bzw. in den Vorlesungen behandelt wurden. Dies Kapitel erhält Hinweise zu fachmathematischen Bereichen, die für die mathematische Modellbildung ggf. als Werkzeug verwendet werden können * '''[[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]''' dienen dazu, Datenpunkte im <math>\R^2</math> oder allgemein im <math>\R^n</math> zu [[w:Interpolation_(Mathematik)|interpolieren]]. * '''[https://en.wikiversity.org/wiki/3D_Modelling 3D Modellierung für Projektinhalte]''' und [[w:Projektive_Geometrie|projektive Geometrie]] zur Visualisierung * '''[[Gradientenabstiegsverfahren]]''': Wird verwendet, um sich in der mathematischen Modellbildung iterativ einem Minimum einer Kosten- oder Fehlerfunktion anzunähern. * [[w:Lineare_Optimierung|'''Lineare Optimierung''']] wird in Optimierungshaufgaben wie beispielsweise bei der Suche nach Minimum der Produktionskosten verwendet. Hierbei wird in allgemeinem nach einem Minimium/Maximum einer linearer Zielfunktion über einer Menge gesucht. [https://www.geogebra.org/m/kr727992 '''Ein Beispiel in Geogebra'''] *[[Räumliche Diffusion|'''Räumliche Diffusion''']] *[[Modelle_der_Populationsdynamik|'''Modelle der Populationsdynamik''']] - [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Modelle%20der%20Populationsdynamik&author=Kurs:R%C3%A4umliche%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes (Wiki2Reveal-Folien)] - [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Stochastik/Wahrscheinlichkeitsdichte|Wahrscheinlichkeitsdichte]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Wahrscheinlichkeitsdichte&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wahrscheinlichkeitsdichte&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ===Softwarenutzung === Im PC-Praktikum wurden grundlegende Kenntnisse im Umgang mit Software erlangt, die für die Berechnung von mathematischen Modellen vorwendig sind. Diese Kenntnisse müssen ggf. auf das spezielle Modellierungsthema angepasst und erweitert werden. * '''[[CSV2Chart]]''' Aus CSV-Dateien mathematische Graphen in Wikiversity erstellen. * '''[[Maxima CAS]]''' enthält die verwendeten Werkzeuge und Kommandos eines Computeralgebrasystems (CAS), die die einzelnen Projekte in dem Modellbildungszyklus verwendet haben. * '''[https://sagecell.sagemath.org/ SageCell]''' Online-Umgebung zur Ausführung und Demonstration von Befehlen in R, Octave, Maxima, ... (Auswahl des Befehlssatzes auf der https://sagecell.sagemath.org/ SageCell-Seite] unten rechts auf dem Eingabefeld) * '''[[Statistikprogramm R]]''' enthält die verwendeten Werkzeuge und Kommandos, die für Berechnungen und Veranschaulichungen in den Projekten verwendet haben. * '''[[Tabellenkalkulation]]''' werden in Portfolios in der Regel verwendet, um Daten in den Portfolios aufzubereiten. * '''[[Octave]]''' wird in der Regel verwendet, um numerische Berechnung in der Mathematischen Modellbildung durchzuführen. * '''[[Geogebra]]''' ist eine Dynamische Geometriesoftware, die zur vektoriellen Veranschaulichung von räumlichen Modellierungsproblemen oder auch zur parametrisierten Darstellung von Funktionen verwendet wird (Beispiel: [https://www.geogebra.org/m/e9b349k9 Parkplatzlösung in Geogebra von Shrey T (2017)]). * '''[[w:Screencast|Screencast]]''': Ein Screencast ist eine Bildschirmaufnahme mit Audiokommentaren, die zeigt, wie man z.B. Software bedient. Ein Screencast ist eine Hilfestellung für Lernende, die sich noch nicht so gut mit einer bestimmten Software auskennen. :* [https://obsproject.com/ '''Open Broadcast Software (OBS)''' - Linux, Windows, MacOSX ] - [[Konvexkombination|Beispielvideo in Wikiversity]] * [[v:en:3D_Modelling|'''3D-Modellbildung''' (englisch)]] * '''[http://niebert.github.io/imgmap/ Online-ImageMap-Editor]''' - Anklickbare Bereiche in Wikiversity-Bildern erstellen. * '''[https://openlayers.org/en/latest/examples/heatmap-earthquakes.html HeatMaps]:''' Erstellung von [https://niebert.github.io/openlayer_heatmap HeatMaps mit einem Online-Editor] (Download [https://github.com/niebert/openlayer_heatmap/archive/master.zip Heatmap-Editor und Beispieldaten in Ordner <tt>/HeatMap</tt> in ZIP-Datei]) * '''[[Wiki2Reveal]]:''' Portfolio-Präsentationen direkt im Wikiversity erstellen. ===Editierungshilfen=== * [https://latexeditor.lagrida.com/ Online-Formel-Editor für LaTeX-Formeln]<ref>Lagrida Web-Portal (2021) Online-Latex-Formel-Editor mit Vorschau - URL: https://latexeditor.lagrida.com/ (accessed 2021/11/21))</ref> - die erzeugten Formeln müssen in einen MATH-Tag mit <kbd><math> ...</math></kbd> eingeschlossen werden bei der Seiteneditierung. * [https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:TeX Mathematische Formeln in Wikiversity] * Textgestaltung in Wikis: https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:Textgestaltung ==Wiki2Reveal== * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung2627|Kurs:Mathematische Modellbildung2627]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung2627&author=&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung2627&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] == Verweise == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2026-27%20Wintersemester&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2026-27%20Wintersemester&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung Kurs:Mathematische Modellbildung]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2026-27%20Wintersemester&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] mjlu264z907wig5kkyra1w31vjx8khv 1116530 1116529 2026-10-17T08:17:51Z ~2026-55076-31 41992 /* Modellbildung in der Schule */ 1116530 wikitext text/x-wiki ==Begriffsklärung== === Was ist mathematische Modellbildung? === Ganz grob gesagt besteht Mathematische Modellierung oder auch Mathematische Modellbildung darin, reale Fragestellungen mit mathematischen Mitteln zu bearbeiten und sie auf diesem Wege zumindest teilweise zu beantworten<ref> Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., & Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. </ref>. === Was ist ein Modell? === Ein Modell ist dabei gegeben durch innere Scheinbilder oder Repräsentatonen, die nicht zum Bereich der äußeren Gegenstände, sondern zu Vorstellungen von einem solchen realen Gegenstand gehören und ihnen daher auch in gewissen Grenzen etwas Willkürliches anhaftet (Sinngemäß nach Hertz, zitiert von Ortlieb<ref> Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., & Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. </ref>). ==== Eigenschaften von Modellen ==== Somit lassen sich vereinfacht und verkürzt folgende Eigenschaften ableiten (Stachowiak, zitiert nach Saam <ref> Saam, N. J. (2009). Modellbildung. In Handbuch Methoden der Organisationsforschung: Quantitative und Qualitative Methoden (pp. 517-532). Wiesbaden: VS Verlag für Sozialwissenschaften. </ref>): * '''Abbildungsmerkmal:''' Modelle repräsentieren die Realität, existieren jedoch nicht in der Realität * '''Verkürzungsmerkmal:''' Modelle beschreiben das Objekt nicht exakt, sondern stets vereinfacht * '''Pragmatisches Merkmal:''' Modelle verfolgen einen gewissen Zweck: Sie ersetzen eine nicht abbildbare Realität um Fragestellungen zu beantwortbar zu machen ==== Typisches Beispiele ==== * Betrachtungen in der Physik (Federpendel, Bewegungsgesetze,...) - Physik und Mathematische Modellbildung sind sehr eng miteinander verwoben * Populationsdynamiken und Ausbreitugnsschemata in der Biologie (vgl. Lotka-Volterra Modell) * Bewegungsanalysen und Optimierungen in den Sportwissenschaften * Untersuchungen von Transport- und Umweltprozessen in Biologie, Chemie, Physik, Technik,... * Bedarfs- und Verbrauchs- und Verhaltensanalysen in Geisteswissenschaften === Mathematische Modelle === Mathematische Modelle werden gemessen und bewertet anhand <ref> Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., & Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. </ref>: * '''Zulässigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte in sich widerspruchsfrei sein. * '''Richtigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte im Vergleich mit der Realität keine Widersprüche zu offensichtlich richtigen Tatsachen aufweisen. * '''Zweckmäßigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte genau den Detailgrad beinhalten, den es zum Erfüllen des Zwecks benötigt, nicht mehr und nicht weniger. ==== Gegenbeispiele für mathematische Modelle ==== Gegenbeispiele wären: * Ein nicht zulässiges Modell könnte bei einer Betrachtung einer Punktmasse im Raum dennoch Luftwiederstände berücksichtigen (Punkte haben kein Volumen) * Ein nicht richtiges Modell könnte bei der Modellierung von Transportprozessen von Schadstoffen die Massenerhaltung vernachlässigen. * Ein nicht zweckmäßiges Modell könnte bei dem Versuch den perfekten Abwurfwinkel beim Speerwurf die Krümmung der Erdoberfläche berücksichtigen. ==== Bemerkung - Kriterien ==== Die Kriterien, insbesondere Richtigkeit und Zweckmäßigkeit, sind nicht 100% operational. Einerseits fordert die Richtigkeit, keine bekannten Tatsachen auszulassen, andererseits dürfen hinsichtlich einer passenden Zweckmäßigkeit auch nur ausreichend viele Details integriert werden. ==Der Modellbildungszyklus== Wie kommt man nun von einer Realen Situation, die ein Problem aufwirft zu einem adäquaten mathematischen Modell? Dazu hat sich als möglichst allgemeine Vorgehensweise der Modellbildungszyklus ergeben: [[Datei:Modellbildungszyklus Mod6.png|miniatur|Modellbildungszyklus]] ===Verlauf des MBZ === Der Modellbildungszyklus beschreibt schematisch die iterative Erstellung einer mathematischen Modellbildung: * Ausgangspunkt ist eine reale Situation, die ein Problem aufwirft, die von dem mathematischen Modell adressiert werden soll * Dieses Problem wird inhaltlich erfasst, anschließend mathematisch Übersetzt (Betrachten von Gleichungen, Funktionen, Geometrischen Objekten,...) =====Modellbildungsschleife===== * Durch das Betrachten von mathematischen Objekten können über passende Operationen deduktiv Resultate geschlussfolgert werden * Diese Resultate werden mit der Realsituation abgeglichen * Aus dem Vergleich werden mögliche Optimierungen und Limitationen des Modells abgeleitet * Durch die Limitationen werden kann das Modell weiterentwickelt werden Diese Schritte können/müssen dabei mehrfach durchlaufen werden. =====Integration von Software===== Die Integration von computergestützter Software ist in der mathematischen Modellbildung definitionsgemäss nicht zwingend erforderlich, für die meisten anwendungsbezogenen Modellierungen jedoch unumgänglich. ==Konkretes Beispiel einer Mathematischen Modellbildung== [[Kurs:Mathematische_Modellbildung/Themen/Radioaktivit%C3%A4t_und_Risikoliteralit%C3%A4t]] [[Datei:Screenshot 2D Ansicht Resultate.png|miniatur|alternativtext=Ansicht der möglichen Auftreffpunkte des radioaktiven Niederschlags|Ansicht der möglichen Auftreffpunkte des radioaktiven Niederschlags]] [[File:Zeitliche Abhängigkeit der Risikofunktion.gif|thumb|Das GIF zeigt die Zeitliche Abhängigkeit der Risikofunktion]] === Ziel der Modellierung === Ziel in dieser Modellierung war es, ein Modell zur räumlichen und zeitlichen Ausbreitung einer radioaktiv belasteten Wolke, sowie dessen Rain-Out, infolge einer Reaktorkatastrophe am (mittlerweile abgeschalteten) Kernkraftwerk in Philippsburg zu beschreiben. Unter zu Hilfenahme von Messwerten von dem Reaktorunglück in Tschernobyl und den Halbwertszeiten des radioaktiven Materials wurde der zeitliche Zerfall erfasst. Der Transport von radioaktiven Material wurde durch eine Kugel im <math> \mathbb{R}^3 </math> modelliert. Diese bewegt sich gemäss einer variablen Windrichtung (gegeben durch Winkel <math> \alpha </math>) und regnet sich nach einer gewissen Durchschnittsdauer ab. === Endresultat === Es wurde in drei Modellbildungszyklen eine Funktion zur Beschreibung der radioaktiven Belastung (repräsentativ für das Risiko) abgeleitet: <math>u(x,y,t,\alpha)=\frac{1480\cdot e^{-\frac{ln(2)}{30a} \cdot t}}{1+\frac{7}{10.000}\cdot (x^2+y^2)}+\frac{40\cdot e^{-\frac{ln(2)}{30a} \cdot t}}{1+\frac{1}{7.500}\cdot ((x-1080cos(\alpha))^2+(y-1080sin(\alpha))^2)}</math> Letztlich erhält man also eine Funktion die in ihrem Ausgabewert <math>z=u(x,y,t,\alpha)</math> abhängig von 4 Eingabewerten <math>x, y, t, \alpha </math> ist. ==Modellbildung in der Schule== ===Einbindung in den Lehrplan=== Die mathematische Modellbildung ist stark in den Mathematik-Lehrplan für Schulen in Rheinland-Pfalz integriert (hier wird sich an dem Lehrplan für Sekundarstufe II orientiert <ref> Ministerium für Bildung, Wissensachft, Weiterbildung und Kultur (2015), Lehrplan Mathematik. Grund- und Leistungsfach in der gymnasialen Oberstufe (Mainzer Studienstufe) </ref>). Im Bezug zu Problemlösen im Mathematikunterricht und Mathematik im fachübergreifenden Kontext, sollen Anwendungsbeispiele Einzug halten, die Schülerinnen und Schülern aus anderen Fächern bekannt sind. In diesem Zusammenhang wird mathematische Modellbildung als Methode zur Lösung von solchen Anwendungsproblemen genannt. ===Konkreter Themenbezug=== Zu folgenden mathematischen Themengebieten wird explizit Mathematischen Modellbildung zur unterrichtlichen Umsetzung erwähnt: *Exponentialfunktionen (Wachstums- und Zerfallsprozesse *Matrizenrechnung (Input-Output-Analysen, Zustandsübergangsprozesse, Populationsentwicklung,...) *Differential- und Integralrechnung (lineare oder logistische Wachstumsprozesse) ===Computereinsatz im Lehrplan=== Auch der Einsatz von computergestützten Hilfs- und Lösungsmitteln im Zuge der Modellbildung wird betont. (Bemerke: Auch im Lehrplan wird ein vergleichbarer Modellbildungszyklus vorgestellt und beschrieben. Bei Bedarf kann dieser auf Seite 15-16<ref> Ministerium für Bildung, Wissensachft, Weiterbildung und Kultur (2015), Lehrplan Mathematik. Grund- und Leistungsfach in der gymnasialen Oberstufe (Mainzer Studienstufe). </ref> nachgelesen werden) ===Zugang zur Bildung für Nachhaltigen Entwicklung=== Durch die Möglichkeit fachübergreifende Fragestellungen zu behandeln und Prozesse der Realität in den Blick zu nehmen, kann mathematische Modellbildung die Brücke zur Bildung für Nachhaltigen Entwicklung (BNE) schlagen. ====Bildung für Nachhaltige Entwicklung==== "Die BNE zielt grundsätzlich darauf ab, es jedem und jeder Einzelnen zu ermöglichen, die Folgen des eigenen Handelns auf die Welt sowie intra- und intergenerationell zu verstehen, verantwortungsvolle Entscheidungen zu treffen und aktiv zu werden." <ref> Ministerium für Bildung. Bildung für nachhaltige Entwicklung. Online abrufbar unter: https://bm.rlp.de/unsere-schwerpunkte/bildung-fuer-nachhaltige-entwicklung </ref> ====BNE und Modellbildung==== Mathematische Modellbildung kann unter praktischer Anwendung von gelernten Inhalten im Schulunterricht zu BNE beitragen, indem eben gezielt Probleme adressiert werden und von Schülerinnen und Schülern eigenständig untersucht werden. ==Ziel und Organisation des Seminars== ===Ziel und Aufgabe=== In Kleingruppen (3-4 Personen) sollen aussermathematische Fragestellungen mit einer eigenen mathematischen Modellbildung behandelt werden. Dazu sollen drei Modellbildungszyklen mit unterschiedlichem Grad an Vereinfachung und unterschiedlicher Mathematischen Grundlage erstellt werden: * Zyklus: Mathematik der Sekundarstufe 1 (Mittelstufe) * Zyklus: Mathematik der Sekundarstufe 2 (Oberstufe) * Zyklus: Universitätsmathematik ====Integration von Software==== In jedem Zyklus sollen computergestützte Untersuchungen und Betrachtungen Einzug erhalten. Somit bietet es sich an in insgesamt auch drei verschiedene Programme (Tabellenkalkulation, GeoGebra, RStudio, Maxima,...) zu integrieren - an manchen stellen lässt sich dies gar nicht vermeiden. ===Themenwahl=== Das Thema sollte einen weltlichen Bezug haben. Am besten eigenen sich Themen aus dem jeweiligen Zweitfach (s. Verbindung zu anderen Schulfächern im Lehrplan). Das Thema sollte nachhaltige Entwicklung im Rahmen der Sustainable Development Goals adressieren. Siehe dazu: https://www.bundesumweltministerium.de/themen/nachhaltigkeit/nachhaltigkeitsziele-sdgs Vorzugsweise: Räumliche Risikobetrachtungen in Desaster- und Katastrophenszenarien. Das Thema sollte sich nicht mit denen der vergangenen Semestern doppeln. Zur Orientierung und Inspiration finden sich hier die Projekte der vergangenen Semester: :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2026 Sommersemester|2026 Sommersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2025-26 Wintersemester|2025/26 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2024-25 Wintersemester|2024/25 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2023-24 Wintersemester|2023/24 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2022-23 Winteresemester|2022/23 Wintersemester]]''' ===Portfolio=== Während des Semesters soll in Gruppenarbeit die Modellbildung durchgeführt werden. Diese wird schriftlich in einem Portfolio festgehalten. Dies Portfolio wird, genau wie dieser Artikel auch, in einem Wikiversity Artikel dokumentiert. Dieser sollte folgendes enthalten: * Einleitung: Beschreibung und Einordnung des Themas & welche(s) SDG wird adressiert und warum? * Ziel der Modellierung: Welches Problem wird in der Modellierung / den einzelnen Zyklen konkret angegangen? * Zyklus 1-3 ** Mathematisches Modell (welche Mathematischen Objekte werden betrachtet, wie ergeben die sich,...) ** Ergebnisse (Ableiten von Resultaten aus dem Modell) ** Bewertung der Ergebnisse ** Grenzen und Limitationen ** Ausblick für nächsten Zyklus (welche Limitationen und Probleme aus dem Zyklus werden im folgenden adressiert?) In allen Punkten der Modellzyklen können Programme computergestützte Tools verwendet werden. Zur Erstellung von Wiki-Seiten ist folgende Seite hilfreich: https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:Textgestaltung ===Prüfung=== Die Prüfung gliedert sich in zwei Aspekte: * '''Vorstellung von ausgewählten Teilen aus dem eigenen Portfolio''' - diese werden von den Prüfer:innen aus dem Portfolio der Studierenden ausgewählt. * '''Diskussion und Fragen''' der Prüfer:innen zu dem Portfolio, z.B. zu Teilen des Portfolios, die in der Vorstellung nicht behandelt werden können. Ein Portfolio kann aus Zeitgründen nie vollständig in der Prüfung dargestellt werden. In der mündlichen Portfolio-Prüfung wird geprüft, ob *das eigene Modell verstanden ist, *das eigene Modell kritisch hinterfragt werden kann, *die Limitationen des Modells begründet und nachvollziehbar wiedergegeben werden können, *die Übergänge zwischen den Zyklen beschrieben und begründet werden können, *die technische Umsetzung reproduziert und erklärt werden kann, *... . Es ist also wichtig zu wissen, was wie an welcher Stelle und mit welchem Zweck in der Modellierung gemacht wurde! Das Portfolio (Wiki-Seite) wird somit konkret vorgestellt. Eine Präsentation des Portfolio kann automatisch mit Wiki2Reveal erstellt werden. === Unterstützungsangebot === * Das Unterstützungsangebot erfolgt in der Lehrveranstaltung zur "Mathematischen Modellbildung". * Eine individuelle Sonderbehandlung für einzelne Studierende, die das Angebot der Vorlesung nicht nutzen und kurz vor Prüfungsbeginn noch "schnell" ein Portfolio zusammenstellen wollen, ist aus zeitlichen Gründen kurz vor der Prüfung nicht möglich. * Portfolioprüfungen der Lehrveranstaltung beziehen sich immer auf das erstellte Portfolio im laufende Semester und bei Wiederholungsprüfungen auf das Semester, in dem Portfolio erstellt wurde. * Eine Prüfung kann nur zu dem eigenen erstellten Portfolio in der Lehrveranstaltung abgelegt werden, an dessen Erstellung man aktiv mitgearbeitet hat. ===Ablauf des Seminars=== Der Seminarablauf über das Semester gestaltet sich grob wie folgt: * 1. Woche (19.10.): Einführungsveranstaltung + Gruppenfindung * 2. Woche (26.10.): Themenfindung * 3. Woche (02.11.): Themenfindung + Zyklen festlegen * 4. Woche (09.11.): Zyklen festlegen * 5. Woche (16.11.): Kurzvorstellung der Themen und Zyklen (5 Minuten pro Gruppe) Ab Woche 6 (23.11.) bis Ende des Semesters wird gemeinsam an den Modellen und dem Portfolio gearbeitet. Empfehlenswert wäre es, die letzten 2-3 Wochen für Finalisierungsarbeiten zu nutzen und entsprechend frühzeitig zu planen! Ausschliesslich während der Seminarzeiten an dem Modell und Portfolio zu arbeiten wird nicht ausreichen! Die Kurzpräsentationen am 16.11. umfassen den aktuellen Stand der Überlegungen und sind noch unter keinen Umständen verbindlich. Stattdessen dient es einfach zur Grundlage von gemeinsamer Diskussion und zur Einbringung von weiteren Ideen. =Hilfreiche Links= ===Fachmathematische Aspekte === Wenn man das Modellierungsproblem in den Mittelpunkt stellt und die Fragestellung den Nachhaltigkeitszielen der UN zuordnet, kommen z.T. fachmathematische Aspekte erforderlich, die nicht in der jeweiligen Schulstufe bzw. in den Vorlesungen behandelt wurden. Dies Kapitel erhält Hinweise zu fachmathematischen Bereichen, die für die mathematische Modellbildung ggf. als Werkzeug verwendet werden können * '''[[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]''' dienen dazu, Datenpunkte im <math>\R^2</math> oder allgemein im <math>\R^n</math> zu [[w:Interpolation_(Mathematik)|interpolieren]]. * '''[https://en.wikiversity.org/wiki/3D_Modelling 3D Modellierung für Projektinhalte]''' und [[w:Projektive_Geometrie|projektive Geometrie]] zur Visualisierung * '''[[Gradientenabstiegsverfahren]]''': Wird verwendet, um sich in der mathematischen Modellbildung iterativ einem Minimum einer Kosten- oder Fehlerfunktion anzunähern. * [[w:Lineare_Optimierung|'''Lineare Optimierung''']] wird in Optimierungshaufgaben wie beispielsweise bei der Suche nach Minimum der Produktionskosten verwendet. Hierbei wird in allgemeinem nach einem Minimium/Maximum einer linearer Zielfunktion über einer Menge gesucht. [https://www.geogebra.org/m/kr727992 '''Ein Beispiel in Geogebra'''] *[[Räumliche Diffusion|'''Räumliche Diffusion''']] *[[Modelle_der_Populationsdynamik|'''Modelle der Populationsdynamik''']] - [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Modelle%20der%20Populationsdynamik&author=Kurs:R%C3%A4umliche%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes (Wiki2Reveal-Folien)] - [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Stochastik/Wahrscheinlichkeitsdichte|Wahrscheinlichkeitsdichte]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Wahrscheinlichkeitsdichte&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wahrscheinlichkeitsdichte&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ===Softwarenutzung === Im PC-Praktikum wurden grundlegende Kenntnisse im Umgang mit Software erlangt, die für die Berechnung von mathematischen Modellen vorwendig sind. Diese Kenntnisse müssen ggf. auf das spezielle Modellierungsthema angepasst und erweitert werden. * '''[[CSV2Chart]]''' Aus CSV-Dateien mathematische Graphen in Wikiversity erstellen. * '''[[Maxima CAS]]''' enthält die verwendeten Werkzeuge und Kommandos eines Computeralgebrasystems (CAS), die die einzelnen Projekte in dem Modellbildungszyklus verwendet haben. * '''[https://sagecell.sagemath.org/ SageCell]''' Online-Umgebung zur Ausführung und Demonstration von Befehlen in R, Octave, Maxima, ... (Auswahl des Befehlssatzes auf der https://sagecell.sagemath.org/ SageCell-Seite] unten rechts auf dem Eingabefeld) * '''[[Statistikprogramm R]]''' enthält die verwendeten Werkzeuge und Kommandos, die für Berechnungen und Veranschaulichungen in den Projekten verwendet haben. * '''[[Tabellenkalkulation]]''' werden in Portfolios in der Regel verwendet, um Daten in den Portfolios aufzubereiten. * '''[[Octave]]''' wird in der Regel verwendet, um numerische Berechnung in der Mathematischen Modellbildung durchzuführen. * '''[[Geogebra]]''' ist eine Dynamische Geometriesoftware, die zur vektoriellen Veranschaulichung von räumlichen Modellierungsproblemen oder auch zur parametrisierten Darstellung von Funktionen verwendet wird (Beispiel: [https://www.geogebra.org/m/e9b349k9 Parkplatzlösung in Geogebra von Shrey T (2017)]). * '''[[w:Screencast|Screencast]]''': Ein Screencast ist eine Bildschirmaufnahme mit Audiokommentaren, die zeigt, wie man z.B. Software bedient. Ein Screencast ist eine Hilfestellung für Lernende, die sich noch nicht so gut mit einer bestimmten Software auskennen. :* [https://obsproject.com/ '''Open Broadcast Software (OBS)''' - Linux, Windows, MacOSX ] - [[Konvexkombination|Beispielvideo in Wikiversity]] * [[v:en:3D_Modelling|'''3D-Modellbildung''' (englisch)]] * '''[http://niebert.github.io/imgmap/ Online-ImageMap-Editor]''' - Anklickbare Bereiche in Wikiversity-Bildern erstellen. * '''[https://openlayers.org/en/latest/examples/heatmap-earthquakes.html HeatMaps]:''' Erstellung von [https://niebert.github.io/openlayer_heatmap HeatMaps mit einem Online-Editor] (Download [https://github.com/niebert/openlayer_heatmap/archive/master.zip Heatmap-Editor und Beispieldaten in Ordner <tt>/HeatMap</tt> in ZIP-Datei]) * '''[[Wiki2Reveal]]:''' Portfolio-Präsentationen direkt im Wikiversity erstellen. ===Editierungshilfen=== * [https://latexeditor.lagrida.com/ Online-Formel-Editor für LaTeX-Formeln]<ref>Lagrida Web-Portal (2021) Online-Latex-Formel-Editor mit Vorschau - URL: https://latexeditor.lagrida.com/ (accessed 2021/11/21))</ref> - die erzeugten Formeln müssen in einen MATH-Tag mit <kbd><math> ...</math></kbd> eingeschlossen werden bei der Seiteneditierung. * [https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:TeX Mathematische Formeln in Wikiversity] * Textgestaltung in Wikis: https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:Textgestaltung ==Wiki2Reveal== * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung2627|Kurs:Mathematische Modellbildung2627]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung2627&author=&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung2627&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] == Verweise == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2026-27%20Wintersemester&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2026-27%20Wintersemester&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung Kurs:Mathematische Modellbildung]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2026-27%20Wintersemester&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] it3q1gz0ba42oi4zd2tibb1quudius3 1116531 1116530 2026-10-17T08:18:55Z ~2026-55076-31 41992 /* Konkreter Themenbezug */ 1116531 wikitext text/x-wiki ==Begriffsklärung== === Was ist mathematische Modellbildung? === Ganz grob gesagt besteht Mathematische Modellierung oder auch Mathematische Modellbildung darin, reale Fragestellungen mit mathematischen Mitteln zu bearbeiten und sie auf diesem Wege zumindest teilweise zu beantworten<ref> Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., & Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. </ref>. === Was ist ein Modell? === Ein Modell ist dabei gegeben durch innere Scheinbilder oder Repräsentatonen, die nicht zum Bereich der äußeren Gegenstände, sondern zu Vorstellungen von einem solchen realen Gegenstand gehören und ihnen daher auch in gewissen Grenzen etwas Willkürliches anhaftet (Sinngemäß nach Hertz, zitiert von Ortlieb<ref> Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., & Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. </ref>). ==== Eigenschaften von Modellen ==== Somit lassen sich vereinfacht und verkürzt folgende Eigenschaften ableiten (Stachowiak, zitiert nach Saam <ref> Saam, N. J. (2009). Modellbildung. In Handbuch Methoden der Organisationsforschung: Quantitative und Qualitative Methoden (pp. 517-532). Wiesbaden: VS Verlag für Sozialwissenschaften. </ref>): * '''Abbildungsmerkmal:''' Modelle repräsentieren die Realität, existieren jedoch nicht in der Realität * '''Verkürzungsmerkmal:''' Modelle beschreiben das Objekt nicht exakt, sondern stets vereinfacht * '''Pragmatisches Merkmal:''' Modelle verfolgen einen gewissen Zweck: Sie ersetzen eine nicht abbildbare Realität um Fragestellungen zu beantwortbar zu machen ==== Typisches Beispiele ==== * Betrachtungen in der Physik (Federpendel, Bewegungsgesetze,...) - Physik und Mathematische Modellbildung sind sehr eng miteinander verwoben * Populationsdynamiken und Ausbreitugnsschemata in der Biologie (vgl. Lotka-Volterra Modell) * Bewegungsanalysen und Optimierungen in den Sportwissenschaften * Untersuchungen von Transport- und Umweltprozessen in Biologie, Chemie, Physik, Technik,... * Bedarfs- und Verbrauchs- und Verhaltensanalysen in Geisteswissenschaften === Mathematische Modelle === Mathematische Modelle werden gemessen und bewertet anhand <ref> Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., & Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. </ref>: * '''Zulässigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte in sich widerspruchsfrei sein. * '''Richtigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte im Vergleich mit der Realität keine Widersprüche zu offensichtlich richtigen Tatsachen aufweisen. * '''Zweckmäßigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte genau den Detailgrad beinhalten, den es zum Erfüllen des Zwecks benötigt, nicht mehr und nicht weniger. ==== Gegenbeispiele für mathematische Modelle ==== Gegenbeispiele wären: * Ein nicht zulässiges Modell könnte bei einer Betrachtung einer Punktmasse im Raum dennoch Luftwiederstände berücksichtigen (Punkte haben kein Volumen) * Ein nicht richtiges Modell könnte bei der Modellierung von Transportprozessen von Schadstoffen die Massenerhaltung vernachlässigen. * Ein nicht zweckmäßiges Modell könnte bei dem Versuch den perfekten Abwurfwinkel beim Speerwurf die Krümmung der Erdoberfläche berücksichtigen. ==== Bemerkung - Kriterien ==== Die Kriterien, insbesondere Richtigkeit und Zweckmäßigkeit, sind nicht 100% operational. Einerseits fordert die Richtigkeit, keine bekannten Tatsachen auszulassen, andererseits dürfen hinsichtlich einer passenden Zweckmäßigkeit auch nur ausreichend viele Details integriert werden. ==Der Modellbildungszyklus== Wie kommt man nun von einer Realen Situation, die ein Problem aufwirft zu einem adäquaten mathematischen Modell? Dazu hat sich als möglichst allgemeine Vorgehensweise der Modellbildungszyklus ergeben: [[Datei:Modellbildungszyklus Mod6.png|miniatur|Modellbildungszyklus]] ===Verlauf des MBZ === Der Modellbildungszyklus beschreibt schematisch die iterative Erstellung einer mathematischen Modellbildung: * Ausgangspunkt ist eine reale Situation, die ein Problem aufwirft, die von dem mathematischen Modell adressiert werden soll * Dieses Problem wird inhaltlich erfasst, anschließend mathematisch Übersetzt (Betrachten von Gleichungen, Funktionen, Geometrischen Objekten,...) =====Modellbildungsschleife===== * Durch das Betrachten von mathematischen Objekten können über passende Operationen deduktiv Resultate geschlussfolgert werden * Diese Resultate werden mit der Realsituation abgeglichen * Aus dem Vergleich werden mögliche Optimierungen und Limitationen des Modells abgeleitet * Durch die Limitationen werden kann das Modell weiterentwickelt werden Diese Schritte können/müssen dabei mehrfach durchlaufen werden. =====Integration von Software===== Die Integration von computergestützter Software ist in der mathematischen Modellbildung definitionsgemäss nicht zwingend erforderlich, für die meisten anwendungsbezogenen Modellierungen jedoch unumgänglich. ==Konkretes Beispiel einer Mathematischen Modellbildung== [[Kurs:Mathematische_Modellbildung/Themen/Radioaktivit%C3%A4t_und_Risikoliteralit%C3%A4t]] [[Datei:Screenshot 2D Ansicht Resultate.png|miniatur|alternativtext=Ansicht der möglichen Auftreffpunkte des radioaktiven Niederschlags|Ansicht der möglichen Auftreffpunkte des radioaktiven Niederschlags]] [[File:Zeitliche Abhängigkeit der Risikofunktion.gif|thumb|Das GIF zeigt die Zeitliche Abhängigkeit der Risikofunktion]] === Ziel der Modellierung === Ziel in dieser Modellierung war es, ein Modell zur räumlichen und zeitlichen Ausbreitung einer radioaktiv belasteten Wolke, sowie dessen Rain-Out, infolge einer Reaktorkatastrophe am (mittlerweile abgeschalteten) Kernkraftwerk in Philippsburg zu beschreiben. Unter zu Hilfenahme von Messwerten von dem Reaktorunglück in Tschernobyl und den Halbwertszeiten des radioaktiven Materials wurde der zeitliche Zerfall erfasst. Der Transport von radioaktiven Material wurde durch eine Kugel im <math> \mathbb{R}^3 </math> modelliert. Diese bewegt sich gemäss einer variablen Windrichtung (gegeben durch Winkel <math> \alpha </math>) und regnet sich nach einer gewissen Durchschnittsdauer ab. === Endresultat === Es wurde in drei Modellbildungszyklen eine Funktion zur Beschreibung der radioaktiven Belastung (repräsentativ für das Risiko) abgeleitet: <math>u(x,y,t,\alpha)=\frac{1480\cdot e^{-\frac{ln(2)}{30a} \cdot t}}{1+\frac{7}{10.000}\cdot (x^2+y^2)}+\frac{40\cdot e^{-\frac{ln(2)}{30a} \cdot t}}{1+\frac{1}{7.500}\cdot ((x-1080cos(\alpha))^2+(y-1080sin(\alpha))^2)}</math> Letztlich erhält man also eine Funktion die in ihrem Ausgabewert <math>z=u(x,y,t,\alpha)</math> abhängig von 4 Eingabewerten <math>x, y, t, \alpha </math> ist. ==Modellbildung in der Schule== ===Einbindung in den Lehrplan=== Die mathematische Modellbildung ist stark in den Mathematik-Lehrplan für Schulen in Rheinland-Pfalz integriert (hier wird sich an dem Lehrplan für Sekundarstufe II orientiert <ref> Ministerium für Bildung, Wissensachft, Weiterbildung und Kultur (2015), Lehrplan Mathematik. Grund- und Leistungsfach in der gymnasialen Oberstufe (Mainzer Studienstufe) </ref>). Im Bezug zu Problemlösen im Mathematikunterricht und Mathematik im fachübergreifenden Kontext, sollen Anwendungsbeispiele Einzug halten, die Schülerinnen und Schülern aus anderen Fächern bekannt sind. In diesem Zusammenhang wird mathematische Modellbildung als Methode zur Lösung von solchen Anwendungsproblemen genannt. ===Konkreter Themenbezug=== Zu folgenden mathematischen Themengebieten wird explizit Mathematischen Modellbildung zur unterrichtlichen Umsetzung erwähnt: *Exponentialfunktionen (Wachstums- und Zerfallsprozesse *Matrizenrechnung (Input-Output-Analysen, Zustandsübergangsprozesse, Populationsentwicklung,...) *Differential- und Integralrechnung (lineare oder logistische Wachstumsprozesse) ===Computereinsatz im Lehrplan=== Auch der Einsatz von computergestützten Hilfs- und Lösungsmitteln im Zuge der Modellbildung wird betont. (Bemerke: Auch im Lehrplan wird ein vergleichbarer Modellbildungszyklus vorgestellt und beschrieben. Bei Bedarf kann dieser auf Seite 15-16<ref> Ministerium für Bildung, Wissensachft, Weiterbildung und Kultur (2015), Lehrplan Mathematik. Grund- und Leistungsfach in der gymnasialen Oberstufe (Mainzer Studienstufe). </ref> nachgelesen werden) ===Zugang zur Bildung für Nachhaltigen Entwicklung=== Durch die Möglichkeit fachübergreifende Fragestellungen zu behandeln und Prozesse der Realität in den Blick zu nehmen, kann mathematische Modellbildung die Brücke zur Bildung für Nachhaltigen Entwicklung (BNE) schlagen. ====Bildung für Nachhaltige Entwicklung==== "Die BNE zielt grundsätzlich darauf ab, es jedem und jeder Einzelnen zu ermöglichen, die Folgen des eigenen Handelns auf die Welt sowie intra- und intergenerationell zu verstehen, verantwortungsvolle Entscheidungen zu treffen und aktiv zu werden." <ref> Ministerium für Bildung. Bildung für nachhaltige Entwicklung. Online abrufbar unter: https://bm.rlp.de/unsere-schwerpunkte/bildung-fuer-nachhaltige-entwicklung </ref> ====BNE und Modellbildung==== Mathematische Modellbildung kann unter praktischer Anwendung von gelernten Inhalten im Schulunterricht zu BNE beitragen, indem eben gezielt Probleme adressiert werden und von Schülerinnen und Schülern eigenständig untersucht werden. ==Ziel und Organisation des Seminars== ===Ziel und Aufgabe=== In Kleingruppen (3-4 Personen) sollen aussermathematische Fragestellungen mit einer eigenen mathematischen Modellbildung behandelt werden. Dazu sollen drei Modellbildungszyklen mit unterschiedlichem Grad an Vereinfachung und unterschiedlicher Mathematischen Grundlage erstellt werden: * Zyklus: Mathematik der Sekundarstufe 1 (Mittelstufe) * Zyklus: Mathematik der Sekundarstufe 2 (Oberstufe) * Zyklus: Universitätsmathematik ====Integration von Software==== In jedem Zyklus sollen computergestützte Untersuchungen und Betrachtungen Einzug erhalten. Somit bietet es sich an in insgesamt auch drei verschiedene Programme (Tabellenkalkulation, GeoGebra, RStudio, Maxima,...) zu integrieren - an manchen stellen lässt sich dies gar nicht vermeiden. ===Themenwahl=== Das Thema sollte einen weltlichen Bezug haben. Am besten eigenen sich Themen aus dem jeweiligen Zweitfach (s. Verbindung zu anderen Schulfächern im Lehrplan). Das Thema sollte nachhaltige Entwicklung im Rahmen der Sustainable Development Goals adressieren. Siehe dazu: https://www.bundesumweltministerium.de/themen/nachhaltigkeit/nachhaltigkeitsziele-sdgs Vorzugsweise: Räumliche Risikobetrachtungen in Desaster- und Katastrophenszenarien. Das Thema sollte sich nicht mit denen der vergangenen Semestern doppeln. Zur Orientierung und Inspiration finden sich hier die Projekte der vergangenen Semester: :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2026 Sommersemester|2026 Sommersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2025-26 Wintersemester|2025/26 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2024-25 Wintersemester|2024/25 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2023-24 Wintersemester|2023/24 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2022-23 Winteresemester|2022/23 Wintersemester]]''' ===Portfolio=== Während des Semesters soll in Gruppenarbeit die Modellbildung durchgeführt werden. Diese wird schriftlich in einem Portfolio festgehalten. Dies Portfolio wird, genau wie dieser Artikel auch, in einem Wikiversity Artikel dokumentiert. Dieser sollte folgendes enthalten: * Einleitung: Beschreibung und Einordnung des Themas & welche(s) SDG wird adressiert und warum? * Ziel der Modellierung: Welches Problem wird in der Modellierung / den einzelnen Zyklen konkret angegangen? * Zyklus 1-3 ** Mathematisches Modell (welche Mathematischen Objekte werden betrachtet, wie ergeben die sich,...) ** Ergebnisse (Ableiten von Resultaten aus dem Modell) ** Bewertung der Ergebnisse ** Grenzen und Limitationen ** Ausblick für nächsten Zyklus (welche Limitationen und Probleme aus dem Zyklus werden im folgenden adressiert?) In allen Punkten der Modellzyklen können Programme computergestützte Tools verwendet werden. Zur Erstellung von Wiki-Seiten ist folgende Seite hilfreich: https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:Textgestaltung ===Prüfung=== Die Prüfung gliedert sich in zwei Aspekte: * '''Vorstellung von ausgewählten Teilen aus dem eigenen Portfolio''' - diese werden von den Prüfer:innen aus dem Portfolio der Studierenden ausgewählt. * '''Diskussion und Fragen''' der Prüfer:innen zu dem Portfolio, z.B. zu Teilen des Portfolios, die in der Vorstellung nicht behandelt werden können. Ein Portfolio kann aus Zeitgründen nie vollständig in der Prüfung dargestellt werden. In der mündlichen Portfolio-Prüfung wird geprüft, ob *das eigene Modell verstanden ist, *das eigene Modell kritisch hinterfragt werden kann, *die Limitationen des Modells begründet und nachvollziehbar wiedergegeben werden können, *die Übergänge zwischen den Zyklen beschrieben und begründet werden können, *die technische Umsetzung reproduziert und erklärt werden kann, *... . Es ist also wichtig zu wissen, was wie an welcher Stelle und mit welchem Zweck in der Modellierung gemacht wurde! Das Portfolio (Wiki-Seite) wird somit konkret vorgestellt. Eine Präsentation des Portfolio kann automatisch mit Wiki2Reveal erstellt werden. === Unterstützungsangebot === * Das Unterstützungsangebot erfolgt in der Lehrveranstaltung zur "Mathematischen Modellbildung". * Eine individuelle Sonderbehandlung für einzelne Studierende, die das Angebot der Vorlesung nicht nutzen und kurz vor Prüfungsbeginn noch "schnell" ein Portfolio zusammenstellen wollen, ist aus zeitlichen Gründen kurz vor der Prüfung nicht möglich. * Portfolioprüfungen der Lehrveranstaltung beziehen sich immer auf das erstellte Portfolio im laufende Semester und bei Wiederholungsprüfungen auf das Semester, in dem Portfolio erstellt wurde. * Eine Prüfung kann nur zu dem eigenen erstellten Portfolio in der Lehrveranstaltung abgelegt werden, an dessen Erstellung man aktiv mitgearbeitet hat. ===Ablauf des Seminars=== Der Seminarablauf über das Semester gestaltet sich grob wie folgt: * 1. Woche (19.10.): Einführungsveranstaltung + Gruppenfindung * 2. Woche (26.10.): Themenfindung * 3. Woche (02.11.): Themenfindung + Zyklen festlegen * 4. Woche (09.11.): Zyklen festlegen * 5. Woche (16.11.): Kurzvorstellung der Themen und Zyklen (5 Minuten pro Gruppe) Ab Woche 6 (23.11.) bis Ende des Semesters wird gemeinsam an den Modellen und dem Portfolio gearbeitet. Empfehlenswert wäre es, die letzten 2-3 Wochen für Finalisierungsarbeiten zu nutzen und entsprechend frühzeitig zu planen! Ausschliesslich während der Seminarzeiten an dem Modell und Portfolio zu arbeiten wird nicht ausreichen! Die Kurzpräsentationen am 16.11. umfassen den aktuellen Stand der Überlegungen und sind noch unter keinen Umständen verbindlich. Stattdessen dient es einfach zur Grundlage von gemeinsamer Diskussion und zur Einbringung von weiteren Ideen. =Hilfreiche Links= ===Fachmathematische Aspekte === Wenn man das Modellierungsproblem in den Mittelpunkt stellt und die Fragestellung den Nachhaltigkeitszielen der UN zuordnet, kommen z.T. fachmathematische Aspekte erforderlich, die nicht in der jeweiligen Schulstufe bzw. in den Vorlesungen behandelt wurden. Dies Kapitel erhält Hinweise zu fachmathematischen Bereichen, die für die mathematische Modellbildung ggf. als Werkzeug verwendet werden können * '''[[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]''' dienen dazu, Datenpunkte im <math>\R^2</math> oder allgemein im <math>\R^n</math> zu [[w:Interpolation_(Mathematik)|interpolieren]]. * '''[https://en.wikiversity.org/wiki/3D_Modelling 3D Modellierung für Projektinhalte]''' und [[w:Projektive_Geometrie|projektive Geometrie]] zur Visualisierung * '''[[Gradientenabstiegsverfahren]]''': Wird verwendet, um sich in der mathematischen Modellbildung iterativ einem Minimum einer Kosten- oder Fehlerfunktion anzunähern. * [[w:Lineare_Optimierung|'''Lineare Optimierung''']] wird in Optimierungshaufgaben wie beispielsweise bei der Suche nach Minimum der Produktionskosten verwendet. Hierbei wird in allgemeinem nach einem Minimium/Maximum einer linearer Zielfunktion über einer Menge gesucht. [https://www.geogebra.org/m/kr727992 '''Ein Beispiel in Geogebra'''] *[[Räumliche Diffusion|'''Räumliche Diffusion''']] *[[Modelle_der_Populationsdynamik|'''Modelle der Populationsdynamik''']] - [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Modelle%20der%20Populationsdynamik&author=Kurs:R%C3%A4umliche%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes (Wiki2Reveal-Folien)] - [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Stochastik/Wahrscheinlichkeitsdichte|Wahrscheinlichkeitsdichte]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Wahrscheinlichkeitsdichte&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wahrscheinlichkeitsdichte&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ===Softwarenutzung === Im PC-Praktikum wurden grundlegende Kenntnisse im Umgang mit Software erlangt, die für die Berechnung von mathematischen Modellen vorwendig sind. Diese Kenntnisse müssen ggf. auf das spezielle Modellierungsthema angepasst und erweitert werden. * '''[[CSV2Chart]]''' Aus CSV-Dateien mathematische Graphen in Wikiversity erstellen. * '''[[Maxima CAS]]''' enthält die verwendeten Werkzeuge und Kommandos eines Computeralgebrasystems (CAS), die die einzelnen Projekte in dem Modellbildungszyklus verwendet haben. * '''[https://sagecell.sagemath.org/ SageCell]''' Online-Umgebung zur Ausführung und Demonstration von Befehlen in R, Octave, Maxima, ... (Auswahl des Befehlssatzes auf der https://sagecell.sagemath.org/ SageCell-Seite] unten rechts auf dem Eingabefeld) * '''[[Statistikprogramm R]]''' enthält die verwendeten Werkzeuge und Kommandos, die für Berechnungen und Veranschaulichungen in den Projekten verwendet haben. * '''[[Tabellenkalkulation]]''' werden in Portfolios in der Regel verwendet, um Daten in den Portfolios aufzubereiten. * '''[[Octave]]''' wird in der Regel verwendet, um numerische Berechnung in der Mathematischen Modellbildung durchzuführen. * '''[[Geogebra]]''' ist eine Dynamische Geometriesoftware, die zur vektoriellen Veranschaulichung von räumlichen Modellierungsproblemen oder auch zur parametrisierten Darstellung von Funktionen verwendet wird (Beispiel: [https://www.geogebra.org/m/e9b349k9 Parkplatzlösung in Geogebra von Shrey T (2017)]). * '''[[w:Screencast|Screencast]]''': Ein Screencast ist eine Bildschirmaufnahme mit Audiokommentaren, die zeigt, wie man z.B. Software bedient. Ein Screencast ist eine Hilfestellung für Lernende, die sich noch nicht so gut mit einer bestimmten Software auskennen. :* [https://obsproject.com/ '''Open Broadcast Software (OBS)''' - Linux, Windows, MacOSX ] - [[Konvexkombination|Beispielvideo in Wikiversity]] * [[v:en:3D_Modelling|'''3D-Modellbildung''' (englisch)]] * '''[http://niebert.github.io/imgmap/ Online-ImageMap-Editor]''' - Anklickbare Bereiche in Wikiversity-Bildern erstellen. * '''[https://openlayers.org/en/latest/examples/heatmap-earthquakes.html HeatMaps]:''' Erstellung von [https://niebert.github.io/openlayer_heatmap HeatMaps mit einem Online-Editor] (Download [https://github.com/niebert/openlayer_heatmap/archive/master.zip Heatmap-Editor und Beispieldaten in Ordner <tt>/HeatMap</tt> in ZIP-Datei]) * '''[[Wiki2Reveal]]:''' Portfolio-Präsentationen direkt im Wikiversity erstellen. ===Editierungshilfen=== * [https://latexeditor.lagrida.com/ Online-Formel-Editor für LaTeX-Formeln]<ref>Lagrida Web-Portal (2021) Online-Latex-Formel-Editor mit Vorschau - URL: https://latexeditor.lagrida.com/ (accessed 2021/11/21))</ref> - die erzeugten Formeln müssen in einen MATH-Tag mit <kbd><math> ...</math></kbd> eingeschlossen werden bei der Seiteneditierung. * [https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:TeX Mathematische Formeln in Wikiversity] * Textgestaltung in Wikis: https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:Textgestaltung ==Wiki2Reveal== * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung2627|Kurs:Mathematische Modellbildung2627]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung2627&author=&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung2627&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] == Verweise == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2026-27%20Wintersemester&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2026-27%20Wintersemester&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung Kurs:Mathematische Modellbildung]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2026-27%20Wintersemester&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] kb7gsew98t1wkdjedp0zaajq047sff9 1116532 1116531 2026-10-17T08:20:25Z ~2026-55076-31 41992 /* Konkreter Themenbezug */ 1116532 wikitext text/x-wiki ==Begriffsklärung== === Was ist mathematische Modellbildung? === Ganz grob gesagt besteht Mathematische Modellierung oder auch Mathematische Modellbildung darin, reale Fragestellungen mit mathematischen Mitteln zu bearbeiten und sie auf diesem Wege zumindest teilweise zu beantworten<ref> Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., & Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. </ref>. === Was ist ein Modell? === Ein Modell ist dabei gegeben durch innere Scheinbilder oder Repräsentatonen, die nicht zum Bereich der äußeren Gegenstände, sondern zu Vorstellungen von einem solchen realen Gegenstand gehören und ihnen daher auch in gewissen Grenzen etwas Willkürliches anhaftet (Sinngemäß nach Hertz, zitiert von Ortlieb<ref> Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., & Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. </ref>). ==== Eigenschaften von Modellen ==== Somit lassen sich vereinfacht und verkürzt folgende Eigenschaften ableiten (Stachowiak, zitiert nach Saam <ref> Saam, N. J. (2009). Modellbildung. In Handbuch Methoden der Organisationsforschung: Quantitative und Qualitative Methoden (pp. 517-532). Wiesbaden: VS Verlag für Sozialwissenschaften. </ref>): * '''Abbildungsmerkmal:''' Modelle repräsentieren die Realität, existieren jedoch nicht in der Realität * '''Verkürzungsmerkmal:''' Modelle beschreiben das Objekt nicht exakt, sondern stets vereinfacht * '''Pragmatisches Merkmal:''' Modelle verfolgen einen gewissen Zweck: Sie ersetzen eine nicht abbildbare Realität um Fragestellungen zu beantwortbar zu machen ==== Typisches Beispiele ==== * Betrachtungen in der Physik (Federpendel, Bewegungsgesetze,...) - Physik und Mathematische Modellbildung sind sehr eng miteinander verwoben * Populationsdynamiken und Ausbreitugnsschemata in der Biologie (vgl. Lotka-Volterra Modell) * Bewegungsanalysen und Optimierungen in den Sportwissenschaften * Untersuchungen von Transport- und Umweltprozessen in Biologie, Chemie, Physik, Technik,... * Bedarfs- und Verbrauchs- und Verhaltensanalysen in Geisteswissenschaften === Mathematische Modelle === Mathematische Modelle werden gemessen und bewertet anhand <ref> Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., & Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. </ref>: * '''Zulässigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte in sich widerspruchsfrei sein. * '''Richtigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte im Vergleich mit der Realität keine Widersprüche zu offensichtlich richtigen Tatsachen aufweisen. * '''Zweckmäßigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte genau den Detailgrad beinhalten, den es zum Erfüllen des Zwecks benötigt, nicht mehr und nicht weniger. ==== Gegenbeispiele für mathematische Modelle ==== Gegenbeispiele wären: * Ein nicht zulässiges Modell könnte bei einer Betrachtung einer Punktmasse im Raum dennoch Luftwiederstände berücksichtigen (Punkte haben kein Volumen) * Ein nicht richtiges Modell könnte bei der Modellierung von Transportprozessen von Schadstoffen die Massenerhaltung vernachlässigen. * Ein nicht zweckmäßiges Modell könnte bei dem Versuch den perfekten Abwurfwinkel beim Speerwurf die Krümmung der Erdoberfläche berücksichtigen. ==== Bemerkung - Kriterien ==== Die Kriterien, insbesondere Richtigkeit und Zweckmäßigkeit, sind nicht 100% operational. Einerseits fordert die Richtigkeit, keine bekannten Tatsachen auszulassen, andererseits dürfen hinsichtlich einer passenden Zweckmäßigkeit auch nur ausreichend viele Details integriert werden. ==Der Modellbildungszyklus== Wie kommt man nun von einer Realen Situation, die ein Problem aufwirft zu einem adäquaten mathematischen Modell? Dazu hat sich als möglichst allgemeine Vorgehensweise der Modellbildungszyklus ergeben: [[Datei:Modellbildungszyklus Mod6.png|miniatur|Modellbildungszyklus]] ===Verlauf des MBZ === Der Modellbildungszyklus beschreibt schematisch die iterative Erstellung einer mathematischen Modellbildung: * Ausgangspunkt ist eine reale Situation, die ein Problem aufwirft, die von dem mathematischen Modell adressiert werden soll * Dieses Problem wird inhaltlich erfasst, anschließend mathematisch Übersetzt (Betrachten von Gleichungen, Funktionen, Geometrischen Objekten,...) =====Modellbildungsschleife===== * Durch das Betrachten von mathematischen Objekten können über passende Operationen deduktiv Resultate geschlussfolgert werden * Diese Resultate werden mit der Realsituation abgeglichen * Aus dem Vergleich werden mögliche Optimierungen und Limitationen des Modells abgeleitet * Durch die Limitationen werden kann das Modell weiterentwickelt werden Diese Schritte können/müssen dabei mehrfach durchlaufen werden. =====Integration von Software===== Die Integration von computergestützter Software ist in der mathematischen Modellbildung definitionsgemäss nicht zwingend erforderlich, für die meisten anwendungsbezogenen Modellierungen jedoch unumgänglich. ==Konkretes Beispiel einer Mathematischen Modellbildung== [[Kurs:Mathematische_Modellbildung/Themen/Radioaktivit%C3%A4t_und_Risikoliteralit%C3%A4t]] [[Datei:Screenshot 2D Ansicht Resultate.png|miniatur|alternativtext=Ansicht der möglichen Auftreffpunkte des radioaktiven Niederschlags|Ansicht der möglichen Auftreffpunkte des radioaktiven Niederschlags]] [[File:Zeitliche Abhängigkeit der Risikofunktion.gif|thumb|Das GIF zeigt die Zeitliche Abhängigkeit der Risikofunktion]] === Ziel der Modellierung === Ziel in dieser Modellierung war es, ein Modell zur räumlichen und zeitlichen Ausbreitung einer radioaktiv belasteten Wolke, sowie dessen Rain-Out, infolge einer Reaktorkatastrophe am (mittlerweile abgeschalteten) Kernkraftwerk in Philippsburg zu beschreiben. Unter zu Hilfenahme von Messwerten von dem Reaktorunglück in Tschernobyl und den Halbwertszeiten des radioaktiven Materials wurde der zeitliche Zerfall erfasst. Der Transport von radioaktiven Material wurde durch eine Kugel im <math> \mathbb{R}^3 </math> modelliert. Diese bewegt sich gemäss einer variablen Windrichtung (gegeben durch Winkel <math> \alpha </math>) und regnet sich nach einer gewissen Durchschnittsdauer ab. === Endresultat === Es wurde in drei Modellbildungszyklen eine Funktion zur Beschreibung der radioaktiven Belastung (repräsentativ für das Risiko) abgeleitet: <math>u(x,y,t,\alpha)=\frac{1480\cdot e^{-\frac{ln(2)}{30a} \cdot t}}{1+\frac{7}{10.000}\cdot (x^2+y^2)}+\frac{40\cdot e^{-\frac{ln(2)}{30a} \cdot t}}{1+\frac{1}{7.500}\cdot ((x-1080cos(\alpha))^2+(y-1080sin(\alpha))^2)}</math> Letztlich erhält man also eine Funktion die in ihrem Ausgabewert <math>z=u(x,y,t,\alpha)</math> abhängig von 4 Eingabewerten <math>x, y, t, \alpha </math> ist. ==Modellbildung in der Schule== ===Einbindung in den Lehrplan=== Die mathematische Modellbildung ist stark in den Mathematik-Lehrplan für Schulen in Rheinland-Pfalz integriert (hier wird sich an dem Lehrplan für Sekundarstufe II orientiert <ref> Ministerium für Bildung, Wissensachft, Weiterbildung und Kultur (2015), Lehrplan Mathematik. Grund- und Leistungsfach in der gymnasialen Oberstufe (Mainzer Studienstufe) </ref>). Im Bezug zu Problemlösen im Mathematikunterricht und Mathematik im fachübergreifenden Kontext, sollen Anwendungsbeispiele Einzug halten, die Schülerinnen und Schülern aus anderen Fächern bekannt sind. In diesem Zusammenhang wird mathematische Modellbildung als Methode zur Lösung von solchen Anwendungsproblemen genannt. ===Konkreter Themenbezug=== *Exponentialfunktionen (Wachstums- und Zerfallsprozesse *Matrizenrechnung (Input-Output-Analysen, Zustandsübergangsprozesse, Populationsentwicklung,...) *Differential- und Integralrechnung (lineare oder logistische Wachstumsprozesse) ===Computereinsatz im Lehrplan=== Auch der Einsatz von computergestützten Hilfs- und Lösungsmitteln im Zuge der Modellbildung wird betont. (Bemerke: Auch im Lehrplan wird ein vergleichbarer Modellbildungszyklus vorgestellt und beschrieben. Bei Bedarf kann dieser auf Seite 15-16<ref> Ministerium für Bildung, Wissensachft, Weiterbildung und Kultur (2015), Lehrplan Mathematik. Grund- und Leistungsfach in der gymnasialen Oberstufe (Mainzer Studienstufe). </ref> nachgelesen werden) ===Zugang zur Bildung für Nachhaltigen Entwicklung=== Durch die Möglichkeit fachübergreifende Fragestellungen zu behandeln und Prozesse der Realität in den Blick zu nehmen, kann mathematische Modellbildung die Brücke zur Bildung für Nachhaltigen Entwicklung (BNE) schlagen. ====Bildung für Nachhaltige Entwicklung==== "Die BNE zielt grundsätzlich darauf ab, es jedem und jeder Einzelnen zu ermöglichen, die Folgen des eigenen Handelns auf die Welt sowie intra- und intergenerationell zu verstehen, verantwortungsvolle Entscheidungen zu treffen und aktiv zu werden." <ref> Ministerium für Bildung. Bildung für nachhaltige Entwicklung. Online abrufbar unter: https://bm.rlp.de/unsere-schwerpunkte/bildung-fuer-nachhaltige-entwicklung </ref> ====BNE und Modellbildung==== Mathematische Modellbildung kann unter praktischer Anwendung von gelernten Inhalten im Schulunterricht zu BNE beitragen, indem eben gezielt Probleme adressiert werden und von Schülerinnen und Schülern eigenständig untersucht werden. ==Ziel und Organisation des Seminars== ===Ziel und Aufgabe=== In Kleingruppen (3-4 Personen) sollen aussermathematische Fragestellungen mit einer eigenen mathematischen Modellbildung behandelt werden. Dazu sollen drei Modellbildungszyklen mit unterschiedlichem Grad an Vereinfachung und unterschiedlicher Mathematischen Grundlage erstellt werden: * Zyklus: Mathematik der Sekundarstufe 1 (Mittelstufe) * Zyklus: Mathematik der Sekundarstufe 2 (Oberstufe) * Zyklus: Universitätsmathematik ====Integration von Software==== In jedem Zyklus sollen computergestützte Untersuchungen und Betrachtungen Einzug erhalten. Somit bietet es sich an in insgesamt auch drei verschiedene Programme (Tabellenkalkulation, GeoGebra, RStudio, Maxima,...) zu integrieren - an manchen stellen lässt sich dies gar nicht vermeiden. ===Themenwahl=== Das Thema sollte einen weltlichen Bezug haben. Am besten eigenen sich Themen aus dem jeweiligen Zweitfach (s. Verbindung zu anderen Schulfächern im Lehrplan). Das Thema sollte nachhaltige Entwicklung im Rahmen der Sustainable Development Goals adressieren. Siehe dazu: https://www.bundesumweltministerium.de/themen/nachhaltigkeit/nachhaltigkeitsziele-sdgs Vorzugsweise: Räumliche Risikobetrachtungen in Desaster- und Katastrophenszenarien. Das Thema sollte sich nicht mit denen der vergangenen Semestern doppeln. Zur Orientierung und Inspiration finden sich hier die Projekte der vergangenen Semester: :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2026 Sommersemester|2026 Sommersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2025-26 Wintersemester|2025/26 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2024-25 Wintersemester|2024/25 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2023-24 Wintersemester|2023/24 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2022-23 Winteresemester|2022/23 Wintersemester]]''' ===Portfolio=== Während des Semesters soll in Gruppenarbeit die Modellbildung durchgeführt werden. Diese wird schriftlich in einem Portfolio festgehalten. Dies Portfolio wird, genau wie dieser Artikel auch, in einem Wikiversity Artikel dokumentiert. Dieser sollte folgendes enthalten: * Einleitung: Beschreibung und Einordnung des Themas & welche(s) SDG wird adressiert und warum? * Ziel der Modellierung: Welches Problem wird in der Modellierung / den einzelnen Zyklen konkret angegangen? * Zyklus 1-3 ** Mathematisches Modell (welche Mathematischen Objekte werden betrachtet, wie ergeben die sich,...) ** Ergebnisse (Ableiten von Resultaten aus dem Modell) ** Bewertung der Ergebnisse ** Grenzen und Limitationen ** Ausblick für nächsten Zyklus (welche Limitationen und Probleme aus dem Zyklus werden im folgenden adressiert?) In allen Punkten der Modellzyklen können Programme computergestützte Tools verwendet werden. Zur Erstellung von Wiki-Seiten ist folgende Seite hilfreich: https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:Textgestaltung ===Prüfung=== Die Prüfung gliedert sich in zwei Aspekte: * '''Vorstellung von ausgewählten Teilen aus dem eigenen Portfolio''' - diese werden von den Prüfer:innen aus dem Portfolio der Studierenden ausgewählt. * '''Diskussion und Fragen''' der Prüfer:innen zu dem Portfolio, z.B. zu Teilen des Portfolios, die in der Vorstellung nicht behandelt werden können. Ein Portfolio kann aus Zeitgründen nie vollständig in der Prüfung dargestellt werden. In der mündlichen Portfolio-Prüfung wird geprüft, ob *das eigene Modell verstanden ist, *das eigene Modell kritisch hinterfragt werden kann, *die Limitationen des Modells begründet und nachvollziehbar wiedergegeben werden können, *die Übergänge zwischen den Zyklen beschrieben und begründet werden können, *die technische Umsetzung reproduziert und erklärt werden kann, *... . Es ist also wichtig zu wissen, was wie an welcher Stelle und mit welchem Zweck in der Modellierung gemacht wurde! Das Portfolio (Wiki-Seite) wird somit konkret vorgestellt. Eine Präsentation des Portfolio kann automatisch mit Wiki2Reveal erstellt werden. === Unterstützungsangebot === * Das Unterstützungsangebot erfolgt in der Lehrveranstaltung zur "Mathematischen Modellbildung". * Eine individuelle Sonderbehandlung für einzelne Studierende, die das Angebot der Vorlesung nicht nutzen und kurz vor Prüfungsbeginn noch "schnell" ein Portfolio zusammenstellen wollen, ist aus zeitlichen Gründen kurz vor der Prüfung nicht möglich. * Portfolioprüfungen der Lehrveranstaltung beziehen sich immer auf das erstellte Portfolio im laufende Semester und bei Wiederholungsprüfungen auf das Semester, in dem Portfolio erstellt wurde. * Eine Prüfung kann nur zu dem eigenen erstellten Portfolio in der Lehrveranstaltung abgelegt werden, an dessen Erstellung man aktiv mitgearbeitet hat. ===Ablauf des Seminars=== Der Seminarablauf über das Semester gestaltet sich grob wie folgt: * 1. Woche (19.10.): Einführungsveranstaltung + Gruppenfindung * 2. Woche (26.10.): Themenfindung * 3. Woche (02.11.): Themenfindung + Zyklen festlegen * 4. Woche (09.11.): Zyklen festlegen * 5. Woche (16.11.): Kurzvorstellung der Themen und Zyklen (5 Minuten pro Gruppe) Ab Woche 6 (23.11.) bis Ende des Semesters wird gemeinsam an den Modellen und dem Portfolio gearbeitet. Empfehlenswert wäre es, die letzten 2-3 Wochen für Finalisierungsarbeiten zu nutzen und entsprechend frühzeitig zu planen! Ausschliesslich während der Seminarzeiten an dem Modell und Portfolio zu arbeiten wird nicht ausreichen! Die Kurzpräsentationen am 16.11. umfassen den aktuellen Stand der Überlegungen und sind noch unter keinen Umständen verbindlich. Stattdessen dient es einfach zur Grundlage von gemeinsamer Diskussion und zur Einbringung von weiteren Ideen. =Hilfreiche Links= ===Fachmathematische Aspekte === Wenn man das Modellierungsproblem in den Mittelpunkt stellt und die Fragestellung den Nachhaltigkeitszielen der UN zuordnet, kommen z.T. fachmathematische Aspekte erforderlich, die nicht in der jeweiligen Schulstufe bzw. in den Vorlesungen behandelt wurden. Dies Kapitel erhält Hinweise zu fachmathematischen Bereichen, die für die mathematische Modellbildung ggf. als Werkzeug verwendet werden können * '''[[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]''' dienen dazu, Datenpunkte im <math>\R^2</math> oder allgemein im <math>\R^n</math> zu [[w:Interpolation_(Mathematik)|interpolieren]]. * '''[https://en.wikiversity.org/wiki/3D_Modelling 3D Modellierung für Projektinhalte]''' und [[w:Projektive_Geometrie|projektive Geometrie]] zur Visualisierung * '''[[Gradientenabstiegsverfahren]]''': Wird verwendet, um sich in der mathematischen Modellbildung iterativ einem Minimum einer Kosten- oder Fehlerfunktion anzunähern. * [[w:Lineare_Optimierung|'''Lineare Optimierung''']] wird in Optimierungshaufgaben wie beispielsweise bei der Suche nach Minimum der Produktionskosten verwendet. Hierbei wird in allgemeinem nach einem Minimium/Maximum einer linearer Zielfunktion über einer Menge gesucht. [https://www.geogebra.org/m/kr727992 '''Ein Beispiel in Geogebra'''] *[[Räumliche Diffusion|'''Räumliche Diffusion''']] *[[Modelle_der_Populationsdynamik|'''Modelle der Populationsdynamik''']] - [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Modelle%20der%20Populationsdynamik&author=Kurs:R%C3%A4umliche%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes (Wiki2Reveal-Folien)] - [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Stochastik/Wahrscheinlichkeitsdichte|Wahrscheinlichkeitsdichte]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Wahrscheinlichkeitsdichte&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wahrscheinlichkeitsdichte&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ===Softwarenutzung === Im PC-Praktikum wurden grundlegende Kenntnisse im Umgang mit Software erlangt, die für die Berechnung von mathematischen Modellen vorwendig sind. Diese Kenntnisse müssen ggf. auf das spezielle Modellierungsthema angepasst und erweitert werden. * '''[[CSV2Chart]]''' Aus CSV-Dateien mathematische Graphen in Wikiversity erstellen. * '''[[Maxima CAS]]''' enthält die verwendeten Werkzeuge und Kommandos eines Computeralgebrasystems (CAS), die die einzelnen Projekte in dem Modellbildungszyklus verwendet haben. * '''[https://sagecell.sagemath.org/ SageCell]''' Online-Umgebung zur Ausführung und Demonstration von Befehlen in R, Octave, Maxima, ... (Auswahl des Befehlssatzes auf der https://sagecell.sagemath.org/ SageCell-Seite] unten rechts auf dem Eingabefeld) * '''[[Statistikprogramm R]]''' enthält die verwendeten Werkzeuge und Kommandos, die für Berechnungen und Veranschaulichungen in den Projekten verwendet haben. * '''[[Tabellenkalkulation]]''' werden in Portfolios in der Regel verwendet, um Daten in den Portfolios aufzubereiten. * '''[[Octave]]''' wird in der Regel verwendet, um numerische Berechnung in der Mathematischen Modellbildung durchzuführen. * '''[[Geogebra]]''' ist eine Dynamische Geometriesoftware, die zur vektoriellen Veranschaulichung von räumlichen Modellierungsproblemen oder auch zur parametrisierten Darstellung von Funktionen verwendet wird (Beispiel: [https://www.geogebra.org/m/e9b349k9 Parkplatzlösung in Geogebra von Shrey T (2017)]). * '''[[w:Screencast|Screencast]]''': Ein Screencast ist eine Bildschirmaufnahme mit Audiokommentaren, die zeigt, wie man z.B. Software bedient. Ein Screencast ist eine Hilfestellung für Lernende, die sich noch nicht so gut mit einer bestimmten Software auskennen. :* [https://obsproject.com/ '''Open Broadcast Software (OBS)''' - Linux, Windows, MacOSX ] - [[Konvexkombination|Beispielvideo in Wikiversity]] * [[v:en:3D_Modelling|'''3D-Modellbildung''' (englisch)]] * '''[http://niebert.github.io/imgmap/ Online-ImageMap-Editor]''' - Anklickbare Bereiche in Wikiversity-Bildern erstellen. * '''[https://openlayers.org/en/latest/examples/heatmap-earthquakes.html HeatMaps]:''' Erstellung von [https://niebert.github.io/openlayer_heatmap HeatMaps mit einem Online-Editor] (Download [https://github.com/niebert/openlayer_heatmap/archive/master.zip Heatmap-Editor und Beispieldaten in Ordner <tt>/HeatMap</tt> in ZIP-Datei]) * '''[[Wiki2Reveal]]:''' Portfolio-Präsentationen direkt im Wikiversity erstellen. ===Editierungshilfen=== * [https://latexeditor.lagrida.com/ Online-Formel-Editor für LaTeX-Formeln]<ref>Lagrida Web-Portal (2021) Online-Latex-Formel-Editor mit Vorschau - URL: https://latexeditor.lagrida.com/ (accessed 2021/11/21))</ref> - die erzeugten Formeln müssen in einen MATH-Tag mit <kbd><math> ...</math></kbd> eingeschlossen werden bei der Seiteneditierung. * [https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:TeX Mathematische Formeln in Wikiversity] * Textgestaltung in Wikis: https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:Textgestaltung ==Wiki2Reveal== * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung2627|Kurs:Mathematische Modellbildung2627]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung2627&author=&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung2627&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] == Verweise == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2026-27%20Wintersemester&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2026-27%20Wintersemester&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung Kurs:Mathematische Modellbildung]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2026-27%20Wintersemester&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] c2ivixpzgzx8g2khevnj8tj5pi9gum4 1116533 1116532 2026-10-17T08:21:13Z ~2026-55076-31 41992 /* Konkreter Themenbezug */ 1116533 wikitext text/x-wiki ==Begriffsklärung== === Was ist mathematische Modellbildung? === Ganz grob gesagt besteht Mathematische Modellierung oder auch Mathematische Modellbildung darin, reale Fragestellungen mit mathematischen Mitteln zu bearbeiten und sie auf diesem Wege zumindest teilweise zu beantworten<ref> Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., & Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. </ref>. === Was ist ein Modell? === Ein Modell ist dabei gegeben durch innere Scheinbilder oder Repräsentatonen, die nicht zum Bereich der äußeren Gegenstände, sondern zu Vorstellungen von einem solchen realen Gegenstand gehören und ihnen daher auch in gewissen Grenzen etwas Willkürliches anhaftet (Sinngemäß nach Hertz, zitiert von Ortlieb<ref> Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., & Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. </ref>). ==== Eigenschaften von Modellen ==== Somit lassen sich vereinfacht und verkürzt folgende Eigenschaften ableiten (Stachowiak, zitiert nach Saam <ref> Saam, N. J. (2009). Modellbildung. In Handbuch Methoden der Organisationsforschung: Quantitative und Qualitative Methoden (pp. 517-532). Wiesbaden: VS Verlag für Sozialwissenschaften. </ref>): * '''Abbildungsmerkmal:''' Modelle repräsentieren die Realität, existieren jedoch nicht in der Realität * '''Verkürzungsmerkmal:''' Modelle beschreiben das Objekt nicht exakt, sondern stets vereinfacht * '''Pragmatisches Merkmal:''' Modelle verfolgen einen gewissen Zweck: Sie ersetzen eine nicht abbildbare Realität um Fragestellungen zu beantwortbar zu machen ==== Typisches Beispiele ==== * Betrachtungen in der Physik (Federpendel, Bewegungsgesetze,...) - Physik und Mathematische Modellbildung sind sehr eng miteinander verwoben * Populationsdynamiken und Ausbreitugnsschemata in der Biologie (vgl. Lotka-Volterra Modell) * Bewegungsanalysen und Optimierungen in den Sportwissenschaften * Untersuchungen von Transport- und Umweltprozessen in Biologie, Chemie, Physik, Technik,... * Bedarfs- und Verbrauchs- und Verhaltensanalysen in Geisteswissenschaften === Mathematische Modelle === Mathematische Modelle werden gemessen und bewertet anhand <ref> Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., & Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. </ref>: * '''Zulässigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte in sich widerspruchsfrei sein. * '''Richtigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte im Vergleich mit der Realität keine Widersprüche zu offensichtlich richtigen Tatsachen aufweisen. * '''Zweckmäßigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte genau den Detailgrad beinhalten, den es zum Erfüllen des Zwecks benötigt, nicht mehr und nicht weniger. ==== Gegenbeispiele für mathematische Modelle ==== Gegenbeispiele wären: * Ein nicht zulässiges Modell könnte bei einer Betrachtung einer Punktmasse im Raum dennoch Luftwiederstände berücksichtigen (Punkte haben kein Volumen) * Ein nicht richtiges Modell könnte bei der Modellierung von Transportprozessen von Schadstoffen die Massenerhaltung vernachlässigen. * Ein nicht zweckmäßiges Modell könnte bei dem Versuch den perfekten Abwurfwinkel beim Speerwurf die Krümmung der Erdoberfläche berücksichtigen. ==== Bemerkung - Kriterien ==== Die Kriterien, insbesondere Richtigkeit und Zweckmäßigkeit, sind nicht 100% operational. Einerseits fordert die Richtigkeit, keine bekannten Tatsachen auszulassen, andererseits dürfen hinsichtlich einer passenden Zweckmäßigkeit auch nur ausreichend viele Details integriert werden. ==Der Modellbildungszyklus== Wie kommt man nun von einer Realen Situation, die ein Problem aufwirft zu einem adäquaten mathematischen Modell? Dazu hat sich als möglichst allgemeine Vorgehensweise der Modellbildungszyklus ergeben: [[Datei:Modellbildungszyklus Mod6.png|miniatur|Modellbildungszyklus]] ===Verlauf des MBZ === Der Modellbildungszyklus beschreibt schematisch die iterative Erstellung einer mathematischen Modellbildung: * Ausgangspunkt ist eine reale Situation, die ein Problem aufwirft, die von dem mathematischen Modell adressiert werden soll * Dieses Problem wird inhaltlich erfasst, anschließend mathematisch Übersetzt (Betrachten von Gleichungen, Funktionen, Geometrischen Objekten,...) =====Modellbildungsschleife===== * Durch das Betrachten von mathematischen Objekten können über passende Operationen deduktiv Resultate geschlussfolgert werden * Diese Resultate werden mit der Realsituation abgeglichen * Aus dem Vergleich werden mögliche Optimierungen und Limitationen des Modells abgeleitet * Durch die Limitationen werden kann das Modell weiterentwickelt werden Diese Schritte können/müssen dabei mehrfach durchlaufen werden. =====Integration von Software===== Die Integration von computergestützter Software ist in der mathematischen Modellbildung definitionsgemäss nicht zwingend erforderlich, für die meisten anwendungsbezogenen Modellierungen jedoch unumgänglich. ==Konkretes Beispiel einer Mathematischen Modellbildung== [[Kurs:Mathematische_Modellbildung/Themen/Radioaktivit%C3%A4t_und_Risikoliteralit%C3%A4t]] [[Datei:Screenshot 2D Ansicht Resultate.png|miniatur|alternativtext=Ansicht der möglichen Auftreffpunkte des radioaktiven Niederschlags|Ansicht der möglichen Auftreffpunkte des radioaktiven Niederschlags]] [[File:Zeitliche Abhängigkeit der Risikofunktion.gif|thumb|Das GIF zeigt die Zeitliche Abhängigkeit der Risikofunktion]] === Ziel der Modellierung === Ziel in dieser Modellierung war es, ein Modell zur räumlichen und zeitlichen Ausbreitung einer radioaktiv belasteten Wolke, sowie dessen Rain-Out, infolge einer Reaktorkatastrophe am (mittlerweile abgeschalteten) Kernkraftwerk in Philippsburg zu beschreiben. Unter zu Hilfenahme von Messwerten von dem Reaktorunglück in Tschernobyl und den Halbwertszeiten des radioaktiven Materials wurde der zeitliche Zerfall erfasst. Der Transport von radioaktiven Material wurde durch eine Kugel im <math> \mathbb{R}^3 </math> modelliert. Diese bewegt sich gemäss einer variablen Windrichtung (gegeben durch Winkel <math> \alpha </math>) und regnet sich nach einer gewissen Durchschnittsdauer ab. === Endresultat === Es wurde in drei Modellbildungszyklen eine Funktion zur Beschreibung der radioaktiven Belastung (repräsentativ für das Risiko) abgeleitet: <math>u(x,y,t,\alpha)=\frac{1480\cdot e^{-\frac{ln(2)}{30a} \cdot t}}{1+\frac{7}{10.000}\cdot (x^2+y^2)}+\frac{40\cdot e^{-\frac{ln(2)}{30a} \cdot t}}{1+\frac{1}{7.500}\cdot ((x-1080cos(\alpha))^2+(y-1080sin(\alpha))^2)}</math> Letztlich erhält man also eine Funktion die in ihrem Ausgabewert <math>z=u(x,y,t,\alpha)</math> abhängig von 4 Eingabewerten <math>x, y, t, \alpha </math> ist. ==Modellbildung in der Schule== ===Einbindung in den Lehrplan=== Die mathematische Modellbildung ist stark in den Mathematik-Lehrplan für Schulen in Rheinland-Pfalz integriert (hier wird sich an dem Lehrplan für Sekundarstufe II orientiert <ref> Ministerium für Bildung, Wissensachft, Weiterbildung und Kultur (2015), Lehrplan Mathematik. Grund- und Leistungsfach in der gymnasialen Oberstufe (Mainzer Studienstufe) </ref>). Im Bezug zu Problemlösen im Mathematikunterricht und Mathematik im fachübergreifenden Kontext, sollen Anwendungsbeispiele Einzug halten, die Schülerinnen und Schülern aus anderen Fächern bekannt sind. In diesem Zusammenhang wird mathematische Modellbildung als Methode zur Lösung von solchen Anwendungsproblemen genannt. ===Konkreter Themenbezug=== Zu folgenden mathematischen Themengebieten wird explizit Mathematischen Modellbildung zur unterrichtlichen Umsetzung erwähnt: *Exponentialfunktionen (Wachstums- und Zerfallsprozesse *Matrizenrechnung (Input-Output-Analysen, Zustandsübergangsprozesse, Populationsentwicklung,...) *Differential- und Integralrechnung (lineare oder logistische Wachstumsprozesse) ===Computereinsatz im Lehrplan=== Auch der Einsatz von computergestützten Hilfs- und Lösungsmitteln im Zuge der Modellbildung wird betont. (Bemerke: Auch im Lehrplan wird ein vergleichbarer Modellbildungszyklus vorgestellt und beschrieben. Bei Bedarf kann dieser auf Seite 15-16<ref> Ministerium für Bildung, Wissensachft, Weiterbildung und Kultur (2015), Lehrplan Mathematik. Grund- und Leistungsfach in der gymnasialen Oberstufe (Mainzer Studienstufe). </ref> nachgelesen werden) ===Zugang zur Bildung für Nachhaltigen Entwicklung=== Durch die Möglichkeit fachübergreifende Fragestellungen zu behandeln und Prozesse der Realität in den Blick zu nehmen, kann mathematische Modellbildung die Brücke zur Bildung für Nachhaltigen Entwicklung (BNE) schlagen. ====Bildung für Nachhaltige Entwicklung==== "Die BNE zielt grundsätzlich darauf ab, es jedem und jeder Einzelnen zu ermöglichen, die Folgen des eigenen Handelns auf die Welt sowie intra- und intergenerationell zu verstehen, verantwortungsvolle Entscheidungen zu treffen und aktiv zu werden." <ref> Ministerium für Bildung. Bildung für nachhaltige Entwicklung. Online abrufbar unter: https://bm.rlp.de/unsere-schwerpunkte/bildung-fuer-nachhaltige-entwicklung </ref> ====BNE und Modellbildung==== Mathematische Modellbildung kann unter praktischer Anwendung von gelernten Inhalten im Schulunterricht zu BNE beitragen, indem eben gezielt Probleme adressiert werden und von Schülerinnen und Schülern eigenständig untersucht werden. ==Ziel und Organisation des Seminars== ===Ziel und Aufgabe=== In Kleingruppen (3-4 Personen) sollen aussermathematische Fragestellungen mit einer eigenen mathematischen Modellbildung behandelt werden. Dazu sollen drei Modellbildungszyklen mit unterschiedlichem Grad an Vereinfachung und unterschiedlicher Mathematischen Grundlage erstellt werden: * Zyklus: Mathematik der Sekundarstufe 1 (Mittelstufe) * Zyklus: Mathematik der Sekundarstufe 2 (Oberstufe) * Zyklus: Universitätsmathematik ====Integration von Software==== In jedem Zyklus sollen computergestützte Untersuchungen und Betrachtungen Einzug erhalten. Somit bietet es sich an in insgesamt auch drei verschiedene Programme (Tabellenkalkulation, GeoGebra, RStudio, Maxima,...) zu integrieren - an manchen stellen lässt sich dies gar nicht vermeiden. ===Themenwahl=== Das Thema sollte einen weltlichen Bezug haben. Am besten eigenen sich Themen aus dem jeweiligen Zweitfach (s. Verbindung zu anderen Schulfächern im Lehrplan). Das Thema sollte nachhaltige Entwicklung im Rahmen der Sustainable Development Goals adressieren. Siehe dazu: https://www.bundesumweltministerium.de/themen/nachhaltigkeit/nachhaltigkeitsziele-sdgs Vorzugsweise: Räumliche Risikobetrachtungen in Desaster- und Katastrophenszenarien. Das Thema sollte sich nicht mit denen der vergangenen Semestern doppeln. Zur Orientierung und Inspiration finden sich hier die Projekte der vergangenen Semester: :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2026 Sommersemester|2026 Sommersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2025-26 Wintersemester|2025/26 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2024-25 Wintersemester|2024/25 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2023-24 Wintersemester|2023/24 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2022-23 Winteresemester|2022/23 Wintersemester]]''' ===Portfolio=== Während des Semesters soll in Gruppenarbeit die Modellbildung durchgeführt werden. Diese wird schriftlich in einem Portfolio festgehalten. Dies Portfolio wird, genau wie dieser Artikel auch, in einem Wikiversity Artikel dokumentiert. Dieser sollte folgendes enthalten: * Einleitung: Beschreibung und Einordnung des Themas & welche(s) SDG wird adressiert und warum? * Ziel der Modellierung: Welches Problem wird in der Modellierung / den einzelnen Zyklen konkret angegangen? * Zyklus 1-3 ** Mathematisches Modell (welche Mathematischen Objekte werden betrachtet, wie ergeben die sich,...) ** Ergebnisse (Ableiten von Resultaten aus dem Modell) ** Bewertung der Ergebnisse ** Grenzen und Limitationen ** Ausblick für nächsten Zyklus (welche Limitationen und Probleme aus dem Zyklus werden im folgenden adressiert?) In allen Punkten der Modellzyklen können Programme computergestützte Tools verwendet werden. Zur Erstellung von Wiki-Seiten ist folgende Seite hilfreich: https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:Textgestaltung ===Prüfung=== Die Prüfung gliedert sich in zwei Aspekte: * '''Vorstellung von ausgewählten Teilen aus dem eigenen Portfolio''' - diese werden von den Prüfer:innen aus dem Portfolio der Studierenden ausgewählt. * '''Diskussion und Fragen''' der Prüfer:innen zu dem Portfolio, z.B. zu Teilen des Portfolios, die in der Vorstellung nicht behandelt werden können. Ein Portfolio kann aus Zeitgründen nie vollständig in der Prüfung dargestellt werden. In der mündlichen Portfolio-Prüfung wird geprüft, ob *das eigene Modell verstanden ist, *das eigene Modell kritisch hinterfragt werden kann, *die Limitationen des Modells begründet und nachvollziehbar wiedergegeben werden können, *die Übergänge zwischen den Zyklen beschrieben und begründet werden können, *die technische Umsetzung reproduziert und erklärt werden kann, *... . Es ist also wichtig zu wissen, was wie an welcher Stelle und mit welchem Zweck in der Modellierung gemacht wurde! Das Portfolio (Wiki-Seite) wird somit konkret vorgestellt. Eine Präsentation des Portfolio kann automatisch mit Wiki2Reveal erstellt werden. === Unterstützungsangebot === * Das Unterstützungsangebot erfolgt in der Lehrveranstaltung zur "Mathematischen Modellbildung". * Eine individuelle Sonderbehandlung für einzelne Studierende, die das Angebot der Vorlesung nicht nutzen und kurz vor Prüfungsbeginn noch "schnell" ein Portfolio zusammenstellen wollen, ist aus zeitlichen Gründen kurz vor der Prüfung nicht möglich. * Portfolioprüfungen der Lehrveranstaltung beziehen sich immer auf das erstellte Portfolio im laufende Semester und bei Wiederholungsprüfungen auf das Semester, in dem Portfolio erstellt wurde. * Eine Prüfung kann nur zu dem eigenen erstellten Portfolio in der Lehrveranstaltung abgelegt werden, an dessen Erstellung man aktiv mitgearbeitet hat. ===Ablauf des Seminars=== Der Seminarablauf über das Semester gestaltet sich grob wie folgt: * 1. Woche (19.10.): Einführungsveranstaltung + Gruppenfindung * 2. Woche (26.10.): Themenfindung * 3. Woche (02.11.): Themenfindung + Zyklen festlegen * 4. Woche (09.11.): Zyklen festlegen * 5. Woche (16.11.): Kurzvorstellung der Themen und Zyklen (5 Minuten pro Gruppe) Ab Woche 6 (23.11.) bis Ende des Semesters wird gemeinsam an den Modellen und dem Portfolio gearbeitet. Empfehlenswert wäre es, die letzten 2-3 Wochen für Finalisierungsarbeiten zu nutzen und entsprechend frühzeitig zu planen! Ausschliesslich während der Seminarzeiten an dem Modell und Portfolio zu arbeiten wird nicht ausreichen! Die Kurzpräsentationen am 16.11. umfassen den aktuellen Stand der Überlegungen und sind noch unter keinen Umständen verbindlich. Stattdessen dient es einfach zur Grundlage von gemeinsamer Diskussion und zur Einbringung von weiteren Ideen. =Hilfreiche Links= ===Fachmathematische Aspekte === Wenn man das Modellierungsproblem in den Mittelpunkt stellt und die Fragestellung den Nachhaltigkeitszielen der UN zuordnet, kommen z.T. fachmathematische Aspekte erforderlich, die nicht in der jeweiligen Schulstufe bzw. in den Vorlesungen behandelt wurden. Dies Kapitel erhält Hinweise zu fachmathematischen Bereichen, die für die mathematische Modellbildung ggf. als Werkzeug verwendet werden können * '''[[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]''' dienen dazu, Datenpunkte im <math>\R^2</math> oder allgemein im <math>\R^n</math> zu [[w:Interpolation_(Mathematik)|interpolieren]]. * '''[https://en.wikiversity.org/wiki/3D_Modelling 3D Modellierung für Projektinhalte]''' und [[w:Projektive_Geometrie|projektive Geometrie]] zur Visualisierung * '''[[Gradientenabstiegsverfahren]]''': Wird verwendet, um sich in der mathematischen Modellbildung iterativ einem Minimum einer Kosten- oder Fehlerfunktion anzunähern. * [[w:Lineare_Optimierung|'''Lineare Optimierung''']] wird in Optimierungshaufgaben wie beispielsweise bei der Suche nach Minimum der Produktionskosten verwendet. Hierbei wird in allgemeinem nach einem Minimium/Maximum einer linearer Zielfunktion über einer Menge gesucht. [https://www.geogebra.org/m/kr727992 '''Ein Beispiel in Geogebra'''] *[[Räumliche Diffusion|'''Räumliche Diffusion''']] *[[Modelle_der_Populationsdynamik|'''Modelle der Populationsdynamik''']] - [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Modelle%20der%20Populationsdynamik&author=Kurs:R%C3%A4umliche%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes (Wiki2Reveal-Folien)] - [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Stochastik/Wahrscheinlichkeitsdichte|Wahrscheinlichkeitsdichte]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Wahrscheinlichkeitsdichte&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wahrscheinlichkeitsdichte&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ===Softwarenutzung === Im PC-Praktikum wurden grundlegende Kenntnisse im Umgang mit Software erlangt, die für die Berechnung von mathematischen Modellen vorwendig sind. Diese Kenntnisse müssen ggf. auf das spezielle Modellierungsthema angepasst und erweitert werden. * '''[[CSV2Chart]]''' Aus CSV-Dateien mathematische Graphen in Wikiversity erstellen. * '''[[Maxima CAS]]''' enthält die verwendeten Werkzeuge und Kommandos eines Computeralgebrasystems (CAS), die die einzelnen Projekte in dem Modellbildungszyklus verwendet haben. * '''[https://sagecell.sagemath.org/ SageCell]''' Online-Umgebung zur Ausführung und Demonstration von Befehlen in R, Octave, Maxima, ... (Auswahl des Befehlssatzes auf der https://sagecell.sagemath.org/ SageCell-Seite] unten rechts auf dem Eingabefeld) * '''[[Statistikprogramm R]]''' enthält die verwendeten Werkzeuge und Kommandos, die für Berechnungen und Veranschaulichungen in den Projekten verwendet haben. * '''[[Tabellenkalkulation]]''' werden in Portfolios in der Regel verwendet, um Daten in den Portfolios aufzubereiten. * '''[[Octave]]''' wird in der Regel verwendet, um numerische Berechnung in der Mathematischen Modellbildung durchzuführen. * '''[[Geogebra]]''' ist eine Dynamische Geometriesoftware, die zur vektoriellen Veranschaulichung von räumlichen Modellierungsproblemen oder auch zur parametrisierten Darstellung von Funktionen verwendet wird (Beispiel: [https://www.geogebra.org/m/e9b349k9 Parkplatzlösung in Geogebra von Shrey T (2017)]). * '''[[w:Screencast|Screencast]]''': Ein Screencast ist eine Bildschirmaufnahme mit Audiokommentaren, die zeigt, wie man z.B. Software bedient. Ein Screencast ist eine Hilfestellung für Lernende, die sich noch nicht so gut mit einer bestimmten Software auskennen. :* [https://obsproject.com/ '''Open Broadcast Software (OBS)''' - Linux, Windows, MacOSX ] - [[Konvexkombination|Beispielvideo in Wikiversity]] * [[v:en:3D_Modelling|'''3D-Modellbildung''' (englisch)]] * '''[http://niebert.github.io/imgmap/ Online-ImageMap-Editor]''' - Anklickbare Bereiche in Wikiversity-Bildern erstellen. * '''[https://openlayers.org/en/latest/examples/heatmap-earthquakes.html HeatMaps]:''' Erstellung von [https://niebert.github.io/openlayer_heatmap HeatMaps mit einem Online-Editor] (Download [https://github.com/niebert/openlayer_heatmap/archive/master.zip Heatmap-Editor und Beispieldaten in Ordner <tt>/HeatMap</tt> in ZIP-Datei]) * '''[[Wiki2Reveal]]:''' Portfolio-Präsentationen direkt im Wikiversity erstellen. ===Editierungshilfen=== * [https://latexeditor.lagrida.com/ Online-Formel-Editor für LaTeX-Formeln]<ref>Lagrida Web-Portal (2021) Online-Latex-Formel-Editor mit Vorschau - URL: https://latexeditor.lagrida.com/ (accessed 2021/11/21))</ref> - die erzeugten Formeln müssen in einen MATH-Tag mit <kbd><math> ...</math></kbd> eingeschlossen werden bei der Seiteneditierung. * [https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:TeX Mathematische Formeln in Wikiversity] * Textgestaltung in Wikis: https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:Textgestaltung ==Wiki2Reveal== * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung2627|Kurs:Mathematische Modellbildung2627]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung2627&author=&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung2627&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] == Verweise == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2026-27%20Wintersemester&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2026-27%20Wintersemester&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung Kurs:Mathematische Modellbildung]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2026-27%20Wintersemester&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 46mgadni9i43eq0ahriv60s7xy5m2bh 1116534 1116533 2026-10-17T08:21:42Z ~2026-55076-31 41992 /* Typisches Beispiele */ 1116534 wikitext text/x-wiki ==Begriffsklärung== === Was ist mathematische Modellbildung? === Ganz grob gesagt besteht Mathematische Modellierung oder auch Mathematische Modellbildung darin, reale Fragestellungen mit mathematischen Mitteln zu bearbeiten und sie auf diesem Wege zumindest teilweise zu beantworten<ref> Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., & Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. </ref>. === Was ist ein Modell? === Ein Modell ist dabei gegeben durch innere Scheinbilder oder Repräsentatonen, die nicht zum Bereich der äußeren Gegenstände, sondern zu Vorstellungen von einem solchen realen Gegenstand gehören und ihnen daher auch in gewissen Grenzen etwas Willkürliches anhaftet (Sinngemäß nach Hertz, zitiert von Ortlieb<ref> Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., & Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. </ref>). ==== Eigenschaften von Modellen ==== Somit lassen sich vereinfacht und verkürzt folgende Eigenschaften ableiten (Stachowiak, zitiert nach Saam <ref> Saam, N. J. (2009). Modellbildung. In Handbuch Methoden der Organisationsforschung: Quantitative und Qualitative Methoden (pp. 517-532). Wiesbaden: VS Verlag für Sozialwissenschaften. </ref>): * '''Abbildungsmerkmal:''' Modelle repräsentieren die Realität, existieren jedoch nicht in der Realität * '''Verkürzungsmerkmal:''' Modelle beschreiben das Objekt nicht exakt, sondern stets vereinfacht * '''Pragmatisches Merkmal:''' Modelle verfolgen einen gewissen Zweck: Sie ersetzen eine nicht abbildbare Realität um Fragestellungen zu beantwortbar zu machen ==== Typisches Beispiele ==== * Betrachtungen in der Physik (Federpendel, Bewegungsgesetze,...) - Physik und Mathematische Modellbildung sind sehr eng miteinander verwoben * Populationsdynamiken und Ausbreitugnsschemata in der Biologie (vgl. Lotka-Volterra Modell) * Bewegungsanalysen und Optimierungen in den Sportwissenschaften * Untersuchungen von Transport- und Umweltprozessen in Biologie, Chemie, Physik, Technik,... * Bedarfs- und Verbrauchs- und Verhaltensanalysen in Geisteswissenschaften === Mathematische Modelle === Mathematische Modelle werden gemessen und bewertet anhand <ref> Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., & Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. </ref>: * '''Zulässigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte in sich widerspruchsfrei sein. * '''Richtigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte im Vergleich mit der Realität keine Widersprüche zu offensichtlich richtigen Tatsachen aufweisen. * '''Zweckmäßigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte genau den Detailgrad beinhalten, den es zum Erfüllen des Zwecks benötigt, nicht mehr und nicht weniger. ==== Gegenbeispiele für mathematische Modelle ==== Gegenbeispiele wären: * Ein nicht zulässiges Modell könnte bei einer Betrachtung einer Punktmasse im Raum dennoch Luftwiederstände berücksichtigen (Punkte haben kein Volumen) * Ein nicht richtiges Modell könnte bei der Modellierung von Transportprozessen von Schadstoffen die Massenerhaltung vernachlässigen. * Ein nicht zweckmäßiges Modell könnte bei dem Versuch den perfekten Abwurfwinkel beim Speerwurf die Krümmung der Erdoberfläche berücksichtigen. ==== Bemerkung - Kriterien ==== Die Kriterien, insbesondere Richtigkeit und Zweckmäßigkeit, sind nicht 100% operational. Einerseits fordert die Richtigkeit, keine bekannten Tatsachen auszulassen, andererseits dürfen hinsichtlich einer passenden Zweckmäßigkeit auch nur ausreichend viele Details integriert werden. ==Der Modellbildungszyklus== Wie kommt man nun von einer Realen Situation, die ein Problem aufwirft zu einem adäquaten mathematischen Modell? Dazu hat sich als möglichst allgemeine Vorgehensweise der Modellbildungszyklus ergeben: [[Datei:Modellbildungszyklus Mod6.png|miniatur|Modellbildungszyklus]] ===Verlauf des MBZ === Der Modellbildungszyklus beschreibt schematisch die iterative Erstellung einer mathematischen Modellbildung: * Ausgangspunkt ist eine reale Situation, die ein Problem aufwirft, die von dem mathematischen Modell adressiert werden soll * Dieses Problem wird inhaltlich erfasst, anschließend mathematisch Übersetzt (Betrachten von Gleichungen, Funktionen, Geometrischen Objekten,...) =====Modellbildungsschleife===== * Durch das Betrachten von mathematischen Objekten können über passende Operationen deduktiv Resultate geschlussfolgert werden * Diese Resultate werden mit der Realsituation abgeglichen * Aus dem Vergleich werden mögliche Optimierungen und Limitationen des Modells abgeleitet * Durch die Limitationen werden kann das Modell weiterentwickelt werden Diese Schritte können/müssen dabei mehrfach durchlaufen werden. =====Integration von Software===== Die Integration von computergestützter Software ist in der mathematischen Modellbildung definitionsgemäss nicht zwingend erforderlich, für die meisten anwendungsbezogenen Modellierungen jedoch unumgänglich. ==Konkretes Beispiel einer Mathematischen Modellbildung== [[Kurs:Mathematische_Modellbildung/Themen/Radioaktivit%C3%A4t_und_Risikoliteralit%C3%A4t]] [[Datei:Screenshot 2D Ansicht Resultate.png|miniatur|alternativtext=Ansicht der möglichen Auftreffpunkte des radioaktiven Niederschlags|Ansicht der möglichen Auftreffpunkte des radioaktiven Niederschlags]] [[File:Zeitliche Abhängigkeit der Risikofunktion.gif|thumb|Das GIF zeigt die Zeitliche Abhängigkeit der Risikofunktion]] === Ziel der Modellierung === Ziel in dieser Modellierung war es, ein Modell zur räumlichen und zeitlichen Ausbreitung einer radioaktiv belasteten Wolke, sowie dessen Rain-Out, infolge einer Reaktorkatastrophe am (mittlerweile abgeschalteten) Kernkraftwerk in Philippsburg zu beschreiben. Unter zu Hilfenahme von Messwerten von dem Reaktorunglück in Tschernobyl und den Halbwertszeiten des radioaktiven Materials wurde der zeitliche Zerfall erfasst. Der Transport von radioaktiven Material wurde durch eine Kugel im <math> \mathbb{R}^3 </math> modelliert. Diese bewegt sich gemäss einer variablen Windrichtung (gegeben durch Winkel <math> \alpha </math>) und regnet sich nach einer gewissen Durchschnittsdauer ab. === Endresultat === Es wurde in drei Modellbildungszyklen eine Funktion zur Beschreibung der radioaktiven Belastung (repräsentativ für das Risiko) abgeleitet: <math>u(x,y,t,\alpha)=\frac{1480\cdot e^{-\frac{ln(2)}{30a} \cdot t}}{1+\frac{7}{10.000}\cdot (x^2+y^2)}+\frac{40\cdot e^{-\frac{ln(2)}{30a} \cdot t}}{1+\frac{1}{7.500}\cdot ((x-1080cos(\alpha))^2+(y-1080sin(\alpha))^2)}</math> Letztlich erhält man also eine Funktion die in ihrem Ausgabewert <math>z=u(x,y,t,\alpha)</math> abhängig von 4 Eingabewerten <math>x, y, t, \alpha </math> ist. ==Modellbildung in der Schule== ===Einbindung in den Lehrplan=== Die mathematische Modellbildung ist stark in den Mathematik-Lehrplan für Schulen in Rheinland-Pfalz integriert (hier wird sich an dem Lehrplan für Sekundarstufe II orientiert <ref> Ministerium für Bildung, Wissensachft, Weiterbildung und Kultur (2015), Lehrplan Mathematik. Grund- und Leistungsfach in der gymnasialen Oberstufe (Mainzer Studienstufe) </ref>). Im Bezug zu Problemlösen im Mathematikunterricht und Mathematik im fachübergreifenden Kontext, sollen Anwendungsbeispiele Einzug halten, die Schülerinnen und Schülern aus anderen Fächern bekannt sind. In diesem Zusammenhang wird mathematische Modellbildung als Methode zur Lösung von solchen Anwendungsproblemen genannt. ===Konkreter Themenbezug=== Zu folgenden mathematischen Themengebieten wird explizit Mathematischen Modellbildung zur unterrichtlichen Umsetzung erwähnt: *Exponentialfunktionen (Wachstums- und Zerfallsprozesse *Matrizenrechnung (Input-Output-Analysen, Zustandsübergangsprozesse, Populationsentwicklung,...) *Differential- und Integralrechnung (lineare oder logistische Wachstumsprozesse) ===Computereinsatz im Lehrplan=== Auch der Einsatz von computergestützten Hilfs- und Lösungsmitteln im Zuge der Modellbildung wird betont. (Bemerke: Auch im Lehrplan wird ein vergleichbarer Modellbildungszyklus vorgestellt und beschrieben. Bei Bedarf kann dieser auf Seite 15-16<ref> Ministerium für Bildung, Wissensachft, Weiterbildung und Kultur (2015), Lehrplan Mathematik. Grund- und Leistungsfach in der gymnasialen Oberstufe (Mainzer Studienstufe). </ref> nachgelesen werden) ===Zugang zur Bildung für Nachhaltigen Entwicklung=== Durch die Möglichkeit fachübergreifende Fragestellungen zu behandeln und Prozesse der Realität in den Blick zu nehmen, kann mathematische Modellbildung die Brücke zur Bildung für Nachhaltigen Entwicklung (BNE) schlagen. ====Bildung für Nachhaltige Entwicklung==== "Die BNE zielt grundsätzlich darauf ab, es jedem und jeder Einzelnen zu ermöglichen, die Folgen des eigenen Handelns auf die Welt sowie intra- und intergenerationell zu verstehen, verantwortungsvolle Entscheidungen zu treffen und aktiv zu werden." <ref> Ministerium für Bildung. Bildung für nachhaltige Entwicklung. Online abrufbar unter: https://bm.rlp.de/unsere-schwerpunkte/bildung-fuer-nachhaltige-entwicklung </ref> ====BNE und Modellbildung==== Mathematische Modellbildung kann unter praktischer Anwendung von gelernten Inhalten im Schulunterricht zu BNE beitragen, indem eben gezielt Probleme adressiert werden und von Schülerinnen und Schülern eigenständig untersucht werden. ==Ziel und Organisation des Seminars== ===Ziel und Aufgabe=== In Kleingruppen (3-4 Personen) sollen aussermathematische Fragestellungen mit einer eigenen mathematischen Modellbildung behandelt werden. Dazu sollen drei Modellbildungszyklen mit unterschiedlichem Grad an Vereinfachung und unterschiedlicher Mathematischen Grundlage erstellt werden: * Zyklus: Mathematik der Sekundarstufe 1 (Mittelstufe) * Zyklus: Mathematik der Sekundarstufe 2 (Oberstufe) * Zyklus: Universitätsmathematik ====Integration von Software==== In jedem Zyklus sollen computergestützte Untersuchungen und Betrachtungen Einzug erhalten. Somit bietet es sich an in insgesamt auch drei verschiedene Programme (Tabellenkalkulation, GeoGebra, RStudio, Maxima,...) zu integrieren - an manchen stellen lässt sich dies gar nicht vermeiden. ===Themenwahl=== Das Thema sollte einen weltlichen Bezug haben. Am besten eigenen sich Themen aus dem jeweiligen Zweitfach (s. Verbindung zu anderen Schulfächern im Lehrplan). Das Thema sollte nachhaltige Entwicklung im Rahmen der Sustainable Development Goals adressieren. Siehe dazu: https://www.bundesumweltministerium.de/themen/nachhaltigkeit/nachhaltigkeitsziele-sdgs Vorzugsweise: Räumliche Risikobetrachtungen in Desaster- und Katastrophenszenarien. Das Thema sollte sich nicht mit denen der vergangenen Semestern doppeln. Zur Orientierung und Inspiration finden sich hier die Projekte der vergangenen Semester: :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2026 Sommersemester|2026 Sommersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2025-26 Wintersemester|2025/26 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2024-25 Wintersemester|2024/25 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2023-24 Wintersemester|2023/24 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2022-23 Winteresemester|2022/23 Wintersemester]]''' ===Portfolio=== Während des Semesters soll in Gruppenarbeit die Modellbildung durchgeführt werden. Diese wird schriftlich in einem Portfolio festgehalten. Dies Portfolio wird, genau wie dieser Artikel auch, in einem Wikiversity Artikel dokumentiert. Dieser sollte folgendes enthalten: * Einleitung: Beschreibung und Einordnung des Themas & welche(s) SDG wird adressiert und warum? * Ziel der Modellierung: Welches Problem wird in der Modellierung / den einzelnen Zyklen konkret angegangen? * Zyklus 1-3 ** Mathematisches Modell (welche Mathematischen Objekte werden betrachtet, wie ergeben die sich,...) ** Ergebnisse (Ableiten von Resultaten aus dem Modell) ** Bewertung der Ergebnisse ** Grenzen und Limitationen ** Ausblick für nächsten Zyklus (welche Limitationen und Probleme aus dem Zyklus werden im folgenden adressiert?) In allen Punkten der Modellzyklen können Programme computergestützte Tools verwendet werden. Zur Erstellung von Wiki-Seiten ist folgende Seite hilfreich: https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:Textgestaltung ===Prüfung=== Die Prüfung gliedert sich in zwei Aspekte: * '''Vorstellung von ausgewählten Teilen aus dem eigenen Portfolio''' - diese werden von den Prüfer:innen aus dem Portfolio der Studierenden ausgewählt. * '''Diskussion und Fragen''' der Prüfer:innen zu dem Portfolio, z.B. zu Teilen des Portfolios, die in der Vorstellung nicht behandelt werden können. Ein Portfolio kann aus Zeitgründen nie vollständig in der Prüfung dargestellt werden. In der mündlichen Portfolio-Prüfung wird geprüft, ob *das eigene Modell verstanden ist, *das eigene Modell kritisch hinterfragt werden kann, *die Limitationen des Modells begründet und nachvollziehbar wiedergegeben werden können, *die Übergänge zwischen den Zyklen beschrieben und begründet werden können, *die technische Umsetzung reproduziert und erklärt werden kann, *... . Es ist also wichtig zu wissen, was wie an welcher Stelle und mit welchem Zweck in der Modellierung gemacht wurde! Das Portfolio (Wiki-Seite) wird somit konkret vorgestellt. Eine Präsentation des Portfolio kann automatisch mit Wiki2Reveal erstellt werden. === Unterstützungsangebot === * Das Unterstützungsangebot erfolgt in der Lehrveranstaltung zur "Mathematischen Modellbildung". * Eine individuelle Sonderbehandlung für einzelne Studierende, die das Angebot der Vorlesung nicht nutzen und kurz vor Prüfungsbeginn noch "schnell" ein Portfolio zusammenstellen wollen, ist aus zeitlichen Gründen kurz vor der Prüfung nicht möglich. * Portfolioprüfungen der Lehrveranstaltung beziehen sich immer auf das erstellte Portfolio im laufende Semester und bei Wiederholungsprüfungen auf das Semester, in dem Portfolio erstellt wurde. * Eine Prüfung kann nur zu dem eigenen erstellten Portfolio in der Lehrveranstaltung abgelegt werden, an dessen Erstellung man aktiv mitgearbeitet hat. ===Ablauf des Seminars=== Der Seminarablauf über das Semester gestaltet sich grob wie folgt: * 1. Woche (19.10.): Einführungsveranstaltung + Gruppenfindung * 2. Woche (26.10.): Themenfindung * 3. Woche (02.11.): Themenfindung + Zyklen festlegen * 4. Woche (09.11.): Zyklen festlegen * 5. Woche (16.11.): Kurzvorstellung der Themen und Zyklen (5 Minuten pro Gruppe) Ab Woche 6 (23.11.) bis Ende des Semesters wird gemeinsam an den Modellen und dem Portfolio gearbeitet. Empfehlenswert wäre es, die letzten 2-3 Wochen für Finalisierungsarbeiten zu nutzen und entsprechend frühzeitig zu planen! Ausschliesslich während der Seminarzeiten an dem Modell und Portfolio zu arbeiten wird nicht ausreichen! Die Kurzpräsentationen am 16.11. umfassen den aktuellen Stand der Überlegungen und sind noch unter keinen Umständen verbindlich. Stattdessen dient es einfach zur Grundlage von gemeinsamer Diskussion und zur Einbringung von weiteren Ideen. =Hilfreiche Links= ===Fachmathematische Aspekte === Wenn man das Modellierungsproblem in den Mittelpunkt stellt und die Fragestellung den Nachhaltigkeitszielen der UN zuordnet, kommen z.T. fachmathematische Aspekte erforderlich, die nicht in der jeweiligen Schulstufe bzw. in den Vorlesungen behandelt wurden. Dies Kapitel erhält Hinweise zu fachmathematischen Bereichen, die für die mathematische Modellbildung ggf. als Werkzeug verwendet werden können * '''[[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]''' dienen dazu, Datenpunkte im <math>\R^2</math> oder allgemein im <math>\R^n</math> zu [[w:Interpolation_(Mathematik)|interpolieren]]. * '''[https://en.wikiversity.org/wiki/3D_Modelling 3D Modellierung für Projektinhalte]''' und [[w:Projektive_Geometrie|projektive Geometrie]] zur Visualisierung * '''[[Gradientenabstiegsverfahren]]''': Wird verwendet, um sich in der mathematischen Modellbildung iterativ einem Minimum einer Kosten- oder Fehlerfunktion anzunähern. * [[w:Lineare_Optimierung|'''Lineare Optimierung''']] wird in Optimierungshaufgaben wie beispielsweise bei der Suche nach Minimum der Produktionskosten verwendet. Hierbei wird in allgemeinem nach einem Minimium/Maximum einer linearer Zielfunktion über einer Menge gesucht. [https://www.geogebra.org/m/kr727992 '''Ein Beispiel in Geogebra'''] *[[Räumliche Diffusion|'''Räumliche Diffusion''']] *[[Modelle_der_Populationsdynamik|'''Modelle der Populationsdynamik''']] - [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Modelle%20der%20Populationsdynamik&author=Kurs:R%C3%A4umliche%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes (Wiki2Reveal-Folien)] - [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Stochastik/Wahrscheinlichkeitsdichte|Wahrscheinlichkeitsdichte]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Wahrscheinlichkeitsdichte&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wahrscheinlichkeitsdichte&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ===Softwarenutzung === Im PC-Praktikum wurden grundlegende Kenntnisse im Umgang mit Software erlangt, die für die Berechnung von mathematischen Modellen vorwendig sind. Diese Kenntnisse müssen ggf. auf das spezielle Modellierungsthema angepasst und erweitert werden. * '''[[CSV2Chart]]''' Aus CSV-Dateien mathematische Graphen in Wikiversity erstellen. * '''[[Maxima CAS]]''' enthält die verwendeten Werkzeuge und Kommandos eines Computeralgebrasystems (CAS), die die einzelnen Projekte in dem Modellbildungszyklus verwendet haben. * '''[https://sagecell.sagemath.org/ SageCell]''' Online-Umgebung zur Ausführung und Demonstration von Befehlen in R, Octave, Maxima, ... (Auswahl des Befehlssatzes auf der https://sagecell.sagemath.org/ SageCell-Seite] unten rechts auf dem Eingabefeld) * '''[[Statistikprogramm R]]''' enthält die verwendeten Werkzeuge und Kommandos, die für Berechnungen und Veranschaulichungen in den Projekten verwendet haben. * '''[[Tabellenkalkulation]]''' werden in Portfolios in der Regel verwendet, um Daten in den Portfolios aufzubereiten. * '''[[Octave]]''' wird in der Regel verwendet, um numerische Berechnung in der Mathematischen Modellbildung durchzuführen. * '''[[Geogebra]]''' ist eine Dynamische Geometriesoftware, die zur vektoriellen Veranschaulichung von räumlichen Modellierungsproblemen oder auch zur parametrisierten Darstellung von Funktionen verwendet wird (Beispiel: [https://www.geogebra.org/m/e9b349k9 Parkplatzlösung in Geogebra von Shrey T (2017)]). * '''[[w:Screencast|Screencast]]''': Ein Screencast ist eine Bildschirmaufnahme mit Audiokommentaren, die zeigt, wie man z.B. Software bedient. Ein Screencast ist eine Hilfestellung für Lernende, die sich noch nicht so gut mit einer bestimmten Software auskennen. :* [https://obsproject.com/ '''Open Broadcast Software (OBS)''' - Linux, Windows, MacOSX ] - [[Konvexkombination|Beispielvideo in Wikiversity]] * [[v:en:3D_Modelling|'''3D-Modellbildung''' (englisch)]] * '''[http://niebert.github.io/imgmap/ Online-ImageMap-Editor]''' - Anklickbare Bereiche in Wikiversity-Bildern erstellen. * '''[https://openlayers.org/en/latest/examples/heatmap-earthquakes.html HeatMaps]:''' Erstellung von [https://niebert.github.io/openlayer_heatmap HeatMaps mit einem Online-Editor] (Download [https://github.com/niebert/openlayer_heatmap/archive/master.zip Heatmap-Editor und Beispieldaten in Ordner <tt>/HeatMap</tt> in ZIP-Datei]) * '''[[Wiki2Reveal]]:''' Portfolio-Präsentationen direkt im Wikiversity erstellen. ===Editierungshilfen=== * [https://latexeditor.lagrida.com/ Online-Formel-Editor für LaTeX-Formeln]<ref>Lagrida Web-Portal (2021) Online-Latex-Formel-Editor mit Vorschau - URL: https://latexeditor.lagrida.com/ (accessed 2021/11/21))</ref> - die erzeugten Formeln müssen in einen MATH-Tag mit <kbd><math> ...</math></kbd> eingeschlossen werden bei der Seiteneditierung. * [https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:TeX Mathematische Formeln in Wikiversity] * Textgestaltung in Wikis: https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:Textgestaltung ==Wiki2Reveal== * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung2627|Kurs:Mathematische Modellbildung2627]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung2627&author=&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung2627&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] == Verweise == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2026-27%20Wintersemester&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2026-27%20Wintersemester&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung Kurs:Mathematische Modellbildung]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2026-27%20Wintersemester&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] q0dnqguaisfzjv0p6a3qopksw5io5bx 1116535 1116534 2026-10-17T08:22:35Z ~2026-55076-31 41992 /* Konkreter Themenbezug */ 1116535 wikitext text/x-wiki ==Begriffsklärung== === Was ist mathematische Modellbildung? === Ganz grob gesagt besteht Mathematische Modellierung oder auch Mathematische Modellbildung darin, reale Fragestellungen mit mathematischen Mitteln zu bearbeiten und sie auf diesem Wege zumindest teilweise zu beantworten<ref> Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., & Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. </ref>. === Was ist ein Modell? === Ein Modell ist dabei gegeben durch innere Scheinbilder oder Repräsentatonen, die nicht zum Bereich der äußeren Gegenstände, sondern zu Vorstellungen von einem solchen realen Gegenstand gehören und ihnen daher auch in gewissen Grenzen etwas Willkürliches anhaftet (Sinngemäß nach Hertz, zitiert von Ortlieb<ref> Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., & Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. </ref>). ==== Eigenschaften von Modellen ==== Somit lassen sich vereinfacht und verkürzt folgende Eigenschaften ableiten (Stachowiak, zitiert nach Saam <ref> Saam, N. J. (2009). Modellbildung. In Handbuch Methoden der Organisationsforschung: Quantitative und Qualitative Methoden (pp. 517-532). Wiesbaden: VS Verlag für Sozialwissenschaften. </ref>): * '''Abbildungsmerkmal:''' Modelle repräsentieren die Realität, existieren jedoch nicht in der Realität * '''Verkürzungsmerkmal:''' Modelle beschreiben das Objekt nicht exakt, sondern stets vereinfacht * '''Pragmatisches Merkmal:''' Modelle verfolgen einen gewissen Zweck: Sie ersetzen eine nicht abbildbare Realität um Fragestellungen zu beantwortbar zu machen ==== Typisches Beispiele ==== * Betrachtungen in der Physik (Federpendel, Bewegungsgesetze,...) - Physik und Mathematische Modellbildung sind sehr eng miteinander verwoben * Populationsdynamiken und Ausbreitugnsschemata in der Biologie (vgl. Lotka-Volterra Modell) * Bewegungsanalysen und Optimierungen in den Sportwissenschaften * Untersuchungen von Transport- und Umweltprozessen in Biologie, Chemie, Physik, Technik,... * Bedarfs- und Verbrauchs- und Verhaltensanalysen in Geisteswissenschaften === Mathematische Modelle === Mathematische Modelle werden gemessen und bewertet anhand <ref> Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., & Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. </ref>: * '''Zulässigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte in sich widerspruchsfrei sein. * '''Richtigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte im Vergleich mit der Realität keine Widersprüche zu offensichtlich richtigen Tatsachen aufweisen. * '''Zweckmäßigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte genau den Detailgrad beinhalten, den es zum Erfüllen des Zwecks benötigt, nicht mehr und nicht weniger. ==== Gegenbeispiele für mathematische Modelle ==== Gegenbeispiele wären: * Ein nicht zulässiges Modell könnte bei einer Betrachtung einer Punktmasse im Raum dennoch Luftwiederstände berücksichtigen (Punkte haben kein Volumen) * Ein nicht richtiges Modell könnte bei der Modellierung von Transportprozessen von Schadstoffen die Massenerhaltung vernachlässigen. * Ein nicht zweckmäßiges Modell könnte bei dem Versuch den perfekten Abwurfwinkel beim Speerwurf die Krümmung der Erdoberfläche berücksichtigen. ==== Bemerkung - Kriterien ==== Die Kriterien, insbesondere Richtigkeit und Zweckmäßigkeit, sind nicht 100% operational. Einerseits fordert die Richtigkeit, keine bekannten Tatsachen auszulassen, andererseits dürfen hinsichtlich einer passenden Zweckmäßigkeit auch nur ausreichend viele Details integriert werden. ==Der Modellbildungszyklus== Wie kommt man nun von einer Realen Situation, die ein Problem aufwirft zu einem adäquaten mathematischen Modell? Dazu hat sich als möglichst allgemeine Vorgehensweise der Modellbildungszyklus ergeben: [[Datei:Modellbildungszyklus Mod6.png|miniatur|Modellbildungszyklus]] ===Verlauf des MBZ === Der Modellbildungszyklus beschreibt schematisch die iterative Erstellung einer mathematischen Modellbildung: * Ausgangspunkt ist eine reale Situation, die ein Problem aufwirft, die von dem mathematischen Modell adressiert werden soll * Dieses Problem wird inhaltlich erfasst, anschließend mathematisch Übersetzt (Betrachten von Gleichungen, Funktionen, Geometrischen Objekten,...) =====Modellbildungsschleife===== * Durch das Betrachten von mathematischen Objekten können über passende Operationen deduktiv Resultate geschlussfolgert werden * Diese Resultate werden mit der Realsituation abgeglichen * Aus dem Vergleich werden mögliche Optimierungen und Limitationen des Modells abgeleitet * Durch die Limitationen werden kann das Modell weiterentwickelt werden Diese Schritte können/müssen dabei mehrfach durchlaufen werden. =====Integration von Software===== Die Integration von computergestützter Software ist in der mathematischen Modellbildung definitionsgemäss nicht zwingend erforderlich, für die meisten anwendungsbezogenen Modellierungen jedoch unumgänglich. ==Konkretes Beispiel einer Mathematischen Modellbildung== [[Kurs:Mathematische_Modellbildung/Themen/Radioaktivit%C3%A4t_und_Risikoliteralit%C3%A4t]] [[Datei:Screenshot 2D Ansicht Resultate.png|miniatur|alternativtext=Ansicht der möglichen Auftreffpunkte des radioaktiven Niederschlags|Ansicht der möglichen Auftreffpunkte des radioaktiven Niederschlags]] [[File:Zeitliche Abhängigkeit der Risikofunktion.gif|thumb|Das GIF zeigt die Zeitliche Abhängigkeit der Risikofunktion]] === Ziel der Modellierung === Ziel in dieser Modellierung war es, ein Modell zur räumlichen und zeitlichen Ausbreitung einer radioaktiv belasteten Wolke, sowie dessen Rain-Out, infolge einer Reaktorkatastrophe am (mittlerweile abgeschalteten) Kernkraftwerk in Philippsburg zu beschreiben. Unter zu Hilfenahme von Messwerten von dem Reaktorunglück in Tschernobyl und den Halbwertszeiten des radioaktiven Materials wurde der zeitliche Zerfall erfasst. Der Transport von radioaktiven Material wurde durch eine Kugel im <math> \mathbb{R}^3 </math> modelliert. Diese bewegt sich gemäss einer variablen Windrichtung (gegeben durch Winkel <math> \alpha </math>) und regnet sich nach einer gewissen Durchschnittsdauer ab. === Endresultat === Es wurde in drei Modellbildungszyklen eine Funktion zur Beschreibung der radioaktiven Belastung (repräsentativ für das Risiko) abgeleitet: <math>u(x,y,t,\alpha)=\frac{1480\cdot e^{-\frac{ln(2)}{30a} \cdot t}}{1+\frac{7}{10.000}\cdot (x^2+y^2)}+\frac{40\cdot e^{-\frac{ln(2)}{30a} \cdot t}}{1+\frac{1}{7.500}\cdot ((x-1080cos(\alpha))^2+(y-1080sin(\alpha))^2)}</math> Letztlich erhält man also eine Funktion die in ihrem Ausgabewert <math>z=u(x,y,t,\alpha)</math> abhängig von 4 Eingabewerten <math>x, y, t, \alpha </math> ist. ==Modellbildung in der Schule== ===Einbindung in den Lehrplan=== Die mathematische Modellbildung ist stark in den Mathematik-Lehrplan für Schulen in Rheinland-Pfalz integriert (hier wird sich an dem Lehrplan für Sekundarstufe II orientiert <ref> Ministerium für Bildung, Wissensachft, Weiterbildung und Kultur (2015), Lehrplan Mathematik. Grund- und Leistungsfach in der gymnasialen Oberstufe (Mainzer Studienstufe) </ref>). Im Bezug zu Problemlösen im Mathematikunterricht und Mathematik im fachübergreifenden Kontext, sollen Anwendungsbeispiele Einzug halten, die Schülerinnen und Schülern aus anderen Fächern bekannt sind. In diesem Zusammenhang wird mathematische Modellbildung als Methode zur Lösung von solchen Anwendungsproblemen genannt. ===Konkreter Themenbezug=== Zu folgenden mathematischen Themengebieten wird explizit Mathematischen Modellbildung zur unterrichtlichen Umsetzung erwähnt: *Exponentialfunktionen (Wachstums- und Zerfallsprozesse) *Matrizenrechnung (Input-Output-Analysen, Zustandsübergangsprozesse, Populationsentwicklung,...) *Differential- und Integralrechnung (lineare oder logistische Wachstumsprozesse) ===Computereinsatz im Lehrplan=== Auch der Einsatz von computergestützten Hilfs- und Lösungsmitteln im Zuge der Modellbildung wird betont. (Bemerke: Auch im Lehrplan wird ein vergleichbarer Modellbildungszyklus vorgestellt und beschrieben. Bei Bedarf kann dieser auf Seite 15-16<ref> Ministerium für Bildung, Wissensachft, Weiterbildung und Kultur (2015), Lehrplan Mathematik. Grund- und Leistungsfach in der gymnasialen Oberstufe (Mainzer Studienstufe). </ref> nachgelesen werden) ===Zugang zur Bildung für Nachhaltigen Entwicklung=== Durch die Möglichkeit fachübergreifende Fragestellungen zu behandeln und Prozesse der Realität in den Blick zu nehmen, kann mathematische Modellbildung die Brücke zur Bildung für Nachhaltigen Entwicklung (BNE) schlagen. ====Bildung für Nachhaltige Entwicklung==== "Die BNE zielt grundsätzlich darauf ab, es jedem und jeder Einzelnen zu ermöglichen, die Folgen des eigenen Handelns auf die Welt sowie intra- und intergenerationell zu verstehen, verantwortungsvolle Entscheidungen zu treffen und aktiv zu werden." <ref> Ministerium für Bildung. Bildung für nachhaltige Entwicklung. Online abrufbar unter: https://bm.rlp.de/unsere-schwerpunkte/bildung-fuer-nachhaltige-entwicklung </ref> ====BNE und Modellbildung==== Mathematische Modellbildung kann unter praktischer Anwendung von gelernten Inhalten im Schulunterricht zu BNE beitragen, indem eben gezielt Probleme adressiert werden und von Schülerinnen und Schülern eigenständig untersucht werden. ==Ziel und Organisation des Seminars== ===Ziel und Aufgabe=== In Kleingruppen (3-4 Personen) sollen aussermathematische Fragestellungen mit einer eigenen mathematischen Modellbildung behandelt werden. Dazu sollen drei Modellbildungszyklen mit unterschiedlichem Grad an Vereinfachung und unterschiedlicher Mathematischen Grundlage erstellt werden: * Zyklus: Mathematik der Sekundarstufe 1 (Mittelstufe) * Zyklus: Mathematik der Sekundarstufe 2 (Oberstufe) * Zyklus: Universitätsmathematik ====Integration von Software==== In jedem Zyklus sollen computergestützte Untersuchungen und Betrachtungen Einzug erhalten. Somit bietet es sich an in insgesamt auch drei verschiedene Programme (Tabellenkalkulation, GeoGebra, RStudio, Maxima,...) zu integrieren - an manchen stellen lässt sich dies gar nicht vermeiden. ===Themenwahl=== Das Thema sollte einen weltlichen Bezug haben. Am besten eigenen sich Themen aus dem jeweiligen Zweitfach (s. Verbindung zu anderen Schulfächern im Lehrplan). Das Thema sollte nachhaltige Entwicklung im Rahmen der Sustainable Development Goals adressieren. Siehe dazu: https://www.bundesumweltministerium.de/themen/nachhaltigkeit/nachhaltigkeitsziele-sdgs Vorzugsweise: Räumliche Risikobetrachtungen in Desaster- und Katastrophenszenarien. Das Thema sollte sich nicht mit denen der vergangenen Semestern doppeln. Zur Orientierung und Inspiration finden sich hier die Projekte der vergangenen Semester: :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2026 Sommersemester|2026 Sommersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2025-26 Wintersemester|2025/26 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2024-25 Wintersemester|2024/25 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2023-24 Wintersemester|2023/24 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2022-23 Winteresemester|2022/23 Wintersemester]]''' ===Portfolio=== Während des Semesters soll in Gruppenarbeit die Modellbildung durchgeführt werden. Diese wird schriftlich in einem Portfolio festgehalten. Dies Portfolio wird, genau wie dieser Artikel auch, in einem Wikiversity Artikel dokumentiert. Dieser sollte folgendes enthalten: * Einleitung: Beschreibung und Einordnung des Themas & welche(s) SDG wird adressiert und warum? * Ziel der Modellierung: Welches Problem wird in der Modellierung / den einzelnen Zyklen konkret angegangen? * Zyklus 1-3 ** Mathematisches Modell (welche Mathematischen Objekte werden betrachtet, wie ergeben die sich,...) ** Ergebnisse (Ableiten von Resultaten aus dem Modell) ** Bewertung der Ergebnisse ** Grenzen und Limitationen ** Ausblick für nächsten Zyklus (welche Limitationen und Probleme aus dem Zyklus werden im folgenden adressiert?) In allen Punkten der Modellzyklen können Programme computergestützte Tools verwendet werden. Zur Erstellung von Wiki-Seiten ist folgende Seite hilfreich: https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:Textgestaltung ===Prüfung=== Die Prüfung gliedert sich in zwei Aspekte: * '''Vorstellung von ausgewählten Teilen aus dem eigenen Portfolio''' - diese werden von den Prüfer:innen aus dem Portfolio der Studierenden ausgewählt. * '''Diskussion und Fragen''' der Prüfer:innen zu dem Portfolio, z.B. zu Teilen des Portfolios, die in der Vorstellung nicht behandelt werden können. Ein Portfolio kann aus Zeitgründen nie vollständig in der Prüfung dargestellt werden. In der mündlichen Portfolio-Prüfung wird geprüft, ob *das eigene Modell verstanden ist, *das eigene Modell kritisch hinterfragt werden kann, *die Limitationen des Modells begründet und nachvollziehbar wiedergegeben werden können, *die Übergänge zwischen den Zyklen beschrieben und begründet werden können, *die technische Umsetzung reproduziert und erklärt werden kann, *... . Es ist also wichtig zu wissen, was wie an welcher Stelle und mit welchem Zweck in der Modellierung gemacht wurde! Das Portfolio (Wiki-Seite) wird somit konkret vorgestellt. Eine Präsentation des Portfolio kann automatisch mit Wiki2Reveal erstellt werden. === Unterstützungsangebot === * Das Unterstützungsangebot erfolgt in der Lehrveranstaltung zur "Mathematischen Modellbildung". * Eine individuelle Sonderbehandlung für einzelne Studierende, die das Angebot der Vorlesung nicht nutzen und kurz vor Prüfungsbeginn noch "schnell" ein Portfolio zusammenstellen wollen, ist aus zeitlichen Gründen kurz vor der Prüfung nicht möglich. * Portfolioprüfungen der Lehrveranstaltung beziehen sich immer auf das erstellte Portfolio im laufende Semester und bei Wiederholungsprüfungen auf das Semester, in dem Portfolio erstellt wurde. * Eine Prüfung kann nur zu dem eigenen erstellten Portfolio in der Lehrveranstaltung abgelegt werden, an dessen Erstellung man aktiv mitgearbeitet hat. ===Ablauf des Seminars=== Der Seminarablauf über das Semester gestaltet sich grob wie folgt: * 1. Woche (19.10.): Einführungsveranstaltung + Gruppenfindung * 2. Woche (26.10.): Themenfindung * 3. Woche (02.11.): Themenfindung + Zyklen festlegen * 4. Woche (09.11.): Zyklen festlegen * 5. Woche (16.11.): Kurzvorstellung der Themen und Zyklen (5 Minuten pro Gruppe) Ab Woche 6 (23.11.) bis Ende des Semesters wird gemeinsam an den Modellen und dem Portfolio gearbeitet. Empfehlenswert wäre es, die letzten 2-3 Wochen für Finalisierungsarbeiten zu nutzen und entsprechend frühzeitig zu planen! Ausschliesslich während der Seminarzeiten an dem Modell und Portfolio zu arbeiten wird nicht ausreichen! Die Kurzpräsentationen am 16.11. umfassen den aktuellen Stand der Überlegungen und sind noch unter keinen Umständen verbindlich. Stattdessen dient es einfach zur Grundlage von gemeinsamer Diskussion und zur Einbringung von weiteren Ideen. =Hilfreiche Links= ===Fachmathematische Aspekte === Wenn man das Modellierungsproblem in den Mittelpunkt stellt und die Fragestellung den Nachhaltigkeitszielen der UN zuordnet, kommen z.T. fachmathematische Aspekte erforderlich, die nicht in der jeweiligen Schulstufe bzw. in den Vorlesungen behandelt wurden. Dies Kapitel erhält Hinweise zu fachmathematischen Bereichen, die für die mathematische Modellbildung ggf. als Werkzeug verwendet werden können * '''[[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]''' dienen dazu, Datenpunkte im <math>\R^2</math> oder allgemein im <math>\R^n</math> zu [[w:Interpolation_(Mathematik)|interpolieren]]. * '''[https://en.wikiversity.org/wiki/3D_Modelling 3D Modellierung für Projektinhalte]''' und [[w:Projektive_Geometrie|projektive Geometrie]] zur Visualisierung * '''[[Gradientenabstiegsverfahren]]''': Wird verwendet, um sich in der mathematischen Modellbildung iterativ einem Minimum einer Kosten- oder Fehlerfunktion anzunähern. * [[w:Lineare_Optimierung|'''Lineare Optimierung''']] wird in Optimierungshaufgaben wie beispielsweise bei der Suche nach Minimum der Produktionskosten verwendet. Hierbei wird in allgemeinem nach einem Minimium/Maximum einer linearer Zielfunktion über einer Menge gesucht. [https://www.geogebra.org/m/kr727992 '''Ein Beispiel in Geogebra'''] *[[Räumliche Diffusion|'''Räumliche Diffusion''']] *[[Modelle_der_Populationsdynamik|'''Modelle der Populationsdynamik''']] - [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Modelle%20der%20Populationsdynamik&author=Kurs:R%C3%A4umliche%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes (Wiki2Reveal-Folien)] - [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Stochastik/Wahrscheinlichkeitsdichte|Wahrscheinlichkeitsdichte]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Wahrscheinlichkeitsdichte&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wahrscheinlichkeitsdichte&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ===Softwarenutzung === Im PC-Praktikum wurden grundlegende Kenntnisse im Umgang mit Software erlangt, die für die Berechnung von mathematischen Modellen vorwendig sind. Diese Kenntnisse müssen ggf. auf das spezielle Modellierungsthema angepasst und erweitert werden. * '''[[CSV2Chart]]''' Aus CSV-Dateien mathematische Graphen in Wikiversity erstellen. * '''[[Maxima CAS]]''' enthält die verwendeten Werkzeuge und Kommandos eines Computeralgebrasystems (CAS), die die einzelnen Projekte in dem Modellbildungszyklus verwendet haben. * '''[https://sagecell.sagemath.org/ SageCell]''' Online-Umgebung zur Ausführung und Demonstration von Befehlen in R, Octave, Maxima, ... (Auswahl des Befehlssatzes auf der https://sagecell.sagemath.org/ SageCell-Seite] unten rechts auf dem Eingabefeld) * '''[[Statistikprogramm R]]''' enthält die verwendeten Werkzeuge und Kommandos, die für Berechnungen und Veranschaulichungen in den Projekten verwendet haben. * '''[[Tabellenkalkulation]]''' werden in Portfolios in der Regel verwendet, um Daten in den Portfolios aufzubereiten. * '''[[Octave]]''' wird in der Regel verwendet, um numerische Berechnung in der Mathematischen Modellbildung durchzuführen. * '''[[Geogebra]]''' ist eine Dynamische Geometriesoftware, die zur vektoriellen Veranschaulichung von räumlichen Modellierungsproblemen oder auch zur parametrisierten Darstellung von Funktionen verwendet wird (Beispiel: [https://www.geogebra.org/m/e9b349k9 Parkplatzlösung in Geogebra von Shrey T (2017)]). * '''[[w:Screencast|Screencast]]''': Ein Screencast ist eine Bildschirmaufnahme mit Audiokommentaren, die zeigt, wie man z.B. Software bedient. Ein Screencast ist eine Hilfestellung für Lernende, die sich noch nicht so gut mit einer bestimmten Software auskennen. :* [https://obsproject.com/ '''Open Broadcast Software (OBS)''' - Linux, Windows, MacOSX ] - [[Konvexkombination|Beispielvideo in Wikiversity]] * [[v:en:3D_Modelling|'''3D-Modellbildung''' (englisch)]] * '''[http://niebert.github.io/imgmap/ Online-ImageMap-Editor]''' - Anklickbare Bereiche in Wikiversity-Bildern erstellen. * '''[https://openlayers.org/en/latest/examples/heatmap-earthquakes.html HeatMaps]:''' Erstellung von [https://niebert.github.io/openlayer_heatmap HeatMaps mit einem Online-Editor] (Download [https://github.com/niebert/openlayer_heatmap/archive/master.zip Heatmap-Editor und Beispieldaten in Ordner <tt>/HeatMap</tt> in ZIP-Datei]) * '''[[Wiki2Reveal]]:''' Portfolio-Präsentationen direkt im Wikiversity erstellen. ===Editierungshilfen=== * [https://latexeditor.lagrida.com/ Online-Formel-Editor für LaTeX-Formeln]<ref>Lagrida Web-Portal (2021) Online-Latex-Formel-Editor mit Vorschau - URL: https://latexeditor.lagrida.com/ (accessed 2021/11/21))</ref> - die erzeugten Formeln müssen in einen MATH-Tag mit <kbd><math> ...</math></kbd> eingeschlossen werden bei der Seiteneditierung. * [https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:TeX Mathematische Formeln in Wikiversity] * Textgestaltung in Wikis: https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:Textgestaltung ==Wiki2Reveal== * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung2627|Kurs:Mathematische Modellbildung2627]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung2627&author=&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung2627&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] == Verweise == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2026-27%20Wintersemester&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2026-27%20Wintersemester&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung Kurs:Mathematische Modellbildung]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2026-27%20Wintersemester&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] fj50mjk63dmc5yzw206pbxy6d2pz7q1 1116536 1116535 2026-10-17T08:23:32Z ~2026-55076-31 41992 /* Konkreter Themenbezug */ 1116536 wikitext text/x-wiki ==Begriffsklärung== === Was ist mathematische Modellbildung? === Ganz grob gesagt besteht Mathematische Modellierung oder auch Mathematische Modellbildung darin, reale Fragestellungen mit mathematischen Mitteln zu bearbeiten und sie auf diesem Wege zumindest teilweise zu beantworten<ref> Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., & Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. </ref>. === Was ist ein Modell? === Ein Modell ist dabei gegeben durch innere Scheinbilder oder Repräsentatonen, die nicht zum Bereich der äußeren Gegenstände, sondern zu Vorstellungen von einem solchen realen Gegenstand gehören und ihnen daher auch in gewissen Grenzen etwas Willkürliches anhaftet (Sinngemäß nach Hertz, zitiert von Ortlieb<ref> Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., & Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. </ref>). ==== Eigenschaften von Modellen ==== Somit lassen sich vereinfacht und verkürzt folgende Eigenschaften ableiten (Stachowiak, zitiert nach Saam <ref> Saam, N. J. (2009). Modellbildung. In Handbuch Methoden der Organisationsforschung: Quantitative und Qualitative Methoden (pp. 517-532). Wiesbaden: VS Verlag für Sozialwissenschaften. </ref>): * '''Abbildungsmerkmal:''' Modelle repräsentieren die Realität, existieren jedoch nicht in der Realität * '''Verkürzungsmerkmal:''' Modelle beschreiben das Objekt nicht exakt, sondern stets vereinfacht * '''Pragmatisches Merkmal:''' Modelle verfolgen einen gewissen Zweck: Sie ersetzen eine nicht abbildbare Realität um Fragestellungen zu beantwortbar zu machen ==== Typisches Beispiele ==== * Betrachtungen in der Physik (Federpendel, Bewegungsgesetze,...) - Physik und Mathematische Modellbildung sind sehr eng miteinander verwoben * Populationsdynamiken und Ausbreitugnsschemata in der Biologie (vgl. Lotka-Volterra Modell) * Bewegungsanalysen und Optimierungen in den Sportwissenschaften * Untersuchungen von Transport- und Umweltprozessen in Biologie, Chemie, Physik, Technik,... * Bedarfs- und Verbrauchs- und Verhaltensanalysen in Geisteswissenschaften === Mathematische Modelle === Mathematische Modelle werden gemessen und bewertet anhand <ref> Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., & Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. </ref>: * '''Zulässigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte in sich widerspruchsfrei sein. * '''Richtigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte im Vergleich mit der Realität keine Widersprüche zu offensichtlich richtigen Tatsachen aufweisen. * '''Zweckmäßigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte genau den Detailgrad beinhalten, den es zum Erfüllen des Zwecks benötigt, nicht mehr und nicht weniger. ==== Gegenbeispiele für mathematische Modelle ==== Gegenbeispiele wären: * Ein nicht zulässiges Modell könnte bei einer Betrachtung einer Punktmasse im Raum dennoch Luftwiederstände berücksichtigen (Punkte haben kein Volumen) * Ein nicht richtiges Modell könnte bei der Modellierung von Transportprozessen von Schadstoffen die Massenerhaltung vernachlässigen. * Ein nicht zweckmäßiges Modell könnte bei dem Versuch den perfekten Abwurfwinkel beim Speerwurf die Krümmung der Erdoberfläche berücksichtigen. ==== Bemerkung - Kriterien ==== Die Kriterien, insbesondere Richtigkeit und Zweckmäßigkeit, sind nicht 100% operational. Einerseits fordert die Richtigkeit, keine bekannten Tatsachen auszulassen, andererseits dürfen hinsichtlich einer passenden Zweckmäßigkeit auch nur ausreichend viele Details integriert werden. ==Der Modellbildungszyklus== Wie kommt man nun von einer Realen Situation, die ein Problem aufwirft zu einem adäquaten mathematischen Modell? Dazu hat sich als möglichst allgemeine Vorgehensweise der Modellbildungszyklus ergeben: [[Datei:Modellbildungszyklus Mod6.png|miniatur|Modellbildungszyklus]] ===Verlauf des MBZ === Der Modellbildungszyklus beschreibt schematisch die iterative Erstellung einer mathematischen Modellbildung: * Ausgangspunkt ist eine reale Situation, die ein Problem aufwirft, die von dem mathematischen Modell adressiert werden soll * Dieses Problem wird inhaltlich erfasst, anschließend mathematisch Übersetzt (Betrachten von Gleichungen, Funktionen, Geometrischen Objekten,...) =====Modellbildungsschleife===== * Durch das Betrachten von mathematischen Objekten können über passende Operationen deduktiv Resultate geschlussfolgert werden * Diese Resultate werden mit der Realsituation abgeglichen * Aus dem Vergleich werden mögliche Optimierungen und Limitationen des Modells abgeleitet * Durch die Limitationen werden kann das Modell weiterentwickelt werden Diese Schritte können/müssen dabei mehrfach durchlaufen werden. =====Integration von Software===== Die Integration von computergestützter Software ist in der mathematischen Modellbildung definitionsgemäss nicht zwingend erforderlich, für die meisten anwendungsbezogenen Modellierungen jedoch unumgänglich. ==Konkretes Beispiel einer Mathematischen Modellbildung== [[Kurs:Mathematische_Modellbildung/Themen/Radioaktivit%C3%A4t_und_Risikoliteralit%C3%A4t]] [[Datei:Screenshot 2D Ansicht Resultate.png|miniatur|alternativtext=Ansicht der möglichen Auftreffpunkte des radioaktiven Niederschlags|Ansicht der möglichen Auftreffpunkte des radioaktiven Niederschlags]] [[File:Zeitliche Abhängigkeit der Risikofunktion.gif|thumb|Das GIF zeigt die Zeitliche Abhängigkeit der Risikofunktion]] === Ziel der Modellierung === Ziel in dieser Modellierung war es, ein Modell zur räumlichen und zeitlichen Ausbreitung einer radioaktiv belasteten Wolke, sowie dessen Rain-Out, infolge einer Reaktorkatastrophe am (mittlerweile abgeschalteten) Kernkraftwerk in Philippsburg zu beschreiben. Unter zu Hilfenahme von Messwerten von dem Reaktorunglück in Tschernobyl und den Halbwertszeiten des radioaktiven Materials wurde der zeitliche Zerfall erfasst. Der Transport von radioaktiven Material wurde durch eine Kugel im <math> \mathbb{R}^3 </math> modelliert. Diese bewegt sich gemäss einer variablen Windrichtung (gegeben durch Winkel <math> \alpha </math>) und regnet sich nach einer gewissen Durchschnittsdauer ab. === Endresultat === Es wurde in drei Modellbildungszyklen eine Funktion zur Beschreibung der radioaktiven Belastung (repräsentativ für das Risiko) abgeleitet: <math>u(x,y,t,\alpha)=\frac{1480\cdot e^{-\frac{ln(2)}{30a} \cdot t}}{1+\frac{7}{10.000}\cdot (x^2+y^2)}+\frac{40\cdot e^{-\frac{ln(2)}{30a} \cdot t}}{1+\frac{1}{7.500}\cdot ((x-1080cos(\alpha))^2+(y-1080sin(\alpha))^2)}</math> Letztlich erhält man also eine Funktion die in ihrem Ausgabewert <math>z=u(x,y,t,\alpha)</math> abhängig von 4 Eingabewerten <math>x, y, t, \alpha </math> ist. ==Modellbildung in der Schule== ===Einbindung in den Lehrplan=== Die mathematische Modellbildung ist stark in den Mathematik-Lehrplan für Schulen in Rheinland-Pfalz integriert (hier wird sich an dem Lehrplan für Sekundarstufe II orientiert <ref> Ministerium für Bildung, Wissensachft, Weiterbildung und Kultur (2015), Lehrplan Mathematik. Grund- und Leistungsfach in der gymnasialen Oberstufe (Mainzer Studienstufe) </ref>). Im Bezug zu Problemlösen im Mathematikunterricht und Mathematik im fachübergreifenden Kontext, sollen Anwendungsbeispiele Einzug halten, die Schülerinnen und Schülern aus anderen Fächern bekannt sind. In diesem Zusammenhang wird mathematische Modellbildung als Methode zur Lösung von solchen Anwendungsproblemen genannt. ===Konkreter Themenbezug=== Zu folgenden mathematischen Themengebieten wird explizit Mathematischen Modellbildung zur unterrichtlichen Umsetzung erwähnt: *Exponentialfunktionen (Wachstums- und Zerfallsprozesse) *Matrizenrechnung (zum Beispiel Input-Output-Analysen, Zustandsübergangsprozesse oder Populationsentwicklung) *Differential- und Integralrechnung (lineare oder logistische Wachstumsprozesse) ===Computereinsatz im Lehrplan=== Auch der Einsatz von computergestützten Hilfs- und Lösungsmitteln im Zuge der Modellbildung wird betont. (Bemerke: Auch im Lehrplan wird ein vergleichbarer Modellbildungszyklus vorgestellt und beschrieben. Bei Bedarf kann dieser auf Seite 15-16<ref> Ministerium für Bildung, Wissensachft, Weiterbildung und Kultur (2015), Lehrplan Mathematik. Grund- und Leistungsfach in der gymnasialen Oberstufe (Mainzer Studienstufe). </ref> nachgelesen werden) ===Zugang zur Bildung für Nachhaltigen Entwicklung=== Durch die Möglichkeit fachübergreifende Fragestellungen zu behandeln und Prozesse der Realität in den Blick zu nehmen, kann mathematische Modellbildung die Brücke zur Bildung für Nachhaltigen Entwicklung (BNE) schlagen. ====Bildung für Nachhaltige Entwicklung==== "Die BNE zielt grundsätzlich darauf ab, es jedem und jeder Einzelnen zu ermöglichen, die Folgen des eigenen Handelns auf die Welt sowie intra- und intergenerationell zu verstehen, verantwortungsvolle Entscheidungen zu treffen und aktiv zu werden." <ref> Ministerium für Bildung. Bildung für nachhaltige Entwicklung. Online abrufbar unter: https://bm.rlp.de/unsere-schwerpunkte/bildung-fuer-nachhaltige-entwicklung </ref> ====BNE und Modellbildung==== Mathematische Modellbildung kann unter praktischer Anwendung von gelernten Inhalten im Schulunterricht zu BNE beitragen, indem eben gezielt Probleme adressiert werden und von Schülerinnen und Schülern eigenständig untersucht werden. ==Ziel und Organisation des Seminars== ===Ziel und Aufgabe=== In Kleingruppen (3-4 Personen) sollen aussermathematische Fragestellungen mit einer eigenen mathematischen Modellbildung behandelt werden. Dazu sollen drei Modellbildungszyklen mit unterschiedlichem Grad an Vereinfachung und unterschiedlicher Mathematischen Grundlage erstellt werden: * Zyklus: Mathematik der Sekundarstufe 1 (Mittelstufe) * Zyklus: Mathematik der Sekundarstufe 2 (Oberstufe) * Zyklus: Universitätsmathematik ====Integration von Software==== In jedem Zyklus sollen computergestützte Untersuchungen und Betrachtungen Einzug erhalten. Somit bietet es sich an in insgesamt auch drei verschiedene Programme (Tabellenkalkulation, GeoGebra, RStudio, Maxima,...) zu integrieren - an manchen stellen lässt sich dies gar nicht vermeiden. ===Themenwahl=== Das Thema sollte einen weltlichen Bezug haben. Am besten eigenen sich Themen aus dem jeweiligen Zweitfach (s. Verbindung zu anderen Schulfächern im Lehrplan). Das Thema sollte nachhaltige Entwicklung im Rahmen der Sustainable Development Goals adressieren. Siehe dazu: https://www.bundesumweltministerium.de/themen/nachhaltigkeit/nachhaltigkeitsziele-sdgs Vorzugsweise: Räumliche Risikobetrachtungen in Desaster- und Katastrophenszenarien. Das Thema sollte sich nicht mit denen der vergangenen Semestern doppeln. Zur Orientierung und Inspiration finden sich hier die Projekte der vergangenen Semester: :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2026 Sommersemester|2026 Sommersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2025-26 Wintersemester|2025/26 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2024-25 Wintersemester|2024/25 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2023-24 Wintersemester|2023/24 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2022-23 Winteresemester|2022/23 Wintersemester]]''' ===Portfolio=== Während des Semesters soll in Gruppenarbeit die Modellbildung durchgeführt werden. Diese wird schriftlich in einem Portfolio festgehalten. Dies Portfolio wird, genau wie dieser Artikel auch, in einem Wikiversity Artikel dokumentiert. Dieser sollte folgendes enthalten: * Einleitung: Beschreibung und Einordnung des Themas & welche(s) SDG wird adressiert und warum? * Ziel der Modellierung: Welches Problem wird in der Modellierung / den einzelnen Zyklen konkret angegangen? * Zyklus 1-3 ** Mathematisches Modell (welche Mathematischen Objekte werden betrachtet, wie ergeben die sich,...) ** Ergebnisse (Ableiten von Resultaten aus dem Modell) ** Bewertung der Ergebnisse ** Grenzen und Limitationen ** Ausblick für nächsten Zyklus (welche Limitationen und Probleme aus dem Zyklus werden im folgenden adressiert?) In allen Punkten der Modellzyklen können Programme computergestützte Tools verwendet werden. Zur Erstellung von Wiki-Seiten ist folgende Seite hilfreich: https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:Textgestaltung ===Prüfung=== Die Prüfung gliedert sich in zwei Aspekte: * '''Vorstellung von ausgewählten Teilen aus dem eigenen Portfolio''' - diese werden von den Prüfer:innen aus dem Portfolio der Studierenden ausgewählt. * '''Diskussion und Fragen''' der Prüfer:innen zu dem Portfolio, z.B. zu Teilen des Portfolios, die in der Vorstellung nicht behandelt werden können. Ein Portfolio kann aus Zeitgründen nie vollständig in der Prüfung dargestellt werden. In der mündlichen Portfolio-Prüfung wird geprüft, ob *das eigene Modell verstanden ist, *das eigene Modell kritisch hinterfragt werden kann, *die Limitationen des Modells begründet und nachvollziehbar wiedergegeben werden können, *die Übergänge zwischen den Zyklen beschrieben und begründet werden können, *die technische Umsetzung reproduziert und erklärt werden kann, *... . Es ist also wichtig zu wissen, was wie an welcher Stelle und mit welchem Zweck in der Modellierung gemacht wurde! Das Portfolio (Wiki-Seite) wird somit konkret vorgestellt. Eine Präsentation des Portfolio kann automatisch mit Wiki2Reveal erstellt werden. === Unterstützungsangebot === * Das Unterstützungsangebot erfolgt in der Lehrveranstaltung zur "Mathematischen Modellbildung". * Eine individuelle Sonderbehandlung für einzelne Studierende, die das Angebot der Vorlesung nicht nutzen und kurz vor Prüfungsbeginn noch "schnell" ein Portfolio zusammenstellen wollen, ist aus zeitlichen Gründen kurz vor der Prüfung nicht möglich. * Portfolioprüfungen der Lehrveranstaltung beziehen sich immer auf das erstellte Portfolio im laufende Semester und bei Wiederholungsprüfungen auf das Semester, in dem Portfolio erstellt wurde. * Eine Prüfung kann nur zu dem eigenen erstellten Portfolio in der Lehrveranstaltung abgelegt werden, an dessen Erstellung man aktiv mitgearbeitet hat. ===Ablauf des Seminars=== Der Seminarablauf über das Semester gestaltet sich grob wie folgt: * 1. Woche (19.10.): Einführungsveranstaltung + Gruppenfindung * 2. Woche (26.10.): Themenfindung * 3. Woche (02.11.): Themenfindung + Zyklen festlegen * 4. Woche (09.11.): Zyklen festlegen * 5. Woche (16.11.): Kurzvorstellung der Themen und Zyklen (5 Minuten pro Gruppe) Ab Woche 6 (23.11.) bis Ende des Semesters wird gemeinsam an den Modellen und dem Portfolio gearbeitet. Empfehlenswert wäre es, die letzten 2-3 Wochen für Finalisierungsarbeiten zu nutzen und entsprechend frühzeitig zu planen! Ausschliesslich während der Seminarzeiten an dem Modell und Portfolio zu arbeiten wird nicht ausreichen! Die Kurzpräsentationen am 16.11. umfassen den aktuellen Stand der Überlegungen und sind noch unter keinen Umständen verbindlich. Stattdessen dient es einfach zur Grundlage von gemeinsamer Diskussion und zur Einbringung von weiteren Ideen. =Hilfreiche Links= ===Fachmathematische Aspekte === Wenn man das Modellierungsproblem in den Mittelpunkt stellt und die Fragestellung den Nachhaltigkeitszielen der UN zuordnet, kommen z.T. fachmathematische Aspekte erforderlich, die nicht in der jeweiligen Schulstufe bzw. in den Vorlesungen behandelt wurden. Dies Kapitel erhält Hinweise zu fachmathematischen Bereichen, die für die mathematische Modellbildung ggf. als Werkzeug verwendet werden können * '''[[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]''' dienen dazu, Datenpunkte im <math>\R^2</math> oder allgemein im <math>\R^n</math> zu [[w:Interpolation_(Mathematik)|interpolieren]]. * '''[https://en.wikiversity.org/wiki/3D_Modelling 3D Modellierung für Projektinhalte]''' und [[w:Projektive_Geometrie|projektive Geometrie]] zur Visualisierung * '''[[Gradientenabstiegsverfahren]]''': Wird verwendet, um sich in der mathematischen Modellbildung iterativ einem Minimum einer Kosten- oder Fehlerfunktion anzunähern. * [[w:Lineare_Optimierung|'''Lineare Optimierung''']] wird in Optimierungshaufgaben wie beispielsweise bei der Suche nach Minimum der Produktionskosten verwendet. Hierbei wird in allgemeinem nach einem Minimium/Maximum einer linearer Zielfunktion über einer Menge gesucht. [https://www.geogebra.org/m/kr727992 '''Ein Beispiel in Geogebra'''] *[[Räumliche Diffusion|'''Räumliche Diffusion''']] *[[Modelle_der_Populationsdynamik|'''Modelle der Populationsdynamik''']] - [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Modelle%20der%20Populationsdynamik&author=Kurs:R%C3%A4umliche%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes (Wiki2Reveal-Folien)] - [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Stochastik/Wahrscheinlichkeitsdichte|Wahrscheinlichkeitsdichte]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Wahrscheinlichkeitsdichte&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wahrscheinlichkeitsdichte&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ===Softwarenutzung === Im PC-Praktikum wurden grundlegende Kenntnisse im Umgang mit Software erlangt, die für die Berechnung von mathematischen Modellen vorwendig sind. Diese Kenntnisse müssen ggf. auf das spezielle Modellierungsthema angepasst und erweitert werden. * '''[[CSV2Chart]]''' Aus CSV-Dateien mathematische Graphen in Wikiversity erstellen. * '''[[Maxima CAS]]''' enthält die verwendeten Werkzeuge und Kommandos eines Computeralgebrasystems (CAS), die die einzelnen Projekte in dem Modellbildungszyklus verwendet haben. * '''[https://sagecell.sagemath.org/ SageCell]''' Online-Umgebung zur Ausführung und Demonstration von Befehlen in R, Octave, Maxima, ... (Auswahl des Befehlssatzes auf der https://sagecell.sagemath.org/ SageCell-Seite] unten rechts auf dem Eingabefeld) * '''[[Statistikprogramm R]]''' enthält die verwendeten Werkzeuge und Kommandos, die für Berechnungen und Veranschaulichungen in den Projekten verwendet haben. * '''[[Tabellenkalkulation]]''' werden in Portfolios in der Regel verwendet, um Daten in den Portfolios aufzubereiten. * '''[[Octave]]''' wird in der Regel verwendet, um numerische Berechnung in der Mathematischen Modellbildung durchzuführen. * '''[[Geogebra]]''' ist eine Dynamische Geometriesoftware, die zur vektoriellen Veranschaulichung von räumlichen Modellierungsproblemen oder auch zur parametrisierten Darstellung von Funktionen verwendet wird (Beispiel: [https://www.geogebra.org/m/e9b349k9 Parkplatzlösung in Geogebra von Shrey T (2017)]). * '''[[w:Screencast|Screencast]]''': Ein Screencast ist eine Bildschirmaufnahme mit Audiokommentaren, die zeigt, wie man z.B. Software bedient. Ein Screencast ist eine Hilfestellung für Lernende, die sich noch nicht so gut mit einer bestimmten Software auskennen. :* [https://obsproject.com/ '''Open Broadcast Software (OBS)''' - Linux, Windows, MacOSX ] - [[Konvexkombination|Beispielvideo in Wikiversity]] * [[v:en:3D_Modelling|'''3D-Modellbildung''' (englisch)]] * '''[http://niebert.github.io/imgmap/ Online-ImageMap-Editor]''' - Anklickbare Bereiche in Wikiversity-Bildern erstellen. * '''[https://openlayers.org/en/latest/examples/heatmap-earthquakes.html HeatMaps]:''' Erstellung von [https://niebert.github.io/openlayer_heatmap HeatMaps mit einem Online-Editor] (Download [https://github.com/niebert/openlayer_heatmap/archive/master.zip Heatmap-Editor und Beispieldaten in Ordner <tt>/HeatMap</tt> in ZIP-Datei]) * '''[[Wiki2Reveal]]:''' Portfolio-Präsentationen direkt im Wikiversity erstellen. ===Editierungshilfen=== * [https://latexeditor.lagrida.com/ Online-Formel-Editor für LaTeX-Formeln]<ref>Lagrida Web-Portal (2021) Online-Latex-Formel-Editor mit Vorschau - URL: https://latexeditor.lagrida.com/ (accessed 2021/11/21))</ref> - die erzeugten Formeln müssen in einen MATH-Tag mit <kbd><math> ...</math></kbd> eingeschlossen werden bei der Seiteneditierung. * [https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:TeX Mathematische Formeln in Wikiversity] * Textgestaltung in Wikis: https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:Textgestaltung ==Wiki2Reveal== * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung2627|Kurs:Mathematische Modellbildung2627]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung2627&author=&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung2627&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] == Verweise == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2026-27%20Wintersemester&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2026-27%20Wintersemester&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung Kurs:Mathematische Modellbildung]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2026-27%20Wintersemester&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 02ei9nvyzg62nbvlfuju4lk1vt0mvlf 1116537 1116536 2026-10-17T08:25:39Z ~2026-55076-31 41992 /* Prüfung */ 1116537 wikitext text/x-wiki ==Begriffsklärung== === Was ist mathematische Modellbildung? === Ganz grob gesagt besteht Mathematische Modellierung oder auch Mathematische Modellbildung darin, reale Fragestellungen mit mathematischen Mitteln zu bearbeiten und sie auf diesem Wege zumindest teilweise zu beantworten<ref> Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., & Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. </ref>. === Was ist ein Modell? === Ein Modell ist dabei gegeben durch innere Scheinbilder oder Repräsentatonen, die nicht zum Bereich der äußeren Gegenstände, sondern zu Vorstellungen von einem solchen realen Gegenstand gehören und ihnen daher auch in gewissen Grenzen etwas Willkürliches anhaftet (Sinngemäß nach Hertz, zitiert von Ortlieb<ref> Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., & Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. </ref>). ==== Eigenschaften von Modellen ==== Somit lassen sich vereinfacht und verkürzt folgende Eigenschaften ableiten (Stachowiak, zitiert nach Saam <ref> Saam, N. J. (2009). Modellbildung. In Handbuch Methoden der Organisationsforschung: Quantitative und Qualitative Methoden (pp. 517-532). Wiesbaden: VS Verlag für Sozialwissenschaften. </ref>): * '''Abbildungsmerkmal:''' Modelle repräsentieren die Realität, existieren jedoch nicht in der Realität * '''Verkürzungsmerkmal:''' Modelle beschreiben das Objekt nicht exakt, sondern stets vereinfacht * '''Pragmatisches Merkmal:''' Modelle verfolgen einen gewissen Zweck: Sie ersetzen eine nicht abbildbare Realität um Fragestellungen zu beantwortbar zu machen ==== Typisches Beispiele ==== * Betrachtungen in der Physik (Federpendel, Bewegungsgesetze,...) - Physik und Mathematische Modellbildung sind sehr eng miteinander verwoben * Populationsdynamiken und Ausbreitugnsschemata in der Biologie (vgl. Lotka-Volterra Modell) * Bewegungsanalysen und Optimierungen in den Sportwissenschaften * Untersuchungen von Transport- und Umweltprozessen in Biologie, Chemie, Physik, Technik,... * Bedarfs- und Verbrauchs- und Verhaltensanalysen in Geisteswissenschaften === Mathematische Modelle === Mathematische Modelle werden gemessen und bewertet anhand <ref> Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., & Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. </ref>: * '''Zulässigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte in sich widerspruchsfrei sein. * '''Richtigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte im Vergleich mit der Realität keine Widersprüche zu offensichtlich richtigen Tatsachen aufweisen. * '''Zweckmäßigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte genau den Detailgrad beinhalten, den es zum Erfüllen des Zwecks benötigt, nicht mehr und nicht weniger. ==== Gegenbeispiele für mathematische Modelle ==== Gegenbeispiele wären: * Ein nicht zulässiges Modell könnte bei einer Betrachtung einer Punktmasse im Raum dennoch Luftwiederstände berücksichtigen (Punkte haben kein Volumen) * Ein nicht richtiges Modell könnte bei der Modellierung von Transportprozessen von Schadstoffen die Massenerhaltung vernachlässigen. * Ein nicht zweckmäßiges Modell könnte bei dem Versuch den perfekten Abwurfwinkel beim Speerwurf die Krümmung der Erdoberfläche berücksichtigen. ==== Bemerkung - Kriterien ==== Die Kriterien, insbesondere Richtigkeit und Zweckmäßigkeit, sind nicht 100% operational. Einerseits fordert die Richtigkeit, keine bekannten Tatsachen auszulassen, andererseits dürfen hinsichtlich einer passenden Zweckmäßigkeit auch nur ausreichend viele Details integriert werden. ==Der Modellbildungszyklus== Wie kommt man nun von einer Realen Situation, die ein Problem aufwirft zu einem adäquaten mathematischen Modell? Dazu hat sich als möglichst allgemeine Vorgehensweise der Modellbildungszyklus ergeben: [[Datei:Modellbildungszyklus Mod6.png|miniatur|Modellbildungszyklus]] ===Verlauf des MBZ === Der Modellbildungszyklus beschreibt schematisch die iterative Erstellung einer mathematischen Modellbildung: * Ausgangspunkt ist eine reale Situation, die ein Problem aufwirft, die von dem mathematischen Modell adressiert werden soll * Dieses Problem wird inhaltlich erfasst, anschließend mathematisch Übersetzt (Betrachten von Gleichungen, Funktionen, Geometrischen Objekten,...) =====Modellbildungsschleife===== * Durch das Betrachten von mathematischen Objekten können über passende Operationen deduktiv Resultate geschlussfolgert werden * Diese Resultate werden mit der Realsituation abgeglichen * Aus dem Vergleich werden mögliche Optimierungen und Limitationen des Modells abgeleitet * Durch die Limitationen werden kann das Modell weiterentwickelt werden Diese Schritte können/müssen dabei mehrfach durchlaufen werden. =====Integration von Software===== Die Integration von computergestützter Software ist in der mathematischen Modellbildung definitionsgemäss nicht zwingend erforderlich, für die meisten anwendungsbezogenen Modellierungen jedoch unumgänglich. ==Konkretes Beispiel einer Mathematischen Modellbildung== [[Kurs:Mathematische_Modellbildung/Themen/Radioaktivit%C3%A4t_und_Risikoliteralit%C3%A4t]] [[Datei:Screenshot 2D Ansicht Resultate.png|miniatur|alternativtext=Ansicht der möglichen Auftreffpunkte des radioaktiven Niederschlags|Ansicht der möglichen Auftreffpunkte des radioaktiven Niederschlags]] [[File:Zeitliche Abhängigkeit der Risikofunktion.gif|thumb|Das GIF zeigt die Zeitliche Abhängigkeit der Risikofunktion]] === Ziel der Modellierung === Ziel in dieser Modellierung war es, ein Modell zur räumlichen und zeitlichen Ausbreitung einer radioaktiv belasteten Wolke, sowie dessen Rain-Out, infolge einer Reaktorkatastrophe am (mittlerweile abgeschalteten) Kernkraftwerk in Philippsburg zu beschreiben. Unter zu Hilfenahme von Messwerten von dem Reaktorunglück in Tschernobyl und den Halbwertszeiten des radioaktiven Materials wurde der zeitliche Zerfall erfasst. Der Transport von radioaktiven Material wurde durch eine Kugel im <math> \mathbb{R}^3 </math> modelliert. Diese bewegt sich gemäss einer variablen Windrichtung (gegeben durch Winkel <math> \alpha </math>) und regnet sich nach einer gewissen Durchschnittsdauer ab. === Endresultat === Es wurde in drei Modellbildungszyklen eine Funktion zur Beschreibung der radioaktiven Belastung (repräsentativ für das Risiko) abgeleitet: <math>u(x,y,t,\alpha)=\frac{1480\cdot e^{-\frac{ln(2)}{30a} \cdot t}}{1+\frac{7}{10.000}\cdot (x^2+y^2)}+\frac{40\cdot e^{-\frac{ln(2)}{30a} \cdot t}}{1+\frac{1}{7.500}\cdot ((x-1080cos(\alpha))^2+(y-1080sin(\alpha))^2)}</math> Letztlich erhält man also eine Funktion die in ihrem Ausgabewert <math>z=u(x,y,t,\alpha)</math> abhängig von 4 Eingabewerten <math>x, y, t, \alpha </math> ist. ==Modellbildung in der Schule== ===Einbindung in den Lehrplan=== Die mathematische Modellbildung ist stark in den Mathematik-Lehrplan für Schulen in Rheinland-Pfalz integriert (hier wird sich an dem Lehrplan für Sekundarstufe II orientiert <ref> Ministerium für Bildung, Wissensachft, Weiterbildung und Kultur (2015), Lehrplan Mathematik. Grund- und Leistungsfach in der gymnasialen Oberstufe (Mainzer Studienstufe) </ref>). Im Bezug zu Problemlösen im Mathematikunterricht und Mathematik im fachübergreifenden Kontext, sollen Anwendungsbeispiele Einzug halten, die Schülerinnen und Schülern aus anderen Fächern bekannt sind. In diesem Zusammenhang wird mathematische Modellbildung als Methode zur Lösung von solchen Anwendungsproblemen genannt. ===Konkreter Themenbezug=== Zu folgenden mathematischen Themengebieten wird explizit Mathematischen Modellbildung zur unterrichtlichen Umsetzung erwähnt: *Exponentialfunktionen (Wachstums- und Zerfallsprozesse) *Matrizenrechnung (zum Beispiel Input-Output-Analysen, Zustandsübergangsprozesse oder Populationsentwicklung) *Differential- und Integralrechnung (lineare oder logistische Wachstumsprozesse) ===Computereinsatz im Lehrplan=== Auch der Einsatz von computergestützten Hilfs- und Lösungsmitteln im Zuge der Modellbildung wird betont. (Bemerke: Auch im Lehrplan wird ein vergleichbarer Modellbildungszyklus vorgestellt und beschrieben. Bei Bedarf kann dieser auf Seite 15-16<ref> Ministerium für Bildung, Wissensachft, Weiterbildung und Kultur (2015), Lehrplan Mathematik. Grund- und Leistungsfach in der gymnasialen Oberstufe (Mainzer Studienstufe). </ref> nachgelesen werden) ===Zugang zur Bildung für Nachhaltigen Entwicklung=== Durch die Möglichkeit fachübergreifende Fragestellungen zu behandeln und Prozesse der Realität in den Blick zu nehmen, kann mathematische Modellbildung die Brücke zur Bildung für Nachhaltigen Entwicklung (BNE) schlagen. ====Bildung für Nachhaltige Entwicklung==== "Die BNE zielt grundsätzlich darauf ab, es jedem und jeder Einzelnen zu ermöglichen, die Folgen des eigenen Handelns auf die Welt sowie intra- und intergenerationell zu verstehen, verantwortungsvolle Entscheidungen zu treffen und aktiv zu werden." <ref> Ministerium für Bildung. Bildung für nachhaltige Entwicklung. Online abrufbar unter: https://bm.rlp.de/unsere-schwerpunkte/bildung-fuer-nachhaltige-entwicklung </ref> ====BNE und Modellbildung==== Mathematische Modellbildung kann unter praktischer Anwendung von gelernten Inhalten im Schulunterricht zu BNE beitragen, indem eben gezielt Probleme adressiert werden und von Schülerinnen und Schülern eigenständig untersucht werden. ==Ziel und Organisation des Seminars== ===Ziel und Aufgabe=== In Kleingruppen (3-4 Personen) sollen aussermathematische Fragestellungen mit einer eigenen mathematischen Modellbildung behandelt werden. Dazu sollen drei Modellbildungszyklen mit unterschiedlichem Grad an Vereinfachung und unterschiedlicher Mathematischen Grundlage erstellt werden: * Zyklus: Mathematik der Sekundarstufe 1 (Mittelstufe) * Zyklus: Mathematik der Sekundarstufe 2 (Oberstufe) * Zyklus: Universitätsmathematik ====Integration von Software==== In jedem Zyklus sollen computergestützte Untersuchungen und Betrachtungen Einzug erhalten. Somit bietet es sich an in insgesamt auch drei verschiedene Programme (Tabellenkalkulation, GeoGebra, RStudio, Maxima,...) zu integrieren - an manchen stellen lässt sich dies gar nicht vermeiden. ===Themenwahl=== Das Thema sollte einen weltlichen Bezug haben. Am besten eigenen sich Themen aus dem jeweiligen Zweitfach (s. Verbindung zu anderen Schulfächern im Lehrplan). Das Thema sollte nachhaltige Entwicklung im Rahmen der Sustainable Development Goals adressieren. Siehe dazu: https://www.bundesumweltministerium.de/themen/nachhaltigkeit/nachhaltigkeitsziele-sdgs Vorzugsweise: Räumliche Risikobetrachtungen in Desaster- und Katastrophenszenarien. Das Thema sollte sich nicht mit denen der vergangenen Semestern doppeln. Zur Orientierung und Inspiration finden sich hier die Projekte der vergangenen Semester: :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2026 Sommersemester|2026 Sommersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2025-26 Wintersemester|2025/26 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2024-25 Wintersemester|2024/25 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2023-24 Wintersemester|2023/24 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2022-23 Winteresemester|2022/23 Wintersemester]]''' ===Portfolio=== Während des Semesters soll in Gruppenarbeit die Modellbildung durchgeführt werden. Diese wird schriftlich in einem Portfolio festgehalten. Dies Portfolio wird, genau wie dieser Artikel auch, in einem Wikiversity Artikel dokumentiert. Dieser sollte folgendes enthalten: * Einleitung: Beschreibung und Einordnung des Themas & welche(s) SDG wird adressiert und warum? * Ziel der Modellierung: Welches Problem wird in der Modellierung / den einzelnen Zyklen konkret angegangen? * Zyklus 1-3 ** Mathematisches Modell (welche Mathematischen Objekte werden betrachtet, wie ergeben die sich,...) ** Ergebnisse (Ableiten von Resultaten aus dem Modell) ** Bewertung der Ergebnisse ** Grenzen und Limitationen ** Ausblick für nächsten Zyklus (welche Limitationen und Probleme aus dem Zyklus werden im folgenden adressiert?) In allen Punkten der Modellzyklen können Programme computergestützte Tools verwendet werden. Zur Erstellung von Wiki-Seiten ist folgende Seite hilfreich: https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:Textgestaltung ===Prüfung=== Die Prüfung gliedert sich in zwei Aspekte: * '''Vorstellung von ausgewählten Teilen aus dem eigenen Portfolio''' - diese werden von den Prüfer:innen aus dem Portfolio der Studierenden ausgewählt. * '''Diskussion und Fragen''' der Prüfer:innen zu dem Portfolio, z.B. zu Teilen des Portfolios, die in der Vorstellung nicht behandelt werden können. Ein Portfolio kann aus Zeitgründen nie vollständig in der Prüfung dargestellt werden. ====Inhalt==== In der mündlichen Portfolio-Prüfung wird geprüft, ob *das eigene Modell verstanden ist, *das eigene Modell kritisch hinterfragt werden kann, *die Limitationen des Modells begründet und nachvollziehbar wiedergegeben werden können, *die Übergänge zwischen den Zyklen beschrieben und begründet werden können, *die technische Umsetzung reproduziert und erklärt werden kann, *... . ====Präsentation==== Es ist also wichtig zu wissen, was wie an welcher Stelle und mit welchem Zweck in der Modellierung gemacht wurde! Das Portfolio (Wiki-Seite) wird somit konkret vorgestellt. Eine Präsentation des Portfolio kann automatisch mit Wiki2Reveal erstellt werden. === Unterstützungsangebot === * Das Unterstützungsangebot erfolgt in der Lehrveranstaltung zur "Mathematischen Modellbildung". * Eine individuelle Sonderbehandlung für einzelne Studierende, die das Angebot der Vorlesung nicht nutzen und kurz vor Prüfungsbeginn noch "schnell" ein Portfolio zusammenstellen wollen, ist aus zeitlichen Gründen kurz vor der Prüfung nicht möglich. * Portfolioprüfungen der Lehrveranstaltung beziehen sich immer auf das erstellte Portfolio im laufende Semester und bei Wiederholungsprüfungen auf das Semester, in dem Portfolio erstellt wurde. * Eine Prüfung kann nur zu dem eigenen erstellten Portfolio in der Lehrveranstaltung abgelegt werden, an dessen Erstellung man aktiv mitgearbeitet hat. ===Ablauf des Seminars=== Der Seminarablauf über das Semester gestaltet sich grob wie folgt: * 1. Woche (19.10.): Einführungsveranstaltung + Gruppenfindung * 2. Woche (26.10.): Themenfindung * 3. Woche (02.11.): Themenfindung + Zyklen festlegen * 4. Woche (09.11.): Zyklen festlegen * 5. Woche (16.11.): Kurzvorstellung der Themen und Zyklen (5 Minuten pro Gruppe) Ab Woche 6 (23.11.) bis Ende des Semesters wird gemeinsam an den Modellen und dem Portfolio gearbeitet. Empfehlenswert wäre es, die letzten 2-3 Wochen für Finalisierungsarbeiten zu nutzen und entsprechend frühzeitig zu planen! Ausschliesslich während der Seminarzeiten an dem Modell und Portfolio zu arbeiten wird nicht ausreichen! Die Kurzpräsentationen am 16.11. umfassen den aktuellen Stand der Überlegungen und sind noch unter keinen Umständen verbindlich. Stattdessen dient es einfach zur Grundlage von gemeinsamer Diskussion und zur Einbringung von weiteren Ideen. =Hilfreiche Links= ===Fachmathematische Aspekte === Wenn man das Modellierungsproblem in den Mittelpunkt stellt und die Fragestellung den Nachhaltigkeitszielen der UN zuordnet, kommen z.T. fachmathematische Aspekte erforderlich, die nicht in der jeweiligen Schulstufe bzw. in den Vorlesungen behandelt wurden. Dies Kapitel erhält Hinweise zu fachmathematischen Bereichen, die für die mathematische Modellbildung ggf. als Werkzeug verwendet werden können * '''[[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]''' dienen dazu, Datenpunkte im <math>\R^2</math> oder allgemein im <math>\R^n</math> zu [[w:Interpolation_(Mathematik)|interpolieren]]. * '''[https://en.wikiversity.org/wiki/3D_Modelling 3D Modellierung für Projektinhalte]''' und [[w:Projektive_Geometrie|projektive Geometrie]] zur Visualisierung * '''[[Gradientenabstiegsverfahren]]''': Wird verwendet, um sich in der mathematischen Modellbildung iterativ einem Minimum einer Kosten- oder Fehlerfunktion anzunähern. * [[w:Lineare_Optimierung|'''Lineare Optimierung''']] wird in Optimierungshaufgaben wie beispielsweise bei der Suche nach Minimum der Produktionskosten verwendet. Hierbei wird in allgemeinem nach einem Minimium/Maximum einer linearer Zielfunktion über einer Menge gesucht. [https://www.geogebra.org/m/kr727992 '''Ein Beispiel in Geogebra'''] *[[Räumliche Diffusion|'''Räumliche Diffusion''']] *[[Modelle_der_Populationsdynamik|'''Modelle der Populationsdynamik''']] - [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Modelle%20der%20Populationsdynamik&author=Kurs:R%C3%A4umliche%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes (Wiki2Reveal-Folien)] - [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Stochastik/Wahrscheinlichkeitsdichte|Wahrscheinlichkeitsdichte]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Wahrscheinlichkeitsdichte&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wahrscheinlichkeitsdichte&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ===Softwarenutzung === Im PC-Praktikum wurden grundlegende Kenntnisse im Umgang mit Software erlangt, die für die Berechnung von mathematischen Modellen vorwendig sind. Diese Kenntnisse müssen ggf. auf das spezielle Modellierungsthema angepasst und erweitert werden. * '''[[CSV2Chart]]''' Aus CSV-Dateien mathematische Graphen in Wikiversity erstellen. * '''[[Maxima CAS]]''' enthält die verwendeten Werkzeuge und Kommandos eines Computeralgebrasystems (CAS), die die einzelnen Projekte in dem Modellbildungszyklus verwendet haben. * '''[https://sagecell.sagemath.org/ SageCell]''' Online-Umgebung zur Ausführung und Demonstration von Befehlen in R, Octave, Maxima, ... (Auswahl des Befehlssatzes auf der https://sagecell.sagemath.org/ SageCell-Seite] unten rechts auf dem Eingabefeld) * '''[[Statistikprogramm R]]''' enthält die verwendeten Werkzeuge und Kommandos, die für Berechnungen und Veranschaulichungen in den Projekten verwendet haben. * '''[[Tabellenkalkulation]]''' werden in Portfolios in der Regel verwendet, um Daten in den Portfolios aufzubereiten. * '''[[Octave]]''' wird in der Regel verwendet, um numerische Berechnung in der Mathematischen Modellbildung durchzuführen. * '''[[Geogebra]]''' ist eine Dynamische Geometriesoftware, die zur vektoriellen Veranschaulichung von räumlichen Modellierungsproblemen oder auch zur parametrisierten Darstellung von Funktionen verwendet wird (Beispiel: [https://www.geogebra.org/m/e9b349k9 Parkplatzlösung in Geogebra von Shrey T (2017)]). * '''[[w:Screencast|Screencast]]''': Ein Screencast ist eine Bildschirmaufnahme mit Audiokommentaren, die zeigt, wie man z.B. Software bedient. Ein Screencast ist eine Hilfestellung für Lernende, die sich noch nicht so gut mit einer bestimmten Software auskennen. :* [https://obsproject.com/ '''Open Broadcast Software (OBS)''' - Linux, Windows, MacOSX ] - [[Konvexkombination|Beispielvideo in Wikiversity]] * [[v:en:3D_Modelling|'''3D-Modellbildung''' (englisch)]] * '''[http://niebert.github.io/imgmap/ Online-ImageMap-Editor]''' - Anklickbare Bereiche in Wikiversity-Bildern erstellen. * '''[https://openlayers.org/en/latest/examples/heatmap-earthquakes.html HeatMaps]:''' Erstellung von [https://niebert.github.io/openlayer_heatmap HeatMaps mit einem Online-Editor] (Download [https://github.com/niebert/openlayer_heatmap/archive/master.zip Heatmap-Editor und Beispieldaten in Ordner <tt>/HeatMap</tt> in ZIP-Datei]) * '''[[Wiki2Reveal]]:''' Portfolio-Präsentationen direkt im Wikiversity erstellen. ===Editierungshilfen=== * [https://latexeditor.lagrida.com/ Online-Formel-Editor für LaTeX-Formeln]<ref>Lagrida Web-Portal (2021) Online-Latex-Formel-Editor mit Vorschau - URL: https://latexeditor.lagrida.com/ (accessed 2021/11/21))</ref> - die erzeugten Formeln müssen in einen MATH-Tag mit <kbd><math> ...</math></kbd> eingeschlossen werden bei der Seiteneditierung. * [https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:TeX Mathematische Formeln in Wikiversity] * Textgestaltung in Wikis: https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:Textgestaltung ==Wiki2Reveal== * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung2627|Kurs:Mathematische Modellbildung2627]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung2627&author=&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung2627&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] == Verweise == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2026-27%20Wintersemester&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2026-27%20Wintersemester&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung Kurs:Mathematische Modellbildung]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2026-27%20Wintersemester&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] mamfgyrhjv0oe4namfh35p8wnn18lp8 1116538 1116537 2026-10-17T08:26:10Z ~2026-55076-31 41992 /* Ablauf des Seminars */ 1116538 wikitext text/x-wiki ==Begriffsklärung== === Was ist mathematische Modellbildung? === Ganz grob gesagt besteht Mathematische Modellierung oder auch Mathematische Modellbildung darin, reale Fragestellungen mit mathematischen Mitteln zu bearbeiten und sie auf diesem Wege zumindest teilweise zu beantworten<ref> Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., & Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. </ref>. === Was ist ein Modell? === Ein Modell ist dabei gegeben durch innere Scheinbilder oder Repräsentatonen, die nicht zum Bereich der äußeren Gegenstände, sondern zu Vorstellungen von einem solchen realen Gegenstand gehören und ihnen daher auch in gewissen Grenzen etwas Willkürliches anhaftet (Sinngemäß nach Hertz, zitiert von Ortlieb<ref> Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., & Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. </ref>). ==== Eigenschaften von Modellen ==== Somit lassen sich vereinfacht und verkürzt folgende Eigenschaften ableiten (Stachowiak, zitiert nach Saam <ref> Saam, N. J. (2009). Modellbildung. In Handbuch Methoden der Organisationsforschung: Quantitative und Qualitative Methoden (pp. 517-532). Wiesbaden: VS Verlag für Sozialwissenschaften. </ref>): * '''Abbildungsmerkmal:''' Modelle repräsentieren die Realität, existieren jedoch nicht in der Realität * '''Verkürzungsmerkmal:''' Modelle beschreiben das Objekt nicht exakt, sondern stets vereinfacht * '''Pragmatisches Merkmal:''' Modelle verfolgen einen gewissen Zweck: Sie ersetzen eine nicht abbildbare Realität um Fragestellungen zu beantwortbar zu machen ==== Typisches Beispiele ==== * Betrachtungen in der Physik (Federpendel, Bewegungsgesetze,...) - Physik und Mathematische Modellbildung sind sehr eng miteinander verwoben * Populationsdynamiken und Ausbreitugnsschemata in der Biologie (vgl. Lotka-Volterra Modell) * Bewegungsanalysen und Optimierungen in den Sportwissenschaften * Untersuchungen von Transport- und Umweltprozessen in Biologie, Chemie, Physik, Technik,... * Bedarfs- und Verbrauchs- und Verhaltensanalysen in Geisteswissenschaften === Mathematische Modelle === Mathematische Modelle werden gemessen und bewertet anhand <ref> Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., & Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. </ref>: * '''Zulässigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte in sich widerspruchsfrei sein. * '''Richtigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte im Vergleich mit der Realität keine Widersprüche zu offensichtlich richtigen Tatsachen aufweisen. * '''Zweckmäßigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte genau den Detailgrad beinhalten, den es zum Erfüllen des Zwecks benötigt, nicht mehr und nicht weniger. ==== Gegenbeispiele für mathematische Modelle ==== Gegenbeispiele wären: * Ein nicht zulässiges Modell könnte bei einer Betrachtung einer Punktmasse im Raum dennoch Luftwiederstände berücksichtigen (Punkte haben kein Volumen) * Ein nicht richtiges Modell könnte bei der Modellierung von Transportprozessen von Schadstoffen die Massenerhaltung vernachlässigen. * Ein nicht zweckmäßiges Modell könnte bei dem Versuch den perfekten Abwurfwinkel beim Speerwurf die Krümmung der Erdoberfläche berücksichtigen. ==== Bemerkung - Kriterien ==== Die Kriterien, insbesondere Richtigkeit und Zweckmäßigkeit, sind nicht 100% operational. Einerseits fordert die Richtigkeit, keine bekannten Tatsachen auszulassen, andererseits dürfen hinsichtlich einer passenden Zweckmäßigkeit auch nur ausreichend viele Details integriert werden. ==Der Modellbildungszyklus== Wie kommt man nun von einer Realen Situation, die ein Problem aufwirft zu einem adäquaten mathematischen Modell? Dazu hat sich als möglichst allgemeine Vorgehensweise der Modellbildungszyklus ergeben: [[Datei:Modellbildungszyklus Mod6.png|miniatur|Modellbildungszyklus]] ===Verlauf des MBZ === Der Modellbildungszyklus beschreibt schematisch die iterative Erstellung einer mathematischen Modellbildung: * Ausgangspunkt ist eine reale Situation, die ein Problem aufwirft, die von dem mathematischen Modell adressiert werden soll * Dieses Problem wird inhaltlich erfasst, anschließend mathematisch Übersetzt (Betrachten von Gleichungen, Funktionen, Geometrischen Objekten,...) =====Modellbildungsschleife===== * Durch das Betrachten von mathematischen Objekten können über passende Operationen deduktiv Resultate geschlussfolgert werden * Diese Resultate werden mit der Realsituation abgeglichen * Aus dem Vergleich werden mögliche Optimierungen und Limitationen des Modells abgeleitet * Durch die Limitationen werden kann das Modell weiterentwickelt werden Diese Schritte können/müssen dabei mehrfach durchlaufen werden. =====Integration von Software===== Die Integration von computergestützter Software ist in der mathematischen Modellbildung definitionsgemäss nicht zwingend erforderlich, für die meisten anwendungsbezogenen Modellierungen jedoch unumgänglich. ==Konkretes Beispiel einer Mathematischen Modellbildung== [[Kurs:Mathematische_Modellbildung/Themen/Radioaktivit%C3%A4t_und_Risikoliteralit%C3%A4t]] [[Datei:Screenshot 2D Ansicht Resultate.png|miniatur|alternativtext=Ansicht der möglichen Auftreffpunkte des radioaktiven Niederschlags|Ansicht der möglichen Auftreffpunkte des radioaktiven Niederschlags]] [[File:Zeitliche Abhängigkeit der Risikofunktion.gif|thumb|Das GIF zeigt die Zeitliche Abhängigkeit der Risikofunktion]] === Ziel der Modellierung === Ziel in dieser Modellierung war es, ein Modell zur räumlichen und zeitlichen Ausbreitung einer radioaktiv belasteten Wolke, sowie dessen Rain-Out, infolge einer Reaktorkatastrophe am (mittlerweile abgeschalteten) Kernkraftwerk in Philippsburg zu beschreiben. Unter zu Hilfenahme von Messwerten von dem Reaktorunglück in Tschernobyl und den Halbwertszeiten des radioaktiven Materials wurde der zeitliche Zerfall erfasst. Der Transport von radioaktiven Material wurde durch eine Kugel im <math> \mathbb{R}^3 </math> modelliert. Diese bewegt sich gemäss einer variablen Windrichtung (gegeben durch Winkel <math> \alpha </math>) und regnet sich nach einer gewissen Durchschnittsdauer ab. === Endresultat === Es wurde in drei Modellbildungszyklen eine Funktion zur Beschreibung der radioaktiven Belastung (repräsentativ für das Risiko) abgeleitet: <math>u(x,y,t,\alpha)=\frac{1480\cdot e^{-\frac{ln(2)}{30a} \cdot t}}{1+\frac{7}{10.000}\cdot (x^2+y^2)}+\frac{40\cdot e^{-\frac{ln(2)}{30a} \cdot t}}{1+\frac{1}{7.500}\cdot ((x-1080cos(\alpha))^2+(y-1080sin(\alpha))^2)}</math> Letztlich erhält man also eine Funktion die in ihrem Ausgabewert <math>z=u(x,y,t,\alpha)</math> abhängig von 4 Eingabewerten <math>x, y, t, \alpha </math> ist. ==Modellbildung in der Schule== ===Einbindung in den Lehrplan=== Die mathematische Modellbildung ist stark in den Mathematik-Lehrplan für Schulen in Rheinland-Pfalz integriert (hier wird sich an dem Lehrplan für Sekundarstufe II orientiert <ref> Ministerium für Bildung, Wissensachft, Weiterbildung und Kultur (2015), Lehrplan Mathematik. Grund- und Leistungsfach in der gymnasialen Oberstufe (Mainzer Studienstufe) </ref>). Im Bezug zu Problemlösen im Mathematikunterricht und Mathematik im fachübergreifenden Kontext, sollen Anwendungsbeispiele Einzug halten, die Schülerinnen und Schülern aus anderen Fächern bekannt sind. In diesem Zusammenhang wird mathematische Modellbildung als Methode zur Lösung von solchen Anwendungsproblemen genannt. ===Konkreter Themenbezug=== Zu folgenden mathematischen Themengebieten wird explizit Mathematischen Modellbildung zur unterrichtlichen Umsetzung erwähnt: *Exponentialfunktionen (Wachstums- und Zerfallsprozesse) *Matrizenrechnung (zum Beispiel Input-Output-Analysen, Zustandsübergangsprozesse oder Populationsentwicklung) *Differential- und Integralrechnung (lineare oder logistische Wachstumsprozesse) ===Computereinsatz im Lehrplan=== Auch der Einsatz von computergestützten Hilfs- und Lösungsmitteln im Zuge der Modellbildung wird betont. (Bemerke: Auch im Lehrplan wird ein vergleichbarer Modellbildungszyklus vorgestellt und beschrieben. Bei Bedarf kann dieser auf Seite 15-16<ref> Ministerium für Bildung, Wissensachft, Weiterbildung und Kultur (2015), Lehrplan Mathematik. Grund- und Leistungsfach in der gymnasialen Oberstufe (Mainzer Studienstufe). </ref> nachgelesen werden) ===Zugang zur Bildung für Nachhaltigen Entwicklung=== Durch die Möglichkeit fachübergreifende Fragestellungen zu behandeln und Prozesse der Realität in den Blick zu nehmen, kann mathematische Modellbildung die Brücke zur Bildung für Nachhaltigen Entwicklung (BNE) schlagen. ====Bildung für Nachhaltige Entwicklung==== "Die BNE zielt grundsätzlich darauf ab, es jedem und jeder Einzelnen zu ermöglichen, die Folgen des eigenen Handelns auf die Welt sowie intra- und intergenerationell zu verstehen, verantwortungsvolle Entscheidungen zu treffen und aktiv zu werden." <ref> Ministerium für Bildung. Bildung für nachhaltige Entwicklung. Online abrufbar unter: https://bm.rlp.de/unsere-schwerpunkte/bildung-fuer-nachhaltige-entwicklung </ref> ====BNE und Modellbildung==== Mathematische Modellbildung kann unter praktischer Anwendung von gelernten Inhalten im Schulunterricht zu BNE beitragen, indem eben gezielt Probleme adressiert werden und von Schülerinnen und Schülern eigenständig untersucht werden. ==Ziel und Organisation des Seminars== ===Ziel und Aufgabe=== In Kleingruppen (3-4 Personen) sollen aussermathematische Fragestellungen mit einer eigenen mathematischen Modellbildung behandelt werden. Dazu sollen drei Modellbildungszyklen mit unterschiedlichem Grad an Vereinfachung und unterschiedlicher Mathematischen Grundlage erstellt werden: * Zyklus: Mathematik der Sekundarstufe 1 (Mittelstufe) * Zyklus: Mathematik der Sekundarstufe 2 (Oberstufe) * Zyklus: Universitätsmathematik ====Integration von Software==== In jedem Zyklus sollen computergestützte Untersuchungen und Betrachtungen Einzug erhalten. Somit bietet es sich an in insgesamt auch drei verschiedene Programme (Tabellenkalkulation, GeoGebra, RStudio, Maxima,...) zu integrieren - an manchen stellen lässt sich dies gar nicht vermeiden. ===Themenwahl=== Das Thema sollte einen weltlichen Bezug haben. Am besten eigenen sich Themen aus dem jeweiligen Zweitfach (s. Verbindung zu anderen Schulfächern im Lehrplan). Das Thema sollte nachhaltige Entwicklung im Rahmen der Sustainable Development Goals adressieren. Siehe dazu: https://www.bundesumweltministerium.de/themen/nachhaltigkeit/nachhaltigkeitsziele-sdgs Vorzugsweise: Räumliche Risikobetrachtungen in Desaster- und Katastrophenszenarien. Das Thema sollte sich nicht mit denen der vergangenen Semestern doppeln. Zur Orientierung und Inspiration finden sich hier die Projekte der vergangenen Semester: :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2026 Sommersemester|2026 Sommersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2025-26 Wintersemester|2025/26 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2024-25 Wintersemester|2024/25 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2023-24 Wintersemester|2023/24 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2022-23 Winteresemester|2022/23 Wintersemester]]''' ===Portfolio=== Während des Semesters soll in Gruppenarbeit die Modellbildung durchgeführt werden. Diese wird schriftlich in einem Portfolio festgehalten. Dies Portfolio wird, genau wie dieser Artikel auch, in einem Wikiversity Artikel dokumentiert. Dieser sollte folgendes enthalten: * Einleitung: Beschreibung und Einordnung des Themas & welche(s) SDG wird adressiert und warum? * Ziel der Modellierung: Welches Problem wird in der Modellierung / den einzelnen Zyklen konkret angegangen? * Zyklus 1-3 ** Mathematisches Modell (welche Mathematischen Objekte werden betrachtet, wie ergeben die sich,...) ** Ergebnisse (Ableiten von Resultaten aus dem Modell) ** Bewertung der Ergebnisse ** Grenzen und Limitationen ** Ausblick für nächsten Zyklus (welche Limitationen und Probleme aus dem Zyklus werden im folgenden adressiert?) In allen Punkten der Modellzyklen können Programme computergestützte Tools verwendet werden. Zur Erstellung von Wiki-Seiten ist folgende Seite hilfreich: https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:Textgestaltung ===Prüfung=== Die Prüfung gliedert sich in zwei Aspekte: * '''Vorstellung von ausgewählten Teilen aus dem eigenen Portfolio''' - diese werden von den Prüfer:innen aus dem Portfolio der Studierenden ausgewählt. * '''Diskussion und Fragen''' der Prüfer:innen zu dem Portfolio, z.B. zu Teilen des Portfolios, die in der Vorstellung nicht behandelt werden können. Ein Portfolio kann aus Zeitgründen nie vollständig in der Prüfung dargestellt werden. ====Inhalt==== In der mündlichen Portfolio-Prüfung wird geprüft, ob *das eigene Modell verstanden ist, *das eigene Modell kritisch hinterfragt werden kann, *die Limitationen des Modells begründet und nachvollziehbar wiedergegeben werden können, *die Übergänge zwischen den Zyklen beschrieben und begründet werden können, *die technische Umsetzung reproduziert und erklärt werden kann, *... . ====Präsentation==== Es ist also wichtig zu wissen, was wie an welcher Stelle und mit welchem Zweck in der Modellierung gemacht wurde! Das Portfolio (Wiki-Seite) wird somit konkret vorgestellt. Eine Präsentation des Portfolio kann automatisch mit Wiki2Reveal erstellt werden. === Unterstützungsangebot === * Das Unterstützungsangebot erfolgt in der Lehrveranstaltung zur "Mathematischen Modellbildung". * Eine individuelle Sonderbehandlung für einzelne Studierende, die das Angebot der Vorlesung nicht nutzen und kurz vor Prüfungsbeginn noch "schnell" ein Portfolio zusammenstellen wollen, ist aus zeitlichen Gründen kurz vor der Prüfung nicht möglich. * Portfolioprüfungen der Lehrveranstaltung beziehen sich immer auf das erstellte Portfolio im laufende Semester und bei Wiederholungsprüfungen auf das Semester, in dem Portfolio erstellt wurde. * Eine Prüfung kann nur zu dem eigenen erstellten Portfolio in der Lehrveranstaltung abgelegt werden, an dessen Erstellung man aktiv mitgearbeitet hat. ===Ablauf des Seminars=== Der Seminarablauf über das Semester gestaltet sich grob wie folgt: * 1. Woche (19.10.): Einführungsveranstaltung + Gruppenfindung * 2. Woche (26.10.): Themenfindung * 3. Woche (02.11.): Themenfindung + Zyklen festlegen * 4. Woche (09.11.): Zyklen festlegen * 5. Woche (16.11.): Kurzvorstellung der Themen und Zyklen (5 Minuten pro Gruppe) Ab Woche 6 (23.11.) bis Ende des Semesters wird gemeinsam an den Modellen und dem Portfolio gearbeitet. ====Zeitplan==== Empfehlenswert wäre es, die letzten 2-3 Wochen für Finalisierungsarbeiten zu nutzen und entsprechend frühzeitig zu planen! Ausschliesslich während der Seminarzeiten an dem Modell und Portfolio zu arbeiten wird nicht ausreichen! Die Kurzpräsentationen am 16.11. umfassen den aktuellen Stand der Überlegungen und sind noch unter keinen Umständen verbindlich. Stattdessen dient es einfach zur Grundlage von gemeinsamer Diskussion und zur Einbringung von weiteren Ideen. =Hilfreiche Links= ===Fachmathematische Aspekte === Wenn man das Modellierungsproblem in den Mittelpunkt stellt und die Fragestellung den Nachhaltigkeitszielen der UN zuordnet, kommen z.T. fachmathematische Aspekte erforderlich, die nicht in der jeweiligen Schulstufe bzw. in den Vorlesungen behandelt wurden. Dies Kapitel erhält Hinweise zu fachmathematischen Bereichen, die für die mathematische Modellbildung ggf. als Werkzeug verwendet werden können * '''[[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]''' dienen dazu, Datenpunkte im <math>\R^2</math> oder allgemein im <math>\R^n</math> zu [[w:Interpolation_(Mathematik)|interpolieren]]. * '''[https://en.wikiversity.org/wiki/3D_Modelling 3D Modellierung für Projektinhalte]''' und [[w:Projektive_Geometrie|projektive Geometrie]] zur Visualisierung * '''[[Gradientenabstiegsverfahren]]''': Wird verwendet, um sich in der mathematischen Modellbildung iterativ einem Minimum einer Kosten- oder Fehlerfunktion anzunähern. * [[w:Lineare_Optimierung|'''Lineare Optimierung''']] wird in Optimierungshaufgaben wie beispielsweise bei der Suche nach Minimum der Produktionskosten verwendet. Hierbei wird in allgemeinem nach einem Minimium/Maximum einer linearer Zielfunktion über einer Menge gesucht. [https://www.geogebra.org/m/kr727992 '''Ein Beispiel in Geogebra'''] *[[Räumliche Diffusion|'''Räumliche Diffusion''']] *[[Modelle_der_Populationsdynamik|'''Modelle der Populationsdynamik''']] - [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Modelle%20der%20Populationsdynamik&author=Kurs:R%C3%A4umliche%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes (Wiki2Reveal-Folien)] - [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Stochastik/Wahrscheinlichkeitsdichte|Wahrscheinlichkeitsdichte]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Wahrscheinlichkeitsdichte&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wahrscheinlichkeitsdichte&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ===Softwarenutzung === Im PC-Praktikum wurden grundlegende Kenntnisse im Umgang mit Software erlangt, die für die Berechnung von mathematischen Modellen vorwendig sind. Diese Kenntnisse müssen ggf. auf das spezielle Modellierungsthema angepasst und erweitert werden. * '''[[CSV2Chart]]''' Aus CSV-Dateien mathematische Graphen in Wikiversity erstellen. * '''[[Maxima CAS]]''' enthält die verwendeten Werkzeuge und Kommandos eines Computeralgebrasystems (CAS), die die einzelnen Projekte in dem Modellbildungszyklus verwendet haben. * '''[https://sagecell.sagemath.org/ SageCell]''' Online-Umgebung zur Ausführung und Demonstration von Befehlen in R, Octave, Maxima, ... (Auswahl des Befehlssatzes auf der https://sagecell.sagemath.org/ SageCell-Seite] unten rechts auf dem Eingabefeld) * '''[[Statistikprogramm R]]''' enthält die verwendeten Werkzeuge und Kommandos, die für Berechnungen und Veranschaulichungen in den Projekten verwendet haben. * '''[[Tabellenkalkulation]]''' werden in Portfolios in der Regel verwendet, um Daten in den Portfolios aufzubereiten. * '''[[Octave]]''' wird in der Regel verwendet, um numerische Berechnung in der Mathematischen Modellbildung durchzuführen. * '''[[Geogebra]]''' ist eine Dynamische Geometriesoftware, die zur vektoriellen Veranschaulichung von räumlichen Modellierungsproblemen oder auch zur parametrisierten Darstellung von Funktionen verwendet wird (Beispiel: [https://www.geogebra.org/m/e9b349k9 Parkplatzlösung in Geogebra von Shrey T (2017)]). * '''[[w:Screencast|Screencast]]''': Ein Screencast ist eine Bildschirmaufnahme mit Audiokommentaren, die zeigt, wie man z.B. Software bedient. Ein Screencast ist eine Hilfestellung für Lernende, die sich noch nicht so gut mit einer bestimmten Software auskennen. :* [https://obsproject.com/ '''Open Broadcast Software (OBS)''' - Linux, Windows, MacOSX ] - [[Konvexkombination|Beispielvideo in Wikiversity]] * [[v:en:3D_Modelling|'''3D-Modellbildung''' (englisch)]] * '''[http://niebert.github.io/imgmap/ Online-ImageMap-Editor]''' - Anklickbare Bereiche in Wikiversity-Bildern erstellen. * '''[https://openlayers.org/en/latest/examples/heatmap-earthquakes.html HeatMaps]:''' Erstellung von [https://niebert.github.io/openlayer_heatmap HeatMaps mit einem Online-Editor] (Download [https://github.com/niebert/openlayer_heatmap/archive/master.zip Heatmap-Editor und Beispieldaten in Ordner <tt>/HeatMap</tt> in ZIP-Datei]) * '''[[Wiki2Reveal]]:''' Portfolio-Präsentationen direkt im Wikiversity erstellen. ===Editierungshilfen=== * [https://latexeditor.lagrida.com/ Online-Formel-Editor für LaTeX-Formeln]<ref>Lagrida Web-Portal (2021) Online-Latex-Formel-Editor mit Vorschau - URL: https://latexeditor.lagrida.com/ (accessed 2021/11/21))</ref> - die erzeugten Formeln müssen in einen MATH-Tag mit <kbd><math> ...</math></kbd> eingeschlossen werden bei der Seiteneditierung. * [https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:TeX Mathematische Formeln in Wikiversity] * Textgestaltung in Wikis: https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:Textgestaltung ==Wiki2Reveal== * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung2627|Kurs:Mathematische Modellbildung2627]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung2627&author=&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung2627&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] == Verweise == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2026-27%20Wintersemester&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2026-27%20Wintersemester&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung Kurs:Mathematische Modellbildung]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2026-27%20Wintersemester&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 3w059dc3a9dhphjezcrl8qxgaty06nr 1116539 1116538 2026-10-17T08:26:44Z ~2026-55076-31 41992 /* Portfolio */ 1116539 wikitext text/x-wiki ==Begriffsklärung== === Was ist mathematische Modellbildung? === Ganz grob gesagt besteht Mathematische Modellierung oder auch Mathematische Modellbildung darin, reale Fragestellungen mit mathematischen Mitteln zu bearbeiten und sie auf diesem Wege zumindest teilweise zu beantworten<ref> Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., & Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. </ref>. === Was ist ein Modell? === Ein Modell ist dabei gegeben durch innere Scheinbilder oder Repräsentatonen, die nicht zum Bereich der äußeren Gegenstände, sondern zu Vorstellungen von einem solchen realen Gegenstand gehören und ihnen daher auch in gewissen Grenzen etwas Willkürliches anhaftet (Sinngemäß nach Hertz, zitiert von Ortlieb<ref> Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., & Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. </ref>). ==== Eigenschaften von Modellen ==== Somit lassen sich vereinfacht und verkürzt folgende Eigenschaften ableiten (Stachowiak, zitiert nach Saam <ref> Saam, N. J. (2009). Modellbildung. In Handbuch Methoden der Organisationsforschung: Quantitative und Qualitative Methoden (pp. 517-532). Wiesbaden: VS Verlag für Sozialwissenschaften. </ref>): * '''Abbildungsmerkmal:''' Modelle repräsentieren die Realität, existieren jedoch nicht in der Realität * '''Verkürzungsmerkmal:''' Modelle beschreiben das Objekt nicht exakt, sondern stets vereinfacht * '''Pragmatisches Merkmal:''' Modelle verfolgen einen gewissen Zweck: Sie ersetzen eine nicht abbildbare Realität um Fragestellungen zu beantwortbar zu machen ==== Typisches Beispiele ==== * Betrachtungen in der Physik (Federpendel, Bewegungsgesetze,...) - Physik und Mathematische Modellbildung sind sehr eng miteinander verwoben * Populationsdynamiken und Ausbreitugnsschemata in der Biologie (vgl. Lotka-Volterra Modell) * Bewegungsanalysen und Optimierungen in den Sportwissenschaften * Untersuchungen von Transport- und Umweltprozessen in Biologie, Chemie, Physik, Technik,... * Bedarfs- und Verbrauchs- und Verhaltensanalysen in Geisteswissenschaften === Mathematische Modelle === Mathematische Modelle werden gemessen und bewertet anhand <ref> Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., & Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. </ref>: * '''Zulässigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte in sich widerspruchsfrei sein. * '''Richtigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte im Vergleich mit der Realität keine Widersprüche zu offensichtlich richtigen Tatsachen aufweisen. * '''Zweckmäßigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte genau den Detailgrad beinhalten, den es zum Erfüllen des Zwecks benötigt, nicht mehr und nicht weniger. ==== Gegenbeispiele für mathematische Modelle ==== Gegenbeispiele wären: * Ein nicht zulässiges Modell könnte bei einer Betrachtung einer Punktmasse im Raum dennoch Luftwiederstände berücksichtigen (Punkte haben kein Volumen) * Ein nicht richtiges Modell könnte bei der Modellierung von Transportprozessen von Schadstoffen die Massenerhaltung vernachlässigen. * Ein nicht zweckmäßiges Modell könnte bei dem Versuch den perfekten Abwurfwinkel beim Speerwurf die Krümmung der Erdoberfläche berücksichtigen. ==== Bemerkung - Kriterien ==== Die Kriterien, insbesondere Richtigkeit und Zweckmäßigkeit, sind nicht 100% operational. Einerseits fordert die Richtigkeit, keine bekannten Tatsachen auszulassen, andererseits dürfen hinsichtlich einer passenden Zweckmäßigkeit auch nur ausreichend viele Details integriert werden. ==Der Modellbildungszyklus== Wie kommt man nun von einer Realen Situation, die ein Problem aufwirft zu einem adäquaten mathematischen Modell? Dazu hat sich als möglichst allgemeine Vorgehensweise der Modellbildungszyklus ergeben: [[Datei:Modellbildungszyklus Mod6.png|miniatur|Modellbildungszyklus]] ===Verlauf des MBZ === Der Modellbildungszyklus beschreibt schematisch die iterative Erstellung einer mathematischen Modellbildung: * Ausgangspunkt ist eine reale Situation, die ein Problem aufwirft, die von dem mathematischen Modell adressiert werden soll * Dieses Problem wird inhaltlich erfasst, anschließend mathematisch Übersetzt (Betrachten von Gleichungen, Funktionen, Geometrischen Objekten,...) =====Modellbildungsschleife===== * Durch das Betrachten von mathematischen Objekten können über passende Operationen deduktiv Resultate geschlussfolgert werden * Diese Resultate werden mit der Realsituation abgeglichen * Aus dem Vergleich werden mögliche Optimierungen und Limitationen des Modells abgeleitet * Durch die Limitationen werden kann das Modell weiterentwickelt werden Diese Schritte können/müssen dabei mehrfach durchlaufen werden. =====Integration von Software===== Die Integration von computergestützter Software ist in der mathematischen Modellbildung definitionsgemäss nicht zwingend erforderlich, für die meisten anwendungsbezogenen Modellierungen jedoch unumgänglich. ==Konkretes Beispiel einer Mathematischen Modellbildung== [[Kurs:Mathematische_Modellbildung/Themen/Radioaktivit%C3%A4t_und_Risikoliteralit%C3%A4t]] [[Datei:Screenshot 2D Ansicht Resultate.png|miniatur|alternativtext=Ansicht der möglichen Auftreffpunkte des radioaktiven Niederschlags|Ansicht der möglichen Auftreffpunkte des radioaktiven Niederschlags]] [[File:Zeitliche Abhängigkeit der Risikofunktion.gif|thumb|Das GIF zeigt die Zeitliche Abhängigkeit der Risikofunktion]] === Ziel der Modellierung === Ziel in dieser Modellierung war es, ein Modell zur räumlichen und zeitlichen Ausbreitung einer radioaktiv belasteten Wolke, sowie dessen Rain-Out, infolge einer Reaktorkatastrophe am (mittlerweile abgeschalteten) Kernkraftwerk in Philippsburg zu beschreiben. Unter zu Hilfenahme von Messwerten von dem Reaktorunglück in Tschernobyl und den Halbwertszeiten des radioaktiven Materials wurde der zeitliche Zerfall erfasst. Der Transport von radioaktiven Material wurde durch eine Kugel im <math> \mathbb{R}^3 </math> modelliert. Diese bewegt sich gemäss einer variablen Windrichtung (gegeben durch Winkel <math> \alpha </math>) und regnet sich nach einer gewissen Durchschnittsdauer ab. === Endresultat === Es wurde in drei Modellbildungszyklen eine Funktion zur Beschreibung der radioaktiven Belastung (repräsentativ für das Risiko) abgeleitet: <math>u(x,y,t,\alpha)=\frac{1480\cdot e^{-\frac{ln(2)}{30a} \cdot t}}{1+\frac{7}{10.000}\cdot (x^2+y^2)}+\frac{40\cdot e^{-\frac{ln(2)}{30a} \cdot t}}{1+\frac{1}{7.500}\cdot ((x-1080cos(\alpha))^2+(y-1080sin(\alpha))^2)}</math> Letztlich erhält man also eine Funktion die in ihrem Ausgabewert <math>z=u(x,y,t,\alpha)</math> abhängig von 4 Eingabewerten <math>x, y, t, \alpha </math> ist. ==Modellbildung in der Schule== ===Einbindung in den Lehrplan=== Die mathematische Modellbildung ist stark in den Mathematik-Lehrplan für Schulen in Rheinland-Pfalz integriert (hier wird sich an dem Lehrplan für Sekundarstufe II orientiert <ref> Ministerium für Bildung, Wissensachft, Weiterbildung und Kultur (2015), Lehrplan Mathematik. Grund- und Leistungsfach in der gymnasialen Oberstufe (Mainzer Studienstufe) </ref>). Im Bezug zu Problemlösen im Mathematikunterricht und Mathematik im fachübergreifenden Kontext, sollen Anwendungsbeispiele Einzug halten, die Schülerinnen und Schülern aus anderen Fächern bekannt sind. In diesem Zusammenhang wird mathematische Modellbildung als Methode zur Lösung von solchen Anwendungsproblemen genannt. ===Konkreter Themenbezug=== Zu folgenden mathematischen Themengebieten wird explizit Mathematischen Modellbildung zur unterrichtlichen Umsetzung erwähnt: *Exponentialfunktionen (Wachstums- und Zerfallsprozesse) *Matrizenrechnung (zum Beispiel Input-Output-Analysen, Zustandsübergangsprozesse oder Populationsentwicklung) *Differential- und Integralrechnung (lineare oder logistische Wachstumsprozesse) ===Computereinsatz im Lehrplan=== Auch der Einsatz von computergestützten Hilfs- und Lösungsmitteln im Zuge der Modellbildung wird betont. (Bemerke: Auch im Lehrplan wird ein vergleichbarer Modellbildungszyklus vorgestellt und beschrieben. Bei Bedarf kann dieser auf Seite 15-16<ref> Ministerium für Bildung, Wissensachft, Weiterbildung und Kultur (2015), Lehrplan Mathematik. Grund- und Leistungsfach in der gymnasialen Oberstufe (Mainzer Studienstufe). </ref> nachgelesen werden) ===Zugang zur Bildung für Nachhaltigen Entwicklung=== Durch die Möglichkeit fachübergreifende Fragestellungen zu behandeln und Prozesse der Realität in den Blick zu nehmen, kann mathematische Modellbildung die Brücke zur Bildung für Nachhaltigen Entwicklung (BNE) schlagen. ====Bildung für Nachhaltige Entwicklung==== "Die BNE zielt grundsätzlich darauf ab, es jedem und jeder Einzelnen zu ermöglichen, die Folgen des eigenen Handelns auf die Welt sowie intra- und intergenerationell zu verstehen, verantwortungsvolle Entscheidungen zu treffen und aktiv zu werden." <ref> Ministerium für Bildung. Bildung für nachhaltige Entwicklung. Online abrufbar unter: https://bm.rlp.de/unsere-schwerpunkte/bildung-fuer-nachhaltige-entwicklung </ref> ====BNE und Modellbildung==== Mathematische Modellbildung kann unter praktischer Anwendung von gelernten Inhalten im Schulunterricht zu BNE beitragen, indem eben gezielt Probleme adressiert werden und von Schülerinnen und Schülern eigenständig untersucht werden. ==Ziel und Organisation des Seminars== ===Ziel und Aufgabe=== In Kleingruppen (3-4 Personen) sollen aussermathematische Fragestellungen mit einer eigenen mathematischen Modellbildung behandelt werden. Dazu sollen drei Modellbildungszyklen mit unterschiedlichem Grad an Vereinfachung und unterschiedlicher Mathematischen Grundlage erstellt werden: * Zyklus: Mathematik der Sekundarstufe 1 (Mittelstufe) * Zyklus: Mathematik der Sekundarstufe 2 (Oberstufe) * Zyklus: Universitätsmathematik ====Integration von Software==== In jedem Zyklus sollen computergestützte Untersuchungen und Betrachtungen Einzug erhalten. Somit bietet es sich an in insgesamt auch drei verschiedene Programme (Tabellenkalkulation, GeoGebra, RStudio, Maxima,...) zu integrieren - an manchen stellen lässt sich dies gar nicht vermeiden. ===Themenwahl=== Das Thema sollte einen weltlichen Bezug haben. Am besten eigenen sich Themen aus dem jeweiligen Zweitfach (s. Verbindung zu anderen Schulfächern im Lehrplan). Das Thema sollte nachhaltige Entwicklung im Rahmen der Sustainable Development Goals adressieren. Siehe dazu: https://www.bundesumweltministerium.de/themen/nachhaltigkeit/nachhaltigkeitsziele-sdgs Vorzugsweise: Räumliche Risikobetrachtungen in Desaster- und Katastrophenszenarien. Das Thema sollte sich nicht mit denen der vergangenen Semestern doppeln. Zur Orientierung und Inspiration finden sich hier die Projekte der vergangenen Semester: :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2026 Sommersemester|2026 Sommersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2025-26 Wintersemester|2025/26 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2024-25 Wintersemester|2024/25 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2023-24 Wintersemester|2023/24 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2022-23 Winteresemester|2022/23 Wintersemester]]''' ===Portfolio=== Während des Semesters soll in Gruppenarbeit die Modellbildung durchgeführt werden. Diese wird schriftlich in einem Portfolio festgehalten. Dies Portfolio wird, genau wie dieser Artikel auch, in einem Wikiversity Artikel dokumentiert. Dieser sollte folgendes enthalten: ====Inhalt Portfolio==== * Einleitung: Beschreibung und Einordnung des Themas & welche(s) SDG wird adressiert und warum? * Ziel der Modellierung: Welches Problem wird in der Modellierung / den einzelnen Zyklen konkret angegangen? * Zyklus 1-3 ** Mathematisches Modell (welche Mathematischen Objekte werden betrachtet, wie ergeben die sich,...) ** Ergebnisse (Ableiten von Resultaten aus dem Modell) ** Bewertung der Ergebnisse ** Grenzen und Limitationen ** Ausblick für nächsten Zyklus (welche Limitationen und Probleme aus dem Zyklus werden im folgenden adressiert?) ====Integration Computersoftware==== In allen Punkten der Modellzyklen können Programme computergestützte Tools verwendet werden. Zur Erstellung von Wiki-Seiten ist folgende Seite hilfreich: https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:Textgestaltung ===Prüfung=== Die Prüfung gliedert sich in zwei Aspekte: * '''Vorstellung von ausgewählten Teilen aus dem eigenen Portfolio''' - diese werden von den Prüfer:innen aus dem Portfolio der Studierenden ausgewählt. * '''Diskussion und Fragen''' der Prüfer:innen zu dem Portfolio, z.B. zu Teilen des Portfolios, die in der Vorstellung nicht behandelt werden können. Ein Portfolio kann aus Zeitgründen nie vollständig in der Prüfung dargestellt werden. ====Inhalt==== In der mündlichen Portfolio-Prüfung wird geprüft, ob *das eigene Modell verstanden ist, *das eigene Modell kritisch hinterfragt werden kann, *die Limitationen des Modells begründet und nachvollziehbar wiedergegeben werden können, *die Übergänge zwischen den Zyklen beschrieben und begründet werden können, *die technische Umsetzung reproduziert und erklärt werden kann, *... . ====Präsentation==== Es ist also wichtig zu wissen, was wie an welcher Stelle und mit welchem Zweck in der Modellierung gemacht wurde! Das Portfolio (Wiki-Seite) wird somit konkret vorgestellt. Eine Präsentation des Portfolio kann automatisch mit Wiki2Reveal erstellt werden. === Unterstützungsangebot === * Das Unterstützungsangebot erfolgt in der Lehrveranstaltung zur "Mathematischen Modellbildung". * Eine individuelle Sonderbehandlung für einzelne Studierende, die das Angebot der Vorlesung nicht nutzen und kurz vor Prüfungsbeginn noch "schnell" ein Portfolio zusammenstellen wollen, ist aus zeitlichen Gründen kurz vor der Prüfung nicht möglich. * Portfolioprüfungen der Lehrveranstaltung beziehen sich immer auf das erstellte Portfolio im laufende Semester und bei Wiederholungsprüfungen auf das Semester, in dem Portfolio erstellt wurde. * Eine Prüfung kann nur zu dem eigenen erstellten Portfolio in der Lehrveranstaltung abgelegt werden, an dessen Erstellung man aktiv mitgearbeitet hat. ===Ablauf des Seminars=== Der Seminarablauf über das Semester gestaltet sich grob wie folgt: * 1. Woche (19.10.): Einführungsveranstaltung + Gruppenfindung * 2. Woche (26.10.): Themenfindung * 3. Woche (02.11.): Themenfindung + Zyklen festlegen * 4. Woche (09.11.): Zyklen festlegen * 5. Woche (16.11.): Kurzvorstellung der Themen und Zyklen (5 Minuten pro Gruppe) Ab Woche 6 (23.11.) bis Ende des Semesters wird gemeinsam an den Modellen und dem Portfolio gearbeitet. ====Zeitplan==== Empfehlenswert wäre es, die letzten 2-3 Wochen für Finalisierungsarbeiten zu nutzen und entsprechend frühzeitig zu planen! Ausschliesslich während der Seminarzeiten an dem Modell und Portfolio zu arbeiten wird nicht ausreichen! Die Kurzpräsentationen am 16.11. umfassen den aktuellen Stand der Überlegungen und sind noch unter keinen Umständen verbindlich. Stattdessen dient es einfach zur Grundlage von gemeinsamer Diskussion und zur Einbringung von weiteren Ideen. =Hilfreiche Links= ===Fachmathematische Aspekte === Wenn man das Modellierungsproblem in den Mittelpunkt stellt und die Fragestellung den Nachhaltigkeitszielen der UN zuordnet, kommen z.T. fachmathematische Aspekte erforderlich, die nicht in der jeweiligen Schulstufe bzw. in den Vorlesungen behandelt wurden. Dies Kapitel erhält Hinweise zu fachmathematischen Bereichen, die für die mathematische Modellbildung ggf. als Werkzeug verwendet werden können * '''[[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]''' dienen dazu, Datenpunkte im <math>\R^2</math> oder allgemein im <math>\R^n</math> zu [[w:Interpolation_(Mathematik)|interpolieren]]. * '''[https://en.wikiversity.org/wiki/3D_Modelling 3D Modellierung für Projektinhalte]''' und [[w:Projektive_Geometrie|projektive Geometrie]] zur Visualisierung * '''[[Gradientenabstiegsverfahren]]''': Wird verwendet, um sich in der mathematischen Modellbildung iterativ einem Minimum einer Kosten- oder Fehlerfunktion anzunähern. * [[w:Lineare_Optimierung|'''Lineare Optimierung''']] wird in Optimierungshaufgaben wie beispielsweise bei der Suche nach Minimum der Produktionskosten verwendet. Hierbei wird in allgemeinem nach einem Minimium/Maximum einer linearer Zielfunktion über einer Menge gesucht. [https://www.geogebra.org/m/kr727992 '''Ein Beispiel in Geogebra'''] *[[Räumliche Diffusion|'''Räumliche Diffusion''']] *[[Modelle_der_Populationsdynamik|'''Modelle der Populationsdynamik''']] - [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Modelle%20der%20Populationsdynamik&author=Kurs:R%C3%A4umliche%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes (Wiki2Reveal-Folien)] - [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Stochastik/Wahrscheinlichkeitsdichte|Wahrscheinlichkeitsdichte]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Wahrscheinlichkeitsdichte&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wahrscheinlichkeitsdichte&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ===Softwarenutzung === Im PC-Praktikum wurden grundlegende Kenntnisse im Umgang mit Software erlangt, die für die Berechnung von mathematischen Modellen vorwendig sind. Diese Kenntnisse müssen ggf. auf das spezielle Modellierungsthema angepasst und erweitert werden. * '''[[CSV2Chart]]''' Aus CSV-Dateien mathematische Graphen in Wikiversity erstellen. * '''[[Maxima CAS]]''' enthält die verwendeten Werkzeuge und Kommandos eines Computeralgebrasystems (CAS), die die einzelnen Projekte in dem Modellbildungszyklus verwendet haben. * '''[https://sagecell.sagemath.org/ SageCell]''' Online-Umgebung zur Ausführung und Demonstration von Befehlen in R, Octave, Maxima, ... (Auswahl des Befehlssatzes auf der https://sagecell.sagemath.org/ SageCell-Seite] unten rechts auf dem Eingabefeld) * '''[[Statistikprogramm R]]''' enthält die verwendeten Werkzeuge und Kommandos, die für Berechnungen und Veranschaulichungen in den Projekten verwendet haben. * '''[[Tabellenkalkulation]]''' werden in Portfolios in der Regel verwendet, um Daten in den Portfolios aufzubereiten. * '''[[Octave]]''' wird in der Regel verwendet, um numerische Berechnung in der Mathematischen Modellbildung durchzuführen. * '''[[Geogebra]]''' ist eine Dynamische Geometriesoftware, die zur vektoriellen Veranschaulichung von räumlichen Modellierungsproblemen oder auch zur parametrisierten Darstellung von Funktionen verwendet wird (Beispiel: [https://www.geogebra.org/m/e9b349k9 Parkplatzlösung in Geogebra von Shrey T (2017)]). * '''[[w:Screencast|Screencast]]''': Ein Screencast ist eine Bildschirmaufnahme mit Audiokommentaren, die zeigt, wie man z.B. Software bedient. Ein Screencast ist eine Hilfestellung für Lernende, die sich noch nicht so gut mit einer bestimmten Software auskennen. :* [https://obsproject.com/ '''Open Broadcast Software (OBS)''' - Linux, Windows, MacOSX ] - [[Konvexkombination|Beispielvideo in Wikiversity]] * [[v:en:3D_Modelling|'''3D-Modellbildung''' (englisch)]] * '''[http://niebert.github.io/imgmap/ Online-ImageMap-Editor]''' - Anklickbare Bereiche in Wikiversity-Bildern erstellen. * '''[https://openlayers.org/en/latest/examples/heatmap-earthquakes.html HeatMaps]:''' Erstellung von [https://niebert.github.io/openlayer_heatmap HeatMaps mit einem Online-Editor] (Download [https://github.com/niebert/openlayer_heatmap/archive/master.zip Heatmap-Editor und Beispieldaten in Ordner <tt>/HeatMap</tt> in ZIP-Datei]) * '''[[Wiki2Reveal]]:''' Portfolio-Präsentationen direkt im Wikiversity erstellen. ===Editierungshilfen=== * [https://latexeditor.lagrida.com/ Online-Formel-Editor für LaTeX-Formeln]<ref>Lagrida Web-Portal (2021) Online-Latex-Formel-Editor mit Vorschau - URL: https://latexeditor.lagrida.com/ (accessed 2021/11/21))</ref> - die erzeugten Formeln müssen in einen MATH-Tag mit <kbd><math> ...</math></kbd> eingeschlossen werden bei der Seiteneditierung. * [https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:TeX Mathematische Formeln in Wikiversity] * Textgestaltung in Wikis: https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:Textgestaltung ==Wiki2Reveal== * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung2627|Kurs:Mathematische Modellbildung2627]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung2627&author=&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung2627&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] == Verweise == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2026-27%20Wintersemester&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2026-27%20Wintersemester&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung Kurs:Mathematische Modellbildung]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2026-27%20Wintersemester&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] ga27h1rr6sewqv4yy5zmw6f54d9gct1 1116540 1116539 2026-10-17T08:38:21Z ~2026-55076-31 41992 /* Hilfreiche Links */ 1116540 wikitext text/x-wiki ==Begriffsklärung== === Was ist mathematische Modellbildung? === Ganz grob gesagt besteht Mathematische Modellierung oder auch Mathematische Modellbildung darin, reale Fragestellungen mit mathematischen Mitteln zu bearbeiten und sie auf diesem Wege zumindest teilweise zu beantworten<ref> Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., & Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. </ref>. === Was ist ein Modell? === Ein Modell ist dabei gegeben durch innere Scheinbilder oder Repräsentatonen, die nicht zum Bereich der äußeren Gegenstände, sondern zu Vorstellungen von einem solchen realen Gegenstand gehören und ihnen daher auch in gewissen Grenzen etwas Willkürliches anhaftet (Sinngemäß nach Hertz, zitiert von Ortlieb<ref> Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., & Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. </ref>). ==== Eigenschaften von Modellen ==== Somit lassen sich vereinfacht und verkürzt folgende Eigenschaften ableiten (Stachowiak, zitiert nach Saam <ref> Saam, N. J. (2009). Modellbildung. In Handbuch Methoden der Organisationsforschung: Quantitative und Qualitative Methoden (pp. 517-532). Wiesbaden: VS Verlag für Sozialwissenschaften. </ref>): * '''Abbildungsmerkmal:''' Modelle repräsentieren die Realität, existieren jedoch nicht in der Realität * '''Verkürzungsmerkmal:''' Modelle beschreiben das Objekt nicht exakt, sondern stets vereinfacht * '''Pragmatisches Merkmal:''' Modelle verfolgen einen gewissen Zweck: Sie ersetzen eine nicht abbildbare Realität um Fragestellungen zu beantwortbar zu machen ==== Typisches Beispiele ==== * Betrachtungen in der Physik (Federpendel, Bewegungsgesetze,...) - Physik und Mathematische Modellbildung sind sehr eng miteinander verwoben * Populationsdynamiken und Ausbreitugnsschemata in der Biologie (vgl. Lotka-Volterra Modell) * Bewegungsanalysen und Optimierungen in den Sportwissenschaften * Untersuchungen von Transport- und Umweltprozessen in Biologie, Chemie, Physik, Technik,... * Bedarfs- und Verbrauchs- und Verhaltensanalysen in Geisteswissenschaften === Mathematische Modelle === Mathematische Modelle werden gemessen und bewertet anhand <ref> Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., & Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. </ref>: * '''Zulässigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte in sich widerspruchsfrei sein. * '''Richtigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte im Vergleich mit der Realität keine Widersprüche zu offensichtlich richtigen Tatsachen aufweisen. * '''Zweckmäßigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte genau den Detailgrad beinhalten, den es zum Erfüllen des Zwecks benötigt, nicht mehr und nicht weniger. ==== Gegenbeispiele für mathematische Modelle ==== Gegenbeispiele wären: * Ein nicht zulässiges Modell könnte bei einer Betrachtung einer Punktmasse im Raum dennoch Luftwiederstände berücksichtigen (Punkte haben kein Volumen) * Ein nicht richtiges Modell könnte bei der Modellierung von Transportprozessen von Schadstoffen die Massenerhaltung vernachlässigen. * Ein nicht zweckmäßiges Modell könnte bei dem Versuch den perfekten Abwurfwinkel beim Speerwurf die Krümmung der Erdoberfläche berücksichtigen. ==== Bemerkung - Kriterien ==== Die Kriterien, insbesondere Richtigkeit und Zweckmäßigkeit, sind nicht 100% operational. Einerseits fordert die Richtigkeit, keine bekannten Tatsachen auszulassen, andererseits dürfen hinsichtlich einer passenden Zweckmäßigkeit auch nur ausreichend viele Details integriert werden. ==Der Modellbildungszyklus== Wie kommt man nun von einer Realen Situation, die ein Problem aufwirft zu einem adäquaten mathematischen Modell? Dazu hat sich als möglichst allgemeine Vorgehensweise der Modellbildungszyklus ergeben: [[Datei:Modellbildungszyklus Mod6.png|miniatur|Modellbildungszyklus]] ===Verlauf des MBZ === Der Modellbildungszyklus beschreibt schematisch die iterative Erstellung einer mathematischen Modellbildung: * Ausgangspunkt ist eine reale Situation, die ein Problem aufwirft, die von dem mathematischen Modell adressiert werden soll * Dieses Problem wird inhaltlich erfasst, anschließend mathematisch Übersetzt (Betrachten von Gleichungen, Funktionen, Geometrischen Objekten,...) =====Modellbildungsschleife===== * Durch das Betrachten von mathematischen Objekten können über passende Operationen deduktiv Resultate geschlussfolgert werden * Diese Resultate werden mit der Realsituation abgeglichen * Aus dem Vergleich werden mögliche Optimierungen und Limitationen des Modells abgeleitet * Durch die Limitationen werden kann das Modell weiterentwickelt werden Diese Schritte können/müssen dabei mehrfach durchlaufen werden. =====Integration von Software===== Die Integration von computergestützter Software ist in der mathematischen Modellbildung definitionsgemäss nicht zwingend erforderlich, für die meisten anwendungsbezogenen Modellierungen jedoch unumgänglich. ==Konkretes Beispiel einer Mathematischen Modellbildung== [[Kurs:Mathematische_Modellbildung/Themen/Radioaktivit%C3%A4t_und_Risikoliteralit%C3%A4t]] [[Datei:Screenshot 2D Ansicht Resultate.png|miniatur|alternativtext=Ansicht der möglichen Auftreffpunkte des radioaktiven Niederschlags|Ansicht der möglichen Auftreffpunkte des radioaktiven Niederschlags]] [[File:Zeitliche Abhängigkeit der Risikofunktion.gif|thumb|Das GIF zeigt die Zeitliche Abhängigkeit der Risikofunktion]] === Ziel der Modellierung === Ziel in dieser Modellierung war es, ein Modell zur räumlichen und zeitlichen Ausbreitung einer radioaktiv belasteten Wolke, sowie dessen Rain-Out, infolge einer Reaktorkatastrophe am (mittlerweile abgeschalteten) Kernkraftwerk in Philippsburg zu beschreiben. Unter zu Hilfenahme von Messwerten von dem Reaktorunglück in Tschernobyl und den Halbwertszeiten des radioaktiven Materials wurde der zeitliche Zerfall erfasst. Der Transport von radioaktiven Material wurde durch eine Kugel im <math> \mathbb{R}^3 </math> modelliert. Diese bewegt sich gemäss einer variablen Windrichtung (gegeben durch Winkel <math> \alpha </math>) und regnet sich nach einer gewissen Durchschnittsdauer ab. === Endresultat === Es wurde in drei Modellbildungszyklen eine Funktion zur Beschreibung der radioaktiven Belastung (repräsentativ für das Risiko) abgeleitet: <math>u(x,y,t,\alpha)=\frac{1480\cdot e^{-\frac{ln(2)}{30a} \cdot t}}{1+\frac{7}{10.000}\cdot (x^2+y^2)}+\frac{40\cdot e^{-\frac{ln(2)}{30a} \cdot t}}{1+\frac{1}{7.500}\cdot ((x-1080cos(\alpha))^2+(y-1080sin(\alpha))^2)}</math> Letztlich erhält man also eine Funktion die in ihrem Ausgabewert <math>z=u(x,y,t,\alpha)</math> abhängig von 4 Eingabewerten <math>x, y, t, \alpha </math> ist. ==Modellbildung in der Schule== ===Einbindung in den Lehrplan=== Die mathematische Modellbildung ist stark in den Mathematik-Lehrplan für Schulen in Rheinland-Pfalz integriert (hier wird sich an dem Lehrplan für Sekundarstufe II orientiert <ref> Ministerium für Bildung, Wissensachft, Weiterbildung und Kultur (2015), Lehrplan Mathematik. Grund- und Leistungsfach in der gymnasialen Oberstufe (Mainzer Studienstufe) </ref>). Im Bezug zu Problemlösen im Mathematikunterricht und Mathematik im fachübergreifenden Kontext, sollen Anwendungsbeispiele Einzug halten, die Schülerinnen und Schülern aus anderen Fächern bekannt sind. In diesem Zusammenhang wird mathematische Modellbildung als Methode zur Lösung von solchen Anwendungsproblemen genannt. ===Konkreter Themenbezug=== Zu folgenden mathematischen Themengebieten wird explizit Mathematischen Modellbildung zur unterrichtlichen Umsetzung erwähnt: *Exponentialfunktionen (Wachstums- und Zerfallsprozesse) *Matrizenrechnung (zum Beispiel Input-Output-Analysen, Zustandsübergangsprozesse oder Populationsentwicklung) *Differential- und Integralrechnung (lineare oder logistische Wachstumsprozesse) ===Computereinsatz im Lehrplan=== Auch der Einsatz von computergestützten Hilfs- und Lösungsmitteln im Zuge der Modellbildung wird betont. (Bemerke: Auch im Lehrplan wird ein vergleichbarer Modellbildungszyklus vorgestellt und beschrieben. Bei Bedarf kann dieser auf Seite 15-16<ref> Ministerium für Bildung, Wissensachft, Weiterbildung und Kultur (2015), Lehrplan Mathematik. Grund- und Leistungsfach in der gymnasialen Oberstufe (Mainzer Studienstufe). </ref> nachgelesen werden) ===Zugang zur Bildung für Nachhaltigen Entwicklung=== Durch die Möglichkeit fachübergreifende Fragestellungen zu behandeln und Prozesse der Realität in den Blick zu nehmen, kann mathematische Modellbildung die Brücke zur Bildung für Nachhaltigen Entwicklung (BNE) schlagen. ====Bildung für Nachhaltige Entwicklung==== "Die BNE zielt grundsätzlich darauf ab, es jedem und jeder Einzelnen zu ermöglichen, die Folgen des eigenen Handelns auf die Welt sowie intra- und intergenerationell zu verstehen, verantwortungsvolle Entscheidungen zu treffen und aktiv zu werden." <ref> Ministerium für Bildung. Bildung für nachhaltige Entwicklung. Online abrufbar unter: https://bm.rlp.de/unsere-schwerpunkte/bildung-fuer-nachhaltige-entwicklung </ref> ====BNE und Modellbildung==== Mathematische Modellbildung kann unter praktischer Anwendung von gelernten Inhalten im Schulunterricht zu BNE beitragen, indem eben gezielt Probleme adressiert werden und von Schülerinnen und Schülern eigenständig untersucht werden. ==Ziel und Organisation des Seminars== ===Ziel und Aufgabe=== In Kleingruppen (3-4 Personen) sollen aussermathematische Fragestellungen mit einer eigenen mathematischen Modellbildung behandelt werden. Dazu sollen drei Modellbildungszyklen mit unterschiedlichem Grad an Vereinfachung und unterschiedlicher Mathematischen Grundlage erstellt werden: * Zyklus: Mathematik der Sekundarstufe 1 (Mittelstufe) * Zyklus: Mathematik der Sekundarstufe 2 (Oberstufe) * Zyklus: Universitätsmathematik ====Integration von Software==== In jedem Zyklus sollen computergestützte Untersuchungen und Betrachtungen Einzug erhalten. Somit bietet es sich an in insgesamt auch drei verschiedene Programme (Tabellenkalkulation, GeoGebra, RStudio, Maxima,...) zu integrieren - an manchen stellen lässt sich dies gar nicht vermeiden. ===Themenwahl=== Das Thema sollte einen weltlichen Bezug haben. Am besten eigenen sich Themen aus dem jeweiligen Zweitfach (s. Verbindung zu anderen Schulfächern im Lehrplan). Das Thema sollte nachhaltige Entwicklung im Rahmen der Sustainable Development Goals adressieren. Siehe dazu: https://www.bundesumweltministerium.de/themen/nachhaltigkeit/nachhaltigkeitsziele-sdgs Vorzugsweise: Räumliche Risikobetrachtungen in Desaster- und Katastrophenszenarien. Das Thema sollte sich nicht mit denen der vergangenen Semestern doppeln. Zur Orientierung und Inspiration finden sich hier die Projekte der vergangenen Semester: :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2026 Sommersemester|2026 Sommersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2025-26 Wintersemester|2025/26 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2024-25 Wintersemester|2024/25 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2023-24 Wintersemester|2023/24 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2022-23 Winteresemester|2022/23 Wintersemester]]''' ===Portfolio=== Während des Semesters soll in Gruppenarbeit die Modellbildung durchgeführt werden. Diese wird schriftlich in einem Portfolio festgehalten. Dies Portfolio wird, genau wie dieser Artikel auch, in einem Wikiversity Artikel dokumentiert. Dieser sollte folgendes enthalten: ====Inhalt Portfolio==== * Einleitung: Beschreibung und Einordnung des Themas & welche(s) SDG wird adressiert und warum? * Ziel der Modellierung: Welches Problem wird in der Modellierung / den einzelnen Zyklen konkret angegangen? * Zyklus 1-3 ** Mathematisches Modell (welche Mathematischen Objekte werden betrachtet, wie ergeben die sich,...) ** Ergebnisse (Ableiten von Resultaten aus dem Modell) ** Bewertung der Ergebnisse ** Grenzen und Limitationen ** Ausblick für nächsten Zyklus (welche Limitationen und Probleme aus dem Zyklus werden im folgenden adressiert?) ====Integration Computersoftware==== In allen Punkten der Modellzyklen können Programme computergestützte Tools verwendet werden. Zur Erstellung von Wiki-Seiten ist folgende Seite hilfreich: https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:Textgestaltung ===Prüfung=== Die Prüfung gliedert sich in zwei Aspekte: * '''Vorstellung von ausgewählten Teilen aus dem eigenen Portfolio''' - diese werden von den Prüfer:innen aus dem Portfolio der Studierenden ausgewählt. * '''Diskussion und Fragen''' der Prüfer:innen zu dem Portfolio, z.B. zu Teilen des Portfolios, die in der Vorstellung nicht behandelt werden können. Ein Portfolio kann aus Zeitgründen nie vollständig in der Prüfung dargestellt werden. ====Inhalt==== In der mündlichen Portfolio-Prüfung wird geprüft, ob *das eigene Modell verstanden ist, *das eigene Modell kritisch hinterfragt werden kann, *die Limitationen des Modells begründet und nachvollziehbar wiedergegeben werden können, *die Übergänge zwischen den Zyklen beschrieben und begründet werden können, *die technische Umsetzung reproduziert und erklärt werden kann, *... . ====Präsentation==== Es ist also wichtig zu wissen, was wie an welcher Stelle und mit welchem Zweck in der Modellierung gemacht wurde! Das Portfolio (Wiki-Seite) wird somit konkret vorgestellt. Eine Präsentation des Portfolio kann automatisch mit Wiki2Reveal erstellt werden. === Unterstützungsangebot === * Das Unterstützungsangebot erfolgt in der Lehrveranstaltung zur "Mathematischen Modellbildung". * Eine individuelle Sonderbehandlung für einzelne Studierende, die das Angebot der Vorlesung nicht nutzen und kurz vor Prüfungsbeginn noch "schnell" ein Portfolio zusammenstellen wollen, ist aus zeitlichen Gründen kurz vor der Prüfung nicht möglich. * Portfolioprüfungen der Lehrveranstaltung beziehen sich immer auf das erstellte Portfolio im laufende Semester und bei Wiederholungsprüfungen auf das Semester, in dem Portfolio erstellt wurde. * Eine Prüfung kann nur zu dem eigenen erstellten Portfolio in der Lehrveranstaltung abgelegt werden, an dessen Erstellung man aktiv mitgearbeitet hat. ===Ablauf des Seminars=== Der Seminarablauf über das Semester gestaltet sich grob wie folgt: * 1. Woche (19.10.): Einführungsveranstaltung + Gruppenfindung * 2. Woche (26.10.): Themenfindung * 3. Woche (02.11.): Themenfindung + Zyklen festlegen * 4. Woche (09.11.): Zyklen festlegen * 5. Woche (16.11.): Kurzvorstellung der Themen und Zyklen (5 Minuten pro Gruppe) Ab Woche 6 (23.11.) bis Ende des Semesters wird gemeinsam an den Modellen und dem Portfolio gearbeitet. ====Zeitplan==== Empfehlenswert wäre es, die letzten 2-3 Wochen für Finalisierungsarbeiten zu nutzen und entsprechend frühzeitig zu planen! Ausschliesslich während der Seminarzeiten an dem Modell und Portfolio zu arbeiten wird nicht ausreichen! Die Kurzpräsentationen am 16.11. umfassen den aktuellen Stand der Überlegungen und sind noch unter keinen Umständen verbindlich. Stattdessen dient es einfach zur Grundlage von gemeinsamer Diskussion und zur Einbringung von weiteren Ideen. ==Hilfreiche Links== ===Fachmathematische Aspekte === Wenn man das Modellierungsproblem in den Mittelpunkt stellt und die Fragestellung den Nachhaltigkeitszielen der UN zuordnet, kommen z.T. fachmathematische Aspekte erforderlich, die nicht in der jeweiligen Schulstufe bzw. in den Vorlesungen behandelt wurden. Dies Kapitel erhält Hinweise zu fachmathematischen Bereichen, die für die mathematische Modellbildung ggf. als Werkzeug verwendet werden können * '''[[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]''' dienen dazu, Datenpunkte im <math>\R^2</math> oder allgemein im <math>\R^n</math> zu [[w:Interpolation_(Mathematik)|interpolieren]]. * '''[https://en.wikiversity.org/wiki/3D_Modelling 3D Modellierung für Projektinhalte]''' und [[w:Projektive_Geometrie|projektive Geometrie]] zur Visualisierung * '''[[Gradientenabstiegsverfahren]]''': Wird verwendet, um sich in der mathematischen Modellbildung iterativ einem Minimum einer Kosten- oder Fehlerfunktion anzunähern. * [[w:Lineare_Optimierung|'''Lineare Optimierung''']] wird in Optimierungshaufgaben wie beispielsweise bei der Suche nach Minimum der Produktionskosten verwendet. Hierbei wird in allgemeinem nach einem Minimium/Maximum einer linearer Zielfunktion über einer Menge gesucht. [https://www.geogebra.org/m/kr727992 '''Ein Beispiel in Geogebra'''] *[[Räumliche Diffusion|'''Räumliche Diffusion''']] *[[Modelle_der_Populationsdynamik|'''Modelle der Populationsdynamik''']] - [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Modelle%20der%20Populationsdynamik&author=Kurs:R%C3%A4umliche%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes (Wiki2Reveal-Folien)] - [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Stochastik/Wahrscheinlichkeitsdichte|Wahrscheinlichkeitsdichte]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Wahrscheinlichkeitsdichte&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wahrscheinlichkeitsdichte&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ===Softwarenutzung === Im PC-Praktikum wurden grundlegende Kenntnisse im Umgang mit Software erlangt, die für die Berechnung von mathematischen Modellen vorwendig sind. Diese Kenntnisse müssen ggf. auf das spezielle Modellierungsthema angepasst und erweitert werden. * '''[[CSV2Chart]]''' Aus CSV-Dateien mathematische Graphen in Wikiversity erstellen. * '''[[Maxima CAS]]''' enthält die verwendeten Werkzeuge und Kommandos eines Computeralgebrasystems (CAS), die die einzelnen Projekte in dem Modellbildungszyklus verwendet haben. * '''[https://sagecell.sagemath.org/ SageCell]''' Online-Umgebung zur Ausführung und Demonstration von Befehlen in R, Octave, Maxima, ... (Auswahl des Befehlssatzes auf der https://sagecell.sagemath.org/ SageCell-Seite] unten rechts auf dem Eingabefeld) * '''[[Statistikprogramm R]]''' enthält die verwendeten Werkzeuge und Kommandos, die für Berechnungen und Veranschaulichungen in den Projekten verwendet haben. * '''[[Tabellenkalkulation]]''' werden in Portfolios in der Regel verwendet, um Daten in den Portfolios aufzubereiten. * '''[[Octave]]''' wird in der Regel verwendet, um numerische Berechnung in der Mathematischen Modellbildung durchzuführen. * '''[[Geogebra]]''' ist eine Dynamische Geometriesoftware, die zur vektoriellen Veranschaulichung von räumlichen Modellierungsproblemen oder auch zur parametrisierten Darstellung von Funktionen verwendet wird (Beispiel: [https://www.geogebra.org/m/e9b349k9 Parkplatzlösung in Geogebra von Shrey T (2017)]). * '''[[w:Screencast|Screencast]]''': Ein Screencast ist eine Bildschirmaufnahme mit Audiokommentaren, die zeigt, wie man z.B. Software bedient. Ein Screencast ist eine Hilfestellung für Lernende, die sich noch nicht so gut mit einer bestimmten Software auskennen. :* [https://obsproject.com/ '''Open Broadcast Software (OBS)''' - Linux, Windows, MacOSX ] - [[Konvexkombination|Beispielvideo in Wikiversity]] * [[v:en:3D_Modelling|'''3D-Modellbildung''' (englisch)]] * '''[http://niebert.github.io/imgmap/ Online-ImageMap-Editor]''' - Anklickbare Bereiche in Wikiversity-Bildern erstellen. * '''[https://openlayers.org/en/latest/examples/heatmap-earthquakes.html HeatMaps]:''' Erstellung von [https://niebert.github.io/openlayer_heatmap HeatMaps mit einem Online-Editor] (Download [https://github.com/niebert/openlayer_heatmap/archive/master.zip Heatmap-Editor und Beispieldaten in Ordner <tt>/HeatMap</tt> in ZIP-Datei]) * '''[[Wiki2Reveal]]:''' Portfolio-Präsentationen direkt im Wikiversity erstellen. ===Editierungshilfen=== * [https://latexeditor.lagrida.com/ Online-Formel-Editor für LaTeX-Formeln]<ref>Lagrida Web-Portal (2021) Online-Latex-Formel-Editor mit Vorschau - URL: https://latexeditor.lagrida.com/ (accessed 2021/11/21))</ref> - die erzeugten Formeln müssen in einen MATH-Tag mit <kbd><math> ...</math></kbd> eingeschlossen werden bei der Seiteneditierung. * [https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:TeX Mathematische Formeln in Wikiversity] * Textgestaltung in Wikis: https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:Textgestaltung ==Wiki2Reveal== * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung2627|Kurs:Mathematische Modellbildung2627]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung2627&author=&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung2627&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] == Verweise == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2026-27%20Wintersemester&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2026-27%20Wintersemester&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung Kurs:Mathematische Modellbildung]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2026-27%20Wintersemester&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] aup6soyq1thcgvj7nb88oxnwsz5jyp5 1116541 1116540 2026-10-17T08:40:19Z ~2026-55076-31 41992 /* Modellbildung in der Schule */ 1116541 wikitext text/x-wiki ==Begriffsklärung== === Was ist mathematische Modellbildung? === Ganz grob gesagt besteht Mathematische Modellierung oder auch Mathematische Modellbildung darin, reale Fragestellungen mit mathematischen Mitteln zu bearbeiten und sie auf diesem Wege zumindest teilweise zu beantworten<ref> Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., & Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. </ref>. === Was ist ein Modell? === Ein Modell ist dabei gegeben durch innere Scheinbilder oder Repräsentatonen, die nicht zum Bereich der äußeren Gegenstände, sondern zu Vorstellungen von einem solchen realen Gegenstand gehören und ihnen daher auch in gewissen Grenzen etwas Willkürliches anhaftet (Sinngemäß nach Hertz, zitiert von Ortlieb<ref> Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., & Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. </ref>). ==== Eigenschaften von Modellen ==== Somit lassen sich vereinfacht und verkürzt folgende Eigenschaften ableiten (Stachowiak, zitiert nach Saam <ref> Saam, N. J. (2009). Modellbildung. In Handbuch Methoden der Organisationsforschung: Quantitative und Qualitative Methoden (pp. 517-532). Wiesbaden: VS Verlag für Sozialwissenschaften. </ref>): * '''Abbildungsmerkmal:''' Modelle repräsentieren die Realität, existieren jedoch nicht in der Realität * '''Verkürzungsmerkmal:''' Modelle beschreiben das Objekt nicht exakt, sondern stets vereinfacht * '''Pragmatisches Merkmal:''' Modelle verfolgen einen gewissen Zweck: Sie ersetzen eine nicht abbildbare Realität um Fragestellungen zu beantwortbar zu machen ==== Typisches Beispiele ==== * Betrachtungen in der Physik (Federpendel, Bewegungsgesetze,...) - Physik und Mathematische Modellbildung sind sehr eng miteinander verwoben * Populationsdynamiken und Ausbreitugnsschemata in der Biologie (vgl. Lotka-Volterra Modell) * Bewegungsanalysen und Optimierungen in den Sportwissenschaften * Untersuchungen von Transport- und Umweltprozessen in Biologie, Chemie, Physik, Technik,... * Bedarfs- und Verbrauchs- und Verhaltensanalysen in Geisteswissenschaften === Mathematische Modelle === Mathematische Modelle werden gemessen und bewertet anhand <ref> Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., & Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. </ref>: * '''Zulässigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte in sich widerspruchsfrei sein. * '''Richtigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte im Vergleich mit der Realität keine Widersprüche zu offensichtlich richtigen Tatsachen aufweisen. * '''Zweckmäßigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte genau den Detailgrad beinhalten, den es zum Erfüllen des Zwecks benötigt, nicht mehr und nicht weniger. ==== Gegenbeispiele für mathematische Modelle ==== Gegenbeispiele wären: * Ein nicht zulässiges Modell könnte bei einer Betrachtung einer Punktmasse im Raum dennoch Luftwiederstände berücksichtigen (Punkte haben kein Volumen) * Ein nicht richtiges Modell könnte bei der Modellierung von Transportprozessen von Schadstoffen die Massenerhaltung vernachlässigen. * Ein nicht zweckmäßiges Modell könnte bei dem Versuch den perfekten Abwurfwinkel beim Speerwurf die Krümmung der Erdoberfläche berücksichtigen. ==== Bemerkung - Kriterien ==== Die Kriterien, insbesondere Richtigkeit und Zweckmäßigkeit, sind nicht 100% operational. Einerseits fordert die Richtigkeit, keine bekannten Tatsachen auszulassen, andererseits dürfen hinsichtlich einer passenden Zweckmäßigkeit auch nur ausreichend viele Details integriert werden. ==Der Modellbildungszyklus== Wie kommt man nun von einer Realen Situation, die ein Problem aufwirft zu einem adäquaten mathematischen Modell? Dazu hat sich als möglichst allgemeine Vorgehensweise der Modellbildungszyklus ergeben: [[Datei:Modellbildungszyklus Mod6.png|miniatur|Modellbildungszyklus]] ===Verlauf des MBZ === Der Modellbildungszyklus beschreibt schematisch die iterative Erstellung einer mathematischen Modellbildung: * Ausgangspunkt ist eine reale Situation, die ein Problem aufwirft, die von dem mathematischen Modell adressiert werden soll * Dieses Problem wird inhaltlich erfasst, anschließend mathematisch Übersetzt (Betrachten von Gleichungen, Funktionen, Geometrischen Objekten,...) =====Modellbildungsschleife===== * Durch das Betrachten von mathematischen Objekten können über passende Operationen deduktiv Resultate geschlussfolgert werden * Diese Resultate werden mit der Realsituation abgeglichen * Aus dem Vergleich werden mögliche Optimierungen und Limitationen des Modells abgeleitet * Durch die Limitationen werden kann das Modell weiterentwickelt werden Diese Schritte können/müssen dabei mehrfach durchlaufen werden. =====Integration von Software===== Die Integration von computergestützter Software ist in der mathematischen Modellbildung definitionsgemäss nicht zwingend erforderlich, für die meisten anwendungsbezogenen Modellierungen jedoch unumgänglich. ==Konkretes Beispiel einer Mathematischen Modellbildung== [[Kurs:Mathematische_Modellbildung/Themen/Radioaktivit%C3%A4t_und_Risikoliteralit%C3%A4t]] [[Datei:Screenshot 2D Ansicht Resultate.png|miniatur|alternativtext=Ansicht der möglichen Auftreffpunkte des radioaktiven Niederschlags|Ansicht der möglichen Auftreffpunkte des radioaktiven Niederschlags]] [[File:Zeitliche Abhängigkeit der Risikofunktion.gif|thumb|Das GIF zeigt die Zeitliche Abhängigkeit der Risikofunktion]] === Ziel der Modellierung === Ziel in dieser Modellierung war es, ein Modell zur räumlichen und zeitlichen Ausbreitung einer radioaktiv belasteten Wolke, sowie dessen Rain-Out, infolge einer Reaktorkatastrophe am (mittlerweile abgeschalteten) Kernkraftwerk in Philippsburg zu beschreiben. Unter zu Hilfenahme von Messwerten von dem Reaktorunglück in Tschernobyl und den Halbwertszeiten des radioaktiven Materials wurde der zeitliche Zerfall erfasst. Der Transport von radioaktiven Material wurde durch eine Kugel im <math> \mathbb{R}^3 </math> modelliert. Diese bewegt sich gemäss einer variablen Windrichtung (gegeben durch Winkel <math> \alpha </math>) und regnet sich nach einer gewissen Durchschnittsdauer ab. === Endresultat === Es wurde in drei Modellbildungszyklen eine Funktion zur Beschreibung der radioaktiven Belastung (repräsentativ für das Risiko) abgeleitet: <math>u(x,y,t,\alpha)=\frac{1480\cdot e^{-\frac{ln(2)}{30a} \cdot t}}{1+\frac{7}{10.000}\cdot (x^2+y^2)}+\frac{40\cdot e^{-\frac{ln(2)}{30a} \cdot t}}{1+\frac{1}{7.500}\cdot ((x-1080cos(\alpha))^2+(y-1080sin(\alpha))^2)}</math> Letztlich erhält man also eine Funktion die in ihrem Ausgabewert <math>z=u(x,y,t,\alpha)</math> abhängig von 4 Eingabewerten <math>x, y, t, \alpha </math> ist. ==Modellbildung in der Schule== ===Einbindung in den Lehrplan=== Die mathematische Modellbildung ist stark in den Mathematik-Lehrplan für Schulen in Rheinland-Pfalz integriert (hier wird sich an dem Lehrplan für Sekundarstufe II orientiert <ref> Ministerium für Bildung, Wissensachft, Weiterbildung und Kultur (2015), Lehrplan Mathematik. Grund- und Leistungsfach in der gymnasialen Oberstufe (Mainzer Studienstufe) </ref>). Im Bezug zu Problemlösen im Mathematikunterricht und Mathematik im fachübergreifenden Kontext, sollen Anwendungsbeispiele Einzug halten, die Schülerinnen und Schülern aus anderen Fächern bekannt sind. In diesem Zusammenhang wird mathematische Modellbildung als Methode zur Lösung von solchen Anwendungsproblemen genannt. ====Konkrete Beispiele==== Zu folgenden mathematischen Themengebieten wird explizit Mathematischen Modellbildung zur unterrichtlichen Umsetzung erwähnt: *Exponentialfunktionen *Matrix-Rechnung *Differential- und Integralrechnung ===Konkreter Themenbezug=== Zu folgenden mathematischen Themengebieten wird explizit Mathematischen Modellbildung zur unterrichtlichen Umsetzung erwähnt: *Exponentialfunktionen (Wachstums- und Zerfallsprozesse) *Matrizenrechnung (zum Beispiel Input-Output-Analysen, Zustandsübergangsprozesse oder Populationsentwicklung) *Differential- und Integralrechnung (lineare oder logistische Wachstumsprozesse) ===Computereinsatz im Lehrplan=== Auch der Einsatz von computergestützten Hilfs- und Lösungsmitteln im Zuge der Modellbildung wird betont. (Bemerke: Auch im Lehrplan wird ein vergleichbarer Modellbildungszyklus vorgestellt und beschrieben. Bei Bedarf kann dieser auf Seite 15-16<ref> Ministerium für Bildung, Wissensachft, Weiterbildung und Kultur (2015), Lehrplan Mathematik. Grund- und Leistungsfach in der gymnasialen Oberstufe (Mainzer Studienstufe). </ref> nachgelesen werden) ===Zugang zur Bildung für Nachhaltigen Entwicklung=== Durch die Möglichkeit fachübergreifende Fragestellungen zu behandeln und Prozesse der Realität in den Blick zu nehmen, kann mathematische Modellbildung die Brücke zur Bildung für Nachhaltigen Entwicklung (BNE) schlagen. ====Bildung für Nachhaltige Entwicklung==== "Die BNE zielt grundsätzlich darauf ab, es jedem und jeder Einzelnen zu ermöglichen, die Folgen des eigenen Handelns auf die Welt sowie intra- und intergenerationell zu verstehen, verantwortungsvolle Entscheidungen zu treffen und aktiv zu werden." <ref> Ministerium für Bildung. Bildung für nachhaltige Entwicklung. Online abrufbar unter: https://bm.rlp.de/unsere-schwerpunkte/bildung-fuer-nachhaltige-entwicklung </ref> ====BNE und Modellbildung==== Mathematische Modellbildung kann unter praktischer Anwendung von gelernten Inhalten im Schulunterricht zu BNE beitragen, indem eben gezielt Probleme adressiert werden und von Schülerinnen und Schülern eigenständig untersucht werden. ==Ziel und Organisation des Seminars== ===Ziel und Aufgabe=== In Kleingruppen (3-4 Personen) sollen aussermathematische Fragestellungen mit einer eigenen mathematischen Modellbildung behandelt werden. Dazu sollen drei Modellbildungszyklen mit unterschiedlichem Grad an Vereinfachung und unterschiedlicher Mathematischen Grundlage erstellt werden: * Zyklus: Mathematik der Sekundarstufe 1 (Mittelstufe) * Zyklus: Mathematik der Sekundarstufe 2 (Oberstufe) * Zyklus: Universitätsmathematik ====Integration von Software==== In jedem Zyklus sollen computergestützte Untersuchungen und Betrachtungen Einzug erhalten. Somit bietet es sich an in insgesamt auch drei verschiedene Programme (Tabellenkalkulation, GeoGebra, RStudio, Maxima,...) zu integrieren - an manchen stellen lässt sich dies gar nicht vermeiden. ===Themenwahl=== Das Thema sollte einen weltlichen Bezug haben. Am besten eigenen sich Themen aus dem jeweiligen Zweitfach (s. Verbindung zu anderen Schulfächern im Lehrplan). Das Thema sollte nachhaltige Entwicklung im Rahmen der Sustainable Development Goals adressieren. Siehe dazu: https://www.bundesumweltministerium.de/themen/nachhaltigkeit/nachhaltigkeitsziele-sdgs Vorzugsweise: Räumliche Risikobetrachtungen in Desaster- und Katastrophenszenarien. Das Thema sollte sich nicht mit denen der vergangenen Semestern doppeln. Zur Orientierung und Inspiration finden sich hier die Projekte der vergangenen Semester: :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2026 Sommersemester|2026 Sommersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2025-26 Wintersemester|2025/26 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2024-25 Wintersemester|2024/25 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2023-24 Wintersemester|2023/24 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2022-23 Winteresemester|2022/23 Wintersemester]]''' ===Portfolio=== Während des Semesters soll in Gruppenarbeit die Modellbildung durchgeführt werden. Diese wird schriftlich in einem Portfolio festgehalten. Dies Portfolio wird, genau wie dieser Artikel auch, in einem Wikiversity Artikel dokumentiert. Dieser sollte folgendes enthalten: ====Inhalt Portfolio==== * Einleitung: Beschreibung und Einordnung des Themas & welche(s) SDG wird adressiert und warum? * Ziel der Modellierung: Welches Problem wird in der Modellierung / den einzelnen Zyklen konkret angegangen? * Zyklus 1-3 ** Mathematisches Modell (welche Mathematischen Objekte werden betrachtet, wie ergeben die sich,...) ** Ergebnisse (Ableiten von Resultaten aus dem Modell) ** Bewertung der Ergebnisse ** Grenzen und Limitationen ** Ausblick für nächsten Zyklus (welche Limitationen und Probleme aus dem Zyklus werden im folgenden adressiert?) ====Integration Computersoftware==== In allen Punkten der Modellzyklen können Programme computergestützte Tools verwendet werden. Zur Erstellung von Wiki-Seiten ist folgende Seite hilfreich: https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:Textgestaltung ===Prüfung=== Die Prüfung gliedert sich in zwei Aspekte: * '''Vorstellung von ausgewählten Teilen aus dem eigenen Portfolio''' - diese werden von den Prüfer:innen aus dem Portfolio der Studierenden ausgewählt. * '''Diskussion und Fragen''' der Prüfer:innen zu dem Portfolio, z.B. zu Teilen des Portfolios, die in der Vorstellung nicht behandelt werden können. Ein Portfolio kann aus Zeitgründen nie vollständig in der Prüfung dargestellt werden. ====Inhalt==== In der mündlichen Portfolio-Prüfung wird geprüft, ob *das eigene Modell verstanden ist, *das eigene Modell kritisch hinterfragt werden kann, *die Limitationen des Modells begründet und nachvollziehbar wiedergegeben werden können, *die Übergänge zwischen den Zyklen beschrieben und begründet werden können, *die technische Umsetzung reproduziert und erklärt werden kann, *... . ====Präsentation==== Es ist also wichtig zu wissen, was wie an welcher Stelle und mit welchem Zweck in der Modellierung gemacht wurde! Das Portfolio (Wiki-Seite) wird somit konkret vorgestellt. Eine Präsentation des Portfolio kann automatisch mit Wiki2Reveal erstellt werden. === Unterstützungsangebot === * Das Unterstützungsangebot erfolgt in der Lehrveranstaltung zur "Mathematischen Modellbildung". * Eine individuelle Sonderbehandlung für einzelne Studierende, die das Angebot der Vorlesung nicht nutzen und kurz vor Prüfungsbeginn noch "schnell" ein Portfolio zusammenstellen wollen, ist aus zeitlichen Gründen kurz vor der Prüfung nicht möglich. * Portfolioprüfungen der Lehrveranstaltung beziehen sich immer auf das erstellte Portfolio im laufende Semester und bei Wiederholungsprüfungen auf das Semester, in dem Portfolio erstellt wurde. * Eine Prüfung kann nur zu dem eigenen erstellten Portfolio in der Lehrveranstaltung abgelegt werden, an dessen Erstellung man aktiv mitgearbeitet hat. ===Ablauf des Seminars=== Der Seminarablauf über das Semester gestaltet sich grob wie folgt: * 1. Woche (19.10.): Einführungsveranstaltung + Gruppenfindung * 2. Woche (26.10.): Themenfindung * 3. Woche (02.11.): Themenfindung + Zyklen festlegen * 4. Woche (09.11.): Zyklen festlegen * 5. Woche (16.11.): Kurzvorstellung der Themen und Zyklen (5 Minuten pro Gruppe) Ab Woche 6 (23.11.) bis Ende des Semesters wird gemeinsam an den Modellen und dem Portfolio gearbeitet. ====Zeitplan==== Empfehlenswert wäre es, die letzten 2-3 Wochen für Finalisierungsarbeiten zu nutzen und entsprechend frühzeitig zu planen! Ausschliesslich während der Seminarzeiten an dem Modell und Portfolio zu arbeiten wird nicht ausreichen! Die Kurzpräsentationen am 16.11. umfassen den aktuellen Stand der Überlegungen und sind noch unter keinen Umständen verbindlich. Stattdessen dient es einfach zur Grundlage von gemeinsamer Diskussion und zur Einbringung von weiteren Ideen. ==Hilfreiche Links== ===Fachmathematische Aspekte === Wenn man das Modellierungsproblem in den Mittelpunkt stellt und die Fragestellung den Nachhaltigkeitszielen der UN zuordnet, kommen z.T. fachmathematische Aspekte erforderlich, die nicht in der jeweiligen Schulstufe bzw. in den Vorlesungen behandelt wurden. Dies Kapitel erhält Hinweise zu fachmathematischen Bereichen, die für die mathematische Modellbildung ggf. als Werkzeug verwendet werden können * '''[[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]''' dienen dazu, Datenpunkte im <math>\R^2</math> oder allgemein im <math>\R^n</math> zu [[w:Interpolation_(Mathematik)|interpolieren]]. * '''[https://en.wikiversity.org/wiki/3D_Modelling 3D Modellierung für Projektinhalte]''' und [[w:Projektive_Geometrie|projektive Geometrie]] zur Visualisierung * '''[[Gradientenabstiegsverfahren]]''': Wird verwendet, um sich in der mathematischen Modellbildung iterativ einem Minimum einer Kosten- oder Fehlerfunktion anzunähern. * [[w:Lineare_Optimierung|'''Lineare Optimierung''']] wird in Optimierungshaufgaben wie beispielsweise bei der Suche nach Minimum der Produktionskosten verwendet. Hierbei wird in allgemeinem nach einem Minimium/Maximum einer linearer Zielfunktion über einer Menge gesucht. [https://www.geogebra.org/m/kr727992 '''Ein Beispiel in Geogebra'''] *[[Räumliche Diffusion|'''Räumliche Diffusion''']] *[[Modelle_der_Populationsdynamik|'''Modelle der Populationsdynamik''']] - [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Modelle%20der%20Populationsdynamik&author=Kurs:R%C3%A4umliche%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes (Wiki2Reveal-Folien)] - [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Stochastik/Wahrscheinlichkeitsdichte|Wahrscheinlichkeitsdichte]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Wahrscheinlichkeitsdichte&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wahrscheinlichkeitsdichte&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ===Softwarenutzung === Im PC-Praktikum wurden grundlegende Kenntnisse im Umgang mit Software erlangt, die für die Berechnung von mathematischen Modellen vorwendig sind. Diese Kenntnisse müssen ggf. auf das spezielle Modellierungsthema angepasst und erweitert werden. * '''[[CSV2Chart]]''' Aus CSV-Dateien mathematische Graphen in Wikiversity erstellen. * '''[[Maxima CAS]]''' enthält die verwendeten Werkzeuge und Kommandos eines Computeralgebrasystems (CAS), die die einzelnen Projekte in dem Modellbildungszyklus verwendet haben. * '''[https://sagecell.sagemath.org/ SageCell]''' Online-Umgebung zur Ausführung und Demonstration von Befehlen in R, Octave, Maxima, ... (Auswahl des Befehlssatzes auf der https://sagecell.sagemath.org/ SageCell-Seite] unten rechts auf dem Eingabefeld) * '''[[Statistikprogramm R]]''' enthält die verwendeten Werkzeuge und Kommandos, die für Berechnungen und Veranschaulichungen in den Projekten verwendet haben. * '''[[Tabellenkalkulation]]''' werden in Portfolios in der Regel verwendet, um Daten in den Portfolios aufzubereiten. * '''[[Octave]]''' wird in der Regel verwendet, um numerische Berechnung in der Mathematischen Modellbildung durchzuführen. * '''[[Geogebra]]''' ist eine Dynamische Geometriesoftware, die zur vektoriellen Veranschaulichung von räumlichen Modellierungsproblemen oder auch zur parametrisierten Darstellung von Funktionen verwendet wird (Beispiel: [https://www.geogebra.org/m/e9b349k9 Parkplatzlösung in Geogebra von Shrey T (2017)]). * '''[[w:Screencast|Screencast]]''': Ein Screencast ist eine Bildschirmaufnahme mit Audiokommentaren, die zeigt, wie man z.B. Software bedient. Ein Screencast ist eine Hilfestellung für Lernende, die sich noch nicht so gut mit einer bestimmten Software auskennen. :* [https://obsproject.com/ '''Open Broadcast Software (OBS)''' - Linux, Windows, MacOSX ] - [[Konvexkombination|Beispielvideo in Wikiversity]] * [[v:en:3D_Modelling|'''3D-Modellbildung''' (englisch)]] * '''[http://niebert.github.io/imgmap/ Online-ImageMap-Editor]''' - Anklickbare Bereiche in Wikiversity-Bildern erstellen. * '''[https://openlayers.org/en/latest/examples/heatmap-earthquakes.html HeatMaps]:''' Erstellung von [https://niebert.github.io/openlayer_heatmap HeatMaps mit einem Online-Editor] (Download [https://github.com/niebert/openlayer_heatmap/archive/master.zip Heatmap-Editor und Beispieldaten in Ordner <tt>/HeatMap</tt> in ZIP-Datei]) * '''[[Wiki2Reveal]]:''' Portfolio-Präsentationen direkt im Wikiversity erstellen. ===Editierungshilfen=== * [https://latexeditor.lagrida.com/ Online-Formel-Editor für LaTeX-Formeln]<ref>Lagrida Web-Portal (2021) Online-Latex-Formel-Editor mit Vorschau - URL: https://latexeditor.lagrida.com/ (accessed 2021/11/21))</ref> - die erzeugten Formeln müssen in einen MATH-Tag mit <kbd><math> ...</math></kbd> eingeschlossen werden bei der Seiteneditierung. * [https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:TeX Mathematische Formeln in Wikiversity] * Textgestaltung in Wikis: https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:Textgestaltung ==Wiki2Reveal== * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung2627|Kurs:Mathematische Modellbildung2627]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung2627&author=&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung2627&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] == Verweise == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2026-27%20Wintersemester&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2026-27%20Wintersemester&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung Kurs:Mathematische Modellbildung]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2026-27%20Wintersemester&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] er8suss6fng318cvp1wet9dh76ie02f 1116542 1116541 2026-10-17T08:41:07Z ~2026-55076-31 41992 /* Konkrete Beispiele */ 1116542 wikitext text/x-wiki ==Begriffsklärung== === Was ist mathematische Modellbildung? === Ganz grob gesagt besteht Mathematische Modellierung oder auch Mathematische Modellbildung darin, reale Fragestellungen mit mathematischen Mitteln zu bearbeiten und sie auf diesem Wege zumindest teilweise zu beantworten<ref> Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., & Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. </ref>. === Was ist ein Modell? === Ein Modell ist dabei gegeben durch innere Scheinbilder oder Repräsentatonen, die nicht zum Bereich der äußeren Gegenstände, sondern zu Vorstellungen von einem solchen realen Gegenstand gehören und ihnen daher auch in gewissen Grenzen etwas Willkürliches anhaftet (Sinngemäß nach Hertz, zitiert von Ortlieb<ref> Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., & Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. </ref>). ==== Eigenschaften von Modellen ==== Somit lassen sich vereinfacht und verkürzt folgende Eigenschaften ableiten (Stachowiak, zitiert nach Saam <ref> Saam, N. J. (2009). Modellbildung. In Handbuch Methoden der Organisationsforschung: Quantitative und Qualitative Methoden (pp. 517-532). Wiesbaden: VS Verlag für Sozialwissenschaften. </ref>): * '''Abbildungsmerkmal:''' Modelle repräsentieren die Realität, existieren jedoch nicht in der Realität * '''Verkürzungsmerkmal:''' Modelle beschreiben das Objekt nicht exakt, sondern stets vereinfacht * '''Pragmatisches Merkmal:''' Modelle verfolgen einen gewissen Zweck: Sie ersetzen eine nicht abbildbare Realität um Fragestellungen zu beantwortbar zu machen ==== Typisches Beispiele ==== * Betrachtungen in der Physik (Federpendel, Bewegungsgesetze,...) - Physik und Mathematische Modellbildung sind sehr eng miteinander verwoben * Populationsdynamiken und Ausbreitugnsschemata in der Biologie (vgl. Lotka-Volterra Modell) * Bewegungsanalysen und Optimierungen in den Sportwissenschaften * Untersuchungen von Transport- und Umweltprozessen in Biologie, Chemie, Physik, Technik,... * Bedarfs- und Verbrauchs- und Verhaltensanalysen in Geisteswissenschaften === Mathematische Modelle === Mathematische Modelle werden gemessen und bewertet anhand <ref> Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., & Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. </ref>: * '''Zulässigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte in sich widerspruchsfrei sein. * '''Richtigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte im Vergleich mit der Realität keine Widersprüche zu offensichtlich richtigen Tatsachen aufweisen. * '''Zweckmäßigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte genau den Detailgrad beinhalten, den es zum Erfüllen des Zwecks benötigt, nicht mehr und nicht weniger. ==== Gegenbeispiele für mathematische Modelle ==== Gegenbeispiele wären: * Ein nicht zulässiges Modell könnte bei einer Betrachtung einer Punktmasse im Raum dennoch Luftwiederstände berücksichtigen (Punkte haben kein Volumen) * Ein nicht richtiges Modell könnte bei der Modellierung von Transportprozessen von Schadstoffen die Massenerhaltung vernachlässigen. * Ein nicht zweckmäßiges Modell könnte bei dem Versuch den perfekten Abwurfwinkel beim Speerwurf die Krümmung der Erdoberfläche berücksichtigen. ==== Bemerkung - Kriterien ==== Die Kriterien, insbesondere Richtigkeit und Zweckmäßigkeit, sind nicht 100% operational. Einerseits fordert die Richtigkeit, keine bekannten Tatsachen auszulassen, andererseits dürfen hinsichtlich einer passenden Zweckmäßigkeit auch nur ausreichend viele Details integriert werden. ==Der Modellbildungszyklus== Wie kommt man nun von einer Realen Situation, die ein Problem aufwirft zu einem adäquaten mathematischen Modell? Dazu hat sich als möglichst allgemeine Vorgehensweise der Modellbildungszyklus ergeben: [[Datei:Modellbildungszyklus Mod6.png|miniatur|Modellbildungszyklus]] ===Verlauf des MBZ === Der Modellbildungszyklus beschreibt schematisch die iterative Erstellung einer mathematischen Modellbildung: * Ausgangspunkt ist eine reale Situation, die ein Problem aufwirft, die von dem mathematischen Modell adressiert werden soll * Dieses Problem wird inhaltlich erfasst, anschließend mathematisch Übersetzt (Betrachten von Gleichungen, Funktionen, Geometrischen Objekten,...) =====Modellbildungsschleife===== * Durch das Betrachten von mathematischen Objekten können über passende Operationen deduktiv Resultate geschlussfolgert werden * Diese Resultate werden mit der Realsituation abgeglichen * Aus dem Vergleich werden mögliche Optimierungen und Limitationen des Modells abgeleitet * Durch die Limitationen werden kann das Modell weiterentwickelt werden Diese Schritte können/müssen dabei mehrfach durchlaufen werden. =====Integration von Software===== Die Integration von computergestützter Software ist in der mathematischen Modellbildung definitionsgemäss nicht zwingend erforderlich, für die meisten anwendungsbezogenen Modellierungen jedoch unumgänglich. ==Konkretes Beispiel einer Mathematischen Modellbildung== [[Kurs:Mathematische_Modellbildung/Themen/Radioaktivit%C3%A4t_und_Risikoliteralit%C3%A4t]] [[Datei:Screenshot 2D Ansicht Resultate.png|miniatur|alternativtext=Ansicht der möglichen Auftreffpunkte des radioaktiven Niederschlags|Ansicht der möglichen Auftreffpunkte des radioaktiven Niederschlags]] [[File:Zeitliche Abhängigkeit der Risikofunktion.gif|thumb|Das GIF zeigt die Zeitliche Abhängigkeit der Risikofunktion]] === Ziel der Modellierung === Ziel in dieser Modellierung war es, ein Modell zur räumlichen und zeitlichen Ausbreitung einer radioaktiv belasteten Wolke, sowie dessen Rain-Out, infolge einer Reaktorkatastrophe am (mittlerweile abgeschalteten) Kernkraftwerk in Philippsburg zu beschreiben. Unter zu Hilfenahme von Messwerten von dem Reaktorunglück in Tschernobyl und den Halbwertszeiten des radioaktiven Materials wurde der zeitliche Zerfall erfasst. Der Transport von radioaktiven Material wurde durch eine Kugel im <math> \mathbb{R}^3 </math> modelliert. Diese bewegt sich gemäss einer variablen Windrichtung (gegeben durch Winkel <math> \alpha </math>) und regnet sich nach einer gewissen Durchschnittsdauer ab. === Endresultat === Es wurde in drei Modellbildungszyklen eine Funktion zur Beschreibung der radioaktiven Belastung (repräsentativ für das Risiko) abgeleitet: <math>u(x,y,t,\alpha)=\frac{1480\cdot e^{-\frac{ln(2)}{30a} \cdot t}}{1+\frac{7}{10.000}\cdot (x^2+y^2)}+\frac{40\cdot e^{-\frac{ln(2)}{30a} \cdot t}}{1+\frac{1}{7.500}\cdot ((x-1080cos(\alpha))^2+(y-1080sin(\alpha))^2)}</math> Letztlich erhält man also eine Funktion die in ihrem Ausgabewert <math>z=u(x,y,t,\alpha)</math> abhängig von 4 Eingabewerten <math>x, y, t, \alpha </math> ist. ==Modellbildung in der Schule== ===Einbindung in den Lehrplan=== Die mathematische Modellbildung ist stark in den Mathematik-Lehrplan für Schulen in Rheinland-Pfalz integriert (hier wird sich an dem Lehrplan für Sekundarstufe II orientiert <ref> Ministerium für Bildung, Wissensachft, Weiterbildung und Kultur (2015), Lehrplan Mathematik. Grund- und Leistungsfach in der gymnasialen Oberstufe (Mainzer Studienstufe) </ref>). Im Bezug zu Problemlösen im Mathematikunterricht und Mathematik im fachübergreifenden Kontext, sollen Anwendungsbeispiele Einzug halten, die Schülerinnen und Schülern aus anderen Fächern bekannt sind. In diesem Zusammenhang wird mathematische Modellbildung als Methode zur Lösung von solchen Anwendungsproblemen genannt. ==== Konkrete Beispiele ==== Zu folgenden mathematischen Themengebieten wird explizit Mathematischen Modellbildung zur unterrichtlichen Umsetzung erwähnt: *Exponentialfunktionen *Matrix-Rechnung *Differential- und Integralrechnung ===Konkreter Themenbezug=== Zu folgenden mathematischen Themengebieten wird explizit Mathematischen Modellbildung zur unterrichtlichen Umsetzung erwähnt: *Exponentialfunktionen (Wachstums- und Zerfallsprozesse) *Matrizenrechnung (zum Beispiel Input-Output-Analysen, Zustandsübergangsprozesse oder Populationsentwicklung) *Differential- und Integralrechnung (lineare oder logistische Wachstumsprozesse) ===Computereinsatz im Lehrplan=== Auch der Einsatz von computergestützten Hilfs- und Lösungsmitteln im Zuge der Modellbildung wird betont. (Bemerke: Auch im Lehrplan wird ein vergleichbarer Modellbildungszyklus vorgestellt und beschrieben. Bei Bedarf kann dieser auf Seite 15-16<ref> Ministerium für Bildung, Wissensachft, Weiterbildung und Kultur (2015), Lehrplan Mathematik. Grund- und Leistungsfach in der gymnasialen Oberstufe (Mainzer Studienstufe). </ref> nachgelesen werden) ===Zugang zur Bildung für Nachhaltigen Entwicklung=== Durch die Möglichkeit fachübergreifende Fragestellungen zu behandeln und Prozesse der Realität in den Blick zu nehmen, kann mathematische Modellbildung die Brücke zur Bildung für Nachhaltigen Entwicklung (BNE) schlagen. ====Bildung für Nachhaltige Entwicklung==== "Die BNE zielt grundsätzlich darauf ab, es jedem und jeder Einzelnen zu ermöglichen, die Folgen des eigenen Handelns auf die Welt sowie intra- und intergenerationell zu verstehen, verantwortungsvolle Entscheidungen zu treffen und aktiv zu werden." <ref> Ministerium für Bildung. Bildung für nachhaltige Entwicklung. Online abrufbar unter: https://bm.rlp.de/unsere-schwerpunkte/bildung-fuer-nachhaltige-entwicklung </ref> ====BNE und Modellbildung==== Mathematische Modellbildung kann unter praktischer Anwendung von gelernten Inhalten im Schulunterricht zu BNE beitragen, indem eben gezielt Probleme adressiert werden und von Schülerinnen und Schülern eigenständig untersucht werden. ==Ziel und Organisation des Seminars== ===Ziel und Aufgabe=== In Kleingruppen (3-4 Personen) sollen aussermathematische Fragestellungen mit einer eigenen mathematischen Modellbildung behandelt werden. Dazu sollen drei Modellbildungszyklen mit unterschiedlichem Grad an Vereinfachung und unterschiedlicher Mathematischen Grundlage erstellt werden: * Zyklus: Mathematik der Sekundarstufe 1 (Mittelstufe) * Zyklus: Mathematik der Sekundarstufe 2 (Oberstufe) * Zyklus: Universitätsmathematik ====Integration von Software==== In jedem Zyklus sollen computergestützte Untersuchungen und Betrachtungen Einzug erhalten. Somit bietet es sich an in insgesamt auch drei verschiedene Programme (Tabellenkalkulation, GeoGebra, RStudio, Maxima,...) zu integrieren - an manchen stellen lässt sich dies gar nicht vermeiden. ===Themenwahl=== Das Thema sollte einen weltlichen Bezug haben. Am besten eigenen sich Themen aus dem jeweiligen Zweitfach (s. Verbindung zu anderen Schulfächern im Lehrplan). Das Thema sollte nachhaltige Entwicklung im Rahmen der Sustainable Development Goals adressieren. Siehe dazu: https://www.bundesumweltministerium.de/themen/nachhaltigkeit/nachhaltigkeitsziele-sdgs Vorzugsweise: Räumliche Risikobetrachtungen in Desaster- und Katastrophenszenarien. Das Thema sollte sich nicht mit denen der vergangenen Semestern doppeln. Zur Orientierung und Inspiration finden sich hier die Projekte der vergangenen Semester: :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2026 Sommersemester|2026 Sommersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2025-26 Wintersemester|2025/26 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2024-25 Wintersemester|2024/25 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2023-24 Wintersemester|2023/24 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2022-23 Winteresemester|2022/23 Wintersemester]]''' ===Portfolio=== Während des Semesters soll in Gruppenarbeit die Modellbildung durchgeführt werden. Diese wird schriftlich in einem Portfolio festgehalten. Dies Portfolio wird, genau wie dieser Artikel auch, in einem Wikiversity Artikel dokumentiert. Dieser sollte folgendes enthalten: ====Inhalt Portfolio==== * Einleitung: Beschreibung und Einordnung des Themas & welche(s) SDG wird adressiert und warum? * Ziel der Modellierung: Welches Problem wird in der Modellierung / den einzelnen Zyklen konkret angegangen? * Zyklus 1-3 ** Mathematisches Modell (welche Mathematischen Objekte werden betrachtet, wie ergeben die sich,...) ** Ergebnisse (Ableiten von Resultaten aus dem Modell) ** Bewertung der Ergebnisse ** Grenzen und Limitationen ** Ausblick für nächsten Zyklus (welche Limitationen und Probleme aus dem Zyklus werden im folgenden adressiert?) ====Integration Computersoftware==== In allen Punkten der Modellzyklen können Programme computergestützte Tools verwendet werden. Zur Erstellung von Wiki-Seiten ist folgende Seite hilfreich: https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:Textgestaltung ===Prüfung=== Die Prüfung gliedert sich in zwei Aspekte: * '''Vorstellung von ausgewählten Teilen aus dem eigenen Portfolio''' - diese werden von den Prüfer:innen aus dem Portfolio der Studierenden ausgewählt. * '''Diskussion und Fragen''' der Prüfer:innen zu dem Portfolio, z.B. zu Teilen des Portfolios, die in der Vorstellung nicht behandelt werden können. Ein Portfolio kann aus Zeitgründen nie vollständig in der Prüfung dargestellt werden. ====Inhalt==== In der mündlichen Portfolio-Prüfung wird geprüft, ob *das eigene Modell verstanden ist, *das eigene Modell kritisch hinterfragt werden kann, *die Limitationen des Modells begründet und nachvollziehbar wiedergegeben werden können, *die Übergänge zwischen den Zyklen beschrieben und begründet werden können, *die technische Umsetzung reproduziert und erklärt werden kann, *... . ====Präsentation==== Es ist also wichtig zu wissen, was wie an welcher Stelle und mit welchem Zweck in der Modellierung gemacht wurde! Das Portfolio (Wiki-Seite) wird somit konkret vorgestellt. Eine Präsentation des Portfolio kann automatisch mit Wiki2Reveal erstellt werden. === Unterstützungsangebot === * Das Unterstützungsangebot erfolgt in der Lehrveranstaltung zur "Mathematischen Modellbildung". * Eine individuelle Sonderbehandlung für einzelne Studierende, die das Angebot der Vorlesung nicht nutzen und kurz vor Prüfungsbeginn noch "schnell" ein Portfolio zusammenstellen wollen, ist aus zeitlichen Gründen kurz vor der Prüfung nicht möglich. * Portfolioprüfungen der Lehrveranstaltung beziehen sich immer auf das erstellte Portfolio im laufende Semester und bei Wiederholungsprüfungen auf das Semester, in dem Portfolio erstellt wurde. * Eine Prüfung kann nur zu dem eigenen erstellten Portfolio in der Lehrveranstaltung abgelegt werden, an dessen Erstellung man aktiv mitgearbeitet hat. ===Ablauf des Seminars=== Der Seminarablauf über das Semester gestaltet sich grob wie folgt: * 1. Woche (19.10.): Einführungsveranstaltung + Gruppenfindung * 2. Woche (26.10.): Themenfindung * 3. Woche (02.11.): Themenfindung + Zyklen festlegen * 4. Woche (09.11.): Zyklen festlegen * 5. Woche (16.11.): Kurzvorstellung der Themen und Zyklen (5 Minuten pro Gruppe) Ab Woche 6 (23.11.) bis Ende des Semesters wird gemeinsam an den Modellen und dem Portfolio gearbeitet. ====Zeitplan==== Empfehlenswert wäre es, die letzten 2-3 Wochen für Finalisierungsarbeiten zu nutzen und entsprechend frühzeitig zu planen! Ausschliesslich während der Seminarzeiten an dem Modell und Portfolio zu arbeiten wird nicht ausreichen! Die Kurzpräsentationen am 16.11. umfassen den aktuellen Stand der Überlegungen und sind noch unter keinen Umständen verbindlich. Stattdessen dient es einfach zur Grundlage von gemeinsamer Diskussion und zur Einbringung von weiteren Ideen. ==Hilfreiche Links== ===Fachmathematische Aspekte === Wenn man das Modellierungsproblem in den Mittelpunkt stellt und die Fragestellung den Nachhaltigkeitszielen der UN zuordnet, kommen z.T. fachmathematische Aspekte erforderlich, die nicht in der jeweiligen Schulstufe bzw. in den Vorlesungen behandelt wurden. Dies Kapitel erhält Hinweise zu fachmathematischen Bereichen, die für die mathematische Modellbildung ggf. als Werkzeug verwendet werden können * '''[[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]''' dienen dazu, Datenpunkte im <math>\R^2</math> oder allgemein im <math>\R^n</math> zu [[w:Interpolation_(Mathematik)|interpolieren]]. * '''[https://en.wikiversity.org/wiki/3D_Modelling 3D Modellierung für Projektinhalte]''' und [[w:Projektive_Geometrie|projektive Geometrie]] zur Visualisierung * '''[[Gradientenabstiegsverfahren]]''': Wird verwendet, um sich in der mathematischen Modellbildung iterativ einem Minimum einer Kosten- oder Fehlerfunktion anzunähern. * [[w:Lineare_Optimierung|'''Lineare Optimierung''']] wird in Optimierungshaufgaben wie beispielsweise bei der Suche nach Minimum der Produktionskosten verwendet. Hierbei wird in allgemeinem nach einem Minimium/Maximum einer linearer Zielfunktion über einer Menge gesucht. [https://www.geogebra.org/m/kr727992 '''Ein Beispiel in Geogebra'''] *[[Räumliche Diffusion|'''Räumliche Diffusion''']] *[[Modelle_der_Populationsdynamik|'''Modelle der Populationsdynamik''']] - [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Modelle%20der%20Populationsdynamik&author=Kurs:R%C3%A4umliche%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes (Wiki2Reveal-Folien)] - [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Stochastik/Wahrscheinlichkeitsdichte|Wahrscheinlichkeitsdichte]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Wahrscheinlichkeitsdichte&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wahrscheinlichkeitsdichte&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ===Softwarenutzung === Im PC-Praktikum wurden grundlegende Kenntnisse im Umgang mit Software erlangt, die für die Berechnung von mathematischen Modellen vorwendig sind. Diese Kenntnisse müssen ggf. auf das spezielle Modellierungsthema angepasst und erweitert werden. * '''[[CSV2Chart]]''' Aus CSV-Dateien mathematische Graphen in Wikiversity erstellen. * '''[[Maxima CAS]]''' enthält die verwendeten Werkzeuge und Kommandos eines Computeralgebrasystems (CAS), die die einzelnen Projekte in dem Modellbildungszyklus verwendet haben. * '''[https://sagecell.sagemath.org/ SageCell]''' Online-Umgebung zur Ausführung und Demonstration von Befehlen in R, Octave, Maxima, ... (Auswahl des Befehlssatzes auf der https://sagecell.sagemath.org/ SageCell-Seite] unten rechts auf dem Eingabefeld) * '''[[Statistikprogramm R]]''' enthält die verwendeten Werkzeuge und Kommandos, die für Berechnungen und Veranschaulichungen in den Projekten verwendet haben. * '''[[Tabellenkalkulation]]''' werden in Portfolios in der Regel verwendet, um Daten in den Portfolios aufzubereiten. * '''[[Octave]]''' wird in der Regel verwendet, um numerische Berechnung in der Mathematischen Modellbildung durchzuführen. * '''[[Geogebra]]''' ist eine Dynamische Geometriesoftware, die zur vektoriellen Veranschaulichung von räumlichen Modellierungsproblemen oder auch zur parametrisierten Darstellung von Funktionen verwendet wird (Beispiel: [https://www.geogebra.org/m/e9b349k9 Parkplatzlösung in Geogebra von Shrey T (2017)]). * '''[[w:Screencast|Screencast]]''': Ein Screencast ist eine Bildschirmaufnahme mit Audiokommentaren, die zeigt, wie man z.B. Software bedient. Ein Screencast ist eine Hilfestellung für Lernende, die sich noch nicht so gut mit einer bestimmten Software auskennen. :* [https://obsproject.com/ '''Open Broadcast Software (OBS)''' - Linux, Windows, MacOSX ] - [[Konvexkombination|Beispielvideo in Wikiversity]] * [[v:en:3D_Modelling|'''3D-Modellbildung''' (englisch)]] * '''[http://niebert.github.io/imgmap/ Online-ImageMap-Editor]''' - Anklickbare Bereiche in Wikiversity-Bildern erstellen. * '''[https://openlayers.org/en/latest/examples/heatmap-earthquakes.html HeatMaps]:''' Erstellung von [https://niebert.github.io/openlayer_heatmap HeatMaps mit einem Online-Editor] (Download [https://github.com/niebert/openlayer_heatmap/archive/master.zip Heatmap-Editor und Beispieldaten in Ordner <tt>/HeatMap</tt> in ZIP-Datei]) * '''[[Wiki2Reveal]]:''' Portfolio-Präsentationen direkt im Wikiversity erstellen. ===Editierungshilfen=== * [https://latexeditor.lagrida.com/ Online-Formel-Editor für LaTeX-Formeln]<ref>Lagrida Web-Portal (2021) Online-Latex-Formel-Editor mit Vorschau - URL: https://latexeditor.lagrida.com/ (accessed 2021/11/21))</ref> - die erzeugten Formeln müssen in einen MATH-Tag mit <kbd><math> ...</math></kbd> eingeschlossen werden bei der Seiteneditierung. * [https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:TeX Mathematische Formeln in Wikiversity] * Textgestaltung in Wikis: https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:Textgestaltung ==Wiki2Reveal== * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung2627|Kurs:Mathematische Modellbildung2627]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung2627&author=&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung2627&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] == Verweise == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2026-27%20Wintersemester&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2026-27%20Wintersemester&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung Kurs:Mathematische Modellbildung]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2026-27%20Wintersemester&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] c2gxfkgf6qiemfgzmzjcp57oa11vnjf 1116543 1116542 2026-10-17T08:41:49Z ~2026-55076-31 41992 /* Inhalt */ 1116543 wikitext text/x-wiki ==Begriffsklärung== === Was ist mathematische Modellbildung? === Ganz grob gesagt besteht Mathematische Modellierung oder auch Mathematische Modellbildung darin, reale Fragestellungen mit mathematischen Mitteln zu bearbeiten und sie auf diesem Wege zumindest teilweise zu beantworten<ref> Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., & Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. </ref>. === Was ist ein Modell? === Ein Modell ist dabei gegeben durch innere Scheinbilder oder Repräsentatonen, die nicht zum Bereich der äußeren Gegenstände, sondern zu Vorstellungen von einem solchen realen Gegenstand gehören und ihnen daher auch in gewissen Grenzen etwas Willkürliches anhaftet (Sinngemäß nach Hertz, zitiert von Ortlieb<ref> Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., & Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. </ref>). ==== Eigenschaften von Modellen ==== Somit lassen sich vereinfacht und verkürzt folgende Eigenschaften ableiten (Stachowiak, zitiert nach Saam <ref> Saam, N. J. (2009). Modellbildung. In Handbuch Methoden der Organisationsforschung: Quantitative und Qualitative Methoden (pp. 517-532). Wiesbaden: VS Verlag für Sozialwissenschaften. </ref>): * '''Abbildungsmerkmal:''' Modelle repräsentieren die Realität, existieren jedoch nicht in der Realität * '''Verkürzungsmerkmal:''' Modelle beschreiben das Objekt nicht exakt, sondern stets vereinfacht * '''Pragmatisches Merkmal:''' Modelle verfolgen einen gewissen Zweck: Sie ersetzen eine nicht abbildbare Realität um Fragestellungen zu beantwortbar zu machen ==== Typisches Beispiele ==== * Betrachtungen in der Physik (Federpendel, Bewegungsgesetze,...) - Physik und Mathematische Modellbildung sind sehr eng miteinander verwoben * Populationsdynamiken und Ausbreitugnsschemata in der Biologie (vgl. Lotka-Volterra Modell) * Bewegungsanalysen und Optimierungen in den Sportwissenschaften * Untersuchungen von Transport- und Umweltprozessen in Biologie, Chemie, Physik, Technik,... * Bedarfs- und Verbrauchs- und Verhaltensanalysen in Geisteswissenschaften === Mathematische Modelle === Mathematische Modelle werden gemessen und bewertet anhand <ref> Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., & Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. </ref>: * '''Zulässigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte in sich widerspruchsfrei sein. * '''Richtigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte im Vergleich mit der Realität keine Widersprüche zu offensichtlich richtigen Tatsachen aufweisen. * '''Zweckmäßigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte genau den Detailgrad beinhalten, den es zum Erfüllen des Zwecks benötigt, nicht mehr und nicht weniger. ==== Gegenbeispiele für mathematische Modelle ==== Gegenbeispiele wären: * Ein nicht zulässiges Modell könnte bei einer Betrachtung einer Punktmasse im Raum dennoch Luftwiederstände berücksichtigen (Punkte haben kein Volumen) * Ein nicht richtiges Modell könnte bei der Modellierung von Transportprozessen von Schadstoffen die Massenerhaltung vernachlässigen. * Ein nicht zweckmäßiges Modell könnte bei dem Versuch den perfekten Abwurfwinkel beim Speerwurf die Krümmung der Erdoberfläche berücksichtigen. ==== Bemerkung - Kriterien ==== Die Kriterien, insbesondere Richtigkeit und Zweckmäßigkeit, sind nicht 100% operational. Einerseits fordert die Richtigkeit, keine bekannten Tatsachen auszulassen, andererseits dürfen hinsichtlich einer passenden Zweckmäßigkeit auch nur ausreichend viele Details integriert werden. ==Der Modellbildungszyklus== Wie kommt man nun von einer Realen Situation, die ein Problem aufwirft zu einem adäquaten mathematischen Modell? Dazu hat sich als möglichst allgemeine Vorgehensweise der Modellbildungszyklus ergeben: [[Datei:Modellbildungszyklus Mod6.png|miniatur|Modellbildungszyklus]] ===Verlauf des MBZ === Der Modellbildungszyklus beschreibt schematisch die iterative Erstellung einer mathematischen Modellbildung: * Ausgangspunkt ist eine reale Situation, die ein Problem aufwirft, die von dem mathematischen Modell adressiert werden soll * Dieses Problem wird inhaltlich erfasst, anschließend mathematisch Übersetzt (Betrachten von Gleichungen, Funktionen, Geometrischen Objekten,...) =====Modellbildungsschleife===== * Durch das Betrachten von mathematischen Objekten können über passende Operationen deduktiv Resultate geschlussfolgert werden * Diese Resultate werden mit der Realsituation abgeglichen * Aus dem Vergleich werden mögliche Optimierungen und Limitationen des Modells abgeleitet * Durch die Limitationen werden kann das Modell weiterentwickelt werden Diese Schritte können/müssen dabei mehrfach durchlaufen werden. =====Integration von Software===== Die Integration von computergestützter Software ist in der mathematischen Modellbildung definitionsgemäss nicht zwingend erforderlich, für die meisten anwendungsbezogenen Modellierungen jedoch unumgänglich. ==Konkretes Beispiel einer Mathematischen Modellbildung== [[Kurs:Mathematische_Modellbildung/Themen/Radioaktivit%C3%A4t_und_Risikoliteralit%C3%A4t]] [[Datei:Screenshot 2D Ansicht Resultate.png|miniatur|alternativtext=Ansicht der möglichen Auftreffpunkte des radioaktiven Niederschlags|Ansicht der möglichen Auftreffpunkte des radioaktiven Niederschlags]] [[File:Zeitliche Abhängigkeit der Risikofunktion.gif|thumb|Das GIF zeigt die Zeitliche Abhängigkeit der Risikofunktion]] === Ziel der Modellierung === Ziel in dieser Modellierung war es, ein Modell zur räumlichen und zeitlichen Ausbreitung einer radioaktiv belasteten Wolke, sowie dessen Rain-Out, infolge einer Reaktorkatastrophe am (mittlerweile abgeschalteten) Kernkraftwerk in Philippsburg zu beschreiben. Unter zu Hilfenahme von Messwerten von dem Reaktorunglück in Tschernobyl und den Halbwertszeiten des radioaktiven Materials wurde der zeitliche Zerfall erfasst. Der Transport von radioaktiven Material wurde durch eine Kugel im <math> \mathbb{R}^3 </math> modelliert. Diese bewegt sich gemäss einer variablen Windrichtung (gegeben durch Winkel <math> \alpha </math>) und regnet sich nach einer gewissen Durchschnittsdauer ab. === Endresultat === Es wurde in drei Modellbildungszyklen eine Funktion zur Beschreibung der radioaktiven Belastung (repräsentativ für das Risiko) abgeleitet: <math>u(x,y,t,\alpha)=\frac{1480\cdot e^{-\frac{ln(2)}{30a} \cdot t}}{1+\frac{7}{10.000}\cdot (x^2+y^2)}+\frac{40\cdot e^{-\frac{ln(2)}{30a} \cdot t}}{1+\frac{1}{7.500}\cdot ((x-1080cos(\alpha))^2+(y-1080sin(\alpha))^2)}</math> Letztlich erhält man also eine Funktion die in ihrem Ausgabewert <math>z=u(x,y,t,\alpha)</math> abhängig von 4 Eingabewerten <math>x, y, t, \alpha </math> ist. ==Modellbildung in der Schule== ===Einbindung in den Lehrplan=== Die mathematische Modellbildung ist stark in den Mathematik-Lehrplan für Schulen in Rheinland-Pfalz integriert (hier wird sich an dem Lehrplan für Sekundarstufe II orientiert <ref> Ministerium für Bildung, Wissensachft, Weiterbildung und Kultur (2015), Lehrplan Mathematik. Grund- und Leistungsfach in der gymnasialen Oberstufe (Mainzer Studienstufe) </ref>). Im Bezug zu Problemlösen im Mathematikunterricht und Mathematik im fachübergreifenden Kontext, sollen Anwendungsbeispiele Einzug halten, die Schülerinnen und Schülern aus anderen Fächern bekannt sind. In diesem Zusammenhang wird mathematische Modellbildung als Methode zur Lösung von solchen Anwendungsproblemen genannt. ==== Konkrete Beispiele ==== Zu folgenden mathematischen Themengebieten wird explizit Mathematischen Modellbildung zur unterrichtlichen Umsetzung erwähnt: *Exponentialfunktionen *Matrix-Rechnung *Differential- und Integralrechnung ===Konkreter Themenbezug=== Zu folgenden mathematischen Themengebieten wird explizit Mathematischen Modellbildung zur unterrichtlichen Umsetzung erwähnt: *Exponentialfunktionen (Wachstums- und Zerfallsprozesse) *Matrizenrechnung (zum Beispiel Input-Output-Analysen, Zustandsübergangsprozesse oder Populationsentwicklung) *Differential- und Integralrechnung (lineare oder logistische Wachstumsprozesse) ===Computereinsatz im Lehrplan=== Auch der Einsatz von computergestützten Hilfs- und Lösungsmitteln im Zuge der Modellbildung wird betont. (Bemerke: Auch im Lehrplan wird ein vergleichbarer Modellbildungszyklus vorgestellt und beschrieben. Bei Bedarf kann dieser auf Seite 15-16<ref> Ministerium für Bildung, Wissensachft, Weiterbildung und Kultur (2015), Lehrplan Mathematik. Grund- und Leistungsfach in der gymnasialen Oberstufe (Mainzer Studienstufe). </ref> nachgelesen werden) ===Zugang zur Bildung für Nachhaltigen Entwicklung=== Durch die Möglichkeit fachübergreifende Fragestellungen zu behandeln und Prozesse der Realität in den Blick zu nehmen, kann mathematische Modellbildung die Brücke zur Bildung für Nachhaltigen Entwicklung (BNE) schlagen. ====Bildung für Nachhaltige Entwicklung==== "Die BNE zielt grundsätzlich darauf ab, es jedem und jeder Einzelnen zu ermöglichen, die Folgen des eigenen Handelns auf die Welt sowie intra- und intergenerationell zu verstehen, verantwortungsvolle Entscheidungen zu treffen und aktiv zu werden." <ref> Ministerium für Bildung. Bildung für nachhaltige Entwicklung. Online abrufbar unter: https://bm.rlp.de/unsere-schwerpunkte/bildung-fuer-nachhaltige-entwicklung </ref> ====BNE und Modellbildung==== Mathematische Modellbildung kann unter praktischer Anwendung von gelernten Inhalten im Schulunterricht zu BNE beitragen, indem eben gezielt Probleme adressiert werden und von Schülerinnen und Schülern eigenständig untersucht werden. ==Ziel und Organisation des Seminars== ===Ziel und Aufgabe=== In Kleingruppen (3-4 Personen) sollen aussermathematische Fragestellungen mit einer eigenen mathematischen Modellbildung behandelt werden. Dazu sollen drei Modellbildungszyklen mit unterschiedlichem Grad an Vereinfachung und unterschiedlicher Mathematischen Grundlage erstellt werden: * Zyklus: Mathematik der Sekundarstufe 1 (Mittelstufe) * Zyklus: Mathematik der Sekundarstufe 2 (Oberstufe) * Zyklus: Universitätsmathematik ====Integration von Software==== In jedem Zyklus sollen computergestützte Untersuchungen und Betrachtungen Einzug erhalten. Somit bietet es sich an in insgesamt auch drei verschiedene Programme (Tabellenkalkulation, GeoGebra, RStudio, Maxima,...) zu integrieren - an manchen stellen lässt sich dies gar nicht vermeiden. ===Themenwahl=== Das Thema sollte einen weltlichen Bezug haben. Am besten eigenen sich Themen aus dem jeweiligen Zweitfach (s. Verbindung zu anderen Schulfächern im Lehrplan). Das Thema sollte nachhaltige Entwicklung im Rahmen der Sustainable Development Goals adressieren. Siehe dazu: https://www.bundesumweltministerium.de/themen/nachhaltigkeit/nachhaltigkeitsziele-sdgs Vorzugsweise: Räumliche Risikobetrachtungen in Desaster- und Katastrophenszenarien. Das Thema sollte sich nicht mit denen der vergangenen Semestern doppeln. Zur Orientierung und Inspiration finden sich hier die Projekte der vergangenen Semester: :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2026 Sommersemester|2026 Sommersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2025-26 Wintersemester|2025/26 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2024-25 Wintersemester|2024/25 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2023-24 Wintersemester|2023/24 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2022-23 Winteresemester|2022/23 Wintersemester]]''' ===Portfolio=== Während des Semesters soll in Gruppenarbeit die Modellbildung durchgeführt werden. Diese wird schriftlich in einem Portfolio festgehalten. Dies Portfolio wird, genau wie dieser Artikel auch, in einem Wikiversity Artikel dokumentiert. Dieser sollte folgendes enthalten: ====Inhalt Portfolio==== * Einleitung: Beschreibung und Einordnung des Themas & welche(s) SDG wird adressiert und warum? * Ziel der Modellierung: Welches Problem wird in der Modellierung / den einzelnen Zyklen konkret angegangen? * Zyklus 1-3 ** Mathematisches Modell (welche Mathematischen Objekte werden betrachtet, wie ergeben die sich,...) ** Ergebnisse (Ableiten von Resultaten aus dem Modell) ** Bewertung der Ergebnisse ** Grenzen und Limitationen ** Ausblick für nächsten Zyklus (welche Limitationen und Probleme aus dem Zyklus werden im folgenden adressiert?) ====Integration Computersoftware==== In allen Punkten der Modellzyklen können Programme computergestützte Tools verwendet werden. Zur Erstellung von Wiki-Seiten ist folgende Seite hilfreich: https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:Textgestaltung ===Prüfung=== Die Prüfung gliedert sich in zwei Aspekte: * '''Vorstellung von ausgewählten Teilen aus dem eigenen Portfolio''' - diese werden von den Prüfer:innen aus dem Portfolio der Studierenden ausgewählt. * '''Diskussion und Fragen''' der Prüfer:innen zu dem Portfolio, z.B. zu Teilen des Portfolios, die in der Vorstellung nicht behandelt werden können. Ein Portfolio kann aus Zeitgründen nie vollständig in der Prüfung dargestellt werden. ====Inhalt==== In der mündlichen Portfolio-Prüfung wird geprüft, ob * das eigene Modell verstanden ist, * das eigene Modell kritisch hinterfragt werden kann, * die Limitationen des Modells begründet und nachvollziehbar wiedergegeben werden können, * die Übergänge zwischen den Zyklen beschrieben und begründet werden können, * die technische Umsetzung reproduziert und erklärt werden kann, * ... . ====Präsentation==== Es ist also wichtig zu wissen, was wie an welcher Stelle und mit welchem Zweck in der Modellierung gemacht wurde! Das Portfolio (Wiki-Seite) wird somit konkret vorgestellt. Eine Präsentation des Portfolio kann automatisch mit Wiki2Reveal erstellt werden. === Unterstützungsangebot === * Das Unterstützungsangebot erfolgt in der Lehrveranstaltung zur "Mathematischen Modellbildung". * Eine individuelle Sonderbehandlung für einzelne Studierende, die das Angebot der Vorlesung nicht nutzen und kurz vor Prüfungsbeginn noch "schnell" ein Portfolio zusammenstellen wollen, ist aus zeitlichen Gründen kurz vor der Prüfung nicht möglich. * Portfolioprüfungen der Lehrveranstaltung beziehen sich immer auf das erstellte Portfolio im laufende Semester und bei Wiederholungsprüfungen auf das Semester, in dem Portfolio erstellt wurde. * Eine Prüfung kann nur zu dem eigenen erstellten Portfolio in der Lehrveranstaltung abgelegt werden, an dessen Erstellung man aktiv mitgearbeitet hat. ===Ablauf des Seminars=== Der Seminarablauf über das Semester gestaltet sich grob wie folgt: * 1. Woche (19.10.): Einführungsveranstaltung + Gruppenfindung * 2. Woche (26.10.): Themenfindung * 3. Woche (02.11.): Themenfindung + Zyklen festlegen * 4. Woche (09.11.): Zyklen festlegen * 5. Woche (16.11.): Kurzvorstellung der Themen und Zyklen (5 Minuten pro Gruppe) Ab Woche 6 (23.11.) bis Ende des Semesters wird gemeinsam an den Modellen und dem Portfolio gearbeitet. ====Zeitplan==== Empfehlenswert wäre es, die letzten 2-3 Wochen für Finalisierungsarbeiten zu nutzen und entsprechend frühzeitig zu planen! Ausschliesslich während der Seminarzeiten an dem Modell und Portfolio zu arbeiten wird nicht ausreichen! Die Kurzpräsentationen am 16.11. umfassen den aktuellen Stand der Überlegungen und sind noch unter keinen Umständen verbindlich. Stattdessen dient es einfach zur Grundlage von gemeinsamer Diskussion und zur Einbringung von weiteren Ideen. ==Hilfreiche Links== ===Fachmathematische Aspekte === Wenn man das Modellierungsproblem in den Mittelpunkt stellt und die Fragestellung den Nachhaltigkeitszielen der UN zuordnet, kommen z.T. fachmathematische Aspekte erforderlich, die nicht in der jeweiligen Schulstufe bzw. in den Vorlesungen behandelt wurden. Dies Kapitel erhält Hinweise zu fachmathematischen Bereichen, die für die mathematische Modellbildung ggf. als Werkzeug verwendet werden können * '''[[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]''' dienen dazu, Datenpunkte im <math>\R^2</math> oder allgemein im <math>\R^n</math> zu [[w:Interpolation_(Mathematik)|interpolieren]]. * '''[https://en.wikiversity.org/wiki/3D_Modelling 3D Modellierung für Projektinhalte]''' und [[w:Projektive_Geometrie|projektive Geometrie]] zur Visualisierung * '''[[Gradientenabstiegsverfahren]]''': Wird verwendet, um sich in der mathematischen Modellbildung iterativ einem Minimum einer Kosten- oder Fehlerfunktion anzunähern. * [[w:Lineare_Optimierung|'''Lineare Optimierung''']] wird in Optimierungshaufgaben wie beispielsweise bei der Suche nach Minimum der Produktionskosten verwendet. Hierbei wird in allgemeinem nach einem Minimium/Maximum einer linearer Zielfunktion über einer Menge gesucht. [https://www.geogebra.org/m/kr727992 '''Ein Beispiel in Geogebra'''] *[[Räumliche Diffusion|'''Räumliche Diffusion''']] *[[Modelle_der_Populationsdynamik|'''Modelle der Populationsdynamik''']] - [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Modelle%20der%20Populationsdynamik&author=Kurs:R%C3%A4umliche%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes (Wiki2Reveal-Folien)] - [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Stochastik/Wahrscheinlichkeitsdichte|Wahrscheinlichkeitsdichte]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Wahrscheinlichkeitsdichte&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wahrscheinlichkeitsdichte&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ===Softwarenutzung === Im PC-Praktikum wurden grundlegende Kenntnisse im Umgang mit Software erlangt, die für die Berechnung von mathematischen Modellen vorwendig sind. Diese Kenntnisse müssen ggf. auf das spezielle Modellierungsthema angepasst und erweitert werden. * '''[[CSV2Chart]]''' Aus CSV-Dateien mathematische Graphen in Wikiversity erstellen. * '''[[Maxima CAS]]''' enthält die verwendeten Werkzeuge und Kommandos eines Computeralgebrasystems (CAS), die die einzelnen Projekte in dem Modellbildungszyklus verwendet haben. * '''[https://sagecell.sagemath.org/ SageCell]''' Online-Umgebung zur Ausführung und Demonstration von Befehlen in R, Octave, Maxima, ... (Auswahl des Befehlssatzes auf der https://sagecell.sagemath.org/ SageCell-Seite] unten rechts auf dem Eingabefeld) * '''[[Statistikprogramm R]]''' enthält die verwendeten Werkzeuge und Kommandos, die für Berechnungen und Veranschaulichungen in den Projekten verwendet haben. * '''[[Tabellenkalkulation]]''' werden in Portfolios in der Regel verwendet, um Daten in den Portfolios aufzubereiten. * '''[[Octave]]''' wird in der Regel verwendet, um numerische Berechnung in der Mathematischen Modellbildung durchzuführen. * '''[[Geogebra]]''' ist eine Dynamische Geometriesoftware, die zur vektoriellen Veranschaulichung von räumlichen Modellierungsproblemen oder auch zur parametrisierten Darstellung von Funktionen verwendet wird (Beispiel: [https://www.geogebra.org/m/e9b349k9 Parkplatzlösung in Geogebra von Shrey T (2017)]). * '''[[w:Screencast|Screencast]]''': Ein Screencast ist eine Bildschirmaufnahme mit Audiokommentaren, die zeigt, wie man z.B. Software bedient. Ein Screencast ist eine Hilfestellung für Lernende, die sich noch nicht so gut mit einer bestimmten Software auskennen. :* [https://obsproject.com/ '''Open Broadcast Software (OBS)''' - Linux, Windows, MacOSX ] - [[Konvexkombination|Beispielvideo in Wikiversity]] * [[v:en:3D_Modelling|'''3D-Modellbildung''' (englisch)]] * '''[http://niebert.github.io/imgmap/ Online-ImageMap-Editor]''' - Anklickbare Bereiche in Wikiversity-Bildern erstellen. * '''[https://openlayers.org/en/latest/examples/heatmap-earthquakes.html HeatMaps]:''' Erstellung von [https://niebert.github.io/openlayer_heatmap HeatMaps mit einem Online-Editor] (Download [https://github.com/niebert/openlayer_heatmap/archive/master.zip Heatmap-Editor und Beispieldaten in Ordner <tt>/HeatMap</tt> in ZIP-Datei]) * '''[[Wiki2Reveal]]:''' Portfolio-Präsentationen direkt im Wikiversity erstellen. ===Editierungshilfen=== * [https://latexeditor.lagrida.com/ Online-Formel-Editor für LaTeX-Formeln]<ref>Lagrida Web-Portal (2021) Online-Latex-Formel-Editor mit Vorschau - URL: https://latexeditor.lagrida.com/ (accessed 2021/11/21))</ref> - die erzeugten Formeln müssen in einen MATH-Tag mit <kbd><math> ...</math></kbd> eingeschlossen werden bei der Seiteneditierung. * [https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:TeX Mathematische Formeln in Wikiversity] * Textgestaltung in Wikis: https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:Textgestaltung ==Wiki2Reveal== * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung2627|Kurs:Mathematische Modellbildung2627]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung2627&author=&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung2627&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] == Verweise == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2026-27%20Wintersemester&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2026-27%20Wintersemester&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung Kurs:Mathematische Modellbildung]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2026-27%20Wintersemester&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] sltap8ivmmhxxawyervszj2es7w08kn 1116544 1116543 2026-10-17T08:42:09Z ~2026-55076-31 41992 /* Konkreter Themenbezug */ 1116544 wikitext text/x-wiki ==Begriffsklärung== === Was ist mathematische Modellbildung? === Ganz grob gesagt besteht Mathematische Modellierung oder auch Mathematische Modellbildung darin, reale Fragestellungen mit mathematischen Mitteln zu bearbeiten und sie auf diesem Wege zumindest teilweise zu beantworten<ref> Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., & Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. </ref>. === Was ist ein Modell? === Ein Modell ist dabei gegeben durch innere Scheinbilder oder Repräsentatonen, die nicht zum Bereich der äußeren Gegenstände, sondern zu Vorstellungen von einem solchen realen Gegenstand gehören und ihnen daher auch in gewissen Grenzen etwas Willkürliches anhaftet (Sinngemäß nach Hertz, zitiert von Ortlieb<ref> Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., & Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. </ref>). ==== Eigenschaften von Modellen ==== Somit lassen sich vereinfacht und verkürzt folgende Eigenschaften ableiten (Stachowiak, zitiert nach Saam <ref> Saam, N. J. (2009). Modellbildung. In Handbuch Methoden der Organisationsforschung: Quantitative und Qualitative Methoden (pp. 517-532). Wiesbaden: VS Verlag für Sozialwissenschaften. </ref>): * '''Abbildungsmerkmal:''' Modelle repräsentieren die Realität, existieren jedoch nicht in der Realität * '''Verkürzungsmerkmal:''' Modelle beschreiben das Objekt nicht exakt, sondern stets vereinfacht * '''Pragmatisches Merkmal:''' Modelle verfolgen einen gewissen Zweck: Sie ersetzen eine nicht abbildbare Realität um Fragestellungen zu beantwortbar zu machen ==== Typisches Beispiele ==== * Betrachtungen in der Physik (Federpendel, Bewegungsgesetze,...) - Physik und Mathematische Modellbildung sind sehr eng miteinander verwoben * Populationsdynamiken und Ausbreitugnsschemata in der Biologie (vgl. Lotka-Volterra Modell) * Bewegungsanalysen und Optimierungen in den Sportwissenschaften * Untersuchungen von Transport- und Umweltprozessen in Biologie, Chemie, Physik, Technik,... * Bedarfs- und Verbrauchs- und Verhaltensanalysen in Geisteswissenschaften === Mathematische Modelle === Mathematische Modelle werden gemessen und bewertet anhand <ref> Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., & Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. </ref>: * '''Zulässigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte in sich widerspruchsfrei sein. * '''Richtigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte im Vergleich mit der Realität keine Widersprüche zu offensichtlich richtigen Tatsachen aufweisen. * '''Zweckmäßigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte genau den Detailgrad beinhalten, den es zum Erfüllen des Zwecks benötigt, nicht mehr und nicht weniger. ==== Gegenbeispiele für mathematische Modelle ==== Gegenbeispiele wären: * Ein nicht zulässiges Modell könnte bei einer Betrachtung einer Punktmasse im Raum dennoch Luftwiederstände berücksichtigen (Punkte haben kein Volumen) * Ein nicht richtiges Modell könnte bei der Modellierung von Transportprozessen von Schadstoffen die Massenerhaltung vernachlässigen. * Ein nicht zweckmäßiges Modell könnte bei dem Versuch den perfekten Abwurfwinkel beim Speerwurf die Krümmung der Erdoberfläche berücksichtigen. ==== Bemerkung - Kriterien ==== Die Kriterien, insbesondere Richtigkeit und Zweckmäßigkeit, sind nicht 100% operational. Einerseits fordert die Richtigkeit, keine bekannten Tatsachen auszulassen, andererseits dürfen hinsichtlich einer passenden Zweckmäßigkeit auch nur ausreichend viele Details integriert werden. ==Der Modellbildungszyklus== Wie kommt man nun von einer Realen Situation, die ein Problem aufwirft zu einem adäquaten mathematischen Modell? Dazu hat sich als möglichst allgemeine Vorgehensweise der Modellbildungszyklus ergeben: [[Datei:Modellbildungszyklus Mod6.png|miniatur|Modellbildungszyklus]] ===Verlauf des MBZ === Der Modellbildungszyklus beschreibt schematisch die iterative Erstellung einer mathematischen Modellbildung: * Ausgangspunkt ist eine reale Situation, die ein Problem aufwirft, die von dem mathematischen Modell adressiert werden soll * Dieses Problem wird inhaltlich erfasst, anschließend mathematisch Übersetzt (Betrachten von Gleichungen, Funktionen, Geometrischen Objekten,...) =====Modellbildungsschleife===== * Durch das Betrachten von mathematischen Objekten können über passende Operationen deduktiv Resultate geschlussfolgert werden * Diese Resultate werden mit der Realsituation abgeglichen * Aus dem Vergleich werden mögliche Optimierungen und Limitationen des Modells abgeleitet * Durch die Limitationen werden kann das Modell weiterentwickelt werden Diese Schritte können/müssen dabei mehrfach durchlaufen werden. =====Integration von Software===== Die Integration von computergestützter Software ist in der mathematischen Modellbildung definitionsgemäss nicht zwingend erforderlich, für die meisten anwendungsbezogenen Modellierungen jedoch unumgänglich. ==Konkretes Beispiel einer Mathematischen Modellbildung== [[Kurs:Mathematische_Modellbildung/Themen/Radioaktivit%C3%A4t_und_Risikoliteralit%C3%A4t]] [[Datei:Screenshot 2D Ansicht Resultate.png|miniatur|alternativtext=Ansicht der möglichen Auftreffpunkte des radioaktiven Niederschlags|Ansicht der möglichen Auftreffpunkte des radioaktiven Niederschlags]] [[File:Zeitliche Abhängigkeit der Risikofunktion.gif|thumb|Das GIF zeigt die Zeitliche Abhängigkeit der Risikofunktion]] === Ziel der Modellierung === Ziel in dieser Modellierung war es, ein Modell zur räumlichen und zeitlichen Ausbreitung einer radioaktiv belasteten Wolke, sowie dessen Rain-Out, infolge einer Reaktorkatastrophe am (mittlerweile abgeschalteten) Kernkraftwerk in Philippsburg zu beschreiben. Unter zu Hilfenahme von Messwerten von dem Reaktorunglück in Tschernobyl und den Halbwertszeiten des radioaktiven Materials wurde der zeitliche Zerfall erfasst. Der Transport von radioaktiven Material wurde durch eine Kugel im <math> \mathbb{R}^3 </math> modelliert. Diese bewegt sich gemäss einer variablen Windrichtung (gegeben durch Winkel <math> \alpha </math>) und regnet sich nach einer gewissen Durchschnittsdauer ab. === Endresultat === Es wurde in drei Modellbildungszyklen eine Funktion zur Beschreibung der radioaktiven Belastung (repräsentativ für das Risiko) abgeleitet: <math>u(x,y,t,\alpha)=\frac{1480\cdot e^{-\frac{ln(2)}{30a} \cdot t}}{1+\frac{7}{10.000}\cdot (x^2+y^2)}+\frac{40\cdot e^{-\frac{ln(2)}{30a} \cdot t}}{1+\frac{1}{7.500}\cdot ((x-1080cos(\alpha))^2+(y-1080sin(\alpha))^2)}</math> Letztlich erhält man also eine Funktion die in ihrem Ausgabewert <math>z=u(x,y,t,\alpha)</math> abhängig von 4 Eingabewerten <math>x, y, t, \alpha </math> ist. ==Modellbildung in der Schule== ===Einbindung in den Lehrplan=== Die mathematische Modellbildung ist stark in den Mathematik-Lehrplan für Schulen in Rheinland-Pfalz integriert (hier wird sich an dem Lehrplan für Sekundarstufe II orientiert <ref> Ministerium für Bildung, Wissensachft, Weiterbildung und Kultur (2015), Lehrplan Mathematik. Grund- und Leistungsfach in der gymnasialen Oberstufe (Mainzer Studienstufe) </ref>). Im Bezug zu Problemlösen im Mathematikunterricht und Mathematik im fachübergreifenden Kontext, sollen Anwendungsbeispiele Einzug halten, die Schülerinnen und Schülern aus anderen Fächern bekannt sind. In diesem Zusammenhang wird mathematische Modellbildung als Methode zur Lösung von solchen Anwendungsproblemen genannt. ==== Konkrete Beispiele ==== Zu folgenden mathematischen Themengebieten wird explizit Mathematischen Modellbildung zur unterrichtlichen Umsetzung erwähnt: *Exponentialfunktionen *Matrix-Rechnung *Differential- und Integralrechnung ===Konkreter Themenbezug=== Zu folgenden mathematischen Themengebieten wird explizit Mathematischen Modellbildung zur unterrichtlichen Umsetzung erwähnt: * Exponentialfunktionen (Wachstums- und Zerfallsprozesse) * Matrizenrechnung (zum Beispiel Input-Output-Analysen, Zustandsübergangsprozesse oder Populationsentwicklung) * Differential- und Integralrechnung (lineare oder logistische Wachstumsprozesse) ===Computereinsatz im Lehrplan=== Auch der Einsatz von computergestützten Hilfs- und Lösungsmitteln im Zuge der Modellbildung wird betont. (Bemerke: Auch im Lehrplan wird ein vergleichbarer Modellbildungszyklus vorgestellt und beschrieben. Bei Bedarf kann dieser auf Seite 15-16<ref> Ministerium für Bildung, Wissensachft, Weiterbildung und Kultur (2015), Lehrplan Mathematik. Grund- und Leistungsfach in der gymnasialen Oberstufe (Mainzer Studienstufe). </ref> nachgelesen werden) ===Zugang zur Bildung für Nachhaltigen Entwicklung=== Durch die Möglichkeit fachübergreifende Fragestellungen zu behandeln und Prozesse der Realität in den Blick zu nehmen, kann mathematische Modellbildung die Brücke zur Bildung für Nachhaltigen Entwicklung (BNE) schlagen. ====Bildung für Nachhaltige Entwicklung==== "Die BNE zielt grundsätzlich darauf ab, es jedem und jeder Einzelnen zu ermöglichen, die Folgen des eigenen Handelns auf die Welt sowie intra- und intergenerationell zu verstehen, verantwortungsvolle Entscheidungen zu treffen und aktiv zu werden." <ref> Ministerium für Bildung. Bildung für nachhaltige Entwicklung. Online abrufbar unter: https://bm.rlp.de/unsere-schwerpunkte/bildung-fuer-nachhaltige-entwicklung </ref> ====BNE und Modellbildung==== Mathematische Modellbildung kann unter praktischer Anwendung von gelernten Inhalten im Schulunterricht zu BNE beitragen, indem eben gezielt Probleme adressiert werden und von Schülerinnen und Schülern eigenständig untersucht werden. ==Ziel und Organisation des Seminars== ===Ziel und Aufgabe=== In Kleingruppen (3-4 Personen) sollen aussermathematische Fragestellungen mit einer eigenen mathematischen Modellbildung behandelt werden. Dazu sollen drei Modellbildungszyklen mit unterschiedlichem Grad an Vereinfachung und unterschiedlicher Mathematischen Grundlage erstellt werden: * Zyklus: Mathematik der Sekundarstufe 1 (Mittelstufe) * Zyklus: Mathematik der Sekundarstufe 2 (Oberstufe) * Zyklus: Universitätsmathematik ====Integration von Software==== In jedem Zyklus sollen computergestützte Untersuchungen und Betrachtungen Einzug erhalten. Somit bietet es sich an in insgesamt auch drei verschiedene Programme (Tabellenkalkulation, GeoGebra, RStudio, Maxima,...) zu integrieren - an manchen stellen lässt sich dies gar nicht vermeiden. ===Themenwahl=== Das Thema sollte einen weltlichen Bezug haben. Am besten eigenen sich Themen aus dem jeweiligen Zweitfach (s. Verbindung zu anderen Schulfächern im Lehrplan). Das Thema sollte nachhaltige Entwicklung im Rahmen der Sustainable Development Goals adressieren. Siehe dazu: https://www.bundesumweltministerium.de/themen/nachhaltigkeit/nachhaltigkeitsziele-sdgs Vorzugsweise: Räumliche Risikobetrachtungen in Desaster- und Katastrophenszenarien. Das Thema sollte sich nicht mit denen der vergangenen Semestern doppeln. Zur Orientierung und Inspiration finden sich hier die Projekte der vergangenen Semester: :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2026 Sommersemester|2026 Sommersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2025-26 Wintersemester|2025/26 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2024-25 Wintersemester|2024/25 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2023-24 Wintersemester|2023/24 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2022-23 Winteresemester|2022/23 Wintersemester]]''' ===Portfolio=== Während des Semesters soll in Gruppenarbeit die Modellbildung durchgeführt werden. Diese wird schriftlich in einem Portfolio festgehalten. Dies Portfolio wird, genau wie dieser Artikel auch, in einem Wikiversity Artikel dokumentiert. Dieser sollte folgendes enthalten: ====Inhalt Portfolio==== * Einleitung: Beschreibung und Einordnung des Themas & welche(s) SDG wird adressiert und warum? * Ziel der Modellierung: Welches Problem wird in der Modellierung / den einzelnen Zyklen konkret angegangen? * Zyklus 1-3 ** Mathematisches Modell (welche Mathematischen Objekte werden betrachtet, wie ergeben die sich,...) ** Ergebnisse (Ableiten von Resultaten aus dem Modell) ** Bewertung der Ergebnisse ** Grenzen und Limitationen ** Ausblick für nächsten Zyklus (welche Limitationen und Probleme aus dem Zyklus werden im folgenden adressiert?) ====Integration Computersoftware==== In allen Punkten der Modellzyklen können Programme computergestützte Tools verwendet werden. Zur Erstellung von Wiki-Seiten ist folgende Seite hilfreich: https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:Textgestaltung ===Prüfung=== Die Prüfung gliedert sich in zwei Aspekte: * '''Vorstellung von ausgewählten Teilen aus dem eigenen Portfolio''' - diese werden von den Prüfer:innen aus dem Portfolio der Studierenden ausgewählt. * '''Diskussion und Fragen''' der Prüfer:innen zu dem Portfolio, z.B. zu Teilen des Portfolios, die in der Vorstellung nicht behandelt werden können. Ein Portfolio kann aus Zeitgründen nie vollständig in der Prüfung dargestellt werden. ====Inhalt==== In der mündlichen Portfolio-Prüfung wird geprüft, ob * das eigene Modell verstanden ist, * das eigene Modell kritisch hinterfragt werden kann, * die Limitationen des Modells begründet und nachvollziehbar wiedergegeben werden können, * die Übergänge zwischen den Zyklen beschrieben und begründet werden können, * die technische Umsetzung reproduziert und erklärt werden kann, * ... . ====Präsentation==== Es ist also wichtig zu wissen, was wie an welcher Stelle und mit welchem Zweck in der Modellierung gemacht wurde! Das Portfolio (Wiki-Seite) wird somit konkret vorgestellt. Eine Präsentation des Portfolio kann automatisch mit Wiki2Reveal erstellt werden. === Unterstützungsangebot === * Das Unterstützungsangebot erfolgt in der Lehrveranstaltung zur "Mathematischen Modellbildung". * Eine individuelle Sonderbehandlung für einzelne Studierende, die das Angebot der Vorlesung nicht nutzen und kurz vor Prüfungsbeginn noch "schnell" ein Portfolio zusammenstellen wollen, ist aus zeitlichen Gründen kurz vor der Prüfung nicht möglich. * Portfolioprüfungen der Lehrveranstaltung beziehen sich immer auf das erstellte Portfolio im laufende Semester und bei Wiederholungsprüfungen auf das Semester, in dem Portfolio erstellt wurde. * Eine Prüfung kann nur zu dem eigenen erstellten Portfolio in der Lehrveranstaltung abgelegt werden, an dessen Erstellung man aktiv mitgearbeitet hat. ===Ablauf des Seminars=== Der Seminarablauf über das Semester gestaltet sich grob wie folgt: * 1. Woche (19.10.): Einführungsveranstaltung + Gruppenfindung * 2. Woche (26.10.): Themenfindung * 3. Woche (02.11.): Themenfindung + Zyklen festlegen * 4. Woche (09.11.): Zyklen festlegen * 5. Woche (16.11.): Kurzvorstellung der Themen und Zyklen (5 Minuten pro Gruppe) Ab Woche 6 (23.11.) bis Ende des Semesters wird gemeinsam an den Modellen und dem Portfolio gearbeitet. ====Zeitplan==== Empfehlenswert wäre es, die letzten 2-3 Wochen für Finalisierungsarbeiten zu nutzen und entsprechend frühzeitig zu planen! Ausschliesslich während der Seminarzeiten an dem Modell und Portfolio zu arbeiten wird nicht ausreichen! Die Kurzpräsentationen am 16.11. umfassen den aktuellen Stand der Überlegungen und sind noch unter keinen Umständen verbindlich. Stattdessen dient es einfach zur Grundlage von gemeinsamer Diskussion und zur Einbringung von weiteren Ideen. ==Hilfreiche Links== ===Fachmathematische Aspekte === Wenn man das Modellierungsproblem in den Mittelpunkt stellt und die Fragestellung den Nachhaltigkeitszielen der UN zuordnet, kommen z.T. fachmathematische Aspekte erforderlich, die nicht in der jeweiligen Schulstufe bzw. in den Vorlesungen behandelt wurden. Dies Kapitel erhält Hinweise zu fachmathematischen Bereichen, die für die mathematische Modellbildung ggf. als Werkzeug verwendet werden können * '''[[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]''' dienen dazu, Datenpunkte im <math>\R^2</math> oder allgemein im <math>\R^n</math> zu [[w:Interpolation_(Mathematik)|interpolieren]]. * '''[https://en.wikiversity.org/wiki/3D_Modelling 3D Modellierung für Projektinhalte]''' und [[w:Projektive_Geometrie|projektive Geometrie]] zur Visualisierung * '''[[Gradientenabstiegsverfahren]]''': Wird verwendet, um sich in der mathematischen Modellbildung iterativ einem Minimum einer Kosten- oder Fehlerfunktion anzunähern. * [[w:Lineare_Optimierung|'''Lineare Optimierung''']] wird in Optimierungshaufgaben wie beispielsweise bei der Suche nach Minimum der Produktionskosten verwendet. Hierbei wird in allgemeinem nach einem Minimium/Maximum einer linearer Zielfunktion über einer Menge gesucht. [https://www.geogebra.org/m/kr727992 '''Ein Beispiel in Geogebra'''] *[[Räumliche Diffusion|'''Räumliche Diffusion''']] *[[Modelle_der_Populationsdynamik|'''Modelle der Populationsdynamik''']] - [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Modelle%20der%20Populationsdynamik&author=Kurs:R%C3%A4umliche%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes (Wiki2Reveal-Folien)] - [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Stochastik/Wahrscheinlichkeitsdichte|Wahrscheinlichkeitsdichte]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Wahrscheinlichkeitsdichte&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wahrscheinlichkeitsdichte&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ===Softwarenutzung === Im PC-Praktikum wurden grundlegende Kenntnisse im Umgang mit Software erlangt, die für die Berechnung von mathematischen Modellen vorwendig sind. Diese Kenntnisse müssen ggf. auf das spezielle Modellierungsthema angepasst und erweitert werden. * '''[[CSV2Chart]]''' Aus CSV-Dateien mathematische Graphen in Wikiversity erstellen. * '''[[Maxima CAS]]''' enthält die verwendeten Werkzeuge und Kommandos eines Computeralgebrasystems (CAS), die die einzelnen Projekte in dem Modellbildungszyklus verwendet haben. * '''[https://sagecell.sagemath.org/ SageCell]''' Online-Umgebung zur Ausführung und Demonstration von Befehlen in R, Octave, Maxima, ... (Auswahl des Befehlssatzes auf der https://sagecell.sagemath.org/ SageCell-Seite] unten rechts auf dem Eingabefeld) * '''[[Statistikprogramm R]]''' enthält die verwendeten Werkzeuge und Kommandos, die für Berechnungen und Veranschaulichungen in den Projekten verwendet haben. * '''[[Tabellenkalkulation]]''' werden in Portfolios in der Regel verwendet, um Daten in den Portfolios aufzubereiten. * '''[[Octave]]''' wird in der Regel verwendet, um numerische Berechnung in der Mathematischen Modellbildung durchzuführen. * '''[[Geogebra]]''' ist eine Dynamische Geometriesoftware, die zur vektoriellen Veranschaulichung von räumlichen Modellierungsproblemen oder auch zur parametrisierten Darstellung von Funktionen verwendet wird (Beispiel: [https://www.geogebra.org/m/e9b349k9 Parkplatzlösung in Geogebra von Shrey T (2017)]). * '''[[w:Screencast|Screencast]]''': Ein Screencast ist eine Bildschirmaufnahme mit Audiokommentaren, die zeigt, wie man z.B. Software bedient. Ein Screencast ist eine Hilfestellung für Lernende, die sich noch nicht so gut mit einer bestimmten Software auskennen. :* [https://obsproject.com/ '''Open Broadcast Software (OBS)''' - Linux, Windows, MacOSX ] - [[Konvexkombination|Beispielvideo in Wikiversity]] * [[v:en:3D_Modelling|'''3D-Modellbildung''' (englisch)]] * '''[http://niebert.github.io/imgmap/ Online-ImageMap-Editor]''' - Anklickbare Bereiche in Wikiversity-Bildern erstellen. * '''[https://openlayers.org/en/latest/examples/heatmap-earthquakes.html HeatMaps]:''' Erstellung von [https://niebert.github.io/openlayer_heatmap HeatMaps mit einem Online-Editor] (Download [https://github.com/niebert/openlayer_heatmap/archive/master.zip Heatmap-Editor und Beispieldaten in Ordner <tt>/HeatMap</tt> in ZIP-Datei]) * '''[[Wiki2Reveal]]:''' Portfolio-Präsentationen direkt im Wikiversity erstellen. ===Editierungshilfen=== * [https://latexeditor.lagrida.com/ Online-Formel-Editor für LaTeX-Formeln]<ref>Lagrida Web-Portal (2021) Online-Latex-Formel-Editor mit Vorschau - URL: https://latexeditor.lagrida.com/ (accessed 2021/11/21))</ref> - die erzeugten Formeln müssen in einen MATH-Tag mit <kbd><math> ...</math></kbd> eingeschlossen werden bei der Seiteneditierung. * [https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:TeX Mathematische Formeln in Wikiversity] * Textgestaltung in Wikis: https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:Textgestaltung ==Wiki2Reveal== * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung2627|Kurs:Mathematische Modellbildung2627]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung2627&author=&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung2627&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] == Verweise == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2026-27%20Wintersemester&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2026-27%20Wintersemester&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung Kurs:Mathematische Modellbildung]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2026-27%20Wintersemester&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 6k3rqzy986hv0oqjs4uhow8u05acon4 1116545 1116544 2026-10-17T08:42:16Z ~2026-55076-31 41992 /* Konkrete Beispiele */ 1116545 wikitext text/x-wiki ==Begriffsklärung== === Was ist mathematische Modellbildung? === Ganz grob gesagt besteht Mathematische Modellierung oder auch Mathematische Modellbildung darin, reale Fragestellungen mit mathematischen Mitteln zu bearbeiten und sie auf diesem Wege zumindest teilweise zu beantworten<ref> Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., & Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. </ref>. === Was ist ein Modell? === Ein Modell ist dabei gegeben durch innere Scheinbilder oder Repräsentatonen, die nicht zum Bereich der äußeren Gegenstände, sondern zu Vorstellungen von einem solchen realen Gegenstand gehören und ihnen daher auch in gewissen Grenzen etwas Willkürliches anhaftet (Sinngemäß nach Hertz, zitiert von Ortlieb<ref> Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., & Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. </ref>). ==== Eigenschaften von Modellen ==== Somit lassen sich vereinfacht und verkürzt folgende Eigenschaften ableiten (Stachowiak, zitiert nach Saam <ref> Saam, N. J. (2009). Modellbildung. In Handbuch Methoden der Organisationsforschung: Quantitative und Qualitative Methoden (pp. 517-532). Wiesbaden: VS Verlag für Sozialwissenschaften. </ref>): * '''Abbildungsmerkmal:''' Modelle repräsentieren die Realität, existieren jedoch nicht in der Realität * '''Verkürzungsmerkmal:''' Modelle beschreiben das Objekt nicht exakt, sondern stets vereinfacht * '''Pragmatisches Merkmal:''' Modelle verfolgen einen gewissen Zweck: Sie ersetzen eine nicht abbildbare Realität um Fragestellungen zu beantwortbar zu machen ==== Typisches Beispiele ==== * Betrachtungen in der Physik (Federpendel, Bewegungsgesetze,...) - Physik und Mathematische Modellbildung sind sehr eng miteinander verwoben * Populationsdynamiken und Ausbreitugnsschemata in der Biologie (vgl. Lotka-Volterra Modell) * Bewegungsanalysen und Optimierungen in den Sportwissenschaften * Untersuchungen von Transport- und Umweltprozessen in Biologie, Chemie, Physik, Technik,... * Bedarfs- und Verbrauchs- und Verhaltensanalysen in Geisteswissenschaften === Mathematische Modelle === Mathematische Modelle werden gemessen und bewertet anhand <ref> Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., & Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. </ref>: * '''Zulässigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte in sich widerspruchsfrei sein. * '''Richtigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte im Vergleich mit der Realität keine Widersprüche zu offensichtlich richtigen Tatsachen aufweisen. * '''Zweckmäßigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte genau den Detailgrad beinhalten, den es zum Erfüllen des Zwecks benötigt, nicht mehr und nicht weniger. ==== Gegenbeispiele für mathematische Modelle ==== Gegenbeispiele wären: * Ein nicht zulässiges Modell könnte bei einer Betrachtung einer Punktmasse im Raum dennoch Luftwiederstände berücksichtigen (Punkte haben kein Volumen) * Ein nicht richtiges Modell könnte bei der Modellierung von Transportprozessen von Schadstoffen die Massenerhaltung vernachlässigen. * Ein nicht zweckmäßiges Modell könnte bei dem Versuch den perfekten Abwurfwinkel beim Speerwurf die Krümmung der Erdoberfläche berücksichtigen. ==== Bemerkung - Kriterien ==== Die Kriterien, insbesondere Richtigkeit und Zweckmäßigkeit, sind nicht 100% operational. Einerseits fordert die Richtigkeit, keine bekannten Tatsachen auszulassen, andererseits dürfen hinsichtlich einer passenden Zweckmäßigkeit auch nur ausreichend viele Details integriert werden. ==Der Modellbildungszyklus== Wie kommt man nun von einer Realen Situation, die ein Problem aufwirft zu einem adäquaten mathematischen Modell? Dazu hat sich als möglichst allgemeine Vorgehensweise der Modellbildungszyklus ergeben: [[Datei:Modellbildungszyklus Mod6.png|miniatur|Modellbildungszyklus]] ===Verlauf des MBZ === Der Modellbildungszyklus beschreibt schematisch die iterative Erstellung einer mathematischen Modellbildung: * Ausgangspunkt ist eine reale Situation, die ein Problem aufwirft, die von dem mathematischen Modell adressiert werden soll * Dieses Problem wird inhaltlich erfasst, anschließend mathematisch Übersetzt (Betrachten von Gleichungen, Funktionen, Geometrischen Objekten,...) =====Modellbildungsschleife===== * Durch das Betrachten von mathematischen Objekten können über passende Operationen deduktiv Resultate geschlussfolgert werden * Diese Resultate werden mit der Realsituation abgeglichen * Aus dem Vergleich werden mögliche Optimierungen und Limitationen des Modells abgeleitet * Durch die Limitationen werden kann das Modell weiterentwickelt werden Diese Schritte können/müssen dabei mehrfach durchlaufen werden. =====Integration von Software===== Die Integration von computergestützter Software ist in der mathematischen Modellbildung definitionsgemäss nicht zwingend erforderlich, für die meisten anwendungsbezogenen Modellierungen jedoch unumgänglich. ==Konkretes Beispiel einer Mathematischen Modellbildung== [[Kurs:Mathematische_Modellbildung/Themen/Radioaktivit%C3%A4t_und_Risikoliteralit%C3%A4t]] [[Datei:Screenshot 2D Ansicht Resultate.png|miniatur|alternativtext=Ansicht der möglichen Auftreffpunkte des radioaktiven Niederschlags|Ansicht der möglichen Auftreffpunkte des radioaktiven Niederschlags]] [[File:Zeitliche Abhängigkeit der Risikofunktion.gif|thumb|Das GIF zeigt die Zeitliche Abhängigkeit der Risikofunktion]] === Ziel der Modellierung === Ziel in dieser Modellierung war es, ein Modell zur räumlichen und zeitlichen Ausbreitung einer radioaktiv belasteten Wolke, sowie dessen Rain-Out, infolge einer Reaktorkatastrophe am (mittlerweile abgeschalteten) Kernkraftwerk in Philippsburg zu beschreiben. Unter zu Hilfenahme von Messwerten von dem Reaktorunglück in Tschernobyl und den Halbwertszeiten des radioaktiven Materials wurde der zeitliche Zerfall erfasst. Der Transport von radioaktiven Material wurde durch eine Kugel im <math> \mathbb{R}^3 </math> modelliert. Diese bewegt sich gemäss einer variablen Windrichtung (gegeben durch Winkel <math> \alpha </math>) und regnet sich nach einer gewissen Durchschnittsdauer ab. === Endresultat === Es wurde in drei Modellbildungszyklen eine Funktion zur Beschreibung der radioaktiven Belastung (repräsentativ für das Risiko) abgeleitet: <math>u(x,y,t,\alpha)=\frac{1480\cdot e^{-\frac{ln(2)}{30a} \cdot t}}{1+\frac{7}{10.000}\cdot (x^2+y^2)}+\frac{40\cdot e^{-\frac{ln(2)}{30a} \cdot t}}{1+\frac{1}{7.500}\cdot ((x-1080cos(\alpha))^2+(y-1080sin(\alpha))^2)}</math> Letztlich erhält man also eine Funktion die in ihrem Ausgabewert <math>z=u(x,y,t,\alpha)</math> abhängig von 4 Eingabewerten <math>x, y, t, \alpha </math> ist. ==Modellbildung in der Schule== ===Einbindung in den Lehrplan=== Die mathematische Modellbildung ist stark in den Mathematik-Lehrplan für Schulen in Rheinland-Pfalz integriert (hier wird sich an dem Lehrplan für Sekundarstufe II orientiert <ref> Ministerium für Bildung, Wissensachft, Weiterbildung und Kultur (2015), Lehrplan Mathematik. Grund- und Leistungsfach in der gymnasialen Oberstufe (Mainzer Studienstufe) </ref>). Im Bezug zu Problemlösen im Mathematikunterricht und Mathematik im fachübergreifenden Kontext, sollen Anwendungsbeispiele Einzug halten, die Schülerinnen und Schülern aus anderen Fächern bekannt sind. In diesem Zusammenhang wird mathematische Modellbildung als Methode zur Lösung von solchen Anwendungsproblemen genannt. ===Konkreter Themenbezug=== Zu folgenden mathematischen Themengebieten wird explizit Mathematischen Modellbildung zur unterrichtlichen Umsetzung erwähnt: * Exponentialfunktionen (Wachstums- und Zerfallsprozesse) * Matrizenrechnung (zum Beispiel Input-Output-Analysen, Zustandsübergangsprozesse oder Populationsentwicklung) * Differential- und Integralrechnung (lineare oder logistische Wachstumsprozesse) ===Computereinsatz im Lehrplan=== Auch der Einsatz von computergestützten Hilfs- und Lösungsmitteln im Zuge der Modellbildung wird betont. (Bemerke: Auch im Lehrplan wird ein vergleichbarer Modellbildungszyklus vorgestellt und beschrieben. Bei Bedarf kann dieser auf Seite 15-16<ref> Ministerium für Bildung, Wissensachft, Weiterbildung und Kultur (2015), Lehrplan Mathematik. Grund- und Leistungsfach in der gymnasialen Oberstufe (Mainzer Studienstufe). </ref> nachgelesen werden) ===Zugang zur Bildung für Nachhaltigen Entwicklung=== Durch die Möglichkeit fachübergreifende Fragestellungen zu behandeln und Prozesse der Realität in den Blick zu nehmen, kann mathematische Modellbildung die Brücke zur Bildung für Nachhaltigen Entwicklung (BNE) schlagen. ====Bildung für Nachhaltige Entwicklung==== "Die BNE zielt grundsätzlich darauf ab, es jedem und jeder Einzelnen zu ermöglichen, die Folgen des eigenen Handelns auf die Welt sowie intra- und intergenerationell zu verstehen, verantwortungsvolle Entscheidungen zu treffen und aktiv zu werden." <ref> Ministerium für Bildung. Bildung für nachhaltige Entwicklung. Online abrufbar unter: https://bm.rlp.de/unsere-schwerpunkte/bildung-fuer-nachhaltige-entwicklung </ref> ====BNE und Modellbildung==== Mathematische Modellbildung kann unter praktischer Anwendung von gelernten Inhalten im Schulunterricht zu BNE beitragen, indem eben gezielt Probleme adressiert werden und von Schülerinnen und Schülern eigenständig untersucht werden. ==Ziel und Organisation des Seminars== ===Ziel und Aufgabe=== In Kleingruppen (3-4 Personen) sollen aussermathematische Fragestellungen mit einer eigenen mathematischen Modellbildung behandelt werden. Dazu sollen drei Modellbildungszyklen mit unterschiedlichem Grad an Vereinfachung und unterschiedlicher Mathematischen Grundlage erstellt werden: * Zyklus: Mathematik der Sekundarstufe 1 (Mittelstufe) * Zyklus: Mathematik der Sekundarstufe 2 (Oberstufe) * Zyklus: Universitätsmathematik ====Integration von Software==== In jedem Zyklus sollen computergestützte Untersuchungen und Betrachtungen Einzug erhalten. Somit bietet es sich an in insgesamt auch drei verschiedene Programme (Tabellenkalkulation, GeoGebra, RStudio, Maxima,...) zu integrieren - an manchen stellen lässt sich dies gar nicht vermeiden. ===Themenwahl=== Das Thema sollte einen weltlichen Bezug haben. Am besten eigenen sich Themen aus dem jeweiligen Zweitfach (s. Verbindung zu anderen Schulfächern im Lehrplan). Das Thema sollte nachhaltige Entwicklung im Rahmen der Sustainable Development Goals adressieren. Siehe dazu: https://www.bundesumweltministerium.de/themen/nachhaltigkeit/nachhaltigkeitsziele-sdgs Vorzugsweise: Räumliche Risikobetrachtungen in Desaster- und Katastrophenszenarien. Das Thema sollte sich nicht mit denen der vergangenen Semestern doppeln. Zur Orientierung und Inspiration finden sich hier die Projekte der vergangenen Semester: :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2026 Sommersemester|2026 Sommersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2025-26 Wintersemester|2025/26 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2024-25 Wintersemester|2024/25 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2023-24 Wintersemester|2023/24 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2022-23 Winteresemester|2022/23 Wintersemester]]''' ===Portfolio=== Während des Semesters soll in Gruppenarbeit die Modellbildung durchgeführt werden. Diese wird schriftlich in einem Portfolio festgehalten. Dies Portfolio wird, genau wie dieser Artikel auch, in einem Wikiversity Artikel dokumentiert. Dieser sollte folgendes enthalten: ====Inhalt Portfolio==== * Einleitung: Beschreibung und Einordnung des Themas & welche(s) SDG wird adressiert und warum? * Ziel der Modellierung: Welches Problem wird in der Modellierung / den einzelnen Zyklen konkret angegangen? * Zyklus 1-3 ** Mathematisches Modell (welche Mathematischen Objekte werden betrachtet, wie ergeben die sich,...) ** Ergebnisse (Ableiten von Resultaten aus dem Modell) ** Bewertung der Ergebnisse ** Grenzen und Limitationen ** Ausblick für nächsten Zyklus (welche Limitationen und Probleme aus dem Zyklus werden im folgenden adressiert?) ====Integration Computersoftware==== In allen Punkten der Modellzyklen können Programme computergestützte Tools verwendet werden. Zur Erstellung von Wiki-Seiten ist folgende Seite hilfreich: https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:Textgestaltung ===Prüfung=== Die Prüfung gliedert sich in zwei Aspekte: * '''Vorstellung von ausgewählten Teilen aus dem eigenen Portfolio''' - diese werden von den Prüfer:innen aus dem Portfolio der Studierenden ausgewählt. * '''Diskussion und Fragen''' der Prüfer:innen zu dem Portfolio, z.B. zu Teilen des Portfolios, die in der Vorstellung nicht behandelt werden können. Ein Portfolio kann aus Zeitgründen nie vollständig in der Prüfung dargestellt werden. ====Inhalt==== In der mündlichen Portfolio-Prüfung wird geprüft, ob * das eigene Modell verstanden ist, * das eigene Modell kritisch hinterfragt werden kann, * die Limitationen des Modells begründet und nachvollziehbar wiedergegeben werden können, * die Übergänge zwischen den Zyklen beschrieben und begründet werden können, * die technische Umsetzung reproduziert und erklärt werden kann, * ... . ====Präsentation==== Es ist also wichtig zu wissen, was wie an welcher Stelle und mit welchem Zweck in der Modellierung gemacht wurde! Das Portfolio (Wiki-Seite) wird somit konkret vorgestellt. Eine Präsentation des Portfolio kann automatisch mit Wiki2Reveal erstellt werden. === Unterstützungsangebot === * Das Unterstützungsangebot erfolgt in der Lehrveranstaltung zur "Mathematischen Modellbildung". * Eine individuelle Sonderbehandlung für einzelne Studierende, die das Angebot der Vorlesung nicht nutzen und kurz vor Prüfungsbeginn noch "schnell" ein Portfolio zusammenstellen wollen, ist aus zeitlichen Gründen kurz vor der Prüfung nicht möglich. * Portfolioprüfungen der Lehrveranstaltung beziehen sich immer auf das erstellte Portfolio im laufende Semester und bei Wiederholungsprüfungen auf das Semester, in dem Portfolio erstellt wurde. * Eine Prüfung kann nur zu dem eigenen erstellten Portfolio in der Lehrveranstaltung abgelegt werden, an dessen Erstellung man aktiv mitgearbeitet hat. ===Ablauf des Seminars=== Der Seminarablauf über das Semester gestaltet sich grob wie folgt: * 1. Woche (19.10.): Einführungsveranstaltung + Gruppenfindung * 2. Woche (26.10.): Themenfindung * 3. Woche (02.11.): Themenfindung + Zyklen festlegen * 4. Woche (09.11.): Zyklen festlegen * 5. Woche (16.11.): Kurzvorstellung der Themen und Zyklen (5 Minuten pro Gruppe) Ab Woche 6 (23.11.) bis Ende des Semesters wird gemeinsam an den Modellen und dem Portfolio gearbeitet. ====Zeitplan==== Empfehlenswert wäre es, die letzten 2-3 Wochen für Finalisierungsarbeiten zu nutzen und entsprechend frühzeitig zu planen! Ausschliesslich während der Seminarzeiten an dem Modell und Portfolio zu arbeiten wird nicht ausreichen! Die Kurzpräsentationen am 16.11. umfassen den aktuellen Stand der Überlegungen und sind noch unter keinen Umständen verbindlich. Stattdessen dient es einfach zur Grundlage von gemeinsamer Diskussion und zur Einbringung von weiteren Ideen. ==Hilfreiche Links== ===Fachmathematische Aspekte === Wenn man das Modellierungsproblem in den Mittelpunkt stellt und die Fragestellung den Nachhaltigkeitszielen der UN zuordnet, kommen z.T. fachmathematische Aspekte erforderlich, die nicht in der jeweiligen Schulstufe bzw. in den Vorlesungen behandelt wurden. Dies Kapitel erhält Hinweise zu fachmathematischen Bereichen, die für die mathematische Modellbildung ggf. als Werkzeug verwendet werden können * '''[[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]''' dienen dazu, Datenpunkte im <math>\R^2</math> oder allgemein im <math>\R^n</math> zu [[w:Interpolation_(Mathematik)|interpolieren]]. * '''[https://en.wikiversity.org/wiki/3D_Modelling 3D Modellierung für Projektinhalte]''' und [[w:Projektive_Geometrie|projektive Geometrie]] zur Visualisierung * '''[[Gradientenabstiegsverfahren]]''': Wird verwendet, um sich in der mathematischen Modellbildung iterativ einem Minimum einer Kosten- oder Fehlerfunktion anzunähern. * [[w:Lineare_Optimierung|'''Lineare Optimierung''']] wird in Optimierungshaufgaben wie beispielsweise bei der Suche nach Minimum der Produktionskosten verwendet. Hierbei wird in allgemeinem nach einem Minimium/Maximum einer linearer Zielfunktion über einer Menge gesucht. [https://www.geogebra.org/m/kr727992 '''Ein Beispiel in Geogebra'''] *[[Räumliche Diffusion|'''Räumliche Diffusion''']] *[[Modelle_der_Populationsdynamik|'''Modelle der Populationsdynamik''']] - [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Modelle%20der%20Populationsdynamik&author=Kurs:R%C3%A4umliche%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes (Wiki2Reveal-Folien)] - [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Stochastik/Wahrscheinlichkeitsdichte|Wahrscheinlichkeitsdichte]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Wahrscheinlichkeitsdichte&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wahrscheinlichkeitsdichte&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ===Softwarenutzung === Im PC-Praktikum wurden grundlegende Kenntnisse im Umgang mit Software erlangt, die für die Berechnung von mathematischen Modellen vorwendig sind. Diese Kenntnisse müssen ggf. auf das spezielle Modellierungsthema angepasst und erweitert werden. * '''[[CSV2Chart]]''' Aus CSV-Dateien mathematische Graphen in Wikiversity erstellen. * '''[[Maxima CAS]]''' enthält die verwendeten Werkzeuge und Kommandos eines Computeralgebrasystems (CAS), die die einzelnen Projekte in dem Modellbildungszyklus verwendet haben. * '''[https://sagecell.sagemath.org/ SageCell]''' Online-Umgebung zur Ausführung und Demonstration von Befehlen in R, Octave, Maxima, ... (Auswahl des Befehlssatzes auf der https://sagecell.sagemath.org/ SageCell-Seite] unten rechts auf dem Eingabefeld) * '''[[Statistikprogramm R]]''' enthält die verwendeten Werkzeuge und Kommandos, die für Berechnungen und Veranschaulichungen in den Projekten verwendet haben. * '''[[Tabellenkalkulation]]''' werden in Portfolios in der Regel verwendet, um Daten in den Portfolios aufzubereiten. * '''[[Octave]]''' wird in der Regel verwendet, um numerische Berechnung in der Mathematischen Modellbildung durchzuführen. * '''[[Geogebra]]''' ist eine Dynamische Geometriesoftware, die zur vektoriellen Veranschaulichung von räumlichen Modellierungsproblemen oder auch zur parametrisierten Darstellung von Funktionen verwendet wird (Beispiel: [https://www.geogebra.org/m/e9b349k9 Parkplatzlösung in Geogebra von Shrey T (2017)]). * '''[[w:Screencast|Screencast]]''': Ein Screencast ist eine Bildschirmaufnahme mit Audiokommentaren, die zeigt, wie man z.B. Software bedient. Ein Screencast ist eine Hilfestellung für Lernende, die sich noch nicht so gut mit einer bestimmten Software auskennen. :* [https://obsproject.com/ '''Open Broadcast Software (OBS)''' - Linux, Windows, MacOSX ] - [[Konvexkombination|Beispielvideo in Wikiversity]] * [[v:en:3D_Modelling|'''3D-Modellbildung''' (englisch)]] * '''[http://niebert.github.io/imgmap/ Online-ImageMap-Editor]''' - Anklickbare Bereiche in Wikiversity-Bildern erstellen. * '''[https://openlayers.org/en/latest/examples/heatmap-earthquakes.html HeatMaps]:''' Erstellung von [https://niebert.github.io/openlayer_heatmap HeatMaps mit einem Online-Editor] (Download [https://github.com/niebert/openlayer_heatmap/archive/master.zip Heatmap-Editor und Beispieldaten in Ordner <tt>/HeatMap</tt> in ZIP-Datei]) * '''[[Wiki2Reveal]]:''' Portfolio-Präsentationen direkt im Wikiversity erstellen. ===Editierungshilfen=== * [https://latexeditor.lagrida.com/ Online-Formel-Editor für LaTeX-Formeln]<ref>Lagrida Web-Portal (2021) Online-Latex-Formel-Editor mit Vorschau - URL: https://latexeditor.lagrida.com/ (accessed 2021/11/21))</ref> - die erzeugten Formeln müssen in einen MATH-Tag mit <kbd><math> ...</math></kbd> eingeschlossen werden bei der Seiteneditierung. * [https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:TeX Mathematische Formeln in Wikiversity] * Textgestaltung in Wikis: https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:Textgestaltung ==Wiki2Reveal== * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung2627|Kurs:Mathematische Modellbildung2627]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung2627&author=&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung2627&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] == Verweise == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2026-27%20Wintersemester&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2026-27%20Wintersemester&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung Kurs:Mathematische Modellbildung]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2026-27%20Wintersemester&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] lvskvrfqhs6yyehjzfkv799kh1uk28o 1116546 1116545 2026-10-17T08:43:15Z ~2026-55076-31 41992 /* Portfolio */ 1116546 wikitext text/x-wiki ==Begriffsklärung== === Was ist mathematische Modellbildung? === Ganz grob gesagt besteht Mathematische Modellierung oder auch Mathematische Modellbildung darin, reale Fragestellungen mit mathematischen Mitteln zu bearbeiten und sie auf diesem Wege zumindest teilweise zu beantworten<ref> Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., & Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. </ref>. === Was ist ein Modell? === Ein Modell ist dabei gegeben durch innere Scheinbilder oder Repräsentatonen, die nicht zum Bereich der äußeren Gegenstände, sondern zu Vorstellungen von einem solchen realen Gegenstand gehören und ihnen daher auch in gewissen Grenzen etwas Willkürliches anhaftet (Sinngemäß nach Hertz, zitiert von Ortlieb<ref> Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., & Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. </ref>). ==== Eigenschaften von Modellen ==== Somit lassen sich vereinfacht und verkürzt folgende Eigenschaften ableiten (Stachowiak, zitiert nach Saam <ref> Saam, N. J. (2009). Modellbildung. In Handbuch Methoden der Organisationsforschung: Quantitative und Qualitative Methoden (pp. 517-532). Wiesbaden: VS Verlag für Sozialwissenschaften. </ref>): * '''Abbildungsmerkmal:''' Modelle repräsentieren die Realität, existieren jedoch nicht in der Realität * '''Verkürzungsmerkmal:''' Modelle beschreiben das Objekt nicht exakt, sondern stets vereinfacht * '''Pragmatisches Merkmal:''' Modelle verfolgen einen gewissen Zweck: Sie ersetzen eine nicht abbildbare Realität um Fragestellungen zu beantwortbar zu machen ==== Typisches Beispiele ==== * Betrachtungen in der Physik (Federpendel, Bewegungsgesetze,...) - Physik und Mathematische Modellbildung sind sehr eng miteinander verwoben * Populationsdynamiken und Ausbreitugnsschemata in der Biologie (vgl. Lotka-Volterra Modell) * Bewegungsanalysen und Optimierungen in den Sportwissenschaften * Untersuchungen von Transport- und Umweltprozessen in Biologie, Chemie, Physik, Technik,... * Bedarfs- und Verbrauchs- und Verhaltensanalysen in Geisteswissenschaften === Mathematische Modelle === Mathematische Modelle werden gemessen und bewertet anhand <ref> Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., & Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. </ref>: * '''Zulässigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte in sich widerspruchsfrei sein. * '''Richtigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte im Vergleich mit der Realität keine Widersprüche zu offensichtlich richtigen Tatsachen aufweisen. * '''Zweckmäßigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte genau den Detailgrad beinhalten, den es zum Erfüllen des Zwecks benötigt, nicht mehr und nicht weniger. ==== Gegenbeispiele für mathematische Modelle ==== Gegenbeispiele wären: * Ein nicht zulässiges Modell könnte bei einer Betrachtung einer Punktmasse im Raum dennoch Luftwiederstände berücksichtigen (Punkte haben kein Volumen) * Ein nicht richtiges Modell könnte bei der Modellierung von Transportprozessen von Schadstoffen die Massenerhaltung vernachlässigen. * Ein nicht zweckmäßiges Modell könnte bei dem Versuch den perfekten Abwurfwinkel beim Speerwurf die Krümmung der Erdoberfläche berücksichtigen. ==== Bemerkung - Kriterien ==== Die Kriterien, insbesondere Richtigkeit und Zweckmäßigkeit, sind nicht 100% operational. Einerseits fordert die Richtigkeit, keine bekannten Tatsachen auszulassen, andererseits dürfen hinsichtlich einer passenden Zweckmäßigkeit auch nur ausreichend viele Details integriert werden. ==Der Modellbildungszyklus== Wie kommt man nun von einer Realen Situation, die ein Problem aufwirft zu einem adäquaten mathematischen Modell? Dazu hat sich als möglichst allgemeine Vorgehensweise der Modellbildungszyklus ergeben: [[Datei:Modellbildungszyklus Mod6.png|miniatur|Modellbildungszyklus]] ===Verlauf des MBZ === Der Modellbildungszyklus beschreibt schematisch die iterative Erstellung einer mathematischen Modellbildung: * Ausgangspunkt ist eine reale Situation, die ein Problem aufwirft, die von dem mathematischen Modell adressiert werden soll * Dieses Problem wird inhaltlich erfasst, anschließend mathematisch Übersetzt (Betrachten von Gleichungen, Funktionen, Geometrischen Objekten,...) =====Modellbildungsschleife===== * Durch das Betrachten von mathematischen Objekten können über passende Operationen deduktiv Resultate geschlussfolgert werden * Diese Resultate werden mit der Realsituation abgeglichen * Aus dem Vergleich werden mögliche Optimierungen und Limitationen des Modells abgeleitet * Durch die Limitationen werden kann das Modell weiterentwickelt werden Diese Schritte können/müssen dabei mehrfach durchlaufen werden. =====Integration von Software===== Die Integration von computergestützter Software ist in der mathematischen Modellbildung definitionsgemäss nicht zwingend erforderlich, für die meisten anwendungsbezogenen Modellierungen jedoch unumgänglich. ==Konkretes Beispiel einer Mathematischen Modellbildung== [[Kurs:Mathematische_Modellbildung/Themen/Radioaktivit%C3%A4t_und_Risikoliteralit%C3%A4t]] [[Datei:Screenshot 2D Ansicht Resultate.png|miniatur|alternativtext=Ansicht der möglichen Auftreffpunkte des radioaktiven Niederschlags|Ansicht der möglichen Auftreffpunkte des radioaktiven Niederschlags]] [[File:Zeitliche Abhängigkeit der Risikofunktion.gif|thumb|Das GIF zeigt die Zeitliche Abhängigkeit der Risikofunktion]] === Ziel der Modellierung === Ziel in dieser Modellierung war es, ein Modell zur räumlichen und zeitlichen Ausbreitung einer radioaktiv belasteten Wolke, sowie dessen Rain-Out, infolge einer Reaktorkatastrophe am (mittlerweile abgeschalteten) Kernkraftwerk in Philippsburg zu beschreiben. Unter zu Hilfenahme von Messwerten von dem Reaktorunglück in Tschernobyl und den Halbwertszeiten des radioaktiven Materials wurde der zeitliche Zerfall erfasst. Der Transport von radioaktiven Material wurde durch eine Kugel im <math> \mathbb{R}^3 </math> modelliert. Diese bewegt sich gemäss einer variablen Windrichtung (gegeben durch Winkel <math> \alpha </math>) und regnet sich nach einer gewissen Durchschnittsdauer ab. === Endresultat === Es wurde in drei Modellbildungszyklen eine Funktion zur Beschreibung der radioaktiven Belastung (repräsentativ für das Risiko) abgeleitet: <math>u(x,y,t,\alpha)=\frac{1480\cdot e^{-\frac{ln(2)}{30a} \cdot t}}{1+\frac{7}{10.000}\cdot (x^2+y^2)}+\frac{40\cdot e^{-\frac{ln(2)}{30a} \cdot t}}{1+\frac{1}{7.500}\cdot ((x-1080cos(\alpha))^2+(y-1080sin(\alpha))^2)}</math> Letztlich erhält man also eine Funktion die in ihrem Ausgabewert <math>z=u(x,y,t,\alpha)</math> abhängig von 4 Eingabewerten <math>x, y, t, \alpha </math> ist. ==Modellbildung in der Schule== ===Einbindung in den Lehrplan=== Die mathematische Modellbildung ist stark in den Mathematik-Lehrplan für Schulen in Rheinland-Pfalz integriert (hier wird sich an dem Lehrplan für Sekundarstufe II orientiert <ref> Ministerium für Bildung, Wissensachft, Weiterbildung und Kultur (2015), Lehrplan Mathematik. Grund- und Leistungsfach in der gymnasialen Oberstufe (Mainzer Studienstufe) </ref>). Im Bezug zu Problemlösen im Mathematikunterricht und Mathematik im fachübergreifenden Kontext, sollen Anwendungsbeispiele Einzug halten, die Schülerinnen und Schülern aus anderen Fächern bekannt sind. In diesem Zusammenhang wird mathematische Modellbildung als Methode zur Lösung von solchen Anwendungsproblemen genannt. ===Konkreter Themenbezug=== Zu folgenden mathematischen Themengebieten wird explizit Mathematischen Modellbildung zur unterrichtlichen Umsetzung erwähnt: * Exponentialfunktionen (Wachstums- und Zerfallsprozesse) * Matrizenrechnung (zum Beispiel Input-Output-Analysen, Zustandsübergangsprozesse oder Populationsentwicklung) * Differential- und Integralrechnung (lineare oder logistische Wachstumsprozesse) ===Computereinsatz im Lehrplan=== Auch der Einsatz von computergestützten Hilfs- und Lösungsmitteln im Zuge der Modellbildung wird betont. (Bemerke: Auch im Lehrplan wird ein vergleichbarer Modellbildungszyklus vorgestellt und beschrieben. Bei Bedarf kann dieser auf Seite 15-16<ref> Ministerium für Bildung, Wissensachft, Weiterbildung und Kultur (2015), Lehrplan Mathematik. Grund- und Leistungsfach in der gymnasialen Oberstufe (Mainzer Studienstufe). </ref> nachgelesen werden) ===Zugang zur Bildung für Nachhaltigen Entwicklung=== Durch die Möglichkeit fachübergreifende Fragestellungen zu behandeln und Prozesse der Realität in den Blick zu nehmen, kann mathematische Modellbildung die Brücke zur Bildung für Nachhaltigen Entwicklung (BNE) schlagen. ====Bildung für Nachhaltige Entwicklung==== "Die BNE zielt grundsätzlich darauf ab, es jedem und jeder Einzelnen zu ermöglichen, die Folgen des eigenen Handelns auf die Welt sowie intra- und intergenerationell zu verstehen, verantwortungsvolle Entscheidungen zu treffen und aktiv zu werden." <ref> Ministerium für Bildung. Bildung für nachhaltige Entwicklung. Online abrufbar unter: https://bm.rlp.de/unsere-schwerpunkte/bildung-fuer-nachhaltige-entwicklung </ref> ====BNE und Modellbildung==== Mathematische Modellbildung kann unter praktischer Anwendung von gelernten Inhalten im Schulunterricht zu BNE beitragen, indem eben gezielt Probleme adressiert werden und von Schülerinnen und Schülern eigenständig untersucht werden. ==Ziel und Organisation des Seminars== ===Ziel und Aufgabe=== In Kleingruppen (3-4 Personen) sollen aussermathematische Fragestellungen mit einer eigenen mathematischen Modellbildung behandelt werden. Dazu sollen drei Modellbildungszyklen mit unterschiedlichem Grad an Vereinfachung und unterschiedlicher Mathematischen Grundlage erstellt werden: * Zyklus: Mathematik der Sekundarstufe 1 (Mittelstufe) * Zyklus: Mathematik der Sekundarstufe 2 (Oberstufe) * Zyklus: Universitätsmathematik ====Integration von Software==== In jedem Zyklus sollen computergestützte Untersuchungen und Betrachtungen Einzug erhalten. Somit bietet es sich an in insgesamt auch drei verschiedene Programme (Tabellenkalkulation, GeoGebra, RStudio, Maxima,...) zu integrieren - an manchen stellen lässt sich dies gar nicht vermeiden. ===Themenwahl=== Das Thema sollte einen weltlichen Bezug haben. Am besten eigenen sich Themen aus dem jeweiligen Zweitfach (s. Verbindung zu anderen Schulfächern im Lehrplan). Das Thema sollte nachhaltige Entwicklung im Rahmen der Sustainable Development Goals adressieren. Siehe dazu: https://www.bundesumweltministerium.de/themen/nachhaltigkeit/nachhaltigkeitsziele-sdgs Vorzugsweise: Räumliche Risikobetrachtungen in Desaster- und Katastrophenszenarien. Das Thema sollte sich nicht mit denen der vergangenen Semestern doppeln. Zur Orientierung und Inspiration finden sich hier die Projekte der vergangenen Semester: :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2026 Sommersemester|2026 Sommersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2025-26 Wintersemester|2025/26 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2024-25 Wintersemester|2024/25 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2023-24 Wintersemester|2023/24 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2022-23 Winteresemester|2022/23 Wintersemester]]''' ===Portfolio=== Während des Semesters soll in Gruppenarbeit die Modellbildung durchgeführt werden. Diese wird schriftlich in einem Portfolio festgehalten. Dies Portfolio wird, genau wie dieser Artikel auch, in einem Wikiversity Artikel dokumentiert. Dieser sollte folgendes enthalten: ====Inhalt Portfolio==== * Einleitung: Beschreibung und Einordnung des Themas & welche(s) SDG wird adressiert und warum? * Ziel der Modellierung: Welches Problem wird in der Modellierung / den einzelnen Zyklen konkret angegangen? * Zyklus 1-3 ** Mathematisches Modell (welche Mathematischen Objekte werden betrachtet, wie ergeben die sich,...) ** Ergebnisse (Ableiten von Resultaten aus dem Modell) ** Bewertung der Ergebnisse ** Grenzen und Limitationen ** Ausblick für nächsten Zyklus (welche Limitationen und Probleme aus dem Zyklus werden im folgenden adressiert?) ====Integration Computersoftware==== In allen Punkten der Modellzyklen können Programme computergestützte Tools verwendet werden. Zur Erstellung von Wiki-Seiten ist folgende Seite hilfreich: https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:Textgestaltung ===Prüfung=== Die Prüfung gliedert sich in zwei Aspekte: * '''Vorstellung von ausgewählten Teilen aus dem eigenen Portfolio''' - diese werden von den Prüfer:innen aus dem Portfolio der Studierenden ausgewählt. * '''Diskussion und Fragen''' der Prüfer:innen zu dem Portfolio, z.B. zu Teilen des Portfolios, die in der Vorstellung nicht behandelt werden können. Ein Portfolio kann aus Zeitgründen nie vollständig in der Prüfung dargestellt werden. ====Inhalt==== In der mündlichen Portfolio-Prüfung wird geprüft, ob * das eigene Modell verstanden ist, * das eigene Modell kritisch hinterfragt werden kann, * die Limitationen des Modells begründet und nachvollziehbar wiedergegeben werden können, * die Übergänge zwischen den Zyklen beschrieben und begründet werden können, * die technische Umsetzung reproduziert und erklärt werden kann, * ... . ====Präsentation==== Es ist also wichtig zu wissen, was wie an welcher Stelle und mit welchem Zweck in der Modellierung gemacht wurde! Das Portfolio (Wiki-Seite) wird somit konkret vorgestellt. Eine Präsentation des Portfolio kann automatisch mit Wiki2Reveal erstellt werden. === Unterstützungsangebot === * Das Unterstützungsangebot erfolgt in der Lehrveranstaltung zur "Mathematischen Modellbildung". * Eine individuelle Sonderbehandlung für einzelne Studierende, die das Angebot der Vorlesung nicht nutzen und kurz vor Prüfungsbeginn noch "schnell" ein Portfolio zusammenstellen wollen, ist aus zeitlichen Gründen kurz vor der Prüfung nicht möglich. * Portfolioprüfungen der Lehrveranstaltung beziehen sich immer auf das erstellte Portfolio im laufende Semester und bei Wiederholungsprüfungen auf das Semester, in dem Portfolio erstellt wurde. * Eine Prüfung kann nur zu dem eigenen erstellten Portfolio in der Lehrveranstaltung abgelegt werden, an dessen Erstellung man aktiv mitgearbeitet hat. ===Ablauf des Seminars=== Der Seminarablauf über das Semester gestaltet sich grob wie folgt: * 1. Woche (19.10.): Einführungsveranstaltung + Gruppenfindung * 2. Woche (26.10.): Themenfindung * 3. Woche (02.11.): Themenfindung + Zyklen festlegen * 4. Woche (09.11.): Zyklen festlegen * 5. Woche (16.11.): Kurzvorstellung der Themen und Zyklen (5 Minuten pro Gruppe) Ab Woche 6 (23.11.) bis Ende des Semesters wird gemeinsam an den Modellen und dem Portfolio gearbeitet. ====Zeitplan==== Empfehlenswert wäre es, die letzten 2-3 Wochen für Finalisierungsarbeiten zu nutzen und entsprechend frühzeitig zu planen! Ausschliesslich während der Seminarzeiten an dem Modell und Portfolio zu arbeiten wird nicht ausreichen! Die Kurzpräsentationen am 16.11. umfassen den aktuellen Stand der Überlegungen und sind noch unter keinen Umständen verbindlich. Stattdessen dient es einfach zur Grundlage von gemeinsamer Diskussion und zur Einbringung von weiteren Ideen. ==Hilfreiche Links== ===Fachmathematische Aspekte === Wenn man das Modellierungsproblem in den Mittelpunkt stellt und die Fragestellung den Nachhaltigkeitszielen der UN zuordnet, kommen z.T. fachmathematische Aspekte erforderlich, die nicht in der jeweiligen Schulstufe bzw. in den Vorlesungen behandelt wurden. Dies Kapitel erhält Hinweise zu fachmathematischen Bereichen, die für die mathematische Modellbildung ggf. als Werkzeug verwendet werden können * '''[[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]''' dienen dazu, Datenpunkte im <math>\R^2</math> oder allgemein im <math>\R^n</math> zu [[w:Interpolation_(Mathematik)|interpolieren]]. * '''[https://en.wikiversity.org/wiki/3D_Modelling 3D Modellierung für Projektinhalte]''' und [[w:Projektive_Geometrie|projektive Geometrie]] zur Visualisierung * '''[[Gradientenabstiegsverfahren]]''': Wird verwendet, um sich in der mathematischen Modellbildung iterativ einem Minimum einer Kosten- oder Fehlerfunktion anzunähern. * [[w:Lineare_Optimierung|'''Lineare Optimierung''']] wird in Optimierungshaufgaben wie beispielsweise bei der Suche nach Minimum der Produktionskosten verwendet. Hierbei wird in allgemeinem nach einem Minimium/Maximum einer linearer Zielfunktion über einer Menge gesucht. [https://www.geogebra.org/m/kr727992 '''Ein Beispiel in Geogebra'''] *[[Räumliche Diffusion|'''Räumliche Diffusion''']] *[[Modelle_der_Populationsdynamik|'''Modelle der Populationsdynamik''']] - [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Modelle%20der%20Populationsdynamik&author=Kurs:R%C3%A4umliche%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes (Wiki2Reveal-Folien)] - [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Stochastik/Wahrscheinlichkeitsdichte|Wahrscheinlichkeitsdichte]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Wahrscheinlichkeitsdichte&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wahrscheinlichkeitsdichte&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ===Softwarenutzung === Im PC-Praktikum wurden grundlegende Kenntnisse im Umgang mit Software erlangt, die für die Berechnung von mathematischen Modellen vorwendig sind. Diese Kenntnisse müssen ggf. auf das spezielle Modellierungsthema angepasst und erweitert werden. * '''[[CSV2Chart]]''' Aus CSV-Dateien mathematische Graphen in Wikiversity erstellen. * '''[[Maxima CAS]]''' enthält die verwendeten Werkzeuge und Kommandos eines Computeralgebrasystems (CAS), die die einzelnen Projekte in dem Modellbildungszyklus verwendet haben. * '''[https://sagecell.sagemath.org/ SageCell]''' Online-Umgebung zur Ausführung und Demonstration von Befehlen in R, Octave, Maxima, ... (Auswahl des Befehlssatzes auf der https://sagecell.sagemath.org/ SageCell-Seite] unten rechts auf dem Eingabefeld) * '''[[Statistikprogramm R]]''' enthält die verwendeten Werkzeuge und Kommandos, die für Berechnungen und Veranschaulichungen in den Projekten verwendet haben. * '''[[Tabellenkalkulation]]''' werden in Portfolios in der Regel verwendet, um Daten in den Portfolios aufzubereiten. * '''[[Octave]]''' wird in der Regel verwendet, um numerische Berechnung in der Mathematischen Modellbildung durchzuführen. * '''[[Geogebra]]''' ist eine Dynamische Geometriesoftware, die zur vektoriellen Veranschaulichung von räumlichen Modellierungsproblemen oder auch zur parametrisierten Darstellung von Funktionen verwendet wird (Beispiel: [https://www.geogebra.org/m/e9b349k9 Parkplatzlösung in Geogebra von Shrey T (2017)]). * '''[[w:Screencast|Screencast]]''': Ein Screencast ist eine Bildschirmaufnahme mit Audiokommentaren, die zeigt, wie man z.B. Software bedient. Ein Screencast ist eine Hilfestellung für Lernende, die sich noch nicht so gut mit einer bestimmten Software auskennen. :* [https://obsproject.com/ '''Open Broadcast Software (OBS)''' - Linux, Windows, MacOSX ] - [[Konvexkombination|Beispielvideo in Wikiversity]] * [[v:en:3D_Modelling|'''3D-Modellbildung''' (englisch)]] * '''[http://niebert.github.io/imgmap/ Online-ImageMap-Editor]''' - Anklickbare Bereiche in Wikiversity-Bildern erstellen. * '''[https://openlayers.org/en/latest/examples/heatmap-earthquakes.html HeatMaps]:''' Erstellung von [https://niebert.github.io/openlayer_heatmap HeatMaps mit einem Online-Editor] (Download [https://github.com/niebert/openlayer_heatmap/archive/master.zip Heatmap-Editor und Beispieldaten in Ordner <tt>/HeatMap</tt> in ZIP-Datei]) * '''[[Wiki2Reveal]]:''' Portfolio-Präsentationen direkt im Wikiversity erstellen. ===Editierungshilfen=== * [https://latexeditor.lagrida.com/ Online-Formel-Editor für LaTeX-Formeln]<ref>Lagrida Web-Portal (2021) Online-Latex-Formel-Editor mit Vorschau - URL: https://latexeditor.lagrida.com/ (accessed 2021/11/21))</ref> - die erzeugten Formeln müssen in einen MATH-Tag mit <kbd><math> ...</math></kbd> eingeschlossen werden bei der Seiteneditierung. * [https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:TeX Mathematische Formeln in Wikiversity] * Textgestaltung in Wikis: https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:Textgestaltung ==Wiki2Reveal== * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung2627|Kurs:Mathematische Modellbildung2627]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung2627&author=&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung2627&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] == Verweise == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2026-27%20Wintersemester&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2026-27%20Wintersemester&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung Kurs:Mathematische Modellbildung]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2026-27%20Wintersemester&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] evrp679jxzcclezd6tda812844748qu 1116547 1116546 2026-10-17T08:44:03Z ~2026-55076-31 41992 /* Inhalt Portfolio */ 1116547 wikitext text/x-wiki ==Begriffsklärung== === Was ist mathematische Modellbildung? === Ganz grob gesagt besteht Mathematische Modellierung oder auch Mathematische Modellbildung darin, reale Fragestellungen mit mathematischen Mitteln zu bearbeiten und sie auf diesem Wege zumindest teilweise zu beantworten<ref> Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., & Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. </ref>. === Was ist ein Modell? === Ein Modell ist dabei gegeben durch innere Scheinbilder oder Repräsentatonen, die nicht zum Bereich der äußeren Gegenstände, sondern zu Vorstellungen von einem solchen realen Gegenstand gehören und ihnen daher auch in gewissen Grenzen etwas Willkürliches anhaftet (Sinngemäß nach Hertz, zitiert von Ortlieb<ref> Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., & Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. </ref>). ==== Eigenschaften von Modellen ==== Somit lassen sich vereinfacht und verkürzt folgende Eigenschaften ableiten (Stachowiak, zitiert nach Saam <ref> Saam, N. J. (2009). Modellbildung. In Handbuch Methoden der Organisationsforschung: Quantitative und Qualitative Methoden (pp. 517-532). Wiesbaden: VS Verlag für Sozialwissenschaften. </ref>): * '''Abbildungsmerkmal:''' Modelle repräsentieren die Realität, existieren jedoch nicht in der Realität * '''Verkürzungsmerkmal:''' Modelle beschreiben das Objekt nicht exakt, sondern stets vereinfacht * '''Pragmatisches Merkmal:''' Modelle verfolgen einen gewissen Zweck: Sie ersetzen eine nicht abbildbare Realität um Fragestellungen zu beantwortbar zu machen ==== Typisches Beispiele ==== * Betrachtungen in der Physik (Federpendel, Bewegungsgesetze,...) - Physik und Mathematische Modellbildung sind sehr eng miteinander verwoben * Populationsdynamiken und Ausbreitugnsschemata in der Biologie (vgl. Lotka-Volterra Modell) * Bewegungsanalysen und Optimierungen in den Sportwissenschaften * Untersuchungen von Transport- und Umweltprozessen in Biologie, Chemie, Physik, Technik,... * Bedarfs- und Verbrauchs- und Verhaltensanalysen in Geisteswissenschaften === Mathematische Modelle === Mathematische Modelle werden gemessen und bewertet anhand <ref> Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., & Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. </ref>: * '''Zulässigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte in sich widerspruchsfrei sein. * '''Richtigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte im Vergleich mit der Realität keine Widersprüche zu offensichtlich richtigen Tatsachen aufweisen. * '''Zweckmäßigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte genau den Detailgrad beinhalten, den es zum Erfüllen des Zwecks benötigt, nicht mehr und nicht weniger. ==== Gegenbeispiele für mathematische Modelle ==== Gegenbeispiele wären: * Ein nicht zulässiges Modell könnte bei einer Betrachtung einer Punktmasse im Raum dennoch Luftwiederstände berücksichtigen (Punkte haben kein Volumen) * Ein nicht richtiges Modell könnte bei der Modellierung von Transportprozessen von Schadstoffen die Massenerhaltung vernachlässigen. * Ein nicht zweckmäßiges Modell könnte bei dem Versuch den perfekten Abwurfwinkel beim Speerwurf die Krümmung der Erdoberfläche berücksichtigen. ==== Bemerkung - Kriterien ==== Die Kriterien, insbesondere Richtigkeit und Zweckmäßigkeit, sind nicht 100% operational. Einerseits fordert die Richtigkeit, keine bekannten Tatsachen auszulassen, andererseits dürfen hinsichtlich einer passenden Zweckmäßigkeit auch nur ausreichend viele Details integriert werden. ==Der Modellbildungszyklus== Wie kommt man nun von einer Realen Situation, die ein Problem aufwirft zu einem adäquaten mathematischen Modell? Dazu hat sich als möglichst allgemeine Vorgehensweise der Modellbildungszyklus ergeben: [[Datei:Modellbildungszyklus Mod6.png|miniatur|Modellbildungszyklus]] ===Verlauf des MBZ === Der Modellbildungszyklus beschreibt schematisch die iterative Erstellung einer mathematischen Modellbildung: * Ausgangspunkt ist eine reale Situation, die ein Problem aufwirft, die von dem mathematischen Modell adressiert werden soll * Dieses Problem wird inhaltlich erfasst, anschließend mathematisch Übersetzt (Betrachten von Gleichungen, Funktionen, Geometrischen Objekten,...) =====Modellbildungsschleife===== * Durch das Betrachten von mathematischen Objekten können über passende Operationen deduktiv Resultate geschlussfolgert werden * Diese Resultate werden mit der Realsituation abgeglichen * Aus dem Vergleich werden mögliche Optimierungen und Limitationen des Modells abgeleitet * Durch die Limitationen werden kann das Modell weiterentwickelt werden Diese Schritte können/müssen dabei mehrfach durchlaufen werden. =====Integration von Software===== Die Integration von computergestützter Software ist in der mathematischen Modellbildung definitionsgemäss nicht zwingend erforderlich, für die meisten anwendungsbezogenen Modellierungen jedoch unumgänglich. ==Konkretes Beispiel einer Mathematischen Modellbildung== [[Kurs:Mathematische_Modellbildung/Themen/Radioaktivit%C3%A4t_und_Risikoliteralit%C3%A4t]] [[Datei:Screenshot 2D Ansicht Resultate.png|miniatur|alternativtext=Ansicht der möglichen Auftreffpunkte des radioaktiven Niederschlags|Ansicht der möglichen Auftreffpunkte des radioaktiven Niederschlags]] [[File:Zeitliche Abhängigkeit der Risikofunktion.gif|thumb|Das GIF zeigt die Zeitliche Abhängigkeit der Risikofunktion]] === Ziel der Modellierung === Ziel in dieser Modellierung war es, ein Modell zur räumlichen und zeitlichen Ausbreitung einer radioaktiv belasteten Wolke, sowie dessen Rain-Out, infolge einer Reaktorkatastrophe am (mittlerweile abgeschalteten) Kernkraftwerk in Philippsburg zu beschreiben. Unter zu Hilfenahme von Messwerten von dem Reaktorunglück in Tschernobyl und den Halbwertszeiten des radioaktiven Materials wurde der zeitliche Zerfall erfasst. Der Transport von radioaktiven Material wurde durch eine Kugel im <math> \mathbb{R}^3 </math> modelliert. Diese bewegt sich gemäss einer variablen Windrichtung (gegeben durch Winkel <math> \alpha </math>) und regnet sich nach einer gewissen Durchschnittsdauer ab. === Endresultat === Es wurde in drei Modellbildungszyklen eine Funktion zur Beschreibung der radioaktiven Belastung (repräsentativ für das Risiko) abgeleitet: <math>u(x,y,t,\alpha)=\frac{1480\cdot e^{-\frac{ln(2)}{30a} \cdot t}}{1+\frac{7}{10.000}\cdot (x^2+y^2)}+\frac{40\cdot e^{-\frac{ln(2)}{30a} \cdot t}}{1+\frac{1}{7.500}\cdot ((x-1080cos(\alpha))^2+(y-1080sin(\alpha))^2)}</math> Letztlich erhält man also eine Funktion die in ihrem Ausgabewert <math>z=u(x,y,t,\alpha)</math> abhängig von 4 Eingabewerten <math>x, y, t, \alpha </math> ist. ==Modellbildung in der Schule== ===Einbindung in den Lehrplan=== Die mathematische Modellbildung ist stark in den Mathematik-Lehrplan für Schulen in Rheinland-Pfalz integriert (hier wird sich an dem Lehrplan für Sekundarstufe II orientiert <ref> Ministerium für Bildung, Wissensachft, Weiterbildung und Kultur (2015), Lehrplan Mathematik. Grund- und Leistungsfach in der gymnasialen Oberstufe (Mainzer Studienstufe) </ref>). Im Bezug zu Problemlösen im Mathematikunterricht und Mathematik im fachübergreifenden Kontext, sollen Anwendungsbeispiele Einzug halten, die Schülerinnen und Schülern aus anderen Fächern bekannt sind. In diesem Zusammenhang wird mathematische Modellbildung als Methode zur Lösung von solchen Anwendungsproblemen genannt. ===Konkreter Themenbezug=== Zu folgenden mathematischen Themengebieten wird explizit Mathematischen Modellbildung zur unterrichtlichen Umsetzung erwähnt: * Exponentialfunktionen (Wachstums- und Zerfallsprozesse) * Matrizenrechnung (zum Beispiel Input-Output-Analysen, Zustandsübergangsprozesse oder Populationsentwicklung) * Differential- und Integralrechnung (lineare oder logistische Wachstumsprozesse) ===Computereinsatz im Lehrplan=== Auch der Einsatz von computergestützten Hilfs- und Lösungsmitteln im Zuge der Modellbildung wird betont. (Bemerke: Auch im Lehrplan wird ein vergleichbarer Modellbildungszyklus vorgestellt und beschrieben. Bei Bedarf kann dieser auf Seite 15-16<ref> Ministerium für Bildung, Wissensachft, Weiterbildung und Kultur (2015), Lehrplan Mathematik. Grund- und Leistungsfach in der gymnasialen Oberstufe (Mainzer Studienstufe). </ref> nachgelesen werden) ===Zugang zur Bildung für Nachhaltigen Entwicklung=== Durch die Möglichkeit fachübergreifende Fragestellungen zu behandeln und Prozesse der Realität in den Blick zu nehmen, kann mathematische Modellbildung die Brücke zur Bildung für Nachhaltigen Entwicklung (BNE) schlagen. ====Bildung für Nachhaltige Entwicklung==== "Die BNE zielt grundsätzlich darauf ab, es jedem und jeder Einzelnen zu ermöglichen, die Folgen des eigenen Handelns auf die Welt sowie intra- und intergenerationell zu verstehen, verantwortungsvolle Entscheidungen zu treffen und aktiv zu werden." <ref> Ministerium für Bildung. Bildung für nachhaltige Entwicklung. Online abrufbar unter: https://bm.rlp.de/unsere-schwerpunkte/bildung-fuer-nachhaltige-entwicklung </ref> ====BNE und Modellbildung==== Mathematische Modellbildung kann unter praktischer Anwendung von gelernten Inhalten im Schulunterricht zu BNE beitragen, indem eben gezielt Probleme adressiert werden und von Schülerinnen und Schülern eigenständig untersucht werden. ==Ziel und Organisation des Seminars== ===Ziel und Aufgabe=== In Kleingruppen (3-4 Personen) sollen aussermathematische Fragestellungen mit einer eigenen mathematischen Modellbildung behandelt werden. Dazu sollen drei Modellbildungszyklen mit unterschiedlichem Grad an Vereinfachung und unterschiedlicher Mathematischen Grundlage erstellt werden: * Zyklus: Mathematik der Sekundarstufe 1 (Mittelstufe) * Zyklus: Mathematik der Sekundarstufe 2 (Oberstufe) * Zyklus: Universitätsmathematik ====Integration von Software==== In jedem Zyklus sollen computergestützte Untersuchungen und Betrachtungen Einzug erhalten. Somit bietet es sich an in insgesamt auch drei verschiedene Programme (Tabellenkalkulation, GeoGebra, RStudio, Maxima,...) zu integrieren - an manchen stellen lässt sich dies gar nicht vermeiden. ===Themenwahl=== Das Thema sollte einen weltlichen Bezug haben. Am besten eigenen sich Themen aus dem jeweiligen Zweitfach (s. Verbindung zu anderen Schulfächern im Lehrplan). Das Thema sollte nachhaltige Entwicklung im Rahmen der Sustainable Development Goals adressieren. Siehe dazu: https://www.bundesumweltministerium.de/themen/nachhaltigkeit/nachhaltigkeitsziele-sdgs Vorzugsweise: Räumliche Risikobetrachtungen in Desaster- und Katastrophenszenarien. Das Thema sollte sich nicht mit denen der vergangenen Semestern doppeln. Zur Orientierung und Inspiration finden sich hier die Projekte der vergangenen Semester: :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2026 Sommersemester|2026 Sommersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2025-26 Wintersemester|2025/26 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2024-25 Wintersemester|2024/25 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2023-24 Wintersemester|2023/24 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2022-23 Winteresemester|2022/23 Wintersemester]]''' ===Portfolio=== Während des Semesters soll in Gruppenarbeit die Modellbildung durchgeführt werden. Diese wird schriftlich in einem Portfolio festgehalten. Dies Portfolio wird, genau wie dieser Artikel auch, in einem Wikiversity Artikel dokumentiert. Dieser sollte folgendes enthalten: ====Inhalt Portfolio==== * Einleitung: Beschreibung und Einordnung des Themas & welche(s) SDG wird adressiert und warum? * Ziel der Modellierung: Welches Problem wird in der Modellierung / den einzelnen Zyklen konkret angegangen? * Zyklus 1-3: ** Mathematisches Modell (welche Mathematischen Objekte werden betrachtet, wie ergeben die sich,...) ** Ergebnisse (Ableiten von Resultaten aus dem Modell) ** Bewertung der Ergebnisse ** Grenzen und Limitationen ** Ausblick für nächsten Zyklus (welche Limitationen und Probleme aus dem Zyklus werden im folgenden adressiert?) ====Integration Computersoftware==== In allen Punkten der Modellzyklen können Programme computergestützte Tools verwendet werden. Zur Erstellung von Wiki-Seiten ist folgende Seite hilfreich: https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:Textgestaltung ===Prüfung=== Die Prüfung gliedert sich in zwei Aspekte: * '''Vorstellung von ausgewählten Teilen aus dem eigenen Portfolio''' - diese werden von den Prüfer:innen aus dem Portfolio der Studierenden ausgewählt. * '''Diskussion und Fragen''' der Prüfer:innen zu dem Portfolio, z.B. zu Teilen des Portfolios, die in der Vorstellung nicht behandelt werden können. Ein Portfolio kann aus Zeitgründen nie vollständig in der Prüfung dargestellt werden. ====Inhalt==== In der mündlichen Portfolio-Prüfung wird geprüft, ob * das eigene Modell verstanden ist, * das eigene Modell kritisch hinterfragt werden kann, * die Limitationen des Modells begründet und nachvollziehbar wiedergegeben werden können, * die Übergänge zwischen den Zyklen beschrieben und begründet werden können, * die technische Umsetzung reproduziert und erklärt werden kann, * ... . ====Präsentation==== Es ist also wichtig zu wissen, was wie an welcher Stelle und mit welchem Zweck in der Modellierung gemacht wurde! Das Portfolio (Wiki-Seite) wird somit konkret vorgestellt. Eine Präsentation des Portfolio kann automatisch mit Wiki2Reveal erstellt werden. === Unterstützungsangebot === * Das Unterstützungsangebot erfolgt in der Lehrveranstaltung zur "Mathematischen Modellbildung". * Eine individuelle Sonderbehandlung für einzelne Studierende, die das Angebot der Vorlesung nicht nutzen und kurz vor Prüfungsbeginn noch "schnell" ein Portfolio zusammenstellen wollen, ist aus zeitlichen Gründen kurz vor der Prüfung nicht möglich. * Portfolioprüfungen der Lehrveranstaltung beziehen sich immer auf das erstellte Portfolio im laufende Semester und bei Wiederholungsprüfungen auf das Semester, in dem Portfolio erstellt wurde. * Eine Prüfung kann nur zu dem eigenen erstellten Portfolio in der Lehrveranstaltung abgelegt werden, an dessen Erstellung man aktiv mitgearbeitet hat. ===Ablauf des Seminars=== Der Seminarablauf über das Semester gestaltet sich grob wie folgt: * 1. Woche (19.10.): Einführungsveranstaltung + Gruppenfindung * 2. Woche (26.10.): Themenfindung * 3. Woche (02.11.): Themenfindung + Zyklen festlegen * 4. Woche (09.11.): Zyklen festlegen * 5. Woche (16.11.): Kurzvorstellung der Themen und Zyklen (5 Minuten pro Gruppe) Ab Woche 6 (23.11.) bis Ende des Semesters wird gemeinsam an den Modellen und dem Portfolio gearbeitet. ====Zeitplan==== Empfehlenswert wäre es, die letzten 2-3 Wochen für Finalisierungsarbeiten zu nutzen und entsprechend frühzeitig zu planen! Ausschliesslich während der Seminarzeiten an dem Modell und Portfolio zu arbeiten wird nicht ausreichen! Die Kurzpräsentationen am 16.11. umfassen den aktuellen Stand der Überlegungen und sind noch unter keinen Umständen verbindlich. Stattdessen dient es einfach zur Grundlage von gemeinsamer Diskussion und zur Einbringung von weiteren Ideen. ==Hilfreiche Links== ===Fachmathematische Aspekte === Wenn man das Modellierungsproblem in den Mittelpunkt stellt und die Fragestellung den Nachhaltigkeitszielen der UN zuordnet, kommen z.T. fachmathematische Aspekte erforderlich, die nicht in der jeweiligen Schulstufe bzw. in den Vorlesungen behandelt wurden. Dies Kapitel erhält Hinweise zu fachmathematischen Bereichen, die für die mathematische Modellbildung ggf. als Werkzeug verwendet werden können * '''[[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]''' dienen dazu, Datenpunkte im <math>\R^2</math> oder allgemein im <math>\R^n</math> zu [[w:Interpolation_(Mathematik)|interpolieren]]. * '''[https://en.wikiversity.org/wiki/3D_Modelling 3D Modellierung für Projektinhalte]''' und [[w:Projektive_Geometrie|projektive Geometrie]] zur Visualisierung * '''[[Gradientenabstiegsverfahren]]''': Wird verwendet, um sich in der mathematischen Modellbildung iterativ einem Minimum einer Kosten- oder Fehlerfunktion anzunähern. * [[w:Lineare_Optimierung|'''Lineare Optimierung''']] wird in Optimierungshaufgaben wie beispielsweise bei der Suche nach Minimum der Produktionskosten verwendet. Hierbei wird in allgemeinem nach einem Minimium/Maximum einer linearer Zielfunktion über einer Menge gesucht. [https://www.geogebra.org/m/kr727992 '''Ein Beispiel in Geogebra'''] *[[Räumliche Diffusion|'''Räumliche Diffusion''']] *[[Modelle_der_Populationsdynamik|'''Modelle der Populationsdynamik''']] - [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Modelle%20der%20Populationsdynamik&author=Kurs:R%C3%A4umliche%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes (Wiki2Reveal-Folien)] - [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Stochastik/Wahrscheinlichkeitsdichte|Wahrscheinlichkeitsdichte]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Wahrscheinlichkeitsdichte&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wahrscheinlichkeitsdichte&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ===Softwarenutzung === Im PC-Praktikum wurden grundlegende Kenntnisse im Umgang mit Software erlangt, die für die Berechnung von mathematischen Modellen vorwendig sind. Diese Kenntnisse müssen ggf. auf das spezielle Modellierungsthema angepasst und erweitert werden. * '''[[CSV2Chart]]''' Aus CSV-Dateien mathematische Graphen in Wikiversity erstellen. * '''[[Maxima CAS]]''' enthält die verwendeten Werkzeuge und Kommandos eines Computeralgebrasystems (CAS), die die einzelnen Projekte in dem Modellbildungszyklus verwendet haben. * '''[https://sagecell.sagemath.org/ SageCell]''' Online-Umgebung zur Ausführung und Demonstration von Befehlen in R, Octave, Maxima, ... (Auswahl des Befehlssatzes auf der https://sagecell.sagemath.org/ SageCell-Seite] unten rechts auf dem Eingabefeld) * '''[[Statistikprogramm R]]''' enthält die verwendeten Werkzeuge und Kommandos, die für Berechnungen und Veranschaulichungen in den Projekten verwendet haben. * '''[[Tabellenkalkulation]]''' werden in Portfolios in der Regel verwendet, um Daten in den Portfolios aufzubereiten. * '''[[Octave]]''' wird in der Regel verwendet, um numerische Berechnung in der Mathematischen Modellbildung durchzuführen. * '''[[Geogebra]]''' ist eine Dynamische Geometriesoftware, die zur vektoriellen Veranschaulichung von räumlichen Modellierungsproblemen oder auch zur parametrisierten Darstellung von Funktionen verwendet wird (Beispiel: [https://www.geogebra.org/m/e9b349k9 Parkplatzlösung in Geogebra von Shrey T (2017)]). * '''[[w:Screencast|Screencast]]''': Ein Screencast ist eine Bildschirmaufnahme mit Audiokommentaren, die zeigt, wie man z.B. Software bedient. Ein Screencast ist eine Hilfestellung für Lernende, die sich noch nicht so gut mit einer bestimmten Software auskennen. :* [https://obsproject.com/ '''Open Broadcast Software (OBS)''' - Linux, Windows, MacOSX ] - [[Konvexkombination|Beispielvideo in Wikiversity]] * [[v:en:3D_Modelling|'''3D-Modellbildung''' (englisch)]] * '''[http://niebert.github.io/imgmap/ Online-ImageMap-Editor]''' - Anklickbare Bereiche in Wikiversity-Bildern erstellen. * '''[https://openlayers.org/en/latest/examples/heatmap-earthquakes.html HeatMaps]:''' Erstellung von [https://niebert.github.io/openlayer_heatmap HeatMaps mit einem Online-Editor] (Download [https://github.com/niebert/openlayer_heatmap/archive/master.zip Heatmap-Editor und Beispieldaten in Ordner <tt>/HeatMap</tt> in ZIP-Datei]) * '''[[Wiki2Reveal]]:''' Portfolio-Präsentationen direkt im Wikiversity erstellen. ===Editierungshilfen=== * [https://latexeditor.lagrida.com/ Online-Formel-Editor für LaTeX-Formeln]<ref>Lagrida Web-Portal (2021) Online-Latex-Formel-Editor mit Vorschau - URL: https://latexeditor.lagrida.com/ (accessed 2021/11/21))</ref> - die erzeugten Formeln müssen in einen MATH-Tag mit <kbd><math> ...</math></kbd> eingeschlossen werden bei der Seiteneditierung. * [https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:TeX Mathematische Formeln in Wikiversity] * Textgestaltung in Wikis: https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:Textgestaltung ==Wiki2Reveal== * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung2627|Kurs:Mathematische Modellbildung2627]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung2627&author=&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung2627&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] == Verweise == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2026-27%20Wintersemester&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2026-27%20Wintersemester&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung Kurs:Mathematische Modellbildung]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2026-27%20Wintersemester&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 0ic6la7dlmpbtpfxi8nq928tc9j9z6h 1116548 1116547 2026-10-17T08:44:23Z ~2026-55076-31 41992 /* Ziel und Organisation des Seminars */ 1116548 wikitext text/x-wiki ==Begriffsklärung== === Was ist mathematische Modellbildung? === Ganz grob gesagt besteht Mathematische Modellierung oder auch Mathematische Modellbildung darin, reale Fragestellungen mit mathematischen Mitteln zu bearbeiten und sie auf diesem Wege zumindest teilweise zu beantworten<ref> Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., & Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. </ref>. === Was ist ein Modell? === Ein Modell ist dabei gegeben durch innere Scheinbilder oder Repräsentatonen, die nicht zum Bereich der äußeren Gegenstände, sondern zu Vorstellungen von einem solchen realen Gegenstand gehören und ihnen daher auch in gewissen Grenzen etwas Willkürliches anhaftet (Sinngemäß nach Hertz, zitiert von Ortlieb<ref> Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., & Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. </ref>). ==== Eigenschaften von Modellen ==== Somit lassen sich vereinfacht und verkürzt folgende Eigenschaften ableiten (Stachowiak, zitiert nach Saam <ref> Saam, N. J. (2009). Modellbildung. In Handbuch Methoden der Organisationsforschung: Quantitative und Qualitative Methoden (pp. 517-532). Wiesbaden: VS Verlag für Sozialwissenschaften. </ref>): * '''Abbildungsmerkmal:''' Modelle repräsentieren die Realität, existieren jedoch nicht in der Realität * '''Verkürzungsmerkmal:''' Modelle beschreiben das Objekt nicht exakt, sondern stets vereinfacht * '''Pragmatisches Merkmal:''' Modelle verfolgen einen gewissen Zweck: Sie ersetzen eine nicht abbildbare Realität um Fragestellungen zu beantwortbar zu machen ==== Typisches Beispiele ==== * Betrachtungen in der Physik (Federpendel, Bewegungsgesetze,...) - Physik und Mathematische Modellbildung sind sehr eng miteinander verwoben * Populationsdynamiken und Ausbreitugnsschemata in der Biologie (vgl. Lotka-Volterra Modell) * Bewegungsanalysen und Optimierungen in den Sportwissenschaften * Untersuchungen von Transport- und Umweltprozessen in Biologie, Chemie, Physik, Technik,... * Bedarfs- und Verbrauchs- und Verhaltensanalysen in Geisteswissenschaften === Mathematische Modelle === Mathematische Modelle werden gemessen und bewertet anhand <ref> Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., & Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. </ref>: * '''Zulässigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte in sich widerspruchsfrei sein. * '''Richtigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte im Vergleich mit der Realität keine Widersprüche zu offensichtlich richtigen Tatsachen aufweisen. * '''Zweckmäßigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte genau den Detailgrad beinhalten, den es zum Erfüllen des Zwecks benötigt, nicht mehr und nicht weniger. ==== Gegenbeispiele für mathematische Modelle ==== Gegenbeispiele wären: * Ein nicht zulässiges Modell könnte bei einer Betrachtung einer Punktmasse im Raum dennoch Luftwiederstände berücksichtigen (Punkte haben kein Volumen) * Ein nicht richtiges Modell könnte bei der Modellierung von Transportprozessen von Schadstoffen die Massenerhaltung vernachlässigen. * Ein nicht zweckmäßiges Modell könnte bei dem Versuch den perfekten Abwurfwinkel beim Speerwurf die Krümmung der Erdoberfläche berücksichtigen. ==== Bemerkung - Kriterien ==== Die Kriterien, insbesondere Richtigkeit und Zweckmäßigkeit, sind nicht 100% operational. Einerseits fordert die Richtigkeit, keine bekannten Tatsachen auszulassen, andererseits dürfen hinsichtlich einer passenden Zweckmäßigkeit auch nur ausreichend viele Details integriert werden. ==Der Modellbildungszyklus== Wie kommt man nun von einer Realen Situation, die ein Problem aufwirft zu einem adäquaten mathematischen Modell? Dazu hat sich als möglichst allgemeine Vorgehensweise der Modellbildungszyklus ergeben: [[Datei:Modellbildungszyklus Mod6.png|miniatur|Modellbildungszyklus]] ===Verlauf des MBZ === Der Modellbildungszyklus beschreibt schematisch die iterative Erstellung einer mathematischen Modellbildung: * Ausgangspunkt ist eine reale Situation, die ein Problem aufwirft, die von dem mathematischen Modell adressiert werden soll * Dieses Problem wird inhaltlich erfasst, anschließend mathematisch Übersetzt (Betrachten von Gleichungen, Funktionen, Geometrischen Objekten,...) =====Modellbildungsschleife===== * Durch das Betrachten von mathematischen Objekten können über passende Operationen deduktiv Resultate geschlussfolgert werden * Diese Resultate werden mit der Realsituation abgeglichen * Aus dem Vergleich werden mögliche Optimierungen und Limitationen des Modells abgeleitet * Durch die Limitationen werden kann das Modell weiterentwickelt werden Diese Schritte können/müssen dabei mehrfach durchlaufen werden. =====Integration von Software===== Die Integration von computergestützter Software ist in der mathematischen Modellbildung definitionsgemäss nicht zwingend erforderlich, für die meisten anwendungsbezogenen Modellierungen jedoch unumgänglich. ==Konkretes Beispiel einer Mathematischen Modellbildung== [[Kurs:Mathematische_Modellbildung/Themen/Radioaktivit%C3%A4t_und_Risikoliteralit%C3%A4t]] [[Datei:Screenshot 2D Ansicht Resultate.png|miniatur|alternativtext=Ansicht der möglichen Auftreffpunkte des radioaktiven Niederschlags|Ansicht der möglichen Auftreffpunkte des radioaktiven Niederschlags]] [[File:Zeitliche Abhängigkeit der Risikofunktion.gif|thumb|Das GIF zeigt die Zeitliche Abhängigkeit der Risikofunktion]] === Ziel der Modellierung === Ziel in dieser Modellierung war es, ein Modell zur räumlichen und zeitlichen Ausbreitung einer radioaktiv belasteten Wolke, sowie dessen Rain-Out, infolge einer Reaktorkatastrophe am (mittlerweile abgeschalteten) Kernkraftwerk in Philippsburg zu beschreiben. Unter zu Hilfenahme von Messwerten von dem Reaktorunglück in Tschernobyl und den Halbwertszeiten des radioaktiven Materials wurde der zeitliche Zerfall erfasst. Der Transport von radioaktiven Material wurde durch eine Kugel im <math> \mathbb{R}^3 </math> modelliert. Diese bewegt sich gemäss einer variablen Windrichtung (gegeben durch Winkel <math> \alpha </math>) und regnet sich nach einer gewissen Durchschnittsdauer ab. === Endresultat === Es wurde in drei Modellbildungszyklen eine Funktion zur Beschreibung der radioaktiven Belastung (repräsentativ für das Risiko) abgeleitet: <math>u(x,y,t,\alpha)=\frac{1480\cdot e^{-\frac{ln(2)}{30a} \cdot t}}{1+\frac{7}{10.000}\cdot (x^2+y^2)}+\frac{40\cdot e^{-\frac{ln(2)}{30a} \cdot t}}{1+\frac{1}{7.500}\cdot ((x-1080cos(\alpha))^2+(y-1080sin(\alpha))^2)}</math> Letztlich erhält man also eine Funktion die in ihrem Ausgabewert <math>z=u(x,y,t,\alpha)</math> abhängig von 4 Eingabewerten <math>x, y, t, \alpha </math> ist. ==Modellbildung in der Schule== ===Einbindung in den Lehrplan=== Die mathematische Modellbildung ist stark in den Mathematik-Lehrplan für Schulen in Rheinland-Pfalz integriert (hier wird sich an dem Lehrplan für Sekundarstufe II orientiert <ref> Ministerium für Bildung, Wissensachft, Weiterbildung und Kultur (2015), Lehrplan Mathematik. Grund- und Leistungsfach in der gymnasialen Oberstufe (Mainzer Studienstufe) </ref>). Im Bezug zu Problemlösen im Mathematikunterricht und Mathematik im fachübergreifenden Kontext, sollen Anwendungsbeispiele Einzug halten, die Schülerinnen und Schülern aus anderen Fächern bekannt sind. In diesem Zusammenhang wird mathematische Modellbildung als Methode zur Lösung von solchen Anwendungsproblemen genannt. ===Konkreter Themenbezug=== Zu folgenden mathematischen Themengebieten wird explizit Mathematischen Modellbildung zur unterrichtlichen Umsetzung erwähnt: * Exponentialfunktionen (Wachstums- und Zerfallsprozesse) * Matrizenrechnung (zum Beispiel Input-Output-Analysen, Zustandsübergangsprozesse oder Populationsentwicklung) * Differential- und Integralrechnung (lineare oder logistische Wachstumsprozesse) ===Computereinsatz im Lehrplan=== Auch der Einsatz von computergestützten Hilfs- und Lösungsmitteln im Zuge der Modellbildung wird betont. (Bemerke: Auch im Lehrplan wird ein vergleichbarer Modellbildungszyklus vorgestellt und beschrieben. Bei Bedarf kann dieser auf Seite 15-16<ref> Ministerium für Bildung, Wissensachft, Weiterbildung und Kultur (2015), Lehrplan Mathematik. Grund- und Leistungsfach in der gymnasialen Oberstufe (Mainzer Studienstufe). </ref> nachgelesen werden) ===Zugang zur Bildung für Nachhaltigen Entwicklung=== Durch die Möglichkeit fachübergreifende Fragestellungen zu behandeln und Prozesse der Realität in den Blick zu nehmen, kann mathematische Modellbildung die Brücke zur Bildung für Nachhaltigen Entwicklung (BNE) schlagen. ====Bildung für Nachhaltige Entwicklung==== "Die BNE zielt grundsätzlich darauf ab, es jedem und jeder Einzelnen zu ermöglichen, die Folgen des eigenen Handelns auf die Welt sowie intra- und intergenerationell zu verstehen, verantwortungsvolle Entscheidungen zu treffen und aktiv zu werden." <ref> Ministerium für Bildung. Bildung für nachhaltige Entwicklung. Online abrufbar unter: https://bm.rlp.de/unsere-schwerpunkte/bildung-fuer-nachhaltige-entwicklung </ref> ====BNE und Modellbildung==== Mathematische Modellbildung kann unter praktischer Anwendung von gelernten Inhalten im Schulunterricht zu BNE beitragen, indem eben gezielt Probleme adressiert werden und von Schülerinnen und Schülern eigenständig untersucht werden. ==Ziel und Organisation des Seminars== ===Ziel und Aufgabe=== In Kleingruppen (3-4 Personen) sollen aussermathematische Fragestellungen mit einer eigenen mathematischen Modellbildung behandelt werden. Dazu sollen drei Modellbildungszyklen mit unterschiedlichem Grad an Vereinfachung und unterschiedlicher Mathematischen Grundlage erstellt werden: * Zyklus: Mathematik der Sekundarstufe 1 (Mittelstufe) * Zyklus: Mathematik der Sekundarstufe 2 (Oberstufe) * Zyklus: Universitätsmathematik ydvc ====Integration von Software==== In jedem Zyklus sollen computergestützte Untersuchungen und Betrachtungen Einzug erhalten. Somit bietet es sich an in insgesamt auch drei verschiedene Programme (Tabellenkalkulation, GeoGebra, RStudio, Maxima,...) zu integrieren - an manchen stellen lässt sich dies gar nicht vermeiden. ===Themenwahl=== Das Thema sollte einen weltlichen Bezug haben. Am besten eigenen sich Themen aus dem jeweiligen Zweitfach (s. Verbindung zu anderen Schulfächern im Lehrplan). Das Thema sollte nachhaltige Entwicklung im Rahmen der Sustainable Development Goals adressieren. Siehe dazu: https://www.bundesumweltministerium.de/themen/nachhaltigkeit/nachhaltigkeitsziele-sdgs Vorzugsweise: Räumliche Risikobetrachtungen in Desaster- und Katastrophenszenarien. Das Thema sollte sich nicht mit denen der vergangenen Semestern doppeln. Zur Orientierung und Inspiration finden sich hier die Projekte der vergangenen Semester: :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2026 Sommersemester|2026 Sommersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2025-26 Wintersemester|2025/26 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2024-25 Wintersemester|2024/25 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2023-24 Wintersemester|2023/24 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2022-23 Winteresemester|2022/23 Wintersemester]]''' ===Portfolio=== Während des Semesters soll in Gruppenarbeit die Modellbildung durchgeführt werden. Diese wird schriftlich in einem Portfolio festgehalten. Dies Portfolio wird, genau wie dieser Artikel auch, in einem Wikiversity Artikel dokumentiert. Dieser sollte folgendes enthalten: ====Inhalt Portfolio==== * Einleitung: Beschreibung und Einordnung des Themas & welche(s) SDG wird adressiert und warum? * Ziel der Modellierung: Welches Problem wird in der Modellierung / den einzelnen Zyklen konkret angegangen? * Zyklus 1-3: ** Mathematisches Modell (welche Mathematischen Objekte werden betrachtet, wie ergeben die sich,...) ** Ergebnisse (Ableiten von Resultaten aus dem Modell) ** Bewertung der Ergebnisse ** Grenzen und Limitationen ** Ausblick für nächsten Zyklus (welche Limitationen und Probleme aus dem Zyklus werden im folgenden adressiert?) ====Integration Computersoftware==== In allen Punkten der Modellzyklen können Programme computergestützte Tools verwendet werden. Zur Erstellung von Wiki-Seiten ist folgende Seite hilfreich: https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:Textgestaltung ===Prüfung=== Die Prüfung gliedert sich in zwei Aspekte: * '''Vorstellung von ausgewählten Teilen aus dem eigenen Portfolio''' - diese werden von den Prüfer:innen aus dem Portfolio der Studierenden ausgewählt. * '''Diskussion und Fragen''' der Prüfer:innen zu dem Portfolio, z.B. zu Teilen des Portfolios, die in der Vorstellung nicht behandelt werden können. Ein Portfolio kann aus Zeitgründen nie vollständig in der Prüfung dargestellt werden. ====Inhalt==== In der mündlichen Portfolio-Prüfung wird geprüft, ob * das eigene Modell verstanden ist, * das eigene Modell kritisch hinterfragt werden kann, * die Limitationen des Modells begründet und nachvollziehbar wiedergegeben werden können, * die Übergänge zwischen den Zyklen beschrieben und begründet werden können, * die technische Umsetzung reproduziert und erklärt werden kann, * ... . ====Präsentation==== Es ist also wichtig zu wissen, was wie an welcher Stelle und mit welchem Zweck in der Modellierung gemacht wurde! Das Portfolio (Wiki-Seite) wird somit konkret vorgestellt. Eine Präsentation des Portfolio kann automatisch mit Wiki2Reveal erstellt werden. === Unterstützungsangebot === * Das Unterstützungsangebot erfolgt in der Lehrveranstaltung zur "Mathematischen Modellbildung". * Eine individuelle Sonderbehandlung für einzelne Studierende, die das Angebot der Vorlesung nicht nutzen und kurz vor Prüfungsbeginn noch "schnell" ein Portfolio zusammenstellen wollen, ist aus zeitlichen Gründen kurz vor der Prüfung nicht möglich. * Portfolioprüfungen der Lehrveranstaltung beziehen sich immer auf das erstellte Portfolio im laufende Semester und bei Wiederholungsprüfungen auf das Semester, in dem Portfolio erstellt wurde. * Eine Prüfung kann nur zu dem eigenen erstellten Portfolio in der Lehrveranstaltung abgelegt werden, an dessen Erstellung man aktiv mitgearbeitet hat. ===Ablauf des Seminars=== Der Seminarablauf über das Semester gestaltet sich grob wie folgt: * 1. Woche (19.10.): Einführungsveranstaltung + Gruppenfindung * 2. Woche (26.10.): Themenfindung * 3. Woche (02.11.): Themenfindung + Zyklen festlegen * 4. Woche (09.11.): Zyklen festlegen * 5. Woche (16.11.): Kurzvorstellung der Themen und Zyklen (5 Minuten pro Gruppe) Ab Woche 6 (23.11.) bis Ende des Semesters wird gemeinsam an den Modellen und dem Portfolio gearbeitet. ====Zeitplan==== Empfehlenswert wäre es, die letzten 2-3 Wochen für Finalisierungsarbeiten zu nutzen und entsprechend frühzeitig zu planen! Ausschliesslich während der Seminarzeiten an dem Modell und Portfolio zu arbeiten wird nicht ausreichen! Die Kurzpräsentationen am 16.11. umfassen den aktuellen Stand der Überlegungen und sind noch unter keinen Umständen verbindlich. Stattdessen dient es einfach zur Grundlage von gemeinsamer Diskussion und zur Einbringung von weiteren Ideen. ==Hilfreiche Links== ===Fachmathematische Aspekte === Wenn man das Modellierungsproblem in den Mittelpunkt stellt und die Fragestellung den Nachhaltigkeitszielen der UN zuordnet, kommen z.T. fachmathematische Aspekte erforderlich, die nicht in der jeweiligen Schulstufe bzw. in den Vorlesungen behandelt wurden. Dies Kapitel erhält Hinweise zu fachmathematischen Bereichen, die für die mathematische Modellbildung ggf. als Werkzeug verwendet werden können * '''[[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]''' dienen dazu, Datenpunkte im <math>\R^2</math> oder allgemein im <math>\R^n</math> zu [[w:Interpolation_(Mathematik)|interpolieren]]. * '''[https://en.wikiversity.org/wiki/3D_Modelling 3D Modellierung für Projektinhalte]''' und [[w:Projektive_Geometrie|projektive Geometrie]] zur Visualisierung * '''[[Gradientenabstiegsverfahren]]''': Wird verwendet, um sich in der mathematischen Modellbildung iterativ einem Minimum einer Kosten- oder Fehlerfunktion anzunähern. * [[w:Lineare_Optimierung|'''Lineare Optimierung''']] wird in Optimierungshaufgaben wie beispielsweise bei der Suche nach Minimum der Produktionskosten verwendet. Hierbei wird in allgemeinem nach einem Minimium/Maximum einer linearer Zielfunktion über einer Menge gesucht. [https://www.geogebra.org/m/kr727992 '''Ein Beispiel in Geogebra'''] *[[Räumliche Diffusion|'''Räumliche Diffusion''']] *[[Modelle_der_Populationsdynamik|'''Modelle der Populationsdynamik''']] - [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Modelle%20der%20Populationsdynamik&author=Kurs:R%C3%A4umliche%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes (Wiki2Reveal-Folien)] - [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Stochastik/Wahrscheinlichkeitsdichte|Wahrscheinlichkeitsdichte]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Wahrscheinlichkeitsdichte&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wahrscheinlichkeitsdichte&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ===Softwarenutzung === Im PC-Praktikum wurden grundlegende Kenntnisse im Umgang mit Software erlangt, die für die Berechnung von mathematischen Modellen vorwendig sind. Diese Kenntnisse müssen ggf. auf das spezielle Modellierungsthema angepasst und erweitert werden. * '''[[CSV2Chart]]''' Aus CSV-Dateien mathematische Graphen in Wikiversity erstellen. * '''[[Maxima CAS]]''' enthält die verwendeten Werkzeuge und Kommandos eines Computeralgebrasystems (CAS), die die einzelnen Projekte in dem Modellbildungszyklus verwendet haben. * '''[https://sagecell.sagemath.org/ SageCell]''' Online-Umgebung zur Ausführung und Demonstration von Befehlen in R, Octave, Maxima, ... (Auswahl des Befehlssatzes auf der https://sagecell.sagemath.org/ SageCell-Seite] unten rechts auf dem Eingabefeld) * '''[[Statistikprogramm R]]''' enthält die verwendeten Werkzeuge und Kommandos, die für Berechnungen und Veranschaulichungen in den Projekten verwendet haben. * '''[[Tabellenkalkulation]]''' werden in Portfolios in der Regel verwendet, um Daten in den Portfolios aufzubereiten. * '''[[Octave]]''' wird in der Regel verwendet, um numerische Berechnung in der Mathematischen Modellbildung durchzuführen. * '''[[Geogebra]]''' ist eine Dynamische Geometriesoftware, die zur vektoriellen Veranschaulichung von räumlichen Modellierungsproblemen oder auch zur parametrisierten Darstellung von Funktionen verwendet wird (Beispiel: [https://www.geogebra.org/m/e9b349k9 Parkplatzlösung in Geogebra von Shrey T (2017)]). * '''[[w:Screencast|Screencast]]''': Ein Screencast ist eine Bildschirmaufnahme mit Audiokommentaren, die zeigt, wie man z.B. Software bedient. Ein Screencast ist eine Hilfestellung für Lernende, die sich noch nicht so gut mit einer bestimmten Software auskennen. :* [https://obsproject.com/ '''Open Broadcast Software (OBS)''' - Linux, Windows, MacOSX ] - [[Konvexkombination|Beispielvideo in Wikiversity]] * [[v:en:3D_Modelling|'''3D-Modellbildung''' (englisch)]] * '''[http://niebert.github.io/imgmap/ Online-ImageMap-Editor]''' - Anklickbare Bereiche in Wikiversity-Bildern erstellen. * '''[https://openlayers.org/en/latest/examples/heatmap-earthquakes.html HeatMaps]:''' Erstellung von [https://niebert.github.io/openlayer_heatmap HeatMaps mit einem Online-Editor] (Download [https://github.com/niebert/openlayer_heatmap/archive/master.zip Heatmap-Editor und Beispieldaten in Ordner <tt>/HeatMap</tt> in ZIP-Datei]) * '''[[Wiki2Reveal]]:''' Portfolio-Präsentationen direkt im Wikiversity erstellen. ===Editierungshilfen=== * [https://latexeditor.lagrida.com/ Online-Formel-Editor für LaTeX-Formeln]<ref>Lagrida Web-Portal (2021) Online-Latex-Formel-Editor mit Vorschau - URL: https://latexeditor.lagrida.com/ (accessed 2021/11/21))</ref> - die erzeugten Formeln müssen in einen MATH-Tag mit <kbd><math> ...</math></kbd> eingeschlossen werden bei der Seiteneditierung. * [https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:TeX Mathematische Formeln in Wikiversity] * Textgestaltung in Wikis: https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:Textgestaltung ==Wiki2Reveal== * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung2627|Kurs:Mathematische Modellbildung2627]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung2627&author=&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung2627&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] == Verweise == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2026-27%20Wintersemester&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2026-27%20Wintersemester&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung Kurs:Mathematische Modellbildung]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2026-27%20Wintersemester&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] ienuao8k8xq1arv6r5z9f5jal8r8op6 1116549 1116548 2026-10-17T08:46:30Z ~2026-55076-31 41992 /* Ziel und Aufgabe */ 1116549 wikitext text/x-wiki ==Begriffsklärung== === Was ist mathematische Modellbildung? === Ganz grob gesagt besteht Mathematische Modellierung oder auch Mathematische Modellbildung darin, reale Fragestellungen mit mathematischen Mitteln zu bearbeiten und sie auf diesem Wege zumindest teilweise zu beantworten<ref> Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., & Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. </ref>. === Was ist ein Modell? === Ein Modell ist dabei gegeben durch innere Scheinbilder oder Repräsentatonen, die nicht zum Bereich der äußeren Gegenstände, sondern zu Vorstellungen von einem solchen realen Gegenstand gehören und ihnen daher auch in gewissen Grenzen etwas Willkürliches anhaftet (Sinngemäß nach Hertz, zitiert von Ortlieb<ref> Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., & Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. </ref>). ==== Eigenschaften von Modellen ==== Somit lassen sich vereinfacht und verkürzt folgende Eigenschaften ableiten (Stachowiak, zitiert nach Saam <ref> Saam, N. J. (2009). Modellbildung. In Handbuch Methoden der Organisationsforschung: Quantitative und Qualitative Methoden (pp. 517-532). Wiesbaden: VS Verlag für Sozialwissenschaften. </ref>): * '''Abbildungsmerkmal:''' Modelle repräsentieren die Realität, existieren jedoch nicht in der Realität * '''Verkürzungsmerkmal:''' Modelle beschreiben das Objekt nicht exakt, sondern stets vereinfacht * '''Pragmatisches Merkmal:''' Modelle verfolgen einen gewissen Zweck: Sie ersetzen eine nicht abbildbare Realität um Fragestellungen zu beantwortbar zu machen ==== Typisches Beispiele ==== * Betrachtungen in der Physik (Federpendel, Bewegungsgesetze,...) - Physik und Mathematische Modellbildung sind sehr eng miteinander verwoben * Populationsdynamiken und Ausbreitugnsschemata in der Biologie (vgl. Lotka-Volterra Modell) * Bewegungsanalysen und Optimierungen in den Sportwissenschaften * Untersuchungen von Transport- und Umweltprozessen in Biologie, Chemie, Physik, Technik,... * Bedarfs- und Verbrauchs- und Verhaltensanalysen in Geisteswissenschaften === Mathematische Modelle === Mathematische Modelle werden gemessen und bewertet anhand <ref> Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., & Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. </ref>: * '''Zulässigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte in sich widerspruchsfrei sein. * '''Richtigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte im Vergleich mit der Realität keine Widersprüche zu offensichtlich richtigen Tatsachen aufweisen. * '''Zweckmäßigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte genau den Detailgrad beinhalten, den es zum Erfüllen des Zwecks benötigt, nicht mehr und nicht weniger. ==== Gegenbeispiele für mathematische Modelle ==== Gegenbeispiele wären: * Ein nicht zulässiges Modell könnte bei einer Betrachtung einer Punktmasse im Raum dennoch Luftwiederstände berücksichtigen (Punkte haben kein Volumen) * Ein nicht richtiges Modell könnte bei der Modellierung von Transportprozessen von Schadstoffen die Massenerhaltung vernachlässigen. * Ein nicht zweckmäßiges Modell könnte bei dem Versuch den perfekten Abwurfwinkel beim Speerwurf die Krümmung der Erdoberfläche berücksichtigen. ==== Bemerkung - Kriterien ==== Die Kriterien, insbesondere Richtigkeit und Zweckmäßigkeit, sind nicht 100% operational. Einerseits fordert die Richtigkeit, keine bekannten Tatsachen auszulassen, andererseits dürfen hinsichtlich einer passenden Zweckmäßigkeit auch nur ausreichend viele Details integriert werden. ==Der Modellbildungszyklus== Wie kommt man nun von einer Realen Situation, die ein Problem aufwirft zu einem adäquaten mathematischen Modell? Dazu hat sich als möglichst allgemeine Vorgehensweise der Modellbildungszyklus ergeben: [[Datei:Modellbildungszyklus Mod6.png|miniatur|Modellbildungszyklus]] ===Verlauf des MBZ === Der Modellbildungszyklus beschreibt schematisch die iterative Erstellung einer mathematischen Modellbildung: * Ausgangspunkt ist eine reale Situation, die ein Problem aufwirft, die von dem mathematischen Modell adressiert werden soll * Dieses Problem wird inhaltlich erfasst, anschließend mathematisch Übersetzt (Betrachten von Gleichungen, Funktionen, Geometrischen Objekten,...) =====Modellbildungsschleife===== * Durch das Betrachten von mathematischen Objekten können über passende Operationen deduktiv Resultate geschlussfolgert werden * Diese Resultate werden mit der Realsituation abgeglichen * Aus dem Vergleich werden mögliche Optimierungen und Limitationen des Modells abgeleitet * Durch die Limitationen werden kann das Modell weiterentwickelt werden Diese Schritte können/müssen dabei mehrfach durchlaufen werden. =====Integration von Software===== Die Integration von computergestützter Software ist in der mathematischen Modellbildung definitionsgemäss nicht zwingend erforderlich, für die meisten anwendungsbezogenen Modellierungen jedoch unumgänglich. ==Konkretes Beispiel einer Mathematischen Modellbildung== [[Kurs:Mathematische_Modellbildung/Themen/Radioaktivit%C3%A4t_und_Risikoliteralit%C3%A4t]] [[Datei:Screenshot 2D Ansicht Resultate.png|miniatur|alternativtext=Ansicht der möglichen Auftreffpunkte des radioaktiven Niederschlags|Ansicht der möglichen Auftreffpunkte des radioaktiven Niederschlags]] [[File:Zeitliche Abhängigkeit der Risikofunktion.gif|thumb|Das GIF zeigt die Zeitliche Abhängigkeit der Risikofunktion]] === Ziel der Modellierung === Ziel in dieser Modellierung war es, ein Modell zur räumlichen und zeitlichen Ausbreitung einer radioaktiv belasteten Wolke, sowie dessen Rain-Out, infolge einer Reaktorkatastrophe am (mittlerweile abgeschalteten) Kernkraftwerk in Philippsburg zu beschreiben. Unter zu Hilfenahme von Messwerten von dem Reaktorunglück in Tschernobyl und den Halbwertszeiten des radioaktiven Materials wurde der zeitliche Zerfall erfasst. Der Transport von radioaktiven Material wurde durch eine Kugel im <math> \mathbb{R}^3 </math> modelliert. Diese bewegt sich gemäss einer variablen Windrichtung (gegeben durch Winkel <math> \alpha </math>) und regnet sich nach einer gewissen Durchschnittsdauer ab. === Endresultat === Es wurde in drei Modellbildungszyklen eine Funktion zur Beschreibung der radioaktiven Belastung (repräsentativ für das Risiko) abgeleitet: <math>u(x,y,t,\alpha)=\frac{1480\cdot e^{-\frac{ln(2)}{30a} \cdot t}}{1+\frac{7}{10.000}\cdot (x^2+y^2)}+\frac{40\cdot e^{-\frac{ln(2)}{30a} \cdot t}}{1+\frac{1}{7.500}\cdot ((x-1080cos(\alpha))^2+(y-1080sin(\alpha))^2)}</math> Letztlich erhält man also eine Funktion die in ihrem Ausgabewert <math>z=u(x,y,t,\alpha)</math> abhängig von 4 Eingabewerten <math>x, y, t, \alpha </math> ist. ==Modellbildung in der Schule== ===Einbindung in den Lehrplan=== Die mathematische Modellbildung ist stark in den Mathematik-Lehrplan für Schulen in Rheinland-Pfalz integriert (hier wird sich an dem Lehrplan für Sekundarstufe II orientiert <ref> Ministerium für Bildung, Wissensachft, Weiterbildung und Kultur (2015), Lehrplan Mathematik. Grund- und Leistungsfach in der gymnasialen Oberstufe (Mainzer Studienstufe) </ref>). Im Bezug zu Problemlösen im Mathematikunterricht und Mathematik im fachübergreifenden Kontext, sollen Anwendungsbeispiele Einzug halten, die Schülerinnen und Schülern aus anderen Fächern bekannt sind. In diesem Zusammenhang wird mathematische Modellbildung als Methode zur Lösung von solchen Anwendungsproblemen genannt. ===Konkreter Themenbezug=== Zu folgenden mathematischen Themengebieten wird explizit Mathematischen Modellbildung zur unterrichtlichen Umsetzung erwähnt: * Exponentialfunktionen (Wachstums- und Zerfallsprozesse) * Matrizenrechnung (zum Beispiel Input-Output-Analysen, Zustandsübergangsprozesse oder Populationsentwicklung) * Differential- und Integralrechnung (lineare oder logistische Wachstumsprozesse) ===Computereinsatz im Lehrplan=== Auch der Einsatz von computergestützten Hilfs- und Lösungsmitteln im Zuge der Modellbildung wird betont. (Bemerke: Auch im Lehrplan wird ein vergleichbarer Modellbildungszyklus vorgestellt und beschrieben. Bei Bedarf kann dieser auf Seite 15-16<ref> Ministerium für Bildung, Wissensachft, Weiterbildung und Kultur (2015), Lehrplan Mathematik. Grund- und Leistungsfach in der gymnasialen Oberstufe (Mainzer Studienstufe). </ref> nachgelesen werden) ===Zugang zur Bildung für Nachhaltigen Entwicklung=== Durch die Möglichkeit fachübergreifende Fragestellungen zu behandeln und Prozesse der Realität in den Blick zu nehmen, kann mathematische Modellbildung die Brücke zur Bildung für Nachhaltigen Entwicklung (BNE) schlagen. ====Bildung für Nachhaltige Entwicklung==== "Die BNE zielt grundsätzlich darauf ab, es jedem und jeder Einzelnen zu ermöglichen, die Folgen des eigenen Handelns auf die Welt sowie intra- und intergenerationell zu verstehen, verantwortungsvolle Entscheidungen zu treffen und aktiv zu werden." <ref> Ministerium für Bildung. Bildung für nachhaltige Entwicklung. Online abrufbar unter: https://bm.rlp.de/unsere-schwerpunkte/bildung-fuer-nachhaltige-entwicklung </ref> ====BNE und Modellbildung==== Mathematische Modellbildung kann unter praktischer Anwendung von gelernten Inhalten im Schulunterricht zu BNE beitragen, indem eben gezielt Probleme adressiert werden und von Schülerinnen und Schülern eigenständig untersucht werden. ==Ziel und Organisation des Seminars== ===Ziel und Aufgabe=== In Kleingruppen (3-4 Personen) sollen aussermathematische Fragestellungen mit einer eigenen mathematischen Modellbildung behandelt werden. Dazu sollen drei Modellbildungszyklen mit unterschiedlichem Grad an Vereinfachung und unterschiedlicher Mathematischen Grundlage erstellt werden: * Zyklus: Mathematik der Sekundarstufe 1 (Mittelstufe) * Zyklus: Mathematik der Sekundarstufe 2 (Oberstufe) * Zyklus: Universitätsmathematik Entsprechend soll sich die Mathematik in der Modellierung steigern. ====Integration von Software==== In jedem Zyklus sollen computergestützte Untersuchungen und Betrachtungen Einzug erhalten. Somit bietet es sich an in insgesamt auch drei verschiedene Programme (Tabellenkalkulation, GeoGebra, RStudio, Maxima,...) zu integrieren - an manchen stellen lässt sich dies gar nicht vermeiden. ===Themenwahl=== Das Thema sollte einen weltlichen Bezug haben. Am besten eigenen sich Themen aus dem jeweiligen Zweitfach (s. Verbindung zu anderen Schulfächern im Lehrplan). Das Thema sollte nachhaltige Entwicklung im Rahmen der Sustainable Development Goals adressieren. Siehe dazu: https://www.bundesumweltministerium.de/themen/nachhaltigkeit/nachhaltigkeitsziele-sdgs Vorzugsweise: Räumliche Risikobetrachtungen in Desaster- und Katastrophenszenarien. Das Thema sollte sich nicht mit denen der vergangenen Semestern doppeln. Zur Orientierung und Inspiration finden sich hier die Projekte der vergangenen Semester: :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2026 Sommersemester|2026 Sommersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2025-26 Wintersemester|2025/26 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2024-25 Wintersemester|2024/25 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2023-24 Wintersemester|2023/24 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2022-23 Winteresemester|2022/23 Wintersemester]]''' ===Portfolio=== Während des Semesters soll in Gruppenarbeit die Modellbildung durchgeführt werden. Diese wird schriftlich in einem Portfolio festgehalten. Dies Portfolio wird, genau wie dieser Artikel auch, in einem Wikiversity Artikel dokumentiert. Dieser sollte folgendes enthalten: ====Inhalt Portfolio==== * Einleitung: Beschreibung und Einordnung des Themas & welche(s) SDG wird adressiert und warum? * Ziel der Modellierung: Welches Problem wird in der Modellierung / den einzelnen Zyklen konkret angegangen? * Zyklus 1-3: ** Mathematisches Modell (welche Mathematischen Objekte werden betrachtet, wie ergeben die sich,...) ** Ergebnisse (Ableiten von Resultaten aus dem Modell) ** Bewertung der Ergebnisse ** Grenzen und Limitationen ** Ausblick für nächsten Zyklus (welche Limitationen und Probleme aus dem Zyklus werden im folgenden adressiert?) ====Integration Computersoftware==== In allen Punkten der Modellzyklen können Programme computergestützte Tools verwendet werden. Zur Erstellung von Wiki-Seiten ist folgende Seite hilfreich: https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:Textgestaltung ===Prüfung=== Die Prüfung gliedert sich in zwei Aspekte: * '''Vorstellung von ausgewählten Teilen aus dem eigenen Portfolio''' - diese werden von den Prüfer:innen aus dem Portfolio der Studierenden ausgewählt. * '''Diskussion und Fragen''' der Prüfer:innen zu dem Portfolio, z.B. zu Teilen des Portfolios, die in der Vorstellung nicht behandelt werden können. Ein Portfolio kann aus Zeitgründen nie vollständig in der Prüfung dargestellt werden. ====Inhalt==== In der mündlichen Portfolio-Prüfung wird geprüft, ob * das eigene Modell verstanden ist, * das eigene Modell kritisch hinterfragt werden kann, * die Limitationen des Modells begründet und nachvollziehbar wiedergegeben werden können, * die Übergänge zwischen den Zyklen beschrieben und begründet werden können, * die technische Umsetzung reproduziert und erklärt werden kann, * ... . ====Präsentation==== Es ist also wichtig zu wissen, was wie an welcher Stelle und mit welchem Zweck in der Modellierung gemacht wurde! Das Portfolio (Wiki-Seite) wird somit konkret vorgestellt. Eine Präsentation des Portfolio kann automatisch mit Wiki2Reveal erstellt werden. === Unterstützungsangebot === * Das Unterstützungsangebot erfolgt in der Lehrveranstaltung zur "Mathematischen Modellbildung". * Eine individuelle Sonderbehandlung für einzelne Studierende, die das Angebot der Vorlesung nicht nutzen und kurz vor Prüfungsbeginn noch "schnell" ein Portfolio zusammenstellen wollen, ist aus zeitlichen Gründen kurz vor der Prüfung nicht möglich. * Portfolioprüfungen der Lehrveranstaltung beziehen sich immer auf das erstellte Portfolio im laufende Semester und bei Wiederholungsprüfungen auf das Semester, in dem Portfolio erstellt wurde. * Eine Prüfung kann nur zu dem eigenen erstellten Portfolio in der Lehrveranstaltung abgelegt werden, an dessen Erstellung man aktiv mitgearbeitet hat. ===Ablauf des Seminars=== Der Seminarablauf über das Semester gestaltet sich grob wie folgt: * 1. Woche (19.10.): Einführungsveranstaltung + Gruppenfindung * 2. Woche (26.10.): Themenfindung * 3. Woche (02.11.): Themenfindung + Zyklen festlegen * 4. Woche (09.11.): Zyklen festlegen * 5. Woche (16.11.): Kurzvorstellung der Themen und Zyklen (5 Minuten pro Gruppe) Ab Woche 6 (23.11.) bis Ende des Semesters wird gemeinsam an den Modellen und dem Portfolio gearbeitet. ====Zeitplan==== Empfehlenswert wäre es, die letzten 2-3 Wochen für Finalisierungsarbeiten zu nutzen und entsprechend frühzeitig zu planen! Ausschliesslich während der Seminarzeiten an dem Modell und Portfolio zu arbeiten wird nicht ausreichen! Die Kurzpräsentationen am 16.11. umfassen den aktuellen Stand der Überlegungen und sind noch unter keinen Umständen verbindlich. Stattdessen dient es einfach zur Grundlage von gemeinsamer Diskussion und zur Einbringung von weiteren Ideen. ==Hilfreiche Links== ===Fachmathematische Aspekte === Wenn man das Modellierungsproblem in den Mittelpunkt stellt und die Fragestellung den Nachhaltigkeitszielen der UN zuordnet, kommen z.T. fachmathematische Aspekte erforderlich, die nicht in der jeweiligen Schulstufe bzw. in den Vorlesungen behandelt wurden. Dies Kapitel erhält Hinweise zu fachmathematischen Bereichen, die für die mathematische Modellbildung ggf. als Werkzeug verwendet werden können * '''[[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]''' dienen dazu, Datenpunkte im <math>\R^2</math> oder allgemein im <math>\R^n</math> zu [[w:Interpolation_(Mathematik)|interpolieren]]. * '''[https://en.wikiversity.org/wiki/3D_Modelling 3D Modellierung für Projektinhalte]''' und [[w:Projektive_Geometrie|projektive Geometrie]] zur Visualisierung * '''[[Gradientenabstiegsverfahren]]''': Wird verwendet, um sich in der mathematischen Modellbildung iterativ einem Minimum einer Kosten- oder Fehlerfunktion anzunähern. * [[w:Lineare_Optimierung|'''Lineare Optimierung''']] wird in Optimierungshaufgaben wie beispielsweise bei der Suche nach Minimum der Produktionskosten verwendet. Hierbei wird in allgemeinem nach einem Minimium/Maximum einer linearer Zielfunktion über einer Menge gesucht. [https://www.geogebra.org/m/kr727992 '''Ein Beispiel in Geogebra'''] *[[Räumliche Diffusion|'''Räumliche Diffusion''']] *[[Modelle_der_Populationsdynamik|'''Modelle der Populationsdynamik''']] - [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Modelle%20der%20Populationsdynamik&author=Kurs:R%C3%A4umliche%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes (Wiki2Reveal-Folien)] - [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Stochastik/Wahrscheinlichkeitsdichte|Wahrscheinlichkeitsdichte]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Wahrscheinlichkeitsdichte&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wahrscheinlichkeitsdichte&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ===Softwarenutzung === Im PC-Praktikum wurden grundlegende Kenntnisse im Umgang mit Software erlangt, die für die Berechnung von mathematischen Modellen vorwendig sind. Diese Kenntnisse müssen ggf. auf das spezielle Modellierungsthema angepasst und erweitert werden. * '''[[CSV2Chart]]''' Aus CSV-Dateien mathematische Graphen in Wikiversity erstellen. * '''[[Maxima CAS]]''' enthält die verwendeten Werkzeuge und Kommandos eines Computeralgebrasystems (CAS), die die einzelnen Projekte in dem Modellbildungszyklus verwendet haben. * '''[https://sagecell.sagemath.org/ SageCell]''' Online-Umgebung zur Ausführung und Demonstration von Befehlen in R, Octave, Maxima, ... (Auswahl des Befehlssatzes auf der https://sagecell.sagemath.org/ SageCell-Seite] unten rechts auf dem Eingabefeld) * '''[[Statistikprogramm R]]''' enthält die verwendeten Werkzeuge und Kommandos, die für Berechnungen und Veranschaulichungen in den Projekten verwendet haben. * '''[[Tabellenkalkulation]]''' werden in Portfolios in der Regel verwendet, um Daten in den Portfolios aufzubereiten. * '''[[Octave]]''' wird in der Regel verwendet, um numerische Berechnung in der Mathematischen Modellbildung durchzuführen. * '''[[Geogebra]]''' ist eine Dynamische Geometriesoftware, die zur vektoriellen Veranschaulichung von räumlichen Modellierungsproblemen oder auch zur parametrisierten Darstellung von Funktionen verwendet wird (Beispiel: [https://www.geogebra.org/m/e9b349k9 Parkplatzlösung in Geogebra von Shrey T (2017)]). * '''[[w:Screencast|Screencast]]''': Ein Screencast ist eine Bildschirmaufnahme mit Audiokommentaren, die zeigt, wie man z.B. Software bedient. Ein Screencast ist eine Hilfestellung für Lernende, die sich noch nicht so gut mit einer bestimmten Software auskennen. :* [https://obsproject.com/ '''Open Broadcast Software (OBS)''' - Linux, Windows, MacOSX ] - [[Konvexkombination|Beispielvideo in Wikiversity]] * [[v:en:3D_Modelling|'''3D-Modellbildung''' (englisch)]] * '''[http://niebert.github.io/imgmap/ Online-ImageMap-Editor]''' - Anklickbare Bereiche in Wikiversity-Bildern erstellen. * '''[https://openlayers.org/en/latest/examples/heatmap-earthquakes.html HeatMaps]:''' Erstellung von [https://niebert.github.io/openlayer_heatmap HeatMaps mit einem Online-Editor] (Download [https://github.com/niebert/openlayer_heatmap/archive/master.zip Heatmap-Editor und Beispieldaten in Ordner <tt>/HeatMap</tt> in ZIP-Datei]) * '''[[Wiki2Reveal]]:''' Portfolio-Präsentationen direkt im Wikiversity erstellen. ===Editierungshilfen=== * [https://latexeditor.lagrida.com/ Online-Formel-Editor für LaTeX-Formeln]<ref>Lagrida Web-Portal (2021) Online-Latex-Formel-Editor mit Vorschau - URL: https://latexeditor.lagrida.com/ (accessed 2021/11/21))</ref> - die erzeugten Formeln müssen in einen MATH-Tag mit <kbd><math> ...</math></kbd> eingeschlossen werden bei der Seiteneditierung. * [https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:TeX Mathematische Formeln in Wikiversity] * Textgestaltung in Wikis: https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:Textgestaltung ==Wiki2Reveal== * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung2627|Kurs:Mathematische Modellbildung2627]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung2627&author=&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung2627&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] == Verweise == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2026-27%20Wintersemester&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2026-27%20Wintersemester&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung Kurs:Mathematische Modellbildung]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2026-27%20Wintersemester&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 96wlvz31nfs57y0mvcrteqggkjwb8xx 1116550 1116549 2026-10-17T08:48:24Z ~2026-55076-31 41992 /* Der Modellbildungszyklus */ 1116550 wikitext text/x-wiki ==Begriffsklärung== === Was ist mathematische Modellbildung? === Ganz grob gesagt besteht Mathematische Modellierung oder auch Mathematische Modellbildung darin, reale Fragestellungen mit mathematischen Mitteln zu bearbeiten und sie auf diesem Wege zumindest teilweise zu beantworten<ref> Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., & Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. </ref>. === Was ist ein Modell? === Ein Modell ist dabei gegeben durch innere Scheinbilder oder Repräsentatonen, die nicht zum Bereich der äußeren Gegenstände, sondern zu Vorstellungen von einem solchen realen Gegenstand gehören und ihnen daher auch in gewissen Grenzen etwas Willkürliches anhaftet (Sinngemäß nach Hertz, zitiert von Ortlieb<ref> Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., & Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. </ref>). ==== Eigenschaften von Modellen ==== Somit lassen sich vereinfacht und verkürzt folgende Eigenschaften ableiten (Stachowiak, zitiert nach Saam <ref> Saam, N. J. (2009). Modellbildung. In Handbuch Methoden der Organisationsforschung: Quantitative und Qualitative Methoden (pp. 517-532). Wiesbaden: VS Verlag für Sozialwissenschaften. </ref>): * '''Abbildungsmerkmal:''' Modelle repräsentieren die Realität, existieren jedoch nicht in der Realität * '''Verkürzungsmerkmal:''' Modelle beschreiben das Objekt nicht exakt, sondern stets vereinfacht * '''Pragmatisches Merkmal:''' Modelle verfolgen einen gewissen Zweck: Sie ersetzen eine nicht abbildbare Realität um Fragestellungen zu beantwortbar zu machen ==== Typisches Beispiele ==== * Betrachtungen in der Physik (Federpendel, Bewegungsgesetze,...) - Physik und Mathematische Modellbildung sind sehr eng miteinander verwoben * Populationsdynamiken und Ausbreitugnsschemata in der Biologie (vgl. Lotka-Volterra Modell) * Bewegungsanalysen und Optimierungen in den Sportwissenschaften * Untersuchungen von Transport- und Umweltprozessen in Biologie, Chemie, Physik, Technik,... * Bedarfs- und Verbrauchs- und Verhaltensanalysen in Geisteswissenschaften === Mathematische Modelle === Mathematische Modelle werden gemessen und bewertet anhand <ref> Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., & Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. </ref>: * '''Zulässigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte in sich widerspruchsfrei sein. * '''Richtigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte im Vergleich mit der Realität keine Widersprüche zu offensichtlich richtigen Tatsachen aufweisen. * '''Zweckmäßigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte genau den Detailgrad beinhalten, den es zum Erfüllen des Zwecks benötigt, nicht mehr und nicht weniger. ==== Gegenbeispiele für mathematische Modelle ==== Gegenbeispiele wären: * Ein nicht zulässiges Modell könnte bei einer Betrachtung einer Punktmasse im Raum dennoch Luftwiederstände berücksichtigen (Punkte haben kein Volumen) * Ein nicht richtiges Modell könnte bei der Modellierung von Transportprozessen von Schadstoffen die Massenerhaltung vernachlässigen. * Ein nicht zweckmäßiges Modell könnte bei dem Versuch den perfekten Abwurfwinkel beim Speerwurf die Krümmung der Erdoberfläche berücksichtigen. ==== Bemerkung - Kriterien ==== Die Kriterien, insbesondere Richtigkeit und Zweckmäßigkeit, sind nicht 100% operational. Einerseits fordert die Richtigkeit, keine bekannten Tatsachen auszulassen, andererseits dürfen hinsichtlich einer passenden Zweckmäßigkeit auch nur ausreichend viele Details integriert werden. ==Der Modellbildungszyklus== Wie kommt man nun von einer Realen Situation, die ein Problem aufwirft zu einem adäquaten mathematischen Modell? Dazu hat sich als möglichst allgemeine Vorgehensweise der Modellbildungszyklus ergeben: [[Datei:Modellbildungszyklus Mod6.png|miniatur|Modellbildungszyklus]] ===Verlauf des MBZ === Der Modellbildungszyklus beschreibt schematisch die iterative Erstellung einer mathematischen Modellbildung: * Ausgangspunkt ist eine reale Situation, die ein Problem aufwirft, die von dem mathematischen Modell adressiert werden soll * Dieses Problem wird inhaltlich erfasst, anschließend mathematisch Übersetzt (Betrachten von Gleichungen, Funktionen, Geometrischen Objekten,...) - ====Modellbildungsschleife==== * Durch das Betrachten von mathematischen Objekten können über passende Operationen deduktiv Resultate geschlussfolgert werden * Diese Resultate werden mit der Realsituation abgeglichen * Aus dem Vergleich werden mögliche Optimierungen und Limitationen des Modells abgeleitet * Durch die Limitationen werden kann das Modell weiterentwickelt werden Diese Schritte können/müssen dabei mehrfach durchlaufen werden. =====Integration von Software===== Die Integration von computergestützter Software ist in der mathematischen Modellbildung definitionsgemäss nicht zwingend erforderlich, für die meisten anwendungsbezogenen Modellierungen jedoch unumgänglich. ==Konkretes Beispiel einer Mathematischen Modellbildung== [[Kurs:Mathematische_Modellbildung/Themen/Radioaktivit%C3%A4t_und_Risikoliteralit%C3%A4t]] [[Datei:Screenshot 2D Ansicht Resultate.png|miniatur|alternativtext=Ansicht der möglichen Auftreffpunkte des radioaktiven Niederschlags|Ansicht der möglichen Auftreffpunkte des radioaktiven Niederschlags]] [[File:Zeitliche Abhängigkeit der Risikofunktion.gif|thumb|Das GIF zeigt die Zeitliche Abhängigkeit der Risikofunktion]] === Ziel der Modellierung === Ziel in dieser Modellierung war es, ein Modell zur räumlichen und zeitlichen Ausbreitung einer radioaktiv belasteten Wolke, sowie dessen Rain-Out, infolge einer Reaktorkatastrophe am (mittlerweile abgeschalteten) Kernkraftwerk in Philippsburg zu beschreiben. Unter zu Hilfenahme von Messwerten von dem Reaktorunglück in Tschernobyl und den Halbwertszeiten des radioaktiven Materials wurde der zeitliche Zerfall erfasst. Der Transport von radioaktiven Material wurde durch eine Kugel im <math> \mathbb{R}^3 </math> modelliert. Diese bewegt sich gemäss einer variablen Windrichtung (gegeben durch Winkel <math> \alpha </math>) und regnet sich nach einer gewissen Durchschnittsdauer ab. === Endresultat === Es wurde in drei Modellbildungszyklen eine Funktion zur Beschreibung der radioaktiven Belastung (repräsentativ für das Risiko) abgeleitet: <math>u(x,y,t,\alpha)=\frac{1480\cdot e^{-\frac{ln(2)}{30a} \cdot t}}{1+\frac{7}{10.000}\cdot (x^2+y^2)}+\frac{40\cdot e^{-\frac{ln(2)}{30a} \cdot t}}{1+\frac{1}{7.500}\cdot ((x-1080cos(\alpha))^2+(y-1080sin(\alpha))^2)}</math> Letztlich erhält man also eine Funktion die in ihrem Ausgabewert <math>z=u(x,y,t,\alpha)</math> abhängig von 4 Eingabewerten <math>x, y, t, \alpha </math> ist. ==Modellbildung in der Schule== ===Einbindung in den Lehrplan=== Die mathematische Modellbildung ist stark in den Mathematik-Lehrplan für Schulen in Rheinland-Pfalz integriert (hier wird sich an dem Lehrplan für Sekundarstufe II orientiert <ref> Ministerium für Bildung, Wissensachft, Weiterbildung und Kultur (2015), Lehrplan Mathematik. Grund- und Leistungsfach in der gymnasialen Oberstufe (Mainzer Studienstufe) </ref>). Im Bezug zu Problemlösen im Mathematikunterricht und Mathematik im fachübergreifenden Kontext, sollen Anwendungsbeispiele Einzug halten, die Schülerinnen und Schülern aus anderen Fächern bekannt sind. In diesem Zusammenhang wird mathematische Modellbildung als Methode zur Lösung von solchen Anwendungsproblemen genannt. ===Konkreter Themenbezug=== Zu folgenden mathematischen Themengebieten wird explizit Mathematischen Modellbildung zur unterrichtlichen Umsetzung erwähnt: * Exponentialfunktionen (Wachstums- und Zerfallsprozesse) * Matrizenrechnung (zum Beispiel Input-Output-Analysen, Zustandsübergangsprozesse oder Populationsentwicklung) * Differential- und Integralrechnung (lineare oder logistische Wachstumsprozesse) ===Computereinsatz im Lehrplan=== Auch der Einsatz von computergestützten Hilfs- und Lösungsmitteln im Zuge der Modellbildung wird betont. (Bemerke: Auch im Lehrplan wird ein vergleichbarer Modellbildungszyklus vorgestellt und beschrieben. Bei Bedarf kann dieser auf Seite 15-16<ref> Ministerium für Bildung, Wissensachft, Weiterbildung und Kultur (2015), Lehrplan Mathematik. Grund- und Leistungsfach in der gymnasialen Oberstufe (Mainzer Studienstufe). </ref> nachgelesen werden) ===Zugang zur Bildung für Nachhaltigen Entwicklung=== Durch die Möglichkeit fachübergreifende Fragestellungen zu behandeln und Prozesse der Realität in den Blick zu nehmen, kann mathematische Modellbildung die Brücke zur Bildung für Nachhaltigen Entwicklung (BNE) schlagen. ====Bildung für Nachhaltige Entwicklung==== "Die BNE zielt grundsätzlich darauf ab, es jedem und jeder Einzelnen zu ermöglichen, die Folgen des eigenen Handelns auf die Welt sowie intra- und intergenerationell zu verstehen, verantwortungsvolle Entscheidungen zu treffen und aktiv zu werden." <ref> Ministerium für Bildung. Bildung für nachhaltige Entwicklung. Online abrufbar unter: https://bm.rlp.de/unsere-schwerpunkte/bildung-fuer-nachhaltige-entwicklung </ref> ====BNE und Modellbildung==== Mathematische Modellbildung kann unter praktischer Anwendung von gelernten Inhalten im Schulunterricht zu BNE beitragen, indem eben gezielt Probleme adressiert werden und von Schülerinnen und Schülern eigenständig untersucht werden. ==Ziel und Organisation des Seminars== ===Ziel und Aufgabe=== In Kleingruppen (3-4 Personen) sollen aussermathematische Fragestellungen mit einer eigenen mathematischen Modellbildung behandelt werden. Dazu sollen drei Modellbildungszyklen mit unterschiedlichem Grad an Vereinfachung und unterschiedlicher Mathematischen Grundlage erstellt werden: * Zyklus: Mathematik der Sekundarstufe 1 (Mittelstufe) * Zyklus: Mathematik der Sekundarstufe 2 (Oberstufe) * Zyklus: Universitätsmathematik Entsprechend soll sich die Mathematik in der Modellierung steigern. ====Integration von Software==== In jedem Zyklus sollen computergestützte Untersuchungen und Betrachtungen Einzug erhalten. Somit bietet es sich an in insgesamt auch drei verschiedene Programme (Tabellenkalkulation, GeoGebra, RStudio, Maxima,...) zu integrieren - an manchen stellen lässt sich dies gar nicht vermeiden. ===Themenwahl=== Das Thema sollte einen weltlichen Bezug haben. Am besten eigenen sich Themen aus dem jeweiligen Zweitfach (s. Verbindung zu anderen Schulfächern im Lehrplan). Das Thema sollte nachhaltige Entwicklung im Rahmen der Sustainable Development Goals adressieren. Siehe dazu: https://www.bundesumweltministerium.de/themen/nachhaltigkeit/nachhaltigkeitsziele-sdgs Vorzugsweise: Räumliche Risikobetrachtungen in Desaster- und Katastrophenszenarien. Das Thema sollte sich nicht mit denen der vergangenen Semestern doppeln. Zur Orientierung und Inspiration finden sich hier die Projekte der vergangenen Semester: :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2026 Sommersemester|2026 Sommersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2025-26 Wintersemester|2025/26 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2024-25 Wintersemester|2024/25 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2023-24 Wintersemester|2023/24 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2022-23 Winteresemester|2022/23 Wintersemester]]''' ===Portfolio=== Während des Semesters soll in Gruppenarbeit die Modellbildung durchgeführt werden. Diese wird schriftlich in einem Portfolio festgehalten. Dies Portfolio wird, genau wie dieser Artikel auch, in einem Wikiversity Artikel dokumentiert. Dieser sollte folgendes enthalten: ====Inhalt Portfolio==== * Einleitung: Beschreibung und Einordnung des Themas & welche(s) SDG wird adressiert und warum? * Ziel der Modellierung: Welches Problem wird in der Modellierung / den einzelnen Zyklen konkret angegangen? * Zyklus 1-3: ** Mathematisches Modell (welche Mathematischen Objekte werden betrachtet, wie ergeben die sich,...) ** Ergebnisse (Ableiten von Resultaten aus dem Modell) ** Bewertung der Ergebnisse ** Grenzen und Limitationen ** Ausblick für nächsten Zyklus (welche Limitationen und Probleme aus dem Zyklus werden im folgenden adressiert?) ====Integration Computersoftware==== In allen Punkten der Modellzyklen können Programme computergestützte Tools verwendet werden. Zur Erstellung von Wiki-Seiten ist folgende Seite hilfreich: https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:Textgestaltung ===Prüfung=== Die Prüfung gliedert sich in zwei Aspekte: * '''Vorstellung von ausgewählten Teilen aus dem eigenen Portfolio''' - diese werden von den Prüfer:innen aus dem Portfolio der Studierenden ausgewählt. * '''Diskussion und Fragen''' der Prüfer:innen zu dem Portfolio, z.B. zu Teilen des Portfolios, die in der Vorstellung nicht behandelt werden können. Ein Portfolio kann aus Zeitgründen nie vollständig in der Prüfung dargestellt werden. ====Inhalt==== In der mündlichen Portfolio-Prüfung wird geprüft, ob * das eigene Modell verstanden ist, * das eigene Modell kritisch hinterfragt werden kann, * die Limitationen des Modells begründet und nachvollziehbar wiedergegeben werden können, * die Übergänge zwischen den Zyklen beschrieben und begründet werden können, * die technische Umsetzung reproduziert und erklärt werden kann, * ... . ====Präsentation==== Es ist also wichtig zu wissen, was wie an welcher Stelle und mit welchem Zweck in der Modellierung gemacht wurde! Das Portfolio (Wiki-Seite) wird somit konkret vorgestellt. Eine Präsentation des Portfolio kann automatisch mit Wiki2Reveal erstellt werden. === Unterstützungsangebot === * Das Unterstützungsangebot erfolgt in der Lehrveranstaltung zur "Mathematischen Modellbildung". * Eine individuelle Sonderbehandlung für einzelne Studierende, die das Angebot der Vorlesung nicht nutzen und kurz vor Prüfungsbeginn noch "schnell" ein Portfolio zusammenstellen wollen, ist aus zeitlichen Gründen kurz vor der Prüfung nicht möglich. * Portfolioprüfungen der Lehrveranstaltung beziehen sich immer auf das erstellte Portfolio im laufende Semester und bei Wiederholungsprüfungen auf das Semester, in dem Portfolio erstellt wurde. * Eine Prüfung kann nur zu dem eigenen erstellten Portfolio in der Lehrveranstaltung abgelegt werden, an dessen Erstellung man aktiv mitgearbeitet hat. ===Ablauf des Seminars=== Der Seminarablauf über das Semester gestaltet sich grob wie folgt: * 1. Woche (19.10.): Einführungsveranstaltung + Gruppenfindung * 2. Woche (26.10.): Themenfindung * 3. Woche (02.11.): Themenfindung + Zyklen festlegen * 4. Woche (09.11.): Zyklen festlegen * 5. Woche (16.11.): Kurzvorstellung der Themen und Zyklen (5 Minuten pro Gruppe) Ab Woche 6 (23.11.) bis Ende des Semesters wird gemeinsam an den Modellen und dem Portfolio gearbeitet. ====Zeitplan==== Empfehlenswert wäre es, die letzten 2-3 Wochen für Finalisierungsarbeiten zu nutzen und entsprechend frühzeitig zu planen! Ausschliesslich während der Seminarzeiten an dem Modell und Portfolio zu arbeiten wird nicht ausreichen! Die Kurzpräsentationen am 16.11. umfassen den aktuellen Stand der Überlegungen und sind noch unter keinen Umständen verbindlich. Stattdessen dient es einfach zur Grundlage von gemeinsamer Diskussion und zur Einbringung von weiteren Ideen. ==Hilfreiche Links== ===Fachmathematische Aspekte === Wenn man das Modellierungsproblem in den Mittelpunkt stellt und die Fragestellung den Nachhaltigkeitszielen der UN zuordnet, kommen z.T. fachmathematische Aspekte erforderlich, die nicht in der jeweiligen Schulstufe bzw. in den Vorlesungen behandelt wurden. Dies Kapitel erhält Hinweise zu fachmathematischen Bereichen, die für die mathematische Modellbildung ggf. als Werkzeug verwendet werden können * '''[[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]''' dienen dazu, Datenpunkte im <math>\R^2</math> oder allgemein im <math>\R^n</math> zu [[w:Interpolation_(Mathematik)|interpolieren]]. * '''[https://en.wikiversity.org/wiki/3D_Modelling 3D Modellierung für Projektinhalte]''' und [[w:Projektive_Geometrie|projektive Geometrie]] zur Visualisierung * '''[[Gradientenabstiegsverfahren]]''': Wird verwendet, um sich in der mathematischen Modellbildung iterativ einem Minimum einer Kosten- oder Fehlerfunktion anzunähern. * [[w:Lineare_Optimierung|'''Lineare Optimierung''']] wird in Optimierungshaufgaben wie beispielsweise bei der Suche nach Minimum der Produktionskosten verwendet. Hierbei wird in allgemeinem nach einem Minimium/Maximum einer linearer Zielfunktion über einer Menge gesucht. [https://www.geogebra.org/m/kr727992 '''Ein Beispiel in Geogebra'''] *[[Räumliche Diffusion|'''Räumliche Diffusion''']] *[[Modelle_der_Populationsdynamik|'''Modelle der Populationsdynamik''']] - [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Modelle%20der%20Populationsdynamik&author=Kurs:R%C3%A4umliche%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes (Wiki2Reveal-Folien)] - [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Stochastik/Wahrscheinlichkeitsdichte|Wahrscheinlichkeitsdichte]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Wahrscheinlichkeitsdichte&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wahrscheinlichkeitsdichte&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ===Softwarenutzung === Im PC-Praktikum wurden grundlegende Kenntnisse im Umgang mit Software erlangt, die für die Berechnung von mathematischen Modellen vorwendig sind. Diese Kenntnisse müssen ggf. auf das spezielle Modellierungsthema angepasst und erweitert werden. * '''[[CSV2Chart]]''' Aus CSV-Dateien mathematische Graphen in Wikiversity erstellen. * '''[[Maxima CAS]]''' enthält die verwendeten Werkzeuge und Kommandos eines Computeralgebrasystems (CAS), die die einzelnen Projekte in dem Modellbildungszyklus verwendet haben. * '''[https://sagecell.sagemath.org/ SageCell]''' Online-Umgebung zur Ausführung und Demonstration von Befehlen in R, Octave, Maxima, ... (Auswahl des Befehlssatzes auf der https://sagecell.sagemath.org/ SageCell-Seite] unten rechts auf dem Eingabefeld) * '''[[Statistikprogramm R]]''' enthält die verwendeten Werkzeuge und Kommandos, die für Berechnungen und Veranschaulichungen in den Projekten verwendet haben. * '''[[Tabellenkalkulation]]''' werden in Portfolios in der Regel verwendet, um Daten in den Portfolios aufzubereiten. * '''[[Octave]]''' wird in der Regel verwendet, um numerische Berechnung in der Mathematischen Modellbildung durchzuführen. * '''[[Geogebra]]''' ist eine Dynamische Geometriesoftware, die zur vektoriellen Veranschaulichung von räumlichen Modellierungsproblemen oder auch zur parametrisierten Darstellung von Funktionen verwendet wird (Beispiel: [https://www.geogebra.org/m/e9b349k9 Parkplatzlösung in Geogebra von Shrey T (2017)]). * '''[[w:Screencast|Screencast]]''': Ein Screencast ist eine Bildschirmaufnahme mit Audiokommentaren, die zeigt, wie man z.B. Software bedient. Ein Screencast ist eine Hilfestellung für Lernende, die sich noch nicht so gut mit einer bestimmten Software auskennen. :* [https://obsproject.com/ '''Open Broadcast Software (OBS)''' - Linux, Windows, MacOSX ] - [[Konvexkombination|Beispielvideo in Wikiversity]] * [[v:en:3D_Modelling|'''3D-Modellbildung''' (englisch)]] * '''[http://niebert.github.io/imgmap/ Online-ImageMap-Editor]''' - Anklickbare Bereiche in Wikiversity-Bildern erstellen. * '''[https://openlayers.org/en/latest/examples/heatmap-earthquakes.html HeatMaps]:''' Erstellung von [https://niebert.github.io/openlayer_heatmap HeatMaps mit einem Online-Editor] (Download [https://github.com/niebert/openlayer_heatmap/archive/master.zip Heatmap-Editor und Beispieldaten in Ordner <tt>/HeatMap</tt> in ZIP-Datei]) * '''[[Wiki2Reveal]]:''' Portfolio-Präsentationen direkt im Wikiversity erstellen. ===Editierungshilfen=== * [https://latexeditor.lagrida.com/ Online-Formel-Editor für LaTeX-Formeln]<ref>Lagrida Web-Portal (2021) Online-Latex-Formel-Editor mit Vorschau - URL: https://latexeditor.lagrida.com/ (accessed 2021/11/21))</ref> - die erzeugten Formeln müssen in einen MATH-Tag mit <kbd><math> ...</math></kbd> eingeschlossen werden bei der Seiteneditierung. * [https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:TeX Mathematische Formeln in Wikiversity] * Textgestaltung in Wikis: https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:Textgestaltung ==Wiki2Reveal== * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung2627|Kurs:Mathematische Modellbildung2627]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung2627&author=&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung2627&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] == Verweise == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2026-27%20Wintersemester&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2026-27%20Wintersemester&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung Kurs:Mathematische Modellbildung]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2026-27%20Wintersemester&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] nlkvleg0kvol137culs9yxvqahdzmcy 1116551 1116550 2026-10-17T08:49:02Z ~2026-55076-31 41992 /* Verlauf des MBZ */ 1116551 wikitext text/x-wiki ==Begriffsklärung== === Was ist mathematische Modellbildung? === Ganz grob gesagt besteht Mathematische Modellierung oder auch Mathematische Modellbildung darin, reale Fragestellungen mit mathematischen Mitteln zu bearbeiten und sie auf diesem Wege zumindest teilweise zu beantworten<ref> Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., & Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. </ref>. === Was ist ein Modell? === Ein Modell ist dabei gegeben durch innere Scheinbilder oder Repräsentatonen, die nicht zum Bereich der äußeren Gegenstände, sondern zu Vorstellungen von einem solchen realen Gegenstand gehören und ihnen daher auch in gewissen Grenzen etwas Willkürliches anhaftet (Sinngemäß nach Hertz, zitiert von Ortlieb<ref> Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., & Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. </ref>). ==== Eigenschaften von Modellen ==== Somit lassen sich vereinfacht und verkürzt folgende Eigenschaften ableiten (Stachowiak, zitiert nach Saam <ref> Saam, N. J. (2009). Modellbildung. In Handbuch Methoden der Organisationsforschung: Quantitative und Qualitative Methoden (pp. 517-532). Wiesbaden: VS Verlag für Sozialwissenschaften. </ref>): * '''Abbildungsmerkmal:''' Modelle repräsentieren die Realität, existieren jedoch nicht in der Realität * '''Verkürzungsmerkmal:''' Modelle beschreiben das Objekt nicht exakt, sondern stets vereinfacht * '''Pragmatisches Merkmal:''' Modelle verfolgen einen gewissen Zweck: Sie ersetzen eine nicht abbildbare Realität um Fragestellungen zu beantwortbar zu machen ==== Typisches Beispiele ==== * Betrachtungen in der Physik (Federpendel, Bewegungsgesetze,...) - Physik und Mathematische Modellbildung sind sehr eng miteinander verwoben * Populationsdynamiken und Ausbreitugnsschemata in der Biologie (vgl. Lotka-Volterra Modell) * Bewegungsanalysen und Optimierungen in den Sportwissenschaften * Untersuchungen von Transport- und Umweltprozessen in Biologie, Chemie, Physik, Technik,... * Bedarfs- und Verbrauchs- und Verhaltensanalysen in Geisteswissenschaften === Mathematische Modelle === Mathematische Modelle werden gemessen und bewertet anhand <ref> Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., & Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. </ref>: * '''Zulässigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte in sich widerspruchsfrei sein. * '''Richtigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte im Vergleich mit der Realität keine Widersprüche zu offensichtlich richtigen Tatsachen aufweisen. * '''Zweckmäßigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte genau den Detailgrad beinhalten, den es zum Erfüllen des Zwecks benötigt, nicht mehr und nicht weniger. ==== Gegenbeispiele für mathematische Modelle ==== Gegenbeispiele wären: * Ein nicht zulässiges Modell könnte bei einer Betrachtung einer Punktmasse im Raum dennoch Luftwiederstände berücksichtigen (Punkte haben kein Volumen) * Ein nicht richtiges Modell könnte bei der Modellierung von Transportprozessen von Schadstoffen die Massenerhaltung vernachlässigen. * Ein nicht zweckmäßiges Modell könnte bei dem Versuch den perfekten Abwurfwinkel beim Speerwurf die Krümmung der Erdoberfläche berücksichtigen. ==== Bemerkung - Kriterien ==== Die Kriterien, insbesondere Richtigkeit und Zweckmäßigkeit, sind nicht 100% operational. Einerseits fordert die Richtigkeit, keine bekannten Tatsachen auszulassen, andererseits dürfen hinsichtlich einer passenden Zweckmäßigkeit auch nur ausreichend viele Details integriert werden. ==Der Modellbildungszyklus== Wie kommt man nun von einer Realen Situation, die ein Problem aufwirft zu einem adäquaten mathematischen Modell? Dazu hat sich als möglichst allgemeine Vorgehensweise der Modellbildungszyklus ergeben: [[Datei:Modellbildungszyklus Mod6.png|miniatur|Modellbildungszyklus]] ===Verlauf des MBZ === Der Modellbildungszyklus beschreibt schematisch die iterative Erstellung einer mathematischen Modellbildung: * Ausgangspunkt ist eine reale Situation, die ein Problem aufwirft, die von dem mathematischen Modell adressiert werden soll * Dieses Problem wird inhaltlich erfasst, anschließend mathematisch Übersetzt (Betrachten von Gleichungen, Funktionen, Geometrischen Objekten,...) ====Modellbildungsschleife==== * Durch das Betrachten von mathematischen Objekten können über passende Operationen deduktiv Resultate geschlussfolgert werden * Diese Resultate werden mit der Realsituation abgeglichen * Aus dem Vergleich werden mögliche Optimierungen und Limitationen des Modells abgeleitet * Durch die Limitationen werden kann das Modell weiterentwickelt werden Diese Schritte können/müssen dabei mehrfach durchlaufen werden. =====Integration von Software===== Die Integration von computergestützter Software ist in der mathematischen Modellbildung definitionsgemäss nicht zwingend erforderlich, für die meisten anwendungsbezogenen Modellierungen jedoch unumgänglich. ==Konkretes Beispiel einer Mathematischen Modellbildung== [[Kurs:Mathematische_Modellbildung/Themen/Radioaktivit%C3%A4t_und_Risikoliteralit%C3%A4t]] [[Datei:Screenshot 2D Ansicht Resultate.png|miniatur|alternativtext=Ansicht der möglichen Auftreffpunkte des radioaktiven Niederschlags|Ansicht der möglichen Auftreffpunkte des radioaktiven Niederschlags]] [[File:Zeitliche Abhängigkeit der Risikofunktion.gif|thumb|Das GIF zeigt die Zeitliche Abhängigkeit der Risikofunktion]] === Ziel der Modellierung === Ziel in dieser Modellierung war es, ein Modell zur räumlichen und zeitlichen Ausbreitung einer radioaktiv belasteten Wolke, sowie dessen Rain-Out, infolge einer Reaktorkatastrophe am (mittlerweile abgeschalteten) Kernkraftwerk in Philippsburg zu beschreiben. Unter zu Hilfenahme von Messwerten von dem Reaktorunglück in Tschernobyl und den Halbwertszeiten des radioaktiven Materials wurde der zeitliche Zerfall erfasst. Der Transport von radioaktiven Material wurde durch eine Kugel im <math> \mathbb{R}^3 </math> modelliert. Diese bewegt sich gemäss einer variablen Windrichtung (gegeben durch Winkel <math> \alpha </math>) und regnet sich nach einer gewissen Durchschnittsdauer ab. === Endresultat === Es wurde in drei Modellbildungszyklen eine Funktion zur Beschreibung der radioaktiven Belastung (repräsentativ für das Risiko) abgeleitet: <math>u(x,y,t,\alpha)=\frac{1480\cdot e^{-\frac{ln(2)}{30a} \cdot t}}{1+\frac{7}{10.000}\cdot (x^2+y^2)}+\frac{40\cdot e^{-\frac{ln(2)}{30a} \cdot t}}{1+\frac{1}{7.500}\cdot ((x-1080cos(\alpha))^2+(y-1080sin(\alpha))^2)}</math> Letztlich erhält man also eine Funktion die in ihrem Ausgabewert <math>z=u(x,y,t,\alpha)</math> abhängig von 4 Eingabewerten <math>x, y, t, \alpha </math> ist. ==Modellbildung in der Schule== ===Einbindung in den Lehrplan=== Die mathematische Modellbildung ist stark in den Mathematik-Lehrplan für Schulen in Rheinland-Pfalz integriert (hier wird sich an dem Lehrplan für Sekundarstufe II orientiert <ref> Ministerium für Bildung, Wissensachft, Weiterbildung und Kultur (2015), Lehrplan Mathematik. Grund- und Leistungsfach in der gymnasialen Oberstufe (Mainzer Studienstufe) </ref>). Im Bezug zu Problemlösen im Mathematikunterricht und Mathematik im fachübergreifenden Kontext, sollen Anwendungsbeispiele Einzug halten, die Schülerinnen und Schülern aus anderen Fächern bekannt sind. In diesem Zusammenhang wird mathematische Modellbildung als Methode zur Lösung von solchen Anwendungsproblemen genannt. ===Konkreter Themenbezug=== Zu folgenden mathematischen Themengebieten wird explizit Mathematischen Modellbildung zur unterrichtlichen Umsetzung erwähnt: * Exponentialfunktionen (Wachstums- und Zerfallsprozesse) * Matrizenrechnung (zum Beispiel Input-Output-Analysen, Zustandsübergangsprozesse oder Populationsentwicklung) * Differential- und Integralrechnung (lineare oder logistische Wachstumsprozesse) ===Computereinsatz im Lehrplan=== Auch der Einsatz von computergestützten Hilfs- und Lösungsmitteln im Zuge der Modellbildung wird betont. (Bemerke: Auch im Lehrplan wird ein vergleichbarer Modellbildungszyklus vorgestellt und beschrieben. Bei Bedarf kann dieser auf Seite 15-16<ref> Ministerium für Bildung, Wissensachft, Weiterbildung und Kultur (2015), Lehrplan Mathematik. Grund- und Leistungsfach in der gymnasialen Oberstufe (Mainzer Studienstufe). </ref> nachgelesen werden) ===Zugang zur Bildung für Nachhaltigen Entwicklung=== Durch die Möglichkeit fachübergreifende Fragestellungen zu behandeln und Prozesse der Realität in den Blick zu nehmen, kann mathematische Modellbildung die Brücke zur Bildung für Nachhaltigen Entwicklung (BNE) schlagen. ====Bildung für Nachhaltige Entwicklung==== "Die BNE zielt grundsätzlich darauf ab, es jedem und jeder Einzelnen zu ermöglichen, die Folgen des eigenen Handelns auf die Welt sowie intra- und intergenerationell zu verstehen, verantwortungsvolle Entscheidungen zu treffen und aktiv zu werden." <ref> Ministerium für Bildung. Bildung für nachhaltige Entwicklung. Online abrufbar unter: https://bm.rlp.de/unsere-schwerpunkte/bildung-fuer-nachhaltige-entwicklung </ref> ====BNE und Modellbildung==== Mathematische Modellbildung kann unter praktischer Anwendung von gelernten Inhalten im Schulunterricht zu BNE beitragen, indem eben gezielt Probleme adressiert werden und von Schülerinnen und Schülern eigenständig untersucht werden. ==Ziel und Organisation des Seminars== ===Ziel und Aufgabe=== In Kleingruppen (3-4 Personen) sollen aussermathematische Fragestellungen mit einer eigenen mathematischen Modellbildung behandelt werden. Dazu sollen drei Modellbildungszyklen mit unterschiedlichem Grad an Vereinfachung und unterschiedlicher Mathematischen Grundlage erstellt werden: * Zyklus: Mathematik der Sekundarstufe 1 (Mittelstufe) * Zyklus: Mathematik der Sekundarstufe 2 (Oberstufe) * Zyklus: Universitätsmathematik Entsprechend soll sich die Mathematik in der Modellierung steigern. ====Integration von Software==== In jedem Zyklus sollen computergestützte Untersuchungen und Betrachtungen Einzug erhalten. Somit bietet es sich an in insgesamt auch drei verschiedene Programme (Tabellenkalkulation, GeoGebra, RStudio, Maxima,...) zu integrieren - an manchen stellen lässt sich dies gar nicht vermeiden. ===Themenwahl=== Das Thema sollte einen weltlichen Bezug haben. Am besten eigenen sich Themen aus dem jeweiligen Zweitfach (s. Verbindung zu anderen Schulfächern im Lehrplan). Das Thema sollte nachhaltige Entwicklung im Rahmen der Sustainable Development Goals adressieren. Siehe dazu: https://www.bundesumweltministerium.de/themen/nachhaltigkeit/nachhaltigkeitsziele-sdgs Vorzugsweise: Räumliche Risikobetrachtungen in Desaster- und Katastrophenszenarien. Das Thema sollte sich nicht mit denen der vergangenen Semestern doppeln. Zur Orientierung und Inspiration finden sich hier die Projekte der vergangenen Semester: :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2026 Sommersemester|2026 Sommersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2025-26 Wintersemester|2025/26 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2024-25 Wintersemester|2024/25 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2023-24 Wintersemester|2023/24 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2022-23 Winteresemester|2022/23 Wintersemester]]''' ===Portfolio=== Während des Semesters soll in Gruppenarbeit die Modellbildung durchgeführt werden. Diese wird schriftlich in einem Portfolio festgehalten. Dies Portfolio wird, genau wie dieser Artikel auch, in einem Wikiversity Artikel dokumentiert. Dieser sollte folgendes enthalten: ====Inhalt Portfolio==== * Einleitung: Beschreibung und Einordnung des Themas & welche(s) SDG wird adressiert und warum? * Ziel der Modellierung: Welches Problem wird in der Modellierung / den einzelnen Zyklen konkret angegangen? * Zyklus 1-3: ** Mathematisches Modell (welche Mathematischen Objekte werden betrachtet, wie ergeben die sich,...) ** Ergebnisse (Ableiten von Resultaten aus dem Modell) ** Bewertung der Ergebnisse ** Grenzen und Limitationen ** Ausblick für nächsten Zyklus (welche Limitationen und Probleme aus dem Zyklus werden im folgenden adressiert?) ====Integration Computersoftware==== In allen Punkten der Modellzyklen können Programme computergestützte Tools verwendet werden. Zur Erstellung von Wiki-Seiten ist folgende Seite hilfreich: https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:Textgestaltung ===Prüfung=== Die Prüfung gliedert sich in zwei Aspekte: * '''Vorstellung von ausgewählten Teilen aus dem eigenen Portfolio''' - diese werden von den Prüfer:innen aus dem Portfolio der Studierenden ausgewählt. * '''Diskussion und Fragen''' der Prüfer:innen zu dem Portfolio, z.B. zu Teilen des Portfolios, die in der Vorstellung nicht behandelt werden können. Ein Portfolio kann aus Zeitgründen nie vollständig in der Prüfung dargestellt werden. ====Inhalt==== In der mündlichen Portfolio-Prüfung wird geprüft, ob * das eigene Modell verstanden ist, * das eigene Modell kritisch hinterfragt werden kann, * die Limitationen des Modells begründet und nachvollziehbar wiedergegeben werden können, * die Übergänge zwischen den Zyklen beschrieben und begründet werden können, * die technische Umsetzung reproduziert und erklärt werden kann, * ... . ====Präsentation==== Es ist also wichtig zu wissen, was wie an welcher Stelle und mit welchem Zweck in der Modellierung gemacht wurde! Das Portfolio (Wiki-Seite) wird somit konkret vorgestellt. Eine Präsentation des Portfolio kann automatisch mit Wiki2Reveal erstellt werden. === Unterstützungsangebot === * Das Unterstützungsangebot erfolgt in der Lehrveranstaltung zur "Mathematischen Modellbildung". * Eine individuelle Sonderbehandlung für einzelne Studierende, die das Angebot der Vorlesung nicht nutzen und kurz vor Prüfungsbeginn noch "schnell" ein Portfolio zusammenstellen wollen, ist aus zeitlichen Gründen kurz vor der Prüfung nicht möglich. * Portfolioprüfungen der Lehrveranstaltung beziehen sich immer auf das erstellte Portfolio im laufende Semester und bei Wiederholungsprüfungen auf das Semester, in dem Portfolio erstellt wurde. * Eine Prüfung kann nur zu dem eigenen erstellten Portfolio in der Lehrveranstaltung abgelegt werden, an dessen Erstellung man aktiv mitgearbeitet hat. ===Ablauf des Seminars=== Der Seminarablauf über das Semester gestaltet sich grob wie folgt: * 1. Woche (19.10.): Einführungsveranstaltung + Gruppenfindung * 2. Woche (26.10.): Themenfindung * 3. Woche (02.11.): Themenfindung + Zyklen festlegen * 4. Woche (09.11.): Zyklen festlegen * 5. Woche (16.11.): Kurzvorstellung der Themen und Zyklen (5 Minuten pro Gruppe) Ab Woche 6 (23.11.) bis Ende des Semesters wird gemeinsam an den Modellen und dem Portfolio gearbeitet. ====Zeitplan==== Empfehlenswert wäre es, die letzten 2-3 Wochen für Finalisierungsarbeiten zu nutzen und entsprechend frühzeitig zu planen! Ausschliesslich während der Seminarzeiten an dem Modell und Portfolio zu arbeiten wird nicht ausreichen! Die Kurzpräsentationen am 16.11. umfassen den aktuellen Stand der Überlegungen und sind noch unter keinen Umständen verbindlich. Stattdessen dient es einfach zur Grundlage von gemeinsamer Diskussion und zur Einbringung von weiteren Ideen. ==Hilfreiche Links== ===Fachmathematische Aspekte === Wenn man das Modellierungsproblem in den Mittelpunkt stellt und die Fragestellung den Nachhaltigkeitszielen der UN zuordnet, kommen z.T. fachmathematische Aspekte erforderlich, die nicht in der jeweiligen Schulstufe bzw. in den Vorlesungen behandelt wurden. Dies Kapitel erhält Hinweise zu fachmathematischen Bereichen, die für die mathematische Modellbildung ggf. als Werkzeug verwendet werden können * '''[[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]''' dienen dazu, Datenpunkte im <math>\R^2</math> oder allgemein im <math>\R^n</math> zu [[w:Interpolation_(Mathematik)|interpolieren]]. * '''[https://en.wikiversity.org/wiki/3D_Modelling 3D Modellierung für Projektinhalte]''' und [[w:Projektive_Geometrie|projektive Geometrie]] zur Visualisierung * '''[[Gradientenabstiegsverfahren]]''': Wird verwendet, um sich in der mathematischen Modellbildung iterativ einem Minimum einer Kosten- oder Fehlerfunktion anzunähern. * [[w:Lineare_Optimierung|'''Lineare Optimierung''']] wird in Optimierungshaufgaben wie beispielsweise bei der Suche nach Minimum der Produktionskosten verwendet. Hierbei wird in allgemeinem nach einem Minimium/Maximum einer linearer Zielfunktion über einer Menge gesucht. [https://www.geogebra.org/m/kr727992 '''Ein Beispiel in Geogebra'''] *[[Räumliche Diffusion|'''Räumliche Diffusion''']] *[[Modelle_der_Populationsdynamik|'''Modelle der Populationsdynamik''']] - [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Modelle%20der%20Populationsdynamik&author=Kurs:R%C3%A4umliche%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes (Wiki2Reveal-Folien)] - [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Stochastik/Wahrscheinlichkeitsdichte|Wahrscheinlichkeitsdichte]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Wahrscheinlichkeitsdichte&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wahrscheinlichkeitsdichte&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ===Softwarenutzung === Im PC-Praktikum wurden grundlegende Kenntnisse im Umgang mit Software erlangt, die für die Berechnung von mathematischen Modellen vorwendig sind. Diese Kenntnisse müssen ggf. auf das spezielle Modellierungsthema angepasst und erweitert werden. * '''[[CSV2Chart]]''' Aus CSV-Dateien mathematische Graphen in Wikiversity erstellen. * '''[[Maxima CAS]]''' enthält die verwendeten Werkzeuge und Kommandos eines Computeralgebrasystems (CAS), die die einzelnen Projekte in dem Modellbildungszyklus verwendet haben. * '''[https://sagecell.sagemath.org/ SageCell]''' Online-Umgebung zur Ausführung und Demonstration von Befehlen in R, Octave, Maxima, ... (Auswahl des Befehlssatzes auf der https://sagecell.sagemath.org/ SageCell-Seite] unten rechts auf dem Eingabefeld) * '''[[Statistikprogramm R]]''' enthält die verwendeten Werkzeuge und Kommandos, die für Berechnungen und Veranschaulichungen in den Projekten verwendet haben. * '''[[Tabellenkalkulation]]''' werden in Portfolios in der Regel verwendet, um Daten in den Portfolios aufzubereiten. * '''[[Octave]]''' wird in der Regel verwendet, um numerische Berechnung in der Mathematischen Modellbildung durchzuführen. * '''[[Geogebra]]''' ist eine Dynamische Geometriesoftware, die zur vektoriellen Veranschaulichung von räumlichen Modellierungsproblemen oder auch zur parametrisierten Darstellung von Funktionen verwendet wird (Beispiel: [https://www.geogebra.org/m/e9b349k9 Parkplatzlösung in Geogebra von Shrey T (2017)]). * '''[[w:Screencast|Screencast]]''': Ein Screencast ist eine Bildschirmaufnahme mit Audiokommentaren, die zeigt, wie man z.B. Software bedient. Ein Screencast ist eine Hilfestellung für Lernende, die sich noch nicht so gut mit einer bestimmten Software auskennen. :* [https://obsproject.com/ '''Open Broadcast Software (OBS)''' - Linux, Windows, MacOSX ] - [[Konvexkombination|Beispielvideo in Wikiversity]] * [[v:en:3D_Modelling|'''3D-Modellbildung''' (englisch)]] * '''[http://niebert.github.io/imgmap/ Online-ImageMap-Editor]''' - Anklickbare Bereiche in Wikiversity-Bildern erstellen. * '''[https://openlayers.org/en/latest/examples/heatmap-earthquakes.html HeatMaps]:''' Erstellung von [https://niebert.github.io/openlayer_heatmap HeatMaps mit einem Online-Editor] (Download [https://github.com/niebert/openlayer_heatmap/archive/master.zip Heatmap-Editor und Beispieldaten in Ordner <tt>/HeatMap</tt> in ZIP-Datei]) * '''[[Wiki2Reveal]]:''' Portfolio-Präsentationen direkt im Wikiversity erstellen. ===Editierungshilfen=== * [https://latexeditor.lagrida.com/ Online-Formel-Editor für LaTeX-Formeln]<ref>Lagrida Web-Portal (2021) Online-Latex-Formel-Editor mit Vorschau - URL: https://latexeditor.lagrida.com/ (accessed 2021/11/21))</ref> - die erzeugten Formeln müssen in einen MATH-Tag mit <kbd><math> ...</math></kbd> eingeschlossen werden bei der Seiteneditierung. * [https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:TeX Mathematische Formeln in Wikiversity] * Textgestaltung in Wikis: https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:Textgestaltung ==Wiki2Reveal== * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung2627|Kurs:Mathematische Modellbildung2627]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung2627&author=&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung2627&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] == Verweise == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2026-27%20Wintersemester&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2026-27%20Wintersemester&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung Kurs:Mathematische Modellbildung]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2026-27%20Wintersemester&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] neptqyvr8e72az1xhkro5obndnex5ug 1116552 1116551 2026-10-17T08:49:41Z ~2026-55076-31 41992 /* Endresultat */ 1116552 wikitext text/x-wiki ==Begriffsklärung== === Was ist mathematische Modellbildung? === Ganz grob gesagt besteht Mathematische Modellierung oder auch Mathematische Modellbildung darin, reale Fragestellungen mit mathematischen Mitteln zu bearbeiten und sie auf diesem Wege zumindest teilweise zu beantworten<ref> Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., & Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. </ref>. === Was ist ein Modell? === Ein Modell ist dabei gegeben durch innere Scheinbilder oder Repräsentatonen, die nicht zum Bereich der äußeren Gegenstände, sondern zu Vorstellungen von einem solchen realen Gegenstand gehören und ihnen daher auch in gewissen Grenzen etwas Willkürliches anhaftet (Sinngemäß nach Hertz, zitiert von Ortlieb<ref> Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., & Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. </ref>). ==== Eigenschaften von Modellen ==== Somit lassen sich vereinfacht und verkürzt folgende Eigenschaften ableiten (Stachowiak, zitiert nach Saam <ref> Saam, N. J. (2009). Modellbildung. In Handbuch Methoden der Organisationsforschung: Quantitative und Qualitative Methoden (pp. 517-532). Wiesbaden: VS Verlag für Sozialwissenschaften. </ref>): * '''Abbildungsmerkmal:''' Modelle repräsentieren die Realität, existieren jedoch nicht in der Realität * '''Verkürzungsmerkmal:''' Modelle beschreiben das Objekt nicht exakt, sondern stets vereinfacht * '''Pragmatisches Merkmal:''' Modelle verfolgen einen gewissen Zweck: Sie ersetzen eine nicht abbildbare Realität um Fragestellungen zu beantwortbar zu machen ==== Typisches Beispiele ==== * Betrachtungen in der Physik (Federpendel, Bewegungsgesetze,...) - Physik und Mathematische Modellbildung sind sehr eng miteinander verwoben * Populationsdynamiken und Ausbreitugnsschemata in der Biologie (vgl. Lotka-Volterra Modell) * Bewegungsanalysen und Optimierungen in den Sportwissenschaften * Untersuchungen von Transport- und Umweltprozessen in Biologie, Chemie, Physik, Technik,... * Bedarfs- und Verbrauchs- und Verhaltensanalysen in Geisteswissenschaften === Mathematische Modelle === Mathematische Modelle werden gemessen und bewertet anhand <ref> Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., & Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. </ref>: * '''Zulässigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte in sich widerspruchsfrei sein. * '''Richtigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte im Vergleich mit der Realität keine Widersprüche zu offensichtlich richtigen Tatsachen aufweisen. * '''Zweckmäßigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte genau den Detailgrad beinhalten, den es zum Erfüllen des Zwecks benötigt, nicht mehr und nicht weniger. ==== Gegenbeispiele für mathematische Modelle ==== Gegenbeispiele wären: * Ein nicht zulässiges Modell könnte bei einer Betrachtung einer Punktmasse im Raum dennoch Luftwiederstände berücksichtigen (Punkte haben kein Volumen) * Ein nicht richtiges Modell könnte bei der Modellierung von Transportprozessen von Schadstoffen die Massenerhaltung vernachlässigen. * Ein nicht zweckmäßiges Modell könnte bei dem Versuch den perfekten Abwurfwinkel beim Speerwurf die Krümmung der Erdoberfläche berücksichtigen. ==== Bemerkung - Kriterien ==== Die Kriterien, insbesondere Richtigkeit und Zweckmäßigkeit, sind nicht 100% operational. Einerseits fordert die Richtigkeit, keine bekannten Tatsachen auszulassen, andererseits dürfen hinsichtlich einer passenden Zweckmäßigkeit auch nur ausreichend viele Details integriert werden. ==Der Modellbildungszyklus== Wie kommt man nun von einer Realen Situation, die ein Problem aufwirft zu einem adäquaten mathematischen Modell? Dazu hat sich als möglichst allgemeine Vorgehensweise der Modellbildungszyklus ergeben: [[Datei:Modellbildungszyklus Mod6.png|miniatur|Modellbildungszyklus]] ===Verlauf des MBZ === Der Modellbildungszyklus beschreibt schematisch die iterative Erstellung einer mathematischen Modellbildung: * Ausgangspunkt ist eine reale Situation, die ein Problem aufwirft, die von dem mathematischen Modell adressiert werden soll * Dieses Problem wird inhaltlich erfasst, anschließend mathematisch Übersetzt (Betrachten von Gleichungen, Funktionen, Geometrischen Objekten,...) ====Modellbildungsschleife==== * Durch das Betrachten von mathematischen Objekten können über passende Operationen deduktiv Resultate geschlussfolgert werden * Diese Resultate werden mit der Realsituation abgeglichen * Aus dem Vergleich werden mögliche Optimierungen und Limitationen des Modells abgeleitet * Durch die Limitationen werden kann das Modell weiterentwickelt werden Diese Schritte können/müssen dabei mehrfach durchlaufen werden. =====Integration von Software===== Die Integration von computergestützter Software ist in der mathematischen Modellbildung definitionsgemäss nicht zwingend erforderlich, für die meisten anwendungsbezogenen Modellierungen jedoch unumgänglich. ==Konkretes Beispiel einer Mathematischen Modellbildung== [[Kurs:Mathematische_Modellbildung/Themen/Radioaktivit%C3%A4t_und_Risikoliteralit%C3%A4t]] [[Datei:Screenshot 2D Ansicht Resultate.png|miniatur|alternativtext=Ansicht der möglichen Auftreffpunkte des radioaktiven Niederschlags|Ansicht der möglichen Auftreffpunkte des radioaktiven Niederschlags]] [[File:Zeitliche Abhängigkeit der Risikofunktion.gif|thumb|Das GIF zeigt die Zeitliche Abhängigkeit der Risikofunktion]] === Ziel der Modellierung === Ziel in dieser Modellierung war es, ein Modell zur räumlichen und zeitlichen Ausbreitung einer radioaktiv belasteten Wolke, sowie dessen Rain-Out, infolge einer Reaktorkatastrophe am (mittlerweile abgeschalteten) Kernkraftwerk in Philippsburg zu beschreiben. Unter zu Hilfenahme von Messwerten von dem Reaktorunglück in Tschernobyl und den Halbwertszeiten des radioaktiven Materials wurde der zeitliche Zerfall erfasst. Der Transport von radioaktiven Material wurde durch eine Kugel im <math> \mathbb{R}^3 </math> modelliert. Diese bewegt sich gemäss einer variablen Windrichtung (gegeben durch Winkel <math> \alpha </math>) und regnet sich nach einer gewissen Durchschnittsdauer ab. === Endresultat === Es wurde in drei Modellbildungszyklen eine Funktion zur Beschreibung der radioaktiven Belastung (repräsentativ für das Risiko) abgeleitet: <math>u(x,y,t,\alpha)=\frac{1480\cdot e^{-\frac{ln(2)}{30a} \cdot t}}{1+\frac{7}{10.000}\cdot (x^2+y^2)}+\frac{40\cdot e^{-\frac{ln(2)}{30a} \cdot t}}{1+\frac{1}{7.500}\cdot ((x-1080cos(\alpha))^2+(y-1080sin(\alpha))^2)}</math> Letztlich erhält man also eine Funktion die in ihrem Ausgabewert <math>z=u(x,y,t,\alpha)</math> abhängig von 4 Eingabewerten <math>x, y, t, \alpha </math> ist. ==Modellbildung in der Schule== ===Einbindung in den Lehrplan=== Die mathematische Modellbildung ist stark in den Mathematik-Lehrplan für Schulen in Rheinland-Pfalz integriert (hier wird sich an dem Lehrplan für Sekundarstufe II orientiert <ref> Ministerium für Bildung, Wissensachft, Weiterbildung und Kultur (2015), Lehrplan Mathematik. Grund- und Leistungsfach in der gymnasialen Oberstufe (Mainzer Studienstufe) </ref>). Im Bezug zu Problemlösen im Mathematikunterricht und Mathematik im fachübergreifenden Kontext, sollen Anwendungsbeispiele Einzug halten, die Schülerinnen und Schülern aus anderen Fächern bekannt sind. In diesem Zusammenhang wird mathematische Modellbildung als Methode zur Lösung von solchen Anwendungsproblemen genannt. ===Konkreter Themenbezug=== Zu folgenden mathematischen Themengebieten wird explizit Mathematischen Modellbildung zur unterrichtlichen Umsetzung erwähnt: * Exponentialfunktionen (Wachstums- und Zerfallsprozesse) * Matrizenrechnung (zum Beispiel Input-Output-Analysen, Zustandsübergangsprozesse oder Populationsentwicklung) * Differential- und Integralrechnung (lineare oder logistische Wachstumsprozesse) ===Computereinsatz im Lehrplan=== Auch der Einsatz von computergestützten Hilfs- und Lösungsmitteln im Zuge der Modellbildung wird betont. (Bemerke: Auch im Lehrplan wird ein vergleichbarer Modellbildungszyklus vorgestellt und beschrieben. Bei Bedarf kann dieser auf Seite 15-16<ref> Ministerium für Bildung, Wissensachft, Weiterbildung und Kultur (2015), Lehrplan Mathematik. Grund- und Leistungsfach in der gymnasialen Oberstufe (Mainzer Studienstufe). </ref> nachgelesen werden) ===Zugang zur Bildung für Nachhaltigen Entwicklung=== Durch die Möglichkeit fachübergreifende Fragestellungen zu behandeln und Prozesse der Realität in den Blick zu nehmen, kann mathematische Modellbildung die Brücke zur Bildung für Nachhaltigen Entwicklung (BNE) schlagen. ====Bildung für Nachhaltige Entwicklung==== "Die BNE zielt grundsätzlich darauf ab, es jedem und jeder Einzelnen zu ermöglichen, die Folgen des eigenen Handelns auf die Welt sowie intra- und intergenerationell zu verstehen, verantwortungsvolle Entscheidungen zu treffen und aktiv zu werden." <ref> Ministerium für Bildung. Bildung für nachhaltige Entwicklung. Online abrufbar unter: https://bm.rlp.de/unsere-schwerpunkte/bildung-fuer-nachhaltige-entwicklung </ref> ====BNE und Modellbildung==== Mathematische Modellbildung kann unter praktischer Anwendung von gelernten Inhalten im Schulunterricht zu BNE beitragen, indem eben gezielt Probleme adressiert werden und von Schülerinnen und Schülern eigenständig untersucht werden. ==Ziel und Organisation des Seminars== ===Ziel und Aufgabe=== In Kleingruppen (3-4 Personen) sollen aussermathematische Fragestellungen mit einer eigenen mathematischen Modellbildung behandelt werden. Dazu sollen drei Modellbildungszyklen mit unterschiedlichem Grad an Vereinfachung und unterschiedlicher Mathematischen Grundlage erstellt werden: * Zyklus: Mathematik der Sekundarstufe 1 (Mittelstufe) * Zyklus: Mathematik der Sekundarstufe 2 (Oberstufe) * Zyklus: Universitätsmathematik Entsprechend soll sich die Mathematik in der Modellierung steigern. ====Integration von Software==== In jedem Zyklus sollen computergestützte Untersuchungen und Betrachtungen Einzug erhalten. Somit bietet es sich an in insgesamt auch drei verschiedene Programme (Tabellenkalkulation, GeoGebra, RStudio, Maxima,...) zu integrieren - an manchen stellen lässt sich dies gar nicht vermeiden. ===Themenwahl=== Das Thema sollte einen weltlichen Bezug haben. Am besten eigenen sich Themen aus dem jeweiligen Zweitfach (s. Verbindung zu anderen Schulfächern im Lehrplan). Das Thema sollte nachhaltige Entwicklung im Rahmen der Sustainable Development Goals adressieren. Siehe dazu: https://www.bundesumweltministerium.de/themen/nachhaltigkeit/nachhaltigkeitsziele-sdgs Vorzugsweise: Räumliche Risikobetrachtungen in Desaster- und Katastrophenszenarien. Das Thema sollte sich nicht mit denen der vergangenen Semestern doppeln. Zur Orientierung und Inspiration finden sich hier die Projekte der vergangenen Semester: :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2026 Sommersemester|2026 Sommersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2025-26 Wintersemester|2025/26 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2024-25 Wintersemester|2024/25 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2023-24 Wintersemester|2023/24 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2022-23 Winteresemester|2022/23 Wintersemester]]''' ===Portfolio=== Während des Semesters soll in Gruppenarbeit die Modellbildung durchgeführt werden. Diese wird schriftlich in einem Portfolio festgehalten. Dies Portfolio wird, genau wie dieser Artikel auch, in einem Wikiversity Artikel dokumentiert. Dieser sollte folgendes enthalten: ====Inhalt Portfolio==== * Einleitung: Beschreibung und Einordnung des Themas & welche(s) SDG wird adressiert und warum? * Ziel der Modellierung: Welches Problem wird in der Modellierung / den einzelnen Zyklen konkret angegangen? * Zyklus 1-3: ** Mathematisches Modell (welche Mathematischen Objekte werden betrachtet, wie ergeben die sich,...) ** Ergebnisse (Ableiten von Resultaten aus dem Modell) ** Bewertung der Ergebnisse ** Grenzen und Limitationen ** Ausblick für nächsten Zyklus (welche Limitationen und Probleme aus dem Zyklus werden im folgenden adressiert?) ====Integration Computersoftware==== In allen Punkten der Modellzyklen können Programme computergestützte Tools verwendet werden. Zur Erstellung von Wiki-Seiten ist folgende Seite hilfreich: https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:Textgestaltung ===Prüfung=== Die Prüfung gliedert sich in zwei Aspekte: * '''Vorstellung von ausgewählten Teilen aus dem eigenen Portfolio''' - diese werden von den Prüfer:innen aus dem Portfolio der Studierenden ausgewählt. * '''Diskussion und Fragen''' der Prüfer:innen zu dem Portfolio, z.B. zu Teilen des Portfolios, die in der Vorstellung nicht behandelt werden können. Ein Portfolio kann aus Zeitgründen nie vollständig in der Prüfung dargestellt werden. ====Inhalt==== In der mündlichen Portfolio-Prüfung wird geprüft, ob * das eigene Modell verstanden ist, * das eigene Modell kritisch hinterfragt werden kann, * die Limitationen des Modells begründet und nachvollziehbar wiedergegeben werden können, * die Übergänge zwischen den Zyklen beschrieben und begründet werden können, * die technische Umsetzung reproduziert und erklärt werden kann, * ... . ====Präsentation==== Es ist also wichtig zu wissen, was wie an welcher Stelle und mit welchem Zweck in der Modellierung gemacht wurde! Das Portfolio (Wiki-Seite) wird somit konkret vorgestellt. Eine Präsentation des Portfolio kann automatisch mit Wiki2Reveal erstellt werden. === Unterstützungsangebot === * Das Unterstützungsangebot erfolgt in der Lehrveranstaltung zur "Mathematischen Modellbildung". * Eine individuelle Sonderbehandlung für einzelne Studierende, die das Angebot der Vorlesung nicht nutzen und kurz vor Prüfungsbeginn noch "schnell" ein Portfolio zusammenstellen wollen, ist aus zeitlichen Gründen kurz vor der Prüfung nicht möglich. * Portfolioprüfungen der Lehrveranstaltung beziehen sich immer auf das erstellte Portfolio im laufende Semester und bei Wiederholungsprüfungen auf das Semester, in dem Portfolio erstellt wurde. * Eine Prüfung kann nur zu dem eigenen erstellten Portfolio in der Lehrveranstaltung abgelegt werden, an dessen Erstellung man aktiv mitgearbeitet hat. ===Ablauf des Seminars=== Der Seminarablauf über das Semester gestaltet sich grob wie folgt: * 1. Woche (19.10.): Einführungsveranstaltung + Gruppenfindung * 2. Woche (26.10.): Themenfindung * 3. Woche (02.11.): Themenfindung + Zyklen festlegen * 4. Woche (09.11.): Zyklen festlegen * 5. Woche (16.11.): Kurzvorstellung der Themen und Zyklen (5 Minuten pro Gruppe) Ab Woche 6 (23.11.) bis Ende des Semesters wird gemeinsam an den Modellen und dem Portfolio gearbeitet. ====Zeitplan==== Empfehlenswert wäre es, die letzten 2-3 Wochen für Finalisierungsarbeiten zu nutzen und entsprechend frühzeitig zu planen! Ausschliesslich während der Seminarzeiten an dem Modell und Portfolio zu arbeiten wird nicht ausreichen! Die Kurzpräsentationen am 16.11. umfassen den aktuellen Stand der Überlegungen und sind noch unter keinen Umständen verbindlich. Stattdessen dient es einfach zur Grundlage von gemeinsamer Diskussion und zur Einbringung von weiteren Ideen. ==Hilfreiche Links== ===Fachmathematische Aspekte === Wenn man das Modellierungsproblem in den Mittelpunkt stellt und die Fragestellung den Nachhaltigkeitszielen der UN zuordnet, kommen z.T. fachmathematische Aspekte erforderlich, die nicht in der jeweiligen Schulstufe bzw. in den Vorlesungen behandelt wurden. Dies Kapitel erhält Hinweise zu fachmathematischen Bereichen, die für die mathematische Modellbildung ggf. als Werkzeug verwendet werden können * '''[[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]''' dienen dazu, Datenpunkte im <math>\R^2</math> oder allgemein im <math>\R^n</math> zu [[w:Interpolation_(Mathematik)|interpolieren]]. * '''[https://en.wikiversity.org/wiki/3D_Modelling 3D Modellierung für Projektinhalte]''' und [[w:Projektive_Geometrie|projektive Geometrie]] zur Visualisierung * '''[[Gradientenabstiegsverfahren]]''': Wird verwendet, um sich in der mathematischen Modellbildung iterativ einem Minimum einer Kosten- oder Fehlerfunktion anzunähern. * [[w:Lineare_Optimierung|'''Lineare Optimierung''']] wird in Optimierungshaufgaben wie beispielsweise bei der Suche nach Minimum der Produktionskosten verwendet. Hierbei wird in allgemeinem nach einem Minimium/Maximum einer linearer Zielfunktion über einer Menge gesucht. [https://www.geogebra.org/m/kr727992 '''Ein Beispiel in Geogebra'''] *[[Räumliche Diffusion|'''Räumliche Diffusion''']] *[[Modelle_der_Populationsdynamik|'''Modelle der Populationsdynamik''']] - [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Modelle%20der%20Populationsdynamik&author=Kurs:R%C3%A4umliche%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes (Wiki2Reveal-Folien)] - [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Stochastik/Wahrscheinlichkeitsdichte|Wahrscheinlichkeitsdichte]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Wahrscheinlichkeitsdichte&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wahrscheinlichkeitsdichte&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ===Softwarenutzung === Im PC-Praktikum wurden grundlegende Kenntnisse im Umgang mit Software erlangt, die für die Berechnung von mathematischen Modellen vorwendig sind. Diese Kenntnisse müssen ggf. auf das spezielle Modellierungsthema angepasst und erweitert werden. * '''[[CSV2Chart]]''' Aus CSV-Dateien mathematische Graphen in Wikiversity erstellen. * '''[[Maxima CAS]]''' enthält die verwendeten Werkzeuge und Kommandos eines Computeralgebrasystems (CAS), die die einzelnen Projekte in dem Modellbildungszyklus verwendet haben. * '''[https://sagecell.sagemath.org/ SageCell]''' Online-Umgebung zur Ausführung und Demonstration von Befehlen in R, Octave, Maxima, ... (Auswahl des Befehlssatzes auf der https://sagecell.sagemath.org/ SageCell-Seite] unten rechts auf dem Eingabefeld) * '''[[Statistikprogramm R]]''' enthält die verwendeten Werkzeuge und Kommandos, die für Berechnungen und Veranschaulichungen in den Projekten verwendet haben. * '''[[Tabellenkalkulation]]''' werden in Portfolios in der Regel verwendet, um Daten in den Portfolios aufzubereiten. * '''[[Octave]]''' wird in der Regel verwendet, um numerische Berechnung in der Mathematischen Modellbildung durchzuführen. * '''[[Geogebra]]''' ist eine Dynamische Geometriesoftware, die zur vektoriellen Veranschaulichung von räumlichen Modellierungsproblemen oder auch zur parametrisierten Darstellung von Funktionen verwendet wird (Beispiel: [https://www.geogebra.org/m/e9b349k9 Parkplatzlösung in Geogebra von Shrey T (2017)]). * '''[[w:Screencast|Screencast]]''': Ein Screencast ist eine Bildschirmaufnahme mit Audiokommentaren, die zeigt, wie man z.B. Software bedient. Ein Screencast ist eine Hilfestellung für Lernende, die sich noch nicht so gut mit einer bestimmten Software auskennen. :* [https://obsproject.com/ '''Open Broadcast Software (OBS)''' - Linux, Windows, MacOSX ] - [[Konvexkombination|Beispielvideo in Wikiversity]] * [[v:en:3D_Modelling|'''3D-Modellbildung''' (englisch)]] * '''[http://niebert.github.io/imgmap/ Online-ImageMap-Editor]''' - Anklickbare Bereiche in Wikiversity-Bildern erstellen. * '''[https://openlayers.org/en/latest/examples/heatmap-earthquakes.html HeatMaps]:''' Erstellung von [https://niebert.github.io/openlayer_heatmap HeatMaps mit einem Online-Editor] (Download [https://github.com/niebert/openlayer_heatmap/archive/master.zip Heatmap-Editor und Beispieldaten in Ordner <tt>/HeatMap</tt> in ZIP-Datei]) * '''[[Wiki2Reveal]]:''' Portfolio-Präsentationen direkt im Wikiversity erstellen. ===Editierungshilfen=== * [https://latexeditor.lagrida.com/ Online-Formel-Editor für LaTeX-Formeln]<ref>Lagrida Web-Portal (2021) Online-Latex-Formel-Editor mit Vorschau - URL: https://latexeditor.lagrida.com/ (accessed 2021/11/21))</ref> - die erzeugten Formeln müssen in einen MATH-Tag mit <kbd><math> ...</math></kbd> eingeschlossen werden bei der Seiteneditierung. * [https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:TeX Mathematische Formeln in Wikiversity] * Textgestaltung in Wikis: https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:Textgestaltung ==Wiki2Reveal== * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung2627|Kurs:Mathematische Modellbildung2627]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung2627&author=&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung2627&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] == Verweise == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2026-27%20Wintersemester&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2026-27%20Wintersemester&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung Kurs:Mathematische Modellbildung]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2026-27%20Wintersemester&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 5yv1clax1xef8nmjnpm14nglcsd6i5l 1116553 1116552 2026-10-17T08:49:54Z ~2026-55076-31 41992 /* Endresultat */ 1116553 wikitext text/x-wiki ==Begriffsklärung== === Was ist mathematische Modellbildung? === Ganz grob gesagt besteht Mathematische Modellierung oder auch Mathematische Modellbildung darin, reale Fragestellungen mit mathematischen Mitteln zu bearbeiten und sie auf diesem Wege zumindest teilweise zu beantworten<ref> Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., & Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. </ref>. === Was ist ein Modell? === Ein Modell ist dabei gegeben durch innere Scheinbilder oder Repräsentatonen, die nicht zum Bereich der äußeren Gegenstände, sondern zu Vorstellungen von einem solchen realen Gegenstand gehören und ihnen daher auch in gewissen Grenzen etwas Willkürliches anhaftet (Sinngemäß nach Hertz, zitiert von Ortlieb<ref> Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., & Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. </ref>). ==== Eigenschaften von Modellen ==== Somit lassen sich vereinfacht und verkürzt folgende Eigenschaften ableiten (Stachowiak, zitiert nach Saam <ref> Saam, N. J. (2009). Modellbildung. In Handbuch Methoden der Organisationsforschung: Quantitative und Qualitative Methoden (pp. 517-532). Wiesbaden: VS Verlag für Sozialwissenschaften. </ref>): * '''Abbildungsmerkmal:''' Modelle repräsentieren die Realität, existieren jedoch nicht in der Realität * '''Verkürzungsmerkmal:''' Modelle beschreiben das Objekt nicht exakt, sondern stets vereinfacht * '''Pragmatisches Merkmal:''' Modelle verfolgen einen gewissen Zweck: Sie ersetzen eine nicht abbildbare Realität um Fragestellungen zu beantwortbar zu machen ==== Typisches Beispiele ==== * Betrachtungen in der Physik (Federpendel, Bewegungsgesetze,...) - Physik und Mathematische Modellbildung sind sehr eng miteinander verwoben * Populationsdynamiken und Ausbreitugnsschemata in der Biologie (vgl. Lotka-Volterra Modell) * Bewegungsanalysen und Optimierungen in den Sportwissenschaften * Untersuchungen von Transport- und Umweltprozessen in Biologie, Chemie, Physik, Technik,... * Bedarfs- und Verbrauchs- und Verhaltensanalysen in Geisteswissenschaften === Mathematische Modelle === Mathematische Modelle werden gemessen und bewertet anhand <ref> Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., & Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. </ref>: * '''Zulässigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte in sich widerspruchsfrei sein. * '''Richtigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte im Vergleich mit der Realität keine Widersprüche zu offensichtlich richtigen Tatsachen aufweisen. * '''Zweckmäßigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte genau den Detailgrad beinhalten, den es zum Erfüllen des Zwecks benötigt, nicht mehr und nicht weniger. ==== Gegenbeispiele für mathematische Modelle ==== Gegenbeispiele wären: * Ein nicht zulässiges Modell könnte bei einer Betrachtung einer Punktmasse im Raum dennoch Luftwiederstände berücksichtigen (Punkte haben kein Volumen) * Ein nicht richtiges Modell könnte bei der Modellierung von Transportprozessen von Schadstoffen die Massenerhaltung vernachlässigen. * Ein nicht zweckmäßiges Modell könnte bei dem Versuch den perfekten Abwurfwinkel beim Speerwurf die Krümmung der Erdoberfläche berücksichtigen. ==== Bemerkung - Kriterien ==== Die Kriterien, insbesondere Richtigkeit und Zweckmäßigkeit, sind nicht 100% operational. Einerseits fordert die Richtigkeit, keine bekannten Tatsachen auszulassen, andererseits dürfen hinsichtlich einer passenden Zweckmäßigkeit auch nur ausreichend viele Details integriert werden. ==Der Modellbildungszyklus== Wie kommt man nun von einer Realen Situation, die ein Problem aufwirft zu einem adäquaten mathematischen Modell? Dazu hat sich als möglichst allgemeine Vorgehensweise der Modellbildungszyklus ergeben: [[Datei:Modellbildungszyklus Mod6.png|miniatur|Modellbildungszyklus]] ===Verlauf des MBZ === Der Modellbildungszyklus beschreibt schematisch die iterative Erstellung einer mathematischen Modellbildung: * Ausgangspunkt ist eine reale Situation, die ein Problem aufwirft, die von dem mathematischen Modell adressiert werden soll * Dieses Problem wird inhaltlich erfasst, anschließend mathematisch Übersetzt (Betrachten von Gleichungen, Funktionen, Geometrischen Objekten,...) ====Modellbildungsschleife==== * Durch das Betrachten von mathematischen Objekten können über passende Operationen deduktiv Resultate geschlussfolgert werden * Diese Resultate werden mit der Realsituation abgeglichen * Aus dem Vergleich werden mögliche Optimierungen und Limitationen des Modells abgeleitet * Durch die Limitationen werden kann das Modell weiterentwickelt werden Diese Schritte können/müssen dabei mehrfach durchlaufen werden. =====Integration von Software===== Die Integration von computergestützter Software ist in der mathematischen Modellbildung definitionsgemäss nicht zwingend erforderlich, für die meisten anwendungsbezogenen Modellierungen jedoch unumgänglich. ==Konkretes Beispiel einer Mathematischen Modellbildung== [[Kurs:Mathematische_Modellbildung/Themen/Radioaktivit%C3%A4t_und_Risikoliteralit%C3%A4t]] [[Datei:Screenshot 2D Ansicht Resultate.png|miniatur|alternativtext=Ansicht der möglichen Auftreffpunkte des radioaktiven Niederschlags|Ansicht der möglichen Auftreffpunkte des radioaktiven Niederschlags]] [[File:Zeitliche Abhängigkeit der Risikofunktion.gif|thumb|Das GIF zeigt die Zeitliche Abhängigkeit der Risikofunktion]] === Ziel der Modellierung === Ziel in dieser Modellierung war es, ein Modell zur räumlichen und zeitlichen Ausbreitung einer radioaktiv belasteten Wolke, sowie dessen Rain-Out, infolge einer Reaktorkatastrophe am (mittlerweile abgeschalteten) Kernkraftwerk in Philippsburg zu beschreiben. Unter zu Hilfenahme von Messwerten von dem Reaktorunglück in Tschernobyl und den Halbwertszeiten des radioaktiven Materials wurde der zeitliche Zerfall erfasst. Der Transport von radioaktiven Material wurde durch eine Kugel im <math> \mathbb{R}^3 </math> modelliert. Diese bewegt sich gemäss einer variablen Windrichtung (gegeben durch Winkel <math> \alpha </math>) und regnet sich nach einer gewissen Durchschnittsdauer ab. === Endresultat === Es wurde in drei Modellbildungszyklen eine Funktion zur Beschreibung der radioaktiven Belastung (repräsentativ für das Risiko) abgeleitet: <math>u(x,y,t,\alpha)=\frac{1480\cdot e^{-\frac{ln(2)}{30a} \cdot t}}{1+\frac{7}{10.000}\cdot (x^2+y^2)}+\frac{40\cdot e^{-\frac{ln(2)}{30a} \cdot t}}{1+\frac{1}{7.500}\cdot ((x-1080cos(\alpha))^2+(y-1080sin(\alpha))^2)}</math>. Letztlich erhält man also eine Funktion die in ihrem Ausgabewert <math>z=u(x,y,t,\alpha)</math> abhängig von 4 Eingabewerten <math>x, y, t, \alpha </math> ist. ==Modellbildung in der Schule== ===Einbindung in den Lehrplan=== Die mathematische Modellbildung ist stark in den Mathematik-Lehrplan für Schulen in Rheinland-Pfalz integriert (hier wird sich an dem Lehrplan für Sekundarstufe II orientiert <ref> Ministerium für Bildung, Wissensachft, Weiterbildung und Kultur (2015), Lehrplan Mathematik. Grund- und Leistungsfach in der gymnasialen Oberstufe (Mainzer Studienstufe) </ref>). Im Bezug zu Problemlösen im Mathematikunterricht und Mathematik im fachübergreifenden Kontext, sollen Anwendungsbeispiele Einzug halten, die Schülerinnen und Schülern aus anderen Fächern bekannt sind. In diesem Zusammenhang wird mathematische Modellbildung als Methode zur Lösung von solchen Anwendungsproblemen genannt. ===Konkreter Themenbezug=== Zu folgenden mathematischen Themengebieten wird explizit Mathematischen Modellbildung zur unterrichtlichen Umsetzung erwähnt: * Exponentialfunktionen (Wachstums- und Zerfallsprozesse) * Matrizenrechnung (zum Beispiel Input-Output-Analysen, Zustandsübergangsprozesse oder Populationsentwicklung) * Differential- und Integralrechnung (lineare oder logistische Wachstumsprozesse) ===Computereinsatz im Lehrplan=== Auch der Einsatz von computergestützten Hilfs- und Lösungsmitteln im Zuge der Modellbildung wird betont. (Bemerke: Auch im Lehrplan wird ein vergleichbarer Modellbildungszyklus vorgestellt und beschrieben. Bei Bedarf kann dieser auf Seite 15-16<ref> Ministerium für Bildung, Wissensachft, Weiterbildung und Kultur (2015), Lehrplan Mathematik. Grund- und Leistungsfach in der gymnasialen Oberstufe (Mainzer Studienstufe). </ref> nachgelesen werden) ===Zugang zur Bildung für Nachhaltigen Entwicklung=== Durch die Möglichkeit fachübergreifende Fragestellungen zu behandeln und Prozesse der Realität in den Blick zu nehmen, kann mathematische Modellbildung die Brücke zur Bildung für Nachhaltigen Entwicklung (BNE) schlagen. ====Bildung für Nachhaltige Entwicklung==== "Die BNE zielt grundsätzlich darauf ab, es jedem und jeder Einzelnen zu ermöglichen, die Folgen des eigenen Handelns auf die Welt sowie intra- und intergenerationell zu verstehen, verantwortungsvolle Entscheidungen zu treffen und aktiv zu werden." <ref> Ministerium für Bildung. Bildung für nachhaltige Entwicklung. Online abrufbar unter: https://bm.rlp.de/unsere-schwerpunkte/bildung-fuer-nachhaltige-entwicklung </ref> ====BNE und Modellbildung==== Mathematische Modellbildung kann unter praktischer Anwendung von gelernten Inhalten im Schulunterricht zu BNE beitragen, indem eben gezielt Probleme adressiert werden und von Schülerinnen und Schülern eigenständig untersucht werden. ==Ziel und Organisation des Seminars== ===Ziel und Aufgabe=== In Kleingruppen (3-4 Personen) sollen aussermathematische Fragestellungen mit einer eigenen mathematischen Modellbildung behandelt werden. Dazu sollen drei Modellbildungszyklen mit unterschiedlichem Grad an Vereinfachung und unterschiedlicher Mathematischen Grundlage erstellt werden: * Zyklus: Mathematik der Sekundarstufe 1 (Mittelstufe) * Zyklus: Mathematik der Sekundarstufe 2 (Oberstufe) * Zyklus: Universitätsmathematik Entsprechend soll sich die Mathematik in der Modellierung steigern. ====Integration von Software==== In jedem Zyklus sollen computergestützte Untersuchungen und Betrachtungen Einzug erhalten. Somit bietet es sich an in insgesamt auch drei verschiedene Programme (Tabellenkalkulation, GeoGebra, RStudio, Maxima,...) zu integrieren - an manchen stellen lässt sich dies gar nicht vermeiden. ===Themenwahl=== Das Thema sollte einen weltlichen Bezug haben. Am besten eigenen sich Themen aus dem jeweiligen Zweitfach (s. Verbindung zu anderen Schulfächern im Lehrplan). Das Thema sollte nachhaltige Entwicklung im Rahmen der Sustainable Development Goals adressieren. Siehe dazu: https://www.bundesumweltministerium.de/themen/nachhaltigkeit/nachhaltigkeitsziele-sdgs Vorzugsweise: Räumliche Risikobetrachtungen in Desaster- und Katastrophenszenarien. Das Thema sollte sich nicht mit denen der vergangenen Semestern doppeln. Zur Orientierung und Inspiration finden sich hier die Projekte der vergangenen Semester: :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2026 Sommersemester|2026 Sommersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2025-26 Wintersemester|2025/26 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2024-25 Wintersemester|2024/25 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2023-24 Wintersemester|2023/24 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2022-23 Winteresemester|2022/23 Wintersemester]]''' ===Portfolio=== Während des Semesters soll in Gruppenarbeit die Modellbildung durchgeführt werden. Diese wird schriftlich in einem Portfolio festgehalten. Dies Portfolio wird, genau wie dieser Artikel auch, in einem Wikiversity Artikel dokumentiert. Dieser sollte folgendes enthalten: ====Inhalt Portfolio==== * Einleitung: Beschreibung und Einordnung des Themas & welche(s) SDG wird adressiert und warum? * Ziel der Modellierung: Welches Problem wird in der Modellierung / den einzelnen Zyklen konkret angegangen? * Zyklus 1-3: ** Mathematisches Modell (welche Mathematischen Objekte werden betrachtet, wie ergeben die sich,...) ** Ergebnisse (Ableiten von Resultaten aus dem Modell) ** Bewertung der Ergebnisse ** Grenzen und Limitationen ** Ausblick für nächsten Zyklus (welche Limitationen und Probleme aus dem Zyklus werden im folgenden adressiert?) ====Integration Computersoftware==== In allen Punkten der Modellzyklen können Programme computergestützte Tools verwendet werden. Zur Erstellung von Wiki-Seiten ist folgende Seite hilfreich: https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:Textgestaltung ===Prüfung=== Die Prüfung gliedert sich in zwei Aspekte: * '''Vorstellung von ausgewählten Teilen aus dem eigenen Portfolio''' - diese werden von den Prüfer:innen aus dem Portfolio der Studierenden ausgewählt. * '''Diskussion und Fragen''' der Prüfer:innen zu dem Portfolio, z.B. zu Teilen des Portfolios, die in der Vorstellung nicht behandelt werden können. Ein Portfolio kann aus Zeitgründen nie vollständig in der Prüfung dargestellt werden. ====Inhalt==== In der mündlichen Portfolio-Prüfung wird geprüft, ob * das eigene Modell verstanden ist, * das eigene Modell kritisch hinterfragt werden kann, * die Limitationen des Modells begründet und nachvollziehbar wiedergegeben werden können, * die Übergänge zwischen den Zyklen beschrieben und begründet werden können, * die technische Umsetzung reproduziert und erklärt werden kann, * ... . ====Präsentation==== Es ist also wichtig zu wissen, was wie an welcher Stelle und mit welchem Zweck in der Modellierung gemacht wurde! Das Portfolio (Wiki-Seite) wird somit konkret vorgestellt. Eine Präsentation des Portfolio kann automatisch mit Wiki2Reveal erstellt werden. === Unterstützungsangebot === * Das Unterstützungsangebot erfolgt in der Lehrveranstaltung zur "Mathematischen Modellbildung". * Eine individuelle Sonderbehandlung für einzelne Studierende, die das Angebot der Vorlesung nicht nutzen und kurz vor Prüfungsbeginn noch "schnell" ein Portfolio zusammenstellen wollen, ist aus zeitlichen Gründen kurz vor der Prüfung nicht möglich. * Portfolioprüfungen der Lehrveranstaltung beziehen sich immer auf das erstellte Portfolio im laufende Semester und bei Wiederholungsprüfungen auf das Semester, in dem Portfolio erstellt wurde. * Eine Prüfung kann nur zu dem eigenen erstellten Portfolio in der Lehrveranstaltung abgelegt werden, an dessen Erstellung man aktiv mitgearbeitet hat. ===Ablauf des Seminars=== Der Seminarablauf über das Semester gestaltet sich grob wie folgt: * 1. Woche (19.10.): Einführungsveranstaltung + Gruppenfindung * 2. Woche (26.10.): Themenfindung * 3. Woche (02.11.): Themenfindung + Zyklen festlegen * 4. Woche (09.11.): Zyklen festlegen * 5. Woche (16.11.): Kurzvorstellung der Themen und Zyklen (5 Minuten pro Gruppe) Ab Woche 6 (23.11.) bis Ende des Semesters wird gemeinsam an den Modellen und dem Portfolio gearbeitet. ====Zeitplan==== Empfehlenswert wäre es, die letzten 2-3 Wochen für Finalisierungsarbeiten zu nutzen und entsprechend frühzeitig zu planen! Ausschliesslich während der Seminarzeiten an dem Modell und Portfolio zu arbeiten wird nicht ausreichen! Die Kurzpräsentationen am 16.11. umfassen den aktuellen Stand der Überlegungen und sind noch unter keinen Umständen verbindlich. Stattdessen dient es einfach zur Grundlage von gemeinsamer Diskussion und zur Einbringung von weiteren Ideen. ==Hilfreiche Links== ===Fachmathematische Aspekte === Wenn man das Modellierungsproblem in den Mittelpunkt stellt und die Fragestellung den Nachhaltigkeitszielen der UN zuordnet, kommen z.T. fachmathematische Aspekte erforderlich, die nicht in der jeweiligen Schulstufe bzw. in den Vorlesungen behandelt wurden. Dies Kapitel erhält Hinweise zu fachmathematischen Bereichen, die für die mathematische Modellbildung ggf. als Werkzeug verwendet werden können * '''[[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]''' dienen dazu, Datenpunkte im <math>\R^2</math> oder allgemein im <math>\R^n</math> zu [[w:Interpolation_(Mathematik)|interpolieren]]. * '''[https://en.wikiversity.org/wiki/3D_Modelling 3D Modellierung für Projektinhalte]''' und [[w:Projektive_Geometrie|projektive Geometrie]] zur Visualisierung * '''[[Gradientenabstiegsverfahren]]''': Wird verwendet, um sich in der mathematischen Modellbildung iterativ einem Minimum einer Kosten- oder Fehlerfunktion anzunähern. * [[w:Lineare_Optimierung|'''Lineare Optimierung''']] wird in Optimierungshaufgaben wie beispielsweise bei der Suche nach Minimum der Produktionskosten verwendet. Hierbei wird in allgemeinem nach einem Minimium/Maximum einer linearer Zielfunktion über einer Menge gesucht. [https://www.geogebra.org/m/kr727992 '''Ein Beispiel in Geogebra'''] *[[Räumliche Diffusion|'''Räumliche Diffusion''']] *[[Modelle_der_Populationsdynamik|'''Modelle der Populationsdynamik''']] - [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Modelle%20der%20Populationsdynamik&author=Kurs:R%C3%A4umliche%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes (Wiki2Reveal-Folien)] - [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Stochastik/Wahrscheinlichkeitsdichte|Wahrscheinlichkeitsdichte]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Wahrscheinlichkeitsdichte&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wahrscheinlichkeitsdichte&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ===Softwarenutzung === Im PC-Praktikum wurden grundlegende Kenntnisse im Umgang mit Software erlangt, die für die Berechnung von mathematischen Modellen vorwendig sind. Diese Kenntnisse müssen ggf. auf das spezielle Modellierungsthema angepasst und erweitert werden. * '''[[CSV2Chart]]''' Aus CSV-Dateien mathematische Graphen in Wikiversity erstellen. * '''[[Maxima CAS]]''' enthält die verwendeten Werkzeuge und Kommandos eines Computeralgebrasystems (CAS), die die einzelnen Projekte in dem Modellbildungszyklus verwendet haben. * '''[https://sagecell.sagemath.org/ SageCell]''' Online-Umgebung zur Ausführung und Demonstration von Befehlen in R, Octave, Maxima, ... (Auswahl des Befehlssatzes auf der https://sagecell.sagemath.org/ SageCell-Seite] unten rechts auf dem Eingabefeld) * '''[[Statistikprogramm R]]''' enthält die verwendeten Werkzeuge und Kommandos, die für Berechnungen und Veranschaulichungen in den Projekten verwendet haben. * '''[[Tabellenkalkulation]]''' werden in Portfolios in der Regel verwendet, um Daten in den Portfolios aufzubereiten. * '''[[Octave]]''' wird in der Regel verwendet, um numerische Berechnung in der Mathematischen Modellbildung durchzuführen. * '''[[Geogebra]]''' ist eine Dynamische Geometriesoftware, die zur vektoriellen Veranschaulichung von räumlichen Modellierungsproblemen oder auch zur parametrisierten Darstellung von Funktionen verwendet wird (Beispiel: [https://www.geogebra.org/m/e9b349k9 Parkplatzlösung in Geogebra von Shrey T (2017)]). * '''[[w:Screencast|Screencast]]''': Ein Screencast ist eine Bildschirmaufnahme mit Audiokommentaren, die zeigt, wie man z.B. Software bedient. Ein Screencast ist eine Hilfestellung für Lernende, die sich noch nicht so gut mit einer bestimmten Software auskennen. :* [https://obsproject.com/ '''Open Broadcast Software (OBS)''' - Linux, Windows, MacOSX ] - [[Konvexkombination|Beispielvideo in Wikiversity]] * [[v:en:3D_Modelling|'''3D-Modellbildung''' (englisch)]] * '''[http://niebert.github.io/imgmap/ Online-ImageMap-Editor]''' - Anklickbare Bereiche in Wikiversity-Bildern erstellen. * '''[https://openlayers.org/en/latest/examples/heatmap-earthquakes.html HeatMaps]:''' Erstellung von [https://niebert.github.io/openlayer_heatmap HeatMaps mit einem Online-Editor] (Download [https://github.com/niebert/openlayer_heatmap/archive/master.zip Heatmap-Editor und Beispieldaten in Ordner <tt>/HeatMap</tt> in ZIP-Datei]) * '''[[Wiki2Reveal]]:''' Portfolio-Präsentationen direkt im Wikiversity erstellen. ===Editierungshilfen=== * [https://latexeditor.lagrida.com/ Online-Formel-Editor für LaTeX-Formeln]<ref>Lagrida Web-Portal (2021) Online-Latex-Formel-Editor mit Vorschau - URL: https://latexeditor.lagrida.com/ (accessed 2021/11/21))</ref> - die erzeugten Formeln müssen in einen MATH-Tag mit <kbd><math> ...</math></kbd> eingeschlossen werden bei der Seiteneditierung. * [https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:TeX Mathematische Formeln in Wikiversity] * Textgestaltung in Wikis: https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:Textgestaltung ==Wiki2Reveal== * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung2627|Kurs:Mathematische Modellbildung2627]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung2627&author=&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung2627&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] == Verweise == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2026-27%20Wintersemester&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2026-27%20Wintersemester&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung Kurs:Mathematische Modellbildung]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2026-27%20Wintersemester&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 78346e22md151mpyhpix4e5xcin81lj 1116554 1116553 2026-10-17T08:50:04Z ~2026-55076-31 41992 /* Endresultat */ 1116554 wikitext text/x-wiki ==Begriffsklärung== === Was ist mathematische Modellbildung? === Ganz grob gesagt besteht Mathematische Modellierung oder auch Mathematische Modellbildung darin, reale Fragestellungen mit mathematischen Mitteln zu bearbeiten und sie auf diesem Wege zumindest teilweise zu beantworten<ref> Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., & Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. </ref>. === Was ist ein Modell? === Ein Modell ist dabei gegeben durch innere Scheinbilder oder Repräsentatonen, die nicht zum Bereich der äußeren Gegenstände, sondern zu Vorstellungen von einem solchen realen Gegenstand gehören und ihnen daher auch in gewissen Grenzen etwas Willkürliches anhaftet (Sinngemäß nach Hertz, zitiert von Ortlieb<ref> Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., & Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. </ref>). ==== Eigenschaften von Modellen ==== Somit lassen sich vereinfacht und verkürzt folgende Eigenschaften ableiten (Stachowiak, zitiert nach Saam <ref> Saam, N. J. (2009). Modellbildung. In Handbuch Methoden der Organisationsforschung: Quantitative und Qualitative Methoden (pp. 517-532). Wiesbaden: VS Verlag für Sozialwissenschaften. </ref>): * '''Abbildungsmerkmal:''' Modelle repräsentieren die Realität, existieren jedoch nicht in der Realität * '''Verkürzungsmerkmal:''' Modelle beschreiben das Objekt nicht exakt, sondern stets vereinfacht * '''Pragmatisches Merkmal:''' Modelle verfolgen einen gewissen Zweck: Sie ersetzen eine nicht abbildbare Realität um Fragestellungen zu beantwortbar zu machen ==== Typisches Beispiele ==== * Betrachtungen in der Physik (Federpendel, Bewegungsgesetze,...) - Physik und Mathematische Modellbildung sind sehr eng miteinander verwoben * Populationsdynamiken und Ausbreitugnsschemata in der Biologie (vgl. Lotka-Volterra Modell) * Bewegungsanalysen und Optimierungen in den Sportwissenschaften * Untersuchungen von Transport- und Umweltprozessen in Biologie, Chemie, Physik, Technik,... * Bedarfs- und Verbrauchs- und Verhaltensanalysen in Geisteswissenschaften === Mathematische Modelle === Mathematische Modelle werden gemessen und bewertet anhand <ref> Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., & Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. </ref>: * '''Zulässigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte in sich widerspruchsfrei sein. * '''Richtigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte im Vergleich mit der Realität keine Widersprüche zu offensichtlich richtigen Tatsachen aufweisen. * '''Zweckmäßigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte genau den Detailgrad beinhalten, den es zum Erfüllen des Zwecks benötigt, nicht mehr und nicht weniger. ==== Gegenbeispiele für mathematische Modelle ==== Gegenbeispiele wären: * Ein nicht zulässiges Modell könnte bei einer Betrachtung einer Punktmasse im Raum dennoch Luftwiederstände berücksichtigen (Punkte haben kein Volumen) * Ein nicht richtiges Modell könnte bei der Modellierung von Transportprozessen von Schadstoffen die Massenerhaltung vernachlässigen. * Ein nicht zweckmäßiges Modell könnte bei dem Versuch den perfekten Abwurfwinkel beim Speerwurf die Krümmung der Erdoberfläche berücksichtigen. ==== Bemerkung - Kriterien ==== Die Kriterien, insbesondere Richtigkeit und Zweckmäßigkeit, sind nicht 100% operational. Einerseits fordert die Richtigkeit, keine bekannten Tatsachen auszulassen, andererseits dürfen hinsichtlich einer passenden Zweckmäßigkeit auch nur ausreichend viele Details integriert werden. ==Der Modellbildungszyklus== Wie kommt man nun von einer Realen Situation, die ein Problem aufwirft zu einem adäquaten mathematischen Modell? Dazu hat sich als möglichst allgemeine Vorgehensweise der Modellbildungszyklus ergeben: [[Datei:Modellbildungszyklus Mod6.png|miniatur|Modellbildungszyklus]] ===Verlauf des MBZ === Der Modellbildungszyklus beschreibt schematisch die iterative Erstellung einer mathematischen Modellbildung: * Ausgangspunkt ist eine reale Situation, die ein Problem aufwirft, die von dem mathematischen Modell adressiert werden soll * Dieses Problem wird inhaltlich erfasst, anschließend mathematisch Übersetzt (Betrachten von Gleichungen, Funktionen, Geometrischen Objekten,...) ====Modellbildungsschleife==== * Durch das Betrachten von mathematischen Objekten können über passende Operationen deduktiv Resultate geschlussfolgert werden * Diese Resultate werden mit der Realsituation abgeglichen * Aus dem Vergleich werden mögliche Optimierungen und Limitationen des Modells abgeleitet * Durch die Limitationen werden kann das Modell weiterentwickelt werden Diese Schritte können/müssen dabei mehrfach durchlaufen werden. =====Integration von Software===== Die Integration von computergestützter Software ist in der mathematischen Modellbildung definitionsgemäss nicht zwingend erforderlich, für die meisten anwendungsbezogenen Modellierungen jedoch unumgänglich. ==Konkretes Beispiel einer Mathematischen Modellbildung== [[Kurs:Mathematische_Modellbildung/Themen/Radioaktivit%C3%A4t_und_Risikoliteralit%C3%A4t]] [[Datei:Screenshot 2D Ansicht Resultate.png|miniatur|alternativtext=Ansicht der möglichen Auftreffpunkte des radioaktiven Niederschlags|Ansicht der möglichen Auftreffpunkte des radioaktiven Niederschlags]] [[File:Zeitliche Abhängigkeit der Risikofunktion.gif|thumb|Das GIF zeigt die Zeitliche Abhängigkeit der Risikofunktion]] === Ziel der Modellierung === Ziel in dieser Modellierung war es, ein Modell zur räumlichen und zeitlichen Ausbreitung einer radioaktiv belasteten Wolke, sowie dessen Rain-Out, infolge einer Reaktorkatastrophe am (mittlerweile abgeschalteten) Kernkraftwerk in Philippsburg zu beschreiben. Unter zu Hilfenahme von Messwerten von dem Reaktorunglück in Tschernobyl und den Halbwertszeiten des radioaktiven Materials wurde der zeitliche Zerfall erfasst. Der Transport von radioaktiven Material wurde durch eine Kugel im <math> \mathbb{R}^3 </math> modelliert. Diese bewegt sich gemäss einer variablen Windrichtung (gegeben durch Winkel <math> \alpha </math>) und regnet sich nach einer gewissen Durchschnittsdauer ab. === Endresultat === Es wurde in drei Modellbildungszyklen eine Funktion zur Beschreibung der radioaktiven Belastung (repräsentativ für das Risiko) abgeleitet: <math>u(x,y,t,\alpha)=\frac{1480\cdot e^{-\frac{ln(2)}{30a} \cdot t}}{1+\frac{7}{10.000}\cdot (x^2+y^2)}+\frac{40\cdot e^{-\frac{ln(2)}{30a} \cdot t}}{1+\frac{1}{7.500}\cdot ((x-1080cos(\alpha))^2+(y-1080sin(\alpha))^2)}</math> Letztlich erhält man also eine Funktion die in ihrem Ausgabewert <math>z=u(x,y,t,\alpha)</math> abhängig von 4 Eingabewerten <math>x, y, t, \alpha </math> ist. ==Modellbildung in der Schule== ===Einbindung in den Lehrplan=== Die mathematische Modellbildung ist stark in den Mathematik-Lehrplan für Schulen in Rheinland-Pfalz integriert (hier wird sich an dem Lehrplan für Sekundarstufe II orientiert <ref> Ministerium für Bildung, Wissensachft, Weiterbildung und Kultur (2015), Lehrplan Mathematik. Grund- und Leistungsfach in der gymnasialen Oberstufe (Mainzer Studienstufe) </ref>). Im Bezug zu Problemlösen im Mathematikunterricht und Mathematik im fachübergreifenden Kontext, sollen Anwendungsbeispiele Einzug halten, die Schülerinnen und Schülern aus anderen Fächern bekannt sind. In diesem Zusammenhang wird mathematische Modellbildung als Methode zur Lösung von solchen Anwendungsproblemen genannt. ===Konkreter Themenbezug=== Zu folgenden mathematischen Themengebieten wird explizit Mathematischen Modellbildung zur unterrichtlichen Umsetzung erwähnt: * Exponentialfunktionen (Wachstums- und Zerfallsprozesse) * Matrizenrechnung (zum Beispiel Input-Output-Analysen, Zustandsübergangsprozesse oder Populationsentwicklung) * Differential- und Integralrechnung (lineare oder logistische Wachstumsprozesse) ===Computereinsatz im Lehrplan=== Auch der Einsatz von computergestützten Hilfs- und Lösungsmitteln im Zuge der Modellbildung wird betont. (Bemerke: Auch im Lehrplan wird ein vergleichbarer Modellbildungszyklus vorgestellt und beschrieben. Bei Bedarf kann dieser auf Seite 15-16<ref> Ministerium für Bildung, Wissensachft, Weiterbildung und Kultur (2015), Lehrplan Mathematik. Grund- und Leistungsfach in der gymnasialen Oberstufe (Mainzer Studienstufe). </ref> nachgelesen werden) ===Zugang zur Bildung für Nachhaltigen Entwicklung=== Durch die Möglichkeit fachübergreifende Fragestellungen zu behandeln und Prozesse der Realität in den Blick zu nehmen, kann mathematische Modellbildung die Brücke zur Bildung für Nachhaltigen Entwicklung (BNE) schlagen. ====Bildung für Nachhaltige Entwicklung==== "Die BNE zielt grundsätzlich darauf ab, es jedem und jeder Einzelnen zu ermöglichen, die Folgen des eigenen Handelns auf die Welt sowie intra- und intergenerationell zu verstehen, verantwortungsvolle Entscheidungen zu treffen und aktiv zu werden." <ref> Ministerium für Bildung. Bildung für nachhaltige Entwicklung. Online abrufbar unter: https://bm.rlp.de/unsere-schwerpunkte/bildung-fuer-nachhaltige-entwicklung </ref> ====BNE und Modellbildung==== Mathematische Modellbildung kann unter praktischer Anwendung von gelernten Inhalten im Schulunterricht zu BNE beitragen, indem eben gezielt Probleme adressiert werden und von Schülerinnen und Schülern eigenständig untersucht werden. ==Ziel und Organisation des Seminars== ===Ziel und Aufgabe=== In Kleingruppen (3-4 Personen) sollen aussermathematische Fragestellungen mit einer eigenen mathematischen Modellbildung behandelt werden. Dazu sollen drei Modellbildungszyklen mit unterschiedlichem Grad an Vereinfachung und unterschiedlicher Mathematischen Grundlage erstellt werden: * Zyklus: Mathematik der Sekundarstufe 1 (Mittelstufe) * Zyklus: Mathematik der Sekundarstufe 2 (Oberstufe) * Zyklus: Universitätsmathematik Entsprechend soll sich die Mathematik in der Modellierung steigern. ====Integration von Software==== In jedem Zyklus sollen computergestützte Untersuchungen und Betrachtungen Einzug erhalten. Somit bietet es sich an in insgesamt auch drei verschiedene Programme (Tabellenkalkulation, GeoGebra, RStudio, Maxima,...) zu integrieren - an manchen stellen lässt sich dies gar nicht vermeiden. ===Themenwahl=== Das Thema sollte einen weltlichen Bezug haben. Am besten eigenen sich Themen aus dem jeweiligen Zweitfach (s. Verbindung zu anderen Schulfächern im Lehrplan). Das Thema sollte nachhaltige Entwicklung im Rahmen der Sustainable Development Goals adressieren. Siehe dazu: https://www.bundesumweltministerium.de/themen/nachhaltigkeit/nachhaltigkeitsziele-sdgs Vorzugsweise: Räumliche Risikobetrachtungen in Desaster- und Katastrophenszenarien. Das Thema sollte sich nicht mit denen der vergangenen Semestern doppeln. Zur Orientierung und Inspiration finden sich hier die Projekte der vergangenen Semester: :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2026 Sommersemester|2026 Sommersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2025-26 Wintersemester|2025/26 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2024-25 Wintersemester|2024/25 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2023-24 Wintersemester|2023/24 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2022-23 Winteresemester|2022/23 Wintersemester]]''' ===Portfolio=== Während des Semesters soll in Gruppenarbeit die Modellbildung durchgeführt werden. Diese wird schriftlich in einem Portfolio festgehalten. Dies Portfolio wird, genau wie dieser Artikel auch, in einem Wikiversity Artikel dokumentiert. Dieser sollte folgendes enthalten: ====Inhalt Portfolio==== * Einleitung: Beschreibung und Einordnung des Themas & welche(s) SDG wird adressiert und warum? * Ziel der Modellierung: Welches Problem wird in der Modellierung / den einzelnen Zyklen konkret angegangen? * Zyklus 1-3: ** Mathematisches Modell (welche Mathematischen Objekte werden betrachtet, wie ergeben die sich,...) ** Ergebnisse (Ableiten von Resultaten aus dem Modell) ** Bewertung der Ergebnisse ** Grenzen und Limitationen ** Ausblick für nächsten Zyklus (welche Limitationen und Probleme aus dem Zyklus werden im folgenden adressiert?) ====Integration Computersoftware==== In allen Punkten der Modellzyklen können Programme computergestützte Tools verwendet werden. Zur Erstellung von Wiki-Seiten ist folgende Seite hilfreich: https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:Textgestaltung ===Prüfung=== Die Prüfung gliedert sich in zwei Aspekte: * '''Vorstellung von ausgewählten Teilen aus dem eigenen Portfolio''' - diese werden von den Prüfer:innen aus dem Portfolio der Studierenden ausgewählt. * '''Diskussion und Fragen''' der Prüfer:innen zu dem Portfolio, z.B. zu Teilen des Portfolios, die in der Vorstellung nicht behandelt werden können. Ein Portfolio kann aus Zeitgründen nie vollständig in der Prüfung dargestellt werden. ====Inhalt==== In der mündlichen Portfolio-Prüfung wird geprüft, ob * das eigene Modell verstanden ist, * das eigene Modell kritisch hinterfragt werden kann, * die Limitationen des Modells begründet und nachvollziehbar wiedergegeben werden können, * die Übergänge zwischen den Zyklen beschrieben und begründet werden können, * die technische Umsetzung reproduziert und erklärt werden kann, * ... . ====Präsentation==== Es ist also wichtig zu wissen, was wie an welcher Stelle und mit welchem Zweck in der Modellierung gemacht wurde! Das Portfolio (Wiki-Seite) wird somit konkret vorgestellt. Eine Präsentation des Portfolio kann automatisch mit Wiki2Reveal erstellt werden. === Unterstützungsangebot === * Das Unterstützungsangebot erfolgt in der Lehrveranstaltung zur "Mathematischen Modellbildung". * Eine individuelle Sonderbehandlung für einzelne Studierende, die das Angebot der Vorlesung nicht nutzen und kurz vor Prüfungsbeginn noch "schnell" ein Portfolio zusammenstellen wollen, ist aus zeitlichen Gründen kurz vor der Prüfung nicht möglich. * Portfolioprüfungen der Lehrveranstaltung beziehen sich immer auf das erstellte Portfolio im laufende Semester und bei Wiederholungsprüfungen auf das Semester, in dem Portfolio erstellt wurde. * Eine Prüfung kann nur zu dem eigenen erstellten Portfolio in der Lehrveranstaltung abgelegt werden, an dessen Erstellung man aktiv mitgearbeitet hat. ===Ablauf des Seminars=== Der Seminarablauf über das Semester gestaltet sich grob wie folgt: * 1. Woche (19.10.): Einführungsveranstaltung + Gruppenfindung * 2. Woche (26.10.): Themenfindung * 3. Woche (02.11.): Themenfindung + Zyklen festlegen * 4. Woche (09.11.): Zyklen festlegen * 5. Woche (16.11.): Kurzvorstellung der Themen und Zyklen (5 Minuten pro Gruppe) Ab Woche 6 (23.11.) bis Ende des Semesters wird gemeinsam an den Modellen und dem Portfolio gearbeitet. ====Zeitplan==== Empfehlenswert wäre es, die letzten 2-3 Wochen für Finalisierungsarbeiten zu nutzen und entsprechend frühzeitig zu planen! Ausschliesslich während der Seminarzeiten an dem Modell und Portfolio zu arbeiten wird nicht ausreichen! Die Kurzpräsentationen am 16.11. umfassen den aktuellen Stand der Überlegungen und sind noch unter keinen Umständen verbindlich. Stattdessen dient es einfach zur Grundlage von gemeinsamer Diskussion und zur Einbringung von weiteren Ideen. ==Hilfreiche Links== ===Fachmathematische Aspekte === Wenn man das Modellierungsproblem in den Mittelpunkt stellt und die Fragestellung den Nachhaltigkeitszielen der UN zuordnet, kommen z.T. fachmathematische Aspekte erforderlich, die nicht in der jeweiligen Schulstufe bzw. in den Vorlesungen behandelt wurden. Dies Kapitel erhält Hinweise zu fachmathematischen Bereichen, die für die mathematische Modellbildung ggf. als Werkzeug verwendet werden können * '''[[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]''' dienen dazu, Datenpunkte im <math>\R^2</math> oder allgemein im <math>\R^n</math> zu [[w:Interpolation_(Mathematik)|interpolieren]]. * '''[https://en.wikiversity.org/wiki/3D_Modelling 3D Modellierung für Projektinhalte]''' und [[w:Projektive_Geometrie|projektive Geometrie]] zur Visualisierung * '''[[Gradientenabstiegsverfahren]]''': Wird verwendet, um sich in der mathematischen Modellbildung iterativ einem Minimum einer Kosten- oder Fehlerfunktion anzunähern. * [[w:Lineare_Optimierung|'''Lineare Optimierung''']] wird in Optimierungshaufgaben wie beispielsweise bei der Suche nach Minimum der Produktionskosten verwendet. Hierbei wird in allgemeinem nach einem Minimium/Maximum einer linearer Zielfunktion über einer Menge gesucht. [https://www.geogebra.org/m/kr727992 '''Ein Beispiel in Geogebra'''] *[[Räumliche Diffusion|'''Räumliche Diffusion''']] *[[Modelle_der_Populationsdynamik|'''Modelle der Populationsdynamik''']] - [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Modelle%20der%20Populationsdynamik&author=Kurs:R%C3%A4umliche%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes (Wiki2Reveal-Folien)] - [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Stochastik/Wahrscheinlichkeitsdichte|Wahrscheinlichkeitsdichte]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Wahrscheinlichkeitsdichte&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wahrscheinlichkeitsdichte&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ===Softwarenutzung === Im PC-Praktikum wurden grundlegende Kenntnisse im Umgang mit Software erlangt, die für die Berechnung von mathematischen Modellen vorwendig sind. Diese Kenntnisse müssen ggf. auf das spezielle Modellierungsthema angepasst und erweitert werden. * '''[[CSV2Chart]]''' Aus CSV-Dateien mathematische Graphen in Wikiversity erstellen. * '''[[Maxima CAS]]''' enthält die verwendeten Werkzeuge und Kommandos eines Computeralgebrasystems (CAS), die die einzelnen Projekte in dem Modellbildungszyklus verwendet haben. * '''[https://sagecell.sagemath.org/ SageCell]''' Online-Umgebung zur Ausführung und Demonstration von Befehlen in R, Octave, Maxima, ... (Auswahl des Befehlssatzes auf der https://sagecell.sagemath.org/ SageCell-Seite] unten rechts auf dem Eingabefeld) * '''[[Statistikprogramm R]]''' enthält die verwendeten Werkzeuge und Kommandos, die für Berechnungen und Veranschaulichungen in den Projekten verwendet haben. * '''[[Tabellenkalkulation]]''' werden in Portfolios in der Regel verwendet, um Daten in den Portfolios aufzubereiten. * '''[[Octave]]''' wird in der Regel verwendet, um numerische Berechnung in der Mathematischen Modellbildung durchzuführen. * '''[[Geogebra]]''' ist eine Dynamische Geometriesoftware, die zur vektoriellen Veranschaulichung von räumlichen Modellierungsproblemen oder auch zur parametrisierten Darstellung von Funktionen verwendet wird (Beispiel: [https://www.geogebra.org/m/e9b349k9 Parkplatzlösung in Geogebra von Shrey T (2017)]). * '''[[w:Screencast|Screencast]]''': Ein Screencast ist eine Bildschirmaufnahme mit Audiokommentaren, die zeigt, wie man z.B. Software bedient. Ein Screencast ist eine Hilfestellung für Lernende, die sich noch nicht so gut mit einer bestimmten Software auskennen. :* [https://obsproject.com/ '''Open Broadcast Software (OBS)''' - Linux, Windows, MacOSX ] - [[Konvexkombination|Beispielvideo in Wikiversity]] * [[v:en:3D_Modelling|'''3D-Modellbildung''' (englisch)]] * '''[http://niebert.github.io/imgmap/ Online-ImageMap-Editor]''' - Anklickbare Bereiche in Wikiversity-Bildern erstellen. * '''[https://openlayers.org/en/latest/examples/heatmap-earthquakes.html HeatMaps]:''' Erstellung von [https://niebert.github.io/openlayer_heatmap HeatMaps mit einem Online-Editor] (Download [https://github.com/niebert/openlayer_heatmap/archive/master.zip Heatmap-Editor und Beispieldaten in Ordner <tt>/HeatMap</tt> in ZIP-Datei]) * '''[[Wiki2Reveal]]:''' Portfolio-Präsentationen direkt im Wikiversity erstellen. ===Editierungshilfen=== * [https://latexeditor.lagrida.com/ Online-Formel-Editor für LaTeX-Formeln]<ref>Lagrida Web-Portal (2021) Online-Latex-Formel-Editor mit Vorschau - URL: https://latexeditor.lagrida.com/ (accessed 2021/11/21))</ref> - die erzeugten Formeln müssen in einen MATH-Tag mit <kbd><math> ...</math></kbd> eingeschlossen werden bei der Seiteneditierung. * [https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:TeX Mathematische Formeln in Wikiversity] * Textgestaltung in Wikis: https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:Textgestaltung ==Wiki2Reveal== * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung2627|Kurs:Mathematische Modellbildung2627]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung2627&author=&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung2627&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] == Verweise == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2026-27%20Wintersemester&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2026-27%20Wintersemester&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung Kurs:Mathematische Modellbildung]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2026-27%20Wintersemester&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 5yv1clax1xef8nmjnpm14nglcsd6i5l 1116555 1116554 2026-10-17T08:51:00Z ~2026-55076-31 41992 /* Endresultat */ 1116555 wikitext text/x-wiki ==Begriffsklärung== === Was ist mathematische Modellbildung? === Ganz grob gesagt besteht Mathematische Modellierung oder auch Mathematische Modellbildung darin, reale Fragestellungen mit mathematischen Mitteln zu bearbeiten und sie auf diesem Wege zumindest teilweise zu beantworten<ref> Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., & Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. </ref>. === Was ist ein Modell? === Ein Modell ist dabei gegeben durch innere Scheinbilder oder Repräsentatonen, die nicht zum Bereich der äußeren Gegenstände, sondern zu Vorstellungen von einem solchen realen Gegenstand gehören und ihnen daher auch in gewissen Grenzen etwas Willkürliches anhaftet (Sinngemäß nach Hertz, zitiert von Ortlieb<ref> Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., & Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. </ref>). ==== Eigenschaften von Modellen ==== Somit lassen sich vereinfacht und verkürzt folgende Eigenschaften ableiten (Stachowiak, zitiert nach Saam <ref> Saam, N. J. (2009). Modellbildung. In Handbuch Methoden der Organisationsforschung: Quantitative und Qualitative Methoden (pp. 517-532). Wiesbaden: VS Verlag für Sozialwissenschaften. </ref>): * '''Abbildungsmerkmal:''' Modelle repräsentieren die Realität, existieren jedoch nicht in der Realität * '''Verkürzungsmerkmal:''' Modelle beschreiben das Objekt nicht exakt, sondern stets vereinfacht * '''Pragmatisches Merkmal:''' Modelle verfolgen einen gewissen Zweck: Sie ersetzen eine nicht abbildbare Realität um Fragestellungen zu beantwortbar zu machen ==== Typisches Beispiele ==== * Betrachtungen in der Physik (Federpendel, Bewegungsgesetze,...) - Physik und Mathematische Modellbildung sind sehr eng miteinander verwoben * Populationsdynamiken und Ausbreitugnsschemata in der Biologie (vgl. Lotka-Volterra Modell) * Bewegungsanalysen und Optimierungen in den Sportwissenschaften * Untersuchungen von Transport- und Umweltprozessen in Biologie, Chemie, Physik, Technik,... * Bedarfs- und Verbrauchs- und Verhaltensanalysen in Geisteswissenschaften === Mathematische Modelle === Mathematische Modelle werden gemessen und bewertet anhand <ref> Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., & Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. </ref>: * '''Zulässigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte in sich widerspruchsfrei sein. * '''Richtigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte im Vergleich mit der Realität keine Widersprüche zu offensichtlich richtigen Tatsachen aufweisen. * '''Zweckmäßigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte genau den Detailgrad beinhalten, den es zum Erfüllen des Zwecks benötigt, nicht mehr und nicht weniger. ==== Gegenbeispiele für mathematische Modelle ==== Gegenbeispiele wären: * Ein nicht zulässiges Modell könnte bei einer Betrachtung einer Punktmasse im Raum dennoch Luftwiederstände berücksichtigen (Punkte haben kein Volumen) * Ein nicht richtiges Modell könnte bei der Modellierung von Transportprozessen von Schadstoffen die Massenerhaltung vernachlässigen. * Ein nicht zweckmäßiges Modell könnte bei dem Versuch den perfekten Abwurfwinkel beim Speerwurf die Krümmung der Erdoberfläche berücksichtigen. ==== Bemerkung - Kriterien ==== Die Kriterien, insbesondere Richtigkeit und Zweckmäßigkeit, sind nicht 100% operational. Einerseits fordert die Richtigkeit, keine bekannten Tatsachen auszulassen, andererseits dürfen hinsichtlich einer passenden Zweckmäßigkeit auch nur ausreichend viele Details integriert werden. ==Der Modellbildungszyklus== Wie kommt man nun von einer Realen Situation, die ein Problem aufwirft zu einem adäquaten mathematischen Modell? Dazu hat sich als möglichst allgemeine Vorgehensweise der Modellbildungszyklus ergeben: [[Datei:Modellbildungszyklus Mod6.png|miniatur|Modellbildungszyklus]] ===Verlauf des MBZ === Der Modellbildungszyklus beschreibt schematisch die iterative Erstellung einer mathematischen Modellbildung: * Ausgangspunkt ist eine reale Situation, die ein Problem aufwirft, die von dem mathematischen Modell adressiert werden soll * Dieses Problem wird inhaltlich erfasst, anschließend mathematisch Übersetzt (Betrachten von Gleichungen, Funktionen, Geometrischen Objekten,...) ====Modellbildungsschleife==== * Durch das Betrachten von mathematischen Objekten können über passende Operationen deduktiv Resultate geschlussfolgert werden * Diese Resultate werden mit der Realsituation abgeglichen * Aus dem Vergleich werden mögliche Optimierungen und Limitationen des Modells abgeleitet * Durch die Limitationen werden kann das Modell weiterentwickelt werden Diese Schritte können/müssen dabei mehrfach durchlaufen werden. =====Integration von Software===== Die Integration von computergestützter Software ist in der mathematischen Modellbildung definitionsgemäss nicht zwingend erforderlich, für die meisten anwendungsbezogenen Modellierungen jedoch unumgänglich. ==Konkretes Beispiel einer Mathematischen Modellbildung== [[Kurs:Mathematische_Modellbildung/Themen/Radioaktivit%C3%A4t_und_Risikoliteralit%C3%A4t]] [[Datei:Screenshot 2D Ansicht Resultate.png|miniatur|alternativtext=Ansicht der möglichen Auftreffpunkte des radioaktiven Niederschlags|Ansicht der möglichen Auftreffpunkte des radioaktiven Niederschlags]] [[File:Zeitliche Abhängigkeit der Risikofunktion.gif|thumb|Das GIF zeigt die Zeitliche Abhängigkeit der Risikofunktion]] === Ziel der Modellierung === Ziel in dieser Modellierung war es, ein Modell zur räumlichen und zeitlichen Ausbreitung einer radioaktiv belasteten Wolke, sowie dessen Rain-Out, infolge einer Reaktorkatastrophe am (mittlerweile abgeschalteten) Kernkraftwerk in Philippsburg zu beschreiben. Unter zu Hilfenahme von Messwerten von dem Reaktorunglück in Tschernobyl und den Halbwertszeiten des radioaktiven Materials wurde der zeitliche Zerfall erfasst. Der Transport von radioaktiven Material wurde durch eine Kugel im <math> \mathbb{R}^3 </math> modelliert. Diese bewegt sich gemäss einer variablen Windrichtung (gegeben durch Winkel <math> \alpha </math>) und regnet sich nach einer gewissen Durchschnittsdauer ab. === Endresultat === Es wurde in drei Modellbildungszyklen eine Funktion zur Beschreibung der radioaktiven Belastung (repräsentativ für das Risiko) abgeleitet: <math>u(x,y,t,\alpha)=\frac{1480\cdot e^{-\frac{ln(2)}{30a} \cdot t}}{1+\frac{7}{10.000}\cdot (x^2+y^2)}+\frac{40\cdot e^{-\frac{ln(2)}{30a} \cdot t}}{1+\frac{1}{7.500}\cdot ((x-1080cos(\alpha))^2+(y-1080sin(\alpha))^2)}</math>. Letztlich erhält man also eine Funktion die in ihrem Ausgabewert <math>z=u(x,y,t,\alpha)</math> abhängig von 4 Eingabewerten <math>x, y, t, \alpha </math> ist. ==Modellbildung in der Schule== ===Einbindung in den Lehrplan=== Die mathematische Modellbildung ist stark in den Mathematik-Lehrplan für Schulen in Rheinland-Pfalz integriert (hier wird sich an dem Lehrplan für Sekundarstufe II orientiert <ref> Ministerium für Bildung, Wissensachft, Weiterbildung und Kultur (2015), Lehrplan Mathematik. Grund- und Leistungsfach in der gymnasialen Oberstufe (Mainzer Studienstufe) </ref>). Im Bezug zu Problemlösen im Mathematikunterricht und Mathematik im fachübergreifenden Kontext, sollen Anwendungsbeispiele Einzug halten, die Schülerinnen und Schülern aus anderen Fächern bekannt sind. In diesem Zusammenhang wird mathematische Modellbildung als Methode zur Lösung von solchen Anwendungsproblemen genannt. ===Konkreter Themenbezug=== Zu folgenden mathematischen Themengebieten wird explizit Mathematischen Modellbildung zur unterrichtlichen Umsetzung erwähnt: * Exponentialfunktionen (Wachstums- und Zerfallsprozesse) * Matrizenrechnung (zum Beispiel Input-Output-Analysen, Zustandsübergangsprozesse oder Populationsentwicklung) * Differential- und Integralrechnung (lineare oder logistische Wachstumsprozesse) ===Computereinsatz im Lehrplan=== Auch der Einsatz von computergestützten Hilfs- und Lösungsmitteln im Zuge der Modellbildung wird betont. (Bemerke: Auch im Lehrplan wird ein vergleichbarer Modellbildungszyklus vorgestellt und beschrieben. Bei Bedarf kann dieser auf Seite 15-16<ref> Ministerium für Bildung, Wissensachft, Weiterbildung und Kultur (2015), Lehrplan Mathematik. Grund- und Leistungsfach in der gymnasialen Oberstufe (Mainzer Studienstufe). </ref> nachgelesen werden) ===Zugang zur Bildung für Nachhaltigen Entwicklung=== Durch die Möglichkeit fachübergreifende Fragestellungen zu behandeln und Prozesse der Realität in den Blick zu nehmen, kann mathematische Modellbildung die Brücke zur Bildung für Nachhaltigen Entwicklung (BNE) schlagen. ====Bildung für Nachhaltige Entwicklung==== "Die BNE zielt grundsätzlich darauf ab, es jedem und jeder Einzelnen zu ermöglichen, die Folgen des eigenen Handelns auf die Welt sowie intra- und intergenerationell zu verstehen, verantwortungsvolle Entscheidungen zu treffen und aktiv zu werden." <ref> Ministerium für Bildung. Bildung für nachhaltige Entwicklung. Online abrufbar unter: https://bm.rlp.de/unsere-schwerpunkte/bildung-fuer-nachhaltige-entwicklung </ref> ====BNE und Modellbildung==== Mathematische Modellbildung kann unter praktischer Anwendung von gelernten Inhalten im Schulunterricht zu BNE beitragen, indem eben gezielt Probleme adressiert werden und von Schülerinnen und Schülern eigenständig untersucht werden. ==Ziel und Organisation des Seminars== ===Ziel und Aufgabe=== In Kleingruppen (3-4 Personen) sollen aussermathematische Fragestellungen mit einer eigenen mathematischen Modellbildung behandelt werden. Dazu sollen drei Modellbildungszyklen mit unterschiedlichem Grad an Vereinfachung und unterschiedlicher Mathematischen Grundlage erstellt werden: * Zyklus: Mathematik der Sekundarstufe 1 (Mittelstufe) * Zyklus: Mathematik der Sekundarstufe 2 (Oberstufe) * Zyklus: Universitätsmathematik Entsprechend soll sich die Mathematik in der Modellierung steigern. ====Integration von Software==== In jedem Zyklus sollen computergestützte Untersuchungen und Betrachtungen Einzug erhalten. Somit bietet es sich an in insgesamt auch drei verschiedene Programme (Tabellenkalkulation, GeoGebra, RStudio, Maxima,...) zu integrieren - an manchen stellen lässt sich dies gar nicht vermeiden. ===Themenwahl=== Das Thema sollte einen weltlichen Bezug haben. Am besten eigenen sich Themen aus dem jeweiligen Zweitfach (s. Verbindung zu anderen Schulfächern im Lehrplan). Das Thema sollte nachhaltige Entwicklung im Rahmen der Sustainable Development Goals adressieren. Siehe dazu: https://www.bundesumweltministerium.de/themen/nachhaltigkeit/nachhaltigkeitsziele-sdgs Vorzugsweise: Räumliche Risikobetrachtungen in Desaster- und Katastrophenszenarien. Das Thema sollte sich nicht mit denen der vergangenen Semestern doppeln. Zur Orientierung und Inspiration finden sich hier die Projekte der vergangenen Semester: :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2026 Sommersemester|2026 Sommersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2025-26 Wintersemester|2025/26 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2024-25 Wintersemester|2024/25 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2023-24 Wintersemester|2023/24 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2022-23 Winteresemester|2022/23 Wintersemester]]''' ===Portfolio=== Während des Semesters soll in Gruppenarbeit die Modellbildung durchgeführt werden. Diese wird schriftlich in einem Portfolio festgehalten. Dies Portfolio wird, genau wie dieser Artikel auch, in einem Wikiversity Artikel dokumentiert. Dieser sollte folgendes enthalten: ====Inhalt Portfolio==== * Einleitung: Beschreibung und Einordnung des Themas & welche(s) SDG wird adressiert und warum? * Ziel der Modellierung: Welches Problem wird in der Modellierung / den einzelnen Zyklen konkret angegangen? * Zyklus 1-3: ** Mathematisches Modell (welche Mathematischen Objekte werden betrachtet, wie ergeben die sich,...) ** Ergebnisse (Ableiten von Resultaten aus dem Modell) ** Bewertung der Ergebnisse ** Grenzen und Limitationen ** Ausblick für nächsten Zyklus (welche Limitationen und Probleme aus dem Zyklus werden im folgenden adressiert?) ====Integration Computersoftware==== In allen Punkten der Modellzyklen können Programme computergestützte Tools verwendet werden. Zur Erstellung von Wiki-Seiten ist folgende Seite hilfreich: https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:Textgestaltung ===Prüfung=== Die Prüfung gliedert sich in zwei Aspekte: * '''Vorstellung von ausgewählten Teilen aus dem eigenen Portfolio''' - diese werden von den Prüfer:innen aus dem Portfolio der Studierenden ausgewählt. * '''Diskussion und Fragen''' der Prüfer:innen zu dem Portfolio, z.B. zu Teilen des Portfolios, die in der Vorstellung nicht behandelt werden können. Ein Portfolio kann aus Zeitgründen nie vollständig in der Prüfung dargestellt werden. ====Inhalt==== In der mündlichen Portfolio-Prüfung wird geprüft, ob * das eigene Modell verstanden ist, * das eigene Modell kritisch hinterfragt werden kann, * die Limitationen des Modells begründet und nachvollziehbar wiedergegeben werden können, * die Übergänge zwischen den Zyklen beschrieben und begründet werden können, * die technische Umsetzung reproduziert und erklärt werden kann, * ... . ====Präsentation==== Es ist also wichtig zu wissen, was wie an welcher Stelle und mit welchem Zweck in der Modellierung gemacht wurde! Das Portfolio (Wiki-Seite) wird somit konkret vorgestellt. Eine Präsentation des Portfolio kann automatisch mit Wiki2Reveal erstellt werden. === Unterstützungsangebot === * Das Unterstützungsangebot erfolgt in der Lehrveranstaltung zur "Mathematischen Modellbildung". * Eine individuelle Sonderbehandlung für einzelne Studierende, die das Angebot der Vorlesung nicht nutzen und kurz vor Prüfungsbeginn noch "schnell" ein Portfolio zusammenstellen wollen, ist aus zeitlichen Gründen kurz vor der Prüfung nicht möglich. * Portfolioprüfungen der Lehrveranstaltung beziehen sich immer auf das erstellte Portfolio im laufende Semester und bei Wiederholungsprüfungen auf das Semester, in dem Portfolio erstellt wurde. * Eine Prüfung kann nur zu dem eigenen erstellten Portfolio in der Lehrveranstaltung abgelegt werden, an dessen Erstellung man aktiv mitgearbeitet hat. ===Ablauf des Seminars=== Der Seminarablauf über das Semester gestaltet sich grob wie folgt: * 1. Woche (19.10.): Einführungsveranstaltung + Gruppenfindung * 2. Woche (26.10.): Themenfindung * 3. Woche (02.11.): Themenfindung + Zyklen festlegen * 4. Woche (09.11.): Zyklen festlegen * 5. Woche (16.11.): Kurzvorstellung der Themen und Zyklen (5 Minuten pro Gruppe) Ab Woche 6 (23.11.) bis Ende des Semesters wird gemeinsam an den Modellen und dem Portfolio gearbeitet. ====Zeitplan==== Empfehlenswert wäre es, die letzten 2-3 Wochen für Finalisierungsarbeiten zu nutzen und entsprechend frühzeitig zu planen! Ausschliesslich während der Seminarzeiten an dem Modell und Portfolio zu arbeiten wird nicht ausreichen! Die Kurzpräsentationen am 16.11. umfassen den aktuellen Stand der Überlegungen und sind noch unter keinen Umständen verbindlich. Stattdessen dient es einfach zur Grundlage von gemeinsamer Diskussion und zur Einbringung von weiteren Ideen. ==Hilfreiche Links== ===Fachmathematische Aspekte === Wenn man das Modellierungsproblem in den Mittelpunkt stellt und die Fragestellung den Nachhaltigkeitszielen der UN zuordnet, kommen z.T. fachmathematische Aspekte erforderlich, die nicht in der jeweiligen Schulstufe bzw. in den Vorlesungen behandelt wurden. Dies Kapitel erhält Hinweise zu fachmathematischen Bereichen, die für die mathematische Modellbildung ggf. als Werkzeug verwendet werden können * '''[[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]''' dienen dazu, Datenpunkte im <math>\R^2</math> oder allgemein im <math>\R^n</math> zu [[w:Interpolation_(Mathematik)|interpolieren]]. * '''[https://en.wikiversity.org/wiki/3D_Modelling 3D Modellierung für Projektinhalte]''' und [[w:Projektive_Geometrie|projektive Geometrie]] zur Visualisierung * '''[[Gradientenabstiegsverfahren]]''': Wird verwendet, um sich in der mathematischen Modellbildung iterativ einem Minimum einer Kosten- oder Fehlerfunktion anzunähern. * [[w:Lineare_Optimierung|'''Lineare Optimierung''']] wird in Optimierungshaufgaben wie beispielsweise bei der Suche nach Minimum der Produktionskosten verwendet. Hierbei wird in allgemeinem nach einem Minimium/Maximum einer linearer Zielfunktion über einer Menge gesucht. [https://www.geogebra.org/m/kr727992 '''Ein Beispiel in Geogebra'''] *[[Räumliche Diffusion|'''Räumliche Diffusion''']] *[[Modelle_der_Populationsdynamik|'''Modelle der Populationsdynamik''']] - [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Modelle%20der%20Populationsdynamik&author=Kurs:R%C3%A4umliche%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes (Wiki2Reveal-Folien)] - [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Stochastik/Wahrscheinlichkeitsdichte|Wahrscheinlichkeitsdichte]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Wahrscheinlichkeitsdichte&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wahrscheinlichkeitsdichte&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ===Softwarenutzung === Im PC-Praktikum wurden grundlegende Kenntnisse im Umgang mit Software erlangt, die für die Berechnung von mathematischen Modellen vorwendig sind. Diese Kenntnisse müssen ggf. auf das spezielle Modellierungsthema angepasst und erweitert werden. * '''[[CSV2Chart]]''' Aus CSV-Dateien mathematische Graphen in Wikiversity erstellen. * '''[[Maxima CAS]]''' enthält die verwendeten Werkzeuge und Kommandos eines Computeralgebrasystems (CAS), die die einzelnen Projekte in dem Modellbildungszyklus verwendet haben. * '''[https://sagecell.sagemath.org/ SageCell]''' Online-Umgebung zur Ausführung und Demonstration von Befehlen in R, Octave, Maxima, ... (Auswahl des Befehlssatzes auf der https://sagecell.sagemath.org/ SageCell-Seite] unten rechts auf dem Eingabefeld) * '''[[Statistikprogramm R]]''' enthält die verwendeten Werkzeuge und Kommandos, die für Berechnungen und Veranschaulichungen in den Projekten verwendet haben. * '''[[Tabellenkalkulation]]''' werden in Portfolios in der Regel verwendet, um Daten in den Portfolios aufzubereiten. * '''[[Octave]]''' wird in der Regel verwendet, um numerische Berechnung in der Mathematischen Modellbildung durchzuführen. * '''[[Geogebra]]''' ist eine Dynamische Geometriesoftware, die zur vektoriellen Veranschaulichung von räumlichen Modellierungsproblemen oder auch zur parametrisierten Darstellung von Funktionen verwendet wird (Beispiel: [https://www.geogebra.org/m/e9b349k9 Parkplatzlösung in Geogebra von Shrey T (2017)]). * '''[[w:Screencast|Screencast]]''': Ein Screencast ist eine Bildschirmaufnahme mit Audiokommentaren, die zeigt, wie man z.B. Software bedient. Ein Screencast ist eine Hilfestellung für Lernende, die sich noch nicht so gut mit einer bestimmten Software auskennen. :* [https://obsproject.com/ '''Open Broadcast Software (OBS)''' - Linux, Windows, MacOSX ] - [[Konvexkombination|Beispielvideo in Wikiversity]] * [[v:en:3D_Modelling|'''3D-Modellbildung''' (englisch)]] * '''[http://niebert.github.io/imgmap/ Online-ImageMap-Editor]''' - Anklickbare Bereiche in Wikiversity-Bildern erstellen. * '''[https://openlayers.org/en/latest/examples/heatmap-earthquakes.html HeatMaps]:''' Erstellung von [https://niebert.github.io/openlayer_heatmap HeatMaps mit einem Online-Editor] (Download [https://github.com/niebert/openlayer_heatmap/archive/master.zip Heatmap-Editor und Beispieldaten in Ordner <tt>/HeatMap</tt> in ZIP-Datei]) * '''[[Wiki2Reveal]]:''' Portfolio-Präsentationen direkt im Wikiversity erstellen. ===Editierungshilfen=== * [https://latexeditor.lagrida.com/ Online-Formel-Editor für LaTeX-Formeln]<ref>Lagrida Web-Portal (2021) Online-Latex-Formel-Editor mit Vorschau - URL: https://latexeditor.lagrida.com/ (accessed 2021/11/21))</ref> - die erzeugten Formeln müssen in einen MATH-Tag mit <kbd><math> ...</math></kbd> eingeschlossen werden bei der Seiteneditierung. * [https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:TeX Mathematische Formeln in Wikiversity] * Textgestaltung in Wikis: https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:Textgestaltung ==Wiki2Reveal== * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung2627|Kurs:Mathematische Modellbildung2627]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung2627&author=&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung2627&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] == Verweise == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2026-27%20Wintersemester&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2026-27%20Wintersemester&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung Kurs:Mathematische Modellbildung]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2026-27%20Wintersemester&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] e73xuho30gxmjhjuhb7z7fahmjgjuaj 0 172370 1116423 1116050 2026-10-16T12:09:13Z Bocardodarapti 2041 1116423 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Damit eine Argumentation stichhaltig sein kann, müssen die verwendeten Begriffe klar und eindeutig festgelegt sein. Dazu dienen Definitionen. Definitionen kommen in allen Wissenschaften vor, aber auch in Gesetzen, Ausführungsbestimmungen, Spielanleitungen, Regelwerken. Es besteht ein großer Unterschied zu der {{Anführung|natürlichen Weise|SZ=,}} wie man im Allgemeinen die Bedeutung von Wörtern kennenlernt. Im natürlichen Spracherwerb lernt man neue Wörter, ihre Bedeutung und ihre Verwendung durch typische aussagekräftige Beispiele. Was ein Busch, ein Baum, ein Ast, ein Zweig ist, lernt man, indem auf diese Dinge gezeigt wird und sie entsprechend benannt werden. Wenn der Spracherwerb fortgeschritten ist, kann man Begriffe auch beschreibend einführen, wenn man beispielsweise sagt, ein Nadelbaum ist ein Baum mit einer bestimmten {{Anführung|nadelförmigen}} Blätterform. Komplexere Konzepte wie {{Anführung|Begründung|SZ=,}} {{Anführung|Analogie|SZ=,}} {{Anführung|Hierarchie}} werden durch typische Beispiele vermittelt. Dieser Begriffserwerb funktioniert erstaunlich gut. Es braucht nur einige wenige Beispielsituationen, um zu vermitteln, wann man eher Baum oder eher Busch sagt. Das liegt daran, dass die Objekte in der visuellen Wahrnehmung eine große Distanz zueinander besitzen und es wenige Grenzfälle gibt. Es sei bemerkt, dass eine KI ähnlich operiert und ziemlich schnell lernt, wann sie bei einem Foto Baum oder Busch oder Hund oder Katze sagen soll. Eine wissenschaftliche Definition ist etwas grundsätzlich anderes als eine solche Beschreibung durch typische Beipiele. In einer Definition wird ein Begriff {{ Zusatz/Klammer |text=ein neues Wort| |ISZ=|ESZ= }} dadurch festgelegt, dass logisch-sprachlich fixiert wird, in welcher Situation dieser Begriff welche Bedeutung besitzt. Dabei wird oft Bezug auf zuvor eingeführte Begriffe genommen. Eine Definition ist nur dann korrekt, wenn in grundsätzlich jeder Situation stets klar ist, wie der Begriff zu verstehen ist. Ein Bezug auf Beispiele gehört nie zur Definition! Aber: Beispiele sind zur groben Orientierung, was mit der Definition gemeint ist, zum Verständnis sehr wichtig, und zwar sowohl Beispiele, die unter die Definition fallen, als auch Beispiele, die nicht unter die Definition fallen. Die geforderte Klarheit einer Definition erfordert nicht, dass jeder Mensch in jeder Situation einfach entscheiden kann, ob die Definition zutrifft oder nicht, sondern nur, dass grundsätzlich nur das eine oder das andere gelten kann. Wenn man beispielsweise sagt, eine natürliche Zahl {{math|term= x |SZ=}} heißt eine Quadratzahl, wenn es eine natürliche Zahl {{math|term= y |SZ=}} mit {{ Relationskette | x || y^2 || || || |SZ= }} gibt, so kann das grundsätzlich sein oder nicht sein. Ob es einen einfachen Test dafür gibt, zu entscheiden, ob beispielsweise {{mathl|term= 243 049 |SZ=}} eine Quadratzahl ist, wird damit nicht gesagt oder gefordert. Häufig, und dies trifft insbesondere in der elementaren Mathemtik auf, werden in wissenschaftlichen Definitionen Begriffe eingeführt, die man aus dem Alltag oder aus der Schule schon kennt, für die man ein Vorverständnis hat, die intuitiv zugänglich sind, die zumindest eine Assoziationskette auslösen. Zwischen einer Definition und der intuitiven Vorstellung treten folgende Diskrepanzen auf {{ Zusatz/{{{zusatz1|}}} |text={{:Mathematik/Prinzipien/Intuition/Bemerkung}}| |ISZ=|ESZ=. }} {{ Aufzählung3 |Der intuitive Zugang hat sich anhand von Beispielen entwickelt. Es ist häufig überraschend, wie die begriffliche Fixierung aussieht. |Es ist zu überprüfen, ob die Definition mit dem intuitiv Gemeinten übereinstimmt. |Die Situation, in der die Definition fixiert wird, weicht von den Situationen ab, in denen die Vokabel intuitiv verwendet wird. }} Es ist ein wichtiger Aspekt des Lernprozesses, diese Diskrepanzen wahrzunehmen und zu überwinden. Einige Beobachtungen zu diesen Punkten: (1) Sprachliche Präzision erfordert eine enorme geistige Anstrengung. Es ist einfacher, {{Anführung|sowas wie}} zu sagen. (2) Im wissenschaftlichen Kontext ist immer die Definition das Maß der Dinge, die Intuition muss sich weiterentwickeln. (3) Z.B. ist {{math|term= 0 |SZ=}} eine Quadratzahl, das hört sich für manche Leute komisch an, oder Primzahlen werden innerhalb der ganzen Zahlen definiert. Wir besprechen einige Beispiele aus nichtmathematischen Bereichen. {{ inputbeispiel |Abseits/Definition/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Mord/Definition/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Reim/Definition/Beispiel|| }} In diesem Kurs werden wir alle mathematischen Begriffe von Grund auf neu einführen und definieren. Insbesondere am Anfang werden wir aber auch Begriffe unter Bezug auf Schulwissen verwenden. Dies ist sinnvoll, um von Anfang an für den Gesamtkurs wichtige Sachverhalte an komplexen Beispielen erläutern zu können. So haben wir in der letzten Vorlesung die natürlichen Zahlen mit ihrer Addition und Multiplikation verwendet, ohne diese definiert zu haben. Wir werden aber diesen Zahlbereich und die darin auftretenden Operationen bald systematisch einführen. Eine mathematische Definition ist so aufgebaut, das ein neuer Begriff mit seiner präzisen Bedeutung beschrieben wird. In der Bedeutungsbeschreibung wird auf zuvor eingeführte Begriffe Bezug genommen. In einem mathematischen Text wird eine Definition {{ Zusatz/Klammer |text=so wie alle anderen Strukturelemente| |ISZ=|ESZ= }} herausgestellt, abgesetzt und nummeriert. Das neu eingeführte Wort wird kursiv gesetzt {{ Zusatz/Klammer |text=oder unterstrichen| |ISZ=|ESZ=. }} {{ inputdefinition |Quadratzahl/Definition|| }} {{ inputdefinition |Primzahl/Lexikalisch/Definition|| }} In diesen beiden Beispielen werden die natürlichen Zahlen vorausgesetzt, in der ersten über das Symbol {{math|term= \N |SZ=,}} in der zweiten direkt. In der ersten Definition wird auf die Quadrierung {{ Relationskette/display | n^2 || n \cdot n || || || |SZ= }} und damit auf die Multiplikation Bezug genommen, in der zweiten wird auf Teiler und damit letztlich ebenfalls auf die Multiplikation Bezug genommen. In einem systematischen Aufbau, wie wir ihn verfolgen werden, muss man also zuerst diese Konzepte eingeführt haben, bevor man die obigen Definitionen hinschreiben darf. Beide Definitionen legen eindeutig fest, ob eine natürliche Zahl eine Quadratzahl bzw. eine Primzahl ist. Eine fixierte natürliche Zahl {{math|term= y |SZ=}} besitzt entweder die Form {{ Relationskette | y || n^2 || || || |SZ= }} mit einer natürlichen Zahl {{math|term= n |SZ=,}} oder aber nicht. Dies ist letztlich eine Existenzaussage: Gibt es ein {{math|term= n |SZ=}} mit der Eigenschaft {{ Relationskette | y || n^2 || || || |SZ= }} oder nicht. Die Definition macht keine Aussage, wie man das {{Anführung|geschickt}} entscheiden kann, oder ob man die Menge aller Quadratzahlen einfach aufzählen kann. Bei der Definition der Primzahl wird Bezug auf die Zahl {{math|term= 2 |SZ=}} genommen, indem gefordert wird, dass genau zwei Teiler vorliegen. Hier muss man also wissen, dass man mit natürlichen Zahlen Anzahlen zählen kann. Da eine Zahl {{math|term= x |SZ=}} die {{math|term= 1 |SZ=}} und sich selbst als Teiler besitzt, bedeutet die Definition, dass {{math|term= x |SZ=}} von {{math|term= 1 |SZ=}} verschieden ist {{ Zusatz/Klammer |text=da die {{math|term= 1 |SZ=}} ja nur einen Teiler hat| |ISZ=|ESZ= }} und dass gleichzeitig {{math|term= x |SZ=}} nur die beiden trivialen Teiler hat, nämlich {{math|term= 1 |SZ=}} und {{math|term= x |SZ=.}} Häufig wird eine Primzahl auch so definiert. Grundsätzlich kann man ein Konzept auf mehrere äquivalente Arten definieren. Man muss sich aber in einem mathematischen Kontext entscheiden, was man als eine Definition ansieht und was dann eine äquivalente Charakterisierung ist. Im gegebenen Beispiel gibt es fast keinen Unterschied zwischen der hingeschriebenen Definition und der anschließend erwähnten alternativen Definitionsmöglichkeit. Eine Definition gilt für den gesamten folgenden Kontext: Immer, wenn irgendwann im Anschluss das Wort Quadratzahl vorkommt, ist die Bedeutung immer durch diese eine Definition festgelegt. Wenn man also eine Aussage über Quadratzahlen beweisen will, wie etwa, dass das Produkt von Quadratzahlen wieder eine Quadratzahl ist, so muss man sowohl in der Voraussetzung als auch in der Folgerung die Definition von Quadratzahl verwenden. {{ inputbemerkung |Definition/Sprachliche Gestalt/Primzahl und Strom/Bemerkung|| }} {{ inputbemerkung |Definition/Gütekriterien/Bemerkung|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Prinzipien der Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd |pdf= }} p3aw6x9oovkfjg11ms5oxyhm6bf84xx 106 172635 1116556 1116402 2026-10-17T09:23:29Z Bert Niehaus 20843 /* Hinweis zur Beweisidee */ 1116556 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Das Injektivitätslemmas für Wege mit Kreisscheiben wird für den [[Kurs:Funktionentheorie/Spurüberdeckungslemma|Spurüberdeckungslemma]] von Wegen benötigt. Die geometrische Grundidee besteht darin, zu jedem Spurpunkt <math>\gamma(t_o)</math> eine abgeschlossene Kreisscheibe <math>D_r(\gamma(t_o))</math> als Umgebung <math>\gamma(t_o)</math> mit passendem Radius <math>r > 0</math> zu finden, dessen Urbild <math>\gamma^{-1}\big( D_r(\gamma(t_o))\big)</math> nur aus ''einer'' Zusammenhangskomponente besteht <math>[t_o-\delta_1 , t_o+\delta_2 ] </math> mit <math>\delta_1, \delta_2 > 0</math> besteht. === Animation === Bei großem Radius <math>r \geq 1.2 </math> enthält die grüne Kreisscheibe noch zwei [[w:de:Zusammenhangskomponente|Zusammenhangskomponenten]]. Für <math>r \leq 1.1</math> enthält die Kreisscheibe <math>D_r(\gamma_o))</math> nur noch eine [[w:de:Zusammenhangskomponente|Zusammenhangskomponente]]. [[File:Umgebung injektiver weg.gif|350px|center|Injective Path and intersection with a disk with radius r - GIF Animaiton created Geogebra 4 on Linux]] === Bemerkung zur Animation === Die folgende Animation zeigt mit einem schrumpfenden Radius <math>r > 0 </math>, dass die abgeschlossene Kreisscheibe <math>\overline{D_r(\gamma(t_o))}</math> mit größeren Radius zwei disjunkte abgeschlossene Teilmengen der <math>Spur(\gamma)</math> enthält. Damit besteht das Urbild <math>\gamma^{-1}\big( \overline{D_r(\gamma(t_o))} \big)</math> der Kreisscheibe in dem Beispiel aus zwei disjunkten abgeschlossenen Teilmengen <math>[a_0,b_0]</math> und <math>[a_1,b_1]</math> aus <math>[a,b]</math> (Abgeschlossenheit wegen Stetigkeit von <math>\gamma</math>). Im Allgemeinen kann das Urbild <math>\gamma^{-1}\big( D_r(\gamma(t_o))\big)</math> also notwendig [[w:de:wegzusammenhängend|zusammenhängend]] und besteht aus mehr als einer [[w:de:Zusammenhangskomponente|Zusammenhangskomponente]]. === Bemerkung zu Zusammenhangskomponenten === Das Urbild <math>\gamma^{-1}\big( \overline{D_r(\gamma(t_o))} \big)</math> ist nie leer, da es zumindest <math>t_o</math> enthält. Damit enthält das Urbild zumindest eine Zusammenhangskomponente <math>[a_0,b_0]</math> mit <math>t_0\in [a_0,b_0]\subseteq [a,b] </math>. Für den Beweis durch Widerspruch nimmt an, dass es für beliebige Radien <math>r > 0 </math> mindestens zwei Zusammenhangskomponenten im Urbild <math>\gamma^{-1}\big( \overline{D_r(\gamma(t_o))} \big)</math> gibt und führt das zum Widerspruch zur Injektivität von <math>\gamma</math>. === Bemerkung - nicht-injektive Wege === Bei Wegen <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math>, die nicht injektiv sind, gibt es mindestens zwei Argumente <math>t_1,t_2\in [a,b]</math> mit <math>t_1\not= t_2</math> und <math>\gamma(t_1)=\gamma(t_2)</math>. In <math>t_2</math> schneidet der Weg erneut die eigene Spur in <math>\gamma(t_1)</math>. In diesem Fall kann man kein <math>r_o > 0 </math> finden, sodass für alle <math>0 \leq r \leq r_o</math> immer aus mindestens zwei Zusammenhangskomponenten besteht. Die Injektivität ist also eine wesentliche Voraussetzung für das Injektivitätslemma. == Injektivitätslemma für Wege == Sei <math> \gamma: [a, b] \to G </math> ein '''injektiver Weg''' in einem Gebiet <math>G</math>. Dann gibt es für jeden Spurpunkt <math> \gamma(t_o) </math> einer Radius <math>r_0 > 0 </math>, sodass jede abgeschlossen Kreisscheibe <math> \overline{D_r(\gamma(t_o))} </math> um <math> \gamma(t_o) </math> mit Radius <math> r \leq r_0 </math> nur eine [[w:de:Zusammenhangskomponente|Zusammenhangskomponente]] der [[Weg (Mathematik)#Spur|Spur]] enthält und somit <math>\delta_1,\delta_2\geq 0</math> existieren, mit: :<math> [t_o-\delta_1,t_o+\delta_2] = \gamma^{-1}\big(\overline{D_r(\gamma(t_o))}\big) </math> == Beweis == Sei <math> D_t := D_{r_t}(\gamma(t)) </math> offene Kreisscheibe um <math> \gamma(t) </math> mit Radius <math> r_t > 0 </math> und <math> \overline{D_t} </math> die abgeschlossen Kreisscheibe um <math> \gamma(t) </math> mit Radius <math> r_t > 0</math>. === Schritt 1 - Voraussetzungen === Sei <math> \gamma </math> ein injektiver Weg, d. h.: * <math> \gamma </math> ist injektiv, * <math> \gamma </math> ist [[Stetigkeit|stetig]] (d.h. Urbilder <math> \gamma^{-1}(U) </math> von offenen Menge <math>U\subseteq \mathbb{C}</math> sind offen). === Schritt 2 - Definition der Kreisscheibe === Sei <math> \gamma(t_0) = z_0 </math> ein Spurpunkt. In dem Beweis muss man zu jedem <math>t_0\in [a,b]</math> einer Radius <math>r_0 > 0</math> finden, sodass das Urbild von abgeschlossenen Kreisscheiben <math> \overline{D_r\big(\gamma(t_0)\big)}</math> um <math> z_0 </math> mit beliebigen Radius <math> r_t > 0 </math> wählen. Diese Kreischeiben sind wie folgt definiert: :<math> D_r(z_0) := \{ z \in \mathbb{C} \mid | z - z_0 | < r \} \quad \quad \overline{D_r(z_0)} = \{ z \in \mathbb{C} \mid | z - z_0 | \leq r \} </math> === Schritt 3 - Urbilder abgeschlossener Mengen === Bei stetigen Funktionen <math>\gamma</math> sind die [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Stetigkeit von Abbildungen in topologischen Räumen#KorrolarStetigkeit|Urbilder abgeschlossener Mengen]] wieder abgeschlossen. Damit sind * <math>\gamma^{-1}(D_r(z_0))</math> für beliebige offene Kreisscheiben offene Mengen und * <math>\gamma^{-1}(\overline{D_r(z_0)}) </math> für beliebige abgeschlossene Kreisscheiben abgeschlossene Mengen in <math>[a,b]</math>. Dabei wird die [[Normen, Metriken, Topologie#Relativtopologie|Relativtopologie]] von <math>\mathbb{R}</math> eingeschränkt auf <math>[a,b]</math> verwendet (z.B. ist dann <math>[a,\varepsilon)</math> eine offene Menge in <math>[a,b]</math>). === Schritt 4 - Schnitte von abgeschlossenen Mengen === Beliebige Vereinigungen <math>\bigcup_{i\in I} U_i</math> von offenen Mengen <math>U_i</math> sind wieder offen (siehe (T3) der [[topologischer Raum|Definition von topologischen Räumen]]). Damit sind auch beliebige Schnitte <math>\bigcap_{i\in I} A_i</math> von abgeschlossenen Mengen <math>A_i</math> mit <math>i\in I</math> sind wieder abgeschlossen. Angewendet auf Kreisschreiben <math>D_r\big(\gamma(t)\big)\subset G \subseteq \mathbb{C}</math> mit <math>I:= \{ r > 0 \, : \, r \leq r_o \}</math> gilt: :<math> \{\gamma(t_o)\} = \bigcap_{r \in I} A_r = \bigcap_{r \in I } \overline{D_r\big(\gamma(t_o)\big)} = \bigcap_{n\in \mathbb{N}, \, \tfrac{1}{n} \leq r_0 } \overline{D_{\tfrac{1}{n}}\big(\gamma(t_o)\big)} </math> === Schritt 5 - Urbilder von abgeschlossenen Kreisschreiben === Die Urbilder <math>\gamma^{-1}\big(\overline{D_r(t_o)}\big)</math> von abgeschlossenen Kreisschreiben <math>\overline{D_r(t_o)}</math> sind auch bei injektiven Wegen [[w:de:wegzusammenhängend|nicht notwendig zusammenhängend]] in <math>[a,b]</math> (wenn z.B. der Weg <math>\gamma</math> ab einer Parameterschranke <math> t_1 > t_0</math> die abgeschlossene Kreisscheibe "verlässt" (d.h. <math>\gamma(\widehat{t_1})\notin \overline{D_t(\varepsilon)}</math> für bestimmte <math> \widehat{t_1} > t_1 </math> - siehe Animation oben) und dann ab einer weiteren Parameterschranke <math> t_2 > t_1</math> für bestimmte <math> \widehat{t_2} \geq t_2 </math> die Bildpunkte <math>\gamma(\widehat{t_2})</math> wieder in der Kreisscheibe <math>\overline{D_r(t_o)}</math> liegt. Analog kann Weg <math>\gamma(t)</math> auch für <math>t < t_1 < t_0</math> die abgeschlossenen Kreissscheibe <math>\overline{D_r(t_o)}</math> verlassen und für <math> t\leq t_2 < t_1 </math> kann <math>\gamma(t)</math> wieder in <math>\overline{D_r(t_o)}</math> liegen. === Schritt 6 - Urbilder und Zusammenhangskomponenten === Man nimmt nun an, dass das Urbild <math>\gamma^{-1}\big(\overline{D_r(t_o)}\big)</math> aus mehr als einer [[w:de:Zusammenhangskomponente|Zusammenhangskomponenten]] besteht, wobei es für alle <math>r \leq r_0</math> mindestens zwei Zusammenhangskomponenten <math>[a_0(r),b_0(r)], [a_1(r),b_1(r)] \subseteq [a,b]</math> mit <math>[a_0(r),b_0(r)] \cap [a_1(r),b_1(r)] = \emptyset </math>, die im <math>i\not=j</math>, wobei beide Intervalle für beliebige <math>0 < r \leq r_0 </math> nicht leer sind und ohne Einschränkung liegt <math>t_0</math> in <math>[a_0(r),b_0(r)]</math>. === Schritt 7 - Injektivität des Weges === Wegen der Injektivität von <math>\gamma</math> kann <math>\gamma(t_0)</math> nun in einer Zusammenhangskomponente liegen. Nach Schritt 6 gilt <math>t_0 \in [a_0(r),b_0(r)]</math> und man erhält mit <math>\gamma(t_0) \in \gamma([a_0(r),b_0(r)])</math> auch <math>t_0\notin [a_1(r),b_1(r)]</math> bzw. <math>\gamma([a_0(r),b_0(r)])\cap \gamma( [a_1(r),b_1(r)]) =\emptyset</math> nach Definition der Intervalle. Für <math>0 < r < R \leq r_0 </math> gilt ferner: :<math> \emptyset \not= [a_0(r),b_0(r)] \subseteq [a_0(R),b_0(R)] \quad \quad \emptyset \not= [a_1(r),b_1(r)] \subseteq [a_1(R),b_1(R)] </math> === Schritt 8 - Durchschnitt abgeschlossener Mengen === Nach Schritt 4 ist der Durchschnitt von abgeschlossenen Mengen wieder abgeschlossen und damit gilt: :<math> t_0 \in \bigcap_{r \in I } \, [a_0(r),b_0(r)] \quad t_1 \in \bigcap_{r \in I } \, [a_1(r),b_1(r)] </math> Wegen der Disjunktheit von <math>[a_0(r),b_0(r)]</math> und <math>[a_1(r),b_1(r)]</math> gilt auch <math>t_0\not= t_1</math>. === Schritt 9 - Widerspruch zur Injektivität === Der Widerspruch zur Injektivität von <math>\gamma</math> entsteht durch Schritt 4 mit: :<math> \{\gamma(t_o)\} = \bigcap_{r \in I} A_r = \bigcap_{r \in I } \overline{D_r\big(\gamma(t_o)\big)} </math> und der Urbildfunktion :<math> \gamma^{-1}\big(\{\gamma(t_o)\}\big) = \gamma^{-1}\left( \bigcap_{r \in I} \overline{D_r\big(\gamma(t_o)\big)}\right) = \bigcap_{r \in I } \gamma^{-1}\left(\overline{D_r\big(\gamma(t_o)\big)}\right) \supseteq \{t_0,t_1\} </math> Damit wäre die Injektivität veretzt, da <math>t_0\not= t_1</math> gilt, aber <math>\gamma(t_0) = \gamma(t_1)</math>. === Schritt 10 - Radiusschranke === Damit besteht das Urbild von <math>\overline{D_r(\gamma(t_o))}</math> aber einer Indexschranke <math> r \leq r_o</math> nur noch aus einer Zusammenhangskomponente in <math>[a,b]</math> und ist mit der Stetigkeit von <math>\gamma</math> ein abgeschossenes Intervall <math>[t_o-\delta_1,t_o+\delta_2]</math>, dass man mit <math>\delta_1,\delta_2\geq 0</math> wie folgt darstellen kann: :<math> [t_o-\delta_1,t_o+\delta_2] = \gamma^{-1}\big(\overline{D_r(\gamma(t_o))}\big) \quad \Box </math> == Bemerkung - Umgebung einer Spur == Mit dem Injektivitätslemma kann eine <math>\varepsilon -</math>-Umgebung einer Spur eines Weges <math>\gamma</math> bestimmen. Sei <math>\gamma : [a,b] \to G</math> ein Weg in dem Gebiet <math>G</math>, dann gibt es ein <math>\varepsilon > 0 </math>: :<math> U_\varepsilon (\gamma) = \{ z_0 \in \mathbb{C} \, : \, \inf_{z\in Spur(\gamma)} |z-z_0| < \varepsilon \} \subseteq G </math> Wichtig bei der Aussage ist, dass es ein globales <math>\varepsilon > 0</math> gibt, dass den Abtand von beliebigen Spurpunkten <math>\gamma(t)</math> zum Rand beschreibt. D.h. ein Weg als stetige Abbildung <math>[a,b]</math> in <math>G</math> kann sich mit der Spur nicht beliebig nah an den Rand des Gebietes annähern. === Aufgabe für Studierende === Beweisen Sie die obige Bemerkung für die Umgebung der Spur und nutzen Sie dazu die Kompaktheit der Spur aus. === Hinweis zur Beweisidee === Beliebige offene Überdeckungen der Spur besitzen endliche Teilüberdeckungen. Bei den diesen Überdeckungen schaut man sich den Kreisschnittdurchmesser an und verwendet das Minimum der endlichen nicht-leeren [[Kreisschnittdurchmesser]] als <math>\varepsilon</math>. <span id="Animation"></span> === Bemerkung - Ableitung und Einheitsnormalenvektoren === Über die Ableitung <math>\gamma{\,}'</math> eines Weges <math>\gamma</math> erhält man eine Richtungsvektor <math>\gamma{\,}'(t)</math> an dem Spurpunkt <math>\gamma(t)</math>. Zu diesem Richtungsvektor <math>\gamma{\,}'(t)</math> bildet man Einheitsnormalenvektoren und erzeugt so über Skalierung mit <math>\varepsilon > 0</math> eine <math>\varepsilon</math>-Umgebung um <math>Spur(\gamma)</math>. Die <math>\varepsilon</math>-Umgebung ist eine Vereinigung von alle <math>\varepsilon</math>-Kreisscheiben <math>D_\varepsilon(\gamma(t))</math> um Spurpunkte <math>\gamma(t)</math>. === Animation - Ableitung und Einheitsnormalenvektoren === == Siehe auch == * [[Identitätssatz für Logarithmen]] * [[Kreisschnittdurchmesser]] * [[Relativtopologie]] * [[Stetigkeit]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Stetigkeit von Abbildungen in topologischen Räumen#KorrolarStetigkeit|Stetigkeit - Urbilder abgeschlossener Mengen]] * [[Topologischer Raum]] * [[Weg (Mathematik)]] * [[w:de:wegzusammenhängend|wegzusammenhängend]] qndgudq3df8sr88k0qgvce8f31b3l1s 1116557 1116556 2026-10-17T09:39:13Z Bert Niehaus 20843 /* Animation - Ableitung und Einheitsnormalenvektoren */ 1116557 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Das Injektivitätslemmas für Wege mit Kreisscheiben wird für den [[Kurs:Funktionentheorie/Spurüberdeckungslemma|Spurüberdeckungslemma]] von Wegen benötigt. Die geometrische Grundidee besteht darin, zu jedem Spurpunkt <math>\gamma(t_o)</math> eine abgeschlossene Kreisscheibe <math>D_r(\gamma(t_o))</math> als Umgebung <math>\gamma(t_o)</math> mit passendem Radius <math>r > 0</math> zu finden, dessen Urbild <math>\gamma^{-1}\big( D_r(\gamma(t_o))\big)</math> nur aus ''einer'' Zusammenhangskomponente besteht <math>[t_o-\delta_1 , t_o+\delta_2 ] </math> mit <math>\delta_1, \delta_2 > 0</math> besteht. === Animation === Bei großem Radius <math>r \geq 1.2 </math> enthält die grüne Kreisscheibe noch zwei [[w:de:Zusammenhangskomponente|Zusammenhangskomponenten]]. Für <math>r \leq 1.1</math> enthält die Kreisscheibe <math>D_r(\gamma_o))</math> nur noch eine [[w:de:Zusammenhangskomponente|Zusammenhangskomponente]]. [[File:Umgebung injektiver weg.gif|350px|center|Injective Path and intersection with a disk with radius r - GIF Animaiton created Geogebra 4 on Linux]] === Bemerkung zur Animation === Die folgende Animation zeigt mit einem schrumpfenden Radius <math>r > 0 </math>, dass die abgeschlossene Kreisscheibe <math>\overline{D_r(\gamma(t_o))}</math> mit größeren Radius zwei disjunkte abgeschlossene Teilmengen der <math>Spur(\gamma)</math> enthält. Damit besteht das Urbild <math>\gamma^{-1}\big( \overline{D_r(\gamma(t_o))} \big)</math> der Kreisscheibe in dem Beispiel aus zwei disjunkten abgeschlossenen Teilmengen <math>[a_0,b_0]</math> und <math>[a_1,b_1]</math> aus <math>[a,b]</math> (Abgeschlossenheit wegen Stetigkeit von <math>\gamma</math>). Im Allgemeinen kann das Urbild <math>\gamma^{-1}\big( D_r(\gamma(t_o))\big)</math> also notwendig [[w:de:wegzusammenhängend|zusammenhängend]] und besteht aus mehr als einer [[w:de:Zusammenhangskomponente|Zusammenhangskomponente]]. === Bemerkung zu Zusammenhangskomponenten === Das Urbild <math>\gamma^{-1}\big( \overline{D_r(\gamma(t_o))} \big)</math> ist nie leer, da es zumindest <math>t_o</math> enthält. Damit enthält das Urbild zumindest eine Zusammenhangskomponente <math>[a_0,b_0]</math> mit <math>t_0\in [a_0,b_0]\subseteq [a,b] </math>. Für den Beweis durch Widerspruch nimmt an, dass es für beliebige Radien <math>r > 0 </math> mindestens zwei Zusammenhangskomponenten im Urbild <math>\gamma^{-1}\big( \overline{D_r(\gamma(t_o))} \big)</math> gibt und führt das zum Widerspruch zur Injektivität von <math>\gamma</math>. === Bemerkung - nicht-injektive Wege === Bei Wegen <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math>, die nicht injektiv sind, gibt es mindestens zwei Argumente <math>t_1,t_2\in [a,b]</math> mit <math>t_1\not= t_2</math> und <math>\gamma(t_1)=\gamma(t_2)</math>. In <math>t_2</math> schneidet der Weg erneut die eigene Spur in <math>\gamma(t_1)</math>. In diesem Fall kann man kein <math>r_o > 0 </math> finden, sodass für alle <math>0 \leq r \leq r_o</math> immer aus mindestens zwei Zusammenhangskomponenten besteht. Die Injektivität ist also eine wesentliche Voraussetzung für das Injektivitätslemma. == Injektivitätslemma für Wege == Sei <math> \gamma: [a, b] \to G </math> ein '''injektiver Weg''' in einem Gebiet <math>G</math>. Dann gibt es für jeden Spurpunkt <math> \gamma(t_o) </math> einer Radius <math>r_0 > 0 </math>, sodass jede abgeschlossen Kreisscheibe <math> \overline{D_r(\gamma(t_o))} </math> um <math> \gamma(t_o) </math> mit Radius <math> r \leq r_0 </math> nur eine [[w:de:Zusammenhangskomponente|Zusammenhangskomponente]] der [[Weg (Mathematik)#Spur|Spur]] enthält und somit <math>\delta_1,\delta_2\geq 0</math> existieren, mit: :<math> [t_o-\delta_1,t_o+\delta_2] = \gamma^{-1}\big(\overline{D_r(\gamma(t_o))}\big) </math> == Beweis == Sei <math> D_t := D_{r_t}(\gamma(t)) </math> offene Kreisscheibe um <math> \gamma(t) </math> mit Radius <math> r_t > 0 </math> und <math> \overline{D_t} </math> die abgeschlossen Kreisscheibe um <math> \gamma(t) </math> mit Radius <math> r_t > 0</math>. === Schritt 1 - Voraussetzungen === Sei <math> \gamma </math> ein injektiver Weg, d. h.: * <math> \gamma </math> ist injektiv, * <math> \gamma </math> ist [[Stetigkeit|stetig]] (d.h. Urbilder <math> \gamma^{-1}(U) </math> von offenen Menge <math>U\subseteq \mathbb{C}</math> sind offen). === Schritt 2 - Definition der Kreisscheibe === Sei <math> \gamma(t_0) = z_0 </math> ein Spurpunkt. In dem Beweis muss man zu jedem <math>t_0\in [a,b]</math> einer Radius <math>r_0 > 0</math> finden, sodass das Urbild von abgeschlossenen Kreisscheiben <math> \overline{D_r\big(\gamma(t_0)\big)}</math> um <math> z_0 </math> mit beliebigen Radius <math> r_t > 0 </math> wählen. Diese Kreischeiben sind wie folgt definiert: :<math> D_r(z_0) := \{ z \in \mathbb{C} \mid | z - z_0 | < r \} \quad \quad \overline{D_r(z_0)} = \{ z \in \mathbb{C} \mid | z - z_0 | \leq r \} </math> === Schritt 3 - Urbilder abgeschlossener Mengen === Bei stetigen Funktionen <math>\gamma</math> sind die [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Stetigkeit von Abbildungen in topologischen Räumen#KorrolarStetigkeit|Urbilder abgeschlossener Mengen]] wieder abgeschlossen. Damit sind * <math>\gamma^{-1}(D_r(z_0))</math> für beliebige offene Kreisscheiben offene Mengen und * <math>\gamma^{-1}(\overline{D_r(z_0)}) </math> für beliebige abgeschlossene Kreisscheiben abgeschlossene Mengen in <math>[a,b]</math>. Dabei wird die [[Normen, Metriken, Topologie#Relativtopologie|Relativtopologie]] von <math>\mathbb{R}</math> eingeschränkt auf <math>[a,b]</math> verwendet (z.B. ist dann <math>[a,\varepsilon)</math> eine offene Menge in <math>[a,b]</math>). === Schritt 4 - Schnitte von abgeschlossenen Mengen === Beliebige Vereinigungen <math>\bigcup_{i\in I} U_i</math> von offenen Mengen <math>U_i</math> sind wieder offen (siehe (T3) der [[topologischer Raum|Definition von topologischen Räumen]]). Damit sind auch beliebige Schnitte <math>\bigcap_{i\in I} A_i</math> von abgeschlossenen Mengen <math>A_i</math> mit <math>i\in I</math> sind wieder abgeschlossen. Angewendet auf Kreisschreiben <math>D_r\big(\gamma(t)\big)\subset G \subseteq \mathbb{C}</math> mit <math>I:= \{ r > 0 \, : \, r \leq r_o \}</math> gilt: :<math> \{\gamma(t_o)\} = \bigcap_{r \in I} A_r = \bigcap_{r \in I } \overline{D_r\big(\gamma(t_o)\big)} = \bigcap_{n\in \mathbb{N}, \, \tfrac{1}{n} \leq r_0 } \overline{D_{\tfrac{1}{n}}\big(\gamma(t_o)\big)} </math> === Schritt 5 - Urbilder von abgeschlossenen Kreisschreiben === Die Urbilder <math>\gamma^{-1}\big(\overline{D_r(t_o)}\big)</math> von abgeschlossenen Kreisschreiben <math>\overline{D_r(t_o)}</math> sind auch bei injektiven Wegen [[w:de:wegzusammenhängend|nicht notwendig zusammenhängend]] in <math>[a,b]</math> (wenn z.B. der Weg <math>\gamma</math> ab einer Parameterschranke <math> t_1 > t_0</math> die abgeschlossene Kreisscheibe "verlässt" (d.h. <math>\gamma(\widehat{t_1})\notin \overline{D_t(\varepsilon)}</math> für bestimmte <math> \widehat{t_1} > t_1 </math> - siehe Animation oben) und dann ab einer weiteren Parameterschranke <math> t_2 > t_1</math> für bestimmte <math> \widehat{t_2} \geq t_2 </math> die Bildpunkte <math>\gamma(\widehat{t_2})</math> wieder in der Kreisscheibe <math>\overline{D_r(t_o)}</math> liegt. Analog kann Weg <math>\gamma(t)</math> auch für <math>t < t_1 < t_0</math> die abgeschlossenen Kreissscheibe <math>\overline{D_r(t_o)}</math> verlassen und für <math> t\leq t_2 < t_1 </math> kann <math>\gamma(t)</math> wieder in <math>\overline{D_r(t_o)}</math> liegen. === Schritt 6 - Urbilder und Zusammenhangskomponenten === Man nimmt nun an, dass das Urbild <math>\gamma^{-1}\big(\overline{D_r(t_o)}\big)</math> aus mehr als einer [[w:de:Zusammenhangskomponente|Zusammenhangskomponenten]] besteht, wobei es für alle <math>r \leq r_0</math> mindestens zwei Zusammenhangskomponenten <math>[a_0(r),b_0(r)], [a_1(r),b_1(r)] \subseteq [a,b]</math> mit <math>[a_0(r),b_0(r)] \cap [a_1(r),b_1(r)] = \emptyset </math>, die im <math>i\not=j</math>, wobei beide Intervalle für beliebige <math>0 < r \leq r_0 </math> nicht leer sind und ohne Einschränkung liegt <math>t_0</math> in <math>[a_0(r),b_0(r)]</math>. === Schritt 7 - Injektivität des Weges === Wegen der Injektivität von <math>\gamma</math> kann <math>\gamma(t_0)</math> nun in einer Zusammenhangskomponente liegen. Nach Schritt 6 gilt <math>t_0 \in [a_0(r),b_0(r)]</math> und man erhält mit <math>\gamma(t_0) \in \gamma([a_0(r),b_0(r)])</math> auch <math>t_0\notin [a_1(r),b_1(r)]</math> bzw. <math>\gamma([a_0(r),b_0(r)])\cap \gamma( [a_1(r),b_1(r)]) =\emptyset</math> nach Definition der Intervalle. Für <math>0 < r < R \leq r_0 </math> gilt ferner: :<math> \emptyset \not= [a_0(r),b_0(r)] \subseteq [a_0(R),b_0(R)] \quad \quad \emptyset \not= [a_1(r),b_1(r)] \subseteq [a_1(R),b_1(R)] </math> === Schritt 8 - Durchschnitt abgeschlossener Mengen === Nach Schritt 4 ist der Durchschnitt von abgeschlossenen Mengen wieder abgeschlossen und damit gilt: :<math> t_0 \in \bigcap_{r \in I } \, [a_0(r),b_0(r)] \quad t_1 \in \bigcap_{r \in I } \, [a_1(r),b_1(r)] </math> Wegen der Disjunktheit von <math>[a_0(r),b_0(r)]</math> und <math>[a_1(r),b_1(r)]</math> gilt auch <math>t_0\not= t_1</math>. === Schritt 9 - Widerspruch zur Injektivität === Der Widerspruch zur Injektivität von <math>\gamma</math> entsteht durch Schritt 4 mit: :<math> \{\gamma(t_o)\} = \bigcap_{r \in I} A_r = \bigcap_{r \in I } \overline{D_r\big(\gamma(t_o)\big)} </math> und der Urbildfunktion :<math> \gamma^{-1}\big(\{\gamma(t_o)\}\big) = \gamma^{-1}\left( \bigcap_{r \in I} \overline{D_r\big(\gamma(t_o)\big)}\right) = \bigcap_{r \in I } \gamma^{-1}\left(\overline{D_r\big(\gamma(t_o)\big)}\right) \supseteq \{t_0,t_1\} </math> Damit wäre die Injektivität veretzt, da <math>t_0\not= t_1</math> gilt, aber <math>\gamma(t_0) = \gamma(t_1)</math>. === Schritt 10 - Radiusschranke === Damit besteht das Urbild von <math>\overline{D_r(\gamma(t_o))}</math> aber einer Indexschranke <math> r \leq r_o</math> nur noch aus einer Zusammenhangskomponente in <math>[a,b]</math> und ist mit der Stetigkeit von <math>\gamma</math> ein abgeschossenes Intervall <math>[t_o-\delta_1,t_o+\delta_2]</math>, dass man mit <math>\delta_1,\delta_2\geq 0</math> wie folgt darstellen kann: :<math> [t_o-\delta_1,t_o+\delta_2] = \gamma^{-1}\big(\overline{D_r(\gamma(t_o))}\big) \quad \Box </math> == Bemerkung - Umgebung einer Spur == Mit dem Injektivitätslemma kann eine <math>\varepsilon -</math>-Umgebung einer Spur eines Weges <math>\gamma</math> bestimmen. Sei <math>\gamma : [a,b] \to G</math> ein Weg in dem Gebiet <math>G</math>, dann gibt es ein <math>\varepsilon > 0 </math>: :<math> U_\varepsilon (\gamma) = \{ z_0 \in \mathbb{C} \, : \, \inf_{z\in Spur(\gamma)} |z-z_0| < \varepsilon \} \subseteq G </math> Wichtig bei der Aussage ist, dass es ein globales <math>\varepsilon > 0</math> gibt, dass den Abtand von beliebigen Spurpunkten <math>\gamma(t)</math> zum Rand beschreibt. D.h. ein Weg als stetige Abbildung <math>[a,b]</math> in <math>G</math> kann sich mit der Spur nicht beliebig nah an den Rand des Gebietes annähern. === Aufgabe für Studierende === Beweisen Sie die obige Bemerkung für die Umgebung der Spur und nutzen Sie dazu die Kompaktheit der Spur aus. === Hinweis zur Beweisidee === Beliebige offene Überdeckungen der Spur besitzen endliche Teilüberdeckungen. Bei den diesen Überdeckungen schaut man sich den Kreisschnittdurchmesser an und verwendet das Minimum der endlichen nicht-leeren [[Kreisschnittdurchmesser]] als <math>\varepsilon</math>. <span id="Animation"></span> === Bemerkung - Ableitung und Einheitsnormalenvektoren === Über die Ableitung <math>\gamma{\,}'</math> eines Weges <math>\gamma</math> erhält man eine Richtungsvektor <math>\gamma{\,}'(t)</math> an dem Spurpunkt <math>\gamma(t)</math>. Zu diesem Richtungsvektor <math>\gamma{\,}'(t)</math> bildet man Einheitsnormalenvektoren und erzeugt so über Skalierung mit <math>\varepsilon > 0</math> eine <math>\varepsilon</math>-Umgebung um <math>Spur(\gamma)</math>. Die <math>\varepsilon</math>-Umgebung ist eine Vereinigung von alle <math>\varepsilon</math>-Kreisscheiben <math>D_\varepsilon(\gamma(t))</math> um Spurpunkte <math>\gamma(t)</math>. === Animation - Ableitung und Einheitsnormalenvektoren === Für den injektiven Weg wird in der Animation mit gestrichelten Linien ein [[einfach zusammenhängend]]es Gebiet als Umgebung der Spur von <math>\gamma</math> erzeugt. Auf diesem Gebiet als Umgebung der Spur hat jede [[holomorphe Funktion]] eine Stammfunktion. [[File:Tangentialvektor spirale einheitsnormalenvektor epsilonumgebung.gif|350px|center|Tangent vector and normal vectors to create a epsilon neighborhood around a curve]] == Siehe auch == * [[Identitätssatz für Logarithmen]] * [[Kreisschnittdurchmesser]] * [[Relativtopologie]] * [[Stetigkeit]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Stetigkeit von Abbildungen in topologischen Räumen#KorrolarStetigkeit|Stetigkeit - Urbilder abgeschlossener Mengen]] * [[Topologischer Raum]] * [[Weg (Mathematik)]] * [[w:de:wegzusammenhängend|wegzusammenhängend]] iho1ps7nxq8ptue71bgn3b1fn4jxe9k 106 172700 1116453 1116356 2026-10-16T14:30:32Z Bert Niehaus 20843 /* Interpretation und Anwendung */ 1116453 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Für die Definition eines rekursiven Logarithmus auf <math>\mathbb{C}\setminus \{0\}</math> benötigt man die <math>logmod</math>-Funktion. Ähnlich wie bei der Periodizität Addition <math>+1</math> in Restklasse modulo <math>m</math> hat die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] über die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] die Periodizität <math>2\pi i</math>. Insgesamt wird diese Funktion verwendet, um algebraische Eigenschaften auf [[logmod-Äquivalenzklassen]] zu untersuchen, die als Repräsentantensystem <math>\mathbb{D}_1 := \mathbb{R} + i \cdot [0,2\pi) </math> verwenden. == Definition - logmod-Funktion == Sei eine komplexe Zahl <math>z=z_1+iz_2\in \mathbb{C}</math> beliebig gewählt. Dann definiert man: :<math> \mathrm{logmod}(z)=k\in\mathbb{Z} \mbox{ mit } z_2 - k\cdot 2\pi i \in [0,2\pi i ) </math> === Erläuterung - logmod === Die <math>logmod</math>-Funktion gibt die Vielfachheit <math>k</math> von <math>2\pi i</math>, die man von dem Imaginärteil <math>z_2=\mathfrak{Im}(z)\in \mathbb{R}</math> von <math>z</math> abziehen muss, damit der Imaginärteil von <math>z-k\cdot 2\pi i</math> in dem halboffenen Intervall <math>[0,2\pi i ) </math> liegt. === Beispiele === * für reelle Zahlen <math>z\in\mathbb{R}</math> gilt <math>\mathrm{logmod}_{2\pi i}(z) = 0</math>. * für <math>z_1\in\mathbb{R}</math> und <math>z_2\in [0,2\pi)</math> gilt ebenfalls <math>\mathrm{logmod}_{2\pi i}(z) = 0</math>, z.B. <math>7+2i\in \mathbb{R}\times [0,2\pi)\cdot i</math> daher gilt <math>\mathrm{logmod}_{2\pi i}(7+2i) = 0</math>. * für <math>7+7i\in \mathbb{R}\times [0,2\pi)\cdot i</math> gilt <math>\mathrm{logmod}_{2\pi i}(7+7i) = 1</math> und <math>\mathrm{logmod}_{2\pi i}(7-21i) = -3</math>. === Bezug zur Restklassen und modulo-Rechnung === Wenn <math>14</math> liegt in der Restklasse <math>[2]_5</math> modulo <math>5</math> mit: :<math> [2]_5 := \{z\in \mathbb{Z} \, : \, \exist_{k\in \mathbb{Z}}\ 5\cdot k + 2 = z\} </math> Wenn man die Restklasse <math>r\in\{0,1,2,3,4\}</math> einer beliebigen ganzen Zahl <math>z\in \mathbb{Z}</math> modulo 5 sucht, bestimmen man die Vielfachheit <math>k\in\mathbb{Z}</math>, sodass <math>z-k\cdot \in \{0,1,2,3,4\}</math> in der Repräsentantenmenge der Restklasse liegt. == Bezug zur Exponentialfunktion == Die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] besitzt eine Periodizität von <math>2\pi i</math> (siehe [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]]). Wenn man den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige|negativen Hauptzweig]] algebraisch auf <math>\mathbb{D}_1</math> vervollständigt, kann man <math>\mathbb{C}\setminus \{0\}</math> bijektiv mit der Exponentialfunktion auf <math>\mathbb{D}_1</math> abbilden. Dabei definiert man: :<math>\mathbb{D}_1 := \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi i) = \{z_1+i\cdot z_2 \in \mathbb{C} \, :\, z_2\in [0,2\pi i)\,\, \}</math> und definert den zugehörigen Logarithmus wie folgt: :<math> \begin{array}{rrcl} \ln_1 : & \mathbb{C}\setminus \{0\} & \rightarrow & \mathbb{D}_1 \\ & z & \mapsto & \ln_1(z) = w \in \mathbb{D}_1 \mbox{ mit } e^w = z \end{array} </math> === Bemerkung - Stetigkeit und Differenzierbarkeit === Der [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#algebraischvollstaendig|algebraisch vervollständigte Logarithmus]] ist für alle Zahlen <math>z\in \mathbb{R}\setminus \{0\} \subset \mathbb{C} </math> nicht stetig und damit auch nicht komplex differenzierbar. Den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] als [[holomorphe Funktion]] erhält als eine holomorphe Funktion als Stammfunktion <math>f(z)=\tfrac{1}{z}</math> nur dann, wenn der Definitionbereich [[einfach zusammenhängend]] ist. == Gaußklammer-Definition von logmod == Die <math>logmod</math>-Funktion kann man über die [[w:de:Gaußklammer|Gaußklammer]] wie folgt ausdrücken: :<math>\mathrm{logmod}(z):=\left\lfloor \frac{\mathfrak{Im}(z)}{2\pi} \right\rfloor</math> === Bemerkung zur Definition === Die Gaußklammer wird in der obigen Definition auf einen Quotienten aus dem Imaginärteil <math>\mathfrak{Im}(z)\in\mathbb{R}</math> und <math>2\pi</math> als [[w:de:Reelle Zahlen|reelle Zahl]] angewendet, wobei <math>\left\lfloor \tfrac{\mathfrak{Im}(z)}{2\pi} \right\rfloor</math> die größte [[w:de:ganze Zahl|ganze Zahl]] ist, die kleiner oder gleich der reellen Zahl <math>\tfrac{\mathfrak{Im}(z)}{2\pi}</math> ist: :<math>\left\lfloor \tfrac{\mathfrak{Im}(z)}{2\pi} \right\rfloor := \max \left\{k\in\mathbb{Z} \mid k \leq \tfrac{\mathfrak{Im}(z)}{2\pi} \right\}\in \mathbb{Z}</math> == LogMod-Lemma == Sei <math>z\in \mathbb{C}</math> eine beliebige komplexe Zahl, dann die folgende Eigenschaft gilt: :<math> \mathfrak{Im}\left(z - \left\lfloor \frac{\mathfrak{Im}(z)}{2\pi} \right\rfloor \cdot 2\pi i \right) \in [0,2\pi) </math> == Beweis - LogMod-Lemma == In dem Beweis ist zu zeigen, dass der Imaginärteil <math>\mathfrak{Im}(z)</math> von einer komplexen Zahl <math>z\in \mathbb{C}</math> in dem halboffenen Intervall <math>[0,2\pi)</math> liegt, wenn man ein <math>logmod(z)</math>-Vielfaches von <math>2\pi i</math> von <math>z</math> subtrahiert. === Schritt 1 - Definition des Argumentes === Zunächst definiert man zur Vereinfachung der Notation das Argument des äußeren Imaginärteiles als <math>w\in \mathbb{C}</math>: :<math> w := z - \left\lfloor \frac{\mathfrak{Im}(z)}{2\pi} \right\rfloor \cdot 2\pi i </math> Zu zeigen ist nun die Eigenschaft: :<math> \mathfrak{Im}(w) \in [0, 2\pi) </math> === Schritt 2 - Real-Imaginärteilzerlegung === Man zerlegt nun <math> z </math> in seinen Real- und Imaginärteil. :<math> z = x + i y, \quad \text{mit } x, y \in \mathbb{R} </math> Dann gilt <math> \mathfrak{Re}(z) = x \in \mathbb{R} </math> und <math> \mathfrak{Im}(z) = y \in \mathbb{R} </math>. === Schritt 3 - Imaginärteilsubstitution im Ausdruck === Durch Ersetzen <math> \mathfrak{Im}(z) = y \in \mathbb{R} </math> in dem Ausdruck betrachtet man nun folgende Gleichung: :<math> w = z - \left\lfloor \frac{y}{2\pi} \right\rfloor \cdot 2\pi i </math> Setzt man ferner für <math> z </math> den Term <math> x + i y </math> ein, erhält man <math> \mathfrak{Im}(w) = y - 2\pi \cdot \left\lfloor \tfrac{y}{2\pi} \right\rfloor </math> durch folgende Umformung: :<math> w = x + i y - \left\lfloor \frac{y}{2\pi} \right\rfloor \cdot 2\pi i = \underbrace{x}_{=\mathfrak{Re}(w)} + i \underbrace{\left( y - 2\pi \cdot \left\lfloor \frac{y}{2\pi} \right\rfloor \right)}_{=\mathfrak{Im}(w)} </math> === Schritt 4 -Gaußklammereigenschaft anwenden === Wendet man nun die Definition der Gaußklammer Quotionenten <math>\frac{y}{2\pi} </math> für eine beliebige reelle Zahl <math> y \in \mathbb{R} </math> an, so gilt folgende Ungleichungskette: :<math> \left\lfloor \frac{y}{2\pi} \right\rfloor \leq \frac{y}{2\pi} < \left\lfloor \frac{y}{2\pi} \right\rfloor + 1 </math> Multipliziert man die Ungleichung mit einer positiven Zahl <math> 2\pi > 0 </math>, so bleibt die einzelnen Ungleichungen erhalten: :<math> 2\pi \cdot \left\lfloor \frac{y}{2\pi} \right\rfloor \leq y < 2\pi \cdot \left( \left\lfloor \frac{y}{2\pi} \right\rfloor + 1 \right) </math> === Schritt 5 - Subtraktion des Gaußklammerterms === Subtrahiert man nun eine reelle Zahl <math> 2\pi\cdot \left\lfloor \frac{y}{2\pi} \right\rfloor </math> von allen Termen der Ungleichungskette, so bleibt auch durch diese Operation die Ungleichungskette erhalten und es gilt: :<math> 0 \leq \underbrace{y - 2\pi \cdot \left\lfloor \frac{y}{2\pi} \right\rfloor}_{=\mathfrak{Im}(w)} < 2\pi </math> === Schritt 6 - Intervall und Imaginärteil === Das liefert nach Schritt 3 genau die gesuchte Ungleichung ist genau die gesuchte Eigenschaft aus der Behauptung, denn mit <math> 0 \leq \mathfrak{Im}(w) < 2\pi </math> gilt auch :<math> \mathfrak{Im}(w) = y - 2\pi \left\lfloor \frac{y}{2\pi} \right\rfloor \in [0, 2\pi) </math> bzw. durch Rückersetzung der Definition von <math>w</math> aus Schritt 1 folgt: :<math> \mathfrak{Im}\left(z - \left\lfloor \frac{\mathfrak{Im}(z)}{2\pi} \right\rfloor \cdot 2\pi i \right) \in [0, 2\pi) </math> == Interpretation und Anwendung == Die Verwendung der <math>logmod</math>-Funktion erlaubt es in der komplexen Analysis, insbesondere bei der Definition des [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#negativer_Hauptzweig|negativen Hauptzweigs]] des komplexen Logarithmus und der damit Verbundenen Periodizität der Exponentialfunktion Äquivalenzklassen :<math>[w]_0 =\{ \widehat{w}\in \mathbb{C} \, :\, \exist_{k\in \mathbb{Z}}\ : w-\widehat{w}=k\cdot 2\pi i \}</math> zu bilden, für dessen Elemente <math>e^w = e^{\widehat{w}}</math> gilt. === Bemerkung - Index für die Äquivalenzklassen === In der Definition der Äquivalenzklassen <math>[w]_0</math> wird der Index 0 verwendet. Die Bedeutung des Index wird erst bei genauerer Analyse des [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarithmus]] deutlich, denn dann werden Äquivalenzklassen der Form <math>[z]_1=[w]_0</math> betrachtet, wobei <math>\exp(w)=z</math> gilt und höherer Indizes durch Mehrfachverkettung der Exponentialfunktion entstehen. ==== Äquivalenzklassenindex 1 ==== Für den Äquivalenzklassenindex 1 von <math>[z]_1</math> fasst man alle <math>\widehat{w}\in \mathbb{C}</math> zusammen, die als Argument von der Exponentialfunktion <math>z=\exp(\widehat{w})</math> liefern :<math>[z]_1 =\{ \widehat{w}\in \mathbb{C} \, :\, \exist_{k\in \mathbb{Z}}\ : w-\widehat{w}=k\cdot 2\pi i \ \wedge \ \exp(w)=z \}</math> Weil die Äquivalenzklassen streng genommen Lösungsmengen einer Gleichung <math>\exp(\widehat{w})=z</math> bilden, kann formal sogar <math>[0]_1= \emptyset </math> bestimmen, da kein Element <math> \widehat{w}\in \mathbb{C}</math> mit <math>\exp(\widehat{w})=z</math> existiert. ==== Äquivalenzklassenindex 2 ==== Für den Äquivalenzklassenindex 1 von <math>[z]_1</math> fasst man alle <math>\widehat{w}\in \mathbb{C}</math> zusammen, die als Argument von der zweifachen Verkettung der Exponentialfunktion <math>z=\exp(\exp(\widehat{w}))</math> liefern. :<math>[z]_2 =\{ \widehat{w}\in \mathbb{C} \, :\, \exist_{k\in \mathbb{Z}}\ : w-\widehat{w}=k\cdot 2\pi i \ \wedge \ \exp(\exp(w))=z \}</math> Weil die Äquivalenzklassen streng genommen Lösungsmengen einer Gleichung <math>\exp(\widehat{w})=z</math> bilden, kann formal sogar <math>[0]_1= \emptyset </math> bestimmen, da kein Element <math> \widehat{w}\in \mathbb{C}</math> mit <math>\exp(\widehat{w})=z</math> existiert. ==== Beispiel - Äquivalenzklassenindex 3 ==== Sei <math>e_1:=e</math>, <math>e_2:=e^{e}</math> und <math>e_3:=e^{(e^e)}</math> für die Eulersche Zahl <math>e</math>. Für den entsprechenden Äquivalenzklassenindex gilt dann z.B. :<math> [e_1]_1 = [1]_0 \quad [e_2]_3 = [e_1]_2 = [1]_1 = [0]_0 = \{k\cdot 2\pi i \ : \ k\in \mathbb{Z} \} </math> Überprüft man <math>\widehat{w} \in [e_2]_3 = [0]_0 </math>, so erhält man: :<math> \exp(exp(exp(2\pi i \cdot k))) = \exp(\exp(1)) = \exp(e) = e^e = e_2 </math> === Beispiel - Anwendung logmod-Funktion === Sei <math> z = 5\pi i </math>, so gilt <math>\mathrm{logmod}(z)=2</math> und <math>z-\mathrm{logmod}(z)\cdot 2\pi = \pi i </math>. Die zugehörige Äquivalenzklasse <math>[z]_0</math> enthält die folgenden Elemente: :<math>[z]_0 = \{\ldots , -5\pi i, -3\pi i, -1\pi i , +1\pi i , +3\pi i, +5\pi i,+7\pi i, \ldots\}</math> Ferner gilt für alle <math>w\in [z]_0</math>, dass <math>e^w = e^{\pi i} = -1</math>. Im Hauptzweig als holomorphe Funktion ist der Logorithmus von <math>-1</math> nicht definiert. Allerdings ist der Logarithmus im der [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#allgebraischvollstaendig|algebraisch vervollständigten]] Funktionsdefinition definiert <math>\log(\pi i)=-1</math>. ==== Analogie zu Restklassen ==== Betrachtet man die Zahl <math>5</math>, so liegt diese in der Restklasse <math>[1]_2</math> modulo <math>2</math> mit: :<math> [1]_2 := \{z\in \mathbb{Z} \, : \, \exist_{k\in \mathbb{Z}}\ 2\cdot k + 1 = z\} </math> Modulo 2 gibt es nur zwei Restklassen <math>[1]_2</math> und <math>[0]_2</math>, da bei der Division durch 2 nur die Reste <math>r\in\{0,1\}</math> auftreten. In aufzählender Form kann man die Restklasse <math>[1]_2</math> wie folgt notieren: :<math>[1]_2 = \{\ldots , -5, -3, -1 , +1 , +3, +5,+7, \ldots\}</math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#algebraischvollstaendig|algebraisch vervollständigte Logarithmus]] * [[einfach zusammenhängend]] * [[w:de:Gaußklammer|Gaußklammer]] * [[holomorphe Funktion]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] * [[logmod-Äquivalenzklassen]] * [[Zweige des Logarithmus]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/logmod&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=logmod&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/logmod&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=logmod&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/logmod https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/logmod] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/logmod Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/logmod * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/logmod&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=logmod&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] hhsdcvd5ksqish8d5cukwrlzhgx62ns 1116455 1116453 2026-10-16T14:33:56Z Bert Niehaus 20843 /* Beispiel - Äquivalenzklassenindex 3 */ 1116455 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Für die Definition eines rekursiven Logarithmus auf <math>\mathbb{C}\setminus \{0\}</math> benötigt man die <math>logmod</math>-Funktion. Ähnlich wie bei der Periodizität Addition <math>+1</math> in Restklasse modulo <math>m</math> hat die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] über die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] die Periodizität <math>2\pi i</math>. Insgesamt wird diese Funktion verwendet, um algebraische Eigenschaften auf [[logmod-Äquivalenzklassen]] zu untersuchen, die als Repräsentantensystem <math>\mathbb{D}_1 := \mathbb{R} + i \cdot [0,2\pi) </math> verwenden. == Definition - logmod-Funktion == Sei eine komplexe Zahl <math>z=z_1+iz_2\in \mathbb{C}</math> beliebig gewählt. Dann definiert man: :<math> \mathrm{logmod}(z)=k\in\mathbb{Z} \mbox{ mit } z_2 - k\cdot 2\pi i \in [0,2\pi i ) </math> === Erläuterung - logmod === Die <math>logmod</math>-Funktion gibt die Vielfachheit <math>k</math> von <math>2\pi i</math>, die man von dem Imaginärteil <math>z_2=\mathfrak{Im}(z)\in \mathbb{R}</math> von <math>z</math> abziehen muss, damit der Imaginärteil von <math>z-k\cdot 2\pi i</math> in dem halboffenen Intervall <math>[0,2\pi i ) </math> liegt. === Beispiele === * für reelle Zahlen <math>z\in\mathbb{R}</math> gilt <math>\mathrm{logmod}_{2\pi i}(z) = 0</math>. * für <math>z_1\in\mathbb{R}</math> und <math>z_2\in [0,2\pi)</math> gilt ebenfalls <math>\mathrm{logmod}_{2\pi i}(z) = 0</math>, z.B. <math>7+2i\in \mathbb{R}\times [0,2\pi)\cdot i</math> daher gilt <math>\mathrm{logmod}_{2\pi i}(7+2i) = 0</math>. * für <math>7+7i\in \mathbb{R}\times [0,2\pi)\cdot i</math> gilt <math>\mathrm{logmod}_{2\pi i}(7+7i) = 1</math> und <math>\mathrm{logmod}_{2\pi i}(7-21i) = -3</math>. === Bezug zur Restklassen und modulo-Rechnung === Wenn <math>14</math> liegt in der Restklasse <math>[2]_5</math> modulo <math>5</math> mit: :<math> [2]_5 := \{z\in \mathbb{Z} \, : \, \exist_{k\in \mathbb{Z}}\ 5\cdot k + 2 = z\} </math> Wenn man die Restklasse <math>r\in\{0,1,2,3,4\}</math> einer beliebigen ganzen Zahl <math>z\in \mathbb{Z}</math> modulo 5 sucht, bestimmen man die Vielfachheit <math>k\in\mathbb{Z}</math>, sodass <math>z-k\cdot \in \{0,1,2,3,4\}</math> in der Repräsentantenmenge der Restklasse liegt. == Bezug zur Exponentialfunktion == Die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] besitzt eine Periodizität von <math>2\pi i</math> (siehe [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]]). Wenn man den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige|negativen Hauptzweig]] algebraisch auf <math>\mathbb{D}_1</math> vervollständigt, kann man <math>\mathbb{C}\setminus \{0\}</math> bijektiv mit der Exponentialfunktion auf <math>\mathbb{D}_1</math> abbilden. Dabei definiert man: :<math>\mathbb{D}_1 := \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi i) = \{z_1+i\cdot z_2 \in \mathbb{C} \, :\, z_2\in [0,2\pi i)\,\, \}</math> und definert den zugehörigen Logarithmus wie folgt: :<math> \begin{array}{rrcl} \ln_1 : & \mathbb{C}\setminus \{0\} & \rightarrow & \mathbb{D}_1 \\ & z & \mapsto & \ln_1(z) = w \in \mathbb{D}_1 \mbox{ mit } e^w = z \end{array} </math> === Bemerkung - Stetigkeit und Differenzierbarkeit === Der [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#algebraischvollstaendig|algebraisch vervollständigte Logarithmus]] ist für alle Zahlen <math>z\in \mathbb{R}\setminus \{0\} \subset \mathbb{C} </math> nicht stetig und damit auch nicht komplex differenzierbar. Den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] als [[holomorphe Funktion]] erhält als eine holomorphe Funktion als Stammfunktion <math>f(z)=\tfrac{1}{z}</math> nur dann, wenn der Definitionbereich [[einfach zusammenhängend]] ist. == Gaußklammer-Definition von logmod == Die <math>logmod</math>-Funktion kann man über die [[w:de:Gaußklammer|Gaußklammer]] wie folgt ausdrücken: :<math>\mathrm{logmod}(z):=\left\lfloor \frac{\mathfrak{Im}(z)}{2\pi} \right\rfloor</math> === Bemerkung zur Definition === Die Gaußklammer wird in der obigen Definition auf einen Quotienten aus dem Imaginärteil <math>\mathfrak{Im}(z)\in\mathbb{R}</math> und <math>2\pi</math> als [[w:de:Reelle Zahlen|reelle Zahl]] angewendet, wobei <math>\left\lfloor \tfrac{\mathfrak{Im}(z)}{2\pi} \right\rfloor</math> die größte [[w:de:ganze Zahl|ganze Zahl]] ist, die kleiner oder gleich der reellen Zahl <math>\tfrac{\mathfrak{Im}(z)}{2\pi}</math> ist: :<math>\left\lfloor \tfrac{\mathfrak{Im}(z)}{2\pi} \right\rfloor := \max \left\{k\in\mathbb{Z} \mid k \leq \tfrac{\mathfrak{Im}(z)}{2\pi} \right\}\in \mathbb{Z}</math> == LogMod-Lemma == Sei <math>z\in \mathbb{C}</math> eine beliebige komplexe Zahl, dann die folgende Eigenschaft gilt: :<math> \mathfrak{Im}\left(z - \left\lfloor \frac{\mathfrak{Im}(z)}{2\pi} \right\rfloor \cdot 2\pi i \right) \in [0,2\pi) </math> == Beweis - LogMod-Lemma == In dem Beweis ist zu zeigen, dass der Imaginärteil <math>\mathfrak{Im}(z)</math> von einer komplexen Zahl <math>z\in \mathbb{C}</math> in dem halboffenen Intervall <math>[0,2\pi)</math> liegt, wenn man ein <math>logmod(z)</math>-Vielfaches von <math>2\pi i</math> von <math>z</math> subtrahiert. === Schritt 1 - Definition des Argumentes === Zunächst definiert man zur Vereinfachung der Notation das Argument des äußeren Imaginärteiles als <math>w\in \mathbb{C}</math>: :<math> w := z - \left\lfloor \frac{\mathfrak{Im}(z)}{2\pi} \right\rfloor \cdot 2\pi i </math> Zu zeigen ist nun die Eigenschaft: :<math> \mathfrak{Im}(w) \in [0, 2\pi) </math> === Schritt 2 - Real-Imaginärteilzerlegung === Man zerlegt nun <math> z </math> in seinen Real- und Imaginärteil. :<math> z = x + i y, \quad \text{mit } x, y \in \mathbb{R} </math> Dann gilt <math> \mathfrak{Re}(z) = x \in \mathbb{R} </math> und <math> \mathfrak{Im}(z) = y \in \mathbb{R} </math>. === Schritt 3 - Imaginärteilsubstitution im Ausdruck === Durch Ersetzen <math> \mathfrak{Im}(z) = y \in \mathbb{R} </math> in dem Ausdruck betrachtet man nun folgende Gleichung: :<math> w = z - \left\lfloor \frac{y}{2\pi} \right\rfloor \cdot 2\pi i </math> Setzt man ferner für <math> z </math> den Term <math> x + i y </math> ein, erhält man <math> \mathfrak{Im}(w) = y - 2\pi \cdot \left\lfloor \tfrac{y}{2\pi} \right\rfloor </math> durch folgende Umformung: :<math> w = x + i y - \left\lfloor \frac{y}{2\pi} \right\rfloor \cdot 2\pi i = \underbrace{x}_{=\mathfrak{Re}(w)} + i \underbrace{\left( y - 2\pi \cdot \left\lfloor \frac{y}{2\pi} \right\rfloor \right)}_{=\mathfrak{Im}(w)} </math> === Schritt 4 -Gaußklammereigenschaft anwenden === Wendet man nun die Definition der Gaußklammer Quotionenten <math>\frac{y}{2\pi} </math> für eine beliebige reelle Zahl <math> y \in \mathbb{R} </math> an, so gilt folgende Ungleichungskette: :<math> \left\lfloor \frac{y}{2\pi} \right\rfloor \leq \frac{y}{2\pi} < \left\lfloor \frac{y}{2\pi} \right\rfloor + 1 </math> Multipliziert man die Ungleichung mit einer positiven Zahl <math> 2\pi > 0 </math>, so bleibt die einzelnen Ungleichungen erhalten: :<math> 2\pi \cdot \left\lfloor \frac{y}{2\pi} \right\rfloor \leq y < 2\pi \cdot \left( \left\lfloor \frac{y}{2\pi} \right\rfloor + 1 \right) </math> === Schritt 5 - Subtraktion des Gaußklammerterms === Subtrahiert man nun eine reelle Zahl <math> 2\pi\cdot \left\lfloor \frac{y}{2\pi} \right\rfloor </math> von allen Termen der Ungleichungskette, so bleibt auch durch diese Operation die Ungleichungskette erhalten und es gilt: :<math> 0 \leq \underbrace{y - 2\pi \cdot \left\lfloor \frac{y}{2\pi} \right\rfloor}_{=\mathfrak{Im}(w)} < 2\pi </math> === Schritt 6 - Intervall und Imaginärteil === Das liefert nach Schritt 3 genau die gesuchte Ungleichung ist genau die gesuchte Eigenschaft aus der Behauptung, denn mit <math> 0 \leq \mathfrak{Im}(w) < 2\pi </math> gilt auch :<math> \mathfrak{Im}(w) = y - 2\pi \left\lfloor \frac{y}{2\pi} \right\rfloor \in [0, 2\pi) </math> bzw. durch Rückersetzung der Definition von <math>w</math> aus Schritt 1 folgt: :<math> \mathfrak{Im}\left(z - \left\lfloor \frac{\mathfrak{Im}(z)}{2\pi} \right\rfloor \cdot 2\pi i \right) \in [0, 2\pi) </math> == Interpretation und Anwendung == Die Verwendung der <math>logmod</math>-Funktion erlaubt es in der komplexen Analysis, insbesondere bei der Definition des [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#negativer_Hauptzweig|negativen Hauptzweigs]] des komplexen Logarithmus und der damit Verbundenen Periodizität der Exponentialfunktion Äquivalenzklassen :<math>[w]_0 =\{ \widehat{w}\in \mathbb{C} \, :\, \exist_{k\in \mathbb{Z}}\ : w-\widehat{w}=k\cdot 2\pi i \}</math> zu bilden, für dessen Elemente <math>e^w = e^{\widehat{w}}</math> gilt. === Bemerkung - Index für die Äquivalenzklassen === In der Definition der Äquivalenzklassen <math>[w]_0</math> wird der Index 0 verwendet. Die Bedeutung des Index wird erst bei genauerer Analyse des [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarithmus]] deutlich, denn dann werden Äquivalenzklassen der Form <math>[z]_1=[w]_0</math> betrachtet, wobei <math>\exp(w)=z</math> gilt und höherer Indizes durch Mehrfachverkettung der Exponentialfunktion entstehen. ==== Äquivalenzklassenindex 1 ==== Für den Äquivalenzklassenindex 1 von <math>[z]_1</math> fasst man alle <math>\widehat{w}\in \mathbb{C}</math> zusammen, die als Argument von der Exponentialfunktion <math>z=\exp(\widehat{w})</math> liefern :<math>[z]_1 =\{ \widehat{w}\in \mathbb{C} \, :\, \exist_{k\in \mathbb{Z}}\ : w-\widehat{w}=k\cdot 2\pi i \ \wedge \ \exp(w)=z \}</math> Weil die Äquivalenzklassen streng genommen Lösungsmengen einer Gleichung <math>\exp(\widehat{w})=z</math> bilden, kann formal sogar <math>[0]_1= \emptyset </math> bestimmen, da kein Element <math> \widehat{w}\in \mathbb{C}</math> mit <math>\exp(\widehat{w})=z</math> existiert. ==== Äquivalenzklassenindex 2 ==== Für den Äquivalenzklassenindex 1 von <math>[z]_1</math> fasst man alle <math>\widehat{w}\in \mathbb{C}</math> zusammen, die als Argument von der zweifachen Verkettung der Exponentialfunktion <math>z=\exp(\exp(\widehat{w}))</math> liefern. :<math>[z]_2 =\{ \widehat{w}\in \mathbb{C} \, :\, \exist_{k\in \mathbb{Z}}\ : w-\widehat{w}=k\cdot 2\pi i \ \wedge \ \exp(\exp(w))=z \}</math> Weil die Äquivalenzklassen streng genommen Lösungsmengen einer Gleichung <math>\exp(\widehat{w})=z</math> bilden, kann formal sogar <math>[0]_1= \emptyset </math> bestimmen, da kein Element <math> \widehat{w}\in \mathbb{C}</math> mit <math>\exp(\widehat{w})=z</math> existiert. ==== Beispiel - Äquivalenzklassenindex 3 ==== Sei <math>e_1:=e</math>, <math>e_2:=e^{e}</math> und <math>e_3:=e^{(e^e)}</math> für die Eulersche Zahl <math>e</math>. Für den entsprechenden Äquivalenzklassenindex gilt dann z.B. :<math> [e_1]_1 = [1]_0 \quad [e_2]_3 = [e_1]_2 = [1]_1 = [0]_0 = \{k\cdot 2\pi i \ : \ k\in \mathbb{Z} \} </math> Überprüft man <math>\widehat{w} \in [e_2]_3 = [0]_0 </math>, so erhält man mit <math>\widehat{w} = 2\pi i \cdot k</math> und <math>k \in \mathbb{Z}</math>: :<math> \exp(exp(\underbrace{exp(2\pi i \cdot k)}_{=1})) = \exp(\underbrace{\exp(1)}_{=e}) = \exp(e) = e^e = e_2 </math> Die Berechnung der Dreifachverkettung gilt unabhängig von der Wahl <math>\widehat{w} = 2\pi i \cdot k</math>. === Beispiel - Anwendung logmod-Funktion === Sei <math> z = 5\pi i </math>, so gilt <math>\mathrm{logmod}(z)=2</math> und <math>z-\mathrm{logmod}(z)\cdot 2\pi = \pi i </math>. Die zugehörige Äquivalenzklasse <math>[z]_0</math> enthält die folgenden Elemente: :<math>[z]_0 = \{\ldots , -5\pi i, -3\pi i, -1\pi i , +1\pi i , +3\pi i, +5\pi i,+7\pi i, \ldots\}</math> Ferner gilt für alle <math>w\in [z]_0</math>, dass <math>e^w = e^{\pi i} = -1</math>. Im Hauptzweig als holomorphe Funktion ist der Logorithmus von <math>-1</math> nicht definiert. Allerdings ist der Logarithmus im der [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#allgebraischvollstaendig|algebraisch vervollständigten]] Funktionsdefinition definiert <math>\log(\pi i)=-1</math>. ==== Analogie zu Restklassen ==== Betrachtet man die Zahl <math>5</math>, so liegt diese in der Restklasse <math>[1]_2</math> modulo <math>2</math> mit: :<math> [1]_2 := \{z\in \mathbb{Z} \, : \, \exist_{k\in \mathbb{Z}}\ 2\cdot k + 1 = z\} </math> Modulo 2 gibt es nur zwei Restklassen <math>[1]_2</math> und <math>[0]_2</math>, da bei der Division durch 2 nur die Reste <math>r\in\{0,1\}</math> auftreten. In aufzählender Form kann man die Restklasse <math>[1]_2</math> wie folgt notieren: :<math>[1]_2 = \{\ldots , -5, -3, -1 , +1 , +3, +5,+7, \ldots\}</math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#algebraischvollstaendig|algebraisch vervollständigte Logarithmus]] * [[einfach zusammenhängend]] * [[w:de:Gaußklammer|Gaußklammer]] * [[holomorphe Funktion]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] * [[logmod-Äquivalenzklassen]] * [[Zweige des Logarithmus]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/logmod&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=logmod&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/logmod&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=logmod&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/logmod https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/logmod] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/logmod Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/logmod * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/logmod&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=logmod&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 20ze21f77rd1gmzhgu7ztfs6jz72k11 1116456 1116455 2026-10-16T14:34:58Z Bert Niehaus 20843 /* Beispiel - Äquivalenzklassenindex 3 */ 1116456 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Für die Definition eines rekursiven Logarithmus auf <math>\mathbb{C}\setminus \{0\}</math> benötigt man die <math>logmod</math>-Funktion. Ähnlich wie bei der Periodizität Addition <math>+1</math> in Restklasse modulo <math>m</math> hat die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] über die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] die Periodizität <math>2\pi i</math>. Insgesamt wird diese Funktion verwendet, um algebraische Eigenschaften auf [[logmod-Äquivalenzklassen]] zu untersuchen, die als Repräsentantensystem <math>\mathbb{D}_1 := \mathbb{R} + i \cdot [0,2\pi) </math> verwenden. == Definition - logmod-Funktion == Sei eine komplexe Zahl <math>z=z_1+iz_2\in \mathbb{C}</math> beliebig gewählt. Dann definiert man: :<math> \mathrm{logmod}(z)=k\in\mathbb{Z} \mbox{ mit } z_2 - k\cdot 2\pi i \in [0,2\pi i ) </math> === Erläuterung - logmod === Die <math>logmod</math>-Funktion gibt die Vielfachheit <math>k</math> von <math>2\pi i</math>, die man von dem Imaginärteil <math>z_2=\mathfrak{Im}(z)\in \mathbb{R}</math> von <math>z</math> abziehen muss, damit der Imaginärteil von <math>z-k\cdot 2\pi i</math> in dem halboffenen Intervall <math>[0,2\pi i ) </math> liegt. === Beispiele === * für reelle Zahlen <math>z\in\mathbb{R}</math> gilt <math>\mathrm{logmod}_{2\pi i}(z) = 0</math>. * für <math>z_1\in\mathbb{R}</math> und <math>z_2\in [0,2\pi)</math> gilt ebenfalls <math>\mathrm{logmod}_{2\pi i}(z) = 0</math>, z.B. <math>7+2i\in \mathbb{R}\times [0,2\pi)\cdot i</math> daher gilt <math>\mathrm{logmod}_{2\pi i}(7+2i) = 0</math>. * für <math>7+7i\in \mathbb{R}\times [0,2\pi)\cdot i</math> gilt <math>\mathrm{logmod}_{2\pi i}(7+7i) = 1</math> und <math>\mathrm{logmod}_{2\pi i}(7-21i) = -3</math>. === Bezug zur Restklassen und modulo-Rechnung === Wenn <math>14</math> liegt in der Restklasse <math>[2]_5</math> modulo <math>5</math> mit: :<math> [2]_5 := \{z\in \mathbb{Z} \, : \, \exist_{k\in \mathbb{Z}}\ 5\cdot k + 2 = z\} </math> Wenn man die Restklasse <math>r\in\{0,1,2,3,4\}</math> einer beliebigen ganzen Zahl <math>z\in \mathbb{Z}</math> modulo 5 sucht, bestimmen man die Vielfachheit <math>k\in\mathbb{Z}</math>, sodass <math>z-k\cdot \in \{0,1,2,3,4\}</math> in der Repräsentantenmenge der Restklasse liegt. == Bezug zur Exponentialfunktion == Die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] besitzt eine Periodizität von <math>2\pi i</math> (siehe [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]]). Wenn man den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige|negativen Hauptzweig]] algebraisch auf <math>\mathbb{D}_1</math> vervollständigt, kann man <math>\mathbb{C}\setminus \{0\}</math> bijektiv mit der Exponentialfunktion auf <math>\mathbb{D}_1</math> abbilden. Dabei definiert man: :<math>\mathbb{D}_1 := \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi i) = \{z_1+i\cdot z_2 \in \mathbb{C} \, :\, z_2\in [0,2\pi i)\,\, \}</math> und definert den zugehörigen Logarithmus wie folgt: :<math> \begin{array}{rrcl} \ln_1 : & \mathbb{C}\setminus \{0\} & \rightarrow & \mathbb{D}_1 \\ & z & \mapsto & \ln_1(z) = w \in \mathbb{D}_1 \mbox{ mit } e^w = z \end{array} </math> === Bemerkung - Stetigkeit und Differenzierbarkeit === Der [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#algebraischvollstaendig|algebraisch vervollständigte Logarithmus]] ist für alle Zahlen <math>z\in \mathbb{R}\setminus \{0\} \subset \mathbb{C} </math> nicht stetig und damit auch nicht komplex differenzierbar. Den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] als [[holomorphe Funktion]] erhält als eine holomorphe Funktion als Stammfunktion <math>f(z)=\tfrac{1}{z}</math> nur dann, wenn der Definitionbereich [[einfach zusammenhängend]] ist. == Gaußklammer-Definition von logmod == Die <math>logmod</math>-Funktion kann man über die [[w:de:Gaußklammer|Gaußklammer]] wie folgt ausdrücken: :<math>\mathrm{logmod}(z):=\left\lfloor \frac{\mathfrak{Im}(z)}{2\pi} \right\rfloor</math> === Bemerkung zur Definition === Die Gaußklammer wird in der obigen Definition auf einen Quotienten aus dem Imaginärteil <math>\mathfrak{Im}(z)\in\mathbb{R}</math> und <math>2\pi</math> als [[w:de:Reelle Zahlen|reelle Zahl]] angewendet, wobei <math>\left\lfloor \tfrac{\mathfrak{Im}(z)}{2\pi} \right\rfloor</math> die größte [[w:de:ganze Zahl|ganze Zahl]] ist, die kleiner oder gleich der reellen Zahl <math>\tfrac{\mathfrak{Im}(z)}{2\pi}</math> ist: :<math>\left\lfloor \tfrac{\mathfrak{Im}(z)}{2\pi} \right\rfloor := \max \left\{k\in\mathbb{Z} \mid k \leq \tfrac{\mathfrak{Im}(z)}{2\pi} \right\}\in \mathbb{Z}</math> == LogMod-Lemma == Sei <math>z\in \mathbb{C}</math> eine beliebige komplexe Zahl, dann die folgende Eigenschaft gilt: :<math> \mathfrak{Im}\left(z - \left\lfloor \frac{\mathfrak{Im}(z)}{2\pi} \right\rfloor \cdot 2\pi i \right) \in [0,2\pi) </math> == Beweis - LogMod-Lemma == In dem Beweis ist zu zeigen, dass der Imaginärteil <math>\mathfrak{Im}(z)</math> von einer komplexen Zahl <math>z\in \mathbb{C}</math> in dem halboffenen Intervall <math>[0,2\pi)</math> liegt, wenn man ein <math>logmod(z)</math>-Vielfaches von <math>2\pi i</math> von <math>z</math> subtrahiert. === Schritt 1 - Definition des Argumentes === Zunächst definiert man zur Vereinfachung der Notation das Argument des äußeren Imaginärteiles als <math>w\in \mathbb{C}</math>: :<math> w := z - \left\lfloor \frac{\mathfrak{Im}(z)}{2\pi} \right\rfloor \cdot 2\pi i </math> Zu zeigen ist nun die Eigenschaft: :<math> \mathfrak{Im}(w) \in [0, 2\pi) </math> === Schritt 2 - Real-Imaginärteilzerlegung === Man zerlegt nun <math> z </math> in seinen Real- und Imaginärteil. :<math> z = x + i y, \quad \text{mit } x, y \in \mathbb{R} </math> Dann gilt <math> \mathfrak{Re}(z) = x \in \mathbb{R} </math> und <math> \mathfrak{Im}(z) = y \in \mathbb{R} </math>. === Schritt 3 - Imaginärteilsubstitution im Ausdruck === Durch Ersetzen <math> \mathfrak{Im}(z) = y \in \mathbb{R} </math> in dem Ausdruck betrachtet man nun folgende Gleichung: :<math> w = z - \left\lfloor \frac{y}{2\pi} \right\rfloor \cdot 2\pi i </math> Setzt man ferner für <math> z </math> den Term <math> x + i y </math> ein, erhält man <math> \mathfrak{Im}(w) = y - 2\pi \cdot \left\lfloor \tfrac{y}{2\pi} \right\rfloor </math> durch folgende Umformung: :<math> w = x + i y - \left\lfloor \frac{y}{2\pi} \right\rfloor \cdot 2\pi i = \underbrace{x}_{=\mathfrak{Re}(w)} + i \underbrace{\left( y - 2\pi \cdot \left\lfloor \frac{y}{2\pi} \right\rfloor \right)}_{=\mathfrak{Im}(w)} </math> === Schritt 4 -Gaußklammereigenschaft anwenden === Wendet man nun die Definition der Gaußklammer Quotionenten <math>\frac{y}{2\pi} </math> für eine beliebige reelle Zahl <math> y \in \mathbb{R} </math> an, so gilt folgende Ungleichungskette: :<math> \left\lfloor \frac{y}{2\pi} \right\rfloor \leq \frac{y}{2\pi} < \left\lfloor \frac{y}{2\pi} \right\rfloor + 1 </math> Multipliziert man die Ungleichung mit einer positiven Zahl <math> 2\pi > 0 </math>, so bleibt die einzelnen Ungleichungen erhalten: :<math> 2\pi \cdot \left\lfloor \frac{y}{2\pi} \right\rfloor \leq y < 2\pi \cdot \left( \left\lfloor \frac{y}{2\pi} \right\rfloor + 1 \right) </math> === Schritt 5 - Subtraktion des Gaußklammerterms === Subtrahiert man nun eine reelle Zahl <math> 2\pi\cdot \left\lfloor \frac{y}{2\pi} \right\rfloor </math> von allen Termen der Ungleichungskette, so bleibt auch durch diese Operation die Ungleichungskette erhalten und es gilt: :<math> 0 \leq \underbrace{y - 2\pi \cdot \left\lfloor \frac{y}{2\pi} \right\rfloor}_{=\mathfrak{Im}(w)} < 2\pi </math> === Schritt 6 - Intervall und Imaginärteil === Das liefert nach Schritt 3 genau die gesuchte Ungleichung ist genau die gesuchte Eigenschaft aus der Behauptung, denn mit <math> 0 \leq \mathfrak{Im}(w) < 2\pi </math> gilt auch :<math> \mathfrak{Im}(w) = y - 2\pi \left\lfloor \frac{y}{2\pi} \right\rfloor \in [0, 2\pi) </math> bzw. durch Rückersetzung der Definition von <math>w</math> aus Schritt 1 folgt: :<math> \mathfrak{Im}\left(z - \left\lfloor \frac{\mathfrak{Im}(z)}{2\pi} \right\rfloor \cdot 2\pi i \right) \in [0, 2\pi) </math> == Interpretation und Anwendung == Die Verwendung der <math>logmod</math>-Funktion erlaubt es in der komplexen Analysis, insbesondere bei der Definition des [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#negativer_Hauptzweig|negativen Hauptzweigs]] des komplexen Logarithmus und der damit Verbundenen Periodizität der Exponentialfunktion Äquivalenzklassen :<math>[w]_0 =\{ \widehat{w}\in \mathbb{C} \, :\, \exist_{k\in \mathbb{Z}}\ : w-\widehat{w}=k\cdot 2\pi i \}</math> zu bilden, für dessen Elemente <math>e^w = e^{\widehat{w}}</math> gilt. === Bemerkung - Index für die Äquivalenzklassen === In der Definition der Äquivalenzklassen <math>[w]_0</math> wird der Index 0 verwendet. Die Bedeutung des Index wird erst bei genauerer Analyse des [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarithmus]] deutlich, denn dann werden Äquivalenzklassen der Form <math>[z]_1=[w]_0</math> betrachtet, wobei <math>\exp(w)=z</math> gilt und höherer Indizes durch Mehrfachverkettung der Exponentialfunktion entstehen. ==== Äquivalenzklassenindex 1 ==== Für den Äquivalenzklassenindex 1 von <math>[z]_1</math> fasst man alle <math>\widehat{w}\in \mathbb{C}</math> zusammen, die als Argument von der Exponentialfunktion <math>z=\exp(\widehat{w})</math> liefern :<math>[z]_1 =\{ \widehat{w}\in \mathbb{C} \, :\, \exist_{k\in \mathbb{Z}}\ : w-\widehat{w}=k\cdot 2\pi i \ \wedge \ \exp(w)=z \}</math> Weil die Äquivalenzklassen streng genommen Lösungsmengen einer Gleichung <math>\exp(\widehat{w})=z</math> bilden, kann formal sogar <math>[0]_1= \emptyset </math> bestimmen, da kein Element <math> \widehat{w}\in \mathbb{C}</math> mit <math>\exp(\widehat{w})=z</math> existiert. ==== Äquivalenzklassenindex 2 ==== Für den Äquivalenzklassenindex 1 von <math>[z]_1</math> fasst man alle <math>\widehat{w}\in \mathbb{C}</math> zusammen, die als Argument von der zweifachen Verkettung der Exponentialfunktion <math>z=\exp(\exp(\widehat{w}))</math> liefern. :<math>[z]_2 =\{ \widehat{w}\in \mathbb{C} \, :\, \exist_{k\in \mathbb{Z}}\ : w-\widehat{w}=k\cdot 2\pi i \ \wedge \ \exp(\exp(w))=z \}</math> Weil die Äquivalenzklassen streng genommen Lösungsmengen einer Gleichung <math>\exp(\widehat{w})=z</math> bilden, kann formal sogar <math>[0]_1= \emptyset </math> bestimmen, da kein Element <math> \widehat{w}\in \mathbb{C}</math> mit <math>\exp(\widehat{w})=z</math> existiert. ==== Beispiel - Äquivalenzklassenindex 3 ==== Sei <math>e_1:=e</math>, <math>e_2:=e^{e}</math> und <math>e_3:=e^{(e^e)}</math> für die Eulersche Zahl <math>e</math>. Für den entsprechenden Äquivalenzklassenindex gilt dann z.B. :<math> [e_1]_1 = [1]_0 \quad [e_2]_3 = [e_1]_2 = [1]_1 = [0]_0 = \{k\cdot 2\pi i \ : \ k\in \mathbb{Z} \} </math> Überprüft man <math>\widehat{w} \in [e_2]_3 = [0]_0 </math>, so erhält man mit <math>\widehat{w} = 2\pi i \cdot k</math> und <math>k \in \mathbb{Z}</math>: :<math> \exp(exp(\underbrace{exp(2\pi i \cdot k)}_{=1})) = \exp(\underbrace{\exp(1)}_{=e}) = \exp(e) = e^e = e_2 </math> Die Berechnung der Dreifachverkettung gilt unabhängig von der Wahl <math>\widehat{w} = 2\pi i \cdot k\in [e_2]_3</math>. === Beispiel - Anwendung logmod-Funktion === Sei <math> z = 5\pi i </math>, so gilt <math>\mathrm{logmod}(z)=2</math> und <math>z-\mathrm{logmod}(z)\cdot 2\pi = \pi i </math>. Die zugehörige Äquivalenzklasse <math>[z]_0</math> enthält die folgenden Elemente: :<math>[z]_0 = \{\ldots , -5\pi i, -3\pi i, -1\pi i , +1\pi i , +3\pi i, +5\pi i,+7\pi i, \ldots\}</math> Ferner gilt für alle <math>w\in [z]_0</math>, dass <math>e^w = e^{\pi i} = -1</math>. Im Hauptzweig als holomorphe Funktion ist der Logorithmus von <math>-1</math> nicht definiert. Allerdings ist der Logarithmus im der [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#allgebraischvollstaendig|algebraisch vervollständigten]] Funktionsdefinition definiert <math>\log(\pi i)=-1</math>. ==== Analogie zu Restklassen ==== Betrachtet man die Zahl <math>5</math>, so liegt diese in der Restklasse <math>[1]_2</math> modulo <math>2</math> mit: :<math> [1]_2 := \{z\in \mathbb{Z} \, : \, \exist_{k\in \mathbb{Z}}\ 2\cdot k + 1 = z\} </math> Modulo 2 gibt es nur zwei Restklassen <math>[1]_2</math> und <math>[0]_2</math>, da bei der Division durch 2 nur die Reste <math>r\in\{0,1\}</math> auftreten. In aufzählender Form kann man die Restklasse <math>[1]_2</math> wie folgt notieren: :<math>[1]_2 = \{\ldots , -5, -3, -1 , +1 , +3, +5,+7, \ldots\}</math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#algebraischvollstaendig|algebraisch vervollständigte Logarithmus]] * [[einfach zusammenhängend]] * [[w:de:Gaußklammer|Gaußklammer]] * [[holomorphe Funktion]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] * [[logmod-Äquivalenzklassen]] * [[Zweige des Logarithmus]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/logmod&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=logmod&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/logmod&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=logmod&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/logmod https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/logmod] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/logmod Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/logmod * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/logmod&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=logmod&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] lfz5kgw9mxzzxa8zt7ift342f0dzt9y 1116457 1116456 2026-10-16T14:35:31Z Bert Niehaus 20843 /* Beispiel - Anwendung logmod-Funktion */ 1116457 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Für die Definition eines rekursiven Logarithmus auf <math>\mathbb{C}\setminus \{0\}</math> benötigt man die <math>logmod</math>-Funktion. Ähnlich wie bei der Periodizität Addition <math>+1</math> in Restklasse modulo <math>m</math> hat die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] über die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] die Periodizität <math>2\pi i</math>. Insgesamt wird diese Funktion verwendet, um algebraische Eigenschaften auf [[logmod-Äquivalenzklassen]] zu untersuchen, die als Repräsentantensystem <math>\mathbb{D}_1 := \mathbb{R} + i \cdot [0,2\pi) </math> verwenden. == Definition - logmod-Funktion == Sei eine komplexe Zahl <math>z=z_1+iz_2\in \mathbb{C}</math> beliebig gewählt. Dann definiert man: :<math> \mathrm{logmod}(z)=k\in\mathbb{Z} \mbox{ mit } z_2 - k\cdot 2\pi i \in [0,2\pi i ) </math> === Erläuterung - logmod === Die <math>logmod</math>-Funktion gibt die Vielfachheit <math>k</math> von <math>2\pi i</math>, die man von dem Imaginärteil <math>z_2=\mathfrak{Im}(z)\in \mathbb{R}</math> von <math>z</math> abziehen muss, damit der Imaginärteil von <math>z-k\cdot 2\pi i</math> in dem halboffenen Intervall <math>[0,2\pi i ) </math> liegt. === Beispiele === * für reelle Zahlen <math>z\in\mathbb{R}</math> gilt <math>\mathrm{logmod}_{2\pi i}(z) = 0</math>. * für <math>z_1\in\mathbb{R}</math> und <math>z_2\in [0,2\pi)</math> gilt ebenfalls <math>\mathrm{logmod}_{2\pi i}(z) = 0</math>, z.B. <math>7+2i\in \mathbb{R}\times [0,2\pi)\cdot i</math> daher gilt <math>\mathrm{logmod}_{2\pi i}(7+2i) = 0</math>. * für <math>7+7i\in \mathbb{R}\times [0,2\pi)\cdot i</math> gilt <math>\mathrm{logmod}_{2\pi i}(7+7i) = 1</math> und <math>\mathrm{logmod}_{2\pi i}(7-21i) = -3</math>. === Bezug zur Restklassen und modulo-Rechnung === Wenn <math>14</math> liegt in der Restklasse <math>[2]_5</math> modulo <math>5</math> mit: :<math> [2]_5 := \{z\in \mathbb{Z} \, : \, \exist_{k\in \mathbb{Z}}\ 5\cdot k + 2 = z\} </math> Wenn man die Restklasse <math>r\in\{0,1,2,3,4\}</math> einer beliebigen ganzen Zahl <math>z\in \mathbb{Z}</math> modulo 5 sucht, bestimmen man die Vielfachheit <math>k\in\mathbb{Z}</math>, sodass <math>z-k\cdot \in \{0,1,2,3,4\}</math> in der Repräsentantenmenge der Restklasse liegt. == Bezug zur Exponentialfunktion == Die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] besitzt eine Periodizität von <math>2\pi i</math> (siehe [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]]). Wenn man den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige|negativen Hauptzweig]] algebraisch auf <math>\mathbb{D}_1</math> vervollständigt, kann man <math>\mathbb{C}\setminus \{0\}</math> bijektiv mit der Exponentialfunktion auf <math>\mathbb{D}_1</math> abbilden. Dabei definiert man: :<math>\mathbb{D}_1 := \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi i) = \{z_1+i\cdot z_2 \in \mathbb{C} \, :\, z_2\in [0,2\pi i)\,\, \}</math> und definert den zugehörigen Logarithmus wie folgt: :<math> \begin{array}{rrcl} \ln_1 : & \mathbb{C}\setminus \{0\} & \rightarrow & \mathbb{D}_1 \\ & z & \mapsto & \ln_1(z) = w \in \mathbb{D}_1 \mbox{ mit } e^w = z \end{array} </math> === Bemerkung - Stetigkeit und Differenzierbarkeit === Der [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#algebraischvollstaendig|algebraisch vervollständigte Logarithmus]] ist für alle Zahlen <math>z\in \mathbb{R}\setminus \{0\} \subset \mathbb{C} </math> nicht stetig und damit auch nicht komplex differenzierbar. Den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] als [[holomorphe Funktion]] erhält als eine holomorphe Funktion als Stammfunktion <math>f(z)=\tfrac{1}{z}</math> nur dann, wenn der Definitionbereich [[einfach zusammenhängend]] ist. == Gaußklammer-Definition von logmod == Die <math>logmod</math>-Funktion kann man über die [[w:de:Gaußklammer|Gaußklammer]] wie folgt ausdrücken: :<math>\mathrm{logmod}(z):=\left\lfloor \frac{\mathfrak{Im}(z)}{2\pi} \right\rfloor</math> === Bemerkung zur Definition === Die Gaußklammer wird in der obigen Definition auf einen Quotienten aus dem Imaginärteil <math>\mathfrak{Im}(z)\in\mathbb{R}</math> und <math>2\pi</math> als [[w:de:Reelle Zahlen|reelle Zahl]] angewendet, wobei <math>\left\lfloor \tfrac{\mathfrak{Im}(z)}{2\pi} \right\rfloor</math> die größte [[w:de:ganze Zahl|ganze Zahl]] ist, die kleiner oder gleich der reellen Zahl <math>\tfrac{\mathfrak{Im}(z)}{2\pi}</math> ist: :<math>\left\lfloor \tfrac{\mathfrak{Im}(z)}{2\pi} \right\rfloor := \max \left\{k\in\mathbb{Z} \mid k \leq \tfrac{\mathfrak{Im}(z)}{2\pi} \right\}\in \mathbb{Z}</math> == LogMod-Lemma == Sei <math>z\in \mathbb{C}</math> eine beliebige komplexe Zahl, dann die folgende Eigenschaft gilt: :<math> \mathfrak{Im}\left(z - \left\lfloor \frac{\mathfrak{Im}(z)}{2\pi} \right\rfloor \cdot 2\pi i \right) \in [0,2\pi) </math> == Beweis - LogMod-Lemma == In dem Beweis ist zu zeigen, dass der Imaginärteil <math>\mathfrak{Im}(z)</math> von einer komplexen Zahl <math>z\in \mathbb{C}</math> in dem halboffenen Intervall <math>[0,2\pi)</math> liegt, wenn man ein <math>logmod(z)</math>-Vielfaches von <math>2\pi i</math> von <math>z</math> subtrahiert. === Schritt 1 - Definition des Argumentes === Zunächst definiert man zur Vereinfachung der Notation das Argument des äußeren Imaginärteiles als <math>w\in \mathbb{C}</math>: :<math> w := z - \left\lfloor \frac{\mathfrak{Im}(z)}{2\pi} \right\rfloor \cdot 2\pi i </math> Zu zeigen ist nun die Eigenschaft: :<math> \mathfrak{Im}(w) \in [0, 2\pi) </math> === Schritt 2 - Real-Imaginärteilzerlegung === Man zerlegt nun <math> z </math> in seinen Real- und Imaginärteil. :<math> z = x + i y, \quad \text{mit } x, y \in \mathbb{R} </math> Dann gilt <math> \mathfrak{Re}(z) = x \in \mathbb{R} </math> und <math> \mathfrak{Im}(z) = y \in \mathbb{R} </math>. === Schritt 3 - Imaginärteilsubstitution im Ausdruck === Durch Ersetzen <math> \mathfrak{Im}(z) = y \in \mathbb{R} </math> in dem Ausdruck betrachtet man nun folgende Gleichung: :<math> w = z - \left\lfloor \frac{y}{2\pi} \right\rfloor \cdot 2\pi i </math> Setzt man ferner für <math> z </math> den Term <math> x + i y </math> ein, erhält man <math> \mathfrak{Im}(w) = y - 2\pi \cdot \left\lfloor \tfrac{y}{2\pi} \right\rfloor </math> durch folgende Umformung: :<math> w = x + i y - \left\lfloor \frac{y}{2\pi} \right\rfloor \cdot 2\pi i = \underbrace{x}_{=\mathfrak{Re}(w)} + i \underbrace{\left( y - 2\pi \cdot \left\lfloor \frac{y}{2\pi} \right\rfloor \right)}_{=\mathfrak{Im}(w)} </math> === Schritt 4 -Gaußklammereigenschaft anwenden === Wendet man nun die Definition der Gaußklammer Quotionenten <math>\frac{y}{2\pi} </math> für eine beliebige reelle Zahl <math> y \in \mathbb{R} </math> an, so gilt folgende Ungleichungskette: :<math> \left\lfloor \frac{y}{2\pi} \right\rfloor \leq \frac{y}{2\pi} < \left\lfloor \frac{y}{2\pi} \right\rfloor + 1 </math> Multipliziert man die Ungleichung mit einer positiven Zahl <math> 2\pi > 0 </math>, so bleibt die einzelnen Ungleichungen erhalten: :<math> 2\pi \cdot \left\lfloor \frac{y}{2\pi} \right\rfloor \leq y < 2\pi \cdot \left( \left\lfloor \frac{y}{2\pi} \right\rfloor + 1 \right) </math> === Schritt 5 - Subtraktion des Gaußklammerterms === Subtrahiert man nun eine reelle Zahl <math> 2\pi\cdot \left\lfloor \frac{y}{2\pi} \right\rfloor </math> von allen Termen der Ungleichungskette, so bleibt auch durch diese Operation die Ungleichungskette erhalten und es gilt: :<math> 0 \leq \underbrace{y - 2\pi \cdot \left\lfloor \frac{y}{2\pi} \right\rfloor}_{=\mathfrak{Im}(w)} < 2\pi </math> === Schritt 6 - Intervall und Imaginärteil === Das liefert nach Schritt 3 genau die gesuchte Ungleichung ist genau die gesuchte Eigenschaft aus der Behauptung, denn mit <math> 0 \leq \mathfrak{Im}(w) < 2\pi </math> gilt auch :<math> \mathfrak{Im}(w) = y - 2\pi \left\lfloor \frac{y}{2\pi} \right\rfloor \in [0, 2\pi) </math> bzw. durch Rückersetzung der Definition von <math>w</math> aus Schritt 1 folgt: :<math> \mathfrak{Im}\left(z - \left\lfloor \frac{\mathfrak{Im}(z)}{2\pi} \right\rfloor \cdot 2\pi i \right) \in [0, 2\pi) </math> == Interpretation und Anwendung == Die Verwendung der <math>logmod</math>-Funktion erlaubt es in der komplexen Analysis, insbesondere bei der Definition des [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#negativer_Hauptzweig|negativen Hauptzweigs]] des komplexen Logarithmus und der damit Verbundenen Periodizität der Exponentialfunktion Äquivalenzklassen :<math>[w]_0 =\{ \widehat{w}\in \mathbb{C} \, :\, \exist_{k\in \mathbb{Z}}\ : w-\widehat{w}=k\cdot 2\pi i \}</math> zu bilden, für dessen Elemente <math>e^w = e^{\widehat{w}}</math> gilt. === Bemerkung - Index für die Äquivalenzklassen === In der Definition der Äquivalenzklassen <math>[w]_0</math> wird der Index 0 verwendet. Die Bedeutung des Index wird erst bei genauerer Analyse des [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarithmus]] deutlich, denn dann werden Äquivalenzklassen der Form <math>[z]_1=[w]_0</math> betrachtet, wobei <math>\exp(w)=z</math> gilt und höherer Indizes durch Mehrfachverkettung der Exponentialfunktion entstehen. ==== Äquivalenzklassenindex 1 ==== Für den Äquivalenzklassenindex 1 von <math>[z]_1</math> fasst man alle <math>\widehat{w}\in \mathbb{C}</math> zusammen, die als Argument von der Exponentialfunktion <math>z=\exp(\widehat{w})</math> liefern :<math>[z]_1 =\{ \widehat{w}\in \mathbb{C} \, :\, \exist_{k\in \mathbb{Z}}\ : w-\widehat{w}=k\cdot 2\pi i \ \wedge \ \exp(w)=z \}</math> Weil die Äquivalenzklassen streng genommen Lösungsmengen einer Gleichung <math>\exp(\widehat{w})=z</math> bilden, kann formal sogar <math>[0]_1= \emptyset </math> bestimmen, da kein Element <math> \widehat{w}\in \mathbb{C}</math> mit <math>\exp(\widehat{w})=z</math> existiert. ==== Äquivalenzklassenindex 2 ==== Für den Äquivalenzklassenindex 1 von <math>[z]_1</math> fasst man alle <math>\widehat{w}\in \mathbb{C}</math> zusammen, die als Argument von der zweifachen Verkettung der Exponentialfunktion <math>z=\exp(\exp(\widehat{w}))</math> liefern. :<math>[z]_2 =\{ \widehat{w}\in \mathbb{C} \, :\, \exist_{k\in \mathbb{Z}}\ : w-\widehat{w}=k\cdot 2\pi i \ \wedge \ \exp(\exp(w))=z \}</math> Weil die Äquivalenzklassen streng genommen Lösungsmengen einer Gleichung <math>\exp(\widehat{w})=z</math> bilden, kann formal sogar <math>[0]_1= \emptyset </math> bestimmen, da kein Element <math> \widehat{w}\in \mathbb{C}</math> mit <math>\exp(\widehat{w})=z</math> existiert. ==== Beispiel - Äquivalenzklassenindex 3 ==== Sei <math>e_1:=e</math>, <math>e_2:=e^{e}</math> und <math>e_3:=e^{(e^e)}</math> für die Eulersche Zahl <math>e</math>. Für den entsprechenden Äquivalenzklassenindex gilt dann z.B. :<math> [e_1]_1 = [1]_0 \quad [e_2]_3 = [e_1]_2 = [1]_1 = [0]_0 = \{k\cdot 2\pi i \ : \ k\in \mathbb{Z} \} </math> Überprüft man <math>\widehat{w} \in [e_2]_3 = [0]_0 </math>, so erhält man mit <math>\widehat{w} = 2\pi i \cdot k</math> und <math>k \in \mathbb{Z}</math>: :<math> \exp(exp(\underbrace{exp(2\pi i \cdot k)}_{=1})) = \exp(\underbrace{\exp(1)}_{=e}) = \exp(e) = e^e = e_2 </math> Die Berechnung der Dreifachverkettung gilt unabhängig von der Wahl <math>\widehat{w} = 2\pi i \cdot k\in [e_2]_3</math>. === Beispiel - Anwendung logmod-Funktion === Sei <math> z = 5\pi i </math>, so gilt <math>\mathrm{logmod}(z)=2</math> und <math>z-\mathrm{logmod}(z)\cdot 2\pi = \pi i </math>. Die zugehörige Äquivalenzklasse <math>[z]_0</math> enthält die folgenden Elemente: :<math>[z]_0 = \{\ldots , -5\pi i, -3\pi i, -1\pi i , +1\pi i , +3\pi i, +5\pi i,+7\pi i, \ldots\}</math> Ferner gilt für alle <math>w\in [z]_0</math>, dass <math>e^w = e^{\pi i} = -1</math>. Im Hauptzweig als holomorphe Funktion ist der Logorithmus von <math>-1</math> nicht definiert. Allerdings ist der Logarithmus im der [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#allgebraischvollstaendig|algebraisch vervollständigten]] Funktionsdefinition definiert <math>\log(\pi i)=-1</math>. ==== Analogie zu Restklassen ==== Betrachtet man die Zahl <math>5</math>, so liegt diese in der Restklasse <math>[1]_2</math> modulo <math>2</math> mit: :<math> [1]_2 := \{z\in \mathbb{Z} \, : \, \exist_{k\in \mathbb{Z}}\ 2\cdot k + 1 = z\} </math> Modulo 2 gibt es nur zwei Restklassen <math>[1]_2</math> und <math>[0]_2</math>, da bei der Division durch 2 nur die Reste <math>r\in\{0,1\}</math> auftreten. In aufzählender Form kann man die Restklasse <math>[1]_2</math> wie folgt notieren: :<math>[1]_2 = \{\ldots , -5, -3, -1 , +1 , +3, +5,+7, \ldots\}</math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#algebraischvollstaendig|algebraisch vervollständigte Logarithmus]] * [[einfach zusammenhängend]] * [[w:de:Gaußklammer|Gaußklammer]] * [[holomorphe Funktion]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] * [[logmod-Äquivalenzklassen]] * [[Zweige des Logarithmus]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/logmod&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=logmod&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/logmod&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=logmod&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/logmod https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/logmod] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/logmod Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/logmod * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/logmod&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=logmod&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] k0i5k9ndkq40gnutsfnr4d4iq1dv1td 1116458 1116457 2026-10-16T14:39:01Z Bert Niehaus 20843 /* Analogie zu Restklassen */ 1116458 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Für die Definition eines rekursiven Logarithmus auf <math>\mathbb{C}\setminus \{0\}</math> benötigt man die <math>logmod</math>-Funktion. Ähnlich wie bei der Periodizität Addition <math>+1</math> in Restklasse modulo <math>m</math> hat die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] über die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] die Periodizität <math>2\pi i</math>. Insgesamt wird diese Funktion verwendet, um algebraische Eigenschaften auf [[logmod-Äquivalenzklassen]] zu untersuchen, die als Repräsentantensystem <math>\mathbb{D}_1 := \mathbb{R} + i \cdot [0,2\pi) </math> verwenden. == Definition - logmod-Funktion == Sei eine komplexe Zahl <math>z=z_1+iz_2\in \mathbb{C}</math> beliebig gewählt. Dann definiert man: :<math> \mathrm{logmod}(z)=k\in\mathbb{Z} \mbox{ mit } z_2 - k\cdot 2\pi i \in [0,2\pi i ) </math> === Erläuterung - logmod === Die <math>logmod</math>-Funktion gibt die Vielfachheit <math>k</math> von <math>2\pi i</math>, die man von dem Imaginärteil <math>z_2=\mathfrak{Im}(z)\in \mathbb{R}</math> von <math>z</math> abziehen muss, damit der Imaginärteil von <math>z-k\cdot 2\pi i</math> in dem halboffenen Intervall <math>[0,2\pi i ) </math> liegt. === Beispiele === * für reelle Zahlen <math>z\in\mathbb{R}</math> gilt <math>\mathrm{logmod}_{2\pi i}(z) = 0</math>. * für <math>z_1\in\mathbb{R}</math> und <math>z_2\in [0,2\pi)</math> gilt ebenfalls <math>\mathrm{logmod}_{2\pi i}(z) = 0</math>, z.B. <math>7+2i\in \mathbb{R}\times [0,2\pi)\cdot i</math> daher gilt <math>\mathrm{logmod}_{2\pi i}(7+2i) = 0</math>. * für <math>7+7i\in \mathbb{R}\times [0,2\pi)\cdot i</math> gilt <math>\mathrm{logmod}_{2\pi i}(7+7i) = 1</math> und <math>\mathrm{logmod}_{2\pi i}(7-21i) = -3</math>. === Bezug zur Restklassen und modulo-Rechnung === Wenn <math>14</math> liegt in der Restklasse <math>[2]_5</math> modulo <math>5</math> mit: :<math> [2]_5 := \{z\in \mathbb{Z} \, : \, \exist_{k\in \mathbb{Z}}\ 5\cdot k + 2 = z\} </math> Wenn man die Restklasse <math>r\in\{0,1,2,3,4\}</math> einer beliebigen ganzen Zahl <math>z\in \mathbb{Z}</math> modulo 5 sucht, bestimmen man die Vielfachheit <math>k\in\mathbb{Z}</math>, sodass <math>z-k\cdot \in \{0,1,2,3,4\}</math> in der Repräsentantenmenge der Restklasse liegt. == Bezug zur Exponentialfunktion == Die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] besitzt eine Periodizität von <math>2\pi i</math> (siehe [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]]). Wenn man den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige|negativen Hauptzweig]] algebraisch auf <math>\mathbb{D}_1</math> vervollständigt, kann man <math>\mathbb{C}\setminus \{0\}</math> bijektiv mit der Exponentialfunktion auf <math>\mathbb{D}_1</math> abbilden. Dabei definiert man: :<math>\mathbb{D}_1 := \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi i) = \{z_1+i\cdot z_2 \in \mathbb{C} \, :\, z_2\in [0,2\pi i)\,\, \}</math> und definert den zugehörigen Logarithmus wie folgt: :<math> \begin{array}{rrcl} \ln_1 : & \mathbb{C}\setminus \{0\} & \rightarrow & \mathbb{D}_1 \\ & z & \mapsto & \ln_1(z) = w \in \mathbb{D}_1 \mbox{ mit } e^w = z \end{array} </math> === Bemerkung - Stetigkeit und Differenzierbarkeit === Der [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#algebraischvollstaendig|algebraisch vervollständigte Logarithmus]] ist für alle Zahlen <math>z\in \mathbb{R}\setminus \{0\} \subset \mathbb{C} </math> nicht stetig und damit auch nicht komplex differenzierbar. Den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] als [[holomorphe Funktion]] erhält als eine holomorphe Funktion als Stammfunktion <math>f(z)=\tfrac{1}{z}</math> nur dann, wenn der Definitionbereich [[einfach zusammenhängend]] ist. == Gaußklammer-Definition von logmod == Die <math>logmod</math>-Funktion kann man über die [[w:de:Gaußklammer|Gaußklammer]] wie folgt ausdrücken: :<math>\mathrm{logmod}(z):=\left\lfloor \frac{\mathfrak{Im}(z)}{2\pi} \right\rfloor</math> === Bemerkung zur Definition === Die Gaußklammer wird in der obigen Definition auf einen Quotienten aus dem Imaginärteil <math>\mathfrak{Im}(z)\in\mathbb{R}</math> und <math>2\pi</math> als [[w:de:Reelle Zahlen|reelle Zahl]] angewendet, wobei <math>\left\lfloor \tfrac{\mathfrak{Im}(z)}{2\pi} \right\rfloor</math> die größte [[w:de:ganze Zahl|ganze Zahl]] ist, die kleiner oder gleich der reellen Zahl <math>\tfrac{\mathfrak{Im}(z)}{2\pi}</math> ist: :<math>\left\lfloor \tfrac{\mathfrak{Im}(z)}{2\pi} \right\rfloor := \max \left\{k\in\mathbb{Z} \mid k \leq \tfrac{\mathfrak{Im}(z)}{2\pi} \right\}\in \mathbb{Z}</math> == LogMod-Lemma == Sei <math>z\in \mathbb{C}</math> eine beliebige komplexe Zahl, dann die folgende Eigenschaft gilt: :<math> \mathfrak{Im}\left(z - \left\lfloor \frac{\mathfrak{Im}(z)}{2\pi} \right\rfloor \cdot 2\pi i \right) \in [0,2\pi) </math> == Beweis - LogMod-Lemma == In dem Beweis ist zu zeigen, dass der Imaginärteil <math>\mathfrak{Im}(z)</math> von einer komplexen Zahl <math>z\in \mathbb{C}</math> in dem halboffenen Intervall <math>[0,2\pi)</math> liegt, wenn man ein <math>logmod(z)</math>-Vielfaches von <math>2\pi i</math> von <math>z</math> subtrahiert. === Schritt 1 - Definition des Argumentes === Zunächst definiert man zur Vereinfachung der Notation das Argument des äußeren Imaginärteiles als <math>w\in \mathbb{C}</math>: :<math> w := z - \left\lfloor \frac{\mathfrak{Im}(z)}{2\pi} \right\rfloor \cdot 2\pi i </math> Zu zeigen ist nun die Eigenschaft: :<math> \mathfrak{Im}(w) \in [0, 2\pi) </math> === Schritt 2 - Real-Imaginärteilzerlegung === Man zerlegt nun <math> z </math> in seinen Real- und Imaginärteil. :<math> z = x + i y, \quad \text{mit } x, y \in \mathbb{R} </math> Dann gilt <math> \mathfrak{Re}(z) = x \in \mathbb{R} </math> und <math> \mathfrak{Im}(z) = y \in \mathbb{R} </math>. === Schritt 3 - Imaginärteilsubstitution im Ausdruck === Durch Ersetzen <math> \mathfrak{Im}(z) = y \in \mathbb{R} </math> in dem Ausdruck betrachtet man nun folgende Gleichung: :<math> w = z - \left\lfloor \frac{y}{2\pi} \right\rfloor \cdot 2\pi i </math> Setzt man ferner für <math> z </math> den Term <math> x + i y </math> ein, erhält man <math> \mathfrak{Im}(w) = y - 2\pi \cdot \left\lfloor \tfrac{y}{2\pi} \right\rfloor </math> durch folgende Umformung: :<math> w = x + i y - \left\lfloor \frac{y}{2\pi} \right\rfloor \cdot 2\pi i = \underbrace{x}_{=\mathfrak{Re}(w)} + i \underbrace{\left( y - 2\pi \cdot \left\lfloor \frac{y}{2\pi} \right\rfloor \right)}_{=\mathfrak{Im}(w)} </math> === Schritt 4 -Gaußklammereigenschaft anwenden === Wendet man nun die Definition der Gaußklammer Quotionenten <math>\frac{y}{2\pi} </math> für eine beliebige reelle Zahl <math> y \in \mathbb{R} </math> an, so gilt folgende Ungleichungskette: :<math> \left\lfloor \frac{y}{2\pi} \right\rfloor \leq \frac{y}{2\pi} < \left\lfloor \frac{y}{2\pi} \right\rfloor + 1 </math> Multipliziert man die Ungleichung mit einer positiven Zahl <math> 2\pi > 0 </math>, so bleibt die einzelnen Ungleichungen erhalten: :<math> 2\pi \cdot \left\lfloor \frac{y}{2\pi} \right\rfloor \leq y < 2\pi \cdot \left( \left\lfloor \frac{y}{2\pi} \right\rfloor + 1 \right) </math> === Schritt 5 - Subtraktion des Gaußklammerterms === Subtrahiert man nun eine reelle Zahl <math> 2\pi\cdot \left\lfloor \frac{y}{2\pi} \right\rfloor </math> von allen Termen der Ungleichungskette, so bleibt auch durch diese Operation die Ungleichungskette erhalten und es gilt: :<math> 0 \leq \underbrace{y - 2\pi \cdot \left\lfloor \frac{y}{2\pi} \right\rfloor}_{=\mathfrak{Im}(w)} < 2\pi </math> === Schritt 6 - Intervall und Imaginärteil === Das liefert nach Schritt 3 genau die gesuchte Ungleichung ist genau die gesuchte Eigenschaft aus der Behauptung, denn mit <math> 0 \leq \mathfrak{Im}(w) < 2\pi </math> gilt auch :<math> \mathfrak{Im}(w) = y - 2\pi \left\lfloor \frac{y}{2\pi} \right\rfloor \in [0, 2\pi) </math> bzw. durch Rückersetzung der Definition von <math>w</math> aus Schritt 1 folgt: :<math> \mathfrak{Im}\left(z - \left\lfloor \frac{\mathfrak{Im}(z)}{2\pi} \right\rfloor \cdot 2\pi i \right) \in [0, 2\pi) </math> == Interpretation und Anwendung == Die Verwendung der <math>logmod</math>-Funktion erlaubt es in der komplexen Analysis, insbesondere bei der Definition des [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#negativer_Hauptzweig|negativen Hauptzweigs]] des komplexen Logarithmus und der damit Verbundenen Periodizität der Exponentialfunktion Äquivalenzklassen :<math>[w]_0 =\{ \widehat{w}\in \mathbb{C} \, :\, \exist_{k\in \mathbb{Z}}\ : w-\widehat{w}=k\cdot 2\pi i \}</math> zu bilden, für dessen Elemente <math>e^w = e^{\widehat{w}}</math> gilt. === Bemerkung - Index für die Äquivalenzklassen === In der Definition der Äquivalenzklassen <math>[w]_0</math> wird der Index 0 verwendet. Die Bedeutung des Index wird erst bei genauerer Analyse des [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarithmus]] deutlich, denn dann werden Äquivalenzklassen der Form <math>[z]_1=[w]_0</math> betrachtet, wobei <math>\exp(w)=z</math> gilt und höherer Indizes durch Mehrfachverkettung der Exponentialfunktion entstehen. ==== Äquivalenzklassenindex 1 ==== Für den Äquivalenzklassenindex 1 von <math>[z]_1</math> fasst man alle <math>\widehat{w}\in \mathbb{C}</math> zusammen, die als Argument von der Exponentialfunktion <math>z=\exp(\widehat{w})</math> liefern :<math>[z]_1 =\{ \widehat{w}\in \mathbb{C} \, :\, \exist_{k\in \mathbb{Z}}\ : w-\widehat{w}=k\cdot 2\pi i \ \wedge \ \exp(w)=z \}</math> Weil die Äquivalenzklassen streng genommen Lösungsmengen einer Gleichung <math>\exp(\widehat{w})=z</math> bilden, kann formal sogar <math>[0]_1= \emptyset </math> bestimmen, da kein Element <math> \widehat{w}\in \mathbb{C}</math> mit <math>\exp(\widehat{w})=z</math> existiert. ==== Äquivalenzklassenindex 2 ==== Für den Äquivalenzklassenindex 1 von <math>[z]_1</math> fasst man alle <math>\widehat{w}\in \mathbb{C}</math> zusammen, die als Argument von der zweifachen Verkettung der Exponentialfunktion <math>z=\exp(\exp(\widehat{w}))</math> liefern. :<math>[z]_2 =\{ \widehat{w}\in \mathbb{C} \, :\, \exist_{k\in \mathbb{Z}}\ : w-\widehat{w}=k\cdot 2\pi i \ \wedge \ \exp(\exp(w))=z \}</math> Weil die Äquivalenzklassen streng genommen Lösungsmengen einer Gleichung <math>\exp(\widehat{w})=z</math> bilden, kann formal sogar <math>[0]_1= \emptyset </math> bestimmen, da kein Element <math> \widehat{w}\in \mathbb{C}</math> mit <math>\exp(\widehat{w})=z</math> existiert. ==== Beispiel - Äquivalenzklassenindex 3 ==== Sei <math>e_1:=e</math>, <math>e_2:=e^{e}</math> und <math>e_3:=e^{(e^e)}</math> für die Eulersche Zahl <math>e</math>. Für den entsprechenden Äquivalenzklassenindex gilt dann z.B. :<math> [e_1]_1 = [1]_0 \quad [e_2]_3 = [e_1]_2 = [1]_1 = [0]_0 = \{k\cdot 2\pi i \ : \ k\in \mathbb{Z} \} </math> Überprüft man <math>\widehat{w} \in [e_2]_3 = [0]_0 </math>, so erhält man mit <math>\widehat{w} = 2\pi i \cdot k</math> und <math>k \in \mathbb{Z}</math>: :<math> \exp(exp(\underbrace{exp(2\pi i \cdot k)}_{=1})) = \exp(\underbrace{\exp(1)}_{=e}) = \exp(e) = e^e = e_2 </math> Die Berechnung der Dreifachverkettung gilt unabhängig von der Wahl <math>\widehat{w} = 2\pi i \cdot k\in [e_2]_3</math>. === Beispiel - Anwendung logmod-Funktion === Sei <math> z = 5\pi i </math>, so gilt <math>\mathrm{logmod}(z)=2</math> und <math>z-\mathrm{logmod}(z)\cdot 2\pi = \pi i </math>. Die zugehörige Äquivalenzklasse <math>[z]_0</math> enthält die folgenden Elemente: :<math>[z]_0 = \{\ldots , -5\pi i, -3\pi i, -1\pi i , +1\pi i , +3\pi i, +5\pi i,+7\pi i, \ldots\}</math> Ferner gilt für alle <math>w\in [z]_0</math>, dass <math>e^w = e^{\pi i} = -1</math>. Im Hauptzweig als holomorphe Funktion ist der Logorithmus von <math>-1</math> nicht definiert. Allerdings ist der Logarithmus im der [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#allgebraischvollstaendig|algebraisch vervollständigten]] Funktionsdefinition definiert <math>\log(\pi i)=-1</math>. ==== Analogie zu Restklassen ==== Betrachtet man die Zahl <math>5</math>, so liegt diese in der Restklasse <math>[1]_2</math> modulo <math>2</math> mit: :<math> [1]_2 := \{z\in \mathbb{Z} \, : \, \exist_{k\in \mathbb{Z}}\ 2\cdot k + 1 = z\} </math> Modulo 2 gibt es nur zwei Restklassen <math>[1]_2</math> und <math>[0]_2</math>, da bei der Division durch 2 nur die Reste <math>r\in\{0,1\}</math> auftreten. In aufzählender Form kann man die Restklasse <math>[1]_2</math> wie folgt notieren: :<math>[1]_2 = \{\ldots , -5, -3, -1 , +1 , +3, +5,+7, \ldots\}</math> Bei den Restklassen gibt der Index im Gegensatz zu den [[logmod-Äquivalenzklassen]] den Divisor an, bezüglich dem die Reste bestimmt werden (hier <math>r\in \{0,1\}</math> modulo <math>2</math>). == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#algebraischvollstaendig|algebraisch vervollständigte Logarithmus]] * [[einfach zusammenhängend]] * [[w:de:Gaußklammer|Gaußklammer]] * [[holomorphe Funktion]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] * [[logmod-Äquivalenzklassen]] * [[Zweige des Logarithmus]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/logmod&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=logmod&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/logmod&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=logmod&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/logmod https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/logmod] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/logmod Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/logmod * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/logmod&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=logmod&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] ss0w8qmdk48v6576nkpmea7ikmsc2fw 1116459 1116458 2026-10-16T14:39:23Z Bert Niehaus 20843 /* Schritt 6 - Intervall und Imaginärteil */ 1116459 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Für die Definition eines rekursiven Logarithmus auf <math>\mathbb{C}\setminus \{0\}</math> benötigt man die <math>logmod</math>-Funktion. Ähnlich wie bei der Periodizität Addition <math>+1</math> in Restklasse modulo <math>m</math> hat die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] über die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] die Periodizität <math>2\pi i</math>. Insgesamt wird diese Funktion verwendet, um algebraische Eigenschaften auf [[logmod-Äquivalenzklassen]] zu untersuchen, die als Repräsentantensystem <math>\mathbb{D}_1 := \mathbb{R} + i \cdot [0,2\pi) </math> verwenden. == Definition - logmod-Funktion == Sei eine komplexe Zahl <math>z=z_1+iz_2\in \mathbb{C}</math> beliebig gewählt. Dann definiert man: :<math> \mathrm{logmod}(z)=k\in\mathbb{Z} \mbox{ mit } z_2 - k\cdot 2\pi i \in [0,2\pi i ) </math> === Erläuterung - logmod === Die <math>logmod</math>-Funktion gibt die Vielfachheit <math>k</math> von <math>2\pi i</math>, die man von dem Imaginärteil <math>z_2=\mathfrak{Im}(z)\in \mathbb{R}</math> von <math>z</math> abziehen muss, damit der Imaginärteil von <math>z-k\cdot 2\pi i</math> in dem halboffenen Intervall <math>[0,2\pi i ) </math> liegt. === Beispiele === * für reelle Zahlen <math>z\in\mathbb{R}</math> gilt <math>\mathrm{logmod}_{2\pi i}(z) = 0</math>. * für <math>z_1\in\mathbb{R}</math> und <math>z_2\in [0,2\pi)</math> gilt ebenfalls <math>\mathrm{logmod}_{2\pi i}(z) = 0</math>, z.B. <math>7+2i\in \mathbb{R}\times [0,2\pi)\cdot i</math> daher gilt <math>\mathrm{logmod}_{2\pi i}(7+2i) = 0</math>. * für <math>7+7i\in \mathbb{R}\times [0,2\pi)\cdot i</math> gilt <math>\mathrm{logmod}_{2\pi i}(7+7i) = 1</math> und <math>\mathrm{logmod}_{2\pi i}(7-21i) = -3</math>. === Bezug zur Restklassen und modulo-Rechnung === Wenn <math>14</math> liegt in der Restklasse <math>[2]_5</math> modulo <math>5</math> mit: :<math> [2]_5 := \{z\in \mathbb{Z} \, : \, \exist_{k\in \mathbb{Z}}\ 5\cdot k + 2 = z\} </math> Wenn man die Restklasse <math>r\in\{0,1,2,3,4\}</math> einer beliebigen ganzen Zahl <math>z\in \mathbb{Z}</math> modulo 5 sucht, bestimmen man die Vielfachheit <math>k\in\mathbb{Z}</math>, sodass <math>z-k\cdot \in \{0,1,2,3,4\}</math> in der Repräsentantenmenge der Restklasse liegt. == Bezug zur Exponentialfunktion == Die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] besitzt eine Periodizität von <math>2\pi i</math> (siehe [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]]). Wenn man den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige|negativen Hauptzweig]] algebraisch auf <math>\mathbb{D}_1</math> vervollständigt, kann man <math>\mathbb{C}\setminus \{0\}</math> bijektiv mit der Exponentialfunktion auf <math>\mathbb{D}_1</math> abbilden. Dabei definiert man: :<math>\mathbb{D}_1 := \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi i) = \{z_1+i\cdot z_2 \in \mathbb{C} \, :\, z_2\in [0,2\pi i)\,\, \}</math> und definert den zugehörigen Logarithmus wie folgt: :<math> \begin{array}{rrcl} \ln_1 : & \mathbb{C}\setminus \{0\} & \rightarrow & \mathbb{D}_1 \\ & z & \mapsto & \ln_1(z) = w \in \mathbb{D}_1 \mbox{ mit } e^w = z \end{array} </math> === Bemerkung - Stetigkeit und Differenzierbarkeit === Der [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#algebraischvollstaendig|algebraisch vervollständigte Logarithmus]] ist für alle Zahlen <math>z\in \mathbb{R}\setminus \{0\} \subset \mathbb{C} </math> nicht stetig und damit auch nicht komplex differenzierbar. Den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] als [[holomorphe Funktion]] erhält als eine holomorphe Funktion als Stammfunktion <math>f(z)=\tfrac{1}{z}</math> nur dann, wenn der Definitionbereich [[einfach zusammenhängend]] ist. == Gaußklammer-Definition von logmod == Die <math>logmod</math>-Funktion kann man über die [[w:de:Gaußklammer|Gaußklammer]] wie folgt ausdrücken: :<math>\mathrm{logmod}(z):=\left\lfloor \frac{\mathfrak{Im}(z)}{2\pi} \right\rfloor</math> === Bemerkung zur Definition === Die Gaußklammer wird in der obigen Definition auf einen Quotienten aus dem Imaginärteil <math>\mathfrak{Im}(z)\in\mathbb{R}</math> und <math>2\pi</math> als [[w:de:Reelle Zahlen|reelle Zahl]] angewendet, wobei <math>\left\lfloor \tfrac{\mathfrak{Im}(z)}{2\pi} \right\rfloor</math> die größte [[w:de:ganze Zahl|ganze Zahl]] ist, die kleiner oder gleich der reellen Zahl <math>\tfrac{\mathfrak{Im}(z)}{2\pi}</math> ist: :<math>\left\lfloor \tfrac{\mathfrak{Im}(z)}{2\pi} \right\rfloor := \max \left\{k\in\mathbb{Z} \mid k \leq \tfrac{\mathfrak{Im}(z)}{2\pi} \right\}\in \mathbb{Z}</math> == LogMod-Lemma == Sei <math>z\in \mathbb{C}</math> eine beliebige komplexe Zahl, dann die folgende Eigenschaft gilt: :<math> \mathfrak{Im}\left(z - \left\lfloor \frac{\mathfrak{Im}(z)}{2\pi} \right\rfloor \cdot 2\pi i \right) \in [0,2\pi) </math> == Beweis - LogMod-Lemma == In dem Beweis ist zu zeigen, dass der Imaginärteil <math>\mathfrak{Im}(z)</math> von einer komplexen Zahl <math>z\in \mathbb{C}</math> in dem halboffenen Intervall <math>[0,2\pi)</math> liegt, wenn man ein <math>logmod(z)</math>-Vielfaches von <math>2\pi i</math> von <math>z</math> subtrahiert. === Schritt 1 - Definition des Argumentes === Zunächst definiert man zur Vereinfachung der Notation das Argument des äußeren Imaginärteiles als <math>w\in \mathbb{C}</math>: :<math> w := z - \left\lfloor \frac{\mathfrak{Im}(z)}{2\pi} \right\rfloor \cdot 2\pi i </math> Zu zeigen ist nun die Eigenschaft: :<math> \mathfrak{Im}(w) \in [0, 2\pi) </math> === Schritt 2 - Real-Imaginärteilzerlegung === Man zerlegt nun <math> z </math> in seinen Real- und Imaginärteil. :<math> z = x + i y, \quad \text{mit } x, y \in \mathbb{R} </math> Dann gilt <math> \mathfrak{Re}(z) = x \in \mathbb{R} </math> und <math> \mathfrak{Im}(z) = y \in \mathbb{R} </math>. === Schritt 3 - Imaginärteilsubstitution im Ausdruck === Durch Ersetzen <math> \mathfrak{Im}(z) = y \in \mathbb{R} </math> in dem Ausdruck betrachtet man nun folgende Gleichung: :<math> w = z - \left\lfloor \frac{y}{2\pi} \right\rfloor \cdot 2\pi i </math> Setzt man ferner für <math> z </math> den Term <math> x + i y </math> ein, erhält man <math> \mathfrak{Im}(w) = y - 2\pi \cdot \left\lfloor \tfrac{y}{2\pi} \right\rfloor </math> durch folgende Umformung: :<math> w = x + i y - \left\lfloor \frac{y}{2\pi} \right\rfloor \cdot 2\pi i = \underbrace{x}_{=\mathfrak{Re}(w)} + i \underbrace{\left( y - 2\pi \cdot \left\lfloor \frac{y}{2\pi} \right\rfloor \right)}_{=\mathfrak{Im}(w)} </math> === Schritt 4 -Gaußklammereigenschaft anwenden === Wendet man nun die Definition der Gaußklammer Quotionenten <math>\frac{y}{2\pi} </math> für eine beliebige reelle Zahl <math> y \in \mathbb{R} </math> an, so gilt folgende Ungleichungskette: :<math> \left\lfloor \frac{y}{2\pi} \right\rfloor \leq \frac{y}{2\pi} < \left\lfloor \frac{y}{2\pi} \right\rfloor + 1 </math> Multipliziert man die Ungleichung mit einer positiven Zahl <math> 2\pi > 0 </math>, so bleibt die einzelnen Ungleichungen erhalten: :<math> 2\pi \cdot \left\lfloor \frac{y}{2\pi} \right\rfloor \leq y < 2\pi \cdot \left( \left\lfloor \frac{y}{2\pi} \right\rfloor + 1 \right) </math> === Schritt 5 - Subtraktion des Gaußklammerterms === Subtrahiert man nun eine reelle Zahl <math> 2\pi\cdot \left\lfloor \frac{y}{2\pi} \right\rfloor </math> von allen Termen der Ungleichungskette, so bleibt auch durch diese Operation die Ungleichungskette erhalten und es gilt: :<math> 0 \leq \underbrace{y - 2\pi \cdot \left\lfloor \frac{y}{2\pi} \right\rfloor}_{=\mathfrak{Im}(w)} < 2\pi </math> === Schritt 6 - Intervall und Imaginärteil === Das liefert nach Schritt 3 genau die gesuchte Ungleichung ist genau die gesuchte Eigenschaft aus der Behauptung, denn mit <math> 0 \leq \mathfrak{Im}(w) < 2\pi </math> gilt auch :<math> \mathfrak{Im}(w) = y - 2\pi \left\lfloor \frac{y}{2\pi} \right\rfloor \in [0, 2\pi) </math> bzw. durch Rückersetzung der Definition von <math>w</math> aus Schritt 1 folgt: :<math> \mathfrak{Im}\left(z - \left\lfloor \frac{\mathfrak{Im}(z)}{2\pi} \right\rfloor \cdot 2\pi i \right) \in [0, 2\pi) </math> == Interpretation und Anwendung == Die Verwendung der <math>logmod</math>-Funktion erlaubt es in der komplexen Analysis, insbesondere bei der Definition des [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#negativer_Hauptzweig|negativen Hauptzweigs]] des komplexen Logarithmus und der damit Verbundenen Periodizität der Exponentialfunktion Äquivalenzklassen :<math>[w]_0 =\{ \widehat{w}\in \mathbb{C} \, :\, \exist_{k\in \mathbb{Z}}\ : w-\widehat{w}=k\cdot 2\pi i \}</math> zu bilden, für dessen Elemente <math>e^w = e^{\widehat{w}}</math> gilt. === Bemerkung - Index für die Äquivalenzklassen === In der Definition der Äquivalenzklassen <math>[w]_0</math> wird der Index 0 verwendet. Die Bedeutung des Index wird erst bei genauerer Analyse des [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarithmus]] deutlich, denn dann werden Äquivalenzklassen der Form <math>[z]_1=[w]_0</math> betrachtet, wobei <math>\exp(w)=z</math> gilt und höherer Indizes durch Mehrfachverkettung der Exponentialfunktion entstehen. ==== Äquivalenzklassenindex 1 ==== Für den Äquivalenzklassenindex 1 von <math>[z]_1</math> fasst man alle <math>\widehat{w}\in \mathbb{C}</math> zusammen, die als Argument von der Exponentialfunktion <math>z=\exp(\widehat{w})</math> liefern :<math>[z]_1 =\{ \widehat{w}\in \mathbb{C} \, :\, \exist_{k\in \mathbb{Z}}\ : w-\widehat{w}=k\cdot 2\pi i \ \wedge \ \exp(w)=z \}</math> Weil die Äquivalenzklassen streng genommen Lösungsmengen einer Gleichung <math>\exp(\widehat{w})=z</math> bilden, kann formal sogar <math>[0]_1= \emptyset </math> bestimmen, da kein Element <math> \widehat{w}\in \mathbb{C}</math> mit <math>\exp(\widehat{w})=z</math> existiert. ==== Äquivalenzklassenindex 2 ==== Für den Äquivalenzklassenindex 1 von <math>[z]_1</math> fasst man alle <math>\widehat{w}\in \mathbb{C}</math> zusammen, die als Argument von der zweifachen Verkettung der Exponentialfunktion <math>z=\exp(\exp(\widehat{w}))</math> liefern. :<math>[z]_2 =\{ \widehat{w}\in \mathbb{C} \, :\, \exist_{k\in \mathbb{Z}}\ : w-\widehat{w}=k\cdot 2\pi i \ \wedge \ \exp(\exp(w))=z \}</math> Weil die Äquivalenzklassen streng genommen Lösungsmengen einer Gleichung <math>\exp(\widehat{w})=z</math> bilden, kann formal sogar <math>[0]_1= \emptyset </math> bestimmen, da kein Element <math> \widehat{w}\in \mathbb{C}</math> mit <math>\exp(\widehat{w})=z</math> existiert. ==== Beispiel - Äquivalenzklassenindex 3 ==== Sei <math>e_1:=e</math>, <math>e_2:=e^{e}</math> und <math>e_3:=e^{(e^e)}</math> für die Eulersche Zahl <math>e</math>. Für den entsprechenden Äquivalenzklassenindex gilt dann z.B. :<math> [e_1]_1 = [1]_0 \quad [e_2]_3 = [e_1]_2 = [1]_1 = [0]_0 = \{k\cdot 2\pi i \ : \ k\in \mathbb{Z} \} </math> Überprüft man <math>\widehat{w} \in [e_2]_3 = [0]_0 </math>, so erhält man mit <math>\widehat{w} = 2\pi i \cdot k</math> und <math>k \in \mathbb{Z}</math>: :<math> \exp(exp(\underbrace{exp(2\pi i \cdot k)}_{=1})) = \exp(\underbrace{\exp(1)}_{=e}) = \exp(e) = e^e = e_2 </math> Die Berechnung der Dreifachverkettung gilt unabhängig von der Wahl <math>\widehat{w} = 2\pi i \cdot k\in [e_2]_3</math>. === Beispiel - Anwendung logmod-Funktion === Sei <math> z = 5\pi i </math>, so gilt <math>\mathrm{logmod}(z)=2</math> und <math>z-\mathrm{logmod}(z)\cdot 2\pi = \pi i </math>. Die zugehörige Äquivalenzklasse <math>[z]_0</math> enthält die folgenden Elemente: :<math>[z]_0 = \{\ldots , -5\pi i, -3\pi i, -1\pi i , +1\pi i , +3\pi i, +5\pi i,+7\pi i, \ldots\}</math> Ferner gilt für alle <math>w\in [z]_0</math>, dass <math>e^w = e^{\pi i} = -1</math>. Im Hauptzweig als holomorphe Funktion ist der Logorithmus von <math>-1</math> nicht definiert. Allerdings ist der Logarithmus im der [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#allgebraischvollstaendig|algebraisch vervollständigten]] Funktionsdefinition definiert <math>\log(\pi i)=-1</math>. ==== Analogie zu Restklassen ==== Betrachtet man die Zahl <math>5</math>, so liegt diese in der Restklasse <math>[1]_2</math> modulo <math>2</math> mit: :<math> [1]_2 := \{z\in \mathbb{Z} \, : \, \exist_{k\in \mathbb{Z}}\ 2\cdot k + 1 = z\} </math> Modulo 2 gibt es nur zwei Restklassen <math>[1]_2</math> und <math>[0]_2</math>, da bei der Division durch 2 nur die Reste <math>r\in\{0,1\}</math> auftreten. In aufzählender Form kann man die Restklasse <math>[1]_2</math> wie folgt notieren: :<math>[1]_2 = \{\ldots , -5, -3, -1 , +1 , +3, +5,+7, \ldots\}</math> Bei den Restklassen gibt der Index im Gegensatz zu den [[logmod-Äquivalenzklassen]] den Divisor an, bezüglich dem die Reste bestimmt werden (hier <math>r\in \{0,1\}</math> modulo <math>2</math>). == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#algebraischvollstaendig|algebraisch vervollständigte Logarithmus]] * [[einfach zusammenhängend]] * [[w:de:Gaußklammer|Gaußklammer]] * [[holomorphe Funktion]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] * [[logmod-Äquivalenzklassen]] * [[Zweige des Logarithmus]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/logmod&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=logmod&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/logmod&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=logmod&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/logmod https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/logmod] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/logmod Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/logmod * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/logmod&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=logmod&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] i9jkdrdsgbotidp788s7n4onvcazg5g 0 172947 1116451 1115606 2026-10-16T13:25:49Z Bocardodarapti 2041 1116451 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Reim Jeder Mensch weiß, was ein Reim ist und kann ihn erkennen. 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Drittel/1/Aufgabe|p||| |N/Summe 65/Produkt 1000/Aufgabe|p||| |Natürliche_Zahlen/Ordnung/Differenz/Zweifache_Subtraktion/Aufgabe|p||| |Natürliche Zahlen/3^n größer gleich n^3/Ab 1/Aufgabe|p||| |Menge/Disjunkte Vereinigung/Bijektion der Potenzmengen/2/Aufgabe|p||| |Menge/Potenzmenge/Halbring/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Hörsaal/Tafelgestell/Reihenfolgen/Aufgabe|p||| |Natürliche Zahlen/Multiplikation/Selbstaddition/Produktmenge/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Quadratzahlen/Gleicher Abstand/Aufgabe|p||| |Cocktailmixer/Anzahl/Aufgabe|p||| |Räuberbande/Schatztruhe/Aufgabe|p||| |Primzahlen/Unendlich viele/Fakt/Beweis/Aufgabe|p+||| |Kleines Einmaleins/Diagonale und Gegendiagonale/Aufgabe|p||| |Fakultäten/GgT und KgV/Aufgabe|p||| |Division mit Rest/Rechenbeispiel/2/Aufgabe|p||| |Ziffernentwicklung/13 nach 10/Umrechnung/2/Aufgabe|p||| |Dezimalsystem/Vorgänger/Algorithmus/Aufgabe|p||| |Schriftliches Multiplizieren/Zehnersystem/Jalousie-Verfahren/3/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Elementare Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} dcfjyl3xs3e8p6dhv8n9nulnyv6v8ne 106 173058 1116465 1116316 2026-10-16T15:32:25Z Bocardodarapti 2041 1116465 wikitext text/x-wiki {{ Klausur19 |Elementare Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/3. Drittel/1/Aufgabe|p||| |Elementare Mathematik 1/Gemischte Satzabfrage/3. Drittel/1/Aufgabe|p||| |Argumentationskompetenzen/6/Szenario/Aufgabe|p||| |Gleichungen/Arten/Aufgabe|p||| |Ganze Zahlen/Nullteilerfrei/Aufgabe|p||| |Ganze Zahlen/25n^2-17/n ungerade/Vielfaches von 8/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Euklidischer Algorithmus (Z)/ggT/71894 und 45327/Aufgabe|p||| |Euklidischer Algorithmus/Z/ggT/Invarianz/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Ganze Zahlen/10a+b/Verknüpfungseigenschaften/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Betragsungleichung/2x-3/5x-7/Aufgabe|p||| |Goldwürfel/Deutschland/Anteil/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Elementare Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} 79pky5pqe24w9urk94cg9zhtk12aomf 106 173061 1116462 1116307 2026-10-16T15:26:09Z Bocardodarapti 2041 1116462 wikitext text/x-wiki {{ Klausur19 |Elementare Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/2. Drittel/2/Aufgabe|p||| |Elementare Mathematik 1/Gemischte Satzabfrage/2. Drittel/2/Aufgabe|p||| |Mathematische Symbole/Konstant und variabel/Aufgabe|p||| |Winnetou 1/Fallunterscheidung/Aufgabe|p||| |Schulklasse/4 Pizzen/Zerschneiden/Aufgabe|p||| |Menge/Disjunkte Vereinigung/Bijektion der Potenzmengen/2/Aufgabe|p||| |Größenvergleich/Quadratsumme und Zweierpotenzen/Aufgabe|p||| |Natürliche Zahlen/Ordnung/Differenz/Verschiebung/Aufgabe|p||| |Natürliche Zahlen/Ordnungsrelation/Total/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Kommutativer Halbring/Rechnung/4/Aufgabe|p||| |Anfangsmenge/N/Minimum und Maximum/Kommutativer Halbring/Aufgabe|p||| |Finger und Zehen/Aufteilung/Aufgabe|p||| |Schokoriegel/n/Teilung/Aufgabe|p||| |Zahlentheorie/Primfaktorzerlegung/Existenz/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Endliche Menge/Permutationen/Fakultät/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Binomialkoeffizient/15 über 5/Primfaktorzerlegung/Aufgabe|p||| |Division_mit_Rest/Zehn/Durch_d/Aufgabe|p||| |Extrablatt/Aufgabe|p||| |Natürliche Zahlen/Dezimalsystem/Beispiele/Aufgabe|p||| |Angeordneter Körper/Bernoulli Ungleichung/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Elementare Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} 5xohoiri7glcsxd6630h7t9jr48ze9g 1116466 1116462 2026-10-16T15:33:35Z Bocardodarapti 2041 1116466 wikitext text/x-wiki {{ Klausur19 |Elementare Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/2. Drittel/2/Aufgabe|p||| |Elementare Mathematik 1/Gemischte Satzabfrage/2. 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Der Ersatz zielt darauf, auf dem Gebiet <math>G</math> noch die [[Holomorphie]] zur Verfügung zu haben und durch die algebraische Vervollständigung noch algebraische Eigenschaft auf dem Rand <math>\partial G \setminus \{0\}</math> nutzen zu können. Bereits vorab sei daher erwähnt, dass man dadurch nicht nur die [[Holomorphie]] auf <math>\mathbb{C} \setminus \{0\}</math> verliert, sondern auch die [[Stetigkeit]]. == Siehe auch == * [[einfach zusammenhängend]] * [[Gebiet (Mathematik)]] * [[generalisierter Logarithmus]] * [[logmod-Funktion]] * [[logmod-Äquivalenzklassen]] mbpqxpdfvkhtkxr0rlfy25qns8jsls0 1116479 1116478 2026-10-16T16:03:49Z Bert Niehaus 20843 /* Sprungstellen - Vervollständigung oder Riemannsche Fläche */ 1116479 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Lerneinheit behandelt die algebraische Vervollständigung von holomorphen [[Zweige des Logarithmus|Zweigen des Logarithmus]] <math>\log_{_G}:G\to \mathbb{C}</math>, wobei <math>G</math> ein [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängendes]] Gebiet <math>G\subset \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> ist. Dabei entsteht das [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängendes]] Gebiet <math>G</math> durch das Entfernen der Spur [[rechtsseitig parametrisch unendlicher Weg|rechtsseitig parametrisch unendlichen Weges]] <math>\gamma : [a,+\infty) \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(a) = 0</math>. === Sprungstellen - Vervollständigung oder Riemannsche Fläche === Für die algebraische Vervollständigung eines [[Zweige des Logarithmus|Zweiges des Logarithmus]] gibt es genau an der <math>w\in Spur(\gamma)</math> eine Sprungstelle von <math>\pm 2\pi i</math>. Um mit den Sprungstellen weiter zu arbeiten, kann man entweder zu [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannschen Flächen]] oder zu einer in diesem Kontext weiter verfolgten algebraischen Vervollständigung überzugehen. Der Ersatz zielt darauf, auf dem Gebiet <math>G</math> noch die [[Holomorphie]] zur Verfügung zu haben und durch die algebraische Vervollständigung noch algebraische Eigenschaft auf dem Rand <math>\partial G \setminus \{0\}</math> nutzen zu können. Bereits vorab sei daher erwähnt, dass man dadurch nicht nur die [[Holomorphie]] auf <math>\mathbb{C} \setminus \{0\}</math> verliert, sondern auch die [[Stetigkeit]]. === Vorbereitende Lerneinheiten === Für die Lerneinheit ist es wesentlich, ausgehend von dem bekannten [[Logarithmus]] auf den reellen Zahlen den Transfer zum [[komplexer Logarithmus|komplexen Logarithmus]] und den Besonderheit in <math>\mathbb{C}</math> zu analysieren, weil dadurch die Notwendigkeit von einfach zusammenhängenden Gebieten <math>G</math>, der Periodizität des Exponentialfunktion und dem damit verbundenen Entfernen einer Spur zu verstehen. === Entfernen der Spur für Hauptzweige === Für die folgenden 4 Typen [[Hauptzweig des Logarithmus|Hauptzweigen]] des Logarithmus werden unterschiedliche Wege <math>\gamma_{+1}</math>, <math>\gamma_{-1}</math>, <math>\gamma_{+i}</math> und <math>\gamma_{-i}</math> verwendet und die zugehörige Spur <math>Spur(\gamma_k)</math> von <math>\mathbb{C}</math> entfernt mit <math>\gamma_k : [0,+\infty) \to \mathbb{C}</math>: * '''(Hauptzweig)''' <math> \gamma_{+1}(t) = -t </math> und der <math>Spur(\gamma_{+1}) = \mathbb{R}_0^{-}</math> mit dem Gebiet <math>G_{+1}=\mathbb{C}\setminus \mathbb{R}_0^{-}</math> * '''(negativer Hauptzweig)''' <math> \gamma_{-1}(t) = +t </math> und der <math>Spur(\gamma_{-1}) = \mathbb{R}_0^{+}</math> mit dem Gebiet <math>G_{-1}=\mathbb{C}\setminus \mathbb{R}_0^{+}</math> * '''(imaginärer Hauptzweig)''' <math> \gamma_{+i}(t) = -it </math> und der <math>Spur(\gamma_{+i}) = i\cdot \mathbb{R}_0^{-}</math> mit dem Gebiet <math>G_{+i}=\mathbb{C}\setminus \mathbb{R}_0^{-}</math> * '''(negativer imaginärer Hauptzweig)''' <math> \gamma_{-i}(t) = +t </math>, <math>Spur(\gamma_{-i}) = i\cdot \mathbb{R}_0^{+}</math> und dem Gebiet <math>G_{-i}=\mathbb{C}\setminus i\cdot \mathbb{R}_0^{+}</math> == Siehe auch == * [[einfach zusammenhängend]] * [[Gebiet (Mathematik)]] * [[generalisierter Logarithmus]] * [[logmod-Funktion]] * [[logmod-Äquivalenzklassen]] 8eb7wz6z4lz971tuurm1i7m3l9fkxhz 1116480 1116479 2026-10-16T16:06:14Z Bert Niehaus 20843 /* Entfernen der Spur für Hauptzweige */ 1116480 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Lerneinheit behandelt die algebraische Vervollständigung von holomorphen [[Zweige des Logarithmus|Zweigen des Logarithmus]] <math>\log_{_G}:G\to \mathbb{C}</math>, wobei <math>G</math> ein [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängendes]] Gebiet <math>G\subset \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> ist. Dabei entsteht das [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängendes]] Gebiet <math>G</math> durch das Entfernen der Spur [[rechtsseitig parametrisch unendlicher Weg|rechtsseitig parametrisch unendlichen Weges]] <math>\gamma : [a,+\infty) \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(a) = 0</math>. === Sprungstellen - Vervollständigung oder Riemannsche Fläche === Für die algebraische Vervollständigung eines [[Zweige des Logarithmus|Zweiges des Logarithmus]] gibt es genau an der <math>w\in Spur(\gamma)</math> eine Sprungstelle von <math>\pm 2\pi i</math>. Um mit den Sprungstellen weiter zu arbeiten, kann man entweder zu [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannschen Flächen]] oder zu einer in diesem Kontext weiter verfolgten algebraischen Vervollständigung überzugehen. Der Ersatz zielt darauf, auf dem Gebiet <math>G</math> noch die [[Holomorphie]] zur Verfügung zu haben und durch die algebraische Vervollständigung noch algebraische Eigenschaft auf dem Rand <math>\partial G \setminus \{0\}</math> nutzen zu können. Bereits vorab sei daher erwähnt, dass man dadurch nicht nur die [[Holomorphie]] auf <math>\mathbb{C} \setminus \{0\}</math> verliert, sondern auch die [[Stetigkeit]]. === Vorbereitende Lerneinheiten === Für die Lerneinheit ist es wesentlich, ausgehend von dem bekannten [[Logarithmus]] auf den reellen Zahlen den Transfer zum [[komplexer Logarithmus|komplexen Logarithmus]] und den Besonderheit in <math>\mathbb{C}</math> zu analysieren, weil dadurch die Notwendigkeit von einfach zusammenhängenden Gebieten <math>G</math>, der Periodizität des Exponentialfunktion und dem damit verbundenen Entfernen einer Spur zu verstehen. === Entfernen der Spur für Hauptzweige === Für die folgenden 4 Typen [[Hauptzweig des Logarithmus|Hauptzweigen]] des Logarithmus werden unterschiedliche Wege <math>\gamma_{+1}</math>, <math>\gamma_{-1}</math>, <math>\gamma_{+i}</math> und <math>\gamma_{-i}</math> verwendet und die zugehörige Spur <math>Spur(\gamma_k)</math> von <math>\mathbb{C}</math> entfernt mit <math>\gamma_k : [0,+\infty) \to \mathbb{C}</math>: * '''(Hauptzweig)''' <math> \gamma_{+1}(t) = -t </math> und der <math>Spur(\gamma_{+1}) = \mathbb{R}_0^{-}</math> mit dem Gebiet <math>G_{+1}=\mathbb{C}\setminus \mathbb{R}_0^{-}</math> * '''(negativer Hauptzweig)''' <math> \gamma_{-1}(t) = +t </math> und der <math>Spur(\gamma_{-1}) = \mathbb{R}_0^{+}</math> mit dem Gebiet <math>G_{-1}=\mathbb{C}\setminus \mathbb{R}_0^{+}</math> * '''(imaginärer Hauptzweig)''' <math> \gamma_{+i}(t) = -it </math> und der <math>Spur(\gamma_{+i}) = i\cdot \mathbb{R}_0^{-}</math> mit dem Gebiet <math>G_{+i}=\mathbb{C}\setminus ( i\cdot \mathbb{R}_0^{-})</math> * '''(negativer imaginärer Hauptzweig)''' <math> \gamma_{-i}(t) = +t </math>, <math>Spur(\gamma_{-i}) = i\cdot \mathbb{R}_0^{+}</math> und dem Gebiet <math>G_{-i}=\mathbb{C}\setminus (i\cdot \mathbb{R}_0^{+})</math> == Siehe auch == * [[einfach zusammenhängend]] * [[Gebiet (Mathematik)]] * [[generalisierter Logarithmus]] * [[logmod-Funktion]] * [[logmod-Äquivalenzklassen]] p7w5fmyw3hbc7t7xvoo89zmw1bdokt3 1116481 1116480 2026-10-16T16:14:04Z Bert Niehaus 20843 /* Entfernen der Spur für Hauptzweige */ 1116481 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Lerneinheit behandelt die algebraische Vervollständigung von holomorphen [[Zweige des Logarithmus|Zweigen des Logarithmus]] <math>\log_{_G}:G\to \mathbb{C}</math>, wobei <math>G</math> ein [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängendes]] Gebiet <math>G\subset \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> ist. Dabei entsteht das [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängendes]] Gebiet <math>G</math> durch das Entfernen der Spur [[rechtsseitig parametrisch unendlicher Weg|rechtsseitig parametrisch unendlichen Weges]] <math>\gamma : [a,+\infty) \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(a) = 0</math>. === Sprungstellen - Vervollständigung oder Riemannsche Fläche === Für die algebraische Vervollständigung eines [[Zweige des Logarithmus|Zweiges des Logarithmus]] gibt es genau an der <math>w\in Spur(\gamma)</math> eine Sprungstelle von <math>\pm 2\pi i</math>. Um mit den Sprungstellen weiter zu arbeiten, kann man entweder zu [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannschen Flächen]] oder zu einer in diesem Kontext weiter verfolgten algebraischen Vervollständigung überzugehen. Der Ersatz zielt darauf, auf dem Gebiet <math>G</math> noch die [[Holomorphie]] zur Verfügung zu haben und durch die algebraische Vervollständigung noch algebraische Eigenschaft auf dem Rand <math>\partial G \setminus \{0\}</math> nutzen zu können. Bereits vorab sei daher erwähnt, dass man dadurch nicht nur die [[Holomorphie]] auf <math>\mathbb{C} \setminus \{0\}</math> verliert, sondern auch die [[Stetigkeit]]. === Vorbereitende Lerneinheiten === Für die Lerneinheit ist es wesentlich, ausgehend von dem bekannten [[Logarithmus]] auf den reellen Zahlen den Transfer zum [[komplexer Logarithmus|komplexen Logarithmus]] und den Besonderheit in <math>\mathbb{C}</math> zu analysieren, weil dadurch die Notwendigkeit von einfach zusammenhängenden Gebieten <math>G</math>, der Periodizität des Exponentialfunktion und dem damit verbundenen Entfernen einer Spur zu verstehen. === Entfernen der Spur für Hauptzweige === Für die folgenden 4 Typen [[Hauptzweig des Logarithmus|Hauptzweigen]] des Logarithmus werden unterschiedliche Wege <math>\gamma_{+1}</math>, <math>\gamma_{-1}</math>, <math>\gamma_{+i}</math> und <math>\gamma_{-i}</math> verwendet und die zugehörige Spur <math>Spur(\gamma_k)</math> von <math>\mathbb{C}</math> entfernt mit <math>\gamma_k : [0,+\infty) \to \mathbb{C}</math>: * '''(Hauptzweig)''' <math> \gamma_{+1}(t) = -t </math> und der <math>Spur(\gamma_{+1}) = \mathbb{R}_0^{-}</math> mit dem Gebiet <math>G_{+1}=\mathbb{C}\setminus \mathbb{R}_0^{-}</math> * '''(negativer Hauptzweig)''' <math> \gamma_{-1}(t) = +t </math> und der <math>Spur(\gamma_{-1}) = \mathbb{R}_0^{+}</math> mit dem Gebiet <math>G_{-1}=\mathbb{C}\setminus \mathbb{R}_0^{+}</math> * '''(imaginärer Hauptzweig)''' <math> \gamma_{+i}(t) = -it </math> und der <math>Spur(\gamma_{+i}) = i\cdot \mathbb{R}_0^{-}</math> mit dem Gebiet <math>G_{+i}=\mathbb{C}\setminus ( i\cdot \mathbb{R}_0^{-})</math> * '''(negativer imaginärer Hauptzweig)''' <math> \gamma_{-i}(t) = +t </math>, <math>Spur(\gamma_{-i}) = i\cdot \mathbb{R}_0^{+}</math> und dem Gebiet <math>G_{-i}=\mathbb{C}\setminus (i\cdot \mathbb{R}_0^{+})</math> === Bemerkung - negativer Hauptzweig - Vervollständigung === Im weiteren Verlauf der Lehrveranstaltung wird die algebraische Vervollständigung von dem [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweig des Logarithmus]] und die damit verbundene [[logmod-Äquivalenzklassen|Äquivalenzklassenbildung]] eine besondere Rolle spielen, um algebraische Rechenregeln auf Äquivalenzklassen im Zusammenhang mit dem [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarithmus]] <math>\mathrm{lnr}(z)</math> zu erhalten. Prinzipiell kann die algebraische Vervollständigung für beliebige [[Zweige des Logarithmus]] durchgeführt werden, und so das <math>2\pi i</math>-Vielfache der imaginären Periodizität zu kontrollieren. Daher wird das Verfahren hier für [[generalisierter Logarithmus|generalisierte Logarithmen]] behandelt. == Siehe auch == * [[einfach zusammenhängend]] * [[Gebiet (Mathematik)]] * [[generalisierter Logarithmus]] * [[logmod-Funktion]] * [[logmod-Äquivalenzklassen]] g8bujmb0q4idt1zfoh33dxf6dk7veb6 1116482 1116481 2026-10-16T16:22:33Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1116482 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Lerneinheit behandelt die algebraische Vervollständigung von holomorphen [[Zweige des Logarithmus|Zweigen des Logarithmus]] <math>\log_{_G}:G\to \mathbb{C}</math>, wobei <math>G</math> ein [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängendes]] Gebiet <math>G\subset \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> ist. Dabei entsteht das [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängendes]] Gebiet <math>G</math> durch das Entfernen der Spur [[rechtsseitig parametrisch unendlicher Weg|rechtsseitig parametrisch unendlichen Weges]] <math>\gamma : [a,+\infty) \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(a) = 0</math>. === Sprungstellen - Vervollständigung oder Riemannsche Fläche === Für die algebraische Vervollständigung eines [[Zweige des Logarithmus|Zweiges des Logarithmus]] gibt es genau an der <math>w\in Spur(\gamma)</math> eine Sprungstelle von <math>\pm 2\pi i</math>. Um mit den Sprungstellen weiter zu arbeiten, kann man entweder zu [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannschen Flächen]] oder zu einer in diesem Kontext weiter verfolgten algebraischen Vervollständigung überzugehen. Der Ersatz zielt darauf, auf dem Gebiet <math>G</math> noch die [[Holomorphie]] zur Verfügung zu haben und durch die algebraische Vervollständigung noch algebraische Eigenschaft auf dem Rand <math>\partial G \setminus \{0\}</math> nutzen zu können. Bereits vorab sei daher erwähnt, dass man dadurch nicht nur die [[Holomorphie]] auf <math>\mathbb{C} \setminus \{0\}</math> verliert, sondern auch die [[Stetigkeit]]. === Vorbereitende Lerneinheiten === Für die Lerneinheit ist es wesentlich, ausgehend von dem bekannten [[Logarithmus]] auf den reellen Zahlen den Transfer zum [[komplexer Logarithmus|komplexen Logarithmus]] und den Besonderheit in <math>\mathbb{C}</math> zu analysieren, weil dadurch die Notwendigkeit von einfach zusammenhängenden Gebieten <math>G</math>, der Periodizität des Exponentialfunktion und dem damit verbundenen Entfernen einer Spur zu verstehen. === Entfernen der Spur für Hauptzweige === Für die folgenden 4 Typen [[Hauptzweig des Logarithmus|Hauptzweigen]] des Logarithmus werden unterschiedliche Wege <math>\gamma_{+1}</math>, <math>\gamma_{-1}</math>, <math>\gamma_{+i}</math> und <math>\gamma_{-i}</math> verwendet und die zugehörige Spur <math>Spur(\gamma_k)</math> von <math>\mathbb{C}</math> entfernt mit <math>\gamma_k : [0,+\infty) \to \mathbb{C}</math>: * '''(Hauptzweig)''' <math> \gamma_{+1}(t) = -t </math> und der <math>Spur(\gamma_{+1}) = \mathbb{R}_0^{-}</math> mit dem Gebiet <math>G_{+1}=\mathbb{C}\setminus \mathbb{R}_0^{-}</math> * '''(negativer Hauptzweig)''' <math> \gamma_{-1}(t) = +t </math> und der <math>Spur(\gamma_{-1}) = \mathbb{R}_0^{+}</math> mit dem Gebiet <math>G_{-1}=\mathbb{C}\setminus \mathbb{R}_0^{+}</math> * '''(imaginärer Hauptzweig)''' <math> \gamma_{+i}(t) = -it </math> und der <math>Spur(\gamma_{+i}) = i\cdot \mathbb{R}_0^{-}</math> mit dem Gebiet <math>G_{+i}=\mathbb{C}\setminus ( i\cdot \mathbb{R}_0^{-})</math> * '''(negativer imaginärer Hauptzweig)''' <math> \gamma_{-i}(t) = +t </math>, <math>Spur(\gamma_{-i}) = i\cdot \mathbb{R}_0^{+}</math> und dem Gebiet <math>G_{-i}=\mathbb{C}\setminus (i\cdot \mathbb{R}_0^{+})</math> === Bemerkung - negativer Hauptzweig - Vervollständigung === Im weiteren Verlauf der Lehrveranstaltung wird die algebraische Vervollständigung von dem [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweig des Logarithmus]] und die damit verbundene [[logmod-Äquivalenzklassen|Äquivalenzklassenbildung]] eine besondere Rolle spielen, um algebraische Rechenregeln auf Äquivalenzklassen im Zusammenhang mit dem [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarithmus]] <math>\mathrm{lnr}(z)</math> zu erhalten. Prinzipiell kann die algebraische Vervollständigung für beliebige [[Zweige des Logarithmus]] durchgeführt werden, und so das <math>2\pi i</math>-Vielfache der imaginären Periodizität zu kontrollieren. Daher wird das Verfahren hier für [[generalisierter Logarithmus|generalisierte Logarithmen]] behandelt. == Integrationweg und Normalenvektor == Aus der [[w:de:lineare Algebra|linearen Algebra]] oder im Kontext der [[w:de:Support Vector Machine|Support Vector Machine]] sind [[w:de:Normalenvektor|Normalenvektoren]] bekannt. Für die algebraische Vervollständigung wird eine Art [[w:de:Normalenvektor|Normalenvektor]] <math>\gamma^{\bot}(t)</math> für die Richtungsableitung <math>\gamma{\,}'(t)</math> gebildet, der senkrecht zur Ableitung <math>\gamma{\,}'(t)</math> steht. Dieser Normalenvektor wird dazu verwendet, um analog zum rechtsseitigen bzw. linksseitigen Grenzwert in den reellen Zahlen <math>\mathbb{R}</math> ein Grenzwert in Richtung <math>\gamma^{\bot}(t)</math> bzw. <math>-\gamma^{\bot}(t)</math> zu betrachten. == Siehe auch == * [[einfach zusammenhängend]] * [[Gebiet (Mathematik)]] * [[generalisierter Logarithmus]] * [[logmod-Funktion]] * [[logmod-Äquivalenzklassen]] * [[w:de:Support Vector Machine|Support Vector Machine]] 8iynauzt9vfwf5rsnruwbiz1on1p5dj 1116498 1116482 2026-10-16T18:59:28Z Bert Niehaus 20843 /* Integrationweg und Normalenvektor */ 1116498 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Lerneinheit behandelt die algebraische Vervollständigung von holomorphen [[Zweige des Logarithmus|Zweigen des Logarithmus]] <math>\log_{_G}:G\to \mathbb{C}</math>, wobei <math>G</math> ein [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängendes]] Gebiet <math>G\subset \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> ist. Dabei entsteht das [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängendes]] Gebiet <math>G</math> durch das Entfernen der Spur [[rechtsseitig parametrisch unendlicher Weg|rechtsseitig parametrisch unendlichen Weges]] <math>\gamma : [a,+\infty) \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(a) = 0</math>. === Sprungstellen - Vervollständigung oder Riemannsche Fläche === Für die algebraische Vervollständigung eines [[Zweige des Logarithmus|Zweiges des Logarithmus]] gibt es genau an der <math>w\in Spur(\gamma)</math> eine Sprungstelle von <math>\pm 2\pi i</math>. Um mit den Sprungstellen weiter zu arbeiten, kann man entweder zu [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannschen Flächen]] oder zu einer in diesem Kontext weiter verfolgten algebraischen Vervollständigung überzugehen. Der Ersatz zielt darauf, auf dem Gebiet <math>G</math> noch die [[Holomorphie]] zur Verfügung zu haben und durch die algebraische Vervollständigung noch algebraische Eigenschaft auf dem Rand <math>\partial G \setminus \{0\}</math> nutzen zu können. Bereits vorab sei daher erwähnt, dass man dadurch nicht nur die [[Holomorphie]] auf <math>\mathbb{C} \setminus \{0\}</math> verliert, sondern auch die [[Stetigkeit]]. === Vorbereitende Lerneinheiten === Für die Lerneinheit ist es wesentlich, ausgehend von dem bekannten [[Logarithmus]] auf den reellen Zahlen den Transfer zum [[komplexer Logarithmus|komplexen Logarithmus]] und den Besonderheit in <math>\mathbb{C}</math> zu analysieren, weil dadurch die Notwendigkeit von einfach zusammenhängenden Gebieten <math>G</math>, der Periodizität des Exponentialfunktion und dem damit verbundenen Entfernen einer Spur zu verstehen. === Entfernen der Spur für Hauptzweige === Für die folgenden 4 Typen [[Hauptzweig des Logarithmus|Hauptzweigen]] des Logarithmus werden unterschiedliche Wege <math>\gamma_{+1}</math>, <math>\gamma_{-1}</math>, <math>\gamma_{+i}</math> und <math>\gamma_{-i}</math> verwendet und die zugehörige Spur <math>Spur(\gamma_k)</math> von <math>\mathbb{C}</math> entfernt mit <math>\gamma_k : [0,+\infty) \to \mathbb{C}</math>: * '''(Hauptzweig)''' <math> \gamma_{+1}(t) = -t </math> und der <math>Spur(\gamma_{+1}) = \mathbb{R}_0^{-}</math> mit dem Gebiet <math>G_{+1}=\mathbb{C}\setminus \mathbb{R}_0^{-}</math> * '''(negativer Hauptzweig)''' <math> \gamma_{-1}(t) = +t </math> und der <math>Spur(\gamma_{-1}) = \mathbb{R}_0^{+}</math> mit dem Gebiet <math>G_{-1}=\mathbb{C}\setminus \mathbb{R}_0^{+}</math> * '''(imaginärer Hauptzweig)''' <math> \gamma_{+i}(t) = -it </math> und der <math>Spur(\gamma_{+i}) = i\cdot \mathbb{R}_0^{-}</math> mit dem Gebiet <math>G_{+i}=\mathbb{C}\setminus ( i\cdot \mathbb{R}_0^{-})</math> * '''(negativer imaginärer Hauptzweig)''' <math> \gamma_{-i}(t) = +t </math>, <math>Spur(\gamma_{-i}) = i\cdot \mathbb{R}_0^{+}</math> und dem Gebiet <math>G_{-i}=\mathbb{C}\setminus (i\cdot \mathbb{R}_0^{+})</math> === Bemerkung - negativer Hauptzweig - Vervollständigung === Im weiteren Verlauf der Lehrveranstaltung wird die algebraische Vervollständigung von dem [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweig des Logarithmus]] und die damit verbundene [[logmod-Äquivalenzklassen|Äquivalenzklassenbildung]] eine besondere Rolle spielen, um algebraische Rechenregeln auf Äquivalenzklassen im Zusammenhang mit dem [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarithmus]] <math>\mathrm{lnr}(z)</math> zu erhalten. Prinzipiell kann die algebraische Vervollständigung für beliebige [[Zweige des Logarithmus]] durchgeführt werden, und so das <math>2\pi i</math>-Vielfache der imaginären Periodizität zu kontrollieren. Daher wird das Verfahren hier für [[generalisierter Logarithmus|generalisierte Logarithmen]] behandelt. == Integrationweg und Normalenvektor == Aus der [[w:de:lineare Algebra|linearen Algebra]] oder im Kontext der [[w:de:Support Vector Machine|Support Vector Machine]] sind [[w:de:Normalenvektor|Normalenvektoren]] bekannt. Für die algebraische Vervollständigung wird eine Art [[w:de:Normalenvektor|Normalenvektor]] <math>\gamma^{\bot}(t)</math> für die Richtungsableitung <math>\gamma{\,}'(t)</math> gebildet, der senkrecht zur Ableitung <math>\gamma{\,}'(t)</math> steht. Dieser Normalenvektor wird dazu verwendet, um analog zum rechtsseitigen bzw. linksseitigen Grenzwert in den reellen Zahlen <math>\mathbb{R}</math> ein Grenzwert in Richtung <math>+\gamma^{\bot}(t)</math> bzw. <math>-\,\gamma^{\bot}(t)</math> zu betrachten. === Voraussetzung für den Weg === Der Weg <math> \gamma: [a, b] \to \mathbb{C} </math> muss ein ''stetig differenzierbarer Weg'' sein, bei dem <math> \gamma{\,}'(t) \neq 0 </math> für alle <math> t \in [a,b] </math> gelten muss. <math> \gamma{\,}'(t) \neq 0 </math> ist notwendig, um an jedem Spurpunkt <math> \gamma(t) </math> einen Richtungsvektor <math> \gamma{\,}'(t) \neq 0 </math> zu haben zu dem man eindeutig eine Orthogonale zeichnen kann. === Beispiel - Normalenvektor für den Einheitskreis=== Für <math> \gamma(t) = e^{i t} </math> gilt <math> \gamma{\,}'(t) = i \cdot e^{i t} </math> für alle <math> t \in [0, 2\pi] </math>. Durch die Multiplikation mit <math>i </math> rotiert man den Richtungsvektor um <math>\tfrac{\pi}{2}</math> um den Mittelpunkt 0 des Einheitskreises. Damit gilt für die beiden Normalenvektoren * <math>+\gamma^{\bot}(t)= i\cdot i \cdot e^{i t} = -e^{i t}</math> bzw. * <math>-\,\gamma^{\bot}(t)=-i\cdot i \cdot e^{i t} = e^{i t}</math>. In diesem Fall hat der Normalenvektor den Betrag <math>|\gamma^{\bot}(t)|= 1</math> für alle <math>t\in [0,2\pi]</math>. === Tangentenvektor === Der Tangentenvektor von <math> \gamma </math> an der Spurpunkt <math> \gamma(t) </math> ist zunächst einmal eine komplexe Zahl <math> \gamma'(t) \in \mathbb{C} </math>. In Polarkoordinaten <math>r_t \cdot e^{i\alpha_t}</math>, <math>r_t > 0</math> als Geschwindigkeit und <math>\alpha_t\in [0,2\pi) </math> Richtung interpretiert werden. Da <math> \mathbb{C} </math> isomorph zu <math> \mathbb{R}^2 </math> ist, kann man <math> \gamma'(t) </math> als Vektor in <math> \mathbb{R}^2 </math> auffassen und ein euklidische [[Skalarprodukt]] <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{_\mathbb{R}}</math> auffassen :<math> \langle v , w \rangle_{_\mathbb{R}} = \langle v_1+iv_2 , w_1+iw_2 \rangle_{_\mathbb{R}} = v_1w_1 + v_2w_2 </math> === Aufgabe für Studierende === Überprüfen Sie mit dem euklidische [[Skalarprodukt]] <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{_\mathbb{R}}</math>, ob <math>e^{it}</math> und <math>r\cdot i\cdot e^{it}</math> orthogonal zueinander sind. == Siehe auch == * [[einfach zusammenhängend]] * [[Gebiet (Mathematik)]] * [[generalisierter Logarithmus]] * [[logmod-Funktion]] * [[logmod-Äquivalenzklassen]] * [[w:de:Support Vector Machine|Support Vector Machine]] 5pt9jwsfatecegd1awayfndntxltbkp 1116502 1116498 2026-10-17T07:29:33Z Bert Niehaus 20843 /* Beispiel - Normalenvektor für den Einheitskreis */ 1116502 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Lerneinheit behandelt die algebraische Vervollständigung von holomorphen [[Zweige des Logarithmus|Zweigen des Logarithmus]] <math>\log_{_G}:G\to \mathbb{C}</math>, wobei <math>G</math> ein [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängendes]] Gebiet <math>G\subset \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> ist. Dabei entsteht das [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängendes]] Gebiet <math>G</math> durch das Entfernen der Spur [[rechtsseitig parametrisch unendlicher Weg|rechtsseitig parametrisch unendlichen Weges]] <math>\gamma : [a,+\infty) \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(a) = 0</math>. === Sprungstellen - Vervollständigung oder Riemannsche Fläche === Für die algebraische Vervollständigung eines [[Zweige des Logarithmus|Zweiges des Logarithmus]] gibt es genau an der <math>w\in Spur(\gamma)</math> eine Sprungstelle von <math>\pm 2\pi i</math>. Um mit den Sprungstellen weiter zu arbeiten, kann man entweder zu [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannschen Flächen]] oder zu einer in diesem Kontext weiter verfolgten algebraischen Vervollständigung überzugehen. Der Ersatz zielt darauf, auf dem Gebiet <math>G</math> noch die [[Holomorphie]] zur Verfügung zu haben und durch die algebraische Vervollständigung noch algebraische Eigenschaft auf dem Rand <math>\partial G \setminus \{0\}</math> nutzen zu können. Bereits vorab sei daher erwähnt, dass man dadurch nicht nur die [[Holomorphie]] auf <math>\mathbb{C} \setminus \{0\}</math> verliert, sondern auch die [[Stetigkeit]]. === Vorbereitende Lerneinheiten === Für die Lerneinheit ist es wesentlich, ausgehend von dem bekannten [[Logarithmus]] auf den reellen Zahlen den Transfer zum [[komplexer Logarithmus|komplexen Logarithmus]] und den Besonderheit in <math>\mathbb{C}</math> zu analysieren, weil dadurch die Notwendigkeit von einfach zusammenhängenden Gebieten <math>G</math>, der Periodizität des Exponentialfunktion und dem damit verbundenen Entfernen einer Spur zu verstehen. === Entfernen der Spur für Hauptzweige === Für die folgenden 4 Typen [[Hauptzweig des Logarithmus|Hauptzweigen]] des Logarithmus werden unterschiedliche Wege <math>\gamma_{+1}</math>, <math>\gamma_{-1}</math>, <math>\gamma_{+i}</math> und <math>\gamma_{-i}</math> verwendet und die zugehörige Spur <math>Spur(\gamma_k)</math> von <math>\mathbb{C}</math> entfernt mit <math>\gamma_k : [0,+\infty) \to \mathbb{C}</math>: * '''(Hauptzweig)''' <math> \gamma_{+1}(t) = -t </math> und der <math>Spur(\gamma_{+1}) = \mathbb{R}_0^{-}</math> mit dem Gebiet <math>G_{+1}=\mathbb{C}\setminus \mathbb{R}_0^{-}</math> * '''(negativer Hauptzweig)''' <math> \gamma_{-1}(t) = +t </math> und der <math>Spur(\gamma_{-1}) = \mathbb{R}_0^{+}</math> mit dem Gebiet <math>G_{-1}=\mathbb{C}\setminus \mathbb{R}_0^{+}</math> * '''(imaginärer Hauptzweig)''' <math> \gamma_{+i}(t) = -it </math> und der <math>Spur(\gamma_{+i}) = i\cdot \mathbb{R}_0^{-}</math> mit dem Gebiet <math>G_{+i}=\mathbb{C}\setminus ( i\cdot \mathbb{R}_0^{-})</math> * '''(negativer imaginärer Hauptzweig)''' <math> \gamma_{-i}(t) = +t </math>, <math>Spur(\gamma_{-i}) = i\cdot \mathbb{R}_0^{+}</math> und dem Gebiet <math>G_{-i}=\mathbb{C}\setminus (i\cdot \mathbb{R}_0^{+})</math> === Bemerkung - negativer Hauptzweig - Vervollständigung === Im weiteren Verlauf der Lehrveranstaltung wird die algebraische Vervollständigung von dem [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweig des Logarithmus]] und die damit verbundene [[logmod-Äquivalenzklassen|Äquivalenzklassenbildung]] eine besondere Rolle spielen, um algebraische Rechenregeln auf Äquivalenzklassen im Zusammenhang mit dem [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarithmus]] <math>\mathrm{lnr}(z)</math> zu erhalten. Prinzipiell kann die algebraische Vervollständigung für beliebige [[Zweige des Logarithmus]] durchgeführt werden, und so das <math>2\pi i</math>-Vielfache der imaginären Periodizität zu kontrollieren. Daher wird das Verfahren hier für [[generalisierter Logarithmus|generalisierte Logarithmen]] behandelt. == Integrationweg und Normalenvektor == Aus der [[w:de:lineare Algebra|linearen Algebra]] oder im Kontext der [[w:de:Support Vector Machine|Support Vector Machine]] sind [[w:de:Normalenvektor|Normalenvektoren]] bekannt. Für die algebraische Vervollständigung wird eine Art [[w:de:Normalenvektor|Normalenvektor]] <math>\gamma^{\bot}(t)</math> für die Richtungsableitung <math>\gamma{\,}'(t)</math> gebildet, der senkrecht zur Ableitung <math>\gamma{\,}'(t)</math> steht. Dieser Normalenvektor wird dazu verwendet, um analog zum rechtsseitigen bzw. linksseitigen Grenzwert in den reellen Zahlen <math>\mathbb{R}</math> ein Grenzwert in Richtung <math>+\gamma^{\bot}(t)</math> bzw. <math>-\,\gamma^{\bot}(t)</math> zu betrachten. === Voraussetzung für den Weg === Der Weg <math> \gamma: [a, b] \to \mathbb{C} </math> muss ein ''stetig differenzierbarer Weg'' sein, bei dem <math> \gamma{\,}'(t) \neq 0 </math> für alle <math> t \in [a,b] </math> gelten muss. <math> \gamma{\,}'(t) \neq 0 </math> ist notwendig, um an jedem Spurpunkt <math> \gamma(t) </math> einen Richtungsvektor <math> \gamma{\,}'(t) \neq 0 </math> zu haben zu dem man eindeutig eine Orthogonale zeichnen kann. === Beispiel - Normalenvektor für den Einheitskreis=== Für <math> \gamma(t) = t\cdot e^{i t} </math> gilt <math> \gamma{\,}'(t) = i \cdot e^{i t} </math> für alle <math> t \in \left[\tfrac{\pi}{2}, 12\pi\right] </math>. Durch die Multiplikation mit <math>i </math> rotiert man den Richtungsvektor um <math>\tfrac{\pi}{2}</math> um den Mittelpunkt 0 des Einheitskreises. Damit gilt für die beiden Normalenvektoren * <math>+\gamma^{\bot}(t)= i\cdot i \cdot e^{i t} = -e^{i t}</math> bzw. * <math>-\,\gamma^{\bot}(t)=-i\cdot i \cdot e^{i t} = e^{i t}</math>. In diesem Fall hat der Normalenvektor den Betrag <math>|\gamma^{\bot}(t)|= 1</math> für alle <math>t\in [0,2\pi]</math>. ==== Animation mit 2 Normalenvektoren ==== Der rote Vektor ist der Tangentialvektor <math>\gamma{\,}(t)</math> an dem Spurpunkt <math>\gamma(t)</math> abgetragen. Die gestrichekten Vektoren sind die beiden Normalenvektoren <math>+\gamma^{\bot}(t)</math> (grün) und <math>-\gamma^{\bot}(t)</math> (blau). [[File:Tangentialvektor spirale normalenvektor.gif|350px|center|orthogonal vectors for tangent vector assigned to curve as animation - Geogebra GIF export]] === Tangentenvektor === Der Tangentenvektor von <math> \gamma </math> an der Spurpunkt <math> \gamma(t) </math> ist zunächst einmal eine komplexe Zahl <math> \gamma'(t) \in \mathbb{C} </math>. In Polarkoordinaten <math>r_t \cdot e^{i\alpha_t}</math>, <math>r_t > 0</math> als Geschwindigkeit und <math>\alpha_t\in [0,2\pi) </math> Richtung interpretiert werden. Da <math> \mathbb{C} </math> isomorph zu <math> \mathbb{R}^2 </math> ist, kann man <math> \gamma'(t) </math> als Vektor in <math> \mathbb{R}^2 </math> auffassen und ein euklidische [[Skalarprodukt]] <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{_\mathbb{R}}</math> auffassen :<math> \langle v , w \rangle_{_\mathbb{R}} = \langle v_1+iv_2 , w_1+iw_2 \rangle_{_\mathbb{R}} = v_1w_1 + v_2w_2 </math> === Aufgabe für Studierende === Überprüfen Sie mit dem euklidische [[Skalarprodukt]] <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{_\mathbb{R}}</math>, ob <math>e^{it}</math> und <math>r\cdot i\cdot e^{it}</math> orthogonal zueinander sind. == Siehe auch == * [[einfach zusammenhängend]] * [[Gebiet (Mathematik)]] * [[generalisierter Logarithmus]] * [[logmod-Funktion]] * [[logmod-Äquivalenzklassen]] * [[w:de:Support Vector Machine|Support Vector Machine]] 3zvvbn2da7cuekl6vtdyxvukvcw2r1w 1116503 1116502 2026-10-17T07:38:26Z Bert Niehaus 20843 /* Beispiel - Normalenvektor für den Einheitskreis */ 1116503 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Lerneinheit behandelt die algebraische Vervollständigung von holomorphen [[Zweige des Logarithmus|Zweigen des Logarithmus]] <math>\log_{_G}:G\to \mathbb{C}</math>, wobei <math>G</math> ein [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängendes]] Gebiet <math>G\subset \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> ist. Dabei entsteht das [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängendes]] Gebiet <math>G</math> durch das Entfernen der Spur [[rechtsseitig parametrisch unendlicher Weg|rechtsseitig parametrisch unendlichen Weges]] <math>\gamma : [a,+\infty) \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(a) = 0</math>. === Sprungstellen - Vervollständigung oder Riemannsche Fläche === Für die algebraische Vervollständigung eines [[Zweige des Logarithmus|Zweiges des Logarithmus]] gibt es genau an der <math>w\in Spur(\gamma)</math> eine Sprungstelle von <math>\pm 2\pi i</math>. Um mit den Sprungstellen weiter zu arbeiten, kann man entweder zu [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannschen Flächen]] oder zu einer in diesem Kontext weiter verfolgten algebraischen Vervollständigung überzugehen. Der Ersatz zielt darauf, auf dem Gebiet <math>G</math> noch die [[Holomorphie]] zur Verfügung zu haben und durch die algebraische Vervollständigung noch algebraische Eigenschaft auf dem Rand <math>\partial G \setminus \{0\}</math> nutzen zu können. Bereits vorab sei daher erwähnt, dass man dadurch nicht nur die [[Holomorphie]] auf <math>\mathbb{C} \setminus \{0\}</math> verliert, sondern auch die [[Stetigkeit]]. === Vorbereitende Lerneinheiten === Für die Lerneinheit ist es wesentlich, ausgehend von dem bekannten [[Logarithmus]] auf den reellen Zahlen den Transfer zum [[komplexer Logarithmus|komplexen Logarithmus]] und den Besonderheit in <math>\mathbb{C}</math> zu analysieren, weil dadurch die Notwendigkeit von einfach zusammenhängenden Gebieten <math>G</math>, der Periodizität des Exponentialfunktion und dem damit verbundenen Entfernen einer Spur zu verstehen. === Entfernen der Spur für Hauptzweige === Für die folgenden 4 Typen [[Hauptzweig des Logarithmus|Hauptzweigen]] des Logarithmus werden unterschiedliche Wege <math>\gamma_{+1}</math>, <math>\gamma_{-1}</math>, <math>\gamma_{+i}</math> und <math>\gamma_{-i}</math> verwendet und die zugehörige Spur <math>Spur(\gamma_k)</math> von <math>\mathbb{C}</math> entfernt mit <math>\gamma_k : [0,+\infty) \to \mathbb{C}</math>: * '''(Hauptzweig)''' <math> \gamma_{+1}(t) = -t </math> und der <math>Spur(\gamma_{+1}) = \mathbb{R}_0^{-}</math> mit dem Gebiet <math>G_{+1}=\mathbb{C}\setminus \mathbb{R}_0^{-}</math> * '''(negativer Hauptzweig)''' <math> \gamma_{-1}(t) = +t </math> und der <math>Spur(\gamma_{-1}) = \mathbb{R}_0^{+}</math> mit dem Gebiet <math>G_{-1}=\mathbb{C}\setminus \mathbb{R}_0^{+}</math> * '''(imaginärer Hauptzweig)''' <math> \gamma_{+i}(t) = -it </math> und der <math>Spur(\gamma_{+i}) = i\cdot \mathbb{R}_0^{-}</math> mit dem Gebiet <math>G_{+i}=\mathbb{C}\setminus ( i\cdot \mathbb{R}_0^{-})</math> * '''(negativer imaginärer Hauptzweig)''' <math> \gamma_{-i}(t) = +t </math>, <math>Spur(\gamma_{-i}) = i\cdot \mathbb{R}_0^{+}</math> und dem Gebiet <math>G_{-i}=\mathbb{C}\setminus (i\cdot \mathbb{R}_0^{+})</math> === Bemerkung - negativer Hauptzweig - Vervollständigung === Im weiteren Verlauf der Lehrveranstaltung wird die algebraische Vervollständigung von dem [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweig des Logarithmus]] und die damit verbundene [[logmod-Äquivalenzklassen|Äquivalenzklassenbildung]] eine besondere Rolle spielen, um algebraische Rechenregeln auf Äquivalenzklassen im Zusammenhang mit dem [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarithmus]] <math>\mathrm{lnr}(z)</math> zu erhalten. Prinzipiell kann die algebraische Vervollständigung für beliebige [[Zweige des Logarithmus]] durchgeführt werden, und so das <math>2\pi i</math>-Vielfache der imaginären Periodizität zu kontrollieren. Daher wird das Verfahren hier für [[generalisierter Logarithmus|generalisierte Logarithmen]] behandelt. == Integrationweg und Normalenvektor == Aus der [[w:de:lineare Algebra|linearen Algebra]] oder im Kontext der [[w:de:Support Vector Machine|Support Vector Machine]] sind [[w:de:Normalenvektor|Normalenvektoren]] bekannt. Für die algebraische Vervollständigung wird eine Art [[w:de:Normalenvektor|Normalenvektor]] <math>\gamma^{\bot}(t)</math> für die Richtungsableitung <math>\gamma{\,}'(t)</math> gebildet, der senkrecht zur Ableitung <math>\gamma{\,}'(t)</math> steht. Dieser Normalenvektor wird dazu verwendet, um analog zum rechtsseitigen bzw. linksseitigen Grenzwert in den reellen Zahlen <math>\mathbb{R}</math> ein Grenzwert in Richtung <math>+\gamma^{\bot}(t)</math> bzw. <math>-\,\gamma^{\bot}(t)</math> zu betrachten. === Voraussetzung für den Weg === Der Weg <math> \gamma: [a, b] \to \mathbb{C} </math> muss ein ''stetig differenzierbarer Weg'' sein, bei dem <math> \gamma{\,}'(t) \neq 0 </math> für alle <math> t \in [a,b] </math> gelten muss. <math> \gamma{\,}'(t) \neq 0 </math> ist notwendig, um an jedem Spurpunkt <math> \gamma(t) </math> einen Richtungsvektor <math> \gamma{\,}'(t) \neq 0 </math> zu haben zu dem man eindeutig eine Orthogonale zeichnen kann. === Beispiel - Normalenvektor für den Einheitskreis=== Für <math> \gamma(t) = t\cdot e^{i t} </math> gilt <math> \gamma{\,}'(t) = i t\cdot e^{i t} </math> für alle <math> t \in \left[\tfrac{\pi}{2}, 12\pi\right] </math>. Durch die Multiplikation mit <math>i </math> rotiert man den Richtungsvektor um <math>\tfrac{\pi}{2}</math> um den Mittelpunkt 0 des Einheitskreises. Damit gilt für die beiden Normalenvektoren * <math>{\scriptstyle +}\,\gamma^{\bot}(t)= {\scriptstyle +} i\cdot\gamma{\,}'(t) = {\scriptstyle +}i\cdot it \cdot e^{i t} = {\scriptstyle -}t\cdot e^{i t}</math> bzw. * <math>{\scriptstyle -}\,\gamma^{\bot}(t)= {\scriptstyle -}i\cdot\gamma{\,}'(t) = {\scriptstyle -}i\cdot it \cdot e^{i t} = {\scriptstyle +}t\cdot e^{i t}</math>. In diesem Fall hat der Normalenvektor den Betrag <math>|\gamma^{\bot}(t)|= |t|= t</math> für alle <math>t\in \left[\tfrac{\pi}{2}, 12\pi\right]</math>. ==== Animation mit 2 Normalenvektoren ==== Der rote Vektor ist der Tangentialvektor <math>\gamma{\,}(t)</math> an dem Spurpunkt <math>\gamma(t)</math> abgetragen. Die gestrichekten Vektoren sind die beiden Normalenvektoren <math>+\gamma^{\bot}(t)</math> (grün) und <math>-\gamma^{\bot}(t)</math> (blau). [[File:Tangentialvektor spirale normalenvektor.gif|350px|center|orthogonal vectors for tangent vector assigned to curve as animation - Geogebra GIF export]] === Tangentenvektor === Der Tangentenvektor von <math> \gamma </math> an der Spurpunkt <math> \gamma(t) </math> ist zunächst einmal eine komplexe Zahl <math> \gamma'(t) \in \mathbb{C} </math>. In Polarkoordinaten <math>r_t \cdot e^{i\alpha_t}</math>, <math>r_t > 0</math> als Geschwindigkeit und <math>\alpha_t\in [0,2\pi) </math> Richtung interpretiert werden. Da <math> \mathbb{C} </math> isomorph zu <math> \mathbb{R}^2 </math> ist, kann man <math> \gamma'(t) </math> als Vektor in <math> \mathbb{R}^2 </math> auffassen und ein euklidische [[Skalarprodukt]] <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{_\mathbb{R}}</math> auffassen :<math> \langle v , w \rangle_{_\mathbb{R}} = \langle v_1+iv_2 , w_1+iw_2 \rangle_{_\mathbb{R}} = v_1w_1 + v_2w_2 </math> === Aufgabe für Studierende === Überprüfen Sie mit dem euklidische [[Skalarprodukt]] <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{_\mathbb{R}}</math>, ob <math>e^{it}</math> und <math>r\cdot i\cdot e^{it}</math> orthogonal zueinander sind. == Siehe auch == * [[einfach zusammenhängend]] * [[Gebiet (Mathematik)]] * [[generalisierter Logarithmus]] * [[logmod-Funktion]] * [[logmod-Äquivalenzklassen]] * [[w:de:Support Vector Machine|Support Vector Machine]] dux964q5z49q8s6pv93vsioqh4ajhes 1116504 1116503 2026-10-17T07:44:25Z Bert Niehaus 20843 /* Voraussetzung für den Weg */ 1116504 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Lerneinheit behandelt die algebraische Vervollständigung von holomorphen [[Zweige des Logarithmus|Zweigen des Logarithmus]] <math>\log_{_G}:G\to \mathbb{C}</math>, wobei <math>G</math> ein [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängendes]] Gebiet <math>G\subset \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> ist. Dabei entsteht das [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängendes]] Gebiet <math>G</math> durch das Entfernen der Spur [[rechtsseitig parametrisch unendlicher Weg|rechtsseitig parametrisch unendlichen Weges]] <math>\gamma : [a,+\infty) \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(a) = 0</math>. === Sprungstellen - Vervollständigung oder Riemannsche Fläche === Für die algebraische Vervollständigung eines [[Zweige des Logarithmus|Zweiges des Logarithmus]] gibt es genau an der <math>w\in Spur(\gamma)</math> eine Sprungstelle von <math>\pm 2\pi i</math>. Um mit den Sprungstellen weiter zu arbeiten, kann man entweder zu [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannschen Flächen]] oder zu einer in diesem Kontext weiter verfolgten algebraischen Vervollständigung überzugehen. Der Ersatz zielt darauf, auf dem Gebiet <math>G</math> noch die [[Holomorphie]] zur Verfügung zu haben und durch die algebraische Vervollständigung noch algebraische Eigenschaft auf dem Rand <math>\partial G \setminus \{0\}</math> nutzen zu können. Bereits vorab sei daher erwähnt, dass man dadurch nicht nur die [[Holomorphie]] auf <math>\mathbb{C} \setminus \{0\}</math> verliert, sondern auch die [[Stetigkeit]]. === Vorbereitende Lerneinheiten === Für die Lerneinheit ist es wesentlich, ausgehend von dem bekannten [[Logarithmus]] auf den reellen Zahlen den Transfer zum [[komplexer Logarithmus|komplexen Logarithmus]] und den Besonderheit in <math>\mathbb{C}</math> zu analysieren, weil dadurch die Notwendigkeit von einfach zusammenhängenden Gebieten <math>G</math>, der Periodizität des Exponentialfunktion und dem damit verbundenen Entfernen einer Spur zu verstehen. === Entfernen der Spur für Hauptzweige === Für die folgenden 4 Typen [[Hauptzweig des Logarithmus|Hauptzweigen]] des Logarithmus werden unterschiedliche Wege <math>\gamma_{+1}</math>, <math>\gamma_{-1}</math>, <math>\gamma_{+i}</math> und <math>\gamma_{-i}</math> verwendet und die zugehörige Spur <math>Spur(\gamma_k)</math> von <math>\mathbb{C}</math> entfernt mit <math>\gamma_k : [0,+\infty) \to \mathbb{C}</math>: * '''(Hauptzweig)''' <math> \gamma_{+1}(t) = -t </math> und der <math>Spur(\gamma_{+1}) = \mathbb{R}_0^{-}</math> mit dem Gebiet <math>G_{+1}=\mathbb{C}\setminus \mathbb{R}_0^{-}</math> * '''(negativer Hauptzweig)''' <math> \gamma_{-1}(t) = +t </math> und der <math>Spur(\gamma_{-1}) = \mathbb{R}_0^{+}</math> mit dem Gebiet <math>G_{-1}=\mathbb{C}\setminus \mathbb{R}_0^{+}</math> * '''(imaginärer Hauptzweig)''' <math> \gamma_{+i}(t) = -it </math> und der <math>Spur(\gamma_{+i}) = i\cdot \mathbb{R}_0^{-}</math> mit dem Gebiet <math>G_{+i}=\mathbb{C}\setminus ( i\cdot \mathbb{R}_0^{-})</math> * '''(negativer imaginärer Hauptzweig)''' <math> \gamma_{-i}(t) = +t </math>, <math>Spur(\gamma_{-i}) = i\cdot \mathbb{R}_0^{+}</math> und dem Gebiet <math>G_{-i}=\mathbb{C}\setminus (i\cdot \mathbb{R}_0^{+})</math> === Bemerkung - negativer Hauptzweig - Vervollständigung === Im weiteren Verlauf der Lehrveranstaltung wird die algebraische Vervollständigung von dem [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweig des Logarithmus]] und die damit verbundene [[logmod-Äquivalenzklassen|Äquivalenzklassenbildung]] eine besondere Rolle spielen, um algebraische Rechenregeln auf Äquivalenzklassen im Zusammenhang mit dem [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarithmus]] <math>\mathrm{lnr}(z)</math> zu erhalten. Prinzipiell kann die algebraische Vervollständigung für beliebige [[Zweige des Logarithmus]] durchgeführt werden, und so das <math>2\pi i</math>-Vielfache der imaginären Periodizität zu kontrollieren. Daher wird das Verfahren hier für [[generalisierter Logarithmus|generalisierte Logarithmen]] behandelt. == Integrationweg und Normalenvektor == Aus der [[w:de:lineare Algebra|linearen Algebra]] oder im Kontext der [[w:de:Support Vector Machine|Support Vector Machine]] sind [[w:de:Normalenvektor|Normalenvektoren]] bekannt. Für die algebraische Vervollständigung wird eine Art [[w:de:Normalenvektor|Normalenvektor]] <math>\gamma^{\bot}(t)</math> für die Richtungsableitung <math>\gamma{\,}'(t)</math> gebildet, der senkrecht zur Ableitung <math>\gamma{\,}'(t)</math> steht. Dieser Normalenvektor wird dazu verwendet, um analog zum rechtsseitigen bzw. linksseitigen Grenzwert in den reellen Zahlen <math>\mathbb{R}</math> ein Grenzwert in Richtung <math>+\gamma^{\bot}(t)</math> bzw. <math>-\,\gamma^{\bot}(t)</math> zu betrachten. === Voraussetzung für den Weg === Der Weg <math> \gamma: [a, b] \to \mathbb{C} </math> muss ein ''stetig differenzierbarer Weg'' sein, bei dem <math> \gamma{\,}'(t) \neq 0 </math> für alle <math> t \in [a,b] </math> gelten muss. <math> \gamma{\,}'(t) \neq 0 </math> ist notwendig, um an jedem Spurpunkt <math> \gamma(t) </math> einen Richtungsvektor <math> \gamma{\,}'(t) \neq 0 </math> zu haben, zu dem man eindeutig eine Orthogonale zeichnen kann. === Beispiel - Normalenvektor für den Einheitskreis=== Für <math> \gamma(t) = t\cdot e^{i t} </math> gilt <math> \gamma{\,}'(t) = i t\cdot e^{i t} </math> für alle <math> t \in \left[\tfrac{\pi}{2}, 12\pi\right] </math>. Durch die Multiplikation mit <math>i </math> rotiert man den Richtungsvektor um <math>\tfrac{\pi}{2}</math> um den Mittelpunkt 0 des Einheitskreises. Damit gilt für die beiden Normalenvektoren * <math>{\scriptstyle +}\,\gamma^{\bot}(t)= {\scriptstyle +} i\cdot\gamma{\,}'(t) = {\scriptstyle +}i\cdot it \cdot e^{i t} = {\scriptstyle -}t\cdot e^{i t}</math> bzw. * <math>{\scriptstyle -}\,\gamma^{\bot}(t)= {\scriptstyle -}i\cdot\gamma{\,}'(t) = {\scriptstyle -}i\cdot it \cdot e^{i t} = {\scriptstyle +}t\cdot e^{i t}</math>. In diesem Fall hat der Normalenvektor den Betrag <math>|\gamma^{\bot}(t)|= |t|= t</math> für alle <math>t\in \left[\tfrac{\pi}{2}, 12\pi\right]</math>. ==== Animation mit 2 Normalenvektoren ==== Der rote Vektor ist der Tangentialvektor <math>\gamma{\,}(t)</math> an dem Spurpunkt <math>\gamma(t)</math> abgetragen. Die gestrichekten Vektoren sind die beiden Normalenvektoren <math>+\gamma^{\bot}(t)</math> (grün) und <math>-\gamma^{\bot}(t)</math> (blau). [[File:Tangentialvektor spirale normalenvektor.gif|350px|center|orthogonal vectors for tangent vector assigned to curve as animation - Geogebra GIF export]] === Tangentenvektor === Der Tangentenvektor von <math> \gamma </math> an der Spurpunkt <math> \gamma(t) </math> ist zunächst einmal eine komplexe Zahl <math> \gamma'(t) \in \mathbb{C} </math>. In Polarkoordinaten <math>r_t \cdot e^{i\alpha_t}</math>, <math>r_t > 0</math> als Geschwindigkeit und <math>\alpha_t\in [0,2\pi) </math> Richtung interpretiert werden. Da <math> \mathbb{C} </math> isomorph zu <math> \mathbb{R}^2 </math> ist, kann man <math> \gamma'(t) </math> als Vektor in <math> \mathbb{R}^2 </math> auffassen und ein euklidische [[Skalarprodukt]] <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{_\mathbb{R}}</math> auffassen :<math> \langle v , w \rangle_{_\mathbb{R}} = \langle v_1+iv_2 , w_1+iw_2 \rangle_{_\mathbb{R}} = v_1w_1 + v_2w_2 </math> === Aufgabe für Studierende === Überprüfen Sie mit dem euklidische [[Skalarprodukt]] <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{_\mathbb{R}}</math>, ob <math>e^{it}</math> und <math>r\cdot i\cdot e^{it}</math> orthogonal zueinander sind. == Siehe auch == * [[einfach zusammenhängend]] * [[Gebiet (Mathematik)]] * [[generalisierter Logarithmus]] * [[logmod-Funktion]] * [[logmod-Äquivalenzklassen]] * [[w:de:Support Vector Machine|Support Vector Machine]] juy1plyn2ap0bmadoe7gmpqwl3dzsa5 1116505 1116504 2026-10-17T07:45:07Z Bert Niehaus 20843 /* Animation mit 2 Normalenvektoren */ 1116505 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Lerneinheit behandelt die algebraische Vervollständigung von holomorphen [[Zweige des Logarithmus|Zweigen des Logarithmus]] <math>\log_{_G}:G\to \mathbb{C}</math>, wobei <math>G</math> ein [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängendes]] Gebiet <math>G\subset \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> ist. Dabei entsteht das [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängendes]] Gebiet <math>G</math> durch das Entfernen der Spur [[rechtsseitig parametrisch unendlicher Weg|rechtsseitig parametrisch unendlichen Weges]] <math>\gamma : [a,+\infty) \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(a) = 0</math>. === Sprungstellen - Vervollständigung oder Riemannsche Fläche === Für die algebraische Vervollständigung eines [[Zweige des Logarithmus|Zweiges des Logarithmus]] gibt es genau an der <math>w\in Spur(\gamma)</math> eine Sprungstelle von <math>\pm 2\pi i</math>. Um mit den Sprungstellen weiter zu arbeiten, kann man entweder zu [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannschen Flächen]] oder zu einer in diesem Kontext weiter verfolgten algebraischen Vervollständigung überzugehen. Der Ersatz zielt darauf, auf dem Gebiet <math>G</math> noch die [[Holomorphie]] zur Verfügung zu haben und durch die algebraische Vervollständigung noch algebraische Eigenschaft auf dem Rand <math>\partial G \setminus \{0\}</math> nutzen zu können. Bereits vorab sei daher erwähnt, dass man dadurch nicht nur die [[Holomorphie]] auf <math>\mathbb{C} \setminus \{0\}</math> verliert, sondern auch die [[Stetigkeit]]. === Vorbereitende Lerneinheiten === Für die Lerneinheit ist es wesentlich, ausgehend von dem bekannten [[Logarithmus]] auf den reellen Zahlen den Transfer zum [[komplexer Logarithmus|komplexen Logarithmus]] und den Besonderheit in <math>\mathbb{C}</math> zu analysieren, weil dadurch die Notwendigkeit von einfach zusammenhängenden Gebieten <math>G</math>, der Periodizität des Exponentialfunktion und dem damit verbundenen Entfernen einer Spur zu verstehen. === Entfernen der Spur für Hauptzweige === Für die folgenden 4 Typen [[Hauptzweig des Logarithmus|Hauptzweigen]] des Logarithmus werden unterschiedliche Wege <math>\gamma_{+1}</math>, <math>\gamma_{-1}</math>, <math>\gamma_{+i}</math> und <math>\gamma_{-i}</math> verwendet und die zugehörige Spur <math>Spur(\gamma_k)</math> von <math>\mathbb{C}</math> entfernt mit <math>\gamma_k : [0,+\infty) \to \mathbb{C}</math>: * '''(Hauptzweig)''' <math> \gamma_{+1}(t) = -t </math> und der <math>Spur(\gamma_{+1}) = \mathbb{R}_0^{-}</math> mit dem Gebiet <math>G_{+1}=\mathbb{C}\setminus \mathbb{R}_0^{-}</math> * '''(negativer Hauptzweig)''' <math> \gamma_{-1}(t) = +t </math> und der <math>Spur(\gamma_{-1}) = \mathbb{R}_0^{+}</math> mit dem Gebiet <math>G_{-1}=\mathbb{C}\setminus \mathbb{R}_0^{+}</math> * '''(imaginärer Hauptzweig)''' <math> \gamma_{+i}(t) = -it </math> und der <math>Spur(\gamma_{+i}) = i\cdot \mathbb{R}_0^{-}</math> mit dem Gebiet <math>G_{+i}=\mathbb{C}\setminus ( i\cdot \mathbb{R}_0^{-})</math> * '''(negativer imaginärer Hauptzweig)''' <math> \gamma_{-i}(t) = +t </math>, <math>Spur(\gamma_{-i}) = i\cdot \mathbb{R}_0^{+}</math> und dem Gebiet <math>G_{-i}=\mathbb{C}\setminus (i\cdot \mathbb{R}_0^{+})</math> === Bemerkung - negativer Hauptzweig - Vervollständigung === Im weiteren Verlauf der Lehrveranstaltung wird die algebraische Vervollständigung von dem [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweig des Logarithmus]] und die damit verbundene [[logmod-Äquivalenzklassen|Äquivalenzklassenbildung]] eine besondere Rolle spielen, um algebraische Rechenregeln auf Äquivalenzklassen im Zusammenhang mit dem [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarithmus]] <math>\mathrm{lnr}(z)</math> zu erhalten. Prinzipiell kann die algebraische Vervollständigung für beliebige [[Zweige des Logarithmus]] durchgeführt werden, und so das <math>2\pi i</math>-Vielfache der imaginären Periodizität zu kontrollieren. Daher wird das Verfahren hier für [[generalisierter Logarithmus|generalisierte Logarithmen]] behandelt. == Integrationweg und Normalenvektor == Aus der [[w:de:lineare Algebra|linearen Algebra]] oder im Kontext der [[w:de:Support Vector Machine|Support Vector Machine]] sind [[w:de:Normalenvektor|Normalenvektoren]] bekannt. Für die algebraische Vervollständigung wird eine Art [[w:de:Normalenvektor|Normalenvektor]] <math>\gamma^{\bot}(t)</math> für die Richtungsableitung <math>\gamma{\,}'(t)</math> gebildet, der senkrecht zur Ableitung <math>\gamma{\,}'(t)</math> steht. Dieser Normalenvektor wird dazu verwendet, um analog zum rechtsseitigen bzw. linksseitigen Grenzwert in den reellen Zahlen <math>\mathbb{R}</math> ein Grenzwert in Richtung <math>+\gamma^{\bot}(t)</math> bzw. <math>-\,\gamma^{\bot}(t)</math> zu betrachten. === Voraussetzung für den Weg === Der Weg <math> \gamma: [a, b] \to \mathbb{C} </math> muss ein ''stetig differenzierbarer Weg'' sein, bei dem <math> \gamma{\,}'(t) \neq 0 </math> für alle <math> t \in [a,b] </math> gelten muss. <math> \gamma{\,}'(t) \neq 0 </math> ist notwendig, um an jedem Spurpunkt <math> \gamma(t) </math> einen Richtungsvektor <math> \gamma{\,}'(t) \neq 0 </math> zu haben, zu dem man eindeutig eine Orthogonale zeichnen kann. === Beispiel - Normalenvektor für den Einheitskreis=== Für <math> \gamma(t) = t\cdot e^{i t} </math> gilt <math> \gamma{\,}'(t) = i t\cdot e^{i t} </math> für alle <math> t \in \left[\tfrac{\pi}{2}, 12\pi\right] </math>. Durch die Multiplikation mit <math>i </math> rotiert man den Richtungsvektor um <math>\tfrac{\pi}{2}</math> um den Mittelpunkt 0 des Einheitskreises. Damit gilt für die beiden Normalenvektoren * <math>{\scriptstyle +}\,\gamma^{\bot}(t)= {\scriptstyle +} i\cdot\gamma{\,}'(t) = {\scriptstyle +}i\cdot it \cdot e^{i t} = {\scriptstyle -}t\cdot e^{i t}</math> bzw. * <math>{\scriptstyle -}\,\gamma^{\bot}(t)= {\scriptstyle -}i\cdot\gamma{\,}'(t) = {\scriptstyle -}i\cdot it \cdot e^{i t} = {\scriptstyle +}t\cdot e^{i t}</math>. In diesem Fall hat der Normalenvektor den Betrag <math>|\gamma^{\bot}(t)|= |t|= t</math> für alle <math>t\in \left[\tfrac{\pi}{2}, 12\pi\right]</math>. ==== Animation mit 2 Normalenvektoren ==== Der rote Vektor ist der Tangentialvektor <math>\gamma{\,}(t)</math> an dem Spurpunkt <math>\gamma(t)</math> abgetragen. Die gestrichekten Vektoren sind die beiden Normalenvektoren <math>{\scriptstyle +}\gamma^{\bot}(t)</math> (grün) und <math>{\scriptstyle -}\gamma^{\bot}(t)</math> (blau). [[File:Tangentialvektor spirale normalenvektor.gif|350px|center|orthogonal vectors for tangent vector assigned to curve as animation - Geogebra GIF export]] === Tangentenvektor === Der Tangentenvektor von <math> \gamma </math> an der Spurpunkt <math> \gamma(t) </math> ist zunächst einmal eine komplexe Zahl <math> \gamma'(t) \in \mathbb{C} </math>. In Polarkoordinaten <math>r_t \cdot e^{i\alpha_t}</math>, <math>r_t > 0</math> als Geschwindigkeit und <math>\alpha_t\in [0,2\pi) </math> Richtung interpretiert werden. Da <math> \mathbb{C} </math> isomorph zu <math> \mathbb{R}^2 </math> ist, kann man <math> \gamma'(t) </math> als Vektor in <math> \mathbb{R}^2 </math> auffassen und ein euklidische [[Skalarprodukt]] <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{_\mathbb{R}}</math> auffassen :<math> \langle v , w \rangle_{_\mathbb{R}} = \langle v_1+iv_2 , w_1+iw_2 \rangle_{_\mathbb{R}} = v_1w_1 + v_2w_2 </math> === Aufgabe für Studierende === Überprüfen Sie mit dem euklidische [[Skalarprodukt]] <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{_\mathbb{R}}</math>, ob <math>e^{it}</math> und <math>r\cdot i\cdot e^{it}</math> orthogonal zueinander sind. == Siehe auch == * [[einfach zusammenhängend]] * [[Gebiet (Mathematik)]] * [[generalisierter Logarithmus]] * [[logmod-Funktion]] * [[logmod-Äquivalenzklassen]] * [[w:de:Support Vector Machine|Support Vector Machine]] hcaa9v0ozmtay8evkba9h69h406ccpf 1116507 1116505 2026-10-17T07:59:51Z Bert Niehaus 20843 /* Entfernen der Spur für Hauptzweige */ 1116507 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Lerneinheit behandelt die algebraische Vervollständigung von holomorphen [[Zweige des Logarithmus|Zweigen des Logarithmus]] <math>\log_{_G}:G\to \mathbb{C}</math>, wobei <math>G</math> ein [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängendes]] Gebiet <math>G\subset \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> ist. Dabei entsteht das [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängendes]] Gebiet <math>G</math> durch das Entfernen der Spur [[rechtsseitig parametrisch unendlicher Weg|rechtsseitig parametrisch unendlichen Weges]] <math>\gamma : [a,+\infty) \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(a) = 0</math>. === Sprungstellen - Vervollständigung oder Riemannsche Fläche === Für die algebraische Vervollständigung eines [[Zweige des Logarithmus|Zweiges des Logarithmus]] gibt es genau an der <math>w\in Spur(\gamma)</math> eine Sprungstelle von <math>\pm 2\pi i</math>. Um mit den Sprungstellen weiter zu arbeiten, kann man entweder zu [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannschen Flächen]] oder zu einer in diesem Kontext weiter verfolgten algebraischen Vervollständigung überzugehen. Der Ersatz zielt darauf, auf dem Gebiet <math>G</math> noch die [[Holomorphie]] zur Verfügung zu haben und durch die algebraische Vervollständigung noch algebraische Eigenschaft auf dem Rand <math>\partial G \setminus \{0\}</math> nutzen zu können. Bereits vorab sei daher erwähnt, dass man dadurch nicht nur die [[Holomorphie]] auf <math>\mathbb{C} \setminus \{0\}</math> verliert, sondern auch die [[Stetigkeit]]. === Vorbereitende Lerneinheiten === Für die Lerneinheit ist es wesentlich, ausgehend von dem bekannten [[Logarithmus]] auf den reellen Zahlen den Transfer zum [[komplexer Logarithmus|komplexen Logarithmus]] und den Besonderheit in <math>\mathbb{C}</math> zu analysieren, weil dadurch die Notwendigkeit von einfach zusammenhängenden Gebieten <math>G</math>, der Periodizität des Exponentialfunktion und dem damit verbundenen Entfernen einer Spur zu verstehen. === Entfernen der Spur für Hauptzweige === Für die folgenden 4 Typen [[Hauptzweig des Logarithmus|Hauptzweigen]] des Logarithmus werden unterschiedliche Wege <math>\gamma_{+1}</math>, <math>\gamma_{-1}</math>, <math>\gamma_{+i}</math> und <math>\gamma_{-i}</math> verwendet und die zugehörige Spur <math>Spur(\gamma_k)</math> von <math>\mathbb{C}</math> entfernt mit <math>\gamma_k : [0,+\infty) \to \mathbb{C}</math>: * '''(Hauptzweig)''' <math> \gamma_{+1}(t) = -t </math> und der <math>Spur(\gamma_{+1}) = \mathbb{R}_0^{-}</math> mit dem Gebiet <math>G_{+1}=\mathbb{C}\setminus \mathbb{R}_0^{-}</math> * '''(negativer Hauptzweig)''' <math> \gamma_{-1}(t) = +t </math> und der <math>Spur(\gamma_{-1}) = \mathbb{R}_0^{+}</math> mit dem Gebiet <math>G_{-1}=\mathbb{C}\setminus \mathbb{R}_0^{+}</math> * '''(imaginärer Hauptzweig)''' <math> \gamma_{+i}(t) = -it </math> und der <math>Spur(\gamma_{+i}) = i\cdot \mathbb{R}_0^{-}</math> mit dem Gebiet <math>G_{+i}=\mathbb{C}\setminus ( i\cdot \mathbb{R}_0^{-})</math> * '''(negativer imaginärer Hauptzweig)''' <math> \gamma_{-i}(t) = +t </math>, <math>Spur(\gamma_{-i}) = i\cdot \mathbb{R}_0^{+}</math> und dem Gebiet <math>G_{-i}=\mathbb{C}\setminus (i\cdot \mathbb{R}_0^{+})</math> === Mengentheoretische algebraische Vervollständigung === Mengentheoretisch vervollständigt man z.B. bei den Hauptzweigen des [[komplexer Logarithmus|Logarithmus]] Funktionswerte auf dem entfernten Spurpunkten mit Ausnahme der 0. Beim [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweig]], beim die Spur von <math> \gamma_{-1}(t) = {\scriptstyle +}t </math> entfernt wurde, definiert man mit <math>Spur(\gamma_{-1}) = \mathbb{R}_0^{+}</math> nun auch Funktionswerte für die auf <math> \mathbb{R}^{+}</math> und erhält damit eine algebraische Vervollständigung des Logarithmus von <math>G_{-1}=\mathbb{C}\setminus \mathbb{R}_0^{+}</math> auf <math>\mathbb{C}\setminus \{0\}</math>. Da die [[Holomorphie]] und sogar [[Stetigkeit]] bei diesem Schritt verloren gehen, versucht man zumindest eine Stetigkeit aus einer Normalenvektorrichtung zu erhalten (siehe auch [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/algebraische Vervollständigung#Animation|Animation]]). === Bemerkung - negativer Hauptzweig - Vervollständigung === Im weiteren Verlauf der Lehrveranstaltung wird die algebraische Vervollständigung von dem [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweig des Logarithmus]] und die damit verbundene [[logmod-Äquivalenzklassen|Äquivalenzklassenbildung]] eine besondere Rolle spielen, um algebraische Rechenregeln auf Äquivalenzklassen im Zusammenhang mit dem [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarithmus]] <math>\mathrm{lnr}(z)</math> zu erhalten. Prinzipiell kann die algebraische Vervollständigung für beliebige [[Zweige des Logarithmus]] durchgeführt werden, und so das <math>2\pi i</math>-Vielfache der imaginären Periodizität zu kontrollieren. Daher wird das Verfahren hier für [[generalisierter Logarithmus|generalisierte Logarithmen]] behandelt. == Integrationweg und Normalenvektor == Aus der [[w:de:lineare Algebra|linearen Algebra]] oder im Kontext der [[w:de:Support Vector Machine|Support Vector Machine]] sind [[w:de:Normalenvektor|Normalenvektoren]] bekannt. Für die algebraische Vervollständigung wird eine Art [[w:de:Normalenvektor|Normalenvektor]] <math>\gamma^{\bot}(t)</math> für die Richtungsableitung <math>\gamma{\,}'(t)</math> gebildet, der senkrecht zur Ableitung <math>\gamma{\,}'(t)</math> steht. Dieser Normalenvektor wird dazu verwendet, um analog zum rechtsseitigen bzw. linksseitigen Grenzwert in den reellen Zahlen <math>\mathbb{R}</math> ein Grenzwert in Richtung <math>+\gamma^{\bot}(t)</math> bzw. <math>-\,\gamma^{\bot}(t)</math> zu betrachten. === Voraussetzung für den Weg === Der Weg <math> \gamma: [a, b] \to \mathbb{C} </math> muss ein ''stetig differenzierbarer Weg'' sein, bei dem <math> \gamma{\,}'(t) \neq 0 </math> für alle <math> t \in [a,b] </math> gelten muss. <math> \gamma{\,}'(t) \neq 0 </math> ist notwendig, um an jedem Spurpunkt <math> \gamma(t) </math> einen Richtungsvektor <math> \gamma{\,}'(t) \neq 0 </math> zu haben, zu dem man eindeutig eine Orthogonale zeichnen kann. === Beispiel - Normalenvektor für den Einheitskreis=== Für <math> \gamma(t) = t\cdot e^{i t} </math> gilt <math> \gamma{\,}'(t) = i t\cdot e^{i t} </math> für alle <math> t \in \left[\tfrac{\pi}{2}, 12\pi\right] </math>. Durch die Multiplikation mit <math>i </math> rotiert man den Richtungsvektor um <math>\tfrac{\pi}{2}</math> um den Mittelpunkt 0 des Einheitskreises. Damit gilt für die beiden Normalenvektoren * <math>{\scriptstyle +}\,\gamma^{\bot}(t)= {\scriptstyle +} i\cdot\gamma{\,}'(t) = {\scriptstyle +}i\cdot it \cdot e^{i t} = {\scriptstyle -}t\cdot e^{i t}</math> bzw. * <math>{\scriptstyle -}\,\gamma^{\bot}(t)= {\scriptstyle -}i\cdot\gamma{\,}'(t) = {\scriptstyle -}i\cdot it \cdot e^{i t} = {\scriptstyle +}t\cdot e^{i t}</math>. In diesem Fall hat der Normalenvektor den Betrag <math>|\gamma^{\bot}(t)|= |t|= t</math> für alle <math>t\in \left[\tfrac{\pi}{2}, 12\pi\right]</math>. ==== Animation mit 2 Normalenvektoren ==== Der rote Vektor ist der Tangentialvektor <math>\gamma{\,}(t)</math> an dem Spurpunkt <math>\gamma(t)</math> abgetragen. Die gestrichekten Vektoren sind die beiden Normalenvektoren <math>{\scriptstyle +}\gamma^{\bot}(t)</math> (grün) und <math>{\scriptstyle -}\gamma^{\bot}(t)</math> (blau). [[File:Tangentialvektor spirale normalenvektor.gif|350px|center|orthogonal vectors for tangent vector assigned to curve as animation - Geogebra GIF export]] === Tangentenvektor === Der Tangentenvektor von <math> \gamma </math> an der Spurpunkt <math> \gamma(t) </math> ist zunächst einmal eine komplexe Zahl <math> \gamma'(t) \in \mathbb{C} </math>. In Polarkoordinaten <math>r_t \cdot e^{i\alpha_t}</math>, <math>r_t > 0</math> als Geschwindigkeit und <math>\alpha_t\in [0,2\pi) </math> Richtung interpretiert werden. Da <math> \mathbb{C} </math> isomorph zu <math> \mathbb{R}^2 </math> ist, kann man <math> \gamma'(t) </math> als Vektor in <math> \mathbb{R}^2 </math> auffassen und ein euklidische [[Skalarprodukt]] <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{_\mathbb{R}}</math> auffassen :<math> \langle v , w \rangle_{_\mathbb{R}} = \langle v_1+iv_2 , w_1+iw_2 \rangle_{_\mathbb{R}} = v_1w_1 + v_2w_2 </math> === Aufgabe für Studierende === Überprüfen Sie mit dem euklidische [[Skalarprodukt]] <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{_\mathbb{R}}</math>, ob <math>e^{it}</math> und <math>r\cdot i\cdot e^{it}</math> orthogonal zueinander sind. == Siehe auch == * [[einfach zusammenhängend]] * [[Gebiet (Mathematik)]] * [[generalisierter Logarithmus]] * [[logmod-Funktion]] * [[logmod-Äquivalenzklassen]] * [[w:de:Support Vector Machine|Support Vector Machine]] gwygigpednwrlr3qdt6atoo0gmeiah2 1116508 1116507 2026-10-17T08:00:15Z Bert Niehaus 20843 /* Animation mit 2 Normalenvektoren */ 1116508 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Lerneinheit behandelt die algebraische Vervollständigung von holomorphen [[Zweige des Logarithmus|Zweigen des Logarithmus]] <math>\log_{_G}:G\to \mathbb{C}</math>, wobei <math>G</math> ein [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängendes]] Gebiet <math>G\subset \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> ist. Dabei entsteht das [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängendes]] Gebiet <math>G</math> durch das Entfernen der Spur [[rechtsseitig parametrisch unendlicher Weg|rechtsseitig parametrisch unendlichen Weges]] <math>\gamma : [a,+\infty) \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(a) = 0</math>. === Sprungstellen - Vervollständigung oder Riemannsche Fläche === Für die algebraische Vervollständigung eines [[Zweige des Logarithmus|Zweiges des Logarithmus]] gibt es genau an der <math>w\in Spur(\gamma)</math> eine Sprungstelle von <math>\pm 2\pi i</math>. Um mit den Sprungstellen weiter zu arbeiten, kann man entweder zu [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannschen Flächen]] oder zu einer in diesem Kontext weiter verfolgten algebraischen Vervollständigung überzugehen. Der Ersatz zielt darauf, auf dem Gebiet <math>G</math> noch die [[Holomorphie]] zur Verfügung zu haben und durch die algebraische Vervollständigung noch algebraische Eigenschaft auf dem Rand <math>\partial G \setminus \{0\}</math> nutzen zu können. Bereits vorab sei daher erwähnt, dass man dadurch nicht nur die [[Holomorphie]] auf <math>\mathbb{C} \setminus \{0\}</math> verliert, sondern auch die [[Stetigkeit]]. === Vorbereitende Lerneinheiten === Für die Lerneinheit ist es wesentlich, ausgehend von dem bekannten [[Logarithmus]] auf den reellen Zahlen den Transfer zum [[komplexer Logarithmus|komplexen Logarithmus]] und den Besonderheit in <math>\mathbb{C}</math> zu analysieren, weil dadurch die Notwendigkeit von einfach zusammenhängenden Gebieten <math>G</math>, der Periodizität des Exponentialfunktion und dem damit verbundenen Entfernen einer Spur zu verstehen. === Entfernen der Spur für Hauptzweige === Für die folgenden 4 Typen [[Hauptzweig des Logarithmus|Hauptzweigen]] des Logarithmus werden unterschiedliche Wege <math>\gamma_{+1}</math>, <math>\gamma_{-1}</math>, <math>\gamma_{+i}</math> und <math>\gamma_{-i}</math> verwendet und die zugehörige Spur <math>Spur(\gamma_k)</math> von <math>\mathbb{C}</math> entfernt mit <math>\gamma_k : [0,+\infty) \to \mathbb{C}</math>: * '''(Hauptzweig)''' <math> \gamma_{+1}(t) = -t </math> und der <math>Spur(\gamma_{+1}) = \mathbb{R}_0^{-}</math> mit dem Gebiet <math>G_{+1}=\mathbb{C}\setminus \mathbb{R}_0^{-}</math> * '''(negativer Hauptzweig)''' <math> \gamma_{-1}(t) = +t </math> und der <math>Spur(\gamma_{-1}) = \mathbb{R}_0^{+}</math> mit dem Gebiet <math>G_{-1}=\mathbb{C}\setminus \mathbb{R}_0^{+}</math> * '''(imaginärer Hauptzweig)''' <math> \gamma_{+i}(t) = -it </math> und der <math>Spur(\gamma_{+i}) = i\cdot \mathbb{R}_0^{-}</math> mit dem Gebiet <math>G_{+i}=\mathbb{C}\setminus ( i\cdot \mathbb{R}_0^{-})</math> * '''(negativer imaginärer Hauptzweig)''' <math> \gamma_{-i}(t) = +t </math>, <math>Spur(\gamma_{-i}) = i\cdot \mathbb{R}_0^{+}</math> und dem Gebiet <math>G_{-i}=\mathbb{C}\setminus (i\cdot \mathbb{R}_0^{+})</math> === Mengentheoretische algebraische Vervollständigung === Mengentheoretisch vervollständigt man z.B. bei den Hauptzweigen des [[komplexer Logarithmus|Logarithmus]] Funktionswerte auf dem entfernten Spurpunkten mit Ausnahme der 0. Beim [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweig]], beim die Spur von <math> \gamma_{-1}(t) = {\scriptstyle +}t </math> entfernt wurde, definiert man mit <math>Spur(\gamma_{-1}) = \mathbb{R}_0^{+}</math> nun auch Funktionswerte für die auf <math> \mathbb{R}^{+}</math> und erhält damit eine algebraische Vervollständigung des Logarithmus von <math>G_{-1}=\mathbb{C}\setminus \mathbb{R}_0^{+}</math> auf <math>\mathbb{C}\setminus \{0\}</math>. Da die [[Holomorphie]] und sogar [[Stetigkeit]] bei diesem Schritt verloren gehen, versucht man zumindest eine Stetigkeit aus einer Normalenvektorrichtung zu erhalten (siehe auch [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/algebraische Vervollständigung#Animation|Animation]]). === Bemerkung - negativer Hauptzweig - Vervollständigung === Im weiteren Verlauf der Lehrveranstaltung wird die algebraische Vervollständigung von dem [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweig des Logarithmus]] und die damit verbundene [[logmod-Äquivalenzklassen|Äquivalenzklassenbildung]] eine besondere Rolle spielen, um algebraische Rechenregeln auf Äquivalenzklassen im Zusammenhang mit dem [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarithmus]] <math>\mathrm{lnr}(z)</math> zu erhalten. Prinzipiell kann die algebraische Vervollständigung für beliebige [[Zweige des Logarithmus]] durchgeführt werden, und so das <math>2\pi i</math>-Vielfache der imaginären Periodizität zu kontrollieren. Daher wird das Verfahren hier für [[generalisierter Logarithmus|generalisierte Logarithmen]] behandelt. == Integrationweg und Normalenvektor == Aus der [[w:de:lineare Algebra|linearen Algebra]] oder im Kontext der [[w:de:Support Vector Machine|Support Vector Machine]] sind [[w:de:Normalenvektor|Normalenvektoren]] bekannt. Für die algebraische Vervollständigung wird eine Art [[w:de:Normalenvektor|Normalenvektor]] <math>\gamma^{\bot}(t)</math> für die Richtungsableitung <math>\gamma{\,}'(t)</math> gebildet, der senkrecht zur Ableitung <math>\gamma{\,}'(t)</math> steht. Dieser Normalenvektor wird dazu verwendet, um analog zum rechtsseitigen bzw. linksseitigen Grenzwert in den reellen Zahlen <math>\mathbb{R}</math> ein Grenzwert in Richtung <math>+\gamma^{\bot}(t)</math> bzw. <math>-\,\gamma^{\bot}(t)</math> zu betrachten. === Voraussetzung für den Weg === Der Weg <math> \gamma: [a, b] \to \mathbb{C} </math> muss ein ''stetig differenzierbarer Weg'' sein, bei dem <math> \gamma{\,}'(t) \neq 0 </math> für alle <math> t \in [a,b] </math> gelten muss. <math> \gamma{\,}'(t) \neq 0 </math> ist notwendig, um an jedem Spurpunkt <math> \gamma(t) </math> einen Richtungsvektor <math> \gamma{\,}'(t) \neq 0 </math> zu haben, zu dem man eindeutig eine Orthogonale zeichnen kann. === Beispiel - Normalenvektor für den Einheitskreis=== Für <math> \gamma(t) = t\cdot e^{i t} </math> gilt <math> \gamma{\,}'(t) = i t\cdot e^{i t} </math> für alle <math> t \in \left[\tfrac{\pi}{2}, 12\pi\right] </math>. Durch die Multiplikation mit <math>i </math> rotiert man den Richtungsvektor um <math>\tfrac{\pi}{2}</math> um den Mittelpunkt 0 des Einheitskreises. Damit gilt für die beiden Normalenvektoren * <math>{\scriptstyle +}\,\gamma^{\bot}(t)= {\scriptstyle +} i\cdot\gamma{\,}'(t) = {\scriptstyle +}i\cdot it \cdot e^{i t} = {\scriptstyle -}t\cdot e^{i t}</math> bzw. * <math>{\scriptstyle -}\,\gamma^{\bot}(t)= {\scriptstyle -}i\cdot\gamma{\,}'(t) = {\scriptstyle -}i\cdot it \cdot e^{i t} = {\scriptstyle +}t\cdot e^{i t}</math>. In diesem Fall hat der Normalenvektor den Betrag <math>|\gamma^{\bot}(t)|= |t|= t</math> für alle <math>t\in \left[\tfrac{\pi}{2}, 12\pi\right]</math>. ==== Animation mit 2 Normalenvektoren ==== Der rote Vektor ist der Tangentialvektor <math>\gamma{\,}(t)</math> an dem Spurpunkt <math>\gamma(t)</math> abgetragen. Die gestrichekten Vektoren sind die beiden Normalenvektoren <math>{\scriptstyle +}\gamma^{\bot}(t)</math> (grün) und <math>{\scriptstyle -}\gamma^{\bot}(t)</math> (blau).<span id="Animation"></span> [[File:Tangentialvektor spirale normalenvektor.gif|350px|center|orthogonal vectors for tangent vector assigned to curve as animation - Geogebra GIF export]] === Tangentenvektor === Der Tangentenvektor von <math> \gamma </math> an der Spurpunkt <math> \gamma(t) </math> ist zunächst einmal eine komplexe Zahl <math> \gamma'(t) \in \mathbb{C} </math>. In Polarkoordinaten <math>r_t \cdot e^{i\alpha_t}</math>, <math>r_t > 0</math> als Geschwindigkeit und <math>\alpha_t\in [0,2\pi) </math> Richtung interpretiert werden. 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Dabei entsteht das [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängendes]] Gebiet <math>G</math> durch das Entfernen der Spur [[rechtsseitig parametrisch unendlicher Weg|rechtsseitig parametrisch unendlichen Weges]] <math>\gamma : [a,+\infty) \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(a) = 0</math>. === Sprungstellen - Vervollständigung oder Riemannsche Fläche === Für die algebraische Vervollständigung eines [[Zweige des Logarithmus|Zweiges des Logarithmus]] gibt es genau an der <math>w\in Spur(\gamma)</math> eine Sprungstelle von <math>\pm 2\pi i</math>. Um mit den Sprungstellen weiter zu arbeiten, kann man entweder zu [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannschen Flächen]] oder zu einer in diesem Kontext weiter verfolgten algebraischen Vervollständigung überzugehen. Der Ersatz zielt darauf, auf dem Gebiet <math>G</math> noch die [[Holomorphie]] zur Verfügung zu haben und durch die algebraische Vervollständigung noch algebraische Eigenschaft auf dem Rand <math>\partial G \setminus \{0\}</math> nutzen zu können. Bereits vorab sei daher erwähnt, dass man dadurch nicht nur die [[Holomorphie]] auf <math>\mathbb{C} \setminus \{0\}</math> verliert, sondern auch die [[Stetigkeit]]. === Vorbereitende Lerneinheiten === Für die Lerneinheit ist es wesentlich, ausgehend von dem bekannten [[Logarithmus]] auf den reellen Zahlen den Transfer zum [[komplexer Logarithmus|komplexen Logarithmus]] und den Besonderheit in <math>\mathbb{C}</math> zu analysieren, weil dadurch die Notwendigkeit von einfach zusammenhängenden Gebieten <math>G</math>, der Periodizität des Exponentialfunktion und dem damit verbundenen Entfernen einer Spur zu verstehen. === Entfernen der Spur für Hauptzweige === Für die folgenden 4 Typen [[Hauptzweig des Logarithmus|Hauptzweigen]] des Logarithmus werden unterschiedliche Wege <math>\gamma_{+1}</math>, <math>\gamma_{-1}</math>, <math>\gamma_{+i}</math> und <math>\gamma_{-i}</math> verwendet und die zugehörige Spur <math>Spur(\gamma_k)</math> von <math>\mathbb{C}</math> entfernt mit <math>\gamma_k : [0,+\infty) \to \mathbb{C}</math>: * '''(Hauptzweig)''' <math> \gamma_{+1}(t) = -t </math> und der <math>Spur(\gamma_{+1}) = \mathbb{R}_0^{-}</math> mit dem Gebiet <math>G_{+1}=\mathbb{C}\setminus \mathbb{R}_0^{-}</math> * '''(negativer Hauptzweig)''' <math> \gamma_{-1}(t) = +t </math> und der <math>Spur(\gamma_{-1}) = \mathbb{R}_0^{+}</math> mit dem Gebiet <math>G_{-1}=\mathbb{C}\setminus \mathbb{R}_0^{+}</math> * '''(imaginärer Hauptzweig)''' <math> \gamma_{+i}(t) = -it </math> und der <math>Spur(\gamma_{+i}) = i\cdot \mathbb{R}_0^{-}</math> mit dem Gebiet <math>G_{+i}=\mathbb{C}\setminus ( i\cdot \mathbb{R}_0^{-})</math> * '''(negativer imaginärer Hauptzweig)''' <math> \gamma_{-i}(t) = +t </math>, <math>Spur(\gamma_{-i}) = i\cdot \mathbb{R}_0^{+}</math> und dem Gebiet <math>G_{-i}=\mathbb{C}\setminus (i\cdot \mathbb{R}_0^{+})</math> === Mengentheoretische algebraische Vervollständigung === Mengentheoretisch vervollständigt man z.B. bei den Hauptzweigen des [[komplexer Logarithmus|Logarithmus]] Funktionswerte auf dem entfernten Spurpunkten mit Ausnahme der 0. Beim [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweig]], beim die Spur von <math> \gamma_{-1}(t) = {\scriptstyle +}t </math> entfernt wurde, definiert man mit <math>Spur(\gamma_{-1}) = \mathbb{R}_0^{+}</math> nun auch Funktionswerte für die auf <math> \mathbb{R}^{+}</math> und erhält damit eine algebraische Vervollständigung des Logarithmus von <math>G_{-1}=\mathbb{C}\setminus \mathbb{R}_0^{+}</math> auf <math>\mathbb{C}\setminus \{0\}</math>. Da die [[Holomorphie]] und sogar [[Stetigkeit]] bei diesem Schritt verloren gehen, versucht man zumindest eine Stetigkeit aus einer Normalenvektorrichtung zu erhalten (siehe auch [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/algebraische Vervollständigung#Animation|Animation]]). Die beiden veranschaulichten Richtungen als [[w:de:Normalenvektor|Normalenvektor]] zeigen die beiden Optionen, eine einseitige Richtungsstetigkeit zu erreichen. === Bemerkung - negativer Hauptzweig - Vervollständigung === Im weiteren Verlauf der Lehrveranstaltung wird die algebraische Vervollständigung von dem [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweig des Logarithmus]] und die damit verbundene [[logmod-Äquivalenzklassen|Äquivalenzklassenbildung]] eine besondere Rolle spielen, um algebraische Rechenregeln auf Äquivalenzklassen im Zusammenhang mit dem [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarithmus]] <math>\mathrm{lnr}(z)</math> zu erhalten. Prinzipiell kann die algebraische Vervollständigung für beliebige [[Zweige des Logarithmus]] durchgeführt werden, und so das <math>2\pi i</math>-Vielfache der imaginären Periodizität zu kontrollieren. Daher wird das Verfahren hier für [[generalisierter Logarithmus|generalisierte Logarithmen]] behandelt. == Integrationweg und Normalenvektor == Aus der [[w:de:lineare Algebra|linearen Algebra]] oder im Kontext der [[w:de:Support Vector Machine|Support Vector Machine]] sind [[w:de:Normalenvektor|Normalenvektoren]] bekannt. Für die algebraische Vervollständigung wird eine Art [[w:de:Normalenvektor|Normalenvektor]] <math>\gamma^{\bot}(t)</math> für die Richtungsableitung <math>\gamma{\,}'(t)</math> gebildet, der senkrecht zur Ableitung <math>\gamma{\,}'(t)</math> steht. Dieser Normalenvektor wird dazu verwendet, um analog zum rechtsseitigen bzw. linksseitigen Grenzwert in den reellen Zahlen <math>\mathbb{R}</math> ein Grenzwert in Richtung <math>+\gamma^{\bot}(t)</math> bzw. <math>-\,\gamma^{\bot}(t)</math> zu betrachten. === Voraussetzung für den Weg === Der Weg <math> \gamma: [a, b] \to \mathbb{C} </math> muss ein ''stetig differenzierbarer Weg'' sein, bei dem <math> \gamma{\,}'(t) \neq 0 </math> für alle <math> t \in [a,b] </math> gelten muss. <math> \gamma{\,}'(t) \neq 0 </math> ist notwendig, um an jedem Spurpunkt <math> \gamma(t) </math> einen Richtungsvektor <math> \gamma{\,}'(t) \neq 0 </math> zu haben, zu dem man eindeutig eine Orthogonale zeichnen kann. === Beispiel - Normalenvektor für den Einheitskreis=== Für <math> \gamma(t) = t\cdot e^{i t} </math> gilt <math> \gamma{\,}'(t) = i t\cdot e^{i t} </math> für alle <math> t \in \left[\tfrac{\pi}{2}, 12\pi\right] </math>. Durch die Multiplikation mit <math>i </math> rotiert man den Richtungsvektor um <math>\tfrac{\pi}{2}</math> um den Mittelpunkt 0 des Einheitskreises. Damit gilt für die beiden Normalenvektoren * <math>{\scriptstyle +}\,\gamma^{\bot}(t)= {\scriptstyle +} i\cdot\gamma{\,}'(t) = {\scriptstyle +}i\cdot it \cdot e^{i t} = {\scriptstyle -}t\cdot e^{i t}</math> bzw. * <math>{\scriptstyle -}\,\gamma^{\bot}(t)= {\scriptstyle -}i\cdot\gamma{\,}'(t) = {\scriptstyle -}i\cdot it \cdot e^{i t} = {\scriptstyle +}t\cdot e^{i t}</math>. In diesem Fall hat der Normalenvektor den Betrag <math>|\gamma^{\bot}(t)|= |t|= t</math> für alle <math>t\in \left[\tfrac{\pi}{2}, 12\pi\right]</math>. ==== Animation mit 2 Normalenvektoren ==== Der rote Vektor ist der Tangentialvektor <math>\gamma{\,}(t)</math> an dem Spurpunkt <math>\gamma(t)</math> abgetragen. Die gestrichekten Vektoren sind die beiden Normalenvektoren <math>{\scriptstyle +}\gamma^{\bot}(t)</math> (grün) und <math>{\scriptstyle -}\gamma^{\bot}(t)</math> (blau).<span id="Animation"></span> [[File:Tangentialvektor spirale normalenvektor.gif|350px|center|orthogonal vectors for tangent vector assigned to curve as animation - Geogebra GIF export]] === Tangentenvektor === Der Tangentenvektor von <math> \gamma </math> an der Spurpunkt <math> \gamma(t) </math> ist zunächst einmal eine komplexe Zahl <math> \gamma'(t) \in \mathbb{C} </math>. In Polarkoordinaten <math>r_t \cdot e^{i\alpha_t}</math>, <math>r_t > 0</math> als Geschwindigkeit und <math>\alpha_t\in [0,2\pi) </math> Richtung interpretiert werden. Da <math> \mathbb{C} </math> isomorph zu <math> \mathbb{R}^2 </math> ist, kann man <math> \gamma'(t) </math> als Vektor in <math> \mathbb{R}^2 </math> auffassen und ein euklidische [[Skalarprodukt]] <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{_\mathbb{R}}</math> auffassen :<math> \langle v , w \rangle_{_\mathbb{R}} = \langle v_1+iv_2 , w_1+iw_2 \rangle_{_\mathbb{R}} = v_1w_1 + v_2w_2 </math> === Aufgabe für Studierende === Überprüfen Sie mit dem euklidische [[Skalarprodukt]] <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{_\mathbb{R}}</math>, ob <math>e^{it}</math> und <math>r\cdot i\cdot e^{it}</math> orthogonal zueinander sind. == Siehe auch == * [[einfach zusammenhängend]] * [[Gebiet (Mathematik)]] * [[generalisierter Logarithmus]] * [[logmod-Funktion]] * [[logmod-Äquivalenzklassen]] * [[w:de:Support Vector Machine|Support Vector Machine]] 932jrj1grhw1mzt17gpk1m6ugdqkblp 1116513 1116511 2026-10-17T08:04:26Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1116513 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Lerneinheit behandelt die algebraische Vervollständigung von holomorphen [[Zweige des Logarithmus|Zweigen des Logarithmus]] <math>\log_{_G}:G\to \mathbb{C}</math>, wobei <math>G</math> ein [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängendes]] Gebiet <math>G\subset \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> ist. Dabei entsteht das [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängendes]] Gebiet <math>G</math> durch das Entfernen der Spur [[rechtsseitig parametrisch unendlicher Weg|rechtsseitig parametrisch unendlichen Weges]] <math>\gamma : [a,+\infty) \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(a) = 0</math>. === Sprungstellen - Vervollständigung oder Riemannsche Fläche === Für die algebraische Vervollständigung eines [[Zweige des Logarithmus|Zweiges des Logarithmus]] gibt es genau an der <math>w\in Spur(\gamma)</math> eine Sprungstelle von <math>\pm 2\pi i</math>. Um mit den Sprungstellen weiter zu arbeiten, kann man entweder zu [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannschen Flächen]] oder zu einer in diesem Kontext weiter verfolgten algebraischen Vervollständigung überzugehen. Der Ersatz zielt darauf, auf dem Gebiet <math>G</math> noch die [[Holomorphie]] zur Verfügung zu haben und durch die algebraische Vervollständigung noch algebraische Eigenschaft auf dem Rand <math>\partial G \setminus \{0\}</math> nutzen zu können. Bereits vorab sei daher erwähnt, dass man dadurch nicht nur die [[Holomorphie]] auf <math>\mathbb{C} \setminus \{0\}</math> verliert, sondern auch die [[Stetigkeit]]. === Vorbereitende Lerneinheiten === Für die Lerneinheit ist es wesentlich, ausgehend von dem bekannten [[Logarithmus]] auf den reellen Zahlen den Transfer zum [[komplexer Logarithmus|komplexen Logarithmus]] und den Besonderheit in <math>\mathbb{C}</math> zu analysieren, weil dadurch die Notwendigkeit von einfach zusammenhängenden Gebieten <math>G</math>, der Periodizität des Exponentialfunktion und dem damit verbundenen Entfernen einer Spur zu verstehen. === Entfernen der Spur für Hauptzweige === Für die folgenden 4 Typen [[Hauptzweig des Logarithmus|Hauptzweigen]] des Logarithmus werden unterschiedliche Wege <math>\gamma_{+1}</math>, <math>\gamma_{-1}</math>, <math>\gamma_{+i}</math> und <math>\gamma_{-i}</math> verwendet und die zugehörige Spur <math>Spur(\gamma_k)</math> von <math>\mathbb{C}</math> entfernt mit <math>\gamma_k : [0,+\infty) \to \mathbb{C}</math>: * '''(Hauptzweig)''' <math> \gamma_{+1}(t) = -t </math> und der <math>Spur(\gamma_{+1}) = \mathbb{R}_0^{-}</math> mit dem Gebiet <math>G_{+1}=\mathbb{C}\setminus \mathbb{R}_0^{-}</math> * '''(negativer Hauptzweig)''' <math> \gamma_{-1}(t) = +t </math> und der <math>Spur(\gamma_{-1}) = \mathbb{R}_0^{+}</math> mit dem Gebiet <math>G_{-1}=\mathbb{C}\setminus \mathbb{R}_0^{+}</math> * '''(imaginärer Hauptzweig)''' <math> \gamma_{+i}(t) = -it </math> und der <math>Spur(\gamma_{+i}) = i\cdot \mathbb{R}_0^{-}</math> mit dem Gebiet <math>G_{+i}=\mathbb{C}\setminus ( i\cdot \mathbb{R}_0^{-})</math> * '''(negativer imaginärer Hauptzweig)''' <math> \gamma_{-i}(t) = +t </math>, <math>Spur(\gamma_{-i}) = i\cdot \mathbb{R}_0^{+}</math> und dem Gebiet <math>G_{-i}=\mathbb{C}\setminus (i\cdot \mathbb{R}_0^{+})</math> === Mengentheoretische algebraische Vervollständigung === Mengentheoretisch vervollständigt man z.B. bei den Hauptzweigen des [[komplexer Logarithmus|Logarithmus]] Funktionswerte auf dem entfernten Spurpunkten mit Ausnahme der 0. Beim [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweig]], beim die Spur von <math> \gamma_{-1}(t) = {\scriptstyle +}t </math> entfernt wurde, definiert man mit <math>Spur(\gamma_{-1}) = \mathbb{R}_0^{+}</math> nun auch Funktionswerte für die auf <math> \mathbb{R}^{+}</math> und erhält damit eine algebraische Vervollständigung des Logarithmus von <math>G_{-1}=\mathbb{C}\setminus \mathbb{R}_0^{+}</math> auf <math>\mathbb{C}\setminus \{0\}</math>. Da die [[Holomorphie]] und sogar [[Stetigkeit]] bei diesem Schritt verloren gehen, versucht man zumindest eine Stetigkeit aus einer Normalenvektorrichtung zu erhalten (siehe auch [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/algebraische Vervollständigung#Animation|Animation]]). Die beiden veranschaulichten Richtungen als [[w:de:Normalenvektor|Normalenvektor]] zeigen die beiden Optionen, eine einseitige Richtungsstetigkeit zu erreichen. === Bemerkung - negativer Hauptzweig - Vervollständigung === Im weiteren Verlauf der Lehrveranstaltung wird die algebraische Vervollständigung von dem [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweig des Logarithmus]] und die damit verbundene [[logmod-Äquivalenzklassen|Äquivalenzklassenbildung]] eine besondere Rolle spielen, um algebraische Rechenregeln auf Äquivalenzklassen im Zusammenhang mit dem [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarithmus]] <math>\mathrm{lnr}(z)</math> zu erhalten. Prinzipiell kann die algebraische Vervollständigung für beliebige [[Zweige des Logarithmus]] durchgeführt werden, und so das <math>2\pi i</math>-Vielfache der imaginären Periodizität zu kontrollieren. Daher wird das Verfahren hier für [[generalisierter Logarithmus|generalisierte Logarithmen]] behandelt. == Integrationweg und Normalenvektor == Aus der [[w:de:lineare Algebra|linearen Algebra]] oder im Kontext der [[w:de:Support Vector Machine|Support Vector Machine]] sind [[w:de:Normalenvektor|Normalenvektoren]] bekannt. Für die algebraische Vervollständigung wird eine Art [[w:de:Normalenvektor|Normalenvektor]] <math>\gamma^{\bot}(t)</math> für die Richtungsableitung <math>\gamma{\,}'(t)</math> gebildet, der senkrecht zur Ableitung <math>\gamma{\,}'(t)</math> steht. Dieser Normalenvektor wird dazu verwendet, um analog zum rechtsseitigen bzw. linksseitigen Grenzwert in den reellen Zahlen <math>\mathbb{R}</math> ein Grenzwert in Richtung <math>+\gamma^{\bot}(t)</math> bzw. <math>-\,\gamma^{\bot}(t)</math> zu betrachten. === Voraussetzung für den Weg === Der Weg <math> \gamma: [a, b] \to \mathbb{C} </math> muss ein ''stetig differenzierbarer Weg'' sein, bei dem <math> \gamma{\,}'(t) \neq 0 </math> für alle <math> t \in [a,b] </math> gelten muss. <math> \gamma{\,}'(t) \neq 0 </math> ist notwendig, um an jedem Spurpunkt <math> \gamma(t) </math> einen Richtungsvektor <math> \gamma{\,}'(t) \neq 0 </math> zu haben, zu dem man eindeutig eine Orthogonale zeichnen kann. === Beispiel - Normalenvektor für den Einheitskreis=== Für <math> \gamma(t) = t\cdot e^{i t} </math> gilt <math> \gamma{\,}'(t) = i t\cdot e^{i t} </math> für alle <math> t \in \left[\tfrac{\pi}{2}, 12\pi\right] </math>. Durch die Multiplikation mit <math>i </math> rotiert man den Richtungsvektor um <math>\tfrac{\pi}{2}</math> um den Mittelpunkt 0 des Einheitskreises. Damit gilt für die beiden Normalenvektoren * <math>{\scriptstyle +}\,\gamma^{\bot}(t)= {\scriptstyle +} i\cdot\gamma{\,}'(t) = {\scriptstyle +}i\cdot it \cdot e^{i t} = {\scriptstyle -}t\cdot e^{i t}</math> bzw. * <math>{\scriptstyle -}\,\gamma^{\bot}(t)= {\scriptstyle -}i\cdot\gamma{\,}'(t) = {\scriptstyle -}i\cdot it \cdot e^{i t} = {\scriptstyle +}t\cdot e^{i t}</math>. In diesem Fall hat der Normalenvektor den Betrag <math>|\gamma^{\bot}(t)|= |t|= t</math> für alle <math>t\in \left[\tfrac{\pi}{2}, 12\pi\right]</math>. ==== Animation mit 2 Normalenvektoren ==== Der rote Vektor ist der Tangentialvektor <math>\gamma{\,}(t)</math> an dem Spurpunkt <math>\gamma(t)</math> abgetragen. Die gestrichekten Vektoren sind die beiden Normalenvektoren <math>{\scriptstyle +}\gamma^{\bot}(t)</math> (grün) und <math>{\scriptstyle -}\gamma^{\bot}(t)</math> (blau).<span id="Animation"></span> [[File:Tangentialvektor spirale normalenvektor.gif|350px|center|orthogonal vectors for tangent vector assigned to curve as animation - Geogebra GIF export]] === Tangentenvektor === Der Tangentenvektor von <math> \gamma </math> an der Spurpunkt <math> \gamma(t) </math> ist zunächst einmal eine komplexe Zahl <math> \gamma'(t) \in \mathbb{C} </math>. In Polarkoordinaten <math>r_t \cdot e^{i\alpha_t}</math>, <math>r_t > 0</math> als Geschwindigkeit und <math>\alpha_t\in [0,2\pi) </math> Richtung interpretiert werden. Da <math> \mathbb{C} </math> isomorph zu <math> \mathbb{R}^2 </math> ist, kann man <math> \gamma'(t) </math> als Vektor in <math> \mathbb{R}^2 </math> auffassen und ein euklidische [[Skalarprodukt]] <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{_\mathbb{R}}</math> auffassen :<math> \langle v , w \rangle_{_\mathbb{R}} = \langle v_1+iv_2 , w_1+iw_2 \rangle_{_\mathbb{R}} = v_1w_1 + v_2w_2 </math> === Aufgabe für Studierende === Überprüfen Sie mit dem euklidische [[Skalarprodukt]] <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{_\mathbb{R}}</math>, ob <math>e^{it}</math> und <math>r\cdot i\cdot e^{it}</math> orthogonal zueinander sind. == Siehe auch == * [[einfach zusammenhängend]] * [[Gebiet (Mathematik)]] * [[generalisierter Logarithmus]] * [[logmod-Funktion]] * [[logmod-Äquivalenzklassen]] * [[w:de:Normalenvektor|Normalenvektor]] * [[w:de:Support Vector Machine|Support Vector Machine]] o6f6qgfzgztzt7dmfgx5bej29xtqcrq 1116516 1116513 2026-10-17T08:06:09Z Bert Niehaus 20843 /* Beispiel - Normalenvektor für den Einheitskreis */ 1116516 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Lerneinheit behandelt die algebraische Vervollständigung von holomorphen [[Zweige des Logarithmus|Zweigen des Logarithmus]] <math>\log_{_G}:G\to \mathbb{C}</math>, wobei <math>G</math> ein [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängendes]] Gebiet <math>G\subset \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> ist. Dabei entsteht das [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängendes]] Gebiet <math>G</math> durch das Entfernen der Spur [[rechtsseitig parametrisch unendlicher Weg|rechtsseitig parametrisch unendlichen Weges]] <math>\gamma : [a,+\infty) \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(a) = 0</math>. === Sprungstellen - Vervollständigung oder Riemannsche Fläche === Für die algebraische Vervollständigung eines [[Zweige des Logarithmus|Zweiges des Logarithmus]] gibt es genau an der <math>w\in Spur(\gamma)</math> eine Sprungstelle von <math>\pm 2\pi i</math>. Um mit den Sprungstellen weiter zu arbeiten, kann man entweder zu [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannschen Flächen]] oder zu einer in diesem Kontext weiter verfolgten algebraischen Vervollständigung überzugehen. Der Ersatz zielt darauf, auf dem Gebiet <math>G</math> noch die [[Holomorphie]] zur Verfügung zu haben und durch die algebraische Vervollständigung noch algebraische Eigenschaft auf dem Rand <math>\partial G \setminus \{0\}</math> nutzen zu können. Bereits vorab sei daher erwähnt, dass man dadurch nicht nur die [[Holomorphie]] auf <math>\mathbb{C} \setminus \{0\}</math> verliert, sondern auch die [[Stetigkeit]]. === Vorbereitende Lerneinheiten === Für die Lerneinheit ist es wesentlich, ausgehend von dem bekannten [[Logarithmus]] auf den reellen Zahlen den Transfer zum [[komplexer Logarithmus|komplexen Logarithmus]] und den Besonderheit in <math>\mathbb{C}</math> zu analysieren, weil dadurch die Notwendigkeit von einfach zusammenhängenden Gebieten <math>G</math>, der Periodizität des Exponentialfunktion und dem damit verbundenen Entfernen einer Spur zu verstehen. === Entfernen der Spur für Hauptzweige === Für die folgenden 4 Typen [[Hauptzweig des Logarithmus|Hauptzweigen]] des Logarithmus werden unterschiedliche Wege <math>\gamma_{+1}</math>, <math>\gamma_{-1}</math>, <math>\gamma_{+i}</math> und <math>\gamma_{-i}</math> verwendet und die zugehörige Spur <math>Spur(\gamma_k)</math> von <math>\mathbb{C}</math> entfernt mit <math>\gamma_k : [0,+\infty) \to \mathbb{C}</math>: * '''(Hauptzweig)''' <math> \gamma_{+1}(t) = -t </math> und der <math>Spur(\gamma_{+1}) = \mathbb{R}_0^{-}</math> mit dem Gebiet <math>G_{+1}=\mathbb{C}\setminus \mathbb{R}_0^{-}</math> * '''(negativer Hauptzweig)''' <math> \gamma_{-1}(t) = +t </math> und der <math>Spur(\gamma_{-1}) = \mathbb{R}_0^{+}</math> mit dem Gebiet <math>G_{-1}=\mathbb{C}\setminus \mathbb{R}_0^{+}</math> * '''(imaginärer Hauptzweig)''' <math> \gamma_{+i}(t) = -it </math> und der <math>Spur(\gamma_{+i}) = i\cdot \mathbb{R}_0^{-}</math> mit dem Gebiet <math>G_{+i}=\mathbb{C}\setminus ( i\cdot \mathbb{R}_0^{-})</math> * '''(negativer imaginärer Hauptzweig)''' <math> \gamma_{-i}(t) = +t </math>, <math>Spur(\gamma_{-i}) = i\cdot \mathbb{R}_0^{+}</math> und dem Gebiet <math>G_{-i}=\mathbb{C}\setminus (i\cdot \mathbb{R}_0^{+})</math> === Mengentheoretische algebraische Vervollständigung === Mengentheoretisch vervollständigt man z.B. bei den Hauptzweigen des [[komplexer Logarithmus|Logarithmus]] Funktionswerte auf dem entfernten Spurpunkten mit Ausnahme der 0. Beim [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweig]], beim die Spur von <math> \gamma_{-1}(t) = {\scriptstyle +}t </math> entfernt wurde, definiert man mit <math>Spur(\gamma_{-1}) = \mathbb{R}_0^{+}</math> nun auch Funktionswerte für die auf <math> \mathbb{R}^{+}</math> und erhält damit eine algebraische Vervollständigung des Logarithmus von <math>G_{-1}=\mathbb{C}\setminus \mathbb{R}_0^{+}</math> auf <math>\mathbb{C}\setminus \{0\}</math>. Da die [[Holomorphie]] und sogar [[Stetigkeit]] bei diesem Schritt verloren gehen, versucht man zumindest eine Stetigkeit aus einer Normalenvektorrichtung zu erhalten (siehe auch [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/algebraische Vervollständigung#Animation|Animation]]). Die beiden veranschaulichten Richtungen als [[w:de:Normalenvektor|Normalenvektor]] zeigen die beiden Optionen, eine einseitige Richtungsstetigkeit zu erreichen. === Bemerkung - negativer Hauptzweig - Vervollständigung === Im weiteren Verlauf der Lehrveranstaltung wird die algebraische Vervollständigung von dem [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweig des Logarithmus]] und die damit verbundene [[logmod-Äquivalenzklassen|Äquivalenzklassenbildung]] eine besondere Rolle spielen, um algebraische Rechenregeln auf Äquivalenzklassen im Zusammenhang mit dem [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarithmus]] <math>\mathrm{lnr}(z)</math> zu erhalten. Prinzipiell kann die algebraische Vervollständigung für beliebige [[Zweige des Logarithmus]] durchgeführt werden, und so das <math>2\pi i</math>-Vielfache der imaginären Periodizität zu kontrollieren. Daher wird das Verfahren hier für [[generalisierter Logarithmus|generalisierte Logarithmen]] behandelt. == Integrationweg und Normalenvektor == Aus der [[w:de:lineare Algebra|linearen Algebra]] oder im Kontext der [[w:de:Support Vector Machine|Support Vector Machine]] sind [[w:de:Normalenvektor|Normalenvektoren]] bekannt. Für die algebraische Vervollständigung wird eine Art [[w:de:Normalenvektor|Normalenvektor]] <math>\gamma^{\bot}(t)</math> für die Richtungsableitung <math>\gamma{\,}'(t)</math> gebildet, der senkrecht zur Ableitung <math>\gamma{\,}'(t)</math> steht. Dieser Normalenvektor wird dazu verwendet, um analog zum rechtsseitigen bzw. linksseitigen Grenzwert in den reellen Zahlen <math>\mathbb{R}</math> ein Grenzwert in Richtung <math>+\gamma^{\bot}(t)</math> bzw. <math>-\,\gamma^{\bot}(t)</math> zu betrachten. === Voraussetzung für den Weg === Der Weg <math> \gamma: [a, b] \to \mathbb{C} </math> muss ein ''stetig differenzierbarer Weg'' sein, bei dem <math> \gamma{\,}'(t) \neq 0 </math> für alle <math> t \in [a,b] </math> gelten muss. <math> \gamma{\,}'(t) \neq 0 </math> ist notwendig, um an jedem Spurpunkt <math> \gamma(t) </math> einen Richtungsvektor <math> \gamma{\,}'(t) \neq 0 </math> zu haben, zu dem man eindeutig eine Orthogonale zeichnen kann. === Beispiel - Normalenvektor - archimedische Spirale === Für <math> \gamma(t) = t\cdot e^{i t} </math> gilt <math> \gamma{\,}'(t) = i t\cdot e^{i t} </math> für alle <math> t \in \left[\tfrac{\pi}{2}, 12\pi\right] </math>. Durch die Multiplikation mit <math>i </math> rotiert man den Richtungsvektor um <math>\tfrac{\pi}{2}</math> um den Mittelpunkt 0 des Einheitskreises. Damit gilt für die beiden Normalenvektoren * <math>{\scriptstyle +}\,\gamma^{\bot}(t)= {\scriptstyle +} i\cdot\gamma{\,}'(t) = {\scriptstyle +}i\cdot it \cdot e^{i t} = {\scriptstyle -}t\cdot e^{i t}</math> bzw. * <math>{\scriptstyle -}\,\gamma^{\bot}(t)= {\scriptstyle -}i\cdot\gamma{\,}'(t) = {\scriptstyle -}i\cdot it \cdot e^{i t} = {\scriptstyle +}t\cdot e^{i t}</math>. In diesem Fall hat der Normalenvektor den Betrag <math>|\gamma^{\bot}(t)|= |t|= t</math> für alle <math>t\in \left[\tfrac{\pi}{2}, 12\pi\right]</math>. ==== Animation mit 2 Normalenvektoren ==== Der rote Vektor ist der Tangentialvektor <math>\gamma{\,}(t)</math> an dem Spurpunkt <math>\gamma(t)</math> abgetragen. Die gestrichekten Vektoren sind die beiden Normalenvektoren <math>{\scriptstyle +}\gamma^{\bot}(t)</math> (grün) und <math>{\scriptstyle -}\gamma^{\bot}(t)</math> (blau).<span id="Animation"></span> [[File:Tangentialvektor spirale normalenvektor.gif|350px|center|orthogonal vectors for tangent vector assigned to curve as animation - Geogebra GIF export]] === Tangentenvektor === Der Tangentenvektor von <math> \gamma </math> an der Spurpunkt <math> \gamma(t) </math> ist zunächst einmal eine komplexe Zahl <math> \gamma'(t) \in \mathbb{C} </math>. In Polarkoordinaten <math>r_t \cdot e^{i\alpha_t}</math>, <math>r_t > 0</math> als Geschwindigkeit und <math>\alpha_t\in [0,2\pi) </math> Richtung interpretiert werden. Da <math> \mathbb{C} </math> isomorph zu <math> \mathbb{R}^2 </math> ist, kann man <math> \gamma'(t) </math> als Vektor in <math> \mathbb{R}^2 </math> auffassen und ein euklidische [[Skalarprodukt]] <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{_\mathbb{R}}</math> auffassen :<math> \langle v , w \rangle_{_\mathbb{R}} = \langle v_1+iv_2 , w_1+iw_2 \rangle_{_\mathbb{R}} = v_1w_1 + v_2w_2 </math> === Aufgabe für Studierende === Überprüfen Sie mit dem euklidische [[Skalarprodukt]] <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{_\mathbb{R}}</math>, ob <math>e^{it}</math> und <math>r\cdot i\cdot e^{it}</math> orthogonal zueinander sind. == Siehe auch == * [[einfach zusammenhängend]] * [[Gebiet (Mathematik)]] * [[generalisierter Logarithmus]] * [[logmod-Funktion]] * [[logmod-Äquivalenzklassen]] * [[w:de:Normalenvektor|Normalenvektor]] * [[w:de:Support Vector Machine|Support Vector Machine]] jjdo949msu12xiaqf5c9bnait9w5ti5 1116517 1116516 2026-10-17T08:08:55Z Bert Niehaus 20843 /* Beispiel - Normalenvektor - archimedische Spirale */ 1116517 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Lerneinheit behandelt die algebraische Vervollständigung von holomorphen [[Zweige des Logarithmus|Zweigen des Logarithmus]] <math>\log_{_G}:G\to \mathbb{C}</math>, wobei <math>G</math> ein [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängendes]] Gebiet <math>G\subset \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> ist. Dabei entsteht das [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängendes]] Gebiet <math>G</math> durch das Entfernen der Spur [[rechtsseitig parametrisch unendlicher Weg|rechtsseitig parametrisch unendlichen Weges]] <math>\gamma : [a,+\infty) \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(a) = 0</math>. === Sprungstellen - Vervollständigung oder Riemannsche Fläche === Für die algebraische Vervollständigung eines [[Zweige des Logarithmus|Zweiges des Logarithmus]] gibt es genau an der <math>w\in Spur(\gamma)</math> eine Sprungstelle von <math>\pm 2\pi i</math>. Um mit den Sprungstellen weiter zu arbeiten, kann man entweder zu [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannschen Flächen]] oder zu einer in diesem Kontext weiter verfolgten algebraischen Vervollständigung überzugehen. Der Ersatz zielt darauf, auf dem Gebiet <math>G</math> noch die [[Holomorphie]] zur Verfügung zu haben und durch die algebraische Vervollständigung noch algebraische Eigenschaft auf dem Rand <math>\partial G \setminus \{0\}</math> nutzen zu können. Bereits vorab sei daher erwähnt, dass man dadurch nicht nur die [[Holomorphie]] auf <math>\mathbb{C} \setminus \{0\}</math> verliert, sondern auch die [[Stetigkeit]]. === Vorbereitende Lerneinheiten === Für die Lerneinheit ist es wesentlich, ausgehend von dem bekannten [[Logarithmus]] auf den reellen Zahlen den Transfer zum [[komplexer Logarithmus|komplexen Logarithmus]] und den Besonderheit in <math>\mathbb{C}</math> zu analysieren, weil dadurch die Notwendigkeit von einfach zusammenhängenden Gebieten <math>G</math>, der Periodizität des Exponentialfunktion und dem damit verbundenen Entfernen einer Spur zu verstehen. === Entfernen der Spur für Hauptzweige === Für die folgenden 4 Typen [[Hauptzweig des Logarithmus|Hauptzweigen]] des Logarithmus werden unterschiedliche Wege <math>\gamma_{+1}</math>, <math>\gamma_{-1}</math>, <math>\gamma_{+i}</math> und <math>\gamma_{-i}</math> verwendet und die zugehörige Spur <math>Spur(\gamma_k)</math> von <math>\mathbb{C}</math> entfernt mit <math>\gamma_k : [0,+\infty) \to \mathbb{C}</math>: * '''(Hauptzweig)''' <math> \gamma_{+1}(t) = -t </math> und der <math>Spur(\gamma_{+1}) = \mathbb{R}_0^{-}</math> mit dem Gebiet <math>G_{+1}=\mathbb{C}\setminus \mathbb{R}_0^{-}</math> * '''(negativer Hauptzweig)''' <math> \gamma_{-1}(t) = +t </math> und der <math>Spur(\gamma_{-1}) = \mathbb{R}_0^{+}</math> mit dem Gebiet <math>G_{-1}=\mathbb{C}\setminus \mathbb{R}_0^{+}</math> * '''(imaginärer Hauptzweig)''' <math> \gamma_{+i}(t) = -it </math> und der <math>Spur(\gamma_{+i}) = i\cdot \mathbb{R}_0^{-}</math> mit dem Gebiet <math>G_{+i}=\mathbb{C}\setminus ( i\cdot \mathbb{R}_0^{-})</math> * '''(negativer imaginärer Hauptzweig)''' <math> \gamma_{-i}(t) = +t </math>, <math>Spur(\gamma_{-i}) = i\cdot \mathbb{R}_0^{+}</math> und dem Gebiet <math>G_{-i}=\mathbb{C}\setminus (i\cdot \mathbb{R}_0^{+})</math> === Mengentheoretische algebraische Vervollständigung === Mengentheoretisch vervollständigt man z.B. bei den Hauptzweigen des [[komplexer Logarithmus|Logarithmus]] Funktionswerte auf dem entfernten Spurpunkten mit Ausnahme der 0. Beim [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweig]], beim die Spur von <math> \gamma_{-1}(t) = {\scriptstyle +}t </math> entfernt wurde, definiert man mit <math>Spur(\gamma_{-1}) = \mathbb{R}_0^{+}</math> nun auch Funktionswerte für die auf <math> \mathbb{R}^{+}</math> und erhält damit eine algebraische Vervollständigung des Logarithmus von <math>G_{-1}=\mathbb{C}\setminus \mathbb{R}_0^{+}</math> auf <math>\mathbb{C}\setminus \{0\}</math>. Da die [[Holomorphie]] und sogar [[Stetigkeit]] bei diesem Schritt verloren gehen, versucht man zumindest eine Stetigkeit aus einer Normalenvektorrichtung zu erhalten (siehe auch [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/algebraische Vervollständigung#Animation|Animation]]). Die beiden veranschaulichten Richtungen als [[w:de:Normalenvektor|Normalenvektor]] zeigen die beiden Optionen, eine einseitige Richtungsstetigkeit zu erreichen. === Bemerkung - negativer Hauptzweig - Vervollständigung === Im weiteren Verlauf der Lehrveranstaltung wird die algebraische Vervollständigung von dem [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweig des Logarithmus]] und die damit verbundene [[logmod-Äquivalenzklassen|Äquivalenzklassenbildung]] eine besondere Rolle spielen, um algebraische Rechenregeln auf Äquivalenzklassen im Zusammenhang mit dem [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarithmus]] <math>\mathrm{lnr}(z)</math> zu erhalten. Prinzipiell kann die algebraische Vervollständigung für beliebige [[Zweige des Logarithmus]] durchgeführt werden, und so das <math>2\pi i</math>-Vielfache der imaginären Periodizität zu kontrollieren. Daher wird das Verfahren hier für [[generalisierter Logarithmus|generalisierte Logarithmen]] behandelt. == Integrationweg und Normalenvektor == Aus der [[w:de:lineare Algebra|linearen Algebra]] oder im Kontext der [[w:de:Support Vector Machine|Support Vector Machine]] sind [[w:de:Normalenvektor|Normalenvektoren]] bekannt. Für die algebraische Vervollständigung wird eine Art [[w:de:Normalenvektor|Normalenvektor]] <math>\gamma^{\bot}(t)</math> für die Richtungsableitung <math>\gamma{\,}'(t)</math> gebildet, der senkrecht zur Ableitung <math>\gamma{\,}'(t)</math> steht. Dieser Normalenvektor wird dazu verwendet, um analog zum rechtsseitigen bzw. linksseitigen Grenzwert in den reellen Zahlen <math>\mathbb{R}</math> ein Grenzwert in Richtung <math>+\gamma^{\bot}(t)</math> bzw. <math>-\,\gamma^{\bot}(t)</math> zu betrachten. === Voraussetzung für den Weg === Der Weg <math> \gamma: [a, b] \to \mathbb{C} </math> muss ein ''stetig differenzierbarer Weg'' sein, bei dem <math> \gamma{\,}'(t) \neq 0 </math> für alle <math> t \in [a,b] </math> gelten muss. <math> \gamma{\,}'(t) \neq 0 </math> ist notwendig, um an jedem Spurpunkt <math> \gamma(t) </math> einen Richtungsvektor <math> \gamma{\,}'(t) \neq 0 </math> zu haben, zu dem man eindeutig eine Orthogonale zeichnen kann. === Beispiel - Normalenvektor - archimedische Spirale === Für <math> \gamma(t) = t\cdot e^{i t} </math> gilt <math> \gamma{\,}'(t) = i t\cdot e^{i t} </math> für alle <math> t \in \left[\tfrac{\pi}{2}, 12\pi\right] </math>. Durch die Multiplikation mit <math>i </math> rotiert man den Richtungsvektor um <math>\tfrac{\pi}{2}</math> um den Mittelpunkt 0 des Einheitskreises. Damit gilt für die beiden Normalenvektoren * <math>{\scriptstyle +}\,\gamma^{\bot}(t)= {\scriptstyle +} i\cdot\gamma{\,}'(t) = {\scriptstyle +}i\cdot it \cdot e^{i t} = {\scriptstyle -}t\cdot e^{i t}</math> bzw. * <math>{\scriptstyle -}\,\gamma^{\bot}(t)= {\scriptstyle -}i\cdot\gamma{\,}'(t) = {\scriptstyle -}i\cdot it \cdot e^{i t} = {\scriptstyle +}t\cdot e^{i t}</math>. In diesem Fall hat der Normalenvektor den Betrag <math>|\gamma^{\bot}(t)|= |t|= t</math> für alle <math>t\in \left[\tfrac{\pi}{2}, 12\pi\right]</math>. Die in der Animation darstellte Spur ist nur ein Ausschnitt des <math>\widetilde{\gamma\,} : [0,+\infty) \to \mathbb{C}</math> mit <math>\widetilde{\gamma\,}(0) = 0</math> ==== Animation mit 2 Normalenvektoren ==== Der rote Vektor ist der Tangentialvektor <math>\gamma{\,}(t)</math> an dem Spurpunkt <math>\gamma(t)</math> abgetragen. Die gestrichekten Vektoren sind die beiden Normalenvektoren <math>{\scriptstyle +}\gamma^{\bot}(t)</math> (grün) und <math>{\scriptstyle -}\gamma^{\bot}(t)</math> (blau).<span id="Animation"></span> [[File:Tangentialvektor spirale normalenvektor.gif|350px|center|orthogonal vectors for tangent vector assigned to curve as animation - Geogebra GIF export]] === Tangentenvektor === Der Tangentenvektor von <math> \gamma </math> an der Spurpunkt <math> \gamma(t) </math> ist zunächst einmal eine komplexe Zahl <math> \gamma'(t) \in \mathbb{C} </math>. In Polarkoordinaten <math>r_t \cdot e^{i\alpha_t}</math>, <math>r_t > 0</math> als Geschwindigkeit und <math>\alpha_t\in [0,2\pi) </math> Richtung interpretiert werden. Da <math> \mathbb{C} </math> isomorph zu <math> \mathbb{R}^2 </math> ist, kann man <math> \gamma'(t) </math> als Vektor in <math> \mathbb{R}^2 </math> auffassen und ein euklidische [[Skalarprodukt]] <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{_\mathbb{R}}</math> auffassen :<math> \langle v , w \rangle_{_\mathbb{R}} = \langle v_1+iv_2 , w_1+iw_2 \rangle_{_\mathbb{R}} = v_1w_1 + v_2w_2 </math> === Aufgabe für Studierende === Überprüfen Sie mit dem euklidische [[Skalarprodukt]] <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{_\mathbb{R}}</math>, ob <math>e^{it}</math> und <math>r\cdot i\cdot e^{it}</math> orthogonal zueinander sind. == Siehe auch == * [[einfach zusammenhängend]] * [[Gebiet (Mathematik)]] * [[generalisierter Logarithmus]] * [[logmod-Funktion]] * [[logmod-Äquivalenzklassen]] * [[w:de:Normalenvektor|Normalenvektor]] * [[w:de:Support Vector Machine|Support Vector Machine]] bznw4r9is22iwa3wejwxvfvlcvnnrlx 1116523 1116517 2026-10-17T08:14:29Z Bert Niehaus 20843 /* Beispiel - Normalenvektor - archimedische Spirale */ 1116523 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Lerneinheit behandelt die algebraische Vervollständigung von holomorphen [[Zweige des Logarithmus|Zweigen des Logarithmus]] <math>\log_{_G}:G\to \mathbb{C}</math>, wobei <math>G</math> ein [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängendes]] Gebiet <math>G\subset \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> ist. Dabei entsteht das [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängendes]] Gebiet <math>G</math> durch das Entfernen der Spur [[rechtsseitig parametrisch unendlicher Weg|rechtsseitig parametrisch unendlichen Weges]] <math>\gamma : [a,+\infty) \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(a) = 0</math>. === Sprungstellen - Vervollständigung oder Riemannsche Fläche === Für die algebraische Vervollständigung eines [[Zweige des Logarithmus|Zweiges des Logarithmus]] gibt es genau an der <math>w\in Spur(\gamma)</math> eine Sprungstelle von <math>\pm 2\pi i</math>. Um mit den Sprungstellen weiter zu arbeiten, kann man entweder zu [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannschen Flächen]] oder zu einer in diesem Kontext weiter verfolgten algebraischen Vervollständigung überzugehen. Der Ersatz zielt darauf, auf dem Gebiet <math>G</math> noch die [[Holomorphie]] zur Verfügung zu haben und durch die algebraische Vervollständigung noch algebraische Eigenschaft auf dem Rand <math>\partial G \setminus \{0\}</math> nutzen zu können. Bereits vorab sei daher erwähnt, dass man dadurch nicht nur die [[Holomorphie]] auf <math>\mathbb{C} \setminus \{0\}</math> verliert, sondern auch die [[Stetigkeit]]. === Vorbereitende Lerneinheiten === Für die Lerneinheit ist es wesentlich, ausgehend von dem bekannten [[Logarithmus]] auf den reellen Zahlen den Transfer zum [[komplexer Logarithmus|komplexen Logarithmus]] und den Besonderheit in <math>\mathbb{C}</math> zu analysieren, weil dadurch die Notwendigkeit von einfach zusammenhängenden Gebieten <math>G</math>, der Periodizität des Exponentialfunktion und dem damit verbundenen Entfernen einer Spur zu verstehen. === Entfernen der Spur für Hauptzweige === Für die folgenden 4 Typen [[Hauptzweig des Logarithmus|Hauptzweigen]] des Logarithmus werden unterschiedliche Wege <math>\gamma_{+1}</math>, <math>\gamma_{-1}</math>, <math>\gamma_{+i}</math> und <math>\gamma_{-i}</math> verwendet und die zugehörige Spur <math>Spur(\gamma_k)</math> von <math>\mathbb{C}</math> entfernt mit <math>\gamma_k : [0,+\infty) \to \mathbb{C}</math>: * '''(Hauptzweig)''' <math> \gamma_{+1}(t) = -t </math> und der <math>Spur(\gamma_{+1}) = \mathbb{R}_0^{-}</math> mit dem Gebiet <math>G_{+1}=\mathbb{C}\setminus \mathbb{R}_0^{-}</math> * '''(negativer Hauptzweig)''' <math> \gamma_{-1}(t) = +t </math> und der <math>Spur(\gamma_{-1}) = \mathbb{R}_0^{+}</math> mit dem Gebiet <math>G_{-1}=\mathbb{C}\setminus \mathbb{R}_0^{+}</math> * '''(imaginärer Hauptzweig)''' <math> \gamma_{+i}(t) = -it </math> und der <math>Spur(\gamma_{+i}) = i\cdot \mathbb{R}_0^{-}</math> mit dem Gebiet <math>G_{+i}=\mathbb{C}\setminus ( i\cdot \mathbb{R}_0^{-})</math> * '''(negativer imaginärer Hauptzweig)''' <math> \gamma_{-i}(t) = +t </math>, <math>Spur(\gamma_{-i}) = i\cdot \mathbb{R}_0^{+}</math> und dem Gebiet <math>G_{-i}=\mathbb{C}\setminus (i\cdot \mathbb{R}_0^{+})</math> === Mengentheoretische algebraische Vervollständigung === Mengentheoretisch vervollständigt man z.B. bei den Hauptzweigen des [[komplexer Logarithmus|Logarithmus]] Funktionswerte auf dem entfernten Spurpunkten mit Ausnahme der 0. Beim [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweig]], beim die Spur von <math> \gamma_{-1}(t) = {\scriptstyle +}t </math> entfernt wurde, definiert man mit <math>Spur(\gamma_{-1}) = \mathbb{R}_0^{+}</math> nun auch Funktionswerte für die auf <math> \mathbb{R}^{+}</math> und erhält damit eine algebraische Vervollständigung des Logarithmus von <math>G_{-1}=\mathbb{C}\setminus \mathbb{R}_0^{+}</math> auf <math>\mathbb{C}\setminus \{0\}</math>. Da die [[Holomorphie]] und sogar [[Stetigkeit]] bei diesem Schritt verloren gehen, versucht man zumindest eine Stetigkeit aus einer Normalenvektorrichtung zu erhalten (siehe auch [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/algebraische Vervollständigung#Animation|Animation]]). Die beiden veranschaulichten Richtungen als [[w:de:Normalenvektor|Normalenvektor]] zeigen die beiden Optionen, eine einseitige Richtungsstetigkeit zu erreichen. === Bemerkung - negativer Hauptzweig - Vervollständigung === Im weiteren Verlauf der Lehrveranstaltung wird die algebraische Vervollständigung von dem [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweig des Logarithmus]] und die damit verbundene [[logmod-Äquivalenzklassen|Äquivalenzklassenbildung]] eine besondere Rolle spielen, um algebraische Rechenregeln auf Äquivalenzklassen im Zusammenhang mit dem [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarithmus]] <math>\mathrm{lnr}(z)</math> zu erhalten. Prinzipiell kann die algebraische Vervollständigung für beliebige [[Zweige des Logarithmus]] durchgeführt werden, und so das <math>2\pi i</math>-Vielfache der imaginären Periodizität zu kontrollieren. Daher wird das Verfahren hier für [[generalisierter Logarithmus|generalisierte Logarithmen]] behandelt. == Integrationweg und Normalenvektor == Aus der [[w:de:lineare Algebra|linearen Algebra]] oder im Kontext der [[w:de:Support Vector Machine|Support Vector Machine]] sind [[w:de:Normalenvektor|Normalenvektoren]] bekannt. Für die algebraische Vervollständigung wird eine Art [[w:de:Normalenvektor|Normalenvektor]] <math>\gamma^{\bot}(t)</math> für die Richtungsableitung <math>\gamma{\,}'(t)</math> gebildet, der senkrecht zur Ableitung <math>\gamma{\,}'(t)</math> steht. Dieser Normalenvektor wird dazu verwendet, um analog zum rechtsseitigen bzw. linksseitigen Grenzwert in den reellen Zahlen <math>\mathbb{R}</math> ein Grenzwert in Richtung <math>+\gamma^{\bot}(t)</math> bzw. <math>-\,\gamma^{\bot}(t)</math> zu betrachten. === Voraussetzung für den Weg === Der Weg <math> \gamma: [a, b] \to \mathbb{C} </math> muss ein ''stetig differenzierbarer Weg'' sein, bei dem <math> \gamma{\,}'(t) \neq 0 </math> für alle <math> t \in [a,b] </math> gelten muss. <math> \gamma{\,}'(t) \neq 0 </math> ist notwendig, um an jedem Spurpunkt <math> \gamma(t) </math> einen Richtungsvektor <math> \gamma{\,}'(t) \neq 0 </math> zu haben, zu dem man eindeutig eine Orthogonale zeichnen kann. === Beispiel - Normalenvektor - archimedische Spirale === Für <math> \gamma(t) = t\cdot e^{i t} </math> gilt <math> \gamma{\,}'(t) = i t\cdot e^{i t} </math> für alle <math> t \in \left[\tfrac{\pi}{2}, 12\pi\right] </math>. Durch die Multiplikation mit <math>i </math> rotiert man den Richtungsvektor um <math>\tfrac{\pi}{2}</math> um den Mittelpunkt 0 des Einheitskreises. Damit gilt für die beiden Normalenvektoren * <math>{\scriptstyle +}\,\gamma^{\bot}(t)= {\scriptstyle +} i\cdot\gamma{\,}'(t) = {\scriptstyle +}i\cdot it \cdot e^{i t} = {\scriptstyle -}t\cdot e^{i t}</math> bzw. * <math>{\scriptstyle -}\,\gamma^{\bot}(t)= {\scriptstyle -}i\cdot\gamma{\,}'(t) = {\scriptstyle -}i\cdot it \cdot e^{i t} = {\scriptstyle +}t\cdot e^{i t}</math>. In diesem Fall hat der Normalenvektor den Betrag <math>|\gamma^{\bot}(t)|= |t|= t</math> für alle <math>t\in \left[\tfrac{\pi}{2}, 12\pi\right]</math>. ==== Animation mit 2 Normalenvektoren ==== Der rote Vektor ist der Tangentialvektor <math>\gamma{\,}(t)</math> an dem Spurpunkt <math>\gamma(t)</math> abgetragen. Die gestrichekten Vektoren sind die beiden Normalenvektoren <math>{\scriptstyle +}\gamma^{\bot}(t)</math> (grün) und <math>{\scriptstyle -}\gamma^{\bot}(t)</math> (blau).<span id="Animation"></span> [[File:Tangentialvektor spirale normalenvektor.gif|350px|center|orthogonal vectors for tangent vector assigned to curve as animation - Geogebra GIF export]] ==== Bemerkung - Animation ==== Die in der Animation darstellte Spur <math>Spur(\gamma)</math> ist nur ein Ausschnitt eines [[rechtsseitig parametrisch unendlicher Weg|rechtsseitig parametrisch unendlichen Weges]] <math>\widetilde{\gamma\,} : [0,+\infty) \to \mathbb{C}</math> mit <math>\widetilde{\gamma\,}(0) = 0</math> und <math>\widetilde{\gamma\,}(t)=t\cdot e^{it}</math>, der durch Spurentfernung einen [[einfach zusammmenhängend]]es Gebiet <math>G=\mathbb{C}\setminus Spur(\widetilde{\gamma\,})</math> für einen [[generalisierter Logarithmus|generalisierten Logarithmus]] liefert. === Tangentenvektor === Der Tangentenvektor von <math> \gamma </math> an der Spurpunkt <math> \gamma(t) </math> ist zunächst einmal eine komplexe Zahl <math> \gamma'(t) \in \mathbb{C} </math>. In Polarkoordinaten <math>r_t \cdot e^{i\alpha_t}</math>, <math>r_t > 0</math> als Geschwindigkeit und <math>\alpha_t\in [0,2\pi) </math> Richtung interpretiert werden. Da <math> \mathbb{C} </math> isomorph zu <math> \mathbb{R}^2 </math> ist, kann man <math> \gamma'(t) </math> als Vektor in <math> \mathbb{R}^2 </math> auffassen und ein euklidische [[Skalarprodukt]] <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{_\mathbb{R}}</math> auffassen :<math> \langle v , w \rangle_{_\mathbb{R}} = \langle v_1+iv_2 , w_1+iw_2 \rangle_{_\mathbb{R}} = v_1w_1 + v_2w_2 </math> === Aufgabe für Studierende === Überprüfen Sie mit dem euklidische [[Skalarprodukt]] <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{_\mathbb{R}}</math>, ob <math>e^{it}</math> und <math>r\cdot i\cdot e^{it}</math> orthogonal zueinander sind. == Siehe auch == * [[einfach zusammenhängend]] * [[Gebiet (Mathematik)]] * [[generalisierter Logarithmus]] * [[logmod-Funktion]] * [[logmod-Äquivalenzklassen]] * [[w:de:Normalenvektor|Normalenvektor]] * [[w:de:Support Vector Machine|Support Vector Machine]] binqxkba2vkmq3xv4npgcxk5t7x45wi 1116525 1116523 2026-10-17T08:14:52Z Bert Niehaus 20843 /* Bemerkung - Animation */ 1116525 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Lerneinheit behandelt die algebraische Vervollständigung von holomorphen [[Zweige des Logarithmus|Zweigen des Logarithmus]] <math>\log_{_G}:G\to \mathbb{C}</math>, wobei <math>G</math> ein [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängendes]] Gebiet <math>G\subset \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> ist. Dabei entsteht das [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängendes]] Gebiet <math>G</math> durch das Entfernen der Spur [[rechtsseitig parametrisch unendlicher Weg|rechtsseitig parametrisch unendlichen Weges]] <math>\gamma : [a,+\infty) \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(a) = 0</math>. === Sprungstellen - Vervollständigung oder Riemannsche Fläche === Für die algebraische Vervollständigung eines [[Zweige des Logarithmus|Zweiges des Logarithmus]] gibt es genau an der <math>w\in Spur(\gamma)</math> eine Sprungstelle von <math>\pm 2\pi i</math>. Um mit den Sprungstellen weiter zu arbeiten, kann man entweder zu [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannschen Flächen]] oder zu einer in diesem Kontext weiter verfolgten algebraischen Vervollständigung überzugehen. Der Ersatz zielt darauf, auf dem Gebiet <math>G</math> noch die [[Holomorphie]] zur Verfügung zu haben und durch die algebraische Vervollständigung noch algebraische Eigenschaft auf dem Rand <math>\partial G \setminus \{0\}</math> nutzen zu können. Bereits vorab sei daher erwähnt, dass man dadurch nicht nur die [[Holomorphie]] auf <math>\mathbb{C} \setminus \{0\}</math> verliert, sondern auch die [[Stetigkeit]]. === Vorbereitende Lerneinheiten === Für die Lerneinheit ist es wesentlich, ausgehend von dem bekannten [[Logarithmus]] auf den reellen Zahlen den Transfer zum [[komplexer Logarithmus|komplexen Logarithmus]] und den Besonderheit in <math>\mathbb{C}</math> zu analysieren, weil dadurch die Notwendigkeit von einfach zusammenhängenden Gebieten <math>G</math>, der Periodizität des Exponentialfunktion und dem damit verbundenen Entfernen einer Spur zu verstehen. === Entfernen der Spur für Hauptzweige === Für die folgenden 4 Typen [[Hauptzweig des Logarithmus|Hauptzweigen]] des Logarithmus werden unterschiedliche Wege <math>\gamma_{+1}</math>, <math>\gamma_{-1}</math>, <math>\gamma_{+i}</math> und <math>\gamma_{-i}</math> verwendet und die zugehörige Spur <math>Spur(\gamma_k)</math> von <math>\mathbb{C}</math> entfernt mit <math>\gamma_k : [0,+\infty) \to \mathbb{C}</math>: * '''(Hauptzweig)''' <math> \gamma_{+1}(t) = -t </math> und der <math>Spur(\gamma_{+1}) = \mathbb{R}_0^{-}</math> mit dem Gebiet <math>G_{+1}=\mathbb{C}\setminus \mathbb{R}_0^{-}</math> * '''(negativer Hauptzweig)''' <math> \gamma_{-1}(t) = +t </math> und der <math>Spur(\gamma_{-1}) = \mathbb{R}_0^{+}</math> mit dem Gebiet <math>G_{-1}=\mathbb{C}\setminus \mathbb{R}_0^{+}</math> * '''(imaginärer Hauptzweig)''' <math> \gamma_{+i}(t) = -it </math> und der <math>Spur(\gamma_{+i}) = i\cdot \mathbb{R}_0^{-}</math> mit dem Gebiet <math>G_{+i}=\mathbb{C}\setminus ( i\cdot \mathbb{R}_0^{-})</math> * '''(negativer imaginärer Hauptzweig)''' <math> \gamma_{-i}(t) = +t </math>, <math>Spur(\gamma_{-i}) = i\cdot \mathbb{R}_0^{+}</math> und dem Gebiet <math>G_{-i}=\mathbb{C}\setminus (i\cdot \mathbb{R}_0^{+})</math> === Mengentheoretische algebraische Vervollständigung === Mengentheoretisch vervollständigt man z.B. bei den Hauptzweigen des [[komplexer Logarithmus|Logarithmus]] Funktionswerte auf dem entfernten Spurpunkten mit Ausnahme der 0. Beim [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweig]], beim die Spur von <math> \gamma_{-1}(t) = {\scriptstyle +}t </math> entfernt wurde, definiert man mit <math>Spur(\gamma_{-1}) = \mathbb{R}_0^{+}</math> nun auch Funktionswerte für die auf <math> \mathbb{R}^{+}</math> und erhält damit eine algebraische Vervollständigung des Logarithmus von <math>G_{-1}=\mathbb{C}\setminus \mathbb{R}_0^{+}</math> auf <math>\mathbb{C}\setminus \{0\}</math>. Da die [[Holomorphie]] und sogar [[Stetigkeit]] bei diesem Schritt verloren gehen, versucht man zumindest eine Stetigkeit aus einer Normalenvektorrichtung zu erhalten (siehe auch [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/algebraische Vervollständigung#Animation|Animation]]). Die beiden veranschaulichten Richtungen als [[w:de:Normalenvektor|Normalenvektor]] zeigen die beiden Optionen, eine einseitige Richtungsstetigkeit zu erreichen. === Bemerkung - negativer Hauptzweig - Vervollständigung === Im weiteren Verlauf der Lehrveranstaltung wird die algebraische Vervollständigung von dem [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweig des Logarithmus]] und die damit verbundene [[logmod-Äquivalenzklassen|Äquivalenzklassenbildung]] eine besondere Rolle spielen, um algebraische Rechenregeln auf Äquivalenzklassen im Zusammenhang mit dem [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarithmus]] <math>\mathrm{lnr}(z)</math> zu erhalten. Prinzipiell kann die algebraische Vervollständigung für beliebige [[Zweige des Logarithmus]] durchgeführt werden, und so das <math>2\pi i</math>-Vielfache der imaginären Periodizität zu kontrollieren. Daher wird das Verfahren hier für [[generalisierter Logarithmus|generalisierte Logarithmen]] behandelt. == Integrationweg und Normalenvektor == Aus der [[w:de:lineare Algebra|linearen Algebra]] oder im Kontext der [[w:de:Support Vector Machine|Support Vector Machine]] sind [[w:de:Normalenvektor|Normalenvektoren]] bekannt. Für die algebraische Vervollständigung wird eine Art [[w:de:Normalenvektor|Normalenvektor]] <math>\gamma^{\bot}(t)</math> für die Richtungsableitung <math>\gamma{\,}'(t)</math> gebildet, der senkrecht zur Ableitung <math>\gamma{\,}'(t)</math> steht. Dieser Normalenvektor wird dazu verwendet, um analog zum rechtsseitigen bzw. linksseitigen Grenzwert in den reellen Zahlen <math>\mathbb{R}</math> ein Grenzwert in Richtung <math>+\gamma^{\bot}(t)</math> bzw. <math>-\,\gamma^{\bot}(t)</math> zu betrachten. === Voraussetzung für den Weg === Der Weg <math> \gamma: [a, b] \to \mathbb{C} </math> muss ein ''stetig differenzierbarer Weg'' sein, bei dem <math> \gamma{\,}'(t) \neq 0 </math> für alle <math> t \in [a,b] </math> gelten muss. <math> \gamma{\,}'(t) \neq 0 </math> ist notwendig, um an jedem Spurpunkt <math> \gamma(t) </math> einen Richtungsvektor <math> \gamma{\,}'(t) \neq 0 </math> zu haben, zu dem man eindeutig eine Orthogonale zeichnen kann. === Beispiel - Normalenvektor - archimedische Spirale === Für <math> \gamma(t) = t\cdot e^{i t} </math> gilt <math> \gamma{\,}'(t) = i t\cdot e^{i t} </math> für alle <math> t \in \left[\tfrac{\pi}{2}, 12\pi\right] </math>. Durch die Multiplikation mit <math>i </math> rotiert man den Richtungsvektor um <math>\tfrac{\pi}{2}</math> um den Mittelpunkt 0 des Einheitskreises. Damit gilt für die beiden Normalenvektoren * <math>{\scriptstyle +}\,\gamma^{\bot}(t)= {\scriptstyle +} i\cdot\gamma{\,}'(t) = {\scriptstyle +}i\cdot it \cdot e^{i t} = {\scriptstyle -}t\cdot e^{i t}</math> bzw. * <math>{\scriptstyle -}\,\gamma^{\bot}(t)= {\scriptstyle -}i\cdot\gamma{\,}'(t) = {\scriptstyle -}i\cdot it \cdot e^{i t} = {\scriptstyle +}t\cdot e^{i t}</math>. In diesem Fall hat der Normalenvektor den Betrag <math>|\gamma^{\bot}(t)|= |t|= t</math> für alle <math>t\in \left[\tfrac{\pi}{2}, 12\pi\right]</math>. ==== Animation mit 2 Normalenvektoren ==== Der rote Vektor ist der Tangentialvektor <math>\gamma{\,}(t)</math> an dem Spurpunkt <math>\gamma(t)</math> abgetragen. Die gestrichekten Vektoren sind die beiden Normalenvektoren <math>{\scriptstyle +}\gamma^{\bot}(t)</math> (grün) und <math>{\scriptstyle -}\gamma^{\bot}(t)</math> (blau).<span id="Animation"></span> [[File:Tangentialvektor spirale normalenvektor.gif|350px|center|orthogonal vectors for tangent vector assigned to curve as animation - Geogebra GIF export]] ==== Bemerkung - Animation ==== Die in der Animation darstellte Spur <math>Spur(\gamma)</math> ist nur ein Ausschnitt eines [[rechtsseitig parametrisch unendlicher Weg|rechtsseitig parametrisch unendlichen Weges]] <math>\widetilde{\gamma\,} : [0,+\infty) \to \mathbb{C}</math> mit <math>\widetilde{\gamma\,}(0) = 0</math> und <math>\widetilde{\gamma\,}(t)=t\cdot e^{it}</math>, der durch Spurentfernung einen [[einfach zusammenhängend]]es Gebiet <math>G=\mathbb{C}\setminus Spur(\widetilde{\gamma\,})</math> für einen [[generalisierter Logarithmus|generalisierten Logarithmus]] liefert. === Tangentenvektor === Der Tangentenvektor von <math> \gamma </math> an der Spurpunkt <math> \gamma(t) </math> ist zunächst einmal eine komplexe Zahl <math> \gamma'(t) \in \mathbb{C} </math>. In Polarkoordinaten <math>r_t \cdot e^{i\alpha_t}</math>, <math>r_t > 0</math> als Geschwindigkeit und <math>\alpha_t\in [0,2\pi) </math> Richtung interpretiert werden. Da <math> \mathbb{C} </math> isomorph zu <math> \mathbb{R}^2 </math> ist, kann man <math> \gamma'(t) </math> als Vektor in <math> \mathbb{R}^2 </math> auffassen und ein euklidische [[Skalarprodukt]] <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{_\mathbb{R}}</math> auffassen :<math> \langle v , w \rangle_{_\mathbb{R}} = \langle v_1+iv_2 , w_1+iw_2 \rangle_{_\mathbb{R}} = v_1w_1 + v_2w_2 </math> === Aufgabe für Studierende === Überprüfen Sie mit dem euklidische [[Skalarprodukt]] <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{_\mathbb{R}}</math>, ob <math>e^{it}</math> und <math>r\cdot i\cdot e^{it}</math> orthogonal zueinander sind. == Siehe auch == * [[einfach zusammenhängend]] * [[Gebiet (Mathematik)]] * [[generalisierter Logarithmus]] * [[logmod-Funktion]] * [[logmod-Äquivalenzklassen]] * [[w:de:Normalenvektor|Normalenvektor]] * [[w:de:Support Vector Machine|Support Vector Machine]] qojhh2vsyo7ok3rmlcdo4bnsv29hayc 106 173070 1116463 1116217 2026-10-16T15:28:08Z Bocardodarapti 2041 1116463 wikitext text/x-wiki {{ Klausur19 |Elementare Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/1. Drittel/2/Aufgabe|p||| |Elementare Mathematik 1/Gemischte Satzabfrage/1. Drittel/2/Aufgabe|p||| |Argumentationskompetenzen/1/Szenario/Aufgabe|p||| |Bedingungen/Lösungsmenge/Alltag und mathematisch/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Klausur/Punkte und Noten/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Klassenarbeit/Abbildung/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Elementare Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} n69y7fzgy6gyvbqnh8wj8lu0en3iz32 1116490 1116463 2026-10-16T17:39:56Z Bocardodarapti 2041 1116490 wikitext text/x-wiki {{ Klausur19 |Elementare Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/1. Drittel/2/Aufgabe|p||| |Elementare Mathematik 1/Gemischte Satzabfrage/1. 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Die Aussage ist eine direkte Anwendung des klassischen [[Identitätssatz|Identitätssatzes]] aus der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]]. == Identitätssatz für den Logarithmus == Sei <math> G \subseteq \mathbb{C} </math> ein [[einfach zusammenhängend]]es Gebiet mit <math> 0 \notin G </math>. Dann ist der [[Zweig des Logarithmus]] auf <math> G </math> '''eindeutig festgelegt''', sobald man einen Punkt <math> z_0 \in G </math> und einen Wert <math> w_0 \in \mathbb{C} </math> mit <math> \exp(w_0) = z_0 </math> vorgibt. === Bemerkung - Eindeutigkeit === Für die [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen|Äquivalenzklassen für Logarithmen]] wird der [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negative Hauptzweig]] verwendet. Die im Satz genannt Festlegung kann dann durch die Eigenschaft erfolgen, dass <math>w_0\in \mathbb{D}_1 := \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi)</math> gilt. === Beweisidee === * <math> \frac{1}{z} </math> ist holomorph auf <math> G </math>, also hat sie eine Potenzreihe um <math> z_0 </math> (siehe auch [[Cauchy-Integralformel]]). * Eine [[Potenzreihe]] konvergiert gleichmäßig auf <math> \overline{D_r(z_0)} </math> und erlaubt somit eine summandenweise Integration, wobei die Stammfunktion die folgende Integraldarstellung besitzt <math> F(z) = \int_{z_0}^z \frac{1}{\zeta} d\zeta </math> mit <math>F(z_0)=0</math>. * Stammfunktionen sind bis auf Konstante eindeutig bestimmt und die Festlegung in einem Punkt definiert den Zweig des Logarithmus <math> \log_G(z) = F(z) + w_0 </math> auf der Kreisscheibe und [[Identitätssatz]] <math> \log_G </math> eindeutig auf ganz <math> G </math> festgelegt. === Bemerkung - Beweisidee === Für mündliche Prüfungen ist es sinnvoll, die Beweisstruktur zu kennen, da man in der Regel längere Beweise in der Prüfung durch den Zeitrahmen der Prüfung nicht vollständig ausführen kann und nur einzelen Teilaspekte aus dem gesamten Beweis auf Anfrage ausführen kann. Ferner gliedert die Beweisidee den Beweis und hilft dabei, die Logik in der Argumentation zu rekonstruieren. == Beweis - Identitätssatz für den Logarithmus == Um den Identitätssatz für den Logarithmus zu beweisen, wird zunächst ein beliebiger Punkt <math>z_0\in G</math> in dem gegebenen [[einfach zusammenhängend]]en Gebiet <math> G \subseteq \mathbb{C} </math> mit <math> 0 \notin G </math> in [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinaten]] <math>z_0 = |z_0|\cdot e^{it_o}</math> dargestellt und man definiert <math>w_0 := \ln(|z_0|)+i\cdot t_0</math>. Durch die Anwendung der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] zeigt man dann, dass folgende Gleichung gilt: :<math> e^{w_0} = e^{\ln(|z_0|)+i\cdot t_0} = e^{\ln(|z_0|)} \cdot e^{it_0} = |z_0| \cdot e^{it_0} z_0 \quad (\ast) </math> === Ziel des Beweises === Nun ist zu zeigen, dass es genau eine holomorphe Funktion <math> \log_G: G \to \mathbb{C} </math> gibt, sodass die folgenden beiden Eigenschaften erfüllt sind: * '''(ISL1)''' <math>\log_G(z_0) = w_0 </math>. * '''(ISL2)''' <math> \exp(\log_G(z)) = z </math> für alle <math> z \in G </math>, Durch die Festlegung von <math>w_0</math> in <math>(\ast)</math> ist (ISL1) bereits erfüllt. Es bleibt (ISL2) zu zeigen. === Schritt 1 - Logarithmenzweige als Stammfunktion === Auf [[einfach zusammenhängend]]en Gebieten <math>G</math> existieren immer Stammfunktionen und <math>f(z)=\tfrac{1}{z}</math> ist eine [[holomorphe Funktion]]: * <math> G </math> ist [[einfach zusammenhängend]] und enthält nicht die [[Polstelle]] (Singularität) <math> 0</math>, da <math> G \subseteq \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> gilt. * Die Funktion <math> f(z) = \frac{1}{z} </math> ist [[holomorphe Funktion|holomorph]] auf <math> G </math>, da <math> 0 \notin G </math>. * Die [[Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion]] von <math> \frac{1}{z} </math> auf <math> G </math> konstruieren, die den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] darstellt. === Schritt 2 - Entwicklung in Potenzreihe === Jede holomorphe Funktion lässt sich lokal in eine [[Potenzreihe]] entwickeln (siehe [[Holomorphiekriterien]]). Da <math> f(z)=\tfrac{1}{z} </math> holomorph auf <math> G </math> ist, existiert insbesondere für das gewählte <math> z_0 = |z_0| \cdot e^{it_0} \in G </math> eine [[Potenzreihenalgebra|Potenzreihenentwicklung]] um <math> z_0 </math>: :<math> \frac{1}{z} = \sum_{n=0}^\infty a_n \cdot (z - z_0)^n </math> mit Konvergenzradius <math> r_0 > 0 </math>, wobei <math> r_0 =|z_0|</math> in <math>\mathbb{C}\setminus \{0\}</math> ist, als Entfernung vom <math> z_0 </math> zur [[Singularität]] <math> z=0 </math> von <math> \frac{1}{z} </math>. === Bemerkung zu Schritt 2 - Konvergenzradius === Da zwar <math> 0 \notin G </math> und die Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}\subseteq G</math>gelten muss, ist der tatsächliche Konvergenzradius <math> r_0\leq |z_0|</math> in <math>G</math> ggf. echt kleiner als <math> |z_0| > 0 </math>, und es gibt ein <math> r_0 > 0 </math>. Ferner muss <math>r < r_0</math> tatsächlich echt kleiner als <math>r_0</math> gewählt werden, sodass die Potenzreihe auf der abgeschlossenen Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_0)} </math> gleichmäßig für alle <math>z\in \overline{D_r(z_0)} </math> konvergiert. Dies ist als Eigenschaft wesentlich, damit die [[Potenzreihe]] summandenweise integriert werden kann. === Schritt 3 - Koeffizienten der Potenzreihe - Stammfunktion === Die Koeffizienten der darstellenden Potenzreihe lassen sich explizit über eine [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] berechnen (siehe [[Stammfunktion des Logarithmus als Potenzreihe|Stammfunktion von 1/z als Potenzreihe]]). Die Potenzreihe lautet dann für <math>z\in \overline{D_r(z_0)} \subseteq G</math> mit <math>r < |z_0|</math> und <math>z_0=|z_0|\cdot e^{i\cdot t_0}</math> : :<math>\log_{_G}(z)= (\ln(|z_o|) + i\cdot t_0) + \sum_{n=0}^\infty \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1} \cdot (n+1)} \cdot (z-z_o)^{n+1} </math> === Schritt 4 - Stammfunktion und Identitätsatz === Die Stammfunktion ist eine [[holomorphe Funktion]] und dem gesamten Definitionsbereich <math>G</math> und man kann man daher auch für anderen Punkte <math>z_1\in G</math> die Funktion <math>f(z)=\tfrac{1}{z}</math> um <math>z_1</math> nun mit offenen Kreisscheiben<math>z\in {D_{r_1}(z_1)} \subseteq G</math> in eine Potenzreihe entwickeln und eine Stammfunktion mit eine beliebig gewählten Konstante festlegen, wobei <math>\overline{D_{r_1}(z_1)} \subseteq G</math> wieder ganz in <math>G</math> liegt. :<math> F_{z_1}(z) := c_{z_1} + \sum_{n=0}^\infty \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1} \cdot (n+1)} \cdot (z-z_1)^{n+1} </math> Die Funktion <math>F_{z_1}</math> ist dann zunächst einmal nur eine Stammfunktion von <math>f(z)=\tfrac{1}{z}</math> aber nicht notwendig ein [[Zweig des Logarithmus]]. === Schritt 5 - Holomorphiekriterium === Da das Gebiet <math>G</math> sich mit Kreisscheiben überdecken lässt und jeweils Schnitte von Kreisscheiben ist für zwei sich schneidende Kreisscheiben damit die Konstante <math>c_{z_1}</math> sukzessive für alle Kreisscheiben eindeutig festgelegt. Dies ist möglich, da <math>G</math> zusammenhängend. Insgesamt entsteht ein Funktion <math>F:G\to \mathbb{C}</math>. Ferner lässt die auf <math>G</math> entstandene Funktion <math>F</math> in jedem Punkt <math>z_1\in G</math> in eine Potenzreihe entwickeln. Damit ist <math>F</math> auch eine [[holomorphe Funktion]]. === Schritt 6 - Stammfunktionen und Identitätsatz === Da die Kreisscheibe <math>D_r(z_0)\subset G</math> eine nicht-diskreten Mengen ist, ist nach dem [[Identitätssatz]] für [[holomorphe Funktion]]en die Funktion <math>z</math> der [[Zweig des Logarithmus]] eindeutig bestimmt. Nun bleibt zu zeigen, dass mit der generierten Funktion <math>F</math> auf ein Zweig des Logarithmus entstanden ist. === Schritt 7 - ISL2 nachweisen === Man bezeichnet nun die Funktion <math>F=\log_{_G}</math>, wobei erst zu zeigen ist, dass die Funktion <math>\log_{_G}</math> die Eigenschaft <math> \exp(\log_{_G}(z)) = z </math> erfüllt. Diese Eigenschaft wird durch Differenzieren der Funktion <math>\exp \circ \log_{_G} </math> erreicht. ==== Schritt 7.1 - Vorgehen mit Differentialgleichung ==== Man betrachtet die folgende Funktion <math>H=\exp \circ \log_{_G}</math> und leitet diese ab :<math> H(z) := (exp \circ \log_{_G})(z) = \exp(\log_{_G}(z)) </math> Man wird dann <math> H(z) = z </math> nachweisen, wobei man die Eindeutigkeit der Lösung einer Differentialgleichung nutzt. ==== Schritt 7.2 - Ableitung bilden ==== Bei der Ableitung der Funktion <math>H</math> wird die Kettenregel angewendet, wobei <math> {\log{\,}'}_{\!\!\!\!_G}(z) = \frac{1}{z} </math> bei Rückersetzung der Potenzreihendarstellung von <math>f</math> um ein beliebiges <math>z_1\in G</math>. Die Stammfunktionen unterscheiden sich lediglich um eine Konstante für unterschiedliche Entwicklungspunkte und diese fällt bei der Differentiation weg. Damit gilt für Ableitung der Verkettung: :<math> H'(z) := (exp \circ \log_{_G})'(z) = \underbrace{\exp(\log_{_G}(z))}_{=H(z)}\cdot \underbrace{\log'\!\!_{_G}(z)}_{=\tfrac{1}{z}} = H(z) \cdot \frac{1}{z} </math> Die Ableitung der Funktion <math>H</math> kann gebildet werden, da <math>\log = F</math> nach Schritt 6 eine [[holomorphe Funktion]] und <math>G</math> als Verkettung von zwei holomorphen Funktionen wieder holomorph ist. ==== Schritt 7.3 - Differentialgleichung ==== Durch Schritt 7.2 erhält man die Differentialgleichung :<math> H'(z) = H(z) \cdot \frac{1}{z} </math> die nun als lineare Differentialgleichung erster Ordnung gelöst wird. ==== Schritt 7.4 - Differentialgleichung ==== Die allgemeine Lösung dieser Gleichung ist: :<math> H(z) = C \cdot z </math> für eine Konstante <math> C \in \mathbb{C} </math>, denn es gilt mit <math>H'(z)=C</math> die Eigenschaft: :<math> C = H'(z) = H(z) \cdot \frac{1}{z} = \underbrace{(C\cdot z)}_{=H(z)} \cdot \frac{1}{z} = C\cdot \underbrace{(z \cdot \frac{1}{z})}_{=1} = C </math> ==== Schritt 7-5 - Bestimmung der Konstanten C ==== Setze nun den Punkt <math> z_0 \in G </math> aus der Behauptung ein. Für diesen Funktionswert ist der Funktionswert <math> F(z_0) = \log(z_0) = \ln(|z_0|) + e^{it_0} </math> als Konstante der Potenzreihe bekannt und es gilt: :<math> \log_G(z_0) = w_0 \quad \text{mit} \quad \exp(w_0) = z_0 </math> == Siehe auch == * [[einfach zusammenhängend]] * [[Holomorphiekriterien]] * [[Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] * [[komplexer Logarithmus]] * [[Potenzreihenentwicklung für holomorphe Funktionen]] * [[Zweige des Logarithmus]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen https://de.wikiversity.org/wiki/Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] eoiz4tbfij5gxa4piex5x4wjc0kcqon 1116422 1116420 2026-10-16T12:08:25Z Bert Niehaus 20843 /* Schritt 7-5 - Bestimmung der Konstanten C */ 1116422 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Identitäts für [[Zweige des Logarithmus]] zeigt, dass durch die Festlegung eine beliebigen [[einfach zusammenhängend]]en Gebietes <math>G</math> mit <math>0\notin G</math> allein durch die [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinatendarstellung]] eines Punktes <math>z_0=|z_0|\cdot e^{it_o}</math> und <math>w_0: =\ln(|z|) + i\cdot t_0</math> für den zugehörigen Logarithmus der Zweig des Logarithmus eindeutig festgelegt ist. Die Aussage ist eine direkte Anwendung des klassischen [[Identitätssatz|Identitätssatzes]] aus der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]]. == Identitätssatz für den Logarithmus == Sei <math> G \subseteq \mathbb{C} </math> ein [[einfach zusammenhängend]]es Gebiet mit <math> 0 \notin G </math>. Dann ist der [[Zweig des Logarithmus]] auf <math> G </math> '''eindeutig festgelegt''', sobald man einen Punkt <math> z_0 \in G </math> und einen Wert <math> w_0 \in \mathbb{C} </math> mit <math> \exp(w_0) = z_0 </math> vorgibt. === Bemerkung - Eindeutigkeit === Für die [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen|Äquivalenzklassen für Logarithmen]] wird der [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negative Hauptzweig]] verwendet. Die im Satz genannt Festlegung kann dann durch die Eigenschaft erfolgen, dass <math>w_0\in \mathbb{D}_1 := \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi)</math> gilt. === Beweisidee === * <math> \frac{1}{z} </math> ist holomorph auf <math> G </math>, also hat sie eine Potenzreihe um <math> z_0 </math> (siehe auch [[Cauchy-Integralformel]]). * Eine [[Potenzreihe]] konvergiert gleichmäßig auf <math> \overline{D_r(z_0)} </math> und erlaubt somit eine summandenweise Integration, wobei die Stammfunktion die folgende Integraldarstellung besitzt <math> F(z) = \int_{z_0}^z \frac{1}{\zeta} d\zeta </math> mit <math>F(z_0)=0</math>. * Stammfunktionen sind bis auf Konstante eindeutig bestimmt und die Festlegung in einem Punkt definiert den Zweig des Logarithmus <math> \log_G(z) = F(z) + w_0 </math> auf der Kreisscheibe und [[Identitätssatz]] <math> \log_G </math> eindeutig auf ganz <math> G </math> festgelegt. === Bemerkung - Beweisidee === Für mündliche Prüfungen ist es sinnvoll, die Beweisstruktur zu kennen, da man in der Regel längere Beweise in der Prüfung durch den Zeitrahmen der Prüfung nicht vollständig ausführen kann und nur einzelen Teilaspekte aus dem gesamten Beweis auf Anfrage ausführen kann. Ferner gliedert die Beweisidee den Beweis und hilft dabei, die Logik in der Argumentation zu rekonstruieren. == Beweis - Identitätssatz für den Logarithmus == Um den Identitätssatz für den Logarithmus zu beweisen, wird zunächst ein beliebiger Punkt <math>z_0\in G</math> in dem gegebenen [[einfach zusammenhängend]]en Gebiet <math> G \subseteq \mathbb{C} </math> mit <math> 0 \notin G </math> in [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinaten]] <math>z_0 = |z_0|\cdot e^{it_o}</math> dargestellt und man definiert <math>w_0 := \ln(|z_0|)+i\cdot t_0</math>. Durch die Anwendung der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] zeigt man dann, dass folgende Gleichung gilt: :<math> e^{w_0} = e^{\ln(|z_0|)+i\cdot t_0} = e^{\ln(|z_0|)} \cdot e^{it_0} = |z_0| \cdot e^{it_0} z_0 \quad (\ast) </math> === Ziel des Beweises === Nun ist zu zeigen, dass es genau eine holomorphe Funktion <math> \log_G: G \to \mathbb{C} </math> gibt, sodass die folgenden beiden Eigenschaften erfüllt sind: * '''(ISL1)''' <math>\log_G(z_0) = w_0 </math>. * '''(ISL2)''' <math> \exp(\log_G(z)) = z </math> für alle <math> z \in G </math>, Durch die Festlegung von <math>w_0</math> in <math>(\ast)</math> ist (ISL1) bereits erfüllt. Es bleibt (ISL2) zu zeigen. === Schritt 1 - Logarithmenzweige als Stammfunktion === Auf [[einfach zusammenhängend]]en Gebieten <math>G</math> existieren immer Stammfunktionen und <math>f(z)=\tfrac{1}{z}</math> ist eine [[holomorphe Funktion]]: * <math> G </math> ist [[einfach zusammenhängend]] und enthält nicht die [[Polstelle]] (Singularität) <math> 0</math>, da <math> G \subseteq \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> gilt. * Die Funktion <math> f(z) = \frac{1}{z} </math> ist [[holomorphe Funktion|holomorph]] auf <math> G </math>, da <math> 0 \notin G </math>. * Die [[Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion]] von <math> \frac{1}{z} </math> auf <math> G </math> konstruieren, die den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] darstellt. === Schritt 2 - Entwicklung in Potenzreihe === Jede holomorphe Funktion lässt sich lokal in eine [[Potenzreihe]] entwickeln (siehe [[Holomorphiekriterien]]). Da <math> f(z)=\tfrac{1}{z} </math> holomorph auf <math> G </math> ist, existiert insbesondere für das gewählte <math> z_0 = |z_0| \cdot e^{it_0} \in G </math> eine [[Potenzreihenalgebra|Potenzreihenentwicklung]] um <math> z_0 </math>: :<math> \frac{1}{z} = \sum_{n=0}^\infty a_n \cdot (z - z_0)^n </math> mit Konvergenzradius <math> r_0 > 0 </math>, wobei <math> r_0 =|z_0|</math> in <math>\mathbb{C}\setminus \{0\}</math> ist, als Entfernung vom <math> z_0 </math> zur [[Singularität]] <math> z=0 </math> von <math> \frac{1}{z} </math>. === Bemerkung zu Schritt 2 - Konvergenzradius === Da zwar <math> 0 \notin G </math> und die Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}\subseteq G</math>gelten muss, ist der tatsächliche Konvergenzradius <math> r_0\leq |z_0|</math> in <math>G</math> ggf. echt kleiner als <math> |z_0| > 0 </math>, und es gibt ein <math> r_0 > 0 </math>. Ferner muss <math>r < r_0</math> tatsächlich echt kleiner als <math>r_0</math> gewählt werden, sodass die Potenzreihe auf der abgeschlossenen Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_0)} </math> gleichmäßig für alle <math>z\in \overline{D_r(z_0)} </math> konvergiert. Dies ist als Eigenschaft wesentlich, damit die [[Potenzreihe]] summandenweise integriert werden kann. === Schritt 3 - Koeffizienten der Potenzreihe - Stammfunktion === Die Koeffizienten der darstellenden Potenzreihe lassen sich explizit über eine [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] berechnen (siehe [[Stammfunktion des Logarithmus als Potenzreihe|Stammfunktion von 1/z als Potenzreihe]]). Die Potenzreihe lautet dann für <math>z\in \overline{D_r(z_0)} \subseteq G</math> mit <math>r < |z_0|</math> und <math>z_0=|z_0|\cdot e^{i\cdot t_0}</math> : :<math>\log_{_G}(z)= (\ln(|z_o|) + i\cdot t_0) + \sum_{n=0}^\infty \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1} \cdot (n+1)} \cdot (z-z_o)^{n+1} </math> === Schritt 4 - Stammfunktion und Identitätsatz === Die Stammfunktion ist eine [[holomorphe Funktion]] und dem gesamten Definitionsbereich <math>G</math> und man kann man daher auch für anderen Punkte <math>z_1\in G</math> die Funktion <math>f(z)=\tfrac{1}{z}</math> um <math>z_1</math> nun mit offenen Kreisscheiben<math>z\in {D_{r_1}(z_1)} \subseteq G</math> in eine Potenzreihe entwickeln und eine Stammfunktion mit eine beliebig gewählten Konstante festlegen, wobei <math>\overline{D_{r_1}(z_1)} \subseteq G</math> wieder ganz in <math>G</math> liegt. :<math> F_{z_1}(z) := c_{z_1} + \sum_{n=0}^\infty \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1} \cdot (n+1)} \cdot (z-z_1)^{n+1} </math> Die Funktion <math>F_{z_1}</math> ist dann zunächst einmal nur eine Stammfunktion von <math>f(z)=\tfrac{1}{z}</math> aber nicht notwendig ein [[Zweig des Logarithmus]]. === Schritt 5 - Holomorphiekriterium === Da das Gebiet <math>G</math> sich mit Kreisscheiben überdecken lässt und jeweils Schnitte von Kreisscheiben ist für zwei sich schneidende Kreisscheiben damit die Konstante <math>c_{z_1}</math> sukzessive für alle Kreisscheiben eindeutig festgelegt. Dies ist möglich, da <math>G</math> zusammenhängend. Insgesamt entsteht ein Funktion <math>F:G\to \mathbb{C}</math>. Ferner lässt die auf <math>G</math> entstandene Funktion <math>F</math> in jedem Punkt <math>z_1\in G</math> in eine Potenzreihe entwickeln. Damit ist <math>F</math> auch eine [[holomorphe Funktion]]. === Schritt 6 - Stammfunktionen und Identitätsatz === Da die Kreisscheibe <math>D_r(z_0)\subset G</math> eine nicht-diskreten Mengen ist, ist nach dem [[Identitätssatz]] für [[holomorphe Funktion]]en die Funktion <math>z</math> der [[Zweig des Logarithmus]] eindeutig bestimmt. Nun bleibt zu zeigen, dass mit der generierten Funktion <math>F</math> auf ein Zweig des Logarithmus entstanden ist. === Schritt 7 - ISL2 nachweisen === Man bezeichnet nun die Funktion <math>F=\log_{_G}</math>, wobei erst zu zeigen ist, dass die Funktion <math>\log_{_G}</math> die Eigenschaft <math> \exp(\log_{_G}(z)) = z </math> erfüllt. Diese Eigenschaft wird durch Differenzieren der Funktion <math>\exp \circ \log_{_G} </math> erreicht. ==== Schritt 7.1 - Vorgehen mit Differentialgleichung ==== Man betrachtet die folgende Funktion <math>H=\exp \circ \log_{_G}</math> und leitet diese ab :<math> H(z) := (exp \circ \log_{_G})(z) = \exp(\log_{_G}(z)) </math> Man wird dann <math> H(z) = z </math> nachweisen, wobei man die Eindeutigkeit der Lösung einer Differentialgleichung nutzt. ==== Schritt 7.2 - Ableitung bilden ==== Bei der Ableitung der Funktion <math>H</math> wird die Kettenregel angewendet, wobei <math> {\log{\,}'}_{\!\!\!\!_G}(z) = \frac{1}{z} </math> bei Rückersetzung der Potenzreihendarstellung von <math>f</math> um ein beliebiges <math>z_1\in G</math>. Die Stammfunktionen unterscheiden sich lediglich um eine Konstante für unterschiedliche Entwicklungspunkte und diese fällt bei der Differentiation weg. Damit gilt für Ableitung der Verkettung: :<math> H'(z) := (exp \circ \log_{_G})'(z) = \underbrace{\exp(\log_{_G}(z))}_{=H(z)}\cdot \underbrace{\log'\!\!_{_G}(z)}_{=\tfrac{1}{z}} = H(z) \cdot \frac{1}{z} </math> Die Ableitung der Funktion <math>H</math> kann gebildet werden, da <math>\log = F</math> nach Schritt 6 eine [[holomorphe Funktion]] und <math>G</math> als Verkettung von zwei holomorphen Funktionen wieder holomorph ist. ==== Schritt 7.3 - Differentialgleichung ==== Durch Schritt 7.2 erhält man die Differentialgleichung :<math> H'(z) = H(z) \cdot \frac{1}{z} </math> die nun als lineare Differentialgleichung erster Ordnung gelöst wird. ==== Schritt 7.4 - Differentialgleichung ==== Die allgemeine Lösung dieser Gleichung ist: :<math> H(z) = C \cdot z </math> für eine Konstante <math> C \in \mathbb{C} </math>, denn es gilt mit <math>H'(z)=C</math> die Eigenschaft: :<math> C = H'(z) = H(z) \cdot \frac{1}{z} = \underbrace{(C\cdot z)}_{=H(z)} \cdot \frac{1}{z} = C\cdot \underbrace{(z \cdot \frac{1}{z})}_{=1} = C </math> ==== Schritt 7.5 - Bestimmung der Konstanten C ==== Setze nun den Punkt <math> z_0 \in G </math> aus der Behauptung ein. Für diesen Funktionswert ist der Funktionswert :<math> F(z_0) = \log_{_G}(z_0) = w_0 = \ln(|z_0|) + {i\cdot t_0} </math> als Konstante der Potenzreihe bekannt und es gilt mit <math> \log_{_G}(z_0) = w_0 </math> und Einsetzen in die Exponentialfunktion: :<math> \exp(w_0) = \exp(\ln(|z_0|) + {i\cdot t_0}) = \exp(\ln(|z_0|)) \cdot \exp( {i\cdot t_0}) = |z_0|\cdot e^{it_0} = z_0 </math> == Siehe auch == * [[einfach zusammenhängend]] * [[Holomorphiekriterien]] * [[Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] * [[komplexer Logarithmus]] * [[Potenzreihenentwicklung für holomorphe Funktionen]] * [[Zweige des Logarithmus]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen https://de.wikiversity.org/wiki/Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 53q74g4ytc5a8z5avcg443un6oqwoqh 1116424 1116422 2026-10-16T12:15:20Z Bert Niehaus 20843 /* Schritt 7.5 - Bestimmung der Konstanten C */ 1116424 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Identitäts für [[Zweige des Logarithmus]] zeigt, dass durch die Festlegung eine beliebigen [[einfach zusammenhängend]]en Gebietes <math>G</math> mit <math>0\notin G</math> allein durch die [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinatendarstellung]] eines Punktes <math>z_0=|z_0|\cdot e^{it_o}</math> und <math>w_0: =\ln(|z|) + i\cdot t_0</math> für den zugehörigen Logarithmus der Zweig des Logarithmus eindeutig festgelegt ist. Die Aussage ist eine direkte Anwendung des klassischen [[Identitätssatz|Identitätssatzes]] aus der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]]. == Identitätssatz für den Logarithmus == Sei <math> G \subseteq \mathbb{C} </math> ein [[einfach zusammenhängend]]es Gebiet mit <math> 0 \notin G </math>. Dann ist der [[Zweig des Logarithmus]] auf <math> G </math> '''eindeutig festgelegt''', sobald man einen Punkt <math> z_0 \in G </math> und einen Wert <math> w_0 \in \mathbb{C} </math> mit <math> \exp(w_0) = z_0 </math> vorgibt. === Bemerkung - Eindeutigkeit === Für die [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen|Äquivalenzklassen für Logarithmen]] wird der [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negative Hauptzweig]] verwendet. Die im Satz genannt Festlegung kann dann durch die Eigenschaft erfolgen, dass <math>w_0\in \mathbb{D}_1 := \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi)</math> gilt. === Beweisidee === * <math> \frac{1}{z} </math> ist holomorph auf <math> G </math>, also hat sie eine Potenzreihe um <math> z_0 </math> (siehe auch [[Cauchy-Integralformel]]). * Eine [[Potenzreihe]] konvergiert gleichmäßig auf <math> \overline{D_r(z_0)} </math> und erlaubt somit eine summandenweise Integration, wobei die Stammfunktion die folgende Integraldarstellung besitzt <math> F(z) = \int_{z_0}^z \frac{1}{\zeta} d\zeta </math> mit <math>F(z_0)=0</math>. * Stammfunktionen sind bis auf Konstante eindeutig bestimmt und die Festlegung in einem Punkt definiert den Zweig des Logarithmus <math> \log_G(z) = F(z) + w_0 </math> auf der Kreisscheibe und [[Identitätssatz]] <math> \log_G </math> eindeutig auf ganz <math> G </math> festgelegt. === Bemerkung - Beweisidee === Für mündliche Prüfungen ist es sinnvoll, die Beweisstruktur zu kennen, da man in der Regel längere Beweise in der Prüfung durch den Zeitrahmen der Prüfung nicht vollständig ausführen kann und nur einzelen Teilaspekte aus dem gesamten Beweis auf Anfrage ausführen kann. Ferner gliedert die Beweisidee den Beweis und hilft dabei, die Logik in der Argumentation zu rekonstruieren. == Beweis - Identitätssatz für den Logarithmus == Um den Identitätssatz für den Logarithmus zu beweisen, wird zunächst ein beliebiger Punkt <math>z_0\in G</math> in dem gegebenen [[einfach zusammenhängend]]en Gebiet <math> G \subseteq \mathbb{C} </math> mit <math> 0 \notin G </math> in [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinaten]] <math>z_0 = |z_0|\cdot e^{it_o}</math> dargestellt und man definiert <math>w_0 := \ln(|z_0|)+i\cdot t_0</math>. Durch die Anwendung der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] zeigt man dann, dass folgende Gleichung gilt: :<math> e^{w_0} = e^{\ln(|z_0|)+i\cdot t_0} = e^{\ln(|z_0|)} \cdot e^{it_0} = |z_0| \cdot e^{it_0} z_0 \quad (\ast) </math> === Ziel des Beweises === Nun ist zu zeigen, dass es genau eine holomorphe Funktion <math> \log_G: G \to \mathbb{C} </math> gibt, sodass die folgenden beiden Eigenschaften erfüllt sind: * '''(ISL1)''' <math>\log_G(z_0) = w_0 </math>. * '''(ISL2)''' <math> \exp(\log_G(z)) = z </math> für alle <math> z \in G </math>, Durch die Festlegung von <math>w_0</math> in <math>(\ast)</math> ist (ISL1) bereits erfüllt. Es bleibt (ISL2) zu zeigen. === Schritt 1 - Logarithmenzweige als Stammfunktion === Auf [[einfach zusammenhängend]]en Gebieten <math>G</math> existieren immer Stammfunktionen und <math>f(z)=\tfrac{1}{z}</math> ist eine [[holomorphe Funktion]]: * <math> G </math> ist [[einfach zusammenhängend]] und enthält nicht die [[Polstelle]] (Singularität) <math> 0</math>, da <math> G \subseteq \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> gilt. * Die Funktion <math> f(z) = \frac{1}{z} </math> ist [[holomorphe Funktion|holomorph]] auf <math> G </math>, da <math> 0 \notin G </math>. * Die [[Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion]] von <math> \frac{1}{z} </math> auf <math> G </math> konstruieren, die den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] darstellt. === Schritt 2 - Entwicklung in Potenzreihe === Jede holomorphe Funktion lässt sich lokal in eine [[Potenzreihe]] entwickeln (siehe [[Holomorphiekriterien]]). Da <math> f(z)=\tfrac{1}{z} </math> holomorph auf <math> G </math> ist, existiert insbesondere für das gewählte <math> z_0 = |z_0| \cdot e^{it_0} \in G </math> eine [[Potenzreihenalgebra|Potenzreihenentwicklung]] um <math> z_0 </math>: :<math> \frac{1}{z} = \sum_{n=0}^\infty a_n \cdot (z - z_0)^n </math> mit Konvergenzradius <math> r_0 > 0 </math>, wobei <math> r_0 =|z_0|</math> in <math>\mathbb{C}\setminus \{0\}</math> ist, als Entfernung vom <math> z_0 </math> zur [[Singularität]] <math> z=0 </math> von <math> \frac{1}{z} </math>. === Bemerkung zu Schritt 2 - Konvergenzradius === Da zwar <math> 0 \notin G </math> und die Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}\subseteq G</math>gelten muss, ist der tatsächliche Konvergenzradius <math> r_0\leq |z_0|</math> in <math>G</math> ggf. echt kleiner als <math> |z_0| > 0 </math>, und es gibt ein <math> r_0 > 0 </math>. Ferner muss <math>r < r_0</math> tatsächlich echt kleiner als <math>r_0</math> gewählt werden, sodass die Potenzreihe auf der abgeschlossenen Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_0)} </math> gleichmäßig für alle <math>z\in \overline{D_r(z_0)} </math> konvergiert. Dies ist als Eigenschaft wesentlich, damit die [[Potenzreihe]] summandenweise integriert werden kann. === Schritt 3 - Koeffizienten der Potenzreihe - Stammfunktion === Die Koeffizienten der darstellenden Potenzreihe lassen sich explizit über eine [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] berechnen (siehe [[Stammfunktion des Logarithmus als Potenzreihe|Stammfunktion von 1/z als Potenzreihe]]). Die Potenzreihe lautet dann für <math>z\in \overline{D_r(z_0)} \subseteq G</math> mit <math>r < |z_0|</math> und <math>z_0=|z_0|\cdot e^{i\cdot t_0}</math> : :<math>\log_{_G}(z)= (\ln(|z_o|) + i\cdot t_0) + \sum_{n=0}^\infty \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1} \cdot (n+1)} \cdot (z-z_o)^{n+1} </math> === Schritt 4 - Stammfunktion und Identitätsatz === Die Stammfunktion ist eine [[holomorphe Funktion]] und dem gesamten Definitionsbereich <math>G</math> und man kann man daher auch für anderen Punkte <math>z_1\in G</math> die Funktion <math>f(z)=\tfrac{1}{z}</math> um <math>z_1</math> nun mit offenen Kreisscheiben<math>z\in {D_{r_1}(z_1)} \subseteq G</math> in eine Potenzreihe entwickeln und eine Stammfunktion mit eine beliebig gewählten Konstante festlegen, wobei <math>\overline{D_{r_1}(z_1)} \subseteq G</math> wieder ganz in <math>G</math> liegt. :<math> F_{z_1}(z) := c_{z_1} + \sum_{n=0}^\infty \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1} \cdot (n+1)} \cdot (z-z_1)^{n+1} </math> Die Funktion <math>F_{z_1}</math> ist dann zunächst einmal nur eine Stammfunktion von <math>f(z)=\tfrac{1}{z}</math> aber nicht notwendig ein [[Zweig des Logarithmus]]. === Schritt 5 - Holomorphiekriterium === Da das Gebiet <math>G</math> sich mit Kreisscheiben überdecken lässt und jeweils Schnitte von Kreisscheiben ist für zwei sich schneidende Kreisscheiben damit die Konstante <math>c_{z_1}</math> sukzessive für alle Kreisscheiben eindeutig festgelegt. Dies ist möglich, da <math>G</math> zusammenhängend. Insgesamt entsteht ein Funktion <math>F:G\to \mathbb{C}</math>. Ferner lässt die auf <math>G</math> entstandene Funktion <math>F</math> in jedem Punkt <math>z_1\in G</math> in eine Potenzreihe entwickeln. Damit ist <math>F</math> auch eine [[holomorphe Funktion]]. === Schritt 6 - Stammfunktionen und Identitätsatz === Da die Kreisscheibe <math>D_r(z_0)\subset G</math> eine nicht-diskreten Mengen ist, ist nach dem [[Identitätssatz]] für [[holomorphe Funktion]]en die Funktion <math>z</math> der [[Zweig des Logarithmus]] eindeutig bestimmt. Nun bleibt zu zeigen, dass mit der generierten Funktion <math>F</math> auf ein Zweig des Logarithmus entstanden ist. === Schritt 7 - ISL2 nachweisen === Man bezeichnet nun die Funktion <math>F=\log_{_G}</math>, wobei erst zu zeigen ist, dass die Funktion <math>\log_{_G}</math> die Eigenschaft <math> \exp(\log_{_G}(z)) = z </math> erfüllt. Diese Eigenschaft wird durch Differenzieren der Funktion <math>\exp \circ \log_{_G} </math> erreicht. ==== Schritt 7.1 - Vorgehen mit Differentialgleichung ==== Man betrachtet die folgende Funktion <math>H=\exp \circ \log_{_G}</math> und leitet diese ab :<math> H(z) := (exp \circ \log_{_G})(z) = \exp(\log_{_G}(z)) </math> Man wird dann <math> H(z) = z </math> nachweisen, wobei man die Eindeutigkeit der Lösung einer Differentialgleichung nutzt. ==== Schritt 7.2 - Ableitung bilden ==== Bei der Ableitung der Funktion <math>H</math> wird die Kettenregel angewendet, wobei <math> {\log{\,}'}_{\!\!\!\!_G}(z) = \frac{1}{z} </math> bei Rückersetzung der Potenzreihendarstellung von <math>f</math> um ein beliebiges <math>z_1\in G</math>. Die Stammfunktionen unterscheiden sich lediglich um eine Konstante für unterschiedliche Entwicklungspunkte und diese fällt bei der Differentiation weg. Damit gilt für Ableitung der Verkettung: :<math> H'(z) := (exp \circ \log_{_G})'(z) = \underbrace{\exp(\log_{_G}(z))}_{=H(z)}\cdot \underbrace{\log'\!\!_{_G}(z)}_{=\tfrac{1}{z}} = H(z) \cdot \frac{1}{z} </math> Die Ableitung der Funktion <math>H</math> kann gebildet werden, da <math>\log = F</math> nach Schritt 6 eine [[holomorphe Funktion]] und <math>G</math> als Verkettung von zwei holomorphen Funktionen wieder holomorph ist. ==== Schritt 7.3 - Differentialgleichung ==== Durch Schritt 7.2 erhält man die Differentialgleichung :<math> H'(z) = H(z) \cdot \frac{1}{z} </math> die nun als lineare Differentialgleichung erster Ordnung gelöst wird. ==== Schritt 7.4 - Differentialgleichung ==== Die allgemeine Lösung dieser Gleichung ist: :<math> H(z) = C \cdot z </math> für eine Konstante <math> C \in \mathbb{C} </math>, denn es gilt mit <math>H'(z)=C</math> die Eigenschaft: :<math> C = H'(z) = H(z) \cdot \frac{1}{z} = \underbrace{(C\cdot z)}_{=H(z)} \cdot \frac{1}{z} = C\cdot \underbrace{(z \cdot \frac{1}{z})}_{=1} = C </math> ==== Schritt 7.5 - Bestimmung der Konstanten C ==== Setze nun den Punkt <math> z_0 \in G </math> aus der Behauptung ein. Für diesen Funktionswert ist der Funktionswert :<math> F(z_0) = \log_{_G}(z_0) = w_0 = \ln(|z_0|) + {i\cdot t_0} </math> als Konstante der Potenzreihe bekannt und es gilt mit <math> \log_{_G}(z_0) = w_0 </math> und Einsetzen in die Exponentialfunktion: :<math> \begin{array}{rcl} \exp(w_0) & = & \exp(\ln(|z_0|) + {i\cdot t_0}) = \exp(\ln(|z_0|)) \cdot \exp( {i\cdot t_0}) \\ & = & |z_0|\cdot e^{it_0} = z_0 \\ \end{array} </math> === Schritt 8 - Zweig des Logarithmus - ISL2 === Nun lann man durch Verkettung die Konstante ablesen: :<math> C\cdot z_0 = H(z_0) = \exp(\log_{_G}(z_0)) = \exp(w_0) = z_0 </math> Damit ist die Konstante <math>C=1</math> und diese gilt für das ganze Gebiet <math>G</math>. Damit ist <math>\log_{_G}</math> auf ganz <math>G</math> ein [[Zweig des Logarithmus]]. == Siehe auch == * [[einfach zusammenhängend]] * [[Holomorphiekriterien]] * [[Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] * [[komplexer Logarithmus]] * [[Potenzreihenentwicklung für holomorphe Funktionen]] * [[Zweige des Logarithmus]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen https://de.wikiversity.org/wiki/Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] f19vbdy9xhx7sd5s71e6q77c0c6o2vr 1116425 1116424 2026-10-16T12:16:42Z Bert Niehaus 20843 /* Schritt 7.5 - Bestimmung der Konstanten C */ 1116425 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Identitäts für [[Zweige des Logarithmus]] zeigt, dass durch die Festlegung eine beliebigen [[einfach zusammenhängend]]en Gebietes <math>G</math> mit <math>0\notin G</math> allein durch die [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinatendarstellung]] eines Punktes <math>z_0=|z_0|\cdot e^{it_o}</math> und <math>w_0: =\ln(|z|) + i\cdot t_0</math> für den zugehörigen Logarithmus der Zweig des Logarithmus eindeutig festgelegt ist. Die Aussage ist eine direkte Anwendung des klassischen [[Identitätssatz|Identitätssatzes]] aus der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]]. == Identitätssatz für den Logarithmus == Sei <math> G \subseteq \mathbb{C} </math> ein [[einfach zusammenhängend]]es Gebiet mit <math> 0 \notin G </math>. Dann ist der [[Zweig des Logarithmus]] auf <math> G </math> '''eindeutig festgelegt''', sobald man einen Punkt <math> z_0 \in G </math> und einen Wert <math> w_0 \in \mathbb{C} </math> mit <math> \exp(w_0) = z_0 </math> vorgibt. === Bemerkung - Eindeutigkeit === Für die [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen|Äquivalenzklassen für Logarithmen]] wird der [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negative Hauptzweig]] verwendet. Die im Satz genannt Festlegung kann dann durch die Eigenschaft erfolgen, dass <math>w_0\in \mathbb{D}_1 := \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi)</math> gilt. === Beweisidee === * <math> \frac{1}{z} </math> ist holomorph auf <math> G </math>, also hat sie eine Potenzreihe um <math> z_0 </math> (siehe auch [[Cauchy-Integralformel]]). * Eine [[Potenzreihe]] konvergiert gleichmäßig auf <math> \overline{D_r(z_0)} </math> und erlaubt somit eine summandenweise Integration, wobei die Stammfunktion die folgende Integraldarstellung besitzt <math> F(z) = \int_{z_0}^z \frac{1}{\zeta} d\zeta </math> mit <math>F(z_0)=0</math>. * Stammfunktionen sind bis auf Konstante eindeutig bestimmt und die Festlegung in einem Punkt definiert den Zweig des Logarithmus <math> \log_G(z) = F(z) + w_0 </math> auf der Kreisscheibe und [[Identitätssatz]] <math> \log_G </math> eindeutig auf ganz <math> G </math> festgelegt. === Bemerkung - Beweisidee === Für mündliche Prüfungen ist es sinnvoll, die Beweisstruktur zu kennen, da man in der Regel längere Beweise in der Prüfung durch den Zeitrahmen der Prüfung nicht vollständig ausführen kann und nur einzelen Teilaspekte aus dem gesamten Beweis auf Anfrage ausführen kann. Ferner gliedert die Beweisidee den Beweis und hilft dabei, die Logik in der Argumentation zu rekonstruieren. == Beweis - Identitätssatz für den Logarithmus == Um den Identitätssatz für den Logarithmus zu beweisen, wird zunächst ein beliebiger Punkt <math>z_0\in G</math> in dem gegebenen [[einfach zusammenhängend]]en Gebiet <math> G \subseteq \mathbb{C} </math> mit <math> 0 \notin G </math> in [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinaten]] <math>z_0 = |z_0|\cdot e^{it_o}</math> dargestellt und man definiert <math>w_0 := \ln(|z_0|)+i\cdot t_0</math>. Durch die Anwendung der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] zeigt man dann, dass folgende Gleichung gilt: :<math> e^{w_0} = e^{\ln(|z_0|)+i\cdot t_0} = e^{\ln(|z_0|)} \cdot e^{it_0} = |z_0| \cdot e^{it_0} z_0 \quad (\ast) </math> === Ziel des Beweises === Nun ist zu zeigen, dass es genau eine holomorphe Funktion <math> \log_G: G \to \mathbb{C} </math> gibt, sodass die folgenden beiden Eigenschaften erfüllt sind: * '''(ISL1)''' <math>\log_G(z_0) = w_0 </math>. * '''(ISL2)''' <math> \exp(\log_G(z)) = z </math> für alle <math> z \in G </math>, Durch die Festlegung von <math>w_0</math> in <math>(\ast)</math> ist (ISL1) bereits erfüllt. Es bleibt (ISL2) zu zeigen. === Schritt 1 - Logarithmenzweige als Stammfunktion === Auf [[einfach zusammenhängend]]en Gebieten <math>G</math> existieren immer Stammfunktionen und <math>f(z)=\tfrac{1}{z}</math> ist eine [[holomorphe Funktion]]: * <math> G </math> ist [[einfach zusammenhängend]] und enthält nicht die [[Polstelle]] (Singularität) <math> 0</math>, da <math> G \subseteq \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> gilt. * Die Funktion <math> f(z) = \frac{1}{z} </math> ist [[holomorphe Funktion|holomorph]] auf <math> G </math>, da <math> 0 \notin G </math>. * Die [[Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion]] von <math> \frac{1}{z} </math> auf <math> G </math> konstruieren, die den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] darstellt. === Schritt 2 - Entwicklung in Potenzreihe === Jede holomorphe Funktion lässt sich lokal in eine [[Potenzreihe]] entwickeln (siehe [[Holomorphiekriterien]]). Da <math> f(z)=\tfrac{1}{z} </math> holomorph auf <math> G </math> ist, existiert insbesondere für das gewählte <math> z_0 = |z_0| \cdot e^{it_0} \in G </math> eine [[Potenzreihenalgebra|Potenzreihenentwicklung]] um <math> z_0 </math>: :<math> \frac{1}{z} = \sum_{n=0}^\infty a_n \cdot (z - z_0)^n </math> mit Konvergenzradius <math> r_0 > 0 </math>, wobei <math> r_0 =|z_0|</math> in <math>\mathbb{C}\setminus \{0\}</math> ist, als Entfernung vom <math> z_0 </math> zur [[Singularität]] <math> z=0 </math> von <math> \frac{1}{z} </math>. === Bemerkung zu Schritt 2 - Konvergenzradius === Da zwar <math> 0 \notin G </math> und die Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}\subseteq G</math>gelten muss, ist der tatsächliche Konvergenzradius <math> r_0\leq |z_0|</math> in <math>G</math> ggf. echt kleiner als <math> |z_0| > 0 </math>, und es gibt ein <math> r_0 > 0 </math>. Ferner muss <math>r < r_0</math> tatsächlich echt kleiner als <math>r_0</math> gewählt werden, sodass die Potenzreihe auf der abgeschlossenen Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_0)} </math> gleichmäßig für alle <math>z\in \overline{D_r(z_0)} </math> konvergiert. Dies ist als Eigenschaft wesentlich, damit die [[Potenzreihe]] summandenweise integriert werden kann. === Schritt 3 - Koeffizienten der Potenzreihe - Stammfunktion === Die Koeffizienten der darstellenden Potenzreihe lassen sich explizit über eine [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] berechnen (siehe [[Stammfunktion des Logarithmus als Potenzreihe|Stammfunktion von 1/z als Potenzreihe]]). Die Potenzreihe lautet dann für <math>z\in \overline{D_r(z_0)} \subseteq G</math> mit <math>r < |z_0|</math> und <math>z_0=|z_0|\cdot e^{i\cdot t_0}</math> : :<math>\log_{_G}(z)= (\ln(|z_o|) + i\cdot t_0) + \sum_{n=0}^\infty \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1} \cdot (n+1)} \cdot (z-z_o)^{n+1} </math> === Schritt 4 - Stammfunktion und Identitätsatz === Die Stammfunktion ist eine [[holomorphe Funktion]] und dem gesamten Definitionsbereich <math>G</math> und man kann man daher auch für anderen Punkte <math>z_1\in G</math> die Funktion <math>f(z)=\tfrac{1}{z}</math> um <math>z_1</math> nun mit offenen Kreisscheiben<math>z\in {D_{r_1}(z_1)} \subseteq G</math> in eine Potenzreihe entwickeln und eine Stammfunktion mit eine beliebig gewählten Konstante festlegen, wobei <math>\overline{D_{r_1}(z_1)} \subseteq G</math> wieder ganz in <math>G</math> liegt. :<math> F_{z_1}(z) := c_{z_1} + \sum_{n=0}^\infty \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1} \cdot (n+1)} \cdot (z-z_1)^{n+1} </math> Die Funktion <math>F_{z_1}</math> ist dann zunächst einmal nur eine Stammfunktion von <math>f(z)=\tfrac{1}{z}</math> aber nicht notwendig ein [[Zweig des Logarithmus]]. === Schritt 5 - Holomorphiekriterium === Da das Gebiet <math>G</math> sich mit Kreisscheiben überdecken lässt und jeweils Schnitte von Kreisscheiben ist für zwei sich schneidende Kreisscheiben damit die Konstante <math>c_{z_1}</math> sukzessive für alle Kreisscheiben eindeutig festgelegt. Dies ist möglich, da <math>G</math> zusammenhängend. Insgesamt entsteht ein Funktion <math>F:G\to \mathbb{C}</math>. Ferner lässt die auf <math>G</math> entstandene Funktion <math>F</math> in jedem Punkt <math>z_1\in G</math> in eine Potenzreihe entwickeln. Damit ist <math>F</math> auch eine [[holomorphe Funktion]]. === Schritt 6 - Stammfunktionen und Identitätsatz === Da die Kreisscheibe <math>D_r(z_0)\subset G</math> eine nicht-diskreten Mengen ist, ist nach dem [[Identitätssatz]] für [[holomorphe Funktion]]en die Funktion <math>z</math> der [[Zweig des Logarithmus]] eindeutig bestimmt. Nun bleibt zu zeigen, dass mit der generierten Funktion <math>F</math> auf ein Zweig des Logarithmus entstanden ist. === Schritt 7 - ISL2 nachweisen === Man bezeichnet nun die Funktion <math>F=\log_{_G}</math>, wobei erst zu zeigen ist, dass die Funktion <math>\log_{_G}</math> die Eigenschaft <math> \exp(\log_{_G}(z)) = z </math> erfüllt. Diese Eigenschaft wird durch Differenzieren der Funktion <math>\exp \circ \log_{_G} </math> erreicht. ==== Schritt 7.1 - Vorgehen mit Differentialgleichung ==== Man betrachtet die folgende Funktion <math>H=\exp \circ \log_{_G}</math> und leitet diese ab :<math> H(z) := (exp \circ \log_{_G})(z) = \exp(\log_{_G}(z)) </math> Man wird dann <math> H(z) = z </math> nachweisen, wobei man die Eindeutigkeit der Lösung einer Differentialgleichung nutzt. ==== Schritt 7.2 - Ableitung bilden ==== Bei der Ableitung der Funktion <math>H</math> wird die Kettenregel angewendet, wobei <math> {\log{\,}'}_{\!\!\!\!_G}(z) = \frac{1}{z} </math> bei Rückersetzung der Potenzreihendarstellung von <math>f</math> um ein beliebiges <math>z_1\in G</math>. Die Stammfunktionen unterscheiden sich lediglich um eine Konstante für unterschiedliche Entwicklungspunkte und diese fällt bei der Differentiation weg. Damit gilt für Ableitung der Verkettung: :<math> H'(z) := (exp \circ \log_{_G})'(z) = \underbrace{\exp(\log_{_G}(z))}_{=H(z)}\cdot \underbrace{\log'\!\!_{_G}(z)}_{=\tfrac{1}{z}} = H(z) \cdot \frac{1}{z} </math> Die Ableitung der Funktion <math>H</math> kann gebildet werden, da <math>\log = F</math> nach Schritt 6 eine [[holomorphe Funktion]] und <math>G</math> als Verkettung von zwei holomorphen Funktionen wieder holomorph ist. ==== Schritt 7.3 - Differentialgleichung ==== Durch Schritt 7.2 erhält man die Differentialgleichung :<math> H'(z) = H(z) \cdot \frac{1}{z} </math> die nun als lineare Differentialgleichung erster Ordnung gelöst wird. ==== Schritt 7.4 - Differentialgleichung ==== Die allgemeine Lösung dieser Gleichung ist: :<math> H(z) = C \cdot z </math> für eine Konstante <math> C \in \mathbb{C} </math>, denn es gilt mit <math>H'(z)=C</math> die Eigenschaft: :<math> C = H'(z) = H(z) \cdot \frac{1}{z} = \underbrace{(C\cdot z)}_{=H(z)} \cdot \frac{1}{z} = C\cdot \underbrace{(z \cdot \frac{1}{z})}_{=1} = C </math> ==== Schritt 7.5 - Bestimmung der Konstanten C ==== Setze nun den Punkt <math> z_0 \in G </math> aus der Behauptung ein. Für diesen Funktionswert ist der Funktionswert :<math> F(z_0) = \log_{_G}(z_0) = w_0 = \ln(|z_0|) + {i\cdot t_0} </math> als Konstante der Potenzreihe bekannt und es gilt mit <math> \log_{_G}(z_0) = w_0 </math> und Einsetzen in die Exponentialfunktion (i.e. ISL1): :<math> \begin{array}{rcl} \exp(w_0) & = & \exp(\ln(|z_0|) + {i\cdot t_0}) = \exp(\ln(|z_0|)) \cdot \exp( {i\cdot t_0}) \\ & = & |z_0|\cdot e^{it_0} = z_0 \\ \end{array} </math> === Schritt 8 - Zweig des Logarithmus - ISL2 === Nun lann man durch Verkettung die Konstante ablesen: :<math> C\cdot z_0 = H(z_0) = \exp(\log_{_G}(z_0)) = \exp(w_0) = z_0 </math> Damit ist die Konstante <math>C=1</math> und diese gilt für das ganze Gebiet <math>G</math>. Damit ist <math>\log_{_G}</math> auf ganz <math>G</math> ein [[Zweig des Logarithmus]]. == Siehe auch == * [[einfach zusammenhängend]] * [[Holomorphiekriterien]] * [[Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] * [[komplexer Logarithmus]] * [[Potenzreihenentwicklung für holomorphe Funktionen]] * [[Zweige des Logarithmus]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen https://de.wikiversity.org/wiki/Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 1e5xvnwrcykzgowumv0q4zmy0fegm5r 1116426 1116425 2026-10-16T12:17:34Z Bert Niehaus 20843 /* Schritt 8 - Zweig des Logarithmus - ISL2 */ 1116426 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Identitäts für [[Zweige des Logarithmus]] zeigt, dass durch die Festlegung eine beliebigen [[einfach zusammenhängend]]en Gebietes <math>G</math> mit <math>0\notin G</math> allein durch die [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinatendarstellung]] eines Punktes <math>z_0=|z_0|\cdot e^{it_o}</math> und <math>w_0: =\ln(|z|) + i\cdot t_0</math> für den zugehörigen Logarithmus der Zweig des Logarithmus eindeutig festgelegt ist. Die Aussage ist eine direkte Anwendung des klassischen [[Identitätssatz|Identitätssatzes]] aus der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]]. == Identitätssatz für den Logarithmus == Sei <math> G \subseteq \mathbb{C} </math> ein [[einfach zusammenhängend]]es Gebiet mit <math> 0 \notin G </math>. Dann ist der [[Zweig des Logarithmus]] auf <math> G </math> '''eindeutig festgelegt''', sobald man einen Punkt <math> z_0 \in G </math> und einen Wert <math> w_0 \in \mathbb{C} </math> mit <math> \exp(w_0) = z_0 </math> vorgibt. === Bemerkung - Eindeutigkeit === Für die [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen|Äquivalenzklassen für Logarithmen]] wird der [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negative Hauptzweig]] verwendet. Die im Satz genannt Festlegung kann dann durch die Eigenschaft erfolgen, dass <math>w_0\in \mathbb{D}_1 := \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi)</math> gilt. === Beweisidee === * <math> \frac{1}{z} </math> ist holomorph auf <math> G </math>, also hat sie eine Potenzreihe um <math> z_0 </math> (siehe auch [[Cauchy-Integralformel]]). * Eine [[Potenzreihe]] konvergiert gleichmäßig auf <math> \overline{D_r(z_0)} </math> und erlaubt somit eine summandenweise Integration, wobei die Stammfunktion die folgende Integraldarstellung besitzt <math> F(z) = \int_{z_0}^z \frac{1}{\zeta} d\zeta </math> mit <math>F(z_0)=0</math>. * Stammfunktionen sind bis auf Konstante eindeutig bestimmt und die Festlegung in einem Punkt definiert den Zweig des Logarithmus <math> \log_G(z) = F(z) + w_0 </math> auf der Kreisscheibe und [[Identitätssatz]] <math> \log_G </math> eindeutig auf ganz <math> G </math> festgelegt. === Bemerkung - Beweisidee === Für mündliche Prüfungen ist es sinnvoll, die Beweisstruktur zu kennen, da man in der Regel längere Beweise in der Prüfung durch den Zeitrahmen der Prüfung nicht vollständig ausführen kann und nur einzelen Teilaspekte aus dem gesamten Beweis auf Anfrage ausführen kann. Ferner gliedert die Beweisidee den Beweis und hilft dabei, die Logik in der Argumentation zu rekonstruieren. == Beweis - Identitätssatz für den Logarithmus == Um den Identitätssatz für den Logarithmus zu beweisen, wird zunächst ein beliebiger Punkt <math>z_0\in G</math> in dem gegebenen [[einfach zusammenhängend]]en Gebiet <math> G \subseteq \mathbb{C} </math> mit <math> 0 \notin G </math> in [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinaten]] <math>z_0 = |z_0|\cdot e^{it_o}</math> dargestellt und man definiert <math>w_0 := \ln(|z_0|)+i\cdot t_0</math>. Durch die Anwendung der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] zeigt man dann, dass folgende Gleichung gilt: :<math> e^{w_0} = e^{\ln(|z_0|)+i\cdot t_0} = e^{\ln(|z_0|)} \cdot e^{it_0} = |z_0| \cdot e^{it_0} z_0 \quad (\ast) </math> === Ziel des Beweises === Nun ist zu zeigen, dass es genau eine holomorphe Funktion <math> \log_G: G \to \mathbb{C} </math> gibt, sodass die folgenden beiden Eigenschaften erfüllt sind: * '''(ISL1)''' <math>\log_G(z_0) = w_0 </math>. * '''(ISL2)''' <math> \exp(\log_G(z)) = z </math> für alle <math> z \in G </math>, Durch die Festlegung von <math>w_0</math> in <math>(\ast)</math> ist (ISL1) bereits erfüllt. Es bleibt (ISL2) zu zeigen. === Schritt 1 - Logarithmenzweige als Stammfunktion === Auf [[einfach zusammenhängend]]en Gebieten <math>G</math> existieren immer Stammfunktionen und <math>f(z)=\tfrac{1}{z}</math> ist eine [[holomorphe Funktion]]: * <math> G </math> ist [[einfach zusammenhängend]] und enthält nicht die [[Polstelle]] (Singularität) <math> 0</math>, da <math> G \subseteq \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> gilt. * Die Funktion <math> f(z) = \frac{1}{z} </math> ist [[holomorphe Funktion|holomorph]] auf <math> G </math>, da <math> 0 \notin G </math>. * Die [[Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion]] von <math> \frac{1}{z} </math> auf <math> G </math> konstruieren, die den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] darstellt. === Schritt 2 - Entwicklung in Potenzreihe === Jede holomorphe Funktion lässt sich lokal in eine [[Potenzreihe]] entwickeln (siehe [[Holomorphiekriterien]]). Da <math> f(z)=\tfrac{1}{z} </math> holomorph auf <math> G </math> ist, existiert insbesondere für das gewählte <math> z_0 = |z_0| \cdot e^{it_0} \in G </math> eine [[Potenzreihenalgebra|Potenzreihenentwicklung]] um <math> z_0 </math>: :<math> \frac{1}{z} = \sum_{n=0}^\infty a_n \cdot (z - z_0)^n </math> mit Konvergenzradius <math> r_0 > 0 </math>, wobei <math> r_0 =|z_0|</math> in <math>\mathbb{C}\setminus \{0\}</math> ist, als Entfernung vom <math> z_0 </math> zur [[Singularität]] <math> z=0 </math> von <math> \frac{1}{z} </math>. === Bemerkung zu Schritt 2 - Konvergenzradius === Da zwar <math> 0 \notin G </math> und die Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}\subseteq G</math>gelten muss, ist der tatsächliche Konvergenzradius <math> r_0\leq |z_0|</math> in <math>G</math> ggf. echt kleiner als <math> |z_0| > 0 </math>, und es gibt ein <math> r_0 > 0 </math>. Ferner muss <math>r < r_0</math> tatsächlich echt kleiner als <math>r_0</math> gewählt werden, sodass die Potenzreihe auf der abgeschlossenen Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_0)} </math> gleichmäßig für alle <math>z\in \overline{D_r(z_0)} </math> konvergiert. Dies ist als Eigenschaft wesentlich, damit die [[Potenzreihe]] summandenweise integriert werden kann. === Schritt 3 - Koeffizienten der Potenzreihe - Stammfunktion === Die Koeffizienten der darstellenden Potenzreihe lassen sich explizit über eine [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] berechnen (siehe [[Stammfunktion des Logarithmus als Potenzreihe|Stammfunktion von 1/z als Potenzreihe]]). Die Potenzreihe lautet dann für <math>z\in \overline{D_r(z_0)} \subseteq G</math> mit <math>r < |z_0|</math> und <math>z_0=|z_0|\cdot e^{i\cdot t_0}</math> : :<math>\log_{_G}(z)= (\ln(|z_o|) + i\cdot t_0) + \sum_{n=0}^\infty \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1} \cdot (n+1)} \cdot (z-z_o)^{n+1} </math> === Schritt 4 - Stammfunktion und Identitätsatz === Die Stammfunktion ist eine [[holomorphe Funktion]] und dem gesamten Definitionsbereich <math>G</math> und man kann man daher auch für anderen Punkte <math>z_1\in G</math> die Funktion <math>f(z)=\tfrac{1}{z}</math> um <math>z_1</math> nun mit offenen Kreisscheiben<math>z\in {D_{r_1}(z_1)} \subseteq G</math> in eine Potenzreihe entwickeln und eine Stammfunktion mit eine beliebig gewählten Konstante festlegen, wobei <math>\overline{D_{r_1}(z_1)} \subseteq G</math> wieder ganz in <math>G</math> liegt. :<math> F_{z_1}(z) := c_{z_1} + \sum_{n=0}^\infty \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1} \cdot (n+1)} \cdot (z-z_1)^{n+1} </math> Die Funktion <math>F_{z_1}</math> ist dann zunächst einmal nur eine Stammfunktion von <math>f(z)=\tfrac{1}{z}</math> aber nicht notwendig ein [[Zweig des Logarithmus]]. === Schritt 5 - Holomorphiekriterium === Da das Gebiet <math>G</math> sich mit Kreisscheiben überdecken lässt und jeweils Schnitte von Kreisscheiben ist für zwei sich schneidende Kreisscheiben damit die Konstante <math>c_{z_1}</math> sukzessive für alle Kreisscheiben eindeutig festgelegt. Dies ist möglich, da <math>G</math> zusammenhängend. Insgesamt entsteht ein Funktion <math>F:G\to \mathbb{C}</math>. Ferner lässt die auf <math>G</math> entstandene Funktion <math>F</math> in jedem Punkt <math>z_1\in G</math> in eine Potenzreihe entwickeln. Damit ist <math>F</math> auch eine [[holomorphe Funktion]]. === Schritt 6 - Stammfunktionen und Identitätsatz === Da die Kreisscheibe <math>D_r(z_0)\subset G</math> eine nicht-diskreten Mengen ist, ist nach dem [[Identitätssatz]] für [[holomorphe Funktion]]en die Funktion <math>z</math> der [[Zweig des Logarithmus]] eindeutig bestimmt. Nun bleibt zu zeigen, dass mit der generierten Funktion <math>F</math> auf ein Zweig des Logarithmus entstanden ist. === Schritt 7 - ISL2 nachweisen === Man bezeichnet nun die Funktion <math>F=\log_{_G}</math>, wobei erst zu zeigen ist, dass die Funktion <math>\log_{_G}</math> die Eigenschaft <math> \exp(\log_{_G}(z)) = z </math> erfüllt. Diese Eigenschaft wird durch Differenzieren der Funktion <math>\exp \circ \log_{_G} </math> erreicht. ==== Schritt 7.1 - Vorgehen mit Differentialgleichung ==== Man betrachtet die folgende Funktion <math>H=\exp \circ \log_{_G}</math> und leitet diese ab :<math> H(z) := (exp \circ \log_{_G})(z) = \exp(\log_{_G}(z)) </math> Man wird dann <math> H(z) = z </math> nachweisen, wobei man die Eindeutigkeit der Lösung einer Differentialgleichung nutzt. ==== Schritt 7.2 - Ableitung bilden ==== Bei der Ableitung der Funktion <math>H</math> wird die Kettenregel angewendet, wobei <math> {\log{\,}'}_{\!\!\!\!_G}(z) = \frac{1}{z} </math> bei Rückersetzung der Potenzreihendarstellung von <math>f</math> um ein beliebiges <math>z_1\in G</math>. Die Stammfunktionen unterscheiden sich lediglich um eine Konstante für unterschiedliche Entwicklungspunkte und diese fällt bei der Differentiation weg. Damit gilt für Ableitung der Verkettung: :<math> H'(z) := (exp \circ \log_{_G})'(z) = \underbrace{\exp(\log_{_G}(z))}_{=H(z)}\cdot \underbrace{\log'\!\!_{_G}(z)}_{=\tfrac{1}{z}} = H(z) \cdot \frac{1}{z} </math> Die Ableitung der Funktion <math>H</math> kann gebildet werden, da <math>\log = F</math> nach Schritt 6 eine [[holomorphe Funktion]] und <math>G</math> als Verkettung von zwei holomorphen Funktionen wieder holomorph ist. ==== Schritt 7.3 - Differentialgleichung ==== Durch Schritt 7.2 erhält man die Differentialgleichung :<math> H'(z) = H(z) \cdot \frac{1}{z} </math> die nun als lineare Differentialgleichung erster Ordnung gelöst wird. ==== Schritt 7.4 - Differentialgleichung ==== Die allgemeine Lösung dieser Gleichung ist: :<math> H(z) = C \cdot z </math> für eine Konstante <math> C \in \mathbb{C} </math>, denn es gilt mit <math>H'(z)=C</math> die Eigenschaft: :<math> C = H'(z) = H(z) \cdot \frac{1}{z} = \underbrace{(C\cdot z)}_{=H(z)} \cdot \frac{1}{z} = C\cdot \underbrace{(z \cdot \frac{1}{z})}_{=1} = C </math> ==== Schritt 7.5 - Bestimmung der Konstanten C ==== Setze nun den Punkt <math> z_0 \in G </math> aus der Behauptung ein. Für diesen Funktionswert ist der Funktionswert :<math> F(z_0) = \log_{_G}(z_0) = w_0 = \ln(|z_0|) + {i\cdot t_0} </math> als Konstante der Potenzreihe bekannt und es gilt mit <math> \log_{_G}(z_0) = w_0 </math> und Einsetzen in die Exponentialfunktion (i.e. ISL1): :<math> \begin{array}{rcl} \exp(w_0) & = & \exp(\ln(|z_0|) + {i\cdot t_0}) = \exp(\ln(|z_0|)) \cdot \exp( {i\cdot t_0}) \\ & = & |z_0|\cdot e^{it_0} = z_0 \\ \end{array} </math> === Schritt 8 - Zweig des Logarithmus - ISL2 === Nun lann man durch Verkettung die Konstante ablesen: :<math> C\cdot z_0 = H(z_0) = \exp(\log_{_G}(z_0)) = \exp(w_0) = z_0 </math> Damit ist die Konstante <math>C=1</math> und diese gilt für das ganze Gebiet <math>G</math>. Damit ist <math>\log_{_G}</math> zusammen mit der Eigenschaft ISL1 auf ganz <math>G</math> ein [[Zweig des Logarithmus]]. <math>\quad \Box</math> == Siehe auch == * [[einfach zusammenhängend]] * [[Holomorphiekriterien]] * [[Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] * [[komplexer Logarithmus]] * [[Potenzreihenentwicklung für holomorphe Funktionen]] * [[Zweige des Logarithmus]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen https://de.wikiversity.org/wiki/Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 43jni1wjepapi5z2191xjgtfzlbb6lq 1116427 1116426 2026-10-16T12:18:48Z Bert Niehaus 20843 /* Ziel des Beweises */ 1116427 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Identitäts für [[Zweige des Logarithmus]] zeigt, dass durch die Festlegung eine beliebigen [[einfach zusammenhängend]]en Gebietes <math>G</math> mit <math>0\notin G</math> allein durch die [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinatendarstellung]] eines Punktes <math>z_0=|z_0|\cdot e^{it_o}</math> und <math>w_0: =\ln(|z|) + i\cdot t_0</math> für den zugehörigen Logarithmus der Zweig des Logarithmus eindeutig festgelegt ist. Die Aussage ist eine direkte Anwendung des klassischen [[Identitätssatz|Identitätssatzes]] aus der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]]. == Identitätssatz für den Logarithmus == Sei <math> G \subseteq \mathbb{C} </math> ein [[einfach zusammenhängend]]es Gebiet mit <math> 0 \notin G </math>. Dann ist der [[Zweig des Logarithmus]] auf <math> G </math> '''eindeutig festgelegt''', sobald man einen Punkt <math> z_0 \in G </math> und einen Wert <math> w_0 \in \mathbb{C} </math> mit <math> \exp(w_0) = z_0 </math> vorgibt. === Bemerkung - Eindeutigkeit === Für die [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen|Äquivalenzklassen für Logarithmen]] wird der [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negative Hauptzweig]] verwendet. Die im Satz genannt Festlegung kann dann durch die Eigenschaft erfolgen, dass <math>w_0\in \mathbb{D}_1 := \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi)</math> gilt. === Beweisidee === * <math> \frac{1}{z} </math> ist holomorph auf <math> G </math>, also hat sie eine Potenzreihe um <math> z_0 </math> (siehe auch [[Cauchy-Integralformel]]). * Eine [[Potenzreihe]] konvergiert gleichmäßig auf <math> \overline{D_r(z_0)} </math> und erlaubt somit eine summandenweise Integration, wobei die Stammfunktion die folgende Integraldarstellung besitzt <math> F(z) = \int_{z_0}^z \frac{1}{\zeta} d\zeta </math> mit <math>F(z_0)=0</math>. * Stammfunktionen sind bis auf Konstante eindeutig bestimmt und die Festlegung in einem Punkt definiert den Zweig des Logarithmus <math> \log_G(z) = F(z) + w_0 </math> auf der Kreisscheibe und [[Identitätssatz]] <math> \log_G </math> eindeutig auf ganz <math> G </math> festgelegt. === Bemerkung - Beweisidee === Für mündliche Prüfungen ist es sinnvoll, die Beweisstruktur zu kennen, da man in der Regel längere Beweise in der Prüfung durch den Zeitrahmen der Prüfung nicht vollständig ausführen kann und nur einzelen Teilaspekte aus dem gesamten Beweis auf Anfrage ausführen kann. Ferner gliedert die Beweisidee den Beweis und hilft dabei, die Logik in der Argumentation zu rekonstruieren. == Beweis - Identitätssatz für den Logarithmus == Um den Identitätssatz für den Logarithmus zu beweisen, wird zunächst ein beliebiger Punkt <math>z_0\in G</math> in dem gegebenen [[einfach zusammenhängend]]en Gebiet <math> G \subseteq \mathbb{C} </math> mit <math> 0 \notin G </math> in [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinaten]] <math>z_0 = |z_0|\cdot e^{it_o}</math> dargestellt und man definiert <math>w_0 := \ln(|z_0|)+i\cdot t_0</math>. Durch die Anwendung der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] zeigt man dann, dass folgende Gleichung gilt: :<math> e^{w_0} = e^{\ln(|z_0|)+i\cdot t_0} = e^{\ln(|z_0|)} \cdot e^{it_0} = |z_0| \cdot e^{it_0} z_0 \quad (\ast) </math> <span id="ISL"></span> === Ziel des Beweises === Nun ist zu zeigen, dass es genau eine holomorphe Funktion <math> \log_G: G \to \mathbb{C} </math> gibt, sodass die folgenden beiden Eigenschaften erfüllt sind: * '''(ISL1)''' <math>\log_G(z_0) = w_0 </math>. * '''(ISL2)''' <math> \exp(\log_G(z)) = z </math> für alle <math> z \in G </math>, Durch die Festlegung von <math>w_0</math> in <math>(\ast)</math> ist (ISL1) bereits erfüllt. Es bleibt (ISL2) zu zeigen. === Schritt 1 - Logarithmenzweige als Stammfunktion === Auf [[einfach zusammenhängend]]en Gebieten <math>G</math> existieren immer Stammfunktionen und <math>f(z)=\tfrac{1}{z}</math> ist eine [[holomorphe Funktion]]: * <math> G </math> ist [[einfach zusammenhängend]] und enthält nicht die [[Polstelle]] (Singularität) <math> 0</math>, da <math> G \subseteq \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> gilt. * Die Funktion <math> f(z) = \frac{1}{z} </math> ist [[holomorphe Funktion|holomorph]] auf <math> G </math>, da <math> 0 \notin G </math>. * Die [[Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion]] von <math> \frac{1}{z} </math> auf <math> G </math> konstruieren, die den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] darstellt. === Schritt 2 - Entwicklung in Potenzreihe === Jede holomorphe Funktion lässt sich lokal in eine [[Potenzreihe]] entwickeln (siehe [[Holomorphiekriterien]]). Da <math> f(z)=\tfrac{1}{z} </math> holomorph auf <math> G </math> ist, existiert insbesondere für das gewählte <math> z_0 = |z_0| \cdot e^{it_0} \in G </math> eine [[Potenzreihenalgebra|Potenzreihenentwicklung]] um <math> z_0 </math>: :<math> \frac{1}{z} = \sum_{n=0}^\infty a_n \cdot (z - z_0)^n </math> mit Konvergenzradius <math> r_0 > 0 </math>, wobei <math> r_0 =|z_0|</math> in <math>\mathbb{C}\setminus \{0\}</math> ist, als Entfernung vom <math> z_0 </math> zur [[Singularität]] <math> z=0 </math> von <math> \frac{1}{z} </math>. === Bemerkung zu Schritt 2 - Konvergenzradius === Da zwar <math> 0 \notin G </math> und die Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}\subseteq G</math>gelten muss, ist der tatsächliche Konvergenzradius <math> r_0\leq |z_0|</math> in <math>G</math> ggf. echt kleiner als <math> |z_0| > 0 </math>, und es gibt ein <math> r_0 > 0 </math>. Ferner muss <math>r < r_0</math> tatsächlich echt kleiner als <math>r_0</math> gewählt werden, sodass die Potenzreihe auf der abgeschlossenen Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_0)} </math> gleichmäßig für alle <math>z\in \overline{D_r(z_0)} </math> konvergiert. Dies ist als Eigenschaft wesentlich, damit die [[Potenzreihe]] summandenweise integriert werden kann. === Schritt 3 - Koeffizienten der Potenzreihe - Stammfunktion === Die Koeffizienten der darstellenden Potenzreihe lassen sich explizit über eine [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] berechnen (siehe [[Stammfunktion des Logarithmus als Potenzreihe|Stammfunktion von 1/z als Potenzreihe]]). Die Potenzreihe lautet dann für <math>z\in \overline{D_r(z_0)} \subseteq G</math> mit <math>r < |z_0|</math> und <math>z_0=|z_0|\cdot e^{i\cdot t_0}</math> : :<math>\log_{_G}(z)= (\ln(|z_o|) + i\cdot t_0) + \sum_{n=0}^\infty \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1} \cdot (n+1)} \cdot (z-z_o)^{n+1} </math> === Schritt 4 - Stammfunktion und Identitätsatz === Die Stammfunktion ist eine [[holomorphe Funktion]] und dem gesamten Definitionsbereich <math>G</math> und man kann man daher auch für anderen Punkte <math>z_1\in G</math> die Funktion <math>f(z)=\tfrac{1}{z}</math> um <math>z_1</math> nun mit offenen Kreisscheiben<math>z\in {D_{r_1}(z_1)} \subseteq G</math> in eine Potenzreihe entwickeln und eine Stammfunktion mit eine beliebig gewählten Konstante festlegen, wobei <math>\overline{D_{r_1}(z_1)} \subseteq G</math> wieder ganz in <math>G</math> liegt. :<math> F_{z_1}(z) := c_{z_1} + \sum_{n=0}^\infty \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1} \cdot (n+1)} \cdot (z-z_1)^{n+1} </math> Die Funktion <math>F_{z_1}</math> ist dann zunächst einmal nur eine Stammfunktion von <math>f(z)=\tfrac{1}{z}</math> aber nicht notwendig ein [[Zweig des Logarithmus]]. === Schritt 5 - Holomorphiekriterium === Da das Gebiet <math>G</math> sich mit Kreisscheiben überdecken lässt und jeweils Schnitte von Kreisscheiben ist für zwei sich schneidende Kreisscheiben damit die Konstante <math>c_{z_1}</math> sukzessive für alle Kreisscheiben eindeutig festgelegt. Dies ist möglich, da <math>G</math> zusammenhängend. Insgesamt entsteht ein Funktion <math>F:G\to \mathbb{C}</math>. Ferner lässt die auf <math>G</math> entstandene Funktion <math>F</math> in jedem Punkt <math>z_1\in G</math> in eine Potenzreihe entwickeln. Damit ist <math>F</math> auch eine [[holomorphe Funktion]]. === Schritt 6 - Stammfunktionen und Identitätsatz === Da die Kreisscheibe <math>D_r(z_0)\subset G</math> eine nicht-diskreten Mengen ist, ist nach dem [[Identitätssatz]] für [[holomorphe Funktion]]en die Funktion <math>z</math> der [[Zweig des Logarithmus]] eindeutig bestimmt. Nun bleibt zu zeigen, dass mit der generierten Funktion <math>F</math> auf ein Zweig des Logarithmus entstanden ist. === Schritt 7 - ISL2 nachweisen === Man bezeichnet nun die Funktion <math>F=\log_{_G}</math>, wobei erst zu zeigen ist, dass die Funktion <math>\log_{_G}</math> die Eigenschaft <math> \exp(\log_{_G}(z)) = z </math> erfüllt. Diese Eigenschaft wird durch Differenzieren der Funktion <math>\exp \circ \log_{_G} </math> erreicht. ==== Schritt 7.1 - Vorgehen mit Differentialgleichung ==== Man betrachtet die folgende Funktion <math>H=\exp \circ \log_{_G}</math> und leitet diese ab :<math> H(z) := (exp \circ \log_{_G})(z) = \exp(\log_{_G}(z)) </math> Man wird dann <math> H(z) = z </math> nachweisen, wobei man die Eindeutigkeit der Lösung einer Differentialgleichung nutzt. ==== Schritt 7.2 - Ableitung bilden ==== Bei der Ableitung der Funktion <math>H</math> wird die Kettenregel angewendet, wobei <math> {\log{\,}'}_{\!\!\!\!_G}(z) = \frac{1}{z} </math> bei Rückersetzung der Potenzreihendarstellung von <math>f</math> um ein beliebiges <math>z_1\in G</math>. Die Stammfunktionen unterscheiden sich lediglich um eine Konstante für unterschiedliche Entwicklungspunkte und diese fällt bei der Differentiation weg. Damit gilt für Ableitung der Verkettung: :<math> H'(z) := (exp \circ \log_{_G})'(z) = \underbrace{\exp(\log_{_G}(z))}_{=H(z)}\cdot \underbrace{\log'\!\!_{_G}(z)}_{=\tfrac{1}{z}} = H(z) \cdot \frac{1}{z} </math> Die Ableitung der Funktion <math>H</math> kann gebildet werden, da <math>\log = F</math> nach Schritt 6 eine [[holomorphe Funktion]] und <math>G</math> als Verkettung von zwei holomorphen Funktionen wieder holomorph ist. ==== Schritt 7.3 - Differentialgleichung ==== Durch Schritt 7.2 erhält man die Differentialgleichung :<math> H'(z) = H(z) \cdot \frac{1}{z} </math> die nun als lineare Differentialgleichung erster Ordnung gelöst wird. ==== Schritt 7.4 - Differentialgleichung ==== Die allgemeine Lösung dieser Gleichung ist: :<math> H(z) = C \cdot z </math> für eine Konstante <math> C \in \mathbb{C} </math>, denn es gilt mit <math>H'(z)=C</math> die Eigenschaft: :<math> C = H'(z) = H(z) \cdot \frac{1}{z} = \underbrace{(C\cdot z)}_{=H(z)} \cdot \frac{1}{z} = C\cdot \underbrace{(z \cdot \frac{1}{z})}_{=1} = C </math> ==== Schritt 7.5 - Bestimmung der Konstanten C ==== Setze nun den Punkt <math> z_0 \in G </math> aus der Behauptung ein. Für diesen Funktionswert ist der Funktionswert :<math> F(z_0) = \log_{_G}(z_0) = w_0 = \ln(|z_0|) + {i\cdot t_0} </math> als Konstante der Potenzreihe bekannt und es gilt mit <math> \log_{_G}(z_0) = w_0 </math> und Einsetzen in die Exponentialfunktion (i.e. ISL1): :<math> \begin{array}{rcl} \exp(w_0) & = & \exp(\ln(|z_0|) + {i\cdot t_0}) = \exp(\ln(|z_0|)) \cdot \exp( {i\cdot t_0}) \\ & = & |z_0|\cdot e^{it_0} = z_0 \\ \end{array} </math> === Schritt 8 - Zweig des Logarithmus - ISL2 === Nun lann man durch Verkettung die Konstante ablesen: :<math> C\cdot z_0 = H(z_0) = \exp(\log_{_G}(z_0)) = \exp(w_0) = z_0 </math> Damit ist die Konstante <math>C=1</math> und diese gilt für das ganze Gebiet <math>G</math>. Damit ist <math>\log_{_G}</math> zusammen mit der Eigenschaft ISL1 auf ganz <math>G</math> ein [[Zweig des Logarithmus]]. <math>\quad \Box</math> == Siehe auch == * [[einfach zusammenhängend]] * [[Holomorphiekriterien]] * [[Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] * [[komplexer Logarithmus]] * [[Potenzreihenentwicklung für holomorphe Funktionen]] * [[Zweige des Logarithmus]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen https://de.wikiversity.org/wiki/Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] q86fkangkeaz6aodlvwyrqc57drmeaq 1116429 1116427 2026-10-16T12:23:11Z Bert Niehaus 20843 /* Schritt 7.5 - Bestimmung der Konstanten C */ 1116429 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Identitäts für [[Zweige des Logarithmus]] zeigt, dass durch die Festlegung eine beliebigen [[einfach zusammenhängend]]en Gebietes <math>G</math> mit <math>0\notin G</math> allein durch die [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinatendarstellung]] eines Punktes <math>z_0=|z_0|\cdot e^{it_o}</math> und <math>w_0: =\ln(|z|) + i\cdot t_0</math> für den zugehörigen Logarithmus der Zweig des Logarithmus eindeutig festgelegt ist. Die Aussage ist eine direkte Anwendung des klassischen [[Identitätssatz|Identitätssatzes]] aus der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]]. == Identitätssatz für den Logarithmus == Sei <math> G \subseteq \mathbb{C} </math> ein [[einfach zusammenhängend]]es Gebiet mit <math> 0 \notin G </math>. Dann ist der [[Zweig des Logarithmus]] auf <math> G </math> '''eindeutig festgelegt''', sobald man einen Punkt <math> z_0 \in G </math> und einen Wert <math> w_0 \in \mathbb{C} </math> mit <math> \exp(w_0) = z_0 </math> vorgibt. === Bemerkung - Eindeutigkeit === Für die [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen|Äquivalenzklassen für Logarithmen]] wird der [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negative Hauptzweig]] verwendet. Die im Satz genannt Festlegung kann dann durch die Eigenschaft erfolgen, dass <math>w_0\in \mathbb{D}_1 := \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi)</math> gilt. === Beweisidee === * <math> \frac{1}{z} </math> ist holomorph auf <math> G </math>, also hat sie eine Potenzreihe um <math> z_0 </math> (siehe auch [[Cauchy-Integralformel]]). * Eine [[Potenzreihe]] konvergiert gleichmäßig auf <math> \overline{D_r(z_0)} </math> und erlaubt somit eine summandenweise Integration, wobei die Stammfunktion die folgende Integraldarstellung besitzt <math> F(z) = \int_{z_0}^z \frac{1}{\zeta} d\zeta </math> mit <math>F(z_0)=0</math>. * Stammfunktionen sind bis auf Konstante eindeutig bestimmt und die Festlegung in einem Punkt definiert den Zweig des Logarithmus <math> \log_G(z) = F(z) + w_0 </math> auf der Kreisscheibe und [[Identitätssatz]] <math> \log_G </math> eindeutig auf ganz <math> G </math> festgelegt. === Bemerkung - Beweisidee === Für mündliche Prüfungen ist es sinnvoll, die Beweisstruktur zu kennen, da man in der Regel längere Beweise in der Prüfung durch den Zeitrahmen der Prüfung nicht vollständig ausführen kann und nur einzelen Teilaspekte aus dem gesamten Beweis auf Anfrage ausführen kann. Ferner gliedert die Beweisidee den Beweis und hilft dabei, die Logik in der Argumentation zu rekonstruieren. == Beweis - Identitätssatz für den Logarithmus == Um den Identitätssatz für den Logarithmus zu beweisen, wird zunächst ein beliebiger Punkt <math>z_0\in G</math> in dem gegebenen [[einfach zusammenhängend]]en Gebiet <math> G \subseteq \mathbb{C} </math> mit <math> 0 \notin G </math> in [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinaten]] <math>z_0 = |z_0|\cdot e^{it_o}</math> dargestellt und man definiert <math>w_0 := \ln(|z_0|)+i\cdot t_0</math>. Durch die Anwendung der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] zeigt man dann, dass folgende Gleichung gilt: :<math> e^{w_0} = e^{\ln(|z_0|)+i\cdot t_0} = e^{\ln(|z_0|)} \cdot e^{it_0} = |z_0| \cdot e^{it_0} z_0 \quad (\ast) </math> <span id="ISL"></span> === Ziel des Beweises === Nun ist zu zeigen, dass es genau eine holomorphe Funktion <math> \log_G: G \to \mathbb{C} </math> gibt, sodass die folgenden beiden Eigenschaften erfüllt sind: * '''(ISL1)''' <math>\log_G(z_0) = w_0 </math>. * '''(ISL2)''' <math> \exp(\log_G(z)) = z </math> für alle <math> z \in G </math>, Durch die Festlegung von <math>w_0</math> in <math>(\ast)</math> ist (ISL1) bereits erfüllt. Es bleibt (ISL2) zu zeigen. === Schritt 1 - Logarithmenzweige als Stammfunktion === Auf [[einfach zusammenhängend]]en Gebieten <math>G</math> existieren immer Stammfunktionen und <math>f(z)=\tfrac{1}{z}</math> ist eine [[holomorphe Funktion]]: * <math> G </math> ist [[einfach zusammenhängend]] und enthält nicht die [[Polstelle]] (Singularität) <math> 0</math>, da <math> G \subseteq \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> gilt. * Die Funktion <math> f(z) = \frac{1}{z} </math> ist [[holomorphe Funktion|holomorph]] auf <math> G </math>, da <math> 0 \notin G </math>. * Die [[Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion]] von <math> \frac{1}{z} </math> auf <math> G </math> konstruieren, die den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] darstellt. === Schritt 2 - Entwicklung in Potenzreihe === Jede holomorphe Funktion lässt sich lokal in eine [[Potenzreihe]] entwickeln (siehe [[Holomorphiekriterien]]). Da <math> f(z)=\tfrac{1}{z} </math> holomorph auf <math> G </math> ist, existiert insbesondere für das gewählte <math> z_0 = |z_0| \cdot e^{it_0} \in G </math> eine [[Potenzreihenalgebra|Potenzreihenentwicklung]] um <math> z_0 </math>: :<math> \frac{1}{z} = \sum_{n=0}^\infty a_n \cdot (z - z_0)^n </math> mit Konvergenzradius <math> r_0 > 0 </math>, wobei <math> r_0 =|z_0|</math> in <math>\mathbb{C}\setminus \{0\}</math> ist, als Entfernung vom <math> z_0 </math> zur [[Singularität]] <math> z=0 </math> von <math> \frac{1}{z} </math>. === Bemerkung zu Schritt 2 - Konvergenzradius === Da zwar <math> 0 \notin G </math> und die Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}\subseteq G</math>gelten muss, ist der tatsächliche Konvergenzradius <math> r_0\leq |z_0|</math> in <math>G</math> ggf. echt kleiner als <math> |z_0| > 0 </math>, und es gibt ein <math> r_0 > 0 </math>. Ferner muss <math>r < r_0</math> tatsächlich echt kleiner als <math>r_0</math> gewählt werden, sodass die Potenzreihe auf der abgeschlossenen Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_0)} </math> gleichmäßig für alle <math>z\in \overline{D_r(z_0)} </math> konvergiert. Dies ist als Eigenschaft wesentlich, damit die [[Potenzreihe]] summandenweise integriert werden kann. === Schritt 3 - Koeffizienten der Potenzreihe - Stammfunktion === Die Koeffizienten der darstellenden Potenzreihe lassen sich explizit über eine [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] berechnen (siehe [[Stammfunktion des Logarithmus als Potenzreihe|Stammfunktion von 1/z als Potenzreihe]]). Die Potenzreihe lautet dann für <math>z\in \overline{D_r(z_0)} \subseteq G</math> mit <math>r < |z_0|</math> und <math>z_0=|z_0|\cdot e^{i\cdot t_0}</math> : :<math>\log_{_G}(z)= (\ln(|z_o|) + i\cdot t_0) + \sum_{n=0}^\infty \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1} \cdot (n+1)} \cdot (z-z_o)^{n+1} </math> === Schritt 4 - Stammfunktion und Identitätsatz === Die Stammfunktion ist eine [[holomorphe Funktion]] und dem gesamten Definitionsbereich <math>G</math> und man kann man daher auch für anderen Punkte <math>z_1\in G</math> die Funktion <math>f(z)=\tfrac{1}{z}</math> um <math>z_1</math> nun mit offenen Kreisscheiben<math>z\in {D_{r_1}(z_1)} \subseteq G</math> in eine Potenzreihe entwickeln und eine Stammfunktion mit eine beliebig gewählten Konstante festlegen, wobei <math>\overline{D_{r_1}(z_1)} \subseteq G</math> wieder ganz in <math>G</math> liegt. :<math> F_{z_1}(z) := c_{z_1} + \sum_{n=0}^\infty \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1} \cdot (n+1)} \cdot (z-z_1)^{n+1} </math> Die Funktion <math>F_{z_1}</math> ist dann zunächst einmal nur eine Stammfunktion von <math>f(z)=\tfrac{1}{z}</math> aber nicht notwendig ein [[Zweig des Logarithmus]]. === Schritt 5 - Holomorphiekriterium === Da das Gebiet <math>G</math> sich mit Kreisscheiben überdecken lässt und jeweils Schnitte von Kreisscheiben ist für zwei sich schneidende Kreisscheiben damit die Konstante <math>c_{z_1}</math> sukzessive für alle Kreisscheiben eindeutig festgelegt. Dies ist möglich, da <math>G</math> zusammenhängend. Insgesamt entsteht ein Funktion <math>F:G\to \mathbb{C}</math>. Ferner lässt die auf <math>G</math> entstandene Funktion <math>F</math> in jedem Punkt <math>z_1\in G</math> in eine Potenzreihe entwickeln. Damit ist <math>F</math> auch eine [[holomorphe Funktion]]. === Schritt 6 - Stammfunktionen und Identitätsatz === Da die Kreisscheibe <math>D_r(z_0)\subset G</math> eine nicht-diskreten Mengen ist, ist nach dem [[Identitätssatz]] für [[holomorphe Funktion]]en die Funktion <math>z</math> der [[Zweig des Logarithmus]] eindeutig bestimmt. Nun bleibt zu zeigen, dass mit der generierten Funktion <math>F</math> auf ein Zweig des Logarithmus entstanden ist. === Schritt 7 - ISL2 nachweisen === Man bezeichnet nun die Funktion <math>F=\log_{_G}</math>, wobei erst zu zeigen ist, dass die Funktion <math>\log_{_G}</math> die Eigenschaft <math> \exp(\log_{_G}(z)) = z </math> erfüllt. Diese Eigenschaft wird durch Differenzieren der Funktion <math>\exp \circ \log_{_G} </math> erreicht. ==== Schritt 7.1 - Vorgehen mit Differentialgleichung ==== Man betrachtet die folgende Funktion <math>H=\exp \circ \log_{_G}</math> und leitet diese ab :<math> H(z) := (exp \circ \log_{_G})(z) = \exp(\log_{_G}(z)) </math> Man wird dann <math> H(z) = z </math> nachweisen, wobei man die Eindeutigkeit der Lösung einer Differentialgleichung nutzt. ==== Schritt 7.2 - Ableitung bilden ==== Bei der Ableitung der Funktion <math>H</math> wird die Kettenregel angewendet, wobei <math> {\log{\,}'}_{\!\!\!\!_G}(z) = \frac{1}{z} </math> bei Rückersetzung der Potenzreihendarstellung von <math>f</math> um ein beliebiges <math>z_1\in G</math>. Die Stammfunktionen unterscheiden sich lediglich um eine Konstante für unterschiedliche Entwicklungspunkte und diese fällt bei der Differentiation weg. Damit gilt für Ableitung der Verkettung: :<math> H'(z) := (exp \circ \log_{_G})'(z) = \underbrace{\exp(\log_{_G}(z))}_{=H(z)}\cdot \underbrace{\log'\!\!_{_G}(z)}_{=\tfrac{1}{z}} = H(z) \cdot \frac{1}{z} </math> Die Ableitung der Funktion <math>H</math> kann gebildet werden, da <math>\log = F</math> nach Schritt 6 eine [[holomorphe Funktion]] und <math>G</math> als Verkettung von zwei holomorphen Funktionen wieder holomorph ist. ==== Schritt 7.3 - Differentialgleichung ==== Durch Schritt 7.2 erhält man die Differentialgleichung :<math> H'(z) = H(z) \cdot \frac{1}{z} </math> die nun als lineare Differentialgleichung erster Ordnung gelöst wird. ==== Schritt 7.4 - Differentialgleichung ==== Die allgemeine Lösung dieser Gleichung ist: :<math> H(z) = C \cdot z </math> für eine Konstante <math> C \in \mathbb{C} </math>, denn es gilt mit <math>H'(z)=C</math> die Eigenschaft: :<math> C = H'(z) = H(z) \cdot \frac{1}{z} = \underbrace{(C\cdot z)}_{=H(z)} \cdot \frac{1}{z} = C\cdot \underbrace{(z \cdot \frac{1}{z})}_{=1} = C </math> ==== Schritt 7.5 - Bestimmung der Konstanten C ==== Setze nun den Punkt <math> z_0 \in G </math> aus der Behauptung ein. Für diesen Funktionswert ist der Funktionswert :<math> F(z_0) = \log_{_G}(z_0) = w_0 = \ln(|z_0|) + {i\cdot t_0} </math> als Konstante der Potenzreihe bekannt und es gilt mit <math> \log_{_G}(z_0) = w_0 </math> und Einsetzen in die Exponentialfunktion (i.e. ISL1): :<math> \begin{array}{rcl} \exp(w_0) & = & \exp(\ln(|z_0|) + {i\cdot t_0}) = \exp(\ln(|z_0|)) \cdot \exp( {i\cdot t_0}) \\ & = & |z_0|\cdot \exp(i\cdot t_0) = z_0 \\ \end{array} </math> In der zweiten Gleichungszeile wurde die Polarkoordinatendarstellung von <math>z_0</math> verwendet. === Schritt 8 - Zweig des Logarithmus - ISL2 === Nun lann man durch Verkettung die Konstante ablesen: :<math> C\cdot z_0 = H(z_0) = \exp(\log_{_G}(z_0)) = \exp(w_0) = z_0 </math> Damit ist die Konstante <math>C=1</math> und diese gilt für das ganze Gebiet <math>G</math>. Damit ist <math>\log_{_G}</math> zusammen mit der Eigenschaft ISL1 auf ganz <math>G</math> ein [[Zweig des Logarithmus]]. <math>\quad \Box</math> == Siehe auch == * [[einfach zusammenhängend]] * [[Holomorphiekriterien]] * [[Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] * [[komplexer Logarithmus]] * [[Potenzreihenentwicklung für holomorphe Funktionen]] * [[Zweige des Logarithmus]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen https://de.wikiversity.org/wiki/Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] hsmn5m219rxt97w8kk678yka8nnlmkr 1116430 1116429 2026-10-16T12:31:30Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1116430 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Identitäts für [[Zweige des Logarithmus]] zeigt, dass durch die Festlegung eine beliebigen [[einfach zusammenhängend]]en Gebietes <math>G</math> mit <math>0\notin G</math> allein durch die [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinatendarstellung]] eines Punktes <math>z_0=|z_0|\cdot e^{it_o}</math> und <math>w_0: =\ln(|z|) + i\cdot t_0</math> für den zugehörigen Logarithmus der Zweig des Logarithmus eindeutig festgelegt ist. Die Aussage ist eine direkte Anwendung des klassischen [[Identitätssatz|Identitätssatzes]] aus der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]]. == Identitätssatz für den Logarithmus == Sei <math> G \subseteq \mathbb{C} </math> ein [[einfach zusammenhängend]]es Gebiet mit <math> 0 \notin G </math>. Dann ist der [[Zweig des Logarithmus]] auf <math> G </math> '''eindeutig festgelegt''', sobald man einen Punkt <math> z_0 \in G </math> und einen Wert <math> w_0 \in \mathbb{C} </math> mit <math> \exp(w_0) = z_0 </math> vorgibt. === Bemerkung - Eindeutigkeit === Für die [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen|Äquivalenzklassen für Logarithmen]] wird der [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negative Hauptzweig]] verwendet. Die im Satz genannt Festlegung kann dann durch die Eigenschaft erfolgen, dass <math>w_0\in \mathbb{D}_1 := \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi)</math> gilt. === Beweisidee === * <math> \frac{1}{z} </math> ist holomorph auf <math> G </math>, also hat sie eine Potenzreihe um <math> z_0 </math> (siehe auch [[Cauchy-Integralformel]]). * Eine [[Potenzreihe]] konvergiert gleichmäßig auf <math> \overline{D_r(z_0)} </math> und erlaubt somit eine summandenweise Integration, wobei die Stammfunktion die folgende Integraldarstellung besitzt <math> F(z) = \int_{z_0}^z \frac{1}{\zeta} d\zeta </math> mit <math>F(z_0)=0</math>. * Stammfunktionen sind bis auf Konstante eindeutig bestimmt und die Festlegung in einem Punkt definiert den Zweig des Logarithmus <math> \log_G(z) = F(z) + w_0 </math> auf der Kreisscheibe und [[Identitätssatz]] <math> \log_G </math> eindeutig auf ganz <math> G </math> festgelegt. === Bemerkung - Beweisidee === Für mündliche Prüfungen ist es sinnvoll, die Beweisstruktur zu kennen, da man in der Regel längere Beweise in der Prüfung durch den Zeitrahmen der Prüfung nicht vollständig ausführen kann und nur einzelen Teilaspekte aus dem gesamten Beweis auf Anfrage ausführen kann. Ferner gliedert die Beweisidee den Beweis und hilft dabei, die Logik in der Argumentation zu rekonstruieren. == Beweis - Identitätssatz für den Logarithmus == Um den Identitätssatz für den Logarithmus zu beweisen, wird zunächst ein beliebiger Punkt <math>z_0\in G</math> in dem gegebenen [[einfach zusammenhängend]]en Gebiet <math> G \subseteq \mathbb{C} </math> mit <math> 0 \notin G </math> in [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinaten]] <math>z_0 = |z_0|\cdot e^{it_o}</math> dargestellt und man definiert <math>w_0 := \ln(|z_0|)+i\cdot t_0</math>. Durch die Anwendung der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] zeigt man dann, dass folgende Gleichung gilt: :<math> e^{w_0} = e^{\ln(|z_0|)+i\cdot t_0} = e^{\ln(|z_0|)} \cdot e^{it_0} = |z_0| \cdot e^{it_0} z_0 \quad (\ast) </math> <span id="ISL"></span> === Ziel des Beweises === Nun ist zu zeigen, dass es genau eine holomorphe Funktion <math> \log_G: G \to \mathbb{C} </math> gibt, sodass die folgenden beiden Eigenschaften erfüllt sind: * '''(ISL1)''' <math>\log_G(z_0) = w_0 </math>. * '''(ISL2)''' <math> \exp(\log_G(z)) = z </math> für alle <math> z \in G </math>, Durch die Festlegung von <math>w_0</math> in <math>(\ast)</math> ist (ISL1) bereits erfüllt. Es bleibt (ISL2) zu zeigen. === Schritt 1 - Logarithmenzweige als Stammfunktion === Auf [[einfach zusammenhängend]]en Gebieten <math>G</math> existieren immer Stammfunktionen und <math>f(z)=\tfrac{1}{z}</math> ist eine [[holomorphe Funktion]]: * <math> G </math> ist [[einfach zusammenhängend]] und enthält nicht die [[Polstelle]] (Singularität) <math> 0</math>, da <math> G \subseteq \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> gilt. * Die Funktion <math> f(z) = \frac{1}{z} </math> ist [[holomorphe Funktion|holomorph]] auf <math> G </math>, da <math> 0 \notin G </math>. * Die [[Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion]] von <math> \frac{1}{z} </math> auf <math> G </math> konstruieren, die den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] darstellt. === Schritt 2 - Entwicklung in Potenzreihe === Jede holomorphe Funktion lässt sich lokal in eine [[Potenzreihe]] entwickeln (siehe [[Holomorphiekriterien]]). Da <math> f(z)=\tfrac{1}{z} </math> holomorph auf <math> G </math> ist, existiert insbesondere für das gewählte <math> z_0 = |z_0| \cdot e^{it_0} \in G </math> eine [[Potenzreihenalgebra|Potenzreihenentwicklung]] um <math> z_0 </math>: :<math> \frac{1}{z} = \sum_{n=0}^\infty a_n \cdot (z - z_0)^n </math> mit Konvergenzradius <math> r_0 > 0 </math>, wobei <math> r_0 =|z_0|</math> in <math>\mathbb{C}\setminus \{0\}</math> ist, als Entfernung vom <math> z_0 </math> zur [[Singularität]] <math> z=0 </math> von <math> \frac{1}{z} </math>. === Bemerkung zu Schritt 2 - Konvergenzradius === Da zwar <math> 0 \notin G </math> und die Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}\subseteq G</math>gelten muss, ist der tatsächliche Konvergenzradius <math> r_0\leq |z_0|</math> in <math>G</math> ggf. echt kleiner als <math> |z_0| > 0 </math>, und es gibt ein <math> r_0 > 0 </math>. Ferner muss <math>r < r_0</math> tatsächlich echt kleiner als <math>r_0</math> gewählt werden, sodass die Potenzreihe auf der abgeschlossenen Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_0)} </math> gleichmäßig für alle <math>z\in \overline{D_r(z_0)} </math> konvergiert. Dies ist als Eigenschaft wesentlich, damit die [[Potenzreihe]] summandenweise integriert werden kann. === Schritt 3 - Koeffizienten der Potenzreihe - Stammfunktion === Die Koeffizienten der darstellenden Potenzreihe lassen sich explizit über eine [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] berechnen (siehe [[Stammfunktion des Logarithmus als Potenzreihe|Stammfunktion von 1/z als Potenzreihe]]). Die Potenzreihe lautet dann für <math>z\in \overline{D_r(z_0)} \subseteq G</math> mit <math>r < |z_0|</math> und <math>z_0=|z_0|\cdot e^{i\cdot t_0}</math> : :<math>\log_{_G}(z)= (\ln(|z_o|) + i\cdot t_0) + \sum_{n=0}^\infty \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1} \cdot (n+1)} \cdot (z-z_o)^{n+1} </math> === Schritt 4 - Stammfunktion und Identitätsatz === Die Stammfunktion ist eine [[holomorphe Funktion]] und dem gesamten Definitionsbereich <math>G</math> und man kann man daher auch für anderen Punkte <math>z_1\in G</math> die Funktion <math>f(z)=\tfrac{1}{z}</math> um <math>z_1</math> nun mit offenen Kreisscheiben<math>z\in {D_{r_1}(z_1)} \subseteq G</math> in eine Potenzreihe entwickeln und eine Stammfunktion mit eine beliebig gewählten Konstante festlegen, wobei <math>\overline{D_{r_1}(z_1)} \subseteq G</math> wieder ganz in <math>G</math> liegt. :<math> F_{z_1}(z) := c_{z_1} + \sum_{n=0}^\infty \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1} \cdot (n+1)} \cdot (z-z_1)^{n+1} </math> Die Funktion <math>F_{z_1}</math> ist dann zunächst einmal nur eine Stammfunktion von <math>f(z)=\tfrac{1}{z}</math> aber nicht notwendig ein [[Zweig des Logarithmus]]. === Schritt 5 - Holomorphiekriterium === Da das Gebiet <math>G</math> sich mit Kreisscheiben überdecken lässt und jeweils Schnitte von Kreisscheiben ist für zwei sich schneidende Kreisscheiben damit die Konstante <math>c_{z_1}</math> sukzessive für alle Kreisscheiben eindeutig festgelegt. Dies ist möglich, da <math>G</math> zusammenhängend. Insgesamt entsteht ein Funktion <math>F:G\to \mathbb{C}</math>. Ferner lässt die auf <math>G</math> entstandene Funktion <math>F</math> in jedem Punkt <math>z_1\in G</math> in eine Potenzreihe entwickeln. Damit ist <math>F</math> auch eine [[holomorphe Funktion]]. === Schritt 6 - Stammfunktionen und Identitätsatz === Da die Kreisscheibe <math>D_r(z_0)\subset G</math> eine nicht-diskreten Mengen ist, ist nach dem [[Identitätssatz]] für [[holomorphe Funktion]]en die Funktion <math>z</math> der [[Zweig des Logarithmus]] eindeutig bestimmt. Nun bleibt zu zeigen, dass mit der generierten Funktion <math>F</math> auf ein Zweig des Logarithmus entstanden ist. === Schritt 7 - ISL2 nachweisen === Man bezeichnet nun die Funktion <math>F=\log_{_G}</math>, wobei erst zu zeigen ist, dass die Funktion <math>\log_{_G}</math> die Eigenschaft <math> \exp(\log_{_G}(z)) = z </math> erfüllt. Diese Eigenschaft wird durch Differenzieren der Funktion <math>\exp \circ \log_{_G} </math> erreicht. ==== Schritt 7.1 - Vorgehen mit Differentialgleichung ==== Man betrachtet die folgende Funktion <math>H=\exp \circ \log_{_G}</math> und leitet diese ab :<math> H(z) := (exp \circ \log_{_G})(z) = \exp(\log_{_G}(z)) </math> Man wird dann <math> H(z) = z </math> nachweisen, wobei man die Eindeutigkeit der Lösung einer Differentialgleichung nutzt. ==== Schritt 7.2 - Ableitung bilden ==== Bei der Ableitung der Funktion <math>H</math> wird die Kettenregel angewendet, wobei <math> {\log{\,}'}_{\!\!\!\!_G}(z) = \frac{1}{z} </math> bei Rückersetzung der Potenzreihendarstellung von <math>f</math> um ein beliebiges <math>z_1\in G</math>. Die Stammfunktionen unterscheiden sich lediglich um eine Konstante für unterschiedliche Entwicklungspunkte und diese fällt bei der Differentiation weg. Damit gilt für Ableitung der Verkettung: :<math> H'(z) := (exp \circ \log_{_G})'(z) = \underbrace{\exp(\log_{_G}(z))}_{=H(z)}\cdot \underbrace{\log'\!\!_{_G}(z)}_{=\tfrac{1}{z}} = H(z) \cdot \frac{1}{z} </math> Die Ableitung der Funktion <math>H</math> kann gebildet werden, da <math>\log = F</math> nach Schritt 6 eine [[holomorphe Funktion]] und <math>G</math> als Verkettung von zwei holomorphen Funktionen wieder holomorph ist. ==== Schritt 7.3 - Differentialgleichung ==== Durch Schritt 7.2 erhält man die Differentialgleichung :<math> H'(z) = H(z) \cdot \frac{1}{z} </math> die nun als lineare Differentialgleichung erster Ordnung gelöst wird. ==== Schritt 7.4 - Differentialgleichung ==== Die allgemeine Lösung dieser Gleichung ist: :<math> H(z) = C \cdot z </math> für eine Konstante <math> C \in \mathbb{C} </math>, denn es gilt mit <math>H'(z)=C</math> die Eigenschaft: :<math> C = H'(z) = H(z) \cdot \frac{1}{z} = \underbrace{(C\cdot z)}_{=H(z)} \cdot \frac{1}{z} = C\cdot \underbrace{(z \cdot \frac{1}{z})}_{=1} = C </math> ==== Schritt 7.5 - Bestimmung der Konstanten C ==== Setze nun den Punkt <math> z_0 \in G </math> aus der Behauptung ein. Für diesen Funktionswert ist der Funktionswert :<math> F(z_0) = \log_{_G}(z_0) = w_0 = \ln(|z_0|) + {i\cdot t_0} </math> als Konstante der Potenzreihe bekannt und es gilt mit <math> \log_{_G}(z_0) = w_0 </math> und Einsetzen in die Exponentialfunktion (i.e. ISL1): :<math> \begin{array}{rcl} \exp(w_0) & = & \exp(\ln(|z_0|) + {i\cdot t_0}) = \exp(\ln(|z_0|)) \cdot \exp( {i\cdot t_0}) \\ & = & |z_0|\cdot \exp(i\cdot t_0) = z_0 \\ \end{array} </math> In der zweiten Gleichungszeile wurde die Polarkoordinatendarstellung von <math>z_0</math> verwendet. === Schritt 8 - Zweig des Logarithmus - ISL2 === Nun lann man durch Verkettung die Konstante ablesen: :<math> C\cdot z_0 = H(z_0) = \exp(\log_{_G}(z_0)) = \exp(w_0) = z_0 </math> Damit ist die Konstante <math>C=1</math> und diese gilt für das ganze Gebiet <math>G</math>. Damit ist <math>\log_{_G}</math> zusammen mit der Eigenschaft ISL1 auf ganz <math>G</math> ein [[Zweig des Logarithmus]]. <math>\quad \Box</math> == Aufgaben für Studierende == * Warum ist die summandenweise Intergration in der darstellenden Potenzreihe für <math>f(z)=\tfrac{1}{z}</math> zulässig? * Stellen Sie die Beweisidee dar und legen Sie besonderen Wert auf Begründungen, die einzelnen Stammfunktionen auf Kreisscheiben zunächst zu einer holomorphen Funktion machen, die dann die Eigenschaften eines Zweiges des Logarithmus besitzt! == Siehe auch == * [[einfach zusammenhängend]] * [[Holomorphiekriterien]] * [[Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] * [[komplexer Logarithmus]] * [[Potenzreihenentwicklung für holomorphe Funktionen]] * [[Zweige des Logarithmus]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen https://de.wikiversity.org/wiki/Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] jehhdq4kp7eyjbl4973n723fq8c426g 1116431 1116430 2026-10-16T12:32:27Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1116431 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Identitäts für [[Zweige des Logarithmus]] zeigt, dass durch die Festlegung eine beliebigen [[einfach zusammenhängend]]en Gebietes <math>G</math> mit <math>0\notin G</math> allein durch die [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinatendarstellung]] eines Punktes <math>z_0=|z_0|\cdot e^{it_o}</math> und <math>w_0: =\ln(|z|) + i\cdot t_0</math> für den zugehörigen Logarithmus der Zweig des Logarithmus eindeutig festgelegt ist. Die Aussage ist eine direkte Anwendung des klassischen [[Identitätssatz|Identitätssatzes]] aus der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]]. == Identitätssatz für den Logarithmus == Sei <math> G \subseteq \mathbb{C} </math> ein [[einfach zusammenhängend]]es Gebiet mit <math> 0 \notin G </math>. Dann ist der [[Zweig des Logarithmus]] auf <math> G </math> '''eindeutig festgelegt''', sobald man einen Punkt <math> z_0 \in G </math> und einen Wert <math> w_0 \in \mathbb{C} </math> mit <math> \exp(w_0) = z_0 </math> vorgibt. === Bemerkung - Eindeutigkeit === Für die [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen|Äquivalenzklassen für Logarithmen]] wird der [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negative Hauptzweig]] verwendet. Die im Satz genannt Festlegung kann dann durch die Eigenschaft erfolgen, dass <math>w_0\in \mathbb{D}_1 := \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi)</math> gilt. === Beweisidee === * <math> \frac{1}{z} </math> ist holomorph auf <math> G </math>, also hat sie eine Potenzreihe um <math> z_0 </math> (siehe auch [[Cauchy-Integralformel]]). * Eine [[Potenzreihe]] konvergiert gleichmäßig auf <math> \overline{D_r(z_0)} </math> und erlaubt somit eine summandenweise Integration, wobei die Stammfunktion die folgende Integraldarstellung besitzt <math> F(z) = \int_{z_0}^z \frac{1}{\zeta} d\zeta </math> mit <math>F(z_0)=0</math>. * Stammfunktionen sind bis auf Konstante eindeutig bestimmt und die Festlegung in einem Punkt definiert den Zweig des Logarithmus <math> \log_G(z) = F(z) + w_0 </math> auf der Kreisscheibe und [[Identitätssatz]] <math> \log_G </math> eindeutig auf ganz <math> G </math> festgelegt. === Bemerkung - Beweisidee === Für mündliche Prüfungen ist es sinnvoll, die Beweisstruktur zu kennen, da man in der Regel längere Beweise in der Prüfung durch den Zeitrahmen der Prüfung nicht vollständig ausführen kann und nur einzelen Teilaspekte aus dem gesamten Beweis auf Anfrage ausführen kann. Ferner gliedert die Beweisidee den Beweis und hilft dabei, die Logik in der Argumentation zu rekonstruieren. == Beweis - Identitätssatz für den Logarithmus == Um den Identitätssatz für den Logarithmus zu beweisen, wird zunächst ein beliebiger Punkt <math>z_0\in G</math> in dem gegebenen [[einfach zusammenhängend]]en Gebiet <math> G \subseteq \mathbb{C} </math> mit <math> 0 \notin G </math> in [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinaten]] <math>z_0 = |z_0|\cdot e^{it_o}</math> dargestellt und man definiert <math>w_0 := \ln(|z_0|)+i\cdot t_0</math>. Durch die Anwendung der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] zeigt man dann, dass folgende Gleichung gilt: :<math> e^{w_0} = e^{\ln(|z_0|)+i\cdot t_0} = e^{\ln(|z_0|)} \cdot e^{it_0} = |z_0| \cdot e^{it_0} z_0 \quad (\ast) </math> <span id="ISL"></span> === Ziel des Beweises === Nun ist zu zeigen, dass es genau eine holomorphe Funktion <math> \log_G: G \to \mathbb{C} </math> gibt, sodass die folgenden beiden Eigenschaften erfüllt sind: * '''(ISL1)''' <math>\log_G(z_0) = w_0 </math>. * '''(ISL2)''' <math> \exp(\log_G(z)) = z </math> für alle <math> z \in G </math>, Durch die Festlegung von <math>w_0</math> in <math>(\ast)</math> ist (ISL1) bereits erfüllt. Es bleibt (ISL2) zu zeigen. === Schritt 1 - Logarithmenzweige als Stammfunktion === Auf [[einfach zusammenhängend]]en Gebieten <math>G</math> existieren immer Stammfunktionen und <math>f(z)=\tfrac{1}{z}</math> ist eine [[holomorphe Funktion]]: * <math> G </math> ist [[einfach zusammenhängend]] und enthält nicht die [[Polstelle]] (Singularität) <math> 0</math>, da <math> G \subseteq \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> gilt. * Die Funktion <math> f(z) = \frac{1}{z} </math> ist [[holomorphe Funktion|holomorph]] auf <math> G </math>, da <math> 0 \notin G </math>. * Die [[Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion]] von <math> \frac{1}{z} </math> auf <math> G </math> konstruieren, die den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] darstellt. === Schritt 2 - Entwicklung in Potenzreihe === Jede holomorphe Funktion lässt sich lokal in eine [[Potenzreihe]] entwickeln (siehe [[Holomorphiekriterien]]). Da <math> f(z)=\tfrac{1}{z} </math> holomorph auf <math> G </math> ist, existiert insbesondere für das gewählte <math> z_0 = |z_0| \cdot e^{it_0} \in G </math> eine [[Potenzreihenalgebra|Potenzreihenentwicklung]] um <math> z_0 </math>: :<math> \frac{1}{z} = \sum_{n=0}^\infty a_n \cdot (z - z_0)^n </math> mit Konvergenzradius <math> r_0 > 0 </math>, wobei <math> r_0 =|z_0|</math> in <math>\mathbb{C}\setminus \{0\}</math> ist, als Entfernung vom <math> z_0 </math> zur [[Singularität]] <math> z=0 </math> von <math> \frac{1}{z} </math>. === Bemerkung zu Schritt 2 - Konvergenzradius === Da zwar <math> 0 \notin G </math> und die Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}\subseteq G</math>gelten muss, ist der tatsächliche Konvergenzradius <math> r_0\leq |z_0|</math> in <math>G</math> ggf. echt kleiner als <math> |z_0| > 0 </math>, und es gibt ein <math> r_0 > 0 </math>. Ferner muss <math>r < r_0</math> tatsächlich echt kleiner als <math>r_0</math> gewählt werden, sodass die Potenzreihe auf der abgeschlossenen Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_0)} </math> gleichmäßig für alle <math>z\in \overline{D_r(z_0)} </math> konvergiert. Dies ist als Eigenschaft wesentlich, damit die [[Potenzreihe]] summandenweise integriert werden kann. === Schritt 3 - Koeffizienten der Potenzreihe - Stammfunktion === Die Koeffizienten der darstellenden Potenzreihe lassen sich explizit über eine [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] berechnen (siehe [[Stammfunktion des Logarithmus als Potenzreihe|Stammfunktion von 1/z als Potenzreihe]]). Die Potenzreihe lautet dann für <math>z\in \overline{D_r(z_0)} \subseteq G</math> mit <math>r < |z_0|</math> und <math>z_0=|z_0|\cdot e^{i\cdot t_0}</math> : :<math>\log_{_G}(z)= (\ln(|z_o|) + i\cdot t_0) + \sum_{n=0}^\infty \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1} \cdot (n+1)} \cdot (z-z_o)^{n+1} </math> === Schritt 4 - Stammfunktion und Identitätsatz === Die Stammfunktion ist eine [[holomorphe Funktion]] und dem gesamten Definitionsbereich <math>G</math> und man kann man daher auch für anderen Punkte <math>z_1\in G</math> die Funktion <math>f(z)=\tfrac{1}{z}</math> um <math>z_1</math> nun mit offenen Kreisscheiben<math>z\in {D_{r_1}(z_1)} \subseteq G</math> in eine Potenzreihe entwickeln und eine Stammfunktion mit eine beliebig gewählten Konstante festlegen, wobei <math>\overline{D_{r_1}(z_1)} \subseteq G</math> wieder ganz in <math>G</math> liegt. :<math> F_{z_1}(z) := c_{z_1} + \sum_{n=0}^\infty \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1} \cdot (n+1)} \cdot (z-z_1)^{n+1} </math> Die Funktion <math>F_{z_1}</math> ist dann zunächst einmal nur eine Stammfunktion von <math>f(z)=\tfrac{1}{z}</math> aber nicht notwendig ein [[Zweig des Logarithmus]]. === Schritt 5 - Holomorphiekriterium === Da das Gebiet <math>G</math> sich mit Kreisscheiben überdecken lässt und jeweils Schnitte von Kreisscheiben ist für zwei sich schneidende Kreisscheiben damit die Konstante <math>c_{z_1}</math> sukzessive für alle Kreisscheiben eindeutig festgelegt. Dies ist möglich, da <math>G</math> zusammenhängend. Insgesamt entsteht ein Funktion <math>F:G\to \mathbb{C}</math>. Ferner lässt die auf <math>G</math> entstandene Funktion <math>F</math> in jedem Punkt <math>z_1\in G</math> in eine Potenzreihe entwickeln. Damit ist <math>F</math> auch eine [[holomorphe Funktion]]. === Schritt 6 - Stammfunktionen und Identitätsatz === Da die Kreisscheibe <math>D_r(z_0)\subset G</math> eine nicht-diskreten Mengen ist, ist nach dem [[Identitätssatz]] für [[holomorphe Funktion]]en die Funktion <math>z</math> der [[Zweig des Logarithmus]] eindeutig bestimmt. Nun bleibt zu zeigen, dass mit der generierten Funktion <math>F</math> auf ein Zweig des Logarithmus entstanden ist. === Schritt 7 - ISL2 nachweisen === Man bezeichnet nun die Funktion <math>F=\log_{_G}</math>, wobei erst zu zeigen ist, dass die Funktion <math>\log_{_G}</math> die Eigenschaft <math> \exp(\log_{_G}(z)) = z </math> erfüllt. Diese Eigenschaft wird durch Differenzieren der Funktion <math>\exp \circ \log_{_G} </math> erreicht. ==== Schritt 7.1 - Vorgehen mit Differentialgleichung ==== Man betrachtet die folgende Funktion <math>H=\exp \circ \log_{_G}</math> und leitet diese ab :<math> H(z) := (exp \circ \log_{_G})(z) = \exp(\log_{_G}(z)) </math> Man wird dann <math> H(z) = z </math> nachweisen, wobei man die Eindeutigkeit der Lösung einer Differentialgleichung nutzt. ==== Schritt 7.2 - Ableitung bilden ==== Bei der Ableitung der Funktion <math>H</math> wird die Kettenregel angewendet, wobei <math> {\log{\,}'}_{\!\!\!\!_G}(z) = \frac{1}{z} </math> bei Rückersetzung der Potenzreihendarstellung von <math>f</math> um ein beliebiges <math>z_1\in G</math>. Die Stammfunktionen unterscheiden sich lediglich um eine Konstante für unterschiedliche Entwicklungspunkte und diese fällt bei der Differentiation weg. Damit gilt für Ableitung der Verkettung: :<math> H'(z) := (exp \circ \log_{_G})'(z) = \underbrace{\exp(\log_{_G}(z))}_{=H(z)}\cdot \underbrace{\log'\!\!_{_G}(z)}_{=\tfrac{1}{z}} = H(z) \cdot \frac{1}{z} </math> Die Ableitung der Funktion <math>H</math> kann gebildet werden, da <math>\log = F</math> nach Schritt 6 eine [[holomorphe Funktion]] und <math>G</math> als Verkettung von zwei holomorphen Funktionen wieder holomorph ist. ==== Schritt 7.3 - Differentialgleichung ==== Durch Schritt 7.2 erhält man die Differentialgleichung :<math> H'(z) = H(z) \cdot \frac{1}{z} </math> die nun als lineare Differentialgleichung erster Ordnung gelöst wird. ==== Schritt 7.4 - Differentialgleichung ==== Die allgemeine Lösung dieser Gleichung ist: :<math> H(z) = C \cdot z </math> für eine Konstante <math> C \in \mathbb{C} </math>, denn es gilt mit <math>H'(z)=C</math> die Eigenschaft: :<math> C = H'(z) = H(z) \cdot \frac{1}{z} = \underbrace{(C\cdot z)}_{=H(z)} \cdot \frac{1}{z} = C\cdot \underbrace{(z \cdot \frac{1}{z})}_{=1} = C </math> ==== Schritt 7.5 - Bestimmung der Konstanten C ==== Setze nun den Punkt <math> z_0 \in G </math> aus der Behauptung ein. Für diesen Funktionswert ist der Funktionswert :<math> F(z_0) = \log_{_G}(z_0) = w_0 = \ln(|z_0|) + {i\cdot t_0} </math> als Konstante der Potenzreihe bekannt und es gilt mit <math> \log_{_G}(z_0) = w_0 </math> und Einsetzen in die Exponentialfunktion (i.e. ISL1): :<math> \begin{array}{rcl} \exp(w_0) & = & \exp(\ln(|z_0|) + {i\cdot t_0}) = \exp(\ln(|z_0|)) \cdot \exp( {i\cdot t_0}) \\ & = & |z_0|\cdot \exp(i\cdot t_0) = z_0 \\ \end{array} </math> In der zweiten Gleichungszeile wurde die Polarkoordinatendarstellung von <math>z_0</math> verwendet. === Schritt 8 - Zweig des Logarithmus - ISL2 === Nun lann man durch Verkettung die Konstante ablesen: :<math> C\cdot z_0 = H(z_0) = \exp(\log_{_G}(z_0)) = \exp(w_0) = z_0 </math> Damit ist die Konstante <math>C=1</math> und diese gilt für das ganze Gebiet <math>G</math>. Damit ist <math>\log_{_G}</math> zusammen mit der Eigenschaft ISL1 auf ganz <math>G</math> ein [[Zweig des Logarithmus]]. <math>\quad \Box</math> == Aufgaben für Studierende == * Warum ist die summandenweise Intergration in der darstellenden Potenzreihe für <math>f(z)=\tfrac{1}{z}</math> zulässig? * Stellen Sie die Beweisidee dar und legen Sie besonderen Wert auf Begründungen, die einzelnen Stammfunktionen auf Kreisscheiben zunächst zu einer holomorphen Funktion machen, die dann die Eigenschaften eines Zweiges des Logarithmus besitzt! == Siehe auch == * [[einfach zusammenhängend]] * [[Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] * [[generalisierter Logarithmus]] * [[Holomorphiekriterien]] * [[komplexer Logarithmus]] * [[Potenzreihenentwicklung für holomorphe Funktionen]] * [[Zweige des Logarithmus]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen https://de.wikiversity.org/wiki/Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] c5et16k92meeuucwto8zzseuoa3vq7i 1116433 1116431 2026-10-16T12:41:53Z Bert Niehaus 20843 /* Aufgaben für Studierende */ 1116433 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Identitäts für [[Zweige des Logarithmus]] zeigt, dass durch die Festlegung eine beliebigen [[einfach zusammenhängend]]en Gebietes <math>G</math> mit <math>0\notin G</math> allein durch die [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinatendarstellung]] eines Punktes <math>z_0=|z_0|\cdot e^{it_o}</math> und <math>w_0: =\ln(|z|) + i\cdot t_0</math> für den zugehörigen Logarithmus der Zweig des Logarithmus eindeutig festgelegt ist. Die Aussage ist eine direkte Anwendung des klassischen [[Identitätssatz|Identitätssatzes]] aus der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]]. == Identitätssatz für den Logarithmus == Sei <math> G \subseteq \mathbb{C} </math> ein [[einfach zusammenhängend]]es Gebiet mit <math> 0 \notin G </math>. Dann ist der [[Zweig des Logarithmus]] auf <math> G </math> '''eindeutig festgelegt''', sobald man einen Punkt <math> z_0 \in G </math> und einen Wert <math> w_0 \in \mathbb{C} </math> mit <math> \exp(w_0) = z_0 </math> vorgibt. === Bemerkung - Eindeutigkeit === Für die [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen|Äquivalenzklassen für Logarithmen]] wird der [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negative Hauptzweig]] verwendet. Die im Satz genannt Festlegung kann dann durch die Eigenschaft erfolgen, dass <math>w_0\in \mathbb{D}_1 := \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi)</math> gilt. === Beweisidee === * <math> \frac{1}{z} </math> ist holomorph auf <math> G </math>, also hat sie eine Potenzreihe um <math> z_0 </math> (siehe auch [[Cauchy-Integralformel]]). * Eine [[Potenzreihe]] konvergiert gleichmäßig auf <math> \overline{D_r(z_0)} </math> und erlaubt somit eine summandenweise Integration, wobei die Stammfunktion die folgende Integraldarstellung besitzt <math> F(z) = \int_{z_0}^z \frac{1}{\zeta} d\zeta </math> mit <math>F(z_0)=0</math>. * Stammfunktionen sind bis auf Konstante eindeutig bestimmt und die Festlegung in einem Punkt definiert den Zweig des Logarithmus <math> \log_G(z) = F(z) + w_0 </math> auf der Kreisscheibe und [[Identitätssatz]] <math> \log_G </math> eindeutig auf ganz <math> G </math> festgelegt. === Bemerkung - Beweisidee === Für mündliche Prüfungen ist es sinnvoll, die Beweisstruktur zu kennen, da man in der Regel längere Beweise in der Prüfung durch den Zeitrahmen der Prüfung nicht vollständig ausführen kann und nur einzelen Teilaspekte aus dem gesamten Beweis auf Anfrage ausführen kann. Ferner gliedert die Beweisidee den Beweis und hilft dabei, die Logik in der Argumentation zu rekonstruieren. == Beweis - Identitätssatz für den Logarithmus == Um den Identitätssatz für den Logarithmus zu beweisen, wird zunächst ein beliebiger Punkt <math>z_0\in G</math> in dem gegebenen [[einfach zusammenhängend]]en Gebiet <math> G \subseteq \mathbb{C} </math> mit <math> 0 \notin G </math> in [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinaten]] <math>z_0 = |z_0|\cdot e^{it_o}</math> dargestellt und man definiert <math>w_0 := \ln(|z_0|)+i\cdot t_0</math>. Durch die Anwendung der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] zeigt man dann, dass folgende Gleichung gilt: :<math> e^{w_0} = e^{\ln(|z_0|)+i\cdot t_0} = e^{\ln(|z_0|)} \cdot e^{it_0} = |z_0| \cdot e^{it_0} z_0 \quad (\ast) </math> <span id="ISL"></span> === Ziel des Beweises === Nun ist zu zeigen, dass es genau eine holomorphe Funktion <math> \log_G: G \to \mathbb{C} </math> gibt, sodass die folgenden beiden Eigenschaften erfüllt sind: * '''(ISL1)''' <math>\log_G(z_0) = w_0 </math>. * '''(ISL2)''' <math> \exp(\log_G(z)) = z </math> für alle <math> z \in G </math>, Durch die Festlegung von <math>w_0</math> in <math>(\ast)</math> ist (ISL1) bereits erfüllt. Es bleibt (ISL2) zu zeigen. === Schritt 1 - Logarithmenzweige als Stammfunktion === Auf [[einfach zusammenhängend]]en Gebieten <math>G</math> existieren immer Stammfunktionen und <math>f(z)=\tfrac{1}{z}</math> ist eine [[holomorphe Funktion]]: * <math> G </math> ist [[einfach zusammenhängend]] und enthält nicht die [[Polstelle]] (Singularität) <math> 0</math>, da <math> G \subseteq \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> gilt. * Die Funktion <math> f(z) = \frac{1}{z} </math> ist [[holomorphe Funktion|holomorph]] auf <math> G </math>, da <math> 0 \notin G </math>. * Die [[Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion]] von <math> \frac{1}{z} </math> auf <math> G </math> konstruieren, die den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] darstellt. === Schritt 2 - Entwicklung in Potenzreihe === Jede holomorphe Funktion lässt sich lokal in eine [[Potenzreihe]] entwickeln (siehe [[Holomorphiekriterien]]). Da <math> f(z)=\tfrac{1}{z} </math> holomorph auf <math> G </math> ist, existiert insbesondere für das gewählte <math> z_0 = |z_0| \cdot e^{it_0} \in G </math> eine [[Potenzreihenalgebra|Potenzreihenentwicklung]] um <math> z_0 </math>: :<math> \frac{1}{z} = \sum_{n=0}^\infty a_n \cdot (z - z_0)^n </math> mit Konvergenzradius <math> r_0 > 0 </math>, wobei <math> r_0 =|z_0|</math> in <math>\mathbb{C}\setminus \{0\}</math> ist, als Entfernung vom <math> z_0 </math> zur [[Singularität]] <math> z=0 </math> von <math> \frac{1}{z} </math>. === Bemerkung zu Schritt 2 - Konvergenzradius === Da zwar <math> 0 \notin G </math> und die Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}\subseteq G</math>gelten muss, ist der tatsächliche Konvergenzradius <math> r_0\leq |z_0|</math> in <math>G</math> ggf. echt kleiner als <math> |z_0| > 0 </math>, und es gibt ein <math> r_0 > 0 </math>. Ferner muss <math>r < r_0</math> tatsächlich echt kleiner als <math>r_0</math> gewählt werden, sodass die Potenzreihe auf der abgeschlossenen Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_0)} </math> gleichmäßig für alle <math>z\in \overline{D_r(z_0)} </math> konvergiert. Dies ist als Eigenschaft wesentlich, damit die [[Potenzreihe]] summandenweise integriert werden kann. === Schritt 3 - Koeffizienten der Potenzreihe - Stammfunktion === Die Koeffizienten der darstellenden Potenzreihe lassen sich explizit über eine [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] berechnen (siehe [[Stammfunktion des Logarithmus als Potenzreihe|Stammfunktion von 1/z als Potenzreihe]]). Die Potenzreihe lautet dann für <math>z\in \overline{D_r(z_0)} \subseteq G</math> mit <math>r < |z_0|</math> und <math>z_0=|z_0|\cdot e^{i\cdot t_0}</math> : :<math>\log_{_G}(z)= (\ln(|z_o|) + i\cdot t_0) + \sum_{n=0}^\infty \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1} \cdot (n+1)} \cdot (z-z_o)^{n+1} </math> === Schritt 4 - Stammfunktion und Identitätsatz === Die Stammfunktion ist eine [[holomorphe Funktion]] und dem gesamten Definitionsbereich <math>G</math> und man kann man daher auch für anderen Punkte <math>z_1\in G</math> die Funktion <math>f(z)=\tfrac{1}{z}</math> um <math>z_1</math> nun mit offenen Kreisscheiben<math>z\in {D_{r_1}(z_1)} \subseteq G</math> in eine Potenzreihe entwickeln und eine Stammfunktion mit eine beliebig gewählten Konstante festlegen, wobei <math>\overline{D_{r_1}(z_1)} \subseteq G</math> wieder ganz in <math>G</math> liegt. :<math> F_{z_1}(z) := c_{z_1} + \sum_{n=0}^\infty \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1} \cdot (n+1)} \cdot (z-z_1)^{n+1} </math> Die Funktion <math>F_{z_1}</math> ist dann zunächst einmal nur eine Stammfunktion von <math>f(z)=\tfrac{1}{z}</math> aber nicht notwendig ein [[Zweig des Logarithmus]]. === Schritt 5 - Holomorphiekriterium === Da das Gebiet <math>G</math> sich mit Kreisscheiben überdecken lässt und jeweils Schnitte von Kreisscheiben ist für zwei sich schneidende Kreisscheiben damit die Konstante <math>c_{z_1}</math> sukzessive für alle Kreisscheiben eindeutig festgelegt. Dies ist möglich, da <math>G</math> zusammenhängend. Insgesamt entsteht ein Funktion <math>F:G\to \mathbb{C}</math>. Ferner lässt die auf <math>G</math> entstandene Funktion <math>F</math> in jedem Punkt <math>z_1\in G</math> in eine Potenzreihe entwickeln. Damit ist <math>F</math> auch eine [[holomorphe Funktion]]. === Schritt 6 - Stammfunktionen und Identitätsatz === Da die Kreisscheibe <math>D_r(z_0)\subset G</math> eine nicht-diskreten Mengen ist, ist nach dem [[Identitätssatz]] für [[holomorphe Funktion]]en die Funktion <math>z</math> der [[Zweig des Logarithmus]] eindeutig bestimmt. Nun bleibt zu zeigen, dass mit der generierten Funktion <math>F</math> auf ein Zweig des Logarithmus entstanden ist. === Schritt 7 - ISL2 nachweisen === Man bezeichnet nun die Funktion <math>F=\log_{_G}</math>, wobei erst zu zeigen ist, dass die Funktion <math>\log_{_G}</math> die Eigenschaft <math> \exp(\log_{_G}(z)) = z </math> erfüllt. Diese Eigenschaft wird durch Differenzieren der Funktion <math>\exp \circ \log_{_G} </math> erreicht. ==== Schritt 7.1 - Vorgehen mit Differentialgleichung ==== Man betrachtet die folgende Funktion <math>H=\exp \circ \log_{_G}</math> und leitet diese ab :<math> H(z) := (exp \circ \log_{_G})(z) = \exp(\log_{_G}(z)) </math> Man wird dann <math> H(z) = z </math> nachweisen, wobei man die Eindeutigkeit der Lösung einer Differentialgleichung nutzt. ==== Schritt 7.2 - Ableitung bilden ==== Bei der Ableitung der Funktion <math>H</math> wird die Kettenregel angewendet, wobei <math> {\log{\,}'}_{\!\!\!\!_G}(z) = \frac{1}{z} </math> bei Rückersetzung der Potenzreihendarstellung von <math>f</math> um ein beliebiges <math>z_1\in G</math>. Die Stammfunktionen unterscheiden sich lediglich um eine Konstante für unterschiedliche Entwicklungspunkte und diese fällt bei der Differentiation weg. Damit gilt für Ableitung der Verkettung: :<math> H'(z) := (exp \circ \log_{_G})'(z) = \underbrace{\exp(\log_{_G}(z))}_{=H(z)}\cdot \underbrace{\log'\!\!_{_G}(z)}_{=\tfrac{1}{z}} = H(z) \cdot \frac{1}{z} </math> Die Ableitung der Funktion <math>H</math> kann gebildet werden, da <math>\log = F</math> nach Schritt 6 eine [[holomorphe Funktion]] und <math>G</math> als Verkettung von zwei holomorphen Funktionen wieder holomorph ist. ==== Schritt 7.3 - Differentialgleichung ==== Durch Schritt 7.2 erhält man die Differentialgleichung :<math> H'(z) = H(z) \cdot \frac{1}{z} </math> die nun als lineare Differentialgleichung erster Ordnung gelöst wird. ==== Schritt 7.4 - Differentialgleichung ==== Die allgemeine Lösung dieser Gleichung ist: :<math> H(z) = C \cdot z </math> für eine Konstante <math> C \in \mathbb{C} </math>, denn es gilt mit <math>H'(z)=C</math> die Eigenschaft: :<math> C = H'(z) = H(z) \cdot \frac{1}{z} = \underbrace{(C\cdot z)}_{=H(z)} \cdot \frac{1}{z} = C\cdot \underbrace{(z \cdot \frac{1}{z})}_{=1} = C </math> ==== Schritt 7.5 - Bestimmung der Konstanten C ==== Setze nun den Punkt <math> z_0 \in G </math> aus der Behauptung ein. Für diesen Funktionswert ist der Funktionswert :<math> F(z_0) = \log_{_G}(z_0) = w_0 = \ln(|z_0|) + {i\cdot t_0} </math> als Konstante der Potenzreihe bekannt und es gilt mit <math> \log_{_G}(z_0) = w_0 </math> und Einsetzen in die Exponentialfunktion (i.e. ISL1): :<math> \begin{array}{rcl} \exp(w_0) & = & \exp(\ln(|z_0|) + {i\cdot t_0}) = \exp(\ln(|z_0|)) \cdot \exp( {i\cdot t_0}) \\ & = & |z_0|\cdot \exp(i\cdot t_0) = z_0 \\ \end{array} </math> In der zweiten Gleichungszeile wurde die Polarkoordinatendarstellung von <math>z_0</math> verwendet. === Schritt 8 - Zweig des Logarithmus - ISL2 === Nun lann man durch Verkettung die Konstante ablesen: :<math> C\cdot z_0 = H(z_0) = \exp(\log_{_G}(z_0)) = \exp(w_0) = z_0 </math> Damit ist die Konstante <math>C=1</math> und diese gilt für das ganze Gebiet <math>G</math>. Damit ist <math>\log_{_G}</math> zusammen mit der Eigenschaft ISL1 auf ganz <math>G</math> ein [[Zweig des Logarithmus]]. <math>\quad \Box</math> == Aufgaben für Studierende == Die folgenden Aufgaben beziehen sich einerseits auf die Beweisidee und der Vorstellung in Übungen und in der zweiten Aufgaben soll der Unterschied zu [[Eindeutigkeitslemma für Logarithmen]] an einem konkreten Beispiel und einem gegeben Weg herausgearbeitet werden. === Aufgabe 1 für Studierenden === * Warum ist die summandenweise Intergration in der darstellenden Potenzreihe für <math>f(z)=\tfrac{1}{z}</math> zulässig? * Stellen Sie die Beweisidee dar und legen Sie besonderen Wert auf Begründungen, die einzelnen Stammfunktionen auf Kreisscheiben zunächst zu einer holomorphen Funktion machen, die dann die Eigenschaften eines Zweiges des Logarithmus besitzt! === Aufgabe 2 - Archimedische Spirale === Die folgende Abbildung soll die Spur des Weges <math>\gamma: \left[\frac{\pi}{4},6\pi\right]\to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t)=t\cdot e^{it}</math> abbildet. Der Weg <math>\gamma</math> ist [[w:de:injektive Funktion|injektiv]] === Abbildung - Archimedische Spirale === [[Datei:Archimedean spiral.svg|350px|zentriert|Archimedische Spirale]] == Siehe auch == * [[einfach zusammenhängend]] * [[Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] * [[generalisierter Logarithmus]] * [[Holomorphiekriterien]] * [[komplexer Logarithmus]] * [[Potenzreihenentwicklung für holomorphe Funktionen]] * [[Zweige des Logarithmus]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen https://de.wikiversity.org/wiki/Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] a9b712rl5ijlyqmc4rqp72unwzfmfcp 1116434 1116433 2026-10-16T12:42:17Z Bert Niehaus 20843 /* Aufgaben für Studierende */ 1116434 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Identitäts für [[Zweige des Logarithmus]] zeigt, dass durch die Festlegung eine beliebigen [[einfach zusammenhängend]]en Gebietes <math>G</math> mit <math>0\notin G</math> allein durch die [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinatendarstellung]] eines Punktes <math>z_0=|z_0|\cdot e^{it_o}</math> und <math>w_0: =\ln(|z|) + i\cdot t_0</math> für den zugehörigen Logarithmus der Zweig des Logarithmus eindeutig festgelegt ist. Die Aussage ist eine direkte Anwendung des klassischen [[Identitätssatz|Identitätssatzes]] aus der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]]. == Identitätssatz für den Logarithmus == Sei <math> G \subseteq \mathbb{C} </math> ein [[einfach zusammenhängend]]es Gebiet mit <math> 0 \notin G </math>. Dann ist der [[Zweig des Logarithmus]] auf <math> G </math> '''eindeutig festgelegt''', sobald man einen Punkt <math> z_0 \in G </math> und einen Wert <math> w_0 \in \mathbb{C} </math> mit <math> \exp(w_0) = z_0 </math> vorgibt. === Bemerkung - Eindeutigkeit === Für die [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen|Äquivalenzklassen für Logarithmen]] wird der [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negative Hauptzweig]] verwendet. Die im Satz genannt Festlegung kann dann durch die Eigenschaft erfolgen, dass <math>w_0\in \mathbb{D}_1 := \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi)</math> gilt. === Beweisidee === * <math> \frac{1}{z} </math> ist holomorph auf <math> G </math>, also hat sie eine Potenzreihe um <math> z_0 </math> (siehe auch [[Cauchy-Integralformel]]). * Eine [[Potenzreihe]] konvergiert gleichmäßig auf <math> \overline{D_r(z_0)} </math> und erlaubt somit eine summandenweise Integration, wobei die Stammfunktion die folgende Integraldarstellung besitzt <math> F(z) = \int_{z_0}^z \frac{1}{\zeta} d\zeta </math> mit <math>F(z_0)=0</math>. * Stammfunktionen sind bis auf Konstante eindeutig bestimmt und die Festlegung in einem Punkt definiert den Zweig des Logarithmus <math> \log_G(z) = F(z) + w_0 </math> auf der Kreisscheibe und [[Identitätssatz]] <math> \log_G </math> eindeutig auf ganz <math> G </math> festgelegt. === Bemerkung - Beweisidee === Für mündliche Prüfungen ist es sinnvoll, die Beweisstruktur zu kennen, da man in der Regel längere Beweise in der Prüfung durch den Zeitrahmen der Prüfung nicht vollständig ausführen kann und nur einzelen Teilaspekte aus dem gesamten Beweis auf Anfrage ausführen kann. Ferner gliedert die Beweisidee den Beweis und hilft dabei, die Logik in der Argumentation zu rekonstruieren. == Beweis - Identitätssatz für den Logarithmus == Um den Identitätssatz für den Logarithmus zu beweisen, wird zunächst ein beliebiger Punkt <math>z_0\in G</math> in dem gegebenen [[einfach zusammenhängend]]en Gebiet <math> G \subseteq \mathbb{C} </math> mit <math> 0 \notin G </math> in [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinaten]] <math>z_0 = |z_0|\cdot e^{it_o}</math> dargestellt und man definiert <math>w_0 := \ln(|z_0|)+i\cdot t_0</math>. Durch die Anwendung der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] zeigt man dann, dass folgende Gleichung gilt: :<math> e^{w_0} = e^{\ln(|z_0|)+i\cdot t_0} = e^{\ln(|z_0|)} \cdot e^{it_0} = |z_0| \cdot e^{it_0} z_0 \quad (\ast) </math> <span id="ISL"></span> === Ziel des Beweises === Nun ist zu zeigen, dass es genau eine holomorphe Funktion <math> \log_G: G \to \mathbb{C} </math> gibt, sodass die folgenden beiden Eigenschaften erfüllt sind: * '''(ISL1)''' <math>\log_G(z_0) = w_0 </math>. * '''(ISL2)''' <math> \exp(\log_G(z)) = z </math> für alle <math> z \in G </math>, Durch die Festlegung von <math>w_0</math> in <math>(\ast)</math> ist (ISL1) bereits erfüllt. Es bleibt (ISL2) zu zeigen. === Schritt 1 - Logarithmenzweige als Stammfunktion === Auf [[einfach zusammenhängend]]en Gebieten <math>G</math> existieren immer Stammfunktionen und <math>f(z)=\tfrac{1}{z}</math> ist eine [[holomorphe Funktion]]: * <math> G </math> ist [[einfach zusammenhängend]] und enthält nicht die [[Polstelle]] (Singularität) <math> 0</math>, da <math> G \subseteq \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> gilt. * Die Funktion <math> f(z) = \frac{1}{z} </math> ist [[holomorphe Funktion|holomorph]] auf <math> G </math>, da <math> 0 \notin G </math>. * Die [[Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion]] von <math> \frac{1}{z} </math> auf <math> G </math> konstruieren, die den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] darstellt. === Schritt 2 - Entwicklung in Potenzreihe === Jede holomorphe Funktion lässt sich lokal in eine [[Potenzreihe]] entwickeln (siehe [[Holomorphiekriterien]]). Da <math> f(z)=\tfrac{1}{z} </math> holomorph auf <math> G </math> ist, existiert insbesondere für das gewählte <math> z_0 = |z_0| \cdot e^{it_0} \in G </math> eine [[Potenzreihenalgebra|Potenzreihenentwicklung]] um <math> z_0 </math>: :<math> \frac{1}{z} = \sum_{n=0}^\infty a_n \cdot (z - z_0)^n </math> mit Konvergenzradius <math> r_0 > 0 </math>, wobei <math> r_0 =|z_0|</math> in <math>\mathbb{C}\setminus \{0\}</math> ist, als Entfernung vom <math> z_0 </math> zur [[Singularität]] <math> z=0 </math> von <math> \frac{1}{z} </math>. === Bemerkung zu Schritt 2 - Konvergenzradius === Da zwar <math> 0 \notin G </math> und die Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}\subseteq G</math>gelten muss, ist der tatsächliche Konvergenzradius <math> r_0\leq |z_0|</math> in <math>G</math> ggf. echt kleiner als <math> |z_0| > 0 </math>, und es gibt ein <math> r_0 > 0 </math>. Ferner muss <math>r < r_0</math> tatsächlich echt kleiner als <math>r_0</math> gewählt werden, sodass die Potenzreihe auf der abgeschlossenen Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_0)} </math> gleichmäßig für alle <math>z\in \overline{D_r(z_0)} </math> konvergiert. Dies ist als Eigenschaft wesentlich, damit die [[Potenzreihe]] summandenweise integriert werden kann. === Schritt 3 - Koeffizienten der Potenzreihe - Stammfunktion === Die Koeffizienten der darstellenden Potenzreihe lassen sich explizit über eine [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] berechnen (siehe [[Stammfunktion des Logarithmus als Potenzreihe|Stammfunktion von 1/z als Potenzreihe]]). Die Potenzreihe lautet dann für <math>z\in \overline{D_r(z_0)} \subseteq G</math> mit <math>r < |z_0|</math> und <math>z_0=|z_0|\cdot e^{i\cdot t_0}</math> : :<math>\log_{_G}(z)= (\ln(|z_o|) + i\cdot t_0) + \sum_{n=0}^\infty \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1} \cdot (n+1)} \cdot (z-z_o)^{n+1} </math> === Schritt 4 - Stammfunktion und Identitätsatz === Die Stammfunktion ist eine [[holomorphe Funktion]] und dem gesamten Definitionsbereich <math>G</math> und man kann man daher auch für anderen Punkte <math>z_1\in G</math> die Funktion <math>f(z)=\tfrac{1}{z}</math> um <math>z_1</math> nun mit offenen Kreisscheiben<math>z\in {D_{r_1}(z_1)} \subseteq G</math> in eine Potenzreihe entwickeln und eine Stammfunktion mit eine beliebig gewählten Konstante festlegen, wobei <math>\overline{D_{r_1}(z_1)} \subseteq G</math> wieder ganz in <math>G</math> liegt. :<math> F_{z_1}(z) := c_{z_1} + \sum_{n=0}^\infty \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1} \cdot (n+1)} \cdot (z-z_1)^{n+1} </math> Die Funktion <math>F_{z_1}</math> ist dann zunächst einmal nur eine Stammfunktion von <math>f(z)=\tfrac{1}{z}</math> aber nicht notwendig ein [[Zweig des Logarithmus]]. === Schritt 5 - Holomorphiekriterium === Da das Gebiet <math>G</math> sich mit Kreisscheiben überdecken lässt und jeweils Schnitte von Kreisscheiben ist für zwei sich schneidende Kreisscheiben damit die Konstante <math>c_{z_1}</math> sukzessive für alle Kreisscheiben eindeutig festgelegt. Dies ist möglich, da <math>G</math> zusammenhängend. Insgesamt entsteht ein Funktion <math>F:G\to \mathbb{C}</math>. Ferner lässt die auf <math>G</math> entstandene Funktion <math>F</math> in jedem Punkt <math>z_1\in G</math> in eine Potenzreihe entwickeln. Damit ist <math>F</math> auch eine [[holomorphe Funktion]]. === Schritt 6 - Stammfunktionen und Identitätsatz === Da die Kreisscheibe <math>D_r(z_0)\subset G</math> eine nicht-diskreten Mengen ist, ist nach dem [[Identitätssatz]] für [[holomorphe Funktion]]en die Funktion <math>z</math> der [[Zweig des Logarithmus]] eindeutig bestimmt. Nun bleibt zu zeigen, dass mit der generierten Funktion <math>F</math> auf ein Zweig des Logarithmus entstanden ist. === Schritt 7 - ISL2 nachweisen === Man bezeichnet nun die Funktion <math>F=\log_{_G}</math>, wobei erst zu zeigen ist, dass die Funktion <math>\log_{_G}</math> die Eigenschaft <math> \exp(\log_{_G}(z)) = z </math> erfüllt. Diese Eigenschaft wird durch Differenzieren der Funktion <math>\exp \circ \log_{_G} </math> erreicht. ==== Schritt 7.1 - Vorgehen mit Differentialgleichung ==== Man betrachtet die folgende Funktion <math>H=\exp \circ \log_{_G}</math> und leitet diese ab :<math> H(z) := (exp \circ \log_{_G})(z) = \exp(\log_{_G}(z)) </math> Man wird dann <math> H(z) = z </math> nachweisen, wobei man die Eindeutigkeit der Lösung einer Differentialgleichung nutzt. ==== Schritt 7.2 - Ableitung bilden ==== Bei der Ableitung der Funktion <math>H</math> wird die Kettenregel angewendet, wobei <math> {\log{\,}'}_{\!\!\!\!_G}(z) = \frac{1}{z} </math> bei Rückersetzung der Potenzreihendarstellung von <math>f</math> um ein beliebiges <math>z_1\in G</math>. Die Stammfunktionen unterscheiden sich lediglich um eine Konstante für unterschiedliche Entwicklungspunkte und diese fällt bei der Differentiation weg. Damit gilt für Ableitung der Verkettung: :<math> H'(z) := (exp \circ \log_{_G})'(z) = \underbrace{\exp(\log_{_G}(z))}_{=H(z)}\cdot \underbrace{\log'\!\!_{_G}(z)}_{=\tfrac{1}{z}} = H(z) \cdot \frac{1}{z} </math> Die Ableitung der Funktion <math>H</math> kann gebildet werden, da <math>\log = F</math> nach Schritt 6 eine [[holomorphe Funktion]] und <math>G</math> als Verkettung von zwei holomorphen Funktionen wieder holomorph ist. ==== Schritt 7.3 - Differentialgleichung ==== Durch Schritt 7.2 erhält man die Differentialgleichung :<math> H'(z) = H(z) \cdot \frac{1}{z} </math> die nun als lineare Differentialgleichung erster Ordnung gelöst wird. ==== Schritt 7.4 - Differentialgleichung ==== Die allgemeine Lösung dieser Gleichung ist: :<math> H(z) = C \cdot z </math> für eine Konstante <math> C \in \mathbb{C} </math>, denn es gilt mit <math>H'(z)=C</math> die Eigenschaft: :<math> C = H'(z) = H(z) \cdot \frac{1}{z} = \underbrace{(C\cdot z)}_{=H(z)} \cdot \frac{1}{z} = C\cdot \underbrace{(z \cdot \frac{1}{z})}_{=1} = C </math> ==== Schritt 7.5 - Bestimmung der Konstanten C ==== Setze nun den Punkt <math> z_0 \in G </math> aus der Behauptung ein. Für diesen Funktionswert ist der Funktionswert :<math> F(z_0) = \log_{_G}(z_0) = w_0 = \ln(|z_0|) + {i\cdot t_0} </math> als Konstante der Potenzreihe bekannt und es gilt mit <math> \log_{_G}(z_0) = w_0 </math> und Einsetzen in die Exponentialfunktion (i.e. ISL1): :<math> \begin{array}{rcl} \exp(w_0) & = & \exp(\ln(|z_0|) + {i\cdot t_0}) = \exp(\ln(|z_0|)) \cdot \exp( {i\cdot t_0}) \\ & = & |z_0|\cdot \exp(i\cdot t_0) = z_0 \\ \end{array} </math> In der zweiten Gleichungszeile wurde die Polarkoordinatendarstellung von <math>z_0</math> verwendet. === Schritt 8 - Zweig des Logarithmus - ISL2 === Nun lann man durch Verkettung die Konstante ablesen: :<math> C\cdot z_0 = H(z_0) = \exp(\log_{_G}(z_0)) = \exp(w_0) = z_0 </math> Damit ist die Konstante <math>C=1</math> und diese gilt für das ganze Gebiet <math>G</math>. Damit ist <math>\log_{_G}</math> zusammen mit der Eigenschaft ISL1 auf ganz <math>G</math> ein [[Zweig des Logarithmus]]. <math>\quad \Box</math> == Aufgaben für Studierende == Die folgenden Aufgaben beziehen sich einerseits auf die Beweisidee und der Vorstellung in Übungen und in der zweiten Aufgaben soll der Unterschied zu [[Eindeutigkeitslemma für Logarithmenzweige]] an einem konkreten Beispiel und einem gegeben Weg herausgearbeitet werden. === Aufgabe 1 für Studierenden === * Warum ist die summandenweise Intergration in der darstellenden Potenzreihe für <math>f(z)=\tfrac{1}{z}</math> zulässig? * Stellen Sie die Beweisidee dar und legen Sie besonderen Wert auf Begründungen, die einzelnen Stammfunktionen auf Kreisscheiben zunächst zu einer holomorphen Funktion machen, die dann die Eigenschaften eines Zweiges des Logarithmus besitzt! === Aufgabe 2 - Archimedische Spirale === Die folgende Abbildung soll die Spur des Weges <math>\gamma: \left[\frac{\pi}{4},6\pi\right]\to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t)=t\cdot e^{it}</math> abbildet. Der Weg <math>\gamma</math> ist [[w:de:injektive Funktion|injektiv]] === Abbildung - Archimedische Spirale === [[Datei:Archimedean spiral.svg|350px|zentriert|Archimedische Spirale]] == Siehe auch == * [[einfach zusammenhängend]] * [[Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] * [[generalisierter Logarithmus]] * [[Holomorphiekriterien]] * [[komplexer Logarithmus]] * [[Potenzreihenentwicklung für holomorphe Funktionen]] * [[Zweige des Logarithmus]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen https://de.wikiversity.org/wiki/Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Identit%C3%A4tssatz%20f%C3%BCr%20Logarithmen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] tf4m1fyhzz9smu96zzgjg6wrzgmdum0 0 173114 1116428 2026-10-16T12:22:00Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1116428 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Eine Definition ist korrekt, sobald sie klar und eindeutig einen Begriff festlegt. Darüberhinaus ergibt sich aber auch die Frage, wann eine Definition von einem pragmatisch-ökonomische Standpunkt aus sinnvoll ist. Hier sind die folgenden Kriterien zu nennen. {{ Auflistung4 |Die Definition sollte einfach sein, also so einfach wie möglich, um die angestrebte Bedeutung präzise auszudrücken. |Sie sollte auf möglichst wenige zuvor eingeführte Konzepte Bezug nehmen. |Sie sollte gut überprüfbar sein. |Sie sollte so sein, dass sie gut weiterverarbeitet werden kann. }} Beim zweiten Punkt denke man auch an die didaktische Fragestellung, was jemand schon wissen muss, um für den einzuführenden Begriff aufnahmefähig zu sein. Der dritte Punkt ist insofern nicht so wichtig, da eine Definition häufig im Anschluss durch Kriterien ergänzt wird, mit denen man einfach überprüfen kann. Beim vierten Punkt ist gemeint, dass man mit der Definition einfach Gesetzmäßigkeiten beweisen kann. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Prinzipien der Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} 3voug60i6lx8jegymezdizu5396opxc 0 173115 1116435 2026-10-16T12:43:14Z Bert Niehaus 20843 Weiterleitung nach [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] erstellt 1116435 wikitext text/x-wiki #REDIRECT[[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] osaadewmeqsd8j9mhdc2dssv1l6kngu 0 173116 1116438 2026-10-16T13:03:20Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1116438 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Als Definition für eine gerade natürliche Zahl wurden vom Publikum die folgenden richtigen Möglichkeiten genannt {{ Zusatz/Klammer |text=etwas einheitlich strukturiert und aus der Erinnerung| |ISZ=|ESZ=. }} Eine natürliche Zahl {{math|term= n |SZ=}} heißt gerade, wenn {{ Aufzählung5 |sie durch {{math|term= 2 |SZ=}} teilbar {{ Zusatz/Klammer |text=im dem Sinn, dass bei der Division durch {{math|term= 2 |SZ=}} mit Rest der Rest {{math|term= 0 |SZ=}} ist, die Rechnung also aufgeht| |ISZ=|ESZ= }} ist. |beim Teilen durch {{math|term= 2 |SZ=}} eine natürliche Zahl rauskommt. |man {{ Relationskette | k || n/2 || || || |SZ= }} ausrechnet und dabei eine natürliche Zahl rauskommt. |ihre Endziffer {{ Zusatz/Klammer |text=im Zehnersystem| |ISZ=|ESZ= }} gleich {{mathl|term= 0,2,4,6,8 |SZ=}} ist. |sie ein Vielfaches der {{math|term= 2 |SZ=}} ist. }} Wie gesagt, diese fünf Definitionsmöglichkeiten sind korrekt aufgebaut und sie legen gerade fest. Wir ziehen die Kriterien aus {{ Bemerkungslink |Bemerkungsseitenname= Definition/Gütekriterien/Bemerkung |Nr= |SZ= }} heran. In den ersten drei Formulierungen wird geteilt, wobei im Kontext der natürlichen Zahlen immer präzisiert werden muss, ob man die Division mit Rest meint (1) oder die {{Anführung|Division ohne Rest|}} (2,3). Die Division im zweiten Sinn findet letztlich innerhalb der rationalen Zahlen statt. Die zweite und die dritte Definition nehmen also Bezug auf die rationale Zahlen und setzen diese voraus. Das würde also bedeutet, dass man erst dann von geraden Zahlen sprechen könnte, wenn man die rationalen Zahlen schon behandelt hat. Die anderen drei Formulierungen sind allein innerhalb der natürlichen Zahlen formuliert und erfüllen die zweite Anforderung {{ Zusatz/Klammer |text=wenige vorausgesetzte Konzepte| |ISZ=|ESZ= }} besser. Für die Überprüfung ist (4) optimal. Die Formulierung setzt aber voraus, dass die Zahl im Zehnersystem gegeben ist. Für eine Weiterverarbeitung müsste man jedesmal auf jede der fünf Ziffernmöglichkeiten Bezug nehmen. Wenn man (1) genauer ansieht, so führen wir zu {{math|term= n |SZ=}} die Division mit Rest {{ Relationskette/display | n || 2 k + r || || || |SZ= }} durch, wobei der Rest {{math|term= r |SZ=}} gleich {{ mathkor|term1= 0 |oder|term2= 1 |SZ= }} ist, und wobei gerade bedeutet, dass der Rest gleich {{math|term= 0 |SZ=}} ist. Genau in diesem Fall kann man also {{ Relationskette | n || 2k || || || |SZ= }} mit einer natürlichen Zahl {{math|term= k |SZ=}} schreiben, und das bedeutet wiederum, dass {{math|term= n |SZ=}} ein Vielfaches der {{math|term= 2 |SZ=}} ist, wobei wir bei der Formulierung (5) sind. Wir werden mit folgender Definition arbeiten. {{ inputdefinition |Natürliche Zahl/Gerade/Definition|| }} Diese braucht noch nicht einmal die Division mit Rest. Allerdings steuert die Division mit Rest durch {{math|term= 2 |SZ=}} einen wichtigen Gesichtspunkt bei, nämlich, dass man eine ungerade Zahl {{ Zusatz/Klammer |text=nach Definition einfach eine Zahl, die nicht gerade ist| |ISZ=|ESZ=, }} in der Form {{ Relationskette | n || 2k+1 || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette | k | \in | \N || || || |SZ= }} schreiben kann. Die folgende Aussage zeigt, wie einfach man mit dieser Definition Gesetzmäßigkeiten für gerade und ungerade Zahlen beweisen kann. {{ inputfaktbeweis |Gerade und ungerade Zahlen/Summe/Fakt|Lemma|| }} Für weitere Gesetzmäßigkeiten siehe die Aufgaben. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der geraden und ugeraden Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd |pdf= }} 2xqvi1hs62u3m8ewxrk1yzx74rzi1so 1116439 1116438 2026-10-16T13:04:13Z Bocardodarapti 2041 1116439 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Als Definition für eine gerade natürliche Zahl wurden vom Publikum die folgenden richtigen Möglichkeiten genannt {{ Zusatz/Klammer |text=etwas einheitlich strukturiert und aus der Erinnerung| |ISZ=|ESZ=. }} Eine natürliche Zahl {{math|term= n |SZ=}} heißt gerade, wenn {{ Aufzählung5 |sie durch {{math|term= 2 |SZ=}} teilbar {{ Zusatz/Klammer |text=im dem Sinn, dass bei der Division durch {{math|term= 2 |SZ=}} mit Rest der Rest {{math|term= 0 |SZ=}} ist, die Rechnung also aufgeht| |ISZ=|ESZ= }} ist. |beim Teilen durch {{math|term= 2 |SZ=}} eine natürliche Zahl rauskommt. |man {{ Relationskette | k || n/2 || || || |SZ= }} ausrechnet und dabei eine natürliche Zahl rauskommt. |ihre Endziffer {{ Zusatz/Klammer |text=im Zehnersystem| |ISZ=|ESZ= }} gleich {{mathl|term= 0,2,4,6,8 |SZ=}} ist. |sie ein Vielfaches der {{math|term= 2 |SZ=}} ist. }} Wie gesagt, diese fünf Definitionsmöglichkeiten sind korrekt aufgebaut und sie legen gerade fest. Wir ziehen die Kriterien aus {{ Bemerkungslink |Bemerkungsseitenname= Definition/Gütekriterien/Bemerkung |Nr= |SZ= }} heran. In den ersten drei Formulierungen wird geteilt, wobei im Kontext der natürlichen Zahlen immer präzisiert werden muss, ob man die Division mit Rest meint (1) oder die {{Anführung|Division ohne Rest|}} (2,3). Die Division im zweiten Sinn findet letztlich innerhalb der rationalen Zahlen statt. Die zweite und die dritte Definition nehmen also Bezug auf die rationale Zahlen und setzen diese voraus. Das würde also bedeutet, dass man erst dann von geraden Zahlen sprechen könnte, wenn man die rationalen Zahlen schon behandelt hat. Die anderen drei Formulierungen sind allein innerhalb der natürlichen Zahlen formuliert und erfüllen die zweite Anforderung {{ Zusatz/Klammer |text=wenige vorausgesetzte Konzepte| |ISZ=|ESZ= }} besser. Für die Überprüfung ist (4) optimal. Die Formulierung setzt aber voraus, dass die Zahl im Zehnersystem gegeben ist. Für eine Weiterverarbeitung müsste man jedesmal auf jede der fünf Ziffernmöglichkeiten Bezug nehmen. Wenn man (1) genauer ansieht, so führen wir zu {{math|term= n |SZ=}} die Division mit Rest {{ Relationskette/display | n || 2 k + r || || || |SZ= }} durch, wobei der Rest {{math|term= r |SZ=}} gleich {{ mathkor|term1= 0 |oder|term2= 1 |SZ= }} ist, und wobei gerade bedeutet, dass der Rest gleich {{math|term= 0 |SZ=}} ist. Genau in diesem Fall kann man also {{ Relationskette | n || 2k || || || |SZ= }} mit einer natürlichen Zahl {{math|term= k |SZ=}} schreiben, und das bedeutet wiederum, dass {{math|term= n |SZ=}} ein Vielfaches der {{math|term= 2 |SZ=}} ist, wobei wir bei der Formulierung (5) sind. Wir werden mit folgender Definition arbeiten. {{ inputdefinition |Natürliche Zahl/Gerade/Definition|| }} Diese braucht noch nicht einmal die Division mit Rest. Allerdings steuert die Division mit Rest durch {{math|term= 2 |SZ=}} einen wichtigen Gesichtspunkt bei, nämlich, dass man eine ungerade Zahl {{ Zusatz/Klammer |text=nach Definition einfach eine Zahl, die nicht gerade ist| |ISZ=|ESZ=, }} in der Form {{ Relationskette | n || 2k+1 || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette | k | \in | \N || || || |SZ= }} schreiben kann. Die folgende Aussage zeigt, wie einfach man mit dieser Definition Gesetzmäßigkeiten für gerade und ungerade Zahlen beweisen kann. {{ inputfaktbeweis |Gerade und ungerade Zahlen/Summe/Fakt|Lemma|| }} Für weitere Gesetzmäßigkeiten siehe die Aufgaben. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der geraden und ungeraden natürlichen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd |pdf= }} ce21maggxw8cbprpmk14vyenk7pk3s6 1116445 1116439 2026-10-16T13:14:11Z Bocardodarapti 2041 1116445 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Als Definition für eine gerade natürliche Zahl wurden vom Publikum die folgenden richtigen Möglichkeiten genannt {{ Zusatz/Klammer |text=etwas einheitlich strukturiert und aus der Erinnerung| |ISZ=|ESZ=. }} Eine natürliche Zahl {{math|term= n |SZ=}} heißt gerade, wenn {{ Aufzählung5 |sie durch {{math|term= 2 |SZ=}} teilbar {{ Zusatz/Klammer |text=im dem Sinn, dass bei der Division durch {{math|term= 2 |SZ=}} mit Rest der Rest {{math|term= 0 |SZ=}} ist, die Rechnung also aufgeht| |ISZ=|ESZ= }} ist. |beim Teilen durch {{math|term= 2 |SZ=}} eine natürliche Zahl rauskommt. |man {{ Relationskette | k || n/2 || || || |SZ= }} ausrechnet und dabei eine natürliche Zahl rauskommt. |ihre Endziffer {{ Zusatz/Klammer |text=im Zehnersystem| |ISZ=|ESZ= }} gleich {{mathl|term= 0,2,4,6,8 |SZ=}} ist. |sie ein Vielfaches der {{math|term= 2 |SZ=}} ist. }} Wie gesagt, diese fünf Definitionsmöglichkeiten sind korrekt aufgebaut und sie legen gerade fest. Wir ziehen die Kriterien aus {{ Bemerkungslink |Bemerkungsseitenname= Definition/Gütekriterien/Bemerkung |Nr= |SZ= }} heran. In den ersten drei Formulierungen wird geteilt, wobei im Kontext der natürlichen Zahlen immer präzisiert werden muss, ob man die Division mit Rest meint (1) oder die {{Anführung|Division ohne Rest|}} (2,3). Die Division im zweiten Sinn findet letztlich innerhalb der rationalen Zahlen statt. Die zweite und die dritte Definition nehmen also Bezug auf die rationale Zahlen und setzen diese voraus. Das würde also bedeutet, dass man erst dann von geraden Zahlen sprechen könnte, wenn man die rationalen Zahlen schon behandelt hat. Die anderen drei Formulierungen sind allein innerhalb der natürlichen Zahlen formuliert und erfüllen die zweite Anforderung {{ Zusatz/Klammer |text=wenige vorausgesetzte Konzepte| |ISZ=|ESZ= }} besser. Für die Überprüfung ist (4) optimal. Die Formulierung setzt aber voraus, dass die Zahl im Zehnersystem gegeben ist. Für eine Weiterverarbeitung müsste man jedesmal auf jede der fünf Ziffernmöglichkeiten Bezug nehmen. Wenn man (1) genauer ansieht, so führen wir zu {{math|term= n |SZ=}} die Division mit Rest {{ Relationskette/display | n || 2 k + r || || || |SZ= }} durch, wobei der Rest {{math|term= r |SZ=}} gleich {{ mathkor|term1= 0 |oder|term2= 1 |SZ= }} ist, und wobei gerade bedeutet, dass der Rest gleich {{math|term= 0 |SZ=}} ist. Genau in diesem Fall kann man also {{ Relationskette | n || 2k || || || |SZ= }} mit einer natürlichen Zahl {{math|term= k |SZ=}} schreiben, und das bedeutet wiederum, dass {{math|term= n |SZ=}} ein Vielfaches der {{math|term= 2 |SZ=}} ist, wobei wir bei der Formulierung (5) sind. Wir werden mit folgender Definition arbeiten. {{ inputdefinition |Natürliche Zahl/Gerade/Definition|| }} Diese braucht noch nicht einmal die Division mit Rest, nur die Multiplikation mit {{math|term= 2 |SZ=.}} Man kann sogar noch einen Schritt weitergehen und die Bedingugn als {{ Relationskette | n || k+k || || || |SZ= }} schreiben, dann verwendet man nur die Addition. Die Division mit Rest durch {{math|term= 2 |SZ=}} steuert allerdings einen wichtigen Gesichtspunkt bei, nämlich, dass man eine ungerade Zahl {{ Zusatz/Klammer |text=nach Definition einfach eine Zahl, die nicht gerade ist| |ISZ=|ESZ=, }} in der Form {{ Relationskette | n || 2k+1 || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette | k | \in | \N || || || |SZ= }} schreiben kann. Die folgende Aussage zeigt, wie einfach man mit dieser Definition Gesetzmäßigkeiten für gerade und ungerade Zahlen beweisen kann. {{ inputfaktbeweis |Gerade und ungerade Zahlen/Summe/Fakt|Lemma|| }} Für weitere Gesetzmäßigkeiten siehe die Aufgaben. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der geraden und ungeraden natürlichen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd |pdf= }} cdmc7a761o91dguhkfre0pnq8x3g75k 14 173117 1116440 2026-10-16T13:04:21Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1116440 wikitext text/x-wiki {{Textabschnitts-Kategorie unter}} bl0v8l79nyghz6bnoof6be1czzigwqe 0 173118 1116441 2026-10-16T13:07:39Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1116441 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Innerhalb der natürlichen Zahlen gelten folgende Aussagen. |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung= {{ Aufzählung3 |Wenn {{math|term= x |SZ=}} eine gerade natürliche Zahl und {{math|term= y |SZ=}} eine gerade natürliche Zahl ist, so ist auch {{mathl|term= x+y |SZ=}} gerade. |Wenn {{math|term= x |SZ=}} eine gerade natürliche Zahl und {{math|term= y |SZ=}} eine ungerade natürliche Zahl ist, so ist {{mathl|term= x+y |SZ=}} ungerade. |Wenn {{math|term= x |SZ=}} eine ungerade natürliche Zahl und {{math|term= y |SZ=}} eine ungerade natürliche Zahl ist, so ist {{mathl|term= x+y |SZ=}} gerade. }} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der geraden und ungeraden natürlichen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} 66oh6rg0cymq21grjetdylpgmzu1m0r 14 173119 1116442 2026-10-16T13:07:47Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1116442 wikitext text/x-wiki {{Fakten-Kategorie unter}} 5ntylwabftrxg0fnzszakdbi1oomvk6 14 173120 1116443 2026-10-16T13:07:59Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1116443 wikitext text/x-wiki {{Fakten-Kategorie unter}} 5ntylwabftrxg0fnzszakdbi1oomvk6 106 173121 1116444 2026-10-16T13:10:55Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1116444 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Bemerkung|2|7|Kurs=|}} 4ny95cbdt4k2qfz2cas01373xpd3hn1 0 173122 1116446 2026-10-16T13:22:48Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1116446 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= {{ Aufzählung3 |Die Voraussetzung, dass {{math|term= x |SZ=}} und {{math|term= y |SZ=}} gerade sind, drücken wir gemäß unserer Definition dadurch aus, dass wir {{ Relationskette | x || 2k || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | y || 2 \ell || || || |SZ= }} mit gewissen natülichen Zahlen {{mathl|term= k, \ell |SZ=}} schreiben können. Damit ist unter Verwendung des Distributivgesetzes {{ Relationskette/display | x+y || 2k + 2 \ell || 2 (k+ \ell) || || |SZ=. }} D.h. aber, dass man die Summe {{mathl|term= x+y |SZ=}} auch als ein Vielfaches der {{math|term= 2 |SZ=}} schreiben kann, was wiederum bedeutet, dass die Summe gerade ist. |Die Voraussetzung, dass {{math|term= x |SZ=}} gerade und {{math|term= y |SZ=}} undgerade ist, drücken wir durch {{ Relationskette | x || 2k || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | y || 2 \ell +1 || || || |SZ= }} aus. Damit ist {{ Relationskette/display | x+y || 2k + 2 \ell +1 || 2 (k+ \ell) +1 || || |SZ=, }} also ist die Summe ungerade. |Siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Ungerade Zahl/Summe/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} rwasx3536aeaxnnte21ks4c7uqpn285 1116452 1116446 2026-10-16T13:29:40Z Bocardodarapti 2041 1116452 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= {{ Aufzählung3 |Die Voraussetzung, dass {{math|term= x |SZ=}} und {{math|term= y |SZ=}} gerade sind, drücken wir gemäß unserer Definition dadurch aus, dass wir {{ Relationskette | x || 2k || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | y || 2 \ell || || || |SZ= }} mit gewissen natülichen Zahlen {{mathl|term= k, \ell |SZ=}} schreiben können. Damit ist unter Verwendung des Distributivgesetzes {{ Relationskette/display | x+y || 2k + 2 \ell || 2 (k+ \ell) || || |SZ=. }} D.h. aber, dass man die Summe {{mathl|term= x+y |SZ=}} auch als ein Vielfaches der {{math|term= 2 |SZ=}} schreiben kann, was wiederum bedeutet, dass die Summe gerade ist. |Die Voraussetzung, dass {{math|term= x |SZ=}} gerade und {{math|term= y |SZ=}} ungerade ist, drücken wir durch {{ Relationskette | x || 2k || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | y || 2 \ell +1 || || || |SZ= }} aus. Damit ist {{ Relationskette/display | x+y || 2k + 2 \ell +1 || 2 (k+ \ell) +1 || || |SZ=, }} also ist die Summe ungerade. |Siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Ungerade Zahl/Summe/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} 5fqhrlv0mtevnn40rm3slhd2sysuz4s 14 173123 1116447 2026-10-16T13:22:54Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1116447 wikitext text/x-wiki {{Beweis-Kategorie unter}} 33l06mtti6of7n1boxwu0pr328ga1mf 106 173124 1116448 2026-10-16T13:23:13Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1116448 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Aufgabe|2||Kurs=|}} br1dddtddao699zmlt93xhiksoiki8m 1116449 1116448 2026-10-16T13:23:58Z Bocardodarapti 2041 1116449 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Aufgabe|2|11|Kurs=|}} 6votdvmn5qsqc6q5frai516t3wim1zb 0 173125 1116561 2026-10-17T11:25:56Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1116561 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputbild |Euro coins and banknotes|jpg| 230px {{!}} right {{!}} | |Zusname=Euro_coins_and_banknotes |Text= |Autor= |Benutzer=Avij |Domäne= |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} Wir betrachten die Euromünzen und Euroscheine {{ Zusatz/Klammer |text=Bargeldmittel| |ISZ=|ESZ=, }} die bekanntlich die Werte{{ Zusatz/{{{zusatz1|}}} |text={{math|term= 500 |SZ=-}}Euro-Scheine werden inzwischen nicht mehr ausgegeben, sie sind aber nach wie vor im Umlauf und gültig| |ISZ=.|ESZ= }} {{ Math/display|term= 1,2,5,10,20,50,100,200, 500 |SZ= }} haben {{ Zusatz/Klammer |text=um nicht immer von Münzen bzw. Scheinen sprechen zu müssen, nennen wir diese Zahlen schlicht Eurozahlen| |ISZ=|ESZ=. }} Einen zu zahlenden vollen Betrag, beispielsweise {{math|term= 37 |SZ=}} Euro, kann man auf viele verschiedene Weisen {{ Zusatz/Klammer |text=ohne Rückgeld| |ISZ=|ESZ= }} begleichen, etwa durch {{math|term= 37 |SZ=}} {{math|term= 1 |SZ=-}}Euro-Münzen oder durch {{ Relationskette/display | 37 || 1 \cdot 10 + 4 \cdot 5 + 2 \cdot 2 +3 \cdot 1 || || || |SZ= }} oder durch {{ Relationskette/display | 37 || 20 +10+5+2 || || || |SZ=. }} Wir fragen uns, ob es stets eine {{Anführung|optimale}} Art gibt, einen gegebenen Betrag zu begleichen, ob sie eindeutig ist und wie man sie finden kann. Ein naheliegender Ansatz ist es, diejenige Bezahlung als optimal anzusehen, bei der die wenigsten Münzen bzw. Scheine verwendet werden. Im Beispiel kommt die zuletzt genannte Möglichkeit mit vier Münzen/Scheinen aus. Gibt es eine bessere Möglichkeit? Wie kann man an eine solche Frage herangehen? Wenn jemand eine Darstellung mit nur zwei oder drei Münzen/Scheinen finden würde, wäre die Frage direkt negativ entschieden, denn dann gäbe es eine bessere Möglichkeit. Wenn man ein bisschen rumprobiert und keine bessere Möglichkeit findet, so sagt das relativ wenig, wenn man sich nicht sicher sein kann, dass man alle Möglichkeiten systematisch überprüft hat. Ein solches systematisches und nachvollziehbares Überprüfen ist eine {{Stichwort|mathematische Argumentation|SZ=.}} Wenn die mathematische Argumentation eine präzise formulierte Aussage begründet, so spricht man von einem {{Stichwort|Beweis|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=für diese Aussage| |ISZ=|ESZ=. }} Unsere Aussage ist also {{Anführung|Die Zahl {{math|term= 37 |SZ=}} lässt sich nicht als eine Summe {{ Zusatz/Klammer |text=wobei Wiederholungen erlaubt sind| |ISZ=|ESZ= }} von weniger als vier Zahlen aus den Eurozahlen {{mathl|term= 1,2,5,10,20,50,100,200, 500 |SZ=}} darstellen|SZ=.}} Wie kann man das systematisch begründen? Grundsätzlich könnte man alle Summen mit einer Eurozahl, alle Summen mit zwei Eurozahlen und alle Summen mit drei Eurozahlen ausrechnen und dann feststellen, dass dabei nie {{math|term= 37 |SZ=}} rauskommt. Das ist durchführbar, aber sehr aufwändig. Zu einer guten mathematischen Argumentation gehört auch, dass sie geschickt und ökonomisch ist, dass sie abwegige Situationen schnell ausschließt und sich auf wesentliche Gesichtspunkte konzentriert. Im Beispiel heißt das, dass man Summen, in denen ein Schein mit einem Wert von mindestens {{math|term= 50 |SZ=}} vorkommt, gar nicht betrachten muss, da eine solche Summe immer größergleich {{math|term= 50 |SZ=}} und somit größer als der Zielbetrag {{math|term= 37 |SZ=}} sein wird. Hier fällt sofort eine typische Eigenschaft einer mathematischen Argumentation auf: Sie nimmt Bezug auf schon etablierte oder bekannte oder allgemein anerkannte Eigenschaften, hier nämlich auf die Eigenschaft, dass eine Summe von natürlichen Zahlen größergleich jedem Summanden der Summe ist. In einer mathematischen Argumentation geht man nicht immer {{Anführung|zurück auf Los|SZ=,}} sondern man verwendet Bekanntes, das seinerseits irgendwann durch eine mathematische Argumentation begründet worden ist. Eine weitere Beobachtung, die das rechnerische Überprüfen von sehr vielen Summen erübrigt, geht folgendermaßen: Man betrachtet den {{math|term= 20 |SZ=-}}Euro-Schein. Das ist der größte Schein, von dem man noch nicht weiß, ob und wie oft er verwendet wird. Wie oft kann/könnte er verwendet werden? Zunächst darf er höchstens einmal verwendet werden, da ja {{ Relationskette/display | 2 \cdot 20 || 40 |>| 37 || || |SZ= }} schon zu groß ist. Muss er in einer minimalen Darstellung verwendet werden? Hier begegnen wir einer typischen Denkfigur im Rahmen einer mathematischen Argumentation: Wir zeigen, dass in einer minimalen Darstellung der {{math|term= 37 |SZ=}} mit Eurozahlen die {{math|term= 20 |SZ=}} vorkommen muss, indem wir zeigen, dass eine Darstellung ohne den {{math|term= 20 |SZ=-}}Euro-Schein nicht minimal sein kann. Man spricht von einem {{Stichwort|Beweis durch Widerspruch|SZ=.}} Dabei formuliert man eine Annahme, die dann durch die mathematische Argumentation als unhaltbar erwiesen wird, also als widersprüchlich zu den gegebenen Voraussetzungen der Aussage. Wir machen also die Annahme: Es ist möglich, die {{math|term= 37 |SZ=}} als eine Summe mit maximal drei Summanden aus den Zahlen {{mathl|term= 1,2,5,10 |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=also ohne die {{math|term= 20 |SZ=}}| |ISZ=!|ESZ= }} darzustellen. Durch die Abschätzung, die ihrerseits auf Rechengesetze der natürlichen Zahlen Bezug nimmt, {{ Relationskette/display |a \cdot 1 + b \cdot 2 + c \cdot 5 + d \cdot 10 | \leq| (a+b+c+d) 10 | \leq| 3 \cdot 10 || 30 |<| 37 |SZ= }} sieht man aber schnell, dass dies nicht möglich ist. Die Annahme ist also falsch und eine jede Darstellung der {{math|term= 37 |SZ=}} mit maximal drei Eurozahlen muss die {{math|term= 20 |SZ=}} verwenden, und zwar genau einmal. An dieser Stelle tritt eine weitere wichtige Strategie bei einer mathematischen Argumentation auf, die Vereinfachung der Situation unter Verwendung des schon Gezeigten. Wir wissen bereits, dass {{math|term= 20 |SZ=}} genau einmal vorkommt. Wir ziehen daher {{math|term= 20 |SZ=}} ab und gelangen zur Fragestellung, ob es möglich ist, die {{math|term= 17 |SZ=}} als Summe von maximal zwei der Zahlen {{mathl|term= 1,2,5,10 |SZ=}} darzustellen. In einem gewissen Sinn sind wir jetzt wieder in der Ausgangssituation, wobei allerdings die Zahlen einfacher {{ Zusatz/Klammer |text=geworden| |ISZ=|ESZ= }} sind. Mit der schon verwendeten Strategie kann man hier weiterargumentieren: Man zeigt, dass die {{math|term= 10 |SZ=}} genau einmal in einer solchen minimalen Darstellung vorkommen muss, zieht es wieder ab und gelangt zur Frage, ob man die {{math|term= 7 |SZ=}} als Summe von Eurozahlen mit nur einem Summanden{{ Zusatz/Fußnote |text=Eine Summe mit nur einem Summanden mag sich sonderbar anhören. In der Mathematik sind aber solche Grenzfälle wichtig und stets mitzubetrachten, da man bei einer Situationsvereinfachung häufig {{ Zusatz/Gs |text=wie hier| |ISZ=|ESZ= }} bei einer solchen Extremsituation ankommt| |ISZ=.|ESZ= }} darstellen kann, was offenbar nicht möglich ist. Hier, wie häufig in der Mathematik, hängt also die Gültigkeit einer mathematischen Aussage mit der Gültigkeit einer anderen mathematischen Aussage von gleichem oder ähnlichem Typ zusammen. Von daher ist es sinnvoll, eine möglichst allgemeine mathematische Aussage zu formulieren und diese zu beweisen, wobei man im Beweis zeigt, dass man kompliziertere {{ Zusatz/Klammer |text=größere Zahlen| |ISZ=|ESZ= }} auf einfachere Situationen {{ Zusatz/Klammer |text=kleinere Zahlen| |ISZ=|ESZ= }} zurückführen kann. Ein wichtiges Beweisprinzip entlang dieses Schemas ist der {{Stichwort|Beweis durch Induktion|SZ={{ Zusatz/Fußnote |text=Das Induktionsprinzip werden wir in der siebten Vorlesung genau besprechen, und gelegentlich schon verwenden| |ISZ=.|ESZ=. }}}} Wir haben also gezeigt {{ Zusatz/Klammer |text=bewiesen, durch eine mathematische Argumentation begründet| |ISZ=|ESZ=, }} dass man mindestens vier Eurozahlen braucht, um die {{math|term= 37 |SZ=}} als Summe darzustellen: Mit weniger als vier ist es nicht möglich, und die eingangs beschriebene Zerlegung {{ Relationskette/display | 37 || 20+10+5+2 || || || |SZ= }} zeigt, dass es mit vier Eurozahlen möglich ist. Die {{math|term= 37 |SZ=}} ist eine Zahl unter vielen, wir hätten gerne zu einer jeden natürlichen Zahl eine entsprechende Aussage. Zunächst gibt es zu jedem vollen Eurobetrag {{math|term= w |SZ=}} eine minimale Anzahl an Eurozahlen, mit der man den Betrag als Summe erhalten kann, aus den drei einfachen Gründen, dass (1) überhaupt jeder Betrag darstellbar ist {{ Zusatz/Klammer |text=beispielsweise als hinreichend große Summe der {{math|term= 1 |SZ=}} mit sich selbst| |ISZ=|ESZ=, }} dass (2) es zu jeder möglichen Anzahl {{math|term= k |SZ=}} an Summanden grundsätzlich die beiden Möglichkeiten gibt, dass der Betrag durch eine Summe aus Eurozahlen mit {{math|term= k |SZ=}} Summanden darstellbar ist oder nicht, und dass (3) das Minimum einer nichtleeren Menge aus natürlichen Zahlen existiert{{ Zusatz/Fußnote |text=Dies ist unmittelbar klar (?). Wir werden in {{ Faktlink |Faktseitenname= Natürliche Zahlen/Nichtleere Teilmengen/Hat Minimum/Fakt |Nr= |SZ= }} diese Aussage aus dem Induktionsprinzip herleiten |ISZ=.|ESZ=. }} Wenn wir den Betrag mit {{math|term= w |SZ=}} bezeichnen, so kann man die minimale Summandenanzahl als {{ Relationskette/display/handlinks | m(w) || {{op:min|k \in \N|w \text{ lässt sich als eine Summe mit } k \text{ Summanden aus Eurozahlen darstellen} }} || || || |SZ= }} schreiben. Wir fragen uns: {{ Aufzählung3 |Ist die minimale Darstellung eines Betrages {{math|term= w |SZ=}} eindeutig? |Wie kann man sie charakterisieren? |Wie kann man sie finden? }} Dabei suchen wir nicht nur nach einer Antwort, sondern diese Fragen sind stets so zu verstehen, wie man mathematisch begründen kann, dass die Antwort auch richtig ist. Solche mathematischen Fragen können im Allgemeinen sehr schwierig sein, und es ist von vornherein nicht klar, ob man eine Lösung finden wird. Wir listen einige Herangehensweisen auf. {{ Aufzählung10 |Probieren. |Systematischer Probieren. |Extremfälle betrachten. |Hypothese formulieren. |Voraussetzungen leicht abändern, um mögliche Gründe und Schwierigkeiten zu erkennen. |Hypothese präziser formulieren. |Hypothese unter stärkeren zusätzlichen Voraussetzungen beweisen. |Die Perspektive ändern. |Reduktionsmöglichkeiten erkennen. |Hypothese beweisen. }} Wir erläutern dies an der ersten Frage, ob es eine eindeutig bestimmte minimale Darstellung gibt. {{ Aufzählung10 |Nehmen wir die {{math|term= 37 |SZ=.}} Es fällt uns keine weitere Darstellung mit vier Eurozahlen ein. Man kann die obige Argumentation, bei der wir gezeigt haben, dass es keine Darstellung mit drei Eurozahlen gibt, etwas abwandeln, und erhält so eine Begründung, dass die minimale Darstellung für die {{math|term= 37 |SZ=}} eindeutig ist. Welche Zahl probieren wir als nächstes? Die {{math|term= 146 |SZ=?}} |Es ist systematischer, erstmal die kleinsten Zahlen durchzugehen, die {{math|term= 1,2,3=1+2,4=2+2,5,6=5+1 |SZ=,}} bei denen man recht schnell erkennen kann, dass die optimalen Darstellungen eindeutig sind. |Extremfälle sind beispielsweise die einzelnen Eurozahlen selbst, diese sind offenbar durch sich selbst eindeutig minimal darstellbar. Wie sieht es mit der Summe von zwei Eurozahlen aus, kann es für sie eine weitere Darstellung als Summe von zwei Eurozahlen geben? Warum nicht? |Nach diesen Beobachtungen bzw. Überlegungen formulieren wir die optimistische Hypothese, dass die minimale Darstellung eindeutig ist. |Wie allgemein könnte eine solche Aussage stimmen? Betrachten wir die gleiche Fragestellung für eine Währung{{ Zusatz/Fußnote |text=Hier werden also die Voraussetzungen kurz abgeändert, um sie besser verstehen zu können| |ISZ=.|ESZ=, }} für die die Bargeldmittel gleich {{ Math/display|term= 1,3,5,10,30,50,100,300,500 |SZ= }} sind. Das sieht auf den ersten Blick nicht so anders aus. Allerdings gibt es hier die beiden verschiedenen Darstellungsmöglichkeiten {{ Relationskette/display | 6 || 5+1 || 3+3 || || |SZ=, }} die beide minimal sind, da man die {{math|term= 6 |SZ=}} sicher nicht mit einer Münze darstellen kann. Die Hypothese kann also nur stimmen aufgrund spezifischer Eigenschaften der Eurozahlen, eine grobe Argumentation wird man somit wohl nicht erwarten und eine Argumentation, die nicht direkt auf die Eurozahlen Bezug nimmt, kann nicht funktionieren. Auch wenn man die Rückgabe von Geld erlaubt, geht die Eindeutigkeit verloren, beispielsweise ist {{ Relationskette/display | 15 || 10+5 || 20-5 || || |SZ=, }} bei beiden Darstellung werden zwei Scheine bewegt. |Wir meinen natürlich bei eindeutig {{Anführung|eindeutig bis auf die Reihenfolge|SZ=,}} natürlich ist {{ Relationskette/display | 37 || 20+10+5+2 || 2+20+5+10 || || |SZ=. }} Es könnte sich als sinnvoll erweisen, immer mit einer bestimmten Reihenfolge der Summanden zu arbeiten, beispielsweise in absteigender Größe. |Wir beweisen die Aussage zuerst nur für alle Beträge {{math|term= \leq 10 |SZ=}} oder {{math|term= \leq 100 |SZ=}} oder nur für alle Beträge, die als Summe von drei Summanden darstellbar sind. |Wir wollen etwas über Zerlegungen {{ Relationskette/display | w || a \cdot 1 + b \cdot 2 + c \cdot 5 + d \cdot 10 + ... || || || |SZ= }} aussagen. Das kann man von links, also von {{math|term= w |SZ=}} aus betrachten, aber auch von der rechten Seite aus. Kann man einer Darstellung {{ Math/display|term= a \cdot 1 + b \cdot 2 + c \cdot 5 + d \cdot 10 + ... |SZ= }} ohne Bezug auf den dargestellten Wert ansehen, ob sie minimal ist? Hier gibt es viele Gesetzmäßigkeiten, z.B. kann {{math|term= a |SZ=}} nicht {{math|term= 2 |SZ=}} sein, da man andernfalls die beiden {{math|term= 1-|SZ=}}Euromünzen sofort durch eine {{math|term= 2 |SZ=-}}Euromünze ersetzen und so mit einer kleineren Anzahl von Eurozahlen auskommen würde. |Hängt die eindeutige Zerlegung für große Zahlen irgendwie mit der eindeutigen Zerlegung für kleinere Zahlen zusammen? Eine zweite Darstellung für {{math|term= w |SZ=}} führt zu einer Gleichheit {{ Relationskette/display | a \cdot 1 + b \cdot 2 + c \cdot 5 + d \cdot 10 + ... || a' \cdot 1 + b' \cdot 2 + c' \cdot 5 + d' \cdot 10 + ... || || || |SZ=. }} Hier kann man links und rechts, falls eine Eurozahl auf beiden Seiten positiv vorkommt, diese Eurozahl abziehen, und erhält so eine Gleichheit für einen kleineren Ausdruck. |Siehe unten. }} In einem mathematischen Buch {{ Zusatz/Klammer |text=bzw. in der Vorlesung| |ISZ=|ESZ= }} werden mathematische Aussagen häufig direkt bewiesen, ohne dass die Vorüberlegungen erläu{{drucktrenn}}tert werden, die zu dem Beweis geführt haben. Dies ist von der Ökonomie her begründet, man möchte einen Beweis haben, und nicht Überlegungen dokumentieren, die für sich allein genommen ziemlich aussagelos {{ Zusatz/Klammer |text=wie das Durchrechnen von einigen Beispielen| |ISZ=|ESZ= }} sind und von denen ein Großteil auch in eine falsche Richtung geht. Beim Auffinden von Beweisen und beim Lösen von Aufgaben {{ Zusatz/Klammer |text=zwischen diesen beiden Aspekten gibt es keinen grundsätzlichen Unterschied| |ISZ=|ESZ= }} ist der Weg dorthin sehr wichtig, und es sollte viel probiert, Strategien entwickelt und diskutiert werden, auch wenn sich das nicht in der Dokumentation der letztlich gefundenen überprüfbaren Argumentation niederschlägt{{ Zusatz/Fußnote |text=Das gilt auch für die abzugebenden Aufgaben. Geben Sie ein überzeugendes Endprodukt der Überlegungen ab, keine Dokumentation der Überlegungen| |ISZ=.|ESZ=. }} Nach all diesen Vorüberlegungen können wir den folgenden Satz beweisen. {{ inputfaktbeweis |Eurozahlen/Eindeutige Darstellung/Charakterisierung/Fakt|Satz||zusatz1=Fußnote|zusatz2=Fußnote }} Die {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Münzen/1,4,5,6/Maximale Auffüllung/Aufgabe |Nr= |SZ= }} zeigt, dass das Verfahren aus {{ Faktlink |Faktseitenname= Eurozahlen/Eindeutige Darstellung/Charakterisierung/Fakt |Nr=3 |SZ= }} nicht bei jeder Bargeldverteilung zur minimalen Darstellung führt. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der natürlichen Zahlen |Kategorie2=Prinzipien der Mathematik |Kategorie3= |Objektkategorie= |Fußnotenliste=x |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} htw67d705ww31q5zkvf6h6mrggrv1m4 1116565 1116561 2026-10-17T11:27:54Z Bocardodarapti 2041 1116565 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputbild |Euro coins and banknotes|jpg| 230px {{!}} right {{!}} | |Zusname=Euro_coins_and_banknotes |Text= |Autor= |Benutzer=Avij |Domäne= |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} Wir betrachten die Euromünzen und Euroscheine {{ Zusatz/Klammer |text=Bargeldmittel| |ISZ=|ESZ=, }} die bekanntlich die Werte{{ Zusatz/{{{zusatz1|}}} |text={{math|term= 500 |SZ=-}}Euro-Scheine werden inzwischen nicht mehr ausgegeben, sie sind aber nach wie vor im Umlauf und gültig| |ISZ=.|ESZ= }} {{ Math/display|term= 1,2,5,10,20,50,100,200, 500 |SZ= }} haben {{ Zusatz/Klammer |text=um nicht immer von Münzen bzw. Scheinen sprechen zu müssen, nennen wir diese Zahlen schlicht Eurozahlen| |ISZ=|ESZ=. }} Einen zu zahlenden vollen Betrag, beispielsweise {{math|term= 37 |SZ=}} Euro, kann man auf viele verschiedene Weisen {{ Zusatz/Klammer |text=ohne Rückgeld| |ISZ=|ESZ= }} begleichen, etwa durch {{math|term= 37 |SZ=}} {{math|term= 1 |SZ=-}}Euro-Münzen oder durch {{ Relationskette/display | 37 || 1 \cdot 10 + 4 \cdot 5 + 2 \cdot 2 +3 \cdot 1 || || || |SZ= }} oder durch {{ Relationskette/display | 37 || 20 +10+5+2 || || || |SZ=. }} Wir fragen uns, ob es stets eine {{Anführung|optimale}} Art gibt, einen gegebenen Betrag zu begleichen, ob sie eindeutig ist und wie man sie finden kann. Ein naheliegender Ansatz ist es, diejenige Bezahlung als optimal anzusehen, bei der die wenigsten Münzen bzw. Scheine verwendet werden. Im Beispiel kommt die zuletzt genannte Möglichkeit mit vier Münzen/Scheinen aus. Gibt es eine bessere Möglichkeit? Wie kann man an eine solche Frage herangehen? Wenn jemand eine Darstellung mit nur zwei oder drei Münzen/Scheinen finden würde, wäre die Frage direkt negativ entschieden, denn dann gäbe es eine bessere Möglichkeit. Wenn man ein bisschen rumprobiert und keine bessere Möglichkeit findet, so sagt das relativ wenig, wenn man sich nicht sicher sein kann, dass man alle Möglichkeiten systematisch überprüft hat. Ein solches systematisches und nachvollziehbares Überprüfen ist eine {{Stichwort|mathematische Argumentation|SZ=.}} Wenn die mathematische Argumentation eine präzise formulierte Aussage begründet, so spricht man von einem {{Stichwort|Beweis|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=für diese Aussage| |ISZ=|ESZ=. }} Unsere Aussage ist also {{Anführung|Die Zahl {{math|term= 37 |SZ=}} lässt sich nicht als eine Summe {{ Zusatz/Klammer |text=wobei Wiederholungen erlaubt sind| |ISZ=|ESZ= }} von weniger als vier Zahlen aus den Eurozahlen {{mathl|term= 1,2,5,10,20,50,100,200, 500 |SZ=}} darstellen|SZ=.}} Wie kann man das systematisch begründen? Grundsätzlich könnte man alle Summen mit einer Eurozahl, alle Summen mit zwei Eurozahlen und alle Summen mit drei Eurozahlen ausrechnen und dann feststellen, dass dabei nie {{math|term= 37 |SZ=}} rauskommt. Das ist durchführbar, aber sehr aufwändig. Zu einer guten mathematischen Argumentation gehört auch, dass sie geschickt und ökonomisch ist, dass sie abwegige Situationen schnell ausschließt und sich auf wesentliche Gesichtspunkte konzentriert. Im Beispiel heißt das, dass man Summen, in denen ein Schein mit einem Wert von mindestens {{math|term= 50 |SZ=}} vorkommt, gar nicht betrachten muss, da eine solche Summe immer größergleich {{math|term= 50 |SZ=}} und somit größer als der Zielbetrag {{math|term= 37 |SZ=}} sein wird. Hier fällt sofort eine typische Eigenschaft einer mathematischen Argumentation auf: Sie nimmt Bezug auf schon etablierte oder bekannte oder allgemein anerkannte Eigenschaften, hier nämlich auf die Eigenschaft, dass eine Summe von natürlichen Zahlen größergleich jedem Summanden der Summe ist. In einer mathematischen Argumentation geht man nicht immer {{Anführung|zurück auf Los|SZ=,}} sondern man verwendet Bekanntes, das seinerseits irgendwann durch eine mathematische Argumentation begründet worden ist. Eine weitere Beobachtung, die das rechnerische Überprüfen von sehr vielen Summen erübrigt, geht folgendermaßen: Man betrachtet den {{math|term= 20 |SZ=-}}Euro-Schein. Das ist der größte Schein, von dem man noch nicht weiß, ob und wie oft er verwendet wird. Wie oft kann/könnte er verwendet werden? Zunächst darf er höchstens einmal verwendet werden, da ja {{ Relationskette/display | 2 \cdot 20 || 40 |>| 37 || || |SZ= }} schon zu groß ist. Muss er in einer minimalen Darstellung verwendet werden? Hier begegnen wir einer typischen Denkfigur im Rahmen einer mathematischen Argumentation: Wir zeigen, dass in einer minimalen Darstellung der {{math|term= 37 |SZ=}} mit Eurozahlen die {{math|term= 20 |SZ=}} vorkommen muss, indem wir zeigen, dass eine Darstellung ohne den {{math|term= 20 |SZ=-}}Euro-Schein nicht minimal sein kann. Man spricht von einem {{Stichwort|Beweis durch Widerspruch|SZ=.}} Dabei formuliert man eine Annahme, die dann durch die mathematische Argumentation als unhaltbar erwiesen wird, also als widersprüchlich zu den gegebenen Voraussetzungen der Aussage. Wir machen also die Annahme: Es ist möglich, die {{math|term= 37 |SZ=}} als eine Summe mit maximal drei Summanden aus den Zahlen {{mathl|term= 1,2,5,10 |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=also ohne die {{math|term= 20 |SZ=}}| |ISZ=!|ESZ= }} darzustellen. Durch die Abschätzung, die ihrerseits auf Rechengesetze der natürlichen Zahlen Bezug nimmt, {{ Relationskette/display |a \cdot 1 + b \cdot 2 + c \cdot 5 + d \cdot 10 | \leq| (a+b+c+d) 10 | \leq| 3 \cdot 10 || 30 |<| 37 |SZ= }} sieht man aber schnell, dass dies nicht möglich ist. Die Annahme ist also falsch und eine jede Darstellung der {{math|term= 37 |SZ=}} mit maximal drei Eurozahlen muss die {{math|term= 20 |SZ=}} verwenden, und zwar genau einmal. An dieser Stelle tritt eine weitere wichtige Strategie bei einer mathematischen Argumentation auf, die Vereinfachung der Situation unter Verwendung des schon Gezeigten. Wir wissen bereits, dass {{math|term= 20 |SZ=}} genau einmal vorkommt. Wir ziehen daher {{math|term= 20 |SZ=}} ab und gelangen zur Fragestellung, ob es möglich ist, die {{math|term= 17 |SZ=}} als Summe von maximal zwei der Zahlen {{mathl|term= 1,2,5,10 |SZ=}} darzustellen. In einem gewissen Sinn sind wir jetzt wieder in der Ausgangssituation, wobei allerdings die Zahlen einfacher {{ Zusatz/Klammer |text=geworden| |ISZ=|ESZ= }} sind. Mit der schon verwendeten Strategie kann man hier weiterargumentieren: Man zeigt, dass die {{math|term= 10 |SZ=}} genau einmal in einer solchen minimalen Darstellung vorkommen muss, zieht es wieder ab und gelangt zur Frage, ob man die {{math|term= 7 |SZ=}} als Summe von Eurozahlen mit nur einem Summanden{{ Zusatz/Fußnote |text=Eine Summe mit nur einem Summanden mag sich sonderbar anhören. In der Mathematik sind aber solche Grenzfälle wichtig und stets mitzubetrachten, da man bei einer Situationsvereinfachung häufig {{ Zusatz/Gs |text=wie hier| |ISZ=|ESZ= }} bei einer solchen Extremsituation ankommt| |ISZ=.|ESZ= }} darstellen kann, was offenbar nicht möglich ist. Hier, wie häufig in der Mathematik, hängt also die Gültigkeit einer mathematischen Aussage mit der Gültigkeit einer anderen mathematischen Aussage von gleichem oder ähnlichem Typ zusammen. Von daher ist es sinnvoll, eine möglichst allgemeine mathematische Aussage zu formulieren und diese zu beweisen, wobei man im Beweis zeigt, dass man kompliziertere {{ Zusatz/Klammer |text=größere Zahlen| |ISZ=|ESZ= }} auf einfachere Situationen {{ Zusatz/Klammer |text=kleinere Zahlen| |ISZ=|ESZ= }} zurückführen kann. Ein wichtiges Beweisprinzip entlang dieses Schemas ist der {{Stichwort|Beweis durch Induktion|SZ={{ Zusatz/Fußnote |text=Das Induktionsprinzip werden wir in der siebten Vorlesung genau besprechen, und gelegentlich schon verwenden| |ISZ=.|ESZ=. }}}} Wir haben also gezeigt {{ Zusatz/Klammer |text=bewiesen, durch eine mathematische Argumentation begründet| |ISZ=|ESZ=, }} dass man mindestens vier Eurozahlen braucht, um die {{math|term= 37 |SZ=}} als Summe darzustellen: Mit weniger als vier ist es nicht möglich, und die eingangs beschriebene Zerlegung {{ Relationskette/display | 37 || 20+10+5+2 || || || |SZ= }} zeigt, dass es mit vier Eurozahlen möglich ist. Die {{math|term= 37 |SZ=}} ist eine Zahl unter vielen, wir hätten gerne zu einer jeden natürlichen Zahl eine entsprechende Aussage. Zunächst gibt es zu jedem vollen Eurobetrag {{math|term= w |SZ=}} eine minimale Anzahl an Eurozahlen, mit der man den Betrag als Summe erhalten kann, aus den drei einfachen Gründen, dass (1) überhaupt jeder Betrag darstellbar ist {{ Zusatz/Klammer |text=beispielsweise als hinreichend große Summe der {{math|term= 1 |SZ=}} mit sich selbst| |ISZ=|ESZ=, }} dass (2) es zu jeder möglichen Anzahl {{math|term= k |SZ=}} an Summanden grundsätzlich die beiden Möglichkeiten gibt, dass der Betrag durch eine Summe aus Eurozahlen mit {{math|term= k |SZ=}} Summanden darstellbar ist oder nicht, und dass (3) das Minimum einer nichtleeren Menge aus natürlichen Zahlen existiert{{ Zusatz/Fußnote |text=Dies ist unmittelbar klar (?). Wir werden in {{ Faktlink |Faktseitenname= Natürliche Zahlen/Nichtleere Teilmengen/Hat Minimum/Fakt |Nr= |SZ= }} diese Aussage aus dem Induktionsprinzip herleiten |ISZ=.|ESZ=. }} Wenn wir den Betrag mit {{math|term= w |SZ=}} bezeichnen, so kann man die minimale Summandenanzahl als {{ Relationskette/display/handlinks | m(w) || {{op:min|k \in \N|w \text{ lässt sich als eine Summe mit } k \text{ Summanden aus Eurozahlen darstellen} }} || || || |SZ= }} schreiben. Wir fragen uns: {{ Aufzählung3 |Ist die minimale Darstellung eines Betrages {{math|term= w |SZ=}} eindeutig? |Wie kann man sie charakterisieren? |Wie kann man sie finden? }} Dabei suchen wir nicht nur nach einer Antwort, sondern diese Fragen sind stets so zu verstehen, wie man mathematisch begründen kann, dass die Antwort auch richtig ist. Solche mathematischen Fragen können im Allgemeinen sehr schwierig sein, und es ist von vornherein nicht klar, ob man eine Lösung finden wird. Wir listen einige Herangehensweisen auf. {{ Aufzählung10 |Probieren. |Systematischer Probieren. |Extremfälle betrachten. |Hypothese formulieren. |Voraussetzungen leicht abändern, um mögliche Gründe und Schwierigkeiten zu erkennen. |Hypothese präziser formulieren. |Hypothese unter stärkeren zusätzlichen Voraussetzungen beweisen. |Die Perspektive ändern. |Reduktionsmöglichkeiten erkennen. |Hypothese beweisen. }} Wir erläutern dies an der ersten Frage, ob es eine eindeutig bestimmte minimale Darstellung gibt. {{ Aufzählung10 |Nehmen wir die {{math|term= 37 |SZ=.}} Es fällt uns keine weitere Darstellung mit vier Eurozahlen ein. Man kann die obige Argumentation, bei der wir gezeigt haben, dass es keine Darstellung mit drei Eurozahlen gibt, etwas abwandeln, und erhält so eine Begründung, dass die minimale Darstellung für die {{math|term= 37 |SZ=}} eindeutig ist. Welche Zahl probieren wir als nächstes? Die {{math|term= 146 |SZ=?}} |Es ist systematischer, erstmal die kleinsten Zahlen durchzugehen, die {{math|term= 1,2,3=1+2,4=2+2,5,6=5+1 |SZ=,}} bei denen man recht schnell erkennen kann, dass die optimalen Darstellungen eindeutig sind. |Extremfälle sind beispielsweise die einzelnen Eurozahlen selbst, diese sind offenbar durch sich selbst eindeutig minimal darstellbar. Wie sieht es mit der Summe von zwei Eurozahlen aus, kann es für sie eine weitere Darstellung als Summe von zwei Eurozahlen geben? Warum nicht? |Nach diesen Beobachtungen bzw. Überlegungen formulieren wir die optimistische Hypothese, dass die minimale Darstellung eindeutig ist. |Wie allgemein könnte eine solche Aussage stimmen? Betrachten wir die gleiche Fragestellung für eine Währung{{ Zusatz/Fußnote |text=Hier werden also die Voraussetzungen kurz abgeändert, um sie besser verstehen zu können| |ISZ=.|ESZ=, }} für die die Bargeldmittel gleich {{ Math/display|term= 1,3,5,10,30,50,100,300,500 |SZ= }} sind. Das sieht auf den ersten Blick nicht so anders aus. Allerdings gibt es hier die beiden verschiedenen Darstellungsmöglichkeiten {{ Relationskette/display | 6 || 5+1 || 3+3 || || |SZ=, }} die beide minimal sind, da man die {{math|term= 6 |SZ=}} sicher nicht mit einer Münze darstellen kann. Die Hypothese kann also nur stimmen aufgrund spezifischer Eigenschaften der Eurozahlen, eine grobe Argumentation wird man somit wohl nicht erwarten und eine Argumentation, die nicht direkt auf die Eurozahlen Bezug nimmt, kann nicht funktionieren. Auch wenn man die Rückgabe von Geld erlaubt, geht die Eindeutigkeit verloren, beispielsweise ist {{ Relationskette/display | 15 || 10+5 || 20-5 || || |SZ=, }} bei beiden Darstellung werden zwei Scheine bewegt. |Wir meinen natürlich bei eindeutig {{Anführung|eindeutig bis auf die Reihenfolge|SZ=,}} natürlich ist {{ Relationskette/display | 37 || 20+10+5+2 || 2+20+5+10 || || |SZ=. }} Es könnte sich als sinnvoll erweisen, immer mit einer bestimmten Reihenfolge der Summanden zu arbeiten, beispielsweise in absteigender Größe. |Wir beweisen die Aussage zuerst nur für alle Beträge {{math|term= \leq 10 |SZ=}} oder {{math|term= \leq 100 |SZ=}} oder nur für alle Beträge, die als Summe von drei Summanden darstellbar sind. |Wir wollen etwas über Zerlegungen {{ Relationskette/display | w || a \cdot 1 + b \cdot 2 + c \cdot 5 + d \cdot 10 + ... || || || |SZ= }} aussagen. Das kann man von links, also von {{math|term= w |SZ=}} aus betrachten, aber auch von der rechten Seite aus. Kann man einer Darstellung {{ Math/display|term= a \cdot 1 + b \cdot 2 + c \cdot 5 + d \cdot 10 + ... |SZ= }} ohne Bezug auf den dargestellten Wert ansehen, ob sie minimal ist? Hier gibt es viele Gesetzmäßigkeiten, z.B. kann {{math|term= a |SZ=}} nicht {{math|term= 2 |SZ=}} sein, da man andernfalls die beiden {{math|term= 1-|SZ=}}Euromünzen sofort durch eine {{math|term= 2 |SZ=-}}Euromünze ersetzen und so mit einer kleineren Anzahl von Eurozahlen auskommen würde. |Hängt die eindeutige Zerlegung für große Zahlen irgendwie mit der eindeutigen Zerlegung für kleinere Zahlen zusammen? Eine zweite Darstellung für {{math|term= w |SZ=}} führt zu einer Gleichheit {{ Relationskette/display | a \cdot 1 + b \cdot 2 + c \cdot 5 + d \cdot 10 + ... || a' \cdot 1 + b' \cdot 2 + c' \cdot 5 + d' \cdot 10 + ... || || || |SZ=. }} Hier kann man links und rechts, falls eine Eurozahl auf beiden Seiten positiv vorkommt, diese Eurozahl abziehen, und erhält so eine Gleichheit für einen kleineren Ausdruck. |Siehe unten. }} In einem mathematischen Buch {{ Zusatz/Klammer |text=bzw. in der Vorlesung| |ISZ=|ESZ= }} werden mathematische Aussagen häufig direkt bewiesen, ohne dass die Vorüberlegungen erläu{{drucktrenn}}tert werden, die zu dem Beweis geführt haben. Dies ist von der Ökonomie her begründet, man möchte einen Beweis haben, und nicht Überlegungen dokumentieren, die für sich allein genommen ziemlich aussagelos {{ Zusatz/Klammer |text=wie das Durchrechnen von einigen Beispielen| |ISZ=|ESZ= }} sind und von denen ein Großteil auch in eine falsche Richtung geht. Beim Auffinden von Beweisen und beim Lösen von Aufgaben {{ Zusatz/Klammer |text=zwischen diesen beiden Aspekten gibt es keinen grundsätzlichen Unterschied| |ISZ=|ESZ= }} ist der Weg dorthin sehr wichtig, und es sollte viel probiert, Strategien entwickelt und diskutiert werden, auch wenn sich das nicht in der Dokumentation der letztlich gefundenen überprüfbaren Argumentation niederschlägt{{ Zusatz/Fußnote |text=Das gilt auch für die abzugebenden Aufgaben. Geben Sie ein überzeugendes Endprodukt der Überlegungen ab, keine Dokumentation der Überlegungen| |ISZ=.|ESZ=. }} Nach all diesen Vorüberlegungen können wir den folgenden Satz beweisen. {{ inputfaktbeweis2 |Eurozahlen/Eindeutige Darstellung/Charakterisierung/Fakt|Satz||zusatz1=Fußnote|zusatz2=Fußnote }} Die {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Münzen/1,4,5,6/Maximale Auffüllung/Aufgabe |Nr= |SZ= }} zeigt, dass das Verfahren aus {{ Faktlink |Faktseitenname= Eurozahlen/Eindeutige Darstellung/Charakterisierung/Fakt |Nr=3 |SZ= }} nicht bei jeder Bargeldverteilung zur minimalen Darstellung führt. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der natürlichen Zahlen |Kategorie2=Prinzipien der Mathematik |Kategorie3= |Objektkategorie= |Fußnotenliste=x |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} t62jv5gf7lbzbgddvi15n8rjk4mcnqq 0 173126 1116566 2026-10-17T11:28:23Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1116566 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Wir zeigen zuerst, dass jede minimale Darstellung von {{math|term= w |SZ=}} die in (2) angegebenen Koeffizientenbedingungen erfüllt. Es sei also {{ Relationskette/display |w || a_1 \cdot 1 + a_2 \cdot 2 +a_3 \cdot 5 + a_4 \cdot 10 +a_5 \cdot 20 +a_6 \cdot 50 + a_7 \cdot 100+ a_8 \cdot 200 + a_9 \cdot 500 || || || |SZ= }} eine minimale Darstellung. WIr gehen die Koeffizientenbedingungen durch. {{ Aufzählung3/a |Wenn der Koeffizient vor {{math|term= 1 |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=also {{math|term= a_1 |SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} größer als {{math|term= 1 |SZ=}} wäre, also mindestens {{math|term= 2 |SZ=,}} so könnte man zwei {{math|term= 1 |SZ=-}}Euromünzen durch eine {{math|term= 2 |SZ=-}}Euromünze ersetzen und hätte eine Darstellung mit weniger Summanden im Widerspruch zur Minimalität {{ Zusatz/Klammer |text=ebenso für den Koeffizienten vor {{math|term= 10 |SZ=}} und vor {{math|term= 100 |SZ=}} | |ISZ=|ESZ=. }} Wenn der Koeffizient vor {{math|term= 5 |SZ=}} größer als {{math|term= 1 |SZ=}} wäre, also mindestens {{math|term= 2 |SZ=,}} so könnte man zwei {{math|term= 5 |SZ=-}}Euroscheine durch einen {{math|term= 10 |SZ=-}}Euroschein ersetzen und hätte eine Darstellung mit weniger Summanden im Widerspruch zur Minimalität {{ Zusatz/Klammer |text=ebenso für den Koeffizienten vor {{math|term= 50 |SZ=}}| |ISZ=|ESZ=. }} |Wenn der Koeffizient vor {{math|term= 2 |SZ=}} größer als {{math|term= 2 |SZ=}} wäre, also mindestens {{math|term= 3 |SZ=,}} so könnte man drei {{math|term= 2 |SZ=-}}Euromünzen durch eine {{math|term= 1 |SZ=-}}Euromünze und einen {{math|term= 5 |SZ=-}}Euroschein ersetzen und hätte eine Darstellung mit weniger Summanden im Widerspruch zur Minimalität {{ Zusatz/Klammer |text=ebenso für den Koeffizienten vor {{math|term= 20 |SZ=}} und vor {{math|term= 200 |SZ=}} | |ISZ=|ESZ=. }} |Wenn eine {{math|term= 2 |SZ=-}}Euromünze doppelt und eine {{math|term= 1 |SZ=-}}Euromünze einfach vorkommt, so kann man dies durch einen {{math|term= 5 |SZ=-}}Euroschein ersetzen im Widerspruch zur Minimalität der Darstellung, ebenso bei einem doppelten Vorkommen von {{math|term= 20 |SZ=}} oder {{math|term= 200 |SZ=.}} }} Wir zeigen nun die Eindeutigkeit der minimalen Darstellung und nehmen an, dass zwei Zerlegungen {{ Relationskette/align | w || a_1 \cdot 1 + a_2 \cdot 2 +a_3 \cdot 5 + a_4 \cdot 10 +a_5 \cdot 20 +a_6 \cdot 50 + a_7 \cdot 100+ a_8 \cdot 200 + a_9 \cdot 500 || b_1 \cdot 1 + b_2 \cdot 2 +b_3 \cdot 5 + b_4 \cdot 10 +b_5 \cdot 20 +b_6 \cdot 50 + b_7 \cdot 100+ b_8 \cdot 200 + b_9 \cdot 500 || || |SZ= }} vorliegen. Da beide Darstellungen minimal sind, müssen nach der bisherigen Überlegung die Koeffizienten jeweils die Koeffizientenbedingungen erfüllen. Wir werden zeigen, dass es überhaupt nur eine Darstellung gibt, die die Koeffizientenbedingungen erfüllt. Wir müssen also zeigen, dass {{ Relationskette/display | a_i || b_i || || || |SZ= }} für alle {{ Relationskette | i || 1 {{kommadots|}} 9 || || || |SZ= }} gilt. Wenn für ein bestimmtes {{math|term= i |SZ=}} die Koeffizienten {{ mathkor|term1= a_i |und|term2= b_i |SZ= }} beide {{mathl|term= \geq 1 |SZ=}} sind, so kann man beidseitig die zugehörige Eurozahl {{ Zusatz/Klammer |text=eventuell zweimal| |ISZ=|ESZ= }} abziehen und erhält dann eine kleinere Zahl {{math|term= w'|SZ=,}} für die zwei Darstellungen vorliegen, die ebenfalls die Koeffizientenbedingungen erfüllen. Da man diese Überlegung für jedes {{math|term= i |SZ=}} durchführen kann, gelangt man zu einer Gleichheit, bei der für jedes {{math|term= i |SZ=}} jeweils mindestens einer der Koeffizienten {{math|term= a_i, b_i |SZ=}} gleich {{math|term= 0 |SZ=}} ist. Es ist dann zu zeigen, dass auch der andere Koeffizient gleich {{math|term= 0 |SZ=}} ist. Dies zeigen wir absteigend, beginnend mit {{math|term= a_9 |SZ=}} bzw. {{math|term= b_9 |SZ=.}} Da die Situation symmetrisch{{ Zusatz/{{{zusatz2|}}} |text=Die Situation ist symmetrisch, da die beiden Darstellungen gleichberechtigt sind. In einer solchen Situation bedeutet es keine Einschränkung der Aussagekraft der Argumentation, wenn man eine Umbenennung vornimmt bzw. eine Eigenschaft, die eines der beteiligten Objekte hat, dem ersten zuweist. In einer solchen Situation finden sich häufig Formulierungen wie {{Anführung|wir können annehmen, dass ...|SZ=.}} | |ISZ=|ESZ= }} ist, können wir annehmen, dass {{ Relationskette |a_9 || 0 || || || |SZ= }} ist. Aufgrund der Koeffizientenbedingungen ist {{ Zusatz/Klammer |text=die Klammern sind suggestiv und sollen die verwendeten Abschätzungen verdeutlichen, die erste Abschätzung ist echt| |ISZ=|ESZ= }} {{ Relationskette/align/handlinks | {{makl| a_1 \cdot 1 + a_2 \cdot 2 +a_3 \cdot 5 |}} + {{makl| a_4 \cdot 10 +a_5 \cdot 20 +a_6 \cdot 50 |}} + {{makl| a_7 \cdot 100+ a_8 \cdot 200 |}} |< | 10 + 90+ 400 || 500 || || |SZ=. }} Daher kann {{math|term= b_9 |SZ=}} nicht größergleich {{math|term= 1 |SZ=}} sein und ist ebenfalls {{math|term= 0 |SZ=.}} So zeigt man absteigend, dass alle Koeffizienten {{math|term= 0 |SZ=}} sind und dass die Darstellung also eindeutig ist. Wir zeigen nun die andere Richtung aus Teil (2), dass eine Darstellung mit den gegebenen Koeffizientenbedingungen die eindeutige Darstellung sein muss. Mit der gleichen Argumentation wie eben, angewendet auf eine solche Darstellung und die minimale Darstellung, ergibt sich, dass die Darstellungen übereinstimmen. Der dritte Teil ergibt sich daraus, dass die entstehende Darstellung die in (2) formulierten Koeffizientenbedingungen erfüllen muss. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} slw5c0brwqk5zk9usjt26zc49zbwxyo 1116570 1116566 2026-10-17T11:53:07Z Bocardodarapti 2041 1116570 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Wir zeigen zuerst, dass jede minimale Darstellung von {{math|term= w |SZ=}} die in (2) angegebenen Koeffizientenbedingungen erfüllt. {{:Eurozahlen/Minimale Darstellung/Koeffizientenbedingung/Fakt/Beweis|opt=Text|}} Wir zeigen nun die Eindeutigkeit der minimalen Darstellung und nehmen an, dass zwei Zerlegungen {{ Relationskette/align | w || a_1 \cdot 1 + a_2 \cdot 2 +a_3 \cdot 5 + a_4 \cdot 10 +a_5 \cdot 20 +a_6 \cdot 50 + a_7 \cdot 100+ a_8 \cdot 200 + a_9 \cdot 500 || b_1 \cdot 1 + b_2 \cdot 2 +b_3 \cdot 5 + b_4 \cdot 10 +b_5 \cdot 20 +b_6 \cdot 50 + b_7 \cdot 100+ b_8 \cdot 200 + b_9 \cdot 500 || || |SZ= }} vorliegen. Da beide Darstellungen minimal sind, müssen nach der bisherigen Überlegung die Koeffizienten jeweils die Koeffizientenbedingungen erfüllen. Wir werden zeigen, dass es überhaupt nur eine Darstellung gibt, die die Koeffizientenbedingungen erfüllt. Wir müssen also zeigen, dass {{ Relationskette/display | a_i || b_i || || || |SZ= }} für alle {{ Relationskette | i || 1 {{kommadots|}} 9 || || || |SZ= }} gilt. Wenn für ein bestimmtes {{math|term= i |SZ=}} die Koeffizienten {{ mathkor|term1= a_i |und|term2= b_i |SZ= }} beide {{mathl|term= \geq 1 |SZ=}} sind, so kann man beidseitig die zugehörige Eurozahl {{ Zusatz/Klammer |text=eventuell zweimal| |ISZ=|ESZ= }} abziehen und erhält dann eine kleinere Zahl {{math|term= w'|SZ=,}} für die zwei Darstellungen vorliegen, die ebenfalls die Koeffizientenbedingungen erfüllen. Da man diese Überlegung für jedes {{math|term= i |SZ=}} durchführen kann, gelangt man zu einer Gleichheit, bei der für jedes {{math|term= i |SZ=}} jeweils mindestens einer der Koeffizienten {{math|term= a_i, b_i |SZ=}} gleich {{math|term= 0 |SZ=}} ist. Es ist dann zu zeigen, dass auch der andere Koeffizient gleich {{math|term= 0 |SZ=}} ist. Dies zeigen wir absteigend, beginnend mit {{math|term= a_9 |SZ=}} bzw. {{math|term= b_9 |SZ=.}} Da die Situation symmetrisch{{ Zusatz/{{{zusatz2|}}} |text=Die Situation ist symmetrisch, da die beiden Darstellungen gleichberechtigt sind. In einer solchen Situation bedeutet es keine Einschränkung der Aussagekraft der Argumentation, wenn man eine Umbenennung vornimmt bzw. eine Eigenschaft, die eines der beteiligten Objekte hat, dem ersten zuweist. In einer solchen Situation finden sich häufig Formulierungen wie {{Anführung|wir können annehmen, dass ...|SZ=.}} | |ISZ=|ESZ= }} ist, können wir annehmen, dass {{ Relationskette |a_9 || 0 || || || |SZ= }} ist. Aufgrund der Koeffizientenbedingungen ist {{ Zusatz/Klammer |text=die Klammern sind suggestiv und sollen die verwendeten Abschätzungen verdeutlichen, die erste Abschätzung ist echt| |ISZ=|ESZ= }} {{ Relationskette/align/handlinks | {{makl| a_1 \cdot 1 + a_2 \cdot 2 +a_3 \cdot 5 |}} + {{makl| a_4 \cdot 10 +a_5 \cdot 20 +a_6 \cdot 50 |}} + {{makl| a_7 \cdot 100+ a_8 \cdot 200 |}} |< | 10 + 90+ 400 || 500 || || |SZ=. }} Daher kann {{math|term= b_9 |SZ=}} nicht größergleich {{math|term= 1 |SZ=}} sein und ist ebenfalls {{math|term= 0 |SZ=.}} So zeigt man absteigend, dass alle Koeffizienten {{math|term= 0 |SZ=}} sind und dass die Darstellung also eindeutig ist. Wir zeigen nun die andere Richtung aus Teil (2), dass eine Darstellung mit den gegebenen Koeffizientenbedingungen die eindeutige Darstellung sein muss. Mit der gleichen Argumentation wie eben, angewendet auf eine solche Darstellung und die minimale Darstellung, ergibt sich, dass die Darstellungen übereinstimmen. Der dritte Teil ergibt sich daraus, dass die entstehende Darstellung die in (2) formulierten Koeffizientenbedingungen erfüllen muss. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} n5cppfpfg6i5d7wg0n5qqku5ti8z44f 0 173127 1116568 2026-10-17T11:49:01Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1116568 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation=Es sei {{math|term= w |SZ=}} eine natürliche Zahl und es sei eine Summendarstellung {{ Relationskette/display | w || a_1 \cdot 1 + a_2 \cdot 2 +a_3 \cdot 5 + a_4 \cdot 10 +a_5 \cdot 20 +a_6 \cdot 50 + a_7 \cdot 100+ a_8 \cdot 200 + a_9 \cdot 500 || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=mit {{ Relationskette | a_1 {{kommadots|}} a_9 | \in | \N || || || |SZ= }} }} mit der Eigenschaft gegeben, dass die Gesamtanzahl der Summanden {{ Zusatz/Klammer |text=also {{mathlk|term= a_1 +a_2 {{plusdots}} a_9 |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} unter all solchen Darstellungen für {{math|term= w |SZ=}} minimal sei. |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung= Dann sind die folgenden Koeffizientenbedingungen erfüllt. {{ Aufzählung3/a |Die Koeffizienten {{math|term= a_i |SZ=,}} die sich auf {{math|term= 1,5,10,50,100 |SZ=}} beziehen, sind {{math|term= \leq 1 |SZ=.}} |Die Koeffizienten {{math|term= a_i |SZ=,}} die sich auf {{math|term= 2,20,200 |SZ=}} beziehen, sind {{math|term= \leq 2 |SZ=.}} |Falls der Koeffizient, der sich auf {{math|term= 2 |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=bzw. {{math|term= 20 |SZ=}} bzw. {{math|term= 200 |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} bezieht, gleich {{math|term= 2 |SZ=}} ist, so ist der vorhergehende Koeffizient {{ Zusatz/Klammer |text=der sich also auf {{math|term= 1 |SZ=}} bzw. {{math|term= 10 |SZ=}} bzw. {{math|term= 100 |SZ=}} bezieht| |ISZ=|ESZ= }} gleich {{math|term= 0 |SZ=.}} }} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der additiven Untermonoide von N |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} 72vhoaw7tz8ibucwpb43sjxq6tqt1r7 0 173128 1116569 2026-10-17T11:51:37Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1116569 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Es sei {{ Relationskette/display | w || a_1 \cdot 1 + a_2 \cdot 2 +a_3 \cdot 5 + a_4 \cdot 10 +a_5 \cdot 20 +a_6 \cdot 50 + a_7 \cdot 100+ a_8 \cdot 200 + a_9 \cdot 500 || || || |SZ= }} eine minimale Darstellung. Wir gehen die Koeffizientenbedingungen durch. {{ Aufzählung3/a |Wenn der Koeffizient vor {{math|term= 1 |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=also {{math|term= a_1 |SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} größer als {{math|term= 1 |SZ=}} wäre, also mindestens {{math|term= 2 |SZ=,}} so könnte man zwei {{math|term= 1 |SZ=-}}Euromünzen durch eine {{math|term= 2 |SZ=-}}Euromünze ersetzen und hätte eine Darstellung mit weniger Summanden im Widerspruch zur Minimalität {{ Zusatz/Klammer |text=ebenso für den Koeffizienten vor {{math|term= 10 |SZ=}} und vor {{math|term= 100 |SZ=}} | |ISZ=|ESZ=. }} Wenn der Koeffizient vor {{math|term= 5 |SZ=}} größer als {{math|term= 1 |SZ=}} wäre, also mindestens {{math|term= 2 |SZ=,}} so könnte man zwei {{math|term= 5 |SZ=-}}Euroscheine durch einen {{math|term= 10 |SZ=-}}Euroschein ersetzen und hätte eine Darstellung mit weniger Summanden im Widerspruch zur Minimalität {{ Zusatz/Klammer |text=ebenso für den Koeffizienten vor {{math|term= 50 |SZ=}}| |ISZ=|ESZ=. }} |Wenn der Koeffizient vor {{math|term= 2 |SZ=}} größer als {{math|term= 2 |SZ=}} wäre, also mindestens {{math|term= 3 |SZ=,}} so könnte man drei {{math|term= 2 |SZ=-}}Euro-Münzen durch eine {{math|term= 1 |SZ=-}}Euro-Münze und einen {{math|term= 5 |SZ=-}}Euroschein ersetzen und hätte eine Darstellung mit weniger Summanden im Widerspruch zur Minimalität {{ Zusatz/Klammer |text=ebenso für den Koeffizienten vor {{math|term= 20 |SZ=}} und vor {{math|term= 200 |SZ=}} | |ISZ=|ESZ=. }} |Wenn eine {{math|term= 2 |SZ=-}}Euro-Münze doppelt und eine {{math|term= 1 |SZ=-}}Euro-Münze einfach vorkommt, so kann man dies durch einen {{math|term= 5 |SZ=-}}Euro-Schein ersetzen im Widerspruch zur Minimalität der Darstellung, ebenso bei einem doppelten Vorkommen von {{math|term= 20 |SZ=}} oder {{math|term= 200 |SZ=.}} }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} 028dfn5gzn7xw824oaacv13qto7vvr2